Глава 1

КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫИ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

§ 1.1. ДЛЯ ЧЕГО СТРУНЫ?

Объединение двух фундаментальных теорий современной физики, квантовой теории поля и общей теории относительности, в рамках единого теоретического подхода является одной из важнейших нерешенных проблем. Примечательно, что эти две теории, вместе взятые, воплощают всю сумму человеческих знаний о наиболее фундаментальных силах природы. Квантовая теория поля, например, добилась необычайного успеха в объяснении физики микромира вплоть до расстояний, не превышающих 10“15 см. Общая теория относительности (ОТО), с другой стороны, не имеет себе равных в объяснении крупномасштабного поведения космоса, давая красивое и захватывающее объяснение происхождения самой Вселенной. Поразительный успех этих двух теорий заключается в том, что вместе они могут объяснить поведение материи и энергии в ошеломляющем диапазоне величин в 40 порядков, от субъядерной до космологической области.

Большой загадкой последних пяти десятилетий, однако, была полная несовместимость этих двух теорий. Это выглядит так, как если бы у природы было два ума, каждый из которых работает независимо от другого в своей области, действуя в полной изоляции друг от друга. Почему природа на своем самом глубоком и фундаментальном уровне должна требовать двух полностью различных подходов с двумя наборами математических методов, двух наборов постулатов и двух наборов физических принципов?

В идеале хотелось бы иметь единую теорию поля, объединяющую эти две фундаментальные теории:

Квантовая теория поля]

f Единая теория поля.

Общая теория относительности J

Однако история попыток объединения этих двух теорий в минувшие десятилетия была печальной. Они неизменно вдребезги разбивались из-за появления бесконечностей (расходимостей) или нарушали некоторые почитаемые физические принципы, вроде принципа причинности. Мощные методы теории перенормировок, разработанные в квантовой теории поля за последние десятилетия, не смогли устранить расходи-

мости квантовой теории гравитации. Ясно, что важнейший кусок головоломки пока не найден.

Хотя квантовая теория поля и ОТО кажутся совершенно несовместимыми, последние два десятилетия интенсивных теоретических исследований сделали все более ясным, что секрет этой тайны скорее всего лежит в мощи калибровочной симметрии. Одна из наиболее замечательных черт природы - то, что ее основные законы обладают величественным единством и симметрией, когда они рыражены на языке теории групп. Объединение с помощью калибровочной симметрии, несомненно, один из самых поучительных уроков, преподнесенных физикой. В частности, использование локальных симметрий в теориях Янга- Миллса привело к огромному успеху в борьбе с расходимостями квантовой теории поля и в объединении законов физики элементарных частиц в элегантном и исчерпывающем подходе. Природа, похоже, не просто включает симметрию в физические законы по эстетическим соображениям. Природа требует симметрии.

Проблема заключалась, однако, в том, что даже мощных симметрий калибровочной теории Янга-Миллса и общей ковариантности уравнений Эйнштейна оказалось недостаточно для получения свободной от расходимостей квантовой теории гравитации.

В настоящее время наибольшие надежды на действительно единое и свободное от расходимостей описание этих двух теорий возлагаются на теорию суперструн [1-12]. Суперструны обладают намного большим набором калибровочных симметрий, чем любая другая физическая теория; возможно даже, что этот набор достаточен для устранения расходимостей квантовой теории гравитации. Симметрии теории суперструн не только включают симметрии ОТО и теории Янга- Миллса, они также содержат в качестве подмножеств симметрии супергравитации и теорий Великого Объединения (ТВО) [13].

Грубо говоря, способ, которым теория суперструн решает загадку расходимостей, можно изобразить наглядно так, как это показано на рис. 1.1, где амплитуда рассеяния двух точечных частиц вычисляется суммированием по бесконечному набору фейнмановских диаграмм

Рис. 1.1. Однопетлевая фейнмановская диаграмма для четырехчастичного рассеяния. Ультрафиолетовая расходимость этой диаграммы соответствует стягиванию в точку одной внутренней линии.

Рис. 1.2. Двухпетлевая фейнмановская диаграмма для рассеяния замкнутых струн. Эта диаграмма не содержит ультрафиолетовой расходимости, так как в ней нельзя стянуть в точку внутреннюю линию в отличие от случая точечных частиц. Из одних лишь топологических соображений видно, что теория струн является менее расходящейся, чем теория точечных частиц. Инфракрасные расходимости, однако, по-прежнему могут присутствовать.

с петлями. В общем случае эти диаграммы имеют особенности, соответствующие «стягиванию в точку» одной из внутренних линий с сохранением топологии графа. Для сравнения на рис. 1.2 показан однопетлевой вклад в амплитуду рассеяния двух замкнутых струн. Заметим, что, в отличие от случая точечных частиц, мы не можем здесь стянуть в точку одну из внутренних линий. Поэтому мы интуитивно ожидаем, что теория суперструн будет менее расходящейся или даже конечной вследствие симметрий (топологических инвариантов), запрещающих эту топологическую деформацию.

Любая теория, которая может одновременно устранить расходимости S-матрицы и включить квантовую механику, общую теорию относительности, ТВО и супергравитацию, с очевидностью должна содержать в себе математику, обладающую захватывающей дух красотой и сложностью. Действительно, даже математики были поражены той математикой, которая выросла из теории суперструн и соединила воедино самые несхожие между собой, далеко отстоящие друг от друга области математики, такие, как алгебры Каца-Муди, римановы поверхности и пространства Тейхмюллера, модулярные группы и даже теория группы «монстр».

Величайший парадокс теории струн, однако, состоит в том, что сама она не является единой. Тому, кто впервые изучает эту теорию, она часто представляется удручающим набором легенд и исторических анекдотов, взятых с потолка рецептов и интуитивных допущений. Порой кажется, что нет никакого смысла во многих допущениях модели. Для теории, претендующей на воплощение единого подхода к описанию всех законов физики, то, что сама она выглядит столь разобщенной, кажется издевательской насмешкой судьбы!

Секреты модели на ее наиболее фундаментальном уровне остаются пока непознанными.

Обычно при формулировании какой-нибудь квантовой теории мы начинаем с ее геометрии или симметрии и затем выписываем действие. Из действия, в свою очередь, мы выводим все предсказания модели,

включая унитарную S-матрицу. Так, вторичное квантование действия является обычным способом формулировки любой квантовой теории поля. Подлинная причина того, что теория суперструн порой выглядит как неупорядоченный набор кажущихся случайными допущений и произвольных условностей, состоит в том, что она обычно формулируется как первично квантованная теория. Поэтому приходится прибегать к интуиции и традиционным рецептам, почерпнутым из физического фольклора, чтобы построить все фейнмановские диаграммы, необходимые для унитарной теории.

К несчастью, вторично квантованное действие и геометрия суперструны относятся к завершающим характеристикам разрабатываемой модели. Действительно, как явствует из этой перспективы, интересующая нас модель в течение последних двадцати лет разрабатывалась в обратном направлении, начиная со случайного открытия ее квантовой теории в 1968 году!

Напротив, когда Эйнштейн впервые открыл общую теорию относительности, он начал с физических принципов, таких, как принцип эквивалентности гравитационной и инерциальной масс, и сформулировал его на языке общей ковариантности. После того как геометрия была найдена, он выписал действие как единственное решение задачи. Позднее были найдены классические решения уравнений в формализме искривленных многообразий, дающие первые удачные модели поведения Вселенной в космологических масштабах. Наконец, последним шагом в развитии ОТО была разработка квантовой теории гравитации. Решающие этапы исторического развития ОТО можно поэтому представить следующей схемой:

Геометрия -► Действие -► Классическая теория -* Квантовая теория.

Кроме того, и ОТО, и теория Янга-Миллса-это зрелые теории: обе они могут быть сформулированы на основании аксиом, выделяющих геометрические и физические допущения, служащие фундаментом каждой из них. Теория суперструн только начинает вступать в эту стадию развития.

Замечательно, что теория Янга-Миллса и теория гравитации представляют собой единственное решение, удовлетворяющее двум простым геометрическим требованиям:

Глобальная симметрия

Свободная теория должна описывать распространение «чистых», свободных от духов полей со спинами 1 и 2, преобразующихся как неприводимые представления группы SU(N) и группы Лоренца.

Локальная симметрия

Теория должна быть локально инвариантной относительно преобразований группы SU(N) и общековариантной.

Замечательно, что совместное действие теории Янга-Миллса и теории гравитации является единственным решением, удовлетворяю-

щим этим двум простым аксиомам:

т — _ 1 / — nF F^v— / — aR(^1*0

2 V 9^9

(Первая аксиома содержит в себе реальную физическую сущность теории и не может быть включена в формулировку второй аксиомы. Есть бесконечно много общековариантных и 8и(ЛГ)-симметричных инвариантов, так что нам необходима первая аксиома, чтобы включить в теорию физические соображения и выбрать неприводимые представления базисных полей. Под «чистыми» полями мы понимаем свободные от духов поля, имеющие самое большее две производные, что исключает теории R1 и Г4, содержащие производные высших порядков.)

Возникает вопрос: что соответствует этим двум аксиомам в теории суперструн! Предстоит большая работа, чтобы сделать возможной чисто геометрическую формулировку теории струн, но наиболее многообещающая попытка это сделать представлена в гл. 8, где обсуждается геометрическая формулировка полевой теории струн.

Порядок изложения в этой книге, конечно, должен отражать тот факт, что теория развивалась в обратном направлении. По причинам педагогического характера мы в основном будем следовать историческому развитию теории. Поэтому часть I, в которой вводится теория, возникающая из первичного квантования, будет порой производить впечатление неупорядоченного набора условных допущений, отбор которых производился без всяких руководящих принципов. По этой причине мы предпочли в части I особо подчеркнуть подход к теории струн с помощью континуальных интегралов или функционалов. Только фейнмановские континуальные интегралы дают нам формализм, позволяющий вывести другие формализмы, например формализм гармонических осцилляторов. Хотя этот подход к квантовой механике по-прежнему весьма неуклюж по сравнению с истинно вторичным квантованием, но это самый удобный формализм для того, чтобы свести концы с концами в теории первичного квантования.

В части II настоящей книги мы обсудим собственно теорию поля, из которой можно вывести все результаты теории, исходя из одного действия. Однако мы снова будем следовать истории развития теории и представим теорию поля от результатов к основам. Мы начнем с теории нарушения симметрии, а затем опишем возможный вариант геометрической теории.

Наконец, в части III будет изложена «феноменология» струн. Хотя, может быть, слишком самонадеянно пока описывать феноменологию, начиная с энергий 1019 ГэВ, важно установить, какого рода предсказания дает эта теория.

Однако чтобы действительно оценить достижения и возможные недостатки теории суперструн, нам следует попытаться понять исторические затруднения, преследовавшие физиков в течение последних пяти десятилетий. Поэтому обратимся теперь к краткому обзору

развития калибровочных теорий, чтобы можно было оценить трудность построения конечной теории гравитации. Мы также вкратце обрисуем историю развития теории суперструн.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ

В шестидесятые годы казалось, что физика элементарных частиц беспомощно барахтается, запутавшись во множестве частных теорий. Каждый вид фундаментальных взаимодействий - слабое, электромагнитное, сильное и гравитационное-изучался отдельно, почти независимо от других. Кроме того, исследования всех этих взаимодействий натолкнулись на фундаментальные трудности:

Слабые взаимодействия. Теоретические модели этих сил добавили разочаровывающе мало к теории Ферми, впервые предложенной тремя десятилетиями ранее в тридцатых годах:

^Ферми ~ Yp ГЛ \|/л Ye Гл Yv ’(1 1)

где Гл представляет различные комбинации матриц Дирака. Следующий крупный шаг, теория Ж-бозонов, страдал от расходимостей. Кроме того, никто не знал, какая симметрия объединяет лептоны и есть ли она вообще.

Сильные взаимодействия. В отличие от слабых взаимодействий, теория мезонов Юкавы дает перенормируемую теорию сильных взаимодействий:

Гюкавы- 9YYY-(1-2.2)

Однако теория Юкавы не могла объяснить лавину «элементарных» частиц, без конца открываемых в экспериментах на ускорителях. Роберт Оппенгеймер даже предложил, чтобы Нобелевская премия по физике была присуждена тому физику, который не открыл в этом году новой частицы. Кроме того, модель кварков, которая, кажется, объясняет данные намного лучше, чем это можно каким-либо разумным образом понять, страдает от того факта, что кварки никогда не были обнаружены экспериментально.

Сила тяготения. Изучение гравитационных сил было совершенно не связано с исследованиями других взаимодействий. Классический релятивистский подход позволял находить все новые классические решения независимо от физики элементарных частиц. Попытки канонически квантовать эту теорию были блокированы ее огромной избыточностью. Обескураживало также ощущение, что если даже теорию гравитации удастся успешно проквантовать, она все равно окажется неперенормируемой.

Этот унылый пейзаж драматически изменился в начале семидесятых годов с приходом «калибровочной революции». Одно из крупнейших

достижений последних пятнадцати лет-разработка полностью перенормируемой теории калибровочных частиц со спином 1, в которой физикам впервые удалось действительно вычислить реалистичные значения элементов S-матрицы. Итак, потребовалось более 100 лет, чтобы продвинуться дальше исходной калибровочной теории, предложенной Максвеллом в 60-х годах прошлого века! (См. в приложении элементарное введение в калибровочные теории и теорию групп.)

Очевидно, что ключом к устранению расходимостей релятивистской квантовой механики должны служить более обширные и более сложно устроенные группы калибровочных преобразований. Симметрия перестает быть лишь эстетическим достоинством конкретной модели и становится ее наиболее важной чертой.

Например, уравнения Максвелла, ставшие первым объединением электрической и магнитной сил, имели калибровочную группу U(l). Объединение слабого и электромагнитного взаимодействий в электро- слабое требует группы SU(2)®U(1). Силы, связывающие кварки в адроны, или квантовая хромодинамика (КХД), основаны на группе SU(3). Вся физика элементарных частиц в действительности совместима с минимальной теорией, обладающей симметрией SU(3) ® SU(2) ® U(l).

Хотя в отношении теорий Великого объединения (ТВО), которые, как предполагается, должны объединить электрослабое и сильное взаимодействия, вердикт еще не вынесен, но снова можно ожидать, что решение состоит в калибровочной симметрии; предлагаются группы SU(5), 0(10) и другие.

Хотя калибровочная революция является одним из важнейших достижений за целые десятилетия, ее все же недостаточно. Растет понимание того, что теория Янга-Миллса сама по себе не может продвинуть наше понимание физической природы Вселенной дальше нынешнего уровня. Дело не только в том, что различные ТВО не могут объяснить важные физические явления, но и в том, что есть настоятельная необходимость сформулировать квантовую теорию гравитации.

Прежде всего, необходимо заметить, что теории Великого объединения не могут быть последним словом в построении единой теории всех взаимодействий. ТВО обладают несколькими особенностями, по-прежнему оставляющими без удовлетворительного ответа важные вопросы. Они перечислены ниже.

ТВО не могут объяснить, почему существуют три почти точные копии, или семейства, элементарных частиц. Мы по-прежнему не можем ответить на вопрос Рэби: «Кто заказал мюон?»

ТВО все еще содержат около 20 произвольных параметров. Они не могут, например, вычислить массы кварков или различные константы теории Юкавы. Действительно, единая теория поля должна иметь самое большее один произвольный параметр.

ТВО встречают трудности при решении проблемы иерархии. Если не прибегать к суперсимметрии, трудно сделать так, чтобы физика

частиц с невероятно большими массами не смешивалась с обычным диапазоном энергий, что привело бы к разрушению иерархии.

Объединение межчастичных взаимодействий происходит на расстояниях порядка 10“28 см, что очень близко к планковской длине 10“33 см, где можно ожидать преобладания гравитационных эффектов. Однако ТВО вообще никак не учитывают гравитации.

До сих пор не удалось получить достоверных данных о распаде протона, что уже исключило минимальную группу симметрии SU(5). Тем самым нет экспериментальных подтверждений необходимости вводить такого рода теорию.

Трудно поверить, что между доступными на сегодняшний день энергиями и масштабами, на которых происходит объединение, не будут обнаружены новые взаимодействия. Эта «пустыня» может оказаться полным-полна новыми взаимодействиями, пока нам неизвестными.

С точки зрения фундаментальной науки, из всех этих проблем самая трудная и важная - найти способ квантования общей теории относительности Эйнштейна. Хотя теория Янга-Миллса добилась впечатляющих успехов в объединении известных законов физики элементарных частиц, законы тяготения удивительно отличаются от них на фундаментальном уровне. Ясно, что теория Янга-Миллса и обычная калибровочная теория неспособны справиться с этой проблемой. Итак, ТВО сталкиваются с серьезными экспериментальными и теоретическими трудностями при попытках расширить границы их применимости.

Общая теория относительности также наталкивается на подобные трудности при приближении к границам ее применимости. Они таковы.

Классический подход установил, что решения уравнений Эйнштейна с необходимостью включают точечные сингулярности, в которых законы ОТО должны нарушаться. В этой области квантовые поправки должны доминировать над классической теорией.

Действие не ограничено снизу, поскольку оно линейно зависит от тензора кривизны. Поэтому оно не может быть квантовомеханически устойчивым.

Общая теория относительности не является перенормируемой. Компьютерные вычисления, например, однозначно показали, что в теории Эйнштейна существует ненулевой контрчлен на двухпетлевом уровне.

Наивные попытки квантовать эйнштейнову теорию тяготения окончились обескураживающей неудачей. Одним из первых, кто указал на несовместимость общей теории относительности с квантовой механикой, был Гейзенберг, заметивший, что наличие размерной константы взаимодействия делает неосуществимой обычную процедуру перенормировки.

Если положить

(1.2.3)(1.2.3)h

(1.2.3)

(1.2.3)

— = 1; с= 1, 2л

то все равно даже в ньютоновской теории тяготения сохранится размерная константа, а именно гравитационная постоянная G:

Ее размерность равна квадратному сантиметру. При разложении в степенной ряд метрического тензора д^ вблизи плоского пространства с метрикой r|^v = (—h + + ) мы вводим константу взаимодействия х, имеющую размерность сантиметра:

9yiv = Лцу + ^^цу (1.2.5)

Поэтому

G-x2. (1.2.6)

В этой системе единиц, где единственной единицей является сантиметр, константа взаимодействия х становится планковской длиной, 10“33 см, или 1019 ГэВ, что лежит далеко за пределами возможностей эксперимента!

Теория перенормировок, однако, основана на фундаментальном допущении о возможности устранить все расходимости посредством бесконечного переопределения некоторых констант. Наличие размерной константы взаимодействия означает, что эта сложная перетасовка и повторное суммирование графов становятся невозможны. В отличие от обычных перенормируемых теорий, в квантовой гравитации невозможно складывать диаграммы с разными степенями константы взаимодействия. Это означает, что общая теория относительности не может быть перенормируемой теорией. Амплитуда рассеяния для пары гравитон-гравитон, например, является теперь степенным рядом по степеням размерного параметра (см. рис. 1.3):

Л=Ех"Л„. (1.2.7) п = 2 -

Здесь мы уже не можем перетасовывать графы с разными значениями и, чтобы расходимости сократились, а в этом вся суть теории перенормировок. Поэтому теория перенормировок не работает.

Поскольку безнадежно пытаться втиснуть ОТО в рамки обычной теории перенормировок, необходимо заново рассмотреть принципиальное возражение Дирака против таких теорий. Именно Дирак заметил, что успех квантовой механики был основан на приближенных схемах, в которых каждый новый поправочный член был мал по сравнению

Рис. 1.3. Амплитуды гравитон-гравитонного рассеяния. Поскольку константа взаимодействия не является безразмерной, диаграммы разных порядков нельзя складывать для перенормировки теории. Таким образом, теории, включающие квантовую гравитацию, должны быть либо расходящимися, либо полностью конечными в каждом порядке. Для квантовой гравитации к тому же необходимо найти контрчлены, описывающие взаимодействия с частицами с низким спином. Тем самым теория суперструн является единственным кандидатом на роль конечной теории.

с предыдущим. Но теория перенормировок порочна, поскольку она вопиющим образом нарушает этот принцип, оперируя с бесконечными величинами, которые затем отбрасываются.

Одним из решений могло бы быть построение теории гравитации, которая была бы конечной в каждом порядке относительно константы взаимодействия и вообще не нуждалась бы в перенормировке. А пока надежды возлагались на супергравитацию [14, 15], основанную на калибровочной группе Osp(N/4) (см. приложение); это было первое нетривиальное обобщение уравнений Эйнштейна за 60 лет. Надежды заключались в том, что указанная калибровочная группа даст нам достаточно много тождеств Уорда-Такахаши, чтобы расходящиеся диаграммы, составляющие обширный класс, сократились. Чем обширнее калибровочная группа, тем вероятнее, что беспокоящие нас бесконечности сократятся (см. рис. 1.4):

Электромагнетизм

Электрослабое взаимодействие

Сильное взаимодействие

ТВО (?)

Гравитация (?)

Супергравитация (?)

U(l)

SU(2)® U(l)

SU(3)

SU(5), 0(10)

GL(4), 0(3, 1)

Osp(N/4)

Теория

Калибровочная группа

Электричество *1 U(1)

МагнетизмМагнетизмSU (2) ®U(1)SU (2) ®U(1)

Магнетизм

Магнетизм

SU (2) ®U(1)

SU (2) ®U(1)

Слабое взаимодействиеСлабое взаимодействиеSU (5), 0(10)SU (5), 0(10)Сильное взаимодействиеСильное взаимодействиеСуперструны ?Суперструны ?

Слабое взаимодействие

Слабое взаимодействие

SU (5), 0(10)

SU (5), 0(10)

Сильное взаимодействие

Сильное взаимодействие

Суперструны ?

Суперструны ?

Гравитация

Рис. 1.4. Схема, показывающая, как калибровочные теории, основанные на группах Ли, объединили фундаментальные взаимодействия. Теория Максвелла, основанная на группе U(l), объединяет электричество и магнетизм. Модель Вайнберга-Салама, основанная на группе SU(2)®U(1), объединяет слабое и электромагнитное взаимодействия. Теории Великого объединения (основанные на группах SU(5), 0(10) или более обширных группах) являются лучшими кандидатами на роль теории, объединяющей сильное и электрослабое взаимодействия. Теория суперструн является единственным кандидатом на роль калибровочной теории, способной объединить гравитацию с остальными силами, действующими на точечные частицы.

Основная стратегия была такова:

Калибровочная симметрия-► Тождества Уорда-Такахаши

-► Сокращение диаграмм -► Перенормируемая теория.

Например, даже для эйнштейновой теории тяготения можно тривиально показать, что на уровне однопетлевых диаграмм она конечна. Существует замечательное тождество Гаусса-Бонне, из которого немедленно следует, что все однопетлевые диаграммы в общей теории относительности (чтобы их все выписать, нужен компьютер) суммируются к нулю. Действительно, супертождества Гаусса-Бонне устраняют многие расходимости супергравитации, но, вероятно, их все же недостаточно, чтобы сделать теорию конечной.

Самая обширная и многообещающая из теорий супергравитации, О(8)-супергравитация, по-видимому, является расходящейся. К сожалению, можно выписать локально суперсимметричные контрчлены на уровне диаграмм с семью петлями. Весьма маловероятно, что коэффициенты этих и, возможно, бесконечного числа других контрчленов могут все обратиться в нуль без обращения к еще более высоким симметриям. Это обескураживает, так как означает, что калибровочная группа самой обширной теории супергравитации, т. е. Osp(8/4), все еще слишком мала для устранения расходимостей общей теории относительности.

Более того, калибровочная группа 0(8) слишком мала для того, чтобы включить в себя минимальную калибровочную группу

SU(3) ® SU(2) ® U(l) физики элементарных частиц. Если перейти к более обширным группам, чем 0(8), то обнаружим, что нам придется включать всё более высокие спины. Однако теория для спина 3 со взаимодействием, вероятно, противоречива, что заставляет подозревать в калибровочной группе 0(8) предел теорий супергравитации.

Итак, супергравитацию следует исключить по следующим двум принципиальным соображениям:

Это, вероятнее всего, не конечная теория, поскольку ее калибровочная группа недостаточно обширна, чтобы устранить все возможные суперсимметричные контрчлены. На уровне диаграмм с семью петлями имеется неустранимый контрчлен.

Ее калибровочная группа 0(8) недостаточно обширна, чтобы включить минимальную калибровочную симметрию физики элементарных частиц, а именно группу SU(3) ® SU(2) ® U(l).

Сталкиваясь с этими и другими трудностями теории в течение многих лет, физики пришли к выводу, что от одного или нескольких почитаемых ныне представлений о природе Вселенной придется отказаться. Поскольку общая теория относительности и квантовая механика выведены из небольшого набора постулатов, один или более чем один из них должны быть ложными. Ключевым должен быть отказ от одного из основанных на здравом смысле предположений о законах природы; на этих предположениях основаны теория относительности и квантовая механика. За многие годы были выдвинуты следующие предложения об отказе от диктуемых здравым смыслом представлений о мире:

Непрерывность

Этот подход предполагает, что пространство-время должно быть зернистым. Размер этих зерен обеспечит естественное обрезание фейнмановских интегралов, что позволит получить конечную S-матрицу. Интегралы вроде

|Лс(1.2.8)

будут тогда расходиться как е-п, но мы никогда не будем переходить к пределу при 8, стремящемся к нулю. Решеточные теории гравитации относятся к этому типу. В исчислении Редже [16], например, мы разбиваем риманово пространство на дискретные ячейки-симплексы (четырехмерные) и заменяем тензор кривизны угловым дефектом, который вычисляется движением по окружности, охватывающей симплекс:

/

— —- у/ — д R-^ угловой дефект.

(В плоском пространстве угловой дефект отсутствует при обходе замкнутого контура и действие просто ничего не означает.) Обычно в решеточных теориях переходят к пределу при стремлении решеточной длины к нулю. Здесь, однако, мы сохраняем эту длину фиксированной и равной некоторому малому числу [17]. В настоящее время, однако, нет экспериментальных данных, поддерживающих идею о зернистости пространства-времени. Хотя мы никогда не сможем исключить этот подход, он представляется идущим против естественного направления развития физики элементарных частиц, состоящего в постулировании все более обширных и элегантных групп.

Причинность

Этот подход допускает небольшие нарушения принципа причинности. Теории, включающие механизм Ли-Вика [18], действительно перенормируемы, но в них возможны малые отклонения от причинности. В этих теориях сходимость фейнмановских диаграмм обеспечивается добавлением фиктивного поля Паули- Виллара с массой М, изменяющего ультрафиолетовое поведение пропагатора. Обычно фейнмановский пропагатор сходится как р-1 в ультрафиолетовом пределе. Однако добавлением фиктивной частицы его можно сделать сходящимся еще быстрее, как р~4;

11

7 - ~зз(12‘9)

р2 + т2 р2 А- М2 р4

Заметим, что поле Паули- Виллара является духом из-за — 1, появляющейся в пропагаторе. (Это означает, что теория столкнется с трудностями, вызванными появлением отрицательных вероятностей.) Как правило, мы устремляем массу поля Паули-Виллара к бесконечности. Здесь, однако, мы оставляем ее конечной, позволяя полюсу перейти на нефизический лист. Исследования структуры полученных фейнмановских диаграмм показывают, однако, что принцип причинности нарушается; это значит, что вы можете встретиться с вашими родителями до вашего рождения.

Унитарность

Можно заменить теорию Эйнштейна, основанную на тензоре кривизны, конформной теорией, основанной на тензоре Вейля:

- J^gc2^.(1.2.Ю)

Здесь тензор Вейля определяется формулой

^pvpa ^pvpn ^pE^^pJv "^ ^v[p^a]p "I” 3 ^^p[p^a]v>(1.2.11)

где скобки означают антисимметризацию. Конформный тензор обладает более обширной группой симметрии, чем тензор кривизны, т. е. инвариантностью относительно локальных конформных пре-

образований:

9\w"^e 9^ (1.2.12) vpa vpa •

Теория Вейля сходится, потому что пропагаторы имеют асимптотику р-4; тем самым это теория с высшими производными. Однако в ней присутствует «унитарный дух», который также входит с множителем — 1 в пропагаторе по тем же причинам, что и выше. Самое большее, на что можно надеяться,-«конфайнмент» этих унитарных духов с помощью механизмов, аналогичных конфайн- менту кварков [19, 20].

Локальность

Много лет выдвигались также предложения отказаться от некоторых важных постулатов квантовой механики, например от локальности. В конце концов нет никакой уверенности в том, что законы квантовой механики обязаны выполняться вплоть до столь малых расстояний, как 10“33 см. Однако всякий раз возникали затруднения, как только физики пытались от этих законов отклониться (так было и в случае с причинностью). В настоящее время нет удовлетворительной альтернативы квантовой механике.

Точечные частицы

Наконец, существует подход суперструн, отвергающий понятие идеализированных точечных частиц, впервые введенных греками 2000 лет тому назад.

Теория суперструн, поскольку она отбрасывает лишь предположение о том, что на фундаментальном уровне материя состоит из точечных частиц, наносит наименьший ущерб почитаемым физическим принципам и продолжает традицию перехода к все более сложным и хитроумным калибровочным группам. Она не нарушает никаких законов квантовой механики, однако ей удается устранить большую часть, если не все, из расходимостей фейнмановских диаграмм. Группа симметрии суперструнной модели, самая обширная из когда-либо встречавшихся в истории физики, возможно, достаточно обширна, чтобы сделать теорию конечной во всех порядках. И снова именно симметрия, а не отказ от квантовой механики, является решающим обстоятельством, обеспечивающим конечность теории.

На рис. 1.5 наглядно представлены разные этапы развития теоретических взглядов на природу тяготения. Первой была ньютонова теория действия на расстоянии, в которой гравитационное взаимодействие распространялось быстрее скорости света. Эйнштейн заменил ее классической интерпретацией искривленных многообразий. Квантовая теория гравитации, в свою очередь, вводит квантовые поправки к теории Эйнштейна, добавляя петли. Наконец, теория суперструн вводит дальнейшие поправки к квантовой теории точечных частиц,

СуперструныСуперструныКвантовая гравитацияКвантовая гравитация

Суперструны

Суперструны

Квантовая гравитация

Квантовая гравитация

Рис. 1.5. Этапы развития теории гравитации. Каждый шаг, показанный на этой схеме, основан на успехе предыдущего шага. Ньютон представлял себе тяготение как силу, мгновенно действующую на расстоянии. Эйнштейн предположил, что тяготение вызывается кривизной пространства-времени. Наивное объединение общей теории относительности и квантовой механики дает расходящуюся теорию, так называемую квантовую гравитацию, в которой предполагается, что тяготение порождается обменом особыми «частицами»-гравитонами. В теории струн предполагается, что тяготение вызывается обменом замкнутыми струнами, суммируя по всем возможным топологическим конфигурациям взаимодействующих струн.

Теория суперструн, однако, своим историческим развитием ничуть не напоминает ее предшественников. У нее, вероятно, самая странная в истории науки судьба с большим числом кренов и поворотов, чем в аттракционе «американские горы».

Началась она с того, что два молодых физика, Венециано и Судзуки [21, 22], независимо открыли квантовую теорию этой модели. Перелистывая математический справочник, они случайно заметили, что бета-функция Эйлера удовлетворяет всем аксиомам S-матрицы для взаимодействий адронов, кроме унитарности. Неве, Шварц и Рамон [23-25] быстро обобщили теорию, чтобы включить в нее частицы со спином. Чтобы разрешить проблему унитарности, Киккава, Сакита и Вирасоро [26] предложили считать бета-функцию Эйлера борновским членом теории возмущений. Наконец, Каку, Яу, Лавлейс и Алессанд- рини [27-33] завершили построение квантовой теории, вычислив бозонные многопетлевые диаграммы. Теория, однако, оставалась целиком сформулированной на языке амплитуд S-матрицы на массовой оболочке.

Затем Намбу и Гото [34, 35] поняли, что за этими амплитудами рассеяния скрывается классическая релятивистская струна. Одним

махом они революционизировали всю теорию, открыв за ней объединяющую классическую картину. Взаимосвязь между классической и квантовой теориями была быстро установлена Голдстоуном, Годдардом, Ребби и Торном [36] и далее развита Мандельштамом [37]. Эта теория, однако, по-прежнему формулировалась как первично квантованная теория, так что вершины, меру, правила подсчета диаграмм и другие конструкты приходилось постулировать специально для данного случая, а не выводить из основных аксиом.

Действие (в некоторой частной калибровке) было наконец выписано Каку и Киккавой [38]. Наконец, модель оказалось возможным вывести из одного лишь действия в терминах физических переменных, хотя у действия не осталось никаких симметрий. Однако, когда было обнаружено, что эту теорию можно определить лишь в 10 или 26 измерениях, модель сразу перестала быть привлекательной. Кроме того, быстрое развитие квантовой хромодинамики в качестве теории взаимодействия адронов, казалось, забило последний гвоздь в гроб теории суперструн.

В течение десяти лет модель влачила жалкое существование, поскольку никто не мог поверить, что 10- или 26-мерная теория имеет какое-либо отношение к четырехмерной физике. Когда Шерк и Шварц [39] сделали скандальное (для того времени) предположение, что дуальная модель является на самом деле теорией всех известных взаимодействий, никто не принял его всерьез. Идея не получила никакой поддержки.

Наконец, теория опять ожила, когда Грин и Шварц [40] в 1984 г. открыли, что теория суперструн свободна от аномалий и, вероятно, конечна во всех порядках теории возмущений. «Гетеротическая струна» Е8®Е8 Гросса, Харви, Мартинека и Рома [41] в настоящее время представляется лучшим кандидатом на роль теории, объединяющей гравитацию с физически разумными моделями взаимодействий частиц.

Одна из областей, в которой сейчас ведутся интенсивные исследования,-завершение развития теории с целью выяснить, почему в этой модели происходят все ее «чудеса». Наблюдалась бешеная активность в попытках выписать ковариантное действие с помощью методов, открытых за последнее десятилетие, например подхода BRST. Однако теперь растет понимание того, что ковариантный формализм BRST сам по себе есть теория в фиксированной калибровке, что весьма напоминает формализм светового конуса. Недавно, однако, опубликована работа по действительно геометрической теории поля, в которой все свойства теории могут быть выведены из простых физических принципов. Она рассматривается в гл. 8. Это и в самом деле явилось бы завершением развития теории, продвигавшегося вперед в обратном направлении в течение последних двадцати лет:

Квантовая механика -► Классическая теория -► Действие -► Геометрия.

Подытожим теперь некоторые обнадеживающие особенности модели суперструн:

Калибровочная группа включает £8 ® £8, что намного обширнее минимальной группы SU(3) ® SU(2) ® U(l). В этой теории остается вполне достаточно места для феноменологии.

В теории нет аномалий. Эти небольшие, но важные дефекты квантовой теории поля налагают чрезвычайно строгие ограничения на то, какие теории являются самосогласованными. Симметрии теории суперструн с помощью ряда «чудес» могут сократить все эти потенциальные аномалии.

Веские аргументы из теории римановых поверхностей указывают на то, что теория конечна во всех порядках теории возмущений (хотя строгого доказательства этого утверждения пока нет).

Возможности выбора вариантов теории сильно ограничены. Суперструнные модели очень трудно модифицировать, не разрушая при этом их волшебных свойств. Поэтому в них не возникает проблем с наличием двадцати или более произвольных констант взаимодействия.

Теория включает различные ТВО, супертеорию Янга-Миллса, супергравитацию и теорию Калуцы-Клейна в качестве ее подмножеств. Поэтому многие черты феноменологии, развитые в этих теориях, переносятся в теорию струн.

Грубо говоря, теория суперструн объединяет различные силы и частицы тем же способом, которым скрипичная струна дает единое описание музыкальных тонов. Сами по себе ноты ля, си, до и др. не являются фундаментальными. Однако скрипичная струна фундаментальна; один физический объект может объяснить множество музыкальных нот и даже гармоний, которые можно из них построить. Весьма сходным образом суперструны дают единое описание элементарных частиц и сил. Фактически «музыка», создаваемая суперструной, это силы и частицы, существующие в природе.

Хотя теория суперструн вследствие баснословно обширного множества симметрий проявляет «чудесное» сокращение аномалий и расходимостей, мы должны также представить объективную картину и указать на недостатки этой теории. Справедливости ради мы должны перечислить также потенциальные трудности теории, указанные критиками модели:

Невозможно экспериментально достичь чудовищных энергий, обнаруживаемых на планковской длине. Поэтому теория в некотором смысле не подлежит экспериментальной проверке. Но непроверяемая теория не является приемлемой физической теорией.

Не было найдено никаких экспериментальных подтверждений существования суперсимметрии, не говоря уже о суперструнах.

Было бы легкомысленно предполагать, что в «пустыне» между 100

и 1019 ГэВ не встретится никаких неожиданностей. Новые, совершенно неожиданные явления неизменно обнаруживались при увеличении предельных энергий ускорителей. Теория суперструн, однако, делает предсказания, относящиеся к следующим 17 порядкам величины энергии, что неслыханно в истории науки.

Теория не объясняет, почему космологическая постоянная равна нулю. Всякая теория, претендующая на роль «теории всего», несомненно должна объяснить загадку обращения в нуль космологической постоянной, и непонятно, как теория суперструн решает эту проблему.

Богатство теории обескураживает. Существует около тысячи способов редуцировать теорию к низким энергиям. Какой из них дает правильный вакуум? Хотя теория суперструн может дать минимальную теорию с калибровочной группой SU(3) ® SU(2) ® U(l), она также предсказывает много других взаимодействий, которые пока не были обнаружены.

Никто на самом деле не знает, как редуцировать 10-мерную теорию к четырем измерениям.

Из этих шести возражений против модели самым важным является последнее: неспособность предсказать размерную редукцию. Причина этого проста: в каждом порядке теории возмущений размерность пространства-времени стабильна. Поэтому для того, чтобы теория спонтанно свернулась в 4- или 6-мерную вселенную, необходимо рассматривать непертурбативные динамические эффекты, которые очень трудно вычислять. Поэтому так важен поиск геометрии, лежащей в основе теории. Геометрическая интерпретация модели может дать нам ключ к такому ее пониманию, которое позволит провести непертурбативные вычисления и сделать определенные предсказания с помощью этой теории.

Так, возражение против модели, касающееся невозможности экспериментально проверить ее на планковской длине, в определенной степени вводит в заблуждение. Теория суперструн, если ее удастся успешно подвергнуть динамической редукции, должна быть способна делать предсказания вплоть до диапазона энергий, встречающихся на практике. Например, она должна быть способна предсказать массы кварков. Следовательно, нам не придется ждать несколько столетий, пока у нас не будет ускорителей, способных достичь масштаба энергий планковской длины.

Итак, важнейшая трудность теории суперструн не связана с экспериментом. Она в основном теоретическая. Самая важная проблема этой теории - вычислить динамическое нарушение симметрии, чтобы ее предсказания можно было сравнить с экспериментальными данными, полученными при обыкновенных энергиях.

Теория, являющаяся фундаментальной при планковских энергиях, останется фундаментальной и при обыкновенных энергиях. Поэтому

камнем преткновения для развития теории служит понимание ее непертурбативного поведения. Ключ к такому пониманию, вероятно, лежит во вторично квантованной, геометрической формулировке модели.

В части I этой книги, однако, мы будем следовать историческому прецеденту и изложим сначала модель в формулировке первичного квантования. Как мы будем подчеркивать на протяжении всей этой книги, теория первичного квантования кажется беспорядочной кучей случайных фактов. Поэтому мы подчеркнули роль формулировки континуального интеграла (впервые выписанной для модели Венециано Су, Сакитой и Вирасоро [42, 43]) как самого мощного метода для формулирования теории первичного квантования. Хотя подход континуального интеграла и не может выявить геометрических принципов, лежащих в основании модели, он дает наиболее всеобъемлющую формулировку теории первичного квантования.

Обратимся теперь к функциональной формулировке [44] теории точечных частиц, которую можно почти непосредственно включить в теорию струн.

§ 1.3. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛИ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Начнем наше обсуждение с анализа простейшей из всех возможных систем-классической нерелятивистской точечной частицы. Как ни странно, большая часть анализа этой простой динамической системы прямо переносится в теорию суперструн. Язык, которым мы будем пользоваться, это формализм континуального интеграла, который настолько гибок, что с одинаковой легкостью может описывать первично квантованные точечные частицы и вторично квантованные калибровочные поля.

Как и в классической механике, исходной точкой является лагранжиан точечной частицы:

L = 1 тх? - Цх).(1.3.1)

Здесь частица движется в поле внешнего потенциала. Собственно физика заключается в утверждении, что действие 5 должно быть минимальным. Уравнения движения можно вывести из минимизации действия:

S = J Цхь xb Mt, 5S = 0.(1.3.2)

Чтобы вычислить уравнения движения, введем малые вариации траектории частицы:

Ьх^ Ьх,.(1.3.3)

При этих малых вариациях действие изменяется следующим образом:

(1.3.4)(1.3.4)bxt + — ^Xt f = 0.

(1.3.4)

(1.3.4)

OXt J

(1.3.5)(1.3.5)Интегрируя по частям, получаем следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

(1.3.5)

(1.3.5)

8х{ dt 8х,

Для нашей точечной частицы уравнения движения принимают вид

(1.3.6)(1.3.6)d1xiд¥(х^

(1.3.6)

(1.3.6)

т =— ,

dt dxt

что соответствует обычным классическим ньютоновским уравнениям движения.

(1.3.7)(1.3.7)(1.3.8)(1.3.8)Кроме лагранжева формализма классической механики существует также гамильтонов формализм. Вместо положения и скорости в качестве фундаментальных объектов можно взять положение и импульс:

(1.3.7)

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.8)

Pi=TT* OXi

При таком определении сопряженной переменной получаем:

Н = рЛ - L, Н(рь х^ = ^ + V(x).

2т

Наконец, скобки Пуассона для импульсов и координат даются формулой

[р15 ^]РВ = -§и.(1.3.9)

Знаменитая теорема классической механики утверждает, что можно показать тождественность принципа наименьшего действия и уравнений движения Ньютона. Начав с принципа наименьшего действия, можно вывести ньютоновы законы движения, и наоборот:

Уравнения движения <-► Принцип наименьшего действия.

Эта эквивалентность, однако, нарушается на квантовом уровне. В рамках квантовой механики существует фундаментальное различие между этими двумя описаниями: уравнения движения служат лишь приближенным описанием подлинного квантового поведения материи. Поэтому принцип наименьшего действия является единственным приемлемым подходом к квантовой механике.

Теперь заново сформулируем основы квантовой механики посредством фейнмановского континуального интеграла [44]:

Вероятность Р^0*^ того, что частица переместится из точки а в точку Ь, есть квадрат модуля некоторого комплексного числа, а именно

функции перехода К (а, Ь):

Р(а, Ь) = \ К(а, Ь)\2.(1.3.10)

Функция перехода равна сумме определенных фазовых множителей, зависящих от действия S; эта сумма берется по всем возможным траекториям, соединяющим точку а с точкой Ь:

К(а, b) =£ keiluSlh.(13.11)

траектории

Здесь постоянную к можно определить из соотношения

К(а, с)=£ К(а, Ь)К(Ь, с),(1.3.12)

траектории в котором промежуточная сумма берется по траекториям, проходящим через все возможные промежуточные точки Ь. Второй из этих принципов означает, что частица «чувствует» все возможные траектории, соединяющие acb, какими бы сложными они ни были. Мы вычисляем указанный фазовый множитель для каждой из бесконечного множества траекторий. Затем фактор перехода для траектории, ведущей из а в Ь, вычисляется суммированием всех возможных фазовых множителей (см. рис. 1.6).

Замечательно, что сущность квантовой механики исчерпывается этими двумя принципами. Все наиболее важные выводы квантовой механики, являющие собой разительный отход от классической механики,

Классическая механикаКлассическая механикамеханикамеханика

Классическая механика

Классическая механика

механика

механика

Рис. 1.6. Важнейшее различие между классической и квантовой механикой. В классической механике предполагается, что частица движется по одной-единст- венной траектории между двумя точками, определяемой либо уравнениями движения, либо принципом наименьшего действия. Напротив, квантовая механика суммирует вклады вероятностной функции (основанной на действии) для всех возможных траекторий между двумя точками. Хотя классическая траектория является наиболее вероятной, в принципе все возможные траектории вносят свой вклад в континуальный интеграл. Таким образом, принцип действия является более фундаментальным на квантовом уровне, чем уравнения движения.

могут быть получены из этих двух так невинно выглядящих принципов! В частности, они подытоживают сущность квантовомеханической интерпретации эксперимента с двумя щелями, который в свою очередь выражает сущность самой квантовой механики.

На этом этапе должно быть ясно, что результаты классической механики могут быть воспроизведены из наших двух допущений в некотором приближении. Заметим, что для значений S, больших по сравнению с постоянной Планка, фазовый множитель быстро флуктуирует, что приводит к взаимному погашению вкладов от этих траекторий:

55» у: £е'2^-^0.(1.3.13)

траектории

Поэтому из всех вкладов в континуальный интеграл сохраняются лишь те, для которых отклонение действия от классической траектории имеет тот же порядок, что и постоянная Планка:

^~^-(1.3.14)

Мы видим, что уравнения Эйлера-Лагранжа движения частицы воспроизводятся лишь в определенном классическом пределе, а именно при стремлении постоянной Планка к нулю. Поэтому величина постоянной Планка в конце концов определяет вероятность того, что частица пройдет по траекториям, запрещенным классической механикой. Мы видим, что истоки принципа неопределенности Гейзенберга воплощены в приведенных выше двух принципах.

Теперь попробуем заново сформулировать их более* строго с помощью континуального интеграла. Второй принцип теперь запишется в виде

К (a, b) = ^ Dxe'2nS^,(1.3.15)

где

К (а, с) = jK(a, Ь)Кф, c^Dxb(1.3.16)

И

3 N

X - $Dx= lim J П П dxiin.(1.3.17)

траекторииN -* со i = 1 л = 1

Здесь индекс п нумерует N промежуточных точек, разделяющих интервал между начальной и конечной координатами. Теперь перейдем к пределу N -► оо.

Существенно важно понимать, что интегрирование по Dx-это не

обычное интегрирование по переменной х. Фактически это произведение всех возможных интегралов по всем промежуточным точкам xi n между точками а и Ь. Это решающее отличие функционального интеграла от обычного является сердцевиной формализма континуального интеграла.

Этот бесконечный ряд интегралов в свою очередь эквивалентен суммированию по всем возможным траекториям из а в Ь. Поэтому следует проявлять осторожность, включая нормирующие множители при выполнении интегрирования по бесконечному числу промежуточных точек.

Если взять простой случай L = 1-тх?, все функциональные интегралы можно вычислить аналитически. Это гауссов интеграл, который, к счастью, принадлежит к небольшому числу функциональных интегралов, вычисляемых аналитически. Одно из важных затруднений метода континуального интеграла состоит в том, что немногие интегралы могут быть вычислены. Мы имеем

00V 2 /

f(1.3.18)

Мы будем использовать эту формулу повсюду в этой книге.

Теперь разобьем траекторию на бесконечное число промежуточных точек xiilt. (Заметим, что функциональное выражение содержит интегрирование по всем возможным значениям промежуточной точки xiifl, так что мы не можем ожидать, что xi)n и xiin + i будут близки друг другу даже при малых шагах по времени.) Запишем

dtе,

x-mx^dt-* lm(x„ - Хл-ц^е-1.(1.3.19)

Чтобы выполнить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек, мы будем повторно пользоваться интегралом Гаусса:

j Jx2exp[ — a(xt — х^1 — а(х2 — х3)2]

= ./у-ехр[-1а(х! - х3)2].(1.3.20)

V 2а 2

Один из решающих моментов, на который следует обратить внимание,-то, что интегрирование в одной из промежуточных точек дает другой интеграл Гаусса, в котором эта промежуточная точка удалена. В этом состоит главная причина того, что возможно осуществить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек.

Наконец, континуальный интеграл, который мы намерены вычис-

лить, дается формулой

К^а, b) = limff...^dxv dx2 ... dxN-i e-*0

XX(1.3.21)(1.3.21)2nze\ U,2^N (im к~

X

X

(1.3.21)

(1.3.21)

. "* /n = t .

(где мы для краткости не выписываем векторный индекс О- Используя предыдущее соотношение (1.3.20), запишем окончательный результат в виде

К (а, Ь) =К (а, Ь) =т2 л (Z„ - От2 л (Z„ - О1/2^ <т(хь - xj21/2^ <т(хь - xj2expexptb-tatb-ta(1.3.22)(1.3.22)

К (а, Ь) =

К (а, Ь) =

т

2 л (Z„ - О

т

2 л (Z„ - О

1/2^ <т(хь - xj2

1/2^ <т(хь - xj2

exp

exp

tb-ta

tb-ta

(1.3.22)

(1.3.22)

Функция вероятности перехода К имеет несколько очень любопытных свойств. Например, она служит решением волнового уравнения

(1.3.23)(1.3.23)-1 а26

(1.3.23)

(1.3.23)

— ^K^b^i — K^b),

2 т о ХаotQ

где ta больше tb.

Ниже мы обобщим эти выражения на случай свободно распространяющихся струн и обнаружим, что они переносятся на функции Грина с небольшими, но важными изменениями.

Чтобы показать взаимосвязь между гамильтоновой и лагранжевой формулировками в подходе континуального интеграла, полезно ввести полный набор промежуточных состояний при разбиении траектории, ведущей из а в Ь. Будем рассматривать переменную х как оператор х, действующий на множестве собственных состояний:

х|х) = х|х). (1.3.24)

Запись |х) означает собственное состояние оператора координаты; х-это оператор, собственное значение которого равно числу х. Тогда полноту множества собственных состояний для координат и импульсов можно представить формулами

(1.3.25)(1.3.25)(1.3.26)(1.3.26)1 = Jl^>^<^l, 1 = ^\P>dp<p\.

(1.3.25)

(1.3.25)

(1.3.26)

(1.3.26)

Нормируем состояния следующим образом:

<х|у> = 6(х -у\<х|у> = 6(х -у\pipx

<х|у> = 6(х -у\

<х|у> = 6(х -у\

<Р\х> = ~/=х/2к

(Поскольку в формализме континуального интеграла неизменно появляется бесконечно много нормировочных множителей, мы часто будем

опускать их для ясности изложения. Это не умалит общности, поскольку при желании мы всегда сможем снова ввести их в континуальный интеграл.)

С помощью этих собственных состояний мы можем теперь переписать выражение для функции Грина, описывающей переход из точки %1 в точку xN:

K(1,NHxiA\xnJn\(1.3.27)

Чтобы вывести предыдущее выражение (1.3.22) для амплитуды перехода, вставим полный набор промежуточных состояний в каждой промежуточной точке между xY и xN:

<xv tv | xN, tN> = <xv tx | x2, Z2> J dx2 < x2, t21 f dx2

• • • I xN_ i, In- i > j dxN-i <xN_b tN_ 11 xN, t^ .(1.3.28)

Теперь исследуем каждый инфинитезимальный пропагатор с помощью гамильтониана, который запишем как функцию координат и производных по координатам:

Н = Н^х, 5J.(1.3.29)

Тогда функция перехода для бесконечно малого интервала дается выражениями

<xt, G|x2, z2> = (xje"'^'^5'^)

= е-"к^'<х1|р>/ф<р|х2>

= e-iH^x'P^1 Г ^ е^х2-х1)

J 2л

= е-1Щх,р>Ы Г Ф eipxSt(1.3.30)

J 2л

Очень важно отметить, что континуальный интеграл позволил перейти от классических к квантовым коммутаторам. Гамильтониан можно выразить либо как функцию производных по координатам, либо как функцию канонических импульсов вследствие тождества

3xeipx = ipeipx.(1.3.31)

Это позволяет сделать важное отождествление:

( Я(х,р)^Я(х,дх),

В функциональном формализме из этого тождества возникает важное соответствие между импульсами и частными производными.

Собирая все вместе, мы можем теперь записать полную амплитуду перехода в виде

XN

(jq, Zt |xN, tN^ = J DpDx expz J \px — HQ), x^dt,(1.3.33)

где

H = ^-+V(x).(1.3.34)

2m

(Как обычно, мы опустили все промежуточные нормирующие множители, являющиеся просто кратными 2л.) Заметим, что функциональный интеграл, который прежде был функцией только координат, теперь является функцией и импульсов, и координат.

Чтобы снова получить исходный лагранжиан, мы можем выполнить интегрирование по р аналитически, поскольку это простой интеграл Гаусса, и мы получим

XN

<х1? Zt |xN, tN^ = f Dxexpi J [^mxi - V(x)3dt.(1.3.35)

Тем самым мы сделали переход между лагранжевым и гамильтоновым формализмами с помощью функциональных методов. Мы можем использовать любое из двух уравнений:

L=’-mx? - ^(х)^Н = ^-+V(x).(1.3.36)

22m

В функциональном смысле единственное различие между этими двумя выражениями состоит в том, по чему мы интегрируем: по координатам или по некоторой комбинации координат и импульсов. Вероятность перехода можно представить любой из двух формул:

xbtb

К(а, b) = J Dxexpi j dt[^mx? — K(x)]

(1.3.37)(1.3.37)*6° *b Гp2"

(1.3.37)

(1.3.37)

= J DxDpexpif dt pxx — ^V(x)

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

До сих пор мы обсуждали лишь нерелятивистские частицы, и все степени свободы были физическими. Однако при обобщении предыдущего обсуждения на случай релятивистских частиц возникают нетривиальные осложнения. В частности, множитель (—1), появляющийся в лоренцевой метрике, в общем случае вызовет распространение в рамках теории нефизических состояний. Эти нефизические «духовые» состояния, имеющие отрицательную вероятность, должны быть тща-

тельно устранены, чтобы обеспечить построение разумной, удовлетворяющей принципу причинности теории, не содержащей состояний с отрицательной нормой.

Для релятивистского случая предположим, что положение точечной частицы задается четырехмерным вектором

xpW,(1.4.1)

где параметризация т не обязательно обозначает время. Действие имеет особенно простой вид и пропорционально длине четырехмерного пути:

S = — т ^ds = — т (длина).(1.4.2)

Длину пути ds можно выразить через координаты:

ds = J-x^dx.(1.4.3)

Точка здесь означает дифференцирование по параметру т. Это действие, в отличие от введенного ранее нерелятивистского действия, инвариантно относительно замены фиктивного параметра т. Сделаем замену переменной

т т (т).(1.4.4)

Тогда получим

*, dx

dx = — dx, dx

dx dx dx

dxdx dx’

1/2dx.1/2dx.(1.4.5)(1.4.5)

1/2

dx.

1/2

dx.

(1.4.5)

(1.4.5)

Итак, действие инвариантно относительно произвольной замены переменной х (репараметризации).

Инфинитезимально это можно записать так:

х -►5хцх -►5хцт + 5т, = хц5т.т + 5т, = хц5т.(1.4.6)(1.4.6)

х -►

5хц

х -►

5хц

т + 5т, = хц5т.

т + 5т, = хц5т.

(1.4.6)

(1.4.6)

Как и прежде, мы можем ввести канонически сопряженные переменные:

5L5L(1.4.7)(1.4.7)

5L

5L

(1.4.7)

(1.4.7)

Решающее отличие от предшествующего обсуждения нерелятивистской точечной частицы заключается, однако, в том, что не все канонические импульсы независимы. Действительно, мы обнаруживаем, что между ними существует связь:

р2 + т2 = 0 (1.4.8)

Итак, условие на массовой поверхности возникает в качестве точной связи между импульсами. При вычислении гамильтониана этой системы обнаруживаем, что

Н = р^х^ — L= 0. (1.4.9)

Гамильтониан тождественно обращается в нуль.

Эти необычные черты, обращение в нуль гамильтониана и связи на импульсы, типичны для систем с избыточными калибровочными степенями свободы. Инвариантность относительно репараметризации, например, говорит о том, что выписанный ранее континуальный интеграл на самом деле расходится:

$DxeiS=oo. (1.4.10)

Причина этого в отдельных вкладах от каждой частной параметризации. Но поскольку Dx параметризационно инвариантно, это означает, что мы суммируем по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Поэтому интеграл этот должен расходиться.

Дирак, однако, объяснил, как квантовать системы с избыточными калибровочными степенями свободы. Например, введем канонические импульсы р и наложим условие связи с помощью множителей Лагранжа следующим образом:

L=p^ -х-е^А-тгУ (1.4.11)

Условие связи (1.4.8) наложено здесь как классическое уравнение движения. Варьируя е, получим связь на импульсы. Квантовомеханически, однако, эта связь налагается взятием континуального интеграла по е. При этом интегрировании получаем

fZ>eexp[ —ff Ji^e(p2 + m2)] - 5(p2 + m2), (1.4.12) где мы использовали тот факт, что интеграл от егкх (или преобразование Фурье от числа 1) равен 5(х). Заметим, что новый лагранжиан (1.4.11) все еще обладает калибровочной степенью свободы. Он инвариантен относительно преобразования

<Цгё\

5^ = елц, ^ = 4^ Ъе = —. (1.4.13)

Преимущество этого действия над предыдущим состоит в том, что все переменные входят в него линейно. Не придется тревожиться об осложнениях, вызываемых квадратным корнем. (Поле е, которое мы ввели, станет метрическим тензором даЬ, когда мы обобщим это действие применительно к струне.)

Проведем теперь функциональное интегрирование по переменной р;

f Р^ехр{if dx [рх - 5Ф2 + m2)]}

~ ехрОрт^^'Ч2 - ет2^.(1.4.14)

Итак, мы теперь получили третью версию действия для точечной частицы. Преимущество этого действия состоит в том, что оно линейно по координатам и инвариантно относительно преобразования

ч=ч,

d^e)(1.4.15)

ое = —:— .

dx

В итоге мы нашли три эквивалентных способа описания точечных релятивистских частиц. Лагранжиан «второго порядка» (1.4.14) выражен через производные второго порядка от переменной хДх) и поля е. «Нелинейный» лагранжиан (1.4.3) выражен только через хц(т). Его можно вывести из (1.4.14) функциональным интегрированием по полю е. И наконец, гамильтонова форма описания содержит как х (т), так и канонические сопряженные им переменные рц(т) (она имеет первый порядок относительно производных):

Форма 1-го порядка (гамильтонова): L = р^ — ^е(р2 4- т2).

Форма 2-го порядка: L = ^(е-1х^ — ет2),(1.4.16)

Нелинейная форма: L = — т>У—х2.

Все три формы инвариантны относительно репараметризации. У каждой есть свои преимущества и недостатки. Это упражнение в выражении действия свободной релятивистской частицы тремя разными способами важно, поскольку оно непосредственно переносится в формализм теории струн. Выраженные в форме континуального интеграла, теория точечной частицы и теория струны замечательно похожи друг на друга.

ПЕРВИЧНОЕ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

В настоящем разделе мы проквантуем классическую точечную частицу и затем покажем связь полученной теории с более обычной формулировкой теории поля на языке вторичного квантования. Программа первичного квантования, как мы увидим, довольно неуклюжа по сравнению с формализмом вторичного квантования, привычным большинству физиков, но исторически теория струн развивалась как теория первичного квантования. Огромное преимущество формализма вторичного квантования состоит в том, что вся теория может быть выведена из

одного действия, тогда как теория первичного квантования требует многих дополнительных допущений.

Переход от классической к квантовой системе тесно связан с вопросом об устранении избыточных бесконечностей. Как мы уже указывали, континуальный интеграл формально определен некорректно, поскольку содержит суммирование по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Весь фокус в том, как выделить ровно одну копию.

Существуют по крайней мере три основных способа, которыми точечная частица может быть проквантована: кулоновская калибровка, формализм Гупты-Блейлера и формализм BRST.

Кулоновское квантование

Здесь мы выбираем калибровку

х0 = г = т.(1.5.1)

Другими словами, мы берем временную составляющую переменной х равной действительному времени I, которое теперь служит параметром, описывающим эволюцию струны. В этой калибровке действие сводится к

L = - т j71 - v.? dt.(1.5.2)

В пределе малых скоростей (по сравнению со скоростью света) получаем

L~'-mxl,(1.5.3)

как и ранее, так что континуальный интеграл принимает вид

jDx^(x0 — t)elS = ^Dxiexpi^-mXidt.(1.5.4)

Для случая струны этот простой пример заложит основу для квантования в конусных переменных. Преимущество кулоновской калибровки состоит в том, что все духи явным образом удалены из теории, так что мы имеем дело лишь с физическими величинами. Другое преимущество состоит в том, что нулевая составляющая вектора положения теперь явным образом определена как временная переменная. Параметризация точечной частицы теперь задается посредством физического времени.

Недостаток кулоновского формализма, однако, в том, что явная лоренцева симметрия нарушается, и приходится непосредственно проверять, что квантованные лоренцевы генераторы замыкаются правильно. Хотя для точечной частицы это тривиально, удивительные свойства обнаружатся для квантовой струны, и они определят фиксированную размерность пространства-времени, равную 26.

Квантование Гупты-Блейлера

Этот подход пытается сохранить лоренц-инвариантность. Это значит, конечно, что необходимо особенно позаботиться, чтобы состояния с отрицательной нормой не испортили свойств S-матрицы. В методе Гупты-Блейлера действие остается полностью релятивистским, но ограничение (1.4.8) налагается на векторы состояния:

О^ + ^201<Р> = О-(1.5.5)

(Заметим, что приведенное выше уравнение является устраняющим духи ограничением, поскольку его можно использовать для устранения р0.) Этот формализм позволяет нам сохранить коммутаторы полностью релятивистскими:

Ь^х^-<Пцу(1.5.6)

Здесь мы выбрали r|gv = (—Н + + ...). Заметим, что это калибровочное ограничение естественно обобщается до уравнения Клейна-Гордона:

[□-т2]Ф(х) = 0.(1.5.7)

Важность формализма Гупты-Блейлера определяется тем, что именно в этом формализме было выполнено большинство вычислений в теории струн.

Квантование BRST

Преимущество формализма BRST [45, 46] состоит в том, что оно является явно лоренц-инвариантным. Но вместо восстановления унитарности наложением калибровочных ограничений на гильбертово пространство, что может оказаться весьма трудным на практике, формулировка BRST использует духи Фаддеева-Попова для сокращения частиц с отрицательной метрикой. Так, хотя функции Грина не являются унитарными из-за распространения состояний с отрицательной метрикой и духов, окончательная S-матрица унитарна, поскольку нежелательные частицы взаимно уничтожаются. Поэтому формализм BRST включает лучшие черты обоих формализмов, т. е. явную лоренц-инвариантность формализма Гупты-Блейлера и унитарность кулоновского (или конусного) формализма. Для изучения формализма BRST, однако, необходимо сначала понять квантование Фаддеева-Попова.

КВАНТОВАНИЕ ФАДДЕЕВА-ПОПОВА

Прежде чем обсуждать метод BRST, нужно вернуться назад и вкратце рассмотреть формализм, разработанный Л.Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым [47]. Как мы отмечали ранее, задаваемая конти-

нуальным интегралом мера Dx^ определена некорректно, поскольку она обладает калибровочной степенью свободы, так что мы интегрируем по бесконечному числу копий одного объекта. Наивно рассуждая, можно было бы ввести условие калибровки непосредственно в континуальный интеграл. Если это условие задается приравниванием к нулю некоторой функции F, аргументами которой служат поля,

F(x^ = 0,(1.6.1)

то мы вставляем эту дельта-функцию прямо в континуальный интеграл:

Z = f Dх П 8 [Г(хц)] eiS.(1.6.2)

Однако такой наивный подход на самом деле некорректен, поскольку дельта-функция привносит нетривиальную меру в функциональный интеграл.

Суть метода Фаддеева- Попова - ввести в функционал число 1, которое, очевидно, имеет правильную меру. Для наших целей самая удобная форма представления числа 1 дается выражением

1 = AFPf D^LF^(1.6.3)

где е-параметризация калибровочной симметрии координаты, описываемой преобразованиями (1.4.6), х£-вариация поля относительно этой симметрии, а детерминант Фаддеева-Попова ^Fp задан предыдущим уравнением.

Заметим, что интеграл из предыдущего уравнения берется по всем возможным параметризациям поля. Поскольку все параметризации уже учтены этим интегрированием, то по построению детерминант Фаддеева-Попова не зависит от калибровки, соответствующей какой-либо конкретной параметризации:

Арр(х) = АрР(хе).(1.6.4)

Теперь внесем число 1 под знак функционального интеграла и сделаем калибровочное преобразование, чтобы включить зависимость от 8 в х:

Z = fDxAFP(x)fD88[F(xe)]^

= f DxAFP(x) J De 8[F(x)]^,s.(1.6.5)

Заметим, что калибровочное преобразование снова возвращает нас от х6 к исходной переменной х. Так как остальные части функционального интеграла не зависели от калибровки, имеем теперь

Z = ^D^SDx^FpSlF(x^eiS.(1.6.6)

Теперь можно извлечь интеграл по параметру калибровки, служащий мерой бесконечного объема пространства калибровочной группы,

объем = jDe,(1.6.7)

получить новое выражение для функционала, которое больше не содержит этой бесконечной избыточности:получить новое выражение для функционала, которое больше не содержит этой бесконечной избыточности:2 = JDxAFp5[F(x)]^iS.2 = JDxAFp5[F(x)]^iS.(1.6.8)(1.6.8)Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение F и проигнорировало бы детерминант Фаддеева-Попова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от 8 к F. Это можно сделать, поскольку у е и F одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить якобиан:Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение F и проигнорировало бы детерминант Фаддеева-Попова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от 8 к F. Это можно сделать, поскольку у е и F одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить якобиан:8Fdet — Dz = DF.8Fdet — Dz = DF.(1.6.9)(1.6.9)Тем самым можно написатьAFP={fDe5(F)}-1Тем самым можно написатьAFP={fDe5(F)}-1^DF det^DF detdetdetЗе5f_Зе5f_§8.Or _.1 -1§8.Or _.1 -1F = 0F = 0л Г5^" = det —_ 08J F = oл Г5^" = det —_ 08J F = o(1.6.10)(1.6.10)Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:^Fp = ^DeDBeiS6\^Fp = ^DeDBeiS6\(1.6.11)(1.6.11)где новый вклад духов в действие дается формулойгде новый вклад духов в действие дается формулойSgh - ft/тб —-LObJF=oSgh - ft/тб —-LObJF=o6,6,(1.6.12)(1.6.12)

получить новое выражение для функционала, которое больше не содержит этой бесконечной избыточности:

получить новое выражение для функционала, которое больше не содержит этой бесконечной избыточности:

2 = JDxAFp5[F(x)]^iS.

2 = JDxAFp5[F(x)]^iS.

(1.6.8)

(1.6.8)

Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение F и проигнорировало бы детерминант Фаддеева-Попова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.

Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от 8 к F. Это можно сделать, поскольку у е и F одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить якобиан:

Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение F и проигнорировало бы детерминант Фаддеева-Попова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.

Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от 8 к F. Это можно сделать, поскольку у е и F одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить якобиан:

8F

det — Dz = DF.

8F

det — Dz = DF.

(1.6.9)

(1.6.9)

Тем самым можно написать

AFP={fDe5(F)}-1

Тем самым можно написать

AFP={fDe5(F)}-1

^DF det

^DF det

det

det

Зе5f_

Зе5f_

§8

.Or _.

1 -1

§8

.Or _.

1 -1

F = 0

F = 0

л Г5^" = det —

_ 08J F = o

л Г5^" = det —

_ 08J F = o

(1.6.10)

(1.6.10)

Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:

Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:

^Fp = ^DeDBeiS6\

^Fp = ^DeDBeiS6\

(1.6.11)

(1.6.11)

где новый вклад духов в действие дается формулой

где новый вклад духов в действие дается формулой

Sgh - ft/тб —-

LObJF=o

Sgh - ft/тб —-

LObJF=o

6,

6,

(1.6.12)

(1.6.12)

где переменные 0 суть антикоммутирующие с-числа, называемые грассмановыми числами (см. Приложение). Обычно при функциональном интегрировании мы ожидаем получить определитель обратной матрицы. При функциональном интегрировании по грассмановым числам определитель оказывается в числителе, а не в знаменателе. Грассмановы числа обладают тем странным свойством, что

(1.6.13)(1.6.13)ОД = - ОД.

(1.6.13)

(1.6.13)

(1.6.14)(1.6.14)В частности, это означает, что 02 = 0.

(1.6.14)

(1.6.14)

Обычно это означало бы, что 0 равно нулю. Но для грассмановых чисел это не так. Кроме того, у нас есть странное тождество

(1.6.15)(1.6.15)е* = 1 +0.

(1.6.15)

(1.6.15)

Это тождество весьма облегчает интегрирование экспонент от полей, значения которых являются грассмановыми числами, так как эти экспоненты становятся многочленами. Другие тождества для грассмановых чисел приведены в приложении, где мы показываем, что

(1.6.16)(1.6.16)j П d0td0fexp ^ OiAijOj = det(Ло).

(1.6.16)

(1.6.16)

Это тождество подтверждает, что интегрирование по грассмановым переменным дает содержащие определители множители в числителе, а не в знаменателе, так что мы можем выразить детерминант Фаддеева- Попова в (1.6.11) через грассманов интеграл.

Теперь, развив аппарат квантования Фаддеева-Попова, возвратимся к подходу BRST, в котором мы налагаем калибровочное условие

е = 1е = 1(1.6.17)

е = 1

е = 1

(мы опустим некоторые тонкости, связанные с этой калибровкой). В такой калибровке мы должны суметь получить обычный ковариантный фейнмановский пропагатор. Чтобы это показать, заметим, что действие (1.4.14) принимает вид

(1.6.18)(1.6.18)L = 1 (х^ - т2).

(1.6.18)

(1.6.18)

С этим лагранжианом наша функция Грина для распространения точечной частицы из одной точки в другую теперь дается формулой

^Сч, х2^Сч, х2

^Сч, х2

^Сч, х2

Заметим, что это обычный ковариантный фейнмановский пропагатор, записанный в терминах первичного квантования посредством континуального интеграла.

Первоначально, до выбора калибровки, действие было инвариантно

относительно

(1.6.20)(1.6.20)</(£е)

(1.6.20)

(1.6.20)

8с = '5Г-

Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с выбором калибровки е=1,-это определитель такой производной. Теперь мы используем интеграл Гаусса по грассмановым состояниям для выражения этого определителя с помощью уравнения (1.6.10):

AFP = det|aj = fDeD6exp/fJt0aTO. (1.6.21)

(Если бы мы взяли обычные вещественнозначные поля вместо грассмановых, то определитель появился бы в неправильной степени.)

Собирая все вместе, мы находим, что окончательное действие можно представить в виде

(1.6.22)(1.6.22)ь=р^-\^ + т2)-/оате.

(1.6.22)

(1.6.22)

Сущность подхода BRST состоит в том, чтобы заметить, что это действие с фиксированной калибровкой обладает дополнительной симметрией

8хц = /80хц,

(1.6.23)(1.6.23)8рц = /еОрц, 80 = /800, 80 = /800 + ^ 8(р£ + т2).

(1.6.23)

(1.6.23)

На первый взгляд может показаться странным, почему уже после фиксации калибровочных степеней свободы у нас появляется еще одна симметрия. Однако эта дополнительная симметрия является глобальной и, стало быть, не позволяет наложить на теорию какие-либо ограничения. Значит, эта симметрия отлична от найденных ранее, и ее нельзя использовать для устранения из действия калибровочных полей.

Можно подытожить подход BRST, введя оператор Q, порождающий найденные ранее симметрии:

5ф = [eQ, ф],

Q = 9(П - т2),(1.6.24)

G2 = 0.

Физические состояния удовлетворяют условию

61ф>=0.(1.6.25)

Заметим, наложение такого ограничения дает уравнение Клейна-Гордона для частиц на массовой поверхности:

(1.6.26)(1.6.26)(□ - т2)ф = 0.

(1.6.26)

(1.6.26)

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

До сих пор мы исследовали лишь первично квантованный подход к квантовым частицам. Квантовались только векторы положения и импульса:

Первичное квантование: [р„ хД = — iStj. (1.7.1)

Ограниченность этого подхода, однако, скоро станет очевидной, как только мы введем взаимодействия. Допустим, что мы хотим описать точечные частицы, способные сталкиваться друг с другом и расщепляться, а не только двигаться в поле внешнего потенциала. Теперь нам придется модифицировать порождающий функционал, чтобы включить суммирование по фейнмановским диаграммам:

Z = £ рхе-длина. (1.7.2)

ТОПОЛОГИИ

(Заметим, что мы сделали виковский поворот в интеграле по т, чтобы экспонента сходилась. Так как показатель степени становится вещественным, из контекста будет ясно, когда в этой книге имеется в виду теория с таким поворотом. Мы не будем обсуждать тонкий вопрос о сходимости континуального интеграла.)

Другими словами, нам придется вручную просуммировать по всем топологиям частиц, если частицы могут расщепляться и преобразовываться. Каждая топология представляет развитие во времени траекторий всех точечных частиц в ходе взаимодействия. Амплитуду N-частичного рассеяния с импульсами, заданными набором kvk2,...,kN, можно теперь представить в виде

А(к^ к2,..., kN) =^ 0”jDxAFP

ТОПОЛОГИИ

fN 1

(1.7.3)(1.7.3)х exp ) — f dtL(t) + i £ k^x^ ? .

(1.7.3)

(1.7.3)

Заметим, что мы берем преобразование Фурье от функции Грина, так что амплитуда является функцией внешних импульсов. Эту формулу удобнее представить в виде

N

(1.7.4)(1.7.4)An= £ <expz ^ кцх^>. топологииi=1

(1.7.4)

(1.7.4)

Тем самым мы приписываем множитель е1кх каждой внешней частице. Он происходит из соответствующего слагаемого преобразования Фурье. Эта формула для амплитуды рассеяния, выведенная посредством континуального интеграла, важна тем, что почти без изменений переносится в формализм теории струн.

Обратите внимание, насколько неуклюже такое описание. Нам приходится устанавливать все топологически разрешенные конфигурации и их веса вручную. Кроме того, унитарность S-матрицы вовсе не очевидна.

В описании методом вторичного квантования, однако, мы вводим поле у W и квантовые отношения между самими полями, а не между

переменными:

Вторичное квантование: [л(х), v(j)]x0=y0 =

(1.7.5)(1.7.5)= - i^34xi — у^.

(1.7.5)

(1.7.5)

Преимущество подхода вторичного квантования заключается в возможности выписать в явном виде гамильтониан взаимодействия, и не придется вводить суммирование по топологиям. Достаточно показать, что этот гамильтониан эрмитов, чтобы зафиксировать веса всех диаграмм и продемонстрировать унитарность S-матрицы.

Подытожим достоинства и недостатки методов первичного и вторичного квантования:

Первичное квантование

Взаимодействия нужно складывать вручную, порядок за порядком относительно постоянной взаимодействия.

Унитарность окончательной S-матрицы не очевидна. Она должна быть проверена в каждом порядке.

Формализм с необходимостью строится в рамках теории возмущений, поскольку разложение по топологиям тесно связано с разложением по порядку постоянной взаимодействия.

Трудно описать теорию вне массовой поверхности.

Вторичное квантование

Взаимодействия явным образом включены в само действие.

Унитарность гарантирована, если гамильтониан является эрмитовым.

Формально теорию можно описать и в рамках теории возмущений, и вне этих рамок.

Теория с необходимостью формулируется вне массовой поверхности.

Переход от теории первичного квантования к теории вторичного квантования также легче всего осуществить в формализме континуального интеграла в кулоновской калибровке. Ранее мы показали, что функция Грина для распространения свободной точечной частицы может быть вычислена явно:

Л V2/

К^Ь^К^Ь^(1.7.6)(1.7.6)стиле вторичногостиле вторичногот I . т(хь - хаУ ? exp i. ^iUb - OJ^ь - Q

К^Ь^

К^Ь^

(1.7.6)

(1.7.6)

стиле вторичного

стиле вторичного

Эту функцию Грина также можно записать в

квантования. Начнем с гамильтониана:

Я=—-—V2.(1.7.7)

2т

Функция Грина удовлетворяет уравнению

(iSt - Н) К (х, t; х\ 0 = 8(3)(х - V) 8 (Z — О.(1.7.8)

Разрешая его относительно этой функции Грина, находим

K(a,b) = U5t-HKj^(1.7.9)

где мы рассматриваем функцию, обратную функции Грина, таким образом, как если бы она была дискретной матрицей в пространстве (х, г), а тривиальные нормирующие множители опущены. Это позволяет записать интеграл в форме вторичного квантования. Чтобы это показать, мы применим следующие тождества, которые будут использоваться на протяжении всей книги: Nf NN

J П ^ехрл ^ — Xi AijXj + £ i=lUj=li=l

,L7,0)

(Эту интегральную формулу легко вывести, используя ранее полученную формулу для гауссова интеграла (1.3.18). Мы просто диагонализуем матрицу А, сделав замену переменных в пространстве х. Тогда квадратичный член в подынтегральном выражении станет функцией собственных значений матрицы А. Поскольку все моды теперь стали независимы, интеграл Гаусса можно вычислить точно дополнением до полного квадрата. Наконец, делаем обратное преобразование от собственных значений матрицы А к самой исходной матрице А.)

Отсюда можно вывести следующие интегральные формулы: NГ NN

8 88 8г exp ^ Ji (Л v)ijJjг exp ^ Ji (Л v)ijJjJx„xm П Jx.expS £ - XiAijXj + ^ \х( i = 1L i = 1i = 1

8 8

8 8

г exp ^ Ji (Л v)ijJj

г exp ^ Ji (Л v)ijJj

det | Л1;| -1 j = o

H^LJdetMolF^ -(1.7.11)

Это некоторые из самых важных интегральных формул этой книги. С их помощью мы можем теперь переписать функцию Грина целиком на языке вторично квантованных полей:

К^а, b) = Jv4xQt *аМхь> t^D^D^expi^dxdtL^,(1.7.12)

где

L^ = v4idt-H)\y(1.7.13)

где мы снова рассматриваем К^а, Ь\ так как если бы эта функция была декретной матрицей в дискретизированном пространстве (х, Z).

В итоге у нас есть два альтернативных описания точечной частицы, дополняющих друг друга: теорию можно излагать либо в терминах координат частицы хь либо в терминах полей \|/(х).

На уровне свободных частиц оба описания полностью эквивалентны и в смысле легкости описания, и математически. Однако при описании взаимодействий появляются четкие отличия. Например, легко написать

L, ~ф3; ~Ф4,(1.7.14)

и мы можем быть уверены, что получим унитарное описание взаимодействующего поля. Однако в подходе первичного квантования сумма по топологиям

Z(1.7.15)

ТОПОЛОГИИ

является неудобным способом описания унитарной теории. Нам придется проверять унитарность в каждом порядке все более сложных диаграмм. Кроме того, первично квантованное описание с необходимостью проводится в рамках теории возмущений. Сумма по топологиям в континуальном интеграле первичного квантования является суммой по фейнмановским диаграммам теории возмущений, так что теория с самого начала с необходимостью формулируется в рамках этой теории возмущений. Это важнейшая причина, по которой мы разделили эту книгу на части, отвечающие первичному и вторичному квантованию.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Один пример проиллюстрирует взаимоотношения между первичным и вторичным квантованием - задача о гармоническом осцилляторе. Этот пример окажется полезным при введении представления посредством гармонических осцилляторов, которое будет широко использоваться в струнной модели. Начнем с точечной частицы, описываемой следующим гамильтонианом:

у2

(1.8.1)

Здесь /с-упругая постоянная. Поскольку импульсы и координаты являются сопряженными переменными, мы можем при помощи тех же рассуждений, которые были изложены ранее при обсуждении континуального интеграла, положить

Vp,xl= -L(1.8.2)

Теперь мы можем переопределить координаты и импульсы, выразив их 4-787

через гармонические осцилляторы:

р = (^ тт)112^ + я^),

t(1.8.3)

х = z(2mco) 1/2 (а — a J.

Здесь

к = то?.(1.8.4)

Чтобы удовлетворялось каноническое коммутационное соотношение (1.8.2), должно выполняться

[а, а+] = 1.(1.8.5)

Подставляя это выражение в гамильтониан, находим

Н='-ЦааМа\(1.8.6)

Выделяя член с с-числом, можно записать это выражение в нормально упорядоченном виде

Н = ю^а + h0\(1.8.7)

где Ао-энергия нулевой точки. Теперь можно ввести гильбертово пространство гармонических осцилляторов. Определим вакуум выражением

а|0> = 0.(1.8.8)

Тогда элемент фоковского пространства для гамильтониана гармонического осциллятора дается выражением

(^)л

|л> = ^=|0>(1.8.9)

и состояния образуют ортонормированный базис:

<и|т> = 8„„.(1.8.10)

Энергия системы квантована и дается выражением

Е„ = (п + ^®.(1.8.11)

Пока что система была представлена лишь в формализме первичного квантования. Мы квантовали каждый раз только одну точечную частицу. Теперь мы хотим перейти к волновой функции вторичного квантования, введя

|Ф>=Еф„1«>,(1.8.12)

п = О

где выполнено разложение в степенной ряд по основным состояниям гармонического осциллятора. Так, вместо описания одиночного возбужденного состояния точечной частицы мы вводим теперь волновую функцию, которая будет суперпозицией произвольного числа возбужденных состояний.

Дадим важное определение

(х|ф> = ф(х).(1.8.13)

Это выражение можно вычислить в явном виде. Заметим, что теперь у нас есть два независимых набора основных состояний, а именно основные состояния гармонического осциллятора |и> и собственные векторы положения |х). Теперь нужно вычислить способ перехода от одного из этих базисов к другому и обратно.

Для начала исследуем простейший матричный элемент:

ао(х) = х|0).(1.8.14)

Этот матричный элемент удовлетворяет уравнению

0 = <х|я|0>

= <х|^^|0> х/2та)

= (2m<o)“1/2^ — ^- — imwx^ (х|0)

= — z(2mco)-1/2(+ тюх )q0(x).(1.8.15)

\ ox /

Последнее из этих уравнений можно решить точно:

aoW = (тсо/л)1/4е-1/2^ ,(1.8.16)

где

^ = (mco)1/2x.(1.8.17)

Теперь можно непосредственно вычислить все такие матричные элементы. Пусть

^nW = <х\п> (х|(п/)“1/2яМо) = (n/)“1/2(2mco)“"(1/2)x| [р + zmcox]n|0)

(1.8.18)(1.8.18)(1.8.19)(1.8.19)= ^niy111 (2mco)“(1/2)"[ — i-—hzmcox) Goto- у ox /

(1.8.18)

(1.8.18)

(1.8.19)

(1.8.19)

Поэтому решением служит

^„W = /"(2"«/) 1/2(тсо/к)1/4(? (1/2)^

В общем случае эта формула выражает не что иное, как многочлены Эрмита Нп. С их помощью можно выразить друг через друга собственные состояния |х) и базисные векторы |и):

Х> = Е l«X«l*> = Е 1«><М*), п = 1п = 1

(1.8.20)(1.8.20)|и) = |х)^dx^x^') = |б/хп„(х)|х) .

(1.8.20)

(1.8.20)

Итак, используя (1.8.12) и (1.8.20), мы получаем степенное разложение волновой функции по полному набору ортогональных многочленов, а именно по многочленам Эрмита:

ФИ = <х|Ф> = <х| X ф„|и> = X ^„НД^е"^1.(1.8.21)

п = 1п = 1

Подобным образом нетрудно вычислить функцию Грина для распространения точечной частицы в поле потенциала гармонического осциллятора. Функция Грина была бы той же, если бы мы начали в рамках формализма вторичного квантования с действием

(1.8.22)(1.8.22)L = Ф(х)*( id, + 2- V2 - 1 кх2 \ 2т 2.

(1.8.22)

(1.8.22)

Из этого вторично квантованного действия мы можем поэтому получить уравнения движения:

/д,Ф(х, г) =/д,Ф(х, г) =—- V2 + 1 кх2L2m 2.—- V2 + 1 кх2L2m 2.Ф(х, 0Ф(х, 0

/д,Ф(х, г) =

/д,Ф(х, г) =

—- V2 + 1 кх2

L2m 2.

—- V2 + 1 кх2

L2m 2.

Ф(х, 0

Ф(х, 0

(1.8.23)(1.8.23)= ЯФ(х, г).

(1.8.23)

(1.8.23)

Отсюда можно определить канонические импульсы, сопряженные Ф(х, /), такие, что удовлетворяются канонические квантовые соотношения

(1.8.24)(1.8.24)[П(х, /),Ф(х', г)] = — i^x - х'\

(1.8.24)

(1.8.24)

ТОКИ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

Начнем с обсуждения релятивистской теории вторичного квантования, которая, как мы видели, в рамках теории возмущений эквивалентна первично квантованной теории. При квантовании точечной частицы в формализме Гупты-Блейлера мы пришли к уравнениям движения

[□ —т2]ф = 0,(1.9.1)

которые можно вывести из вторично квантованного действия

£=1[аиФдцф + т2ф2].(1.9.2)

Одним из наиболее мощных методов, которые мы использовали при

изучении теории первичного квантования, была симметрия. Теперь нам хотелось бы рассмотреть симметрии, возникающие в рамках формализма вторичного квантования.

Сначала вычислим уравнения движения, проварьировав поле и потребовав, чтобы действие при такой вариации было стационарным:

5$ = 0 = р°х( — 8ф + —— 5дцф).(1.9.3)

\ОфОС/цф /

Проинтегрируем по частям, используя

(1.9.4)(1.9.4)8S = fЛ Q^ - dg т^-) 5ф + \dDx6 f8ф Y \8ф 8оиф/ J \8оцф /

(1.9.4)

(1.9.4)

Если временно пренебречь поверхностным членом, то действие будет стационарным при выполнении следующего уравнения движения:

(1.9.5)(1.9.5)8L 8L

(1.9.5)

(1.9.5)

ди—^ = 0.

Ц/Р 8ф

Подстановка лагранжиана в это уравнение дает уравнения движения, воспроизводящие найденное ранее ограничение для формализма первичного квантования.

(1.9.6)(1.9.6)Сделаем теперь небольшое изменение полей, параметризованное малым, но пока не определенным числом е“:

(1.9.6)

(1.9.6)

Если подставить это выражение в предыдущее уравнение для вариации действия, сохраняя поверхностный член неизменным и предполагая выполненными уравнения движения, то получим следующее уравнение:

8S = ^dDx6v8S = ^dDx6v6L 8ф\8дцф Sc"/6L 8ф\8дцф Sc"/8е“.8е“.(1.9.7)(1.9.7)

8S = ^dDx6v

8S = ^dDx6v

6L 8ф\

8дцф Sc"/

6L 8ф\

8дцф Sc"/

8е“.

8е“.

(1.9.7)

(1.9.7)

(1.9.8)(1.9.9)(1.9.8)(1.9.9)

(1.9.8)

(1.9.9)

(1.9.8)

(1.9.9)

Определим тензор в скобках как ток:

g _ 8L 8ф “-8^ф8£“'

Тогда мы получаем важное уравнение

8S = \dDxtivJ>^.

Так, если действие S стационарно при этой вариации, то мы получаем сохраняющийся ток J*”:

(1.9.10)(1.9.10)^“ = 0.

(1.9.10)

(1.9.10)

Мы будем использовать это уравнение снова и снова при обсуждении струн, когда нам понадобится найти ток для суперсимметрии и кон-

формной инвариантности. Наконец мы заметим, что суммарный заряд Qa, связанный с током, постоянен во времени:

^хдцЛ^а = f^-^^J^ 4- поверхностный член.(1.9.11)

(1.9.12)(1.9.12)Так,

(1.9.12)

(1.9.12)

д г ца л ^Q « C„J^ =0->—— = 0.

иdt

Наконец, мы хотим построить еще один сохраняющийся ток, связанный с действием. Сделаем небольшую вариацию пространственновременной переменной:

(1.9.13)(1.9.13)8хц = ЕЦ.

(1.9.13)

(1.9.13)

При этом изменении элемент объема в интервале меняется так:

5dDx = <Рх8и5х^.(1.9.14)

Следовательно, вариация действия при этом изменении равна

85 = ^л-[Ьаи8хц + 8Ц,

(1.9.15)

„ 8L 5L

8L= 8хц5„Е+ — 8ф + ——8duto.

8ф 85иф

Если теперь предположить, что уравнения движения удовлетворены, то получим

(1.9.16)(1.9.16)(1.9.17)(1.9.17)(1.9.18)(1.9.18)8S = UDxdu И + L8? - д„ф ) 8xv I.

(1.9.16)

(1.9.16)

(1.9.17)

(1.9.17)

(1.9.18)

(1.9.18)

ц1\ 8дцф v / J

Если мы теперь определим тензор энергии-импульса как 8L

^pv = З^ф^'^ " ^nv^»

то получим уравнение

8S = J^x^f^Sxv).

Так что если действие не изменяется при данном изменении пространственно-временной переменной, то тензор энергии-импульса сохраняется:

(1.9.19)(1.9.19)дцТ^ = 0.

(1.9.19)

(1.9.19)

(1.9.20)(1.9.20)Например, для действия скалярной частицы тензор энергии-импульса принимает вид

(1.9.20)

(1.9.20)

^V — ^цф^уф ЛцУ^>

эта величина сохраняется, если уравнения движения удовлетворены.

Наконец, поучительно рассмотреть, как различные процедуры квантования применяются к полю Янга-Миллса (см. приложение). Начнем с SU (^-инвариантного действия:

L=-l[^v]2,(1.9.21)

где

f“v = М" - Mg -.(1.9.22)

Это действие инвариантно относительно

(1.9.23)

где А°-калибровочный параметр.

Метод континуального интеграла начинает с функционала

Z = f П dA^е^х"" <*/4)fgv.(1.9.24)

Теперь рассмотрим три метода квантования.

Кулоновское квантование

Калибровочная инвариантность позволяет выбрать калибровку

V^? = 0.

Мы можем проинтегрировать по компоненте Ло, поскольку она не содержит производных по времени, так что кулоновская формулировка с очевидностью свободна от духов. (Цена, которую приходится за это платить, это, конечно, отсутствие явной лоренц-инвариантности, которую нужно проверять вручную.) В этой калибровке действие принимает вид

L= +1(д0Л?)2-5№ + ...,(1.9.25)

где все поля являются поперечными. Это каноническая форма лагранжиана.

Квантование Гупты-Блейлера

(1.9.26)(1.9.26)Формулировка Групты- Блейлера обладает тем преимуществом, что мы можем сохранить явную лоренц-инвариантность, не нарушая унитарности. Например, возьмем калибровку

(1.9.26)

(1.9.26)

8^ = 0-

В этой калибровке пропагатор безмассовых векторных частиц принима-

ет видет видЛ ЦУр2 ■Л ЦУр2 ■(1.9.27)

ет вид

ет вид

Л ЦУ

р2 ■

Л ЦУ

р2 ■

Заметим, что этот пропагатор в явном виде содержит дух. Времениподобное возбуждение обладает коэффициентом — 1 в пропагаторе, что соответствует духу. Однако мы можем осуществить квантование в этом ковариантном подходе, поскольку мы наложим устраняющую духи связь на гильбертово пространство:

<(p|^fl|Y|/> = 0. (1.9.28)

Эта связь позволяет разрешить его относительно духовых мод и тем самым устранить их. Итак, хотя свободный пропагатор допускает распространение духов, но гильбертово пространство свободно от духов, так что сама теория одновременно и лоренц-инвариантна, и свободна от духов.

Квантование BRST

МаЧх, у^ =МаЧх, у^ =5А6ф)5А6ф)= д^= д^6А°(х)8Л‘(у)6А°(х)8Л‘(у)= 5tlZX(84(x-y)5‘"’).= 5tlZX(84(x-y)5‘"’).(1.9.29)(1.9.29)Как и выше, можно записать определитель матрицы АаЬ, включив его в действие с помощью (1.6.10):Как и выше, можно записать определитель матрицы АаЬ, включив его в действие с помощью (1.6.10):,31L= - 1^ + ^(М**")2 + ^М0^” •,31L= - 1^ + ^(М**")2 + ^М0^” •(1.9.30)(1.9.30)Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева- Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева- Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:8< = (V„c)‘e,8с" = — \гМсьс4£28< = (V„c)‘e,8с" = — \гМсьс4£2(1.9.31)(1.9.31)8с" = -(дХ")е.а8с" = -(дХ")е.аОпять же важно заметить, что преобразование BRST является ниль-Опять же важно заметить, что преобразование BRST является ниль-Подход BRST начинается с вычисления детерминанта Фаддеева- Попова (1.6.10). Вычислим определитель следующей матрицы:

МаЧх, у^ =

МаЧх, у^ =

5А6ф)

5А6ф)

= д^

= д^

6А°(х)

8Л‘(у)

6А°(х)

8Л‘(у)

= 5tlZX(84(x-y)5‘"’).

