Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Подобно тому как «демографический взрнв》тревожит социологов и экономистов, проблема «информационного взрыва» во весь рост стоит перед научными работниками и педагогами.
Разница между этими проблемами заключается в том, что ограничение рождаемости легче осуществить по отношению к народонаселению, чем по отношению к появлению новых статей.
Только редактор научного журнала мечтает о золотом веке, когда авторы сами строго рецензируют и отклоняют все свои статьи, за исключением гениальных.
Рождение статьи, содержащей хотя бы небольшое продвижение по сравнению с достигнутым уровнем знания доставляет авторам статьи удовлетворение, отказаться от которого невозможно. Не следут бороться с «информационным взрывом》. Энергию этого взрыва, т. е. усилия огромной армии научных работников нужно направить в общее русло.
Возможно, что в химии и зоологии главным является классификация информации и механизация поиска материалов, относящихся к тому или иному химическому соединению или биологическому виду.
В теоретической физике, по нашему убеждению, важнейшее значение имеют обзоры и монографии, подытоживающие работы в определенных актуальных областях. Такой обзор должен по возможности объективно отбирать наиболее важные результаты большого числа работ.
В принципе учебники, обновляющие материал по мере развития науки, ставят перед собой ту же цель. На щите (точнее — в предисловии) знаменитого Курса теоретической физики Ландау и Лифшица начертано, что изучение курса дает подготовку, достаточную для работы над
оригинальными журнальными статьями. Фактически в последние годы ощущается некий разрыв между учебниками и новыми оригинальными работами. Предлагаемая книга предназначена для того, чтобы заполнить этот разрыв и служить промежуточным звеном между курсом квантовой механики и современным уровнем в ряде вопросов атомной и ядерной физики и отчасти физики элементарных частиц.
Перечислим общефизические вопросы, рассматриваемые в монографии.
Системы с малой энергией связи; примерами являются дейтон ——отрицательный ион водорода.
Системы с кулоновым потенциалом — атом водорода.
Нестабильные системы — радиоактивные ядра, автоионизационные состояния.
Подробная теория гармонического осциллятора (отсутствовала в первом издании), применимая также к колебаниям электромагнитного поля в лазерных системах.
Системы с многоканальным сплошным спектром — сталкивающиеся частицы, которые в ходе столкновения перегруппировываются, т. е. вступают в ядерные реакции.
Системы, состоящие из трех тел (в первом издании не рассматривались).
Наряду с объектами, относящимися к атомной и ядерной физике, рассматриваемыми в монографии, нужно отметить те общие методы теоретической физики, которые рассмотрены гораздо более подробно, чем это делается в учебниках, например:
Аналитические свойства волновой функции и матрицы рассеяния.
Функция Грина уравнения Шредингера.
Квазиклассическое приближение.
Несколько особняком стоит глава о теории перенормировки. Традиционно теория перенормировки рассматривается на поздней стадии изучения теории квантованных полей. При строго логическом подходе такое расположение материала вполне обосновано: теория перенормировки в применении к элементарным частицам требует
релятивистских уравнений. Однако опыт изучения и преподавания говорит о больших педагогических трудностях строгого подхода.
На учащегося сразу обрушиваются трудности различной природы — как те, которые связаны с самими понятиями перенормировки, так и трудности релятивистской теории с бесконечным числом процессов и диаграмм.
Представляется целесообразным на модели, не имеющей реального физического прототипа, уяснить одну сторону дела——принцип введения перенормированной массы и заряда. Эта задача решается на примере модели Ли, причем способом несколько отличным от предложенного самим Ли.
Второе издание сдано в печать через 3,5 года после сдачи первого. Объем переработки характеризуется тем, что общее число листов и список литературы увеличились примерно в полтора раза.
В книге принята новая по сравнению с предыдущим изданием система ссылок на научную литературу; в тексте приводится не номер ссылки, а фамилия автора и год издания. При этом фамилии иностранных авторов даны в русской транскрипции. В затруднительных случаях транскрипцию иностранных авторов можно установить по списку, приведенному в конце книги на стр. 542.
В предисловии не принято указывать, какие вопросы не освещены в книге,——перечисление их трудно ограничить, и оно наносит ущерб авторам.
Отступая от традиции, мы хотим отметить два вопроса, которые естественно было бы ожидать в современном изложении квантовой механики: это полюса Редже и фейнмановские интегралы по траекториям. Оба вопроса хорошо освещены в литературе на русском языке, и поэтому мы сочли возможным опустить их.
Пользуемся случаем поблагодарить В. С. Попова, просмотревшего новый вариант книги, за ряд полезных замечаний.
А. Базь, ”. Зельдович, 4. Переломов
ГЛАВА I
ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР
Введение
Настоящая глава посвящена описанию некоторых свойств решений уравнения Шредингера, принадлежащих дискретному спектру. Как известно, такие решения описывают связанные состояния. Мы рйзберем три конкретных случая: а) состояния с малой энергией связи, б) связанные состояния в кулоновском поле, в) состояния трехмерного гармонического осциллятора.
Состояния с энергией связи в, малой по сравнению с глубиной ямы Uo, имеют важное значение в применениях; в качестве примера можно привести основное состояние дейтона. Свойства этих состояний довольно подробно рассмотрены в §§ 2 и 3, причем особое внимание уделено тому случаю, когда 8 -> 0, т. е. уровень только что появился. В следующем параграфе рассматривается движение частицы в поле нескольких потенциальных ям. При этом вводится и обосновывается важное понятие псевдопотенциала.
Поскольку случаи б) и в) подробно разбираются практически во всех учебниках по квантовой механике, мы обратим все внимание на выяснение специфических, качественных свойств этих состояний. В этих случаях, как известно, существует вырождение (обычно называемое «случайным» вырождением) между состояниями с различными значениями момента количества движения 厶 Поэтому стационарными состояниями являются также суперпозиции состояний с различными значениями 厶 и наряду с обычной классификацией уровней можно ввести и другую классификацию.
Выражение «случайное» вырождение не надо понимать буквально!
Возникновение такой ситуации всегда не случайно. Оно является следствием особого свойства классической механической системы ——наличия замкнутых траекторий. В квантовой механике уравнение Шредингера для таких систем допускает разделение переменных в нескольких системах координат. Более важным свойством, однако, является существование группы преобразований, которые оставляют уравнение Шредингера неизменным. Все остальные свойства являются следствием существования этой группы. Эти вопросы рассмотрены в § 5 для кулоновского потенциала и в следующем параграфе для осциллятора. В § 6 рассмотрены также так называемые «когерентные» состояния. Эти состояния, не являющиеся стационарными, обладают рядом интересных свойств; например свойством наибольшей близости (в некотором смысле этого слова) к свойствам классического осциллятора.
В § 7 дан вывод так называемой теоремы вириала и рассмотрены некоторые ее обобщения. Наконец, в последнем параграфе этой главы рассматривается вопрос о статистических свойствах системы тождественных частиц.
Несколько слов о чтении книги.
Параграф первый дается лишь для того, чтобы ввести обозначения, употребляемые далее. Читателю, недавно изучавшему обычный курс квантовой механики, настоятельно рекомендуем не читать дальше этот параграф. В противном случае он получит превратное представление о содержании и может отложить книгу, не дойдя до вещей, ему неизвестных и интересных.
Напомним теперь некоторые основные положения квантовой механики.
Состояние системы в нерелятивистской квантовой механике полностью описывается волновой функцией 屮，а изменение Т-функции с течением времени определяется уравнением Шредингера (в дальнейшем для сокращения будем писать у. Ш.)
访零=鹏(1.1)
где Н ——гамильтониан системы, fi ——постоянная Планка.
Мы будем рассматривать в основном (за исключением § 4 гл. V и гл. VI) тот случай, когда гамильтониан не зависит явно от времени. При этом существуют стационарные состояния, т. е. состояния, для которых плотность Вероятности |Т|2 с течением времени не изменяется. Волновая функция такого состояния имеет вид
屮(/)=2】k;
отсюда следует, что 屮 является собственной функцией гамильтониана
Н^ = Е^,(1.2)
описывающей состояние с определенной вещественной энергией Е,
Для случая одной частицы в постоянном внешнем поле имеем
万2
(1.2')(1.2')〃=-备△ + 〃&),
(1.2')
(1.2')
(—"£ А + U У)) W (г) = £屮(г).
Волновая функция -ф(г) должна удовлетворять обычным условиям: она обязана быть однозначной ) и непрерывной во всем пространстве.
В большом числе практически важных задач потенциал U(г) является сферически симметричным, т. е. зависит только от л В таком поле оператор момента количества движения L коммутирует с оператором Гамильтона Н (это соответствует сохранению момента количества движения в классической механике). Кроме того, оператор Н коммутирует с оператором инверсии Р
(свойство, не имеющее аналога в классической механике (Е. Вигнер, 1964)).
Так как операторы ", L2, Lz и Р коммутируют друг с другом, то собственные состояния Н могут являться одновременно и собственными состояниями L2, Л2 и Р. Иными словами, стационарное состояние может иметь: определенное значение орбитального момента 厶 причем L2 = /(/ + 1), где / — целое； определенное значение проекции момента т на произвольно выбранную ось 2, причем т принимает (2Z + 1) значение от —I до 十厶 и определенную четность Р= +1 или Р = —1. В одночастичной задаче четность однозначно определяется орбитальным моментом Р = (—1)', т. е. совпадает с четностью числа L Из сказанного выше следует, что существуют решения у. имеющие вид
^(H = ^(r)^Zm(0> Ф)-(1.3)
Здесь 0 и <р — полярный и азимутальный углы вектора г,匕？п(8, <pj ——сферические функции, a R』(r)——функция, зависящая только от г. После подстановки (1.3) в (1.2‘)для Ri получается уравнение
%^卜拶)+［書(Ё-u)-中］"=。・(1，4)
Введем новую функцию
%«) = *(「)，(1.3')
которая удовлетворяет уравнению
煩 + ［岳一(Р (г) + 弟❷)卜=0,(1.5)
уже не содержащему первой производной. Величина 尼 здесь равна V 2mElf, а V = ^~U ・
Там, где это не сможет вызвать недоразумений, мы и V будем называть потенциалом.
Центробежный потенциал —- можно включить в 匕 после чего уравнение (1.5) принимает вид
戏+ 睇-1/⑺)雏=0.(1.6)
Свойства этого уравнения хорошо известны из курсов квантовой механики (и в первую очередь из «Квантовой механики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1963). Отметим еще весьма полный курс Р. Ньютона (1966))).
В случае несингулярного потенциала “(г) конечна, откуда следуют граничные условия для %々：
Хй (r)f о конечнаХй (r)f о конечнапри 「-> О,при 「-> О,при г#=0 и г-> ОО.при г#=0 и г-> ОО.(1.7)(1.7)
Хй (r)f о конечна
Хй (r)f о конечна
при 「-> О,
при 「-> О,
при г#=0 и г-> ОО.
при г#=0 и г-> ОО.
(1.7)
(1.7)
Кроме того, %总 и %；, естественно, при г > 0 должны быть непрерывными ).
Условимся также в тех случаях, когда при г-> оо V(r) стремится к определенному пределу, таким образом выбирать начало отсчета шкалы энергии, чтобы на бесконечности потенциал V(r) обращался в нуль.
Почти все встречающиеся в природе взаимодействия между частицами (кроме кулоновского и некоторых других) описываются быстро падающими потенциалами, т. е. потенциалами, убывающими быстрее, чем 1/г, при больших г. Во многих случаях к тому же при г, большем некоторого R, этими взаимодействиями можно пренебречь и считать, что V(r) = 0 при г > R. Такие потенциалы будем называть короткодействующими. Введение радиуса обрезания R сильно упрощает все формулы, и мы сначала рассмотрим именно этот случай. Центробежный потенциал нельзя считать короткодействующим, и, чтобы не усложнять дела, положим орбитальный момент I равным нулю.
Итак, мы приходим к следующей постановке задачи： найти все решения 沥(г) уравнения
Хй + (^ - V (г)) Хй = о при r<R,,
煜十兴爲=。прнГ》r， "S) удовлетворяющие условиям (1.7). При этом волновая функция
-ф (г) = RkG (г) Уоо (6, <р) = ~у^- (L3")
В области r>R, как видно из. второго уравнения (16), имеются два решения )
现±)= е土询.(1.8)
При r<R также имеются два решения, но из них можно использовать лишь одно, так как второе не удовлетворяет граничному условию при г = 0. Действительно, будем искать 几 при г->0 в виде степенной функции га; тогда из (1・6‘)
о(о- 1)^- г2{^-V[r)\
Если r2V(r)—*0 ), то для а получаются два значения: 0 и 1. Соответственно этому при г ->0 у. Ш. допускает два решения:
电(г) fa при r->0, G(「)f 持 при г->0, где а и Ь — постоянные. Решение -фг, однако, должно быть отброшено, так как
Д у = — 4л&б (г)
и, следовательно,屮2 в точке г = 0 не удовлетворяет у. Ш. ). Остается единственное решение 屮卜 отвечающее значению о = 1.
Приведенное рассуждение можно рассматривать как обоснование наложенного выше граничного условия %(「)一>0 при г —>0. Решение, удовлетворяющее этому условию, будем обозначать через %£)(「)・
Рассмотрим теперь области положительных и отрицательных энергий ). Положительным энергиям соответствуют действительные значения k. В этом случае оба решения (1.8) остаются конечными при всех значениях rRR, т. е. оба решения в этой области приемлемы.
Наиболее общее решение при r>R можно записать как
能⑺=4伏)(现-)一5但)也+)). (1.9)
При г = R это решение должно непрерывным образом сшиваться с решением во внутренней области:
(1-Ю)(1-Ю)4他）侬）-5但）处+）儿.「规）依）,A®（X『 — S®^+））|,=R=%b（R）.
(1-Ю)
(1-Ю)
Сшивку всегда можно произвести, подобрав соответствующим образом величины Д и S. Действительно, рассматривая (1.10) как систему уравнений для определения А и S, легко получить
s® =s® =4® =4® =或+）‘礎）一烦礎）'必戸‘礎）一处+必6I或+）‘礎）一烦礎）'必戸‘礎）一处+必6I(1-11)(1-11)2 访|”R2 访|”R
s® =
s® =
4® =
4® =
或+）‘礎）一烦礎）'
必戸‘礎）一处+必6I
或+）‘礎）一烦礎）'
必戸‘礎）一处+必6I
(1-11)
(1-11)
2 访|”R
2 访|”R
Таким образом, при каждом положительном значении энергии имеется одно и только одно решение у. Ш. Физический смысл этого решения мы обсудим позже.
При отрицательных энергиях положение существенно меняется. Отрицательным £ соответствуют мнимые 左： k =ll^l).
Решение %^-)= ?1在1『 экспоненциально возрастает при г—>8 и, следовательно, не удовлетворяет второму из условий (1.7). Наиболее общее решение при г > R, стало быть, имеет вид
(1：12)(1：12)a （舟壊0
(1：12)
(1：12)
а условие сшивания внешней и внутренней функций —
r« Rr« R一丨々|.一丨々|.(1.13)(1.13)
r« R
r« R
一丨々|.
一丨々|.
(1.13)
(1.13)
По существу, это условие является трансцендентным уравнением для определения \k\ и, следовательно, оно может выполняться лишь при некоторых дискретных мнимых значениях k = kn (или соответственно при дискретных отрицательных значениях энергии Еп).
Необходимо также, как видно из (1.13), чтобы логарифмическая производная функции %£) была отрицательна. Это, как будет видно из дальнейшего, имеет место, лишь если У (г) является в основном отрицательным (что соответствует притяжению) и достаточно большим по абсолютной величине. В этом случае функций дискретного спектра при r>R имеют вид
% (г) = 4冏)脸：)(「)= &(&)e-隔"，
т. е. экспоненциально затухают при больших г). При
rVR функции конечны, и потому интеграл f \lkn(r) ^dr(1.14)
О
СХОДИТСЯ. Функцию Хйп обычно нормируют так, чтобы этот интеграл был равен единице. Так как %匕 экспоненциально затухает при г〉R, то решению соответствует локализованное в пространстве состояние частицы. Подобные решения отвечают классическому финитному двиЯсению частицы с отрицательной энергией, а соответствующие им состояния в обычном случае несингулярного потенциала называют связанными состояниями).
Таким образом, при положительных энергиях у. Ш. имеет решение (удовлетворяющее граничным условиям) при каждом положительном значении Е (т. е. при 々2 > о), притом при любом значении /.
Для отрицательных энергий при фиксированном значении I решения возможны (если вообще возможны) лишь при некоторых дискретных значениях Е =旦ц. Формулируют это обычно так: при положительных энергиях спектр собственных значений энергии непрерывен, а при отрицательных ——дискретен.
В случае дискретного спектра каждый уровень, вообще говоря, имеет определенное значение 厶 Уровни с одинаковым 厶 но различными т. вырождены, что является следствием сферической симметрии потенциала.
Однако при 2 次 6 сами решения уже не являются сферически-симметричными; их угловая зависимость определяется угловой частью волновой функции 匕 т(е,<р)).
При этом решение обладает также определенной четностью Р. Вырождение, соответствующее различным т при одинаковом 厶 ничего не меняет ——все вырожденные уровни и любая их линейная комбинация (также являющаяся решением) обладают одним и тем же Р. Величина |-ф|2—плотность вероятности (для заряженной частицы—плотность заряда) при инверсии координат не изменяется, так как при такой замене 屮 переходит либо в2，либо в--2.
Так доказывается, что распределение заряда в сфе- рически-симметричном потенциале всегда имеет центр симметрии (хотя и не обязано быть сферически-симме- тричным) и, следовательно, электрический дипольный момент должен быть равен нулю.
В специальном, физически весьма важном случае ку- лоновского потенциала U имеет место так называемое случайное вырождение, т. е. точное равенство энергии уровней с различными 厶 При этом нарушается и вывод об обязательном равенстве нулю дипольного момента, т. е. частица может находиться в состоянии с дипольным моментом, отличным от нуля (этот эффект будет специально рассмотрен ниже, в § 5).
Состояния с малой энергией связи
Рассмотрим у. Ш. с U(г) < 0. Заметим, что в этом ■случае имеется следующее различие между классической и квантовой механикой： в классической механике достаточно любой, самой маленькой потенциальной ямы, чтобы связать частицу; частица может покоиться на дне этой ямы, т. е. существует решение с £ = Umm < 0.
В квантовой механике в трехмерной задаче, оказывается, есть определенные критические условия для того, чтобы существовал хотя бы один дискретный уровень; для этого яма должна быть достаточно «широка и глу- бока». Такой результат качественно понятен с точки зрения принципа неопределенности: частица может быть связана потенциалом U(г), если она проводит определенную долю времени в области, где потенциал отличен от нуля и отрицателен. Но локализация частицы означает
увеличение ее среднего импульса и средней кинетической энергии. Поэтому в неглубокой и узкой яме невозможно построить решение с отрицательной полной энергией, нет дискретного уровня ).
Большой интерес представляет ситуация на грани возникновения дискретного уровня, когда уровень только-только появился, т. е. когда глубина и ширина ямы близки к своему критическому значению. При этом получается решение, отличающееся тем, что частица лишь малую долю времени проводит в яме( эта доля стремится к нулю при приближении к критическим условиям) и свойства решения слабо зависят от вида U(г). С такой ситуацией мы сталкиваемся, например, в теории дейтона——связанного состояния протона и нейтрона (Г. Бете, Р. Пайерлс, 1935).
Найдем сперва условие существования уровня в случае «прямоугольной ямы》,т. е. потенциала вида )
U = -U0=--^V0 при r《R,]⑵]) £7 = 0 при r>R.
Уравнение Шредингера (1.6) имеет вид
/+ ( —炉十几)у = 0 при r《R,/+ ( —炉十几)у = 0 при r《R,Х^ — х2х = 0 приХ^ — х2х = 0 приг > R.г > R.(2.2)(2.2)
/+ ( —炉十几)у = 0 при r《R,
/+ ( —炉十几)у = 0 при r《R,
Х^ — х2х = 0 при
Х^ — х2х = 0 при
г > R.
г > R.
(2.2)
(2.2)
Здесь мы ввели обозначение 乂 =——ik. Так как нас интересуют связанные состояния, энергия которых отрицательна, то k является чисто мнимым (也=i|А|), так что х оказывается действительным: 乂= |也].
Удовлетворяющие граничным условиям решения (2.2) имеют вид
% = BsinKr, ^= /Vo-х2 при r《R, ) (23) X = Ae~wпри г > R. j '
их производныхих производных(2.4)(2.4)Приравнивая значения этих функций и в точке сшивки г = R, получаем
их производных
их производных
(2.4)
(2.4)
8 sin KR = ALR,ВК cos KR = — 乂4LR ・
Найдем абсолютную величину потенциала |U|= U»，необходимого для возникновения связанного состояния. Энергия состояния, которое только что появилось, равна, очевидно, нулю. Поэтому, полагая х = 0 в (2.4), получаем
^=T> %=4•*；5=諾.(2.5)
Зависимость U,〜R~2 относится не только к прямоугольной яме, а является общей. В самом деле, пусть для определенного U(r) у. Ш. имеет решение гр (г) с данной ■ энергией Е. Произведем преобразование подобия ip(r)->ipi(r)=炉/绅(ссу). (Множитель а% перед р выбран так, чтобы сохранялась нормировка. В силу линейности этот множитель в у. Ш. сократится.)
Для того чтобы у. Ш. с новым 屮 удовлетворялось тождественно, нужно произвести замену Е —> Ei = а2Е и U (г) т 启。(аг), так как
而 AN (ar) + a2 (—(7 (ar) + E)^ (ar)=
=a2 ［亲 bar — U (ar) + E］屮(ar) = 0.
Таким образом, при преобразовании подобия уменьшение линейных размеров в а раз сопровождается увеличением всех энергий ~а?, т. е. обратно пропорционально квадрату линейных размеров. Физическая причина, этого в том, что импульс обратно пропорционален длине волны, а следовательно, кинетическая энергия обратно пропорциональна квадрату длины.
Найдем вероятности 渺丄 и W2 того, что частица находится 《в яме» (т. е. в области г < R) или вне ямы (г > R) соответственно; эти вероятности равны W{= Rоо
=J X2^ и 取2 = J y^dr, а сумма их Wi + W2 = 1 по ОR
условию нормировки. Приведем точное значение вели чины %:
步 2 = (1+%R)T(1-等卜
Пренебрегая %2 По сравнению с % под корнем в (2.3) и считая VVqR q л/2, найдем
吃 я X2
北2
Таким образом, при-у—> 0 частица почти все время про водит вне ямы
Среднее значение кинетической энергии
戸=舞/I w 12^譽 Wk "吃u。.
Среднее значение потенциальной энергии
U = [u\^^dr^~WiU^ -f^ W^.
TaKjcaK 勺》|E|, [口》|引，то энергия связи в = —Е = =\и\ ——Т является малой разностью_двух больших величин. Чтобы найти Е как сумму Т + U, надо вычислить
следующие члены разложения Г и t7 по степеням %2/Ро, что мы предоставляем проделать самому читателю *).
При данном R есть критическое значение 5, при котором Е = 0. Будем теперь постепенно 《углублять» потенциал и посмотрим, как изменится энергия связи.
Применяя теорию возмущений, найдем dE=WidU^^壊dU.
Отсюда сразу же следует
-2d=Е =二4上.(2.6)
У 2 Mt/116 Ui''
Таким образом, кривая зависимости энергии связи от глубины ямы имеет при возникновении уровня характерную особенность — она касает- еся оси абсцисс (рис. 1). Этот
,/ факт является общим и не за-
/ висит от конкретного вида по- тенциала U(г), т. е. в случае 4，|〃| s-состояния (/ = 0) справедлив
'для любого потенциала.
Рис- LДо сих пор рассматривался
простейший вид потенциала — прямоугольная яма. Оказывается, однако, что необ
ходимое условие существования связанного состояния
> о> оможно получить и в случае произвольного потенциала. Заметим прежде всего, что если потенциал W)(厂)V < V (г) при всех г, то для соответствующих чисел связанных состояний /г『к 〃2 c орбитальным моментом /' имеет место неравенство пр5 ^ пг Поскольку в случае необходимости можно перейти к рассмотрению потен-
> о
> о
*) Легко убедиться в том, что в одномерном случае при
/^/ = 4%R2,可一喘,干"±号1中，т. e.ь《1中,
方2
и потому всегда существует уровень с энергией £*£/=— ^— 47^Ц,
В двумерном случае уровень также всегда существует, однако энергию связи таким способом получить не удается, поскольку в этом случае Г «|И» а Е = Т ——\U\ оказывается экспоненциально малой величиной.
циала 丫(丄)(尸)=——\V(r)\^V(r), можно ограничиться рассмотрением всюду притягивающих потенциалов (1/(尸)《0).
Начнем с рассмотрения состояний с I = 0, £ = 0. Уравнение (1.6) в этом случае принимает вид
必+ 1% = 0・ (2.7)
Интегрируя (2.7) по г от 0 до оо, что можно сделать в случае не слишком сингулярного потенциала, и учитывая, что в момент появления первого уровня у'(8)= .0, получаем
jl P|%odr = %(O). (2.8) о
Нормируем теперь волновую функцию 加 так, что %q (0) = 1. Поскольку волновая функция основного состояния не имеет нулей, то %0(г) > 0. С другой стороны, в силу отрицательности потенциала%^ =卜羽《0, откуда следует, что %，(г) монотонно уменьшается с ростом 尸,и следовательно, %°(『)< г. Подставляя в (2.8) г вместо %o(F), приходим к условию существования связанного состояния
/ = J |U|rdr》l. (2.9) о
Это условие, полученное впервые в работе Р. Иоста и А. Пайса (1951), необходимо, но, как будет видно из простейших примеров, еще недостаточно для существования связанного состояния.
Если притягивающий потенциал (V(r) < 0) является монотонной функцией (Н(『)〉0), то известно еще одно необходимое условие существования связанного состояния, полученное Ф. Калоджеро (1967):
Это неравенство не может быть усилено, поскольку знак равенства достигается для потенциала типа прямоугольной ямы.
Обобщение условия (2.9) на случай произвольного орбитального момента / и не обязательно основного состояния имеет вид (В. Баргманн, 1952)
©(2Z+1)< Jl Vlrdr. (2.11)
Заметим, что для потенциала V(r) = —g2J(r —「о) (здесь 6(尸一го)—одномерная 6-функция) неравенство (2.11) в случае возникновения первого связанного состояния превращается в равенство, и потому усилить его, не накладывая дополнительных ограничений на потенциал, нельзя. Приведем простой вывод этого неравенства, данный Ю. Швингером (1960А). Заменим『(г) на %И(г) и будем увеличивать % от 0 до 1. При таком увеличении потенциала в нем будут последовательно возникать связанные состояния. Пусть i-e связанное состояние возникает при 九=九厶 тогда Xi < %2 < ... < Xn < *1 < < %n+i- Уравнение (1.5) для нулевой энергии Е = 0 эквивалентно интегральному уравнению (см. гл. IV)
也=九]"dr'gjr, Q W(r')区(r‘)，(2.12)
где0
修亿 r')= ^T 咚‘弓’，r< = min(r, Q, r> = max (r, Q.
口(2.13)
После замены/
①z = W 卩％, K/(r, r') = W(r)Mg/(r, r')W(r')也(2.14) приходим к уравнению с симметричным ядром
j d/Kz (г, г')①Jr') = V1 ①% (г).(2.15)
о
Но след оператора равен сумме его собственных значений, откуда находим
J drKi (г, г)=
= ^4rj W(""r= £*>£；>£16)
0i = lSI 'f=[
т. e・ мм получили неравенство (2.11).
Рассмотрим теперь условие появления первого уровня для потенциалов нескольких простейших типов. Обозначим через / интеграл j \ V \ r dr, входящий в условие о
Иоста — Пайса (2.9), а через /о ——то значение интеграла, при котором появляется первый уровень. Как нетрудно видеть, при рассмотренном выше преобразовании подобия F(r)^a2F(ar) величины /, /о не меняются. Значения /о приведены в таблице )
№
Потенциал V (г)
Ze
1
-g?^ (Г - Г。)
1
2
0, r>R
*1,234
3
-3財
丁= 1,44?
4
冗2
-g-= 1,645
5
2 e-財 g г
1,68
6
U&)=s<2,
0,r>R
bV— 1
—4v「，
1 v 2-s
Здесь через & обозначен наименьший положительный корень уравнения /v(^) = О, /”(С)—функция Бесселя порядка V.
Обратим внимание на последнюю строчку таблицы.
Если S +2, ТО V —8, g 〜V — 8 и /()〜：~г—8. 4— S)
Это означает, что для потенциалов с сингулярностью в начале координат, близкой к l/产，использовать (2.9) для
оценки появления первого уровня не имеет смысла. В то же время для потенциалов, обычно используемых в ядерной физике (потенциалы 2—5 из таблицы), истинное значение /о близко к единице.
§ 3. Точечное взаимодействие и эквивалентностьего граничному условию
Рассмотрим теперь явления, происходящие с частицей, находящейся на связанном уровне с f = —|fo| или при рассеянии частиц с энергией порядка |£о| • Будем считать, что глубина ямы велика по сравнению с [凡|・ В предельном случае |Eo|/|U|—>O возникает существенное упрощение теории. В этом случае при фиксированном Ео надо устремить 1 U\ к 8； при этом R—>0 так, что I IR2 f const.
Таким образом, особенности ситуации при возникновении уровня дают также ответ на вопрос о свойствах решения в случае сингулярного потенциала с [〃|-> 8, Rf 0 при фиксированной энергии связи. Такой потенциал описывает точечное взаимодействие, так как он отличен от нуля лишь при 尸=0. Будем условно называть его трехмерным 6-потенциалом ).
Решения у. Ш., а также их производные должны быть непрерывны при 尸=R:
讪一讪 出一型zw1-w2， dr dr *
Эти два условия можно переписать в виде
2】=22,2】=22,при r = R・при r = R・
2】=22,
2】=22,
при r = R・
при r = R・
Но выполнение первого условия тривиально, так как уравнение линейно и 屮厶 не удовлетворяющее первому
условию, всегда можно умножить на константу С так, чтобы。屮1 I—r =屮2 lr=R・ При этом 靑не изменится: следовательно, именно второе условие является нетривиальным.
(3.1)(3.1)Из условия сшивания решения внутри ямы с решением вне ямы 也〜尸-%-乂г следует, что на границе ямы при г = R (а в пределе R —0 при г = 0)
(3.1)
(3.1)
Существенно то, что в пределе при Rf 0 небольшое по сравнению с UQ изменение энергии, замена £о на Е、 не изменяет хода волновой функции при г < R, а следовательно, не изменяет и граничного условия (3.1).
Таким образом, глубокая потенциальная яма описывается величиной。韋'на границе ямы, что является общим свойством у. Ш.
Иными словами, точечное взаимодействие в квантовой механике описывается одним числом — значением логарифмической производной волновой функции в нуле *). То же самое относится к случаю двух частиц, взаимодействующих друг с другом точечным образом, поскольку эта задача сводится к задаче одной частицы ии1 "2 2
с приведенном массой 卩~ •
Рассмотрим теперь общее решение у. Ш. при f > 0
% (г) = Л sin (Ar + 6(A)).(3.2)
При отсутствии потенциальной ямы следовало бы поставить условие %(0) = 0, откуда 6 = 0.
При наличии потенциальной ямы условие сшивания решения (3.2) с решением внутри ямы дает
饗^[ 0=Z:ctg6= - х,・ 6 = arctg(-a (3.3)
Из линейности у. Ш. вытекает наличие, как говорят математики, группы — возможности умножить решение на константу (причем решение остается решением) — это позволяет понизить порядок у. Ш. и перейти к нелинейному уравнению первого порядка. При этом удобно на- писать уравнение именно для 2 =
Замечаем, что
и, следовательно, у. Ш. преобразуется к виду
+(3.4)
причем интересующее нас регулярное решение с %(0)== =0 отличается тем, что при г—0, х (г) С г и г f ；・ Эта возможность перехода к уравнению первого порядка является общим свойством у. Ш. *).
Особенность задачи о сингулярном потенциале, т. е. о глубокой и узкой яме, заключается в том, что внутри ямы можно пренебречь ^2 и решать уравнение
宾+z2-V(r) = 0,(3.5)
находить а на краю ямы (т. е. a(R)), которое определяет решение вне потенциала и при этом в случае 8, R->0 включение k2 в уравнение не влияет на z(R)・
Как уже говорилось, необходимо точное выполнение определенного условия, наложенного на Р(г), чтобы при подобном углублении и сужении ямы, т. е. при переходе И—> Vi(r), Fi(г) =а2}(аг), энергия связи — Е (а следовательно, и a(R)) оставалась конечной. В явном виде это условие не написано, оно формулируется лишь как условие, налагаемое на решение у. Ш. Если это условие не выполнено, то |Е|8, z(R)—>8 при а—>0.
*) В некоторых случаях такой переход оказывается полезным. В частности, это иногда облегчает задачу нахождения фаз рассеяния пр известному потенциалу U(r) (Ф. С. Лось, 1957).
Величину а называют длиной рассея-
НИЯ )•
стояния нет.стояния нет.Вся развитая выше теорияВся развитая выше теорияотносится не толькоотносится не тольковозможна ситуация.возможна ситуация.лежитлежитМы видели выше, что если связанное состояние существует, то z V 0. Длина рассеяния в этом случае положительна. Она отрицательна, если связанного со
стояния нет.
стояния нет.
Вся развитая выше теория
Вся развитая выше теория
относится не только
относится не только
возможна ситуация.
возможна ситуация.
лежит
лежит
функция 左)функция 左)Рнс. 2.Рнс. 2.к нижнему уровню: в принципе когда нижний уровень (волновая весьма глубоко, Е 〜U, а «резонансным», близким к свободным состояниям, является, например, второй уровень %2・ Соответствующий ход волновых функций показан на рис. 2.
функция 左)
функция 左)
Рнс. 2.
Рнс. 2.
В принципе возможен также и резонанс в состоянии / W ¥= 0. В этом случае всегда есть
более низкий уровень с Z = 0. Заметим, что в случае I ¥= 0 зависимость фазы рассеяния от £ и зависимость Е от (|U| — Ui) отличаются от приведенных выше формул, относящихся к / = 0. См. добавление на стр. 532 о си
туации при наличии потенциального барьера.
Два наиболее важных случая, когда с хорошей точностью можно заменять истинный потенциал U(г) предельным случаем U —► 8, R 一 0, относятся к ядерной физике. Существует взаимодействие нейтрона с протоном при I = 0, которое при параллельных спинах дает связанное состояние (ядро дейтона) с энергией связи 2,2 Мэв, Это состояние можно описать с помощью
потенциальной ямы, глубина которой Uq имеет порядок 36 Мэв при радиусе ямы R = 2・ 16* СМя Второй случай, взаимодействие протона и нейтрона с антипараллель- ными спинами, отличается тем, что г > 0. Связанного состояния в этом случае нет. Величина 方2之2/2加，которую называют энергией виртуального уровня, равна 0,07 Мэв. Параметры соответствующей ямы: “ ^ 13 Мэв, R
2,5* 10*13 см. Таким образом, при рассеянии нейтронов с энергией до 1 Мэв на протонах теория точечного взаимодействия прекрасно применима.
Возникает вопрос: нельзя ли описать с помощью точечного взаимодействия систему трех частиц?
Переход к случаю трех частиц, взаимодействующих точечным образом, оказывается, однако, далеко не тривиальной задачей. В этом случае двухчастичное взаимодействие уже не определяет полностью трехчастичную задачу (Г. С. Данилов, 1961; Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, 1961А). Энергия связанного состояния трех частиц может быть задана произвольно, причем система имеет бесконечное число уровней, энергия которых стремится к — оо. Это значит, что точечное взаимодействие для системы трех частиц является недопустимой идеализацией. Более подробно система трех частиц описана в гл. X.
В отличие от этого, в одномерном случае задача трех и большего числа частиц с точечным взаимодействием полностью определяется двухчастичным взаимодействием, а в случае одинаковых частиц даже допускает явное решение (Ф. А. Березин и др. 1964; Дж. Мак-Гир 1964; Чж. Н. Янг, 1968).
Частица в поле нескольких точечныхпотенциалов
В предыдущем параграфе мы видели, что задачу о движении частицы в поле d-потенциала можно сформулировать на языке граничных условий, накладываемых на волновую функцию в точке г = 0. Общее выражение для решения у. Ш. при малых г и / = 0 имеет, как известно, вид
2 H © + £, % == n|)= аг + р. (4.1)
При рассмотрении гладких потенциалов постоянная р полагается равной нулю. В случае точечного потенциала это уже не так, и граничное условие теперь сводится к определенной связи между постоянными аир：
X dr Uo — В —'X dr Uo — В —'(4.2)(4.2)
X dr Uo — В —'
X dr Uo — В —'
(4.2)
(4.2)
где а характеризует свойства потенциала.
Такая формулировка очень удобна для решения задач с несколькими потенциалами.
Рассмотрим, например, случай двух потенциальныхям с заданным г, расположенных в точках /^ и Q. При方2乂 2
заданной энергии £ =^~ нтем решение в виде
6-m[Г一门1 g-и)г-г2| *)6-m[Г一门1 g-и)г-г2| *)(4.3)(4.3)
6-m[Г一门1 g-и)г-г2| *)
6-m[Г一门1 g-и)г-г2| *)
(4.3)
(4.3)
Вблизи г = ri имеем, вводя обозначение ri2 = |п — г2| и раскладывая первую экспоненту в ряд:
1Р 一乂门2
^= |FZ7J-^+-7—•(4・4)
Следовательно,
(4.5)(4.5)e-乂 门 2
(4.5)
(4.5)
2 乂.
门2
Это трансцендентное относительно 乂 уравнение позволяет определить энергию связи частицы в поле двух ям. В частности, мы видим, что при г > 0 (т. е. в случае ямы, которая одна не может связать частицу), две ямы на достаточно близком расстоянии дают связанное состояние; критическое условие: при х = 0 г!2 — у •
Рассмотрим далее случай бесконечного числа ям, распределенных в пространстве с плотностью р ям на кубический сантиметр.
(43)(45)(43)(45)Аналогично случаю двух ям пишем:
(43)
(45)
(43)
(45)
7】丁7】丁Величина 乂 определяется из условия
7】丁
7】丁
Заменим сумму интегралом, полагая, что 1/х много больше расстояния до ближайшего соседа 1/х》р-%;
г = — х + рг = — х + р(4・6)(4・6)gf Г1
г = — х + р
г = — х + р
(4・6)
(4・6)
一~ — dr = — х + 4np "^2"
Это уравнение, в отличие от предыдущего случая двух ям, имеет решение с х > 0 всегда, при любых риг. Условие 1/х》р」/з позволяет пренебречь % по сравнению с 4np/%2. Таким образом, получаем
%2 = 4кр ^, Е = - 4згр !義， (4.7)
причем условие 1/х》р-% принимает теперь вид 1/2《р-'/з. Весь расчет относится к случаю а > 6, когда в случае одной ямы связанный уровень отсутствует.
Мы видим, что система ям с данной плотностью приводит к появлению состояния с отрицательной энергией； Эта энергия — такая же, как если бы каждая яма была заменена медленно меняющимся (по сравнению с расстоянием между ямами) потенциалом Г (г), подчиненным условию
『U(r)dr = -4n 舞;.
Тогда потенциал в каждой точке, имеющий вид >(f), был бы постоянен по всему объему и равнялся бы
U = -4np^^. (4.8)
Той же величине равнялась бы и энергия покоящейся частицы в поле этого потенциала.
Это есть способ нахождения так называемого псевдо^
потенциала ), медленно меняющегося, и малого потенциала (к которому уже применима теория возмущений), действующего на частицу так же, как сингулярная яма.
Подчеркнем то обстоятельство, что псевдопотенциал V не может быть получен путем простого усреднения
потенциала U (г): Ucp = р J U dr. Так, в случае притя
жения (U < 0) псевдопотенциал оказывается больше среднего значения потенциала, |0|>|Ucp|, что объяс
няется увеличением вероятности нахождения частицы в той области, где потенциал отличен от нуля. Этот факт особенно ярко проявляется, когда U 〜二君‘ при 0. Тогда 〃ср == const・pRf 0, в то время как псевдопотенциал О к нулю не стремится. В случае же отталкивания (U > 0) |О| VI 〃ср| и в пределе U 8, R 一 0,
1/R,。~ const 0, тогда как при U = const•靑 н N > 3 предельное значение
Ucp = const ・р~^Ucp = const ・р~^■> ОО ・■> ОО ・
Ucp = const ・р~^
Ucp = const ・р~^
■> ОО ・
■> ОО ・
Используя понятие псевдопотенциала, нетрудно найти показатель преломления вещества.
Пусть частица с небольшой, но конечной энергией Е =々2/2/п попадает из вакуума в среду, которая характеризуется псевдопотенциалом U (см. формулу (4.8)). Найдем значение кинетической энергии Г частицы внутри вещества:
Отсюда получаем формулу для показателя преломления вещества:
游=1+普｝ = 1-普(49
Отметим, что яма, в которой нет уровня (например, U > 0), приводит все же к эффективному притяжению; соответствующий псевдопотенциал при этом всегда отрицателен, причем величина г при f/ -> оо и фиксированном R монотонно стремится к 1/R.
Напротив, яма, в которой уровень только что появился, может удержать частицу на этом уровне. Но на те частицы, которые не связаны, она действует как центр отталкивания, ее псевдопотенциал положителен. Это приводит, например, к отражению нейтронов при достаточно малой энергии от поверхности графита или бериллия, притом при любом угле падения, вплоть до нормального к поверхности. Этот эффект дает любопытную возможность хранить холодные нейтроны в сосуде с графитовыми стенками (Я. Б. Зельдович, 1959А)).
Заметим, что поскольку при увеличении глубины ямы при фиксированном ее радиусе величина z обращается в —оо, затем в +оо и уменьшается，обращаясь в нуль, в момент возникновения второго уровня, то отсюда сле- пует, что при изменении глубины ямы псевдопотенциал осциллирует.
Кулоновский потенциал
Теория частицы, находящейся в кулоновском поле» развита во всех подробностях и содержится во всех учебниках. Отметим особо монографию Г. Бете и Э. Сол- питера (1957), содержащую много справочного материала, а также результаты работ до 1957 г. включительно.
Поэтому в предлагаемом параграфе речь пойдет не о новых результатах, а о несколько ином освещении фактов, которые сами по себе известны.
В нерелятивистском приближении, т. е. без учета релятивистских поправок, спина электрона и высших приближений квантовой электродинамики, гамильтониан электрона, находящегося в кулоновском поле ядра с зарядом Ze, имеет вид
а энергия уровней дается формулой
2Й2 д2 2д2， 丿 здесь
Eo = "^M=27Z2 эв.
Из элементарной теории известно, что уровни атома водорода вырождены： при данном п имеются уровни с / от 0 до п—— 1; энергия этих уровней, имеющих различные /, одинакова. Это обстоятельство называют «случайным» вырождением ), поскольку в общей теории произвольного сферически-симметричного потенциала такого вырождения быть не должно.
Рассмотрим те новые эффекты, к которым приводит случайное вырождение. Как известно, с этим связано, например, явление линейного штарк-эффекта у водородных атомов: возбужденные атомы водорода, т. е. атомы в состоянии с данным п > 1, в электрическом поле могут иметь различную энергию, т. е. образуют мультиплет, причем расщепление энергии пропорционально электрическому полю 8:
e= 一^'+々a18Ь (5.3)
где А меняется в пределах от ——(п——1) до (n — 1). Так, например, при п = 2 уровень расщепляется на три подуровня.
Линейная зависимость f от |8| означает, что возбужденные атомы водорода имеют электрический дипольный момент: энергия нейтрального тела с дипольным моментом d в электрическом поле 8 равна ——d8・
Раньше, в § 1, в общем виде было доказано, что атом не может иметь дипольного момента. В чем же дело? Состояния с определенным / в кулоновском потенциале не имеют дипольного момента. Отличие здесь заключается в том, что благодаря случайному вырождению мы имеем, например, £20 = £21 == £2 (первый индекс ——главное квантовое число, второй индекс ——/). Поэтому суперпозиция решений с разными /, но одинаковыми п, также является решением, отвечающим данному значению Еп.
Рассмотрим, например, состояния
у—(屮2, 0,0 + ^2, 1,0) И у=^ (屮2, 0, 0 —屮2, 1・ 0))• (5・4)
Это——состояния с энергией, равной Е* и с дипольными моментами, направленными по оси г и равными + Зеа и —Зеа у первого и у второго соответственно. Наконец, *ф2,1,1 и г|)2,1, -1, а также любые их суперпозиции (линейные комбинации) суть два состояния с энергией 员 и дипольным моментом, равным нулю.
Таким образом, из четырех вырожденных состояний (одно 2s и три 2戶)можно построить, притом в отсутствие электрического поля, два состояния с дипольным моментом и два состояния без дипольного момента с той же энергией.
В электрическом поле уровень с /г = 2, следовательно, расщепляется на три уровня.
Состояния с дипольным моментом не обладают определенной четностью, поскольку они являются суперпозициями состояний с противоположной четностью.
При потенциале, отличном от кулоновского, можно взять суперпозицию двух решений с разными 厶 но у этих решений будут и различные энергии. Поэтому волновая
функция, зависящая от времени, здесь имеет вид (индекс указывает Z)
2(乙力=业⑺с 亢 +2iT)c А .(5.5)
При £\ ¥= £о дипольный момент, вычисленный с такой волновой функцией, осциллирует с периодом, равным 2力方。"
Е、_ е， а средний по времени дипольный момент тож
дественно равен нулю.
Легко понять с позиций классической механики, почему именно,кулоновский потенциал приводит к возможности существования дипольного момента.
Классические орбиты в кулоновском потенциале ——это кеплеровы эллипсы, причем заряд, создающий потенциал, находится в фокусе эллипса (рис. 3). К тому же в точке наибольшего удаления электрон движется медленнее, чем в самой
близкой к протону точке. Очевидно,Рис. 3.
что при кеплеровом движении электрона в среднем по времени водородный атом имеет дипольный момент; усредненное по времени положение электрона г соответствует точке на большой полуоси посредине между центром и вторым фокусом эллипса.
Возьмем теперь случай потенциала, отличающегося от кулоновского; так, например, отличается от кулоновского потенциал ядра и 10 внутренних электронов натрия ——тот потенциал, в котором движется одиннадцатый внешний валентный электрон натрия. В некулоновском поле классическая орбита представляет собой незамкнутую кривую ) (рис. 4), т. е. как бы эллипс с постоянно
поворачивающейся большой осью. Эта классическая
картина вполне соответствует квантовому результату: дипольный момент осциллирует и
в среднем по времени равен нулю.
Четыре волновые функции с /г = =2 можно выбрать и иначе, так чтобы каждое из четырех ортого- нальных состояний имело один и тот же по величине дипольный момент, а направления вектора дипольного
Рис 4момента соответствовали четырем
'' вершинам тетраэдра, в центре которого находится ядро ).
Пусть Zi G = 1,2, 3, 4) — четыре единичных трехмер
ных вектора, направленных из центра тетраэдра в его вершины: ZJj = у 6^ — —. Введем также следующие обозначения:
w0 =屮2,0,0，中=(S,必，也)，S =合(22」1 +屮2/7)，% = -^-(^2,1, 1-^2. 1,-1)， a=屮2」0・
(5.6)(5.6)Тогда, как нетрудно видеть, четыре функции 电=4■(业 + U3ZN)
(5.6)
(5.6)
и будут обладать указанными выше свойствами. Эти волновые функции (так называемые а-электроны) являются нулевым приближением при рассмотрении химической связи атома углерода с другими атомами.
Атом углерода имеет как раз четыре электрона с п = 2. Как известно из органической химии, валентные связи углерода действительно направлены по вершинам тетраэдра (Ч. Коульсон, 1952). Если п = 3, то электроны
могут находиться в состояниях s (Z = 0), р (/ = 1) и d (/ ^ 2). Все возможные системы волновых функций, обладающие геометрической симметрией, были построены в этом случае в работах Дж. ван Флека и А. Шермана (1935) и Дж. Кимбалла (1940). (См. книгу： Г. Эйринг, Дж. Уолтер, Дж. Кимбалл (1946).) Мы здесь отметим лишь, что для конфигураций электронов sd sp3d2 и sp3d《 соответствующие системы волновых функций обладают симметрией тетраэдра, октаэдра и додекаэдра.
Перейдем теперь к выводу формулы (5.2), причем приведем здесь не совсем обычный, чисто алгебраический способ получения Еп *). Отметим, что примерно таким путем эта формула и была получена В. Паули (1926) еще до установления у. Ш.
Прежде всего напомним, что (как известно из клас* сической механики) в кулоновском поле, помимо вектора момента количества движения, существует еще один сохраняющийся вектор» направленный по большой полу^ оси эллипса,——так называемый вектор Рунге — Ленца (К・ Рунге, 1919; В. Ленц, 1924)):
A=-Y^^aL + ±.[pL^} а =粵.(5.7)
Нетрудно убедиться в том, что оператор
Z=_^(_am+* QM] - [1р]))(5.8)
коммутарует с гамильтонианом [А, Н] = 0, и потому оператор А является обобщением вектора 4 на случай квантовой механики. Перестановочные соотношения для операторов Ц и Д； имеют вид
(5.9)(5.9)[厶, L/]=加订辽左，[厶,aД =制订先4, [4, А,] = — 2z7fg订后厶.
(5.9)
(5.9)
Рассмотрим теперь состояния с фиксированной отрицательной энергией. Для этих состояний мы можем считать Н = Е постоянным отрицательным числом и ввести
вместо Ai операторы М» = (—2〃)-%4. Соотношения (5.9) принимают теперь вид перестановочных соотношений для генераторов группы вращений четырехмерного евклидова пространства — группы О (4) (Л. Хюльтен, 1933)).
I (5.9，)I (5.9，)亿勿Л = ^iik^ki [£力Nj]=电jhNk, [N订Nj]=旭订先2总・
I (5.9，)
I (5.9，)
Отметим следующие важные тождества, которым удовлетворяют величины Li и 心
LN = NL = Q,丄 2 + №+i =-翳，£o = Z^. (5.10) Теперь удобно ввести два новых векторных оператора
严=4(Z + N), J⑵=皆(丄— N),(5.11)
каждый из которых имеет те же перестановочные соотношения, что и операторы момента количества движения для группы вращений трехмерного пространства — группы 0(3), причем между собой J⑴ и /⑵ коммутируют:
及，炉]=%为倉 圈炉]=^奩]
[川,噌=0.)
Отсюда следует, что собственные значения (J(L2))2 рав. ны /1,2 (/1,2 + 1), а в силу (5.10)
(МУ = 0 ⑵)2=^1 = 〃/•+1), Е =
(5.12)
Сравнивая (5.12) и (5.2), находим
九=2，+1, 7.=力=场=与2.(5.12‘)
Из приведенных выше рассуждений следует также, что кратность вырождения равна (2/i + 1) (2/2 + 1)= =⑵ + I)2 = п2.
Известно также, что трансформационные свойства функций относительно группы 0(4) полностью опреде-
ляются заданием чисел 厶 и /2 ——собственных значений операторов (/(1})2 и (Л2))2 (или операторов £2 + № и LN). Если /t и /2 заданы, то говорят, что функции преобразуются по представлению D(/i, /2) группы 0(4). В нашем случае волновые функции при фиксированном значении Е = Еп преобразуются по представлению
Как уже упоминалось ранее, в случае вырождения при фиксированной энергии £ < 0 можно рассматривать различные системы волновых функций. Так, например, в случае обычной системы волновых функций, связанной с разделением переменных в сферической системе координат, эти функции 屮加т(» являются собственными функциями операторов 方,L2 и Lz. Можно, однако, рассмотреть собственные функции операторов Н,守 и /^\ Оказывается, что эти функции ^nkiki появляются при разделении переменных в у. Ш. в параболической системе координат (В. Баргманн, 1935), при этом 財 и 局 следующим образом связаны с числами nt и п2, которые обычно употребляются при рассмотрении параболических координат:
瓦=W к2 = ^(т-щ+
一归《电， 局W瓦 k = --2 -； 九1 + %2 + I I + 1 =儿
Поскольку L = J⑴ + JR), то тем самым переход от одного способа описания к другому сводится к хорошо известной задаче сложения двух моментов количества движения Л = /г = ~-^ 1 = ^- Складывая эти моменты, находим, что при данном п величина / принимает значения от 0 до п——1. Нетрудно видеть также, что связь между функциями 2gzm и ^п^ имеет вид (Д. Парк, I960)
办『/ (^Р kk2\lm^kkiki,
(5.13)(5.13)2fe
(5.13)
(5.13)
恥瓦产 ¥(铀，kk2\i^nlm,
где числа (jg, /2/^2|/m) суть обычные коэффициенты Клебша — Гордана ).
Итак, мы установили, что у. Ш. инвариантно относительно группы 4-мерных вращений и что эта инвариантность полностью объясняет вырождение уровней. Поэтому термин «случайное» вырождение с нашей точки зрения следует признать не вполне удачным.
До сих пор наше рассмотрение было несколько формальным и к тому же не давало возможности определить явный вид волновых функций.
Преобразуем сейчас у. Ш., как это было впервые сделано В. А. Фоком (1935), к виду, инвариантному относительно группы 0(4). У. Ш. в импульсном представлении имеет вид
寄-(Р)-磊 J 若界=°- (5.14)
Будем рассматривать импульсное пространство как стереографическую проекцию четырехмерной сферы, т. е. введем новые переменные
£ Ро-Р2 в 2Pop 21
(5.15)(5.16)(5.15)(5.16)pa=V2^i, e = T・
(5.15)
(5.16)
(5.15)
(5.16)
Переходя также к новой функции
屮⑹= (р2 +喷屮(Р),
получаем уравнение
屮⑹-UJ詈謂露=0,吋器.(5.17)
Но это уравнение, как заметил Фок, есть не что иное, как уравнение для четырехмерных сферических функ-
ций Ynim (g), и потому собственные значения параметра И равны п ).
Таким образом, мы получили следующий результат: волновые функции кулоновской задачи имеют вид
К1т^ = Сп1т^2 + Р^п1т^ (5-18)
(здесь Cnim — нормировочная постоянная).
Замечательным здесь является тот факт, что волновые функции дискретного спектра оказались пропорциональными четырехмерным сферическим функциям, теория которых, так же как и теория сферических функций n-мерного пространства, хорошо разработана. Мы не будем здесь выписывать явного вида этих функций, отсылая интересующегося читателя к монографиям (Г. Бейтман, А. Эрдейи, Т. 2; 1953В; Н. Я. Виленкин, 1965).
Заметим лишь, что использование волновых функций в виде (5.18) дает возможность получить явные выражения для некоторых сумм, встречающихся в теории атома (В. А. Фок, 1935), и найти изящное представление кулоновской функции Грина для случая Е < О (Ю. Швингер, 1964). Аналогичными, хотя и несколько более сложными свойствами, обладают и функции непрерывного спектра.
Существенное отличие от случая дискретного спектра заключается здесь в том, что вместо четырехмерной сферы приходится иметь дело с четырехмерным двуполостным гиперболоидом, а вместо конечномерных представлений группы 0(4)——с бесконечномерными унитарными представлениями группы Лоренца. Детальное рассмотрение случая непрерывного спектра можно найти в работах А. М. Переломова, В. С. Попова (1966), М. Бандера, К. Ициксона (1966). Заметим также, что симметрия, аналогичная рассмотренной выше, имеет место и для кулоновского потенциала в n-мерном пространстве (С. П. Аллилуев, 1957； А. М. Переломов, В. С. Попов, 1966; М. Бандер, К. Ициксон, 1966).
Трехмерный осциллятор
Рассмотрим потенциал
0(力=等， (6.1)
где 々 > 0. Этот потенциал не стремится к определенному пределу при г — 8 H потому в реальных физических задачах осуществляется только приближенно, при каких-то не слишком больших г; дальше он неизбежно отклоняется от (6.1).
Тем не менее его можно использовать в тех случаях, когда большие значения г несущественны, например для описания слабовозбужденных уровней ядра в модели оболочек (см. обзор: Дж. Эллиот, А. Лейн (1957)) и коллективной модели ядра (Дж. Эллиот, 1958; В. Барг- манн, М. Мошинский, 1960, 1961).
Важным свойством этого потенциала, которое справедливо и в одномерном случае, является эквидистантность уровней. Это обстоятельство дает возможность провести аналогию между возбужденным состоянием одного осциллятора с энергией (п + 1/2)方g и состоянием системы из п тождественных частиц, энергия каждой из которых равна йш. На основе этой аналогии развит так называемый «метод вторичного квантования», позволяющий рассматривать процессы, в которых число частиц может изменяться. В частности, оказывается, что многие свойства электромагнитного излучения в рамках квантовой механики совпадают со свойствами ансамбля осцилляторов.
Заметим также, что изучение системы большого числа частиц с двумя уровнями (такая система обычно используется в теории лазера) также может быть сведено к изучению эквидистантной системы, а именно, спина, находящегося в однородном магнитном поле (Р. Дике, 1954). Уровни энергии такой системы, также как и уровни в кулоновском потенциале, вырождены.
Мы рассмотрим это «случайное» вырождение на примере трехмерного осциллятора. Будем искать решение у. Ш. с потенциалом (6.1) в виде
屮（Г）=电（修）屮2（х2）中3（%3）■
(6.2)
Тогда каждая из этих функций удовлетворяет одномерному у. Ш. с потенциалом осциллятора. Полная энергия складывается из энергии движения по каждой координате
Е = Ех + Е2 + £*з, Е[=(勿 + "^)方 б 8 = ]/Г^・ (6.3)
Таким образом, уровни энергии трехмерного сферически симметричного осциллятора вырождены. Общее выражение энергии
Еп = [п +"|)方 8,
где п ——целое. Степень вырождения, т. е. число линейно независимых решений с данной энергией равно числу способов, которыми целое число п можно разбить на три неотрицательных целых числа. Построим равносторонний треугольник, ребро которого равно п единиц, и проведем в нем сетку линий, разбивающую треугольник на треугольники с единичным ребром. Расстояние каждого узла от стороны большого треугольника равно целому числу высот единичного треугольника. Сумма этих трех целых чисел равна п. Следовательно, степень вырождения N равна полному числу узлов, включая узлы, расположенные на сторонах большого треугольника (для них одно из трех чисел равно нулю) и в его вершинах (два нуля, третье число равно п). Полное число узлов, как легко сообразить, равно
N =仇+1)2电士电.(6.4)
Согласно общей теории уровни в сферически-симмет- ричном потенциале U = йг2/2 можно классифицировать по орбитальному моменту / и его проекции т.
Состояние, заданное в форме (6.2) тремя числами «1, П2, Мз, вообще говоря, не имеет определенных / и т.
Поучительно проследить, как линейные комбинации состояний, заданных в форме (6.2), дают состояния с определенными / и т.
При п = 0 состояние одно, и легко убедиться, что это состояние с Z = 0.
При п = 1 есть три состояния. Легко убедиться, что их линейные комбинации дадут как раз три состояния с 2=1. При этом 业(xj2o(%2)WM%3) есть состояние c / = 1, m = 0; 吉［电(X J 耽(х2)± № (修)电(&)］业(x3) есть состояние с / = 1, m == ± 1.
При n = 2 есть шесть состояний. Нетрудно убедиться в том, что из них можно построить одно состояние с / = 0 и пять состояний с / = 2 и т, принимающим значения от 2 до —2.
В общем случае каждому п соответствует полный набор состояний с Z = n, I — п — 2, / = п ——4 ... до Z н 1 или / = 0 в зависимости от четности п. Каждое Z при этом встречается один раз.
Таким образом, в трехмерном осцилляторе, так же как и в кулоновском потенциале, имеет место вырождение уровней с различными /, например / = 2 и / = 0 .
Покажем теперь, что в нашем случае, так же как и в случае кулоновского потенциала, у. Ш. инвариантно относительно группы преобразований более широкой, нежели группа трехмерных вращений (Дж. Яух, Э. Хилл, 1940; Ю. Н. Демков, 1953； Г. Бейкер, 1956),
Введем операторы )：
吋=吉仅一勘，宜(&+V
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
&，а* = 6孕［&，％］==［咕 明=0・(6.6)
Гамильтониан теперь принимает вид
~ з■
Н =玄6 工若％ + "I"・(6.7)
Нетрудно видеть, что гамильтониан (6.7) инвариантен относительно унитарного преобразования
a】f а； = £a】f а； = £3
a】f а； = £
a】f а； = £
3
или, иными словами, гамильтониан трехмерного осциллятора инвариантен относительно группы унитарных матриц третьего порядка, группы U(3). Нетрудно видеть, что для /-мерного осциллятора соответствующая группа есть группа U (f).
Введем операторы Л^ = а^а.. Они коммутируют с га- мильтонианом [儿 〃] = 0 и в то же время удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям：
[&,屡]=б1 川一б£$.(6.9)
Эти соотношения совпадают с известными перестановочными соотношениями для генераторов группы U (3) (Дж. Рака, 1951; М. Хаммермеш, 1962), откуда следует, что величины 4，являются генераторами этой группы.
Рассмотрим теперь величину
/=e4=鳥"-"1・
Очевидно, что Л коммутирует с Я и всеми д{, выделим поэтому ее из девяти величин 4*
Введем для этого новые операторы
з
в^ = д{_ 1 бМ, 工民=о.(6.Ю)
Ml
Эти девять новых величин, из которых только восемь независимы, удовлетворяют прежним перестановочным з
соотношениям, но в силу тождества £ В； = 0 являются
уже генераторами группы SU(3)— группы унитарных матриц третьего порядка с определителем, равным единице ). Заметим, что обычная группа вращений ——группа 50(3)——содержится в ней в качестве подгруппы. Представления группы SU(3) хорошо известны, они полностью характеризуются двумя целыми числами ряд. Однако не все представления этой группы реализуются волновыми функциями осциллятора. Именно, поскольку в нашу задачу входит лишь один сорт операторов 勿，мы можем построить лишь функции типа симметричного тензора. Такие функции преобразуются по представлению £>(/?, 0) с р = п, е = 0. Кратность вырождения и содержание орбитальных моментов / в состоянии с данной энергией можно было бы поэтому получить и по общим формулам. Однако приведенное на стр. 45 рассуждение достаточно для наших целей. ”
Заметим, что именно со случайным вырождением связано то обстоятельство, что классическая траектория осциллятора представляет замкнутую кривую — эллипс с центром в начале координат.
Почему связаны между собой замкнутость классической траектории и вырождение уровней с разными /? Классическая частица, находящаяся в определенной точке, с определенными значениями угловых переменных 6 и ср, в квантовой механике описывается волновым пакетом —суперпозицией состояний с различными 厶 Если вырождения нет, то с течением времени соотношения между фазами состояний с разными / меняются и волновой пакет размазывается в соответствии с классической картиной движения по траектории типа рис. 4.
Заметим, что вырождение уровней с разными m при данном I、которое имеет место при любом сферически- симметричном потенциале, соответствует классической теореме о точном сохранении плоскости орбиты.
Характерное отличие вырождения в осцилляторе от кулоновского заключается в том, что вырожденные уровни имеют одинаковую четность, равную (Т (м = =1, 2, 3,...).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что решения одномерной задачи имеют определенную четность, равную (-1)" (п = 1, 2, 3, ...)•
Из сказанного следует, что в осцилляторе суперпозиция состояний с разными 厶 но одинаковой энергией, также имеет определенную четность, а следовательно, ее дипольный момент равен нулю, т. е. сконструировать стационарное состояние с d * 0 невозможно.
Это понятно и при классическом подходе, так как траектория осциллятора симметрична относительно начала координат.
В заключение на примере одномерного осциллятора разберем вопрос о так называемых «когерентных состояниях^. Многие важные свойства этих состояний были изучены в фундаментальной работе Р. Глаубера (1963). Подробное рассмотрение свойств таких состояний можно найти в книге Дж. Клаудера и Э. Сударшана (1968).
Чем же примечательны когерентные состояния? Тем, что, как мы увидим ниже, их свойства наиболее близки к свойствам классического осциллятора. Использование этих состояний позволяет естественным образом описать когерентные свойства пучка света (например, лазерного пучка) в рамках квантовой механики. Эти состояния полезны также при рассмотрении излучения мягких квантов (В. Чанг, 1965; Т. Киббл, 1968 А — D).
Пусть осциллятор находится в n-квантовом состоянии и описывается волновой функцией 屮加 Нам будет удобно, следуя П. Дираку (1930), обозначать это состояние через |п). Такого рода состояния не подходят для перехода от квантовой механики к классической прежде всего потому, что для них средние значения координаты и импульса равны нулю *):
/(£) =〈九I*I九〉=0, prt(0 = (nI^Iп) = 0, (6.11)
в то время как в классической механике
х(/)= Д cos (血—ф).х(/)= Д cos (血—ф).(6.12)(6.12)
х(/)= Д cos (血—ф).
х(/)= Д cos (血—ф).
(6.12)
(6.12)
Если, однако,(中⑼ 1刃屮(0))》0 или(2(0) 1力12(0))=A =/= 0, то, как мы сейчас покажем, x(Z) =〈«(f) |£|《«)〉 изменяется по классическому закону (6.12).
Перейдем к гейзенберговскому представлению, т. е. такому представлению, когда зависимость средних значений от времени содержится в операторах, а волновые функции от времени не зависят. Пусть оператор 5(/) переводит начальную волновую функцию 屮(6) в волно- вукт функцию ⑺：
^^ = S(t)^(O). (6.13)
Тогда, как известно, гейзенберговский оператор А (/) определяется формулой
(6.14)(6.14)(6.15)(о% + ip/25®(6.15)(о% + ip/25®(6.16)(6.16)4(f) = s+(f) AS(t)
(6.14)
(6.14)
(6.15)
(о% + ip/25®
(6.15)
(о% + ip/25®
(6.16)
(6.16)
и удовлетворяет уравнению ihAif)^[A^ H(t)], 4(0)=4
Выбирая в качестве Л оператор уничтожения 〃 (加= 1), получаем
必(力)=®а (/), откуда а (0 = aeS
Отсюда следуют выражения для операторов х(/) и "(f)
/,ч.. sin
(6-17)(6-17)X (f) = COS (й/ • X H——-—р,
(6-17)
(6-17)
Р (/)==— G) sin (й^ • X + cos sf • p.
Мы видим, таким образом, что в случае осциллятора гейзенберговские операторы х(/) и "(f), а следовательно, и их средние значения для произвольного начального состояния меняются с течением времени по законам классической механики.
Найдем теперь все состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей (Ах-Ар =方/2) и потому являющиеся наилучшим приближением к классическому описанию, где переменные х и р полностью локализо- вань%
С помощью формул (6.17) и определения оператора а нетрудно найти выражения для
Дх2 =(X2) — (х)2, А"2 =〈"2〉一〈р〉2】 m匸*(色+a〉一д+〉"〉+甘+
+1 (а2) —〈а〉」cos(2g)/ — q))j, (6.18)
аp2 =方Q)[(〈q+q〉一〈0+〉⑷ + 4") 一
一 I ①〉一〈а〉? I cos (2(о/ —(p)^> (6.19) откуда
Ах2 • Ар2 =方2 [(〈а+а〉一〈。+〉⑷ + ｝『一
—(〈а+2〉一〈а+y)(〈出〉一〈а» cos2 (2ш/ —①)].(6.20)
Потребуем, чтобы в любой момент времени f произведение Дх2 • Др2 принимало наименьшее возможное значение, равное 方2/4. Из (6.20) следует, что для этого необходимо выполнение условий
〈а+а〉=〈а+〉〈а〉и (а2) = (а)2.(6.21)
Для того чтобы увидеть, какие состояния |*ф〉 могут удовлетворять этим условиям, дополним состояние |《〉 состояниями |少匕〉,i = 1, 2,..., так, чтобы вся совокупность состояний образовала полную ортогональную систему. Первое из условий (6.21) при этом принимает вид
K^|a|^)l2 +2l<^zl а 停〉F = I〈21а| 屮〉I2.
Отсюда получаем
〈也I а 12〉= 0, i= 1, 2, 3,・・・，
а это означает, что состояние q| 屮〉ортогонально всем состояниям I 屮Q, / = 1, 2, 3, и следовательно, имеет вид а|2〉，где а ——произвольное комплексное число. Второе условие (6.21) при этом автоматически выполняется.
Итак, мы показали, что состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей в любой момент времени, должны являться собственными функциями оператора уничтожения а. Такие состояния называются когерентными состояниями. Обозначая их через | а), имеем )
а J а) = а |а).(6.22)
Найдем разложение состояния |а) по состояниям 1九) ОО
[а)= 21«) [п).(6.23)
Умножая (6.22) слева на (п| и используя тождество {п\а=Уп+\ (л + 1 I, находим
<л + 1 I а) = (л |а)
и, следовательно,
<п|а) = -^г(0|а), |а) = (0|а)У(6.24)
Величину (0|а) определяем из условия нормировки состояния |а):
1<0|а)|22-^Р=|<0]а)]2е1«Н=1. п=0
Окончательное выражение для |а) имеет вид
1 а〉= е 2 У I 脸(6.25)
где а ——произвольное комплексное число.
Среднее число квантов в этом состоянии
п = (а| а+а |а) = | а |2,(6.26)
а вероятность Wn нахождения осциллятора в состоянии |л) дается обычным распределением Пуассона
叭(а) = е-鸣.(6.27)
Найдем теперь |а) в х-представлении:
〈х|а〉=е办(%)=
=^e-^el ⑸順(頂 еа，У.(6.28) Это выражение удобно записать так:
〈％|a〉= eTage 无屮0(尤一視(6.29)
где р = ]/^ Yh^^ 元=р21/"^J, а = g + za2.
Отсюда видно, что распределение по координате
听(х)= /言е-*^У(6.30)
имеет тот же вид, что и для основного состояния осциллятора, положение равновесия которого смещено в точку 元.Распределение по импульсу имеет аналогичный вид '
W(p)^-^=e 检 з 刀・ (6.31)
Подставим теперь в (6.25) I п) — J 0); тогда
|a〉= e 2，_Ц4()〉= е 2|0). (6.32)
Мы нашли, таким образом, простой вид оператора, переводящего |0) в |а). Этот оператор не является
унитарным. Равенство (6.32) наводит, однако, на мысль рассмотреть унитарный оператор
D((Z)= eaa+-aa.(6.33)
Воспользуемся известным тождеством *)
е%в = /+в+十⑷ В(6.34)
которое справедливо в случае [А, [А, В]] = [В, [Д, В]] = 0. Полагая 4 = а* В = —а*а, находим [Д, В] = |а|2, и следовательно, условия применимости равенства (6.34) выполнены. Таким образом,
ИР
£> (a) = №+"% = ?- 2 е^е-^,(6.35)
откуда непосредственно следует, что |a) = D(a) |0). Мы нашли таким образом унитарный оператор 力(а), который переводит |0) в |а).
Заметим, что операторы °(а) обладают следующими свойствами:
D+(a)D(a) = D(a)D+(a) = l, 0a*-6*a(6.36)
D+(a) = 0(-a),。⑹O(a) = e■—2~D(p + a),
откуда получаем )
D ⑹ D (a) = e^-^D (a) D (p).(6.37)
Нетрудно также показать, что
[a, D(a)] = aD(a), [a+, D(a)]^aD (a),] D+ (a) aD (a) = a + a, D+ (a) a+D (a) = a* + a*. J
Естественно поэтому операторы D(a) назвать операторами смещения.
Эволюция состояния |а) с течением времени следует непосредственно из уравнения (6.25)
、a«e~z (п+т)ш/ -胆
]a, f〉= e 22—|〃〉= e 2 |ae-,wi). (6.39)
n=0'
Поэтому точка на комплексной плоскости а, изображающая состояние |а, /), равномерно вращается по окружности с угловой скоростью (О.
Рассмотрим, наконец, вопрос об ортогональности и полноте когерентных состояний. Найдем
⑷q一T呐丽е噌⑷q一T呐丽е噌•4(|ap+|6P-2a*3) e 2•4(|ap+|6P-2a*3) e 2I (a I р) |2 = eTa-0!\I (a I р) |2 = eTa-0!\I(6.40)I(6.40)
⑷q一T呐丽е噌
⑷q一T呐丽е噌
•4(|ap+|6P-2a*3) e 2
•4(|ap+|6P-2a*3) e 2
I (a I р) |2 = eTa-0!\
I (a I р) |2 = eTa-0!\
I
(6.40)
I
(6.40)
Таким образом, эти состояния оказываются не ортогональными друг другу. Тем не менее они образуют полную систему состояний. Чтобы увидеть это, подсчитаем интеграл
J d2a|a)(a|,J d2a|a)(a|,где a = сц + 沁2 = ре?где a = сц + 沁2 = ре?d2a = daj d%.d2a = daj d%.
J d2a|a)(a|,
J d2a|a)(a|,
где a = сц + 沁2 = ре?
где a = сц + 沁2 = ре?
d2a = daj d%.
d2a = daj d%.
Подставляя в него выражение (6.25) для |а), находим
g~P3pOT+flg—Z (m~n) Фg~P3pOT+flg—Z (m~n) Ф]>a|a〉〈a| = E J dp • р J d(pJ^^
g~P3pOT+flg—Z (m~n) Ф
g~P3pOT+flg—Z (m~n) Ф
л £ I zn〉〈zn |・m—0л £ I zn〉〈zn |・m—0=n£“〈m占 Jdp2P2团0-Р» =m=0
л £ I zn〉〈zn |・m—0
л £ I zn〉〈zn |・m—0
Итак, мы получили равенство
京 J 力a|a〉〈a| = £ I 力⑺，(6.41)
я—0
а это и есть условие полноты системы С помощью этого равенства можно разложить произвольное состояние цо
когерентным состояниям |а〉. Введем обозначение: lai2 „ 藉lay
〈а|2〉= е 2 2 令贰"512〉= е屮他)(6.42)
Заметим, что в силу неравенства |〈九传)|《1, из (6.42) следует, что яр (а) является целой аналитической функцией комплексной переменной а*. В то же время имеет место неравенство |〈a|2〉|《l, откуда получаем ограничение на рост функции《(а*)
12(а*)1《е 2 •(6.43)
Из (6.41) находим разложение произвольного состояния по когерентным состояниям
I г|)) = — J d2ae 2 2(a*)|a〉，(6.44)
которое полностью определяется функцией 屮(а*). Однако в силу аналитичности 屮(峻)нам достаточно знать значения этой функции в точках с^ (i = 1, 2, ...), последовательность которых имеет предельную точку. Функция 屮(а*) тем самым будет полностью определена. Это означает, что, по существу, уже система функций |必〉 (i = 1, 2, ...) является полной. Система же всех когерентных состояний заведомо является сверхполной и разложение по такой системе не является однозначным.
Интересный пример полной системы когерентных состояний был указан в книге И. фон Неймана (1932). Как видно из (6.29), a-плоскость является аналогом фазовой плоскости для классического осциллятора, причем ячейке фазовой плоскости площади 2几方 соответствует ячейка а плоскости площади л. Выберем в каждой такой ячейке по одному состоянию, например возьмем квадратную решетку с постоянной yGr: \ Утс (tnx + Zm2)\ Ш], 俏2 = 0, ±1, ±2, Оказывается, что такая система является полной. Если же площадь ячейки взять больше л, то такая система будет уже не полна *).
В этой же книге утверждается (правда, никаких доказательств при этом не приводится), что если систему I ]/几(加1 + i加2)〉 ортогонализовать, то мы придем к полной ортонормированной системе |(рп), обладающей следующим замечательным свойством:
Ахп • Дрп < с у.(6.45)
Состояния |а) показывают, насколько необычными могут быть свойства собственных функций несамосопряженного оператора. Заметим, что, в то время как оператор & имеет в качестве собственного значения любое комплексное число а, сопряженный оператор а+ вообще не имеет собственных функций. Собственное значение оператора & имеет вид а = е加方％. Можно было бы думать поэтому, что существует представление
а = /%%, &+ = £%тф,(6.46)
где ф—эрмитов оператор фазы. Однако, как заметили Л. Сусскинд и Дж. Глоговер (1964), введение оператора ф немедленно ведет к противоречию. Действительно, подставляя (6.46) в основное соотношение [а, а+] = 1, получаем
他糜Ф] = 一 е»Ф,(6.47)
откуда следует
[Л, @]=i,(6.48)
т. е. Л и ф являются канонически сопряженными величинами. Возьмем теперь матричный элемент от (6.48)
(П1 — Л2)<П1 I ф I «2)= + 诒睜.(6.49)
При % * 九2, («1| ф|л2) = 0, т. е. ф диагоналей вместе с п. Но тогда @ и /I коммутируют, что противоречит (6.48). Следовательно, представления (6.46) для операторов а и а+ не существует *).
То, что формулы (6.46) неправильны, видно также из следующего. Если бы существовал оператор фазыф, то из (6.48) вытекало бы соотношение неопр ед ел енностей
М・А(р》｝・(6.50)
Однако Ап может быть сколь угодно мало, например в стационарном состоянии Дп = 0; в то же время всегда Аф^ л, откуда следует, что соотношение (6.50) не может всегда выполняться.
Заметим, что аналогичный факт имеет место и для «угловой переменной» 屮(Д. Джадж, Дж. Льюис, 1963; Д. Джадж, 1964). Если действовать формально, то
[L2, ф] = -й(6.51)
(А2= —，方 帛，z — компонента оператора момента количества движения), откуда
Д£г-Дф>^.(6.52)
Так же как и в предыдущем случае, это равенство не выполняется, например, для состояния с определенной проекцией момента:丄?屮次=方加屮团. Как было показано в только что упомянутых работах, а также в работе М. Боутена, Н. Маене и П. ван Леувена (1965), неравенство (6.52) следует заменить на
л7Т‘л7Т‘AJ磬——(6.53)
л7Т‘
л7Т‘
что соответ-что соответ-Как видно из (6.53), при Д£2-*0 Дф
что соответ-
что соответ-
ствует равномерному распределению по углу <р. Заметим, что причиной невыполнения «классического» соотношения неопределенностей (6.51) является нарушение периодичности волновой функции при умножении ее на вели
чину <р.
Возвращаясь к соотношению неопределенностей для /гиф заметим, что операторы ef<p и е~/ф, в отличие от оператора ф, существуют. При этом оператор е" не сохраняет норму волновой функции, оператор。一抑，хотя и
сохраняет норму, но зато отображает все гильбертово пространство 非 на подпространство 非力 не содержащее вектора |0). Такой оператор называется изометрическим. Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует тот факт, что в случае бесконечного пространства только из сохранения нормы еще не следует унитарность оператора. Из (6.47) нетрудно получить тождество
誨介=1,俞誨= /-]0〉〈0|.(6.54)
Вместо (6.50) в работе В. М. Файна (1967) было получено следующее соотношение неопределенностей между числом квантов и фазой:
(Дп)2 + ^(п) +｝『『А(р[
1 一烹(A屮)
Более подробное рассмотрение вопросов, связанных с операторами /I и е", можно найти в обзоре П. Каррузер- са и М. Нито (1968).
Теорема вириала и ее обобщение
Кулоновский и осцилляторный потенциалы являются частными случаями степенного потенциала общего вида U = krs. Для такого рода потенциалов имеет место теорема вириала ), дающая соотношение между средней кинетической и потенциальной энергией.
Следуя В. А. Фоку (1930), покажем сначала, как эта теорема выводится из вариационного принципа.
Напомним прежде вариационный принцип: мы утверждаем, что для собственного состояния ^п оператора Я с собственным значением Еп математическое ожидание Н является стационарным. Это значит, что если
Н^п = Е^>п,
то величина Н = J г])//г|)dr или, лучше *),
斤=斤=屮*77屮drJ2*2dr屮*77屮drJ2*2dr(7.1)(7.1)
斤=
斤=
屮*77屮dr
J2*2dr
屮*77屮dr
J2*2dr
(7.1)
(7.1)
для 屮 =屮也 + 6屮 отличается от £п на величину порядка (6*ф)2; члены порядка W исчезают. В частности, относительно 屮也 соответствующий низшему (основному) состоянию, можно утверждать, что подстановка j =屮。 дает абсолютный минимум Н = Е>
Тот факт, что имеет место вариационный принцип, проще всего проверить, представив вариацию в виде разложения по собственным функциям оператора Н
т
и используя ортогональность собственных функций: очевидно, что вариация_Я пропорциональна (6CW)2.
Теперь запишем Н = U + Т, где Г — математическое ожидание потенциальной энергии, Т ——математическое ожидание кинетической энергии.
Возьмем специальный вид вариации 屮：преобразование подобия всех координат, близкое к единице：
(7.2)(7.2)1|/=2 + &ф=(1 + ^Е)2[(1 + 6)г],
(7.2)
(7.2)
где е——малая величина. Множитель перед 屮 обеспечи
вает сохранение нормировки, J | ^ |2 dr^ = J \ ^^ dr.
Так как U = krs, то, очевидно,号-=-es.
Кинетическая энергия пропорциональна j |厂屮|2&「，и, следовательно, при сокращении всех масштабов кинети- ческая энергия ^растет обратно пропорционально квадрату масштаба -у- = 2е.
Потребуем экстремальности 5Я = 6U + 8Т = =(——sU + 2Т)е. Отсюда следует
不=^万，万=审万=中7, (7.3)
а это и есть теорема вириала. В случае гармонического осциллятора 7 =守，а для кулоновского взаимодействия полная энергия Н в стационарном состоянии равна средней кинетической энергии, взятой с обратным знаком.
Вариационный принцип позволяет дать наглядный ответ на вопрос, «почему электрон не падает на ядро》: приближение электрона к ядру уменьшает его потенциальную энергию (увеличивает по абсолютной величине отрицательную по знаку потенциальную энергию), пропорциональную 1〃，но одновременно, по принципу неопределенности, растет как 1/г импульс электрона, а следовательно, кинетическая энергия его растет как 1/г2. Поэтому полная энергия имеет минимум при вполне определенном среднем расстоянии электрона от ядра: дальнейшему приближению (《падению》) электрона препятствует рост кинетической энергии.
Из сказанного видно также, что при потенциале, возрастающем быстрее 1〃2 при г->0, у. Ш. не может иметь определенного нижнего уровня, и в таком потенциале частица падает на центр притяжения.
Другой способ получения теоремы вириала заключается в вычислении среднего значения величины -^^р)== =£[Н"р]. Нетрудно видеть, что в стационарном состоянии _^~〈哂=^〈[", гр]) == 0; более того, аналогичное соотношение имеет место для произвольного оператора 4:
<Д) = 4([Я, Л]> = 0. (7.4)
Это и есть обобщение теоремы вириала (Дж. Хиршфель- дер, I960). Нетривиальным моментом здесь является выбор подходящего оператора Л. В случае удачного выбора этого оператора можно получить некоторые интересные соотношения для средних значений.
Проиллюстрируем обобщенную теорему вириала на примере кулоновского и осцилляторного потенциалов (Дж. Эпштейн, С. Эпштейн, 1962). Перепишем сначала кулоновский гамильтониан в виде
р2俨 £2а
+(7・5)
где рг = - i ~~г г = - Ш ^~ + —'j , [%,〃=-»方, ・pr・ 方哈 а
В качестве оператора 4 выберем p“$+L Равенство (7.4) принимает теперь вид
•^■〈%戸+1)=(瓦戸+1)+〈Р/厂)+ ... +(p"S』)= 0. (7.6)
Перенося в (7.6) оператор г = р/т налево с помощью тождества
rkpr == % 产 + ihkrk~\(7.7)
получаем
<P/S+1> + ^{Р^ + 叫7(PJI〉= 0. (76)
Для упрощения последнего члена этой формулы рассмотрим равенство 等〈и〉hоили
-^W-i> + Z^^-|<r-2) = 0, 1
方>(7.8)
〈P"S-1〉= - *s — l)^«s-2〉.I
Выражая pr и 中 через г с помощью (7.5) и используя (7.8), получаем
2Е (s + 1) g + a (2s + 1)〈宀〉+
+ 警(^1?1 T Q + l»〈f = 0. (7.9)
Мы получили, таким образом, рекуррентное соотношение для средних значений степеней г. Это соотношение было ранее получено X. Крамерсом (1951) иным спосо-
бом. Заметим, что при s = 0 мы получаем из (7.9) обычную теорему вириала и что член 方 *^一"” (r^-2) учитывает некоммутативность операторов г и % Поэтому при отбрасывании его получаются рекуррентные соотношения для классического случая.
Перейдем теперь к рассмотрению случая трехмерного гармонического осциллятора. Имеем
4三与+g炉产.(7.10)
2m 2m г2 2' 丿
Нетрудно видеть, что соотношения (7.6)——(7.8) в этом случае по-прежнему выполняются. Подставляя в (7.6‘) величины рг и 片,выраженные через г с помощью (7.10), находим
2Е (s + 1)〈戸〉—/и®2 (s + 2)〈『$+2〉+
+爲［中-2(/+1)］〈"=0.(7.11)
Как и в предыдущем случае, при s = 0 мы получаем теорему вириала. Заметим, что, в отличие от (7.9), соотношения (7.11) связывают между собой только четные или только нечетные степени г. Это не удивительно, поскольку гамильтониан (7.10) является четным относительно г, т. е. при замене г —►—г не изменяется
Одинаковые частицы и статистическая физика
Задача о движении двух взаимодействующих частиц как в классической механике, так и в квантовой механике сводится к задаче об одной частице.
Поэтому у. Ш., выписанное выше, с 屮，зависящей от трех координат, относится не только к движению электрона в поле тяжелого неподвижного ядра, но и к двухатомной молекуле. При этом в дальнейшем мы пользуемся обычным приближением Борна — Оппенгеймера: при заданном положении ядер полагаем, что электроны находятся в низшем энергетическом состоянии. Энергия всей системы, включая энергию электронов, зависящая от расстояний между ядрами, представляет собой тот
эффективный потенциал, который действует на движение ядер.
Решение у. Ш. для двухатомной молекулы имеет вид ^(厂)丫注九(仇屮)，где г, 0, ф характеризуют вектор %2, соединяющий 1-е и 2-е ядра.
Новый момент возникает в том случае, если оба ядра тождественны, как, например, в молекулах Н2, С2, N2, О2.
Если ядра состоят из четного числа нуклонов, то волновая функция должна быть симметрична: говорят, что такие ядра являются бозонами и подчиняются статистике Бозе.
Особенно просто обстоит дело, если спин ядра равен нулю. Условие симметрии функции относительно перестановки 1-го и 2-го ядер, т. е. относительно изменения знака 门2f—片2 (при этом г^>г, 0— 0,(р->(р + л), приводит к исключению нечетных значений /. '
Опыт показывает, что молекула С2, состоящая из двух ядер С12, находится лишь в состояниях / = 0, / = 2, / = 4 и т. д. Молекулы из разных ядер С12, С13 или С12, С14 находится во всех состояниях I = 0, / = 1, / == 2, / == 3 и т. д.
Иногда различие между классической (больцманов- ской) статистикой и квантовой статистикой Бозе ——Эйнштейна формулируют как различие в способе подсчета числа состояний.
Пусть есть две частицы 4, В и два состояния 1, 2. В классической статистике мы различаем два состояния: 4]82 н 3i%2； в квантовой статистике, если Д и В тожде* ственны, мы считаем, что есть только одно состояние системы: одна частица в первом состоянии и одна частица во втором состоянии.
Пример молекулы С12С12 весьма поучителен: здесь ясно видно, что дело не в способе подсчета; в бозе-систе- ме оказались запрещенными и не осуществляются в природе такие состояния (с нечетными /), которые существуют в системе из разных частиц. Для тождественных частиц мы имеем другую механику, запрещающую определенные состояния; другая статистика — это просто следствие другой механики.
В случае фермионов ситуация проще, здесь даже начинающие не делают ошибки, невозможность нахожде-
§ 8] ОДЙНАКОВЫЁ ЧАСТИЦЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФЙЗЙКА 65 ния двух частиц в одном состоянии есть очевидный запрет.
Ситуация, которая ясна для двухатомной молекулы, не так прозрачна для независимых частиц в общем поле и в особенности для сплошного спектра. В примере, приведенном выше, при разных 4 и В есть два разных состояния AxB2 и ВхА2. Если свойства А и В близки, энергия этих состояний также близка. Если к тому же между 4 и В есть взаимодействие, то вместо указанных двух состояний решениями у. Ш. будут
41& + В]%? и 4& — В/?.
Включение взаимодействия перепутывает состояния, но по общим теоремам не меняет общего числа состояний (2 = 2), так же как поворот осей координат не меняет размерности пространства.
Если две частицы 4 и В суть два совпадающих 6озо・ на В = 4, то существует только симметричное состояние А\В2 + В1Л2, второе состояние не существует в том же самом смысле, как не существует С12€12 с / = 1. Для фермионов запрещено симметричное (четное) состояние Л1В2 + В\А2 и осуществляется — ВХА2.
В классической статистике состояния подсчитываются так, как будто все частицы разные.
Пусть число частиц во много раз меньше числа уровней, на которых в среднем размещаются частицы. Тогда вероятность попадания двух частиц на один и тот же уровень (что строго запрещено для фермионов) мала. В этом случае общее число состояний для разных частиц отличается от числа состояний бозонов (или равного ему числа состояний фермионов) постоянным множителем N\. где N — число частиц. Постоянный множитель в числе состояний даст постоянное слагаемое в энтропии и в свободной энергии; поэтому классическая статистика в этом случае даст правильные представления. Наблюдаемые величины, не зависящие от аддитивной постоянной в бозе- и ферми-статистиках, в пределе при малых заполнениях совпадут со значениями величин, даваемых классической статистикой.
Как справляется классическая-статистика с тем, что в двухатомной молекуле половины уровней нет? Для
этого вводят число симметрии молекулы 2 (для двухатомной молекулы) и делят на 2 фазовый объем или уменьшают энтропию на 々 In 2.
Интересно проследить, как то же число 2 появляется в двухатомной молекуле из ядер со спином 1/2, например Н2. Волновая функция в этом случае представляет собой произведение орбитальной и спиновой функций.
Антисимметричная спиновая функция aiP2 — a2Pi двух частиц со спином % соответствует полному спину 0.
Симметричная функция соответствует s= 1: таких функций —три: Sz = 1, ai«2； & = о,川氏 + a2₽i； Sz = —1, Pi^2- При s = 0 орбитальная функция четная, 2 = 0, j = 2,.・ (параводород). При s = 1 орбитальная функция нечетная, / = 1, /=3….(ортоводород). Таким образом, у одних вращательных состояний спиновое состояние имеется одно: g =1, у других — три спиновых состояния: g = 3; среднее значение: g = 2.
Молекула, состоящая из двух разных атомов, например НТ (водород—тритий), имеет по четыре состояния *) при каждом /; при любом / есть и s = 0, g = 1 и s = 1, g = 3.
Уменьшение от g == 4 для молекулы из разных атомов до g == 2 для молекулы из одинаковых атомов как раз и соответствует числу симметрии 2.
После введения числа симметрии классическая статистика успешно и правильно справляется с задачами теории диссоциации молекул, да и вообще со всеми -задачами, в которых малы все числа заполнения; в этой ситуации результаты не зависят ни от спина, ни от статистики ядер; результаты не зависят также, как легко показать, и от того, имеем ли мы дело с одним типом ядер или со смесью изотопов.
Получение правильных результатов не исключает необходимости ясного понимания самих основ классической, бозе- и ферми-статистик, для чего и служили примеры, приведенные выше.
ГЛАВА II
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
§ 1. Введение. Волновые функции непрерывного спектрас Z = О
В этой главе р ассматр ив аются состояния непрерывного спектра. Такие состояния, как известно, описывают рассеяние частицы в потенциальном поле. Теория рассеяния, являющаяся важным разделом квантовой механики, разработана во всех деталях. Наиболее полное изложение этой теории можно найти в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1963) и в монографиях М. Гольдбергера и К. Ватсона (1964) и Р. Ньютона (1966), специально посвященных теории рассеяния. В последней можно найти подробную библиографию по данному вопросу. В данной главе мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых свойств волновых функций непрерывного спектра.
Обратимся сначала к функциям непрерывного спектра с заданными значениями Ен/. Эти функции, как следует из (1.8) гл. I, существенно отличны от нуля во всем пространстве. Условие убывания на бесконечности поэтому отсутствует, и остается лишь одно условие (1.7) гл. I, налагаемое на две линейно независимые функции 必土). Следовательно, при фиксированном значении энергии Е и любом / мы можем образовать решение, удовлетворяющее условию (1.7) гл. I, причем это решение мо、 жно выбрать, например, вещественным. Некоторые свойства таких решений при / = 0 рассматриваются в данном параграфе, а случай / #= 0 ——в § 2.
Мы видим, что в случае непрерывного спектра, в отличие от случая дискретного спектра, при заданно好
Е > 0 есть решения у. Ш. для всех значений /. Поэтому любая суперпозиция этих решений опять является решением у. Ш. и наоборот: любое решение у. Ш. с определенной положительной энергией можно представить в виде суперпозиции решений с различными значениями Z и фиксированным Е. С этим же обстоятельством связана возможность выбора различных полных систем волновых функций.
Важным и часто используемым в теории рассеяния видом состояний являются состояния типа плоская проходящая волна + рассеянная волна, т. е. состояния, асимптотика которых при г —► оо имеет вид eih2 + + / (0, ^>)e^ihrlr. Можно построить также состояния с асимптотикой eikz + 厶(8, ф)e~ihTlr\ при этом функция fie~ikr/r описывает сходящуюся волну, a eikz описывает частицу, вылетающую по направлению оси z. С такими функциями, однако, приходится работать значительно реже. Все перечисленные выше вопросы разбираются в§3.
Наконец, в последнем параграфе этой главы, дается вывод так называемой оптической теоремы и рассматривается ее обобщение.
Перейдем теперь к более подробному рассмотрению состояний с фиксированными значениями Ей/. Посмотрим, чему соответствуют состояния 必土). Напомним, что в состоянии, описываемом функцией *(>), поток частиц в точке г равен
〃「)=-誥(屮*V^-WV/). (1・1)
Подставляя сюда функцииПодставляя сюда функцииМУ 4л г”МУ 4л г”产⑺=土卷九产⑺=土卷九(1.2)(1.2)
Подставляя сюда функции
Подставляя сюда функции
М
У 4л г”
М
У 4л г”
产⑺=土卷九
产⑺=土卷九
(1.2)
(1.2)
где о = bk/tn ——скорость, соответствующая волновому вектору 々.Таким образом, функция 腺烈 описывает частицы, движущиеся со скоростью у во все стороны от начала координат (расходящаяся волна), а функция 酢)一частицы, движущиеся со скоростью у по направлению к началу координат (сходящаяся волна). Пол-
ный поток, проходящий за 1 секунду через сферу радиуса R внутрь (в случае %(一)) или наружу (в случае %(+'), равен, очевидно *
4球2产(R)=±“ (1.3)
Таким образом, принятая в (1.8) гл. I нормировка функции %户 соответствует тому, что через сферу большого радиуса в 1 секунду проходит ? частиц, а плотность частиц р равна 1/4л^2 частиц/см^. Отсюда непосредственно вытекает, что функции %(土) не могут являться решениями у. Ш. при г = 0, поскольку эта точка является источником или стоком частиц. Из двух функций %俨)мы можем, однако, образовать такую линейную комбинацию %巾(尸)，которая обладает правильным поведением при г = 0. Согласно (1.9) гл. I в 厶 входит %『)и %伊)・ Первая из них соответствует потоку частиц, падающих на силовой центр из бесконечности, а вторая ——потоку частиц, расходящемуся от него. Иными словами, %fe(г) описывает рассеяние частиц в потенциальном поле V(r). Рассмотрим подробнее случай 1 = 0. Пусть потенциал тождественно равен нулю. В этом случае решения
%户)К) = е± 饱 (1.4)
являются точными решениями уравнения (1.6‘) гл. I во всем пространстве, кроме точки г = 0. Граничным условиям при 尸=0 удовлетворяет единственное решение
爲(r)= %『)一%^)= - 2isinE，j- 2ikr. (1.5)
Ясно, что при отсутствии потенциала нет и рассеяния. Поэтому 北尼 описывает свободное, невозмущенное движение частиц в пространстве (с нулевым орбитальным моментом относительно точки г = 0). Величина А(Е) в
爲(r) = 4但)侬T - S优)现+))
——амплитуда при сходящейся волне ——является, очевидно, проиавольным параметром, не зависящим от потенциала U(г); A (k) зависит лишь от того, сколько частиц будет 《направлено》в точку г = 0 из бесконечности. Величина 5(々)？ напротив, определяется исключительно
видом потенциала, и именно она определяет рассеива- тельную способность этого потенциала.
Чтобы явным образом выделить из волновой функции часть, описывающую рассеяние в потенциальном поле, перепишем %й (г) следующим образом:
線⑺=Л (期以一)- %^-(S ® - 1)狐+)].(1.6)
Первые два члена в квадратной скобке совпадают при г > R с волновой функцией, описывающей свободное движение (см. (1.5)). Последний член, стало быть, описывает рассеянную волну.
При рассеянии в потенциальном поле не может происходить поглощения или рождения частиц. Поэтому число падающих на силовой центр частиц должно равняться числу частиц, уходящих от него на бесконечность. Это означает, что |S(&)|= 1, и поэтому можно всегда записать S (竹 в виде
S 伍)= е*б(з(1.7)
где 6 — действительная величина, называемая фазой рассеяния. В случае свободного движения имеем, очевидно, 6(々)= 0 (см. (1.6)). В общем случае 6 #= 0, и волновую функцию при 尸》丸 можно всегда записать в любой из следующих форм:
(г) = Ае*(х『)е-2 — X伊)е") = — 2iAei6 sin (kr + 6) =
=—2iA [sin kr + e" sin 6e叫.(1.8)
Часто возникает вопрос, по какому праву мы можем разбивать волновую функцию на две части и приписывать им смысл волновых функций, описывающих сходящийся и расходящийся потоки частиц. Можно поставить вопрос по-другому. Волновую функцию непрерывного спектра всегда можно выбрать действительной. Известно, однако, что в состоянии, описываемом действительной волновой функцией, поток частиц равен нулю. Имеем ли мы право отождествлять пропорциональную eikr часть функции в последнем члене (1.8) с рассеянными частицами?
Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть движение волновых, пакетов. Обратимся, например, к з^-
даче о прохождении частиц через барьер. Потенциал имеет вид (рис. 5)
(1.9)(1.9)U = Uq при — а < х < а, U = 0 при х< — а, а<х.
(1.9)
(1.9)
Волновая функция, как известно, может быть записана как
2e (占力)=2e (占力)=(eikx — 4 优)е~械)e “ 为 при(eikx — 4 优)е~械)e “ 为 приВ (k)e 方В (k)e 方припригде 4 обычно называют коэффициентомгде 4 обычно называют коэффициентомX V — а, (1.10) х>а, отражения.X V — а, (1.10) х>а, отражения.
2e (占力)=
2e (占力)=
(eikx — 4 优)е~械)e “ 为 при
(eikx — 4 优)е~械)e “ 为 при
В (k)e 方
В (k)e 方
при
при
где 4 обычно называют коэффициентом
где 4 обычно называют коэффициентом
X V — а, (1.10) х>а, отражения.
X V — а, (1.10) х>а, отражения.
Рис. 5.
Построим волновой пакет из состояний с энергией Е « Ео：
2(%")=т!ё j d£%a，/)，(1-11)
El АЕ
причем АЕ будем считать настолько малой, что можно пренебречь энергетической зависимостью величин А и В и, кроме того, для k использовать приближенную формулу
力目+ (e-e。m祭)。+…=a。+与詳•(1.12)
Элементарное вычисление сразу дает нам
(<р^Чх^)-А(ко)^(х,1) при х<-а,
"(В (&о)屮(+)(居 f),при х>а,
где
Ф(±)(^ f)三 2XF JdEJ (士 我 Г)=
E(j—■ AE
_ 于(±近方 -半)sin (尤干 ”f)
Трим область слева от барьера, где х < 0. Из рис. 6 виТрим область слева от барьера, где х < 0. Из рис. 6 виФункция(р<+)(х, /) отлична от нуля, только если х ——и0^ ^ « 0, а функция(р<~), — только если х + у0/ ^ 0. Рассмо-
Трим область слева от барьера, где х < 0. Из рис. 6 ви
Трим область слева от барьера, где х < 0. Из рис. 6 ви
дим, что когда / < 0, только(р(+)отлична от нуля (волна
i<0i<0
i<0
i<0
из —оо падает на барьер). При / > 0 положение меняется: теперь слева нет члена 屮(+), зато отличен от нуля член 屮(■) (волна отразилась от барьера). Справа от барьера х > 0, поэтому условие х— vot может выполняться только при / > 0. Таким образом, при / < 0 справа от барьера волновая функция везде равна нулю. При f > О появляется волна В (й0) Ф(+), распространяющаяся по направлению 无f + оо.
Коэффициенты А (й0) и 8(初，очевидно, определяют интенсивность отраженной и прошедшей волн, и мы видим, что действительно eikx и e~ikx можно с полным осно* ванием трактовать как волновые функции частиц, распространяющихся по направлениям 力=+ оо и х = —оо соответственно.
Разберем еще вопрос о нормировке волновых функций непрерывного спектра. Функции непрерывного спектра хА (г) отличны от нуля во всем пространстве, и их нельзя нормировать на единицу, как в случае дискретного спектра. Нормировка на единицу соответствует условию, чтобы во всем пространстве находилась только одна частица. Так как функция непрерывного спектра отлична от нуля во всем пространстве, то ясно, что при нормировке волновой функции на одну частицу во всем
пространстве (т. е. J | %ft (г) |2dr = 1) нормировочный ко* о
нечной. В окончательномнечной. В окончательномэффициент А (々)необходимо положить равным нулю. Можно, правда, как делалось часто раньше, использовать предельную процедуру: считать сначала, что про* странство не безгранично, а заключено в большую сферу радиуса R. При этом интервал значений 0 < /•之 R огра* ничен и нормировочная постоянная 4(々)получается ко*
нечной. В окончательном
нечной. В окончательном
результате R устремляют к
к нулю так, что сохраняется посто* |Л |2/?. Эта процедура, однако, из-к нулю так, что сохраняется посто* |Л |2/?. Эта процедура, однако, из-бесконечности, а 4 — янным произведение
к нулю так, что сохраняется посто* |Л |2/?. Эта процедура, однако, из-
к нулю так, что сохраняется посто* |Л |2/?. Эта процедура, однако, из-
лишне громоздка, и ее сейчас почти не используют.
Обычно используется нормировка на 6-функцию:
/ 協(г)成,(г) dr = 6 优 г Z?').(1.14)
О
Докажем возможность трим два близких значенияДокажем возможность трим два близких значениятакой нормировки. Рассмо, 々Итакой нормировки. Рассмо, 々И
Докажем возможность трим два близких значения
Докажем возможность трим два близких значения
такой нормировки. Рассмо, 々И
такой нормировки. Рассмо, 々И
焜+ （依一 Q及=0,或+（咛一p）定=0.
Умножим первое уравнение на 痂 второе — на %? и вычтем одно из другого:
定渡一y感：=(好一硝爲%Z，
Проинтегрировав это равенство по г, получим
J %区,dr =詰^ 係(Г)麻⑺-%/ (Г)或⑺)。 • (L15)
о1
优+拓）sin ［他1 一粉R+ 6（自）一6优）］ 2（就一必）优+拓）sin ［他1 一粉R+ 6（自）一6优）］ 2（就一必）11На нижнем пределе все функции исчезают; пользуясь асимптотикой волновых функций %也〜4 (々)sin (々г + 6), после незначительных преобразований получаем
优+拓）sin ［他1 一粉R+ 6（自）一6优）］ 2（就一必）
优+拓）sin ［他1 一粉R+ 6（自）一6优）］ 2（就一必）
1
1
l^kdr = A^^{k^{ о
Так как RToo, то последний член эффективно равен нулю. Действительно, как функция 々 н 々【он сильно осциллирует, причем частота осцилляций стремится к бесконечности вместе с R. Всякий интеграл, в подынте-
Рис. 7.Рис. 7.что разностью 6(E)—6(© нию с R (財一田，так чточто разностью 6(E)—6(© нию с R (財一田，так чтогральное выражение которого входит такая функция, умноженная на гладкие функции, стремится к нулю. В этом смысле и было сказано, что эти 一 функции равны нулю эф- 石 фективно.Если (^i ——k)——фиксированная конечная величина, то эффективно равен нулю и первый член. Рассмотрим теперь случай, когда (^1 ——&) f 0. Прежде всего заметим, можно пренебречь по сравне-гральное выражение которого входит такая функция, умноженная на гладкие функции, стремится к нулю. В этом смысле и было сказано, что эти 一 функции равны нулю эф- 石 фективно.Если (^i ——k)——фиксированная конечная величина, то эффективно равен нулю и первый член. Рассмотрим теперь случай, когда (^1 ——&) f 0. Прежде всего заметим, можно пренебречь по сравне-
Рис. 7.
Рис. 7.
что разностью 6(E)—6(© нию с R (財一田，так что
что разностью 6(E)—6(© нию с R (財一田，так что
гральное выражение которого входит такая функция, умноженная на гладкие функции, стремится к нулю. В этом смысле и было сказано, что эти 一 функции равны нулю эф- 石 фективно.
Если (^i ——k)——фиксированная конечная величина, то эффективно равен нулю и первый член. Рассмотрим теперь случай, когда (^1 ——&) f 0. Прежде всего заметим, можно пренебречь по сравне-
гральное выражение которого входит такая функция, умноженная на гладкие функции, стремится к нулю. В этом смысле и было сказано, что эти 一 функции равны нулю эф- 石 фективно.
Если (^i ——k)——фиксированная конечная величина, то эффективно равен нулю и первый член. Рассмотрим теперь случай, когда (^1 ——&) f 0. Прежде всего заметим, можно пренебречь по сравне-
ооRRsin (电一用R (ei)sin (电一用R (ei)・(1.16)・(1.16)
о
о
R
R
sin (电一用R (ei)
sin (电一用R (ei)
・(1.16)
・(1.16)
Известно, однако, что
lim 更产= л6(х).(1.17)
График функции 叫" изображен на рис. 7. Она велика в области 尤~不 и быстро уменьшается с ростом х. В пределе а—> оо эта функция равна нулю при х #= 0 и равна бесконечности при х = 0. Площадь под кривой равна
f sin ,
■ ОО
Таким образом, равенство (1.17) доказано. С учетом этого равенство (1.16) принимает вид
J 視(г) £ (г) dr = М (3 吟 6 仅一紹).(1.18)
О
Итак, возможность нормировки на б-функцию доказана, и соответствующий коэффициент равен
(1.19)(1.19)4 优)= /!
(1.19)
(1.19)
Иногда удобно нормировать функции непрерывного спектра на 6(屮(々)一屮(々’))， где 中(々)——какая-то функция &• Соответствующая нормировочная постоянная равна
43仅))=/謠储■ A(h).(1.20)
Например, при нормировке на б-функцию от энергии 屮 и нормировочная постоянная 4(E) равна
4з)=/急・(1・21)
Функции дискретного спектра обращаются в нуль при г —► оо. Из формулы (1.15) поэтому сразу следует ортогональность функций непрерывного спектра ко всем функциям дискретного спектра ). Кроме того, очевидно, ортогональны любые две функции дискретного спектра с разными энергиями Ет4 Е^、Поэтому мы всегда можем так нормировать волновые функции, чтобы они составляли ортонормированную систему:
(1.22)(1.22)J xm (г) X；⑺"=6咖，J xfe (r)盛(，)dr = 6 伍一斤卜j 筛(г)У；(г)" = 0.
(1.22)
(1.22)
Здесь Bmn — символ Кронекера.
