ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.- 5

Глава1. АНОМАЛИИ 7

Понятие аномалии—

Абелевы аномалии10

Метод Фудзикавы13

Теорема об индексе18

Неабелевы аномалии 24

Условие Becca — Зумино 27

Построение неабелевой аномалии29

Гравитационные аномалии34

Гравитационная аномалия вQ = 238

Гравитационная аномалия итеорема об индексе .41

Глава2.ТЕОРИЯ БОЗОННОЙ СТРУНЫ44

Экскурс в историю——

Бозонная струна50

Ковариантное квантование55

Квантование на световом конусе64

Когерентные состояния.Статсумма струны70

Взаимодействие струн. Древесные диаграммы ....74

Алгебра Виразоро и отщепление духовых состояний в древесных диаграммах81

Глава 3. СПИНОВАЯ СТРУНА И СУПЕРСТРУНА88

Фермионы в дуальной теории. Модели Рамона и Невё1 Шварца —

Ковариантное действие спиновой струны95

Проекция GSO97

Суперструна Грина—Шварца 101

Низкоэнергетический предел итипысуперструн ....104

Глава 4. ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА108

Сокращение аномалий в суперструне I—

Калибровочные группы суперструн113

Алгебры и решетки 114

Алгебры из вершинных операторов117

Замкнутая струна. Механизм Креммера — Шерка .. w 124

Построение гетеротической струны127

Модулярная инвариантность 132

Спиновая структура и проекция GSO139

Глава 5. СТРУНА ПОЛЯКОВА146

Интеграл по поверхностям—

Конформная аномалия 149

138262 714947555667 788899111111 111111138262 714947555667 788899111111 111111720720913579020111112222222222913579020111112222222222262830382 2 2 2262830382 2 2 2

138262 714947

555667 788899

111111 111111

138262 714947

555667 788899

111111 111111

7

20

7

20

91357902

01111122

22222222

91357902

01111122

22222222

26283038

2 2 2 2

26283038

2 2 2 2

Фиксация калибровки

Комп лекспый тензорный анализ

。= 26 как следствие Вейль-инвариантности .

Амплитуды рассеяния и аналоговая модель .

Духи и U (1) аномалия. Теорема Римана — Роха ...

Нулевые моды и пространство Тейхмюллера .

Дифференциалы Бельтрами, квадратичные дифференциалы и модули

Теорема Белавина — Книжника

§11. Тензор энергии-импульса двумерной теории поля ...

$ 12. Поля и операторные разложения .

Аномалии и операторное разложение

БРСТ форму лировка бозонной струны

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ И МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

А.1. Функцион а льные детерминанты

А.2. ^-функция и ядро уравнения теплопроводности ..

А,3. Разложение Швингера — Де Витта — Сили .

А.4. Две леммы Рэя —Зингера— Шварца

А.5. Разложение Вальяна — Блока

А.6. Калибровка Швингера. Нормальные координаты ..

А.7. Детерминант как мера конформной аномалии . ..

А.8. Детерминант двумерного оператора Дирака ...

А.9. Детерминанты лапласианов в струне Полякова ..

А.10. Функция Грина двумерного оператора Лапласа при со впадающих аргументах

А.11. Детерминант двумерного оператора Вейля ....

Приложение Б. ТЕОРЕМА КВИЛЛЕНА

Список литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга представляет собой расширенный курс лекций по теории струи, пр считанных в Новосибирском государственном университете и Институте математики Сибирского отделения АН СССР. Учитывая специфику курса лекций, мы старались отобрать вопросы, принявшие более или менее «классический» вид. В последнее время появилось немало обзоров и книг, посвященных аномалиям, и особенно теориям суперструн. Однако большинство из них издано за рубежом и малодоступно советским читателяаг. К тому же многие еоз них адресованы специалистам и подразумевают у читателя знание множества вопросов, которого трудно ожидать от студента или аспиранта. Исходя из этого, мы старались как можно яснее изложить идейную сторону развития теории струн, опуская ради этой цели трудные и тем более до сих пор не разрешенные проблемы.

Для чтения книги достаточно знакомства с основами квантовой теории поля, например в объеме монографии Рамона *. Изложение технической стороны построено таким образом, что читатель будет в состоянии самостоятельно воспроизвести вывод (почти) всех формул.

При своем появлении в конце 60-х гг. теория струн отпугивала многих физиков не в последнюю очередь потому, что опиралась на целые новые разделы математики, относительно плохо известные в то время физикам. Позже, особенно после появления теории струны Полякова, стало ясно, что теория струн идеально вписывается во многие разделы теории римановых поверхностей, алгебраической геометрии, теории характеристических классов, пространств Тейхмюллера и даже теории чисел, подобно тому как некогда уравнение Шредингера оказалось классическим примером задачи Штурма ——Лвгувилля на собственные значения. Но все перечисленные выше математические дисциплины никогда не читались студентам физических (а часто и математических)' факультетов, поэтому овладение теорией струн требует от сегодняшнего читателя не меньших усилийт чем овладение квантовой

Рамон П. Теория поля.— М.: Мир, 1984

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь подробное Еозложепие необходимых разделов математики безумно увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться минимумом основных понятий и ссылками на доступную литературу.Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта книга написаиа.механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь подробное Еозложепие необходимых разделов математики безумно увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться минимумом основных понятий и ссылками на доступную литературу.Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта книга написаиа.Глава 1АНОМАЛИИГлава 1АНОМАЛИИ

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь подробное Еозложепие необходимых разделов математики безумно увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться минимумом основных понятий и ссылками на доступную литературу.

Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта книга написаиа.

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь подробное Еозложепие необходимых разделов математики безумно увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться минимумом основных понятий и ссылками на доступную литературу.

Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта книга написаиа.

Глава 1

АНОМАЛИИ

Глава 1

АНОМАЛИИ

ПОНЯТИЕ АНОМАЛИИ

Аномалией в квантовой теории поля называется любое нарушение классического закона сохранения на квантовом уровне. Известны абелевы, неабелевы, гравитационные, глобальные, конформные аномалии [1]. Некоторые из них полезны, присутствие других означает математическую несогласованность теории. На- пример, нам трудно представить реалистическую четырехмерную теорию поля без конформной аномалии. Можно сказать, что вся фтгзика задается конформной аномалией. Абелева аномалия, которую мы изучим в § 2, также исключительно полезна: она позволяет решить U (1) проблему, дает решающий тест проверки числа цветов в квантовой хромодинамике. В то же время присутствие в теории неабелевой (калибровочной) аномалии делает ее математически несогласованной *, поскольку означает потерю калибровочной инвариантности и связанную с ней унитарность и перенормируемость. Это относится и к гравитационным аномалиям, которые сигнализируют о нарушении лоренц-инвариантности (или общекоординатной инвариантности), и к глобальным ано- малиям.

Абелева аномалия, называемая и аномалией Адлера ——Белла— Джакива (АБДж), была впервые исследована в 1951 г. Швингером в его знаменитой статье [4], оказавшей позже боль- шое влияние на развитие квантовой теории поля, причем вполне современным способом. Однако этот результат остался незамеченным вплоть до 1969 г., когда проблема аномалии вновь всплыла в связи с распадом л° f 2丫. Запишем амплитуду этого процесса (рис. 1):

м = g^^p^T (胪)加(卩)£v(9). (1.1.1)

В рамках алгебры токов нетрудно показать, что благодаря (частичному) сохранению аксиального тока [1] Т(/)~ /с2, т. е. обращается в нуль для безмассовых пионов. Поскольку реальная

з * Существует мнение, что можно развить процедуру квантования теорий поля с неабелевыми аномалиями. Такую точку зрения поддерживают Л. Д. Фаддеев с сотрудниками [2] и некоторые зарубежные физики [3]. Насколько нам известно, эта процедура сталкивается с трудностями уже в двумерном случае. Ниже мы излагаем общепринятую точку зрения.

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь подробное Еозложепие необходимых разделов математики безумно увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться минимумом основных понятий и ссылками на доступную литературу.Глава 1

Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность

Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с тео-АНОМАЛИИ

рией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта§ 1. ПОНЯТИЕ АНОМАЛИИ

книга написана.

Аномалией в квантовой теории поля называется любое нарушение классического закона сохранения на квантовом уровне. Известны абелевы, неабелевы, гравитационные, глобальные, конформные аномалии [1]. Некоторые из них полезны, присутствие других означает математическую несогласованность теории. Например, нам трудно представить реали-стическую четырехмерную теорию поля без конформной аномалии. Можно сказать, что вся физика задается конформной аномалией. Абелева аномалия, которую мы изучим в § 2, также исключительно полезна: она позволяет решить U (1) проблему, дает решающий тест проверки числа цветов в квантовой хромодинамике. В то же время присутствие в теории неабелевой (калибровочной) аномалии делает ее математически несогласованной поскольку означает потерю калибровочной инвариантности и связанную с ней унитарность и перенормируемость. Это относится и к гравитационным аномалиям, которые сигнализируют о нарушении лоренц-инвариантности (или общекоординатной инвариантности), и к глобальным аномалиям.

Абелева аномалия, называемая и аномалией Адлера ——Белла— Джакива (АБДж), была впервые исследована в 1951 г. Швингером в его знаменитой статье [4], оказавшей позже большое влияние на развитие квантовой теории поля, причем вполне современным способом. Однако этот результат остался незамеченным вплоть до 1969 г., когда проблема аномалии вновь всплыла в связи с распадом л° f 2丫. Запишем амплитуду этого процесса (рис. 1):

М = g^v^paq^T (胪)Ен(р)%(д).(1.1.1)

Б рамках алгебры токов нетрудно показать, что благодаря (частичному) сохранению аксиального тока [1] Т (к2) 优 т. е. обращается в нуль для безмассовых пионов. Поскольку реальная

* Существует мнение, что можно развить процедуру квантования теорий поля с неабелевыми аномалиями. Такую точку зрения поддерживают Л- Д. Фаддеев с сотрудниками [2] и некоторые зарубежные физики 「3]. Насколько нам известно, эта процедура сталкивается с трудностями уже в двумерном случае. Ниже мы излагаем общепринятую точку зрения.

ной о-модели с фермионами.ной о-модели с фермионами.

ной о-модели с фермионами.

ной о-модели с фермионами.

масса пиона очень мала, обеспечить нужное значение Т(тп^)， соответствующее экспериментальной ширине распада Г (л° f 2丫)〜 ~ 9 эв, может только аномально быстрый рост функции Т (泞) от 0 до zn„, противоречащий обычным гипотезам гладкости. С другой стороны, амплитуду распада л° -> 2丫 можно вычислить, например, в рамках линейной о-модели, взаимодействующей с электромагнитным полем:

2 =屮力閲9閲+ /出)屮+ gW 9 +屮跳)屮+

+ ~20机06閲0 + ~2 ^uФ^цФ + • • • •(1.1.2)

Аксиальный ток

7^ =屮?乩y5 屮(1.1.3)

сохраняется классически, d^j^ = 0, и все гипотезы алгебры токов выполнены. Распад л° f 2丫 возникает благодаря треугольной диаграмме. Эта диаграмма была впервые вычислена еще в 1949 г. Штайнбергером и Фукуда и Миямотой [5], которые обнаружили, что она отлична от нуля при А：2 = 0 и вполне удовлетворительно описывает процесс л° 2^. Поскольку а-модель (1.1.2) удовлетворяет требованиям алгебры токов, мы .получаем явное противоречие. Треугольная диаграмма (рис. 2) была подробно проанализирована Адлером, Беллом и Джакивом [6], которые и нашли причину парадокса. Дело в том, что диаграмма (см. рис. 2) линейно расходится и ее необходимо регуляризовать. Не вдаваясь в детали истории, мы хорошо понимаем сегодня, что ее нужно регуляризовать калибровочно-инвариантным способом, например методом Паули —— Вилларса. После регуляризации получаем, что благодаря линейной расходимости диаграммы вклад регуляторов дает конечный остаток, приводящий к нарушению сохранения аксиального тока (1.1.3):

〈靠抬〉=* 卅35尸"/邺.(1.1.4)

Уравнение (1.1.4), описывающее абелеву аномалию, и является типичным уравнением квантовой аномалии. Знак <. . .>, означа

ющий взятие вакуумного среднего в присутствии внешних полей, в данном случае можно просто понимать как учет квантовых поправок. В левой части уравнения (1.1.4) стоит дивергенция тока /и? равная нулю классически, в правой ——«а-номалия», т. е. вклад в дивергенцдю вследствие квантовых поправок. В этой книге мы будем рассматривать только такие аномалии. Глобальные аномалии, которые непредставимы в виде (1.1.4) и обусловлены более сложными топологическими причинами, исследоваться не будут. Конформные аномалии мы изучим подробно в главе 5.

Итак, мы будем заниматься аномалиями двух типов. Чтобы лучше понять разницу между ними, рассмотрим два лагранжиана

2工=Z tr 歹尸uv +(^ц + /Q 屮；

尸iw = 6m/* - %/閲 + [/中 /"；(1.1.5)

4 =分蜀；

①2 =件 tr 方MV尸UV + 屮Y閲 ~_2~~^ 9M + /h)州" (1-1-6)

Внешне они мало отличаются, однако в (1.1.5) входят дираковы фермионы ip, а в (1.1.6) — вейлевские двухкомпонентные спиноры w工：

wl=—4w，屮=w工+ Wr；"r= \" 2.(J.1.7)

Лагранжиан 纟匕 помимо калибровочных преобразований, инвариантен относительно глобальных ^7(1). вращений

w一> 丁"也屮.(1.1.8)

Этой симметрии, как обычно, соответствует с охр аняющийся не- теровский ток

Тц =屮丫|1丫5叩，^ц/ц = 0?(1.1.9)

который, как мы уже видели, имеет аномалию. Однако в данном случае аномалия не приводит к катастрофическим последствиям: в самом деле, ток /^ не связан ни с каким калибровочным полем и тот факт, что〈少閲/^〉，0, означает всего лишь сужение симметрии лагранжиана. Физически это может приводить, ：как, например, в модели Швингера (безмассовой двумерной электродинамике), к появлению массы у фотона или к другим каким-нибудь эффектам ввиду нарушения 75-инвариантности, но сама теория типа 21 продолжает оставаться разумной и математически согласованной.

Иное дело лагранжиан 22・ В нем аксиальный ток (а более точно — левый тж V — A) J^ =屮丫以 ° z^)九@屮 непосредственно

связан с калибровочным полем Лц. Уравнения движения выведенные из лагранжиана 纟2, имеют вид

(■2)閲尸ц,”)@ = J±； Тц^^ц^ь — 0-(1.1.10)

Учитывая антисимметрию F^, имеем тождественно 宏机宏у尸му = =Е [[宏и，宏], ^uv] = у [歹м-v，尸м-vl = 0? откуда вытекает важное следствие калибровочной инвариантности: (宏乩几)。= 0. Если 宏卩/乩抖 0, то калибровочная инвариантность, а с ней унитарность и перенормируемость нарушены и наша теория с лагранжианом : 纟2 математически несогласованна. Приведенный вывод нестрог, поскольку мы оперировали классическими величинами, однако ниже мы псхкажем, что он легко переносится на квантовый язык.

Такил! образом, аномалии первого типа—к ним относятся абелевы и конформные аномалии — характеризуются тем, что ток, сохраняющийся классически, но не сохраняющийся на квантовом уровне, не связан с калибровочным полем и его несохра- нение не приводит к нарушению основных принципов теории, хотя и сужает ее симметрию.

Наоборот, в случае аномалий второго типа ——неабелевых и гравитационных — ток, сохраняющийся классически, но не сохраняющийся на квантовом уровне, связан с калибровочным полем и его несохранение приводит к нарушению калибровочной инвариантности. Заметим также, забегая вперед, что абелева аномалия возникает и для дираковских фермионов: в лагранжиане 纟 1 нет матрицы 75, тогда как аномалии второго типа возникают только в том случае, когда в лагранжиане явно присутствует матрица 75. Как известно, матрица 75 может быть определена только в пространстве-времени четной размерности, поэтому в нечетно^ мерных пространствах нет аксиального тока, стало быть, и ано- малий. Ниже мы везде рассматриваем только четномерные пространства *.

АБЕЛЕВЫ АНОМАЛИИ

Изучим лагранжиан взаимодействия дираковских фермионов с калибровочным полем Лц, в качестве которого для простоты возьмем абелево (электромагнитное поле). Вычисления для полей Янга — Миллса рассмотрим в следующем параграфе. Лагранжиан тагеет вид

纟 =WY乩宏試，宏н =冉+ 4. (1.2.1)

Здесь и далее мы не выписываем кинетического члена tr F^F^. предполагая, что поле Лц является внешним классическим полем. Зтого вполне достаточно для вычисления аномалий, поскольку, как мы убедимся ниже, они обусловлены фермионными петлями. Лагранжиан (1.2Л) инвариантен относительно глобальных 0(1) вращений

屮)"'5屮，(1.2.2)

с которыми связан сохраняющийся нетеровский так 丫^ = WY^Ys屮

8ц■报=。・(1.2.3)

Однако при рассмотрении квантовых поправок к уравнению 小閲/^ = ° возникают расходящиеся диаграммы, и мы должны ввести регуляторы. Выберем в качестве регуляторов п-оля Паули ——Вил- ларса фермионы 4f большой массы М, функция Грина которых отличается знаком от функции Грина безмассовых фермионов 屮.Теперь, благодаря присутствию массового члена — MWW, который, очевидно, не инвариантен относительно (1.2.2), аксиальный ток /ц не сохраняется и мы имеем

^ =而"5w—可y仆5屮；d^ = 2iM^y^.(1-2.4)

Наша задача —— вычислить выражение в правой части во внешнем электромагнитном поле Лй в пределе 加— 8. Если оно окажется отличным от нуля, то аксиальный ток имеет аномалию. Перелишем правую часть в виде 一22Af Tr 丫5屮(％)屮(％'), где знак Тг означает одновременно взятие следа по спинорным индексам и следа в функциональном пространстве, в данном случае просто х = х' (см. прил. А, в котором подробно обсуждены^ функциональные методы). Далее, поскольку величина〈屮仪(力)屮в(^‘) >, по определению, является функцией Грина фермионов V, мы получаем

<5ц/а) = - 2iM Tr (y5Gm ^, х')),(1-2.5)

где функция Грина тяжелых фермионов GM удовлетворяет обычному уравнению

[^ц (^ц + Лц) — М] GM (^,力')=—6(力一力')•(1.2.6)

Разложение функции Грина в ряд по /卩 проще всего вывести, определив свободную функцию Грина Go (%, %') тяжелых фермионов У:

口丫咻一M]Go(力，力‘)=—6 (% —力')；(1.2.7)

仇 & ")= T寿 /% 厂…•(1.2.8)

Вычисления удобно проводить в евклидовом пространстве. Комбинируя уравнения (1.2.6)——(1.2.7), нетрудно получить интег-

11

ральное уравнение теории возмущений (см. (А.5.8) — (А.5.9))

Gm(7, у) = Go(2, У〉+ J dzG0 (ж, z) 2丫“4 (z) GM (z, у).(1.2.9)

Итерируя его, мы получаем искомое разложение функции Грина Gm (%, у) тяжелых фермионов во внешнем поле в виде ряда по Ли.

Теперь мы можем приступить к вычислению Tr 75^м(^, %'). Заметив, что 乃-й член в разложении (1.2.9) содержит в числителе максимум 2к— 1 ^-матриц, от которых мы должны взять след с матрицей 75. В пространстве 2п измерений матрица 丫5 является произведением 2п у-матриц, таким образом, след может быть отличен от нуля только при условии 2к — 1> 2п. Например, в четырехмерном пространстве, которое мы сейчас и будем рассматривать для определенности, вычисление ряда (1.2.9) необходимо начинать с третьего члена, поскольку след первых двух с 丫5 равен нулю. Благодаря этому важному обстоятельству при вычислении аксиальных аномалий не возникает расходимостей, которые неизбежно возникли бы в отсутствие матрицы 75. Таким образом, в Z) = 4 нам нужен третий член в разложении (1.2.9). Его вклад в аномалию имеет вид

-2Ш ТГ?5СМ(^ У)= + 2ШЧгу/ (爵(嘉.X

р — iM 卩2 +一济

厂一iM

г2 十 М2

X

г^7^^

d4yd4z.

(1.2.10)

Интеграл (1.2.10) содержит три фермионных пропагатора и два поля /1 鷗 и отвечает, очевидно, треугольной диаграмме (рис, 2). Он вычисляется следующим образом: сделаем сдвиг переменных интегрирования q q + р, г ^ г + р^ после чего фейнмановсукий интеграл по р может быть выделен и мы получаем

2% f 二厶^y^zA^ (у) Av (z) exp [— iq (y — z) — ir (z — “)] X

J (2л)(2л)

f M tr 匕(万一х扭)巾閲(0 + q - tM) Sv (万 + ；一 %M) d4Pq 2 ]

X J ( J + ”2) [(p + 0)2 十扭2n(P +「)2 + 屈3](2冗产・''

Вычисление матричного следа дает для интеграла по р выражение

4eWPvCTgprCTJ-^―-^—-^^-А^. (1-2.12)

Предел интеграла по р при М f 8 мы предоставляем вычислить читателю в качестве упражнения. Ответ должен быть просто 1/8 (2л)2. Таким образом, в £> = 4 отличный от нуля вклад дает только третий член. Подставляя значение фейнмановского ин

теграла (1.2.12) в (1.2.11) и вычисляя оставшиеся тривиальные интегралы по q, г, у, z, получаем окончательно

〈。口抵〉=‘16冗2乩@歹“о(1.2.13)

Здесь мы рассмотрели простейший случай электромагнитного поля. В § 3 мы покажем, что формула (1.2.13) имеет точно такой же вид и для полей Янга — Миллса, только перед F^^ надо поставить знак следа. Уравнение (1.2.13), выражающее нарушение классического закона сохранения абелева аксиального тока ；ц на квантовом уровне, и носит название абелевой (аксиальной, АБ Дж) аномалии. Проделанное вычисление может вызвать два вопроса： 1) не является ли результат (1.2.13) следствием неудачно выбранной регуляризации; 2) пе могут ли старшие петли, например учет внутренних фотонных линий (если включить кинетический член калибровочного поля), перенормировать уравнение аномалии. Что касается первого вопроса, то в принципе можно придумать регуляризацию такую, что 《d^/^reg〉= ° [1], однако при этом мы получим неизбежно d/卩 #= 0, где 九=巾^丛屮—— векторный ток, т. е. нарушим -калибровочную инвариантность. Как мы уже обсуждали, нарушение калибровочной инвариантности приводит к фатальным последствиям и мы должны стараться всеми силами избежать его. Использованная регуляризация Паули ——Вилларса ——калибровочно-инвариантная процедура, и она автоматически приводит к д^^ = 0, хотя и в дивергенции аксиального тока появляется аномалия, связанная с отличным от нуля вкладом регуляторов в пределе 7И—℃. С учетом сделанных оговорок заключение о возникновении аномалии является однозначным. В следующем параграфе мы вычислим дивергенцию 汽 из совершенно других соображений и подтвердим ответ (1.2.13). Ответ иа второй вопрос дает знаменитая теорема Адлера — Бардина *, согласно которой все старшие петли могут быть регуляризованы таким образом, что их вклад в 〈3机/；丁&目〉не содержит расходимостей и превращается в нуль после снятия регуляризации, иными словами, треугольная диаграмма (рис. 2) полностью задает аксиальную аномалию.

§ 3. МЕТОД ФУДЗИКАВЫ

В предыдущем параграфе мы вычислили абелеву аномалию исходя из теории возмущений. Интересно было бы понять аномалию в рамках метода функционального интегрирования (ФИ). В самом деле, метод ФИ является идеальным инструментом для вывода тождеств Уорда, и, казалось бы, аномалия (1.2.13) должна естественно возникать в этом подходе. Запишем ФИ для тео-

* Adler S. L., Bardeen W. А. / Phys. Rev.— 1969.— V. 182.— P. 1517.

рии с лагранжианом странстве:ТУ (幺)=рии с лагранжианом странстве:ТУ (幺)=宏屮宏屮？宏屮宏屮？(1.3.1)(1.3.1)в 2?г-мерном евклидовом про-

рии с лагранжианом странстве:

ТУ (幺)=

рии с лагранжианом странстве:

ТУ (幺)=

宏屮宏屮？

宏屮宏屮？

(1.3.1)

(1.3.1)

где мы вновь рассматриваем калибровочное поле А^ как внешнее, под которым мы теперь понимаем произвольное поле Янга — Миллса. Хотя ток /ц не связан с Лц, мы вполне можем определить вакуумное среднее его дивергенции обычной формулой

宏屮0皿“犯江(0 +厶)巾=

=-^ У 0屮宏皆 exp {— J d2nx [诃(1 + A)^ — cl ⑺龜剧} з()・

(1.3.2) Интегрируя во втором члене экспоненты по частям, мы видим, что возникающий добавок к действию ——6从仪2九门后㈠ ——может быть убран киральным вращением фермионов:

w一>? 5通屮_>.屮？ 。(1.3.3)

и, следовательно, интеграл (1.3.2) не зависит от а. Мы получаем С^ц/м，^ = О/таким образом, никакой аномалии в рамках ФИ нет! Поскольку функциональный интеграл (1.3.1) содержит в себе всю информацию о теории возмущений, мы приходим к явному противоречию. Долгое время после открытия аномалий считалось, что ФИ по тем или иным причинам ее не охватывает。 Более осторожные авторы [7] при выводе аномальных тождеств Уорда руками вписывали в правую часть аномалию, вычисленную с помощью теории возмущений, авторы, настаивавшие на адекватности метода ФИ, приходили к выводу, что аномалий вообще не должно быть, поскольку они не возникают в рамках этого метода [8]. Полную ясность здесь внесла замечательная работа Фудзикавы [9] (см. также [10]). Он заметил, что киральное вращение (1.3.3) не совсем безобидно, поскольку фермионы 屮， ^ задают меру интегрирования в ФИ и при этом преобразовании опа может меняться. Попытаемся учесть эффект 'замены переменных (1.3.3). Рассмотрим снова ФИ (1.3.1) и сделаем в нем замену переменных (1.3.3). Согласно вариационному принципу Швингера, функциональный интеграл не должен меняться при замене переменных, и мы получаем тождество Уорда

6W/ba = 0,(1.3.4)

где—

Ри (a) = J势屮势屮J exp {—/r"n [侬Y机宏閲屮+ a6ц^]}。(1.3.5)

Здесь J — якобиан перехода от переменных интегрирования 屮，屮 к 叩「屮‘，определенным согласно (1.3.3). Для вычисления J диа-

гонализуем меру. Введем полный набор собственных функций оператора Дирака:宏=丫^^\,宏卩=冉 + 4,

攵“门(％) = ^пфп ⑺(1.3.6)'

и разложим переменные интегрирования по полному набору:

屮 ^] Q?i屮тг；屮-—^] фтг ь出(1.3.7)

Подчеркнем, что, поскольку мы работаем в евклидовом пространстве, грассмановы переменные ап и Ьп никак не связаны между собой. Дело в том, что в евклидовом пространстве происходит так называемое «удвоение фермионов», т. е. фермионы 屮，屮 являются теперь независимыми и не связанными, в отличие от пространства Минковского, соотношением 屮=屮十丫。. Функции 屮几 мы можем выбрать ортонормированными, тогда якобиан перехода от 屮， ф к Qn, Ъп, совпадающий, как легко видеть из (1.3.7), с определителем Грама — Шмидта функций 屮几,равен единице. Мы получаем

宏屮宏屮=Ц dand&n.(1.3.8)

Выполним киральное преобразование (1.3.3)

中=2j du屮九=: ? «w?2

откуда с учетом ортонормированности фп находим зависимость коэффициентов ап от параметров кирального преобразования:

的2 ^^ У фл? & 5屮mQ 力Q?"==爲7?im^me(«.3.9)

Для вывода тождеств Уорда нам достаточно вычислить ^inm при малых а. Разлагая (1.3.9) с точностью до первого порядка, имеем

穹М = бпт + 订 а (力)<p/y5cpm«м方 + - . . •(1.3.10)

Отсюда

Цйа„ =(det ^)-1Hdan,

где обратная степень de匕穹 обусловлена грассмановостыо переменных а”. Далее

(det穹厂I = e-Trm哥=exp (- i J a (胃)Ф才^屮/加力).

Точно такой же фактор вносит якобиан перехода от Ьп к Ь» Та^ ким образом, якобиан замены переменных (1.3.3) оказывается равным

J = ехр (— 2Z j a (力)Фп у5Фп(12?гг).(1.3.11)

Подставляя (1.3.11) в (1.3.5) и беря вариационную производную, получаем окончательно

靄 |а=0 =。今J 宏叩海e-s(2E'A)(а/ + 2Z £ Ф^ТаФп) = 0.

Итак, при корректном учете изменения меры интегрирования при киральных преобразованиях мы получаем что-то вроде уравнения аномалии:

(^ц/u) = - 2%工中^y5屮九三接・(1.3.12)

Теперь нам нужно вычислить бесконечную сумму в правой части. Заметим, что, в сущности, мы ее уже вычислили. В самом деле, поскольку сумма, задающая 垓,плохо определена, мы должны ее регуляризовать. Применим простейшую регуляризацию, а именно: представим ее в виде

—2" ^^ Фп Y5(pn — — 2Z lim М ^^ ^1"? "(1.3.13)

Этот трюк, помимо того, что он регуляризует сумму, позволяет свести ее к функции Грина тяжелых фермионов 4r (регуляторов Паули ——Вилларса). Напомним, что, по определению функцли Грина Gm, мы имели

(Z宏—М) GM (%, ^) = —b (% — 4) •

С другой стороны, с учетом свойства фп (1.3.6)

(应一％)£，"2：；У = — £ 唠⑺ Фп(Z/)= — 6(Ж—У), поскольку (рп образуют, по условию, полный набор собственных функций. Отсюда

-2f lim М 2 ^\I5^ = - 2z： lim М Tr (TsGM (ж, у)), (1.3.14)

а это выражение как раз и равно аномалии в рамках регуляризации по Паули ——Вилларсу в теории возмущений. Регуляризация (1.3.13) дает возможность связать метод теории возмущений с методом ФИ. Тем не менее вычисление предела функции Грина GM в теории возмущений — довольно трудоемкая задача. В § 2 мы вычислили ее в четырехмерном пространстве, причем только для абелева (электромагнитного) поля. Фудзикава указал чрезвычайно простой способ вычисления бесконечной суммы (1.3.12), задающий аномалию в пространстве произвольной размерности, для произвольных калибровочных полей, в том числе и неабелевых. Регуляризуем, следуя Фудзикаве, сумму (1.3.12), введя экспоненциальное обрезание

2 Ф« Т5Фп = Игл 2 ^пЪе М 屮九二 Игл 2 Ф^Т&^⑨ Фп- (1.3.15)

九Aff 8 пMf8 - n

Поскольку в экспоненте стоит ковариантная производная, эта регуляризация автоматически сохраняет калибровочную инвариантность. Сумму (1.3.15) теперь можно вычислить, переходя в импульсное представление и беря в качестве волновых функций импульсного представления плоские волны

垓⑺=_2Z lim N фЛ (力)y5? Iм)中九(力)=

Aff 8 П

=-2Z lim N〈厶 I %〉y5e ’5(力 | 六〉=

=——2Z lim=——2Z lim一偿『Tr <fc j a:> v5e 丿〈久 । 儿〉=炉" Tr 访E丿 eihx =(2n 严'5一偿『Tr <fc j a:> v5e 丿〈久 । 儿〉=炉" Tr 访E丿 eihx =(2n 严'5cP”(2冗严cP”(2冗严—2г lim—2г lim

=——2Z lim

=——2Z lim

一偿『

Tr <fc j a:> v5e 丿〈久 । 儿〉=

炉" Tr 访E丿 eihx =

(2n 严'5

一偿『

Tr <fc j a:> v5e 丿〈久 । 儿〉=

炉" Tr 访E丿 eihx =

(2n 严'5

cP”(2冗严

cP”(2冗严

—2г lim

—2г lim

=—2i lim f Tr 丫§ exp ([2 (ik^ + D^2 + [Тц, Yvl 尸 uj,

(1.3.16) где мы использовали тождество [宏》宏”]二尸^. Делая (формальный) сдвиг переменной интегрирования 为曰 f 儿曰；宏卩 и переопределяя затем к' f 乃/7И, получаем

接=_2% ^М- тг У5 eхр (一壶[YМ，Ы / j J 墨г=

=-/吧m"Tr & exp (一壶[Yu，Y" F^.

В 2п-мерном пространстве отличен от нуля след произведения матрицы 丫5 с как минимум п матрицами Quv = ~2 [?ц，Tv]- Все старшие члены обращаются в нуль в пределе Л/ f °°, и мы получаем общее выражение для аномалии

垓=3公=—幽…f tr F%U2…尸』t»・("3/7)

Итак, мы установили, что в рамках метода ФИ аномалия возникает как следствие неинвариантности меры интегрирования в функциональном интеграле относительно соответствующих преобразований (в данном случае ——киральных вращений (1.3.3)). Можно показать, что любая из уломяпутых в § 1 аномалий вычисляется методом Фудзикавы. В некоторых случаях, как, например, в данном, этот метод является наиболее простым и эффективным и позволяет не только определить вид аномалии, но и зафиксировать численный коэффициент перед ней, как в (1.3.17).

Заметим, что мы можем формально избавиться от меры в (1.3.1) (прил. А) и проинтегрировать по фермионам. Тогда стат- сумма W{А) выразится через бесконечномерный функциональный детерминант

W(A)= deti^ (1.3.18)'

который теперь и будет содержать всю информацию об аномалиях. Этот подход в применении к данному кругу задач развивался в работах А. С. Шварца с сотрудниками [10, 11] еще до открытия метода Фудзикавы и также является весьма общим и мощным инструментом вычисления аномалий. Мы рассматриваем его подробно в приложении А. Можно сказать, что оба метода позволяют взглянуть на задачу с разных сторон и углубляют наши знания о структуре функциональных интегралов.

§ 4. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ

Читатель, знакомый с теорией инстантонов (см., например, [12, 13] ), несомненно встречался с простейшей формой теоремы об индексе. Напомним, что если поместить безмассовый фермион в поле инстантона А^ то фермион приобретает нулевую моду [14]亠

= 0,

причем разность числа нулевых мод а% с положительной кираль- ностыо N+, т. е. ?52о = + 屮и, и нулевых мод с отрицательной ки- ральностью N-. 丫5屮о — 一屮仇 равна

Ar+ - ^_ = euvXa f d^ tr F^F^,(1.4.1)

t. e. задается так называемым «индексом Понтрягина» инстантона 密

9 =(6冗2 J 1 比 tr F^VFцу, FEjivKo^xo-(1.4.2)

Нетрудно сообразить, что выражение (1.4.2) в точности совпадает с абелевой аномалией (1.3.17) в Z)= 4. Формула (1.4.1) представляет собой простейший пример теоремы об индексе. В общем случае теорема об индексе связывает индекс дифференциального оператора, т. е. разность числа нулевых мод (или размерность ядра оператора, как говорят математики) оператора и яисла нулевых мод сопряженного оператора (размерность коядра) ,с топологической характеристикой калибровочного поля или пространства-времени [15——17]. Мощь теоремы об индексе в том, нто она сопоставляет информацию о свойствах локальных реше-

ний дифференциальных уравнений с глобальной топологической информацией. В § 4 мы выведем теорему об индексе для дираковских фермионов в поле Янга — Миллса и приведем без доказательства общую теорему об индексе для оператора Дирака на произвольном римановом многообразии. Эти результаты понадобятся нам ниже при выводе неабелевой аномалии и при обсуждении сокращения аномалий в суперструне Грина —— Шварца.

Рассмотрим вновь в пространстве (D = 2п)-измерений дираковские фермионы, взаимодействующие с внешним полем Янга — Миллса. Произвольный спинор можно разложить по полному набору функций ф„, определяющихся из уравнения на собственные значения:

勿5 =統中入(L4.3)

Заметим, что оператор Дирака 勿 антикоммутирует с 洛 т. о.

Y5纱中九=-@Y5中也=mT沔П.(1-4.4)

Отсюда следует, что спинор 丫5屮皿 также является решением уравнения на собственные значения, по со значением энергии, равным —入龍! Таким образом,屮龍 и 丁5屮龍 ортогональны при 入?？ 0. Когда 扎九=0, это не так. В данном случае мы всегда може^м наложить на собственные функции 屮：,отвечающие 入=0, условие ^5屮;=士 ①^ Обозначим эти функцди через 屮±\ в соответстви со знаком:

V5①1 = + 屮+，? = 1,2 . . * N +；

協屮乙=—冠_, / = 1,2... N-；(1-4.5)

勿0± =°，

Мы предполагаем, что функции 屮土 ортонормированы. Рассмотрим вновь регуляризованную сумму (1.3.15) и запишем для нее уравнение аномалии

•Mf ОО “П

= rd2%战%…歹u %(1.4.6)

(4冗)?％! J1

Поскольку при Лп =^ 0 'фп и 75фп ортогональны друг другу, в сумме остаются только нулевые моды

§ d2nx 2 Фо+ТэФо = / d2nx £ (唁— Ф^Ф-)=

(4冗)e丄

Учитывая ортонормировку нулевых мод 屮上，мы приходим к теореме об индексе

W+ —= ^rj d2% 戶…f tr 尸吋2 …F^n_M (1-4.8)

В таком виде формула выглядит очень громоздко. Мы вряд ли сможем продвинуться дальше, если по-прежнему будем пользоваться координатной записью. Несравненно удобнее работать в формализме дифференциальных форм. Мы предполагаем, что читатель знаком хотя бы с его начатками, поэтому опускаем традиционную вводную часть, касающуюся алгебры Грассмана, определения внешнего дифференцирования и т. д. С этим материалом можно познакомиться по любому современному курсу дифференциальной геометрии, например [17 ——19].

Итак, выведем для начала 1-форму Л [20]:

А = А^&х^.(1.4.9)

где Ли ——поле Янга — Миллса, иными словами, А ——1-форма в ^-пространстве и матрица в изотопическом (цветовом и т. д.) пространстве. Из определения внешней производной имеем

d/ 。仙4・d# Д d/“ = ~ (5ЦЛv — %/Qd肝 Д d方”. (1.4.10)

С другой стороны,

/2 = /仙厶d比"Д d比v = -i [Лц, Av] dd Д dxv.

Отсюда

d/ + 42 ={。п/v - %/仙 + [/法，Zvi} d比"д dN" = "^"尸ц1Vd/ д d②".

(1.4.11)

Обозначим эту 2-форму напряженности поля 尸心 через F: F = =dA + А2. Введем теперь ковариантную внешнюю производную согласно

D = d+[A, ...j.(1.4.12)

Например, действуя D на 2-форму F, получаем

DF = d^ + M, F] = d2A + d.AA~AdA +

+ AdA-dAA = 0,(1.4.13)

где мы использовали d2 = 0, [А, Л2] = 0. Уравнение (1.4.13), записанное в координатном виде

&尸九。^^цЕ^ = 0,(1.4.14)

хорошо известно как тождество Бианки. Обычным способом оно выводится гораздо длиннее.

При калибровочных преобразованиях А^ + g-i/^g + g-^Mg формы А и. F пре обра зуются как

A f /£ = gT (/ + d)g;

F f F』g『g, или, в инфинитезимальном виде, g 1 + v,

А А + & v + [Л, v] = А + Dv;

F F -[v. F}.

Напомним, что 2п-форма d比工 Д d^2 . . . Д d胃？"

(1.4.15)(1.4.15)(1.4.16)(1.4.16)一,является формойобъема в 2/г-мерном пространстве, которую можно интегрировать一,является формойобъема в 2/г-мерном пространстве, которую можно интегрироватьно всему пространству. Учитывая это, мы

(1.4.15)

(1.4.15)

(1.4.16)

(1.4.16)

一,является формой

объема в 2/г-мерном пространстве, которую можно интегрировать

一,является формой

объема в 2/г-мерном пространстве, которую можно интегрировать

tr d22r —— J 2n {2^n\tr d22r —— J 2n {2^n\―V-trFn = ^+ — (2л) ?г!

tr d22r ——

J 2n {2^n\

tr d22r ——

J 2n {2^n\

Введем так называемый характер Чженя

ch (尸)=tr eiF/2n.

можем записать:можем записать:'从 2n —1^271'从 2n —1^271(1.4.17)(1.4.17)[16, 17, 21, 22](1.4.18)[16, 17, 21, 22](1.4.18)Он представляет собой простой пример характеристического многочлена, т. е. калибровочно-инвариантного многочлена от 2-формы F, все члены в разложении которого аамкпутм (это мы покажем ниже). Инвариантность ch (F) при калибровочных преобразованиях (1.4.15) очевидна. Заметим также, что характер Чженя (как и всякий характеристический многочлен) — конечный многочлен, поскольку в 2п-мерном пространстве все ^-фор- мы с к> 2п равны нулю, т. е. ряд (1.4.18) обрывается. Легко видеть, что абелева аномалия в 2п-мерном пространстве как раз и является n-м членом в разложении характера Чженя, и можем записать уравнение аномалии как

можем записать:

можем записать:

'从 2n —1^271

'从 2n —1^271

(1.4.17)

(1.4.17)

[16, 17, 21, 22]

(1.4.18)

[16, 17, 21, 22]

(1.4.18)

J d2%〈du尤〉=—2Z J [ch (尸启^ = - 2“曾+ — N—), (1.4.19)

где квадратные скобки означают, что мы оставляем только 2п- форму в разложении характера Чженя. В таком виде теорема об индексе для оператора Дирака возникает в теории характеристических классов [15—17].

Предположим теперь, что наши фермионы 屮 помещены в гравитационное поле с метрикой g^, тензор кривизны которой равен 7?mva<t. Как известно [23], при рассмотрении фермионов в кривом пространстве метрическое описание не адекватно и необходимо задавать тетрады е^ • Мы будем обозначать, как обыч-

* Тетрадами они, собственно говоря, называются только в четырехмер- ном пространстве (《тетра»). В статьях зарубежных авторов для обозначения тетрады в пространстве произвольной размерности используется немецкое слово Vielbein i—«многоножка». Здесь мы решили придерживаться названия《тетрада», надеясь, qto читатель будет обращать внимание на физический смысл, а не на греческий корень.

но, латинскими буквами плоские (касательные) индексы, а греческими ——криволинейные (мировые) индексы. Метрический тензор выражается через тетрады так:

gjrv = °К%・

Определяя обратную тетраду

мы можем лостроить из них обратный метрический тензор g^: g“" = ^а^а- Тетрады еа ПОДЧИНЯЮТСЯ соотношениям ^а^ = 6а， 占扣^ = бу. Метрический тензор имеет в D-мериом пространстве 7)(。+1)/2 независимых компонент, в то время как тетрады, очевидно, D2 компонент. Дело в том, что уравнения, задающие тетрады, заданы с точностью до локального SO (D) вращения в касательном пространстве, т. е.

e；：⑷〜质⑺或⑺，(1.4.20)

где матрицы 焼 задают представление группы SO {D). Поскольку эта группа имеет D(D ~ 1)/2 параметров, локальная лоренц- инвариаптпость (1.4.20) оставляет нам D2 — D (D — 1)/2 = ~ D (D ~\~ 1)/2 независимых компонент, как и должно быть.

Определим по аналогии с полем Янга ——Миллса ковариантную производную в кривом пространстве как 2H = 0M 十 ①込,где величины cou строятся из условия ковариантности 勿^ при общекоординационных преобразованиях

犷-产(炉).

Можно показать, что (ом, определенная как

8/腸=题▽5兹=風0蹑龍+蜀f%贰，(1-4.21)

где ^и ——обычная ковариантная производная, действующая на кривые индексы согласно [23], vu = ^ + Гц; 『卩——символ Кристоффеля

Гца = -^ g”入(^ц^Хо + %guK ~。丸gjio)，(1.4.22)

обеспечивает правильные трансформационные свойства ковариантной производной 勿а Величины (оц называются коэффициентами спиновой связности. Теперь мы можем ввести 1-форму со* аналогичную 1-форме Л:

说=唠网?\(1.4.23)

и 2-форму кривизны 五詳 аналогичную F:

氏^ =告 R鼠е° 八 ” =dcog +(0° /\ 说，(1.4.24)

£“ = £；4胃".Подставляя определение (1.4.22) спиновой связности, можно убедиться, что 厘设外 вычисленный с помощью (1.4.24), равен

^bcd =或说e^蜀а显О,

где 五厶о — обычный тензор кривизны в кривом пространстве, вычисленный с помощью [vu, Vvj [23]. Таким образом, мы определили ковариантные величины, которые преобразуются тензорным образом при преобразованиях (1.4.21). При переходе к кривому пространству необходимо учесть только, что 27-форма объема da：1 Д . . . d№ должна множиться на 7g = е, где е = det ^ц. Запишем лагранжиан взаимодействия дираковских фермионов с внешним гравитационным полем и полем Япга — Миллса:

纟=1^^^ =方屮曲。(“х + ^ц + у 3cd,u戸)屮.

Оператор 勿 может иметь нулевые моды, которые мы вновь разобьем на спиноры положительной и отрицательной кирально- стп. Пусть число их равно соответственно N+ и JV_. Теперь мы приведем без доказательства общую теорему Атьи ——Зингера об индексе для оператора Дирака:

N+— = ind %杳=f [N(A7)ch(^)]2“. (1.4.25)

Поясним входящие сюда величины: интеграл в (1.4.25) берется по 2лг-мерному многообразию М; ch (尸)一характер Чженя поля /肘；знак [...] 2)г означает, что мы берем только 2/г-форму в разложении подынтегрального выражения. Опишем характеристический многочлен А (М), называемый род Дирака [16, 17]. Он зависит от 2-формы кривизны следующим образом: поскольку форма кривизны антисимметрична по а,仇 мы можем привести ее к каноническому кососимметричному виду

0方I

-比[О

(1.4.26)(1.4.26)O方2

(1.4.26)

(1.4.26)

2元一2

О хп

■—■ ^п О

где «собственные значения» 方厶 г = 1, 2, . . ., п, являются 2-формами. В терминах Xi род Дирака запишется следующим образом:

а(м)= ц

1

4"

6 (勺/2)

(1.4.27)

Хотя функция 1/sh х разлагается в бесконечный ряд по с, этот ряд обрывается на zz-м члене, поскольку 方亡一2-формы, а все А：-формы в 2п-мерном пространстве равны нулю при 左 > 2zz. В теории характеристических многочленов доказывается, что ряд (1.4.27) может быть выражен через свертки тензора кривизны [16, 17] и род Дирака принимает вид

N 3 1 +焉gt1■岳+备[姦①处+击红用]+

+ 曲F 10368(tr-Й2)3 + 4^0 tf ^2 tf ^4 + 5^70 tr ^6] + ••••(色4.2 8) Заметим важное для дальнейшего обстоятельство: в разложении Z(〃) отличны от нуля только 4^-формыт 宓= 1, 2, . . ., так как tr 2?2M4 = 0. Мы предоставляем доказать это свойство читателю в качестве упражнения (указание: записать след в координатном виде).

В общем случае, когда 4, 0, (о ^ 0, в разложении (1.4.25) появляются члены, зависящие одновременно от калибровочного и гравитационного полей, так называемые смешанные аномалии. Поскольку характер Чженя имеет разложение

ch (F) = tr铸f/2"=打1十达口歹十…= r + £tT歹+ ...,

(1.4.29) где г ——размерность представления калибровочной группы (иными словами, число калибровочных бозонов), чисто гравитационный вклад в аномалию пропорционален г. Приведем для примера полную аномалию в D = 8:

Ed逐=言££狂尸+爲tr宀r用+

+ 麻("А?/ + ^tr*) (1Л.30)

Теперь, зная разложение рода Дирака (1.4.28) и характер Чженя (1.4.29), мы можем вычислить абелеву аномалию в пространстве произвольной размерности. Видно, что это выражение быстро разрастается с увеличением размерности пространства. Пока что вид аномалии нам безразличен, поскольку мы имеем дело с полезной или, во всяком случае, «не вредной» аномалией. В следующих параграфах, когда выяснится связь между абелевой и неабелевой аномалиями, нам придется взглянуть на дело иначе.

НЕАБЕЛЕВЫ АНОМАЛИИ

Рассмотрим вновь лагранжиан взаимодействия дираковских фермионов с внешним неабелевым калибровочным полем

где теперьгде теперьz=@T煤（爲+ &М屮,醉卩=吟+ 4Y5,z=@T煤（爲+ &М屮,醉卩=吟+ 4Y5,(1.5.1)(152)(1.5.1)(152)

где теперь

где теперь

z=@T煤（爲+ &М屮,醉卩=吟+ 4Y5,

z=@T煤（爲+ &М屮,醉卩=吟+ 4Y5,

(1.5.1)

(152)

(1.5.1)

(152)

Ум и Лн — независимые поля Янга — Миллса. Лагранжиан (1.5.1) удобно переписать в терминах киральных, т. е. вейлевских, спиноров 屮十 и ф-：

中土二五(1 士已)屮，屮=屮十+屮一(1.5-3)

и 卩 ± 4 комбинаций поля 垓口：

城击=乙士4.(1.5.4)

В этих переменных он принимает вид

2 =屮+/ц.(0М+必击)中十+屮」".(0m+域以)屮—.(1.5.5)

Лагранжиан (1.5.5) инвариантен относительно системы обычных калибровочных преобразований

屮gW+； g垓才g-1 + 刘昭7；〃 二 q

一 _ —(1.5.6)

Упражнение: параметризуйте инфинитезимальные преобразования g и 无 следующим образом:

g = 1 + ^а (比)+ ф (%);

无二(+ Хa (%)一力8(方)

и рассмотрите подробно законы преобразования полей 屮土，屮，碎才， V^ A^. Изучите различные частные случаи. Покажите, например, что при чисто киральных преобразованиях (а = 0) система с одним аксиальным током А^ не является калибровочно-инвариантной.

Из упражнения следует, что мы можем рассматривать системы полей 屮十，5^ц и 屮—，垓£ совершенно независимо. Ограничение, например, только левыми полями значительно упрощает все выкладки. Поэтому мы займемся лагранжианом типа

z=w"T模(内+幺и)з一，(1-5.7)

где 幺以——произвольное поле Янга ——Миллса. Лагранжиан (1.5.7) внешне ничем не отличается от обычного 屮%丫^^煤屮，с той, однако, немаловажной разницей, что в (1.5.7) входят вейлевские (левые) спиноры. Ввиду проекционных свойств матрицы (1 — ys)/2 мы можем вместо (1.5.7) рассматривать лагражиан, тождественный ему:

z=可一力u(0仙+ Лг(二注))屮一(1.5.8)

в котором явно показано, что поле А^ ——левое, т. е. (V — Л)- поле. Уравнение движения на поле Л^ имеет вид

勿/^ = 0,(1.5.9)

где

J% =屮—УцЛJ% =屮—УцЛ(1.5.10)(1.5.10)В отличие от кирального 0(1) (т.ток /ц содержит матрицу Ха, т. е. является несинглетным ровочным током и в закон сохранения (1.5.9) входит ная производная, а не обычная, как для 0(() тока ]^ Тепер ток J& прямо связан с калибровочным полем /；, изакона сохранения (1.5.9) означает нарушение калибровочной инвариантности теории. Как хорошо известно, калибровочная инвариантность обеспечивает унитарность и перепормируемость теории [25, 26] и нарушение ее недопустимо. Поэтому аномалии в законе сохранения ‘“ 厂仆、В отличие от кирального 0(1) (т.ток /ц содержит матрицу Ха, т. е. является несинглетным ровочным током и в закон сохранения (1.5.9) входит ная производная, а не обычная, как для 0(() тока ]^ Тепер ток J& прямо связан с калибровочным полем /；, изакона сохранения (1.5.9) означает нарушение калибровочной инвариантности теории. Как хорошо известно, калибровочная инвариантность обеспечивает унитарность и перепормируемость теории [25, 26] и нарушение ее недопустимо. Поэтому аномалии в законе сохранения ‘“ 厂仆、е. синглетного) тока 屮丫壮5屮е. синглетного) тока 屮丫壮5屮калио-калио-ковариант-ковариант-нарушениенарушениескую несогласованность данной До сих пор мы имели дело сскую несогласованность данной До сих пор мы имели дело с(1.5.9)(1.5.9)теории.теории.появлениепоявлениеозначало би математичеозначало би математичеклассическими величинами, и паши рассуждения надо перевести на квантовый язык, поскольку аномалии, как мы уже знаем,——это существенно квантовое явление. Рассмотрим ФИ для теории (1.5.7):классическими величинами, и паши рассуждения надо перевести на квантовый язык, поскольку аномалии, как мы уже знаем,——это существенно квантовое явление. Рассмотрим ФИ для теории (1.5.7):W (Л) = J 勿屮一勿屮—exp (― J 2d2%).Выполним калибровочное преобразование 幺煤 +&乩 +勿卩仪 и вычислим вариацию функционала W (А):W(A+ &A)=^W (Л) + J-— 2)^2nx = W (Л) — J а宏⑪警 d2^.W (Л) = J 勿屮一勿屮—exp (― J 2d2%).Выполним калибровочное преобразование 幺煤 +&乩 +勿卩仪 и вычислим вариацию функционала W (А):W(A+ &A)=^W (Л) + J-— 2)^2nx = W (Л) — J а宏⑪警 d2^.

J% =屮—УцЛ

J% =屮—УцЛ

(1.5.10)

(1.5.10)

В отличие от кирального 0(1) (т.

ток /ц содержит матрицу Ха, т. е. является несинглетным ровочным током и в закон сохранения (1.5.9) входит ная производная, а не обычная, как для 0(() тока ]^ Тепер ток J& прямо связан с калибровочным полем /；, и

закона сохранения (1.5.9) означает нарушение калибровочной инвариантности теории. Как хорошо известно, калибровочная инвариантность обеспечивает унитарность и перепормируемость теории [25, 26] и нарушение ее недопустимо. Поэтому аномалии в законе сохранения ‘“ 厂仆、

В отличие от кирального 0(1) (т.

ток /ц содержит матрицу Ха, т. е. является несинглетным ровочным током и в закон сохранения (1.5.9) входит ная производная, а не обычная, как для 0(() тока ]^ Тепер ток J& прямо связан с калибровочным полем /；, и

закона сохранения (1.5.9) означает нарушение калибровочной инвариантности теории. Как хорошо известно, калибровочная инвариантность обеспечивает унитарность и перепормируемость теории [25, 26] и нарушение ее недопустимо. Поэтому аномалии в законе сохранения ‘“ 厂仆、

е. синглетного) тока 屮丫壮5屮

е. синглетного) тока 屮丫壮5屮

калио-

калио-

ковариант-

ковариант-

нарушение

нарушение

скую несогласованность данной До сих пор мы имели дело с

скую несогласованность данной До сих пор мы имели дело с

(1.5.9)

(1.5.9)

теории.

теории.

появление

появление

означало би математиче

означало би математиче

классическими величинами, и паши рассуждения надо перевести на квантовый язык, поскольку аномалии, как мы уже знаем,——это существенно квантовое явление. Рассмотрим ФИ для теории (1.5.7):

классическими величинами, и паши рассуждения надо перевести на квантовый язык, поскольку аномалии, как мы уже знаем,——это существенно квантовое явление. Рассмотрим ФИ для теории (1.5.7):

W (Л) = J 勿屮一勿屮—exp (― J 2d2%).

Выполним калибровочное преобразование 幺煤 +&乩 +勿卩仪 и вычислим вариацию функционала W (А):

W(A+ &A)=^W (Л) + J-— 2)^2nx = W (Л) — J а宏⑪警 d2^.

W (Л) = J 勿屮一勿屮—exp (― J 2d2%).

Выполним калибровочное преобразование 幺煤 +&乩 +勿卩仪 и вычислим вариацию функционала W (А):

W(A+ &A)=^W (Л) + J-— 2)^2nx = W (Л) — J а宏⑪警 d2^.

(1.5.11)(1.5.11)

(1.5.11)

(1.5.11)

С другой стороны,

麻麻J 勿方—勿W—& exp (一 J gd2%) = _ О

麻

麻

Таким образом, если

^{J^ = Ga^O,

то W{A-Y 6А)^ W (А) и функционал W(А) калибровочно неан- вариантен. Назовем величину Ga — аномалию в неабелевом калибровочном токе /ц — неабелевой аномалией. В Z) = 4 она была впервые вычислена Б ардином [27] (поэтому неабелеву аномалию называют иногда аномалией Бардина), который нашел

勿卩^ =^^~ gUvKo " ^a j~e俱/уО^гА" + -g- d^AvA^AG —

1" 4%4幺g十年/仙人0к/g]}.(1.5.12)

Заметим, что это выражение можно записать в виде

^u^Jx ^~2t=0仙[九。e"""。^Avd^Aa + 等 /У/к/仃)].(1.5.13)

В то время как 。(() аномалия (1.2.13), как хорошо известно из инстантонной физики, также может быть представлена в виде полной производной

&U志=专红恒宀° (Ха九4 + 4 444)]. ： (1.5.14)

Очевидно,叮то внешне эти выражения очень похожи, что часто служит причиной путаницы. Помимо отличия численных коэффициентов перед вторым членом, важными являются присутствие Л-матрицы под знаком следа в (1.5.13) и значение коэффициента 1/24 перед неабелевой аномалией. Мы знаем из общего выражения для абелевой аномалии (1.3.17), что численный коэффициент перед ней равен 1/(2)/2)! н в D = 4 фактор 1/24 возникнуть никак не может. Зато он возникает в D = 6. Как мы увидим ниже, это не случайно.

Таким образом, неабелева аномалия в принципе возникает всегда, когда у нас есть вейлевские фермионы, взаимодействующие с неабелевым калибровочным полем. Если мы хотим, чтобы наша теория имела смысл, мы должны постараться любым способом сократить ее. Например, в модели Вейнберга — Салама сокращение аномалии достигается введением четвертого (чарми- рованното) кварка [7]. Как известно, первоначально четвертый кварк был введен для подавления нейтральных токов с изменением странности [28] и его введение обеспечило одновременно и сокращение аномалий. Предположим, что введение четвертого кварка позволяло подавить нежелательные нейтральные токи, но не обеспечивало сокращения аномалий. Тогда модель Вайнберга ——Салама, хотя и имела бы хорошие феноменологические свойства, была бы математически несогласованной и се бы пришлось отбросить. Наоборот, если бы модель Вайнберга ——Салама не имела аномалий, но плохо описывала нейтральные токи, это была бы неинтересная с точки зрения слабых взаимодействий, но вполне согласованная теория, которая могла бы пригодиться в других аспектах. Таким образом, хотя исторически требование сокращения аномалий оказалось «вторичным», с точки зрения существования теории оно несомненно важнее отсутствия нейтральных токов с изменением странности.

УСЛОВИЕ BECCA — ЗУМИНО

Хотя неабелева аномалия (1.5.9) в наших обозначениях выглядит довольно просто, вычисление ее ——весьма трудоемкая задача. Особенно усложняется она, если рассматривать аномалию для полного лагранжиана (1.5.1) с 幺卩*0,卩佻*0・ После появления работы Бардина [27], который нашел полную аномалию для лагранжиана (1.5.1) в теории возмущений, вышло еще несколько работ [29], в которых также вычислялась аномалия в 宏卩/払 несколько другими способами и результаты оказывались

отличными от результатов Бардина. Положение оставалось неопределенным до тех пор, пока Весе и Зумино [30] не открыли условие, которому должна удовлетворять произвольная неабелева аномалия. Оказалось, что аномалия Бардина (1.5.9) удовлетворяет этому условию и является правильной формой неабелевой аномалии в 77 = 4, в то время как другие выражения — нет. Это условие, которое получило название условия самосогласованно- сти Becca ——Зумино,— важнейшее и очень общее уравнение, которому должна удовлетворять любая неабелева аномалия. Мощь не только в том, что оно позволяет определить, верно или нет то или иное выражение для. аномалии; будучи неоднородным по калибровочному полют оно представляет собой на самом деле уравнение, которое позволяет эффективно вычислять аномалию исходя из низшего, почти всегда известного члена. Для вывода условия Becca ——Зумино введем генераторы калибровочной алгебры, записанные в виде функциональных производных:

-Xа =0仙-^^" + fabc^,---三(勿仙景.(l.6d)

6/q04a\и血p, /а

Мы предполагаем, что оператор Ха действует на функционалы от Лм примером которых может служить сама аномалия. Очевидно, оператор Ха генерирует калибровочные преобразования. Оп удовлетворяет обычным коммутационным соотношениям алгебры Ли калибровочной группы:

[£(乞)，Хь(у)] = /abCX(^)S(a：— у).(1.6.2)

Поскольку, как мы определили выше,

@U OG^Ga= - X。忆(1.6.3)

из (1.6.2) легко выводим уравнение на Gt

[X, Хь1 = fmcXcW = —3cGc = — (Х《ь — XQ》 (1.6.4)

Уравнение во второй строчке (1.6.4) и называется условием Бесса -—Зумино. Заметим, что оно, по сути дела, является следствием тождества Якоби па генераторы калибровочной группы и справедливо всегда, когда тождество Якоби не нарушено. Наш вывод условия Becca ——Зумино пригоден для лагранжианов вида (1.5.7), когда имеется только одно калибровочное поле и, следовательно, одна калибровочная симметрия. Первоначально Весе и Зумино [30] выводили его для полного лагранжиана (1.5.1)—»• (1.5.2), налагая условие самосогласованности только на калибровочные преобразования векторного поля V^. Этого оказывается достаточно для определения формы аномалии. Подчеркнем сразу, что уравнение (1.6.4), будучи однородным по аномалии Ga, не может зафиксировать коэффициент перед ней.

Таким образом, в нашем распоряжении уже два способа вычисления аномалии: а) обычный, с помощью теории возмущений; б) исходя из условия Becca —— Зумино, причем, что касается пер-

вого способа, то он очень громоздок даже в размерности _0 = 4. Поэтому когда возникла задача вычисления неабелевой аномалии в пространстве произвольной размерности, то выяснилось, что несравненно проще и надежнее искать ее с помощью условия Becca —Зумино. Более того, мы вполне можем поставить это условие во главу угла, принимая отныне, что неабелева аномалия —■ по определению, функционал поля А^ удовлетворяющий условию Бесса —— Зумино. В следующем параграфе мы построим неабелеву аномалию исходя из этой идеологии.

ПОСТРОЕНИЕ НЕАБЕЛЕВОЙ АНОМАЛИИ

Для вывода неабелевой аномалии нам необходимо ввести важное для дальнейшего понятие формы Чженя — Саймонса [31]. С этой целью рассмотрим более подробно известную уже нам абелеву аномалию, которая в 2п измерениях задается 2п-формой

Q'2n — tr Fn.(1.7.1)

Покажем теперь, нто форма ；С2^ замкнута, т. е. удовлетаоряет условию d С2n = 0. Мы уже упоминали выше, что замкнутость — общее свойство дифференциальных форм, возникающих при разложении характеристических многочленов. Доказательство в общем случае читатель может найти в обзорах [17, 20, 31]. В нашем случае доказательство совсем просто:

d Qsn = dtr Fn = ntr d F - ^n_1 = n tr([F, A}Fn~x) = 0,(1.7.2)

где мы использовали тождество Бианки (1.4.13) DF = 0, Уравнение (1.7.2) справедливо в пространстве любой размерности (очевидно, 2п-форма тривиально замкнута в 2п-мерном пространстве) .Далее, по лемме Пуанкаре [17, 18], всякая замкнутая форма локально может быть представлена как внешняя производная некоторой (2п — 1)-формы ①工

^271 == ^^271—1*(1 . / -3)

Для нахождения ①鼻^—工 достаточно проварьировать (1.7.1), и мы находим после небольшого вычисления

6Q2n = zz d tr 64 - Fn~l.

Это уравнение можно проинтегрировать, взяв, например, At = tA, 6Л £ = /d 力 Ft = t d А + 庐幺气 после чего мы имеем

^2п = ds 凱_工，(1.7.4)

<о乳—1 = и J dz 严т tr {Л (<1Л + 力厶2尸-1}. о

(2и — 1)-форма sgn—! называется формой Чженя — Саймонса. Из (1.7.4) следует, что абелева аномалия в пространстве любой

размерности может быть записана в виде полной производной. Например, в Z)= 4 получаем хорошо известную из инстантонной физики формулу (1.5.14)

1

(0з = 2 J &И1т(ААА + М2) = tr ^AdA 十 у Л3).(1.7.5)

о

В 2? = 6 соответствующая формула имеет вид

СО® = tr [л (dAf + 4 A3dA + 4 Л5](1.7.6)

и т. д. Подчеркнем еще раз, что все эти выражения имеют место лишь локально. Это проявляется в том обстоятельстве, что форма Чженя — Саймонса s'ti—i не является калибровочно-инвариантной и при калибровочных преобразованиях изменяется как

3mТ (厶g,产)=3乳7 (4 F) +

+ (- I)— ；£二患 tT(gTdg产т + da. (1.7.7)

Вид формы d а не важен, поскольку это точная форма и ее интеграл по замкнутому многообразию без границы равен нулю по формуле Стокса; однако второй член tr(g~! d g)2n-1, хорошо известный из теории инстантонов, имеет отличный от нуля интеграл по (2zz ~ 1) -мерному пространству. Например, в 2) = 4 [32]

определяет топологический заряд д. Таким образом, если калибровочное преобразование g глобально нетривиально, интеграл от соответствующим образом нормированной т^п—г по (2п — 1)-мер- ному пространству получает целое приращение. Доступное изложение связи формы Чженя — Саймонса с характеристическими классами расслоений можно пайти в обзорах [1, 17].

Далее, удобно, следуя [20], применять условие Весса ——Зу- мино в проинтегрированном виде. Для этого введем вариацию, зависящую от инфинитезимального калибровочного параметра ра:

60 = J d2n^a (^) Ха (尤)，

а также свертку аномалии с иа

GQ,⑷=J d2n^a (х) Ga (^).(1.7.8)

Тогда условие Весса — Зумино можно представить в виде

8UG(V, А) — 8VG^и, &)=G([u, и], /),(1.7.9)

где и = иака и т. д.

I Нашей целью является нахождение неабелевой аномалии в f D = 2п измерении. Исходя из интуитивных соображений, Зуми- I но [20] предложил «подняться» в 2?г + 2 измерения и рассмот- I реть в нем абелеву аномалию, которая затем связывается с не- I абелевой аномалией в 2 измерениях очень красивым способом, получившим название метод спуска. Свое оправдание и объяснен t ние этот метод получил несколько позже в работах Атьи ——Зин- I гера [33], Альвареса — Гоме и Гинспарга [34] и Фаддеева —— ； Шаташвили [246]. Мы приведем их аргументы в конце этого параграфа, а пока опишем подробно сам метод спуска.

； В 2?г + 2 измерениях абелева аио<малия задается (2п + 2)-фор- ” мой С2n+2, которую мы выразим через (2п + 1)-форму Чженя — 才 Саймонса

^2П+2 (幺)=d(027l+l (幺)”

Сейчас мы не претендуем на определение численного коэффи- ::циента перед аномалий, интересуясь только ее функциональной зависимостью от калибровочного поля, поэтому мы опускаем везде численные множители типа 1/(2л)п, стоящие перед tr Fn. Из калибровочной инвариантности Q2龍十2 следует цепочка равенств би^гп+а = 0 = 6bds乳+工=d(6力(0乳+1).(1.7.10)

Таким образом, форма 6ptO2n+i замкнута, и вновь мы можем по лемме Пуанкаре представить ее локально в виде дифференциала некоторой 2п-формы (0^九，которую нам предстоит найти:

'6»(о凱+1 = ds抵(〃/)•(1.7.11)

Покажем, что мы можем отождествить искомую аномалию с ин- тегралом от (неизвестной пока) формы з^^

G (у, Л) ^ J d2 VGa = У(o^n (Р, А).(1.7.12)

Для этого представим себе пространственно-временную картину происходящего: *мы находились первоначально в 2п-мерном евклидовом пространстве Е^. Удобно компактифицировать его, добавляя точку на бесконечности. При этом, как хорошо известно из топологии, наше евклидово пространство 石？龍 становится 2лг- мерной сферой S2n: Е?7t + {g} = £2% которую мы можем мыслить как границу (2zz + 1)-мерного шара 石2^+1. Предположим теперь, что наши калибровочные поля А^ зависят гладко от некоторого (фиктивного) параметра, который мы можем считать дополнительной (2п + 1)-й координатой шара 石2龍十 1, например его радиусом, причем они могут быть гладко1 продолжены на границу , шара 52，п, т. е. в наше физическое пространстозо. Введем теперь функционал

:0(/)= f 3凱+Т(厶).(1.7.13)

:：石2m+工

Его вариация легко находится с помощью (1.7.11):|

6»。(幺)，/①紀+工(4) = J d<^\n = J s%>(1.7.14) I

b2%+is2nI

где в последнем равенстве мы использовали теорему Стокса. От- | сюда мы получаемМ

6^6^。(Л) = 6俣 J s^九(и,幺),j

8V6U^ (N) = 6» J s扌n (w,厶).

Вычитая одно равенство из другого и учитывая калибровочную алгебру, которая в проинтегрированном виде гласит:*

[би, &] = б [и, г],

мы видим, что функционал J 0>^沦(и, Л) удовлетворяет соотношению

^u J ^2п (% /)6^ J З?"(〃，幺)===)^2л (【"，и], /)，(1.7.15)

б2ПS2n

которое и в самом деле совпадает с проинтегрированной формой условия Becca——Зумино (1.7.9). Таким образом, мы вправе принять функционал J (Оап за искомую неабелеву аномалию, поскольку он удовлетворяет нашему главному требованию ——условию самосогласованности Becca—Зумино. Для вывода (1.7.15)' было важно то обстоятельство, что ds^^ может быть записан в виде вариации от некоторого калибровочно-неинвариантного функционала 3纟九十> Для явного нахождения аномалии нам необходимо вычислить 2п-форму ^п- Это вычисление довольно громоздко, и мы его приводить не будем, отсылая к оригинальным работам [20]. Ответ имеет вид

—Wn =(九+ 1) J di {Str(p, ")—/(/ — l)Str(4, [p, A],歹fT)},

0

(1.7.16) где симметризованный след определен согласно

Str (九 1 ...九九) =2 tr (尢 入7).

加(公宀)\1

=tr 卜d (/d/ + -|- /з)}.=tr 卜d (/d/ + -|- /з)}.Здесь сумма берется по всем перестановкам (/]... in) из (1, 2 ... п). Симметризованные следы часто встречаются в теории характеристических классов [17, 31]. Например, в частном случае п — 2 мы получаем из (1.7.16) после приведения подобных членов

=tr 卜d (/d/ + -|- /з)}.

=tr 卜d (/d/ + -|- /з)}.

Ham вывод демонстрирует также причину появления %-матрицы Дод знаком следа: от нее зависит калибровочный параметр

Таким образом, мы построили неабелеву аномалию в Z> = 2п исходя из абелевой аномалии в D = 2п + 2 методом спуска. Сам метод состоял в следующем: имея 2п + 2 замкнутую форму 狂尸^+1 в 2п + 2 измерениях, мы последовательно спустили ее в 2п + 1 измерение до формы Чженя — Саймонса, взяли ее калибровочную вариацию, которая вновь оказалась локально-полной производной, и спустились с помощью теоремы Стокса в 2п измерение, где полученная таким образом 2?г-форма совпала с неабелевой аномалией. Иными словами, если данная теория имеет абелеву аномалию в 2п Ч- 2 измерениях, то она имеет неабелеву аномалию в 2п измерениях. Ввиду этой непосредственной связи, поскольку сам процесс «спуска» является теперь вполне стандартной процедурой, неабелевой аномалией в 2п измерениях часто называют соответствующее выражение для абелевой аномалии в 2九 + 2 измерениях. Мы будем придерживаться этой идеологии в § 1 главы 4 при обсуждении механизма сокращения андаалий Грина — Шварца.

Приведенный вывод неабелевой аномалии с помощью метода спуска был скорее эвристическим, чем конструктивным. Мы объяснили, как связаны между собой абелевы и неабелевы аномалии, однако не дали ответа на самый главный вопрос: почему они между собой связаны и именно таким образом? Ответ на эти вопросы дает довольно сложное построение, открытое в работе Атьи — Зингера [33] и подробно описанное в обзорах [1, 34]. Мы лишены возможности воспроизводить построение Атьи — Зингера в деталях и ограничимся кратким пояснением самой идеи. С точки зрения функционального интеграла (1.5.11) не- абелева аномалия заключена в детерминанте оператора Дирака, действующего на вейлевские спиноры. Нетрудно видеть, что оператор Дирака, действуя на киральные спиноры, переводит правый спинор в левый и наоборот. В самом деле, если 屮一 一левый спинор, т. е. ¥5屮一 ^= —хр-, то выражение 宏屮一 является правым спинором: 丫5处ф—=玄屮_, поскольку оператор Дирака антикоммутирует с матрицей 丫5・ Таким образом, для вейлевских спиноров обычная задача на собственные значения @屮一=九屮一 не име- ет смысла, и мы не можем определить детерминант кирального оператора Дирака как произведение собственных значений Хп (см., например, (1.3.6)). Эта трудность — главная причина появления аномалий в ФИ (1,5.11). Поскольку^ например, квадрат оператора Дирака уже имеет корректную задачу на собственные значения, так как переводит левые спиноры в левые и правые в правые, то детерминант его уже имеет смысл и мы можем задать детерминант оператора Вейля как корень квадратный из детерминанта оператора Дирака [1, 38]. Очевидно, что он оказывается определенным с точностью до фазы. Аномалию в детерминанте Вейля можно описать в виде фазы ip, появляющейся

при обходе по замкнутому контуру в пространстве полей 幺煤(方,0) J где 8 ——некоторый параметр (фиктивная координата), пробегаю-| щий значения О W 8 W 2л. Анализ функционала w показывает»! что он отличен от нуля в Т8工 случае, когда фермионы имеют! нулевую моду в «диске» 幺山(比,6, t), где t —— параметр, пробегаю-( щий значения OW^VL Диск задается из тех соображений,? чтобы «окружность» (比,0), О W В W 2н, была его границей. Но»| как мы знаем, число нулевых мод связано с абелевой аномалиейг| иными словами, с соответствующим характером Чженя. §

Итак, неоднозначность детерминанта зависит от абелевой ано-| малии поля А^(х. 0,力),т. е. калибровочного поля в пространстве! 2п + 2 измерений, где 8 и 力 играют роль дополнительных изме-? рений. Если в 2п + 2 измерениях абелева аномалия отлична от| нуля, то фермионы обязательно имеют нулевые моды в описан-^ ном диске и обход вокруг нулей порождает аномальную вариа-| цию фазы. Таким образом, функциональный интеграл (1.5.11) | определен неоднозначно и не имеет физического смысла. Кон к- f ретный вывод метода спуска исходя из этих соображений чита- j; тель может найти в работах [1, 34]. |

§ 8. ГРАВИТАЦИОННЫЕ АНОМАЛИИi

Развитие подхода Калуцы ——Клейна к гравитационным взаи-: модействиям, включая всевозможные варианты супергравита- ? ции , привело, помимо всего прочего, к тому, что мы стали, с j большей свободой обращаться с пространствами различного числа : измерений. Двумерное пространство-время исключительно полез-； но с точки зрения изучения различных точно решаемых моделей, имитирующих поведение нашего четырехмерного мира, вдобавок, как мы увидим в главе 4, двумерные конформно-инвари- г антные теории поля имеют важные приложения в статистической ； физике, а некоторые из них описывают теорию струн. Пространства высшей размерности оказываются столь же дееспособньгмит ： поскольку одно из них может оказаться пространством Великого Объединения, которое после компактификации образует наш не- тырехмерный мир. Таким образом, на сегодняшнем этапе наших ： знаний мы имеем дело не с одним выделенным пространством размерности 4, как нам казалось в течение десятилетий, а с це- лым набором (почти) равноправных пространств, которые мы и должны изучать с равной осмотрительностью. Уже тот факт,: что неабелева аномалия в реальной четырехмерной теории, например в той же модели Вайнберга — Салама, связана с топологическим инвариантом в шестимерном пространстве, убеждает нас, что мы не можем отныне рассматривать явления, имеющие

место в пространствах высших размерностей, как нечто, нас не касающееся. Гравитационная аномалия, открытая Альваресом-Го- ме и Виттеном в 1984 г. [38],— класеический пример такого явления. Дело в том, что гравитационных аномалий нет в четырех- д1ерном пространстве, и это, несомненно, одна из причин, почему они так долго оставались незамеченными. Однако они появляется в пространствах размерности D = ik +2^ и, значит, некоторые физически интересные теории в D — 6, 10... могут быть ано- мальны. Особенно важной окажется гравитационная аномалия в 刀=2, 10.