= 5tlZX(84(x-y)5‘"’).

(1.9.29)

(1.9.29)

Как и выше, можно записать определитель матрицы АаЬ, включив его в действие с помощью (1.6.10):

Как и выше, можно записать определитель матрицы АаЬ, включив его в действие с помощью (1.6.10):

,31

L= - 1^ + ^(М**")2 + ^М0^” •

,31

L= - 1^ + ^(М**")2 + ^М0^” •

(1.9.30)

(1.9.30)

Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева- Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:

Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева- Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:

8< = (V„c)‘e,

8с" = — \гМсьс4£

2

8< = (V„c)‘e,

8с" = — \гМсьс4£

2

(1.9.31)

(1.9.31)

8с" = -(дХ")е.а

8с" = -(дХ")е.а

Опять же важно заметить, что преобразование BRST является ниль-

Опять же важно заметить, что преобразование BRST является ниль-

(1.9.32)(1.9.32)тентным. Симметрия BRST не связана с сохранением каких-либо П блюдаемых величин. Для этой симметрии мы можем найти генератор q этого преобразования, такой что

(1.9.32)

(1.9.32)

е2 = о.

физические состояния рассматриваемой теории тогда удовлетворяют условию

2|физ> = 0.(1.9.33)

РЕЗЮМЕ

Самый большой парадокс теории струн, которая призвана обеспечить единый подход ко всем известным взаимодействиям, состоит в том, что сама эта теория столь неупорядоченна. Она часто вызывает разочарование у начинающих ее изучать, поскольку в ней очень много исторических традиций, условностей и произвольных правил игры, не имеющих идейного обоснования. Важнейшая причина такого положения-то, что теория струн исторически развивалась в обратном направлении как первично квантованная теория, а не как вторично квантованная теория, в которой все соотношения определяются через фундаментальную величину- действие. Недостатки подхода первичного квантования следующие:

Взаимодействия приходится вводить вручную. Их нельзя вывести из одного действия.

Унитарность в этом подходе не очевидна. Подсчет диаграмм требует трудоемкой проверки.

Формулировка проводится в рамках теории возмущений, так что важнейшие непертурбативные вычисления, вроде размерной редукции, неосуществимы.

Теория формулируется только на массовой поверхности.

Напротив, преимущества подхода вторичного квантования состоят именно в том, что все может быть выведено из единственного действия, определенного вне массовой поверхности, что унитарность обеспечивается явным образом и что непертурбативные вычисления в принципе могут быть выполнены.

К сожалению, теория струн исторически развивалась' как теория первичного квантования. Поэтому она строилась в обратном направлении, и геометрическая теория вторичного квантования все еще находится в младенческом возрасте. По причинам педагогического характера мы ввели теорию струн с квазиисторической точки зрения, начав с теории первичного квантования и затем развив теорию вторичного квантования и изложив геометрические факты, лежащие в ее основе. Мы надеемся, что в будущем эту последовательность изложения удастся обратить.

Чтобы по возможности снизить масштабы произвола при построе-

нии теории первичного квантования, в этой главе мы попытались заложить основы теории струн в формализме континуального интегра. ла. Этот функциональный формализм обладает огромным преимуще. ством-возможностью выражать калибровочные теории первичного и вторичного квантования с одинаковой легкостью. Мы находим, факти* чески, что значительную часть теории точечных частиц в формулировке континуального интеграла можно целиком включить в теорию струн.

Метод континуального интеграла постулирует два основополагаю* щих принципа, выражающих сущность квантовой механики:

Вероятность Р^а, Ь) того, что частица переместится из точки а в точку Ь, дается квадратом модуля функции перехода К (а, Ь): Р& Ь) = \К(а, Ь)\2.

Функция перехода задается суммой фазовых множителей elS, где S есть действие, взятой по всем возможным путям, ведущим из а и Ь\

К (a, b)= k^iS.

В пределе непрерывных путей (траекторий) получаем

К (a, Ь)=^0хе‘5,

где

3 N

Dx = lim П П dxin.

N-» со i= 1 п= 1

Действие S первично квантованной точечной частицы дается длиной траектории, прочерчиваемой частицей в пространстве-времени. Лагранжиан для точечной частицы можно представить тремя способами: Форма 1-го порядка (гамильтонова): L = р^ — ^е(р2 + т2).

Форма 2-го порядка: L= ^(е-1х^ — ет2),

(1.10.1)

Нелинейная форма: L = -mj-x^.

К сожалению, из-за того, что все эти три формы действия параметриза- ционно инвариантны, континуальный интеграл расходится. Поэтому процедура квантования должна разрушить эту калибровочную симметрию и дать правильную меру для функционала.

Эти формы действия можно квантовать тремя разными способами, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Вот эти способы.

Кулоновское квантование

Явным образом зафиксировав значение некоторых полей, например

положив

Хо = ' = Т’

j^bi можем устранить мешающие нам состояния с отрицательной метрикой, и лагранжиан примет вид ^тг?. Кулоновское квантование поэтому явно свободно от духов. Однако недостаток этого метода - то, что он очень неудобен, поскольку явная лоренц-инвариантность разрушается и должна быть проверена на каждом уровне.

Квантование Гупты-Блейлера

Преимущество метода квантования Гупты-Блейлера состоит в том, что мы получаем явно ковариантную программу квантования. Конечно, теперь духи с отрицательной метрикой могут свободно циркулировать по теории, но они в конечном итоге устраняются наложением калибровочных условий непосредственно на гильбертово пространство:

Оц + ж2] | <р> = о.

Так, S-матрица в конце концов оказывается свободной от духов. Недостаток этого подхода, однако, в том, что наложение этих калибровочных условий, особенно на уровне взаимодействий, часто весьма затруднительно.

BRST-квантование

Этот метод квантования сохраняет достоинства обоих предыдущих. Теория является явно ковариантной, но S-матрица по-прежнему унитарна, поскольку добавление к теории духовых полей в точности компенсирует сокращающиеся с ними состояния с отрицательной метрикой. Метод BRST налагает калибровку е = 1 в форме первого порядка и затем вставляет член Фаддеева-Попова AFP в функционал, чтобы получить правильную меру. Можно ввести этот определитель в действие в экспоненциальной форме, использовав грассмановы переменные:

Дн> = det 15Т | = f сйсйе'^6’\

Полученное действие с фиксированной калибровкой обладает остаточной симметрией, которая порождается BRST-зарядом а. (Эта новая симметрия не приводит к устранению каких-либо новых полей.)

При обобщении этих методов на случай взаимодействий формулировка континуального интеграла начинается с основополагающей формулы для функции перехода N-частичного рассеяния:

A<kvk2kN) = Y 9"^х^Р

ТОПОЛОГИИ

х expy^dtL^ 4- i £= ^ Dx ^е^^'^'^ . (1.10.2)

Описание амплитуды N-частичного рассеяния в рамках первичного квантования неудобно, потому что оно требует явного суммирования по конкретным топологиям, которые должны быть введены в теорию вручную. Это значит, что унитарность не очевидна в формализме первичного квантования. Ниже мы увидим, что эта трудность первично квантованной теории точечных частиц прямо переносится в первично квантованную теорию струн. В описании вторичного квантования, напротив, все топологии можно явным образом вывести из одного действия.

Переход от описания первичного квантования к описанию вторичного квантования в формализме континуального интеграла можно выполнить очевидным образом. Например, пропагатор можно записать как на языке первичного квантования, так и на языке вторичного квантования: хь

Д,. - f D«'C"“

Ха

= jD\|/Dy*4/(xJy*(X(,)e'JDxL(<rt,(1.10.3)

где

<^lv> = vto,

Ц0 = ^тх1,(1.10.4)

W) = xv* (i8, - H) xv-

Последнее уравнение задает лагранжиан для волнового уравнения Шрёдингера, которое можно вывести, исходя из постулатов континуального интеграла и формы лагранжиана L = ^mv?.

В случае взаимодействий также возможно найти вертексы вторичного квантования из теории первичного квантования точно тем же способом. Мы просто записываем функциональный интеграл по мировому листу, где точечные частицы расщепляются на точечные частицы, а затем записываем эту функцию Грина как функциональный интеграл по вторично квантованным полям.

Мы вскоре увидим преимущества тщательного выяснения деталей континуального интеграла для точечных частиц. Мы обнаружим, что почти весь этот формализм переносится непосредственно в формализм теории струн!

ЛИТЕРАТУРА

Обзоры теории струн см.: Schwarz J.H., ed., Superstrings, Vols. 1 and 2, World Scientific, Singapore, 1985; Schwarz, Phys. Rep. 89, 233 (1982).

Green M. B. Surv. High Energy Phys. 3, 127 (1983).

Alessandrini V., Amati D., LeBellac M., Olive D.I. Phys. Rep. IC, 170 (1971).

Mandelstam S. Phys. Rep. 13C, 259 (1974).

Rebbi C. Phys. Rep. 12C, 259 (1974).

p amnion P Dual Resonance Models, Benjamin, New York, 1984.

[7J [8J [9] [10] [И][7J [8J [9] [10] [И]Scherk J. Rev. Mod. Phys. 47, 1213 (1975).

[7J [8J [9] [10] [И]

[7J [8J [9] [10] [И]

Veneziano G. Phys. Rep. 9C, 199 (1974).

Jacob M ed., Dual Theory, North-Holland, Amsterdam, 1974.

Schwarz TH. Phys. Rep. 8C, 269 (1973).

Green M. B., Gross D., eds., Unified String Theories, World Scientific, Singapore,

1986.

[12][12][13] [14][15] [16] [17] [18] [19][20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27][13] [14][15] [16] [17] [18] [19][20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]Green М. В., Schwarz J. Н., Witten Е. Superstring Theory, Vols. 1 and 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1986. [Имеется перевод: M. Грин, Дж. Шварц, Э.Виттен. Теория суперструн. В двух томах-М.: Мир, 1990.] Georgi Н., Glashow S. L. Phys. Rev. Lett., 438 (1974).

[12]

[12]

[13] [14]

[15] [16] [17] [18] [19]

[20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]

[13] [14]

[15] [16] [17] [18] [19]

[20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]

Freedman D.Z., Van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Phys. Rev. D13, 32 (1976).

Deser S., Zumino B. Phys. Lett. 62B, 335 (1976).

Regge T, Nuovo Cim. 19, 558 (1961).

Christ N.H., Friedberg R., Lee T. D., Nucl. Phys. B202, 89 (1982).

Wick G.C., Lee T. D. Nucl. Phys. B9, 209 (1969).

Kaku M., Nucl. Phys. B203, 285 (1982).

Kaku M. Phys. Rev. Lett. 50, 1895 (1983); Phys. Rev. D27, 2809, 2819 (1983).

Veneziano G. Nuovo Cim. 57A, 190 (1968).

Suzuki M. (неопубликовано).

Ramond P. Phys. Rev. D3, 2415 (1971).

Neveu A., Schwarz J. H. Nucl. Phys. B31, 816 (1971).

Neveu A., Schwarz J. H. Phys. Rev. D4, 1109 (1971).

Kikkawa K., Sakita B., Virasoro M. A. Phys. Rev. 184, 171 (1969).

Kaku M„ Yu L.P. Phys. Lett. 33B, 166 (1970).

Kaku M„ Yu L.P. Phys. Rev. D3, 2992, 3007, 3020 (1971).

Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 430 (1971).

Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 2000 (1971).

Alessandrini V. Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

Lovelace C. Phys. Lett. 32B, 703 (1970).

Lovelace C. Phys. Lett. 34B, 500 (1971).

Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Summer Symposium (1970).

Goto T. Prog. Theor. Phys. 46, 1560 (1971).

Goddard P., Goldstone J., Rebbi C., Thorn С. B. Nucl. Phys. B56, 109 (1973).

Mandelstam S. Nucl. Phys. B64, 205 (1973); B69, 77 (1974).

Kaku M., Kikkawa K. Phys. Rev. D10, 1110, 1823 (1974).

Scherk J., Schwarz J. H. Nucl. Phys. B81, 118 (1974); см. также Yonea T., Prog. Theor. Phys. 51, 1907 (1974).

Green M.B., Schwarz J. H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); 151B, 21 (198 5).

Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E., Rohm R. Nucl. Phys. B256, 253 (1986); B267, 75 (1986).

Hsue C.S., Sakita B., Virasoro M.A. Phys. Rev. D2, 2857 (1970).

Gervais J.L., Sakita B. Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev. D4, 2291 (1971); Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973); Fairlie D.B., Nielsen H.B., Nucl. Phys., B20, 637 (1970).

Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. McGraw- Hill, New York, 1965.

Becchi C., Rouet A., Stora R. Ann. Phys. 98, 287 (1976).

Тютин И. В. Препринт ФИАН, № 39, 1975.

Faddeev L. D., Popov V. N. Phys. Lett. 25B, 29 (1967).

Глава 2СТРУНЫ НАМБУ-ГОТО

БОЗОННЫЕ СТРУНЫ

Теория струн на первый взгляд кажется отклоняющейся от обычных методов, развитых за последние 40 лет для теорий вторично квантованных полей. Это произошло потому, что теория струн была исторически впервые открыта в форме теории первичного квантования. Именно поэтому теория струн порой выглядит как случайный набор произвольных допущений. Хотя теория вторично квантованного поля может быть полностью выведена из единственного выражения для действия, теория первичного квантования требует дополнительных предположений. В частности, вертексы, выбор взаимодействий и веса диаграмм теории возмущений должны быть постулированы вручную и затем проверены на унитарность.

К счастью, формализм континуального интеграла для первично квантованной точечной частицы был затем обобщен на струны Жервэ и Сакитой, что позволяет нам выписать динамику взаимодействующих струн с замечательной легкостью.

В предыдущей главе мы ввели самые важные математические понятия, на основе которых можно обсуждать теорию первичного квантования для точечных частиц. Как ни странно, почти все основные черты струны Намбу-Гото имеют те или иные аналоги в этой теории. Конечно, в теории струн встречаются совершенно новые черты, такие, как существование мощных симметрий на мировом листе, но основные методы квантования могут быть прямо перенесены со случая точечной частицы, рассмотренного в предыдущей главе.

Мы видели, что обычная формулировка вторично квантованной теории поля может быть переписана в форме первичного квантования. Так, традиционный ковариантный фейнмановский пропагатор (1.6.19) можно с помощью (1.3.28), (1.3.30), (1.3.37) переписать в виде

Af(xi, х2) = <хгAf(xi, х2) = <хг1□ - т21□ - т2

Af(xi, х2) = <хг

Af(xi, х2) = <хг

1

□ - т2

1

□ - т2

(2.1.1)(2.1.1)= <xt J^-T,a-m2' х2> О

(2.1.1)

(2.1.1)

О х.

где мы интегрируем по всем возможным траекториям частицы, находящейся в точке хи(т), которые начинаются в xt и оканчиваются в точке х2.

Взаимодействия, как мы видели, вводились в теорию вручную постули- ованием конкретного набора топологий, по которым частица может блуждать- Амплитуда рассеяния, например, есть

A(kv к2,..., kN) =£ рхе 1ДРР

топология

N .

=£(Пе*'),(2.1.2)

топология 1 ^

где мы интегрируем по всем топологиям, образующим известные фейнмановские диаграммы для теории ф3 или ф4.

Важно заметить, что полученная в результате фейнмановская диаграмма является графом, а не многообразием. В точке взаимодействия локальная топология не есть R", так что она не может быть многообразием. Нет никакой корреляции между внутренними линиями и точками взаимодействия. Это значит, что мы можем ввести в точке взаимодействия релятивистской точечной частицы произвольно высокие спины, если мы пользуемся формализмом первичного квантования. Поэтому первично квантованная теория точечной частицы обладает бесконечной степенью произвольности, что соответствует различным спинам и массам, которые мы можем поместить в точку взаимодействия. Кроме того, ультрафиолетовые расходимости каждой фейнмановской диаграммы соответствуют числу способов, которыми можно «прищепить» эту диаграмму, стянув в точку какую-либо из внутренних линий, и тем самым деформировать локальную топологию.

Эта картина, однако, полностью меняется при переходе к струнам. Хотя формализм континуального интеграла выглядит почти тем же самым, имеются глубокие и важные различия. В частности, сумма по историям развития становится суммой по всем возможным трубкам или поверхностям, которые могут соединять две различные струны (см. рис. 2.1). Этот мировой лист является настоящим многообразием, а именно римановой поверхностью, так что множество взаимодействий, совместимых с пропагатором, резко ограничивается. Поэтому мы ожи-

Рис. 2.1. Вершины для точечных частиц и для струн. Для точечных частиц можно построить большое число различных теорий, основанных на разных значениях спинов и изоспинов, поскольку фейнмановские диаграммы являются графами. Однако число известных теорий струн невелико, потому что взаимодействия должны описываться в этом случае многообразиями, а не графами. Конформная симметрия, модулярная инвариантность и суперсимметрия налагают жесткие ограничения на многообразия, которые можно использовать в теориях суперструн; эти ограничения не имеют аналогов в теории точечных частиц.

даем обнаружить очень малое число теорий струн, в противоположность бесконечному числу теорий точечных частиц, которые возможно написать. Кроме того, теория суперструн не испытывает трудностей, порождаемых ультрафиолетовыми расходимостями, которые возникают из-за стягивания в точку одной из внутренних линий. Невозможно «прищепить» мировую поверхность струны, чтобы получить ультрафиолетовую расходимость. Поэтому теория струн свободна от расходимостей в силу чисто топологических соображений. (Необходимо отметить, однако, что такую «прищепнутую» диаграмму можно рассматривать как инфракрасную расходимость, представляющую испускание безмассовой частицы с нулевым спином в вакуум. К счастью, суперсимметрия устраняет эти инфракрасные расходимости.)

Итак, хотя формализм континуального интеграла сравнительно просто справляется и с теорией первично квантованной точечной частицы, и с теорией первично квантованной струны, но существуют глубокие и важные различия в физике этих теорий, возникающие из чисто топологических соображений.

Начнем обсуждение струн с введения координат, описывающих колеблющуюся в физическом пространстве-времени струну. Пусть точки вдоль струны параметризуются переменной и, и пусть струна распространяется во времени. Пусть вектор

^(а,т) (2.1.3)

представляет пространственно-временные координаты этой струны (см. рис. 2.2), параметризованные двумя переменными. При движении струны она заметает двумерную поверхность, которую мы назовем «мировым листом». Он будет параметризован двумя переменными, пит. Векторы, касательные к этой поверхности, определяются производными от координаты:

Рис. 2.2. Двумерная мировая поверхность, заметаемая струной. Когда струна, параметризованная параметром о, движется в пространстве-времени, она заметает двумерную поверхность, параметризованную координатами о и т. Струнная переменная Хц(о, т)-это вектор, соединяющий начало координат с точкой на этом двумерном многообразии.

Свертка этих двух касательных векторов дает метрику

gob = WA(2.1.5)

где мы заменили две переменные (т, и) набором (я, Ь^ и а, и b могут принимать значения 0 и 1. Площадь бесконечно малого элемента на этой поверхности можно записать в виде

dплощадь ~ ^det | gab | dcdx.(2.1.6)

По аналогии со случаем точечной частицы, в котором действие было длиной траектории частицы, определим теперь действие как площадь этого мирового листа. Лагранжиан поэтому дается формулой [1-4]:

L= -Ц V^X'"2 - (Х^)2,(2.1.7)

где штрих представляет дифференцирование по ст, а точка - дифференцирование по т. Действие есть просто лагранжиан, интегрированный по мировому листу, что равно общей площади этой двумерной поверхности:

S = ^dadTL^ т).(2.1.8)

Функция Грина для распространения струны от конфигурации Ха в момент «времени» та к конфигурации Хь в момент «времени» т6, а также континуальный интеграл по поверхности, выражающей топологию нескольких взаимодействующих струн, могут быть представлены в виде

К(Х0, Хь) = f DXe"^^1;

(2.1.9)(2.1.9)Ха

(2.1.9)

(2.1.9)

Z = Y ^DXe-mjlk, ТОПОЛОГИЯ

где DX = П ^ХД<з, т), d\x. представляет интегральную меру по расположению внешних линий и где сделан виковский поворот по переменной т (по формуле т -► — /т), чтобы интеграл сходился.

Соответствие между формализмом континуального интеграла для точечных частиц, который мы тщательно разработали в предыдущей главе, и формализмом теории струн весьма примечательно. Мы находим, что почти весь формализм точечных частиц можно перенести в формализм теории струн:

хДт)JдлинаилхДт)Jдлинаил^№ т)

хДт)Jдлина

ил

хДт)Jдлина

ил

J площадь

1 П ^и(а’ Т)

Подобным образом континуальные интегралы для точечных частиц

5-787

и для теории струн обладают удивительно сходными чертами. N-to- чечную функцию для амплитуды рассеяния N-струн тоже можно записать в виде преобразования Фурье, подобного континуальному инте

гралу для точечных частиц:

^Dxe-f;-LW‘k

< Xi

> -> <

х‘Г

<Д^'>

<д^->

Хотя имеются примечательные аналогии между теорией точечных частиц и теорией струн, когда они выражены на языке континуального интеграла, между ними выявится решающее отличие, когда мы исследуем топологии, по которым могут двигаться соответствующие объекты. Для случая точечных частиц эти топологии суть графы, как в фейнмановских диаграммах, тогда как для теорий струн эти топологии суть многообразия;

Графы -► Многообразия.

Одна из важнейших причин, по которой для точечных частиц имеется столь много различных выражений действия (и так мало разных действий для теории струн),-та, что отличает графы от многообразий. Нетривиальные ограничения, наложенные на многообразия, резко снижают число непротиворечивых теорий струн.

Как и в случае точечной частицы, выбор параметризации был вполне произволен. Поэтому наше действие должно быть независимо от параметризации. Чтобы это увидеть, сделаем произвольную замену переменных:

п = п (и, т),

(2.1.10) т = т (и, т).

При такой репараметризации переменная струны изменяется на величину

8ХЦ = Х^8п + Хи8т.(2.1.11)

Поскольку площадь поверхности не зависит от параметризации, действие обладает явной репараметризационной инвариантностью, что легко проверяется.

Как и прежде, выпишем канонически сопряженные переменные теории:

_ 6L _ 1 X'2Xg-(XvX'v)X^

Как и в случае точечных частиц, эти импульсы не все независимы.

Связи:Связи:"+(^^0’"+(^^0’(2.1.12)(2.1.12)Действительно, мы находим два тождества, которым удовлетворяют канонические импульсы:

Связи:

Связи:

"+(^^0’

"+(^^0’

(2.1.12)

(2.1.12)

Р^ = 0.

Итак, эти два условия налагают связи на канонические импульсы. Вычисление гамильтониана системы показывает, что он тождественно равен нулю, как в (1.4.9):

Н=Р^-Ь= 0. (2.1.13)

Обращение в нуль гамильтониана и наличие связей на импульсы служат указаниями на то, что мы имеем дело с калибровочной системой, обладающей бесконечной избыточностью. Репараметризационная инвариантность системы является источником этой избыточности. Поэтому мы можем выписать тесное соответствие между связями теории точечных частиц и теории струн:

{р2 -h т2 = 0}{р2 -h т2 = 0}^ + (27гаГХ^"°Р^ = 0^ + (27гаГХ^"°Р^ = 0

{р2 -h т2 = 0}

{р2 -h т2 = 0}

^ + (27гаГХ^"°

Р^ = 0

^ + (27гаГХ^"°

Р^ = 0

Прежде чем начать подробное обсуждение квантования струны, поучительно рассмотреть чисто классические движения этой струны. Сначала отождествим параметр т с физическим временем, так что

^ = (l,vj,

(2.1.14)

хц = (о,х;.).

Затем вынесем множитель Х’г из-под знака корня в выражении для действия (2.1.7):

L=--Ц\Х?\112(\-уЪш,(2.1.15)

2ла

где v-составляющая скорости, перпендикулярная струне:

^^-^Х’,.(2.1.16)

Граничные условия, выводимые из этого действия с фиксированной калибровкой, включают

v2 = 1.(2.1.17)

Это значит, что концы классической струны движутся со скоростью света.

Мы можем также вычислить энергию классической струны. Будем предполагать, что струна находится в конфигурации, максимизирующей ее момент количества движения, т. е. она является твердым стержнем, вращающимся с угловой скоростью со вокруг оси, помеченной единичным вектором г. Струну можно параметризовать выражением

Х = пг,(2.1.18)

где

г = ю х г,

(2.1.19) г со = О

И — / ^ Q ^ /.

Чтобы вычислить энергию и момент количества движения системы, нужно сначала выписать лоренцевы генераторы, связанные со струной:

Мц" = J do (Р^ - Р^).(2.1.20)

Заметим, что это порождает алгебру группы Лоренца, если задать скобки Пуассона:

[Хц (ст), Pv (ст')] = r^vS (ст - ст').(2.1.21)

Теперь можно вычислить энергию и момент количества движения из составляющих лоренцева генератора [5]:

1I

2л a _,2а

1а2

J = — f do-2 2 1/2 [г х (w х г)](2.1.22)

2ла _z (1 — «тегу'2

= со(4а'со3)-1

~ соЕ^а'.

Итак, момент количества движения вращающейся струны пропорционален квадрату энергии системы:

|J|~E2.(2.1.23)

Если на оси абсцисс откладывать квадрат энергии, а на оси ординат момент количества движения (называемый также угловым моментом), то получится кривая, известная как траектория Редже. Наклон этой траектории равен а', и кривая линейна. Итак, мы получили ведущую траекторию Редже для классического вращения твердого тела. На протяжении всей книги мы будем выбирать нормировку ^ = ^- Это произвольное соглашение. Однако ниже мы увидим, что интерсепт а0 ведущей траектории должен быть положен равным единице, что фикси-

руется конформной инвариантностью после квантования теории. Итак, положим

(2.1.24)(2.1.24)1_ ,

(2.1.24)

(2.1.24)

а' = 2’ ti° - *

При квантовании системы мы обнаружим, что имеется бесконечно много таких параллельных траекторий Редже, но с все более отрицательными координатами их пересечения с осью у.

Как мы подчеркивали, есть принципиальное отличие между случаем точечных частиц и струной, состоящее в том, что струнная система обладает более обширным набором связей, порождающим калибровочную группу репараметризации. Например, если ввести канонические скобки Пуассона, то можно непосредственно показать, что эти связи порождают некоторую алгебру.

Для вычисления этой алгебры разложим X и Р по нормальным модам открытой струны:

00 1

Хи(о) = хи + 2 £ —— A^cosmo, п = 1

(2.1.25)

С 00]

/*(q) = -\Pp+ £ ^nP^cosnoV.

(л = 1J

Заметим, что в разложение для X входят только члены, содержащие косинусы. Причина в том, что при выводе уравнений движения струны приходится интегрировать по частям и поэтому возникают нежелательные поверхностные члены в точках ст = л и ст = 0. Для устранения этих поверхностных членов нужно наложить граничное условие

А/=0.(2.1.26)

Это граничное условие устраняет все синусные моды струны.

Иногда будет удобно пользоваться тем, что разложение имеет такой вид. В частности, отсюда следует, что

ХДп) = %Д- и),

(2.1.27) хи(с) = - Хц (-ст).

То же самое справедливо для мод канонически сопряженной переменной Ри. Это в свою очередь позволяет объединить обе связи в одну, воспользовавшись свойствами симметрии струны относительно отражения-замены ст на —ст. Выбрав параметризацию, в которой длина струны равна л, определим

Ч = — f daf^V xfMuPy. + -7= ) ’(2.1.28)

где/(а)- произвольная функция на интервале [ — к, к]. Заметим, что обе связи объединены теперь в одно уравнение в силу этой отражательной симметрии. С помощью (2.1.21) можно показать, что эти генераторы образуют замкнутую алгебру:

lL„Lgl = L/xg,(2.1.29)

где

fxg=fg'-gf\(2.1.30)

Можно также показать, что эта алгебра удовлетворяет тождествам Якоби

аи,ад,иА1 = о,(2.1.31)

где скобки означают все возможные циклические перестановки. Эта алгебра называется алгеброй Вирасоро [6]; она окажется одним из самых мощных инструментов построения теории струн.

Как в (1.4.11), можно включить связи в выражение для действия с помощью множителей Лагранжа X (о, т) и р (о, т):

L= Р^ + ла'ХL= Р^ + ла'ХР2 +Р2 +V'2(2ла')2_V'2(2ла')2_+ рР^.+ рР^.(2.1.32)(2.1.32)

L= Р^ + ла'Х

L= Р^ + ла'Х

Р2 +

Р2 +

V'2

(2ла')2_

V'2

(2ла')2_

+ рР^.

+ рР^.

(2.1.32)

(2.1.32)

Исключив функциональным интегрированием эти множители Лагранжа, вернемся к предыдущему набору связей. Неудивительно, что это новое действие обладает своей собственной группой репараметризации, причем параметрами служат ц и е:

5РЦ =5РЦ =Ь2ка цЬ2ка ц(2.1.33)(2.1.33)8ХИ = 2ла'еРи + г|2Ги,

5РЦ =

5РЦ =

Ь2ка ц

Ь2ка ц

(2.1.33)

(2.1.33)

5Х = — 8 + Х'ц — ц'Х + р'8 — р8',

8р = — ц + Х'8 — Хе' + р'ц — ц'р.

Преимущество этой формы действия - то, что она имеет первый порядок и не включает неудобных квадратных корней, содержащихся в исходном выражении для действия. Как и в случае точечных частиц, это указывает на существование еще одной формы действия, выраженной через вспомогательное поле. Чтобы найти эту третью формулировку действия, введем новое независимое поле

(2.1.34)(2.1.34)да1М т),

(2.1.34)

(2.1.34)

представляющее метрику на двумерной поверхности. В отличие от обсуждавшегося выше случая, эта метрика совершенно независима от струнной переменной. Выпишем форму действия, предложенную в рабо-

те Полякова [7] (g = | det даЬ |):

(2.1.35)(2.1.35)L= - AV99“bWb^- 4ла

(2.1.35)

(2.1.35)

Эта формула является обобщением действия для точечной частицы (1.4.14), имеющего второй порядок. Заметим, что действие Полякова напоминает действие скалярных полей, взаимодействующих с внешним двумерным гравитационным полем. Оно также обладает явной репа- раметризационной инвариантностью:

8ХИ = гадоХ^

5g"6 = sc8cgab - gacscsb - дЧба,(2.1.36)

§х/д = WVsV

Действие также тривиально инвариантно относительно изменения масштаба (преобразования Вейля)

(2.1.37)(2.1.37)V = ^ь.

(2.1.37)

(2.1.37)

Действие Полякова полностью эквивалентно на классическом уровне приведенному выше действию Намбу-Гото. Как и в формализме Намбу-Гото, мы можем вывести алгебру Вирасоро. Проварьировав по метрическому тензору, получаем тензор энергии-импульса, который можно положить равным нулю:

ТаЪ =ТаЪ =— 4ла'— 4ла'1 ЬЬ1 ЬЬ(2.1.38)(2.1.38)

ТаЪ =

ТаЪ =

— 4ла'

— 4ла'

1 ЬЬ

1 ЬЬ

(2.1.38)

(2.1.38)

Вычислив его в явном виде, получим

(2.1.39)(2.1.39)т„ь = 8.x ДХ“ - ^„ьд^х^Хц.

(2.1.39)

(2.1.39)

Моменты тензора энергии-импульса будут соответствовать генераторам Вирасоро. Тем самым мы получаем другой способ вывода генераторов Вирасоро из этого нового, но эквивалентного формализма.

Заметим, что метрическое поле даЬ не является распространяющимся. Метрический тензор не содержит никаких действующих на него производных. Поэтому мы можем устранить это поле с помощью его собственных уравнений движения. Это приводит нас к следующему выводу:

(2.1.40)(2.1.40)= м.хдх*

(2.1.40)

(2.1.40)

Ьд-ъ ^9аЬ дсЛдсхЛХ''"

Подставляя это значение метрического тензора обратно в действие, мы снова выводим исходное действие Намбу-Гото. Итак, на классическом Уровне эти два действия совпадают.

В итоге, как и для случая точечных частиц, у нас теперь есть три разных способа записи действия; все они на классическом уровне эквивалентны. У каждого из них есть свои достоинства и недостатки при переходе к квантовой системе. Уравнения теории струн, выводимые из них, являются прямыми обобщениями трех лагранжианов для точечных частиц, приведенных в (1.4.16). Как и в рассмотренном выше случае, мы имеем, во-первых, формализм второго порядка, выражаемый через струнную переменную Ху и через метрический тензор даЬ; во-вторых, нелинейный формализм, выраженный полностью через Ху; и, в-третьих, гамильтонов формализм, в котором фигурируют Ху и канонически сопряженная ей переменная Ру (или пара даХу и 7м1):

Форма 1-го порядка (гамильтонова):

L = РуХ^ + тш'ХL = РуХ^ + тш'Хр2 +р2 +(2ла')2_(2ла')2_+ Р^'и+ Р^'и(2.1.41)(2.1.41)

L = РуХ^ + тш'Х

L = РуХ^ + тш'Х

р2 +

р2 +

(2ла')2_

(2ла')2_

+ Р^'и

+ Р^'и

(2.1.41)

(2.1.41)

Форма 2-го порядка: L =—-^/дф^Х^ьХ*1.

Нелинейная форма: L=— (ХиХ^2У/2.

2ка' и

На первый взгляд можно предположить, что все три формы действия вполне эквивалентны, так что можно выбрать одну из них и отбросить остальные. В действительности это не так по двум довольно тонким причинам. Приведем их.

) Поскольку мы имеем дело с первично квантованной теорией, мы обязаны взять сумму по всем топологиям взаимодействия, заметаемым струной. Для струны Намбу-Гото точная природа этих топологий неясна и должна быть задана вручную. Однако для предложенной Поляковым формы действия, содержащей независимый метрический тензор, можно устранить большую часть этой неопределенности, условившись, что суммирование проводится по всем конформно и модулярно неэквивалентным конфигурациям. (Эти термины будут определены ниже.) Это условие превратится в мощное ограничение, как только мы начнем выводить петли и единственным образом определим функциональную меру. Эта мера и топологии для действия Намбу-Гото, однако, определены некорректно. (Необходимо тем не менее отметить, что это правило интегрирования по неэквивалентным поверхностям не обеспечивает унитарности автоматически. Ее по-прежнему нужно проверять вручную.)

Хотя в классическом случае фиксация калибровки с помощью вейлевской инвариантности получается тривиально, здесь возникнут трудности, как только мы перейдем к квантовой механике. При

попытке тщательно провести процедуру квантования сразу возникнет аномалия. Фактически эта конформная аномалия исчезает лишь в 26-мерном случае!

Обсудим теперь квантование действия для струны. Стратегия, которой мы будем следовать при квантовании свободной теории с целью получения физического гильбертова пространства, такова. Сначала мы выделим симметрию действия, затем найдем токи, а затем алгебру, образованную генераторами этой симметрии. (Для струны этой симметрией будет репараметризационная инвариантность, а этой алгеброй-алгебра Вирасоро.) Затем мы должны наложить связи на гильбертово пространство, устраняющие духи и создающие унитарную теорию. Важно иметь в виду эту стратегию, когда мы приступим к квантованию струны:

Действие -► Симметрия -► Ток -► Алгебра -► Связи -> Унитарность.

Как и в случае точечных частиц, мы можем начать программу квантования несколькими способами. Есть три формализма для фиксации калибровки этой теории: (1) Гупты-Блейлера (конформная калибровка), (2) калибровка светового конуса и (3) BRST-формализм. Преимущества и недостатки каждого из них следующие:

Формализм Гупты-Блейлера, вероятно, простейший из этих трех. Мы допускаем появление в действии духов, что позволило сохранить явную лоренц-инвариантность. За это пришлось заплатить необходимостью наложить устраняющие духов связи на гильбертово пространство. Операторы проектирования должны быть вставлены во все пропагаторы. Для деревьев это тривиально. Для петель высшего порядка это, однако, становится все труднее.

Преимущество формализма светового конуса состоит в том, что его действие явно свободно от духов, как и гильбертово пространство. Переход к петлям не вызывает осложнений. Однако формализм очень неудобен, и лоренц-инвариантность приходится проверять вручную на каждом шаге процедуры.

Формализм BRST сочетает лучшие черты двух предыдущих. Он является явно ковариантным, как формализм Гупты-Блейлера, и унитарным, как формализм светового конуса, поскольку духи с отрицательной метрикой и духи Фадеева-Попова взаимно уничтожаются.

Теперь обсудим по-отдельности каждую из этих схем квантования.

КВАНТОВАНИЕ ГУПТЫ-БЛЕЙЛЕРА

Формализм Гупты-Блейлера обеспечит лоренц-инвариантность наложением связей Вирасоро на векторы состояний:

<<p|L/IV>=0.(2.2.1)

Здесь ф и у представляют состояния теории. Эта связь устранит духовые векторы состояний, что позволит нам сохранить нефизические духи с отрицательной метрикой в действии.

Классический метрический тензор имеет три степени свободы, которые можно устранить калибровочным преобразованием. Две из них связаны с репараметризационной инвариантностью, а одна с вейлевской инвариантностью. Поэтому можно найти калибровку, устраняющую все три:

Назовем эту калибровку конформной. (Как мы уже упоминали, переход к конформной калибровке для квантовой теории и высших петель вызывает трудности.) Действие примет следующий вид:

S = 4^PCT^(^"^2)-(2,23)

Это выражение замечательно просто, поскольку действие теперь соответствует невзаимодействующей свободной струне. Это действие дает уравнения движения свободной струны

/ д2 д2 \

(2.2.4)

с граничными условиями

Хц(0,т) = Хц(к,т) = 0,(2.2.5)

которые мы должны наложить для интегрирования по частям и устранения поверхностного члена. Решениями уравнений движения служат произвольные функции переменных а 4 т и а - т:

^(ст, T) = Xf(G + T) + X^(CT-T).(2.2.6)

Канонические коммутационные соотношения теперь суть

1Л (и), X. (п')3 = - m^8 (и - и'),(2.2.7)

8 (а — а') = -8 (а — а') = -(2.2.8)(2.2.8)где

8 (а — а') = -

8 (а — а') = -

(2.2.8)

(2.2.8)

1 4- 2 £ cos па cos па'п = 1

Конечно, существует бесконечно много возможных представлений континуального интеграла. Однако, как и в случае точечной частицы, мы всегда можем выбрать простейшее из них-в базисе гармонических осцилляторов [8], в котором гамильтониан становится диагональным. В отличие от случая точечной частицы, однако, у нас теперь имеется бесконечное число осцилляторов, по одному набору для каждой нор-

мальной моды:

ХЦ =- ^-„),

(2.2.9)

1* = -^№ + а^.

Каноническим коммутационным соотношениям можно удовлетворить, если положить

Е^иц> ^mvl = ^птЛцу •(2.2.10)

Обычно также вводят эквивалентный набор осцилляторов:

«т = 7”^; т > о,

aiw = ^/ina^; т > 0,

Хи(п, т) = хи + 2a^T + iJ2^ У — ^-wtcosmq.(2.2.11)

Записанный в этом базисе, гамильтониан принимает особенно простую форму (см. 1.3.37)):

H^drskP^ -Ц о

= Е naVn + ^'Р^ aon = J^P- (2.2.12) п = 1

Здесь мы сделали бесконечный сдвиг энергии нулевого состояния. На этом этапе масса частицы наименьшего порядка не является корректно определенной из-за этого бесконечного сдвига, но мы ниже покажем, что эта частица наименьшего порядка в действительности является тахионом. Мы покажем, что интерсепт модели равен 1.

Заметим, что все осцилляторные моды совершенно независимы друг от друга. В самом деле, гамильтониан диагоналей в фоковском пространстве возбуждений гармонических осцилляторов. Выбор этого конкретного представления функции струны из бесконечного множества возможностей дает огромные преимущества, поскольку разрешенными собственными состояниями такого гамильтониана служат просто произведения фоковских пространств всех возможных гармонических осцилляторов:

(2.2.13)(2.2.13)Собственные состояния суть ПМ,ц}|0>-

(2.2.13)

(2.2.13)

Вакуум определен соотношением

аМ0>=0; и^О.(2.2.14)

Спектр низших возбужденных состояний можно классифицировать следующим образом (см. рис. 2.3):

Тахион -► 10),

Безмассовой вектор -► я|и 10),

Безмассовый скаляр -► /сия|и 10),(2.2.15)

Массивная частица со спином 2 -► я{ия|у |0),

Массивный вектор -► а^10).

Как и ожидалось, мы получаем ведущую реджевскую траекторию, которую мы раньше получали из классического рассмотрения, а также бесконечное семейство дочерних траекторий со все более отрицательными интерсептами с осью у. В этой калибровке пропагатор, или функция Грина, принимает простой вид

К (a, bV<Xa\e"mx\Xb)

Xbfl)

= J DX exp —(^-X'2)j>,(2.2.16)

где

DX = П№ЦМ = Г№-(2.2.17)

Необходимо помнить, что функциональный интеграл по DX есть

Рис. 2.3. Реджевские траектории для открытой струны. По оси абсцисс отложены квадраты энергии, по оси ординат-спины. Самая левая частица-это тахион, соответствующий вакууму фоковского пространства. Безмассовая частица со спином 1 - это поле Максвелла или Янга-Миллса, которое соответствует одиночному оператору создания, действующему на вакуум. Существует бесконечно много реджевских траекторий, соответствующих бесконечному числу возбуждений релятивистской струны или бесконечному числу состояний фоковского пространства.

бесконечное произведение интегралов по каждой точке вдоль струны или по всем фурье-модам струны.

К счастью, это интегрирование можно провести явным образом. Пусть частица движется из т = 0 к т = оо. Так как гамильтониан диагоналей в пространстве гармонических осцилляторов, интегрирование по т можно выполнить точно. Находим

<XjJ^-№|Xb> = <X„ о<XjJ^-№|Xb> = <X„ о1Lo- 11Lo- 1Хь>,Хь>,(2.2.18)(2.2.18)

<XjJ^-№|Xb> = <X„ о

<XjJ^-№|Xb> = <X„ о

1

Lo- 1

1

Lo- 1

Хь>,

Хь>,

(2.2.18)

(2.2.18)

где Lo-нулевая фурье-составляющая генераторов Вирасоро (2.1.28). Другими словами, пропагатор свободной теории есть

(2.2.19)

его обкладками слева и справа служат состояния струны. Однако из-за наличия тождества

(2.2.20)(2.2.20)\X>$DX<X\ = \

(2.2.20)

(2.2.20)

можно явным образом устранить континуальные интегралы в каждой промежуточной точке между начальным и конечным состояниями. В самом деле, из-за простоты N-точечной функции можно явным образом устранить все функциональные интегралы по состояниям струны, и у нас останутся лишь гармонические осцилляторы. Важно еще раз подчеркнуть, что гармонические осцилляторы служат лишь одним из способов представления континуального интеграла. Его простота является следствием диагональности гамильтониана в фоковском пространстве состояний гармонических осцилляторов.

Весьма сходным образом замкнутую струну тоже можно описать с помощью гармонических осцилляторов. Для замкнутой струны граничное условие X' = 0 неприменимо, и мы можем воспользоваться для разложения по нормальным модам как синусами, так и косинусами. Поэтому для замкнутой струны мы ожидаем удвоенного числа осцилляторов. Разложение по этим модам имеет вид

/i \ 1/2 оо 1

Y~11^ — in° । х— inax

2^ц(а) — x^ + I -a 1 "FVane + ane + ana + ane

D 100

ри(сО = ^ +7= H V»^- *апе~та ~ ia„ema + 1аУпа +

2л 2лх/2а'п = 1

+ ^'"а)и-(2.2.21)

Гамильтониан для замкнутой струны есть

4к2а74к2а711 ^А + паИ + а>2. п = 111 ^А + паИ + а>2. п = 12я /

4к2а7

4к2а7

11 ^А + паИ + а>2. п = 1

11 ^А + паИ + а>2. п = 1

Н = к dal а'Р^ + о V

Рис. 2.4. Реджевские траектории для замкнутой струны. Фоковское пространство строится из двух коммутирующих наборов гармонических осцилляторов. Безмас- совая частица со спином 2-это гравитон, соответствующий произведению операторов обоих типов, действующих на вакуум.

Снова фоковское пространство состоит из всех элементов, созданных гармоническими осцилляторами, но на этот раз существует дополнительная связь, которой не было для открытой струны:

(Lo — 10)|ф> = 0.(2.2.23)

(Эта связь интерпретируется следующим образом: замкнутая струна не должна зависеть от выбора начала координаты ст. Например, оператор j daf5^*~ ^о) можно интерпретировать двояко. Во-первых, он порождает повороты в пространстве ст, так что мы усредняем по поворотам на 2л в этом пространстве. Во-вторых, если вычислить этот интеграл, то получится 5(L0 — Lo), что совпадает со связью (2.2.23) в применении к гильбертову пространству. Мы вернемся ниже к этой связи.)

Фоковское пространство состоит из следующих элементов (см. рис. 2.4):

Тахион -40),

Безмассовая частица со спином 2 -► o^2z{v 10),(2.2.24)

Безмассовый скаляр -► к^а^а^ 10) .

Заметим, что в спектре замкнутой струны есть безмассовая частица со спином 2. Когда струнную модель вначале интерпретировали как модель адронов, присутствие этой напоминающей гравитон частицы со спином 2 вызвало большое недоумение. Были предприняты попытки связать эту частицу с траекторией Померона, обнаруживаемой в теории S-матрицы. Можно показать, что при обобщении на деревья и петли эта безмассовая частица со спином два обладает калибровочной инвариантностью, эквивалентной гравитону теории Эйнштейна. Отказавшись от предшествующей интерпретации теории струн как модели адронов, мы

находим естественное место для этой гравитоноподобной частицы, отождествив ее с гравитоном как таковым.

В итоге можно сделать вывод, что формализм Гупты-Блейлера в конформной калибровке выглядит простым и изящным в основном потому, что мы позволили духам появиться в теории через действие. Теория сводится к простейшей из всех возможных теорий струн, т. е. к свободной распространяющейся струне.

Цена, которую приходится платить за эту простоту,-наложение ограничений на фоковское пространство. Генераторы Вирасоро можно записать так [6]:

1 00

= ^J.^n-m,^(2-2.25)

0°|

Ьо = £ а-»ца» + ^0 .

Л— 12

Поэтому физические состояния теории должны удовлетворять условиям £„|ф> = 0;п>0,

(2.2.26)

(Ьо - 1)|<р> = 0.

Алгебра, порождаемая этими операторами, задается соотношениями

[L„, LJ = (и - m)L„+m + ^(л3 - п^„._т,(2.2.27)

где D- размерность пространства-времени. Тот факт, что в этом уравнении присутствует центральный с-числовой член, на первый взгляд звучит необычно, но это можно проверить явным вычислением, взяв вакуумное среднее простого коммутатора:

<0|[L2,L_2]|0>=y.(2.2.28)

Этот центральный член возник из-за того, что мы нормально упорядочили генератор Lo, чтобы получить конечные матричные элементы. Такое нормальное упорядочение обнаружилось даже для случая точечных частиц в (1.8.7); отличие лишь в том, что сдвиг энергии теперь бесконечен. Цена, которую мы платим за конечность матричных элементов - потеря локальности по и. Нормальное упорядочение уничтожает то положение, которое имело место до него, когда генераторы Lj были локальными функциями переменной о. Процесс квантования с необходимостью разрушает локальность генераторов Вирасоро по переменной а, и отсюда возникает с-числовой центральный член. Итак, схема квантования и схема регуляризации, примененные для извлечения

из модели конечной информации, в действительности несовместимы с конформной симметрией. К счастью, это противоречие можно устранить, если размерность пространства-времени положить равной 26.

То, что теория содержит духи, демонстрирует тот факт, что нулевая составляющая гармонического осциллятора имеет отрицательную метрику:

Дух = {а* 0} 10>.(2.2.29)

Поэтому коэффициент функции Грина входит со знаком минус. Кроме того, есть состояния с нулевой нормой и с отрицательной нормой, которые нужно учитывать.

Для изучения спектра определим шпурионное состояние 15) как состояние, ортогональное всем физическим вещественным состояниям |Л). Шпурионные состояния можно записать в виде

|S> = L_JX>; и>0,

<Л|5> = 0

для некоторого целого п и некоторого состояния |%). (Если взять матричный элемент, отвечающий этому состоянию и какому-нибудь физическому состоянию, то скалярное произведение всегда будет равно нулю, поскольку Ln разрушает физические состояния.) Теперь построим шпурионное состояние:

IV> = [L_24-«L2_1]|(p>.(2.2.30)

Мы не хотим, чтобы это состояние принадлежало физическому гильбертову пространству. Рассмотрим, однако, условия, при которых оно могло бы принадлежать физическому спектру. Положим

L1|v> = L2|v>=0.(2.2.31)

Отсюда следует, что

3 — 2а = 0;^D-4-6a = 0,(2.2.32)

что в свою очередь фиксирует условия

3

D = 26; а = -.(2.2.33)

Итак, это шпурионное состояние удовлетворяет условиям (2.2.26) и поэтому является частью физического фоковского пространства. На первый взгляд это кажется неудачей. Мы желаем, чтобы наше физическое гильбертово пространство не содержало духов. Заметим, однако, что в 26-мерном пространстве это состояние имеет нулевую норму (а не отрицательную). Поскольку |ф) было произвольным, мы построили бесконечный класс состояний |ф), которые являются одновременно шпурионными и физическими. Если мы возьмем норму этого состояния

высшего порядка, то обнаружим, что в размерности 26 она также обращается в нуль, что делает его нулевым шпурионным состоянием. Это состояние также приемлемо, поскольку его норма неотрицательна. Итак, в 26-мерном пространстве мы получаем приемлемый спектр для этого набора состояний.

Подобный анализ векторов состояний теории показывает, что можно построить физическое состояние |0), которое на самом деле имеет отрицательную норму, если D больше чем 26:

|0) = («ali + Ька~2 + ct/c-a-J^O) .

Налагая условие L{ 10) = L210) 0, находим, что b = аф — 1 )/5 и с = аф + 4)/10. Мы получаем, что норма этого состояния равна

2

<0|0> =—л2(/Э - 1)(26 - Z)).

Итак, размерность пространства-времени не может превышать 26; в противном случае существуют состояния с отрицательной нормой, принадлежащие к физическим состояниям. В целом мы нашли, что спектр свободен от духов, если размерность пространства-времени меньше или равна 26:

(а = 1, D = 26)

Отсутствие духов: л ч(2.2.34)

^ 1, D ^ 25)

Это упражнение было проделано лишь для части фоковского пространства. Но можно ли устранить духи во всех порядках струнной модели? Мы вернемся к трудной проблеме устранения духов в формализме Гупты-Блейлера в конце настоящей главы, когда мы действительно построим физическое гильбертово пространство и покажем, что в нем нет состояний с отрицательной нормой, если размерность пространства-времени равна 26.

КВАНТОВАНИЕ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

Выбор калибровки светового конуса, в которой все нефизические степени свободы явным образом устранены с самого начала, возможен потому, что у нас есть две калибровочных степени свободы, и, следовательно, два фиксирующих калибровку условия можно включить в наш континуальный интеграл. Одна из этих фиксирующих калибровку связей-устранение нефизических мод из гильбертова пространства, как в кулоновской калибровке. Так, устранение духовых состояний, весьма сложное для формализма Гупты-Блейлера (как мы увидим в конце этой главы), становится тривиальным в калибровке светового конуса.

Выберем обозначения

X* =-L[x° + XD-1], X- = ^=[Х° - Xе’1].(2.3.1)

V2V2

Тогда

А^№ = АД — А^ В~ — А~ В^.(2.3.2)

В зависимости от того, какой вид действия в (2.1.41) мы выберем, мы получим разные калибровочные ограничения. Если начать с исходной формы действия Намбу-Гото, например, то калибровочные условия в континуальном интеграле суть

Z = $DXMAfpYV>QT (q) -р+т)8(%2 + х^ - 2Х^)еЛ (2.3.3)

где М- фактор меры, который должен быть добавлен, чтобы теория была унитарной, а две дельта-функции представляют фиксирующие калибровку связи. Замечательная особенность второго ограничения-то, что действие Намбу-Гото, выраженное высоконелинейным квадратным корнем, полностью линеаризуется [12]:

Vx2Xv -~- X2).(2.3.4)

(Поскольку в формализме светового конуса действие не содержит уже квадратного корня, у нас есть действие с хорошим поведением, которое можно квантовать каноническим способом.)

Связь Х+ = р^ т означает, что зависимость от и в Х^ полностью исчезла и что «время» т теперь идет синхронно с X +. Мы можем в свою очередь использовать вторую связь для устранения мод У, и таким образом все продольные моды полностью исчезнут. Действие можно теперь целиком выразить через поперечные моды.

Теперь найдем связь для первой формы действия в (2.1.41). Проинтегрируем по множителям Лагранжа р и X в гамильтоновой форме действия, а затем наложим связи, фиксирующие калибровку:

Z = $DXDPYV>(X+ (и) -рЧ) б(р+ (и)+ ^5(pgx ^-s.

ст\Я / \ Л /

(2.3.5)

Поскольку ковариантный гамильтониан (2.1.13) равен нулю, то в лагранжиане останется только член Р^Х^ (член X- выпадает):

L= f daP^X* = J da (PtX1 - p* P" (a)).(2.3.6)

00

Этот формализм обладает несколькими замечательными чертами. Во-первых, мы можем наложить четыре, а не две связи на гильбертово пространство: две фиксирующих калибровку и еще две, проинтегрировав по X и р. Во-вторых, поскольку ковариантный гамильтониан равен нулю, действие содержит только Р^Х^ но из разложения выражения (2.3.6) возникает гамильтониан, записанный в координатах светового конуса:

(2.3.7)(2.3.7)H = p*\dcP (ст).

(2.3.7)

(2.3.7)

О

С другой стороны, мы можем решить уравнение связи относительно переменной Р”:

Р"(ст) = —/-,2 + ^.(2.3.8)

\ к /

Подставляя значение Р~ в уравнение (2.3.7), определяющее конусный гамильтониан, получаем

Н = - f Р? + -4" кст,(2.3.9)

л2/v 7

что в точности совпадает с гамильтонианом (2.2.12), определенным для физических поперечных мод.

Аналогично мы можем устранить моды X ", решая другое уравнение связи

рХИ = 0(2.3.10)

относительно переменной X, что дает

Х~(ст) = pCT'-^U’XiL(2.3.11)

о Р

Соберем все вместе. Наш функционал теперь примет вид

Z = j DXiDPjCW^x, - W(2.3.12)

где Н—плотность гамильтониана в конусных переменных. Большое преимущество конусной калибровки состоит в том, что связи Вирасоро разрешены в явном виде, так что нет необходимости налагать их на состояния. Все «плюсовые» моды устраняются этой калибровкой с самого начала, а «минусовые» выражаются через поперечные состояния, поскольку условия Вирасоро разрешаются в явном виде посредством (2.3.8) и (2.3.11). Вместо наложения условий Вирасоро на гильбертово пространство, мы просто решаем их явным образом и устраняем минусовые моды.

Однако большой недостаток этого формализма-то, что нам придется выполнять утомительную проверку лоренц-инвариантности на каждом шаге вычислений. Обычно генераторы группы Лоренца даются формулой

М^ = J da ^Pv - У^] = хУ - хУ - i £ -[сМ - «-Х] •

Оп=1 П

С помощью (2.2.7) легко проверить, что эти выражения удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям для группы Лоренца:

[Ми\ АГР] = Zrj^M^ + ....(2.3.14)

Однако лоренц-инвариантность придется проверять заново, так как мы явным образом устранили все духовые моды. Большая часть коммутаторов проверяется тривиально, поскольку они линейны. Трудности связаны с членом, содержащимся в X "; эта переменная сильно нелинейна и записывается в виде

(2.3.15)(2.3.16)(2.3.15)(2.3.16)_ _ _00 1 _ _

(2.3.15)

(2.3.16)

(2.3.15)

(2.3.16)

Х~ = х" -V р т + i У -an е WTcosnc,

где

| D - 2 оо

&п ~ ~ +" У У Е*ап-тат. 2ибп о]

и а есть интерсепт. Все коммутаторы легко вычисляются, кроме одного, содержащего X-. Это длинное и требующее аккуратности вычисление приводит к следующему окончательному результату:

-1 00

1М-\М"^=—2 У [а'-Х-а^Х]^.(2.3.17)

Здесь

(2.3.18)(2.3.18)п1Г ^> — 26'

(2.3.18)

(2.3.18)

А„ = -(26 - D) +— + 2 - 2а

1212.

Чтобы этот коммутатор обратился в нуль, должно иметь место

D = 26;а=\.(2.3.19)

Эти равенства фиксируют и размерность пространства-времени D, и интерсепт а данной модели.

BRST-KBAHTOBAHME

Как и в случае точечной частицы, метод квантования BRST начинается с процедуры квантования Фаддеева-Попова и затем выделяется новый нильпотентный оператор симметрии. Действие инвариантно относительно репараметризации (2.1.36):

Sg-ь = д«Л^с + 6aWgcb - gab6cW

= V>b + Vb5va(2.4.1)

(вторая строка записана в ковариантном виде и содержит двумерные символы Кристоффеля; см. Приложение). Это позволяет наложить калибровочное ограничение

Qab^^ab-(2.4.2)

Это в свою очередь порождает детерминант Фаддеева-Попова

(2.4.3)(2.4.3)Дрр = det(VJ = det(Vz)det(Vz).

(2.4.3)

(2.4.3)

Этот детерминант можно вычислить, выразив его через действие, фигурирующее в интегральной формуле в показателе экспоненты. Чтобы это сделать, нужно ввести антикоммутирующие духовые поля b и с (см. (1.6.22)). Как и прежде, это позволяет поместить определитель производной в показатель экспоненты. Определим z = т + to; тогда

L= - (1дгХцд^ц + Ьд-2с + №хс). (2.4.4) К V /

Заметим, что это действие инвариантно относительно следующих вариаций переменных:

8ХИ = 8 [сд2Хи + сс^ХД ,

бе = 8 [cdzc] ,

8с = 8 [сдД,

8Ь = г сбМ^сЬ-^Х^Х» ,8Ь = г сбМ^сЬ-^Х^Х» ,(2.4.5)(2.4.5)

8Ь = г сбМ^сЬ-^Х^Х» ,

8Ь = г сбМ^сЬ-^Х^Х» ,

(2.4.5)

(2.4.5)

ЬЬ = ь сд2Ь + 2д2сЬ-'-д2Х)1д2Х'1

Из этой вариации и (1.9.8) можно извлечь нильпотентный оператор BRST-метода Q. Однако важно также отметить, что, вообще говоря, для любой алгебры Ли с коммутационными соотношениями [Xm, Xn] = fmn^p можно построить нильпотентный оператор Q [10] из антикоммутирующих операторов сп и Ьт:

Q= f с.Q= f с.^n ^fnmC-mbp^n ^fnmC-mbp(2.4.6)(2.4.6)

Q= f с.

Q= f с.

^n ^fnmC-mbp

^n ^fnmC-mbp

(2.4.6)

(2.4.6)

где

(2.4.7)(2.4.7){^п? Ьт^ $п,-т •

(2.4.7)

(2.4.7)

Поэтому наш нильпотентный оператор BRST можно записать в таком виде:

00/1\

6= I :c-„Ui + -Lgh-^n,0): n = - ОО'/

оо100

= c0(L0-dH Y ^c-nLn + L-nC^ - - Y -.с-тС-пЬп^т-Лт-нУ n = 1n,m = — oo

(2.4.8)

Здесь член L„ равен зависящему от X генератору алгебры Вирасоро, а Lnh-духовый вклад в этот генератор. На этом этапе выписанное выше выражение содержит два неизвестных параметра: величину интерсепта

а и размерность пространства-времени. Вычислим квадрат оператора Qs который должен быть равен нулю:

00/ П\

Q2 = 5 Е (”(m3 - т) + ^(/и - 13т3) + 2ату V"™ ■(2.4.9)

Чтобы это выражение обратилось в нуль, необходимо положить размерность пространства-времени равной 26, а интерсепт взять равным единице.

Как и в случае точечной частицы, мы находим, что физические состояния системы в рамках этой теории даются условием

6|физ> = 0.(2.4.10)

Выделив мод, получаем, что низшее состояние удовлетворяет условию (Ьо-1)|ф>=0,

(2.4.11)

Ь„1ф> = 0, как и прежде.

ДЕРЕВЬЯ

До сих пор мы квантовали только свободные струны. Взаимодействия струн можно определить либо через функционалы, либо с помощью гармонических осцилляторов. Из этих двух способов функциональные методы намного мощнее. Фактически мы можем рассматривать метод гармонических осцилляторов как одно специфическое представление метода функционалов. Для деревьев и даже для первой петли гармонические осцилляторы обеспечивают быстрый и удобный способ вычисления амплитуд, но для высших петель этот способ быстро становится непрактичным. Функциональный метод из-за его огромной гибкости всегда можно использовать и для вывода осцилляторного метода, применимого к деревьям и первой петле, и для вывода всех петель.

Исторически дуальная модель была впервые открыта случайно как квантовая амплитуда рассеяния тахионов. Эти амплитуды обладали замечательным свойством дуальности; это означает, что их можно разлагать или по ^-канальным полюсам, или по с-канальным полюсам. Обычно в теории точечных частиц суммирование фейнмановских диаграмм проводится раздельно для s- и /-канальных полюсов (см. рис. 2.5), но дуальные амплитуды обладают полюсами в обоих каналах одновременно. Поэтому включение дуальных амплитуд в 5- и /-канальные полюса по отдельности привело бы к повторному счету. Для более сложных диаграмм мы видим, что одна и та же N-точечная амплитуда может быть разложена произвольным числом способов. Поскольку подсчет таких диаграмм-это не то же самое, что обычный подсчет фейнмановских диаграмм, то много лет ошибочно полагали, что интер-

Рис. 2.5. Дуальность модели Венециано. Четырехточечную амплитуду можно разлагать как по s-, так и по /-канальным полюсам. Этим модель Венециано отличается от обычной теории поля для точечных частиц, в которой суммирование проводится сразу и по 5-, и по /-канальным полюсам. Свойство дуальности применимо и к N-точечной функции. По этой причине раньше считалось, что полевая теория струн невозможна. Такая теория, как полагали, была бы подорвана повторным счетом, особенно в высших порядках.Рис. 2.5. Дуальность модели Венециано. Четырехточечную амплитуду можно разлагать как по s-, так и по /-канальным полюсам. Этим модель Венециано отличается от обычной теории поля для точечных частиц, в которой суммирование проводится сразу и по 5-, и по /-канальным полюсам. Свойство дуальности применимо и к N-точечной функции. По этой причине раньше считалось, что полевая теория струн невозможна. Такая теория, как полагали, была бы подорвана повторным счетом, особенно в высших порядках.

Рис. 2.5. Дуальность модели Венециано. Четырехточечную амплитуду можно разлагать как по s-, так и по /-канальным полюсам. Этим модель Венециано отличается от обычной теории поля для точечных частиц, в которой суммирование проводится сразу и по 5-, и по /-канальным полюсам. Свойство дуальности применимо и к N-точечной функции. По этой причине раньше считалось, что полевая теория струн невозможна. Такая теория, как полагали, была бы подорвана повторным счетом, особенно в высших порядках.

Рис. 2.5. Дуальность модели Венециано. Четырехточечную амплитуду можно разлагать как по s-, так и по /-канальным полюсам. Этим модель Венециано отличается от обычной теории поля для точечных частиц, в которой суммирование проводится сразу и по 5-, и по /-канальным полюсам. Свойство дуальности применимо и к N-точечной функции. По этой причине раньше считалось, что полевая теория струн невозможна. Такая теория, как полагали, была бы подорвана повторным счетом, особенно в высших порядках.

претация дуальных моделей в рамках настоящей теории поля невозможна.

По аналогии со случаем точечных частиц начнем с определения ^-точечной амплитуды рассеяния для рассеяния тахионов [11-13]:

^nU<i» к2,..., kN) —^ ^d^N^DgQb^DX

топология

х Арр exp i J Ldtsdx [^ ^/д exp ik^ ^Х^1

N

= I I D9ab № < П V# СХР ^i, ц Х ^> 'ТОПОЛОГИЯi=l’

Это выражение и будет основным континуальным интегралом, из которого мы выведем теорию взаимодействующих струн. Оно будет единственной самой важной формулой в теории первичного квантования.

В этом выражении импульс kt от тахиона i втекает через границу поверхности в точке zv Струнная переменная Х^ определена в этой точке zt на границе, где импульс kt втекает в диаграмму. Мера интегрирования dp, является интегралом по различным zb который мы вскоре определим.

Это выражение существенно упростится выбором конформной калибровки. В частности, мы получим

An = J^fDXexp^— ^2ХДХ^ + i^ k^

(2.5.2)

На рис. 2.6 мы показываем, как упростить диаграмму взаимодействия струн. Позволив длине взаимодействия струн обратиться в нуль для внешних тахионов, мы видим, что поверхность взаимодействия струн может быть редуцирована к бесконечной горизонтальной полоске в комплексной плоскости, простирающейся от и = 0 до и = к при т, меняющемся от — оо до -Foo.

Заметим, что действие, хотя уже не является репараметризационно инвариантным, поскольку мы фиксировали калибровку gab = даЬ, все еще сохраняет конформную инвариантность. Поэтому, чтобы избежать повторного счета конформно эквивалентных поверхностей, мы возьмем в качестве множества топологий, по которым нужно суммировать, множество всех конформно неэквивалентных двумерных комплексных поверхностей.

Пусть мировая поверхность N-точечного дерева представляет собой горизонтальную полосу шириной к в комплексной плоскости. Ось х соответствует т, а ось у- переменной и. Произведем замену переменных, перейдя к комплексной переменной z по формуле

z = ех^а. (2.5.3)

Это отображение переводит бесконечную полосу, представляющую мировую поверхность взаимодействующей струны (с тахионами нулевой ширины), в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости.

К счастью, функциональный интеграл является гауссовым, и его можно вычислить с помощью тождеств, приведенных в предыдущей главе. Определим Хс1 как решение классических уравнений движения:

(2.5.4)(2.5.5)(2.5.4)(2.5.5)V2Xrc1 = - 2/ла'7и, где

(2.5.4)

(2.5.5)

(2.5.4)

(2.5.5)

N

Mz) = £ ^8(2-2,).

Рис. 2.6. Конформные поверхности для распространения открытых струн. В плоскости р струна распространяется по горизонтальной полосе шириной к. Волнистые линии у нижней границы-это струны «нулевой ширины», т. е. внешние тахионы. В плоскости z поверхность, по которой распространяются струны, превращается в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости. Отображение одной поверхности на другую дается экспоненциальной функцией.

Здесь z,-точки вещественной оси на комплексной плоскости, соответствующие внешним тахионам нулевой ширины, взаимодействующим со струной. После виковского поворота по переменной т это выражение превращается в уравнение Пуассона, известное в электростатике. Для его решения нужна функция Грина

V2G(z, /) = 2кб (z - z').(2.5.6)

Нам нужно вычислить функцию Грина с граничными условиями Неймана для верхней полуплоскости. Простейший способ сделать это- воспользоваться приемом, заимствованным из электростатики, а именно методом изображений. Поместим точечный заряд в точку z в верхней полуплоскости. Рассмотрим другой точечный заряд в точке z\ являющейся зеркальным отражением точки z’ относительно вещественной оси; 2* лежит в нижней полуплоскости. Если мы находимся на точечном заряде в точке z верхней полуплоскости, то потенциал в этой точке

пропорционален

G(z, /) = In I z - z' I + In | z - z' |.(2.5.7)

Заметим, что если мы находимся на оси х, так что z- вещественное число, то производная функции Грина, нормальная вещественной оси, равна нулю. Поэтому граничные условия в точности совпадают с теми, которые нам нужны, и, стало быть, в силу теоремы единственности это и есть искомая функция Грина для верхней полуплоскости.

Теперь мы можем подставить эту функцию Грина в наш интеграл. Классическое значение X. служащее решением уравнения (2.5.4), это

ХС1 = za' f G(z, z'^J^z'^dz'.(2.5.8)

Сделаем теперь сдвиг переменной интегрирования:

Х^Х^ + Х,.(2.5.9)

Итак, мы находим, что функциональные интегралы могут быть вычислены с помощью (1.7.10):*

J М exp { - ^ fа^ДХ^г + z JЛ^Х^Ц

{

а') у J Jp (z) G (z, /) J^ (z') dzdz' ?

=exp {a'kf • kj In | zt — Zjl}

= nk.-Zjl2^^.(2.5.10)

i <J

Здесь

^^ = YUz-z^. j

Собирая вместе все в выражении (2.5.2), находим

An = $* П k-z^2^.(2.5.11)

1 ^ i < j ^ N

(Заметим, что мы явным образом удалили «самодействие»-член, в котором / = у; он был бы расходящимся. Можно обрезать интеграл и все же сохранить конформные свойства теории. Мы обнаружим, что это обрезание нужно проводить методом гармонических осцилляторов.)

Теперь нужно завершить последний шаг, а именно зафиксировать меру dpi.

Первое предложение состоит в том, что если амплитуда выражена через zb то меру можно взять просто равной единице. Это правильный выбор, совместимый с конформной инвариантностью. Чтобы это доказать, вспомним, что выше мы утверждали необходимость суммировать

по всем конформно неэквивалентным поверхностям. Рассмотрим множество конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и таких, что вещественная ось также отображается на себя. Вообще говоря, точки вещественной оси, отображающиеся друг в друга, связаны некоторым подмножеством конформных преобразований, которые называются проективными преобразованиями, или преобразованиями Мебиуса:

(2.5.12)(2.5.12)ay + b су A- d

(2.5.12)

(2.5.12)

Здесь а, Ь, с и d- вещественные числа, удовлетворяющие соотношению ad — be = 1. Этот набор четырех параметров образует вещественную матрицу с единичным определителем:

(2.5.13)(2.5.13)а /А.с d)

(2.5.13)

(2.5.13)

В общем случае группа, определяемая множеством всех вещественных матриц размера 2 х 2 с единичным определителем, есть группа SL (2, Л) (см. приложение). Заметим, что эта группа преобразований может быть порождена следующими последовательными преобразованиями:

у-*у-*у-*у-*у + Ь, ау,(2.5.14)

у-*

у-*

у-*

у-*

1

У*

Итак, мы хотим, чтобы амплитуда, включая вклад меры, была проек- тивно инвариантной.

Сделаем проективное преобразование подынтегрального выражения, чтобы увидеть, как оно преобразуется:

п te - Z^' ^ = П ^ - z#a'kl ‘ п (« - ^)2-(2.5.15)

i<ji<jk

Нам нужно, чтобы наша мера компенсировала неинвариантный член приведенного выше выражения. Возьмем в качестве меры число 1 и ограничим область интегрирования условием zf>zl+1. Осталась одна последняя трудность. Нам по-прежнему необходимо «фиксировать калибровку» для проективных преобразований, чтобы избежать повторного счета диаграмм. Мы должны интегрировать один и только один раз по каждой проективно отличной от других конфигураций переменных Zj. Если внешний импульс втекает в верхнюю полуплоскость в точках, задаваемых переменными zb то мы можем фиксировать три из этих точек произвольным образом. Это соответствует «фиксации калибровки» для проективной инвариантности, отбирающей только проективно неэквивалентные параметризации. Конечный результат дается фор-

мулой

0(2 _ z.+ ) ”

Ф =—- И dz,,(2.5.16)

UVabc i=l

где мы явным образом устранили вклад от трех фиксированных точек

Ь,с •

dVobc = dz„dzbdzAzo - zbYl(zb - zcY4zc - z^1.(2.5.17)

Здесь za Ь с-три точки, произвольным образом выбранные на вещественной оси. Отметим, что мы фиксировали значения трех переменных, так что мы интегрируем только по проективно неэквивалентным конфигурациям. (Если бы мы интегрировали по этим трем переменным, то получился бы повторный счет по области интегрирования. Мы интегрировали бы по бесконечному числу копий одного и того же объекта.)

Простейший выбор этих трех фиксированных точек таков:

Z1 = 00 ,

z2 = 1,(2.5.18)

ZN = 0 .

При такой конфигурации наш окончательный результат для N-точечной амплитуды принимает вид [14-19]:

N- 1

^ = fH^ П (z.-z^^,(2.5.19)

1 = 32^/<>^N

где область интегрирования есть

оо = zx ^ z2 = 1 ^ z^... zN -1 ^ zN = 0.(2.5.20)

Это окончательный результат для N-точечной амплитуды, который мы получили, используя только функциональные методы.

Подытожим сделанное.

Мы взяли длины струн равными нулю для внешних тахионов, так что мировая поверхность N-точечной амплитуды превратилась в горизонтальную полосу на комплексной плоскости; ширина этой полосы равна к. Импульсы, вносимые внешними тахионами, втекают в эту полосу в заданных точках zb расположенных на вещественной оси (см. рис. 2.6).

Отобразив с помощью конформного преобразования эту полосу на верхнюю полуплоскость, мы в явном виде вычислили функцию Неймана, использовав известный в электростатике прием-метод изображений.

Проектная инвариантность фиксирует интегральную меру равной числу 1. Мы упорядочили внешние точки условием zt ^ zi+1.

Мы «фиксировали калибровку», ограничив степени свободы, оставшиеся в рамках проективных преобразований, т. е. фиксировали три из N точек подынтегрального выражения.

Последнее выражение для N-точечной амплитуды (2.5.19) охватывает только случай, в котором внешние тахионы входят в мировую поверхность в выбранных точках на границе. В принципе на границе могут находиться частицы с произвольным спином. Для высоких спинов мы получим тот же самый множитель elk х, представляющий часть преобразования Фурье, умноженный на тензор поляризации высших спинов. Поэтому вертексная функция для тахиона на самом деле-не eik х, которая универсальна для всех спинов, поскольку является частью преобразования Фурье. Подлинная вертексная функция для тахиона - это просто число один.

Вертексы для спина 2 можно представить в виде

v= Vggab5„X'15ьXv6vlVeik-x^(2.5.21)

где 8gv- тензор поляризации. В общем случае

v=.^А(2.5.22)

ОТ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА К ОПЕРАТОРАМ

Мы использовали для вычисления N-точечной амплитуды функциональные методы. Единственной нетривиальной частью вычисления было интегрирование по конформно неэквивалентным двумерным комплексным поверхностям, которое определяет меру интегрирования амплитуды.

То же самое вычисление можно выполнить с помощью формализма гармонических осцилляторов, который, как мы подчеркивали, является лишь специфическим представлением континуального интеграла, для которого гамильтониан диагоналей. Для деревьев и первой петли метод гармонических осцилляторов весьма прост, поскольку гамильтониан диагоналей на фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Однако для высших петель это уже не так: метод гармонических осцилляторов становится все более трудоемким и непрактичным. Континуальный интеграл поэтому обеспечивает единственный систематический способ изучения амплитуд высших петель с относительной простотой. (Вычисление аномалий, однако, легче провести в формализме гармонических осцилляторов, где целочисленный индекс п служит параметром обрезания теории. В формализме континуального интеграла приходится использовать метод расщепления точки и другие способы регуляризации, как мы увидим в гл. 5.)

Мы знаем, что в функциональном формализме пропагатор для свободных струн дается формулой

<ха ^те-хН<ха ^те-хНООХь> = <ХаХь> = <Ха1L0-l1L0-lХ„>.Х„>.(2.6.1)(2.6.1)

<ха ^те-хН

<ха ^те-хН

О

О

Хь> = <Ха

Хь> = <Ха

1L0-l

1L0-l

Х„>.

Х„>.

(2.6.1)

(2.6.1)

Подобным образом нам известно, что в результате вставки в конти-

нуальный интеграл полного набора промежуточных состояний вер. тексная функция /-го тахиона принимает вид

<Ха\гк-х‘\Хь'),(2.6.2)

где

(2.6.3)(2.6.3)^ = ХДп = 0, T = Tf). Вследствие тождества

(2.6.3)

(2.6.3)

\X>^DX<X\ = 1

мы можем исключить все континуальные интегралы из N-точечной функции и совершить переход от формализма континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. Для примера начнем с выражения для N-точечной тахионной амплитуды в формализме континуального интеграла и подставим в него соответствующие формулы в терминах гармонических осцилляторов:

N

An = ^DXdpe~s PI eik,x^

i = 1

= f d\ie~s {... dk‘x^ | Xj> f DXj (Xj | eik‘*-^ ^* ->'}

= f ф {...e“>x<0) | Xj> f DXj <Xj |" ^Heik- -x (0)" }

= Ш^<0, kt \е‘к2х№е-'Т‘не‘кзХ№-\0, kN>

= <0, kt | K(k2)O^(k3)... Ц^-ОЮ, kN>.

Некоторые моменты в этом выводе требуют пояснения. Во-первых, в формализме континуального интеграла мы обнаруживаем необходимость исключить вклад члена с i = j в подынтегральное выражение (2.5.10). Подобным образом нам также придется проделать обрезание в формализме гармонических осцилляторов. Выражение для вертексной функции (2.6.2) формально становится бесконечным при переходе к гармоническим осцилляторам. Например, если мы бесхитростно возьмем вакуумное среднее от экспоненты, то мы получим расходящуюся сумму. Нормально упорядоченное выражение - вот то, что нам нужно; его матричные элементы конечны. Возьмем экспоненциальную функцию от (2.2.11):

-.expik^X^c = 0, т,): = exp\к- £ —-e,MTi>e,k Х(т,)ехр) —к- £ —е Z”TV.

I П=1 п )(П=1 И J

(2.6.4)

(Нормальное упорядочение состоит в переносе всех операторов рождения (уничтожения) налево (направо), чтобы матричные элементы получившегося оператора были конечными.)

Во-вторых, при переходе от континуальных интегралов к операторам мы использовали тот факт, что гамильтониан является генератором

сдвигов по т. Выражение Lo— 1 действует как эффективный гамильтониан для горизонтальных смещений в комплексной плоскости. Оказывается полезной следующая формула:

yLWL” =№пУ-")(2.6.5)

для любой функции /. Так, мы можем определить

/оКо№)У"4 = У^ь у, = e~Xl).(2.6.6)

Мы использовали это выражение при переходе от континуальных интегралов к гармоническим осцилляторам, когда мы преобразовали вертексные функции в xf в вертексные функции в начале координат.

В-третьих, в приведенном выше выводе формализма гармонических осцилляторов мы ввели вакуумное состояние |0,/с). Заметим, что функциональный формализм начинался с представления мировой поверхности взаимодействующих струн в виде бесконечной полосы шириной к, горизонтально расположенной на комплексной плоскости. Внешние линии располагались вдоль вещественной оси. Поэтому результат воздействия струны, приходящей из отрицательной (положительной) бесконечности, соответствует функциональному интегралу по полубес- конечной полосе. Так, вакуумное состояние |0) есть функциональный интеграл теории струн по полубесконечной полосе. Мы можем представить тахионный вакуум с импульсом к следующим образом:

|0;&> = Лх|0;0>,(2.6.7)

где

а„|0;0> = 0; и^О.(2.6.8)

Собирая все вместе, мы можем теперь преобразовать континуальный интеграл к виду, отвечающему формализму гармонических осцилляторов:

N-1

An = |ф^DXe~s [^ dziexpik^1^ = 0; tJ i = 3

= <0; kt | Уо lk2Wo (k3)D... DV0(kN_ J10; kN>.(2.6.9)

Важно понять, что выражение амплитуды через гармонические осцилляторы прямо следует из функционального формализма.

К счастью, эта амплитуда вычисляется несложно. В качестве упражнения сначала вычислим в явном виде четырехточечную функцию:

Я4 = <0; к^У^ПУ^^ к4)

f00 а 1 Г00 а )

= f tZxx^^-1 <(01 ехр Л — к2- ^ — г xR exp jк3 • £ —|0)

ОI п = 1 П J( п= 1 П )

^dxx-^-^-xY^'"1 о

Г(-а(5))Г(-а(0)

Г( —a(s) - a(z))

= B(-a(s), -a(z)).(2.6.10)

Здесь

aW = 1 + ^

s = — (/с, + к2У,

z=-(k2 + k3)2,(2.6.11)

и = - (^ + к3)2

суть переменные Манделстама, а Я- оператор чисел заполнения: R =

= £ папап. Итак, четырехточечная амплитуда рассеяния имеет изящный л = 1

вид; действительно, ее можно представить бета-функцией Эйлера. Данная функция обладает привлекательными физическими свойствами, впервые поразившими воображение специалистов по теоретическим проблемам высоких энергий в конце шестидесятых годов. Она была совершенно случайно обнаружена Венециано и Судзуки при поиске способа удовлетворить правилам конечности энергетических сумм для адронной S-матрицы. В то время теоретики стремились построить амплитуду рассеяния для адронов, отвечающую следующим критериям для S-матрицы, которые предложил Дж. Чу:

Унитарность.

Лоренц-инвариантность.

СРТ-инвариантность.

Аналитичность.

Кроссинг-симметрия.

К этому списку некоторые теоретики добавляли следующие критерии:

Реджевское поведение, т.е.

Л(^, z)~5aw(2.6.12)

для больших 5 при фиксированном г, а также

Дуальность, т. е.

Этот список «аксиом» для адронной S-матрицы оказался столь длинным, что физики не верили, что когда-либо удастся удовлетворить всем перечисленным выше критериям. Поэтому, когда бета-функция Эйлера была случайно обнаружена при перелистывании математического справочника, эти два молодых физика были удивлены тем, что эта аналити-

ческая функция удовлетворяла всем вышеприведенным аксиомам, кроме одной! Например, реджевское поведение можно показать с помощью формулы Стирлинга, аппроксимирующей Г-функцию:

(2.6.14)

Дуальность можно продемонстрировать также и другим способом, вычислив асимптотику полюсов подыинтегрального выражения вблизи пределов интегрирования х = 0 и х = 1:

A^s, t)~A^s, t)~(2.6.15)(2.6.15)1 (g(z) + l)(a(z) - 2)...(a(z) + и) n\а(л) — п

A^s, t)~

A^s, t)~

(2.6.15)

(2.6.15)

Похожее выражение можно записать и для полюсов в z-каналах. Фактически можно удовлетворить всем постулатам, кроме первого (унитарности). (Унитарность нарушается по той простой причине, что амплитуда имеет ряд полюсов в плоскостях s и L У настоящей унитарной амплитуды должны быть мнимые части вместо полюсов и разрезы вдоль вещественной оси, как будет показано в гл. 5.)

Теперь с помощью операторных методов можно вычислить N-to- чечную функцию. N-точечная амплитуда записывается в следующем виде (см. рис. 2.7):

^ = <0; k1\V^D...V(kN_1№kN>

= J П — <0; *t | K(fc2, 1)И(Х3,^(^)-.^-ь^-1)|0; kN>, 0 i = 3 xi

(2.6.16)

где

П7=Пр

1 = 3 xi i = 3 У(

(2.6.17)(2.6.17)У,= х3х4...х(.

(2.6.17)

(2.6.17)

(Заметим, что мы переносили множители при xR направо, пока они не подвергнутся аннигиляции с вакуумом.) Проще всего упростить это выражение с помощью формализма когерентных состояний. Пусть произвольное состояние фоковского пространства представлено в виде

(2.6.18)(2.6.18)(2.6.19)(2.6.19)l*>= f ^(а7Ю> = ^Ю>.

(2.6.18)

(2.6.18)

(2.6.19)

(2.6.19)

Тогда мы получим

<ц|Х> =

I Х> = | хХ),^|Х> = |Х + ц>.

7-787

Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из N переменных. Наиболее удобная параметризация-взять первую переменную равной бесконечности, вторую-единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из N переменных. Наиболее удобная параметризация-взять первую переменную равной бесконечности, вторую-единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.

Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из N переменных. Наиболее удобная параметризация-взять первую переменную равной бесконечности, вторую-единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.

Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из N переменных. Наиболее удобная параметризация-взять первую переменную равной бесконечности, вторую-единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.

Последовательно используя эти тождества, находим

(2.6.20)

Итак, мы получили то же самое выражение для N-точечной функции (2.5.19), которое было выведено ранее функциональными методами:

/V — 1

^ = fn^ П ^-У^к'к).(2.6.21)

i = 3l^Kj^N

Здесь yt упорядочены вдоль вещественной оси так же, как ранее. Заметим, что мы уже зафиксировали значения трех точек вдоль вещественной оси равными 0, 1 и оо, как и ожидалось.

Используя формализм гармонических осцилляторов, можно показать циклическую симметрию N-точечной функции, которая не очевидна, когда амплитуда записана как последовательность VD VD VD VD V. Мы применим следующее тождество, описывающее, что произойдет, если два вертекса пронести друг над другом (поменять местами):

Ж, у^ V(k2, у^ = V(k2, у2) V^, y^expU^Wk^x - у2)] . (2.6.22)

Здесь е(х) = 1, если х > 0, и e(x) = — 1, если х < 0.

Необходимо также переписать представление вакуума 10; kN ) в форме, в которой оно напоминает другие вертексы, чтобы можно было вычислить свойства амплитуды в отношении циклического переупорядочения вертексов. Мы получим следующие тождества:

(2.6.23)(2.6.23)lim^^lO; 0> = 10; к), У —О у

(2.6.23)

(2.6.23)

lim <0; 01 уИ(к, у) = </с; 01.

При такой записи тахионные состояния в крайних левом и правом положениях больше не рассматриваются отличным от других способом. Крайний вертекс справа теперь определен в точке 0, крайний слева-на бесконечности, а все другие вертексы располагаются внутри этого интервала.

Итак, когда мы протолкнем вертекс N через все выражение для амплитуды, то получим

' N — 1 ' 2diKkN* k^ . i = i .' N — 1 ' 2diKkN* k^ . i = i .(2.6.24)(2.6.24)(V(kv ь)-Ж», Ун))

' N — 1 ' 2diKkN* k^ . i = i .

' N — 1 ' 2diKkN* k^ . i = i .

(2.6.24)

(2.6.24)

= WkN, yN) V(ki, jO... IW-!, >-J>exp

Заметим, что последний множитель в этой формуле обратится в нуль, если импульс сохраняется, т. е.

N

Lk^O;(2.6.25)

i=l

здесь мы использовали также условие массовой поверхности a'/cj = 1. Мы видим, что лишь на массовой поверхности амплитуда действительно является циклически симметричной. (Исторически это послужило еще одной причиной, по которой физики считали, что построение полевой теории струн, скорее всего, невозможно. По определению полевая теория формулируется вне массовой поверхности, тогда как чудесные свойства модели Венециано проявляются только на массовой поверхности.)

§ 2.7. ПРОЕКТИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ТВИСТЫ

В дополнение к циклической симметрии мы утверждаем, что подынтегральное выражение N-точечной функции является инвариантным относительно преобразований Мёбиуса, т. е. функция останется той же самой, если сделать следующую замену переменных:

(2.7.1)(2.7.1)ay А- b су + d'

(2.7.1)

(2.7.1)

где

ad - be = 1.(2.7.2)

Мы продемонстрировали эту инвариантность в функциональном формализме. Теперь непосредственно сделаем это преобразование Мёбиуса Для матричных элементов гармонических осцилляторов:

<О.О|ИМ1)...Г^|О;О>.

Ун

= <0; 0110; 0> [J (а - с^)2-(2.7.3)

У1 Ун21

(2.7.4)(2.7.4)Как мы видели выше, этот множитель можно сделать равным единице изменением меры:

(2.7.4)

(2.7.4)

Оказывается, что можно действительно вычислить генератор таких инфинитезимальных преобразований вертексной функции. Нас не должно удивлять, что генератором этих преобразований Мёбиуса оказывается совокупность генераторов Вирасоро. Определим

(2.7.5)(2.7.5)Т= 1 -e£a„L„,

(2.7.5)

(2.7.5)

z = z' + е £ a„z"+1.

Тогда

TV(kb z^T"1 = (1 - га'к^па^У^, z[),

lLn, V(kh z^ = z"lLn, V(kh z^ = z"d „2 zV na kt . dz .d „2 zV na kt . dz .V^kb z<).V^kb z<).(2.7.6)(2.7.6)

lLn, V(kh z^ = z"

lLn, V(kh z^ = z"

d „2 zV na kt . dz .

d „2 zV na kt . dz .

V^kb z<).

V^kb z<).

(2.7.6)

(2.7.6)

Мы будем говорить, что конформный вес вертекса V равен a'kt. (Конформный вес будет играть важную роль в доказательстве того факта, что струнная модель свободна от духов. В гл. 4 мы объясним происхождение конформного веса, который помечает неприводимые представления конформной группы, порождаемой элементами Ln алгебры Вирасоро. Чтобы вертексная функция была правильно определена, она должна иметь вес 1 на массовой поверхности, что справедливо для тахиона.)

Ясно, что Ln порождают конформные преобразования, действуя на вертексные функции. В самом деле, можно показать, что конкретное представление алгебры Вирасоро на конформных полях дается выражением

L„= -z"+15z.

Это представление удовлетворяет определению конформной алгебры (2.2.27) (за вычетом центрального члена) и порождает конформные преобразования функций комплексной переменной г.

Нас интересует подгруппа конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, т. е. проективная подгруппа. Эта подгруппа порождается только тремя элементами Lv L_x, Lo, которые образуют SL(2, R);

SL(2, R):SL(2, R):(2.7.7)(2.7.7)[L1,L0]=L1,

SL(2, R):

SL(2, R):

(2.7.7)

(2.7.7)

-< [L-i, Lo] = L-x,[L1,L_1] = 2L0.

Легко вычислить преобразование вертексной функции, индуцированное этими генераторами:

^LW^e”aLv = И>(1 -а^)"1],

^LoV^e~bL° = V[eby],(2.7.8)

^-iV^e"'1-! = V(y + cV

Если U служит элементом группы SL(2, R), то мы также имеем

17|0; 0> = |0; 0>.(2.7.9)

(На первый взгляд это может показаться удивительным, потому что нам известно, что реальные состояния уничтожаются элементом Ln при положительных, а не при отрицательных значениях п. Однако 10; 0) не является реальным состоянием. Оно уничтожается элементом L_t, потому что

L-! 10; 0> а0 • а_! 10; 0> = 0(2.7.10)

вследствие равенства а010; 0). Итак, 10; 0) соответствует истинному вакууму группы SL(2, К), который не является реальным состоянием теории. Когда мы умножим 10; 0) на elkx, то оно станет реальным состоянием (поскольку х подчиняется коммутационным соотношениям с а0) и будет уничтожаться элементом Ln для положительных п.)

Собрав все вместе, получим

<0; 01 С/"1 У-- У1-У^™’ У^ U~lU\0; 0>

Уг Ум

(2.7.11)

- <0; 0| *^...^|0;0>П («-с,»-.

У1 УмДА

что воспроизводит (2.7.3).

Кроме калибровочной группы Вирасоро, есть еще одна особенность теории струн, полностью отсутствующая в случае точечных частиц. Эта особенность - оператор твиста. Вспомним, что струна заметает двумерную мировую поверхность, а не просто одну линию. Поэтому если бы нам нужно было «перекрутить» мировую поверхность, то струна стала бы заметать топологически неэквивалентную мировую поверхность. На однопетлевом уровне, например, это решающее топологическое отличие Диска с дыркой от листа Мёбиуса.

Простое выражение для оператора твиста Q [20] можно вывести из следующего наблюдения: вертексная функция, расположенная на вещественной оси, должна превратиться в вертексную функцию, расположенную на верхней границе полоски. Это дает

ПИ(а = к)О-1 = 7(а = 0).(2.7.12)

Заметим, что единственное изменение вертексной функции при этом

преобразовании-то, что каждый осциллятор, находящийся на уровне п, умножается на (—1)". Поэтому оператор твиста должен иметь вид

Q = (-l)N+\(2.7.13)

где

N = fa-^-(2.7.14)

n = 1

Заметим, что он удовлетворяет тому соотношению, которому он должен по смыслу удовлетворять:

Q2 = 1.(2.7.15)

Это определяет оператор твиста с точностью до знака. Однако поскольку N четных состояний четны относительно зарядового сопряжения, a N нечетных состояний нечетны относительно С, то это фиксирует значение Q, выбранное в этом выражении.