Система волновых функций непрерывного и дискретного спектров является полной. Это значит, что произвольную достаточно хорошую функцию /(г) можно разложить по этой системе, т. е. имеет место тождество
〃，)=J dkC (田壮(г) + 2 Cd (г).(1.23)
Коэффициенты C<h) и Сп нетрудно найти, умножая обе части (1.23) на %* (г) и %；(尸)и интегрируя по г:
С3)= / ^V^rW，&= J %n^)f(^dr\ (1.24)
Подставляя (1.24) в (1.23), получаем
f (г) = J [£ 儿(')％；(，')+ / dk%k (г)成(/) /，) dd (1.25) Отсюда следует, что выражение, стоящее в скобках, можно отождествить с д-функцией;
2 儿(г) %；(「')+ jdZ?爲(г) %； (『) = 6 (г-Q. (1.26) по
Если функции непрерывного спектра нормированы на б-функцию от энергии, то формулы (1.23) — (L26) сохраняют свой вид, но вместо %卜 в ннх надо подставить х£ и интегрировать не по 財 a no Е
Движение с орбитальным моментом / W 0;движение в кулоновском поле
Волновая функция частицы, находящейся в состоянии с заданными значениями орбитального момента / и его
проекции т, имеет вид —；—У/т(0, ф), где
匕"(8,屮)=日削(6) efm<₽,
а %班 Должна находиться из уравнения (1.5) гл. I.
Свойства сферических функций, описывающих угловую зависимость волновой функции с данными / и т, хорошо изучены.
Мы остановимся здесь лишь на нескольких теоремах, которые легко и наглядно вытекают из общефизических представлений и тех аналогий, которые получаются в пределе, при классическом движении ).
Начнем с функции, отвечающей максимальному значению |т|： /и = ±厶 Очевидно, что в этом случае 0«(0) не имеет узлов (поскольку sin т^ и cos m(p имеют максимальное число узлов). В пределе при большом / этот случай соответствует орбите, лежащей в плоскости экватора так, чтобы вектор момента количества движения был параллелен оси г. Значит, в этом предельном случае |®⑼也=6(9-71/2).
Эту оценку можно уточнить и найти закон, по которому при увеличении / величина |0；/(0) |2 приближается к 6(0 — л/2), т. е. сужается, концентрируясь к экватору.
Для этого заметим, что квадрат момента равен /(/ + 1), а проекция момента m на ось г равна /. Отсюда находим средний угол а между осью z и нормалью к плоскости орбиты, cosa = -7== ^1, а
у2/
Рассматривая плоскость, наклоненную таким образом, легко определить, что средний угол р между вектором, лежащим в такой наклонной плоскости, и плоскостью экватора равен 艺俨 =-^ а = j/^^ .
Следовательно, при большом, но конечном /, |0«(0) |2 имеет максимум при 0 = л/2 и эффективную ширину ]/1/2/・ Это значит, что приближенно ее можно заменить на ' 〃； коэффициент перед экспо-
нентой определяется из условия нормировки сферических гармоник.
Как представить себе наглядно противоположный предельный случай — функцию с данным большим / и
с /п = 0? С такими функциями приходится иметь дело, в частности, в задачах рассеяния, поскольку частица, движущаяся по оси г, тождественно имеет 加=0*
Свойства искомой функции выясним, рассматривая частицы, движущиеся по круговым орбитам. Представим себе совокупность всех круговых орбит с осями, перпендикулярными к оси г, т. е. лежащими в плоскости х, у (ясно, что у таких орбит /и = 0).
Направление осей в плоскости х, у равновероятно.
Все орбиты пересекаются на полюсах и плотность вероятности на единицу поверхности телесного угла (т. е. на единицу поверхности сферы) максимальна, обращаясь в бесконечность на полюсах при 0 = 0 и 0 == л.
Найдем выражение плотности вероятности: при движении по меридиану все интервалы d6 равновероятны, dW = de/九 Отнесем теперь dW к площади, приходящейся на угол d& dS = 2冗 sin 0 dQ. Отсюда находим
Гу~|2 — d/ —]
I "°1 - dS 一 2л2 sin 9 *
При этом надо иметь в виду, что в действительности 匕o(6J ——знакопеременная функция и имеет / узлов в интервале 0 46 4n (/ узловых линий ——параллелей); выписанное выше выражение представляет интерес, лишь поскольку мы отвлекаемся от этих колебаний. Для этого нужно, чтобы было /运 1 и при этом рассматривались бы интервалы А0 > 1//・
Полезно отметить максимальную степень отклонения от сферической симметрии, возникающую при /п = 0 и /》1. Как видно из приведенного выражения, плотность минимальна на экваторе, при 0 = л/2 среднее )匕。|2 равно 1/2л2 при среднем по сфере 1/4л. Плотность в окрестности экватора меньше средней в л/2 раз. Заметим, что, строго говоря, с учетом тонкой структуры (узлов) плотность колеблется в пределах от 0 до 4/л; при / нечетном на экваторе @三0, при / четном ^^=g, величина 2/л получается при усреднении по колебаниям. Замечательно, что существует такое асимптотическое значение, не зависящее от /, в пределе /沦 1. В окрестности полюсов
I 匕012T 8, когда /—> оо. При конечном значении / максимум достигается при В = 0 к В = л:
丨匕0（0,明2 = |匕*，明27击.
Если на опыте угловое распределение вытянуто вдоль оси г сильнее и, в частности, в окрестности экватора меньше, чем на 2/л = 0,65 среднего, то можно быть уверенным, что имеет место интерференция состояний с различными /.
Далее, асимметрия относительно экваториальной плоскости, т. е. асимметрия г > 0 и z V 0, очевидно, возможна лишь как результат интерференции состояний с четными и нечетными /.
В случае частицы со спином % полный момент j — полуцелый. Каждое значение / может быть получено двумя способами: j =厶 + 1/2 н j =勾——1/г-
Волновые функции представляют собой произведения орбитальных и спиновых функций, взятые в соответствии с правилами сложения момента. Введем обозначения для спиновых функций:
Выпишем конкретно несколько первых волновых функций:
/ = 0, Т，（S%）
^ = !' 屮 =^Ма=ка。а,
加=一^,屮=帚戸0 =几（）8；
Z= 1,尸^，（P%）
= у < 屮=—j/^у Уi, o« + ]/^"I 几 i₽»m= — }, 'P = — ]/ -^ ^1, -1。+ /"g K,oP；
"=1，j = q"=1，j = q,（Р^,（Р^w=几何w=几何%%1-2 3-23-2 1-2 一 一 一一 - 一一 = 加 加 加1-2 3-23-2 1-2 一 一 一一 - 一一 = 加 加 加屮屮⑵⑵
"=1，j = q
"=1，j = q
,（Р^
,（Р^
w=几何
w=几何
%
%
1-2 3-2
3-2 1-2 一 一 一一 - 一一 = 加 加 加
1-2 3-2
3-2 1-2 一 一 一一 - 一一 = 加 加 加
屮
屮
⑵
⑵
Замечательное свойство этих функций заключается в том, что полная плотность частиц после усреднения по направлениям спина зависит только от / и /и, т. е. одинакова для / =乙 + % и / == Z2— %• Так, например, для / = З/2, т = зд получим в первом случае （Р/?）
1好=亲1^也29=亲（1 -l（3cos2e-i））,
во втором случае。/2）
I 屮卩=；（^ cos2 0 sin20 +sin4 0）=
=专（1一孑（3以必8一1）》
т. & tq же самое.
В частном случае / = 1/2 имеет место изотропия полной плотности не только для S% (/ ^ 0), но и для Р% ”1)：
1%%|2 = №%|2 = 3
Различить 厶 + % и /2——% можно только путем поляризационных измерений, т. е. определяя как полную плотность частиц, так и их направление спина.
Интерференция между 厶 + % и 勾——% создает асимметрию в полной плотности относительно экватора.
В частности, хотя состояния S% и Р% каждое в отдельности изотропны, интерференция между ними создает анизотропию: максимум достигается для линейной комбинации
При ЭТОМ W7 = I 屮卩=盡(1 Т cos 0).
Описанные выше свойства специфичны для частиц со спином %, но именно такие частицы играют наиболее важную роль.
Перейдем к рассмотрению радиальных волновых функций.
Практически все спицифические ядерные взаимодействия являются короткодействующими, т. е. их можно полагать равными нулю вне некой сферы 厂=R. Входящий же в у. Ш. при / =# 0 центробежный потенциал, напротив, простирается далеко за сферу г = R н существенно изменяет вид волновой функции при г > R.
В области г > R уравнение для %版 имеет вид
и с помощью подстановки х = Vr Z сводится к уравнению Бесселя. Соответственно в этой области общее решение этого уравнения имеет вид
“ (г) = W7 Z/+% (砧，
где Zi-^щ — любая из бесселевых функций порядка / + 】/?
В качестве двух независимых решений мы выберем 唱)(r) = q/4-国?%(硒三出)財D(kr), 城F)(r) = -zy ^-"厚"优r)M但r)而2)他r),
где Н⑴ и HQ)——функции Ганкеля *). При больших kr эти два решения ведут себя как
脸)(г)〜e±GT)(2.3)
и соответствуют сходящимся и расходящимся потокам частиц. Эти решения являются обобщением на случай / ¥= 0 функций %儘)и имеют тот же самый физический смысл. Функции непрерывного спектра, описывающие рассеяние частицы с моментом 厶 можно в полной аналогии с (1.6), (1.8) записать как
时=4(矶施一邑他)脸))， 1
腼〜一2М/ 伐)е吃 sin [kr -^- + d) при r-> oo.] ②"
Здесь e?吃三 S(伍)играет ту же роль, что и S。для / = 0. Если потенциал U тождественно равен нулю, то выписанное вЬппе выражение для волновой функции должно быть справедливым во всем пространстве. Функции %伊， однако, при малых kr ведут себя как
(Г ——это Г-функция) и, очевидно, не удовлетворяют условию регулярности волновой функции в нуле. Обра-
*) Эти функции имеют внд полинома степени / от аргумента ±i(kr-~^\
\]kry умноженного на е 4'・ Чтобы найти нх в явном виде,
можно использовать формулу
%")=(*(旣产(阳’展
扌（購）一炯）曰/岑 "+丄但r） ~扌（購）一炯）曰/岑 "+丄但r） ~щается в нем в нуль лишь разность )
扌（購）一炯）曰/岑 "+丄但r） ~
扌（購）一炯）曰/岑 "+丄但r） ~
仔广,(2.6)
\ ' 2/ где
%产)t因产)削砌)
есть обычная функция Бесселя.
Сравнение (2.4) с (2.6) показывает, что в отсутствие потенциала фаза М равна нулю и S/(^) — 1, в полной аналогии с определениями § 1. Рассеивающая способность потенциала по-прежнему определяется величиной |S<(左)——112. Что касается самой Sz(^), то для ее вычисления необходимо знать решение х^} (г) у. Ш. в области действия потенциала (r<R). Как только это решение стало известно, S/(左)находится с помощью (1.11) гл. I, куда надо вместо у伊)и %£) подставить их аналоги X陵)и %& Нетрудно видеть также, что формулы (1.18)— (1.26), определяющие нормировку функций, полученные ранее для случая / = 0, сохраняют силу и для функций Xjy при произвольном /.
Итак, мы видим, что случай / =# 0 отличается от разобранного в § 1 (/ =0) количественно, но не качественно. Физический смысл и качественные особенности решений у. Ш. в обоих случаях одни и те же.
До сих пор мы считали^ что частица не заряжена. Рассмотрим теперь случай, когда, кроме потенциала U(г), на частицу действуют кулоновские силы. Заряд частицы обозначим через еь а заряд, находящийся в точке г = 0, через ?2・
Суммарный потенциал, действующий на частицу, теперь равен
，<R,(2.7) ，>R,.，<R,(2.7) ，>R,.прн малых г нетруднопрн малых г нетрудноь⑺+牛竿при 今+芈при где Пн-"^，и — скорость частицы.
，<R,
(2.7) ，>R,.
，<R,
(2.7) ，>R,.
прн малых г нетрудно
прн малых г нетрудно
В области г > /? у. Ш. имеет вид
需+(依一迎尹芈)畑=0.(2.8)
Свойства этого уравнения хорошо изучены. В качестве двух независимых его решений обычно выбирают так называемые регулярную и нерегулярную кулоновские функции Fi{kr, т]) и 6/(左厂，п)・ При 厂тоо эти функции переходят в
Gz〜cos |历一年Gz〜cos |历一年т]/ —т] In 2历т]/ —т] In 2历(2.9)(2.9)
Gz〜cos |历一年
Gz〜cos |历一年
т]/ —т] In 2历
т]/ —т] In 2历
(2.9)
(2.9)
где T]z = argF(Z + 1 + /т]). При r-^0 Ft стремится к нулю как 厂叶* a Gi обращается в бесконечность как 尸：
Q(历宀)〜а(历y”，
r->0
1 一(29)
G%ji)〜-国+1Re (既))
где
&=WI)T [# + d)⑵ + d) 俨 + 外2)№ Co,
с Г 2mle-m Cc =： .
В дальнейшем нам будет удобнее пользоваться не самими кулоновскими функциями, а их линейными комбинациями:
崎)(г) = d ± 呼〜/‘色-图+"户 m 2n (2 9//)
Эти функции, по аналогии с введенными выше функциями (2.3), описывают расходящиеся и сходящиеся потоки частиц (и частиц через сферу большого радиуса в 1 сек). В этом легко убедиться, вычислив соответствующие потоки. Член с 1п 2^г в показателе экспоненты можно считать постоянным, так как при дифференцировании по г он дает добавку, обращающуюся в нуль при 厂 f оо в г раз быстрее, чем основной член.
При положительных энергиях общее решение у. Ш. в области 厂 > R можно записать в полной аналогии с разобранными выше случаями:
必心)=a1^^}⑺- S加仗)(г))~
~ — 2/Л/(^) el6/ sin [kr — ^-\-^i + 6Z — T] In 2^rj, • (2.10)
S( (k)三 ^1.
Если потенциал U(r) тождественно равен нулю, то решение (2.10) должно быть справедливым во всем пространстве. При этом Si 三 1 н 应=0. Действительно, мы знаем, что лишь одна из кулоновских функций, Fi, регулярна в нуле. Это означает, что функция (2.10) не должна содержать G/, т. е. S/ = 1.
При отличном от нуля U (厂)величина Si 片 1, н, следовательно, величина бг является характеристикой рассеивающей способности потенциала U(r). Удобно переписать %版,выделив из нее чисто《кулоновскую》часть:
統(г) = 4 ® {姬 t伊 - (S, -1)陶)}=
= 4®{_2с —(у —1)%毋)}. (2.11)
Последний член в этом выражении целиком обязан рассеянию на потенциале U (г) и исчезает, когда потенциал равен нулю.
Волновые функции непрерывного спектра.Сечение рассеяния
До сих пор мы рассматривали только состояние частицы с определенным моментом количества движения относительно начала координат. В задаче рассеяния, однако, речь идет о пучке частиц, распространяющихся с определенной скоростью вдоль заданного направления и рассеиваемых полем U(r). Эта задача решается следующим образом *).
Прямолинейно распространяющийся вдоль направления 方 пучок частиц описывается плоской волной е，"・ Действительно, вычисляя поток, соответствующий плоской волне, получаем
/ ==u・
Такие частицы не обладают определенным значением момента относительно начала координат, так как плотность вероятности \eikr\2 = 1 одинакова во всем пространстве и, следовательно, говоря классическим языком, при заданной скорости возможны любые значения прицельного параметра. Долю состояний с различными значениями момента I относительно начала координат легко найти из известного разложения плоской волны по сферическим гармоникам:-
叫=£｛勿+1)?修)九(砧= 2=0
=击 1? К"⑵+ 1)匕。(^)(網(г) -х^> (/■))•(3.1)
Здесь Pi — полиномы Лежандра, У；о —сферические гармоники, а %陵)определены формулами (2.2). Из этого разложения мы видим, что в плоской волне каждая схо-
дящаяся волна —у— У/о с моментом I входит с амплитудой &:
& = - ％ N /л(2/+1).(3.2)
В классической физике момент количества движения частиц относительно некой точки г = 0 равен L — [гр], а его проекция на направление движения равна нулю. Это утверждение остается справедливым и в квантовой механике: функция Yim(Q, ф) соответствует состоянию с моментом I и его проекцией т на ось квантования (т. е. на направление движения частиц в принятой нами системе координат). То, что ?读「раскладывается исключительно по Но, как раз и соответствует тому, что поток частиц, движущихся вдоль fe, содержит различные значения мо-
мента I относительно точки 广=0, но проекция момента на направление / равна нулю.
Формула (3.2) означает, что волновая функция, описывающая рассеяние прямолинейно распространяющегося пучка частиц, должна иметь вид
必⑺=£ &匕。(17)7 ^-S^.(3.3)
Действительно, падающие на силовой центр волны (т. е. члены при %(-)), очевидно, имеют ту же самую амплитуду, что и волны, распространяющиеся в свободном пространстве; перед амплитудами расходящихся волн (т. е. перед х(+))> однако, из-за действия потенциала U(г) появится фазовый множитель 5( = ?2"Е.
Формулу (3.3) для 屮田 удобно переписать, выделив из нее часть, описывающую рассеянные частицы:
必(r) = e^ + ЕС^^ 偌)(1 _ S,)〉瓚)〜北 + /⑼4, '(3.4)
где f(0) — так называемая амплитуда рассеяния:
/ ⑼=壶 £ Н"⑵ + 1)匕。保№ - 1), cos6 = ^.
/=»0
(3.5)
Если потенциал U(г) тождественно равен нулю, то все Si равны единице, f(0) = 0 и рассеяние частиц отсутствует. Если же потенциал не равен нулю, то f(0) ^=0.
Вычислим поток частиц, рассеянных на угол 0 и выходящих из сферы большого радиуса через элемент поверхности 厂2 sin e de dqp = AdQ. Рассеянные частицы описываются членом f (0) -у—. Соответствующий поток частиц равен
j(6)dQ = u|f ⑼ RdQ.
Для характеристики рассеивающей способности потенциала вводится так называемое сечение рассеяния с(6). Оно определяется как величина потока рассеянных частиц в телесном угле dQ, вызываемого единичным
частица \-
потоком частиц 11 J, падающих на силовой центр. Падающий поток / равен s Таким образом, сечение рассеяния в потенциальном поле U (г) равно
o(6)dQ = |f(6)FdQ・(3.6)
Проинтегрировав по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния )
0 = Jo⑼黑=表£ ⑵+1)2712 =
=者£⑵ + 1"w6"(3.7)
которое является суммой сечений в состояниях с различ- ными /:
о = £о〃 ①三吗(2；f S(—『(3.8)
Сечение рассеяния под данным углом а(0) (так называемое дифференциальное сечение) нельзя представить в таком простом виде. Дело в том, что о(6) имеет, как видно из (3*5) и (3.6), вид
0(» =青，/(2/+ 1)(2/.+ 1J Yl0Yl. (S/-1)(S；,- 1),
т. е. содержит интерференционные члены Y^Y^^q между состояниями с различными орбитальными моментами /. Интерференционные члены исчезают лишь при интегрировании по всем углам как результат ортогональности сферических гармоник.
Функции 屮也(г) можно преобразовать к очень нагляд- юму виду. Это преобразование совершается с помощью формулы
^ £ (2/ + 1) Р/ (п/li)三 £ /л；(2/ + 1)匕о (пп()三 gogo
—2л6(1 — nnt) = 2л6 (п —办)，(3.9)
где fi и П1 — любые единичные векторы, а 6 (л — 〃i)— б-функция. Формулу (3.9) легко проверить, умножив обе стороны на У^ (nnt) и проинтегрировав по всем направлениям одного из векторов, скажем, л: dn = =sin 0 d6 d(p.
Из (3.1) и (3.4) с помощью (3.9) и из известного соотношения Yiq (——nnt)=(——1)/У捡(ПЛ1) немедленно получаем, что при больших г
屮也⑺~ ?‘也「+ f(6) ^7^ = 含{ 一 6(/1 +也1)e一加十
г->00〔
4-[б(л-п1)+^-Н/ш1)] eikr 卜(3.10) здесь n = k/k\ п{ — r/r.
Смысл (3.10) очевиден: сходящийся поток частиц имеет амплитуду, отличную от нуля лишь при /ii = ——п, что и соответствует частицам, движущимся по направлению & к началу координат. Амплитуда расходящихся частиц делится на две части: нерассеянные частицы, удаляющиеся от начала координат в направлении л, и рассеянные во всех направлениях частицы, описываемые членом ^fS^i)・
Перейдем теперь к построению полной ортонормиро- ванной системы волновых функций. Вычислим для этого интеграл:
J 恥(r)屮电(r)" = (28)3 2 ■i^' 4n ]/(2/+1)(24 + 1) X
X 吁%晒J編⑺忘厶⑺dr J源儿阁у；;。(*) •
О
Интеграл по углам берется элементарно:
J dQ/o 伟)У；а 駡=М ]/•2/+T 匕。(号).
Вспомнив также, что радиальные функции нормированы на 6(^ — ^i)-функцию, получаем
J dr^t = (2n)2 牛自)£ |ат ⑵+1)匕。(翁卜
= (2л)3б(& —瓦).(З.Ц) Таким образом, совокупность функций 屮俨=@ :叽必 при всех значениях вектора & образует ортонормирован- ную систему. Однако эта система не является, вообще говоря, полной. В самом деле, помимо состояний непрерывного спектра при некоторых дискретных отрицательных значениях энергии Eni (или соответствующих им мнимых волновых векторах ^nz = ^пг), возможны решения
2 (г) = 7 Хп/ (г)匕"(仇 ф),
f ^Шт У) %皿 У) " = f>nnf>Ufimmi, описывающие связанные состояния частицы в поле U(厂) с орбитальным моментом / и его проекцией т. Кроме того, из предыдущего параграфа мы знаем, что функции： дискретного и непрерывного спектров ортогональны друг другу: J ^п1т (г) ^1 (г) dr = Q. Известно, что функции
屮就^⑺h恥+)&)屮就^⑺h恥+)&)(3.12)(3.12)
屮就^⑺h恥+)&)
屮就^⑺h恥+)&)
(3.12)
(3.12)
составляют полный набор функций у. Ш., удовлетворяющих условиям конечности и непрерывности во всем пространстве. Выпишем условие ортонормированности этого набора функций:
J ” Kim У) €,/,«. (?) = 6пП1^тт^
/小必如&)屮"*(力=0,(3.13)
j"竝+)(7)屮#*&)=6(论一如.
Из условия полноты следует, что любая функция (р(г), интеграл от квадрата модуля которой есть конечная величина, может быть разложена по этому набору:
ф(г) = 2 CnimKim (г) + J dkC(k)恥+)(Г), (3.14) nlm
где, как легко убедиться, умножая это равенство на ^1гп (г) или 屮隽)*(г) и интегрируя по г,
с欣f d*p(r)屮:如(г), r(3.15)
CQi)^ldr^{rW^^.
Совершенно очевидно, что выбор полной системы функций можно сделать бесконечным числом способов. Действительно, в качестве такой системы можно, например, выбрать функции
屮am (г) И feM(r) = 7XftZ(r) Ylm (у)(3.16)
или любые их линейные комбинации. Одной из таких комбинаций функций ^т (г) и являются введенные нами выше 吋)(г).
Наряду с 屮^) иногда приходится пользоваться системой функций
/т ⑺三屮”*&)•(3.17)
Эти функции имеют вид
2『) =壶工/z /4л(2/+1) у” 罂)「%叫漏(г). (3.18)
Их физический смысл легко понять из асимптотического вида
眩7⑺〜号产卜fП ~
〜訪:^卜风+ “「^门-吗卜""
+ 6(n —ri，？如} при r->co. (3.19)
Видно, что хотя сходящиеся на силовой центр частицы движутся со всех направлений, но фазовые соотнощения
между амплитудами падающих волн с различными / таковы, что расходящиеся рассеянные частицы вылетают лишь в направлении вектора 论；таким образом, после рассеяния сходящийся поток частиц «вытягивается» в направленный пучок ).
Применяя к формулам, приведенным в первой половине параграфа, операцию комплексного сопряжения и изменяя в них знак fe, легко убедиться в том, что функции
电и 恥-)(г) (3.20)
являются ортонормированными и составляют полный набор решений у. III. (1.2‘) гл. I.
Уже из самого смысла функций 屮廿)и ^} видно, когда удобнее пользоваться набором (3.12), когда — набором (3.16), а когда — набором (3.20). При разложении какого-то состояния (р(г) по решениям у. Ш. удобно пользоваться первым набором, если нас интересует вопрос: какому распределению (по энергии и направлениям) падающих потоков частиц соответствует состояние (р(г). Когда нас интересует распределение частиц по состояниям с заданными Ц т и k, удобно пользоваться набором (3.16). Наконец, если мы хотим знать распределение по направлениям и интенсивности расходящихся частиц, удобно пользоваться полной системой (3.20).
Пусть, например, каким-то образом в потенциале U(г) создано состояние(р(г) и мы хотим знать, сколько частиц с волновым вектором k летит из начала координат. Это число, очевидно, определяется квадратом модуля коэффициента
С ㈠(同=jd2(r)W『)*(r),
если мы пользуемся набором (3.20). Если бы мы пользовались набором (3.12), то С(~)(fe) также можно было бы определить, но только более сложным путем: сначала пришлось бы разложить ср (г) по 屮伍)и найти коэффициенты
C(+)(&) = jdnp(r)T|^)*(r),
а затем уже искать O~)(fe), используя полученное разложение:
С㈠便)=j“{ J 叫С(+)(幻帽(г)}屮L(r).
Принципиально, конечно, этот путь ничем не хуже предыдущего, но технически он неизмеримо и, главное, неоправданно сложнее.
Приведем еще одну формулу, являющуюся следствием полноты решений у. Ш.:
S 屯^ (г) €zm(ri)+ J d初俨(г)崂)* ⑺=6 (г - 厶).(3.21) nlm
Оптическая теорема и ее обобщение
Как было показано в предыдущем параграфе, рассеяние частицы в потенциальном поле описывается волновой функцией
屮也⑺~e加+ f他办‘)ew/人 где n=k/k,献=="儿 Г-> oo
Первый член в этой функции описывает проходящую волну, второй — рассеянную волну. Поэтому на первый взгляд кажется, что здесь имеется парадокс: мимо рассеивателя проходит пучок частиц, да еще некоторый поток частиц рассеивается полем.. Последние как бы возникают из ничего. Как же быть здесь с законом сохранения числа частиц или, что то же самое, с сохранением вероятности (с унитарностью) ? Правильный ответ заключается в том, что существует интерференция между падающей волной и волной, рассеянной на угол 0, и эта интерференция приводит к выбыванию проходящих
частиц из пучка. Для более ясного понимания механизма рассеяния найдем в пределе при г—► оо поток /(г), соответствующий этой функции. Оставляя лишь наиболее медленно убывающие члены, получаем
p^k =—汴 V 屮也=bkneikr + hhW； eikr.(4.1)
Подставляя это выражение в формулу (1.1) для тока, находим
普 j = Атх + ^ ^ (〃 + 〃') [fe~｛仲-切 + 广 e№ir)] + 々献醬.
(4.2)
Наконец, используя тождество
limeiknn，r = ^[б(л + 献)^^-б(л-〃')胃],(4.3)
получаем
%j =々"一左" * Im/("'，")■^^■ + 々"'^^^. (4.4)
Все три члена формулы (4.4) имеют простой физический смысл: первый член описывает поток падающих частиц; второй член, возникающий вследствие интерференции падающей и рассеянной волн, приводит к уменьшению потока частиц, движущихся в первоначальном направлении, т. е. к ослаблению пучка частиц вследствие рассеяния; наконец, последний дает просто поток рассеянных частиц.
Проинтегрируем теперь обе части (4.4) по сфере большого радиуса 厂= R и преобразуем интеграл в левой части в интеграл по объему V, заключенному внутри сферы S:
j j dS = J div j dr.(4.5)
s v
Однако в стационарном состоянии div / = 0, что следует, например, из уравнения непрерывности divj +晋=0,
поскольку 祭=0- Выражение (4.5) принимает теперь вид
0 = 0-*Imf(“, ")+J|f(“,M) 12d献.(4.6)
Но последний член в (4.6) есть просто сечение рассеяния 5 и поэтому
Im f (〃,〃) =嘉 о.(4.7)
Мы получили так называемую «оптическую теорему》, установленную впервые Е. Финбергом (1932). Эта важная теорема связывает полное сечение с мнимой частью амплитуды рассеяния вперед. Как мы уже видели, левая часть (47) возникает как результат интерференции между амплитудами нерассеянных частиц и частиц, рассеянных под углом 0 = 0 к падающему пучку. Иными словами, «оптическая теорема» — это квантовомеханический эффект, связанный с волновым характером движения частиц.
Очевидно, что проведенное выше рассуждение справедливо как для функций 屮少(г), так и для любых их линейных комбинаций
屮(г) = J Л (л)屮^ (г) dn.(4.8)
В этом случае требование равенства нулю интеграла от потока при произвольных А (я) приводит к следующему обобщению оптической теоремы:
Im f (〃, 〃') = /『 dnfff(n, “〃)尸(〃,“〃).(4.9)
Проверку этого тождества предоставляем читателю.
Перейдем теперь к рассмотрению другой, более интересной возможности обобщения «оптической теоремы», указанной Б. Липпманом (1965).
Эта обобщенная «оптическая теорема》 справедлива не только для случая рассеяния одной частицы в потенциальном поле, но и в ряде других случаев. Рассмотрим поэтому общий случай. Пусть мы имеем гамильтониан
Н = Но 十 Н3 где за рассеяние ответственна часть Н^ Волновая функция 屮（+）, аналогичная старой функции 帆+）и удовлетворяющая у. Ш. （Е — "о）屮（+）=儿屮（+）, имеет вид
卡+）=①+耳g不一把"沙+），（4.Ю）
где функция Ф является решением уравнения НоФ = ЕФ и аналогична падающей волне; функции Ф при этом образуют полную систему （Б. Липпман, Ю. Швингер, 1950）.
Возьмем произвольный оператор Д, коммутирующий с //о- Пусть Фа — собственная функция этого оператора: Афа = Аа①а, и пусть этой функции соответствует функция 电『.
Найдем среднее значение оператора Л = -^-[Л, Н] в состоянии 屮^）:
婚）,才吟））=（吋）,击a，%]吋%（4.U）
Подчеркнем то обстоятельство, что, вообще говоря, это выражение, в отличие от аналогичного выражения в случае дискретного спектра, не равно нулю, поскольку формально оно равно разности двух выражений, каждое из которых равно бесконечности и потому не имеет смысла..
Используя свойство полноты функций ①ь, перепишем （4.11） в виде
（吋）書[4, %]吟））=!■，4 Im （増叫）%=
=奈工 4blm Tba {6〃 + Еа-『ь-论}'（4・ 12）
ь
где величина
TbaM（R，Н^）^\ 片①。）
определяет вероятность Wba перехода из состояния а в состояние Ь в единицу времени:
Wba=-^-\Tba^（E^E^（4.13）
С помощью равенства
—= Р 丄 + /лд (х)
преобразуем правую часть тождества (4.12) к виду
■f Аа Im Tg + ^ £ 儿 I 九 |2 6 固一 Е^ (4.14) ь
Если А ——единичный оператор, то мы получаем обычную «оптическую теорему» (записанную, правда, в других обозначениях)
計111北4 + 竽£1九|26因一凡)=0.(4.15)
ь
Находя отсюда Im Таа и подставляя это выражение в (4.14), получаем
(懵),% [4 切時)卜等 £(4 一()I Tab ^{Eb-凡)=b
= ^(Ab-Aa)Wba.(4.16)
b
Это и есть искомое обобщение «оптической теоремы». Формула (4.16) позволяет выразить вероятность изменения величины % в единицу времени в процессе рассеяния (правая часть равенства) через среднее значение некоторого оператора (левая часть равенства).
Рассмотрим один частный случай. Пусть /Л = V, а в качестве оператора А выберем оператор импульса р. Соотношение (4.16) принимает теперь следующий вид:
(喈),(- VQ ^ = ^(рь- р/ wba. (4.17)
Мы пришли к теореме о среднем передаваемом импульсе в процессе рассеяния, впервые доказанной в работе Е. Герджоя (1965).
ГЛАВА Ш
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙФУНКЦИИ
S-матрица и ее аналитические свойства
В предыдущей главе было показано, что рассеяние частицы в потенциальном поле полностью определяется величинами S,(左)==ехр(2/6；(й)).
Если нам точно известно, какой вид имеет потенциал взаимодействия между частицами, то, решая аналитвде- ски или численно уравнение Шредингера, мы узнаем все об интересующей нас системе. Если бы так было всегда, то люди со спокойной совестью могли бы передать все задачи квантовой механики электронным машинам, а сами занялись бы более интересными делами. Однако реальное положение в физике сейчас не достигло такого состояния. В подавляющем большинстве случаев неизвестен вид взаимодействия между частицами. Более того, взаимодействие между частицами, по-види- мому, не является потенциальным.
Взаимодействия, не сводящиеся к потенциальному, рассматриваются в так называемой квантовой теории поля. (Простейшие задачи такого типа будут рассмотрены в гл. XI.) Эта теория, однако, в отличие от квантовой механики, не свободна от внутренних трудностей. Так, например, при вычислении ряда величин появляются бесконечности. Эти бесконечности, по-видимому, связаны с неправильным описанием взаимодействия на очень малых расстояниях.
В связи с этим В. Гейзенберг (1943) выдвинул программу, согласно которой эти трудности приписываются тому обстоятельству, что в теории используются ненаблюдаемые величины, такие, например, как 屮(г), и что в правильной теории мы должны иметь дело лишь с наблюдаемыми величинами. К ним относятся величины
S,(论)=exp (2z6； (й)), которые образуют так называемую S-матрицу (матрицу рассеяния) (Дж. Уилер, 1937). Теория S-матрицы в последние годы интенсивно разрабатывалась, особенно в связи с необходимостью описания сильных взаимодействий элементарных частиц. При этом особое внимание было уделено построению S-мат- ричной теории на основе использования свойств унитарности и аналитичности. (Заметим, что важность изучения свойств аналитичности S-матрицы подчеркивалась еще X. Крамерсом (1938) и В. Гейзенбергом (1946).) На этом пути удается достичь многих важных результатов о связях между различными наблюдаемыми на опыте величинами. Так, в теории элементарных частиц большой прогресс в последние годы достигнут именно благодаря умелому использованию аналитических свойств S-матрицы. Кроме того, в случае квазистационарных состояний и в некоторых других случаях поведение системы можно описать, не используя конкретного вида взаимодействия, а исходя лишь из общих соображений о расположении полюсов амплитуды рассеяния.
Обычно считается, что S-матричный формализм не допускает пространственно-временного описания процессов. Отметим в связи с этим работы (М. Гольдбергер, К. Ватсон, 1962; М. Фруассар, М. Гольдбергер, К・ Ватсон, 1963), в которых показано, как определить пространственно-временное разделение событий в рамках формализма S-матрицы. В работах М. Гольдбергера, X. Льюиса и К. Ватсона (1963), М. Гольдбергера и К- Ватсона (1964) была установлена также возможность использования корреляций интенсивности для определения фазы амплитуды рассеяния.
При рассмотрении аналитических свойств величин мы будем исходить из нескольких общих положений:
все собственные значения энергии действительны (эрмитовость гамильтониана)； при этом волновой вектор й автоматически будет действительным в случае волновых функций непрерывного спектра;
невозможны никакие процессы, кроме упругого рассеяния;
гамильтониан инвариантен по отношению к инверсии пространственных координат (сохраняется
пространственная четность) и к обращению времени (сохраняется временная четность).
Предположение б) необходимо нам, чтобы при заданной энергии существовало только одно решение радиального у.Ш. с данным /. Сохранение временной четности эквивалентно требованию вещественности гамильтониана (Я = Я); отсюда непосредственно следует, что если 屮 есть решение у. Ш^ то ip* также является его решением.
По поводу предположений о сохранении пространственной и временной четностей следует заметить, что несохранение первой из них в так называемых слабых взаимодействиях было поставлено под сомнение Т. Ли и Чж. Янгом (1956) и было продемонстрировано в опыте Цз. By и др. (1957). Затем было обнаружено также нарушение закона сохранения временной четности (Дж. Кристенсон и др., 1964).
До сих пор не обнаружено нарушения законов сохранения пространственной и временной четностей в сильных взаимодействиях. Поэтому к ним полностью применимы все полученные ниже теоремы.
Перейдем к рассмотрению общих свойств величин S《&), входящих в амплитуду рассеяния *).
Мы видели, что для потенциалов 。(厂)，падающих на бесконечности быстрее, чем 1/г, у. Ш. имеет два решения %玲),ведущих себя асимптотически как
(士) 士孚)瓚)〜8 、2丿
(кулоновский случай пока оставляем в стороне).
Из них можно построить регулярное в нуле решение )
^ы = а1(^)^ы(г)- Ь1(й)^ (И,(М)
где а； и bi ——некоторые постоянные, зависящие лишь от 加 Чтобы эта функция обращалась в нуль при г = О, at и bi должны, очевидно, удовлетворять соотношению
頂e)…%/(Г)頂e)…%/(Г)(1-2)(1-2)
頂e)…%/(Г)
頂e)…%/(Г)
(1-2)
(1-2)
Из определения величин S((左)непосредственно следует
S/=牆・(1-3)
Рассмотрим общие свойства инвариантности у. Ш. Прежде всего, так как волновой вектор 论 входит в него лишь квадратично, то уравнение инвариантно относительно изменения знака k. Это означает, что если в решении (1.1) заменить k на ——А, то полученная функция будет по-прежнему являться решением исходного уравнения. В силу однозначности решения, однако, оба сконструированных нами решения %釈 и %_现 могут отличаться лишь постоянным множителем. Так как из асимптотического вида функций %侪)следует соотношение
戏Р(г)=(-1)'Х”/(г)，(1-4)
то мы сразу же получаем, меняя знак А в (1.1):
a2优)一〃(一身可硏=初一广
Формула (1.3) дает нам соотношение
$（舟 = S”（一 用.$（舟 = S”（一 用.(1.5)(1.5)
$（舟 = S”（一 用.
$（舟 = S”（一 用.
(1.5)
(1.5)
Еще одну важную формулу можно получить, заметив, что в силу действительности у. Ш. при действительных k комплексно сопряженное решение %^ (г) также должно быть решением у. Ш. В силу единственности решения мы снова заключаем, что %財 и %二 должны отличаться друг от друга лишь постоянным множителем, откуда непосредственно следует, что при действительных к
传)_£优)
%优)a； (3 ‘.
S(6) =(S 尸(Е))*・(1.6)
Эта формула означает, что две функции Sz (й) и(S?1 (fe)) совпадают на всей действительной оси в комплексной плоскости Согласно извест-
一伤■
©
ным теоремам об аналитическом продолжении отсюда следует, что равенство
S3) = (s；®)尸(1.7)
выполняется во всей комплекс-
-V*
伤.
Ри
с. 8.
ной плоскости волновых векторов 论.Формулы, полученные выше, устанавливают взаимно
однозначное соответствие между значениями S,(论)в различных квадрантах плоскости 论(рис. 8): если в точке Ао величина S《&()) имеет значение 5о, то
Sz(^3 = G> S/(— feo) = 5о, S/(—论 о) = !・ (1.8)
Таким образом, достаточно знать вид S,(左)в каком- либо одном квадранте, чтобы восстановить вид функции S,(论)во всей комплексной области. Полученные соотношения показывают, что в точках, симметричных относительно мнимой оси, функция Si (й) принимает комплексно сопряженные значения. На самой мнимой оси, следовательно, S,(R) является действительной функцией, а фаза 说(也)чисто мнима:
m(±"々|)= -g(±"也|). (1.9)
Для точек, расположенных симметрично относительно действительной оси, выполняется равенство (1.7). Отсюда мы получаем известный результат: на действительной оси |S,(力)| = 1, следовательно, фаза &(" действительна.
Перейдем теперь к вопросу о расположении особенностей S( (й). Регулярное в нуле решение (1.1) можно
рассматривать во всей комплексной плоскости 比 понимая под %优)аналитические продолжения соответствующих функций в область комплексных k. В частности, регулярное в нуле решение имеет вид (1.1) и на мнимой оси. Пусть потенциал U(r) таков, что при некой отрицательной энергии ——Ео (или мнимом й0 = i\k0\) существует связанное состояние частицы. Это означает, что при энергии f0 имеется регулярное в нуле решение, затухающее на бесконечности как 球辰『=gT^ir. Поскольку %总工—единственное регулярное в нуле решение, то существование связанного состояния подразумевает, что коэффициент Дг(^) обращается в нуль при 左=岛 = iy ~ ^g^0 ^ ； %毋) в этой точке регулярна в нуле. Аналогично, так как для всех значений 幺 лежащих на нижней половине мнимой оси (G = —г|й|),
旗У ⑺ f 8 при Г-> оо, 嘘？(r)fO при Г-> оо,
то существование связанного состояния подразумевает обращение в нуль коэффициента 历(尼)в точке 尼=—fe0. Это является отражением отмеченного выше общего свойства инвариантности у. Ш. относительно изменения знака 论.Обращаясь к (1.3), мы приходим к заключению, что связанному состоянию соответствует полюс функции S,(尼)，расположенный на верхней половине мнимой оси в точке k =左
Соответственно установленным выше свойствам симметрии S,(R), этому полюсу соответствует нуль функции Si(k) на нижней половине мнимой оси в точке 论=—й0. Заметим тут же, что хотя каждому связанному состоянию соответствует полюс, обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо: не каждому полюсу Si(k) на верхней мнимой полуоси соответствует связанное состояние. Имеются так называемые 《ложные》 полюса Si(k). Ниже мы еще вернемся к этому вопросу.
Легко видеть далее, что S,(左) в верхней полуплоскости может иметь полюса только на мнимой оси, и соответственно в нижней полуплоскости нули могут быть расположены также только на мнимой оси. Действительно, с точностью до несущественного общего множителя
регулярное в нуле решение (1.1) можно записать либо как
4ь)=殖7)⑺一S/他)瓚t)，(1.Ю)
либо как
(1.3)(1.3)
(1.3)
(1.3)
Если бы величина S,(力)имела полюс в верхней полуплоскости в точке 也 = йо, расположенной не на мнимой оси, то в этой точке решение (1・10‘) содержало бы только функцию 噓р которая экспоненциально затухает на бесконечности:
器上⑺〜一(一»)"/国'—器上⑺〜一(一»)"/国'——(一 g)Z £—(TrRe йо +r Im^o)—(一 g)Z £—(TrRe йо +r Im^o)
器上⑺〜一(一»)"/国'—
器上⑺〜一(一»)"/国'—
—(一 g)Z £—(TrRe йо +r Im^o)
—(一 g)Z £—(TrRe йо +r Im^o)
Но функция Xki (г) по определению регулярна в нуле, поэтому в точке 良о это решение удовлетворяло бы обоим граничным условиям. (1.7) гл. I, т. е. комплексная веЛи- 方葡
чина — была бы собственным значением у. Ш. Этого не может быть, так как всякий физический потенциал является действительным и все собственные значения энергии действительны.
Таким образом, требование действительности потенциала приводит к тому, что все полюса функции S,(左) в верхней полуплоскости лежат на мнимой оси. В нижней полуплоскости, однако, никаких ограничений на положение полюсов нет, и они могут быть расположены где угодно. Эти выводы оказываются справедливыми, даже если взаимодействие не является потенциальным. Важно только, чтобы гамильтониан был эрмитов.
Этой теореме можно дать другое, более формальное доказательство. Рассмотрим временное у. Ш. и ему сопряженное:
优需=一需出5+UW，
一殖 ^" = 一 ^? AW* + U 炉，
Умножим первое уравнение на г|)*, второе — на 屮 и вычтем. одно из другого. Получим
访衣I"产=一茹T V仲*V屮-WVif).
Проинтегрируем обе стороны по произвольному объему 匕 заключенному внутри поверхности S. В результате придем к закону сохранения числа частиц
3 JlW|2dr=$dS^(WVW-WVW*). (1.11) VS
Пусть теперь S (论)имеет полюс в какой-то точке 论。= =fei + tfe2- Волновая функция в этой точке будет иметь вид
■ф = ； %⑺毕〜;J (电+询L募期一号+2访闯［
Подставим это выражение в (1.11), выбрав в качестве объема V внутренность сферы г = R, причем R будем предполагать большим, так что на поверхности сферы можно пользоваться асимптотическим выражением для волновой функции. Элементарные выкладки дают
財局J I % (г)产办=一备e-2R后. о
Так как справа стоит знак минус, то это равенство выполняется, лишь если
Е = 0, т. е. полюс S (左)лежит на мнимой оси.
^1 ¥= 0,论2 V 0, т. е. полюс S (论)находится в нижней полуплоскости.
Таким образом, теорема доказана.
Единственное условие на положение полюсов в нижней полуплоскости заключается в том, что они должны быть расположены парами симметрично относительно мнимой оси *). Нули S,(论)в нижней полуплоскости, однако, могут располагаться только на мнимой оси. Это следует из (1.5).
Полюсам в верхней полуплоскости соответствуют, как правило, связанные состояния частиц в поле U(г). В полюсах, расположенных в нижней полуплоскости, регулярная в нуле волновая функция имеет асимптотический вид
} (L12)} (L12)% 城(『)〜一(if)" е 加=—( — »)%" Re *+r I lm 叫 器z(r)f 8 при rf 8, т. e. расходится на бесконечности.
} (L12)
} (L12)
Таким образом, эта волновая функция не удовлетворяет граничному условию на бесконечности и, следовательно, казалось бы, не может претендовать на физический смысл. Это, однако, не совсем так. Дело в том, что, как будет показано в гл. VII, каждому полюсу S") в нижней полуплоскости соответствует так называемое квазистационарное состояние частицы в поле потенциала U(『)，т. е. такое состояние, которое, раз образовавшись, живет в течение некоторого периода времени t.
Резюмируем теперь наши сведения о топографии функции St(й) в комплексной области. Эта функция аналитична во всей плоскости комплексного переменного 財 за исключением, может быть, изолированных точек и разрезов. В верхней полуплоскости она может иметь полюса на мнимой оси. Некоторые из них соответствуют связанным состояниям, другие — «ложные».. В следующем параграфе будет дан рецепт, как узнавать 《ложные》 полюса. S?(左)может иметь нули в верхней полуплоскости и соответствующие им полюса в нижней полуплоскости. На мнимой оси Sz(左)действительна, а на действительной оси ее модуль равен единице. Если вместо волнового вектора 力 пользоваться энергией, то надо учитывать при этом, что плоскость k отображается на двулистную плоскость энергии Е. Связанным состояниям соответствуют полюса на левой полуоси верхней плоскости Е. Полюса на нижнем листе плоскости Е соответствуют квазистационарным состояниям.
a（G）=-g（-左）.a（G）=-g（-左）.(1.13)(1.13)В дальнейшем нам понадобятся свойства симметрии фаз рассеяния. На действительной оси фаза 6 действительна. Из (1.5) сразу следует, что для действительных k
a（G）=-g（-左）.
a（G）=-g（-左）.
(1.13)
(1.13)
Нормированные на 6(左——左')волновые функции имеют асимптотику
Xfez ~/ — sin (后r + 6 他)一明.
Пользуясь этим выражением, легко проверить, что при изменении знака 论 волновые функции ведут себя следующим образом:
器，4) = (-1尸】％№,«)・(1.14)
Выше говорилось, что S,(论)является аналитической функцией в комплексной плоскости 加 Это справедливо для любых короткодействующих потенциалов и является следствием физического принципа причинности ). Именно, причина должна предшествовать следствию. Это ——обязательное требование любой физической теории, и, как оказывается, это требование ведет к далеко идущим последствиям. Постараемся сейчас хотя бы в грубых чертах понять, к каким формальным следствиям приводит принцип причинности.
Напишем выражение для волновой функции при заданной энергии Е на некотором заданном расстоянии г = а вне радиуса действия потенциала:
(g-优a—S(£)g^)
Первый член соответствует волне, падающей на рассеивающий центр, а второй ——расходящейся волне. Построим локализованный в пространстве волновой пакет:
К也
j d£‘ (f (£') gT右2 - g (£') e%“) e" о
g(b) = S(卩)).(1.15)
Очевидно, что волновой пакет, описывающий падающие волны, есть
Фпад(а, f) = jdgf(E，)e-"-零，о
а расходящиеся волны —
①расх (а, /) = J dE'g (£') е 九.
о
Так как система линейна и амплитуда расходящихся частиц целиком определяется падающей волной, то между обеими амплитудами должна существовать связь
① pacxS，9= /Ж^-ЛФпадСа,')山'，(1.16)
где Я — некое ядро преобразования.
И вот здесь-то вступает в игру принцип причинности: амплитуда расходящейся волны в момент времени f может зависеть от Фпад(^), только если f > 也 Поэтому обязательно должно выполняться условие
Я(/-Г)-0 при，>九(1.17)
Вводя компоненту Фурье "(s) оператора Н:
Я(т)= JdseT®% (矶(1Л8)
легко убеждаемся с помощью (1.15) — (1.18) в том, что
2К击/為”出).(1.19)
Обращая (1.18), получаем
е^。S (£) = + J е小"(т) dt.— со
В общем случае эта формула ничего не говорит о свойствах S(E). Из принципа причинности, однако, из-
вестно (см. (1.17)), что Zf(t)=O для т < 0. Поэтому интегрирование надо начинать с нуля:
i s (Е) = + J е1ЕхН (т) dr. (1.20) о
В этом случае уже очевидно, что стоящая справа функция аналитична в верхней полуплоскости Е, так как ?»ет там экспоненциально затухает. На плоскости k этому соответствует первый квадрант. Отсюда, пользуясь свойствами симметрии S (论)，получаем, что S(G) аналитична во всех квадрантах. Смысл экспоненциального множителя e^iha в (1.20) состоит в том, что он учитывает опережение по фазе волны, отраженной от поверхности сферы г = а, по сравнению с волной, проходящей через центр рассеивателя (Д. Вонг, Дж. Толл, 1957) (разность длин соответствующих путей равна 2а).
В случае рассеяния плоской волны на отличный от нуля угол 0 нужно выбрать кратчайший путь (что соответствует максимальному опережению по фазе), прохо
дящий через рассеиватель и приходящий к наблюдателю под углом 0 (рис. 9). Нетрудно видеть, что длина этого пути по сравнению с длиной пути, проходящего через центр рассеивателя, меньше на величину 2аsin у. Это приводит к тому, что величиной, аналитичной в верхней полуплоскости £, будет являться не амплитуда рассея- sin *
ния /(£, 0), а величина 5 ?j (Е, 0). Отсюда видно, что наиболее простыми аналитическими свойствами обладает величина f(£, 0) (она аналитична в верхней по луплоскости Е).
Принцип причинности можно также использовать для получения свойств аналитичности амплитуды рассеяния по передаваемому импульсу (X. Нуссенцвейг, I960).
Заметим, что справедливость сделанных выше утверждений об аналитичности не зависит от конкретного вида потенциала при г < а. Более того, даже предположение о том, что волновая функция внутри области взаимодействия (при г < а) удовлетворяет у. Ш., является излишним. Иными словами, свойство аналитичности величины S(E) в верхней полуплоскости Е является прямым следствием одного лишь принципа причинности. Дискуссию по этому вопросу см. в работах Е. Пауера и И. Сааведры (1961), М. Эбеля (1962).
«Ложные» полюса
Выше уже говорилось, что в верхней полуплоскости величина £(左)может иметь не только полюса, соответствующие связанным состояниям и расположенные на мнимой полуоси, но и так называемые 《ложные》 полюса ). Природу «ложных^» полюсов легко понять, вспомнив определение &(尼)：выбираются два независимых решения у. Ш. %诊)и %^\ имеющие при больших 土f (kr-包)
г асимптотический вид 啮)'2 ^； поскольку
при этом имеется в виду задача о рассеянии, то асимптотика вычисляется при действительных положительных 厄 Затем из этих двух решений конструируется регулярное в нуле решение
器z(r)=脸)一S网喳).
Для того чтобы эта функция обращалась в нуль при г = 0, необходимо и достаточно, чтобы S,(尼)имела вид (1.2). Те точки в верхней полуплоскости 広，где обращается в нуль знаменатель (1.2) (у毋)(0)), соответствуют связанным состояниям. Эти точки лежат на мнимой полуоси в верхней полуплоскости. Но, кроме полюсов такой природы, Si(k) может иметь полюса, связанные с полюсами функции 眩)(『)• При этом имеются в виду те точки комплексной ^-плоскости, где %年 как функ- ция 尼 обращается в бесконечность тождественно, при
всех значениях г. Ясно, что таким точкам не соответствуют никакие связанные состояния.
Рассмотрим конкретный пример потенциала V (г)= г
= —У\)е а. У. Ш. в этом случае имеет вид
X：(r) + [^2+F0e~ ^Ixft(r) = 0(2.1)
и после введения новой переменной у = 2а VVQe 2a сводится к уравнению Бесселя
%' (у) + ^ К (у) + [ 1 -欝]臨⑨)=0,(2.2)
где р = 2ka. В качестве двух независимых решений этого уравнения мы можем взять бесселевы функции Jip(y) и J^ip (у), определяемые, как обычно:
伍厂加•曲(「+RJ •(2・3)
т=0
С помощью этого разложения легко находим асимптотический вид функций 土$р при г —> оо (т. е. когда
、亠. "干加
J^^<.V^^~tP(2.4)
Таким образом, мы можем определить функции %便)(『)：
炉⑺=门1子S)(I/^产"平切(2a]/小一e)，(2.5)
%史(f)~2土加 при г-> ОО.
Пользуясь определением (1.2), находим
S® = !^(M丽产兴端,%=2力%(2.6) 1(1— ip)J т夕(Уо丿
Случаю притяжения соответствует положительное значение 14, т. е. аргумент бесселевых функций у。——положительное число. При действительных 员 согласно определению, 6(论) также действительно и, очевидно.
\S(k) I = 1. На положительной мнимой полуоси ——ip = =—i2ak = +2a\k\ и S® имеет полюса в точках 々”, где
厶[勺 口(2а VV^) = 0.⑵7)
Эти полюса, очевидно, соответствуют связанным состояниям, так как волновая функция
凡(г) = ^Г 4_)- %，~т;> -戏:'(г)；
减)(г) ~ еТ % I [ г -> оо;减)(г)->0, r->0
в этих точках удовлетворяет обоим граничным условиям. Кроме полюсов этого типа, S (论)имеет также полюса в точках
1 + 力=1 — 2а| 々小 I =—加 (/п = 0, 1, 2, 3, 4,…)， где обращается в бесконечность Г(1 + ip)・ Эта бесконечная последовательность полюсов не соответствует никаким связанным состояниям, и они, следовательно, «ложные». Чтобы убедиться в этом, напишем выражение для волновой функции. Используя (2.5), получаем
器(Г) = (U齐丁‘5(1 + 初[j(p 匂)-以吃評"[• (2.8)
В точках А =尼必 множитель Г(1 + ip) обращается в бесконечность. При этом, однако, выражение, стоящее в квадратных скобках в (2.8), согласно известному свойству бесселевых функций /=,(у) = (—1)7；(у), где / ——целое число, обращается в нуль.
Для раскрытия возникающей неопределенности воспользуемся выражением для функций Бесселя с отрицательным индексом
J-v (у) = cos nv/v (у) — sin jwNv (у)；
здесь Nv(y)——функция Неймана. С помощью этого тождества без труда получаем
Xfe„ (г) = lim Xfe (г)=
=—詣Q U^)m+[Mn+i (У) -4+.(圻 4^#] • (29)
Это решение регулярно в нуле, однако при 尸一> 8 экспоненциально растет. Хь (「)~ J* при г —> оо и потому не соответствует никакому связанному состоянию.
Попытаемся теперь разобраться в общих причинах возникновения «ложных» полюсов. Они, как мы уже знаем, связаны с полюсом функции %Г)・Мн определяем функцию 旗")как такое решение у. Ш., которое при больших г ведет себя на действительной оси 々 как e~ikr. Но если %『)где-то в комплексной области k обращается в бесконечность, то это означает, что а си м птотическое выражение %(-)~ e^ikr не сохраняется при уходе с действительной оси в комплексную плоскость, так как efr не равно бесконечности ни при каких значениях 財 кро- ме й = too Асимптотический вид функции не сохраняется, если в точном выражении для этой функции, кроме члена е-叫 содержатся также члены такого типа, что ими можно спокойно пренебречь лишь на действительной оси, но не во всей комплексной плоскости.
В рассмотренном нами случае экспоненциального потенциала эти члены имеют следующий вид: 娟=+ e (一 于啰少•宗(若饵ь е- *).
(2.10) На действительной оси при достаточно больших г вторым членом в (2.10) всегда можно пренебречь. При переходе в комплексную плоскость положение существенно меняется из-за наличия полюсов у Г-функции на отрицательной полуоси. В точках полюсов второй член в (2.10) становится доминирующим по сравнению с единицей, несмотря на малость экспоненциальных членов е ° • Теперь мы уже можем ответить на вопрос о том« ко гда《ложные》полюса не возникают. Действительно, как это видно из предыдущих рассуждений, достаточным ус- ловием отсутствия «ложных» полюсов является справедливость асимптотического поведения у^) — ?-'行 во всей верхней полуплоскости, так как в этом случае 现т нигде не имеет полюсов. Отсюда непосредственно следует,
что если потенциал V(r) тождественно равен нулю вне некоего сколь угодно большого радиуса R, то《ложных》 полюсов нет ). Дело в том, что в этом случае при г > R функция %仔)(так же как и %^*)) является суперпозицией бесселевых функций, для которых справедливость асимптотических выражений во всей комплексной плоскости просто доказывается (например, с помощью везде справедливой формулы (2.3)). Таким образом, в рассматриваемом случае 戏~)не имеет полюсов нигде, и, стало быть, «ложных» полюсов нет. Это легко проверить на разобранном выше примере экспоненциального потенциала, обрезав его при каком-то значении радиуса『= R. При этом все полюса, соответствующие связанным состояниям, практически остаются на своих местах, а «ложные» полюса пропадают. *
Таким образом, мы приходим к примечательному результату: при обрезании потенциала все «ложные» полюса, не имеющие физического смысла, исчезают, тогда как «физические» полюса, соответствующие связанным состояниям, после обрезания остаются практически на своих местах. Последнее понятно. Если мы обрезаем потенциал где-то далеко, где он совсем мал, то это очевидным образом не может привести к изменению физических свойств системы, в частности энергий и волновых функций связанных состояний. Такого рода ситуация, когда обрезание какого-то рода сильно упрощает аналитические свойства функций, не меняя их физического содержания, встречается в современной теоретической физике очень часто. Пример с «ложными» полюсами яв^ ляется, пожалуй, наиболее простым с точки зрения математики.
Приведенные выше соображения позволяют дать следующий общий рецепт вычисления энергий связанных состояний для потенциалов, не обращающихся тождественно в нуль на бесконечности: надо обрезать потенциал на некоем радиусе г = R, найти положение полюсов Si(k) в верхней полуплоскости 论 и затем устре-
мить R к бесконечности; пределы 々^(R'lR + g и будут определять энергии связанных состояний.
С вопросом о сложных» полюсах S-матрицы тесно связан вопрос о восстановлении потенциала U(г) по фазе рассеяния 贵(论),например по S-фазе бо(й). Оказывается, что, в отличие от случая классической механики, где данные рассеяния полностью определяют потенциал U(『) (Дж. Келлер и др., 1956), решение этой задачи неоднозначно. В. Баргманном (1949) были приведены примеры различных потенциалов и даже семейств потенциалов, дающих одно и то же выражение для фазы рассеяния б0(^)* При этом различным потенциалам U(г) соответствуют, вообще говоря, различные подразделения всех полюсов величины So 伏)=e2i6°k на «истинные» и «ложные» полюса. Это свойство, а также другие интересные свойства потенциалов Баргманна, выясняются в работе М. Фаулера (1961) (см. также К- Чадан, 1962). Любопытно, что существуют потенциалы (X. Мозес, 3. Туан, 1959), для которых фаза рассеяния до(^) ^ 0, т. е. рассеяние в S-состоянии при всех значениях 尼 отсутствует.
Вопрос об определении потенциала по фазам рассеяния был полностью решен в работах И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана (1951) и В. А. Марченко (1955), где было показано, что для однозначного восстановления потенциала, помимо фаз рассеяния, необходимо знать также энергии связанных состояний и коэффициенты Лп, определяющие при больших г асимптотику соответствующих волновых функций
Подробно этот вопрос рассмотрен в обзоре Л. Д, Фаддеева (1959) и книге 3. С. Аграновича и В. А. Марченко (I960).
Свойства вычетов величины Sz(fe)
Пусть мы имеем связанное состояние с моментом / и энергией связи
L方 2乂 2
Волновую функцию этого состояния будем считать нормированной:
j I 打(г) I2 dr = 1. О
Рассмотрим сначала тот случай, когда при г- сю потенциал U(г) падает быстрее, чем l/匚 Тогда xz ведет себя при больших г как
友〜4?一3(3.1)
где Ai — некая постоянная, определяемая видом потенциала.
Как мы знаем, величина Si(k) имеет полюс в точке 尼=ix:,
&色)=品.(3，2)
Можно доказать, что существует универсальная связь между Сг — вычетом S/ в полюсе —и постоянной Ль входящей в асимптотику нормированной волновой функции связанного состояния *):
& =(-1产"4 产.(3.3)
Эта формула позволяет по поведению фаз рассеяния делать заключения о свойствах связанного состояния. В полевых теориях аналогичные формулы используются для определения констант взаимодействия между частицами.
Перейдем к доказательству соотношения (3.3). Регу- лярное в нуле решение, имеющее асимптотику
Х*г (г) ~ const •了《一券)—毕依一号)],
должно при 尼=йс с точностью до постоянного множителя переходить в функцию %z связанного состояния.
Нормируем 乂左【так, чтобы этот множитель был равен единице:
Этому условию, очевидно, отвечает нормировка
(3.4)
Рассмотрим бесконечно малую окрестность полюса:
右=汉 + & e->0, е > 0,
臨,(г) = 4&" — *ее-^臨,(г) = 4&" — *ее-^(3・4‘)(3・4‘)
臨,(г) = 4&" — *ее-^
臨,(г) = 4&" — *ее-^
(3・4‘)
(3・4‘)
и воспользуемся законом сохранения числа частиц, который, как нетрудно видеть, справедлив как при действительных, так и при комплексных 0:
浦 關厂="=爍e А (呢脇-金威)[r. (3.5)
Рассмотрим сначала левую часть (3,5). Энергия Е у нас комплексна:
Е = ^： (й«+ £)2 = — 畳仅2 - fi2) + i ^ xe>
так что мы имеем
irj 咸Feb叱工石хе(1Т4|2击e』R)・ (3.6)
Здесь радиус R выбран настолько большим, что можно пользоваться асимптотикой волновой функции (3.1).
Теперь обратимся к правой части (3.5). Вычет &, очевидно, есть чисто мнимая величина:
С/ = 一 G・
Это следует из того, что б； действительна при мнимых 内 (см. § 1). Имея это в виду и подставляя (3.4‘) в правую
часть (3.5), получаем с точностью до линейных по в членов:
7（唬隘一时%訓lR-
嘤ie-R
Сравнение этого выражения с (3.6) дает
& = (-1尸"14汽
что и требовалось доказать.
Соотношение (3.3) можно обобщить и на случай потенциала с кулоновским хвостом (А. М. Переломов и др., 1966Б). U(r)〜——a/r при г-* оо. Асимптотика волновой функции в этом случае имеет вид”
七(г)〜4(хг)"еТ『鬻，(З.У)
а соотношение (15.3) переходит в
4 = (一1产，2-2%一吗4/.(33)
Доказанная теорема позволяет установить верхнюю границу для абсолютной величины вычетов С» Действительно, пусть относительно потенциала U (г) известно, что он обладает конечным радиусом R; в этом случае при г > R волновая функция связанного состояния обязана иметь вид функции свободного движения
& (г) = A^rh^ (々г)=
= At^Y ^1^•寸*Q|%|r)-4卢一隔山.(3.7)
Величина нормировочной постоянной Ai зависит, очевидно, от вида потенциала U(г). Перепишем теперь условие нормировки в виде
1 = j % (г) I2 dr = j 旧 |2 厶十好 j| 4『I 居 1)|2 产 dr(37)
QQ及
В правой части стоят только положительные величины. Поэтому получаем неравенство
=
评/1碎)步2〃
=].應®导匕R[-弊丄但"叫+ "?丄吧』｝’ • (3.8)
В случае / = 0 и /=1 получаем отсюда ), например, |Ло|2《2乂叫(3.9)
I 4 У 2%e2xR —Ц—.(3.90
1 +丽
Таким образом, верхняя граница для 14d& й соответственно G определяется значением радиуса потенциала R, энергией связанного состояния и массой частицы т,
В пределе при R-*0 (3.9) превращается в
I Ло |2<2х и 14yo.(3.10)
Величина |Л112, конечно, не может быть отрицательной. Поэтому полученное выше неравенство означает, что в потенциале, радиус которого /? —► 05 невозможно существование связанных состояний с /#0. Неравенство для До в рассматриваемом нами случае у. Ш. с точечным потенциалом превращается в равенство, поскольку в этом случае волновая функция связанного состояния имеет вид Ае^ во всем пространстве и первый член в (3.8) тождественно равен нулю, так что
I Ло i2 = 2 I х |.
Если радиус R потенциала отличен от нуля, то \Aq\2 строго меньше 2хе2хЛ. Этим можно пользоваться, чтобы оценивать радиус потенциала из данных о рассеянии.
В самом деле, хорошо зная фазу рассеяния при действительных £, можно экстраполировать величину ?2亡6 в область мнимых k. Тем самым мы найдем вычет С, и, следовательно, |Л |2. Если при этом окажется, что |Ло|2^2|%|, то потенциал может быть точечным, если же |Ло|2 > 2|х|, то радиус потенциала конечен.
Разберем например, случай взаимодействия между нейтроном и протоном в триплетном состоянии. Для фазы рассеяния в состоянии с нулевым орбитальным моментом оказывается справедливой формула (Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский, 1944)
々ctg6=-f + M胪， .(3.11)
где а — длина рассеяния [а = 5,4• 10~13 см), а так называемый эффективный радиус г0 = 2 • 10~13 см. В рассматриваемом нами случае нейтрон и протон обладают связанным состоянием (дейтон) с энергией связи е = 2,2 Мэв. С помощью (3.11) легко находим, что вблизи расположенного при 々= £()= 〃论°| полюса, отвечающего связанному состоянию, имеет место разложение
S =或請S =或請2i [fep I2i [fep I他一自）（1-2尸"a）% ,他一自）（1-2尸"a）% ,(3/2)(3/2)
S =或請
S =或請
2i [fep I
2i [fep I
他一自）（1-2尸"a）% ,
他一自）（1-2尸"a）% ,
(3/2)
(3/2)
Отсюда находим (см. (3.3)), что нормировочная постоянная волновой функции связанного состояния равна
(3.13)(3.13)=2%|-2|备|
(3.13)
(3.13)
(1-2m/g% ~ 1 -"丨%丨
а формула (3.9) дает для радиуса взаимодействия R неравенство'
眾隔比> p(3.14)
1 — Го I I'
Подставляя сюда численные значения |^о| н г0, находим окончательно: R > 1,35 * 10"13 см.
Оценку радиуса взаимодействия R можно произвести и другим путем. Для этого заметим, что существует
строгое неравенство ) (мы его докажем дальше)
嗚+ R-点 sin(2^R + 26)>0.
несколько(3.15)несколько(3.15)(3.16)(3.16)Подставляя сюда фазу б из (3.11) и переходя к пределу ^ -* 0, находим, что (3.15) сводится к
несколько
(3.15)
несколько
(3.15)
(3.16)
(3.16)
Докажем теперь (3.15). Напишем у. Ш. для двух близких значений энергии Е и £\:
處-鬻(U-E)%e = 0，爲一翁(U —耳)/ = 0・
Умножим первое из этих уравнений на 心」второе—на %е и вычтем одно из другого. Получим
（х謁一%謁）‘（х謁一%謁）‘
（х謁一%謁）‘
（х謁一%謁）‘
Проинтегрируем обе стороны полученного равенства по г от нуля до R. Переходя затем к пределу при £j —>£, находим
J 臻 dr =而 ±i' &二 e(ХB1%B 一蕊发儿^川(3/7)
Так как при г = R потенциал уже равен нулю, то для волновых функций % можем использовать выражение
]/7 sin 伍г + б).]/7 sin 伍г + б).
]/7 sin 伍г + б).
]/7 sin 伍г + б).
Подставляя его в (3.17), после элементарных выкладок найдем (Г. Людерс, 1955)
R
/窟"=^{(R+黑)一击 sin2 伍 R + 6)}. (3.18) О
В левой части стоит заведомо положительное выраже- ние. Значит, положительна и правая часть, т. е. имеет место неравенство (3.15).
Прежде чем закончить этот параграф, отметим, что полученные выше результаты относятся лишь к случаю у. III. с потенциалом. Они требуют видоизменения, если мы имеем дело с системой частиц, способных превращаться друг в друга. Более подробно об этом будет говориться в гл. XI.
Дисперсионные соотношения
Сейчас будет рассмотрено несколько примеров, ко гда общие свойства аналитичности величины Si(k) позволяют установить полезные соотношения для волновой функции. ”
Выше уже говорилось, что величины S,伍)являются аналитическими функциями 依 имеющими в верхней полуплоскости полюса лишь на мнимой оси. Часть этих полюсов соответствует связанным состояниям, кроме того, имеются 《лишние》 полюса. Вблизи 〃-го полюса
但)=)： и •^^-=2加(左)=-「•(4.1)
Мы знаем, кроме того, что в нижней полуплоскости полюса расположены попарно симметрично относительно мнимой оси и каждой паре соответствует так называемое квазистационарное состояние. Кроме того, могут существовать полюса и на отрицательной мнимой полуоси. Эти полюса соответствуют так называемым виртуальным состояниям. В верхней полуплоскости каждому из этих полюсов соответствует нуль величины S/ (k). Вблизи каждого из нулей
S2伍) = %(a-%) и ^ = 2,6；依)=£^. (4.2)
Мы рассмотрим сначала случай, когда общее число полюсов S-матрицы конечно. Пусть имеется Nb связанных состояний, №《лишних》полюсов, Nq ——квазистационарных и Nq ——виртуальных состояний. Тогда в верхней
полуплоскости имеется (%+М) точек, где выполняется (4.1), и (2A/q + N力)точек, где выполняется (4.2).
Во всех остальных точках S?伍)конечна. Составим теперь интеграл
/ = 2i j学(A) dk = 4ij卄但)dk = 4i (б, (oo) - Sz (0)). —80
При |^ |->oo S±伐)fl+~^~* p = const (см. гл. IV). Это означает, что фаза &(&)-*рп + §/依 где р — целое число, a 6Z(^) ~ 月一2. Мы можем поэтому замкнуть контур сверху и сразу же вычислить интеграл, так как в верхней полуплоскости нам известны все полюса и их вычеты:
I = 2 M (2Ng + Ng — Nb — %)
Приравнивая оба выражения для /, получаем формулу, связывающую величину фазы на бесконечности с количеством связанных и квазистационарных состояний (мы считаем, что д/(0) = 0)
В общем случае, например, в случае потенциала, обращающегося в нуль при г> R、имеется бесконечное число полюсов. Число же связанных состояний в большинстве случаев конечно. Приведенное выше рассуждение при этом уже непригодно, поскольку мы не можем пренебречь интегралом по верхней полуокружности. Тем не менее, и в этом случае, как было показано Н. Левинсоном (1949), удается получить формулу, связывающую величину фазы на бесконечности с числом связанных состояний Мь：
dz (оо) — 6/0)=—冗“护(4.4)
Докажем эту важную формулу. Рассмотрим величину
2他)=就w0)，忆他)=(一 I)??(一①.(4.5)
Функция “£) аналитична в верхней полуплоскости 依 на мнимой полуоси она имеет нули, соответствующие
связанным состояниям. Как следует из (1.2) и (1.3), ве- личину S( можно записать в виде
& 但)=研=(Т) F^T •(4・б)
Составим, как и прежде, интеграл
J R：；区；^ = 4г (dz (оо) — 6г (0)).
Выражая в нем S/ через О? и замыкая контур сверху,
получаем
少（i）」0（期少（i）」0（期0（一竹丁 D伍）0（一竹丁 D伍）№=-2 j鶴森=-4“M.№=-2 j鶴森=-4“M.
少（i）」0（期
少（i）」0（期
0（一竹丁 D伍）
0（一竹丁 D伍）
№=-2 j鶴森=-4“M.
№=-2 j鶴森=-4“M.
Сравнение двух выражений для / и дает (4.4).
Ясно, что приведенное выше доказательство теоремы Левинсона ) справедливо и в том случае, когда общее число полюсов конечно. Из сравнения (4.3) и (4.4) при этом получаем
N『Nb + N6 2Nq、(4.7)
Мы получили, таким образом, любопытный факт: в случае потенциалов, приводящих к конечному числу полюсов в S-матрице, число «лишних» полюсов полностью определяется числом связанных, виртуальных и квазистационарных состояний. Простейший случай Nb=] N^ = Nq = O (No = 3 Nb = Nq = 0) приводит при этом к одному «лишнему» полюсу и соответствует «приближению эффективного радиуса» (М. Фаулер, 1961; С. Фраучи, 1963) (actgd= —} + *о层 при r0>oj.
Приступим теперь к выводу общих дисперсионных соотношений для Si(k) ). Мы знаем, что величина Sa(k) = e2ikaS(k) аналитична в верхней полуплоскости й.
Рассмотрим интеграл
『7ft* 循 ga(3 = S厂阳，(4.8)
где N——некая точка в первом квадранте плоскости 尼. Замкнув контур сверху и замечая, что интеграл по полуокружности равен нулю, сразу же пишем, что это выражение равно
2ш X (сумма вычетов в верхней полуплоскости)=
=2叫书十 e器符].(4.9)
Здесь первый член соответствует полюсу при h =厶 а сумма ——связанным состояниям. Будем теперь стремить мнимую часть г к нулю, чтобы г приближалась
к точке 20 на действительной оси (рис. 10). Очевидно, что
Г ga 优)応=р Г gg(k)dk ■
J (k~ z) k J k(k — &))
方
надо понимать внадо понимать всмысле главсмысле главгде P означает, что интеграл
надо понимать в
надо понимать в
смысле глав
смысле глав
ного значения. Приравнивая это выражение формуле (4.9), где также надо перейти к пределу z-* z。，получаем окончательно (Н. ван Кампен, 1953)
g〃 Зо)二g〃 Зо)二1 р j ga (左)dh л ^^ Res Sa (^n)就 J (k — 20) k /4 kn (fen - г0)
g〃 Зо)二
g〃 Зо)二
— COП
С помощью (3.3) мы можем это так называемое дисперсионное соотношение для ga(zo) переписать как
ga⑵)=丄p Г ga (同 "J，(一1产『隰l>4F
20 一加l J (h-zjh UR S 軌(%一方) ， —8П
(4.Ю)
где 4n —коэффициент перед ё^^т в нормированной волновой функции связанного состояния. Суммирование, как это ясно из вывода, должно быть распространено на все связанные состояния, существующие при рассматриваемом значении орбитального момента.
После того как получена формула (4.10), уже не представляет труда написать аналогичное дисперсион- 2a sin —”
ное соотношение для величины fa (財 6) = е 2f (財 ®), где f ——амплитуда рассеяния
『伍，°)=壶 £ ⑵ +1)(& ® — 1)P "os 0).
Дисперсионное соотношение имеет вид
%®9）=春P J噜霜*
-2(2/+1) Л (cos 0)小I-2(2/+1) Л (cos 0)小I々n£ （右就一a）々n£ （右就一a）(4.11)(4.11)
-2(2/+1) Л (cos 0)
小I
-2(2/+1) Л (cos 0)
小I
々n£ （右就一a）
々n£ （右就一a）
(4.11)
(4.11)
Здесь суммирование во втором члене проводится по всем связанным состояниям системы: по всем значениям орбитального момента 厶 для которых есть связан- ные состояния, и по всем состояниям (индекс п) при фиксированном /.
Написанная выше формула может быть переписана в несколько другом виде, если учесть соотношение
%(-財e)=几他е).
Тогда (4.7) можно записать так:
—、Id乙厶/%忆，6) 以弘① ^(々，e)= ^Pj
0
一£⑵+DB3se)mm (朋粛二同——•(4.12)
Преимуществом такой формы записи является то, что интегрирование здесь распространено только на имеющие физический смысл положительные значения волнового вектора.
Дисперсионные соотношения, следующие из аналитичности величин Sj(^) в верхней полуплоскости, накладывают довольно жесткие ограничения на энергетическую зависимость этих величин, а также на энергетическую зависимость амплитуды рассеяния. В частности, они позволяют, как это видно из (4.12), восстановить действительную (мнимую) часть величины %, если полностью известны мнимая (действительная) часть ее и положение, а также коэффициенты 4n七 всех связанных состояний. В этой связи особый интерес представляет дисперсионное соотношение для нулевого угла 0 = 0, так как при этом пропадает зависимость от радиуса взаимодействия, и оно позволяет выразить амплитуду /(々,0) исключительно через наблюдаемые на опыте величины. Для того чтобы увидеть это, вспомним так называемую «оптическую теорему»
Imf他，0)=爲0(铀
где а(^)——полное сечение. С помощью оптической теоремы и дисперсионного соотношения (4.12) для угла 9 = 0 действительную часть f(kt 0) можно записать а виде
Ref3, 0)=
=；Р j Ш/ 可依')—Re£ ⑵ + 1)殁E. (4.13) 2* J 必一眇 '‘ kni (km - k) '‘
О2=0
Эта формула позволяет выразить амплитуду f(k, 0) через непосредственно наблюдаемые на опыте величины
№, O) = Ref(k, 0) + /^а(^),(4.14)
где действительная часть определяется согласно (4.13).
Соотношения (4.10) — (4.14) выведены нами для простейшего случая потенциального рассеяния. Однако аналогичные соотношения можно получить и при гораздо более общих предположениях о характере взаимодействия частиц друг с другом. Дисперсионные соотношения находят себе массу применений; например, одной из важнейших задач ядер ной физики и физики элементарных частиц является определение из опыта фаз рассеяния, так как они позволяют делать важные заключения о характере взаимодействия частиц. Но фазовый анализ (т. е. определение фаз М(左)из экспериментальных данных о сечениях при этом же значении 月)неоднозначен. Это особенно просто видеть в простейшем случае бесспиновых частиц: сечение а(0, ^), как нетрудно проверить, не меняется при изменении знака всех фаз. Это означает, что если найден один набор фаз, при котором сечение а(0, k) совпадает с экспериментальным, то такое же хорошее согласие с опытом получится при изменении знака всех фаз. Никакого способа определить истинный знак фаз &(左)из величины о(8,&) при этой же энергии нет. Эту неоднозначность можно разрешить при помощи дисперсионного соотношения (4.13), которое сразу определяет f (电 0), а следовательно, и истинный знак фаз, если известно полное сечение о(月)при в-сех 电 а также параметры связанных состояний.
В заключение заметим, что при выводе дисперсионных соотношений использовались лишь свойства аналитичности величин S^k) в верхней полуплоскости. Ничего не требовалось знать о поле, действующем на частицу. Это не случайность. Дело в том, что вне зависимости от конкретных потенциалов всякая физическая теория должна удовлетворять принципу причинности. Это приводит, как было показано в § 1, к аналитичности Si(k)
в верхней полуплоскости, что и обеспечивает существование дисперсионных соотношений ).
При выводе дисперсионных соотношений всегда
встает вопрос о сходимости интегралов на верхнем пределе. Например, входящий в (4.13) интеграл сходится лишь тогда, когда полное сечение при больших k убы
вает быстрее чем 1/財 а это не всегда так. Поэтому обычно рассматривают дисперсионные соотношения не
непосредственно для амплитуды рассеяния, а для более быстро сходящихся величин. В качестве последних мож- i(kt е)
но, например, взять частное 亩臨声 или же разность f (財 0) —&(瓦 0), где fs(局 8)——амплитуда, вычисленная
в борновском приближении. Из формул следующей главы будет видно, что это приближение хорошо работает при 备一＞8, так что написанная выше разность быстро сходится при больших 瓦
ГЛАВА IV
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Введение. Функция Грина радиальногоуравнения Шредингера
До сих пор мы имели дело с однородным у. Ш. В ряде задач, однако, возникает необходимость решения неоднородного у. Ш. К неоднородным уравнениям сводятся два очень важных класса задач.
Во-первых, это задачи теории возмущений, когда ищутся поправки к волновой функции, возникающие из-за малых возмущений гамильтониана системы. При этом неоднородный член в у. Ш. пропорционален невозмущенной волновой функции. Во-вторых, это задачи, связанные с реакциями, т. е. с рождением частиц. Неоднородность в таких задачах играет роль источника (или стока) новых частиц.
Для работы с неоднородными уравнениями имеется хорошо разработанный аппарат функций Грина. Следует отметить, что этот аппарат применяется и при решении уравнений гораздо более сложных, нежели у. Ш. (например, уравнений квантовой теории поля), и в настоящее время широко используется почти во всех разделах теоретической физики.
Мы ограничимся здесь рассмотрением функций Грина у. Ш. Простейшей из них является функция Грина радиального у. Ш., изучению которой посвящен данный параграф. В следующих двух параграфах рассмотрены некоторые свойства функции Грина трехмерного у. Ш. В § 4 приводится выражение для функции Грина нескольких свободных частиц. Затем мы переходим к рассмотрению теории возмущений. В §§ 5 и 10 разбирается
вопрос о применении теории возмущений в координатном и импульсном представлении.
В следующем параграфе приведены простые примеры, показывающие, что в некоторых случаях теория возмущений неприменима, а в некоторых случаях необходимо суммировать весь ряд теории возмущений.
В заключительном параграфе этой главы изучаются свойства временной функции Грина.
Перейдем теперь к рассмотрению неоднородного
У.Ш.2
(—券 А + U — Е)2= - у-.(1-1)
Здесь Q ——некая функция, называемая функцией источника или просто источником. На волновую функцию 屮 этого уравнения накладываются обычные условия однозначности и конечности.
Для функции, удовлетворяющей (1.1), плотность вероятности, вообще говоря, уже не является сохраняющейся величиной. Действительно, напишем эквивалентное (1.1) временное уравнение:
话需=(-崇A + U)W + ¥e “ •(L1‘)
Обычным способом получаем отсюда, что
3 j I 屮(Г, /) F dr =
V
= -^-pS 仲*W - 2V峭 + J (冬e「*2* _ 冬6罕J dr. SV
lEt
Отделяя время:屮(乙 /) = 2(у)е 大, получаем, что даже в стационарном случае поток через сферу большого радиуса отличен от нуля:
j j dS = ^ j (岑肌г) 一 殆状(，)) dr. (1.1 〃) sV
Таким образом, Q играет роль «поставщика» или «поглотителя» частиц.
Для решения уравнения (1.1) используем аппарат функций Грина. Функцией Грина (ф. Г.) уравнения
，笈(r)w ［备+ (炉一丿(，))］器(г) = о,(1.2)
по определению, называется симметричная функция двух переменных G女(г, г'), удовлетворяющая уравнению
LG式г, г) =6 (г-У).(1.3)
Польза введения такой функции очевидна. В самом деле, с ее помощью общее решение неоднородного уравнения Lr(p = Q легко записать в виде
⑦(г)=器(г) + J (г, г') Q (Q,(1.4)
О.
где %й (г)——общее решение однородного уравнения (1.2). Проверить то, что ф действительно является решением неоднородного уравнения, очень просто:
L押=丄乩 + J dr'Q (Q LrGk (r, r') = J dr'Q(r')6(r -rf) = Q. 00
По известной теореме, гласящей, что общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения, заключаем, что (1.4) является общим решением неоднородного уравнения, если под & понимать общее решение однородного уравнения (1.2), удовлетворяющее граничным условиям.
Найдем ф. Г. однородного уравнения (1.2). В нашем случае это можно сделать просто. Пусть г#», так что
LrG (г, Q =，，G 亿 /) = 0.
Так как ф. Г. симметрична относительно своих аргументов, то она, очевидно, имеет вид
°"' 燭⑺理 У) при У У, ”，5)
где 耀 и %^} — какие-то два решения однородного уравнения. При г = rz должно выполняться (1.3). Это накладывает определенные ограничения на выбор функций %(i)и %(2)・ Действительно, условие (1.3) подразумевает, что
J "丄笛式г, Q = 1(1.6)
г—А
при любом сколь угодно малом А. Вычислим этот интеграл. Если %。)片％<2), то функция (1.5) конечна и непрерывна, но имеет разрыв производной при г == Л Это означает, что величина (й2—V) Gh конечна и при интегрировании по бесконечно малой области вокруг г соответствующий член в (1.6) дает нуль. Таким образом, соотношение (1.6) можно переписать в виде
J dr'备 G式г,г)=1.(16)
Вычислим первую производную
双)’(Г)%段(Qf理)’⑺熠(，),
±冉亿『)=^^^{^^^{^^'{r).(L7)
Она имеет разрыв в точке г == г', т. е. является ступенчатой функцией. Поэтому вторая производная 券 Gk (г, rz) обращается в бесконечность при г =/・ Интеграл (1.6), очевидно, равен
J 〃 ^ Gk (г, Н =戏)，(г) х® (г) 一 理)(г) %俨(г). г—Д
Таким образом, функция (1.5) является ф. Г., если
现)'(г)熠(г) 一 理(г)熠'(г) = 1，(1-8)
Этому условию удовлетворяют две пары решений, имеющих асимптотический вид )
您〜-e±《"一T+" 嚕〜}S也伍岑+ m).(1.9)
Подставляя эти функции во вронскиан (1.8), легко убедиться в том, что он равен единице на бесконечности, где справедливы выписанные асимптотические выражения. Так как вронскиан не зависит от г, то (1.8) справедливо при всех г.
Итак, две ф. Г. однородного уравнения имеют вид
G陵G ^--^^^(r^r^(1.10)
где г> и г< ——это соответственно большее и меньше^ из г и rz, а функции %陵)и у麻 определены своими асимптотическими выражениями
源(Г)~广("一丁+")；稲(，)~/告 sinkr-号 + 瓦).
Соответственно двум ф. Г. имеем два независимых решения неоднородного уравнения
Прежде всего, прямой подстановкой легко убедиться, что эти функции действительно являются решениями неоднородного уравнения. Так как %班 и %侍)ведут себя при г -* 0 как 尸+1 и г~/ соответственно, то 屮陡) регулярны в нуле, если Q(r) при г -* 0 возрастает не быстрее
чем 1/г2. На бесконечности второй член в (1.11) стремит- ся к нулю (если, как это почти всегда бывает, Q(r) достаточно быстро спадает с увеличением г) и <р伊 имеет вид расходящейся или сходящейся волны:
喷)&)]/专"|e±G-h+~)J dr Iki (rz)Q(H- (1」2)
Заметим тут же, что, кроме G伊，можно построить и ряд других ф. Г. Их, однако, мы не рассматриваем, так как они либо являются линейными комбинациями функций G(±),либо генерируют решения неоднородного уравнения, не удовлетворяющие граничному условию при г 0.
Наиболее общее решение неоднородного уравнения можно теперь записать так:
旣麻(г) + а啲(г) + (1 - а)啮)(г),(1.13)
где аир ——произвольные постоянные. Амплитуды сходящихся и расходящихся потоков, вообще говоря, не равны друг другу из-за присутствия второго и третьего членов. Другими словами, неоднородность Q в у. Ш. соответствует, как уже отмечалось выше, введению в физическую задачу механизма, ответственного за поглощение или испускание частиц. При этом следует особо отметить, что при заданном источнике Q вероятность рождения (или поглощения) может меняться в значительных пределах. Она целиком определяется граничными условиями на бесконечности, т. е. значениями постоянных аир.
При отрицательных энергиях обычное у. Ш., как мы знаем, может иметь решения, удовлетворяющие граничным условиям, лишь при некоторых дискретных значениях энергии. В случае неоднородного у. Ш. положение меняется: при любом значении энергии Е мы имеем всюду конечное, и обращающееся в нуль при г —> 0 решение (р(^. То, что это решение регулярно в нуле, доказано в абзаце, следующем за формулой (1.11). Регулярность <р好)на бесконечности следует из (1.12), куда надо подставить k = 〃左|・ Отметим тут же, что поток частиц
при отрицательных энергиях тождественно равен нулю, так как волновая функция (<р(+)〜еТЕ") в этом случае описывает частицы, локализованные в области вокруг источника; на бесконечность частицы не могут уйти из-за недостатка энергии. Однако при Е, равном собственному значению однородного уравнения, решение(р(+)не существует, если только Q не ортогонально волновой функции связанного состояния.
Действительно, пусть Еп ——энергия связанного состояния, a qp и(рп ——решения неоднородного и однородного уравнений соответственно:
$〃 +芻(J-U)<P = Q，К +欝胤-U)必=0・
Умножаем первое уравнение на 屮九,второе на <р, вычитаем одно из другого и затем интегрируем обе части полученного равенства по г от нуля до R. При этом, учитывая регулярность обоих решений при г —> 0, получаем
ф'ф„ - <р* Lr = J Q(Q 5(Q
О
При R -* 8 решение <р должно оставаться конечным, а(рп ——экспоненциально убывать； левая часть поэтому обращается в нуль при R—► оо. Таким образом, если <р существует, то мы с неизбежностью приходим к условию
J "Qg)(P"(Q = 0. (1.14) о
§ 2. Регулярный метод получения функций Грина
В предыдущем параграфе мы нашли выражение для ф. Г. радиального у. Ш. При этом был использован кустарный метод. В более сложных случаях кустарные методы очень громоздки и удобнее пользоваться общим алгоритмом построения ф. Г.
Идея очень проста. Пусть имеется дифференциальный оператор L. Собственные функции (ре, удовлетво-
ряющие граничным условиям, образуют полную систему функций:
厶恥(%)=呻е (%)，2 фе(х) <р； (/) = 6 (尤—/).(2.1)
Построим функцию
G (…£吗a(2⑵
которая, очевидно, и есть ф. Г., так как согласно (2.1),
L%G (招炉)=£ "Фе?Фе° '=工 R (» Фе 3) = 6 (% - 寸)・ ee
Проиллюстрируем этот метод на примере трехмерного у. Ш.
"2е м (_ ■融 А + U)% ⑺=Е^е (г).(2.3)
Полный ортонормированный набор решений этого уравнения, как было показано в гл. II, состоит из функций дискретного и непрерывного спектров:
外向&)=2匕m口)，噸+)&)•(23)
Построим ф. Г. уравнения
("一品)%。⑺三(一舞 A + U-E。)%。⑺=0，(2.4)
где — некая фиксированная энергия 瓦=—7°
Согласно общему рецепту строим полный набор собственных функций оператора Н ——Е°. При этом исходим из того, что функции (2・3‘) составляют полный набор решений этого уравнения:
(” -Ео) 2е = (Е 一 皖)2е・
Далее пишем:
6宫)(r, И =
_ 2от у %/。⑺矶加(/) . f 时)(г)壮+)*(丿)
(2.5)
где у — бесконечно малая положительная величина, смысл которой выяснится ниже, а суммирование ведется по всем связанным состояниям. Подставляя сюда явные выражения для 巾廿)и интегрируя по углам, получаем для второго члена в фигурных скобках
£%伶)%信用方t")e，(2-6)
где
Q 田(r,Q=J旗明嘗.(2.7)
Если г и rf настолько велики, что вместо % можно подставлять их асимптотические выражения, то интеграл (2.7) легко вычисляется:”
Q国亿Q =
一 *』第託7 b心的产5 - MF.
Подынтегральное выражение экспоненциально мало в верхней полуплоскости £ (при г > rz), поэтому можно
замкнуть контур интегрирования, как это показано на рис. 11 и 12. Величина интеграла целиком определяется полюсами подынтегрального выражения в верхней полуплоскости k. Это ——полюса величины S (左)при k = kni, отвечающие связанным состояниям, и полюс знаменателя при Е = ± yk^ 士 zy,
В случае Q(+)полюса знаменателя расположены, как показано на рис. 11, а полюса S(A) лежат на мнимой оси, так что при г > rz интеграл равен
Q血)к「')=-賢 I(Т)‘ SRes S，但)
-【(一1)" & (%)•(2.8)
Отсюда находим вид G^ (г, /) для достаточно больших г и г':
G 爾(пИ=->2 九(7)У% (Яе X Гт
* (—靑е'®> 2+~)sin (耳г< —号 + 60).(2.9)
Первый член в (2.8) сократился с первым членом в (2.5) благодаря связи между вычетом S(&) и нормировочной постоянной функции связанного состояния (см. § 3 гл. III).
Из предыдущего параграфа известно, что гриновская функция радиального у. Ш. при больших г и rz равна
G伊)(Г, Q =-h(">-号"+%)sin 仅々一号■ + 吋•
Поэтому (2.9) можно переписать так:
G似)(")=-器 工 方 G停(Г,力 Ylm 日 Y；m 信)• (2.10) Im
Нетрудно проверить, что эта формула для ф. Г. оказывается справедливой при всех значениях г и rz, если для G^ (г,/) пользоваться точной формулой (1.10). В самом деле, подставляя (2.10) в у. Ш., получаем
■£■［一方弟卜勒+与+丿-砌G仗)(")=
=一工匕。伶)y；/^)｝［一 备+у + ■^^^•一々(Ix
X GW (г, С =工匕加伶)У；т(В) £ 6 (г — Q = 6(r -产).
Здесь 丄2 — оператор квадрата орбитального момента: 靠力加=_［丽8同卜也8而)+丽耳碎］匕m=/а+dУм. Кроме того, было использовано очевидное равенство, следующее из свойства полноты сферических функций У1т：
£ % (仇 ф) у*т(0，> <р') = 6 (cos о-COS ez) д (ф - Ф9，
где 0, 0Z, ф,(р‘ ——полярные и азимутальные углы векто- Ров у-
В случае, когда в знаменателе (2.5) перед у стоит знак минус, положение полюсов подынтегрального выражения показано на рис. 12.•
Рассмотрение, полностью аналогичное проведенному выше, дает
^) &/)=-謂 £ ♦ G%7 亿 Q yZM 仔)％ 伶)•⑵ 1D
Очевидно, что
G^ = Gp.(25)
Это, впрочем, видно и из общей формулы (2.5).
С помощью (2.10), (2.11) общее решение неоднородного у. Ш.
(-器А + U 一耳)屮⑺=Q①
записывается как
2(±)(r) = %°(r)+J dkG^Yr, QQS), (2.12) где 屮氏夕)一общее решение однородного уравнения.
При больших г гриновскую функцию можно записать в виде
GQ(，，)~謂］/£ 靑工 Ylm［j) Г1т (z) 7Z X
Im
X/GT+%)^g.謂毕嵋*(И.⑵ 13)
При выводе использовались известные свойства сферических гармоник и определение ортонормированных функций непрерывного спектра 屮廿)&) (см. §§ 2, 3 гл. II).
Из (2.13) следует, что решение неоднородного уравнения асимптотически ведет себя как
2出，«!о〜屮鬲⑺+需寸 J "'Q(О2器二(y),⑵14) т. е. неоднородность приводит к появлению сходящихся или расходящихся потоков частиц, так что, так же как и в случае радиального уравнения, она играет роль источника (или стока) частиц.
Теперь становится понятным смысл введенной в начале этого параграфа бесконечно малой постоянной у. Если она входит в (2.5) со знаком плюс, то мы получаем функцию G(+), генерирующую решения типа расходящихся волн. Если перед у стоит знак минус, то получается комплексно сопряженная функция G(1 дающая решение типа сходящихся волн.
В некоторых особо простых случаях для ф. Г. можно дать замкнутые выражения. В случае свободной частицы, например (U = 0), ф. Г. есть
G纪(，，/)=謂士 (2」5)
В случае кулоновского потенциала V ^ ——а/r явный вид ф. Г. был найден в работе Л. Хостлера (1964). Довольно простой способ получения этой функции Грина содержится в работе Л. Хостлера и Р. Пратта (1963). Мы приведем лишь окончательную формулу
G^w(r, r9=G^iv(r, r^^^-^^X
х击(-备十显)% J一 ^)%；J- "%办(2」6) Здесь L鴇，々=/生^尹^= 土/隼^, x = r + + rz + |r— / I, y = r + r‘一丨尸一a W 1 и М 1 —
известные функции Уиттекера.
При rz = 0 выражение для ф. Г. упрощается:
G肾疋(г, 0)=謂 £宣1 一 g W^ J - 2优r)・⑵⑺
Эта формула была получена впервые в работе Дж. Мейкснера (1933).
Заметим, однако, что наиболее простой вид ф. Г. для кулоновского потенциала принимает в импульсном представлении при использовании свойства инвариантности у. Ш. относительно четырехмерных вращений (при £ < 0) или преобразований Лоренца (при £ > 0). При этом удобно ввести функцию
G% 灯=-7ё鳥(^ 土廖)2Ge(P，"')(//2±胪)2. (2：18)
Верхний (нижний) знак в этой формуле относится к случаю £ < 0 (£ > 0), а единичный четырехмерный вектор 己 имеет вид
⑵19)⑵19)2加支 _ ^2 p2
⑵19)
⑵19)
О? ± /2 '&)= р丁土/2 •
Как было показано Ю. Швингером (1964), при £* < 0 G(E, У) может быть представлена в виде
8 Й—1 I小1=S，£8 Й—1 I小1=S，£//加阳yj （门//加阳yj （门(2.20)(2.20)
8 Й—1 I
小1=S，£
8 Й—1 I
小1=S，£
//加阳yj （门
//加阳yj （门
(2.20)
(2.20)
где Упйп(自)一четырехмерные сферические функции. После выполнения суммирования по Z и /п получаем
G&y)= 6(W-y)—方咼戸 +
(2.21)(2.21)+磊备【①©Zn)-①(e-以，n)], ①(2, Т))= £т^， &g') = COS%. n«0
(2.21)
(2.21)
Выражение для ф. Г. G(g,『)при £ ＞ 0 было получено в работе А. М. Переломова, В. С. Попова (1966):G⑴ & У) = f dpg“ (Р)工 Ур/加(Е) yj (冷，(2.22)Выражение для ф. Г. G(g,『)при £ ＞ 0 было получено в работе А. М. Переломова, В. С. Попова (1966):G⑴ & У) = f dpg“ (Р)工 Ур/加(Е) yj (冷，(2.22)g 伊（Р）=（1-号 cth 圖g 伊（Р）=（1-号 cth 圖g 济(p) = g 宇(p)=g 济(p) = g 宇(p)=1тР〃4р2/4 — "2 土 iy *W41тР〃4р2/4 — "2 土 iy *W4p sh — P”4 一 限 土 川‘p sh — P”4 一 限 土 川‘⑵23)⑵23)g^(P)=-(l+号 cth 喇g^(P)=-(l+号 cth 喇р2/4р2/4 — п? ± Гу *р2/4р2/4 — п? ± Гу *
Выражение для ф. Г. G(g,『)при £ ＞ 0 было получено в работе А. М. Переломова, В. С. Попова (1966):
G⑴ & У) = f dpg“ (Р)工 Ур/加(Е) yj (冷，(2.22)
Выражение для ф. Г. G(g,『)при £ ＞ 0 было получено в работе А. М. Переломова, В. С. Попова (1966):
G⑴ & У) = f dpg“ (Р)工 Ур/加(Е) yj (冷，(2.22)
g 伊（Р）=（1-号 cth 圖
g 伊（Р）=（1-号 cth 圖
g 济(p) = g 宇(p)=
g 济(p) = g 宇(p)=
1т
Р〃4р2/4 — "2 土 iy *
W4
1т
Р〃4р2/4 — "2 土 iy *
W4
p sh — P”4 一 限 土 川‘
p sh — P”4 一 限 土 川‘
⑵23)
⑵23)
g^(P)=-(l+号 cth 喇
g^(P)=-(l+号 cth 喇
р2/4
р2/4 — п? ± Гу *
р2/4
р2/4 — п? ± Гу *
Здесь функции Y^ аналогичны сферическим функциям для двуполостного гиперболоида ^ — ^2 = 1, а индексы /, / указывают расположение концов векторов 自 н ? на полостях гиперболоида: i = 1 (2), если | лежит на верхней (нижней) полости; аналогично, индекс / связан с положением у.
§ 3. Некоторые свойства функции Грина
Как было показано в предыдущем параграфе, ф. Г. трехмерного у. Ш. выражается через ф. Г. радиального уравнения. Поэтому займемся сначала только последней.
Рассмотрим
G 的 К/)= — ]/J*璃)(「＞%(「＜).
Как видно из этого выражения, G^ как функция kQ аналитична всюду в верхней полуплоскости, кроме изолированных точек k = kni на мнимой оси (связанные состояния), где она имеет полюса. Вблизи полюсов она при больших г и rz ведет себя как
G冴（Г, Q4 与匕”％久一%小-e =
尼T•论由宏山 力
Это выражение наводит на мысль, что при любых значениях гиг7
G炉字2, （3.1） 论今匕z2%"%左一碎
где %nZ—это нормированная волновая функция n-го связанного состояния. И действительно, эта формула всегда имеет место. За исключением полюсов в точках k = kni, ф. Г. не имеет в верхней полуплоскости k никаких особенностей. При |左|-> оо и г>» она экспоненциально затухает. Проще всего это можно увидеть из ее асимптотического выражения:
/6, Q f - }击（产"（一 1 ）5 色）一产5）,
[fe|-»0O% 々•
куда надо подставить k = k{ + 出（局 > 0）； из этого же выражения видно, что в нижней полуплоскости 々 функция G（+> экспоненциально расходится при |/г|-* оо и имеет полюса в точках, где расположены полюса величины Si （k）. В дальнейшем будет показано, что полюсам Si （左）в нижней полуплоскости соответствуют так называемые квазистационарные состояния.
Таким образом, полюса G毋）в верхней полуплоскости соответствуют стационарным состояниям, а в нижней —квазистационарным.
Несколько важных теорем можно доказать с помощью интегрального представления ф. Г.
%也（力症" （门必一论‘2 + iy%也（力症" （门必一论‘2 + iy（3.2）（3.2）
%也（力症" （门必一论‘2 + iy
%也（力症" （门必一论‘2 + iy
（3.2）
（3.2）
Интегрируя （3.2） по 尼\ получаем
［盘2G勿亿Q = 一市£ Хп/ （г）啞（『）+
—8П
+ J "也%"（「）X/ （产）П一市 6 （r 一 /）-（3.3）
0
Если ввести какой-либо обрезающий множитель
С (々2)—0, не имеющий особенностей в верхней полу- h今8
плоскости 々2, например С} (k2) = eia^ с положительным а->0, то получаем, замыкая контур сверху:
ОО
/ GW(r, /)С,(/г2)^2 = 0.(3.4)
Если же обрезающий множитель не имеет особенностей в нижней полуплоскости, например
Q 伕 2) =。-叫 а>0,
то, замыкая контур снизу, приходим к формуле
j dk2G(^(r, /)^2(^2) = - 2ш6(г-/)-(3.5)
Представление (3.2) позволяет получить еще одну интересную формулу
jdr，G 煜(r,Q 猫,(》) =总%，($6)
доказательство которой основано лишь на ортонормиро- ванности функций %廿
Точно таким же образом можно получить и все основные свойства функции G^L Мы не будем, однако, этого делать, так как G㈠ почти не встречается в расчетах.
Аналитические свойства ф. Г. трехмерного у. Ш. являются тривиальным обобщением соответствующих свойств ф. Г. радиального уравнения. В частности, вместо (3.3), (3.6) имеем
J dEG伊)(г, Q =子 л/6 (г - Q,(3.3')
J d『"崂)("=一 £ 老以• (36)
Функция Грина для нескольких свободных частиц
Пользуясь стандартным методом, можно находить гриновские функции для случая нескольких невзаимодействующих друг с другом частиц. В случае двух частиц, например, у. Ш. имеет вид
("i + "2 — £)*Фе = { (—^у & + Ui (г j) +
+ (-盜&+。2(，2)) -e}WeS，Г2)= 0，(4.1)
где п и г2 — координаты частиц, mi и т2 — их массы, Ui и 。2 ——потенциалы действующих на них полей, а Нт н Н? — соответствующие гамильтонианы. В качестве полного набора функций этого уравнения можно взять все возможные произведения типа Wj^fWjt?(户2)， где 屮电，屮电一 собственные функции гамильтонианов Hi и ”2・ Составляя затем выражение, аналогичное (2.5), и производя соответствующие интегрирования, нетрудно найти ф. Г.:
G伊(厶，G； К，项=干鳥 口叫±)(厶 rQGW (г2, Г0,(4.2) где Ge (厶，r0 и GE_e(r2, r0 - ф. Г. операторов (Я, —8) и (”2——(足 ——е)) соответственно. Для проверки этой формулы подействуем на правую часть оператором (Hi + "2 — £*). При этом с помощью формул предыдущего параграфа получаем
干壶 р8 [(я1~8)+
-；(% — (Е —e))]G!士)“ QG鼠(厶，吟=
+ 9 -项年)(八，啕=M厶一g5 % 一吟 (4.3) т. е. правая часть (4.2) действительно является ф. Г, уравнения (4.1).
Аналогично можно рассмотреть случаи трех и более частиц. В общем случае ^ невзаимодействующих частиц у. Ш. имеет вид
月凡一ё卜仁，…，加)=0，(4.4)
а для ф. Г. нетрудно получить формулу
G贷)(гр • ' • > Г^ Гр • ■ • >「N)=
=7F (干：)nt J 阳...dsN_iG^(rl, r^ G^(r2> r0 ...
…G戏一*nt /-i)G増(加 ％),(4.5)
NT
где En = £ — S 力；здесь знаки + и — соответствуют случаям, когда все частицы разлетаются от центра (знак +), либо когда все частицы сходятся к центру (знак —).
При пользовании формулами (4.2) и (4.5) существен способ обхода полюсов ф. Г., соответствующих связанным состояниям. Рецепт здесь очень прост. Поскольку при доказательстве этих формул использовались интегральные свойства ф. Г. (3.3‘), постольку обход полюсов в (4.2) — (4.5) должен быть таким же, что и в (3.3')・ Другими словами, интегрирование по 8 должно идти по действительной осн, а положение полюсов гриновских функций, составляющих подынтегральное выражение, автоматически фиксируется знаком перед бесконечно малой у в формуле (2.5). Практически это означает, что при интегрировании G^ надо вместо Е подставить £1 + »6 (6 > 0) и интегрировать по Е^ а при интегрировании G^ заменить Е на Е, — /8.
Чтобы закончить наш краткий обзор свойств ф. Г., рассмотрим их поведение при близких друг к другу значениях аргументов. Мы видели выше, что одномерная (радиальная) ф. Г. Gw (г, /) остается конечной при г = г', а ее производная по г или г' терпит в этой точке
разрыв. Функция Грина Се(г,у‘) трехмерного у. Ш. при у = У обращается в бесконечность как ~^- ~^~〔；二 у〔. Это видно из следующих соображений: каждый член в (2.10) остается конечным при /" = /"'. Поэтому всякая сингулярность функции может возникать лишь из-за слабой сходимости ряда (2.10) при больших Z. С другой стороны, как мы увидим в следующем параграфе, волновые функции %&/ в потенциале U(г) стремятся к функциям свободного движения при больших /:
Sin 伍 圖.
Соответственно этому радиальная гриновская функция также стремится к ф. Г. G陵)(г, /) у. Ш. без потенциала: G陵)(г, г9〜—$е±(”Т)sin 仗入—号卜爾(г, /).
… (4.6)
Таким образом, G(r, /) имеет ту же сингулярность, что и в случае у. III. без потенциала, а в этом случае гриновская функция Gh (Г ^) вычисляется до конца и, как мы знаем, равна
G也&，?)=一声T^F J加广二庐土上,=
=方-石卜一门 ■
Это и доказывает сделанное выше утверждение о характере расходимости трехмерной ф. Г. при г —к. Как следствие отсюда сразу же вытекает, что во всех физически интересных случаях разность
G/&, /)-况±)(г,/)
уже не содержит сильной сингулярности при г-^г' (за исключением, конечно, сингулярностей, обусловленных связанными состояниями, когда гриновская функция обращается в бесконечность, как функция k, при всех значениях г и У).