Чтобы понять причину возникновения гравитационных аномалий, рассмотрим вейлевский фермион, взаимодействующий с гравитационным полем согласно (1.4.24),

2 = Z砧Y。仅也 + 4 5"产)(^1^)w(1-8.1)

в пространстве D = 2гь измерений. Всегда ли возможно такое взаимодействие? Например, мы знаем, что в £> = 4 наше физическое нейтрино, являющееся вейлевским (левым) спинором, непременно должно сопровождаться антинейтрино — правым спинором. Если мы не хотим вступать в конфликт с теоремой СРТ, то мы должны вместе с лагранжианом (1.8.1) учесть аналогичный ему лагранжиан взаимодействия антинейтрино — правого спинора с гравитационным полем. Складывая оба лагранжиана, чтобы получить СРТ инвариантное взаимодействие, мы видим, что он приобретает вид

2£" =歹+2& =守成У。g也+ 4 5"戸)也(182)

где 屮=(^ )—дираковский спинор. Лагранжиан (1.8.2) уже не содержит матрицы 75! Интуитивное соображение, что гравитационное поле, как истинно нейтральное, должно взаимодействовать с нейтральной комбинацией нейтрино, привело к тому, что в лагранжиане взаимодействия исчезла матрица 丫5 и взаимодействие оказалось, как говорят, вектороподобным. Возникает вопрос: не зависит ли наш вывод от того «случайного» факта, что левое нейтрино имеет правого партнера? В D = ^ теорема СРТ говорит нам, разумеется, что этот факт вовсе не случаен. Чтобы лучше понять происходящее в пространстве произвольной размерности, рассмотрим более подробно свойства матрицы 丫5 отдельно в 4在 + 2 и 4^ измерениях. Выше мы определяли матрицу 丫5 так, чтобы она была всегда эрмитовой, т. е. (у5)2 = 1. Теперь нам удобно определить ее в пространстве любой размерности одинаково:

55 = Ygi …丫Di

где [仙，yJ = 2tLiv,刀内=(1, —1, —1, —1 . . . —1). Вычисляя квадрат матрицы 丫5, находим

2

(y5产=(一1产・(1.8.3)

Таким образом, в Z)= 4左 + 2 (у5)2 = +1, а в D = 4左(丫5产=—1, т. е. в Z) = 4左 + 2 собственные числа у5 суть ±1, а в D = ^к — соответственно 士Z. Отсюда следует, что в Z)= = 4Л: + 2 собственные значения не меняются при комплексном сопряжении, а в Z) = 4左 представляются местами, иными словами, в пространстве размерности D = ik операция СРТ меняет знак спиральности фермиона. Чтобы не нарушать СРТ, мы должны в Z> = 4Л: случае к лагранжиану фермионов одной хиральности прибавить аналогичный лагранжиан с фермионами противоположной киральности. Полученный лагранжиан не будет вовсе содержать матрицу 丫5 и, стало быть, по нашей общей идеологии, не может иметь калибровочных аномалий. Иное дело D = = 44 + 2. В этом случае лагранжиан взаимодействия киральных спиноров с гравитационным полем не нарушает теоремы СРТ и вполне может сущеетвовать сам по себе. Киральные спиноры в D = 4左 + 2 истинно нейтральны в отличие от нашего привычного четырехмерного нейтрино. Поскольку теперь лагранжиан явно содержит матрицу 丫5 (вейлевские спиноры), он может итметь аномалии калибровочного типа.

Калибровочными преобразованиями для гравитационного взаимодействия являются общекоординатные преобразования. Рассмотрим инфинитезимальное преобразование координат

犷 f 方口 + W"(N)j

при этом метрика преобразуется следующим образом [29, 34]: bguv—— (▽& + ▽&).(1.8.4>

Действуя по аналогии с неабелевой аномалией для калибровочного поля, изучим инвариантность функционального интеграла (эффективного действия) относительно общекоординатных преобразований (1.8.4). ФИ для теории (1.8.1) в 普=4左 + 2 имеет обычный вид

W (g) = J勿屮一勿屮—exp (- J2/g严方).(1.8.5)

Вычислим вариацию действия S = J 2 (比)丿gd% при преобразованиях (1.8.4):

3s = f PEd%.(1.8.6)

me мы предположили симметричность 7内.Отсюда из (1.8.5)、 следует_

6w=_2 J /與%三МИ(”〉(1.8.9)

Таким образом, вариация эффективного действия W (g) относительно общекоординатных преобразований пропорциональна ко- вариантной производной от вакуумного среднего тензора энергии- импульса. Если общекоординатная инвариантность нарушается благодаря квантовым поправкам, то это проявляется в несохране- нИ0 операторного среднего тензора энергии-импульса, иными сло- ：вам修,в нарушении закона сохранения энергии. Излишне гово

перспектива еще менее приятна, чем нарушение

рить, что такая 亠_

калибр овочной инвариантности. Нарушение общекоординатной

I инвариантности

для теории называется

(1.8.1) в D^

4к + 2 с

веилевскими

гравитационной аномалией. Теория,

I фермионами и

В в которой гравитационные аномалии не удается сократить под-

£ бором фермионов, является несамосогласованной и должна быть В отброшена.

В Как показали Альварес-Гоме и Виттен [38], в Z)= 4左 + 2 I гравитационные аномалии могут возникать не только для вейлев- I ских фермионов спина 1/2, но и для вейлевских фермионов спи- ! на 3/2, а также — что является наиболее поразительным их свой- Е ством ——при взаимодействии антисимметричного бозонного поля f 尸卩…乩 2&+1，удовлетворяющего условию само дуальности

'%…赫2在+Т

с гравитационным что все три типа

|i e"以2々+2…眯4九+2

—(2左 + ()! £%…開％+Г-“4左+2 ''

полем. Причиной является то обстоятельство,

полей в Z) = 4加 + 2 преобразуются

лексным представлениям группы Лоренца SO(4k+ 2)

по и

комн- могут

давать отличный от нуля вклад в аномальную фазу W. Таким

образом, гравитационная аномалия вносит уточнения в

наши

рассуждения на тему «аномалия есть везде, где есть матрица 丫5»・ В случае антисимметричного бозонного поля нет не только мат

Поскольку, как хорошо известно, вариация действия относительно метрики дает (классический) тензор энергии-импульса 7仆 [175, 227, 240]

1 SS

(1.8.7)

рицы 丫5, но и вообще фермионов, а аномалия есть! С точки зрения теории возмущений аномалиями являются диаграммы (рис. 3), где все внешние концы ——гравитоны, а вдоль замкнутой петли распространяются вейлевские фермионы спЕона 1/2, 3/2 или поля F, а внешние гравитоны симметризованы с учетом статистики Бозе.

мы имеем

65= - J ?uv(v/v + Vy舗 p?d% = 2 J /興％氧\7口弋 (1.8.8)

Рис. 3. Диаграмма, приводящая кгравитационной аномалии в О ==4左 + 2.

9 9. ГРАВИТАЦИОННАЯ АНОМАЛИЯ В Z)=2

Вычисление гравитационной аномалии при произвольном D = =4" + 2 очень громоздко. Однако мы можем понять все существенные идеи на простейшем примере двумерной теории, которая, согласно общей формуле, также должна иметь аномалию. Приведем вначале, следуя работе [38], общие соображения, доказывающие присутствие аномалии. Этот пример окажется также очень полезным при обсуждении конформной, гравитационной 目 аналитических аномалий в бозонной струне в главе 5.

Рассмотрим для этого взаимодействие вейлевского фермиона спина 1/2 с гравитационным полем в двумерном евклидовом пространстве с метрикой (1.1) и введем комплексные координаты z =力 + 计，z = х ~ it. Лагранжиан имеет вид

^ = 4 屮+或zy。&1屮+(1.9.1)

(в 刀=2 спиновая связность не дает вклада из-за статистики Ферми). Запишем двумерное уравнение Дирака (Вейля) в плоском пространстве

h九屮+ = 0, y5屮+ = 2+(1.9.2)

и перейдем к комплексным обозначениям z, z. Для этого введем 丁 н『+ х?2, ?z= 丫1 _ 舛2,分 также обычные операторы Коши — Римана

@1/G・@\@1 f д ( . д \

石右一2 京)，2-^J-

Тогда уравнение (1.9.2) перепишется как

{yzdz + 寸％)屮+ = 0.(1.9.3)

Далее, имея в виду определение матрицы 丫5 — №R и то обстоятельство, что правый вейлевский спинор всегда можно записать в виде 屮+ = —2 屮+，мы получаем

d屮+ =(俨+勿2) (1 +巾2Y1)等屮+ = 0

и уравнение (1.9.3) упрощается:

8押+ = 0,屮+ =屮(z).(1.9.4)

Таким образом, в двумерном пространстве безмассовый вейлевский спинор зависит только от z, являясь, согласно (1.9.4), аналитической функцией z (или в пространстве Минковского движется вправо вдоль оси х со скоростью света, аналогично левый спинор движется влево). Мы установили общее свойство двумер- ных безмассовых полей: все они могут быть разбиты на кираль- ные «половинки», каждая из которых зависит только от z(z) и

не зависит от z (2). Вследствие этого в работах по двумерной квантовой теории поля оператор Коши —— Римана также часто называют «киральным», хотя, как мы увидим в главе 5, его «кираль- ность» связана с совсем другим его свойством. Подчеркнем, что описанные свойства присущи исключительно двумерию: в четырехмерном пространстве правое нейтрино может, разумеется, двигаться в какую угодно сторону.

Вернемся к лагранжиану (1.9.1) и разложим тетраду еа^ при малых значениях гравитационного поля как

^ац 5ац Н 2"九а屮(1.9.5)

Зафиксировав «возмущение» ha^ мы тем самым заморозили калибровочную свободу относительно локальных 0 (2) лорепц- вращений. Теперь, по аналогии с теорией гравитационных волн [24], мы можем считать, что наше пространство плоское, и рассматривать 无°科 как некоторое слабое иоле. Лагранжиан (1.9.1) принимает при этом вид

^=^0 - 4无收？吟

где Tg — тензор энергии-импульса свободного фермионного поля:?uv =击可(yMv + Yv@u)屮-

Расписывая Т^ по компонентам в евклидовом пространстве, мы убеждаемся, что ввиду свойств у”屮=д^ = 0 7心 имеет только одну ненулевую компоненту и зависит также только от z:

Tzz = 4 ⑪F&Z屮=т (z).(1.9.6)

Как будет показано в § 11 главы 5, это также общее свойство двумерных конформно-инвариантных теорий. Рассмотрим следующую двухчастичную функцию Грина:

и {р) = J d2zeipr+i^2 <0 I 7 (7 (z) Т (0)) | 0>,(1.9.7)

где р =3 + 勿2)/2. Теперь, поскольку закон сохранения энергии- импульса применительно к T(z) (1.9.6) имеет вид

д-Т (2) = 0?(1.9.8)

мы должны получить для функции Грина U (р) очевидное тождество Уорда

pU (р) = £ J cPz/pN^z〈0 I т (外？⑵ 7 (0)) I 0) = 0.(1.9.9)

При выводе (1.9.9) мы не дифференцировали Г-произведение, поскольку наивно <0i [Т(ж,力)，7(力'，i)] Ю> = 0. В § 11 главы 5 мы увидим, что это не так и в коммутационных соотношениях

Рис. 4. Гравитационная аномалия в D = 2.

при равных временах появляется аномалия, которая окажется связанной с нарушением конформной инвариантности. В данном

контексте мы интерпретируем ее как гравитационную.

Таким образом, из наивного тождества Уорда (1.9.9) следует равенство нулю двухчастичной функции Грина U(р), что абсурд- но, поскольку U(р)——функция Грина двух эрмитовых операторов и в нуль обращаться не может. Мы видим, что тождество Уорда, связанное с сохранением тензора энергии-импульса, нарушается, что свидетельствует о существовании аномалии.

Найти аномалию в О = 2 можно проще всего, явно вычислив двухчастичную функцию U(р), которая задается диаграммой с двумя внешними гравитонами (рис. 4). Это вычисление подроби но проделано в работе Альвареса-Гоме и Виттена, и мы его повторять не будем. Важно то, что аномалия не может быть сокра^ щепа подбором локального контрчлена и ее присутствие в самом деле сигнализирует о нарушении закона сохранения энергии-импульса. Таким образом, внешне вполне безобидная теория взаимодействия двумерных вейлевских спиноров с гравитациоН' ным полем является аномальной, иными словами, математически песогласованной и не существует как квантовая теория

поля. .

В общем случае в D = 4fc + 2 вычисление гравитационной аномалии в рамках теории возмущений — очень сложная и изо- щренная процедура, однако двумерный случай привлекателен также и тем, что здесь двумерный вейлевский детерминант мо жет быть вычислен точно [39] и вариация его дает нам замкнутое выражение для гравитационной аномалии (диаграмма рис. 4, как легко видеть, определяет аномалию в линеаризованном приближении) .Схема вычисления детерминанта оператора Вейля приведена в приложении А.11. Ответ имеет вид

vЦr^y =丽^沁/冗vЦr^y =丽^沁/冗(1.9.10)(1.9.10)

vЦr^y =丽^沁/冗

vЦr^y =丽^沁/冗

(1.9.10)

(1.9.10)

Любопытное отличие гравитационной аномалии от неабелевой состоит в том, что гравитационная аномалия существует как бы в двух ипостасях: как аномалия в общекоординатных преобразованиях, когда и“Тцр * 0, 乂儿乂 как аномалия в локальных лорбн- цевых вращениях, когда Таъ * 2\的 где а, Ь —： плоские (касательные) индексы. Как показали Бардин и Зумино [40], добавлением локального контрчлена всегда можно добиться, например, восста-* новления общекоординатной инвариантности, т. е. ▽科7尸—0, однако при этом появится аномалия в локальных лоренцевых вращениях —и наоборот.

§ 10. ГРАВИТАЦИОННАЯ АНОМАЛИЯИ ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ

Выше мы установили, что неабелева калибровочная аномалия D = 2п задается абелевой аномалией в D = 2п + 2^ которая, в свою очередь, определяется теоремой Атьи — Зингера об индексе. В § 4 мы выписали полное выражение для дивергенции аксиального тока в присутствии полей Янга — Миллса и гравитационного. Поскольку нас здесь интересует лишь гравитационная часть аномалии, положим /科=0, т. е. F^ = 0, ch(歹)=1 и запишем теорему об индексе для спина 1/2:

ind 3 = J n(")=(4几)2 / [上工硏4 +

+ (4冗)4 [屈('г*)2 + 360tr ^4]8 + • • • •(L10.1)

Квадратные скобки показывают, в пространстве какого числа измерений данный член дает вклад. Читатель, решивший упражнение из § 4, может доказать, что в разложении рода Дирака в ряд по R отличны от нуля члены, соответствующие размерности про^ странства D = 4А:, В то же время мы установили, что гравитационная аномалия возникает только при D = 4" ―■ 2, и подтвердили это прямым вычислением при А =丄 Напрашивается аналогия со случаем неабелевой аномалии： мы вправе заподозрить, что гравитационную аномалию в Z) = 4论一2 можно вычислить, стартуя от аномалии в аксиальном токе (1.10.1) ^ D = 4к и применяя аналог метода спуска. Это действительно так, хотя сама процедура в данном случае значительно сложнее.

Приведем идею вывода Альвареса-Гоме и Виттена [38], которые применяли к этой задаче обычный метод Фудзикавы. Для этого рассмотрим в D = 2тг функциональный интеграл

W (g) = J 0屮一0屮一 exp (— J Pg ^xS^.(1.10.2)

который берется по вейлевским фермионам, 2 ——лагранжиан (1.8.1). Мы хотим изучить возможную неинвариантность функционала W относительно общекоординатных преобразований. Сделаем локальное лоренцево вращение спинора 屮

6 屮=—T|aVa^.(1.10.3)'

Действие в (1.10.2) инвариантно относительно лоренц-преобразо- ваний, так что вся неинвариантность обусловливается изменением меры интегрирования. Разложим, как обычно, переменную интегрирования^ФИ 屮一 в ряд по собственным функциям оператора (i^)_)+ (iS))-, которые обозначим через ^п^ а 3- — в ряд по собственным функциям оператора (%勿一)(%纺)士 (屮”).Действуя по аналогии с выводом аномалии из § 3, мы получаем для яко-

биана инфинитезимальной замены координат (1.10.3) выражение

компонентыкомпонентыJ = ехр[§ J d2"xe (屮施，а2т—屮苏^афт)].(1.10.4)

компоненты

компоненты

Поскольку 屮n — верхние компоненты спинора, а фп — нижние, удобно переписать правую часть (1.10.4), введя оператор Дирака

+ + 勿—Регуляризуя бесконечную сумму введением

экспоненциального подавления, получаем простой ответ:

(1.10.5)(1.10.5)In J = lim Tr YVaYse-击(0)

(1.10.5)

(1.10.5)

2И2Top

Если закрыть глаза на фактор T]aVo) то предел в правой части должен давать род Дирака АМ^ поскольку это выражение в рам- ках метода Фудзикавы как раз равно дивергенции аксиального тока в присутствии гравитационного поля. Альварес-Гоме [41] предложил красивый вывод теоремы об индексе для различных эллиптических операторов с помощью функционального интеграла по вспомогательной одномерной системе. В данном случае соответствующей системой является двумерная суперсимметричная о-модель [42], редуцированная в одно измерение. Идея вывода была подсказана выражением для индекса Виттена в суперсимметричных теориях [130]. Дело в том, что индекс Виттена, который первоначально вводился из чисто физических соображений, с целью выяснить, имеется ли в системе спонтанное нарушение суперсимметрии, имеет широкое приложение в математике, в частности индекс Атьи ——Зингера прямо выражается через индекс Виттена, который, как показали Чекотти и Джирарделло ![168], может быть выражен в виде функционального интеграла. Таким образом, вычисление якобиана (1.10.5) сводится к вычислению рода Дирака, «подпорченному» присутствием фактора 刀@^展 Альварес-Гоме и Виттен переписали правую часть (1.10.5) в виде ФИ по вспомогательным (одномерным) фермионам гро иг показали, что интеграл отличен от нуля только при D = ^к — 2, а сама гравитационная аномалия получается подстановкой в род Дирака:

五abcdWoWo ~-g- ^abcd^o^Q + ▽&刀b — Vf/Па (1.10.6)

и удержанием члена первого порядка по ”. Этот член содержит, очевидно, на два фермиона меньше, чем член с т] — 0, который пропорционален роду Дирака, умноженному на 4 фермионных переменных. Соответственно член с “ 学=0 пропорционален 4А; — 2 фермионным переменным и после грассманова интегрирования по фермионам * он один выживает в D = 4/с — 2. Например,

в。= 4 род Дирака имеет вид

член первого(1.10.7)член первого(1.10.7)делая в нем замену (1.10.6) и удерживая только порядка по % получаем выражение

член первого

(1.10.7)

член первого

(1.10.7)

歳 J d2；reV”7?io妙。，

где теперь все индексы 队，v,入，о .. . пробегают значения 1, 2. Вспоминая, что в двумерном случае тензор кривизны Н^а выражается через метрический тензор как [23, 24]

(1.10.8)(1.10.8)-^jxvAa n -^~ (gvKgND — gRAgv0)，

(1.10.8)

(1.10.8)

и подставляя (1.10.8) в (1.10.7), мы находим

詰?门2力e%%€SR.

Интегрируя в этом выражении по частям и не забывая умно- ясить на Z в евклидовом пространстве, мы получаем для аномалии в D = 2 выражение

которое в точности совпадает с приведенным в предыдущем параграфе.

Явно метод спуска для гравитационной аномалии был выведен в работе Бардина и Зумино [40], которые подтвердили более простую процедуру Альвареса-Гоме и Виттена и показали, что вычисленная таким образом аномалия удовлетворяет гравитационному аналогу условия Becca — Зумино. Внешне гравитационный метод спуска почти не отличается от того, каким мы вывели неабелеву аномалию, поскольку выраженные в терминах форм поля Янга — Миллса и спиновая связность преобразуются совершенно аналогично относительно калибровочных преобразований. Различным является исходное выражение, причем род Дирака значительно сложнее класса Чженя. Вот почему гравитационные аномалии кажутся даже более опасными, чем неабелевы,— они более громоздкие, и, стало быть, их труднее сократить. Мы вернемся к этому вопросу в § 1 главы 4 при рассмотрении сокращения аномалий в низкоэнергетическом пределе суперструны Грина — Шварца и там же более подробно рассмотрим сокращение гравитационных аномалий в различных интересных теориях.

Глава 2

ТЕОРИЯ БОЗОННОЙ СТРУНЫ

ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ

В конце 60-х гг. физики, занимавшиеся теорией сильных взаимодействий, открыли в них (приближенную) дуальность [43—52]: было обнаружено, что амплитуда, например, процесса 2 f 2 (рис. 5) может быть с одинаковой точностью представле- на как бесконечная сумма резонансов в s-канале(£ ==(“ 早,2)2 = = (Рз + Р4)2) 乂4乂 в i-канале (t = (рх + р^)2 = (р2 + рз)2), а при высоких энергиях ведет себя как 严⑺，где функция а(方)при малых передачах импульса линейна: а(/^оо + а‘九 Диаграммы получаются друг из друга циклической перестановкой импульсов Рь 卩2, Рз,，4・ Амплитуда равна одной из диаграмм, но не сумме их. В настоящее время все понимают, что равенство, изображенное на рис. 5, весьма приближенное и вряд ли может быть поло- жено в основу всеобщей теории сильных взаимодействий, как надеялись в 60-х гг. Скорее всего, физик наших дней не стал бы упорствовать в идеях дуальности ——но тем большее уважение вызывает заслуга тех, кто, проявляя временами поразительную интуицию и преодолевая огромные трудности, построил теорию сильных взаимодействий, основанную на точном выполнении требования дуальности, реджевского поведения, факторизации, отсутствия духовых состояний и лоренц-инвариантности. Хотя, как оказалось позднее, к сильным взаимодействиям, как таковым, эта теория имеет мало отношения, она, известная ныне под названием «теория суперструн», претендует на роль Теория Великого Объединения [53].

Рис. 5. Дуальность амплитуд сильного взаимодействия.Рис. 5. Дуальность амплитуд сильного взаимодействия.

Рис. 5. Дуальность амплитуд сильного взаимодействия.

Рис. 5. Дуальность амплитуд сильного взаимодействия.

Развитие дуальной теории шло следующим образом: после ряда полуфеноменологическвгх работ важнейший шаг вперед был сделан Венециано [54], который открыл модельную амплитуду, в точности удовлетворявшую всем перечисленным требованиям:

/(S") = Г (2.1.1)

，「丿 Г (— a (s) — а (i)) ' 丿

Нетрудно. показать, что при больших s и малых i амплитуда /(5, i) действительно имеет реджевское поведение £“(”, а благодаря нулям Г-фуикции имеет бесконечное число полюсов как в S-, так и в ^-канале. Оба эти свойства имеют место только в том случае, если функция a (s)——реджевская траектория ——строго линейна:

a(s) = ао 十 £s (2.1.2)1 и не имеет мнимой части. Кроме того, как обнаружил уже сам Венециано, при весьма естественных предположениях о совпадении внешних частиц с одним из полюсов амплитуды (иными словами, предполагая, что внешние и внутренние состояния равноправны с точки зрения сильных взаимодействий) амплитуда (2.1.1) описывает рассеяние тахионов, т.. е. частиц с отрицательным квадратом массы. Надеясь исправить эти недостатки в буду^ щем, физики принялись обобщать амплитуду Венециано на случай произвольного числа частиц. Вскоре была построена произвольная TV-хвостка [55] (см. также [43, 44]), которая описывала явно факторизуемое взаимодействие N частиц, вновь тахионов (рис. 6). Причем каждая подамплитуда 2 f 2 удовлетворяет уравнению дуальности, а вся амплитуда (рис. 6) инвариантна относительно циклической перестановки всех N импульсов (читатель легко проверит с помощью рис. 5, что в случае взаимодействия 2 f 2 это и есть первоначальное условие дуальности). Дуальную TV-хвостку (рис. 6) часто называют амплитудой Кобы —— Нильсена. Мы также будем придерживаться этого названия.

Уже при построении амплитуды Кобы — Нильсена было открыто важнейшее свойство дуальных амплитуд — Мёбиус-инвариантность^ которую мы подробно рассмотрим ниже. Поскольку все эти амплитуды были получены в предположении a (s) = ао + a/s, резонансы, ими описываемые, располагались эквидистантно: т^ = (тг ——aj/aj Это наводило на мысль, что их будет удобнее описывать в терминах обычных осцилляторных операторов рождения и уничтожения а^, ап. Построенная теория и получила название «дуальной операторной модели» (более детальный исто^ рический обзор читатель сможет найти, например, в обзорах (43—47] ). Она была прямой предшественницей теории струн, а во многих случаях вполне исчерпывает ее содержание и до сего дня.

Модель с бесконечным числом осцилляторов напрашивается на дальнейшее обобщение. В самом деле, как известно со времей Пифагора, бесконечный набор колебаний, частоты которых крат^

Рис. 6. Древесная диаграмма рассеяния ^ частиц.

(ны некоторой основной частоте, может быть описан как колебание струны. Эта идея применительно к дуальной модели была высказана Намбу [56], Нильсеном [57] и Сасскиндом [58], которые предложили —— вначале просто в целях наглядности — описывать сильновзаимодейст- вующие резонансы в терминах колебаний некото-

Рис. 7. Мировая поверхность струны от момента времени т】до %2-Рис. 7. Мировая поверхность струны от момента времени т】до %2-рой микроскопической гипотетической струны. Двигаясь в пространстве-времени, струна заметает двумерную поверхность (рис. 7), задание которой вполне характеризует ее движение. Со своих концов струна может испускать «колебания»—резонансы любой «частоты» (т. е. массы), кратной 1/а「Струна может соединиться концами, образуя замкнутую струну; может, наоборот, разорваться, соединиться с другой струной и т. д. (рис. 8).

Рис. 7. Мировая поверхность струны от момента времени т】до %2-

Рис. 7. Мировая поверхность струны от момента времени т】до %2-

Важно, что взаимодействие струн происходит всегда в точке, что позволяет избежать конфликта с принципом причинности. Струнная теория дает удивительно простое и наглядное объяснение дуальности: в самом деле, если рассматривать взаимодействие струн в терминах заметаемых ими поверхностей (их принято называть мировыми поверхностямщ по аналогии с мировой линией, заметаемой при движении отдельной частицей), то амплитуда s-канального рассеяния будет описываться процессом, изображенным на рис. 9. Очевидно, эта поверхность топологически ничем не отличается от приведенной на рис. 10.

Условие дуальности (см. рис. 5) налицо не только для рассеяния отдельных возбуждений струн, но и для всего бесконечного набора резонансов. Поэтому в первое время после появления струн их называли иногда «резиновыми лентами» [58], ставя во главу угла не саму струну, а ее мировую поверхность, которую мы можем деформировать, подобно резиновой ленте, не нарушая ее топологии.

Другим важным результатом в операторной дуальной модели было включение фермионов. Рамон [59] и несколько позже Неве и Шварц [60] ввели в дуальную теорию согласованным образом фермионные операторы рождения-уничтожения и построили мо-

рис. 8. Некоторые характерные процессы взаимодействия струн.

дели с более широким спектром. Вскоре было обнаружено, что между фермионами и бозонами в этих моделях существует новая двумерная симметрия, которая несколько позже, в применении к четырехмерным теориям поля, получила широчайшее развитие под именем суперсимметрии [61, 62].

В целом струна того времени использовалась лишь для единого вывода операторных правил из струнного лагранжиана и ничем от операторной дуальной модели не отличалась *. Дальнейшее развитие дуальной модели показало, что требование ее непротиворечивости приводит к теории, которая единственна в высокой степени и не допускает каких-либо модификаций или улучшений. Вершины взаимодействия, пропагаторы, калибровоч- ньхе условия, гарантирующие отсутствие духовных состояний,— все эти величины задавались единственным образом для получения математически иепротиворечивой и физически осмысленной теории. Конечно, в этом нет ничего плохого: единственная теория, Катке если она несколько хуже описывает сегодня эксперимент, всегда была мечтой физиков, однако в данном случае энтузиазм несколько охлаждался тем обстоятельством, что эта замеч:атель- ная теория существовала в числе измерений ни мало ни много — 26，причем никак не могла обеспечить описания важнейшего по- люса Редже —— померона. Число 26 получило название критической размерности бозонной струны. Для фермионных моделей Ра- мона и Невё — Шварца критическая размерность оказалась равной 10.

Всякое время имеет свои табу, переступить которые мало кто отваживался. Физику 70-х гг. несравненно более важным каза-

В ”74 г. Мандельстам [63] и Каку и Киккава [64] построили теорию взаимодействия струн на световом конусе в терминах функционального интеграла, однако их работы не получили широкого распространения в то ^емя« К ним вновь обратились совсем недавно, когда выяснилось, что эта формулировка оказывается исключительно полезной для доказательства унитарности струны Полякова [245].

Рис. 9. Взаимодействие струн 另 терминах мировых поверхностей.Рис. 9. Взаимодействие струн 另 терминах мировых поверхностей.Рис. 10. Амплитуда ^-ка- нального рассеяния в терминах мировых поверхностей.Рис. 10. Амплитуда ^-ка- нального рассеяния в терминах мировых поверхностей.

Рис. 9. Взаимодействие струн 另 терминах мировых поверхностей.

Рис. 9. Взаимодействие струн 另 терминах мировых поверхностей.

Рис. 10. Амплитуда ^-ка- нального рассеяния в терминах мировых поверхностей.

Рис. 10. Амплитуда ^-ка- нального рассеяния в терминах мировых поверхностей.

обстоятельство, чтообстоятельство, чтолось толось то26, и он какой-то26, и он какой-тоность 4, а никак неность 4, а никак непространство-время имеет размер- ни за что бы пе пожертвовал четы- рехмерностью ра^и какой-то конформной инвариантности, которая в реальном чётырехмерном мире настолько сильно нарушена, что о ней можно вообще не вспоминать. Поэтому как совершенно непонятное число 26, так и увеличивающаяся сложность струнной модели отпугнули от нее почти всех физиков, кроме не- скольких одиноких энтузиастов, и в продолжение нескольких лет она находилась в тени. Между тем в работах Шерка и Шварца [65] и Йонейи [66] в 1974 г. было высказано смелое предположение, что струнная модель с большим успехом может описывать не сильные, а гравитационные взаимодействия： действительно, безмассовое состояние со спином 2, возникающее в замкнутой струне, которое никак не хотело описывать физический померон (точнее, вакуумный капал в дифракционном рассеянии), отлично описывало гравитон; в частности, Шерк и Шварц показали, что при низкоэнергетическом разложении дуальных амплитуд в низшем приближении возникает лагранжиан общей теории относительности Эйнштейна. С другой стороны, начиная с середины 70~х it* происходило интенсивное возрождение старой идеи Калуцы —— Клейна [35], согласно которой все взаимодействия возникают в результате компактификации геометрического лагранжиана общей теории относительности из размерности 4 + D в наше четырехмерное пространство-время. Эта идея получила двоякое развитие. С одной стороны, она используется в чисто прагматических целях для упрощения вывода лагранжианов расширенных супер- гравитаций и супер-Янга —— Миллса. Этот подход получил название размерной редукции (обзор работ в этом направлении см. в сборнике [67] ), в нем (4 + Z>)-мерное пространство появляется как чисто вспомогательный объект и все поля, входящие в первоначальный (4 + D)-мерный лагранжиан? предполагаются не за-

обстоятельство, что

обстоятельство, что

лось то

лось то

26, и он какой-то

26, и он какой-то

ность 4, а никак не

ность 4, а никак не

висящими от дополнительных координат. Авторы, придерживающиеся второго подхода, настаивают на реальности (4 + D)-мерного пространства. В частности, если мы захотим применить идею Калуцы — Клейна к бозонной или фермионной струне, мы не можем ограничиваться размерной редукцией, поскольку все поля первоначально существенпым образом зависят от всех 26 или 10 координат. В рамках второго подхода предполагается, что радиусы дополнительных измерений очень малы: R 〜l/M* где Мр ——масса Планка, Мр 〜10-5, т. е. массивные возбуждения, возникающие из-за зависимости полей от D дополнительных координат, имеют массу порядка пМ^ 九 = 1, 2, . . ., и ненаблюдаемы. D дополнительных координат вместе должны образовывать компактное пространство (отсюда и термин «компактификация»). Явный вид его, разумеется, не произволен, поскольку компактификация должна удовлетворять требованию устойчивости, т. е. метрика /^-мерного пространства должна быть решением соответствующих уравнений движения. Благодаря распространению идеи Калуцы ——Клейна отличие критических размерностей струн от 4 перестало пугать, хотя сами значения 26 и 10 оставались совершенно не расшпфрованными. В пионерских работах 1976 г. Креммер и Шерк [68] рассмотрели компактификацию бозонной струны и выяснили некоторые ограничения, накладываемые компактификацией.

Важное продвижение в теории струн произошло благодаря известной работе Льоцци, Олайва и Шерка [69], которые показали, что возможно согласованным образом отобрать часть состояний из струны Неве ——Шварца и струны Рамона так, что полученная модель ие будет содержать тахионов и будет удовлетворять пространственно-временной суперсимметрии на каждом уровне. .

До сих пор, как мы уже подчеркивали, операторные методы и струпное описание шли рука об руку, ничем, по сути дела, друг от друга не отличаясь. В 1981 г. Поляков [70] впервые сформулировал подход к струне, основанный на интегрировании по мировым поверхностям, который можно назвать истинно струнным, поскольку в нем адекватным языком для описания взаимодействия являются геометрические объекты, а не операторы. Полякову удалось объяснить происхождение критических размерностей как размерностей, при которых струны не имеют конформных аномалий. Струна Полякова во многих отношениях проще и нагляднее операторных методов, особенно это касается петлевых диаграмм, хотя работа с ней требует хорошего знания теории римановых поверхностей, пространств Тейхмюллера и т. д. Любопытно, что в последнее время вновь предпринимаются попытки вернуться к операторным методам, но уже исходя из геометрических объектов, присущих струне Полякова,— с целью изучения непертурбативных эффектов [71 ——73]. Эта программа еще далека от завершения.

Авторам [69] не удалось получить лагранжева описания построенной ими дуальной суперсимметричной модели. Это было

сделано несколько лет спустя в серии классических работ Грина и Шварца [74]. Вначале ими был построен струпный лагранжиан в световой калибровке, который явно давал спектр дуальной модели Льоцци, Олайва и Шерка (GSO), а затем они нашли и ковариантный лагранжиан [75]. Критическая размерность для суперструны Грина ——Шварца равна 10, как и для струн Рамона и Невё ——Шварца, «куском» которых она является, а в низкоэнергетическом пределе суперструп возникают различные варианты десятимерной супергравитации. Феноменологический интерес представляют открытые суперструны, но они-то и должны содержать как калибровочные, так и гравитационные и смешанные аномалии. Представлялось совершенно невозможным, что все эти громоздкие аномалии, возникающие в разложении индекса оператора Дирака в 12-мерном пространстве, могут быть сокращены. Тем больший энтузиазм вызвало открытие Грина и Шварца в 1984 г. [76, 77], что для двух калибровочных групп SO (3 2) и Е8 X Е8 аномалии могут быть в точности сокращены хитроумным механизмом. Таким образом, теория суперструны, включающая в себя единым и строго опр еде ленным образом все четыре вида взаимодействия, не имеющая аномалий и (как многие надеются) не содержащая расходимостей, стала с этой минуты единственной теорией, серьезно претендующей па роль Теории Великого Объединения.

БОЗОННАЯ СТРУНА

Теперь, когда струнной теории,Теперь, когда струнной теории,читатель знаком отчасти с историей развитиячитатель знаком отчасти с историей развитиямы будем действовать более формально, выводя следствия из первых принципов. Мы используем метрику Минмы будем действовать более формально, выводя следствия из первых принципов. Мы используем метрику Минковского 刀川=(彳， —1, ——1, ...), оговаривая те случаи, когда переходим к евклидовой метрике (1, 1, 1, . . .). Для описания струны введем координату точки на струне 1r诔(о, т), где о ——параметр струны; т — собственное время. Пространственно-временной индекс 卩 пробегает значения 0, 1, ...,/) — 1, где D — размерность пространства, которую мы пока никак не фиксируем. Рассмотрим вначале более простой случай открытых струн, т. е. струн с концами. Мы всегда можем нормировать о так, чтобы область изменения о на струне была ограничена: 0 W су W л. Таким образом, точки %“((), т) и ^н (л, т) описывают движение концов струны. Мы будем часто использовать一значенияковского 刀川=(彳， —1, ——1, ...), оговаривая те случаи, когда переходим к евклидовой метрике (1, 1, 1, . . .). Для описания струны введем координату точки на струне 1r诔(о, т), где о ——параметр струны; т — собственное время. Пространственно-временной индекс 卩 пробегает значения 0, 1, ...,/) — 1, где D — размерность пространства, которую мы пока никак не фиксируем. Рассмотрим вначале более простой случай открытых струн, т. е. струн с концами. Мы всегда можем нормировать о так, чтобы область изменения о на струне была ограничена: 0 W су W л. Таким образом, точки %“((), т) и ^н (л, т) описывают движение концов струны. Мы будем часто использовать一значенияковскогоковскогостандартные обо-стандартные обо-8/58/5(2.2.1)(2.2.1)

Теперь, когда струнной теории,

Теперь, когда струнной теории,

читатель знаком отчасти с историей развития

читатель знаком отчасти с историей развития

мы будем действовать более формально, выводя следствия из первых принципов. Мы используем метрику Мин

мы будем действовать более формально, выводя следствия из первых принципов. Мы используем метрику Мин

ковского 刀川=(彳， —1, ——1, ...), оговаривая те случаи, когда переходим к евклидовой метрике (1, 1, 1, . . .). Для описания струны введем координату точки на струне 1r诔(о, т), где о ——параметр струны; т — собственное время. Пространственно-временной индекс 卩 пробегает значения 0, 1, ...,/) — 1, где D — размерность пространства, которую мы пока никак не фиксируем. Рассмотрим вначале более простой случай открытых струн, т. е. струн с концами. Мы всегда можем нормировать о так, чтобы область изменения о на струне была ограничена: 0 W су W л. Таким образом, точки %“((), т) и ^н (л, т) описывают движение концов струны. Мы будем часто использовать一

значения

ковского 刀川=(彳， —1, ——1, ...), оговаривая те случаи, когда переходим к евклидовой метрике (1, 1, 1, . . .). Для описания струны введем координату точки на струне 1r诔(о, т), где о ——параметр струны; т — собственное время. Пространственно-временной индекс 卩 пробегает значения 0, 1, ...,/) — 1, где D — размерность пространства, которую мы пока никак не фиксируем. Рассмотрим вначале более простой случай открытых струн, т. е. струн с концами. Мы всегда можем нормировать о так, чтобы область изменения о на струне была ограничена: 0 W су W л. Таким образом, точки %“((), т) и ^н (л, т) описывают движение концов струны. Мы будем часто использовать一

значения

ковского

ковского

стандартные обо-

стандартные обо-

8/5

8/5

(2.2.1)

(2.2.1)

Одна из компонент вектора 〜科 также является временем, поскольку %" — обычная релятивистская координата. В нашей метрике это ①。.Выбрав систему отсчета, в которой 弍=叫 мы получаем

Здесь и далее латинские индексы пробегают значения 1, 2 ... ...D —L Требуя, чтобы ни одна из точек струны не двигалась со скоростью, превышающей скорость света, т. е. (^хУ^т)2 ^ 1, мы приходим к условию

(2.2.2)(2.2.2)d%N 0%从с

(2.2.2)

(2.2.2)

6%从3%4 да "无6%从3%4 да "无С другой стороны, в этой же системе координат мы имеем

6%从3%4 да "无

6%从3%4 да "无

(2.2.3)

Эти неравенства понадобятся нам при построении лагранжиана. Еслее подробное обсуждение классической динамики релятивистской струны читатель найдет, например, в обзоре Шерка [47], мы же прямо приступим к построению лагранжиана. Попытаемся действовать по аналогии с релятивистской механикой точечной частицы [24]. Как известно, в качестве лагранжиана точечной частицы выбирают элемент длины ее траектории, т. е. действие частицы пропорционально длине траектории. Это действие привлекательно тем, что оно инвариантно относительно репара- метризаций собственного времени — переменной интегрирования в действии. Намбу [56] и Гото [79], исходя из этой аналогии, предложили в качестве действия свободной бозонной струны выбрать площадь поверхности, заметаемой струной при ее движении. Подобно длине траектории, эта величина имеет прозрачное геометрическое происхождение и явно инвариантна относительно репараметризаций — в данном случае относительно замены координат мировой поверхности

Of/(d т), Pf g(。，т).(2.2.4)

Для описания поверхности введем метрику

Т@ь = &»%" •

а, & = 1, 2; д\ = д/дх\ З2 — д/дв.(2.2.5)

Как известно из курса элементарной дифференциальной геометрии (см., например, [18, 19] ), эта метрика описывает вложение двумерной поверхности, заданной координатами т, а в D-мерное объемлющее пространство. Явно уаь имеет вид

(226)(226)Yab === I ..

(226)

(226)

卜力从力卩’力从'力从'

Площадь поверхности в данном случае задается простым выражением j /Y d"力. Исходя из этих соображений, мы определим действие Намбу — Гото в виде

у = det уа&.у = det уа&.(2.2.7)(2.2.7)

у = det уа&.

у = det уа&.

(2.2.7)

(2.2.7)

Оно, очевидно, инвариантно относительно преобразований (2.2.4), а также Лоренц-преобразований в £>-мерном пространстве-вре^ мени. Используя свойства (2.2.2) — (2.2.3), нетрудно убедиться, что —т ^ 0. В терминах координат 方科 лагранжиан, стало быть, записывается как

Zng =姦 К(0叱W)2 一(森)2(戏‘产 (2.2.8)

Константа а', введенная пока ствия, имеет размерность т- несколько позже.Лагранжиан Намбу — Гото висит от координат 力、которыеКонстанта а', введенная пока ствия, имеет размерность т- несколько позже.Лагранжиан Намбу — Гото висит от координат 力、которыечто для обезразмерив ания дей- Ее происхождение станет яснымчто для обезразмерив ания дей- Ее происхождение станет ясным(2.2.8) сложно и непривычно за-(2.2.8) сложно и непривычно за-мы можем рассматриватьмы можем рассматриватьзические поля, поэтому уравнения движения в общем принимают громоздкий вид. Введем «импульсы»:зические поля, поэтому уравнения движения в общем принимают громоздкий вид. Введем «импульсы»:как фи- случаекак фи- случае9L9L_12ЛО7_12ЛО72・％') х'2・％') х'（廿尸^4（廿尸^4(2.2.9а)(2.2.9а)鹏=鹏=。厶。厶不n口' 2jtcc不n口' 2jtcc1 （之从--（七）2七5‘1 （之从--（七）2七5‘(2.2.96)(2.2.96)

Константа а', введенная пока ствия, имеет размерность т- несколько позже.

Лагранжиан Намбу — Гото висит от координат 力、которые

Константа а', введенная пока ствия, имеет размерность т- несколько позже.

Лагранжиан Намбу — Гото висит от координат 力、которые

что для обезразмерив ания дей- Ее происхождение станет ясным

что для обезразмерив ания дей- Ее происхождение станет ясным

(2.2.8) сложно и непривычно за-

(2.2.8) сложно и непривычно за-

мы можем рассматривать

мы можем рассматривать

зические поля, поэтому уравнения движения в общем принимают громоздкий вид. Введем «импульсы»:

зические поля, поэтому уравнения движения в общем принимают громоздкий вид. Введем «импульсы»:

как фи- случае

как фи- случае

9L

9L

_1

2ЛО7

_1

2ЛО7

2・％') х'

2・％') х'

（廿尸^4

（廿尸^4

(2.2.9а)

(2.2.9а)

鹏=

鹏=

。厶

。厶

不n口' 2jtcc

不n口' 2jtcc

1 （之从--（七）2七5‘

1 （之从--（七）2七5‘

(2.2.96)

(2.2.96)

Тогда уравнение движения, выведенное из действия (2.2.7), при^ нимает вид уравнения непрерывности

дР^/дх 十 дР^/да = 0.

Это уравнение нужно дополнить граничным условием на концах струны: требованием обращения в нуль поверхностного члена при вариации действия (2.2.7) — (2.2.8). При рассмотрении обычной теории поля в бесконечном пространстве мы привыкли не обращать внимания на поверхностные члены (кроме, конечно, топологических эффектов), однако для струны, которая является протяженным и конечным объектом, учет этих членов совершенно необходим и очень важен. Мы получаем для открытой струны условия

р^(0, т) = ^(л, т) -0. (2.2.10)

Далее, импульсы Рх 叮尸^ удовлетворяют тождествам

= о,(2.2.11)

.с*2

收，0" = 0,尸^ + 小^ = 0.

4л а /

То обстоятельство, что между импульсами существуют связи (2.2,11), говорит нам, что лагранжиан Намбу—Гото вырожден^ ный. Причина вырождения —— локальная симметрия (2.2.4). Мы можем, воспользовавшись ей, выбрать на двумерной поверхности удобные координаты, которые упростят вид метрики уа& и позво-

оче-оче-случае их координат,случае их координат,где r]ab —(1, —1) — метрический двумерных поверхностей д;возможен [18]. Подставляягде r]ab —(1, —1) — метрический двумерных поверхностей д;возможен [18]. Подставляя(2.2.12)(2.2.12)условия эквивалентныусловия эквивалентнытензор Минковского. 匸一一 доказывается, что такой выбор всегда :д (2.2.12) в (2.2.6), мы видим, что этитензор Минковского. 匸一一 доказывается, что такой выбор всегда :д (2.2.12) в (2.2.6), мы видим, что этиВВтеориитеорииследующим:следующим:涼卩.色山=0,比2 +涼卩.色山=0,比2 +В этих координатах лагранжиан 纟' сравненно упрощаются:В этих координатах лагранжиан 纟' сравненно упрощаются:“2 = о“2 = о(2.2.13)(2.2.13)NG 近 уравнения движения не-NG 近 уравнения движения не-£ng£ng=爲汾一吟,1 •2й*"叫=爲汾一吟,1 •2й*"叫(2.2.14)(2.2.14)&——爲2U&——爲2Uграничные условия приобретают вид力(л (о，七)==定出(n，T) = 0, а уравнения движения совпадают с обычным ламбераграничные условия приобретают вид力(л (о，七)==定出(n，T) = 0, а уравнения движения совпадают с обычным ламбера(2.2.15)(2.2.15)(2.2.16) уравнением Да^(2.2.16) уравнением Да^々I —— О,решения которого хорошо известны:々I —— О,решения которого хорошо известны:(2.2.17)(2.2.17)%Md т) = /и(а 4- т) + g^(o — т).Разложим функции / и g в ряд Фурье по cos по и sin по. Однакограничные условия (2.2.16) приводят к тому, что в разложениидопустимы только косинусы. Таким образом, общее решениеуравнений движения в координатах (2.2.13) с учетом граничных%Md т) = /и(а 4- т) + g^(o — т).Разложим функции / и g в ряд Фурье по cos по и sin по. Однакограничные условия (2.2.16) приводят к тому, что в разложениидопустимы только косинусы. Таким образом, общее решениеуравнений движения в координатах (2.2.13) с учетом граничныхусловии имеет видусловии имеет вид%" (о, т) — £ 暢(т) cos па.П—ОПодставляя (2.2.18) е (2.2.17), находим уравнение на竣⑴-标唠О = 0.Решая его, мы имеем окончательно%" (о, т) — £ 暢(т) cos па.П—ОПодставляя (2.2.18) е (2.2.17), находим уравнение на竣⑴-标唠О = 0.Решая его, мы имеем окончательно(2.2.18)(2.2.18)碇(т):碇(т):3 9, т) = ^ + 2*Р% + /■纭 2 £ -*一九=13 9, т) = ^ + 2*Р% + /■纭 2 £ -*一九=1巴-М_ егпт ) COS "5巴-М_ егпт ) COS "5(2.2.19)(2.2.19)лят явно решить уравнения движения. Наиболее удобным, видно, является выбор ортогональных (в евклидовом называют обычно «изотермическими»—см. гл. 5) в которых метрика уоь принимает диагональный вид

оче-

оче-

случае их координат,

случае их координат,

где r]ab —(1, —1) — метрический двумерных поверхностей д;

возможен [18]. Подставляя

где r]ab —(1, —1) — метрический двумерных поверхностей д;

возможен [18]. Подставляя

(2.2.12)

(2.2.12)

условия эквивалентны

условия эквивалентны

тензор Минковского. 匸一一 доказывается, что такой выбор всегда :д (2.2.12) в (2.2.6), мы видим, что эти

тензор Минковского. 匸一一 доказывается, что такой выбор всегда :д (2.2.12) в (2.2.6), мы видим, что эти

В

В

теории

теории

следующим:

следующим:

涼卩.色山=0,比2 +

涼卩.色山=0,比2 +

В этих координатах лагранжиан 纟' сравненно упрощаются:

В этих координатах лагранжиан 纟' сравненно упрощаются:

“2 = о

“2 = о

(2.2.13)

(2.2.13)

NG 近 уравнения движения не-

NG 近 уравнения движения не-

£ng

£ng

=爲汾一吟,1 •2й*"叫

=爲汾一吟,1 •2й*"叫

(2.2.14)

(2.2.14)

&——爲2U

&——爲2U

граничные условия приобретают вид

力(л (о，七)==定出(n，T) = 0, а уравнения движения совпадают с обычным ламбера

граничные условия приобретают вид

力(л (о，七)==定出(n，T) = 0, а уравнения движения совпадают с обычным ламбера

(2.2.15)

(2.2.15)

(2.2.16) уравнением Да^

(2.2.16) уравнением Да^

々I —— О,

решения которого хорошо известны:

々I —— О,

решения которого хорошо известны:

(2.2.17)

(2.2.17)

%Md т) = /и(а 4- т) + g^(o — т).

Разложим функции / и g в ряд Фурье по cos по и sin по. Однакограничные условия (2.2.16) приводят к тому, что в разложениидопустимы только косинусы. Таким образом, общее решениеуравнений движения в координатах (2.2.13) с учетом граничных

%Md т) = /и(а 4- т) + g^(o — т).

Разложим функции / и g в ряд Фурье по cos по и sin по. Однакограничные условия (2.2.16) приводят к тому, что в разложениидопустимы только косинусы. Таким образом, общее решениеуравнений движения в координатах (2.2.13) с учетом граничных

условии имеет вид

условии имеет вид

%" (о, т) — £ 暢(т) cos па.П—О

Подставляя (2.2.18) е (2.2.17), находим уравнение на

竣⑴-标唠О = 0.

Решая его, мы имеем окончательно

%" (о, т) — £ 暢(т) cos па.П—О

Подставляя (2.2.18) е (2.2.17), находим уравнение на

竣⑴-标唠О = 0.

Решая его, мы имеем окончательно

(2.2.18)

(2.2.18)

碇(т):

碇(т):

3 9, т) = ^ + 2*Р% + /■纭 2 £ -*一九=1

3 9, т) = ^ + 2*Р% + /■纭 2 £ -*一九=1

巴-М_ егпт ) COS "5

巴-М_ егпт ) COS "5

(2.2.19)

(2.2.19)

Здесь для дальнейшего удобства мы выбрали коэффициенты Фурье в виде таэт/п. Выражение (2.2.19) удовлетворяет требованию вещественности 第± Коэффициент при т (нулевая мода в разложении по cos па) выбран согласно (2.2.15), причем р^ совпадает с импульсом центра масс струны:

” =j" doR,

О

У2<%' перед суммой выбран из соображений размерности: мы хотим, чтобы коэффициенты Фурье а^ были безразмерными. Для дальнейшего удобно положить 2а‘ = 1. При этом в теории вообще не будет размерных параметров. Мы всегда можем при желании восстановить размерность, введя соответствующую степень а'. Например, масса тахиона, которая окажется равной 啮 ^ — 1/а\ в этих переменных будет Шо = — 2.

Теперь мы должны учесть условия «калибровки» (2.2.1). Заметим, что их можно единым способом записать как,

(金土 £‘)2 = 0

или, еще проще, распространив (формально) область значений переменной а на интервал —л W с W 冗 по симметрии:

近(一и)=必(灯)？ хг (—о) = —^z (о).

(2.2.20)(2.2.20)Тогда калибровочное условие (2.2.13) примет вид

(2.2.20)

(2.2.20)

3 + 力‘)2 =。，

где мы предполагаем теперь —л W о W л.

(2221)(2221)J 二+j do/ (0)［冗A +大产==0.J 二+j do/ (0)［冗A +大产==0.Выражая 俨 через Рх согласно (2.2.17), мы можем записать калибровочное условие в виде, который нам понадобится ниже:

(2221)

(2221)

J 二+j do/ (0)［冗A +大产==0.

J 二+j do/ (0)［冗A +大产==0.

—Л

Здесь /(о)——произвольная пробная функция. Для того чтобы явно выразить условия связи через козффициенты Фурье 口詳 подставим разложение (2.2.19) в комбинацию 匠 + #'. Мы имеем

(2222)(2222)張 + 砂，。p“ + £ (髓产"+6 + 或e-WH。)).n=l

(2222)

(2222)

Удобно переписать (2.2.22), вводя новые обозначения:

тогдатогда痂+碎，=引盟…+叱痂+碎，=引盟…+叱(2.2.23)(2.2.23)

тогда

тогда

痂+碎，=引盟…+叱

痂+碎，=引盟…+叱

(2.2.23)

(2.2.23)

Подставляя теперь (2.2.23) в (2.2.21) и выбирая в качестве пробных функций / дискретный набор {eina}, мы получаем бесконечную серию условий связи на коэффициенты Фурье ап:

(2.2.24)(2.2.24)(2.2.25)(2.2.25)(2.2.26)(2.2.26)Lf=einu^ 厶П ==aji—?na^= 0,

(2.2.24)

(2.2.24)

(2.2.25)

(2.2.25)

(2.2.26)

(2.2.26)

в частности°°

А =g- р2 — 2 ^—п^п = 0.

П=1

Зна связь определяет массу струны согласно

?2 -m2 = - 2 2 a乜成.

П=1

凿嚣露.'Змма в правой части не является положительно опре-

§ 3. КОВАРИАНТНОЕ КВАНТОВАНИЕ

До сих пор мы р ассматрив а ли классическую механику релятивистской струны. Для перехода к квантовой механике нам необходимо найти гамильтониан системы. Он находится по общим правилам: подставляя лагранжиан 纟^旺 в формулу

h = - ^ da

мы находим в калибровке (2.2.12) — (2.2.13)

友=亲 J do (X + н'2) = 2^f do (л2Р? + 疗2)= 0. (2.3.1) О о

Таким образом, гамильтониан совпадает с условием связи и равен нулю. Это свойство хорошо известно для механики систем со связями [80]. Если мы теперь наложим обычные скобки Пуассона между координатами и импульсами, то можем, как показал Дирак [80], прийти к противоречию, поскольку на эти динамические переменные теперь наложены нетривиальные соотношения связи. Существуют два способа квантования таких систем.

Ковариантное квантование [80]. Мы предполагаем, что переменные х^ и Pv удовлетворяют обычным скобкам Пуассона, а связи накладываются после раскрытия всех скобок Пуассона. Гамильтониан может быть выбран в виде

(2.3.2)(2.3.2)Н = Hq + 烹 Ст^т (р,办 'де ^т (р, q) — первичные связи:

(2.3.2)

(2.3.2)

Ф-(Л ^) = 0.

Мы должны проверить, что уравнения связи не меняются со временем, т. е.

фтп = {фт,丑о} + сА'^тч 屮)(2.3.3)'

Эти уравнеиия в общем случае приводят к появлению вторичных условий связи и т. д. Процесс нужно продолжать до тех пор, пока алгебра всех связей ф^, среди которых теперь находятся также вторичные и т. д. связи, не замкнется, т. е., вычисляя скобки Пуассона (2.3.3), мы придем к тождеству 0 = 0* Заметим, забегая вперед, что в случае струны такого не возникает.

Приведем хорошо известный пример системы со связями, подробно разобранный в книге Дирака [80],—— электродинамику Максвелла. В этом: случае первичная связь Р° = 0 (尸“=尸図) дает вторичную: 2亡厶寸=0 (закон Кулона). Метод Дирака явно ковариантен, однако в нем возникает индефинитная метрика, с которой приходится бороться окольными процедурами, приме- ром которой может служить известный формализм Гупты — Блейлера [81] в электродинамике.

ВНОВЬВНОВЬМетод полного исключения зависимых переменных. В некоторых случаях мы можем разрешить уравнения связи ①扭—0 и найти полный набор независимых динамически переменных, относительно которых мы предпол ага ем, что они удовлетворяют каноническим скобкам Пуассона. Скобки Пуассона между зависимыми переменными находятся дополнительно. Этот метод имеет то преимугцество, что в нем мы с самого начала работаем только с независимыми, физическими переменными (например, с поперечными компонентами электромагнитного потенциала), о диако он может вести к потере ковариантности.

ВНОВЬ

ВНОВЬ

Рассмотрим вначале ковариантный подход. Выпишем

координаты

(2.3.4)(2.3.4)(2.3.5)(2.3.5)(2.3.6)(2.3.6)^e-^cos па

(2.3.4)

(2.3.4)

(2.3.5)

(2.3.5)

(2.3.6)

(2.3.6)

•n六0

и импульсы Рц (а, т)=①

Р* (d 午)=g W о^е~гпх cos /га,卩从=嘴.

Наложим на 汇* 尸"канонические соотношения Пуассона

мынемынеможем накла-можем накла-{犷(5 T),炉(/，石)} = {p(6 T), Pv(a\ T)} = 0?{立科(ег, T), Pv(g\ 七)}= 一厅"6(d一o').

мыне

мыне

можем накла-

можем накла-

Нетрудно догадаться, что в качестве гамильтониана Н выбрать выражение (2.3.1) (напомним, что пока мы дываем связей)

H =-去 1 d" (h2P2 + 君2).

вычисле иные с помощьювычисле иные с помощьюВ самом деле, уравнения Гамильтона, (2.3.6), дают нам

вычисле иные с помощью

вычисле иные с помощью

渺={叫 刃=-备J d『{w (b,项尸(CT；叨=n? (2.3.7) О

соотношения (2.3.6) Для коэффициентовсоотношения (2.3.6) Для коэффициентовт. е. правильное соотношение. Канонические приводят к следующим скобкам Пуассона Фурье * 嗽：

соотношения (2.3.6) Для коэффициентов

соотношения (2.3.6) Для коэффициентов

(2.3.8)(2.3,9)(2.3.8)(2.3,9)(напомним, ко вывести сона(напомним, ко вывести сонаa$t *}=方九刀"^^飞―m，n, m^Q,{時，pv] =

(2.3.8)

(2.3,9)

(2.3.8)

(2.3,9)

(напомним, ко вывести сона

(напомним, ко вывести сона

нт。мы иногда пишем 卩法=а^). Эти соотношения лег- из (2.3.6), используя формулу суммирования Пуас-

Пока что мы рассматриваем 或，pv как независимые переменные, хотя из (2.2.4) видно, что они связаны бесконечным набором соотношений связи. Выражая гамильтониан Н (2.3.1) через фурье- коэффициеиты а* получаем

А =—专卩2 —工 а匕1c虑=厶).(2.3.10)

П—1

Проверим еще раз уравнения Гамильтона, т. е. вычислим зави- симость коэффициентов 或(т) (2.2.18) от времени. Мы имеем (т) - {а* Н\ = — inoc，ni

откуда а^(т) = &^(0)巴一“乳°, как и должно быть.

Теперь переход к квантованию можно осуществить обычным способом — заменой скобок Пуассона на коммутаторы по правилу

М, В} — —Z[4, В].(2.3.11)：

При этом мы получаем следующие коммутационные соотношения:

[*t W]=—冷1严M—m，(2.3.12)

[力、x] = 一 Zrfv.(2.3.13)：

Выше мы показали, что требование вещественности (эрмитовоста в случае операторов) приводит к условию aJt = ссИп- Таким образом, операторы аКп являются эрмитово сопряженными операторами и коммутационные соотношения (2.3.12) можно переписать как

[或，a^]=-冷喂"6叫加 m, h^> 0.(2.3.14)

Если теперь ввести на минуту операторы а冷 согласно

то для них мы получим

［閱，圖广］=—г\^8т,п,(2.3.15)

т. е. обычные коммутационные соотношения для операторов рож* дения-уничтожения релятивистского осциллятора. Теперь иам нужно ввести пространство состояний, на котором действует бесконечный набор осцилляторов «п-

(2.3.16)(2.3.16)Определим вакуум 丨0> согласно

(2.3.16)

(2.3.16)

成 I。〉==?叫 0〉==。, ">0；（。|0〉= 1-

Действуя на вакуум операторами рождения в上出 п > 0, мы стро* им пр остр анство Фока. Произвольное состояние имеет вид

1Ml"1； ^2^2 • •"卩左"左〉==a—九j_a-九2 * * ■ a―^?在］。〉"(2.3.▲7)

(2.3,18)(2.3,18)Согласно (2.3.16), вакуум |0> имеет импульс 0. Состояние с произвольным импульсом строится следующим образом:

(2.3,18)

(2.3,18)

k> = eiAxIO>,P网0,后〉=宓曰0,左>.

К сожалению, среди состояний I ［k\rt\ ...科女相&> есть множество состояний с отрицательной нормой, или, как их обычно называют, «духов». В самом деле, поскольку коммутатор временных компонент имеет неправильный знак из-за лоренц-ковариантности, то, например, простейшее возбужденное состояние

［О, 1>^а11|0>

имеет отрицательную норму

<07 110, !>==-!.

независимы.независимы.Теперь настал момент включить в игру условия связи, которые классически выглядели как Ln = 0. До сих пор, в согласии с общей идеологией ковариантного квантования, мы предполагали, что переменные «й совершенно независимы. В методе первичного квантования связи должны быть наложены на волновые функции, иными словами, на состояния I 乩1汽1 ...卩在лг&>. Рассмотрим величины £п, которые, согласно (2.2.4), имеют вид

независимы.

независимы.

…4•工dn—Щ^ТП, 厶才=L~n-

Переходя к квантовой теории, мы должны прежде всего нормально упорядочить 厶门，иначе мы не сумеем добиться даже 1/„10> = 0.

Итак, мы определим

:0Сп—-m^m •，:0Сп—-m^m •，(2.3.19)

:0Сп—-m^m •，

:0Сп—-m^m •，

знак нормального упорядочения :...: означает, как обычно, что в Z„ все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Особое внимание надо обратить на оператор 厶о：

(2.3.20)(2.3.20)4 n — ■~р2 — -^工：а 巴 п<4：.廿0

(2.3.20)

(2.3.20)

Поскольку операторы а«, а_п не коммутируют, при нормальном упорядочении в Lq возникает неопределенная бесконечная кон， станта ао. Поэтому условие на физические состояния, которые мы будем обозначать символически как lphys>:

надо заменить нанадо заменить наZolphys> = О,

надо заменить на

надо заменить на

(厶 一 а0) lphys> = 0.(2.3.21J

Константу ао нам предстоит определить из условия отсутствия духовых состояний. Для остальных операторов Ln этой особенности не возникает, и мы получаем бесконечный набор условии Lniphys> = 0, п^ 0, —8V^voo.(2.3.22》

Операторы L” были впервые введены Виразоро [247] в рамках дуальной модели и носят название операторов Виразоро. Используя скобки Пуассона (2.3.8), нетрудно найти скобки Пуассона между классическими величинами Lnt

{Z?i, Ещ} %(ZZ 77Z)Туп+ш*

Переходя к квантованию, мы должны были бы получить, в духе принципа соответствия,

[Ln^ Z/m]=(冷一m) Ln十加，

однако это не так. Нетрудно показать, что из-за требования нормального у пор ядочения в правой части возникает дополнительный с-числовой член, называемый аномалией или центральным зарядом:

忆П, £m] = (^ — ^) Ln+m + ~ П (га2 — 1) 6%_м.(2.3.23)

это соотношение читателю в качестве аккуратно расписать нормальноеэто соотношение читателю в качестве аккуратно расписать нормальноеМы предоставляем вывести упражнения (указание：

это соотношение читателю в качестве аккуратно расписать нормальное

это соотношение читателю в качестве аккуратно расписать нормальное

произведение).

Коммутационные соотношения операторов Виразоро Ln (2.3.33) задают нам бесконечномерную алгебру, которая называется алгеброй Виразоро. Центральный заряд, возникающий при квантовании, представляет собой еще один пример квантовой аномалии. Мы подробно рассмотрим алгебру Виразоро с этой точки зрения в главе 5.

Присутствие аномалии в алгебре Виразоро имеет важные последствия для спектра состояний струны. В самом деле, теперь мы не можем требовать выполнения всего набора условий

(2322), поскольку, например,

£/—?г I phys〉= ~^"(紋一1) П I phys〉=# 0-

Из вида операторов Виразоро легко увидеть, что мы можем потребовать Zn|0> = 0, % > 0, в то время как L-ni0> 声 0. Поэтому мы вправе наложить лишь половину условий на физические состояния. Итак, определим следующие калибровочные условия на физические состояния, возникающие благодаря инвариантности лагранжиапа струны Намбу — Гото относительно репараметр и- заций:

厶」phys> = 0, п> Q,(2.3.24а)

(£о —网)lphys> = 0,(2.3.246У

илиилиих можно записать тождественно, как <phys|Z/n|phys> =0, п ^ 0,

или

или

такститакстикак операторы Вир азоро удовлетворяют условию эрмитово-

таксти

таксти

О, где /『)— отрицательно-частотнаяО, где /『)— отрицательно-частотнаячасть потенциала.часть потенциала.Ln — £一九・ Напомним, что точно такая же ситуация имеет место и в квантовой электродинамике [81], когда мы не можем наложить на физические состояния условие калибровки %4jphys〉— 0, которое привело бы к обращению в нуль двухчастичной функции Грина, а налагаем лишь «половину» условий, а именно: д^А^ | phys> =

О, где /『)— отрицательно-частотная

О, где /『)— отрицательно-частотная

часть потенциала.

часть потенциала.

(2.3.25)(2.3.25)Таким образом, мы имеем спектр состояний (2.3.17), содержащий первоначально бесконечное число духов. Нам нужно доказать, что условий Виразоро (2.3.24) достаточно для отщепления всех состояний с отрицательной нормой. Только в этом случае струна Намбу ——Гото окажется разумной физической теорией, наподобие квантовой электродинамики. Полное доказательство отщепления нефизических состояний при наложении условий Виразоро было получено Брауэром [82] и Годдардом и Торном [83]. К сожалению, оно очень громоздко и требует изощренных алгебраических построений. Более современное доказательство [84] % основанное на знании так называемого детерминанта Каца [85J, также весьма сложно. В этой книге мы ограничимся простыми наводящими соображениями. Заметим прежде всего, что состояния вида

(2.3.25)

(2.3.25)

I Х1Пг> = L^nJ^-n^ • • • ^-^Л I PbyS>,

где все nt > 0, заведомо не могут удовлетворять условиям Вира- зоро ввиду аномалии в алгебре (2.3.23). Состояния \ХгП^> вида (2.3.25) называются шпурионными. Они ортогональны физическим состояниям, в самом деле:

〈九m I phys〉' =〈phys I Z±：...片；I phys〉= 0,

так как Ln!phys> = 0,孔 > 0. Можно доказать, что все пространство состояний (2.3.17) разбивается в ортогональную сумму физических СОСТОЯНИЙ, удовлетворяющих УСЛОВИЯМ с шпурионных. Сектор физических состояний является т. е., грубо говоря, он состоит из векторов вида

Вир аз оро

и

поперечным.

1,-

* • а—Пд I 0〉

все zfe — 1, ... Z> — 2. Временные (林=0) и продольные (ji = Z> — 1) осцилляторы отщепляются. Эти состояния имеютг очевидно, положительную норму. Результат Браузра ——Годдарда —— Торна (его часто называют no ghost теоремой) справедлив ЛИШЬ ППtт ЛtтРттлГTлтгг!жV 八小s…TE丁丁—— —

продольные

лышь ПРЕ следующих ограничениях

на значения а。и D:

справедлив

ocq^ 1, D ^26.

Забегая вперед, скажем, что вычисление петлевых диаграмм в дуальной (струнной) теории —— также важный критерий проверки унитарности теории —— позволяет зафиксировать <х<) и Z> однозначно [86, 87]:

8)= 4, Z)= 26.

(2.3.26)

Обзор алгебр Виразоро и спектров состояний при о<)V 4, Z)V 26 читатель найдет в работах Торна [84].

Приведем простейший пример того,Виразоро. Хотя он и не заменит полного

теоремы, он все-таки даст представление

как работают условия доказ ат ельства no ghost

торым она доказывается. Положим сы состоянии есть

° методе индукции, ко- оо = '♦ Тогда условие на мас

(Ео — 1) 1 jii^i . . . щ%> = 0

или, подставляя явно Zq (2.3.20),

(g- m2 + е a，或-1^ I卩传1• . •林左九左〉=0;

поскольку оператор N, равный

(2.3.27)

(2.3.28)

.V = 2 «±пай,п=1

является оператором числа частиц, т. е.

JVIЦ1П1 . . . цкпй> = ЛПм®] . . . цкпй>,

N =2,

мы получаем формулу массы состоянийМ无=2 (N — 1)^или М^ — —г (N ——1), если восстановить размерность).

(2.3.29)

(2.3.30)

(2.3.31)

Таким образом, благодаря возникновеяию константы нормального упорядочения 飙 = 1, низшее состояние с N = 0, т. е. в а- куум Ю>, оказывается тахионом с массой

腸=—2.

Вакуум Ю>, по определению, удовлетворяет условию Виразоро Лп|0> = 0 и имеет положительную норму. Рассмотрим теперь первое возбужденное состояние

[4〉=4 出(?)a上]0〉. (2.3.32)

Согласно (2.3.31), его масса равна нулю. Таким образом, 《поле» А^(р) описывает безмассовое векторное состояние. Наложим теперь условия Виразоро. Оператор L\ имеет вид

где опущенные члены

автоматически аннигилируют состояние

11>. Мы получаем, что условие

厶][4〉= 0, равнозначно уравнению

на поле 厶"(р)

рМи (р) = 0- (2.3.33)'

Нетрудно видеть, что остальные условия ZnJ 1> = 0, п> lt вы- полняются тривиально. Таким образом, условия Виразоро приводят к тому, что поле 4* оказывается безмассовым калибровочноинвариантным нолем, аналогом фотона. Мы получили исключительно важный и до конца не понятый факт: репараметризациоН' ная инвариантность лагранясиана струны (т. е. условия Виразоро, из нее следующие) автоматически приводит к калибровочно-инва-

риантному взаимодействию.Для нормы ] 1> имеем

и—1

<1 11> = —= — (А°)2 + W А1А\

Она неположительно определена. Но, как хорошо известно из электродинамики, выбирая импульс «фотона» р\ /?2 = О в виде Р“=(Р, б 0, ... р), получаем из (2.3.33)

a° = ad-\

т.

D—2

<111> = 2 W》o・£=工

Благодаря калибровочной инвариантности в норму дают вклад только поперечные, физические состояния, и она явно положительно определена.

Рассмотрим следующее состояние с N ^ 2, М^ = 2. Вычисления удобно проводить в системе покоя, в которой импульс р"

имеет вид

(/2, 0...0), ^ = Ml = 2.

(2334)

(2.3.35) Виразо-(2.3.36)(2.3.37)(2.3.35) Виразо-(2.3.36)(2.3.37)

(2.3.35) Виразо-

(2.3.36)

(2.3.37)

(2.3.35) Виразо-

(2.3.36)

(2.3.37)

Общий вид состояния с 7V = 2, Ml = 2 есть

I 2> 二(4乩％%“，+ 3%匕)I 0〉.

В этом случае нам необходимо учесть уже два условия ро с 7>1 и 厶2・ Соответствующие операторы имеют вид

厶=—(af 夕"+ c^—i a2 + • • •),工2 = — ("^aj^af 十 c(^(Xq 十.•.).

Действуя ими на 12〉, получаем два уравнения: 厶12〉= 06 р^А^ + j?v = 0, L^ 2〉= 0 > 厶皿—2〃出砂=0.

Вновь остальные условия Вир азоро удовлетворяются тождественно. Подставляя р» в виде (2.3.34), их можно свести к виду

Аи = 54吗 砂=一 У2Л°\(2.3.38)

Норма состояния 丨 2〉равна

〈2) 2〉= 2 [А^А^ — В^}=

=2 [(Л00)2 + А^ 一 24szs —(В。)2 十 BiBiy.

Она вновь неположительно определена. Подставляя условия (2.3.37), мы упрощаем выражение для нормы:

〈2 I 2〉= 2 一 击(*у .

(2.3.39)

Дифференцируя правую часть, мы находим, что она имеет минимум при следующих значениях компонент 4订：

厶仃—О, %，/； Лц = Л22厶仃—О, %，/； Лц = Л22А.А.

厶仃—О, %，/； Лц = Л22

厶仃—О, %，/； Лц = Л22

А.

А.

Подставляя, наконец, эти значения в (2.3.39), мы имеем для минимума нормы выражение

〈2 I 2〉= 2 [(О — 1) А?—专刀—4)，= 2 ①三券 *(26 _。).

(2.3.40)

Таким образом, норма состояния 丨 2〉положительно определена только при i> W 26* Мы предоставляем читателю самостоятельно проанализировать спиновое содержание состояния 12>.

Мы установили, что в рамках метода ковариаитного квантования критическая размерность бозонной струны D = 26 возникает из условия отсутствия духовых состояний. Струна Намбу — Гото является осмысленной физической теорией в 26-мерном пространстве при условии, что константа нормального упорядочения W = L Однако даже и в этом случае она не совсем безупречна, поскольку страдает от присутствия тахиона. В заключение заметим, что в качестве квантового гамильтониана после выполнения

нормального упорядочения мы можем выбрать выражение

H = L0-i.(2.3.41)：

Гамильтониан равен нулю на физических состояниях, и условие Hlphys〉= 0 определяет нам их массы.