Существует эквивалентный метод вывода формы оператора твиста. Заметим, что действие оператора твиста на дерево будет состоять в обращении ориентации внешних линий (см. рис. 2.8):

QV^DV^k.VV^^ kN) = VQ(kN)DVQ(kN^^ kt>.

(2.7.16)

Видим, что циклическое упорядочение дерева оказалось обращено применением оператора твиста. Чтобы извлечь оператор, выполняющий это обращение, сначала запишем данное выражение через переменные у;

N-1

Of П dy^^.y^.-VtAk^y^O; 0>.(2.7.17)

i = 2

Здесь мы перешли к пределу yt -► 1 и yN -► 0.

В этой записи становится очевидным, что можно обратить циклическое упорядочение амплитуды и поменять местами yt и yN заменой переменных

y'i = 1 - У, •

12Л/—1N NN-1 2

N 12/V-11

Рис. 2.8. Действие оператора твиста. Оно равносильно перевороту всей диаграммы вверх ногами, но в силу дуальности мы всегда можем переписать диаграмму, вернув ее к исходной конфигурации (с перенумерованными внешними линиями).

т перь выпишем оператор, осуществляющий такую замену переменных. Выше были приведены генераторы группы SL (2, R\ дающей проективное преобразование вертексной функции. Изучив эту замену переменных, ^ легко находим, что оператор твиста должен даваться выражением

£2 = (_1)»е-ь-1. (2.7.18)

Хотя эти две формы оператора твиста кажутся совершенно различными, они на самом деле совпадают на массовой поверхности. Поскольку амплитуда Венециано определена строго на массовой поверхности, мы можем свободно выбирать любую из этих двух форм оператора твиста.

ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ

До сих пор наше обсуждение было применимо лишь для открытых струн, для которых внешние тахионы прикреплялись к конечным точкам конформной полосы, заметаемой струной. Полюсы появляются в модели Венециано, когда две точки и, и z^ расположенные на краю полосы, близко подходят друг к другу. Теперь рассмотрим модель Шапиро- Вирасоро, основанную на замкнутых, а не на открытых струнах и соответствующую континуальнуму интегралу, взятому по трубке (или сфере), заметаемой замкнутой струной. Структура полюсов этой модели намного обширнее исходной функции Венециано, поскольку внешние состояния могут прикрепляться в любом месте поверхности трубки при ее движении в пространстве-времени [21]:

(2.8.1)(2.8.1)A (s, t, к) =

(2.8.1)

(2.8.1)

г -^(«(0+ «(«)) Г -1(а(и) + сф)) Г - 1(а(») + a(z))

(2.8.2)(2.8.2)Эта функция, в отличие от описанной выше функции Венециано, имеет полюса одновременно во всех трех каналах, а не лишь в двух. Это выражение легко обобщить, чтобы получить N-точечную функцию:

(2.8.2)

(2.8.2)

2<i<j^N где

п^.

*-|z.-zJ2|Zt-zJ2|Zc-zJ2-^l—(2.8.3) dzadzbdzc

Как и в случае функции Венециано, полюсы этой амплитуды появляются при сближении двух переменных zf и zh но теперь полюсы могут

встретиться в любой точке комплексной плоскости, а не только на вещественной оси.

Наша исходная точка при квантовании замкнутой струны-это выражения (2.2.21), дающие разложения струнной переменной и сопряженной ей переменной по нормальным модам. Канонические коммутационные соотношения остаются теми же, что в (2.2.7), что приводит к гамильтониану (2.2.22). Как и в случае открытой струны, мы можем разложить амплитуду на вертексы и пропагаторы в формализме гармонических осцилляторов, но появится несколько важных отличий.

Теперь у нас будет два набора взаимно коммутирующих гармонических осцилляторов ап и ап, по которым нужно вести суммирование, а не один набор, как в случае открытой струны.

Условия Вирасоро теперь состоят из двух наборов конформных генераторов Ln и 1П, действующих на физические состояния:

L„ | ф> = L„ | ф> = 0, ~(2.8.4)

(Lo — 1)| ф> = (Lo — 1)| ф> = 0.

Нам придется интегрировать по всем сдвигам переменной и, так как состояния замкнутой струны должны быть независимы от выбора точки отсчета переменной и.

Амплитуда не является просто последовательным произведением вертексов и пропагаторов. Поскольку внешние линии могут возникнуть повсюду в комплексной плоскости, необходимо суммировать по всем различным упорядочениям внешних линий.

Фиксация веса вертексной функции равным 1 и применение соображений сокращения аномалий показывают, что интерсепт для замкнутой струны должен быть равен 2, а а'к2 = 2; это значит, что теория с необходимостью содержит безмассовый гравитон. Фактически линеаризованная общековариантная калибровочная симметрия общей теории относительности возникает просто как низший порядок калибровочной симметрии Вирасоро (подробнее об этом будет говориться в гл. 7).

Начнем с обсуждения пропагатора:

D = ™ f zL° “ 2iL° “ 2d2z

= sinn(L0-L0) 1

k(L0-L0) Lo + Lo — 21

На самом деле это выражение имеет простую физическую интерпретацию. Заметим, что множитель, содержащий разные L в знаменателе, есть просто обычный пропагатор замкнутой струны. Однако функция, содержащая синусы, равна нулю, кроме случая

L0 = L0.(2.8.6)

Рис. 2.9. Конформные поверхности для распространения замкнутых струн. В плоскости р струна распространяется по горизонтальной полосе шириной 2к с отождествленными верхней и нижней границами, что топологически эквивалентно трубке. В отличие от случая открытой струны, внешние линии прикрепляются не на границе, а во внутренних точках поверхности. В плоскости z эта поверхность переводится экспоненциальным отображением на всю комплексную плоскость.

Это можно представить в виде

^dc exp i2kg (Lo — L^. (2.8.7)

Оператор (2.8.7) можно интерпретировать двояко. Если явнымобразом выполнить интегрирование, мы получим оператор 5(L0 —Lo). Это оператор проектирования, действующий на полное гильбертово пространство и уничтожающий состояния | ф), не удовлетворяющие условию (Lo — Е0)|ф) = 0. С другой стороны, заметим, что этот оператор порождает сдвиг переменной и на один полный цикл, так что такой пропагатор просто выражает тот факт, что при движении замкнутой струны нужно интегрировать по одному полному циклу. Амплитуда замкнутой струны поэтому не зависит от выбора начала отсчета параметра а. (Это ограничение будет иметь важные последствия при обсуждении компактификации замкнутой и гетеротической струн в последующих главах.)

На рис. 2.9 мы видим, что мировая поверхность первоначально представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости шириной 2л, у которой верхняя и нижняя горизонтальные границы отождествлены (она образует длинную горизонтальную трубку). Внешние тахионные линии могут входить в эту трубку изнутри. Мы видим также, что экспоненциальным преобразованием этих координат можно отобразить такую горизонтальную трубку на всю комплексную плоскость.

Как и прежде, вертексная функция снова дается выражением : е1кХ:, где струна X определена в той точке комплексной плоскости, в которой входит внешний импульс. Поскольку два набора гармонических осцилляторов коммутируют, то вертексная функция превращается в произведение двух вертексных функций открытой струны. Окончательное выражение для N-точечной амплитуды рассеяния тахионов дается формулой [22, 23]

А„ = <0;kt\V(k2)D...VtkN-i)\0;kN>. (2.8.8) перестановки

Суммирование по всем возможным перестановкам порядка внешних линий гарантирует, что переменные zt могут свободно блуждать по комплексной плоскости.

УНИЧТОЖЕНИЕ ДУХОВ

Мы разработали формализм гармонических осцилляторов посредством формализма Гупты-Блейлера. В конформной калибровке теория сохраняет явную лоренц-инвариантность и фактически становится теорией, построенной на свободных полях. Это объясняет тот факт, что теория на древесном уровне записывается весьма просто.

Цена, которую приходиться платить за эту простоту, состоит, однако, в том, что связи Вирасоро должны быть наложены непосредственно на гильбертово пространство, чтобы уничтожить духи.

В общем случае доказательство того, что духовые состояния не взаимодействуют с древесными диаграммами, весьма просто. (Это доказательство неприменимо к петлевым диаграммам, для которых необходимо проявить предельную осторожность, чтобы духовые состояния были уничтожены надлежащим образом.) Определим реальное физическое состояние как такое, которое удовлетворяет связям Гупты- Блейлера:

Ln\R> = 0; и>0, [Lo — 1]|Л> = 0. (2.9.1) Шпурионное состояние определим как невзаимодействующее с физическими:

<S|/?>=0. (2.9.2)

Такое состояние удобно представить в виде

\S> = L_n\X>(2.9.3)

для некоторого состояния X- Теперь мы хотим показать, что эти щпурионные состояния не взаимодействуют с деревьями, т. е.

(S | Дерево) = 0.(2.9.4)

Для этого нам потребуются еще два тождества:

[L„-L0-n + 1] Ио = K0[L„ - Lo + 1] ,

(2.9.5)

[L„ - Lo + 1]—!— =J [L„ - Lo - n + 1] .

(Это легко показать на основании равенств (2.7.6), которые в свою очередь решающим образом зависят от того, что вертексная функция имеет конформный вес 1, если внешние тахионы удовлетворяют условию а'к2 = 1. Тем самым ограничение на конформный вес вертексной функции играет центральную роль в уничтожении всех духовых состояний теории.)

Из этих двух тождеств легко выводится

ап - Lo - п + 1] V0DV0D... Ио 10> = 0.(2.9.6)

Это и есть нужный нам результат. Он показывает, что операторы L можно проталкивать вправо до тех пор, пока они не будут аннигилированы вакуумом.

В итоге мы показали, что шпурионные состояния не взаимодействуют с деревьями:

Ln | Дерево) = 0 -► (S | Дерево) = 0.(2.9.7)

Это значит, что нам не нужно делать какие-либо специальные изменения в функционале для древесных амплитуд с целью учесть присутствие духов. Духовые состояния, распространяющиеся внутри древесной амплитуды, автоматически взаимно уничтожаются. Однако мы обнаруживаем, что петлевые функции действительно наталкиваются на трудности, вызванные внутренним распространением духов. Причина в том, что

<51Дерево^) /0.(2.9.8)

Если бесхитростно пройти по деревьям, чтобы получить петли, мы неизбежно включим присутствие духов, которое может быть выделено в явном виде:

^петли = £ <« | Дерево I и).(2.9.9)

Сумма по \п) явным образом содержит духовые состояния.

То, что духи не взаимодействуют с деревьями и вносят вклад лишь

в петлевые диаграммы, в точности эквивалентно тому, что наблюдается в случае теории Янга-Миллса. Вклад духов Фаддеева-Попова в теорию Янга-Миллса вносится не в деревья, а в петли. Этот вклад (см. (1.9.30)) таков:

c^D^c.(2.9.10)

Заметим, что это дает следующее взаимодействие калибровочного поля А с духовым полем с;

Lj^cAc.(2.9.11)

Такое взаимодействие означает, что одиночный дух не может взаимодействовать с древесной диаграммой, состоящей из калибровочных полей. Он может вносить вклад только в петли, где поля могут циркулировать по диаграмме. Поэтому особое внимание требуется для того, чтобы гарантировать взаимное погашение духов Фаддеева-Попова и состояний с отрицательной метрикой.

Доказать, что условия Вирасоро полностью уничтожают все возможные духовые состояния,-это, однако, предельно сложная задача. В принципе, способность перейти к калибровке светового конуса обычно достаточна для доказательства того, что теория свободна от духов. Но никогда нельзя быть уверенным, что квантование не внесет аномалий, разрушающих это положение. Поэтому становится важной непосредственная проверка отсутствия духов в фоковском пространстве для формализма Гупты-Блейлера. Существуют два независимых доказательства этой теоремы [24, 25], и оба не слишком просты. Следующее ниже обсуждение читатель может пропустить.

Чтобы не затемнять смысла многочисленными подробностями, сначала вкратце опишем стратегию уничтожения духов. Построим набор физических операторов Гт и К;, таких, что

они коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро:

[L„, KU=0,[L„, Г"] = 0;(2.9.12)

Г„ и V; порождают физическое гильбертово пространство:

|физ> =(2.9.13)

состояния этого пространства имеют или положительную, или нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы.

Исходное фоковское пространство D-мерных гармонических осцилляторов должно быть эквивалентно множеству состояний, порождаемому этими (D — 2)-мерными поперечными операторами, отрицательными составляющими этих осцилляторов и исходными операторами Вирасоро:

^-„У-^Ь-Д-(2.9.14)

Операторы L-n порождают духовые состояния, так что если взять только состояния VLn и У-п, мы получим правильные, не содержащие духов состояния. Это и будет нужный нам уничтожающий духи результат, который мы хотим теперь доказать.

Сначала определим

2л

z = -f У\пк0,т)ск,(2.9.15)

Z7C 0

где

Г (пк0, т) = X ‘егпк”-х"м,(2.9.16)

а к0-нулевой вектор:

(2.9.17)(2.9.17)ко = 0,

(2.9.17)

(2.9.17)

ко = - 1, ко = ко = 0.

Мы можем рассматривать этот вертексный оператор в качестве вертекса для вставки безмассовой векторной частицы. Этот специальный вид вертексной функции был выбран по следующей причине. Заметим, что поскольку к0- нулевой вектор, то коммутационные соотношения генераторов алгебры Вирасоро с этим вертексным оператором будут следующими:

ат, И(г)] = - Ае™ V^.(2.9.18)

dr

Заметим, что это выражение представляет собой полную производную. Проинтегрировав ее по окружности, немедленно получаем

ат,А^=0.(2.9.19)

Итак, мы выбрали такую форму вертексной функции, чтобы удовлетворить первому критерию: все А коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. До сих пор, однако, у нас не было иных ограничений на ^о, кроме того, что это должен быть нулевой вектор. Нужно наложить дополнительные ограничения, чтобы выполнялось второе условие.

Начнем с вектора импульса р0 основного состояния, такого, что р0 и к0 удовлетворяют условиям

Теперь применим вертексный оператор А1п к вектору состояния |0; р0>. ° результате получим состояние с импульсом р0 + пк0. Мы хотим, чтобы это состояние удовлетворяло также условию массовой поверхно-

сти. Вследствие этого мы требуем

а'М2 = - ^(р0 + пк<У = - 1 - п.(2.9.21)

Итак, мы требуем, чтобы вектор импульса к0 был нулевым состоянием, чтобы вертексный оператор коммутировал с генераторами алгебры Вирасоро и чтобы к0 -р0 = 1 (с целью породить дополнительные поперечные состояния на массовой поверхности при действии на основное состояние).

Теперь мы должны полностью реализовать последнее условие, а именно, что эти операторы действительно образуют целое физическое пространство состояний. Здесь имеются некоторые трудности. На первый взгляд можно ожидать, что отрицательные моды могут быть порождены взятием ковариантного аналога значения к0. Поскольку конформный спин произведения операторов обычно является просто их суммой, то можно ожидать, что так оно и есть. Но на самом деле мы обнаруживаем, что нормальное упорядочение разрушает эту ситуацию и отрицательные составляющие не коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро:

[L„,: У "е‘лХ + : ] = ^ ( - i^ + т): X ~е‘"х + : + ^-nm2eimt + inX* .(2.9.22)

\ dx )2

Чтобы преодолеть эту трудность, в определение вертексной функции нужно добавить дополнительное слагаемое. Полное определение теперь имеет вид

^(к, т) = -.Х^е"1 х + -ik*— (logк-Х)е1к х.(2.9.23)

dx

Можно показать, что такая комбинация имеет конформный спин единица и сводится, если взять поперечные составляющие, к предыдущему выражению после его интегрирования.

Теперь найдем коммутатор этих полей:

[Ут, ^] = ^т+п - mW + n + №._„,(2.9.24)

где

СК = 2т3к^ + тгГ .(2.9.25)

Это позволяет записать

у: = 5„.о,

[Ут, Hi] =m5y5„.-„,

(2.9.26)

[И", Ц] = -лК, + п,'

[Ут, Уп1 = (т — и) У;+„ + 2т35„, ~„.

Заметим, что составляющие с индексом «плюс» исследуются тривиально

й что коммутационные соотношения поперечных операторов в точности те же, что у обычных гармонических осцилляторов. Теперь снова переопределим моды с индексом «минус»:

v; = v; - | f £ : ^К'_и:.(2.9.27)

i= 1

Собирая все вместе, получаем окончательные коммутационные соотношения:

[Гт, Ki] =т8у8„„_„,

[кт,К] = о, _^(2928)

[Ут, К"] = (т - и) К"+„ + —т35„. ,

[L„, K"]=[L„, Кт] =0.

Это окончательный набор коммутационных соотношений. Заметим, что новые операторы V” коммутируют с исходными операторами ^ и оба этих набора коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Таким образом, мы теперь построили новое гильбертово пространство линейно независимых операторов, которое можно использовать для замены исходного фоковского пространства:

^-^_ns V^L.^.(2.9.29)

Физическое гильбертово пространство, таким образом, порождается операторами {К_„, У-п}, которые эквивалентны операторам [26], которые порождают физическое пространство в калибровке светового конуса. Далее, мы знаем, что следующее состояние имеет нулевую норму:

P-n^^-P^JO).(2.9.30)

Это можно проверить, взяв норму этого состояния и используя коммутационные соотношения операторов И“. Тем самым мы получаем окончательное утверждение: множество состояний, порождаемое набором

{Г-п, Р:„},(2.9.31)

характеризуется тем, что эти состояния имеют либо положительную, либо нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы. Этим завершается доказательство того, что условия Вирасоро полностью Устраняют духи из гильбертова пространства.

§ 2.10. РЕЗЮМЕ

Первично квантованная теория струн обладает замечательным сходством с теорией точечных частиц, отличаясь от нее главным образом нетривиальным добавлением калибровочных симметрий, представляю-

щих репараметризационную инвариантность мировой поверхности. Как и в теории точечных частиц (см. (1.4.16)), у нас имеется три эквивалентные формы действия для струны:

Форма 1-го порядка (гамильтонова):

L= Р^ + ла'ХL= Р^ + ла'Х+ рР^Х^+ рР^Х^'X'2 1

L= Р^ + ла'Х

L= Р^ + ла'Х

+ рР^Х^

+ рР^Х^

Р2 ч

и (2ла')2л

~ Jg^flabP6* + ^Лц^»' •~ Jg^flabP6* + ^Лц^»' •(2.10.1)(2.10.1)Форма 2-го порядка: L=Форма 2-го порядка: L=-ДТаАхдх^. 4ла-ДТаАхдх^. 4ла

~ Jg^flabP6* + ^Лц^»' •

~ Jg^flabP6* + ^Лц^»' •

(2.10.1)

(2.10.1)

Форма 2-го порядка: L=

Форма 2-го порядка: L=

-ДТаАхдх^. 4ла

-ДТаАхдх^. 4ла

Нелинейная форма: L= ^-^(Jf ^'2 _ (^^'^^

Вкратце перечислим черты сходства случая точечных частиц и теории струн, выраженные на языке континуального интеграла:

хДт)-Хи(а, т),

Длина Площадь,

Dx = И dx^ (т) - DX = И dX^a, т),

xjxjх- ^^

xj

xj

J Dxe^^-^- j пХе1№а°а\

XiXi

NN

i = 1i = 1

Граф Многообразие,

p2 + m2 = 0 -► pи) = 0.

Vй 2ка/

Наша стратегия квантования действия струны такова: выписать симметрии теории, извлечь из них токи, вычислить алгебру, которой эти токи подчиняются, а затем применить их к гильбертову пространству, чтобы уничтожить духи. Стратегия, которой мы следуем всюду в этой книге, это

Действие -► Симметрия -> Токи -^ Алгебра -^ Связи -^ Унитарность.

Все три формы действия обладают репараметризационной симметрией, которая порождает алгебру Вирасоро:

L- = 5 f dceiTOL- = 5 f dceiTO(2.10.2)(2.10.2)(2.10.3)(2.10.3)Л2

L- = 5 f dceiTO

L- = 5 f dceiTO

(2.10.2)

(2.10.2)

(2.10.3)

(2.10.3)

* +—iL

и 2ла'_

Алгебра, порождаемая этими операторами, есть

[Ь„, LJ = (п- m)L„ + m + —(и3 - n)S„._m

Как и в случае точечной частицы, существует три способа квантования теории.

Квантование Гупты-Блейлера

В формализме Гупты-Блейлера мы фиксируем калибровку

д«ь = ^ь(2.10.4)

и полученное действие нарушает репараметризационную инвариантность, но сохраняет инвариантность относительно подгруппы конформных преобразований:

Ь=^(Х2и-Х^.(2.10.5)

Этот лагранжиан, конечно, допускает распространение духовых состояний с отрицательной метрикой, связанных с времениподобной модой переменной X. Чтобы их уничтожить, в методе квантования Гупты- Блейлера постулируется, что векторы состояний должны удовлетворять условиям

L„|v> = 0;и>0,

(Lo- 1)|ф> = 0.

Это значит, что ограничения строятся таким образом, чтобы они обращались в нуль на гильбертовом пространстве.

Хотя действие в этом формализме выглядит весьма изящно, но за это приходиться расплачиваться: уничтожение духов на векторах состояния довольно затруднительно, особенно для петлевых диаграмм. Фактически необходим обширный математический аппарат, чтобы доказать возможность полного уничтожения духов в этой калибровке.

Квантование в переменных светового конуса

В рамках этого формализма положим

Х + =2аУт.(2.10.7)

Преимущество этого подхода-возможность устранить все избыточные Духовые моды с самого начала, рассматривая только поперечные составляющие. Недостаток его в том, что формализм неуклюж и мы Должны на каждом шаге заново устанавливать лоренц-инвариантность. Удивительная особенность-то, что лоренцевы генераторы теории с нарушенной симметрией образуют замкнутую систему только в 26 измерениях. Конкретнее, трудность представляет коммутатор

— 1 00

[М-', М~^ = — I [aL„a^ - aL„a‘] А„,(2.10.8)

Р Л = 1

где

(2.10.9)(2.10.9)п1 D - 26

(2.10.9)

(2.10.9)

Д„ = -(26 -DH— + 2 - 2а

12ml 12J

Чтобы этот коммутатор обратился в нуль, должно выполняться

(2.10.10)(2.10.10)D = 26;

(2.10.10)

(2.10.10)

Квантование BRST

Метод BRST сочетает лучшие черты обоих предыдущих. Лоренц-ковариантность действия сохраняется, но состояния с отрицательной метрикой нас больше не беспокоят, так как они взаимно уничтожаются духами, циркулирующими в теории из-за детерминанта Фаддеева-Попова. Беря экспоненту от этого определителя, мы должны ввести два антикоммутирующих духовых поля b и с. Полученное в результате действие с фиксированной калибровкой все еще обладает остаточной симметрией, порождаемой BRST-зарядом

Q = С^ — л) + ^ [c-nLn 4- L-ncnl — - ^:с-тс-nbn + т(т — и).

л = 1л, m = — оо

(2.10.11)

Фиксация

Q2 = 0(2.10.12)

задает значение интерсепта, равное единице, и размерность пространства-времени, равную 26. Физические состояния теории определяются условием

61физ> = 0.(2.10.13)

Как и в теории точечных частиц, взаимодействия вводятся суммированием по всем топологически различным конфигурациям в континуальном интеграле. Основополагающее функциональное уравнение для теории со взаимодействиями, из которого выводятся все результаты этой главы, дается формулой

А^к^, к2, ...» kN) =£ Jбф^JDgabJDX

топология

x Afpexpi JLd^dx л П ^ exp ik^X^V

I i = iJ

N

= E Ж*.ЖП Jgexpik^X^. (2.10.14) топологияi=1

Эту амплитуду можно вычислить в явном виде в конформной ка-

дибровке, используя тождество

fDXexp^-^Jd^d^^z + z'J J^d1^

= exp|yf Jp(z)G(z,z')Jt4z')dzdz^ = П |z; — zj20*' k>.(2.10.15)

В конформной калибровке сумма по топологиям дается суммой по всем конформно неэквивалентным конфигурациям. Если мы рассмотрим конформные преобразования, отображающие верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, то точки вещественной оси отображаются согласно проективной группе преобразований SL(2, Л):

(2.10.16)(2.10.16)ay + b су + d"

(2.10.16)

(2.10.16)

где коэффициенты вещественны и удовлетворяют условию ad — be = 1. Это фиксирует меру d\xs так что формула для N-точечной функции принимает вид

N — 1

А» = Ш<^ П V^-z^s(2.10.17)

i = 32 ^ i < j ^ N

где z упорядочены вдоль вещественной оси.

Переход к формализму гармонических осцилляторов нетруден, так как в конформной калибровке гамильтониан диагоналей на фоковском пространстве осцилляторных мод. Пропагатор перехода от конфигурации Ха к Хь есть

Ш Je-^T|X6> = <X„ ОШ Je-^T|X6> = <X„ О(2.10.18)(2.10.18)

Ш Je-^T|X6> = <X„ О

Ш Je-^T|X6> = <X„ О

(2.10.18)

(2.10.18)

Вертекс равен

(2.10.19)

Мы можем устранить все собственные состояния струны, потому что \X>$DX<X\ = 1.(2.10.20)

Итак, N-точечная функция равна

^„ = <0:fct | И0(Ь2)^^(Ь3).(2.10.21)

В операторном формализме проективная инвариантность может быть установлена с помощью того факта, что операторы L±1 и Lo порождают проективную группу SL(2, Л). Действительно, при любом конформном преобразовании вертексы преобразуются как

TV(kb Zi) Т "1 = (1 - га'# £ nanzh) V^k^ (2.10.22) ' n = 1 /

или

[L„, V\kb z^ = z”[L„, V\kb z^ = z”z— Л- na'kt . azz— Л- na'kt . azV^, zj.V^, zj.(2.10.23)(2.10.23)

[L„, V\kb z^ = z”

[L„, V\kb z^ = z”

z— Л- na'kt . az

z— Л- na'kt . az

V^, zj.

V^, zj.

(2.10.23)

(2.10.23)

Мы будем говорить, что вертекс V имеет конформный вес, равный а'к? = 1.

Наконец, мы можем явным образом построить операторы, порождающие только физические состояния с нулевой или положительной нормой. Предыдущее тождество показывает, что операторы с конформным спином, равным 1, автоматически коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Это позволяет нам построить операторы, основанные на вертексе безмассовой частицы со спином единица, которые породят физическое пространство. Можно построить три набора взаимно коммутирующих операторов, которые в совокупности порождают все фоковское пространство гармонических осцилляторов:

{Г_„, ?=„,£_„} |0>.(2.10.24)

Беря только состояния, построенные из VLn и И1и, и опуская L-n, мы получим новое фоковское пространство, все состояния которого имеют положительные или нулевые нормы. Итак, множество состояний, удовлетворяющих условиям

(2.10.25)(2.10.25)LJ<p> = 0, (Lo— 1)|ф> = 0,

(2.10.25)

(2.10.25)

не содержит состояний с отрицательной нормой в 26 измерениях.

ЛИТЕРАТУРА

Nambu У. Lectures at the Copenhagen Summer Symposium (1970).

Goto T. Prog. Theor. Phys. 46, 1560 (1971).

Более ранние формулировки см. в: Nielsen Н. В. 15th International Conference on High Energy Physics (Kiev), 1970.

Susskind L. Nuovo Cim. 69A, 457 (1970).

Cm. Thorn С. B. in Unified String Theory (edited by M. B. Green and D. Gross), World Scientific, Singapore, 1985.

Virasoro M. A. Phys. Rev. DI, 2933 (1970).

Polyakov A.M. Phys. Lett. 103B, 207, 211 (1981).

Fubini S., Gordon D., Veneziano G. Phys. Lett. 29B, 679 (1969).

Goddard P., Goldstone J., Rebbi C, Thorn C.B. Nucl. Phys. B56, 109 (1973).

Kato M., Ogawa K. Nucl. Phys. B212, 443 (1983).

Hsue C. S., Sakita B., Virasori M. A. Phys. Rev D2, 2857 (1970).

Gervais J.L., Sakita B. Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev. D4, 2291 (1971); Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).

Fairlie D. B., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B20, 637 (1970).

Bardakci K., Ruegg H. Phys. Rev. 181, 1884 (1969).

Virasoro М. A. Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).

Goebel C.J., Sakita B. Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).

Chan H.M. Phys. Lett. 28B, 425 (1969).

Chan H.M., Tsou S.T. Phys. Lett. 28B, 485 (1969).

Koba Z.J., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B12, 517 (1969); BIO, 633 (1969).

Caneschi I., Schwimmer A., Veneziano G. Phys. Lett. 30B, 3 51 (1969).

Virasoro M. A. Phys. Rev. 117, 2309 (1969).

Shapiro J. Phys. Lett. 33B, 361 (1970).

Yoshimura M. Phys. Lett. 34B, 79 (1971).

Goddard P., Thorn С. B. Phys. Lett. 40B, 235 (1972).

Brower R. C., Friedman K. A. Phys. Rev. D7, 535 (1973).

Del Giudice E., Di Vecchia P., Fubini S. Ann. Phys. 70, 378 (1972).

Глава 3СУПЕРСТРУНЫ

СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Суперсимметрия - самая изящная из всех симметрий; она объединяет бозоны и фермионы в один мультиплет:

Фермионы <-* Бозоны

Объединив поля с разной статистикой, суперсимметрия и супергруппы к тому же открыли совершенно новую область математических исследований.

Но, как назло, нет ни одного экспериментально установленного факта, который свидетельствовал бы в пользу этой теории. Например, физики попытались найти суперсимметричные мультиплеты для электрона или нейтрино, но обнаружить скалярные аналоги этих частиц так и не удалось. Фактически ни у одной из ныне известных частиц нет суперсимметричного партнера. Некоторые критики назвали суперсимметрию «решением, для которого нужно найти задачу».

Хотя нет абсолютно никаких эмпирических данных, обосновывающих необходимость введения понятия о суперсимметрии, невозможно отрицать, что это понятие дает нам целую сокровищницу чрезвычайно желательных теоретических приемов, сулящих огромные выгоды. Суперсимметрия-это нечто большее, чем просто изящный способ объединения элементарных частиц в радующие глаз мультиплеты; у нее есть определенные практические применения в квантовой теории поля. Вот их список.

Суперсимметрия порождает тождества супер-Уорда-Такахаши, уничтожающие многие обычно расходящиеся фейнмановские диаграммы. Например, фейнмановские петлевые диаграммы с бозонами и фермионами, циркулирующими внутри петли, отличаются множителем — 1. Вследствие суперсимметрии бозонная петля может сократиться с фермионной и оставшаяся расходимость будет намного мягче. Мы видим, таким образом, что теории Янга- Миллса с суперсимметрией обладают лучшими перенормировоч- ными свойствами, чем обычные калибровочные теории. Действительно, некоторые «теоремы о неперенормируемости» можно доказать во всех порядках теории возмущений.

Суперсимметрия может решить «проблему иерархии», которая стала проклятьем теорий типа Великого Объединения (ТВО). В этих теориях есть два далеко отстоящих друг от друга масштаба энергий: масштаб энергий обычной физики элементарных частиц порядка миллиарда электрон-вольт и диапазон энергий ТВО порядка 1015 или

около этого миллиардов электрон-вольт. Между этими двумя масштабами простирается обширная «энергетическая пустыня», в которой не обнаруживается никаких новых явлений. Однако при вычислении эффектов перенормировки эти две энергетические шкалы неизбежно начинают перемешиваться. Петлевые поправки (например, к массам кварков) могут повысить эти массы вплоть до значений, близких к энергиям ТВО, что неприемлемо. «Точная настройка» постоянных взаимодействия и масс вручную может в принципе решить проблему иерархии, но это потребует больших ухищрений и будет выглядеть слишком искусственно. К счастью, тождества Уорда-Такахаши суперсимметричной теории достаточно сильны, чтобы обеспечить выполнение «теорем о неперенормируе- мости» во всех порядках теории возмущений. Таким образом, суперсимметрия необходима для стабилизации этих двух масштабов масс в теории возмущений и предотвращения их перемешивания.

Суперсимметрия может пролить свет на проблему «космологической постоянной». Данные наблюдательной астрономии указывают, что содержащий космологическую постоянную член Х^Л^, служащий поправкой к действию Эйнштейна-Гильберта, чрезвычайно мал на астрономических масштабах расстояний. Проблема состоит в том, как объяснить почти полное исчезновение космологической постоянной без «точной настройки». Суперсимметрия, вероятно, достаточно сильна, чтобы обеспечить обращение в нуль космологической постоянной во всех порядках теории возмущений (поскольку этот член нарушает суперсимметрию). Это, однако, не дает полного решения проблемы космологической постоянной, поскольку нам неизбежно придется нарушить суперсимметрию, чтобы достичь диапазона ♦ обычных энергий. (Проблема состоит в том, чтобы объяснить обращение в нуль космологической постоянной после того, как нарушение суперсимметрии уже произошло.)

Суперсимметрия устраняет многие нежелательные частицы. Тахион, который возникает в модели бозонной струны, устраняется, например, тем, что он нарушает суперсимметрию. Устраняя эти частицы, суперсимметрия также уменьшает расходимость диаграмм с высшими петлями. В гл. 5 мы покажем, что потенциально могущие появиться расходимости теории суперструн связаны с инфракрасным испусканием тахионов и дилатонов. Поэтому, устраняя эти частицы, мы одновременно устраняем возможные источники расходимостей.

Наконец, когда суперсимметрия развивается в локальную калибровочную теорию, она естественным образом уменьшает расходимости квантовой теории гравитации. Это происходит по той причине, что локальная суперсимметрия может быть определена лишь при наличии гравитонов (см. Приложение). Локальная суперсимметрия тем самым тесно связана с общей теорией относительности. Действительно, локальная суперсимметрия успешно устраняет рас-

ходимости низших петлевых диаграмм супергравитации. Однако самая обширная из теорий супергравитации, О(8)-супергравитация, по-видимому, имеет расходимость на уровне седьмой петли, что, скорее всего, исключает супергравитацию в качестве приемлемой квантовой теории поля. Лишь объединив локальную суперсимметрию с конформной инвариантностью теории струн, мы получаем достаточно обширную калибровочную группу, чтобы устранить, возможно, все расходимости квантовой гравитации.

Суперсимметрия как группа преобразований, относительно которых действие инвариантно, была впервые открыта в теории струит Жерве и Сакита [1] показали, что обобщение обычного бозонного действия обладает симметрией, превращающей бозоны в фермионы. К сожалению, это открытие многие годы оставалось незамеченным, поскольку в то время суперсимметрия струнной модели была двумерной суперсимметрией на мировой поверхности. Лишь сравнительно недавно было окончательно доказано, что эта модель обладает не только двумерной, но и пространственно-временной десятимерной суперсимметрией.

Начнем наше обсуждение с простейшего действия, учитывающего спин,-точечной частицы со спином. Кроме переменной хц, описывающей положение точечной частицы, введем спиноры Дирака 0Л, где А произвольно, и матрицы Дирака Ги в D-мерном пространстве. В общем случае дираковский спинор в D-мерном пространстве имеет 2D/2 комплексных компонент. Можно записать [2, 3]

S = lj^-i(^_ 1^аг^аУ<1т.(3.1.1)

Действие точечной частицы инвариантно относительно преобразований

80л = ел,

,80л = ёл,

|8х^ = /8лП0л,(3.1.2)

Ье = 0.

Заметим, что комбинация

П^ = х^-/0лГ^0л(3.1.3)

сама по себе инвариантна относительно этого преобразования. Поэтому любое выражение, являющееся функцией этой комбинации, будет инвариантно относительно указанного преобразования. Странное свойство этого действия, однако, состоит в том, что половина компонент фермионного поля сама собой выпадает из действия.

Варьируя поля е, х^ и 0, получим несколько уравнений движения:

п2 = о, 0^ = 0, гпё = о.п2 = о, 0^ = 0, гпё = о.(3.1.4)(3.1.4)

п2 = о, 0^ = 0, гпё = о.

п2 = о, 0^ = 0, гпё = о.

(3.1.4)

(3.1.4)

(3.1.5)(3.1.5)Кроме того, получаем (ГП)2= -П2 = 0.

(3.1.5)

(3.1.5)

Итак, половина собственных значений матрицы Г • П обращается в нуль. Но поскольку 0 всегда появляется в комбинации блПиГиОл, то половина компонент спинора Дирака из действия выпадает. Поэтому 0 не является независимым спинором, но удовлетворяет ограничению, вдвое уменьшающему число его компонент.

Причина этого явления-то, что действие инвариантно относительно еще одного локального преобразования [2]:

(3.1.6)(3.1.6)(3.1.7)(3.1.7)89л = /ГПхл, а 8хц = /0лГ^0л, 8е = 4еОАхА.

(3.1.6)

(3.1.6)

(3.1.7)

(3.1.7)

Кроме того, есть еще одна бозонная симметрия действия:

89л = Х9Л,

" 8х^ =/9лт0л, 8е = 0.

Если попробовать вычислить коммутатор двух суперсимметричных операций, приведенных в (3.1.6), то обнаружим, что алгебра не замыкается без использования уравнений движения:

[61,82]9л = (2/Гих^9вГ ПГ^х? + 4/ГПх^9вх?) - (1 ~2).(3.1.8)

(Это на самом деле типично для суперсимметричных действий. Заметим, что число компонент переменных х^ и 9Л не обязательно совпадает вне массовой поверхности, откуда следует, что в общем случае для замыкания алгебры необходимы вспомогательные поля.)

Наконец, вычисляя канонически сопряженные переменные, находим

(3.1.9)(3.1.9)a SL.

(3.1.9)

(3.1.9)

4 ==/Г^ПЦ9Л.

89л

Это сулит огромные трудности при ковариантном квантовании. Поскольку канонически сопряженная величина содержит явную зависимость от х, то квантовые уравнения становятся нелинейными и решать

их намного сложнее. Что еще хуже, оказывается, член ГИПИ становится оператором проектирования в квантовой теории, а значит, невозможно обратить преобразование и решить уравнения относительно переменной 0Л. Другими словами, непосредственно провести ковариантное квантование точечной частицы со спином, по-видимому, вообще невозможно! Это служит нам предостережением о том, что суперсимметричная теория струн не обещает быть столь же простой, как суперсимметрия Янга-Миллса или супергравитация. Поэтому мы сначала обсудим более простую двумерную суперсимметричную модель Неве-Шварца-Рамона, а затем более сложную десятимерную пространственно-временную суперсимметричную модель Грина-Шварца.

ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ

Учитывая трудности, связанные с суперчастицами (такие, как отсутствие ковариантного квантования и алгебры, замыкающейся вне массовой поверхности), временно забудем о пространственно-временной суперсимметрии и обсудим двумерную симметрию на мировой поверхности простейшего из всех возможных действий, включающего свободные струны и свободные фермионы. Это действие мы можем сразу взять в конформной калибровке, но оно выявит все существенные черты двумерной суперсимметрии. В этой формулировке с фиксированной калибровкой мы будем налагать калибровочные связи на фоковское пространство вручную. Впоследствии мы представим полное действие, и тогда мы сможем вывести эти связи, начиная с локально симметричного действия.

В конформной калибровке выполняется [1]

L= -^d^Xt-iWS^(3-2.1)

где индекс а принимает значения 1 и 2, служа меткой двумерных векторов, а ц-пространственно-временной индекс.

Заметим, что \|/-странный объект: это антикоммутирующий майорановский спинор в двумерном пространстве и вектор в реальном пространстве-времени. Определим

(3.2.2)

{р“,рь}= -2^.

В явном виде выписав лагранжиан через компоненты, получим

(3.2.3)(3.2.3)L=2-(X X - XX’ + zx|/0(dT + аст)у0 + лМ^ - ^)Vi)-

(3.2.3)

(3.2.3)

2л

Хотя в этом действии калибровка фиксирована, оно все еще сохраняет инвариантность относительно глобального преобразования

бУ^ёх^,

(3.2.4)(3.2.4)8^= - ip-d^e.

(3.2.4)

(3.2.4)

Итак, временно отказавшись от попытки построить теорию струн с настоящими пространственно-временными спинорами, мы получили двумерную суперсимметричную теорию, которая весьма проста и включает свободные бозонные и антикоммутирующие поля.

Исторически теория Неве-Шварца-Рамона NS-R [4-6] была первой успешной попыткой ввести спин в дуальную модель. Она также стала первым примером линейного суперсимметричного действия [1], и вскоре /последовали четырехмерные суперсимметричные действия для точечных частиц [7, 8].

Теперь, после того как мы выписали наше двумерное суперсимметричное действие, проследим шаги, предпринятые нами в предыдущей главе для нахождения решения системы. Следующий шаг-найти токи, связанные с этими симметриями, затем установить, какую алгебру эти токи порождают, и, наконец, наложить эти связи на гильбертово пространство. Последовательность, которой мы будем придерживаться в настоящем разделе, является непосредственным обобщением шагов, предпринятых в предыдущей главе:

Действие -^ Симметрии -^ Токи -^ Алгебра -^ Связи -►

-► Унитарность. (3.2.5)

Следуя этой стратегии, вычислим теперь суперсимметричный ток, связанный с этой симметрией. Как мы видели в предыдущей главе, существование конформной симметрии достаточно для того, чтобы породить сохраняющийся ток. В (1.9.8) мы видели, что этот сохраняющийся ток можно записать в виде

(3.2.6)(3.2.6)(3.2.7)(3.2.7)Ja = ^L 5(Р

(3.2.6)

(3.2.6)

(3.2.7)

(3.2.7)

Ц 5^фб8а*

Подставляя (3.2.4) в (3.2.6), получаем

•7- = |p'’p»v^i)xR.

Чтобы проверить сохраняемость этой величины, сначала нужно выписать уравнения движения системы, что особенно легко сделать, поскольку они описывают свободные струны и частицы:

(3.2.8)(3.2.8)У- + 5„] vg = О,

(3.2.8)

(3.2.8)

1Л-да]у*; = 0.

Теперь легко показать, что

aoJ° = 0.(3.2.9)

Будучи записано через компоненты, это выражение (J± = (Jo ± Л)/2) эквивалентно:

Л-=^Ш-6^Х^(3.2.10)

Л =iyg(^ + aa)xR.

Используя уравнения движения, можно показать, что

(aT + aCT)j_ = 0,

(aT-aCT)j+ =о.(3.2.И)

Кроме суперсимметричного тока, у нас есть также тензор энергии-импульса, который, как мы видели выше в (1.9.17), можно записать в виде

8L

Т^ = -—М-Щ.(3.2.12)

Это выражение легко приспособить для наших целей. Подставляя (3.2.1) в (3.2.12), находим

Таъ = д.Х*дьХи + ^^„^Уц + ^“рЛ Жи - (След),

д„ТаЬ = 0,(3.2.13)

где ТаЬ -бесследовый тензор, так как мы явным образом вычли след. Выпишем компоненты этого тензора:

^00 = ^11

= 1(Х2 + X'2) - ivg(dt - ^)Уои - ^nW + го)у1и, (3.2.14) то1 = Т’ю

= Х-Х* + ^у^(^ ~ ^)Уои - ^Yi^t +

Наша основная стратегия (3.2.5) состоит в том, чтобы использовать эти токи для наложения связей на фоковское пространство с целью устранения всех духов:

> = 0,

(3.2.15)

* = 0.

(Мы должны, однако, снова подчеркнуть, что мы просто налагаем на фоковское пространство нужные нам связи. Поскольку рассматриваемое здесь действие не является локально суперсимметричным, мы не можем

вывести эти связи из основных допущений модели. Ниже, когда мы запишем вполне симметричное действие, мы увидим, что эти связи возникают вследствие локальной симметрии.)

В отличие от случая бозонной струны, у нас фактически есть выбор между двумя различными граничными условиями, которые можно наложить на поля \|/0 и Vi г периодическими или антипериодическими. При о = 0 всегда можно выбрать \|/0 = Vi - Однако при и = л можно выбрать одно из двух граничных условий. Если поле периодично, то получаем граничные условия Рамона, а если оно антипериодично - граничные условия Невё-Шварца [9, 10]:

Рамона (R): \|/0 (к,т) = Vi (тг,т), 2 161

Невё-Шварца (NS): \|/0 (тг,т) = — Vi (^Л) • * '

Получив для нашего спинора два разных типа граничных условий, мы, естественно, получаем два разных способа разложения в ряд Фурье по

целымцелымR:R:(по л у целым) модам [8, 9] :

целым

целым

R:

R:

(3.2.17)(3.2.17)(3.2.18)(3.2.18)Vg(c,T) = 2-^ f

(3.2.17)

(3.2.17)

(3.2.18)

(3.2.18)

ОО

V^(g,t) = 2-1/2 X d^e"^x^\

NS:NS:\|/^(q,t) = 2"1/2 Y

NS:

NS:

reZ* 1/2

V^(g,t) = 2"1/2 £ ЬЧе~^х + о\ „reZ+l/2

Следующий шаг в нашей стратегии (3.2.5)-нахождение алгебры, которую эти токи порождают. В предыдущей главе мы видели, что симметрии давали тензор энергии-импульса, который в свою очередь порождал алгебру Вирасоро, т. е. конформную алгебру. Для действия Невё-Шварца-Рамона (NS-R) мы обнаружим, что порождается суперконформная алгебра.

При таком разложении полей моменты Ln тока ТаЬ можно теперь записать в виде

я

к = Т | <W”CT(T00 + Т01) + e-”a(T00 - Т)}.(3.2.19)

О

Заметим, что определение конформных генераторов теперь включает вклады от антикоммутирующего сектора.

Можно повторить это фурье-разложение также для суперсимметрич-

ного тока. Для сектора R получим

F„ = ^jdG{einoJ+ + e~‘”°J_ }.(3.2.20)

О

Для сектора NS имеем

+ e~iraJ}.(3.2.21)

о

Чтобы найти алгебру из этих моментов токов, нужно построить величины, канонически сопряженные полям. Если определить

^ = 7—,(3-2-22)

то окажется, что фермионное поле является самосопряженным. Поэтому наложим условие

{уЦ^тХ^Исг',^} = я5лв8(п - o')qttv.(3.2.23)

Следовательно, осцилляторы в (3.2.17) и (3.2.18) подчиняются условиям

f R: {^,^} = ngv5„._M,

I NS: {Z>|?,^} = nRV8r

X '1(3.2.24)

Важно заметить, что нулевая составляющая R-сектора пропорциональна гамма-матрицам Дирака:

{^,^} = ц^.(3.2.25)

Итак, мы видим, что сектор Рамона соответствует фермионному сектору и что NS-сектор, хотя он и содержит антикоммутирующие операторы, все же остается бозонным сектором. То, что граничные условия вроде (3.2.16) играют столь важную роль в развитии фермионного и бозонного секторов теории,- совершенно новая и, видимо, уникальная черта теорий струн. (Этот на первый взгляд необъяснимый факт будет весьма важен при обсуждении многопетлевых амплитуд, определенных на поверхностях с дырками. Тогда эти граничные условия будут определять то, что называется «спиновыми структурами» многообразия.)

После установления коммутационных соотношений можно построить алгебру, порождаемую этими тензорами. Как и ранее, моменты этих токов порождают замкнутую алгебру. Для NS-сектора алгебра будет следующей:

D 3

[Lm,L„l = (т-п^Ь^,*-^3

[Lm,GJ =( -т — r )g_ + .,

L m,m +(3.2.26)

{Gr,Gj = 2Lr + s + ^Z)( r2 — 1 j5r

Элементы алгебры можно явно выразить через осцилляторы NS-сектора:

Lm = \ Z :a_„am + „: + l £ (г +'-m):b_,bm+r:, Z Л = - ООZ r = - qqz

ОО(З-2-27)

G, = X а-Л+л-

Повторяя те же шаги для R-сектора, получим

[L^LJ = (m — n)Lm + „+ ^т35т,

[Lm,FJ=Qm-»)Fm+B,(3.2.28)

{Fm,F„) = 2Lm + „ + ^Dm25m,.

В явном виде элементы алгебры выражаются через осцилляторы так:

z л = - 00z Л = - 00 \/

«(3.2.29)

Fm= _L a_„4+„.

Мы можем получить гамильтониан прямо из компонент тензора энергии-импульса. В конформной калибровке гамильтониан для NS-сектора есть

н= £ паЧ„ап1Х + £ rb^b^ + a'p^.(3.2.30)

Л=1г=1/2

Для R-сектора он есть

Н= f^ na^_nanVL-V Y md^mdm^-^ а'р^ .(3.2.31)

Заметим, что этот гамильтониан диагоналей в фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Это чрезвычайно важно, потому что это значит, что мы можем легко сделать переход от формализма Континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. ^Ропагатор этой теории становится простым интегралом от экспоненты, который легко берется.

Состояния теории, как и в бозонном секторе, представляются фо-

Рис. 3.1. Реджевские траектории для NS^R-модели открытых струн. Бозонные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов я+ и Ь\ действующими на вакуум. Фермионные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов a* nd*, действующими на вакуум; они являются пространственно-временными спинорами, а не скалярами. На левом рисунке безмассовая частица со спином 1 соответствует полям Максвелла или Янга-Миллса (все тахионные состояния, включая вакуумное, можно устранить применением GSO-проекции). На правом рисунке безмассовый фермион со спином 1/2 является суперсимметричным партнером безмассового векторного поля.

ковским пространством произведений этих осцилляторов:

Собственные состояния сектора NS: П nw^vjio), (3.2.32) П,ц m,v

Собственные состояния сектора R: ПП«}{<ц}|0>«а. (3.2.33) Пф W,V

Здесь иа соответствует произвольному спинору, на который пока не наложено никаких связей. Ниже приведены некоторые низшие состояния обоих этих секторов (см. рис. 3.1):

Вакуум:|0); к2 = 2,

Тахион:^-i/ilO);^2= 1,(3.2.34)

Безмассовый вектор: я^ 110 ),

Фермион соспином1/2: |0)ма,

Фермион соспином3/2: ^1|0)иа,(3.2.35)

Фермион со спином 3/2: аЧ t10 ) иа.

Итак, мы обнаружили замечательное сходство между моделью NS-R и первоначальной бозонной струной. В обоих случаях мы начинаем с действия, находим его симметрии, порождаем токи, отвечающие этим симметриям, по токам строим алгебру и затем налагаем связи на гильбертово пространство. Основное отличие состоит в добавлении супертоков, которое порождает супералгебру (3.2.26) и (3.2.28).

Последний шаг в нашей стратегии поэтому состоит в применении этой суперконформной алгебры к гильбертову пространству модели ^S'R- Условия, устраняющие духи, суть

f „ IФ ) = 0 или Gr | <р ) = О

для положительных п и г. Однако для того, чтобы найти условия массовой поверхности, нам придется теперь исследовать древесные амплитуды модели NS-R.

ДЕРЕВЬЯ

Снова нашей исходной точкой при построении теории взаимодействующих струн будет функциональный интеграл. К сожалению, нам нечем руководствоваться при построении такой теории, кроме интуиции. Наудачу попробуем умножить обычный вертекс Ио на фактор /сифи в точке, в которой частица со спином нуль входит в диаграмму. Тогда резонно предположить, что N-точечная амплитуда рассеяния для этой скалярной частицы является обобщением формулы (2.5.2) и выражается в виде

^(1,2,3,... ,JV) = I |#£>Х£>уП топологииi=1

N

- L ^МП(3.3.1)

ТОПОЛОГИИI = 1

где

Лф = ПП^*т).(3.3.2)

Здесь проводится функциональное интегрирование по бесконечной последовательности грассмановых переменных (см. Приложение).

Как и для бозонного функционального интеграла, мы можем устранить функциональные интегралы во всех промежуточных точках на струнной поверхности, поскольку в этом пространстве гамильтониан Диагоналей. Так, используя

l=|X>|V>jMDV<V|<2f|(3.3.3)

в каждой промежуточной точке, можно устранить все функциональные интегралы и оставить только гармонические осцилляторы. Итак, снова Функциональное интегрирование позволяет вывести формализм гарМонических осцилляторов, который мы рассматриваем лишь как одно из возможных представлений функционального интеграла.

Выраженный через осцилляторы, вертекс для испускания скалярной Частицы с импульсом принимает вид

^W^o-(3.3.4)

Выбор этой формы мотивируется правилом, согласно которому кон- 9-787

формный вес вертексных функций должен быть равен 1, чтобы выполнялись условия уничтожения духов (2.9.5). Из (3.2.27) и (3.2.28) можно вычислить коммутатор Ln и \|/ц и обнаружить, что он равен 1/2. Поскольку Ио имеет конформный вес а'к2, а \у имеет вес 1/2, то вес V есть сумма этих двух весов:

ч'к2 + 1 = 1 -► к2 = (3.3.5) 2 2а 7

Здесь а = 1/2. Эта вертексная функция, соответствующая испусканию или поглощению тахиона, заведомо удовлетворяет правильным условиям уничтожения духов.

Пропагатор вычисляется просто. Заметим, что гамильтониан диагоналей в пространстве гармонических осцилляторов. Поэтому мы будем использовать явное представление функционала, основанное на нормальных модах гармонического осциллятора. Тогда

D =D =е T(L° П(7т =—-—-е T(L° П(7т =—-—-(3.3.6)(3.3.6)

D =

D =

е T(L° П(7т =—-—-

е T(L° П(7т =—-—-

(3.3.6)

(3.3.6)

о

Построим ЛГ-точечную функцию для тахионов:

<0; ^ | ^ • bll2 V(k2)D-• V(kN_ х) kN • b_ 1/210; kN > .(3.3.7)

Здесь мы разместили тахионные состояния слева и справа от всех вершин и пропагаторов. В этом формализме циклическую симметрию можно доказать тем же способом, что и для бозонной струны. Сначала заметим, что

lim^-^^|0;0) = к-b_lj2\0;kx), у-* о у'

(3.3.8)

1нп<0;0|.уИ(М = (^-к\к-Ьт.

у-0'

Это позволяет одинаковым способом рассматривать все внешние тахионы. Перенося налево последний вертекс, можно показать, совершенно аналогично бозонному случаю, изученному в (2.6.24), что эта амплитуда циклически симметрична.

Здесь, однако, возникает одно затруднение. Только что построенное тахионное состояние соответствует к^ЬЧ_М2 10;/с); это выражение удовлетворяет

[Lo — 1]^_1/2|0;к> = 0^а'к2 = 5- (3-3-9)

Это, однако, означает, что вакуумное состояние |0;/с) имеет еше меньшую массу, поскольку оно удовлетворяет следующему условию:

[Lo — 1] |0;/с> = 0a'k2 = 1.(3.3.10)

Мы столкнулись, тем самым, с необычной проблемой: истинный вакуум

теории (3.3.10) не соответствует тахиону (3.3.9). Другими словами, гильбертово пространство, по-видимому, слишком обширно, истинный вакуум не является необходимым состоянием. У нас, кажется, оказалось диа самых низких состояния.

Решение этой головоломки вытекает из того факта, что вакуумное состояние действительно излишне и его можно из теории устранить. Это достигается переопределением гильбертова пространства теории.

формализм, в котором мы до сих пор работали, называется Ft; он неуклюж. Вакуум теории не равен тахиону, и поэтому фоковское пространство на самом деле обширнее, чем требуется. Хотя циклическая симметрия легко доказывается в этом формализме, мы предпочитаем ввести другой, более удобный. Он называется F2 [10] и использует редуцированное фоковское пространство, полученное удалением вакуумного состояния с /с2 = 1 /а'.

Чтобы к нему перейти, перепишем тахионное состояние в виде

У>и-1/2|0;/с> = С_1/2^ (3.3.11)

<WW2 = <0;k\Gll2. (3.3.12)

Теперь перепишем N-точечную амплитуду рассеяния тахиона (3.3.7) с помощью (3.3.12):

(3.3.13)(3.3.13)An = <0; к. | G1/2 V^k2) D-V^.^G.^k^.

(3.3.13)

(3.3.13)

Приступим к решающему шагу. Протолкнем 61/2 направо, последовательно продвигая его через различные вершины и пропагаторы. Нам потребуются формулы

Ф„П = U2r,V0l = [Lo + г - 1] Ио - K0(L0 - 1),

(3.3.14)(3.3.14)г- 11

(3.3.14)

(3.3.14)

1,2 Lo — 1 ~ Lo — 1/2°1/2 •

Важно заметить, что при проталкивании Gll2 направо изменился интерсепт пропагатора, т. е.

(3.3.15)(3.3.15)11

(3.3.15)

(3.3.15)

Lo - 1 Lo - 1/2 ’

тогда как все другие члены, содержащие разные L, обращаются в нуль, аналогично бозонному случаю. Наконец, мы протолкнем GVI1 вправо до конца, где это выражение обратится в нуль на тахионном состоянии:

Gi/2^-i/2|0> = (2L0 - G_1/2G1/2)|0> = 0.(3.3.16)

Итак, собрав все вместе, мы, наконец, получаем

An — <0; к1\к1* Ь^г ^(^2)77 ‘ “ ^(^n- 1) kN • b _ 1/210; k^ =

= <0;kv I V(k2) r * _ • •• У(к„_JIO;kN>.(3.3.17)

Удивительно, но теперь исходная амплитуда оказалась полностью переписанной таким образом, что набор собственных (резонансных) состояний подвергся сдвигу. В частности, старое вакуумное состояние в формализме Fx при а'/с2 = 1 исчезло из гильбертова пространства. Оно не взаимодействует ни с чем в новом формализме, который мы назовем F2 [10]. Вместо него у нас есть тахионное состояние, представленное 10; /с), которое теперь удовлетворяет новому условию [Lo — 1/2] 10; /с) = о с а'/с2 = 1/2.

Это весьма примечательно. Состояние 10; /с), которое раньше представляло вакуумное состояние при а'/с2 = 1, теперь неожиданно превратилось в тахионное состояние при а'/с2 = 1/2. Таким образом, в формализме F2 тахионное состояние и новое вакуумное состояние являются одной и той же частицей. (Следует помнить, что один и тот же символ 10; /с) может представлять либо старый вакуум в формализме Fx, либо тахион в новом формализме F2.)

Этот сдвиг гильбертова пространства является новой чертой, которой не было у теорий поля для точечных частиц. На самом деле при обсуждении конформной теории поля в следующей главе мы обнаружим, что это странное явление «смены картины» возникает всякий раз, когда мы строим неприводимые представления суперконформной группы. Следовательно, это не трюк, а существенное свойство данной группы. (Мы должны также отметить, что когда мы обеспечим пространственно-временную суперсимметрию модели, мы устраним также тахионное состояние. Тем самым тахион исключается из подлинно суперструнного гильбертова пространства, что делает теорию унитарной.)

Подытожим различия между этими двумя формализмами:

Вертекс = V,Вертекс = V,Пропагатор = (Lo — 1) 1,Пропагатор = (Lo — 1) 1,(3.3.18)(3.3.18)

Вертекс = V,

Вертекс = V,

Пропагатор = (Lo — 1) 1,

Пропагатор = (Lo — 1) 1,

(3.3.18)

(3.3.18)

Тахион: /си-^^1/2|0;/с)(а'/с2 = 1/2); Вакуум: |0;/с) (а'/с2 = 1),

Fr-Fr-(3.3.19)(3.3.19)Вертекс = V,

Fr-

Fr-

(3.3.19)

(3.3.19)

* Пропагатор = (Lo — 1/2)“1, Тахион = Вакуум: |0;/с); (а'/с2 = 1/2).

Преимущества и недостатки этих двух формализмов сводятся к следующему.

В формализме Fx явную циклическую симметрию намного легче доказать. Однако все вычисления усложняются необходимостью учитывать ненужное вакуумное состояние, которое ни с чем не взаимодействует.

В формализме F2 циклическая симметрия является скрытой, но устранение духов и калибровочные преобразования проводить легко.

Преимущество состоит в том, что теперь мы работаем в фоковском пространстве меньшего объема.

Используя формализм F2 , нетрудно вычислить четырехточечную

функцию в явном виде:

(3.3.20)(3.3.20)Г(1 - а(5» Г (1-«(/))Г(1 — а(») — а(0)

(3.3.20)

(3.3.20)

Здесь a(s) = 1 + a's.

Возможно также непосредственное обобщение до N-точечной функции. Последняя представима в виде

(3.3.21)(3.3.21)А« = ф1у<0;0|, -,10;0>.

(3.3.21)

(3.3.21)

3УхУя

В общем случае это выражение содержит большое число множителей,

которые вычислять утомительно. Простой способ получить весь результат целиком-использовать соотношение

VyVydQ exp {ik • X -V Bk- \|/Д/у } .dQ exp {ik • X -V Bk- \|/Д/у } .(3.3.22)(3.3.22)

Vy

Vy

dQ exp {ik • X -V Bk- \|/Д/у } .

dQ exp {ik • X -V Bk- \|/Д/у } .

(3.3.22)

(3.3.22)

Заметим, что если разложить экспоненту в степенной ряд, то ненулевой вклад в интеграл даст лишь линейный член, и мы получим предыдущее выражение для вертексной функции. Пока что ничего нового мы не получили. Теперь воспользуемся следующими двумя тождествами: <0|^Г^|0> = ^1,

VTi У1-Уг

(3.3.23)

(0|^Р К^|0> = Ые^ехрЕ^/сгйзО^ - j2 - в^)].

Vyi х/Уг J

Нетрудно обобщить последнее соотношение, выписав N-точечную амплитуду тахиона:

<0|П^^Ю> = [п^П(Р<-^-W'-(3.3.24)

‘■=1 У1 J <У11<'

Преимущество этого выражения в том, что мы можем теперь находить Различные члены, входящие в эту формулу, последовательно разлагая их в степенной ряд и интегрируя по грассмановым переменным.

Кроме амплитуд рассеяния тахионов на тахионах, мы можем также вМчислить рассеяние безмассовых векторных частиц (соответствующих ^астицам Максвелла и Янга-Миллса). Выбор вертексной функции для сзмассовой векторной частицы ограничен тем фактом, что она должна

обладать конформным весом 1 и правильным спином. Естественный выбор этой функции дается выражением

Y№=VGr^*VkXV^X-^^

где £-вектор поляризации векторной частицы, а к2 = С/к = О. Конформный вес этого вертекса равен сумме конформных весов индивидуальных множителей, его образующих. Поскольку \|/ имеет конформный вес 1/2, а е1кХ имеет конформный вес а'к2, то отсюда следует, что конформный вес этого вертекса дается выражением

^+0=1’

имеющим желаемый вес. Этот вертекс заведомо удовлетворяет условиям уничтожения духов, налагаемым на G и L. Нетрудно вычислить N-точечную амплитуду рассеяния для этой безмассовой калибровочной частицы с помощью того же формализма, который был развит для тахиона. Например, амплитуда рассеяния для четырех безмассовых калибровочных частиц дается выражением

_ Г (s/2W(-t/2)

4Г(1-s/2-</2) ’

где кинематический фактор К имеет вид

К = — 4(-М£1з;24 + ^^23,14 + ^W£12,34) +

4-2^(^14^32^24 + ^23^41^13 + ^13^42^23 +

4- ^24^31^14) + ^(^21^43^31 + ^34^12^24 +

4- ^24^13^34 + ^31^42^12) + 2^(^12^43^32 + ^34^21^14 +

4" ^14^23^34 + ^32^41^12)»

здесь

Ьи = ^;^ = ^^;^к1 = ^.

(Рассеяние с участием фермионов также можно вычислить; оно тоже будет иметь приведенную выше базовую форму, но кинематический фактор будет зависеть от внешних спиноров.)

Необходимо добавить к этому, что еще одно преимущество использования формализма Г2 состоит в том, что можно непосредственно показать инвариантность амплитуды относительно преобразования

Ьу^ = 0^8,

Оно порождает группу Osp(l,2) (см. Приложение), являющуюся супер-

симметричным обобщением проективной группы SL(2,/?). Эта группа порождается алгеброй, образуемой набором

GtM1, L±1, Lo.(3.3.26)

Пусть Q есть элемент группы Osp(l,2). Тогда доказательство суперпроективной инвариантности дается следующим замечанием:

П|0;0> = |0;0>.(3.3.27)

(Заметим, что, как и в бозонном случае, вакуумное состояние |0;0) не является физическим. Поэтому элемент Q, который, вообще говоря, не уничтожает физические состояния, может уничтожить вакуумное состояние.) Вертекс при этом поворачивается согласно

fiK^OJQ-1 = V(y'^),(3.3.28)

где К(у,0)-вертексная функция до интегрирования по 0.

Теперь, после того как мы выяснили свойства трехбозонной вер- текснрй функции в формализме Неве-Шварца, мы можем также вычислить взаимодействие фермион-фермион-бозон (с внешней бозонной линией) для модели Рамона. Выберем

Ж) = Г :eik,x: ,(3.3.29)

где

г = Y11 (—l)^'^" d-.(3.3.30)

Здесь уи- произведение матриц Дирака. Кроме этой вертексной функции, нам также нужен пропагатор

F

D=- = -^,(3.3.31)

где Fo дается формулой (3.2.20). Мы положили интерсепт равным нулю (что, как мы увидим, правильный выбор, если мы хотим обеспечить конформную инвариантность; на этой ранней стадии, однако, мы пока не можем обосновать выбор нулевого интерсепта).

Наконец, вакуумное состояние является теперь фермионом со спином V2 и дается формулой

ХЮ;9>а««,(3.3.32)

а

где мы суммируем по спинорным индексам а спинора иа. Амплитуда Рассеяния фермиона, взаимодействующего с несколькими бозонами, °пределяется теперь выражением

^<^qi\V(k2)D...^^(3.3.33)

Пока что мы лишь продемонстрировали амплитуды с двумя внешними фермионными линиями. Как ни странно, все наши первые взятые ^Угад и основанные на простой интуиции допущения оказались успеш- ^“Ми. Поскольку действие в конформной калибровке совпадает с

действием свободной теории, модель NS-R весьма проста. За эту простоту, однако, приходится платить.

В принципе, поскольку струнную модель можно факторизовать в любом канале, должно быть возможно факторизовать R-модель в мезонном канале и заново вывести из нее NS-модель или получить многофермионную вертексную функцию. На самом деле это весьма трудно сделать. В частности, фермионная вертексная функция (с внешней фермионной линией, связанной с внутренними фермионной и бозонной линиями)-это объект, с которым слишком сложно работать. Это в свою очередь затрудняет вычисление многофермионных амплитуд в формализме NS-R.

Хотя можно показать, что R-модель можно факторизовать в разных каналах, чтобы вывести NS-модель, но формализм NS-R в действительности весьма неудобен для вычисления многофермионных амплитуд. В следующей главе мы увидим, что методы конформной теории поля делают ковариантное вычисление многофермионных амплитуд возможным.

ЛОКАЛЬНАЯ ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ

Заметим, что условия

мы наложили вручную. Никакого обоснования этому дано не было. Мы просто сослались на то, что должно существовать действие с более широкой симметрией, из которого эти связи можно вывести с самого начала.

Здесь мы опишем локальное обобщение изложенной выше теории. Ключом к построению этого локально суперсимметричного действия служит введение в теорию дополнительных полей. Кроме суперсимметричной пары

(^,Х|/Ц), (3.4.2)

мы вводим двумерную «тетраду» и ее суперсимметричного партнера

(^,Х«). (3.4.3)

Здесь греческие буквы а и 0 метят двумерные векторы в искривленном пространстве, греческие буквы р и v продолжают служить метками 10-мерных векторов (пространственно-временных), латинские буквы а, Ь, с метят двумерные векторы в плоском пространстве: Ха-двумерный спинор, а также двумерный вектор, а двумерные индексы спинора опущены. Итак, и тетрада, и спинор Ха имеют по четыре компоненты, как и требуется для суперсимметрии. Теперь построим полное действие,

впервые выписанное Бринком, Ди Веччиа, Хоувом, Дезером и Зумино [11-13]:

+ 2XaP₽paV^p^ + |жиУцХаР₽Р“Х₽] -(3.4.4)

Заметим, что матрицы р, использованные выше, в действительности определены в двумерном искривленном пространстве, поскольку они умножаются на

ра = ^2р°.

Действие инвариантно относительно преобразований

5Х^ = ё\ии,

(3.4.5)(3.4.5)8уи = УфМ*^^ ~ УцХаЬ 5е“ = - 2/ёрахр,

(3.4.5)

(3.4.5)

8Ха = ^Ха-

Оно также инвариантно относительно масштабных преобразований Вейля:

(3.4.6)(3.4.6)8ХИ = О, 5ун = — ^ т|/^ , 8е" = сте", 5Xa = 5<TXa.

(3.4.6)

(3.4.6)

Оно также инвариантно (вследствие некоторых тождеств, справедливых в двумерном случае) относительно преобразований

(3.4.7)(3.4.7)8%а = фаГ), ^р = 8^ = 8ХИ = 0.

(3.4.7)

(3.4.7)

Наконец, по построению оно также явно инвариантно относительно локальных двумерных лоренцевых преобразований и репараметризаций присутствия поля локальных тетрад. (Наличие обыкновенных . ^ИЗВОДНЫХ вроде da в действии вместо ковариантных производных Da Ло искривленному пространству объясняется тем фактом, что двумерное °ле связности исчезает из действия.)

Геперь мы можем вывести ограничения, которые мы наложили на *°Ковское пространство вручную. Заметим, что вариация действия

относительно тетрады дает

т; = О,(3.4.8)

тогда как варьирование суперсимметричного партнера тетрады дает

рар₽ааJfpVй - |(w)PaP₽Xa = о.(3.4.9)

Это те ограничения, которые мы выше обещали получить и которые теперь выведены как следствия вариации полей.

Теперь мы можем выбрать калибровку

Заметим, что у нас есть достаточно много симметрий, относящихся к полю Ха, чтобы полностью исключить это поле: сочетание двумерной суперсимметрии (3.4.5) и симметрии (3.4.7). Тогда наши ограничения сведутся к

Тар = даХцд^Х^ + ^ /ур^у - след = 0,(3.4.11)

J^lpPp^p^v^O(3.4.12)

(где скобки обозначают взятие половины симметризованной суммы). Это, конечно, те связи, которые были впервые введены в начале нашего обсуждения в (3.2.7) и (3.2.13). Итак, теперь мы вывели эти связи из инвариантного действия, вместо того чтобы просто налагать их на состояния системы.

В итоге это действие инвариантно относительно нескольких локальных симметрий. В их число входят

локальная двумерная лоренцева симметрия,

репараметризация,

вейлевское изменение масштаба,

двумерная суперсимметрия,

но не 10-мерная пространственно-временная суперсимметрия.

КВАНТОВАНИЕ

Квантование действия NS-R является непосредственным обобщением квантования бозонной струны. Особенность суперструны-то, что действие NS-R, содержащее многочисленные взаимодействия, дает свободную теорию после выбора калибровки.

Снова мы будем пользоваться теми же тремя методами: (1) ГуптЫ' Блейлера, (2) формализмом светового конуса, (3) BRST.

Квантование Гупты-Блей лера

формализм Гупты-Блейлера является простейшим из трех, и в действительности именно в нем мы работали выше. Используя обшир- дуй набор симметрий модели, мы можем выбрать конформную калибровку:

( X» = °’

1^ = 5».С3'51)

Заметим, что в этой калибровке действие сводится к тому, которым мы пользовались выше, с наложенными условиями

NS:NS:Ь„|Ф> = 0, сг|ф> = 0,Ь„|Ф> = 0, сг|ф> = 0,R:R:L„|T> = 0, ^>=0L„|T> = 0, ^>=0(3.5.2)(3.5.3)(3.5.2)(3.5.3)

NS:

NS:

Ь„|Ф> = 0, сг|ф> = 0,

Ь„|Ф> = 0, сг|ф> = 0,

R:

R:

L„|T> = 0, ^>=0

L„|T> = 0, ^>=0

(3.5.2)

(3.5.3)

(3.5.2)

(3.5.3)

для положительных п, т и г. Итак, мы квантовали действие NS-R в формализме Гупты-Блейлера.

Квантование в переменных светового конуса

Сущность формализма светового конуса состоит в том, что мы устраняем все нефизические духовые состояния, решая уравнения связей (3.4.11) и (3.4.12) явным образом в терминах поперечных или физических мод, вместо того чтобы налагать их на состояния. Мы можем наложить следующие условия:

| V1 = 0, с

Большинство генераторов изменились лишь незначительно. Реальное отличие наблюдается в «минусовых» компонентах полей, содержащих поперечные компоненты конформных генераторов:

(3.5.5)(3.5.5)а.- = «-(^)+ * ^ (гЦп Y^.^.-i^o,

(3.5.5)

(3.5.5)

^Де первый член справа относится к бозонному генератору, который мы вычислили ранее в (2.3.16), и

1 В-2 оо

r =^ Е Е aUsbV(3.5.6)

" i=l r=-oo

^РУДности возникают с тем лоренцевым генератором, который со-

держит две минусовые компоненты:

М^М^-НК"1',

•00D-2000-5.7)

= Y Y ^-«^„„bl-bUbV).

m = - оо J = 1 г = - оо

Находим, наконец, что

[М-'.М^] = -^ f (al„ai-aJl„a‘)(A„-«),(3.5.8)

VP ) п = 1

где

f D — 2\ \f D — 2\

<ЗИ)

Итак, лоренц-инвариантность достигается лишь при D = 10 и а = 1/2.

Квантование BRST

Квантование BRST начинается с вычисления детерминанта Фаддеева-Попова, связанного с конформной калибровкой. Из-за обширного набора симметрий действия мы можем наложить связи

Как и прежде, мы должны проанализировать связи, проварьировав поля, входящие в (3.4.5) и (3.4.7):

§Xa = Va8 + /р«Т|-(3.5.11)

Детерминант Фаддеева-Попова (1.6.10), связанный с калибровочной связью, снова дается формулой

AFpAFp(3.5.12)(3.5.12)Г 8 = det — Aae' L§8

AFp

AFp

(3.5.12)

(3.5.12)

(3.5.13)(3.5.13)(Поле т| не дает вклада в духовый детерминант Фаддеева-Попова.) Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с антикоммутирующим сектором, есть

(3.5.13)

(3.5.13)

det[Va]=det[VJdet[Vf].

Проанализировать это выражение довольно сложно из-за большого числа степеней свободы, которыми обладает хо> являющийся одновременно двумерным спинором и двумерным вектором и поэтому имеющий четыре компоненты.

Как и прежде, простейший способ вычислить определитель оно-

(3.5.14)(3.5.14)ратора-выразить его через экспоненту от действия: ае1[7а] = 150°Уе~$вЬ,

(3.5.14)

(3.5.14)

Sgh = “f^2zP^Y + компл.-сопр. выраж.,

где теперь духовые поля Р и у суть коммутирующие переменные. (Хотя это действие выглядит похожим на найденное ранее для бозонной струны духовое действие (2.4.4), существенно указать, что новые духовые поля Р и у преобразуются конформной группой иначе, чем духи b и с, потому что они были выведены из вариаций спинора Ха, а не тензора даЬ. Мы подробнее обсудим это в следующей главе.)

Полное действие, тем самым, является теперь суммой исходного действия и суммы по антикоммутирующим духам Ь, с и коммутирующим духам р, у.

Мы легко можем вычислить тензор энергии-импульса и суперсимметричный ток для суперконформных духов. Взяв их моменты, мы получим алгебру супер-Вирасоро:

Uh = Е (rn + n):bm_„c„: +

+ E Qm +”) , (3.5.15)

F$=-2 £ 6_Лт + „ + E Цл-тЬ-, P„ + „.

Аналогично, объединенное действие, включающее вклад духов, по-прежнему инвариантно относительно нильпотентного преобразования. Генератор этого нильпотентного преобразования дается оператором Q, где [14-16]

6= Е (Ь-лСл + Г-Л»)-! Е п):с_тс_пЬт + п: + и — — оот,н — — оо

00/ з^ \00

+ Е ( ^ + m)c_„p_mYm + „+ Е Ч-тЧ-nbm + n-ас0.

тЛоо \/т,п = — оо

(3.5.16)

в^ь L и F- генераторы, зависящие только от осцилляторов а и </. Ьсли положить g2 = 0, мы приходим к равенствам

°= 10,

а =а =* (NS), О (R).* (NS), О (R).(3.5.17)(3.5.17)

а =

а =

* (NS), О (R).

* (NS), О (R).

(3.5.17)

(3.5.17)

Условие, выделяющее физические состояния, примет вид

61физ> = 0.(3.5.18)

Решая это уравнение, получаем обычные условия для физических состояний:

(3.5.19)(3.5.19)(3.5.20)(3.5.20)NS: (ь. ~>> -0. 1<7г|ф> = 0; г > 0,

(3.5.19)

(3.5.19)

(3.5.20)

(3.5.20)

R: f ^°) । ^ = ’ I Еп | <р> = 0; п > 0.

Вычислим теперь вклад аномалий от этих осцилляторов. Мы обнаружим, что эти два вклада в сумме дают нулевую аномалию, но лишь в десятимерии. Вклад духов равен

(3.5.21)(3.5.21)^,F^=2L^n-5m2.

(3.5.21)

(3.5.21)

Аномальный вклад сектора Рамона был равен Dm2 [2 + 2а. Итак, получаем

(3.5.22)(3.5.22)2 D 4- 2а — 5т2 = 0,

(3.5.22)

(3.5.22)

что фиксирует значения параметров

D = 10, а = 0.(3.5.23)

Аналогично рассмотрим значение аномалии для NS-сектора

{G,,G$} = 2Lr+s + ^-5r2.(3.5.24)

Оно должно компенсировать аномалию, происходящую из бозонного сектора, которая равна D^r2 — 1/4)/2 + 2 я. Итак,

1D (г2 - 1/4) + 2а + ; - 5г2 = 0.(3.5.25)

Это выражение обращается в нуль при

D = 10, а = 1/2.(3.5.26)

ПРОЕКЦИЯ GSO

Действие (3.4.4) для модели NS-R не было инвариантным относительно десятимерной пространственно-временной суперсимметрий. Хотя это неочевидно, теория NS-R также инвариантна относительно указанной группы преобразований, если сделать некоторое обрезание фоковского пространства. Чтобы это увидеть, рассмотрим сначала пространство состояний струны.

Общее число бозонных состояний на уровне п равно числу способов

дредставления целого числа п в виде суммы целых чисел, т. е. р^пу Сначала продемонстрируем это на примере для уровня 4. Общее число состояний, являющихся собственными функциями гамильтониана, на эТ0М уровне равно пяти:

(д_!)4|0>; (а_2)2|0>; а_1а_3|0>;

(а^мК»: а_4|0>.(3.6.1)

Заметим, что это в точности совпадает с числом способов, которыми число 4 можно представить как сумму целых чисел, т. е. р(4). В общем случае каждое состояние на уровне N можно представить как один из способов разбиения на целочисленные слагаемые целого N:

| ф) = ах2Л1 а?зП1аЪВа • • • ах“„и10> ,(3.6.2)

где

Я|ф> = ДГ|ф> ,

(3.6.3) м

N = ^ п^ ,i=l

а Л-числовой оператор для этого пространства.

В статистической механике мы часто вводим статистическую сумму, которая показывает, какое число состояний имеется для заданного энергетического уровня:

Z = ^<n|e-№|«>.(3.6.4)*

Мы увидим, что статистическая сумма полезна, поскольку позволяет подсчитать число состояний струны:

2 = Тг(хя),(3.6.5)

х = е"х.(3.6.6)

Коэффициент при xN в этом разложении в степенной ряд есть не что иное, как число способов разбиения N на целочисленные слагаемые, т. е. Р^У Этот след можно вычислить разными способами. Простейший из них-ввести когерентные состояния:

l=fMX*^-|X|2|X><X|.(3.6.7)

Так, след можно представить в виде

= f dkdk*e"^2<k | xR | X> .(3.6.8)

вычислив этот интеграл, мы найдем

= п (1-х")"26.(3.6.9)

п=1

^я Проверки мы можем разложить эту функцию в степенной ряд (в

одном измерении) и показать, что каждый коэффициент при xN равен p(N), т. е.

2=^р^х‘.(3.6.10)

1= 1

Эта функция связана с известной математикам функцией Харди- Ра. мануджана. Действительно, некоторые из волшебных свойств струнной модели происходят из тождеств, справедливых для функции Харди-Ра. мануджана.

Затем нам хотелось бы вычислить состояния секторов NS и R, чтобы проверить, являются ли они суперсимметричными. По крайней мере нам нужно, чтобы число состояний на массовой поверхности было равно в обоих секторах.

Заметим, что фоковское пространство модели NS-R в действительности разделяется на два фоковских пространства меньших размеров; принадлежность состояния к одному из них зависит от того, четно или нечетно число осцилляторов типа Ь, отвечающих этому состоянию. Поскольку 6-осцилляторы антикоммутируют, общее число N внешних линий должно быть четным, поскольку 6-осцилляторы должны стягиваться попарно. Поэтому мы можем определить оператор «G-четности», который просто подсчитывает число 6-осцилляторов в данном состоянии. Он равен — 1 для нечетного числа и 4-1 для четного:

G = (-!)£ — b"b'.(3.6.11)

Если взять сектор теории с четной G-четностью, это немедленно устранит тахион, и самым нижним состоянием останется безмассовая векторная частица, у которой есть 10 — 2 = 8 физических состояний.

Сектор Рамона также допускает уменьшение числа состояний. Если потребовать, чтобы самым низкоэнергетическим безмассовым фермионом был майорана-вейлевский, то у него останется только 16 мод. Подсчитать это можно так. Драковский спинор в D-мерном пространстве имеет 2(1/2)D = 32 комплексных компонент. Требование, чтобы он был майорановским (вещественным), уменьшает число компонент вдвое, а требование, чтобы он был вейлевским,-еще вдвое. Вычислим теперь статистическую сумму, подсчитывающую общее число состояний на каждом уровне. Для NS-сектора получим

/ns = Е dim^x" =

п = О

(3.6.12)(3.6.12)(3.6.13)(3.6.13)= x"1/2Tr ^l+GJx1'

(3.6.12)

(3.6.12)

(3.6.13)

(3.6.13)

ГДСОООО

я = Е па- ап + Е rb- ьг • п=1г—1/2

След можно вычислить в явном виде, что дает

= ^х'1/2 П 0 -x") 8 П(1+х" 1/2)8

2 n=lLn=l

П (1 -X"‘1/2)8 n = 1П (1 -X"‘1/2)8 n = 1(3.6.14)

П (1 -X"‘1/2)8 n = 1

П (1 -X"‘1/2)8 n = 1

С ДРУГ°Й стороны, след для сектора Рамона принимает вид

Д = 8Тг(хк),(3.6.15)

Я= £ n(4a„ + dtd„).(3.6.16)

Я = 1

Мы находим

/к = 8Д(1-хТ8(1+х")8.

(3.6.17)(3.6.17)На первый взгляд может показаться, что между этими двумя секторами нет никакой связи. Однако еще в 1829 г. Якоби показал, что эти два выражения в точности эквивалентны:

(3.6.17)

(3.6.17)

/Ю=А-(3.6.18)

Это, конечно,/йе доказывает, что редуцированная модель NS- R суперсимметрична, но является необходимым условием наличия такой симметрии. Эта проекция называется проекцией GSO (по работе Глиози, Шерка и Олива [17]) и играет чрезвычайно важную роль в теории суперструн. (В гл. 5 будет показано, что GSO-проекция эквивалентна модулярной инвариантности однопетлевой амплитуды замкнутой струны.)

Итак, один из серьезных недостатков подхода NS-R состоит в том, что пространственно-временная суперсимметрия совершенно не очевидна. Второй серьезный недостаток этой модели-то, что с вертексной функцией для испускания фермионов весьма трудно работать и она не обладает привлекательным поведением при калибровочных преобразованиях Вирасоро. В результате потребовалось много лет, прежде чем Удалось найти двухфермионные амплитуды рассеяния. В теории NS-R вертексы взаимодействия между бозонами и фермионами суть [18-22]

^вв = к^ Ио,

^ff = Yi 1 (— 1)^-^ Ио,(3.6.19)

Ргв = е-^И%,

гДе L'-генератор Вирасоро, а

^(OI.expF-L £(-l)"''^?)^

L/W2 m = 0,r=l/2\Г-2 / J

x«ph I ^нН7 "MwxT11i«>

(3.6.20)(3.6.20)*0'787*0'787I Vl^ + i\r-2/\S-2/ J

(3.6.20)

(3.6.20)

*0'787

*0'787

Вертекс (3.6.20) осуществляет переход от бозонного фоковского про. странства к фермионному фоковскому пространству, поскольку слева стоит бозонный вакуум, а справа-фермионный. К сожалению, кон. формный спин этого вертекса равен 3/8, что затрудняет построение амплитуды, обладающей конформной инвариантностью.

Итак, хотя модель NS- R привлекательна, поскольку по существу это свободная теория в конформной калибровке, но трудности с фермион, ным сектором вынуждают нас искать более сложные варианты теории. Ниже мы изучим действие Грина-Шварца, которое эквивалентно GSO-проекции модели NS-R и обладает явной пространственно-вре. менной суперсимметрией.

СУПЕРСТРУНЫ

Хотя модель NS-R была простой и изящной, она обладает лишь суперсимметрией на двумерной мировой поверхности, но не подлинной десятимерной суперсимметрией. Представим теперь действие Грина- Шварца, для которого десятимерная суперсимметрия является явной [23, 24]:

s = i^datk ^дарпа • Пр + 2 ^ 8а хи(91 гцгре1 - 92гидр92) -

-2£ар91Гида9192Г11дре2},(3.7.1)

где

П^ = даХи - №АГида0л.(3.7.2)

В этих выражениях оба поля 0л(Л = 1, 2) являются настоящими пространственно-временными фермионными полями (а не пространственно-временными векторами, как в модели NS-R). Эти десятимерные спиноры, однако, преобразуются в двух измерениях как скаляры, а не как двухкомпонентные спиноры. Это действие, подобно действию суперсимметричной точечной частицы (3.1.1), инвариантно относительно глобальной суперсимметрии:

80л = ел,

SX^ze-TV.(3.7.3)

Однако в доказательстве нам придется воспользоваться тождеством

Г^иФгГ^з] = 0.(3.7.4)

Чтобы доказать это тождество, нужно применить преобразование Фирца. Оказывается, что (3.7.4) справедливо лишь при следуюШй^ условиях:

р = 3 и фермионы майорановские,

Р = 4 и фермионы майорановские или вейлевские,

р = 6 и фермионы вейлевские,

Р = Ю и фермионы одновременно вейлевские и майорановские.

Стандартное дираковское представление является комплексным; оно существует для любой размерности пространства-времени. Майорановское представление матриц Дирака - то, при котором все они вещественные (или мнимые). Поэтому у них вдвое меньше компонент, чем в дираковском представлении. Это представление существует лишь для размерности D = 2, 3, 4 mod 8. Вейлевское представление матриц Дирака-то, при котором половина компонент устраняется применением вейлевского оператора проектирования:

^(l±rD+i); Га+1 = ГоГ! ... Го-1.

Вейлевское представление возможно лишь при четной размерности пространства-времени. И, наконец, спиноры, являющиеся одновременно майорановскими и вейлевскими, можно определить только в размерности 2 mod 8:

Майорана-вейлевский спинор: D = 2 mod 8.

Выберем для рассмотрения майорана-вейлевские спиноры в десятимерном пространстве.

Для доказательства локальной суперсимметричности действия (3.7.1) в десятимерии сначала построим следующие операторы проектирования, которые проектируют на самодуальные и антисамодуальные части двумерных векторов:

^ = У±^/7дУ(3.7.5)

Этот оператор проектирования имеет следующие свойства:

^Pt=pt,

^Л = 0,

Здесь суперсимметричный параметр дается формулой xJaa, где Л = 1 или а представляет двумерный векторный индекс, а а- спинорный индекс в Десятимерии. Обычно он будет опускаться. Заметим, что два послед- ®®х свойства означают самодуальность или антисамодуальность х при 4 = 2 или А = 1 соответственно.

Тогда можно показать, что действие инвариантно относительно

ю*

преобразований

89л = 21ТПах'4а,

8ХЦ =/5ЛГ89Л,(3.7.6)

5(70 9ар) = - le^P^x1^^1 + P“Tx2paY92).

Большое достижение действия Грина-Шварца-то, что оно явным образом содержит десятимерную суперсимметрию. Поскольку основное поле теперь является настоящим антикоммутирующим пространственно-временным спинором (а не антикоммутирующим векторным полем, как в теории NS-R), мы можем в явном виде построить оператор Q , обладающий пространственно-временной суперсимметрией.

Большой недостаток этого представления, однако,-то, что наивное ковариантное квантование, как и в случае точечных частиц, неосуществимо. Снова, как и в формуле (3.1.9) для точечных частиц, нам приходится столкнуться с тем фактом, что соотношения квантования нелинейны, поскольку

кА=^~1ГгаХ^А*....(3.7.7)

Вследствие этого коммутационные соотношения между полями сильно нелинейны. Что еще хуже, оказывается, что они на самом деле обратно пропорциональны связям, т. е., скорее всего, не существуют [2, 24-32].

В результате мы вынуждены пользоваться квантованием в переменных светового конуса.

КВАНТОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ ГРИНА-ШВАРЦАВ КОНУСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Подсчет числа независимых степеней свободы спиноров важен при фиксации калибровки. В общем случае дираковские спиноры в £>-мерном пространстве ф четно) имеют 2(1/2)D комплексных компонент. Поэтому спиноры О1,2 в десятимерном пространстве имеют 32 4- 32 комплексных компонент. Однако если потребовать, чтобы они были майорановскими спинорами, у нас останется вдвое меньше: 32 4- 32 вещественных компонент. Требуя, чтобы они были вейлевскими спинорами, снова уменьшаем их число еще вдвое, до 16 4- 16 вещественных компонент. Выбор калибровки светового конуса уменьшит число независимых компонент до 8 4-8 вещественных компонент. Наконец, когда МЫ переходим к массовой поверхности и налагаем на эти спиноры уравнение Дирака, число независимых компонент снова уменьшается вдвое, Д° восьми. Но это в точности совпадает с числом компонент, необходимым для образования супермультиплета с восемью бозонными компонентами струны Хь Итак, мы располагаем именно тем числом компонент,

которое необходимо для выполнения условия суперсимметрии на массовой поверхности. Если N-число компонент спиноров О1 и О2, то у нас имеются:

Дираковские: N = 32 4- 32 комплексных компонент, Майорановские: N = 32 + 32 вещественных компонент, Майорана-вейлевские: N = 16 4- 16 вещественных компонент, Конусная калибровка: N = 8 4- 8 вещественных компонент, На массовой поверхности: N = 8 вещественных компонент.

Теперь приступим к этой редукции до калибровки светового конуса. Выберем следующие калибровочные связи:

Г+0ь2 = 0

Г* = 2~1/2(Г° + Г9).(3.8.1)

Поскольку для этих Г-матриц справедливы тождества

(Г+)2 = (Г-)2 = 0,(3.8.2)

то это означает, что ровно половина исходных 16 4- 16 компонент указанных спиноров устраняется. Окончательное выражение для действия в калибровке светового конуса становится замечательно простым:

S = чЦ(</аdx(даХ‘^Х‘ - iSpb5bS).(3.8.3)

4 ла

Здесь сделана подстановка

(3.8.4)(3.8.4)VT^-s.

(3.8.4)

(3.8.4)

Здесь важно отметить, что все сложные нелинейные члены в (3.7.1), препятствовавшие простому ковариантному квантованию суперструны, теперь исчезли. (Заметим, что, кроме того, произошло удивительное явление. В ковариантном действии Грина-Шварца О1 и О2 в двумерном пространстве были независящими друг от друга скалярами. Теперь, в калибровке светового конуса, эти два независимых скаляра слились в один двумерный спинор.)

Квантование исключительно просто, потому что система свелась к системе свободных частиц (тогда как ковариантная теория включала Взаимодействия). Уравнения движения-это уравнения для свободных струн:

(3.8.5)(3.8.5)(5t + da)Slo = 0,

(3.8.5)

(3.8.5)

(^ — dJS2" = 0.