Аналогичным образом можно рассмотреть многочастичные ф. Г. (4.5). Их расходимость при /\ ―彳 также связана с большими орбитальными моментами. Однако характер расходимости при этом изменяется. Так, например, двухчастичная ф. Г. (4.2) при совпадающих значениях аргументов ведет себя как
包一疗+б")旷
Теория возмущений. Координатное представление
Теория возмущений является, пожалуй, самой ходовой и общеизвестной главой квантовой механики ). Ей посвящена обширная литература, и мы будем поэтому предельно краткими. Задача ставится следующим образом: пусть известны все собственные функции 噌 и собственные значения у. Ш.:
^ = ^Г-(5.1)
Требуется найти поправки к собственным функциям и собственным значениям, возникающие при добавлении к гамильтониану "о небольшого возмущения W. Рассмотрим сначала задачу о рассеянии. Наиболее общий метод состоит в том, что решение возмущенного уравнения
(%+步一Е)屯(г) = 0(5.2)
ищется в виде
必=睡)+⑵，(5.3)
где добавка 屮走 предполагается малой. Для 屮走 имеем уравнение
(%-Е)(р*=-呼仲£)+ <р/.(5.4)
Вводя ф. Г. Ge(c') невозмущенного оператора ("о — £), перепишем (5.4) в виде интегрального уравнения
必⑺=一 J drfGE (г, У) Г 纖)(Q + Фа (Q).(5.5)
Последовательные итерации этого уравнения позволяют найти(р& с любой степенью точности. С точностью до членов второго порядка по 步 имеем, например,
%=- J "%е(г, и w(h+
+ р/ dr,fGE (г, /) WGe (У,")呼峭(г〃).(5.6)
Вся задача, таким образом, сводится к нахождению ф. Г. Ge и практическому вычислению ряда (5.6). В случае произвольного гамильтониана "° ф. Г. имеет вид -
G趴г, гЭ =21^22^2-[nlmG趴г, гЭ =21^22^2-[nlm/如嵋)⑺噌*(/)J E — Ep + t、/如嵋)⑺噌*(/)J E — Ep + t、
G趴г, гЭ =21^22^2-[nlm
G趴г, гЭ =21^22^2-[nlm
/如嵋)⑺噌*(/)
J E — Ep + t、
/如嵋)⑺噌*(/)
J E — Ep + t、
и для ее нахождения требуется значение всех собственных функций и собственных значений невозмущенного уравнения. Это чрезвычайно усложняет вычисления ряда (5.6).
Положение сильно упрощается, однако, если мы рассматриваем рассеяние на потенциале, т. е. если невозмущенный гамильтониан имеет вид
"产一轰а + и(Г)，
Из предыдущих параграфов известно, что для нахождения ф. Г. Ge необходимо знание лишь решений у. Ш. при этом же значении энергии Е (см. (1.11) и (2.9)). Благодаря этому формулы теории возмущений сильно упрощаются. В первом порядке по возмущению, например, имеем, предполагая W сферически-симметричным, 以g)=芻/¥ 少 /4n(2/+1) Уга 岛 X
Xp/GW(r, И rXw(H. (5.7) о
Здесь для GE(г, /) была использована формула (2.10), а для 屮£) формула (3.4) гл. II.
Во всех приведенных выше формулах следует использовать ф. Г. G(+), соответствующие расходящимся волнам. Это легко видеть из следующих соображений. Сходящиеся волны в невозмущенной функции 屮£) определяются внешними условиями: тем потоком, который направляется на силовой центр из бесконечности. Этот поток можно считать заданным и не зависящим от вида взаимодействия.
Таким образом, добавка к потенциалу возмущения W изменит лишь расходящиеся волны. А это в свою очередь означает, что надо использовать именно функции С(+).
Для того чтобы найти асимптотику <р при больших г, используем (2.13). При этом получаем (в первом порядке теории возмущений)
山(Г)~-学书■ J"嚼㈠(Q步嵋(e， (5.8)
где мы ввели единичный вектор л = г/г. Следует обратить внимание на то, что в матричный элемент в качестве волновой функции конечного состояния входит функция 屮際(一)・ Это связано, как уже упоминалось выше, с тем, что эти функции описывают волну частиц, уходящих после рассеяния в строго заданном направлении (по направлению вектора kn)t
С помощью формул этого параграфа легко найти поправку к амплитуде рассеяния, вызываемую возмущением *). В первом порядке по W амплитуда рассеяния
равна
f(e)=lk，/4Я(2/ + 1) уй 修)仍纖+铀)_ 1).(5.9) z
Здесь дГ — невозмущенные значения фаз рассеяния, а
где %川(г)—нормированные на 6(々一々') радиальные функции невозмущенного уравнения.
Необходимым условием применимости теории возмущений является условие |中尼|《|中叫.
Если возмущение W локализовано внутри некоторого объема У, то приведенные выше формулы применимы:
если W^O,
при любой величине Wf но при / -> оо или 论—8.
Первый пункт очеваден, а второй связан с тем, что входящие в теорию возмущений интегралы малы:
при 尼—8 из-за того, что невозмущенные волновые функции сильно осциллируют;
при Z —> оо из-за того, что функции %规 очень малы, если энергия Е частиц меньше центробежной энергии, т. е. при г < 〃財
Именно на этом основаны рассуждения предыдущего параграфа о характере расходимости гриновских функций при близких значениях аргументов. Соответствующие оценки тривиально получаются из приведенных выше формул.
В случае функций дискретного спектра задача теории возмущений усложняется, так как, кроме поправок к волновым функциям, необходимо найти и поправки AEnz к энергиям связанных состояний. Стандартная процедура теории возмущений в этом случае хорошо известна, и мы на ней останавливаться не будем. Отметим лишь, что нахождение поправок к волновым функциям требует знания всех собственных функций невбзмущен- ного уравнения. В случае потенциального взаимодей- ствия, однако, можно (как и для задачи рассеяния) предложить метод (Я. Б. Зельдович, 1956), в котором ис-
§ 5] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 153 пользуются решения невозмущенного уравнения лишь при одном значении энергии.
Уравнение для радиальной волновой функции имеет теперь вид
%：z + (^z- ^^ -V-w)Xnl = 0, (5.11) где 侬=-^-暇 а ^ обычным образом связано с новым значением энергии связанного состояния. Будем искать решение в виде
%"/ = С«)圖(г) + G (г)嚼(г)， (5 • 12)
где Ci и С2 — пока неизвестные функции, а 嚼 м 噌一 соответственно нерегулярное и регулярное решения невозмущенного уравнения, вычисленные при энергии Ео =負-(碑У невозмущенного связанного состояния. Относительно функций Ct и С2 будем предполагать, что они удовлетворяют условию
e徳?+g嘲=0，e徳?+g嘲=0，(5.13)(5.13)
e徳?+g嘲=0，
e徳?+g嘲=0，
(5.13)
(5.13)
В теории дифференциальных уравнений это условие называется условием Лагранжа. Подставляя (5.12) в (5.11) и учитывая (5.13), получаем для & н С； точные уравнения:
Cj = -52p-v(Ci%(r) + C2(p(r)),]
С2 = ^о(С1Х(г) + С2ф(г)),j
(5.14)y熠(5.14)y熠где мы для простоты письма опустили индексы и <р^ и ввели обозначения
(5.14)
y熠
(5.14)
y熠
Для решения системы (5.14) используем теорию возмущений. В первом приближении мы обязаны положить в правой части уравнений G == 1 и С2 no. Кроме того, необходимо учесть, что волновая функция должна быть везде конечной и, следовательно, должны выполняться условия
e2(0) =c2(8)= 0, (5.16)
так как ср расходится в нуле как l‘，а на бесконечности как /麻卜.Все это вместе дает:
(5.17)(5.17)& (г) = 1 — } J。(р) % (р)ф (р) dp，о
(5.17)
(5.17)
。2(Г)= % j U(Р)必(Р)恥о
Первое условие (5.16), очевидно, выполняется. Из второго условия находим 々^/ в этом приближении：
А⑴(喲=(硼* —(硼У = j © (p) %2 (p) dp・(5.18)
0
oo
Здесь подразумевается условие нормировки J %2 (р) dp = 1・ о
Формулы (5.12) и (5.17) решают задачу о нахождении замкнутого выражения для возмущенной волновой функции связанного состояния в линейном по 切 приближении. Выражение (5.18), определяющее поправку к энергии связанного состояния, не представляет ничего нового по сравнению с обычной формулой первого приближения теории возмущений. Преимущества изложенного метода проявляются лишь при вычислении поправок к энергии в более высоких приближениях. Получим, например, поправку к энергии во втором приближении. Подставляя (5.17) в правую часть системы (5.14), можно элементарно определить С2(г). Условие С2(оо) = 0
тогда сразу приводит к следующему значению для сдвига энергии:
А⑵觴)=a⑴崎)十
+ ~^ J J dp do [А⑴篇)一切(р)] [A(I)(确)一w (a)] X о о
х х(р)х(a) [%(р)ф(а) + ф(р)% (a)]. (5.19)
В эту формулу, как и во все остальные, получаемые с помощью этого метода, вместо полного набора функций невозмущенного уравнения входят только две функции ф и х- Таким образом, введение в рассмотрение нерегулярного решения оказывается эквивалентным введению полного набора везде регулярных функций XnZ> %hJ
Независимость вронскиана О от г позволяет выразить ф через х：
<р(г) = —%(г)О J 屬J.(5.20)
Этр означает, что фактически всю теорию возмущений можно построить, пользуясь лишь регулярным невозмущенным решением
Импульсное представление
Во многих случаях удобнее пользоваться не координатным, а импульсным представлением. В частности, импульсное представление оказывается предпочтительным при решении задач о поведении систем, состоящих из большого числа частиц (нерелятивистская задача нескольких взаимодействующих частиц, задачи теории поля и т. д.). О причинах такого предпочтения будет подробно говориться ниже, а сейчас мы займемся техническими вопросами, связанными с переходом от координатного представления к импульсному.
Рассмотрим уравнение Шредингера для частицы в поле
(--£д + 1/(г)-£)^(г) = 0.
Переход к импульсному представлению осуществляется введением вместо волновой функции 屮论(？) ее фурье- компоненты ф在(夕)：
^* (г) = "^г J е" фй(<7)對，(6.1 а)
Ф* ^ =( е-1^^ (г) dr.(6.16)
(2л) ‘2 J
Подстановка (6.1а) в исходное уравнение Шредингера приводит к уравнению для 屮论(夕)——у. Ш. в импульсном представлении:
(^- - Е)ф* (<7)+ / U (q- qf)屮* (/) dqf = 0, (6.2) где-
° S -旷)三击 J e-("/ 'U (г) dr. (6.3)
Наиболее примечательной особенностью уравнения (6.2) является то, что это интегральное уравнение, а не дифференциальное. При этом оператор кинетической энергии частицы является теперь оператором умножения на число:
T^(r)f 嵯 s(g)；
зато потенциальная энергия U является теперь ннте- гральным оператором:
и (г)屮* ⑺-> J и (g - д') % “) /'•
Выясним, каков вид волновой функции ф(д) в импульсном представлении. Для этого рассмотрим сначала уравнение свободного движения (с U 三 0) с источником в правой части
(^е)屮/(g) = Q (办(6.4)
方鏡
Пусть энергия положительна и равна Е= ^ , Уравнение (6.4) имеет, очевидно, частные решения
噌(加鋼М3)，Yf+0・(6,5)
В это выражение нам пришлось ввести бесконечно малую положительную постоянную у, чтобы избежать неприятностей и неопределенностей, связанных с обращением в нуль знаменателя при q =靖.
В координатном представлении решениям 屮(一)и 屮(+) соответствуют решения, имеющие вид сходящихся и расходящихся волн. Чтобы убедиться в этом, перейдем в (6.5) обратно к координатному представлению:
確⑺=忌％ J e，"(Р(±) (g) dq =
Выберем г в качестве полярной оси и явно выпишем зависимость Q(g) от декартовых координат:
Q(q)wQ(g*, 9勿 ％)・
Вводя обозначение Е =詐，получаем 2л 1
X Q(g v 1 -^2cosq), q H Tsin<p,驼).
Интегрирование по частям по g дает
J d&ei*Q = *{ei"Q(0, 0, q)-e-^Q(0, 0, -q^-
Последний член здесь, как это видно при дальнейшем интегрировании по частям, имеет порядок 1/戶 и может быть отброшен при вычислении асимптотического поведения волновой функции. Таким образом (обозначим
Q(0, 0, q)Q(0, 0, q)2于)⑺〜2于)⑺〜=1 丄一 &冲亨彳=1 丄一 &冲亨彳f gQ(4)/"f gQ(4)/"厂一儲± /y）厂一儲± /y）dq. (6.7)dq. (6.7)через Q(q)), асимптотически при больших 尸 蟲謂U^fe"⑷…"Q(y)】=
Q(0, 0, q)
Q(0, 0, q)
2于)⑺〜
2于)⑺〜
=1 丄
一 &冲亨彳
=1 丄
一 &冲亨彳
f gQ(4)/"
f gQ(4)/"
厂一儲± /y）
厂一儲± /y）
dq. (6.7)
dq. (6.7)
Здесь при переходе к последнему интегралу мы воспользовались тем, что оба члена в квадратной скобке переходят друг в друга при изменении знака q.
Предположим теперь для простоты, что Q(g) как функция комплексной переменной q не имеет особенностей в верхней полуплоскости *). В этом случае можно замкнуть контур интегрирования в (6.7) сверху, и прямое вычисление вычетов дает
(6.8)(6.8)崂）⑺〜]/专Q（土瓦）岑与竺；
(6.8)
(6.8)
Q（土耳）三 Q（0, 0, 土耳）mQ（土岛8
Таким образом, действительно, два частных решения (6*5) имеют в координатном представлении вид сходящихся и расходящихся волн. Знаку 《+》в знаменателе формулы (6.5) при положительной у соответствует ра& холящаяся волна, а знаку 《——》一сходящаяся.
Отрицательному значению энергии Е отвечало бы мнимое A： fe0 = i\ko\- При этом решение 少(+)(力 обращалось бы в нуль при г -* оо, а 屮(一)(/*) —стремилась бы к бесконечности как ；?川自丨厶
Заметим теперь, что однородное уравнение (6.4) имеет решением функции
暇)(0)=6但一G e丨扪=岛.(6.9)
При каждом положительном Е имеется бесконечное множество таких решений, отличающихся направлением
*} Такие особенности, расположенные в точках q = qi + 勿2 (〃2 >0), привели бы к появлению членов типа exp(z^ir — ^), которые не дают вклада в асимптотику.
вектора 也.В координатном представлении этим решениям отвечают плоские волны：
屮2‘ ⑺= J 6如6(左_9)dg =屮2‘ ⑺= J 6如6(左_9)dg =1(2 九)%1(2 九)%eikr.eikr.
屮2‘ ⑺= J 6如6(左_9)dg =
屮2‘ ⑺= J 6如6(左_9)dg =
1
(2 九)%
1
(2 九)%
eikr.
eikr.
To, что функции (6.9) действительно удовлетворяют однородному уравнению (6.4)
奈-e)赠⑷=0,奈-e)赠⑷=0,(6・4‘)(6・4‘)
奈-e)赠⑷=0,
奈-e)赠⑷=0,
(6・4‘)
(6・4‘)
вполне очевидно: при \q\ ¥=丨也| сама функция ①£)(д) равна нулю, так что (64) выполняется. При \q\ = \k\ функция ф^(9)обращается в бесконечность, но произведение в левой части (6.4‘) по-прежнему равно нулю из-за обращения в нуль скобки (~^——£)при « =々=麻 Формально мы здесь имеем дело с неопределенностью типа 0- оо. Однако эта неопределенность легко раскрывается, если воспользоваться свойствами d-функции. Именно, ин- геграл от произведения любой неособенной функции (D(g) на левую часть (6.4，) тождественно равен нулю при k = /го：
e)嘈(g)①⑷對=e)嘈(g)①⑷對=畳 J@2-稣)5(gT)畳 J@2-稣)5(gT)①(q) dq = 0.①(q) dq = 0.
e)嘈(g)①⑷對=
e)嘈(g)①⑷對=
畳 J@2-稣)5(gT)
畳 J@2-稣)5(gT)
①(q) dq = 0.
①(q) dq = 0.
Так как функция Ф(^) произвольна, то произведение 方2
■^-@2 —々^)в (д —左) следует рассматривать как тождественный нуль при ]也I =麻.
Таким образом, функция
啖0 ⑷=噌(q) + 而 Q«)—,(6.Ю)
飞加一(E + W)
равно как и функция
魄т⑷=啖)⑷+奇QS)—,(6.103
毎■ —( Jy)
является решениями у. Ш. (6.4) при положительной энергии.
При отрицательных энергиях Е однородное уравнение (6.4‘) решений не имеет, так как в этом случае скобка (^^——Е)= (^^FljE'l) и ни при каких действительных q не обращается в нуль. Соответственно этому единственным решением уравнения (6.4) при £" < 0 является функция
屮（9）=屮（9）=2/п■р"2/п■р"QS)д2+ 舒 IMQS)д2+ 舒 IM
屮（9）=
屮（9）=
2/п
■р"
2/п
■р"
QS)
д2+ 舒 IM
QS)
д2+ 舒 IM
Вернемся теперь к исходному у. Ш. (6.2), описывающему в импульсном представлении движение частицы с энергией Е в потенциале U. Перепишем это уравнение, перенеся интегральный член направо, чтобы оно приняло вид уравнения с источником
(需一Е辰(g) = 一"(g一У)中〃"對，.(6.11)
Мы знаем, что волновые функции непрерывного спектра можно нумеровать различным образом. Если считать заданными энергию Е и импульс Лй, падающих на рассеиватель частиц, то в волновую функцию вектор k входит как параметр. Поэтому в координатном представлении волновая функция зависит от двух векторов й и г. В импульсном представлении вектор г заменяется импульсной переменной q. Кроме того, оказывается удобным выделить в качестве независимой переменной энергию Е = ^-. Всего, таким образом, в волновую функцию входят одна скалярная (Е) и две векторные (й и q) переменные. Из приведенных в начале этого параграфа формул видно, что при любом положительном значении энергии Е решениями уравнения (6.11) являются функции
屮器(g) = 6 伍一g) — -#工，比 A» -…, (6.12)
где обозначено
t (g, й, Е)= ^ U (q- д')屮申(д') dg' •(6.13)
Входящий в (6.12) и (6.13) волновой вектор 也 связан с энергией Е условием hh = V2mЕ, тогда как вектор q — переменная импульсного представления — может пробегать все действительные значения.
Как следует из (6.6 — 6.8), при переходе в координатное представление из функции ф+ (夕) получается функция 2負)(г) с асимптотикой
幔)(Г) = ^^ J 6‘"吧)(g) dq 〜
〜言俨一蜜电-財后)4]. (6.14)
Таким образом, асимптотика волновой функции в координатном представлении зависит только от величины t(q,h,E) при q^k^^/ ^^. Значения функции t(q. k, £) при другой величине аргумента q определяют вид волновой функции яр (г) при конечных значениях г. В асимптотику они не входят. Так как, с другой стороны, функция (6.14) обязана являться решением у. Ш. в координатном представлении, то сравнение формулы (6.14) с формулами § 3 гл. II показывает, что 魏+)(夕) является не чем иным, как фурье-образом ортонормиро- ванных решений у. Ш.屮广)&) с асимптотикой
〜訪卜加+ f⑼学]•(6/4')
Это совершенно тривиальный результат, так как ничего другого мы и не могли получить. По дороге, однако, мы установили одну формулу, которая нам впоследствии очень пригодится: из сравнения (6.14') с (6.14) следует, что введенная выше величина t(q, k, E) обладает простым свойством: при g =々=У2тЕ]® она
с точностью до коэффициента совпадает с амплитудой рассеяния f (9)：
/(g,々，七)|“(0), cos 9 =空(6.15)
'/ %=h=y2mE侬4112m ' ' 丿，夕々' 丿
и, кроме того, /(^, fe, Е) удовлетворяет уравнению, получающемуся при подстановке (6.12) в (6.11):
t® 財 E) = U(g-»-t® 財 E) = U(g-»-U(DU(D¥一便+切2m1¥一便+切2m1dq\ (6.16)dq\ (6.16)
t® 財 E) = U(g-»-
t® 財 E) = U(g-»-
U(D
U(D
¥一便+切2m1
¥一便+切2m1
dq\ (6.16)
dq\ (6.16)
Это уравнение, как будет видно ниже, оказывается во многом более удобным, чем исходное у. Ш. (6.2), из которого оно получено.
Формулы (6.12)——(6.14) полностью описывают свойства решений у. Ш. в импульсном представлении приЪо- ложительных энергиях (непрерывный спектр). При отрицательных энергиях (дискретный спектр) структура решений у. Ш. отличается от (6.12). Именно, аргументация, приведенная выше после (6.10‘), показывает, что решение в этом случае обязано иметь вид
产⑷=产⑷=11方叫2 ~2т方叫2 ~2т+ |E|+ |E|^ U^q-q^^^d^. (6.17)^ U^q-q^^^d^. (6.17)
产⑷=
产⑷=
1
1
方叫2 ~2т
方叫2 ~2т
+ |E|
+ |E|
^ U^q-q^^^d^. (6.17)
^ U^q-q^^^d^. (6.17)
Это соотношение является, собственно, уравнением для функций (р(д)・ Уравнения такого типа имеют решения только при некоторых отрицательных значениях Е, и, таким образом, уравнение (6 17) определяет одновременно и собственные значения Еп,厶 m, и собственные функции ①小 ％, т(д) У- Ш- при отрицательных энергиях.
Отнормированные на единицу, функции фд> 厶 m (q) совпадают, как это должно быть, с фурье-образами соответствующих функций координатного представления. Итак, полный набор решений уравнения (6.11) есть
増)9)=詩7 J е『"(г) dr,必",m ⑷=^г / e~iqr^n, /, m (г)
Для них выполняются условия ортонормированности, следующие из (3.13) гл. II:
J時)*⑷噌)⑷dg = 6 (々一斤)，
J嗚厶m句)$%,厶,m⑷對=%, J Kg,
J 叫+〉(，)*",„,(G 歯=o・
§ 7. Функция Грина в импульсном представлении.Операторная алгебра
При построении функции Грина у. Ш. в импульсном представлении можно действовать разными способами. Простейший заключается в том, чтобы взять какую-либо формулу, написанную в координатном представлении, например формулу для решения у. Ш. с источником
W(r)= j Ge&, QQgdk,W(r)= j Ge&, QQgdk,(7.1)(7.1)
W(r)= j Ge&, QQgdk,
W(r)= j Ge&, QQgdk,
(7.1)
(7.1)
и совершить в ней полный переход к фурье-образам:
W ⑺=I е'"<Р ⑷ dq,(2л)/2 J
(7.2)(7.2)Q ⑺=T^W J eiqrQ (g) dq,
(7.2)
(7.2)
Ge 亿eiqrg(<7> J，E) e-iq'r' dq dq'•
При этом получим формулу
<р (д) = J g (д, д',七)Q (д')歯'，(7.「)
имеющую точно такую же структуру, как н (7,1), Роль функции Грина g(q,q\ Е) в импульсном представлении играет, таким образом, фурье-образ функции Грина в координатном представлении Ge«『) по обеим координатам гн/:
g (g, /,七)=g (g, /,七)=(2^)3- j ef "G耳(r, Q Mr' dr 〃，(7.3)
g (g, /,七)=
g (g, /,七)=
Во многих отношениях удобнее, однако, работать с самого начала в импульсном представлении и выводить все формулы без ссылок на соответствующие формулы координатного представления.
Чтобы упростить и унифицировать написание формул, условимся в следующей символике: операторы кинетической и потенциальной энергии обозначим через 力о и 6, причем результат действия этих операторов на любую функцию импульсной переменной <р(夕)дается формулами
(7.4)(7.4)MMS j* 嘿 6 (q - У) q> (q) dg' = ^~(Р (q), d<p [g]三 J u S - д') <p (g‘)對'•
(7.4)
(7.4)
Здесь импульсная переменная q, заключенная в квадратные скобки в левых частях формул (7.4), относится не к функции ф, а к результату действия на эту функцию стоящего перед ней оператора.
У. Ш. для функции непрерывного @+)(夕)и дискретного (pn> 1,т(Ч)спектров выглядит теперь так:
(%+ 6)啖+)⑷=4嗜)(办ё产需1
и(7.5)
(耳 + 0)叫 m 卽=en,l^l, m(9)； %" < 0・ J
Функции 中廿)и фд z m составляют полную ортонормиро-
ственным значениям ственно:ственным значениям ственно:ванную систему. Они также являются собственными функциями оператора (乃()+©——£), отвечающими соб- (ей —Е) и (队 z — Е) соответ-
ственным значениям ственно:
ственным значениям ственно:
(瓦 + 0 - Е) <р，⑷=(% - Е)唄⑷，]
(万°+0-Е) %,„Дд] = (%加(g). j ©б)
Справедливость (7.6) при любом значении £ (даже комплексном) очевидна, так как эти равенства при лю-
бом Е отличаются от равенств (7.5) только формой (добавлением к правой и левой частям (7.5) одного и того же члена——Е(р(«)), но не по существу.
При построении функции Грина g(q,q\E) оператора (无o + 右 ——Е) мы можем пользоваться теперь стандартной процедурой. Строим функцию
s (^» q，е)三、^s (^» q，е)三、^屮弘，I, m（0）屮拉，E, m （g） I ~%,「（£ + "，）屮弘，I, m（0）屮拉，E, m （g） I ~%,「（£ + "，）
s (^» q，е)三、^
s (^» q，е)三、^
屮弘，I, m（0）屮拉，E, m （g） I ~%,「（£ + "，）
屮弘，I, m（0）屮拉，E, m （g） I ~%,「（£ + "，）
(7.7)(7.7)中户（g）中 £~）*（/）
(7.7)
(7.7)
% —（£ +，y）'
Она действительно является функцией Грина, так как (см. уравнение (7.6))
^ + v-E)g[q, ^, E]y^0 =
=e 県 zn(g)%Lm(g')+ Jd々哈)(9)破+)* ⑺=6 日-力• n, Z, tn
(7.8)
В силу этого решением неоднородного у. IIL
(瓦+ d-E)<p[g] = Q(g)(7.9)
является функция
<р (g) = J g (g, д'，£) Q (д')"J 三点eQ %]•(7.1 о)
Здесь мы ввели по аналогии с (7.4) оператор функции Грина @е, действие которого на любую функцию Q(g) определено интегралом в (7.10) и определением (7.7) ядра интегрального оператора.
Введение бесконечно малой мнимой добавки iy к энергии потребовалось нам, как и раньше, для того, чтобы обеспечить асимптотику функций в координатном представлении, соответствующую расходящейся волне. Кроме того, с введением этой добавки приобретает определенный смысл целый ряд важных сингулярных лн・ тегралов.
Именно, пользуясь представлением (7.7), можно вычислить действие функции Грина на собственную функцию 屮^)(夕)оператора энергии:
目石唄[g]三 J g (q, d, E)啖+)")力=% }*(e?汕•(7・ 11)
При 丫 = 0 эти интегралы теряли бы смысл при 方2々2
Е = -^-^е*, и в результате этого мы не могли бы пользоваться системой функций <р% / m,屮廿) для разложения по ним других функций. С введением 丫 次 0 эти трудности снимаются, так как становится ясным определение закона предельного перехода. Например,
тт。(‘Y8Е窕⑷)-%-(上 + 刃)-[О при E不
(7.12)
Имея в виду соотношения такого типа, удобно ввести для оператора функции Грина gE символическое выражение
gE = * 」—不丄丁、.(7.13)
При этом подразумевается, что при действии на любую собственную функцию фе оператора (力о 十 U): (Ло+ й}фе = =ефе надо заменить оператор в знаменателе (7.13) его собственным значением:
&£暇⑷=(尻+ б) -(Е + £у) 中/g] = Е二(Е+ 汇)典(夕)・(7.14)
При пользовании символикой (7.13) мы гарантированы от всяких недоразумений, так как результат действия оператора (7.13) на функцию (ре всегда конечен в случае эрмитова потенциала U. Действительно, у эрмитова гамильтониана (力о + 右)все собственные значения е действительны, и при 丫#=0 знаменатель в (7.14) никогда нулю не равен. Поэтому, не боясь впасть в противоречия, с операторным выражением типа (7.13) можно производить различные арифметические опера-
ции. При этом надо только следить за порядком действия операторов.
Вычислим в качестве примера разность гриновских функций g(% /, Е) и g(o)(% /, £) операторов (ho + v—E) и (瓦一Е):
金―器)= & + 6_E_iY)T_(&_E — iY)7『
三仇+ Q-E-iY)T (耳一Е一削(耳一Е-你)7 一
一(瓦+ 右一E — iY)7(瓦+ Q-E-iY)(瓦一E — W)T 三
=(力0 + g — E _ zy) 1 [(瓦—E _ zy)—一(屏 + 6 _ E — W)](方0 — E _ iy) 1 =
三—(耳+J — E — iy)-i 6 (耳—E — /у)'1 三—倉£傅亶・(7.15)
По-другому группируя члены, можно получить альтернативное выражение
晶一器)=一^伙厦?(7.1y)
Входящий в эти формулы оператор 倉價 функций Грина свободного гамильтониана (力о ——Е) имеет простое аналитическое выражение. Функции свободного движения в импульсном представлении имеют вид (см. формулу (6.9))
磴)(G = 6 (左一G
и из (7.7) получаем в случае свободного движения
8叫9/,ё)=/№等群产=卷詔犷(7.16) 也2q2
где £qw^^~・ Результат действия оператора 建^ свободной функции Грина на произвольную функцию Q(g) сводится поэтому к умножению функции на (%— (Е + iy))-':
能3G =/負譌T Q ")啊=^患% •(7.17)
Это, конечно, находится в полном соответствии с (7.13) и (7.14).
Соотношения (7.15) или (7.15') с известными d и р(^ могут рассматриваться как уравнения для функции Грина 倉е：
^^^-^^(7.18а)
募П鳄-金/躋(7.186)
Тут же надо сказать, что для функции Грина ^Е можно написать бесчисленное количество уравнений типа (7.18). Действительно, пусть нам известна ф. Г.金^) у. Ш. с потенциалом 仇
鍔=乃o+6i-(E + W)，
и мы хотим выразить ^Е через 鳄. Составим разность 金Е~ 倉艮 Произведя тождественные алгебраические преобразования того же типа, что и в формуле (7.15), получим для gE уравнения
晶=欝)-金屮9-")金，(7.18b)
爺=器)一爺(6一药)@趴(7.18г)
Если di = 0, получаем, естественно, уже известные нам уравнения (7.18а, б). Пользуясь данными в начале этого параграфа правилами, все эти уравнения для функции Грина можно расписать более детально. Например, уравнения (18а) и (18в) в подробной записи имеют вид
g (% д', Е)=
=%!：e；7y)- %-(2+力)J 0(g一Q g (g"，J，e)對", g (% У，E) = g⑴(g, J, E) - J g⑴(g, g", E) x
x [U (r- J") - S (g〃 - g'〃)] g “", / E)歯〃 d^.
В такой записи эти уравнения могут быть, конечно, получены и из исходных аналитических выражений и уравнений (7.7) и (7.8) без обращения к операторной символике. Использование операторной символики ——это лишь удобный технический прием, позволяющий упро-
стить запись и унифицировать вид формул. В простых случаях без этого приема можно легко обойтись, но в более сложных ситуациях, а с ними мы еще встретимся ниже, он сильно упрощает жизнь.
Оператор рассеяния
В предыдущих параграфах мы видели, что для построения функции Грина у. Ш. необходимо знать очень много об этом уравнении: все собственные значения и все собственные функции. При этом существенно, что вся эта информация нигде по дороге не теряется. Она вся содержится в функциях Грина. Именно это и обусловливает мощь метода функции Грина. Именно поэтому мы можем считать в принципе решенной любую квантомеханическую задачу, если известна функция Грина соответствующего у. Ш. Рассмотрим с этой точки зрения функцию Грина g{q, ^\ Е) у. Ш. в импульсном представлении.
Как видно из формулы (7.7), особенно просто извлекать из функции Грина информацию о связанных со- состояниях системы (дискретный спектр). Именно, рассматриваемая как функция энергии Е, функция g(g, jlЕ) имеет полюса при отрицательных Е в точках расположения связанных состояний: Е = Entl<0. Вычеты ф. Г. в этих точках непосредственно дают нам уже нормированные волновые функции связанных состояний.
Действительно,
lim [(Е - %) g (q, q', £)]=工 <P“. z, m ⑷嗚厶 m ”)•(8・ D
Зависимость волновых функций <p%,九小 от m известна:
<Р“. Z. т (<7)= Фп, Z (q)匕宀居)，
и входящая в правую часть (8.1) сумма легко вычисляется:
S忆⑷К(9"窮)%信)=
1Ц=—/
где Р/ — обычный полином Лежандра. Используя тот факт, что g н д' в (8.1) произвольны, легко далее найти и «радиальную» часть фд, (^).
Несколько сложнее обстоит дело с непрерывным спектром. В этом случае любое положительное значение энергии является разрешенным, и надо определить волновую функцию. Из предыдущих параграфов известен общий вид волновых функций непрерывного спектра:
磴)⑷=6 偿-g) - ~^^Ду 三噌⑷ + б(рй (g), (8.2) где <р^ — функция свободного движения с волновым вектором 也 а 6中论 ——отличие функции 屮廿)от ф^ (д).
Задание величины и направления вектора k фиксирует (вместе с условием излучения 丫 > 0) граничные условия задачи о рассеянии: направление, скорость и величину потока частиц, падающего на рассеиватель из бесконечности. Отличие волновой функции <р^)от функции свободного движения ф^ учитывается в (8.2) членом бфй. Общий вид этого члена можем найти из исходного у. Ш.:
(йо + б-Е)(Ф^ + бфА) = О, т.
6<р* ⑷=-0/嘈[д],(8.3>
и, таким образом,
吋’⑷=噌⑷-泰°吸〔4]=[1 -(耳+ 0 -еt，) 7 0]曜三 三募(耳一E-‘y)中£)= 一，Y募礫)BL(8.4)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что <р^ — это решение свободного у. Ш. и
(耳-目哪=0.
Формула (8.4) в принципе решает поставленную выше задачу об определении волновой функции *) не-
прерывного спектра 嚟）по функции Грина 金瓜 Практическое вычисление входящего в （8.4） предела
破+）（g） = - i y£?JyPeK）[</]] = - iy吧о Wg（g‘ 瓦 £）] является, однако, отнюдь не простым делом. Поэтому можно сказать, что хотя функция Грина и содержит всю информацию о волновых функциях непрерывного спектра, но извлечь эту информацию не просто: она запрятана слишком глубоко в структуру функции Грина.
Во всех сколько-нибудь сложных случаях, как, например, в задачах о движении нескольких взаимодействующих друг с другом частиц （см. гл. X）, это обстоятельство оказывается неудобным, так как окончательные формулы, в которые входят функции Грина, не допускают наглядной физической интерпретации. Поэтому широкое распространение получил так называемый оператор рассеяния, который содержит столь же полную информацию, как и функция Грина, причем эта информация содержится в нем в, так сказать, «готовом для употребления» виде.
Наиболее простой способ введения оператора рассеяния заключается в следующем. Когда в § 6 рассматривался общий вид волновой функции ф^+） （^）, описывающей в импульсном представлении задачу о рассеянии, выяснилось, что величина t（q,h、Е） в формуле （6.12） прямо связана с амплитудой рассеяния и, таким образом, |/|2 при q = h = V2tnEL прямо выражается через наблюдаемую на опыте величину — сечение рассеяния:
I f（% 瓦 Е）① *2mE/"=（击 У。（»•（8・5）
Было показано далее, что величина t（q、h、E） подчиняется уравнению, следующему из у. Ш.:
/ （g, k, E） = U（g-"-
—『°（夕—g‘）^H^ / ①"’k' £）dq, dq"・ （8-6）
Величина f （处瓦 E） зависит от переменной импульсного представления q、а вектор 也 и скаляр Е ——это
параметры, связанные с граничными условиями задачи: R ——волновой вектор падающих на рассеиватель частиц, a 七 —их энергия: Е 一^"三 ел-
Можно, однако, формально разорвать связь между ft и Е и считать, что k в (8.6) представляет собой, как и q, произвольный вектор с 0《应 «оо. При этом полное число аргументов функции f оказывается в точности таким же, как и у функции Грина g(q, ^, Е): два вектора и й и один скаляр £. Так как при таком расширении уравнения (8.6)也 можно рассматривать как импульсную переменную, то оказывается возможным ввести соответствующий функции t(q, k, Е) оператор рассеяния t£, определив результат его действия на произвольную функцию Q(g) равенством
FeQ {q]^\t (g, д', E) Q “)對'.(8.7)
Пользуясь введенными в предыдущем параграфе правилами операторной алгебры, напишем, исходя из (8.6), уравнение для оператора 歹母 Оно, очевидно, имеет вид
fE = v-vg^fE.(8.8)
Смысл этого уравнения заключается в том, что результат действия правой и левой частей в (8.8) на произвольную функцию Q один и тот же:
GQ〔g] = {d — ©^/}Q[gJ・
Для оператора рассеяния может быть написан целый ряд соотношений, устанавливающих его связь с функцией Грина. Убедимся прежде всего, что решение урав^ нения (8.8) имеет вид
灰=6 - 0兔0.(8.9)
Для проверки подставим это выражение в правую часть (8.8). Получим
v-vg^tE = v {l-g^(o-dg£o)} =
=d - 6 (鳄一鳄脸)6 = 0 - vgEv = tE.
Здесь мы использовали уравнение для функции Грина (7.18а).
Другие соотношения получим, умножая в операторном виде формулу (8.9) на g^ справа или слева:
%醴="1 -金好)鳄=0 (醴-g/鑽)=眩E.(8.10)
(8.11)(8.11)Здесь использовано уравнение (7.186). Аналогичным образом получается формула
(8.11)
(8.11)
器4 = s^-
С помощью этих формул и полученных ранее уравнений для функции Грина легко выразить функцию Грина через t:
募=鍔-g数凝=鳄-鳄于e鳄・ (8.12)
Соотношения (8.9) —(8.12), устанавливающие взаимно однозначное соответствие между операторами 1Е и ?Е, показывают, что количество информации, заключенное в этих операторах, одинаково. Извлекать же ее из 态 много проще, так как волновые функции непрерывного спектра прямо выражаются через ядро t(q,q\ Е) оператора 友
m I。] ) (6屮忆 Z, m【f ] )*m I。] ) (6屮忆 Z, m【f ] )*吼z 一 （七 +川）吼z 一 （七 +川）В применении к отысканию энергий и волновых функций связанных состояний операторы fug равноценны. Действительно, из формулы (8.9) и из выражения для функции Грина (см. (7.7)) получается следующее общее выражение для ядра оператора tE:
m I。] ) (6屮忆 Z, m【f ] )*
m I。] ) (6屮忆 Z, m【f ] )*
吼z 一 （七 +川）
吼z 一 （七 +川）
t(q,q，，E) = U〈q — d)-』^^
n, Z, m
""空骋产&⑶
(Здесь использована также действительность потенциала U(r), благодаря которой U*(q) = U(—^).) Как видно из написанного выше выражения, функция
t (q, q\ Е) имеет полюса в точках связанных состояний Е = enji < 0, а вычеты в полюсах позволяют определить величины йфл, /, m [^]; зная последние, легко уже восстановить и нормированные волновые функции, связанных состояний, так как из у. Ш. следует, что
0屮”,Z, m W】=(%, z - 8?) фл> Z, m (<7). (8.14)
Прежде чем закончить этот параграф, сделаем еще одно замечание. Хотя операторное уравнение (8.8) очень похоже на уравнение (8.6), отличие между ними есть. Заключается оно в том, что 也 н £ в (8.6) жестко свя- 力2々2
заны условием £ = £矗=^^-, тогда как в уравнении (8.8) никаких ограничений на оба векторных аргумента функции t® д', Е) нет. Поэтому операторное уравнение (8.8) является более общим, чем уравнение (8.6) и эквивалентное ему у. Ш. (см. § 6). Проявляется это, в частности, в том, что из волновой функции ф^) можно получить величину f(g,电 £) при £ = ба, тогда как для вычисления f (д, д', £) при произвольных значениях q и д' нужна более полная информация.
Докажем эти утверждения. Подставляя волновую функцию в у, Ш., получаем
（黑_e）卜（"g）（黑_e）卜（"g）"% 瓦 E)寨-(E + 勿)"% 瓦 E)寨-(E + 勿)+ 6 恥+)[g] = о,+ 6 恥+)[g] = о,
（黑_e）卜（"g）
（黑_e）卜（"g）
"% 瓦 E)寨-(E + 勿)
"% 瓦 E)寨-(E + 勿)
+ 6 恥+)[g] = о,
+ 6 恥+)[g] = о,
что при Е =-三^ дает
(8.15)(8.15)t®瓦喲=6吟)回•
(8.15)
(8.15)
Этим доказано первое утверждение. Чтобы доказать второе, достаточно воспользоваться общим представлением для ядра оператора " (8.13). Подставив в него (8.15), имеем
/(9, /, E) = U(g-/- ， 師•空"屮發爲6m)*-
n, /, m
(8.16)(8.16)（g,入，%）产（g［入,%）% 一（E + 力）
(8.16)
(8.16)
Здесь, как и в предыдущих параграфах,以曰• ？^ . Из только что приведенной формулы следует, что для построения функции t{q, д', Е) с £ #= е^, £夕， требуется знать решения у. Ш. при всех энергиях.
Формулы для точечных потенциалов
Для иллюстрации того, как действуют общие формулы предыдущих параграфов, рассмотрим с их помощью свойства точечных потенциалов ——сингулярных потенциалов с нулевым радиусом действия. Такие потенциалы часто используются в практических расчетах.
Рассмотрим сначала потенциал с малым, но конечным радиусом действия「о：
U（「）=U（「）=以(，),О,以(，),О,У %,У %,(9.1)(9.1)
U（「）=
U（「）=
以(，),О,
以(，),О,
У %,
У %,
(9.1)
(9.1)
Выполним для него все расчеты, а в конечных формулах устремим г0 к нулю. Используем два обстоятельства.
Чем меньше радиус г。, тем труднее частице с орбитальным моментом I =# 0 проникнуть в область действия потенциала из-за наличия отталкивающего центробежного барьера. Вероятность найти частицу с конечным значением энергии £ н / =# 0 в точке г = 0 вообще равна нулю. Таким образом, в состояниях с Z #= 0 точечный потенциал фактически не действует, и поэтому при стремлении радиуса потенциала к нулю нам достаточно рассмотреть случай I = 0.
Эффективность потенциала определяется не только его величиной, но и радиусом его действия. При уменьшении 「о уменьшается область действия потенциала U(r) и падает его эффективность. Для компенсации приходится одновременно с уменьшением 「о увеличивать абсолютную величину потенциала. Ниже мы увидим, что условие сохранения эффективности потенциала при уменьшении его радиуса имеет вид
Го
lim I rU (г) dr = eonst,(9.2)
т. е. при уменьшении Го абсолютная величина потенциала должна расти как г~2 (см. § 2 гл. I). В уравнение Шредингера для радиальной волновой функции %(г) при rW% (мы уже учли, что I = 0)
方2
-轰/ +(〃("-£)(9.3)
Энергия частицы Е входит в виде суммы с потенциалом. Последний, однако, при г。一>0 надо в силу (9.2) считать бесконечно большим по абсолютной величине и, следовательно, членом с энергией в (9.3) можно пренебречь:
方2
一茹Г/+"(「)％ = °・(93)
Решение этого уравнения можно записать в виде
М^А^ (г),(9.4)
где Д — постоянная, а функция 必°)(г) зависит только от вида потенциала u(r). Будем нормировать эту функцию условием
小)(「о)=1・(9.5)
При такой нормировке вполне определенное значение имеет интеграл (ср. с (9.2))
Го
JХ(0)(6 -u(r)rdr = - -—.(9.6)
о
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно помножить уравнение (93) на г и проинтегрировать по dr, учтя при этом (9.5) и то, что при г0—>0 имеем цепочку равенств
го
J r^" dr = г%(叫? 一 %叫，-^о* - %◎ %) = — 1. о
Мы увидим немного ниже, что все свойства точечного потенциала характеризуются единственным парамет-
ром ——величиной производной функции %(°)(г) при г = г0. Обозначим ее через —
力⑼(9.7)
Свяжем величину а, которая называется длиной рассеяния, с наблюдаемыми величинами. При положительной энергии и / = 0 нормированная на 6(力——々i) радиальная волновая функция имеет в области г > г0 вид
器(г) = /^ sin (々Г + 6).
Сшивая ее при г = г0 с функцией (9.4) (9.5) и (9.7), получаем при Аг0 —>0
^ctg6 = —IА = jT sin 6.
и используяи используя(9.8)(9.8')(9.8)(9.8')рывного спектра имеет видрывного спектра имеет видХа；о(г)=Ха；о(г)=/^ sin 6 •公。)(г), )/1 sin (々г+ 6)/^ sin 6 •公。)(г), )/1 sin (々г+ 6)У Го,Г>Го,У Го,Г>Го,(9.9)(9.9)Таким образом, радиальная волновая функция непре
и используя
и используя
(9.8)
(9.8')
(9.8)
(9.8')
рывного спектра имеет вид
рывного спектра имеет вид
Ха；о(г)=
Ха；о(г)=
/^ sin 6 •公。)(г), )/1 sin (々г+ 6)
/^ sin 6 •公。)(г), )/1 sin (々г+ 6)
У Го,
Г>Го,
У Го,
Г>Го,
(9.9)
(9.9)
где фаза рассеяния 5 связана с длиной рассеяния а соотношением (9.8).
При отрицательных энергиях £ радиальная волновая функция при г》「о обязана иметь вид
Х(г) = Ве-^, % = /-爷
Сшивая это решение с функцией (9.4), находим условие существования решения, соответствующего связанному состоянию:
虱弋，в = 4 (9,10)
Так как х по определению положительна, то, как видно из (9.10), связанное состояние существует только при положительной длине рассеяния. При этом соответствующее собственное значение энергии равно
_ 方280 一 2ma万
Из условия нормировки получаем, учитывая, что область г《「о дает исчезающе малый вклад в нормировочный интеграл:
J\X(r)^dr = B2 j e-2^dr = 1, т. е. В=)/呪. о о
Окончательно получаем для радиальной волновой функции связанного состояния
(9.12)(9.12)М麻仆①(г), Г&Г。, Хсв V) ~.
(9.12)
(9.12)
у2%е~^г,г》「о・
Из предыдущего параграфа мы знаем, что оператор рассеяния 左，содержащий в себе полную информацию о потенциале, целиком определяется величинами U^n / 巾 и 方屮胪)，т. е. фактически поведением волновой функции внутри области действия потенциала.
Приведенные выше формулы позволяют нам в общем виде вычислить эти величины для точечных потенциалов. Действительно, воспользовавшись формулами § 6 для связи между импульсным и координатным представлением, получаем
644H [G = J U (д - д')嗎+)(д') "д'=
= 击1广"06吋«)".(9/3)
Область интегрирования по dr здесь ограничена радиусом действия потенциала「＞ Поэтому можно заменить
экспоненту e~w единицей, а в разложении волновой функции по I
吋)⑺=£ |/4冗⑵ + 1)匕0 (-^7)^гб/ у 器е (г)
удержать только член с / = 0. В результате получаем, используя (9.9) и (9.6):
га
°Ф^【# =詩^ "'" J '"⑺稲 Q dr =
鼻翳J\(%rd…о鼻翳J\(%rd…оfi2 1 /6 sin 6*^T 宓 ~~fi2 1 /6 sin 6*^T 宓 ~~(9.14)(9.14)
鼻翳J\(%rd…о
鼻翳J\(%rd…о
fi2 1 /6 sin 6
*^T 宓 ~~
fi2 1 /6 sin 6
*^T 宓 ~~
(9.14)
(9.14)
Учтя далее вытекающие из (9.8) равенства
cos 0 - -, sin 6 ==；…,
/1 + (ай)2У 1 + (叫 2
(9.15)(9.15)приводим (9.14) к виду
(9.15)
(9.15)
"е」4n2 加 1 + iak
Если длина рассеяния а положительна, то существует одно связанное состояние с радиальной функцией Хсв(^) (см. (9.12)). Произведя для него аналогичный расчет, находим
Го
^Фооо ⑷=［以&)公°)(r)d^ = —•(9.16)
(2冗)‘2 y2/n n
Теперь уже у нас есть все, чтобы с помощью формул (8.13) получить выражение для ядра t(q, q\ Е) оператора рассеяния. В рассматриваемом нами случае точечного потенциала первый член в (8.13)——фурье-компо- нента потенциала — тождественно обращается в нуль：
Wd)| =畐Wd)| =畐J u(r)尸⑷—""<J u(r)尸⑷—""<
Wd)| =畐
Wd)| =畐
J u(r)尸⑷—""<
J u(r)尸⑷—""<
ГоГ。
〈舟 4nJ 〃①产"Y奈］〃(г)г〃к>0・оо
Вклад в t(q,q\ Е) от непрерывного спектра легко вычисляется:
d入d入(»ф[+)М)(М+) "】)*(»ф[+)М)(М+) "】)*加入2加入22/n2/n一(Е + iy)一(Е + iy)方2a \2方2a \24n2加4n2加4л dA4л dA九2九2оо(1 +炉九2)(1 +炉九2)"九2"九22加2加一（E + 汕一（E + 汕
d入
d入
(»ф[+)М)(М+) "】)*
(»ф[+)М)(М+) "】)*
加入2
加入2
2/n
2/n
一(Е + iy)
一(Е + iy)
方2a \2
方2a \2
4n2加
4n2加
4л dA
4л dA
九2
九2
о
о
(1 +炉九2)
(1 +炉九2)
"九2
"九2
2加
2加
一（E + 汕
一（E + 汕
方2方2|а||а|4112m 1 — z I a I ^ *4112m 1 — z I a I ^ *(9.17)(9.17)
方2
方2
|а|
|а|
4112m 1 — z I a I ^ *
4112m 1 — z I a I ^ *
(9.17)
(9.17)
ГДeе三/至笋Т.ГДeе三/至笋Т.При положительном а, когдаПри положительном а, когда
ГДeе三/至笋Т.
ГДeе三/至笋Т.
При положительном а, когда
При положительном а, когда
существует связанное состояние, оно также дает вклад в t {q,夕1 Е) (см. (9・16))・
— (d屮ооо【g])(。屮ооо【gl )* _5 /q 17n
呪一(E + W)2m л2 (1 + a2F) ' ‘'
Собирая вместе (9.17) и (9」7‘)，получаем
^^ ^> E^ ^^k-(9.18)
При a < 0, когда связанного состояния нет, вклад в t(q,q\E) дает только непрерывный спектр (см. (9.17)). Учитывая, что в этом случае a = — |a|, снова ； приходим к формуле (9.18). Таким образом, оператор рассеяния 友 определяется формулой (9.18) как при положительном, так и при отрицательном значениях длины рассеяния а. Основное отличие этих двух случаев заключается в том, что при a > 0 выражение в правой части (9.18) имеет полюс при энергии Е = — 2/п(Х2 > отвечающей связанному состоянию. При a < 0 полюса нет.
Пользуясь полученным выше выражением для t(q, q\ Е) и рецептами предыдущего параграфа, легко получить и остальные формулы для точечных .потенциалов. Например, функция Грина для точечного по-
тенциала равна
g(g, д', Е)g(g, д', Е)—6(4 — 0)1
g(g, д', Е)
g(g, д', Е)
— gg —(Е + 24冗2加 ％ —(E + W)
/ 而而而~ gg，一(E + W)V Й2/ 而而而~ gg，一(E + W)V Й2(9.19)(9.19)
/ 而而而~ gg，一(E + W)
V Й2
/ 而而而~ gg，一(E + W)
V Й2
(9.19)
(9.19)
Здесь, как и выше, введено обозначение ех 曰 f—
Теория возмущений в непрерывном спектре
Некоторые задачи теории возмущений уже рассматривались в § 5, где использовалось координатное представление. Основное внимание там было уделено учету возмущений в дискретном спектре, и это не случайно. Дело в том, что теория возмущений для задач о рассеянии имеет наиболее простую и компактную форму не в координатном представлении, а в импульсном. Это связано с тем, что именно в импульсном представлении наиболее естественным образом г годится оператор рассеяния G, столь удобный при рассмотрении задач о рассеянии.
Рассмотрим сначала простейший вариант теории, когда весь потенциал 0 рассматривается как возмущение. Способ построения ряда теории возмущений сводится при этом к повторным итерациям уравнения для оператора ?Е：
F£ = б - vgftE =(ЮЛа)
=讶一婚豐(0一 维We)=(Юи6)
В первом приближении
龍 锯)w 守 и /⑴(％ 瓦，Е) м U (q — йо). (10.2) Подставляя 理 в правую часть (10.1а), получаем 友 во втором приближении:
7^取)+值』吟)一6鳄也
f 凱％ 论 о, E)=-Ju (q-qj dqm ®, q2, E) dqzU 32 —褊=
-j0…)守患可u(…。).(ю.з)
Здесь вектор 瓦 относится к падающему на рассеиватель пучку частиц и, как обычно, 际 三 2； - ・ Продолжая итерацию, находим % в третьем порядке теории возмугце- ний:
iE^iW + tf + tfy 颦=0鳄鱷敢，
f⑶(% 岛,E)=
=Jи(ь%)計?+w)из-%) V+2 u(%-瓦).
(Ю.4)
Совершенно ясно, как продолжать эту процедуру дальше:
%=自得 甯)=(-尸0(鳄®厂.(Ю.5) м==1
Член n-го порядка 谐 в этом разложении содержит п операторов б и (п—1) операторов 鍔.В амплитуду рассеяния такой член дает вклад (см. (6.15)) 叫警=-中产的岛，
=+#(-)” J* U (IQ 尸累+汕 и ^-qn^ X
x ——齒"港U (% 一瓦),
/(6) = £ 严，COS 6 =患.(10.6)
n=l
Вектор k относится здесь к рассеянным частицам.
Формулы (10.5), (10.6) допускают простую физическую интерпретацию: падающая на рассеиватель частица может провзаимодействовать с ним любое число раз. Чем больше число п актов взаимодействия, тем в более высоком порядке возмущения этот процесс учитывается. В первом порядке теории t^ = й и учитывается только однократное взаимодействие с потенциалом, в
результате которого начальный импульс частицы 方左и изменяется и становится равным конечному импульсу 方近
*)(9)= 一普 U (论—隔).(10.6а)
Во втором порядке теории возмущения учитываются уже акты двукратного взаимодействия. В амплитуду рассеяния они дают вклад:
/(2)(6)=+ 整 J。(论一%) ^g^ и (力—岛).(10.66)
Падающая с импульсом 陶 частица в результате первого взаимодействия с потенциалом приобретает импульс 方％ (множитель U(9i ——kQ) в подынтегральном выражении (10.66)； свободно движется затем с этим импульсом до второго взаимодействия (множитель (£gi — (Е 十 zy) )"1), а в результате второго взаимодействия (множитель 0(%——论))приобретает конечный импульс йй и уходит с этим импульсом на бесконечность. В про* межутке между первым и последним взаимодействием частица может иметь произвольный импульс 方д【，чему соответствует интегрирование по dgi, в (10.66), но ее энергия Е остается фиксированной. Про такую ситуацию, когда нормальная связь между импульсом и энер- 歯
гией нарушается £，"5^曰6矶，говорят, что частица находится вне массовой поверхности. При этом имеется в виду, что физически осуществимому движению свободных частиц с массой т и кинетической энергией £ в пространстве импульсов 方g соответствует поверхность 方2д2
(сфера), задаваемая уравнением Е=/^~・ Движение (распространение) свободной частицы, находящейся вне массовой поверхности описывается свободной ф. Г. 点豐, которой и соответствует множитель (е7 — (Е + /у))"1 в (10.66)・ Этот множитель получил специальное название ——пропагатор от английского propagate ——распространяться.
Аналогично интерпретируются и остальные члены в разложении амплитуды рассеяния (10.6): члену 『⑺
n-го приближения соответствует п последовательных актов взаимодействия частицы с потенциалом. В результате первого акта (множитель U (q、——kQ) в (10.6)) частица уходит с физической поверхности и движется с импульсом 方01 и энергией Е (пропагатор (871 ——(£ + zy)) "!) до второго акта взаимодействия (множитель U(02 — 91)), после чего опять движется свободно вне физической поверхности и так далее вплоть до последнего n-го акта взаимодействия (множитель U(论——g^—i)), в результате которого частица приобретает импульс 方论 и, вернувшись таким образом на физическую поверхность, уходит с этим импульсом на бесконечность.
Аналогичную простую интерпретацию можно дать и ряду теории возмущений для задачи о рассеянии в координатном представлении. В этом случае удобнее исходить непосредственно из уравнения Шредингера в координатном представлении
(一亲а+ и⑺_?)屮=一叫. (10.7)
Здесь ТГ(「)一 возмущение. Будем искать решение уравнения (10.7) в виде
少=少器(打+ 电。(Г)，(1°。8)
где ф^ (г)—решение невозмущенного уравнения, а ФАа(г) — малая добавка. Подставляя (10.8) в (10.7), получаем для <рАо уравнение
(~^^+U-E}^=-W (喈 + 必)• ( 1 °・9)
С помощью функции Грина G(e} (г, г) запишем это уравнение в интегральной форме
<РАо (г) = - J dr G^) (г, г')叭喈(/)+ ФАо (/)). (10.10)
Итерируя его, получаем ряд теории возмущений
£ 嚼⑺，(10.11)
где
暇)(г) =(-)”J 奶 …此G*)(г, r^w^x
X 6仗)(r„, j) W (j) X
…х/卜2)6*什2，%)步(厶)増>g).00-12)
Обычно интересуются лишь асимптотикой при г —> оо. В этом случае, пользуясь формулой (2.13), находим
〜?嘉》⑺他论。)，a°/②
产饱瓦)=
=(-)"爷 J "一..""犷*(乙)步(喝G于3, *)x
…X /rjGRf,厶尸 &)喟(rj,
где k = ykQ.
Собирая вместе все формулы, получаем окончательное выражение для волновой функции
屮(r)=喟 + %。~ ^7 [产"+ ~■严)但,го)] +
+ ?訪当⑺他论。)•(10・14)
Полная амплитуда рассеяния
f(也自)=卅)(阮瓦)+£f⑺(论，瓦) (10.15)
/Is3» 1
складывается из «невозмущенной» амплитуды 投),учитывающей рассеяние на невозмущенном потенциале U(г) в (10,7), а /<п)с п = 1, 2, ... — это добавки, возникающие при последовательном учете возмущения W. Поправка первого порядка имеет вид
卅В統=-賽1"№7*&)/g碌)(厶)(10.16а)
и интерпретируется следующим образом: падающая на рассеиватель частица описывается невозмущенной функцией 屮3)・ В точке 门 частица взаимодействует с возмущением 步(门)и после этого уходит на бесконечность, двигаясь в невозмущенном потенциале U(r). При этом в качестве волновой функции конечного состояния, как мы видим из (10.13), надо брать 屮鼠)， свойства которой обсуждались в § 3 гл. II.
Поправка к амплитуде во втором порядке теории возмущений учитывает акты двукратного взаимодействия с возмущающим потенциалом Wi
产住耳尸爷打也dr^ (r2)1T仇)X
XG『a,厶)步(八)屮倉匕).(10.166)
При этом частица взаимодействует с потенциалом в точках 门 и &； до, между и после взаимодействий она движется в поле невозмущенного потенциала U (г). Состояние падающей на рассеиватель частицы описывается волновой функцией начального состояния 屮肋)> состояние частицы, уходящей от рассеивателя на бесконечность —волновой функцией конечного состояния 屮丁)， а в промежутке между взаимодействиями с возмущающим полем 步 движение частицы от точки /•〔 к точке Q описывается функцией Грина G^^ 门).Таким образом, роль пропагатора в координатном представлении играет функция Грина G篦
Точно таким же образом интерпретируются и остальные члены в разложении амплитуды рассеяния в ряд по возмущению 呪
Сходимость ряда теории возмущений
Вопрос о применимости теории возмущений является довольно деликатным ). Мы рассмотрим лишь один его аспект, связанный с широко распространенным, но со
вершенно неправильным представлением об условиях применимости теории возмущений. Именно, часто считают, что если первое приближение теории возмущений много меньше нулевого, а второе приближение много меньше первого, то это означает, что ряд теории возмущений сходится, и можно ограничиться первыми членами ряда. В общем случае это неправильно, и мы продемонстрируем это сейчас на двух примерах.
В первом примере (Я. 6. Зельдович, 1960А) мы рассмотрим в импульсном представлении у. Ш. для частицы в поле потенциала специального вида
方2
—при 丨 0 I, I I < &,
U(g/) = l 2m P"(H.l)
О при I q I или \qf\>b.
Входящие сюда постоянные С и 6 будем считать стремящимися к разным пределам: С-»0 и & —► оо, но так, что остается неизменной величина
4лСЬ — 1—2НС~4лСЬ — 1—2НС~=const.=const.(П.2)(П.2)
4лСЬ — 1
—2НС~
4лСЬ — 1
—2НС~
=const.
=const.
(П.2)
(П.2)
В координатном представлении формуле (11.1) соответствует потенциал сложного вида с радиусом действия 「о 〜1/b —* 0.
Сначала решим У. Ш. с взаимодействием (11.1) точно, а потом попробуем решить его с помощью теории возмущений-
Введя обозначение А2 = 2加£7方2, запишем у. Ш. в виде
畳(炉一必)①(д)=_ j [J® ^)ф(^)^- (П-3)
(Е. Вигнер, 1954; Р. Трис, 1956). При наличии же связанных состояний ряд теории возмущений начиная с некоторой энергии может расходиться. Эту трудность удается иногда преодолеть при использовании иных методов, например метода Фредгольма (Р. Пост, А. Пайс, 1951; М. Бейкер, 1958; И. Маннинг, 1964) или метода ква- зичастиц (С. Вейнберг, 1963). В случае же сильно сингулярного потенциала отталкивания ряд теории возмущений расходится, в то время как правильный ответ конечен. Не исключено, что такого рода ситуация может иметь место в так называемых неперенорми- руемых теориях квантованных полей (Н. Хури, А. Пайс, 1964; А，Паце, Т. By, 1964; Б. А. Арбузов, А. Т. Филиппов； 1964).
Если нас интересует задача о связанном состоянии (т. е. ^2 = —1^|2 = —х2; х > 0), то, выбирая решение в виде
<р(д)=宀炉'"1(Н.4)
после алемен-после алемен-[О, q>b
после алемен-
после алемен-
и подставляя его в уравнение, получаем тарного интегрирования
&2
о = 1 - 4лС f 号工 У壮+ x
(11.5)(11.6)(11.5)(11.6)=1 -4jiC[&-xarctg-^-^ ->1 -4лС[& -^-
(11.5)
(11.6)
(11.5)
(11.6)
承州2承州24тгС 匕一 1“ "~2л2С ~4тгС 匕一 1“ "~2л2С ~Отсюда находим энергию связи уровня
承州2
承州2
4тгС 匕一 1
“ "~2л2С ~
4тгС 匕一 1
“ "~2л2С ~
До сих пор мы считали константы & и С конечными. Из (11.6) видно, однако, что энергия связанного состояния (11.6) будет оставаться постоянной при предельном переходе & —> оо, С —>0, если выполняется условие (11.2). Другими словами, если мы хотим, чтобы во время предельного перехода оставалась неизменной энергия уровня, величина b должна стремиться к бесконечности как
(11.7)(11.7)1 + 2л 2州 с4лС
(11.7)
(11.7)
Это условие вполне аналогично условию, которое мы получили в координатном представлении для точечных потенциалов (см. § 3 гл. I).
От функции (11.4) просто перейти к координатному представлению:
屮⑺=訪 J et9r^)dq = A 仔)%『.(11.8)
Полученный результат можно было предвидеть. Волновая функция (11.8) в том виде, как она записана, расходится в нуле, как это и должно быть в случае сингу- лярного потенциала.
Рассмотрим теперь задачу о рассеянии. Волновую функцию будем искать в виде
必⑷=6伍_) + •产—居《》,(11.9)
где у — бесконечно малая положительная величина.
В предыдущих параграфах было показано, что такой вид действительно соответствует задаче о рассеянии: первый член при переходе к координатному представлению дает плоскую волну, а второй ——расходящуюся рассеянную. Подставляя (11.9) в исходное уравнение и учитывая (11.1) и тождество
q2 - (k2 + Zy) q2 十 g2(gZ-右2一汕，】1・LU丿
сводим уравнение к
0 = В-СИ + 4лВ f F、м
jJ g2-(公+2
^ В — С -| 1 + 4л8(6 + “;*)卜
Используя (11.6), перепишем это как
2冗2 А —配'
что и решает задачу о нахождении волновой функции.
Переходя к координатному представлению, получаем "⑺=言｛^‘ + 3?).(U」D
Сечение рассеяния при этом равно
0 = 炉 +々2 .(11.12)
Попробуем теперь эту же задачу о сингулярном потенциале решить с помощью теории возмущений. На первый взгляд это должно быть очень просто, так как матричные элементы взаимодействия Ид^ стремятся к нулю при С—>0,
Процедура теории возмущений сводится к итерации исходного уравнения (11.3). Невозмущенная волновая функция (т. е. решение этого уравнения без правой части) есть просто плоская волна:
吧)⑷=6但一 g).
Поправка первого приближения равна параграф)СПоправка первого приближения равна параграф)С噌(G= gj匕Y噌(G= gj匕Yg2 一胪一jyОg2 一胪一jyО(см. предыдущийпри q <Ь, при g>b.(см. предыдущийпри q <Ь, при g>b.
Поправка первого приближения равна параграф)
С
Поправка первого приближения равна параграф)
С
噌(G= gj匕Y
噌(G= gj匕Y
g2 一胪一jyО
g2 一胪一jyО
(см. предыдущий
при q <Ь, при g>b.
(см. предыдущий
при q <Ь, при g>b.
Подставляя это выражение в правую частьПодставляя это выражение в правую часть(11.3), на-(11.3), на-
Подставляя это выражение в правую часть
Подставляя это выражение в правую часть
(11.3), на-
(11.3), на-
ходимходим
ходим
ходим
Продолжая итерации, получаем
磴）（G =产一』［4яС 伍 + 萼）『•（11.13）
Чтобы получить, наконец, точное значение волновой функции, надо просуммировать весь бесконечный ряд теории возмущений, что в нашем случае легко делается, так как ряд сводится к геометрической прогрессии:
фа (д) = 6伍-д) + £ 噌⑷=
—6 (论g) +宀—6 (论g) +宀1一4好+嘎1一4好+嘎
—6 (论g) +宀
—6 (论g) +宀
1一4好+嘎
1一4好+嘎
(11.14)(11.14)
(11.14)
(11.14)
- 6('0)+统优一现)g2 —々2 - w ,
что совпадает с полученной выше точной формулой.
Мы видели в предыдущих абзацах, что каждое приближение теории возмущений обращается в нуль в пределе С—>0, т. е. при стремлении радиуса потенциала к нулю. Ответ, являющийся суммой бесконечного ряда, тем не менее отличен от нуля и зависит не от радиуса потенциала, а лишь от энергии связанного состояния.
Это служит наглядным доказательством того, что малость первого и последующих членов теории возмущений еще не гарантирует возможности ограничиться конечным числом приближений. Причина довольно проста: критерий применимости теории возмущений заключается в том, чтобы добавка к волновой функции iqp(g) была много меньше функции нулевого приближения при всех значениях аргумента.
В рассмотренном в этом параграфе случае, например, функция нулевого приближения (р^ (^) равна нулю при k*q. Поправки же <p})(q) отличны от нуля практически при всех д, хотя по абсолютной величине они и стремятся к нулю. Это и приводит к тому, что любое конечное число приближений не может дать правильный ответ для волновой функции.
В рассмотренных выше случаях предполагалось, как это обычно и делается, что при достаточно слабом возмущении AW7 (Л—>0) волновая функция 屮 и возмущенная энергия Е могут быть разложены в степенной ряд по А, или, иначе говоря, предполагалось, что эти величины аналитичны по А.
Это, однако, не всегда так. Сейчас мы приведем простой пример, когда энергия Е является неаналитической функцией величины X. Пусть <ро» - • •, <Pn и Е()= 0, ...,En — собственные функции и собственные значения невозмущенного гамильтониана
^оФо ^оФо， НоЧР/г = Е/ZP/n 〃==1, ・・・，М
причем значения Еп распределены равномерно на интервале (—А, А). Пусть также гамильтониан возмущения имеет отличные от нуля матричные элементы лишь между состояниями 0 и и, причем знак всех элементов одинаков. Предположим, наконец, для упрощения расчета, что все матричные элементы равны друг другу, Von = К
Решение у. Ш.
(E-Hq)^= V^ ищем в виде
= л (<Ро + 2 cn<pj.(11.15)
При этом не предполагаем, что с^《 L Для этих коэффициентов немедленно получаем уравнения
E^V^cn, (E-E^cn=V. (11.16)
Находя сп из второго уравнения и подставляя это значение в первое уравнение, получаем
七二，⑵=片£后看.(11.17)
/г = 1
Это есть точное уравнение для определения энергии Е, Из рис. 13 видно, что уравнение имеет (^—1) корень
на интервале [—Д, А], один корень при £* > А и один корень при Е < —А.
Найдем теперь в пределе N -> 8 энергию основного состояния (корень уравнения при £ <—А). В этом случае мы можем заменить сумму интегралом, после чего
получаемполучаемЕI Е-А■д = _ X^TTZ.ЕI Е-А■д = _ X^TTZ.
получаем
получаем
ЕI Е-А
■д = _ X^TTZ.
ЕI Е-А
■д = _ X^TTZ.
Мы получили трансцендентное уравнение для определения Е. Заметим, что для того, чтобы эффективная связь осталась слабой (именно этот случай мы и рассмотрим), необходимо, чтобы при М-*8 У-*0 так, чтобы коэффициент при логарифме стремился к малому числу, т. е. дгуз
——>а《1. В этом случае £*勺 一А, и мы получаем
Е + А=-2Ае~；(11.19)
Мы получили формулу для энергии основного состояния, которая неаналитически зависит от силы возмущения V и потому по теории возмущений не может быть получена. Заметим, что в нашем случае расстояние между уровнями на интервале [——А, Л] имеет порядок 2A/N и потому стремится к нулю при 8, тогда как расстояние между нижним уровнем и следующим за
ним уровнем конечно и равно А] = Е + А= —2Ае a. Мы получили так называемую энергетическую щель, а на интервале [—А, А] сплошной спектр. Заметим еще, что вероятность А2 нахождения состояния ф0 в основном состоянии *фо в нашем случае конечна:
2 一丄
屋 к/?乙(Ц.20)
Рассмотренная выше модель могла показаться довольно искусственной, не имеющей никакого отношения к реально встречающимся проблемам.
Подчеркнем в этой связи, что она может рассматриваться как модель (правда, очень грубая) сверхпроводящего состояния. При этом роль функций фп играют состояния фА пары электронов с противоположно направленными импульсами 论 и ——k и спинами (куперов- ские пары (Л. Купер, 1956)), а величину 2Д можно интер претировать как ширину размытия поверхности Ферми (это та область, в которой происходит взаимодействие, ответственное за сверхпроводимость). Взаимодействие между различными состояниями в этой модели возни* кает за счет перехода в промежуточное состояние(ро и
7 А. И. Базь и др.
носит характер эффективного притяжения. Такая модель качественно передает характерные черты сверхпроводящего состояния: возникновение щели при сколь угодно слабом притяжении и неаналитическую зависимость ширины щели от силы взаимодействия (Дж. Еар・ Nhh, Л. Купер, Дж. Шриффер, 1957; Н. Н. Боголюбов, 1958).
Временная функция Грина
Рассмотрим неоднородное временное у. Ш.
他^_")(р(г, /) = Q(r, /).(12.1)
Частное решение этого уравнения можно записать как
Ф(г, /)=| d/ df G (г, /; /, f^QS-，)•(12.2)
Входящая сюда временная ф. Г. равна
FiE (/-Л
G =-壶 J dEGE (") в(12.3)
Действительно, учитывая, что
HGe = EGe + 6(t —八
легко получаемлегко получаем~ — = 6(r-r,)6(/-f).~ — = 6(r-r,)6(/-f).(12.4)(12.4)
легко получаем
легко получаем
~ — = 6(r-r,)6(/-f).
~ — = 6(r-r,)6(/-f).
(12.4)
(12.4)
Формула (12.3) еще неоднозначна, так как в нее можно подставлять G^) или
Как скоро будет видно, наибольший интерес представляет первая возможность (т. е. Gg')・ Она описывает естественное развитие событий от прошедшего к будущему. Именно этот случай мы и рассмотрим.
炉g吟"3）炉g吟"3）Пользуясь явным выражением для G(+), можем написать
炉g吟"3）
炉g吟"3）
G (г, /; /, У)=為,АЕе"^Е D J dp
При этом предполагается, что связанных состояний нет. Их учет не прибавил бы ничего нового. Проинтегрировав по £ и помня, что у > 0, сразу же получаем
-4 J如货‘⑺喷）*（力e~』0-4 J如货‘⑺喷）*（力e~』0Gk f； /, У)=
-4 J如货‘⑺喷）*（力e~』
0
-4 J如货‘⑺喷）*（力e~』
0
(5
при /> Г,
,(12.5) при f <У,
т. е. эта функция отлична от нуля только при / > 匕
Наиболее простой вид, конечно, имеет гриновская функция свободного у. Ш. С помощью формул (2.3)— (2.5) ее можно записать в любом из видов:
G产&, /; /, 6=- 土后謀二У))""嗡黑=
~/"一r1一等优一夕)
—晶 j/E^^—. (12.6)
Решение свободного уравнения с источником Q(，，f) запишется как
$('，f)=-»J dEMdfQH П-~[7^—- (12.7)
Смысл этой формулы кристально ясен: значение волновой функции в точке г в момент времени t является суперпозицией сходящихся к этой точке волн
，
вышедших из точки / в момент времени f. Амплитуда этих волн определяется плотностью источника Q ("/?')，
В простейшем случае, когда точечный источник расположен в начале координат и испускание происходит в момент времени У = 0 (Q = 6(尸')6(产))，имеем
гдегдеf)=f)=尤為广№T)尤為广№T)(12.8)(12.8)т гт г方冷22m *方冷22m *
где
где
f)=
f)=
尤為广№T)
尤為广№T)
(12.8)
(12.8)
т г
т г
方冷2
2m *
方冷2
2m *
Испусканию частиц с фиксированной энергией в отвечает экспоненциальная зависимость плотности источника от времени:
Qd 0 = Q(He~ (12.9)
Действительно, в этом случае интегрирование по У н Е в (12.7) выполняется сразу, и мы получаем”
<p(J /)=-需/"亲<p(J /)=-需/"亲Q(C， (12.10)Q(C， (12.10)
<p(J /)=-需/"亲
<p(J /)=-需/"亲
Q(C， (12.10)
Q(C， (12.10)
где 乂 = 1/ —g^- . Если 2 отлична от нуля лишь в малой области пространства вокруг точки /, то при больших г получаем естественный результат:
据0 〜一需电-~~ J dkJ" 丁飞(产).(12.11)
Но это есть не что иное, как расходящаяся волна частиц с энергией 8. Амплитуда ее есть фурье-компо- нента по функции источника.
Другой ф. Г., явный вид которой известен, является ф. Г. для гармонического осциллятора (£7 =卫院?)
6(小乙y)=-十(釈瑞匸用7亢 ,(12.12) где
S (г, /;，，/')= 2Wri 器二竹 Us 8 (f - У)3 + /) - 2r/].
(12.13)
Интересно отметить, что S 亿/；/,У) (так же как и показатель экспоненты в (12.6)) есть классическое действие, т. е.
S (г, /; /, /) = J L (/) dt,
где £ = Т— U — лагранжиан системы, а интегрирование производится по классической траектории частицы. Этот факт не случаен, а связан с квазиклассичностью движения в потенциале U(г), зависящем от координат только линейной и квадратично (Р. Фейнман, 1948). Потенциал U при этом может являться произвольной функцией времени: U = U (г, /).
ГЛАВА V
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Волновая функция в квазиклассическомприближении
Квазиклассическое приближение, или метод ВКБ, для простейшего случая одномерного движения с потенциалом, не зависящим от времени, широко используется в квантовой механике. Этот метод излагается в настоящем параграфе весьма кратко, поскольку он подробно разобран во многих учебниках. В следующих параграфах рассмотрены более сложные вопросы квазиклассики. § 2 посвящен рассмотрению квазиклассических формул для вырожденного ферми-газа. На этом примере мы увидим, что усреднение по большому числу частиц приближает систему к классической. В § 3 излагается квазиклассиче- ский метод для многомерного случая; полученные при этом формулы, в частности условия квантования Бора — Зоммерфельда, игравшие столь важную роль в старой квантовой теории (М. Борн, 1925), оказываются применимыми и в том случае, когда переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Наконец, в § 4 рассмотрено квазиклассическое приближение для нестационарных задач и получена формула для проницаемости потенциального барьера, переменного во времени. Эта формула используется для решения задачи об ионизации атома в поле сильной световой волны.
Рассмотрим сначала качественный характер решений одномерного у. Ш. (1.6) ел. I с потенциалом, не зависящим от времени. При этом необходимо отдельно рассматривать области, где
々2<ру)и 絕〉р()
В первой области полная энергия меньше, чем потенциальная, во второй ——больше. Кинетическая энергия при этом соответственно отрицательна или положительна.
При изучении поведения х^(г) мы воспользуемся так называемым квазиклассическим приближением ), которое достаточно хорошо передает качественные черты различных случаев.
Прежде всего перепишем уравнение (1.6) гл. I в виде
+修）7 = 0’（1」）
где р совпадает с классическим импульсом частицы:
р = 2 1A2—尸(гУ・
Будем искать решение уравнения (1.1) в виде
% (г) = е"(г).(1.2)
Для о (г) получаем
沁"—((/)2 + 方=О.
Если (как мы и будем предполагать) о = оо + ① + ..., ом《ои, это уравнение дает
%= 土屮'％= ±4" J*P(r')dr', о, =yln-^-,%= 土屮'％= ±4" J*P(r')dr', о, =yln-^-,откудаоткудаХ =Х =exp I 土exp I 土(1.3)(1.4)(1.3)(1.4)
%= 土屮'％= ±4" J*P(r')dr', о, =yln-^-,
%= 土屮'％= ±4" J*P(r')dr', о, =yln-^-,
откуда
откуда
Х =
Х =
exp I 土
exp I 土
(1.3)
(1.4)
(1.3)
(1.4)
Условием применимости описанного метода,очевидно, яв
ляетсяляетсяI。〃 I G = 1W1 "2 —I。〃 I G = 1W1 "2 —号屮I;号屮I;(1.5)(1.5)
ляется
ляется
I。〃 I G = 1W1 "2 —
I。〃 I G = 1W1 "2 —
号屮I;
号屮I;
(1.5)
(1.5)
Здесь X — длина волны частицы X (г) — у^у . Это условие выполняется лишь для достаточно гладких потенциалов, вдали от тех точек, где р(г) обращается в нуль (точек поворота). В случае реальных потенциалов условие (1.5) остается справедливым в широкой области изменения г.
В классически достижимой области k2> V(г), т. е. Е > U(г) два независимых решения можно записать как
sinsinCOSCOS(1.6)(1.6)ГоГо
sin
sin
COS
COS
(1.6)
(1.6)
Го
Го
т. е, оба решения имеют осциллирующий характер. Частота осцилляций тем выше, чем больше разность k^~V(ry
Случай ^2 < У (г) соответствует классически недостижимой области, где Е < £7(г). В этой области р принимает мнимые значения р = i\p\ и в качестве двух независимых решений можно взять монотонные функции
Xi = exp I-g- j* I р (г') I dr',般=exp — $ j* I р (/) | dr' • “ " (1.7)
Таким образом, мы приходим к следующему заключению о характере волновых функций.
В классически допустимой области у. Ш. имеет два решения. Каждое из них имеет осцилляторный характер. Частота осцилляций тем больше, чем больше разность k^—V(ry
В классически недопустимой области также имеются два решения. Оба они монотонны. Одно из них монотонно убывает от точки, где 依=»(「)？ другое — монотонно
возрастает.
Заметим, что выражение, стоящее в экспоненте в (1.4), г
это не что иное, как укороченное действие S= | р (rz) df. Учитывая зависимость волновой функции % (г, /) от вре- мени x(r, f) = y(r)e 九 и выбирая для определенности в (1.4) знак плюс, получаем % (г, /)〜е 比'"",где величина S (г, /) = S (г) — Et= J L (f) d^ есть радиальная
"2
часть полного действия, L = ^~ — £7 (г) — функция Лагранжа рассматриваемой системы. В более простом одномерном случае соответствующая формула имеет вид
»s (招 A
屮(招/)〜e方. (1.8)
Эта формула имеет принципиальное значение, так как устанавливает связь между классической и квантовой механикой. В общем случае она является приближенной и справедлива при тех же условиях, что и квазиклассика. Как было показано Р. Фейнманом (1948) (см., например, книгу Р. Фейнмана, А. Хибса (1965)), точный квантовомеханический аналог формулы (1.8) можно получить, если ввести континуальное интегрирование, т. е. интегрирование по всем возможным траекториям частицы )•
В общем случае такой континуальный интеграл вычислен быть не может. Если, однако, выполнены условия применимости квазиклассики, то основной вклад в этот интеграл дает узкий пучок траекторий, близких к классической траектории. Учет вклада одной лишь классической траектории и дает формулу (1.8), которая, таким образом, является приближенной.
Однако в ряде простых случаев формула (1.8) становится точной (Р. Фейнман, 1948). Докажем, что это утверждение справедливо, если лагранжиан L является квадратичной формой от переменных х и р. Для этого во
временное уравнение Шредингера
讳需=—•£•窯+ U(%,f)W(1.9)
подставим
巾(招 /) = Л (x, /) e 比U」U)
и учтем, что действие S(x, /) удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона — Якоби
吟+ *(嗡丫+ U(%，/)= 0・(LH)
Тогда получаем•丄 а” —1Тогда получаем•丄 а” —1方dM方dMа а%2а а%2.(1.12).(1.12),2idAdSt. ^~А~дх~д^ + ',2idAdSt. ^~А~дх~д^ + '
Тогда получаем
•丄 а” —1
Тогда получаем
•丄 а” —1
方dM
方dM
а а%2
а а%2
.(1.12)
.(1.12)
,2idAdSt. ^~А~дх~д^ + '
,2idAdSt. ^~А~дх~д^ + '
Если Л (х, /) зависит лишь от /, то легко видеть, что (1.12) имеет следующее частное решение:
(1.13)(1.13)(постоянная(постояннаяS (х, t) — a (/) х2 + b(t) х + с (/),
(1.13)
(1.13)
(постоянная
(постоянная
4(f) = exp - -^- j a (f) df
Здесь 力一произвольный момент времени интегрирования). Из уравнений
订 as os
"一m，吋后
находим общий вид гамильтониана, для которого справедлива формула (1.10) с А = A{ty.
Н (х, /)=
=сц «) р2 十 ％ (f) р% + М (f) х2 + d «) р 十 02 (f)尤 + Y (/) (L14) (а/, 5高 丫 — произвольные функции времени). К этому случаю относятся:
свободная частица;
движение в однородном электромагнитном поле;
гармонический осциллятор с переменными массой и частотой под действием внешней силы, произвольно зависящей от времени.
Рассмотрим, в частности, частицу (с т = 1), движущуюся в однородном электрическом поле f (/), включающемся в момент %. Через 自(2) и т)«) обозначим положение и скорость частицы, начинающей движение с нулевыми начальными условиями:
11(0 = Jnn^, ^(0 = /п(П ^.
Найдем действие S (х, /； %\ f) (/ > f > 力)
S (x, f; x\ f) = J L (t) "t = j ［》吗t) + f (т) % (t〃 dr.
(1.15)
V (т) = vz + J f (V) d< = с/ + х (т) — х (f),V (т) = vz + J f (V) d< = с/ + х (т) — х (f),Здесь х(т) и v(t)— положение и скорость частицы, имеющей р момент L координату £:
V (т) = vz + J f (V) d< = с/ + х (т) — х (f),
V (т) = vz + J f (V) d< = с/ + х (т) — х (f),
(1.16)
尤⑴=廿+u一^/*T一力+自⑺一自g).
Величину 。’ определяем из условия %(/) = %, после чего х(т) и。⑴ принимают окончательный вид: х(т)“+(хТ(2—Т(3(тТ，) +
+ Кт) —НУ), (1.17) 二叫二尸⑺』(Т).
Как нетрудно видеть, x(f) = х\ 无(Z) = %. Подставляя выражения (1.17) в (1.15), после несложных вычислений получаем
S（х,，；炉产）J（"吗（兰了⑺叫
Ч-^^х-^^Эл/- у J n2(T)dr・ (1.18)
Сравнивая с (1.13), находим
。("占 科(Г9)
(Значение константы легко найти из сравнения с известной функцией Грина для свободного движения.) В итоге получаем формулу(Значение константы легко найти из сравнения с известной функцией Грина для свободного движения.) В итоге получаем формулуG (х, /; К У)=G (х, /; К У)=8 (/-У)V^ti匸 f j8 (/-У)V^ti匸 f jts (%f;片，F) , ftts (%f;片，F) , ft(L20)(L20)
(Значение константы легко найти из сравнения с известной функцией Грина для свободного движения.) В итоге получаем формулу
(Значение константы легко найти из сравнения с известной функцией Грина для свободного движения.) В итоге получаем формулу
G (х, /; К У)=
G (х, /; К У)=
8 (/-У)V^ti匸 f j
8 (/-У)V^ti匸 f j
ts (%f;片，F) , ft
ts (%f;片，F) , ft
(L20)
(L20)
где S(xf; x\ f) определено в (1.18).
Если f(t) = F от времени не зависит, то (1.18) переходит в действие для движения в постоянном поле 尸:
S(x, f; /^^^^^-^^х + ^^-П--^^-^.
(1.21)
Наконец, при F—>0 получаем S для свободной частицы:
S(x,f; 器分.(1.22)
Подставляя (1.21), (1.22) в формулу (1.20), получаем явные выражения для соответствующих функций Грина.
Квазиклассическое приближение для вырожденногоферми-газа *)
Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть мы имеем потенциальный ящик длины / (U = 8 при % < 0 и х> /; U — Q при 0《％《/). Тогда волновая функция п-го стационарного состояния ^п (х) === ^~ sin — х, а 方2 h2m2
энергия Еп = 2^- —- .Поскольку в каждом квантовом состоянии могут находиться лишь две частицы спина 1/2, то при заполнении такими частицами нашего ящика мы
получаем следующее выражение для плотности частиц при температуре Г = 0:
р? = ^ =時и鼠р? = ^ =時и鼠(2.1)(2.1)
р? = ^ =時и鼠
р? = ^ =時и鼠
(2.1)
(2.1)
Поскольку полученное выражение не зависит от 厶 то можно устремить / к оо, т. е. перейти к рассмотрению системы в свободном пространстве. Поместим теперь эту систему в потенциальное поле U (х). Тогда в квазиклас- сическом приближении получаем выражение для плотности, аналогичное (2.1):
p1(%)=啥"以一u(办p1(%)=啥"以一u(办(2.2)(2.2)
p1(%)=啥"以一u(办
p1(%)=啥"以一u(办
(2.2)
(2.2)
Для разности плотностей имеем
Ар1 (%)曰 Р, (%) — Р[°)=噜1 [VEn- U (x)-伏瓦]• (2.3)
В трехмерном случае соответствующие величины имеют вид:
Р时需自产，(2・Г)
Рз(г) = ^(Е〃一и(г))%，⑵ 2，)
Арз(г) = ^^ [(£ - U (г)产 一 Е%].⑵3，)
Возникает вопрос о границах применимости этих формул. Представим себе случай U(г), отрицательного в ограниченной области пространства и равного нулю всюду вне этой области. Тогда казалось бы для применимости формул необходимо, чтобы число частиц, связанных в яме, было много больше единицы. В одномерном случае при | U(x) | < Еп находим
Api⑴=-Api⑴=-/2ш U(x)以方 M瓦/2ш U(x)以方 M瓦(2.4)(2.4)
Api⑴=-
Api⑴=-
/2ш U(x)以方 M瓦
/2ш U(x)以方 M瓦
(2.4)
(2.4)
Итак, если U(%)《0, то Api (х) > 0, причем с увеличением Е суммарное изменение плотности газа над ямой уменьшается. Смысл этого результата ясен: в одномерном случае яма всегда имеет по крайней мере один связанный
уровень с Eq < 0, дающий положительный вклад в Дрь Свободные частицы с Е > 0 пролетают над ямой быстрее, чем вне ямы, следовательно, плотность их над ямой меньше, чем вне ее. Поэтому величина Api есть разность вклада связанных частиц (не зависящего от Е) и вклада свободных частиц с Е > 0. Возникает вопрос: применимы ли формулы (2.3), (2.4) при одном связанном состоянии? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным: именно сейчас мы покажем, что обращение Ар【(х) в нуль при fn —► оо справедливо независимо от применимости квазиклассического приближения при всех энергиях £<£„). В частности, достаточно, чтобы квазикласси- ческое приближение было применимо при Е = Е几.Для доказательства этого утверждения рассмотрим малое возмущение потенциала 6U и найдем изменение Wr(%) и рТ1(х) = |屮穽(尤)|2 в первом приближении теории возмущений. В одномерном случае, как известно, волновые функции можно выбрать действительными, после чего получаем
65 = 2 Е；缎宀(%)，(2.5)
6р“ (%) = 2屮“ 6必=Е /如(2.6)
где
^пт — 品一Ет ， ^пт — ^тп*
Рассмотрим суммарное изменение плотности частиц с п < V：
V
бр!(П < V)= 2 ЙРп = 2 工 Atm, (2.7)
откуда находим
6p1(n<v) + 6pi (n>v)=工 Amn = 0.
Иными словами,
бр! (n<v)= — Spi (n > v).(2.8)
Поскольку это соотношение верно для произвольной малой вариации 6U при произвольном (не малом) U(х), то такое соотношение справедливо и для изменения U(х) от 0 до U(%), т. е.
Api (n<v)= - Ар】 (n>v)= - Sv [pln(%) — p乳.(2.9)
Смысл этого преобразования состоит в том, что с его помощью мы переходим к рассмотрению частиц с энергией больше граничной Е > Еп, для которых условие квазиклассичности движения в поле U (х) гораздо менее ограничительно.
(2.10)(2.10)Если оно выполнено, то волновые функции, нормированные на единичный объем, имеют вид
(2.10)
(2.10)
々(х) = ]/稣一卩(х), V{x)=^U (х),
откуда находим
(2.П)
Api {k<k^ = l f 岛= 贬一Г —吼),(2.12) J&J КJ &
что совпадает с формулой (2.3).
Для нахождения поправок к формулам (2.2), (2.3) возьмем более точное приближение для волновых функций:
必尸了今呻必尸了今呻_月丄1 °2=中十歹_月丄1 °2=中十歹j J 尼 dx - io2一03 J，* ,3 (kf^ 廿j J 尼 dx - io2一03 J，* ,3 (kf^ 廿(2.13)(2.13)亨a招03= B 口丿一亨a招03= B 口丿一
必尸了今呻
必尸了今呻
_月丄1 °2=中十歹
_月丄1 °2=中十歹
j J 尼 dx - io2一03 J，
* ,3 (kf^ 廿
j J 尼 dx - io2一03 J，
* ,3 (kf^ 廿
(2.13)
(2.13)
亨a招03= B 口丿一
亨a招03= B 口丿一
откуда следует
△Pi = _『局"岛卄— * —备} (2・14)
Интегрируя, получаем ответ
А时^*⑶一礫+育+晶].(2.15) Недостаток этого способа получения поправок заключается в том, что в выражении (2.13) для волновой функции мы пренебрегаем амплитудой отраженной волны (рассматриваем только деформацию проходящей волны), которая в случае аналитического U (х), не имеющего особенностей на вещественной оси, не разлагается в ряд по 1/々.
Другой подход к поправкам заключается в использовании борновского приближения. При произвольном по форме, но малом U(х), используя свойство полноты системы волновых функций, получаем “
Api(%) = J L(kn[x-y\)V (护 dy, (2.16) где функция
2)=-打*2Х
отлична от нуля в интервале порядка единицы и вне этого интервала быстро затухает.
Выражение (2.16) выявляет тот факт, что масштабом длины в решении является 厶笃=l/kn ——длина волны частицы, движущейся с граничной энергией; между тем связанные частицы и частицы с малой энергией, на которые U (х) действует особенно сильно, имеют 九 > 九必 Следовательно, их вклад взаимно компенсируется.
Размазывание, описываемое функцией L(kn\x — у|), не изменяет общего прироста числа частиц в окрестности области действия потенциала, поскольку после интегрирования получаем
Ар】(х) dx = - /^ J U (x) dx (2.17) в точном соответствии с (2.3).
Отступления от формулы (2.17) оказываются более высокого порядка по U (х), тогда как отступления от локальной формулы (2.3) первого порядка по U(х).
Вместе со старшим поправочным членом выражение (2.17) имеет вид (ср. (2.14))
J ЛР1 (х) dx = ^У^ J [(E-U (%)产 一 Е%"х +
+ bE-s/^(^dx.⑵ 18)
Следует иметь в виду, что эти формулы становятся неприменимыми при малом, но периодическом U(%), U (х)〜sin knx\ как известно, в этом случае спектр разбивается на зоны; совпадение границы зоны с граничной энергией ферми-распределения, существенно меняет свойства газа (в частности, превращает металл в диэлектрик).
Переходя к рассмотрению трехмерного случая, заметим, что при малом U(г), локализованном в области \r\ < RQi связанные состояния отсутствуют и борновское приближение применимо вплоть до самых низких энергий. По этой причине можно обойтись без использования теоремы полноты и интегрировать по занятым состояниям.
В результате получаем
АРз⑺=熊 J L{kn\r-r^V(rf)drf, (2.19) где
г /、 sin (2x) — 2x cos x
Мз=-壷俨” + К卜Мз=-壷俨” + К卜(2.20)(2.20)Разлагая 丿(*) в ряд по г —— 产，приходим к известной формуле
Мз=-壷俨” + К卜
Мз=-壷俨” + К卜
(2.20)
(2.20)
Хотя общий характер формулы сохраняется, существенным здесь является различие в знаке поправки: в одномерном случае коэффициент при V2V был положителен.
Рассмотрим еще случай трехмерного потенциала, не являющегося, однако, локализованным. Если потенциал зависит только от одной координаты, например U = U(х),
то ky и kz ——интегралы движения, и при фиксированных ky и kz задача сводится к одномерной
Api (ky.纟，%)=
где
比=U欣一腸一成ElEl鱼塞
Полное изменение плотности получается при интегрировании по ky и kz
△рз(^“，％) = ；/ Api (kx, х) kx dkx. (2.22) о
Однако при подстановке в (2.22) квазиклассического выражения (2.21) для Api интеграл на нижнем пределе расходится. Для преодоления этой трудности разобьем область интегрирования на две области. При kx< k интегрируем точное (не квазиклассическое) выражение △pi. При kx<k пользуемся квазиклассическим выражением
統
△рз 3“，х) = Арз (电 х) + 圭 J Api 电，％) kx dkx. (2.23)
В пределе fen-* oo, Др3 должна удовлетворять статистической формуле без поправок, т. е.
△Рз (% х) f Мо)(&，%)=表附一呼一闱•(2.24)
Из сравнения этих двух выражений получаем, что для каждого из двух поправочных членов Ар『 в (2.21) имеет место формула
J Ар?(厩,％) &叽=0,(2.25)
о
откуда следует
М第(啞 ％)= — £『W 的，％)做 ％ (2.26)
Эта формула несправедлива, однако, для основного статистического члена в (2.21). Таким образом, в трехмерном случае принцип перенесения суммирования из области k <kn ъ область k> kn применим только к поправкам к статистической формуле.
В заключение заметим, что рассмотренная нами величина р(х) есть не что иное, как диагональный элемент матрицы плотности р(х ,х) при температуре Г = 0, записанной в координатном представлении. Явный вид р(х, х) для ряда случаев можно найти в работе Ю. Н. Демкова и И. В. Комарова (1965). Некоторые формулы для матрицы плотности р при температуре, отличной от нуля, имеются в работе С. Голдена (1957).
Многомерный случай
При переходе к многомерному случаю сразу же выясняется, что обычный квазиклассический метод здесь применять нельзя. Поэтому обычно пытаются найти такую систему координат, в которой переменные в у. Ш. разделяются, и тем самым задача сводится к одномерной. В случае свободного движения, помимо сферической системы, переменные разделяются еще в десяти системах координат (Л. Эйзенхарт, 1934). Потенциалы, допускающие разделение переменных, перечислены в работе Л. Эйзенхарта (1948).
Многомерная квазиклассика для систем, не допускающих разделения переменных, была развита совсем недавно (Дж. Келлер, 1958; Дж. Келлер, С. Рубинов, 1960; В. П. Маслов, 1965). Ее построение оказалось не совсем тривиальным, поскольку выяснилось, что существенную роль при этом играют топологические свойства фазового пространства (Дж. Келлер, С. Рубинов, 1960; В. П. Маслов, 1965; В. И. Арнольд 1967).
Рассмотрим сначала, следуя работе Дж. Келлера (1958), вывод условий квантования для частицы, находя-
щейся в многомерной потенциальной яме. Обычно считают, что в квазиклассическом приближении 屮 =业，где
1|)о(^о t) = A(qb t)eiS^' ^,(3.1)
S(«£,f)——полное действие, а функция Л (^, /) является однозначной функцией координат. В силу непрерывности функции тро разность AS любых двух значений многозначной функции S (夕厶 f) равна
AS = ^ pi dqi = 2лЁп,(3.2)
с
Это уравнение должно выполняться для любой замкнутой кривой в ^-пространстве. Однако все замкнутые кривые рассматривать не обязательно, поскольку интеграл в (3.2) имеет одно и то же значение для любых двух замкнутых кривых, которые могут быть деформированы друг в друга без пересечения сингулярности подынтегрального выражения. Например значение этого интеграла равно нулю для кривой, которая может быть деформирована в точку. Более подробно вопрос о выборе контура интегрирования обсуждается в тексте после формулы (3.9).
Мы пришли к условию квантования с целыми числами п. Это условие, однако, верно не всегда. Например, в случае одномерного осциллятора, как хорошо известно, п нужно заменить на n + V2. Отказываясь от предположения однозначности 4(力,/), вместо (3.2) получаем
AS= $ 〃對？ = 2兀方卜 + ,^^).(3.3)
Если, например, два значения Л отличаются знаком, то Д In Л = —in и.
^S = ^ pi dj = 2лй (" + 4")・(3.4)
Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению формулы (3.1) ДЛЯ Три：
业= £40, /)е ^…，(3.5)
где Sh и Ak — различные ветви многозначных функций S н 4
Подставляя (3.5) в уравнение Шредингера 〃(р,夕)业= =Е屮о, получаем уравнения для S и Л.
，(嗡，q)=£，(3.6)
£君階…，(3.7)
где Pk /^, U/ = -~- . Уравнение (3.6) есть обычное уравнение Гамильтона — Якоби. Уравнение (3.7) выражает сохранение «вероятности» 尸盘 ~ Л|.
Из рассмотрения трубки траекторий с бесконечно малой площадью поперечного сечения Ко находим )
"L。礬"⑼，(3-8)
где
и =
Уравнение (3.3) для Лй и S亙 принимает теперь вид
$ VS总ds = 2л5 ^ + ^ ^ Vin Akds^. (3.9)
причем уравнения (3.9) должны выполняться при интегрировании по произвольному контуру С в координатном пространстве. Если, однако, два таких контура & и С2 могут быть деформированы друг в друга без пересечения особых точек функций VS и V In Л (назовем такие контуры эквивалентными), то интеграл по одному из них можно не рассматривать. Поэтому достаточно рассмотреть неэквивалентные друг другу контуры, которых оказывается конечное число. Очевидно, что это и есть число условий квантования.
Нахождение этих контуров усложняется из-за того факта, что функции VS и V In Л в нашем пространстве являются не однозначными, а, скажем, М-значными (то обстоятельство, что степень неоднозначности функций VS и Vin Л одинакова, видно из уравнения (3.7)). Можно, однако (подобно тому как это делается в теории аналитических функций), сшить М экземпляров нашего /пространства и получить накрывающее пространство, на котором функции VS и Vin 力 будут уже однозначны. Независимые замкнутые кривые в накрывающем пространстве и дают нужные нам контуры С.
Вычислим при обходе контура С$ изменение величины In Д — A In 4H $ V In 4 ds.
Изменение величины In Д происходит в тех точках контура, где 4 обращается в оо. Из (3.8) видно, что это точки, в которых 醤"=0 или п = 0. Поверхность -^- = 0— это каустическая поверхность, а поверхность у = 0 — это поверхность точек остановки. Как хорошо известно из теории дифракции (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1967), при прохождении через простую каустику амплитуда А умножается на «тр2== —厶 а при прохождении через каустику порядка d — на е7d用? (говорят, что каустика имеет порядок d, если "^f ° величина порядка малости d). Точно такой же фазовый множитель приобретает амплитуда и при прохождении через простую точку остановки (т. е. такую точку остановки, после прохождения которой лишь одна компонента импульса р меняет знак). Учитывая вклад всех особых точек на контуре С?, мы приходим к обобщенным условиям квантования Бора ——Зоммерфельда
§ p/歯尸2л方卜,+扌)， (3.10)
причем эти условия справедливы и в тех случаях, когда переменные не разделяются, т. е р； зависит от всех q^ Здесь di =dil) + d^, ^ — число точек пересечения кон-
тура Cf с каустикой, d£ — число точек пересечения контура & с поверхностью точек остановки. При этом мы должны учитывать кратности этих точек.
Простейший пример использования этих формул относится к одномерному движению в потенциале типа потенциала осциллятора. В этом случае накрывающее пространство состоит из двух отрезков (^ь ^2) (qx и 夕2—— классические точки остановки) с отождествленными концами, т. е. является окружностью. Полагая в (3.10) 由=0, d? = 2, получаем известное условие квантования
pdq = 2冗方(n + y)- (3.11)
До сих пор мы рассматривали движение в гладком потенциале. Интересный случай, рассмотренный в работе Дж. Келлера и С. Рубинова (I960),——это свободное движение в области, ограниченной жесткими стенками.
Мы рассмотрим здесь кратко случай круга и эллипса. В обоих случаях задачу можно было бы решить методом разделения переменных. Метод Келлера и Рубинова позволяет, однако, не только более наглядно получить эти результаты, но и выявляет качественные закономерности, справедливые в общем случае, когда переменные не могут быть разделены.
Итак, пусть частица движется свободно в области D, ограниченной жесткими стенками В. Ее движение описывается уравнением
(△ +必)屮=0,胪=^_,屮=0 на в. (3.12)
Аналогично предыдущему случаю решение ищем в виде хр = 2 A]eikSi + ... (3.13)
Подставляя это выражение для 屮 в (3.12) и приравнивая коэффициенты при k2 и 依 получаем уравнения для Sj и Aj
(VSj)2=l, (3.14)
2Vs厂 V/j + Aj AS> = 0. (3.15)
Из (3.14) следует, что поверхность S = const можно интерпретировать как поверхность волнового фронта. Соответственно лучи, являющиеся ортогональными траекториями к этим поверхностям, представляют собой прямые линии. Если s — длина пути вдоль луча, то из уравнения (3.15) следует:
/(5)= "(矶戸緜而『, (3.16)
где pi и р2 — главные кривизны волнового фронта при s = 0. Уравнение (3.16) выражает закон сохранения вегде pi и р2 — главные кривизны волнового фронта при s = 0. Уравнение (3.16) выражает закон сохранения вероятности в бесконечно узкой лучевой трубке. Заметим, что для того, чтобы удовлетворить граничным условиям *ф = 0 на В, члены в (3.13)роятности в бесконечно узкой лучевой трубке. Заметим, что для того, чтобы удовлетворить граничным условиям *ф = 0 на В, члены в (3.13)должны границеS, = S『,должны границеS, = S『,входить парами, причем на Ввходить парами, причем на ВА = 一 4厂,А = 一 4厂,dSjдпdSjдпdS『дпdS『дпТеперь остается все рассуждения,Теперь остается все рассуждения,лишь повторить относящиеся клишь повторить относящиеся кслучаю гладкого потенциала. При этом особыми поверхностями здесь являются каустики, при прохождении через которые фаза Л меняется на —л/2, и граничная поверхность, после отражения от которой фаза А изменяется на —л.случаю гладкого потенциала. При этом особыми поверхностями здесь являются каустики, при прохождении через которые фаза Л меняется на —л/2, и граничная поверхность, после отражения от которой фаза А изменяется на —л.Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению условий квантования:Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению условий квантования:々 5sds = 2л (п + 4+4)-々 5sds = 2л (п + 4+4)-(3.17)(3.17)
где pi и р2 — главные кривизны волнового фронта при s = 0. Уравнение (3.16) выражает закон сохранения ве
где pi и р2 — главные кривизны волнового фронта при s = 0. Уравнение (3.16) выражает закон сохранения ве
роятности в бесконечно узкой лучевой трубке. Заметим, что для того, чтобы удовлетворить граничным условиям *ф = 0 на В, члены в (3.13)
роятности в бесконечно узкой лучевой трубке. Заметим, что для того, чтобы удовлетворить граничным условиям *ф = 0 на В, члены в (3.13)
должны границе
S, = S『,
должны границе
S, = S『,
входить парами, причем на В
входить парами, причем на В
А = 一 4厂,
А = 一 4厂,
dSjдп
dSjдп
dS『дп
dS『дп
Теперь остается все рассуждения,
Теперь остается все рассуждения,
лишь повторить относящиеся к
лишь повторить относящиеся к
случаю гладкого потенциала. При этом особыми поверхностями здесь являются каустики, при прохождении через которые фаза Л меняется на —л/2, и граничная поверхность, после отражения от которой фаза А изменяется на —л.
случаю гладкого потенциала. При этом особыми поверхностями здесь являются каустики, при прохождении через которые фаза Л меняется на —л/2, и граничная поверхность, после отражения от которой фаза А изменяется на —л.
Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению условий квантования:
Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению условий квантования:
々 5sds = 2л (п + 4+4)-
々 5sds = 2л (п + 4+4)-
(3.17)
(3.17)
Здесь d ——число пересечений контура С^ с каустикой, Ь — число точек контура, общих с границей В.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Пусть сначала областью D является круг радиуса а. Рассмотрим какой-либо луч и все последующие его отражения от границы (рис. 14). Нетрудно видеть, что все они касаются окружности радиуса о。, которая является каустикой для такого рода лучей. При этом, однако, через каждую точку кругового кольца проходят
два луча такого рода. Рассмотрим поэтому два семейства лучей (рис. 15, а, 6), каждое из которых полностью заполняет круговое кольцо, причем через каждую точку этого кольца проходит единственный луч из данного семейства ). (Такое семейство называется конгруэнцией.) При этом лучи первого семейства, отражаясь от границы, переходят в лучи второго семейства, а лучи
второго семейства, проходя через каустику, превращаются в лучи первого семейства.
Таким образом, в нашем случае накрывающее пространство состоит из двух экземпляров кругового кольца, склеенных между собой по окружностям радиусов а и а。，т. е. является тором.
Но, как хорошо известно, на торе имеются два независимых контура, которые не стягиваются в точку. Соответственно мы имеем два условия квантования.
В качестве первого контура мы выберем окружность
k • 2h0()= 2лт.k • 2h0()= 2лт.(3.18)(3.18)радиуса о。 (рис. 16). Этот контур не пересекает каусти- очевидным при небольшом увеличении радиуса. Первое условие квантования, таким образом, имеет вид
k • 2h0()= 2лт.
k • 2h0()= 2лт.
(3.18)
(3.18)
、Зто условие квантования имеет простой физический смысл: момент количества движения L квантуется и равен mh.
тур, показанный 如對 получаемтур, показанный 如對 получаемнанаВторой контур, где d = 1, & = 1, удобно деформировать (что не изменяет значения интеграла) в кон- рис. 16. После вычисления интеграла
тур, показанный 如對 получаем
тур, показанный 如對 получаем
на
на
2“ ]/絞一匈一& arccos 号]=2几｛/г + "I■卜(3.19)
Исключая а0, с помощью (3.18) получаем
]/ 炉@2 — "[2 — т arccos -^ =冗卜 + ^).(3.20)
Это трансцендентное уравнение определяет собственные значения k == kmn и, в соответствии с (3.12), собственные значения энергии.