§ 4. КВАНТОВАНИЕ НА СВЕТОВОМ КОНУСЕ

Чтобы упростить действие струны и сделать возможным решение уравнений движения, мы выбрали ортогональную систему координат

Yab = РП8, Р =近2Yab = РП8, Р =近2-『2 — —n‘2.(2.4.1)

Yab = РП8, Р =近2

Yab = РП8, Р =近2

ет видет видНетрудно заметить, что этот выбор не полностью фиксирует координаты мирового листа о, т и калибровка (2.4.1) инвариантна относительно обширной группы непрерывных координатных пре^ образований. В самом деле, интервал d s2 в метрике (2.4.1) име^

ет вид

ет вид

ds2 = Р(d т2 - do2) = pd(T- o)d(t + o).

(2.4.2)(2.4.2)Очевидно, при заменах координатт — о f /(т — о),тг + ст f g(T + о),讶乩f汇口

(2.4.2)

(2.4.2)

метрика 7аь переходит в у&ь：

Yab g / Тад ~ ^ / Р曾аЬ, т. е. новая метрика по-прежнему удовлетворяет условию ортогональности. В евклидовой области это хорошо известные конформные преобразования координат. Мы будем рассматривать их подробно в главе 5. В метрике Минковского преобразования (2.4.2) соответствуют заменам координат светового конуса.

Для того чтобы полностью зафиксировать свободу в выборе координат, мы должны наложить на них дополнительное условие, не инвариантное относительно (2.4.2). Заметим, что одна из компонент 忆卩 имеет смысл времени и 方" не меняется при преобразованиях (2.4.2). Поэтому свободу (2.4.2) можно заморозить, например объявив какую-нибудь времениподобную комбинацию ②》 собственным временем. Обычно вводят светоподобный вектор ”"：

"n=(金，0,.…一1)

и накладывают условиеи накладывают условие(2.4.3)(2.4.3)[88, 89] пи^ц(а, т) = Хт,

и накладывают условие

и накладывают условие

(2.4.3)

(2.4.3)

где К — произвольный параметр. Поскольку

к(6 т).к(6 т)._ полностью. Оче- не может противоречить также и (2.2 13)_ полностью. Оче- не может противоречить также и (2.2 13)условие (2.4.3) совместно с уравнением движения на Теперь калибровочная свобода зафиксирована видно, условие (2.4.3)—

к(6 т).

к(6 т).

_ полностью. Оче- не может противоречить также и (2.2 13)

_ полностью. Оче- не может противоречить также и (2.2 13)

можно проверить следующие комбинации:можно проверить следующие комбинации:так хак наложено после его выполнения (это 亚 явным вычислением [47]). Введем

можно проверить следующие комбинации:

можно проверить следующие комбинации:

/±二(/О士 4/一1)/诃，(2.4.4)

4陵一произвольный вектор. Тогда условие (2.4.3) сведется к %+(6 т) = У2Хт.(2.4.5)

Далее, по определению импульса Рц мы имееме+ (ст, т) = * ?+,

откуда следует 丿2 九= ~ Р+, т. е. уравнение (2.4.5) можно переписать, введя константу 夕十：

"(▼) = ” 吁宀= *+."(▼) = ” 吁宀= *+.(2.4.6)(2.4.6)

"(▼) = ” 吁宀= *+.

"(▼) = ” 吁宀= *+.

(2.4.6)

(2.4.6)

Ввиду того тором п^ иВвиду того тором п^ иN 喈出=А+В- + А~В+ — Л^\N 喈出=А+В- + А~В+ — Л^\(2.4.7)(2.4.7)

Ввиду того тором п^ и

Ввиду того тором п^ и

N 喈出=А+В- + А~В+ — Л^\

N 喈出=А+В- + А~В+ — Л^\

(2.4.7)

(2.4.7)

что калибровка (2.4.3) задается светоподобным век- мы оперируем конусными переменными ж+, Р+,… она называется калибровкой светового конуса. Теперь в соответствии с программой нековариантного квантования мы должны разрешить условие (2.2.13) и выразить все переменные через независимые. Эта задача упрощается благодаря тому, что импульс в направлении + является константой.

Скалярное произведение двух векторов в конусных переменных имеет вид

только поперечные условиях ортоготолько поперечные условиях ортого(2.4.8a)(2.4.86)(2.4.8a)(2.4.86)

только поперечные условиях ортого

только поперечные условиях ортого

(2.4.8a)

(2.4.86)

(2.4.8a)

(2.4.86)

где теперь индекс i = 1, 2 .…Z> — 2 нумерует направления. Подставляя (2.4.6)——(2.4.7) в нальности

мы находиммы находим俨力〃 =0,近2十户2 = 0,

мы находим

мы находим

力一 =—хгхг ,

片一 =一^7 [力Ь* + 力"犷'].

2〃十

Лагранжиан в калибровке светового конуса принимает простой вид

纟越=一—儔■) ]'(2.4.9)

и уравнения движения вновь являются уравнениями Даламбера,

по теперь только на поперечные компоненты н‘：

о,

(2.4.10)

Решая (2.4.10) ложение 疗 по нам форму

х{ (0, т)=片;(л, т) = 0.

с учетом граничных условий, мы получаем раз~нормальным модам, которое имеет знакомую уже

炉 9, т) = ^г +

?玩+力三乎e-Mcos耽.

Пт^О

Точно такое же разложение мы можем

(2.4.11)

написать для х~, только по нормальным модам)

в его разложении выражается через а* р+ согласно (2.4.8). Проделав

выкладки, находим

ССп =

1 V £ £

г- / j О-п—

2р+纟

несложные

(2.4.12)

совпадает спо попереч-

а£ напоминает оператор Виразоро 厶沱, однако не ним, поскольку суммирование в (2.4.12) идет только ным компонентам осцилляторов. Разумеется, в нековариантном подходе у нас нет никаких условий Виразоро, поскольку все свя

зи явно разрешены.

Найдем с помощью (2.4.7) оператор массы др =尸2 = 2m} — РР.

Подставляя сюда формулу (2.4.12), получаем оо Q—■2.

М2 = 2 £ £ aLnan-

П=1 г=1

Это выражение явно положительно определено.

Из лагранжиана на световом конусе (2.4.9) дим соответствующий гамильтониан

(2.4ЛЗ)

мы легко нахо-

Н

da

一 J (了 W -2)dcF

2

+ (祭)]•(2-444)

Подставляя (2.4.86), мы убеждаемся, что он компоненте импульса Pt Как и следовало ожидать,

пропорционален

Я = Р+Р-.

(2.4.15)

В терминах независимых вом конусе выглядит как

осцилляторов гамильтониан на свето-

я = 4

оо D—2

+ £ ? aLna^,

т. е. Н == (pl 十 Л/2)/2— аналог обычного релятивистского-гамиль- тониана свободной частицы.

После этой предварительной работы переход к квантованию можно производить стандартным способом. Мы определяем скобки Пуассона между независимыми переменными каноническим образом:

{芍,р+} = —4,(2.4.16)

{炉(о, т), Р"(о、т)} = ?%(吓—， находим отсюда скобки Пуассона между независимыми осцилляторами а工 а" и заменяем их на коммутатор ио общему правилу (2.3.11). При этом мы получаем коммутационные соотношения на световом конусе:

[cCyi? а^п]附6"6也,—m,

[z/, p+] =-i,(2.4.17)

[炉，户]=一 гб«.

Вновь оператор массы (2.4.13) плохо определен, поскольку входящие в него операторы не коммутируют между собой, и мы должны нормально упорядочить его. В формуле для массы возникает неизвестная константа нормального упорядочения а。：

4-М2 = 2 а-п«п — %•(2.4.18)

Перейдем к изучению спектра состояний в рамках квантования на световом конусе. В качестве вакуума можно взять состояние (2.3.16) с нормой, равной единице. Произв о ль ный вектор пространства Фока будет иметь вид (2.3.17), однако теперь мы действуем на вакуум только физическими, поп ер е чными операторами рождения. Очевидно, что все эти состояния имеют, согласно (2.4.17), по дожит ельную норму. Например, первое возбужденное состояние является поперечным вектором

I 1, i> = «-I I 0>,

масса которого равна -^-М\ = (1 — %). Как известно, для того чтобы теория взаимодействия поперечных векторов была релятивистски инвариантна, эти векторы должны иметь нулевую массу, т. е,

a01.

Мы вновь приходим к известной уже константе нормального упорядочения. В рамках нековариантного квантования мы имеем красивую возможность «вычислить» эту константу прямо из ее определения. Это вычисление, хотя оно может показаться нестрогим, поучительно тем, что не только позволяет почувствовать.

каким образом формируется отрицательный вклад в массы состояний за счет нормального упорядочения, но и связать между собой загадочные цифры «двадцать шесть и одна», встречавшие^ ся доселе разве что в художественной литературе (см. одноименный рассказ М. Горького) или истории.

Приведенное ниже вычисление пригодно для произвольных бозонных и фермионных гамильтонианов, записанных в терминах физических (нез ависимых) осцилляторов, поэтому мы приведем его в деталях. Рассмотрим бесконечную сумму

告 Е aLno^.

■й六О

Она отличается от суммы S ^—п^пч определяющей оператор

массы, на числомассы, на числоП=1

массы, на число

массы, на число

D—3 оо」^

(2.4.19)(2.4.19)2 W冷-2)e加

(2.4.19)

(2.4.19)

%=工 П=171=1

Льоцци [90J предложил регуляризовать входящую сюда бесконечную сумму с помощью ^-функции. Имея в виду приложения к фермионной струне, запишем вместо (2.4.19) более общее выражение

2 (也 + D) = c (一 1,少),2 (也 + D) = c (一 1,少),(2.4.20)(2.4.20)

2 (也 + D) = c (一 1,少),

2 (也 + D) = c (一 1,少),

(2.4.20)

(2.4.20)

где р ^ —1, —2 ... и функция 匕 задается рядом [91]

C(s, и)= X 5 + ^)7.1C(s, и)= X 5 + ^)7.1(2.4.21)(2.4.21)

C(s, и)= X 5 + ^)7.

1

C(s, и)= X 5 + ^)7.

1

(2.4.21)

(2.4.21)

В литературе функцию g($, и) обычно называют обобщенной W- функцией. Она совпадает с обычной ^-функцией Римана при и = 0. Ряд (2.4.21) сходится при Re s > 1 и определяет мероморфную в комплексной плоскости s функцию с единетвенным полюсом при s = 1. Ее можно аналитически продолжить в точки $ = —(, —2 . . .. В частности [91], при s = — 1 мы имеем

4

С (— К и) 2"石2 (и),

В2(р)—2-полином Бернулли,

马 Q)=庐一и + -g--

Мы советуем читателю самостоятельно рассмотреть очень схожую регуляризацию

и вычислить явно предел суммы в правой части. При такой регуляризации предел суммы содержит бесконечный член ^ 1/s2. Как показали Бринк и Нильсен [92], его можно убрать перенормировкой скорости света. Таким образом, мы получаем общее выражение для константы нормального упорядочения, которое нам еще неоднократно пригодится:

ао ①)=®”g& 卜—v 4—§-), (2.4.22)

в частности при р = 0 (бозонная струна Намбу — Гото) мы получаем

% =，唳(£ 厶=^).(2.4.23)

Поскольку «о > 0 (иными словами, бесконечная сумма положительных чисел 2 " равна после регуляризации отрицательному числу —1/12), вклад вакуумных колебаний всех осцилляторов дает отрицательный сдвиг энергии, в результате чего в спектре и появляется тахион. Чтобы получить теперь нужное значение ао = 4, мы должны положить

D = 26.

Мы вновь приходим к критической размерности.

Приведенные выше соображения, основанные на манипулировании бесконечными суммами, могут показаться нестрогими, однако они подтверждаются прямой проверкой лоренц-ковариант- ности в поперечной калибровке. Дело в следующем: поскольку оператор a7r квадратичен по независимым осцилляторам а^ и имеет виразороподобный вид (2.4.12), коммутационные соотношения а/ усложняются, в частности из-за необходимости нормального упорядочивания вновь появляется аномальный член [47, 88]

+ ^,-т [-^а0 + £2=^(^+)2n(n2-l)]. (2.4.24) Для подтверждения Лоренц-ковариантности нам необходимо проверить коммутационные соотношения лоренцевой алгебры

[Jf% МХа]=刀以儿仆。—^М^ + ^аМ^ —刀叫畋叫 (2.4.25) Оператор Лоренц-преобразований

М^ = Ра” 一 Т犷,

в световой калибровке кубичен по осцилляторам, поэтому проверка коммутационных соотношений нетривиальна. Оказывается, что все коммутаторы имеют правильный вид, кроме W~, М5-},

который должен быть равен нулю согласно (2.4.25), однако в действительности из-за аномалий имеет в общем случае сложный вид [88, 89]

"九=工

4—^-(々24 2 ——aj] (ocLn(Xn — ^―n°^n)• (2.4.26)

Очевидно, что единственный способ приравнять его нулю — это положить оо = 1, D = 26. Таким образом, взаимодополняющие простые аргументы, основанные на требовании безмассовости поперечного векторного состояния и вычислении константы нор- мального упор я доче ния с помощью ^-функции, дают правильный ответ. В дальнейшем мы будем безбоязненно прибегать к ним.

Изучив оба типа квантований, мы убедились, что при D = 26 и ссо = 1 струна Намбу — Гото является полностью (за вычетом тахиона!) согласованной, лореиц-ковариантной и не имеющей духов теорией ——пока лишь свободной. 24 поперечные степени свободы являются физическими, подобно двум физическим степеням свободы фотона в Z>= 4. Это заставляет подозревать, что в рамках ковариантного подхода предыдущего параграфа возможно ввести духовые поля, которые подобно духам Фаддеева — Попова в теории Янга — Миллса восстановят унитарность, явно отщепляя временные и продольные состояния. Соответствующая процедура не была сформулирована в первые годы развития струнной теории, хотя Бринк и Олайв [93] нашли проекционный оператор на физические состояния. Вычисления с этим оператором были очень громоздки и требовали больших ухищрений. При современном подходе вводятся духовые поля и БРСТ-генератор Q [94, 95], условие нильпотентности которого выполняется только в D = 26. Отрицательный вклад в энергию в БРСТ-подходе обусловлен нулевой модой одного из духовых полей. Мы вернемся к вопросу в главе 5.

§ 5. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ.СТАТСУММА СТРУНЫ

В этом параграфе мы построим необходимую для дальнейшего технику работы с функциями от осдилляторных операторов «й и с когерентными с остояниями. Введем для удобства вместо ай операторы

(2.5.1)(2.5.1)

(2.5.1)

(2.5.1)

В этом параграфе лоренцевый индекс будет играть тривиальную роль, поэтому мы его не выписываем. Операторы ап являются

обычными квантово-механическими осцилляторами [96] и действуют на вакуум как"

а„|0> == 0, тг П 0.

Оператор числа частиц равен

Введем пространство чисел заполнения обычным (а+)т

| ";耘〉=I。〉•у т\

Состояния Iиг: п> ортонормированны: 〈тп; п\т; n> = 1

и образуют полный набор

(2.5.2)

(2.5.3)

способом [96]：

(2.5.4)

(2.5.5)'

^ = 51^；冷〉<m; n |.

(2.5.6)

Формулы (2.5.3) —(2.5.6) и т п лятора п.

Введем когерентные состояния (по дения свойств когерентных состояний ке см., например, [97])

не зависят от номера осцил-

поводу детального обсуж- и их приложений в физи-

I 九；？г〉= £九威 I 0>, <И; n| = <0| ЛЧ (257) где 九，山 —— произвольные комплексные числа. Когерентные состояния не ортонормированы и образуют переполненный набор состояний. Из (257), (2.5.4) мы имеем

8 .

(2.5.8)

В дальнейшем мы будем часто пользоваться формулой Бейкера — Хаусдорфа для операторных экспонент

е4+в = еАдВ--^^^ = ^ле—ГСл'^

(2.5.9)

справедливой в том случае, когда [Л, [А, 5] ] ^ [-В, [Л, 5] ] == 0. Применяя ее к когерентным состояния (2.5.7), мы находим значение их скалярного произведения

〈必；п|Л; п) = е^.

Кроме того, имеют место очевидные формулы

(2.5.10)

an I A,; n> = X I X; n>, &^ai

Для вычисления

I Л; zz> = I р. + X； п>.(2.5.11)

следов полезна формула полноты, записанная

в терминах когерентных состояний |入〉：

九；п>〈九；n j eT%『=^ I m; n> <zn; n | = Цп. (2.5.12)

Ее легко доказать с помощью соотношения (2.5.8), если ввести полярные координаты 九=1X^6® [97]. Наконец, мы часто будем иметь дело с функциями от оператора числа частиц N, которые всегда можно выразить через функцию ^ап @"・

Упражнение. Вывести формулу

%—а^ a^g九。九力а^ ап =廿狀^(2.5.43)

(указание: записать дифференциальное уравнение для функ* 以皿"九)，+++ 、

/(X) = х~ап 飞宀 жап ап).

Из формулы (2.5.13) следует, например,

力唆勺九；冷〉=?^或I 0> = I力九；区>.(2.5.14)

Формула (2.5.14) имеет место и в более общем контексте, а именно:

力а^п/ (%,以~)片一威а» = / (а^"1,若£)•(2.5/5)

Если мы используем вместо операторов 〃门 обычные струнные операторы <хп, то в формулах типа (2.5.15) везде нужно заменить X f Хп.з

В качестве первого приложения развитой здесь техники мы хотим вычислить вырождение уровней с заданным Л\ Напомним, что 〜

N ]厶1从工；厶左及互〉==-^丨^iP,i? * * * 1互N互〉，(2.5.16)

к

N = Q・

При заданном N мы имеем множество состояний, которые получаются с помощью действия различных а匕% на вакуум. С ростом ^ число таких возможностей, т. е. вырождение уровня N, быстро растет. Метод вычисления вырождения уровней хорошо известен [98]: нужно найти статсумму Тг ,五(в статистической физике q = ехр(—1/77), в данном случае просто вспомогательный параметр) и разложить ее в ряд по 夕,коэффициент при qN и даст число состоянии с заданной энергией N, т. е. вырождение. Таким образом, нам нужно найти

Z(q)=Tr 产

(2.5.17)(2.5.17)D一2 oo* .

(2.5.17)

(2.5.17)

Н = N — 4; N =仪；,

где мы уже вычли из 7V константу нормального упорядочения. След

o0七+ j

Tr qN = Tr (^n)°n @倡n=l

мы вычисляем относительно полного набора состояний \т\ п> и берем произведение по всем п. Обозначим qn = хп. След ха^°п7 по опр еде л ению, имеет вид

Tr k°n an — S <тп; n I 力疑 an ] m； 7Z〉・(2.5Л8)

Воспользовавшись формулой (2.5.12), мы выразим след в терми* нах когерентных состояний:“

n胃井^二/畔厂伉产或^代力制九“〉=

R J 導 ef I? <0| ^x^^ I 0〉.

Подставляя сюда (2.5.10), (2.5.13), мы получаем

Tr 立行^ 二 /密 eflPf) =(1 _ 叫)—i.(2.5Л9)

Беря произведение по всем п,厶 мы находим статсумму бозонной струны

Z (а) = Тг 严==q-工 Tr 严=。一工 Ц (1 —严)74,(2.5.20)

где в соответствии с анализом, проведенным выше, мы предположили, что вклад в статсумму дают только физические, по- перэтные степени свободы числом 24, /поэтому мы возвели про^ изведение в 24-ю степень, а не в 26-ю. При современном БРСТ инвариантном подходе этот результат получается автоматически (см. § 14 главы 5). Разлагая теперь Z(q) в ряд по д, запишем

ОО

Z(q) = qT S dim(N)qN,

где функция dim(N) определяет вырождение уровня с заданным № Предел ее при N f 8 задается знаменитой формулой Хар~ ДД — Рамануджана [99, 100]

产00

П(1 -2，叫 «=1fl=Q

lim p (n) тгтоо

арифметическая функция 夕(孔) называется в теории чисел wc- лом разбиений и равна числу представлений целого числа N в виде суммы положительных целых чисел. В сущности, именно эту задачу мы и решали с самого начала. Однако проделанное нами унражнеиие не было бесполезным: мы не только приобрели опыт работы с когерентными состояниями и вьнчислили нужную нам в последующем статсумму бозонной струны, но и решили попутно известную ma^aq из теории чисел! Наше вычисление — первый и простейший, но далеко не единственный пример возникновения многих глубоких результатов теории чисел в струнной теории. Их связь остается одной из волнующих загадок тео

рии струн.

Разумеется, формулу (2.5.19) можно было вывести и обыч- ньем способом, суммируя геометрическую прогрессию 工 力*• 7П=0

Статсумма Z(^) (2.5.20) сингулярна при g = 0. Эта сингулярность вызвана, очеввдно, присутствием тахиона в спектре. Под-

ставляя 夕= ехр (мы видим, что Z(q) пропорциональна растущему по энергии вкладу. Ниже мы увидим, что эта син- гулярность приводит к возникновению инфракра«ной сингулярности в однапетлевой диаграмме.

§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРУН.ДРЕВЕСНЫЕ ДИАГРАММЫ

До сих пор мы изучали свободную струну. В этом параграфе мы построим теорию взаимодействия на древесном уровне. В отличие от теории поля введение взаимодействия не очевидно. Исторически оно вводилось из тех соображений, чтобы полученные амплитуды рассеяния явно обладали свойством дуальности и факторизуемости, и в частности в случае рассеяния 2 f 2 давали формулу Веноциано (2.1.1). Позже было обнаружено, что найденные из этих соображений вершины и пропагаторы ——единственно возможные, не нарушающие свойств сагмосогласованно- сти свободной струны.

Простейшим мыслимым процессом является излучение струной низшего состояния — тахиона с массой Mq = — 2. Произвольное состояние может излучаться только из концов струны, в противном случае, поскольку внутри струны все точней равноправны (связаны репараметризацией о), мы вступим в 'конфликт с локальностью. Будем действовать по аналогии с теорией поля [49]. Волновая функхщя свободной частицы с импульсом 左 имеет вид е詼". Попробуем обобщить это выражение на случай струны. Введем вершину излучения частицы — пока не известно какой —струной

?(也工)=:宀(。"，七， (2.6.1)：

где в соответствии с вышеизложенным мы рассматриваем излучение из конца струны (о = 0). Мы должны выяснить, среди прочего, излучетию какого состояния соответствует вершина (2.6.1), какие амплитуды возникают при взаимодействии этих состояний и удовлетворяют ли полуденные амплитуды обычным тре(бованиям, налагаемым на теорию струны, как то отсутствие духов, лоренц-инвариантность и т. д.

Оператор ^(о = 0,工)получил в дуальной модели снециаль-- ное название [101]:

а出(ст = 0,七)=^и (T)=々u +,йT+ %工 亭 e-恤% (2.6.2) т. e. Q"(ir) ясвляется операторам координаты. Оператор имиульса задается уравнением

(263》(263》尸"=^Г =夕出十士 a^~inr = £ aJle-f九六0—0о

(263》

(263》

так как 夕以 = а#. Для дальнейшего удобно ввести комилекс®ук> переменную м = е也 и передтисать операторы ^ и /^ в ее терминах:

Q“(z) = 6出一ip^ In z + f 2z—",(2-6.4)

P"(2)= iz ^^ =夕出 + £ a版一71 ・(265)

n关0

Имея в виду использовать аналогию с функциональным интегралом, мы сделаем евклидовский поворот, т. е. заменим т f —方汇 Тогда

z = e 工(266》

В терминах евклидовского времени t асимптотическое in-состояние (^ = —8) соответствует z==0, в то время как out-состояние (t = 4-ос) соответствует z=8. Упорядочение по t отвечает с точки зрения z радиальному упорвдочению. Рассмотрим свойства вершины V (力,z). Расписывая явно нормальное произведение, получаем

V{k, z)=产曲 JMnz) exp & £ 字X

X exp ( 一 ％ S .(2-6.7)

\ n=l丿

В первом факторе в правой части операторы ②出 и 夕以 не коммутируют, потому с этой экспонентой надо обращаться остарожшл.

Используя формулу Бейкера — Хаусдорфа (2.5.9), мы находим

состояиие с(2.6.9)состояиие с(2.6.9)/®(х出一i声Inz) = eik-xzk-pz—h2/2 N 赤2>e话田名経"，(2.6.8)

состояиие с

(2.6.9)

состояиие с

(2.6.9)

импульсом кимпульсом кР叩(鼠2)10)= »卩(也2)10>*Р叩(鼠2)10)= »卩(也2)10>*поэтому, действуя на вакуум, V (左,z) порождает

импульсом к

импульсом к

Р叩(鼠2)10)= »卩(也2)10>*

Р叩(鼠2)10)= »卩(也2)10>*

В пределе z f 0 мы имеем из (2.6.7)——(2.6.8)

ИmУ(&, z)|0〉=z一齡/2|0,为〉，(2.6.10)

т. е. с точностью -^о z~^^ V (", z) порождает асим1птоти1ческое in-состояние с импульсом к. Заметим, что состояние ИтУ(7с, z)]0〉

Zf 8

не определено. Аналоткчно для состояния <01 имеем

lim〈0 I V (Zc, z) = 2*2/2〈0,左 |,(2.6.11)

т. e. в пределе z —8 «->+g) оператор V{к^ м) порождает out-состояние с имиульсом к.

Рассмотрим алгебраические свойства вершины. Прежде всего, нетрудно найти коммутационные соотношения операторов Q":

[Q"(zi), Qv(&)]==—2irfv hi(zi—纟2), kiI < hai. (2.6.12)

Используя явный вид вершины 0(左，z), мы находим коммутационные соотношения V (к, z) с операторами Вир азоро

忆"产(瓦喇= zdz青一哆卜 他Z).(2.6.13)

Теперь ио аналогии с квантовой механикой [102] определим в качестве матричного элемента амплитуды рассеяний N частиц ^Г(Т1... т^ == Хк<01 У (^,工附).・.Р(©, Ti)10>, (2.6Л4) где времена т« упорядочены согласно t；i V т；2 W ... V xN. Сама амплитуда задается как интеграл по всем временам [46, 102] от матричного элемента с учетом упорядочения

厶(宓工..• fejv)=九 ~J也工….(1%n4^ «1 - > * 力N)>

или, подставляя Z = In z, мы получаем окончательно

Л (宓1к^)=九 NJ ~~^^"〈° I 卩(加N, 2^)

...V(k1,z1)\Oy.(2.6.15)

В случае открытых струн, которые мы сейчас рассматриваем, все Zi вещественны и упорядочены вдоль вещественной оси (если

々2кт々2ктРис. 11. Кинематика дуальной Л^~хвостки.

々2кт

々2кт

использовать вещественное вре-• • •

мя т, то мы получим упорядо- 片-*

чение Кобы — Нильсена вдоль

окружности). Действуя оператором р^ на состояние

V(kt, z2) V(Аг-i, 4т)...卩(自，zi)IO>,

легко убедиться, что оно имеет имзпульс ® + …к— + 院 иными словами, амплитуда (2.6.15) описывает процесс, аналоптяный приведенному на рис. 11. Добавление каждого нового оператора V(к^ z, добавляет импульс kj в промежуточном состоянии. Для того атобы подтвердить вид амплитуды, возображенной на рис. 11, мы должны еще доказать, что амплитуда (2.6.15) имеет полюсы по каждой энергетической переменной (如 + 左2)% (Ал 十 左2 + + 归3)2…… Используя для вершины выражение

V(丘，z) = e^"z互*z一齡/z户(k，?),

где теперь оператор F(归,z) зависит только от осцилляторов а^> заменяя импульс р^ на его значение, вынося произведение ①ак- торов 讀如'* и опуская его, поскольку 2 左％ = 0, мы получаем

<01V(宓№, %n) ... V(左1，а) I о>.(2.6.16)

Вакуумное среднее операторов 0 (к% &) вычисляется вновь с помощью формулы Бейкера — Хаусдорфа 6&6廿 ^ е%&е工儿 用

p , a—n —n 图a—7n 7n「2产~^1爲J.kZJp , a—n —n 图a—7n 7n「2产~^1爲J.kZJS8 b. a_m m 总 a_n __n gm=iC n—iS8 b. a_m m 总 a_n __n gm=iC n—iXX

p , a—n —n 图a—7n 7n

「2产~^1爲J.kZJ

p , a—n —n 图a—7n 7n

「2产~^1爲J.kZJ

S8 b. a_m m 总 a_n __n gm=iC n—i

S8 b. a_m m 总 a_n __n gm=iC n—i

X

X

XXexp (也饱7 工 ~~ z^zf^\n=lexp (也饱7 工 ~~ z^zf^\n=l)=)=

X

X

exp (也饱7 工 ~~ z^zf^\n=l

exp (也饱7 工 ~~ z^zf^\n=l

)=

)=

a—m ma—m mzi—1zi—18 Ie xi8 Ie xiап —nап —n11.(2.6.17).(2.6.17)

a—m m

a—m m

zi—1

zi—1

8 I

e xi

8 I

e xi

ап —n

ап —n

1

1

.(2.6.17)

.(2.6.17)

Протаскивая все операторы exp，左£ —^乌 對 с 莉 > 0 налево, мы получаем для амплитуды выражение

/ f d2i .. . dz^ П 以芍~т П (Si — 3f 气(2.6.18)

n=ii<7

Заметим важность упорядочения (евклидова) времени 友(zj.

В самом деле, если бы мы имели 否＞备_匕 то ряды для логарифмов не сходились бы и выражение (2.6.16) было бы бессмысленным. Ниже мы убедимся, что при произвольных &1 амплитуда 4.(^1 • - • kN) расходится и не имеет фиоитческой интерпретации. Йсключение составляет случай, когда все кг = —— 2, т. е. все внешние частицы ——тахионы. Положим поэтому в (2.6.48) Ai = =—2, тогда ажплитуда А значительно упростится:

А^... kN) = ^ УП dze Д (zz — z?)-“(2.6.19)

Замечательным свойством полученной агмилитуды является ее циклическая симметрия. Если мы переставим kN f 左匕 к\ f *&

kN^\ f A：n, а затем циклически переобоаначим / (что не нарушает упорядоченности), то получим то же самое выражение：

4 (左1...归n) —■厶(店n, к】.・.左n-i) ♦(2.6*20)

Но это условие есть не нто иное, как обобщение на N частиц условия дуальности (ом. рис. 5), которое в случае рассеяния 2 f 2 мы можем изабравить как

厶(Р1, Р2, Рз, р^'= A (Pi, Pl, р2, Рз).

Другое важ.нейшее свойство амплитуды (2.6.19)——ее Мёбиус- инвариантностъ — не столь очевидно. Для доказательства Мёбн- ус-инвариантности подвергнем все переменные интегрирования 2$ мёбиусовскому, т. е. дроби о™ лин ейно му, преобразованию

dZs —b

Zf f у. + ^ ' 。〃 一 be ：/=0.(2.6.21)

В случае лрои1звольного дробно-линейного преобразования [103] коэффициенты a, b, с, d — произвольные комплексные числа, однако в данном случае мы можем рассматривать только вещественные дробно-линейные преобразования, поскольку мы не имеем права покидать вещественную ось, вдоль которой упорядочены переменные интегрирования z” Мы всегда можем переопределить параметры a, b, с, d так, чтобы

ad — be = 1.(2.6.22)

Свойства дробно-линейных преобразований подробно обсуждаются, наятример, в книге Форда [103]. В частности, нетрудно установить, нто они образуют группу. Далее, из (2.6.22) мы по

лучаем

(2623)(2623)(с% +d)2,勺一弓

(2623)

(2623)

(% + d) (с勺 + d)'

Выполняя преобразование Мёбиуса под знаком иоатеграла в (2.6.19), мы находим, что подынт етра льно е выражение приобретает множитель

ТТ (czi + d)-2 JJ (cZi + d) (cZj + d)]~hihi

N^= U(5 + "尸耳 3-N^= U(5 + "尸耳 3-(2.6.24)(2.6.24)

N^

= U(5 + "尸耳 3-

N^

= U(5 + "尸耳 3-

(2.6.24)

(2.6.24)

Поскольку 工 kj = U и 7c 1 = —2> все выражение (2.6.24) равно 1, таким образом, интеграл (2.6.19) действительно инвариантен относительно преобразований Мёбиуса. Условие 无^ = ——2 является необходимым условием иснвариантности. Однако темерь мы встречаемся с трудностью: так как «объем груоосиы Мёбиуса» (иными словами, область изменения параметров а, Ь, с, &) бесконечен, выражение (2.6.19) расходится. Чтобы получить конечное и осмысленное выражение, мы должны в соответствии с об- 1цим рецештом Фаддеева — Полова отфакторизовать этот бесконечный объем из интеграла (2.6.19). Для этого нам понадобятся некоторые факты теории дробно-линейных преобразований [103]: как известно, любые три точки z% 纟2,纟3 можно перевести преоб- а& + Ь

разованием 纟乞—以十 в нрн наперед заданные точки, другими словами, мы можем зафиксиро(вать (в согласии с выбранной упорядоченностью) любые три точки, заменив интегрирование ло ним интегрированием по трем независимым параметрам группы Мёбиуса. Кроме того, антармони1ческое отношение четырех точек:

九（z工，出，23, Z4）=九（z工，出，23, Z4）=(Zl-Z2)(Z3-Z4) (Z1 - Z3) (Z2 - Z&)(Zl-Z2)(Z3-Z4) (Z1 - Z3) (Z2 - Z&)(2.6.25)(2.6.25)

九（z工，出，23, Z4）=

九（z工，出，23, Z4）=

(Zl-Z2)(Z3-Z4) (Z1 - Z3) (Z2 - Z&)

(Zl-Z2)(Z3-Z4) (Z1 - Z3) (Z2 - Z&)

(2.6.25)

(2.6.25)

инвариантно, как легко равованиях. Устремляя, ражениеинвариантно, как легко равованиях. Устремляя, ражениеубедиться, при дробно-линейных преоб-например, zi f 么2, мы видим, что вы-убедиться, при дробно-линейных преоб-например, zi f 么2, мы видим, что вы-（气- %）（勺一名J（气- %）（勺一名J(2.6.26)(2.6.26)также инвариантно относительно (2.6.21). Теперь, чтобы выделить объем группы Мёбиуса, возьмем три произвольные точки, наиример Zn-i, zN, zi, и выразим интегрирование ло dzidz^—idzw через параметры группы Мёбиуса. Общий вид бесконечно малого преобразования Мёбиуса есть, например,также инвариантно относительно (2.6.21). Теперь, чтобы выделить объем группы Мёбиуса, возьмем три произвольные точки, наиример Zn-i, zN, zi, и выразим интегрирование ло dzidz^—idzw через параметры группы Мёбиуса. Общий вид бесконечно малого преобразования Мёбиуса есть, например,"勺+ b czi 十 а"勺+ b czi 十 ат. е.т. е., ,/ а = 1 + а, д == В,— be = 1,丁7 ' / 产'с — у,或=1 — а., ,/ а = 1 + а, д == В,— be = 1,丁7 ' / 产'с — у,或=1 — а.6z①=azf + P 一 7统 + о (a2,俨,72).6z①=azf + P 一 7统 + о (a2,俨,72).(2.6.27)(2.6.27)

инвариантно, как легко равованиях. Устремляя, ражение

инвариантно, как легко равованиях. Устремляя, ражение

убедиться, при дробно-линейных преоб-

например, zi f 么2, мы видим, что вы-

убедиться, при дробно-линейных преоб-

например, zi f 么2, мы видим, что вы-

（气- %）（勺一名J

（气- %）（勺一名J

(2.6.26)

(2.6.26)

также инвариантно относительно (2.6.21). Теперь, чтобы выделить объем группы Мёбиуса, возьмем три произвольные точки, наиример Zn-i, zN, zi, и выразим интегрирование ло dzidz^—idzw через параметры группы Мёбиуса. Общий вид бесконечно малого преобразования Мёбиуса есть, например,

также инвариантно относительно (2.6.21). Теперь, чтобы выделить объем группы Мёбиуса, возьмем три произвольные точки, наиример Zn-i, zN, zi, и выразим интегрирование ло dzidz^—idzw через параметры группы Мёбиуса. Общий вид бесконечно малого преобразования Мёбиуса есть, например,

"勺+ b czi 十 а

"勺+ b czi 十 а

т. е.

т. е.

, ,/ а = 1 + а, д == В,

— be = 1,丁7 ' / 产'

с — у,或=1 — а.

, ,/ а = 1 + а, д == В,

— be = 1,丁7 ' / 产'

с — у,或=1 — а.

6z①=azf + P 一 7统 + о (a2,俨,72).

6z①=azf + P 一 7统 + о (a2,俨,72).

(2.6.27)

(2.6.27)

Вычисляя с помощью этой формулы якобиан перехода от z” Zn—i, zn к а, 0, 7, находим

dzi d^_i dz№(^— zi) (zn — Znt) (znt — Zi)dccd^dY, (2.6.28) где мы выбрали знак якобиана в соответствии с принятым упорядочением. Таким образом, мы можем сделать следующую замену в подынтегральном выражении：

=dadpdy (zN — zx) (zN^x — zjg» — zn—工). (2.6.29) Выражение в квадратных скобках, равное элементу объема грум- пы Мёбиуса, инвариантно, согласно (2.6』26), относительно дробно-линейных преобразований, поэтому оставшаяся часть подынтегрального выражения, умноженная на (z^ — Zn—i) (z* — zi)X X(2n~i ——2i), также должна быть инвариантной. Теперь мы можем зафиксировать три точки zN, Znt, zi и «проинтегрировать» по da d^ d^, иными словами, просто опустить эту бесконечную константу, ни от чего не зависящую. После чего мы получаем

2

Z(占...6n)=九" r u dz£(zz — zw-工)(zw -z工)X

X (z»7 — Zi) Ц ⑵一Z。"2(2,6.30)

Аашлитуща (2.6.30) и есть знаменитая амплитуда Кобы ——Нильсена [55] — дуальная Д^хвостка. Рассмотрим ее подробнее в лро- стешпем случае рассеяния 2 f 2. Удобно выбрать

24 == °°> 2з = 1, Z1 = 0.(2.6.31)

В пределе z4 f 8 мы имеем

厶(包储)f f dzM就丁F「gf 3%(1 -z2厂%*尚%. (2.6.32) 0

Используя kl = — 2, мы убеждаемся, что (2.6.32) конечно и равно

А(кг . /с4)= J d" (1 — 2厂％餐2一勺也.(2.6.33〉

о

Введем стандартные переменные i =(應 + 左з)、 s =(禽 + fe)2 = =(左3十左4)‘ и восстановим размерность, вводя в экспоненту фактор 2a'. При этом масса тахиона есть ——1/a'. Тогда амплитуда, выраженная в терминах обычных размерных величин, приобретает вид

А (В，7&，勺,储)=J dH (1 — ^-«(t)-lx-a(s)-l =0

В (— a (0，- a(s))=斗荐爲工謠()2(2.6«34)

где a(s) =<zo + a's, ao = 1 в соответствии с требованиями ло- ренц-инвариантности и отсутствия духов. Мы получили амплитуду Венециано [54], которая была угадана им в 1968 г. и дала толчок всему развитию дуальной (струнной) теории. Благодаря нулям Г-функции амплитуда Венециано имеет бесконечное число эквидистантных полюсов в обоих каналах.

Нам осталось доказать, что общая амплитуда Кобы ——Нильсена имеет правильную структуру полюсов. Этим мы займемся в следующем параграфе.

§ 7. АЛГЕБРА ВИР АЗОРОИ ОТЩЕПЛЕНИЕ ДУХОВЫХ СОСТОЯНИЙВ ДРЕВЕСНЫХ ДИАГРАММАХ

Нам предстоит не только выяснить свойства амплитуды Кобы —Нильсена, но и доказать, что в промежуточных состояшях на массовой поверхности * нет духов. Мы знаем, что благодаря условиям Виразоро духов нет в спектре свободных струн, одна' ко далеко не очевидно, что В1заимодействие оставляет это важное свойство в силе. Прежде чем приступать к анализу а мили- туды Кобы — Нильсена, полезно прояснить роль алгебры Виразоро. Напомним, что скобки Пуассона классических условий свя)з0 имели вид

{^n, EQ =(?2 — тп)Ln+m^(2.7.1)

а при квантовании в коммутационных соотношениях Ьл появилась с-числовая аномалия, вызванная нормальным упорядочением

£工71, £тп]==(九 Z7Z)j^n+m + 名~ " ("2—- 1) &nt~m*(2.7.2)

Форма аномалии, как нетрудно показать [145], диктуется тождеством Якоби на ооогераторы Виразоро.

Мы определили фвгзические состоя/ния согласно

Enlphys〉= O,九 >0,(273)

(£力一1) lphys> — 0.

Важным свойством алгебры Вирнооро оказывается то обстоятельство, что для п == 0, 士А аномалия равна нулю. Таким образом, операторы 厶，厶，厶т образуют замкнутую noiqantreSpy, являющуюся обычной алгеброй Ли:

[厶(h *]==-上1,

[乙о,乙_i] = £—i,(2。7。4)

[厶，Z—i]=2£o・

* Теория струн в основном развивалась в рамках 5-матричного Продолжение дуальных амплитуд -°значительные трудности и пока что* Теория струн в основном развивалась в рамках 5-матричного Продолжение дуальных амплитуд -°значительные трудности и пока чтовне массовойвне массовойнодхода.нодхода.поверхности встречаетповерхности встречаетизучено довольно плохо『269].изучено довольно плохо『269].

* Теория струн в основном развивалась в рамках 5-матричного Продолжение дуальных амплитуд -°

значительные трудности и пока что

* Теория струн в основном развивалась в рамках 5-матричного Продолжение дуальных амплитуд -°

значительные трудности и пока что

вне массовой

вне массовой

нодхода.

нодхода.

поверхности встречает

поверхности встречает

изучено довольно плохо『269].

изучено довольно плохо『269].

Нетрудно сообразить, что эта алгебра Ли совпадает с алгеброй sZ(2, А), т. е. алгеброй Ли трехмерной группы Лоренца SO(2, 1), причем Е±1 играют роль повышающих и понижающих операторов. Благодаря обращению в нуль аномалии при п =—1 мы можем выбрать вакуум sZ(2, R) инвариантным способом, добавляя к (2.7.3) условие

乙“ C卩（加，z）. мы乙“ C卩（加，z）. мытен-тен-Ет10〉=0・ (2.7.3')

乙“ C卩（加，z）. мы

乙“ C卩（加，z）. мы

тен-

тен-

Рассмотрим оператор

Т = 1 + 21 L^ni

(2.7.6)

где £„-бесконечно малые параметр- Оратор образом Действуй на 券片^ ；J ；十 §匕

Т следующим

(2.7.7)

(2.7.5)

Вернемся к коммутационным соотношениям имеем

[Ди V (Л, z)] = zn (z ^-J V (* z).

6V = 2 ed (z 窑-哆)р(m z)・

Сумма в правой зор i, который приСумма в правой зор i, который причасти имеет следующей смысл: рассмотрим конформных преаоразованиях

Сумма в правой зор i, который при

Сумма в правой зор i, который при

/、(2.7.8)

пр еабразуется катк fc-дифференциал t(z) (dz)h = inv,

…1吁偿户(办(279)

Отсюда при тфинизтапьных преобразованиях переменной z

(2.7.11)говорят, тен- коиформных(2.7.11)говорят, тен- коиформныхмы получаем,

(2.7.11)

говорят, тен- коиформных

(2.7.11)

говорят, тен- коиформных

t (или, как частоH(j迎 ннтезЕймаль五 ыхt (или, как частоH(j迎 ннтезЕймаль五 ых6% = 2＞必"卜^•+九5+1)卜(办

t (или, как частоH(j迎 ннтезЕймаль五 ых

t (или, как частоH(j迎 ннтезЕймаль五 ых

Таким образом, fe-дифф ер енциал зор веса h) преобразуется при и

* В случае открытых струн переменная z вещественна, однако для замкнутых струн, когда частицы могут излучаться из любой точки струны (т. е. о =/= 0, я), г естественно оказывается комплексной величиной. Имея в виду возможные обобщения на случай замкнутых струн, удобно с самого начала рассматривать произвольные конформные преобразования.

преобразованиях согласно (2.7.1.1). Чтобы сравнить законы преобразования (2.7.11) с (2.7.6), нужно слегка «подправить» V(к. z), введя новую вершину

и (z) = z^kV (^.(2.7.12>

Коммутационные соотношения U (z) с оиераторами Виразоро будут, разумеется, такими же самыми, а из (2.7.6) мы получаем 6〃 = £ enzn 卜备—胪里尹]U.(2.7.13)

Таким образом, вершины U(2) (卩(z)) преобразуются как теврзо- ры веса —fc2/2 при конформных преобразованиях (скалярная / 2

функция z , конечно, не меняет веса вершины), т. е. оператор Ln генерирует конформное преобразоваиие

Z f z + £2n+1.

С другой стороны, мы можем реали1ао®ать алгебру конформных преобразований обычными дифференциальными операторами

г^n+1 d

厶前，(2.7.14)

[Zn, i-m] — (^ — TH)Ln+?n，

однако эта алгебра ссивпадает с алгеброй Виразоро только с точностью до аномалии. Особый интерес представляет подгруппа Мёбиуса, для которой аномалия исчезает. Она, согласно (2.7.4), задается операторами L^^ 工±匕 т. е. проивв о льное преобразование Мёбиуса генерируется оператором

(2.7Л5)(2.7Л5)7 = 1 + &_[£_] + e^Zo + £i 厶，6z = 8-1 + Eg + SiZ2.

(2.7Л5)

(2.7Л5)

Эта формула совпадает, разумеется, с (2.6.27), выведенной из явного вида преобразований Мёбиуса. Мы видим, что груоша Мёбиуса изоморфна трехмерной группе Лоренца,——хорошо известный факт теории групп Ли [149, 151]. Подчеркнем очень важное обстоятельство: имея алгебру генераторов Lo, £±匕 мы, не задумываясь, построили из нее группу, например обычным экспоненциированием. Разумеется, такой процесс является законным: хорошо известно, что каждой алгебре Ли соответствует группа Ли, однозначно задающаяся коммутациоиными соотношениями алгебры. Однако этот факт имеет место только в конечномерном случае. Бесконечномерным алгебрам в общем случае не соответствует никаткая группа Ли, в частности не существует «груилы Внраворо》[247].

Теиерь мы можем более глубоко обсудить конформные свойства амплитуды (2.6.15). Согласно (2.7.3), вакуум 10> инвари-

антен относительно действия оператора 7, но не инвариантен относительно произвольного генератора ксжформ；ных преобразований Т (2.7.6). Мёбиус-инвариантность вакуума и то обстоятельство, что амплитуда (2.6.15)

С Й[粤(0卜 出N, ZN)…卩(包,Zi) I 0>

при A:? = — 2 является конформной плотностью нулевого веса согласно (2.7.13), обеспечивают Мёбиус-инвариантность древесной диаграммы.

Роль конформной инвариантности в струпной теории долгое время была не совсем понятной. В частности, смущает аномалия в коммутационных соотношениях операторов Виразоро, которые, с одной стороны, являются генераторами конформных преобразований, а с другой ——не могут быть выражены через обычные генераторы Ln (2.7.14). Эта проблема была разрешена только после ложвления работы Полякова [70], показавшего, что суммарная аномалия оиераторов Впразоро полей Q^^) и духов обращается в нуль при D = 26 и в этой размерности конформная симметрия восстанавливается. Полные операторы Вираворо удовлетворяют тогда правильным коммутацианным соотношениям (2.7.14). В старом струнном (а ло сути дела, операторном дуальном) подходе роль D = 26 в восстановлении конформной симметрии очень завуалирована. Мы вернемся к роли конформной инвариантности в главе 5.

Рассмотрим, наконец, проблему факторизации амплитуды Кобы—Нильсена. Заметим, прежде всего, что, согласно (,2.7.15), оператор Zo является генератором дилатации

z-> az, или, поскольку 2 = е\ сдвига по времени. Найдем, исходя из уравнений Гейзенберга, вершину в нулевой момент времени, т. е. при z = 1:

V (к, z) = z%P (*, l)z~%.(2.7.16)

Это уравнение следует, разумеется, и из коммутационных соотношений

[%,卩(幺 z)] = z-^V(k,z).

Использование вершины V(к. 1) удобно для выраже'ни'я амплитуды в факторизованном ваде. Запишем вновь общую амплитуду Кобы — Нильсена с отфакторизованным объемом группы Мёбиуса и выберем zN = 8, Zn—i == 1, zi == 0. Мы имеем

厶(自...kQ =九* f Ц —(zn — zn—工)X

J i=2 i

X 0N二夕竺一气)<01 F (^N, zn)…V (自，Z1) 1 0>. (2.7.17)

Воспользуемся теперь формулами (2.6.10)— ===—2. Мы видим, что в пределе zi f 0, (2.7.17) конечно и равно'Воспользуемся теперь формулами (2.6.10)— ===—2. Мы видим, что в пределе zi f 0, (2.7.17) конечно и равно'(2.6.11) при kl =(2.6.11) при kl =Zn f 8Zn f 8выражениевыражение

Воспользуемся теперь формулами (2.6.10)— ===—2. Мы видим, что в пределе zi f 0, (2.7.17) конечно и равно'

Воспользуемся теперь формулами (2.6.10)— ===—2. Мы видим, что в пределе zi f 0, (2.7.17) конечно и равно'

(2.6.11) при kl =

(2.6.11) при kl =

Zn f 8

Zn f 8

выражение

выражение

J

N—2 dz

• 一 °(/，Zz) 10,后1>，z2《z3 ...《zw—2.(2.7.18)• 一 °(/，Zz) 10,后1>，z2《z3 ...《zw—2.(2.7.18)Ц 4f <°-包 I V з—1,1) 0(加后,ZN—2)

• 一 °(/，Zz) 10,后1>，z2《z3 ...《zw—2.(2.7.18)

• 一 °(/，Zz) 10,后1>，z2《z3 ...《zw—2.(2.7.18)

и т. д. Посколь-и т. д. Посколь-Подставим сюда V (毎，z2) = z^V (/, 1) z]%一‘) ку (% — 1) 10,左i〉= 0, мы имеем

и т. д. Посколь-

и т. д. Посколь-

大N J国"^〈。公用依『,1) z^V (电_2, 1) X

X (^Z?)。(后N-3,1)…传)° v(k2, 1)10,^. (2.7.19)

Здесь удобно ввести переменные Чана [104]

обратнообратно%N—2 — Zn—2, %N—з = ——~3 Z^—2%N—2 — Zn—2, %N—з = ——~3 Z^—2(2.7.20)(2.7.20)

обратно

обратно

%N—2 — Zn—2, %N—з = ——~3 Z^—2

%N—2 — Zn—2, %N—з = ——~3 Z^—2

(2.7.20)

(2.7.20)

TV—2

Zn-2 = HN-2, Zn-з = "N—2ZN—3…，纟2 = II g・ i=2

Якобкан перехода 0Tli 票 к 口 * равен единице. Легко ви-2^о™РМЛаСТЬ ИЗМенения всех параметров g есть [0, 1]. Отсю-

р N—2 dp

炉J口音〈。，証I卩(乃f 2) ^V询_2, 1) 4C

• • •旳° 卩(&, 1)1 0,勺〉=入N〈0, kN\V(kN^, 1) -^У^,, 1)х

X 4-1 .一卩(后2, 1) I 0,勺)(2.7.21)

Оператор

刀(?)=耳(卩；一,(2.7.22)

имеет полюсы на физи- (Ео — 1) lphys> 二 0. По-имеет полюсы на физи- (Ео — 1) lphys> 二 0. По-очевидно, играет роль пропагатора. Он скольку состоннзх，УДавлетваряющих

имеет полюсы на физи- (Ео — 1) lphys> 二 0. По-

имеет полюсы на физи- (Ео — 1) lphys> 二 0. По-

4_ 1 = 一^?2 + 2а-Пай-1 =_等(炉 —m№),

каждый пропагаторкаждый пропагатороператор D (р) совпадает при каждом р2 = Mn с обычным пропагатором частицы. Мы специально ввели илшульс р в определение (2.7.22), чтобы подчеркнуть, что 1_. ” 一二二

каждый пропагатор

каждый пропагатор

явно выра-явно выра-зависит от своего имлульса fc] + fe + ... A:i? согласно его располо

явно выра-

явно выра-

внутренних с массойвнутренних с массойжению в амплитуде (2.7.21), которая тем ерь имеет женную полюсную структуру, изображенную на рис. 11, и удовлетворяет условию факторЕозации [46].

внутренних с массой

внутренних с массой

Предположим теперь, что мы разрезали одну ив линий рис. 11 :и отобрали произвольное состояние 2(N — 1), которое мы обоаначим через |7V>* Все ли эти состояния физические? Легко видеть, что любое состояиие вида

IN, п> = L-n\N ~п>.(2.7.23)

[£д, L—n\ ,===九厶-п.[£д, L—n\ ,===九厶-п.где состояние \N ■—几〉имеет массу 2 (TV — п — 1), также имеет массу 2(N— 1). В самом деле, поскольку

[£д, L—n\ ,===九厶-п.

[£д, L—n\ ,===九厶-п.

условие на массу (£о— 1) W, "〉= 0 дает

(£(, — 1) L—n IN —九〉—L_n (тг — 1 + L^j | N —九〉—

=七一九 ^n — 1 ^ p2 + N — г2) I"-衣> =0,(2.7.24)

т. e.夕2 = 2 (TV ——1) и все состояния вида (2.7.23) вполне могут дав-ать вклад в лромежуточиые состояния на данном уровне N. В то же время все они являются шпуриюнными, поскольку не удовлетворяют условию Виразоро: LnlN,"〉干0 侬心а аномалии. Мы должны доказать, что все состояния вида (2.7.23) отщепляются. Для этого рассмотрим вклад пр ожв о льног о хппуриона (2.7.23) в прамежутотное состояние (2.7.21). Он задается мат- рггтаым элементом

〈N 一 " I e"厂(期，1) z 込二4 V (觀Т，1) • • •厂(加2, 1) I 0,包〉，(2.7.25>

где pj = Zci + jfc2 + • - • fci-i, “一1 =后1 + 左2 + "…宓i-2 и т. д. Доказательство отщепления проводится обычно с помощью следующего трюка: из (2.7.24) вытекает уравнение на состояние

(Lu(p)十 /г — 1) |N —厶〉=0,(2.7.26)

,2 = 2(N—£)" Позтому вместо состояния 〈N—n\Ln мы можем рассматривать тождественное с ним 〈N——п\ (Zn ——Zo ——"+1). Коммутационные соотношения операторов Виразоро с вершиной 卩(宓，1) имеют вид при к2 = —2

[Zn,卩(依 l)]^nV(k. 1),(2727)

'*[Ln-L0,卩(弘 i)] = nV(k, 1).

Отсюда

(乙一А —也十1)卩(例 1)=У(Аг, 1)(0 —io+l)：・(2.7.28)'

Далее, нетрудно проверить тождество

(£» — ^о + 1) 7,о — 1 = Ло 4-^ — 1('п —厶о —九 + 1)・(2.7.29)

Оно следует немедленно из коммутационных соотношений (2.72). В формулах (2.7.28)——(2.7.29) мы не выписывали иьшульсов, которые лри протаскивании операторов меняются соответствую- щим образом. Комбинируя (2.7.28) — (2.7.29), мы получаем важное тождество

(£* — Lo — n 4- 1) У (к, 1) % 丄 j =

11=0(m 1) T _ 4 (小一厶)-n + f)，0十丄

1

1

Т.Т.е. после протаскивания черев『依，1)尸二彳 оператор (Е件— —Ло — тг + 1) самоагроиикодитсяI Протаскивая его направо, мы иаходам после коммутации с последней вершиной 卩(丘2, 1) выражение

Т.

Т.

<7V — re ] У % + " _ 2 v % + 〃— j . . . V (Ln — Zo+ 1) | 0, А:工〉,

которое равно нулю в силу Z„10, &i> == (Д> — 1) SO, к^У = 0. Мы доказали, что все пшурионы (2.7.23) не дают вклада в промежуточные состожния дре(весной диаграммы. Доказательство от- щепления духовых состояний в петлевых диаграммах на старом языке дуальной модели очень сложно [93], и мы его приводить не , будем. Вообще в ранний период развития струйной теории петлевые диаграммы строились очень громаз1дкой процедурой сшивки. При этом их существенные черты, такие как модулярная инвариантность, были не очевидны. Мы вернемся к построению петлевых диаграмм на современном языке в рамках функционального интеграла Полякова в главе 5.

Глава 3

СПИНОВАЯ СТРУНА И СУПЕРСТРУНА

杳 1. ФЕРМИОНЫ В ДУАЛЬНОЙ ТЕОРИИ.МОДЕЛИ РАМОНА И НЕВЕ — ШВАРЦА

В предьгдущей главе мы установили, что бозонная струна обладает высокой степенью единственности. По-видимому, включение фермионов должно быть непростой задачей. Заранее вообще не дано, -возможно ли введение новых полей в жесткие рамки дуальной теории. Между тем без этого нккак не обойтись. Во- первыХ, фермионы существуют в природе и люба<я модель, пре- теидуюхцая на сколько-нибудь разумное описание физи1ческого мира, должна допускать в своих рамках существование фермионов; во-вторых, бозонная струна в любом случае не может считаться полностью удовлетворительной теорией, поскольку содержит тахион. Задача согласованного введения фермионо(в в рамки дуальной модели была поставлена и решена в 1971 г. Рамоном [59] и Невё и Шварцем [60], которые построили дава новых типа дуальной модели с критической размерностью, равно宜 10. В этой главе мы опишем построение феРМИОНЯЬ1х дуальных моделей и связанных с ними сузхерструн Грина ——Шварца.

Итак, одной из неприемлемых черт бозонной струны является наличие в ней тахиона. Как мы установили, тахион возникает благодаря бесконечной сумме нулевых мод осциллято1ро1в

—2 V

——2—N" которая после перенормировки вносит конечный от- рицателъный вклад ^— в апектр масс, так что энергия низ* шего состояни'я оказывается меньше нуля. Попытаемся избавиться от этой трудности, вводя фермионные переменные. Из курса квантовой теории поля известно [81], что при квантовании фермионов вакуумная энергия их имеет обратный даак по сравнению с бозонами. В сумерсимметрттаных теориях эта особенность выражается хорошо известным свойством суперсимметричных латравжианов [61]

纟= :2:,(3.1.1)

т. е. точным сокращением вакуумной энергии бозонов и фермионов, возЕтакаюгцей при взятии нормального упорядочения *.

蹲 Исторически суперсимметрия была открьтта как раз благодаря дуальной фермионной модели, так что здесь мы придерживаемся в педагогических целях скорее антиисторического подхода.

Соображения, основатаные на вычислении вакуумной энергии, действительны только в том случае, когда мы имеем дело с ①и- зи^ескими переменными, т. е. на световом конусе, поэтому введем на свет ежом конусе набор фермионных осцилляторов d«, на которые, по аналогии с бозонами, мы наложим следующие (анти) коммутационные соотношения:

(3.1.2)(3.1.2)[dn, d浦 + = 6"6rt,_m； [d^, а浦—0,

(3.1.2)

(3.1.2)

оде г, j = lt 2 …(。一2). Размерность пространства D нам пока не известна. Построим с их помощью гаммльтониан системы бозонов и фермионов обычным способом:

А = £ «-п«п + 2 ndl„d^. 九=工71=1А = £ «-п«п + 2 ndl„d^. 九=工71=1(3.1.3)(3.1.3)Мы предпопаЕаем вылолиение условия эрмитовости dV = dLn. Выйберем вакуум в видеd„ ] 0> == «п I 0> == 0,九 > 0.Тогда из (3.1.3) следует, что вакуумная энергия равнаМы предпопаЕаем вылолиение условия эрмитовости dV = dLn. Выйберем вакуум в видеd„ ] 0> == «п I 0> == 0,九 > 0.Тогда из (3.1.3) следует, что вакуумная энергия равна/8ОО \寸停у"=。,/8ОО \寸停у"=。,т. е. тахиона в спектреПостроим теперь с мионное поле 入"(а, т):т. е. тахиона в спектреПостроим теперь с мионное поле 入"(а, т):нет!помощью осцилляигоров d： свободное фер-нет!помощью осцилляигоров d： свободное фер-九;9，т）= S d^in^a\ 躅（6工）= £ （1忘1…+。）,九;9，т）= S d^in^a\ 躅（6工）= £ （1忘1…+。）,(3.1.4)(3.1.4)(3.1.5)(3.1.5)По построению эти поля удав л ет®ор яют граничным условиям^i (О, Т) = ^ (0, т),(3.1.6а)入；(л, т)=簿(л, т).(3.1.66)Нетрудно написать действие на световом конусе, которое давало бы гамильтониан (3.4.3). Для этого достато,чзао прибавить к действию бозонной струны (2.4.9) двумерное действие Дирака:S Н 一 2h" J "° J d0r [兄"④" + 执七a6a入1，立 0По построению эти поля удав л ет®ор яют граничным условиям^i (О, Т) = ^ (0, т),(3.1.6а)入；(л, т)=簿(л, т).(3.1.66)Нетрудно написать действие на световом конусе, которое давало бы гамильтониан (3.4.3). Для этого достато,чзао прибавить к действию бозонной струны (2.4.9) двумерное действие Дирака:S Н 一 2h" J "° J d0r [兄"④" + 执七a6a入1，立 0где мы ввели двухкомпонентный сшинор Я?=где мы ввели двухкомпонентный сшинор Я?=И ИСПОЛЬ'ЗО'И ИСПОЛЬ'ЗО'

А = £ «-п«п + 2 ndl„d^. 九=工71=1

А = £ «-п«п + 2 ndl„d^. 九=工71=1

(3.1.3)

(3.1.3)

Мы предпопаЕаем вылолиение условия эрмитовости dV = dLn. Выйберем вакуум в виде

d„ ] 0> == «п I 0> == 0,九 > 0.

Тогда из (3.1.3) следует, что вакуумная энергия равна

Мы предпопаЕаем вылолиение условия эрмитовости dV = dLn. Выйберем вакуум в виде

d„ ] 0> == «п I 0> == 0,九 > 0.

Тогда из (3.1.3) следует, что вакуумная энергия равна

/8ОО \

寸停у"=。,

/8ОО \

寸停у"=。,

т. е. тахиона в спектре

Построим теперь с мионное поле 入"(а, т):

т. е. тахиона в спектре

Построим теперь с мионное поле 入"(а, т):

нет!

помощью осцилляигоров d： свободное фер-

нет!

помощью осцилляигоров d： свободное фер-

九;9，т）= S d^in^a\ 躅（6工）= £ （1忘1…+。）,

九;9，т）= S d^in^a\ 躅（6工）= £ （1忘1…+。）,

(3.1.4)

(3.1.4)

(3.1.5)

(3.1.5)

По построению эти поля удав л ет®ор яют граничным условиям

^i (О, Т) = ^ (0, т),(3.1.6а)

入；(л, т)=簿(л, т).(3.1.66)

Нетрудно написать действие на световом конусе, которое давало бы гамильтониан (3.4.3). Для этого достато,чзао прибавить к действию бозонной струны (2.4.9) двумерное действие Дирака:

S Н 一 2h" J "° J d0r [兄"④" + 执七a6a入1，

立 0

По построению эти поля удав л ет®ор яют граничным условиям

^i (О, Т) = ^ (0, т),(3.1.6а)

入；(л, т)=簿(л, т).(3.1.66)

Нетрудно написать действие на световом конусе, которое давало бы гамильтониан (3.4.3). Для этого достато,чзао прибавить к действию бозонной струны (2.4.9) двумерное действие Дирака:

S Н 一 2h" J "° J d0r [兄"④" + 执七a6a入1，

立 0

где мы ввели двухкомпонентный сшинор Я?=

где мы ввели двухкомпонентный сшинор Я?=

И ИСПОЛЬ'ЗО'

И ИСПОЛЬ'ЗО'

валивалимайорановское представление двумерных матриц Дирака раг

вали

вали

(3.1.8)(3.1.8)

(3.1.8)

(3.1.8)

Здесь и далее индексы ос, 3 пробегают значения 1, 2 и нумеруют координаты мирового листа: 31 = &, д^^ да (обычно в метрике Минковского). Из (3.1.7) в :качестве уравнения движения для поля А/ мы получаем, разумеется, обычное уравнение Дирака

^■д^ = О,

откуда с учетом (3.1.8) мы видим, что Л^ (т, а) == ZJ (т — o')г 入；(р, о) = ^2 (т + о). Заметим сразу, что гранитные условия, возникающие при выводе уравнений движения из лагранжиана (3.1.7), допускают и второе, отличное от (3.1.6) решение,

а нменио:

%| (О, т) = м(о, Т),(3.1.10а)

А； (% т)=—猫(зт, тг).(3.1.106^

Одлако лри таких гратаичных условиях разложение решения в ряд Фурье (3.1.4) —(3.1.5) уже нежерно. Чтобы регаигть уравнения движения ссжмество с гр а ничны м и услсжнямн (3.1.10), введем новый набор антикоммутирующих осцилляторов 计，晋8 индекс г пробегает темерь полуцелые значения г s Z + 可, и запишем

Х1 (т, о) = 2 /-и?(3.1.11а)

戏 &о)=工瓏一"(3.1.116)

Разложение (3.1./11) теперь удовлетворяет гранингным условиям (3.1.40). Наложим на * обычные антйкоммутационные соотношения

[ь^ 困+ = 6力&S,[明或]=0 (3.1.12)

и рассмотрим вновь суммарный гамильтониан бозонных и фермионных осцилляторов, удовлетворяющих граничны'М условиям (3.1.11). Из дейстЕвия (3.1.7) следует

Н = £aLc4t + S rbLTb^.(3.1.13)

n=l1

2

Теперь вакуумная энергия равна

[_n=lт=1/2 J

«Рьжчисляя» конечную часть расходящихся сумм с помощью общей формулы (2.4.22), мы получаем

0 — 216 *

Таким образом, этот сектор фермионной модели также содержит тахион.

Модель с 〃^ -осцилляторами, не имеющая тахионов, была построена впервые Рамоном [59] и носит название струны Рамона, а модель с ^-осх^илляторами, содержащую тахион, открыли Невё и Шварц [60]. Следуя установившейся терминологии, мы будем называть ее струной NS. Ниже мы увидим, что обе модели тесно связаны меЖ1Ду собой, поэтому весь лагранжиан (3.1.7), содержащий в себе одновременно оба сектора, называется лагранжианом «сатиновой струны» или струны Рамона NS. Рассмотрим подробнее свойства обоих секторов.

Прежде всего, исходя из осцилляторов а^ и &^, мы можем построить два типа Ви раз о р о-*лодоб ных операторов. Пер(вый из них мы определим как обобщение гамильтониана (3.1.3) на случай произвольных п ((предполагая, 4To гамильтониан совпадает, как обьгаао, с нулевым оператором Виразоро), а в качестве второго возьмем единственно возможную билинейную но 磁,d комбинацию осцилляторов

(3.144)(3.144)En = -4Х O^n—mam: 4^ 2^ : 宏_m〃Ji：,

(3.144)

(3.144)

F п == ^S ^m^n—тп・

Коммутационные соотноигесния операторов Ln7 Fn между сабой описывают так называемую суетералгебру Вираеоро

【Zn, Z?n] = (" — m) Ln^_m 十-g-九("2 — 1) 6П1_m,

[£制,Fm] = (~g- — m) Fn+mi (3.1.15) [尸 71, Fm]+ — 2Z/n+m + 冬出3m,—?1・

Благодаря присутствию фермионов в операторах Ln аномалия в их коммутационных соотношениях имеет теперь другой коэффициент： 丁 九(九2 — 1) вместо 九(九2—1)в бозонном случае. Это при(водит к изменению KpiTTH'MeciKioH размерности.

Мы не вьши1СЬЕваем соответствующих операторов в секторе NS： можно показать, что после тривиального лереопределгаия они удовлетворяют тотао такой же алгебре, что и Лп, Fn.

Поскольку мы работаем сейчас на световом конусе, для проверки самосогласованности построеннных моделпей мы должы выяснить, удовлетворяют ли они условию Лоренц-'ковариантно- сти и когда. Изучение коммутационных соотношений генераторов группы Лоренца, которые в этом случае, разумеется, имеют епце более громоздкий вид, показывает [105], что Лоренц-ковариантность вьплолняется только в D — 10, причем константы нормального усаорвдочения должны быть в секторах Рамона и NS' соответственно 0 и —4/2, что совпащает со зна1чениями, вычисленными нами выше ив других соображетаий.

Олишем кратко ковариантное квантование сатиновой струны в той мере, в какой мы можем сделать это, не зная пока кова- риантното лагранжиана. По аналогии с чисто бозонным случаем мы имеем теперь поля %"(о, т) и %»(о, т), где ц = 0, 1... (D — —1) и А"——набор из 卩 штук двумерных спиноров. Разлагая 化田 и ки ло осцилляторным переменным и вводя вакуумное состояние 10, ?п2 = 0> в модели Рамона и |0, т2 = —1/2> в модели NS, мы можем определить пространство Фока:

»-«]. ■ • - at%"%] . . . d缥為 | 0, ?n2 = 0>, (3.1.16)' а\ .. . а上2% . . . b^rk I 0, тп2 = — 1/2>. (3.1.17)

Как доказано в работах [83, 106, разоро, а именно:Как доказано в работах [83, 106, разоро, а именно:107], обобщение условий Ви-107], обобщение условий Ви-Zn]phys>=0,九> 0,产nlphys〉=o,"NO,Eolphys〉=0,Ramond,(Zo — 1/2) lphys> = 0, NSZn]phys>=0,九> 0,产nlphys〉=o,"NO,Eolphys〉=0,Ramond,(Zo — 1/2) lphys> = 0, NS(34.18)(34.18)

Как доказано в работах [83, 106, разоро, а именно:

Как доказано в работах [83, 106, разоро, а именно:

107], обобщение условий Ви-

107], обобщение условий Ви-

Zn]phys>

=0,

九> 0,

产nlphys〉

=o,

"NO,

Eolphys〉

=0,

Ramond,

(Zo — 1/2) lphys> = 0, NS

Zn]phys>

=0,

九> 0,

产nlphys〉

=o,

"NO,

Eolphys〉

=0,

Ramond,

(Zo — 1/2) lphys> = 0, NS

(34.18)

(34.18)

отщепляет из спе*ктра (3.1.16) — (3j1.17) все состояния с отрицательной нормой и спектр Iphys〉содержит только состояния с положительной нормой при D = 10.

Таким образом, в D = 10 мы получаем две новые дуальные модели, которые вместе с D = 26 бозонной струной исчерпы(ва- ют стгисок физически интересных струнных теорий *. Заметим,, однако, что в этой главе мы рассматриваем только невзаимодействующую спиновую струну. Построение взаимодействия для нее, в частности аналога вершины 卩(左,z) испускания фермиона в секторе Рамона, натолкнулось на значительные трудности^ которые в первые годы развития теории обходились исключительно сложными построениями [108]. Проблема фермионной

вершины была понята лишь совсем недавно в работах [109? ЦО]. Более подробное обсуждение этой интересной темы увело 6м нас за рамки настоящей книги.

Изучим спектр стигновой струны. В частности, до сих лор мы не выяснили даже, какими состояниями являются вакуумы [0, тп2 = 0> и 10, /и? = —1/2>. Нас интересуют, разумеется, лро- странственно-временны^, т. е. десятимерные, свойства ссгстояний, о которых двумерные слиноры 九"мало что могут сказать. Рассмотрим вначале спектр Рамона. Заметим прежде всего, что осцилляторы d术 имеют нулевую моду d^, которая, согласно (3.1.2), удовлетворяет аЕгтикоммутацио1иным соотношениям.

[<^,d"+ = _n叫(3.1.19)

Таким образом, do пропорционально уц ——десятим-ерной ^-матрице, Это обстоятельство является решающим для определения спектра Рамона. Из (3.1.15) мы находим

Ро = 2Д),(3.1.20)

причем У7。，согласно (3.1.14), имеет вид 尸о = р模端 + …一 Таким образом,戸о оказьнвается, согласно (3.1.29), квадратным корнем из гамильтониана, т. е. аналогом оператора Дирака. В своей оригинальной работе [59] Рамон исходил как раз из идеи построения бесконечномерного аналога оператора Дирака. Физгн- ческие состояния должны удовлетаорять условию

招,I phys> = (р^ + ...)| phys> = 0

и, отевидно, являются фермионами. Выберем в качестве вакуума низшее состояние с нулевой массой

10, тп2 = 0〉= |0〉〃(р), р2 = 0,(3.1.21)

где и(р)——некоторый с~числовой спинор (коммутирующий). Условие 協丨0, т2 = 0> = 0 сводится к уравнению на апжнор и(р)

丫序配(р)=0,(3.1.22)

т. е. обычному безмассовому уравнению Дирака. Вакуум сектора Рамона оказывается лр остр аист® енно-в р ем е нньгм (десятимерным) спинором. Поскольку все состояния пространства Фока сектора Рамона должны удов л етв орять аналогу уравнения Дирака 尸olphys〉=O, все они оказываются фермионами. Таким образом, действие двумерного фермиона dn на состояние не меняет- его пр остр анств ен н о-вр е менны х десяттгмер ных свойств. Это и в са- мом деле довольно необычная ситуация. Наконец, вд вида гамильтониана (3.1.3), содержащего только осцилляторы с целыми уровнями энергии, легко заключить т что все состояния (ЗЛ.16) в секторе Рамона имеют иелую неотрицат^ельную массу.

Перейдем к спектру модели NS. Здесь (шераторы Ь： описываются полуцелым уровнем энергии г и, в частности, не имеют

нулевой моды. Это обстоятельство радикально

меняет свойстваменяет свойстваспектра. Вакуумспектра. Вакуум10, тп2 = —，1/2〉10, тп2 = —，1/2〉удовлетворяет условию ^Ао ——у^ | О, ?п2 =——1/2> = 0, которое, как легко видеть, является уравнением Клейна — Гордона для частицы с массой, равной т2 =——4/2. Таким образом, вакуум и все состояния в секторе NS оказываются бозонами. Не случайно модель при своем пояовлении была названа «дуальной пионной моделью» и предназначалась для описания сильных взаипиодей' ствий пионов и резонансов тшпа з, р.... В настоящее время ясно, что к реальным си'льным взаимодействиям она имеет мало отношения, хотя в начале 70-х гг. нередко с успехом к ним применялась.

меняет свойства

меняет свойства

спектра. Вакуум

спектра. Вакуум

10, тп2 = —，1/2〉

10, тп2 = —，1/2〉

Действуя на вакуум | 0,1~〉оператором ^匕修，MbI получа

ем безмассовое векторное состояние

11,0〉= 8^1/2!0, — 1/2>,(3.1.23)

где £“ 一 обычный вектор поляризации. Это состояние тривиально удов летаоряет условию Виразоро (£о—1/2) 11, 0> = 0, другое ясе сущестаенное условие Gi^l 1, 0> = 0, где оператор Gi* имеет вид

^1/2 —(坤/2а# 十..•)к 6f/2р" + ..- >

дает уравнение р^е^ = 0. Состояние 11, 從 = 0〉оказывается, как и в бозонной струне, безмассовым калибровочно-инвариаятльш векторным бозоном. Заметим, что, пользуясь уже 31PHMенлвшши- ся в случае бозонной струны нестрогим аргументом, мн мож'ем и в данном случае определить крЕггигаескуво размерность модели NS из требования безмассовости поиеретаного векторного состояния. В самом деле, масса тахиона в секторе NS равна 16~，отсюда масса векторного бозона (3.1.23) есть

1 D— 2 jo —£)"216 — = —16 —*

Лоренц-инвариантность требует, нтобьг иолеречное векторное состояние было бе(31массовым, отсюда D = 10. Очевидным отличием спектра модели NS от спектра модели Рамона является присутствие в нем состояний как с целым, так и с полуцелым квадратом массы. Состоя^ния, получающиеся действием нечетного числа операторов b吃「и произвольного числа операторов сс—п на вакуум, имеют целую массу, в то время как состояния с четным числом ^-возбуждений имеют полуцелую массу. Удобно ввести операторы, разделяющие обе серии. Для этого, следуя Не®ё и Шварцу, припишем вакууму квантовые числа физиЕгческого пиона, а именно псевдоскалярную четность и отрицательную С-четность.