(3.8.6)(3.8.6)Коммутационные соотношения суть {^"(о, т), 5вь(с\ т)} = itW^c - ст').

(3.8.6)

(3.8.6)

®Днако, как и прежде, мы можем наложить разные граничные условия

на эти поля. Для открытой струны (тип I) имеем следующие граничные условия:

(3.8.7)(3.8.7)Slo(0, т) = S2o(0, т), $1о(л, т) = 52а(к, т).

(3.8.7)

(3.8.7)

Заметим, что эти два струнных поля обладают одинаковой кираль- ностью SO (8). Причина в том, что только эти соотношения совместимы с глобальным преобразованием суперсимметрии, которые приравнивает два суперсимметричных параметра ел. Это означает, что открытая струна типа I имеет только суперсимметрию с N = 1. (Обращение знаков в предыдущем уравнении, дающее противоположные киральности, сделало бы суперсимметрию совершенно невозможной. Такой выбор действительно делается в другом варианте теории струн, а именно в теории 0(16) ® 0(16).) Разложение по нормальным модам поэтому имеет вид

51о(п, т) = 2"1/2 ^ 8°пе-^-°\

Х'(3.8.8)

S24a, т) = 2”1/2 X Sane-in^a\

где

(3.8.9)(3.8.9)sb„WQX-m

(3.8.9)

(3.8.9)

Для замкнутой струны (тип И), однако, у нас действительно есть две возможности: поля могут быть либо киральными, либо нет. Замкнутые струны по определению периодичны по параметру и, что дает следующие разложения по нормальным модам:

51О(П, Т) =£ S« €-2Нт-О^

п=-°°(3.8.10)

$2»^ т) =£ ga^in^ + G)

Если эти два поля имеют противоположные киральности, их называют полями типа ПА. Если у них одинаковая киральность, совпадающая с киральностью струн типа I, то их называют полями типа ИВ:

) открытые и замкнутые струны, Тип I =

( одинаковые киральности,

(3.8.11)(3.8.11)f замкнутая струна,

(3.8.11)

(3.8.11)

Тип ПА = <

( противоположные киральности,

f замкнутая струна, Тип ПВ = <

( одинаковые киральности.

Спектр суперструны в конусной калибровке особенно привлекателен тем, чт0 на массовой поверхности теория суперсимметрична, а это означает, что все частицы сразу оказываются упорядочены таким образом, что спиральные состояния бозонов соответствуют числу фермионов. Масса каждой частицы определяется гамильтонианом:

N = а'(масса)2 = £ (al„a‘ + nS-„S°).(3.8.12)

n = 1

Для струны типа I основное состояние теории состоит из безмассовой векторной частицы и ее спинорного партнера. Пусть | i) представляет восемь физических поперечных поляризаций безмассового векторного поля. Тогда спинорный партнер этого поля | а ) может быть представлен в виде

|<О = |(Т.Л>Г1 >•(3.8.13)

Можно нормировать наши состояния следующим образом:

<U> = Si,-,

<а|О = ^Т+Г,(3-8.14)

|i>=4(SoYl+W;

здесь h- вейлевский оператор проектирования. (Будем использовать следующее обозначение: уИгИг '^ равно произведению Г-матриц, просуммированному по всем перестановкам индексов. Нормировка такова, что у12 = у1 у2.)

Если бы мы квантовали десятимерную супермаксвелловскую теорию в калибровке светового конуса, то суперсимметричной паре (Ац, \|/а) соответствовал бы

f А - -► I Iх),

Суперсимметричный мультиплет: л 1/(3.8.15)

I Vе- |я>-

Таким образом, конусная теория воспроизводит супермаксвелловскую теорию на самом нижнем уровне.

На следующем уровне у нас будет 128 бозонных и 128 фермионных состояний:

nof a1-,-► 64 состояния,z Л

бозонов <(3.8.16)

( S°_ ! | Ь ) -► 64 состояния, f aLi -> 64 состояния,_ х

фермионов 1/(3.8.17)

I S - ! | Z)64 состояния.

На уровне N = 2 имеется 1152 бозона и столько же фермионов:

' а‘-! o'-i | /с)228 состояний,

1152 бозона1152 бозонаS - 1S -! | Z) -> 224 состояния, 1 а1- 217 > "^ 64 состояния,

1152 бозона

1152 бозона

а1-1 S°_ 11 b ) -> 512 состояний, < S-2 IЬ ) -> 64 состояния,

" aL1S-i |у) ->512 состояний,S - 210 ”* 64 состояния,

1152 фермиона1152 фермиона(3.8.18)(3.8.18)< aL! аС! | я ) -> 288 состояний,а1- 21 а ) -> 64 состояния,

1152 фермиона

1152 фермиона

(3.8.18)

(3.8.18)

w S-! S-! | с ) -> 224 состояния.

Эту процедуру можно повторить на следующем уровне, на котором у нас будет 15 360 состояний.

Неудивительно, что можно перегруппировать эти массивные мультиплеты также и в соответствии с группой 0(9). Причина состоит в том, что безмассовая D-мерная супергравитация после компактификации дает D — 1 массивных состояний. Так, сектор N = 1, содержащий 128 бозонов и 128 фермионов, можно перегруппировать в виде 44 + 84 бозона в неприводимых представлениях группы 0(9) и одного 128-мультиплета для фермионов со спином 3/2. На уровне 0(9) бозоны перегруппируются в виде представлений 9 + 36 + 126 + 156 + 231 + 594 группы 0(9), тогда как фермионы будут перегруппированы в виде 16 + 128 + 432 + 576.

Для замкнутой струны типа II спектр становится даже еще более интересным, поскольку мы получаем супергравитацию на безмассовом уровне, содержащем 128 бозонов и 128 фермионов:

Суперсимметричный ( 128 бозонов | Z) | j ); | а ) | b ), п я 1 мультиплет { 128 ферМионов |Z>|tz>;|tz>|Z>, (

где первое состояние относится к S-осциляторам, а второе-к §-осцил- ляторам. Если фермионы обладают противоположной киральностью (тип ИА), то это представляет N = 2, ф = 10)-редукцию обычной N = Ь D = 11 супергравитации.

Однако если струнные поля для фермионов имеют одинаковую киральность, то возникают осложнения. Такая теория содержит десятимерный антисимметричный тензор четвертого ранга с 35 независимыми компонентами в восьмимерном пространстве. Было показано, что для такой частицы никакого ковариантного действия не существует! Тем самым мы сталкиваемся с необычной ситуацией, в которой для этого сектора не существует суперсимметричного действия. Теория, разумеется, остается корректно определенной. Ее

Формулировка в калибровке светового конуса и элементы S-матрицы Вычислимы в явном виде. Однако S-матрица, строго говоря, видимо, не доводится из ковариантного действия [33].

Наконец, если мы ограничимся симметризованными состояниями теории типа I, мы получим супергравитацию с N = 1, D = 10. Подыто- ^йМ предельные формы этих теорий при нулевом наклоне реждевской

траектории:

(3.8.20)(3.8.20)Тип I -> N = 1, D = 10 супер-Янг-Миллс, Тип I -► N = 1, D = 10 супергравитация, Тип ПА -► N = 2, D = 10 супергравитация, Тип ПВ -► не существует.

(3.8.20)

(3.8.20)

При переходе к более высоким уровням становится все труднее продолжать этот анализ спектра для демонстрации суперсимметрии. Мы можем доказать, однако, что весь спектр, при сколь угодно высоких порядках, суперсимметричен, просто показав, что существуют генераторы суперсимметрии с коммутационными соотношениями, коммутирующие с гамильтонианом. Мы покажем это, в явном виде вычислив генераторы суперсимметрии во всех порядках.

В калибровке светового конуса два суперсимметричных преобразования (3.7.бри (3.7.3) становятся весьма простыми:

Г &8в = (2р+У'2т\\

[5Г = 0,

(3.8.21)(3.8.21)8$" = -iV7 pVtii^, 8Х‘ = р+ "^y^S".

(3.8.21)

(3.8.21)

(См. представление Г-матриц в приложении. Существует 8 представлений группы SO(8). Первое из них-векторное представление 8У, которое мы обозначим индексом и Два других представления являются спинорными. Мы будем использовать для одного из них индекс а, а для нгорого-индекс а. Таким образом, индексы Г-матрицы преобразуются как Ум*-) Можно найти явный вид двух генераторов суперсимметрии, выраженных через поля; он воспроизводит преобразования, даваемые Формулой (3.8.21):

У = (2р+)!/25«О)Q-' = (p+)-i/2y<a J S_„a^.(3.8.22)

^^ерь вычисление антикоммутационных соотношений между этими ^ераторами несложно:

{2е, ^ = 2р+Уь,

’ {2°, 2®} = Ру^р',(3.8.23)

. {2е, 2®} = 2НУ6.

Здесь

1 Г 00|

— 5 £ [al„a‘ + n$-„S;] + |р2 f.

Р l„-i2 J

(3.8.24)

Доказательство лоренц-инвариантности теории в конусной калибровке теперь нужно расширить до доказательства супер-Пуанкаре инвариантности суперструны. Кроме обычных коммутаторов мы должны показать, что

еа^и\ еа ~ -^хгПаер,

(3.8.25)

где а, Р представляют спинорные индексы в десятимерии. Снова трудности возникают только с коммутатором, содержащим минусовые компоненты осцилляторов:

100

а„"=—- £ (ti-maL + (m - |«)S;_mS^). ^Р m =—оо2

(3.8.26)

Вызывающий трудности коммутатор содержит дополнительный член:

М"' = Мо ‘ + —- £ S”„_m ^ sbm a'^Р п,т=-оо

(3.8.27)

Поскольку теория уже однозначно определена как десятимерная, мы находим

[М"1, М"Ч = 0.

(3.8.28)

Кроме того, мы находим также коммутатор для группы супер-Пуанкаре:

1м-\й“1 = -^^й5.

(3.8.29)

Этим завершается доказательство того, что спектр модели Грина- Шварца обладает десятимерной суперсимметрией на всех уровнях.

§ 3.9. ВЕРШИНЫ И ДЕРЕВЬЯ

Теперь перейдем к вопросу о взаимодействиях. Нам придется полагаться на несколько подсказанных опытом предположений о характере вертексных функций, однако потребовав, чтобы вершины преобразовывались определенным образом под действием cynepcHMj метрии, мы тем самым наложим жесткие условия на их окончательный вид. Установив пространственно-временную суперсимметрию для суперструны, покажем теперь, что это ограничение достаточно сильное, чтобы с его помощью построить деревья. Мы потребуем, чтобы операторы суперсимметрии превращали фермионные вершины в бо-

«синие и наоборот ограничений, котор«синие и наоборот ограничений, котор. Это наложит на нашу теорию огромное число ые приведут к однозначному определению самой теории.

«синие и наоборот ограничений, котор

«синие и наоборот ограничений, котор

Мы требуем, чтобы в результате преобразования суперсимметрии, порожденного генераторами Q, вертексы VF и Ув переходили друг , друга, т.е.

(3.9.1)(3.9.1)№ № ^Л ~ ^, к).

(3.9.1)

(3.9.1)

№ v»^ ОД ~ >№ к), ре'.^^ад- vB&k), ^, VB&, ад ~ W к),

где ^-тензор поляризации безмассовой векторной частицы, а и-его суперсимметричный партнер, майорана-вейлевский спинор. Заметим, что эти правила осложняет тот факт, что преобразование суперсимметрии с необходимостью порождает вращения в пространстве-времени, так что £ и и должны также соответствующим образом переходить в £, £ и й, й при этом преобразовании суперсимметрии.

Естественное допущение-предположить, что эти вертексы можно

(3.9.2)(3.9.2)выразить в виде te к^Ве'к Х, WMk^'uFe1^

(3.9.2)

(3.9.2)

для некоторого вектора В и спинора F. Замечательно, что после подробных вычислений в калибровке светового конуса мы сможем удовлетворить всем этим условиям при простых значениях В и F.

(3.9.3)(3.9.3)Начнем с вычисления полученных в результате вращения значений спиноров и тензоров поляризации. Чтобы найти, как они преобразуются, возьмем нулевые компоненты генераторов суперсимметрии и посмотрим, как эти компоненты преобразуют состояния. На нулевом Уровне находим:

(3.9.3)

(3.9.3)

Ч°О"\и> = ^>, паО"Ю = |й>, еа^10 = |й>, I е“2а1«> = Ю-Ч°О"\и> = ^>, паО"Ю = |й>, еа^10 = |й>, I е“2а1«> = Ю-Эти нулевые компоненты преобразуют тензор поляризации в майора- ^•вейлевские спиноры. Определим

Ч°О"\и> = ^>, паО"Ю = |й>, еа^10 = |й>, I е“2а1«> = Ю-

Ч°О"\и> = ^>, паО"Ю = |й>, еа^10 = |й>, I е“2а1«> = Ю-

(3.9.4)

Теперь подставим (3.9.3) в (3.9.4) и найдем преобразованные спиноры Экторы. Теперь несложно показать, что повернутые спиноры и

тензоры поляризации суть

^(y'^ti'V,

У = Ч°кЧ11^

= ~^(Чи)“к%},(3.9.5)

V2

С =—f^Y^») + yv£aifkJ. к

Подставив (3.9.5) и (3.9.1), находим поля В и F:

В+ = р\

В‘=Х‘-Кик5,„

(3.9.6)

F” = (2/>Т1/2[(У^$)" + ^(y'ST^.^,

F* = ^+ IlY^S*, где

Ru ='-^ь5"8ь.(3.9.7)

Теперь мы можем осуществить свертку по вертексам и пропагаторам и получить деревья. Большое преимущество этого подхода состоит в том, что становится возможным вычислять многофермионные амплитуды почти с такой же легкостью, с какой мы вычисляем многобозонные амплитуды. Например, пропагатор и амплитуда для рассеяния фермионов и бозонов даются формулами

D = I f al„a‘ + nS"-nSan + lp2| \(3.9.8)

А = <0; к. | У(кг)D... V(kN_а10; kN >,(3.9.9)

где различные вертексы могут быть как фермионными, так и бозонными. Четырехточечная амплитуда, например, равна

где К-матрица, дающая подходящую конфигурацию спинов для этой амплитуды. Если и представляет спинор, а £-поляризацию безмассовЬ^ полей, то:

K<uv ^, иэ, U = " V^ГГГ^з^кз + k4U4X +

+ ^г^-гг^з)^ + ша, (з.?10

К(«р “2> “з> “J = -^(«2Г**и3)(й1Г|1м4) + р(й1г%2)(1/41^1/3).

^ _, отмечалось выше, основная форма (3.9.10) для амплитуд рассеяния ^массовых спинора и вектора одна и та же. Единственное отличие возникает из-за фактора К.

§ ЗЛО РЕЗЮМЕ

Итак, существуют две эквивалентные версии теории суперструн. Сравнительные преимущества и недостатки действий НевёШварца рамона и Грина-Шварца таковы:

Действие NS-R линейно и легко квантуется как ковариантно, так и в калибровке светового конуса. Деревья и петли для бозонов строятся легко. Оно обладает явной инвариантностью относительно двумерной суперсимметрии. Однако эти важные преимущества необходимо сопоставить с тем фактом, что десятимерная пространственно-временная суперсимметрия по меньшей мере совсем неочевидна. Поскольку оно основано на антикоммутирующих векторных полях хр^, возникают трудности со статистикой спинов, для разрешения которых приходится применять проекцию GSO. Кроме того, вертекс для испускания фермиона весьма трудно применять, что делает вычисление многофермионной амплитуды практически неосуществимым.

Действие Грира-Шварца обладает явной десятимерной суперсимметрией на всех массовых уровнях. Оно построено на настоящих пространственно-временных спинорах, а не на антикоммутирующих векторных полях. Однако это действие сильно нелинейно, и его ковариантное квантование в настоящее время не представляется возможным. Пока что оно поддается квантованию лишь в калибровке светового конуса. Все амплитуды, включая многофермионные деревья, можно вычислить в этой нековариантной калибровке.

Подытожим теперь некоторые факты о теории NS-R. Полное Действие NS-R дается выражением

L = Й^Е/Ч^ X, - iW V Ли +

+ l^p^A + ^XLpVXpJ.(3.10.1)

2й0 инвариантно относительно преобразований двумерной суперсим- метрйи

8 Xм = ё\|/ц,

, V=-^8(da^-^Xo),

8^ == —2/epaXp,(3.10.2)

l5Xa= Va8,

ТакзКе преобразований Вейля, репараметризации и локальных дву-

мерных преобразований Лоренца. Преимущество этого формализм состоит в том, что тензор энергии-импульса и суперсимметричный порождают некую алгебру, а именно алгебру супер-Вирасоро, котооа позволяет нам явным образом устранить из теории все духовы состояния. Нам не приходится налагать эти калибровочные связ вручную, в отличие от случая суперконформно инвариантного действия

Наша стратегия квантования будет такой же, как и для бозонной струны. Сначала мы найдем симметрии действия, затем извлечем из них алгебру, далее используем эту алгебру для устранения духовых состоя, ний и получим унитарную теорию:

Действие -► Симметрии -► Ток -► Алгебра -* Связи -► Унитарность.

Если устранить тетраду и поле х> мы получим теорию NS-R а суперконформной калибровке:

L = -^8аХ^Х» - iW6a^Y ZKL = -^8аХ^Х» - iW6a^Y ZK(3.10.3)(3.10.3)

L = -^8аХ^Х» - iW6a^Y ZK

L = -^8аХ^Х» - iW6a^Y ZK

(3.10.3)

(3.10.3)

(3.10.4)(3.10.4)Вследствие симметрий исходного действия, являющегося суперсимметричным, мы можем построить приведенные ниже токи и положить их равными нулю:

(3.10.4)

(3.10.4)

= wxy + ^Млц + ^*М.= wxy + ^Млц + ^*М.(3.10.5)(3.10.5)

= wxy + ^Млц + ^*М.

= wxy + ^Млц + ^*М.

(3.10.5)

(3.10.5)

Вычислив моменты этих связей, убеждаемся, что они образуют алгебру:

[bm, L„] = (m - n)Lm + „ + -(т4 - m)8m, -„

(3.10.6)(3.10.6)NS: ^ [Lm, Gr] = (|m — r)G„+,,

(3.10.6)

(3.10.6)

l{Gr,G$} = 2L, + $ + lD(r2-l)8r,

E^m’ ^n](^ ^)Lm + n + 8m _n

О

R: 1 tLm)Fnl=^m-n^Fm + n

. ^Fm)Fn^ = 2Lm + nV-Dm2b.

Как и в бозонном случае, переход от континуального интеграф к формализму гармонических осцилляторов прост. Гамильтон^ диагоналей в фоковском пространстве гармонических осцилляторов, что мы можем устранить все промежуточные континуальные интеграф

Находим, что тахионная вертексная функция с весом 1 может бы1*

(3.10.7)(3.10.7)записана в виде

(3.10.7)

(3.10.7)

Однако оказывается, что существуют два способа, или «картины», дозволяющие выписать N-точечную амплитуду: они называются фор- ^ализмами Fv и F2. Правила образования N-точечных функций следующие:

Вертекс = V, 1 Пропагатор = -,

Fr 1Fr 1^: 1^: 1(3.10.8)(3.10.8)(3.10.9)(3.10.9)Lo — 1

Fr 1

Fr 1

^: 1

^: 1

(3.10.8)

(3.10.8)

(3.10.9)

(3.10.9)

Тахион = Аси• Z>-1/210; /с)1 а'к2 = 1,

Вакуум = 10; к ); а' к2 = 1,

Вертекс = И, Пропагатор = —-—,

Тахион = Вакуум = 10; к ); а' к2 = i

Преимущества и^недостатки этих двух формализмов следующие:

В формализме Fx намного легче доказать явную циклическую симметрию. Однако приходится тащить через все вычисления излишний груз вакуумного состояния, которое никак не взаимодействует с другими состояниями теории.

В формализме F2 циклическая симметрия неочевидна, но устранение духов провести несложно. Преимущество картины F2 в том, что мы работаем в фоковском пространстве меньшего объема.

АГ-точечная функция представляется в виде

(3.10.10)(3.10.10)А = /^<0;0|^^^^|0; о>.

(3.10.10)

(3.10.10)

У1yN

Хотя модель NS- R с проекцией GSO имеет то же число фермионных й бозонных состояний, но доказать, что теория действительно обладает пространственно-временной суперсимметрией, чрезвычайно сложно. Поэтому мы покажем такую симметрию, постулировав новое действие *Рйна-Шварца, содержащее настоящие пространственно-временные Миноры. Действие Грина-Шварца-это

s = ^Ja ^ ^^ па • Пр + 2 i^6a ^(б1 Г^О1 - 92 гиа₽о2)

(3.10.11)(3.10.11)-ге^г-^о^г^рО2},

(3.10.11)

(3.10.11)

где

п^^-^гЧ^-(3.10.12)

Это действие инвариантно относительно преобразований

80л = ел,

бА^^РОЛ(3.10.13)

а также относительно преобразований

50л = 2гТПахЛа,

SA^z^HSO14,(3.10.14)

8(7^)= -хбУ^р^х'»^1 ч-р^х^о2).

Преимущество этой формулировки Грина-Шварца состоит в том, что она обладает пространственно-временной суперсимметрией на всех уровнях. Однако цена, которую за это приходится платить,-то, что ковариантное квантование теории, как хорошо известно, очень трудно, поскольку система включает взаимодействия даже на уровне свободных частиц. Поэтому мы переходим к калибровке светового конуса, в которой теория становится линейной:

S = Ucdt^X^X1 - iSpbdbS\(3.10.15)

4ла

Это действие обладает также пространственно-временной суперсимметрией, генераторы которой даются выражениями

Q° = (2p+)1/2So,

Q5 = (p+rvl2Y-a I S-n«L(3.10.16)

Антикоммутационные соотношения для этих генераторов даются формулами

{е°, е”} = 2р+8аь,

4 ^а,9^ = хМ-р‘,(3.10.17)

{Q“, (/} = 2 НУ6,

где

Я = Л{ Z [aL„a'+hS“_„S“]+^1.(3.10.18)

Р 1Л=!2J

Далее мы рассмотрим конформную теорию поля, сочетающую лучл#6 черты обоих формализмов-NS-R и Грина-Шварца.

•ЛИТЕРАТУРА

Gervais J. L., Sakita В. Nucl. Phys. В34, 632 (1971).

Щ Siegel W. Phys. Lett. 128B, 397 (1983); Nucl. Phys. B263, 93 (1985); Class. Quant.

1J Grav. 2, L95 (1985).

rii Brink L., Schwarz J. H. Phys. Lett. 100B, 310 (1981).

Ramond P. Phys. Rev. D3, 2415 (1971).

У Neveu A., Schwarz J.H. Nucl. Phys. B31, 86 (1971).

Neveu A., Schwarz J.H., Thorn C.B. Nucl. Phys. B31, 529 (1971).

Wess J., Zumino B. Nucl. Phys. B70, 39 (1974).

rg] См. также Гольфанд Ю. А., Лихтман E. П. Письма в ЖЭТФ, 13, 323 (1971);

Волков Д. В., Акулов В. П. Письма в ЖЭТФ, 16, 621 (1972).

го] Virasoro М.А. (неопубликовано).

ПО] Aharonov У., Casher A., Susskind L. Phys. Rev. D5, 988 (1972).

[П] Brink L., Di Vecchia P., Howe P. Phys. Lett. 65B, 471 (1976).

Deser S., Zumino B. Phys. Lett. 65B, 369 (1976).

Более ранняя попытка описана в Iwasaki Y., Kikkawa К. Phys. Rev. D8, 440 (1973).

Ohta N. Phys. Rev. D33, 1681 (1986).

Ito M., Morozumi S., Nojiri S., Uehara S. Prog. Theor. Phys. 75, 934 (1986).

Schwarz J. Suppl. Prog. Theor. Phys. 86, 70 (1986).

Gliozzi F., Scherk J., Olive D. Nucl Phys. B122, 253 (1977).

Thorn C.B. Phys. Rev. D4, 1112 (1971).

Brink L, Olive D., Rebbi C., Scherk J. Phys. Lett. 45B, 379 (1973).

Mandelstam S. Phys. Lett. 46B, 447 (1973).

Schwarz J.H., Wu C.C. Phys. Lett. 47B, 453 (1973).

Bruce D., Corrigan E., Olive D. Nucl. Phys. B95, 427 (1975).

Green M., Schwarz J.H. Phys. Lett. 136B, 367 (1984).

Green M., Schwarz J.H. Nucl. Phys. B198, 252, 441 (1982).

Hori T., Kamimura K. Prog. Theor. Phys. 73, 476 (1985).

Kaku M., Lykken J. In: Symposium on Anomalies, Geometry and Topology (edited by W.A. Bardeen and A. R. White). World Scientific, Singapore, 1986.

Cm. также: Bengtsson I., Cederwall. Geteborg preprint 84-21.

Allen T.J., Cal Tech preprint CALT-68-1373.

HoriT., Kamimura K., Tatewaki M. Phys. Lett. 185B, 367 (1987).

Crnkovic C. Phys. Lett. 173B, 429 (1986).

РЧ Каллош P. E. Письма в ЖЭТФ 45, 365 (1987); Phys. Lett. 195B, 369 (1987).

P2] Batalin I. A., Kallosh R.E., Van Proeyen A. KUL-TF-87/17.

P3] Marcus N„ Schwarz J.H. Phys. Lett. USB, 111 (1982).

Глава 4

КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И АЛГЕБРЫ КАЦА-МУдц

КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Одна из загадок теории суперструн-возможность сформулировать ее двумя способами. Первый из них-модель NS-R (после GSO-проекции), содержащая антикоммутирующие векторы, а второй-модель Грина-Шварца (GS) с настоящими антикоммутирующими спинорами, У каждой формулировки есть свои специфические достоинства и недостатки. В настоящей главе мы обсудим конформную теорию поля, которая позволит нам увидеть динамическую связь между этими двумя формулировками. Конформная теория поля Фридэна и Шенкера [1] сочетает лучшие черты обеих теорий. Конформная теория поля позволяет сделать следующее.

Ввести ковариантные антикоммутирующие спинорные поля, исходя только из свободных полей. GS-формализм, напротив, основан на сложных взаимодействующих полях, что делает ковариантное квантование слишком трудным.

Построить явным образом ковариантные древесные диаграммы для многофермионного рассеяния. В (№-К)-формализме сделать это практически невозможно из-за необходимости вводить сложные операторы проектирования для устранения духов. Конформная теория поля заменяет эти неуклюжие операторы проектирования свободными духами Фаддеева-Попова, с которыми легко работать.

Переходить от GS-формулировки к (NS- К)-формулировке и обратно и установить связь между ними. Это позволяет выражать результаты, полученные с помощью одной из них, в терминах другой:

f GS-модель,

Конформная теория поля *-► <

( (NS-R)-мoдeль.

Построить ковариантные генераторы суперсимметрии. Это невозможно сделать в (NS-R)-фopмyлиpoвкe, а в GS-формулировке возможно лишь в калибровке светового конуса.

Описать оба сектора теории, NS и R, с помощью одного и того #е вакуума вместо использования громоздкого формализма ДВУ* различных гильбертовых пространств, основанных на двух вакуум^’ |0)NS и |0)Rwa. Это осуществляется с помощью процесса, назЫ* ваемого бозонизацией, т. е. построения фермионов из бозонов в Д®У' мерном пространстве.

Однако за возможность построения такой конформной теории поля которую небольшую цену придется заплатить. В этом формализме LcbMa быстро размножаются духи и антидухи, особенно для супер- и необходимо ввести странное явление, называемое «сменой гаотины» (см. (3.3.18), (3.3.19)). К счастью, эти духи и антидухи являются свободными полями и, следовательно, с ними легко работать. Кроме того, конформную теорию поля, по-видимому, нельзя вывести ни из gatoro действия, в отличие от формализмов GS и NS-R. Эта теория подчеркивает теоретико-групповое поведение полей вместо того, чтобы исходить из действия. Поэтому мы предполагаем, что существует еще не открытое первично квантованное действие более высокого порядка, выходящее за рамки действий GS и NS-R.

(Мы должны подчеркнуть, что конформная теория поля не является теорией поля в смысле вторичного квантования, т. е. мы начинаем с формализма Швингера, Томонаги и Фейнмана. Вторично квантованная полевая теория струн будет рассмотрена в части II настоящей книги.)

Сущность конформной теории поля состоит в том, что в ней подчеркивается использование одной лишь конформной инвариантности для вычисления корреляционных функций, связывающих различные поля [2-6]. Весьма примечательно, что конформная инвариантность сама по себе достаточна для почти полного определения структуры N-точечных амплитуд рассеяния. Например, в (2.6.9) нам встречались операторы, имеющие следующие матричные элементы:

(4.1.1)(4.1.1)<ф(21)ф(2215 = /1^ - Z2).

(4.1.1)

(4.1.1)

Здесь функция / может быть степенью или логарифмом. Скажем, матричный элемент древесных амплитуд для двух бозонных струн есть

(^(^^(z)) - log(w - z),

тогда как матричный элемент для двух нормальных упорядоченных вершин есть

<eikx^e"ikx^>^

До сих пор мы использовали для вычисления матричных элементов явные представления полей. Однако можно также обратить этот про- Десс. Если бы нам были полностью известны групповые свойства поля, 161 смогли бы вычислить его матричные элементы и даже восстановить само поле.

Важнейшая идея, лежащая в основе конформной теории поля,- вос- Дьзоваться конформными свойствами поля ср для полного опре- ц ения его матричных элементов и даже восстановления самого поля, конформной теории поля это достигается, если известно поведение на И*

малых расстояниях полей, движущихся налево и направо:

(p(zj(p(z2) ~ —- + менее сингулярные члены.(4.1.2)

(zt — z2)* '

Итак, в принципе все возможные матричные элементы можно вычислить, исходя из конформных свойств самих полей.

В конформной теории поля мы, кроме того, строим спиновое поле S которое при пространственно-временных преобразованиях Лоренца преобразуется как настоящий спинор с конформным весом 5/8. Однако сектор духов Фаддеева-Попова порождает еще одно поле с конформным весом 3/8. Именно произведение этих двух полей, одно из которых спиновое, а другое духовое, позволяет построить полный фермионный вертекс с правильным весом единица. Этот вершинный оператор, хотя он и включает экспоненты от полей, определяется целиком через свободные поля и поэтому решает проблему построения фермионной вершинной функции.

Фактически это спиновое поле вводится с помощью процесса, который называется «бозонизацией» [7, 8], т. е. создания фермиона из бозона. Легко, разумеется, создать бозон из двух фермионов. Однако в двумерии у нас имеется конкретная возможность построения фермионов из бозонов, которая одно время считалась неосуществимой. В действительности подсказка способа «бозонизации» уже приводилась в предыдущей главе, когда мы ввели вершинную функцию

V = :eikX:.(4.1.3)

В (2.6.22) было показано, что

^1^2 = и2р;^^.(4.1.4)

Заметим, что, выбирая разные значения импульсов в показателе этой экспоненты, мы действительно можем построить операторы, удовлетворяющие соотношению

1^2 = (±1)^-(4L5)

Другими словами, мы можем построить поле с фермионными коммутационными соотношениями из бозонных гармонических осцилляторов. Ключ к этому построению-нормальное упорядочение осцилляторных мод в двумерном пространстве. Данное свойство не переносится на четырехмерные теории поля. (Задним числом можно увидеть, почему фермионы и бозоны так тесно связаны в двумерном пространстве, но не в пространствах более высокой размерности. Для группы Лорениа 0(1,1), у которой есть только один генератор, понятие, называемое «спин», не имеет большого смысла для одного пространственного измерения.)

Этот метод бозонизации посредством нормального упорядочивания полей будет далее также ключом к построению конформной теорий

цоЛЯ- Мы построим фермионное спиновое поле Sa с помощью нормаль- goro упорядочивания показателей экспонент бозонных полей. Из этого спянового поля мы построим ковариантный оператор суперсимметрии. Преимущество такого подхода-то, что теперь мы можем обсуждать Пространственно-временные спиноры, используя один общий вакуум йдля бозонов, и для фермионов, а также то, что все построение основано на свободных полях.

Прежде чем обсуждать суперконформный случай, начнем с анализа конформной теории поля. Сделаем наиболее общее конформное преобразование переменной мировой поверхности z:

(4.1.6)(4.1.6)z -* z(z) .

(4.1.6)

(4.1.6)

Мы будем говорить, что первичная аналитическая функция преобразуется этим конформным преобразованием с конформным весом h, если она преобразуется по формуле

(4.1.7)(4.1.7)(dz\h

(4.1.7)

(4.1.7)

<p(z) = v(z)I — ) .

\dZ/

(Вторичные поля преобразуются как производные от <p(z).) Этот конформный вес представляет собой то же понятие, которое мы ввели ранее в выражении (2.7.6) при обсуждении конформных свойств вершин. Теперь мы видим, что математически конформный вес есть индекс, нумерующий неприводимые представления конформной группы, порожденной алгеброй Вирасоро.

Теперь мы можем построить объекты, инвариантные относительно конформного преобразования:

ф(г) d? = ф(2) d^.(4.1.8)

Раз мы уже определили, как поля преобразуются под действием конформного преобразования, мы должны затем проверить, что две такие конформные операции дают замыкание группы. Пусть мы сделали Два последовательных конформных преобразования:

^z.^z^MV(4.1.9)

Тогда поле преобразуется по формулам

/ Д7 \ *

I71<p(z)l/r1=<p(z1) -1 ,(4.1.10)

\dz /

UiU^U^Ui2 = ф[г2(21(2))]№^у.(4.1.11)

\az1 az /

конформные преобразования образуют группу с законом компоследующего вида:

^з-^, z3 = z^zM.(4.1.12)

bz = 8(2).bz = 8(2).Замыкание алгебры легче всего увидеть, взяв инфинитезимальна конформное преобразование. Рассмотрим бесконечно малую вариации координаты:

bz = 8(2).

bz = 8(2).

(4.1.13)

Под действием преобразования (4.1.7) мы получим инфинитезимальное преобразование

(4.1.14)(4.1.14)8фе = Е^ + й(5е)]ф.

(4.1.14)

(4.1.14)

(Мы для краткости будем обозначать dz через 5.) Взяв коммутатор двух таких вериаций, получим

(4.1.15)(4.1.16)(4.1.15)(4.1.16)^[ei,e2]^i’ ^J’

(4.1.15)

(4.1.16)

(4.1.15)

(4.1.16)

где

^8|, 82] — 8^8282^8^

(Сравните это соотношение с (2.1.30).)

Мы снова показали, что группа замыкается при произвольном весе к. Чтобы лучше понять смысл конформного веса А, вычислим конформный вес струны. При бесконечно малой вариации координаты мы применим цепное правило с целью показать, что струна преобразуется по формуле

ЬХ^ = г6Х^.(4.1.17)

(4.1.18)(4.1.18)Итак, поле струны имеет вес 0. Аналогично, легко показать, что производная поля струны имеет вес 1:

(4.1.18)

(4.1.18)

5d^(z) = Esd + (d8)]d^(z).

(4.1.19)(4.1.19)Приведем сводку весов некоторых часто встречающихся струнных полей:

(4.1.19)

(4.1.19)

Поле

Вес

X

0

дХ

1

дХ-дХ

2

вариантным, т.е.

(4.1.21)(4.1.21)S^0^)^ = Kv^9 + (dv)q>]dz = fd[v(p] dz = 0.

(4.1.21)

(4.1.21)

Этот факт будет использован при построении вершинных операторов, а также действия вторично квантованной теории.

Теперь подробно изучим, как тензор энергии-импульса действует на основные поля теории.

Если действие выражено через переменную X(z, z), т.е.

S = —f^z^dX(4.1.22)

2я

то тензор энергии-импульса (1.9.17), связанный с этим действием, есть

Тв= -^Х^ХЦ.(4.1.23)

Преобразование полей под действием конформных преобразований порождается проинтегрированным тензором энергии-импульса, параметризованным малой функцией е:

Те = ^ f</z£(z)T(z).(4.1.24)

2л<со

Здесь мы берем интеграл по контуру, окружающему начало координат в комплексной плоскости переменной г. Важность тензора энергии- импульса Т связана с тем, что он служит генератором изучаемых нами конформных преобразований. Чтобы в этом убедиться, запишем

5<Р(^2) = [Те, ф(г2)]

= ^ J</ze(z)T(z)^(z2)

=~. f </2Р8(2)Т(2)ф(22)(4.1.25)

L0,2 L0

= ^ I ^е(2)Т(2)ф(22)

с2

Заметим, что контур Со,2 окружает и начало координат, и точку z2, тогда

*ак контур С2 окружает только точку z2, поскольку

С2 = Со,2-Со(4.1.26)

^ Рис. 4.1). Заметим также, что мы приняли радиальное упорядочение

Рис. 4.1. Контуры интегрирования в конформной теории поля. На верхнем рисунке точка z2 расположена между двумя концентрическими окружностями. На нижнем рисунке направление обхода внутреннего контура было обращено, и он слит с внешним контуром, в результате чего получен замкнутый контур. Точка z2 лежит внутри этого контура, но начало координат-снаружи от него.

Р операторов в комплексной плоскости, при котором операторы упорядочены в соответствии с их расстоянием от начала координат:•

|Z|<|Z1|.(4.1.27)

На последнем шаге мы опустили радиальное упорядочение, поскольку радиально упорядоченные произведения аналитичны.

Из предыдущего нам также известно, что

8ф = [£а + Л(ае)]ф.(4.1.28)

Сравнивая два выражения для бф, (4.1.25) и (4.1.28), мы можем теперь увидеть поведение поля ф на коротких расстояниях:

T^z^w, iv) - -—у ф(и>, й>) + —-—^ф + ... . '(4.1.29)

(z — W)z — W

Поскольку сам тензор энергии-импульса имеет конформный вес 2, мы можем также подставить его в уравнение для поведения поля на коротких расстояниях. Тем самым мы вывели поведение на коротких

расстояниях самих генераторов:

с21

Т№ = Г,-, + -^T(W) + --8wTW + ....(4.1.30)

v2VZ — wp (z — wf(z — w)

Второй член правой части этого уравнения показывает, что сами генераторы преобразуются как конформные поля с весом 2.

(4.1.31)(4.1.31)Теперь введем нормальные моды и установим связь с формализмом гармонических осцилляторов. Всегда возможно разложить произвольное поле v с весом h следующим образом:

(4.1.31)

(4.1.31)

v(z) = Е г’”_>»

Это позволяет разложить тензор энергии-импульса по нормальным модам. Запишем

dz

L"=^1T^ оо(4.1.32)

T(z)= £ 2 — гЬп.

Будет поучительно действительно вывести шаг за шагом алгебру Вирасоро из этих абстрактных выражений, чтобы увидеть эквивалентность коммутаторов и разложений в операторные произведения. Используя (4.1.30) и (4.1.32), находим

г гг dw я dz । .

Iki zki

x ;—"—\4 + ;T(w) + dw T

L(z — (z — w) (z — w) J

= f?;H-"+1)(n+ l)w"2T(w) + w"+tdwT 2k i (

i

iC)

+-^ ^ + i)^ -1) j

= ^AO-n + 2) w"+m+1 T(w) - (m + и + 2) W”+”+1 T^

+^И^П + ^^ ” l)H,m + n l |-

0 в конце концов сводится к обычной алгебре Вирасоро:

^«’ У = (т - и) Lm + „ + -^- (m3 - т) 5„, _„.(4.1.33)

Подставляя выражение для Ln в контурный интерграл, мы получу также

[Ь„, ф(г)] = {У +1 г + Л(и + 1) z"} ф(г). (4.1.34) (Это можно также вывести из (4.1.28).)

Мы показали, что это описание эквивалентно обычному описанию с помощью коммутаторов, которым мы пользовались в предыдущие главах. Действительно, последнее уравнение есть не что иное, как (2.7.6)} которое применялось при вычислении конформного веса вершинной функции.

Этим способом можно выразить не только обычные конформные коммутаторы; на этом эквивалентном языке можно также описать вклад духов Фаддеева-Попова в конформную калибровку. Духи Фаддеева- Попова дадут нам другое представление алгебры Вирасоро, основанное на духовых полях b и с, а не на струнной переменной X. Если переписать (2.4.1), получим

(4.1.35)(4.1.35)Sgzz = Vz5ez, 5fe= V-5ez.

(4.1.35)

(4.1.35)

Эти ограничения в свою очередь позволят нам вычислить изменение функциональной меры. Простое вычисление якобиана этого преобразования дает

(4.1.36)(4.1.36)DgZzDg^ = (det Vz)(det V-)Z)8zZ)8?.

(4.1.36)

(4.1.36)

(4.1.37)(4.1.37)Чтобы ввести определитель под знак экспоненты в действие, введем два духовых поля, b и с. Тогда духовое действие (2.4.4) можно записать в виде

(4.1.37)

(4.1.37)

Sgh = -^2(Ь22д-с2 + b-dzczY

(Заметим, что духовое действие записано здесь таким образом, что тензорная природа полей проявляется при действии конформной группы. Тем самым инвариантность действия относительно конформной группы становится очевидной. Итак, поле bZ2- тензор второго ранга, a cz — тензор первого ранга.)

(4.1.38)(4.1.38)Располагая этим действием, мы можем построить тензор энергии-импульса, ему соответствующий:

(4.1.38)

(4.1.38)

Tgh = cdzb + 2^zc)b.

Указанные духовые поля имеют следующий матричный элемент:

<Z>zz(z)cz(w-)> = — z —

селя теперь тщательно вычислить поведение этих полей на коротких расстояниях, мы получим

(4.1.39)(4.1.39)-1321

(4.1.39)

(4.1.39)

Th(z) Tgh(^) •= + 72 Tgh(z) н5Tgh(z) + ... .

Обратите внимание на множитель —13 в вычисленной аномалии духового тензора энергии-импульса. Если взять сумму этих двух узоров энергии-импульса, (4.1.23) и (4.1.38), то окажется, что подученный комбинированный тензор свободен от аномалии в 26-мерном пространстве:

(4.1.40)(4.1.40)T(z)=7Hz)+Tgh(z),

(4.1.40)

(4.1.40)

, D — 26

2 (Z — w)4 + ’ ’

Заметим, что сумма двух тензоров энергии-импульса имеет нулевой главный член только в 26-мерном пространстве. Это фактически фиксирует размерность пространства-времени*, она должна быть равной 26. Итак, бозонное представление тензора энергии-импульса через струнные поля X дает множитель D для аномального члена, тогда как духовое представление для Т дает множитель —26. Сумма этих двух тензоров есть истинный тензор энергии-импульса, имеющий нулевой главный член лишь при D = 26.

Всякий раз, когда мы имеем дело с какой-нибудь группой Ли, первое, что мы должны выяснить,- это каковы ее представления. Скажем теперь несколько слов о представлениях алгебры Вирасоро.

Для групп SU(2) или SU(3), например, мы знаем, что представления можно образовать, используя хорошо известные «лестничные операторы» для построения триплетов, октетов и более высоких представлений. Для алгебры Ли общего вида можно построить представления, взяв все возможные произведения «повышающих операторов», Действующие на вакуум с «наивысшим весом». Множество всех таких состояний, создаваемых повышающими операторами, называется «универсальной огибающей алгеброй». Тот же самый процесс применим к алгебре Вирасоро, если рассматривать L_n как лестницу повышающих операторов.

Определим вектор с наивысшим весом | h ) следующим образом:

Ц\ку = Н\Иуъ

^п I h ) = 0; где п > 0.

Заметим, что любое физическое состояние | R) с h = 1 является вектором с наивысшим весом, поскольку оно удовлетворяет условию

— 1)|Ry = 0. Отметим также, что вакуумное состояние |0; ку тоже валяется вектором с наивысшим весом, а состояние 10; 0 ) этим Св°йством не обладает.

Теперь определим набор состояний, порождаемых всеми повышаю-

щими операторами L_n, действующими на вектор с наивысшим весом*

| со > = l\ l\2 ...lX\H>.(4.1.42)

Набор всех таких состояний называется модулем Верма. Если |/л рассматривается как физическое состояние, то модуль Верма, соответствующий ему, есть набор всех шпурионных состояний, которые можно получить из этого физического состояния.

Заметим, что любое конформное преобразование просто переводит это состояние в какой-то другой элемент модуля Верма:

П|о> = |«)'>,(4.1.43)

где

Q = e^L-.(4.1.44)

Это происходит потому, что генератор Вирасоро, действуя на элемент модуля Верма, создает другое состояние, принадлежащее тому же модулю Верма. Тем самым модуль Верма образует представление конформной группы.

Кроме вектора с наивысшим весом определим также вакуум, инвариантный относительно группы SL(2, R\ который мы ввели ранее:

(4.1.45)(4.1.45)ь±| |0; 0> = О, Lo|0;0> = 0.

(4.1.45)

(4.1.45)

Связь между этими двумя разными вакуумами дается соотношением

(4.1.46)(4.1.46)| А > = ф(0) 10; 0 >,

(4.1.46)

(4.1.46)

где ф(0) есть первичное поле с весом И. Это соотношение легко проверить, подействовав на его левую и правую части генераторами алгебры Вирасоро.

СУПЕРКОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Обсудим теперь более сложный вопрос о записи суперконформной теории поля. Вместо выписывания преобразований поля как функций комплексной переменной выпишем преобразование пары переменных в наиболее общей форме:

z = z(z, 0),(4.2.1)

где 0-грассманова переменная. Преобразование этой пары наиболее общего вида дается формулой

z(z) = (z(z, 0), 9(z, 0)).(4.2.2)

К сожалению, такое преобразование имеет чрезмерно общий ВИД-

действительно, если взять произведение двух таких преобразований, мы получим преобразование того же вида. Необходимо наложить ограничение на систему, чтобы получить замкнутую группу преобразований.

Определи^ суперсимметричную производную (см. Приложение) формулой

(4.2.3)(4.2.3)(4.2.4)(4.2.4)д а 5

(4.2.3)

(4.2.3)

(4.2.4)

(4.2.4)

так что

0Z

Вычислим теперь, как эта суперсимметричная производная преобразуется при репараметризации:

(4.2.5)(4.2.5)D = (D6)D + [D2 -6d6]52.

(4.2.5)

(4.2.5)

Такой закон композиции также не может нас удовлетворить, поскольку он сильно нелинеен. Нам нужно, чтобы, как это было в случае конформных преобразований, производная преобразовывалась линейно. Поэтому мы просто устраняем нелинейные члены, налагая связи

(4.2.6)(4.2.6)D = (D6)5, D2-6d6 = O.

(4.2.6)

(4.2.6)

Z Z ~* Z .Z Z ~* Z .Эти связи, линеаризующие преобразование репараметризации, в точ- пости совпадают с нужными нам связями. Наложив их, мы можем показать, что два различных суперконформных преобразования дают новое суперконфермное преобразование:

Z Z ~* Z .

Z Z ~* Z .

(4.2.7)

Итак, мы назовем преобразование поля суперконформным, если оно Удовлетворяет условиям

(4.2.8)(4.2.8)аг

(4.2.8)

(4.2.8)

Ф(г) = ф(г)(Р0)2*.

5^° проверить, что устранение компонент 0 приводит это выражение Ратно к конформному виду, выписанному ранее в (4.1.7).

в л7ак И В пРедыдУЩем параграфе, мы можем выписать эти условия Форме бесконечно малой вариации полей:

(4.2.9)(4.2.9)5*Ф = [ед + 1 (De) D + А(де)]ф,

(4.2.9)

(4.2.9)

4® 8 параметризует суперконформные преобразования. Заметим, что

это выражение почти совпадает с бозонным преобразованием (4.1.28) отличаясь от него лишь членом, содержащим два оператора ^ Замыкание алгебры теперь можно записать в виде*

5[8„82] = Е8в1,8вД,(4.2.10)

где

[еР е2] = £^£2 - Ег^! + 1 (De,)(De2)-(4.2.Ц)

Заметим, что мы снова получим обычную алгебру Вирасоро (4.1.16), если положим Вгх и Вгг равными нулю.

Мы видим, что репараметризации по грассмановым переменным можно выразить через два параметра, dz = га и 50 = еь:

e(z) = 8z + 080 = efl + 0£6,

5z = £ - 650 = £„ + 10£6,(4.2.12)

50 = lD£ = l(£b + 0deJ.

Эти уравнения являются частным решением системы (4.2.6), так что нам известно, что группа замыкается в собственном смысле после двух последовательных преобразований полей. Это решение будет положено в основу построения суперконформных токов, а затем и самой суперконформной алгебры.

До сих пор мы ограничивались лишь весьма общими замечаниями о суперконформной группе, не ссылаясь ни на какую конкретную модель. Теперь перепишем (NS-R)-мoдeль, выразив ее через конформ

ные поля. Действие имеет вид

= ^cPzdedSDX^DX^.(4.2.13)

Уравнения движения суть

50^ = 0,(4.2.14)

а их решение есть

Xм (z, 6, z, 0) = X^z, 6) + X^Z, 0).(4.2.15)

Поэтому мы выберем

X^z, 6) = X^z) + O^z),(4.2.16)

так что действие примет вид

= ^ J cPz^dX^dX^ — худху — \j/5\jz).(4.2.17)

^уетим, чт0 это есть не что иное, как исходное действие модели NS-R /»2.1), записанное на конформном языке. Из него можно получить супертензор энергии-импульса в несколько иной нормировке:

(4.2.18)(4.2.18)(4.2.19)(4.2.19)т= rF + 9ТВ = -lDX-d^.

(4.2.18)

(4.2.18)

(4.2.19)

(4.2.19)

дупишем его в явном виде:

Г, = -\6X»6XW - ^у^.

Это токи (3.2.7) и (3.2.13), записанные в конформном формализме. Заметим, что суперток JQ теперь является частью того же тензора, что и тензор энергии-импульса ТаЬ, т. е. они являются суперсимметричными партнерами друг друга.

Как и в (4.1.25), вариация суперполя дается формулой

(4.2.20)(4.2.20)8ф(22) = Д: f ^Zie(Zi) T'(z1)v(z2). 2kzC2

(4.2.20)

(4.2.20)

Если поле ср имеет вес А, а тензор энергии-импульса имеет вес 3/2, то (ри Тпреобразуются суперконформным преобразованием по формулам

1

Qi?2012

ТХг^ффг) ~ h — ф(г2) + — D2ф + — д2ф + ...

Z12^12^12

(4.2.21)(4.2.21)(4.2.22)(4.2.22)nzJTCz^-^ + I^Hzi)

(4.2.21)

(4.2.21)

(4.2.22)

(4.2.22)

4 z?22 zj2

+1- — D2 T(z2) + ^d2 T(z2) + ..., 2 ^12z12

где

912=0! -02,

^12 = ^1 — z2 — 0t02.

На самом деле эти соотношения сложнее, чем кажутся; они выражают в компактной форме большое число уравнений. Чтобы это Увидеть, выпишем предыдущие уравнения в развернутом виде. Подбавляя (4.2.18) в (4.2.21), находим

r»(Z!)TB(z2) ~r»(Z!)TB(z2) ~Зс/4(2! - 22)4Зс/4(2! - 22)421

r»(Z!)TB(z2) ~

r»(Z!)TB(z2) ~

Зс/4

(2! - 22)4

Зс/4

(2! - 22)4

^^(^г) 3^2ТВ + ... , (Z1^2)Z1 Z2

2

(4.2.23)(4.2.23)T«(zi) Tf(z2) ~ 3— TF(z2) + ——62 TF+ ...,

(4.2.23)

(4.2.23)

(г, - z2yzv - z2

1

Тр^^^гк2^ ~ 7 " Гз ~ TB(z2) 4- ... . (zi - z2) zt - z2

В развернутом виде эти соотношения дают суперконформную алгебру которую мы явным образом описали в (3.2.26) и (3.2.28). Поэтому они содержат большой объем информации.

Преобразование поля (4.2.21) можно расписать подробно, взяв

Ф = ф0 + Оф! :

Тв(21)ф0(22) - ф0(22) +д2ф0 + .. . ,

(Z1z2/Z1z2

TgCzJViCzJ ~ -^ vJzz) +й2ф! + ...,(4.2.24)

(Z1z2/Z1Z2

1

ТР (Zj)ф0 (z2) ~ф! (z2) + ...,

Z1 Z2

1

h2

^(21)Ф1 (z2) ~ г ф0(г2) +д2ф0 + ....

(Z1z2/Z1 Z2

Разлагая в степенные ряды по формулам

Tf(z) = 1^z-”-3/2(7„,

(4.2.25)(4.2.25)Tb(z) = ^z—2L„,

(4.2.25)

(4.2.25)

ФоИ = Ez~"~4o.»

vi(z) = Lz ” * 1/2Фм

мы получим описание того, как поле ф(2, 0) преобразуется суперкой- формным преобразованием:

LLm, Фо(г)] = гт+1дф0 + Л(т + 1)гтф0(г),

[Ьт, ф^г)] = гт+15ф1 + (Л + ^)(т + 1)гтф1(г),

[£Ст,Фо(г)] = £гм+1/2ф1(г),"

[£Gm, ф^г)] = £[zm+1/25ф0 + 2(т + 1)Лгт 1/2 ф0(г)],

[Lm, Фол] = Е(А - О'” - п]фо.т + ,,

[Lm, Ф1л]= № - Ь™ - И]ф1.т + л, л(4.2.27)

^Gm, фо,п] — 8Ф1,т + п ,

[е6„, Ф1.»] = £Е(2А - О™ - «]фо.т+»-

Итак, соотношения (4.2.21) содержат всю информацию о суперконформ- дых преобразованиях.

Вычислим теперь, какие вклады разные поля вносят в аномалию. Сравнивая (4.1.29) и (4.2.23), видим, что бозон Хц вносит в аномалию вклад D, тогда как фермион \|/и вносит лишь ^ D. Можно также показать, wo духи b и с вносят вклад —26, а духи 0 и у - вклад +11. Действительно, ниже в этой главе мы покажем, что вклад в аномалию духа с конформным весом X равен

с= — 2е(6Х(Х — 1)+ 1),(4.2.28)

где е равно + 1 (соответственно — 1) для статистики Ферми (соответственно для статистики Бозе). Подытоживая, находим:

Поле Аномалия

D

V*-'iD(4.2.29)

b,c — 26

РлП

Складывая все вместе, находим, что общая аномалия равна

О + 1р-26+11 =?(£>-10),(4.2.30)

так что для обращения этого члена в нуль должно выполняться D = 10.

СПИНОВЫЕ ПОЛЯ

Пока что ничего нового мы не получили. Мы лишь вывели заново ^арые результаты, которые можно было получить и с помощью формализма гармонических осцилляторов, использованного в преды- главах. Мы просто предпочли переписать генераторы алгебры бетг" На языке> подчеркивающем конформный вес и структуру осо- ^«остей коммутаторов в z-плоскости, вместо того чтобы разлагать Коммутаторы по их фурье-компонентам. Новшеством, однако, будет ПОд ^ Нов°го поля Sa, которое преобразуется как настоящий спинор Действием группы Лоренца. Это позволит сформулировать (NS-R)- 12-78?

модель с единственным вакуумом вместо двух разных вакуумов с по мощью процесса, называемого бозонизацией.*

Сначала выпишем генераторы j^ десятимерной лоренцевой груцПЬ| 80(10) через антикоммутирующее векторное поле \|/, используемо» в (NS-R)-reopHH:

= yrVv(^) ■(4.3.1)

Мы требуем, чтобы они удовлетворяли коммутационным соотношу ниям обычной алгебры Лоренца, выраженным через поля, определенные в z-плоскости. С учетом известных антикоммутационных соотношений для поля \у, даваемых формулой (3.2.23), легко показать, что

ун^уо^)1 Иа и^щ _ ц<_>у)(1 - СТ * Т)

Z — W

+;—"5 W' П"° - Н <-> v) + ....(4.3.2)

(z — W)’

Заметим, что генераторы этой алгебры суть функции г и, следовательно, они образуют более обширную алгебру, чем 80(10). Действительно, эта алгебра называется алгеброй Каца- Муди, и она будет широко использоваться в настоящей книге.

Изучение теории групп, лежащей в основе лоренцевой симметрии, показало, что представления этой группы могут быть либо тензорами, либо спинорами. Свойства преобразований этих полей однозначно определяются самой теорией групп. Аналогично мы определим тензорные и спинорные представления алгебры Каца-Муди, связанной с группой 80(10), свойства преобразований которых будут однозначно определяться одной лишь теорией групп. Эти свойства преобразований оказываются столь мощными, что из них можно определить матричные элементы.

В частности, вектор по определению преобразуется под действием алгебры Каца-Муди 80(10) следующим образом:

ГО)^М— (npoVv - n^V) И + • • • •(4-3-3)

z — W

Спиновое поле Sa, поскольку оно преобразуется как спинор группой 80(10), должно по определению удовлетворять следующему свойству преобразования:

ГО)Sa(w) ~ 1 ^(у^ Y^aSpM + ... .(4.3-4)

Замечательное утверждение конформной теории поля состоит в тоМ, что два предыдущих тождества, показывающих, как векторы и спинора преобразуются под действием группы 80(10), достаточны для оПр6' деления практически всех корреляционных функций этой теории!

(4.3.5)(4.3.5)Тензор энергии-импульса в свою очередь может быть записан как нормально упорядоченный квадрат генераторов группы Лоренца:

(4.3.5)

(4.3.5)

дучислив в явном виде коммутаторы предыдущего уравнения, убеждаемся, что этот тензор является генератором алгебры Вирасоро.

К сожалению, спиновое поле Sa имеет конформный вес 5/8, что мы докажем ниже в этой главе, когда построим явное представление этих полей. Однако это можно вывести и из общих соображений следующим образом. Ранее в (4.1.46) мы видели, что вектор с наивысшим весом | h ) модуля Верма можно записать как

|й> = ф(0)|0; 0>,(4.3.6)

где ф-поле с весом А, а |0; 0 )-вакуум группы SL(2, R). В суперконформном случае у нас фактически имеются два вакуумных вектора с наивысшим весом:

(4.3.7)(4.3.7)|й> = $(0)Ю;0>, Gol^>.

(4.3.7)

(4.3.7)

Мы хотим устранить второе вакуумное состояние с наивысшим весом, чтобы сохранить 2/)-суперсимметрию. В случае суперструны теория содержит лишь один спинор на низшем уровне, а не два. Чтобы устранить второе состояние, используем тождество

(4.3.8)(4.3.8)Go = Lo-^

(4.3.8)

(4.3.8)

(Мы выбрали форму с-числовой аномалии в алгебре Рамона, слегка отличную от (3.2.28). Этот выбор также удовлетворяет тождествам Якоби.) Мы хотим, чтобы состояние G0|A) обратилось в нуль после Действия на него еще одним оператором Go. Это значит, что

= 0.= 0.(4.3.9)

= 0.

= 0.

Чтобы это равенство выполнялось, вес h спинового поля должен быть Равен 10/16 = 5/8, что и ожидалось.

Ключ к вычислению матричных элементов любого конформного Лоля- вычисление его поведения на коротких расстояниях при взаимо- ^иствии с другими полями и действии суперконформной группы. Оэт°му мы вычислим теперь поведение спинового поля на коротких ^^ояниях, используя только соображения симметрии, чтобы уста-

Ить его структуру на коротких расстояниях и его матричные элементы.

Прежде всего, тождество (4.3.4) означает, что операторное произве- 12*

дение двух полей S должно содержать, во всяком случае, поле \р:

Sa(z)S₽(w) = ^^^ (У^аЧМ^М + Другие члены. (4.3. Ю)

Чтобы вычислить операторное произведение \|/ и S, рассмотри^ трехточечную функцию

< 01 wSa(z1)x|/|,(z2)Sp(z3) 10 >NS,(4.3.11)

где вакуум-это NS-вакуум. В пределе zv-^ со и z3 -► 0 спиновое поле заменяет NS-вакуум на вакуум со спинорными квантовыми числами, т.е. на вакуум Рамона |0):

SaWIO^Ns = |0)RMa; <0|NsSa(oo) = wa(0|R.(4.3.12)

(Заметим, что оператор спина позволяет нам перейти от NS-вакуума к R-вакууму, что было невозможно в рассмотренной выше теории NS-R.) Это значит, что (4.3.11) можно переписать в виде

«а < ° IrVp(^2)|0 >RMp .(4.3.13)

Но только нулевые моды поля \|/ сохранятся в этом вакуумном среднем, так что у нас останется матричный элемент матрицы Дирака:

11 R

VW) ~(y^SpU) + ... .(4.3.14)

Это в свою очередь означает, что операторное произведение двух \|/ содержит S':

Sa(z) S»^) ~ --1—- (y^z) + ....(4.3.15)

V2(z-w>)3/4

Наконец, нам нужно знать поведение на коротких расстояниях результата взаимодействия двух спиновых полей. Мы видели, что конформный вес спинового поля равен 5/8. Поэтому

Sa(z) Sp(w) ~ - 8„(z - w)"5/4 + ...,(4.3.16)

где 5/4 есть удвоенная размерность спинового поля.

Окончательно мы можем свести воедино (4.3.10), (4.3.14) и (4.3.16) и получить поведение на коротких расстояниях двух спиновых полей. Итак, соображения симметрии задали поведение спинового поля на коротких расстояниях, которое можно представить в виде

Мы видели, что спиновое поле имеет размерность 5/8. Но нам нужна деомионная вершинная функция, имеющая размерность 1, которую Ложно было бы использовать в многофермионной амплитуде. Чтобы отыскать недостающий фактор 3/8, обратимся теперь к духовому сектору нашей теории. Этот сектор даст нам последний кусочек мозаики, которого не хватало для полноты картины.

СУПЕРКОНФОРМНЫЕ ДУХИ

Перепишем детерминант Фаддеева-Попова, возникающий при фиксации суперконформной калибровки, на языке конформных преобразований. С помощью (3.4.5) находим

(4.4.1)(4.4.1)Mz = Vz5^z, 8XZ = vz5e

(4.4.1)

(4.4.1)

и комплексно-сопряженные им выражения. Отсюда получаем детерминант Фаддеева-Попова

(4.4.2)(4.4.2)det,(Vz)det%(Vz)

(4.4.2)

(4.4.2)

и комплексно-сопряженное выражение. На первый взгляд это выглядит очень похоже на детерминант (2.4.3), найденный ранее для струны Намбу-Гото, т. е. на детерминант операторов dz и дт. Однако имеются несколько важных отличий. Гильбертово пространство, в котором действуют эти операторы, теперь уже другое. Если разложить детерминант по базисным состояниям, то окажется, что конформные веса изменились, преобразования тензоров под действием конформной группы стали другими, а статистика полей заменилась противоположной.

Если внести эти детерминанты в действие под знак экспоненты (см. (1.6.16)), получите# духовое действие:

Sgh = -j(PzdSd^BDC + компл.-сопр. выраж.,(4.4.3)

где

I C(z) = c(z) + Oy(z).

и

Последнем определении Р и у суть коммутирующие операторы, ^тегрируя по 0, получаем

Sgh = -^d2z(b8c + р5у) + компл.-сопр. выраж.,(4.4.5)

я

6в = о,

5с = о,(4Л6)

(4.4.7)(4.4.7)где ^), с) суть духовые поля, порождаемые фиксацией метрики Ка либровкой, а р, у - духи, порождаемые фиксацией поля ха (в секторе ^5 или в секторе R). Суперконформные духи (связанные друг с другое коммутационными соотношениями) впервые появились в формул (3.5.14) при квантовании (NS-R)-мoдeли. Различие состоит в том, что теперь мы хотим подчеркнуть конформные свойства этих полей, т. е. ^ веса. Приведем сводку соответствующих весов:

(4.4.7)

(4.4.7)

Поле

Вес

Статистика

b

2

Ферми

с

-1

Ферми

Р

3/2

Бозе

Y

_ 1

2

Бозе

Располагая действием (4.4.5), можно найти тензор энергии-импульса, который является суммой двух слагаемых:

(4.4.8)(4.4.8)Тх = -iDX-dX^ TF + 0TB, rgh = -сев + '-dcdb - ^асв.

(4.4.8)

(4.4.8)

Выписав в явном виде последнее выражение для духового слагаемого, имеем

W)= -cdp-^cp + lyZ>, "(4.4.9)

71h(z) = cdb + 2dcb - ^удр - ^ур.

(4.4.Ю)(4.4.Ю)Неудобно всякий раз выписывать поля b и с, Р и у, особенно когда выражения для бозонных и фермионных полей очень похожи. Поэтому мы примем систему обозначений, в которой можно описать все духовые поля сразу, присвоив им произвольный вес. Выпишем обобщенное духовое действие, в котором поля, обозначенные жирным шрифтом, будут представлять коммутирующие или антикоммутирующие духи:

(4.4.Ю)

(4.4.Ю)

S = -$d2zbdc + компл.-сопр. выраж., 5b = 5с = 0.

Здесь по определению поле b имеет произвольный вес X, а поле с имеет вес 1 — X. Напомним, что система антикоммутирующих духов к имела вес X = 2, а система коммутирующих духов имела вес X = 3 / ' Такое действие служит компактной формой записи выражения (4.4.5),^

jenepb наШе обсуждение обобщено на любые возможные конформные

Исходя из этого обобщенного действия, легко выписать тензор эаергии- импульса:

ть=^ = - Xbdc + (1 - X)dbc.(4.4.12)

Возьмем разложения

b(z)= Е z"”"Xb-’

nes-x*z(4.4.13)

+ X

с„,

zieS + X + Z

где 5 равно 0 для NS-сектора, а для R-сектора ^. В этом представлении генераторы алгебры Вирасоро суть

кк(4.4.14)

к

к

Можно проверить, что такие генераторы порождают обычные коммутационные соотношения при любых X.

Кроме тензора энергии-импульса, из этого действия можно построить два других тока, BRST-ток и ток духового числа.

Согласно (1.9.12), BRST-ток является следствием того факта, что действие в исходной калибровке вместе с его духами Фаддеева-Попова обладает остаточной калибровочной симметрией, которая является нильпотентной (и потому не может быть использована для устранения каких-либо еще полей). С каждой калибровочной симметрией связан некоторый ток, так что BRST-ток можно вывести прямо из действия:

(4.4.15)(4.4.15)Jbrst(z) = DQCDB - ? DCBY

(4.4.15)

(4.4.15)

(4.4.16)(4.4.16)Согласно (1.9.12),,ВК8Т-заряд является суперинтегралом от BRST-тока:

(4.4.16)

(4.4.16)

Qbrst — ^— £ dzc№J brst •

^от заряд можно разбить на три слагаемых:

Qbrst = Q*0’ + em + Q|2).(4.4.17)

Здесь

2<0) = ^МсТвкХ,^, Р,у) - cScb),

(4.4.18)

Тщательно проанализировав каждое слагаемое, можно показать, что их сумма нильпотентна:

Qbrst = 0.(4.4.19)

В дополнение к BRST-току есть также 1/(1)-ток, называемый током духового числа. На первый взгляд можно ожидать, что поскольку духи появляются парами, то они должны сохранять некоторое квантовое число, подобно сохранению барионного числа. Однако, как ни удивительно, у духового тока есть поправочный член. Выпишем ток духового числа, который просто-напросто билинеен по духовым полям:

j(z) = -be = ^z”"”1^,(4.4.20)

где

j„ = £ec„_A,(4.4.21)

к

8=4-1 (для фермионов) или 8 = — 1 (для бозонов). Теперь у нас имеются все тождества, необходимые для вычисления взаимодействия (на коротких расстояниях) между духовым током и тензором энергии-импульса:

7(z) j (w) ~ —^ + -^Ц + ...,(4.4.22)

(z — (z — W)

где Q = 8 (1 — 2X). (Отметим, что присутствие этого фактора является аномалией.) Отсюда следует

[LmJ„] = -«jM + „ + ^m(m+ 1)8„,_„.(4.4.23)

Этот ток духового числа приписывает духовое число каждому из духовых полей. Он обладает необычными свойствами относительно операции комплексного сопряжения:

Lf=(4-4.24)

где

6 = 8(1 — 2Х),

X = l(l-sQ),(4-4.25)

8=4-1 (статистика Ферми); — 1 (статистика Бозе).

(Если бы в (4.4.24) отсутствовал член, содержащий Q, то этот ток

облаД^л бы обычными свойствами преобразования при операции комплексного сопряжения.) Квантовые числа духовых полей следующие:

(4.4.26)(4.4.26)^ с: е = 1;X = 2; Q = - 3;с = — 26,

(4.4.26)

(4.4.26)

Р, у: £ = — 1; Х = ?;6 = 2;с=11.

Вклад духов в аномалию равен с = — 2е(6Х(Х — 1) + 1). Одно из необыч- gyx свойств этой структуры духов-существование бесконечного количества вакуумов, возникающих вследствие (4.4.23) и (4.4.24). Определим вакуумные состояния формулами

Ь„|^> = 0; с„ |^> = 0;Ь„|^> = 0; с„ |^> = 0;п > 8# — X,п > 8# — X,п ^ — zq + X.п ^ — zq + X.(4.4.27)(4.4.27)

Ь„|^> = 0; с„ |^> = 0;

Ь„|^> = 0; с„ |^> = 0;

п > 8# — X,

п > 8# — X,

п ^ — zq + X.

п ^ — zq + X.

(4.4.27)

(4.4.27)

Нулевая компонента тока духового числа и Lo действуют на эти состояния следующим образом:

kl»>-»l«>'(4.4.28)

Lo\q> = VqkQ + q)\q>-

(4.4.29)(4.4.29)В частности, последние тождества показывают, что ненулевыми являются лишь следующие матричные элементы:

(4.4.29)

(4.4.29)

<-q-Q\q> = V

Простейший способ продемонстрировать это-взять матричные элементы токов между разными вакуумными состояниями, причем каждыц вакуум нумеруется числом q:

(4.4.30)(4.4.30)^\L0\q>; <q'\j0\q>.

(4.4.30)

(4.4.30)

Все матричные элементы нулевые, кроме отвечающих условию q1 = = -q-Q.

Все это очень странно. В обычной модели Венециано был только ОДин-единственный вакуум. Теперь же в духовом секторе моделей Неве- Шварца и Рамона, по-видимому, имеется бесконечное число вакуумных состояний, нумеруемых числом q\ Существование беско- ^ного количества фермионных и бозонных вакуумных состояний Шляется одной из необычных черт конформной теории поля.

.Э™ означает наличие аномалии духового числа. Проблема связана Формулами (4.4.22) и (4.4.23), т. е. с тем фактом, что коммутационные ^отношения тока духового числа 17(1) с тензором энергии-импульса

Держат аномалию. Аномальный член соответствует нарушению она сохранения духового числа. Действительно, расходимость тока ^Тся формулой 6JZ = ^Qx/gRw, т.е. двумерной плотностью кривиз- ^j ^а самом деле первоисточник всех этих трудностей-формула

* ••’о), полученная при вычислении детерминанта Фаддеева-Попова

относительно V, и Vy. Тщательный анализ собственных значений эт^ операторов показывает необходимость устранения нулевых мод, в пр^ тивном случае эти детерминанты становятся бессмысленными. Прц внесении этих детерминантов в действие посредством выражения их через духи Фаддеева-Попова указанные нулевые моды соответствую? нетривиальным решениям уравнений дТс2 = б^Ь„ = 0. К сожалению, мы не можем подробно рассмотреть здесь эти нулевые моды, потому что для этого необходимы сведения, которые не будут обсуждаться ранее гл 9, где аномалии рассматриваются более детально. (Вкратце, эта аномалия связана с топологией римановой поверхности, заметаемой струной. Интегрируя уравнение неразрывности для тока духового числа L7(l) можно воспользоваться теоремой Гаусса-Боне, чтобы показать, что ^z^/gR*2' = -8я(0 - 1), где д- число дырок или ручек замкнутой римановой поверхности. Затем применяется теорема Римана-Роха, утверждающая, что число нулевых мод духового поля с минус число нулевых мод поля b равно (1 — 2Х) (1 — д). Нулевые моды поля с соответствуют конформным векторам Киллинга, а нулевые моды поля b соответствуют модулям. Этот результат полезен, поскольку из него получается, что число комплексных модулей для сферы с д ручками равно Зд — 3, что будет широко применяться в гл. 5. Из него также следует, что число супермодулей равно 4(д — 1), что трудно доказать другими способами.) Можно показать, что фермионные вакуумные состояния (для духов обычной бозонной струны Намбу-Гото) на самом деле являются эквивалентными, т. е., умножая фермионные вакуумные состояния на разные степени полей b и с, можно получить другие вакуумные состояния. Поэтому разные вакуумы дают эквивалентные представления. Однако для бозонных вакуумных состояний (для духов (Ь18-К)-модели) дело обстоит иначе. Оказывается, что разные вакуумные состояния в этом случае неэквивалентны. Никакая комбинация степеней полей Р и у не может перевести один вакуум в другой.

В NS-секторе бозонные вакуумные состояния нумеруются целыми числами, тогда как в R-секторе они нумеруются полуцелыми числами. Вакуумные состояния, наиболее близкие к обычному определению вакуума (т. е. они аннигилируются всеми частями осцилляторов, отвечающим положительным частотам), суть

R- i I — 2 (4.4.31)

NS: { |- 1>.

Они нормируются следующим образом:

(4.4.32)(4.4.32)<Ч1Ч> = 1, < -1|-1 > = 1.

(4.4.32)

(4.4.32)

Хотя появление бесконечного числа неэквивалентных вакуумных с0‘

^ояний на первый взгляд кажется крахом теории, мы покажем ниже, что это дает вполне приемлемые результаты. В частности, мы покажем, что fla массовой поверхности на самом деле безразлично, какой из различ- дмх вакуумов мы выберем. Для одного и того же физического процесса ^ матричные элементы на массовой поверхности дадут одни и те же числа при любом выборе вакуума. Фактически мы сможем построить операторы «смены картины», которые позволят перейти от одного вакуума к другому. Ситуация в точности аналогична исследованной ранее для случая картин Ех и Г2 (см. (3.3.18) и (3.3.19)).

Исследовав структуру духового сектора (NS-R)-мoдeли, мы должны сделать следующий шаг-найти поле, дающее конформный вес 3/8, т. е. недостающий фрагмент фермионной вершинной функции.

Бозонизируем теперь ток духового числа, введя в теорию новую функцию ср:

j(z) = ed<p(z).(4.4.33)

Новый объект, который мы хотим исследовать, это

\^\.(4.4.34)

(4.4.35)(4.4.35)Его поведение на коротких расстояниях дается формулами

(4.4.35)

(4.4.35)

и

T(z)^)~[i8^^^(4.4.36)

Это означает, что

e^lO) = k>,(4.4.37)

вес: ^е^ + QY(4.4.38)

Тем самым показано, что умножение на бозонизированное поле Позволяет нам перейти от одного духового вакуума к другому. Заметим, что духовые вакуумы NS-сектора целые, а духовые вакуумы R-сектора Дробные. Поскольку q может быть дробным, это позволяет переходить 0Т^ °Ьних NS- и R-вакуумов к другим в любом направлении, умножая на

Применим теперь этот метод бозонизации для записи антикомму- ^РУющих полей b и с через новое скалярное бозонное поле о:

Ь^ = е~°^\

c(z) = eQ^(4.4.39)

Можем проверить, что эти поля обладают правильными кон- тормными весами. Согласно (4.4.38), поле eqa имеет конформный вес 2^(9— 3). Тогда при q = — 1 поле е-а имеет вес 2, тогда как при q = 1

поле е° имеет вес — 1. Поэтому они имеют правильные веса.) Заметим что и левые, и правые части выражений (4.4.39) являются антиком’ мутирующими полями несмотря на то, что и само по себе-ком. мутирующее поле. Теперь легко показать, что

( q(z)q(w) ) = log(z — w^ е~ i.

z — w

Для духового сектора (NS- К)-модели, однако, ситуация сложнее. Здесь духовые поля уже коммутируют, так что бозонизация не представляется возможной. Мы можем, однако, воспользоваться следующим трюком:

(4.4.40)(4.4.40)р = ^-фа^, у = ^^^

(4.4.40)

(4.4.40)

Здесь левые части суть коммутирующие поля, а правые-произведения двух антикоммутирующих полей, т. е. £ и ц также являются антикоммутирующими полями (которые в свою очередь могут быть бозо- низированы). Итак, мы выразили коммутирующие поля через антикоммутирующие. Мы можем также обратить эту процедуру:

(4.4.41)(4.4.41)т| = д^е ф, ^ = ареф

(4.4.41)

(4.4.41)

^ААТ^^ААТ^Заметим, что поля £ и ц сами по себе антикоммутирующие, так что их можно бозонизировать. Выразим эти два антикоммутирующие поля через бозонное поле х«

^ААТ^

^ААТ^

т| = е-х.

Хотя конформная теория поля обладает тем огромным преимуществом, что в ней все поля свободные, за это приходится заплатить некоторую небольшую цену: необходимо следить за всеми этими разными свободными полями. Поскольку критически важно, чтобы все указанные бозонные поля были четко определены, составим таблицу их квантовых чисел:

Бозон

Заряд

Аномалия

Вес

Ф

2 = 2

с= 13

wt(exp?<p) = l?(<7 + 2)

X

2= -1

с = — 2

wt (exp qx) = \q(q~ 1)

(4.4.43)

а

2= -з

с = — 26

wt(exp?o) = ^(<7- 3)

(4.4.44)(4.4.44)Определение бозонных (NS R)-дyxoв содержит важную тонкость. Заметим, что р определяется через производную от £, так что это поле ^зависимо от нулевой моды поля £. Поэтому обычное фоковское „достранство не зависит от нулевой моды поля £. Итак, у нас имеются ^возможных фоковских пространства. «Малое» фоковское пространно не содержит нулевой моды поля £. «Большое» фоковское пространство содержит эту моду и является приводимым. Поскольку

(4.4.44)

(4.4.44)

[По,М = L

то это значит, что вакуум системы т|, £ вырожденный.

Смысл этого построения в том, что теперь мы можем выписать недостающую часть фермионного вершинного оператора.

ФЕРМИОННЫЙ ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР

Вычислим конформные веса бозонизированных полей:

Wt(e-<i/2Xp)=-Е9(9 + е) = з

(4.5.1)

Wt(eW2,<p) = 5^to + Q)= -5.

Теперь недостающая часть найдена. Поскольку бозонизированное поле е-(1/2)<₽ имеет вес з/8мы Можем построить настоящую фермионную вершинную функцию нашей теории*.

(4.5.2)(4.5.2)(4.5.3)(4.5.3)У,мг = иае-^^^агкХ

(4.5.2)

(4.5.2)

(4.5.3)

(4.5.3)

Она имеет конформный вес

i+5+a'k2.

Если поместить внешнюю фермионную линию на массовой поверхнос- положив

(4.5.4)(4.5.4)&2 = 0, 7и^мо = 0,

(4.5.4)

(4.5.4)

^ У нас получится вершинная функция с конформным весом 1. Она Задает требуемыми свойствами взаимодействия с BRST-зарядом: с точностью до членов, обращающихся в нуль на массовой поверхности,

(4.5.5)(4.5.5)(Qbrst? К_1/2}+ =0.

(4.5.5)

(4.5.5)

0 одно из крупных достижений конформной теории поля: построение ^стоящей фермионной вершинной функции с конформным весом 1, °М основанн°й на свободных полях. Ключевым моментом было . ользование духового сектора для обеспечения недостающего кон- *°рмного веса 3/8.

Хотя теперь наша цель достигнута, мы еще не выбрались из чац^ Мы упоминали выше в предыдущем параграфе, что существует Одца трудность с бесконечным бозонным морем. Оказывается, что есл^ подставить эту фермионную вершинную функцию в матричный элемент бозонной матрицы рассеяния, то мы получим 0:

(... V-1/2 ... V-1/2, ...) = 0.(4.5.6)

Что нам нужно-это, конечно, вершинная функция с духовым зарядом -4-1/2, который мог бы сократиться с зарядом — 1/2, происходящим из фермионной вершинной функции. Эта новая вершинная функция Ц/2 должна антикоммутировать с BRST-зарядом с точностью до членов обращающихся в нуль на массовой поверхности. Легко показать, что любая вершинная функция

^= [Qbrst> Ф](4.5.7)

при произвольном Ф дает обращающееся в нуль антикоммутационное соотношение с BRST-зарядом, поскольку Q нильпотентен. Однако все такие функции шпурионные. Эти состояния нулевые и не взаимодействуют с физическими состояниями | R ), которые удовлетворяют соотношениям

eBRSTl^> = 0,(4.5.8)

так что их нельзя использовать как вершинные функции. Они просто дают нулевые матричные элементы с физическим сектором теории. Однако есть одна вершинная функция, для которой это рассуждение неприменимо:

^i/2 = 2[Qbrst,^_1/2].(4.5.9)

В нормальной ситуации следовало бы ожидать, что такая вершинная функция также является шпурионной и не взаимодействует с физическими состояниями системы. Однако £ К1/2, как мы указывали ранее, не является частью неприводимого фоковского пространства теории, и поэтому мы не можем просто сказать, что коммутатор обращается в нуль при сокращении с физическими состояниями. Эта вершинная функция необязательно обращается в нуль, поскольку

eBRST = ^|0>/0.(4.5.Ю)

Проведя вычисления, находим, что эта вершинная функция равна

К1/2 = t/W^Ve^^X1* ^-ik-y^ly^S* + р*/2 т^$а] • (4.5.П)

тревожной возможнатревожной возможнаИменно такой оказывается правильная фермионная вершинная функций сокращающаяся с И_1/2.

тревожной возможна

тревожной возможна

Именно здесь, однако, мы сталкиваемся с довольно проблемой. Теперь у нас оказывается слишком много

вершинных функций! Например, мы могли бы также написать

Кз/2 ~ [Qbrst, ^1/2] ,

К5/2 = [евк8т^Из/2],(4.5.12)

F7/2 = • ■■ •

фактически существует бесконечно много таких вершинных функций, каждая из которых связана со своим, неэквивалентным другим, бозон- дум морем вакуума. Конечно, такое изобилие вызывает смущение. Однако можно показать, что нам достаточно использовать лишь h/20 ^-i/2’ а все ДРУгие вершинные функции не дадут каких-либо новых уатричных элементов. Мы хотим показать, что справедливо следующее тождество:

<... V-M2(uv kv zj,..., Vll2(u2, k2, z2)...>

= <••• fyi(»i, kv zj,..., V_1/2(u2, k2, z2)...>.(4.5.13)

Доказательство того, что мы можем просто заменять произвольным образом духовые индексы —1/2 на + 1/2 или наоборот у вершинных функций, включает довольно тонкие рассуждения, позволяющие переходить от неприводимого малого фоковского пространства (которое не включает нулевой моды поля £) к приводимому большому фоковско- му пространству (которое эту моду включает) и обратно.

Начнем с того, что перепишем вершинную функцию К1/2 в эквивалентной форме:

^2) = ^ ^вкэтН^г) K_1/2(z2).(4.5.14)

(4.5.15)(4.5.15)Заметим, что теперь эта функция записана в большом фоковском пространстве, так что необходимо подставить другую ^(z), чтобы переопределить вакуум и получить ненулевой матричный элемент. Однако поскольку положение ^(z) несущественно (так как нам нужна лишь ее нулевая мода), то можно переписать матричный элемент в виде

(4.5.15)

(4.5.15)

- ^(zj И_1/2 ... -—.f ^w/BRST(w)£(z2) V- 1/2(z2)... ) . Z71Z

Пока что ничего существенного не сделано. Мы просто перешли от Малого фоковского пространства, в котором нулевая мода поля ’ отсутствует, к большому фоковскому пространству, в котором она ссть, но матричный элемент остался в точности тем же.

Сделаем теперь следующее наблюдение. Интеграл по контуру, ^У^ающему z2, можно менять произвольно, так что деформируем ^^янем) этот контур так, что он обойдет сзади риманову поверхность и окружит точку zt. Конечно, при растяжении контура он будет ./^екать другие бозонные вершины, но заметим, что JBrst комму- РУет со всеми этими вершинами на массовой поверхности, так что мы

можем передвигать и контур, и ток yBRST произвольным образом, пока они не окружат zv

Заметим, что контур интегрирования теперь окружает точку £ у_ которую можно записать как К+1/2- Итак, мы полностью обратил^ положение контура интегрирования, и теперь мы можем устранить все £ и вернуться к малому фоковскому пространству. Символически эти шаги можно изобразить так:

С • • V- 1/2 • • • ^1/21/2) • • • [ f ^^/BRST V- 1/2] .. . )

• ^1/2 • • • V-1/2... ).(4.5.16)

Цель этого упражнения-показать, что можно успешно поменять местами -4-1/2 и —1/2 в выражении для матричного элемента. Это означает, что хотя фермионных вершинных функций бесконечно много, все они дают один и тот же матричный элемент на массовой поверхности.

СПИНОРЫ И ДЕРЕВЬЯ

Чтобы вычислить древесные амплитуды, необходимо построить явное представление спиновых полей через (NS- Кооператоры. Хотя эти поля в формализме Грина-Шварца были сильно взаимодействующими операторами, в конформной теории поля (и это большое ее преимущество) взаимодействующее спиновое поле действительно может быть выражено через свободные поля, что позволяет вычислять корреляционные функции в явном виде.

Мы построим спиновое поле из генераторов 8О(10)-алгебры, которые в свою очередь составлены из \|/(z). 8О(10)-алгебра- это алгебра Ли ранга 5 (см. Приложение). Это значит, что из 10(10-1)/2 = 45 генераторов 8О(Ю)-алгебры 5 взаимно коммутируют, образуя подалгебру Картана. Коммутационные соотношения между этими пятью коммутирующими генераторами и 40 некоммутирующими элементами суть

№^]=0,

[Я„ £.] = «,£„,(4.6.1)

ЕДт -^р! = е(а> Р)Д1 + Р*

Последнее тождество справедливо, если £а+р есть повышающий или понижающий оператор. Каждое а-это корневой вектор группы 80(Ю)* Компоненты 8 суть структурные константы группы, подчиняющиеся различным условиям симметрии и ассоциативности.

Теперь введем пять взаимно коммутирующих полей ф7 и вырази^ через них 45 генераторов 8О(10)-алгебры. Можно представить пять взаимно коммутирующих элементов 8О(10)-алгебры в виде

й^-Н,.(4.6-2)

ц^обы представить остальные 40 генераторов, запишем £в=:^:са,(4.6.3)

где Р' матрица, посредством которой корневой вектор а представляется каК линейная комбинация векторов ф/

0а = (±1, ±1, 0, 0, 0).(4.6.4)

Учтем также перестановки в этом выражении. Заметим, что имеется зртыре возможные комбинации знаков « + » и « —» в этой формуле и 10 способов размещения этих знаков по пяти позициям в ней. Итак, матрица Р содержит 40 элементов. Каждая позиция соответствует одному из полей ф7.

Назначение множителя са в (4.6.3)-обеспечить выполнение правильных коммутационных соотношений. Если подставить эти выражения в определение алгебры, то выяснится, что мы должны положить

свср = е(о, р)со+((.(4.6.5)

Требование ассоциативности коммутаторов дает соотношение

s(o, Р)е(о + Р, у) = е(а, р + у)е(р, у).(4.6.6)

Одно из многих возможных представлений этих двух коциклов есть

8(а,р) = (-1)а<"Р>,(4.6.7)

где

с(а, а) = 1 < а, а>,(4.6.8)

о(а, Р) + ст (Р, а) = (а, Р) mod 2,(4.6.9)

(см. [9, 10], где описаны другие представления).

Можно также представить антикоммутирующее векторное поле NS-модели с помощью вышеописанной процедуры бозонизации. За- пшпем

уР«=:е'РаФ,.Сра>(4610)

где

Ра = (±, 0, 0, 0, 0)(4.6.11)

Последнем выражении допускаются перестановки. Матрица р со- 2x5 элементов, что равно числу элементов векторного поля \|/р. теперь выразим спиновое поле посредством этой бозонизированной Ртины. Определим матрицу

^а j(±, ±, ±, ±, ±).(4.6.12)

^етим, что она содержит 25 = 32 элемента. Определим ^•е^-.с,.(4613)

13'787

Это поле Sa имеет правильное число компонент для десятимернОГо спинора. Кроме того, его вес равен 5/8, поскольку каждый из состав ляющих его множителей имеет вес 1/8 и таких множителей пять, ЧТо составляет суммарно 5/8. Это подтверждает приведенное выше в (4.3.9) утверждение, которое основывалось исключительно на теоретико-груц, повых соображениях: спиновое поле Sa имеет вес 5/8.

Поле е“1/2ф имеет вес 3/8, а поле е(1/2)ф-вес —5/8. Итак, наша вершинная функция с весом 1 дается формулой

Г-1/2,а = $ае-(1/^^^^(4.6.14)

Теперь, располагая явным представлением спинового поля, код можем вычислить матричные элементы фермион-фермионного рассеяния.

Вычислим амплитуду рассеяния четырех фермионов, представленную как произведение трех независимых факторов, включающих X. $ и е“(1/2)ф:1

<№) W.(4.6.15)

Мы положим zt = оо, z2 = 1, z3 = z, z4 = 0.

Вычислим каждый из этих факторов отдельно. Применив выведенную выше в гл. 2 формулу, найдем, что зависящие от переменной X множители равны

< V(kv zj V(k2, z2)... V(k„, zNy> = П ^ - z^,(4.6.16)

i^j

где

V(k, z) = :eikX^:(4.6.17)

и сумма всех kt равна нулю.

Теперь найдем вклад духов, который равен

^-(1/2)ф(оо)^-(1/2)ф(1)^-(1/2)ф(г)^-(1/2)ф(О)^ _ ^ц _ Z)J " 1/4

(4.6.18)

Наконец, вклад спинового поля равен

<Sa(oo)S'p(l)Sy(z)S5(0)>

= [z(l - z5\-w {(1 - z)(Y%(Yn)a8 - z(Y%(Yy)Py} .(4-6Л9)

Собирая все вместе, получаем

Л4 = д2{&?э*2-(1-г)*з*4-

■ X {(1 - z)(Y%(Y(1)a5 - z(Y-)a8(Yll)pT)}.(4.6Л»

Переписав эту амплитуду, окончательно получаем

А4 = д1 (8(1 - 1/, -P)(Y%(Ym)ts - S(-\t, 1 - ^(уЪ^)- (4-6-21)

^g вычисления, как и другие, включающие N-точечные амплитуды -ассеяния фермионов, не столь трудны в рамках конформной теории &С9> 10], но были бы чрезвычайно трудны в прежних ковариантных формализмах NS-R и GS.

АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ

Хотя конформная теория поля дает мощные результаты, начинаю- ^$у различные правила и соглашения могут показаться слишком произвольными и случайными. На первый взгляд создается впечатление, до конформная теория поля основана на хитроумных трюках и совпадениях, а не на чем-то фундаментальном.

На самом деле последовательность и элегантность конформной теории поля связана с новыми бесконечномерными алгебрами Ли, называемыми алгебрами Каца-Муди [11-22], которые являются мощными обобщениями обычных конечномерных алгебр Ли. Они были открыты математиками В. Г. Кацем и Р. В. Муди в 1967 г., хотя одна разновидность таких алгебр была уже известна физикам в середине 60-х годов под названием алгебр токов. Вместе с суперконформной двумерной группой 8О(10)-алгебра Каца-Муди обеспечивает математическую основу конформной теории поля. Фактически многие матричные элементы в конформной теории поля можно рассматривать как коэффициенты Клебша-Гордона в алгебрах Каца-Муди.

Определим алгебру Каца-Муди как обобщение обычной алгебры Ли, такое, что ее генераторы подчиняются условию

IT^ Tft = ifijl Tlm + n + kmbijSm> _n. (4.7.1)

Эта алгебра очень похожа на обычную алгебру Ли, за исключением бесконечного целочисленного индекса m у каждого генератора и константы к, называемой уровнем. Нулевая компонента генераторов Г есть не что иное, как алгебра конечной алгебры Ли. Часто будет Удобно переписать генераторы алгебры Каца-Муди как фурье-компоненты одной функции, определенной на окружности:

(4.7.2)(4.7.2)г‘(б) = £т>--е.

(4.7.2)

(4.7.2)

^* можем также -редуцировать генераторы алгебры Каца-Муди Иодалгебре Картана и ее собственным векторам:

(4.7.3)(4.7.3)я<(6): £в(9).