В двух предельных случаях /п《左о и т ^ ka из (3.20) находим
々о q冗卜+号+ ^卜(3.21)
ka tn + -—-〔Зи [п + "『•(3.22)
В случае т ^ ka решение практически равно нулю, за исключением узкой области вблизи границы. Существование такого рода решений для круговой области было впервые обнаружено Рэлеем (1910) при рассмотрении явления шепчущей галереи в акустике.
В качестве второго примера рассмотрим плоскую область О, ограниченную эллипсом с фокусами на оси х в точках 士с/2. Отрезок, соединяющий фокусы, обозначим через 力 Все лучи, проходящие внутри D, можно разделить на два класса; лучи, которые не пересекают Д и лучи, которые пересекают Д
Луч, не пересекающий 力 ведет себя подобно лучу, рассмотренному в случае круга (ср. с рассмотрением случая эллиптического биллиарда в книге Г. Биркгофа
Рис. 17.
(1927)): он всюду касается эллипса С, софокусного эллипсу В ) (соответствующие конгруэнции лучей изображены на рис. 17, а, 6). Эллипс С является каустикой, аналогичной окружности радиуса а。в предыдущей задаче, и первое квантовое условие имеет вид kL = 2л/п, где L ——длина эллипса С ). Второе квантовое условие также аналогично соответствующему условию для круга.
Иная картина возникает для луча, пересекающего отрезок f. В этом случае он уже не будет касаться никакого конфокального эллипса, однако он, так же
как и все последующие отраженные лучи, будет касаться конфокальной гиперболы (рис. 18). Нетрудно видеть, что через каждую точку внутри такого криволинейного четырехугольника ABCD можно провести четыре луча, касательных к данной гиперболе. Поэтому накрываю- щее пространство в этом случае состоит из четырех
Рис. 18.
криволинейных четырехугольников, соответствующим образом склеенных по границе. Более подробное рассмотрение показывает, что при этом получается тор.
Перейдем к эллиптическим координатам:
х = у ch geos G, z/ = y shpsinG, 0 <0 <2л, 0<卩<阳・
Первое квантовое условие (d = 2, b = 0) при этом имеет вид
ВЯ/2
2左 J VS ds = 2kc J (cos2 Go — cos2 6)% d6 = 2" (/n +
Для второго квантового условия (d = 0, 6 = 2) мы получаем
СЦо
2左 J VS ds = 2kc J (ch2 p — cos2 0O)1/1! </(x = 2л (n + 1) (3.24) во
n = 0, 1,
Таким образом, развитый метод позволяет сравнительно просто написать условия квантования (3.23) и (3.24). Детальный анализ этих условий квантования и приближенного описания волновой функции в разных областях дан в работе Дж. Келлера и С. Рубинова (I960).
Несколько по-другому эти вопросы рассмотрены в работе В. П. Быкова и Л. А. Вайнштейна (1964).
Интересный предельный случай получается, когда А —> В. При этом разрешенная область превращается в отрезок малой полуоси эллипса; вне этого отрезка волновая функция стремится к нулю. Из уравнений (3.23) и (3.24) в этом случае следует:
2尼6 =шг + 4 (/и + }) (arctge同—部，(3.25)
где b——длина малой полуоси эллипса.
Соответствующие волновые функции получили название волновых функций типа «прыгающего мячика». Они играют важную роль при рассмотрении лазеров и открытых резонаторов (В. П. Быков, Л. А. Вайнштейн, 1964; В. П. Быков, 1965; Л. А. Вайнштейн, 1965), Так, например, при вырезании участка эллипса вне нашего четырехугольника поле существенно не меняется, поскольку вне четырехугольника оно экспоненциально падает. Однако закрытый резонатор при этом превращается в открытый и поле, находящееся первоначально внутри эллипса, будет медленно излучаться в пространство.
Тем же способом были рассмотрены (Дж. Келлер, С. Рубинов, I960) случаи, когда область D имеет вид равностороннего треугольника или прямоугольника.
Интересно, что при этом получается полное совпадение с точными результатами. Заметим, что во всех этил
случаях те же результаты могли быть получены путем разделения переменных. Однако из способа рассмотрения ясно, что и в общем случае могут существовать волновые функции типа шепчущей галереи и типа прыгающего мячика.
В общем случае мы имеем плоскую выпуклую область D, ограниченную гладкой замкнутой кривой S. Предположим, что можно найти однопараметрическое семейство гладких замкнутых кривых С (а), зависящих от параметра а и обладающих тем свойством, что луч, касательный к С(а), после отражения остается касательным к С(а), причем при изменении параметра а кривая С(а) может как угодно близко приближаться к границе В. Тогда, повторяя все предыдущие рассуждения, мы получаем волновую функцию, сосредоточенную вблизи границы, т. е. волновую функцию типа шепчущей галереи. Заметим, что эта же конструкция используется при рассмотрении «проблемы биллиардного шара» в классической механике (см. книгу Г. Биркго- фа, 1927).
Обозначим через s длину дуги вдоль & через a(s)— радиус кривизны на S, через p(s) — расстояние от 8 до С вдоль нормали к А Если С близко к В, то радиус кривизны в любой точке С приблизительно равен радиусу кривизны в соответствующей точке на границе В. Постоянство величины si + $2 — и (в случае круга соответствующие величины изображены на рис. 16) приводит к равенству
2 (ор)% — 2a arctg(^)“ = 4a. (3.26)
(3.27)(3.28)(3.29)(3.27)(3.28)(3.29)Решая это уравнение, получаем р(s) = аиаи (s).
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
Условия квантования принимают теперь вид kL = 2лт и ^а = л ^п + уj, где 厶——длина контура С(а). С другой стороны,
『ds = Lq — a% J 尸厶(s) ds, I0
где & — длина границы области 5, откуда находим выражение для 论：
也=警 +(警厂卜卜 + V丁 J a-"(s)ds. (3.30) о
Для круга это выражение переходит в (3.22).
Помимо рассмотренного семейства волновых функций, может существовать другое семейство, аналогичное решениям для эллипса с гиперболическими каустиками. Это волновые функции, сосредоточенные вблизи диаметра области, перпендикулярного к границе в обоих концах. В классической механике они соответствуют частице, движущейся по диаметру туда и обратно. В квантовом случае необходимо потребовать еще, чтобы это движение было устойчиво, т. е. чтобы частица при небольших отклонениях не выходила из окрестности этого диаметра. Известно, что в случае выпуклой области движение по максимальному диаметру всегда неустойчиво, движение же по минимальному диаметру может быть как устойчивым, так и неустойчивым (Г. Биркгоф, 1927). Условие устойчивости имеет вид (Г. Бойд, X. Когелник, 1962)
。V (1 -君(1 -易 <1'(3.31)
где D — диаметр области, R и R2 — радиусы кривизны границы на концах диаметра. Величины kmn определяются уравнением
1方1方лп + ^/п + yjarccoлп + ^/п + yjarccoS/(1-尉(1一 备)]•(3.32)S/(1-尉(1一 备)]•(3.32)
1方
1方
лп + ^/п + yjarcco
лп + ^/п + yjarcco
S/(1-尉(1一 备)]•(3.32)
S/(1-尉(1一 备)]•(3.32)
Еще один тип квазиклассических волновых функций —это волновые функции, сосредоточенные вблизи устойчивых замкнутых геодезических на границе. Простейшим примером таких функций являются сферические функции Yu при /—> оо, сосредоточенные вблизи экватора сферы. Эти сферические функции уже были получены с помощью аналогичных построений в § 2 гл. II.
Рассмотренные выше конструкции дают возможность построить волновые функции в классически разрешенной области. Для нахождения волновых функций в области, запрещенной классически (например, в области г < По для круга), необходимо рассмотреть комплексные траектории, касающиеся каустики (окружности радиуса а。в случае круга и двух малых кругов, параллельных экватору в случае сферы).
Эта же конструкция очевидным образом обобщается и на случай движения в потенциальном поле. Именно, каждой устойчивой замкнутой классической траектории соответствует своя серия волновых функций, сосредоточенных вблизи этой траектории.
В заключение отметим, что основным ограничением применимости этого метода является трудность нахождения устойчивых замкнутых классических траекторий.
Нестационарные задачи
В стационарном случае решение задачи о прохождении частицы через одномерный потенциальный барьер в квазиклассическом приближении хорошо известно. Коэффициент прохождения D в этом приближении дается формулой (см. книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1963))
Z)=ехр (一等 J|p |dx) , (4.1)
где I p I =從加国厂^Ё), а и 6 — классические точки поворота. В нестационарном случае формулой (4.1), однако, пользоваться нельзя. Это видно хотя бы из того, что она зависит от энергии Е. которая в нестационарной задаче не сохраняется.
В то же время имеется необходимость в решении задач с переменным во времени барьером. В качестве примера можно привести задачу об ионизации связанного состояния (отрицательного иона, атома) полем сильной световой волны (световой импульс лазера, сконцентрированный в фокусе с помощью линзы).
Теория этого эффекта впервые рассматривалась Л. В. Келдышем (1964). Полученные им результаты уточнялись в работах А. И. Никишова, В. И. Ритуса, (1966); А. М. Переломова и др. (1966А). В этих работах используются различные вычислительные методы, являющиеся, однако, достаточно громоздкими. Между тем «просачивание» электрона через широкий и плавный барьер носит квазиклассический характер как в постоянном, так и в переменном поле и для проницаемости такого барьера может быть получена формула, обобщающая (4.1) (А. М. Переломов и др. 1966Б).
Перейдем к выводу этой формулы ). Рассмотрим нестационарное уравнение Шредингера
i^- = [H0 + V(r, /)]ф(г, /)(4.2)
с начальным условием
Ф(Г, /) = Фо(г)еТЕ叱 £о=-4-(4・3)
Здесь начальная волновая функция <р0(Н удовлетворяет уравнению
"оФо = ЕоФо，"о = — А + % ⑺
—невозмущенный атомный гамильтониан (потенциал Vo (И в простейшем случае можно считать короткодействующим) , V (г, f) — колеблющийся потенциал, вызывающий туннельный переход из связанного состояния Фо (И в состояния непрерывного спектра. Относительно V(r, Q будем предполагать следующее;
V(r, /) меняется периодически:
V(r,/ + T) = V(r, /), где Г =警；
в области хг ^< 1, где в основном сосредоточена волновая функция ① о (г), потенциал V(r, /) является слабым возмущением: V(r, f)《乂？ при xr ^ 1;
точки поворота в потенциале 户о (г) + V(r, i) лежат в области 乂г》1 при всех значениях А
В этих условиях вероятность туннелирования определяется далеким 《хвостом» волновой функции -ф(г, /) и имеется широкая область, в которой движение квази- классично. Под действием возмущения V(г, 0 связанный уровень превращается в квазистационарное состояние, среднее время жизни которого много больше атомных времен х~，Вводя функцию Грина 6(&丿2；丿1"1), описывающую движение электрона на больших расстояниях (при хг > 1) и удовлетворяющую уравнению [’显+盡厶2- V (?2,幻]<? %,片厶，介)=再(?2 一%)6上2一幻,
2(4.4)
перепишем уравнение (4.2) с начальным условием (4.3) в виде интегрального уравнения
屮(4 友)=-i J df 1 J drxG %,友；，i,幻匕 k)Ф 仇，幻 +
+ J "iG %,友；入心巾(/，幻.(4.5)
Последний член в (4.5) описывает расплывание начального состояния и затухает 〜[х?(/—/о)]-'". Устремляя } к ——оо, приходим к уравнению для квазистацио- нарного состояния
屮(0,切=-i J df」d，iG(，2,抬，i,幻兀6)巾6,幻・(4.6)
Поскольку потенциал 匕》⑺ короткодействующий, 屮(/\£) можно заменить на волновую функцию невозму* щенного атома
屮(，2, t^ = -i dfj dr^-^'G (r2, %；门，幻匕(h) Фоб).
Вычисляя с помощью этой волновой функции поток частиц, уходящих на бесконечность, получаем вероят-, ность туннелирования W в виде суммы вероятностей «многофотонных» процессов:
取=£%, Wn = 2n^ dpd\^--^\F(p) I2,(4.8)
га > V
где
"吁阴2^，31/而巾（4.9）
Величина v в (4.9) дает порог туннелирования (минимальное число квантов, поглощение которых необходимо для отрыва электрона от атома). Для определения V учтем, что после выхода из-под барьера электрон находится в поле
V (г, /) = £ 九⑺ cos (n(of + a J
Рассматривая влияние V(r, /) по методу П. Л. Капицы (1951) ),' заменим быстро осциллирующее поле V(r, t) эффективным потенциалом
九 фф(г) = !^£4^，九⑺=一譬• (4.10) n = l
Поскольку %фф > 0, то уход электрона на бесконечность возможен лишь при условии ограниченности %ФФ⑺ при г-+ оо. В этом случае
8
v = ^ 1+т^£*， где 力=丿里九⑺•(4」1)
Добавка к единице в выражении для v пропорциональна средней по периоду кинетической энергии электрона, уходящего на бесконечность в периодически колеблющемся потенциале V (г, 0.
Для нахождения вероятности туннелирования Wn с поглощением п квантов с энергией 方① каждый нам
нужно знать волновую функцию ^(р, /) с определенным средним импульсом рп на бесконечности. Как нетрудно видеть, эта функция удовлетворяет уравнению типа (4.7), в котором надо заменить G(r?,勾；门,厶)на функцию Грина в смешанном р, г представлении:
4>(p2, f2)= - i / dtye-iE^ J drxG 出，友；力，幻 Vo ⑴的(/),
一8(4.7a)
G (p2,毎厶，幻=万今"『ем2G仇，笈力，幻dr2. (4.12)
Используя для G(『Ц,九)квазиклассическое приближение (Р. Фейнман, А. Хибс, 1965)
G謐武戸"С"；小)，(4.13)
S(4 屯力，幻=J (4^-V(r, 0)dt (4.14)
и вычисляя интеграл в (4.12) методом перевала, находим (с точностью до предэкспоненциального множителя) квазиклассическую асимптотику для G(p2, G；门，介)
G(P2,屯入幻〜W = s-p2r2. (4.15)
Действие S в (4.15) вычисляется вдоль классической траектории, определяемой условиями: г(^) = гь р(/2)= =仅・ Варьируя W при фиксированных Л и /2 с учетом известной формулы dS = р^г2 — р\Ьгх. получаем 61rH =—『2бр2 ——pib^i, откуда следуют выражения для г2
и pi
吧石7
Pi
也
6仃
(4.16)
Для полной производной -——, взятой вдоль траектории, имеем из (4.15)
dW df]
dS『г
=一（幻;
с другой стороны, dW dW . dr • dW •
Сравнивая эти выражения, находим
*=/)名-l(幻="(幻.(4.17)
Подставляя формулу (4.15) для G в (4.7а), приходим к интегралу, содержащему быстро осциллирующую экспоненту:
屮仇，切=宮^ J明J "0"/；/)九6)欣(0 (4.18) где
取(р2> %；厶，力)0 S (p2»/2； F1，乙)-p2y2 =
=J (L(t)+E^dt-p2r2 (4.18a)
(S — так называемое укороченное действие, см. § 1).
Основной вклад в интеграл (4.18) при этом вносит точка перевала. Условия перевала по переменным i\ и fi в случае плавного потенциала %(/") имеют вид
"(里)=/=_4., Р 州=0.(4.19)
Согласно Р. Фейнману (1948), среди всех путей, вносящих вклад в 屮(卩2,为)，в квазиклассическом случае «выживают» лишь пути, лежащие в окрестности классической траектории. Специфика данной задачи состоит в том, что не существует такой вещественной траектории, которая удовлетворяла бы уравнениям Ньютона, начальным условиям (4.19) и условию Р(»2)=Р2, поскольку прохождение частицы через потенциальный барьер в классической механике невозможно. Это приводит к тому, что «начальный момент》.公① уходит в комплексную плоскость. Тем не менее формальный аппарат классической механики продолжает работать. Вычисляя интеграл (4.18) методом перевала, получаем
с точностью до предэкспоненциального множителя:
屮(Р2> %)〜& 一 fo)exp {，[丽(P" g；昨犁)-Е匐} +
+ члены конечные при /2->+ оо. (4.186)
Окончательное выражение для \F(p) \2 принимает вид
I F(p) F 〜exp { — 2 Im ^(p2, % *f, “°))}・ (4.20)
Формулы (4.8) и (4.20) определяют вероятность туннелирования Wn. Для нахождения предэкспоненциального множителя, а также импульсного спектра вылетающих частиц необходимо учесть вклад траекторий, близких к экстремальной. Детальный расчет этих величин можно найти в работе В. С. Попова и др. (1967). Подчеркнем, что в (4.20) входят лишь величины, относящиеся к классической траектории частицы, причем значение |Г(р)|2 зависит только от подбарьерного участка траектории.
Для подбарьерного движения в постоянном поле р2 = 0 и W — S, кроме того, в силу закона сохранения энергии S = J i^dt. Заменяя в (4.8) суммирование по п интегрированием (что законно ввиду со—*0), приходим к формуле для проницаемости статического барьера
D 〜exp — 2D 〜exp — 2p2 = 2(E~U(r))<0. (4.21)p2 = 2(E~U(r))<0. (4.21)
D 〜exp — 2
D 〜exp — 2
p2 = 2(E~U(r))<0. (4.21)
p2 = 2(E~U(r))<0. (4.21)
门
Здесь 门 и & — классические точки поворота, а интеграл берется по экстремальной траектории, минимизирую^ щей ImS(f2,门)・ В одномерном случае вопрос о нахождении экстремальной траектории отпадает и (4.21) переходит в известную формулу (4.1).
Покажем теперь, что последовательный переход к мнимому «времени» т = if в уравнениях подбарьерного движения приводит к наглядной картине просачивания частицы через барьер. Мы ограничимся ниже случаем однородного поля: V(r, /) = —F(t)r, однако результаты имеют более общее значение»
Пусть частица связана короткодействующими силами. Рассмотрим сначала ионизацию такой системы постоянным электрическим полем. В одномерном случае классическая «траектория» определяется уравнением Ньютона х — F и начальными условиями х(/0) = О, 戈(力)=配・ Выбирая начало отсчета времени в тот момент, когда х = 0 (момент выхода частицы из-под барьера), имеем
尤=儿 * = ^(/2 一陶，％ = *.(4.22)
В процессе движения частицы «время» / изменяется от /о до 0. В момент f = 0 ^х = 0, х = х0 = -—г) частица выходит из-под барьера, и дальнейшая часть траектории имеет смысл и в классической механике.
Найденная «траектория» является аналитическим решением уравнений классической механики (в частности, точка / = 0 не является точкой разрыва). При переходе в квантовую область она приобретает физический смысл: действие S, вычисленное вдоль такой траектории, определяет волновую функцию 屮“，f) (в квази- классическом приближении). Из (4.22) находим
W (f, /о) = 5 (/,幻=J 产“=等(戶一纵(4.22a)
Заметим, что, как следует из (4.22а), ImS(fJo) после выхода из-под барьера остается постоянной величиной. Для коэффициента прохождения через барьер получаем 〃ст(尸)〜exp{-2ImW(0, /о)} = exp{ —*|■宇卜 Fo = x3.
(4.23)
Таким образом, (4.22a) с точностью до константы дает правильное выражение для %т в одномерном случае..--
Переходя к трехмерному случаю, заметим, что поле не меняет поперечного импульса частицы р丄，который остается при этом классическим _(р^ > 0). Подбарьерное движение имеется лишь в направлении поля. Таким
образом, задача сводится к одно мер ной: меняется лишь начальное условие, теперь %(%)==» М^ + р], что эквивалентно замене
]/层+ pj 比 乂 (1 + ^"^ + ・・)•(4.24)
Выполняя эту замену в (4.23), получаем
аt(尸，p丄)〜exp {-京-pГ 歹卜 (4.25)
откуда
%仍)=J dpR№，p丄)〜「xp (- j 盟•(4.26)
Точная формула для вероятности ионизации s-уровня в короткодействующем потенциале имеет следующий вид (Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1964):
叽Т (尸)=4"I 4 F (£ ехр ( _ I•岑卜(4.27)
где С^ — коэффициент, определяющий асимптотику нормированной волновой функции (1|)* С^УИг^е^ при Г->оо).
Сравнение формул показывает, что с точностью до численного коэффициента порядка единицы значение 呼ст (尸)в постоянном поле также может быть получено с помощью (4.23)・
Перейдем теперь к рассмотрению ионизации системы, связанной с короткодействующими силами, в поле световой волны с линейной поляризацией. Нахождение квазиклассического решения этой задачи возможно благодаря следующим упрощающим обстоятельства м:
Мы ограничимся случаем не слишком высоких ча- 方凡2
стот S《(о。= •恋. (方(оо = / — потенциал ионизации атома, со — частота света), т. е. рассматриваем случай многофотонной ионизации. Поле при этом может рассматриваться классически. Кроме того, будем считать, что напряженность поля 尸 в световой волне много меньше атомной напряженности 尸0 = 乂3：尸《尸° При этом ионизация происходит медленно по сравнению с атом-
ными временами, а потенциальный барьер является широким, благодаря чему оказывается возможным применить квазиклассическое приближение.
Длина световой волны много больше радиуса атома, в силу чего электрическое поле можно считать
однородным.
Поскольку электрон в атоме ——частица нерелятивистская, действием магнитного поля можно пренебречь.
Прежде чем приступить к решению задачи, заметим, что, помимо величины о)о = //方，здесь имеется другая
важная частота — частота туннелирования ш； (здесь l/(0f — время свободного пролета электрона с импульсом 况 через потенциальный барьер, ширина которого, fq乂2 \ ГТ
как нетрудно видеть, равна —^- = '^-1. При этом из не
равенства F/Fq《1 следует hg《/・ Введем параметр
Y = — = -^-, характеризующий «степень адиабатичности». В адиабатическом случае у《1, (о <С со/ <С /, и формула для вероятности ионизации может быть получена путем усреднения соответствующей статической формулы (см. раздел 2 в работе А. М. Переломова и др. (1966А)). Наиболее интересен, однако, как с точки зрения теории, так и с точки зрения эксперимента анти- адиабатический случай y》L Так, например, при ионизации нейтральных атомов светом рубинового лазера (Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, 1968) птщ 〜Ю,尸〜: 〜107 в/см, у 〜30―40.
Итак, пусть световая волна имеет линейную поляризацию, направленную, например, по оси х, и напряженность поля 尸(f)= Feos(оЛ Для системы, связанной короткодействующими силами (например, для отрицательного иона), при г > 0 действием этих сил можно пренебречь и классическую траекторию х(0 найти из уравнения)
х = F cos со/, х (/0) = 0, х «о)=加. (4.28)
Отсюда имеем
(4.29)(4.29)х (/) = рх + — sin а)Л
(4.29)
(4.29)
X (/) = P%(t — 办)一 -^2- (cos ①/ - cos ①州,
где рх = /х —— sin(ofo； Рх является средним импульсом частицы (по направлению поля) при ее движении на бесконечность.
Частица выходит из-под барьера в момент времени t = 0, когда поле достигает амплитудного значения. Начальный момент % находится из уравнения
sin ш^о = -у(4Х - рх) = Y (，_ *)，(4.30)
которое можно представить в виде
(p + ^sin3/J2 = —/.(4.31)
Экстремальная траектория, соответствующая минимуму Im 优 отвечает при этом р丄==0, рх = 0, со/о = =z arsn у, у = — =; время 无 при этом оказывается
чисто мнимым. Для наглядного описания подбарьерного движения поэтому удобно перейти к вещественному времени % ~ it (——т()《е《О). Уравнения, описывающие движение, принимают теперь вид
= - Fchor, — =-— shor, I
尸>(4.32)
% =启(ch 9“ - ch от).I
(Y《1),(Y》1).(4.33)(Y《1),(Y》1).(4.33)Отсюда находим длину барьера
(Y《1),
(Y》1).
(4.33)
(Y《1),
(Y》1).
(4.33)
X。= £ (ch(ото- 1) = ^Г (1 + ]/r+V)~1 =
При фиксированной напряженности электрического поля 尸 с увеличением частоты длина барьера уменьшается, барьер становится «более коротким», что и объясняет возрастание 步(尸,со) с ростом со.
Интересно отметить, что подбарьерная траектория 尤⑺ может быть получена с помощью некоторого «эффективного» потенциала, не зависящего от времени. В самом деле, исключая время т из уравнений (4.32), имеем
@Уэ 由由 С)2%2
戈(т)=丽一，где 几фф (х) = F /1 + Y2 х2~ •
Обращает на себя внимание довольно простой вид Узфф. Несомненно, вычисление вероятности туннелирования крайне упростилось бы, если бы имелся метод нахождения УЭфф непосредственно, без предварительного решения уравнений подбарьерного движения. В настоящее время такой метод неизвестен.
Зная закон изменения 尤(/), нетрудно найти действие о
S (0, /о) = J 传 + & cos “ -蜀"=
=喈[О + 嘉)Arsh Y —匕2張]• (4.34)
Выражение для вероятности ионизации W принимает теперь (с точностью до предэкспоненциального множителя) вид )-
取〜exp{—警〃y)}, f(Y)= (l + 审)Arshy-Hiy.
Функция f(Y) в (4.35) является монотонно возрастающей, откуда следует, что при фиксированном значении частоты со вероятность W монотонно возрастает с ро- 2
стом напряженности поля 尸.При Y《1, f (丫)〜 可 Y и, как и следовало ожидать, (4.35) переходит в формулу /2 х3 \
для постоянного поля W ~ exp I — §下)・
2sp
Приу» lj(y) ~1п2у-| и 呼〜(击)з 〜(怠广， где ^0 — целая часть величины "g^+L что качественно согласуется с формулой теории возмущений порядка kQ.
Следует особо подчеркнуть то обстоятельство, что как многоквантовая ионизация, так и многоквантовый фотоэффект представляют качественно новые явления, которые стало возможно наблюдать лишь в связи с созданием интенсивных лазерных источников света. Старые исследования одноквантового фотоэффекта, например открытие красной границы фотоэффекта и одноквантовой ионизации, как хорошо известно, сыграли фундаментальную роль в экспериментальном обосновании квантовой теории. Исследования многоквантовых эффектов позволяют уточнить границы применимости основных законов фотоэффекта — законов Столетова и Эйнштейна: строго говоря, красная граница фотоэффекта отсутствует, однако в случае обычных источников света вероятность фотоионизации атома при 方(о V / мала. Поэтому законы фотоэффекта в этом практически важном случае остаются справедливыми, а отклонение от них начинается лишь при больших интенсивностях света.
Для простоты изложения мы привели формулу (4.35) для вероятности ионизации с учетом лишь главного (экспоненциального) члена. Более сложной задачей является получение предэкспоненциального множителя, но и это может быть сделано с помощью квази- классического метода (В. С. Попов и др., 1967). В этой работе также детально разобран случай ионизации уровня с орбитальным моментом / светом, поляризованным эллиптически.
Следует, однако, иметь в виду, что все эти формулы, строго говоря, относятся к ионизации системы, связанной короткодействующими силами, например отрицательного иона. В случае реального атома из-за дально- действующего характера кулоновских сил движение электрона искажается на расстояниях, больших по сравнению с радиусом атома.
Покажем, что это приводит к сильному увеличению вероятности процесса ионизации (А. М. Переломов, В. С. Попов, 1967). Рассмотрим простейший случай линейной поляризации света. В этом случае частица после прохождения потенциального барьера останавливается, и потому W = 8. Учтем кулоновское взаимодействие по теории возмущений (условие применимости теории возмущений будет дано ниже). Пусть потенциал V имеет вид Vo + SV, где 6У—малая добавка к У。. Тогда, используя (4.18а) и граничное условие Н (尤,/) \t^to~ EQf можно показать, что
о
d§= - j 6У (「(/))〃，(4.36)
где интегрирование производится по невозмущенной траектории (без учета бV).
Эту формулу можно применять, если возмущающий потенциал 6У мал вдоль всей классической траектории. В нашем случае это не так: при 乂尸< 1, 6V = —— уже нельзя считать малой добавкой. Однако здесь можно воспользоваться процедурой сшивания. Введем такое гр что 1 ^ xfj <С хго. Тогда при м《кг《乂厂。внутриатомный потенциал уже мал, а внешним полем еще можно пренебречь. В этих условиях волновая функция у (г) совпадает с асимптотикой волновой функции свободного атома:
Х(г)〜ехр{— Im S (г)}, Im * ①二乂尸一子 Inxr. (4.37)
Поэтому (4.36) можно преобразовать к виду о
6S = - /X In 乂几-J дУ (г (0 )df, (4.38)
обычноиониза-обычноиониза-близкая к единице (здесь / и /о — потенциалы ции рассматриваемого атома и атома водорода).
обычно
иониза-
обычно
иониза-
Интеграл в (4.38) в случае кулоновского взаимодействия вычисляется точно, и мы получаем
sh
68 仇,0)= - i%ln68 仇,0)= - i%ln"一Ь 二，1=一加/・(4.39)
68 仇,0)= - i%ln
68 仇,0)= - i%ln
С другой стороны, из (4.32) следует, что при f—►% хг ^)=(т0 —т), а благодаря множителю ~^》1
существует такой момент п, что (то — ti)《1, а 乂片》L Поэтому в (4.39) можно перейти к пределу 口 —>то, и мы получаем
б€(Ь 0)=-夙也筆，ехр{ —2Im6& =(争户.(4.40) Таким образом, учет кулоновского взаимодействия приводит к тому, что вероятность ионизации приобретает дополнительный множитель (2尸°/尸)2%. В реальных экспериментах (Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, 1968)尸 достигает величины 〜107 в/см и этот множитель имеет порядок 106. Заметим, что зависимость 6s от частоты выпала, т. е. кулоновская поправка к вероятности ионизации W(F, о) имеет тот же вид, что и для статического поля.
Для нахождения границы применимости формулы (4.40) вспомним, что мы исходили из предположения, что кулоновская сила мала по сравнению с напряженностью внешнего поля. Можно показать, что при у》1 наибольший вклад в действие дает участок подбарьерной траектории вблизи точки выхода из-под барьера.
Отношение & к 尸 в этой точке траектории равно
(卒 Lf = * (1 + /ГТ?)2.(4.41)
Очевидно, что теория возмущений применима, если эта величина много меньше единицы, т. е. при
Учитывая, что свет, испускаемый лазером, имеет фиксированную частоту, перепишем условие (4.42) в виде
尸》%(詁"。=从明％ (4・43)
который показывает, что кулоновская поправка имеет вид (4.40) только для достаточно сильных полей. К со* жалению, такие поля еще не достигаются экспериментально, и потому приведенные выше формулы для вероятности ионизации нельзя непосредственно сравнивать с экспериментальными данными.
Попытка учета кулоновского взаимодействия вне рамок теории возмущений была предпринята в работе А. М. Переломова и др. (1968), однако найти кулоновскую поправку во всей области частот света не удалось. Кулоновская поправка вычислялась также с помощью диаграммной техники (А. И. Никишов, В. И. Ри- тус, 1967). К сожалению, и этот метод сталкивается здесь с большими трудностями и пока что не привел к решению задачи. Вопрос об учете кулоновского взаимодействия в области 丫 * у, является в настоящее время открытым и представляет большой интерес с точки зрения эксперимента.
В заключение заметим, что изложенный выше квази- классический метод применим к широкому классу задач о туннелировании через барьер, меняющийся во времени. Этим методом были решены задачи (Л. П. Котова и др , 1968):
о развале связанного состояния в кулоновском поле ядра (в частном случае дейтона эта задача была решена ранее Е. М. Лифшицем (1939) несколько иным способом) и ионизации отрицательного иона электронным ударом;
о влиянии магнитного поля на вероятность ионизации.
Во всех случаях, когда нахождение траектории классической частицы оказывается возможным, этот метод быстро приводит к ответу и, что не менее важно, сохраняет наглядность рассмотрения.
ГЛАВА VI
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
Введение. Волновая функция осцилляторас переменной частотой под действием внешней силы
Нестационарные задачи квантовой механики, как правило, решаются приближенными методами (нестационарная теория возмущений, адиабатическое приближение, метод внезапных возмущений и т. д.). Лишь в редких случаях удается решить задачу точно. Важный пример такой системы представляет осциллятор с переменной частотой (о(/), находящийся под действием внешней силы f(f). В этом случае, как показано в данном параграфе, можно получить явное выражение для волновой функции, причем эволюция ее с течением времени определяется величинами, относящимися к классическому осциллятору. Пусть в начальный момент времени осциллятор находится в n-квантовом состоянии. Тогда в любой последующий момент времени волновая функция осциллятора является суперпозицией т-кван- товых состояний и возникает задача вычисления вероятностей перехода Wmn из состояния |〃) в состояние |т). В § 2 получено явное выражение для величин Wmn в случае осциллятора с постоянной частотой, находящегося под действием внешней силы, произвольным образом зависящей от времени. Случай осциллятора с переменной частотой при отсутствии внешней силы подробно рассмотрен в § 3. В следующем параграфе получено выражение для вероятностей перехода Wmn в общем случае осциллятора с переменной частотой при наличии внешней силы.
В § 5 вводится и обосновывается понятие квазиэнергии системы, подвергающейся периодическому воздействию. Для осциллятора с периодически меняющимися параметрами спектр квазиэнергий выражается через величины, определяемые из решения классической задачи. В следующем параграфе подробно разобран вопрос об изменении адиабатических инвариантов для квантового осциллятора. Наконец, в § 7 рассмотрены гейзенберговское представление и тесно связанный с мим вопрос о канонических преобразованиях. Приведен простой пример унитарно-неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений в случае бесконечного числа степеней свободы.
В этом параграфе, следуя работе В. С. Попова и А. М. Переломова (1969), мы найдем вид волновой функции квантового осциллятора.
Уравнение Шредингера для осциллятора с переменней частотой £о(О，на который действует сила. f(t), имеет вид )
(L1)
Зависимость s(f) и f(t) от времени считаем произ- в^ьной, ^предполагая лишь выполнение естественных фаничных условий
f (/)->0 при f-> 土 8,(1.2)
(при /— ОО.
s(f)f,,(l.^)
(пределы o)土 могут быть различными).
Пусть сначала f(t) s 0. Обозначая через §(/) ре・ iw^hhc классического уравнения движения для осциллятора
!+<в2(/)|=о(1.3)
с^началытм условием
自4)〜е‘з」 при -8,(].3，)
ПОЛОЖИМ
乳“《)…)，力)=|自⑺I，(1.4)
Тогда 厂(f) задает масштаб длины в момент времени f, а величина т = 丫(/)価一一соответствующий масштаб времени. Естественно искать ф(х, f) в виде
2(%, /) =「间Т%』仇％_® ", 好千(1.5) (множитель 厂％ обеспечивает сохранение нормировки; 3(х, f) — вещественная фаза). Через %_ обозначено произвольное решение уравнения Шредингера для осциллятора с частотой ш_. Подставляем (1.5) в (1.1) и требуем, чтобы полученное уравнение не содержало членов 〜^~ . Этим определяется вид функции ^(х, /)
39 什一巽(1.6)
Уравнение для %_ принимает форму
f 止^ = _ 击^~^^\f +伶У + 4(7)]x%・
(1.7)
Подставляя (1.4) в (1.3) и учитывая (L3‘), находим
t = ^f"， ；+炉(/)=『，(1.8)
откуда видно, что уравнение (1.7) приводится к виду
.а%_1 а2х_ &2“F = - 1■寸+ ~v%-，.а%_1 а2х_ &2“F = - 1■寸+ ~v%-，гдед=击.(17)гдед=击.(17)
.а%_1 а2х_ &2
“F = - 1■寸+ ~v%-，
.а%_1 а2х_ &2
“F = - 1■寸+ ~v%-，
гдед=击.(17)
гдед=击.(17)
Таким образом, наложенные выше условия (1.8) не противоречат уравнениям (1.3), (1.4). В дальнейшем нам понадобится величина
а =。]+% = —i普* а(/)->©_ при /-> ^со. (1.9)
Из (L4) и (1.9) следует, что
修=弋=步，a2=-1!^=-^.(М0)
Тем самым показано, что общее решение уравнения Шредингера для осциллятора с переменной частотой ①(力)имеет вид (1.5), причем фаза 小(招 /)=扌 ④«)%2. Поскольку при ff—оо г—>1, а2-*0, 丫⑴ 〜 s_f, то х- в (1.5) есть просто начальная волновая функция осциллятора. Этим решается задача об эволюции произвольного начального состояния осциллятора с переменной частотой(o(f).
Пусть теперь на осциллятор дополнительно действует внешняя сила f(/). Для того чтобы свести задачу к случаю / = 0, сделаем в (1.1) подстановку (К. Хусими, 1953)
屮(修 f) = e"M+0""(p(*i, f), %1 =尤一nV)， (l.H) отвечающую переходу в движущуюся систему координат. В (1.11) т}«) и а(/)——некоторые, пока неизвестные функции. Для величины <р получаем уравнение
+ (of - j л2 + 4 ®2n2 - fn) Ф- (1-12)
Отсюда видно, что функция ①(％) удовлетворяет уравнению (1.1) с f = 0 при выполнении условий
(1.13)(1.13)R + 82n = f (')，П(—8)= П ( — оо) = 0, t а(0= / L (f)",
(1.13)
(1.13)
где L ——классический лагранжиан:
L = }力2 — } 92n2十加・(1.14)
Таким образом, преобразование волновой функции, исключающее /(/) из (1.1), имеет вид
2(*, f) = qp(x —П(£))ехр m(% —n) + i j L (t) dx . (1.15)
Комбинируя (1.5) и (1.15), получаем в итоге общее решение уравнения (1.1)
2(%, 0 =
(1-16)(1-16)у= exp ^i\y\{x-^~ ^а2(х~ т])2 + о] } %-
(1-16)
(1-16)
Величины г(^),。2«), £ П«) и 仃(‘)，входящие в эту формулу, определены выше.
Вещественную величину п«) можно выразить через комплексную величину 陰«) и через /(f). Запишем для этого выражение для функции Грина уравнения (1.13)
G(f, ,，)=^)屮)(式："("8”3(1.17)
где W (g, ^*) = §^* —匡* — вронскиан функции |. и 尹, 0(/ ——f)——обычная ступенчатая функция:-
0(х) == 1 при х > 0, 0(х) = 0 при х < 0.
Отсюда находим
n(0=У^-(^* + ^^).(1.18)
Здесь введена важная для дальнейшего величина .d, равная
d(/) = y^ j\(W)冰 (1.19)
Ее физический смысл состоит в следующем. Перейдем от координаты х и импульса р к безразм^>ным ： пере- ■ менным
х = /тх> Р = 7^Р
И ПОЛОЖИМ
а = Х + »Р =鸟士纟(1.20)
(плоскость комплексной переменной а,-называется.фазовой плоскостью). Состояние классического осциллятор а в каждый момент времени изображается ^точкой
на фазовой плоскости. При этом d(f) представляет собой смещение этой точки под действием внешней силы.
В дальнейшем нас будут интересовать вероятности перехода Wmn при f-*+8, когда частота(о(/) выходит на постоянное значение о)+・ При этом выражения для 1(/) и n(f) упрощаются. Из (1.3) имеем
^) = С^-С2е-1^, |&|2-|&|2 =訂，(13)
где Ci и。2 — постоянные, для нахождения которых нужно решить уравнение (1.3) для классического осциллятора во всем интервале —оо V f V +8.
Введем величину
Р = |^『，(1.21)
которая при заданном отношении (о+/о)_ полностью определяет модули коэффициентов & и Сг：
С 产时/iFr^F & =*/^ 岳•(1.22)
Для амплитуды вынужденных колебаний 外(/) получаем из (1.18):
■^L]=/孚(С； "&£)「”(1.23)
где
d = lim d(f) = ]/^"е'°・(1.24)
Г->8
Как будет показано в следующем параграфе, величина V = |d|2 характеризует возбуждение осциллятора внешней силой.
§ 2・ Квантовый осциллятор под действием внешнейсилы. Вероятности перехода
Рассмотрим квантовый осциллятор с постоянной частотой при наличии внешней силы /(/)
j 磬=_ 扌察+ 4"з2/р_“叭(2.1)
Относительно /(/) мы предположим выполнение граничных условий (1.2). В этом случае при /-> ± ор существуют стационарные состояния
Ч>"(х, £)=/(Х)厂‘("+万)\I
中命=(蟲]/173-号/(^х)，1 (2'2) между которыми происходят переходы. Здесь Нп (х)— полином Эрмита.
Пусть при /f—оо осциллятор находится в п-кван- товом состоянии. Тогда при f -* + 8 его волновая функция имеет вид ^п (х, f) = X Стп(рт (х, /). т
Вычислим вероятность перехода Wmn — | Стп |2 из состояния |п) в состояние |/п〉. В принципе эта задача могла быть решена следующим образом. В силу (1.15) мы знаем волновую функцию 屮篦(％,/) в любой момент времени /, в том числе и при f-> + 8. Разлагаем эту функцию по волновым функциям фщ(х, /). Квадраты модулей полученных коэффициентов дают искомые выражения для вероятностей. Этот способ, однако, довольно сложен. Решение задачи можно упростить, вводя производящую функцию
屮(z, %, /) = Е~^『2“(х, /),(2.3)
где 2 — вспомогательная комплексная переменная, а р篦(х,/)——то решение уравнения (2.1), которое при
一оо переходит в(рп (х, /)• Из (2.2) находим -ф (г, х, i) При f f —8：
p(z, X, /)-> 必⑵ ％, /)=
=(T) /' exp j — у (а%? — 2 ]/2s zxe~i&t + з^т%时 + йо£)},
(2.4) т. е. 2(z, %, f) при /-> — оо является гауссовским пакетом по переменной %. С помощью (1.15) получаем 2(%%/) при всех значениях /
p(z, %, /)==(*У'ехр{-}(а%2-2Ьх + с)},(2.5)
где функции а, Ь, с имеют вид」
а ==(о, b = ]/2со ге~^ + 衍 + от],
c =叩2 + 2 ]/2(0 2乍一加力+ 2^-2加‘+心力 - 2za —方力斗
(2.6)
Рассмотрим теперь интеграл
/(4, &, /)= J dK(z；, %, /)屮(马，％, /).(2.7)
При /—► + 8 он совпадает с производящей функцией для матричных элементов Стп (/) = (фт (О I ^п (Ф，Стл = = limCm“(f) *)
f->+8
吧丄/⑵，&，t)^F{Zl, 22)=，7^&„“~р^「⑵7)
Переходя в (2.7) к пределу / -> + оо, получаем )
F ⑵，@) = 6一V/2б圆+YF ⑵一з,(2.8)
где V определено формулами (L24)$ (L19).
Вычисление вероятностей Wmn сводится теперь к разложению функции F(&,之2)в ряд Тейлора. Введем новы€ переменные 〃 = -7=句， и= 厂=马，после чего функ-
У VУ V
ция F(zb z2) принимает вид
尸⑵，&) = е—%-v(〃v_〃_u).(2.9)
Из (2.9) следует:
尸⑵，22)= e-v/2$ 等(1-“)”е%⑵ 10)
Разлагая полученное выражение в ряд по и, находим 尸⑵，&) = e-v/2 2 ±(一问""葭m⑺建城，⑵11) m, n«0
где Ln (x) — обобщенные полиномы Лагерра.
На первый взгляд это выражение несимметрично по 〃 н и, однако, используя тождество
上厂"(％)=需(-xT~mL^m{x),⑵ 12)
нетрудно убедиться в том, что на самом деле коэффициенты разложения (2.11) симметричны по тип. Из сравнения (2.7‘) и (2.11) с учетом (2.12) находим выражение для вероятностей перехода
^mn = ^ТУ & 1 ^^(v) I ^ = |п — /п|,⑵ 13) полученное в работе Ю. Швингера (1953). Заметим, что явное выражение для Wmn (но в несколько ином виде) было получено впервые в работе Р. Фейнмана (1951).
§ 3. Параметрическое возбуждение квантовогоосциллятора
Параметрическое возбуждение квантового осциллятора это возбуждение осциллятора при изменении его параметров т — m{t) и со = s(f). Общий случай переменных во времени m{t) и о(0 легко сводится к случаю т = const с помощью замены У = —. со' = /по.
J tn (f)
Уравнение (1.1) с f = 0 имеет вид
力黑=-4■翡+ %8"‘)"绅•(3.1)
嘈=)(% /) = 0,(%，8士)嘈=)(% /) = 0,(%，8士)т（〃+%）土f eт（〃+%）土f e(3.2)(3.2)Относительно s(f) будем предполагать лишь выполнение граничных условий (1.2х). В этом случае при f -> 士 8 существуют стационарные состояния
嘈=)(% /) = 0,(%，8士)
嘈=)(% /) = 0,(%，8士)
т（〃+%）土f e
т（〃+%）土f e
(3.2)
(3.2)
%(%, 8)= (^4г V ^)4 ^--r ^«( / ® 4
между которыми происходят переходы. Мы вычислим вероятность перехода Wmn = | Cmn |2 из состояния ^п в состояние 屮柬・ Здесь。叽=〈屮紹 |屮〉^п (х, /) — состояние, переходящее в <р^)(%, 0 при 2f — 8.
Как и в предыдущем' параграфе, решение задачи можно упростить, вводя производящую функцию
р (z, *,/)= £ -^ s(%, /),(3.3)
где 2 — вспомогательная комплексная переменная.
Из (3.2) находим
р(2, *,/)->%(2,*,/) =
=(•^■уexp{ -}((0-%2-2 u28.2%6-‘砒 ++3-2心」+施」)卜(3.4)
т. е. р является гауссовским пакетом по переменной %. С помощью (1.5) находим 屮⑵招 f) при всех значениях f
屮(2, х, 0 = (-^)，Аехр|--| {а^-^Ьх+с)^, (3.5) где функции а, b и с имеют вид
a=一号，Ь=]/欧工，h号扌+eK/), (3.6)
|(/) определено в (1.3), (1.3‘).
В частности, разлагая (3.5) по степеням 2, получаем вид волновых функций -фп (х, /) в любой момент времени:
恥(%，')=后急)/^)/' e-‘嚥 2 Нп (]/s_ 亩).(3.7)
Заметим, что a^t) = Rea(f) =(0-愕(/)|弋 этим обеспечивается правильная нормировка волновых функций %Л)・
Рассмотрим теперь интеграл
/(4,马,f) = J 厶吋+ (z；, %, /) р & %, /).(3.8)
При /-*4-00 он совпадает с производящей функцией для матричных элементов
』区)⑵，&，f) = G ⑵，@)=н y^ ста ^^ • (3，9)
вычисляется. Переходя к пределу f -> + 8 и учитывая примечание **) на стр. 247, получаем
Q {zvz^ = {\-р)，Аехр{у [|/р(z|-zf) + 2 VT^pz^.
(3.10)
Параметр р определен в (1.21). При этом значение р целиком определяется видом ©(/) и не зависит от внеш-
ней силы. Вычисление коэффициентов Стп свелось, таким образом, к разложению функции G(zb z2) в ряд Тейлора. Отсылая за деталями вычислений к работе В. С. Попова и А. М. Переломова (1969), приведем окончательную формулу для вероятностей перехода
吃=后 MK PF(VT^>2吃=后 MK PF(VT^>2(3.11)(3.11)
吃=后 MK PF(VT^>2
吃=后 MK PF(VT^>2
(3.11)
(3.11)
различных зна-р приведены наразличных зна-р приведены наа) для б) для в) дляа) для б) для в) дляРис. 20.Рис. 20.четность. Это оче-：четность. Это оче-：
различных зна-р приведены на
различных зна-р приведены на
а) для б) для в) для
а) для б) для в) для
Рис. 20.
Рис. 20.
четность. Это оче-：
четность. Это оче-：
Здесь n<= min(/n, n), n> = max(/n, /г), P„(x) — присоединенная функция Лежандра. Таким образом, вероятность перехода Wmn полностью определяется одним
параметром р, для нахождения которого достаточно решить уравнение (1.3) для классического осциллятора. Графики вероятностей не
рехода при чениях п и рис. 19:
/2 = 0, р == 0,75; п = 6, р = 0,11; /г = 20, р = 0,12.
Отметим некоторые особенности выражения (3.11).
Переходы совершаются между состояниями I п, ш_) и |/п,①十〉,для которых числа tn ч п имеют одинаковую
видным образом связано с четностью потенциала V(X, f)=切(f)x2.
Особый интерес представляет величина Ап = =1 — Wnnt дающая вероятность того, что осциллятор изменит свое начальное состояние. Графики функций Ап = Ап (р) приведены на рис. 20. Из этого рисунка видно, что адиабатическое приближение для вероятностей перехода Wmn справедливо лишь при выполнении условий: р《 1, тар《1.
Выражение (3.11) для Wmn сильно упрощается при п = 0,1 (в этих случаях переходы происходят
только вверх, m>n):
о =證轩 U 口 р"，%“+ь <=舞諸(1 - Р产 р"・
(3.12)
В противоположном случае, когда /г》1 (и р не слишком мало), в (3.11) можно подставить квазикласси- ческую асимптотику для функций Лежандра. Считая т непрерывной переменной, преобразуем (3.11) к виду
гдегде^тп^тп4C0S2 ①m%Л M(/n - ^l)(加2 -m)4C0S2 ①m%Л M(/n - ^l)(加2 -m)(3.13)(3.13)mtmt1-V71 + /p1-V71 + /p
где
где
^тп
^тп
4C0S2 ①m%
Л M(/n - ^l)(加2 -m)
4C0S2 ①m%
Л M(/n - ^l)(加2 -m)
(3.13)
(3.13)
mt
mt
1-V7
1 + /p
1-V7
1 + /p
a ①mn — быстро осциллирующая фаза. Множитель 4.в (3.13) обусловлен тем, что величина tn изменяется на 2, А/п = 2 (см. п. 1); с учетом этого распределение Wmn нормировано на единицу. Усредненное по осцилляциям распределение вероятностей показано на рис. 19, б и 8 штриховой линией. Распределение вероятностей перехода Wmn в основном сосредоточено в области /П1 < /п < < ги2 (для того чтобы разность т2 — 〃i》1, требуется n2p ^> 1). При т < mi вероятности Wmn экспоненциально падают с уменьшением /п; аналогично обстоит дело и при tn > m2. Эти области значений т вносят пренебрежимо малый вклад в полную вероятность. Максимального значения вероятности перехода Wmn достигают при т, близких к 加£ к 加2 (см. рис. 19). Сравнение с формулами (3.12) и (3.13) показывает существенное различие в поведении вероятностей Wmn при 〃〜1 н " % L Это различие ясно видно из рис. 19, а, в.
Параметр р, являющийся характеристикой классического осциллятора, совпадает с квантовомеханическим коэффициентом отражения от одномерного потенциального барьера, для которого импульс частицы ^(х) =(о(%). Это обстоятельство, на которое обратил внимание Л. П. Питаевский, позволяет использовать для нахождения р уже известные результаты квантовой механики. Подробнее эта аналогия рассмотрена в следующем параграфе (см. формулы (4.12), (4.13)), Здесь мы ограничимся несколькими примерами, когда уравне-
ние (1.3) решается точно, а также рассмотрим особенно интересный случай параметрического резонанса.
. Пусть222
炉(‘)=№ + 落嘉+"^7(3.14)
(такая зависимость ®2(/) отвечает известному из квантовой механики потенциалу Эккарта; графики этой
функции при различных дены на рис. 21). При ЭТОМ Q > —(…十；丿,
иначе (о2 (/) принимает
отрицательные значения. Функция (о(/) об
ладает минимумом при —的 V Q V —。1, максимумом -при а >0b а при |a|Nai монотонно изменяется от(о_
до(о+ здесь
значениях параметра а приве-значениях параметра а приве-Коэффициент отражения для (3.14) равен (К. Эккарт, 1930)
значениях параметра а приве-
значениях параметра а приве-
p=懿需累:'a =若，0 =号，6 =
(3.15)
Б. С помощью (3.14) можно совершить непрерывный переход из адиабатической области к резкому скачку ® (/). Полагая а — 0, имеем
р=[р=[sh (а —В)/2]2 sh (а + Р)/2 J
р=[
р=[
ехр (- 2л
/ со+ — С0_ \2 Г [ds + S —
приприприприY《®±, (3.16)Y》со±-Y《®±, (3.16)Y》со±-[G)+ + СО—丿 У —3丫2
при
при
при
при
Y《®±, (3.16)
Y》со±-
Y《®±, (3.16)
Y》со±-
Значение Р =(味：*'曰二)соответствует резкому скачку частоты и может быть получено методом внезапных возмущений.
. Как видно из формул теории возмущений, заметного возрастания р можно ожидать в том случае, когда спектр со (/) содержит компоненту с удвоенной частотой 2(оо. Это случай параметрического резонанса. Полагая ш2 (/) = шЦ1 + 2е sin (2 + б)соо^], где | е |, 161《1, находим
(82 sh2 Т. I . I
MKs代 nРИ 旧>|6|,
Р — I 82 sin2 Т.
Ртах = возбу- малых может усили-входитРтах = возбу- малых может усили-входит(здесь 卩=^ Ml 戌—& I,工=卩9(/)・ При |е| > |6| (область неустойчивости для уравнения Матье) р монотонно возрастает от 0 до 1. При |е| < |6| решение носит колебательный характер, и максимальное значение =(^) < 1. В обоих случаях возможно сильное ждение осциллятора (р 〜 1) при столь угодно значениях коэффициентов е и д. Этот пример служить моделью квантового параметрического теля (с одной модой).
Ртах = возбу- малых может усили-
входит
Ртах = возбу- малых может усили-
входит
Г. Подчеркнем, что в формулу (3.11) для Wmn
лишь модуль отношения С2/С1, но не его фаза. Так будет не всегда. Рассмотрим, например, эволюцию когерентного состояния (подробнее о свойствах когерентных состояний см. § 6 гл. I)
|а〉= е 2®£Т^М〉，(3.18)
〈％ I а〉=丸(%)=
=("^)Д ехР { — Т l®—^2 ~ 2 У2(о_ ах + а2 + j а р] j-. (3.19)
Сравнение с (3.4) показывает, что 屮鼠尤,if —> — оо) с точностью до постоянного множителя ехр ( - ^ I а 竹 совпадает с производящей функцией 屮(а, х,/—► — 8).
Поэтому и при любом t
(3.20)(3.20)- lap
(3.20)
(3.20)
屮а (%,£) = е 2 屮(а, %"),
где 屮(а,%,/) дается формулой (3.4). Поскольку a(f)丰 璘 s〃)(даже при f —> оо), то состояние ^а(х, f) при / # — оо уже не является когерентным. Распределение по уровням при f —► + 8 становится стационарным:
步о3) = /1 -рехр { — [1 — МГ cos 2 (<р 一 d)] г2}, 小)=%(。)窑X/毫…一哨.产)
Здесь /(%) —полином Эрмита, а = г叫 鼻=m注2.(3.22)
В отличие от (3.11), распределение JTm(a) не определяется одним лишь р, но зависит и от фазы отношения Са/С4. В этом проявляется квазиклассичность когерентного состояния.
В адиабатической области (р—►()) эта формула упрощается:
^(a) = e-Г/[1 + m№2一g7))32@-6)]. (3.23)
Д. В качестве последнего примера рассмотрим осциллятор, который при f = 0 находится в состоянии теплового равновесия при температуре Г и потому описывается матрицей плотности
Pm“(0) = (l-6&“，gexp(T), (3.24)
^n = Pnn == (1Т"“^n = Pnn == (1Т"“k — постоянная Больцмана (распределение Планка). В этом случае при f —► + 8 населенности Wn равны
^n = Pnn =
= (1Т"“
^n = Pnn =
= (1Т"“
(1-рГ2) р / — i-p 、(i- р1)К(1-р?2)(1-рг2)丿.
(3.25)
Поскольку начальное состояние (3.24) является некогерентной смесью n-квантовых состояний, то фаза отношения Cz/Ci в (3.25) не входит.
§ 4. Осциллятор с переменной частотой под действиемвнешней силы, вероятности перехода
Рассмотрим общий случай, когда на осциллятор с переменной частотой ®(/) действует сила /(/). Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид (1.1). Относительно величин(о(/) и f(f) предположим лишь выполнение естественных граничных условий (1.2) и (L2). В остальном зависимость частоты s(/) и силы f(f) от времени может быть произвольной. Для того чтобы получить явное выражение для вероятностей Wmn, воспользуемся, так же как и в предыдущих параграфах, методом производящих функций. Пусть ^п(х, 0 — то решение уравнения (1.1), которое при /—►—оо переходит в(рп(х, /; со_), а 2 ——вспомогательная комплексная переменная. Образуем производящую функцию
屮⑵ ％,/) =』奇也,(*,/).(4.1)
Тогда с помощью формулы (1.16) нетрудно найти t|)(z, х, t) в любой момент времени f
w (г, X, 0 =
=("Т^ ]/ 等)ехР(~4。(％ - ПУ - 'М*吐•- n)z +
+ 226-2吁 + "力(* -n) + 0]}. (4.2)
Здесь 己(/) и п«)—решения уравнений движения для классического осциллятора, определенные в (1.3), (13), (1.13); 丫(f) == arg I«), величина о(f) дается формулой (1.13).
Рассмотрим интеграл
/ (“n %2； f) = J dx1^^^(2р X, /)屮(之2，X, f).(4.3)
При ff + 8 он совпадает с производящей функцией для матричных элементов Стп =〈俏,о)+| 屮篦(/)〉
Игл /⑵，22；/) = /->4-00
00fnz%
="(马，Z2)= 2<w> ®+ l^nW)-^- (4・4)
m, n=o m
Опуская, как и прежде, несущественный для дальнейшего фазовый множитель и производя преобразование переменных 淼^加产总,где ai и аа— некоторые фазы, после ряда преобразований получаем следующее выражение для H(Z\, z2) (А. М. Переломов, В, С. Попов, 1970):
"(z„ г2) = (1 - р产 ехр {- £ (1 - /р cos 2(р) +
+ *[Мр 啰一2；) + 2 М — р2匐 +
+ Vv [/Т^р е~^ -(ег<₽ - /р е-^) г2]}. (4.5)
(4.6)(4.6)Параметр р в (4.5) дается формулой (1.21), При этом О ^ р < 1 и значение р целиком определяется видом со(/) и не зависит от внешней силы. Величина v = |d|? характеризует степень возбуждения осциллятора внешней силой и определяется формулами (1.19), (1.24). Фаза ср имеет следующий вид:
(4.6)
(4.6)
где &, % и В — фазы величин G, С2 Hd.
Вычисление вероятностей Wmn сводится теперь к разложению функции 〃(21,乞2)в ряд Тейлора; коэффициен- ты разложения Ст篦 можно выразить через полиномы Эрмита от двух переменных. Согласно справочнику Г. Бейтман, А. Эрдейи (1953В) эти многочлены определяются так:
ехр|》ач \У1г! ~ У г^/) [ L TJ^T Я«^ (^р у^' ^4-7^
I i, 31J %僧2
А. И. Базь и др，
В нашем случае
—m1 — р—m1 — р[«//]=[«//]=Ух = /v(l -р)е^,
—m1 — р
—m1 — р
[«//]=
[«//]=
д? = — У V (е-阿—У е抑)
(4.8)
(заметим, что а2 = /, а"1 = а). Отсюда находим окончательное выражение для вероятностей перехода
Wm“ = 4謂1 Нт”匂I,坟)I2exp{-v(l - y"pcos2ф)). (4.9)
Приведем в явном виде Wmn для простейших значений тип:
%)== Н — р ехр { — v(l — Jр cos 2(р)},
步 io = V (1 — Р)^оо,步о】==V (1 — 2 Кр cos 2(р + v2p) W^ • Wu — (1 — p) [(1 — v)2 + 2v(l —v) Kp cos 2(p + v2p] U%・
(4.10)
Если в (4.7) положить одну из переменных 之力 z? равной нулю, то это выражение упрощается и принимает вид производящей функции для обычных полиномов Эрмита. Отсюда следует, что если при fr — оо осциллятор не возбужден (п = 0), то величины WmQ выражаются через обычные полиномы Эрмита:
呼h (且三S 用 2mml P4
X exp { — v(l — ]/pcos2<p)]. (4.11)
£lzL 0«/22"献p£lzL 0«/22"献pАналогичная формула нмеет место для %"： /2v(Kp e~i4>-ei<f)'
£lzL 0«/22"献p
£lzL 0«/22"献p
X exp{ — v(l — Mp cos 2<p)}. (4.11^
Из явного вида формул (4.11), (4.1 Г) видно, что, вообще говоря, WOn 4= ^по- В то же время при v == 0, т. е. при отсутствии внешней силы величины %1n сим-
метричны по m и п. Заметим, что из общих принципов квантовой механики следует, что вероятности перехода Wmn симметричны по начальному п и конечному m состояниям, если(о(—f)= ①(/)• Как видно из (3.11), фактически равенство Wmn = Wnm в этом случае выполняется при произвольной зависимости со от 工 Причину этой дополнительной симметрии можно понять, если, следуя Л. П. Питаевскому, связать р с коэффициентом отражения от одномерного барьера. Для этого образуем из ±(f) и |* (0 линейную комбинацию 扇(f) со следующими свой
ствами:
при /-> — 8при /-> — 8(产」+
при /-> — 8
при /-> — 8
К(/)м(/)+/О)= n W
I De +
Отсюда видно, что &(/) совпадает с волновой функцией одномерного уравнения Шредингера, если заменить t на х, a(o(f) на 々(х). Коэффициенты R и D имеют смысл амплитуд отраженной и проходящей волн. Из сравнения (4.12) с (i・3〃)находим
= 1 二1V，& = тт^7，p = IRF・ (4」3)
Таким образом, решение (4.12) соответствует волне, падающей на барьер слева. Обращение времени отвечает переходу к волне, падающей справа. Обозначая коэффициенты отражения для этих двух волн через р и р[ имеем Wmn (р) = Wnm(pf). Но, как известно (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1963), р，= р, отсюда и вытекает дополнительная симметрия вероятностей Wmn по индексам m и п. Из формул (2.13), (2.12) видно, что величины Wmn симметричны по m и п также при р = 0. Если же v《0 и р ¥= 0, то для того, чтобы выяснить, когда такая симметрия существует, рассмотрим случай
з(Т) = з(/), f(T) = f()(4.14)
Уравнению (1.3) удовлетворяет при этом не только &(/), но и |(—/). Отсюда следует, что Е(—f) является линейной комбинацией &(f) и |(Q *. Нетрудно проверить, устремляя, например, / к —оо, что
К-/) = СЕ«)-С*(/).(4.15)
Устремляя теперь в (4,15) f к 十8, получаем следующие соотношения между коэффициентами:
С1 (С2 + С；) = О, |С( |2 + С^=1.(4.16)
Из (4.16) следует, что G должна быть чисто мнимой величиной. Поскольку /(——/) = /(/), то в выражение (1.19) для d при 力―+ 8 входит величина &(/) + 自(——力)= =(1 —匕2)乳方)+ Cig*(/). Аргумент этой величины
arg 心⑴+ 自(一切=彳[arg(l -С2)+arg С J (4.17)
оказывается не зависящим от времени. .Отсюда находим
В = arg d =子 + 扌[arg (1 - C2) + arg CJ (4.18) и
]1•
ф = y [arg Cf + arg C2] - p = у [arg C2 - arg (1 - C2) - л].
(4.19)
Заметим, что из определения рн|*『и (4.16) следует, что С2 K ± /. Подставляя это значение С2 в
(4.20)(4.20)(4Л9), приходим к равенству cos 2qp = Ур.
(4.20)
(4.20)
Таким образом, в рассматриваемом случае переменные р и ср уже не являются независимыми, а вероятности Wmn определяются уже двумя величинами р и v и симметричны по m и п. Заметим, что во всех остальных слу・ чаях симметрия по т и п заведомо нарушается.
Квантовый осциллятор и адиабатическиеинварианты
Начнем, следуя П. Парадоксову (1966), с рассмотрения классического осциллятора х + co2(f)x = 0, частота которого (о(/) медленно меняется с течением времени. Это может быть, например, тяжелый маятник с медленно изменяющейся длиной подвеса /. Его частота ⑦ в Vgh где g ——ускорение силы тяжести. В квантовой
теории его энергия принимает значения (п + 1/2)方①，где п ——целое число, номер состояния.
Очевидно, что при медленном изменении система, находившаяся в /г-квантовом состоянии, останется в п-м состоянии и номер п не изменится. Это формулировка адиабатической инвариантности в квантовой механике. Она справедлива и при п = 0 или п = 1 для молекулы и для п = 1030 (порядок величины п для маятника стенных часов).
Ясно, что независимо от значения постоянной 方 и конкретной величины п при адиабатическом изменении (о получается Е = const ①.
В классической механике доказательство этого равенства сложнее. При произвольном виде потенциала более сложном чем(о2х2/2} можно применить то же самое рассуждение, только номер уровня надо будет искать иначе. Ограничимся одномерной задачей. Стационарные волновые функции финитного движения (т. е. колебаний) вещественны. Волновая функция n-го состояния имеет п узлов, т. е. п точек обращения в нуль. Это значит, что в той области, в которой происходят колебания, укладывается п полуволн.
Длина дебройлевской волны равна 2лй/р, где р —— импульс (р = mv), а число волн в сантиметре равно р/2冗方.При колебаниях импульс не остается постоянным, значит, надо интегрировать при подсчете числа волн, вкладывающихся на длине, от одной точки до другой:
无2
九(вопн) = £" J pdx.
Нам нужно найти число узлов, т. е. число полуволн, которое, очевидно, вдвое больше. Принято не просто умножать интегралы на 2, а писать номер уровня в виде
где интегрирование проводится по замкнутому циклу, В данном случае цикл — это путь от 融 до 也 плюс об^ ратный путь от 徹 до 尤协 так что интеграл удвадвд^тСЯ.
Итак, адиабатическим инвариантом классической механики при медленном изменении потенциала является величина ^ р dx, поскольку fi и п постоянны. Так квантовая механика помогает понять выводы классической механики.
Исторический ход развития теории адиабатических инвариантов был, однако, совсем иным. Адиабатические инварианты классической механики были известны задолго до создания квантовой теории. В «старой» квантовой теории Бора — Зоммерфельда (до работ Гейзенберга и Шредингера) использовали классические адиабатические инварианты именно потому, что их размерность (импульс, умноженный на координату) совпадает с размерностью постоянной Планка. .
Адиабатическая инвариантность важна не только для колебательных систем. Важнейшим примером является движение заряженной частицы в магнитном поле; мн ограничимся ссылкой на очень наглядную, ясно изложенную работу Т. Нортропа и Э. Теллера (I960).
Отметим, что квантовые представления позволяют лучше понять также условия применимости и точность выполнения адиабатической инвариантности. Так, в случае гармонического осциллятора воздействие, заключающееся в изменении о с течением времени, симметрично по отношению к началу координат (замена 尤 на —х). Ясно, что такое воздействие не меняет четности функций,, а следовательно, номер уровня п может меняться только на 2, 4,...
Отсюда ясно, что вероятность переходов, т. е. нарушение адиабатической инвариантности (равносильной п = const, см. выше) зависит от фурье-компонент частоты 2(о в законе изменения(о(/), поскольку система потребляет энергию порциями при переходах п —► п ± 2. Отсюда следуют оценки зависимости точности инварианта от вида (»(/)・ Здесь же содержится и параметрический резонанс; если(п(/) зависит от времени по закону ①=о)о(1 + 九 cos 2伽£) переходы и накачка энергии особенно интенсивны.
На этом мы закончим качественный разбор адиабатических инвариантов и перейдем к количественным
оценкам. В квантовом случае естественно определить адиабатический инвариант I как среднее значение оператора Н (f)/s(f):
/")=〈體〉=1卜 +甘 |e/，(5・1)
п
если I 屮(0) = £ & (/) I п, со «)〉.
Аналогом адиабатических инвариантов, как уже говорилось выше, является также распределение по уровням энергий. Вопрос о точности сохранения адиабатических инвариантов в квантовом случае рассматривался в работах А. М. Дыхне (I960) и X. Льюиса и В. Ризен- фельда (1969). Использование явной формулы (3.11) для вероятностей перехода для квантового осциллятора позволяет уточнить их результаты.
Рассмотрим сначала случай, когда первоначальное состояние является n-квантовым. В адиабатическом случае, когда s(f) —медленно меняющаяся функция, аналитическая в некоторой полосе |1т"《з величина р экспоненциально мала. При этом из (3.11) получаем ^пп = 1 ^ (济 + 〃 + 1) р + ..
吃m吃mп>!п>!吸气限!吸气限!P后P后% S> +1)) P [% S> +1)) P [(5.2)(5.2)
吃m
吃m
п>!
п>!
吸气限!
吸气限!
P后
P后
% S> +1)) P [
% S> +1)) P [
(5.2)
(5.2)
Главные члены в этом, разложении были получены А. М. Дыхне (I960). Поправка имеет порядок п2р, поэтому с ростом начального возбуждения п точность формул (5.2) быстро ухудшается. При п》1 может осуществиться случай, когда р《 1, а п2р》1, тогда в (5.2) нужно произвести суммирование всех членов ряда, что дает
%- = 7T l I MU砌 I2(5.3)
(тпр п<!，
(условия применимости этой формулы т, /г》1).
Если mnp《1, то (5.3) автоматически переходит в (5.2).
В простейшем случае /п == п формулу (5.3) можно обобщить на произвольное значение р. Применяя асимптотику Хильба (см. Г. Бейтман, А. Эрдейи, 1953А) для Рп (cos 0), находим из (3.11)
吃1爲|厶(卜+(5.4)
Здесь м》1, а р = sin2 0 — любое.
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда со・ стояние осциллятора задается матрицей плотности р (/). Запишем матрицу плотности начального состояния в форме так называемого P-представления (условия, при выполнении которых можно использовать это представление, обсуждаются в книге Дж. Клаудера и Е. Сударшана (1968)):.
6 (0) = j d2aP (а) |а) (а |,(5.5)
где 尸(а)—весовая функция, |а)——волновая функция когерентного состояния. Тогда при любом t
0(/)= J d2ap(a)|%(/)〉〈M«)L(5.6)
где 2а«) определяется формулами (320) и (3.4). Отсюда для произвольного оператора А имеем
貝=Sp (0 (/) А}= / d2ap (а)〈必(OMI %(o>. (5.7)
Таким образом, достаточно усреднить А по состояниям 12ct (£)〉• После несложных вычислений находим с помощью (5.7)
п_=|аР,场+=* + |а|2 1±3至『也包(5.8) (здесь п± ——средние значения п = а+а при f —> ± оо, для состояния Wa«)，仪=|а|е押，а ср определено в (322). Из (5.7), (5.8) следует
где /土一 значения адиабатического инварианта / при f —► ± 8
2丿.2丿.А =〈а+2〉= J d2ap (а) а*", В =/_ =
2丿.
2丿.
(59)
Из соотношения неопределенностей вытекает, что |4|《 ^ У В2 ~ 1/4. Поэтому величина е всегда заключена в пределах
(5.10)(5.10)
(5.10)
(5.10)
Если начальное состояние стационарное, то 尸(а,/о) ^ =Р (] а I, /о), откуда Д = 0; следовательно,
(независимо от конкретного вида этого состояния). В частности, формула (5.11) справедлива для всех n-квантовых состояний. При п = 0, 1 в этом нетрудно убедиться непосредственно из распределений (3.12).
Как видно из (5.10) и (5.11), в среднем /+ > /_. Причину возрастания / легко понять, рассмотрев осциллятор с медленно меняющейся частотой. Пусть ①== =so + До, А(п《о。. Усредняя это равенство по невоз- мущенным волновым функциям, учтем, что, согласно теореме вириала, р? = ^х2 = со0/0, откуда
Аналогичным способом можно находить средние и для операторов, более сложных чем п. Мы приведем выражение для дисперсии Дп^, = (п2 — п2). При этом, поскольку общая формула имеет несколько громоздкий вид, ограничимся случаем стационарного состояния 尸(а,/°)= =Р(|а|, /о). Тогда
△琢J世萨^ + 1r^陷+无一+q• (5.12)
Если изменение частоты(«(/) происходит адиабатически, то р —► 0. В этом случае формулы (5.9), (5.12) принимают более простой вид:
е = — 2 Re 倍 R), А* = Дп^ + 2р (3 А必 + 亢L + 亢—+ 1), (5.13) где /? = j/ р е2/б — коэффициент отражения.
Заметим, что е, вообще говоря, не определяется одним лишь коэффициентом отражения R, но зависит и от выбора начального состояния. Так, если взять в качестве начального состояния осциллятора когерентное состояние I а), где а = I а I ?叱 то при | а |》1
А 21 а I29；т
8 = — 2 Up cos 2(6 — ср).
§ 6・ Квазиэнергия системы, подвергающейсяпериодическому воздействию
Рассмотрим квантовую систему, на которую действует сила, периодически меняющаяся во времени. Обычно в качестве нулевого приближения рассматривается система с потенциалом, не зависящим от времени; состояния такой системы, обладающие определен-, ной энергией, образуют полный ортонормальный набор. Зависящая от времени часть гамильтониана "i《 HQ рассматривается как возмущение, вызывающее переходы между собственными состояниями гамильтониана "о.
Однако если Hi не мало, то целесообразен иной подход (Я. Б. Зельдович, 1965).
Согласно теоретико-групповым соображениям, если Н = Но + Н± периодически зависит от времени, то среди решений уравнения Шредингера
汴鲁= Н”，H(t + T) = H(t)(6.1)
можно выбрать i|)a(/) такие, что
S(/ + T) = eTa%(f).(6.2)
По аналогии со случаем не зависящего от времени " естественно назвать квазиэнергией ) величину
8 =罕，Т =普. (6.3)
Состояния такого типа в случае периодически зависящего от времени Н(/) играют ту же роль, что и стационарные состояния с определенной энергией в обычной теории.
При этом, однако, коэффициенты разложения заданной ВОЛНОВОЙ функции 2(%j ПО СОСТОЯНИЯМ 2а (爲力 зависят от времени /, меняясь периодически (с периодом Т). Напротив, если взять произвольное точное решение 屮(匕/) уравнения Шредингера с данным 〃(/), то его коэффициенты разложения по 2a (%") постоянны.
Решения, соответствующие разным квазиэнергиям, как и в теории с постоянным Я, ортогональны между собой. В этом легко убедиться, заметив, что для любых двух решений ”1(%, %) и 屮2(匕 ％) уравнения Шредингера с произвольно зависящим от времени гамильтонианом Н (/) в силу его эрмитовости скалярное произведение (屮2〃)，pi(/)) не зависит от времени. Если в качестве волновой функции выбрать состояние с определенной квазиэнергией е, то ее можно записать в виде
也(%,力=% (%, f) е ", м8 (х, t + T) = %(%"). (6.4)
Поэтому для двух квазиэнергий ei и ег, если 跑——&耍 ¥= ап方s, где m — целое число, независимость от времени требует ортогональности функций г|ч(£) и 屮耽々)в любой данный момент времени /:
J dx% (х, /)也,(х, /) = 0. (6.5)
Для случая £2 — ei = mhm заметим, что суперпозиция таких решений есть также решение с той же квазиэнергией (определенной, как легко видеть, с точностью до аддитивной постоянной zn方①).Е>лагодаря этому
屮如 и 屮玫 при е2 = si + mhs всегда можно ортогонали- зовать в полном соответствии со случаем постоянного Н.
Приведем простой пример состояний с определенной квазиэнергией. При рассмотрении ионизации атомов в поле сильной световой волны (Л. В. Келдыш, 1964) конечное состояние электрона описывается волновой функцией
恥(г,/) = &“ехру л (/) г — } J “2 (У) “ , (6.6)
где л (0 = р — A(t),4(f) ——векторный потенциал,
尸(/)=— напряженность электрического поля (ко
торое считается однородным). Состояния*фр при 尸一► О переходят в обычные плоские волны, а в периодическом поле 尸«) описывают движение со средним (по периоду Т) импульсом р и квазиэнергией £尸：
т
%=%(p2+网)，/=4"j段(方')"(6.7)
о
(член р^/2 соответствует средней кинетической энергии осцилляций в поле 尸(£))• Явное нахождение 也尸 и ер в этом примере возможно по той причине, что мы пренебрегли атомным потенциалом V(r), действующим на электрон помимо внешнего поля 尸(/)・ В противном случае определение спектра квазиэнергий представляет собой сложную задачу, которая рассматривалась лишь в рамках теории возмущений (В. И. Ритус, 1966). Мы покажем, что для гармонического осциллятора спектр квазиэнергий может быть найден точно (А. М. Переломов, В. С. Попов, 1969).
Рассмотрим сначала осциллятор с постоянной частотой («о, на который действует периодическая внешняя сила f(t):
/#=-4"0- + [4(йох2-^/)х]^ f« + T) = f(/)・(6・8)
Общее решение этого уравнения дается формулой (1.15). Чтобы получить из (1.15) состояние с определенной ква-
периодичности а в качестве уровня. Тогдапериодичности а в качестве уровня. Тогдазиэнергией, наложим на “(/) требование (этим 刀(/) определяется однозначно), Ф(х, t) возьмем волновую функцию п-го
периодичности а в качестве уровня. Тогда
периодичности а в качестве уровня. Тогда
(6.9)(6.9)^n(^» ')=
(6.9)
(6.9)
= 5(% — "〃), 3())6xp{-i
吃=卜 + ^)铀一/ J f(方)n(方)弘 (6.10) о
(Рa(Х, 5)= (^_/)汽一万3"瓦(1/^х). (6.11)
Состояния *фп (^, 0 образуют полную систему функций и при данном / взаимно ортогональны. Физически они соответствуют осциллятору, мгновенное положение равновесия которого находится в точке “(/) и периодически колеблется.
Из (6.10) следует, что спектр квазиэнергий остается эквидистантным, испытывая лишь общее смещение Де. Полагая
〃/)=£*'"叫 L = f；，(6.12)
находим
7 是匕Г(6.13)
В частности, при f (/) = f cos ①片 Де = —衣.В этом 43-ш0)
случае Де < 0 при(« <(й0, Ае > 0 при ① > ①朋 Сдвиг Де при ①一► 0 соответствует эффективному понижению дна по!тенциальной ямы *). В случае высоких частот
С2
(① 沟 зо) имеем: Де = ^?> что соответствует кинетической энергии быстрых осцилляций частицы.
Более интересен случай осциллятора с переменной частотой: ю(^ + Г) =s(f). Уравнение (3.1) имеет решение вида 巾= ехр {-^ (ах? 一 2Ьх 十 с)}, если а, Ь и с удовлетворяют уравнениям (К. Хусими, 1953)
id = а —(п2, ib = ab, " = / —а. (6.14) Положим
a = aj + z^j 方=]/2a126-叱 С =2%-2‘Y 一 ^1n 死 + 油(6.15)
где г — вспомогательная переменная, а аь а2, 丫 — неизвестные функции времени. Уравнения для них следуют из (6.14):
Г^Г~Т(^г) +甯=«>2(/), а2 = -^-, у = а1.(6.16)
Удобно выразить а】，а2, у в параметрической форме. Пусть Ei(f),自2(/) —независимые решения классического уравнения движения g +(п2(/)^ = 0- Тогда
4 =击悟-昌,a =倚+山2=一津,4 =击悟-昌,a =倚+山2=一津,a2= _ 4■借+勖у = —— In —, Y 2 H 飞2，a2= _ 4■借+勖у = —— In —, Y 2 H 飞2，(6.17)(6.17)
4 =击悟-昌,
a =倚+山2=一津,
4 =击悟-昌,
a =倚+山2=一津,
a2= _ 4■借+勖
у = —— In —, Y 2 H 飞2，
a2= _ 4■借+勖
у = —— In —, Y 2 H 飞2，
(6.17)
(6.17)
"⑵X, /)
Но, с другой стороны, *ф(2,爲£) является производящей функцией
ную квазиэнергию. Согласно теореме Флоке (см., например, «Механику》Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, 1958)
Ei (0 =宀⑴,& ⑴=e一认%6)(6.20)
(以i,〃2 — периодические функции с периодом Г). При этом X может быть либо вещественным (зона устойчивости), либо чисто мнимым (зона неустойчивости). Подчеркнем, что для определения X достаточно решить уравнение (1.3) для классического осциллятора. В зоне устойчивости 自2«)=自；(/) и функции ab q% Y вещественны, причем
ax(t+T) = «i (/), а2 G + Т)=敗(0，Y 传 + Т) = Y «) + АТ,
ааX = -jr J ai (/) dt =оX = -jr J ai (/) dt =оIm (审)f dt~ J TFFоIm (审)f dt~ J TFFо(6.21)(6.22)(6.21)(6.22)
а
а
X = -jr J ai (/) dt =о
X = -jr J ai (/) dt =о
Im (审)f dt~ J TFFо
Im (审)f dt~ J TFFо
(6.21)
(6.22)
(6.21)
(6.22)
(Im(&g；) не зависит от времени).
Заметим теперь, что волновая функция (6.18) имеет смысл лишь при «1 > 0, а знаки % н 入 совпадают. Поэтому в качестве ^ (/) необходимо выбрать решение с X > 0. Из (6.19) и (6.21) получаем, что состояния ^п (х, /) имеют квазиэнергию
% =(九 + у) х.(6.23)
Спектр квазиэнергий эквидистантный, но величина 《кванта》X сложным образом зависит от вида ©(/). Для нахождения 入 достаточно решить уравнение движения классического осциллятора с частотой s(f).
Переход в зону неустойчивости совершаем с помощью (6.19). Нетрудно показать, что функция вида (6.19) удовлетворяет уравнению (3.1), если
(一^备+号炉)我=(" + j)a0・(6・24)
В зоне неустойчивости &(/) и &(/) вещественны. Положим поэтому «1 = —/а, у = —iy‘ и сделаем замену
(〃 + l/2)—>iv. После этой замены эффективный потенциал в (6.24) принимает вид У (х) = —^(^炉，что приводит к непрерывному спектру — оо < v < оо. Каждое собственное значение двукратно вырождено.
Приведем явное выражение для волновых функций с квазиэнергией ev = v|X|:
(6.25)(6.25)4r于)=вхр [ — 专 а?/ — z”y[①导)(x, О, ①г=0 I . Qu阪「号，
(6.25)
(6.25)
① c ==D-^iS~'x^^'
Здесь D_%+iv— функции параболического цилиндра (Г. Бейтман,. А. Эрдейи, 1953); при этом ①Vй отвечает волне, падающей слева )：
при Xf — 8, (6.26)
при Х-> + оо.
Значение 入 определяется тем, что & (f + Т)=兴 & (f)・
Волновые функции 4r”(х, f) не отвечают связанному состоянию, что качественно согласуется с поведением классического осциллятора в зоне неустойчивости (неограниченный рост амплитуды колебаний g(f) при параметрическом резонансе). Следует отметить, что мгновенное значение потенциала У(х, /) (или его среднее по периоду) имеет вид V = — k^, с 々>0, что в стационар
ном случае приводит лишь к дискретному спектру. Поэтому возникновение непрерывного спектра обязано исключительно временным осцилляциям И(х, f).
Особая ситуация возникает на границе между областями устойчивости и неустойчивости X == 0. В этом случае одно из решений &, & периодическое, а другое растет 〜/• Здесь также можно получить явное выражение для волновых функций с определенной квазиэнергией. Эти функции взаимно ортогональны (при одном и том же f) и образуют полную систему. Спектр квазиэнергий двукратно вырожден и непрерывно заполняет полуось 0《£ < ОО.
В заключение заметим, что рассмотренные выше состояния с определенной квазиэнергией допускают простую теоретико-групповую интерпретацию. Читателя, интересующегося этим вопросом, мы отсылаем к работе А. М. Переломова и В. С. Попова (1969).
7. Гейзенберговское представление и каноническиепреобразования
До сих пор мы рассматривали шредингеровское представление, т. е. такое представление, когда операторы, соответствующие физическим величинам, не зависят от времени, а вся зависимость от времени средних значений физических величин определяется волновыми функциями. Во многих случаях, однако, удобнее использовать такое представление, когда вся зависимость от времени средних значений определяется операторами, а волновые функции от времени не зависят. Это представление называется гейзенберговским. Переход к нему осуществляется с помощью формулы
A(t) = S+(t)AS(t), (7.1)
где унитарный оператор S, З— = S+, называемый 3-матрицей, есть оператор, переводящий волновую функцию ■ф(О) в волновую функцию 屮(/) ):
2(/) = 8(/)屮(0). (7.2)
Отсюда следует уравнение для S(f) i^^H(t)S, S(0)=l(7.3)
и уравнение движения для 4(f)
力书=[4(，"(/)]， 4 (0) = 4 Я(0 = 5+(0Я5(0. (7.4)
Уравнения (7.4) представляют сложные нелинейные операторные уравнения и лишь в редких случаях их удается решить точно. В случае осциллятора эти уравнения для операторов %(£) и p(t) превращаются в линейные и притом полностью совпадают с классическими уравнениями движения. В силу этого гейзенберговское представление удобно использовать при рассмотрении осциллятора. Пусть сначала на осциллятор с постоянной частотой действует внешняя сила /(/), произвольным образом зависящая от времени. Для оператора а(0 = = *+(f)a€(f) из (7.4) получаем следующее уравнение: t@ (?) ==(оа (t) —^==，а (0) == а. (7.5)
Решая его, находим
a(f)=(a + d(f))eT%(7.6)
где
(7.7)
Отсюда сразу же следует, что если при f = 0 состояние было когерентным: )^(0)) — |а), то с точностью до фазового множителя оно остается когерентным:
I 屮(£)〉= e-婚⑺ I (а + J(0) с—吟.(7.8)
Из (7.6) видно, что учет силы приводит к дополнительному (по сравнению с умножением на e-叫 преобразованию операторов
5 = a + d, 5+ = d++d*.(7.9)
Соотношения (7.9) определяют простейшее каноническое преобразование, т. е. такое преобразование, которое не меняет перестановочных соотношений ([6, 6+]=1)・
Сравнение с формулой (6.38) гл. I показывает, что оператор 5 получается из оператора d с помощью унитарного преобразования
б = D+ (J) aD (d), Q (d) = 〃&+-/% D+D =。。+ = i.
(7-10)
Равенства (7.10) являются весьма частным следствием теоремы И. фон Неймана (1931), которая утверждает, что при любом каноническом преобразовании операторов а】,• • •, Qn~* 加,...,匕户,［九，勿］=6订 в случае конечного ^ эти операторы унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный оператор U (U+U = UU+ = 1) такой, что
bi = U+aiU, bt = U+atU. (7.10')
Подчеркнем, что в случае бесконечного числа степеней свободы (^ — оо) теорема фон Неймана уже несправедлива. Это значит, что существуют канонические преобразования, которые не являются унитарно эквивалентными. Простой пример унитарно неэквивалентных представлений будет дан ниже.
Рассмотрим преобразование (7.9) более подробно. С помощью операторов а н а+ построим гильбертово пространство 第,базис которого образуют состояния
• |/г〉=育 |0〉，а|0〉= 0・ (7.11)
Поскольку операторы Ь, 6+ удовлетворяют тем же пере- становочным соотношениям, что и операторы а, а+, то аналогичным образом можно построить пространство 禿 с базисом
|亢)=簪①，6|G)= 0. (7.12)
В силу унитарной эквивалентности операторов а и 6 переход от пространства 非 к % дается унитарным преобразованием
I 亢〉= £>+(d)m〉，5〉= £>(d)| 亢)，|6)=|-d>. (7.13)
Таким образом, коэффициенты разложения состояния |п) по состояниям \т) совпадают с матричными эле* ментами оператора Q*(d)
{m\^ = {m\D+{d)\n) = Dmn (- d), <010> =鼠丁. (7.14)
Эти матричные элементы несущественно отличаются от введенных в § 2 величин Стп. Явное выражение для Стп дается формулами (2.7х), (2.11). Использование гейзенберговского представления дает возможность получить эти формулы чисто алгебраическим способом. Образуем производящую функцию для величин 〈加|冗)： 戶(Р，6 = £册〈相亢〉舟・(7.15)
Вычисляя суммы по т и п, получаем
戸(В，а) =〈0|еВ%аь+©・(7Л6)
Поскольку (01 а+ = 0 и 6|G〉=0, то удобно выразить операторы а и 6+ через операторы 6 и а+, а = b—d и 6+ = а+十 d*, после чего приходим к формуле
戸偉，а)=е^*-^ <0|еРьеаа+|б>.(7.17)
Из тождества (6.34) гл. I вытекает соотношение
^ь^аа+ =2(1m瓦 а+]^аа+^р& п^a吃m+^吗(7.18)
с помощью которого получаем
戸(В, а) = ?出*-陷+叩〈0 I б> = е е^+^-Мл(7.19) Сравнение с формулой (2.8) показывает, что
尸(之1，n2；砌=户(2d argd, @eTargd； 一 办 (7£0) Таким образом, функция 户(之匕之？) несущественно отличается от функции 尸(之卜之2), и, разлагая ее в ряд по степеням 力 и приходим к формуле, аналогичной (2.11). Перейдем теперь к рассмотрению случая осциллятора с переменной частотой. Уравнения для операторов х(/) и /?(/) имеют в этом случае вид
х = р, р = —(о2х,(7.21)
откуда
(7.22)(7.22)х + ®2 (/) х = 0.
(7.22)
(7.22)
Таким образом, уравнения для гейзенберговских операторов 无(力)и p(t) имеют тот же вид, что и для классического осциллятора, и потому )
(7.23)(7.23)х(0 = Си(/)х(0) + С12р(0),)Р(0 = С21 (/)х(0) + С22(/)р(0), /
(7.23)
(7.23)
где &"/) — вещественные функции времени. Их можно выразить через функцию &(%), удовлетворяющую уравнению g.+.s2g = 0 и начальным условиям g(0) = 1, 寅0)=心一:
(7.24)(7.24)e11 = У ^ + ^, &2 =-^7 (自一己)
(7.24)
(7.24)
C?1 = С”,С22 = С12・
Обозначим через a(t) гейзенберговский оператор, удовлетворяющий начальному условию
&(0) = а®_);(7.25)
здесь q(s)—оператор в шредингеровском представлении:
(7.26)(7.27)(7.26)(7.27)Из (7.23) и (7.25) вытекает, что
(7.26)
(7.27)
(7.26)
(7.27)
=(』(/)+”(/)). у 2(0-
Отсюда следует, что
а (0 = 〃' (f) d ⑼ + t/ (/) d+(0),1
б+(/)= (/)d(о)+ 必.(о @+(о), j
где
у/)=i (г «)+{『(/))，瞋(/)=4 (自⑴+/ £ ⑴)•
(7・27‘)
Поскольку коммутатор [«(/), «+(/)] = 1 и не зависит от /, то |〃'|2 — Ivz|2 = 1 (в чем нетрудно убедиться и непосредственной проверкой). Отсюда следует, что преобразование (7.27) (обозначим его через 5(/) без《крн・ шки») является каноническим и принадлежит группе SU(1, 1), т. е. группе матриц второго порядка с определителем 1, оставляющих инвариантной квадратичную форму |21|2—)22|2.八
Введем теперь преобразование Г, соответствующее изменению частоты у осцилляторных функций: 72Tl (s—) = ”n((o+). Нетрудно видеть, что соответствующее преобразование операторов Т также входит в группу SU (1, 1):
а 3+) = 〃〃а (®-) + и〃а+ (о_), а+ (а>+) = и"а (а)_) + 〃“а+ ®_),* '
где
2 p(o+(o_ '2 У(о+①一
Матричный элемент перехода 旧,①一〉.—>| т,叫〉принимает теперь вид
Стп (/)=〈九 со+1 办(力二〈色 о- I f+S (01 n,(o_〉・ (7.29)
Поскольку состояния в обкладках относятся к одной частоте (о_, то (7.29) представляет собой матричный элемент конечного《поворота» для группы SU(1, 1).
(7.30)(7.30)Произвольное преобразование из SU(\, 1) определяется тремя параметрами а】,6 и а?, причем квадрат матричного элемента зависит лишь от параметра 6
(7.30)
(7.30)
< 6(Uj-f-a?)В (ai —а2)
〃=01}е/,U=sh^?2
(область изменения параметров: 0《“，аз < 2л, —оо < р < + оо). Перемножая S и Т+, находим значения и и V, отвечающие преобразованию U = T+S:
"7/骷仲+訂耳)'"=^/譬(自+訂自)，(7.31)
1} (7.32)рассмот-(7.33)1} (7.32)рассмот-(7.33)В частности, при /т8
1
} (7.32)
рассмот-
(7.33)
1
} (7.32)
рассмот-
(7.33)
th^=pV.
Таким образом, мы пришли к необходимости рения канонического преобразования *)
b = ua + uq+, I 〃 |2 — I и F = 1,
方+ =р = ! Р L •
I и I2
Дальнейшие построения во многом аналогичны тем, которые использовались при рассмотрении канонического преобразования смещения. В частности, с помощью формул (7.11) и (7.12) можно построить два гильбертовых пространства 鑑 н 宠，причем здесь имеют место формулы, аналогичные (7.13) и (7.14) (нужно лишь D заменить на U). Нетрудно также найти выражение для операторов а и й+ через b и а+:
а = ^6-/а+, Ь+ = ^-Ь + ^а^ . (7.34)
*) По поводу этой формулы заметим следующее. В развитой Н. Н. Боголюбовым (1947) теории сверхтекучести слабо неидеального бозе-газа рассматривается каноническое преобразование (7.33) от операторов частиц (а, а+) к операторам квазичастиц 他，方+). Волновые функции с определенными числами частиц фт и квазичастиц % имеют вид
Фт == _ Д—-' а*"1屮о, ^п == р/^匕+拉1фоУ ml у п!
и вполне аналогичным состояниям | т, ®+) и I п,中_〉 для осциллятора. Поэтому разложение функции ^п по функциям фт математически эквивалентно рассмотренной выше задаче. В' частности, выражение (3.11) при р = I о I2/1 ы |2 дает квадрат соответствующего коэффициента этого разложения.
Для производящей функции 3(0, а) матричных элементов Umn получаем
G(p, а) = (0 I / (^ Ь-^ а+)еа (^ Ь+^ а+)10). (7.35)
С помощью тождества (6.34) гл. I находим
©偉，а) = ехр{^р2^[а+, &]}ехр| - уа2^-[а+, 6]} X
х(0|^6Аа |0> =
п eXp{^[^a'2 - ^伊+ 2彳耶]卜0|6〉. (7.36)
Переходя в (7.36) к новым переменным 之尸© 亍％ Zct2
之2 = с 2 Р (а! и а2 определены в (7.30)), приходим к уже рассмотренной ранее формуле (3.10)
gU~P，e"~a) = G^ а).(7.37)
Вводя обозначение ]/1 — р = cos 0 и разлагая выражение, стоящее в экспоненте, на линейные множители, получаем
G (Р，а)=
=exp {(cos "I" а - sin ^ 6)(sin ~a + cosyP)|(0 |б). (7.38) Таким образом,
G(P，a)-2j-^-(0|0>,(7.39)
А=0'
где
а = cos у а — sin р, 0 = sm 歹 а + cos 万田(7.40)
Но (7.40) можно интерпретировать как преобразование спинора (а, Р)—►(а/, pz) при повороте на угол 0 вокруг оси у (см., например, «Квантовую механику》Л. Д. Лая-
дау и Е. М. Лифшица, 1963), а величину —^ как волновую функцию частицы со спином s = ^ и проекцией спина на ось 2 卩=0. С другой стороны, как хорошо известно, такие величины при повороте преобразуются с помощью так называемых £)-функций, откуда следует
(7.41) т+п п—т'
2L-2
Вспоминая определение G(0, а), получаем
(m|n) = (m IU+ I力=ezW J7 (cos 9)〈0 | U+ 10〉=
― ' 0
什m
=e"，口 D 〃二(yT^7). (7.42)
В нашем случае £)-функция выражается через присоединенные функции Лежандра, например при ц > 0:
/, o(cos8) = / ；：認卜R(cos8), (7.43)
после чего приходим к формуле (3.11).
Заметим еще, что из (7.42) следует неравенство
l^nKI U0Q |.(7.44)
Это неравенство оказывается полезным при рассмотрении вопроса об унитарно неэквивалентных представлениях канонических перестановочных соотношений в случае бесконечного числа степеней свободы. Приведем простой пример. Рассмотрим систему бесконечного числа гармонических осцилляторов, описываемых операторами at, i, /=1, 2, ..которые подчиняются каноническим соотношениям коммутации [〃夕。扌]=6订. Простейшее каноническое преобразование такой системы имеет вид
仇=ид + sat, bt =勿4 + UiOi (7.45) (a, и s можно взять действительными).
Определим обычным способом вакуумные состояния ①{0} и 屮{0} системы:勿①{о} = О, б/^о} = 0. В более подробной записи Ф(о)= | 0, 0, ..0,...), 屮{0}= =| 0, б, ... б, ...). Далее построим два гильбертовых пространства 捲 н 鹿，базисные векторы ①{力 и 屮徊 которых имеют вид )
①⑺=丨"” ^2» ...)=①⑺=丨"” ^2» ...)=н 帀/^гн 帀/^г• •10, 0,…),• •10, 0,…),中m} = I n\,/2，• 。 •〉=中m} = I n\,/2，• 。 •〉=6+mi城物6+mi城物К mJ У m2!К mJ У m2!• • |б, б,...).• • |б, б,...).(7.46)(7.46)
①⑺=丨"” ^2» ...)=
①⑺=丨"” ^2» ...)=
н 帀/^г
н 帀/^г
• •10, 0,…),
• •10, 0,…),
中m} = I n\,/2，• 。 •〉=
中m} = I n\,/2，• 。 •〉=
6+mi城物
6+mi城物
К mJ У m2!
К mJ У m2!
• • |б, б,...).
• • |б, б,...).
(7.46)
(7.46)
Для квадрата модуля скалярного произведения 4r期 и Ф{о)получаем выражение
1〈屮{。}1脸卩=u]/1^?7, pf = K(2.(7.47)
Заметим, что хотя все множители в правой части (7.47) отличны от нуля, их произведение (в силу бесконечного числа сомножителей) может равняться нулю. Это будет так, если величины р^ не стремятся достаточно быстро к нулю при if 8. При этом вакуумные состояния 屮{0} и ①{о} оказываются ортогональными друг другу. Нетрудно показать, что в этом случае и любые два базисных вектора 4r的 и Ф{п)ортогональны друг другу. В самом деле,
1〈У{т1<Х\〃}〉|2 = ^1Гт,〃,(Р,), (7.48)
и в силу неравенства (7.44) получаем
丨〈屮向} I ①向〉12<|(^{0}| ①{°}〉匕 (7.49) откуда и следует ортогональность базисных, а следовательно, и любых векторов пространств 捲 н 瘢 Теперь
очевидно, что переход от пространства 徹 к пространству 雍 не является унитарным преобразованием или, иными словами, не существует унитарного преобразования U такого, что 6^ = 0+йг U.
Мы привели простейший пример унитарно неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений. Ряд других примеров, а также детальное рассмотрение этого вопроса можно найти в работе А. Вайтмана и С. Швебера (1955), книгах И. Сигала (1963), А. Вайтмана (1964), Ф. А. Березина (1965) и обзорной статье Ф. А. Березина (1969).
Переходя к общему случаю осциллятора с переменной частотой при наличии внешней силы,, заметим, что включение силы f(f) не меняет общего хода рассуждения. Укажем поэтому лишь на изменения в окончательных формулах.
Временная эволюция операторов £ м 力 имеет вид:
幺(0 = &£ (0) + &2力(0) + Т) (/), 1
夕(0 = С/ (0) + С^р (0) + f) (/), j
где “(£)——решение, описывающее вынужденные колебания классического осциллятора,
fj + <о% = f, т] (0) = г) (0) = 0.(7.51)
Пусть а+ и 〃 ——операторы рождения и уничтожения для начального состояния (при <о = со-),力+ и b ——для конечного (при ①=(о+). Связь между ними такова: 方⑺= /+«)©⑼ 6(/) =
=u(/)(а(0) + J(/)) + u(/)(а+ (0) + d*(/)), (7.52) где、
d(0 = y-L=J f^W)^, d(8)= d, а функции 〃(/) и v(t) выражаются через 乳/) (см. формулу (7.31)). Таким образом, результирующее преобразование R состоит теперь из трех частей:
声⑺=炉(/) D (0 = f+S Q) D (/),(7.53)
где О, t и S определены выше и не зависят от силы f. а 力(f) есть просто оператор сдвига:
П+(0 aD (t) = a + d(t).(7.54)
В качестве примера применения формулы (7.53) рассмотрим случай, когда в начальный момент / = 0 осциллятор находится в когерентном состоянии |а〉. Поскольку D (t) \а) \а + d(t))t то эволюция состояния |а) под действием /(/) и. ©(/) дает то же самое конечное состояние, что и эволюция когерентного состояния |cc + d(/)〉 под действием одной лишь переменной частоты со(/). В частности, для населенностей Wm при /—» +оо справедлива формула (3.21) с заменой cc — a + d.
Гейзенберговское представление для операторов £(/) и /(/) тесно связано с фазовой плоскостью (X,尸) для классического осциллятора. Введем безразмерные переменные:
Х = /^-，尸=』Р，а = Х + ® (7.55)
Их предельные значения при / —> ±оо обозначим через Х± и 尸土； при этом
Х+ = /^Х_, Р+ = /^Р-(7.56)
Покажем, как найти вид распределения Wmn в квази- классическом случае, когда т, 〃全 1 и 呼师 ^
2Wmn cos2 Фтп- (Здесь Фтп — быстро осциллирующая фаза, a Wmn — усредненная по этим осцилляциям вероятность, являющаяся плавной функцией ш.) Начальному состоянию Iп, со_) отвечает состояние классического осциллятора со случайной фазой <р, равномерно распределенной от 0 до 2л. На фазовой плоскости (Х_, Р_) оно изображается окружностью
Х^ + Р± = *=儿(7.57)'
Аналогично для конечного состояния |/п,①+〉 на пло- С^остн (Х±,尸+) имеем X* + 尸十=m. Квазиклассическое
нужно знать связь начальныхнужно знать связь начальныхИзменение х и р, согласноИзменение х и р, согласношой оси эллипса относительно направления d'(/)шой оси эллипса относительно направления d'(/)X =X =1 + Мр1 + Мр3 = ± ^ 十 arg (е-迎 一 ]/р 紋叱3 = ± ^ 十 arg (е-迎 一 ]/р 紋叱
нужно знать связь начальных
нужно знать связь начальных
Изменение х и р, согласно
Изменение х и р, согласно
шой оси эллипса относительно направления d'(/)
шой оси эллипса относительно направления d'(/)
X =
X =
1 + Мр
1 + Мр
3 = ± ^ 十 arg (е-迎 一 ]/р 紋叱
3 = ± ^ 十 arg (е-迎 一 ]/р 紋叱
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 285 распределение Wmn при этом определяется интегралом
^mn=|/dX+ dP+6(X： + P+-m)6(xi + Pl-疝(7.58)
для вычисления которого
и конечных переменных, уравнениям (7.50), приводит к тому, что окружность (7.57) превращается в эллипс с помощью смещения, растяжения и поворота осей (площадь при этом сохраняется, так как det С^(/) = 1). Обозначая через 九％ коэффициент растяжения, через d<£) —смещение центра эллипса и через 小——угол поворота боль-
(рис. 22), находим при / — оо
d，⑴=^gi = ]/壮(C；d - Qd) e T". (7.59)
Входящие сюда величины d и ф определены формулами (1.19) и (4.6).
Из (7.59) видно, что при f—>8 эллипс вращается на фазовой плоскости с угловой скоростью ①十，сохраняя свою форму и размеры *). В интеграл (7.58) дают вклад лишь точки пересечения этого эллипса с окружностью радиуса Vт, число которых может равняться 0,2 или 4
(в зависимости от величины т). В качестве конкретногопримера рассмотрим случай $ = 0 (эллипс смещается
Рис. 23.Рис. 23.
Рис. 23.
Рис. 23.
вдоль своей главной оси). Вид распределения Wmn зависит тогда от величины v. Пусть
При V < v0 имеются четыре точки пересечения и
乳" =。 L- - {[(K恤一叫 + Vm-m^ X
X (У т3 — Ш\ — Ут — тх)]~ А + 0(т2 — /и) X
X [(Ут2 — /П] — Ут — тх)(Утг -皿 + р/п —叫)「%
(7.60)
Здесь т изменяется от /п( до т3
(7-61)
(причем 力1《团2<团3)・ Качественно вид Wmn показан на рис. 23, а. Корневые особенности при т =⑺，恤 и /Из соответствуют точкам касания окружности X； + 尸：= =m с эллипсом. Область mi •< т < т^ является клас-
сически разрешенной; вне ее вероятности Wmn экспоненциально падают.
В случае v > vo имеются лишь две точки пересечения, и формула для Wmn упрощается (рис. 23, б) 弘L 占Й^7 Wmf - и恤-mJ X
X (力恤一加1 — Vm — mi)]"厶(7.62) (m2<m< zn3).
При v = vq mi совпадает с /n2 H распределения, показанные на рис. 23, а и б, переходят одно в другое. Множитель cos2 фтп приводит к быстрым осцилляциям веро- ятностей перехода вокруг среднего значения Wmn аналогично тому, как это видно на рис. 19.
ГЛАВА VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Введение. Теория Гамова
В этой главе мы встречаемся с новым типом явлений: распадом радиоактивных ядер или нестабильных частиц и резонансным рассеянием частиц. Имеется широкий круг явлений, связанных с нестабильными состояния-ми. При этом в настоящее время наибольшее внимание уделяется рассмотрению резонансных состояний сильно взаимодействующих частиц, или просто резонансов, большое количество которых было открыто в последние годы.
Строго говоря, с полностью стабильными состояниями мы встречаемся крайне редко. Так, например, из всех известных нам «элементарных» частиц стабильны лишь протон, электрон, 丫-квант и нейтрино. Большая часть состояний ядер также нестабильна.
Особый тип нестабильных состояний представляю? возбужденные состояния атомов и ядер. В нерелятивистской квантовой механике эти состояния, как правило, считают обычными связанными состояниями. При этом пренебрегают взаимодействием электронов с полем излучения, которое приводит к переходам из верхних состояний в нижние с излучением у-квантов. При более точной постановке вопроса такое взаимодействие должно быть учтено. Существенно здесь то, что одно и то же взаимодействие (электромагнитное) приводит как к связи электрона, так и к переходу его из одного со- стояния в другое. Поэтому нельзя, строго говоря, выключить взаимодействие, ответственное за переходы, оставив взаимодействие, приводящее к связанным состояниям. Это приводит к тому, что стабильным остает-
ся лишь основное состояние атома (ядра), к которому непосредственно примыкает непрерывный спектр (дискретный спектр исчезает). При этом состояниями непрерывного спектра являются состояния рассеяния у-кванта на атоме, находящемся в основном состоянии. Этих вопросов далее мы, однако, касаться не будем.
Явления, связанные с нестабильностью, можно описать с помощью уже известной нам полной системы стационарных состояний. Однако при этом описании мы встречаемся с рядом качественных особенностей. Например, при рассеянии частицы на потенциале, который имеет вид ямы, отделенной от внешней области потенциальным барьером, волновая функция частицы во внутренней области (например,屮_к(0)) при определенных значениях энергии Е = Еп резко возрастает. При этом обычно оказывается, что волновая функция 屮片(厂)， продолженная в комплексную плоскость £, имеет полюс вблизи Еп при £ = fon. В этом случае решение у. Ш. при £ = £Оп приводит к так называемым квазистационарным состояниям, или состояниям с комплексной энергией.
Любопытно, что для квазистационарных состояний можно ввести понятие нормы и развить теорию возмущений, аналогичную обычной теории возмущений для стационарных состояний. Заметим, однако, что в настоящее время теорию квазистационарных состояний нельзя считать полностью завершенной, и потому при рассмотрении квазистационарных состояний требуется известная осторожность.
К счастью, многие интересные вопросы теории квазистационарных состояний можно выяснить на примере точно разрешимых моделей. К таким вопросам относятся, например, вопросы об аналитических свойствах волновой функции квазистационарного состояния, об определении среднего времени жизни нестабильной частицы по рассеянию продуктов ее распада друг на друге, об экспоненциальном характере распада нестабильной частицы, о рождении нестабильной частицы, об асимптотике волновой функции распадающейся частицы при Г —> оо и / —► оо.