Определим далее оператор G-четности Невё —— Шварца согласно

G = —(—I)"'(3.1.24)

Поскольку в экопсхненте стоит оператор тасла частиц Ь, то, действуя на фигзилеские состояния, оператор G разделяет состояния с четным и нечетным числом &-(возбуждений согласно

G1 Phys〉= (— 1 产+11 phys>.

В частности, вакуум в соответствии с нашим выбором знака в (3.1.24) имеет отрицательную G-четность. Введем тааерь проекторы

0土 К告(工 土 G).(3.1.25)

尸+, действуя на физические состояния, отбирает башню состоя- ний с целой массой, в то время как проектор Р_ отбирает со* стояния с полуцелой массой. Эти операторы понадобятся нам ниже при обсуждении проекции GSO и вычислении однолтетле- вой статсуммы.

КОВАРИАНТНОЕ ДЕЙСТВИЕ СПИНОВОЙ СТРУНЫ

При введении спиновой струны мы использовали лагранжиан (3.1.7) на свето(вом конусе. Очевидно, его нельзя обобщить на ковариантный случай, просто распространяя суммирование с D — 2 поперечных коматонеит на D ковариантных компонент, так как мы хорошо знаем, что выражение д^д^. р, == 1, 2...D, не является лагранжианом струны. Поэтому задала ковариантного обобщения лагранжиана (3.4.7) далеко не тривиальна, и она была решеиа только после (построения четырехмериой N=1 сулеграъжгации [112]. Оказалось, что искомый ковариантный лагранжиан суперструны, приводящий к действию (3.1.7) и калибровочным условиям (3.4.15) в ковариантной калибровке, представляет собой не что иное, как двумерную супергравитацию, связанную с «полями материи^ в виде струнных полей n"(o, т) и ^(и, т). В этом параграфе мы лридерживаемся праг- матического подхода и не будем излагать соображений, приведших к посроению ковариантного лагранжиана, имея в виду также, что нам пршдется обсуждать его еще раз в главе 5 лри квантоватги бозонной струны по Полякову. Поэтому мы просто вьшишем его и рассмотрим его свойства.

Ковариантный лагранжиан сушерструны, построенный в работах Бринка, Ди Векья, Хоу [ИЗ] и Дезера, Зумино [144], имеет вид

S =—言 j dodpe [g°=力а#Нв状 + ie^ad^ +

+ e 昵那 apbp 玖"Rb# + 4 入“屮 в)]・(3.2.1>

Здесь в?——двумерная тетрада с двумерными криволинейными индексами а, § и плоскими двумерными индексами а, %; ц, v —— пространственно-временные иидексы, ц, v — 1, 2 .. . 10; ga^= =s^eg, е = det е^ == (det ga₽)1/2- Поля 屮仪 являются двумерным гравитино. Лагранжиан (3.2.1) инвариантен относительно общекоординатных иреобразовакий Of/(5 t)，工 fg(5 e), "。~ ренц-преобразований в 10-мерном пространстве, локальных ире^ образований сугрерсимметрии

(322)、(322)、6力開==Ха九匕 6或=—2Zap°Wa,6ХИ =(九方" + 加* за)р*а, 5w6 =-必aи вейлеаских преобразований

(322)、

(322)、

(323)(323)力N f 力、 %N f A-"2 (d工)入气苑 f(о, т)或，屮в~> А”？ (о, T) @B・

(323)

(323)

Кроме того, благодаря двумерному тождествjr

(3.2.4)(3.2.4)“apbpa = 0 действие не меняется при замене

(3.2.4)

(3.2.4)

2& f % + раф.

Лагранжиан (3.2.1) необыден в том смысле, что поля ej и 2a являются неданамтесютмн, так как входят без производных. Поэтому уравнения движения на е^ и 屮а оказываются -уравнениями связи. Покажем, что эти свжи приводят в рамках ковариантного квантования к суиерусловиям Виразоро (3.1.18). Ва- ртация действия (3.2.1) но £^ дает связь

П = 0,(3.2.5)

где 7"а — тензор етертии-имиульса, а по 屮°

а"рар% _ 等入既口р^рВ% = о.(3.2.6)

Используя симметрии действия (3.2.1), можно показать [113, 114], что оно допускает выбор так назькваемой суп1еркоиформной калибровки

gap = е1/2П«Р,

屮a =Pa<P，(3.2.76)

В которой ЗаВИСИЕМОСТЬ действия от полей 题(gab) И 2a полностью исчезает, и мы получаем для действия выражение

^supercont =—盡，dodr [д^д^ + ^цра5аХц].(3.2.8)

Связи (3.2.5)—《3.2.6)： тгр-иыимают теперь ввд

0(х①%В重" + 认“раав入"^"11邓(8雜)2 = 0，(3.2.9)

pap'^x 化叽А = 0.(3.2.10)1

Мы легко поймем смысл условия (3.2.9), если на минуту опустим поля 九匕 тогда оио глахзтгт:

0疗а毋со т]a餡

仇①》% 浒=0,(3.2.11)

(д^ + (02汾2『0.(3.2.12»

Условия (3.2.44) — (3.2.12) есть обыскные ка-либровочные условия для бозонной струны, приводящие, как мы знаем, к условиям Виразоро в методе ковариантного квавзтования.

Упражнение. Используя разложение 化к и %» в рад по гармоническим осцилляторам, показать, ^гто условия (3,2.9)—• (3.2.10) приводят к уравнениям (3.1.18), причем условие (3.2.9)' дает условие на Ln, а (3.2.10) — иа Fn и операторы супер алгебры Виразоро £* и 尸7t задаются разложениями (3.1.14).

Условия (3.2.7) не полностью фик!скруют калибровку. Лагранжиан (3.2.8) инвариантен относительно конформных, т. е. аналитических, преобразований коордигнан (в евклидовой области)

z = о + 玩 f f(z) •(3.2.43)

Кроме того, условие (3.2.76) допускает остаточную группу локальных аналютических суперятреобразований [70]. Используя эту свободу, можно избавиться от продольных и временных компонент полей 支“ и V, положив 九+ = 0 п х^ (о, т) ~ х+ ^ р^х, после чего лагранжиан (3.2.8) принимает в碎(3.1.7). Таким образом, ковариантлый лагранжиаи суперструны (3.2.1) в ковариантной калибровке дает нам суперусловия Виразоро, а в калибровке светового конуса, где все связи полностью разрешены, мы получаем простой лагранжиан (3.4.7). Заметам в заключение, что лагранжиан (3.1.7) инвариантен относительно преобразований глобальной двумерной суперсимметрии на мировом листе. Эта симметрия, названная первоначально не совсем корректно «суперкалшбровотной» [248], и привела к открытию пространственно-временной суперсимметрии [61, 62], которая 卫 настоящее время составляет основу для построения Единых Теорий Поля.

ПРОЕКЦИЯ GSO

Спиновая струна, построенная в двух предыдущих параграфах, несомненно, может вызвать неудовлетворение по многим причинам. Мы использовали странные поля Xй —(щ>остранствен- но-временные векторы и двумерные фермионы; их появление

лишь косвенным и не совсем понятным образом влияет на спектр^ который может быть как чисто фермионным, так и чисто бозонным. Последний из них, сектор TVS^miee笠 вдобавок в своем спектре тахион; наконец, мы хотели бы лучше понять ПР°' странственио-временные свойства спиновой струны, в частности решить вопрос, можно ли определить с ее помощью суперсимметричную в О = (0 модель струны. На эти вопросы (хотя и не до конца) ответила работа Льоцци, Олайва и Шерка [69] (GSO), которые показали, что из всего опвктра состояний спиновой струны можно согласованным образом отобрать суперсимметричный спектр без тахионов. Процедура отбора получила название «проекции Лъоцци, Шерка, Олайва», сокращенно —«проекции GSO». Этим общепринятым названием мы и будем пользоваться.

Для введения ее наломним определение проекционного оператора Р+ в модели NS:

e ь-T匕 T

Р+ = (1 + G) =1 — (— I)1"(3.3.1)

Действуя на физические состояния, Р+ отбирает состояния с целой массой, в частности

Р+10, т2 = —<1/2 > = О, т. е. в секторе модели NS, полученном действием проектора 尸十 на все пространство Фока, тахиона нет. Низшим состоянием в этом секторе является безмаосовый поперечный вектор

)1,0> =产 5) b%/2 I 0, m2 =—力2〉，"产=0,加=о.

На световом конусе в Z) = 10 состояние ! 1, 0〉имеет, как обычно, 10 — 2 = 8 компонент. Рассмотрим низшее состояние Ю, р> и и(р) в модели Рамона. Оно, как мы установили, является 10-мерным спинором и имеет 210/2 = 32 неза.виси'мых (вещественных) компонент. В общем случае можно уменьшить вдвое число компонент, взяв в качестве нивтпего состояния вейлевский или майорановский спинор, что возможно в любом четномерном пространстве. Авторы [69] показали, qTQ в пзространстве размерности /)= 8左 + 2 можно одновременно наложить на спинор условие майорановости (вещественности) и вейлевости, что уменьшает число компонент в & раза. Таким образом, если в качестве низшего состояния сектора Рамона в D — 10 выбрать майорана-вей- левский спинор, то оно также будет иметь 8 компонент. Совпадение числа бозонных и фермионных компонент в вакуумных состояниях бозонного и фермионного секторов ——первый признак суперсимметрии. Однако это свойство нужно проверить на всех уровенях каждого сектора. Для проверки вычислим статсуммы в обоих секторах и покажем, что они совпадают.

В секторе Рамона статсумма есть

ZR (q) = 8 Тг Q,'=工 dfj (zz) qn(3.3.2)

где мы учли 8-кратное вырождение основного состояния, в то время как в секторе NS мы получаем с учетом проекции GSO

ZNS = Тг 4 (1 + G) qHNS == 2 d^s (n) ?n.(3.3.3)

Здесь dB(n) и dNS (n) — числа заполнения на каждом уровне. Га- ми льтони а ны HR и HN8 мы уже определяли:

Hr = & «1па^ + W ndindL(3.3.4)

n—1n=l

ooоо

Hns= 2 &，<4 + 2 гЪ-^ - 4-(3.3.5)

n=lГа=1/2

Поскольку операторы а方 и dn (&г) действуют в разных гильбертовых пространствах, мы можем вычислять части статсуммы, обусловленные бозонными и фермионными осцилляторами, отдельно. Очевидно, что бозонная часть статсуммы для обоих секторов совершенно одинакова. Собственно говоря, мы ее уже знаем (см. (2.5.20)). Поскольку в данном случае мы имеем 8, а не 24 поперечные компоненты 力* бозонная часть статсуммы Zx равна кубическому корню из Z (2.5.20), т. е.

% ⑷=尸/з п (1- g")-8.(3.3.6)

n=l

(3.3.7)(3.3.7)Тогда полная статсумма в каждом секторе есть Za(4>= Zx(g)Zd(g), Zzg (g)i= Zx{q)Zb(q).

(3.3.7)

(3.3.7)

оде статсуммы Zd и Zb задаются теперь только фермионными осцилляторами й и &. Эти статсуммы также легко вычи1слить. Выпишем фермионные гамильтонианы

區=£ ndind； + 告，(3.3.8)

n—1

Я^= 2 ^-r&r —4-(3.3.9)

Константы 1/3 и ——1/6 подобраны жз тех соображений, чтобы полный гамильтониан давал правильное условие на массы Eolphys> = 0 и (^0 — 4) I Phys〉= 0 соответственно. Мы предоставляем читателю возможность самостоятельио проверить их с помощью формулы (2А.22). Для вычисления следов заметим, что в след

Tr jLm4t 三〈〃 II n>(3.3.10)

и аналогичный для осцилляторов Ьг в®вду фермионной приро,ды 〃^ (廿) могут давать вклад только числа заполнения 0,1, так что мы имеем

|п〉= |。〉，<^—m I 0>.

Отсюда в секторе Рамона мы находим, учитывая, что все I пУ — фермионы, так ито не возникает ра：зности в знаке из-за различи ной статигстики |0>, ^Lm | 0> (ср. [48])

П 广亡皿战=& + ‘Tn).(3.3.11)

Произведение по всем j дает восьмую стеоаень; беря, наконец, произведение по всем т и учитывая 1/3 в (3.3.8), мы находим

Zd(?) = 8^1/3 П (1 + qn)K(3.3.12)

71=1

Комбинируя это выражение с (3.3.6) — (3.3.7), получаем лолную статсумму сектора Рамона, редущигроЕванното но GSO:

Zr(?) =立(尹W)：(ЗЗ&З)

7i=l \ 1 — q /

Статсумма Z"?), отв-егчающая гамильтониану H%s (3.3.9), есть

2&(^) = |Тг[1-(- 1 产二吋厂歸(3.3.14)

и вычисляется совершенно аналогично, только теперь «частоты» осцилляторов, т. е. числа г в сумме 廿尸少二方宾一по：луцелые. Мы получаем, беря проекцию GSO и умножая статсумму осцилляторов Ъ на Z* (3.3.6),

Zns(?)二-Ь^1L, (3.3.15)

2//2 h (1 一 宀)8

П—1

Статсуммы (3.3.13), (3.3.15) содержат в себе всю информацию о спектре секторов Рамона и NS. Числа состояний dR^n) и d^s(^) могут быть равны на каждом уровне только в том случае, если статсуммы (3.3.13) и (3.3.15) в точности совиадают. Оказывается, это и в самом деле так! Комбинаторное тождество, обеспечивающее равенство статсумм,

8П (1 + 次 ^-4^{п (1 + ^^)8-П(1-厂号)(З.ЗЛ6) 九=工2qW ln=i 'n^l丿

было известно еще Якоби [116—1.18] и носит его и»мя. Тождество Якоби часто записывают еще так:

成(0, т) + 优(0, т)=优(0, т)?(3.3.17)

где 0(2, т) — тата-функция Римана; q = ехр(2зтгт). В таком ваде его называют тож|де(ством Римана [117, 119].

Таким образом, на каждом уровне G-четного сектора модели NS и модели Рамона с майорана-^вейлевски1ми спинорами одинаковое количество состояний, соответственно бозонных и фермионных. Это серьезный аргумент в пользу того, что модель струны, включающая согласованным образом только отобранные проекцией GSO состояния, будет суперсимметричной в 7) = 10. Для согл ас ов а нн ости модели необходимо в любом случае условие и-нвариантности проекции GSO при взаимодействии. При зтом, например, должно быть запрещено рождение пары G-нечетных состояний в G-четном секторе. Подчеркнем, что проекция GSO не является единственно возможной проек1ци<ей, приводящей к согласованным струйным теориям. Можно построить модели, в которых секторы с G = +4 и G =——1 взаизмодейст®уют между собой [120—122], однако эти модели не обладают пространсгвен- но-временной суперсимметрией, хотя некоторые из них также не имеют тахион о® [122].

'§ 4. СУПЕРСТРУНА ГРИНА — ШВАРЦА

Спиновая струна, подвергнутая редукции GSO, не совсем ясна даже с точки зрения дуальной модели. Ее прос т(р а нс тв е нио - временные свойства, в частности 10-<мерная сушерсимметрия, сильно завуалированы, поскольку она п о-пр ежи ем у формуляру- ется в терминах полей 力、入隰 на мировом листе. Авторам [69] не удалось найти адекватный формализм для схпЕосания пространственно-временных свойств, и задача была решена через несколько лет Грином и Шварцем, которые в-начале в серии работ [74] построили лагранжиан суперструны на световом конусе, а затем нашли ковариантный лагранжиан [75]. Внешне сутаерструна Грина — Шва*рца вбеглядит просто, хотя выяснение ее саоиосогласованноюти, например подтверждение Лоренц-ковариантности, требует громоздких вьтислений.

Итак, нам нужно построить лагранжиан струны, который содержал бы только GSO проек(цию спиновой струны и не содержал бы ненужных состояний, в том числе и тахиона. С этой целью Грин и Шварц ввели фун(д амет1 а льный объект—'опинор SaA(о, т), который является сминором как на мировом листе (/ = 1,2), так и в пространстве-времени (индекс а). В 7) = 10 свободный спинор, удовл.етворяющий уравнению Дирака, имеет 2ю/2 = з2 в，ещестьенные компоненты; учитывая индекс Л, мы получаем, что слинор 5аА (А = 1, 2, а = 1, 2... 32) имеет 64 вещественные коъшоненты. В D = 10 мы можем, как и раньше,

наложить на 5°$ условие Майораны — Вейля, что оставляет нам 64: 4 = 16 компонент. Грин и Шварц предложили в качестве аналога калибровки светового конуса для бозонной координаты %+(g,T)=力+ + p+е еледующее услобле на №а:

(7+)^-==0, (3.4.1)

где у± = 丫° 士 丫久 Мы обозначили 10-.мерны(е ^-матрицы через % а двумерные будем обозначать как р. Определим coupяже-нный сашнор согласно

SAa = S+成(丫°) 2(Р°)石七 (3.4.2)'

Действие суперструны Грина — Шварца на световом конусе за、 шисывается как

S'。=—亲 J db dt [%X%aX‘ —君у-ра@а$] .(3.4.3)

Это действие инвариантно относительно преобразований глобальной 10-мерной суперсимметрии

6Si”W%X…，(3'・4)

где грассманов параметр суперсим-метрии £@厶 является также двумерным спинор ом и 10-мерньгм спинором Майораны—Вейля. Уравнения данжения на X' имеют обычный вид

ОаОаХ* = О,

в то времн как для S^ мы имеем уравнение

pa%S = О

или, в компонентах,

(3.4.5)

Отсюда мы получаем разложение по нормальным модам

S。工=£ S記一£小一6，

Т(3.4.6)

S&2 _ £ Sne~in^+G\

Чтобы выяснить, какие п допустимы в (3.4.6), мы должны рассмотреть гранигчные условия. Для открытой суперструны мы получаем, как обынио,

(3.4.7)'(3.4.7)'5О1 (0,七)=及2(0,七);

(3.4.7)'

(3.4.7)'

5а1 (л, т) = 1)№2 (л, т)',

где Л = ±1. Однако нам нужно выяснить, какой и：з выборо(в зяа* 芯& сохраняет суперсимметрию. Заржд суперсимметрии выводится из (3.4.3)——(3.4.4) нетеровской процедурой и раван

2 = * gw (ра%Х“) pOS] A。dCT. (3.4.8) о

Поскольку у+5 = 0, то компонента Х~ не входит 卫 определение 04°. В случае открытых струн требование сохранения глобальной су|Персимметр^ии приводит к тгр ебованиям ： 1) 刀 =+1, 2) £°1 = —£°2 и 3) киральности S°i и Sa2 должны совпадать. Заметим, что спиноры £口厶 определяют с точки зрения десятимерия ДА=2 супероимм^трию (/ = 1, 2), однако для открытых суперструн из-за требования 81 =——е2 выживает только 7V = 1 суперсимметрия и остается только одна сохраняющая ком|б^ияация суп ерз ар яд ив

0 = (0a + Q2a)/2

Таким образом, в разложении (3.4.6) суммирование идет по целым модам. Мы вернемся к классификации открытых и замкнутых сутперструн в следующем параграфа.

Каноническое кватятование опиноров S проводится способом, а^налоегкчным квантованию полей 仪北(/) в спиновой струне. Некоторое усложневше вн-оси'т лишь 1 Обмерная алгебра у-матриц- Предполагая, например, что обе компоненты S” и S。？——правые спиноры, мы находим

「S。可]—卜+(£ + &)产 к /а

1 "皿》也1+ — 2 I Ош,—(3.4.9)

тде S^ =(S^Y°)“. Гамильт-ониан системы мы найдем, подставляя разлож*ение (3.4.6) в лагранжиан (3.4.3), интегрируя по о и добавляя хорошо известный гамильтониан бозонных полей X*. Отсвет есть

(3.4.10)(3.4.10)Н = 2 (а上71a^ Ч—S—^y-S j — с

(3.4.10)

(3.4.10)

Как показали Грин и Шварц [74], требование Лоренц-ковариантности приводит к условию с — 0. Это же условие легко вывести обычным способом регуляризации с помощью ^-функции, рассматривая нормальное ynopHHaHeHne (3.4.10) с учетом коммутационных ■соотношений (3.4.9). Поскольку гамильтониан эрмитов и положительно определен в отсутствие констант нормального упорядочения, мы получаем М2 ^ 0 и тахиона в спектре супefpic-Tpуны Грина——Шварца быть не может. Отсюда следует, в частности, что ее спектр уже^ чем спектр спиновой струны. Грин и Шварк нашли пр еобр а зовани е, выр аж а юще е осцил-

ляторы Sn в терминах вершин июпускания фермиона в модеад Рамона. Мы отсылаем за деталями к обзору Шварца [48].

До сих пор мы работали с латратокианом (3.4.3) на световом конусе. Сущестъует ли ковариантный лагранжиан, приводящий к (3.4.3) после фиксирова-ния калибровки и разрешения всех связей? Таакой лагранжиан был найден в работе [75], хотя до сих пор не наапел себе применения. Дело в том, что этот лагранжиан содержит в себе условия связи, которые не могут быть разрешены лоренц-коварианатным способом [123], что делает про блематичной возможность его квантования. ПредтвринЕЕмаются попытки проквантовать его, вводя более сложное сумерпростран- ство [124], пpиcyщefe расширеннььм теориям суиергравитации или супер-Янга —— Миллса [249]. На с ©годняшний день программа квантования суперструны Грина — Шварца далека от своего завершения, поэтому при работе с суперструной обычно предпо- татают использовать ковариантный и имеющий красивое тео~ метрическое описание лагранжиан спкновой струны, налагая явно проекцию GSO. Мы вернемся к этому вопросу в § 7 главы 4.

§ 5. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛИ ТИПЫ СУПЕРСТРУН

Отсутствие ковариантной процедуры квантования супер(стру~ ны ничуть не обесценивает, разумеется, ее лагранжиан на световом конусе, которого вполне достаточно для изучения спектра суперструн. В этом параграфе мы кратко опишем все возможные типы суперструн и их свойства.

Согласно (3*4.10), вакуумом, т. е. низшим состояни'ем суперструны, является безмассовое состояние. Оно, как и любой другой уровень, должио быть инвариантным относительно иреоб- разований суперсимметрии (3.4.4). Следуя Грину и Шва/рцу [74], выберем в качестве вакуума состояния |Z> и |а>, где £ = ==1, 2 ... 8 — поперечные компоненты безмаюсового векторного бозона, а а = 1, 2 ... 32 — спинорный индекс безмассового спинора Майораны — Вейля, имеющего 8 иезавшсимых комисшент. Фермионное состояние ]аУ связано с бозонным состоянием со- отнотпе-ние-м

(3.5.1)(3.5.1)1 我〉=(?г^о)а I £〉‘

(3.5.1)

(3.5.1)

I %〉= -§- (So*7")。I 〃〉•

Теперь роль спинора S очевидна ——это оиератор, переводящий бозонные состояния в фермионные н наоборот. Состояния ]i> и 1а> нормированы следующим образом：

<г!/> =6 野,

〈小〉=击件Py+F〈小〉=击件Py+F(3.5.2)(3.5.2)

〈小〉=击件Py+F

〈小〉=击件Py+F

(3.5.2)

(3.5.2)

Вместе они образуют мультиплет 7V = 1, О = 40 теории супер- Янга — Миллса, если мы обычным способом Чана — Патона [125] ирис о единиъ! на концы струны квантовые числа (приписывая ему 入тматрицу). Напомним, что в суггерсим-метричной теории Янга — Миллса как «кварки», так и «глюоны» преобразуют- ся по пр ис о ед и не иному представлению калибро в очной группы [61].

Уровень с N = 1 формируется четырьмя возможными спо- сО'бами:

a上工I /〉， S上工Iь> бозоны aL|a〉， Sf_x I /> фермионы

Здесь мы имеем 64 + 64 = 128 бозонов и 64 + 64 = 128 фермионов (на световом конусе). Ферзюоны имеют спин 3/2, бозоны же описывают симметричное тензорное поле g灯(44 компоненты) и антисимметрический тензор Ацк (84 компоненты). Вместе с фермионами этот набор совпадает с набором полей 11-мерной супергравитации [37] ? хотя здесь мы имеем дело с массивными частицами. Вообще, поскольку масса всех массивных состояний в струнных теориях пр опорцион а льна 1/Усх,, т. е. массе Планка, они представляют лишь академический интерес, а реальное физическое приложение с точки зрения «низкоэнергетической» физики (т. е. в области энергий меньше 1 ТэВ) могут иметь только безмассовые состояния, которые приобретут массу за счет неизвестного пока механизма. Впрочем, не исключено, что будущее, как это много уже раз бывало, перевернет наши представления.

Рассмотрим кратко замкнутые суиерструны. Здесь нет гра- ни>таых условий на концах струны (3.4.7) и единств'евным уело- вием является требование периодичности полей SaA (а, т) по о

5о1(<7 + л, т) = ^а1(и, т),s。2(0+ 叫T)二俨2(5 j,

и аналогично для X'. Отсюда следует, что теперь 5°】и Sa2 никак не связзаны между собой и могут иметь как одинаковую хиральность, так и разную. Если киральность их одинакова, т. е. система инвариантна относительно нер ест а новки S@i S^, то этот сектор- по-прежнему имеет только N = 4 суперсимметрию. Такие . зам'кнутые струны возникают при вз аим оде йствитг открытых струн (соединение концов) и вместе с ними образуют так называемую суперструну типа I (SSTI).

Замкнутые струны сами по себе образуют отдельный сектор — суперструны типа II (SSTII). При их взаимодействии не возникает открытых суперотрун и спектр их существенно отличается от спектра сутгерструн типа I. Поскольку в секторе суперструн II нет открытых струн, то для них пюигностью реализуется независимость S°i, S°2 и этот сектор имеет уже 7V — 2 суиерсим*

метрию. Его можно разбить на два важных подсектора： На ― с разными ки?р а л ь(но с т ями — и 116 — с одинаковыми кирально- стями. Суперструна На относится к числу так называемых век- торолодобных теорий, которые, хотя и содержат ктпральные фермионы, не могут иметь аномалий, поскольку они в точности сокращаются между правыми и левыми фермионами. Наоборот, теория SSTII6 ист кино киральна.

Рассмотрим спектр безмассоьых состояний замкнутых сумер- струн. В общем случае они описываются бозонными состояниями iZ, j>, la, b〉и фершюннытии It, a> и [b, j>, которые вновь связаны между собой преобразованиями суперсимметрии. Бозон^ ные состояния разбиваются на симметричные по f, j (гравитон), антисимметричные и след (без^массовое скалярное состояние, лменуемое дишатоном). Вместо того чтобы описывать спектр каждой теории, мы для удобства тастателей приведем полную сводку. Для этого нам необходимо сказать несколько слов об ориентируемости струя. Ориентируемость струны проще всего 'понять, определив струну как ориентируемую в том случае, ког- да при своем движении и взаимодействии она может заметать лишь ориентируемые ловерхности, и как неориентируемую в противном случае. Например, открытая струна, очевидно, является неориентмруемой* При ее движении ни-что не мешает ей перевернуться и образовать неориентизруемую поверхность — лист Мёбиуса. Сектор замкнутых сушерютрун может быть ksuk ориентируемым, так и неориентируемым, в зависимости от кирально- сти фермионов. Теперь мы можем дать полную классификацию суоерструн.

Суперструна I (SSTI) вклкжает в себя открытые суиврстру- ны плюс замкнутые суперструны, воанискающие при В1заимодей- ствии открытых. Эти струны ориентируемы. Посредством меха- низма Чана ——Патона (кварни на концах) в них можно ввести квантовые числа. Безмассовый сектор состоит из Z? = 10 N = 1 лагранжиана супер-Янга — Миллса и N = А с j^n ергр ав итации. Все фермионы по определению киральны. В модели шрисутству- ют все три типа аномалий: калибров очная, гравитационная и смешанная.

Суперструна Ila (SSTIIa). Замкнутые суперструны с противоположными киральностями фермионов в правом 亙 левом секторах. Струна и еори ентиру ема. Нивкоэп ерт етич ес кий предел: N = 2 супергравитация. В модели нет гравитационных аномалий, поскольку в ней, по сути дела, нет киральности.

Суперструна 116 (SSTI16). З&мжнутая: суперструна с одинаковыми киральностями фермионов в правом и левом секторах. Струна ортенпируе-ма. Низкоэиергетический предел: кир альная 7V = 2 сутгергравЕгга^ция. В модели есть граовитационные аномалии, однако они в точности сокращаются [38].

Из трех типов суперструн SSTIIa, по-видимому, наиболее нереалистична, поскольку не содержит киральных фермионов. Суперструна SSTII6 содержит киральные фермионы, однако в

ней нет полей Янга—Миллса, поэтому долгое кремя считалось, что она тоже иредотавляет лишь академический интерес. Супер” струна 1а удовлетворяет обоим критериям реалистюгности: в ней есть киральные фермионы и поля Янга ——Милетса, однако в ней есть и весь набор аномалий, оатре|деляемый устрашающим выражением для индекса оператора Дирака в 12-мерном пространстве. На таком уровне находились наши знания в 1984 г., когда Грин и Шварц открыли сокращение аномалий для rpytnin SO (32) 近 Е&ХЕ& в суперструне I, а суперструна 116 была использована для построения гетеротической струны. Эти вопросы мы рассмот* рим в следующей главе*

Глава 4

ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА

§ 1. СОКРАЩЕНИЕ АНОМАЛИЙВ СУПЕРСТРУНЕ I

В конце предыдущей главы, описывая возможные разновидности суперструн, мы кратко обсудили их аномалии и структуру соответствующих эффективных лагранжианов. Из всех типов суперструн феном енологич ески наиболее привлекательной является модель открытой струны SSTI с киральными фермионами, которая в низко-энергетическом пределе сводится к D = 10, N = 1 супергравитации, взаимодействующей с 7V =，1 теории су- пер-Янга — Миллса. Однако эта модель нехороша тем, что со держит все три типа аномалий и, казалось бы, имеет мало шансов оказаться математически согласованной теорией.

Возникает вопрос, нем плохи теории замкнутых суп ер струн, которые, как мы уже упоминали, не имеют аномалий, почему бы не доложить их в основу Теории Великого Объединения, которая после компактификации даст нам реалистическую четырехмерную теорию. Действительно, с точки зрения оригинальной идеи Калуцы — Клейна «всё из гравитации», модели замкнутых суперструн даже более привлекательны, чем открытая суперструна, поскольку в D =* 10 они не содержат ничего, кроме (су- пер) гравитации. К сожалению, анализ компактификации показал, что первоначальная всеобъемлющая идея Калуцы ——Клейна не в состоянии описать многих черт низкоонергетического' физического мира и нам приходится идти на компромисс, вводя доля Янга ——Миллса уже на уровне многомерного пространства, до компактификации. Одна из главных трудностей, с которой сталкивается чистая теория Калуцы — Клейна,— это проблема ки- ральных фермионов. Дело в том, что для того, чтобы получить киральные фермионы в 7) = 4, недостаточно стартовать с ки- ральных фермионов в 7) =，4 + М Нетрудно доказать, например, что если взять киральный фермион в 力=6, имеющий 4 компоненты, и компактифицировать его в 7) = 4, то в общем случае мы получим не два вейлевских фермиона, а один дираковский, т. е. киральность, иными словами, асимметрия право-лево, теряется при компактификации. В то же время модель Вайнберга — Салама, которая прекрасно описывает низкоэнергетические слабые и электромагнитные взаимодействия лептонов и кварков, учит нас? что четырехмерные фермионы должны быть кираль-

ными, причем левые и правые фермионы преобразуются по различным представлениям кал и?б ров очно й группы (см., например, [53]). Это различие левых и правых фермионов имеет важные следствия и с точки зрения Теории Великого- Объединения, по скольку позволяет понять малость масс фермионов. Следуя общепринятым представлениям, мы будем считать, что лептоны и кварки имеют нулевую массу (что очень недалеко от истины, если сравнивать их массы с массой Планка!) с точки зрения ком- пактификации, а реальные малые массы возникают за счет неизвестных дока механизмов спонтанного нарушения суперсиМ' метрии и т. п. В то же время нам известен очень красивый способ получения киральных фермионов в рамках обычной (супер)： гравитации. Из теоремы Атьи — Зингера об индексе мы знаем, что если поместить фермионы в топологически нетривальное гравитационное поле, то нулевые моды (т. е. безмассовые состояния) имеют определенную киральность, причем киральная асимметрия задается топологическим инвариантом многообразия компактификации. Возникает, казалось бы, привлекательная воз- можность, действуя в ортодоксальном духе Калуцы — Клейна, стартовать с фермионов, помещенных в гравитационное поле в -пространстве М& X S, где S — некоторое компактное многообразие, а *4 — наше пространство Минковского. Если S имеет нетривиальную топологию и дает ненулевой вклад в индекс оператора Дирака (или Рариты—Швингера), то мы можем «заработать» в 7) = 4 нужные нам киральные фермионы. Однако наше рассуждение не проходит по нескольким причинам. Прежде всего, гравитационное поле ничего не знает о квантовых числах фермионов, поэтому киральные фермионы, возникающие ири компактификации, будут преобразовываться одинаковым образом относительно калибровочной гругшы [130] (напомним, что и сами калибровочные бозоны появляются как «лишние^ компоненты метрики). Проблема хиральности была подытожена Виттеном, который сформулировал ее в виде no go теоремы [131], согласно которой невозможно получить реалистическую низкоэнергетическую теорию исходя из чистой супергравитации и необходимо с самого начала ввести в лагранжиан поля Янга — Миллса, которые также должны давать ненулевой вклад в индекс Дирака (Рариты— Швингера).

По этой причине теория замкнутых суиерструн была призна* на нереалистичной, в то время как полезность теории открытых суперструн также вызывала подозрения по причине ее аномальности. Сокращение аномалий в сунерструне I казалось невозможным по причине большого числа членов. В это критическое время Грин и Шварц [76] сделали свое замечательное открытие, обнаружив, что для двух групи — SO (32) и Е8 X Е8 — все аномалии могут быть сокращены остроумным механизмом. Ниже мы подробно опишем его.

Бозонная часть лагранжиана Чаплина — Мантона [132], т. е. D = 10 супергравитации, взаимодействующей с N = 4 теории су-

［嗫R +专第+备瑾田片+备""№［嗫R +专第+备瑾田片+备""№SSпер-Янга — Миллса (SYM), имеет вид

［嗫R +专第+备瑾田片+备""№

［嗫R +专第+备瑾田片+备""№

S

S

(4.1.1)

Здесь х ——гравитационная постоянная; g ——константа связи поля Янга — Миллса (она может быть поглощена переопределением скалярного поля ф); ^^v (Л)— напряженность поля Янга ——Миллса; Адр —— напряженность антисимметрического поля В^. Запишем для краткости все поля в терминах форм:

(4.1.2)(4.1.2)F ^ dA +А2.Л = ds +(о2,Н = d3 —Xg,

(4.1.2)

(4.1.2)

(4.1.3)(4.1.3)где X? —форма Чженя — Саймонса

(4.1.3)

(4.1.3)

X；=击 0зуm - 8?七，

a 8；yat и со?工 一формы Чженя — Саймонса соответственно полей Япга — Миллса и гравитационного («лоренцева форма Чженя — Саймонса»). Обозначения знакомы нам из обсуждения не абелевой аномалии в главе 1. Напомним, что формы Чясеня ——Саймонса имеют вид

оЗзУЛТоЗзУЛТTr[AF —Tr[AF —8旣="(sR^8旣="(sR^Tr(AdA + -^A3j,(4.1.4а)Tr(AdA + -^A3j,(4.1.4а)2 ・2 ・(4.1.46)(4.1.46)мы обозначаем след в присоединенном фундаментальном представлении. Это позволит нам рассматриватъ сокращение аномалий для групп SO (32) и Eg X Ев одновременно. Как известно, для группы Ев X Е8 оба представления совпадают. В (4.4.46) след берется ,Ъ коэффициентов спиновой связности, которые —Лоренца SO (9,1). Коэффици-условий суперсимметрии член Чженя —— Саймонсамы обозначаем след в присоединенном фундаментальном представлении. Это позволит нам рассматриватъ сокращение аномалий для групп SO (32) и Eg X Ев одновременно. Как известно, для группы Ев X Е8 оба представления совпадают. В (4.4.46) след берется ,Ъ коэффициентов спиновой связности, которые —Лоренца SO (9,1). Коэффици-условий суперсимметрии член Чженя —— СаймонсаЗдесь и далее знакомЗдесь и далее знакомпредставлении,представлении,a tra trТг-вТг-впо индексам а. принадлежат алгебре Ли группы ент 1/30 в (4.1.3) определяетсяпо индексам а. принадлежат алгебре Ли группы ент 1/30 в (4.1.3) определяетсяизиз[132]. Подчеркнем, что лоренцевский …^一 не входил в первоначальное действие Чаплина —— Мантона (будучи старшего порядка по производным) и был включен руками Грином и Шварцем как следующий член низкоэнергетиче-ского разложения взаимодействия суперструны Z. Последующие вычисления полностью подтвердили их догадку.[132]. Подчеркнем, что лоренцевский …^一 не входил в первоначальное действие Чаплина —— Мантона (будучи старшего порядка по производным) и был включен руками Грином и Шварцем как следующий член низкоэнергетиче-ского разложения взаимодействия суперструны Z. Последующие вычисления полностью подтвердили их догадку.и был включен рукамии был включен рукамиДействие (4.1.1) инвариантно л и<бр о вочных преобразованийДействие (4.1.1) инвариантно л и<бр о вочных преобразованийотносительноотносительнолокальных ка-локальных ка-6А = dA + [А, Л]6А = dA + [А, Л](4.1.5)(4.1.5)

о

ЗзУЛТ

о

ЗзУЛТ

Tr[AF —

Tr[AF —

8旣="(sR^

8旣="(sR^

Tr(AdA + -^A3j,(4.1.4а)

Tr(AdA + -^A3j,(4.1.4а)

2 ・

2 ・

(4.1.46)

(4.1.46)

мы обозначаем след в присоединенном фундаментальном представлении. Это позволит нам рассматриватъ сокращение аномалий для групп SO (32) и Eg X Ев одновременно. Как известно, для группы Ев X Е8 оба представления совпадают. В (4.4.46) след берется ,Ъ коэффициентов спиновой связности, которые —Лоренца SO (9,1). Коэффици-

условий суперсимметрии член Чженя —— Саймонса

мы обозначаем след в присоединенном фундаментальном представлении. Это позволит нам рассматриватъ сокращение аномалий для групп SO (32) и Eg X Ев одновременно. Как известно, для группы Ев X Е8 оба представления совпадают. В (4.4.46) след берется ,Ъ коэффициентов спиновой связности, которые —Лоренца SO (9,1). Коэффици-

условий суперсимметрии член Чженя —— Саймонса

Здесь и далее знаком

Здесь и далее знаком

представлении,

представлении,

a tr

a tr

Тг

-в

Тг

-в

по индексам а. принадлежат алгебре Ли группы ент 1/30 в (4.1.3) определяется

по индексам а. принадлежат алгебре Ли группы ент 1/30 в (4.1.3) определяется

из

из

[132]. Подчеркнем, что лоренцевский …^一

не входил в первоначальное действие Чаплина —— Мантона (будучи старшего порядка по производным) и был включен руками Грином и Шварцем как следующий член низкоэнергетиче-ского разложения взаимодействия суперструны Z. Последующие вычисления полностью подтвердили их догадку.

[132]. Подчеркнем, что лоренцевский …^一

не входил в первоначальное действие Чаплина —— Мантона (будучи старшего порядка по производным) и был включен руками Грином и Шварцем как следующий член низкоэнергетиче-ского разложения взаимодействия суперструны Z. Последующие вычисления полностью подтвердили их догадку.

и был включен руками

и был включен руками

Действие (4.1.1) инвариантно л и<бр о вочных преобразований

Действие (4.1.1) инвариантно л и<бр о вочных преобразований

относительно

относительно

локальных ка-

локальных ка-

6А = dA + [А, Л]

6А = dA + [А, Л]

(4.1.5)

(4.1.5)

т. е. члент. е. членв самом деле инвариантен. В формулах приняли обозначения, известные нам из ана- главы 1, когда от замкнутой формы Tr Fn форме Чженя — Саймонса (первый спуск) и представляем ее калибровочную вариацию в виде внешней про- взводной формы Х^ (второй спуск). Можно показать, что этот процесс продолжается неограниченно [133].Найдем полную аномалию для теории (4.1.1). Согласно логии, принятой в главе 1, 一“出ать неабелеву аномалию вв самом деле инвариантен. В формулах приняли обозначения, известные нам из ана- главы 1, когда от замкнутой формы Tr Fn форме Чженя — Саймонса (первый спуск) и представляем ее калибровочную вариацию в виде внешней про- взводной формы Х^ (второй спуск). Можно показать, что этот процесс продолжается неограниченно [133].Найдем полную аномалию для теории (4.1.1). Согласно логии, принятой в главе 1, 一“出ать неабелеву аномалию в(4.1.6) — (4.1.8) мы(4.1.6) — (4.1.8) мылиза метода спуска мы переходим к еелиза метода спуска мы переходим к еевместо того, чтобывместо того, чтобыидео-идео-малию в D = 12. 12-формоймалию в D = 12. 12-формойЧистоЧистоD = 10, мыD = 10, мыкалибровочнаякалибровочнаяпрямо рассматри-прямо рассматри-рассмотрим абелевурассмотрим абелевуаномалияаномалияано-ано-задаетсязадаетсягТМ1 12гТМ1 124一/ тГ网4一/ тГ网(4.1.9)(4.1.9)Как заметили Грин и Шварц, для калибровочных групп и Eg X Eg имеет место важное тождествоКак заметили Грин и Шварц, для калибровочных групп и Eg X Eg имеет место важное тождествоSO (32)SO (32)_去тr戸=一孤тг严仅"一矗（Trр产）4I/O）_去тr戸=一孤тг严仅"一矗（Trр产）4I/O）иными словами, след шести или Eg X Ев факторизуетсяиными словами, след шести или Eg X Ев факторизуетсягенераторов алгебры Лигенераторов алгебры Ли一 SO (32) _, в произведение следов меньшего числа генераторов вполне определенным способом (4.1.10) и, стало быть, не является независимым. Это свойство делает возможным сокращение калибровочной аномалии.В чисто гравитационную аномалию дают вклад киральные фермионы спина 1/2 屮+, спина 3/2 九『из мультиплета витации и п штук фермионов материи (《глюино») из пермультиплета Янга — Миллса, где п — размерность ненного представления калибровочной группы. Полная一 SO (32) _, в произведение следов меньшего числа генераторов вполне определенным способом (4.1.10) и, стало быть, не является независимым. Это свойство делает возможным сокращение калибровочной аномалии.В чисто гравитационную аномалию дают вклад киральные фермионы спина 1/2 屮+, спина 3/2 九『из мультиплета витации и п штук фермионов материи (《глюино») из пермультиплета Янга — Миллса, где п — размерность ненного представления калибровочной группы. Полнаяcyneprpa-cyneprpa-% = 4 су-% = 4 су-присоеди- аномалияприсоеди- аномалия驻 локальных лоренцевских вращений

т. е. член

т. е. член

в самом деле инвариантен. В формулах приняли обозначения, известные нам из ана- главы 1, когда от замкнутой формы Tr Fn форме Чженя — Саймонса (первый спуск) и представляем ее калибровочную вариацию в виде внешней про- взводной формы Х^ (второй спуск). Можно показать, что этот процесс продолжается неограниченно [133].

Найдем полную аномалию для теории (4.1.1). Согласно логии, принятой в главе 1, 一“

出ать неабелеву аномалию в

в самом деле инвариантен. В формулах приняли обозначения, известные нам из ана- главы 1, когда от замкнутой формы Tr Fn форме Чженя — Саймонса (первый спуск) и представляем ее калибровочную вариацию в виде внешней про- взводной формы Х^ (второй спуск). Можно показать, что этот процесс продолжается неограниченно [133].

Найдем полную аномалию для теории (4.1.1). Согласно логии, принятой в главе 1, 一“

出ать неабелеву аномалию в

(4.1.6) — (4.1.8) мы

(4.1.6) — (4.1.8) мы

лиза метода спуска мы переходим к ее

лиза метода спуска мы переходим к ее

вместо того, чтобы

вместо того, чтобы

идео-

идео-

малию в D = 12. 12-формой

малию в D = 12. 12-формой

Чисто

Чисто

D = 10, мы

D = 10, мы

калибровочная

калибровочная

прямо рассматри-

прямо рассматри-

рассмотрим абелеву

рассмотрим абелеву

аномалия

аномалия

ано-

ано-

задается

задается

гТМ

1 12

гТМ

1 12

4

一/ тГ网

4

一/ тГ网

(4.1.9)

(4.1.9)

Как заметили Грин и Шварц, для калибровочных групп и Eg X Eg имеет место важное тождество

Как заметили Грин и Шварц, для калибровочных групп и Eg X Eg имеет место важное тождество

SO (32)

SO (32)

_去тr戸=一孤тг严仅"一矗（Trр产）4I/O）

_去тr戸=一孤тг严仅"一矗（Trр产）4I/O）

иными словами, след шести или Eg X Ев факторизуется

иными словами, след шести или Eg X Ев факторизуется

генераторов алгебры Ли

генераторов алгебры Ли

一 SO (32) _, в произведение следов меньшего чис

ла генераторов вполне определенным способом (4.1.10) и, стало быть, не является независимым. Это свойство делает возможным сокращение калибровочной аномалии.

В чисто гравитационную аномалию дают вклад киральные фермионы спина 1/2 屮+, спина 3/2 九『из мультиплета витации и п штук фермионов материи (《глюино») из пермультиплета Янга — Миллса, где п — размерность ненного представления калибровочной группы. Полная

一 SO (32) _, в произведение следов меньшего чис

ла генераторов вполне определенным способом (4.1.10) и, стало быть, не является независимым. Это свойство делает возможным сокращение калибровочной аномалии.

В чисто гравитационную аномалию дают вклад киральные фермионы спина 1/2 屮+, спина 3/2 九『из мультиплета витации и п штук фермионов материи (《глюино») из пермультиплета Янга — Миллса, где п — размерность ненного представления калибровочной группы. Полная

cyneprpa-

cyneprpa-

% = 4 су-

% = 4 су-

присоеди- аномалия

присоеди- аномалия

При этом

6s —> d0 + [со, 0].

(4.1.6)

те

63 =击 ^ivM —①蠡三—dX^,

6X； = — dX^,

(4.1.7)

^zym = — Tr (Л dA), 並工=—tr (о d0).

(4.1.8)

е ?吃瞪* калибровочньпс индексов, иными словами, «.заряда», оно, как обнаружено в работах [132], должно нетри- 匿广需° 善еобразовмватьсн при калибровочных преобразованиях 氏;* мы：ах™₽ИаНТН°СТИ зранясиапа (4.1.1). С учетом

б" = d63 — 6Х； = — dX^ + dX^ = О,

вычисляется с домощью соответствующих теорем об индексе и имеет вид [39]

+ (点+第證卜红吋(4丄11)

Для n = 496 она существенно упрощается и также может быть представлена в факторизованном виде. Заметим, что 496 есть как раз размерность присоединенного пр едставления групп SO (32) и Е8 X Е8 — и никаких других.

Наконец, смешанные аномалии при п — 496 имеют вид

^Йхеа = -^ Тг F4 tr В2 — ^~ [5 (tr B^f + 4tr 五&]. (4.1.12)

Складывая выражения (4.1.10)——(4.1.12), мы находим полную аномалию для групп SO (32) и Ев X Ев (поскольку при лг*496 гравитационная и смешанная аномалии имеют нефакторизуемые члены, а калибровочная также не представляется в факторизованном виде, заведомо ясно, что аномалию без выполнения описанных выше условий сократить невозможно. Поэтому мы рассматриваем сокращение аномалий только для двух отмеченных групп). Оказывается, ее также можно представить в виде произведения 4-формы Х4 и 8-формы Х8:

7：y1=一X卩8，(4.1.13)

где

х& = — }г 充—击 Trr) = d爲.(4.1.14)

Здесь мы использовали определение формы Чженя — Саймонса X； (4.1.3). 8-форма Хз имеет довольно громоздкий вид：

4 =击тг歹4 _歳(Tr严)2+* tr比+

+ 击(tr五2)2 — 击Tr严tr五2曰dx?.

После чего интегрированием по частям и применением метода спуска нетрудно показать, что полная неабелева (всех трех видов) аномалия в 7) = 10 выражается как

G = const J (Х^8 + 2羽爲).м10

Эта аномалия может быть сокращена добавлением локального контрчлена к действию (4.1.1):

凡=const J (― 33^8 + 2Х?Х»(4.1.15)

В самом деле, вычислим вариацию 6S, с учетом уравнений спуска и закона преобразования поля В (4.1.7):

65с = с j (— 36ВХ§ — ЗВбХз + 23Х?Х? + 2Х恥X?)= =с J(3X^8 + 0 — 2dX^X： — 2Xg dX^) = с J (X^Xg + 2Х&Х±) =G. Таким образом, полное действие S — Sc не имеет аномалии! Подчеркнем, что решающими обстоятельствами, сделавшими возможным сокращение аномалий для указанных групп, являются необычный закон преобразования поля 3 и присутствие лорен- цевой формы Чженя—Саймонса в определении (4.1.3). Механизм сокращения аномалий, основанный на выделении фактора xl一卜r充一备тr用с последующим спуском на два измерения ниже, получил название механизма Грина — Шварца. Он присущ широкому классу теорий ноля [166].

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ГРУППЫ СУПЕРСТРУН

Мы установили, что суперструна Грина — Шварца типа I с калибровочными группами SO (32) и Es X Es не содержит аномалий, а содержит киральные фермионы, гравитацию и является первым реальным кандидатом на роль единой теории всех четырех взаимодействий. Из двух возможных групп феноменологически более привлекательной выглядит группа Е8 X Ев. Однако эта лривлекательная возможность не может быть реализована в рамках открытой суперструны I. Наш анализ сокращения аномалий основывался на анализе эффективной низкоэнергетической тео- риит которая возникает при разложении взаимодействий суперструны 7 в ряд по обратной массе Планка. В принципе возникающая таким образом 10-мерная супергравитация, взаимодействующая с TV = 1 сулермультиплетом поля Янга —- Миллса, может быть построена для любой феноменологически интересной грунпы, в том числе и для Eg (ее, в частности, и рассматривали в своей работе Чаплин и Мантон [132]), однако не всякая калибровочная группа может быть получена в качестве низкоэнергетического предела открытой суперструньг. Дело в том, что в рамках струнной теории нам до сих пор был доступен лишь один способ введения квантовых чисел —— метод Чана — Патона [128], который заключается просто в приписывании концу струны генератора калибровочной алгебры. Как показано в обзоре Шварца [48], условия унитарности, дуальности и факторизации накладывают сильные ограниче^гия на структуру калибровочной алгебры и им удовлетворяют только группы SO(2N) и USp(N), в то время как унитарные и исключительные группы, в том числе и Е8, являются недопустимыми. Таким образом, на первый взгляд кажется, что сокращение аномалий для группы Eg X Ед не имеет никакого отношения к струне, а только к некоторой

(причем предварительно подпорченной) 10-мерной теории поля 近 эта прекрасная возможность пропадает втуне. К счастью, од^ повременно с развитием теории суп ер струн математиками Френ^ келем и Кацем [134] и Сигалом [135] был построен механизм компактификации замкнутых струн, который позволял получать квантовые числа без приема Чана — Патона. В механизме Френкеля ——Каца квантовые числа никак не были связаны с конца^ ми струны, а возникали благодаря нулевым модам компактифицированных компонент струны. Правда, выяснилось, что такая компактификация возможна далеко не всегда, а только для строго определенных групп, например при компактификации 16 координат бозонной струны таким образом могут быть получены только группы SO (32) и Ев X Е8! Ранг этих групп равен 16.

Важную роль сыграло наблюдение Фройнда [136], который заметил, что разность критических размерностей 26-мерной бо* зонной струны и 10-мерной суперструны как раз равна рангу нужных нам калибровочных групп SO (32) и Eg X Ев. Возникает идея компактифицировать 26-мерную струну в Z? = 10 口 извлечь при компактификации 496 калибровочных бозонов. Конструкция Френкеля ——Каца должна обеспечить, чтобы эти бозоны за- нолнили мультиплет группы SO (32) или Ев X Е8. Эта программа была с успехом осуществлена в работах Гросса, Харви, Мар- тинека и Рома [137——138], которые построили так называемую «гетеротическую струну». В настоящее время яспо, что кон- струкция Гросса и других не является ни единственной, ни даже наиболее простой. В последнее время более популярны модели компактификации из D — 26 прямо в 普=4 без «остановки» в D = 10. Такого рода компакти|фикации, хотя идейно и более просты, используют более сложный вариант конструкции Френкеля—— Каца [251——253]. Тем не менее гетеротическая струна Гросса и других является прообразом всех новых вариантов теории суперструн, поскольку все они существеннейшим образом опираются на основную идею гетеротической струны ——асимметричность правого и левого секторов струны. В настоящей книге .мы ограничимся подробным изложением теории гетеротической струны. Читатель, желающий познакомиться с идеями тороидальной компактификации Нарайана, может обратиться к оригинальным работам [251—253].

АЛГЕБРЫ И РЕШЕТКИ

Для построения гетеротической струны нам необходимо хорошо освоить конструкцию Френкеля —— Каца. Она имеет довольно длинную предысторию. Алгебры Виразоро возникали почти одновременно и из совершенных разных потребностей у физиков [140] и у математиков [139]. В то время как в начале 70-х гг. математики почти не занимались ими, физики, активно разраба- тывавшие дуальные модели, открыли многие свойства алгебр Виразоро, доказали теоремы о положительности нормы [82, 83],

которые хотя и возникли из физических потребностей, но на самом деле сводились к изучению чисто математических объектов —— представлений алгебры Виразоро. Из чисто физических соображений был введен :и фундаментальный для дальнейшего развития теории бесконечномерных алгебр вершинный оператор тахиона V(k1 z). В 1978 г. математики Леповский и Вильсон обнаружили, что вершинные операторы (точнее, коэффициенты их разложения по некоторому параметру) образуют бесконечномерную алгебру Кал;а ——Муди [143] и эта конструкция оказывается очень полезной для построения ее представлений. Вскоре вершинные операторы возникли при описании бесконечной серии интегрируемых уравнений, так называемой иерархии Кадомцева——Петвиашвили (КП) [142]. В 1980 г. Френкель и Кац [134] и Сигал [135] показали, что вершинные операторы имеют более широкое поле применения: с их помощью можно вполне определенным образом строить представления алгебр и супер алгебр Ли, Виразоро и Каца — Муди.

В этом параграфе мы ограничимся построением алгебр Ли с помощью вершинных операторов бозонной струны, что вполне достаточно для понимания гетеротической струны. Мы будем следовать в основном работам Годдарада и Олайва, которые переформулировали результаты Френкеля — Каца на язык, более доступный для физиков [145, 146].

Напомним некоторые нужные нам сейчас формулы операторной формулировки бозонной струны. Мы ввели бесконечный набор бозонных осцилляторов а* а^+ =

[a{t 仪^] = — пт^^т,-^(4.3.1)

若=夕中gг"]=

(4.3.2)координаты(4.3.3)образом вы- (434)(4.3.2)координаты(4.3.3)образом вы- (434)Далее, чтобы не путать импульсы с оператором имлульса р^ — =а&, мы будем обозначать их греческими буквами 丫，§匕.... Состояние с импульсом 丫 строится так: |у>=^тЮ>,

(4.3.2)

координаты

(4.3.3)

образом вы- (434)

(4.3.2)

координаты

(4.3.3)

образом вы- (434)

夕u I Y〉= Yu I Y〉，成 I Y〉= 0, ^> 0, В дальнейшем большую роль будут играть операто Qm(z) и связанный с ним оператор импульса P^{z)

QM (z) = / — 5从 In z + % 工号 zf, W (z) = £z ^- = £ a貶

Вершинный оператор тахиона V(у, z) следующим ражается через Q(z):

P(Y, z)= :exp(jy • Q(z))：・

Норм；

ильное произведение в (4.3.4) можно расписать явно, вводя

0# (z) = q^ — (р从 In z, cu,P %(4.3.5)

Тогда

O(Y，z)=户 Qv(3・Qo(z)/v Q>(z).(4.3.6)

С пол член

ющыо формулы Бейкера — Хаусдорфа перепишем средний в правой части в виде

exp (Zy ・0и (z)) = z 2 eWQ#*.(4.3.7)

Комм выгл^

утационные соотношения V(у, z) с операторами Виразоро щели как

[工也，V (у, z)] = zn [z ^^~ 几]V (у, 2).(4.3.8)

В час ная и

；тности, для тахиона 72 = —2 и в (4.3.8) появляется пол- сроизводная

[Ln, V (?2 = _ 2, z)] = z A [znVb(4.3.9)

Введе [148]

Дуаль ложи^

м операторы Дель-Джудиче — Ди Векья — Фубини (ДДФ) 工力 которые играют фундаментальную роль в операторной пой модели, в частности лри доказательстве теоремы о по- гельности нормы:

4 =中能了(2)-(431。)

Поск( ских

эльку вершинный оператор V(7, z) не имеет логарифмиче' сингулярностей, интеграл по контуру вокруг точки 2 ==• 0

$2：:星[2 叩(Y，引一0

и мы

получаем

[Ln, AJ = 0.(4.3.11)：

Таким образом, операторы ДДФ коммутируют с операторами Виразоро и, стало быть, переводят физические состояния в физические:

LnA 71 phys >= A ^Ln I phys > =• 0, тг > О, т. е.

Л71рЬуз>= lphys>z.

Однако для этого необходимо, чтобы они были хорошо определены. Если, например, в матричных элементах V(у, z) появляются разрезы по z, то операторы ДДФ вообще не определены. В заключение выпишем нужную нам для дальнейшего формулу

перестановки двух операторов типа exp(j^ *Q(z))

exp (ф. Q^ (z)) exp (fy -Q^ (ш)) = (1—J X

X exp (%Y・Qv(uO) exp (»Q> (z), \z\^\w\.(4.3.12)

Это соотношение также получается применением формулы Бейкера — Хаусдорфа. Мы уже использовали его в § 6 главы 2 при обсуждении древесных диаграмм в струнной теории.

АЛГЕБРЫ ИЗ ВЕРШИННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Предположим теперь, что мы хотим компактифицировать нашу бозонную струну, например поместив часть ее координат в ограниченный ящик, При этом, как известно, компактифицированные импульсы квантуются. Проще всего представлять себе, что компактифицированные компоненты импульсов движутся в некоем многомерном кристалле. Условие периодичности эффективно превращает фазовое пространство кристалла в многомерный тор (рис. 12). Тор можно представлять себе как d-мерное евклидово пространство 甯，отфакторизованное по некоторой iZ-мерной решетке Г. Это надо понимать так, что любая точка а, например евклидовой плоскости (см. рис. 12), перенесенная с помощью вектора ma + nb, где а и & —— образующие двумерной решетки, & т, п —— произвольные целые числа, идентична с полученной при переносе точкой 力'.Набор векторов вида та + п&, т, тг 三 Z образует бесконечную регулярную решетку Г. Точно такую же картину, как на рис. 12, можно мыслить себе при дальнейшем обсуждении свойств решеток. Рассмотрим волновую функцию частицы в кристалле -— волну Блоха

屮(ж) = exp (看土)，

屮(力)будет однозначной на торе屮(力)будет однозначной на тореесли онаесли онаудовлетворяет риодичности -w(力)，t. e.удовлетворяет риодичности -w(力)，t. e.условию не- 屮(力+ a)=условию не- 屮(力+ a)=где а — любой вектор решетки. Таким образом, если агде а — любой вектор решетки. Таким образом, если аРис.工2. Двумерный тор как раллелограмм периодов.Сторона 2 идентична стороне111 идентична /У. Все точки айда % 十斗 та 十 пЪ идентичны х, напримерх‘ = к + 2а + 3b и к'..Рис.工2. Двумерный тор как раллелограмм периодов.Сторона 2 идентична стороне111 идентична /У. Все точки айда % 十斗 та 十 пЪ идентичны х, напримерх‘ = к + 2а + 3b и к'..толькотольков том случае,в том случае,2 冗 Z,(4.4.1)2 冗 Z,(4.4.1)

屮(力)будет однозначной на торе

屮(力)будет однозначной на торе

если она

если она

удовлетворяет риодичности -w(力)，t. e.

удовлетворяет риодичности -w(力)，t. e.

условию не- 屮(力+ a)=

условию не- 屮(力+ a)=

где а — любой вектор решетки. Таким образом, если а

где а — любой вектор решетки. Таким образом, если а

Рис.工2. Двумерный тор как раллелограмм периодов.

Сторона 2 идентична стороне

111 идентична /У. Все точки айда % 十

斗 та 十 пЪ идентичны х, напримерх‘ = к + 2а + 3b и к'..

Рис.工2. Двумерный тор как раллелограмм периодов.

Сторона 2 идентична стороне

111 идентична /У. Все точки айда % 十

斗 та 十 пЪ идентичны х, напримерх‘ = к + 2а + 3b и к'..

только

только

в том случае,

в том случае,

2 冗 Z,(4.4.1)

2 冗 Z,(4.4.1)

принадлежит решетке Г, то компактифицированные импульсы 丫 должны лежать в решетке Л, которая является подрешеткой решетки Г*, где решетка Г* дуальна к исходной решетке Г, иными словами, для любых 丫 三 Г* и а ^ Г справедливо условие

•у .а = Z- (4.4.2)

Заметим, что мы специально ввели решетку Л, так как из (4.4.1) в общем случае не следует, чтобы решетка импульсов совпадала с дуальной решеткой Г*,——вполне достаточно, чтобы она была подрешеткой дуальной решетки. Мы предполагаем, что решетки Г и Г* имеют евклидову сигнатуру. Таким образом, мы выделяем из всего пространства бозонной струны cZ-мерное компактное пространство — cZ-мерный тор, образованный с помощью евклидовой решетки Г,—— и переносим на эти d компонент выписанные выше формулы дуальной модели. Теперь оператор координаты не имеет однозначного определения, так как сама координата определена лишь по модулю решетки, но оператор сдвига благодаря условию (4.4.1) задан инвариантно:

e對父父＞=丨y+Y'〉. (4.4.3)"

Рассмотрим действие вершинного оператора V(y, z), в котором все осцилляторы относятся только к d компактифицированным координ ат ам, на физические состояния. В частности, нас особенно интересует потенциальный источник сингулярности — оператор ехр(?7 ・Qo(z)); используя (4.4.3), получаем

£『Q°(z)I у〉=誌外川‘ I у + у〉. (4.4.4)

Отсюда следует, что действие V(у, z) на физические состояния хорошо определено только в том случае, если 丫？——четное число и 丫 • ？'——целое число для любых двух 丫，丫‘ 三 А. Решетки, удовлетворяющие этим двум условиям, называются четными и целыми. Вдобавок, согласно (4.4.2), решетка импульсов Л должна быть подрешеткой в дуальной решетке Г*.

；Мы хотам построить аналог операторов ДДФ Ах для случая компакти)фицированного пространства. Операторы Лт определены только для у2 ,==——2. Рассмотрим поэтому точки на целой решетке Л, имеющие импульс, удовлетворяющий，？=+2 (мы будем обозначать компактифицированные дискретные импульсы латинскими буквами г, s. Легко видеть, что евклидовы компоненты импульса тахиона имеют положительный квадрат). Такую подрешетку мы назовем Аг. Итак, мы запишем

4 =読7$半(445)

Оператор Ап хорошо определен благодаря условию 厂2 = 2 и специальным свойствам целой решетки Л2. Вычислим коммутатор [Лг, АД . Согласно (4.4.5), он равен разности двух двойных кон-

турных интегралов:

=扁勺岑 § ^ 卩(r，z)卩(s, z〃) E蟲勺冬 $ ^ Or,s (Z, z〃). Произведение двух вершинных операторов можно с помощью формулы (4.3.12) записать в виде

UrlS (z, Z0)= :e*Q(z)： ：6薫心®)： =(z — w)T S :e^dQ⑵+S.Q3)； [z] > |必|.

.(4.4.6) Благодаря обычному требованию сходимости рядов для логарифмов здесь возникает неравенство на переменные интегрирования, кроме того, появляется член (z——w)r s, который при перестановке z u; выдает неприятный фактор (——l)r's. Из-за него мы не можем определить обычный коммутатор двух операторов ДДФ, и смысл имеет следующая комбинация:

44 — (—1)244 =蟲｛$ ".⑵〃).

|z| A |wl (z| V [w]

Длн вычисления правой части рассмотрим, например, интеграл no z. Он берется в первом интеграле по контуру I (рис. 13), а во втором — по контуру 77, где мы изменили его ориентацию с учетом знака «минус» перед вторым интегралом.

(r-s = — 1), (尸. s = - 2)? (r-s^ 0).(r-s = — 1), (尸. s = - 2)? (r-s^ 0).(4.4.7)(4.4.7)Суммарный интеграл деформацией контуров сводится к интегралу по малому контуру вокруг точки z = ”, и он отличен от нуля только в том случае, если произведение двух вершинных олераторов имеет в этой точке полюсы. Анализ (4.4.6) показывает, что при 尸• s ^ 0 полюсов нет и интеграл равен нулю. Полю-сы возникают при г • ,s < 0, причем благодаря условию 产=§2 = 2 возможны только два значения скалярного произведения двух произвольных векторов г,爲 а именно г • 5 = ——2 и г • 5 =——1. Вычисляя интеграл при этих значениях с помощью формулы Коши, мы получаем

(r-s = — 1), (尸. s = - 2)? (r-s^ 0).

(r-s = — 1), (尸. s = - 2)? (r-s^ 0).

(4.4.7)

(4.4.7)

/丁 + s，

^rAs — (一 1)е AsAr = * г• P, ■о,

Оператор импульса 尸"возник при взятии производной в случае полюса второго -порядка. Опи'салный здесь метод вычисления коммутаторов носит название метода окружения контуров и ча-

Рес. 13. Метод окружения контуров.

В первом интеграле интегрирование идет по контуру I (| z | > | w |), во втором ——по контуру II (( Z I < I W I). Разность интегралов после деформации контуров сводится к интегралу по малому контуру вокруг точки

Z = W.

сто используется в дуальной модели. Мы будем применять его неоднократно в главе 5 при изучении конформных теорий поля.

Поскольку оператор ДДФ Ат (или, что то же самое, вершинный оператор) переносит импульс 产,то, как легко видеть, его коммутационные соотношения с оператором импульса Р" имеют обычный вид

(448)：(448)：[/^\ /Т] ^ 产/Г，pi = 1, 2, -.., d.

(448)：

(448)：

Перестановочные соотношения Ar с As выглядят необычно из-за присутствия множителя (——1)' J Его можно убрать с помощью трюка, введенного Френкелем и Кацем [134]. Для этого введем так называемый 《операторный коцикл» сг, также зависящий от импульсов на решетке и удовлетворяющий условиям

(4.4.9)(4.4.9)crcs^{ — iysc8cr.

(4.4.9)

(4.4.9)

СтС-т = 1,

CrCs = Б(Г, S)Cr+s,

где с (г, s)=±l・ Теперь мы можем ввести новые операторы Ег = стАг^ пер естановочные соотношения для которых будут иметь обычный вид, свойственный алгебре Ли. Дополняя коммутационные соотношения (4.4.7)——(4.4.8) очевидным требованием [Р^ О”] = 0, мы получаем для операторов Er, Р" замкнутую алгебру

(4.4.10a)(4.4.10a)(4.4.106)(4.4.10b)(4.4.106)(4.4.10b)8 (г, s) Er+s. r-s= — 1,[Er, Es] = \r-P.r-s = 一 2,

(4.4.10a)

(4.4.10a)

(4.4.106)

(4.4.10b)

(4.4.106)

(4.4.10b)

.0,r-s^O,

[P, T] = 0,[P\ Er] =^ЕГ.

Мы пришли к алгебре Ли операторов Ет,尸匕 записанной в базисе Картана ——Вейля. Напомним, что в общем случае мы можем разбить л о л у пр остую алгебру Ли g на полупрямую сумму [149]

g = Н * Т,

где Н——подалгебра Картана, или максимальный тор, как ее еще называют,— максимальный набор взаимно коммутирующих генераторов ,

[Яъ Я；] = 0, г, J = 1, 2, к (4.4.11)

(4412)：(4412)：Число 左 называется рангом алгебры Ли. Коммутационные соотношения генераторов подалгебры Картана Hi с элементами фак- тор-алгебры Т могут быть приведены к виду

(4412)：

(4412)：

[Яй 7а] = *Ти・

Вследствие сходства этого уравнения с секулярным уравнением на характеристические значения матрицы величины X* называются корневыми векторами. Согласно (4.4.11), Хг—^-мерный

вектор. Наконец, из тождества Якоби нетрудно вывести вид коммутатора двух Та：

[Т т ] = |*а,вТа+в， а + В корень

а’ °10,а + В не корень (4.4.13)

[Та, Т-^ =斯区.(4.4.14»

Теперь легко сообразить, что коммутационные соотношения алгебры, образованной операторами 石)尸*\ в точности совпадают с коммутационными соотношениями алгебры Ли g в базисе Картава —Вейля, если отожде-ствить ^ с Рц и ^а с 石_ При этом ранг алгебры (Р、Ег) оказывается равным числу Р*\ т. е. размерности компактифицированного пространства &.

Напомним, что ко ммут ационные соотношения (4.4.11)— (4.4.15) компактной полупростой алгебры Ли g полностью ее описывают, а все компактные полупростые алгебры Ли хорошо известны и полностью описаны [149]. Нам достаточно знать общее число генераторов, чтобы сразу сказать, с какой алгеброй (совпадения размерности различных алгебр единичны и также хорошо известны) мы имеем дело. Следовательно, в нашем случае достаточно определить число независимых Ег, после чего найдем размерность алгебры согласно

dim g = d + num(石г). (4.4.15)

Все генераторы фактор-алгебры Ег задаются общей формулой (4.4.5), где г — произвольный вектор решетки, удовлетворяющий условию г2 = 2, кроме того, скалярно произведение всех таких векторов должно быть целым числом. Таким образом, чис^ ло независимых генераторов Ег равно числу точек на решетке, удовлетворяющих этим требованиям. Это уже чисто арифметическая задача, и она решена в общем случае. В качестве попутного результата мы получили неожиданную и очень красивую свжь между арифметикой решеток и алгебрами Ли.

Теперь мы вполне готовы рассматривать конкретные примеры. Возьмем для начала простейшую из мыслимых решеток — решетку целых чисел Zd в d-мерном пространстве. Произвольная точка решетки задается вектором вида

п = (“н “2 • •・"&)， 冷之 三 Z-

Сколько на этой решетке точек, удовлетворяющих условию п2 ~ 2? Очевидно, любой вектор тг, имеющий две компоненты, равные ±1, а все остальные нули, удовлетворяет п2 = 2. Число таких векторов есть

4僚=4'®尹..=2d{d — 1).

По формуле (4.4.15) мы находим размерность соответствующей алгебры:

dim g = d + 2& (d — 1)==，"咤一N = dim so (2tZ).

Как известно из теории алгебр Ли, векторы вида (О, О...±1, ... ...=Ы, ... 0) образуют систему корневых векторов алгебры so(2d) [149, 151]. Таким образом, мы пришли к ней исходя из вершинного оператора дуальной модели, компактифицированного с помощью простейшей решетки целых чисел!

Описанная конструкция с решеткой целых чисел проходит для любого Q, но, если d кратно 4, мы можем рассматривать более сложную решетку вида

/ 1 1 \

l^i T-^2 T-寸九a t—2-丿,

которая также оказывается целой. Четной она становится, однако, только при d == 8左， поскольку любой вектор вида п = = ("i, ..., "а), "а 三宏+ -g-, имеет четный квадрат. Рассмотрим для начала d = 8. В этом случае любой вектор вида п = =(±1/2, ±1/2 土 1/2) удовлетворяет условию п2 = 2, однако не все они образуют целую решетку. Например, произведение вектора (—1/2, 1/2 ... 1/2) на вектор (1/2, 1/2 ... 1/2) равно 6/4 = 3/2. Очевидно, целой является лишь подрешетка, составленная из векторов, которые все имеют четное (или нечетное)' число +1/2. Эта подрешетка состоит лишь из половины всех векторов ". Таким образом, ее размерность равна (1/2) - 28 = 128. Рассматривая в d = 8 только точки, принадлежащие Z8，мы можем построить алгебру so (16), имеющую 15 X 8 = 120 элементов. Прибавляя сюда еще 128 полученных точек с полуцеяыми координатами, мы получаем в сумме 248 точек, удовлетворяющих условию п2 = 2 и целочисленности скалярного произведения. Из теории алгебр Ли известно, что единственной алгеброй, имеющей размерность 248, является исключительная алгебра Ли Еэ. Из нашей конструкции видно, что алгебра so (16) является подалгеброй Еэ- Таким образом, исходя из вершинного оператора, мы построили в & = 8 две алгебры Ли: so (16) и Еэ-

Перейдем к d = 16. В данной размерности мы можем построить, исходя из решетки %丄$, алгебру so (32), имеющую 16 X. X 31 = 496 генераторов, или две алгебры Е§, имеющие в сумме 248 + 248 = 496 генераторов. Обе эти алгебры имеют ранг 16, иными словами, из всей совокупности 496 генераторов 16 представляют собой элементы картановской подалгебры, т. е. импульсы 沙,а 480 обусловлены точками решетки, имеющим加 квадрат, равный 2. Совпадение размерностей алгебр so (32) и Еэ + Ев — одна из причин, почему они часто возникают вместе.

Читатель может задать вопрос, почему мы ограничились случаем d = 8左.Это ограничение и в самом деле было бы излишним, если бы мы и нт ер ес ов ались поиском четных и целых решеток. Но мы забыли о еще одном важном требовании к нашей решетке, а именно о том обстоятельстве, что импульсы 丫 должны лежать на решетке А, являющейся подрешеткой в решетке- Г*, дуальной к решетке координат Г. Математики показали, что

такие решетки могут существовать только в р аз мерностях, крат- 五ых 8 [150]. Поясним, как на практике можно определить само ду альность решетки. Выберем базис решетки координат Г е$, удовлетворяющий нужным требованиям, и построим матрицу скалярных произведений

4f = (е「е,.(4.4.16)

Мы видели, что даже в простейшем случае Z& векторы базиса е《не образуют ортонормированной системы, так что матрица N 召 нетривиальна (т. е. не равна единичной). Поскольку векторы е$ линейно независимы, матрица /订 невырожденна. Поскольку все 或=2, матрица /订 совпадает с так называемой матрицей Кар- тана алгебры Ли, имеющей е^ в качестве корневых векторов:

2

ка = -斤气)=(С・е» = Лу.