(4.7.3)

(4.7.3)

t^^* образом, алгебра Каца-Муди выглядит как обычная алгебра Ли, ^азанная» по окружности.

ад^^Рь построим то, что называется «базовым представлением» Ры Каца- Муди, используя вершинные операторы. Это представ- с* справедливо лишь для групп с простыми связями (т. е. групп Рвями равной длины, а именно групп Ли D и Е) и уровнем, равным

единице (к = 1). Сначала определим струнную переменную

р in^

<р,(0) = ^ + р£ + i £ — л#0”

Затем введем базисные векторы решетки нашей алгебры Ли, такие, что е,-е, = 8у.(4.7.5)

Это позволяет записать струнную переменную и вершинную функцию как векторы на решетке:

ф(0) = Ее;Ф..

q^^-.e^-.c,.(4,7,6)

Здесь с,-уже знакомые коциклы, введенные в (4.6.5) с целью получить коммутационные соотношения с правильными знаками. Для них возможны многочисленные представления, одно из которых

Наконец, это позволяет ввести генераторы алгебры Каца-Муди:

(4.7.8)(4.7.8)du

(4.7.8)

(4.7.8)

Ea=:q?^qk№: = ±icTck:eitt^-. .

Здесь а = ек — ejs знак « + » используется для к > j, а знак « —» для к <j. Поскольку элементы с индексами i и j коммутируют, то Н суть обобщения подалгебры Картана, т.е. набор взаимно коммутирующих элементов алгебры Ли.

Вычислим теперь коммутатор этих генераторов. Весьма похожим на то, что мы делали выше, способом находим, что произведение двух вершинных функций определяется формулами

^(«,9) = :^:, ?9)

На, 9) И(₽, 9') = Д (9 - 9')~<ч>: ^m + *i»i:, v

где

A(9-9^ = e-i<1/2,<6-6'41-£)е"‘^+ -

0 — 0 + /8м

(4.7.Ю)

Теперь у нас есть все тождества, необходимые для вычисления комМУ* татора для всех генераторов. Прямым вычислением находим [Я1(0),ЯД0')]=О,(47.11)

[//,(0), £а(0Л] = -2лб(0 - ©'КЗД-

Заметим, что Н взаимно коммутируют, как и в обычной алгебре Л0,

что «1 СУТЬ собственные значения для Н. Остальные коммутаторы для ^личных Е даются формулами

[£(0), £_.(9)] = 2тс8(9 - W^tH^ + 2яЙ'(в - О'),(4.7.12)

(4.7.13)(4.7.13)„х_ f 2я8(9 — 9')£’.+»(9), если “ + 6еГ,

(4.7.13)

(4.7.13)

[£(9),Е.9'] = <

L( 0 в противном случае.

(Г есть решетка корней.) Итак, мы видим, что коммутаторы алгебры Каца-Муди очень похожи на обычные коммутаторы алгебры Ли, с тем единственным отличием, что генераторы «размазаны» по окружности.

Очень важно также заметить, что возможно полупрямое произведение алгебры Вирасоро и алгебры Каца-Муди. Коммутаторы суть

[^т> ^”] ~ ~пТт + п,(4.7.14)

[L„, LJ = (п - m)Lm + n + — и (и2 - 1)5„, _т.

В зависимости от того, какое представление этой алгебры мы выберем, можно получить связь между уровнем к алгебры Каца-Муди и центральным элементом с алгебры Вирасоро. Одно из замечательных свойств алгебры Каца-Муди-то, что можно построить представление алгебры Вирасоро, целиком выраженное через формализм алгебры Каца-Муди. Запишем генераторы алгебры Вирасоро, размазанные по окружности:

Ц6) =Я,(9)2: + £: £„(9) £_„(9):)

Л“(4.7.15)

Такая запись называется формой Сугавары.

У нас есть все необходимые тождества для вычисления коммутатора таких выражений, и мы находим

ЩО), L(0')] = 2тп5'(0 - O')(L(0) + L(0'))

- ^2тс/(8"'(9 - 9') + 8'(9 - 9')),(4.7.16)

где

N =!

1+^2(G)’

(4.7.17) с = _ d ..

Последних формулах d- размерность группы, а с2(^)- значение квад-

ратичного оператора Казимира для присоединенного представления

Последний коммутатор дает полупрямое произведение алгебр gH расоро и Каца-Муди:'

[Цв), Еа(09] = 540 - 0')£а(0).(4.7Л8)

Приведем вычисленные значения центрального заряда для некоторые групп:

Группа

п — 1

п и п(2п + 1) и + 2

SU(n) 8О(2и + 1) 80 (2п) Е„

Sp(n)

На основе подхода алгебр Каца- Муди заново рассмотрим конформную теорию поля, интерпретируя результаты этой теории с теоретико-групповой точки зрения. Мы видим, что спиновые поля, определенные формулой (4.6.13), преобразуются под действием алгебры Каца-Муди как 32-компонентный спинор. Аналогично, антикоммутирующие векторные поля NS-модели, определенные формулой (4.6.10), преобразуются под действием 8О(Ю)-алгебры Каца-Муди как 10-компонентные векторы. Можно также рассматривать тензор энергии-импульса (4.3.5) как форму Сугавары представления алгебры Вирасоро посредством 8О(10)-алгебры Каца-Муди. Кроме того, духи b, с, Р, у конформной теории поля можно считать представлениями суперконформной группы с разными значениями центрального элемента, приведенными в таблице (4.4.43). Наконец, мы можем также рассматривать корреляционные функции, служащие ядром конформной теории поля, как коэффициенты Клебша-Гордона, найденные при разных тензорных произведениях разных представлений 8О(10)-алгебры Каца-Муди, связанной с суперконформной группой.

СУПЕРСИММЕТРИЯ

Теперь, наконец, можно построить оператор суперсимметрии этой теории, позволяющий переходить от бозонного к фермионному сектору и обратно. Поскольку конформный вес К±1/2 равен 1, то интеграл от этой вершинной функции инвариантен относительно конформной грУп' пы преобразований. Поэтому если взять к = 0, то получится оператор суперсимметрии

Q±l)2,« = ^-AdzV*M2,a- С418^

(4.8.2)(4.8.2)мя знаки « + » или « —» для фермионной вершинной функции, находим Q-l/2,a — да^>

(4.8.2)

(4.8.2)

дуя операторы действительно обладают свойством превращать фер- лдюнный сектор в бозонный и наоборот:

Кв, УДи, к, z)] + = Г,^ = М^У-)^,k,z), (4 g 3) [е„ ък, к, zn = vF ^=н<^ ^д ,м. '"

Снова, однако, мы сталкиваемся с проблемой наличия бесконечного числа таких операторов суперсимметрии, связывающих друг с другом различные неэквивалентные бозонные моря. Однако, согласно приведенным выше соображениям, нам не нужно об этом беспокоиться. Хотя существует бесконечно много неэквивалентных бозонных вакуу- мов, матричные элементы для этих состояний совпадают.

РЕЗЮМЕ

Крупное преимущество суперконформной теории поля состоит в том, что она сочетает лучшие черты моделей NS-R и GS. Она явно ковариантна, целиком построена на свободных полях, обладает ковариантным суперсимметричным генератором, имеет спиновые поля свесом 5/8, фермионные вершинные функции с весом 1, и с ней легко работать.

У конформной теории поля есть, однако, два недостатка. Во-первых, нам приходится тщательно следить за многочисленными бозонизи- рованными духами. К счастью, эти духи являются свободными полями и действуют в других гильбертовых пространствах. Во-вторых, у нас имеется бесконечно много «картин». К счастью, итоговая S-матрица не зависит от выбора «картины».

Сущность конформной теории поля состоит в том, что мы можем вычислить корреляционные функции различных полей, зная лишь их введение на коротких расстояниях и то, как они преобразуются. Например, корреляционная функция

(ешх^е-‘кХ^>~^-гГк2

^ожет быть вычислена, если мы знаем поведение двух струнных полей.

Одно из достижений конформной теории поля-построение ферменной вершинной функции с конформным весом 1. Эта функция зависит от спинового поля 8а, которое должно преобразовываться как стоящий спинор под действием лоренцевой группы 80(10):

^^ Sa(M>) ~ 1 —— (уСи YV3)P $(„,) + ....(4.9.1)

Z — Wр

Другие соображения, вроде того, что поле имеет размерность позволяют фиксировать соотношения

(4.9.2)(4.9.3)(4.9.2)(4.9.3)УЧ^аН ~-H^z) + ...,

(4.9.2)

(4.9.3)

(4.9.2)

(4.9.3)

1R

+~ (Y^a Vй 00 vv(z) + ... .

V^z-w)1'4

Если нам полностью известно поведение спинового поля на коротких расстояниях, мы можем построить вершинную функцию с весом 1. Нам нужен еще один фактор с весом 3/8, происходящий из духового сектора теории:

Sgh = - J d2zd§d§BDC + компл.-сопр. выраж.,(4.9.4)

где

Г В^ = 0(z) + 96(z),

I C(z) = c(z) + 9Y(z).

Духовый сектор можно бозонизировать в соответствии с формулами

(4.9.9 у = ефг|.

Это позволяет, наконец, написать вершинную функцию с конформным весом 1 на массовой поверхности:

V_w = uae-w^Saeikx.^

Ее конформный вес равен

? + ? + «'к2.(4.9.8)

Чтобы выписать амплитуды, которые могли бы сократиться с вершинным оператором с индексом — 1 /2, нам нужна соответствуют^ вершинная функция с индексом + 1 /2, которая дается выражением

К1/2 = 1Г^е*Ч^тЧах» + ^/с-у^НуД^

+ ^12чЬ8еЗ.(4.9.9)

Располагая этими двумя вершинными функциями, мы можем теперь построить многофермионные амплитуды рассеяния.

Один из недостатков этого формализма-то, что у нас имеете бесконечно много вакуумных состояний и, следовательно, бесконечА0

^ого вершинных функций. Эти вакуумные состояния можно построить ^дующим образом:

(4.9.10)(4.9.10)(4.9.11)(4.9.11)?но)|0> = |9>, вес: ie?(? + 6)-

(4.9.10)

(4.9.10)

(4.9.11)

(4.9.11)

Это позволяет построить бесконечную серию фермионных вершинных функций. Например, любое из выражений

(4.9.12)(4.9.12)Кз/2 = LQbrst, ^ И1/2] , К5/2 = V.QBRST, ^3/2 ] ,

(4.9.12)

(4.9.12)

можно взять в качестве приемлемой вершинной функции с весом 1. Такое чрезмерное изобилие смущает. Однако можно показать, что по крайней мере на массовой поверхности все эти функции эквивалентны. Поэтому мы можем выбрать по желанию любую из них и построить фермион-фермионные амплитуды рассеяния.

(4.9.13)(4.9.13)Одно из крупных преимуществ этого формализма состоит в том, что теперь мы можем построить генератор суперсимметрии, который является просто вершинной функцией, проинтегрированной по переменной z. Фактически мы получаем бесконечно много неэквивалентных операторов суперсимметрии и все они на массовой поверхности эквивалентны:

(4.9.13)

(4.9.13)

21/2,« = ^'^(у-^ДХц, etc.

Наконец, можно получить последовательную целостную картину конформной теории поля, если рассматривать ее как один из способов вычисления матричных элементов для бесконечномерных алгебр Ка- Да-Муди и суперконформной алгебры. Алгебра Каца-Муди обладает коммутационными соотношениями

№т, Щ = Г1 TUn^kmSijSm,_n,

в которых все / суть структурные постоянные конечномерной алгебры Для алгебр уровня 1 с простыми связями можно построить базисное Представление алгебры Каца- Муди. Это базисное представление дается Ва языке вершинных операторов, впервые полученных в теории струн.

В указанном формализме спиновые поля Sa и \|/-поля NS-R-модели оЯ*®0 рассматривать^ как спинорное и векторное представления ЛлЮ)-алгебры Каца-Муди, а различные духовые поля (Ь, с) и (0, у) - как ^Личные представления суперконформной алгебры. Корреляционные ФУНКЦИИ тогда можно считать коэффициентами Клебша-Гордона для а Минированной алгебры, включающей 8О(Ю)-алгебру Каца-Муди сУНерконформную алгебру.

ЛИТЕРАТУРА

Friedan D. In: Unified String Theories, eds. M. B. Green and D. Gross, World Scientific, Singapore, 1986.a

Knizhnik V.G., Zamolodchikov A. B. Nucl. Phys. B247, 83 (1984).

Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. Nucl. Phys. B241, 333 (1934ч

Friedan D., Martinec E., Shenker S. Nucl. Phys. B271, 93 (1986).

Friedan D., Martinec E., Shenker S. Phys. Lett. 160B, 55 (1985).

Knizhnik V.G. Phys. Lett. 160B, 403 (1985).

Mandelstam S. Phys. Rev. Dll, 3026 (1975).

Coleman S. Phys. Rev. Dll, 2088 (1975).

Cohn J., Friedan D., Qiu Z., Shenker S. Nucl. Phys. B278, 577 (1986).

Kostelecky V. A., Lechtenfeld O., Lerche W., Samuel S. Nucl. Phys. B288, 173 (1987).

Кац В. Функц. анализ и его прилож. 1, 328 (1967).

Moody R.V. J. Algebra 10, 211 (1968).

Goddard Р., Olive D. Int. J. Mod. Phys. Al, 303 (1986).

Goddard P., Nahm W., Olive D. Phys. Lett. 160B, 111 (1985).

Goddard P., Kent A., Olive D. Comm. Math. Phys. 103, 105 (1986).

Lepowsky J., Mandelstam S. In: Vertex Operators in Mathematics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1985.

Bardakci K., Halpern M.B. Phys. Rev. D3, 2493 (1971).

Halpern M.B. Phys. Rev. D12, 1684 (1975).

Goddard P., Nahm W., Olive D. Phys. Lett. 160B, 111 (1985).

Goddard P., Kent A., Olive D. Comm. Math. Phys. 103, 105 (1986).

Кас V. Infinite Dimensional Lie Algebras. Birkhauser, Boston, 1983. [Имеется перевод: Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли.-М.: Мир, 1993.]

Moody R.V. Bull. Am. Math. Soc. 73, 217 (1974).

Глава 5

^ОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПРОСТРАНСТВАТЕЙХМЮЛЛЕРА

§ 5.1. УНИТАРНОСТЬ

Одна из наиболее привлекательных особенностей теории струн-это возможность создания теории гравитации, которая была бы полностью *яяитной и поэтому независящей от обычной теории перенормировки. Теория струн способна обеспечить такой подход, в рамках которого ^первые может быть сформулирована финитная квантовая теория гравитации. Особенный интерес вызывает механизм, с помощью которого достигается устранение всех потенциальных расходимостей, а именно использование топологических соображений для устранения определенных типов расходимостей. Мы снова убеждаемся в огромной мощи симметрии, встроенной в струнную модель. Мы покажем, например, что потенциально расходящиеся диаграммы топологически эквивалентны испусканию эффективного дилатона. Поэтому, устраняя дилатон из теории, мы получаем теорию, свободную от каких-либо явных расходимостей. Итак, механизмы, ответственные за устранение потенциально опасных диаграмм, принципиально новы и никогда прежде не возникали в квантовой теории поля, использующей формализм точечных частиц.

До сих пор мы разрабатывали только первично квантованную теорию взаимодействия струн без петель. Этим способом, конечно, нельзя получить унитарную теорию. Бета-функция Эйлера, как мы показали выше, имеет полюсы в 5-плоскости на вещественной оси без мнимых частей или разрезов, и поэтому такая теория описывает лишь Древесные диаграммы. Прежде делались попытки модифицировать исходную бета-функцию, добавив мнимую часть к массе резонансов:

<5ЛЛ> j s — Mj Л- ГГ,

Однако при этом неизбежно разрушались замечательные свойства ^а-функции.

Правильный способ сделать модель унитарной в конце концов предложили Киккава, Сакита и Вирасоро [1] в 1969 г.: добавить петли, Р^Матривая бета-функцию как борновский член пертурбативного Подхода к определению S-матрицы. Фактические многопетлевые ампли- вычислили Каку, Яу, Лавлейс и Алессандрини [2-8].

Чтобы понять, катС строятся ряды теории возмущений, начнем оператора временной эволюции U, который преобразует начальное Т^тояние с t= — оо в конечное состояние с t = оо. S-матрица пред- влена матричным элементом оператора U:

Sv=<f|C7(-oo, оо)|/>.(5.1.2)

Поскольку оператор временной эволюции унитарен, то сама 5-матрцца тоже унитарна:

$tS = SSt = l.(5.Ц

В матричной форме это записывается как

^<i\S\n><n\S4j> = ^u,(5.1.4)

где разные п суть полный набор промежуточных состояний. Если выделить состояние, соответствующее отсутствию рассеяния, мы получим Т-матрицу:

S=l- IT.(5.1.5)

Тогда

i<T- T^=TTV(5.1.6)

Если взять матричные элементы для рассеяния многочастичного начального состояния (f|, превращающегося в конечное многочастичное состояние |7), то мы получим

1т7Ь= -^(/ITMXnlTtl»(5.1.7)

(см. рис. 5.1). Если представить амплитуду рассеяния четырех струн как (Z| Т\ к ), то ясно, что мы должны сочетать различные четырехточечные функции, чтобы получить следующий порядок теории возмущений. Поскольку струны могут перекручиваться, заметая двумерную поверхность, то набор фейнмановских диаграмм для петель шире, чем для простых плоских диаграмм. Фактически, как показывает рис. 5.2, существуют три типа диаграмм, которые можно построить с использованием оптической теоремы.

Для открытой струны взаимодействия заметают мировую поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстиями. Кроме того,

Рис. 5.1. Унитарность 5-матрицы. Мнимая часть амплитуды рассеяния пропор' циональна квадрату ее абсолютной величины. Этим способом мы можем построить диаграммы высших петель из древесных диаграмм более низкого порядка. Именно этим способом стремились обеспечить унитарность Киккав^ Сакита и Вирасоро.

Рис. 5.2. Планарные, непланарные и неориентируемые однопетлевые диаграммы для открытых струн. Унитарность вынуждает нас сшивать графы этих трех типов. (Знак х на струне соответствует твистованной линии.) Неориентируемая диаграмма соответствует листу Мёбиуса. Непланарная диаграмма соответствует помещению нескольких внешних тахионных линий на границу внутренней петли.

диск может содержать «твисты». (Твист получается, если сделать разрез по линии, соединяющей два отверстия, а затем заклеить разрез, обратив ориентацию точек вдоль разреза.) Упомянутые выше три типа открытых струнных диаграмм следующие.

Плоские диаграммы. Они топологически эквивалентны диску с N отверстиями, проделанными в его внутренности, а внешние линии прикрепляются к его внешнему краю.

Неплоские ориентируемые диаграммы. Здесь внешние линии могут прикрепляться как к внешнему краю, так и к некоторым внутренним отверстиям или же отверстия могут перекрываться.

Неориентируемые диаграммы. У таких диаграмм поверхность диска содержит нечетное число твистов. Примером неориентируемой Диаграммы служит лист Мебиуса.

Для замкнутой струны древесная диаграмма, заметаемая взаимоДействующей струной, топологически эквивалентна сфере. Существует Два типа петлевых диаграмм, которые можно построить из замкнутой ^Уны. Прорежем 1N отверстий на поверхности сферы и тщательно Дометим ориентацию тонек вдоль окружности, представляющей край Каждого отверстия. Затем соединим N пар отверстий, чтобы получить ^РУ с N ручками. Эти два типа диаграмм следующие.

Плоские диаграммы. В них ориентация кромок каждой пары от-

Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.

Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.

Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.

верстий сохраняется при повторном сшивании диаграммы (приклеивании ручек). Бублик, например, - это плоская однопетлевая

диаграмма.

Неориентируемые диаграммы. Пары точек, лежащие на замкнутых кромках отверстий, соединяются с обращением ориентации отверстий. Бутылка Клейна, например, является неориентируемой диаграммой (на рис. 5.3 показано, как можно склеить бутылку Клейна из плоской двумерной поверхности отождествлением отрезков 66 границы). (Заметим, что бутылки Клейна встречаются в рядах теории возмущений только для струн типа I. Струны типа U обладают собственной ориентацией и не могут порождать бутылки

Клейна.)

в функциональном формализме мы показали выше, что все дре- -^дуе диаграммы строятся вычислением функции Неймана для диска сферы [9-11]. Простейший способ вычисления этой функции обмана состоял в конформном отображении диска или сферы на верхнюю полуплоскость или на всю комплексную плоскость. Мы тогда ^пользовались методом, разработанным в электростатике, а именно истодом изображений, чтобы выписать функцию Неймана

G(z, z) = In12 - z'l 4-In | z — z'|.(5.1.8)

Теперь мы обобщим эти рассуждения на римановы поверхности с отверстиями. К счастью, математики давно вычислили функцию Неймана для диска и сферы с N отверстиями. На самом деле Бернсайд решил эту задачу еще в 1891 году! Решения этой классической задачи выражены через автоморфные функции, которые мы сейчас проанализируем.

§ 5.2. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Сначала выпишем континуальный интеграл для однопетлевой диаграммы

A = ^DXdvieiS П eik‘x‘,(5.2.1)

Si=l

в котором интегрирование проводится по горизонтальной полосе в комплексной плоскости (см. рис. 5.4), имеющей конечную длину, и отождествим ее левую и правую границы. Тем самым мы построим поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстием. Этот континуальный интеграл, разумеется, можно вычислить в явном виде, что даст фактор ‘

«^Wi^k,, (5.2.2)

где АГ-функция Неймана.

Теперь топологически деформируем горизонтальную полоску в следующую поверхность. Рассмотрим кольцо, определенное как область . в верхней полуплоскости с внешним радиусом гь и внутренним радиусом г«> причем отношение радиусов обозначим w = гь/га.

Теперь потребуем отождествления внешнего периметра с внутрен- ^^ Это значит, что точка z на внешнем периметре должна быть отождествлена с точкой на внутреннем периметре, имеющей тот же п°лярный угол:

(5.2.3)(5.2.3)2** WZ.

(5.2.3)

(5.2.3)

^*°е отождествление создаст полукруговую трубку в верхней по- ^Ллоскости. Конформное отображение горизонтальной полоски в трубку есть просто экспонента.

*РУбку в свою очередь можно отобразить на диск с отверстием, один ее конец в окружность большого радиуса и затем стянув

Рис. 5.4. Конформная поверхность однопетлевой диаграммы для открытой струны. В плоскости р эта поверхность соответствует прямоугольнику с шириной к и с произвольной длиной, концы которого отождествлены. Прямоугольники с постоянной шириной и меняющейся длиной конформно эквивалентны, так что в континуальном интеграле мы должны интегрировать по всем длинам. Волнистые линии соответствуют струнам «нулевой ширины», или тахионам, которые могут прикрепляться к поверхности как на верхней, так и на нижней границах. В плоскости z эта поверхность соответствует узкой трубке, согнутой в полукольцо, из обоих концов которой выходят внешние линии.

другой ее конец. При построении функций Неймана на этом кольце нас, очевидно, будут интересовать функции, обладающие свойством

\|/(z) = v|/(wz).(5.2.4)

Если взять произвольные степени w, это отождествление фактически разобьет верхнюю полуплоскость на бесконечное число концентрических полуколец. Каждая из этих концентрических окружностей имеет раДИУс иЛ Отождествляя внешний периметр одного из колец с его внутренним периметром, можно создать бесконечную последовательность трубой Таким образом, вся верхняя полуплоскость может быть разбита ^ бесконечную последовательность этих трубок, но нас интересует лии^ь одна из них.

Итак, мы разбили верхнюю полуплоскость, отождествляя концент- яческие окружности, порожденные умножением на число ид Это число Р тс!4 самым параметризует диск с отверстием. Оно называется ^мяпаметром Тейхмюллера однопетлевой диаграммы. Такие параметры «опускают естественное обобщение на поверхности с N отверстиями.

В общем случае мы можем также разбить верхнюю полуплоскость, 0спользуя произвольное проективное преобразование, которое, как мы видели выше, отображает вещественную ось на себя. (В общем случае Охружности переходят в окружности при проективных преобразова- дяях.) Определим автоморфную функцию как функцию, обладающую

СВОЙСТВОМ

(5.2.5)(5.2.5)(5.2.6)(5.2.6)f(z) = v(^)?

(5.2.5)

(5.2.5)

(5.2.6)

(5.2.6)

где мы сделали проективное преобразование группы

SL(2, R):SL(2, R):az + b z =

SL(2, R):

SL(2, R):

cz A- d

ad — be = 1

для вещественных (a, b, с) и d. (Фазы могут иногда входить в свойства периодичности этих функций.) К счастью, математики вычислили эту функцию. Функция Неймана равна

N^z, z') = In | ^(z'/z, w) | + In | \|/ (z'/z, w) |,(5.2.7)

где мы требуем, с точностью до фазового множителя, чтобы эта функция была периодической:

Vk w) = y(wz, w).(5.2.8)

В явном виде эта периодическая функция равна

ln^

1пу(х, и») = 1п(1 - х) - Ипх + —+

2 21nw

+ f [In(1 - w2x) + ln(l - >V/x) - 21n(l - w")].(5.2.9)

n= 1

Заметим, что эта функция явным образом обладает требуемым свойством периодичности, упомянутым выше. Поэтому при взятии Депоненты от функции Неймана (см. (5.2.2)) окажется, что импульсный фактор подынтегрального выражения содержит множители вида

N

ПП^-^г^.(5.2.10)

^ТУ функцию можно также выразить через тэта-функции Якоби:

V(x, W) = -2 лгехр(/л^2/т) ^^у(5-2Л О

•4-787

ItoIto

Ito

Ito

@УИШ$№ «fti^S fAfHWW# й#^#; #А#Арйё #р#г№й? Ло»

МУЯЯА##^

@^=< x н?^^*

#= -06

- If©^^^ #V fl fl l^^liR# 4,

# = — об

td£V^sfifl^^;- y = ^td£V^sfifl^^;- y = ^(§,1441(§,1441@*^ = ©^ 4 j|ifl - u^U^©^ + ^ ^y.

td£

V^sfifl^^;- y = ^

td£

V^sfifl^^;- y = ^

(§,1441

(§,1441

амяетба ^мщкй ^а^^аа^. tltof^ шинпуда ряда

*888 = f *^6М^ A fe - Vi,**;

ИбН^а^» й9йф0й№ф№ ййй»^#?йУ^4,- 1М№#9 «Ж Уй^я» ф»#4@ры 4 А ^. ОДйА^ Мй ^«№М,- «@ ^Й9§Й6 ff^Sfy ведоб*®6 ^ш»т А№еда ^рм^ййч^^ ^№яя#г<9р@в,- ^^а ^й* ^й#@№ А ^а#ййЬН@й йй№]9ЯА6й^й л^^.

§ §& f АРМ0ЙИ<Й£Ю№ @ед»М*¥@РЫ

Иа^я^ ^деёййй яя## да ^*й8йй# йя@€и#^ йдаАбМ* * й^й^4#^йж <9да«б»Я5#й^ да^мм-э^у ^ж®₽«йй ^” #^^йй,- is^AM- дая^^ @дам а§ й^де?а#ядай фумайда^з даА^да,- Мадам ё да^да # «дайлё^йёй йда^ж ^^^м фурмуда 9 ^>^ 1ft; -t:^ МйАЖё^йй йёё« 4ОТё» AF 1ft ДА ft- АйМё^ адай й§АйМАДёйё?да ё дащйймй дйййямй еда* Аёй ^.- Ka# й й^ ёёйй ewftpaife агу дада* в #адада йда^йАё?й; йа #а#арай №№^ дадауадами йй#«#да,- аА ма*йа вё<А^ йатйййтй йайййй да®^

^^yt^tHtm СОСТОЯНИЙ:

^)f^^X^i.

^ мы получим континуальный #йшрая f^*at№>№w^ ,

Как и выше, мы отмечаем, что выражение (5Д.1) возможно потому, ^ гамильтониан диагоналей в базисе гармонических осцилляторов, урраняя функциональное интегрнрованне во всех промежуточных ^ах вдоль нолоеки, получаем первую плоскую петлевую амплитуду, рраж^ную па операторном языке

033)033)^I^PTftVeDV^.,W

033)

033)

Для вычисления мнотопетлевых амплитуд решающее значение имеет ^ильный выбор калибровки. Тождества (2.9J) показывают, что для деаесных амплитуд духовые состояния не взаимодействуют с де-- ^ьями, так что их в сущности можно игнорировать. Однако в силу Д9) факторизованные деревня все же взаимодействуют с духовыми стояниями, так что последние будут распространяться по петле до тех еер, пока не подвергнутся тщательному устранению. Та же трудность «езижает при квантовании теории Янга-Миллса (что не удивительно,- «скольку и теория Янга-Миллса, и теория струн являются калнбро- ючймми).

Существует три стандартных способа устранения духов в петлевых «ялигудах. Во-первых, можио ввести операторы проектирования, «мым образом устраняющие духи из гильбертова пространства. Ошко этот метод весьма громоздок и чрезмерно труден для фер- *вв№ых петель. Во-вторых, мы можем позволить духам Фаддеева- Пвпова распространяться и сокращаться с духовыми состояниями, Иевояьзуя метод BRST и конформную теорию поля, можно вычислить № высшие фермионные петлевые амплитуды. И в-третьих, мы можем *8ояьзовать калибровку светового конуса, что мы и сделаем в Поящей главе.

Преимущество выбора конусной калибровки-то, что она сильно ^ронтаег вычисления. Духовые состояния в большинстве случаев можно •Рбего игнорировать.

^М.^М.В дополнение к конусной калибровке, мы также выберем спепиаль-- кинематическую систему отсчета для внешних линий миогочастич- *■ амплитуды, определяемую условием

^М.

^М.

014)

е^^ должны предупредить читателя о существовании некоторых тематических трудностей яри наложения этого условия для произ- Moi ^ числа внешних частиц с произвольным спином. Например, ^*^ потребоваться аналитическое продолжение внешних компонент

импульсов для сохранения такой системы отсчета. Тщательный анализ показывает, что мы всегда можем выбрать ее в случае, когда число внешних бозонных линий не превышает 26, а суперсимметричных линий не больше 10. Подход калибровки светового конуса не создаст при этом серьезных трудностей, поскольку всегда можно сделать лоренцей поворот вершинных функций к такой системе отсчета, что плюсовые компоненты импульсов будут ненулевыми. Калибровка светового конуса совместима с любыми значениями плюсовых компонент им» пульсов. Поэтому мы не будем далее обсуждать этот тонкий вопрос.)

К счастью, этот след легко вычислить, воспользовавшись форма» лизмом когерентных состояний (2.6.18), (2.6.19), который мы применяли к древесной диаграмме:

AnAn■• ^p'VrVV^kvX.W^x^x^...■• ^p'VrVV^kvX.W^x^x^...

An

An

■• ^p'VrVV^kvX.W^x^x^...

■• ^p'VrVV^kvX.W^x^x^...

(5.3.5)(5.3.5)(5.3.6)(5.3.6)...Vo<kN,xvx2...xN>)wLo 2],

(5.3.5)

(5.3.5)

(5.3.6)

(5.3.6)

где

W = X1X2...XN.

Этот след можно вычислить в явном виде методами когерентных состояний. Применим тождество

Tr(M) = ^J^Xe-1^ < X| MX>.(5.3.7)

Тщательно подсчитав значение разных факторов, получим

AN = \<Рр П dxiXW^ т,(5.3.8)

T=/(w)2*Dn ПT=/(w)2*Dn П(1 - ^"‘^(l - wmcJ41)k‘ kj

T=/(w)2*Dn П

T=/(w)2*Dn П

(1 - и-”)2

Pi = x1x2...xi,/(и-) = П (1 - w"), Cj^Pj/p,.(5.3.10)

n= 1

Мы можем также выполнить интегрирование по р:

lDpnx''-2Y = _^Ч п<=1\lnw/■lDpnx''-2Y = _^Ч п<=1\lnw/■-1/2 еХр!^2(л Р 2 In nJ-1/2 еХр!^2(л Р 2 In nJk. k .k. k .(5.3.П)(5.3.П)

lDpnx''-2Y = _^Ч п

<=1\lnw/■

lDpnx''-2Y = _^Ч п

<=1\lnw/■

-1/2 еХр!^2(л Р 2 In nJ

-1/2 еХр!^2(л Р 2 In nJ

k. k .

k. k .

(5.3.П)

(5.3.П)

Собирая все вместе, получаем [13, 14]

AN = л-1fn9(vi+1 - v^i^t-^Xf^Y14 П (w,.-,)‘‘4 (5.3-1^

Oi=lО? V In? /i<j

где

Vp,u = ^сл» w), vi = hip,/lnw, q = ^27г2/1пи^(5.3^^

функция 0 здесь просто упорядочивает различные факторы v, вдоль ^ветвенной оси.

Это есть окончательный результат для плоской однопетлевой

ад4плитуды. Обратите внимание на некоторые свойства, которыми он обладает. Перечислим их.

Как и предсказывалось методом континуального интеграла, подынтегральное выражение является автоморфной функцией.

Мера интегрирования легко вычисляется в подходе гармонических осцилляторов. (Ее вычисление несколько сложнее в подходе континуального интеграла.)

Интеграл расходится при q = 0, что соответствует стягиванию внутреннего отверстия к нулевому радиусу. Расходимость мягкая и может быть устранена добавлением к струнам их суперсимметричных партнеров.

Для ссылок в дальнейшем определим одновременно плоские (Р), неплоские (NP) и неориентируемые (NO) подынтегральные выражения:

Ilf 1 Vе 1J, 1 —

1 — X

/ In2 X '

J(1 - w”x)(l - M>7x){

Vp^, w) —

x/x

\21n

n = 1

1(1-w")2 Г

1 + X /

' ln2x\

00(

(1 - w"x)(l + w"/x)l

Vnp(x, w) =

Vх '

, 2 In w

П <

Л = 1 '

.(1-И-”)2J’

(5.3.15)

1 — X.

/ In2 X

V 00

f(l -(-w)"x)(l -(-w)7x

Vno^, w) =

7^ exP 1 x/x

\21nw2

) n

n=l

l(1-(_и0")2.

(5.3.16)

Эти функции в свою очередь можно выразить в таком виде, что их связь с тэта-функциями Якоби станет более очевидной:

— 2л 00Yp(x, w) = sinnv П In?„ = ]— 2л 00Yp(x, w) = sinnv П In?„ = ](5.3.17)(5.3.17)(5.3.18)(5.3.19)(5.3.18)(5.3.19)(1 — 2?2"cos2kv + q4n(I-?2")2

— 2л 00

Yp(x, w) = sinnv П In?„ = ]

— 2л 00

Yp(x, w) = sinnv П In?„ = ]

(5.3.17)

(5.3.17)

(5.3.18)

(5.3.19)

(5.3.18)

(5.3.19)

A — 47r • 1 X f (1 - 2(~ V^COS nv + ^n)l Yno(x, w) = sin - л v П < v12 V ?

■in?2 „=2(l-(_^)")2 J

ш z x ”1/4^ f (1 - 2^2"-1cos2kv + ^4"-21

Ynp(x, w) =q 1/4 П s b

In2 „=2d-?2")2 J

Явным образом выразив их через тэта-функции, получим

ш / х1п2Х

Vpk w) = — 2nzexp 21n w

~ Zlnx lnw\ , ./ lnw\

X®i 0 b

\2nz 2nz/ \ 2nz/

to-

W^ И - 2^^^—

* ®* ®HU-b2®U\HU-b2®U\(-М.2Ц(-М.2Ц

* ®

* ®

HU-b

2®U\

HU-b

2®U\

(-М.2Ц

(-М.2Ц

Vto^ ** ^ =2®^ ^^

я ^я ^^+fK«(«2®> 5/ V^+fK«(«2®> 5/ VЬ^ Лш M"Ь^ Лш M"^-.3-22j^-.3-22j

я ^

я ^

^+fK«(«

2®> 5/ V

^+fK«(«

2®> 5/ V

Ь^ Л

ш M"

Ь^ Л

ш M"

^-.3-22j

^-.3-22j

Ts#g|№>, тогда мы тодачиж резулмяг да® ®да§^ оджидая®®^ жа^ашв®, 9№дадаш а^ш№№^^(^> ®>да®я®тя®®у»9 ^дадав®.. Ья®®, старый вам вужв§> wsewsa»» что

((Ш$((Ш$А® = ^Т$^ У^.... tW»

((Ш$

((Ш$

гда О ®₽га ®да|₽»ТО|Р гояетл да (GJ-HM- Заметим, что этот ®я§даг<9р М®*»® ДОЛГОГО a «®^®М МЙСТО НЙТОЧКЯ И регуЛЯТЯГ ®r ?т®г® w ишеиито?. Ся®я w®a®®®®»s® том же методам тото^еитны» тоетояияЬ ®еи®ии®е отличие а том, что * -шточдатоя да — *. ©тодаатолмю jTO^WM

(п ш^ -*МН* WVM^o^^1^

3aw$Wo что Сдаете» датог|»|тодамда й^детовятог <то^§й удаб^ад^ iS^tiwyro ^.®ftg№ <i№ 0 д® Д, П^вчида # том, что яда я®ядато ®Ш» ядаш Ш^о мдамда .«мим даядав* дадауш <§®@йш isro >t^# ^- ^:' ед, ’Этог ф$дег » й®дачи.ш «того ^даг #фяк> ^aaswew f®* ® той^мюяй» ядймялЛ » гл, ^.

№®яб>$да® дааграшв» тдаж w*w® ®^адтоге>- Э1йм®тям, что да^’ шиве чегдато чдада гедато» ® emssjfl® ддаг^ам^ |да^вй®г даяйИ* линт да яда «даго»: ®«5то®ищда даито я® адаидаму й^<й® я я^тоя#^ «₽ и® ewyrjpaw®^. ^<ж©«йий pgs^.iwar даадада ®г тог®, я«кда дуда* й^да^тоййя®?®? г мдаада®^, я даида л ая^г^штому >фй®, Д®муег^ ®даи»то^ы гаяето куя, что дадая ®г я^дай д® Д--Й ®r#e«№* 1<ЙГ ®₽гя»ямм:

л^р » р>1Гг(@^0,.. ^йр ^4 ц, ...6>У^. ^-^ Иар®фщтовяяда ®г®*ч® айнюачяг», я а рйуяагято яедчятоя 0^

№- ^: M?№iW$№aW№ да|Ж да^д Щ^^. Дд# дай М$$да# дащда Я» «W «W ftR9#?ft «9 «Уб» даме, W6^W ЯЩУД№ М9ДММД St№ fl9 #Й9 f^W- fi6*9?W да «фВЩР^ rt№t<№ М’ДлМ-W *W'S»№W #W fiw, «w да да«да

f# MS «$Ида?№М yw. SS№ ШШ H ft?K9ft?№? ft? fl^#ft9ft<9.«§«ftS? я$р9№№ да», ft ^ SSW <9ftft .да»? W 6>ftft9ft «e?<9 6=S^9№.. 4Мда??> H^ff6F]M^R9®?ffiMft »z9» .iPftA^ftft W?«?ef W ^f ’ W ^ ^^ ftMSe?$# Ж *яи|В8й^§щда? б^дащ¥- дададаяда .«ими? й»?«г№УЯ9№? Д9£да9- *даЖ9., <с i^w ftftftft. дал^^й^., ВД9 iyyftjgfr ^ ft?#: ^ «Ж^е.- жнвда б^йзс^.

М да§с?й? ft^e»ciQ?#ftM ?^W й№ ?Ж ftWMWf^iW 6>WM 6^ftftM #№#?ft^:

^Ш

f№

J = ?,^,W,

Ry— ^^^^.-.•.- ^-y^ —11^,, . Аж)^^^^...-..^^^^,, f^^f^^h, f^j^=f^^_.

S- 4y^^^^

«J^ да««й»# <^да??> «#1едда^ми? 6>?j№8»№ ft?jftftw? да- ^^^?яедйда <9^да?й?.-

suZ^fc шв? w й#вда«? fts®^ й^дайждай# да $>»$№№»

<WW» (ЭД»л «®дам ft? ?Ж ftWMftjyft ftSSK9^9 ft85SM?

™*sw?SBSftW дадада.

Замкнутые струны из открытых струн

Одна из замечательных особенностей неплоской однопетлевой дИаг раммы-то, что у нее больше полюсов, чем их можно найти разлей жением по обычным каналам открытых струн [16]. Рассмотрев мно. житель

p<7<3~(1/4)s (5.3.29) о 1

(где множитель (1/4)5 возникает из зависящей от импульсов части подынтегрального выражения), мы находим, что имеются дополнительные полюсы при 5/4 = — 2, 0, 2, 4, 6,..., совпадающие с местонахождением полюсов сектора замкнутых струн. Тем самым сектор открытых струн автоматически содержит в себе сектор замкнутых струн. Это легче всего продемонстрировать на примере дуальных диаграмм, представляя себе неплоскую диаграмму как цилиндр с двумя наборами внешних линий, которые могут вращаться, обходя вдоль верхнего или нижнего краев цилиндрической поверхности. Однако посредством факторизации мы можем разрезать цилиндрическую поверхность по горизонтали так, чтобы промежуточное состояние было замкнутой петлей. Тем самым замкнутая струна возникает как «связанное состояние» сектора открытых струн (см. рис. 5.6). Сектор замкнутых струн сам по себе является вполне унитарной теорией. Но сектор открытых струн сам по себе этим свойством не обладает. Мы видим, что

Рис. 5.6. Возникновение теории замкнутых струн из теории открытых стрУ11, Забавное свойство теории открытых струн состоит в том, что уже на однолетне- вом уровне она содержит теорию замкнутых струн в качестве «связанного состояния». Непланарная диаграмма для открытых струн может быть растяну*3 так, что она превратится в цилиндр, который затем может быть разбит на Д®3 цилиндра меньшего размера. Поэтому промежуточное состояние должно бы^ замкнутой струной.

-д^чие открытых струн требует существования замкнутых струн качестве промежуточных состояний; в противном случае теория не будет унитарной. В самом деле, как заметил Лавлейс [17], эта ^желательная расходимость в комплексной плоскости для неплоской диаграммы фактически является разрезом (что было бы ужасно), но ^енно в 26-мерии она превращается в полюс. Действительно, это было первым указанием на то, что струнная модель непротиворечива лишь в 26-мерном пространстве.

Перенормировка угла наклона

Заметим, что расходимость плоской диаграммы возникает из интегралов вида

f^; V--(5-3.30)

И И

Эта расходимость при q = 0 соответствует отверстию в диске, стягивающемуся к нулю. Она возникает из-за того, что мы суммируем по бесконечному числу промежуточных состояний, распространяющихся во внутренности петли.

Но это не ультрафиолетовая расходимость, которую мы обычно связываем с фейнмановскими диаграммами. Для точечных частиц расходимости различных амплитуд возникают, когда мы деформируем локальную топологию конкретной диаграммы таким образом, что пропагатор стягивается в точку. Итак, расходимости фейнмановских диаграмм связаны с деформациями локальной топологии этих диаграмм.

В теории струн, однако, в силу конформной инвариантности мы не можем стянуть пропагатор в точку. Поэтому конформная инвариантность на мировой поверхности исключает ультрафиолетовые расходимости. Однако у нас по-прежнему остаются инфракрасные расходимости внутренних точек, стягивающихся к нулю.

Снова из конформной инвариантности следует, что мы всегда можем отобразить стягивающееся отверстие в дилатон или тахион, исчезающий в вакуум. Мы всегда можем «отщипнуть» это стягивающееся отверстие и извлечь резонанс замкнутой струны с вакуумными квантовыми числами, исчезающий в вакуум. Тем самым конформная инвариантность Дает совершенно новую интерпретацию расходимостей струнной теории.

новая интерпретация связывает с каждой расходимостью состояние загнутой струны, «отщипнутой» от этого отверстия. Указанное состоя- ®*е имеет нулевой импульс и соответствует тахионам для расходи- °стей порядка q-3 или дилатонам для расходимостей порядка q-1, исчезающим в вакуум (см. рис. 5.7).

После отщипывания стягивающегося отверстия и извлечения состоя- замкнутой струны с обращающимся в нуль импульсом мы видим, ц оставшаяся диаграмма выглядит совсем как дерево без отверстия.

После извлечения вклада расходящегося полюса у нас останется ЧНое дерево. Это в свою очередь позволяет рассматривать расхо-

jgftb«^W «^ 1ШЙЙйМбМё^У йбЖэ® ^ ‘‘^> <$W iWS> АйВоУ^Я й й№ ЙЙ^» <й* W 6№ ‘'6>Жй#®’ ‘'ЛЙ^» iS№®«toS^№ <ЙИЙ®Й«ЩЙЙ^ ^^6» «№№"#6# йй№ #Мꧫ1йМ*^ бйй? «И ^J1 58№6№ <S#W<§!i- S#®^ 6»^ -^ №6№6№№4 №4681654 №646 # ^йбЖййВ ‘<ВЯ№йИ«М<§> Si 6И«®866»№469«$№®64®8^1№№№6Ш№«4ЙМ6№Й8165!6»#> %&№№№«№ 644 ‘4Жй6<81ṧ6 бЭД ^ ^1 Й66#<^§> iMM#® <йй®й«ВД S$W A^ftWWW /&№$йй^ Айй й^йб» й®' ‘ 'ЛЖ^Ж Лй» ^каЯЙ^ Я -М^Уйк йй№№«5^> «WraMto^B^ э> # ВййЖУййЙУ ^W9> ^ <$>jL W»W й№ ‘‘«эйИ»Ш^ эйт 6Й^<ЙЙЙ?Й№ ‘ЖЙйй®^ хй$№&'61№ $6«4№^81 # # Й9ЙЙЯ4 Й<$№§ЙЙ^ «SWA^jSXW® 6 «6468® ^68 <№№№№ <№№№646^ <№№№Й814^№® 644 ‘№4Ш6№ №44844 «445464 Ш81 ^ji №4 4«№814№4№ «454484 «44481464«№з18^6 №№№54544444 4444^

«Wi№145ifci№8 awaeresi ($

•Ш46644№6«?81 46 №6446^645 544648 54 №544№«№46 46Ж6№ йМ№ ййЖ^<^ Mi6>ii<§ti • f ^ #э№№6№ <М6В*§№№М iMbfiWW 5 4544444^5 да ■644№№6№5№ 64 ^5 №664464 6464№i64№4№4 №44 466'46^4 ШШШ> {Ш64№№№ №65№646№<)49№8М» №44484444644 C^S№6^4 i<9i^ 7# й№$^ ЙШ^ ^йдайА «№№»«# ^йЙ^УЙ^ ^б’Мйб^э’ йМВйгэТВЙУЙ^р й^ йЫэ6№йй

•#$Й#^*«# йй^УЖ iWto № 6»йУШ^

Й№ № ОДййбйАйМ1^ й#У6й 54 Ж8№6№ «46 i^6!i!A> Wi йЬ"ЯйЯЙ5> АИМйй^И^ AMte^ ^a^WrtWfttoiiS1 jttftKeaMJftW # л!ййш^ бЯ» ‘W/MW$ # iWSdiS-W I#* W98№ 64№№И6М6э№ 45^48464466» «4W464444 #6Шз4№е6Ц -646484 64646№й44&№ №ti№S№««l№>y * й«^4» «6444*446 <№№ AWto^W dSMbWaWSW» «й’#6«УА»М^ф» ЛЖЙ 14W #i5bWj!#iW^’#AW йбйй^Мб!# Хййэ1 fl йУййй-йй э^йййбКЭД ^<F 'SWfl

"«M*6W»4toj. 4Ш5«е«Ш584и 4 4^44Ж««в »i4Wif iUSiito6H№s •; 4J

^5

§ M. ДДИДДеОН*® АМИЛИГУЖ ^ДВ^РУИ

ЗИЙйетайта ^дардатдаША дйдарйММ да» ^^Г№^ ^та^^дай МЙЖ-- # дашдата «да » ф^^даше ^ ^ * * <ффшдаш« №§-& Гфдамдаиэме ©§ дататадатая йдаьтаяаттая та^дададамй бтататата L^a. да^лису уда»даегда>рда®да^ к^дар^^ <^9^»#ws да «g№f#y№ Hs> У Ж-Р-т^мада^ш да», ©даата, та й^тадата^гта, ята ^детдадаята даашаммы впадают шш й^г^йй^»§ййй--й^шй -д^ибрйш^трйбй. В <^*s>i^ww?w ^ - В w дадаята даб® тататаията *№№§$> дрдакда^дада дая даатаияя дата», да^й метая ВВ»Т, ййэда- щййй датамЙейртая^аиятаея Й та^ашпея е датам» s от^йдадада-- едарда®®- к да^дадада», ^йфс^шкрда ^даг таяята», та«а мм да !8ййм та йтдадата^й #кж№ ^%w№ й ^мййййш- дет®» # та !№«№» ®®^и®> <д^лФ^№М¥ в «да^да^й тагта,

йётада^йм w^jfflm# ^ f®wrejw # рдад. .3& » та^й^ш дата^-- яммее^йй? я»»та?^ дата», Кда й да^та, »^тда®йда ^/ймта» ®бйдата-- ^ esissp»^^ ^йтай» ^¥»

Vt^^ = §W -^ * :.(С54.^

ЯГ

^ ^ГО + к^Ч^

№МИ iF#O® Д9Ж*даЛИ ^ ^ В#И ®$»И>^1 далч^дши» ^®ша59§>䧹§> ^pMwswsta? д$^№ндмш 4y#i№w# «та

(СОД^.44)(СОД^.44)V^M-F^W**^,

(СОД

^.44)

(СОД

^.44)

Я»

V'^31 #^*Г№(§Ш-‘W I.^W^'W'Z^) •

/

Вум# р<ашл#г^й®»та ямв«9 ®дад да» ддйщщ®# ^?^ш- W® ф#»®- м# шдадёшв^ ^§мдайда»#- Mw»w-’ &№Д да» <w^p^w §^> . WM да» 1Ш№ййЙ »<^ie да®$1МД О WM <S»«^>#M^>S- й<99?«№|^ SMMffy-- **# Мада дай *^м* вдащдайбда лщдййш <§^>#№*?$* # #х» ^даяшда.- 8 @^Я№#?$ # #»wpw <^*№<)»№*i> isro^^wms^ww wp##» Айда1-- ^^^ M «^MdMWMAe №9^WHW..

^”^»№ тадатата» ^ммдщда да>>®д«ер®? да* дааг^лш# ® «еш^ш 25?** дадаадда. Даж » ^<§м ^да»та «мда»дада да ®ww жда ^"М1, дадада <§>jr дам»

^V^>#* ^-.^.4.§)

(§4^(§4^1<(#у1а'@М-,« -«^ _ д^

(§4^

(§4^

Как и ожидалось, он погашается другим вкладом, происходящим и бозонной петли. Таким образом, окончательная однопетлевая амплити да открытой суперструны есть

-v,)^J— П (уЛ^'Чо Q kj-v,)^J— П (уЛ^'Чо Q kj(5-4.7)(5-4.7)13

-v,)^J— П (уЛ^'Чо Q kj

-v,)^J— П (уЛ^'Чо Q kj

(5-4.7)

(5-4.7)

^1оор = ^ f П0(уж

О 7=1

где К-тот же самый кинематический фактор (3.9.11), который буд найден для древесных диаграмм с внешними линиями безмассовых бозонов. Как и ожидалось, порядок расходимости этой диаграммы есть всего лишь q~ \ поскольку теория не содержит тахионов, которые могли бы дать расходимости порядка q-3.

Извлечем теперь бесконечную часть этой диаграммы. Тщательно выделив конечную часть в окрестности точки q = 0, находим, что ^-функция сводится к обычной синусоиде, так что конечная часть А принимает вид .

_ 1 3

Л1оор = к I п 0(V/ +! - V/) П [sin n(Vj - v,)]*' к-. (5.4.8) 07=1 7<J

(5.4.9)(5.4.9)Чтобы показать, что на этой диаграмме можно выполнить перенормировку угла наклона, действительно осуществим интегрирование по v2 и v3. Определим

(5.4.9)

(5.4.9)

sin л(г2 — rj sin ЯГ3 Sin л(г3 — Uj Sin 7П22

и после интегрирования получим

^юор ~ К }х-^ (1 _ ху* dx.(5.4.10)

О \1 — XX /

Легко проверяется, что это в свою очередь в точности совпадает с производной от борновского члена по углу наклона. Поэтому

(5ЛП)

(а У да

Заметим, что эту расходимость можно устранить перенормировкой угла наклона. Это именно тот результат, который мы стремились получить. переопределение угла наклона реджевской траектории может сделать теорию суперструн типа I перенормируемой для однопетлевых диаграмм Рассмотрим теперь амплитуду замкнутой струны; в этом случае нас ждут еще более удивительные вещи.

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ДИАГРАММЫ ЗАМКНУТЫХ СТРУН

струй61 тепер6струй61 тепер6Вычисление однопетлевых амплитуд замкнутых бозонных струй также проводится непосредственно. Подчеркнем лишь различия (1) Мировая поверхность струны, которая для случая открытой была топологически эквивалентна верхней полуплоскости, превращается в полную комплексную плоскость.

струй61 тепер6

струй61 тепер6

Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой струны. В плоскости р поверхность является прямоугольником с шириной 2к и с произвольной длиной, противолежащие стороны которого отождествлены. В плоскости z эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой струны. В плоскости р поверхность является прямоугольником с шириной 2к и с произвольной длиной, противолежащие стороны которого отождествлены. В плоскости z эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.

Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой струны. В плоскости р поверхность является прямоугольником с шириной 2к и с произвольной длиной, противолежащие стороны которого отождествлены. В плоскости z эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.

Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой струны. В плоскости р поверхность является прямоугольником с шириной 2к и с произвольной длиной, противолежащие стороны которого отождествлены. В плоскости z эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.

Пропагатор должен содержать интегрирование по а, чтобы он был независим от положения начала координат в п-пространстве.

Мы должны просуммировать по различным упорядочениям вершинных функций.

Внешние линии, которые были прежде прикрепленными к границе полосы, теперь прикрепляются к внутренним точкам комплексной поверхности.

На рис. 5.8 показана горизонтальная полоса, простирающаяся от а * 0 до с = 2л, верхний и нижний края которой отождествлены. Чтобы ®олучить однопетлевую диаграмму, мы должны теперь отождествить и правый края полосы. Экспоненциальное отображение тогда переводит конечную горизонтальную полосу во всю комплексную Носкость.

/ Нри помощи обычных методов когерентных состояний находим [20] 88 Угол наклона а' = 1/4) ^^"рТг^Р^-^О)

, ”/ _4„ \ 13

(5.5.1)(5.5.1){П^а^-ЧДиОГ48!:-;—) ПхУтЧ

(5.5.1)

(5.5.1)

1=1\ln|w|/

W

M^^H^^tez^z^—Zj,-

^я = ^}-^}.

f = ^ = W^te№,.^

Й

(z, *) = e^p'; 1 z -^ (i - z) fl < ,.„д—— } ,.

JKv = iK^ i*)

,/-«(to^y^j^H^i

Ае’рййййУЫ эму в виде'

A = |^ i(to «Г1 C^F^(SAA)

ДДУ

^«H4^to^ \*,rt'W-^)Г^,-

F^ = ^ to f j fl ^ ^ fl (%„fM *< i=i Kj

3»wi#M; Mty йУйййТ^раяьйУб еи^жбййё- дважды йвриудв<ыб*ая фуин УйЯ:

%(у 4 1,- f) = 5^(4 4 4- о = ^^,, ^).(Щ)

^ty Я№К@ УВЙД64В,. Й64УМУ й-id Ф^ЙВДЙЯ @ {^дадавд ВЛеДу1йй№»« ВйййВТВЯМй:

@#й + i Й) = ® i (^- ^

^i^ А ^^)= =е~№^ + тУ@^^1^.(5J.6)

^у важйУ, дав «яв й<жааывабд,. яду йрамуе1 йидвсрируваяйе йу жф*' жййым у йрйввду ^ы в мйудуврадйум^ йувдурйуму яаечуду йуддййй^ ублябДй ййдвдрйруваййя. Равемудрйм йарадждудрамм,- у^радувайй^ йачадум «уурдййад и дучвами 0,- 1, < й 1 +д. Пуудв удуждвудвл«й» ЙРУДЙВУЙУЛУЖЙЫ^ УДУрУй Уй 6'ДайУВйДбЯ ДУЙУЛУДЙЧ^Й ЭВВЙВаДУйДЙМЙ дур^. Замвдйм,- яду двуййая йврйудйчиуб'дв разбйваед иумй$ш^йУ* йяууйуудв йа Йувуйучйув чйулу дакй« йаралждудраымув. Пуэууыу ^ ^удйы ййдвдрйрувадв дудвку йу удйуыу йарядявдудрамму,- ййаяв у^ й да жу у^даудв §ужд ааучйдайа ^уйуйвчйу мйуду раз. Сдаду 6t№ для фйяейруваййуду д йуу^удйму удрайичйдв ййдвдрйруваййе’ йу "^ рУМУЙЙЫМ ^5 ЧДУбЫ ЙУ Ийдудрйрувадв ЙУ ^ЯУйУЯйУМУ МйУЖУУДВУ ЙУЙЙ*

^@ # i8№ *S У^с^й. ЙМЙрбМ 6Я§дайУ68 У^рййййбййУ:-

Л<Й6»><1-

22

№ ЙЙ УГрйййУ,- <фУМУ ЙГУЙУ ^раййВбй»» » йрайфЙйУИУ V,- йрЖйУ «g^# У№ @ЙЙУ @fpaffl№8H86 8 8рв88раВ8/88 f. ffe^WfiY^fr#^ Bbtpa^ =$#6 да @дайб^йб#@й диаграммы ааи^1@й etpytty в да^вйаааь-- g§6f8 инвариантов втн@8нт§ньн@ eats вдатв нрёйОрааввання,- даав-- ^ фурмуяуй

(9.-9Я(9.-9Я, ат + b

(9.-9Я

(9.-9Я

£ ^ —--- yf + у

де д b,- e,. 4 уёже н ad=bt = L ^fy fl^^pawafl^ #6^*^t ta* «йндае^№ мвдудярмую ^да §fc^,- ZI- И@кажш,- st@ на® ttatatpaa щ^шгаа &f8^HSaiii& s?^@ йЙ^8@#а#ИЯ:

t^t=»U^ * ^"4^%,.

Ш^^и^^ M"4 <»*

6ябдаа$8йЫ1@; ot#@6#T§abn@ at§f@ шдаара^е^ пр^раа^ааааа «ааа-- ртайтйя веяйчпны

(^A^(^A^^i _ ^^ Wl~ wV

(^A^

(^A^

Tes^fr йбймбяйм,- *<a# й^^йз^бя ^йдуляршм ^^йж§йи®м ^ «6ЧЙ6Ш-:

g-^l^iy^li^ ^y^ ^ ^^g-W^^/^^^.^.§4tj

^ = ЭД.(M-12)

Ййевед, ймб§м f »#ж$

ЖМ;

Л^5/^..(S,5,14)

^^^ й@да#?^^аяйййй ймраж^йё ийаариати© @»#@6й18аьй@ ш-- 2^^^ прё^аа^вааиа,- ате вв^рвыб бмяа уаа^аау Шанару (50]. Ну "*®* шждат емйба at@a б#мж$ри8й

eJ?3 S6№feaa Дуяякева бЯёа^5 «у мм йулжйм «tttetpapeea-fb йу 2*” *УйфУ^МйУ ЙО'ЙЙЙЙЙЙЙТЙММ ЙУЙУ^ЙУУ+ЯМ. Сйййййй ММ 8ЙЙЙМ,- ^ ^ йй₽аяжлу^раммй у рамйчймми анааайиями < #?у#фурмйу ^“ЙйЯШйМ ЙУУЯУ УТУЖЖтеЯУЙйй Й^ЙЙУЙУЛУЖЙМ^ У1У₽УЙ,- ЙУ-

этому мы простодушно ожидаем, что интегрирование по т автомата чески даст нам интеграл по всем конформно неэквивалентным поверх* ностям. Однако в действительности это не так. *

На самом деле существуют два типа репараметризации поверхности которые необходимо тщательно различать. К первому типу относятся такие репараметризации, которые можно гладким образом вернуТь к тождественному отображению, т. е. множество гладких репараметри. заций, содержащее тождественное преобразование. Ко второму типу относятся репараметризации, которые невозможно гладко перевести обратно к тождественному преобразованию. Глобальные диффеомор. физмы именно таковы. Возьмем, к примеру, один параллелограмм и отождествим лишь одну пару противоположных его краев. У нас получится трубка. Обычно мы свели бы друг с другом ее концы, чтобы получить тор. Теперь, однако, закрутим один из ее концов на 2л, прежде чем склеить их. Изучив эту поверхность, видим, что эта процедура порождает настоящую репараметризацию поверхности, но этим способом нельзя представить тождественное преобразование. Такое кручение («твист») называется твистом Дена, и он порождает некую дискретную группу. Можно показать, что для тора группа, порожденная твистами Дена, есть модулярная группа Sp(2, Z).

Конкретизируя, мы видели, что интеграл инвариантен относительно преобразований т —► — 1/т и т->т+1. Можно показать, что последовательное применение этих двух преобразований порождает всю модулярную группу. Но тщательное рассмотрение действия этих преобразований показывает, что они просто меняют местами части границы параллелограмма, порождая твисты Дена.

Итак, эта вторая симметрия, называемая модулярной инвариантностью, возникает в силу того факта, что мы должны фиксировать калибровкой не только репараметризации, гладко сводимые к тождественному преобразованию, но и глобальные диффеоморфизмы, не связанные с последним. Поэтому мы должны разбить комплексную т-плос- кость таким образом, чтобы можно было интегрировать только по одной поверхности, инвариантной относительно преобразований т-^ т + 1 и -1/т. Тем самым комплексная т-плоскость разбивается на бесконечное число лишних копий. Чтобы устранить этот бесконечный повторный счет, выберем следующую фундаментальную область интегрирования (см. рис. 5.9):

Фундаментальная область =Фундаментальная область =Im т > О,Im т > О,(5.5.15)(5.5.15)

Фундаментальная область =

Фундаментальная область =

Im т > О,

Im т > О,

(5.5.15)

(5.5.15)

Мы вскоре убедимся, что эта модулярная инвариантность является, вероятно, одним из самых мощных инструментов, которыми мы расИ° лагаем, для проверки непротиворечивости новых струнных компакт® фикаций.

рис. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную пло- схость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми Кет =—1/2 и Кет = +1/2, причем |т| > 1.рис. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную пло- схость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми Кет =—1/2 и Кет = +1/2, причем |т| > 1.

рис. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную пло- схость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми Кет =—1/2 и Кет = +1/2, причем |т| > 1.

рис. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную пло- схость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми Кет =—1/2 и Кет = +1/2, причем |т| > 1.

Как мы уже сказали, модулярное преобразование осуществляет твист Дена, т. е. перетасовку граничных условий для параллелограмма. Например, если у нас имеется струна, определенная на параллелограмме, маркированном Х(о1,о2), то модулярное преобразование заменит граничные условия согласно формуле

Да1, с2) -►А'(аа1 + ^2, ^i + d^iY(5.5.16)

В частности, можно проверить, что преобразования т->т+1ит-> - 1/т заменяют граничные условия следующим образом:

| т-т + 1 f Х(о15 о2)- *(04 + о2, о2),

It-^-1/т^ 1 ^(о1,о2)-^Х(о2-о1).I - )

Теперь проанализируем структуру расходимостей амплитуды замк- вутой струны. Сначала заметим, что

(5.5.18)(5.5.18)^(v, т) -> 2 л | v |

(5.5.18)

(5.5.18)

Ври v 0. Как и ожидалось, амплитуда имеет полюсы в тех точках, в которых внешние линии совпадают. Они встречаются при 5 = —8, 0, 8, Ит Д. Эту расходимость можно считать происходящей из диаграммы ^Р1^ самодействия на внешней линии, которая, к сожалению, оказа- лежащей на массовой поверхности.

Геперь обобщим это вычисление на суперструны типа II; его легко Р°вести тем же методом. Все вершины имеют вид

(5.5.19)(5.5.19)^= VV,

(5.5.19)

(5.5.19)

606 V соответствуют вершинам открытой струны (с половинным

*5'787

импульсом) для двух наборов осцилляторов. Снова вклады двух- и трех точечных петель обращаются в нуль, так как след берется по модам S * Этот след можно вычислить точно так же, как и в случае открыт^ струн, но теперь осцилляторов вдвое больше. Результат для амплитуд^ рассеяния бозонов дается формулой

^ioop = К f d2T (Im т) * 2 Fs (т),(5.5.20)

где

3

F$(t) = (Imx)3f П d1^ П (хиУ'№ k‘.(5.5.21)

= 1KJ

Заметим, что фактор С(т) теперь отсутствует и степень, с которой входит т, изменилась. Замечательный факт состоит в том, что эта амплитуда вполне конечна). Это объясняется несколькими причинами, перечисленными ниже.

Отсутствие двух- и трехточечных амплитуд делает невозможным помещение головастиков или вставок энергии самодействия на внешних линиях. Поэтому не будет полюсов, которые были обнаружены ранее для замкнутых бозонных струн.

Можно уменьшить расходимость диаграммы, выбирая фундаментальную область интегрирования, свободную от расходимостей.

Нет вкладов от тахионов, исчезающих в вакуум, поскольку нет тахионов.

Фермионные внутренние линии сокращаются с бозонными внутренними линиями, что уменьшает расходимость диаграммы.

МНОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Многопетлевую функцию также можно выписать в явном виде через континуальные интегралы по римановым поверхностям с отверстиями. Главная трудность при построении этих амплитуд-это выбор параметризации римановой поверхности. Для многопетлевых амплитуд было разработано четыре типа параметризаций.

Группы Шоттки. Многопетлевые амплитуды, первоначально вычисленные в этом формализме [2-8], обсуждаются в настоящем разделе. Такая параметризация римановой поверхности облаД^ несколькими преимуществами. Во-первых, она является явной. В приходится гадать о выборе переменных интегрирования, известны точно. Фактически эти переменные наглядно связаны с топологической структурой римановой поверхности. Во-вторых, литуды факторизуются (поскольку это представление исходно в числилось сшиванием многорезонансных вершинных функций). 1 этому можно показать унитарность. Недостаток этого формализ тот же, что и у других, а именно неочевидность модулярв инвариантности. Область интегрирования приходится обрезать врУ ную.

/2) Метрики с постоянной кривизной. Этот формализм, который будет рассмотрен в следующем разделе, основан на римановых поверхностях с постоянной гауссовой кривизной. Его преимущество в том, что он естественным образом возникает при квантовании действия Полякова. Другое его преимущество-наличие в математической литературе множества работ по римановым поверхностям постоянной кривизны. Его недостаток, как и представления Шоттки, в том, что модулярная инвариантность амплитуд для высших петель по- прежнему неочевидна. Область интегрирования приходится обрезать вручную. В отличие от представления Шоттки, однако, явные представления 6N-6 модулярных параметров для произвольных поверхностей с постоянной метрикой встречаются редко. Кроме того, поскольку этот формализм не выведен сшиванием трехрезонансных вершинных функций, то факторизация, а следовательно, и унитарность неочевидны.

Тэта-функции. Это, по-видимому, наиболее естественный формализм, поскольку модулярная инвариантность встроена в него с самого начала. Мы рассмотрим его в разд. 5.11. Этот метод основан на обобщении тэта-функций, введенных в (5.2.11) для однопетлевой амплитуды, включающем квазипериодические функции нескольких переменных. Естественной переменной интегрирования служит сама матрица периодов По, которую можно определить для всякой римановой поверхности. Этот формализм также легко обобщить, включив в него тэта-функции, определенные на различных спиновых структурах. Хотя этот формализм весьма перспективен и активно изучается, у него есть и серьезные недостатки. Например, если петель больше чем три, то пространство модулей становится очень неудобно параметризовать матрицей периодов. (Трудность параметризации пространства модулей матрицей периодов в случае большего, чем три, количества петель известна как «проблема Шоттки». Лишь недавно математикам удалось решить эту проблему. К сожалению, ее решение сильно нелинейно, и еще многое предстоит сделать, чтобы развить этот формализм для случая, когда петель больше трех.) Как и в предыдущем формализме, факторизация (а следовательно, и унитарность) неочевидна. Тэта-функции для высших петель строятся посредством умелого угадывания и обращения к един

ственности окончательного результата, а не сшиванием вершинных , Функций.

) Формализм светового конуса. Поскольку метод конусных координат °снован на использовании только физических переменных, без вся- ^ Духов, то этот формализм обладает явной унитарностью, и поэтому естественно ожидать, что он автоматически обеспечивает одно Покрытие пространства модулей. Это предположение, которое ни- к°гда прежде не приходило в голову математикам, изучавшим пР°странства модулей, недавно было доказано во всех порядках. Мы вкратце обсудим формализм светового конуса в конце этой Давы, поскольку он будет подробнее развит в следующей главе при Дожении полевой теории струн. Преимущество конусного форма-

лизма-его явная унитарность, факторизуемость, модулярная ин#» риантность и простота обобщения на настоящую вторично квант * ванную теорию поля. Недостаток-то, что он с очевидностью обла дает фиксированной калибровкой. *

Конечно, все эти четыре формализма должны в итоге привести к эквивалентным результатам.

Сначала обсудим группы Шоттки и перепишем однопетлевую амила- туду в форме, которую проще всего обобщить на многопетлевые диаграммы. (Мы рассмотрим метод 0-функции в разд. 5.11.) Определим проективное преобразование (2.7.1), порождающее группу SL (2Я), Способом, подчеркивающим его геометрические свойства. Определим неподвижные точки xt и х2 проективного отображения как точки, которые это преобразование переводят в самих себя:

{

Г (х ) — х

, \15(5.6 П

Рух1) = х1.

Тогда мы сможем выразить произвольное проективное отображение, имеющее три независимых параметра, через эти две неподвижные точки и множитель X:

р( ) = z^-XxJ-x^zU - АГ)

17 z(l — Х') + х2Х — х1v *

Другая удобная форма записи проективных отображений - это ^«^_х£^.(5.6.3)

Р^ ~ -Ч z — xv

Преимущество записи проективного отображения с помощью множителя состоит в том, что множители для произведений проективных преобразований находятся просто:

(Хр)" =xw, Xpq =Xqp,(5.6.4)

(ХрГ^Х^.

Посредством проективного преобразования любое Р может быть при* ведено к виду

о \(56i5)

V о

Заметим, что след отображения Р можно записать как

TrP(z) =(5’6’6)

Vх

Это в свою очередь позволяет определить «смежные классы». проективных преобразования принадлежат одному и тому же смежно классу, если у них один и тот же множитель.

В зависимости от множителя можно определить несколько типов проективных преобразований:

р гиперболическое, если X веществен, положителен и не равен единице.

(2)(2)(О(Ор параболическое, если X веществен и равен единице.

(2)

(2)

(О

(О

р эллиптическое, | X | равен единице и X не равен единице.

р локсодромическое, если X комплексен и не относится ни к одному из перечисленных выше случаев.

Р^ = wz.Р^ = wz.Для вещественных проективных преобразований множитель может быть и меньше, и больше единицы в зависимости от того, выполняется ли условие xt < х2 или же верно противоположное. Поэтому мы вольны выбрать все наши проективные преобразования гиперболическими, чтобы множитель был меньше единицы. Для одной петли мы получим, что проективное отображение равно

Р^ = wz.

Р^ = wz.

(5.6.7)

Таким образом, множитель однопетлевого преобразования-это просто само w.

Заметим, что с 3N проективными преобразованиями связано N параметров. Однако, как мы отметили ранее, 3 точки, лежащие на вещественной оси, всегда могут быть фиксированы вследствие проективной инвариантности. Поэтому у N-петлевой амплитуды будет 3N — 3 параметра, описывающих соответствующую риманову поверхность. Они называются параметрами Тейхмюллера и составляют наименьшее число параметров, необходимых для задания неэквивалентных римановых поверхностей с краем. Для замкнутой струны у нас будут сферы и комплексные проективные операторы, так что число параметров будет Равно 6N — 6. Итак:

) открытые струны 6N — 6, Параметры Тейхмюллера 5(5.6.8)

,( замкнутые струны 3N — 3.

наглядности можно представить, что необходимы два параметра, обы задать положение центра отверстия, и еще один, чтобы задать его Всего потребуется 3N параметров для описания поверхности Ко х°ТвеРСтиями. Из этого числа нужно вычесть 3, чтобы устранить Ше^Рмно эквивалентные способы помещения внешних линий на ве-

Т^пенной оси. В итоге получим 3N — 3 параметров.)

*^®ПеРь перепишем подынтегральное выражение для однопетлевой Что*’ ВЬ1Разив ее через явно инвариантные функции. Из (5.6.4) видно, ° Функцию распределения можно записать в виде

(5.6.9)(5.6.9)п (1 - и-") = п (1 - №)”) = П (1 - хг\

(5.6.9)

(5.6.9)

л = 1л = 1Л = 1

Таким образом, функция распределения теперь записана через набо проективных преобразований Рп.

Затем мы можем выразить через проективные преобразования под. ынтегральное выражение для импульсов. Ранее мы показали, что ком. бинация ’

i<ji<j(5.6.10)

i<j

i<j

легко преобразуется под действием проективного отображения из-за сохранения импульса и того факта, что внешние линии лежат на массовой поверхности. Теперь нам надо показать, что однопетлевое подынтегральное выражение может быть записано как инвариантное:

dp. П (zi-wnzj)k,k^ = dp П (z-- Рлг'^к‘kj^. (5.6.11) п = 1, i< jп - 1. i < j

Поэтому интеграл для однопетлевой диаграммы можно записать как

л = 1i<jл = 1i<j(5.6.12)

л = 1i<j

л = 1i<j

Рис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последовать^ ного применения одного и того же проективного преобразования окружности окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, оКРУ^>, щие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных ПР образований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сКРис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последовать^ ного применения одного и того же проективного преобразования окружности окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, оКРУ^>, щие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных ПР образований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сКСовершенно обязательно нужно определить, по какой области комплексной плоскости производится интегрирование. На рис. 5.10 показано, как верхняя полуплоскость разбивается на эквивалентные секторы под действием оператора Р. Заметим, что проективное преобразование отображает окружности в окружности. Поэтому точка, расположенная вблизи от одной неподвижной точки, в результате повторных действий на нее оператора Р постепенно перемещается к другой неподвижной точке. В ходе этого процесса верхняя полуплоскость разбивается на

Рис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последовать^ ного применения одного и того же проективного преобразования окружности окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, оКРУ^>, щие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных ПР образований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сК

Рис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последовать^ ного применения одного и того же проективного преобразования окружности окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, оКРУ^>, щие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных ПР образований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сК

угодно близкой к неподвижной точке.

пересекающиеся области. Мы можем выбрать в качестве области ^^ррирования любую из этих непересекающихся областей. На этом йсунке мы выбрали область, лежащую на полпути между двумя этими Подвижными точками. Стрелки показывают, как некая точка переиздается под действием Р, т.е. мы видим идентификацию точек на поверхности. Если добавить внешние линии, они будут лежать только на уса х и смогут двигаться лишь к краю области, ограниченной этими пхружностями.

Такая процедура легко обобщается на многопетлевые амплитуды. ^ потребуем выполнения следующих условий:

Проективной инвариантности относительно преобразований группы SL (2, Р). Для N-петлевой амплитуды должно быть N проективных операторов.

Модулярной инвариантности для замкнутой струны, чтобы интегрирование проводилось по одной фундаментальной области в пространстве параметров.

Одних этих соображений инвариантности почти достаточно, чтобы однозначно записать многопетлевую амплитуду.

(5.6.13)(5.6.13)Сначала найдем многопетлевую расходимость. Пусть набор

(5.6.13)

(5.6.13)

представляет N вещественных проективных отображений, таких что их неподвижные точки последовательно расположены на вещественной оси. Пусть {Р} обозначает множество всех несовпадающих между собой произведений различных преобразований Р, возведенных в произвольные положительные или отрицательные степени. (На рис. 5.11 видно, что неподвижные точки все лежат на вещественной оси.) Множество {Р} образует группу. Наша область интегрирования представляет собой отрезок вещественной оси, находящийся между предельными точками

то этот случай нам неин-то этот случай нам неин-элементов группы {Р}. Если предельные точки всех элементов группы и} заполняют всю комплексную плоскость,

то этот случай нам неин-

то этот случай нам неин-

HfjJ. 5*2^* Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. Два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответ- каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружаю- ^с неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.HfjJ. 5*2^* Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. Два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответ- каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружаю- ^с неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.

HfjJ. 5*2^* Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. Два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответ- каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружаю- ^с неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.

HfjJ. 5*2^* Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. Два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответ- каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружаю- ^с неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.

тересен. Тогда области интегрирования для наших переменных 6 существует.

Нас интересуют такие группы {Р}, предельные точки которых обр& зуют дискретное множество на вещественной оси, так что имеется конечная область интегрирования. Группы, обладающие таким свойством, называются группами Шоттки.

Пусть {Р} представляет все различные произведения этих преобра. зований с точностью до циклических перестановок. Тогда расходящийся член для N-петлевой амплитуды есть произведение по множеству 1р\ [4, 5]:1 *

П(1-^))-24.(5.6.14)

Зависящий от импульсов член дается произведением по множеству {р}:

П ^{Р}^)^.(5.6.15)

i<j. W

Поэтому подынтегральное выражение для N-петлевой амплитуды выписывается удивительно просто. Единственная трудность состоит в том чтобы определить область интегрирования способом, сохраняющим проективную инвариантность. Окончательная формула для N-петлевой амплитуды с М внешними тахионными линиями есть [2-8]

^ = J П </26МиПП(1 - W24

а=1{?}!?}

х п ^-^2^к* п dx^x^-1

l=i<)=MВ,Х=1

. . MX z^-W^V'

. = 1 xZ-^X^J

(1 "ra‘’'h,5 616)

I x^ - {P} x^’x^ - {P} xl2) J ’ где

^P = П dZidV^bc П dx^dx^Vx^ - x^y1.(5.6.17)

i=la=l

Здесь латинские индексы i и j представляют внешние тахионные линии, а греческие индексы-только петлевые переменные. Каждое проективное преобразование Р имеет две неподвижные точки и множитель:

(1).(2). у(5.6.19

Произведение по группе {Р} берется по всем неэквивалентным произв^ дениям проективных операторов Ра. (Мы исключили те произведений’

торые содержат повторный счет, т. е. если некоторый элемент группы Li является произведением преобразований, приводящим к преобразованию Pa.s то он не должен действовать на неподвижную точку ^образования Ра, иначе получится повторный счет.)

^Важной стороной такой формы записи подынтегрального выражения Является область интегрирования, которая должна учитывать каждую конформно неэквивалентную конфигурацию один и только один раз.

Nа= 1Nа= 1На вещественной оси мы всегда можем сделать такое проективное преобразование, которое соберет все внешние линии по одну сторону, а все неподвижные точки-по другую сторону от некой точки. (Если хочка z лежит слева от неподвижных точек проективного преобразо- №яия Ра, то Ptt (z) перемещает z через свои неподвижные точки направо. Таким образом, последовательными проективными преобразованиями мы можем сдвинуть все внешние линии на одну сторону вещественной оси, а все неподвижные точки-на другую ее сторону.) Нужно, однако, проявить осторожность, чтобы исключить такое проективное отображение, которое могло бы сдвинуть некую точку в обход всей диаграммы. Преобразование

N

а= 1

N

а= 1

(5.6.19)

обладает свойством сдвигать точки вдоль всей вещественной оси мимо всех неподвижных точек. Следовательно, необходимо извлечь периодичность, связанную с обходом вещественной оси произвольное число раз.

Пусть х1 и х2 означают неподвижные точки этого произведения. Тогда получаем следующие пределы интегрирования:

х(1) < P(zJ <ZM < Zm-1 < ... <ZY < x(2) < x^^ < X^ < x^ < ....x^.

(5.6.20)

Здесь наложено ограничение, что все множители для Ра, включая произведение Р, остаются меньше или равны единице. Конечно, существуют другие эквивалентные выборы области интегрирования, поскольку 161 приняли один конкретный способ обрезания этой области. В част- пости, можно было бы поместить внешние линии между неподвижными точками разных проективных операторов. Поскольку множество явля- л°сь группой Шоттки, мы можем быть уверены, что область интегрирования для наших переменных конечна. (Нужно отметить, что вычис- многопетлевых амплитуд было проведено в 1970 г. с применением Фоективных операторов, уничтожающих духи на ведущей траектории.

Духовых полей формализма BRST это вычисление можно проделать Г^опо, чтобы устранить все возможные духи. В силу единственности Неймана на поверхности можно ожидать, что результат будет °их пор мы обсудили лишь многопетлевые амплитуды для cJWrofi струны. Теперь обобщим эти предыдущие выводы, непосред- выписав функцию Неймана для сферы с N ручками или веРстиями применительно к сектору замкнутых струн [21].

Рис. 5.12. Гомологические циклы на произвольной замкнутой римановой поверхности. Циклы а и b суть 2g замкнутых линий на поверхности рода д, которые невозможно непрерывными деформациями стянуть в точку. Разрезав поверхность вдоль «-циклов, можно развернуть ее в плоскость, на которой вырезано 2# отверстий. Заметим, что ^-циклы переходят при этом в линии, соединяющие пары отверстий, определенные s-циклами.

Сначала рассмотрим комплексную плоскость с прорезанными в ней 2N отверстиями. Назовем область, лежащую вовне этих 2N отверстий, областью S. Назовем также эти пары отверстий «-циклами «, и сц, где i = 1. Проективные преобразования, как мы видели, отображают окружности на окружности, поэтому можно определить N проективных преобразований Р,, переводящих каждый «-цикл в соответствующий еМУ «-цикл (см. рис. 5.12):

Р,:«; -► at.(5.6.21)

Эти проективные преобразования Pt, разумеется, могут в свою очерет быть параметризованы двумя неподвижными точками z!n и z!2) и мн°* жителем Xt. Мы увидим, что эти неподвижные точки лежат внутри соответствующих «-циклов, так что они не принадлежат комплексно плоскости с вырезанными отверстиями. В общем случае точка, пр0* надлежащая поверхности S (области, внешней относительно всех а-^

дов)> переводится преобразованием Р, во внутренность одного из «-циклов* ,

Кроме «-циклов, у нас имеются также «-циклы, соответствующие взрезам по линии, соединяющей av с а^ Поэтому эти £-циклы суть Дружности, окружающие i-e отверстие, если мы рассматриваем сферу с JV отверстиями. Заметим, что проективное преобразование z-* wz на Однопетлевой диаграмме переводит внутренние радиусы соответствующего кольца в его внешние радиусы. Итак, проективные преобразования Pi порождают движение вдоль /^-циклов. В общем случае дроективные преобразования Р, отображают точки одного «-цикла 1 точки сопряженного ему «-цикла, так что мы движемся вдоль некоторого £-цикла.

Теперь определим У1 как произведение всех различных произведений разных Pf Заметим, что индекс i меняется от 1 до N, тогда как / пробегает по бесконечному набору индексов. Теперь определим функ

цию у:

(5.6.22)(5.6.22)In Y(z, z ) = In (z - z ) + £ In 77————.

(5.6.22)

(5.6.22)

I (z- V^z - Vtz )

Штрих у знака суммы означает, что мы включаем либо V,, либо КГ1, но не оба этих оператора. Казалось бы, функцию Неймана естественно определить выражением

^(z,z') = ln|v(z, z^V(5.6.23)

Однако такая функция не обладает правильными свойствами. Мы стремимся определить автоморфные функции, изменяющиеся лишь на константу при обходе различных петель в плоскости z. Вышеприведенное выражение не обладает этим свойством периодичности, которое являлось решающим критерием для функции Неймана. Поэтому такая функция не может быть автоморфной.

Однопетлевая функция, напротив, этим свойством обладает. Заметим, что функция z, например, изменяется на 2л / в результате обхода по «•циклу:

ln(ze27n) = In z + 2л/.(5.6.24)

При пересечении b-цикла она изменяется на w.

hwz = In w + In z.(5.6.25)

величины называются периодами функции z. Отношение этих периодов равно

In w

Ъ^(5.6.26)

Называется матрицей периодов. Итак, т есть матрица периодов для н^тлевой функции.

^тим способом можно показать, что вся однопетлевая функция

Неймана изменяется лишь на постоянную при обходе вокруг а- или 6-циклов.

Можно показать, что предложенная выше функция N (в качестве возможной N-петлевой функции Неймана) при обходе вокруг г-г0 «-цикла остается неизменной:

8OrV(z, z') = 0.(5.6.27)

Однако можно показать, что при обходе вокруг 6-цикла, задаваемого преобразованием z-* Р, (z), она меняется. Она не является периодической, так как

5br In \|/ (z, z') = — vr(z) + rr(z') - -iKTrr + -zn — In (crz + dr\ (5.6.28)

где

(5.6.29)(5.6.29)7 — V 7(1)

(5.6.29)

(5.6.29)

I z VtZr

(знак (г) у суммы просто означает, что с целью избежать двойного счета в комбинации J^z*1,2) необходимо опускать любое преобразование Рм могущее подействовать на неподвижную точку zj1,2)); с и d соответствуют коэффициентам в исходном определении проективного отображения. Если вычислить функцию rr(z) и переместить z вокруг а- или 6-цикла, получим

(5.6.30)(5.6.30)(5.6.31)(5.6.31)6а5 ^, М ^^ ^rs )

(5.6.30)

(5.6.30)

(5.6.31)

(5.6.31)

Sbsvr(z) = 2uiTrs,

где

= 1 у („и (^’-MW-W

Т" 2л/^ (zW-V.z^Hz^-VizW)"

Матрица тг$, полученная вычислением изменения vr вследствие обхода 5-го 6-цикла, снова называется матрицей периодов и является естественным обобщением матрицы периодов т, найденной ранее для однопетлевой диаграммы в (5.5.2) и (5.6.25).

С помощью этого обобщенного определения матрицы периодов можно выписать полную функцию Неймана, обладающую правильными свойствами периодичности. Изменим \|/ так, чтобы выполнялось

In y(z, z') = In у (z, z') - Re(vr(z) - vr(z'))((ImT)-1)„

x Re(v$ (z) — vs (z')). (5.6.32)

(5.6.33)(5.6.33)Тогда функция Неймана примет вид

(5.6.33)

(5.6.33)

N(z, z') = In | \j/(z, z') I •

Собирая все вместе, мы можем записать N-петлевую амплитуду ДлЯ замкнутой струны. По сравнению с однопетлевой амплитудой имеем следующие изменения:

(О(О(5.6.34)(5.6.34)Однопетлевая функция распределения принимает вид П11 - ^г48’

(О

(О

(5.6.34)

(5.6.34)

где мы взяли кратное от произведения по всем неэквивалентным смежным классам выражения Vt.

до Фактор (In | w|)-1, который был связан с матрицей периодов, теперь заменяется на детерминант N-петлевой матрицы периодов:

(5.6.35)(5.6.36)(5.6.35)(5.6.36)(5.6.37)(5.6.37)det | Im т |rs.

(5.6.35)

(5.6.36)

(5.6.35)

(5.6.36)

(5.6.37)

(5.6.37)

ДРУГ06 множитель, а именно ni^-^T

появляется в выражении для амплитуды.

Окончательный результат поэтому имеет вид [21]

J1 J1 (1) j2 (2) /2 у

^N-loop^N-loop= Ш^Цлт^^П I x, ti1’ - z^\-* F rs'abc$

^N-loop

^N-loop

X |1ттГ13П|1 -X^-48 П Ivk, z;)|*'4

Здесь интегрирование проводится по фундаментальной области F поверхности с N отверстиями.

РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИИ ПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМЮЛЛЕРА

Хотя в результате предыдущих вычислений мы получили явную формулу, выражающую многопетлевые амплитуды через группы Шоттки, нам приходится быть осторожными при обрезании области интегрирования с целью избежать повторного счета. Это, по-видимому, трудность, внутренне присущая формализму Намбу-Гото, так как в нем континуальный интеграл не фиксирует область интегрирования однозначно.

Что же касается формализма Полякова, то он позволяет устранить Повторный счет с самого начала, используя мощные теоремы для Римановых поверхностей. Одно из крупных преимуществ этого формализма- возможность в полной мере воспользоваться богатством результатов математических исследований римановых поверхностей, которые Доводились в прошлом столетии. Особенно важен будет тот факт, что 8аЙДенный ранее детерминант, содержащий в себе структуру особенностей ^петлевой диаграммы, может быть выражен через дзета-функ- ^ Зельберга.

Напомним, что действие Полякова дается формулой (2.1.35)

^-^Т^г.хчх».(5.7.1)

(5-7.2)(5-7.2)Порождающий функционал есть Z= 2 f Dgob f DX^e"8, топологии метрика вложения

(5-7.2)

(5-7.2)

и его нужно тщательно разделить на подходящий коэффициент, чтобы не учитывать многократно вклад конформно эквивалентных римановых поверхностей. Мы будем следовать выводу Альвареса [22] для замкну, тых струн.

Функциональный интеграл по струнной переменной X гауссов и поэтому легко вычисляется (см. (1.7.10)):

_/2лVOTD

DXexp(-$d2zVM°b6aX^bX^-—^det4-V2H , (5.7.3)

Ч^ ZV9 7

где

(5.7.4)(5.7.4)v2 = ^dmV^m"^,

(5.7.4)

(5.7.4)

а штрих у детерминанта означает, что нулевая мода всегда будет отбрасываться.

Функция распределения (5.2.14), содержавшая расходимость одной петли, в этот детерминант не входит.

Однако выполнение континуального интегрирования по метрике оказывается намного более сложным из-за наличия калибровочных параметров и петель. Как было показано в (2.4.1), мера инвариантна относительно общековариантного преобразования в 2Ь-мерии и масштабного преобразования:

bgab = gaC6bW + aa6vcgcb - 6cWgab + 26cgab.(5.7.5)

(5.7.6)(5.7.6)Если ввести символы Кристоффеля, это выражение можно переписать в ковариантной форме:

(5.7.6)

(5.7.6)

^9ab = Va8vb + Vb8ro + 2&сдаЬ.

Здесь и является параметром вейлевского масштабного преобразования, а Ьиа определяет репараметризацию двумерной поверхности. В общем случае это означает, что мера интегрирования по доЬ на самом деле является бесконечной. Заметим, что даЬ имеет три независимые компоненты и что 8по и da также имеют три компоненты, так что интуитивно можно ожидать, что допустимо положить все компоненты метрического тензора равными дельта-функции:

gab = 5ab. ^

На интуитивном уровне выбор конформной калибровки эквиваленте факторизации континуального интеграла по бесконечному объему факторы, отвечающие вейлевскому масштабному преобразованию, с од ной стороны, и двумерной репараметризации поверхности, с ДрУ1^ ' Фиксация калибровки тогда означает, что континуальный интеграл

метрике заменяется согласно формуле

Одвь ^ ^e»№oiff) 1 (^Weyi)>(5.7.8)

*е бесконечный объем пространства может быть представлен в виде (1. (L6.7))

О Diff = 1^Го’

flweil = P^(5.7.9)

Для сфер и дисков без отверстий это действительно верно. Однако ддя поверхностей с большим числом петель или ручек это уже не так дз-за осложнений, связанных с параметризацией петель.

В общем случае сфера с N отверстиями или ручками требует много параметров для описания расположения и размера каждого отверстия. В сущности, для диска с отверстиями нам нужны один параметр для сияния радиуса каждого отверстия и еще два для задания координат центра каждого отверстия. Таким образом, для описания 3N отверстий нужно N параметров. (В случае сферы с ручками необходимо 3N комплексных параметров для описания N пар отверстий.) Как мы видели ранее, три параметра можно зафиксировать в качестве общих (и взять их равными, скажем, 0, 1 и бесконечности), так что диск с отверстиями может быть описан

3N — 3(5.7.10)

вещественными параметрами или вдвое большим ’их числом, если поверхность является сферой с N ручками. Итак, даЬ нельзя положить равным 6аЬ для поверхностей с высоким родом (отверстиями). Однако всякая двумерная метрика конформно эквивалентна метрике с постоянной кривизной. Конформным преобразованием всегда можно сделать кривизну постоянной. Поэтому пространство метрик, по которому мы хотим интегрировать, это пространство метрик с постоянной кривизной, Разбитое на классы с помощью диффеоморфизмов поверхности М. Пространство модулей есть пространство метрик с постоянной кривизной, в котором устранен повторный учет, порождаемый репараметри- зационной инвариантностью:

(5.7.11)(5.7.11)Пространство модулей = J^—;.