Глава заканчивается кратким рассмотрением других типов долгоживущих состояний (например, состояний,
соответствующих виртуальному уровню. Заметим, что ряд вопросов теории нестабильных частиц с учетом превращения их друг в друга (например, вопрос об электрическом дипольном моменте нестабильной частицы) разобран в гл. XI.
Первым и самым важным применением теории ква- зистационарных состояний была теория а-распада тяжелых ядер, созданная Г. А. Гамовым (1928) и независимо, но несколько позднее Р. Генри и Е. Кондоном (1929).
Эта теория сохранила свое значение для вычисления вероятности распада радиоактивных ядер до настоящего времени; выяснение возможности распада с испусканием одного протона или двух протонов (В. И. Голь- данский, I960, 1965) тоже производится на основе этой теории. Но в историческом плане значение теории особенно велико потому, что теория Гамова была первым успешным применением квантовой механики к атомному ядру.
Напомним хорошо известные исходные факты: при а-распаде данного ядра энергия а-частиц имеет вполне определенное значение; так, например, при распаде U928 —> Th%4 + а (изотоп Th縉 носит исторически сложившееся название UXi) энергия сс-частицы равна 4,7Мае. Между а-частицей и дочерним ядром Th^\ несомненно, действует электростатическое отталкивание: потенциал взаимодействия определяется формулой
— гферма，
значит, потенциал равен 4,7Мэе на расстоянии 55 ферма. Ядерные силы действуют лишь на расстоянии порядка размера ядра, т. е. порядка
1,2 /厶 ферма = 1,2 (234)% ферма = 7,4 ферма, где электрический потенциал равен приблизительно 35 Мз&
То, что известно о потенциале, показано на рис. 24* По оси ординат отложена энергия системы Thgo4 + а,
по оси абсцисс ——расстояние между а-частицей и ядром. Правее R потенциал чисто электростатический, левее R добавляется (отрицательное) ядерное взаимодействие. Состояние материнского ядра U928 соответствует энергии £i, показанной пунктиром, Е\ = 4,7 Мэв. Очевидно, суммарный потенциал, показанный слева от R, должен быть ниже £\・ Между R и R находится область, где U > £ь т. е. область, в которой по классической механике частица не могла бы
находиться.
Если бы правее R потенциал не спадал, а оставался постоянным (как это показано штрих-пунк- тиром на рис. 24), то уровень энергии £\ был бы обычным стационарным состоянием.
В этом приближении' исчезло самое интерес-
Рис. 24.Рис. 24.ное — распад; но так как
Рис. 24.
Рис. 24.
распад есть явление редкое (период распада 4,5 • 109 лет!), отличие Е{ от Е{ ничтожно.
гф = ехргф = ехрр = ± К2/п (Ei-U)р = ± К2/п (Ei-U)Для того чтобы определить вероятность распада в первом приближении, построим волновую функцию на участке от R до Ri в квазиклассическом приближении. В этом приближении
гф = ехр
гф = ехр
р = ± К2/п (Ei-U)
р = ± К2/п (Ei-U)
(р есть классический импульс, соответствующий полной энергии E = -^- + U). Под барьером величина р мнимая, и соответственно в показателе “ стоит действительная величина. Таким образом, под барьером имеются два независимых решения, одно возрастающее, другое — убывающее. Вероятность прохождения через барьер W пропорциональна отношению I中(Ri) |%2(R) 14 и очевидно, что это отношение нужно брать по убывающему
решению, для которого отношение минимально и равно )
—I j V2m (U-Ei) dr
吟 a R,(1.1)
Величина Ri определяется той точкой, где U ——Ei == 0. Заметим, что если продлить кулоновскую зависимость U(г) до R = 0 и соответственно заменить R нулем в нижнем пределе интеграла, то интеграл все равно сходится и получается простой результат,
KZiZze? 1/~2пГ 2nZ,Z2e2
Г = еХ = е方5 ;(1.2)
W — проницаемость барьера — есть безразмерная величина. Чтобы найти вероятность распада w (величину, обратную времени распада), вероятность прохождения через барьер следует умножить на число ударов a-частицы в единицу времени 〃 о левый край барьера:
w =孔氏
Здесь
〜一〜厂二：—.
0 J 2(当一/)F m
Это простейшее выражение东*) разумно объясняет основное свойство a-распада: ничтожно малую вероят-
ность распада при большом барьере (для урана W 〜10-37) и весьма сильную зависимость вероятности распада от Е^ — энергии а-частицы.
Вместе с тем ясно, что даже в том случае, когда выполнены все физические предпосылки теории, когда можно говорить об индивидуальной а-частице внутри ядра,——предэкспоненциальный множитель определяется лишь приближенно. Точное нахождение его является сложной задачей, требующей знания поведения 屮•巾унк- ции вблизи левой точки поворота, и потому этот множитель существенным образом зависит от вида потенциала внутри ямы.
Согласно общей теории в ситуации, изображенной на рис. 24, есть непрерывный спектр вещественных значений энергии и только. В принципе, кроме непрерывного спектра с £ > 0, возможны еще дискретные уровни с £ < 0, но очевидно, что если Uo〉O, то их нет.
Какой же смысл имеет энергия Е^ как отобрать в непрерывном спектре одно определенное значение энергии? Решение задачи подсказывает сама физическая картина явления. Волновая функция частицы в ядре (OVr VR) с течением времени убывает. Справа от R\ за барьером, существует поток частиц, летящих по радиусу в сторону г-*оо.
Напомним, что стационарные состояния непрерывного спектра с вещественной энергией описывают рассеяние частиц; волновая функция на большом расстоянии от центра есть суперпозиция волновых функций —-——
Jparlh“
и —-—, т. е. суперпозиция волны, падающей на центр, и волны расходящейся, удаляющейся от центра; амплитуды этих волн тождественно равны между собой по модулю: поток падающих частиц и поток отраженных частиц равны, частицы не возникают и не исчезают.
При описании а-распада мы требуем, чтобы вдали от центра была только расходящаяся волна. Это не противоречит сохранению числа частиц именно потому, что с течением времени уменьшается J \^^ dr внутри ядра.
Макроскопическое уравнение распада:
等=一w^; ^ = N点一叫
где ^ — число внутри сферы "〜j 12|2".где ^ — число внутри сферы "〜j 12|2".радиоактивных ядер, т. е. число частиц г = R. В данном ансамбле число частиц
где ^ — число внутри сферы "〜j 12|2".
где ^ — число внутри сферы "〜j 12|2".
Значит, нужно искать решение вида
iEit wti . Г\iEt
= ф(r)e 方 2 =<ф(г)а 亢' 2/=<ф(Г)а 用,
где Ё = Ei — iF/2 есть комплексная величина, а мнимая часть ее Г/2 связана с вероятностью распада: Г =方ау*). Таким образом, в нестационарной задаче можно применить метод разделения переменных; “(「,/) ищем в виде произведения “(г) на экспоненту от f так же, как это делалось для стационарных задач.
Сходство р аспр остр а няется и дальше: в стационарных задачах дискретные уровни возникали при Е < О, когда при больших г линейно независимые решения имели вид e+Bi'/r и ет^'/г; требованию, чтобы при г —► оо искомое решение имело вид ?Т 屮/r, можно было удовлетворить лишь при определенных дискретных Е.
Точно так же в нестационарной задаче при больших г имеются два линейно независимых решения е^г/г и е~^г/г, и требование, чтобы искомое решение имело вид eikr!r, при 尸一>8 отбирает дискретное комплексное значение Е = Е、— /Г/2. Таким образом, у. Ш.
:方嗚=[一亲 а + u("]2
при подстановке *ф = —2(г)а 方 из уравнения в частных производных превращается в обыкновенное:
["楽备-и(「)“(「)= О'(1・з)
и граничное условие
НтГ —ООНтГ —ОО^ 1п фdr^ 1п фdry 2m方y 2m方(1.4)(1.4)
Нт
Г —ОО
Нт
Г —ОО
^ 1п фdr
^ 1п фdr
y 2m方
y 2m方
(1.4)
(1.4)
отбирает дискретные комплексные значения Е.
Так решается физическая задача об определении энергии частиц в «радиоактивном» подбарьерном состоянии Ei = Re(S) и об определении времени жизни этого состояния Г = —21m 宜 (связь Г и вероятности распада w см. выше).
Эта процедура вызывает ряд сомнений в математической строгости и обоснованности; впрочем, любопытно,
что никто не сомневается в правильности самого результата, т. е. в правильности найденных численных значений fi и 5； нарекания вызывает 《только》 способ их получения. Критика связана с видом (「)• Так как & комплексно, то соответственно комплексно и значение k. В асимптотике “(г) eikr. При этом легко убедиться, что отрицательному знаку мнимой части Ё соответствует
•ф（Г）〜8 方•ф（Г）〜8 方(1.5)(1.5)
•ф（Г）〜8 方
•ф（Г）〜8 方
(1.5)
(1.5)
(мы разложили VЕ t считая Г《£\).
Таким образом, функция “(г) при г—► оо экспоненциально (хотя и медленно, так как Г мало) возрастает *). Очевидно, что такая функция не может быть нормирована, ведь j |tp|2 dr расходится! В следующих параграфах будет показано, как решение собственно нестационарного уравнения 屮(厂,/) в частных производных приближается к решению с разделенными переменными 2(г) 8一，友"2 Нормированная функция *(「,/) в ограниченной области пространства всегда приближается к не- нормируемой * (г) е-'Е"方.
Дальше, в § 6 будет показано, что и для ненормируе- мой 屮(尸)есть выражение, играющее роль нормы в теории возмущений и в задаче об определении амплитуды 2(尸)при произвольном начальном состоянии.
Здесь же мы ограничимся физическим объяснением возрастания р(г) при г- оо. Ясно, что на данном расстоянии находятся в данный момент /0 частицы, которые были испущены, т. е. вышли из-под барьера в момент t — to — r/и, где v — скорость частиц. Но в более ранний момент времени в силу экспоненциальной зависимости от времени была больше амплитуда 2 в центре.
I можноI можно=ехр 伍("—/)) • Отсюда и=ехр 伍("—/)) • Отсюда иследует, что 屮(г,力)=следует, что 屮(г,力)=В самом деле, множитель ехр儒/晉，) переписать, учитывая связь Г и w, как ехр I
I можно
I можно
=ехр 伍("—/)) • Отсюда и
=ехр 伍("—/)) • Отсюда и
следует, что 屮(г,力)=
следует, что 屮(г,力)=
="(0, % —小)*).
В заключение отметим, что все теоремы о разложении произвольной функции по собственным функциям задачи, образующим полную систему, относятся к совокупности 屯в⑺ для вещественных Е. Таким образом, найденная 屮百(г) не входит в полную систему собственных функций, что и естественно в связи с поведением 2百(г) при Г— 8・
Собственные функции сплошного спектра с веще； ственным Е при Е, близком к Ei = Re Ё, имеют особый вид; мы увидим, что комплексное значение Ё имеет смысл полюса в комплексной плоскости энергии. С другой стороны, по этой причине определение амплитуды 屮目(г) в реальной задаче с произвольной *(「,/=0) требует особой техники, отличающейся от обычного разложения по полной ортонормированной системе.
После этого вступления разберем более подробно весь круг вопросов, связанных с существованием сравнительно долгоживущих квазистационарных состояний.
Волновые функции
Выше уже говорилось, что квазистационарным состояниям соответствуют полюса величины S (k) = е2/б (А), расположенные в нижней полуплоскости k. Это свойство фазы рассеяния позволяет получить ряд общих результатов относительно вида и энергетической зависимости волновой функции при энергиях Е вблизи полюса, найти вид сечения рассеяния и т. д. ).
Рассмотрим полюс S (k) = е2£6 ^, расположенный в комплексной плоскости в точке
局=k\ — i后
В этой точке волновая функция %а(г), определяемая ее асимптотическим разложением (для простоты считаем, что / = 0 н что частицы не заряжены)
Хе (г)〜/£ sin 优г+ 6 3)), (2.1) обращается в бесконечность тождественно при всех значениях г.
Найдем вид S(论) вблизи полюса. Напомним, что S (左)должна удовлетворять условиям симметрии (1.5)—— (1.6) гл. III: должна иметь полюса в точках 左о н —左; и нули в точках 左о и —左о； на действительной оси S® по модулю равна единице. Наиболее общее выражение, удовлетворяющее этим условиям, есть
s他)=医师(汾3二月0)+土黑., (2.2)
где (p(fe) — произвольная функция 財 действительная при действительных 左 и удовлетворяющая свойствам симметрии (1.5), (1.6) гл. III. Как правило,屮(左)является достаточно плавной функцией, так что вблизи полюса ее можно считать постоянной (ее иногда называют потенциальной фазой).
В задачах о рассеянии энергия и волновой вектор частиц всегда действительны. Выражение для фазы рассеяния получается из общей формулы (2.2), в которой 论 теперь надо считать действительной положительной величиной. Для фазы рассеяния при k2《 左卜 左 ~ k\ получаем
Ucp-arctg-^^. (2.2，)
Обычно вместо волновых векторов пользуются энергиями
*■ 31 —施产=~^ [(fei —总)一2i財论2】曰 & —岁• (2.3)
Здесь £о называется резонансной энергией, а Г ——шириной уровня (резонанса). Так как в плоскости k полюса располагаются на нижней полуплоскости, то на плоскости энергии эти полюса находятся на втором (так называемом нефизическом) листе римановой поверхности; при F《£о и Е ^ Eq легко получить формулы, эквивалентные (2.2) и (2.2'):
岁Г/2
S(E)^e^^, d = cp-arctg-^4-. (2.4)
Пользуясь этими формулами, находим выражение для сечения рассеяния
o=E|S-1F =
ЛГ2「г П
=不~ 声一4Re a2sinq)千- +4sin2(pl.
[(E-£J + ? IE-£0+g
Первый член здесь описывает резонансное рассеяние на квазистационарном состоянии (Г. Брейт, Е. Вигнер, 1936), последний член соответствует так называемому потенциальному рассеянию, а второй ——их интерференции.
Пусть потенциал V(r) обладает конечным радиусом 爲.Обозначим через %£)регулярное в нуле решенне
у. Ш. внутри области действия потенциала. Будем нормировать это решение условием
R
/ I 熠("|2" = 1.(2.5)
О
Полная волновая функция тогда равна
'4(田熠(г) при rWR,
办(Г)=D⑵6)
у — sin(fer+ 60) при г > R.
В точке 左=々о эта функция должна тождественно обращаться в бесконечность. В области r>R это обеспечивается обращением в бесконечность величины S (左) и соответственно фазы рассеяния 6(左).Во внутренней области %£)конечна по условию и волновая функция может обращаться в бесконечность тождественно, лишь если в бесконечность обращается коэффициент 4 в (2.6),
Легко вычислить величину коэффициента 4 Для этого используем полученную нами формулу (3.18) гл. III. Подставляя в нее выражение для фазы рассеяния (2.2) или (2.4) и оставляя лишь доминирующий член, найдем
R
J 戏" = ^/甞(E-E：f+F/4 三段恤(27) О
Среднее значение волновой функции, очевидно, равно 时，俞4(就 隔маке = ^聋；。。=]/^.⑵7')
Снаружи барьера %2 〜1, что намного меньше, чем максимальная плотность частиц внутри барьера, если Г достаточно мало. Физически это означает, что в области г VR происходит накопление частиц: частицы, попавшие в эту область, живут некоторое время, прежде чем им представится возможность вылететь наружу. Время жизни частиц внутри барьера во столько же раз больше времени пролета этой области т = R/u(), во сколько раз
плотность частиц во внутренней области больше, чем плотность снаружи. Отсюда получаем, что среднее время жизни то квазистационарного состояния при Е 〜Е° по порядку величины равно (ниже будут приведены более точные формулы)
_._. (%2)макс R 1 方5)方/л о\
%〜i五下〜f. (2，8)
乡4厂Рис. 25.乡4厂Рис. 25.Это время может быть очень большим. Именно поэтому возникло название 《квазнстаинонарное》состояние. Подчеркнем еще раз, что формулы (2.7), (2.8) относятся к задачам о рассеянии частиц; энергия Е и волновой вектор k поэтому действительны. ”
乡4厂
Рис. 25.
乡4厂
Рис. 25.
люсных) точек может тенциал имеет вид ямы,люсных) точек может тенциал имеет вид ямы,Качественное рассмотрение различных частных случаев показывает, что сильная зависимость волновой функции от энергии вблизи некоторых (по- осуществляться, лишь если по- окруженной одним или несколь
люсных) точек может тенциал имеет вид ямы,
люсных) точек может тенциал имеет вид ямы,
кими барьерами (рис. 25).
Действительно, пусть мы имеем яму с одним барьером. Волновая функция в этом случае имеет вид
Y R, RiVYR,(2.9) r> R・Y R, RiVYR,(2.9) r> R・4 值)或)(г)при
Y R, RiVYR,(2.9) r> R・
Y R, RiVYR,(2.9) r> R・
器（г）=器（г）=aW 1(+)(r) + ^(k)^ (г) при
器（г）=
器（г）=
sin (々г+6)при
Здесь х^ — регулярное в нуле решение у. Ш. в области /, а величины 4(论)，a(论)и р(^) полностью определяются из условий сшивания решений на границах областей. Для определенности будем нормировать х^ условием (2.5). Функции 北㈠ и 必+)—это два независимых решения у. Ш. в подбарьерной области 〃• Оба эти решения монотонны, причем одно спадает, а другое возрастает с ростом г. Качественно их поведение дается
формулами квазиклассического приближения
Xw(r) =ехр ±^\k\dr ;月=]/謂(E-U)・ (2.10)
Если потенциальный барьер достаточно широк и высок, т. е. если ，| 左 | dr》1, то хотя эти функции и равны друг другу при г = Ri (y(±)(Ri) =1), однако при ;•〜R они сильно различаются (рис. 26):
必+)(/?)》％-)(R). (2.11)
Сами функции 减)и 齋) довольно слабо зависят от k, так как k входит в них только через посредство члена (Е—U} в у. Ш., который очень слабо меняется при малых изменениях Е. При сши
вании этих функций, однако, может возникнуть сильная энергетическая зависимость. Действительно, пусть аир, определяемые условиями сшивания, не слишком сильно отличаются друг от друга (критерии мы получим ниже). В этом случае благодаря (2.11) внутренняя волновая функция при r = R приближенно равна a%(+)(R) и ее логарифмическая производная лишь слабо зависит от энергии (так как сама 必+)слабо зависит от 左).Соответственно фаза 6(左) при этом также является слабой функцией энергии, а сама волновая функция %(г) имеет вид, схематически изображенный на рис. 27. Существенно, что такой вид сохраняется в широком интервале значений аир. Критерий такой ситуации, очевидно, есть
Положение меняется кардинальным образом вблизи точек, где а(^) обращается в нуль. Именно в этих точках под барьером волновая функция монотонно спадает:
%^(г) = 0%Г)(г) и X龙(г) нмеет вид, схематически изобра- женный на рис. 28. Таким образом, вблизи точек k = kiy где а обращается в нуль, волновая функция резко изменяется, проходя все стадии между случаями, изображенными на рис. 27, 28. При этом видно, что зависи-
барьер. Если барьера нет, то описанная выше ситуация не может осуществиться, так как 必+)依)и 北㈠(R) будут всегда одного порядка величины.
Пример квазистационарного состояния
Сейчас мы исследуем один конкретный пример потенциала (см. рис. 25), в котором существует квазиста- ционарное состояние частицы.
При г < Ri или г > R у. Ш.
Ха +胪V。
имеет два независимых решения: e-ikr. В области Ri<r<R
处一层%总=°，me % = U聆一城,% = ]/2加优丁
Найдем сначала решение, имеющее на бесконечности вид Будем искать его в виде
'е®при r>R,
%器&)= ае^ + Ветг при R>r> Rg (3.1) a型时+加一血при rVR「
Условия сшивания этих выражений на границах областей дают нам значения коэффициентов:
а = у(1 +啕 е访IR,
(3.2)(3.2)1 一⑶ е优R+xR,
(3.2)
(3.2)
"捻 е优(R-R)+〃。{(1 + 圖2 产p - (1 т 絹 b = %”(R+R)+xp {( 1 _「MP) (1 + g)},
где p = R — Ri. Взяв комплексное сопряжение от 必+)(г), мы найдем второе независимое решение:
网Т (「) = %” (г)〜？т甘 при r> R. (3.3)
Общее решение записываем как
凡(г) = ]/J S-% 击(一霍)+ S犷)〜吟 sin {kr + 6). (3.4)
Во внутренней области, согласно (3.1), эта функция имеет вид
芻(г) =-)/| S-" % { ； [(а + b)* - S (а + &)] cos kr +
+ [(b —ay + S(b— a)] sin kr 卜(3.5)
Чтобы она была регулярна в нуле, коэффициент перед косинусом должен исчезать. Из этого условия определяем с помощью (3.2) матрицу рассеяния:
一 2xp+ m + 说 2 他)
S值）=成步S值）=成步专二…二 у,(3.6)
S值）=成步
S值）=成步
a+bк + ik -зхр , 乂 —成产小
где
其尉=
k ctg 6R[ + 乂
k ctg kR、— 乂 *
Если барьер достаточно высок и широк, так что хрi^＞； 1, то е-2*р очень мало, и, опуская его в (3.6), получаем
s 优)=e-2iAR .(3.7)
Отбросить efp в формуле (3.6) для S (力)можно везде, кроме окрестности точки k = kn, где 白(左)обращается в нуль. Исследуем эту область. Разложение g(左)в ряд по степеням (论 ——kn) записывается так:
白他)=鳍 [1+偿门(1+Х禺)；%=m^Ь (3.8)
Таким образом, знаменатель в (3.6) равен
i+吊好+偿月(1+%r)^(3・9)
и обращается в нуль при 左 匸 左о：
財一海•(з」°)
Следовательно, S(k) имеет полюс при k = kQ; как видно из формулы для 々°, полюс расположен в нижней полуплоскости. Используя (3.9), (3.10), запишем S(h) вблизи полюса в следующем виде:
В непосредственной близости к полюсу первые два множителя можно считать постоянными и положить
?2抑=2-2说便尤 + ‘也?2抑=2-2说便尤 + ‘也(3.12)(3.12)
?2抑=2-2说便尤 + ‘也
?2抑=2-2说便尤 + ‘也
(3.12)
(3.12)
где резонансная (6-2乂p《I"где резонансная (6-2乂p《I"Г= 16£)е-2*Г= 16£)е-2*(吟+ 磋)2(1+Х“&)(吟+ 磋)2(1+Х“&).(3.14).(3.14)
где резонансная (6-2乂p《I"
где резонансная (6-2乂p《I"
Г= 16£)е-2*
Г= 16£)е-2*
(吟+ 磋)2(1+Х“&)
(吟+ 磋)2(1+Х“&)
.(3.14)
.(3.14)
Переходя от волновых векторов к энергиям, перепишем S как
Sy)…史器耦 ⑶⑶
энергия % и ширина Г равны
Поучительно рассмотреть физическую причину возникновения квазистационарных состояний. Устремим правый край R потенциального барьера к бесконечности. В этом случае полюс kQ будет стремиться к kni и в пределе мы получим потенциал, который изображен на рис. 25 пунктирной линией. Очевидно, что у такого потенциала спектр при ^ < %о становится дискретным. Исчезают все состояния, кроме одного, при k =也期 когда выполнено условие
統ctg就a+%=0, при котором волновая функция на бесконечности затухает как ^^. Таким образом, в пределе оо на месте квазистационарного возникает истинно стационарное состояние.
Пусть теперь R — большое, но конечное число. В этом случае истинное стационарное состояние существовать не может, так как частицы из внутренней области 厂 < R благодаря туннельному эффекту могут просочиться под барьером и уйти на бесконечность. Вместо стационарного состояния в этом случае возникает ква- зистационарное. Поскольку вероятность «просачивания» при больших значениях %р очень мала, то время распада Т очень велико. Ясно, что если речь идет о малых промежутках времени, когда возможностью распада можно пренебречь, нестабильное состояние можно рассматривать как обычное стабильное. Иными словами, мы можем определить «квазистационарное» состояние как состояние, возникающее вместо стационарного при появлении возможности распада.
Используя рассуждения предыдущего параграфа, легко оценить время жизни Т:
Т 〜Т F/4. Т _ 2方
I(е-£0р+T2/4，
Физически ясно, что говорить о квазистационарном состоянии можно, лишь если Т превышает время свободного пролета т = R/o& Это условие выполняется в некоторой области энергией АЕ вокруг Е, Предполагая.
что「о/丁》1, элементарно получаем
Отсюда ясно, что понятие «квазистационарное состояние» не является строго определенным. Для образования сравнительно долгоживущего состояния при рассеянии частицы на потенциале с барьером необходимо лишь, чтобы энергия частицы отличалась от Eq не больше чем на АН Именно в этом смысле говорят, что ква- зистационарное состояние с шириной Г не обладает фиксированной энергией, а《размазано》по некоторому интервалу энергий 〜Г ]/ Т0/т>Г.
Для иллюстрации разберем следующий пример. Пусть, кроме квазистационарного состояния с энергией Е()и шириной Г, имеется также связанное состояние с энергией £\. Рассмотрим процесс, в котором рассеиваемая на этом потенциале частица с энергией Е испускает у-квант, переходя при этом в связанное состояние с энергией Е\ (радиационный захват). Вероятность пу(Е), как всегда, определяется квадратом матричного элемента
⑪(Е)〜丨(%Е，Oxi) |2,
где О — оператор электромагнитного перехода, а % — волновая функция связанного состояния, отличная от нуля только в небольшой области вокруг потенциала. Поэтому и энергетическая зависимость ш(£) в основном определяется величиной у^:
⑪(Е) = const •理 * const •(£ 一 £；/&「2/4 •
Если рассеивается монохроматический пучок частиц, то испускаются монохроматические у-кванты с энергией Е —旦.Но вероятность выхода у-квантов, как видно из только что написанной формулы, сильно зависит от энергии частиц. w(E) велико только тогда, когда Е близко к £о. Предположим теперь, что на силовой центр падает пучок частиц с различными значениями Е, причем разброс по энергиям Д£》Г. Радиационный захват будут претерпевать лишь частицы, энергии которых близки
к Ео. Соответственно этому энергия у-квантов будет близка к Ео — Ei, и их спектр будет иметь вид, схематически изображенный на рис. 29. Ширина резонансной кривой определяется формой кривой w(E) и равна Г.
Итак, ширина спектра у-кв антов определяется двумя факторами: разбросом энергии АЕ в пучке падающих частиц и шириной Г резонансного уровня. При АЕ = 0 все кванты обладают одной и
той же энергией Е ——Е^ При о)任) увеличении АЕ от нуля до Г разброс в энергиях квантов также возрастает. При дальнейшем увеличении АЕ, однако, разброс не увеличи
вается, оставаясь все время 6% 尸 на уровне 〜「Таким обра
зом, при 0 кванты всег- . Рис. 29. да можно считать монохро
матическими вне зависимости от величины АЕ Картина выглядит так, как если бы рассеиваемые частицы захватывались на практически стабильное состояние с энергией Е。， а затем, испуская квант, переходили в нижнее состояние хг
При малой, но конечной величине Г говорят, что квазистационарное состояние не обладает определенным значением энергии. Здесь важно подчеркнуть, что в каждом единичном акте образуется состояние с точно фиксированной энергией Е, равной энергии налетающей частицы. О неопределенности энергии квазистационар- ного состояния можно говорить лишь в том смысле, что для всех значений энергии Е в интервале \Е—Ео| &‘ М Г возможно образование сравнительно долго живущего состояния.
Выше был выведен ряд общих формул для квазиста- ционарных состояний. При их выводе учитывалась лишь энергетическая зависимость волновой функции, связанная с полюсным членом в S (左).Все остальные величины считались постоянными. Если же нас интересуют области энергий, расположенные не очень близко к полюсу (|Е — £о| > Г), то такая процедура уже не очень надежна и при вычислении энергетических зависимостей
всех физических величин необходимо учитывать конкретный вид потенциала. Иными словами, в таких случаях у лее нельзя вводить общее понятие о «квазистационар- ном» состоянии, которое зависит от потенциала только через Eq и Г. Строгой границы между действительными «квазистационарными» состояниями и состояниями, существенно зависящими от вида потенциала, не существует. Разные авторы помещают ее в разных местах соответственно своим вкусам и наклонностям. Зачастую эта граница определяется желанием интерпретировать экспериментальные данные в пользу одной из нескольких альтернативных теоретических возможностей.
Во избежание недоразумений мы везде ниже, делая какое-нибудь утверждение о «квазистационарных» состояниях, будем понимать это утверждение лишь в том смысле, что оно строго выполняется в пределе Г —> 0/
Распад квазистационарного состояния
Мы видели, что при строгом рассмотрении квазистационарного состояния неизбежно должен входить и конкретный физический процесс образования состояния. Если речь идет, например, о рассеянии частицы на потенциале с образованием «квазистационарного» промежуточного состояния, то этот процесс описывается функцией %/t(г) предыдущих параграфов, соответствующей задаче о рассеянии. «Квазистационарность» проявляется здесь как очень большое значение волновой функции внутри барьера. Задачам, связанным с образованием квазистационарного состояния в реакциях, также соответствуют совершенно специфические волновые функции. Наконец, можно поставить вопрос о распаде квазистационарного состояния ). Такой постановке задачи также соответствует своя волновая функция. В этом параграфе мы ее получим и постараемся проанализировать. При этом будем следовать методу Г. Ф. Друкарева (1951).
Задачу ставим следующим образом. Пусть имеется потенциал с барьером (типа, изображенного на рис. 25).
В момент времени / = 0 волновая функция внутри барьера равна %о(г) и равна нулю под барьером и вне его. Требуется найти развитие волновой функции во времени, т. е. найти %(r, f) при / > 0. Это ——нестационарная задача, и для ее решения необходимо обратиться к временному у. Ш.
；方义= — £%" +U%(4」)
с начальным условием % |fac0 = х0 и, естественно, с требованием конечности волновой функции при всех г и Л Поступим, как обычно: будем искать % (г, f) в виде разложения
X (г, t)= \ dk с 伍)^(г)е“，(4.2)
о
где %й(г)——нормированные на 6(左 —— 左【) решения стационарного уравнения
Эти решения, как мы уже знаем, имеют вне радиуса действия потенциала вид
臨=/^ sin 伎г + ° 优))=
=/^击(S% 依)е徇一S-% 值)e-鋪)(4.3)
Функцию c(k) в (4,2) определяем из начального условия: с (粉=j drXoXfe-(4.4)
о
Зависимость функции с(力)от k должна быть, очевидно, такой же, как и у волновых функций %^. Это означает, что с (左)можно представить в виде (сравни С (4.3))
с (々)=；(а 傑)S% (々)一 а (— ik) S~% ®),(4.5)
где a(ik)—какая-то плавная функция 论.Выписанные выше формулы показывают, что подынтегральное
выражение в (4.2) является четной функцией k. Используя это, приводим (4.2) к следующему виду:
%(r,/)=-y^ J dk [a(zfe)S(fe)-a(- ik)]e ' ". (4.6)
Удобно ввести новую переменную
(4.7)
Произведя преобразование переменных в (4.6), получаем.
V i оо
%(г,/) = 8 J dye-У1 [a (ik (у)) S (k (у))-а(-ik (у))], (4.8)
Путь интегрирования в этом интеграле (рис. 30) расположен очень неудобно, так как везде вдоль него е"^2 является осциллирующей величиной. Поэтому сместим путь интегрирования на действительную ось. При этом будет быстро спадать как в сторону положительных, так и в сторону отрицательных у.
Функции а гладкие, они не содержат никаких особенностей, которые могли бы помешать деформации пути интегрирования. Другое дело функция S (左),относительно которой мы наверняка знаем, что она имеет особенности. Посмотрим, где они расположены.
Наиболее общее выражение для S(论)в случае одного квазистационарного состояния есть (см. (2.2))
S值）= SО色）
（左一女J （左+局） （左一岛）（左+脸.
Здесь So(论) 一некая гладкая функция 电 а 论q — положе ние полюса. Переходя к переменной у, находим
S优匂))=__
_S 他瑞(器需(督+fe。)) (4)
Надо различать два случая.
1. г > Пр^, где % ——скорость, отвечающая резонансной энергии: пр = ^~i 也——действительная часть ^о： 左о 曰也一i论％ В этом случае полюса функции S(k(y)) лежат в заштрихованных областях на рис. 30 и не мешают перемещению контура интегрирования на действительную ось. Из-за наличия в подынтегральном выражении (4.8) экспоненты е-* основной вклад в интеграл дает область у ^ 0, п мы приближенно получаем
%н (Г, /) = в М£ 3% 但(0))ic 值(0)),(4.10)
где индекс《н》отвечает нерезонансному случаю. Здесь S(k) и c(k) должны браться при таком значении аргумента 財 которому соответствует равенство у = 0, т. е. 论(0) =/п〃方£ Таким образом,论(0)——это то значение волнового вектора 財 которым должна обладать частица, вылетевшая в момент / = 0 из начала координат и попавшая к моменту t в точку г.
Как видно из (4.10), значение функции ^{г. /) целиком определяется коэффициентом c(k (0)), показывающим, какая доля начального состояния соответствует частицам с волновым вектором 々(0). Таким образом, %н описывает частицы, покинувшие начало координат в момент / = 0, т. е. сразу же после образования начального состояния у。. Физически это означает, что частицы с таким k покидают область с отличным от нуля потенциалом мгновенно, не задерживаясь.
Более сложная картина возникает, если выполняется неравенство
2_ г V %f. В этом случае г и / таковы, что в точке г мы можем наблюдать не только быстрые частицу
с п > пр, но и частицы со скоростями и W % Как видно из (4.9), полюса в S(左®)) теперь располагаются так, что один из них мешает перемещению контура интегрирования на действительную ось. Это — полюс, расположенный в незаштрихованной области рис. 31 в точке
/需传(%_/)一施).
Соответственно этому при вычислении интеграла (4.6) возникают два члена: один из
Рис. 31.вкладов в интеграл дает об
ласть у = 0; при этом мы получаем член, полностью аналогичный %н в (4.10); второй вклад в интеграл дает полюс. В результате мы получим
X (г, /) = Хн(Г, /) + Хр (г, /),
(4.Н)
%р (г，/) = - 2в/Ва (洪о) е % Res S (k (协)).
Первый член %н имеет здесь тот же самый смысл, что и раньше. Он соответствует частицам со скоростью п = у, мгновенно вылетевшим из области действия потенциала.
Второй член гораздо интереснее. Несмотря на то, что полюс у = У\ расположен далеко от действительной оси, он дает большой вклад в интеграл, и отвечающий ему второй член может оказаться гораздо больше первого. Это объясняется тем, что в точке полюса。可 не мало. Возвращаясь от у к переменной k, запишем дополнительный член в (4.11) в виде
2亢\ °p 丿.(4.12)
Все плавные функции здесь берутся в точке 々=论°, т. е. в точке полюса, отвечающего квазистационарному состоянию; %р имеет вид бегущей волны, передний фронт которой распространяется со скоростью ур.
Оценим величины коэффициентов с(论)и сс(/也°), входящих в %н и %р. Для с (力)имеем
С 3) = ] %о卷 dr 〜％R(4.13)
О
(R — радиус потенциала). Чтобы дать оценку для а (说о), заметим, что при 左^论q функцию %& можем представить в виде 4他)％(°)化)，где %(°)нормирована на единицу (см. (2.5)), a A2(k) имеет полюс в точке k = ko (см. (2.7)). Следовательно, имеем цепочку равенств
0 他)=；(a (ik) S% (论)一a (- ik) 5一% 他))〜
0
Так как при 左一＞ 左° S-«^)f 0, то отсюда следует:
а 侬°) = % MR Um Sf 依)A (fe)=々今鳥
= 一^MRS甫优)/器.(4.14)
Отметим аналогию между с(论)и а(/о). Введем для этого решение
Ь (г) = 2/ /^ ST% ⑺〜产-S-1 但)e-俯，
которое при 左一►々о переходит в решение %р, отвечающее комплексному собственному значению энергии £*о — /Г/2 и асимптотически ведущее себя как е^・ Соответствующий интеграл перекрытия с равен
c^^^dr^iV^S-^c^^
=/2л (a (z穹一а (―闱 S^'优)).
Переходя в этом равенстве к пределу 左一* 々о, получаем
a G鳥)=J ХрХо ".(4.15)
Таким образом, и c{k) и а(氏)一это интегралы перекрытия С %0, но для разных функций: с(左)——для функций с действительными Е, a a(i局)一для функции, отвечающей комплексному собственному значению энергии.
При анализе формул (4.10) —(4.15) нужно помнить условия, при которых они получены: при вычислении интеграла (4.8) считалось, что подынтегральное выражение (за исключением е") слабо зависит от у при у 〜0. Это справедливо, если все величины, входящие в подынтегральное выражение (4.8), мало меняются при изменении у на единицу.
Изменению у на Ay ~ 1 соответствует изменение
Для правомочности вычислений необходимо, чтобы 'А论 было меньше, чем интервал 5电 внутри которого S (力)и
a(ik) можно считать постоянными.
В ядерной физике характерный интервал неравномерностей составляет 1 К38, а энергии порядка 1 Мз8；
8k равно
Отсюда находим время t, начиная с которого А左 < 6尼:
М)2М)210-6・ 10-27 ~10-18-10-6・ 10-27 ~10-18-=10~15=10~15сек.сек.
М)2
М)2
10-6・ 10-27 ~10-18-
10-6・ 10-27 ~10-18-
=10~15
=10~15
сек.
сек.
В атомных явлениях 6七〜0,1 зб, Е 〜10 эв,
t>t>10-11 . 10-27ю-2610-11 . 10-27ю-2610~1210~12сек.сек.
t>
t>
10-11 . 10-27ю-26
10-11 . 10-27ю-26
10~12
10~12
сек.
сек.
В физике элементарных частиц 6Е 〜10 Мэв, Е 〜， 〜1000 Мэв,
10~3- 10-27
/ >га——=10 сек.
1О~10
Эти оценки показывают, что формулы (4.10) — (4.14) справедливы практически при всех доступных измерению временах. Лишь в первый момент после начала распада эти формулы неприменимы.
§ 5. Закон радиоактивного распада
Физический смысл формул предыдущего параграфа ясен: в момент времени / = 0 волновая функция $о(г) не соответствовала состоянию с определенной энергией. Вероятность найти частицу с энергией Е (и соответственно с волновым вектором 左)пропорциональна, согласно общим правилам квантовой механики, квадрату матричного элемента (0 |fe) = J 中；中々dr. Поэтому с точки зрения элементарной физики следует ожидать, что картина «расплывания» начального состояния будет следующей: если частицы с энергией Е не задерживаются внутри потенциального барьера, а сразу же из него вылетают, то через время t они будут находиться в точке г = " Это как раз то, что мы видим в (4.10) и в первом члене (4.11): амплитуда волновой функции в точке г пропорциональна амплитуде состояния с энергией Е (соответствующей скорости у = tihlg в начальной волновой функции.
Если же энергия £ близка к энергии Е。 квазистацио- нарного состояния, то мы должны на основании элементарных кинематических соображений ожидать, что при г > Ор/ этих частиц еще наблюдаться не будет: они еще не успеют до員тп до этой точки. При г < %£, однако, эти частицы должны наблюдаться при всех г, так как если состояние живет в течение какого-то времени т, то эти частицы будут наблюдаться не только в точке г = Upf, но и в точке г = %(f — т). Если частица живет время т с вероятностью Р(т), то плотность частиц (на расстоянии г от источника в момент времени t) должна
быть пропорциональна Р 卜 ——^-j. Именно такому случаю и соответствует второй, резонансный член в (4.11). Более того, из вида этого члена можно заключить, что при энергии £ ~ 瓦 образуется «квазистационарное» состояние, вероятность распада которого в момент т Гг
после образования пропорциональна е 齿.Мы приходим, таким образом, к известному закону радиоактивного распада. Распределение плотности вероятности
частиц |屮(乙/) |2 в момент времени / имеет вид, изображенный на рис. 32. Максимум при малых г соответствует области внутри барьера, а максимум при больших г отвечает распаду «квазистационарного» состояния при / = 0 сразу же после его образования; этот
максимум движется со скоростью пр. Из-за непрерывного распада плотность частиц в квазистационарном состоянии постепенно уменьшается. Справа, т. е. при г > Пр/, плот- ^ ность вероятности меньше, так как «распадные» частицы еще не успели дойти туда, при г > пр/ обязан тому,
что в начальном распределении присутствуют частицы любых энергий.
Напомним здесь, что в стационарной теории в качестве волновой функции квазистационарного состояния обычно берут то решение ф^ (г, /) у. Ш., которое удовлетворяет граничному условию при г = 0, а при г-* оо ik^r-i( Ео—^—
ведет себя как е '2 丿无 (^0 — комплексно).
С другой стороны, при действительных k мы имеем волновую функцию задачи о рассеянии, которая асимпто
тически равна
М(г)е~К 〜备/ ^{elkrS'l2(k)-e-ikrS-'^k^e~^. (5.1)
Квазистационарному состоянию соответствует полюс
S% 伍)，получим, что приS% 伍)，получим, что приS(k). Разделив 羽(г) на ”.^^
S% 伍)，получим, что при
S% 伍)，получим, что при
左一> 々о второй член пропадает и
謡；凡 &）е “<₽&>（/•，/）•（5-2）
Таким образом, оба типа решений тесно связаны друг с другом. Польза введения функций ①仇 очевидна. Прежде всего, значение ^0, при котором у. Ш. допускает решение типа <р屁,сразу определяет положение и ширину квазистационарного состояния. Кроме того, сравнивая (5.2) с (4.12), мы видим, что ①济 при г < ир/ правильно передает зависимость истинной волновой функции *ф(г") распадного состояния от г и / (здесь / отсчитывается от момента создания распадного состояния).
В литературе довольно часто дискутируется вопрос о том, экспоненциален ли радиоактивный распад или нет (Л. А. Халфин, 1956, 1957; Ю. Швингер, 1960В; Р. Ньютон, 1961). По этому поводу можно сказать следующее. Из формулы (4.11) предыдущего параграфа следует, что |^(r, t) |2 убывает как функция времени неэкспоненциально. Это понятно, так как, задав произвольно начальное состояние 业⑺，мы создаем суперпозицию квазистационарного состояния, экспоненциально затухающего, и пакета частиц, обладающего непрерывным спектром, которые и дают неэкспоненциальный первый член в (4.11) *). Такое явление физически неизбежно.
Если доминирующим в 屮(八 f) является резонансный член, как это почти при всех условиях и бывает, то распад экспоненциален. В том, что резонансный член почти всегда является основным, нетрудно убедиться. Используя приведенные в этой главе формулы, легко оценить отношение квадратов модулей первого и второго членов в волновой функции (4.11) при г С прЛ По порядку величины это отношение равно
Р三陪Г〜告或g言今叫(5.3)
Зависимость этой величины от t схематически изображена на рис. 33, из которого видно, что нерезонанс-
*) При использовании полной системы стационарных состояний неэкспоненциальность распада следует из теоремы Н. С. Крылова, В. А. Фока (1947) (согласно которой закон распада полностью определяется энергетическим спектром начального состояния), поскольку этот спектр ограничен снизу.
ный член в волновой функции больше резонансного лишь при очень малых (t < Л) или при очень больших (/ > /2) временах. Для Л и 力2 имеем приближенно
(5.4)(5.4)/产/。装,
(5.4)
(5.4)
12 ~ /()1П~|^ .
При промежуточных значениях времени доминирующим оказывается резонансный член. Это означает, что для всех t в пределах 九VY 户</2 распад можно счи-
ктать экспоненциальным.
В практически наиболее интересных случаях / а-распада Е° 弋 1 Мэе /10-6 эрг, /о А 1 сек,
/「《10"15 3810~27 эрг.
/ Отсюда получаем
——j7 /儿〜10門；勾也〜50.
%/(5.5)
PliC- 33.Из этих оценок следу
ет, что а-распад с колоссальной точностью должен следовать экспоненциальному закону. Отклонение от экспоненциальности могло бы наблюдаться лишь в первое мгновение после создания распадного состояния либо же при очень больших временах (/ >50 /о), когда от распадающегося вещества уже практически ничего не осталось (е-50 ^ Ю-20).
Итак, радиоактивный распад экспоненциален, если ширина Г достаточно мала (Г《£()). В задачах ядер- ной физики Ео по порядку величины равна 1 Мэв и для экспоненциальности распада необходимо, чтобы Г С 1 Мэв. В физике элементарных частиц Eq 〜100 — —1000 Мз8. В атомной физике Eq 〜10 эв. В этих случаях имеем соответственно Г《100—1000 Мэв и Г < 10 эв.
Нужно, однако, всегда помнить, что при этом было использовано очень существенное предположение. При выводе формул предыдущего параграфа считалось, что
величины 〈0|々〉== ，屮；屮^dr, So и а слабо зависят от k. Это не всегда так. Можно создать волновой пакет с разбросом по энергии
и средним значением Ё где-нибудь в интервале [£о ——Г, £о + Г]. В этом случае все выписанные выше величины типа Sq, а будут очень сильно меняться в области вокруг Ё и, как нетрудно убедиться прямым расчетом, в точности аналогичным проделанному в предыдущем параграфе, закон распада не будет иметь ничего общего с экспоненциальным.
Можно сказать по-другому, что при АЕ》Г вероятность образования квазистационарного состояния с энергией Е не зависит от А£ и дается формулой
5 出)〜(Е - Ео4 +『/4
(распределение такого вида называется распределением Лоренца).
Если распределение вероятности не лоренцево, то нет и экспоненциального закона распада. Этот случай легко осуществляется на практике. Пусть, например, атом находится во втором возбужденном состоянии, ширина которого Г2 много меньше ширины 口 первого возбужденного состояния. Пусть при этом возможен каскадный у-переход: система излучает квант 丫2 (энергия 方①2) и переходит на первый уровень, с которого затем путем излучения кванта yi (энергия 方s。 переходит на основное состояние. Энергия кванта 丫2 может быть измерена. Пусть эксперимент ставится таким образом, что йо)2 измеряется с точностью А(方o)2)《Pi・ При этом первый уровень заселяется отнюдь не по лоренцеву закону; заселяется лишь какая-то его часть. В этом случае временная зависимость распада первого уровня не будет иметь ничего общего с экспонентой.
Если, однако, Г2 ^ 口 и второй уровень заселен весь (т. е. во всем интервале АЕ 〜 Гг), то первый уровень всегда заселяется по лоренцеву закону и распадается экспоненциально.
§ 6. Обобщение нормировки и теория возмущенийдля квазистационарных состояний
До сих пор мы в основном говорили о специфических распадных свойствах квазистационарных состоя- ний< Формально эти состояния находятся в непрерывном спектре, однако из-за достаточно большого времени жизни они обладают рядом физических и формальных свойств, сближающих их с истинно стационарными состояниями. В частности, можно ввести эффективный нормировочный интеграл для квазистационарных состояний и получить ряд результатов, очень близких к аналогичным результатам для стационарных состояний.
При описании теории возмущений для квазистационарных состояний ) мы будем следовать работе Я. Б. Зельдовича (I960).•
Пусть в невозмущенном потенциале V (г) частица имеет квазистационарное состояние в точке 局=也一ik^. Добавим к потенциалу возмущение dV. Как изменятся величины 也 и 局(т. е. положение £о и ширина Г резонанса)? Эту задачу можно решить следующим образом.
Введем вместо волновой функции %fe (г) ее логарифмическую производную
办⑺=告^，歴(г) = exp ^ zk (г') dr' .
С помощью у. Ш., которому удовлетворяет 凡(г), легко найти уравнение для z丸：
風⑺+戏6+(居一QП0，(6.1)
Так как для состояния с моментом / регулярная в нуле функция %自 всегда ведет себя при малых г, как 〃尸* где а = const, то 2 ⑺ f '土」независимо от вида
потенциала. При больших г интересующее нас решение ведет себя как е赫旷 и z(r)^ikQt
Г->8
Введем возмущение 6V. При этом у zh появляется приращение bz丸；кроме того, смещается и положение квазистационарного уровня:良о—»阮 + 小拓.Из (6.1) для 6马 находим уравнение
(62J - 一 2〃 6% + 67- 2岛 6鳥・(6.2)
Поскольку предел z(r) при г—>0 не зависит от k, 6之也 должно удовлетворять граничному условию
6/(0) = 0.(6.3)
Решение уравнения (6.2), удовлетворяющее этому условию, как легко видеть, имеет вид
6&(r) = ехр —2^zkodr X о •
X J [6V (/) - 2岛 6岛]exp 2 j % (r") dr"]]"= oL о」J
J "д-品囱脸⑺廿
При больших г, когда 乂底〜Cd叫 логарифмическая производная всегда равна /о, и 62(00) = /6й0 как раз дает поправку к энергии и ширине квазистационарного состояния. Из (6.4) в этом случае следует (при I = 0)
с・ Мо (С№)2 = - 2岛帆 j 處(Q drf+ j 6Vxi(/)" 0 0
что можно переписать как
% 6岛三6隘—
(6.5)
Заметим, что, строго говоря, эта формула верна, лишь если V и 6V обращаются в нуль начиная с какого-то значения радиуса 厂=R. Только в этом случае можно считать, что: а) при достаточно больших г функция (?级自「= %包 и б) можно распространить верхний предел интегрирования до бесконечности.
Формула (6.5) решает нашу задачу. При введении возмущения изменяются положение и ширина квази- стационарного состояния:
^-V^S^o + ^o).
Формула (6.5) очень похожа на обычную формулу теории возмущений для сдвига уровня; имеются только два отличия: во-первых, в нее входят квадраты волновых функций у^, а не квадраты модулей | %^ |2; во-вторых, в обычной формуле в знаменателе стоит нормировочный интеграл J | х* I2 dr, а не то, что в (6.5). о
В связи с этим заметим, что интеграл | |У^『^г рас- о
ходится, поскольку подынтегральное выражение экспо-
ненциально возрастает при г-> оо. Интеграл | %^ dr в о
обычном смысле слова также не существует, однако подынтегральное выражение возрастает при г —> оо, осциллируя, и, как мы сейчас покажем, этот интеграл можно регуляризовать. Для этого недостаточно умножить подынтегральную функцию на е^ и устремить затем а к нулю. Можно, однако, показать, что существует
в силу чего знаменатель в (6.5) можно рассматривать как нормировочный интеграл функции 儿.*)•
Если поэтому мы условимся называть нормировочным интегралом предел
dr w lim о зdr w lim о зОО(6.7)(6.7)
dr w lim о з
dr w lim о з
О
О
(6.7)
(6.7)
то (6.5) можно переписать в более привычной форме:
(6.8)
*) Действительно, как нетрудно видеть, интеграл выражается через функцию ошибок Ф:
8ОО
J g-S+2i (E-*z)r〃= j e"Or2+2feV(cos 2^1Г 4- i sjn 2k\t) dr « о0
Поскольку a-*0, то для Ф можно воспользоваться асимптотическим выражением
С другой стороны, при R <г
—ar'—ar'J 喝(г) _ 匕收丹 dr- ^, - llim J dr [唸(r) -(Ceife,r)2] е"""- + ouo
—ar'
—ar'
Г8
+ S/ e-"(財" 〃弋鳴J l，脸⑺*.
00
При этом мы воспользовались тем, что обрезающий множитель е-0^ в первом интеграле при а-> 0 в силу равенства нулю члена б квадратной скобке при 工>衣 не меняет значения этого интеграла.
Отметим тут же, что данное выше определение нормировочного интеграла для квазистационарных состояний оказывается полезным и в ряде других задач; так, например, в следующем параграфе будет показано, как с помощью этой техники можно найти коэффициент а, определяющий промежуточную асимптотику волновой функции.
§ 7. Асимптотика волновой функции при г—► оо и f —► оо
Этот вопрос уже рассматривался выше, но нас в основном интересовало тогда выяснение физики процесса. Теперь мы остановимся на формальной стороне дела. Найдем асимптотический вид волновой функции 屮(乙力)при г —>оо, /—>оо, если *ф(г,0) = ^о(г)..
Эта задача была решена в работе Я. Б. Зельдовича (I960) методом Лапласа. Применим его к сферически- симметричной задаче, в которой потенциал V(r), искомая 屮",/) и начальная -ф(г, 0) зависят только от г. Введем новую функцию 屮(厂，s):
if (г, s)=—i J eist^ (r, /) dt.(7.1)
о
Полагая s = rj + ia, найдем, что
屮亿 s) = — i J с—绅(r, t) "a dt = J f(r, t) gf你 dt, (7.2) 0—oo
t. e.屮(r,s) есть фурье-образ функции, равной
f(r,/) = 0при Y0,]
f(r, /)= — ie~^{r. 0 при f>0. J ( *)
По формулам обращения находим f и элементарно получаем
+оо+/g
”(г,/)=-击 J w(r, s)eTsfds. (7.4)
—oo + fG
Интеграл (7.2) существует для 力 убывающей при /—>8? т. е. для Q > 0. Однако мы будем рассматривать
также 屮(厂,s) и при а < 0 как аналитическое продолжение функции *ф(г, s), заданной интегралом при а > 0.
Рассмотрим у. Ш.
访^^ =-^-\^(r, t)+u (r)唄г, 0，
умножим его на — ieist и проинтегрируем по времени. Получим
方21'
一力s” (r, s)-际 А”(г, s) + U (г) w (г, S)= - Й'фо (г). (7.5)
При ；этом предполагается, что при г > R lim 2心于2(Г，t) = 0, f->8
для чего нужно а > 0, т. е. точка s должна находиться в верхней полуплоскости комплексного переменного s (рис. 34). Полагаем, что
(7.6)(7.6)•фо (г) = U (г) = 0 при r> R.
(7.6)
(7.6)
Тогда при г〉R「
屮(г, s) = f (s) 1J 疗，+ f心)1• (7.7).
При а > 0 определим У2ms как положительный корень на положительном луче вещественной оси в плоско
сти s; для однозначности сделаем разрез на отрицательном луче вещественной оси (о = 0, т]<0, s = T)+ io). Очевидно, что при а > 0 первый член в (7.7) при г— oo по модулю экспоненциально, убывает, а второй член
экспоненциально возра
стает. Но при а > 0, когда 屮(厂，$) определяется сходящимся интегралом,屮(г, s) заведомо не растет при больших г. Поэтому полагаем 厶(s) = 0.
Другими словами, при определении 屮(厂,s) как образа решения нестационарного у. Ш., при естественных
ограничениях начального состояния 屮。(厂)получается, что на 屮"，s) наложено условие смыкания с расходящейся волной
屮亿 s)K^>f(s)〉『
Это условие первоначально получено для верхней полуплоскости s. Как уже указывалось, в нижней полуплоскости s функция 屮(г, s) определяется не как интеграл, а как аналитическое продолжение 叭匕 s), заданной в верхней полуплоскости. При этом необходимо сохранить и в нижней полуплоскости то же условие смыкания с первым членом в (7.7).
Интересующее нас распадное состояние удовлетворяет уравнению-
方2
一 Е^е (г) 一 备 A% (r) + U (г)以(「) = 0(7.8)
и условию смыкания с расходящейся волной при определенном f = £о — Л72. Следовательно, потенциал U(r) таков, что уравнение (7.5) при 方s = £* имеет нетривиальное решение при равной нулю правой части.
Отсюда следует, что общее решение неоднородного уравнения (7.5) должно иметь полюс в точке fis = £*, т. е. в нижнем правом квадранте s. Решение должно иметь вид
lim ” (г, s)= 豊粤十屮1忆S)，(7・9)
где 屮1(厶 s) конечно при 方s = Е.
Задача заключается в определении коэффициента а. Для этого умножим (7.5) на 屮后(厂)，а (7.8)——на 屮(厂，s), вычтем одно из другого и проинтегрируем от 0 до R. Используя то обстоятельство, что вне потенциала при 方s—
f(s)=江
после несложных выкладок получим
+ j卜亿S)以(r) 一 f⑸多3厅+‘厅)=］产dr О
=J 耽(r) We (r)戸 dr;
О
теперь подставляем
w亿s) = ^k+电亿s),
f⑸ J—=f⑸ J—=方 s — £* г方 s — £* г
f⑸ J—=
f⑸ J—=
方 s — £* г
方 s — £* г
переходим к пределу 方s —Е и распространяем интегралы до R = оо, пользуясь тем, что подынтегральные выражения при r>R равны нулю.
Получаем
а= jWo (г) 2е (г)产〃а= jWo (г) 2е (г)产〃J (г% ⑺)(Зе ①)dr+~^Г = ，(7・ 1 °)f (Г% (r))2 drJ (г% ⑺)(Зе ①)dr+~^Г = ，(7・ 1 °)f (Г% (r))2 dr
а= jWo (г) 2е (г)产〃
а= jWo (г) 2е (г)产〃
J (г% ⑺)(Зе ①)dr
+~^Г = ，(7・ 1 °)
f (Г% (r))2 dr
J (г% ⑺)(Зе ①)dr
+~^Г = ，(7・ 1 °)
f (Г% (r))2 dr
пони-пара-пони-пара-
пони-
пара-
пони-
пара-
где интеграл J (г*ф£)2dr = J 戏 dr в знаменателе
ооо
о
о
мается в смысле формулы (6.7) предыдущего графа.
Подставляя выражение (7.9) в формулу обращения (7.4), получим вклад от обхода полюса hs = Е
iEt
■фр (г, /) = а^Е (г) 方=
_国 J (叫g)"))dr
=必① L . (7.11)
j (& (г))? dr 0
В таком виде формула полностью подобна обычному выражению, которое мы получили бы в случае отрицательного вещественного собственного значения в дискретном спектре. Скалярное произведение j 产*%屮£ dr о
и норма j ^r2dr в смысле (6.7) одинаково входят о
как в задачу теории возмущений, так и в нестационарную задачу.
§ 8. Рождение нестабильной частицы
Пусть в результате реакции пара стабильных частиц может превращаться в пару других стабильных частиц:
(8.1)(8.1)а + X —> 6 + К.
(8.1)
(8.1)
Что изменится в ходе этой реакции, если одна из конечных частиц, скажем, У, является нестабильной и с течением времени распадается, т. е.
(8.2)(8.2)У f с + d・
(8.2)
(8.2)
Прежде всего ясно, что при г —► оо частица Y никогда наблюдаться не будет; туда дойдут только продукты ее распада. Это означает, что формально мы имеем дело с трехчастичной реакцией
X + a f b •}■ с ~\- d.
(8・3)
Ниже мы увидим, однако, что этот процесс можно представлять себе идущим по двум путям
b + с + d,
Х + а(83)
b + У —> b с d,
т. е. с непосредственным образованием сразу трех частиц, и двухэтапным способом, когда сначала в реакции образуются 6 + У, а потом уже У распадается на с + d・ Физический процесс, в котором рождаются частицы, можно всегда представлять себе следующим образом. При столкновении начальных частиц образуется промежуточное состояние, в котором может происходить перестройка этих частиц. Радиус R промежуточного состояния (радиус реакции) обычно бывает порядка радиуса сил взаимодействия между частицами. Через какой-то отрезок времени промежуточное состояние распадается либо на исходные, либо на какие-то новые частицы. В первом случае мы имеем упругое или неупругое рассеяние, второй случай соответствует реакции. Таким образом, промежуточное состояние играет роль источника образующихся в реакции частиц. Поэтому процесс рождения частиц, скажем, в реакции (8.1) можно формально описать, рассматривая у. Ш. с источником:
(Нь + Нс + "^ + Um 一 Е) 9 = Q, (8.4)
где Hbt 儿，Hd — гамильтонианы свободных частиц Ь, с и d, Ucd — потенциал взаимодействия между с н d, а Q — функция источника. Q, вообще говоря, зависит от полной энергии £, но в тех случаях, которые будут нас интересовать, этой зависимостью можно пренебречь.
В уравнении (8.4) мы для простоты пренебрегли взаимодействием частицы b с частицами end. Потенциал %, однако, необходимо оставить, так как именно это взаимодействие обусловливает существование нестабильной частицы У.
Сейчас мы выведем общие формулы для определения скорости различных реакций, описываемых уравне-
нием (83). Чтобы охватить наиболее важные случаи, будем считать взаимодействие между end таким, что существует:
связанное состояние пары с + d с энергией ——е0 (so > 0); это состояние будем называть частицей Уо；
квазистационарное состояние пары c + d с энергией £*о и шириной Г (нестабильная частица У).
Чтобы облегчить сравнение между процессами рождения стабильных и нестабильных частиц, положим спины Уо и У одинаковыми и равными нулю. В зависимости от величины полной энергии Е возможны разные процессы:
при Е <—е0 обе реакции энергетически невозможны;
в случае —е0 < £* < 0 возможна реакция с образованием Уо；
если 0 < £ < £*о, то наряду с последней реакцией становится возможным образование всех трех частиц b + с + d в свободном состоянии, но образование У еще запрещено;
образование частицы У энергетически возможно лишь при Е > 品
Все эти случаи будут ниже рассмотрены по порядку.
В системе центра инерции у. Ш. имеет вид
(- ^ 4 -奥 & + cd(г) - Е)(р = Q・ (8.5)
Здесь г — расстояние между cud:
р — расстояние между b и центром тяжести пары (c+d):
ГПс『с + Md
Р _ bmc+md~，
а /п и р. — соответствующие приведенные массы:
叫忆 rnb (тс +
Пользуясь формулой (4.2) гл. IV для функции Грина, запишем ф как
①(乙仞=嘉 J deGg+)(r, QG*", P)Q&, p^ dr^рр —8
(8.6)
где Ge и Get — одночастичные функции Грина:
(~ 2" 4 + Uс「е) G?)(г,厶)=6 (г -厶)，
(-若 4 -(Е - £))。禺(Р，Р) = 6(Р - Pi).
Волновая функция ф(г,р) зависит от двух координат. Однако ясно, что для определения полного числа актов рождения трех частиц b + с + d достаточно найти поток только одной из частиц, скажем 6. Чтобы сделать это, разложим q)(r, р) по собственным состояниям пары с + d.
Полный набор волновых функций пары с + d состоит из волновой функции связанного состояния (частица Уо) ■— %о (г) и из нормированных на 6(左一瓦)волно-
И 4л г вых функций непрерывного спектра 屮伊)(「)• Таким образом, разложение имеет вид
Ф (г, Р) = Фо(р)у=-修 + J 源WV)(г) Фь(р), (8.7) где
%(Р)=/①(r，p)7Hxs("力 I
ФА(Р)= J Ф(Л Р)屮廿尸(г) dr.
Левые части этих выражений можно рассматривать как волновые функции частицы 6 при условии, что пара с + d образуется в связанном состоянии и в состоянии непрерывного спектра соответственно.
Пользуясь известными из четвертой главы свойствами функций Грина, а также формулой
击『(1&xG(e\ (Р, Pi) ^?鬲,=-窕-e (p, Pi),
получаем из (8.6) —(87)
①吧广血QS，①吧广血QS，、Su Pi)e、Su Pi)e票 1 %")_V^~7T~ =票 1 %")_V^~7T~ =
①吧广血QS，
①吧广血QS，
、Su Pi)e
、Su Pi)e
票 1 %")_
V^~7T~ =
票 1 %")_
V^~7T~ =
三『°, (8.8)
必(P)~~~ 等 ± J dr^Q (%, Pi) e”号屮竺(rj =
p-> co卩 “ ** 儿 J
е“Р
Здесь
%=]/謂(上 + %)，g=/爷(e-ё)，e=器;
для перехода к асимптотике р—* оо использовалась формула (2.13) гл. IV.
В общем случае амплитуды /о и f矗 зависят не только от £* и е, но и от направления вектора р. Будем считать радиус R источника достаточно малым, так что gR《 L При этом экспоненту в подынтегральном выражении можно заменить единицей и зависимость от р/р пропадает. Функции Ф при этом становятся сферически-сим- метричными. Физически это соответствует тому, что частицы b образуются только в s-состоянии.
Полный выход реакции, в которой образуются частица b и связанное состояние У。пары с + d, равен проинтегрированному по поверхности большой сферы потоку:
"о = J Р? dQp 典(OoVpOo — OoVpOo) = 4n^Jfo |2,
dQp — элемент телесного угла в направлении вектора р.
Аналогично выход j(k)dk реакции, в которой импульс относительного движения частиц с + d находится в интервале dk вокруг 財 есть
j但)d左= 4jw川)J2 d瓦 % =*，
Проинтегрировав по всем направлениям вектора k и переходя от dk к de, получим
/(8)de = £/勿(8)de, ilm (£)=
I \d^im(7j-) — Xlm (^ 1) Q (^b Pi)* 石・(8.9)
Здесь 九m(£)——это выход реакции при заданной энергии £ и числах 厶 m относительно движения частиц c+d.
方2方2Сравним выходы двухчастичной и трехчастичной реакций. Для оценки，匕 заметим, что радиус У。порядка
方2
方2
瓦\ 2ц е0瓦\ 2ц е0и, следовательно, нормированная на еди-
瓦\ 2ц е0
瓦\ 2ц е0
ницу радиальная функция %0(г) по порядку величины равна (專粤)"• Полный выход частиц У。равен
/Уо = Ло /во (Е + во)；
4 = 2/ЕМ槊 *J 〃血誉叫 1 (8.10)
Здесь Ао от энергии не зависит.
Рассмотрим теперь выход трехчастичной реакции X + а->Ь + с + d. Полную энергию Е будем сначала считать меньшей, чем энергия £*о квазистационарного состояния пары c + d (частица У), так что образование последней энергетически невозможно. Все три частицы b, q d вылетают поэтому из источника Q независимо.
При малых энергиях весь выход будет определяться только членом /oo(e)rfs в (8.9). Это следует из того, что %ki(r\)〜{kr\)w и при / > 0 соответствующие члены дадут ничтожный вклад. Для оценки joo(E)dg заметим, что %月。(厂1) под знаком интеграла в (8.9) можно прибли-
лучаемлучаемженно заменить на kR (7? —радиус источника Q). По
лучаем
лучаем
j(e)de=41/^F^岩；用=蟲.(8.11)
Здесь Ао — та же самая постоянная, что и в (8.10), а 81 — постоянная размерности энергии. Численно она равна той энергии, которую имеет частица с массой 卩， заключенная в объем радиуса R. В задачах ядер ной физики 81 ~ 1 Мэе, в задачах физики элементарных частиц ei 〜100 Мэе.
j（s）j（s）Рис. 35.Рис. 35.Распределение частиц по энергиям в трехчастичной реакции дается формулой (8.11). Вид функции /(е) изображен кривой / на рис. 35. Полный выход трехчастичной реакции равен,
j（s）
j（s）
Рис. 35.
Рис. 35.
J= Jj(e)血=4。向 Е2.(8.11，) о
гетически возможнымгетически возможнымБудем теперь увеличивать энергию Е до тех пор, пока она не станет сравнимой с £о и, следовательно, станет энер- образование нестабильной ча
гетически возможным
гетически возможным
стицы У. Рассмотрим /оо(е) при е ^ £*0* Величина радиальной волновой функции %辰(г) вблизи резонанса сильно зависит от энергии и может достигать больших значений. Соответствующие формулы были получены выше (см. (2.6), (2.7)). Подставляя их в (8.9), получаем
Me (Е - е)2fi[Me (Е - е)2fi[de.de.
Me (Е - е)
2fi[
Me (Е - е)
2fi[
de.
de.
(8.12)
Как мы видим из этой формулы, /оо(е) имеет резкий максимум при е Ео (кривая 2 на рис. 35). Появление резонансного множителя приводит к резкому увеличению выхода реакции при е ^ Ео. Физической причиной этого является то, что при е « Ео вместо независимых частиц с н d вылетает квазистационарная частица У,
так что реакция практически превращается в двухчастичную.
Ширина интервала Ав вокруг £ = £*0, внутри которого доминирующей является двухчастичная реакция,
определяется условием (считаем для простоты, что 81 ^ £*0)
2£0Г2/4T (m)2十户/42£0Г2/4T (m)2十户/4=1, т. е.=1, т. е.
2£0Г2/4
T (m)2十户/4
2£0Г2/4
T (m)2十户/4
=1, т. е.
=1, т. е.
Вычислим полный выход /у частиц У при энергии £*, близкой к £*о* Для этого надо проинтегрировать (8.12) по £ по «двухчастичной» области £*0 — А£《£《Е:
/г = J 询оо(е» 4 爾 Re [е-(绕-蜀丁.(8.13)
Ео — А£
Энергетическая зависимость выхода определяется множителем, полученным впервые в работе А. И. Базя (1961):
Re [E — (区 一年)『=吉[/ (Е_昂尸 + 4" + (e-品)]
(Е — £0)/2^ 1 + Q(七二風))+ • • •] для £*》& + £,
4(Eq-E)%4(Eq-E)%для Е《Е^—~,
4(Eq-E)%
4(Eq-E)%
График этой кривой изображен на рис. 36.
Итак, мы приходим к следующей общей картине. Начиная с энергии Е — —sq возможно образование
стабильной частицы У。. Выход реакции 厶 + Уо дается формулой (8.10). Зависимость выхода от энергии изображена на рис. 37. Начиная с £* = 0 становится возможной трехчастичная реакция (формула (8.11)). При малых Е ее выход очень мал (〜Е2). Наконец, при £ £0 начинается образование нестабильной частицы У.
Переход от квазистационарных состоянийк стационарным
Показательно, что энергетическая зависимость выхода У оказывается очень близкой к энергетической зависимости выхода чисто двухчастичной реакции с образованием Уо. При Г-+0 сходство оказывается практически полным. Существенно, что абсолютные выходы оказываются также близкими. Чтобы исключить влияние кинематических факторов (фазовый объем конечного состояния), следует сравнить выходы на одинаковом расстоянии от соответствующих порогов. При этом получаем
внхоп (方+ У) =〔/_£i_〜]выход 3 + Уо) — У ео ~ •
Аналогия между квазистационарными и стационарными состояниями велика, хотя на первый взгляд они имеют существенно различный характер: стационарные состояния составляют дискретный спектр, в то время как квазистационарные лежат в непрерывном спектре; волновые функции первых локализованы в определенной области пространства, тогда как у вторых они «размазаны» по всему пространству. В пределе Г -> 0, однако, квазистационарное состояние должно переходить в стационарное. Физически это очевидно. Сейчас мы попытаемся понять и формальную сторону дела.
О наиболее характерной особенности волновых функций, описывающих квазистационарные состояния, мы уже упоминали раньше; это ——очень большая величина функции в области потенциала (см. (2.7)):
J 噱(г) -^ (Е-£：)2〔г2/4 • (9.1)
Например, у радия радиус R 〜Ю"12 см, энергия распада f0 ~ Ю Мэв у Ю-5 эрг, а время жизни Т% ^ у 5000 лет (т. е. F 〜Ю-38 эрг). При Е = Е° эта формула дает
J ^dr а 1019 см.
о
Насколько велика эта цифра, видно хотя бы из того, что в интеграл от квадрата модуля a-частичной волновой функции по большому объему радиусом в 10 световых лет
10 световых лет /戏办 о
подавляющий вклад будет давать центральная область г《10"12 см. И лишь при интегрировании по сферическому объему с радиусом, большим чем 1015 к川 ~ ~ 100 световых лет, начнет сказываться《внешняя》часть волновой функции, имеющая вид ^~ sin (kr + 6).
Так как при всяком интегрировании (пусть даже в бесконечных пределах) всегда имеются в виду гораздо меньшие радиусы (порядка межатомных, например), то ясно, что простирающимися до бесконечности «хвостами» волновой функции всегда можно пренебречь. В этом смысле волновая функция ядра радия, хотя она формально и принадлежит к непрерывному спектру и «занимает» все пространство, на самом деле локализована внутри объема 10~12 см.
Другим проявлением большой величины у^в области резонанса (или, что то же самое, большого времени жизни квазистационарного состояния) является вид энергетического спектра частиц b + с + d при Е > 品 Формально с + d могут иметь любую энергию в интервале 0 < е < £*, но фактически, как мы видели в предыдущем параграфе (см. рис. 35), значительная доля частиц рождается почти с точно фиксированной энергией относительного движения е = 百°・
Аналогию между свойствами квазистационарных и стационарных состояний можно сформулировать несколько более строго.
Возьмем какую-нибудь функцию f (г), достаточно быстро убывающую с ростом г. Разложим ее по собственным функциям “(г) у. Ш. с потенциалом, имеющим квазистационарный уровень (см. рис. 25) при k =左 °.
Коэффициенты разложения С (左)находятся по формуле
с (右)=f f(r')%Mr')dr‘.(9.2)
О
Вклад интервала 0 < ^ < хо в разложение есть %хо00-
j C(^)%fe (r)dk= j %B(r) J %fe(Г1)/(Г1) drxdk. (9.3) оо 0
Основной вклад в этот интеграл дает область k ^ k^ и г < R. В этой области можно написать (см. § 2)
凡(г) */(灯喫⑺，(9.4)
где %*)слабо зависит от энергии. Поэтому (9.3) можно переписать как
%ОО
оо
=必°)(г) J 必 °)(n)f 6) dr I, (9.5)
О
где мы использовали явное выражение для 4(々)*):
Г—一1
J "⑺a" 〜J Л (ё-目)2 + 户/4 R J (E_Eo)2 十f/4 一 1・ 0—8
(9.6)
*) Как обычно, функция %£)нормируется условием
Так как /Р伊)имеет острый максимум при Е = &, то из формулы (9.6) следует, что приближенно
屋3) = 6依一瓦).
В этом приближении разложение произвольной функции
f(r)= J0值)"&)/=必。)&)]\印妬+ f C(k)Udk о0х0
(9.7) имеет такой вид, как будто непрерывный спектр начинается лишь с fe ^ х0, а в интервале 0 ^k^HQ имеется только одно стационарное состояние 必°)(厂).(Это, конечно, идеализация, связанная с приближенным характером формулы (9.4), но поправки тем меньше, чем меньше Г и чем меньший радиус имеет функция f(r).)
Именно то обстоятельство, что квазистационарные состояния входят в различные разложения типа (9.7) совершенно таким же образом, как и стационарные, является формальной причиной сходства этих двух типов состояний.
Время соударения
Рассуждения предыдущих параграфов о времени жизни квазистационарных состояний носили интуитивный характер. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос более строго. Решим для начала следующую задачу (А. И. Базь, 1964): пусть частица заданной энергии Е рассеивается на потенциале V радиуса R. Каково среднее время Т(Е, а), проводимое частицей внутри сферы с радиусом г = а; а》R?
Нам нужно придумать какой-то механизм, который работал бы как часы, отмеряя время, проводимое частицей внути сферы г = а. Можно предложить следующий «часовой» механизм: пусть внутри сферы г = а имеется слабое однородное магнитное поле Я, направленное по оси 之 и равное нулю при г〉а, а рассеиваемые частицы обладают магнитным моментом 卩.Пусть, далее» рассеиваемые частицы поляризованы по оси х (это означает, что магнитные моменты падающих на рассеиватель частиц направлены по оси х). До тех пор, пока частица
находится вне сферы г = а> на магнитный момент не действуют никакие силы и его направление остается постоянным. Но как только частица попадет в область г《а, где есть магнитное поле, магнитный момент начнет пре- 。2財
цессировать вокруг направления поля с частотой со =.
(Изменением энергии частицы из-за взаимодействия —卩"при достаточно малом Я можно пренебречь.) Прецессия будет продолжаться до тех пор, пока частица не вылетит из сферы г = а. Если время пребывания частицы внутри сферы есть Т, то за это время магнитный момент успеет повернуться на угол 8 = Тз в плоскости х, у. Таким образом, зная угол поворота магнитного момента рассеянных частиц, легко вычислить и среднее время, проводимое частицей внутри сферы г = а. Это время оказывается равным
Т (Е, а) = "^■{备+ & —击 sin 2 (ka + 6)}.(Ю.1)
Чтобы вывести эту формулу, вычислим угол поворота магнитного момента 0.
После введения магнитного поля у. Ш. приобретает вид (для простоты рассматривается случай / = 0): 归+ (依一忆=一符h敢=一需м(； _». (10⑵
Член в правой части описывает взаимодействие -N"； так как, по предположению, Я направлено по оси z и так как вектор ц обязан иметь вид g = 2)xs, где s ——вектор спина частицы *), взятый нами равным V2, то
=== 2卩s^H 4(у^Н ==卩"
где s—матрица Паули. Так как спин частицы s = %, то под волновой функцией % надо понимать столбец
где %i м ха описывают состояния с проекцией спина на ось 厶 равной +% и —% соответственно.
Задачу будем решать с помощью теории возмущений. Волновая функция нулевого приближения 必叱 по условию, должна описывать состояние с g, направленным по оси z. Эта функция равна
где %й (г)—решение уравнения (10.2) без правой части, имеющее асимптотический вид
履(?)〜/ ^ Sin 伍г+ 6).
Решение уравнения (10.2) ищем в виде
X =必°)+戈⑴三必°)+ ( ：(；))•
В первом приближении имеем
(严)" + (后一ь)严=一爷读五殍.
Расписывая это уравнение по компонентам, получаем(%¥))" + 伴一V)")=-謂""内及(г),煙卄—①須財吉器(Г).
Используя функцию Грина, запишем решение в виде
xlb = -Х^> = - -^- иЯ у= J Gft (г, G хй (厶)〃1 ~
〜鴿財方1/f-"…"(分)〃尸
三矗^"后叫0=謂財千j戏(a)也
Собирая все выписанные выше формулы, получаем асимптотическое выражение решения уравнения (10.2):
戈=戈（0）+戈⑴~
~献今（:卜"…-吉（；:»5・3）
Первый член в фигурной скобке описывает падающие на силовой центр частицы, а второй член ——рассеянные.
Вычислим угол поворота спина 0. Средние значения х- и у-компонент спина равны (при вычислении пренебрегаем членами ~в2 〜加)
丄，+叫+丄代D丄（1+峪=丄 7Т\1-г₽/ ?u о丿7T〈i-帮丿一5,
1 +用『丄,0 丄/1-гр/0(1 +用『丄,0 丄/1-гр/0(1+i仆 1-Ф/1+i仆 1-Ф/=-P-=-P-
1 +用『丄,0 丄/
1-гр/0(
1 +用『丄,0 丄/
1-гр/0(
1+i仆 1-Ф/
1+i仆 1-Ф/
=-P-
=-P-
Таким образом, абсолютная величина угла поворота равна 0 = 2р, и для времени жизни с помощью (3.18) гл. III нетрудно получить
t(e, a) = ^ =磊=^{幾+a一费sin2(Z:a + 6)}, что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к квазистационарным состояниям. Подставляя в (10.1) формулу для фазы (2.4) и пренебрегая всеми членами, кроме основного, получаем
Т(Е) =Т(Е) =ЙГЙГ(£-£0)2 + Г2/4*(£-£0)2 + Г2/4*(10.4)(10.4)
Т(Е) =
Т(Е) =
ЙГ
ЙГ
(£-£0)2 + Г2/4*
(£-£0)2 + Г2/4*
(10.4)
(10.4)
Этот результат подтверждает сделанные выше заключения о среднем времени жизни квазистационарного состояния и о зависимости этого времени от точного значения энергии частицы.
Формула (10.1), как следует из ее вывода, имеет смысл выражения для среднего времени Т, проводимого частицей внутри сферы г = а. Можно было бы думать поэтому, что само время 7 пребывания частицы в
области г《а не является строго определенной величиной, а имеется какое-то распределение этих времен W(T), Нетрудно показать, однако (А. И. Базь, 1967), что это распределение имеет вид б-функции: 步(7)〜 6(Т —7). Это означает, что время 7 является фиксированной величиной при заданной энергии Е!
Отметим тут же, что это нисколько не противоречит соотношению неопределенностей АЕ • А/ 扌 Е. Действительно, рассматривая движение волновых пакетов, легко убедиться в том, что входящее сюда Af — это неопределенность в точном значении момента соударения. К дл и- тельности соударения это никакого отношения не имеет.
Типы долгоживущих состояний
Было бы неправильно думать, что резонансные состояния, которым была посвящена эта глава, исчерпывают все типы относительно долгоживущих состояний частицы, находящихся в непрерывном спектре. Существуют еще по крайней мере два типа состояний («виртуальный уровень» и «пороговое состояние》), времена жизни которых могут значительно превышать характерное пролетное время (А. И. Базь, 1967).
Прежде чем перейти к их рассмотрению, разберем случай свободной частицы, движущейся с орбитальным моментом / = 0 относительно начала координат. Согласно общей формуле (10.1) такая частица проводит внутри сферы радиуса R время
%=^k一於沿2々/?}.(11.1)
Если 々R》1, т. е•九《R, где X ——длина волны частицы, то вторым членом в скобке можно пренебречь по сравнению с первым, и мы получаем классический результат:
Т =т = ，СВ 2 КЛ 0•
Время пребывания 7 равно времени пролета частицы сквозь сферу, причем траектория проходит через центр ₽феры.
Положение меняется, если hR《L В этом случае длина волны X сравнима с радиусом сферы или больше его. Согласно квантовой механике частица может иметь / = 0, не проходя в то же время через точку г = 0, а находясь от нее на расстоянии порядка X. Поэтому время пребывания частицы внутри сферы г = R должно быть меньше классического пролетного времени ТкЛ・ Действительно, из (11.1) следует, что при kR《1
Тсв=击炉炉 F>0.(11.13
Предположим теперь, что частица движется в поле по-
*々 тенциала, в котором имеется виртуальный уровень (или ре- Рис. 38.альный уровень) с малой энер
гией связи. В этом случае применимы формулы § 3 гл. I и фаза рассеяния б определяется из уравнения
々Ctg6=_±,(11.2)
где постоянная а носит название длины рассеяния. При 力2
л < 0 имеется виртуальный уровень с энергией
方2
а при 〃>0 ——реальный уровень с энергией связн^^-. Находя фазу б из (11.2) и подставляя ее в формулу для времени жизни (10.1), при малых kR получаем (|а|》'/?)
т2R2a2 依
/ вирт = — TV典2 ・
Зависимость Т от энергии частицы (точнее, от 左)изображена на рис. 38. Видно, что время жизни Гвирт имеет максимум при 左〜у^у* причем в области вблизи максимума оно совпадает с классическим пролетным временем. Это ——результат притягивающего действия потенциала. Эффект притяжения становится особенно хорошо виден, если мы сравним Гвирт с временем ГСв (11・Г) пребыва-
ния свободной частицы внутри сферы г — R. Отношение времен
гев [ R / 1 + (询2 может достигать очень больших значений при /г ->0. Взяв /? = 2,5 • 10~13 см, получаем, что в случае триплетного нейтрон-протонного взаимодействия (@忆5,4 ■ 10-13 см) отношение времен * 12; для синглетного взаимодействия (а = —20 • 10-13 см) это отношение еще больше (^200).^〃
Таким образом,《внртуаль-/[
ный уровень» — не просто/ [
удобная математическая фик-/ 丨
ция, а вполне реальное физи-/ !
иеское состояние системы, в/ j
котором частица проводит зна-{
чительный промежуток време^j
ни в потенциальном поле.F
Существует еще один ши-”
рокий класс сравнительно дол-Рис. 39.
гоживущих состояний («пороговые состояния»). В главе IX будет показано, что если возможна какая-то реакция
X + a^b + Y,(11.3)
го фаза 6 упругого рассеяния (X +。->X + а) при подходе к порогу реакции снизу ведет себя как
б « б0 +(X УЕп — Е, где 6о и а— некие постоянные, а Еп — пороговая энергия. Производная фазы 義 стремится к бесконечности при стремлении Е к £п< Поэтому время жизни неуклонно растет при приближении к точке порога снизу (рис. 39).
В принципе возможны и другие типы долгоживущих состояний, например состояния, отвечающие кратным полюсам S-матрицы (М. Гольдбергер, К. Ватсон, 1964В; Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1965Б; Дж. Белл, К. Гебель, 1965). Простой вывод формул, а также обсуждение закона распада для этого случая можно найти в работе И. Ю. Кобзарева и др. (1969),
ГЛАВА VIII
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХСИСТЕМ
Волновая функция многоканальной системы
До сих пор мы рассматривали свойства частицы в потенциальном поле. Единственный физический процесс, который может происходить в этом случае, это упругое рассеяние. Как известно, к рассеянию частицы на потенциале сводится любая задача соударения двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом U(f］一г2).
Наряду с этим простейшим случаем задачи рассеяния очень часто возникает необходимость рассматривать процессы перехода одних частиц в другие (реакции). Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть имеется N пар частиц 〃『+ Х『(/ = 1,2,..., Д^) способных, если это разрешается законом сохранения энергии, переходить друг в друга:
〃t + Xj 二 〃/ + Х/. (1.1) Суммарные массы частиц обозначим через 恥 = 加勺 + + mxi и будем считать； что Mi < М2 < …< MNt Во всех физически интересных случаях взаимодействие между частицами короткодействующее, т. е. им можно пренебречь при г〉瓦 где R ——радиус взаимодействия ). Соответственно этому везде ниже будем предполагать, что переходы (1.1) происходят только внутри объема
г < R. Это приводит к следующей картине. Во внешней области (г > R) наиболее общая волновая функция системы обязана иметь вид
^=2 (a绅『一Р绅产)①公①尸①⑷)①(X,), (1.2)
где ①(а。 и ①(Xf) — внутренние волновые функции частиц & и % (эти частицы, вообще говоря, могут быть составными),勿 и & — некие постоянные,屮『)и 屮"一 два независимых решения у. ILL для пары частиц ai + Х^ в области г > R (выше было предположено, что переходы между частицами происходят только во внутренней области; во внешней области между % и Х^ действуют только дальнодействующие потенциалы кулоновского или центробежного типа и движение частиц в них описывается обычным у. Ш.). Для простоты будем считать частицы бесспиновыми и рассматривать состояние с заданным /. Волновые функции 屮段)везде в дальнейшем нормируем условиями (рассматривается лишь радиальная часть)
加土) L丄e±'U*L〒丿-частицы не
*%->о0 у而 〃заряжены,
2(士)_ 1_ 1 е土£ (%г 厂學+l+a ]n2Vi) — частицы
у五 Г[заряжены..
(1.3)
Здесь Vi — относительная скорость, 財 ——волновой вектор, Г{ — расстояние между 。不 и X?. Такая нормировка отвечает единичному потоку-
через поверхность большой/
сф ер ы.—11a
Какой вид имеет волно- 〃 勿* %修 М3с2 ....尸 вая функция при различных энергиях? Ответить на этоРис- 40-
можно, исходя из физического требования конечности 屮.Рассмотрим область энергий М2с2 > Е > М[С2 (интервал / на рис. 40). Если условиться взять за нуль отсчета энергии величину М^с2 Н обозначить через Q = (М —関)搜 разность энергий
покоя 1-й и 4-й пар частиц, то входящие в (1.3) волновые векторы i-x пар равны
/ (E — Qi)2 吃
也=I/52> m^ = -^ —.(1 .4)
В интервале /(-£"< Q2) все 抬 мнимы:自 = "岛|, кроме 財, который действителен. Поэтому все функции 叫")с / > 1 на бесконечности экспоненциально возрастают» 哪+)(/> 1) экспоненциально затухают, а функции 响土)конечны везде при г >7?.
Таким образом, условие конечности волновой функции на бесконечности можно обеспечить, лишь если положить
修=0 (/> 1).(1.5)
При этом Т при r>R обязана иметь вид
屮=(а件尸 一 р則+))①「£ ₽,<> Фг)(1.6)
т. е. она содержит расходящуюся и сходящуюся волны частиц oi+Xi (первый член), и сумму 2, описывающую экспоненциально затухающие функции остальных каналов. Физически это соответствует тому, что при Е V Q2 уйти на бесконечность могут лишь частицы s и Xi, тогда как все остальные пары 修 + 尤(i>l) при этом значении энергии существовать в свободном состоянии не могут из-за нехватки энергии; они могут лишь виртуально образовываться во внутренней области и немного «вылезать» во внешнюю область (это «вылезание» и описывается экспоненциально затухающими «хвостами» во втором члене (1.6)).
Таким образом, единственный физический процесс, который может происходить в интервале энергий Е <0,2 — это упругое рассеяние частиц а】и X，Во всякой теории волновая функция упругого рассеяния должна полностью определяться заданием амплитуды падающей волны — в нашем случае коэффициента аь Разделим (1.6) на ой и запишем результат как
当=2『R - £ S№+)R. (1.7)
Здесь величины S^i三Bf/ai определяются уже целиком гамильтонианом рассматриваемой нами многоканальной системы. Они, конечно, являются функциями энергии. Определить их можно, лишь если известна волновая функция во внутренней области; сшивая ее и ее производные при г = ^ с (1.7), мы получим уравнения для определения Sib
Закон сохранения числа частиц говорит, что амплитуды падающего и расходящегося потоков должны быть равны. Это сразу дает уже знакомое нам равенство
|Siil=l при 0 < £" < Q2.
Остальные коэффициенты S^ могут быть любыми в пределах определенных неравенств (А. И. Базь, 1966).
Повысим теперь энергию и рассмотрим интервал Qa < Е < Q3 (интервал // на рис. 40). В этом интервале расходятся на бесконечности 屮『)с i > 2, а функции 少广), 少，)и 屮陰)2 всюду конечны при г > R. Поэтому условия конечности волновой функции на бесконечности приводят теперь вместо (1.5) к условию
修=0 при i>2. (1.8)
Амплитуды сходящихся волн двух первых каналов ai и &2 мы можем выбирать произвольным образом. Одно независимое решение мы получим, взяв, например, ai = =1, &2 = 0. Второе решение можно задать условием ai = 0, a2HL Физически ясно, чему соответствуют эти решения. Первое (оно совпадает по виду с (1.7)) отвечает такой постановке опыта, когда сталкиваются частицы 〃i и Xi (сходящаяся волна имеется только в этом канале); в результате их соударения может произойти упругое рассеяние, описываемое амплитудой S”， или реакция 〃i + Х{-^а2 + Х^ описываемая амплитудой S21 в (1.7). Другие частицы с / > 2, хотя и могут образовываться во внутренней области, но на бесконечность расходиться не могут из-за недостатка энергии (часто говорят, что такие каналы закрыты). Аналогично, решение с <%1 = 0, &2 = 1
(17)
описывает физические процессы, происходящие при столкновении частиц 〃2 и Х2； величины Si2 определяются взаимодействием между частицами во всем пространстве, включая внутреннюю область.
Мы приходим, таким образом, к выводу, что в интервале Q2 < Е V Q3, где открыты два канала (т. е. где энергетически возможно существование двух пар частиц: 〃i + М н & + М), имеются две независимые и удовлетворяющие граничным условиям волновые функции нашей системы. Ясно, что независимых решений два и только два, так как если бы их было больше, то, добавляя их к Ti и Т2, мы получили бы, что существует несколько различных решений с одним и тем же значением амплитуд ^ перед волновыми функциями ^"\ Это означало бы, что ход процесса не определяется амплитудами сходящихся волн, т. е., другими словами, что теория не позволяет однозначно описывать процессы соударения частиц, что она неполна. Во всякой физической теории число независимых решений, приемлемых с точки зрения граничных условий, в точности равно числу открытых каналов.
Теперь уже, действуя по аналогии, нетрудно сообразить, что при дальнейшем повышении энергии число независимых решений будет возрастать: в интервале Q3 < < £" < Q4 будут три независимые волновые функции, в качестве которых можно взягь К, Т2 и
屮3 = 2『①3-ES,・3叱+%.(1.9)
В интервале Q4 < Е < Q5 будут четыре независимых решения и т. д. В общем случае в интервале Qm< Е < Qm+1 имеется m независимых волновых функций, в качестве которых можно взять
т^
专=叫т①厂 2 s^^- ^ skj^k(/ & 叫.
(1.10)
Первый член здесь описывает падающую волну частиц Oj + Xj, второй член — расходящиеся волны частиц
di + Xi (i^.m), образование которых энергетически возможно. Наконец, третий член описывает экспоненциально спадающие «хвосты» частиц а^ + Xk (女〉/и), образующиеся виртуально во внутренней области, но неспособные уйти на бесконечность из-за недостатка энергии.
Величины Sij ——амплитуды функций 屮，+)— определяются взаимодействием между частицами. Наиболее важны амплитуды S订 открытых каналов, так как через них, как мы увидим ниже, выражаются сечения рассеяний и реакций. Эти коэффициенты образуют так называемую матрицу рассеяния S仃(/,/<^т) (или S-матрицу). Она имеет m строк и m столбцов, и, следовательно, ее размерность в точности равна числу открытых каналов. С открытием каждого нового канала размерность S-матрицы возрастает на единицу. Наиболее общая волновая ф^ акция имеет вид (мы выписываем только ту ее часть, которая соответствует открытым каналам)
$『$/== -円-4r$『$/== -円-4r卜拽m - % m sm)(d卜
$『$/== -
円-
4r
$『$/== -
円-
4r
①/%叫-)一曲+)gjjSjJ. (1.11)
Вместо того чтобы писать внутренние волновые функции Ф^ частиц каналов, можно условиться записывать Т в виде столбца из 加 чисел:
%屮「)一不51产№产а^2-，~ 252га^2+)аЛ^-З^а^»%屮「)一不51产№产а^2-，~ 252га^2+)аЛ^-З^а^»a 仲卜)-0仲:+)_a22「一也吆+)a 仲卜)-0仲:+)_a22「一也吆+)(1-12)(1-12)
%屮「)一不51产№产а^2-，~ 252га^2+)
аЛ^-З^а^»
%屮「)一不51产№产а^2-，~ 252га^2+)
аЛ^-З^а^»
a 仲卜)-0仲:+)
_a22「一也吆+)
a 仲卜)-0仲:+)
_a22「一也吆+)
(1-12)
(1-12)
где член в первой строке ——это волновая функция частиц первого канала, член во второй строке описывает движение частиц во втором канале и т. д. Вводя квадратные
m X m-матрицыm X m-матрицы
m X m-матрицы
m X m-матрицы
щимися волнамищимися волнами(1.14)(1.14)и столбцы коэффициентов перед расходящимися и сходя
щимися волнами
щимися волнами
(1.14)
(1.14)
можем записать матрицу (1.12) в следующем виде:
屮= 3(-)а — 2(+)р)； 0 = Sa. (1.15)
Связь между матрицами а н В, описывающими амплитуды сходящихся и расходящихся волн, целиком определяется S-матрицей, которая, таким образом, содержит в себе всю информацию о свойствах взаимодействия нашей системы. Точнее говоря, дело обстоит следующим образом. В случае потенциального рассеяния частицы S-матрица вырождается в совокупность чисел Sz = eW)・ В этом случае доказано (И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, 1951), что значения всех фаз рассеяния & (左)во всем интервале энергий 0 < ^ < оо позволяют полностью определить потенциал, т. е. действительно величины Si(k) содержат в себе всю информацию о свойствах системы.
В случае многоканальных систем, однако, аналогичной теоремы, хотя она и кажется самоочевидной, никто еще доказать не смог. Нужно подчеркнуть, кроме того, что фактическое восстановление гамильтониана системы по данным рассеяния представляет очень большие трудности, связанные отчасти с чисто математическими сложностями, а отчасти с необходимостью знать все элементы S-матрицы при всех энергиях. Извлечение этих данных
из опыта — так называемый фазовый анализ ——сопряжено с необходимостью проводить очень тонкие эксперименты.
Сделаем еще одно замечание. Из общего выражения (1.2) следует, что при /■ > R имеется всего 2N независимых решений соответственно 2N постоянным с^ и §小 Каждое из этих 2N независимых решений можно продолжить во внутреннюю область. Рассмотрим интервал Qi < £* < Q2. В нем, как мы знаем, имеется лишь одно физически приемлемое решение. Условия на бесконечности накладывают (N—1) условие (1.5). Одну постоянную &1 мы можем выбрать произвольной, так как она сответствует нормировке волновой функции. Остаются N условий. Это ——условия, накладываемые на волновую функцию во внутренней области. Таким образом, число граничных условий во внутренней области равно полному числу каналов: в случае одного канала этим условием является конечность волновой функции при г = 0. В случае N каналов волновые функции всех каналов должны быть регулярны. Отсюда ——N условий во внутренней области.
Сечения. Унитарность S-матрицы
Формальный аппарат S-матрицы очень полно рассмотрен в работе А. Лейна и Р. Томаса (1958). Поэтому мы ниже ограничимся простейшим случаем бесспиновых частиц.
Пусть энергия заключена в интервале Q^ V Е V Qm+i и мы рассматриваем процессы, происходящие при столкновении частиц 〃『и Xj. Паре частиц 〃『+ Х^ в волновой функции этого процесса отвечает член
叫-)—S^ 三仲尸一吟))一 (％ — 1)电+) (2.1) (в матричной записи этот член находится в /-й строке). (Совершенно аналогично тому, как это делалось во второй главе, мы выделили в первую скобку функцию свободного движения.) Амплитуда рассеянной волны равна Sjj — 1, а сечение рассеяния
“尸专⑵+1)|S〃TR (2.2)
где множитель //+1) возникает благодаря тому,
1 частица
что нормированная на поток I 莅长.^两2 плоская волна
eihfieihfi
eihfi
eihfi
содержит сходящуюся волну 1|>^_)Угт(0, ф) с амплитудой
^iz-4/n(2Z+l),(2.3)
и, значит, расходящийся поток равен
。〃 =I ? 〃т U"⑵+1)(S〃 -1)。〃 =I ? 〃т U"⑵+1)(S〃 -1)22
。〃 =I ? 〃т U"⑵+1)(S〃 -1)
。〃 =I ? 〃т U"⑵+1)(S〃 -1)
2
2
=$(2/+1)同一1|2.
Полученная формула для сечения рассеяния имеет тот же вид, что и в случае потенциального рассеяния. Единственное отличие ——это то, что в случае многоканальных систем матричные элементы |S^|&1 и, следовательно, фазы рассеяния комплексны.
Вычислим теперь сечение ст* реакций Xj(a§, aQX^ / с частица \
При единичном 口 皿丿 потоке сталкивающихся частиц поток расходящихся частиц а$ + Хг через сферу большого радиуса, по определению, совпадает с сечением рождения этих частиц и равен
。*=十 L Un ⑵ +1)s J =负(2/ + I) IS〃 I2. (2.4)
Формулы (2.2) и (2.4) можно объединить, записав сечение процесса %(硏,％)& как
o“ = $(2/+l)|S“一6“ 卩，(2.5)
где 6* — символ Кронекера.
Полученные выше формулы показывают, что сечения всех процессов выражаются через элементы S-матрицы.
Изучение общих свойств S-матрицы является поэтому важнейшей задачей. Сейчас мы ею и займемся.
Прежде всего покажем, что элементы S-матрицы не независимы, а подчиняются определенным ограничениям. Из физических соображений ясно, что в любом физическом процессе общее число частиц должно сохраняться. Другими словами, какую бы суперпозицию волновых функций
^ = 20/^(2.6)
мы ни взяли, сумма потоков частиц, сходящихся к началу координат, должна равняться сумме потоков расходящихся частиц.
Полный сходящийся поток, согласно (1.11), (1.12), равен
/(一)=哥5汽
а полный расходящийся поток (см. (1.11))
m тm т2=2 SifdjSikd^2=2 SifdjSikd^
m т
m т
2
=2 SifdjSikd^
2
=2 SifdjSikd^
Эти потоки должны совпадать при любом значении постоянных &з Приравнивая выражения, стоящие в /") и в /'+)при одних и тех же произведениях &%, получаем условия, налагаемые на S-матрицу:
т
(2.7)(2.7)2团心.
(2.7)
(2.7)
Матрица, составленная из элементов S^, удовлетворяющих (2.7), называется унитарной.
Таким образом, закон сохранения числа частиц приводит к унитарности S-матрицы. Записанное в матричной форме, это условие имеет вид
S+S= 1, т. е. S+ = Qt,S+S= 1, т. е. S+ = Qt,(2.8)(2.8)
S+S= 1, т. е. S+ = Qt,
S+S= 1, т. е. S+ = Qt,
(2.8)
(2.8)
где S+ обозначает матрицу, получаемую из S гранспони-
рованием и комплексным сопряжением. В простейшем случае одноканальной системы (2.8) вырождается в хорошо известное нам условие
S*S = 1.
Обратимость времени. Симметрия S-матрицы
Законы классической механики допускают обращение времени. Под этим понимают следующее. Пусть имеется система из N частиц и их движение описывается координатами и скоростями
勿(/);^(/).(3.1)
В какой-то момент времени t = Т остановим все частицы и пустим их в обратном направлении со скоростями ,
— s(r).
Если так сделать, то система частиц начнет проходить в обратной последовательности все этапы своего предыдущего развития, т. е. координаты и скорости при t> Т будут равны
芯(7 + т)=吃(7 — т); %(Т + т) = —% (7 — т). (3.2)
Для доказательства достаточно рассмотреть уравнения движения. Они имеют вид
加之争П工尸_*儿(3.3)
где 尸——силы между частицами. При этом мы рассматриваем простейший случай, когда силы зависят лишь от взаимного расположения частиц. Если (3.1) является решением этих уравнений, то прямой подстановкой убеждаемся в том, что функции
%«)』一%(-/)；*；(/) = */-/)(3.4)
также являются решениями уравнений движения (3.3). Это и доказывает обратимость времени в классической механике.
В квантовой механике вопрос об обратимости времени ставится следующим образом (Е. Вигнер, 1932). Волновая функция 屮(尤,£) развивающегося во времени процесса должна находиться из уравнения
/若也=岳№，/), (3.5)
где через х обозначена совокупность координат рассматриваемой системы. В момент времени t плотность вероятности и средний импульс равны
(3.6)(3.6)®(爲 /) = 12“,川2,
(3.6)
(3.6)
Р (') = J 2*(%, f) Р 2 (х, /) dx.
Принцип обратимости времени говорит, что наряду с процессом, описываемым функцией 屮(％, f), обязан существовать и обратный процесс с волновой функцией ■фоб (%, f) такой, что
®оа(招”® (%, Т), РоаС)= — Р(Т)・(3.7)
Найдем вид 屮 об. Заменим / на ——/в (3.5) и затем перейдем к комплексно сопряженному уравнению. В результате такой комбинированной операции (3.5) переходит в
访空号二立= H*W*(x, -f), (3.8)
и мы видим, что если Н* = Н、то
也6 (х, t)=屮* (х, — t)(3.9)
является решением исходного у. Ш. (3.5), Это новое решение описывает обратный процесс. Действительно» 吻。6 (%，/)=|2* (招-0 F =⑵(X, T),)
роб(/)н]*ф(招—f) pi|)* (x, — t) dx =|(3.10)
==-[f -ф*(x, -t)p^(x, -0dx\ = -p(-f)・ J
Здесь мы использовали то, что, согласно определению оператора импульса, р = — /й -^ ; р* к — А а среднее значение р ⑴ действительно.
Таким образом, каждому процессу 2(%, f) можно сопоставить обратный процесс с волновой функцией 2。6 (%,/)• Необходимым условием существования обратных процессов является действительность гамильтониана
百* =百. (3.11)
Для системы из ^ бесспиновых частиц, между которыми действуют обычные потенциальные силы, это условие выполняется всегда, так как полный гамильтониан
分=一e翡薩+工乙《一喲Z=1 у 比
действителен. ,
Некоторые усложнения возникают в случае заряженных частиц в магнитном поле. В качестве оператора кинетической энергии теперь надо писать
где 4 ——вектор-потенциал поля厶 на который наложено обычное условие div 4 = 0. Для Т имеем
f包(4V)+—-与42.
Видно, что, в отличие от случая электрического поля, при обращении направления движения частиц мы должны одновременно изменить знак магнитного поля или, что эквивалентно, знак векторного потенциала. Поэтому операция обращения времени должна содержать ком - плексное сопряжение и изменение знака 4 (или поля Я). Как видно из вида Г, гамильтониан при такой операции остается инвариантным:
Н(А)=Н^-А).(3.1 Г)
Для волновой функции Wo6(f), описывающей обращенный во времени процесс, как и раньше, получаем
屮"« П卡(一4
Дальнейшие усложнения возникают при рассмотрении частиц со спином. Пусть, например, спин частиц равен 1/2. Тогда их волновая функция есть столбец
2（%，f）=2（%，f）=5 （X,力）屮2 （%, //5 （X,力）屮2 （%, //
2（%，f）=
2（%，f）=
5 （X,力）
屮2 （%, //
5 （X,力）
屮2 （%, //
где верхняя и нижняя компоненты описывают состояния с $z = 1/2 и $z = —【/а соответственно. Средние значения различных компонент спина в точке х в момент f равны =旷6評=T仲押;）c ：）（：；） = ^仲旭+中押2），
Sy =2+ §内=У （巾兩-2；巾2），
Sz=2*z2 = ^（№ 卩-1 屮2 卩）.
Отсюда мы видим, что переход к комплексно сопряженной функции
屮（X, /）т 2*（%, /）
приводит к состоянию с другим направлением спина: s*， Sgf — Sy> sz —> sz.
С другой стороны, при изменении направления движения частиц на обратное их момент количества движения должен изменить знак. Это ——общее свойство любого момента количества движения, в частности спинового. Такому условию удовлетворяет функция
Для средних значений различных проекций спина в данном состоянии получим
S：（f）= — Sy（_ f）； s；（f） = _ %（_ f）； s：（f） = _ Sn（— £）・
Кроме того, функция 屮 удовлетворяет и другим условиям обратимости:
плотность вероятности найти частицу в точке х:%6（X，/）=（也6（招 £）+屯6（%，/）） = （他 F+应F）N5（X，一）；
среднее значение импульса:
Р°б«)= J dx唸(х, 0Йоб(х> /)=
=J 〃[我а，-/)6吗(招一/) +电(招一方)讪；(招一/升三
一 P (一 /).
Таким образом, функция
2。6(%，/)= 6g (%，— f)
по всем своим признакам должна описывать обращенный во времени процесс. Из уравнения для 屮(居 i)
находим уравнение для фОб：
力 dt— 6y〃 6脚q6 (招 £)•
Поэтому, чтобы 屮06 было решением у. Ш., т, е. чтобы обратный процесс существовал, необходимо выполнение условия
方(4) = 6力 *(—4)%(3.11")
(если имеется внешнее магнитное поле, то при комплексном сопряжении гамильтониана одновременно надо изменить и знак у поля).
Если в 疗 не входит оператор спина частиц, то % и Н коммутируют; в этом случае условия обратимости времени сводятся снова к условиям (3.11), (3.1 lz). Если Н зависит от спина, то требуется дальнейшее исследование. Легко убедиться в том, что взаимодействия типа аН и а/, где Н — магнитное поле, а / — оператор орбитального момента, удовлетворяют условию (3.11").
Этому условию не удовлетворяют члены типа а£, где Е — электрическое поле *).
Присутствие в гамильтониане таких членов означает, что у частицы имеется электрический дипольный момент d в. Таким образом, уже из обратимости времени, как впервые указал Л. Д. Ландау (1957), следует отсутствие электрического дипольного момента у стабильной частицы. Так и обстояло дело до 1964 г,, пока не было никаких экспериментальных указаний (и теоретических соображений) в пользу того, что обратимость времени может в некоторых случаях нарушаться. Тем более неожиданным явилось открытие в 1964 г. в опытах по распаду К-мезонов слабого нарушения обращения времени (Дж. Кристенсон и др.). Из отсутствия точной инвариантности относительно обращения времени следует, что стабильная частица со спином (например, протон или электрон), вообще говоря, должна обладать небольшим электрическим дипольным моментом.
После этого небольшого отступления рассмотрим вопрос о том, к каким ограничениям на S-матрицу приводит обращение времени. Запишем обычное у. Ш.:
"2 (%) = Еф (х). (3.12)
Так как гамильтониан действителен, то, переходя к комплексно сопряженному уравнению, получаем, что при действительной энергии -ф* (х) также является решением уравнения (3.12). (Имеются в виду бесспиновые незаряженные частицы.) Это следствие принципа обратимости времени позволяет установить важные свойства S-матрицы.