Все элементы матрицы /盯——целые числа, поскольку мы рассматриваем сейчас целую решетку, и А и =(е^ • е<)== 2. С помощью матрицы N мы можем построить дуальный базис е&

е： = /订1与・(4.4.17)

Очевидно, базис е； и в самом деле удовлетворяет условию ду- альности

(威乌)=А^ (^h'eJ)= /冗3'/^ = 5ii«

Нам нужно, чтобы дуальный базис также удовлетворял условиям четности и целочисленности. Проверим эти условия. Мы должны иметь (^* - е*) = целое число для всех г, / и (е* • ^*) = 2. Поскольку

(e^.е)=/石丄

и матрица А целочисленна, то такое возможно только в случае, когда

det А = ±1.

Это условие совместно с требованием четности дуальной решетки налагает очень сильные ограничения на размерность прост- ранства. Как показано в книге Серра [150], такие матрицы, т. е. четные само дуальные решетки, могут существовать только в пространствах размерности d = 8R, потому мы и рассматривали только их. Особенно нас будет интересовать, естественно, d = 16, поскольку именно она соответствует компактификации 26-мерной бозонной струны до 10-мерной суперструны и именно в этой размерности получаются неаномальные группы SO (32) и Еа X Eq.

ЗАМКНУТАЯ СТРУНА.МЕХАНИЗМ КРЕММЕРА — ШЕРКА

Гетеротическая струна, которую мы собираемся изучать, является замкнутой. Ниже мы убедимся, что разработанный в предыдущем параграфе механизм компактификации не дает ничего интересного в применении к открытым струнам. Прервемся ненадолго и обсудим специфические свойства замкнутых струн, оставшихся за кадром при обсуждении бозонной струны.

Напомним, что из-за граничных условий хг (0, т)= хг (л, т)= —О в открытой струне координата хи(о, т) разлагается только по cos тш. В замкнутой струне есть только требование периодичности, но никаких граничных условий нет, поэтому в ней струнная координата /"(о, т) разлагается одновременно по cos па и sin тга. Соответственно вместо одного набора осцилляторов «й появляются два набора, которые мы обозначим ос^ и а п- Из этих осцилляторов обычным способом строятся две серии операторов Виразоро:

Lq =^-p2 — ^^ a巴 71t成，

n=l

(4.5.1>(4.5.1>-2 q * 7乩

(4.5.1>

(4.5.1>

n=i

Lrt = — ^j CZn—т^тч

Lg = — ^^ O^n—m^m*

Замечательно, что удвоение числа переменных в замкнутой струне не приводит к обогащению спектра, наоборот, оказывается, ■что в нем возможны только состояния с четным спином. Причиной дополнительного ограничения является требование периодичности. Мы выведем его следствия с помощью не совсем строгого, но зато наглядного трюка: как мы знаем, пропагатор открытой струны имеет вид

В случае замкнутой струны это выражение видоизменя'ется очевидным образом [47]:

0Closed(p)= j d2j。—2 饪L.

Вычисляя интеграл в цилиндрических координатах, мы получаем^

加…(p) - 1 6

出丿 4 +4一2 4-3

Таким образом, физические состояния должны удовлетворять двум условиям в дополнение к обычным условиям Виразоро:

(厶 + W 一 2) ghys〉= 0,(4.5.2)

(£о — Zo) I phys>= 0.(4.5.3)

Условие (4.5.2) является обычным массовым соотношением для суммарной системы осцилляторов, в то время как (4.5.3) представляет собой новое ограничение на спектр состояний. Благодаря ему в спектре запрещены, например, состояния вида

а纟工а—nfe I 0>, образовывавшие спектр открытой струны. Очевидно, что в спектре замкнутой струны возможны лишь состояния, содержащие одновременно возбу ж де ни я а上 п и a±n. Низшим состоянием является тахион 10> с массой Mq = — 8, далее следуют три состояния с массой Мо = 0： дилатон

фа±1а^1|0>,(4.5.4)

антисимметричный тензор

Н^^ I 0>,区^ = - Hv^(4.5.5)

гравитон («померон»)

^uv^—ia—11。〉，^uv = g*屮(4.5.6}

g^x = 0, p^^ = 0.

Еще одна особенность появляется в замкнутой ориентируемой струне при ее компактификации [68]. Предположим, что мы компактифицируем d компонент замкнутой струны на d-мерный тор, который есть не что иное, как (?7(1) )d. Как мы подробно обсуждали выше, при такой компактификации координата %\ Z = 1, 2, ..., d, ничем не отличается от %’ + 2nniR^ где Пг —— целые числа, a Ri —— радиус Z-ro тора, поэтому лри обходе вдоль струны мы имеем

xi(a + 2л, т)= 公(и, т)+ 2nnfii (нет сум мир ования по Z),Z 1, 2, ..., d.

Читатель, знакомый с понятием гомотопии, заметит, что этот феномен является следствием нетривиальности от обр ажения замкнутой струны (т. е. многообразия, топологически эквивалентного окружности) в одномерный тор (т. е. окружность) (рис. 14). В случае компактификации D компонент можно мыслить отображение как прямое произведение. Такие отображения распадаются на гомотопические классы, характеризуемые целым числом Пг ——степенью отображения [152]. Креммер и Шерк показали, что топологический инвариант nt (4.5.7) сохраняется при взаимодействии замкнутых ориентир у емых струн, но не сохраняется при взаимодействии неориентируемых струн. Здесь и далее мы рассматриваем только ориентируемые струны.

Рис. 14, Гомотопически нетри- виальвые отображения 24-й компоненты координаты замкнутой струны на окружность компактификации.

Теперь с учетом (4.5.7) общее решение уравнения движения для компактифицированных координат замкнутой струны при^ обретает вид

川(or, t)=炉 + 7?Ч + niRifj + г £ f^-e-in<T+c> + 亭 е-'пС-б). пу0兀 '

(4.5.8)

Состояния с "t #= 0 оказываются солитонами. Они в точности аналогичны обычным теоретико-полевым солитонам [12], ста- бильным благодаря условиям сохранения топологических инвариантов.

Заранее очевидно, что, коль скоро параметры тора входят в выражение для компактифицированных координат, от них нетривиальным образом будет зависеть масса струны. Ниже мы увидим, что это открывает возможность для получения множества допол ните льных безмассовых состояний в спектре компактифицированной замкнутой -струны.

Из формулы (4.5.8) видно, что возбуждения, соответствующие а* движутся в отрицательную сторону, а возбуждения ^坎一 в положительную. Назовем для краткости а* —— левыми, а «п — правыми возбуждениями. Замечательным свойством замкнутой ориентируемой струны является их независимость. Действитель- но, единственное условие, связывающее возбуждения правого и левого секторов,— условие периодичности (4.5.3), которое накладывает ограничение на разность масс правого и левого секторов, во всем остальном они совершенно независимы. Как известно, лагранжиан струны (в калибровке светового конуса) является свободным и он, как нетрудно убедиться, не перемешивает левые и правые вовбуж дени я. Присутствие массового члена или члена взаимодействия привело бы ко взаимодействию секторов, но таких членов в лангражиане нет. Взаимодействие струн возникает благодаря усложнению топологии мирового листа. Коль скоро мы рассматриваем ориентируемые струны, полученные поверхности являются ориентируемыми (римановыми) поверхностями и они вновь не могут изменить ориентации право-лево. Это наблюдение оказывается решающим для построения гетеротической струны. Мы вернемся к нему также в главе 5 при обсуждении теоремы Белавина — Книжника [153].

§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ГЕТЕРОТИЧЕСКОЙ СТРУНЫ

Теперь мы вплотную подошли к идее построения гетеротической струны [137]. Интуитивно ясно, что нам нужно исходить из замкнутой бозонной струны в Z) = 26 и попытаться компактификацией ее до D = 10 получить 496 калибровочных безмассо- вых бозонов, заполняющих присоединенное представление группы SO (32) или Es X Е8. Построенная струна должна обладать 10-мерной суперсимметрией, кроме того, мы должны подобрать левые и правые секторы так, чтобы условие (4.5.3) на их массы запрещало появление тахиона, который присутствует в D = 26 бозонной струне. В рамках данных условий мы однозначно приходим к следующему набору полей: возьмем на световом конусе правый сектор 10-мерной суперструны Грина ■— Шварца в виде:

8 поперечных бозонных координат Х*(т— о), г = 1, 2, ..., 8; 2) 8 майорана-вейлевских спиноров 5а(т — о), а = 1, 2,...

32.

В качестве левого сектора возьмем 24 поперечные бозонные ко- ординаты*：!

^(т + о), Z = 1, 2,8;

Х《 + е), / = 1, 2,16.

Бозонные координаты Xi (т — о) и Х\т + а) вместе описывают координату струны X* (т, о) в 10-мерном пространстве-времени. Их присутствие является, разумеется, необходимым, если мы вообще хотим иметь струну. В правом секторе у нас есть 7V = 1 суперсимметрия, свойственная суиерструне ：Грина — Шварца. В то же время с точки зрения мирового листа этот набор полей соответствует лишь N = 1/2 суперсимметрии, поскольку в левом секторе ее нет. Однако этого вполне достаточно, чтобы спектр струны был суперсимметричным. Наконец, в модели есть ки- ральные фермионы, необходимые для получения физических ки- ральных фермионов при дальнейшей компактификации до D = 4. Описанная модель струны, построенная в работах Гросса и др. [137], была названа их авторами «гетеротической» (от греческого слова «гетерозис»——«усиление посредством перекрестного спаривания»).

Запишем разложение координат гетеротической струны в ряд по нормальным колебаниям:

х‘ С — о)=金 m + 小(т — Ь) + 4-工号 е—2£”С—%

Х‘ (Т 十 О) = 苏 + $ Р% (т + 6 + 事 N 等 e-2i»(T+a)5

九卢0(461)

6。(Т 一 G) = £ 5^-2in(r-a)?

Х】(т + b) = 2? + pZ(T + СТ) + 等工野 e_2i„(t+a)e

Коммутационные соотношения всех координат, кроме х1, р， имеют обычный вид. Что касается компактифицированных координат и импульсов, то мы должны учесть тот факт, что X1 не зависит от т — о, иными словами, (5Т — да) Xх = 0. Это приводит к появлению связи, и скобки Пуассона необходимо модифицировать с учетом рецепта Дирака [80]. Ответ имеет вид

[以"q=手Zb",

в то время как 10-мервые координаты и импульсы имеют обычные коммутационные соотношения

[х\ pj]==冶乙

Остальные коммут ационны е соотношения между осцил лят о рны- ми переменными ничем не отличаются от хорошо известных соотношений осцилляторной алгебры, и мы их не выписываем. Теперь мы можем вычислить оператор массы гетеротической струны. Согласно (4.5.2), (масса)2 определяется сложением (масс) 2 правого и левого секторов. В левом секторе мы имеем бозонную струну, поэтому ее оператор массы имеет вид 厶о — 1, но правый сектор у нас составляет суперструна Грина ——Шварца, в которой тахиона нет, так что единицу вычитать не нужно. Отсюда мы получаем для массы М2 = 2Р+Р~ — (Рг)2 формулу

ie

手АР = %+ (齐—])+ 击工(pf,(4.6.2)

工=工

где

№ =4—Sn),(4.6.3)

N = 2 (aLn°^ + ajL^a扌)(4.6.4)

тг=1

—хорошо известные операторы чисел заполнения соответственно суперструны Грина ——Шварца и бозонной струны. Условие периодичности (4.5.3) принимает вид

16

N = W — 1+ 击工(pf)2.(4.6.5)

2=1

16 левых бозонных координат у нас «лишние», и мы должны их компактифицировать на 16-мерный тор, используя метод, описанный в § 4. При этом мы получаем 16 безмассовых калибр овочных бозонов, соответствующих изометриям 16-мерного тора, т. е. группе {U(1))16. Этого слишком мало, ес нам необходимо добыть где-нибудь еще 480 бозонов, чтобы заполнить присоединенное представление SO (32) или Es X Ев- Здесь решающую роль играет солитонный механизм Креммера — Шерка. Чтобы понять его проявление, рассмотрим, следуя работе [137],

■простейший случай — компактификацию одной из координат 26-мерной замкнутой бозонной струны на окружность S】радиуса 五.Например, X24 принимает вид (О W 仃 W nj

X24(g, т) = х24 + р24T + 2LRg + осцилляторы, (4.6.6) где р24 = м/R； М и L — целые числа. Оператор массы М2 получает вклад от компактифицированной 24-й компоненты X24 и со- литонного числа £:

-^M2 = N + N — 2A- ~ 十小岳.(4.6.7)

Кроме того, условие периодичности (4.5.3) налагает следующую связь:

N = N + ML.(4.6.8)

Рассмотрим спектр безмассовых векторных бозонов, возникающих при компактификации. Безмассовые состояния, удовлетворяющие условию N = N (т. е. ТИ = £ = 0), имеют вид а±1d上工 | 0〉, из пих при компактификации мы получаем в калибровке светового конуса 2 безмассовых векторных бозона:

а上忘驾I 0>, а驾己上工I 0>.(4.6.9)

Предположим^ теперь, что окружность имеет специальный радиус 7? = 1/У2 (измеренный в единицах У2аЛ). Тогда формула для массы с учетом уравнения связи приобретает вид

4- М” =亦-2 +〈叱£ )2 = 2N — 2 + ^^ 支.(4.6.10)

Теперь при М ^L = ±1, N = 1, TV = 0 мы получаем 2 дополнительных бозона all \ М = L = ±1>, а при М = —L = ±1, N =1, ТУ = 0 еще 2 безмассовых бозона вида a上工］47=—£=±1>, итого, включая (4.6.9), 6 безмассовых векторных состояний, которые заполняют присоединенное представление группы SU (2) X X SU (2). В отсутствие солитонов мы имели бы всего лишь два калуца-клейновских бозона. Каков смысл выбора радиуса R = = 1/У2? Во-первых, квадрат компактифицированного импульса имеет значение (р24)2 = 2М2 = 2 в случае солитонов, во-вторых, «решетка» компактификации оказывается самодуальной (в данном случае решетка состоит из одной точки, так что самодуаль- ность достигается тривиально, более важным оказывается условие четности).

Описанная конструкция прямо обобщается па случай гетеротической струны. Запишем вновь разложение для компактифицируемых координат с учетом солитонов:

X1 (т, о) = хг + р1% + 217q + осцилляторы.

По условию координаты X1 являются левыми, т. е. должны зависеть только от т + и. Чтобы такое было возможно, коэффици-

енты перед т (т. е. импульсы) должны быть нетривиально связаны с коэффициентами перед а (т. е. с вектором солитонных чисел). Вектор солитонных чисел состоит из целых чисел "，где "'обозначает накручивание "/ раз в 7-м направлении. Этот вектор разлагается, разумеется, по координатной решетке с базисом е『(4414”

""祸ej,(4.6.11)i

в то время как импульс — по дуальной решетке с базисом J :

吁喳£卄.(4.6.12>

Таким образом, требование зависимости координаты X1 от т + о приводит к исключительно важному следствию: решетка импульсов А должна быть подрешеткой решетки координат Г (совпадение пока что, строго говоря, необязательно). Теперь, выбирая вновь Rj = У1/2, мы получаем следующие выражения для оператора массы и условия связи:

16

告= “ +1+击工 3)2，(4.6.13>

16

2V = TV + 4-2(Pf・(4.6.14>

Напомним, что N — оператор чисел заполнения суперструнью Грина — Шварца — правого сектора гетеротической струны. Подставляя (4.6.14) в (4.6.13), мы находим

~ М3 = 2Л- > 0.(4.6/5)；

Иными словами, спектр масс в гетеротической струне положительно определен. Условие связи (4.6.14) запрещает появление тахиона в спектре. Далее, поскольку N、N — целые числа на физических состояниях, величина 2 (夕工尸 должна быть четной.

Приступим к анализу спектра безмассовых состояний. Согласно (4.6.15), они возникают только при N ~ 0. Прежде всего,, мы имеем 16 кал УЦа- к лейнов ских векторных бозонов, соответствующих (pJ)2 = 0, 用=1, т. е. описываемых в левом секторе- состоянием а£г j 0>ь, где 丨0>兀 一 тахионный вакуум левого сектора. Сам вакуум исключен из спектра условием (4.6.14). Умножая это состояние в левом секторе на бозонный вакуум |/>Л суперструны, мы получаем 16 безмассовых (нейтральных) векторных бозонов:

I X〉r ® а二工 I 0〉j

Далее, мы имеем «заряжеиные» состояния, соответствующие 2V = О, S(Р1)2 = 2. Как мы уже знаем, на 16-мерной четной са- модуальной решетке таких состояний 480. В сумме мы получаем 496 безмассовых векторных бозонов, которые заполняют присоединенное представление группы SO (32) или Es X Е8. Итак, благодаря компактификации «лишних» координат у замкнутой струны мы пришли внутренне согласованным образом к нужной нам калибровочной группе Eg X Ев, которую невозможно ввести процедурой Чана ——Патона.

Опишем кратко спектр состояний гетеротической струны. Пространство состояний образуется путем прямого произведения состояний -правого и левого секторов. На низшем уровне в правом секторе мы имеем 8 поперечных векторных бозонов U>R и 8 майорана-вейлевских фермионов 丨。〉&, связанных преобразовани- ем N ~ 1 суперсимметрии. В левом имеем 496 безмассовых состояний 口丄工|0〉£, I//, (р1)2 = 2>ь. Это дает нам 496 безмассовых калибровочных бозонов

I Z〉r ® а%】I 0〉工，I %〉五 ® 1 р1, 3)2 = 2〉工

и 496 их суперпартнеров ——безмассовых майорана-вейлевских фермионов

а〉к ® a%i I。〉工，I 口〉五 ® I Р1, (Р1)2 = 2〉工.

Вместе они образуют неприводимый мультиплет TV = 1 D = 10 теории супер-Янга ——Миллса с калибровочной группой SO(32) или Ев X Eg. Кроме того, мы имеем обычный мультиплет TV = 1 D = 10 супергравитации, характерный для одного из секторов замкнутой суперструны Грина — Шварца (напомним, зто в замкнутой суперструне, т. е. в обоих ее секторах, присутствует JV = 2 суперсимметрия), с состояниями вида

I t〉R ® a-i I 0〉l, I a〉R ® a-i ］。>工・

В низкоэнергетическом пределе безмассовый сектор гетеротической струны в точности совпадает с пределом открытой суперструны с калибровочной группой SO (32) или Es X EsT причем, как мы знаем, открытые суперструны на самом: деле не могут включать в себя исключительных групп. В гетеротической струне они возникают вполне законным образом. Поскольку открытая суперструна не имеет аномалий для указанных калибровочных групп, гетеротическая струна также не нмеет аномалий и является новой 10-мерной моделью струны, полностью согласованной, не имеющей тахионов и не содержащей аномалий. Конечно, гетер отичес кая струна не является совсем новой, поскольку составлена из 《кусков» обыкновенной бозонной струны и супер струны Грина ——Шварца; новым был скорее принцип ее построения — асимметрическое смешивание правого и левого секторов. Эта, идея оказалась исключительно плодотворной с точки прения построения новых моделей струн 広 поиска новых меха-

низмов компактификации. Сама гетеротическая струна, единственная из всех моделей, допускающая калибровочную группу Eg X Е8, представляет собой на сегодняшний день наиболее 《со、 лидную» модель струны (нам не хотелось бы употреблять не~ сколько сомнительное в данном контексте слово «перепек^ тивнах»).

Возвращаясь к спектру гетеротической струны, отметим, что> он очень быстро размножается благодаря наличию дополнитель- ного квантового числа pt Например, па первом массивном уров- не с N = 1 мы должны рассматривать состояния с £ (р?)? = 4У а таких точек на данной решетке 69 752, всего же состояний с TV = 1 оказывается 18 883 584 [13 7]. Впрочем, как мы уже гово- рили, массивные состояния суперструн представляют лишь академический интерес.

Взаимодействие гетеротической струны подробно рассмотрено в оригинальных работах Гросса и др. [137, 138]. Вершины взаимодействия здесь оказываются более сложными, чем в обычной суперструне, поскольку включают в себя операторный коцикл с и групповые факторы для «заряженных» бозонов.

§ 7. МОДУЛЯРНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

В настоящей книге мы не касаемся задачи построения петлевых поправок в рамках операторной дуальной модели, поэтому обсуждение в этом параграфе будет носить информативный характер. Вскоре после открытия амплитуды Венециан» для открытой струны и ее аналога —— амилитуды Виразоро —— Шапиро для замкнутой струны —— несколькими группами авторов [154——157] были построены однопетлевые диаграммы в операторной дуальной модели, а затем выяснены общие свойства многопетлевых диаграмм. Не все эти работы были правильными, поскольку не учитывали вклада духовых полей, но многие из пих предвосхитили позднейшие идеи и оказались исключительно важными для понимания математической структуры дуальных многопетлевых амплитуд. В первую очередь нужно указать ра- боты Лавлейса и Алессандрини [155], выяснивших роль абелевых интегралов и функций Грина на римановой поверхности в рамках аналоговой модели (см. § 4 главы 5); Алессандрини и. Амати [156], оценивших матрицу периодов вблизи точек вырож* дения римановой поверхности и, по сути дела, вычисливших расходимости дуальных диаграмм; Каку и Шерка [157], получивших аналог формулы Сельберга [158] для произвольноиг многопетлевой амплитуды, и т. д.

Одной из главных трудностей, встретившихся на этом пути, было обнаружение очень сильных экспоненциальных расходимостей в ультрафиолетовой области. При построении дуальной мо- дели высказывалось резонное предположение, что, поскольку масса состояний на траектории Редже неограниченно возрастает.

пропагатор должен очень быстро убывать в ультрафиолетовой области и петлевые диаграммы дуальной теории должны в этой области иметь значительно лучшее поведение, чем диаграммы обычной квантовой теории поля. Между тем на практике выяс^ пилось, что дуальные диаграммы содержат настолько сильные расходимости, каких нет даже в неперенормируемых теориях поля. Хотя предлагались рецепты перенормировки расходящихся диаграмм, однако они выгладели очень искусственно и неубедительно и нисколько не рассеивали замешательства. К счастью, решение, причем исключительно красивое, было вскоре найдено. В 1972 г. Ша-пир о вычислил однопетлевую диаграмму для замкнутой струны, соответствующую, по сути дела, статсумме. Она учитывала вклад духов и имела вид

z = j^^pamtLn^p3'(471)

где

гЛТ 8

nW = е 后 Ц (1 —е2Л2ПТ)в(4.7.2)

Функция т] (т) называется ^-функцией Дедекинда и играет важную роль в теории чисел и теории эллиптических функций [99, 118, 160]. Заметим, что в статсумме (4.7.1) она возводится в 24-ю степень, что играет решающую роль для дальнейшего. Если бы мы не учли вклада духовых состояний и возвели т)-функ- цию в 26-ю степень, последующие рассуждения не имели бы места. И нт егрир ов а ни е в (4.7.1) ведется по верхней полуплоскости комплексного параметра т. Читатель, знакомый отчасти с теорией эллиптических функций, сообразит, что т является модулем тора, т. е. отношением двух периодов ①加 出2 двоякопериодической функции, т = coz/si, Im т >* 0. Мера интегрирования d2x/(Im т)2 согласована с так называемой метрикой Пуанкаре верхней по л у пл о с кости [103]. Подынтегральное выражение в (4.7.1) имеет суще с твенную особенность при т = 0 и расходится квадратично в области 1тт +℃ (см. ниже). Шапиро [159] сделал исключительно важное наблюдение: он заметил, что подынтегральное выражение в (4.7.1) инвариантно относительно модулярных преобразований

(4.7.3)(4.7.3)т f 口工 + 匕 % 仇 c, d — целые,ст + b ' «〃 — be = 1.

(4.7.3)

(4.7.3)

Легко проверить, что модулярные пр е обр а зов ани я образуют группу, являющуюся подгруппой группы Мёбиуса. Группа модулярных преобразований представляет собой один из характерных примеров фуксовой группы [103]. Преобразование (4.7.3) возникает в теории эллиптических функций при взаимно обратимом преобразовании периодов з?=仪①金 + 匕①工，①工=ссо2 + ds*, условие ad ——be = 1 возникает из-за требования обратимости

[117, 118, 161]. Мера Пуанкаре d2r/(Im т)2, как легко видеть, инвариантна относительно (4.7.3) (она и строилась из соображений инвариантности относительно вещественных дробно-линейных преобразований). Что касается функции Дедекинда, то для установления ее трансформационных свойств относительно модулярных преобразований заметим, что вся модулярная группа порождается двумя элементами: S : т f ——1/т (инверсия) и Т : т f т + 1 (сдвиг). Любое преобразование вида (ат + 6/ (ст + d) можно записать в виде конечного произведения STST2 .... Если изображать модулярные преобразования, матрицами целых чисел с единичным детерминантом

N 7 det 4=1,

то инверсия и сдвиг в этих обозначениях представляются как

и наше утверждение сведется к просто доказываемому свойству матриц 2X2 [99]. При сдвигах функция Дедекинда преобразуется, очевидно, как

刀（т 十 1） = С汨（т）,刀（т 十 1） = С汨（т）,(4.7.4)(4.7.4)

刀（т 十 1） = С汨（т）,

刀（т 十 1） = С汨（т）,

(4.7.4)

(4.7.4)

т. е.岂24 инвариантна относительно сдвигов. При инверсиях она ^преобразуется нетривиально [99, 160]:

Х( — 1/т) = V—/т г](т).(4.7.5)

Таким образом, выражение (Im т)~12|т] (т) I24 полностью моду- лярно-инвариантно. Если это так, то мы в интеграле (4.7.1) много раз интегрируем по одним и тем же точкам, связанным модулярным преобразованием. Ситуация полностью аналогична той, которая возникает при квантовании неабелевых калибровочных полей, где наивный функциональный интеграл расходится благодаря присутствию бесконечного объема калибровочной группы. Нет ничего удивительного, что интеграл (4.7.1) также ллохо определен. Следуя общей идеологии Фаддеева ——Попова квантования систем с бесконечной группой инвариантности, мы должны определить интеграл так, чтобы он брался по области, никакие две точки которой не связаны модулярным преобразованием. Такая область хорошо известна в теории эллиптических функций и называется фундаментальной областью модулярной группы. В качестве ее мы можем выбрать, например, полосу 歹 (рис. 15). На самом деле, полоса 歹 и все параллельные ей полосы являются треугольниками Лобачевского, так как стороны сходятся в беоконечности. На рис. 15 вся верхняя полуплоскость разбита на треугольники, или «замощена», как еще говорят, причем площадь всех треугольников одинакова с точки зрения

Рис. 15, Фундаментальная об-ласть модулярной группы 歹(изображены только «боль-шие» треугольники).

Сторона III идентична стороне IV, I идентична ZZ： i, р, р'—стабильные точки (ообифолд-точки); топологически 歹 эквивалентна сфере с выколотой ТОЧНОЙ 1； = i 8.

меры Пуанкаре и равна п/3. Каждый из этих тре- • угольников может быть с — равным основанием взят -

衣

一上0上

22

в качестве фудамепталь-

ной области модулярной группы. Однако особенно просто проверить свойство фундаментальности выбранной нами полосы 歹. В самом деле, при сдвигах мы имеем т — т 十 1 и, поскольку ширина полосы 歹 равна 1, любая точка из внутренности полосы 歹 перейдет в соседнюю полосу. Исключение составляют точки на границе, которые мы, очевидно, должны отождествить. Далее, поскольку полоса 歹 находится в области Iт| >1, любая ее точка при инверсии попадает в область I т| ^ 1. Что точек на границе 丨 т1 = 1, то, как легко видеть, «при инверсии точки сегмента I переходят в точки сегмента //, так вновь должны их отождествить.

Таким образом, полоса 歹 со сторонами, отождествленными указанным образом, действительно является фундаментальной областью модулярной группы и мы можем ограничить интегрирование в (4.7.1) областью 歹： ——1/2 ^ Re т W 〃2, 1т| > 1. Г теперь эта область не содержит тоякн 0 и интеграл сходится ультрафиолетовой области! Разумеется, в качестве талыюй области мы могли бы выбрать любой треугольник, в том числе, Hanpmiep,歹'，содержащий точку 0, но тогда нам надо было бы подвергнуть переменную интегрирования инверсии и интеграл вновь не имел бы никаких особенностей в окрестности этой точки 0.

касается

что мы

Но

в

фундамен-

Призеденный простой пример демонстрирует нам роль модулярной инвариантности при рассмотрении петлевых диаграмм струнной теории. Эти рассуждения можпо обобщить на мпого-

петлевой случай [ 162]

и привести аргументы в пользу копечно- некоторых теорий струп. Подчеркнем, однако, что строгого доказательства конечности до сих пор не получено. Что касается статсуммы (4.7.1), то, хотя она и не имеет теперь бессмысленной сингулярности в т = 0, но все же расходится при т f £8 из-за наличия тахиона. Чтобы описать эту расходимость, введем так называемую параболическую модулярную форму веса —12 Д(т) [99, 117]:

сти

Д(Т)= Т]24 (т)=仪冗玩[j (] е2лгпт^24

п=1

каккак

как

как

Согласно (4.7.5), А(т) ведет себя при инверсиях

Д (— 1/т) = т12Д (т)

и инвариантна при сдвигах. В теории модулярных форм обычно вводят переменную q == exp (2лгт) и рассматривают аналитические свойства функций относительно g . 八(9) имеет полюс первого порядка при ^ = О, т. е. при т f %8. Учитывая, что

(Im т)72 =鲁 х (логарифмы),

мы видим, что интеграл (4.7.1) может быть представлен в виде fdg/\ d& 一，、,2(ln|g|)7,(477)

где выражение ('△(g))"4 имеет полюс второго порядка при ,=0. Как показали Белавин и Книжник [153] (см. также [163]), эта расходимость типична для замкнутой бозонной струны и возникает во всех порядках теории возмущений. Причина в озникновения расходимости ——тахион 26-мерной бозонной струны [153]. Поскольку тахион присущ только бозонной струне и его нет в суп ер с трупе, это вселяет надежду на то, что в суперструнах инфракрасных расходимостей быть не должно.

Теперь ясно, что требование модулярной инвариантности —— главное ограничение, накладывав мое на структуру петлевых диаграмм струпной теории. Если та или иная модель струны приводит к нарушению модулярной инвариантности, то в диаграммах теории возмущений возникают бессмысленные расходимости и данная модель должна быть отброшена. С точки зрения <низкоэпергетической теории поля нарушение модулярной инвариантности соответствует появлению глобальных аномалий [254], что также означает математическую несогласованность теории.

Рассмотрим модулярную инвариантность гетеротической струны. При вычислении одно пет левы х диаграмм мы должны интегрировать по импульсу, бегущему в петле. В данном случае 16 компонент импульса компактифицированы па решетку, т. е. -интеграл по ко мпактиро в анным компонентам заменяется на сумму по решетке. Оставшийся 10-мерный интеграл будет соответствовать обычной суперструне Грина — Шварца. В обзоре Шварца [48] показано подробно, что все 10-мерные разновидности суперструн модулярно-инвариантны. Поэтому мы опустим часть амплитуды, соответствующую суперструне, и рассмотрим только часть, отвечающую суммированию по 16-мерной решетке. Какие ограничения накладывает на структуру суммы требование модулярной инвариантности?

Типичный вклад от суммы по решетке в одпопетлевую амплитуду рассеяния N частиц имеет вид [138, 164]

纟(g,勾，К j) = W exp In g (尸一^^ j ' Q j ], (4.7.8) Per* L\ i=I ， J J

где Ki ——компактифицированные компоненты внешних импульсов; q = ехр(2пХт)— модулярный параметр； z» —переменные Виразоро ——Шапиро (аналог переменных Кобы — Нильсена для замкнутых струн);

Суммирование идет по всем векторам Р\ которые лежат на решетке импульсов Г*, т. е.

Выражение (4.7.8) хорошо известно в теории модулярных форм и носит название 0-функции решетки Г* [150]. При модулярных преобразованиях вида т f т + 1 q переходит само в себя, так что сумма (4.7.8) инвариантна. Рассмотрим инверсии т f —1/т, т. е.

In g 4п2Дп q.(4.7.9)：

Для проверки инвариантности суммы (4.7.8) относительно инверсий (4.7.9) используем многомерный аналог формулы суммирования Пуассона [150]. Рассмотрим сумму по решетке

纟(х)= 工 exp [九(P — Q+Х)2],(4.7.10)

Per*

где X и： Q — ^/-мерные векторы и суммирование идет по d-мерной решетке Г* с базисом е^. Очевидно, сумма 纟(X) периодична на торе 2?d/r*, т. е.

与(X)=2(X+"拚力，

и может быть разложена в ряд Фурье по дуальной иеременпой М, которая лежит па решетке Г (решетке координат), дуальной к Г* (решетке импульсов). Элементарное применение преобразования Фурье дает нам формулу суммирования Пуассона

У exp [X (Р — Q)2]=Per*

必修(一看)"2JXP[于伍_金 Q) + 大q] (4711)

где матрица Л* ——введенная выше метрики решетки Г*, т. е. матрица скалярных произведений базисных векторов (е* -е*) (см. (4.4.15)). В правой части (4.7.11) модулярный параметр In g испытал нужную нам инверсию (4.7.9), однако, во-первых,

суммирование в правой части идет по решетке, дуальпой к исходной, во-вторых, перед суммой появился член (detЛ)-1/2. Только в том случае, если решетка Г* самодуальна, т. е. Г* = Г, det Л* = 1, амплитуда 必 инвариантна относительно инверсий.

Таким образом, требование модулярной инвариантности од- нопетлевого интеграла гетеротической струны дает нам даже более сильное ограничение на структуру допустимых решеток, а именно: решетка импульсов Г* и дуальная к ней решетка координат Г должны совпадать (напомним, что при построении гетеротической струны достаточно было, чтобы Л была подре' шеткой в Г*). Подобная же ситуация возникает в обычной бозонной струне в рамках ковариантного квантования, когда требование отсутствия духов дает нам условие а。VI, 普 V 26, в то время как требование отсутствия нефизических сингулярностей в одной петле дает более жесткое ограничение ао = 1, 普= 26.

Из этого примера следует, что условия модулярной инвариантности на однопетлевом уровне вполне достаточно для однозначного определения допустимой решетки компактификации и оно вполне заменяет собой длинные построения в предыдущих параграфах. Исходным стимулом к построению гетеротической струны был поиск струнной теории, допускающей свободную от аномалий группу Es X Ев. Наш поиск после длинной цепи рас- суждений, описанных в § 3, привел к 16-мерной четной само- дуальной решетке; наконец, мы только что выяснили, что 0-функция, определенная на этой решетке, удовлетворяет важ- ному условию модулярпой ковариантности, являясь благодаря условию самодуальности решетки модулярной формой нужного веса. Возникает вопрос: какова же связь между исходным и конечным пунктом рассуждений, иными словами, между сокращением аномалий и требованием модулярной инвариантности? Почему эти условия приводят к одним и тем же калибровочным группам? Ответ на вопрос, хотя, возможно, и не совсем полный *, дала замечательная работа Схелекенса и Уорнера [166]. Они рассмотрели широкий класс струнных моделей гетеротического типа (хотя общность в какой-то степени была иллюзорной) и показали, что однопетлевая статсумма для них в общем случае имеет аномалию при модулярных преобразованиях, причем аномалия пропорциональна фактору Грина—Шварца (4.1.14).

х& =卜 г Н2—~Тг 产｝ (4.7.12)

Можно определить модифицированную амплитуду, которая не будет иметь модулярной аномалии, но которая в низкоэнергети-

ческом пределе будет давать калибровочную аномалию, пропорциональную (4.7.12). Она, как мы знаем, может быть сокращена механизмом Грина ——Шварца. Требовапие точной модулярной инвариантности равнозначно требованию обращения в нуль фактора Х4, т. е. полному сокращению аномалий, даже без введения контрчлена (4.1.15). Этот результат подтвердила работа Судзуки и Сугамото [167], которые явно вычислили низкоэнергетическую аномалию для гетеротической струны и показали, что она выражается интегралом по модулярному параметру т от модулярноинвариантной функции /(т)

G=『dif (т).

Интеграл берется по границе фундаментальной области 歹.Ввиду модулярной инвариантности / (т) вклады от границ области взаимно сокращаются и интеграл равен 0, т. е. модулярная инвариантность обеспечивает сокращение аномалий. Впрочем, на наш взгляд, этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовапии.

§ 8, СПИНОВАЯ СТРУКТУРАII ПРОЕКЦИЯ GSO

В предыдущей главе мы упоминали, что ввиду отсутствия удовлетворительного ковариантного описания суперструны Грина •— Шварца при вычислениях по теории возмущений мы вынуждены прибегать к ковариантному лагранжиану спиновой струны (3.2.1). Его квантование, согласованное с геометрией, будет изучено в следующей главе, здесь же мы, забегая несколько вперед, хотим рассмотреть вопрос, тесно связанный с модулярной инвариантностью: какие ограничения накладывает она на амплитуды рассеяния спиновой струны? Рассмотрим однопетлевую статсумму замкнутой спиновой струны (3.2.1). В этом случае мировая поверхность струны является тором, римановой поверхностью рода 1 (рис. 16). В общем случае g — петлевая амплитуда ——соответствует римановой поверхности рода g, т. е. сфере с g ручками. По определению, функцией на поверхности называется величина, которая не меняется при обходах вдоль замкнутых циклов. На рис. 16 нетривиальные гомологические циклы а и 匕 изображены штриховыми линиями. В частности, на торе скалярные поля (т. е. функции) должны быть двоякопериодическими функциями. В терминах модулярного параметра предыдущего

Im с>0Im с>0Рис. 27. Представление тора комплексным числом т в верхней полуплоскости.

Im с>0

Im с>0

параграфа мы можем записать это следующим образом:

(4.8.1)(4.8.1)①（自1 + 1,自2）=①（自1,自2）,

(4.8.1)

(4.8.1)

①（gi + Re*自2 + Im七）=①（з，自2）,

где 自 1,三2 —— переменные мирового листа (о, т в прежних обозначениях) ;工——модуль тора,工=0)2/①i・ Мы нормировали периоды так, что одна сторона тора имеет длину 1 (он = 1), тогда(02 =工 (рис. 17). Теперь очевидно, что условия (4.8.1) есть как раз условия двоякопериодичности. Переходя к спинорным полям, мы замечаем, что в общем случае требования (4.8.1) являются слишком ограничительными. В самом деле, граничные условия для фермионов в секторе NS допускают изменение знака при изменении о на о + л. В данном случае это соответствует обходу вокруг одного из замкнутых контуров на торе, а или Ь. Поскольку теперь переменные 三匕 自2 полностью равноправны, то же самое должно быть возможно и при обходе вдоль второго замкнутого контура. Таким образом, при переносе спинора на торе вдоль нетривиального цикла он может принять то же самое значение, но может и поменять знак. Соответственно возникают четыре возможности:

U(a + 1,自2)= 土w(自i,三2),

w(* + Re T,自2 + Im 工)=士山(Wi,自2).*

Следуя общепринятым обозначениям, мы запишем четыре возможных типа спиноров в виде

(+, +), (+, 一)，(-, +),( 一，一)，

где первый знак в скобках отвечает знаку спинора при обходе вдоль цикла а, а второй ——при обходе вдоль цикла Ь. Спинорное поле на римановой поверхности вместе с заданным набором знаков при обходе вдоль циклов называется спиновой структурой. В общем случае на поверхности рода g имеется 22g спиновых структур. Нетрудно видеть, что модулярные преобразования меняют циклы нетривиальным образом. Например, сдвиг т т + 1 соответствует тому, что мы разрезаем тор вдоль цикла а, закручиваем одну из образовавшихся трубок на 2冗 и вдоль склеиваем. При таком преобразовании цикл。не меняется, а цикл b переходит в «произведение» а ■ Ъ (рис. 18). Легко видеть, что мы не можем получить новый цикл Ь‘ непрерывной деформацией циклов а, Ь, поэтому модулярные преобразования часто называют «большими диффеоморфизмами^——они представляют собой класс диффеоморфизмов, не связанных непрерывно с тождест-

Рис. 18. Преобразования после разрезания тораРис. 18. Преобразования после разрезания тораРис. 29. Тор, приведенный на рис. 17, после модулярного преобразования t-＞一1片.Рис. 29. Тор, приведенный на рис. 17, после модулярного преобразования t-＞一1片.цикла &вдольцикла &вдольвенным. При сдвиге т т + 1 структуры (~Ь, +) и (+, —) невенным. При сдвиге т т + 1 структуры (~Ь, +) и (+, —) нецикла а, закручивания на 2л исклеивания.цикла а, закручивания на 2л исклеивания.ПреобразованиеПреобразованиеинверсииинверсиименяются, а остальные две пере- ходят друг в друга: (—, —) + f (一，十)，(一，十)f (一，-)• описывается несколько сложнее.меняются, а остальные две пере- ходят друг в друга: (—, —) + f (一，十)，(一，十)f (一，-)• описывается несколько сложнее.Чтобы подвергнуть модуль тора, т. е. параллелограмма, изображенного на рис. 17, преобразованиющим образом: повернем его, как показано на рис. 19, а затем изменим масштаб в 1工丨 раз, чтобы сторона Ь имела длину 1. Простое вычисление показывает, что 工‘ =—1/т. Но поворот параллелограмма соответствует тому, что циклы а и д местами. Таким образом, при инверсии —1/т структуры (+, +) и (——, ——)не меняются, а (+, —) и (——, +) переставляются местами. Мы видим, что все спиновые структуры можно разбить на две группы: (+, +) и (+, —), (—, +), (—,—),причем структура (+, +) инвариантна при модулярных преобразованиях, а три структуры, составляющие вторую группу, переходят друг в друга. Таким образом, каждая изЧтобы подвергнуть модуль тора, т. е. параллелограмма, изображенного на рис. 17, преобразованиющим образом: повернем его, как показано на рис. 19, а затем изменим масштаб в 1工丨 раз, чтобы сторона Ь имела длину 1. Простое вычисление показывает, что 工‘ =—1/т. Но поворот параллелограмма соответствует тому, что циклы а и д местами. Таким образом, при инверсии —1/т структуры (+, +) и (——, ——)не меняются, а (+, —) и (——, +) переставляются местами. Мы видим, что все спиновые структуры можно разбить на две группы: (+, +) и (+, —), (—, +), (—,—),причем структура (+, +) инвариантна при модулярных преобразованиях, а три структуры, составляющие вторую группу, переходят друг в друга. Таким образом, каждая изинверсии, поступим следую-инверсии, поступим следую-меняются спиновыеменяются спиновыегрупп инвариантна в целом при модулярных преобразованиях.Из теории римановых поверхностей известно [180, 181], что метрика тора плоская, поэтому в данном простом случае спиновые структуры могут быть описаны явно, решением уравнения Диракагрупп инвариантна в целом при модулярных преобразованиях.Из теории римановых поверхностей известно [180, 181], что метрика тора плоская, поэтому в данном простом случае спиновые структуры могут быть описаны явно, решением уравнения Дирака

Рис. 18. Преобразования после разрезания тора

Рис. 18. Преобразования после разрезания тора

Рис. 29. Тор, приведенный на рис. 17, после модулярного преобразования t-＞一1片.

Рис. 29. Тор, приведенный на рис. 17, после модулярного преобразования t-＞一1片.

цикла &вдоль

цикла &вдоль

венным. При сдвиге т т + 1 структуры (~Ь, +) и (+, —) не

венным. При сдвиге т т + 1 структуры (~Ь, +) и (+, —) не

цикла а, закручивания на 2л исклеивания.

цикла а, закручивания на 2л исклеивания.

Преобразование

Преобразование

инверсии

инверсии

меняются, а остальные две пере- ходят друг в друга: (—, —) + f (一，十)，(一，十)f (一，-)• описывается несколько сложнее.

меняются, а остальные две пере- ходят друг в друга: (—, —) + f (一，十)，(一，十)f (一，-)• описывается несколько сложнее.

Чтобы подвергнуть модуль тора, т. е. параллелограмма, изображенного на рис. 17, преобразованию

щим образом: повернем его, как показано на рис. 19, а затем изменим масштаб в 1工丨 раз, чтобы сторона Ь имела длину 1. Простое вычисление показывает, что 工‘ =—1/т. Но поворот параллелограмма соответствует тому, что циклы а и д местами. Таким образом, при инверсии —1/т структуры (+, +) и (——, ——)не меняются, а (+, —) и (——, +) переставляются местами. Мы видим, что все спиновые структуры можно разбить на две группы: (+, +) и (+, —), (—, +), (—,—),причем структура (+, +) инвариантна при модулярных преобразованиях, а три структуры, составляющие вторую группу, переходят друг в друга. Таким образом, каждая из

Чтобы подвергнуть модуль тора, т. е. параллелограмма, изображенного на рис. 17, преобразованию

щим образом: повернем его, как показано на рис. 19, а затем изменим масштаб в 1工丨 раз, чтобы сторона Ь имела длину 1. Простое вычисление показывает, что 工‘ =—1/т. Но поворот параллелограмма соответствует тому, что циклы а и д местами. Таким образом, при инверсии —1/т структуры (+, +) и (——, ——)не меняются, а (+, —) и (——, +) переставляются местами. Мы видим, что все спиновые структуры можно разбить на две группы: (+, +) и (+, —), (—, +), (—,—),причем структура (+, +) инвариантна при модулярных преобразованиях, а три структуры, составляющие вторую группу, переходят друг в друга. Таким образом, каждая из

инверсии, поступим следую-

инверсии, поступим следую-

меняются спиновые

меняются спиновые

групп инвариантна в целом при модулярных преобразованиях.

Из теории римановых поверхностей известно [180, 181], что метрика тора плоская, поэтому в данном простом случае спиновые структуры могут быть описаны явно, решением уравнения Дирака

групп инвариантна в целом при модулярных преобразованиях.

Из теории римановых поверхностей известно [180, 181], что метрика тора плоская, поэтому в данном простом случае спиновые структуры могут быть описаны явно, решением уравнения Дирака

хYЛ0(1 中n(gi,自2)=апр?г (自1,自2)

с граничными условиями (4.8.2).

Упражнение. Ввести комплексные координаты z =鼻 + + i^2 и найти явное решение для спиновых структур на торе. Показать, что структуры ( + , —), (—, +), (—, —) не имеют нулевых мод, в то время как структура (+, +) имеет одну нулевую моду.

Число нулевых мод спиповой структуры задает ее четность. Структура с четным числом нулевых мод называется четной, и наоборот. В данном случае у нас есть одна нечетная спиновая структура——(+, +), остальные три структуры четные. В общем случае на римановой поверхности рода g имеется 2g-1 (2s——1) нечетных структур и 2g-1 (2fi + 1) четных. Мы видели, что при модулярных преобразованиях четные структуры переходили сами в себя, то же и нечетные. Таким образом, при модулярных

преобразованиях четность структуры не меняется и является понятием инвариантным.

При вычислении амплитуд с помощью лагранжиана спиновой струны мы должны суммировать по всем возможным спиновым структурам. Рассмотрим в качестве примера простейший случай •— статсумму слиновой струны. Мы вычислим здесь частьу соответствующую фермионам. Выберем в качестве параметра струны о, например, координату gi на торе. Мы знаем, что фермионы, периодичные по 三匕 соответствуют сектору Рамона, анти- периодичные ——сектору NS. Нам нужно вычислить статсуммы вида

Тг 八产,Tr AqHNS, g =済”江， (4.8.3) где j\ ——оператор, задающий граничные условия в направлении ^2 (т в прежних обозначениях). Из работ по функциональному подходу [168] к вычислению индекса Виттена [169] известно,, что в качестве А нужно взять I для знака «—» и оператор числа фермионов G =—(——I)，для знака «+». Тогда амплитуды для всех четырех спиновых структур записываются как

▲++

= т]++Тг(—4)% R,

(4.8.4a)

=11+- Tr 4h五,

(4846〉

A—-

=jTr(—l)Fj”

(4.8.4в>

Л一一

=」4收

(4.8.4г)

где т]士士 一 неизвестные константы. Мы должны определить их из требования модулярной инвариантности полной амплитуды. Выражения (4.8.46) — (4.8.4г) мы уже вычисляли при анализе проекции GSO. Новым является лишь (4.8.4а). Для вычисления этой статсуммы заметим прежде всего, что знакомое нам уже определение «оператора G-четности», т. е. фермионного числа G (3.3.1), является не совсем точным в секторе Рамона. В секторе NS, в котором справедливо определение (3.1.23), фермионы не имеют нулевых мод, но если мы определим в секторе Рамона оператор числа частиц обычным способом

X dLnd^

G = -(- l)n=1,

то окажется, что он коммутирует с нулевыми модами dj・ Одиако этот недостаток легко поправить, например достаточно домножить G на фактор Йордана — Вигнера и определить в секторе Рамона модифицированный оператор числа частиц

G五=或潔.. •原(-1,(4.8.5)

который будет антикоммутировать со всеми 成：d^G = — G&, п 三 Z- После чего мы получаем, что вклад нулевых мод в стат- сумму пропорционален

Tr G五q * 〜(8〈0 I 0〉+ <0 I d^Gd^ ] 0〉)= (8 — 8)〈0 [ 0〉= 0.

Таким образом, статсумма сектора с нечетной спиновой структурой обращается в нуль. Читатель, зпакомый с теорией инстантонов, узнает здесь известное явление — обращение в нуль функционального интеграла по фермионам в случае наличия у фермионов нулевой моды в поле инстантона. В данном случае у нас нет инстантонов, но есть граничные условия (4.8.2), допускающие нулевую моду

р++化 1,三 2)= const в спиновой структуре (+, +).

Остальные статсуммы мы уже вычисляли и здесь просто воспользуемся формулами (3.3.12) — (3.3.15). Мы имеем

A+_ = -q+_Tr? л = т1+_16?1/3 11^(1 + ^)8.(4.8.6)

Фактор 16 обусловлен 8-кратным вырождением основного состояния. В этой спиновой структуре восьмерки складываются, в отличие от структуры (+, +). Соответственно для фермионов сектора NS получаем

л_+ =曾一+厂/6 й (1 - L”，(4.8.7)

А= 7]q-1/б П (1 + q"T2)8.(4.8.8)

1

Выразим амплитуды через 0-функции. Здесь мы выпишем 0-функции только в виде бесконечного произведения. Более подробную информацию читатель найдет в книгах [116——118, 161]. Введем четыре типа 0-функций:

9工(z，т)二 2т| (т) q1/6 sin 冗么 JJ (1 — 2q2^ cos 2冗z + g4n),

8

02 (z, p) = 2rl (t) W COS JIZП(1 + 2^2n cos 2л2 + 产1), g 5 工(4.8.9)

03 (zt т) = Т| (t) qT〃2 II (1 + 2q271T cos 2nz + 严〜乞)，

“(Z,七)=n (т)广"工2 Д (1 — 2产T cos 2лз +

где т] (т)——введенная выше т]-функция Дедекинда, м называется аргументом 6-функции, т ——модулем. При модулярных преобра-

зованиях 6i переходит сама в себя, в то время как 62, 6з, 04 переходят друг в друга. Заметим, что, согласно (4.8.9), Yi-функция может быть выражена через E(z, т) формулой

81(0,工)—/[=о - 2m^ (工).

(4.8.10>

Сравнивая (4.8.9) со статсуммами (4.8.6) — (4.8.8), мы

получаем

Л++ 〜01(0, т) = 0,

(4.8.11а)

4+一

产(%(0，T)尸

П+-(2п) (eSy，

(4.8.116)

4-+

(4.8.11в)

=(2п)4/з Q(0,吟

1 ' 丿(е；(о,т))”з

(4.8.11г)

Мы видим, что А++

описывает нечетную спиновую

структуру

(+, +) и обращается в нуль при z = 0 вместе с ее статсуммой, в то время как амплитуды 厶+—, А_一, Л-+ описываются соответственно 02, 0з, 04 [120, 170]. Теперь мы должны зафиксировать константы т]士土 из требования модулярной инвариантности. Преобразования 0-функций при модулярных преобразованиях приведены, например, в [118]. Требуя, чтобы при сдвигах т f т + 1 амплитуда Л一_ переходила в Л-+, мы получаем условие

= —

При 工一> —夂/工 мы должны получить А~+А+-. Отсюда следует

еще одно условие:

2 = П-+-

Выбирая т]—一 произвольно:刀一_= 1, мы находим из (4.8.4), что полная статсумма, просуммированная по всем спиновым структурам, задается выражением [120]

л = Tr qHNS -Ц^. _ Тг ^ ^..(4.8.12)

Таким образом, модулярная инвариантность однозначно приводит к требованию выполнения проекции GSO в секторе NS. Как подчеркнули Сайберг и Виттен [120], то обстоятельство, что Tr q входит с обратным знаком, служит подтверждением фермионной природы состояний в секторе Рамона, поскольку, согласно спий- статистике, знак фермионной петли противоположен знаку бозонной. Выражение (4.8.12) модулярно инвариантно. Более того, если подставить соответствующие выражения для статсумм в (4.8.12) (см. также § 3 главы 3), то мы получим, что Л пропорциональна

62 (0, т) + 64 (0, т) — 0з (0, т) = 0,

согласно тождеству Якоби — Римана [117, 118]. Равенство нулю статсуммы находится в соответствии с суперсимметрией, установленной ранее для GSO спроектированной спиновой струны: из общей теоремы об отсутствии перенормировок в суперсимметричных теориях [171] следует, что основное состояние во всех порядках теории возмущений имеет нулевую энергию. Поскольку значение статсуммы определяет сдвиг вакуумной энергии, иными словами, значение космологической постоянной, то в суперсимметричных теориях отличная от нуля космологическая постоянная может появляться только за счет непертурбативных эффектов. В гетеротической струне космологическая постоянная также равна нулю во всех порядках теории возмущений [172]. Пока не ясно, каким образом можно перенести чисто струнное доказательство работ [172, 173] на язык низкоэнергетической теории поля с нарушенной суперсимметрией. Поэтому на сегодняшний день проблема космологической постоянной — одна из многих нерешенных проблем физики высоких энергий.

10 ю« Н. Кафиев

Глава 5

СТРУНА ПОЛЯКОВА

厂 § 1. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ

Излагая историю теории струн； мы подчеркивали, что долгое 卫ремя понятие струны использовалось лишь для наглядности а при практических вычислениях применялись исключительно методы дуальной теории. По-видимому, первую попытку описать взаимодействие струн с помощью струнпых переменных сделал Мандельстам [63]，построивший функциональный интеграл в ка- лиоровке светового конуса. Эта формулировка была лоренц-кова- риантной в -О = 26 и имела то преимущество, что была явно унитарной, однако вскоре стало ясно, что она не обладает необходи- мои общностью и с ее помощью невозможно описать диаграммы произвольного порядка теории возмущений. Интерес к функцио^ нальиым методам вспыхнул вновь в 1981 г., когда Поляков [70] 需啰”з°ваа Для квантования струны ковариантный лагранжиан (3.2.1) и построил функциональный интеграл, в котором интегрирование ведется по поверхностям. Напомним, что при своем дви- жении классическая струна заметает некоторую двумерную по- верхпость, подобно тому как обычпая частица чертит путь —— мировую линию. При квантовании классической механики части- 其川 мы вводим функциональный интеграл по путям, в котором интегрируем по всем возможным путям, ведущим из начальной точки в конечную [102]. Поляков предложил обобщить эту кар- тину на случай струн и интегрировать в функциональном интеграле по всем возможным двумерным поверхностям, характер- ным для данного типа струны (открытой, замкнутой, ориентируемой, неориентируемой и т. п.). Движение частицы можно описать переменной %(方)，по которой мы интегрируем в интеграле ио путям, аналогично поверхность может быть полностью описа- на своей метрикой 匝寅史，F),頂，6 = 1, 2, по которой мы и долж- нь工 интегрировать в интеграле по поверхностям. Итак, мы предполагаем, что нам задан континуум двумерных поверхностей в D-мерном пространстве. В этой главе мы всюду считаем, что метрики двумерной поверхности и £)-мерного плоского простран- ства имеют евклидову сигнатуру. Саму струну мы будем, как и раньше, описывать координатой ^(g1,己2), ц = 1т 2 . ..Z), где ml 自2 — евклидовы координаты поверхности. Поверхность миро— *ото листа описывается метрикой

Tab = д^дьз^. да^-~-,(5.1.1)

индуцированной вложением /" в A-мерное пространство. Рассмотрим следующий лагранжиан [113, 114]:

S = £ / 窘 Vggabd^db^.(5.1.2)

по gg аналогична поиску минимальной поверх- поверхностей. Из (5.1.2) находим уравнения=ТаЪ =為2七必"—4- gabg^de^d^ = 0,(5.1.3)по gg аналогична поиску минимальной поверх- поверхностей. Из (5.1.2) находим уравнения=ТаЪ =為2七必"—4- gabg^de^d^ = 0,(5.1.3)Читатель узнает в нем бозонную часть лагранжиана спиновой струны Брипка — Ди Векья — Хоу — Дезера — Зумишу (ЕДВХДЗ) (3.2.1). В лагранжиан (5.1.2) входят две метрики: gab и 丫心 Мы можем мыслить метрику уад как «классическую^, описывающую классическое движение струны, в то время как метрика gab представляет собой набор «квантовых траекторий», связывающих начальное состояние с конечным. Классическая метрика должна, как обычно, находиться из условия экстремума действия. Для нахождения его запишем уравнения движения по gab и ^аь. Вариация действия ности в теории движения

по gg аналогична поиску минимальной поверх- поверхностей. Из (5.1.2) находим уравнения

=ТаЪ =為2七必"—4- gabg^de^d^ = 0,(5.1.3)

по gg аналогична поиску минимальной поверх- поверхностей. Из (5.1.2) находим уравнения

=ТаЪ =為2七必"—4- gabg^de^d^ = 0,(5.1.3)

да(У g gab дъхц) = 0.I(5.1.4)

Уравнение (5.1.3) имеет решение

(5.1.5)(5.1.5)gab да^дъ^ = Ya&.

(5.1.5)

(5.1.5)

Подставляя (5.1.5) в лагранжиан (5.1.2), мы видим, что он совпадает с обычным лагранжианом бозонной струны Намбу —— Гото

SWG = j 要p5 = j 窿/(%2)2(%2)2-9/a/)2-(5.1.6)

При этом уравнения движения для струйной координаты %» (5.1.4) совпадают, разумеется, с уравнением движения струны Намбу——Гото. В отличие от лагранжиана Намбу —— Гото ——весьма непривычного и не имеющего обычного «полевого» вида — лагранжиан БДВХДЗ (5.1.2) представляет собой двумерный лагранжиан взаимодействия D скалярных полей zM с гравитационным полем gw Поскольку классически он совпадает с лагранжианом Намбу — Гото, оба могут быть с равным правом положены в основу построения квантовой теории бозонной струны.

Рассмотрим симметрии лагранжиана (5.1.2)* Мы их уже обсуждали кратко в § 2 главы 3, однако здесь нам надо уделить этому вопросу более пристальное внимание. Лагранжиан (5.1.2) инвариантен относительно:

общекоординатных преобразований

学+奘*3gab ——(、見 + V&Ba),学+奘*3gab ——(、見 + V&Ba),(5.1.7)(5.1.7)

学+奘*

3gab ——(、見 + V&Ba),

学+奘*

3gab ——(、見 + V&Ba),

(5.1.7)

(5.1.7)

зуемзуем

зуем

зуем

конформных вейлевских преобразований

gab f ea{l)gab, 严 f 泸，(5.1.8)

/^-мерных Лоренц-преобразований

犷f 犷+ Av* APV = 一a衿

Из курса дифференциальной геометрии известно, что мы всегда можем привести метрику двумерной поверхности к виду р6а6, вводя так называемые изотермические (или ортогональные) ко^ ординаты. Для этого нужно решить уравнение Бельтрами

0^2常fl盪-0^2常fl盪-gl2 寿 fgll 奇gl2 寿 fgll 奇++丿g号=0, Pg ^Г к °-丿g号=0, Pg ^Г к °-(5.1.9)(5.1.9)

0

^2常fl盪-

0

^2常fl盪-

gl2 寿 fgll 奇

gl2 寿 fgll 奇

+

+

丿g号=0, Pg ^Г к °-

丿g号=0, Pg ^Г к °-

(5.1.9)

(5.1.9)

В новых координатах 刀° метрика приобретает конформно-плоский ВИД

ds2 = pdTfdT]Q, gab = p6ab.(5.1.10)

Подставляя gab = p6ab в (5.1.2), мы убеждаемся, что лагранжиан теперь не зависит от конформного множителя р, что является следствием вейль-инвариантпости. Как мы уже знаем, хотя при выборе изотермических координат мы уже зафиксировали координаты в соответствии с уравнением Бельтрами, метрика (5.1.10) допускает обширный класс координатных преобразований, не меняющих конформного вида метрики. В самом деле, введем комплексные координаты

Z = F + 走2,彳=三1 一诟 2(5.1.11)

и перепишем (5.1.10) в их терминах:

ds2 = p(z, z)dz dz.(5.1.12)

Очевидно, при конформных преобразованиях

Zf “Z),(5.1.13)

метрика (5.1.12) переходит в

ds2fp (z/“ %『dz dz = e。ds?,(5.1.14)

где a == In I 累 I - В изотермических координатах действие (5.1.2) приобретает простой вид

— 9 С d2z 3%从 3力觊J 妄— 9 С d2z 3%从 3力觊J 妄(5.1.15)(5.1.15)

— 9 С d2z 3%从 3力觊

J 妄

— 9 С d2z 3%从 3力觊

J 妄

(5.1.15)

(5.1.15)

Оно, очевидно, также инвариантно относительно конформных преобразований.

Таким образом, классически лагранжиан (5.1.2) может быть выражен в виде конформно-инвариантной двумерной теории поля. При обсуждении бозонной струны в главе 2 мы подчеркивали, что конформная инвариантность является необходимым условием для построения непротиворечивой и унитарной теории взаимодействия струн Если мы хотим, чтобы квантовая теория имела столько же степеней свободы, сколько и классическая, то мы должны настаивать на выполнении конформной симметрии. В даипом случае конформная симметрия играет роль, аналогичную калибровочной инвариантности в электродинамике или теории Янга •— Миллса. В то же времн это всего лишь аналогия и вопрос о возможности построения непротиворечивых теорий струны с нарушенной конформной симметрией остается открытым. Ниже мы вернемся к проблеме конформной инвариантности струны Полякова.

Итак, мы рассмотрим следующий функциональный интеграл с лагранжианом (5.1.2):

Z = / ^gat^e^^'^.(5.1.16)

Это выражение не определено, пока мы не зададим меры интегрирования 宏gab и 宏а". Поляков предложил использовать в качестве определения меры интегрирования следующие ультралокальны е (т. е. не зависящие от производных) выражения:

||6gab『=j" d2自 Vggacidbgabbgcd,(5.1.17)

II 6产 I2 = J d2g ]/gbx^^.(5.1.18)

Выражения (5.1.17) — (5.1.18) по построению инвариантны относительно обще координатных преобразований, в то же время, подставляя метрику в виде (5.1.10), мы убеждаемся, что меры интегрирования зависят от конформного множителя р. К сожалению, с этим пичего нельзя поделать. Не существует определения меры, удовлетворяющего всем симметриям классического действия. Согласно Фудзикаве (см. § 3 гл. 1), неинвариантность меры относительно вейлевских преобразований должна привести к нарушению вейль-инвариантности при квантовании. Пока что нам приходится смириться с пеипвариантностыо меры и изучить зависимость функционального интеграла (5.1.16) от конформного множителя, надеясь сократить ее тем или иным способом.

§ 2. КОНФОРМНАЯ АНОМАЛИЯ

Прежде чем приступать к вычислению интеграла (5.1.16), прервемся на некоторое время и обсудим конформную аномалию. Ранее мы лишь вскользь касались ее, между тем как для понимания свойств функционального интеграла Полякова она имеет решающее значение.

Напомним определение тензора энергии-импульса квантовой теории поля [175—177]:

где S — действие. Предположим, что наша теория инвариантна на классическом уровне относительно конформных вейлевских преобразований метрики

gЗe"")痂"а)，壮-> * :(5.2.2)

Тогда из инвариантности S следует

6s о

или, подставляя — g 3gA， мы получаем

黑=g“v 誤=g“v 联好L /i^=0-(5.2.3)

Таким образом, след тензора энергии-импульса классической теории поля, инвариантной относительно вейлевских преобразований, должен быть равен нулю.

Однако при квантовании теории в ней неминуемо появляются расходимости, и мы должны регуляризовать ее. Подчеркнем, что не существует регуляризации, соблюдающей конформпую ин- вариантность. Проще всего рассмотреть размерную регуляризацию, т. е. квантовать теорию не в Z)измерениях, а в 力一£. Однако если действие конформно инвариантно в D измерениях, то в D — s измерениях оно уже не инвариантно. Например, взаимодействие (^мср)2 + Хер4 инвариантно в 7) = 4, но при переходе в 4—е константа связи 入 становится размерной,入〜卩，где ц —— некоторый массовый параметр. Поэтому в D — & измерениях след тензора энергии-импульса в общем случае больше не равен нулю: 〈/i*〉e = e^・(5.2.4)

Оператор 垓 в правой части может содержать расходимости, которые в методе размерной регуляризации приводят к полюсам ПО £ [176]

+ о(£)•(5.2q)

Подставляя (5.2.5) в (5.2.4), мы находим, что при снятии регуляризации, т. е. в пределе & О,

〈/打D=必Г(5-2.6)

Наш вывод демонстрировал лишь идею. Однако он вполне общий в том смысле, что ответ (5.2.6) не должен зависеть от регуляризации и оператор 必i в правой части ——конечный и хорошо определенный. Существуют теории, такие как знаменитая

TV = 4 суперсимметричная четырехмерная теория Янга — Миллса, некоторые двумерные о-модели с членом Becca ——Зумино [178], в которых в силу специальных сокращений Mi = 0. Однако в общем случае конформпо-иивариаптная классическая теория имеет конформную аномалию на квантовом уровне, задаваемую отлич

ным от нуля следом квантового тензора энергии-импульса, т. е. оператором ^ь В методе Фудзикавы конформная аномалия, как обычно, возникает из-за неинвариантности меры интегрирования при конформных преобразованиях. В приложении А.8 мы приводим пример вычисления конформной аномалии с помощью метода, схожего с методом Фудзикавы.

Уравнение конформной аномалии (5.2.6) можно красиво записать на функциональном языке. Как известно, среднее любого оператора в методе функционального интегрирования имеет вид

〈坟〉=〈坟〉=f父5中父5斤勿屮…垓（中，屮..•）e-S（S中…）f父5中父5斤勿屮…垓（中，屮..•）e-S（S中…）父5cp包加父5屮...e一S3,中…）父5cp包加父5屮...e一S3,中…）Определим эффективное действие формулой (см., [255])_e~r = Z = /宏屮勿欣25屮...e-s@W…)」Определим эффективное действие формулой (см., [255])_e~r = Z = /宏屮勿欣25屮...e-s@W…)」Тогда, посколькуТогда, посколькумы имеем с учетоммы имеем с учетом(5.2.7) например,(5.2.7)(5.2.7) например,(5.2.7)丿 g?uv =器7,丿 g?uv =器7,=——3g2=——3g2Для следа〈丿"t〉 мы имеемg“义/打“v〉= g"v爲=黑■Для следа〈丿"t〉 мы имеемg“义/打“v〉= g"v爲=黑■(5.2.8)(5.2.9)(5.2.8)(5.2.9)

〈坟〉=

〈坟〉=

f父5中父5斤勿屮…垓（中，屮..•）e-S（S中…）

f父5中父5斤勿屮…垓（中，屮..•）e-S（S中…）

父5cp包加父5屮...e一S3,中…）

父5cp包加父5屮...e一S3,中…）

Определим эффективное действие формулой (см., [255])_

e~r = Z = /宏屮勿欣25屮...e-s@W…)」

Определим эффективное действие формулой (см., [255])_

e~r = Z = /宏屮勿欣25屮...e-s@W…)」

Тогда, поскольку

Тогда, поскольку

мы имеем с учетом

мы имеем с учетом

(5.2.7) например,

(5.2.7)

(5.2.7) например,

(5.2.7)

丿 g?uv =器7,

丿 g?uv =器7,

=——3g2

=——3g2

Для следа〈丿"t〉 мы имеем

g“义/打“v〉= g"v爲=黑■

Для следа〈丿"t〉 мы имеем

g“义/打“v〉= g"v爲=黑■

(5.2.8)

(5.2.9)

(5.2.8)

(5.2.9)

Таким образом, в методе функционального интегрирования конформная аномалия проявляется в зависимости эффективного действия Г от конформного множителя о. Возвращаясь к струне Полякова, мы видам, что нам необходимо исследовать зависимость ■функционального интеграла по поверхностям (5.1.16) от рте' и выяспить, можно ли и когда сократить неизбежную конформную аномалию.

冬 3. ФИКСАЦИЯ КАЛИБРОВКИ

(5.3.1)(5.3.1)Для определения интегрирования по 宏gg нам нужно выразить 宏gab через параметры общекоординатного и вейлевского преобразований. Для этого запишем наиболее общую вариацию метрики в виде

(5.3.1)

(5.3.1)

6gab = Va£b + Vb£a + бф^аЬ,

тде Sa ——вариации координат (5.1.7); 6屮——конформный фактор； р = ехр((р). Удобно выделить в 6^a6 бесследовую часть'

3gab = 3啞 + Sq/gg,

6К& = va£b + Vb£a — gabVc£c? gab8hab = 0,(5.3.2)

Sq/ = 6ф + Vcgc.

Представим 6% в виде

3无ab = (P 工)afj£c,Plab = ЗМ + KVa - gab『，^ЗЗ)

Pi ——дифференциальный оператор первого порядка, переводящий ковариантные векторы в бесследовые тензоры. Это еще один пример оператора, переводящего из одного векторного пространства в другое. По определению сопряженного оператора мы имеем

f d2m V^hab(p^ab = l d^ Vg^{Ptbh^

откуда для сопряженного оператора Ру находим

{Ptbh^ = — 2^6无3(5.3.4)

Этот оператор переводит, наоборот, бесследовые тензоры в ковариантные векторы. Подставляя разложение (5.3.2) в определение меры H'S^abli2 (5.1.17), мы получаем, учитывая ортогональность gab И 3 无ab,

II 6^ab II2 =『選 /2 [23炉 + 个(夕堂]e)/.(5.3.5)

Метрический тензор 8gab имеет три независимые компоненты, которые мы всегда можем выразить через <р и 拠.Воспользовавшись (5.3.5), находим

Фёаъ =空&空h心二 Ф^Фгс (det P^P^2.(5.3.6)

Якобиан перехода от ЗЖаъ к 纱氏 оказывается детерминантом оператора Р* Р*. При этом мы использовали следующее естественное определение меры IIeJI2:

口％ 俨=Jd2m /Wgab%£不(5.3.7)

Очевидно, эта мера не зависит от конформного множителя р и поэтому не может вносить конформных аномалий. Перепишем функциональный интеграл (5.1.16) в новых переменных:

Z= С ^- ^Н- ^ц (det PtP^e~s{^\ (5.3.8)

где мы ввели в меру символические бесконечные множители, ■Qw——«объем группы Вейля» и QDift—«объем группы общекоор- дипатных преобразований», или, как часто говорят, диффеомор-

физмов. Читатель, знакомый с процедурой квантовапия поля Янга — Миллса по Фаддееву — Попову, узнает здесь обычное вы- делепие тривиального бесконечного множителя, связанного с объемом калибровочной группы. Поскольку 0£а не зависит от конформного множителя, действие и мера инвариантны относительно обще координатных преобразований и мы не предполагаем возникновения гравитационных аномалий, фактор ^Еа/^тгг можно просто опустить.

Интеграл по 宏к» можно «вычислить^. В самом деле, перепишем действие S в виде

S = ^J费 Z^MA^T(5.3.9)

А ——скалярный оператор Лапласа

^ = ~^da{Vggabd^^ > g

Тогда интеграл по 纱犷 даст

J 宏/%—夙“从)=(det 八厂ПУ(5.3.10)

В принципе эта формула не совсем точна, так как лапласиан на скалярных функциях имеет нулевую моду 力以=const, но пока что для нас ее вклад несуществен. Подставляя (5.3.10) в (5.3.8) и опуская фактор 勿£丿0口1旧 мы получаем

Z= f碧(detP扌尸工户2((1吠A厂D/2.(5.3.11)

Входящий сюда оператор P^P^ переводит векторы в векторы, т. е. хорошо определен. Явно он имеет вид

(P*F)a = Vb (Vb“ + Vasb - gab%)(5.3.12)

и довольно сложно зависит от метрики. В принципе детерминант оператора Р：Р工 можно вычислить, например, в нормальных координатах, используя методы приложения Л. Однако значительно проще воспользоваться спецификой двумерия и выразить все операторы в терминах конформно-плоской метрики (5.1.10). Как известно [174, 179], в конформных координатах операции ковариантного диффер енцир ов а ни я приобретают диагональный вид и вычисления с ними несравненно упрощаются.

КОМПЛЕКСНЫЙ тензорный анализ

Поскольку на любой двумерной поверхности мы можем (локально) ввести комплексные координаты (5.1.11)—(5.1.12), поверхность, заметаемая струной, естественно, оказывается одномерным комплексным многообразием. В топологии доказывается, fto каждая двумерная ориентируемая поверхность с конечным

Рис. 20. Конформное отображение концентрического кольца с модулем d =五 2/^1 па кольцо с тем же значением модуля &/门.’

координаты которой —— комплексныекоординаты которой —— комплексные/ числом проколов или вырезанных дисков является римановой поверхностью^ т. е. такой поверхностью, числа, а функции перехода

координаты которой —— комплексные

координаты которой —— комплексные

от одиой координатной системы к другой ——аналитические функ^ ции координат. В связи с этим комплексный язык естественно возникает в теории струн (в евклидовой области) и, как мы у6е~ димся, обеспечивает огромные упрощения. Итак, запишем метрику в комплексных координатах:

d№ = pdz dz = g2j dz dz + g-2 dz dz,(5.4.1)

откуда

1 zz2

g£ =幻z = T P，g = ^ =石，

с(5.4.2)

gzz = g- = 0, у g = p = 2g/.

Нашей целью в этом параграфе является построение комплексного аналога обычного тензорного анализа. Проделанная здесь работа с лихвой искупит себя в дальнейшем. Прежде всего подчеркнем важное обстоятельство, о котором мы умолчали выше: хотя всякая метрика двумерной поверхности может быть приведена к виду (5.4.1), не всякие две метрики g^ и g爲 связаны между собой конформным преобразованием w ~ f(z) г Не вдаваясь пока в детали, поясним идею: например, как известно из курса ТФКП, два концентрических круговых кольца могут быть конформно отображены друг на друга тогда и только тогда, когда модули их, т. е. отношение d —R^/Rx^ совпадают (рис. 20). Таким образом, все кольца с данным значением модуля d оказываются конформно-эквивалентным друг другу, или образуют, как говорят, конформный класс; кольца с другим значением модуля df образуют другой класс и т. д. Все кольца разбиваются на классы конформной эквивалентности, параметризуемые одним вещественным числом — модулем d, 1 v d V °°. То же имеет место для произвольной римановой поверхности рода g, т. е. замкнутой ориентируемой двумерной поверхности с g ручками (рис. 21). Все метрики на ней разбиваются на классы конформной эквивалентности, параметризуемые 6g—6 вещественными модулями; более того, это 6g — 6-мерное вещественное пространство является на самом деле 3g — 3~мерным комплексным пространством, именуемым пространством Тейхмюллера [182, 183].