(5.7.11)

(5.7.11)

Diff (М)

^ДНако, как было показано при обсуждении однопетлевых диаграмм Разд. 5.5$ на самом деле существуют два класса репараметризаций: те, торые можно связать с тождественным преобразованием, и те, кото- ?®не могут быть с ним связаны. В предыдущем тождестве разбиение ^^ествлялось посредством множества всех диффеоморфизмов поверх- Но мы также могли осуществить его посредством лишь таких Ффеоморфизмов, которые связаны с тождественным преобразова- назовем его Diff0 (М). Полученное пространство называется прост-

ранством Тейхмюллера:

Пространство Тейхмюллера =Пространство Тейхмюллера =^constDiffo(M)'^constDiffo(M)'(5.7.12)(5.7.12)

Пространство Тейхмюллера =

Пространство Тейхмюллера =

^const

Diffo(M)'

^const

Diffo(M)'

(5.7.12)

(5.7.12)

Связь между пространством модулей и пространством Тейхмюллера разумеется, должна быть очень тесной. В самом деле, фактически они эквивалентны с точностью до действия некоторой дискретной группы называемой группой классов отображений (MCG):’

„Пространство Тейхмюллера

Пространство модулей =-—-*(5.7.13)

Таким образом,

MCG =MCG =Diff(M)Diffo(M)'Diff(M)Diffo(M)'(5.7.14)(5.7.14)

MCG =

MCG =

Diff(M)

Diffo(M)'

Diff(M)

Diffo(M)'

(5.7.14)

(5.7.14)

Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его a-цикла. Один из коН^ тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с ДрУ0^ концом. Заметим, что исходный 6-цикл теперь становится суммой а- и 6-Цй* Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформир°ва обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена пор0Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его a-цикла. Один из коН^ тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с ДрУ0^ концом. Заметим, что исходный 6-цикл теперь становится суммой а- и 6-Цй* Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформир°ва обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена пор0

Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его a-цикла. Один из коН^ тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с ДрУ0^ концом. Заметим, что исходный 6-цикл теперь становится суммой а- и 6-Цй* Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформир°ва обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена пор0

Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его a-цикла. Один из коН^ тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с ДрУ0^ концом. Заметим, что исходный 6-цикл теперь становится суммой а- и 6-Цй* Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформир°ва обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена пор0

Другими словами, пространство Тейхмюллера отличается от пространства модулей только глобальными диффеоморфизмами, которые не могут быть связаны с тождественным преобразованием. К примеру, представьте себе, что тор разрезан, как на рис. 5.13, один край разреза повернут на 2л и края разреза снова соединены. Эта операция называется твистом Дена. Обратите внимание, что такое преобразование порождает диффеоморфизм, который не может быть непрерывными преобразованиями переведен в тождественное преобразование. Это глобальный диффеоморфизм. Поэтому пространство Тейхмюллера «больше» пространства модулей, поскольку необходимо разбить его на блоки, отвечающие глобальным диффеоморфизмам, чтобы получить пространство модулей. Размерности обоих этих пространств

дает группу классов отображений.

дуотся формулойдуотся формулойjjm Teich = dim Moduli =jjm Teich = dim Moduli =' 0,if N = 0,< 2,ifN = 1,6N - 6, if N > 2.' 0,if N = 0,< 2,ifN = 1,6N - 6, if N > 2.(5.7.15)(5.7.15)

дуотся формулой

дуотся формулой

jjm Teich = dim Moduli =

jjm Teich = dim Moduli =

' 0,if N = 0,

< 2,ifN = 1,

6N - 6, if N > 2.

' 0,if N = 0,

< 2,ifN = 1,

6N - 6, if N > 2.

(5.7.15)

(5.7.15)

^o, конечно, в точности совпадает с числом параметров, необходимых дШ описания сферы с N отверстиями. Тем самым такое описание дает в60бходимые параметры для параметризации N-петлевой диаграммы. (Заметим, что модулярная группа и группа классов отображений сов- цадают, и мы будем использовать оба термина в одном и том же смысле.)

На практике объемный фактор, порождаемый группой классов отображений, можно устранить тривиально, так что для наших целей мы можем считать пространство Тейхмюллера и пространство модулей по существу совпадающими.

Пока что обсуждение касалось лишь общих вопросов. Чтобы действительно извлечь эти дополнительные параметры, необходимые для описания отверстий в римановой поверхности, нужно использовать теорию пространств Тейхмюллера.

Некоторые необходимые для этого вычисления довольно сложны, так что мы должны всегда помнить о нашей конечной цели: выразить функциональную меру Dgeb через параметры DvaD& и 3N — 3 параметров Тейхмюллера Dtt. Итак, наша цель-найти соотношение

Dgab = ixDVaDoDti.(5.7.16)

Тогда, просто разделив на Ddq и Иу, мы успешно устраним бесконечную избыточность, связанную с репараметризационной и масштабной инвариантностью.

Перепишем теперь вариацию метрического тензора (5.7.6) в более Удобной форме, выражающей тот факт, что даЬ зависит также от ц, т. е. от параметров Тейхмюллера. Используя правило дифференцирования сложной функции, можно формально представить зависимость метри- леского тензора от параметров Тейхмюллера с помощью 5^8/8f:

^ = [Ve5y„ + V65^ - (V^!/)^] + Ф>Чд-ь + 280^ + 5РТ\

где Т=^_(сЛед).(5.7.17)

^^' МЫ в явном виде выписали вариацию метрического тензора как 3N — 3 параметров (параметров Тейхмюллера), которые метят ’ вязанные с N петлями. Заметим, что мы вычли след в скобках и что ц_ °” стадии вычислений нам нет необходимости задавать, как именно зависит от разных ц.

вариацию можно переписать в виде

^ = pv ^ab + 25о^ь + St15^»,(5.7.18)

“'787

где

Л Wab = vo5rb + Vb3ra - 9abVcbvc.(5.7.19)

Оператор Pt играет ключевую роль в теории пространств Тейхмюллера Заметим, что он является эллиптическим оператором, отображаюцщ^ векторы в бесследовые симметричные тензоры. Пусть kerPt представ, ляет ядро этого оператора, т. е. множество векторов, которые отобра. жаются в нуль оператором Pt; ker PY называют множеством «конфор^. ных векторов Киллинга». Для поверхностей, имеющих род N, размер, ность ядра оператора определяется следующим образом:

dim ker PY = 6 для рода О,

dim ker PY = 2 для рода 1,(5.7.20)

dim ker Pt = О для более высокого рода.

Мы также определим оператор, сопряженный Рх, и назовем его Р\. Чтобы это сделать, нам, конечно, нужно сначала определить скалярное произведение. Определим

(5.7.21)(5.7.22)(5.7.21)(5.7.22)II 85а» II2 = ^d2zx/gg°cgM6gab6gCd, II 8ия ||2 = ^d2zx/ggob6va5vb.

(5.7.21)

(5.7.22)

(5.7.21)

(5.7.22)

Это позволяет определить сопряженный оператор Р\ с помощью определения <^а\РЬ^ = <Р^а\ЬУ

Р1(8^)о= -2Vb^ab.(5.7.23)

Рассмотрим теперь пространство ker Р\, т. е. пространство векторов, обращаемых в нуль действием оператора Р\. Переписав все через переменные z и z, видим, что элементы пространства ker Р\ удовлетворяют уравнению

^bgzz = 8Мг = 0.(5.7.24)

Базисом ядра оператора Р\ служат векторы, называемые квадратичными дифференциалами. К счастью, размерности пространств кваДр3' тичных дифференциалов для римановых поверхностей известны:

dim ker Р\ = 0 для рода О,

dim ker Р\ = 2 для рода 1,(5.7-2®

dim ker Р\ = 6N — 6 для рода N.

Таким образом, число параметров, описывающих ядро оператора равно числу параметров Тейхмюллера, необходимых для оПйСа^ поверхности с N ручками или петлями. Символически мы можем тей0^ описать, как разбить меру интегрирования на части, из которых

(5.7.26)(5.7.26)^тоит, записав

(5.7.26)

(5.7.26)

(5^.»} = {8п}ф {Pt 8и„} ф {кег Р{}.

Это уравнение имеет довольно простой смысл. Оно означает, что ^являющие метрического тензора доЬ могут быть разбиты на три ^^ги; а именно на часть, отвечающую растяжению, на бесследовую qgctb и на скрытые параметры Тейхмюллера. Оно также означает, что ^ почти достигли нашей цели, сформулированной в (5.7.16), но здесь деются некоторые осложняющие тонкости.

Проведем явным образом замену переменных и вычислим якобиан иого преобразования. Сначала предположим, что нам не нужно беспо- ко!ггься о параметрах Тейхмюллера. Затем перейдем от переменных )^(т.е. бесследовой части метрического тензора) и т (т.е. следа даЬ) к переменным 6иа и и:

Dg.t = detDg.t = det5(0)5 (а, и)5(0)5 (а, и)DcDva,DcDva,(5.7.27)(5.7.27)

Dg.t = det

Dg.t = det

5(0)

5 (а, и)

5(0)

5 (а, и)

DcDva,

DcDva,

(5.7.27)

(5.7.27)

где

(5.7.28)(5.7.28)det ТТ^Д =det ad = det Pi = [detPiPj]1'2, Ld(n, v)J LO Pt J

(5.7.28)

(5.7.28)

причем значение X произвольно, поскольку оно не входит в детерминант.

Заметим, что квадратный корень из детерминанта матрицы PY Р\ - это как раз детерминант Фаддеева-Попова для конформной калибровки и он может быть выражен через духи BRST. Итак, мы можем записать детерминант Фаддеева-Попова, впервые вычисленный в (2.4.3), как

det1/2 Pv р\ = ДРР = ^Db Dee -^.(5.7.29)

Следующий шаг-вычисление множителя Якоби, отражающего тот что мера на самом деле зависит от параметров Тейхмюллера Ц. Проблема состоит в том, что параметры Тейхмюллера не ортогональны riwe, так что якобиан будет содержать внедиагональные члены, которые ®УЖно вынести за знак определителя.

Начнем обсуждение с введения набора 3N — 3 комплексных полей \|/°, ^орые будут ортогональным базисом пространства Р\. Теперь раз- на составляющие множитель [22, 23]

8двЬ

Г«^~-(след),(5.7.30)

следующее тождество:

l-^—^1) T + Pv—^— Р'Т‘.(5.7.31)

P\PY / P\PV

Важно отметить, что здесь мы пока ничего не изменили, а толь» добавили и вычли один и тот же член. Однако введенный нами чле° содержит оператор Pv, действующий на другое состояние. Поэтов приведенное выше тождество полезно, поскольку оно позволяет выд^ лить ту часть Т\ которая совпадает по направлению с Pt:

(5-7.32)(5.7.33)(5-7.32)(5.7.33)Т = ^°^\ Т) + Р1У!. Здесь

(5-7.32)

(5.7.33)

(5-7.32)

(5.7.33)

«i = Р\ Т, Р\ Р,

(у", Г) = f d4jggbc gbe Т‘м у°е. (5.7.34) Как и ожидалось, Т имеет составляющую, направленную вдоль Рь которую необходимо учитывать при выписывании якобиана. Обратно подставим это выражение в меру для &даь*

II ^9ab ||2 = ИМ + (Г, х|/")(^ xVbF4V\ T^ot^tj + ИЛМ2- (5.7.35)

Это, наконец, дает якобиан, включающий вклад от параметров Тейхмюллера. Мы также явным образом учли тот факт, что Т исходно содержал составляющую, лежащую вдоль Рх:

(5.7.36)(5.7.36)Dgab - tifoD^ZMet1'2^! Л) deti/2^

(5.7.36)

(5.7.36)

Это в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:J DXe s Dgab Qdih ^weii = f^a ^Diff ^8^ winЭто в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:J DXe s Dgab Qdih ^weii = f^a ^Diff ^8^ winх Dt, det1/2 (Pt Pi)х Dt, det1/2 (Pt Pi)/ 2лх I/ 2лх Idet'(-V2det'(-V2det (у°, Г)det1/2(\|/°,\ -1/2det (у°, Г)det1/2(\|/°,\ -1/2(5.7.37)(5.7.37)

Это в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:

J DXe s Dgab Qdih ^weii = f^a ^Diff ^8^ win

Это в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:

J DXe s Dgab Qdih ^weii = f^a ^Diff ^8^ win

х Dt, det1/2 (Pt Pi)

х Dt, det1/2 (Pt Pi)

/ 2л

х I

/ 2л

х I

det'(-V2

det'(-V2

det (у°, Г)det1/2(\|/°,\ -1/2

det (у°, Г)det1/2(\|/°,\ -1/2

(5.7.37)

(5.7.37)

Мы, наконец, добились нашей цели (5.7.16), если оставить в стороне вопрос об аномалиях, которые могут нарушить масштабную инвариантность.

Хотя приведенные выше рассуждения могут показаться длинным11 и сложными, окончательный результат весьма прост. Он показывай что мера интегрирования, включающая детерминант Фаддеева - ПоН° для духов, может быть полностью выражена через детерминант» оператора Pt и сопряженного ему оператора. Эта мера состоит из тр^ частей: первая из них-это множитель Фаддеева-Попова, котор записан как квадратный корень из детерминанта произведения ^iг^ вторая часть-это множитель, содержащий Т и возникающий из- того, что модулярные параметры tt не ортогональны базисным вектор \|/°, образующим ортогональный базис пространства ker Р\; ТР

^-детерминант оператора Лапласа, который, как можно показать, j^e может быть записан через оператор Pt.

Однако пока не удается устранить интегрирование по скалярному параметру а в (5.7.37). К сожалению, этот скалярный параметр содержится в разных частях выражения для меры. Фактически мы убедимся, ^ в общем случае масштабный фактор вовсе невозможно устранить из компонентов меры, что нарушает конформную инвариантность. В следующем разделе мы покажем, что масштабной инвариантности предшествует некая аномалия, называемая конформной аномалией, и она дожег быть устранена только в том случае, когда размерность пространства- времени равна 26. Этот факт фиксирует размерность пространства- времени.

Попутно мы покажем, как записать все детерминанты через один лишь оператор Pt.

КОНФОРМНАЯ АНОМАЛИЯ

(5.8.1)(5.8.1)Заметим, что мы можем избавиться от интегрирования по объему группы репараметризаций, поскольку

(5.8.1)

(5.8.1)

Ooiff f Dva — 1.

Затем мы хотим устранить член, связанный с вейлевским изменением масштаба:

(5.8.2)(5.8.2)Qweilf Da = 1.

(5.8.2)

(5.8.2)

Однако интегрирование по масштабному параметру и существенно сложнее, поскольку члены, содержащие а, присутствуют и в других компонентах меры. Поэтому нам необходимо очень тщательно извлечь все зависящие от и члены из каждого из оставшихся компонентов, прежде чем мы сможем устранить член, связанный с вейлевским изменением масштаба. Окажется, что вейлевский фактор также можно будет извлечь из компонентов меры, но лишь в том случае, когда размерность Пространства- времени равна 26! Вычисление конформной аномалии Довольно сложно, так что мы лишь наметим основные вехи этого вычисления.

Сначала заметим, что член (Т,\уа) уже обладает вейлевской инва- РИинтностью. В самом деле, осуществив масштабное преобразование по Формулам

(5.8.3)(5.8.3)^ = е°деЬ,

(5.8.3)

(5.8.3)

что в силу определения (Т, vp") этот член таким преобра- !^®BeM не меняется. (Переменная \р не изменяется под действием рТабного преобразования Вейля.) следовательно, единственный член, который должен нас беспокоить,

этоэто

это

это

(5-8.4)(5-8.4)det' ft Pv 1/2 ( det'( —V2)) ~1/2 det«, у6) t ^z^g J

(5-8.4)

(5-8.4)

(Штрих по-прежнему означает, что мы извлекли из этого выражения нулевую моду детерминанта.)

К счастью, извлечение вейлевского масштабного параметра можно выполнить одновременно для обоих членов, если воспользоваться неко. торыми фактами теории римановых поверхностей. Для этого нужно переписать PY, р| и V2 таким образом, чтобы все три этих оператора были выражены через один и тот же дифференциальный оператор.

Пусть

Т&;.(5.8.5)

представляет произвольный тензор, заданный на двумерной римановой поверхности. Конечно, мы всегда можем переписать этот тензор через комплексные переменные z и z. Обозначим через Кп множество всех тензоров Т, которые в этих переменных преобразуются определенным образом, а именно

(5.8.6)

(5.8.7)(5.8.7)(см., например, (2.7.6) и (4.1.7)). Ясно, что оператор

(5.8.7)

(5.8.7)

отображает тензор Т в другой тензор. Более точно, он отображает К* в К*"1:

(VI:К»"1).(5.8.8)

Возможно также определить оператор, действующий в обратном направлении. Оператор

VzqT=gzz8zT(58-9)

отображает Kq в К9+1:

V^K^K»*1.(5.8-1°)

Теперь определим операторы

р = fv« 0 )(5.81^

q \о v;q)

И

,. = М;*‘0 ((5-8.1»

Используя-Р\Р1Используя-Р\Р1эти обозначения, можно показать, что

Используя

-Р\Р1

Используя

-Р\Р1

(5.8.13)(5.8.14)(5.8.13)(5.8.14)_/Vz2Vzi О \

(5.8.13)

(5.8.14)

(5.8.13)

(5.8.14)

\ 0 VtjV;1/'

Тахим образом,

det Р\ Р, = det (У 2 V1) det (Vz_2 Vz"1) = det A t det Д 2 t.

Поскольку лапласиан с индексом «+ » комплексно сопряжен лапласиану с индексом « — », то

det1/2 ^1 Л = det Ai .(5.8.15)

(5.8.16)(5.8.16)Наконец, мы можем определить также Ao+=V1VZ°.

(5.8.16)

(5.8.16)

Вооружась этими определениями, мы теперь выразим детерминант виде

rdetPl^ 11/2Tdet'( —У2)? “<1/2)ОrdetPl^ 11/2Tdet'( —У2)? “<1/2)О_det(y“, у6)._det(y“, у6).- H2°Vg -- H2°Vg -det Д tdet1/2 (xp", у6)det Д tdet1/2 (xp", у6)(det До )-<1/2,D.(det До )-<1/2,D.(5.8.17)(5.8.17)

rdetPl^ 11/2Tdet'( —У2)? “<1/2)О

rdetPl^ 11/2Tdet'( —У2)? “<1/2)О

_det(y“, у6).

_det(y“, у6).

- H2°Vg -

- H2°Vg -

det Д tdet1/2 (xp", у6)

det Д tdet1/2 (xp", у6)

(det До )-<1/2,D.

(det До )-<1/2,D.

(5.8.17)

(5.8.17)

Другими словами, обе части якобиана, которые на первый взгляд несхожи, представлены теперь одним и тем же оператором ^, , где q = 1 и q = 0. Осталось вычислить вариацию предыдущего выражения при вейлевском изменении масштаба. Удобно записать соответствующее выражение через тепловое ядро детерминанта:

(5.8.18)(5.8.18)00 dt log det Я = — J —Tr'e~'H. е t

(5.8.18)

(5.8.18)

Здесь е-малое число. С помощью этого уравнения мы можем выразить вариацию детерминанта, связанную с вейлевским изменением масштаба. Соответствующее вычисление довольно сложно, так что мы просто приведем окончательный результат [22-24]:

Здесь Я-свернутый двумерный тензор кривизны. Итак, нам нужно ^числить этот фактор при q = 1 и при q = 0. Окончательный результат ^ДТся формулой

SlogSlogdet1/2 P\PV_ det1/2 (v", У*)det1/2 P\PV_ det1/2 (v", У*)det'(-y2) ■ \Дгг^9det'(-y2) ■ \Дгг^9-<1/2)D Л-<1/2)D Л13- -DJ d2 z .Jg Roa.13- -DJ d2 z .Jg Roa.12л12л(5.8.20)(5.8.20)

Slog

Slog

det1/2 P\PV

_ det1/2 (v", У*)

det1/2 P\PV

_ det1/2 (v", У*)

det'(-y2) ■ \Дгг^9

det'(-y2) ■ \Дгг^9

-<1/2)D Л

-<1/2)D Л

13- -D

J d2 z .Jg Roa.

13- -D

J d2 z .Jg Roa.

12л

12л

(5.8.20)

(5.8.20)

Заметим, что при D = 26 конформная аномалия исчезает. Итак, ^ показали, что

D — 2610 Weyi J Dor — 1.D — 2610 Weyi J Dor — 1.Итак, наш окончательный результат для функционала естьИтак, наш окончательный результат для функционала естьdet (у°, Г) det1/2 (\|/°, \|/ь)det (у°, Г) det1/2 (\|/°, \|/ь)det V2 Р\ Р2det V2 Р\ Р2det^-V^Af <Z2^ v^det^-V^Af <Z2^ v^-13-13(5.8.21)(5.8.22)(5.8.21)(5.8.22)

D — 2610 Weyi J Dor — 1.

D — 2610 Weyi J Dor — 1.

Итак, наш окончательный результат для функционала есть

Итак, наш окончательный результат для функционала есть

det (у°, Г) det1/2 (\|/°, \|/ь)

det (у°, Г) det1/2 (\|/°, \|/ь)

det V2 Р\ Р2

det V2 Р\ Р2

det^-V^Af <Z2^ v^

det^-V^Af <Z2^ v^

-13

-13

(5.8.21)

(5.8.22)

(5.8.21)

(5.8.22)

где все члены вычислены с использованием метрики gQb, в которой параметр а был полностью устранен. Итак, наша цель получить (5.7.16) теперь достигнута, по крайней мере в 26-мерном пространстве - времени.

Теперь, когда мы разработали этот мощный формализм, удобно свести этот случай к проблеме однопетлевой амплитуды и снова вывести наш ранее полученный результат (5.3.12) в свете новых возможностей для римановых поверхностей [25].

Для однопетлевой диаграммы интересующая нас область есть поверхность тора. Метрика плоской поверхности gab соответствует решетке в комплексной плоскости

(5.8.23)(5.8.23)cot Z -h co2Z.

(5.8.23)

(5.8.23)

Здесь Z-произвольное целое число. Таким образом, интересующая нас область полностью определяется отношением

Т = С02/®1Т = С02/®1(5.8.24)

Т = С02/®1

Т = С02/®1

и тем фактом, что фундаментальная область нормируется так, чтобы ее площадь равнялась единице. Тогда группа классов отображений есть просто SL (2, Z), а фундаментальную область, как и прежде, можно взять следующей (т = Tt 4- /т2):

12121212(5.8.25)(5.8.25)

1

2

1

2

1

2

1

2

(5.8.25)

(5.8.25)

(5.8.26)(5.8.26)(5.8.27)(5.8.27)гдеdet'Д = егдеdet'Д = е^W\ П (1 -е2”^)!4.п = 1^W\ П (1 -е2”^)!4.п = 1(5.8.28)(5.8.28)

(5.8.26)

(5.8.26)

(5.8.27)

(5.8.27)

где

det'Д = е

где

det'Д = е

^W\ П (1 -е2”^)!4.п = 1

^W\ П (1 -е2”^)!4.п = 1

(5.8.28)

(5.8.28)

Меру

/ 2к\ ^

(det'1/2 Р\ Рг) I= det' До ) J^V#/

можно еще более упростить. Например, (5.8.26) равно

^(det'A) 12(27tT2*) 13,

Инвариантная мера, как и прежде, может быть записана в виде

dtt = </2т/тГ(5-8-29)

Собирая все вместе, получаем в итоге

(5.8.30)(5.8.30)Г ^^(2лт2)-12е4^ П (1 - е2™1)

(5.8.30)

(5.8.30)

Z = IТ2П=1

Фундаментальнаяобласть

,ак в (5.5.4).

СУПЕРСТРУНЫ

К счастью, обобщение многопетлевых амплитуд на случай суперструн проводится довольно очевидным способом, за исключением осложнений, связанных с определением спиноров на римановых поверхностях рода д.

Рассмотрим тор, параметризованный двумя переменными с^, п2 и построенный отождествлением противоположных сторон параллелограмма. Струна X, определенная на параллелограмме, должна удовлетворять следующим условиям периодичности:

Х^, ai) = X(nt + 2л, п2) = ХХ^, сг2 + 2л). (5.9.1)

Однако задание спиноров на этой поверхности увеличивает число возможных вариантов. Спинор может быть либо периодическим ( + ) и удовлетворяющим условиям Рамона, либо антипериодическим (—), удовлетворяющим условиям Навье-Шварца, причем по любой из переменных, как 0^, так и п2. (До сих пор мы рассматривали только граничные условия по одному направлению в (3.2.16), а именно по и, но не по т.) Тем самым полное число различных комбинаций граничных условий равно четырем. Возможные варианты определения спинора на торе соответствуют комбинациям (±, +). Будем говорить, что эти четыре возможных выбора граничных условий для тора определяют его спиновую структуру.

Кроме того, нам известно, что модулярные преобразования перемешивают граничные условия, а следовательно и спиновые структуры, 188 что все четыре комбинации будут давать вклад в окончательную амплитуду. Например, преобразование

- (°1.о2)^(СТ1 + п2, с2) (5.9.2)

^Вяет (—, —) На ( + , —). Подобным образом преобразование

(°1,»2)^(ст2, -G,),(5.9.3)

^*еНяет (+, —) на (—, +) и наоборот. Тем самым модулярная ^^Риантность, переставляющая граничные условия, заставляет включу* и амплитуду комбинации ( + , —),( — , + ) и ( —, —); комбинация > +) инвариантна сама по себе.

вычислить вклад каждой спиновой структуры в однопетлевую ^^ТУДУ, найдем след гамильтониана по всем четырем возможным

комбинациям. Гамильтонианы для секторов NS и R суть

00. 1

(5-9.4)(5-9.5)(5-9.4)(5-9.5)Hns= £,

(5-9.4)

(5-9.5)

(5-9.4)

(5-9.5)

r=l/2

001

HR= £ »Y-„vi + —.

(Здесь 1/24 возникает из-за регуляризации дзета-функции; см. гл. Ц) Эти гамильтонианы принадлежат секторам NS и R в зависимости от их периодичности по направлению и. Однако, когда мы вычисляем след по этим гамильтонианам, мы вставляем полный набор промежуточных состояний по направлению т. Континуальный интеграл по т выбирает лишь антипериодические граничные условия, поэтому он неполон. Не* обходимо видоизменить эту сумму, чтобы включить все возможные спиновые структуры, что достигается включением фактора (—1)F, где F-фермионное число. Окончательная амплитуда представляет собой сумму амплитуд Л(±, ±), определенных для всех четырех следов и умноженных на некоторые коэффициенты С;

Л(т) = ^С(±, ±) Л(±, ±).(5.9.6)

±

В явном виде каждый из следов записывается следующим образом:

А (-, -) = Tre2™"- = [03(О|г)/п(т)]4,

А (+, -) = Тг е2™"' = [02 (01 т)/Л (т)] 4,(5.9.7)

А (-, +) = Tr(e2№(- 1)F) = [04(О|г)/Л(т)]4,

А ( + , +) = Tr(e2’',T""(-l)F) = 0.

Здесь т| - эта-функция Дедекинда:

т] (т) = е^/п п (1 _ e2«i«}(5.9.8)

Заметим, что последний след обращается в нуль. (Все три первые тэта-функции 02,зл четны по переменной z, тогда как 0t нечетна. Поэтому только четные спиновые структуры сохраняются в следе.)

Последствия этого таковы. В NS-сектор, например, мы включили как сектор ( —, +), так и сектор ( —, —), так что приходится включать их вклады в след:

Tr((l + (-1Гк2™я). (5-9-9>

Но это как раз и есть GSO-проекция [26], которая проектирует в нуль состояния, четные относительно (—1)F! Итак, мы получили новую» физическую интерпретацию оператора GSO-проекции, который был введен в (3.6.12) для устранения несуперсимметричных секторов теории NS - R. Удивительно, что модулярная инвариантность, суперсимметри* и GSO-проекция столь тесно связаны.

Когда мы вычисляем вакуумную амплитуду, у которой нет внешних ^дй& (она входит в вычисления космологической постоянной), необходимо сложить все четыре вклада спиновых структур. Но у нас есть ^ечательный результат Якоби:

е!(01т) + 0£(О|т) - 0з(О|т) = 0. (5.9.10)

^о означает, что вакуумная энергия суперструны, т. е. однопетлевая поправка к космологической постоянной, в точности равна нулю!

Подводя итоги, мы доказали, что модулярная инвариантность и операция GSO-проектирования по существу совпадают для замкнутой суперструны. Модулярная инвариантность, перемешивающая граничные условия, требует, чтобы мы добавили к окончательной амплитуде ахлады всех спиновых структур, что в свою очередь соответствует добавлению как раз отвечающих GSO вставок оператора ( — 1)F в след. Первоначально GSO-проекция была наложена на суперструну NS-R с целью получить суперсимметрию. Теперь мы знаем, что GSO-проекция также налагает условие модулярной инвариантности [27].

В качестве приза мы обнаружили, что однопетлевой вклад в космологический член в точности равен нулю. (Однако это не означает, что теория суперструн решает проблему обращения в нуль космологической постоянной. После нарушения суперсимметрии мы не можем больше ожидать, что вклад вакуума равен нулю, и следовательно, теория суперструн не объясняет, почему космологическая постоянная равна нулю после нарушения суперсимметрии.)

Эти утверждения укрепляют наше убеждение в том, что внутренняя самосогласованность теории суперструн весьма замечательна.

Теперь обобщим наши наблюдения для построения многопетлевых амплитуд с внешними линиями.

К счастью, математический аппарат, разработанный для римановых поверхностей, весьма просто переносится на случай суперструн, если воспользоваться формализмом модели NS-R.

Обобщая (5.7.2), корреляционные функции можно вычислить из [28]:

2а Е £ f Dgab f DXM^D4>^Dxoe-s. (5.9.11)

топологии спиновые метрика вложения структуры

Новым здесь будет интегрирование по двум антикоммутирующим Акторным полям у и х, а также суммирование по всем спиновым ^Уктурам.

^Ранее в (3.4.5) было показано, что в формализме NS-R действие инвариантно относительно преобразования

8Xa = Dae.(5.9.12)

^Перь по аналогии с бозонной струной построим два оператора 1/2 и ^1/2, такие что

(5.9.13)(5.9.13)(Л/2б)а = 10а8 - рар0/)р8.

(5.9.13)

(5.9.13)

В дополнение к интегрированию по модулям теперь нам придетс интегрировать по супермодулям, которые определяются как простра^ ство бесследовых Ха, таких что их невозможно устранить локальным суперсимметричным калибровочным преобразованием. Поэтому 0Нй удовлетворяют уравнениям

Р1/2Х=-2Dax“ = 0.(5.9.14)

Для поверхности рода N размерность пространства супермодулей равна размерности пространства Р1/2:

О при N = О,

dim ker Pl/2:dim ker Pl/2:2при N = 1 (периодические дважды),

dim ker Pl/2:

dim ker Pl/2:

Опри N = 1 (прочие),(5.9.15)

4N — 4 при п > 2.

(Здесь «периодические дважды» означает граничные условия NS-R-no- ля.) Мы хотим построить якобиан для

DgQbDXa.(5.9.16)

Для фермионного поля этот якобиан вычисляется, как и прежде:

4N-4

0^ = (tetP\l2Pll2)-ll2e~("ms{^ П da.-(5.9.17)

1 = 1

Здесь я,-супермодули, и они соответствуют параметрам Тейхмюллера, а интегрирование по фермионным параметрам X и £ представляет интегрирование по избыточности, вносимой суперсимметрией и суперпреобразованиями Вейля. Определим

s = ^$d2zТд^д°Ь6«с5ьс - ^iXiaDaX

+ р,2(ест — 1) + 2"3/2рХХ^(1/2)ст +(5.9.18)

2 у /

где R- тензор кривизны. Собирая все вместе, получаем

Dgob DXa = (det ^2 Р\ Р.)(det" ^2 Л/2 Р1/2)

4N-46N-6

х e ^DoD^DXDC, И Dai П DtJ-(5-9Л9)

1=1j=l

Разделив на Da, Dva, DX и DC,, извлекаем бесконечную избыточность, вносимую суперсимметрией действия суперструны. На практике, однако, параметризация модулей, в особенности при числе петель выше трех» весьма трудна. Природа супермодулей, к сожалению, изучена еще ху#6* Это два главных препятствия для четкого понимания многопетлевЫХ амплитуд, т. е. для выбора координат на римановой поверхности рода 9» совместимого с модулярной и супермодулярной инвариантностью.

ДЕТЕРМИНАНТЫ И СИНГУЛЯРНОСТИ

Преимущество метода римановой поверхности состоит в том, что по „тайней мере формально возможно получить результаты об общей 5-пуктуре сингулярностей TV-пет левой амплитуды. Оказывается, что детерминант, содержащий эти сингулярности, есть дзета-функция Зельберга.

Выше мы видели, что проективные преобразования естественным образом разбиваются на классы сопряженных элементов. Два проектив- дух преобразования считаются относящимися к одному и тому же сопряженному классу, если у них один и тот же множитель. Так, любые два элемента одного сопряженного класса могут быть приведены проективным преобразованием к виду

z-^elz.z-^elz.(5.10.1)

z-^elz.

z-^elz.

k-z'|22Imz Imz' *k-z'|22Imz Imz' *d^ z') = 1 +d^ z') = 1 +(5.10.2)(5.10.2)Величину / иногда называют «длиной» замкнутой геодезической. Пусть П z' суть две точки комплексной плоскости. Тогда мы определим «расстояние» между этими двумя точками формулой

k-z'|22Imz Imz' *

k-z'|22Imz Imz' *

d^ z') = 1 +

d^ z') = 1 +

(5.10.2)

(5.10.2)

Преимущество этого определения «расстояния» в том, что оно одинаково для всех элементов одного смежного класса.

Мы видели на примере однопетлевой амплитуды, что умножение на множитель w перемещает точку по 6-циклу. Топологически это просто означает обход по замкнутой геодезической на римановой поверхности. Итак, / есть длина простой замкнутой геодезической на этой поверхности. Мы будем называть преобразование примитивным, если оно не является степенью (большей или равной 2) какого-либо другого элемента из множества проективных преобразований. Итак, нас интересует множество примитивных геодезических. Определим дзета-функцию Зельберга как в [23]:

Zv(s)= П П[1-v(Y)e-<s+p)'].(5.10.3)

I примитивное р = О

Здесь берутся произведения по длинам замкнутых примитивных геодезических у на поверхности, v (у) = 1 для бозонов и v (у) = ± 1 для фермионов, в зависимости от спиновой структуры.

Примечательно, что мы можем выписать различные детерминанты, найденные ранее при вычислениях многопетлевых амплитуд, с помощью Дзета-функции Зельберга [28]:

det'Ao = Z^Oe"'0^^,

detA^ Z1(2)e"C1X(M).(5.10.4)

^Мионные детерминанты также можно выразить следующим обра-

(detP{/2P1/2)y2 = e-^^Zv(3/2),

p-c-x^xW /i\

(51О51

Здесь x~ число Эйлера (р есть число нулевых мод для yaDa). Числовая постоянная с определяется по формуле

^п=£(2|«1 - 2m - 1) log(2|n| - т)

0<т<|и|- 1/2

у”' + 2/ + (и _ И)2 + ^ + 2/log2iu + 2^^-1*'(5-

Тем самым, исследуя структуру некой функции, мы получили структуру сингулярностей N-петлевой амплитуды!

Математикам известно, что дзета-функция Зельберга хорошо себя ведет, пока риманова поверхность не вырождается топологически. Например, мы обнаруживаем расходимость, при которой длина примитивной геодезической стремится к нулю. Это соответствует бесконечному растяжению «шейки» одной из ручек сферы. Тщательно исследуя поведение дзета-функции Зельберга при стремлении к нулю одной из длин примитивных геодезических, находим

del1'2?!?,(5.10.7)

т. е. полюс, соответствующий испусканию тахиона в вакуум.

Возможность выделить сингулярности многопетлевой амплитуды с помощью известной математической функции, а именно дзета-функции Зельберга, это крупный шаг вперед в разрешении главной проблемы, стоящей перед струнной теорией возмущений,-строгим доказательством конечности этой теории во всех порядках. Формально можно показать, что расходимости многопетлевой амплитуды могут возникнуть в том случае, когда интегрирование по пространству модулей меняет топологию римановой поверхности, скажем, когда два отверстия отделяются и образуют длинную «гусиную шею». Однако имеется много тонкостей, связанных с сокращением этих расходимостей и не вполне пока решенных. Хотя предварительные результаты обнадеживают, строгое доказательство сокращения расходимостей остается нерешенной проблемой.

ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ И ГРАССМАНИАНЫ

Хотя в прояснении математической структуры многопетлевых амплитуд был достигнут огромный прогрес, в некотором смысле ощутимые результаты разочаровывают. Уже в 1970 г. было известно, что расходимости многопетлевой амплитуды, как показывают прямые вычисления, соответствуют деформациям топологии некой римановой поверх* ности [4, 5]. Сложные математические методы, введенные нами, поХ что не дали ответов на ключевые вопросы: можно ли строго показать

^ теория остается конечной во всех порядках теории возмущений?

да, то как суммировать соответствующие ряды? Как вычленить из ^оЙ теории непертурбативную информацию? Знание того, что расходи- ^ости теории могут быть выражены через дзета-функцию Зельберга [23, 29^32],- это хотя и важный результат, но он все же не решает указанных загадок. В итоге прогресс достигнут скорее в области математики, а не физики.

Начиная с этого места, можно продвигаться в одном из двух ^сходящихся направлений. Можно оставить в покое ряды теории возмущений и непосредственно приступить к построению полевой теории струн, в рамках которой можно было бы получить непертурбативную информацию. Этот традиционный подход, принятый в обычной теории точечных частиц, будет развит в нескольких последующих главах. Другой путь-попробовать найти некоторую симметрию, вроде модулярной инвариантности, которая могла бы позволить оперировать всей суммой по всем римановым поверхностям произвольного рода.

В случае обычных фейнмановских диаграмм для точечных частиц вторая из этих стратегий, по-видимому, невозможна. Симметрий здесь слишком мало, и к тому же фейнмановские диаграммы - это графы, а не многообразия. В случае же теории струн фейнмановские ряды суммируются по многообразиям, а именно по римановым поверхностям, для которых модулярная инвариантность играет ключевую роль. Поэтому допустимо предполагать, что весь ряд теории возмущений может оказаться математически постижимым объектом. Этот подход защищают Фридэн и Шенкер [33], которые предложили изучать свойства «универсального пространства модулей» всех римановых поверхностей, включая поверхности бесконечного рода.

Вплоть до недавнего времени эта программа была слишком амбициозной и сложной, чтобы дать значимые результаты. Однако два Достижения последних лет придали ей дополнительный импульс:

Во-первых, Белявин и Книжник [34] недавно показали, что мера многопетлевой бозонной амплитуды-это просто абсолютное значение некоторой (3g — 3)-формы. Это называется «голоморфной факторизацией». В принципе, она может позволить выписать многопетлевую меру простым рассмотрением полученного выражения! На практике, однако, существуют определенные трудности в задании ' параметризации матрицы периодов при числе петель свыше трех.

Это называется проблемой Шоттки. Голоморфная факторизация сделала вычисления меры для двух- и трехпетлевых амплитуд почти тривиальным, но проблема Шоттки затрудняет выписывание многопетлевой меры.

Во-вторых, в 1984 г. математики наконец решили проблему Шоттки, тем самым главное препятствие для применения голоморфной Факторизации, по-видимому, устранено. Кроме того, решение проблемы Шоттки дает нам даже еще более мощный инструмент. Оно Позволяет описать некое бесконечномерное пространство, названное

грассма-нианом Gr, в котором все римановы поверхности р0 g рассматриваются как отдельные точки [35-37]. Тем самым изуч ние свойств точек грассманиана может позволить манипулировать набором всех диаграмм теории возмущений как одним объектом

(Хотя грассманиан, наконец, обеспечивает концептуальную схему д^ трактовки всего ряда теории возмущений как единого целого, ^ по-прежнему не знаем, как суммировать этот ряд. Например, фазовое пространство сводит множество всех возможных положений и импульсов частицы к набору точек. Так, фазовое пространство, в принципе содержит все возможные движения всех возможных частиц во Вселенной. Однако это говорит все и не говорит ничего. Нам по-прежнему приходится налагать уравнения движения и граничные условия для извлечения любой значимой информации из фазового пространства. То же самое относится и к грассманиану.)

Для выполнения этой грандиозной программы необходимо в полной мере использовать модулярные преобразования римановых поверхностей рода д. Особенно важна группа классов отображений MCG, сводящаяся к модулярной группе SL(2, Z) для тора. Нам нужен способ изучения группы классов отображений для поверхностей произвольного рода. Ключем к нему послужит построение тэта-функций, определенных на римановых поверхностях произвольного рода. Этот подход отличается от метода Шоттки, который рассматривался в разд. 5.6: там модулярная инвариантность не была столь очевидна.

На рис. 5.12 были показаны а- и />-циклы для произвольной замкнутой римановой поверхности, которые мы назвали каноническим гомологическим базисом. Пусть антисимметрический символ (а, Ь) обозначает, пересекаются ли эти циклы или нет. Он равен 0, если они не пересекаются, и равен ± 1 в противном случае. Рассмотрим к примеру тор, у которого есть только один «-цикл и один 6-цикл. Заметим, что (а, Ь) равен 1, поскольку эти циклы пересекаются, но («, а) равен 0. Итак, четыре возможных комбинации для тора образуют следующую матрицу:

0 («,«) = (6,6) = о, п1)

-1 0/1 (a, b) = —(b,a) = 1. ’ '

Элементы группы классов отображений не изменяют эту матрицу пересечений. Однако нам известно, что группа, относительно действия которой эта матрица инвариантна, есть Sp(2, Z). (См. Приложение.) ДлЯ описания элементов группы Sp(2, Z) рассмотрим твист Дена Л» порожденный разрезом поверхности вдоль «-цикла, поворотом разреза на 2л и склеиванием поверхности заново. Под действием твиста Дева 6-цикл превращается в сумму «- и 6-цикла (см. рис. 5.13). Итак,

ПДа) = а, Da^ = a + b. (5-И-3 Представим теперь это на матричном языке. Пусть твист Дена действу^ на вектор-столбец [«, 6]. Тогда твист Дена можно символически пре^

^ить как(х °Y ^"u и’^ить как(х °Y ^"u и’Db =Db =1 ^.0 1/1 ^.0 1/(5.11.3)(5.11.3)диалогично мы можем описать группу классов отображений для

^ить как

(х °Y ^"u и’

^ить как

(х °Y ^"u и’

Db =

Db =

1 ^

.0 1/

1 ^

.0 1/

(5.11.3)

(5.11.3)

в следующемв следующемиредставленыиредставленыDtDt1 о 1 о1 о о о1 о 1 о1 о о оо 1 о оо 1 о оо 1 о1о 1 о1о о1 оо о1 о0 01 о0 01 оо о о1о о о1о о о1о о о10»,=0»,=1 о о о1 о о о1 о о о1 о о оо 1 о оо 1 о оо 1 о оо 1 о о1 о 1 о1 о 1 оо о о1о о о1о о1 оо о1 оо 1 о 1о 1 о 1(5.11.4)(5.11.4)лухпетлевой поверхности, взяв твисты Дена вдоль циклов at, а2, Ьх, Ь2, также вдоль цикла a f1 а2, являющегося окружностью, окружающей оба отверстия. С помощью тех же рассуждений можно показать, что И1ИСТЫ Дена, действующие на вектор-столбец [й^ , Ьх, а2, Ь2 ] могут быть виде [38]:

в следующем

в следующем

иредставлены

иредставлены

Dt

Dt

1 о 1 о

1 о о о

1 о 1 о

1 о о о

о 1 о о

о 1 о о

о 1 о

1

о 1 о

1

о о

1 о

о о

1 о

0 0

1 о

0 0

1 о

о о о

1

о о о

1

о о о

1

о о о

1

0»,=

0»,=

1 о о о

1 о о о

1 о о о

1 о о о

о 1 о о

о 1 о о

о 1 о о

о 1 о о

1 о 1 о

1 о 1 о

о о о

1

о о о

1

о о

1 о

о о

1 о

о 1 о 1

о 1 о 1

(5.11.4)

(5.11.4)

1000

^01 * аг^01 * агО 10 0

^01 * аг

^01 * аг

-1110

1-10 1

(5.11.5)(5.11.5)Теперь рассмотрим замкнутую риманову поверхность произвольного рода. Ее матрица пересечений может быть представлена в виде

(5.11.5)

(5.11.5)

Это не что иное, как блочно-диагональная матрица, каждый блок которой имеет вид (5.1.11). Группа, сохраняющая эту матрицу неизменной, есть Sp(2g, Z). Поэтому можно было бы подумать, что группа J^ocob отображений совпадает с группой Sp(2g, Z). Это не совсем так. Л?ествУЮТ также твисты Дена Dc вокруг циклов, которые гомологией тривиальны и не преобразуют ни а-, ни /^-циклов. Поэтому они ^Детавляются в используемом нами базисе единичной матрицей. Тем Менее эти твисты Дена являются законными глобальными диффео- °Рфизмами, которые должны быть включены в группу классов отобра-

Mcg^ = Sp(2^ Z).Mcg^ = Sp(2^ Z).Эта подгруппа называется группой Торелли Т, и, следовательно, Получаем окончательно желаемый результат:

Mcg

^ = Sp(2^ Z).

Mcg

^ = Sp(2^ Z).

(5.11.6)

(К счастью, действие группы Торелли на спиновые структуры ТОй виально, так что мы опускаем дальнейшее обсуждение этой темы.) *

Далее мы намерены описать матрицу периодов для римановой поверхности и ее преобразования под действием Sp(2g, Z). В дополнение к 2g циклам, которые мы можем найти для римановой поверхности, ьщ можем выписать для нее 2g независимых гармонических 1-форм со. и (см. Приложение). Поскольку число циклов совпадает с числом 1-фор^ (в силу теоремы Ходжа-де Рама), то мы всегда можем нормировать интегрирование по «-циклам таким образом, чтобы

(5.11.7)

В общем случае интегрирование по /^-циклам даст квадратную матрицу размера

1®; = ^и»(5.11.8)

bi

называемую матрицей периодов и обобщающую переменную т, введенную для однопетлевой амплитуды в (5.5.2); она совпадает с матрицей периодов, введенной в (5.6.31) для многопетлевой амплитуды. Весьма просто показывается, что матрица периодов симметрична и имеет положительно определенную мнимую часть. В общем случае (1/2)д(# + + 1) элементов симметричной (у х ^-матрицы (с положительно определенной мнимой частью) порождают пространство, называемое верхней полуплоскостью Зигеля.

Преимущество введения матрицы периодов состоит в том, что две неэквивалентные римановы поверхности могут иметь одну и ту же fy; это называется теоремой Торелли. Поэтому с точностью до преобразований группы Sp(2g, Z) матрица периодов дает удобный способ охарактеризовать различные римановы поверхности. Под действием преобразований группы Sp (2g, Z) матрица периодов преобразуется как

Q' = (ЛИ + Л)(СО + D)~\(5.11.9)

где А, В, С, D суть симплектические (д х д)-матрицы. Итак, две разные матрицы периодов могут описывать одну и ту же риманову поверхность, если они связаны преобразованием из группы Sp(2g, Z).

Теперь, когда мы располагаем математическим описанием группы классов отображений через группу Sp(2g, Z), определенную на твистах Дена, наша следующая задача-выписать функции, определенные па римановой поверхности с д ручками. Выше мы показали, что однопетлевая амплитуда описывается через квазидваждыпериодическую т^ функцию 0. Теперь мы намерены выписать обобщенные тэта-функП^ обладающие определенными свойствами периодичности и заданные

поверхности с д ручками.

Если взять однопетлевую тэта-функцию и потребовать, чтобы обладала этими свойствами периодичности на римановой поверхн^^ с д ручками, мы естественным образом добавляем дополнительна^ набор бесконечных членов к суммированию. В конечном счете эта

Ряс. 5.14. Канонические гомологические циклы римановой поверхности рода 2. Чтобы получить эту фигуру, нужно нарисовать на сфере с двумя ручками или двумя дырками гомологические циклы а и Ь, сделать разрезы по линиям, образующим циклы, а затем развернуть поверхность на плоскость. Преимущество такого базиса состоит в том, что гомологические циклы поверхности произвольного рода можно представить в виде многоугольника.

принимает вид [39, 40]

e(z|Q) = Ie(z|Q) = Iее/яп Q n + 2nzn*z/яп Q n + 2nzn*z(5.11.10)(5.11.10)neZ"neZ"

e(z|Q) = I

e(z|Q) = I

е

е

/яп Q n + 2nzn*z

/яп Q n + 2nzn*z

(5.11.10)

(5.11.10)

neZ"

neZ"

где суммирование по вектору п производится на ^-мерной решетке. Тэта- функция определяется не на плоскости комплексной переменной z, а на векторах z, определенных выражением

Z= f (О,РоZ= f (О,Ро(5.11.11)

Z= f (О,

Ро

Z= f (О,

Ро

где/>о-произвольная точка нашей поверхности. Поскольку у о имеется 9 компонент со,, то z также является вектором с g компонентами^.

Тэта-функции со спиновыми структурами тоже могут быть построе- В случае тора мы убедились, что в результате параллельного Ч^Носа спинора вдоль прямоугольного контура он приобретал фазу, +1 или — 1, в зависимости от того, был ли он периодическим антипериодическим. Подобным образом, риманова поверхность 9 может быть представлена многоугольником с 4g сторонами ^V 14). Для описания параллельного переноса спинора вдоль пери- ^Р^этого многоугольника разными способами теперь потребуется 229 Наб°р характеристик [а] = (а, Ь) определяет спиновую структуру Многообразия.

ПеРь можно определить обобщенную тэта-функцию со спиновой

структурой:

0[a](z|Q)= I ^^(п + а) П (n + а) + 2nz(n + a) (z + b) neZ9

(5-П.12)(5-П.12)= ^afia + 2^(z + b)0(z + fia + b|Q)i

(5-П.12)

(5-П.12)

Оказывается, что эта функция периодична с точностью до фазы по сдвиге по решетке:

0[a](z + Q n + m|Q) = е2™ m-”tn n n~2,"n (z + b)0[a](z|n). (5.11.13) При замене z -► — z тэта-функция преобразуется по формуле

0[a](-z|Q) = (-1)4а b0[a](z|Q).(5.11.14)

Поэтому, как мы это сделали для однопетлевой функции в (5.9.7), спиновые структуры можно разбить на четные и нечетные в зависимости от их поведения при замене z ~> z. Оказывается, что на римановой поверхности рода g имеется 29"1 (29 — 1) нечетных и29-1(2Ч 1) четных спиновых структур.

Теперь можно непосредственно вычислить, как эти обобщенные тэта-функции преобразуются отображением (5.11.9) из группы классов отображений. Под действием Sp(2g, Z), как нетрудно убедиться,

(5.11.15)(5.11.16)(5.11.17)(5.11.15)(5.11.16)(5.11.17)0 [a] (zj Q) = £eiK(p det (CQ + D)1/2 0 [a] (z | Q), где

(5.11.15)

(5.11.16)

(5.11.17)

(5.11.15)

(5.11.16)

(5.11.17)

z' = (CQ + Z))"1z,

_b'J \-B A / LbJ "2 LG4ST)d J’

а фазовый множитель дается формулой

Ф = aDT Ba + ЬСТ Ab - 2aBT Cb - (aDT - bCT)(^FT)d.

Здесь T обозначает транспонирование, а (/-взятие диагонального элемента. Символ е обозначает корень восьмой степени из единицы (с одним ограничением, которое здесь несущественно).

После того как мы определили на римановой поверхности тэта- функции с требуемыми свойствами периодичности, следующая зада’® состоит в том, чтобы действительно найти меру для многопетлево» амплитуды. В этом нам очень поможет замечательный результат Беля вина и Книжника [34], состоящий в том, что мерой многопетлев амплитуды служит просто квадрат некоторой голоморфной функций I точностью до нулевых мод):

(5.11-1®(5.11-1®Г Л л Л

(5.11-1®

(5.11-1®

Голоморфная факторизация: z = j—Qp^'

Здесь F-фундаментальная область римановой поверхности, Л

3)-форма

(5.11.19)(5.11.19)39-3 п = П ^ifb').

(5.11.19)

(5.11.19)

п последнем выражении yt представляет некоторую параметризацию йраметров Тейхмюллера, а /(у)-голоморфная функция, не имеющая

и имеющая полюсы второго порядка в точках границы, в которых поверхность вырождается. Легко проверить, например, что однопет- дридя функция (5.5.4) обладает этими свойствами (с точностью до членов, отвечающих нулевым модам).

На однопетлевом уровне утверждение о голоморфной факторизации лятуитивно очевидно. Оно просто означает, что замкнутая петля являет- d произведением мод струны, движущихся налево и направо, если пренебречь нулевыми модами. Однако доказательство этого мощного результата довольно сложно, хотя его можно вкратце изложить следующим образом. Использование методов, выведенных в предыдущих разделах, показывает, как формально записать меру многопетлевой амплитуды через параметры Тейхмюллера и сложные детерминанты. Затем можно показать, что

351og W=(D- 26)... , (5.11.20)

где IF-мера с точностью до множителя, возведенная в 13-ю степень. Заметим, что правая часть-это конформная аномалия, которая обращается в нуль в 26-мерии. Поэтому в 26-мерном пространстве 86 log W= = 0, а в этом случае мера может быть записана как абсолютное значение некоторой голоморфной функции \F\2. При любой другой размерности

существует препятствие для голоморфной факторизации. Тогда мы будем говорить, что имеется аналитическая аномалия.

Замечателен тот факт, что условия, налагаемые на F, по-видимому,

Достаточно сильны, чтобы однозначно фиксировать меру для всех многопетлевых амплитуд [41-61]. Этот результат необычайно мощный, а он может позволить нам выписать меру многопетлевой амплитуды непосредственным рассмотрением соответствующих выражений.

Например, рассмотрим двухпетлевую функцию. Выберем в качестве ^Раметров Тейхмюллера саму матрицу периодов, поскольку она также определяется тремя независимыми комплексными переменными. Тогда ад(>ДУлярной инвариантностью обладает следующая комбинация:

(5.11.21)(5.11.21)dQ

(5.11.21)

(5.11.21)

(det Im П)3‘

нужно найти выражение для |F|2(det ImQ)-10. Используя резуль- ^ 83 теории римановых поверхностей, находим, что единственно °жный ответ дается выражением

(5.11.22)(5.11.22)^Нухпетлевая функция: F = | П ® [^] (О I ЭД ( ■

(5.11.22)

(5.11.22)

Произведение берется по 10 четным характеристикам, таким что 4а ь = 0 mod 2.55

Подобным образом, используя аналогичные рассуждения о голо, морфных функциях, можно представить функцию F для трехпетлево» амплитуды в виде

f)-1/2

Трехпетлевая функция: F = <П®[«]№)Г•(5.11.231

I a, bJ

Здесь снова в качестве параметров Тейхмюллера dyt взяты элементы матрицы периодов d^j.

Эта простая процедура, однако, внезапно обрывается на уровне четырех петель. В общем случае симметричная матрица, определенная

в верхней полуплоскости Зигеля, содержит -g (д -h 1) элементов, тогда

как число параметров Тейхмюллера равно Зд — 3. Поэтому они содержат одинаковое число элементов лишь при д = 2, 3, что делает задание матрицы периодов для большего числа петель все более трудной задачей. Отсюда и возникает проблема Шоттки-из того факта, что набор элементов верхней полуплоскости Зигеля согласуется с набором элементов матрицы периодов лишь при д = 2, 3. Вопрос теперь ставится так: какие условия нужно наложить на наши функции, определенные на верхней полуплоскости Зигеля, чтобы они были функциями матрицы периодов?

К счастью, математикам недавно удалось решить проблему Шоттки, что сделало возможным просто задавать матрицы периодов для произвольного д и, следовательно, описывать голоморфные функции, определенные на римановых многообразиях произвольного рода. Фактически это позволяет нам представить себе бесконечномерное пространство, называемое грассманианом, в котором римановы поверхности

произвольного рода представляются точками.

То, что мы хотим получить,-это некое обобщение операторного формализма конформной теории поля, которое было бы определено на римановом многообразии произвольного рода. Нам нужно построить операторы, действующие на порождающую функцию [35-37], которые позволили бы нам вывести все корреляционные функции, определенные на поверхностях рода д. Начнем с определения фермионных операторов

Y(z) = ^Y-z-"-1/2(5.11-24)

(5.11^(5.11^(5.П $(5.П $с обычными антикоммутационными соотношениями {V». V*} = Кт

(5.11^

(5.11^

(5.П $

(5.П $

и билокального тока

J(z, w) = :\|/(z)\|/*(w):.

Оператор тока-это диагональный элемент

(5.11.27)(5.11.28)(5.11.29)(5.11.27)(5.11.28)(5.11.29)J(z,z)= Е Лг-"-1.

(5.11.27)

(5.11.28)

(5.11.29)

(5.11.27)

(5.11.28)

(5.11.29)

neZ

Теперь определим порождающую функцию ф) = <0|еН(^|0>,

1»

п = О

а g есть элемент группы Клиффорда, задаваемый формулой

0 = exp{ f dz f dwf^z, w) J^z, w)},(5.11.30)

где интеграл берется по окружности бесконечного радиуса. Важно знать, что функция g зависит и от матрицы периодов Q, и от спиновой структуры, определенной на поверхности и параметризованной характеристиками а и Ь. Таким образом, вся информация, связанная с природой римановой поверхности, содержится в функции д.

Из теории обычных континуальных интегралов для точечных частиц известно, что действие оператора ^/^J на генератор функции Грина порождает вставку некого поля в функциональный интеграл. Аналогом этого служит вершинный оператор

»(z) = е^-»*-2- elog zd«+ ^ *п"' z~"\ (5.11.31)

где хп и 8т обладают теми же коммутационными соотношениями, что и обычные гармонические осцилляторы. По построению мы имеем тождество

(5.11.32)(5.11.32)<0|^(^)^*(^)^|0>-1 z х z х z

(5.11.32)

(5.11.32)

Таким образом, действие вершинного оператора состоит в порождении корреляционной функции для конформной теории поля, подобно действию оператора 8/8J на порождающую функцию в обычной теории поля.

Теперь наложим условия, называемые уравнениями Хироты:

J dzv(z)T(x)r*(z)T(y) = 0.(5.11.33)

показать, что уравнения Хироты тесно связаны с уравнениями ^Фархии Кадомцева-Петвиашвили (КП).

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы выписать явное выражение «»яг(х) [35-37]:

Чх) = е^".Чх) = е^".O^n Qnm ХтO^n Qnm Хт®[а]®[а]I А„х„\ап= 1-I А„х„\ап= 1-(5.11.34)(5.11.34)

Чх) = е^".

Чх) = е^".

O^n Qnm Хт

O^n Qnm Хт

®[а]

®[а]

I А„х„\ап= 1-

I А„х„\ап= 1-

(5.11.34)

(5.11.34)

Ряд,Ряд,где Ап- коэффициенты разложения матрицы периодов в степенной

Ряд,

Ряд,

t=y = Ot=y = O(511.35)(5.11.36)(511.35)(5.11.36)Щг) = A„z ” vdz, п = 0

t=y = O

t=y = O

(511.35)

(5.11.36)

(511.35)

(5.11.36)

Qnm = k«<m-vy.nu-\y.yaT8';toS^4 2У-у)

Здесь E^t, у) называется «первой формой» и является непосредственным обобщением функции z-w из конформной теории поля для сферы Фактически для z, близких к w, она ведет себя как z-w даже на поверхности рода д. В явном виде она выражается формулой

(5.11.37)(5.11.37)(5.11.38)(5.11.38)E(z, w) = ®[а]^ Jco111J Уг^ка^У'1,

(5.11.37)

(5.11.37)

(5.11.38)

(5.11.38)

где

^(z) = ^di®[a](0|12)<oi(z).

Теперь мы приходим к основному результату настоящего обсуждения. Мы нашли, что функция т удовлетворяет уравнениям Хироты для иерархии КП тогда и только тогда, когда Q действительно является матрицей периодов римановой поверхности рода д. Это именно то ограничение, которое мы искали. Функция Q, имевшая размерность 1/2д(д -h 1), теперь может быть ограничена размерностью Зд — 3 и приравнена к матрице периодов римановой поверхности рода д. Это в принципе решает проблему Шоттки (хотя результат сильно нелинеен).

В качестве дополнительного преимущества, поскольку t(z) можно рассматривать как порождающую функцию для конформной теории поля, определенную на римановой поверхности рода д, мы можем вычислять любые корреляционные функции. Матричный элемент для двух фермионов на этой римановой поверхности дается выражением

<0|V(z)y*Mg|0> =®[a](^a>|12)39)

<0|g|0>®[a](0|Q)E(z, w) aLZ,WJ‘'

Математикам оно известно как ядро Сегё, и оно является единственным мероморфным полудифференциалом по переменным z и w с одиночным полюсом, вычет в котором равен 1 при z = w. Физики называют его просто двухточечной функцией. N-точечное обобщение этой функции есть

(OMzJV^^^

<0|д|0>

= П Е^„ zy П Е^, w,) 0 -1 [a] (0112) i<jк<1

х П^-1^- ^)®La] (1£л - E^il^Y(5. И-40*

Существует способ проверки согласованности этих уравнений. Известно, Jo есть два способа вычисления N-точечной функции: или через фер- ^онные осцилляторы, или посредством бозонизации через бозонные осДилляторы вида е,(р. Например, применяя виковское разложение ^.точечной функции, можно записать ее через двухточечную в виде

NN

<0| П v(z‘) П У*(^)^|0> = dety Pa(zf, w7).(5.11.41)

i=lJ=1

Выражение (5.11.40) можно получить с помощью бозонного представления, тогда как (5.11.41)-с помощью фермионного. К счастью, эквивалентность этих двух разных выражений была доказана Фэем [39]; это называется теоремой трисекции для сложения тэта-функций. Математическая эквивалентность указанных выражений служит еще одной проверкой нашей процедуры бозонизации.

Итак, нами развит операторный формализм для конформной теории поля, определенной на произвольной римановой поверхности. Кет- вектор g 10) представляет конкретную риманову поверхность, а применение к нему разных полевых операторов соответствует взятию матричных элементов по этой поверхности. Важно заметить, что каждый элемент т (х), если он удовлетворяет условию Хироты для иерархии КП, теперь корректно характеризует некую риманову поверхность рода д. Тем самым каждый т (х) определяет некоторую точку нашего грассманова многообразия, чего мы и стремились добиться.

Заметим, что мы все еще очень далеки от нашей конечной цели, т. е. от суммирования ряда теории возмущений и извлечения из него непертурбативной информации. Однако мы сделали существенный шаг в этом направлении, так как теперь мы можем описать любую риманову поверхность произвольного рода, включая ее спиновую структуру, как некую точку грассманова многообразия. Посредством этого операторного формализма мы можем по желанию порождать точки этого грассманова многообразия. Будущее покажет, насколько полезным окажется грассманово многообразие.

Необходимо, однако, отметить некоторые трудности, связанные с этим формализмом. Хотя проблема Шоттки теперь формально реше- Ва> на практике уравнения Хироты довольно сильно нелинейны, так что остается конкретно разобраться, насколько полезным будет это решение явного построения многопетлевых амплитуд с помощью тэта-функ- Кроме того, следует отметить, что в литературе имеется некоторая Заница в вопросе об определении пространства супермодулей для ^Плитуд суперструн. Хотя суперсимметричное обобщение теоремы ^Мана-Роха отвечает на вопрос о количестве имеющихся супермоду- но по-прежнему остается нерешенной трудная проблема явного ц°строения этих супермодулей посредством корректно определенной ^°Цедуры. Введение в теорию супермодулей и связанные с ними ВРосы можно найти в [62].

х ” нескольких следующих главах будет обсуждаться другой подход ^Рии возмущений, отличный от использования грассманова много-

образия и не требующий какой-либо информации о роде поверхности Фактически в этом подходе единственно возможной аппроксимаций является весь ряд теории возмущений на римановых поверхностях. ЭТот подход есть полевая теория струн.

Прежде чем завершить эту главу, мы должны упомянуть, что из всех до сих пор обсуждавшихся многопетлевых формализмов только ф0^ мализм светового конуса может быть естественным образом выведен из полевой теории струн. Поэтому мы интуитивно предполагаем, что построение фейнмановских диаграмм в конусных координатах посредством объединения вершинных функций в S-матрицу должно дать некоторую «триангуляцию» пространства модулей. Этот результат, который был доказан в [63-64], никогда ранее не рассматривался математиками, (Вкратце, доказательство основано на построении некоторых интегралов на римановой поверхности рода g и вычислении их периодов при обходе вдоль каждой петли или ручки. Тогда можно показать, что соответст

вующие периоды являются чисто мнимыми, что дает модулярно инвариантное описание этой поверхности.)

Для примера на рис. 5.15 показано, как параметризовать много

петлевую поверхность посредством конусных координат, причем t, представляют различные времена взаимодействия при расщеплении или слиянии струны, а 0,-«твисты» каждой струны на один полный оборот. Чтобы дополнить число параметров до требуемой для поверхности рода g величины 6g — 6, нужно также проинтегрировать по экваториальной окружности каждого цилиндра. Итак, все 6g — 6 параметров пространства модулей имеют естественную интерпретацию на языке физических

Рис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и «времен * параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутреня петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически ДаРис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и «времен * параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутреня петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически Да

Рис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и «времен * параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутреня петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически Да

Рис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и «времен * параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутреня петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически Да

покрытие фундаментальной модулярной области.)

яараметров фейнмановской диаграммы. У формализма светового кону- ^есть несколько преимуществ перед описанными ранее формализмами. go-первых, нет необходимости обрезать область интегрирования, что gyuio обязательным для модулярной инвариантности в случае метода щоттки и метода постоянной кривизны. Во-вторых, он легко обоб- ^ется на случай произвольного числа петель (чего нельзя сказать про метод тэта-функций). В-третьих, он унитарен и основан на физических переменных. И в-четвертых, он естественно выводится из полевой теории. Вместо того чтобы обсуждать его здесь, мы рассмотрим метод светового конуса в контексте полевой теории струн. Этой важной теме будет посвящен ряд последующих глав.

РЕЗЮМЕ

Итак, мы показали, что приведение струны к унитарному виду может быть реализовано посредством уравнения унитарности, в котором У-точечная амплитуда фигурирует в качестве борновского члена:

ImTv=-^</|T|n><»|Tt|y>.(5.12.1)

Континуальный интеграл при этом принимает вид

A = ^DXdVieiSnei'“Xi.(5.12.2)

S(=1

Здесь проводится суммирование по всем конформно неэквивалентным поверхностям S, являющимся дисками или сферами с N отверстиями. В частности, диаграммы для открытых струн бывают трех типов: плоские, неплоские и неориентируемые (вроде листа Мёбиуса). Диаграммы для замкнутых струн бывают только двух типов - плоские и неориентируемые (вроде бутылки Клейна).

К счастью, математики уже вычислили функции Неймана для этих поверхностей. Это частные случаи автоморфных функций.

Для однопетлевой диаграммы функция Неймана выражается через

h V (х, w) = In (1 — х) — In х + — 221n w

+ I [In (1 — wnx) 4" In (1 — wn/x) — 21n (1 — wn)]. (5.12.3) л = 1

Стирая все вместе, получаем однопетлевую плоскую амплитуду

1 N- 1

П 0(vl+! — v^dvt

О i=l

* | dqNf(q2} -24 n (Vp ^k, к,(5 12 4)

о q \ In q )i<j

Мы нашли, что у струнных диаграмм никогда не бывает ультра, фиолетовых расходимостей. Бесконечное суммирование по промежу. точным реджевским траекториям делает диаграммы финитными в ультрафиолетовой области. Однако в теории фейнмановских диаграмм расходимость некой диаграммы выражается локальным изменением топологии этой поверхности. Однопетлевая диаграмма открытой струны расходится, когда внутреннее отверстие стягивается в точку. Согласно конформной инвариантности, это соответствует удалению замкнутой петли с нулевым импульсом. Тем самым расходимостям соответствует испускание в вакуум тахиона или дилатона.

Структура расходимостей этих диаграмм следующая.

Открытая струна Намбу - Гото расходится как #“3 и #-1. Последняя из этих расходимостей связана с дилатоном и, вероятно, может быть устранена перенормировкой угла наклона реджевской траектории во всех порядках. Тахионная расходимость вызывает большие трудности. При анализе непланарных графов в комплексной плоскости переменных s и Z на этих диаграммах на самом деле появляются разрезы, которые сводятся к полюсам в 26-мерии. Эти полюсы соответствуют замкнутым струнам. Поэтому теория открытых струн сама по себе неполна. Замкнутые струны возникают в ней как «связанные состояния» на однопетлевом уровне.

Амплитуды замкнутых струн расходятся из-за вставок «головастиков», или энергии самодействия, на внешних линиях, лежащих на массовой поверхности.

Суперструна типа I имеет лишь полюсы порядка #-1, и поэтому мы можем устранить эту расходимость посредством перенормировки угла наклона. Расходимость порядка q-3 никогда не возникает, поскольку бозонные и фермионные внутренние линии взаимно уничтожаются.

Суперструна типа II на самом деле конечна. Здесь отсутствуют двух- и трехточечные однопетлевые диаграммы, поэтому вставки головастиков или энергий самодействия на внешних линиях попросту запрещены.

Эти результаты легко обобщаются на N-петлевые амплитуды с использованием теории автоморфных функций. При этом можно применять несколько разных параметризаций. Первая из них дается методом группы Шоттки. Она обладает тем преимуществом, что выбор переменных осуществляется в явном виде и выводится явно факторизуемым образом посредством сшивания мультиреджевских вершин. Однако модулярная инвариантность при этом не столь очевидна. Другой спосо параметризации дается методом тэта-функции. В нем модулярная инвариантность встроена с самого начала. Он также легко обобщается н спиновые структуры. Недостатком этого метода является неочевидное? выбора переменных. К тому же факторизация, а значит, и унитарное? тоже неочевидны. Эти амплитуды просто постулируются ВР^. ную с целью удовлетворить граничные условия, а не строятся

ранием вершин. В конечном счете эти методы, возможно, тождественны.

Начнем с комплексной плоскости, в которой произвольным образом дорезано 2N отверстий. Объединим эти отверстия в N пар и пометим их символами at и а^ Эти отверстия назовем «-циклами. Сделав разрезы вдоль линий, соединяющих между собой каждую пару «-циклов, полу- qgM 6-циклы. Определим проективные операторы Pis отображающие один из «-циклов «, в соответствующий ему «-цикл «, . Теперь эти проективные операторы можно параметризовать двумя неподвижными точками zt и z2 и множителем X, таким что

(5.12.5)(5.12.5)p^z^l = х z~zl Р^ - z2 z — z2 *

(5.12.5)

(5.12.5)

Для открытой струны центры «-циклов лежат на вещественной оси, так же как и неподвижные точки проективных преобразований. Окончательно N-петлевая амплитуда открытой струны дается выражением

Л* = J П ^^^ПГК1 ~^{Р}) 24

а=1N

х П (z,-{P}z,.)^ П dXX^"1

i=kj = mP,x-1

р X

М /Zi — {Р} Х^2) \ к. кх

Х Д V. - {P}x"v

Гх^ — {Р}^1^2) — {РУх^Ц (1/2)/ср /сх

(5.12.6)(5.12.6)(5.12.7)(5.12.7)) р v , К4' К I

(5.12.6)

(5.12.6)

(5.12.7)

(5.12.7)

где

П П dx^dx^4x^ - Х^*) 2.

* “ 1а = 1

Здесь латинскими буквами обозначены внешние линии, а греческими- петли. Заметим, что область интегрирования лежит между предельными Точками множества {Р}. Необходимо, чтобы эти предельные точки °бразовывали дискретную область на вещественной оси. Итак, нам Необходимы группы Шоттки.

N-петлевую амплитуду можно непосредственно переформулировать ^языке римановых поверхностей, если вместо действия Намбу-Гото ^Пользоваться действием Полякова. В интеграл войдут несколько членов:

^ Множитель ДРР, возникающий из детерминанта Фаддеева-Попова, Который можно переписать в виде

(5.12.8)(5.12.8)detV2 pt р^.

(5.12.8)

(5.12.8)

(2) Множитель, возникающий из интегрирования по переменной X:

J DX ехр

2л

w УУиЬл\к

\ "(1/2) D

— det'( —V2)).

g 1

(5.12.9)

Здесь

?2 = ф„^’Ч.

xjg

(3) В интеграл нужно добавить параметры Тейхмюллера вычислить этот последний фактор, запишем

дд„ь = [Vadvb + VbdvQ - (ycSvc>)gabl

+ (VcSvc>)gQb + 26cgab + S^ T,

где t^ параметры Тейхмюллера, a

^gab , x

T =-^--(след). at

Это можно записать в виде

8д«ь = Pi ^v^ab + 2SagQb + 8/'^^,

где

Pl ^v)ab = VaSi)b -h VbSba - gQb^c^c.

Произведем замену переменных:

T = ^q^q, r) + Piv\'

где

(5.12.10)

ti- Чтобы

(5.12.11)

(5.12.12)

(5.12.13)

(5.12.14)

(5.12.15)

v' = —— p\ T,

(5.12.16)

VY > 1 ) — 3 й ^Х/УУ У tbdVce-

Наш окончательный результат для меры таков: Dgob ^Diff ^Weyl = ^ va ^Diff DoQWeyl

x Dz‘det1/2 (Pl Pi) det1/2 (v , V )

/ 2k\ "(1/2)D

x(— det'( — V2)).

(5.12.17)

(5.12.18)

Огромное преимущество этого подхода к многопетлевым ами® тудам состоит в том, что мы можем использовать мощь метод анализа римановых поверхностей для исследования расходимост

^длитуды. В частности, мы можем исследовать особенности дзета- функции Сельберга:

(5.12.19)(5.12.19)г(5)= П П [l-v(Y)e-<’+'>'].

(5.12.19)

(5.12.19)

I примитивные р = О

Исследование функций Сельберга подтверждает вывод о том, что наша мера имеет особенности в тех точках, в которых топология поверхности рода д вырождается.

К счастью, построение меры на многопетлевых поверхностях очень сильно облегчается теоремой о голоморфной факторизации, которая

утверждает, что мера равна

z =z =(det Im Q)13 ’(det Im Q)13 ’(5.12.20)(5.12.20)FF

z =

z =

(det Im Q)13 ’

(det Im Q)13 ’

(5.12.20)

(5.12.20)

F

F

где ц-голоморфная (Зд — 3)-форма. Эта формула станет интуитивно понятной, если считать равными вклады мод, движущихся налево и направо (кроме нулевых мод.) Единственная трудность доказательства заключается в наличии некой аномалии (называемой аналитической аномалией), исчезающей в 26-мерном случае. Используя этот результат, мы можем, в сущности, угадать ответ для подынтегрального выражения, отвечающего многопетлевой амплитуде, поскольку функция с правильной периодичностью и структурой голоморфных особенностей должна быть единственной.

Другой метод, основанный на тэта-функциях, использует модулярность этих периодических функций с самого начала. Для поверхностей рода д имеется 219 спиновых структур, соответствующих всем возможным периодическим и антипериодическим граничным условиям на этой поверхности. Наша задача тем самым состоит в том, чтобы построить функции Неймана на этой поверхности со спиновой структурой, обладающие нужными особенностями и периодичностью: Ответ выражен в виде двух функций, а именно обобщенной тэта-функции и простой формы. Тэта-функция дается выражением

®[a](z|Q) = £ ^/я(п + a)Q(n + а) + 2nz(n + a)-(z + b)(5 12 21)

neZ9

ГДС а представляет спиновую структуру, а простая форма (которая является голоморфным обобщением выражения z- w, отвечающего сфе- Дается выражением

/г\ -1/2

£Ь w) = 0[a]M co|Q)(Aa(z) ha(wH ,(5.12.22)

где7

(5.12.23)(5.12.23)^Zd.eEaKOIfi)^?).

(5.12.23)

(5.12.23)

2^Полагая тэта-функцией и простой формой, мы можем вычислить все °жные функции Грина для бозонных и фермионных операторов на

римановых поверхностях. Поэтому мы можем построить новую кОц формную теорию поля на римановых поверхностях, а не просто в* сфере. Например, двухточечная функция двух фермионов дается ядрОм Сегё:

0 [a] ^jco|Q^

oTanoiQbE^ (512-24)

Одна из трудностей решения многопетлевой задачи состоит в выборе правильных переменных. Идеальным был бы, например, выбор в качестве переменной матрицы периодов Q. Трудность, однако, состоит в том, что у квадратной матрицы, такой как матрица периодов, есть (1/2) бг (бг Ч- 1) независимых координат, тогда как число параметров Тейхмюллера равно всего лишь 3g — 3 комплексных чисел. В двух- и трехпетлевом случае эти числа совпадают, но для высших петель это не так. В этом и состоит проблема Шоттки, которая была решена лишь недавно. Ее решение позволило использовать грассманианы для описания всего ряда теории возмущений. Каждая многопетлевая амплитуда со спиновой структурой представляет одну точку грассманова многообразия, так что мы можем (по крайней мере, в принципе) манипулировать всем рядом теории возмущений на римановых поверхностях как единым объектом. Это, в свою очередь, может в конечном счете дать нам непертурбативную информацию о теории суперструн.

ЛИТЕРАТУРА

Kikkawa К., Sakita В., Virasoro М.В. Phys. Rev. 184, 1701 (1969).

KakuМ.,Yu L.P. Phys. Lett. 33B,166 (1970).

KakuM.,Yu L.P. Phys. Rev. D3,2992, 3007 (1971).

KakuM.,Scherk J. Phys. Rev. D3,430 (1971).

KakuM.,Scherk J. Phys. Rev. D3,2000 (1971).

Alessandrini V. Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

Lovelace C. Phys. Lett. 32B, 703 (1970).

Lovelace C. Phys. Lett. 32B, 203 (1971).

Hsue C.S., Sakita B., Virasoro M. A. Phys. Rev. D2, 2857 (1970).

Gervais J.-L, Sakita B. D4, 2291 (1971); Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev- Lett. 30, 716 (1973).

Fairlie D.B., Nielsen H.B. Nucl. Phys. B20, 637 (1970).

Burnside W. Proc. London Math. Soc. 23, 49 (1981).

Amati D., Bouchiat C, Gervais J.-L. Nuovo Cim. Lett. 2, 399 (1969).

Bardakci K., Halpern M.W., Shapiro J. A. Phys. Rev. 185, 1910 (1969).

Kaku M., Thorn C.B. Phys. Rev. ID, 2860 (1970).

Cremer E., Sherk J. Nucl. Phys. B50, 222 (1972).

Lovelace C. Phys. Lett. 34B, 500 (1971).

Neveu A., Scherk J. Phys. Rev. DI, 2355 (1970).

Schwarz J. Phys. Rep. 13C, 259 (1974).

Shapiro J. A. Phys. Rev. D5, 1945 (1973).

Mandelstam S. In: Unified String Theories (edited by M.B. Green and D.

World Scientific, Singapore, 1986.

.ai Alvarez О. Nucl. Phys. B216, 125 (1983).

Kii D’Hoker E., Phong D.H. Nucl. Phys. B269, 205 (1986).

Polykov A.M. Phys. Lett. 103B, 207, 211 (1981).

polchinski J. Comm. Math. Phys. 104, 37 (1986).

GHozzi F., Scherk J., Olive D. Nucl. Phys. B122, 253 (1977).

271 Seiberg N., Witten E. Nucl. Phys. B276, 272 (1986).

Г281 D’Hoker E., Phong D.H. Nucl. Phys. B278, 225 (1986); Comm. Math. Phys. 104, 1537 (1986).

Gilbert G. Nucl. Phys. B277, 102 (1986).

Namazie M.A., Rajeev S. Nucl. Phys. B277, 3 32 (1986).

Hl] Steiner F., Phys. Lett. 188B, 447 (1987).

[321 Seiberg A. J. Indian Math. Soc. 20, 47 (1956).

Friedan D., Schenker S. Phys. Lett. B175, 287 (1986); Nucl. Phys. B281, 509 (1987).

Belavin A. A., Knizhnik V. G. Phys. Lett. 168B, 201 (1986).

Ishibashi N., Matsuo Y., Ooguri H. Mod. Phys. Lett A2, 119 (1987).

Alvarez- Gaume L., Gomez C, Reina C. Phys. Lett. 55B, 55 (1987).

VafaC. Phys. Lett. 190B, 47 (1987).

Alvarez- Gaume L, Moore G., Vafa C. Comm. Math. Phys. 106, 1 (1986).

Fay J. Theta Funktions on Rieman Surfaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol.

Springer-Verlag, Berlin, 1973.

Mumford D. Tata Lectures on Theta, Birkhauser, Basel, 1983.

Moore G., Nelson P. Nucl. Phys. B266, 58 (1986).

Nelson P. Harvard preprint HUTP-86 A047 (1986).

Manin Yu. Phys. lett. 17 2B, 184 (1986).

Verlinde E, Verlinde H. Nucl. Phys. B288, 3 57 (1987).

Miki K. Nucl. Phys. B291, 349 (1987).

Moore G., Harris P., Nelson P., Singer I. Phys. Lett 178B, 167 (1986).

Namazie M.A., Narain K.S., Sarmadi M.H. Phys. Lett. 177B, 329 (1986).

Belavin A., Kniznik V., Morosov A., Perelomov A. Phys. Lett 177B, 324 (1986).

Moore G. Phys. Lett. 176B, 369 (1986).

[»] Kato A., Matso Y„ Odake S. Phys. Lett 179B, 241 (1986).

Sonoda H. Phys. Lett 178B, 390 (1986).

Lechtenfeld O. CCNY preprint (1987).

[54][55][56][57][58][59][60][54][55][56][57][58][59][60]Verlinde E, Verlinde H. Phys. Lett 192B, (1987).

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

Morozov A. Phys. Lett. 184B, 171, 177 (1987).

GHozzi F. Phys. Lett. 194B, 30 (1987).

Bonini M„ lengo R. Phys. Lett. 191B, 56 (1987).

Restuccia A., Taylor J.G. Phys. Lett. 187B, 267, 273 (1987).

Steiner F. Phys. Lett 188B, 447 (1987).

Sonoda H. Phys. Lett. 184B, 336 (1987).

Г6П A' РЬУ5- Lett 184B’ 19 (1987>-

г6У Morozov A., Perelomov A. Phys. Lett. 183B, 296 (1987).

[631 ~tlCk JJ* Moore G > Sen A- NucL Phys. B308, 1 (1988).

Sddins S” WolPert s- Comm. Math. Phys. 109, 177 (1987).

J ° Hoker E, Giddings SB. Nucl. Phys. B291, 90 (1987).

Часть II

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕИ ПОИСКИ ГЕОМЕТРИИ

Глава 6

ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯВ КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

§ 6.1. ПОЧЕМУ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН?

В части I мы неоднократно видели, что первично квантованная теория представляется довольно разобщенной и является набором правил, которые часто выглядят очень произвольными. Выбор вершинных функций, меры интегрирования, счет диаграмм и т. д. - все это было, по существу, введено в теорию «руками». В итоге первично квантованная теория страдает следующими явными недостатками:

Взаимодействия должны быть введены ad hoc, без какого-либо строгого общего обоснования.

Нелегко показать унитарность теории. Не существует эрмитова гамильтониана, из которого можно вывести теорию взаимодействий.

Теория формулируется в рамках теории возмущений и дает ответы только на «массовой поверхности», что делает затруднительным вычисление непертурбативных эффектов.

Однако самое важное заключается в том, что первично квантованная струнная теория не подходит для вычисления динамического нарушения симметрии. К сожалению, во всех порядках теории возмущений по константе связи размерность пространства-времени, по-видимому, является стабильной, а поэтому надежды, связанные с возможностью динамического нарушения симметрии от 26-мерного или 10-мерного пространства-времени к четырехмерному, очень малы. Таким образом, последовательное получение феноменологических следствий в рамках первично квантованного подхода представляется весьма сомнительным. Первично квантованная теория не может также выделить истинны» вакуум среди набора классических вакуумов, допустимых для ДаН^\ модели, несмотря на то, что она фактически способна воспроизвести

десятки тысяч классических решений.

Таким образом, в части II мы обращаемся к полевой теории с,п^ [1-5] как наиболее перспективной с точки зрения построения не^ турбативного формализма, который позволит обнаружить истинно

вакУУм.

На первый взгляд метод вторичного квантования кажется совер*^ но излишним при наличии первично квантованного подхода. С то

теории возмущений мы просто воспроизводим те же диаграммы, при первичном квантовании. Однако вторично квантованная нолевая теория обладает несколькими важными преимуществами: /1) Взаимодействия вводятся через новую калибровочную группу, т. е. имеется теоретико-групповое обоснование для введения взаимодей

ствия в струнную теорию.

Теория явно унитарна благодаря эрмитовости гамильтониана. Все веса диаграмм фиксируются с самого начала.

р) И наконец, мы в принципе имеем метод для вычисления динамических эффектов в теории.

Некоторое время были серьезные опасения, что полевая теория струн вс имеет права на существование как противоречащая фундаменталь- ВЫМ принципам квантовой механики. Аргументы сводились в основном к следующим:

Полевая теория струн как нелокальная теория должна была бы изобиловать непреодолимыми трудностями, такими, как нарушение

принципа причинности.

Полевая теория струн с необходимостью формулируется вне «массовой поверхности», в то время как важнейшие свойства модели Венециано, вроде циклической симметрии, справедливы только на массовой поверхности. Поэтому казалось, что полевая теория не способна воспроизвести дуальную модель.

Полевая теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариант- ной и унитарной, поскольку процедура квантования, которая обеспечила бы как лоренц-инвариантность, так и унитарность вне массовой поверхности, отсутствует. Для первично квантованной теории такой проблемы не возникает, так как эта теория формулируется на «массовой поверхности». Напротив, полевая теория струн представляет собой теорию вне массовой поверхности и, следовательно, Должна нарушать либо лоренц-инвариантность, либо унитарность.

W И, наконец, самое важное. Полевая теория струн страдала бы от нарушений унитарности, вызванных двойным счетом диаграмм. В полевых теориях суммы по 5- и z-полюсам вычисляются раздельно, ЧТО нарушает дуальность.

К счастью, полевая теория струн, отвечающая на каждое из этих ЧСт*фех возражений, на самом деле возможна.

Во-первых, полевая теория струн не нарушает принцип причинности, что взаимодействия, такие как распад струны, происходят Г^енно. Кроме того, информация, касающаяся топологии струны, ^Ф°страняется вдоль нее со скоростью, не превышающей скорости Другими словами, струнная теория мультилокальна. Таким обра- to*^0^6^ теория струн является единственной известной нелокальной ®°и теорией, согласующейся с принципами квантовой механики.

Хот °*ВТоРЬ1Х> полевая теория струн приводит к функциям Грина, ₽Ые обязательно нарушают некоторые важные свойства модели

функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.Венециано. Но это несущественно, так как любой матричный эдеме» может быть измерен только на массовой поверхности, а на ней э^

функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.

функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.

В-третьих, BRST-метод явно разрушает унитарность теории с духами Фаддеева-Попова вне массовой поверхности. Это, однако, не имеет значения, потому что на массовой поверхности духи Фаддеева-Попова сокращаются с унитарными духами. Подобная ситуация имеет место в формализме светового конуса, который вне массовой поверхности сохраняет унитарность, но нарушает лоренц-инвариантность. На массо

вой поверхности такая теория как лоренц-инвариантна, так и унитарна а поэтому вполне корректна. ’

(6.1.1)(6.1.1)Что касается четвертого возражения, то струнная теория действительно нарушает дуальность вне массовой поверхности, однако на массовой поверхности дуальность восстанавливается. Например, для полевой теории струн в калибровке светового конуса мы суммируем раздельно по 5- и /-канальным полюсам фейнмановский ряд

(6.1.1)

(6.1.1)

5 - М] ' t - М^ ’

Такое разбиение амплитуды рассеяния на две отдельные s- и /-канальные части, согласующиеся со струнной интерпретацией (см. рис. 6.1), решает проблему унитарности. При этом явная дуальность оказывается нарушенной. Восстанавливается она только на уровне 5-матрицы, т.е. после суммирования по всем фейнмановским диаграммам. Такой подход обеспечивает унитарность струнной полевой теории ценой нарушения ее явной дуальности.

3

2Т

_4

1

3

2е " '"

.41

Рис. 6.1. Поверхности полевой теории в калибровке светового конуса. и в любой теории поля, мы сейчас суммируем по 5- и /-канальным гРаФ раздельно, нарушая дуальность. Только сумма этих двух графов явЛ* # дуальной. Следовательно, полевая теория струн в калибровке светового ко У^ решает проблему «двойного учета»: для каждой диаграммы дуальность нарушается. Дуальна только сумма (5-матрица).

Для замкнутых струн мы также обнаруживаем, что индивидуальные ^цймановские диаграммы нарушают явную модулярную инвариант- Модулярно-инвариантной оказывается только их сумма. Таким образом, полевая теория в калибровке светового конуса явно унитарна потому что гамильтониан явно эрмитов), но цена, которую мы платим это, есть отсутствие явной модулярной инвариантности:

Первичное квантование (модулярная инвариантность) -► Вторичное квантование (унитарность).

Мы начнем обсуждение вторичного квантования, отправлясь от формализма светового конуса [1], так как этот формализм разработан даиболее плотно. К тому же это позволит проследить историческое развитие теории. Однако так как в данном подходе калибровка фиксиро- аана и все локальные калибровочные степени свободы полностью устранены, то в нем нет и следа от элегантного теоретико-группового формализма, из которого можно было бы вывести струнную теорию. Начиная в педагогических целях изложение с полевой теории в калибровке светового конуса, мы будем помнить о том, что только точная геометрическая теория, подобная предложенной в гл. 8, может вывести всю теорию целиком из основных постулатов.

Мы вновь начнем с полевой теории точечных частиц и проследим, как Фейнман вывел уравнение Шрёдингера из первично квантованной теории.