Можно рассуждать следующим образом. Асимптотический вид наиболее общей волновой функции многоканальной системы в матричных обозначениях можно записать как (см. (1.15))
會〜固-)_•$(+)印. (3.13)
В силу обратимости времени комплексно сопряженная функция
中*〜[®((3.14) также должна быть волновой функцией нашей системы, т. е. она с точностью до постоянного множителя должна совпадать с 亚 Другими словами, связь между
амплитудами сходящихся и расходящихся волн у Т* должна быть в точности той же, что и у 屯 Умножив выражение в квадратных скобках в (3.14) справа на (—S-1)*, получим
的〜图-)—时+)(*Т)] (3.13，)
Связь между амплитудами будет той же, что и в (3.13), если (S'1) * = S. С другой стороны, мы знаем из (2.8), что S-1 = S+ Поэтому, вспоминая определение матрицы S+, окончательно получаем
(計)* = (§+)* = §тр = §, (3.15)
где STp обозначает матрицу, получаемую из S транспонированием, т. е. заменой S订-* S*. Так как, согласно (3.15), при такой замене S-матрица не меняется, то это означает, что она симметрична (т. е. S^ = S*) и, следовательно,
S+= s*= S-1. (3.16)
Таким образом, обратимость времени влечет за собой симметрию матрицы рассеяния.
В некоторых задачах асимптотику волновой функции удобно задавать не в виде суперпозиции сходящихся и расходящихся волн 屮产)， а в виде стоячих волн:
*=我时）一犷）〜*=我时）一犷）〜(3•⑺(3•⑺
*=我时）一犷）〜
*=我时）一犷）〜
(3•⑺
(3•⑺
Чтобы перейти от системы волновых функций (1.13) к системе функций типа стоячих волн, введем диагональные матрицы:
/ = ；(/)+/)) и 旷=击佈(+)一旷)).(3.1Г)
Выразим теперь 炉土)через ©⑴ и ©⑵ и подставим полу- ценные выражения в общую волновую функцию (1.15).
При этом получаем
①=瓜⑴(1 - §-Ф%■(1 + S)]a = [@⑴一@⑵百h，(3.18) где через R обозначена матрица
^ = z(l +S)(1-S)_,,(3.19)
а 丫 一 новая матрица произвольных коэффициентов, связанная с матрицей амплитуд а перед сходящимися волнами соотношением
^ = (1-S)a.(3.20)
Введенная выше матрица 穴 называется обычно ^матрицей и в выбранном нами представлении стоячих волн играет роль S-матрицы в представлении сходящихся и расходящихся волн, ^матрица обладает рядом важных свойств, вытекающих из унитарности и симметрии S-матрицы. Чтобы получить эти свойства, умножим (3.19) справа на (1—S) и применим эрмитово сопряжение к обеим частям полученного равенства. В результате получим
(1-S+)R+=(1 +S+)(—i)・(3.21)
Учитывая далее, что S+ = S~L умножаем это равенство слева на S и получаем
(-l + S)X+=(l+S)(-f), т. е.
*+ = / (1 + 6) (1 — 寸尸=К. (3.22)
Таким образом, матрица R — эрмитова.
Учтем теперь симметрию S-матрицы, благодаря которой宀 宀
S+ = S .(3.23)
Взяв комплексное сопряжение равенства (3.21), с помощью (3.22), (3.23) получаем
(1一*)欠+* = "1+S), т. е.
齐=元+ Н百.(3.24)
Другими словами, К-матрнца должна быть действительной и симметричной матрицей. Именно то, что условия сохранения числа частиц и обратимости времени принимают такой простой вид в представлении стоячих волн, и делает полезным это представление.
Всякая действительная симметричная т X т матрица имеет 乌(审"D・ независимых действительных матричных элементов, ^матрица определяется характером взаимодействия между частицами. Поэтому мы можем сказать, что вид волновой функции вне радиуса взаимодействия зависит от характера взаимодействия только через посредство т действительных параметров. Эти параметры, конечно, являются функциями энергии.
Если пользоваться представлением стоячих волн, то роль этих параметров играют ———-независимых матричных элементов Л-матрицы. При переходе к представлению сходящихся и расходящихся волн число независимых параметров по-прежнему остается равным ————так как S-матрица однозначно выражается через К-матрмцу. Действительно, из (3,19) следует формула
■§ = (戒+1)(灰-1)т. (3.25)
Упомянем, наконец, что существуют еще ограничения на энергетическую зависимость элементов S-матрицы (А, И. Базь, 1966). Мы не будем, однако, выписывать соответствующих формул, так как, по-видимому, пока нет задач, где они могли бы быть полезными.
Некоторые аналитические свойства S-матрицы
Рассмотрим многоканальную систему 图 + Х〔 (Z = 1, 2,..,, Л/^) и будем обозначать через 局 волновой вектор самой легкой пары частиц。1 + Xi, а через х^ — те значения 尼〔，при которых открывается i-й канал:
В плоскости комплексных kx точкам х2,尤з， ..., хп отвечают точки ветвления элементов S-матрицы. Действительно, элементы матрицы рассеяния S叮 зависят не только от 尼I, но и от волновых векторов частиц всех каналов ^:
ki = V ^-(E-Q^, £ =蒔・
Проще всего это видно из того, чтоПроще всего это видно из того, чтоэлементыэлементыделяются сшиванием 《внутренних》ними, а в последние (屮岸)входят как раз 尼公 а не полная энергия.Таким образом, чтобысделать S订 однозначной функцией комплексной пере- S % менной 拓，в плоскости 迎деляются сшиванием 《внутренних》ними, а в последние (屮岸)входят как раз 尼公 а не полная энергия.Таким образом, чтобысделать S订 однозначной функцией комплексной пере- S % менной 拓，в плоскости 迎функцийфункцийнадо сделать разрезы; мы проведем их так, как изонадо сделать разрезы; мы проведем их так, как изображено на рис. 41. На отрезке (О%2) будет иметься,бражено на рис. 41. На отрезке (О%2) будет иметься,Sjj опрс-с внеш-Sjj опрс-с внеш-как мы уже знаем (см. § 1), лишь одно регулярное во всем пространстве решение, на участке (х2, х3) — два, на участке (х3, х4) — три и т. д.Возьмем теперь какое-нибудь из имеющих физический смысл на участке (尤厶 ％%+】) решений (пусть /</):как мы уже знаем (см. § 1), лишь одно регулярное во всем пространстве решение, на участке (х2, х3) — два, на участке (х3, х4) — три и т. д.Возьмем теперь какое-нибудь из имеющих физический смысл на участке (尤厶 ％%+】) решений (пусть /</):
Проще всего это видно из того, что
Проще всего это видно из того, что
элементы
элементы
деляются сшиванием 《внутренних》
ними, а в последние (屮岸)
входят как раз 尼公 а не полная энергия.
Таким образом, чтобы
сделать S订 однозначной функцией комплексной пере- S % менной 拓，в плоскости 迎
деляются сшиванием 《внутренних》
ними, а в последние (屮岸)
входят как раз 尼公 а не полная энергия.
Таким образом, чтобы
сделать S订 однозначной функцией комплексной пере- S % менной 拓，в плоскости 迎
функций
функций
надо сделать разрезы; мы проведем их так, как изо
надо сделать разрезы; мы проведем их так, как изо
бражено на рис. 41. На отрезке (О%2) будет иметься,
бражено на рис. 41. На отрезке (О%2) будет иметься,
Sjj опрс-
с внеш-
Sjj опрс-
с внеш-
как мы уже знаем (см. § 1), лишь одно регулярное во всем пространстве решение, на участке (х2, х3) — два, на участке (х3, х4) — три и т. д.
Возьмем теперь какое-нибудь из имеющих физический смысл на участке (尤厶 ％%+】) решений (пусть /</):
как мы уже знаем (см. § 1), лишь одно регулярное во всем пространстве решение, на участке (х2, х3) — два, на участке (х3, х4) — три и т. д.
Возьмем теперь какое-нибудь из имеющих физический смысл на участке (尤厶 ％%+】) решений (пусть /</):
4rL①冲)-£s加⑷壮+@“~
e 优円一£ S“(eiA L J%%①"(4.1)
и аналитически продолжим его в верхнюю полупло
скость. Так как разрезы уже проведены, то такое про
ввдолжение однозначно. Функции
в
в
верхней полуплоскости 財 экспоненциально затухают при г—*оо. Отсюда сразу же заключаем, что ни один
из элементов S-матрицы не может иметь полюсов в верхней полуплоскости 也(кроме мнимой оси). Действительно, пусть Sin имеет полюс в точке kr. Разделим (4.1) на Sin> Полученная функция будет, очевидно, являться снова везде регулярной волновой функцией. В пределе kx-^kr эта функция перейдет в £ ~^~ 屮户①紋 которая по условию регулярна при всех г. Таким обра- зом, 2勿 являлось бы в этом случае собственным значением энергии. Но это невозможно для йг, не лежащих на мнимой оси, так как в противном случае собственное значение энергии было бы комплексным, в противоречии с эрмитовостью гамильтониана. Как видно из этого рассуждения, сформулированная теорема распространяется на все без исключения элементы S-матрицы.
Пусть теперь имеется связанное состояние нашей си- 力儘
стемы с энергией £0 = — . Нетрудно видеть (Г. Брейт, 1959), что в точке 拓 =i^0 все элементы S订 имеют полюс, т. е. при k^ikQ ведут себя как
S"=也 Е% ； = const. (4・2)：
В самом деле, р尸 в верхней полуплоскости 財 расходится экспоненциально при больших г. С ледов ател ьно, при аналитическом продолжении функций (4.1) на мнимую ось 拓 этот член должен выпасть при 后 = 恤 Но это может быть лишь в том случае, когда хотя бы одна из величин Sjn обращается в этой точке в бесконечность, так как тогда всю функцию р, можно разделить на обращающийся в бесконечность элемент S；n, и член К~*ф，‘ обратится в нуль при ki = ik^ Вместе с тем очевидно, что если хотя бы один из элементов S-матрицы стремится к бесконечности, то и все остальные элементы S-матрицы стремятся к бесконечности по тому же самому закону. Действительно, волновая функция связан-
ного состояния То должна иметь асимптотический вид
屮。〜工*隰。"叫,п=»1屮。〜工*隰。"叫,п=»1I 啞 1=)/争4Q“ + /), (4.3)I 啞 1=)/争4Q“ + /), (4.3)
屮。〜工*隰。"叫,п=»1
屮。〜工*隰。"叫,п=»1
I 啞 1=)/争4Q“ + /), (4.3)
I 啞 1=)/争4Q“ + /), (4.3)
где сумма распространяется на все каналы. Так как частицы разных каналов могут в принципе переходить в частицы всех других каналов, то все Ап отличны от нуля. Поэтому при аналитическом продолжении функций (4.1) с любым / в точку 法о из выражения для волновой функции должен выпасть только один член *ф『‘ и при этом 4r)—>4% 义 const. Это может случиться лишь в том случае, если все элементы S加 в окрестности точки 隔 имеют вид (4.2), причем, очевидно, для всех / и п должны выполняться равенства
С}п = Ь,Ап V^. (4.4)
В противном случае, используя различные функции 屮卜 мы получили бы разные формулы для волновой функции То связанного состояния. Из формул (4.2) и (4.4) сразу же следует, что детерминант, составленный из вычетов элементов S-матрицы, и все его миноры в точке связанного состояния обращаются в нуль. Что касается полюсов 5办 в нижней полуплоскости 々i, то, как и в случае обычного у. Ш., они соответствуют квазистационарным состояниям системы.
Ряд сведений об аналитических свойствах S-матрицы можно найти также в работе М. Като (1965).
Ограничения на величину вычетовэлементов S-матрицы
Когда в предыдущих главах разбирались свойства величины S = е2t% была установлена верхняя граница для вычета S в точке связанного состояния. Аналогичные теоремы можно вывести и в случае многоканальных систем.
Прежде всего заметим, что закон сохранения числа частиц в случае многоканальной системы, являясь
естественным обобщением одноканальной формулы, имеет вид
4 J " [t I ⑦ “ =,dS (£ 哥仲;Vf W；)} (5.1)
где поверхность S ——это внешняя поверхность объема V, 屯 ——волновая функция частиц /-го канала, т§ — приведенная масса частиц /-го канала.
Переходя на язык матриц, т. е. записывая полную волновую функцию системы как
金=• И 金+ =(寸,"；,...，%),-
перепишем формулу (5.1) в виде
-^ J drt+t = $dS^(屯+府7V屯 _(vN+)而一2),
где
О
0 讨
Если во всех каналах частицы бесспиновые, то из закона сохранения момента следует, что переходы между каналами
Qj + Xj К Q/ + Xj
возможны лишь, если и справа и слева частицы находятся в состояниях с одинаковым /. Для простоты будет рассматриваться только этот случай.
Пусть при заданном / наша многоканальная система имеет связанное состояние с энергией
方%.
4 = 2g；自0 =隔
и нормированной волновой функцией
41
屮2
iE"
〜e 大
Axe~\Mr
4e-&lr
,(5.2)
.Wn
Л^~1^°1г
где I论箱]——абсолютные значения волновых векторов частиц в i・M канале, соответствующие энергии &.
При действительных 论 волновые функции имеют вид
* = (<!)№『-£уаУ ①)％.(5.3)
Используя формулы (5.1) — (5.3), можно точно таким же способом, как и в гл. III, получить формулу
qJ一产切当『—色財。(一1尸匕|力产
"I "々Ci自kj — ik" 一 叫卜4 & —附 ，(•)
связывающую величину вычета диагонального элемента S-матрицы с нормировочной постоянной Aj в волновой функции связанного состояния. Вспоминая формулу (4.4) предыдущего параграфа, находим, что входящая туда постоянная Ь/ равна
&/ = (— 1)Z+I iAj ~^- >(5.5)
где и% — скорость, соответствующая волновому вектору 抬0.
Таким образом, приходим к общей формуле
S"(电)先(5.6)
где вычет С* равен
(5.7)(5.7)
(5.7)
(5.7)
Эта формула является обобщением соответствующего соотношения для одноканальной системы (§ 3 гл. III) и она позволяет установить верхнюю границу для вычетов С*.
Для простоты будем рассматривать случай / = 0.
Если радиус взаимодействия R равен нулю, т. е. взаимодействие точечное, то выражение (5.2) для волновой функции связанного состояния верно всюду, кроме точки г = 0. Условие нормировки имеет вид
£|4|2 帚(5.8) m 1勺。1
Если все 4 =#0, то, очевидно,
(5.9)(5.9)М#<2| 財 °]
(5.9)
(5.9)
и
Л <2 Fй—Л <2 Fй—(5.10)(5.10)
Л <2 Fй—
Л <2 Fй—
(5.10)
(5.10)
причем, в отличие от одноканальной системы, где при R = 0 имеется равенство
1С1 = 2% I,
представляет собой строгое неравенство. Причина этого в том, что в одноканальной системе волновая функция состоит из членов, соответствующих только од- ной паре частиц. В многоканальной системе, однако, 4fo содержит в себе частицы всех каналов, так что на долю каждого канала приходится сравнительно небольшая часть полной волновой функции, что и отражается неравенствами (5.9) и (5.10).
Существенно отметить, что данные о рассеянии и реакциях, из которых можно в принципе извлечь все величины S*, позволяют с помощью (5.6), (5.7) найти в учеты С" путем аналитического продолжения S^ в
комплексную плоскость и, следовательно, — нормировочные постоянные 4. Таким образом, данные о непрерывном спектре дают возможность восстановить структуру связанного состояния.
Если радиус взаимодействия R отличен от нуля, то формула (5.2) верна только при r>R. Из условия нормировки получаем аналогично тому, как это делалось в § 3 гл. III, что
2|Л^Т|1Пе_21&/о1/?<1«(5」1)
/ I KiQ I
Al
и неравенства (5.9), (5.10) делаются более слабыми:
|4|2V2闻防陷 |R,(5.12)
|C〃|V2|響上咨人电)1+因。IK⑸13)
Наиболее важным следствием этого является то, что, сравнивая экспериментально полученные величины С* с неравенствами (5.10), (5.13), можно в принципе оценить величину радиуса взаимодействия.
Выражение для S-матрицы.
Ее связь с /^-матрицей
В общем случае “-канальной системы S-матрица зависит от ~N(N + 1) параметров. Как правило, об этих параметрах ничего не известно, так как, прежде всего, мало изучены взаимодействия между частицами. Известно, однако, что эти взаимодействия обычно велики по абсолютной величине и имеют малый радиус действия. Поэтому обычно реакцию рассматривают происходящей в три этапа: 1) частицы налетают друг на друга, но до тех пор, пока расстояние между ними больше радиуса реакции R, они не взаимодействуют (кулоновское взаимодействие пока не учитываем); 2) при r《R взаимодействие сразу становится большим и образуется так называемая промежуточная система и
промежуточная система разлетается, и когда расстояние между образовавшимися частицами становится большим чем R, взаимодействие сразу исчезает.
Оказывается, что, используя такую картину, можно получить довольно сильные теоремы о поведении сечений рассеяния и реакций. Но для этого необходимо выразить элементы S-матрицы через значения волновых функций и их производных в области г V R. Эта задача впервые была решена П. Капуром и Р. Пайерлсом (1938) и Е. Вигнером, и Л. Айзенбудом (1947). Лэйном и Томасом (1958) был написан очень подробный обзор на эту тему.
Идея заключается в следующем. Пусть система имеет ^ открытых каналов & + Х「Вне области реакции, т. е. при r>R, переходы Xi + ai-^Xj + а^ между каналами невозможны по самому определению радиуса реакции.
Наиболее общую волновую функцию при г > R запишем в матричном виде как
о
о咪 。о咪 。啮）啮）V"V",(6.1),(6.1)
о
咪 。
о
咪 。
啮）
啮）
V"
V"
,(6.1)
,(6.1)
где матрица-столбец v состоит из произвольных чисел Vi, а *ф『)и *ф；+)——волновые функции, описывающие сходящиеся и расходящиеся волны частиц t-го канала.
В области реакции г < R также имеется N регулярных решений. Обозначим их значения и значения их
屮尸
а〃
а/2
<1 а%
(/ == 1, 2, ..., Af)・
修川
производных при г = R через
(6.2)
Наиболее общее решение при какНаиболее общее решение при какг < R можем записатьг < R можем записать(6.3)(6.3)
Наиболее общее решение при как
Наиболее общее решение при как
г < R можем записать
г < R можем записать
(6.3)
(6.3)
Матрица 2 опять произвольна. Аналогично запишем и выражение для производной как
中從三上4明.(6.4)
Сошьем волновые функции и их производные на границе, Имеем два матричных уравнения
(6.5)(6.5)审& =（巾（Т_@（+）$9,讨％ =（旷）'一/）'$ R .
(6.5)
(6.5)
Из них элементарно получаем
S^R^-^T1^-^,(6.6)
где 底1—квадратная матрица:
(6.7)(6.7)自=审，审Т.
(6.7)
(6.7)
Таким образом, первая часть задачи выполнена: связь S-матрицы с волновыми функциями во внутренней области установлена. Остается найти свойства матрицы R.
Известны два свойства S-матрицы — ее унитарность и симметрия:
S7 = S+； s+ = s*.
Исходя из этих уже известных соотношений, можно найти свойства введенной матрицы R， Элементарные вычисления показывают, что унитарность S-матрицы приводит к соотношению
石府=М^Л(6.8)
где М ——диагональная квадратная матрица масс:
0
о
а гщ — приведенная масса частиц z-го канала. Второе свойство S-матрицы — ее симметрия — приводит к действительности матрицы 庵
兄=8.(6.箱
На этом этапе удобно ввести новую матрицу Е：
R^RrM.
Из свойств 反 1 видно, что новая матрица А действительна и эрмитова. Другими словами, ее элементы действительны и симметричны при перестановке индексов:
Rik = Rik = &入(6.9)
Это означает, что ^-матрица целиком определяется
————действительными параметрами.
В случае двухканальной системы, например, это число равно трем:
6一( R" R12)灭= 512 R22 广
Соответственно только через три действительных параметра выражается и S-матрица — уже известный нам результат.
Рассмотрим для иллюстрации двухканальную систему. Формула (6.6) приводит в этом случае к следующему выражению для элементов S-матрицы:
Su =方亲｛RM/ -/屮『‘）©2喏）一吗暝'）一
-R 沁了圖+）｝，
>2 =^21=万方,
(6.10)(6.10)S* = 0^7 ｛（S押2 -叫屮了'）曲22屮袋-m2^y）-
(6.10)
(6.10)
- R/J 時）,
D =誌?｛（R1MJ-m阳吟代22時）-仅2屮r‘）一
-R冲時）х
В случае систем с числом каналов, большим чем два, выражения для элементов S-матриды получаются более громоздкими, но структура их остается той же самой. Они имеют вид дроби, числитель и знаменатель которой являются полиномами ЛЛй степени (N ——число каналов) от внешних волновых функций 屮；士) и их производных, взятых при г = R
Среднее время жизни состоянийнепрерывного спектра
В § 10 гл. VII мы решали задачу о том, каково среднее время, проводимое рассеиваемой частицей вну- три сферы радиуса а, вне которой потенциал равен нулю. Сейчас мы решим аналогичную задачу для случая многоканальной системы и посмотрим, как многоканаль- ность влияет на время жизни. Полученные в предыдущих параграфах формулы позволяют полностью решить эту проблему.
Итак, пусть у системы есть N каналов % + 匕 (i — 1, 2,..., JV), из которых только первый с z = 1 открыт в рассматриваемом нами интервале энергий. Единственным энергетически разрешенным процессом является упругое рассеяние
Qi + Xi —* &1 + Х[・(7,1)
Спрашивается, каково для этого процесса среднее время, в течение которого частицы системы находятся внутри сферы радиуса г = а? Радиус R области, в которой происходят переходы из канала в канал, предполагается меньшим чем Q.
Чтобы измерить Гц, воспользуемся тем же приемом, что в § 10 гл. VII: будем считать, что внутри сферы г — а имеется слабое однородное магнитное поле Н, направленное по оси 2, а у всех частиц & (i — 1, ..., W) имеется магнитный момент 卩=^s (один и тот же для всех /). Сталкивающиеся частицы будем считать поляризованными вдоль оси 无 Внутри области взаимодействия сталкивающиеся частицы Qi + X】могут перейти в любую другую пару q女 + X女(尼=1,..., N), которая в свою очередь может превратиться в следующую пару az + Xi и т. д. Но эти переходы не будут влиять на работу наших《дасов》(т. е. на прецессию магнитного момента вокруг направления Н), так как по условию все % имеют одинаковый магнитный момент р,. Поэтому время жизни Тн можно определить как
где 0 — угол между направлением р. и осью х, определяющей направление ушедшей на бесконечность частицы Qi, а 8 = —^частота вращения спина в магнитном поле.
Чтобы вычислить 0, заметим следующее. В S-матрицу, описывающую процесс (7.1), входят величины двоякого рода (см. (6.6)): а) элементы 2?-матрицы, которые зависят только от взаимодействия между частицами внутри области реакции; б) функции 時^ и 唠令, зависящие только от поведения частиц в разных кана-
лах вне области реакции (напомним, что ф；±) нормированы их асимптотическим поведением
時^~時^~丄_e±GT)停7，丄_e±GT)停7，
時^~
時^~
丄_e±GT)
停7，
丄_e±GT)
停7，
Везде дальше будем считать, что граница между внешней и внутренней областями проходит по поверхности сферы г — а, внутри которой действует поле Н.
Хотя по условию открытым является только первый канал, нам надо учитывать существование всех остальных (N—1) каналов. Это будет достигнуто, если для элементов S-матрицы мы будем пользоваться формулами § 6, которые верны вне зависимости от того, сколько из каналов открыто при рассматриваемой энергии. Нам будет удобно поэтому рассматривать полную N X N матрицу S, хотя процесс (7.1) описывается лишь одним ее членом.
Пусть известен вид S-матрицы в отсутствие поля*):
S =④+)_ R^+}Tl(^~}- R®㈠) (7.2)
Введение поля внутри сферы г = а эквивалентно изменению энергии частиц внутри этой сферы. Для частиц со спином вдоль Я ⑶ = %) вместо энергии Е входит теперь Е + ц/7, а для частиц со спином против поля ⑸ н—1/2) входит Е—ц//. Это приводит к изменению элементов 7?-матрицы:
R*fRm 士世Н 号* для sz = ± у .
В то же время《внешние》функции 屮(士)при введении магнитного поля при г < а не меняются. Таким образом, S-матрица для состояний с s2= ±V2 превращается в
*土m嘉三[/)一伍±园請沪t X
x[®㈠-伍±財信/[,(7.3)
где -^- — обычная производная по энергии, а 養 означает, что при дифференцировании S все《внешние》величины считаются постоянными.
Так как ^-матрица может быть выражена с помощью (7.2) через S,尹)и @声，то 器 также может быть выражена через эти величины. В результате простых вычислений получаем
~4 (s -旷)^+yl)祭冗一%(+)侨㈠尸(s+/)④+广),
(7.4)
где k — диагональная матрица волновых векторов, величины У и У должны вычисляться на сфере г — а.
Волновая функция сталкивающихся частиц 弘 + 冗 есть (g направлен по оси х)
Волновая функция образовавшихся в реакции частиц S + Xi есть, очевидно,
△（+）屯△（+）屯S" +財普］Su-財号，S" +財普］Su-財号，= sMJ= sMJ
△（+）
屯
△（+）
屯
S" +財普］
Su-財号，
S" +財普］
Su-財号，
= sMJ
= sMJ
(7.5)
Такая спиновая функция отвечает углу между р. и осью х, равному
6 = 2財Im （击端■卜
Поэтому среднее время жизни Гц равно (А. И. Базь, 1967) )
方Im (击囁).(7.6)
В дальнейшем нам понадобится явное выражение Тц для двухканальной системы (/ = 0). В этом случае S-матрицу можно всегда записать как
S (/眦(仇+d)аё* /(7.7)
(эта матрица симметрична и унитарна, если аир действительны и а2 + р2 = 1). Используя (7.4) и (7.6), легко получаем
Т11 =告 Im {z•(倉 + а)-姦(ае22а+6 一 1 е-2Цм^ + + 悬濟电 а+6，)}; (7.8)
здесь 尼1, Vi и 尼2, и? — волновые векторы и скорости частиц в первом и втором каналах соответственно.
ГЛАВА IX
ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Как показывает опыт, все взаимодействия между частицами (кроме кулоновского) обладают сравнительно малым радиусом действия, но велики по абсолютной величине. Это свойство позволяет сделать ряд важных предсказаний о поведении сечений различных процессов. Наиболее полно этот вопрос был исследован Е. Вигнером (1948). Он рассматривал систему с несколькими каналами
di + Xi Qj + Xj
и показал, что, пользуясь лишь короткодействием ядер- ных сил, можно в общем виде вычислить энергетическую зависимость:“
сечений упругого рассеяния Х[(а厶 *)Х〔 при малых энергиях рассеиваемых частиц,
сечений реакций ХМ&, а))Х)при малых энергиях начальных или конечных частиц.
Эти результаты были значительно расширены в по「 следние годы, так как оказалось возможным решить общую задачу об энергетической зависимости сечения процесса Xi(a^ aj)Xj вблизи порога любого другого процесса Xi (fli, dk)Xk.
Энергетическая зависимость сеченияупругого рассеяния при малых энергиях
Пусть взаимодействие V между частицами q и X имеет конечный радиус
Рассмотрим состояние, в котором q и X имеют заданный орбитальный момент /, причем г > R. У. Ш. для умноженной на г радиальной части волновой функции
^t(r) s rRi(r) при r>R имеет вид (пока рассматри? ваем нейтральные частицы)
^ + ^-^^-)^^0,(1.1)
где 々=}/ —*2волновой вектор относительного движения частиц а и X, Е — их энергия в системе центра масс, а т ——приведенная масса. Наиболее общее выражение для %е в этой области можно записать так:
у") = A^^^kr}- SJ盼旷)(В)],(1.2)
где 4 и S — некие постоянные, зависящие от k (или от Е), a ^±} — пара решений, имеющих на бесконечности асимптотический вид расходящихся и сходящихся волн:
時汽既)==(醫3" [(-1)"/-口+%)(砌土 〃中//說)], 财 土)(砌〜言■号).(1，3)
Здесь J±(z+i/2)— это обычные функции Бесселя. Нормированные таким образом функции описывают, падающую (—)и расходящуюся ( + ) волны, соответствующие единичным потокам через сферу большого радиуса.
При r = R решение (1.2) должно сшиваться с регулярным решением при г V R. Во внутренней области энергия частиц Е входит в уравнение движения только в виде суммы (Е + V) с большим по величине ядерным взаимодействием. Поэтому внутренняя волновая функция у(°)должна лишь слабо меняться при малом по сравнению с V изменении энергии.-
В первом приближении можно считать, что严‘|-
не зависит от Е.
Условие сшивания, таким образом, имеет вид 电т-S吻+)',
飞二)一询炉…=z f const. (1.4)
Учитывая, что при 也，О旷)(砧〜(県『находимУчитывая, что при 也，О旷)(砧〜(県『находим(2/-i)ii ,(2/-i)ii ,(々#+% -(々#+% -⑵+1川『⑵+1川『(1.5)(1.5)_ 电一）'一押广） 57 -中"-沌+）_ 电一）'一押广） 57 -中"-沌+）-1~(竅产+1 lR-1~(竅产+1 lR
Учитывая, что при 也，О
旷)(砧〜(県『
находим
Учитывая, что при 也，О
旷)(砧〜(県『
находим
(2/-i)ii ,
(2/-i)ii ,
(々#+% -
(々#+% -
⑵+1川『
⑵+1川『
(1.5)
(1.5)
_ 电一）'一押广） 57 -中"-沌+）
_ 电一）'一押广） 57 -中"-沌+）
-1~(竅产+1 lR
-1~(竅产+1 lR
откуда для сечения упругого рассеяния получаем следующую энергетическую зависимость:
6 =⑵+1).2— 1 |2 二尸〜炉，(1.6)
т. е. при малых Е рассеяние нейтральных частиц происходит только в состоянии с нулевым орбитальным моментом. Парциальные сечения с /¥=0 обращаются в нуль при 々-*0. Физически этот результат очевиден; он описывает отталкивающее действие центробежного барьера.
Если а и X — электрически заряженные частицы с зарядами с】и е2 соответственно, то в уравнении (1.1) появляется кулоновский член
%2 +[居 一1^一槊詩]y財=0.(1.7)
Общее решение этого уравнения при г > R по-прежнему можно записать в форме (1.2);*ф；±), однако, теперь выражаются через кулоновские функции:
2产(?) = ^^ ⑹(Т), р) ± iFt (т), р)]〜
〜」/'("-券 ТМ2配+*, (1.8)
где "н^-，Р =々г, G/ и F'i ——нерегулярная и регулярная кулоновские функции соответственно, а т)г — кулоновская фаза. Общее решение при r> R запишем как
屯=А КС- 0 + (1- S* 鬥.(1.9)
Если А/ положить равным 备 Уи (2/+l)i%叫，то первый член совпадает с коэффициентом при Л (cos 0) в точной волновой функции, описывающей кулоновское рассеяние. Как известно из теории рассеяния в кулоновском поле, эта функция содержит рассеянную волну (которую надо домножить на Л (cos 0), чтобы получить амплитуду рассеяния в состоянии с моментом /):
壶『1П 2 矶⑵ + 1)旧项-1).(1.10)
Второй член в (1.9) соответствует дополнительному ядерно му рассеянию, и чтобы получить полную рассеянную волну, его надо добавить к (1.10). При этом сразу получаем для полной амплитуды рассеяния в состоянии с моментом /
% =諸，叫-1 + е?项(S, - Di 巳(cos 6). (1.11)
При 々->0 (k > 0) кулоновские функции ведут себя как 尸&3)'+1,
J岳漳+2水就严閲。")]，
где Q(r)——некоторая гладкая и не зависящая от k функция г, по порядку величины равная единице, а
С/= Со 门2工г Z + n2)(22 + 們• ••俨 + т)2)№,
r _ Г 2лт)(L13)
Из условия сшивания (1.4) получаем
S - 1 = — 2力否飞—- •(1.14)
石-z +瓦•(Q-zQ)
Как видно из разложений (1.12), основная энергетическая зависимость содержится в множителе
(财产+1(2/+1)
1+2n (砌 〃+1 你у。/(Г)
(1.14')
При достаточно малых fe, когда 唄，》〃，эта формула упрощается, так как из (1.12) и (1.13) тогда следует:
尸1〜 const石I产厂11 •尸1〜 const石I产厂11 •(1.15)(1.15)
尸1〜 const
石I产厂11 •
尸1〜 const
石I产厂11 •
(1.15)
(1.15)
Для одноименно заряженных частиц Т)> 0 и
IS/-1 丨^ 普弋 е*.(1.16)
В случае разноименно заряженных частиц Т)< 0 и
I S[ — 1 ]弋 const.(1.16,)
Любопытно, что правые части (1.16), (1」6‘) не зависят от / в случае т)2》Р. Физическая причина этого кроется в том, что центробежный потенциал (〜1/尸)спадает гораздо быстрее кулоновского (1/г), так что именно последний играет решающую роль.
Парциальное сечение рассеяния равно
。尸专⑵ + 1) I (产2 - 1) + 产2 (S/ - 1) 12 =
=叠⑵ + 1){4sin2m — 2Re[(S/_ l)(e2^-l)] +
+ I Sz - 1 j2} = af + a(» +стр. (1.17)
Первый член здесь ——это чисто кулоновская часть рассеяния. Кулоновская фаза при малых k стремится к бесконечности:
用=貝用=貝Г (/ 4- 1 4- IT])Р，+ i-州Г (/ 4- 1 4- IT])Р，+ i-州〜-Т)+^(/+百啬.〜-Т)+^(/+百啬.
用=貝
用=貝
Г (/ 4- 1 4- IT])Р，+ i-州
Г (/ 4- 1 4- IT])Р，+ i-州
〜-Т)+^(/+百啬.
〜-Т)+^(/+百啬.
Поэтому of при 々т 0, осциллируя, стремится к бесконечности как k~2 при всех 厶
Второй член в (1.17), описывающий интерференцию между ядерным и кулоновским рассеянием, также является осциллирующим. По порядку величины он равен
'与е-гя» в случае отталкивания,可)〜:(1.18)
¥ в случае притяжения,
о烈一чисто ядерная часть сечения — монотонно меняется с изменением энергии:
— отталкивание, 噌~ ](1.19)
声 —притяжение.
Таким образом, ядерное рассеяние (о,)+ о俨)в случае одноименно заряженных частиц экспоненциально мало при 々一＞0 по сравнению с кулоновским (of) и полностью маскируется последним. В случае кулоновского притяжения все три члена в (1.17) одного порядка величины.
Характерной чертой формул (1.18), (1.19) является то, что в них не входит /. Это справедливо в области П?力/4 что эквивалентно условию
£《(赞)7靄•(L2。)
При более высоких энергиях формулы (1.18), (1.19) при данном / становятся неприменимыми.
Энергетическая зависимость сеченийдвухчастичных реакций при малых энергияхначальных или конечных частиц
Пусть при столкновении двух частиц а и X, кроме упругого рассеяния, возможна также и реакция
а + X —► 6 + У,(2.1)
в которой образуются частицы 6 и У. Как и выше, будем сначала рассматривать случай нейтральных бесспиновых частиц. Если через г обозначить расстояние между а н X, а через а — расстояние между д и У, то вне радиуса взаимодействия волновая функция системы в состоянии с моментом / должна иметь вид (в тех же обозначениях, что и выше)
4 {[О)- S也？⑺]①(а, X)-叫喧)(М)① © У)}, (2.2) где выражение в квадратных скобках описывает падающую и рассеянную волны частиц а + X (см. (1.2)), а последний член — расходящуюся волну образовавшихся
в результате реакции частиц 6 + У. Ф(/, /)——произведение внутренних волновых функций частиц i и /. Здесь М° — некая функция 財 а 嗯？ — это то решение у. Ш. для частиц д + У), которое на бесконечности ведет себя как
咽(厶)
(々2 и и?——волновой вектор и скорость частиц 6 + У). Точное выражение для 也*) дается формулой (1.3), в которой надо заменить г на 门，fe на ^2 и m на т* — приведенную массу пары b + Y.
Рассмотрим случай, когда реакция идет с поглощением энергии (Q > 0), т. е. когда она возможна, только если энергия частиц а + X (в системе ц. м.) Е > Q. При этом энергия образующихся частиц % + У равна £—Q, и ^2 и ^2 равны
局=/巨尊迈；吋然. (2.3)
Волновая функция (2.2) при с = R должна непрерывным образом сшиваться с внутренней волновой функцией, и именно условия сшивания определяют значение величин S/ и Мь Функция во внутренней области нам неизвестна, так как характер взаимодействия не конкретизировался. Известно, однако, что она конечна. Это означает, что при г — R должно быть конечным и произведение M/d?(R)・ При fe2-*0 ①广)〜々J"%', и для конечности произведения необходимо, чтобы было
М出〜蔬岔〜论产.(2.4)
Сечение реакции
。产К =当⑵+1)1m『〜々尹L(2.5)
Таким образом, вблизи порога рождения двух медленных нейтральных частиц их образование происходит в основном в состоянии с / = 0.
Найдем теперь энергетическую зависимость обратной реакции
6 + Y^a + X(2.6)
при малых энергиях Е2 частиц b + У. Сечение этой реакции, как известно, равно
啜р = £⑵+1)|М|2
и определяется тем же самым элементом матрицы рассеяния М, что и прямая реакция. Для энергетической зависимости сразу же получаем
о；бр ~ 磅-1.(2.7)
局->0
При малых 々2 реакция идет в основном в состоянии с / = 0, а сечение реакции
0()~靑.(2.8)
Это — известный «закон 1/и》，описывающий энергетическую зависимость захвата ядрами медленных нейтронов.
Так как основную роль играет состояние с / = 0, то сечение поглощения или образования медленных частиц сферически-симметричны.
Энергетические зависимости (2.5) — (2.7) определяются исключительно видом волновых функций (pj+) медленных частиц в состоянии с данным орбитальным моментом и условием конечности волновой функции системы; от свойств быстрых частиц эти формулы не зависят. В частности, а и X могут быть даже заряженными частицами.
Дело существенно меняется, однако, если заряженными являются медленные частицы.
В этом случае (р：+) выражается через кулоновские функции:
①产=誌^0 +匐
и с помощью (1.12), (1.13) получаем;
13*
заря-заря-(2-9)(2-9)для реакции Х(а, 6) У (образуются медленные женные частицы)
заря-
заря-
(2-9)
(2-9)
。产=津2/+1）的”*備〜
е-2л», если ft и У одноименно заряжены, const, если 6 и У разноименно заряжены;
для реакции У(6, а)Х (сталкиваются медленные заряженные частицы)
1 11 1I, если д и У одноименно заряжены, если 6 и У разноименно заряжены.
1 1
1 1
Условие применимости этих формул — то же, что и в случае упругого рассеяния заряженных частиц (формула (1.20) предыдущего параграфа). Характерной чертой является независимость от / величин ① при rj?》庐・ Причина этого ——та же, что и раньше: кулоновский барьер гораздо《шире》центробежного, и поэтому последний играет при малых энергиях лишь сравнительно небольшую роль. Если частицы 6 и У одноименно заряжены, то сечение их захвата или рождения экспоненциально мало и независимость cq от / не играет большой роли.
В случае разноименно заряженных частиц, однако, положение меняется, так как сечения а/ с / ¥= 0 не малы, и даже при очень малых энергиях в реакции принимает участие большое число парциальных волн. В результате сечение сохраняет угловую анизотропию вплоть до самых малых энергий, в отличие от случая нейтральных частиц.
Другой любопытной чертой сечения образования медленных разноименно заряженных частиц является то, что сечение оказывается конечным, начиная с самого порога. В точке порога, таким образом, сечение должно скачком
обращаться в нуль. На самом деле, конечно, скачка не происходит. Дело в том, что образование заряженных частиц сопровождается испусканием у-квантов, и учет этого обстоятельства, как показал В. М. Галицкий, приводит к хотя и очень крутому, но плавному (не скачкообразному) спаду сечения к нулю при 辰 fQ Таким образом, в этом случае сечение очень быстро возрастает при удалении от порога реакции, приближаясь к постоянной.
Для удобства ниже приводятся табл. 1 и 2, в которых сведены все результаты этого и предыдущего параграфов.
Т аблн ц а 1
Рассеяние медленных частиц
Между а и X нет кулоновского взаимодействия
а и X одноименно заряжены
а и X разноименно заряжены
0/ =。； +。?)+ *)
。；=晉sin』
%〜卢
0?)〜e一2产5 X
X (осциллирующий множитель) 噌~е一2e-4m
сР^^Х
X (осциллирующий множитель) &2)~1
Т а б лица 2
Реакции, в которых участвуют медленные частицы &У и быстрые частицы аХ
Между & и У иет кулоновского взанмодействия
b н У одноименно заряжены
Ь к У разноименно заряжены
У (仇 。) X
X (а, Ь) У
°,〜货be』” 立〜e-2^
5 〜const
Все результаты этого и предыдущего параграфов справедливы, если, ядерное взаимодействие V достаточно
быстро спадает с расстоянием. Можно показать, что достаточным условием является экспоненциальное спадание
V 〜
Г -» ОО
со сколь угодно малым параметром а. Везде ниже мы будем считать это условием выполненным, хотя в большинстве случаев оно и является слишком жестким.
До сих пор мы считали частицы 6 и У бесспиновыми. Все приведенные выше результаты, однако, определяются исключительно видом радиальных волновых функций и не зависят от спиновых функций. Поэтому все пороговые энергетические зависимости (табл. 1 и 2) непосредственно переносятся на случай частиц со спином.
По поводу пределов применимости всех этих формул можно сказать следующее:*
при их выводе предполагалось, что величины (типа г в (1.4)), связанные с внутренней областью "VR), не зависят от энергии;
для внешних волновых функций использовались их предельные выражения (1.5) и (1.12).
Первое из этих предположений зависит от характера рассматриваемой задачи, и его справедливость должна исследоваться в каждом конкретном случае.
Что касается второго предположения, то здесь можно высказать более определенное суждение:
разложения (1.5) справедливы при 々R《1, т. е. они справедливы в интервале энергий
方2(АЕ)。< ~2^2
вблизи порога,
разложения (1.12) справедливы в интервале
Иногда, например, в случае заряженных《странных》частиц оказывается, что
(АЕ)а》(АЕ%.
При этом возникает следующая любопытная ситуация: непосредственно вблизи порога (£： < (АЕ)ь) все энерге-
тические зависимости имеют «кулоновский» вид. Однако при (АЕ)ь < Е V (АЕ)а кулоновским взаимодействием можно пренебречь и сечения следуют законам, характерным для нейтральных частиц.
§ 3. Энергетическая зависимость сечения рассеяния
X (а, а) X вблизи порога реакции X (а, 6) У;
X, a, b, Y — бесспиновые нейтральные частицы
Как мы сейчас увидим, сечение упругого рассеяния имеет весьма специфическую энергетическую зависимость вблизи порога реакции % (а, 6) У (Е. Вигнер, 1948; А. И. Базь, 1957; Г. Брейт, 1957). Четыре возможных типа зависимости изображены на рис. 42. Их изучение позволяет получить много сведений о спинах и четностях частиц X, a, b, Y и о взаимодействии между ними.
Будем считать, что при относительной энергии Я частиц Хна, меньшей Ец, возможно только упругое рассеяние Х(а, а)Х, а при Е> Еп становится энергетически возможной реакция Х(а, &)У, и волновая функция соответственно этому имеет асимптотический вид 'е^г + Leik}r ^ 2ГН (5^ _ 1} р 1 ф (а> х) +
+ 諾工⑵+ 1)M/P@(b，y)]/!F・(з・1)
Здесь ①& 尼)обозначают внутренние волновые функции пары частиц i и 论；拓 и 论2 ——волновые векторы относительного движения пар а, X и Ь, У; v\ и 力一соответствующие скорости, а 尸七——полином Лежандра. Первый
член в (3.1) описывает упругое рассеяние, а последний — реакцию. Матричные элементы рассеяния и реакции S； и Mi связаны между собой соотношением унитарности
|Sj + |MzP=l,(3.2)
выражающим закон сохранения числа частиц.
Ниже порога частицы Ь, У не могут разойтись на бесконечность из-за недостатка энергии. Последний член в (3.1) в этом случае описывает экспоненциально затухающие 《хвосты》：々2 в этом случае мнимо, k2 ^ i\k2\ и е‘局门=е-I 晶［门.Закон сохранения числа частиц (т. е. равенство сходящихся и расходящихся потоков) имеет при этом вид
1812 nL(3・2)
Как мы видели в предыдущем параграфе, сечение реакции около порога зависит от энергии следующим образом:
^ёак =刍⑵+力m,『〜處+1
и, следовательно, м = m 咫+%, где /п? — некая постоянная. Подставляя эту формулу в (3.2), находим для Е > Eg
\ Si \ i — ^\ mi l2^4"^(3・3)
т. е.
$ = Sf)(l『鷹+1),(3.3，)
причем J S/0) |=1. Матричный элемент Se является аналитической функцией энергии, и поэтому разложение (3.3Л) должно быть справедливым и при Е < £口, где нет неупругих процессов и где |S/| = 1. Так как ниже порога 々2 мнимо, то с точностью по крайней мере до членов порядка 々^+1 ниже порога также выполняется равенство S/0) | = 1. Таким образом, равенство |S?)|=1 справедливо как выше, так и ниже порога и, следовательно, S^ можно записать как е"% , где фаза 6?) действительна как выше, так и ниже порога, т. е. при действительных и
при мнимых 局.Это означает, что 6?)содержит только четные степени 尼2：
№ (砌=货(0) +忌а+
Непосредственно вблизи порога (辰R《1, где 7?—радиус реакции) можно пренебречь всеми степенями 屉 выше первой и считать, что
So(fe) = e2feo(l -^lm0l2^); S侵Me?% (3.4) где через & обозначено значение фазы б/0) в точке порога. Таким образом, вблизи порога можно все Si с /喚О считать постоянными, тогда как So является здесь линейной функцией 尼2・
Зная энергетическую зависимость величин S厶 можно вычислить и энергетический ход сечения упругого рассеяния вблизи порога:
аУп(9, E) = lf(8, E)P = |f(e, ^п)-4^-e2№|m0^2|2 =
=Ступ (0, Еа)~ 亲)/^(6, £口) %(I 々21) х
(sin (2б0 - а) при E>En,
X I cos (260 — a) при £ <£n.'
Здесь Gyn (6, fin)—дифференциальное сечение упругого рассеяния X (a, a) X в точке порога, a = a(6)——фаза амплитуды рассеяния при Е =七口：
f(6, E^^e^\f{^ Еп)|,
а пн (I ^21) = ~т I ^о I21 ^21 совпадает с полным сечением
реакции, если Е > &
Вблизи порога ан (| ^21) пропорционально р2|, а все остальные величины можно считать не зависящими от энергии. Таким образом, 0舛(6, Е) является вблизи порога линейной функцией | ^21 〜У^Е —Ец|； все возможные формы энергетической зависимости изображены на рис. 42.
Отметим важное обстоятельство, с которым мы еще не раз столкнемся: форма сечения упругого рассеяния
вблизи порога содержит очень много информации о свойствах нашей системы.
Действительно, как функция от | k^\ сечение аул линейно меняется по обе стороны от порога. Измерив наклоны по обе стороны от порога и зная величину сечения о(6,七口)в пороге, можно с помощью (3.5) определить 26о — а(0) и сечение реакции 值(|應|)・ Так как, кроме того, известна величина
1〃е, Еп)|=]/^йёГ^,
то мы знаем и величину
е-2必〃仇 е/ 三 с-(妣-a)I f (0,丛)I, разложение которой по полиномам Лежандра непосредственно определяет значения всех фаз рассеяния 6/. Нетрудно убедиться в том, что при этом не возникает никаких неоднозначностей, освободиться от которых при обычной процедуре фазового анализа можно, лишь зная сечение рассеяния при всех энергиях от 0 до 8.
Для полного сечения упругого рассеяния (3.5) дает
sin260 при Е>Еа, ayn(£) = ayn(£n)-2a„(|fe2|) 1也2阮 прн Е<Еа, (3,5，)
т. е. в этом случае возможны лишь два типа энергетической зависимости (типы а и 8)на рис. 42.
Пределы применимости формул (3.5), (3.5‘) определяются очевидными условиями, вытекающими из приведенного выше вывода: матричный элемент реакции MQ должен быть пропорционален 磁，а его квадрат должен быть мал: |Мо|2《]. Оба эти условия можно считать выполненными, если MR《1, что и определяет область энергий вокруг порога, где применимы (3.5), (3.5，)：
局《页，т.ё.局《页，т.ё.方22mR'方22mR'(3.6)(3.6)
局《页，т.ё.
局《页，т.ё.
方22mR'
方22mR'
(3.6)
(3.6)
Еще одним условием является отсутствие резонансов промежуточной системы вблизи порога, так как в этом случае резонансная фаза Во будет быстро меняющейся функцией энергии, и разложение, аналогичное (3.5), будет иметь более сложный вид.
§ 4. Физика явлений вблизи пороганеупругого канала
Остановимся теперь на физическом смысле полученного нами результата. Формально точка порога является особой точкой (точкой ветвления) уравнения, описывающего свойства нашей системы, так как при £ < £п это уравнение имеет только единственное решение, соответствующее рассеянию Х(а, а)Х, а выше порога (Е > Еп) имеются уже два независимых решения соответственно двум возможным условиям на бесконечности: 1) сталкиваются частицы а. X и 2) сталкиваются частицы &, У. Ясно поэтому, что в самой точке порога волновая функция системы должна иметь какую-то особенность. В физическом характере этой особенности легко разобраться, рассматривая асимптотическое выражение для волновой функции (3.1). Оно состоит из двух частей, описывающих пары частиц а, X м Ь, У. Ниже порога частицы Ь, У, образовавшиеся при столкновении а, X, не могут уйги друг от друга из-за недостатка энергии. Вне области реакции их плотность убывает экспоненциально и равна
1 心 121 方,Y^dr^ e-21 財1 г"恤]2 (号)d% (4.1)
При приближении к порогу 々2一 0, и «облако» из частиц Ь, 匕 пространственное распределение которых пропорционально е-21 局I 门,расплывается на все большее расстояние от области реакции. Другими словами, радиус промежуточного состояния, образовавшегося при столкновении а, X, и относительное число частиц Ь, У в нем при приближении к порогу безгранично растут. Соответственно растет и время жизни промежуточного состояния.
При прохождении через точку порога экспоненциальные хвосты е-1 局丨门 превращаются в расходящиеся (е»晶门) волны частиц 6, У, что соответствует возможности существования свободных частиц Ь, У при Е > %
Таким образом, непосредственной причиной пороговых аномалий надо считать безграничное «разбухание» промежуточной системы при приближении к порогу снизу.
Этот качественный вывод можно подтвердить прямым расчетом (А. И. Базь, 1967) по формуле (7.8) гл. VIII для времени Гц, проводимого нашей системой в сфере радиуса г = R*, где Ri больше, чем радиус взаимодействия между частицами.
Матрицу рассеяния запишем как 宀 / ae2idi 用6£(仇+")) S 一(弟级(仇+&)0e2‘&/ '
Из предыдущего анализа мы знаем, что
при F > Fn
a н (1-Y 局)，6 = (2Y 后产，62 = vfe2> 加=6拉，
при Е<Еа
а=1, ^ =д10~ у?1^21> & =押1局 I, Р2 = /2у I ^21,
где б10, 丫 =万| /WoF и V — постоянные.
Подставляя эти величины в (7.8) гл. VIII, находим, что ниже порога
二{ ^j d-е/ 耘 1 的+v))-击 sin 2 (拓 R + 仇)} •(4.2)
Единственными быстро меняющимися функциями энергии в этой формуле являются |v21 и \k2\. Поэтому энергетическая зависимость 7\i(Ri，Е) ниже порога целиком определяется первым членом в (4.2). При фиксированном Rt этот член монотонно растет с приближением к порогу. Качественный характер зависимости Тц от энергии изображен на рис. 43. Максимального значения Тн достигает в точке порога.
Формула (4.2) дает время Ta(Ru Е), проводимое системой внутри сферы г = R】. Но мы уже видели выше, что радиус промежуточной системы безгранично растет (как l/|fe2| при приближении к порогу снизу). Поэтому 7H (Ri, Е) меньше истинного времени жизни промежуточного состояния, так как часть времени промежуточная система обладает радиусом, большим чем R»
Чтобы понять, как зависит истинное время жизни от энергии, надо взять Ri》1/|々2丨・ В этом случае при изменении энергии на АЕ время, проводимое системой внутри сферы г = Ri, изменяется на
(Тн (R, Е + АЕ) —Тц (&, Е)) rc8>Y(J^J " у~У (4・3) где [ v^l — абсолютная величина скорости, соответствующая энергии Е + АЕ. Очевидно, что формула (4.3) дает
Исправления к стр. 397
В предыдущих параграфах уже говорилось, что изучение формы пороговых аномалий в сечениях позволяет получить много информации о свойствах системы. Особенно ярко это проявляется в случае частиц со спином.
Рассмотрим два наиболее важных случая, которые помогут нам увидеть все характерные особенности, возникающие в случае частиц со спином (А. И. Базь, 1957; А. И. Базь, Л. Д. Пузиков, Я. А. Смородинский, 1962).
Пусть а н X — бесспиновые частицы, спин У равен $, а спин Ъ ——половине. При этом возможны два случая:
Р(а)Р(Х) = P(b)P(Y)(尸(i) —четность частицы £). Вблизи порога 6 и У образуются в состоянии с орбитальным моментом Z = 0, т. е. с полным моментом / = =s ± i/厶 Поскольку предполагается, что четности начальных и конечных частиц одинаковы, реакция Х(а, Ь)У возможна, только если а + X имеют четный орбитальный момент /1, равный либо s + '/2, либо s ——% (в зависимости от того, какое из этих чисел четно). Соответственно этому условие (3.2) будет теперь связывать М° не с So, а с S/p и вместо (3.4) мы получим
& = е2%(1 — ^|/По|2局)；S/ = e2i%(/*/|).
Сечение рассеяния имеет теперь следующий вид:
(Туп (0, Е) = ауп(0, EJ-誥 /ауп(0, Fn)aH(| 局 I) (2厶 + 1) X
nsin (26Z1 - а) при E>%
XPi(cos6){ e(5.1)
' I cos (26/( — a) при E<En,
и мы видим, что аномалия в сечении, описываемая вторым членом в этой формуле, исчезает при тех углах, где Р/,= 0. Это позволяет найти величину 厶 и тем самым найти спин частицы У.
Случай Р(а)Р(Х) =—P(b)P(Y) отличается or рассмотренного только тем, что значение 厶 теперь нечетно. Так как P2n + i (cos yj == 0, а 2% (cos 皆)啜 0, факт исчезновения пороговой аномалии при 0 = у (в системе ц. м.) сразу же позволит сказать, что четности начальных и конечных частиц разные, а если пороговая аномалия под этим углом не пропадает, то четности одинаковы.
Изучение пороговой аномалии, как видно из (5.1), позволяет получить много сведений：
отношение наклонов кривой сечения до и после порога определяет величину (26/,—а(0));
угловое распределение дает модуль амплитуды рассеяния |f (0, £п)[；
угловое распределение аномального члена в (5.1)
после этого позволяет найти величину 厶，а затем найти все фазы упругого рассеяния;
абсолютная величина аномалии дает величину полного сечения реакции он；
четность и величина 厶 дают сведения об относительной четности пар а, X и bt Y и определяют величину спина частицы У. Особенно перспективен такой метод определения четности в физике《странных》частиц.
Таким образом, подробное изучение сечения упругого рассеяния вблизи порога не только сильно облегчает задачу фазового анализа и делает ее однозначной, но н дает массу сведений о неупругом канале.
Если бы спин частицы b был равен не '/2, а какому-то /, то, как легко видеть, единственным усложнением явилось бы то, что аномальный член в (5.1) пришлось бы заменить суммой таких же членов, соответствующих всем значениям 瓦 допустимым законами сохранения момента и четности. Это усложнило бы анализ, но не уменьшило количество получаемых из опыта по рассеянию сведений.
Другим случаем, который мы рассмотрим, является случай, когда спины есть и у падающих частиц. Пусть, к примеру, спин а равен V2, спин X равен нулю, а относительно 6 и У будем, как и выше, считать, что их спины равны % и s.
Отличный от нуля спин а вносит существенные усложнения в формулы, так как теперь для обоих значений полного момента / = s ± V2 рождающихся частиц можно найти два значения 厶 и 厶 орбитальных моментов пары а, X нужной четности, таких, что со ответств ующи е моменты /1 = /1 ± % и ,2 =为 土，2 равны s + % н s — % соответственно. Таким образом, реакция может идти через оба орбитальных состояния и, следовательно, описывается двумя матричными элементами Ms+i/2 ^ М\ Ms-“尸 М"、Линейная зависимость от fe2 около порога возникает поэтому в двух орбитальных состояниях:
(5.2)(5.2)S*/2 =产尸" (1 -号 I 加"2)；
(5.2)
(5.2)
Теперь уже по известным формулам легко вычислить сечение и поляризацию частиц а, X:
ауп(0, E) = |g(6, E)^ + \h(Q, Е)卩，
乡(0, Е) = 2 Im [九(0, E) g* (仇 F)]/ayn (0, E),
g(e, e)= ^-』[(/ + i)(s：+% —1)+
/(5.3)
+/(s『％_ i)m,
九(6, E)=嘉工[sL _*+%]&)•
Если, например, внутренняя четность частиц до и после реакции одинакова и если s нечетное, все S] вблизи порога можно считать постоянными, кроме
5产=62成：1-号1〃可，/尸s+1,S”％ = e2"；+%(l-^“|2),/2 = s-l,
и из (5.3) получаем
g(Q, E) = g(仇 Ец) +
+ 眷[I //У 1^1Г'，грц + I 加〃|2 & + ])^'，гр^ f h (0, E)=
=九@ En)-鲁[I“|2**-%)+ Im〃|2e脸+%)],(5.4)
где, как и раньше,々】и 尼2 ——волновые векторы относи- тельйого движения частиц аХ и bY соответственно, а Р? — присоединенный полином Лежандра. Подставляя (5.4) в (5.3), легко получить энергетическую зависимость сечения и поляризации. При этом получается уже знакомый результат, что и сечение рассеяния, и поляризация имеют особенности в точке порога. Обе величины являются линейными функциями |局| вблизи по-
рога, и поэтому опыты при данном угле 0 позволяют определить шесть величин: Оуп (0, £п),乡(6,七口) и наклоны а и ^ по обе стороны от порога. Анализ экспериментальных данных при этом не так уж прост, но из него, тем не менее, по-прежнему можно определить четность и спин частицы У, получить значения сечений о：土％ и, кроме того, вычислить фазы упругого рассеяния 6厶
Ответ на вопрос, почему опыты вблизи порога дают такую богатую информацию, заключается в том, что вблизи порога вместо какой-либо одной величины (сечение, поляризация, ...) измеряются три: сама эта величина и ее производные по 出| по обе стороны от порога, выражающиеся через фазы рассеяния в точке порога. Таким образом, вблизи порога эксперимент дает втрое больше уравнений для определения неизвестных, чем обычно.
Пусть, например, частица а (спин %) рассеивается на X (спин 0). Если в рассматриваемой области энергий все неупругие каналы закрыты, то, как хорошо известно, для проведения фазового анализа необходимо измерить под всеми углами сечение рассеяния и поляризацию частиц а. Если же какие-то из неупругих каналов открыты, то фазовый анализ возможен, только если, кроме упругого канала, изучены и все открытые при этой энергии неупругие каналы. И даже в этом случае фазовый анализ оказывается неоднозначным. Положение существенно облегчается, если изучить область вблизи какого-то порога.
Пусть это первый порог, т. е. при Е < Еп возможно только упругое рассеяние. Измерив сечение до и выше точки порога, мы получим три уравнения для фаз рассеяния. Таким образом, измерение поляризации оказывается излишним, так как из трех уравнений, полученных при измерении о, можно получить все фазы 8, и по ним уже вычислить поляризацию (при обычном методе мы имеем два уравнения для фаз: измеренные значения о я 俨).В более сложном случае, когда имеется несколько неупругих каналов и фазы рассеяния комплексны, измерение сечения и поляризации вблизи пороговой области позволяет определить эти фазы, не изучая наряду с упругим и все другие открытые каналы.
Таким образом, области вблизи порога являются выделенными и в том смысле, что сравнительно простыми средствами в этих областях можно получить очень много информации.
§ 6・ Обобщение на случай многих каналов
Во всех рассмотренных выше случаях мы считали, что имеются лишь два связанных друг с другом канала (а,Х и Ь, У). На практике, однако, часто приходится встречаться с проблемой большого числа каналов. Примером тому может служить большинство ядерных реакций, а также реакции между странными частицами. Мы поэтому сейчас рассмотрим общий случай многоканальной системы (А. И. Базь, Л. Б. Окунь, 1958). Пусть имеется N + 1 пара частиц « = 1, 2(N + 1)), могущих переходить друг в друга:
а* 十 X» ^^ йу + X/.
Будем считать, что каналы пронумерованы по величине их пороговой энергии Е： (т. е. наиболее низкой энергией покоя обладает канал аь Х〔； при повышении энергии открывается канал 〃公% и т. д.). Свойства такой системы описываются (N + 1)-рядной матрицей рассеяния 8ц (/,/ == 1, 2, ..., У + 1).
Изучим энергетическую зависимость элементов матрицы рассеяния в области вблизи порога (N + 1)-го канала. Сечение процесса if равно az/ =-^-| 5f/ —6Z/1, ki
где ki ——волновой вектор в i-м канале (мы предполагаем для простоты, что все частицы ——нейтральные бесспи- новые и рассматриваем лишь случай нулевого орбитального момента. Обобщение на спины и орбитальные моменты тривиально, хотя и громоздко). Вблизи (^+ 1)-го порога все S“n+i)имеют вид S/ (Лг+1)== tn^\ S%+i, %+i =1, где nii ——постоянные, а 々三 论n+l
Закон сохранения числа частиц приводит к унитарности S-матрицы, т. е. между ее элементами существуют соотношения
где немой индекс пробегает все открытые каналы. Обратимость времени обусловливает симметрию 5-матрицы:
S»& = S^・(6.2)
Пользуясь этими общими свойствами и известным видом Si ^+1), найдем энергетическую зависимость всех элементов S订 вблизи порога (N + 1)-го канала. Разложим все Sij с i, j Ф N + I по степеням k (ограничимся двумя первыми членами):
s〃 = S(* + a“k.(6.3)
Так как все S” являются аналитическими функциями, это разложение справедливо как выше, так и ниже (N + 1)-го порога. Ниже порога открыто N каналов, k мнимо (々=订悶)и условие унитарности имеет вид
各(S费 + gjl 々 I)(S雷一a^kl) = 6im. (6.4)
В точке порога (k = 0) оно сводится к
£ S壯駕* = б/т.(6.5)
Выше порога (论=|々|) необходимо учитывать новый открытый канал и условие унитарности имеет вид
2 ®7 + a 或)(S窓 + 曦々)+ 色m* = ""(6.6)
/ = 1
Из всех этих равенств элементарно получаются следующие выражения для коэффициентов а仃：
а订=—^mg・(6.7)
Эта формула и решает задачу, поставленную в начале этого параграфа. Действительно, она позволяет найти энергетическую зависимость всех сечений 仃订 вблизи порога (^+ 1)-го канала (напоминаем, что мы
для простоты выкладок ограничиваемся случаем нулевого орбитального момента):
“"=令I S订—6订 |2=о订(E%+i)+*Re [(6订—S後｝mimjk\ =
Re [& - S歹)电⑵]
=。订(Елг+1) + 言即=。订(Елг+1) + 言即при Е>En+i,(6 8)
=。订(Елг+1) + 言即
=。订(Елг+1) + 言即
при EVE%*,
% н т§ с точностью до фазовых множителей пропорциональны корням квадратным из Омлг+i)左一】и а/(N+\)k~[ соответственно.
Таким образом, пороговая аномалия в процессе i」j тем больше, чем больше сечения и, следовательно, чем сильнее взаимодействия ^-^(^ + 1) и /-*(^ + 1). Это открывает богатую возможность исследования взаимодействия между какой-либо парой частиц по энергетическим зависимостям реакций между другими частицами.
Основной итог можно сформулировать следующим образом. В точке порога сечения всех процессов i-* / имеют особенности типа, изображенного на рис. 42. Изучение этих особенностей сулит получение богатой информации.
§ 7. Форма особенностей вблизи порога рождениязаряженных частиц
Мы видели выше, что величина пороговых особенностей в сечении упругого рассеяния Х(а, а)Х тем больше, чем больше сечение порогового процесса Х(а, Ь)У・ Именно поэтому вклад в образование особенностей вблизи порога рождения незаряженных частиц дает лишь канал рождения Ь, У в состоянии с / = 0, ибо при
/片0 рождение подавлено./片0 рождение подавлено.так как, чтобы вылететь из
/片0 рождение подавлено.
/片0 рождение подавлено.
области реакции, 6 н У должны проникнуть сквозь центробежный барьер.
В случае одноименно заряженных частиц b и У сечение их рождения вблизи порога из-за существования
§ 7] ФОРМА ОСОБЕННОСТЕЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РОЖДЕНИЯ 405 кулоновского барьера мало даже в канале с / = 0. Никаких пороговых особенностей в упругом сечении возникнуть в этом случае не может.
Положение существенно меняется, если & и У — разноименно заряженные частицы, и этот случай требует специального рассмотрения (А. И. Базь, 1959). Подход, изложенный в § 3, оказывается здесь неприменимым, так как, если точка порога Е — Еи в случае нейтральных & и У является простой точкой ветвления, и разложение для 5, полученное выше порога, остается справедливым и ниже порога, то в случае заряженных 6 и У это уже не так. Точка £口 является теперь существенно особой точкой, так как в кулоновском поле имеется бесконечное количество связанных состояний, сгущающихся в точке Ец・ Разложения всех физических величин выше и ниже порога имеют теперь совершенно различный вид. Поэтому требуется более детальное рассмотрение проблемы. В соответствии с этим приходится делать ряд предположений о свойствах нашей системы, так как одного закона сохранения числа частиц оказывается недостаточно.
Мы будем предполагать ниже, что все взаимодействия между частицами (кроме кулоновского) равны нулю вне некоего радиуса R, о котором везде ниже будет говориться как о радиусе реакции. Одного этого предположения оказывается достаточно для установления вида пороговых особенностей.
Как известно из общей теории реакций, волновая функция, соответствующая процессу
имеет вне радиуса реакции вид (мы ограничимся пока рассмотрением лишь одного парциального состояния, в соответствии с чем ниже выписана лишь радиальная часть):
屮= №■)-Sa評(+)]①(a, X)-S/+)①(6, У), (7.1) 严'一это радиальные функции частиц a 十 X, имеющие асимптотический вид ~ -^= е± "匕，(р(+) — радиальная
функция частиц b + Y:
Saa и Sab — элементы матрицы рассеяния.
Из предыдущей главы мы знаем, что в случае двухканальной системы элементы матрицы рассеяния зависят от взаимодействия в области реакции (г < R) только через посредство трех действительных параметров. С их помощью нужные нам элементы S-матрицы можно представить в виде (см. примечание к стр. 377):
.屮㈠(1-心小:)(1-%卢)-此声〉
— /(Ум%)”％/)-*”，
=2(+)<p(+) . (]_心小小(]一凡仆)_此小鹏
Здесь та = (十) , т = (+) — логарифмические 2’ l=R ①r=R
производные волновых функций на радиусе реакции, 论 ——волновой вектор пары b + У, R施 ——«внутренние» постоянные (элементы /^-матрицы), которые определяются характером взаимодействия при г W R; R访，屮(±) и % можно считать практически постоянными, тогда как Ф<+)и т здесь очень сильно зависят от энергии (точка 左口 является обычной, ничем не выделенной для R泳， 屮仕)и та, тогда как для 屮什)и т эта точка является существенно особой). Поэтому мы перепишем (7.2) в виде
Sab= (^-^ , (7.2') 1 — т/Д qp(+)A — т
где все медленно меняющиеся величины собраны в постоянные б, С и Д и ясно видна зависимость от «быстрых» величин т и(р(+). Величины Sa& и Saa удовлетворяют, конечно, условию унитарности, которое при такой записи сводится к действительности дик соотношению ImA= -閏.
Чтобы найти вид энергетической зависимости упругого сечения, надо знать логарифмическую производную т выше и ниже порога. Для ее вычисления нельзя пользоваться формулами （1.12）, так как они справедливы лишь выше порога, когда fe > 0. Вместо этого надо воспользоваться общим выражением для кулоновской функции, которое остается справедливым и ниже порога. Это выражение имеет вид
①仗）（г） = ~^е “п 22 УГ （/ + 1 + it）） Г （/ + 1 — /т]） х
++X e疗总^+
+
+
工 2’ г（ W；（篇）R （g） •漳（什 S） 7 （р + S）-唄S + 1 ）］ + S«o
,у /1 r（s）r（g-s）r（p） I
Здесь z = —2kr; q — I + i + ix^ p = 2/ + 2, Г — это Г-функция, а 屮一ее логарифмическая производная. Выше порога （々 > 0） функция ①伊）превращается в
，^ （以z + 力0e）•
При |fe|-*0, гf const из （7.3） можно получить следующее приближенное выражение для т:
Z+lj 2Z + 11 I
т { 1 - 7+г T+FJ *（7・4）
где g -—не зависящая от энергии постоянная,
（7.4，）（7.4，）冗（2&п）"+1
（7.4，）
（7.4，）
⑵+1）， а
/ = -^ [In （— 2/" + 屮（/ + 1 + й]） — In I 2feqr |].
В случае разноименно заряженных частиц т] = ■^•VO выше порога; ниже порога, где и = "и|, ix\ < 0. Пользуясь тем, что при больших значениях аргумента ^-функция ведет себя как
屮(lay)〜In w
]W ->8
при неотрицательных w и как
屮(5)〜In(— w) — л ctg
I W I ->oo
для действительных отрицательных w, получаем
[' при Е>£п,
IT1 |~ооI (-l)zctginT] при ЕСЕц.(
Выше порога t——постоянная, а ниже порога бесконечное количество раз обращается в бесконечность:
(-l)ZctginT] = (-l)/+1 ctg л ]/ з辟-(Z：_e) •
Энергии Еп, при которых ctg обращается в бесконечность, определяются условием
ElE" =朽 2方 ,(7•6)
где n ——любое целое число. Эта формула совпадает с формулой для энергии кулоновских связанных состояний пары b + У, которые существовали бы, если бы между 6 и У не действовали никакие силы, кроме кулоновских.
Рассмотрим теперь поведение упругого сечения. Элемент 5-матрицы 5аа можем записать как
^аа =^аа =а+ ВЬа+ ВЬShSh
^аа =
^аа =
а+ ВЬ
а+ ВЬ
Sh
Sh
где а = а] + /аг и р = Pi + i§2 — комплексные постоян^ ные, скомбинированные очевидным образом из постоянных А и 6 в (7.2‘) и постоянных, входящих в формулу для т (7.4)・
Выше порога t — i и сечение рассеяния Х(а, а)Х рав но
■营⑵+D噸⑵+川^一■营⑵+D噸⑵+川^一.(7.7).(7.7)
■营⑵+D噸⑵+川^一
■营⑵+D噸⑵+川^一
.(7.7)
.(7.7)
Сечение реакции Х(а, b) Y
%=亳⑵+1)(1-2卩)=育⑵+1){1一|^『卜
(7.8)
Оба сечения не зависят от энергии, так как ka ——волновой вектор частиц а + X ——можно считать постоянным в области вокруг порога.
Ниже порога возможно только упругое рассеяние. Его сечение имеет бесконечное количество резонансов, которые сгущаются по мере приближения к точке порога:
黄⑵+1)|&-1|2 =黄⑵+1)|&-1|2 =2冗2冗⑵+l)(l—ReS,) =⑵+l)(l—ReS,) =
黄⑵+1)|&-1|2 =
黄⑵+1)|&-1|2 =
2冗
2冗
⑵+l)(l—ReS,) =
⑵+l)(l—ReS,) =
=手⑵+I)sin2*,
a2十 B2 (一1)‘” $ctg Л6Z = arctgСИ + Bi (-1)/ + 1 gctg 冗a2十 B2 (一1)‘” $ctg Л6Z = arctgСИ + Bi (-1)/ + 1 gctg 冗6储加2#『E-En|e：e；/n6储加2#『E-En|e：e；/n(7.9)(7.9)2 第 |Е-ЕП]2 第 |Е-ЕП]
a2十 B2 (一1)‘” $ctg Л
6Z = arctg
СИ + Bi (-1)/ + 1 gctg 冗
a2十 B2 (一1)‘” $ctg Л
6Z = arctg
СИ + Bi (-1)/ + 1 gctg 冗
6储加
2#『E-En|e：e；/n
6储加
2#『E-En|e：e；/n
(7.9)
(7.9)
2 第 |Е-ЕП]
2 第 |Е-ЕП]
Физическая причина появления резонансов заключается в следующем. Если бы частицы & + У не были связаны с каналом а + X и между ними действовали бы только кулоновские силы, то при энергиях, определяемых условием (7.6), существовали бы связанные состояния пары b + У. Связь с каналом а + X делает эти состояния нестабильными относительно распада на а + X.
При этом в сечении Х(а, а)Х -возникают резонансы, соответствующие этим квазистационарным состояниям.
Положение резонансов определяется условием 6 =
=откуда следует:
ctgn / 2方2 Л 斗)=(-D'l■詁(7.10)
Это условие не совпадает с (7.6), т. е. резонансы оказываются несколько сдвинутыми относительно положений водородоподобных уровней (7.6). Это и должно происходить, так как между b и У действуют не только кулоновские силы.
Вычисленная из (7.10) плотность уровней р(Е) (число резонансов на единичный интервал энергии) равна
Р (Е) = ^Р (Е) = ^1 (Еп-Е)%1 (Еп-Е)%(7.П)(7.П)
Р (Е) = ^
Р (Е) = ^
1 (Еп-Е)%
1 (Еп-Е)%
(7.П)
(7.П)
она возрастает по мере приближения к порогу. С другой стороны, усредненное по некоторому интервалу 2АЕ сечениеона возрастает по мере приближения к порогу. С другой стороны, усредненное по некоторому интервалу 2АЕ сечениеЕ+АЕ"=Ur J* "Е (Е)=Е—АВ==+l)Re丄j宀Е+АЕ"=Ur J* "Е (Е)=Е—АВ==+l)Re丄j宀a+ 63 ■a* + 6*3.a+ 63 ■a* + 6*3.
она возрастает по мере приближения к порогу. С другой стороны, усредненное по некоторому интервалу 2АЕ сечение
она возрастает по мере приближения к порогу. С другой стороны, усредненное по некоторому интервалу 2АЕ сечение
Е+АЕ
"=Ur J* "Е (Е)=
Е—АВ
==+l)Re丄j宀
Е+АЕ
"=Ur J* "Е (Е)=
Е—АВ
==+l)Re丄j宀
a+ 63 ■a* + 6*3.
a+ 63 ■a* + 6*3.
十叩-Re^]十叩-Re^](7.12)(7.12)
十叩-Re^]
十叩-Re^]
(7.12)
(7.12)
оказывается не зависящим от энергии. Это означает, что ширина уровней по мере приближения к порогу уменьшается как (七口一Е)%. При интегрировании в (7.12) надо учесть, что при \Si\< 1, i(ap — a*p)> 0.
Любопытно отметить, что усредненное по энергии сечение обладает свойством непрерывности: сравнение (7.12) с (7.7), (7.8) показывает, что as == а^ где s == =a$ + Or — полное сечение выше порога *). Качествен-
но поведение сечении вблизи порога изображено на рис. 45.
Заметим, что с увеличением / ширина уровней уменьшается, а положения резонансов приближаются к значениям, даваемым формулой (7.6) для чисто кулоновских уровней. Физическая причина этого в том, что при /》1 вероятность найти частицы близко друг к другу мала, а стало быть, мала и вероятность перехода b + Y а + X. Таким образом, время жизни ква-
ILIL£п ЕРис. 45.£п ЕРис. 45.зистационарных состояний с ростом / растет, и это приводит к уменьшению ширины. Количественные оценки можно получить из (7.9), (7.10), заметив, что с ростом / постоянная g быстро стремится к нулю.
IL
IL
£п Е
Рис. 45.
£п Е
Рис. 45.
Легко оценить величину интервала энергий 6Е, где сечение рассеяния
имеет резонансный характер. Он должен быть по порядку величины равным энергии связи первого кулоновского уровня частиц 力 + У, т. е.
6ё^m。2(需)2・(7.13)
Для «странных» частиц 6Е ^ 0,1 Мэв, так что все специфически кулоновские эффекты разыгрываются в этом сравнительно очень узком интервале. В то же время условие kR《 1 остается выполненным в интервале порядка десятков Мэв вокруг порога. Ясно поэтому, что хотя вблизи самого порога доминируют кулоновские эффекты, несколько дальше от порога окажется применимой развитая в предыдущих параграфах теория для нейтральных частиц.
В задачах атомной физики ситуация обратная: область, где 论R《1, гораздо меньше, чем б£.
Везде выше предполагалось, что рассматриваемая система имеет лишь два открытых канала. Нетрудна
обобщить все полученные выше основные результаты на случай многих каналов. Сделать это можно, заменив формулы для S-матрицы на более общие, выведенные с учетом многоканальности. Формулы эти довольно громоздки, и мы их выписывать не будем. Достаточно сказать лишь, что физическая картина остается без изменений: характер особенностей остается точно таким же, как и в случае двухканальной системы, и они имеются у сечений всех процессов Х^（〃厶 〃；）Х力 возможных в области порога.
Учет спинов частиц проводится тривиально и также не дает ничего нового.
Изложенная в этом параграфе теория находит особенно частое применение при изучении атомных столкновений вблизи порогов перезарядки типа Л + В —* —> Д+ + В~ или при изучении атомного фотоэффекта 4 十 丫一2—十4+ вблизи порога ионизации. В последнем случае, в частности, наличие сгущающихся к порогу резонансов в сечении уже давно установлено экспериментально.
Другим примером может служить рассеяние ц-мезо- нов на ядрах вблизи порогов неупругого рассеяния мезона. Опыты с ц_-мезоном могут оказаться особенно интересными, так как расположение и форма подпороговых резонансов в сечении рассеяния ^--мезонов позволит хорошо измерять отклонение потенциала от чисто кулоновского, т. е. измерять форму распределения заряда в ядре.
ГЛАВА X
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Задача нескольких тел гораздо богаче по содержанию, чем задача двух тел. Это делает задачу многих тел очень привлекательной, так как она позволяет описать гораздо более широкий круг реальных явлений, которыми приходится заниматься в атомной и ядерной физике и в физике элементарных частиц. Однако за это приходится дорого платить: задачи многих тел оказываются несравненно более трудными для решения, чем задача двух тел. И дело здесь совсем не в том, что из-за большего количества переменных численное решение уравнений требует большой затраты труда. Главная трудность заключается в усложнении аналитической природы решения задачи многих тел по сравнению с задачей двух тел. Причина этого в том, что система многих тел может при одной и той же энергии находиться в нескольких существенно р азных состояниях (иногда говорят — имеет несколько каналов). Одним из проявлений этого является то, что возникает физическая неоднозначность решений уравнения Шредингера. Есть и ряд других трудностей.
Все это привело к тому, что разработка методов решения задачи нескольких (более чем двух) тел заняла много лет. Мы не будем перечислять все работы, посвященные задаче нескольких тел. Отметим лишь главные этапы. При этом мы ограничимся простейшим случаем задачи многих тел ——задачей трех тел, так как все специфические особенности многотельных задач в ней проявляются достаточно четко. Первая серьезная попытка корректно решить задачу трех тел для частного случая равных масс и точечных взаимодействий между
частицами (см. § 9 гл. IV) была предпринята Г. В. Скорняковым и К. А. Тер-Мартиросяном в 1956 г. Они встретились с целым рядом трудностей, часть из которых им удалось преодолеть, а остальные были разрешены в последующих работах (см., например, Г. С. Данилов, 1961, Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, 1961 А, Б).
Полное математическое исследование задачи трех тел было завершено лишь в 1960 г. (Л. Д. Фаддеев, I960). В частности, было показано, как надо обходить главную трудность многочисленных задач ——физическую неоднозначность решений уравнения Шредингера, связанную с существованием нескольких каналов. Задача ^ тел была рассмотрена методом Фаддеева в работе О. Я- Якубовского (1967).
Ниже излагается квантовая теория рассеяния для задачи трех тел в том сравнительно простом виде, который она приняла в настоящее время. Основное внимание при этом обращается на физические особенности задачи трех тел, а не на математические тонкости. Сначала излагается общая теория. Последние параграфы этой главы посвящены применению общей теории к некоторым упрощенным модельным задачам, имеющим практический интерес.
Обозначения
Рассмотрим систему трех нерелятивистских бёсспи- новых чатиц 1, 2, 3 с массами mb т?, т3. Потенциал взаимодействия между i-й и /-й частицами обозначим v^(ri — rj). Уравнение Шредингера (у. Ш.) имеет обычный вид:
( з 2 з ]
,—£ %+ ^ Un (ri — r^ — E^ir^ г2> гз) = 0- (LI)
I I 1 i > / J
Ниже почти всегда будет удобнее работать в импульсном представлении. При этом везде в этой главе в качестве переменных импульсного представления будут использоваться именно импульсы, а не волновые векторы. Приведем соответствующие формулы перехо-
да. Волновая функция в импульсном представлении есть 中但I,卷，左3)=
r2, Гз) е— wc+M"?+坛％)/力"i "2 d%.
Эта функция является решением уравнения )
(Яо+ ^12+^13+^23-£)^1*!，拓，鳥]=0；(1.2)
здесь % — гамильтониан свободного движения:
"浬(岛，局，论3)=(爲+譽+鼻)中附，电,论3)，(1.3)
а взаимодействия 會卷，0】з и У2з — это интегральные операторы, действующие на аргументы (论匕论2),(瓦，血3) и (局,&з) соответственно. Например
亿浬瓦風也T%然讚-嗚礬)X
X6(^з-友36(左i+左2一拓一左2)中(相，左2,h3dhi dh2dh3； (14) здесь S2(论)——взаимодействие частиц 1 и 2 в импульсном представлении ——равно
°12(同=7^7 J °12(Г)е’м/亢"•(1.5)
Для отделения движения системы как целого перейДля отделения движения системы как целого перейдем к новым переменным:К =左I +左2 +亙3,дем к новым переменным:К =左I +左2 +亙3,新2 =新2 =/П2瓦一加/2/П2瓦一加/2/n] +m2/n] +m2"3 (瓦 +局)一("1 +"2)网m1 +恤+m3"3 (瓦 +局)一("1 +"2)网m1 +恤+m3(1.6)(1.6)
Для отделения движения системы как целого перей
Для отделения движения системы как целого перей
дем к новым переменным:
К =左I +左2 +亙3,
дем к новым переменным:
К =左I +左2 +亙3,
新2 =
新2 =
/П2瓦一加/2
/П2瓦一加/2
/n] +m2
/n] +m2
"3 (瓦 +局)一("1 +"2)网m1 +恤+m3
"3 (瓦 +局)一("1 +"2)网m1 +恤+m3
(1.6)
(1.6)
Кроме пары переменных 血⑵ р можно ввести еще две пары векторов Л13, "2 и Л2з» "ь получаемых из (1.6) циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
В системе центра инерции (с. ц. и.) волновая функция не зависит от К. В качестве двух независимых переменных волновой функции может быть выбрана любая пара (А仃,"D в зависимости от удобства. Если нам безразлично, какую из пар переменных использовать, мы будем опускать индексы при 居)и р?» например Т (Л, р). Все три пары переменных (血⑵"з),(局з, Pi) и (Лзь Р2) однозначно связаны друг с другом.
В с. ц. и. свободный гамильтониан есть
々彳2РЗ 碳 Р? 确 p^
% = %（瓦"）=可一•^石丁=而一■^而=而7+万f；（L7）
/и订 и nz — приведенные массы:
тЧ~ m. + m^ 勿一吗+ % + %，
Взаимодействия Vij между частицами i и / приобретают особенно простой вид в 《своих》переменных (自力pi):
^严回"]=J%(电厂%6("L硝屮附，砲d%dp] (1.9)
Везде ниже, где это не будет оговорено особо, все формулы будут писаться для с. ц. и.
В этой системе у. Ш.——интегральное уравнение в шестимерном пространстве
"屮也"]*(%(瓦 P)+ V)^[k, р] = £Т(Л,项 (1.10)
где V—полное взаимодействие
V^Vi2+V23 + V3[.(1.10Э
Введем теперь функцию Грина G (ф. Г.) оператора (Н — Е) как симметричное по паре своих векторных аргументов решение уравнения
(分一E)G(財 "|К "‘; e) = 6出一斤"(р一") (1.11) Здесь оператор (后一Е) действует на первую пару аргументов.
Введем теперь, так же как и в гл. IV, операторы Грина G как интегральные операторы, ядром которых является ф. Г. Например:
©Q便，"]曰 f G3, plK //； E)Q(kf, p,)dk,dp,. (1.12)
Умножив уравнение (1.11) справа на произвольную функцию Q("1p‘)，проинтегрировав по 论'，р‘ и учтя определение (1.12), получим
(H^E)(GQ[kt p]) = Q(瓦")・
Видно, что оператор G можно символически записать как
@(e)=[育一(ё + 汕『.(IJ3)
К энергии £ сделана бесконечно малая мнимая добавка iy. Это соответствует «условию излучения» и делает выбор ф. Г. однозначным. Такая запись оператора Грина возможна, ибо все собственные значения гамильтониана действительны, и при у ¥= 0 оператор [Й ——(Е + iy)] всегда отличен от нуля и, следовательно, обратный ему оператор [Я —(E + iy)]"1 конечен при действительном Е・
Наиболее простой вид ф. Г. имеет, когда V 三 0. Так как оператор кинетической энергии % в импульсном представлении является оператором умножения на число (см. (1.3), (1.7)), то
伉(瓦 р|К М £)=伉(瓦 р|К М £)=& 也一吟 “р — р‘)& 也一吟 “р — р‘)W~ +爰-(E + 切W~ +爰-(E + 切(1J4)(1J4)
伉(瓦 р|К М £)=
伉(瓦 р|К М £)=
& 也一吟 “р — р‘)
& 也一吟 “р — р‘)
W~ +爰-(E + 切
W~ +爰-(E + 切
(1J4)
(1J4)
Соответствующий оператор Грина есть
Go =[赛 +差-(e + iy)] MG03, Р； e),
поскольку
G0Q 回 р]=
Q 信,p)
舞+豪3+切
MG。(財 p；£)Q 阳 p)・(1.14，)
Следующим по сложности является случай, когда одна из частиц (/-я) не в з а и модей ств ует с двумя остальными (i-й и /-й частицами), и у. Ш. имеет вид
(疗订一E)①(⑺[瓦 p]三(％ + /“一 E)①('")= 0.(1.15)
Так как оператор Уц факторизуется в переменных 论仃， pi (см. (1.9)), то уравнение (1.15) в этих переменных имеет особенно простой вид, допускающий разделение переменных. Записав ①⑴)в виде
①(①的 р) = <₽(")(&/) 6 (生一吟 (1.15Э
и подставляя его в (1.15), найдем с помощью (1.7)— (1.9), что ①(订)является решением уравнения (1.15), если ср(仃)(论订)удовлетворяет уравнению движения для двух частиц:
(譎 + 力厂(е - %"))0")闷1 = °， (L16) где оператор 6仃——взаимодействие между частицами i и / — определен как (ср. с (1.9))
%/р ®] = " j (&/-% 屮陷)吗・
При использовании 血订 н 卩七 в качестве переменных функцию Грина G^ оператора (月仃一Е) можно искать в виде произведения
G“(％j,"4*j,"/；E)=g“&J6j； Е ^~^^(Pi~ Р^}-(L17) Действительно, подставляя это выражение в уравнение (Hi-E)Gli = b(ki!-k^(pl-p^
убеждаемся, что (1.17) является ф. Г. оператора (自订一£), если gij является двухчастичной функцией Грина, удовлетворяющей уравнению (ср. с (1.16)) 禽;+ %/-(£-旨))g 〃 卜炉用/； e -苗)=6 (&厂 ％•
(1.17)
Когда отлично от нуля более чем одно парное взаимодействие 卩订,переменные в у. Ш.э как правило, не разделяются со всеми вытекающими отсюда неприятными последствиями ). Однако и в этом неприятном со многих точек зрения случае могут быть установлены общие соотношения, связывающие ф. Г. G общего оператора (Я— (Е + iy)) с более простыми ф. Г. G曾 операторов (方订一(Е + Рy)).
Наиболее просто эти соотношения можно получить, исходя из определения ф. Г. G (1.13) и операторного тождества
专一专=*(©一 月)^- = -^(个- 科专. (1.18) Положив здесь
B = (H-(E + iy)) и 2 =(后订•一(£ +，#), немедленно получим соотношение, которое можно рассматривать как уравнение для ф. Г.
t = @“ 一 GnUuG = Gi}- @0订©中 (1.19) где。订=匕「
В качестве 會仃 можно выбрать любое из трех парных взаимодействий трехтельной задачи. При этом для одной и той же полной ф. Г. G будут получаться разные уравнения вида (1.19). Таких уравнений три; к ним можно прибавить четвертое, полученное из (1.18) подстановкой вместо С оператора Яо—(Е + 汕：
G = G0-G0VG.(1.20)
Вообще говоря, уравнений для полной функции Грина можно написать бесконечное число, выбирая для С выражения С = (Яо + F — (Е + iy)), где Р — произвольное вымышленное взаимодействие между тремя частицами. При этом, однако, теряется генеалогическая пере- емственность задачи: задача трех тел выражается не
только через величины G叮 и У灯,характеризующие парные взаимодействия, но и через искусственно вводимое в задачу трех тел фиктивное взаимодействие Г. По этой причине обычно используются только четыре уравнения (1.19) — (1.20), полученные, так сказать, с помощью натуральных продуктов. Ввиду важности этих уравнений для всего дальнейшего мы выпишем их все
вместе в развернутом виде:
G-G12- @】2伉1 + r23)©,(1.21а)
G = G31 - G31(V12 + V23)G,(1.216)
G = G23-G23(V12+I731)G,(1.21b)
G = Gq—■Gq (匕2 + &i + %3)G.(1.21r)
Все входящие сюда операторы Грина, конечно, соответствуют одному и тому же значению полной энергии трех частиц Е
Переход к уравнениям Липпмана — Швингера
Всякое соударение можно условно разделить на три основных этапа:
Начальное состояние — сталкивающиеся частицы движутся навстречу друг другу. При этом часть парных взаимодействий как бы оказывается выключенной: если сталкивается, например, связанное состояние частиц 1 и 2 (частица {1 2}) с третьей частицей, то взаимодействия Уз1 и Раз на этой стадии можно положить равными нулю, если величина этих потенциалов достаточно быстро падает с увеличением расстояния между частицами;
Этап самого соударения — сталкивающиеся частицы подходят достаточно близко друг к другу и вступают в игру все взаимодействия;
Конечное состояние ——продукты соударения разлетаются в разные стороны. На этой конечной стадии процесса, часть взаимодействия опять выключается: если разлетаются частица {12} и частица 3 (произошло упругое рассеяние (12}十 3 f (1 2} + 3), то выключены,
очевидно, взаимодействия V3i и 丫23・ Если произошел полный развал системы ({1 2} + 3-* 1 + 2 + 3), то в конечном состоянии все три частицы находятся далеко друг от друга, и поэтому выключены все три взаимодействия У12, 丫31 и ^2з・ Если произошла какая-либо реак* ция, например {1 2} + 3 — 1 + {2 3}, то в конечном состоянии выключены только У% и Vi3 и т. д.
В задаче трех тел может существовать несколько типов начальных (конечных) состояний, принадлежащих непрерывному спектру.
А. Все три частицы свободны. Волновая функция такого движения есть
①儡他 р) = 6 (论 _ К) 6 (" _ Р), (2.1)
где заглавной буквой (К или Р) обозначено численное значение соответствующего импульса, а строчной буквой ——переменная импульсного представления. Здесь К ——импульс относительного движения каких-либо двух частиц, а Р — импульс оставшейся частицы относительно этой пары. Энергия состояния (2.1), очевидно, есть
?_ 十丄p2
а сама волновая функция ①% удовлетворяет свободному уравнению Шредингера
(Яо-£)Ф^р[Л, р] = 0.(2.2)
Б. Две частицы (}я и /-я) образуют связанное состояние {i /} с энергией в^ < 0, а оставшаяся (Z-я) частица свободна. Импульс относительного движения /-й частицы и частицы {i /} есть 円.Волновая функция такого состояния равна
①眼>*"，"，)=r式电了)63 -巴)， (2-3)
где qpe — волновая функция связанного состояния i-й и /-й частиц (частица {i /}). Функция (2.3) отвечает состоянию с полной энергией
£ = 8" + 可"
а сама функция (2.3) является решением уравнения Шредингера
(瓦厂后)%%闻，"h0，(2・4)
где宀宀
Н Hq + V ц.
Теперь, после того как введены все обозначения, перейдем к выводу уравнений движения в нужном нам виде. Пусть нас теперь интересует какой-то конкретный процесс соударения, когда начальное состояние задано и записывается волновой функцией ①£)• Здесь 6 может принимать значения 0, 1 2, 13, 2 3 в соответствии с четырьмя возможностями (см. (2.1) и (2.3)). Индекс а означает совокупность квантовых чисел начального состояния: а ^ [К, Р] или а = [gi；, PJ. Полную волновую функцию естественно представлять в виде
УаЗ, ")= а)£)+ хз, ")，(2.5)
где ①£)описывает начальное состояние, а X учитывает все искажения начального состояния в результате соударения.
Подставляя (2.5) в уравнение Шредингера задачи, получим
(Н-Е) Wa^{H-Е}Х + 鹿① £)- 0,(2.6)
где宀
—応 при б =при б =
12, 1 3,
0.
(2.7)
При переходе от левой части к правой в (2.6) учтено, что волновая функция начального состояния удовлетворяет одному из уравнений (2.2) или (2.4). Из (2.6) следует далее, что
X 伐,")=-G (Е)必①£)鬼 р],(2.8)
где G — оператор Грина
6 =成-(e + 汕「\
Подставляя (2.8) в (2.5), получаем после несложных манипуляций с операторами
К = Ф^-[Я -(£ +，Y)L О6ф^ =
={1 -[倉—(Е + tv)]-1 欧} Ф^ =
=与№一用 ①£)=-欄(£ + ЙО Фа'，(2-9)
[л — (Е + гу)]丫今+o
где мы опять воспользовались тем, что волновая функция начального состояния удовлетворяет уравнению
(Ho +(y-U^-E)①£)= 0.
Уравнение (2.9) в форме
уа (瓦p)=- iyG (e +冲①华附Р]三
Y今+0
=—zy J G (財 p|K,"‘； E)①£)(К p) dA‘dp' (2.9Z)
обычно называют уравнением Липпмана — Швингера для задачи трех тел. Наиболее важным свойством этого уравнения, как и вообще всех уравнений такого типа, введенных впервые Липпманом и Швингером, является то, что в уравнение явно введено граничное условие в виде волновой функции Фа} начального состояния.
Теперь несколько слов по поводу немного необычного вида уравнения (2.9') • В § 1 этой главы отмечалось, что оператор Грина (1.13) всегда существует при отличной от нуля постоянной у. Смысл этого замечания сводится к тому, что при действии оператора Грина на любую собственную функцию 4r国 оператора Н (方4% = = EoWeJ получаемся вполне определенный конечный результат (см. § 7 гл. IV)
©(E)联产©(E)联产Н — (Е + iy)Н — (Е + iy)Е°-(Е + ^) "&•Е°-(Е + ^) "&•(2.10)(2.10)
©(E)联产
©(E)联产
Н — (Е + iy)
Н — (Е + iy)
Е°-(Е + ^) "&•
Е°-(Е + ^) "&•
(2.10)
(2.10)
Конечность результата гарантируется мнимой добавкой fy к энергии, которая мешает коэффициенту в правой части (2.10) обратиться в бесконечность даже при
£ = Eq. Умножив теперь обе стороны (2.10) на —iy и устремив затем у к нулю, получим справа нуль во всех случаях, кроме одного: когда оператор —iyG(E) действует на собственную функцию We, отвечающую тому значению энергии, которое стоит в аргументе оператора Грина. В этом последнем случае будем иметь
-南(?) ^е = ^ 普у» We =屮声 (2・ 1(Г)
Такая процедура с введением мнимой добавки iy к энергии во всех промежуточных формулах обеспечивает сходимость всех интегралов и делает однозначным результат расчета.
Равенства (2.10), (2.10') относятся к собственным функциям гамильтониана Я, для которого построен оператор Грина. Но их легко обобщить на случай более широкого класса функций ——функций, разлагаемых по системе функций 4r班 Предоставляем читателю это сделать. Отметим здесь только одну формулу, получающуюся при этом и нужную нам в дальнейшем:
-^^(Е)^^^"]**^%) ^, ")• (2.11)
Здесь брб — символ Кронекера, Фа} — волновая функция типа (2.3) (индекс 6 может принимать значения 6 = 1 2, 1 3, 2 3), описывающая движение связанного состояния пары частиц относительно оставшейся частицы, а ©£ может быть любым из трех операторов Грина @⑵ б2з, ©3i (см. (1.17)).
Уравнения Фаддеева
Уравнения Липпмана — Швингера не очень удобны для исследования и для получения конкретных результатов. Поэтому, хотя они были написаны довольно давно, реальный прогресс в решении задачи трех тел наступил только в последние годы после работ Л. Д. Фаддеева (I960,1963). Ниже в этом параграфе мы выведем уравнения Фаддеева ((3.1), (3.2), (3.3), (3.11)),
а в следующих параграфах будет показано, как они используются при решении различных задач.
В уравнение (公9‘) для волновой функции 4r& вхо・ дит полная функция Грина взаимодействующих частиц G, которая может быть написана в явном виде, только когда известен полный набор волновых функций задачи трех тел. Поэтому в виде (2.9) это уравнение нельзя использовать для вычисления 4f&； можно, однако, его привести к более удобному виду, использовав уравнения (1.21) для G.
Пусть для определенности рассматривается соударение связанного состояния {1 2} частиц 1 и 2 с третьей частицей. Волновая функция начального состояния есть Фе^г Подставив по очереди в правую часть (2.9) равенства (1.21а) —(1.21b) и использовав (2.9) и (2.11), получим три уравнения:
у =
Фе^ Р3 — О12(р23 + /з1)У,
(3.1а)
屮=
一d3（匕2十/1）比
(3.16)
屮=
—0з1 (^12 + V23)
(3.1в)
Здесь мы подошли к существенному моменту, когда проявляется принципиальное отличие задачи трех тел от задачи двух тел. В задаче двух тел все граничные условия содержатся в функции Грина. В принципе дело обстоит точно так же и в задаче трех тел, если используется полный оператор Грина G. Однако реально построить его пока не представляется возможным, и приходится пользоваться его выражением через более простые операторы ©订.В последних, однако, учтены не все граничные условия задачи. Из способа их определения (1.17) следует, что GijQ (Q — функция, на которую действует ©仃 в правых частях уравнений (3.1)) в координатном представлении содержит только расходящиеся волны (у>0!) по координате г^ относительных движений /-Й и j-й частиц. Сходящихся волн по этой координате нет. Что же касается относительного движения оставшейся Z-й частицы и частиц / и /, то здесь положе-
ние совсем иное. Функция ©订Q содержит и расходящиеся и сходящиеся волны по координатам Гц и 了九,что видно из (1.17). В результате получается, что в каждом из операторов ©订 «условие излучения» наложено только на одну пару частиц ij, и, таким образом, в операторе G^ содержатся не все граничные условия задачи трех тел. В частности, функция @12(优28 十内i)屮 в (3.1а) может содержать члены, описывающие сходящиеся волны частиц {1 3} и 2 и (или) частиц {2 3} и 1. Между тем по условию задачи таких членов в волновой функции 4r быть не должно.
Таким образом, взятое само по себе уравнение (3.1а) не обеспечивает однозначности решения. Чтобы сделать решение однозначным, необходимо использовать все три уравнения (3.1а), (3.16) и (3.1в) и искать совместное их решение. Первое из этих уравнений гарантирует самим сбоим видом выполнение «условия излучения» по координате ria, второе — по координате гзь а третье ——по координате г2з.
Совершенно аналогичные рассуждения показывают, что если начальное состояние рассматриваемого процесса есть
(I12①(⑵+ <I23①图)+西1①⑶),
где а订—произвольные числа, то волновая функция задачи должна находиться из решения системы трех уравнений:
屮=%2①(⑵一仇2623+匕1)中，
屮=(Х23®23)-義(亿2 + ^3!)屮， (3.2) 屮=a31①阿一 di仅2+r23)也
Уравнение (1.21г) нами не использовалось. Его учет не прибавляет ничего нового, так как все граничные условия задачи уже учтены в трех уравнениях системы (3.2). Совершенно аналогичная ситуация возникает и при решении задач об одновременном соударении всех трех сначала свободных частиц (начальное состояние Ф(°)(см, (2.1))・ Система уравнений, которую надо ре-
шать в этом случае, есть:
(3.3)(3.3)屮=о>0)-аб12+%з+R31)屮,
(3.3)
(3.3)
屮=屮侬)-g23(亿2+R31)1，可=可(31)一a1(亿 2+R23) 11f.
Входящие в три нижние уравнения функции 4r"力一это собственные функции гамильтонианов Н^
(Н^У^-Е^^О,(3.4)
отвечающие общему для всех начальному состоянию
①毁工①散Р/ (/ = 1,2,3). Функции 屮"имеет вид
丿毀仇(即，％)= 6 ("l 々)呪,(&),(3.5)
Фк^ — волноваяФк^ — волноваяaaфункция относительного движения
Фк^ — волновая
Фк^ — волновая
a
a
i-й и /-й частиц, отвечающая задаче рассеяния этих ча стиц друг на друге с начальным импульсом К^:
①勺, （论订）=6阳-к订）①勺, （论订）=6阳-к订）你")你")(3.6)(3.6)
①勺, （论订）=6阳-к订）
①勺, （论订）=6阳-к订）
你")
你")
(3.6)
(3.6)
Так же как и в предыдущем случае, для однозначного решения задачи о тройном рассеянии достаточно решить систему из 2-го, 3-го и 4-го уравнений (3.3). Первое из уравнений (3.3) может быть отброшено, так как оно не несет никакой дополнительной информации.
Вопрос о неоднозначностях автоматически снимается в задачах о связанном состоянии всех трех частиц, так как наличие в волновой функции членов типа ①(订)запрещено по энергетическим соображениям (энергия Е^в связанного состояния трех частиц, очевидно, меньше, чем энергия &叮 любого связанного состояния пары частиц) .Поэтому в задачах на связанные состояния системы частиц можно ограничиться решением лишь одного какого-либо из однородных уравнений, входящих в (3.3), а не всей системы^
(3.8)(3.8)T(川T(川-ТпО0(Т^ + Т^)г-ТпО0(Т^ + Т^)г(3.11)(3.11)
(3.8)
(3.8)
T(川
T(川
-ТпО0(Т^ + Т^)г
-ТпО0(Т^ + Т^)г
(3.11)
(3.11)
Ниже мы ограничимся рассмотрением задачи о столкновении частицы / с составной частицей {〃}. Начальное состояние в этом случае описывается функцией
①鄒勺固，"尸%(Л0) 6 (%一号), (3.7)
волновая функция составнойволновая функция составнойгде q)g〃(尼口)——внутренняя частицы {//}.
волновая функция составной
волновая функция составной
Как будет показано в § 4, для вычисления сечений
всех процессов, происходящих в результате столкно
вения:
{切 + / -> {//} + /,T {"} + Л
—> {//} + л
нужна не сама волновая функция 屮,а величины
t^ =亿2中，-23)=%3里 TOD =%1电(3.9)
В ряде случаев найти эти величины проще, чем саму волновую функцию (см. об этом ниже). Поэтому удобно написать уравнение непосредственно для них. Перепишем сначала систему уравнений для 4r в следующему виде:■
屮=①⑺-g"(R"+%z)屮，
屮= -G〃(R〃 + %z)y,(3.10)
У=-@"(底+ ^)电
Умножим в операторном смысле первое уравнение слева на Vij, второе — слева на R社 и третье — слева на Vji，При этом получаем следующую систему уравнений для Т^. определенных формулами (3.9):
т(")= Тц- TijG^1^ Т“")，?(")=_T〃Gq(T(")+ Т(〃)),
где мы ввели обозначения
7订三%①(抄，tmnG0^VmnGmn- (3.12)
Определяемые этими соотношениями функция 7灯 и операторы Ттп имеют, как мы сейчас увидим, простой физический смысл и целиком выражаются через параметры парных взаимодействий между частицами.
Прежде всего упростим выражение для 7仃.Используя, определение (3.7), находим
亍订值订,Pz)=
=J °«/陶 - kii) 6 ("/ - "。％ 陷)6 (pf- Pjdp：峭== 6(Pi-pi) %% 闻]=
=_6(",-巴)([%| + 鑑儿,%). (3.13)
В последнем из этой цепочки равенств использовано то, что функция <р&订 является решением у. Ш. для двух частиц, описывающих связанное состояние с энергией 8„：
j + 仇/一ё")%,(瓦,) = 0, t. е. 60Tвг/[*!/] =
Таким образом, с функцией 7叮 все ясно; в ее выражение (3.13), помимо волновой функции (ре . составной частицы {//}, входят энергия связи этой частицы ——8fj = |е^| и начальный импульс Pi соударяющихся частиц {ijj и /.
Обратимся теперь к выяснению смысла операторов Ттп. Заметим прежде всего, что ф. Г. ©订 удовлетворяет уравнению
G订=Gq — d°V订©订=爲―G订Z订@о， (3.14) в которую переходит система (L21) в случае, когда все парные взаимодействия, кроме 會订，тождественно равны
нулю. Подставляя в определение (3.12) амплитуд Ттп вместо Gmn выражения, стоящие в правой части (3.14), и сокращая затем на Go, получим тождества
Ттп =Ттп =Утп — Утп^^тпу卩 mn —卜 тп^тпУтп*Утп — Утп^^тпу卩 mn —卜 тп^тпУтп*(3.15)(3.16)(3.15)(3.16)
Ттп =
Ттп =
Утп — Утп^^тпу
卩 mn —卜 тп^тпУтп*
Утп — Утп^^тпу
卩 mn —卜 тп^тпУтп*
(3.15)
(3.16)
(3.15)
(3.16)
Первое из этих тождеств можно рассматривать как уравнение для операторов Ттп. Второе из тождеств выражает Ттп через Vmn и Gmn. С помощью (3.15) и (3.16) легко получить и формулу, выражающую Gmn через Ттп:
Gmn == Go— GQTmnG(). (3」7)
Все эти формулы по своей структуре совпадают с формулами (8.8), (8.9), (8.11), (8.12) гл. IV, связывающими потенциал й, функцию Грина @е и оператор рассеяния %. Фактически соотношения (3.15)——(3.17) являются тривиальным обобщением этих формул гл. IV. Чтобы убедиться в этом, заметим, что операторы Vmn и Gmn в 《свонх》переменных kmn и pi (/ #= /и, и) факторизуются (см. (1.9) и (1.17)). Из выписанных выше уравнений тогда следует, что операторы Ттп также обладают этим свойством; из (3.16), например, видно, что ядро оператора Ттп можно представить в виде
7加(%加〃；%，"；；E)三*延(%紋%г；勿)6 (〃 一 "；), 而 (3.18)
где tmn(kmn, *L；吟 ЯДР° оператора ?mn>8/, действующего только на функции относительного импульса kmn и удовлетворяющего уравнению
t -У -у Е(о)亍 , тп»
из которого полностью исключены координаты третьей (Лй) частицы. Входящие сюда операторы ymn и #°)—это соответственно взаимодействие и ф. Г. свободного движения т-й и п-й частиц. Это уравнение уже не только
по структуре, но и буквально совпадает с уравнением (8.8) гл. IV, определяющим оператор рассеяния двух частиц.
Таким образом, действительно, операторы Ттп, входящие в систему уравнений (3.11), являются обобщением парного оператора рассеяния m-й и n-й частиц tmn на случай присутствия третьей, Лй частицы. Ее присутствие проявляется в появлении d-функции в (3.18) и в том, что в парный оператор рассеяния входит не пол-
ная энергия Е, а лишь та ее часть gf = E —которая остается после отделения от Е кинетической энергии движения Лй частицы относительно центра тяжести частиц тип.