Читателю, который любит аналогии, можно напомнить, что подобная ситуация возникает при квантовании поля Янга —

Рис. 21. Риманова поверхность рода 3— сфед)а с тремя ручками.

Миллса. Напомним, что, квап- туя его согласно Фаддееву — Попову, мы предполагаем, что отбираем однозначно представителя каждой орбиты Лй, однако благодаря феномену Грибова [184] каждая орбита разбивается на классы, не связанные

(несингулярным) калибровочным преобразованием. После фиксации калибровки остается зависимость поля 4“ от пространства модулей Янга ——Миллса [185], которое известно значительно хуже, чем пространство модулей (Тейхмюллера) римановой по

верхности.

6叫6 吒、吒'比乳6叫6 吒、吒'比乳死'с宠'а таа...死'с宠'а таа...В этом параграфе мы предполагаем, что рассматриваем отдельно каждый конформный класс и не касаемся свойств пространства Тейхмюллера. Соответственно все формулы будут справедливы лишь локально. Рассмотрим произвольный вещественный тензор Т體К..、преобразующийся как

6叫6 吒、吒'比乳

6叫6 吒、吒'比乳

死'с宠'а таа...

死'с宠'а таа...

Мы всегда можем представить его в виде набора комплексных тензоров T^z：：., Tj；『，Т；；『с различным числом z и z индексов. По определению, тензор с к ^-индексами и I z-индекса- ми преобразуется как

ТТ(5.4.3)(5.4.3)W W... WW W... W

Т

Т

(5.4.3)

(5.4.3)

W W... W

W W... W

Заметим, что тензоры с z-индексами можно превратить в тензоры только с z-индексами с помощью метрики 纟公：

7第金=广，(5.4.4)

где тензоры с верхними индексами преобразуются по закону, обратному к (5.4.3):

尸…"=(票у (您)(5.4.5)

Используя закон преобразования метрики g& при конформных преобразованиях координат

8編=您)‘(^) gz?(546)

читатель легко проверит, что правило (5.4.4) согласуется с (5.4.3), (5.4.5)——(5.4.6). Условимся при подсчете 2-индексов нижние брать со знаком «плюс», верхние ——со знаком «минус». Тензор с т верхними индексами и п нижними индексами преобразуется как

W =(黑)7空・(5.4.7).

nn

Обратим внимание, что наше соглашение о знаке числа индексов： выбрано в соответствии с правилами преобразования дифференциалов и отличается знаком от соглашения Альвареса [186]. Определим, следуя [174, 179], два типа ковариантных производных:

.(5.4.8>

乃二皿)6(六)。

Индекс j подчеркивает, что эти производные должны действовать па тензоры типа +/. Производная VJ переводит тензоры типа f в тензоры типа j — 1. В самом деле,

(彩型Z)，=(-#广(圖Т吭雀)侬.

=g^偿厂(票尸内宀=(黑广“侬З(54" поскольку 0& не действует на (-^) . Производная V^, действуя на тензоры типа /, переводит их в тензоры типа / + 1. Проверку этого свойства мы предоставляем читателю. Ковариантные производные V； и V^ не коммутируют. Вычисляя их коммутатор, мы находим

(%+№ - v『F) ◎ = — it^g^dzd- in 目工/2 =当 r 卢)，

五 ，£ dzd- In Vg.(5.4.10)'

Имея тензоры и ковариаптпые производные, мы можем строить ковариантные величины в терминах комплексного тензорного- анализа (в книге Векуа [174] они называются «ковариантами»). Введем удобную для дальнейшего терминологию, общепринятую в книгах по римановым поверхностям. Например, вместо тензора вида 九…z мы можем рассматривать выражение

t =段…z(dz 尸，(5.4.11)

являющееся инвариантным относительно конформных преобразований. При 力=1 ^——обычный дифферепциал (на римановой:

поверхности такие дифференциалы называются абелевыми [180, 181]). Назовем по аналогии со случаем к~ i тензоры вида 力z...z k-дифференциалами. Имеет смысл рассматривать 左 > 0 и Zc с 0. При к — Q мы имеем просто функции. Каждый вещественный вектор 眾 имеет 柒-компоненту и g--компоненту. Обозначим векторное пространство 1-дифференциалов gz через К, а векторное пространство комплексно-сопряженных дифференциалов g- через К. Аналогично пространство j-дифферепциалов назовем К', а сопряженное ему — К3. Элемент из К? преобразуется как /-я степень элемента из Х-абелева дифференциала. Смешанные тензоры типа ^z_^ £ мы всегда можем перевести в & или в Kj； умножая t на соответствующую степень g2~ (см., например, (5.4.4)).

Для дальнейшего нам нужно ввести понятие свертки комплексных тензоров, иными словами, инвариантный интеграл. Для /-дифференциалов Т\ S，определим свертку как

<т, S〉= J d2zg& (gzzy 戸SL (5.4.12)

Отсюда легко найти операторы, являющиеся сопряженными к введенным выше ковариантным производным. Например, рассмотрим свертку вида

J ^ (^У &乳酬+ D)鼠力=一 J d2zf G+也[，川叫=

=-J眸g2式gz)"K+D ®/z [储吟为吗。

=-j d2zgz£(g£)"i戸升 1屮汇。(5.4.13>

t. e.

(%+工)+ = 一里「(5.4.14)

Оператор V； действует как V；: К^ -> К^~г, в то время как сопряженный оператор——согласно(Vj)+: К^1 —> К\ Теперь мы можем ввести два типа лапласианов, т. е. операторов второго порядка, переводящих Kj в К):

(5.4.15)(5.4.15)А" = — 2VF1VJ,△了 = - 2学+m.

(5.4.15)

(5.4.15)

Из (5.4.10) следует, что они просто связапы между собой:

(5.4.16)(5.4.16)А^ — Д~ = /Л.

(5.4.16)

(5.4.16)

Поскольку кривизна римановой поверхности постоянна (положительна для сферы, g = 0; равна нулю для тора, g=2; и отрицательна в случае g < 1) ? эти лапласианы отличаются на константу. Оба они имеют вид (▽)+▽, т. е. сопряжены и положительны.

Фактор 2 выбран с тем условием, чтобы для / = 0 лапласиан

До = До совпадал с обычным А = — 4р~ —.

dz

До сих пор мы рассматривали только конформные прео6ра~ зования координат, при которых всегда 6gzz = 0, 6g~ = 0. Ниже иам понадобятся формулы вариации ковариантных производных, кривизны и т. д, при произвольных преобразованиях координат вида

6ds2 = 6q)g-d2d2 + 6gzz (dz)2 + 6g--(d2)2.(5.4.17)

Преобразования такого вида с 8gzz, отличным от нуля, называются «деформациями комплексной структуры»: мы выбрали задан- ную комплексную структуру, характеризующуюся метрикой (5.4.1), (5.4.2), а затем деформировали ее, после чего она уже не имеет конформно-плоского вида. Очевидно, такого эффекта нельзя достичь конформным преобразованием координат. Ире- образования типа (5.4.17) называются квазиконформными [182, 183, 204, 205]. Ниже мы увидим, что вся информация о модулях содержится в 6gzz. В заключение приведем без доказательства формулы вариации ковариантных величин при преобразованиях (5.4.17). Подробный вывод можно найти в работе [179]:

6VJ = 一 6(pVz + 4 6/zvz 十 g Vz (6g3 d-(5.4.18)

60 = - ；v2 (6哂-16gzy + 专 V” (bgz)

6五=(-2中弘一五)6中十中行6gzz - ^y^gzz.

D=26 КАК СЛЕДСТВИЕВЕЙЛЬ-ИНВАРИАНТНОСТИ

Применим аппарат предыдущего параграфа в струне Полякова. Нам нужпо вычислить детерминанты операторов, входящие в (5.3.11):

(det Р吉Рун (det △厂о/?,(5.5.1)

где Д — скалярный лапласиан, а 尸i действует на векторы согласно (5.3.12). Сейчас мы покажем, что эти операторы просто выражаются через комплексные лапласианы, введенные в § 4. Прежде всего напомним, что 尸i переводит ковариантные векторы в симметричные бесследовые тензоры 6habl gab^hab = 0. Поскольку в конформных координатах gzz = gzz =。, мы получаем 6fez-=。・ Представим вектор еа символически в виде е2 ф е-, где ег ^ К, е-三 К. Удобно записать любой беседедовый тензор ранга / (/-дифференциал) в виде [186]

(5.5.2)(5.5.2)产L

(5.5.2)

(5.5.2)

в частностив частностиОператор 尸卜 переводящий столбец е в столбец 6无，может быть записан в комплексных координатах какОператор 尸卜 переводящий столбец е в столбец 6无，может быть записан в комплексных координатах как(5.5.3)(5.5.3)т. е. 6无zz = *z£z, 6Л— = (^;-)2Vze2. Мы предоставляем читателю воз-можность убедиться в этом другим способом, рассмотрев произ-т. е. 6无zz = *z£z, 6Л— = (^;-)2Vze2. Мы предоставляем читателю воз-можность убедиться в этом другим способом, рассмотрев произ-вольный инфинитезимальпый диффеоморфизм метрики 且后 dz dz.Сопряженный оператор Р^, согласно (5.4.14), лексных координатахвольный инфинитезимальпый диффеоморфизм метрики 且后 dz dz.Сопряженный оператор Р^, согласно (5.4.14), лексных координатахZ Т Z + £(2, z)Z Т Z + £(2, z)равен в комп-равен в комп-PtPtV" ОО V?2V" ОО V?2(5.5.4)(5.5.4)Отсюда мы находим нужный нам оператор Р^Р^'Отсюда мы находим нужный нам оператор Р^Р^'Р^РР^Р▽М 0 )о vr2vij*▽М 0 )о vr2vij*(5.5.5)(5.5.5)

в частности

в частности

Оператор 尸卜 переводящий столбец е в столбец 6无，может быть записан в комплексных координатах как

Оператор 尸卜 переводящий столбец е в столбец 6无，может быть записан в комплексных координатах как

(5.5.3)

(5.5.3)

т. е. 6无zz = *z£z, 6Л— = (^;-)2Vze2. Мы предоставляем читателю воз-можность убедиться в этом другим способом, рассмотрев произ-

т. е. 6无zz = *z£z, 6Л— = (^;-)2Vze2. Мы предоставляем читателю воз-можность убедиться в этом другим способом, рассмотрев произ-

вольный инфинитезимальпый диффеоморфизм метрики 且后 dz dz.

Сопряженный оператор Р^, согласно (5.4.14), лексных координатах

вольный инфинитезимальпый диффеоморфизм метрики 且后 dz dz.

Сопряженный оператор Р^, согласно (5.4.14), лексных координатах

Z Т Z + £(2, z)

Z Т Z + £(2, z)

равен в комп-

равен в комп-

Pt

Pt

V" О

О V?2

V" О

О V?2

(5.5.4)

(5.5.4)

Отсюда мы находим нужный нам оператор Р^Р^'

Отсюда мы находим нужный нам оператор Р^Р^'

Р^Р

Р^Р

▽М 0 )

о vr2vij*

▽М 0 )

о vr2vij*

(5.5.5)

(5.5.5)

▽済 0О ут▽済 0О утР：=Р：=(5.5.6)(5.5.6)Отвлечемся на минуту и найдем обобщение оператора Р$ на случай произвольных /-дифференциалов (5.5.2). Дело в том, что при квантовании по Полякову спиновой струны Невё — Шварца —Рамона возникают операторы, соответствующие / = 3/2, 1/2, так что полезно иметь общее выражение. Даже и в нашем случае бозонной струны мы сможем выразить скалярный лапласиан и оператор Р；Р工 единым образом, если введем следующий оператор:

▽済 0

О ут

▽済 0

О ут

Р：=

Р：=

(5.5.6)

(5.5.6)

Определим теперь два типа вещественных лапласианов D~^ и 少】立 [186], действующих на /-дифференциалы

少扌=2尸^尸^ =少扌=2尸^尸^ =Qj = 2 尸—％Qj = 2 尸—％V7 о )О △土丿— О 04 0 △口V7 о )О △土丿— О 04 0 △口(5.5.7)(5.5.7)(5.5.8}(5.5.8}

少扌=2尸^尸^ =

少扌=2尸^尸^ =

Qj = 2 尸—％

Qj = 2 尸—％

V7 о )

О △土丿

— О 0

4 0 △口

V7 о )

О △土丿

— О 0

4 0 △口

(5.5.7)

(5.5.7)

(5.5.8}

(5.5.8}

По правилу перемножения детерминантов мы имеем,

det D/ = det А丁 det А±$ = det VJ+1V1 det V『亍一工▽上$ =

=det' V^VJ+1 det У”7/(5.5.9)

где мы воспользовались тем обстоятельством, что под знаком де^ терминанта мы можем переставлять операторы. Заметим, однако, что манипуляции (5.5.9) в общем случае имеют лишь формаль^ ный смысл. Дело в том, что операторы Vj+1 и Vi определены на различных дифференциалах и потому могут иметь различные нулевые моды (см. ниже, § 8). Поэтому равенство

det'VJ+iVi-det'VjVj+x

справедливо только без учета нулевых мод. Штрих у знака де- терминанта здесь и далее означает, что в нем учтены только ненулевые моды. Нетрудно показать, с учетом этой оговорки, что спектр оператора VjVJ+1 совпадает со спектром Vz ‘一1▽土歹 В самом деле, пусть (—/) -дифференциалы ср^‘ являются соб~ ственными функциями уравнения

▽丁―^為屮萨=^пфп5,(5.5.10)

определим (у + 1)-дифференциалы гр^1-1 согласно

VLwR = (g&)"% 尸.(5.5.11)

Тогда, действуя на обе части уравнения (5.5.10) оператором VLj и беря комплексное сопряжение, мы получаем после очевидных преобразований

0W+1 屮弟1 = ^п^1,(5.5.12)

иначе говоря, каждой функции фп ^ с собственным значением 入箱 ^ 0 соответствует ^^1 с тем же значением Хп. Напомним, что все входящие сюда операторы самосопряжены, так что собственные числа Хп вещественны. Далее, поскольку det = ПХП, имеет место равенство

det' VjVj+1 = det' vNtvJ,(5.5.13)

T・ e' (det 0^у/2 = (det P^P》"=det'储"吋・ (5.5.14)

Применим эти формулы к статсумме струны Полякова. Нам иужпы детерминанты следующих операторов:

(det А厂в/? = (det'V/F)—в/? = (det，Ah)-D/2,(det Pf Pji/2 = det' V「V； = det' At〉

Из равенства (5.5.13) следует важное условие для проверки вычислений: детерминант оператора Р扌Р$ должен быть инвариантным при замене / — —(/ + 1) [70, 186]. Итак, нам нужно вычислить следующую комбинацию детерминантов:

(detFj)-D/2det/△士工.(5516)

Детерминант произвольного оператора А/* вычислен в приложении А.9. Приложение А содержит также подробное обсуждение свойств функциональных детерминантов и методов их вычисления. Мы настоятельно советуем читателю, прежде чем идти дальше, проштудировать его и самостоятельно произвести приведенные там выкладки. Ответ имеет вид

-6 In det △土j = 1 十 6袭 + i) J d2J p?五6屮(5.5.17)

или, интегрируя по р,

一 In det △3=工土戛*十二).J d4 4 [仇中)2 + 卩3],(5.5.18)

где р = 7g = е、 卩2 ——некоторая константа размерности массы. Появляющийся здесь полином 1 + 6/ (/ + 1) нам хорошо известен. Он равен 6В2 (—_/), где В2 ——второй полином Бернулли. Таким образом, детерминанты всех операторов 尸^尸行 имеют универсальный вид, отличаясь только коэффициентом. С точки зрения функционального интеграла In det △土g пропорционален эффективному действию Г-；. Тогда из (5.5.17) следует

* =鼻户頂凡(5519)

т. е. уравнение конформной аномалии. Как мы и предполагали, вся зависимость эффективного действия от фактора 屮 определяется конформной аномалией^ которая в случае двумерного скалярного поля имеет вид Уg R (см. прил. А.8). Наконец, из (5.5.18) следует, что det △士х равен det А^ в 13-й степени. Подставляя (5.5.18) в (5.5.16), мы получаем, что вся зависимость от конформного множителя ф может быть записана как

z = f厶，(5.5.20)

где SL — действие Лиувилля:

Sl = 4" J d2g [(况屮尸 + 炉e@].(5.5.21)

Таким образом, хотя детерминанты операторов А} имеют отличную от нуля конформную аномалию, при О = 26 она в точности сокращается между детерминантом оператора Лапласа А и детерминантом Фаддеева — Попова Р^Р^ Мы вновь приходим к хорошо известной критической размерности, но на этот раз можем понять ее глубже: условие 力=26 является необходимым для сохранения на квантовом уровне всех классических симметрий, включая преобразования Вейля. При 刀=26 зависимость от 屮 исчезает и мы можем опустить фактор 宏屮/Qw. Из (5.5.20) видно, что D не может быть больше 26, ибо в этом случае эффективное действие в экспоненте становится отрицательным. При

刀 V 26 конформное поле q> стаповится динамическим и в принципе мы можем определить «струну» при Z) V 26 как теорию (5.5.20) с действием Лиувилля (5.5.21). Квантованию теории Лиувилля посвящена обширная литература [187], хотя, на наш взгляд, вопрос так до конца и не выяснен. По-видимому, теория Лиувилля тривиальна как квантовая теория поля [187] и вряд ли может быть использована для описания какой-либо разумной теории. G учетом сказанного выше ясно, что в настоящее время условие D = 26 считается необходимым и нарушение конформ- пой симметрии совершенно недопустимо. Ниже мы будем всюду предполагать, что мы работаем в критической размерности D = 26.

Заметим, забегая вперед, что анализ, проведенный в этом параграфе, справедлив, строго говоряг только для простейшей римановой поверхности сферы. В общем случае, когда в рассмотрение включаются модули, проверка отсутствия конформной аномалии требует учета некоторых технических деталей. Тща- тельный анализ, проведенный Муром и Нельсоном [210], показывает, что при Z? = 26 конформные аномалии сокращаются иа римановой поверхности произвольного рода. Ниже мы явно построим (хотя и несколько иным способом) меру интегрирования по модулям и покажем, что при Q = 26 она не зависит от конформного множителя.

АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯИ АНАЛОГОВАЯ МОДЕЛЬ

В предыдущем параграфе мы выяснили, что статсумма Z, т. е. сумма всех вакуумных диаграмм, не имеет конформной аномалии при D ~ 26. Вообще говоря, этого недостаточно для доказательства конформной инвариантности струны Полякова в критической размерности. Нам необходимо доказать, что в рамках струны Полякова возможно ввести согласованным образом взаимодействие так, чтобы амплитуды рассеяния также не содержали конформных аномалий.

Поляков [70] предложил в качестве вершины тахиона замкнутой струны следующее выражение, записанное в общековари- антиом виде:

F(*) = J d2g /嗣办工㈢.(5.6.1)

Тогда амплитуда рассеяния 7V тахионов запишется как вакуумное среднее произведения 7V операторов V(А):

喚/或豆f勿肝勿gabn 产峥)s&，g).

(5.6.2)

Фактор Уg. присутствующий в этих формулах, необходим с точки зрения общекоординатной инвариантности, в то же время,

поскольку 7g 〜 е、возникает подозрение, что вершина V, а с ней и амплитуда А(к\ ,.. к^} зависят от конформного множителя и определение (5.6.2) не имеет смысла. Ниже мы выясним, что это ие так и операторное среднее экспоненты〈©沮*")〉также имеет конформную аномалию, в точности сокращающую фактор еф, проистекающий от Yg. Иными словами, оператор е沮々 не является скаляром относительно группы Вейля и преобразуется как тензор веса

〈染吟 e6g = e—°〈戶吟 g.(5.6.3)

Мы выясним это обстоятельство в процессе вычисления амплитуды рассеяния (5.6.2). Функциональный интеграл Полякова без вершин мы уже вычислять умеем, а их присутствие впосит лишь небольшие усложнения. Введем для удобства фиктивный источник 7(g):N

L⑸=2 工硒2(自一a)(5.6.4)

说户(笈)

и запишем произведение е в виде

ехр貝2自/“用•肝⑸.

Теперь сделаем сдвиг переменной интегрирования 方％ 方"—方“+ 出儿 и подберем «классическое» поле 出"из условия сокращения в экспоненте линейного по хи члена [188]. Это дает уравнение па г^■' 诞咽

3jg gabdbr^ = —2л7и.(5.6.5)

Оно легко решается с помощью функции Грина оператора Лапласа局

△G (g, r)= 一 会% (丿姦2%) G (& F) = * 彩叫(5.6.6)

и решение имеет вид

^(^ = 2nlG^)J^^)d^.(5-6.7)

Теперь интеграл по 宏方“ вновь принимает первоначальный вид (5.1.16). Интегрирование по 空研史g0b приводит к появлению действия Лиувилля (5.5.20), (5.5.21), а в 0=26 вообще дает константу. Таким образом, в критической размерности после подстановки (5.6.4) — (5.6.6) в (5.6.2) мы получаем следующее выражение для амплитуды рассеяпия 7V тахиопов:

曾喚"^ ехp [一嚐产&，孙X

X exp

[-2口名6&,痂）研/斗

(5.6.8)

Локальность вершины V(к) привела к появлению в экспоненте неопределенной величины G(&,自0. Как известно из курса электростатики [189], двумерная функция Грина при малых I占一自 I2 ведет себя как 1口1自一自‘丨，т. е. сингулярна в пределе совпадающих аргументов. Поэтому мы должны прежде регуля~ ризовать ее. Поскольку расходимость на малых рассеяниях свя- зала с плохой сходамостью ряда для функции Грина в области больших частот, Поляков предложил следующее регуляризованное выражение:

&reg (扇 g ) = 2Гe , Афп Хпфп. (5.6.9)

Здесь мы можем безбоязненно положить W = W‘. Предел GTeg при 6fo подробно вычислен в приложении А.10. Удивительной особенностью является появление зависимости от ф

Greg & Е)=—言 In е —崇中(&)•(5.6.10)

Как хорошо известно [190], при несовпадающих аргументах функция Грина конф ормно-инвариа нтна. Подставляя (5.6.10) в (5.6.8), мы получаем, что вся зависимость подынтегрального выражения от 中 имеет вид

JJ £&)("淄〃)，

иными словами, амплитуда конформно-инвариантна только в том случае, когда все внешние импульсы тахионные,力^ = — 4 • Из (5.6.10) следует также формула (5.6.3) для вакуумного среднего одной вершины. С точки зрения квантовой теории поля функция Грина оператора Лапласа Д есть пе что иное, как вакуумное среднее произведения полей

6盟(扇Г) = 3⑧力v&)〉~急m I自一门2, 自 f y,

а сингулярность функции Грина на малых расстояниях соответствует сингулярности в операторном разложении полей 比掘[256]. Ниже при рассмотрении двумерных конформных теорий мы будем интенсивно использовать эту терминологию.

Поучительно сравнить полученные здесь результаты с обсуждением конформных свойств вершины тахиона в § 7 главы 2. Там, исходя из коммутационных свойств вершины с операторами Виразоро, мы установили, что вершина является конформной плотностью веса 左？/2, т. е. —1 для тахиона, здесь мы пришли к аналогичному результату из совсем других соображений. Пол” ностью связь между двумя подходами станет ясной ниже, когда мы построим операторы Виразоро методами струны Полякова.

* См. сноску на с. 147.

Вернемся к амплитуде А{к\ ,.. kN). Поскольку паши выкладки никак не учитывали модулей, выведенные формулы имеют место только для поверхности рода ноль, т. е. сферы. С точки зрения теории возмущений поверхность рода ноль соответствует древесным диаграммам. На сфере функция Грина известна явно

6(У差ln|z — z'F，己老乙6(У差ln|z — z'F，己老乙(5.6.11)(5.6.11)

6(У差ln|z — z'F，己老乙

6(У差ln|z — z'F，己老乙

(5.6.11)

(5.6.11)

где мы вновь ввели комплексные координаты z =曰 + 力田.Сейчас мы рассматриваем взаимодействие замкнутых струн, в которых, как мы знаем, есть правые возбуждения, соответствующие z, и левые, соответствующие z. Поэтому в формулу (5.6.11) входит квадрат модуля. Подставляя функцию Грина (5.6.11) в выражение для амплитуды (5.6.8) (где мы можем теперь опустить произведение ехр ср ( 1 4- ?))，мы пол57чаем весьма знакомую формулу

(5.6.12)(5.6.12)4 (力工.…％n) = g j а2ЗгП|3^ —2；| 2 J

(5.6.12)

(5.6.12)

Она напоминает амплитуду Кобы ——Нильсена для открытых струн, хотя и не совпадает с ней. Амплитуда (5.6.12) также обладает циклической симметрией, характерной для дуальных амплитуд, и так же расходится, как и амплитуда Кобы ——Нильсена. Все дело по-прежнему в том, что сфера обладает непрерывной группой автоморфизмов [181, 190], которая есть не что иное, как группа Мёбиуса:

ad — Ъс = 1. •ad — Ъс = 1. •(5.6.13)(5.6.13)az 4- Ъ

ad — Ъс = 1. •

ad — Ъс = 1. •

(5.6.13)

(5.6.13)

ZTНг> cz-\-d

В отличие от открытой струны, здесь параметры преобразования а, &, % d могут быть комплексными. Теперь, действуя совершенно аналогично случаю открытой струны (§ 6 главы 2)； мы выделяем объем группы Мёбиуса, фиксируем три произво льные точки и т. д. В простейшем случае рассеяния 2 f 2 мы получаем выражение

А(£,力 и)==

F传一^ a⑶)f传_4"a⑶)r (4 4 a⑺)

唱-臥(±) ga (，))F(g_^a ⑴ -4^ <s))r(4~4a ⑶-奈 ®))

(5.6.14)

где теперь а ⑹=2 + -^- s. Здесь, как в формуле Венециано (2.6.34), мы восстановили размерность, введя а'・ Амплитуда (5.6.14) была впервые получена в работах Виразоро и Шапиро [165] как альтернатива амплитуде Венециано. Позже было выяснено, что эти две формулы исчерпывают список возможных

дуальных амплитуд 2 f 2, причем формула Венециано соответствует открытой струне, а формула Виразоро ——Шапиро — замкнутой.

Рассмотрим снова интеграл (5.6.8). Выражение в экспонент© очень напоминает электростатическую энергию системы зарядов расположенных в точках &. Поскольку двумерная функция Грина растет на больших рассеяниях, полный заряд S ^ должен быть равен нулю во избежание инфракрасной катастрофы. Напомним, что требование равенства нулю полного заряда двумерной системы имеет далеко идущие следствия, обеспечивая, например, удержание кварков [193]. Сама же амплитуда (5.6.8) может быть проинтерпретирована как статсумма соответствующей электростатической системы. Таким образом, возникает красивая аналогия между дуальными (струнными) амплитудами и электростатикой. Впервые она была подмечена Нильсеном [194] еще на заре развития дуальной теории и оказала большое влияние на ее развитие, когда выяснилось, что многие известные результаты из теории функций Грина на римановых поверхностях можно с успехом применять для изучения дуальных амплитуд. Заметим, что если включить в рассмотрение модули, то формула (5.6.8) является совершенно общей и справедливой на любой римановой поверхности, и если в нашем случае рода поль аналогия с электростатикой выглядит почти тривиально, то для диаграмм с произвольным числом петель она оказывается очень полезной. Дело в том, что функции Грина на произвольной римановой поверхности можно выразить в терминах абелевых дифференциалов с заданными сингулярностями [155, 190, 258, 259] или же прямо через обобщенные 0-функции Римана [260]. В таком случае задача построения теории взаимодействия струн (или теории сильных взаимодействий, как полагали физики в начале 70-х гг.) сводится к изучению электростатики на римановых поверхностях. Крайним выражением этой точки зрения было шутливое предложение Лавлейса [155] вместо постройки дорогостоящих ускорителей ограничиться изготовлением из фольги римановых поверхностей и измерением распределения токов на ней. К сожалению, позже природа отобрала у нас прекрасную возможность сэкономить.

§ 7. ДУХИ И U (1) АНОМАЛИЯ.ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА

Вернемся снова к статсумме струны Полякова Z (5.1,16), которую мы будем изучать отныне в конформной калибровке (5.4.2). Действие БДВХДЗ приобретает вид

(5.7.1)(5.7.1)Q Г d% дх^己⑦乩

(5.7.1)

(5.7.1)

Мы предполагаем также, что работаем в D = 26 и можем опустить интегрирование по 2<р и 々巳.После чего статсумма записывается как

Z = J 勿碇 det W^-xe-s^,(5.7.2)

где мы подставили вместо det Р^Рг его выражение (5.5.15) в конформных координатах. Детерминант оператора Vr2VLx является детерминантом Фаддеева ——Попова, связанным с выбором координат («фиксацией калибровки»). Пример калибровочной теории учит нас, что исследование ее песравпешю упрощается, если выразить детерминант Фаддеева ——Попова с помощью интегрирования по фиктивным духовым полям, скалярным фермионам. Напомним правила грассманова интегрирования, согласно которым [197]

J d0i exp (Oi^ijOj) = det 4(5.7.3)

0Y ——элементы алгебры Грассмана, 0<0з = — O^Oi. Пользуясь (5.7.3), мы можем представить det VLr в виде функционального интеграла по антикоммутирующим духам с^ и bzz [179]

det Vr2Vii = J S)b宓b空®i exp (― 5 ①,с)),

「j2(5.7.4)

S (6, с)=)盡 g后(仇卄上© + & с.).

Здесь сг ^ К~\ bzz ^ X2. Имея в виду изучать clet 73/Pj при произвольном /, мы будем рассматривать также и общий фермионный лагранжиан вида

S © с) = f 尝 gz^ [卢)若7户-・)+ с. с.],(5.7.5)

где 6(力——/-дифференциал, а са~^ — (1 — /)-дифференциал. Поскольку операторы Vj переводят из одного векторного пространства в другое, в данном случае, в отличие от обычной процедуры квантования поля Янга ——Миллса, нам приходится вводить два типа духовых полей. Легко видеть, что действия (5.7,4), (5.7.5) конформно-инвариантны при произвольном у. В дальнейшем мы не будем писать индексы у полей Ь, с. Подставляя V = ^^ мы получаем

S(6, с)=『容(切产 + С.С.),(5.7.6)

т. е. S(b, с) вообще не зависит от метрики, подобно действию 5⑺ (5.7.1). Теперь статсумму струны Полякова можно записать в виде

Z = J 究碎宏6纱石2c灰 exp (― S(r) — S (仇 c))・(5.7.7)

Из (5.7.6) следуют уравнения движения на Ъ, с

д-b = 0, д-с = О,(5.7.8)

в то время как из (5.7.1) мы получаем хорошо известное уравне、 ние движения струны (уравнение Даламбера), записанное в комплексных координатах,

当3 产隔=0.(5.7.9)

Из этих уравнений движения следует, что поля 方 и с являются конформными, т. е. зависят только от z, в то время как хи та- ковым не является. Одпако, согласно (5.7.9), мы можем разбить %" на две половинки:

^(zt z) = ^(z) + ^(f),(5.7.10)

где теперь ^(z)——конформное поле. Лагранжиан S(6, с)——простейший пример так называемой конформной теории поля^ кото- рую мы рассмотрим подробно несколько позже. С другой стороны, с точки зрения обычной теории поля, S(仇 с) является фермионным лагранжианом первого порядка по производным, причем фермионы 6, с 以 оператор Коши — Римана д~ -киральяые. В самом деле, в § 9 главы 1 мы установили, что оператор Дирака для киральпых фермионов сводится в Z)= 2 к оператору Коши ——Римана ^2, а сами правые поля зависят только от z (соответственно левые — от W). Будучи по своей природе фермионным, лагранжиан 5 (Ь, с) вполне может иметь присущие фермионам аномалии. Как заметил Фудзикава [195], лагранжиан (5.7.5) инвариантен относительно глобальных 0(1) преобразований

方f е^仇° +巴一仪以(5.7.11)

Опыт главы 1 заставляет пас заподозрить, что эта симметрия должна иметь аномалию. Так оно и есть. Чтобы найти ее, определим «ток числа духов» / (z) согласно

/(2)= —6с.(5.7.12)

Это нотеровский ток, связанный, очевидно, с симметрией (5.7.11), и классически он сохраняется:

&? = О,

поскольку оба поля &, с зависят только от z. Аномалию в токе j можио вычислить обычным методом Фудзикавы. В данном случае он особенно поучителен, поскольку демонстрирует связь U (1) аномалии (5.7.11) с конформной аномалией и позволяет заодно вывести важнейшую теорему Римана ——Роха. Для нахождения аномалии рассмотрим часть статсуммы (5.7.7), связанную только с полями 瓦 с:

Z = J 勿方宏с ехр (— j|^ 唸°}(5713)

Для вывода тождества Уорда сделаем, как обычно, инфинитезимальную замену переменных интегрирования функционального интеграла_

& f ea(2,z)b, с f е^^^с(5.7.14)'

и потребуем

Й = °-(5-7.15)

При замене (5.7.14) действие S(Ь, с) приобретает добавку

—J祭 6吟ан — J ^吟八(5.7.46)

В то же время мера интегрирования преобразуется как

2(6汕)2(6-0=6)= J(a)勿 6勿&(5.7.17),

Для вычисления якобиана J(a) заметим, что мы можем формально рассматривать замену переменных (5.7.14) как конформное преобразование полей 仇 с. Может показаться, что факторы е" и ©у взаимно сокращаются в (5.7.17), однако это не так, поскольку поля 方 и с имеют разную конформную размерность —— соответственно j и 1 —/. Разложим как обычно поля b п с по ортонормированной системе собственных «функций» 屮4 и 屮^一') (разумеется, с точки зрения своих трансформационных свойств они никакие не функции, а дифференциалы соответствующих порядков) (5.5.10):

6 3，2)= £ Фп (z, z) bn,Q

где Ьп и сп ——грассмановы элементы (скалярные спиноры);屮以—— /-дифференциалы; 屮法一” 一 (1 — /)-дифференциалы. Эти дифференциалы удовлетворяют, как следует из действия (5.7.5), системе дифференциальных уравнений

V$* =千考(у)—?需f*,(5.7.19a)

VJ 歸 T)=—杂(g&> 菰，(5.7.196)

откуда мы получаем обычным способом (см. (5.5Л0)——(5.5.12)) уравнения второго порядка на собственные «функции»

V丁10* = --L A/(pi = 一 嗎崛， (5.7.20)

и аналогично для 屮九

А：?•需—=嗚碎 f •(5.7.21)

Теперь якобиан J вычисляется совершенно стандартным способ бом, как в § 3 главы 1, и ответ имеет знакомый вид

J ехр — f ^~ а 2 (фпФп —屮^ 打屮朴 ”)•(5.7.22》

Подставляя (5.7.22) и (5.7.16) в (5.7.15) и варьируя, мы находим тождество Уорда

G才⑶)=2 (磁蝎-碌f陪t>).(5723»

Входящие сюда суммы мы регуляризуем, как обычно, вводят экспоненциальное обрезание *

〈却(z)〉= lim s ^е-^ -碌f eYt陪一力)=

=lim S (嬴e i%4 _ 确Т)「А 皂硯 f)= 力T。 n

=lim 2л (тг U寸—Тг e-払工)*(5.7.24》

*0

След экспоненты лапласианов △扌 мы вычисляли в приложении А.9, и он уже использовался, разумеется, при вычислении конформной аномалии (5.5.17). Подставляя в (5.7.24) разложение? Швингера ——Де Витта — Сили в Z7 = 2 (см. А.9.17)

2л Тг U寸=專 + 2ла0 (А^) + о («),

мы видим, что расходящиеся члены i/2t в разности: (5.7.24) сокращаются и ответ есть

〈砲/0)〉= 2л (а0(А扌)—а。(△匕))•(5.7.25>

Заметим в этой связи, что формулу (5.7.24) можно переписать в более привычной форме, в которой будет подчеркнута ее связь с уравнением абелевой аномалии. А именно: вспомним определение «спинора» Ф (5.5.2), где в качестве нижней компоненты напишем Vj_j<₽a_?)。 Тогда формула (5.7.25) принимает вид

(5-7(2)) = ТгТ5е-^Ч

где у5где у5=С -0)=С -0)действуетдействуетна пространстве спиноровна пространстве спиноровФ. СледФ. Следв правой частя совпадает с общим выражением для индекса Виттена [169], через который, как мы уже упоминали в § 10в правой частя совпадает с общим выражением для индекса Виттена [169], через который, как мы уже упоминали в § 10

где у5

где у5

=С -0)

=С -0)

действует

действует

на пространстве спиноров

на пространстве спиноров

Ф. След

Ф. След

в правой частя совпадает с общим выражением для индекса Виттена [169], через который, как мы уже упоминали в § 10

в правой частя совпадает с общим выражением для индекса Виттена [169], через который, как мы уже упоминали в § 10

療 Заметим, что собственные функции ф^ ортонормированы относительно меры ^z[2n. Это служит причиной появления фактора 2兀 в нижеследующих формулах.

главы 1, можно выразить индекс любого эллиптического оператора. Подставляя теперь значение нулевого коэффициента а0 (А^) (формула (9.11) приложения А)

2п% (△})=—写 1 Kg 五，(5.7.26)

мы получаем окончательно уравнение аномалии для тока числа Духов

〈％/ (z)〉=—殴["Р?冗(5.7.27)

Согласно (5.7.25), абелева аномалия в токе числа духов задается как разность конформных аномалий лапласианов, действующих соответственно на пространствах ]- и (1 — J)-дифференциалов. 0(1) аномалия равна нулю только при J = 1/2, когда конформные размерности полей & и с совпадают, а само действие духов (5.7.6) совпадает с действием Дирака.

Проинтегрированное уравнение аномалии должно дать нам теорему об индексе для нашего оператора 5-. Для вывода ее используем известную из дифференциальной геометрии формулу Гаусса — Бонне для замкнутой римановой поверхности Е

J察 Pg 五=%(*)= 2 — 2g,(5.7.28)

где g ——род римановой поверхности. Топологический инвариант%(Е) называется индексом Эйлера — Пуанкаре. Для вычисления偌〈%№)〉

используем формулу (5.7.23). Поскольку все собственные «функции» фп ортонормированы и, согласно (5.7.19) — (5.7.21), каждой Ф« с данным ^'¥= 0 соответствует Фп-J)с тем же 九宀 все члены с Am * 0 сокращаются в разности и вклад дают только нулевые моды, Кп = 0, т. е. решения уравнений

力冠=马* = о,(5.7.29)

%-風1)= 5-Ф^Л = 0.(5.7.30)

Окончательно мы получаем теорему об индексе

W(Фо) — N (中耳一力)=dim ker Vj — dim ker V；_ = (2/ 一 1) (g — 1).

(5731)

Например, для первоначальных духов & и с (/= 2), возникающие в струне Полякова, мы получаем важное соотношение

N(仇)一З(со) = 3g — 3.(5.7.32)1

Хотя (5.7.32), как и всякая теорема об индексе, дает нам лишь значение разности числа нулевых мод оператора и сопряженного

оператора, в данном случае возможно явно назвать число нуле： вых мод векторного поля сг. Как известно из дифференциальной геометрии [18], нулевые моды векторного поля, именуемые обычно векторами Киллинга. возникают в тех случаях, тюгда многообразие, на котором оно задано, обладает непрерывной симметрией (Их часто называют также изометриями или непрерывными автоморфизмами). Для римановых поверхностей непрерывные автоморфизмы легко можно перечислить: для сферы (g = 0) мы имеем хорошо известное преобразование Мёбиуса (5.6.13), которое при ad ~ be = 1 описывается тремя комплексными параметрами, т. е. комплексный вектор сг имеет три нулевые моды. В этом случае из (5.7.32) следует, что поле 方％ вообще не может иметь нулевых мод. Для тора (g=l) из формулы Гаусса—Бонне следует 2? = 0, и можно развернуть тор на плоскость (что мы и делали неоднократно, рассматривая вместо тора параллелограмм периодов). В этом случае есть один комплексный вектор Киллин- га, отвечающий просто сдвигу плоскости как целой по двум вещественным направлениям, и из (5.7.32) следует 7V(&o) — 1- Для g>l теорема Шварца [190] гласит, что риманова поверхность не может иметь непрерывных автоморфизмов, так что при g > 1 всегда 7V(co) = 0 и мы получаем

N(2=3g — 3, g> 1.(5.7.33)'

Каков смысл рассматриваемых нами нулевых мод? Условие V抄* = 0, т. е.

^-&Q — 0,(5.7.34)

означает, что Ъ^ является голоморфным ]-дифференциалом, иными словами, всюду аналитическим на римановой поверхности тензором ранга /. Известно, что на компактной римановой поверхности нет всюду голоморфных функций (кроме константы) [180, 181], но при j>0 такие тензоры имеются. Полученная нами теорема об индексе (5.7.31), (5.7.32) является частным случаем знаменитой теоремы Римана ——Роха, роль которой в теории римановых поверхностей исключительно велика. Она позволяет определять размерность векторных пространств функций с заданными нулями и полюсами, число нулей у абелевых и произвольных /-дифференциалов и т. д. и т. п. [180, 181]. В виде (5.7.32) число голоморфных квадратичных дифференциалов при g > 1 равно 3g — 3 ——она была известна самому Риману [196].

§ 8. НУЛЕВЫЕ МОДЫИ ПРОСТРАНСТВО ТЕЙХМЮЛЛЕРА

В предыдущем параграфе мы выразили детерминант Фаддеева——Попова (det Pf尸工)"2 через функциональиый интеграл по антикоммутирующим духовым полям bzz и cz, причем мы выяснили, что эти поля имеют нулевые моды, подчиняющиеся теореме

Римана — Роха. Наличие нулевых мод приводит к тому, что функциональный интеграл (5.7.4) в действительности не опреде- ляет никакой детерминант и просто равен нулю. В самом деле, подставим в действие S(&, с) разложение (5.7.18). С учетом орто- нормированности дифференциалов фп мы получаем

S = — £ 言q Ь^п.(5.8.1)

Поскольку мера интегрирования по &, с имеет вид (см. § 3 главы 1)

勿b勿с = IT d Z^ d 以，(5.8.2)'

мы находим (мы считаем для простоты g > 1, так что поле с“一力 нулевых мод не имеет)

J 060 …Т 屈产 no}dbn ^ exp ( £ 急 g),

(5.8.3) гДе 汝= (2j—1) (g—1) — число нулевых мод поля Ъ. По правилам грассманова интегрирования j db* = О, / 6工 db$ = 1, интеграл (5.8.3) равен нулю. Таким образом, представление (5.7.4) имеет смысл только в том случае, когда поля Z? и с не имеют нулевых мод, т. е. в сумму (5.8.2) все &п, сп входят с ненулевым весом. Не пытаясь пока понять, что же произошло, попробуем исправить дело известными нам способами. Напомним, что точно такая же ситуация встречается в инстантонной физике, когда благодаря обычной киральной аномалии безмассовые фермионы в поле инстантона имеют нулевые моды, в результате чего функциональный интеграл, л\ е. амплитуда перехода между секторами с разным инстантонным числом, равен нулю. Рецепт исправления этой неприятной особенности хорошо известен: поскольку функциональный интеграл обращается в нуль из-за несохранения заряда, иными словами, из-за того, что нам нечем уравновесить заряд нулевых мод (2/— 1) (g — 1), нужно руками вписать в интеграл нужное число полей У. Определим модифицированный функциональный интеграл

〈b(zj …b(zM)b(z1)…Ъ(5М)> =

=J JI b(2土) b ⑸)空ЬЗУсЗУЪ空c exp (— S (仇 с) — S (瓦 с))・(5.8.4)

Его легко вычислить, используя формулы (5.8.1), (5.8.2). Мы имеем выражение

J Ц d& d石也(Zi) Ъ ⑶)J U d&n dbnex^nbnCn+%nbnCn\ (5.8.5) {九n关0}

ИнтегралИнтеграл+ с. с) может быть принят за+ с. с) может быть принят заj*『I d&n dZ?n exp (SXn&n^n

Интеграл

Интеграл

+ с. с) может быть принят за

+ с. с) может быть принят за

определение det'V『'V；_； (детерминанта с опущенными нулевыми

модами). Оставшийся интеграл по нулевым модам дает Idet q)(H(2ft) I2, поскольку поля b(zt) в разных точках антиком'

мутируют между собой. Мы получаем

(5.8.6)(5.8.6)〈6 (z0 . . . & (им) b ⑸)•.・石(zM)> ==I det 屮оМз)仔 det' V7V；f

(5.8.6)

(5.8.6)

где матрица <р(н(2在) имеет элементом 北 ",Х-ю нулевую моду в точке 2在.Читатель заметит, что мы избегаем работать с кираль^ ным детерминантом detV；—* Причина этого выяснится позже.

Таким образом, наше первоначальное определение detVz'V；—; с помощью функционального интеграла по духовым полям оказывается неполным, и мы вынуждены в качестве детерминанта в случае наличия нулевых мод принять определение (5.8.6), а именно:

det，VNV；T = g(分) 叩m)方(分)「(喝工

’[det 咏 3)『

(5.8.7)

Чтобы понять происходящее, вернемся к нашему обсуждению модулей римановой поверхности в § 4. Мы упоминали, что разбиение метрики (5.4.1), (5.4.2) является полным только внутри каждого конформного класса, в общем же случае оно не полностью описывает риманову поверхность. В (5.3.2) мы разбили вариации метрики на конформные вейлевские преобразования 6屮纟册——назовем класс таких преобразований {Weyl}—и диффеоморфизмы, т. е. общекоординатные преобразования вида (Р^аъ,— класс этих преобразований назовем {Diff}. Предположим, что имеются вариации метрики 5为血 непредставимые в виде (5.3.2), иными словами, ортогональные к

6gab = 6中gab + (p体)叫.

Подставляя 6无册 в определение свертки I \6g\ I2 (5.1.17), мы находим поле интегрирования по частям

〈6瓦 6g〉= J d2m P? gacgba67ab X

X [bcpgcd + (尸卢储]=—J d2g Vg ea (尸f 6%)a.(5.8.8)

Отсюда следует, что если существуют отличные от нуля решения уравнения

(尸f 6%)а = — 2V%Zab = О,(尸f 6%)а = — 2V%Zab = О,(5.8.9)(5.8.9)

(尸f 6%)а = — 2V%Zab = О,

(尸f 6%)а = — 2V%Zab = О,

(5.8.9)

(5.8.9)

то соответствующие 6厶 определяют вариации метрики, ортогональные диффеоморфизмам и конформным вейлевским преобра-

.зованиям. Обозначая класс решений (5.8.9) через ker Pf, запишем символическое разбиение метрики 6g [186, 203, 204] в виде

bg = {Weyl}㊉{Diff}㊉{kerPj-}.(5.8.10)

Упражнение. Показать, что ядро оператора Р^, т. е. пространство решений Aa(gcd)6hab = 0, инвариантно относительно конформных преобразований метрики gcd f pgcd (указание: выразить ковариантную производную через символы Кристоффеля и найти их изменение при конформных преобразованиях).

Из упражнения следует, что пространство ker Pj имеет инвариантное олределение. Перепишем уравнение ^b6hab = 0 в более привычных нам комплексных координатах. Получаем при этом_

V靖无zz = 产己亍方zz二0.(5.8.11)

Но это есть не что иное, как условие (5.7.34) на голоморфные квадратичные дифференциалы! Число их нам уже известно из теоремы Римана ——Роха, а именно: мы имеем 3g —— 3 линейно независимых комплексных квадратичных дифференциала, так что пространство ker 尸扌 не пусто. Обозначая произвольные вариации метрики через {Met}, запишем символическое уравнение

Т — {Met}

—{Weyl}区{Diff}。•

Здесь {DiffJo означает, что мы рассматриваем только диффеоморфизмы, непрерывно связанные с тождественным. В уравнении (5.8.12) мы от факт оризов а ли пространство всех вариаций метрик по вейлевским преобразованиям и 《малым» диффеоморфизмам. Получающееся в факторе (3g — 3)-мерное комплексное пространство Т называется пространством Тейхмюллера [181 ——183, 203, 204]. Заметим, что при интегрировании по метрикам в струне Полякова мы должны, разумеется, интегрировать во всем возможным диффеоморфизмам, в том числе и не связанным не-- прерывно с тождественным. Введем так называемую модулярную группу Тейхмюллера

Mod Т =器體(5.8.13)

(в английской литературе ее называют также mapping class group) и определим пространство модулей:

ММ{Met}Т{Weyl} о {Diff} = Mod Т{Met}Т{Weyl} о {Diff} = Mod Т(5.8.14)(5.8.14)

М

М

{Met}Т

{Weyl} о {Diff} = Mod Т

{Met}Т

{Weyl} о {Diff} = Mod Т

(5.8.14)

(5.8.14)

В (5.8.13), (5.8.14) {Diff} мы обозначили все возможные диффеоморфизмы, в том числе и «большие», с которыми мы встречались при обсуждении модулярной инвариантности спиновой струны. Из (5.8.14) видно, что пространство модулей является

〃Рис. 22. Пространство Тейх-

1ш т>0мюллера римановой поверхно-

//////////// / сти Р°па 1 — верхняя полу- ^~~^—t—t_t~ti~^~t~^~^—^~^— плоскость Я (см. такж& рис. 17),

более узким, чем пространство Тейхмюллера, поскольку определяется как фактор последнего по группе модулярных преобразований Mod Т.

Рассмотрим простейший пример: пространства Тейхмюллера модулей и модулярная группа для случая рода 1. Выше мы установили, что при g = 1 имеется один голоморфный квадратичный дифференциал, т. е. один комплексный модуль и размерность пространства Тейхмюллера равна 1. В его качестве можно выбрать верхнюю полуплоскость Н (рис. 22). Модулярная группа Тейхмюллера состоит в том случае из хорошо известных нам модулярных преобразований

咚,c,「eme, ст 4- ad—6c =z

а пространство модулей совпадает с фундаментальной областыо модулярной группы (см. рис. 15). Выше мы установили, что необходимо отождествить попарно стороны I, II и III, IV. При этом полоса 歹 превращается в сферу с выколотой точкой (соответствующей Z°o). Добавляя точку на бесконечности, мы компактифицируем пространство модулей, превращая его в сферу. Некоторое опасение вызывают точки р, р‘，X (см. рис. 15). Из рисунка видно, что пространство модулей имеет в этих точках конусные сингулярности. Такие сингулярности (обычно их называют орбифолд-точками) вообще свойственны пространству модулей. Дело в том, что, согласно общей теории накрывающих пространств, пространство модулей, определенное как фактор- пространство Тейхмюллера по дискретной группе, имеет сингулярности в точках, стабильных относительно некоторых преобразований модулярной группы. Например, в случае рода 1 точка % (см. рис. 15) инвариантна относительно инверсий, if — 1/j； точки р и рх инвариантны относительно инверсий + сдвиг на 1. Однако в данном простейшем случае эти сингулярности могут быть сглажены и пространство модулей представляет собой гладкое многообразие. К сожалению, в общем случае этого сделать не удается и при g > 1 пространство модулей является разновидностью орбифолда ——многообразия с конусными сингулярностями (с элементарными свойствами орбифолдов читатель может познакомиться в [261]). Само же пространство Тейхмюллера——гладкое (3g——3)-мерное комплексное многообразие, которое может быть вложено в (6g——6) -мерный вещественный тар [182]. Впрочем, само пространство Тейхмюллера интересует нас, конечно, меньше, чем пространство модулей, поскольку после выделения объема модулярной группы интегрирование ведется

по пространству модулей и такие свойства, как, например, расходимость диаграмм, определяются границей пространства модулей. В общем случае эта граница известна довольно плохо.

нечно,нечно,Замечательное свойство струны Полякова — ее модулярная: инвариантность. Мы видели на примере спиновой струны, что при построении петлевых диаграмм требование модулярной инвариантности внешнее, дополнительное, которое мы вынуждены вносить, чтобы определить разумные амплитуды. Кроме того, в дуальном операторном подходе с ростом порядка теории возмущений число диаграмм очень быстро растет [262]. В струне Полякова мы интегрируем по поверхностям, т. е. мы покрываем все поверхности, которые получаются друг из друга как непрерывными диффеоморфизмами, так и модулярными преобразованиями. Очевидно, сумма будет автоматически модулярно-инвариантной. Далее, с точки зрения теории возмущений в каждом ее порядке^ в методе Полякова возникает единственная «диаграмма»——риманова поверхность данного рода. Таким образом, один интеграл Полякова покрывает множество диаграмм дуальной теории возмущений. Для бозонной струны требование модулярной инвариантности вместе со знанием структуры расходимостей амплитуды оказывается достаточным для определения явного вида амплитуд в случае низших родов g = 1, 2, 3, 4 [153, 263]. Ко- подход Полякова имеет и свои слабые места. Главное и& трудность, связанная с невозможностью ввести координаты

нечно,

нечно,

на пространстве модулей для произвольного рода (на сегодняшнем этапе наших знаний).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ БЕЛЬТРАМИ,КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И МОДУЛИ

Наше описание пространства Тейхмюллера (модулей) до сих пор было скорее словесным. Понятие модуля и меры интегрирования по модулям еще не было расшифровано. В этом параграфе мы продемонстрируем один из способов параметризации пространства модулей, который, на наш взгляд, является наиболее- наглядным [153]. Обозначим пространство голоморфных квадратичных дифференциалов через В2 (2). В теории пространств Тейхмюллера доказывается, что оно может быть голоморфно' отображено на область в пространстве ^2(2)；[182]. Отсюда следует, что квадратичные дифференциалы могут быть приняты в качестве координат пространства Тейхмюллера. Вписывание в интеграл по духам (5.8.5) нужного числа полей Ъ равносильна интегрированию по пространству Тейхмюллера. Чтобы лучше понять введение координат на пространстве Тейхмюллера, вернемся к уже упоминавшемуся понятию деформации комплексной структуры. Предположим, что на римановой поверхности 2? за-» дан набор локальных окрестностей с координатами z, в каждой из которых метрика имеет вид ds； = 2gA dz dz・ Рассмотрим ри-

манову поверхность S2 с метрикой

ds^ =九 I dz + 卩d£『.(5.9.1)

Мы можем конформно отобразить ds： на ds^, если для каждой координатной окрестности решим уравнение Бельтрами

方必=卩(％)%〃•(5.9.2)

Величина р., удовлетворяющая этому уравнению, называется дифференциалом Бельтрами. Отображение и?(2, z,卩) не является, разумеется, конформным, хотя благодаря (5.9.2) конформно отображает метрику ds； на ds^. Такое отображение называется квазиконформным.

Роль квазиконформных отображений в описании модулей римановой поверхности была прояснена в работах Тейхмюллера, Альфорса, Берса и многих других математиков [183, 205]. Расписывая (5.9.1), мы находим

ds^ = %[(! + 卩卩)dz dz + р, (dz)2 + 卩(dz)”(5.9.3)

л1, e. квазиконформное преобразование (5.9.2) порождает деформацию комплексной структуры, причем

6gzz 〜& Sg-〜[А-(5.9.4)

Из уравнения Бельтрами следует, что дифференциал ц при аналитической замене координат u?=/(z) преобразуется как

卩⑹匸卩⑵卷川第)1,(5.9.5)

т. е. величина N"j^ инвариантна при аналитических заменах координат. Таким образом, 从一тензор типа р|. Из (5.9.3) следует

Р-1 = gzz6g$ = — gz/gzz.(5.9.6)

Заметим, что если ср — квадратичный дифференциал, равный 屮zz (仪守)2 в некоторой локальной системе координат, а р. — дифференциал Бельтрами 核^窑(где *^|просто формальное от- 五ошенне Дифференциалов, а не производная!), то их свертку можно проинтегрировать по всей поверхности. Определим

<ф, Н> = J ф-ц = J p|cpzz d2z.(5.9.7)

Подчеркнем, что свертка <ц, ф> не зависит от метрики g2-, являясь инвариантом при конформных преобразованиях. В общем случае пространство дифференциалов Бельтрами бесконечномерно. В самом деле, рассмотрим метрику ds； и подвергнем инфи-

витезимальному диффеоморфизму z f z + е (z, z). Получим новую метрику ds：:

dsg = ds^ + 2g-[(方e) (d^)2 + (生E) (dz)2] + о (吟 (5.9.8)

Отсюда находим дифференциал Бельтрами, соответствующий _непрерывным диффеоморфизмам:

疋=О».(5.9.9)

Выше мы установили, что диффеоморфизмы метрики не могут «уловить» модулей, т. е. пространство Т ейхмюлл ера ортогонально диффеоморфизмам. Поэтому дифференциалы Бельтрами вида (5.9.9) называются локально тривиальными. Чтобы определить нужные нам дифференциалы Бельтрами, которые описывают деформации комплексной структуры, обусловленные вариацией модулей, заметим, что мы можем использовать свертку (5.9.7) и потребовать, чтобы нужные нам дифференциалы Бельтрами составляли пространство, дуальное пространству голоморфных квадратичных дифференциалов Bz(E). Для тривиальных дифференциалов Бельтрами (5.9.9) мы имеем

<Ф，卩〉=J(Pozz^-ed22 = — J £。尹ozz cPz = О,

поскольку <p()zz голоморфны. Очевидно, тривиальные дифферен- диалы Бельтрами никак не могут составить пространства, дуального В2 (Е) • Можно показать, что интересующие нас нетривиальные дифференциалы Бельтрами, т. е. такие, для которых <Ф,世> 亚 0, составляют конечное (3g — 3)-мерное комплексное векторное пространство, являющееся фактор-пространством всех дифференциалов Бельтрами по локально тривиальным. Это (3g ——3)-мерное пространство дифференциалов Бельтрами является теперь дуальным к пространству 瓦(工)，т. е. к пространству Тейхмюллера, и может быть использовано для введения на нем координат. Дело в том, что дифференциалы Бельтрами ——довольно осязаемые объекты: они заданы с помощью дифференциального уравнения первого порядка, а свойства решений дифференциальных уравнений известны очень хорошо. В частности, Берс [182] доказал важную теорему, гласящую, что дифференциалы Бельтрами голоморфно зависят от своих параметров (т. е. от модулей) и при малых значениях параметров могут быть разложены в ряд. Используя теорему Берса, запишем

3g—з

林=』М勿，(5.9.10)

где (3g ——3) параметра yi и суть долгожданные модули. По определению, дифференциалы Бельтрами ц^ линейно независимы. .Используя свойство дуальности (pozz и щ мы можем выбрать базис в пространстве В2, удовлетворяющий

<фг, М〉= J фг^ = SL Л 7 = 1, 2 3g — 3. (5.9.11)

(5.9.12》(5.9.13)(5.9.12》(5.9.13)Наконец, с учетом (5.9.6) мы получаем где—

(5.9.12》

(5.9.13)

(5.9.12》

(5.9.13)

^ = J Фгф； (^)-2 gzZ d?Z.

Выше, при выводе теоремы Римана — Роха, мы предполагали, что базис 屮斤 выбран ортонормированным. Теперь мы отказываемся от этого условия и предполагаем, что Т^ #= 6^. Причина такого выбора станет ясна ниже. Теперь, подставляя (5.9.10), (5.9.12) в формулу для bgzz (5.9.8), мы находим

3g—з_

5gzz = 2 勿的Т石匕(5.9.14)

胃==1

Итак, мы явно выразили деформацию комплексной структуры через модули и базис пространства голоморфных квадратичных дифференциалов. Выше мы получили вид меры функционального интеграла Полякова, отвечающей интегрированию по с、диффеоморфизмам £ и вейлевским преобразованиям 屮：

勿gab =勿中勿勿 (detР扌尸［)"2.

Теперь мы должны дополнить это выражение интегрированием: по (3g ——3) -мерному комп лексному пространству Тейхмюлле- ра ——пространству конформных структур. Подставим вариацито конформной структуры (5.9.14) в общее выражение для меры II 6g II2：

II 6gII2 = J d2zgz2gzz6g“(5.9.15>

Учитывая, что 6gZ2 = — (g%)? 6g--, мы находим

Отсюда конечномерная часть 竺g® обусловленная модулями^, принимает вид

［勿gabkeich = М △…％嗓笠…Adg(5.9/6》

Собирая все вместе, мы получаем наконец полное выражение статсуммы замкнутой бозонной струны:

z =

=Jd^/1 A ■ • • A dy3g—3 A d^i A • • • A d力3g—3 X

det (齊)+

x —为告(det A)T3.(5.9.17>

Поскольку наше описание модулей никак не зависело от метрики: g2- и в (5.9.17) мы положили D = 26, статсумма (5.9.17) хоро-

шо °口ределена и не имеет конформных аномалий.

ТЕОРЕМА БЕЛАВИНА — КНИЖНИКА

В предыдущей главе при построении гетеротической струны злы подробно обсуждали важнейшее свойство замкнутой струны —— ；возможность рассматривать правые и левые возбуждения отдель- ' но и независимо. Это свойство имеет место благодаря тому, что 卜 лагранжиан струны не содержит взаимодействия, будучи, по существу, свободным лагранжианом. Ту же самую картину мы ：встречаем при квантовании струны Полякова. Лангранжианы S(c) и 5(6, с), входящие в определение статсуммы,— очевидно, I свободные, причем поля &, % н"(⑦"(W 三)=之从(z)+砂(三))зависят только от z, представляя собой правые возбуждения. В результате статсумма (см., например, (5.7.7)) разбивается на произведение интегралов, зависящих только от ^ и только от 吞 являясь формально квадратом модуля (если не обращать внимания на интегрирование по модулям). Белавин и Книжник [153] поставили целью выяснить, переносится ли свойство факторизации на структуру интеграла (5.9.17) по пространству модулей. На та- кую возможность наводит следующее важное обстоятельство [198]: рассмотрим формулу (5.4.18) для вариации ковариантной производной при деформациях комплексной структуры

SVZ — ：g- &gz№ + • • • •(5.10.1)

Подставляя значение bgzz (5.9.14), мы видам, что ^名 антиголоморфно зависит от модулей 沙初 в то время как ▽、наоборот, зависит голоморфно. Отсюда следует, что det Vz зависит только от у^ a det vz •от ^力 Теперь ясно, почему мы отказались от условия ортонормированности дифференциалов 屮；〃：поскольку Vz зависит только от у^ мы можем выбрать решения уравнения

Vz(PqZZ = 0, X = 1, 3g — 3》

также голоморфно зависящими от модулей. Очевидно, при орто- нормировке это свойство нарушилось бы.'

Мы хотим выяснить, не может ли подынтегральное выражение в (5.9.14) быть квадратом модуля голоморфной функции от модулей римановой поверхяоста 耳储 При этом нам надо, разумеется, следить за факторами типа det『曾 = det V 审\ (pJ >. которые заведомо не могут быть квадратом моду;.я никакой голоморфной фз^кции. В приложении Б т^ы псдрсбяо обсуждаем причину появления ?зх迎工 факторов. Заме^^м такжэ, что; согласно прило?кению Б. нате выражение (5.9.14) доджяо быть подправлено: каждый детерминант необходимо поделить на детерминант скалярных произведений нулевых мод. Выражение

det(V»+齊det〈认5〉

уже имеет правильный вид, а что касается (det А)~135 где

Д = — 2VtVz, то заметим, что оператор V； имеет нетр血一. виальные нулевые моды, а именно ——голоморфные дифференциалы (7 = 1). Число их легко найти из теоремы Римана — Роха Для 7 = 1 мы имеем "

dim ker V； — dim ker Vq = g — 1,

в то же время, размерность пространства ker VJ (т. е. числом всюду голоморфных функций) равна 1, поскольку единственной голоморфной функцией является константа. Отсюда мы получаем

dim ker Vi = g,

т. е. на римановой поверхности рода g есть g голоморфных 1-дифференциалов. Обозначая базис пространства kerV； через s* а = 1,2 . . . g, мы находим, согласно приложению В, что (detА)-13 удобно записать в виде

(d£：\〉广 〈公，-6»-13- (5」。・2》

Теперь, согласно приложению В, выражение в скобках может быть квадратом модуля голоморфной функции модулей римановой поверхности. Подставляя (5.10.2) в (5.9.14), мы получаем правильный вид статсуммы при g > 1

z = / d% . . . dy3g—з (det〈3% ①")—из x

『/ de" A 「3 Kdet〈* d〉丿『/ de" A 「3 Kdet〈* d〉丿det，（V》+% 一 det〈屮％中个〉"det，（V》+% 一 det〈屮％中个〉"(5.10.3>(5.10.3>

『/ de" A 「3 Kdet〈* d〉丿

『/ de" A 「3 Kdet〈* d〉丿

det，（V》+% 一 det〈屮％中个〉"

det，（V》+% 一 det〈屮％中个〉"

(5.10.3>

(5.10.3>

Итак, является ли выражение в квадратных скобках квадратом модуля некоторой функции от модулей ^(у)? Вопрос этот, как подчеркнули Белавин и Книжник, далеко не праздный. Во-первых, значительно проще иметь дело с выражением, представимым квадратом модуля голоморфной функции \F(y) I2, чем с произвольной функцией / (?/, у). Во-вторых, положительный ответ на этот вопрос значительно облегчает поиск явного вида меры интеграла по модулям.

Прежде чем идти дальше, напомним литателю некоторые нужные нам факты теории римановых поверхностей: на римановой поверхности рода g мы можем выбрать каноническую систему из 2g попарно пересекающихся разрезов (циклов) ас, Ь” с = 1,2 …g, как на рис. 23, Можно доказать [180, 181], что g голоморфных дифференциалов <оа могут быть нормированы следующим образом:

，①с = 6cd, $ 8° = Ted, (5.10.4)

рис, 23. Четыре канонических цикла гомологии на римановой поверхности рода 2.

Ted tdc,("，8吟=Im ted*0.Ted tdc,("，8吟=Im ted*0.(5.10.5a)(5.10.56)(5.10.5a)(5.10.56)где матрица т называется матрицей периодов римановой поверхности. Она имеет свойства

Ted tdc,("，8吟=Im ted*0.

Ted tdc,("，8吟=Im ted*0.

(5.10.5a)

(5.10.56)

(5.10.5a)

(5.10.56)

Под действием модулярной группы Тейхмюллера циклы а, 6 и: матрица периодов т преобразуются известным способом [119]. Поскольку все подынтегральное выражение должно быть инвариантно относительно модулярных преобразований, это требование однозначно определяет закон преобразования квадратной скобки в (5.10.3), которая оказывается модулярной формой заданного веса.

Квадратная скобка в (5.10.3) состоит из детерминантов комплексных лапласианов различного веса, поделенных на детерминант скалярного произведения нулевых мод. Следуя нашей: общей идеологии, рассмотрим соответствующее выражение для- произвольного лапласиана Aj

det，(学)+ 符 V知;= 0,

det〈嘘，叫〉，左=1, . . •, (2/ — 1) (g 一 1)

и сформулируем наш вопрос следующим образом: в каких случаях имеет место равенство

del (%)+学 det〈破，噱〉del (%)+学 det〈破，噱〉=I det'V;|2?=I det'V;|2?(5.10.6)(5.10.6)

del (%)+学 det〈破，噱〉

del (%)+学 det〈破，噱〉

=I det'V;|2?

=I det'V;|2?

(5.10.6)

(5.10.6)

Оказывается, ответ на этот вопрос содержится в более общей теореме, доказанной Квилленом [243]. Важная для теории струн теорема Квиллена подробно разбирается в приложении Б, где доказывается, что в общем случае равенство (5.10.6) не имеет места и правильное соотношение для регуляризованных детерминантов операторов выглядит как

+ 工=1 detT計2 e—耽办， (5.10.7) det〈(P3 屮，〉

где функция q(4, У) называется голоморфной аномалией. Благодаря ей правая часть (5.10.7) не является квадратом модуля. Голоморфная аномалия тесно связана со свойствами киральных операторов и представляет собой разновидность гравитационной

аномалии. Как мы знаем, наличие в теории гравитационной ано

малии приводит к ее несогласованности.；

К счастью, в данном случае голоморфная аномалия сокращав ( ется! Чтобы понять, как это происходит, заметим, что присутствие аномалии в (5.10.7) можно уловить следующим образом： поскольку_点戛

detFf = f(y) и de# (%)+ = f(y),

TOj

6禽 detV = 0；

：:и мы имеем из (5.10.7):

deV (V^)+ V^_；

=—6(5.28) I

Таким образом, присутствие аномалии скажется в отличии от нуля второй вариации регуляризованного выражения In det' А. Белавин и Книжник явно вычислили выражение (5.10.8) для произвольного ] и нашли

6问篦:：k?；1 =’+%二可以"民向,(5.10.9)

где /(核，р.) — некоторое выражение, билинейное по дифференциалам Бельтрами. Явный вид его для нас несуществен. Гораздо важнее коэффициент перед ним: из (5.10.9) следует, что голоморфная аномалия q пропорциональна конформной аномалии (5.5.10), поэтому, хотя оба детерминанта, входящие в определение статсуммы бозонной струны, имеют голоморфные аномалии, в отношении детерминантов она сокращается одновременно с конформной (при D = 26)[206]. После чего статсумма замкнутой струны Полякова принимает вид

Z = J d% 八...両3g—3 (det Im 工尸3 | F ®) ]2.(5.10.10)

Явный вид функции F (у) известен для родов g = 1, 2, 3, 4 [153, 207], в общем случае определение ее наталкивается на трудности, связанные с заданием явным образом координат на пространстве модулей (проблема Шоттки). Возможно, интенсивно развиваемый операторный подход к струне Полякова позволит лродвинуться дальше [72].

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСАДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

До сих пор тензор энергии-импульса ТаЬ лишь эпизодически появляется при изучении струны Полякова. Исследуя конформную аномалию, мы убедились, что тензор энергии-импульса играет важную роль, а его след служит мерой конформной аномалии. Кроме того, тензор энергии-импульса является генерато-

ром пространственно-временных, в том числе и конформных, преобразований, которые естественно возникают в дуальной теории. Мы убедились также, что лагранжиан струны Полякова в конформной калибровке описывается двумерными конформными полями с匕 b, с. Нужно отметить, что важность двумерных теорий в дуальной модели была замечена довольно давно [216], однако полностью их роль осознана только после появления замечательной работы Белавина, Полякова и Замолодчикова [208], которые поставили во главу угла тензор энергии-импульса и его свойства и развили формализм, позволяющий исключительно просто и компактно описывать струнные теории, не прибегая к громозд- ким вычислениям детерминантов и т. д. Выяснилось также, что действия 5(6, с), S(n), описывающие струну Полякова, являются лишь простейшим примером бесконечной серии двумерных конформных теорий поля^ которые в общем случае не имеют лагранжиана, но оказываются очень полезными во многих вопросах статистической физики '[208, 209]. В этой книге мы не будем касаться проблем статистической физики и рассмотрим главным образом приложение методов работы [208] к струне. Напомним, что мы определяли тензор энергии-импульса классической теории поля как、

Tab =亡謚丿g2(芻 g),(5.11.1)

案=gabTab =合嘉 j d% 丿或2(z /),(5.11.2)

где gab = z°gab・ Тензор энергии-импульса удовлетворяет закону сохранения va ТаЬ = 0.(5.11.3)：

Если теория классически конформно-инвариантна, то мы имеем вдобавок

北=0・(5.11.4)

Предположим, что мы изучаем классическую конформно-инвариантную теорию поля с тензором энергии-импульса Т^ построим для нее ток

J^ = Tabfb (厘)，

/"(с)——произвольная векторная функция от х. Ток Ja согласно теореме Нетер[81] генерирует преобразования координат ха ^ ха^ ^а ^ _ g каком случае теория инвариантна относительно таких преобразований? Для выяснения этого мы должны по-* требовать сохранения тока 几 [211, 212]

/J^ = 0,

откуда с учетом (5.11.3) , (5.11.4) получаем уравнение на Г (а) 0a九 + ^bfa 今。/С = 0.(5.( 1 *5>

Здесь D — размерность пространства-времени. В общем случае решения (5.11.5) хорошо известны и в пространстве Минковского состоят из лоренцевых вращений /а = ①乃力",дилатации /а = сха и специальных конформных преобразований /а = 2хахьсь ——Л2. Например, в D = 4 группой соответствующих преобразований оказывается конформная группа SO (4, 2), которая является максимальной группой симметрии классической теории поля в： четьгрехмерном пространстве Минковского [213]. Однако двумерное пространство-время коренным образом отличается от пространств старшей размерности: здесь уравнение (5.11.5) имеет бесконечное множество решений, иными словами, двумерная конформная группа имеет бесконечное число генераторов. Предполагая, что мы работаем в евклидовой метрике (1, 1), введем^ как обычно, комплексные координаты z =歩十証匕 /z = У1 + ifAT /z ‘=/i — if2. Тогда, как легко видеть, уравнение (5.11.5) сводится к условиям Коши——Римана

叁尸=о,。步=。，(5・1L6>

отсюда

产= /(z), f = /(f).(5.11.7)

Таким образом, двумерная конформно-инвариантная классическая теория поля инвариантна относительно бесконечной группы конформных замен координат. Далее, в Z) = 2 мы получаем столь же мощное условие на сам тензор энергии-импульса. Запишем Таъ в комплексных координатах

7zz = Т\\ — Т22 — 2ZT12,

т~ = 4工-北2 + 2 附w(5.11.8)

Tq = Л1 + ?22・

Нетрудно показать, что уравнения (5.11.3), (5.11.4) в комплексных координатах принимают следующий вид:

O^Tzz =。， ％?支=0,(5.11.9а)

% = 0・(5-11.96)

Таким образом, тензор отергии-импульса двумерной конформноинвариантной теории поля имеет только аналитическую компоненту 7\z и сопряженную ей антианалитическую Т-. Мы встречались с этим свойством при обсуждении гравитационной аномалии в D = 2. В дальнейшем мы будем выписывать для краткости только Tzz(z) ^ Т (z) и только аналитические (конформные) преобразования координат

%f z + /(z).(5.11.10)

Определим генератор произвольного конформного преобразования (5.11.10) согласно

% = $ 器〃 z)7(z),

где мы отныне рассматриваем квантовую теорию поля. Полагая / бесконечно малой, мы имеем для вариации любого поля при конформных преобразованиях формулу

自①=[&, Ф].(5.11.11)

Вычислим композицию двух конформных преобразований:

^gZ^ g(z}.6/ = /(z),

6g5/ = g&f,街5認=拉亮,

отсюда

[6g, g =&,(5.11.12)：

где мы ввели обозначение

h = gdzf — fdzg.(5.11.13)

Поскольку конформные преобразования образуют группу, из (5.11.11), (5.11.12) следуют коммутациопные соотношения генераторов Lf

[〃 Е/ =".(5.11.14)；

Однако оказывается, что в общем случае эта формула неполна. Чтобы понять, что происходит, рассмотрим вакуумное среднее одновременного коммутатора [^(а, т), Т^^^) ]. В наших обозначениях мы имеем х = ехр(т + га), так что одновременные коммутаторы соответствуют на z-плоскости коммутаторам с одинаковым значением радиуса (такое квантование называется обычно радиальным). Предполагая справедливость (5.11.14), мы получаем

<01 [^(а, т), 7\：d(『，т) ] Ю> = 0,

"что противоречит аксиоме положительности. Из общих принципов квантовой теории поля следует [212, 214], что коммутатор двух тензоров энергии-импульса должен содержать с-числовой швин- геровский член вида ^^ (а — а7) с определенным знаком константы с. Как показано в [212], при переходе к радиальному кв ант ов анию коммутационные соотношения генераторов конформных преобразований имеют аномальный член ^ «центральный заряд» или «коцикл»), обусловленный швингеровским членом,

[%,厶/] = % +金 @ 寨 g(z『(Z),(5.11.15)

тде с > 0. Напомним, что мы уже встречались с подобным швингеровским членом в главе 1 при изучении гравитационных ано-

малий. Если связать с данным лагранжианом киральные фермионы, то аномалия в полном тензоре энергии-импульса проявится в нарушении закона сохранения (5.11.3), т. е. в гравитационной аномалии, в общем случае она проявляется как конформная аномалия. Впервые связь между ними подчеркнул Альварес [206]. Ниже мы рассмотрим эту связь более подробно. Удобно от операторов Z『перейти к операторам £门，вычислелт™ относительно дискретного базиса. Для этого разложим функции / и g в ряды Лорана

/ = 2 e”zi+n, g = £ TlmZ^+l

и вместо генератора Lf рассмотрим бесконечный набор генераторов £気，каждый из которых генерирует преобразование z f z 七 + e2n 十 У

厶1 =$^z">7(z).(5.11.16)

Подставляя в (5.11.15) /=—z"< g = — 7"*1 мы получаем коммут ационные соотношения генераторов Ln

[Z^, Lm] = (тг — ту?)工抬+酬 + -jg~ n (n3 — 1) б?г,—w« (5.11.17)

Таким образом, исходя из самых общих свойств квантовой теории поля, мы получили замечательный факт: генераторы конформных преобразований Zn удовлетворяют алгебре Виразоро с произвольным коэффициентом с > 0. Связь лорановских коэффициентов разложения тензора энергии-импульса с генераторами алгебры Виразоро была известна довольно давно [212], но лишь недавно удалось установить, нто условие унитарности алгебры Вкразоро налагает сильные ограничения на коэффициент с, который может принимать только одно из следующих значений [215]:

С》1, Ст 工С》1, Ст 工6(иг 十 2) (пг + 3)6(иг 十 2) (пг + 3)т = 1, 2 . . .. (5.11.18)т = 1, 2 . . .. (5.11.18)

С》1, Ст 工

С》1, Ст 工

6

(иг 十 2) (пг + 3)

6

(иг 十 2) (пг + 3)

т = 1, 2 . . .. (5.11.18)

т = 1, 2 . . .. (5.11.18)

Мы получили совершенно неожиданный результат: оказывается, квантовая конформная теория поля может существо®ать только при определенном значении центрального заряда сив общем случае существует бесконечная серия теорий с допустимым значением Се. Многие из известных моделей статистической физики, такие как модель Изинга в критической точке, модель Ашкина—— Теллера и другие, попадают в этот список и соответствуют определенным допустимым значениям с^. Полностью задача классификации всех двумерных конформных теорий поля пока не решена, хотя в изучения рациональной серии ст достигнут большой прогресс.