ВЫВОД ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ

В гл. 1 мы начали с континуального интеграла для точечной частицы, Движущейся из точки х( в Xj. Каждому пути, соединяющему эти две точки, был поставлен в соответствие фазовый фактор els. Фундаментальный постулат квантовой механики состоит в том, что амплитуда вероятности перехода частицы между этими двумя точками представляет собой сумму фаз, связанных с каждым возможным путем. После ваковского поворота мы имеем

bj = $Dxe"\(6.2.1)

где Xi

,J /1\

s = f^( -mvf - И(х)).(6.2.2)

олюция квантовомеханической волны по предположению подчиняет- пРинципу Гюйгенса:

^(^,, Q = J А(х7-, tj; xi4 (^(х^ QdXi.(6.2.3)

Сейчас нам бы хотелось вычислить вариацию этой волновой функции

при малом смещении 8 во времени. Ранее мы нашли, что пропагато равен

тт12^7) Jехр12^7) Jехрjim(xj - х,)2jim(xj - х,)2Ч - ЧЧ - Ч(6.2.4)(6.2.4)Для малого временного интервала 8 = z, — it, следовательно, полу, чаемДля малого временного интервала 8 = z, — it, следовательно, полу, чаем00fim(x—V (х, t + е) = J Л ~1 exp г V (У, О dy^00fim(x—V (х, t + е) = J Л ~1 exp г V (У, О dy^(6.2.5)(6.2.5)где А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал 8 очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.Мы хотим сохранить только члены первого порядка по 8. Если мы полагаем у = х + у, где ц необязательно малое число, то интеграл принимает видгде А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал 8 очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.Мы хотим сохранить только члены первого порядка по 8. Если мы полагаем у = х + у, где ц необязательно малое число, то интеграл принимает видV (х, l + е) = J А 1 ezmr|2/2E \|/ (х + т|, Z) Jr|.V (х, l + е) = J А 1 ezmr|2/2E \|/ (х + т|, Z) Jr|.(6.2.6)(6.2.6)Важно отметить, что в принципе на величину ц нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка 8, заставит нас ограничиться только членами второго порядка по т].Разложим в степенной ряд левую часть по 8, а правую по ц:Важно отметить, что в принципе на величину ц нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка 8, заставит нас ограничиться только членами второго порядка по т].Разложим в степенной ряд левую часть по 8, а правую по ц:V(x, 0 + е^= J Л-1^26V(x, 0 + е^= J Л-1^26Г / х ^V 1 2 ^Vl ,х -^(х, 0 + Пч- + гГ| vrpn.(OX 2 OX*)Г / х ^V 1 2 ^Vl ,х -^(х, 0 + Пч- + гГ| vrpn.(OX 2 OX*)(6.2.7)(6.2.7)Этот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегрирования можно положить равнойЭтот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегрирования можно положить равной/27пе\1/2 Л = (]\ т //27пе\1/2 Л = (]\ т /(6.2.8)(6.2.8)Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегри* выживают только те члены, которые содержат ц в четно»Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегри* выживают только те члены, которые содержат ц в четно»рованиярованиястепени. В итоге у нас остаетсястепени. В итоге у нас остается. д\|/1 д2\|/1 dt2т дх2 *. д\|/1 д2\|/1 dt2т дх2 *(6.2.9)(6.2.9)Итак, сейчас мы вывели уравнение Шрёдингера, исходя только из пр^Д11^ ложения, что L = ^mx2, и основных принципов квантовой механик’ Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным членовИтак, сейчас мы вывели уравнение Шрёдингера, исходя только из пр^Д11^ ложения, что L = ^mx2, и основных принципов квантовой механик’ Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным членов

т

т

12^7) Jехр

12^7) Jехр

jim(xj - х,)2

jim(xj - х,)2

Ч - Ч

Ч - Ч

(6.2.4)

(6.2.4)

Для малого временного интервала 8 = z, — it, следовательно, полу, чаем

Для малого временного интервала 8 = z, — it, следовательно, полу, чаем

00fim(x—

V (х, t + е) = J Л ~1 exp г V (У, О dy^

00fim(x—

V (х, t + е) = J Л ~1 exp г V (У, О dy^

(6.2.5)

(6.2.5)

где А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал 8 очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.

Мы хотим сохранить только члены первого порядка по 8. Если мы полагаем у = х + у, где ц необязательно малое число, то интеграл принимает вид

где А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал 8 очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.

Мы хотим сохранить только члены первого порядка по 8. Если мы полагаем у = х + у, где ц необязательно малое число, то интеграл принимает вид

V (х, l + е) = J А 1 ezmr|2/2E \|/ (х + т|, Z) Jr|.

V (х, l + е) = J А 1 ezmr|2/2E \|/ (х + т|, Z) Jr|.

(6.2.6)

(6.2.6)

Важно отметить, что в принципе на величину ц нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка 8, заставит нас ограничиться только членами второго порядка по т].

Разложим в степенной ряд левую часть по 8, а правую по ц:

Важно отметить, что в принципе на величину ц нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка 8, заставит нас ограничиться только членами второго порядка по т].

Разложим в степенной ряд левую часть по 8, а правую по ц:

V(x, 0 + е^= J Л-1^26

V(x, 0 + е^= J Л-1^26

Г / х ^V 1 2 ^Vl ,х -^(х, 0 + Пч- + гГ| vrpn.

(OX 2 OX*)

Г / х ^V 1 2 ^Vl ,х -^(х, 0 + Пч- + гГ| vrpn.

(OX 2 OX*)

(6.2.7)

(6.2.7)

Этот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегрирования можно положить равной

Этот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегрирования можно положить равной

/27пе\1/2 Л = (]

\ т /

/27пе\1/2 Л = (]

\ т /

(6.2.8)

(6.2.8)

Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегри* выживают только те члены, которые содержат ц в четно»

Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегри* выживают только те члены, которые содержат ц в четно»

рования

рования

степени. В итоге у нас остается

степени. В итоге у нас остается

. д\|/1 д2\|/

1 dt2т дх2 *

. д\|/1 д2\|/

1 dt2т дх2 *

(6.2.9)

(6.2.9)

Итак, сейчас мы вывели уравнение Шрёдингера, исходя только из пр^Д11^ ложения, что L = ^mx2, и основных принципов квантовой механик’ Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным членов

Итак, сейчас мы вывели уравнение Шрёдингера, исходя только из пр^Д11^ ложения, что L = ^mx2, и основных принципов квантовой механик’ Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным членов

обобщаем выражение на случай всех трех пространственных измере- ^ то вывод в основном не изменяется, и мы приходим к выражению

(6.2.10)(6.2.10)i^ = -y-V2v + ^)V- St 2т

(6.2.10)

(6.2.10)

^ можем также совсем отказаться от внешнего потенциала и ввести взаимодействия типа \|/3 или \|/4 прямо в действие. Это есть вторично вваитованный аналог суммирования по Y- и Х-образным топологиям в первично квантованной теории точечной частицы.

Мы следовали первоначальному фейнмановскому выводу уравнения Шредингера, основанному на вычислении временной эволюции волновой функции. Однако существует еще один способ, который позволяет осуществить переход от первично ко вторично квантованному формализму и вывести уравнение Шрёдингера более непосредственно. На этот раз мы обратимся к функциональному интегралу действия и покажем, что можно перейти ко вторично квантованному формализму, начиная с самих функций Грина и вовсе не прибегая к уравнениям движения.

В гл. I, выполняя переход от гамильтонова к лагранжеву формализму, мы подставляли бесконечный ряд промежуточных состояний, т. е. собственных векторов оператора координаты из формулы

l = |Xi, t^Dx^x,, ^.| (6.2.11)

в выражение

(6.2.12)(6.2.12)bj=<Xi, t^Xj, tj)

(6.2.12)

(6.2.12)

в каждой промежуточной точке между xt и х3. Это позволило нам осуществить переход между гамильтоновым и лагранжевым методами. Сейчас мы хотим проделать то же самое с интегралом по полному набору вторично квантованных полей:

1 = | y)f D2^-^^ </у |.(6.2.13)

Следуя (1.8.21), мы определяем

V(x) = <х|у>,

Y*(x) = <v|x>,(6.2.14)

D2V = П ^V (x) ^V* (x) •

^ллее мы собираемся подставить в каждую промежуточную точку начальным и конечным состояниями точечной частицы вместо

Говенных векторов |х) оператора координаты бесконечный набор ^^Циональных состояний | у). Простейший способ проверить справед- ^®ость (6.2.13)- это взять следующий матричный элемент и подставить его полный ряд промежуточных струнных состояний:

8<*^) = <Х|?>

= <х| 1 |r>

= <х | v> J D2vexp {- J <y | z> J Dz <z | y>} <y | j> = fD2W* Wv(r)exp - {fDz\|/*(z)y(z)}.

Здесь, как обычно, мы опускаем в континуальном интеграле нормир^ вочный множитель. Мы обращаемся с \|/ (^ как с элементом вектор^ столбца, помеченным дискретным индексом х. Дискретизируя выра^. ние, находим

(6.2.16)(6.2.16)Ь„ ~ fn^V^VzV?^exp- {£v?Y2}.

(6.2.16)

(6.2.16)

Это в точности совпадает с (1.7.11). Таким образом, мы показали, что можно перейти от первично квантованных базисных элементов |^ к эквивалентным вторично квантованным базисным элементам |у^ таким что \|/(х) = (х| \|/).’

Давайте теперь перейдем к выводу функции Грина для уравнения Шрёдингера полностью на языке вторично квантованных полевых функционалов, не прибегая к уравнениям движения и принципу Гюйгенса. Подставим следующее тождество в каждую промежуточную точку вдоль пути:

1 = IV1 > f ^2V1 ^>2V2 ехр {— Х|/Т (v2 — Vi) — V*V1} < V21-(6.2.17)

(Это тождество можно доказать, выполняя функциональное интегрирование по \|/Т, и тогда оно сведется к условию полноты, записанному через поле \|/2 •)

Мы вставляем данное выражение между двумя инфинитезимально близкими собственными векторами оператора координаты в формуле (6.2.12):

А12 = <x1\e"iHbt\x2>

= <%11 х2 > — i (^! I H5t I х2 ) + ...

= f^2Vi2<*i IVi><V2l*2>exp[-^^- Vi) - V*ViJ

- i f ^>2V 12 3^ O1 I Vl> <^2 I H^t I V3> <^4 I *2>

X exp E —V|/T (V|/2 — V|/!) — V* VI/! — V|/$ (V|/4. — K|/3) — \|/$\|/3] + ....

(6.2.18)

Здесь индекс 12 или 1234 просто обозначает произведение двух или четырех таких функциональных дифференциалов. Теперь возьмем предел малых временных интервалов:

N(N.m

£ V* (v|/, +1— V. ) -► J \y*\ydt.(6.2.19)

i = itx

После перехода к пределу находим

A1N = ^D2\y\y(x1)\y*(xN)expi^dt\y*(idt — Н)\у.(6.2.20)

Отсюда наш новый лагранжиан есть

L =.(6-2-21^

Он служит лагранжианом для шрёдингеровского волнового УРавНеНд0 Итак, имея постулаты квантовой механики и классический первй

кантованный формализм для точечной частицы, мы вывели уравнение Шрёдингера, не используя уравнения движения и принцип Гюйгенса.

Основная причина, по которой мы проделали этот анализ для т0чечной частицы, заключается в том, что мы сейчас собираемся повторить те же самые шаги для полевой теории BRST и полевой теории в калибровке светового конуса. Как ни странно, мы обнаружили, что десь этот функциональный аппарат переносится непосредственно в полевуЮ теорию струн для действий в формализме BRST и в калибровке цветового конуса. И только когда мы наконец достигнем геометрической полевой теории в гл. 8, мы начнем с фундаментальных аксиом и постулируем совершенно новую калибровочную группу.

ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

Теперь, как и в случае точечной частицы, мы хотим осуществить переход от первично квантованного ко вторично квантованному струнному формализму, используя (1.8.21):

<Х|Ф> = Ф(Х).(6.3.1)

Мы должны здесь напомнить, что полевой функционал не является локальной функцией от значения X (ст) в фиксированной точке ст на струне. Напротив, этомультилокальный функционал, определенный для всех точек струны. Если мы дискретизируем струну рядом точек

о1? ст2, Стз,...,ст„,(6.3.2)

то полевой функционал примет вид

Ф(Х) = Ф[Х,(ст1), ^(ст2), УДстз),...,^^)],(6.3.3)

и мы переходим к пределу N ^ со. Таким образом, струнный функционал есть одновременно функция каждой точки струны [1].

Начнем с определения гильбертова пространства струнных возбужде- 8ий. Удобно разложить поле по гармоническим осцилляторам. В этом случае имеем

|Ф> = ф(х)|0> + А^*-^ + A,vaL1aL1|0> + ....(6.3.4)

Сразу видна разница между первично и вторично квантованными Ф°Рмализмами даже для свободного поля. В первом случае основным объектом является Хц, что представляет только одну возможную конфигурацию струны. Во втором мы имеем дело с полевым функциона- Л°М ф? который одновременно представляет суперпозицию всех возмож- струнных конфигураций.

Чтобы сделать обсуждение более конкретным, введем специальное феДставление собственных векторов | на языке гармонических осцил- ^оров. Мы хотим, чтобы результат действия струнной переменной ^собственный вектор |Х> воспроизводил (2.2.9):

^..|X> = j(ai>-tii._„)|X>.(6.3.5)

Предположим на минуту, что собственный вектор | X ) можно предСт^ вить в виде

|Х> = П|0>

= к П exp (а Х(\ + b Xi,„at„ + с at„ at„) 10 >,(б.з,6)

где а, Ь, с и /с-произвольные константы.

Определим эти константы а, b и с, действуя на вектор состояния оператором X:

Х^Х> = П£Г11(а1>-аГд)П|о>

Q (1 i(bX„ + 2 cal„ - atj) 10 >.(6.3.7)

Следовательно, получаем

b = — 2i,

C='-.(6.3.8)

Далее, мы хотим, чтобы оператор дх имел правильные коммутационные соотношения с X. Применяя дх к вектору состояния, находим

^-\Х> = ^аХ11П*ЬаШХ>,(6.3.9)

так как

—|Х>= -г(а,-.„ + <)|х>,(6.3.10)

то это фиксирует коэффициент а= — 1. Итак, наш окончательный результат для вектора состояния есть

|Х> = кПехР(-^.> - 2iX^a],n + ^ 4,4,)Ю>.(б З-Ю

где к- нормировочная константа. Это выражение в свою очередь позволяет представить полевую функцию в виде ряда по полиномам Эрмита. В качестве примера, можно вычислить

(6.3.12)(6.3.12)<о|х> = ^П^"

(6.3.12)

(6.3.12)

<0|а.,„|Х> к(-2/Х,л)П^

Последние выражения дают возможность переписать первоначальны^ полевой функционал с помощью полиномов Эрмита, используя (6.3. Нг

Х| Ф > = ф (О п Но №.„) + А, (х) Н. Хи) П Но (Xi,n) + .... (6.3.13) i,ni-n

/Здесь мы взяли нормировку полиномов Эрмита, отличную от обычной.) 1 Проквантуем этот полевой функционал, придерживаясь процедуры, ^пользованной в обычной полевой теории точечной частицы (1.8.9)- л 8,12). В общем случае мы можем разложить полевую функцию в ряд до любым ортогональным полиномам. Выберем произвольный элемент фоковского пространства, являющийся произведением некоторого числа операторов рождения, возведенных в некую степень. Пусть ряд целых чисел и!, где i-лоренцевский индекс, а /-номер уровня, обозначает количество операторов рождения в данном состоянии. Таким образом, любое состояние гильбертового пространства можно представить как

1{„}><-П(«-.-а"!ю>.(6.3.14)

Это состояние есть произведение произвольной последовательности операторов рождения. Выберем нормировочную константу равной с=«{«}1{»}»"1/2-(6.3.15)

Тогда

<{л}1{т} > = §{„}.(„,}.(6.3.16)

Следовательно, эти состояния могут быть нормированы так, что будут образовывать ортонормированный базис. На самом деле этот базис является полным:

^ZlWXWI-(6.3.17)

Матричный элемент | {и}) в (6.3.14) и струнного собственного вектора 1^) в (6.3.11) есть в точности произведение полиномов Эрмита:

<Х\^> = Н^Х^^(6.3.18)

Исследуем некоторые полезные свойства | {и} ) . Разлагая полевой функционал по ортогональному базису, можно обобщить выражение (1.8.12), которое имело вид

|ф> = Еф{„} !{«}>,(6.3.19)

{”}

и Получить следующее:

Лег.»

**° вычисляется внутреннее произведение двух таких полевых функ- ЦЦ°налов:

<'I'l«)> = Zv{*!<Pw-(6.3.20)

{и}

Можно также показать, что

8-„).{m) = JФ*} Ф{т)ехр(- Ц Ф{п) |2)D2 Ф,(6.3.21)

{и}

где мера интегрирования для такого пространства дается формулой

/)2Ф = П^Ф(и)^Ф*}.(6.3.22)

Используя эти тождества, можно показать, что число 1 представимо в форме, аналогичной (6.2.13):

1 = ЛФ>О2Ф<Ф|ехр(-<Ф|Ф».(6.3.23)

Для доказательства этой формулы разложим полевые функционалы по ортогональному базису и выполним точное интегрирование по коэффициентам. Имеем

= [ £ f ф!л! I {”} >1 ГМ2 <р{т> СЕ ф *, < WI ]е "<ф|ф>

= L(6.3.24)

= I I {«}><{/>} IX}»>

что и оправдывает такое представление 1 в виде (6.3.23).

Матричный элемент между двумя струнными состояниями |Х) и I У> также можно выразить через |Ф ):

<У|У>=П П 8(ВД-Г,(<т))

' = 1 0 ^ ст ^ тс

= <Х|Ф>{Р2Ф<Ф| У >exp(-<Ф|Z>JDZ<Z|Ф>)

= ^ФФЧХ^ФШе^07^7^(6.3.25)

Наконец, перед выводом уравнения Шрёдингера для струн необходимо обобщить (6.2.17):

1 = ЛФ^^Ф^Ф.е-^'^-^-^'^ф^(6.3.26)

Как и выше, наиболее легко это тождество доказывается функциональным интегрированием по Ф?.

Теперь, имея в своем распоряжении все нужные тождества, рассмотрим матричный элемент между двумя инфинитезимальными струнными состояниями:

<Х1|е"'7"т|*2>.(6.3-27)

Этот матричный элемент можно выразить в виде первично квантованной картины, в которой мы пользуемся полным набором собственных состояний оператора импульса, либо на языке вторичного квантова ния, подставляя в него полный набор полевых функционалов.

Таким образом,

(6.3.28)(6.3.28)f первичное квантование: 1 = \P^DP ( Р |,

(6.3.28)

(6.3.28)

{ вторичное квантование: 1 = |Ф)|П2Фе~<ф|ф> (Ф|.

Повторяя проделанное в разд. 1.3, мы подставили в матричный элемент полный набор собственных состояний оператора импульса и затем вывели инфинитезимальную функцию Грина для первично квантован- пого формализма:

(Xv\e-iHdx\X2> = Xt\P>HP<P\e"iHdx\X2>

= ^DPe-iH^dT^w.-x^(6 з 29)

_ J p)pe^^PXdx e-iH(X,P)dx

Здесь был использован тот факт, что ( Р|Х) ~ e^daP^x .

Подставив затем бесконечное число этих первично квантованных струнных состояний между любыми двумя интервалами, разделяющими начальную и конечную точки, нашли, что

< Хх I е"№- | XN > = j DXDPe‘ J dxdo<pk ”

Xx

XnXn

= ^ DXDPe1 ^dxdcL,(6.3.30)

Xx

где L = PX — H.

Итак, в первично квантованной струнной теории мы могли свободно переходить от гамильтонова к лагранжевому формализму и обратно.

Повторим все наши рассуждения, подставляя в действие полный набор вторично квантованных полевых функционалов. Инфинитезимальная амплитуда перехода есть

^г = <Хх\е-™ах\Х2')

= <X1\X2>-i<Xx\Hdx\X2')* ...

= 1О2Ф12<Х1|Ф1><Ф2|Х2>ехр{-<Ф1|Ф2-Ф1>-<Ф2|Ф1>}

(6.3.31)(6.3.31)-^О2Ф1234<Х1|Ф1><Ф2|ЯЛ|Ф3><Ф4|Х2>

(6.3.31)

(6.3.31)

Хехр{- £ (Ф;|Ф;+1 - Ф,) - <Ф(+ ! | Ф,;)}+... . i= 1,3

Теперь, как и прежде, переходим к пределу:

Е<ф(|ф,+1 -Ф(>^ рт<Ф|Ф>.

Далее вставляем полный набор промежуточных полевых состояний ежду всеми инфинитезимальными интервалами, соединяющими на- З^ную и конечную струнные конфигурации. Тогда матричный элемент Снимает вид

Д1* = f Ф* (X,) Ф (У„) D2 Фexp if dx « Ф | idx - Н| Ф »,(6.3.32)

выражающий основной результат этого раздела. Отсюда вторив квантованное действие равно [1]

Ь = ФЧ1^-ЩФ.(6.3.33)

Таким образом, эквивалентность первично и вторично квантованных формализмов для свободной струнной теории в калибровке светового конуса доказана. Используя (6.3.28), мы можем написать функцию Грина либо в первично квантованном, либо во вторично квантованном формализме:

XjXi

\и = j DX exp ijdxL (t)

Xjt.

'Xj

= f D2 Ф Ф* №) Ф (Xj) exp if dx f L (Ф) DX,(6.3.34)

Xi где

1 T

L w = v f dc ^X* "" X*2 )(б-Э-ЗЗ)

ИИ2л о

И

И

(6.3.36)(6.3.36)H = ^^(^ + 4-). Z о \71/

(6.3.36)

(6.3.36)

Мы вывели действие вторично квантованной полевой теории из требования, что оно воспроизводит функцию Грина для распространения струны. Это показывает наличие сильной аналогии между первичным и вторичным квантованием в случае свободных струн. (Эта аналогия будет, однако, резко нарушена, когда мы рассмотрим взаимодействие.)

Теперь проквантуем наше действие. Из него следует уравнение движения:

0дт-Я)Ф(Х) = 0.(6.3.37)

Энергия, соответствующая конкретному базисному состоянию, дается формулами

#!{«}> = £{„}1{«}>,(6-3-38)

Удобно сделать фурье-преобразование коэффициентов ф^ по переменной х” :

ф{и}(х+, х",Ф^.^/т, X,).(6-3-39)

Следовательно, эти коэффициенты должны удовлетворять уравнен0- ям движения:

^n^X^dp^*-^^(6-3.4°)

Здесь мы ввели новый оператор А, который является оператором иохдения или уничтожения, связанным с состоянием {и}. Важное замеча- состоит в том, что Л - это совсем не то же, что а^, введенный в гл. 1. Оператор а„ создает отдельную колебательную моду струны, в то время ^ А рождает или уничтожает элемент гильбертова пространства, построенный из всевозможных произведений aV Это есть оператор, создающий или уничтожающий состояния бесконечнокомпонентной полевой теории. Он удовлетворяет коммутационным соотношениям

_?+)5(₽;-A}.w(6341)

Объединяя все вместе, имеем разложение полевого функционала по плоским волнам:

|Ф> = £f RdM^,^ Х-Е^\{п} >.(6.3.42)

Можно также переписать это разложение в базисе X (см. (1.8.21)):

<xi®> = <V(*) =

= £$ndPiAp.p {л)Я{л)(20ехр[-:Е(,„^/'(рх-^(6.3.43)

Мы сейчас в состоянии вывести канонические коммутационные соотношения для вторично квантованной полевой теории струн. Имея разложения по ортогональным полиномам, легко показать, что

[Фр+(Х, т),Ф;+ (У,т)] = 8(р+ - ^+)ПП8№(п) - УЛо)). (6.3.44)

Обозначим вакуум осцилляторов А через |0>). Отметим, что это вакуумное состояние является произведением вакуумов всех полей высших спинов, содержащихся внутри Ф. Поскольку А - вакуум бесконечно- аомпонентной полевой теории, то он не имеет ничего общего с |0). Используя предыдущие тождества, мы находим выражение для функций Грина на языке полевых функционалов:

А» = «О I Ф^ (У! , X! ) Ф* (Х2 , Т2 ) | 0 »

, =8(Р+ -q*^DXe^Ldad'YYb<X^, xJ-XJo))(6.3.45)

хП6(;Г(а',г2)-Х2(сО),

X (ст, tj) и X (ст', т2)-начальное и конечное состояния.

Здесь важно отметить, что мы выразили функцию Грина распростра- свободной струны как на первично, так и на вторично квантован-

И языке. Значит, по крайней мере на свободном уровне, можно D£XoMTb от одного формализма к другому и обратно. Сейчас в наших

Нах°Дятся орудия, позволяющие написать точное выражение для Грина свободной струны, обобщающее выражение (6.2.4) для

точечных частиц:А12 = 8Q7+ -?+) fjк= 1точечных частиц:А12 = 8Q7+ -?+) fjк= 1кк1/2 (D-2)1/2 (D-2)л sinh (кТ/а\л sinh (кТ/а\/ а V/2(D~2) г а

точечных частиц:

А12 = 8Q7+ -?+) fj

к= 1

точечных частиц:

А12 = 8Q7+ -?+) fj

к= 1

к

к

1/2 (D-2)

1/2 (D-2)

л sinh (кТ/а\

л sinh (кТ/а\

(6.3.46)(6.3.46)х ехрх ехрк sinh 1к sinh 1кТакТаcosh —(Х^ + Х^-гХ^Хзcosh —(Х^ + Х^-гХ^Хзх№)=хр{--(х;-х;

(6.3.46)

(6.3.46)

х ехр

х ехр

к sinh 1

к sinh 1

кТа

кТа

cosh —(Х^ + Х^-гХ^Хз

cosh —(Х^ + Х^-гХ^Хз

где Т-временной интервал. Заметим, что вывод амплитуды перехода полностью выполнен на языке вторично квантованных полевых функционалов.

Итак, мы вывели действие полевой теории струн в калибровке светового конуса прямой подстановкой полного набора промежуточных струнных состояний в каждую струнную конфигурацию между ее начальным и конечным положениями.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Теперь мы обратимся к вопросу о взаимодействиях. Оказывается, что выделение вершинной функции во вторично квантованной полевой теории можно проделать, обобщая вывод свободного действия из первично квантованного формализма. Для этого мы вновь подставим важное тождество

1 = |ф>|О2Фе“<ф|ф><Ф| (6.4.1)

в континуальный интеграл.

Исторически вопрос о нелокальных полевых теориях рассматривался еще первооткрывателями квантовой физики Гейзенбергом и Юкавой. Они обнаружили, что такие теории нарушают причинность, т. е. взаимодействия могут распространяться быстрее скорости света. Нелокальные взаимодейстия, затрагивающие две отдаленные точки xY и х2, могут передавать информацию быстрее скорости света, что запрещается.

Полевая теория струн чудесным образом решает эту проблему- Решение просто и элегантно: полевая теория струн не нарушает причинность, поскольку она на самом деле не нелокальная, а мультилокальная теория. Взаимодействия струн, в которых струны могут распадаться и образовываться, таковы, что эти процессы происходят мгновенно, а затем колебания распространяются по струне со скоростью, равно или меньшей скорости света. Таким образом, нарушения принципа

причинности не происходит.

Удаление всех симметрий в калибровке светового конуса приводи^ к отсутствию какого-либо общего руководящего принципа для постр°е

ния теории. Поэтому мы просто постулируем следующее:

В действии допускаются только такие конфигурации взаимодейсМ У ющих струн, которые мгновенно изменяют локальную топологию стрУн

Рис. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Опрытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом-решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокальных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах, которая сохраняет причинность.Рис. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Опрытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом-решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокальных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах, которая сохраняет причинность.

Рис. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Опрытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом-решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокальных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах, которая сохраняет причинность.

Рис. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Опрытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом-решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокальных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах, которая сохраняет причинность.

Хотя этот принцип определен только в калибровке светового конуса, мы найдем, что его вполне достаточно для нахождения всех возможных взаимодействий полевой теории. Имеется только пять таких локальных взаимодействий (см. рис. 6.2), согласующихся с этим новым определением локальности, а также с законом сохранения импульса. (Выберем параметризационную длину струны в калибровке светового конуса пропорциональной р+, т. е. а = 2р+, и тогда сохранение импульса означает, что сохраняется сумма длин всех струн). Итак, мы постулируем

5

(6.4.2)(6.4.2)L.= £L„

(6.4.2)

(6.4.2)

ГД6 каждый член соответствует специальным взаимодействиям поля омытой струны Ф и поля замкнутой струны \|/. Образно говоря, эти ^^ взаимодействий можно представить в виде

(6.4.3)(6.4.3)Lz = фЗ + ф4 + ip3 + ф2 ip + фф

(6.4.3)

(6.4.3)

^ выпишем в явном виде некоторые из этих взаимодействий, согла- /^Цихся с условием локальности. После того как специальные пред- вления для этих пяти взаимодействий будут выписаны, мы должны Верить, что они воспроизводят известные результаты для первично ^ованной теории.

^Простейшее взаимодействие представляет собой распад струны на ^ньшие части. В соответствии с условием локальности ее разрыв ”'787

может произойти только в одной внутренней точке. Последствия этог разрыва должны распространяться по струне позже, со скоростью равной или меньшей скорости света. Таким образом, мы приход^ к требованию, чтобы струнная конфигурация до взаимодействия нецре. рывным образом примыкала к струнной конфигурации после взаимо. действия; иными словами, точки струны были бы «непрерывны» через границу взаимодействия. Единственной формой вершинной функции согласующейся с сохранением импульса и локальностью, является про^ изведение дираковских дельта-функций, которое обеспечивает непрерывность трех струн. Наша вершина есть [1]

з

$з = /^'8(Хр(+г,)1^12зФЧ^з)Ф+(^1)Ф(^2)512з + Ь.С„ (6.4.4)

где

8123 = П8[Х3(ст3) -9(71^ - G^toJ - 9(с - nrfJXJcJ], DX123 = DX1DX2DX3(6.4.5)

(см. рис. 6.3). Мы будем использовать обозначения

0 < о ^ K(at + a2),

04 = идля0 ^ a ^ к at,

c2 = a — л 04для7104 ^ a ^ K(at + a2),(6.4.6)

a3 = 71(04 + a2) ~ aДля0 ^ a < 71(04 + aib

3

E = °, i=l

где параметризационная длина каждой струны дается к а,, а переменная X представляет только трансверсальные моды струны.

Замечательно, что в написанной выше вершинной функции мы действительно можем выполнить интегрирование по DX, потому что это просто гауссов интеграл. Определим

Ф((Х) = <Х|Ф;>.(6.4.7)

Рис. 6.3. Параметризация трехструнной вершины. Параметризационная каждой струны равна тса{. Сумма всех трех тш, равна нулю.

^оГда (6.4.4) можно переписать в виде

$3 = f^+r5( Хр+г)<Ф1|<Ф2|<Ф3|Р,123,(6.4.8)

Г= 1

где мы ввели вершинную функцию

I к123 > = f М1231 ^ Жз Жз > 8123.(6.4.9)

Так как вектор в (6.3.11) имеет простую гауссовскую зависимость от X мы можем вычислить интеграл по ВХ12з в явном виде и получить точную формулу для вершинной функции, записанную через гармонические осцилляторы.

Более удобно выполнить эти вычисления в импульсном представлении. Беря фурье-преобразование, мы легко превращаем формулу (6.3.11) для собственных состояний X в формулу для собственных состояний Р;

\Р) = фехр (- 1 PL + Р11Па\п - j 4,4.)Ю>.(6.4.10)

Мы легко проверяем, что это выражение правильно воспроизводит уравнение на собственные значения (2.2.9):

РЖ> = («.> + 4Ж>.(6.4.11)

Выпишем фурье-разложения для всех трех струнных состояний в вершине в X- и Р-представлениях:

—г1 /( / ~ ПО- ।

Pi П—г Pi + L х/пР^п COS16r л|аг|\n = iar /

001n CT \

X = (x? + £cos—-)бг,(6.4.12)

n=lar /

где

6i = 0(7104-a), 62 = 6(a —ка^, 03 = 01 + 02 =l.(6.4.13)

Интеграл, который нам бы хотелось взять, имеет вид

।з

из) = ^DP123 PJ |Р,)6123

i = 1

003

= 1»Л2зб( £ едОг)РУЧ^ П ехР <-ip^Г=1Г=1’

+ Р& «^ - \ а^ а$) 10 >.(6.4.14)

Гауссов интеграл. Единственная сложность, с которой мы столкнем- ^Эт° явная форма дельта-функционала 5123 в (6.4.5), записанная через 1Т)т^НИЧеские осцилляторы. Для выполнения функционального инте- ^нания выделим фурье-коэффициенты функционала 612з с помощью 19*

косинус-преобразования уравнения связи для различных Р. Обыч» такое фурье-преобразование синуса или косинуса представляет собой дельта-функцию. Здесь из-за различной параметризационной длины всЛ трех струн вместо дельта-функций мы получаем матричные уравнение В частности, условие *

3

£ 9г(сг)РГ(сг) = Р<3,(ст3) + РР(С2)02 + PP’Coje, = О (6.4.15)

после выполнения косинус-преобразования принимает вид

Р^ + £ №р^ + А^Р^ + ^’рР + B<£W = 0,(6.4.16)

П=1'

где А и В- различные интегралы от произведения косинусов.

Вместо того чтобы рассматривать (6.4.16) как точное операторное уравнение, достаточно потребовать его выполнения только на вершинной функции. Другими словами, мы хотим, чтобы вершинная функция обращалась в нуль под действием 612з- Это означает, что [1, 6, 7]

3 сю\

Z Е Ай(а^> + ай + Вт Р I К123 > = О,г=1 п= 1/

а 00\

«У + ай - ^ £ (С"1 А^Т С)тл (п<3' + а^ I И123 > = О, (6.4.17) а3 п=1/

где

(От- = тсттл,Р = 2pt рЧ - ^Рг р\ •(6.4.18)

Фурье-коэффициенты определяются фурье-преобразованием различных косинусоидальных гармоник. Так как все три струны имеют разные длины, фурье-коэффициенты будут, вообще говоря, нетривиальными. Явным построением получаем следующие фурье-коэффициенты:

А^ = 2(n/m)li2 ( — \)т f cos — cos de л<4 at a3

(6.4.19)(6.4.19)(6.4.20)(6.4.20)Z 3/-V—аш, ixm + n psin(mnp)

(6.4.19)

(6.4.19)

(6.4.20)

(6.4.20)

= (- 2/л) (mn) ' (- О n2 _ m2 p2 ,

A^mn = 2(«/m)1/2 (—1)" —J cos—^i) cos

™2 Дa2a3

= (2/n)(mn)1/2(-l)m= (2/n)(mn)1/2(-l)m(P -h l)sin(mnP) n2 — m2(P + I)2 ’

= (2/n)(mn)1/2(-l)m

= (2/n)(mn)1/2(-l)m

j(3> _ я

^mnn »

B”’ = 2(m)1/2(— 1)” J cos ^^ dст

Tta^ 0 a3

= 203(^0^ *(—l)”(m) 3/2sin(mлP),

я^ + а2)

e<»s=2(m)“1/2(—1)“ f cos —е/а

№ла,а,

2 ла.5

-=—2а3(ла2) Ч—l)w(m) 3/2 sin (т к 0),(6.4.22)

р 5=01^3, Р^— “ ^2 Pm »Pm^“ ^i0m,

ГДбР = а1/аЗ’ ^= -О.2Вт, ®V = ^iPm-

1#отя выражения могут показаться сложными, непосредственное 0ычисление интеграла оказывается простым, поскольку он гауссов. Выполняя интегрирование, находим явную форму вершинной функции. Сначала мы берем тривиальный интеграл по Р^. Благодаря наличию дельта-функции, он становится комбинацией импульсов двух других струн. Тогда по P(L2) получаем простые гауссовы интегралы. Объединяя члены, находим компактное выражение вершинной функции через гармонические осцилляторы [1, 6]:

|К12з> = ехр{^ ££ a^N",»^,

г,s= 1 m,n= 1

+ Е I AW^P + KP2}^),(6.4.23)

г = 1 m = 1

где

С = (C"1)^ - 2(^Г1/2(Л(')ТГ"1 Л(х))(6.4.24)

в

К = -Isr"1^,

(6.4.25)(6.4.25)Р = at Р‘2 - а2 Р\

(6.4.25)

(6.4.25)

Г = £ А^А^Т.

r=l

Подведем итоги. Мы постулировали, что единственно возможные взаимодействия между струнами-это локальные взаимодействия, т.е. мгно- вснные локальные деформации топологии струны. Таким способом мы йзбежали проблем нарушения причинности, десятилетиями блокировав- попытки создания нелокальных полевых теорий. Как ни странно, ®ДНого этого принципа оказывается достаточно для определения всех ЦЯТИ струнных взаимодействий в калибровке светового конуса.

J^nm, что все матрицы Неймана единственным образом опреде- ^°тся из условия перекрытия струн (6.14.15). Условия локальности «^ранения импульса достаточно для того, чтобы построить точное ^^ляторное представление вершины.

'Далее мы хотим проверить, что такой подход воспроизводит обыч- формулу Венециано. Для этого нужно убедиться в следующем:

Нужно показать, что мы воспроизводим функцию Неймана д* модели Венециано.4

Нужно показать, что якобиан преобразования координат от струц ной конфигурации т к обычной верхней полуплоскости переменной оказывается правильным.

Сейчас мы получим обычные струнные амплитуды, демонстрируя тем самым эквивалентность первично и вторично квантованных теорий со взаимодействиями на уровне теории возмущений.

МЕТОД ФУНКЦИЙ НЕЙМАНА

В гл. 2 мы убедились в возможности вычисления функционального интеграла по диску с L ручками:

Л» = Е f dnMN,L exp ^ ktN(i,j)kj.(6.5.1)

L TL< > J

Здесь N (i, j)- функция Неймана между точками i и j на краях диска или верхней полуплоскости с ручками, a MNL включает все члены меры.

Недостаток этого подхода, однако, заключается в том, что функциональный интеграл определяется на диске или в верхней полуплоскости, в то время как струнная интерпретация конформного диска неясна. Для того чтобы найти связь между струнным подходом и конформным диском, сначала сделаем конформное преобразование р = In z. Такое конформное преобразование превращает верхнюю z-полуплоскость в горизонтальную полосу p-плоскости шириной к. Эта горизонтальная полоса в свою очередь может быть интерпретирована как поверхность, заметаемая одной свободной струной. Мы стремимся обобщить это преобразование на ЛГ-точечную функцию.

Мы следуем Манделстаму [8] и делаем следующее конформное преобразование верхней полуплоскости:

Р = Е log (z - zj; £ °- = °’(65

где параметризационная длина каждой струны есть л af. Это конформное преобразование растягивают верхнюю полуплоскость в длинные горизонтальные полосы, которые соответствуют движению расщепляющихся струн.

Аналитически на качественном уровне мы можем видеть, что это преобразование отображает верхнюю полуплоскость в правильную диаграмму в калибровке светового конуса. Отправим нашу переменную на положительную бесконечность и затем начнем медленно двигать налево. Когда мы приближаемся к одной из сингулярностей, лежаШИ* вещественной оси, р быстро уходит в отрицательную бесконечность, мы проходим над сингулярностью zu в результате чего логариф приобретает мнимую часть:

р ~ ajog^z) = znaf + a,logz.(6*^

Таким образом, мы перепрыгиваем в p-плоскости вертикально вверх аатса,- Это соответствует движению от начала с струны длины ла; к ее хоЯДУ на бесконечности. Если мы продолжаем движение в z-плоскости хдево, то точка в p-плоскости начинает двигаться вправо (оставаясь решенной на расстояние ла,- вверх).

Когда мы подходим к следующей сингулярности в точке zi_1 на хещественной оси, происходит нечто странное. Движение переменной х p-плоскости начинает замедляться, в определенной точке она вообще может остановиться, а затем начать движение в обратном направлении, т.е. двинуться влево в комплексной плоскости к отрицательной беско- иечности. Точку поворота в p-плоскости можно найти, взяв производную и решив относительно z следующее уравнение:

dp

Точка поворота: — = 0. (6.5.4) dz

Когда мы достигаем в z-плоскости z^-x, точка в p-плоскости устремляется в отрицательную бесконечность. Проход над сингулярностью в точке Zj-t приводит к сдвигу в p-плоскости на еще один отрезок ла,-! вертикально вверх. Осторожно двигаясь таким образом по вещественной оси в z-плоскости, мы очерчиваем струнную конфигурацию в калибровке светового конуса, показанную на рис. 6.4.

К счастью, из (2.5.7) известно, что функция Неймана в верхней полуплоскости есть сумма двух логарифмов. Далее мы хотим разложить эту же самую функцию Неймана в степенной ряд по переменным, определенным в z-плоскости. Для свободной струны, например, можно выбрать координату £ для направления т и координату т| для направления а. Тогда

z = et = ^ + ^.

Теперь разложение функции Неймана по переменным £ и ц получается без труда:

N (z, z') = In | e^ — e^ | + In | ^ — e^ |

(6.5.5)(6.5.5)= — У - e-n^-^ ,cosnr|cosnr|' + 2max(^, ^’Y

(6.5.5)

(6.5.5)

Доказательство того, что это выражение воспроизводит функцию Ней- достаточно просто. Во-первых, отметим, что су-производная Функции cosnr| на концах струны равна нулю, в соответствии с тем, что л 0 на концах струны. Во-вторых, результат действия оператора V2 У это разложение равен нулю всюду, кроме точки z = z'. Член ПШх(^, ^'^ выделяющий максимум из двух значений, дает правильную ^Мптотику при £ -► ± оо. Следовательно, в силу единственности такое Ч^жение должно быть правильным.

Мщение для функции Неймана взаимодействующей струны получая таким же способом. Сначала предположим, что функция Неймана

Рис. 6.4. Параметризация N-точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.Рис. 6.4. Параметризация N-точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.

Рис. 6.4. Параметризация N-точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.

Рис. 6.4. Параметризация N-точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.

имеет вид [8]

N (р, р')= —8r-s £ (-) cosMT|rcosmnsexp[-n|^r - ^|]

4- £'2М™ cosmr|rcosA?r|s 4- 28rsmax(^, £')(6.5.6)

- 2т|38г,3 - 2r|38s3 4- brs.

(6.5.7)(6.5.7)где можно определить локальные координаты прямо на струне с номером г:

(6.5.7)

(6.5.7)

р = ar (£r 4- ixV) + c°nst

для г = 1, 2, 3, а константу можно выбрать так, чтобы координаты отсчитывались от ближайшей точки поворота. Здесь штрих у суммы означает отсутствие члена п = 0, т = 0. Доказательство правильности этого выражения проводится аналогично. Отметим, что первые два члена в правой части уравнения являются просто членами, обусловленными свободной струной, которые гарантируют выполнение уравнения V2N = 2k82(z — z'). Остальные члены представляют собой не что иное, как решение уравнения Лапласа, разложенное по cosnr|. Следовательно, данное выражение служит решением уравнений Пуассона. Поэтому, с учетом единственности функции Неймана, оно является правильным*

Важно отметить, что до сих пор не было сделано ничего нового. Мы просто переписали функцию Неймана как фурье-разложение в различных струнных координатах. Важнейшие коэффициенты N^n, которые непосредственно появятся в трехструнной вершине, в свою очередь могут быть точно вычислены, поскольку мы знаем форму функции Неймана в верхней полуплоскости, представляющую собой сумму Д®^ логарифмов. Таким образом, можно делать различные фурье-преобр® зования этой известной функции Неймана, определенной в верхне^ полуплоскости, и найти фурье-коэффициенты Nmn. Мы обращаем Пр® дыдущее уравнение и теперь решаем его для коэффициентов Нейман *

^Я фурье-преобразование разложения (6.5.5), приходим к [6]

N^o = -^. —— е(И > 0),(6.5.8)

п ; 2к1 z — xs

1е -^М-пХ^д

N"n = “ ти(2тс)2 £ dZ' f dZ$ (z, - zj2

^ s8 1, x2 = 0, x3 = oo). Подставляя в это выражение функцию Неймана, определенную в верхней полуплоскости, и делая подходящее преобразо- gggge переменных, мы получаем точную формулу для коэффициентов Неймана.

Теперь, имея явные выражения для фурье-компонент функции Ней- лаиа, рассмотрим случай трех струн. Преобразование верхней полуплоскости в трехструнную конфигурацию есть просто

р = at ln(z — 1) + a2lnz.(6.5.9)

Точку поворота для такого отображения можно вычислить, беря производную

do

-f = 0^zo=-^.(6.5.10)

dza3

Отсюда момент времени, в который происходит расщепление струны, равен

з

t0 = Rep(z = z0) = £ arln|a,|.(6.5.11)

r= 1

Замечательной особенностью отображения (6.5.9) является наличие обратного, выражающего z через р. Это позволяет вычислить все функции Неймана быстрее, не прибегая к абстрактным выражениям типа (6.5.8).

Мы начнем обсуждение процедуры вычисления коэффициентов Нейс задания координат на трех различных струнах. Например, определим координату £3 на третьей струне:

Сз = —+ m = ;3 + zn3.(6.5.12)

аз

Деление на a3 обеспечивает изменение параметра т| только от 0 до к.

° Этих новых переменных отображение (6.5.9) можно написать так:

1 и . ai 1 Л Л

-Inz —+ т =In I II

а3 \ z/

=- —ln(l+е^е"^ + 'л"|п2).(6.5.13)

«з

ввести новые переменные

?s -^3 + /я-Inz,(6.5.14)

•ts^(6.5.15)

аэ’(6.5.16)

то отображение (6.5.9) сведется к

У = у In (1+хе').(6.5 17)

К счастью, это уравнение можно решить, если искать решение в виде степенного ряда

У = Z 1в.№х*-(6.5.18)

Подставляя (6.5.18) в (6.5.17), находим явную форму для ап :

а„ = ^j (»Y - 1)- .(«Y - и + D-(6.5.19)

Обратно подставляя наши выражения для z и £3 в (6.5.13), находим lnz= -£3 + /л+ £ ^«/-^е^.(6.5.20)

„=1а3 V а3/'

Теперь сравним это уравнение с (6.5.6), устремляя переменную / к нулю. В этом пределе имеем

ln|z| = -53 + £ N%cosnr\3.(6.5.21)

п = 1

Сравнивая последние два выражения, мы видим, что Nno пропорциональна ап.

Такой же анализ может быть выполнен и для других струн. В конечном счете мы выразим все коэффициенты Неймана через ап. Окончательный результат есть [8]

Nr„\m =^а! а2 а3 Nrm Ns„,(6.5.22)

та, + па,

Nm = а/Vm(-ar+i/ar)exp(mT0/ar),

где у, = -аг+1/а, и

/„(Yr) =

К = -То^а^газ), 3

т0 = £ аг 1п | аг |,(6.5.23)

функциям0’ и функД00*функциям0’ и функД00*Г=1Р = а^ - а2р\.

функциям0’ и функД00*

функциям0’ и функД00*

На первый взгляд мы видим громадную разницу между выведенными из вторично квантованного действия в (6.4.24),

ми Неймана в (6.5.22), полученными путем конформных прео<

^ Первый вариант матрицы N определяется из условия перекрытия ее второй вариант выражается через неймановские функции на рвмановой поверхности.

Чудесным образом, однако, оказывается, что они совпадают [6, 9]:

Nrm = Nrm.

Таким образом, хотя эти два вывода сначала представлялись совершенно непохожими, в конечном счете мы обнаруживаем их полную эквивалентность. (Фактическое доказательство того, что коэффициенты Неймана, найденные в полевой теории (6.4.24), и коэффициенты, полученные в первично квантованной теории, совпадают, можно провести двумя способами. В первом мы используем хорошо известную теорему единственности решения уравнения Пуассона с заданным граничным условием. Можно показать, что обе функции Неймана являются решениями уравнения Пуассона и оказываются непрерывными при т = О, когда происходит расщепление струн. Поэтому, несмотря на громадную разницу в способах появления этих функций, они на самом деле одинаковы. Их эквивалентность тем не менее может быть показана также с помощью второго подхода, опирающегося на «грубую силу». Доказательство требует манипуляций сложными выражениями посредством тождества (6.5.8) [6]. Детали этого вычисления, однако, очень утомительны и здесь представлены не будут.)

Следующим шагом будет доказательство того, что полевая теория струн в калибровке светового конуса воспроизводит модель Венециано.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ

Начнем наше обсуждение с выписывания N-точечной амплитуды в формализме светового конуса. Эта амплитуда является прямым обобщением амплитуды, найденной в полевой теории точечной частицы в калибровке светового конуса [8]:

N- 1

^ = f Е <^ f П dP^ Ч-^ № W,(6.6.1)

i = 2г.М

. гд е

w= [де1&у12Ц(аУ/2е~^^^

х exp ^- X f dd dsM P^s^N <5$\ тг; a", ts)P‘ (a")).(6.6.2)

Здесь 'p^) представляет входящий (выходящий) вектор состояния г-й ®®чней струны, т,-времена взаимодействия, Р~ - компонента фурье- Ч*°бразования, необходимая для превращения данного выражения Амплитуду на массовой поверхности, Р^- распределение импульса,

«размазанное по струне» (которое представляет произвольную cobokv ность высших резонансов).*

Отметим, что с этой амплитудой связаны две проблемы, требующи безотлагательного решения.

Функция Неймана встречается только с поперечными импульсными возбуждениями. Мы должны показать, что полное выражение является лоренц-инвариантным, включая и продольные импульсные фа^ торы.

Переменные времени взаимодействия т(, найденные в полевой теории струн, должны быть преобразованы в обычные переменные 2 Кобы-Нильсена. Это требует якобиана, который в общем случае довольно сложен.

Займемся решением первой проблемы. Кажущаяся нерелятивистская форма амплитуды с поперечными и продольными факторами, встречающимися в совершенно различном виде, является, однако, иллюзией. Существует трюк, который превращает это выражение в лоренц-инвари- антный интеграл. Дело в том, что переменная т является решением уравнения Лапласа с правильным граничным условием. Поэтому ее можно выразить через линейный интеграл по каждой внешней линии на бесконечности:

т = ^ £ J do' N (и, т; и', тг).(6.6.3)

(Довольно странное тождество, выражающее т через нее же саму. Для его доказательства просто умножим обе части (2, 5, 6) на т' и выполним интегрирование по двумерной плоскости. Тщательно отбрасывая взаимно уничтожающиеся члены, интегрированием по частям получаем приведенное выше уравнение.) Итак, можно заменить переменную т ее функцией Неймана и написать

^Р, ^r = z-Ypr 1</<т'^(а, тг; o', t,) rr,s

= —y?r -s J da j da' N (а, тг; o', ts).(6.6.4)

Л r s drds

Добавляя этот продольный вклад функции Неймана, содержащий Р Р ’ к поперечному вкладу, содержащему р^рь мы получаем в результате общую инвариантность функции Неймана. Таким образом, члены вида Р~ т представляют собой то, чего нам не хватало для восстановления ковариантности членов вида PiPj.

Итак, первая задача установления лоренц-инвариантности интеграл* оказалась тривиальным следствием теоремы единственности в электр0* статике. Вторая задача-превращение времен взаимодействия т, в пер6* менные Кобы-Нильсена-так же просто решается использованием те°* ремы единственности.

^Ы хотим вычислить якобиан

(6.6.5)(6.6.5)5т( J = det —

(6.6.5)

(6.6.5)

где Хг обычные переменные Венециано на вещественной оси.

Выберем xt = 0, xN_t = 1, xN = оо и теперь сравним этот якобиан с величиной

(6.6.6)(6.6.6)(6.6.7)(6.6.7)ГИ^1'2,

(6.6.6)

(6.6.6)

(6.6.7)

(6.6.7)

г№

С* 9z2z = '’

р = Х </;1п(х( - z\

Отметим, что наш якобиан и эта величина, включающая производные конформного преобразования, обладают одной и той же аналитической структурой. Они оба имеют одинаковые сингулярности при совпадении различных х( и одинаковые граничные условия. Следовательно, они сами должны быть одинаковыми с точностью до числовых множителей. Чтобы вычислить эту константу, мы можем выбрать переменные х{ далеко отстоящими друг от друга. Тогда

(6.6.8)(6.6.8)Р&) = Inx, £ d„

(6.6.8)

(6.6.8)

так что

N-2

J = Е хГ11 Е а, I •(6.6.9)

' - 1 s i

(Добавим, что имеются также нетривиальные члены, включающие Детерминант лапласиана, определенный по четырехточечной конфигура- ДИИ, и нулевые компоненты функций Неймана. Эти члены сокращаются ДРУГ с другом при внимательном изучении аналитической структуры их СВВгУлярностей. Впервые их точное сокращение было продемонстриро- Ваа° в [6] для четырехточечной функции. Сокращение в произвольном случае, включая петли, выполнено в [12].) Таким образом, мы свели *Лобиан к тривиальному множителю [10-12], представляющему произ- леДение различных переменных Кобы-Нильсена. Объединяя все вместе, лмеем

Если вместо произвольных внешних резонансов мы берем внещцИе тахионы, то находим

(6.6.Ц)(6.6.Ц)^n = f dp П I Zi - г, Ik* k‘..

(6.6.Ц)

(6.6.Ц)

как и выше, т. e. восстанавливается N-точечная амплитуда.

ЧЕТЫРЕХСТРУННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Предшествующие интуитивные соображения привели нас к утверждению о существовании четырехструнного взаимодействия [1], в котором две струны могут взаимодействовать в своих внутренних точках и мгновенно изменять локальную топологию. На первый взгляд существование соответствующей диаграммы в рамках метода функций Неймана не представляется очевидным, так как верхняя полуплоскость всегда преобразовывалась в планарную конфигурацию. Однако присутствие членов четырехструнного взаимодействия в амплитуде Венециано можно увидеть, тщательно проверив область интегрирования переменных Кобы- Нильсена.

Мы начинаем с четырехструнного отображения и полагаем ^ = 1, х2 = оо, х3 = 0 и х4 = х. Тогда это отображение приобретает вид

р = 04 ln(z — 1) 4- a3lnz 4- a4ln(z — х\(6.7.1)

Для того чтобы найти его сингулярность, положим

^ = 0.(6.7.2)

az

Решение этого уравнения дает точки поворота для нашего преобразования:

Z± = 7П . {1 + (У2 - Y1)X± д1/2},(6.7.3)

где =

Y1 04 4- а2’

а3

у2 =,

04 4- а2

Д = x2(y2 - Yi)2 + 2x(2YiY2 - 71 ~ Y2) + 1-(6'7'4)

Как правило, два решения уравнения для точек поворота, определяемые знаками ± квадратного корня, показывают, что на римановой поверх ности существуют две точки поворота, обладающие по отношению ДР^ к другу свободой движения. В 5- и /-канальных диаграммах мировЫ поверхности струн гладко деформируются друг в друга. Однако, когД в p-плоскости у двух точек взаимодействия совпадают мнимые част , происходит интересная вещь.

Рис. 6.5. Четырехструнное взаимодействие. Невозможно непрерывно продефор- мировать ь и м-канальные четырехструнные диаграммы рассеяния друг в друга, если использовать только трехструнные вершины. Непрерывность конформного преобразования означает наличие потерянного куска в области интегрирования, который обеспечивается только введением нового четырехструнного взаимодействия.

Изучим, например, фейнмановские диаграммы для ь и «-канального рассеяния четырех частиц (см. рис. 6.5). Видно, что эти две диаграммы не могут быть переведены друг в друга гладким образом. Струны сходятся или вблизи верхней, или вблизи нижней части диаграммы, поэтому не существует способа непрерывной деформации одной такой Диаграммы в другую. Но это невозможно. Конформное преобразование по определению было гладким, что позволило нам непрерывно переходить от ь к «-каналу и наоборот. Другими словами, часть области ^мигрирования теряется. Чтобы увидить это, вычислим момент встре- 41 ^ и «-канальных диаграмм. Положим А равным нулю и решим полученное уравнение для х:

- ^бТ-{у1 + ь -2УЛ2 ±2[у1(у1 - 1)у2(у2 - 1)]1/2}- (6.7.5)

Дли решения отвечают t- и «-канальным точкам поворота. Интервал х < оо) дает нам одну диаграмму, интервал (х_ > х > — оо)-дру- но что можно сказать об области между ними? Это недостающий Он соответствует непрерывному преобразованию от графа одного к графу другого канала, при котором происходит только мгно- Деформация локальной топологии двух графов (см. рис. 6.6).

в Указанной промежуточной области локальная топология четырех Изменяется так, что струны соединяются в другой последователь-

8 §

о

^v^. в этом и состоит графическое доказательство того факта, что ^рехструнное взаимодействие, которое мы постулировали выше, ^ствительно есть часть формулы Венециано (для I- и и-канальных ф^фов). Без этого недостающего куска полевая теория струн и в самом l^e является неполной, а также нарушает конформную инвариантность , другие свойства 5-матрицы.

Следовательно, четырехструнное взаимодействие требует дополни- ^ного интегрирования по da. Это похоже на «застежку-молнию», дозволяющую локально изменять топологию четырех струн. На первый взгляд кажется, что это взаимодействие происходит со сверхсветовой дуростью. В конце концов, оно мгновенно во времени, так как интегрирование по da производится мгновенно. Кажется, что мы нарушаем постулат локальности, наложенный нами первоначально для вывода теории, подчиняющейся принципу причинности.

Решение этой головоломки заключается в том, что четырехструнное взаимодействие представляет собой аналог кулоновского члена взаимодействия, возникающего в теориях Янга-Миллса при квантовании в кулоновской калибровке или в калибровке светового конуса. В кулоновской калибровке поле Ао появляется в квадратичной комбинации Я072Ло и линейно при взаимодействии с фермионами вида Ло \р у0 \|/- Функциональным интегрированием по Ло находим

yy0\|/V ~2\j/y°\|/,

но представляет собой четырехфермионный кулоновский член. Отметим, что V2-«мгновенный» оператор (т.е. не зависит от времени). Кажется, что такой член нарушает принцип относительности. Однако в Действительности условие причинности полной 5-матрицы строго выполняется даже в присутствии этого члена, являющегося артефактом фиксации калибровки.

Итак, интегрирование по «застежке-молнии» согласуется со специальной теорией относительности, кажущееся нарушение которой оказы- ^ся иллюзией. Фактически в рамках геометрической теории струн, Сложенной в гл. 8, можно показать, что ковариантный четырехструн- член взаимодействия представляет собой в точности кулоновский найденный в нерелятивистском квантовании. Таким образом, Вйкаких противоречий со специальной теорией относительности нет.

Выпишем теперь вклад четырехструнного взаимодействия в действие левой теории. Подчеркнем, что член четырехструнного взаимодейст- Можно угадать, исходя из условия локальности, но, как мы видели, Называется согласованным с амплитудой Венециано. Этот член действия есть [1]

^f0^^ 8( L «,)цф;.(х^ф;.(х2)ф;.(х3)ф;.(х4)51234,

(6.7.6)

где |1-мера и

81234 = ПЗ(У4(п4) - I ^(сОв.ОПЗ^зСаз) - £ Х,(с()9;), СТ4i=l^3^^

где

£а. = 0, i=l

а3 > 0; а4 > 0;

с^ < 0; а2 < 0;

(М.1^(М.1^<?! = тш4 — а4, если у < а4 < яа4, а2 = я | at | — а3, если 0 < а3 < х.

(М.1^

(М.1^

а2 = ла3 — а3, если х < а3 < яа3 а2 = я | а21 — а4, если 0 < а4 < у, j = х + тс(а4 — laj)

И

91 = 9(а4 -у),

02 = ^(у- сЛ

9i = 9(а3 -х),

02 = 9(х - ст3).

Хотя четырехструнное взаимодействие можно вычислить точно, попытки его обобщения к полной N-точечной амплитуде оказываются безнадежными. Кажется неизбежным проводить утомительную проверку сотен возможных диаграмм, составляющих амплитуду. Однако существует удобный прием, который резко упрощает эту проблему.

безнадежной зад_1 эквипотенциальны*безнадежной зад_1 эквипотенциальны*Сначала заметим, что если мы разместим внешние электрические заряды qt на круглом диске, то нарисовать эквипотенциальные линии в диске не составляет труда. Ключевое наблюдение, однако, состоит в том, что конформное отображение переводит эти эквипотенциальные линии в вертикальные линии на диаграмме светового конуса. Следовательно, топология эквипотенциальных линий должна воспроизводив точную топологию взаимодействующих открытых и замкнутых стрУ^ Это замечательное наблюдение сводит кажущуюся к относительно простой проблеме изображения линий для диска с внешними зарядами.

безнадежной зад_1 эквипотенциальны*

безнадежной зад_1 эквипотенциальны*

Например, мы знаем, что т = Re р (z) = £ a, In | z — z, |, но нам так#6 известно, что электростатический потенциал в двумерии в точке г> создаваемый совокупностью точечных зарядов в q^, определяется к

Потенциал = £ qt In | г — г, |,

€ МЫ можем интерпретировать т как электростатический потенциал точечных зарядов а,. Таким образом, линии равного потенциала есть точности линии равного т. Но струны, распространяющиеся вдоль 11<адделстамовской полосы, описываются вертикальными линиями оди- ^цового т. Поэтому эквипотенциальные линии на конформной поверхно- апи, создаваемые зарядами а, , соответствуют физической эволюции ^заимодействуюгцих струн.

Из рис. 6.6 очевидна необходимость существования четырехструнной дершины также и в формализме светового конуса. Фактически посредству анализа эквипотенциальных диаграмм можно показать, что в континуальный интеграл нужно добавить ровно пять различных членов, описывающих взаимодействие. Обратим внимание на взаимодействия замкнутых струн, появляющиеся из сектора открытых струн как «связанные состояния». Мы видим, что лагранжиан взаимодействия должен быть суммой всех пяти различных членов.

ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СУПЕРСТРУН

И NS- R-действие, и GS-действие оказывается возможным выразить как вторично квантованную теорию в формализме светового конуса [13]. При этом возникают новые особенности:

Полевой функционал Ф теперь является и функционалом от спинорных полей, которые можно рассматривать как преобразующиеся по представлению 8 группы SO(8) или 4 + 4 группы SU(4).

В теории имеются генераторы суперсимметрии, преобразующие бозонные члены взаимодействия в действии в фермионные. Это налагает сильные ограничения на возможные взаимодействия.

В отличие от бозонной теории, мы должны добавить специальную вставку в точку расщепления струн. Без этого вставочного члена теория не является ни суперсимметричной, ни лоренц-инвариантной.

Обсудим GS-действие в формализме светового конуса, поскольку оно является явно суперсимметричным. Первично квантованное действие в калибровке светового конуса определяется формулой (3.8.3):

(6.8.1)(6.8.1)S'« = 4^7 f ^2 (д„Х‘ da Х‘ - (2 ia')p+ 5ау“ да 0а).

(6.8.1)

(6.8.1)

ДОсь О1,2-восьмикомпонентные спиноры пространства представления //W и одновременно спиноры с двумя компонентами в двумерном /убранстве. Напомним, что в 10-ти измерениях дираковский спинор ест 32 комплексных компоненты, майорановский 32 вещественных *®°ненты, майорано-вейлевский 16 вещественных компонент, и в ка- светового конуса спинор имеет 8 вещественных компонент, ^Образующихся по представлению SO(8).

°блема квантования такого действия заключается в самосопря- ^Вости фермионного поля. Сопряженные импульсы определяются 20»

уравнением

(6.8.2)

Таким образом,

{010(а), 016(аЭ} = {02о(а), 02*(а')} - §°6§(а - а'),(6.8.3)

{01о(а), О26^)} = 0-

Эти поля являются самосопряженными, и перестановочные соотноще. ния не имеют канонической формы. Фермионные поля образуют алгебру Клиффорда, тогда как мы предпочли бы иметь грассмановы состояния без дельта-функции в правой части (6.8.3). Простейший выход из этой ситуации состоит в разбиении 8-ми состояний спинора на 4 + 4 состояния таким образом, что один ряд из четырех состояний является сопряженным к другому. Один из таких способов использует подгруппу SU(4) группы 80(8):

80(8) zd 80(6) ® 0(2) = SU(4) ® U(l).(6.8.4)

При таком разложении представление 8 группы 80(8) разбивается так:

8 = 4©4.(6.8.5)

Теперь восемь компонент спинора разложим в виде

610 = (б1^, Х1В),(6.8.6)

02« = ^\ VBY

А и В изменяются от 1 до 4. Мы используем обозначения

: 0я = 0Л,

4:ХА = ХЯ.(6.8.7)

Приняв эти новые определения, мы имеем новые независимые переменные 0J, которые все взаимно антикоммутируют без какой-либо дельтафункции, как в (6.8.3). Желаемые антикоммутационные соотношения этих переменных с канонически сопряженными суть

{0,;Я(п), V’*(a')} = §(а - а')^ВУ<(6.8.8)

В процессе редукции дираковского спинора с 32 комплексными компонентами имеется множество ступеней, поэтому подведем итог тому, каким образом мы пришли только к четырем независимым состояниям:

Дирак = 32 комплексных компоненты,

Майорана = 32 вещественных компоненты,

Майорана-Вейль = 16 вещественных компонент,

Световой конус = 8 вещественных компонент, Канонический = 4 вещественных компоненты.

Разложив спиноры в соответствии с подгруппой SU(4) группы 80$

^ должны провести такое же разложение для векторов по этой под- фуппе. Разобьем векторы А1, где I = 1, 2,..., 8, следующим образом:

д1 В1 = А1 В1 A- AL BR A- ARBL ,(6.8.9)

где

AR = 1"W<X1 iX%\

Al ^l"1’1^1 -iX%Y(6.8.10)

Окончательно, действие свободной теории имеет вид

= $D16z[a+ ч^а. т + тг(д+ Фа_ ф)],(6.8.1 о

где независимый набор переменных интегрирования есть

J)16 z = D8 X1 D4 Q^D4Q2A,(6.8.12)

и где Ф-поля открытых струн, а Т-поля замкнутых струн.

Наш основной полевой функционал определяется теперь (мы приписали полю изоспиновые индексы) формулой

Ф^Е^^ЬОЧаХО2^)] = -Ф^^ла-аХО^ла-аХОЧла-п)]^

(6.8.13)

где роль переменной а чисто символическая. Она была добавлена для того, чтобы показать, как поле преобразуется под действием твиста.

Следуя соотношениям (6.3.44), полученным для бозонного случая, можно построить канонические соотношения квантования:

[•*(1),(2)] = ^ 8(«! + а2) {3"86с Д16 [z, (ст) - z2 (ст)]

- 8" а6с Д16 [z, (ст) - z2 (л I а21 - ст)]},(6.8.14)

где

z = (X\ 01Я, 02Я).(6.8.15)

Сейчас, когда мы сформулировали свободную теорию суперструн, займемся трудной задачей построения вершин взаимодействия для суперструн. Мы обнаружим несколько сложностей:

0) Теперь будут не один, а два набора осцилляторов и раздельные условия непрерывности, возникающие из перекрывающихся дельтаФункций. К счастью, два набора осцилляторов коммутируют друг , с Другом и не смешиваются.

') Возникнут дополнительные члены, определенные в точке соединения зрех струн. Вообще говоря, на струне нельзя ввести дополнительные поля, так как они нарушат лоренц-инвариантность и конформную Инвариантность. Тем не менее поля можно разместить точно в той Точке, в которой струна разрывается. При этом следует проявлять (31 ^Р^ность из-за сингулярностей, существующих в этой точке.

Сильнейшим ограничением будет суперсимметрия, которая полностью определит природу этих вставок в точках разрыва.

Мы начинаем обсуждение вершинной функции с постулированця формы, которую она примет. Основываясь на аналогии с бозонным случаем, мы принимаем без доказательств, что суперструнная вершина должна иметь вид

|y> = Z,.exp[Ao + As]|0>6(XaJ5(Zp;)5(E«r^X(6.8.16)

где Zt-поля-вставки в точке разрыва, а До-обычный бозонный член найденный в (6.4.23),’

до = 5 i f «-m N"n а<2>л + f f N^aMmP-^P2, (6.8.17) r,s=l m,n=lr=l m=l01

причем a= o^o^o^. Мы предполагаем, чисто по аналогии с бозонной теорией, что фермионная часть должна быть квадратична по операторам рождения. Выберем следующее разложение:

0М = _L_y R^ei"c/W^

^А = 3 X'RAe-i„<sl\a\^ a „

Xм =1 у кАе^1\»\,

V2n|a| ,

VA =Vv ^R^e ,

^271^1 п

где

{^,Л®} = а5т+„,05л», оо 3_ оо 3_

Д$= £ I Л^^Л^+Е УЛ^,(6.8.18)

m,n=l r,s—1т=1 г=1

причем о матрицах U и V совершенно ничего неизвестно, а

0^=—(0^ — 02). аз

Для такой формы (6.8.18) не существует никакого другого обоснования, кроме того, что она удовлетворяет основным граничным условиям, которые мы сейчас наложим. Потребуем выполнения условий

£8,6? = О,

^£Г0^ = О.(б-8^

Здесь £, равно +1 (—1) для входящей (выходящей) струны, и тИЛ^ обозначает второй осциллятор. Эти условия, будучи написанные

। фурье-модах, имеют сходство с условиями, найденными из сохранения И^щульса. В частности, мы обобщаем (6.4.17):

3 00 Гп --

У £(6.8.20)

Г*1 п=1 аг

£ I+ R^ - У2^5т0" Н К> = 0.

I r= 1 л = 1 ^/П-1

уы также налагаем условия непрерывности

£Х,л(<т) = о,

£Хгл(а) = 0.(6.8.21)

Эти условия непрерывности требуют, в свою очередь, выполнения следующих условий на фурье-моды:

3 00

£ £ ^ЛМ(^>л-^Г>л)|К> = 0,(6.8.22)

г=1 n—1 «г

( 3 00 115 )

I I+т Ю = 0.

ir=i»=iV«V2аол^

Теперь у нас имеется достаточно условий для нахождения матриц U и V. После трудоемких вычислений получаем

П" —Mrs

v тп —11 тп ,

(6.8.23)(6.8.23)V» = - а^азV» = - а^аз^-NVа.^-NVа.а.

(6.8.23)

(6.8.23)

V» = - а^аз

V» = - а^аз

^-NVа.

^-NVа.

Далее мы хотим построить суперсимметричные операторы нашей теории, основываясь на опыте с генераторами свободной суперсимметричной теории. Обозначим суперсимметричные генераторы первично кантованной теории через q. Тогда вторично квантованные суперсимметричные генераторы Q связываются с q на свободном уровне посредством

(6.8.24)(6.8.24)& = J a</aJD16Z[TrФ_a^Фa + T^TJ. О

(6.8.24)

(6.8.24)

Канонические условия квантования (6.8.14) гарантируют, что если гене- ^торы q образуют алгебру, то Q также должны образовывать ее. Частности, первично квантованные q подчиняются коммутационным с°°‘тнощениям

(6.8.25)(6.8.25){? А, q-~B} = 2И6лВ, {я~А, q-B} = ^q-\ q-B^ = 0.

(6.8.25)

(6.8.25)

Возникает желание построить вторично квантованный вариант этих соотношений. В частности, взаимодействующая часть вторично кванто. ванного генератора имеет вид

3/ 3

Q"A = ... + XJ П darD16Zrb I X г = 1' i = 1

/ 3\

хД16 ££iZ, <Ф1|<Ф2|<Ф3||е^>.(6.8.26)

X i7

Подставив теперь выражение для вторично квантованных генераторов в коммутационные соотношения, получим ряд слагаемых, сумма которых должна обращаться в нуль. В нулевом порядке по константе связи выполнение этого условия гарантируется, поскольку q удовлетворяют соотношениям суперсимметрии. Однако члены, линейные по константе связи, содержат как свободные q, так и взаимодействующие | Q°у В частности, находим

3_3__

L ^IQ-S>+ I q;B\Q-A> = 2\H>^B, r=lr=l

3

(6.8.27)(6.8.27)Z q7A\Q"B> + (A^B) = 0, r=l 3

(6.8.27)

(6.8.27)

Z q;A\Q"B>-KA^B) = 0.

Для решения этих уравнений примем, что Q имеют общую форму

\Q"A>=YA\V>,х

''(6.8.28)

| Q,"А > = ksABCD YB Ус Yd I V >.

Итак, мы собрали внушительный аппарат, по большей части построенный из предположений и аналогий с бозонным случаем. Теперь необходимо сделать еще одно предположение о структуре функций Z и У, появляющихся в (6.8.16) и (6.8.28). На эти две последние функций обязательно имеются ограничения, поскольку они не должны нарушать наложенных нами условий на фурье-моды. Следовательно, они должны коммутировать или антикоммутировать с условиями непрерывности. Оказывается, что эти требования однозначно определяют Z и У'

Z^Rar^^-al-jV^a^), “'(6.8.29)

уЯ = |'а|1/2(0я1 ^^^^Я).

2r.m «г

Наконец, приведем наш аппарат в действие. Коммутационные СО°Т^ шения суперсимметрии должны генерировать |Я). С помощью «грУ

^ЛЫ» находим --_

|Я> = (2-1/2 ZL - Z‘ р'^ YA У 6 + ^ ZK eabcd Ya Yb Yc Yd) | V >.

(6.8.30)

Имея окончательное выражение для вершинных функций, удовлетворяющих условиям суперсимметрии, попытаемся переписать функции 2 и У- Как отмечалось выше, эти функции выбирались так, чтобы они юммутироиали или антикоммутировали с условиями непрерывности. Поэтому мы подозреваем, что они в действительности обращаются в нуль всюду, кроме точки разрыва трех струн. Мы должны тщательно рассмотреть предел при приближении к точке разрыва, так как в ней функции легко могут оказаться расходящимися. В результате такого анализа мы можем переписать Z и У в виде

ХА = limе-*0ХА = limе-*01 \ 1/2 __

ХА = lim

е-*0

ХА = lim

е-*0

(O^OtCt! - £) +- £)),

(6.8.31)

Z* = lim ^/2 гкр\ (лс^ — е). е-*0

Наиболее важно здесь то, что обе функции Уи Z локальны на струне, т. е. отличны от нуля только в точке соединения струн. Таким образом, мы обошлись без нелокальностей, присутствие которых испортило бы лоренц-инвариантность.

РЕЗЮМЕ

Ранее предполагалось, что полевая теория протяженных объектов невозможна по двум основным причинам:

О) Попытки Юкавы, Гейзенберга и других показали, что всякое отклонение от принципа локальности в квантовой механике влечет за собой нарушение принципа причинности. Возбуждение в одной точке капли распространялось бы через нее со скоростью, большей скорости света.

Теория не воспроизводила бы модель Венециано, потому что циклическая симметрия и многие другие свойства бета-функции сохраняются только на массовой поверхности, тогда как действие определяется вне массовой поверхности.

Теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариантной и унитарной вне массовой поверхности, поскольку процедуры квантоваНия для струн, которая обеспечила бы и лоренц-инвариантность, И УнитаРность вне массовой поверхности, не существует.

') Более того, в струнной теории полевая теория представлялась ^возможной из-за проблемы «двойного счета», обусловленной Дуальностью. Дуальные диаграммы уже сами представляют собой суммы по 5- и /-канальным полюсам, и, следовательно, сложение

диаграмм с полюсами в каждом из различных каналов привело б к многократному учету одних и тех же слагаемых, в особенности многопетлевых диаграмм.

К счастью, полевая теория струн справляется со всеми этими пробле. мами. Первая проблема-нелокальность-разрешается введением муд^ тилокалъной теории. Таким образом, изменения в струнной топологии происходят только локально, т. е. струны могут разрываться или соединяться только в одной точке внутри струны или на их концах. Возбуждения от места разрыва распространяются со скоростью, равной или меньшей скорости света (мы пренебрегаем кулоновскими эффектами в калибровке светового конуса).

Полевая теория струн решает также и вторую проблему. Она действительно нарушает некоторые важные свойства модели Венециано но тем не менее остается приемлемой, поскольку воспроизводит ее на массовой поверхности.

В-третьих, программа BRST-квантования является лоренц-инвари- антной, но за это приходится расплачиваться введением духов, нарушающих унитарность вне массовой поверхности. Тем не менее окончательная S-матрица унитарна, так что ни один физический принцип не нарушается.

Наконец, полевая теория струн решает проблему дуальности посредством явного нарушения дуальности. Правильные дуальные диаграммы дает только сумма всех фейнмановских графов. Следовательно, на любой промежуточной стадии вычислений дуальность действительно отсутствует.

На протяжении всей книги мы подчеркивали, что вторично квантованный формализм позволяет вывести всю модель целиком, исходя лишь из одного действия. В частности, формализм светового конуса дает такую интерпретацию фейнмановского ряда, в которой струнная картина вполне ясна. В калибровке светового конуса мы используем простейшее ограничение, заключающееся в том, что взаимодействия должны быть локальными, т. е. струны могут либо разрываться, либо соединяться в изолированных внутренних точках струны или на ее концах. Это однозначно фиксирует в действии все члены взаимодействия. В частности, имеются члены, включающие четырехструнное взаимодействие.

Начнем вывод теории тем же способом, каким Фейнман получил уравнение Шрёдингера из классической механики. Мы используем фУн' даментальное соотношение

ДЬ2 = <Х1,т1,\Х2,т2> = <Х1\е"шЧХ2>

= J DXe^LWdT

гДР

£(Ф) = Ф*(/Д - Я)Ф,

H = -\dO\p^^y

Все эти соотношения можно доказать, просто подставляя различные наборы промежуточных состояний между начальным и конечным состояниями:

Первичное квантование: |^>fM<X| =1,

_(6.9.2)

Вторичное квантование: | Ф ) J D2 Ф е <ф 1 ф \ Ф | = 1.

Полевой функционал не есть функция и. Он является функционалом струнной переменной X, определяемой на области изменения и:

Ф(Х) = <Х|Ф> = ФЕХ^), Х(П2), X(o3),...,X(Gn)Y(6.9.3)

Простейшим образом эта функция раскладывается по базисным состояниям, образованным всеми возможными элементами фоковского пространства:

|Ф> = 1;Фн1М>.(6.9.4)

Так как Ф удовлетворяет струнному уравнению Шрёдингера, можно разложить полевой функционал по собственным функциям этого уравнения:

«РАМИ) = ^р{е‘(9' ^^ Ар* ,A,W.(6.9.5)

Отметим, что А является оператором рождения / уничтожения всех возможных состояний струны, поэтому он соответствует бесконечно- вомпонентной полевой теории. Наложение стандартных канонических коммутационных соотношений заставляет нас выбрать

Ц<РьИ»Лч\?„м] = ^ -9+)3(Pi - ^i)5{„K{m}.(6.9.6)

Теперь можно разложить полевой функционал Ф по этим собственным Функциям:

<Х|Ф> = Фр.(У)

= У. I П^^Р*.Р„!и}Я{я)(Х)г"Е'-Х-с'(Р x’£wt).(6.9.7)

Мы можем воспроизвести все тождества, найденные в полевой теори» В частности, можно показать, что функция Грина представляет соб^ матричный элемент двух полей:

А12 = « о IФ> № ,Ч)Ф^ (Х2, т2) | О »

= 5 (р+ - q+)f DXе ^Ld°dx П 5 (X (с, гх) - Xt (ст))

х П5(Х(ст,т2)-Х2(ст).(6.9.8)

Взаимодействия однозначно определяются нашим правилом, согласно которому локальная топология может изменяться только локально Таким образом, трехструнная вершинная функция определяется дельтафункцией:

з

^г = \аР**ч Ер+,)1^х123фЧх3)фЧх1)Ф(х2)5123 + ь.с. (6.9.9) Г=1

К счастью, интегрирование по струнам оказывается гауссовским и может быть выполнено до конца. В результате интегрирования находим

Г 3 оо

1^12з>=ехрС £ X

I r,s= 1 m,n= 1

+ Е Z a-m P + KP2 k(6.9.10)

r = 1 m = 1J

где

N". = (C-1)^ 8„ - Ктп^ЧА^Г"1 A^,(6.9.11)

а

N;= -(m)-1/2Mw7T-15)m,

К=-18Г"15,(6.9.12)

3

Г = X A^A^T.

Теперь нам нужно показать, что эта вершинная функция способна воссоздать обычную модель Венециано. Простейший способ увидеть это заключается в том, чтобы вычислить функцию Неймана для трехструи* ной конфигурации в первично квантованном формализме и затем сравнить результаты. Отправной точкой служит преобразование Ма делстама:

р = at ln(z — 1) + a2lnz.

мЫ

Так как нам известна функция Грина в верхней полуплоскости, просто берем фурье-компоненты неймановской функции, фурье-коэу

д^енты выглядят как

N»« = - 7^Zv f ^n, d4s е " ' " 1 ln(z(Q - zO

=77V 1^ 1&’ Цv~ •(6-9-13)

mn (2л)2 ^^(z, - z,y

Теперь подставим в данную формулу функцию Неймана, определенную в верхней полуплоскости, и прямым вычислением получим

тп_

^ = -;^^а1а2а^^’

_(6.9.14)

N„ = a," Vm(-ar+i/ar)exp(mT0/ar), где

К = -То/Сга^газ),

(6.9.15)

3

То= Е arln|a,|,

P = aiP2 -а2р\.

Рассмотрим теперь вопрос о суперструнах в GS-формализме светового конуса. Теперь имеется два набора осцилляторов, бозонные и фермионные. Наша основная стратегия состоит в угадывании анзаца для вершинной функции и подчинении его условиям непрерывности при перекрытии взаимодействующих струн. Основываясь на аналогии с бозонной теорией, мы полагаем

1П = г(ехр[До + Д5]|0>5(Еаг)5(ЕРг')8(Е«ЛЯ),(6.9.16)

где

Д$= Е Е R-m U'L R^ + Е E^^-’m^.(6-9.17)

m,n=l r,s=lm = l r=l

кЧ^"5} = 2A8J5, {гл,9-я} = ^-^9-5} = 0.кЧ^"5} = 2A8J5, {гл,9-я} = ^-^9-5} = 0.В гл. 3 было показано, что первично квантованные суперсимметрич- генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

кЧ^"5} = 2A8J5, {гл,9-я} = ^-^9-5} = 0.

кЧ^"5} = 2A8J5, {гл,9-я} = ^-^9-5} = 0.

(6.9.18)

^ Должны показать, что вторично квантованные варианты этих ^Раторов суперсимметрии также удовлетворяют данным соотноше-

ниям. Возьмем анзац

(6.9.19)(6.9.19)|е~я> =

(6.9.19)

(6.9.19)

\Q”A> = кгАВСО YBYCYD\V

Замечательно, что всем условиям, наложенным на вершинную функцию можно удовлетворить, выбрав’

YА = lim Це ) (Of (лс^ — е) + Of (лat — е)),

е -»0 ''

(6.9.20)

Z' = lim 5/2 eirpi (iraj — е).

е -*0

По поводу этой вершины можно упомянуть, что от нее еще требуется выполнение условия локальности. Дополнительные вставки с У и Z присутствуют только в точке разрыва струны, поэтому локальность сохраняется. Итак, наша общая трактовка теории в формализме светового конуса согласуется с изначально постулированным принципом локальности.

ЛИТЕРАТУРА

Kaku М., Kikkawa К. Phys. Rev. DIO, 1110, 1823 (1974).

Каки М. Introduction to the Field Theory of Strings. Lewes Superstring Workshop, World Scientific, Singapore, 1985.

Kaku M. String Field Theory. Int. J. Mod. Phys. A2, 1 (1987).

West P. Gauge-Covariant String Field Theory, CERN-TH-4660/86, June 1986.

Banks T. Gauge Invariant Actions for String Models, SLAC-PUB-3996.

Cremmer E„ Gervais J. L. Nucl. Phys. B76, 209 (1974); Nucl. Phys. B90,410 (1975X см. также Ademollo M., Del Guidice E., Di Vecchia P. and Fubini S. Nuovo Cimento 19A, 181 (1974).

Hopkinson J.F.L., Tucker R. W. and Collins P.A. Phys. Rev. D12, 1653 (1975).

Mandelstam S. Nucl. Phys. B64, 205 (1973); B69, 77 (1974).

Green M, Schwarz J. H. and Brink L. Nucl. Phys. B219, 473 (1983); B243, 475 (1984).

Alvarez O. Nucl. Phys. B216, 125 (1983).

McKean H. P.,Jr., Singer I. M. J. Diff. Geom. 1, 43 (1967)..

Mandelstam S. In: Unified String Theories (edited by M. B. Green and D. Grossi World Scientific, Singapore, 1986..

Green M.B., Schwarz J. H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); Nucl. Phys. B128, (1983); Nucl. Phys. B243, 475 (1984).

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ

За время, прошедшее с момента написания этой книги, полевая теория получила дальнейшее развитие. Следует отметить несколько направлений. М ды конформной теории применительно к струнной полевой теории развивал»

дебетах [2] (см. также обзор [3]). Теория фермионной струны была построена * Обетах [4, 5]. Была создана неполиномиальная теория замкнутой бозонной L^gbi [6-9], инкорпорировавшая в себя фундаментальные понятия современной жференциальной геометрии, часть из которых обсуждается в этой книге. Отдует отметить и неожиданно возникшую модель критической двумерной струны, обладающей чрезвычайно богатой симметрийной структурой [10-16]. ковариантная полевая теория открытых бозонных струн с вершиной, непосредст- jgggo обобщающей вершину в калибровке светового конуса, была предложена зуоке в работах [1].

И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Теор. и мат. физика, т. 67 (1986) № 2, 309; № 3, 484; LYa. Arefeva, I.V. Volovich, Phys. Lett. 182B (1986) 159, 312.

S. Samuel, Nucl. Phys. B296 (1988) 187; B308 (1988) 285, 317; R. Bluhm and ' S. Samuel, Nucl,Phys. B323 (1989) 337.

C. Thorn, Phys. Rep. 175 (1989) 1.

C.R. Pritschopf, С. B. Thorn, S.A. Yost, Nucl. Phys. B341 (1990) 157.

LYa. Arefeva, P. B. Medvedev, A.P. Zubarev, Nucl. Phys. B341 (1990) 464; Phys. Lett. 246B (1990) No. 3, 4.

T. Kugo, H. Kunitomo, and K. Suehiro, Phys. Lett 226B (1989) 48.

M. Saadi and B. Zwiebach, Ann. Phys. 192 (1989) 213.

M. Kaku, Phys. Lett. 250B (1990) 64.

B. Zwiebach, Nucl. Phys. B390 (1993) 33.

A. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 635.

L. Klebanov and A. M. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 3273.

P. Bouwknegt, J. McCarthy and K. Pilch, Com. Math. Phys. 145 (1992) 541.

LYa. Arefeva, A. P. Zubarev, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 677; A8 (1993) 1469; LYa. Arefeva, P. B. Medvedev, A.P. Zubarev, Mod. Phys. Lett. A8 (1993) 2167.

B. Urosevic, Phys. Rev. DI5, 47 (1993) 5460; Phys. Rev. DI5, 48 (1993) 5827.

N. Sakai, Y. Tanii, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 2541.

E. Witten, Nucl. Phys. B373 (1992) 187; E. Witten and B. Zwiebach, Nucl. Phys. B377 (1992) 55.

Глава 7ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ BRST

§ 7.1. КОВАРИАНТНАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

Большое преимущество полевой теории в калибровке светового конуса, как мы видели, заключалось в том, что она была унитарной, явно свободной от духов и могла воспроизвести струнные амплитуды из одного действия. Отсутствовала необходимость обращаться к интуиции для построения унитарной 5-матрицы.

Тем не менее эта теория несовершенна. Дело в том, что хотелось бы иметь ковариантное описание, в котором задействованы все калибровки струны. Поэтому наш следующий шаг в развитии полевой теории струн-это использование техники BRST для ковариантного описания струнных полей. Сила формализма BRST обусловливается тем, что он позволяет переформулировать полевую теорию струн в полностью ковариантном виде с введением духов Фаддеева-Попова.

Мы перейдем к полевой теории тем же способом, каким Фейнман пришел к уравнению Шрёдингера из классической первично квантованной теории. Начав с формализма BRST первично квантованной теории, мы затем получим описание на языке полевых функционалов. Особое внимание следует обратить на то, что полевая теория BRST, подобно формализму светового конуса, все еще остается теорией в фиксированной калибровке. Поскольку теория BRST будет выведена из калибровоч- но фиксированной первично квантованной теории, то мы обнаружим довольно странные объекты первично квантованной теории, наследуемые вторично квантованной теорией, такие, как духи Фаддеева - Попова, духовые числа, параметризационные средние точки и параметризацион- ные длины.

В этом тоже есть некоторая ирония. Первоначально полевая теория в калибровке светового конуса была введена, чтобы представить последовательный и всесторонний формализм, в рамках которого можно выразить полную теорию. К сожалению, попытки сделать модель ковариантной привели к созданию двух конкурирующих ковариантных полевых теорий струн в рамках BRST. Эти две BRST-теории основываются на совершенно различных струнных топологиях, и между ними не видно никакой связи, кроме того, что они обе могут успешно воспроизвести модель Венециано.

Все эти трудности будут устранены, когда мы, наконец, дойдем Д° геометрического варианта полевой теории в следующей главе.

Ранее мы видели, что формализм Гупты-Блейлера вместо решеНИ* уравнений связей (как в формализме светового конуса) налагает свя непосредственно на состояния:

L„|V> = 0; и>0.(7-1J)

^ственно ожидать, что действие позволяет распространяться всем 26 ^донентам теории. Это, однако, не так, если мы позаботимся учесть связей, наложенных на векторы состояний. Результат примене- ^щредыдущего уравнения состоит в уничтожении духовых состояний в спектре.~

(7.1.2)(7.1.2)Кроме того, существует другой способ устранения духовых состоя- <_ действовать по аналогии с калибровочной теорией. Вместо наложе- ^0 связей на гильбертово пространство, мы потребуем, чтобы действие 5уло инвариантным при преобразованиях, превращающих поле Ф в духовое состояние:

(7.1.2)

(7.1.2)

5|ф) = £ L |А„ >.

(7.1.3)(7.1.3)Отметим, что состояние L-n|A) является духовым состоянием (см. (2.9.3)). Такой выбор мотивируется аналогией с электромагнетизмом, где имеется калибровочная симметрия:

(7.1.3)

(7.1.3)

6ЛЦ = дцХ.

Действие для поля Максвелла остается неизменным при добавлении июлю А^ духового поля дцХ. Докажем теперь, что струнная вариация действительно содержит калибровочные вариации как поля Максвелла, таки линеаризованного гравитационного поля. Как мы видели в (6.3.19), полевой функционал |Ф) представляет сумму по всем возможным состояниям струны. Разложим поля по их компонентам:

(7.1.4)(7.1.4)|Ф> = <р(х)|0> + Лиа“_1|0> + ..., |А> = Х(х)|0 > + ..., L-i = к^* а - у 4- ....

(7.1.4)

(7.1.4)

Подставляя это разложение в калибровочное преобразование струнного поля (7.1.2), находим

Н^^0> + ... = дцХ^_1|0> + ....

Приравнивая члены разложения, получаем (7.1.3). Таким образом, мы вывели калибровочное преобразование поля Максвелла, раскладывая полевой функционал [1-3].

Подобным образом можно также доказать, что сектор замкнутых СфУН содержит линеаризованное гравитационное поле. Потребуем

8Iv> = ^L-„|A„> + L-„|A„>,(7.1.5)

ЧеРта означает второе независимое гильбертово пространство. Раз- это выражение, приходим к

I'O = ф(х)|0> +|0> + ...,

|Л> = Х|1Й^_||О> + ...,

11-787

^WV-(71б)

L_x = киа*_1 +

L-x = к^_х

Объединяя все вместе, получаем

SA^a^^LJO) + ... = ^M-i^-JO) + (n«->v) + ....(7д ^

Приравнивая коэффициенты, находим

5^v ^g^v ^~ ^v^i,(7.1.8)

т. е. восстанавливается первоначальная вариация линеаризованного гравитационного поля.

Наша следующая цель - найти действие, которое было бы инвариантным при таких калибровочных преобразованиях.

Повторим рассуждения предыдущей главы, касающиеся того, как вывести полевую теорию струн из первично квантованного формализма. Ключевой шаг заключался в подстановке полного набора промежуточных состояний в каждую промежуточную точку между двумя струнными состояниями. Теперь подстановка промежуточных состояний осложняется необходимостью сохранения калибровочных связей на каждом шаге вычислений. Обобщая (6.3.29), находим, следовательно, новый ряд промежуточных состояний

1 = P\X>$DX<X\P,(7.1.9)

где Р- проекционный оператор, который гарантирует, что духовые состояния уничтожаются на каждом промежуточном шаге вычислений. Он удовлетворяет условиям [4]

LnP = PL_n = 0; Р2 = Р.

Повторяя шаги предыдущей главы, использованные при выводе лагранжиана из континуального интеграла, находим, что теперь действие должно иметь вид

Ь = ФР[Ь0-1]РФ.(7.1.10)

Важнейшее значение имеет тот факт, что это действие обладает локальной калибровочной симметрией (7.1.2). Локальная калибровочная симметрия отвечает за уничтожение духов, возникающих в пропагаторе, который без проекционного оператора описывал бы распространение всех 26 мод.

Окажется полезным разложить это действие в степенной ряд и зате сравнить результаты с максвелловским действием и действием гравитационного поля. В низшем порядке проекционный оператор в действии можно переписать в виде

(ФЦЕо-^Ь-!+...)|Ф>.(7.1-1^

т» 1*6т» 1*6(7.1.12)(7.1.12)как L-i ~ к-а1, |Ф) ~ Л^а^] и Lo ~ □, то, разложив это выраже- для наинизших возбужденных состояний, получим

т» 1*6

т» 1*6

(7.1.12)

(7.1.12)

(0|Ли4(П - Mi^a-iMa^-ilO),

^0 сводится к

АДтГСА-^бЧА,,(7.1.13)

^ конечно, пропорционально действию Максвелла. Следовательно, в наинизшем порядке действие (7.1.10) содержит теорию Максвелла. Подобным же образом можно повторить все рассуждения и показать, иЮ действие замкнутой струны воспроизводит линеаризованное грави- тадионное действие. На следующем уровне, однако, имеются сложности.