Во избежание недоразумений следует помнить только, что везде в этой главе мы пользуемся именно импульсным представлением, а не представлением волновых векторов, как в гл. VI. Отличие заключается в различной нормировке волновых функций:
[ i
в импульсном представлении ②(г) =Л ,
в представлении волновых векторов 屮廸(尸)=—Ц；е'^。
Результатом является отличие в нормировках двухчастичных операторов J〃，g^, tih используемых в настоящей главе, по сравнению с соответствующими операторами гл. IV. Например, из сравнения формул (1.4), (1.5) и (6.3) гл. IV немедленно получаем для ядра оператора взаимодействия первой и второй частиц (их массы считаем одинаковыми)
^й-предст (^Р 论2；电'崂 N
=f J(M"+呵2)p s - Q) eT G"+«)“I dr2 =
2)一a
=6(左[+左2 _*_崂，(乐戸 J P ") e 2 df m (& +『К -砲(坐间^收二脸)
^р-предст(Рр Рз Рр Р，—
(PL(PLT尸［门+尸2r2T尸［门+尸2r2V (ri — r2) еV (ri — r2) е「尸"1+尸尹2
(PL
(PL
T尸［门+尸2r2
T尸［门+尸2r2
V (ri — r2) е
V (ri — r2) е
(Pl Р2 . 2 卩2(Pl Р2 . 2 卩2(2砌 6 J °
(Pl Р2 . 2 卩2
(Pl Р2 . 2 卩2
1
行~ У й*предст
= 6(Р1+Р2-Р；-Р3%аемт
匸 6 仇 + & - К 一 Р9 3 ^й.предст
Общие формулы для сечении
Приведенные в предыдущем параграфе формулы (3.13) и (3.18) для величин 7口 и 窘力 Тц и % делают полностью определенной систему уравнений (3.11) для функций 會订吋三 Т〃〃 Эта система, как было доказано Л. Д. Фаддеевым, имеет единственное решение. Не останавливаясь пока на способах конкретного отыскания решений (об этом будет говориться в §§ 5——9), покажем, как, исходя из известной системы решений Т^ (if/= 1,2,3), вычислять сечения различных физических процессов.
Пусть происходит столкновение частиц {//} + 厶 так что волновая функция начального состояния есть Ф^ pv а точная волновая функция, являющаяся решением системы (3.10), есть ^у.pz； ниже в этом параграфе квантовые числа начального состояния будем обозначать символом z ^ (s^, Р；):①厶 中寸 и т. д.
Рассмотрим переход {处 +/-* 口山}+厶 в состояние с волновой функцией ①扌北尸厶；квантовые числа этого конечного состояния обозначим через f 三(gf［力,Р/)・ Вероятность dsg4f перехода согласно общим правилам квантовой механики, записывается как
"9』=号4丁小12 6(占一马)%(4.1)
где df — бесконечно малый интервал квантовых чисел конечного состояния:
df = dPh,(4.2)
а 歹£->/ ——амплитуда перехода, равная матричному элементу
歹①"Up?)(4.3)
Здесь Uf ——часть взаимодействия, не включенная в Ф/. В рассматриваемом случае
U^V-Vij^Vi^ + V^.(4.4)
Чтобы получить сечение процесса i—►力 надо разделить вероятность (4.1) на поток сталкивающихся частиц; при принятой нами нормировке волновых функций, поток сталкивающихся частиц есть
% =画可 *(4.5)
где Vi ——относительная скорость сталкивающихся частиц {ij} и /. В результате для сечения i -> f получаем dOf =m I 歹3f |2 6 但一费.一罔,等.dPh =
=(2л)4 Л21 歹/->f I2 靑九网】dQp^(4.6)
Здесь Pi и Ра——относительные импульсы частиц / и {"} в начальном и частиц /1 и {i/j в конечном состояниях; п/ и пц ——соответствующие приведенные массы, a ddp“ 一 элемент телесного угла вокруг направления разлета конечных частиц.
Переходя к введенным в (3.9) величинам Т(订),перепишем матричный элемент перехода (4.3) как
牙б,=—『①;(阮 p)[尹，3 (k, p) + 尹•川(k, p)] dk dp. (4.7)
Совокупность формул (4.6), (4.7) решает задачу о вычислении сечений всех реакций с двумя свободными частицами в начальном и конечном состояниях.
Кроме реакций такого типа, может происходить реакция развала
（4）+1+ j +1,
в которой все три конечные частицы свободные. Матричный элемент такого развала есть
旷разв =-（赠，W/） = т^ + Т（⑶+ 产三 Т 他 р）.（4.8）
Конечное состояние при этом характеризуется двумя импульсами й и р и сечение развала записывается как d4азв =⑺2 6 [%-宏 + 崇）]珈 dp.（4.9）
На этом мы окончим изложение общего формализма квантовой механики в применении к проблеме трех тел. В следующих параграфах этой главы будут рассмотрены некоторые частные задачи трех тел, в которых благодаря упрощениям различного рода можно продвинуться значительно дальше общей системы уравнений （3.11）.
Уравнение Скорнякова — Тер-Мартиросяна
Мы уже отмечали, что работой, положившей начало строгим расчетам в квантовомеханической задаче трех тел, была работа Г. В. Скорнякова и К・ А. Тер-Мартиросяна, выполненная в 1956 г. Ими были получены одномерные интегральные уравнения для решения задачи о рассеянии в системе трех нуклонов, взаимодействующих силами бесконечно малого радиуса действия. Ниже мы будем называть уравнениями типа Скорнякова — Тер- Мартиросяна любое такое уравнение для трех частиц с m\ = m^ = т3 вне зависимости от спинов частиц. Отметим, что уравнения такого типа не пригодны для описания связанных состояний трех частиц. Из-за наложения сингулярных потенциалов У13, и】2, ?2з друг на друга при ri = г2 = гз возникает явление, которое обычно называют падением на центр. Именно, наличие сильной сингулярности в гамильтониане приводит к тому, что квадратично интегрируемое решение уравнения Шредингера существует при любом отрицательном значении
полной энергии системы Е. Другими словами, спектр уравнения оказывается непрерывным при всех Е: —оо < £ < оо. Впервые этот факт был замечен более чем 30 лет назад, когда было доказано (Л. Томас, 1935), что у трех частиц с точечным взаимодействием, которым принцип Паули позволяет всем находиться в одной точке, энергия основного состояния——8.
Впоследствии, правда, был предложен способ частично обходить эту трудность (Г. С. Данилов, 1961; Р. А. Мин- лос, Л. Д. Фаддеев, 1961).
После 1956 г. был выполнен еще ряд работ, посвященных этим уравнениям, в которых проводилось либо их исследование и решение, либо предлагались новые способы их вывода. Ниже мы выведем уравнение типа уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна для простейшего случая — для трех одинаковых бесспиновых частиц. Учет спинов и изоспинов ввел бы ненужную здесь громоздкость.
Будем рассматривать рассеяние одной из частиц на дейтроне, сделанном из двух других частиц и будем считать волновую функцию симметричной относительно перестановки любой пары частиц. В этом случае все три функции 丁口力 в уравнении Фаддеева типа (3.11) одинаковы. Здесь следует иметь в виду, что симметрия волновой функции относительно перестановок частиц требует и симметрии «начальных условий»; это означает, что при выводе уравнений Фаддеева надо исходить из системы уравнений (3.2) с 1 = ai2 = агз = ахз. В результате, вместо (3.11) получится система трех одинаковых уравнений
^^ = Тц - Тцв^Т^ + Т°1^ с i^i^l, и достаточно рассмотреть только одно из этих трех уравнений, например
ГМ) = f12_ rI2G0 (Т(2з)+ т⑶)).(5.1)
Вводим обозначения
八⑵(瓦 р) = т(2з)(瓦 р) = Г(31)依，р)=歹他 р)；
Т^-Т^= Тз1 = То便,Р；匕 Р‘； £)•()
Эти равенства следует понимать только как одинаковость функций, но при этом нужно помнить, что в уравнении (5.1) каждая из них входит зависящей от《своей》 пары переменных: Л12)—функция переменных 左恵,Рз, Т(2з)— переменных 血23, pi и т. д.
Поэтому следует одну пару переменных, например, 左12 三左 и рз 三 р, выбрать за независимые, остальные переменные 瓦з, Мз, р2, pi следует выразить через й и р с помощью формул (1.6). Сделав это, перепишем уравнение (5.1), выписав в нем переменные в явном виде и воспользовавшись введенными в (5.2) обозначениями
+ T°R,P；用今耍『瞅dp，.
m
(5.3)
Теперь обратимся к формулам (3.18) и (3.13), дающим выражения соответственно для функций Г0(Л, р; k\ pz; Е) и 7о(夂 р). В приближении бесконечно малого радиуса действия сил функция /(Л, Л7, 8)—ядро оператора рассеяния частиц друг на друге — не зависит от k, fe7 (см. (9.18) гл. IV)
f (Л, Л7; е) = f ⑻=[2Еи 偿 + £ )//n(s +，0)万；(5.4)
здесь а ——длина рассеяния частиц друг на друге. В этом же предположении (р0 (^)——волновая функция «дейтона»—имеет вид
g依)="得+ 1*】'N П备/3 %=-晶'
(б.б)
где N ——нормировочный множитель, gd ——энергия связанного состояния «дейтона». С помощью всех этих
формул мы можем теперь выписать окончательные выражения для То и То：
Г。(瓦 р;匕 р，； £) = Г。(р, р，; £)=
=6 (p - pо[2№加 借 + г ]/加上-p2/4一力0 )『，(5 6) T0(k, р)=，°(р) = 6(р-Р)М
Здесь Р ——импульс налетающей частицы:
Е = %—-
Так как в уравнении (5.3) То нТ。от k не зависят, не зависит от А н неизвестная функция 歹(А, р). Вводим новую функцию а(р) с помощью соотношения
歹他 р)三歹(р) = % [б (р — Р) — / 伍一出)а (р)]. (5.7)
Подставляя это выражение для 歹(р) в (5.3), получаем уравнение для а(р)
а (р) = 2 加[р2 + рР + 尸 2/2-тЕ-/О]-1-
2m Г ME-pRl4tn)a(p)dJ
^ J р' + рр' + р'2/2 — тЕ —/0'
Это и есть (с точностью до обозначений) уравнение Скорнякова — Тер-Мартиросяна для рассматриваемой задачи. Неизвестная функция в этом уравнении зависит от одной трехмерной векторной переменной. Если разложить ее по парциальным волнам:
а (р) = В аЛ (р) Pl (cos 0),
то из (5.8) легко получить расщепленные по L уравне* ния для каждой парциальной волны aL (р). Вычисления очень просты, поэтому мы не приводим ни их, ни уравнения для aL (р). Таким образом, рассматриваемая задача сводится к решению одномерных интегральных уравнений, что не составляет особого труда при использовании вычислительных машин.
Уравнения Скорнякова ——Тер-Мартиросяна явились основой для решения ряда практических задач в системе трех нуклонов. Конкретные результаты можно
посмотреть в работах Г. В. Скорнякова (1956), Г. С, Данилова (1961).
Внимательный читатель, несомненно, заметил, к каким серьезным упрощениям привели два обстоятельства: 1) симметрия в. ф. 4f относительно перестановок координат частиц позволила систему трех уравнений Фаддеева (3.1) свести к одному уравнению для функции 炉(財 р). Эта функция, правда, зависит от двух векторных переменных fe и р, но здесь на помощь пришло 2) предположение о бесконечно малом радиусе сил между частицами. При этом исчезла зависимость от fe, и уравнение задачи свелось к уравнению Скорнякова—— Тер-Мартиросяна для функции а (р) одной векторной переменной р.
В следующих параграфах будет рассмотрена более сложная ситуация, когда упрощения не столь радикальны, но тем не менее позволяют привести уравнения задачи трех тел к виду, удобному для анализа и позволяющему находить численные решения.
Движение двух частиц во внешнем потенциальном поле. Обозначения и постановка задачи
Будем считать массу одной из частиц (пусть это будет частица 3) бесконечно большой: т3—► оо. Тогда задача трех тел сводится к задаче о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц (частицы 1. и 2) в поле неподвижного силового центра (обусловленного наличием частицы 3 с бесконечно большой массой) или, как мы будем в дальнейшем говорить, во внешнем потенциальном поле； оставим за ним для обозначения в формулах индекс 3.
К этой категории относится широкий класс задач, имеющих физический интерес, и только несколько из них решаются до конца в общем виде. Одной из них является задача о движении двух взаимодействующих частиц в общем гармоническом потенциале:
(Л2Л2(Ол
?一丽■T G +俏2唠+
+ 0(14-，2|)]可&1"2)= 0.
Переходя к новым переменным
R =R =mg +加2力7П1 +加2mg +加2力7П1 +加2了 =力一方，了 =力一方，
R =
R =
mg +加2力7П1 +加2
mg +加2力7П1 +加2
了 =力一方，
了 =力一方，
получаем уравнение с разделяющимися переменными
д2近2]
-丽 Ar -丽；Ar + £ [MR2 + 加開2] + ° (r)]屮(R, г) = 0.
Отсюда элементарно находим спектр энергии
ENn = /гсоо(4 + ^) + 8п， Л^ = 0, 1, 2, ..., (6.1)
где первый и второй члены ——это собственные значе- / А2 m瑞 、
ния энергии гамильтонианов I —-^r Ar 4——^― R?丿 й / А2 叫2喻2\
— —— A尸 4и^v(^)i соответственно.
Особенно просто все получается, если взаимодействие между частицами является осцилляторным 0 ^ — т^\ ^ или точечным. Первый случай совсем тривиален: еп в (6.1) равно ел = A ]/®f + со^ (3/2 + п), и общий спектр является наложением спектров двух трехмерных осцилляторов с частотами (оо и У^ + 峭: Случай точечного взаимодействия между частицами чуть-чуть сложнее, и мы его предоставим разобрать читателю.
В только что приведенном примере удается сразу определить спектр энергий и, если бы мы захотели, волновую функцию. Это происходит из-за специфики гармонического осциллятора, так как в таком поле движения по координатам R и ri2 не влияют друг на друга. В общем случае движения по этим координатам не независимы, и решение задачи сильно усложняется. При этом приходится использовать изложенную в предыдущих параграфах общую технику решения задачи трех тел. Она, правда, несколько видоизменяется в этом случае.
В качестве независимых переменных можно пользоваться векторами
左 I и 左2，(6.2)
т. е. импульсами частиц 1 и 2 в лабораторной системе. Кроме того, можно использовать пару векторов •
e，p3=財 + 局， (62)
где вектор 左12 описывает относительное движение частиц 1 и 2, а р3 — движение их центра тяжести. В дальнейшем, в зависимости от обстоятельств, потребуются оба набора переменных (6.2) и (6.2х), но, как и раньше, если нет необходимости уточнять, какой из наборов используется для описания конфигурации частиц, мы будем писать fe и р, понимая под ними либо “眨 и р3, либо k[ и 局.
Уравнение Шредингера для волновой функции 4f системы из трех частиц запишем в виде
(%+亿2+%一初平附p]»0, где
= ^- + '^_仇3 =加1 + /«2)(6.3)
——гамильтониан свободного движения частиц 1 и 2, Vi2 ——оператор взаимодействия между ними, действие которого на волновую функцию определено в § 1 формулой (1.9), а
p3=丿23+ 丿 31(6.4)
——оператор взаимодействия этих частиц с внешним потенциальным полем (частицей 3), действие которого на волновую функцию определяется аналогичной формулой, но в переменных 財 и 后2：
V^\kv 闯=J %(%,局|竹,畸中(*,吟d*d%
匕回阂К，砲=
=023 色2 一砲 6 (/ _幻 + °31 色一硝 6 02 一%.(6.5)
В рамках задачи о движении двух взаимодействующих частиц во внешнем потенциальном поле можно исследовать процессы, происходящие при:
соударении связанного состояния двух частиц с внешним потенциальным полем, т. е. процессы：
{1 2} +3f {1 2} + 3—{1 2}* + 32 + {1 3}1 + {2 3}{1 2} +3f {1 2} + 3—{1 2}* + 32 + {1 3}1 + {2 3}—> 1+2 + 3—> 1+2 + 3(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция 《срыва》； одна из частиц захватывается внешним потенциальным полем, вторая улетает) (реакция развала связанного состояния во внешнем потенциальном поле).(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция 《срыва》； одна из частиц захватывается внешним потенциальным полем, вторая улетает) (реакция развала связанного состояния во внешнем потенциальном поле).(6・6)(6・6)
{1 2} +3f {1 2} + 3
—{1 2}* + 3
2 + {1 3}
1 + {2 3}
{1 2} +3f {1 2} + 3
—{1 2}* + 3
2 + {1 3}
1 + {2 3}
—> 1+2 + 3
—> 1+2 + 3
(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция 《срыва》； одна из частиц захватывается внешним потенциальным полем, вторая улетает) (реакция развала связанного состояния во внешнем потенциальном поле).
(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция 《срыва》； одна из частиц захватывается внешним потенциальным полем, вторая улетает) (реакция развала связанного состояния во внешнем потенциальном поле).
(6・6)
(6・6)
столкновении одной из частиц (пусть это будет частица 1) с другой (частицей 2), находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального поля, т. е. процессы:
1 +{2 3}f 1 +{2 3}——>1 +{2 3}*——>3 + {1 2}1 +{2 3}f 1 +{2 3}——>1 +{2 3}*——>3 + {1 2}>1 +2 + 3>1 +2 + 3(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция «подхватам: налетающая частица 1 подхватывает частицу 2, находящуюся на дискретном уровне внешнего потенциального поля и при этом образуется связанное их состояние),(реакция выбивания частицы 2).(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция «подхватам: налетающая частица 1 подхватывает частицу 2, находящуюся на дискретном уровне внешнего потенциального поля и при этом образуется связанное их состояние),(реакция выбивания частицы 2).(6・7)(6・7)
1 +{2 3}f 1 +{2 3}
——>1 +{2 3}*
——>3 + {1 2}
1 +{2 3}f 1 +{2 3}
——>1 +{2 3}*
——>3 + {1 2}
>1 +2 + 3
>1 +2 + 3
(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция «подхватам: на
летающая частица 1 подхватывает частицу 2, находящуюся на дискретном уровне внешнего потенциального поля и при этом образуется связанное их состояние),
(реакция выбивания частицы 2).
(упругое рассеяние), (неупругое рассеяние), (реакция «подхватам: на
летающая частица 1 подхватывает частицу 2, находящуюся на дискретном уровне внешнего потенциального поля и при этом образуется связанное их состояние),
(реакция выбивания частицы 2).
(6・7)
(6・7)
Мы видели в начале этой главы, что когда все три частицы имеют конечную массу, амплитуды (сечения) всех процессов определяются из решения системы (3.11) трех интегральных уравнений (уравнений Фаддеева). Ясно, что эти же уравнения могут быть непосредственно использованы и сейчас без каких-либо их изменений,
если массу одной из трех частиц в этих уравнениях считать бесконечно большой. Однако предположение о наличии в системе одной частицы с бесконечно большой массой упрощает задачу и дает возможность так перестроить эти уравнения, что проблема отыскания амплитуд процессов сведется к решению системы, состоящей уже всего из двух интегральных уравнений, а не из трех. Чтобы осуществить такую перестройку, введем ф. Г. Сз(財，局I 抬，抬；£)，отвечающую гамильтониану
Нз = Hq + Уз(6.8)
вз а и модействующих с внешним потенциальным полем частиц 1 и 2, но без учета их взаимодействия друг с другом:
(瓦-e) G3回 拠;*,抬;可=6 (% 一砲6 (財-働 (6.9)
Соответствующий оператор Грина есть
G3(E) = [H3-(E + iy)]~l,(6.10)
причем из (6.10) и из операторного тождества (1.18) следует:
G3 = Go G0P3G3.(6.11)
Важным для нас свойством ф. Г. G3 является возможность представить ее в виде (см. § 4, гл. IV)
&(七)=击1金鼠理*血， (6.12)
где g(23)и g&3)— функции Грина частиц 2 и 1 в поле частицы 3:
(£г+^~е)5(18> (瓦，К，8)= 6 (% - А，，(6.13) (昙 + % -便 一 8)) g3)(质，K，E _ e) = 6 色2 _ К). (6.13') (Справедливость (6.12) легко проверяется подстановкой (6.12) в (6.9).) Таким образом, нахождение трехчастичной функции Грина G3 сводится к решению простой за-
дачи о движении отдельной частицы во внешнем потенциальном поле, т. е. к решению уравнений (6.13) и (6.13') и последующему вычислению интеграла в формуле (6.12).
Такое существенное упрощение является следствием бесконечной массы ш3 = оо. Благодаря этому обстоятельству частица 3 не испытывает отдачи при взаимодействии с частицами 1 и 2, и поэтому частицы 1 и 2 не влияют друг на друга. При конечной массе ш3 это было бы уже не так: частицы 1 и 2 влияли бы друг на друга даже при 歹吃=0 через частицу 3 с помощью тривиального механизма: частица 1, действуя на 3, сдвигает последнюю, а та «тянет» за собой частицу 2, так что в результате движение частиц 1 и 2 оказывается связанным.
Другим важным для нас свойством ф. Г. в виде (6.12), является то, что в ней учтены условия излучения по двум парам координат: и по гхз и 冷3・ Это опять-таки является следствием бесконечной массы ш3, благодаря чему частицы 1 и 2 движутся совершенно независимо Друг от друга.
Теперь займемся непосредственно выводом уравнений движения двух частиц во внешнем потенциальном поле. Удобно снова исходить из уравнений Липпмана — Швингера для волновой функции системы трех частиц (мы сохраняем обозначения §§ 1 и 2)
呼他p)=一加g(e)①伊也p], (6.14)
которые были получены в § 2 (см. (2.9)) и куда входит полный оператор Грина:
g(e)=旧一(e +汕尸.
В качестве волновой функции Ф^, ха р а ктер из ующей начальное состояние нашей системы, должна быть выбрана:
либо функция свободного движения частицы {1 2}, если нас интересуют процессы типа (6.6); эта функция нмеет вид
①歌 А (%，Рз)=我!2 (%)。(р「尸3)‘ (6.15)
где(pg2— волновая функция связанного состояния частиц 1 и 2, ei2 — их энергия связи, а Рз — импульс свободного движения частицы {1 2} до столкновения;
либо функция
①聲 К(匕，砌=m%-%)4е(砌，(6・i5')
если нас интересуют процессы типа (6.7), когда частица 1 с импульсом Ki сталкивается с частицей 2, находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального поля (баз — энергия этого уровня, а его волновая функ- ЗЯr式月))；
либо волновая функция свободного движения частиц 1 и 2, если нас интересуют процессы, происходящие при столкновении свободных частиц с внешним потенциальным полем.
Дальнейшее преобразование уравнения (6.14), как и в §§ 2, 3, связано с использованием различных представлений уравнения для полной ф. Г. G. Нам понадобятся только два уравнения для полной ф.Г. G, а именно:
G = G3— G3Pi2G(6.16)
и宀
G = @12 — @12方 3G.(6.16')
В первом из них учтены условия излучения по координатам &з и 门з, а во втором — по координате 门2.
Рассмотрим сначала столкновение частицы {12} с внешним потенциальным полем. Функция Ф^ в уравнении (6.14) в этом случае должна быть выбрана в виде (6.15)二 Подставляя далее поочередно в уравнение (6.14) ф. Г. G, представленную в виде (6.16) и (6.16), и затем используя приемы, аналогичные тем, которые вели нас в §§ 2 и 3 от уравнения (2.9) к уравнениям (3.1а)— (3.1в), находим, что точная волновая функция 4r吃2P紋 описывающая столкновение частицы {12} с внешним потенциальным полем, является решением уравнений
屮Зз =①爆з — & 12/3%g(6,17)
= — @3声 12 唄 1m.(6.18)
Следует указать, что при этом мы воспользовались cq- отношением (2.11) и соотношением
iy@3 吗工=0 при у f О,
которое следует из тех же соображений, что и (2.11).
В § 3 подробно обсуждался вопрос об однозначности решения интегральных уравнений задачи трех тел с конечными массами. Все соображения общего характера, которые там были при этом высказаны, применимы, конечно, и к уравнениям (6.17) и (6.18): каждое из уравнений (6.17) и (6.18), взятое в отдельности, не гарантирует однозначности решения рассматриваемой задачи, так как в этом случае не удается учесть все необходим мые для этого условия задачи.
Однако взятая в совокупности, пара уравнений (6.17), (6.18) учитывает все граничные условия: в уравнении (6.17) G12 учитывает «условие излучения» по координате г 12 относительного движения частиц 1 и 2. В уравнении же (6.18) учтены целых два условия излучения: по координатам гх и г2. Этого удается достигнуть благодаря тому, что бз при Шз —> оо может быть представлена в виде (6.12), который обеспечивает существование только расходящихся волн частиц 1 и 2. Именно в этом проявляется эффект бесконечной массы частицы 3 (отсутствие отдачи).
Совершенно аналогичная ситуация возникает и при решении задачи о столкновении частицы 1 с частицей 2, связанной во внешнем поле ^2з・ Волновая функция 屮耽3«丿 которая отвечает этому случаю, является решением уравнений
唄 2зК= — 612^3 屮825K 卩(6.19)
屮 823Kl =①&Fk — g3%2 可勿3Q(6.20)
где(pKi——волновая функция, описывающая рассеяние частицы 1 на внешнем потенциальном поле в отсутствие частицы 2.
Уравнения (6.19) и (6.20) получены тем же способом, что и уравнения (6.17) и (6.18) с учетом условия
iY伉2R"02凤的) = 0，
加©3乳"(В)屮к,但i) = - % 02)屮К (约 прн Y f 0.
Как и в предыдущем случае, для однозначного решения задачи о столкновении одной частицы с другой, находящейся на дискретном уровне потенциального поля, необходимо использовать оба уравнения (6.19) и (6.20) и искать совместное их решение.
§ 7. Формулы для нахождения амплитуд различныхпроцессов
Конечной целью исследования любой реакции - является вычисление ее амплитуды. Вычислению амплитуд реакций (6.6) и (6.7), которые можно описать в рамках задачи движения двух частиц во внешнем потенциальном поле, и посвящен этот параграф.
Согласно формуле (4.3) амплитуды реакций (6.6) запишем в виде
旷ущ)=—〈晩，》з屮喟р(»(7.1а)
歹срЫВ = -(<Pe(f)T^f)> R12屮噌噌〉，(7.1 6)
歹разв =-(噺)喝)，R12屮巡或))(7.1b)
и т. д. Здесь 屮&(i)p(i)— точная волновая функция, характеризующая столкновение частиц 1 и 2 в связанном состоянии (как и обычно будем называть это связанное состояние частицей {12}) с внешним потенциальным полем, которая должна быть найдена, как было показано в предыдущем параграфе, из совместного решения уравнений (6.17), (6.18);①**§)—волновая функция свободного движения частицы {12} после упругого рассеяния (£图==£&)，Фе(р — волновая функция, характеризующая связанно^ состояние частицы 1 во внешнем пр-
тенциальном поле У13 (嚨一ее энергия); <р?；)(屮%；)) — волновая функция, отвечающая непрерывному спектру значений энергии К俨 12nl2(KP72m) частицы 2 (1) во внешнем потенциальном поле %з (R13), удовлетворяющая соответствующим конечному состоянию граничным условиям: плоская волна плюс сходящаяся. Так как в реакциях выполняется закон сохранения энергии, то кинематика рассматриваемых реакций определяется соотношениями, которые соответственно для матричных элементов (7.1а) — (7.1в) имеют вид
(7.2a)(7.26)(7.2b)(7.2a)(7.26)(7.2b)E = 4? + k = K2 + ^PE = 4? + k = K2 + ^PE =嘴子E =嘴子P(炉P(炉2加1十2m32加1十2m3р(П2
(7.2a)
(7.26)
(7.2b)
(7.2a)
(7.26)
(7.2b)
E = 4? + k = K2 + ^P
E = 4? + k = K2 + ^P
E =嘴子
E =嘴子
P(炉
P(炉
2加1十2m3
2加1十2m3
Наконец, дифференциальные сечения рассматриваемых реакций, согласно формуле (4.6), выражаются через соответствующие этим реакциям амплитуды (7.1а) — (7.1в), следующим образом:
铝=(2 疗庐圖旷 упр/С%,(7.2г)
号詐=(2孔)4 方2®гз^1 歹cphb I2 dQn,(7.2д)
需=怨£区:户卜一若+输^p. (7,e)
Амплитуды реакций (6.7) запишутся соответственно в виде
д%асс =
-（R歛喝Ь，r典駆（/）〉‘
(7.3a)
夕 подхв =
-（①闘噌,r3屮啜叶）〉,
(7.36)
夕 выб =
-(叫)咆)%24r啕Kf)〉
(7.3в)
и т, д. Здесь 4f8罢)鼓«)— точная волновая функция задачи столкновения частицы 1 с частицей 2, находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального поля, удовлетворяющая уравнениям (6.19) и (6.20), а обозначения для волновых функций, характеризующих состояния, которые возникли в результате реакций, аналогичны обозначениям, использованным для соответствующих целей в предыдущем случае.
Кинематика данных реакций определяется соотношениями, которые соответственно для матричных элементов (7.3а) — (7.3в) имеют вид
e =嗡7e =嗡727nl27nlК俨=嚙+ *?，К俨=嚙+ *?，
e =嗡7
e =嗡7
27nl
27nl
К俨
=嚙+ *?，
К俨
=嚙+ *?，
内产p(f)2
e=嗡+ *?=嘅+*，
£ 一 ％ I 2/П] - 2g 十 22
а дифференциальные сечения этих реакций, согласно (5.6), связаны с соответствующими этим реакциям амплитудами (7.3а) — (7.3в) следующим образом:
(7.3д)(7.3д)器=(2л)4 fi21 旷расе I2 rn? dQ畤)，(7.3г)
(7.3д)
(7.3д)
-壶一=(2Л)4 方2 I 夕"подхв I2 加J (抗 1 + 加2)灭两 dQp"
峭6 =(2"力)4/峭6 =(2"力)4/5宀［e 一爆+釣卜心 dM(7.3e)5宀［e 一爆+釣卜心 dM(7.3e)
峭6 =(2"力)4/
峭6 =(2"力)4/
5宀［e 一爆+釣卜心 dM
(7.3e)
5宀［e 一爆+釣卜心 dM
(7.3e)
Как и в §§ 3, 4 этой главы для вычисления этих амплитуд удобнее использовать не волновую функцию 4f心 а величины
T(⑵二%2理，t(3)= %%. (7,4)
Поэтому перейдем от уравнений для волновых функций Тг к уравнениям непосредственно для этих величин.
Сначала рассмотрим процесс соударения частицы {1 2} с внешним потенциальным полем. Умножим в one*
раторном смысле уравнения (6.17) и (6.18), характеризующие этот процесс, соответственно на Р12 и Рз・ Далее, воспользовавшись определением (3.12) для оператора 「12, введенного в § 4, находим, что уравнения (6.17) и (6.18) для волновой функции Y(f)(/), описывающей 气2户3
рассматриваемый процесс, переходит в систему двух зацепляющихся интегральных уравнений для функций Т(12) т(з)
I&12& Н ‘812*3
$3=践①噌噌."G/院，(7.5а)
7鼠飞=-仇а37歌飞.(7.56)
Эта система тривиально расщепляется подстановкой, например, уравнения (7.56) в (7.5а)
^3=底①喟噌 + 北 G°%G3T；N(7.6)
Совершенно очевидно, что можно было бы расщепить систему и с помощью подстановки (7.5а) в (7.56). Тогда бы мы пришли к уравнению для Т^Рз- Однако удобнее воспользоваться первым способом, так как он окажется предпочтительным для дальнейших целей. Представим окончательно уравнение (7.6) в виде
喘二底①咽噌一小а脸，(7.7)
где
А©з= ©3 — ©0= — ©о/з©з・(7.8)
Укажем, наконец, что первый член в правой части уравнения (7.7) можно записать в виде
底① W {亲г +蔓—е}%瓦)6(РзТ))・(7.9)
Это соотношение выведено здесь тем же способом, что и соотношение (3.13).
Теперь перейдем к задаче столкновения частицы 1 с частицей 2, находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального поля, и проделаем те же преобразования, что и в предыдущем случае, т. е. умножим
в операторном смысле уравнения (6.19) и (6.20) для волновой функции 屮£(;)«%), описывающие этот процесс, соответственно на операторы 卜後 и Р3; приходим к системе из двух зацепляющихся интегральных уравнений ДЛЯ функции Те^К! И 喝勺：
7 歌Q = — Ti2@o 嚐з«1， (7.10a) 喝勺=%中麥KfL%"*■(7・1。6)
Эта система тривиально расщепляется подстановкой одного из уравнений в другое. Для дальнейшего удобнее это сделать подстановкой (7.106) в (7.10а). После простых преобразований находим, что система интегральных уравнений (7.10а) и (7.106) сводится к одному,интегральному уравнению для функции 7^/)^/):
823К1
7瑞勺=瓚3勺一几2 AG3T躋勺，(7.11)
где
喝「-北儲%^啜呪尸7死妒Y)•(7.12)
Отметим, что при выводе как этой системы интегральных уравнений, так и системы (7.5) были использованы оба интегральных уравнения (6.17), (6.18), необходимых для однозначного определения волновой функции интересующего нас процесса. Поэтому полученные системы (7.5) и (7.10) уже автоматически оказываются однозначно разрешимыми,
Теперь нам остается показать, как амплитуды реакций, которые здесь рассматриваются, выражаются либо через решение интегрального уравнения (7.7), либо через решение интегрального уравнения (7.11) в зависимости от того, какой из исследуемых процессов рассматривается. Для этого, воспользовавшись выражениями (7.1а) —(7.1в) для амплитуд реакций (6.6), которые возможны при взаимодействии частицы {12} с внешним потенциальным полем, определением (7.4) величин Т睢з и Г^з» операторным тождеством
6з@з= G；*oR3Gз= —@鼠％@3 (7.13)
и, наконец, формулами (7.56) и (7.9) находим, что эти амплитуды выражаются через решение Т&^р3 уравнения (7.7) следующим образом:
6464(7.14в)(7.14в)
6
4
6
4
(7.14в)
(7.14в)
Аналогичным образом находим и соотношения, связывающие амплитуды реакций (6.7) (возможных при столкновении частицы 1 с частицей 2, находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального поля) с решением ?!；；%] уравнения (7.11). Они имеют вид
歹歹подхвподхв歹歹выбвыб(7.15а)(7.156)(7.15в)(7.15а)(7.156)(7.15в)
歹
歹
подхв
подхв
歹
歹
выб
выб
(7.15а)
(7.156)
(7.15в)
(7.15а)
(7.156)
(7.15в)
Итак, в этом параграфе мы показали, что решение частного случая задачи трех тел, а именно задачи о дви-< жении двух взаимодействующих друг с другом частиц во внешнем поле, сводится к решению одного интегрального уравнения, зависящего, вообще говоря, от двух трехмерных переменных.
§ 8. Две частицы во внешнем поле. Случай точечного взаимодействия между частицами
В случае, когда между частицами 1 и 2 действуют точечные силы (§ 9 гл. IV), . функция Т^, входящая в уравнения движения двух частиц в поле (уравнения
(7.7) и (7.11)), имеет вид
Это выражение непосредственно следует из (9.18) гл. IV. Важным для нас свойством точечного взаимодействия является то, что Г12 в этом случае не зависит от векторных переменных й12 и 耳?・ Именно это обстоятельство мы и используем для существенного упрощения общих уравнений предыдущего параграфа, где вид взаимодействия между частицами 1 и 2 не конкретизировался.
Со случаем точечного взаимодействия мы уже сталкивались раньше, последний раз ——в § 5 этой главы при выводе уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна. Ниже мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и в § 5 этой главы и в § 9 гл. IV.
Будем считать, что длина рассеяния (а) частиц 1 и 2 друг на друге положительна, так что существует связанное состояние {1 2} этих частиц (дейтон). Волновая функция дейтона есть
包№户号У—；"=訳* (8・2) 2罐 12 _ “2
а его энергия
方2
52 一亏育.(8.3)
Будем называть частицы 1 и 2 нуклонами. В этом случае предположение о бесконечно малом радиусе действия ядерных сил между нуклонами является обоснованным приближением при условии не слишком большой энергии относительного движения этих нуклонов.
Цель настоящего параграфа — рассмотреть задачу о движении двух нуклонов во внешнем потенциальном поле. При этом, хотя взаимодействие нуклонов друг с другом предполагается точечным, форма внешнего потенциального поля может быть произвольной.
Рассмотрим сначала задачу столкновения дейтона с внешним полем. В общем случае решение этой задачи сводится к решению интегрального уравнения (7.7). Посмотрим, как видоизменится это уравнение в нашем случае. Для этой цели удобно преобразовать выражение (8.1), используя тот факт, что полная энергия Е может быть представлена в виде суммы кинетической энергии налетающего дейтона Ph /2п3 и его энергии связи (для удобства введем обозначение £d = —£氏 > 0):
(8.4)
С помощью (8.4) представим (8.1) в виде
Т12 = 2%з№ 学嘗叫 з：Рз),(8.5)
где
Хе(Рз) = ^< /~^(Е —豈) (8.6)
есть безразмерная функция от р3. Учитывая далее, что волновая функция дейтона % дается уравнением (8.2), находим с помощью (7.9) ■
除尸-№（Рз-Р“），（8.7）
где Рзг—- импульс налетающего дейтона.
Подставив теперь (8.5) и (8.7) в общее уравнение (7.7), получаем, что функция 丁!；；%^ не зависит от 左賜 и может быть записана в следующем виде:
脸l一吗⑴,(8.8)
где
(8.9)(8.9)Qp (Рз) = 6(Рз-%)-"3,P")—
(8.9)
(8.9)
2-汽丿击年呦*
夕(Рз»「3)= J 4(Рз, p3 Q/f("3 "&=
u/(P3,%)-『吋丿，岂P姻,(8.Ю)
2%(% -Р3j一力Y
/(Рз, pQ —
三— №%(Рз)」ДОз(Рз-^卷;网―崗,做Е)购叫・(8.11)
То, что в уравнения (8.8) — (8.11) не входит импульс 瓦2, является прямым следствием независимости двух- частичного оператора рассеяния Лг от 瓦2・ Введенные здесь функции Q,歹 и UE, как будет видно ниже, имеют простой физический смысл. Заметим прежде всего, что входящую в (8.8) функцию
Т^^^^' k^~ NQPii^ (88)
можно рассматривать как волновую функцию центра тяжести частиц 1 и 2. Действительно, переходя в ко- ординатное представление, имеем
U战g (4,论2)- %2 (厶-F)\2P3i (厶，Q (8」2)
Так как п12 по условию является точечным потенциалом, отличным от нуля лишь при rj =『2, то правая часть (8.12) пропорциональна значению точной волновой функции задачи 屮(尸1,尸2) при совпадающих значениях переменных 片 =/*2 = R (R — координата центра тяжести частиц 1 и 2). Поэтому введенную в (8.8) функцию йрз，(р3) можно рассматривать как записанную в импульсном представлении волновую функцию центра тяжести частиц 1 и 2.
Обратим теперь внимание на то, что система уравнен 喃 (8.9), (8.10) по форме совпадает с уравнением
Шредингера, описывающим в импульсном представлении рассеяние одной частицы с массой %з = 加1 + 加2 на потенциале Ue・ При этом Q играет роль волновой функции частицы, 歹一роль ее оператора рассеяния (см. формулы § 6 гл. IV), а потенциал Ue задается равенством (8.11).
Таким образом, мы приходим к нетривиальному выводу, что в случае точечного взаимодействия между частицами 1 и 2 движение по координате центра тяжести этих частиц строго отделяется даже в присутствии внешнего поля; движение центра тяжести описывается одночастичным уравнением Шредингера (8.10).
Анализ, который мы здесь приводить не будем, показывает, что такое отделение центра тяжести частиц 1 и 2 возможно и в случае неточечных взаимодействий между ними. Но в этом последнем случае отделение будет не строгим, а приближенным. Поправочные члены будут иметь относительный порядок величины г0/р» где го——радиус взаимодействия 。貶，а р ——радиус действия внешнего поля (т. е. потенциалов Ui3 и t/23).
Теперь установим связь между амплитудами реакций, которые возможны при взаимодействии дейтона с потенциальным полем (см. (6.6)), и функцией Q. Для этого воспользуемся соотношениями (7.14а) — (7.14в), полученными в предыдущем параграфе и определяющими эти амплитуды через т£?Рз，Подстановкой (8.8) в (7.14а) —(7.14в) и с помощью (8.7) легко находим：
夕"упр ~ 乡("з, Рз/) 1рз=рз^» (8-13) 旷cphb = N『^Шк^-^^dp^ (8.14) 旷разв = " j 啖；；(幻呢);(Рз - Z) QP3i (Рз)叭 叫•(8.15)
В этих формулах Р3/, К^ и Кг/ ——импульсы в конечном состоянии дейтона, первой частицы и второй частицы соответственно; (pei3 — волновая функция связанного состояния частицы 1 во внешнем поле, заселяемого в реакции срыва.
Из выписанных выше формул для амплитуд видно, что в рамках сделанных в начале этого параграфа
предположений решение задачи трех тел сводится к решению последовательности более простых задач о движении одной частицы в заданном потенциале: частица 1 ——в потенциале U⑶ частица 2 ——в потенциале U23 и, наконец, частица {1 2} в потенциале。后，задаваемом формулой (8.11). Отметим также, что амплитуда рассеяния дейтона совпадает с величиной 歹.Согласно данной несколько выше интерпретации функции Q так и должно быть, так как, согласно определениям, величина ^ имеет смысл одночастичного оператора рассеяния, соответствующего функции Q.
Соотношения (8.8) — (8.15) исчерпывают задачу о столкновении дейтона с внешним полем. Сейчас мы рассмотрим другой класс задач, возникающих при попытке описать процесс соударения частицы 1 с частицей 2, находящейся на одном из дискретных уровней внешнего поля.
Уравнение, описывающее этот класс задач, было выведено в предыдущем параграфе (см. (7.11), (7.12)). В развернутом виде это уравнение имеет вид 階0(△)=%彎仆尸
=J T12(%2, "з；圻2, Р$ ^) ^Рз ^1г{ Фе^ (^0 ^Kj. (^1)
-f d韜明FG3囹,抬；外整；七)7雷小,依)}.e16)
Искомая функция Т&2) зависит только от одного векторного аргумента р3, так как из-за точечности взаимодействия 612 правая часть этого уравнения не зависит от 左 12 (см. (8.1)). Оператор рассеяния Т12 в нашем случае удобно представить, используя введенные выше обозначения, в виде
% (%2, Рз； % р£； Е) = 2%№ -^^~^~ • (8.⑺
Отсюда видно, что функцию 71* 仆 удобно искать в форме
喟к*)=2%%卒+電」*,①3).(8.18)
Подстановка (8.17), (8.18) в (8.16) приводит к уравнению
①(Рз) = / % (Рз - %) $а (幻叫-
-侬，圖①(冲吗(8.19)
*_-(e+^ + w)
где ф и <р* — волновые функции начального состояния, связанного состояния частицы 2 во внешнем поле и налетающей на внешнее поле с импульсом Кн частицы 1 соответственно. Это уравнение имеет вид уравнения Шредингера для одной частицы в потенциале U, причем последний задается формулой
UЕ(Р§, Рз)=
=-№{ J а6з(р3-论2,论5 网一局，及；E)d&d珞卜(砌.
(8.20)
Обратим внимание на тесную связь этого потенциала с потенциалом Ue (рз,爲)в формуле (8.11):
иЕ(р3, р^=им，р3).(8.200
Само уравнение (8.19), с другой стороны, отличается от стандартной формы у. Ш. для задачи о рассеянии только тем, что в качестве свободного члена в (8.19) стоит гладкая функция р3, а не 6-функция. Это обстоятельство и существование соотношения (8.20') делает почти очевидным тот факт, что введенная нами только что функция Ф должна просто выражаться через рассматривавшуюся в начале этого параграфа волновую функцию Q центра тяжести частиц 1 и 2. Мы не будем здесь на этом дальше останавливаться, предоставив вывод соответствующих формул связи читателю.
В заключение этого параграфа приведем формулы для амплитуд всех возможных процессов (6.7), происходящих при столкновении частицы 1 со связанным состоянием частицы 2 во внешнем поле. Используя
(7.15а) — (7.15в), легко получаем
夕расе (К]" К")夕расе (К]" К")=—№=—№屮;⑴（p3 一 *1）屮二:（瓦）%（p3）①（p3）屮;⑴（p3 一 *1）屮二:（瓦）%（p3）①（p3）Рз五г -(£+%+")Рз五г -(£+%+")dp3dkhdp3dkh夕"BM6(Ki"K2f； KQ =№ f ^f(Рз ~ k^ ф^Г ^ x(Рз)ф(Рз)夕"BM6(Ki"K2f； KQ =№ f ^f(Рз ~ k^ ф^Г ^ x(Рз)ф(Рз)-^- - (Е + S + 勿)-^- - (Е + S + 勿)dp3 d电,dp3 d电,夕подхв (Р3尸 К]/) ^ ^Ф(P3f).夕подхв (Р3尸 К]/) ^ ^Ф(P3f).(8.21)(8.22)(8.23)(8.21)(8.22)(8.23)
夕расе (К]" К")
夕расе (К]" К")
=—№
=—№
屮;⑴（p3 一 *1）屮二:（瓦）%（p3）①（p3）
屮;⑴（p3 一 *1）屮二:（瓦）%（p3）①（p3）
Рз
五г -(£+%+")
Рз
五г -(£+%+")
dp3dkh
dp3dkh
夕"BM6(Ki"K2f； KQ =
№ f ^f(Рз ~ k^ ф^Г ^ x(Рз)ф(Рз)
夕"BM6(Ki"K2f； KQ =
№ f ^f(Рз ~ k^ ф^Г ^ x(Рз)ф(Рз)
-^- - (Е + S + 勿)
-^- - (Е + S + 勿)
dp3 d电,
dp3 d电,
夕подхв (Р3尸 К]/) ^ ^Ф(P3f).
夕подхв (Р3尸 К]/) ^ ^Ф(P3f).
(8.21)
(8.22)
(8.23)
(8.21)
(8.22)
(8.23)
В обозначениях § 6 процесс подхвата 1 + {2 3}-> т {1 2}十 3 является обратным по отношению к процессу срыва {1 2} + 3-* 1 + {2 3}. Согласно самым общим теоремам квантовой механики амплитуды этих процессов, (8.23) и (8.14) соответственно, должны быть просто связаны друг с другом (см. параграф об обратимости времени в гл. VIII). Такая связь действительно существует, но чтобы сделать ее очевидной, надо выражать функцию Ф в (8.23) через функцию Q, входящую в (8.14). Если это проделать, то вместо (8.23) для амплитуды подхвата получим формулу
рподев уз产 О = J 碰二 p3f ("3) % ("з 一耳)Фки (耳)如3 %， (8.23z)
Сравнение (8.14) и (&23‘)наглядно демонстрирует тот факт, что амплитуды, даваемые этими формулами, соответствуют обращенным во времени процессам.
9. Рассеяние нейтронов на химически связанномпротоне
С физической ситуацией, описанной в конце предыдущего параграфа, физики встретились лет 30 назад, когда Э. Ферми начал изучать взаимодействие нейтронов с веществом. Тогда возник вопрос, чем отличаются се- чения рассеяния нейтрона на свободном протоне и на
протоне, входящем в состав какой-нибудь молекулы.. При этом, очевидно, заметные поправки к «свободному» сечению могут возникнуть только, когда энергия налетающих нейтронов Еп не очень велика ——порядка энергий связи атомов в молекуле (1 ——10за).
Впервые сечение рассеяния нейтронов на химически связанном протоне было рассчитано в 1936 г. (Э. Ферми, 1936) с помощью метода, получившего позднее название «метод псевдопотенциала». Им было получено приближенное выражение для амплитуды этого процесса («приближение Ферми»). Попытки улучшить приближение Ферми предпринимались неоднократно, но без особого успеха. Только в последние годы, уже после появления основополагающих работ по теории трех тел, удалось корректно оценить точность «приближения Ферми», которая, кстати говоря, оказалась совсем не такой высокой, как считалось раньше.
Чтобы оценить характер «приближения Ферми», воспользуемся точными формулами предыдущего параграфа, описывающими процесс рассеяния частицы 1 (нейтрон) на частице 2 (протон), связанной в поле бесконечно тяжелой частицы 3 (остов молекулы). Радиус нейтрон-протонного взаимодействия г0 ~ 2 • 10-13 см, что на четыре порядка меньше характерных молекулярных размеров, и это полностью оправдывает сделанное в § 8 предположение о точечном характере взаимодействия между частицами 1 и 2.
Реальные нейтрон и протон обладают спином и взаимодействие между ними зависит от величины их полного спина 5 = 0,1. Приведенные ниже конечные формулы (9.7), (9.8) годятся для каждого из этих двух случаев. Только под а надо понимать либо синглетную, либо триплетную амплитуду рассеяния. Для определенности во всех рассуждениях ниже будем предполагать, что существует связанное состояние наших двух частиц (это соответствует случаю 5 — 1).
Точная амплитуда рассеяния дается формулой (8.21) 广屮;,“Рз-М)屮^%(М)%(Рз)①(Рз) 尸(Kf, Кг)=-№ j 2—— ;dp3dkx,
登-(E + ed + W)(9.1)
в которой индексами р и п обозначены протонные и нейтронные в. ф., а все остальные обозначения те же, что и в § 8. Входящие в эту формулу величины х и Ф определены формулами (8.6) и (8.19), (8.20). Приближением Ферми для амплитуда этого же процесса называется следующая формула：
%epMH(Kf，&)=4冗2m]2灰『吭 f (Рз - Kf) %, £ (Рз - У)也，
(9.2)
где а — это амплитуда рассеяния нейтрона на свободном протоне,(рр, ^ и (рр( z — в. ф. конечного и начального состояний протона в молекуле, а К/ н Ке ——конечный и начальный импульсы нейтрона.
Чтобы получить «приближение Ферми» из точной формулы (9.1), надо сделать следующие приближения:
при решении уравнения (8,19) для функции Ф надо ограничиться нулевым приближением
①(Рз)"① о (Рз)= f Ki (Рз 一 ％) К к；(幻 d%. (9.3)
пренебречь взаимодействием 6招 между нейтроном и остовом молекулы (частица 3). При этом
%, Ki 便)=6停 _ К), <■% 传)=6 (尼一К).(9.4)
пренебречь всеми величинами размерности энергии в (9.1) по сравнению с энергией связи дейтона
%(Рз) = ^_；]/G(e_券)«4，(9.5)
万丁 一 (e 十 % 十")* 一 %.(9.6)
Подставляя (9.3) —(9.6) в (9.1) и используя (8.2), (8.3), немедленно получаем формулу «приближения Ферми» (9.2). Сечение рассеяния можно получить с помощью формул § 4. Подставляя (9.2) в (4.6), получаем сечение рассеяния нейтрона на химически связанном протоне:
2л sin Od0.(9.7)2л sin Od0.(9.7)廡⑷=(黑『d I『％, f (% - g) фр, i (Рз)叭
2л sin Od0.
(9.7)
2л sin Od0.
(9.7)
Здесь g ——переданный нейтрону импульс: q = Kf — Ku а 0 — угол рассеяния. Если q = 0, что возможно, либо когда энергия нейтрона очень мала и К产 Kt 忆 0, либо когда рассматривается упругое рассеяние вперед, формула (9.7) сильно упрощается из-за ортонормирован- ности протонных в. ф. Интеграл от произведения волновых функций в этом случае равен символу Кронекера 6订,т. е. возможно только упругое рассеяние; его сечение равно
do(q = 0) = ("^"У а2 • 2冗 sin В dB = 4а2 • 2л sin 6 dB. (9.8)
Это сечение в четыре раза больше, чем сечение рассеяния нейтрона на свободном протоне. Физическая причина этого явления заключается в том, что при рассеянии нейтрона на протоне, связанном в молекуле, отдачу воспринимает не один протон, а вся молекула, масса которой бесконечна: /п3 + /п2 = оо. С другой стороны, сечение рассеяния двух частиц друг на друге обратно пропорционально квадрату их приведенной массы:
о~М =о~М =Л \2
о~М =
о~М =
Поэтому, если при всех прочих равных условиях менять массу частицы 2 от 汝=g до т^ — оо, то сечение возрастает в четыре раза. Именно это и произошло в рассматриваемом нами случае.
В заключение этого параграфа рассмотрим кратко характер упрощений (9.3) — (9.6), содержащихся в приближении Ферми. Анализ показывает, что наиболее обоснованными являются упрощения (9.6), (9.5). Так как молекулярные энергии и энергии медленных нейтронов имеют порядок величины Е〜-^-~8q=1 за, а энергия связи дейтона £d = 2,2 Мэв, то относительная точность (9.6) и (9.5) составляет 10'6 и 10-3 соответственно. Относительная ошибка, связанная с упрощением (9.4), также имеет примерно такой же порядок величины, так как физически это упрощение соответствует пренебрежению эффектами перерассеяния внутри молекулы
(нейтрон сначала рассеивается на частице 3, а уж затем на 、а 10~12! п-4
протоне), порядок величины которых — = —~ 10 •
Здесь а ^ 10~12 см ——это порядок величины амплитуды рассеяния нейтрона на остове молекулы (частица 3), а /? = 10~8 см一 расстояние между ядрами атомов в молекуле.
Наибольшую ошибку вносит приближение (9.3). Как оказывается, отбрасывание второго члена в уравнении (8.19) для функции Ф, приведшее к (9.3), законно далеко не всегда. Хотя ядро интегрального уравнения (8.19) и содержит малый параметр 3R ^ 10"4, который легко усмотреть при обезразмеривании входящих в (8.19) величин, при определенных значениях энергии Е второй член в (8.19) перестает быть малым. Это происходит, когда энергия рассеиваемого нейтрона близка к порогу возбуждения молекулы, при котором протон переходит на один из расположенных выше уровней. Физическая картина того, что при этом происходит, подробно разобрана в главе о пороговых явлениях. С точки же зрения формализма происходит следующее: входящая в выражение для эффективного потенциала % функция Дб3, рассматриваемая как функции энергии, имеет полюса в точках расположения дискретных уровней протона в поле частицы 3. Наличие этих полюсов приводит к резкой зависимости % от энергии. В частности, когда энергия нейтрона близка к порогу возбуждения одного из протонных уровней, потенциал UE неограниченно возрастает; в результате второй член в уравнении (8.19) может оказаться сравнимым с первым При этих условиях, которые не так уж редко встречаются, «приближение Ферми» становится очень грубым, и относительная ошибка может достигать десятков процентов. Строгий расчет сечений в этом случае еще никем не производился.
ГЛАВА XI
МОДЕЛЬ ЛИ
Введение. Импульсное представление
Обычно область нерелятивистской квантовой механики (в рамках которой находится материал данной книги) ограничивают процессами движения частиц в том или ином поле. Процессы рождения и превращения частиц относят к релятивистской теории или, как ее иначе называют, теории квантованных полей.
Такое разделение имеет глубокие основания, так как при рождении новой частицы нет причины, чтобы ее энергия была специально близка к ее массе покоя. В общем случае, следовательно, рождаются частицы с Е—/нс? ~/нс?, т. е. с релятивистскими скоростями.
Рассмотрение рождения пар частица — античастица целиком связано с релятивистской формой теории. Поэтому нерелятивистская теория рождения и превращения частиц не может претендовать на прямые физические приложения (мы не касаемся здесь проблемы многих тел, где возникает понятие квазичастиц, описывающих коллективные возбуждения). Однако нерелятивистская теория может иметь педагогическое значение.
Релятивистская теория сразу обрушивает на обучающегося целый ряд новых понятий: меняется определение плотности вероятности, возникает понятие античастиц» необходимо рассматривать лоренц-инвариантность теории, существенную роль играет световой конус, доведение теории до наблюдаемых результатов требует перенормировки массы и заряда, возникает проблема «московского нуля» заряда.
В нерелятивистской теории рождения частиц, относящейся к идеализированной модели, можно в спокойной
обстановке изучить физический смысл одной части этих новых трудных понятий. Опыт показывает полезность такого методического приема, если не для всех, то во всяком случае для огромного большинства физиков; вместе с тем из этого правила есть и исключения: Л. Д. Ландау был физиком-теоретиком, который не нуждался в моделях и отрицательно относился к ним.
Конкретная модель такого рода была подробно рассмотрена в работе Т. Ли (1954) ) и вызвала большой интерес. Ниже будет рассмотрена модель Ли с некоторыми видоизменениями. Ли рассматривает совокупность трех типов частиц; два типа ——тяжелые V и ^, третий тип — легкая частица 6. Для такой частицы Ли пользуется релятивистским уравнением Е? = с2р2 + /и2c± При этом, однако, античастицы 0 не р асем атр ив аются, и для всей работы это весьма существенно: именно благодаря отсутствию античастиц можно ограничиться малым числом типов состояний N: или L 岩 N + 0 или 0 + V ^> # + 20. Если бы мы учли античастицы, то пришлось бы рассматривать неограниченную последовательность состояний
дг^±У + б^±дг + 0 + б^±У + е + 2б^±...
Игнорирование 0 и делает теорию такой, что вычисления могут быть проведены до конца.
Но если античастицы б не рассматриваются, то релятивистское приближение для 0 становится иллюзорным, непоследовательным.
Исходя из этого, ниже рассматривается теория, в которой 0 также является нерелятивистской:
现但)=D+盖).
Такая теория может иметь непосредственный физический смысл, если разность масс N- и 7-частиц близка к массе частицы 0:
I/пp 一加n一卩I《".
При этом, наряду с обычным в теории поля импульсным представлением, оказывается возможным записать все результаты и в координатном представлении.
Для волновой функции 0-частицы удается написать у. Ш. Возможность рождения 0 описывается неоднородностью в у. Ш., т. е. членом, не содержащим 也.Благодаря этому достигается наглядность теории. Особенно полезна наглядная трактовка перенормировки массы и заряда.
Модель Ли обобщена также на случай частиц N и V со спином. При этом наглядно показано (Я. Б. Зельдович, 1957А), как теория с несохранением пространственной четности приводит к связи между спином нестабильной частицы и направлением вылета частицы при распаде.
Наряду с педагогическим значением рассмотрение моделей оказалось полезным и эвристически, для предсказания качественно новых эффектов, относящихся к взаимодействию с электромагнитным полем в теории, в которой пространственная четность не сохраняется. Сюда относится дипольный момент нестабильной частицы (Я. Б. Зельдович, 1960Б; А. М. Переломов, 1962) и анапольный момент (взаимодействие с током стабильной частицы) (Я. Б. Зельдович, 1957Б; Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, I960).
Рассмотрим систему, состоящую из тяжелых частиц ^ и V и легких частиц 0. Гамильтониан системы без взаимодействия состоит из трех гамильтонианов свободного движения каждой из частиц:
〃о= /[^+ (г) V(г) + 2^ГVV+V7]dr +
+ f [mNN+ (г) 2⑺ + 栽 V^+V^]Jr +
+ J [卩4>+ ⑺屮 К) + 击 V(p+V<p] dr. (1.1)
Здесь mQl mN и ц,片，№ и(p+, V, N н <р—массы покоя и операторы рождения и уничтожения частиц V, " н 6 соответственно. Свойства этих операторов подробно описаны, например, в «Квантовой механике》 Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1963).
Перейдем теперь, сделав преобразование Фурье, к импульсному представлению. Через новые операторы, зависящие от импульса, гамильтониан запишется в виде
яо = 2 [Ev(й)7+VA + En(й)N^Nk + £0(й)ф>4]•"⑵
Но, как известно, вместо суммы по k можно писать интеграл по左：
/ = J d论[Ev(k)VtVb + En (论)巾" + 马优)qpg J (1宝)
Здесь
E® = m+捺(1.3)
Ясно, что при данном импульсе 左 кинетической энергией тяжелых частиц можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией 0-частицы. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться гамильтонианом
яо = pm0V+(r)7(r) + /n^+(r)^(r) +
+ Мр+ (，) @ ⑺ + 击 V<p+V<p] dr =
=j 応[恤^乙 + mNNtNb +(F + 篆)建％] (1.4)
и иногда опускать индекс k у операторов N* V* и 屮畜 для простоты письма. Итак, для 0-частицы зависимость энергии от импульса взята нерелятивистской, в отличие от оригинальной работы Ли, хотя и приплюсована масса покоя.
Собственные векторы % можно классифицировать по числу частиц того или иного сорта. Вакуумный вектор ]0〉является собственным для этого гамильтониана,
и соответствующее значение энергии £ = 0. Собственными векторами являются также векторы Р；|0〉, N； |0) и ф^ I 0) с энергиями Е = mo, Е = rnN и Е =卩十 罚 со・ ответственно *).
Заметим, что эти векторы нормированы на 8(k —— 尼')： 〈01 电"磁 |0〉=(叫% 喏]|0〉= 6但-&)(0|0〉= 6但-职). Проверить равенства типа Н^ | 0) = Е0 (й)(р+10) легко, используя правила коммутации операторов. Заметим, что так как энергия V и N не зависит от импульса, соб* ственными состояниями для Яо будут являться векторы ffi ⑺ и + (г)dr\0), J 力⑺ 乂+ ⑺ d川 0〉с произвольными функциями fi (г) и /2⑺.Нам еще понадобятся состояния, в которых одновременно имеются две частицы ——^ и 0. Соответствующие векторы “;屮工1°〉 нормированы на б-функцию и
e = mN十m+工^，
Включение взаимодействия. Введем в гамильтониан взаимодействие, соответствующее реакции V N + 6. Эта реакция описывается в гамильтониане членом типа V^+^q) + VN+(p+. Для простоты будем считать, что все эти операторы берутся в одной и той же точке, т. е.
H^g J[V+ (г) N (г) Ф(г) + 7 (г) ^+ (г) ф+ (间 dr. (1.5)
Хотя в нерел ятив и стекой теории возможно введение и нелокального взаимодействия, «дальнодействия», однако при переходе к релятивизму нелокальность в пространстве неизбежно приведет к нелокальности во времени и вступит в противоречие с представлениями о причинности. Поэтому мы и рассматриваем локальное
взаимодействие. В импульсном представлении 从 имеет такой вид:
修=gQ-北 R а (^：ЛА + 乙戶林：)九 А2+Аз,(1.6)
где Q — объем, внутри которого находятся рассматриваемые частицы. Переходя от суммы по А к интегралу по 瓦 получаем
"尸嵩7『叫购他e：m為+ /АлХ) х
Х6® 一局一闻).(1.69
Нетрудно видеть, что система, описываемая полным гамильтонианом
Н = % + Яь,
имеет два простых закона сохранения:
(1.7)(1.7)Кр + 几川=徇=COnst,fly + 几 e =几 2 = const,
(1.7)
(1.7)
где лу, Пу и /г。— полные числа V-, N・ и 0-частиц. Поэтому можно, да и естественно, в качестве собственных состояний системы выбирать состояния с определенным значением этих сохраняющихся чисел. Благодаря тому, что эти числа положительны (отсутствие античастиц), собственные функции содержат конечное число частиц, и задача может быть решена точно (без теории возмущений, например).
Легко видеть, что свободные N- и 0-частицы остаются собственными состояниями и при включении взаимодействия, причем энергия этих состояний остается той же, т. е.
(1.8)(1.8)(% + /7i)Ni|0〉= /nWt|0〉，
(1.8)
(1.8)
(/ + %)喏 |0〉= "+备)叫 о〉・
Однако 《голая》V-частица —卩力 | 0〉一 не является собственным вектором полного гамильтониана. Задачу о состоянии физической V-частицы | Уфиз>0) s| Vo) решим сначала в первом порядке теории возмущений. Матрич-
ные элементы взаимодействия Н\ для переходов из состояния Уo' I 0) отличны от нуля только для состояний “｝友<Р；|0〉・ Поэтому мы должны написать:
I Кфнз, o) = |Vo) = V?|O) +J dkf(k) ^^X I 0), (1.9)
где f(左)一величина первого порядка по g. Коэффициент при Vo 10) здесь принят равным единице, поскольку мы используем первый порядок теории возмущений.
Мы имеем уравнение
(H. + H^\V^^mv\V^(1.Ю)
Очень существенно, что уже при рассмотрении первого порядка теории возмущений мы берем точное значение энергии состояния ту, смещенное относительно zn0. Дело в том, что хотя поправка первого порядка к энергии равна нулю, уже во втором порядке теории возмущений /п0 ——ту становится бесконечным.
Приравнивая члены при Ntk<^ |0), получим
f®= —f®= —g (2к)-%En 传)+ Е。W - mvg (2к)-%En 传)+ Е。W - mvg (2用一%m小+亲一mPg (2用一%m小+亲一mP• (1.И)• (1.И)
f®= —
f®= —
g (2к)-%
En 传)+ Е。W - mv
g (2к)-%
En 传)+ Е。W - mv
g (2用一%m小+亲一mP
g (2用一%m小+亲一mP
• (1.И)
• (1.И)
Таким образом, вероятность найти физическую V-части- цу в виде N и 0 с импульсами от k ^ k + dk ъ первом порядке теории возмущений дается выражением
dh小便)一%]2商T・dh小便)一%]2商T・(1.12)(1.12)
dh
小便)一%]2商T・
dh
小便)一%]2商T・
(1.12)
(1.12)
Точное решение почти не отличается от первого порядка теории возмущений. Так как собственные состояния Н образуют полную систему, то естественно искать собственный вектор Н в виде суперпозиции собственных векторов Яо，Каждый член этой суммы должен принадлежать тому же значению «зарядов» п\ и пз, что и V+|0): rtj — 1, n2 = 1. Такими векторами являются, кроме 丫+|0〉, лишь двухчастичные состояния N；i<P；|0〉・
Поэтому решение будем искать в виде 1
I %〉= I 0〉+ J 叫 dkj (瓦，在2)<Ф：,1 °〉] •(L13)
Вполне нагляден смысл этой записи: состояние физической 7-частицы ищем в виде 《голой》 V-частицы, окруженной облаком продуктов ее распада (быть может, виртуального). Константа Z введена для нормировки вектора; для простоты мы рассматриваем покоящуюся V-частицу. Теперь следует потребовать, чтобы | %〉 было собственным вектором Яо + Hi с собственным значением шу ——наблюдаемой массой V-частицы. Очевидно, автоматически будет выполнен закон сохранения импульса:
f (月，瓦)=/(左2)3值1 +瓦).
Поэтому уравнение сведется к следующему:
(Яо+旬 М + J d论 f(k)^tx] 10〉=
==/n^[^ + J d论№)NtwR|0〉・
Приравнивая коэффициенты при N=夜屮^丨0〉， получим для f(k) старое выражение (1.11).
Предположим, что к? — 2卩(mN + и—加卩)> 0. Это обеспечит стабильность 7-частицы ). Далее, приравняв члены с У o' 10), имеем
m)=тy — g (2力一% J dk f (左)=
,91「 dh,卩g2广左2 d左
u^y + ^EJ E(初-my =my+R J ^+^-(LI4)
Полученное уравнение можно рассматривать как способ определить наблюдаемую массу nty через т^ и g. Однако ту входит в это уравнение достаточно сложным образом: и в виде слагаемого, и в 乂？. Удобнее поэтому
определять mQ через g и наблюдаемое экспериментально значение массы mv^ Если взаимодействие строго локально, т. е. имеет вид (1.5), то интеграл в (1.14) расходится. Заметим, что при релятивистской зависимости E(k) он также расходится. Следовательно, затравочная масса т0 должна быть взята бесконечной положительной для того, чтобы получить конечную наблюдаемую массу mVt Это и есть перенормировка массы V-частицы. Вычислим теперь нормировочную постоянную Z, требуя, чтобы ( Уфиз I ^физ) = 1. Мы получим
+崙伊但)'mJ2・(1.15)
При нерелятивистской E(k) в теории со скалярным локальным взаимодействием этот интеграл сходится. Однако если взять векторное взаимодействие (см. ниже), то этот интеграл также будет расходящимся. При релятивистской же E(k) этот интеграл расходится и для скалярного взаимодействия.
Заметим одно важное равенство:
箫.(1.16)
Оно сохраняется и в релятивистском случае, когда обе величины, ZT и т0, выражаются расходящимися интегралами.
Для того чтобы понять физический смысл этого равенства, подействуем на систему, находящуюся в состоянии [У。〉, малым возмущением вида АЯ = А/поУб^Уо- Масса физической частицы V при этом изменяется: А/п = ВА/no, причем коэффициент 8 есть доля 《голой» частицы V в физической У-частице, т. е. В = Z. Заметим, что такой способ определения доли «голой» частицы V в физической У-частице аналогичен рассмотренному в гл. VII способу определения времени столкновения частицы с помощью магнитного поля.
Итак, вероятность найти физическую V-частицу в виде 0 и ^ в точном решении равна
g?Z dk
т. е. по сравнению с теорией возмущений g? заменяется величиной g%
屛=Zg2 = g2 ( 1 +各『题产砲2 }T = g2 (1 +g%尸.
(1・17)
Так как эта вероятность является наблюдаемой величиной, то наблюдаемой величиной должен быть именно перенормированный заряд g% Очень важно, что именно g； войдет в формулы для сечения рассеяния, которое, несомненно, является наблюдаемым.
Рассеяние в скалярном взаимодействии. Введение взаимодействия в гамильтониан приводит к тому, что состояние, в котором имеются одновременно № и 0-частицы с определенными импульсами, перестает быть собственным. Попросту говоря, это означает, что появляется рассеяние. Рассмотрим стационарую задачу о рассеянии 0-частицы на N ). Естественно работать в системе центра масс (что, впрочем, для нас несущественно, так как ^ и V гораздо тяжелее, чем 0). Как и обычно, в решение включаем падающую волну "±薪屮;10〉， рассеянную волну и виртуально образующуюся У-частицу (《голую», а не физическую):
①=М^硝。〉+1森y 伍)(р：М变 10〉+"訐 0〉аm
и требуем, чтобы
(仇"])(D = E陶)①，(1.19)
где
E(k) =+
Из (1.19) получаем систему
(1.20)(1.20)X 优)【Е 伍)-Е (%)] + g (2п)-%С = 0,丨斤 I 吸 I 瓦 I, С[т0-Е 出]+ g (2л)-3/г[1 + f dfe X W] = 0.
(1.20)
(1.20)
Функция x(fe) "修二解一込.Функция x(fe) "修二解一込.имеет полюс при \k\ = \kQ\,имеет полюс при \k\ = \kQ\,Х(^) ^Х(^) ^Ее вычет в этом полюсе, как нетрудноЕе вычет в этом полюсе, как нетрудновидеть, определяет амплитуду рассеяния Л = 2л2В, а тем самым и сечение рассеяния. Для С получаемвидеть, определяет амплитуду рассеяния Л = 2л2В, а тем самым и сечение рассеяния. Для С получаемЕ (左)一Е (^о) —/вЕ (左)一Е (^о) —/вgg(2л)3/2(2л)3/2(1.21)(1.21)
Функция x(fe) "修二解一込.
Функция x(fe) "修二解一込.
имеет полюс при \k\ = \kQ\,
имеет полюс при \k\ = \kQ\,
Х(^) ^
Х(^) ^
Ее вычет в этом полюсе, как нетрудно
Ее вычет в этом полюсе, как нетрудно
видеть, определяет амплитуду рассеяния Л = 2л2В, а тем самым и сечение рассеяния. Для С получаем
видеть, определяет амплитуду рассеяния Л = 2л2В, а тем самым и сечение рассеяния. Для С получаем
Е (左)一Е (^о) —/в
Е (左)一Е (^о) —/в
g
g
(2л)3/2
(2л)3/2
(1.21)
(1.21)
Интеграл в этом выражении расходится, и, на первый взгляд, вследствие этого мы должны предположить, что С = 0, X = ° и рассеяние 6 на " в нашей модели отсутствует. Заметим, однако, что у нас получилась разность расходящегося интеграла и бесконечной величины /и” Производя перенормировку массы, выразив величину гл。через наблюдаемую массу mv и интеграл (тоже расходящийся) по формуле (1.14), мы получим, сложив два интеграла, конечное, сходящееся выражение
十&S戸’J ё仅)一ё(自)一氾一
g2 Сg2 Гdk—
“У (2л)3 J Е (^) — mv 十(2л)3 J 七仅)一Е(岛)一历一
I「(E阳)一m,)廡
——十(2k)3 J (ё(左)一ё(阮)一氾)(E3)一%).
J [上(价丿-伍丫 十 T^F J [E (k)-E(k0}-i&] [£ (k)-mv]\ =
gg(2n)%(2n)%(1.22)(1.22)
g
g
(2n)%
(2n)%
(1.22)
(1.22)
Точнее говоря, мы улучшили сходимость интеграла, добавив в знаменатель лишнюю степень E(k)〜版 за счет исключения из первоначального интеграла величины т0. В частности, в нашей модели этот интеграл уже
сходится, и мы говорим, что для исключения расходимостей достаточно сделать перенормировку массы. Это, однако, не имеет места при релятивистской зависимости £*(力).Поэтому, имея в виду показать способы исключения расходимости, мы сделаем дальнейшие преобразования, чтобы ответ выразить через перенормированную величину g；・ Обозначим
厶=焉 J [Е (kj-E^-ie] [£ (k)-mv] *(L23)
Для рассеянной волны мы имеем
%优)="T^F [е (左)一E隔储(两)一叫"嘉2厶• (L24)
Выражая g2 через g；, получим
/11Sr
(2л)3 [E {k)-E^[E^-mv} l+g*/?-/。'
где
(1.25)(1.25)/ _ / _ Е (&)_%，「dh
(1.25)
(1.25)
/2 一 /1 ——画戸-J [E (粉-E (施)一间[E (粉-加内2
Теперь постараемся уяснить логическую сторону ие< ренормировки, встав на ту точку зрения, что в , действительности взаимодействие не строго локально, а размазано до малых расстояний 〜р, и вследствие этого при весьма больших значениях импульса Л ~ — происходит обрезание. Это значит, что интегралы по dk мы берем не до бесконечности, а до Л.
При фиксированном значении Л все получаемые выражения будут конечны. Однако это отнюдь не значит, что ими удобно пользоваться и, тем более, переходить к пределу р —О (А—оо). Возможность предельного перехода и удобство пользования возникают лишь в том случае, если считать известными (и заданными, не зависящими от Л) перенормированные величины mv и gr и выражать результаты именно через mv и g「. Чтобы наглядно продемонстрировать это, составим сводку фор-
мул, в которых будем считать заданными: 1) /п0, g> Л;
mv. g, Л; 3) mV9 g「，Л; Л->оо.
(1.26)(1.26)
(1.26)
(1.26)
i[f(HT口
)九ё(期)一叫1+W/n_l丄)，
л2 \ 2 X — Z^oA 丿
(1.26，)
4 = 一 粤. (1.26")
而 e (^о) - mv [+ r芯 k + /
2лх к — z^0
Заметим, что при переходе 1)-^2)—>3) зависимость амплитуды рассеяния А от Л при Л—*оо становится все более слабой и в случаях 2), 3) эта величина имеет отличный от нуля предел при Л-^оо.
Координатное представление
Очень наглядные результаты получаются при решении задачи о физической V-частице непосредственно в координатном представлении (В. Н. Грибов, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, 1961). В силу инвариантности гамильтониана относительно преобразований Галилея движение центра масс системы не может влиять на получаемые результаты. Поэтому, как и во всех задачах нерелятивистской квантовой механики для двух тел, мы можем выделить это движение, и в результате задача сведется к определению движения частицы с приведенной массой вокруг бесконечно тяжелого (неподвижного) центра. В нашем случае приведенная масса У и 0, равная 加№卩/(加№ + 卩)，мало отличается от массы 卩 самой 0-Ч^^тицы. Поэтому мы можем пренебречь, различаем
между этими величинами и всюду употреблять просто 卩.В силу же того, что движение центра масс уже выделено, мы можем ввести операторы рождения к и л/-частиц в какой-либо точке (для определенности в начале координат) Y+ и такие, что (0| УУ+|0)= 1 и 〈0|MV+|0〉= 1. Чтобы получить конечные результаты, мы возьмем сначала гамильтониан 丛，в котором функция взаимодействия размазана до расстояний 〜р (имея в виду последующий переход к пределу при р->0)*). Такой способ действий как раз соответствует программе перенормировки. Для простоты расчетов функцию взаи- модеиствия возьмем в виде g &) = g 标経 так, что
J g W dr-gj.J g W dr-gj.ТогдаТогда
J g W dr-gj.
J g W dr-gj.
Тогда
Тогда
=恤卩+卜 + mNN+N + J(p+ ⑺(r-击 A)(p(r) dr +
+ "" j "；*)<P(r)" + 3. c.].(2.1)
Решение для физической V-частицы ищем в виде
I Уфиз) = z% [р +1 0〉+ N+ J 屮(г) ф+ ⑺dr\0〉]. (2.2)
У. Ш. для этого случая дает
Wo + g^ (р) = mv,(2.3)
А屮-层屮=2Rg虹臨 О •(2.4)
c 乂2 = 2卩(力№ + 卩—шу). (Здесь мы сразу учли сферическую симметрию -ф(г).) Если р《1/х (что всегда можно считать выполненным, так как р—>0), то уравнение (2.4) можно заменить ) на
a屮-炉中=2Ag6⑺2a屮-炉中=2Ag6⑺2⑵4')⑵4')
a屮-炉中=2Ag6⑺2
a屮-炉中=2Ag6⑺2
⑵4')
⑵4')
и тогда
屮&)= -2(18%^，(2.5)
пст2 倉-YP
恤=加y+—<(2.6)
Разлагая (2.6) по степеням р, отбросим члены начиная с первого порядка по р:
5% +喏 А嗡％ (26)
откуда видно, что mQ 〜1/р при р —0. Легко убедиться в том, что волновая функция частицы 0 в импульсном представлении (f(k) в (1.11)) есть фурье-образ функции 屮(у) в (2.5). Очевидно, поэтому и нормировочный множитель Z = [1 + JI 屮 12 dd здесь совпадает с Z, вычисленным в импульсном представлении.
Формула (2.6‘)определяет перенормировку массы. Можно ввести и перенормированный заряд g； = Zg?・ Если обозначить
]"|屮(2"= Jd^lf (砌 P = g2厶，厶=農，(2.7)
то мы будем иметь
Z-=l + g2L,(2.8)
Из последней формулы ясно, что наблюдаемое значение заряда подчиняется неравенству )
gy” =體.(2.9)
В противном случае g? < о, т. е. g становится мнимым. Мнимость g означает неэрмитовость гамильтониана и сильнейшим образом нарушает всю вероятностную
интерпретацию квантовой механики. В частности, величина Z, равная вероятности найти физическую V-частицу в виде 《голой》 Y+|0〉，становится отрицательной. Перенормировка массы при g? V 0 приводит к тому, что mv > /по- Но по вариационному принципу взаимодействие типа превращений может лишь уменьшить энергию основного состояния. Следовательно, при g? V 0 появятся состояния У-частицы, отличные от физических, с Е < mVi так называемые《духи》(Г. Челлен, В. Паули, 1955). При рассеянии 0-частиц на физических У-ча- стицах будут происходить переходы в 《духовые》 состояния, и притом с отрицательной вероятностью. Все это делает теорию при g〉g^= l/人 неприемлемой по физическим соображениям.
Обратимся теперь к задаче рассеяния. Решение у. Ш. НФ =七① с Е = mN + ц + 左?/2卩 ищем в виде
(D = Clz+|0〉+ %+ J 恥(r)(p+(r)"|0〉，(2.10)
где
必⑺=万余(一"加+ 5伍)队)■
Для величин S (k) и С получаем уравнения
(蚩+ 卩 + """ — /и。)。=矗'р < +导(S + I)’ (2.11) C=-7^(S-1).⑵⑵
Подставляем в (2.11) значение С из (2.12) и значение /л。из (2.6). При этом члены, содержащие 1/р, сокращаются, что означает ренормируемость теории: при р —0 /и。тоо, но результаты, относящиеся к рассеянию, стремятся к пределу, не зависящему от радиуса обрезания.
Одновременно из уравнений устраняется величина затравочной массы mQ «голой» частицы V и в ответ входит величина х, зависящая от массы физической У-частицы.
После элементарных алгебраических преобразований получаем
说春=y+赤■(序+ %学(2-13)
Теперь нетрудно получить и выражение для амплитуды рассеяния
2л[
4=^рj—iqr^， Q = mN + n- mv. (2.14)
Заметим, что довольно часто физический (перенормированный) заряд определяют по полюсному члену в амплитуде рассеяния:
4石运；W 叩11-Q•(2.15)
Поскольку вычет амплитуды рассеяния в полюсе Е = —Q равен
Res 4 = - —/ 龎 2,(2.16)
2" 1 + 好
то это определение перенормированного заряда совпадает с определением по формуле (1.17).
Из (2.16) находим, что вычет амплитуды рассеяния отрицателен и по модулю ограничен сверху:
IResXI^C^-, %=了板. (2.17)
Заметим, что это ограничение на величину вычета совпадает с ограничением, получающимся из формулы (3.9) гл. III при R = 0. Это не удивительно, поскольку формулу (2.17) можно получить, используя результат работы Л. Кастильехо, Р. Далица, Ф. Дайсона (1956), исходя лишь из свойств аналитичности и унитарности, которые выполняются как в случае потенциального рассеяния, так и в модели Ли.
Амплитуда рассеяния А как функция комплексного 力 имеет еще второй полюс при 々=—i卜+阴・зтот полюс, однако, находится на нефизическом листе комплексной плоскости Е.
Перенормированный заряд gr удовлетворяет неравенству (2.9), причем предельное значение достигается при неограниченном увеличении «голой» константы g.
При этом доля《голой》У-частицы в физической У-ча- стице стремится к нулю, физическая Й-частица в пределе целиком《состоит》из N + 6). Таким образом, предельное значение вычета соответствует переходу к составной модели частицы У, состоящей из локально связанных N и 6.
Как видно из (2.14), в пределе при g2foо мы получаем результаты, в точности совпадающие с результатами теории потенциального рассеяния на сингулярном потенциале с данным положением дискретного уровня при Е = —Q.
Мерой приближения к пределу является близость к единице доли N + 6 в амплитуде физической V-ча- стицы; при этом доля «голой» У-частицы стремится к нулю. По существу,《голая》частица V как таковая исчезает и играет только роль переносчика локального взаимодействия, связывающего N и 6 в физической частице. Условие близости к пределу имеет вид g?》"^-・ Таким образом, чем ближе находится полюс, чем меньше х, тем раньше, при меньшем значении g получаются предельные соотношения, характерные для составной модели.
Взаимодействие с нестабильнойпромежуточной частицей )
Перейдем теперь к решению уравнений для случая нестабильной промежуточной частицы. При этом мы следуем методу В. Н. Грибова, Я. Б. Зельдовича и А. М. Переломова (1961).
Предполагаем, что нестационарное у. Ш. имеет решение, экспоненциально зависящее от времени (т. е. 〜？тем с комплексным значением £"()), характеризуемое тем, что пространственная часть решения, описываю-
щего частицы А и В, содержит одну только расходящуюся волну, т. е. *ф 〜е^^/г^ При этом 々о также окажется комплексным. Для такого хотя и нестационарного, но экспоненциального решения также можно воспользоваться уравнениями типа (2.3) и (2.4).
Общий 」лан решения такой же, как и в случае стабильной V: считаем известными свойства физического нестабильного состояния, т. е. Ео и ^0, Е° =丽 + 卩 + 加n, и с помощью уравнений выражаем нефизическую величину затравочной массы 恤 через физическую 瓦 заряд g и радиус обрезания р.
Затем обращаемся к задаче рассеяния, т. е. к задаче с произвольным вещественным положительным k, со сходящейся и расходящейся волнами и находим амплитуду рассеяния. При этом пользуемся значением /п0, выраженным через Ед, g^ р; как и раньше, члены 1/р при этом сокращаются, т. е. расчет имеет определенный предел при р —0, т0—> оо. До выкладок сделаем еще два замечания. Результат нельзя получить из предыдущего результата для стабильной частицы, формально заменяя у на ——z^o, так как затравочная масса то хотя и является нефизической величиной, содержит член 1/р (/По—► оо при р —0), но должна быть вещественной для того, чтобы гамильтониан был эрмитовым, чтобы была унитарность. Формальная замена 比 на ——z^o в (26) не обеспечит вещественности 加小
Второе замечание, чисто техническое, заключается в том, что в качестве исходной величины удобно взять А = и — iw и выразить ответ через и н 5, вещественные и положительные.
Итак, для нестабильного состояния ivr+wr”2 一切2步切
皖=~4^-j罪+n+m必(3」)
При подстановке 屮⑺ в у. Ш. члены &г|) и 卩 + 小—*)屮 снова уничтожаются, и аналогично (2.5)
мы получаеммы получаемW 0)=W 0)=快 g /ь + w2л г快 g /ь + w2л г(3.2)(3.2)
мы получаем
мы получаем
W 0)=
W 0)=
快 g /ь + w
2л г
快 g /ь + w
2л г
(3.2)
(3.2)
Подставляем (3 2) в (2.3):
%=e。+嘿信+5+ 2)=
М—切2и@ llg2 / 1\S
證(3・3)
В отличие от (26), это уравнение комплексное. Так как 他о вещественно, то из рассмотрения мнимой части (3.3) сразу получим
吁喀.(3.4)
Задача со стабильной частицей V характеризовалась двумя параметрами: Q (или к) и g. Задача с нестабильной частицей на первый взгляд характеризуется тремя величинами и,⑪ н g, но связь (3.4) оставляет два параметра. Для сокращения записи дальше везде выражаем g2 через ш.
В частности,
m + 52 w 1/Л0 =——5.m + 52 w 1/Л0 =——5.(3.5)(3.5)
m + 52 w 1
/Л0 =——5.
m + 52 w 1
/Л0 =——5.
(3.5)
(3.5)
Обратимся к задаче рассеяния. Уравнения (2.10)— (2.12) остаются справедливыми, разница заключается лишь в использовании (3.5) для /и。, а также в том, что в ответе g2 выражаем через ш согласно (3.4). После элементарных алгебраических преобразований получаем
(3.6)(3.7)(3.6)(3.7)1 + S k2 V2 ~ w2
(3.6)
(3.7)
(3.6)
(3.7)
—(k — v ~ iw) (^ + у — iw)(左一и + iw) (^ + у + iw)
Ф)гнкция S (а следовательно, и амплитуда рассеяния) имеет два полюса в ^-плоскости ниже вещественной оси при k = ±v — iw. В верхней полуплоскости k, т. е. на первом листе Е, полюсов нет.
Очевидно, что для 屮(г) вида (3.1)
d In (r咽 .厶S + 1d In (r咽 .厶S + 1(3.8)(3.8)
d In (r咽 .厶S + 1
d In (r咽 .厶S + 1
(3.8)
(3.8)
Следовательно, выражение (3.8), относящееся к стабильной частице, в пределе при g2foq дает
(3.9)
в соответствии с классической теорией Г. Бете ——Р. Пайерлса (1935). В случае нестабильной ^-частицы (3.6) дает
dr 2⑫十2 2陋' 93
что при вещественных и и ш и положительном ш никак нельзя преобразовать к виду
^^■=旳，灼 >0, (3.11)
который соответствовал бы рассеянию на сингулярном потенциале с виртуальным уровнем (типа синглетного взаимодействия нейтрона с протоном). Иными словами, дело в том, что расчет с нестабильной частицей дает в ^-плоскости два полюса, расположенных симметрично относительно мнимой оси ниже вещественной оси.
Сингулярный потенциал с виртуальным уровнем соответствует одному полюсу на мнимой оси ниже вещественной оси при k =——ixt (см. (3.11)).
Если даже сделать так, чтобы два полюса от нестабильной частицы слились и попали в ту же точку k =——ixt, то в этой точке получится полюс второго порядка и формулы все равно не совпадут со случаем сингулярного потенциала, где полюс первого порядка.
В случае стабильной частицы оба полюса лежат на мнимой оси и не совпадают, поэтому можно сделать так, чтобы один полюс уходил на бесконечность, в то время как второй был фиксирован; в случае нестабильной частицы этого нельзя сделать из-за условия симметрии полюсов относительно мнимой оси.
Как видно из (3.4), в пределе при g2f оо ш -* оо； подставляя в (3.7), получим S = 1 при любых конечных ^ й V. Тавдм образом, теория с нестабильной частицей
не имеет никакого разумного предела при сильной связи. В этом ее отличие от теории со стабильной частицей, которая в пределе сильной связи переходит в теорию дейтона.
Взаимодействие частиц JV и V
Решим задачу о взаимодействии двух тяжелых частиц V и N ). При этом мы покажем, что если выражать ответ через перенормированную массу, то результат не будет содержать бесконечных членов. Более того, в ответ войдет вполне естественным образом перенормированный заряд.
Эту задачу естественно решать в адиабатическом приближении. Это значит, что сначала, пользуясь малостью массы 0 по сравнению с ту и gv, мы рассчитаем волновую функцию 0 при фиксированных N а V, находящихся на расстоянии &. Энергия такого «состояния» зависит от & как от параметра и может рассматриваться как потенциальная энергия взаимодействия V и М обусловленная «испусканием» и «поглощением^ 0-частиц. Далее уже нетрудно решить задачу о движении частиц V н N в этом поле (чего мы делать не будем). Итак, 《состояние》V- и А^-частиц, находящихся в точках 〃i и а? на расстоянии 匕=|а【一а2\ друг от друга, будем описывать операторами 疗(时)и V} (^)— операторами рождения V (N) -частицы в точках г = 〃i и г = а2. Соответственно гамильтониан Н == HQ + Hi запишется так:
Hq ==加0 (vtU 1 + V2V2) + mN(N$NI + N2 N2) +
+ 173Az2 J ©3謂」-也 Ф ⑺ dr + э. с.
Наиболее общий вид физического состояния с одной У- и одной "таспщей на расстоянии b =勿——^ есть
I УМ〉= С Wa^ 10) + С2У^Г I 0) +
+ ^W f T|)(r)q)+(r)dr|0>.(4.2)
Так как гамильтониан H инвариантен относительно замены 1 = 2, то собственные «состояния》 можно классифицировать по числу / = ± 1, где 邑=/&• Энергию «состояния» Е запишем в виде
E = mv + mN + 8,E = mv + mN + 8,(4.3)(4.3)
E = mv + mN + 8,
E = mv + mN + 8,
(4.3)
(4.3)
поскольку заранее ясно, что при 力 т оо энергия Е -* ^Шу + ты (при этом 2 f 0). Решая у. Ш., мы получим
2 ⑺=-嗜［? + / ^］，(4・4)
(%一加0 一 8)& + g^ 以"=0,(4.5)
где
a=1/■-aj г2 =丨，一《21,
rf = 2卩(mN + 卩一/и, — g)=彦 一 2ц8.
Подставляя (4*4) в (4.5), мы получим
(恤-бу - е)=嗡［胃 + / *］.р '(4.6)
ИЛИ
(恤一叫+号+圖?■ + /*-• (46)
Из этого уравнения можно определить % а тем самым и 8.
Теперь мы должны рассмотреть переход к р-*0. Разлагая 《I门нр в (4.6‘) по степеням р, опустим члены первого и более высоких порядков; тогда
тй-ту + ^Ц^-) = -^-(7- П + / -^у-)• (4・7)
При фиксированном т0 и ртО результаты получаются бесконечными.
Вспомним теперь формулу (2&) для перенормировки массы, где масса т0 выражена через ту и 1/р. Тогда (4.7) примет вид
Члены, содержащие 1/р, сокращаются, что и дает возможность устремлять р к нулю. Мы получаем уравнение
唸7碎+gfL・(4.8)
Если вместо g подставить его выражение через gr:
то уравнение примет вид
-g =『=/蚩屛口 一算^^_「Г.(48)
Уравнения (4.8) или (4.8‘) определяют энергию «системы» ”乂)при заданном расстоянии. Из них видно, что при / = +1 частицы Yu" притягиваются: Е—(mv + mN) =8 = —^-<0, при I = —1—отталкиваются.
При 匕》乂 потенциал e(b) приближенно описывается формулой Юкавы
"一/券欧U49)
Таким образом, потенциал взаимодействия U(&)= 曰8(匕)частиц N н У зависит от того, в симметричном (в частности, s-волна) или антисимметричном (в частности, p-волна) состояниях находятся АГ- и У-частицы. Это неудивительно, поскольку взаимодействие, обусловленное обменом частицей 0, приводит как к обычным, так и к обменным силам. Заметим здесь же, что наличие двух различных потенциалов не приводит к неортого-：
нальности волновых функций, поскольку волновые функции, являющиеся решениями у. Ш. с различными U(r), обладают различной симметрией и потому оказываются автоматически ортогональными друг другу.
Векторное взаимодействие
Предположим, что фермионы V н N имеют спин %, а бозоны 0 имеют нулевой спин. Тогда волновые функции У н N зависят еще и от спиновой переменной. При s = 1/2 эти волновые функции являются двухкомпонентными. В соответствии с общепринятым способом задания спиновых функций мы будем считать, что первая компонента отвечает состоянию s%= + %, вторая sz = =—%. Будем отмечать эти компоненты индексами а, Ь. Соответственно этому следует ввести операторы рождения частиц в состояниях со спином, направленным вверх и вниз:
Na, Va — S2 = + у> N/ Vb — Sz=^・
Плотность гамильтониана взаимодействия h, отвечающего реакции P=N6, есть скалярная величина, которую мы теперь должны построить из произведения спинора N, эрмитово сопряженного спинора V+ и скаляра ф. Одна возможность ——взять сумму произведений одноименных компонент N и V4 (известно, что такая сумма есть скаляр) и умножить на <р:
hI = g(7^ya + 7M)<p + 9. с.(5.1)
Легко видеть, что такое взаимодействие ничем не отличается от рассмотренного нами скалярного взаимодействия. Действительно, если в начальный момент времени все частицы находились в состоянии со спином, направленным вверх, то и в дальнейшем они будут иметь спин, направленный вверх. Частицы с противоположными направлениями спинов не взаимодействуют; сохраняются отдельно спиновый и отдельно орбитальный моменты количества движения.
Вторая возможность ввести взаимодействие, отвечающее той же реакции и не зависящее от импульсов V
и ^ (т. е. от пространственных производных V(r) и %(;•))——подействовать на спинор N оператором вектора спина s = и/2 и полученный спинор умножить на эрмитово сопряженный спинор V+. Величина V^sN есть вектор, и поэтому для получения скалярной плотности гамильтониана ее нужно скалярно умножить на вектор Vq>. Запишем более подробно, что такое WsNYj вводя для этой скалярной величины обозначение Ьг. Мы имеем
]/ & $4 = 丁 1 • 2 \ ^х + tay 一 az
h2 = KsM V(P= ^[vtNa 鳥十 V^b 陽-i^} +
+ F^a (^ + ^) ~ У^й ^ ] ф ^-⑸2)
Гамильтониан взаимодействия мы получим, умножая ha на константу взаимодействия 力 складывая с эрмитово сопряженным выражением и интегрируя по объему:
〃2 = J [小2 (г) + э. С.] ".(5.3)
Для того чтобы такой гамильтониан был инвариантен относительно инверсии координат, т. е. чтобы сохранялась четность, необходимо считать произведение трех волновых функций -ф*^^ псевдоскаляром, так как оператор sV псевдоскалярен (последнее следует из того, что спин s есть псевдовектор). Для этого достаточно, например, считать 屮。псевдоскаляром, a i|)y и Wn — настоящими (не псевдо) спинорами. Заметим, однако, что если бы модель Ли соответствовала экспериментально наблюдаемым фактам, мы никак не смогли бы установить в отдельности четности V, ^ и 0, наблюдая только реакции, описываемые гамильтонианами Н* и ”2・ Из таких наблюдений можно определить лишь произведение их четностей ( +1 для 儿 и —1 для Я2), так как из-за законов сохранения^П! н 电 во всех реакциях на одну V-частицу с одной стероны 《равенства》 приходится по одной 4/ и 0 с другой стороны. Аналогично этому мы не мо>»ем установить абсолютную четность протона (или нейтрона), где в термине «абсолютная
четность》содержится определение, по которому четность вакуума принимается положительной. Это происходит потому, что во всех реакциях с участием нуклона сохраняется барионный заряд, и мы можем установить лишь произведение четностей частиц, принимающих участие в реакции. В то же время четность л°-мезона (равная —1) может быть определена абсолютно, так как точные законы сохранения не препятствуют реакции типа У —► Л^ + л° (здесь N — нуклон). Конкретно для л°-ме- зона четность может быть определена также по тому, как он распадается на два ^-кванта. Здесь заключение о четности л°-мезона делается по соотношению между поляризациями двух 丫-квантов независимо от того, какую четность мы приписываем самому электромагнитному полю (четность системы двух у-квантов с нулевым суммарным импульсом равна +1 при параллельных и ——1 при перпендикулярных поляризациях). Четность же 冗и л*-мезонов принимается такой же, как и у л°-ме- зона ——отрицательной, исходя из соображений о том, что эти три частицы образуют изотопический мультиплет.
Резюмируя сказанное, можно заключить, что определение абсолютной (т. е. относительно вакуума) четности возможно лишь для тех частиц, у которых сохраняющиеся квантовые числа такие же, как и у вакуума (именно таким является л°), и притом только тогда, когда распад частицы зависит от взаимодействия, сохраняющего четность.
Возвращаясь к векторному взаимодействию, запишем ”2 в импульсном представлении, опуская А?-индексы у У и N н не выписывая множителя 6(左1——左2 — ^з), отвечающего за закон сохранения импульса:
”2 = (2п)-% J dk [ifV+ (s论)“5 + э. с.],I
k = {k sin 0 cosqp, 々sin 8 sin 中，k cos 0},|
ifv+ (硫)^фй = if 4 优"a cos 8 + Y^Nb Sin 0e-^ +('"
+ 7Мзт9е£ф-7^6соз9)фй.
Как и в скалярном случае, состояния свободного движения 0-частицы ср* 10^ и У-частицы (с№^ + с/^)|0)
остаются собственными состояниями полного гамильтониана "о + 〃2・ Состояние же физической ^-частицы (например, со спином вверх) ищем в виде «голой» V со спином вверх и облака 介 н 6:
忆〉= Z%W*10〉+ J松尿®鶴"+觇(同"訂崂|0〉｝.
(5.5)
Так же как и для скалярного взаимодействия, сосчитаем сначала 屮口(左)и 屮方便)в первом порядке теории возмущений и с теми же оговорками относительно mQ и mv. Мы получим
m但）=m但）=1 左 炉cos 81 左 炉cos 8(2力% 2 E(々) 一 m0左 ifVn(2力% 2 E(々) 一 m0左 ifVn一(2n)% е(々)-吗./玄、1 左 if sin 0ef(p办(尼)~ /o /77 "T " 小(2Л)/2 2 £ (^) - mv一(2n)% е(々)-吗./玄、1 左 if sin 0ef(p办(尼)~ /o /77 "T " 小(2Л)/2 2 £ (^) - mv匕,0(0, ф) >匕,0(0, ф) >(5・6)(5・6)(2П)% E (左)-m^(2П)% E (左)-m^+ ]//.+1(仇 T)]»+ ]//.+1(仇 T)]»
m但）=
m但）=
1 左 炉cos 8
1 左 炉cos 8
(2力% 2 E(々) 一 m0
左 ifVn
(2力% 2 E(々) 一 m0
左 ifVn
一(2n)% е(々)-吗
./玄、1 左 if sin 0ef(p
办(尼)~ /o /77 "T " 小
(2Л)/2 2 £ (^) - mv
一(2n)% е(々)-吗
./玄、1 左 if sin 0ef(p
办(尼)~ /o /77 "T " 小
(2Л)/2 2 £ (^) - mv
匕,0(0, ф) >
匕,0(0, ф) >
(5・6)
(5・6)
(2П)% E (左)-m^
(2П)% E (左)-m^
+ ]//.+1(仇 T)]»
+ ]//.+1(仇 T)]»
где
Е优）=mN +卩+炉/2卩.
Множители cos 0 и sin бе抑 дают сохранение момента количества движения: V-частица со спином вверх распадается на N со спином вверх и0с/=1, т = 0 или на N со спином вниз ибс/==1, /п=+1. Сохранение jz было, конечно, очевидно заранее, так как гамильтониан инвариантен относительно вращений. Невозможность же превращения Уд в А^а и 0 с Z == 0 следует из того, что четность 尸 такого состояния, равная произведению четности 尸2 координатной функции 0 (Р；= (—1)') на внутреннюю четность Р0 — —1, отрицательна для / = От в то время как для V-частицы четность равна +1.
Таким образом, часть времени И-частица проводит в виде N н 8 в р-состоянии (/ = 1). Ясно, что оба слагаемых в (5.6) относятся к одному и тому же значению /2, и поскольку для Va 10) / = 1/2, то всему состоянию следует приписать j = 1/2. Это можно заключить и по значению— коэффициентов Клебша — Гордана, равных + /"-|- и — /"-у. Таким образом, в ту долю времени,
когда физическая V-частица состоит из Д/ и 0, орбитальное движение 0 соответствует состоянию 尸％ системы N н 6.
Отметим, что облако 0 вокруг ^ в состоянии Р% сферически-симметрично (если взять сумму по обоим значениям спина А/-частицы). Поэтому, если 0 несет электрический заряд, то, несмотря на векторный характер взаимодействия, V-частица благодаря взаимодействию не приобретает электрического дипольного мо・ мента. Это есть прямое следствие сохранения четности: связь между полярным вектором дипольного электрического момента и аксиальным вектором спина не может быть инвариантной относительно инверсии.
В случае нестабильной V-частицы волновые функции 屮口(財也 屮)и фб(й, 0, ф) характеризуют распределение разлетающихся продуктов распада — N и 0 — по углам. И в этом случае распределение вылетающих 9-частиц сферически-симметрично. Отметим, однако, что для вылетающих под данным углом Д/-частиц (направление вылета ^ противоположно направлению вылета 0-частиц) мы знаем не только отношение вероятностей на
ходиться в состояниях с sz = +V2 и sz = —i/z, но и
фазы соответствующих амплитуд. Это значит, что при распаде поляризованных V-частиц (в нашем примере szV = +*/2) вылетающие под любым данным углом (6^, фл) N-частнцы полностью поляризованы. Это утверждение—значительно более сильное, чем утверждение об отношении вероятностей для s%n == ±%・ Условимся под направлением спина ^ понимать то направление, вдоль которого проекция спина ^ с достоверностью имеет значение +%； это направление будем характеризовать полярными углами 0, Ф. Спиновая часть
волновой функции такого состояния пропорциональна
(5・7)
Сравнивая это выражение с 屮口 и 屮加 мы получим
①= ЧР%, 6 = 2%.(5.8)
То обстоятельство, что выбранный тип Н2 соответствует взаимодействию лишь с волной р%, можно усмотреть и непосредственно из гамильтониана. Для этого введем операторы
%,厶 m = "^7 J У； m 也’屮 J Ф d^k >
(2打)% 0\('9)
Ф* = ~务~ 2 屮髙 /, m%, m (9fe> 屮左)，
уничтожающие 0-частицу в состоянии свободного движения с определенным моментом / и его проекцией /z = /и, и эрмитово сопряженные им операторы рождения. Здесь У/1Ш(0, ф)——нормированные сферические функции*).
Подставляя в (5.4) выражение (5.9) для ф*, мы получим после интегрирования по dQk
〃2 = (2n)-% J kdk[ if и 而卜 М/1 储以，1. о-
+ Vb (l/"-| Na^k, 1, -1 ~ /4"M佻,1,0)] + 3. C. }. (5.10)
Если теперь с помощью коэффициентов Клебта — Гордана （см., например, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1963） ввести операторы уничтожения （рождения） пары 7V и 0 в состоянии с определенными Z, / и 左
（N9）产'=С^ 厶「％纥 + 3他,z,田/M， ®e）： " = c^k За + 儀Фв z,用№，）
то Н2 запишется так:
”2 = — （2л）~3/2 ^ kdk {if /4^ [^ （N6奩 1 十
+ Vt ^O）^1] + э. c.}.（5.12）
Это и означает, что с V взаимодействует только волна р%: волна с I = 1, / = %.
Так же как и в скалярном случае, точное решение отличается от первого порядка теории возмущений лишь нормировочным множителем Z”. Мы имеем уравнения
[f |2 「炉 4冗兴 dk/- 1OX
m0 = mv + -^3- J — £（fe）_ OT >（5*13）
0P
L = l +」f 匕（生4哄一"左 （5 14）
" 丄十（2it）3j 4 [E优）一加]2•в/绚
На этот раз оба интеграла расходятся. Причина расходимости интеграла для Z-】очень наглядно выступает
при рассмотрении задачи в координатном представлении. Если для s-волны решение в окрестности начала координат ведет себя как г~】и поэтому J dr4nr2 |ф|2 сходится, то для p-волны поведение вблизи г = 0 определяется членом, пропорциональным г-2, так что решение не может быть пронормировано именно из-за большой плотности 0-частиц при малых г. Также становится понятным, как размазывание взаимодействия до радиуса 〜р приводит к сходимости интегралов, причем видно, как зависят эти интегралы от р. Введем теперь
перенормированный заряд \fr\2= Z\f\2. Плотность облака 0 на конечном расстоянии пропорциональна именно |fr|2. Таким образом, именно \fr\2 должен являться наблюдаемой величиной.
Существенное отличие этого случая от скалярного взаимодействия заключается в том, что здесь уже при сколь угодно малом IM?学=0 мы получаем
оо 7оо 70,0,
оо 7
оо 7
0,
0,
так как /】=+оо. Это значит, что при любом fr ¥= 0 гамильтониан системы неэрмитов со всеми вытекающими отсюда неприятностями. Для того чтобы не вступать в противоречие с основными принципами квантовой механики, мы должны сохранить гамильтониан эрмитовым, для чего должны ввести обрезание при больших импульсах А ~ 1/р. Для этого необходимо требовать выполнения неравенства
л
(5.15)(5.15)1 Г胪4打兴她 / 1
(5.15)
(5.15)
花弱J 丁庐国二祠zt?Л7,
Отсюда ясно, что чем меньше | fr |2, тем больше допустимое значение Л, тем с большей точностью мы можем считать взаимодействие точечным, локальным. Например, для квантовой электродинамики (разумеется, .формулы там отличаются от (5.15)) это условие запишется так:
Л W тес • &з7, (5.16)
откуда видно, что мы можем надеяться, что находимся очень далеко от той границы, когда для объяснения экспериментальных фактов потребуется существенное видоизменение теории. Отсюда следует также, что обнаружение нарушения законов квантовой электродинамики при энергиях, много меньших Ас, означало бы существенную нелокальность теории. Однако при А—>8 мы должны требовать |fr|2—*0. В релятивистской теории элементарных частиц аналогом этого является теорема о «московском нуле》(Л. Д. Ландау, И. Я. Поме- ранчук, 1955), которая утверждает, что при А •-> оо на-
блюдаемое взаимодействие обращается в нуль (если допускать к рассмотрению только эрмитовы гамильтонианы).
Рассеяние в векторном взаимодействии. Рассмотрение рассеяния в векторном взаимодействии отличается от случая скалярного взаимодействия тем, что теперь для получения конечных результатов необходима перенормировка заряда. Рассмотрим рассеяние 0-частицы с начальным импульсом 在о = (0, 0,々о) на поляризованной А/-частице со спином, направленным вверх (рассмотрение более общего случая не внесет никаких затруднений).
Как обычно, решение уравнения
НМ〉= Е(^)М〉 (5.17)
ищем в виде
1Л)= ^М1°> + /融仅а®鶴'+爲伍)2訂①"0〉+
+ СУ+10). (5.18)
Член V+|0) можно не включать с самого начала, так как в падающей волне содержатся состояния лишь с 厶= = +%. Получаем следующие уравнения:
C[mo-£'(feo)-/e] =
=-(2п)-%^｛等 + J d峙忆(fe)cos0+%*值)sin爺一吗｝, [E 伍)-E (耳)-/8]履伊)=4 (2n)-% ifC cos 0,
[E (R) - E 偽)一同厶伍)=A (2n)-% 1ГС sin Qe^.