ПОЛЯ И ОПЕРАТОРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Пока что наши рассуждения опирались лишь на общие принципы квантовой теории поля и были довольно абстрактными. Для более детального описания конформных теорий поля предположим, что тензор энергии-импульса Т (z) может быть выражен через некоторые поля ①(z, z), которые мы назовем первичными [208]. Мы предполагаем, что при конформных преобразованиях поле Ф преобразуется как (й, й) -дифференциал:

①("，幼=(警厂修厂①(工力， (5/2")

числа 九，五 называются конформными весами. Нетрудно показать, переходя в цилиндрические координаты z = ре'Г что число 无 + 五 является весом поля Ф при растяжениях z -> az, в то время как h —— 万 ——спином [216]. Название «первичное» подчеркивает то обстоятельство, что первичные поля и в самом деле составляют выделенный класс полей, например произведение первичных полей уже не будет первичным полем.

Фундаментальным для дальнейшего является понятие коммутатора двух полей (операторов) или эквивалентное ему понятие операторного разложения. Продемонстрируем, как оно может быть выведено. Рассмотрим конформное поле ①(z), преобразующееся согласно

①(z)= (S■『① 3)'(5.12.2)

тогда инфинитезимально 必=z + / и мы имеем

буф(Z)=九①(z) dzf + /дгФ (z).(5.12.3)

С другой стороны, вариацию поля Ф при конформных преобразованиях мы можем вычислить согласно (5.11.11), а именно:

为①(z)=也，Ф] = ф^/(ш)[Г(W),①(z)j.(5.12.4)

Чтобы сравнить (5.12.3) с (5.12.4), перепишем (5.12.3), используя теорему Коши:

小①(z) = $鹽^^①⑵,小①(z) = $鹽^^①⑵,6№=4舞"叫謂崇+三办呼6№=4舞"叫謂崇+三办呼(5.12.5)(5.12.5)

小①(z) = $鹽^^①⑵,

小①(z) = $鹽^^①⑵,

6№=4舞"叫謂崇+三办呼

6№=4舞"叫謂崇+三办呼

(5.12.5)

(5.12.5)

Таким образом, с точки зрения интеграла Коши коммутатор [7(a), ◎(%)] отличен от нуля потому, что содержит полюсы. Понимая коммутатор в смысле метода окружения контуров, описанного в § 4 главы 4, мы получаем следующее операторное раз-

ложение тензора энергии-импульса с первичным полем Ф (г):

<Z (w) Ф (z)> = —ф(2)+ 7^7^ ^ф-(5-12.6)

Аналогично может быть вычислено операторное разложение двух тензоров энергии-импульса. Для этого возьмем формулы (5.11.16), (5.11.17) и подставим

62m(U — Z)4Z ，

аналогично для n ：— m. После несложных выкладок мы получим

« ЗТ 3)〉= £7^ + 7^7 7(劝 +』豳兀(542.7)

В общем случае, когда мы работаем на произвольной римановой поверхности, формулы (5.12.6), (5.12.7) имеют место лишь локально, в данной локальной системе координат, причем в правой части могут появляться дополнительные члены, конечные в пределе z f 必.Однако нас здесь интересуют только сингулярности, а они от системы координат не зависят. Таким образом, мы пе^ ренесли все рассуждения на язык операторных разложений, которые имеют совершенно общий вид, содержа лишь две неопределенные константы с и Л. Заметим, что требование унитарности представления алгебры Виразоро налагает ограничения не только на с, но и на 九,которое может принимать только следующие значения [215]:

广—46 方=[ртг + 3)尸一(加 + 2) g『__ [

— (пг + 2) (m 十 3)'4 (пг + 2) (〃z 十 3)'

p = 1,2 …zn 十 1, g = £,2 …p.

В заключение этой общей части кратко рассмотрим возможные состояния конформной квантовой теории поля. Напомним преж' де всего, что в евклидовых координатах мы имеем z = ехр(т + ш), где т ——евклидово время. Асимптотическим состояниям при т -> ——8 соответствует z = 0 (см. § 6, 7 главы 2). Перепишем формулу (5.11.16) в виде

7（Z）= ee向一九-27（Z）= ee向一九-2(5.12.8)(5.12.8)

7（Z）= ee向一九-2

7（Z）= ee向一九-2

(5.12.8)

(5.12.8)

и возьмем вакуумное среднее уравнения (5.12.7). Мы получим из условия конечности Т (z) при 2 = 0, что

Ln\0> = 0.2 —£,(5.12.9)

т. е. обычные условия Виразоро. Аналогично, требуя конечности 7(必)при а = 8, нетрудно заключить, что

<0lZn — 0, и ^ 1.<0lZn — 0, и ^ 1.(5.12.10)(5.12.10)

<0lZn — 0, и ^ 1.

<0lZn — 0, и ^ 1.

(5.12.10)

(5.12.10)

Отсюда видно, что генераторы 厶и,厶±1 одновременно аннигилируют Ю> и <0| и соответствуют ненарушенной подгруппе инвариантности вакуума — группе Мёбиуса 口厶(2, R). Рассмотрим физические состояния. Мы можем строить их с помощью первичных полей Ф (z):Iphys > =①(0) 10 >. (5.12.11)' Подставляя формулу (5.12.8) в операторное разложение (5.12.6), мы получаем условия ВиразороОтсюда видно, что генераторы 厶и,厶±1 одновременно аннигилируют Ю> и <0| и соответствуют ненарушенной подгруппе инвариантности вакуума — группе Мёбиуса 口厶(2, R). Рассмотрим физические состояния. Мы можем строить их с помощью первичных полей Ф (z):Iphys > =①(0) 10 >. (5.12.11)' Подставляя формулу (5.12.8) в операторное разложение (5.12.6), мы получаем условия Виразоро-Dolphys > =勿phys >,Lnlphys > = 0," > 0.-Dolphys > =勿phys >,Lnlphys > = 0," > 0.(5.12.12)'(5.12.12)'В качестве других возможных состояний можно взять, например, 厶①3)1。〉IZ=o， 说①(z)|0〉lz=u • • * *(5.12.13)Конформная алгебра позволяет точно так же получить дополнительные ограничения на состояния (5.12.13), хорошо известные уже для случая струны. Для этого разложим первичное поле ①(z) в ряд Лорана:В качестве других возможных состояний можно взять, например, 厶①3)1。〉IZ=o， 说①(z)|0〉lz=u • • * *(5.12.13)Конформная алгебра позволяет точно так же получить дополнительные ограничения на состояния (5.12.13), хорошо известные уже для случая струны. Для этого разложим первичное поле ①(z) в ряд Лорана:①(z) = * Ф„х-"-л①(z) = * Ф„х-"-л(5.12.14)(5.12.14)Вычислим коммутатор Ео с Ф„. Используя метод окружения контуров и операторное разложение V T(iv)①(z)>, мы находим [Е。，①М=—几①…(5.12.15)'Требуя, чтобы состояние ①(z)10> было конечно при z = 0, мы получаем условиеВычислим коммутатор Ео с Ф„. Используя метод окружения контуров и операторное разложение V T(iv)①(z)>, мы находим [Е。，①М=—几①…(5.12.15)'Требуя, чтобы состояние ①(z)10> было конечно при z = 0, мы получаем условиеФп|0> =0,九>1 一瓦(5.12.16)；При этом условии все остальные поля вида (5.12.13) также будут несингулярными. Если взять в качестве Ф (z) ле @zX(z) и разложить его в ряд по осцил лят орамФп|0> =0,九>1 一瓦(5.12.16)；При этом условии все остальные поля вида (5.12.13) также будут несингулярными. Если взять в качестве Ф (z) ле @zX(z) и разложить его в ряд по осцил лят орамструнное по-струнное по-&H（Z）=畳若z—”T,无=1,&H（Z）=畳若z—”T,无=1,(5.12.17)(5.12.17)

Отсюда видно, что генераторы 厶и,厶±1 одновременно аннигилируют Ю> и <0| и соответствуют ненарушенной подгруппе инвариантности вакуума — группе Мёбиуса 口厶(2, R). Рассмотрим физические состояния. Мы можем строить их с помощью первичных полей Ф (z):

Iphys > =①(0) 10 >. (5.12.11)' Подставляя формулу (5.12.8) в операторное разложение (5.12.6), мы получаем условия Виразоро

Отсюда видно, что генераторы 厶и,厶±1 одновременно аннигилируют Ю> и <0| и соответствуют ненарушенной подгруппе инвариантности вакуума — группе Мёбиуса 口厶(2, R). Рассмотрим физические состояния. Мы можем строить их с помощью первичных полей Ф (z):

Iphys > =①(0) 10 >. (5.12.11)' Подставляя формулу (5.12.8) в операторное разложение (5.12.6), мы получаем условия Виразоро

-Dolphys > =勿phys >,Lnlphys > = 0," > 0.

-Dolphys > =勿phys >,Lnlphys > = 0," > 0.

(5.12.12)'

(5.12.12)'

В качестве других возможных состояний можно взять, например, 厶①3)1。〉IZ=o， 说①(z)|0〉lz=u • • * *(5.12.13)

Конформная алгебра позволяет точно так же получить дополнительные ограничения на состояния (5.12.13), хорошо известные уже для случая струны. Для этого разложим первичное поле ①(z) в ряд Лорана:

В качестве других возможных состояний можно взять, например, 厶①3)1。〉IZ=o， 说①(z)|0〉lz=u • • * *(5.12.13)

Конформная алгебра позволяет точно так же получить дополнительные ограничения на состояния (5.12.13), хорошо известные уже для случая струны. Для этого разложим первичное поле ①(z) в ряд Лорана:

①(z) = * Ф„х-"-л

①(z) = * Ф„х-"-л

(5.12.14)

(5.12.14)

Вычислим коммутатор Ео с Ф„. Используя метод окружения контуров и операторное разложение V T(iv)①(z)>, мы находим [Е。，①М=—几①…(5.12.15)'

Требуя, чтобы состояние ①(z)10> было конечно при z = 0, мы получаем условие

Вычислим коммутатор Ео с Ф„. Используя метод окружения контуров и операторное разложение V T(iv)①(z)>, мы находим [Е。，①М=—几①…(5.12.15)'

Требуя, чтобы состояние ①(z)10> было конечно при z = 0, мы получаем условие

Фп|0> =0,九>1 一瓦(5.12.16)；

При этом условии все остальные поля вида (5.12.13) также будут несингулярными. Если взять в качестве Ф (z) ле @zX(z) и разложить его в ряд по осцил лят орам

Фп|0> =0,九>1 一瓦(5.12.16)；

При этом условии все остальные поля вида (5.12.13) также будут несингулярными. Если взять в качестве Ф (z) ле @zX(z) и разложить его в ряд по осцил лят орам

струнное по-

струнное по-

&H（Z）=畳若z—”T,无=1,

&H（Z）=畳若z—”T,无=1,

(5.12.17)

(5.12.17)

то мы получим обычные условия

(5.12.18)(5.12.18)а^ I °〉= 0, п ^0,^zXu(0)[0> -а±1|0>

(5.12.18)

(5.12.18)

[Ед, а/ ="а%

На все состояния (5.12.13) наложено условие Виразоро (5.12.12), которое, как мы знаемт отбирает состояния с положительной нормой. В подходе Белавина ——Полякова ——Замолодчикова ясно видна роль, которую играет конформная симметрия в отборе физического сектора. Мы видели, что алгебра Виразоро, коммутационные соотношения физических полей, условия на физические

состояния и т. д. единым образом выводятся из операторного разложения, вытекающего из конформных свойств теории.

Теперь мы можем построить все введенные выше величины для интересующих нас лагранжианов:

(5.12.19)(5.12.19)

(5.12.19)

(5.12.19)

5 (fe, с) = A J cPzb电с—；,(5.12.20)

где 炉——/-дифференциалы, а сх~5 ——(1 — у)-дифференциалы. Разобьем X" = M"(z) + 丫“叵). В дальнейшем мы будем рассматривать только X“(z). Из (5.12.19), (5.12.20) следуют функции Грина

〈¥(z)¥(必)> =—Wln(z—必)，(5.12.21)

« 3)c (劝〉=z — w'(5.12.22)

〈b(z)6(〃)〉=〈c(z) C(必)〉=o(z —必).

Согласно (5.12.21), поля X" не настоящие конформные поля и не имеют определенного веса h. В то же время из них можно построить конформные поля, например

Первичным конформным полем с весом ~/?2/2 является вершина ?① z)=戸2⑺.(5.12.23)

Заметим, что в лагранжиан (5.12.21) входит не само поле X", а его производная, которая является конформным полем. Поэтому мы ожидаем, что тензор энергии-импульса, построенный из (5.12.21), будет конформным со всеми описанными выше свойствами. Определим Tzz согласно (5.11.1), выраженной в комплексных координатах:

7"=一器金5.(5-12.24)

Для вычисления правой части нужно воспользоваться формулой вариации ковариантных производных при вариации комплексной структуры (5.4.18). Ответ имеет вид

Тх(Z)= — 4- %Х七zX匕(5.12.25)

7Aс (z) = — 76aze + (1 — /) (Hzb) C.(5.12.26)

Вычислим операторные разложения (5.12.6), (5.12.7) для этих тензоров энергии-импульса. Из (5.12.21), (5.12.22) мы имеем с

помощью теоремы Вика

〈？х (ш) @公3 (z)〉= ••({牙 ах 4- ^-^ 鍵XU, (5.12.27) (吸。(〃)e (z)〉=(:三；c (z) + ^^ 眠⑶,(5.12.28) 〈7"° (w) Ъ (z)〉=(二)2 6 ⑶ + 三况b (z).(5.12.29)

Теперь можно проверить операторное разложение самих тензоров энергии-импульса. Применяя вновь теорему Вика, мы получаем

〈产他)7х 3))= _a__ + 占产⑶+ 金当严，(5.12.3。) S，c ") т^= —^^А + ^-^^- (Z) + 宀犷，c (z). Советуем читателю самостоятельно вывести формулы (5.12.27)— (5.12.30).—

Сравнивая (5.12.29), (5.12.30) с общим видом операторного разложения (5.12.7), мы находим значение коэффициента с, задающего конформную теорию поля. Для Т* мы имеем с = D, в то время как для Тъ^ с = —2(6尸一 6/ + 1). Вспоминая формулу для конформной аномалии (5.5.17), мы находим, что центральный заряд в алгебре Виразоро для соответствующих тензоров энергии-импульса равен коэффициенту при конформной аномалии. В следующем параграфе мы прямо свяжем их. Обратим внимание на тот факт, что для духовых полей с V 0, что противоречит аксиоме положительности. В этом нет ничего удивительного, поскольку 6, с ——духовые поля и лагранжиан (5.12.20), будучи дираковским лагранжианом для бозеполей 6, с, не ограничен снизу [109]. Теперь мы можем определить полный тензор энергии-импульса струны Полякова

Т^=-Тх^)+Тъ^^}.(5.12.31)'

Операторное разложение для него находится просто сложением формул (5.12.28), (5.12.29), и мы получаем полное значение центрального заряда

ctot =。一 2 (6产 一 6/ 十 1).(542.32)'

Для физических духов / == 2, и мы видим, что центральный заряд обращается в нуль только при 2) = 26. В этом случае операторное разложение 〈T(z)7(〃)〉не имеет аномалии, иными словами, центральный заряд в алг&бре Виразоро, определенной с помощью полного тензора энергии-импульса 7(z), равен нулю и алгебра Виразоро принимает вид

[庆* 庶口 = (n-m)乙鸞你，L^ = ^ + 広°. (5.12.33)

Теперь мы можем отождествить L^ с обычными генераторами конформных преобразований —如+工 ^", удовлетворяющих алгебре (5.12.33). Хотя полностью роль духов станет ясной в § 14 при обсуждении БРСТ симметрии в струне, уже сейчас понятно, что присутствие духов приводит к сокращению конформной аномалии полей Хц, что происходит, когда размерность простран^ ства-времени равна 26. В этом случае конформная симметрия восстанавливается и операторы Виразоро приобретают свою на^ стоящую специальность генераторов конформных преобразований, как мы обещали в § 7 главы 2.

АНОМАЛИИ И ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

В этой главе мы уже дважды выводили условие Z) = 26 из совершенно различных, казалось бы, требований (вернее, требование было одним и тем же, но подходы были различными). Сейчас мы установим между ними прямую связь. Выше, в § 6, мы подробно рассматривали функцию Грина полей〈X(z)X(〃)〉. Мы выяснили, что благодаря сингулярностям операторного разложения при малых z — w функция Грина после регуляризации зависит эффективно от конформного множителя р = еф. Таким образом, с точки зрения подхода, основанного на изучении вейль-инвариантности статсуммы, сингулярность операторного разложения проявляется в появлении зависимости регуляризованных величин от р, в то время как с точки зрения конформной теории поля присутствие сингулярности означает потерю аналитичности (наличие полюсов при z = а). В самом деле, тензоры энергии-импульса T*(z) и Tb>c (z), определенные согласно (5.12.24), (5.12.25), благодаря сингулярности операторного разложения, не имеют смысла без регуляризации. Зададим регуляризованные тензоры вычитанием сингулярности

(5.13.1)(z —- w)1(5.13.1)(z —- w)17^g (z) =^" lim [%X (z) • %X (if) + ~^y^

(5.13.1)

(z —- w)1

(5.13.1)

(z —- w)1

7瞪(z) = lim [— jb (w) dzc (z) + (1 — /) dwb (ш) c (z) + -

(5.13.2) однако теперь, поскольку

dz~7 = — ndz82 (z —必)老 0, (5.13.3)

мы теряем свойство конформности д-Т (z) = 0- Из условия сохранения энергии (5.11.3) следует в комплексных координатах

▽zTzz + VzTj = O, I(5.13.4)

и если теперь 寸Т> =目工砲善”#。, то мы получим

^ = gz^^0,

иными словами, нарушение конформной инвариантности (5.11.96), согласно которой след тензора энергии-импульса должен быть равен нулю. Так уст анав лив а ется связь между двумя подходами [206].

Конкретно мы можем вычислить конформную аномалию с помощью операторных разложений, используя метод, предложенный Фриданом [179]. Этот метод помимо своего изящества имеет еще то преимущество, что позволяет полностью избежать громоздкого вычисления функциональных детерминантов и придает законченность подходу, основанному на свойствах двумерной конформной теории поля. Нашей задачей является вычисление вакуумного среднего 〈^zW〉которое и задает нам конформную аномалию. Применим закон сохранения энергии (5.13.4)： к вакуумным средним:

&式啮+ Vz〈片〉=0.(5.13.5)

Проварьируем это выражение по 6gww. С учетом (5.12.23) мы получаем

砲〈7^7黑〉一訪盡 Vz а今=0.(5.13.6)

В вакуумное среднее 〈7立乳〉 вклад дает только аномалия —4- Используя (5.13.3), мы можем записать аномалию как 2 (z —⑺

^亢匕分=一 与V组2三^ = 一㈢ 刍 卅(Z -如).(5-13.7)

I/читывая теперь формулу вариации R при деформациях комплексной структуры (5.4.18)

6五=一、匕6g/(5.13.8)

мы можем записать

等=-V好(Z-呀(5.13.9)

Подставляя эту формулу в (5.13.7), мы находим после тривиального интегрирования

〈％〉=备 РЕК，(5.13.10)

т. е. известное уже нам уравнение конформной аномалии.

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения вывести уравнение 0(1) аномалии

@/〉= —^F^ 丿？瓦

где / = —be, методом операторного разложения. Для этого достаточно использовать операторное разложение <Т{z)j (w) >, следую-

щее из (5.12.27)? (5.12.28)

«(z"3)〉= —9+ …'«(z"3)〉= —9+ …'(5.13.11)(5.13.11)

«(z"3)〉= —9+ …'

«(z"3)〉= —9+ …'

(5.13.11)

(5.13.11)

и вычислить 〈7 (z) д-j (必)〉, применяя вышеприведенный трюк с введением R.

Этим далеко не исчерпывается применение методов кон①орм- ной теории поля в струне Полякова. Во-первых, технику операторных разложений можно перенести на случай суперструны Неве ——Шварца ——Рамона [109], где она оказывается исключительно полезной при построении вершины излучения фермиона. К сожалению, за недостатком места мы лишены возможности обсуждать эти интересные вопросы. Во-вторых, методы конформ- ной теории позволяют весьма просто вычислять детерминанты операторов иа произвольной римановой поверхности. Опишем идею построения [201, 202, 218]. Воспользуемся соотношением

—— In det А =〈Tzz〉.1/g 6gzz\/

тензор энергии-импульса Tzz отвечает тем полям, по которым ведется интегрирование в функциональном интеграле. Для определенности рассмотрим интеграл по духовым полям. Запишем регуляризованный тензор энергии-импульса

〈7瞪〉= 泌 8 3) c ⑵〉+ (1 - 7)dw〈6 (ip) c (z)〉+ 1

(5.13.12)

Но входящее сюда вакуумное среднее〈6(a)c(z)〉есть не что иное, как функция Грина полей Ь, с на данной римановой поверхности. Сингулярность ее на малых расстояниях нам известна (см. (5.12.22)). На произвольной римановой поверхности известен также закон преобразования функции Грина при обходе вдоль циклов аА, 6丸.Этого оказывается достаточно для однозначного определения функции Грина в терминах 0-функций и главной формы [170, 260]. Правда, в общем случае знания 〈b(z)c(w)〉нам недостаточно. Как мы знаем, мы должны вставить в интеграл (2j—l)(g—1) полей Ь(4), так нто на самом деле нам нужно вычислить обобщенную функцию Грииа <п 6 (z0 Ъ (z) с(〃)〉，7И = (2j — 1) (g — 1). Однако и ее можно найти, используя методы теории функций на римановой поверхности [201, 202, 218], после чего мы можем вычислить предел (5.13.12) и определить <ТЬ>С (z). Задача вычисления In det А сведется тогда к решению вариационного уравнения на него. Это непростая задача, и для решения ее приходится привлекать соображения, основанные на бозонизации [170]. Вариация всех величин, входящих в определение Тъ'с (z), вычисляется с по-

мощью формулы Рауха [217]

^ =鳥j卩弊За 3)%⑶d2z,

где ®а — голоморфные 1-дифференциалы; та& ——матрица периодов; 卩；——дифференциал Бельтрами, задающий вариацию комплексной структуры 5gzz・ Явные формулы для In det А^ в терминах тэта-функций приведены в [170, 202, 218], куда мы и отсылаем читателя.

Наконец, методы конформной теории поля являются фундаментом наиболее общего подхода к струне Полякова, основанного на связи пространства модулей римановой поверхности с бесконечными грассманианами [71—73, 264]. Этот подход кажется наиболее многообещающим, поскольку в рамках описания матриц периодов с помощью нелинейных эволюционных уравнений, заданных на грассманиане (иерархия Кадомцева ——Петвиашвили [142]), проблема Шоттки решена [219]. Пока что эта программа далека от завершения.

§ 14. БРСТ ФОРМУЛИРОВКА БОЗОННОЙ СТРУНЫ

При квантовании неабелевых калибровочных полей нам приходится нарушать калибровочную инвариантность введением члена, фиксирующего калибровку, и детерминанта Фаддеева —— Попова. После чего вывод тождеств Уорда, опирающийся только на калибровочные преобразования (тождества Славнова—Тейлора [25, 26]), становится очень громоздким. Вывод тождеств Уорда, играющих решающую роль в доказательстве перенорми- руемости, очень упрощается, если использовать глобальную инвариантность с антикоммутирующим параметром, открытую Бекки, Руэ, Стора [221] и Тютиным [222], которая получила название БРСТ симметрии. Рассмотрим квантовый лагранжиан Янга ——Миллса, например в калибровке Фейнмана:

S — S YM + S Г.Р. + Z G.F.,(5.14.1)

где

2ум =^- tr F開第尸uv,

^g,f = -4-<5^2'(5.14.2)

2艮Р = ic丸勿卩以

Лагранжиан (5.14.1) инвариантен относительно следующих преобразований:

41A =入宏 ©(5.14.3а)

6入濟^/abcC%c,(5.14.36)

6儿厂=—次％Л：,(5.14.3b)

где 入一константный антикоммутирующий параметр. Для проверки инвариантности лагранжиана (5Л4Л), (5.14.2) относительно преобразований (5.14.3) заметим прежде всего, что преобразование поля Янга ——Миллса по виду ничем не отличается от обычного калибровочного преобразования 6ЛИ = 3)^т, так что относительно (5.14.3а) мы имеем б^тм = 0. Для доказательства 6% (纟 f.r + £g.f.) нужно использовать тождество Якоби для структурных констант

+ fcadfdbk fbcdfdah 。・

Эту вкладку мы предоставляем провести читателю. Таким образом, квантовый лагранжиан Янга ——Миллса инвариантен относительно БРСТ преобразований (5.14.3). Рассмотрим повторные вариации полей

6Qv4 卩=Лдт^цС = 0,

6/6九С。=Y 6期(fabcCbCc) = 0,(5.14.4)

6n6/a = -X"入(九宏2尸.

Если теперь воспользоваться уравнением движения на с", а именно д^Ф^с = 0, мы получим дл6хёа =0. Нетрудно добиться, чтобы Ъ^^ = 0 было справедливо вне зависимости от уравнений движения, для этого достаточно ввести так называемое вспомогательное поле Наканиши — Лаутрупа [223], однако для наших целей вполне достаточно ограничиться массовой поверхностью. Духи Фаддеева ——Попова с, ё по своему определению — скалярные фермионы, и мы наложим на них канонические антикоммутационные соотношения

[ле (z, t), съ (г/, /)]+ = — 6嘆(z — у),(5.14.5)

(5.14.6)(5.14.6)аналогично для ё. Фундаментальным условием, необходимым для доказательства унитарности S-матрицы, является эрмитовость полей с* 济[223]:

(5.14.6)

(5.14.6)

% с+ = ё.

Иными словами, поля са, ёа независимы и не связаны эрмитовым сопряжением. Грубо говоря, они должны отщепить две нефизические степени свободы, поэтому их должно быть два.

Далее, нетрудно построить нетеровский ток «A^RST, связанный с симметрией (5.14.3), и определить с его помощью заряд:

&RST _ 告 д^Сьс^аЪс - % {F^,(5.14.7а)

(5.14.76)(5.14.76)(5.14.8)(5.14.8)Q 三 J cPzJ产st(Z,力)，^ = 0.

(5.14.76)

(5.14.76)

(5.14.8)

(5.14.8)

Он генерирует БРСТ преобразования согласно

6厶①=[%入Q, Ф],

где при коммутации мы используем коммутационные соотношения (5.14.5) и аналогичные для полей Янга ——Миллса. Благодаря эрмитовости полей с, с заряд Q эрмитов и коммутирует с гамильтонианом (0 = О). Из (5.14.4) следует фундаментальное свойство нильпотентности БРСТ заряда Q

Q2 = 0. (5.14.9)

Тот факт, что квадрат эрмитового оператора оказался равным нулю, вызван, разумеется, индефинитностью метрики, иными словами, неправильной спин-статистикой полей с, с.

Как показано в работах [223, 224], условие калибровочной инвариантности первоначального лагранжиана Янга ——Миллса теперь может быть просто записано в виде требования БРСТ инвариантности физических состояний

Qlphys〉= 0. (5.14.10)

Баталин, Вилковысский и Фрадкин [225] развили общую про- цеДУРУ построения генераторов БРСТ Q для произвольной теории с калибровочной инвариантностью. Их подход может быть прямо перенесен на случай струн. А именно: если теория инвариантна относительно калибровочных преобразований с генератором G^

[G* G4=%Q (5.14.11)

то БРСТ заряд Q в общем виде можно записать как

Q 6仆——~ fabcCaCbCc. (5.14.12)

Упражнение. Используя коммутационные соотношения (5.4.11), следующие из них тождества Якоби на структурные константы и грассмановость полей с°, ёа, докажите, что Q (5.14.12) удовлетворяет условию нильпотентности Q? = 0.

В формуле (5.14.12) первый члеи caGa представляет собой, как легко видеть, оператор действия на калибровочные поля, порождающий преобразование 6厶卩=入宏 ^с, в то время как -g- fabcCaebec генерирует преобразование духовых полей.

Несомненными преимуществами БРСТ подхода являются его ковариантность и компактность. При квантовании калибровочных полей он позволяет избежать длинной окольной процедуры Гупты ——Блейлера с введением индефинитной метрики на промежуточном этапе и т. д. Индефинитная метрика присутствует в данном случае в духовых полях, которые имеют неправильную статистику и эффективно отщепляют в замкнутых петлях нефи- )зические степени свободы. Можно показать, что условие Qlphys〉= O эквивалентно хорошо знакомому условию 3隔/『)]phys〉= 0 в квантовой электродинамике [223]. Однако особенно мощным оказывается БРСТ аппарат в случае струны, где в ковариантном подходе мы имеем бесконечное число усло-

вий Виразоро. Как мы сейчас убедимся, их также можно представить в виде единственного условия Q|phys〉=O.

Оператор БРСТ преобразований Q для бозонной струны может быть построен исходя из общей формулы (5.14.12). В данном случае калибровочной инвариантностью является конформная симметрия, поэтому роль генераторов G& должен играть тензор энергии импульса 7*(z) полей 玄"(z) (5.12.23), а роль iabc^cbcz — тензор энергии-импульса духов (5.12.24). Мы используем аппарат конформной теории поля и положим / = 2 для физических духов струны Полякова. Напомним нужные нам формулы. Тензоры энергии-импульса полей X"值匕,с для / = 2 имеют вид

ТХ (z) = ^- %Х - dzX,Tb'c(z) = -2bdzc-(dzb)c.

Операторы Виразоро Ln определяются согласно

т(Z)= N 厶

(5.14.13)

(5.14.14)

(5.14.15)

и удовлетворяют коммутационным соотношениям [上^, ^m] = 5 -掰)/詳тп я—鲁九(九2 -() 6%-m,

[工"，上後]=(72 - m) Ln+ ?п^~ 孔(公一4) ^п,~т-

(5.14.16)

Полные операторы Виразоро Ln = L„ + L^ не имеют аномалии при D = 26.

Таким образом, в качестве оператора БРСТ попробуем использовать выражение [109, 265]

严ST = с(Z)卜X(Z)+ 等 d，c (z)],Q = §^严ST.

(5.14.17)

Разложим поля 6, с в мерности:

ряд Лорана с учетом их конформной раз-

c(z) =5^~л+1, b(z) = N bnz~n~2.

(5.14.18)

Коэффициенты сп, Ьп удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[点,

6Щ] +

бтг,—m.

[Сп, Ст] + =[[Ъп^ Ьт]+=0・

(5.14.19)

Их нетрудно вывести, например, из вида функции Грина полей 方(z), c(z)

е 仿)с и> = т^・

Подставляя разложения (5.14.18) в (5.14.14), (5.14.17), мы находим выражение БРСТ заряда Q в терминах операторов Ви- разоро:

Q = £ j ① + 击厶纱)，(5.14.20)

где операторы Виразоро следующим образом выражаются через коэффициенты ряда Лорана:

^п —一；工а?г—mSm，^п —一；工а?г—mSm，£办 —J^ (九十 Z7Z)СщЬп—m・£办 —J^ (九十 Z7Z)СщЬп—m・(5.14.21)(5.14.21)

^п —一；工а?г—mSm，

^п —一；工а?г—mSm，

£办 —J^ (九十 Z7Z)СщЬп—m・

£办 —J^ (九十 Z7Z)СщЬп—m・

(5.14.21)

(5.14.21)

Поскольку Lyi ^^ L—2i, c^Поскольку Lyi ^^ L—2i, c^(5.14.25)(5.14.25)

Поскольку Lyi ^^ L—2i, c^

Поскольку Lyi ^^ L—2i, c^

(5.14.25)

(5.14.25)

一萱，一萱，b力 — b—加 мы получаем, что опе

一萱，

一萱，

ратор Q эрмитов, Q+= Q. Формулы (5.14.20), (5.14.21) не име

ют смысла, пока мы не зададим правила нормального упорядочения. Для этого нам прежде всего нужно определить вакуум, на который действуют осцилляторы ап, Ь^ сп. Выберем вакуум в виде прямого произведения вакуума осцилляторов 10〉х, удовлетворяющего обычным условиям

сей I 0>х = 0, n^Q,

и вакуума духов, определенного согласно общему правилу (5.12.16) для конформных полей размерности h. В данном случае (无=2) мы имеем

епЮ>ь,с = 0, тг > 1,(5.14.22)

&пЮ>д,с = 0, тг >—2.(5.14.23)

Заметим, что, согласно (5.14.23), Ci|0>&,с =# 0. Таким образом, полный вакуум есть

10〉= ВХ 售〔0〉瓦с・(5.14.24)

Нормально упорядочивая относительно этого вакуума, мы получаем для Q выражение

а — неизвестная константа. Коммутационные соотношения операторов Виразоро £^'С с Ьт, ст легко находятся из (5.14.19) и имеют вид

［以Ст］ — — (2тг + т) сп+т,. сч

Ггь,с А/_(5/4.26)

［厶£ } bm\ = —(п — т) Ьп+т,

в частности

[Z(/ , с?п] = — mCm*(5.14.27)

Используя полученные формулы, мы можем теперь вывести за- кон вариации полей X", &, с при преобразованиях, порожденных оператором Q (5.14.17). В рамках конформной теории поля удобно воспользоваться общим определением (5.11.11), а именно：

6ХФ (ш) = [XQ, Ф (ш)1 = ф dz XyBRST(z) Ф (w),(5.14.28)

з^Де 入——антикоммутирующий параметр. Подставляя в (5.14.28) операторные разложения для полей X、Ь, с, мы получаем [109]

5z^(z) = Ле д^.

бкс (z)=入с Од(5.14.29)

%6(z)=九[7x(z)+T>c(z)].

Мы предоставляем читателю убедиться, что полный лагранжиан S(X) + W(仇 с) (5.14.13), (5.14.14) инвариантен относительно этих преобразований, т. е. оператор Q, заданный согласно (5.14.17), действительно порождает симметрию лагранжиана. Используя формулы (5.14.16), (5.14.27), нетрудно проверить, что квантовый гамильтониан, определенный согласно

Н = L^ + 丄产—а,(5.14.30)

коммутирует с БРСТ зарядом Q

(5.14.31)(5.14.31)[Q,印=0.

(5.14.31)

(5.14.31)

Таким образом, оператор Q обладает всеми свойствами БРСТ заряда для бозонной струны, кроме одного: мы еще не доказали, что он нильпотентен. Из-за наличия аномалий в алгебре Виразоро для 工^,工З'С и нормального упорядочения в определении Q (5.14.25) условие Q2 = Q теперь не очевидно. Вычисление Q2 очень громоздко, и мы его приводить не будем. Впервые нильпотентность Q в бозонной струне была проверена в пионерской работе Като и Огавы [94], которые показали, что

Q? = 0,

только если /) = 26 и константа а (5.14.25) равна единице.

Наложим теперь на физические состояния требование БРСТ инвариантности

Qlphys〉=0.(5.14.32)

В частности, рассмотрим действие Q на наш вакуум (5.14.24). Мы имеем при а = 1

[N с—(Z竟 Н—或")—cj I 0〉= 0.

Учитывая (5.14.23), мы получаем следующий набор условий: £^с]0> = £^]0> = 0, п = — 1, 1 оо,

(场一1)|0〉= 0,増С|0〉=0.(5/4.33)

Таким образом, условие БРСТ инвариантности вместе с Q? = О дает нам бесконечный набор известных уже условий Виразоро, причем с учетом нормального упорядочения. Поскольку с/0> =# 0, мы получаем требование Л_110> = 0, т. е. выбранный нами вакуум (5.14.24) автоматически оказывается SL (2, 7?) инвариантным вакуумом бозонной струны (2.7.3').

Фридан, Мартинек и Шенкер [109] заметили, что вакуум |0>ь)с не является наинизшим состоянием в секторе духов. В самом деле, введеа! состояние IQ> согласно

|Q> = cilO>&iC.(5.14.34)

Поскольку с； = 0, мы имеем теперь

cnlQ> = 0, “ 为 1・

Из коммутационных соотношений (5.14.27) следует

以，[а〉= _旧〉，(5.14.35)

т. е. с токки зрения полного генератора Виразоро TL^ мы имеем, действуя на новый вакуум 10>с,

10〉с= 10〉х 售 IQ〉，

(给 + 喈с) I 0〉с =(给 一 1) I O〉C = 0, иными словами, БРСТ заряд Q, нормально упорядоченный относительно вакуума |0>с, имеет вид

Q = : £ j 仅％ + 击疋'〉(5.14.36)

и никаких констант нормального упорядочения вводить не нужно. Условие (七詳一1)|0〉с = 0 возникает здесь автоматически, как следствие конформной инвариантности теории. Тахионы в теории появляются благодаря особым свойствам вакуума духов |Q>, который вследствие отличной от нуля конформной размерности поля c(z) имеет отрицательную энергию (5.14.35).

Чтобы полностью прояснить смысл вакуума духов |Q>, введем оператор числа духов согласно [94]:

/о (— b—п^п 十 с—n^?i) + 2 [с。，(5.14.37)

Этот оператор антиэрмитов. Дело в том, что оператор числа духов произвольной калибровочной теории (см. подробное обсуждение в обзоре Куго и Одзима [223]) всегда антиэрмитов бла-

годаря необычному виду зарядового преобразования для духов

с -> е"с, ё f е-аё.

Такой вид преобразования диктуется эрмитовостью полей с,乙 Оператор /0 есть не что иное, как нулевой коэффициент разложения тока числа духов (5.7.12)

(5.14.38)'(5.14.38)'

(5.14.38)'

(5.14.38)'

в ряд Лорана

/ (z) = N 加z一71 7./ (z) = N 加z一71 7.(5.14.39)(5.14.39)

/ (z) = N 加z一71 7.

/ (z) = N 加z一71 7.

(5.14.39)

(5.14.39)

Подставл-яя в (5.14.39) разложения полей b(z), c(z) (5.14.18), мы получаем формулу (5.14.37) с учетом изменения знака при нормальном упорядочении. Операторные разложения /(z) с по- лями b (z), c(z) имеют вид

〈7 (z) с (з)> = ^^〈7 (z) с (з)> = ^^〈《)№)>——㈡J〈《)№)>——㈡J(5.14.40)(5.14.40)

〈7 (z) с (з)> = ^^

〈7 (z) с (з)> = ^^

〈《)№)>——㈡J

〈《)№)>——㈡J

(5.14.40)

(5.14.40)

(544.41)](544.41)]или, эквивалентно, на языке заряда /о

(544.41)]

(544.41)]

[/о, Сп] ^ сп, [/о, Ьп] = —Ъп.

Из (5.14.40), (5.14.41) следует, что при нашем определении /0 все поля сп имеют духовый заряд, равный +1, в то время как все Ъп имеют заряд —1. Наличие нулевых мод духа с (т. е. операторов с。, с±1, не аннигилирующих вакуум |0>6iC) вновь приводит к удивительным следствиям. Действуя /0 на старый вакуум духов |0>ь,с, мы находим

%|0>ь,с = —等|0>瓦「(5.14.42)

Таким образом, вакуум духов |0>&,с оказывается не нейтраль- ным, а имеющим заряд, равный —3/2. Для вакуума |Q> =с/О〉ьс мы получаем соответственно заряд q + 1 Отсю

да следует, что оба вакуумных средних

6)с<0Ю>ь>е =〈ад〉= 0,

(5.14.43)：(5.14.43)：поскольку в обоих нарушается закон сохранения заряда. Причина этого феномена ясна: из теоремы Римана—Роха мы знаем, что вакуум в общем случае имеет фоновый заряд, равный g = 3g — 3, т. е. g = -—3 для конформной плоскости. Чтобы сократить его, мы должны в данном случае вписать три оператора с, суммарный заряд которых как раз скомпенсирует фоновый заряд. Легко сообразить, что естественным определением вакуумного среднего будет [94, 109]

(5.14.43)：

(5.14.43)：

<QkolQ> =&ic<Olc-ic()cilO>&jC,

оно отлично от нуля, и мы можем нормировать его, например, на единицу.

Рассмотрим применение формализма БРСТ к физическим процессам. Например, в простейшем случае рассеяния N тахионов (§ 7 главы 2) благодаря свойству (5.14.42) мы видим, что наивно определенная амплитуда

幺(/G，. . ., k^) = J II 〈0 I 卩("n, zn) • •• P (储，2x) I 0>

обращается в нуль. Мы должны вместо трех каких-либо вершин Р(自，zj вставить c(Zi) V(к^ z,). Поскольку оператор с (/) Р(務，羽) имеет конформную размерность 0, интегрировать по 次 не нужно. Выбор трех точек, например zi=0, z^v = °°, zx-i == 1, нарушает S£(2, Д) -симметрию. Мы получаем

Г，工2 dz ■

4 (А^1? - • - ?左N)= J II b,c〈。I C (Zn) C (2^—1) c (z。I O〉b,c X

Хх<0|У (zn) V (znt)…卩(zj I 0>N・(5.14.44)

Подставляя c(z) = c_iz?十 с” + ci + ... и учитывая фермионную природу операторов сп, мы имеем для вакуумного среднего духов

b,c〈O I C(Zn) с (zn—1) с (zj I О〉ь,с =

444411

4

4

4

4

ZN—丄 ZN = (Zn — Zj_)(ZN — Zn—D (Zn—* — Z1)・

"2“2

2^~l Zn

После подстановки этого множителя в (5.14.44) мы получаем в точности формулу (2.7.17), которую мы вывели, отфакторизовав бесконечный объем группы Мёбиуса. В формуле (2.7.17) вакуумное среднее вычисляется уже только относительно бозонного вакуума 10>х. Мы видим, что в рамках БРСТ инвариантного подхода правильный результат получается автоматически. Можно показать, что применение БРСТ инвариантных величин и полного пропагатора в виде

D(Р)=万，

где Н ——полный гамильтониан, Н = Z^ + £^'°, позволяет просто вывести правильный ответ для однопетлевой амплитуды [226], без введения громоздкого проекционного оператора Бринка —— Олайва. Идею работы [226] можно продемонстрировать на примере вычисления статсуммы бозонной струны. Ранее, в § 5 главы 2, мы вычислили ее несколько искусственным образом, в рамках квантования на световом конусе. В ковариантном БРСТ подходе мы имеем

Z(^) = Tr ^ = 2х{д)гЪ с^). (5.14.45)：

где теперь 88

н = Lq + Lq'c = — а妝片一» с^пап 十 N 厶(Ъ^псп + c—也).

Вычисляя статсумму а-осцилляторов, мы получаем обычным способом

尹(,)=立(] ,т1)~-2б

В секторе духов отличны от нуля числа заполнения 0, 1, но теперь, в отличие от струны Неве ——Шварца ——Рамона, состояния

IQ>, Cf g〉(&_nIQ>)

имеют различную статистику, поэтому возникает суперслед str qnb-^n = ] _ ,吃

Такой же вклад дает второй член в гамильтониане. Далее, q ° , действуя на вакуум, дает q-‘ (или мы могли бы вычислить стат- сумму относительно вакуума |0>&,с, но тогда нам надо было бы вычесть из Н единицу в соответствии с нормальным упорядочением) .Таким образом,

n=l

Отсюда полная статсумма равна

ОО

Z@)=厂里11 (1一/一2К九=1

Фермионные духи эффективно сократили две нефизические степени свободы осцилляторов otn, которые в ковариантном подходе также дают вклад в статсумму. Точно так же духи восстанавливают унитарность внутри петли [226].

Если в случае бозонной струны мы еще могли тем или иным окольным способом получать правильные результаты, то в спиновой струне ковариантный БРСТ подход является совершенно необходимым [109, 110]. Конформная инвариантность требует в ней, чтобы излучение фермиона сопровождалось излучением духа, и БРСТ формализм возникает здесь совершенно естественно. Еще большую роль БРСТ инвариантность играет в построении струнных теорий поля [226]. К сожалению, сколько-нибудь подробное изложение этих вопросов потребовало бы написания еще одной книги, к тому же струнная теория поля в настоящее время никак не может считаться законченной теорией. Мы надеемся, что овладение классическими методами теории струн, изложенными в настоящей книге, позволит читателю самостоятельно выбирать темы для дальнейшего изучения и исследования.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫИ МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В этом приложении мы познакомим читателя с функциональными методами квантовой теории поля, которые, по правде говоря, не будучи особенно новыми, тем не менее известны значительно хуже, чем традиционные диаграммные методы.

А.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ

Почти одновременно с построением современной квантовой теории поля в формализме Фейнмана Швингер [4] развил весьма отличный формализм, чрезвычайно удобный для вычисления физических величин (таких, как тензор поляризации и т. п.) во внешнем поле. В следующие годы его широко использовал Де Витт [178, 227], но широкую популярность он приобрел после открытия конформной аномалии, инстантонов и т. д. В литературе этот метод встречается под многими назван值я?м值：по имени математиков Минакшисундарама [228], Сили [229], физиков Швингера и Де Витта, как «метод уравнения теплопроводности». Мы будем использовать последнее. Итак, наша цель — научиться вычислять функциональный интеграл вида

Z(4 g . . .) = J 0可 0屮勿屮.一 е~^^^.-^^ (АЛЛ) где лагранжиан 纟 зависит от спинорных полей 屮 и (или) скалярных полей ф ... и внешних полей: калибровочного Ли и гра- витационного gp.v (^ц)- Нас интересует случай, когда лагранжиан имеет вид

e=律Y以宏" + фдф +自Н中2 +(a.1.2)

т. е. квадратичен по квантовым полям 屮,叫 Здесь Ф^ = д^ + А^—■ оператор Дирака, Д ——скалярный оператор Лапласа. Вид лагранжиана (А.1.2) — примерный, хотя он охватывает довольно широкий круг задач. Поскольку функциональный интеграл (А.1.1) с лагранжианом (А.1.2) гауссов, мы можем «вычислить» его явно. Введем, как и в § 3 главы 1, полный набор собственных функций операторов Д + ^Я 值宏=Zf 宏卩：

宏％ =Апфп,(А.1.3)'

(Д 4-^/?)фп = цпфп.(АЛ.4)

где теперь 8ОО

Н = Lq Zq'c =—若若—x a上乳若 + 2 (b-Qz + c_nbQ.

Вычисляя статсумму a-осцилляторов, мы получаем обычным способом

2\,)=立(1 — Т?)—2б.

В секторе духов отличны от нуля числа заполнения 0, 1, но теперь, в отличие от струны Невё — Шварца — Рамона, состояния

IQ〉，c_JQ〉(匕一KQ〉)имеют различную статистику, поэтому возникает суперследstr qnb—ncn = ] — у.

Такой же вклад дает второй член в гамильтониане. Далее, q о , действуя на вакуум, дает д-】(или мы могли бы вычислить статсумму относительно вакуума IO>&iC, но тогда нам надо было бы вычесть из Н единицу в соответствии с нормальным упорядочением) .Таким образом,

Отсюда полная статсумма равна

ОО

Z (?)=厂 1 II (1 — /-24.九=1

Фермионные духи эффективно сократили две нефизические степени свободы осцилляторов а^, которые в ковариантном подходе также дают вклад в статсумму. Точно так же духи восстанавливают унитарность внутри петли [226].

Если в случае бозонной струны мы еще могли тем или иным окольным способом получать правильные результаты, то в спиновой струне ковариантный БРСТ подход является совершенно необходимым [109, 110]. Конформная инвариантность требует в ней, чтобы излучение фермиона сопровождалось излучением духа, и БРСТ формализм возникает здесь совершенно естественно. Еще большую роль БРСТ инвариантность играет в построении струнных теорий поля [226]. К сожалению, сколько-нибудь подробное изложение этих вопросов потребовало бы написания еще одной книги, к тому же струнная теория поля в настоящее время н值как не может считаться законченной теорией. Мы надеемся, что овладение классическими методами теории струн, изложенными в настоящей книге, позволит читателю самостоятельно выбирать темы для дальнейшего изучения и исследования.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫИ МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В этом приложении мы познакомим читателя с функциональными методами квантовой теории поля, которые, по правде говоря, не будучи особенно новыми, тем не меиее известны значительно хуже, нем традиционные диаграммные методы.

А.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ

Почти одновременно с построением современной квантовой теории поля в формализме Фейнмана Швингер [4] развил весьма отличный формализм, чрезвычайно удобный для вычисления физических величин (таких, как тензор поляризации и т. п.) во внешнем поле. В следующие годы его широко использовал Де Витт [178, 227], но широкую популярность он приобрел после открытия конформной аномалии, инстантонов и т. д. В литературе этот метод встречается под многими названия'ми: по имени математиков Минакшисундарама [228], Сили [229], физиков Швингера и Де Витта, как «метод уравнения теплопровод- нсюти». Мы будем использовать последнее. Итак, наша цель — научиться вычислять функциональный интеграл вида

Z(4 g.…)=J 0可0屮勿中 …6-J2(屮@4g…)d%,(A.1Л)

где лагранжиан 纟 зависит от спинорных полей 屮 и (или) скалярных полей ф ... и внешних полей: калибровочного Ли и гра- витационного g^v (^ц)- Нас интересует случай, когда лагранжиан имеет вид

纟=河丫卩宏"中 +(рА(р + ^R^ + ...,(A.1.2)

т. e. квадратичен по квантовым полям 屮,qs. Здесь Ф^ — д^ + А^—■ оператор Дирака, А—скалярный оператор Лапласа. Вид лагранжиана (А.1.2) — примерный, хотя он охватывает довольно широкий круг задач. Поскольку функциональный интеграл (А.1.1) с лагранжианом (АЛ.2) гауссов, мы можем «вычислить» его явно. Введем, как и в § 3 главы 1, полный набор собственных функций операторов Д + ^R и 2 =

宏％ = Апфп,(А.1.3)

(А + §1?)фп = Цпфп.(АЛ.4)

Мы предполагаем пока, что операторы方 и A + U? не имеют нулевых мод, т. е, Лп,从办 * 0 值 собственные функции фп, (рп орто- нормированы. В этом случае функциональный интеграл (А.1.1) может быть выражен через произведение собственных значений Лп и рг#. В самом деле, разлагая

屮=_2 ^П^р715 屮=^] ^п^п , ф ~ ^J ^-пфп (А.，. .5) и учитывая, что якобиан, переходя от ф, к а^, Ьп и от ф к сп, равен определению Грамма —— Шмидта собственных функций (фп,屮皿)и (фп, фт), т. е. единице, вследствие их ортонормиро- ванности, мы запишем, подставляя разложение (А.1.3), (АЛЛ) в лагранжиан (А.1.2),

z (&, guv) = J Rd% da^ dcme-EB^kEumc/(A.1.6)

ппИнтеграл no dcm дает

п

п

Переменные 。丸, Ъп являются грассмановыми, и интегрировать по ним мы должны с учетом их грассмановой природы. Напомним определение фермионного интеграла [197]:

J d0 = 0, Jed9=l.

Легко видеть, что интеграл по каждой паре 。冗，&п дает 入九，но теперь в числителе. Полный ответ есть

z(&，guv) = П 九山億厂2,(А.1.7)

где, разумеется, от Ли и g^ зависят собственные числа 入在 и р^. Выражение (АЛ.7) сильно расходится. В общем случае на ком- пактном пространстве собственные числа оператора Лапласа растут с номером п как 〜厶{ например п(п— 1) на двумерной сфере； для оператора Дирака, являющегося чем-то вроде корня квадратного из лапласиана, мы ожидаем рост 〜тг. Таким образом, (А.1.7) представляет собой отношение сильно расходящихся бесконечных произведений и в таком виде совершенно не определено. Мы можем значительно улучшить сходимость, если поделим Z(Aa, g#J на Z(0, 0), т. е. на функциональный интеграл в пустом пространстве. Если мы заключим поля <р, 屮 в ящик, то в нем собственными функциями (А.1.3), (А.1.4) будут e^{ik ■ хп)^ где к = 2л/Л, L—длина ящика, а собственными числами — Х° = п, р,® = тг2. Поэтому, определяя

2(4幻=需曙=g号U偿厂 (A」.8)

мы видим, что наиболее сильные расходимости сокращаются, не говоря уже о том, что этот прием позволяет нам не забо-

титься о численных множителях типа Ул [102]. Однако чаще всего даже после такой первичной регуляризации функциональный интеграл продолжает содержать расходимости, связанные уже с динамикой. Наша цель сейчас ——определить полностью регуляризованное выражение. Опуская тильду над Z, мы пере- пишем (А.1.8) в более компактном виде

Z = det 充(det А) т/2, (A.1.9)

где с учетом сделанных оговорок мы понимаем под детерминантом произведение собственных чисел диагонализованной матрицы, в данном случае — оператора.

А.2. ^-ФУНКЦИЯ

И ЯДРО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

О дан из широко распространенных подходов к регуляризации функциональных детерминантов основывается на введении ^-функции. Определим «^-функцию оператора» согласно

U 纱⑹=N А〕(A.2.1)'

Этот ряд сходится в области Re s > 1 值 определяет там аналитическую функцию С纱($)• В математической литературе W勿($) называется ^-функцией Эпштейна, свойства ее хорошо изучены. Подобно обычной ^-функции Римана, она мероморфна на комплексной плоскости переменной s и имеет единственный полюс в s = 1. Замечая, что W勿(s) =——2 ^ns In Xnj мы можем записать

W勿(°)== — *^i In Xn = — In det ^5.(A.2.2)

n

Поскольку, подчеркнем еще раз,匕勿(s) при s = 0 хорошо определена вместе со своей производной, мы можем определить 卩еед- ляризованный детерминант формулой

det 勿口 =(Г^\(А.2.3)

Однако в общем случае выражение (А.2.1) является не совсем удобным для вычисления детерминанта и ^-функцию приходится выражать через другие объекты. Заметим, что выражение (А.2.1) можно переписать как

之勿⑸=击 £ f Left dt(A.2.4)

n о

Поскольку 1/Г (s)〜s при s f 0, мы имеем

In det 勿=—E| -p 6一入储 十 расходящаяся часть, (А.2.5) п 6

т. е.

In det 宏=—J 半 Tr e—收.(A26>

о

Это выражение служит основным определением детерминанта оператора в формализме Швингера (переменная ^ традиционно носит название собственного времени). Оно может быть получено другим способом, с использованием очень полезного тождества

det^ =еТг1за А,(А,2.7)

где Л—любая матрица или оператор. Тождество (А.2.7) очевидно для диагональных матриц, а поскольку любая матрица может быть аппроксимирована диагонализуемой, опо справеД' ливо всегда. Далее, используем равенство

]п * = J 半(e-tB _ e-以)

О

и получаем, беря от обеих частей след,

Tr In 0 — Tr In 勿。=Tr f 半(e-幻—e-宏"=In (A.2.8)

Здесь 勿о ——некоторый фиксированный оператор, например оператор 勿 в пустом пространстве. Таким образом, формула (А,2.8) как раз определяет отношение детерминантов, что нам и нужно. В дальнейшем, поскольку мы будем изучать вариационные урав- нения на Indmt 勿，a det2& — просто бесконечная константа, мы ее писать не будем. Вместо этого мы можем определить регуляризованный по собственному времени детерминант оператора формулой, аналогичной (А.2.6):

In det^ = — j半Тге—收. (А.2.9) s

Можно показать, что два определения регуляризованного детерминанта: (А.2.2) и (А.2.9) — отличаются на несущественную' численную константу [И]. След экспоненты оператора нужно понимать следующим образом: введем фундаментальный 口 лн дальнейшего объект, так называемое ядро уравнения теплопроводности 衣(2, у, t)

(e-纫吁)(力=J К (z, у, t) / (у) d%, (А.2.10) где /(汇)—произвольная пробная функция, а экспонента от оператора определяется аналогично экспоненте от матрицы. Например, из (А.1.4) мы имеем

е—tA(p^ __ е '储<р期 (А,2.11}

Разлагая функцию /(2) в ряд по полному набору собственных функций фп

/ (汇)==^j ^пфп (汇),^пJ фп ®) / (//) d у 1(А.2.12)

мы получаем

(e-s/)(久)=J К (е, у, %) / ®) dDу = e-At £ a„q)n (z)=

=2 ane~Xnt^n (z) = £『Фп (у) / (у) ef 骏‘屮^ (z) dDy.

Отсюда

к(2, у,力)=汇 фп(2)фп ® е-3.(А.2.13)

Функция К (汇,у,力)удовлетворяет аналогу уравнения теплопроводности

A*k (①，0,方):=e ^хфП (方)фп (у) е п

=2 統^ ⑺ Ф« ®) ef' = -~ (е, у, О (А.2.14)

и двум важным граничным условиям:

lim К (%,必力)=£ Ф« ⑺ Фп ®) = 6D (ж — у),(А.2.15)

J Тг е~~^ 产汇=j tr К (芻 ху 力)d% = 2 е~屮・(A.2.16)

Здесь и далее знак Тг означает одновременное взятие следа в функциональном пространстве и следа по матричным (лоренце- вым, изотопическим и др.) индексам, если таковые имеются, a tr ——просто матричный след.

А.З. РАЗЛОЖЕНИЕ ШВИНГЕРА — ДЕ ВИТТА — СИЛИ

Подставляя (А.2.16) в (А.2.9), мы получаем формулу, выражающую детерминант оператора через ядро уравнения тепло

проводности:проводности:In det Д = — J -―- J tr К (爲 2,方)d x.In det Д = — J -―- J tr К (爲 2,方)d x.(A.3.1)(A.3.1)

проводности:

проводности:

In det Д = — J -―- J tr К (爲 2,方)d x.

In det Д = — J -―- J tr К (爲 2,方)d x.

(A.3.1)

(A.3.1)

Таким образом, нам предстоит изучить свойства К(%, /, t). Зная его в том или ином приближении, мы сможем вычислить в том же приближении In det Д, т. е. функциональный интеграл. Впервые ядро К{х, у, i) в данном контексте появилось в работах математиков Минашкисундарама и Плейеля [231], которые вывели итерационную систему уравнений для его вычисления. Любопытно, что первым, кто действительно нашел вторую итерацию K(z, 2,力)в четырехмерном кривом пространстве, был физик ,Де Витт [227]. Позже этот метод получил развитие во многих работах (см. особенно [227, 229, 231, 232, 233]), и некоторые из их результатов нам понадобятся ниже.

Фундаментальным для нас является следующий факт, строго доказанный еще в 1949 г. [228, 230] : при малых ^ ядро К(汇,夕,£) может быть разложено в ряд по t вида

k (方，%，方)=~_ d/2 a互-d/2 (方)产， (A.3.2)

где D ——размерность пространства-времени (мы рассматриваем только четномерные пространства); ak^D/2 ——локальные функции я:, называемые коэффициентами Швингера — Де Витта — Сили. Чтобы понять роль функций а(&), рассмотрим обычное ядра уравнения теплопроводности, удовлетворяющее (А.2.14) в плоском пространстве размерности D, с начальным условием (А.2.15). Как известно из курса математической физики, оно легко находится преобразованием Лапласа и имеет вид

к0 (名弘方)=(4叫D/2- e 4‘ 1 (A.3.3}

т. e. в этом случае все функции ak_D/2 равны нулю, кроме а—»?、 которая равна единице. Таким образом, функции 。瓦_力/2 содержат в себе всю информацию о «возмущении», т. е. о зависимости детерминанта оператора от кривизны пространства-времени, калибровочных полей и т. д. Наша цель ——научиться вычислять коэффициенты ak_D/2. Особенно нас будет интересовать в дальнейшем коэффициент 儆 при котором стоит нулевая степень Л Оказывается, что именно он несет главную информацию, определяя однопетлевой контрчлен и детерминант оператора в тех (редких) случаях, когда его удается точно вычислить. Чтобы понять его роль, используем для наглядности третью возможнуто регуляризацию—размерную. Мы подставим, в (А.3.2) вместо D f D —住 и рассмотрим расходящуюся часть детерминанта

1

In det Д = — \ 半+4R耿一D/j'd"夕一

-J半 J 'Гr (方，方， 9产汇.(A.3.4)

Поскольку, по предположению, среди 入在 нет нулевых мод, на верхнем пределе 方— оо (т. е. в инфракрасной области с точки зрения импульсов) интеграл сходится и второй член в правой части (А.3.4) расходимостей не содержит. В области малых t (ультрафиолетовая область импульсов) мы имеем

In det А = _〕半隔孤-1 2 磔т/2d =

=―- + конечные члены.(А.3.5)

С точки зрения размерной регуляризации члены с номером, меньшим D/2, соответствуют интегралам вида

которые в этом методе полагаются равными нулю. С точки зрения обычной регуляризации обрезанием онн соответствуют степенным расходимостям. Здесь нас интересует только полюс первого порядка по £, коэффициентом при котором и является функция а0 (логарифмическая расходимость с точки зрения обрезания по импульсам). Мы получаем, что в рамках размерной регуляризации расходимость In det Д задается коэффициентом а。：

5 In det Д (А.3.6)

(4冗产/2 s-''

Записывая теперь Z ^ е~г, где Г ——эффективное действие, мы находим его расходящуюся часть:

6Г = — 6 In Z = —6 In det Д =—；—^575(А.3.7}

/4(4丸)/ s

Таким образом, контрчлен, равный с обратным знаком расходящемуся члену в эффективном действии, есть

бРс.с =I■凉涼^瞪・(А.3.8>

Зная а。，мы знаем полный контрчлен, необходимый для устранения расходимостей на уровне одной петли.

А.4. ДВЕ ЛЕММЫ РЭЯ — ЗИНГЕРА — ШВАРЦА

Приступим к выводу функционального уравнения на детерминант оператора. Мы предполагаем, что наш оператор зависит от некоторого функционального параметра т, который мы понимаем весьма широко: налример, это может быть калибровочное поле Лц или конформный множитель р перед метрикой g^ и т. д. В некоторых случаях приходится даже действовать согласно изречению: «Если бы параметра не было, его надо было бы выдумать», причем в таких случаях приходится проявлять немалую изобретательность. Основой вычисления детерминантов служат две нижеследующие леммы Рэя — Зингера — Шварца [231, 232].

Лемма 1. Если для эллиптического оператора А (т) найдутся эллиптический оператор Т (т) и оператор В (т) т удовлетворяющие

言 Tr е-必⑺=% 言 Tr Be~iT, (A.4.1)

то

d In det А (т) _ 八 1，

J^ =旬(弓 T) &冗产/2,(А42)

гДе 仪0(石,7) определяется аналогом разложения Швингера —. Де Витта — Сили

ДоказательствоДоказательствоГ Bi = ^^г 2 «МВ, 7)卢. (А.4.3)

Доказательство

Доказательство

очевидно. Вычислим просто вариацию In det Д (р)

言 In detA(T)= -J-^-A言 In detA(T)= -J-^-ATr g—△£Tr g—△£TrBe-"TrBe-"=Tr Be~~zT.=Tr Be~~zT.

言 In detA(T)= -J-^-A

言 In detA(T)= -J-^-A

Tr g—△£

Tr g—△£

TrBe-"

TrBe-"

=Tr Be~~zT.

=Tr Be~~zT.

Подставляя для Tr е-гГ разложение (А.4.3), мы видим, что единственным членом, конечным и отличным от нуля в пределе е f 0, является (4冗严/2 % (3，Т)* Может создаться впечатление (а оно, как мы могли убедиться, часто возникает у слушателей), ■что оператор Т (т) в (А.4.1) должен быть не нем иным, как А(т), однако это не всегда так. Ниже мы приведем примеры, когда Т(т) существенно не совпадает с Д(т).

Таким образом, если нам удастся подобрать операторы В и 7, удовлетворяющие (А.4.1), и——что также немаловажно! —проинтегрировать уравнение (А.4.2), мы сможем вычислить In det Д в конечном виде. Сама лемма 1 ничего не говорит о свойствах операторов ^ и Т и о том, как их искать. Эту задачу в некоторой степени выполняет следующая лемма 2, которая дает достаточные условия существования операторов 启 и Т.

Лемма 2. Пусть существуют операторы L и. R такие, что

^~ А ⑴=£△ + АН・ (А.4.4)

Тогда для оператора А (т) имеет место лемма 1. Доказательство вновь очевидно:

.言 Tr e-以⑴=—ZTr ^^ e-s“)= — £ Tr (LA + AT?) e—s”)==一2 Tr (£A + RA)e-s⑺=t —Tv{L +五)6-以"),

гДе мы воспользовались возможностью циклически переставлять сомножители под знаком следа. В этом случае В = L + R и 7 = А.

A.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВАЛЬЯНА — БЛОКА

Полученные до сих пор формулы мало что говорят нам о самих функциональных детерминантах, поскольку мы никак не расшифровали, что же такое коэффициенты ак и как их вычислять. В литературе известно несколько способов вычисления °冗, 貳ы приведем здесь наиболее простой и наглядный, на наш взгляд, метод Бальяна ——Блока [234]. Этот метод исходит из разложения массивной фунащни Грина оператора А в ряд по обратной массе. Соответствующие коэффициенты разложения оказываются тривиально связанными с а互(А)*

Введем (фиктивный) массовый параметр т- и запишем уравнение на функцию Грина оператора А + т2:

(Д + m2)G(^, у. zn2) = 6(£ —//)•(А.5.1)

Функция Грина следующим образом выражается через собственные функции фп оператора А, Дфп = Апфп：

G (/,弘^一фп (z) фп (у) j e-'(M+m2)d» =n 入 тг 十 пг71•0

=『К(Х, у,力)2 dt.(A.5.2)

0

Разложим след функции Грина в ряд по т-2. Имеем

tr G (方，爲 m2) = £ 仇⑺•(A53》

С другой стороны, подставляя в уравнение (Л.5.2) разложение Швингера — Де Витта — Сили для ядра К(д 汽,力),мы получаем

tr Greg (汇，汇，m2) = tr J k (汇，汇，t) e-tm' J/ =

1(4九)班1(4九)班2左2左ай-п/2 J th~D/2e-t^ di£ай-п/2 J th~D/2e-t^ di£1(4Л尸1(4Л尸■4 +т■4 +тг(*_4г(*_4仁告+i仁告+i^й—П/2 ("『у— D/2 強^й—П/2 ("『у— D/2 強(A.5.4)(A.5.4)

1

(4九)班

1

(4九)班

2

左

2

左

ай-п/2 J th~D/2e-t^ di£

ай-п/2 J th~D/2e-t^ di£

1

(4Л尸

1

(4Л尸

■4 +

т

■4 +

т

г(*_4

г(*_4

仁告+i

仁告+i

^й—П/2 ("『у— D/2 強

^й—П/2 ("『у— D/2 強

(A.5.4)

(A.5.4)

Сингулярные, т. e. растущие no m2, члены, возникающие здесь,, обусловлены плохим поведением G (汇,汇,m2) при совпадающих аргументах. Пока что они нас не интересуют. Сравнивая теперь (А.5.4) с (А.5.3), мы находим связь между коэффициентами 0k и &А:

& =寻'伉"-符• (ASS)

Таким образом, вместо разложения ядра уравнения теплопровод^ ностн в ряд по t мы можем изучать разложение следа массив^ ной функции Грина в ряд по обратной массе. С этим разложе^ нием мы уже отчасти знакомы. Мы рассматривали его в § 2 гла~ вы 1 при вычислении разложения функции Грииа регуляторов Паули ——Вилларса. Введем вновь некоторый фиксированный оператор До, в качестве которого удобно взять оператор А в иу~ стом пространстве, т. е.

До = —д2.

Функция Грина оператора — 92 легко находится:

(—@2 + m2) Go(力，у, т2) = 6(х — у),(А.5.6)'

G。(％, “，m2) =(А.5.7)

J (2л产 р + т，

Вычитая (А.5.6) из (А.5.1), мы получаем после несложных ире~ образований интегральное уравнение на G (力,у, тп2)

G (х, у, m2) = Go (х, у, иг?)—

—，G(n, г, тп2) (Д — A0)zGq (z, у, Tn?) d°z. (A.5.8)

Заметим, что оператор Д — До пропорционален калибр о в очи ому полю』м (см. формулу (1.2.9)) и в общем случае кривизне пространства, т. е. представляет собой возмущение. Итерируя инте~ гральное уравнение (А.5.8), мы получаем ряд теории возмущений для G(x, % /тг?) (разложение Карлемаиа)

G (%, у, m2) = Gq (х. у, тп2) — J G。(％, Z, m2) (A—AR G (羽勿 т2) d°z ++ Jg。(％,羽 m2) (А—До)2 仇(爲 w, тп2) (А—Д0)ш х

X Go (о?, у, Tn?) d"zd"s*(А.5.9)

Свободная функция Грина Gg(& у, т2) известна (А.5.7), и после подстановки △十 3? в (А.5.9) мы получаем, вычисляя фейнмановские интегралы, разложение в ряд по т^2^ которое и определит нам коэффициенты b在,а следовательно, и а在.Подчеркнем, однако, что мы умеем вычислять интегралы вида (А.5.9) только в том случае, когда оператор А — До задан в виде явной функции от х, в связи с чем необходимо использовать калигбровку Швингера для калибровочного поля и нормальных к о орда нат для гравитационного поля. Их мы опишвм в следующем разделе, а пока заметим, что при вычислении промежуточных интегралов в (А.5.9) нам нужно знать калибровочное поле и метрику при всех 力—仇 а не только в области малых % — у. Однако, поскольку свободные функции Грина экспоненциально падают при больших (%— у) * то, как строго доказано в [230], соответствующие интегралы сходятся и однозначно определяют 6(%, y,疗).

В заключение этого раздела напомним, что в искривленном пространстве-времени все выписанные нами формулы должны быть изменены соответствующим образом. Вместо d^y мы должны в_исать NgBy、точно так же разложение ядра уравнения теплопроводности по собственным функциям приобретет вид

К (%, %") = Tr е—а，= ]/g 2 Фп (^) фп (%) 6一(А.5.10)

Функции Грина будет удовлетворять уравнению

(А + 疗)G (芻 у,疗)=8(х — у),(А.5.11)

vs

соотаетственно все коэффициенты Швингера ——Де Витта ——Сили должны множиться на g и т. д.

А.6. КАЛИБРОВКА ШВИНГЕРА.НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

Для пр а ктическо го вычисления интегралов (А.5.9) нам нужно ввести калибровки, явно задающие разложение Ли, g^ вблизи некоторой фиксированной точки в виде ряда по х.

Что касается поля Янга ——Миллса Лц, то для него удобно использовать так называемую калибровку Швингера [235]:

g/式％) — 0.(А.6.1)

Эта калибровка позволяет получить явное разложение /^ в терминах х. Запишем напряженность поля Янга — Миллса в точке 力〜

F^ = “4 ~ dvAy. -h [Ли, Av].

Умнюжая обе части уравнения на %呉 и учитывая (А.6.1), мы находим

弘尸以” =%从0以4V -• a^ц^Лц = x^d^Av - dv (N从/乩)+ ^v =

=备R4 (炕)ь=上・

Отсюда мы получаем

1QO

/” ") = y d优/戶乩У (tx) = x^ ^^ 5十2)涼“% 。…“叫勿%勿aП方乩

о也=0

(А.6.2)

Здесь 纱& =。& 十[4а, ] — ковариантная производная, и все они эзяты, разумеется, в точке % = 0.

Для гравитационного поля удобно использовать рхгмановы нормальные координаты. Напомним, как они задаются [236]: вновь фиксируем произвольную точку в пространстве, например х = 0, и наложим следующие условия на символы Кристоффеля:

Г% (%)"%。= 0,(А.6.3)

где %卩——нормальные координаты, т. е. имеющие вид %卩=三卩七, 己以 ——константы, т —— параметр геодезической. Напомним, что в нормальных координатах всякая прямая, проходящая через выбранную точку, является геодезической. Из (А.6.3) нетрудно вывести бесконечный набор условий на 「片仃 в точке 力=0, например

Ito (0) = 0, *。江厶(0) "С =0,....

Теперь, исходя из уравнения геодезической, можно вывести аналог разложения (А.6.2) для «потенциалов» g^ и Г^а- Эти соотношения имеют вид [267]

g办=6以+扌R^^x^ +詹e晔乂&任俨气吃貶"+ .…(A.6.4)

Г«з =% (ЕеВо + 片邙ао) " +Г«з =% (ЕеВо + 片邙ао) " +У后^办? + ехв^?ка0 入 у)—У后^办? + ехв^?ка0 入 у)—

Г«з =% (ЕеВо + 片邙ао) " +

Г«з =% (ЕеВо + 片邙ао) " +

У后^办? + ехв^?ка0 入 у)—

У后^办? + ехв^?ка0 入 у)—

~~' ~3~(E"a0y + Ex(3ay) -^toXv]①互“"+ • • • •

Читатель легко убедится, что (А.6.4) удовлетворяет условиям (А.6.3). В правых частях (А.6.4) тензор кривизны задай в точ' не % = 0. Нормальные координаты особенно удобны тем, что в точке % = 0 геометрия плоская: метрическим тензором является символ Кронекера 心丄”,[忆^ = 0： а искажение геометрии при % # 0 задается явными уравнениями (А.6.4). Из этих уравнений вы^ ведем еще одно полезное соотношение

g = det gaB =1^~ Ra^a^ + I 鳥 &вХ

——М■"入auR^久唄J №%吃с%% (A.6.5)

Заметим, что в формулах (А.6.4, 5) мы опустили члены, связанные с произв од НЫ1МИ тензора кривизны. Они обычно представляют лишь академический интерес и при наших вычислениях нам нигде не понадобятся.