(5.19)
Решая их, находим %a и С (формула для %ь аналогична): Y (fe) = С ——⑵^ '"f as 8(5 20)
С=_(2к)_%行岑 X
X 加0_ ез0)一声直J 丁 耳讨二万兩二"^• (5.21)
—0-
Подставляя в (5.20) и (5.21) выражение для т^ через перенормированную массу mv и расходящийся интеграл, мы получим
師 cos 0
[e （歸一叫Т行
4(2л)з Е 伍)一Е (瓦)一迎 1+|Л2/2 '
(5.22)
Здесь интеграл
厶=而/
4冗炉^
4 [£ (k)-mv][E ^-E^-i&}
(5.23)
все еще расходится при больших 玄 хотя и слабее, чем интеграл в (5.15). Подставляя же перенормированный заряд, мы добьемся сходимости интеграла -
/з = /2 — ^ 1 =【Е (闻)一加у] X
4冗炉dh
(2炉
4户信）一m卜]2宙信）一e（坛）一叫，
(5.24)
и окончательно амплитуда рассеяния в обычном координатном представлении (см. (5.5)—(5.9)) гл. IV запишется так:
4 (仇 ф)=-
人(仇ф)=-
Дифференциальное сечение рассеяния-^-= (\Аа^ + \Аь |2)
при этом оказывается не зависящим от угла.
Подчеркнем, что хотя для эрмитовости гамильтониана обрезание при больших импульсах принципиально необходимо, вычисленные нами амплитуды (5.25) суть пределы при А—>8 амплитуд в теории с обрезанием. Имен-
но благодаря тому, что мы пользуемся перенормированными величинами, зависимость амплитуд от Л такова, что допускает предельный переход Л—► оо. Конкретные вычисления, тем более, удобно проводить сразу для предельных значений.
На примере нашей модели удобно рассмотреть также вопрос о поляризации рассеянных частиц.
Начнем со скалярного взаимодействия. Как мы уже отмечали, в этом случае все частицы, которые до столкновения имели какое-то определенное значение поляризации, т. е. направление спина, сохраняют его после столкновения, так как этот тип взаимодействия вообще не зависит от спина. Поэтому при неполяризованных Л/-ча- стицах в мишени рассеянные ^частицы также неполяри- зованы. Если частицы N имеют спин по направлению движения, то и рассеянные N имеют спин по первоначальному направлению, т. е. в этом случае при рассеянии поляризации не происходит, но угол между спином и направлением движения меняется.
Для решения задачи в случае векторного взаимодействия полезно заметить, что рассеяние в нашей модели можно рассматривать как образование К-частицы — при столкновении ” и 0, — которая затем распадается. Так как в падающей волне 0 (ее направление выбираем за ось з) содержатся состояния лишь с /и — 0, то V-частицы в《〃》• и «6»-состояниях рождаются с амплитудами, пропорциональными амплитудам N в состояниях《а》и《6》 соответственно. После этого образовавшиеся ^-частицы распадаются. Из того факта, что 《голая》 ^-частица взаимодействует лишь с р1/2.-волной N, 0 следует изотропия рассеяния 0 (разумеется, в системе центра инерции) при любом характере и любой степени поляризации первичных N. При этом абсолютная величина сечения не зависит от поляризации. Действительно, любому «чистому», т, е. полностью поляризованному состоянию образовавшейся V можно приписать определенное направление спина. Такая V-частица, как мы видели, распадается с изотропным распределением 9-частиц. Для частично поляризованной мишени из ^частиц, описываемой не волновой функцией, а матрицей плотности (по отношению к спиновым переменным), получаемые V-частицы также
будут описываться матрицей плотности. Так как введение матрицы плотности есть способ усреднения по ансамблю 《чистых》 невзаимодействующих систем, то изотропия рассеяния никак не может нарушиться.
Не происходит также и поляризации А^-частиц при рассеянии в векторном взаимодействии, если первоначально мишень N была неполяризована. Доказательство состоит в следующем. При распаде состояния U^|0〉 А^-частицы, вылетающие в направлении (0, ср), имеют направление спина, определяемое формулой (5.8): при распаде 呦 |0〉вылетающие под тем же углом ^частицы имеют противоположное первому случаю направление спина. Следовательно, если мы в мишени имеем смесь из ^+^ 0) и N^ 10) с некоррелированными фазами, то состояния У + I 0) и V+| 0), а следовательно, и рассеянных Д^-частиц также будут иметь некоррелированные фазы, откуда и следует отсутствие поляризации ^частиц. Однако при рассеянии на поляризованных N в случае векторного взаимодействия направление поляризации не остается неизменным.
Несохранение четности в модели Ли
Первое предположение о том, что при слабых взаимодействиях четность не сохраняется, сразу привело Т. Ли и Чж. Янга (1956) к новым выводам о поведении элементарных частиц, обладающих спином, а именно:
о возможности асимметрии распада, при которой вылетающие частицы преимущественно направлены по направлению момента распадающейся частицы или против него, н
о возможности существования дипольного момента у элементарной частицы, также параллельного (или антипараллельного) моменту частицы.
Как известно, первый вывод Ли и Янга блестяще подтвердился на опытах по p-распаду ориентированных ядер (Цз. By и др., 1957) и ц-мезонов (Р. Гарвин и др., 1957). Предсказанный ими порядок величины дипольного момента лежит за пределами возможности экспериментального обнаружения. Л. Д. Ландау (1957) дал законченную
теорию, соединяющую несохранение четности при распаде заряженных частиц с четностью пространства ).
В теории Ландау несохранение пространственной четности сопровождается сохранением инвариантности теории относительно изменения знака времени (f —► —f). В 1964 г. было получено (Дж. Кристенсон и др.) экспериментальное доказательство того, что 7-инвариантность также не является точной. Однако взаимодействие, нарушающее 7-инвариантность, по-видимому, слабее, чем взаимодействие, вызывающее несохранение пространственной четности ).
Поэтому представляют определенный интерес выводы из предположений теории Ландау, т. е. выводы, относящиеся к случаю, когда имеется Т-инвариантность.
Одним из выводов, сделанных Ландау, является тождественное равенство нулю дипольного момента элементарных частиц. На первый взгляд асимметрия распада неизбежно приводит к наличию дипольного момента: представим себе, например, поляризованный нейтрон с моментом, направленным вверх; можно считать установленным, что такой нейтрон при распаде испускает электроны преимущественно вверх. Пусть теперь такой же поляризованный нейтрон находится в сферически-сим- метричном поле ядра, и энергетические соотношения таковы, что нейтрон стабилен, распад его стал невозможен. В таком случае, однако, возможен и необходим виртуальный распад, при котором нейтрон на мгновение распадается, испуская электрон, но затем электрон снова поглощается; можно говорить об облаке виртуальных электронов вокруг ядра.
Казалось бы, асимметрии реального распада должна соответствовать также и асимметрия виртуального
распада, асимметрия облака виртуальных электронов, а следовательно, и дипольный момент. Работа Ландау в общей форме указывает на ошибочность таких примитивных представлений. В работе Б. Л. Иоффе (1957) выявлена зависимость асимметрии распада и дипольного момента от предположений об инвариантности теории относительно обращения времени. Суть дела сводится к тому, что предположение о линейной связи импульса вылетающей частицы feи направления поляризации (направления спина) распадающейся частицы s согласуется с обращением времени: обе величины меняют знак. Статический дипольный момент d или аналогичная ему статическая величина—— координата центра тяжести облака виртуальных частиц г—не меняет знака при обращении времени. Поэтому связь между спином s и статическими величинами г и d возможна лишь в теории, неинвариантной относительно обращения времени.
Рассмотрим в нашей модели превращение частицы 丿 в N с испусканием 0-частицы в предположении о несо- хранении четности (спин частиц V и ^ равен %). Здесь удается весьма наглядно выяснить зависимость асимметрии распада поляризованной частицы со спином 1/2 от фаз констант связи в выражении взаимодействия, обусловливающего распад.
Оказывается, что в первом приближении асимметрия распада зависит от мнимой части константы векторной связи, а дипольный момент ——от вещественной части этой константы, так что между асимметрией распада и дипольным моментом нет прямой связи (Я. Б. Зельдович, 1957).
Мы уже отмечали, что для инвариантности полного гамильтониана относительно инверсии координат необходимо считать произведение четностей V, N ив положительным для скалярного (Н。 взаимодействия и отрицательным для векторного (Я2). Отсюда следует, что гамильтониан, содержащий одновременно и Я1 и H2t не может быть сделан инвариантным относительно инверсии. Поэтому до 1956 г.——до открытия несохранения четности—требование инвариантности относительно инверсии запрещало вводить в гамильтониан сумму Н{ + %. В действительности для слабых взаимодействий, в кото-
рых четность не сохраняется, необходимо исследовать именно такое выражение Н33 =乩 + Н%
Рассмотрим распад Р-* 〃 + 8. Задачу будем рассматривать в первом порядке теории возмущений, и поэтому будем пренебрегать обратным процессом 9 + ^ -+ V. Поскольку вопросы перенормировки нас не интересуют, мы не делаем здесь различия между 加。и 加％
В этой задаче оказывается более удобным пользоваться координатным представлением. Произведем в явном виде выделение движения центра масс. Волновую функцию V-частицы возьмем в виде плоской волны, причем будем считать, что спин V направлен вверх:
|丿〉=Je'E4/^(r)drJ0〉.(6.1)
Оператор %з = "i + % будет превращать это состояние в состояние с N- и 9-частицами
IM е〉= £ JJ 屯&, r^N+^tp+^dr^r^O') (6.2) i=a, 6
(i—спиновый индекс N)・
Уравнения первого порядка теории возмущений имеют обычный вид:
Н33 \V)^[Ev(k)-HQ]\NQ)t(6.3)
где "о взят из (2.1), a Ev(k) — mv + k2/2mv. Запишем "вз более подробно:
"вз = J J J ｛匕 ％) [g^ 卜2)ф (%) + f°ikNt 卜2)畜屮 + (%)] + + э, с. I д(Г] - r^ d (r2 - r3) drx dr2 dr3. (6.4)
Уравнения для ipa (r2＞，з)，办仇，％) будут следующими：
武 &, +击厶小a ('2, '3)=武 &, +击厶小a ('2, '3)==6泣％ [g6 (r2-Гз) + у-Д-6(г2-%)],=6泣％ [g6 (r2-Гз) + у-Д-6(г2-%)],=户"从悬 + Ю 6&2 - г3).=户"从悬 + Ю 6&2 - г3).(6.5)(6.5)
武 &, +击厶小a ('2, '3)=
武 &, +击厶小a ('2, '3)=
=6泣％ [g6 (r2-Гз) + у-Д-6(г2-%)],
=6泣％ [g6 (r2-Гз) + у-Д-6(г2-%)],
=户"从悬 + Ю 6&2 - г3).
=户"从悬 + Ю 6&2 - г3).
(6.5)
(6.5)
Обычной заменой
m"2 +m3一 n+加"，
? = R 一г2
мы разделим переменные
电（小 Г3） = e^^i （г）,
и для г|）2（г） получатся у. Ш. с правой частью, только вместо 卩 будет стоять приведенная масса ^ и 0. Считая теперь, что через 卩 обозначена именно эта величина, мы можем написать
Ар, + 2］iE^a = 2 卩［g6 ⑴）十皆备 6 ⑺］，
А必+ 2卩后也=2卩^ （亲+力号）6 （г）.
Здесь Е ——энергия, выделяющаяся при распаде.
При f > 0 распад возможен; при этом вылетают 0-частицы с импульсом р = ]/^1Ё^ На большом расстоянии от источника решение должно представлять собой расходящуюся волну, ф 〜eipr/r. Действительно, в этом случае
也=-*[8 - +具。56今（彳）]，I
业=-』rge%ine^（4）.]（6'7）
При pr》1
丸=_±?[g +粤 sse],丸=_±?[g +粤 sse],（6.8）（6.8）
丸=_±?[g +粤 sse],
丸=_±?[g +粤 sse],
（6.8）
（6.8）
При EVO реальный распад невозможен. Виртуальный распад описывается решением, которое должно экспоненциально убывать с расстоянием как ^…忏,где
//2m = —Е Здесь мы получим
14h &14h &4л4лгLгLg — ^xcos8[l +g — ^xcos8[l ++gcose^+gcose^5=-±%sine%(T亲』е" sine (1+点5=-±%sine%(T亲』е" sine (1+点(6.9)(6.9)
1
4h &
1
4h &
4л
4л
г
L
г
L
g — ^xcos8[l +
g — ^xcos8[l +
+gcose^
+gcose^
5=-±%sine%(T
亲』е" sine (1+点
5=-±%sine%(T
亲』е" sine (1+点
(6.9)
(6.9)
Эти выражения позволяют судить об асимметрии распада и об асимметрии облака виртуальных частиц в случае, когда распад не имеет места. Характерно появление двух членов в выражении для 屮。：переход V-частицы в состоянии с 区=)% в TV-частицу с Sz = +% может сопровождаться образованием 9-частицы как в состоянии s-волны (/ = 0), так и в состоянии р-волны (/ =1, /и = 0)« Именно интерференция двух членов “ и дает интере- сующие нас члены, линейные по cos 0, связанные с направлением спина распадающейся V-частицы (9 есть угол между направлением поляризации частицы V (осью z) и направлением радиуса-вектора г).
Волновая функция 一屮匕 соответствует переходу V, Sz = +% в М s?=—喏 и описывает 9-частицу в p-состоянии, / = 1, /и = +1.
Поскольку ^а и 屮匕 связаны с различными ортогональными состояниями А/-частицы (спин вверх и спин вниз), между ^а и ^ь интерференции нет.
Составим выражение потока 9-частиц при больших г для случая Е〉0:
/ =*(%% -"/% + %V0-屯时)=
= 7^dr%|jgF + 5fF+^(fg*—f*g)cose]・(6・i。)
В случае £* < 0 представляет интерес только распределение плотности р виртуально рожденных 0-частиц, так
как поток на бесконечности равен нулю:
p =w№+巾；必=名戸一飞* U g P + 号 I f F(i + *)2 i
- "^(1 + 土卜友* + 尸8)e。s8].(6.11)
Выражения (6.10) и (6.11) содержат основной результат; они указывают на отсутствие тождественной связи между асимметрией распада и асимметрией облака виртуальных частиц: одна зависит от g*f ——g产,другая — от g*f + gf*-
Примем константу g скалярной связи вещественной (это всегда можно сделать калибровочным преобразованием). Легко видеть, что гамильтониан
〃2 = j dkifv+ (ofe) Mq)A + э. с.(6.12)
при операции обращения времени Т переходит в
厂力2「= - J dkif*V+ (g) N0tl + э. c.,(6.12，)
поскольку при операции обращения времени меняют знак одновременно импульс 尼 и спин и, и необходимо производить замену с-чисел на комплексно сопряженные (антиунитарность оператора Т). Таким образом, Т-инва- риантность и, как следствие ее, отсутствие дипольного момента будут иметь место именно при чисто мнимой /: тогда Т^Н2Т = "а
Асимметрия распада зависит от мнимой части f и равна нулю при вещественной константе f.
Наоборот, при мнимой f распад асимметричен, но в плотности виртуальных частиц член с cos 0 исчезает, распределение их сферически-симметрично, а дипольный момент отсутствует.
Можно рассмотреть более общий случай, когда между % и 8 есть дополнительное взаимодействие, описываемое потенциалом (например, кулоновское), свер?: того взаимодействия, которое обусловливается превращениями А/" + 0 ^= V. Если не пренебрегать действием потенциала на 9-частицы, но считать его сферически-симметрич- ным, то вывод об отсутствии дипольного момента прн
мнимой f сохраняется: в уравнении вещественному члену g соответствует сферически-симметричное вещественное решение, мнимому члену /| Л cos 0 соответствует также мнимое, пропорциональное |/|cos6 решение, и интерференционные члены, пропорциональные cos 0, в выражении для плотности по-прежнему отсутствуют.
Однако в случае вещественной 力 когда при отсутствии потенциала асимметрия распада отсутствует, в следующем приближении асимметрия распада появляется: с учетом U (г) в выражении для расходящейся волны фаза s-волны и фаза p-волны изменяются на различные величины as и ар ) и для волновой функции 屮^ при рг ^ 1 получается асимптотическое выражение
^а = az exp (ikr + i%)/r + ik cos 9 • К exp (彘г + %)/r (6.13) и при вещественной f
/ =鳥"【(/У + 胪(У)2 + 2aB cos 0 sin @ - ap)]. (6.14)
Здесь а! и bf пропорциональны соответственно g н f, причем коэффициенты пропорциональности вещественны. В отсутствие потенциала, но при протяженном источнике и вещественных g и f вывод об отсутствии асимметрии распада сохраняется.
Электрический дипольный моментнестабильной частицы )
В предыдущем параграфе уже говорилось о том, что в Т-инвариантной теории стабильная частица не может иметь электрического дипольного момента. Однако это утверждение, как впервые было показано в работе
Я. Б. Зельдовича (I960), нельзя распространить на нестабильные частицы. В самом деле, нестабильная частица характеризуется экспоненциально затухающей амплитудой состояния и окружена расходящейся волной разлетающихся продуктов распада. При изменении знака времени нестабильная частица превращается не в такую же частицу с противоположным направлением спина, а в не
что совершенно иное — в состояние с экспоненциально возрастающей амплитудой, окруженное сталкивающимися продуктами распада. Поэтому —mq +竺 доказательство отсутствия диполь
ного момента не распространяется на нестабильные частицы.
万В работе Дж. Белла (1962), посвященной этому вопросу, делается
и V ——спин 1/2； 8, N и У нейтральны; частица N заряжена положительно, частица б — отрицательно. Массы частиц выберем такими, чтобы частица V могла виртуально распадаться на частицы 8 и N, причем четность в этом распаде не сохраняется. Пусть также V распадается реально на 9 и А^ (加° + mN < Шу <加才 + т^.
Схема термов такой системы изображена на рис. 46, энергия частиц ^ и 0 показана пунктиром. Поместим систему в электрическое поле напряженности F, направленное по оси г. Такая система описывается гамильтонианом °
Н = mN ^ N+ (г) N (г) dr + т百 J N + (г) N (г) dr +
+ тй^У+ (г) V (г) dr +『嗒(г)(快-击)<pe(r) dr +
+ J 嗒① m一 备)学б(?)" +
+ [f『У+⑺“⑺會⑺"+ g j V+⑺犷⑺<H(r)"+3.c.]+
+ ih ^ V+ (г) о 后(г) -~-dr + э. с. +
+ Р ^fi ⑺ 2屮帝(г) 〃 一戶 j ”§ (г)纠)g (г) dr.(7.1)
В теории, инвариантной по отношению к инверсии времени, 产=f, g* = g. A* = h. Вектор состояния имеет вид ①=J W(厶，厶)2+ (г】)Ф^ (r2) dr, dr2+j ф(/•])U+ &)"] +
+ f X (ri, r2) JV + (r,) q)i (r2)] drx dr21 0),(7.2)
и в системе центра инерции уравнения 〃① = 七① можно записать так:
Е屮=(加n + 卩一击)屮+ /(г)(Р,(7.3)
E% =(加帝 + Й-圭)X + Fz% 十(g + iho^) 6 (r) qp, (7.4)
£平=т^ + (g + mW) X(P)+ g (ph(7.5)
где т0 — неперенормированная масса частицы 匕 р — радиус обрезания, который после перенормировки устремляем к нулю.
В первом приближении пренебрегаем Fz. Находим экспоненциальное решение с комплексной энергией Eq = =е ——W/2. Действительная и мнимая части ^о определяют соответственно массу частицы V и вероятность ее распада. Для упрощения формул мы будем считать константу несохранения четности и распадную константу малыми и пренебрегать членами с 尸，h2 и т. д. Кроме того, считаем y/2《团斤+a — e, Y/2《£ - mN — ц, что приводит к ограничениям
2"产 2р7' 2"产《2^-
Здесь и в дальнейшем используются обозначения х2 = 2Mm而 + ц - £*), k2 = 2卩(E~mN —卩), 吟=2M俏而 + Ц - e), 貶=2ц (г~ты-卩).
С помощью (7.3) — (7.5) получаем
Д^2 2л电
(7-6)
2л р 1 2л р
V _卩尸а/h
(7.7)
、呢卫.
2л к。
Отметим, что если второй член в знаменателе
(7.7)
(7.8)(7.8)много больше единицы, т. е. связь между частицами М б и V достаточно сильная, то
(7.8)
(7.8)
Y~2 取 й
т. е. происходит сильное уменьшение вероятности распада частицы V. Если же частица V может превращаться в другие частицы N н 6 и т. д., то это приводит к добавлению к знаменателю новых положительных членов и к еще большему уменьшению этой вероятности. Этот эффект в принципе может быть использован для объяснения малой ширины некоторых экспериментально наблюдаемых резонансов.
Учтем теперь Fz в первом порядке. Определяя i|)и х из уравнений (7.3) и (7.4) и подставляя в уравнение (7.5),
получим, что поправки к Е^ линейной по 尸，нет. При этом выражение для 65*0 получается таким же, как и в теории возмущений для комплексного Ео （П. Капур, Р. Пай- ерлс, 1938; Я. Б. Зельдович, I960）, 6£*0 = F J $詢族dr = 0・ То обстоятельство, что 6Н0 = 0, означает на первый взгляд нарушение третьего закона Ньютона （действие равно противодействию）. В самом деле, нестабильная частица создает дипольное электрическое поле, так как J 屮；屮（）2dP#=0, а однородное электрическое поле не вызывает прецессии ее спина вокруг направления поля, так как нет расщепления SFo = 0. Однако это противоречие кажущееся и означает только то, что с нестабильными частицами нельзя обращаться так же,氏ак со стабильными. Если же мы будем считать, что в начале и конце процесса имеем стабильные частицы, т. е. не отделяем процесс образования от процесса распада, то такой парадокс не возникает.
Эффект прецессии может проявиться в случае рассеяния частицы 0 на N. Если до рассеяния частица N поляризована по оси z, а электрическое поле направлено по оси х, то можно ожидать, что после рассеяния поляризация ее поворачивается в плоскости yz на некоторый угол а. Для того чтобы этот эффект имел место, необходимо также, чтобы состояние системы 0, N не обладало определенной энергией, т. е. необходимо рассматривать рассеяние волновых пакетов. （Эффект электрического дипольного момента в рассеянии есть эффект типа [oo^F и в силу инвариантности по отношению к комбинированной инверсии исчезает, если система 0, N имеет определенную энергию.） Заметим, что если частица V обладает магнитным моментом и находится в магнитном поле, то уже в стационарном случае есть поворот спина.
Наша задача сводится к решению системы уравнений i券=（加n +卩一击）2+ f6（Г）5 （7.3’） г 警=（俏方 + 百-备）％ + 尸矶 + （g + iho^） 6 （r） qp, （7.4，） ^-^ +（S + i"W） X（P）+ 拉（P）' （7.5'）
Начальные условия выберем следующими:
(7.9)(7.9)屮(г, O) = 2o(r)a, х(г, 0) = 0, ср(0) == 0;
(7.9)
(7.9)
=е 2a ;
2 У^ал;匕F
а (В) означает, что спин частицы направлен вверх (вниз). Подсчитаем:
*=备[八*“"+JY*修+кp])х" +(р*^(р .
(7.10)
Используя (7.3‘)一(7.5‘), получаем
(7・Н)(7・Н)ОО：ОО：喀=/%*&, t)[Fr\^, /)"•
(7・Н)
(7・Н)
ОО：
ОО：
Интегрируем это равенство по времени от 0 до
As = J %* (г, /) [Fr] % (г, /) dr dt.Для подсчета величины As воспользуемся тельством, что функцииAs = J %* (г, /) [Fr] % (г, /) dr dt.Для подсчета величины As воспользуемся тельством, что функции(7」2)(7」2)曲=曲=•e-thr + s 优)i*r•e-thr + s 优)i*r塩塩佻佻2л/Гг '巫（S （曾一l） 2л；уТ 卩、、//_S 优）一 12л/Гг '巫（S （曾一l） 2л；уТ 卩、、//_S 优）一 1темтемX，X，ггобстоя-обстоя-(7・13)(7・13)(7.14)(7.14)(7.15)(7.15)
As = J %* (г, /) [Fr] % (г, /) dr dt.
Для подсчета величины As воспользуемся тельством, что функции
As = J %* (г, /) [Fr] % (г, /) dr dt.
Для подсчета величины As воспользуемся тельством, что функции
(7」2)
(7」2)
曲=
曲=
•e-thr + s 优)i*r
•e-thr + s 优)i*r
塩
塩
佻
佻
2л/Гг '
巫（S （曾一l） 2л；уТ 卩、、//
_S 优）一 1
2л/Гг '
巫（S （曾一l） 2л；уТ 卩、、//
_S 优）一 1
тем
тем
X，
X，
г
г
обстоя-
обстоя-
(7・13)
(7・13)
(7.14)
(7.14)
(7.15)
(7.15)
образуют полную ортонормированную систему. Здесь
(e-Е) 1 +(e-Е) 1 +m2 2hm2 2h2л х + х02л х + х0* 2 口* 2 口2л х + %2л х + %J2лJ2лJ2лJ2л(7.16)(7.16)
(e-Е) 1 +
(e-Е) 1 +
m2 2h
m2 2h
2л х + х0
2л х + х0
* 2 口
* 2 口
2л х + %
2л х + %
J2л
J2л
J2л
J2л
(7.16)
(7.16)
(формулы приведены для Е<т^ + /п^ при
Е>т而 +т百,х-> - i丫2a(E-次而-啕 ％
Разлагая функции ро，2，%，Ф по полной системе, находим, пренебрегая экспоненциально малыми членами, что As = 0. Подсчитаем теперь первый момент поворота спина, т. е. вычислим интеграл
AS[=/当产(7.⑺
Опуская вычисления, приведем результат:
施尸一?目得击登2但)-1|2. (7.18)
С другой стороны, зная экспоненциальное решение, описывающее нестабильную частицу, нетрудно найти электрический дипольный момент:
d = I 喘2业"=迎2 畔!——-.(7.19)
2л 乂 о
Воспользовавшись формулой (7.7), получим
Ха ^П 11
Д51=-т(ГЛ)^-^т|5(й)-1|2, 什歹.(7.20)
Формула (7.19) соответствует дипольному моменту экспоненциально распадающейся частицы. Дипольный момент оказывается пропорциональным у, т. е. производной от волновой функции по времени. Учитывая это, мы интерпретируем (7.20) следующим образом: в начале процесса рассеяния, когда амплитуда волновой функции растет, дипольный момент имеет один знак и поворот спина происходит в одну сторону, в конце же процесса рассеяния амплитуда нестабильной частицы падает, дипольный момент имеет другой знак и поворот спина происходит в противоположную сторону. В среднем же по времени поворот спина оказывается равным нулю. При этом знак момента поворота спина, как и следовало ожидать, совпадает со знаком угла поворота распадающейся частицы. Структура полученной ф-ормулы также ясна: Asi пропорционально времени жизни частицы т, величине
поворота спина нестабильной частицы (xFd), резонансному множителю 彳[S(尼)一1 Е, равному единице в резонансе, и, наконец, множителю, слабо зависящему от энергии, равному единице в резонансе.
Мы приходим, таким образом, к следующему выводу. Если при рассеянии волнового пакета измерять поляризацию рассеянной частицы как функцию времени (отсчет времени производится от момента приготовления волнового пакета), то следует ожидать, что вектор поляризации вначале поворачивается в одну сторону, а затем в другую.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Спектр энергий уравнения Шредингерав особых случаях
В этом приложении мы рассмотрим более тонкие вопросы квантовой механики.
Покажем сначала, следуя Г. Вейлю (1910)訂 что для потенциалов V(r), регулярных в нуле V (г) г dr < сю I, а в остальном произвольных, имеет место следующая альтернатива:
Для любого значения £ с Im£ =#0 существует лишь одно (с точностью до нормировочной постоянной) квадратично интегрируемое решение уравнения (1.6) гл. I. Это случай так называемой предельной точки.
При любом £ с Im£¥=0 произвольное решение уравнения (1.6) является квадратично интегрируемым. Это случай так называемого предельного круга. Смысл терминов предельная точка и предельный круг вскоре выяснится.
Перейдем к доказательству сделанных утверждений. Пусть %°)(г) и %Q)(r) — решения уравнения (1.6) гл. I на интервале (0, оо), удовлетворяющие граничным условиям
/)(0) = 0, %⑴'(0)=1；必2)(o)=i, %⑵'(0) = 0. (A.l) Общее решение этого уравнения при соответствующей нормировке имеет вид
及(г) = %戏)(г) + 媒(r)・ (А.2)
Рассматривая %fe(r) на интервале (О, R) и накладывая
граничное условиеграничное условие或(R)或(R)получаемполучаем恤（R）=恤（R）=К理(R) + %伊'(R)x魂)(R) + %B‘(R)К理(R) + %伊'(R)x魂)(R) + %B‘(R)(А.З)(A.4)(А.З)(A.4)
граничное условие
граничное условие
或(R)
或(R)
получаем
получаем
恤（R）=
恤（R）=
К理(R) + %伊'(R)x魂)(R) + %B‘(R)
К理(R) + %伊'(R)x魂)(R) + %B‘(R)
(А.З)
(A.4)
(А.З)
(A.4)
Поскольку %£)(R) н %g)(R) определяются уравнением, содержащим ^2, и граничными условиями (АЛ), не зависящими от 电 то %£)(R) и必圾(R) являются целыми функциями 力2, a 加互(口)——мероморфная функция 依，принимающая действительные значения при действительных 论2. Если 力2—комплексное число, то величина 加互(反)， вообще говоря, также комплексна и может быть изображена точкой на плоскости. Из (А.4) следует, что при изменении 乂 от —оо до +оо эта точка описывает окружность Cr. Нетрудно найти положение центра окружности. Поскольку значению х = — xQ，(R)[戏(玲 соответствует 加月= оо, то центру окружности соответствует X == — %M*(R)/% 旷(R)・ Подставляя это значение в (А.4), получаем положение центра окружности
mk=mk=吗［呢，%旷吗［呢，%旷取小嚕,％旷「取小嚕,％旷「(A.5)(A.5)
mk=
mk=
吗［呢，%旷
吗［呢，%旷
取小嚕,％旷「
取小嚕,％旷「
(A.5)
(A.5)
Здесь введено сокращенное обозначение для вронскиана двух функций: Wp[f^^ f^g'^—f'^g^R), в частности 历“力g] есть значение вронскиана при г = 0.
Радиус p&(R) окружности CR можно определить, например, как расстояние между точкой — %?)(R)/%屮(R)> лежащей на окружности, и центром окружности 確)(R)：
р^ (R)=р^ (R)=(А.6)(А.6)^ [хУ\ х^]1
р^ (R)=
р^ (R)=
(А.6)
(А.6)
меет 小£%化%旷『
В (А.6) использовано равенство 呼艮[戏)，％Р]= = Wo[%^, %р], которое является частным случаем весьма
полезного тождества
期-公"规芻dr = WR%協,]一 %%,服].(A.7) 0
Полагая 力'=&*, получаем
儲一孑)J % I2 〃 =% % 咽一% [爲,叫，(A.8) 0
откуда при Im ^2 > О
Р/ (R) = 2 1m 奴—^j (A*9)
i\^(^dr 0
Таким образом, радиус окружности CRt в зависимости
от того, бесконечна или конечна величина J [%廿(г) [2 Jr, о
стремится или к нулю или к постоянной величине. Покажем теперь, что если R > R1 то Cr находится внутри Cr，，т. е. что не только радиус окружности CR, но и сама окружность стремится к определенной окружности (или точке) при R-+8. Покажем сначала, что при Im 尼？ > О верхней полуплоскости величины 乂 соответствует внешность окружности CR. Для этого найдем мнимую часть величины х, соответствующей /и互(R)= оо：
Imz=~ Im(w)=^FWIm ^tx(-戏)*]=
= T^F『硏讨(AJO)
Таким образом, при Im^2>0 верхняя полуплоскость % переходит во внешность окружности CR. Рассмотрим теперь решение (А.2) с произвольным т$ лежащим внутри
или на Cr. В этом случае
偌卜嘀
《0,《0,Im % ［“ ％；］= Im %［“ %；］ + 2Im й2 / |%fe|2 dr
《0,
《0,
откуда
Jk『dr= J \ m^ + ^\2dr< 0
Im%%,成］ Im%
ATim 友2* (A・U)
Пусть R' < R. Тогда”
R'R
j EfdY j EF” 罂露(A.12)
о0
т. e. точка mk лежит также внутри окружности Crj
Таким образом, окружность CR при R > &' находится внутри окружности С?. Следовательно, при /? —* оо окружности'Сд стремятся либо к предельной окружности,, либо к предельной точке. Если т =加互一предельная точка или некоторая точка предельной окружности, то
J 1加硼+明2办《1s^,(A. 13)
0
откуда следует, что при Im^2 ¥= 0 существует квадратично интегрируемое решение уравнения (1.6) гл. I
爲(г) = /п在(8)戏)(力 + Х^ (г).
Поскольку в случае предельной точки J | %^ (г) ^dr = о
= оо, то в этом случае 器(г) с точностью до нормировки является единственным квадратично интегрируемым решением.
В случае предельного круга каку^(г), так и %*)(『) квадратично интегрируемы, и потому любое решение уравнения (1.6) гл. I будет квадратично интегрируемым.
Таким образом, если на волновую функцию наложить лишь одно условие квадратичной интегрируемости, не обращая внимания на граничное условие в нуле, то при Im Е =# 0 в случае предельной точки существует одна такая линейно независимая функция, соответственно в случае предельного круга —две линейно независимые функции. Таким образом, показано, что существуют квадратично интегрируемые функции, соответствующие комплексным собственным значениям, а это означает, что нарушается известное свойство самосопряженности. Математики говорят (см., например, книгу Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана, 1966), что в первом случае оператор —尹 + 丫(厂)на интервале (0, оо) обладает индексами дефекта (1.1), во втором случае — индексами дефекта (2.2) (здесь первое число определяет число линейно независимых квадратично интегрируемых собственных функций при ImE > 0, второе — при 1тЕ<0).
Нетрудно видеть, однако, что два решения %fe и %加 с различными k и 尼'，вообще говоря, не ортогональны друг другу. Действительно, умножая (1.6) на %工，вычитая уравнение для 成,，умноженное на х^, и интегрируя по г от 0 до оо, получаем
侔卜以d，F(o)斯⑼得智).
Отсюда видно, что для ортогональности решений необходимо, чтобы %^ (0)/%^, (0) = — х являлась действительной величиной, не зависящей от k.
Таким образом, хотя оператор — "^г + 丿(『)на интервале (0, оо) и является формально эрмитовым (самосопряженным), для того чтобы сделать его самосопряженным по существу (или, как говорят математики, расширить его до самосопряженного оператора (Н. И. Ахие- зер, И. М. Глазман, 1966)), на волновые функции
необходимо наложить действительное граничное условие в нуле: %'(0)/%(0) = —х. Оператор — + V (г), определенный на таком классе функций, уже обладает известными свойствами эрмитового оператора: в частности, все его собственные значения действительны, а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Рассмотренный здесь случай является одним из простейших: в этом случае самосопряженное расширение оператора определяется действительным числом х. При этом спектр энергий и вид волновых функций существенным образом зависят от х.
Величина 乂 в свою очередь определяется физической постановкой задачи. Так, например, во многих задачах из физических соображений следует считать %(0) = О, что соответствует выбору расширения х = оо. При этом условии наш оператор оказывается самосопряженным в случае предельной точки. В случае же предельного круга, для того чтобы сделать его самосопряженным, необходимо наложить еще граничное условие на бесконечности.
Если оператор задан на интервале (——оо, +оо) (или же если точка г = 0 является сингулярной), то его индексы дефекта (m, т) связаны с индексами дефекта на интервале (—оо, 0) и индексами дефекта на интервале (0, +оо) простой формулой т — т_ + т+ ——2 (или т = т0 + пг+ — 2) (Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман, 1966).
Следует подчеркнуть, что условие самосопряженности некоторых операторов, например гамильтониана Н имеет важный физический смысл (подробное обсуждение этого вопроса с рассмотрением ряда примеров можно найти в книге А. Вайтмана (1964)). Мы отметим здесь лишь тот факт, что это условие запрещает существование сферических функций Угт(О, ф) с полуцелыми значениями / и m (В. Паули, 1939; К. ван Винтер, 1968). Следует иметь в виду, что во многих случаях, особенно в квантовой теории поля, приходится иметь дело со значительно более сложными операторами и решение вопроса об их самосопряженности является далеко нетривиальной задачей (А. Вайтман, 1964).
Возвращаясь к случаю предельной точки, заметим, что величину 加互 можно найти по формуле
恤3)=一 Нm**.R6 8 现)(R)恤3)=一 Нm**.R6 8 现)(R)(А.14)(А.14)
恤3)=一 Нm**.
R6 8 现)(R)
恤3)=一 Нm**.
R6 8 现)(R)
(А.14)
(А.14)
Эта предельная функция будет, по-прежнему, аналитической функцией 左2 ПрИ Im 良2 军 о； при Im й2 = 0 она может иметь уже не только полюса, но, например, и
точки ветвления, которые могут получаться из полюсов путем предельного перехода. Полюса функции mh дают собственные значения уравнения (1.6) гл. I с граничным условием %互(0) = 0, причем, если в окрестности полюса
■рто соответствующая нормированная вол
новая функция равна г^ (г). Точки kQ, которые не являются полюсами т» но в которых lim Im mfe #= 0 彦今feg4- £е
определяют непрерывный спектр уравнения (1.6) гл. I.
Мы рассмотрели случай простейшего граничного условия в нуле. Общий случай разобран в книгах Э. Тит- чмарша (1946), Б, М. Левитана (1950), Э. Коддингтона и Н. Левинсона (1955).
Приведем здесь без доказательства разложение произвольной квадратично интегрируемой волновой функции f (г) с f (0) = 0 по собственным функциям 处)(г) оператора — ^г+丿(『)， удовлетворяющим тому же гранич
ному условию. Определим коэффициенты разложения fk по обычной формуле
fk= f f(r)^(r)dr.Оfk= f f(r)^(r)dr.О(А. 15)(А. 15)
fk= f f(r)^(r)dr.
О
fk= f f(r)^(r)dr.
О
(А. 15)
(А. 15)
(А. 16)(А. 16)
(А. 16)
(А. 16)
Оказывается, что тогда
〃г) = j f砒(г)加,
где
1
F"m 恤,
胪=丽+?% 8>0. 伍/7)
Условие полноты для такой системы функций имеет вид
f lf(r)Mr= Jlf/叭.(А. 18)
О
Итак, зная функцию ^冗,можно полностью решить вопрос о нахождении системы собственных функций и о разложении произвольной квадратично интегрируемой функции по этой системе.
Разложение в случае предельного круга имеет более сложный вид. Детальное рассмотрение этого случая содержится в упомянутых выше книгах.
Перейдем к рассмотрению вопросов, касающихся характера спектра уравнения Шредингера. Обычно считают, что если частица может уходить на бесконечность, т. е. если Е > U(r) при г-+ оо, то волновая функция частицы принадлежит непрерывному спектру и не является квадратично интегрируемой. Это утверждение, однако, верно не всегда, что впервые было замечено Е. Вигнером и И. фон Нейманом (1929). Приведем их пример.
Из уравнения (L6) гл. I нетрудно выразить потенциал через волновую функцию, соответствующую данной энергии %:
(展崎=筝=隐)'+图h.(a.19)
Выберем начало отсчета энергии и масштаб длины так, что Ео = 0, а г является безразмерной величиной. Волновую функцию % возьмем в виде у = Cr-a sin г₽. Тогда для сходимости нормировочного интеграла
J I % (г) ? dr J r-2asjn2r3^r оо
необходимо выполнение неравенств
Подставляя выражение для % в формулу (А.19), получаем
и = [_21уЛ — в2г2(В7)+ в(в _ 2a-l)d-2ctgr3]. (А.21)
Откуда видно, что для того, чтобы потенциал V(r) не обладал сингулярностями при г # 0, необходимо выполнение условия
6 = 2a+ 1; (А.22)
после чего условие сходимости нормировочнога интеграла принимает вид a > ^・
После введения величины v = 4a приходим к следующим выражениям для потенциала и волновой функции 丿=P^^-^^户],v>2,(a.23)
v v+2
х = Cr 4 sin г 2 .(A.24)
Итак, получено квадратично интегрируемое решение уравнения Шредингера для того случая, когда частица может уходить на бесконечность ). Следует, однако, отметить, что потенциалы такого типа слишком быстро стремятся к —оо при г —> оо и при рассмотрении обычных задач квантовой механики не встречаются.
Посмотрим теперь, чему соответствует такое решение в классической механике. Из закона сохранения энергии при г —* оо находим
步dr 〜dr — . dr
Таким образом, в случае v > 2 время, необходимое для ухода частицы из точки Го на бесконечность, оказывается
А)〜А)〜конечным и при г()—>8 равно
А)〜
А)〜
(А. 26)
Вспоминая, что в квазиклассическом приближении вероятность найти частицу на интервале %г, равная |%|2&『, пропорциональна промежутку времени d/, мы приходим к формуле |%|2 〜『7/2, согласующейся с (А.24), усредненной по осцилляциям. Таким образом, квадратичной интегрируемости волновой функции в квантовой механике соответствует конечность времени ухода частицы на бесконечность в классической механике. Иными словами, стационарное решение % при v > 2 описывает колебания частицы в бесконечной области.
Мы нашли пока одно квадратично интегрируемое решение уравнения (1.6)т соответствующее энергии £0 = 0. Для выяснения характера спектра оператора 方2^2
Н =——病"Zr + U(r)рассмотрим сначала это уравнение на отрезке (0, R). Обозначим через 爲 решение нашего уравнения, удовлетворяющее граничному условию: при г->0 %友(厂)~戸+”/4 (второе решение мы можем не рассматривать, поскольку оно сингулярно: при г->0 у也〜「-W4) Потребуем, чтобы две такие функции%А и %后„ соответствующие различным значениям энергии £ и были бы ортогональны друг другу на отрезке (0, R). Для этого необходимо, чтобы при 尸=R они удовлетворяли одному и тому же граничному условию: %； (R) + x%fe (R) = 0. Это граничное условие может выполняться лишь при некоторых фиксированных значениях k = kn(K, R), т. е. спектр в этом случае дискретен. Устремляя R к бесконечности, находим спектр нашей задачи, который при этом остается дискретным ). В самом деле, при г —► оо асимптотика волновой функции %兀(R) имеет вид
」/ v+2\
Xfe (г) с kr 4 sin 2 +Y 他)|,(А. 27)
откуда видно, что два таких решения будут ортогональны, если у（应）=Y（尼'）=у Итак в нашем случае как спектр энергий, так и вид соответствующих волновых функций определяется одним числом ——фазой у волновой функции 冗（г） при г—► оо. Таким образом, рассмотрен- 方2 d2
ный нами оператор "= 一 而°（г） не является в данном случае самосопряженным и становится таковым лишь при наложении некоторого условия на асимптотическое поведение волновых функций на бесконечности. Математики говорят, что величина у определяет самосопряженное расширение оператора Н.
Приведем еще одно соображение, показывающее, что спектр оператора Н в данном случае дискретен. Пусть все функции %fe, %А, нормированы на единицу. Обозначим через N （к,吟 величину j x^kf dr. Очевидно, что N（財尼）=1. В силу непрерывности функции ^ при 勿，достаточно близких к 玄 Л/（財力'）力0, т. е. состояния %总 и у* не ортогональны друг другу.
Мы рассмотрели случай потенциала, имеющего сингулярность при г —► оо. Аналогичная ситуация имеет место для потенциалов, которые как на +оо, так и на ——оо стремятся к ——оо быстрее, чем х2. Простейшим примером такого потенциала является U （х） = —ах4. Отличие от предыдущего случая заключается лишь в том, что здесь для самосопряженности задачи нужно требовать определенного асимптотического поведения волновой функции как на —оо, так и на +оо. При этом спектр энергий и вид волновых функций определяется уже двумя числами Y- и Y+・
Хотя такие потенциалы и не встречаются в физике, но, например, потенциал —ах2 возникает как эффективный потенциал в задаче о квантовом осцилляторе с переменной частотой （А. М. Переломов, В. С. Попов, 1969）. Могут ли возникать в нестационарных задачах другие эффективные потенциалы такого вида — интересный вопрос, ответ на который в настоящее время неизвестен.
В противоположном случае, когда U（х）—► +оо при |х|-> оо, мы имеем дело с одним лишь дискретным спектром. Необходимое и достаточное условие существования
одного лишь дискретного спектра для потенциалов, ограниченных снизу, было найдено А. М. Молчановым (1953) и заключается в том, что после усреднения потенциала U (х) по любому сколь угодно малому, но фиксированному промежутку £ усредненный потенциал
л+е
必(%)= !«［。(/)改(А.28)
стремится к бесконечности при |х|—► оо при всех значениях е.
До сих пор мы имели дело с потенциалами, не слиш- а
ком сингулярными в нуле J U (r)rdr<8. Рассмотрим о
простейший случай потенциала притяжения, сингулярного в начале координат (К. Кейс, 1950):
и (г)=- ^--Д-, %" + 要% =它%,七=一霁%2, p>0.
(А.29)
Выбираем решение, экспоненциально затухающее при г —► +оо, % 〜 ？-" при г—>со. При г —>0 это решение имеет вид 汇〜e，、+ e2Г鱼, где 阮2= ■土/｝一段. Если 0 <〔/% то имеет место обычный случай, т. е. оба члена имеют различный порядок величины при г —>0. Рассматривая потенциал (А.29) как предельный случай обрезанного потенциала, нетрудно показать, что мы должны оставить лишь первый член в % (см. книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1963)). При 0 > % оба члена в выражении для х имеют одинаковый порядок малости, и потому ни одним из них нельзя пренебречь. В силу действительности решения коэффициенты & и С2 являются комплексно сопряженными друг другу и Ze ~Cb%cos (j/p — ^lnr 十 у(£))・ Как и в предыдущем случае, для самосопряженности задачи необходимо наложить условие у(Е) = у на асимптотическое поведение волновых функций при г-*0, откуда видно, что
спектр зависит от одного параметра у и является дискретным. В данном случае найти этот спектр нетрудно. Заметим, что оператор "=一 +右丿 является однородным оператором степени —2. Поэтому если функция % (г) является нормированным решением нашего уравнения, соответствующим энергии Е, то функция Jay (аг) также является нормированным решением уравнения, соответствующим, однако, энергии а2£. Для того чтобы асимптотическое поведение при г->0 осталось тем же самым, необходимо, чтобы j/"р — ^ In art = ли, откуда
2ЛП2ЛПлплпЕп = EQeЕп = EQe，в-；，в-；п — 0, ±1, ±2,...(А.ЗО)п — 0, ±1, ±2,...(А.ЗО)
2ЛП
2ЛП
лп
лп
Еп = EQe
Еп = EQe
，в-；
，в-；
п — 0, ±1, ±2,...
(А.ЗО)
п — 0, ±1, ±2,...
(А.ЗО)
Аналогичная ситуация имеет место в случае потенциала V (г) = ^^, s > 2. Волновые функции в этом случае нетрудно найти с помощью квазиклассического приближения. При г—>0 они имеют вид
%〜％ 4%〜％ 4叫士 ("г叫士 ("г(А.31)(А.31)
%〜％ 4
%〜％ 4
叫士 ("г
叫士 ("г
(А.31)
(А.31)
и опять условие ортогональности волновых функций требует, чтобы фаза у у всех % была одинаковой.
Следует отметить, что иногда физически более приемлемым является условие полного поглощения в начале координат (Е. Фогт, Г. Ванье, 1954; С. П. Аллилуев, 1971). Это условие соответствует выбору у = /оо. Оба случая (у действительно и у =i8)являются предельными случаями общего граничного условия при г = 0, когда у комплексно, у = yi + 172, Y2 > 0, что приводит к частичному поглощению в нуле (А. М. Переломов, В. С. Попов, 1970 Б).
Подчеркнем следующее принципиальное различие между сингулярными и несингулярными потенциалами. В случае несингулярных потенциалов (самосопряженная задача) квадратично интегрируемые решения уравнения Шредингера образуют полный ортогональный набор
функций. В 《сингулярном》 случае мы имеем дело со сверхполным набором состояний. Для получения полного набора состояний необходимо фиксировать фазу, т. е. асимптотическое поведение волновых функций вблизи сингулярной точки (или, как говорят математики, расширить оператор до самосопряженного).
Физическое различие между этими двумя случаями заключается в следующем (К. Кейс, 1950). Если в физической проблеме потенциал взаимодействия становится бесконечным при г = 0 (как, например, в случае кулоновского взаимодействия, где V(r) = —а/r), то мы имеем дело с идеализацией. В случае кулоновского взаимодействия учет конечных размеров ядра изменяет поведение потенциала на малых расстояниях. Важно здесь то, что если закон справедлив вплоть до достаточно малых расстояний, то собственные функции и собственные значения по существу не зависят от того, как видоизменяется потенциал на малых расстояниях. Для потенциалов с сингулярностью 1/г2 или обладающих более сильной сингулярностью это уже не так. В этом случае собственные функции и собственные значения существенно зависят от вида обрезания. Из рассмотренного выше примера видно, однако, что для описания того, что происходит на малых расстояниях, достаточно ввести один параметр у.
Заметим здесь также, что временная функция Грина
G=e h , определяющая динамику развития процесса, зависит от величины фазы у: G = GY, т. е. динамика развития системы не определена однозначно оператором Н (А. Вайтман, 1964).
Характерной особенностью сингулярных потенциалов притяжения является отсутствие основного состояния системы (Еп —*—8), что неприемлемо из физических соображений. Обрезание потенциала на малых расстояниях устраняет этот недостаток: появляется основное состояние, энергия которого EQ конечна. При этом £0 существенно зависит от радиуса обрезания г0 (Ео-*—оо при г0~*0)- Если Го一 малая величина, то в потенциале V(r) имеется большое число уровней и для n-го состояния 孔》1 и I fin I <^ I £о I введение обрезания эквивалентно указанному выше выбору константы у.
Рассмотрение такого рода случаев необходимо также для того, чтобы понять, какая ситуация может иметь место в более сложных случаях, например в релятивистском случае и особенно в случае квантовой теории поля (К. Кейс, 1950; А. Вайтман, 1964).
Нерелятивистские задачи с сингулярными потенциалами могут также рассматриваться как упрощенные модели так называемых неперенормируемых теорий поля (Н. Хури, А. Пайс, 1964; А. Пайс, Т. By, 1964; Б. А. Арбузов, А. Т. Филиппов, 1964).
Рассмотрим еще одно несколько необычное явление, замеченное впервые Е. Вигнером и И. фон Нейманом (1929). Оказывается, что в случае непрерывного спектра при определенных значениях энергии могут существовать квадратично интегрируемые волновые функции.
Пусть, как и в рассмотренном выше случае, £0 = 0 и г является безразмерной переменной. Потенциал V(r) может быть найден при этом по формуле (А.19). Возьмем %(г) в виде x(r) = f(r)sinr, причем мы можем выбрать f(r) так, чтобы функция % (г) была квадратично интегрируема. Для потенциала R(r) получаем следующее выражение:
V (г) = (一 1+2 ctg г 干 + 屮)・(А.32)
Подставляя f(r) = [а2 + (2г — sin 2г)2]-1, находим *)
I/ _1 Q9尸 a2-3(2r-sin 2r)2 — 1R (2r - sin 2r) sin 2r
P _ _ I _ j2Г [a2+(2r — sin^r)2]2 -a2 + (2r _ sin 2r)2 •
(A.33)
Из этого выражения видно, что при достаточно большом значении а второй и третий члены в нем становятся сколь угодно малыми величинами. Тем не менее их отбросить или же учесть по теории возмущений нельзя, поскольку именно за счет этих членов функция, принадлежащая непрерывному спектру и не являющаяся квадратично интегрируемой, превращается в функцию квадратично интегрируемую.
*) В (А.ЗЗ) исправлена вычислительная ошибка авторов выше- указднной работы，
Этот эффект возникает из-за того, что потенциал слишком медленно приближается к своему асимптотическому значению
V (г)1.(А.34)
Г->ооГ
Волновая функция при этом имеет вид
% (г)〜 7 s'Kn 2r '(А・35)
’Q84产 1 一鬧W
откуда видно, что она квадратично интегрируема. Известно, что для квадратичной интегрируемости волновой функции необходимо, чтобы потенциал приближался к своему асимптотическому значению не быстрее чем 1/г (см., например, обзор Т. Като, 1967). Это условие не является, однако, достаточным. Так, например, потен- циал с чисто кулоновским хвостом V (г)〜—1 —^-, как известно, не приводит к квадратично интегрируемому решению. В качестве другого предельного случая мы рассмотрим потенциал V0(r)=——1—esin(2r + a), который получается при замене в (А.34) медленно меняющейся функции 8/г на постоянную е. Имея в виду аналогию с классической механикой, сделаем замену г ,% -* |, после чего приходим к уравнению + со2 (/) ^ = О, (о2(/) = 1 + е sin(2/ + а) для классического осциллятора с переменной частотой и граничным условием ^(0) = 0. При этом поскольку аргумент, стоящий под знаком синуса, меняется с частотой, в два раза большей чем coo = 1, то имеет место параметрический резонанс (см., например, книгу Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица, 1958). Поэтому, подобрав соответствующим образом фазу а, можно добиться экспоненциального затухания амплитуды колебаний &(/). В нашем случае величина е = 8〃 уже не является константой, а уменьшается с течением времени. Это приводит к другому закону 传(f)〜1/Z2) уменьшения £ с течением времени. При этом затухает лишь состояние С Ед = 0, поскольку лишь оно находится в резонансе,
Состояния с энергией, близкой к нулю, не находятся в резонансе 畸=£+ 1 ：/： 1 и потому не затухают. Соответствующие волновые функции при этом не являются квадратично интегрируемыми. Это рассуждение, которое ни в коей мере не является доказательством, 'поясняет смысл полученного выше результата и роль осцилляций потенциала типа sin 2r.
Отметим еще одну задачу с несколько необычным спектром —случай периодического потенциала V(尤+ 〃) = = У(х). В этом случае, как известно, спектр является непрерывным, но заполняет не всю полуось энергии, а отдельные энергетические зоны, разделенные промежутками.
Из рассмотренных нами примеров видно разнообразие спектра уравнения Шредингера. На практике, однако, особые случаи встречаются редко и характер спектра обычно бывает ясен с самого начала.
Б. Квазиклассические свойства высоковозбужденныхуровней в кулоновском поле
Высоковозбужденные уровни (п 汐 1) электрона в кулоновском поле отвечают состояниям, в которых электрон почти все время находится вдали от ядра). В этом смысле такие состояния подобны состояниям электрона в непрерывном спектре при малой положительной энергии. Поэтому естественно, что должным образом усредненные величины (при иоо, £—>0) не должны отличаться от соответствующих величин для непрерывного спектра вблизи порога, т. е. при 0 V Е & £& где Ес = —g2 атомная единица энергии, Ze ——заряд атомного остатка, в поле которого находится электрон.
Как известно, процессы, в которых в конечном состоянии получаются медленные электроны, движущиеся в кулоновском поле, отличаются тем, что соответствующие сечения стремятся к конечной, не равной нулю величине
（То у порога при Е—►+0 ）.—Обращение в нуль фазового объема （dNIdE〜р〜 联£ при £f 0） компенсируется бесконечным нарастанием матричных элементов за счет деформации волновой функции кулоновским полем:
I %（0）Е _2冗％рс（ в.［）
I 4P（8）产-p（Ue』％/卩）
при £-*0. Здесь pc = mZe2/h—характерный импульс электрона в атоме, р — импульс налетающего электрона.
Этот результат находится в точном соответствии с квазиклассикой. В самом деле, в этом приближении
1%（。）|2 _ % Sg 丨％（8）f
где poo, Po ——импульсы классической частицы на бесконечности и вблизи начала координат; 5ТО и So ——соответствующие площади поперечного сечения силовой трубки （эти множители специфичны для трехмерного случая и учитывают дополнительную концентрацию частиц в начале координат）.
Используя закон сохранения момента количества дви- жения Ь°ро = Ь8P8, связь 瓦 и %：瓦=（包产■）% （здесь а =牀亿!71仔—боровский радиус, &0 и &то ——радиусы сечения силовой трубки вблизи начала координат и на бесконечности）, получаемую из уравнения классической траектории, и то обстоятельство, что в силу соотношения неопределенности минимально возможное значение 方8P8~方，получаем
I*（0） F 「8犯一啞_方21
12（8）|2 Pq 吟 瓦&8P8 P8a apg Poo '
что согласуется с формулой （Б.1）.
В силу отмеченного выше свойства высоковозбужденных уровней, величины, относящиеся к дискретному спектру при —Ес《Е < 0, т. е. при и-* оо, можно выразить через значения соответствующих величин при нулевой энергии:
«2 П—1/
J ^nim (^) dE = a |£=+0 = а0. (Б.2) n=ni Z=0 т=—1
При этом учитывается, что в дискретном спектре сечения имеют вид 6-функций (без учета ширины уровней) или представляют очень узкие резонансные кривые (предполагается, что》1,П2》1).
Из формулы (Б.2) следует, что интеграл от сечения по энергии для каждого отдельного подуровня с фиксированными и, /, m в среднем пропорционален п~5; поскольку число подуровней с данным п равно 紋，сумма от П1 до %2 содержит
孔2dn = —— членов, а Е2~ЕХ =.
勿32 做:
Таким образом,
J*dE^ 請等.(Б.З)
Формулы (Б.2), (Б.З) относятся к нескольким типам процессов.
Поглощение света атомом в основном состоянии. При этом полагаем 方з = / + Е (/ — потенциал ионизации атома) и сравниваем фотоэффект 方<о>/,. Е>0 и возбуждение высоких уровней при 方3n = / ——Ec/2n2.
Взаимодействие быстрого электрона с ионом с ио пускайием кванта. Если энергия электрона равна 旦，то он может излучить квант fi(o = £1 — Е, перейдя в состояние с меньшей энергией Е > 0, так что Ез < £\ (в случае тормозного излучения) или 方①汽=£i + EJ2限 (при рекомбинации на n-й возбужденный уровень).
Безызлучательное взаимодействие электрона с положительным ионом, связанное с внутренним возбуждением иона. Пусть W ——энергия возбуждения иона; тогда
при энергии электрона Е^ =^ W + Е, Е > G происходит неупругое рассеяние электрона с уходом медленного электрона (с энергией Е) на бесконечность. При энергии же электрона Еп = W — Ес/2%2 происходит образование атома в возбужденном состоянии с положительной энергией. В этом состоянии возбужден внутренний электрон, и к тому же на далекой орбите находится связанный налетевший электрон. Так, например, возможен процесс Не+ (1 s) + е- Не(2р, п/), где He+(ls)—положительный ион гелия в состоянии is, п весьма велико. Поскольку в этом процессе обязательно участвуют два электрона, такой процесс безызлучательного захвата электрона носит название диэлектронной рекомбинации.
Диэлектронная рекомбинация имеет важное значение в астрофизике (Д. Бейтс, 1962). С помощью формулы (Б.З) можно получить полезные оценки для вероятности этого процесса, поскольку нас интересуют в данном случае именно суммы по всем состояниям с высокими и. Подробное рассмотрение диэлектронной рекомбинации можно найти в статье И. Л. Бейгмана и др. (1968). Как выясняется при этом, оценки вероятности процесса, приведенные в работах А. Буржесса (1964, 1965), В. Тукера и Р. Гоулда (1966), сильно завышены.
Добавление при корректуре
Влияние барьера на состояния с малой энергией связи и на рассеяние медленных частиц. Как показано в работе А. Б. Мигдала, А. М. Переломова и В. С. Попова (1971), наличие барьера существенно меняет результаты §§ 2 и 3 гл. I. S-матрица имеет вид S = Siexp (2师仅))，где S】=(々 + 訛i)(々 + 試2)(々一臥1)т(^ — i脑)乜 При наличии связанного уровня его энергия е 〜 一九%/2, но у S имеется второй полюс Х2, соответствующий виртуальному состоянию. При плавном изменении глубины ямы уровень исчезает, однако есть промежуточная область, где 九i и Х2 вещественны. (В случае кулоновского барьера проницаемость -> 0 при е->0, и эта область исчезает.) Лишь после «столкновения» Xt = Х2 возникает ква- зистационарное состояние с комплексными Л2 = Ль В упомянутой статье рассмотрены также свойства волновых функций; частично для комплексных 九 они исследованы также в работе В. М. Галиц- кого и В. Ф. Чельцова (1964).
ЛИТЕРАТУРА
Агранович 3. С., Марченко В. А. (I960), Обратная задача теория рассеяния, Харьков.
Аллилуев С. П. (1957), ЖЭТФ 33, 200.
Аллилуев С. П. (1971), ЖЭТФ 61, № 1.
Арнольд В. И. (1967), Функциональный анализ и его приложения 1, 1.
А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М. (1966), Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,《Наука》.
Б а з ь А. И. (1957), ЖЭТФ 33, 923.
Б аз ь А. И„ Окунь Л. Б. (1958), ЖЭТФ 35, 757.
Базь А. И. (1959), ЖЭТФ 36, 1762.
В аз ь А. И. (1961), ЖЭТФ 40, 1511.
Базь А. И., Пузиков Л. Д., Смородинский Я. А. (1962), ЖЭТФ 42, 1249.
Б а з ь А. И. (1964), ЖЭТФ 47, 1874.
Б а з ь А. И. (1966), ЯФ 3, 658.
Базь А. И., Демин В. Ф., Кузьмин И. И. (1966), ЯФ 4, 737.
Базь А. И. (1967). ЯФ 5, 229.
Б е йг м а н И. Л., Вайнштейн Л, А*, С юн яе в Р. А. (1968), УФН 95, 267.
Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. (1961), ДАН СССР 137, 1011.
Березин Ф. А., По х и л Г. П., Финкельберг В. М. (1964), Вестник МГУ № 1, 21.
Березин Ф. А (1965), Метод вторичного квантования, «Наука».
Б е р е з и н Ф. А. (1969), УМН 24, № 4, 65.
Боголюбов Н. Н. (1947), Из в. АН СССР, сер. физ., 11, 77.
Боголюбов Н. Н. (1958), ЖЭТФ 34, 58.
Быков В. П„ Вайнштейн Л. А. (1964), ЖЭТФ 47, 508.
Быков В. П. (1965), Электроника больших мощностей, Сб. 4, стр. 66.
Вайнштейв Л. А. (1965), Электроника больших мощностейа Сб. 4, 93.
Виленкин Н. Я- (1965), Специальные функции и теория представлений групп, 《Наука》.
Галицкий В. М., Чельцо в Гельфанд И. М., Левитан матем., 15, 309.Гельфанд И. М., Я г л ом А.Гешкенбейн Б. В., ИоффеГалицкий В. М., Чельцо в Гельфанд И. М., Левитан матем., 15, 309.Гельфанд И. М., Я г л ом А.Гешкенбейн Б. В., ИоффеВ. Ф. (1964), Nucl. Phys. 56, 86.
Галицкий В. М., Чельцо в Гельфанд И. М., Левитан матем., 15, 309.
Гельфанд И. М., Я г л ом А.
Гешкенбейн Б. В., Иоффе
Галицкий В. М., Чельцо в Гельфанд И. М., Левитан матем., 15, 309.
Гельфанд И. М., Я г л ом А.
Гешкенбейн Б. В., Иоффе
Б. М. (1951), Изв. АН СССР, сер.
М. (1956), УМН 11, № 1, 77.
Б. Л. (1963), ЖЭТФ 44, 1211.
Гольданский В. И. (I960), ЖЭТФ 39, 497.
Гольданский В. И. (1965), УФН, 87, 255.
Грибов В. Н., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. (1961) ЖЭТФ 40, 1190.
Данилов Г. С. (1961), ЖЭТФ 40, 498.
Делоне Г. А., Делоне Н. Б. (1968), ЖЭТФ 54, 1067.
Д е м к о в Ю. Н. (1953), Вестник ЛГУ 11, 127.
Д е м к о в Ю. Н. (1958), Вариационные принципы в теории столкно
вений, Физматгиз.
Д е м ко в Ю. Н., Друкарев Г. Ф. (1964), ЖЭТФ 47, 918.
Дем ков Ю. Н. (1965) ЖЭТФ 49, 885.
Д е м ко в Ю. Н., Друкарев Г. Ф. (1965А), ЖЭТФ 49, 257.
Д ем к о в Ю. Н.» Друкарев Г. Ф. (1965Б), ЖЭТФ 49, 691.
Д е м к о в Ю. Н., Комаров И. В. (1965), Вестник ЛГУ, № 10, 18
Друкарев Г. Ф. (1951), ЖЭТФ 21, 59.
Д ыхне А. М. (I960),氷ЗТ① 38, 570.
Дьерди Г., Р е в а и Я. (1965), ЖЭТФ 48, 1445.
Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович ЗельдовичЗельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович ЗельдовичБ. Я. (1965), Из в. вузов, Радиофизика 8, 522.
Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович
Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович Зельдович
Я. Б. (1956), ЖЭТФ 31, 1101.*
Я- Б. (1957А), ЖЭТФ 33, 1488.
Я. Б. (1957Б), ЖЭТФ 33, 1531.
Я. Б. (1959А), ЖЭТФ 36, 1952.
Я. Б. (1959Б), ФТТ 1, 1637.
Я- Б., Рабинович Е. М. (1959), ЖЭТФ 37, 1296.
Я- Б. (I960А),氷ЗТ① 38, 819.
Я- Б. (1960Б), ЖЭТФ 39, 776.
Я. Б. (1960В), ЖЭТФ 39, 1483.
Я- Б., Переломов А. М. (I960), ЖЭТФ 39, 1115.
Я. В. (1961), ЖЭТФ 40, 1155.
Я. Б. (1966), ЖЭТФ 51, 1492.
Я. Б., С а х а р о в А. Д. (1966), ЯФ 4, 395.
Иоффе Б. Л. (195 7), ЖЭТФ 32, 1246.
Капица П. Л. (1951), УОН, 44, 7.
Келдыш Л. В. (1964), ЖЭТФ 47, 1945.
Кобзарев И. Ю., Николаев Н. Н., Окунь Л. Б. (1969) ЯФ 10, 864.
Котова Л. П., Переломов А. М., Попов В. С. (1968), ЖЭТФ 54, 1151.
К р ы л о в Н. С„ Ф о к В. А. (1947), ЖЭТФ 17, 93.
Ландау Л. Д., Смородинский Я. А. (1944), ЖЭТФ 14, 269.
Ландау Л. Д., Померанчук И. Я. (1955), ДАН СССР 102, 489.
а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л.Физматгиз.а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л.Физматгиз.Д. (1957А), ЖЭТФ 32, 405.
а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л.
Физматгиз.
а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л. а н д а у Л.
Физматгиз.
Д. (1957Б), ЖЭТФ 32, 407.
Д. (I960), ЖЭТФ 39, 1856.
Д., Лифшиц Е. М. (1958), Механика, Физматгиз.
Д., Лифшиц Е. М. (1967), Теория поля, «Наука».
Д-, Лифшиц Е. М. (1963), Квантовая механика,
Левитан Б. М. (1950), Разложение по собственным функциям, Гостехиздаг, 1950.
Лифшиц Е. М. (1939), ЖЭТФ 9, 237.
Лось Ф. С. (1957), ЖЭТФ 33, 273.
МарченкоВ. А. (1955), ДАН СССР 104, 695.
Маслов В. П. (1965), Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во МГУ.
Мейман Н. Н. (1963), ЖЭТФ 44, 1228.
М игд ал А. Б„ Крайнов В. П. (1966), Приближенные методы квантовой механики,《Наука》.
Мигдал А. Б.» Переломов А. М., Попов В. С. (1971), ЯФ (в печати).
Минлос Р. А., Фаддеев Л. Д. (I961A),氷ЗТ① 41, 1850.
М ин л ос Р. А., Ф а ддеев Л. Д. (1961Б), ДАН СССР, 141, 1335.
Молчанов А. М. (1953), Труды Моск, матем. об-ва 2, 169.
Никишов А. И., Р и т у с В. И. (1966), ЖЭТФ 50, 255.
Н и к и ш о в А. И., Р и т у с В. И. (1967), ЖЭТФ 52, 223.
О к у н ь Л. Б. (1966), УФН 89, 603.'
П ар адоксов П. (1966), УФН 89, 707.
Переломов А. М. (1962), ДАН СССР 146, 75.
Переломов А. М., Попов В. С. (1966), ЖЭТФ 50, 179.
Переломов А. М., Попов В. С., Терентьев М. В. (1966А).
ЖЭТФ 50, 1393; (1966Б), ЖЭТФ 51, 309; (1966В),ЖЭТФ 51, 601.
Переломов А.М.,Попов В. С. (1967), ЖЭТФ52,514.
Переломов А.М.,Попов В. С. (1968), ЖЭТФ54,1799.
Переломов А.М.,Попов В. С., КузнецовВ.П. (1968),
ЖЭТФ 54, 841.
Переломов А. М., Попов В. С. (1969), ТМФ 1, 360.
.Переломов А. М„ Попов В. С. (1970А), ТМФ 3, 377.
Переломов А. М., Попов В. С. (1970Б), ТМФ 4, 48.
Переломов А. М. (1971), ТМФ 6, 213.
Попов В. С” Кузнецов В. П., Переломов А. М. (1967), ЖЭТФ 53, 331.
Попов В. С.( Переломов А. М. (1969А), ЖЭТФ 56, 1375.
Попов В. С., Переломов А. М. (1969Б), ЖЭТФ 57, 1684.
Р итус В. И. (1966), ЖЭТФ 51, 1544.
Сердобольский В. И. (1959), ЖЭТФ 36, 1903.
Скорняков Г. В.. Тер-Мартнросян К. А. (1956), ЖЭТФ 31, 775
Скорняков Г. В. (1956), ЖЭТФ 31, 1046.
Терентьев М. В. (1965), УФН 86, 231.
Фаддеев Л. Д. (1958), ЖЭТФ 35, 433.
Фаддеев Л. Д. (1959), УМН 14, № 4, 57.
Ф аддеев Л. Д. (I960), _ЖЗТ① 39, 1459.
Ф алкеев 几 Д. (1963), Труды МИАН, т. 69.
Фаддеев Л. Д. (1969), ТМФ 1, 1.
Ф айн В. М. (1967), ЖЭТФ 52, 1544.
Фирсов О. Б., Смирнов Б. М. (1964), ЖЭТФ 47, 232.
Фок В. А. (1935), Изв. АН СССР, отд. мат. и ест. на.ук, № 2, 169.
Халфин Л. А. (1956), ДАН СССР Ш, 345.
Халфин Л. А. (1957), ЖЭТФ 33, 1371.
Шапиро Ф. Л. (1969), УФН 98, 732.
Шноль Э. Э. (1970). ТМФ 4, 239.
Якубовский О. Я. (1967), ЯФ 5, 131?.
AABBBBB BBBBBBAABBBBB BBBBBBm a do R. D. (1961), Phys. Rev. 122, 696.
AABBBBB BBBBBB
AABBBBB BBBBBB
rb u so v B. A., Filippov A. T. (1964), Phys. Lett 13, 95.
a ke г H. F. (1905), Proc. bond. Matn. Soc. (2)3, 24.
а к e г G. A. (1956), Phys. Rev. 103, 1119.
а кег M. (1958), Ann. Phys. 4, 27.
a n der M., Itzykson C. (1966), Rev. Mod. Phys. 38, 330, 346.
a r de e n J., Cooper L. N., Scnriffer J. R. (1967), Phys. Rev. 106, 162.
a r g m a n n V. (1935), Zs. f. Phys. 99, 576.
a r g m a n п V. (1949), Rev. Mod. Phys. 21, 488.
а г gm а п п V. (1952), Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, 961.
argmann V., M oshinsky M. (I960), Nucl. Phys. 18, 697.
а г g m a n п V., Moshinsky M. (1961), Nucl. Phys. 23, 177.
a t e m a n H., E r d e 1 у i A. (1953A), Higher Transcendental Functions. v. 1, McGraw-Hill Book Co., N. Y.
a fem a n H., Erdelyi A. (1953B), Higher Transcendental Functions v. 2, McGraw-Hill Book Co., N. Y.
a t e s D. R., ed. (1962), Atomic and molecular processes, Acad. Press, N. Y.; Атомные и молекулярные процессы, «Мир», М., 1964.
BBBBBBBBBBell J. S. (1962), Nuovo Cim. 24, 452.
BBBBB
BBBBB
ell J. S, Goebel С. J. (1965), Phys. Rev. 138B, 1198.
e r t r a n d J. (1873), Compt. Rend. 77, 849.
ethe H. A., Peierls R E. (1935), Proc. Roy. Soc. A148, 146.
e the H. A. (1937), Rev. Mod. Phys. 9, 69; Г. Бете, Физика ядра, Гостехиздат, 1948.
в вв вв вв вethe Н. A., Sa Ipeter Е. Е. (1957), Quantum mechanics of one- and two-electron atoms, Springer, Berlin; Г. Бете, Э. С о л п и- тер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгиз, 1960.
в вв в
в вв в
irkhoff G. D. (1927), Dynamical systems, N. Y.; Дж. Б и p к- f о ф, Динамические системы, Гостехиздат, 1941.
j о г k е n J. О., Goldberg А. (I960), Nuovo Cim. 16» 92;
о г n М. (1925), Vorlesungen uber Atommechanik, Springer, Berlin; M. Борн, Лекции по атомной механике, ОНТИ, 1934.
о гп М., Heisenberg W., Jordan Р. (1925), Zs. f. Phys. 35, 557.
в ввввв вввво u t e n M., Maene N., van Leuven P. (1965), Nuovo Cim. 37, 1119.
в вввв
в вввв
о у d G. D., Kogelnik H. (1962), Bell System Techn. Journ. 41, 1347.
r e i t G., Wigner E. P. (1936), Phys. Rev. 49, 519, 642.
r e i t G. (1947), Phys. Rev. 71, 215.
reit G. (1957), Phys. Rev. 107, 1612.
r e i t G. (1959), Theory of Resonance Reactions and Allied Topics, Handb. a. Phys. v. 41, Springer; Г. Б p e й т, Теория резонансных ядерных реакций, ИЛ, 1961.
BBBBBBBBBBг е n i g W., Haag R. (1959), Fortschr. d. Phys. 7, 183.
BBBBB
BBBBB
ri 1 lo ui n L. (19纟6), Compt. Rend. 183, 24.
r i 11 о u i n L. (1933), J. Pbys. et Rad. 4, 1.
r uckner K- (1953), Phys. Rev. 89, 834.
russaard P. J., To 1 hqek H. A. (1957》. Physica 23( 955,
Burgess А. (1964), Astrophys. J. 139, 776.
Burgess A (1965), Astrophys. J. 141, 1588.
Byers N., Yang C. N. (1961), Phys. Rev. Lett. 7, 46.
С a 1 о ge ro F. (1967), Variable-phase approach to potential scattering, N. Y.
Carruthers P., Nieto M. M. (1968), Rev. Mod. Phys. 40, 411.
Case К. M. (1950), Phys. Rev. 80, 797.
C a s t i 11 e j о L., Dalitz R. H., Dyson F. J. (1956), Phys. Rev. 101, 453.
C h a d a п K. (1962), Nuovo Cim. 24, 379.
Chew G., Mandelstam S. (I960), Phys. Rev. 119, 467.
Christenson J. H., Cronin J. W., Fitch V. L., Turley R. (1964), Phys. Rev. Lett. 13, 138.
Chung V. (1965), Phys. Rev. 140, B, 1110. S
Coddington E., Levinson N, (1955), Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Co, N. Y.; Э. А. К о д д и н гт о н, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958.
Cohen В. L. (1965), Amer. J. Phys. 33, 97.
Cooper L. N. (1956), Phys* Rev. 104, 1189.
Coulson C. L. A. (1952), Valence, Oxford University Press; Ч. Коульсон, Валентность, «Мир», 1965.
D a s h e n F., Frautschi S. (1964), Phys. Rev. 135B, 1190.
D e Alfaro V., R e g g e T. (1965), Potential scattering, North Holland Publ. Co.; де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, «Мир》，1966.
Dicke R. (1954), Phys. Rev. 93, 99.
Dirac P. A. M. (1930), The principles of quantum mechanics; П. A. M. Д и p а к. Принципы квантовой механики, ИЛ, 1960.
Dyson F. J. (1964), Sci. Amer. 211, 129.
Ebel M. (1962), J. Math. Phys. 3, 68.
Eckart C. (1930), Phys. Rev. 35, 1303.
Ehrenfest P. (1920), Ann. der Phys. 61, 5.
Eisenhart L. P. (1934), Phys. Rev. 45, 428.
Eisenhart L. P. (1948), Phys. Rev. 74, 87.
Ekstein H. (1956), Phys. Rev. 101, 830.
Elliott J., Lein A. (1957), Handbuch der Physik, v. 39, Springer;
Дж. Эллиот и А. Лейн, Строение атомного ядра, И力，1959.
Elliott J. (1958), Proc. Roy. Soc. A245, 128, 562.
Epstein J., Epstein S. (1962), Amer. J. Phys. 30, 266.
E у r i 口 g H., Walter J., Kimball G. E. (1946J, Quantum chemistry； Э й p и н г Г., Уолтер Дж., Кимбалл Дж., Квантовая химия, ИЛ, М., 1948.
F а хе n Н., Holtsmark J. (1927), Zs. f. Phys. 45, 307.
Feenberg E. (1932), Phys. Rev. 40, 40.
Feenberg E. (1958), Ann. Phys. 3, 292.
Fermi E. (1936), Ric. Sci. 7, 13.
Feynman R. P. (1948) Rev. Mod. Phys. 20, 367; Сб. «Вопросы причинности в квантовой механике», ИЛ (1955), стр. 167.
Feynman R. Р. (1950У，Phys. Rev. 80, 440.
Feynman R. P. (1951), Phys. Rev- 84, 108.
Feynman R. P. (1955), Progress in low temperature physics, v. 1, 17.
Feynman R. P., Hibbs A. R. (1965), Quantum mechanics and path integrals, N. Y.; P. Фейнман, A. X и б с, Квантовая механика и интегралы по траекториям,《Мнр》，1968.
Fock V. А. (1930), Zs. f. Pnys. 63, 855.
Fock V. А. (1935), Zs. f. Phys. 98, 145.
Fowler M. (1961), Ann. Phys. 16, 26.
Frautschi S. (1963), Regge poles and S-matrix theory, Benjamin, N. Y.
Froissart M., Goldberger M. L., Watson К. M. (1963), Phys. Rev. 131, 2820
G a m о w G. A. (1928), Zs. f Phys. 51, 204; 52, 510.
Garwin R., Lederman L., Weinrich W. (1957), Phys. Rev. 105, 1415.
Gell-Mann M. (1962), Phys. Rev. 125, 1067.
G e r j u о у E. (1965), J. Math. Phys. 6, 993, 1396.
Glauber R. J. (1963), Phys. Rev. 131, 2766 (1963).
Goldberger M. L., Walson К. M. (1962), Phys. Rev. 127, 2284.
Goldberger M. L., Lewis H. W., Watson К- M. (1963), Phys. Rev 132. 2764.
Goldberger M. L., Watson К- M. (1964), Collision theory J. Wiley, N.Y.; M. Гольдбергер, К- Ватсон, Теория столкновений, «Мир», 1966.
Goldberger М. L., Watson К- М. (1964А), Phys. Rev. 134В, 919.
Goldberger М. L., Watson К- М. (1964В), Phys. Rev. 137В, 1396.
Golden S. (1957), Phys. Rev. 105, 604.
Gordon W. (1928), Zs. f. Phys 48, 180.
Gurney R. W., Condon E. U. (1929), Phys. Rev. 33, 127.
Hammermesh M. (1962), Group theory and its application to physical problems; M. Хаммермеш, Теория групп и ее применение к физическим проблемам,《Мир》，1966.
Hartman Th. (1962), J. Appl. Phys. 33, 3427.-
Hausdorf F. (1906), Berichte Saechsischen Akad. Wiss. (Math. Phys. KL), 58, 19.
H e a d i n g J. (1962), An introduction to phase-integral methods Met* huen, N. Y.; Дж. X e д и н г, Введение в метод фазового интеграла (метод ВКБ),《Мнр》，1965.
Heisenberg W. (1943), Zs. f. Phys. 120, 513, 673.
Heisenberg W. (1946), Zs. f. Naturforsch. 1, 608.
Hirschfelder J. O. (I960), J. Chem. Phys. 33, 1762.
Hostler L., Pratt R. (1963), Phys. Rev. Lett 10, 469。
Hostler L. (1964), J. Math. Phys. 5, 591.
Hu N. (1948), Phys. Rev. 74, 131.
H ulthen L. (1933), Zs. f. Phys. 86, 21.
H umb 1 et J. (1952), Mem. Soc. Roy. Sci. Liege 4, 12.
H u s i m i K. (1953), Prog. Theor. Phys. 9, 381.
I d a M. (1959), Prog. Theor. Phys. 21, 625.
I d а М. (1963), Prog. Theor. Phys. 34, 92.
J ammer M. (1966), Conceptual development of quantum mechanics, N. Y.
Jauch J. M., Hill E. (1940), Phys. Rev. 57, 641.
J a uch J. M. (1957), Helv. Phys. Acta 30, 143.
J a u ch J. M. (1968), Foundations of quantum mechanics, Addison- Wesley.
Jost R. (1947), Helv. Phys. Acta 20, 356.
Jost R., Pais A. (1951), Phys. Rev. 82, 840.
J u d g e D., L e w i s J. T. (1963), Phys. Lett. 5, 190.
Judge D. (1964), Nuovo Cim. 31, 332.
Kallen G., Pauli W. (1955), Dansk. Vid. Selsk, Mat Fys. Medd. 30, № 7.
Kantor P. (1965), Ann. Phys. 33, 196.:
Kapur P., P e i e r I s R. (1938), Proc. Roy. Soc. A166, 277.
К a.to M. (1965), Ann. Phys. 31, 130.
Kato T. (1967), Suppl. to Prog. Theor. Phys., № 40, 3.
Kazes E. (1959), Nuovo Cim. 14, 815.
Kazes E. (I960), Nuovo Cim. 15, 537.
Kazes E. (1965), J. Math. Phys. 6, 1772.
Keller J. B., Kay I., Shmoy s J. (1956), Phys. Rev. 102, 557.
Keller J. B. (1958), Ann. Phys. 4, 180.
Ke 11 e r J. B., R u b i n о w S. I. (I960), Ann. Phys. 9, 24.
Kenschaft R., Amado R. (1964), J. Math. Phys. 5, 1340.
Kh u r i N. N., Pais A. (1964), Rev. Mod. Phys. 36, 590.
К i b b 1 e T.W.(1968A), J. Math. Phys.9, 315.
Kibble T.W.В.(1968B),Phys.Rev.173,1527.
Kibble T.W.В.(1968C),Phys.Rev.174,1882.
Kibble T.W.B.(1968D),Phys.Rev.175,1624.
Kimball G. (1940), J. Chem. Phys. 8, 188.
К1 a u de r J. R., Sudarshan E. C. G. (1968), Fundamentals of Quantum Optics, N. Y , Benjamin.
Kramers H* A. (1926), Zs. f. Phys. 39, 828.
Kramers H. A. (1938), Hand und Jahrbuch der Chemischer Physik 1, 312.
Kramers H. A. (1951), Quantum mechanics, North Holland Publ. Co.
Kumar K- (1965), J. Math. Phys. 6, 1923, 1928.
Lamb H. (1900), Proc. bond. Math Soc. 32, (1), 208.
Lane A., Thomas R. (1958), Rev. Mod. Phys. 30, 257； А. Лейн, P. Томас, Теория ядерных реакций при низких энергиях, И〃, I960.
Laplace Р. S. (1829), Traite de mecanique celeste, T. 1, p. 160, Paris, Bachelier.
Lee T. D. (1954), Phys. Rev. 95, 1329.
L e e T. D.„ Y a n g C. N. (1956), Phys. Rev. 104, 254.
L e n z W. (1924), Zs. f. Phys. 24. 197.
Levinson N. (1949), Dan. Vid. Selsk. Math. Fys. Medd. 25, № 9.
Levy M. (1959), Nuovo Cim. 13, 115.
Lewis H. R., R i e s e n f e 1 d W. B. (1969), J. Math. Phys. 10, 1458.
Liouville J. (1837), J. de Math. 2, 16, 418.
Lippmann B., Schwinger J. (1950), Phys. Rev. 79, 469.
Lippmann B. (1965), Phys. Rev. Lett 15, 11.
London F. (1950), Superfluids, v. 1, J. Wiley, N. Y.
Love A. (1904), Proc. bond. Math. Soc. 2, 288.
L u d e r s G. (1955), Zs. f. Natuforsch. [0a, 581.
Ma S. (1947), Phys. Rev. 71, 195
Manning I. (1964), J. Math, Phys. 5, 1223*
Martin A. (1961), Suppl. Nuovo Cim. 21, 157.
M с С о 11 L. (1932), Phys. Rev. 40, 621.
McGuire (1964), J. Math. Phys. 5, 622.
Meixner J. (1933), Math. Zs. 36, 677.
Meyman N. N., S lavnov A. A. (1964), Phys. Lett. 10, 124.
Moller C. (1946), Dan. Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd. 22, № 19.
Moses H., Tuan S. (1959), Nuovo Cim. 13, 197.
Mot t N. (1929), Proc. Roy. Soc. 126, 79.
Muta T. (1965), Progr. Theor. Phys. 33, 666.
N e ' e m a n Y. (1961), Nucl. Phys. 26, 222.
Newton R. G. (1961), Ann. of Phys* [4, 333.-
Newton R. G. (1966), Scattering theory of waves and particles.
N. Y.; Ньютон P., Теория рассеяния волн и частиц, «Мир», 1969.
Northrop Т. G., Teller Е. (I960), Phys. Rev. 117, 215.
Nussenzweig Н. (1959), Nucl. Phys. 3, 499.
NussenzweigH. (I960), Physica 26, 209.
Nussenzweig H. (1961), Nuovo Cim. 20, 694.
O*M alley T. F., S p г u c h L., Rosenberg L. (1961), J. Math.
Phys. 2, 491.
Onsa ger L. (1949), Suppl., Nuovo Cim. 6, 279.
Pagnamenta A. (1965), J. Math. Phys. 6, 955.
Pais A., Wu T. T. (1964), J. Math. Phys. 5, 799.
Park D. (I960), Zs. f. Phys. 159( 155.
Pauli W. (1926), Zs. f. Phys. 36, 336.
Pauli W* (1933), Die Allgemeinen Prinzipen der Wellenmechanik, Springer, Berlin; В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.
Pauli W. (1939), Helv. Phys. Acta 12, 147.
P e i e г 1 s R. (1959), Proc. Roy. Soc. A253, 16.
Petzold I. (1959), Zs. f. Phys. 155, 422.
Poincare H. (1884), Acta Math. 4, 215.
Polkinghorne J. C. (1958), Proc. Camb. Phil. Soc. 54, 560.
Power E., Saavedra I. (1961), Proc. Camb. Phil. Soc. 57, 121.
R a c a h G. (1951), Group theory and spectroscopy. Lecture notes, Princeton.
Rayleigh, (J. W. Strutt) (1871), Phil. Mag. 41, 107, 274, 447.
Rayleigh (1910), Phil. Mag 20, 1001; Рэлей, Теория звука, т. 2, § 287, Гостехиздат, 1944.
Rayleigh, (1912), Proc. Roy. Soc. 86A, 207.
R e g g e T. (1958), Nuovo Cim. 8, 671.
Rollnik H. (1956), Zs f. Phys. 145, 639, 654,
Rosenfeld L. (1965), Nucl. Phys. 70, 1.
Ruderman М, Gasiorowicz S. (1958), Nuovo Cimento 8, 861.
Runge C. (1919), Vektoranalysis, Bd. 1, S. 68, Hirzel, Leipzig. Sch,if f L. (1963), Phys. Rev. 132, 2194.
Schrodinger E. (1926A), Naturwiss. 14» 664.
Schrodinger E. (1926B), Ann. d. Phys. 80, 437.
Schutzer W., T i о m п о I. (1947), Phys. Rev. 83, 249.
Schwarz C. (1959), Ann. of Phys. 6, 156, 170, 178.
Schwinger J. (1953), Phys. Rev. 91, 728.
Schwinger J. (19ббА), Proc. Nat. Acad. Sci. USA 47, 122.
S chwi n ger J. (1960B), Ann. of Phys. 9, 169.
Schwinger J. (1964), J. Math. Phys. 5, 1606.
Segal I. E (1963), Mathematical problems of relativistic physics» Providence; И. Сигал, Математические проблемы релятивистской физики,《Мнр》，1968.
Sexi Т. (1933), Zs. f. Phys. 81, 163.
Sharp D. H. (1965), High energy physics and elementary particles, p. 273, IAEA, Vienna.
Smith F. (I960), Phys. Rev. 118, 349.
Sommerfiel d Ch. (1965), J. Math. Phys. 6, 1170.
Srivastava P. (1963), Phys. Rev. 131, 461.
Susskind L., G 1 о g о w e r J. (1964), Physics 1, 49.
T h i rr i n g W. (1962A), Nuovo Cim. 23, 1064.
Thirring W. (1962B), Phys. Rev. 126, 1209.
Thomas L. H, (1935), Phys. Rev, 47, 903.
Thomson J. J. (1884), Proc. bond. Math. Soc. 15 (1) 197.
Titchmarsh E. C. (1946), Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations. Oxford; Э. Ч. T и т ч- м a p ш, Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, ИЛ, 1960.
Trees R. (1956), Phys. Rev. 102, 1553.
Tucker W. H., Gould R. J. (1966), Astrophys. J. 144, 244.
van d e г W a e г d e n B. L., Ed. (1967), Sources of quantum mechanics, North-Holland.
van Kampen N. G. (1953), Phys. Rev. 91, 1267.
van V 1 e ck J., Sherman A. (1935), Rev. Mod. Phys. 7, 167.
van Winter C. (1968), Ann. Phys. 47, 232.
Vogt E., W a n n i e r G. (1954), Phys. Rev. 95, 1190.
von Neumann J. (1929), Zs. f. Phys. 57, 30.
von Neumann J., Wigner E. P. (1929), Phys. Zs. 30, 465.
von Neumann J. (1961 J, Collected works, v. I, 550, Pergamon Press.
von Neumann J. (1931), Math. Ann. 104, 570.
von Neumann J. (1932), Mathematische Grundlagen der Quanten- mechanik Springer, Berlin； И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, «Наука», М. (1964).
von Neumann J. (1938), Composite Math. 6, 1.
Warnock F. (1963), Phys. Rev. 131, 1320.
WeinbergS. (1956), Phys. Rev. 102, 285.
Weinberg S. (1963), Phys Rev. 131, 440.
W e 11 n e I M. (1964), Amer. J. Phys. 32t 787*
Wentzel G. (1926), Zs. f, Phys. 38, 518.
Wey 1 H. (1910), Math. Ann. 68, 220.
Weyl H. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, Hirzel.
Wheeler J. A. (1937), Phys. Rev. 52, 1107.
Wightman A. S., Schweber S. (1955), Phys. Rev. 98, 812
Wightman A. S. (1964), Introduction to some aspects of the relativistic dynamics of quantized fields, Cargese, (1964); А. В а й t- м а н, Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей, 《Наука》，1968.
Wi gner Е. Р. (1932), Gott. Nachr. (Math. Natur. Klasse) 31, 546.
Wigner E. P. (1935), Math u. Natur. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 53, 475.
Wigner E. P., E i s enb u d L. (1947), Phys. Rev. 72, 29.
Wi gner E. P. (1948), Phys. Rev. 73, 1002.
Wigner E. P. (1954), Phys. Rev. 94, 77.
Wi gner E. P. (1955), Phys. Rev. 98, 145.
Wigner E. P. (1959), Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra, N. Y., Academic Press; E. В и г и e p, Теория групп, ИЛ, 1961.
Wigner Е. Р. (1964), Science 145, 995; УФН 85, 727 (1965).
Winter R. (1961), Pnys. Rev. 123, 1503.
Wong D., Toll J. (1957), Ann. of Phys. 1, 91.
W u C. S., Amb 1 er E., Hayward R. W., Hoppes D. D., H u d- son R. P. (1957), Phys. Rev. 105, 1413.
Y a n g C. N. (1968), Phys. Rev. 168, 1920.
Z a ch a ri a s en F. (1961), Phys. Rev. 121, 1851.
АЛФАВИТНЫЙ СПИСОК АВТОРОВИНОСТРАННЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
Айзенбад — Eisenbud Амблер — Ambler Амадо — Amado Арбузов — Arbusov Байерс — Byers Бандер — Bander Баргманн — Bargmann Бардин — Bardeen Бейкер — Baker Бейтмен— Bateman Бейтс — Bates Белл — Bell Бертран — Bertrand Бете — Bethe Биркгоф — Birkhoff Бойд — Boyd Борн — Born Боутен — Bouten Бракнер — Bruckner Брейт — BreitАйзенбад — Eisenbud Амблер — Ambler Амадо — Amado Арбузов — Arbusov Байерс — Byers Бандер — Bander Баргманн — Bargmann Бардин — Bardeen Бейкер — Baker Бейтмен— Bateman Бейтс — Bates Белл — Bell Бертран — Bertrand Бете — Bethe Биркгоф — Birkhoff Бойд — Boyd Борн — Born Боутен — Bouten Бракнер — Bruckner Брейт — BreitБрениг — Brenig Бриллюэн — Brillouin Бруссаар — Brussaard Буржесс — Burgess Бьёркен — BJorken Вайтман — Wightman ван дер Варден — van de г Waer-
Айзенбад — Eisenbud Амблер — Ambler Амадо — Amado Арбузов — Arbusov Байерс — Byers Бандер — Bander Баргманн — Bargmann Бардин — Bardeen Бейкер — Baker Бейтмен— Bateman Бейтс — Bates Белл — Bell Бертран — Bertrand Бете — Bethe Биркгоф — Birkhoff Бойд — Boyd Борн — Born Боутен — Bouten Бракнер — Bruckner Брейт — Breit
Айзенбад — Eisenbud Амблер — Ambler Амадо — Amado Арбузов — Arbusov Байерс — Byers Бандер — Bander Баргманн — Bargmann Бардин — Bardeen Бейкер — Baker Бейтмен— Bateman Бейтс — Bates Белл — Bell Бертран — Bertrand Бете — Bethe Биркгоф — Birkhoff Бойд — Boyd Борн — Born Боутен — Bouten Бракнер — Bruckner Брейт — Breit
den
ван Винтер — van Winter ван Кампен—van Kampen ван Льювен—van Leuven ван Флек—van Vleck Ванье — Wannier Варнок — Warnock Ватсон — Watson Вейль — Weyl Вейнберг — Weinberg Вейнрих — Weinrich Велнер — Wellner Вентцель — Wentzel
Вигнер — Wigner Винтер —Winter Вонг — Wong By；— Wu
Газиорович — Gasiorowicz Г амов — Gamow Гарвин — Garwin Гебель — Goebel
Гейзенберг — Heisenberg Гелл-Манн — Gell-Mann Герджой — Gerjuoy Герни — Gurney Глаубер — Glauber Глоговер — Glogower Гольдберг — Goldberg Гольдбергер — Goldberger Гольден — Golden Гордон — Gordon Гоулд — Gould Дайсон — Dyson Далиц — Dalitz Дашен — Dashen де Альфаро — de Alfaro Джадж — Judge Дике — Dicke Дирак — Dirac Захариазеи —Zachariasen Ида — Ida
Иордан — Jordan Ициксон — Itzykson Йост — Jost
Калоджеро — Calogero Кантор — Kantor Капур — Kapur Каррузерс — Carruthers Кастил ьехо — Castillejo Като — Kato Кен — Kay Кейзес — Kazes Кейс — Case Келлер —Keller Кеншафт — Kenschaft Киббл — Kibble Кимбалл — Kimball Клаудер — Klauder Когельник — Kogelnik Коддингтон — Coddington Кондон — Condon Коульсон — Coulson Коэн — Cohen Крамере — Kramers
Кристенсон — Christenson Кронин — Cronin Кумар — Kumar Купер — Cooper Лаплас — Laplace Лейн — Lane Леви — Levy Левинсон — Levinson Ледерман — Lederman Ленц — Lenz Ли — Lee
Липпманн — Lippmann Лиувилль — Liouville Лондон — London Льюис — Lewis Лэмб — Lamb Людерс — Luders Ляв — Love Ma — Ma Маене — Маепе Мак-Гир — McGuire Мак Колл — McColl Мандельстам — Mandelstam Маннинг — Manning Мартэн — Martin Мейкснер — Meixner Мейман — Meyman Мёллер — Moller Мозес — Moses Мотт — Mott
Мошинский — Moshinsky Мута — Muta Нееман — Neiman Нито — Nieto Нортроп — Northrop Нуссенцвейг— Nussenzweig Ньютон — Newton О*Маллей — O'Malley Онзагер — Onsager Пагнамента — Pagnamenta Пайерлс ——Peierls Пайс — Pais Парк — Park Паули — Pauli Пауэр — Power Петцольд — Petzold Полкингхорн — Polkinghorne Пратт — Pratt Пуанкаре — Poincare Рака — Racah Редже — Regge
Ризенфельд ——Riesenfeld Розенберг — Rosenberg Розенфельд ——Rosenfeld Рольник — Rollnik Рубинов — Rubinow Рудерман — Ruderman Рунге — Runge Рэлей — Rayleigh Сааведра — Saavedra Саммерфилд — Sommerfield Сексл — Sexi Сигал — Segal Славно в — Slavnov Смит— Smith Солпитер — Salpeter Сривастава — Srivastava Сударшан — Sudarshan Сусскинд — Susskind Теллер — Teller Терлей — Turley Тиомно — Tiomno Тирринг — Thirring Титчмарш — Titchmarsh Тол л — Toll Толхоек — Tolhoek Томас — Thomas Томсон — Thomson Трис — Trees Туан — Tuan Тукер — Tucker Уилер — Wheeler Умбле — Humblet Уолтер — Walter Факсен — Faxen Фаулер — Fowler Фейнман — Feynman Ферми — Fermi Филиппов — Filippov Финберг — Feenberg Фитч — Fitch Фогт — Vogt Фок — Fock фон Нейман — von Neumann
Фраучи — Frautschi Фруассар — Froissart Хааг — Haag Хадсон —Hudson Хаммермеш — HammermesI Хартман — Hartman Хаусдорф — Hausdorf Хединг — Heading Хейворд — Hayward Хибс — Hibbs Хиршфельдер — Hirschfelde Хольтцмарк — Holtsmark Хоппес —Hoppes Хостлер — Hostler Ху —Hu Хури — Khuri Хусими — Husimi Хюльтен — Hulthen Чадан — Chadan , Челлен — Kallen Чью — Chew Шарп — Sharp Шварц — Schwarz Швебер — Schweber Швингер — Schwinger Шифф — Schiff Шмойс — Shmoys Шпрух — Spruch Шредингер — Schrodinger Шриффер — Schriifer Шютцер — Schiitzer Эбель — Ebel Эйзенхарт — Eisenhart Эйринг — Eyring Эккарт — Eckart Экштейн — Ekstein Эллиот — Elliot Эпштейн — Epstein Эрдейи — Erdelyi Эренфест — Ehrenfest Яммер — Jammer Янг — Yang Яух —Jauch
*) Аналогичная волновая функция использовалась при решении задачи рассеяния л-мезонов иа дейтоне в импульсном приближении (К. Бракнер, 1953), а также в задачах- столкновения отрицательного иона с нейтральным атомом (О. Б. Фирсов, Б. М. Смирнов, 1964; Ю. Н. Демков, 1965).
*J Мы рассматриваем здесь лишь экстремальную классическую траекторию, для которой Im 蚀 в формуле (4.20) принимает минимальное значение. Такая траектория дает главный вклад в вероятность ионизация 忆 Нетрудно показать, что в рассматриваемом
случае она соответствует движению частицы вдоль поля с равным нулю поперечным импульсом "丄=0. Траектории с р丄 #0 определяют импульсный спектр вылетающих при ионизации частиц. Их учет также возможен в рамках квазиклассического метода (В. С. Попов и др., 1967).
**) Читателя, интересующегося более точными формулами и деталями их вывода, отсылаем к статье Т. Сексла (1933).
Отметим здесь же следующий парадокс. Найденная нами волновая функция a-частицы является сферически-симметричной, и потому непонятно, как может возникнуть наблюдаемый на опыте трек a-частицы. Этот парадокс был полностью разрешен Н. Моттом (1929), к статье которого мы и отсылаем интересующихся читателей^
1 吗 J4»(г)е« 〃 = J隰一3”]dr —费，(6.6)
**) В этом параграфе излагаются результаты работы А. М. Пе* реломова (1962).
А. И. БАЗЬ, Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ, А. М. ПЕРЕЛОМОВ
Рассеяние,реакции и распадыв нерелятивистскойквантовой механике
Издание второе,исправленное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ' ЛИТЕРАТУРЫМосква 1971
530.1 Б. 17
УДК 530.145
Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, Б аз ь А. И., Зельдович Я； Б., Передо- м о в А. М., изд. 2-е, перераб., монография, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва 《Наука》, 1971.
Книга посвящена вопросам квантовой механики, связанным с ее приложениями к атомным и ядерным процессам. По характеру изложения книга заполняет разрыв между учебниками и оригинальной литературой. Наряду с конкретными задачами рассматриваются современные общие методы, на примере нерелятивистской теории разъясняется понятие перенормировки, важное для теории элементарных частиц. Подробно рассмотрены следующие вопросы.
Свойства систем с малой энергией связи. Системы со случайным вырождением — атом водорода, трехмерный гармонический осциллятор. Аналитические свойства волновой функции и матрицы рассеяния. Функция Грина уравнения Шредингера. Точное решение задачи об осцилляторе с переменной частотой под действием внешней силы. Квазиклассические свойства вырожденного ферми-газа. Многомерная квазиклассика, квазиклассическое приближение в нестационарном случае. Свойства нестабильных систем. Свойства многоканальных систем. Пороговые явления. Описание системы из трех тел с помощью уравнений Фаддеева. Изучение теории перенормировок на примере нерелятивистской модели Ли.
Альфред Иванович Базь»Яков Борисович Зельдович,Аскольд Михайлович Переломов
Рассеяние, реакции и распады в иерелятивистской квантовой механике
М., 1971 г., 544 стр. с илл.
Редактор В. В. КараваевТехн, редактор В. Я. КондаковаКорректоры О, А. Сигал4 Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 2/XI 1970 г. Подписано к печати 5/IV 1971 г. Бумага 84ХЮ8Ч32. Физ. печ. л. 17. Условн. печ. л. 28,56. Уч.-изд. л. 27,97. Тираж 6500 экз. Т-06511. Цена книги 1 р. 97 к. Заказ № 851.
Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературыМосква, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при
Совете Министров СССР. Измайловскиб проспект, 29.
2-3-2
216^福
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию « . . 6
Глава I. Дискретный спектр 9
Введение
Состояния с малой энергией связи18
Точечное взаимодействие и эквивалентность его граничному условию .26
Частица в поле нескольких точечных потенциалов . . 30
Кулоновский потенциал 34
Трехмерный осциллятор44
Теорема вириала и ее обобщение .59
Одинаковые частицы и статистическая физика ... 63
Глава II. Непрерывный спектр67
Введение. Волновые функции непрерывного спектра с / « 0 67
Движение с орбитальным моментом / W 0; движение в кулоновском поле 76
Волновые функции непрерывного спектра. Сечение рассеяния 85
Оптическая теоремаи ее обобщение93
Глава III. Аналитические свойства волновой функции
S-матрица и ее аналитические свойства 98
«Ложные» полюса 110
Свойства вычетов величины S】（左）115
Глава IV. Функция Грина в теория возмущенийГлава IV. Функция Грина в теория возмущений3030364346495563IX IX IX IX IX 113030364346495563IX IX IX IX IX 11Дисперсионные соотношения
Глава IV. Функция Грина в теория возмущений
Глава IV. Функция Грина в теория возмущений
3030364346495563
IX IX IX IX IX 11
3030364346495563
IX IX IX IX IX 11
Введение. Функция Грина радиального уравнения Шредингера
Регулярный метод получения функции Грина ..,.
Некоторые свойства функции Грина ......
Функция Грина для нескольких свободных частиц ..
Теория возмущений. Координатное представление ..
Импульсное представление
Функция Грина в импульсном представлении. Операторная алгебра
Оператор рассеяния169
Формулы для точечных потенциалов175
Теория возмущений в непрерывном спектре - ... 181
Сходимость ряда теории возмущений186
Временная функция Грина194
Глава V. Квазиклассическое приближение198
Волновая функция в квазиклассическом приближении 198
4 140 122 2 24 140 122 2 2Квазиклассическое приближение для вырожденного ферми-газа
4 14
0 12
2 2 2
4 14
0 12
2 2 2
Многомерный случай
Нестационарные задачи
о24о24Глава VI. Точные решения нестационарных задач для осциллятора
о24
о24
о 5 8 6 о 6 3о 5 8 6 о 6 3Введение. Волновая функция осциллятора с переменной частотой под действием внешней силы . . . . •
о 5 8 6 о 6 3
о 5 8 6 о 6 3
Квантовый осциллятор под действием внешней силы.- Вероятности перехода
Параметрическое возбуждение квантового осциллятора
Осциллятор с переменной частотой под действием внеШ' ней силы, вероятности перехода
Квантовый осциллятор и адиабатические инварианты
Квазиэнергия системы, подвергающейся периодическому воздействию
Гейзеиберговское представление и канонические преобразования
3 8 7 2 8 5 0 4 8282829303031^ ^ ^3 8 7 2 8 5 0 4 8282829303031^ ^ ^Глава VII. Квазистационарные состояния
3 8 7 2 8 5 0 4 8282829303031^ ^ ^
3 8 7 2 8 5 0 4 8282829303031^ ^ ^
Введение. Теория Гамова
Волновые функции
Пример квазистационарного состояния
Распад квазистационарного состояния
Закон радиоактивного распада
Обобщение нормировки и теория возмущений для ква- зистационарных состояний
Асимптотика волновой функции при г->оо и ff оо
Рождение нестабильной частицы
Переход от квазистационарных состояний к стацио
нарным 336
Время соударения339
Типы долгоживущих состояний343
Глава VIII. Основные свойства многоканальных систем . . 346
Волновая функция многоканальной системы . . . . 346
Сечення. Унитарность 5~матрнцн353
Обратимость времени. Симметрия S-матрицы .... 356
Некоторые аналитические свойства S-матрицы . . . 364
Ограничения иа величину вычетов элементов S-матрицы 367
§ 6, Выражение для S-матрицы. Ее связь с /?-матрицей 371
Среднее время жизни состояний непрерывного спектра 375
Глава IX. Пороговые явления380
Энергетическая зависимость сечения упругого рассеяния при малых энергиях . 380
Энергетическая зависимость сечений двухчастичных реакций при малых энергиях начальных или конечных частиц 385
Энергетическая зависимость сечения рассеяния Х(а, а)Х вблизи порога- реакции Х(а, Ь)У; X, а, Ь, У — бесспиио- вые нейтральные частицы 391
Физика явлений вблизи порога неупругого канала . . 395
Обобщение на случай частиц со спином397
Обобщение на случай многих каналов 432
Форма особенностей вблизи порога рождения заряженных частиц 401
ГлаваX. Задача трехтел413
Обозначения411
Переход к уравнениям Липпмаиа—Швингера . . . . 423
Уравнения Фаддеева 424
Общие формулыдля сечений 432
Уравнение Скорнякова—Тер-Мартиросяна ..... 434
Движение двух частиц во внешнем потенциальном поле. Обозначения и постановка задачи 438
Формулы для нахождения амплитуд различных процессов 446
Две частицы во внешнем поле. Случай точечного взаимодействия между частицами .. .451
Рассеяние нейтронов на химически связанном протоне 458
Глава XI. Модель Ли463
Введение. Импульсное представление . 463
Координатное представление 475
Взаимодействие с нестабильной промежуточной частицей 480
Взаимодействие частиц МнУ484
Векторное взаимодействие487
Несохранение четности в моделиЛи498
Электрический дипольный моментнестабильной частицы 505
Приложения: А. Спектр энергий уравнения Шредингера в особыхслучаях513
Б. Квазиклассические свойства высоковозбужден- ныхуровнейвкулоновскомполе529
Литература533
Алфавитный список авторов иностранныхпубликаций • , , , 542