Теперь все величины, от которых зависят интересующие пас дифференциальные операторы, выражаются в виде рядов по 方, коэффициентами разложения которых являются ковариантные величины ——напряженность поля Янга — Миллса и тензор кривизны гравитационного поля. Тем не менее и после этого вычисление коэффициентов at ——весьма трудоемкая процедура. Ниже мы подробно рассмотрим ее в двумерном случае. Впрочем, мы надеемся, что внимательный читатель заметил, что коэффициенты & для оператора历2=( ?纱М уже вычислены нами в § 3 главы 1 методом Фудзикавы. Однако в применении к гравитационному полю метод Фудзикавы теряет свою простоту и вычисления становятся столь же громоздкими, как и во веек других.

А,7. ДЕТЕРМИНАНТ

КАК МЕРА КОНФОРМНОЙ АНОМАЛИИ

В этом разделе мы покажем, что знание а。позволяет нам определить еще одну важную характеристику произвольной квантовой теории поля, а именно ——конформную аномалию.

Исходим из определения конформной аномалии, заданного формулой (5.2.8), (5.2.9):

"詠〉=靄，(А.7.1)

где мы рассматриваем инфинитезимальную вариацию метрики guv f eag^ ~ g(1V + Gguv Поскольку Z задается в виде призведения функциональных детерминантов, нам нужно вычислить их вариации по о. Рассмотрим, следуя Шварцу [11], конкретный, но очень характерный пример скалярного поля в кривом пространстве, описываемый лагранжианом

*5 = 4 f Ki 仰△屮 + 萨屮2) d%, (A. 7.2)

где Д — оператор Лапласа, А =где Д — оператор Лапласа, А =-^- ^Ц ( Кgg""a〉Член W五屮2-^- ^Ц ( Кgg""a〉Член W五屮2необходим, чтобы теория была конформно-инвариантна классически. Например, в /) = 2 自=0, в /) = 4 自=1/6, в общем случае 己=&(少—1). Итак, мы предполагаем, что действие (А.7.2) инва-необходим, чтобы теория была конформно-инвариантна классически. Например, в /) = 2 自=0, в /) = 4 自=1/6, в общем случае 己=&(少—1). Итак, мы предполагаем, что действие (А.7.2) инва-риаитно относительнориаитно относительновейлевских преобразований g^ f e^g^.вейлевских преобразований g^ f e^g^.Возьмем для определенности 0=4. Тогда при вейлевских пре-Возьмем для определенности 0=4. Тогда при вейлевских пре-образованиях поля ср преобразуютсяобразованиях поля ср преобразуютсякаккак—о72 ср те ср, /2—е?。/?,—о72 ср те ср, /2—е?。/?,т. е. Vg^-^e2 К^Ф-т. е. Vg^-^e2 К^Ф-

где Д — оператор Лапласа, А =

где Д — оператор Лапласа, А =

-^- ^Ц ( Кgg""a〉Член W五屮2

-^- ^Ц ( Кgg""a〉Член W五屮2

необходим, чтобы теория была конформно-инвариантна классически. Например, в /) = 2 自=0, в /) = 4 自=1/6, в общем случае 己=&(少—1). Итак, мы предполагаем, что действие (А.7.2) инва-

необходим, чтобы теория была конформно-инвариантна классически. Например, в /) = 2 自=0, в /) = 4 自=1/6, в общем случае 己=&(少—1). Итак, мы предполагаем, что действие (А.7.2) инва-

риаитно относительно

риаитно относительно

вейлевских преобразований g^ f e^g^.

вейлевских преобразований g^ f e^g^.

Возьмем для определенности 0=4. Тогда при вейлевских пре-

Возьмем для определенности 0=4. Тогда при вейлевских пре-

образованиях поля ср преобразуются

образованиях поля ср преобразуются

как

как

—о72 ср те ср, /2—е?。/?,

—о72 ср те ср, /2—е?。/?,

т. е. Vg^-^e2 К^Ф-

т. е. Vg^-^e2 К^Ф-

Таким образом, если подынтегральное выражение в (А.7.2) инвариантно, то оператор А = △ + 三尺岂 должен преобразовываться как

Ате 马 Ае'

ОтсюдаОтсюдамы находим

Отсюда

Отсюда

6Д ^- сгД + ~2 А ст*

Таким образом, вариация оператора удовлетворяет условиям леммы 2 и мы можем применить лемму 1 для вычисления конформной аномалии. Имеем цепочку равенств

/gi\ 6「1 6 In det A£「d才 6—А/

=毎=Т―^— = — Е)-Г 而 Tre =e

=j?'亲 Tr(crAe-A') = 一 ^Tre—A' = 一 ^-^a0 (Д).

S(A.7.3)

Вычисление 〃()(△) в четырехмерном случае довольно громоздко и мы его приводить не будем (см. [176, 227, 240] ). Ответ име： ет вид

(Ki^) = "^為[五鹏。加*一 &据""一 △用.(А.7.4)

В двумерном случае конформная аномалия равна

<Г^> = ^4 丿詠(А.7.5)

Ее мы вычислим в разделе А.9.

Заметим, что коэффициент ао(Д) в принципе может быть вычислен в пространстве любой размерности, но проинтегрировать уравнение (А.7.3) и найти In det Д мы умеем только в D = 2. Дело в том, что при Z) > 2 метрика g^ в общем случае не является конформно-плоской и вейлевские преобразования даже локально не покрывают всего класса метрик, кроме того, сами уравнения слишком сложны и нелинейны.

А.8. ДЕТЕРМИНАНТДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Приведем пример теории, в которой детерминант может быть вычислен точно. Этот пример понадобится нам позже, при обсуждении теоремы Квиялена. Рассмотрим модель Швингера, т. е. двумерную безмассовую электродинамику, описываемую лагранжианом

e=z2_2)2 i F^F^v^(A.8.1)

где 勿=丫屛(。卩 +/卩)一оператор Дирака. Вычисление удобно проводить в лоренцевой калибровке 0卩/卩=0, в которой, благодаря специфике двумерия, мы можем представить поле Ли в виде

Ли = £炉 &а,(А.8.2)

а ——некоторая скалярная функция. Введем оператор 纱 ％ определенный согласно

勿 1 = {叫丫絞 “J"% = ?м 伟 + у3 z5p.cz).(А-8.3)

Воспользуемся теперь тем фактом, что для двумерных у-^матриц имеет место важное тождество

小丫5 = 一(А.8.4}

Тогда оператор 勿i оказывается равным

Ф\ 打几一卜2冲0跳="(几十/卩)=多， (a85) т. е. совпадает с оператором Дирака, входящим в лагранжиан (А.8.1). Рассмотрим функциональный интеграл для модели

' Швингера, где мы интегрируем только по фермионам:

Z = J 2屯勿恨—质氏纟⑺⑷=det Z玄jF%叩v'uv.(A.8.6)

Согласно (A.8.5), вместо детерминанта оператора Дирака мы можем вычислять детерминант 纪一 Нетрудно видеть, что оператор 勿I, записанный в виде (А.8.3), удовлетворяет условиям леммы 2. В самом деле,

6 父)1 =諸 а^5 勿 1 + 纱 iba%・(А.8.7)

Логарифм детерминанта оператора 0【удобно представить в виде

In det 宏工=>1 In det 究；=—^■，半 Tr J®】.(A.8.8)

e

Для вариации следа экспоненты имеем цепочку равенств с уче- i том (А.8.7)

T疹_仞2

!6Tre 1 = — i Tr (^ФХФХ + Ф^3>^ е ^ =

!=-% Tr (铸aY5勿:+ 2多 1XY56a勿 1 + 0:26aY5)e 1 =

：=—i Тг(4%3а「5勿:吗)=Z 搞 Tr Зза^е—®】).

Подставляя это выражение в (А.8.8) и интегрируя по 力,мы получаем

6 In det Фх = lim -|- Tr〔4充仪^廿一"②“.(A.8.9)

Таким образом, детерминант задается коэффициентом аи(Т, В), где оператор Т есть 勿^ а В представляет собой просто умно-

；жение на матрицу г6ау&. К счастью, вычислять заново коэффи-

;циент 〃。(7, В) нет необходимости: читатель заметит, что он (с точностью до множителя 6а!) совпадает с выражением для аксиальной аномалии в методе Фудзикавы (1.3.15), и ответ нам уже известен (см. (1.3.17)):

6 In det^)i = 26a 必 D=t(A.8.10)

Поскольку 垓”―* = ^- У。乩力仍 мы получаем

6 In det 勿I =^~6aё""6以/*.(A.8.11)

Учитывая (A.8.2), мы легко интегрируем это уравнение и находим

In det 勿 1 =^ j d2^^^.(A.8.12)

Подставляя выражение для детерминанта оператора Дирака в функциональный интеграл (А.8.6), мы видим, что после иите- грирования по фермионам фотон в модели Швингера приобретает массу, равную 1/л. Описанный феномен присущ всем двумер- тткглт теориям, которые, согласно теореме Коулмена [239], не могут содержать безмассовых частиц, так как их присутствие привело бы к инфракрасной катастрофе. В данной модели масса возникает благодаря аксиальной аномалии.

А.9. ДЕТЕРМИНАНТЫ

ЛАПЛАСИАНОВ В СТРУНЕ ПОЛЯКОВА

В этом разделе мы выведем формулу (5.5.18) для детерминанта произвольного лапласиана △土；л которую в основном тексте мы привели без доказательства. Используем следующие обозначения: мы работаем в комплексных координатах с метрикой

d№ = 2gz-d2 dz, g^ —р == ^-е ,(А.9.1)

и, согласно § 5 главы 5, нужный нам оператор △士 力 действующий на (—/) -дифференциалы, в этих координатах принимает ВИД

Д±; - — 4p-("D0zP%7(А.9.2)

Ранее было установлено, что через детерминанты операторов Ai； с разлирчными / полностью выражается статсумма струны Полякова. Следующее ниже вычисление является хорошим примером ситуации, когда оператор Т в лемме 1 ие совпадает с Д. Поскольку в данном случае лемма 1 применима только после небольших манипуляций, удобно начать с основной формулы

ОО

In det △占=一 f 半 Tr「』・(A.9.3)

e

Проварьируем, как всегда, обе части по «параметру», в данном случае—по конформному множителю р (или ср, 'Что одно и то же). Мы получаем с учетом (А.9.2)

Tг「厶匕=-力 T J_ (/ + 1)粤人七 一

-与peD0~ 牛 0』「f(A.9.4)

Воспользовавшись тем обстоятельством,吋то мы можем под знаком следа циклически переносить операторы, перепишем второй

член в правой части в виде

Тг [普 рТа「士 р-("工电р"工

и далее преобразуем его с помощью тождества

еАВА =Аевл.(А.9.2)

Тогда он принимает вид

/ Тг 惨 pTQp-("1)&р"1 exp [弘p-工砲p-("Dd/+i]}・ (А.9.6) Возникающий здесь оператор —的一匕府‘”混什1 есть не что иное, как лапласиан 厶_工_力 В § 5 главы 5 мы подробно доказали, что лапласиан △歹 совпадает со спектром △土八 Заменяя поэтому в (А.9.6) А二i—f △看)

-7 Tr伴△加

и подставляя полученное выражение в (А.9.4), мы имеем

6 Тг「J = — % Тг [— (у + 1) ^ А%-"Т + j ^ A^eTAf =

Очевидно, что правая часть инвариантна относительно замены —/ ^ (1 + /), как и должно быть. Теперь мы можем подставить вариацию следа экспоненты в (А.9.3) и проинтегрировать по £：

6 In det А±6 = Тг[-(7+1)-^-+ / 普〕必1七]・(А.9.7)

Как обычно, нам нужно найти коэффициент а。, который и определит предел правой части при е ^ 0. Для вычисления “о воспользуемся разложением Бальяна — Блока. Однако прежде нам надо получить аналог разложения gab (т. е. р) в ряд по координатам 己° для случая выбранных нами комплексных коорди- нат. Формулы (А.6.4), справедливые для нормальных координат, здесь, разумеется, не имеют места. Это разложение нетрудно получить. Мы всегда можем выбрать точку, в которой

Р (Во) = е单")=1, ср (g0) = 0, 5аф (g0) = 0.

В то же время по общей формуле для скаляра кривизны мы имеем

修化)=—д2д- In р = — 43/評(Z), Z =昂 + 営・(А.9.8)

Mei знаем из раздела (А.7), что вариация детермииаптна по р

равна конформной аномалии. Таким образом, попутно мы вЬ1, числяем и ее. Разлагая р(Е) вблизи точки 自® в качестве которой мы возьмем go = 0, находим

р(Z, 2)= 1 -j^р(Z, 2)= 1 -j^

р(Z, 2)= 1 -j^

р(Z, 2)= 1 -j^

Подставляя это выражение в (А.9.2), находим 《возмущенный» онератор △土^ =△匕 + 4a/三：

А±з = 4 卜一^)当马—旬 рТ&Р% = 4 个修[zzdzd-z — jzd^ +

(A. 9.9)

Мы предоставляем читателю убедиться, что опущенные 'члены дадут нулевой вклад в коэффициент ао. Согласно (А.5.5), нам нужно вычислить первый нетривиальный член в итерации функции Грина оператора △土力 иными словами, интеграл

一 J 鬲7 ?2+ 用 d St (& J 寿.西丁. (A.9.10)

ИИВыразим все в комплексных координатах р =(卩i + 勿2)/2... подставим (А99):

И

И

dz dz J (2jt)2dz dz J (2jt)2e~ipz~ipz 4pp + "г?e~ipz~ipz 4pp + "г?[zzdzd- — jzd-] X[zzdzd- — jzd-] X

dz dz J (2jt)2

dz dz J (2jt)2

e~ipz~ipz 4pp + "г?

e~ipz~ipz 4pp + "г?

[zzdzd- — jzd-] X

[zzdzd- — jzd-] X

X J 7^%4；；+：2 "珍=-4号^ j告尸匕万］於/舞X

Интегрируя по частям и снимая затем интегрирование по z с помощью 6-функции, мы получаем

—4—4外⑶(0) Г d2p 18z 8z J (2л)2 ^pp m2外⑶(0) Г d2p 18z 8z J (2л)2 ^pp m2dp 4pp 十 Tn* ' 8P 4Pp + 7n*dp 4pp 十 Tn* ' 8P 4Pp + 7n*

—4

—4

外⑶(0) Г d2p 1

8z 8z J (2л)2 ^pp m2

外⑶(0) Г d2p 1

8z 8z J (2л)2 ^pp m2

dp 4pp 十 Tn* ' 8P 4Pp + 7n*

dp 4pp 十 Tn* ' 8P 4Pp + 7n*

Входящие сюда фейнмановские интегралы могут быть вычислены с помощью формулы

Г d2p1 1

J (2冗产(庐+涼产—4*，

после чего мы получаем ответ

i /中(0) 3/ + i i

8z 8z 24 兀 тп2

Согласно (A.5.5), это и есть искомый коэффициент а°(А±$)：

При 7 = 0 (скалярный оператор Лапласа) мы получаем конформную аномалию в Z> = 2 (А.7.5).

Подставляя, наконец, (А.9.11) в (А.9.7), находим вариацию детерминанта лапласиана Aij

6 In det А土/ —今[—(7 + 1) а。(Д^5)+ j。。(A^j)]=

=-'十留g+” J ~ P^Rd2g.(A.9.12)

Поскольку УgR = —52 In p, это уравнение может быть проинтегрировано:

In det △土j =In det △土j ="+ 窓+" •告 J d2 乳% In p)2 =

In det △土j =

In det △土j =

一"+ 羽 + " 4 J d笛仇吟，(A.9.13)

где мы перешли назад к вещественным координатам. Однако это етце не все. Дело в том, дао при вычислении обычной конформной аномалии в квантовой теории поля мы можем опустить расходящиеся члены типа а一工 которые отсутствуют в эффективном действии (сокращаются функциональным интегралом, стоящим в знаменателе). Конформная аномалия всегда конечна. В случае струны это не так. Струна Полякова сама определяется свободным лагранжианом, а взаимодействие возникает благодаря нетривиальной топологии мирового листа, например из-за наличия границ. Существенное отличие струны от теории поля состоит в том, нто мы не можем определить в струне «свободную статсумму» и поделить на нее. Все, что мы можем себе здесь позволить,— поделить формально на объемы групп диффеоморфизмов и вейлевских преобразований. Поэтому, вычисляя IndetAij, мы должны учесть не только конечный по е член, но и расходимость

亲/？ = *p，亲/？ = *p，(А.9.14)(А.9.14)

亲/？ = *p，

亲/？ = *p，

(А.9.14)

(А.9.14)

сокращать которую нам приходится чисто струнным способом. Поляков [70] предложил сократить расходимость, добавив в исходный лагранжиан БДВХДЗ космологическую постоянную *

S'=暂 J 掾[1/迎叱d兆d + 入 MP].(A.9.15)

第 Эта идея широко используется в работах по низкоэнергетической эффективной теории струны, где фоновое взаимодействие безмассовых полей (гравитона, дилатона, антисимметричного тензора и т. д.) выбирается вейль-неинвариантным способом, а инвариантность восстанавливается па однопетлевом уровне при наложении правильных уравнений движения на безмассовые ноля [272],

При этом классический лагранжиан (А.9.15) уже не является вейль-инвариантным и инвариантность восстанавливается на квантовом уровне при D = 26. Одновременно нам, разумеется надо перенормировать космологическую постоянную X, чтобьх сократить расходимость (А.9.14). После чего у нас остается некоторый конечный контрчлен 卩2yg и выражение для In det Ai^ окончательно принимает вид в переменных <р = In р

In det A±j = —，+ Z? + " j d?& у (5аф)2 + Н2еф]. (А.9.16)

Действие, стоящее в правой части, и есть действие Лиувилля, Таким образом, мы полностью вывели формулу (5.5.18). Перепишем еще раз формулу (А.9.11) в виде, необходимом для вычисления аномалии в токе числа духов:

Тг ,~еД-^ =VgR.(А.9.17)

Поскольку, согласно (5.7.24), аксиальная аномалия определяется разностью двух следов, она конечна.

А.10. ФУНКЦИЯ ГРИНАДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСАПРИ СОВПАДАЮЩИХ АРГУМЕНТАХ

В этом разделе мы вычислим зависимость регуляризованной функции Грина лапласиана от конформного фактора р (мы используем обозначения предыдущего раздела). Как установлено в § 6 главы 5, при построении дуальной амплитуды в струне Полякова возникает сингулярное выражение G(g, £). Мы должны его регуляризовать. Сингулярность на малых расстояниях обусловлена плохой сходимостью ряда для функции Грина в области больших частот 入^, поэтому Поляков [70] предложил определить регуляризованную функцию Грииа сл©дующим образом:

Jg (&<£)= 2^Т^ (А.10.1)

В данном случае мы должны внимательно следить за конформным множителем р, поэтому перепишем аккуратно нужные нам формулы:

J V^d2^^ (?)屮m (自)—6nm， (A. 10.2)

При е = 0 функция Грина удовлетворяет уравнению

AG(g,g\O)=AG(g,g\O)=(А. 10.3)(А. 10.3)

AG(g,g\O)=

AG(g,g\O)=

(А. 10.3)

(А. 10.3)

Напомним, что ядро уравнения теплопроводности в кривом пространстве задается как

К & Е, ±) = /? N Фп ⑸屮П (В)= Тг e-払. (А.10.4)

После выполнения регуляризации мы можем положить 占 =g‘. Из (А.10.1) и (А.10.4) находим связь между К(总三，力)и Greg (占，W, 8)：

ОО

/iGreg & & E) = J 击 К (& & 0-(А. 10.5)

Из этого уравнения, используя разложение Швингера ——Дё Витта—Сили, мы можем легко найти зависимость G(f,三，8) от р. Проварьируем обе части по р：

业 pGreg + pbGreg = — f / di Tr 必6一必・(A.10.6)

Для вариации лапласиана мы имеем

Р

Подставляя его в (АЛО.6) и интегрируя по частям, получаем

ОО

普 pGreg + pbGreg =—卜 d土 爲 Tr 岑 e M =

oo

_ e Tr JP + f cUTr 处 e= eTr 也 &一必十也卩刍电(A.10.7) pJppp

Отсюда

pb%eg gTF*e-M.(A-10.8)

Вычисляя правую часть с помощью разложения (А.3.2), причем в пределе е ^ 0, вклад дает только низший, тривиальный член р/4ле

p6G「eg = * б^^(А-10.9)

т. е.Greg = 石 In р + члены, не зависящие от р・

Таким образом, хотя при 自声 W' функция Грина конформно-инвариантна, при совпадающих аргументах она нетривиально за-

висит от конформного множителя. Теперь нам нужно найти сингулярные по g члены, которые мы упустили при варьировав нии по р. Дляэтогорассмотрим вновь (А.10.5) и разобьем ин-

ОО1ОО

r厂Р

теграл как )=)十)* Второй интеграл не может иметь сип- ее1

гулярностей при малых е, поэтому мы его опустим, после чего находим

pGreg (& §? е) « J d/К &自 ％)=亲 J 半 + …=ee

==.——In e -Ь нез. от е + 0 (е).(А.10-10)

Учитывая (А.10.9), мы получаем окончательно

Greg (&&£)= —In е + 1п р + конечные члены. (А.10.11) Оставшиеся конечные члены не зависят от р и е, но могут зависеть от модулярных параметров. Формула (А.10.11) справедлива на римановой поверхности произвольного рода. Заметим в заключение, что наши выкладки были не совсем точны, поскольку лапласиан имеет нулевую моду, а именно:

屮o(W) = const.

Мы предлагаем читателю утесть ее вклад и убедиться, что ее учет не влияет на формулу (А.10.11).

А. И. ДЕТЕРМИНАНТДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ВЕЙЛЯ

Двумерный оператор Вейля, вариация детерминанта которого определяет гравитационную аномалию, служит еще одним поучительным примером ситуации, когда детерминант может быть вычислен точно. Как показал Лойтвюллер [39], простота двумерной геометрии, а именно хорошо известное иам свойство, что локально метрика может быть приведена к виду

g" = £% 宀(А.11.1)

позволяет свести двумерный оператор Вейля к выражению, допускающему применение леммы 1.2.

Двумерный оператор Вейля имеет вид

Ф = %0аe^ (0陽 + 心妙)，(А.11.2)

где в качестве вейлевских матриц 0a мы можем выбрать о1 = 1Т а2 = i [39]. В координатной системе (А.11.1) мы можем параметризовать тетраду двумя независимыми функциями ф и X:

вд = е~ф/26ь (6а& COS 2九一Eab sin 2九).(A. 11.3)

Нетрудно убедиться, что 或说=g"”= ^―4P§uv п0,дСтавляя (A.11.3) в (A.11.2), мы находим, что оператор Вейля в этой параметризации может быть записан как

勿=評喝「.(A.11.4)

Здесь мы вновь ввели оператор Коши ——Римана д- в локальных координатах (А.11.1), а функции N 皿 М равны соответственно

М = Z九^屮，N = 2九 + ~^~.(A.11.5)

Очевидно, оператор Вейля в форме (А.11.4) удовлетворяет условию леммы 2, однако ситуация осложняется тем, что оператор Вейля является, по нашей терминологии, «киральньш», т. е. переводящим одно функциональное пространство (например, правые фермионы) в другое (в левые фермионы). Свойства ки- ральных операторов подробно обсуждаются в приложении Б. Здесь же, следуя Лойтвюллеру, мы воспользуемся простейшим доопределением

6mdet^ =Тг6勿0「(А.11.6)

оператор 6纪勿一】переводит гильбертово пространство правых фермионов само в себя и в этом смысле хорошо определен, хотя его детерминант, разумеется, должен быть еще регуляризован. Удобно использовать регуляризацию [39]

blndet25 = f &Тг6 处勿+е-‘纱宏+ .(А. 11.7)

е

Формально в пределе 8^0 правая часть сводится к П6宏宏一匸 Теперь мы можем применить лемму 2. Мы имеем

书纱=ЪМФ + 纱 ЗМ(А.11.8)

Вариация детерминанта может быть вычислена, как обычно, с помощью разложения Швингера —— де Витта —— Сили для Т勿勿+

Tre . Вычисления эти довольно громоздки, и мы их приводить не будем, отсылая интересующихся к статье Лойтвюлле- ра [39]. Ответ имеет вид

3 in det 宏=j Mg %? "I 6guv?uv,(A.11.9)

гдегде+告勿"勿飞++告勿"勿飞+金g"喇金g"喇

где

где

+告勿"勿飞+

+告勿"勿飞+

金g"喇

金g"喇

Здесь %м = Уц—迎冲«"; «ц — обычная ковариантная производная. Вычисляя теперь ковариантную производную Т^^ мы находим

гравитационную аномалию

=孤产赤凡(А.11.10)

Мы использовали это выражение в § 9, 10 главы 1.

Заметим в заклточение, лто приведенными примерами далеко не исчерпывается класс двумерных детерминантов, вычисляемых точно. Большой интерес представляют теории типа двумерной хромодинамики, в которой возникает топологический □лен Becca — Зумино [178, 241]. В работе Альвареса [242] содержится несколько интересных примеров двумерных теорий с вычисляемыми детерминантами и обсуждается, почему эта тех- ника не работает в D = 4. В то же время в большинстве случа- ев точное выгчислепие детерминанта, будучи красивой задачей современной математической физики, не является самоцелью, поскольку для определения физических величин, таких как контрчлеиы и аномалии, достаточно знания соответствующего коэффициента в разложении Швингера ——Де Витта ——Сили.

Приложение Б

ТЕОРЕМА КВИЛЛЕНА

В приложении А.9 мы вычисляли детерминант двумерного оператора Дирака во внешнем абелевом поле. Мы выяснили, что ои задается киральной аномалией и равен

det z.® = expdet z.® = exp(Б.1)(Б.1)

det z.® = exp

det z.® = exp

(Б.1)

(Б.1)

Рассмотрим проблему с другой стороны： введем комплексные координаты z =々十 Zg, z = Xi — Zg и запишем оператор Дирака в евклидовой области. Соответствующие у-матрицы имеют вид 丫—Ci} 丫l С о) (Е2>

Отсюда

/0 dz

纪=丫乩(°乩 + &) = 2 (@i + 力_ q

где мы обозначили Az = 万(』i — ^2), Л- = -у (幺丄 + бЛ2). Вводя оператор

D = dz~V 4,

мы можем формально записать

det Z 勿=detZ>W = de 七 D detZ> = ]detZ>l2. (Б.З)

Однако, как заметили Романов и Шварц [10], в данном случае мы можем полностью отщепить поле Az калибровочным преобразованием и тогда получим

det 12) = |det 5г|2 = const.(Б.4)

Рассуждая таким образом, мы приходим к выводу, что детерминант оператора Дирака равен некоторой (бесконечной) константе и вообще от А^ не зависит! В чем при|чина расхождения между (Б.1) и (Б.4) ? Чтобы понять ее, заметим, что мы можем переписать скалярное произведение ЛИЛЦ как 4ЛгЛ-, т. е. формула (Б.1) примет вид

det 2笏=ехр(— ± j d?%//，.(Б.5)

Легко догадаться, что выражение ехр (^- f(^xAzA^ не яв

ляется квадратом модуля никакой голоморфной функции, в от- личие от (Б.З). Мы вправе заподозрить, что причина расхождения двух определений детерминанта состоит в нарушении наивной голоморфной факторизации, которую мы неявно использовала при выводе (Б.З). И действительно, дело обстоит именно та 我” Квиллен [243] полностью проанализировал проблему и доказал, что в общем случае для бесконечномерных киральных детерминантов типа ^2 + Л2 возникает препятствие к голоморфной факторизации, которое может быть записано как ехр(■ с J d2xAzA^. Это препятствие обычно называют голоморфной аномалией. Причина ее появления в следующем: наивно детерминант кирального оператора не определен, поскольку такой оператор переводит одно пространство в другое. Мы можем определить его, например, как корень квадратный из детерминанта оператора D*D. Оператор D+D переводит пространство само в себя, и его детерминант может быть определен обычным способом, например с помощью регуляризации ^-функцией. Как мы хорошо знаем, из-за необходимости вводцть регуляризацию бесконечномерные детерминанты, в частности (Б.1), имеют различные аномалии. Поэтому в общем случае после вычисления detD+D мы не можем извлечь из него квадратный корень и определить det О как голоморфную функциЕО параметров, входящих в D (например, калибровочного поля). Квиллен вычислил голоморфную аномалию для оператора Коши ——Римана О：：, заданного на римановой поверхности. Однако в простейшем контексте описанный феиомеи впервые был обнаружен в работе [10], именно на примере модели Швингера.

Теорема Квиллена и следующая из иее теорема Белавина — Книжника имеют исключительную важность для понимания функционального интеграла Полякова, поэтому мы здесь подробно обсудим ее. Впрочем, и помимо струнной теории она пр еде т авля е т большой интерес, поскольку значительно углубля-

ет наше понимание свойств бесконечномерных функциональных детерминантов.

Мы привыкли понимать аномалии как нарушение некоторого классического закона сохранения. Нетрудно сформулировать теорему Квиллена на привычном нам языке. Мы будем работать с операторами хирального типа, которые будем обозначать иерез D* где у ——произвольный параметр (параметры), например калибровочное поле, модули римановой поверхности и т. д. Мн предполагаем, что оператор Dy голоморфно зависит от у, а сопряженный ему оператор D+ голоморфно зависит от у. Изу- аим зависимость от 巩 у основной величины In det D^D. Если имеет место наивное равенство (Б.З), то справедливо очевидное равенство [з=码备,3 = бу 泰)

66 In det D^D = 65 (In detZ>+ + In det Z?) = 0, поскольку D^ не зависит от у, a D не зависит от у. При наличии голоморфной аномалии типа (Б.1) мы получим что-нибудь вроде—

66 In det D^D = s^ (6^? 6亏)老 О,(Б.6)

где ^ ——некоторая отличная от нуля билинейная форма от вариаций бу, бу. Сравним формулу (Б.6) с определением кривизны двумерной поверхности, записанной в комплексных координатах:

п = —^ dzd- In р.(Б.7)

Как известно из комплексной дифференциальной геометрии, формула (Б.7) имеет место и для специального класса многомерных комплексных многообразий, называемых кэлеровыми многообразиями [21, 244]. Если обозначить комплексные координаты кэлерова многообразия через Уг, то выражение для 2-формы кривизны его примет вид, в точности аналогичный (Б.7) [244]:

R = didj InGdyi Д dy力(Б.8}

Иными словами, вычисляя аномалию Квиллена (Б.6), мы и а самом деле вычисляем кривизну некоторого кзлерова многообразия (иногда его называют детерминантным расслоением, о диако мы этот термин использовать не будем).

При обсуждении аномалии в модели Швингера, конформной аномалии в произвольной квантовой теории поля и т. д. мы всегда предполагали, что наши операторы не имеют нулевых мод (даже если они на самом деле их имели). В этих случаях учет пулевых мод приводит к усложнению промежуточных формул и не меняет результатов. Но, как мы знаем, в струпе Полякова это не так. Здесь пулевые моды (т. е. модули) определяют всю физику, и их просто необходимо включить в рас-

смотрение. Оказывается, учет нулевых мод приводит к удивительным эффектам уже в случае конечномерных операторов. Изучим, следуя работе [198], оператор Q, голоморфно зависящий от параметра 7, который отображает трехмерное комплексное пространство С3 в одномерное С1 по формуле

Q: С —с,⑪=f (у)・и, (Б.9)

где V = (уг (у), р2 (у), ^з (у)) ^ С3 — трехмерный комплексный вектор, также голоморфно зависящий от 7, а /(')=(九(7), ,2(Т), /з(р))——фиксированный голоморфный вектор. Обратное отображение Q^： С1 —> С3 определено неоднозначно, мы можем, например, согласованно с (Б.9) задать его как

Q力=a产(Y)， (Б. 10)

〃 —произвольное комплексное число, принадлежащее С1； tr — знак транспонирования. Оператор Q^ «сплющивающий» трехмерное пространство в одномерное, должен иметь двумерное пространство нулевых мод, и, в самом деле, любой вектор вида

ui=g(T)(O, -/з, Л), а = ^(Т)(/з, 0, 一厶) (Б.11)

переводится Q в нуль: Qv^ = 0, Qa = 0. Заметим, что мы мо- жем выбрать нулевые моды (Б.11) голоморфно зависящими от Т* Отсюда следует, что они не могут быть ортоиормированы, поскольку при этом нам пришлось бы делить их на корень из нормы, что нарушило бы голоморфность. Рассмотрим теперь задачу па собственные значения:

QW&・^=^・(БЛ2)

Легко видеть, что Q^Q? имеет, как и следовало ожидать, три собственных вектора, отвечающих собственным значениям:

Xi = 0, и =力，

入2 = 0, у = %,(Б.13}

%3 = I/1I2 + 仔2卩 + 1/з12, U = /.

Детерминант оператора Q±Qy как таковой не имеет, разумеется, смысла, поскольку оператор 。丫 имеет две нулевые 1иодыг однако, как мы неоднократно убеждались при изучении струны Полякова, очень часто интерес представляет «штрихованный детерминант», т. е. произведение собственных значений с опущенными нулевыми модами. В данном случае таких собственных значений у нас всего одно и мы имеем

det'Q^Qv = ^з = |А 12 + 1/2|2 + 1/з Г2-(及伍〉

Поскольку наша задача конечномерна, т. е. в ней нет никаких расходимостей и оператор Q (Q+) голоморфно зависит от у (彳) мы вправе ожидать, что det' Q+Q окажется квадратом модуля голоморфной функции. Однако из (Б.14) мы видим, что это не так. Оказывается, положение можно поправить. Рассмотрим величину det <Уг/у；>—детерминант эрмитовых произведений в пространстве пулевых мод ui, р2. (Здесь и далее для собственных фукнций операторов мы используем дираковские обозначения «кет» и «бра».) Подставляя нулевые моды (Б.11), мы находим

det ® I 〃〉= detdet ® I 〃〉= det|g『（"2|±b 旧仔），一包斤2九|g『（"2|±b 旧仔），一包斤2九-g无/分工I无|2（M『 + ］川2）-g无/分工I无|2（M『 + ］川2）

det ® I 〃〉= det

det ® I 〃〉= det

|g『（"2|±b 旧仔），一包斤2九

|g『（"2|±b 旧仔），一包斤2九

-g无/分工

I无|2（M『 + ］川2）

-g无/分工

I无|2（M『 + ］川2）

= |g(Y)『l^(y)FI/3(T)『(l/iE + l/212 + 1/312)-

(Б.15)(Б.15)Если теперь определить детерминант в присутствии нулевых мод з в виде

(Б.15)

(Б.15)

det〈匕 I 与〉 I g (Y)力(?) /3 (Y)『'

то подправленный таким образом штрихованный детерминант оказывается квадратом модуля. Стало быть, даже в конечномерном случае квадрат модуля в присутствии нулевых мод получается не автоматически. Сейчас мы увидим, что в бесконечномерном случае мы должны как минимум поделить на детерминант нулевых мод, аномалией же оказывается остаток, который и после деления не является квадратом модуля голоморфной функции. Мы будем следовать работе [170].

Рассмотрим киральиый дифференциальный оператор 若, голоморфно зависящий от параметра у (мы не будем писать индексов у у, поскольку обобщение на случай нескольких параметров совершенно очевидно). Предполагаем, что оператор D+ имеет некоторое (конечное) число нулевых мод |左〉，которые мы также выбираем голоморфно зависящими от у:

寸 К(У)〉= О. (Е/6)

Для простоты предположим, что сопряженный ему оператор Dy нулевых мод не имеет. Учет нулевых мод D может быть проведен совершенно аналогично нулевым модам ℃ Мы хотим выяснить, при каких обстоятельствах детерминант оператора D^D содержит голоморфные аномалии. Для этого нам нужно вычислить 661ndet О+О. Исходя из определения детерминант а в виде интеграла по собственному времени (А.2.9), мы имеем

(B/7)(B/7)66 In det D+D =—肪 j 半 Tr e~tD+D = 6 J dt Tr8D+De~tD+D.e e

(B/7)

(B/7)

Так как, по определению, интеграл по собственному ле и после интегрированияТак как, по определению, интеграл по собственному ле и после интегрированияоператор Dy не имеет нулевых мод, времени сходится на верхнем предепо t мы получаем

Так как, по определению, интеграл по собственному ле и после интегрирования

Так как, по определению, интеграл по собственному ле и после интегрирования

86 In det D+D = 3伍8。+刀 ^J^ 切力)=^о+^D-^^ е~г°+D—

-Tr初+。鳥。+3。用「i + ^DD 备 6，-+О (Б.18)

где мы воспользовались формулой 3；=^"窃幺｝' Вариация

в последнем члене вычисляется с помощью формулы (выведите ее!)

§е& = У аХе~ХА+А6ЛеХА. О

Первые два члена в правой части (Б.18) мы представим в виде

Tr“g备е…

Здесь оператор Р задается согласно

РР1 —1 —D*DD*DD+.D+.(БЛ9)(БЛ9)

Р

Р

1 —

1 —

D*D

D*D

D+.

D+.

(БЛ9)

(БЛ9)

Нетрудно видеть, что Р является проекционным оператором на нулевые моды оператора D+, В самом деле, если 丨①〉一произвольный вектор, то Р|ср> принадлежит пространству нулевых мод, так как

0+尸|中)=(0+_0+0謚0+)1中〉=0.

Читатель легко проверит, что Р? = Р. Таким образом, Р обладает всеми свойствами проекционного оператора. Отсюда следует, что след TrdD^PSD ^^^ e~cD+D берется не по бесконечномерному пространству собственных функций оператора D,

а только по подпространству его нулевых мод, которое по условию конечномерно. Поэтому в пределе е ^ 0 расходимостей в сумме возникнуть пе может, и мы просто опустим фактор ехр( —eD+D). Тогда нужная нам вторая вариация приобретет

вид

66 In det D+D = Tr^Z>+P3Z> ^^ —

T両+D 磊 J di*…宀.(E20> О

Во втором слагаемом мы вновь воспользуемся известным тождеством еАВА ~ АеВА и перепишем его следующим образом:

—е С Tr6D+D —В+е~еП1}++Ке]01>+6De~KeD+Ddk =

JD+D

О

1

=—e J Tr初 +。媪^加—1 + l\e-eDD++KeDD+&De~-KeD+Dd'K.

В круглых скобках вновь возник проекционный оператор Р. Благодаря его присутствию след в этой части берется только по подпространству нулевых мод и обращается в нуль в пределе 2 fo. Остается выражение

66 In det D+D = Тг8刀+夕6。口

d+d

—e Tr初 + J 6-3++回吟06一回+d(1 入.(Б.21)

0

Член с проектором можно упростить. Для этого перепишем проектор в терминах базиса нулевых мод 1左〉：

尸=N I方〉4后Т〈七I，/叮=〈方I %>(Б.22)

Эта формула легко выводится, если разложить любой вектор по полному набору собственных векторов оператора 刀+ и потребовать

р I 屮〉=2 & I 注〉■

Исходя из определения нулевых мод (Б.16), мы получаем простое соотношение между вариацией 8D+ и 61无亡〉

位尸1左〉+0+81 左〉=0.(Б.23)

Вспоминая вывод поправок второго порядка к уровням энергии в обьгчной нерелятивистской квантовой механике [268], мы можем вывести соотношение

Tr6D+P6D ^^ = 66 In det <Xi | 左〉.(Б .24)

Подставляя (Б.24) в (Б.21), мы получаем окончательно

6Sln 眾黑〉• = — eTr J(U50+eTDD++^DD+60efB+D曰陆g.

(Б.25)

Этот вывод явно демонстрирует, что в присутствии нулевых мод корректно определенной величиной является не сам детерми-

нант оператора, а соотношепие (штрихованного) детерминанта оператора с детерминантом нулевых мод. Член в правой части —если он отличен от нуля ——и определяет голоморфную аномалию. В общем случае это выражение довольно сложно, и методов, развитых в приложении А, недостаточно для его вычисления. К счастью, во всех интересующих иас случаях величина 5D не содержит производной и коммутирует с экспонентой, после чего интеграл в (Б.25) вычисляется подстановкой обычного разложения Швингера ― Де Витта — Сили. Поскольку все выражение пропорционально е, вклад дает только низший, тривиальный коэффициент, равный 1/4л；8. Например, в случае модели Швингера 6D+ = 2Л-, 8D = 2Лг и мы мгновенно получаем известный уже результат

66 In det 》D =^ б6 J 必%4色.

Теперь нам вполне ясна также ошибка в рассуждениях Романова и Шварца, приведшая к неправильному соотношению (Б.4). В самом деле, чтобы выполнить калибровочное преобразование в функциональном интеграле, мы должны подвергнуть этому преобразованию фермионные переменные, .что приведет к изменению меры интегрирования. Вычисляя эффект замены переменных с помощью метода Фудзикавы (т. е. киральпую аномалию), мы получим в правой части (Б.4) якобиан преобразования, равный как раз (Б.1). Отсюда следует важный урок: голоморфная аномалия Квиллена имеет много обличий —— она может проявляться и как киральная, и как конформная, и как гравитационная; ею можно даже объяснить аномальный закон преобразования обычных 9-функций [166].

Теперь мы можем сформулировать теорему Квиллена следующим образом； если оператор Dy голоморфно зависит от некоторых параметров, то имеет место равенство

det'D+Z)det<*1修〉det'D+Z)det<*1修〉=I det Л I2 ^-9,=I det Л I2 ^-9,(Б.26)(Б.26)

det'D+Z)det<*1修〉

det'D+Z)det<*1修〉

=I det Л I2 ^-9,

=I det Л I2 ^-9,

(Б.26)

(Б.26)

где голоморфная аномалия q задается неявно (Б.25). Заметим, что формула (Б.26) может иметь и важные практические приложения, например если, как в модели Швипгера, det。тривна- леи, то весь detD+D определяется только q. Для детерминантов оператора Дирака на римановых поверхностях, когда detZ) определяется свойствами симметрии, знание q вновь позволяет точно вычислить detQ+Q [170, 202].

Наконец, теорема Квиллена может быть использована в об- ратном смысле——для определения детерминанта кирального оператора. Мы можем задать его, согласно (Б.26), как голоморфный квадратный корень из det_D+Z>, поделенного на голоморфную аномалию e~q [202]. Это определение оказывается очень полезным при рассмотрении киральиой бозонизации духов Ъ, с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Трейман С., Джекив Р., Гросс Д. Лекции по алгебре токов.— М.: Атом- издат, 1977; Морозов А. Ю. j] УФН — 1986.— Т. 150 — С. 337; Alvarez- Gaume L., Ginsparg P. 〃 Ann. Phys.— 1985.— V. 161.— P. 423. Gins- parg P. Harvard University preprint HUTP-85/A056, 1985: Lectures given at 16th GIFT seminar.

Faddeev L. D., Shatashvili S. L. 〃 Phys. Lett. B.— 1986.— V. 176 — P. 225.*

Rajaraman R., Jackiw R. / Phys. Rev. Lett.— 1985;.— V. 54.— P. 1219^

Schwinger J. / Phys. Rev. 1951.— V. 82；P. 664.

Steinberger J. 〃 Ibid.—1949.— V. 76.— P. 1180.

Adler S. L. 〃 Phys. Rev.— 1969 —V. 177.—P. 2426; Bell J., Jackiw R. / Nuovo Cim.— 1969.— V. 60A.— P. 47.

Gross D., Jackiw R. 〃 Phys. Rev. D.— 1972.— V. 6.— P. 477.

Slavnov A. A. / DESY preprint 76/63, 1976.

Fujikawa K. / Phys. Rev. D.— 1980.— V. 21.— P. 2848.

Vergeles S. / Landau Institute preprint.— Chernogolovka. 1975.

IL Шварц A. С. 〃 Современные проблемы математики.——М.: ВИНИТИ* 1981.—17.— С. 113.

Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.— М.: Мир, 1985.

Новиков В. А., Вайнштейн A. EL, Захаров В. И., Шифман М. А. 〃 УФН.— 1982.— Т. 136.— С. 553.

Ч Hooft G. / Phys. Rev. D・一1976 — V. 14.— P. 3132.

Atiyah M. F., Singer I. / Ann. Math.— 1968 — V. 87.— P. 485, 546.

Shanahan P. The Atiyah-Singer index theorem: Lecture Notes in Math^ n. 638.— New York: Springer, 1978.

Eguchi T., Gilkey P. B., Hanson A. 〃 Phys. Reports.— 1980.— V. 66.— P. L f8. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко A. T. Современная геометрия.—— M.: Наука, 1977; 1986 (2-е изд.).

Шутц Б. Геометрические методы математической физики. Сер. Совре- менная математика. Вводные курсы.——М.: Мир, 1984.

Zumino В. / Relativity, groups, topology, 2.— Amsterdam, North Holland» 1984; Zumino B., Wu Y. S., Zee A. / Nucl. Phys.—1984.—V. B239.— P. 477.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.—— М.: Наука, 1982.— Т. 2.

Чжень Ш. Ш. Комплексные многообразия.— М.: Изд-во иностр, лит 1961.

Вейнберг С. Гравитация и космология.——М.: Мир, 1976.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля — М.: Наука, 1972.

Фаддеев Л. Д., Славнов А. А. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.——М.: Наука, 1978; 1987 (2-е изд.).

Zinn-Jus tin J. Trends in elementary particle theory: Lecture notes in physics.— New York: Springer, 1975.— V. 37.

Bardeen W. A. / Phys. Rev.— 1969.—V. 184.— P. 1848.

Glashow S. L., Iliopoulos J., Maiani L. 〃 Phys. Rev. D.— 1970.— V 2.— P. 185.

Gerstein I. A., Jackiw R. 〃 Phys. Rev.— 1969.— V* 181.— P. 1955; Brown R. W.. Shi C.-С., Young B.-L. / Ibid.—V. 186.—P. 1491.

Wess J” Zumino B. / Phys. Lett.— 1971.— V. 37B・一Р. 95.

Chern S. S. Complex manifolds without potential theory — New York: Springer, 1978; Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях.— М.: Мир, 4976.

Belavin A. A., Polyakov А. М., Schwarz A. S., Tyupkin Yu. S. / Phys. Lett.— 1975.— V. 59B.— P. 85.

Atiyah M. F., Singer I. 〃 Proc. Natl. Acad. Sci. USA.— 1984.— V. 81.— P. 2597.

Alvarez-Gaume L., Ginsparg P. 〃 Nucl. Phys.— 1984.— V. В243.— Р* 449.

Duff M. J., Nillson В. E. W., Pope C. N. // Phys. Reports.— 1986 — V. 130.—P. 1.

van Nieuwenhuizen Р./Ibid.— 1981.— V. 68.— P. 189.

Введение в супергравитацию: Сб. ст.——М.: Мир, 1985.

Alvarez-Gaume L., Witten Е. / Nucl. Phys.— 1984.— V* B234.— P. 26 9.

Leutwyler H. 〃 Phys. Lett.一 1985.— V. 153B.— P. 65.

Bardeen W. A., Zumino В. / Nucl. Phys.— 1984.— V. В244.— Р・ 421.

Alvarez-Gaume L. 〃 Comm. Math. Phys.— 1983.— V. 90.— P. 161; J. Phys.— 1983,— V. A16.— P. 4177.

Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z. 〃 Phys. Rev. D.— 1980.— V. 22.— P. 846.

Alessandrini V., Amati A. A., Le Bellac M., Olive D. / Phys. Reports.— 1971.— V. L— P. 269.

Veneziano G. 〃 Ibid.— 1974.— V. 9.— P. 199.

Schwarz J. H. / Ibid.— 1973 — V. 8.— P. 269.

Mandelstam S. / Ibid.— 1974.— V. 13.— P. 259.

Scherk J. / Rev. Mod. Phys.— 1975.— V. 47.— P. 123.

Schwarz J. H. 〃 Phys. Reports.— 1982.— V. 89.— P. 223.

Brink L. / Lectures delivered at Ecole d'ete de physique theorique, Les Houchcs. 1985. — Goteborg prepr. 85-68, 1985.

Schwarz J. H. Superstrings: the first 15 years.— Singapore: World Scientific, 1985.

Green M. B., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1987,

Unified String Theories/Ed. M. B. Green, D. J. Gross.— Singapore: World Scientific, 1985.

Окунь Л. В. Кварки и лептоны.— М.: Наука, 1981.

Veneziano G. 〃 Nuovo Cim.— 1968.— V. 57A.— P. 190.

Koba Z., Nielsen H. B. / Nucl. Phys.— 1969.— V. B10.— P. 633; 1969.— V. B12.— P. 517.

Nambu Y. Proc, intern, conf, on symmetries and quark models.— Wayne, 1369.

Nielsen H. B. Proc. 15th Conf, on high energy phys.— Kiev, 1970.

Susskind L. / Nuovo Cim.— 1970.— V. 6 9A.— P. 457.

Ramond P. 〃 Phys. Rev.— 1971.— V. D3.— P. 2415.

Neveu A., Schwarz J. II. / Nucl. Phys.— 1971,— V. B31.— P. 86; Phys. ■ Rev. D.— 1971.— V. 4.— P. 1109.

Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.— М.: Мир, 1986.

Огиевецкий В. И., Мезинческу Л. / УФН.— 1975.— Т. 117.— С. 637.

Mandelstam S. 〃 Nucl. Phys.—1973.—V. B64.— P. 205; 1974.— V. B83.— P. 413.

Kaku M., Kikkawa K. 〃 Phes. Rev. D.— 1974.— V. 10.— P. 1110, 1823.

бВ. Scherk J., Schwarz J. H. / NucL Phys.— 1974.— V. B81.— P. 118.

Yoneya T. 〃 Nuovo Cim. Lett.— 1973.— V. 8.— P. 951.

Креммер Э. В. [37].

Cremmer Е., Scherk J. / Nucl. Phys.— 1976.— V. 403B.— R. 399.

Gliozzi F., Scherk J., Olive D. 〃 Ibid/—1977.—V. B122.—P. 253.

Polyakov A. M. 〃 Phys. Lett.— 1981.™ V. 103B.—P. 207, 211.

Vafa C. / Ibid.— 1987.— V. 190B.— P. 47.

Alvarez-Gaume L., Gomez C., Reina C. CERN preprint TH 4775/87, 4987.

Ishibashi N・,Matsuo Y., Ooguri H. / Modern Phys. Lett.— 1987.— V. 2.二 P. 119.

Green M. B., Schwarz J. H. 〃 Nucl. Phys.— 1981.—V. B181.—P. 502* 1982.— V. B198.— P. 252; 1984.— V. B243.— P. 475.'

Green M. B., Schwarz J. H. / Phys. Lett.— 1984.— V. 136B.— Р. 367.

Green M. В*, Schwarz J. H. 〃 Ibid.— V. 149В.— Р, 117.

Green М. В., Schwarz J. JL, West Р. С. 〃 Nucl. Phys.— 1985.— V. В254— Р. 327.'

Goroff М., Sagnotti A. CALTECH preprint 68-1263, 1985.

Goto T. 〃 Progr. Theor. Phys.— 1971.— V. 46.— P. 1560.

Дирак П. A. M, Лекции по квантовой механике.——M.： Мир, 1968; перепечатано в кн.: Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики: Б-ка теор. физ.— М.: Наука, 1979.

Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.—М.: Наука, 1973.

Brower R. С. / Phys. Rev. D.— 1972,— V. 6.—Р. 1655.

Goddard Р~ Thorn С. В. 〃 Phys. Lett.— 1972 — V. 40В.—Р 235.

Thorn С. В. 〃 Nucl. Phys.—1984.—V. В248.—Р. 551; 1987.—V. В286 — Р. 61.

Кас V. G. ]] Group theoretical methods in physics*— New York: Springer, 1979.— P. 441.

Lovelace C. 〃 Phys. Lett.— 1971.— V. 34B.—P. 500.

OMve D.. Scherk J. / Ibid.— 1973.— V. 44В,— P. 296.

Goddard P,, Goldstone J., Rebbi C., Thorn С. B. 〃 Nucl. Phys.— 1973 — B56.— P 109

Rebbi C. /'Phys. Reports.— 1974.—V. 12.—P. 1.

Gliozzi F.— 1977 (unpublished).

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.——М.: Физматгиз, 1963.

Brink L., Nielsen Н. В. 〃 Phys. Lett.—1973.— V. 45В.—Р. 332.

Brink L., Olive D. / Nucl. Phys.— 1973.—V. B58.— P. 237.

Kato M., Ogawa K. 〃 Ibid.— 1983.— V. B212.— P. 443.

Hwang S. 〃 Phys. Rev. D.— 1983.— V. 28.— P. 2614.

Мессиа А. Квантовая механика.— M.: Наука, 1978.— Т. 1.

Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния.——М.: Наука 1987.

Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.— М.: Наука 1976.

Apostol Т. М. Modular functions and Dirichlet series in number theory: GTM.— New York: Springer, 1976.

Чандрасекхаран К. Арифметические функции.— М.: Наука, 1975.

Fubini S., Veneziano G. 〃 Nuovo Cim— 1970.— V. 67A.— P. 29.

f°2. Фейнман P. П., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.— М.: Мир, 1968.

ЮЗ. Форд Л. Р. Автоморфные функции.— М.; Л.: ОНТИ, 1936

Chang Hong-Mo / Phys. Lett.— 196 9.— V. 28В.— P. 425.

Iwasaki Y., Kikkawa K. / Phys. Rev. D.— 1973,— V. 8.—P. 440

Schwarz J. H. 〃 Nucl. Phys.— 1972.— V. B46.— P. 61.

Brower R. C., Friedman K. A. / Phys. Rev. D.—1973.—V. 7.—P. 535.

Brink L., Olive D., Rebbi C., Scherk J. / Phys. Lett —1973.—V. 45B.— P. 379.

Friedan D., Martinec E., Shenker S. / Nucl. Phys.— 1986.—V. B271.— P. 93.

Knizlinik V. G. 〃 Phys. Lett.— 1985.— V. 160B.— P. 403.

Ademollo M., Brink L„ D'Adda A. 〃 Nucl. Phys.— 1976.—V. Bill.— P. 77.

Deser S., Zumino B. / Phys. Lett.— 1976.— V. 62B.—P. 335.

Brink L., Di Vecchia P., Howe P. / Ibid.— V. 65B.— P. 471.

Deser S., Zumino B. / Ibid.— P. 369.

Gervais J. L., Sakita B. / Nucl. Phys.— 1971,— V. B34.— P. 477.

Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.——М.: Физматгиз, 1963.一 Т. 2.

Курант Р., Гурвиц А. Теория функций.— М.: Наука, 1968.

Бейтман Г., Эрдейи Л. Высшие трансцендентные функции.— М.: Наука, 1967. — Т. 3.

Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях.— М.: Мир, 1988.

Seiberg N., Witten E. 〃 Nucl. Phys.—~1986*—V. B276.— P. 272.

Dixon L., Harvey J. // Ibid.— V. B274.— P. 93.

Alvarez-Gaume L., Ginsparg P., Moore G., Vafa C. / Phys. Lett.—

V. 171B — P. 155.…

Bengtsson I.. Cederwall M. Goteborg preprint, 84-21, 1984.

Nissimov E., Pacheva S(, Solomon S. ]] Nucl. Phys.—■ 1988.— V. B297.—

P. 349.c …

Paton J., Chan H.-M. / Ibid.— 1969.— V. BIO.— P. 519.—

Морозов А. Ю. 〃 Материалы 22-й шк./ЛМЯ①.一Л., 1987.— С. 95.

Кудрявцев В. А., Липатов Л. Н. 〃 Там же.— С. 169.

Кудрявцев В. А., Липатов Л. Н. / Материалы 21-й шк./ЛИЯ①•一 JL, 1986.—С. 109.° с ,,

Эйдес М. И. Материалы 23-й шк./ЛИЯФ.— Л., 1988.— С. 154.

Witten Е. 〃 Nucl. Phys — 1981.—V. В186.—Р. 412.

Witten Е. 'Ц Shelter Island, 2/Ed. R. Jackiw, N. Khuri.— Cambridge:

MIT Press, 1985.,“…

Chapline G. F., Man ton N* S. 〃 Phys. Lett.— 1983.— V. 120B.-~P. 105.

Fackiw R. / E. S. Fradkin Festschrift.— Bristol: Adam Hilger, 1985.—

116.117.118119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.133.116.117.118119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.133.Frenkel I. В., Кас V. G. 〃 Invent. Math.— 1980.— V. 6 2,— P. 23.

116.

117.

118

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

116.

117.

118

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

Segal G. / Comm. Math. Phys.— 1981.— V. 80.— P. 301.

Freund P. G. O. 〃 Phys. Lett.— 1985.— V. 151B. — Р. 387,

Gross D. J., Harvey J., Martinec E., Rohm R. 〃 Phys. Rev. Lett.— 1984.— V. 54.— P. 502; Nucl. Phys.—1985.—V. B256.—P. 253.

Gross D. J., Martinec E., Harvey J., Rohm R. / Nucl. Phys.— 1986.— V. В267.— P. 75.

Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. 〃 Функц. анализ и прил.— 1968.— Т. 2.— С 92

Virasoro М. А. 〃 Phys. Rev. D.— 1970.— V. 1,— Р. 2933.

Lepowsky J., Wilson R. L. / Comm. Math. Phys?— 1978.— V. 62.— P. 43.

Date E., Kashiwara M., Jimbo M., Miwa T. 〃 Proc, of the RIMS sympos. on nonlinear integrable systems.一 Singapore: World Scientific, 1983.—

Кап В. Г. / Функц. анализ и прил.——1967.——Т. 1, вып. 3.——С. 82; Moody R. V. / Bull. Amer. Math. Soc.— 1967.— V. 73.一 P. 317.

Halpern M. B. 〃 Phys. Rev. D.— 1975—V. 42.—P. 1684; Banks T,. Horn D., Neuberger H. 〃 Nucl. Phys.— 1976.一 V. B108.— P. 119.

Goddard P., Olive O. 〃 Intern. J. Modern Phys.— 1986.—- V. Al.— P. 303.

Goddard P., Olive D. / Vertex operators in mathematics and physics: MSRI Publ.— New York: Springer, 1984.— N 3.— P. 51.

Frenkel I. B. 〃 J. Funct. Analysis.— 19 81.— V. 44.— P. 259.

Del Giudice E., Di Vccchia P., Fubini S. 〃 Ann,. Phys.— 1972.— V. 70.— p 378.

Humphreys J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory.—New York: Springer, 1972.

Cepp Ж.-П. Курс арифметики.——M.: Мир, 1973.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения.—— М.: Наука, 1980.

Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология.——М.: Мир, 1976.

Белавин А. А., Книжник В. Г. 〃 ЖЭТФ,— 1986.— Т. 91.— С. 364.

Kikkawa К., Sakita В., Virasoro М. А. // Phys. Rev.— 1969.— V. 184.— P. 1701; Gross D. J., Neveu A., Scherk J., Schwarz J. H, 〃 Phys. Lett.— 1970—V. 31B.— P. 9. 592.

Alessandrini V. / Nuovo Cim.— 1971.— V. 2A.— P. 321; Lovelace C. / Phys. Lett,— 1970,—V. 32B.~ P. 703.

Alessandrini V., Amati D. 〃 Ibid.— V. 4A.— P. 793.

7. Kaku M,, Scherk J, ]] Phys. Rev.— 19 71.一 V. 3.— P. 430, 2000.

Hejhal D. A. The Selberg trace formula for PSL(2, R): Lecture notes in： mathematics.— New York: Springer, 1976.— N 548.

Schapiro J. / Phys. Rev. D.— 1972.— V. 5.— P. 1945.

Ленг С. Эллиптические функции.——М.: Наука, 1984.

Ахиезер А. И. Элементы теории эллиптических функций.——М.: Наука〉 1970.

Martinec Е. / Phys. Lett.— 1986.— V. 171B.— Р. 189.

Wolpert S. / Comm. Math. Phys.— 1987.— V. 112.— P. 283.

Yahikozawa S, / Phys. Lett.— 1986.— V. 166B.— Р. 135.

5. Virasoso M. A. / Phys. Rev,— 196 9.— V. 177.— P. 2309; Schapiro J. A. / Phys. Lett.— 1971.—V. 33B.—P. 361.

Schellekens A., Warner № P. / Nucl. Phys*—4987.—V. B287.—P. 3(7.

Sugamoto A., Suzuki H. / Phys. Rev. Lett.— 1986.— V. 57.— P. 1665.

Cecotti S., Girardello L. / Phys. Lett.— 1982.— V. 110В.— Р. 39.

Witten E. 〃 Nucl. Phys.— 1981.— V. 188В,—P. 513; 1982.— V. 202B.— p 253

Alvarez-Gaume L., Moore G., Vafa V. / Comm. Math. Phys.— 1986.— V. 106.— P. 1.

Novikov V., Shifman M., Vainshtein A., Zakharov V. / Phys. Reports.— 1984.—V. 116.— P. 103.

Harris J., Moore G.. Nelson P., Singer I. 〃 Phys. Lett.— 1987.— V. 178B.— Р. 167.

Moore G. 〃 Nucl. Phys.— 1987.— V. 293B.—P. 139.

Веку а И. H. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.— М.: Наука, 1978.

De Witt В. S. 〃 Phys. Reports.— 1975.— V. 19.— P. 297; перепечатана в кн.： Черные дыры.— М.: Мир, 1976.

Brown L., Cassidy J. / Phys. Rev. D.— 1977,— V. 16.—P. 1712.

Capper D. M., Duff M. J. 〃 Phys. Lett.— 1975.— V. 53A.— P. 361.

Witten E. 〃 Comm. Math. Phys.— 1984.— V. 92.— P. 455.

79. Friedan D. 〃 Recent Advances in Field theory and statistical mechanics.—Amsterdam: Elsevier Science PubL, 1984.

Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.— М「Изд-во иностр, лит., 1960.

Farkas Н., Kra I. Riemann Surfaces: GTM”一New York: Springer, 1980.

Bers L. 〃 Bull. Amen Math. Soc.— 1981.— V. 5.— P. 131.

Lehto O. Univalent functions and Teichmtiller theory: GTM.— New York: Springer. 1987.

Gribov V. №• 〃 Nucl. Phys.— 1978.— V. 139B.— Р. 1.

Singer I. M. 〃 Comm. Math. Phys.— 1978.— V. 60.— P. 7.

Alvarez O. / Nucl. Phys.—1982.—V. 216B.—P. 125.

D'Hokor E., Freedman D. Z., Jackiw R. 〃 Phys. Rev. D.— 1984.— V. 28.— P. 2583; Yoneya T. CERN preprint TH.3868, 1984.

Коноплева H. П., Попов В. H. Калибровочные пом.— М.: Атомиздат, 1980.

Дясексон Дж. Д. Классическая электродинамика.— М.: Мир, 1966.

Шиффер Дж., Спенсер М. Функционалы на конечных римановых поверхностях.—М.: Изд-во иностр, лит., 1957.

Beilinson A., Manin Yu., Schekhtman Ya. / Lecture Notes in Mathematics.—New York: Springer, 1987.— V. 1289.

Кричевер И. M., Носиков С. П. 〃 Фупкц. анализ и прил.— 1987.——Т. 21T вьтп. 2.— С. 46: вып. 4— С. 47.

Kogut J., Susskind L. 〃 Phys. Rev. D.— 1975.—V. IL—P. 3594.

Fairlie D. B., Nielsen H. B. / Nucl. Phys.— 1970.— V. В20,— P. 637.

Fujikawa K. 〃 Phys. Rev. D.— 1982.— V. 25.— P. 2584.

Riemann В. Gesammelte mathematische Werke und Wissenschaftlichen.— Reprintausgabe.— New York: Dover, 1953.

Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука, 1965; 1986 (2-е изд.).

Nelson P. / Phys. Reports.— 1987.— V. 149.— P. 337.

1987 — pi.200. D'Hoker E., Phong D. H. 〃 Nucl. Phys.— 1986 — V. B269 — P. 205; 1986.—1987 — pi.200. D'Hoker E., Phong D. H. 〃 Nucl. Phys.— 1986 — V. B269 — P. 205; 1986.—Alvarez-Gaume L., Nelson P. / Supersymmetry, supergravity and super- strings/Ed. de B. Wit, P. Fayet, M. Grisaru.— Singapore: World Scientific,

1987 — pi.

200. D'Hoker E., Phong D. H. 〃 Nucl. Phys.— 1986 — V. B269 — P. 205; 1986.—

1987 — pi.

200. D'Hoker E., Phong D. H. 〃 Nucl. Phys.— 1986 — V. B269 — P. 205; 1986.—

V. B278・一P. 225.

201.202.203.204.205.206.207.201.202.203.204.205.206.207.Dugan M., Sonoda H. 〃 Ibid.— 1987.— V, B289.— P. 227.

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

Verlinde E., Verlinde H. 〃 Ibid.— V. B288.— P. 357.

Rauch H. E. 〃 Bull. Amer. Math. Soc.— 1965.— V. 71.— P. 1.

Earle C. 〃 Discrete groups and automorphic functions.— London: Academic Press, 1977.

Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности.—Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975.

Alvarez О. В [51].

Belavin A., Knizhnik V^ Morozov A., Perelomov А. 〃 Phys. Lett.— 1986.—

V ]77BР 324

208.208.Belavin A. A., Polyakov А. М., Zamolodchikov А. В. / Nucl. Phys.—

208.

208.

1984.— V. В241.— Р. 333.

Cardy J. L. 〃 ibid.—(986.—V. B2 70.—P. 2 8 6; Dotsenko V. S., Fateev V. A. / Nucl. Phys.— 1985.— V. B251.— P. 691.

2 4 0. Moore G., Nelson P. / Ibid.— V. B266.— P. 58.

Ferrara S・,Gatto R., Grillo A. F. 〃 Nuovo Cim.— 1972.— V. 12Л.— P. 959.

Fubini S., Hanson A., Jackiw R. / Phys. Rev. D.— 1973.— V. 7.— P. 1732.

Haag R., Lopuszanski J. T., Sohnius M. / Nucl. Phys.— 1974.— V. B88.—

214；215.216.214；215.216.P. 257.

214；

215.

216.

214；

215.

216.

Boulware D.. Deser S. 〃 J. Math. Phys.— 1967.— V. 8.— P. 468.

Friedan D., Qiu Z.? Shenker S. 〃 Phys. Rev. Lett；— 1984.— V. 52.— P. 1575. Gervais J.-L., Sakita B. / Nucl. Phys.— 1971.一 V. B34.— P. 477; Brink L., Olive D., Scherk J. / Nucl. Phys.— 1973.— V. B61.— P. 173.

217.217.Альфорс Л. Лекции по кв азиконформным отображениям.——М.: Мир, 1969.

217.

217.

248.219.248.219.Knizhnik V. G. ]] Phys. Lett.— 1986.— V. 180B,— P. 247.

248.

219.

248.

219.

Shiota T. / Inven. Math.— 1986.— V. 83.— P. 322; перепечатано в виде приложения к『119].

220.221.222.223.224.225.220.221.222.223.224.225.Segal G., Wilson R. / Publ. Math, IHES.— 1985.—N 61.— P. 1.

220.

221.

222.

223.

224.

225.

220.

221.

222.

223.

224.

225.

Becchi C・,Rouet A., Stora R. 〃 Phys. Lett.— 1975.— V. 52B.— Р. 344.

Tyutin I. V. Preprint of the Lebedev Institute, FI AN, N 39, 1975.

Kugo T., Ojima I. ]] Progr. Theor. Phys. Suppl.— 1979.— V. 66.一P. 1. Curci G・,Ferrari R. / Nuovo Cim.— 1976.— V. 35A.— P. 273.

Batalin I., Vilkovisky G. / Phys. Lett.— 1977.— V. 69B.— Р. 309; Frad- kin E., Vilkovisky G. 〃 Ibid.— 1978 —V. 73B — P. 209.

226.227.228.229.226.227.228.229.Bengtsson I. 〃 Glass. Quantum Gravtiy.— 1986.一 V. 3.— P. L34.

226.

227.

228.

229.

226.

227.

228.

229.

Девитт Б. Динамическая теория групп и полей.——М.: Наука, 1988. Minakshisundaram S. / J. Indian Math. Soc.一 1949.— V. 13.— P. 41.

Seeley R. T. 〃 Proc, sympos. pure appl. math.. AMS, 1967.— Providence, Rhode Island, 1967.—V. 10.—P. 228.

230.230.Ray D. B., Singer L M. / Adv. Math.— 1971.— V. 7.— P. 145; Ann. Math.— 1973.— V. 98.— P. 154.

230.

230.

2%.232.2%.232.Minakshisundaram S., Plejel A. 〃 Can. J. Math.— 1949.— V. 1.— P. 242. Schwarz A. S. 〃 Lett. Math. Phys.— 1978.一 V. 2.— P. 201; Comm. Math. Phys.— 1979.— V. 64.— P. 223; V. 67.— P. 1.

2%.

232.

2%.

232.

233.233.234.235.236.237.234.235.236.237..Gilkey P. B. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem.— Boston: Publish or Perish, 1984.

233.

233.

234.

235.

236.

237.

234.

235.

236.

237.

Balian R., Bloch C. / Ann. Phys.— 1971.— V. 64.—P. 271.

.Швингер Дж. Частицы, источники, поля.——М.: Мир, 1973.

.Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия.——М.: Изд-во иностр, лит., 1948.

,Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.——М.: Наука, 1964.

238.238.239.239..Schwinger J. / Theoretical Physics: Lectures at the 1962 Trieste seminar.—Vienna: IEAE, 1963.— P. 89.

238.

238.

239.

239.

.Coleman S. 〃 Comm. Matli. Phys.— 1973.— V. 31.— P. 259.

Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве- времени.—М.: Мир, 1984.

Polyakov А. М., Wiegmann Р. В. 〃 Phys. Lett.— 1984.— V. 141B.— Р 223

Alvarez О. 〃 Nucl. Phys.— 1984,— V. B238.— P. 61.”

Квиллен Д. ]] Функц. анализ и при л.——1985.——Т. 4 9.——С. 3 7.

Кобаяси Ш., Номидзу Н. Основы дифференциальной геометрии.——М - Наука, 1981.—Т.

24 5. D'Hoker Е., Giddings S. В. / Nucl. Phys.— 1987.— V. В291,— Р. 90.

Фаддеев Л. Д., Шаташвили С. Л. / ТМФ.— 1984.— Т. 60, вып. 2.— С. 206.

Кас V. G, Infinite-dimensional Lie algebras: An introduction.— Boston； Birkhauser, 1983.

Gervais J.-L., Sakita B. 〃 Phys. Rev.— 1971.— V. D4.— P. 2291.

Galperin A., Ivanov E., Kalitsin S. et al. 〃 Class. Quantum Grav.— 1985.— — P. 469.

Candelas P., Horowitz G., Strominger Aj, Witten E. 〃 Nucl. Phys.— 1985.— V. 258B.— P： 46.

Narain K. S. 〃 Phys. Lett.— 4 986.— V. 169B.— Р. 41.

25 2. Kawai H.. Lewellen D. C., Tye S.-H. H. 〃 Nucl. Phys.— 1987.— V. B288.— P.

Antoniadis I., Bachas С. P., Kounnas C. / Ibid.— V. B289.— P. 87.

Witten E. / Symposium on anomalies geometry topology/Ed. W. Barden, A. White.— Singapore: World Scientific, 1985.

Квантовая теория калибровочных полей: Сб, ст./Под ред. Н. П. Коноплевой.—М.: Мир, 1977.

Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля.— М.: Мир, 1984.

Fradkin Е. S., Tseytlin А. А. / Phys. Lett — 1985.— V. 158В.— Р. 346; Callan С., Friedan D., Martinec Е., Perry М. 〃 Nucl. Phys.— 1985、一 V. B262.— P. 593.

Mandelstam S. В [52].

Martinec Е. / Nucl. Phys — 1987.— V. 281В.— P. 157.

Fay J. Theta functions on Riemann surfaces: Lecture notes in mathematics.—New York: Springer, 1973.— N 352.

Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях.——М.: Мир, 1986.

Giddings S. В., Martinec Е・,Witten Е. 〃 Phys. Lett.— 1986.— V. 176В.— Р. 362.

Замолодчиков А. Б., Фатеев В. А. / ЖЭТФ.— 1985.— Т. 89.— С. 1575; 1986.— Т. 90.— С. 1553.

Presseley A., Segal G. Loop Groups.— Oxford: Oxford University Press, 1986.

Schwarz J. H. Progr. Theo.r. Phys. SuppL— 1986.— V. 86?— P. 70.

Witten E. / Nucl. Phys.—1986.—V. B276.—P. 291; Hata H., Itoh K・， Kugo T. et al. # Nucl. Phys.— 1987.—V. B283.— P. 433.

Петров A. 3. Новые методы в общей теории относительности.——М.: Наука, 1968.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.——М.: Физматгиз, 1963.

Бершадский М. А. 〃 Я①.一1987 —Т. 45, вып. 5.— С. 1491.

Witten Е. / Comm. Math. Phys.—1987.—V. 409.—Р. 525; Alvarez О.， Killingback Т., Mangano М., Windey Р. 〃 Comm. Math. Phys.— 1987.— V. 111.— P. 1.

Научное издание

Кафиев Юрий Николаевич

АНОМАЛИИИ ТЕОРИЯ СТРУН

Редактор издательства

Н. Н. Крохотина

Художник

Л. Л. Мордохович

Художественный редактор

С. В. Марковская

Технический редактор

Л. П. Минеева

Корректор В. В. Борисова

ЛБ № 42724

Сдано в набор 02.07.90. Подписано к печати 23.08.91. Формат бОхЭО'Лб. Бумага кя.-журнальная. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 15,5- /Ус^ кр -отт 15,8- Уч.-изд. л, 16. Тираж 770 экз. Заказ № 2°9.

Цена 4 р. 90 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Н?у・ на», Сибирское отделение. 630099 Новосибирск, ул. Со- 'ветская, 18.

4-я типография издательства «Наука». 630077 Новоси-бирск, ул. Станиславского, 25.

АКАДЕМИЯ НАУК СССРСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ю. Н. КАФИЕВ

АНОМАЛИИИ

ТЕОРИЯ СТРУН

Ответственный редактордоктор физико-математических наукИ* Ф. Гинзбург

НОВОСИБИРСК«НАУК А»СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ1991

УДК (539.12 + 530.145) : 51 —7

Аномалии и теория струн/Ю. Н. Кафиев.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991.—— 245 с.

ISBN 5—02—029689—9.

В монографии излагаются основы теории струн. Рассмотрены вопросы абелевых и неабелевых аномалий и связь между ними, бозонная струна, спиновая струна и суперструна Грина — Шварца, компактификация замкнутой бозонной струны и гетеротическая струна, функциональные методы, струна Полякова, двумерные конформные теории поля. В приложениях дается подробный обзор методов вычисления функциональных детерминантов и доказывается теорема Квиллена.

Книга предназначена для специалистов в области квантовой теории поля, студентов старших курсов и аспирантов, а также для математиков, интересующихся приложениями математики в современной физике.

Ил. 33. Библиогр.: 257 назв.

Рецензенты

доктора физико-математических наукЭ. А. Кураев, В. В, Серебряков

Утверждено к печати

1604040000—1711604040000—171Институтом математики СО АН СССР

1604040000—171

1604040000—171

К 042(02) 9125°—91 I полугодие © Издательство «Наука», 1991

ISBN 5—02—029689—9