В результате трудоемких вычислений мы можем разложить проек- цвонный оператор до следующих уровней и найти

P(L0-l)P = L0-l-^-i^i

+ L2_1(4L0 + ^D-9)ALf

+ L21(6Lo + 6)AL2 +

— L-2(4Lo + 2)(2LO + 2)AL2 + ...,(7.1.14)

где

Д = 2(16L§ + ^.D - 10) Lo + DY1.(7.1.15)

Оператор Д нелокальный, так как он содержит обратный к полиному по /. Например, известно, что оператор р-1 нелокален, потому что он равен фейнмановскому пропагатору в х-пространстве:

А(*-Л = <х|^|у>.

Поскольку х и у- две различные точки пространства, выражение р-1 в ^-пространстве оказывается нелокальным.

К счастью, существует способ устранения нелокальностей, вносимых п°лнномами от р-2, который состоит во введении дополнительных полей. Например, рассмотрим лагранжиан

УЛу + уЛф,(7.1.16)

^фЯ/Г^ф.^фЯ/Г^ф.^АнВ-операторы. Устраняя поле \|/ (решая уравнение движения для Т®®°ДСтавляя его обратно в лагранжиан или выполняя функциональное Тарирование по \|/ в континуальном интеграле), находим редуциро- лагранжиан:

^фЯ/Г^ф.

^фЯ/Г^ф.

(7.1.17)

^^ А- полином от р2, то А 1 - нелокальный оператор. Таким образом, ^ожем избавиться от нелокальных действий путем введения допол-

нительных полей. Так как эти произвольные поля выпадают из оковча тельного действия (поскольку представляют собой духи), они никак не влияют на физику.

Теперь нам нужно построить явную форму полного проекционного оператора для всех уровней. Оператор Р можно построить несколькими способами, представив его как степенное разложение по операторам L или как проектор на каждое состояние N-ro уровня. Мы воспользуемся последней из этих возможностей.

Сначала определим модуль Верма (см. (4.1.42)) как ряд всех возможных повышающих операторов L_ns действующих на вакуум 10) (а. < <ai+1):‘

L_ {а} 10> = Lh а,. L^n 10>.(7.1.18)

Здесь {а} символически представляет обширную совокупность индексов. Предположим, что проекционный оператор Р имеет вид

^ = 1 + £ a Fap (Lo) Lp,(7.1.19)

a, 0

где Fap-произвольные функции Lo, символы a и 0 используются для выражения большого количества индексов. Потребовав, чтобы результат умножения оператора Р на операторы Вирасоро обращался в нуль, мы точно определим матрицу F. Пусть Р представляет духовый проекционный оператор. Тогда

Р = 1 -Ps,

ОО p(N)

PS=~Y L Ь_аЕ^Ь0)Ц.(7.1.20)

N = 1 a, 0 = 1

|a| = |0| = N

Здесь в явном виде выписана сумма по различным уровням N. Требуя, чтобы оператор обращался в нуль при умножении на Ln, мы получаем рекуррентное соотношение для полиномов F. Определим F-матрицу как

F^ (Lo) ее £[5aP - Л^р-1 (L0)](S "^ (Lo),(7.1.21)

0

где матрицы А и S остается определить. Потребовав, чтобы оператор Р обладал нужными свойствами, получаем рекуррентное соотношение, позволяющее найти матрицу А итеративно:

N - 1 р^

Y I L_aF^(L0)LpL_Y|F>

М = 1 a, 0 = 1

|a| = |0| = M

= L_8 Л^' (Lo)\R>.

И наконец, матрица S определяется как

SaP|«> = LaL_p|/?>,(7.1-23)

где | F>-физическое состояние, а |а| равняется L"=1 i\.

Отметим, что это разложение является итерационным. N-й уровень определяется через все N и более низкие состояния. Таким образом, зная проекционный оператор для первых нескольких уровней, который был выписан в (7.1.14), мы находим проекционный оператор на всех

уровнях N.

Проекционный оператор нелокален по р. Но так как мы можем вычислить F точно, это легко исправимо, поскольку нам известно точное расположение всех нулей детерминанта.

К счастью, детерминант матричных элементов модуля Верма азвестен точно. Так, на уровне N детерминант матричного элемента между <0|La и L_p|0> имеет вид

det | < 01 La L_ р 10> = П (Lo - Нр, ^

(7.1.24)(7.1.24)hp,q = №q - (m + 1)р)2 - l]/4m(m - 1),

(7.1.24)

(7.1.24)

с=1, т(т + 1)

где р и q- целые положительные числа, произведение которых меньше или равно N. Эта замечательная формула, впервые полученная Кацем [5], имеет многочисленные ответвления. Например, ненулевой детерминант Каца означает, что матрица S, введенная в (7.1.23), является обратимой. В этом случае модуль Верма образует неприводимое представление конформной группы. Следовательно, детерминант Каца является существенным элементом в определении неприводимых представлений струнной модели.

Основное применение этого результата заключается в определении расположения всех нулей детерминанта и, следовательно, в определении всех полюсов проекционного оператора. Подставляя (7.1.19) в действие, находим

Ф* Ьо — 1 — £ -М =Ф* Ьо — 1 — £ -М =pWL Ь-«Е^Цa,p = 1|a| = |0| = МpWL Ь-«Е^Цa,p = 1|a| = |0| = МФ.Ф.(7.1.25)(7.1.25)

Ф* Ьо — 1 — £ -М =

Ф* Ьо — 1 — £ -М =

pW

L Ь-«Е^Ц

a,p = 1

|a| = |0| = М

pW

L Ь-«Е^Ц

a,p = 1

|a| = |0| = М

Ф.

Ф.

(7.1.25)

(7.1.25)

Здесь F связана с F умножением на Lo. Преимущество такого выражения

Состоит в знании расположения всех полюсов матрицы F.

Повторим анализ (7.1.16) и (7.1.17), где были введены дополни- ^ьные поля, для того чтобы поглотить нелокальные члены в действии.

начала выделим в F полюса:

^(Lo)= £(7.1.26)

т

бПерь мы М0Жем ввести вспомогательные поля р для поглощения волнительных нелокальных членов, содержащихся в F:

N = 1N = 1Ф* Lo — 1—Ф* Lo — 1—pWI Ь_аВ^Ца, р = 1I а | = | Ц | = ЛГpWI Ь_аВ^Ца, р = 1I а | = | Ц | = ЛГФФ

N = 1

N = 1

Ф* Lo — 1—

Ф* Lo — 1—

pW

I Ь_аВ^Ц

а, р = 1

I а | = | Ц | = ЛГ

pW

I Ь_аВ^Ц

а, р = 1

I а | = | Ц | = ЛГ

Ф

Ф

PW

N = 1N = 1Y Р^,пЧЬ0-а^Г р^а,Р= 1

N = 1

N = 1

|a| = |P| = N

+ Р;^(л$"’)1/2 ьрф

+ Ф*[Ь_а(Л^)1/2] р^. (7.1.27)

Итак, посредством таких рассуждений мы показали, что действие можно переписать в форме, явно локальной по р2. Однако цена, которой мы добились локальности,-это введение бесконечного набора вспомогательных полей pw/т. Поиск простого способа, позволяющего компактно представить эту формулу, составляет нашу следующую задачу.

Для того чтобы переписать члены вышеприведенного действия более элегантно, понадобится использовать мощь симметрии. Во-первых, мы применим формализм BRST, в котором эти дополнительные поля можно проинтерпретировать как «духовые степени свободы Фаддеева- Попова». При этом окажется, что поля допускают представление в терминах состояний, определенных для антикоммутирующих духовых полей.

Во-вторых, тот факт, что эти дополнительные поля образуют модуль Верма, служит указанием на теоретико-групповое происхождение духовых полей. Духовые поля BRST сами по себе-странные объекты во вторично квантованной полевой теории, но присутствие модуля Верма показывает, что они на самом деле представляют собой проявление более глубокой симметрии. Это ключевое наблюдение о том, что дополнительные поля образуют пространство представления конформной группы, данное модулем Верма, сыграет решающую роль в развитии геометрической формулировки теории в следующей главе. Геометрический формализм гл. 8 позволит нам перегруппировать члены в приведенном выше действии компактным теоретико-групповым способом, основанным на тензорном произведении неприводимых представлений новой бесконечномерной группы Ли. Мы покажем, что эти духовые поля представляют касательное пространство новой бесконечномерной группы Ли.

§ 7.2. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ BRST

Для выражения дополнительных полей ра1т, введенных в (7.1-2 ^ в формализме BRST используются духи Фаддеева-Попова. Эти ДУ уничтожают 2 из 26 мод, оставляя требуемые 24 физические моДЫ- ^

Пересмотрим основные положения первично квантованной ^Р^1^, полевой теории BRST. В лагранжиане мы выбираем конфорМ^

^дибровку, записанную в форме X = 1; р = 0. Тогда детерминант Фаддеева-Попова для фиксации конформной калибровки можно представить как

kFP f <fe </q5 [X (е, п) - 1] 5 [р (е, n)] = 1-

уот детерминант в свою очередь вычисляется в явном виде путем вве- деиия духового поля Фаддеева-Попова по переменной 0, как в (1.6.22):

kFP = f <205^9 exp — i ^dadTL^, p^,(7.2.1)

где

цо,p^ = pI (5CT + aj o1 + pi (aT - aCT)o2.(7.2.2)

Заметим, что это выражение позволяет нам переписать первоначаль- дое действие теории, включив духи Фаддеева-Попова:

(7.2.3)(7.2.3)Цо, г) = Ри Уи - | [Р2 + У'2 + р» р8о 0],

(7.2.3)

(7.2.3)

где р-спиновая матрица Паули oz.

Как и раньше, этот лагранжиан имеет локальную калибровочную инвариантность, которая на полях может генерироваться применением нильпотентного оператора Q [7]. Чтобы убедиться в этом, сделаем двумерный виковский поворот и перепишем действие в явно комформно инвариантном виде через комплексную переменную z и антикоммутирующие поля b и с. Переписывая (7.2.2), находим, как и в (2.4.4),

L=lUd2X„8zX„ + b8zc + bdzc>.(7.2.4)

Здесь мы опять видим, что лагранжиан инвариантен при преобразованиях

5Хц = 8[саг Хц + с5, Хц], 5с = e[cdzc], 5с = е [сд-с],

(7.2.5)(7.2.5)56=8 сд2Ь Л-28zcb— ^8Z XU8Z X* ,

(7.2.5)

(7.2.5)

66=8 c8-zb*28zcb-X-8-zXv8zX* .

Используя эти вариации, мы можем выделить нильпотентный BRST- °Ператор Q. Однако важно также отметить, что и в общем случае, имея ^бую алгебру Ли с коммутационными соотношениями [Хт Х„] = возможно сконструировать нильпотентный оператор Q из ^коммутирующих операторов сп и Ьт [8]:

Для нашего случая мы имеем два набора духов Фаддеева - Попова с

{^т> ^т}§п, - т •(7.2.7)

Таким образом, наш нильпотентный BRST-оператор можно написать так:

00/1 \

6= I L„+-L»c)

= c0(L0 - 1) + £ [с_„ L„ + L_„ с„]л= 1

00

— - У : с_ж c_nbn + m : (т — nV

где

Lbn = Y (m + ny.b„_mcm:,

Q2=0.(7.2.8)

Последнее тождество фиксирует размерность пространства-времени равной 26 и интерсепт равным 1.

Следуя аналогии со случаем точечной частицы, можно сделать переход ко вторично квантованному формализму, используя разбиение временного интервала. На этот раз, однако, благодаря наличию духов Фаддеева-Попова базисное состояние | X) заменяется полным набором промежуточных состояний | X, 0). Это означает, что при подстановке бесконечного набора промежуточных состояний в континуальный интеграл мы должны также подставить полный набор промежуточных состояний, соответствующий духам Фаддеева-Попова. Так как переменная 0 входит в континуальный интеграл вместе с производной по л, у нас нет другого выхода, кроме как включить ее в полный ряд промежуточных состояний при факторизации функционального интеграла. Следовательно, наш полевой функционал Ф становится функцией этих духовых полей. Выражения (6.3.29) и (7.1.9) заменяются на

l = |0>|X>fDXD0<0|<X|,

<0|<Х|Ф> = Ф(Х,0).(7.2.9)

Функция Грина в (6.3.34) приводится к виду

Д№,0,; Х;,9,) = J DX DPD6DPQexpi J dadzL^T)

= |7)2ФФ(Х1,9аФЧХ,,9,)

xexpz f ПХПЙЦФУC7-210'

Основной полевой функционал теперь-функция духовых полей ^^

деева-Попова 0. Делая переход от |Х)|0) к |Ф), находим

Ь=<Ф|[Ь0-1]|Ф>,(7.2.11)

где Ьо_ФУнкЦия обеих переменных, X и 0. Это действие было написано Зигелем [9-14]. Если мы разложим BRST-поле |Ф) по его духовым модам, то получим

1<№> = L v^W-plk-JI-X

к)

Это действие явным образом описывает распространение не только 26 степеней свободы струны, но также и двух духовых мод, представляя дорию с 24 физическими модами. Отметим, что в этом выражении берется сумма по всем возможным духовым числам.

В приведенном выше действии калибровка фиксирована полностью. Однако имеется возможность построить другое действие, основанное на нильпотентности оператора Q, которое содержит явную калибровочную степень свободы. Заменим (7.1.2) новым калибровочным преобразованием. Ранее отмечалось, что (7.1.2) выводится на основании того, что оно должно превращать струнное поле в духовое поле. При этом в BRST-формализме физическое условие Ln | физ ) = 0 заменяется требованием Q | физ) = 0, и мы начинаем подозревать, что новая калибровочная инвариантность BRST имеет вид

8|T> = Q|A>.(7.2.12)

Подтверждением нашей догадки служит то, что состояние <A|Q не взаимодействует с физическими состояниями |физ). Так как Q уже нильпотентен, мы выбираем новое действие [15-24]

L=<T|6|T>.(7.2.13)

Здесь берется только «обрезанное» первоначальное поле, соответствующее духовому числу — 1/2:

|*>=р-1/2|ф>.

Здесь Р-проекционный оператор, выделяющий только состояния с Духовым числом — 1/2. Поэтому новое поле | Т )- это поднабор состоя- или транкирование первоначального поля | Ф ).

Разлагая это действие, мы видим, что наинизшее возбужденное состояние поля |Т) точно подчиняется (7.1.10). Тем самым мы указали ^лаемое обобщение нашего действия, в котором введенные нами с^лнительные поля теперь перегруппировываются в соответствии разложением по модам для |Т). В итоге (7.1.27) компактно пере- ^РМулирована как (7.2.13).

Уравнение движения, соответствующее этому действию, имеет вид 61*> = 0(7.2.14)

^ нижнего состояния сводится к обычным связям L„ | ср ) = 0.

§ 7.3. ФИКСАЦИЯ КАЛИБРОВКИ

Покажем, что в предыдущем действии калибровка может быть фиксирована таким образом, что при этом получится или действие (7.2.11), или действие в калибровке светового конуса (6.3.33). дЛя фиксации калибровки иногда полезно разложить оператор Q в соответствии с его нулевыми модами:

Q = с0 К - 26O R + d + 5,(7.3.1)

где

К = Lo - 1 + X (пс_„с„ + nb_„bn\ п = 1

R = - f С-пС„, п= 1

d= c^Ln + fp-m,„b_pcm + i c_mfpmn Ь_?У(13.2)

5= c^L,, +f^-„ с_т bp + ^b_pfp-m.-„ ст

а /-структурные константы алгебры Вирасоро. Так как оператор Q нильпотентен, эти операторы должны удовлетворять большому числу простых тождеств:

^2 = 52 = 0,

[К, dl = [К, 8] = [К, Л] = 0,

[Л, <|=[Л, 8]=0,(7.3.3)

У, 8] = -2RK.

Процесс сведения этого действия к обычному начинается с определения духового вакуума теории.

В гл. 4 мы ввели оператор «духового числа» (4.4.20):

£ (с-„ b„ + b_„ сп) + | [с0, 60].(7.3.4)

Этот оператор подсчитывает число с-мод за вычетом числа />-мод. Мы можем использовать его для нумерации собственных состояний. По* скольку и Ь-, и одухи имеют нулевые моды, вакуум духового поля Фаддеева-Попова совершенно отличается от обычного единственного вакуума для а^ Духовый вакуум (как мы видели в гл. 4) на самом Д^ вырожден и может иметь духовые числа, равные или 1/2, или " ' ’ Определим два вакуума:

^ol + > = 0;^ol-> = 0;| + > = М->.(7*315)

Таким образом, имеется два духовых вакуума. Зафиксируем ДУХ°В^ число поля Т равным —1/2 и разложим это поле по этим Д*

(7.3.6)(7.3.6)вакуумам:

(7.3.6)

(7.3.6)

|Т> = vl - > + ф| + >•

Тогда выражение для действия (7.2.13) с учетом (7.3.1) примет вид

1 <Т|Кф> + <ф|</ф> + <8ф|ф> + <ф|7?ф>.(7.3.7)

Вели мы представляем

|Л> = Х|-> + со| + >,(7.3.8)

то вариации полей принимают вид

8у = (<*+5)^-2 Део,(7.3.9)

8(р= - КХл-^-^ю.(7.3.10)

В общем случае написанные выше выражения допускают представление в компонентах. Всегда можно разложить полевой функционал по духовым модам:

l^)= С-пх С-п2 • • • C-nN ^-тх ^-т2 * * * -тм ^л„ ..,nN,mx, и.м(7.3.11)

Здесь индексы антисимметричны друг другу благодаря антикоммута- ционным соотношениям между духами. Это позволяет написать

l*>=L(^€(73.12)

M,N Wl/

№ I 1<) представляет произведение N-антисимметризованных и М-антисимметризованных полей с и Ь. Это значит, что можно ввести «формы», определенные на антикоммутирующих переменных, тем же самым способом, каким дифференциальные формы вводятся через антикоммутирующие dx^ [10].

Теперь мы имеем аппарат, необходимый для выполнения фиксации калибровки. Выберем сначала ковариантную калибровку [9]:

(7.3.13)(7.3.13)W> = o.

(7.3.13)

(7.3.13)

^ уничтожает половину полей в | Т ), что соответствует ф = 0 в (7.3.6). Далее вычисляем детерминант Фаддеева-Попова, возникающий из ^РИации Ьо | Т > = 0. Находим

(7.3.14)(7.3.14)^Р = <Л|60е|Л> = <Л|К|Л>,

(7.3.14)

(7.3.14)

* <А |- 2-форма. Странная особенность этого духового действия /Тачается в том, что оно в свою очередь обладает своей собственной ^^^Ровочной инвариантностью:

8|л> = е|л1>.

Следовательно, духовое действие требует еще одного детерминанта Фаддеева-Попова (иначе функциональное интегрирование по духовым полям неограниченно). Следующий духовый член, обусловленный детерминантом Фаддеева-Попова для духового поля, есть

^fp - < Л21К | At ). (7.3.16) Но это действие опять имеет свою собственную калибровочную симметрию, которая вновь требует своего собственного калибровочного члена Фаддеева-Попова, и т.д. Ясно, что получается бесконечная башня «духов духов» [10, 12]. Это неизбежная ситуация, потому что каждый детерминант Фаддеева-Попова необходим для уничтожения расходимостей, производимых предшествующим рядом духовых полей.

К счастью, этот ряд возможно просуммировать. Если начать с действия (7.2.13), имеющего единственное духовое число — 1/2, и затем добавить к нему эту бесконечную башню духовых действий, то мы просто восстанавливаем действие (7.2.11), которое представляет сумму по всем возможным духовым числам. Следовательно, (7.2.11)-это вариант (7.2.13) с фиксированной калибровкой. Другими словами, струнный функционал с духовым числом — 1/2 добавлением духов духов был преобразован в струнный функционал произвольного духового числа.

Подобным образом калибровочные степени свободы в (7.2.13) можно использовать для вывода теории в калибровке светового конуса [25]. Здесь, однако, имеется проблема, состоящая в необходимости явно обращаться к уравнениям движения определенных полей для уничтожения других.

Таким образом, только «массовая поверхность» позволяет перейти в рамках формализма BRST к теории в калибровке светового конуса. В этом состоит его ограниченность. Однако в геометрическом формализме мы имеем достаточную калибровочную симметрию для того, чтобы получить теорию в калибровке светового конуса вне массовой поверхности, устраняя лишние продольные моды в действии.

Чтобы перейти к калибровке светового конуса, заметим, что нежелательные состояния, которые должны быть устранены при фиксации калибровки, можно представить как произведение всех состояний вида

\atn aLm b_p c_J|0>. (7.3.17) Номер уровня такого состояния дается суммой номеров уровней каждой совокупности состояний:

по-нИЙпо-нИЙп+ -V п_ + nb + пс = N. (7.3.19

по-нИЙ

по-нИЙ

Можно убедиться, что эти нежелательные состояния устраняются средством множества механизмов. Например, для наинизших состоя

п+ = п_ = 0, 1 находим:

Большая часть состояний с пс = пь; п _ ^ и + может быть устрайейа посредством равенства 5Т = QA.

Состояния с пс = 0, nb = 1; п_ ^ п + суть множители Лагранжа.

Состояния, не включенные в (а) с пс = 1, пь = 1; п _ > п^ устраняются этими множителями Лагранжа.

Этот механизм распространяется на все нежелательные состояния. Вообще все эти нежелательные состояния могут быть устранены использованием калибровочной инвариантности теории или множителей Лагранжа. После этого устранения остаются только физические попереч- яые DDF-состояния.

В итоге мы показали, что в действии (7.2.13) можно зафиксировать калибровку, чтобы воспроизвести или первоначальное действие BRST, дли действие в формализме светового конуса из предыдущей главы. Также можно убедиться (устранением всех высших возбуждений в | Т », <гго действие снова сводится к (7.1.10).

§ 7.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В противоположность полевой теории в калибровке светового конуса, где струны просто расщепляются в своих внутренних точках, взаимодействующий BRST-формализм Виттена [16] опирается на струнную конфигурацию, показанную на рис. 7.1. (На первый взгляд эта конфигурация кажется нарушающей закон сохранения импульса. Однако только в теории светового конуса импульс струны связан с ее длиной. В ковариантном формализме параметризационная длина не связывается с импульсом, и поэтому такая диаграмма разрешена.) Длина всех струн полагается одинаковой. Мы можем еще раз обобщить дельта-функции, появившиеся в (6.4.4), чтобы включить эту новую конфигурацию:

$з = №23 Ф(У1)Ф(Х2)Ф(Х3)5123

= 1М123<Ф1|<Ф2|<Ф3|У1>|Х2>|Уз>512з,(7.4.1)

Таей? Симметричное взаимодействие BRST струнной полевой теории. Заме- в 85 поверхность при использовании такой вершины не является плоской, как Рии светового конуса. Отсутствует необходимость в четырехструнном взаимодействии.

Рис. 7.2. Конформная поверхность струнной полевой теории BRST. Эту конформную поверхность можно представить, либо выбирая шесть зарядов и размещая их на диаграмме так, чтобы смоделировать поверхность с тремя зарядами, либо проводя на поверхности римановский разрез.

где з

б123 = П П SEX/qJ-X^Jk-q)].(7.4.2)

0^ст^я/2 г = 1

Как в (6.5.2), для того чтобы построить вершину в осцилляторной форме, мы должны найти конформное преобразование, которое переводит верхнюю полуплоскость в изучаемую струнную конфигурацию [26-32]. К сожалению, конформного преобразования трех зарядов в верхнюю полуплоскость (без разрезов) для BRST-вершины не существует, потому что сумма зарядов обычно берется равной нулю, в то время как здесь сумма трех зарядов для симметричной конфигурации должна равняться 3. Решение заключается в построении электростатики шести зарядов, сумма которых равна нулю, и определении границ для того, чтобы смоделировать присутствие трех зарядов. Это требует разрезания и сшивания нескольких областей комплексной плоскости. Отображение имеет вид (см. рис. 7.2)

р = a, ln(z - zf) = In Ц—— гл/2,0-^

i = - зz 4- Z

где

at = а2 = а_3 = 1,

a_i = а_2 = а3 = — 1,

,_е/5п/6.(7.4.4

z3=e'n/2;z_1 = —z1;

Z-2~ — ^s Z-3~ — Z3*

^ счастью, это отображение можно обратить и получить решение для г через £, делающее возможным явное построение функций Неймана. Обращая отображение, находим

X ^а 1

М — ie^) ’

(7.4.5)

Р=^Л

= So + m« (для а = 1, 2, 3),

(7.4.6)

р= -

(^0 - /тс) (для а = - 1, - 2, - 3).

(7.4.7)

где

/1 -h z^^\1/3

Коэффициенты Фурье будут содержаться в комбинациях

1 + ip^3

= I Alke* + i £ Л24+1^,

(7.4.8)(7.4.8)1 — «е / п = 1кл = 26 + 1

(7.4.8)

(7.4.8)

1 4- IP^V13

РУ = I S2i^ + , I B2i+1^.

1 — Zc /и = 2кn = 2k + 1

Объединяя все вместе, находим, что функция Неймана, появляющаяся

(7.4.9)(7.4.9)(7.4.10)(7.4.10)в вершине, есть

(7.4.9)

(7.4.9)

(7.4.10)

(7.4.10)

WB,= -^(C+U + i7)l-Vc-P-P) ( 1 оо \22/ I ।

1- /01 -1 \

- — i^U- U) - 1О 1 ,

12\1 - 10 /

где

с„„ = 2(- !)"/«§,

W + i/U = - 2(— 1)"

^-ОХт= -И^-ОХт= -ИА„Вт-В„Ат ! А„Вт + В„Ат

^-ОХт= -И

^-ОХт= -И

. п + тп — т .

8 явном виде выписывая вершину через операторы, получаем

I ^12з >х = ехрI ^12з >х = ехрI ^12зХ(7.4.11)I ^12зХ(7.4.11)113

I ^12з >х = ехр

I ^12з >х = ехр

I ^12зХ

(7.4.11)

I ^12зХ

(7.4.11)

- а-„ N” а$-т + Р'о N”m as_m + - Noo £ Pl, 22r=1

Используя условие непрерывности для духов, можно также вы- ^Щть духовой вклад в вершинную функцию. Для этого мы просто X в (7.4.2) духами b и с. Тогда духовая вершина имеет вид

/ ОО ОО

I + + + >123-I + + + >123-(7.4.12)(7.4.12)"U3>gh = exp( £ b'_nX'nsmcs_

I + + + >123-

I + + + >123-

(7.4.12)

(7.4.12)

\ п = О m = 1

Здесь вакуум | + + + )-это произведение трех вакуумов, введенных в (7.3.5). Для s = г или s = г + 2 матрица X имеет вид

X" = - т(N " - N^+ 3),(7.4.13)

а для s = г + 1

x;sm = m^N;sm-N;r3V(7.4.14)

Окончательная вершина представляет собой произведение этих двух вершин, определяемых в двух совершенно различных пространствах:

I ^123 > = I К23 X I ^123 \h •

Посредством длительных вычислений можно показать, что эта вершина удовлетворяет условию BRST-инвариантности [29]:

[61 + 62 + 63] I Кгз > = 0.(7.4.15)

Имеется несколько различных способов представления этой вершины. Во-первых, из комформной полевой теории нам известно, что систему антикоммутирующих духов b и с можно бозонизировать посредством скалярного поля, которое мы обозначим через ф. Тогда новая духовая вершина запишется как

И= J П DXr Dtp, eiym*№)

х П 6(АГ'(ст)-Х^+' (л — ст))5(фг(ст) — фг+! (л — ст)). flSa^l/2)-(7416)

(Несколько удивляет в этой бозонизированной вершине присутствие вставки в средней точке. Такой член не портит локальность по а, поскольку он появляется только в точке л/2. Более того, он обеспечивает для символа умножения * правильное духовое число + 3/2. Так как духовое число калибровочного параметра Л равно — 3/2, то символ * должен иметь духовое число 3/2, чтобы произведение двух калибровочных параметров Л12 давало третий калибровочный параметр Лэ с тем же духовым числом.)

отображений с римано-областей комплекснойотображений с римано-областей комплекснойСуществует еще один способ вычисления симметричной вершины, который основан на использовании конформных выми разрезами (вместо сращивания различных плоскости). Рассмотрим конформное отображение

отображений с римано-областей комплексной

отображений с римано-областей комплексной

(7.4.17)(7.4.17)(г +!)(?- 2)(z ^ j + I-2- + I)322

(7.4.17)

(7.4.17)

Р И - H°g

Отображение имеет обычные сингулярности в точках z = 0, 1 й^ (соответствующие трем входящим и выходящим струнам на ±

Однако новым моментом является наличие у этого отображения яв риманова разреза, создающего многолистную p-плоскость. Этот р&3™

Е*

в точности то, что нужно для построения в p-плоскости поверхности, описывающей симметричное столкновение трех струн. Он располагается вертикально от 71 ~ z V3/2 в нижней полуплоскости до 7г + *\/3/2 в верхней полуплоскости. Структуру многолистной плоскости р можно понять, проследив движение вдоль вещественной оси на рис. 7.3.

Если начать с точки z = + оо на положительной вещественной оси z и двигаться влево, то константу к можно выбрать так, что мы при этом пройдем аналогичный путь, пролегающий вдоль вещественной оси Р в отрицательную бесконечность. Дойдя до точки z = 1 (точка В), мы Достигаем отрицательной бесконечности на вещественной оси. При перепрыгивании через z = 1 в плоскости р происходит скачок на к единиц вертикально вверх. Далее, движению от z = 1 к z =х1г в Плоскости z соответствует горизонтальное движение вправо от С к D до ^х пор, пока мы не достигнем оси у в точке р = in. Теперь, двигаясь вертикально вверх по риманову разрезу до точки Е, z = 7i + z V^» мы °пускаемся в плоскости р по оси у до р = in/2. Движение по разрезу в обратном направлении к точке z = 7z соответствует движению от Р = т/2 к точке F, началу координат. Движение от z = 71 к z = О ^Начнет движение от р = 0 к отрицательной вещественной бесконеч- (на следующем римановском листе). Перепрыгивая через z = О, сдвигаемся вертикально вверх на in в отрицательной вещественной ^Конечности. Наконец, движение otz = 0kz=—оо означает движе- е °т Р = in — оо к р = in + оо (от Н к 7).

Функции Неймана можно также вывести непосредственно из отоб- РНия (7.4.17). Этот альтернативный подход к вершинной функции вставлен в [30-32].

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

Если середина параметризационного отрезка струны выбирается как выделенная точка, то становится возможным определить замкнутую алгебру струнных полевых функционалов. Струна, представленная |л) может быть соединена со струной | В ) так, что их средние параметриза’ ционные точки точно совпадают. Производя спаривания осцилляторньц состояний этих двух струн, мы получаем еще одну струну той же длины Тем самым определена операция, подобная умножению. Например абстрактное обозначение

А *В = С(7.5.1)

конкретно означает

Л1|<52|Г123> = |Сз>,(7.5.2)

где мы спарили гармонические осцилляторы первой и второй струн и получили струну, определенную по третьим гармоническим осцилляторам. Так как все струны имеют одинаковые параметризационные длины, правило умножения приводит к замкнутой алгебре, если средняя точка параметризационного отрезка выбирается как выделенная точка, т. е. произведение двух струн длины единица равно другой струне единичной длины. Это в свою очередь позволяет нам определить калибровочное преобразование полевого функционала следующим образом:

bA = QX^ А*Х-Х*А.(7.5.3)

Определяя кривизну как

F = QA + А * А,(7.5.4)

(7.5.5)(7.5.5)получаем, что

(7.5.5)

(7.5.5)

8F = F*X - A*F.

Следовательно, если мы можем определить операцию, называемую «интегрированием», которая сохраняет

р*Я = (- 1)лв/ В*А (7’5‘6) (где для грассмановых нечетных форм используется знак антикоммут^ ции), то сразу находим два инварианта-поверхностный член и само* действие:

(7.5.7)(7.5.7)J F * F = поверхностный член, 2

(7.5.7)

(7.5.7)

L = А * QA + - А * А * А.

Замечательное свойство этого подхода состоит в том, что, и в случае калибровочной теории, мы можем свести существенш» особенности теории к пяти «аксиомам»:

Существование нильпотентной операции дифференцирования:

Q2 = 0;(7.5

Ассоциативность умножения:

[Л*5]*С = A*\_B*CV(7.5.9)

Правило Лейбница:

QVA*B\ = QA*B*<-\yA*QB;(7.5.10)

Правило умножения:

\A*B = <-V>ab \ В*А;(7.5.11)

Правило интегрирования:

fQA = 0,(7.5.12)

где (— 1)л есть — 1, если Л-нечетный грассманов элемент, и (— 1)л = + 1, если Л-четный грассманов элемент.

Мы определяем операцию интегрирования следующим образом:

|Ф = |ПХ П б(Х(п)-Х(к-п))Ф(Х)

0^ст^(1/2)л

= <7|Ф>.(7.5.13)

Оператор 7-довольно странный объект. Его структура означает, что мы берем функционал струны X, находим среднюю параметризационную точку и затем интегрируем таким образом, что струна складывается сама с собой вокруг этой точки. Таким образом, под действием этой операции отождествления функционал струны превращается в с-число.

Можно также выписать явное представление этого оператора отождествления:

7(Х)=<Х|/>= П 5(Х„),

п= 1,3,5...

(7.5.14)

|7> = г"^о(-!)"«-„ а„|0>.

Кроме того, вершинная функция инвариантна относительно подгруппы конформных преобразований, т. е. таких, которые не меняют расположе- вия средней точки. Определим

K„ = Ln-(- \YL_n.(7.5.15)

На произведение форм этот оператор действует подобно производной:

К„(Л*5) = КпА*В + А*КпВ.(7.5.16)

Интегрирование удовлетворяет соотношению

|К„Л = <Л|Кп|7> = 0,(7.5.17)

ТогДа как вершинная функция подчиняется условию з

X К<->|И> = 0.(7.5.18)

Преимущество этого когомологического подхода состоит в том, что он 22»

близко следует когомологической формулировке калибровочной теории использующей язык форм. Для уравнения Максвелла имеем’

</ = ^ди; </2 = 0,

А= dx* А>°.(75Л9)

Поэтому в компактной форме теорию можно записать так:

F = dA 4- А * А,

ЬА = dX А- А* X — X* А,(7.5.20)

5F = F*X-X*F.

Из этих уравнений определяются инварианты:

Jf*f = J^Jf*f = J^2A*dAA--A*A*A ..3 J2A*dAA--A*A*A ..3 J(7.5.21)(7.5.21)

Jf*f = J^

Jf*f = J^

2A*dAA--A*A*A ..3 J

2A*dAA--A*A*A ..3 J

(7.5.21)

(7.5.21)

Сила метода BRST состоит в том, что он позволяет написать пять аксиом и определений форм кривизны, из которых легко показать калибровочную инвариантность действия. Эти элегантные аксиомы объединяют огромное количество информации, выражая струнную модель в пяти утверждениях.

Однако непонятность происхождения этих пяти аксиом составляет недостаток формализма BRST. В принципе эти пять аксиом можно с равным успехом применить к любой системе когомологий, но это ничего не говорит нам, откуда они происходят. Например, как мы видели, общую теорию относительности можно вывести из двух принципов. Эти принципы в свою очередь допускают возможность переформулировки в пять аксиом когомологии. Следовательно, пять аксиом не являются фундаментальными, а представляют собой только удобный и компактный метод для выражения тензорного исчисления. Поэтому мы ищем фундаментальные геометрические идеи, которые позволят нам вывести эти пять аксиом из основных принципов физики. Эти пять аксиом (т. е. тензорное исчисление) возникают естественным образом как результат введения новой бесконечномерной группы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Хотя это не очевидно, но BRST-вершина | И123) в том случае, когда внешние частицы располагаются на «массовой поверхности», эквивалентна любой другой вершинной функции, которая может быть получена с помощью конформного преобразования, генерируемого L** Определим, к примеру, другую вершинную функцию |Й12зХ которую можно выразить как комформное преобразование первоначально

вершины:звершины:зI ^123 > = П СХРI ^123 > = П СХРZ 8« Lr-n л >0Z 8« Lr-n л >0I К 23 > •I К 23 > •(7.6.1)(7.6.1)

вершины:

з

вершины:

з

I ^123 > = П СХР

I ^123 > = П СХР

Z 8« Lr-n л >0

Z 8« Lr-n л >0

I К 23 > •

I К 23 > •

(7.6.1)

(7.6.1)

Действуя на это уравнение физическим состоянием | физ), которое Удовлетворяет условию (физ|Ь_„ = 0, получаем

(7.6.2)(7.6.2)<физ|И123> = <физ|К123>.

(7.6.2)

(7.6.2)

Следовательно, две вершинные функции имеют на массовой поверх- яости одинаковые матричные элементы. Таким образом, было показано, «гго представленная здесь вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности ковариантному осцилляторному варианту вершины Ко- 361пи-Швиммера-Венециано (CSV), найденной на заре дуальных моделей. (Фактически эта вершинная функция была получена рассмотрением ^-точечных деревьев и последующей трехкратной факторизацией амплитуды, необходимой для выделения трехреджеонной вершинной функции.) Приведенные выше рассуждения показывают, что какую бы вершину мы ни использовали, мы должны получать одни и те же S-матричные элементы. Это доказывает, что трехструнная вершина, р^йденная в формализме BRST, дает на массовой поверхности точно такие же матричные элементы, как и старая вершина CSV [29, 30], несмотря на их совершенно различную геометрию. По сути этот факт можно использовать для доказательства того, что все три вершины (старая вершина в калибровке светового конуса, старая ковариантная вершина и новая вершина BRST) дают одинаковые элементы S-матрицы.

Доказательство того, что наша вершинная функция порождает правильную вершинную функцию на массовой поверхности для модели Венециано, довольно просто. Мы возьмем матричные элементы обеих вершинных функций с когерентными состояниями, которые являются функциями переменной z, и затем покажем, что полученные выражения связываются друг с другом конформным преобразованием. Далее мы убедимся, что это конформное преобразование может быть выражено в виде (7.6.1).

Старая CSV-вершина описывается формулой

3/ 0000\

ltsv> = Z exp X+ I a^Cnm<L^ |0>123,

i=l'n = lНn,m = l'

гДе матрица С удовлетворяет следующему свойству:

(7.6.4)(7.6.4)V г _ (1 - z)" - 1

(7.6.4)

(7.6.4)

Li ^пт [— —р

^i Jm Jz

®Дя проверки мы всегда можем замкнуть один из хвостов реджеона на ■адуум, превратить трехосцилляторное гильбертово пространство в ^Воосцилляторное и воспроизвести обычную вершинную функцию для г^она. Таким образом, (0J^sv) равняется обычной вершинной ♦Уйсции Венециано.) р

Покажем, что эта вершинная функция с точностью до преобразова- *’ порожденного L_n, равна симметричной вершине. Для этого ЛеДуем сначала действие комформного преобразования на когерент-

ное состояние (которое было введено в (2.6.18)):

|z,k>=^a'-z"|0>.(7.6.5,

Прямым вычислением можно показать, что оператор Вирасоро, действуя на это состояние, дает

(7.6.6)(7.6.6)Ln | z, к > = [(и + 1) k2zn + zn^ ЧЛ | z, к).

(7.6.6)

(7.6.6)

Это преобразование когерентного состояния, когда применяется один оператор Ln. Теперь мы хотим применить к когерентному состоянию любое число операторов Ln:

(7.6.8)(7.6.8)Здесь мы определяем функцию /(z) как f^ = z Y anzn.

(7.6.8)

(7.6.8)

n = 0

Итак, конформное преобразование общего вида порождает следующее преобразование когерентного состояния:

ее^°=0^°=0a„L„a„L„\z, к > =\z, к > =dz dzdz dz|z, k>,|z, k>,(7.6.9)(7.6.9)

е

е

^°=0

^°=0

a„L„

a„L„

\z, к > =

\z, к > =

dz dz

dz dz

|z, k>,

|z, k>,

(7.6.9)

(7.6.9)

где

(7.6.10)(7.6.11)(7.6.10)(7.6.11)dg dzdg dz=F4zY=F4zYz = g~4g^ + 1),

(7.6.10)

(7.6.11)

(7.6.10)

(7.6.11)

dg dz

dg dz

=F4zY

=F4zY

Формулу (7.6.9) следует сравнить с формулой (4.1.8), которая дает преобразованию поля с весом h под действием конформной группы.

Теперь, вооружившись этими результатами, можно показать эквивалентность двух вершинных функций, взятых на массовой поверхности. Мы начинаем со спаривания трехреджеонной вершинной функции с тремя произвольными когерентными состояниями [32]:

33П ^ь Zil ^csv) — П i = 1i = 133П ^ь Zil ^csv) — П i = 1i = 1111 + Z^1 + Z^kvk^ Iii-^Mkvk^ Iii-^M(7.6.12)(7.6.12)

33

П ^ь Zil ^csv) — П i = 1i = 1

33

П ^ь Zil ^csv) — П i = 1i = 1

1

1

1 + Z^

1 + Z^

kvk^ I

ii-^M

kvk^ I

ii-^M

(7.6.12)

(7.6.12)

Такое выражение может быть получено в явном виде из определения матрицы С в (7.6.4).

Следующий шаг заключается в спаривании симметричной вершин# BRST (7.4.11) с тремя произвольными когерентными состояниями сравнении результата с выражением, приведенным выше. Нам пой добятся следующие формулы:

Е N^ z^ = log z^ -Е N^ z^ = log z^ -111 - z^ ’1 - z^ ’

Е N^ z^ = log z^ -

Е N^ z^ = log z^ -

1

1

1 - z^ ’

1 - z^ ’

X N“ z"2z? = logX N“ z"2z? = log1z(z3) - 1l-z(z2)z(z3)1z(z3) - 1l-z(z2)z(z3)+ log I z31 + log+ log I z31 + log^N^z^z-^log^N^z^z-^logdzdzxdzdzxdzdzdzdzdzdzz = 0z = 0(7.6.13)(7.6.13)

X N“ z"2z? = log

X N“ z"2z? = log

1z(z3) - 1

l-z(z2)z(z3)

1z(z3) - 1

l-z(z2)z(z3)

+ log I z31 + log

+ log I z31 + log

^N^z^z-^log

^N^z^z-^log

dzdzx

dzdzx

dz

dz

dz

dz

dz

dz

z = 0

z = 0

(7.6.13)

(7.6.13)

Эти тождества позволяют сконструировать явную форму для матричного элемента между когерентным состоянием П?=1 (kh zt\ и симметричной вершинной функцией BRST. Сравнивая получаемое выражение с (7.6.12), мы находим связь между старой вершиной CSV и новой вершиной BRST:

1Ш,г,1^у>= П <гА^ЛЛ¥> П 4^ '• <7-6Л4> j=l i = l i=i \ UZi /

Это то выражение, которое мы хотели получить. Оно показывает, что матричный элемент вершины CSV и матричный элемент симметричной вершины BRST связываются множителем, возведенным в степень к2. Сравнивая с (7.6.9), видим, что этот множитель можно выразить через операторы Ln. Итак, мы имеем точное решение для (7.6.1), по крайней мере на когерентных состояниях, демонстрирующее, что вершина CSV и вершина BRST связаны конформным преобразованием и, значит, имеют на массовой поверхности одинаковые матричные элементы.

Существует еще один способ показать эквивалентность вершины CSV и симметричной вершины, который основывается на степенном разложении (7.4.17), а не на использовании конформных свойств комплексных Функций. Нам известно, что Ln действуют на комплексные функции как «2. Определим

_ 8 (z + 1)(г - 2)(z - ^ - (z2 - z + 1)3/2

= ~27z(l - z)=

.192

= 1+-Z + -Z 2 + ....

^гда возможно отыскать ряд коэффициентов ап, таких что

W(z) = е^"=хаЛ" z.

Практике нахождение этих коэффициентов может оказаться трудным, ^принципе они известны с любой степенью точности. Например, 1 88 /2, я2 = 5Ле- Далее можно показать, что симметричная вершина и

вершина CSV связываются следующим конформным преобразованием-

Хотя связь между симметричной вершиной Виттена и вершиной BRST установлена, мы все еще сталкиваемся с проблемой существования фактически двух струнных полевых теорий BRST, которые кажутся вовсе не связанными друг с другом. Другая BRST-формулировка теории взаимодействий основывается на старой вершине в конусном формализме, в котором струны просто расщепляются или соединяются во внутренней точке. Мы можем также предположить, что трехструнная вершинная функция состоит из ковариантной дельта-функции Дирака [18-24]:

/ з\

1^23> = 1^12з1^1>1^2>1^3>ПМ L 6,(Gr)Xr(Qr) .(7.6.15)

СТ X г= 1/

Важно осознать, что эта новая вершинная функция есть в точности то же самое, что и старая вершинная функция в формализме светового конуса (6.4.5), кроме того, что гармонические осцилляторы теперь полностью ковариантны, а не просто поперечны, а также того, что мы должны умножить новую вершинную функцию на духовую вершину. Выполняя это умножение, мы получаем «ковариантную вершину в формализме светового конуса».

Можно показать, что эта ковариантная вершина удовлетворяет условию BRST-инвариантности:

3)

I е(,) ю = о.(7.6.16)

Можно также доказать, что эта ковариантная версия конусной вершины эквивалентна трехреджеонной вершинной функции CSV, взятой на массовой поверхности. Однако мы будем использовать другое доказательство, а не приведенное выше. На этот раз мы покажем, что условия непрерывности или перекрытия, которым удовлетворяет вершинная функция CSV, после конформного преобразования могут быть записаны как условие непрерывности для вершинной функции в формализме светового конуса. Так как условия непрерывности или перекрытия определяют вершину, то отсюда должно следовать, что две вершины связываются конформным преобразованием.

Запишем вершинную функцию CSV в виде

l^v> = exp(f £«3|0),(7б17)

где

с„„ = (- 1)" Г(и)Г-1(1 +т)Г"1(1 +n-m).Г-6-1®

Начнем с предположения, что на эту вершинную функцию наложить следующее условие непрерывности для некоторых не

величин А, В и С:

(А(2)р\[(1 - 2)"1 ] + Я (2)Pg[1 - г~1 ] + С^Р^И) I Kcsv > = О.

(7.6.19)

Здесь Р определяется формулой

Р^=2а„ц2"".(7.6.20)

Коммутируя различные гармонические осцилляторы через | Р^у), находим следующие связи на А, В и Х7:

А С

_-^В--= 0.(7.6.21)

Z1 — z

Это выражение все еще оставляет нам широкие возможности в выборе величин А, В и С. Обращая внимание на области сходимости этих функций, находим, что можно положить С = 0 при | z | > 1, В = 0 при |;-1|<|z|h/1=0 при 11 — z| > 1. Для удобства выберем В = 0, что еще оставляет определенную степень произвольности. В частности, положим

5=0,(7.6.22)

для некоторого у2.

Наша цель состоит в выяснении связи между этой вершиной и обычным формализмом светового конуса, в котором верхняя полуплоскость отображается в струнную конфигурацию посредством преобразования

P = a1ln(z — 1) + a2lnz.(7.6.23)

Как и выше, мы параметризуем трехструнную вершинную функцию 1 плоскости р в направлении и параметром цг, где

-РгПг + РгЛ при 0^т|3^р2к,(7 6 24)

-- р!^! + К при р2К ^ Т|3 ^ К* *

(7.6.25)(7.6.25)Ь = А, Р2=-, Y,= -—, 8, = ^ |а3| И2 а3 и а, '

(7.6.25)

(7.6.25)

^ этими определениями коэффициенты А и С можно переписать в виде

А = _ 8i ^(1 - z) 1

(7.6.26)(7.6.26)(1 —ЛЯ

(7.6.26)

(7.6.26)

z as;

/z/zА сейчас наступает решающий шаг. Известно, что под действие^ конформной группы оператор Р преобразуется следующим образом (см (4.1.17), где мы взяли экспоненциальное преобразование обычных переменных):

/z

/z

(7.6.27)

Следовательно, уравнение непрерывности можно представить как

k(l — z) 1 «diz do3 /k(l — z) 1 «diz do3 /(7.6.28)(7.6.28)

k(l — z) 1 «diz do3 /

k(l — z) 1 «diz do3 /

(7.6.28)

(7.6.28)

Используя трансформационные свойства Р относительно конформной группы, получаем

(7.6.29)(7.6.29)(РУ(51) + Р^(53))|И> = 0.

(7.6.29)

(7.6.29)

Но 5Г = е^. Это и есть нужное нам выражение. С помощью конформного преобразования мы создали новую вершину, которая удовлетворяет другому условию непрерывности по цг, т. е. по координате и трех струн. Эта новая вершинная функция в точности удовлетворяет первоначальным условиям непрерывности для вершинной функции в калибровке светового конуса между струнами 1 и 3. Аналогично, образуя различные комбинации, можно показать выполнение условий непрерывности также между струнами 2 и 3. Итак, мы убедились, что посредством конформного преобразования оказывается возможным выразить уравнение непрерывности для ковариантной вершины Венециано через уравнение непрерывности для ковариантной конфигурации в формализме светового конуса.

Но поскольку конформное преобразование генерируется операторами Ln, то это означает, что на массовой поверхности ковариантная функция в формализме светового конуса (7.6.15) неотличима от ковариантной вершины Венециано (7.6.17).

Здесь мы должны объяснить, почему существуют два варианта формализма BRST: один-основанный на полностью симметричной вершине, а другой-на вершине в калибровке светового конуса, причем оба имеют на массовой поверхности одинаковые свойства. Эти формализмы кажутся непохожими друг на друга в основных чертах. Определенный ковариантным образом формализм светового конуса, на‘ пример, имеет дополнительный член четырехструнного взаимодействия. Он необходим, поскольку калибровочная группа для этого формализма полностью не замыкается. Пытаясь применить (7.5.3) для струнно^ конфигурации в формализме светового конуса, мы сталкиваемся проблемами. Группа не замыкается без дополнительного четырехструя ного взаимодействия, но даже с ним она становится замкнутой толь на массовой поверхности.

С другой стороны, симметричная теория, как можно показа ’ является последовательной без четырехструнного взаимодейств

Т^ИМ образом, эти две теории имеют фундаментальные различия.

Хотя не все детали ясны, решение этой головоломки можно отыскать незавершенности вторично квантованной полевой теории, опирающейся на определенный ковариантным образом формализм светового конуса. Дело в том, что необходимо проинтегрировать по всем возмож- ЙЬ1М «длинам» струны аг. В старой теории светового конуса это интегрирование допускалось, так как оно на самом деле совпадало с интегрированием по импульсу струны. Однако в ковариантной теории ^-лишний параметр, не имеющий физического смысла. Следовательно, интегрирование по аг создает бесконечное количество копий одной и той хе вещи. Так, например, в пределе нулевого наклона эта теория производит бесконечное число действий Янга-Миллса:

г

-- I daF^(a)2 +,(7.6.30)

О

что очевидный абсурд. Такое интегрирование по фиктивному параметру а приводит к возникновению в полевой теории ненужной бесконечности. Поэтому со вторым методом BRST связана фундаментальная проблема.

Решение этой проблемы заключается в геометрической формулировке следующей главы. Там мы показываем, что а можно выразить как настоящий калибровочный параметр и, следовательно, зафиксировать. Однако в рамках представленного формализма BRST превратить а в настоящий калибровочный параметр невозможно. Чтобы зафиксировать «длину» струны, мы должны намного расширить число полей, а это осуществимо только в геометрическом формализме (см. также [37, 38]).

ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ И СУПЕРСТРУНЫ

К сожалению, теория замкнутых струн и суперструн менее развита, W теория открытых бозонных струн. Например, формализм BRST испытывает серьезное замешательство по поводу того, как правильно Построить теорию. Для замкнутых струн и суперструн весь «счет духов» становится неверным. Фактически наивное действие BRST тождественно обращается в нуль, поскольку имеет неправильное духовое число, неизбежно влекущее за собой «последовательное транкирование» либо либо гильбертова пространства «духовых мод». Как мы увидим, при Переходе к более сложным моделям ситуация быстро ухудшается и Усложняется, пока, наконец, формализм BRST не терпит полный крах фермионной полевой теории замкнутых струн. В некотором смысле е^Факт, что открытую струну оказалось столь легко выразить на языке был счастливой случайностью. Горькая реальность состоит в том, 0 формализм BRST упускает нечто важное.

^Для замкнутых струн [11, 39, 40] мы имеем две копии генераторов ^п и ^” * ® формализме BRST духовое число вакуума впивается по сравнению с предыдущим, потому что — V2 — 72 = — Г |0> = 1->1->; <0| = <-|<-|.(7.7.1)

При этом духовое число Q остается равным 1. Это означает, что наивно» действие на самом деле должно обращаться в нуль,

<Ф|9|Ф> = 0,'(7-72)

так как результат подсчета духового числа выходит неверным, а именно -14-1 — 1/0. Такая ситуация явно нежелательна. Были предложены различные пути решения этой проблемы вычисления правильного духового числа, но ни один из них не является полностью удовлетворительным. Например, мы можем искусственно обрезать в Q нулевые моды, сохраняя его нильпотентность, т. е. произвольно отбросить нулевые моды

со, ^0» ^о» ^о»(7.7.3)

вводя вместо них меньший набор

с0; 60,(7.7.4)

такой что новый оператор Q теперь разлагается в виде

Q = с0(К 4-К)4-б/4-54-б/4-§ — 2c0(R 4- R).(7.7.5)

Здесь были выброшены старые нулевые моды и подставлен меньший набор (который походит на набор, использованный для открытой струны).

Чтобы иметь теорию, не зависящую от начала координаты а, наложим на замкнутую струну связь:

(К — К)|Ф> = 0.(7.7.6)

В силу того что мы имеем дело с меньшим числом нулевых мод, можно использовать вакуумы, найденные выше для случая открытой струны, I - > и | +>:

|Ф> = ф|-> + 'И1 + >-(7-7-^

Отметим, что обрезание было выбрано сохраняющим тождество

Q2 = 0.(7-7.8)

(7.7.9)(7.7.9)Действие имеет вид

(7.7.9)

(7.7.9)

<ф|6|ф>.

Хотя BRST-теория открытых струн проста, мы начинаем видеть слабости подхода BRST в случае замкнутых струн:

связь (к — к) | Ф ) = 0 должна быть наложена извне, без какого-либо фундаментального обоснования. Связи обычно появляются каж результат симметрии действия; здесь мы просто налагаем их, зная, откуда они берутся;

произвольное обрезание духовых состояний, сохраняющее яи^ потентность Q, кажется слишком надуманным;~<

это обрезание, вероятно, не выживает в теории взаимодеиств Опускание нулевых мод означает потерю струнной интерпрета

^(п) и \|/ц (су). Полностью теряется локальность по а, которая была * абсолютно необходима для построения вершинной функции. Таким образом, отказ от локальности по и, по-видимому, разрушает любую возможность теории взаимодействий.

Обратимся теперь к суперсимметричному случаю, где ситуация данного хуже. Для бозонов Неве-Шварца мы на самом деле не ^алкивались с трудностями при учете нулевых мод духов, так как коммутирующие духи у и Р имеют полуцелые моды и, следовательно, не изменяют природу вакуума. Вакуум BRST по-прежнему имеет духовое число — Vz» и поэтому действие, как и прежде, имеет вид

(A\Q\A>.(7.7.10)

Однако для фермионов Рамона [11, 41-53] возникают трудные проблемы, связанные с целочисленными компонентами коммутирующих духов Фаддеева- Попова. Пусть у0 будет нулевой модой духового фермионного осциллятора. Тогда существует бесконечное число всевозможных вакуумов, поскольку этот дух является по своей природе не фермионным, а бозонным. Каждый из этого бесконечного набора вакуумов метится выражением

Yo|O>.(7.7.11)

(7.7.12)(7.7.12)Это приводит к тому, что полевой функционал должен быть разложен в ряд по бесконечному набору вакуумов:

(7.7.12)

(7.7.12)

Ф(Х, Уо) = 1ф„(^)у"о.

Какой вакуум мы используем? Такой подход является чрезвычайно неудобным, что показывает ограниченность формализма BRST. (Подобная ситуация имеет место в конформной полевой теории с оператором смены картины. Однако конформная полевая теория является формализмом на массовой поверхности, так что все картины эквивалентны одной. Здесь полевая теория струн-это по определению теория вне массовой поверхности, и поэтому в нее должны входить все такие МКуумы.)

Для транкирования теории в подходе BRST имеется несколько Ч^Дложений. Мы можем либо транкировать Q, оставляя его нильПотентным, либо транкировать поле | Ф ) так, чтобы отпала необходиМость в суммировании по бесконечному числу духовых вакуумов. ачнем обсуждение с введения единых обозначений, с помощью

J^opux мы сможем описывать духовые поля для моделей Невё- ^рца и Рамона одновременно. Определим следующие объекты [11]:

(7.7.13)(7.7.13)Л^ = («К, VS), BN = (6„, 0„), CN = (с„, у„).

(7.7.13)

(7.7.13)

^ 1 А^ обозначает как обычную бозонную струну, так и анти- ц/у^ирующее поле Vw, точка напоминает, что поля могут иметь и полуцелые моды, a BN и CN представляют духовые поля теории.

В частности, Ьп и сп- духовые поля, соответствующие бозонной струНе а Р' и у• обозначают духи для фермионного поля, где точка опять обозначает возможность разложения либо по целым, либо по поду целым модам.*

Коммутационные соотношения принимают вид

лк, Л^-(- 1)M^ Л^п^М + М),

Вм CN + (- 1)MN CN Вм = 5 (М + N),(7.7.14)

где (— l)wv равно — 1, если М и N-фермионы, и +1 в противном случае. Если [Lz, Lj] = F йк LK, то оператор BRST в этих обозначениях принимает вид

Q = С - N LN Л-F п; С_ j С _! Вк:,(7.7.15)

где Ln суть обычные операторы Вирасоро.

В частности, для струны Рамона этот оператор есть

Q = с0К + y0F + J + 8 — ^Rbo - 2Я0О + у§60,(7.7.16)

где - 3

К = -МС_мСЙ,(7.7.17)

F = Fo +/«[С^Вм - В_м(- 1)й Сй],(7.7.18)

где/$ равно 2, если М-бозонный индекс, и М/2, если М-фермионный индекс, черта меняет местами бозонные и фермионные моды, a d, К, 8, R принимают те же значения, что и в случае Вирасоро.

Fq - обычный оператор Рамона, который удовлетворяет следующим коммутационным соотношениям, определяющим алгебру Superdiff (S):

{Gm , G,} = ^Lm+„ + | D (m2 - ^ 8m, ,

[^m,G„] = Qm-«^GM + „,

[Lm,F„] =Fm + n,(7.7.19)

(Fm, F„} = 2Lm + „ +-Dm28_

№m, bj = (m - n)Lm+n + у m3 8m, .

Отметим, что алгебра Superdiff(S), которая обычно записыва^^ через физические поля, с таким же успехом может быть реализо через духовые поля BN и CN.

Операторы F, К и так далее удовлетворяют, в свою очер^

(7.7.20)(7.7.20)^едующим коммутационным соотношениям: </2=.52 = 0, F2 = K,

(7.7.20)

(7.7.20)

2R=IF,R3, {d,8}=F{F,R}.

Этих же коммутационных соотношений достаточно, чтобы показать дульпотентность BRST-оператора Q.

Как упоминалось выше, проблема с сектором Рамона заключается в том, что духовая мода у0 разлагается по целым модам и удовлетворяет коммутационным, а не антикоммутационным соотношениям, так что имеется бесконечное число духовых вакуумов, описываемых уо 10) для важного п. Одно из решений этой проблемы состоит в произвольном транкировании нулевых мод оператора Q при сохранении его нильпотентности.

Мы подходим к решающему моменту: как и в случае бозонной замкнутой струны, устраним произвольным образом бозонные духовые моды Уо, Ро и введем фермионные 80 и с0, такие что

(7.7.21)(7.7.21)^о|б> = 0,

(7.7.21)

(7.7.21)

<б|30|б> = 1.

Определим модифицированный оператор Q, изгоняющий из теории нулевые моды. Пусть

(7.7.22)(7.7.22)й = с0Р + (- 1Л(^ + 8) - b0(FR + RF),

(7.7.22)

(7.7.22)

где Nf подсчитывает полное число фермионных операторов рождения в данном состоянии. При этом руководящим принципом в построении модифицированного оператора было тождество Q2 = 0.

Для выделения состояний сектора Рамона определим оператор GSO, который в таком представлении есть

6=[5ОЛ] Ги(—1)N',(7.7.23)

№ NF относится только к ненулевым модам, а Г11 обозначает Ю-мерную киральную матрицу Дирака. В этом представлении GSO- вроекция просто уничтожает состояния с неправильной спиновой статистикой.

Произвольное рамоновское суперполе в этом транкированном фо- ^вском пространстве может быть разложено как

l^> = [|Y> + ?оЮ]|0>>(7-7.24)

гДе I у)-0-форма киральности Г11 = 1, |^> есть G = + 1(— 1)-форма и ^оЮ> = 0,

<б|ао|0>=1.(7.7.25)

Франкированное действие теперь есть

$ = Ф|£|Ч'>,(7.7.26)

где (Т| = <Т|Г°. Такое действие инвариантно относительно преобра. зования

5|Т> = е|Л>. (7.7.27)

Подстановка указанного выше разложения | Т ) в (7.7.24) дает

5=<V|F|V> + <?|FA + /?F|O-<Vl^+5|O-<?l^+5|4/>.

(7.7.28) Такое действие было также получено другими способами, такими как искусный выбор при транкировании | Т ), сохраняющий первоначальный вид оператора Q.

Однако ситуация становится намного хуже, когда мы переходим к обсуждению фермионных замкнутых струн. В этом случае связь [К — К] | Т > = О превращается в

[Г-Г^Ч^О, (7.7.29) т. е. становится динамической связью. Следовательно, налагать ее на состояния мы не можем. К несчастью, теория BRST для фермионных замкнутых струн терпит крах, что демонстрирует незавершенность известного ныне формализма BRST. Фермионная теория замкнутых струн подводит формализм BRST к пределу его возможностей, где он больше не дает приемлемых результатов.

Мы видели, что подход BRST становится все более громоздким при переходе к суперструнам и замкнутым струнам. К сожалению, было предложено много способов транкирования, отчасти взаимоисключающих. «Транкирование», однако, нечто большее, чем дело вкуса, это потенциально опасная операция, поскольку она, вероятно, не обобщается на взаимодействующие струны. Транкирование, по-видимому, нарушает локальность по ст, столь существенную для построения вершин. Поэтому предложенные до сих пор способы транкирования могут на самом деле оказаться несостоятельными на уровне взаимодействия.

Все же представим еще одну операцию транкирования [17], которая обещает быть локальной по ст и, стало быть, допускающей обобщение на взаимодействующие струны. Напомним первоначальный способ подсчета духов, которое мы выполнили при конструировании операций * и J. Духовые числа выбирались так, чтобы удовлетворить аксиомам когомологии (7.5.8)-(7.5.12) и обеспечить замкнутость калибровочной группы:

Объект

Духовое число

Объект

Духовое число

1

Л

3

~ 2

“ 2

Q

+ 1

3

3

~ 2

*

н—

2

Дегко показать, что такой выбор духовых чисел удовлетворяет переделенным выше аксиомам когомологии.

Обобщим эти правила на случай открытых суперструн. Мы хотим ^охранить аксиомы когомологии и в дополнение потребовать, чтобы два калибровочных преобразования производили третье калибровочное преобразование с тем же самым духовым числом.

Выдвинув эти условия, сразу находим, что определенные нами операции * и J имеют неправильные духовые числа. Как было найдено пьппе, действие тождественно равняется нулю. На этот раз, чтобы восполнить утерянные духовые числа, вместо транкирования нулевых мод мы прибегнем к конформной полевой теории. Вставки от духовых полей BRST будут присутствовать только в средней параметризацион- ной точке, поэтому мы не потеряем локальность по и. Таким образом, это транкирование, которое транкирует только духовые числа полей, лучше, чем предыдущая операция транкирования нулевых мод.

Чтобы заставить этот механизм заработать, нужно добавить несколько новых особенностей.

Суперполе Т представляется теперь суммой NS-поля а и R-поля \|/:

Т = (а, vj/).(7.7.30)

Аналогично, калибровочный параметр А также состоит из двух частей:

A = (s,x).(7.731)

Духовое число операции * равно теперь 7г (поскольку, как и выше в (7.4.16), вклад конформных духов равен 3/2, но суперконформные духи дают вклад — 72). Следовательно, мы должны изобрести новое правило умножения для суперструн, которое будет иметь духовое число 3/2 (назовем его ®).

Интеграл j имеет теперь духовое число — 7г из-за вклада суперконформных духов. Необходимо предположить существование нового интегрирования f, имеющего духовое число — 3/2.

Теперь методом проб и ошибок мы можем приписать всем нашим Полям и операторам духовые числа, обеспечивающие замкнутость калибровочных преобразований и выполнение приведенных выше аксиом [17]:

Объект

Духовое число

Объект

Духовое число

1

3

а

——

®

2

2

V

0

X

1

3

У

- 1(7.7.32)

—— —

2

3

X

- 1

” 2

Q

+ 1

г

1

1

J

— —

*

2

2

Здесь X и Y еще неизвестны, но имеют духовые числа, восполняюцщ недостающие значения.

Выдвинув догадку, которая успешно удовлетворила нашим перво» начальным предположениям, мы теперь сталкиваемся с задачей действий тельного вычисления вида этих полей и операторов $ и ®.

Для начала, построить BRST-поля с такими духовыми числами нетрудно. Мы просто выбираем правильный вакуум (из их бесконечного количества), такой что он имеет нужное духовое число. Затем всегда можно применить к каждому состоянию проекционный оператор духового числа и получить обобщенное BRST-поле с правильным духовым числом.

Намного сложнее, конечно, определение операторов f и ®.

Так как * имеет только духовое число 72, нам нужен новый конформный оператор с духовым числом 1 и конформным весом 0. К счастью, конформная полевая теория дает такой оператор:

Х = ^Л^ (7.7.33)

Тогда правило умножения для калибровочных параметров должно подчиняться условию

(7.7.34)(7.7.34)At ® Л2 — (1 <->2) = А3.

(7.7.34)

(7.7.34)

Этому правилу умножения можно удовлетворить с помощью нового оператора X:

(7.7.35)(7.7.35)A1®A2 = (e1,Xi)®(£2,X2)

(7.7.35)

(7.7.35)

= (X(е, * £2) + Xi * х2, X(е2 * х2 + Х1 * е2))-

Взглянув на духовые числа всех полей и операторов, мы убеждаемся в их правильности. В самом деле, запишем наше правило умножения символически через духовые числа. Мы хотим перемножить два мультиплета с духовыми числами (— 3/2; 1) так, чтобы при этом снова получить мультиплет (— 3/2; — 1). Аккуратно выписывая все различные духовые

числа в этом правиле умножения, находим

-1-1(7.7.36)(7.7.36)

-1

-1

(7.7.36)

(7.7.36)

т. е. получаем замкнутость.в

Далее, покажем, что выражение А ® Л, которое присутствует вариации поля А, также имеет правильное духовое число поля А. этого нужно вычислить духовые числа следующей операции:

(a, v) ® (е, X) = (X (а * е) + \|/ * х, X (\|/ * 8 + а * х)) •^* *

Тщательно подсчитывая духовые числа всех членов, находим

3\2/(7.7.38)3\2/(7.7.38)-1) = (1-| + |-| = 0 + |-1, 1+0 + ^-

3\

2/

(7.7.38)

3\

2/

(7.7.38)

I 2 / \2/\22222

т.е. снова замкнутость налицо.

Наконец, необходимо построить новый оператор $ с духовым числом _ 3/2. Поскольку наивный интегральный оператор имеет духовое число, равное всего лишь — 1/2, требуется новый оператор с духовым числом -1. Еще раз конформная полевая теория дает нам такой оператор:

У(ст) = с_д+^”2<р.(7.7.39)

Этот оператор называется «обратным оператором смены картины» я в некотором смысле является обратным к оператору X. Можно показать, что

lim ОДУ^Н,(7.7.40)

О^Оз

т.е. операторы X и У взаимно обратны. С помощью этого оператора новый оператор интегрирования определяется формулой

^а, у) = j У Q л) «у,(7.7.41)

т.е. правило интегрирования то же самое, что и выше, за исключением фактора У(л/2), который мы подставляем в средней точке. Этот оператор определяется только в средней точке струны, так что локальность теории по а сохраняется.

Используя новые операторы подсчета духов, можно показать инвариантность действия

(7.7.42)(7.7.42)(7.7.43)(7.7.43)2

(7.7.42)

(7.7.42)

(7.7.43)

(7.7.43)

Л ® QA + - А ® А ® А

^осительно преобразования 84 = ел + Л®А-А®Л.

Преимущество этого формализма заключается в том, что он ^общается на случай взаимодействий. Все операторы локальны по и, м°ЭТОмУ проблема наложения условия непрерывности на взаимо- Иствующие струны отсутствует.

чцнако проблема с этим подходом состоит в невозможности его ощения на замкнутые струны. В моделях такого типа явно наруша- Модулярная инвариантность. К тому же построение модели зави- ^орее от удачного угадывания подходящих духовых чисел, чем от Моти°Ли^° нового понимания сути полевой теории. Нет никакой Вйровки, лежащей в основе всего этого.

Подытожим различные трудности формализма BRST, обусловлен ные тем фактом, что это фактически формализм с фиксированной калибровкой.

Загадочна необходимость существования двух формализмов BRst эквивалентных на массовой поверхности,-одного, основанного на определенной ковариантным образом вершине конусного формализма, а другого-на симметричной вершине.

Смысл духового поля Фаддеева-Попова, являющегося напоминанием о фиксации конформной калибровки, неясен. Почему объект фиксирующий калибровку, должен играть в формализме BRST такую важную роль?

Правило умножения * и правило интегрирования J для струн просто постулируются без объяснения их происхождения.

Непонятен смысл уравнения Q2 = 0.

Формализм BRST не может перейти в калибровку светового конуса вне массовой поверхности. Как мы видели, чтобы получить действие в калибровке светового конуса, для уничтожения лишних мод пришлось использовать уравнения движения.

Предлагается много способов транкирования для теории BRST, не все из них согласуются друг с другом. Какой же способ является правильным? Присутствие связей в фермионном секторе не только неприятно, оно обрекает эту теорию на неудачу. Уравнения связей не могут быть разрешены при сохранении уравнения движения. Таким образом, для сектора замкнутых фермионных струн теория терпит полный крах.

Почему такую важную роль в теории должна играть средняя параметризационная точка? Математически середина струны не является такой уж особенной точкой.

Что важнее всего, формализм BRST невозможно вывести из фундаментальных принципов физики. Он не является физическим принми- пом. Метод BRST-это формализм для квантования в калибровке. Он лишен физического содержания.

Перед тем как завершить эту главу о струнной полевой теории BRST, скажем несколько слов о многообещающей формулировке полевой теории струн, называемой «предгеометрическим» подходом [54- 56J- Эта формулировка не ссылается на фоновую метрику и может Д^ ключи к пониманию происхождения самой геометрии.

Рассмотрим действие

L = Ф * Ф * Ф.(7.7.44)

3g2

На первый взгляд такое действие не имеет смысла. Оно никак ссылается на то, какая фоновая метрика лежит в его основе,- что саМ°^ себе хорошо, но два обстоятельства кажутся создающими неПРе0,Д6^ мые трудности: действие не имеет кинетического члена и его уравН

(7.7.45)(7.7.45)ужения представляются тривиальными. Для того чтобы изучить это дранное действие, выпишем соответствующее ему уравнение движения:

(7.7.45)

(7.7.45)

ф*Ф = 0.

Обычно оно имеет решение Ф = 0, так что в случае точечной частицы теория оказывается бессодержательной. Однако данное уравнение на самом деле представляет собой краткую запись для бесконечной совокупности связанных уравнений, соответствующих бесконечно- юмпонентной полевой теории, поэтому для струнной теории оно уже не является тривиальным. Предположим на минуту, что для этого уравне- gga движения существует ненулевое классическое решение Фо, т.е.

ф0*Фо = 0.(7.7.46)

Разложим поле вблизи этого классического решения.

ф-*Ф0 + дФ.(7.7.47)

Подставим полученное разложение обратно в лагранжиан. Так как Фо удовлетворяет классическим уравнениям движения, мы имеем новый лагранжиан, основанный на новом классическом решении:

L = 2Ф * (Фо * Ф) + у Ф . (7.7.48)

Пока что ничего нового в этом не видно. Мы все еще не вошли в соприкосновение с физической теорией. Сделаем теперь важнейшее предположение, лежащее в основе этого подхода. Допустим, что существует оператор D, который удовлетворяет уравнению

ОФ = Фо*ф-(-1)ФФ*ФО. (7.7.49)

Если такой оператор действительно существует, то тогда можно Доказать, что он нильпотентен. Подставляя выражение (7.7.49) в лагранжиан, получаем

(7.7.50)(7.7.50)2 L= Ф*ОФ 4- - дФ3.

(7.7.50)

(7.7.50)

Если бы мы могли отождествить оператор D с обычным оператором й подхода BRST, то тогда можно было бы показать, что это действие в точности BRST-действие с кинетическим членом! Итак, обычное “ST-действие могло бы появиться при разложении поля вблизи нового барического решения нашей теории.

Новой особенностью этого подхода является отсутствие какого-либо Упоминания пространственно-временной фоновой метрики. Фон присут- только в кинетическом члене, но не в члене взаимодействия. Удивительно, выбор фоновой метрики осуществляется при разложе- поля вблизи классического решения уравнений движения. Это ясняет, почему такой подход называется «предгеометрической» Рией. В принципе геометрия пространства-времени должна возник- ь в результате выбора одного из многих возможных вакуумов.

На практике, однако, следует тщательно проверить согласованность нашего подхода. Ключевым уравнением было (7.7.49). При определен ных предположениях представляется возможным найти решения этого уравнения, где D удовлетворяет аксиомам струнной полевой теор^ BRST. Если это так, то обычное плоское пространство струнной полевой теории BRST есть не что иное, как одно из решений уравнения движения для действия Ф3. Другие решения предположительно дадут BRST-теории с другими классическими метриками.

Например, выберем

Ф0 = 61Л(7.7.51)

где Ql- BRST-оператор, определенный только слева от средней точки (для открытия струны), а I- тождественный оператор (который равен 1 если левая и правая сторона струны совпадают, и нулю в противном случае). Первоначальный оператор Q подхода BRST равен QL + Qr Подстановка выражения

Ф = Ql I + 9Ф(7.7.52)

в исходное действие восстанавливает действие BRST (7.5.7). (Правая часть оператора Q появляется в вычислениях, поскольку QRI = — QL I)

Как ни странно, можно показать, что эти определения согласуются с исходными пятью аксиомами разд. 7.5, так что обычное струнное действие BRST, по-видимому, есть одно из многих возможных решений уравнения (7.7.45).

Итак, плоское пространство является корректным решением уравнения (7.7.45). Однако нужно еще найти, какие другие виды фоновых метрик могут быть получены как решения уравнений движения.

§ 7.8. РЕЗЮМЕ

Исходным пунктом ковариантного калибровочного подхода было построение теории, инвариантной относительно преобразования

6|Ф>= £ L_„|A„>.(7.8.D

п = 1

Мы постулировали эту инвариантность, основываясь на аналогии с теорией Янга-Миллса, которая также инвариантна относительно преобразований, превращающих поле в духовые поля. Фактически, раскладывая предыдущее уравнение, мы в точности получим линейную часть вариации теории Янга-Миллса

Ф№0-1]Р|Ф>,

где Р- проекционный оператор. Путем степенного разложения моХН° получить точное решение этой калибровочной проблемы:

<Ф|Ь0-^1Ь_1+...|Ф>.(7-8J)

ga свободном уровне данное выражение воспроизводит обычное дей- ^ие Максвелла. Посредством «грубой силы» решение может быть тарке написано для высших порядков:

P(L0 - IP = Lo - 1 - L_t Lv + L2 , ^4L0 + ^ D — 9^AL2

+ L2! (6LO + 6)AL2 +

— L_2(4Lo + 2)(2LO + 2)AL2 + ....(7.8.3)

Здесь

Д = 2 (16b§ + (2D - 10) Lo + D)"1,(7.8.4)

a p_ проекционный оператор, уничтожающий духовые поля. Эта теория нелокальна, что означает необходимость включения в нее дополнительных полей для поглощения нелокальных членов.

Потребность в дополнительных полях появляется уже в методе BRST-квантования. Отметим, что духи Фаддеева-Попова распространяются в свободной теории:

𹄠+ ^е1 + рЖ - аа)92.(7.8.5)

Поэтому континуальный интеграл нужно модифицировать так, чтобы учесть эти дополнительные степени свободы. Гильбертово пространство вашего полевого функционала должно быть теперь расширено:

l = |0>|X>fDXD0<0|<X|,

<0|<Х|Ф> = Ф(Х,0).* *

Это означает, что функции Грина представляются теперь в виде

Ы(Хь%ьХь»^= f DXDPDQDPe explode ditto, т) х<Д

= f Р^Ф^.^аФ*^, 0v)expz f ПХМЦФ). (7.8.7)

BRST-квантование вводит новый нильпотентный оператор Q, такой что

e = c0(L0-D+ I [сД + М,]

iоо"(7.8.8)

~2L:c-„c-„bn+m:(m-n),

62 = 0.(7.8.9)

образом, действие свободной теории может быть просто вЧ^жено в виде

Ь=<Ф|6|Ф>,

8|Ф> = 0|Л>.(7.8.10)

Обобщение его на теорию взаимодействий можно выполнить, использу технику функций Неймана. Нам нужно конформное преобразование переводящее верхнюю полуплоскость в полностью симметричную кон^ фигурацию. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы сщИт^ отображения шести зарядов, чтобы получить трехструнную верцщНу.

z3 — /

(7.8.Ц)(7.8.Ц)(7.8.12)(7.8.12)р = У a, ln(z — zj = In -лm/2,

(7.8.Ц)

(7.8.Ц)

(7.8.12)

(7.8.12)

ai = a2 = a_3 = 1,

a_t = a_2 = a3 = — 1, 2х=е^\ z2 = ^'\

z3 = z_t=-Zi,

z_2 — — Z2 J z_3 — — z3.

Это позволяет написать явную формулу для вершинной функции:

1^12з> = ехр1^12з> = ехрл °-л °-13

1^12з> = ехр

1^12з> = ехр

л °-

л °-

N;smaLm^P'0N”maLm^^^ £ Р^ |0123).

2г=! J

(7.8.13)

Одно из главных преимуществ подхода BRST-это формализм, в котором все может быть сведено к основным предположениям данной теории. Оказывается, что с помощью пяти аксиом, которые просто постулируются, мы можем вывести всю теорию BRST:

Существование нильпотентной операции дифференцирования:

б2 = 0;(7.8.14)

Ассоциативность умножения *:

[Л*5]*С= А* [В* С];(7.8.15)

Правило Лейбница:

Q[A*B] = QA*B + (- \)aA*QB;(7.8.16)

Правило умножения:

$А*В = (- 1)ав$В*А;(7.8.17)

Правило интегрирования:

JQ^ = O.(7.8-18)

Используя эти правила, мы можем теперь показать, что инвариант ное действие есть

2

L = f Ф * ^Ф + - Ф * Ф * Ф,

представляющее собой члены Черны-Саймонса.

Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:з|Р123>= П СХРг= 1з|Р123>= П СХРг= 1L е"L'--- и ^ ОL е"L'--- и ^ О1^23 >•1^23 >•(7.8.20)(7.8.20)

Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:

Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:

з

|Р123>= П СХРг= 1

з

|Р123>= П СХРг= 1

L е"L'--

- и ^ О

L е"L'--

- и ^ О

1^23 >•

1^23 >•

(7.8.20)

(7.8.20)

Следовательно,

<физ|И123> = <физ|Й123>.(7.8.21)

Здесь имеется, однако, одно смущающее обстоятельство. Дело в том, что мы можем определить ковариантным образом вершину в формализме светового конуса и показать, что она также эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано. Таким образом, мы сталкиваемся в рамках подхода BRST с двумя эквивалентными вершинными функциями, приводящими на массовой поверхности к одинаковым результатам.

Хотя открытые бозонные струны было относительно легко выразить на языке BRST, этот подход для суперструн и замкнутых струн оказался гораздо менее успешным. Проблема заключается в том, что наивная «духовая арифметика» суперструнных действий и действий для замкнутых струн дает неправильные результаты:

<Ф|2|Ф> = о.

Для изменения суммирования духов было предложено несколько способов, состоящих в «транкировании» либо гильбертова пространства, либо оператора Q до получения нужных духовых чисел. Проблема, связанная с тем, что при этом нулевые моды трактуются отлично от Других мод, вероятно, приводит к нарушению локальности по ст и, следовательно, к невозможности обобщения этого подхода на случай взаимодействий.

Более обещающий подход заключается в том, чтобы ввести бозо- низированные духовые операторы, имеющие недостающие духовые числа, и затем вставить их в средних точках, где мы не нарушаем локальность по ст. Такой подход, по-видимому, хорошо работает для открытых суперструн, но терпит неудачу для замкнутых струн, потому что выделение «средних точек» нарушает модулярную инвариантность.

Такая ситуация является лишь проявлением более глубокой пробле- BRST-теория просто постулируется без всякого вывода, в ее основе отсутствуют какие бы то ни было физические и геометрические принты. Таким образом, она не может быть окончательной теорией. Наличие двух эквивалентных вершинных функций показывает, что это, сУти, теория в фиксированной калибровке. Теперь мы должны обратиться к геометрическому варианту теории, в котором все можно Ывести из фундаментальных принципов.

ЛИТЕРАТУРА

1] Kaku М. Nucl. Phis. В267, 125 (1985).

2] Каки М., Lykken J. In: Symposium on Anomalies, Topology, and Geometrv World Scientific, Singapore, 1985.™

3] Banks T., Peskin M. In: Symposium on Anomalies, Topology, and Geometry World Scientific, Singapore, 1985.*

4] Brower R.C., Thorn C.B. Nucl. Phis. B31, 163 (1971).

5] Кас V. Leet. Notes in Phys. 94, 441 (1979); см. также Фейгин Б. Л., Фукс Д б Докл. АН СССР 269 (1983), с. 1057-1060.* *

6] Kaku М. Phys. Utt. 162В, 97 (1985).

7] Kato М., Ogawa К. Nucl. Phys. В212, 443 (1983).

8] Fradkin E.S., Vilkoviskii. Phys. Lett. 55B, 224 (1975).

9] Siegel W. Phys. Utt. 142B, 276 (1984); 151B, 391, 396 (198 5).

Banks T, Peskin M. Nucl. Phys. B264, 513 (1986).

Banks T., Friedan D., Martinec E., Peskin M.E. and Preitschopf. Nucl. Phys B274, 71 (1986).'

Siegel W., Zweibach B. Nucl. Phys. B263, 105 (1985).

Zweibach В. CTP 1308, October 1985.

Itoh K., Kugo T., Kunitomo H. and Ooguri H. Prog. Theor. Phys. 75, 162 (1986).

Pfeffer D., Ramond P. and Rogers V. Nucl. Phys. B274, 131 (1986).

Witten E. Nucl. Phys. B268, 253 (1986).

Witten E. Nucl. Phys. B276, 293 (1986).

Neveu A., West P.C. Phys. Lett. 165B, 63 (1985).

Neveu A., Schwarz J.H. and West P.C. Phys. Lett. 164B, 51 (1985).

Neveu A., West P.C. Nucl. Phys. B268, 125 (1986).

Neveu A., Nicolai H. and West P.C. Nucl. Phys. B264, 173 (1986).

Hata H., Itoh K., Kugo T., Kunitomo H. and Ogawa K. Phys. Lett. 172B, 186 (1986); Phys. Lett. 172B, 195 (1986).

3] Hata H., Itoh K., Kugo T., Kunimoto H. and Ogawa K. Phys. Rev. D34, 2360 (1986); Phys. Rev. D35, 3082 (1987); RIFP-674 (1986); RIFP-673 (1986).

Hata H., Itoh K., Kugo T., Kunimoto H. and Ogawa K. Nucl. Phys. B283, 433 (1987); см. также Chang N. P, Guo H. Y., Qui Z. and Wu K. CCNY-HEP-86/5, 1986.

Peskin M.E., Thorn C.B. Nucl. Phys. B269, 509 (1986).

Giddings S. Nucl. Phys. B278, 242 (1986).

[2 7] Giddings S., Martinec E. Nucl. Phys. B278, 91 (1986).

Giddings S., Martinec E. and Witten E. Phys. Lett. 176B, 362 (1986).

Gross D.J., Jevicki A. Nucl. Phys. B282, 1 (1987); B287, 225 (1987).

Samuel S. Phys. Lett. 181B, 249, 255 (1986); Ohta N. Phys. Rev. D34, 3785 (1986).

Cremmer E., Thorn C.B. and Schwimmer A. Phys. Lett. 179B, 57 (1986).

Cremmer E. Quantum Gravity-Integrable and Conformal Invariant Theories Conference, LPTENS 86/32, September 1986.

3] Caneschi L, Schwimmer A. and Veneziano G. Phys. Lett. 30B, 3 51 (1969).

Sciuto S. Nouvo Chimento Lett. 2, 411 (1969).

[3 5] Bogojevic A.R., Jevicki A. NucL Phys. B287, 381 (1987).

Neveu A., West P.C. Phys. Lett. 179B, 235 (1986).

Другой подход к длинам струн см. в Neveu A., West Р. Nucl. Phys. В293, 2 (1987).

[3 8] Siegel W., Zwiebach В. Nucl. Phys. B282, 125 (1987).

Lykken J., Raby S. Nucl. Phys. B278, 256 (1986).

[40][41][40][41][42][43][42][43][44][45][44][45][46][47][46][47][48][49][50][51][52][53] [Я][48][49][50][51][52][53] [Я]Sen S., Holman R. Phys. Lett. 58, 1304 (1987).

[40]

[41]

[40]

[41]

[42]

[43]

[42]

[43]

[44]

[45]

[44]

[45]

[46]

[47]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53] [Я]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53] [Я]

Ohta N. Phys. Rev. Lett. 56, 440 (1986); 56, 1316 (E) (1986); de Alwis S. P., Ohta N. Phys. Lett. B174, 383 (1986); B188, 425 (1987); B200, 466 (1988).

Terao H., Uehara S. Phys. Lett. 168B, 70 (1986); Phys. Lett. 173B, 134 (1986);

Phys. Lett. 173B, 409 (1986); Phys. Lett. 179B, 342 (1986).

Date G. D., Gunaydin M., Pernici M., Pilch K. and van Nieuwenhuizen P. Phys. Utt. 171B, 182 (1986).

Kazama Y., Neveu A., Nicolai H. and West P.C. Nucl. Phys. B276, 336 (1986). Aratyn H., Zimerman A.H. Nucl. Phys. B260, 349 (1986); Phys. Lett. 165B, 130 (1986); Phys. Lett. 166B, 130 (1986); Phys. Utt. 168B, 75 (1986).

Ooguri H. Phys. Lett. 172B, 204 (1986).

Awada M. Phys. Lett. 172B, 32 (1986); 180B, 45 (1986); Nucl. Phys. B282, 349 (1987).

Ballestrero A., Maina E. Phys. Lett. 180B, 53 (1986).

Tang J. F., Zhu C.J. Phys. Lett. 180B, 50 (1986).

Suehiro K. Nucl. Phys. B296, 333 (1988).

Itoh K., Ogawa K. and Suehiro K. KUNS-846 HE(TH) 86/06.

Leclair A. Phys. Lett. 168B, 53 (1986).

Uclair A., Distler J. Nucl. Phys. B273, 552 (1986).

Friedan A. Enrico Fermi Institute Report No. 85-27, 1985; Yonea T. Proceedings of the Seventh Workshop on Grand Unification /ICOBAN 86, Toyama, Japan; E. Witten, unpublished.

Hata H., Itoh K., Kugo T., Kunitomo H. and Ogawa K. Phys. Lett. 175B, 138 (1986).

Horowitz G. T., Lykken J., Rohm R. and Strominger A. Phys. Rev. Lett. 57, 283 (1986); см. также Kikkawa K., Maeno M. and Sawada S. Phys. Lett. 197B, 524 (1987).

Глава 8

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

§ 8.1. ЗАЧЕМ НУЖНА ГЕОМЕТРИЯ?

Как мы видели, развитие теории струн в течение последних 20 лет происходило в направлении, прямо противоположном направлению развития общей теории относительности. Во многом это объясняет почему мы до настоящего времени заняты поисками фундаментальной геометрической формулировки теории струн.

Общая теория относительности была открыта Эйнштейном, который сначала попытался объяснить важнейший физический принцип - принцип эквивалентности, а затем постулировал геометрическую формулировку, объясняющую общую ковариантность. Следующий шаг состоял в построении единственного действия, удовлетворяющего этим принципам. Дальнейшие этапы в развитии общей теории относительности были связаны с созданием классической теории римановых многообразий. И наконец, были предприняты попытки проквантовать эту теорию. Таким образом, историческая схема развития общей теории относительности выглядит так:

Геометрия -► Действие -* Классическая теория -► Квантовая теория.

В сравнении с этой схемой теория струн развивалась в обратном направлении. Ее развитие начинается со случайного открытия члена Венециано-Борна, построения квантовых петель, приводящих к классической струне Намбу-Гото, затем к действию в калибровке светового конуса и, наконец, к попыткам геометрического вывода действия:

Квантовая теория -^ Классическая теория -► Действие -► Геометрия.

Только недавно, с возрождением интереса к струнной теории, были предприняты попытки совместными усилиями завершить ее развитие. Как мы подчеркивали, это не только академический вопрос. В конечном счете успех или неудача теории струн определится на основании того, сможет ли она выбрать подходящий квантовый вакуум среди десятков тысяч возможностей. Таким образом, только в рамках настоящей теории поля можно будет разрешить насущную проблему теории струй, а именно непертурбативное нарушение симметрии, сводящее 10-мерныи вакуум к четырехмерному.

В сущности, имеются только два различных способа, которым0 можно было бы вывести полевую теорию струн.

Во-первых, можно попытаться получить действие полевой теори0, отталкиваясь от первично квантованного действия Намбу, таким я$ образом, каким Фейнман вывел уравнение Шрёдингера из классИ ческой теории нерелятивистских частиц. Такая стратегия «снизу

вверх» включает в себя выдвижение разумных допущений на основании особенностей первично квантованной теории. Недостаток этого подхода кроется в том, что он обязательно нарушает калибровочную инвариантность теории (т. е. мы должны выбрать калибровку светового конуса или конформную калибровку BRST). Это значит, что необходимо произвольно предположить существование определенных полей (например, «духовых полей Фаддеева- Попова»). Эти поля присутствуют в первично квантованном подходе с фиксированной калибровкой, однако их появление во вторично квантованной полевой теории является странным и неестественным. Поэтому в такой теории это действие выглядит вычурным. Другими словами, подход BRST сам по себе не является физическим принципом.

Во-вторых, в рамках геометрического подхода можно вывести всю полевую теорию, выделив фундаментальные физические принципы. Это метод «сверху вниз», наследующий дух теории Янга-Миллса и общей теории относительности. Теперь мы начинаем с единственной локальной калибровочной группы, введение которой основано на простых физических принципах, и требуем, чтобы действие было инвариантным относительно преобразований из этой группы. Основная задача такого способа рассмотрения состоит в выделении калибровочной группы струнной теории, нахождении ее неприводимых представлений, кривизны и самого действия.

В этой главе мы рассмотрим наиболее перспективный вариант геометрической теории.

Мы будем придерживаться аналогии с общей теорией относительности и теорией Янга-Миллса, которую можно вывести из двух простых принципов геометрического происхождения - глобальной и локальной симметрий.

Глобальная симметрия. Теория должна описывать распространение спиральностей, соответствующих чистым полям Л" со спином 1 и д^ со спином 2, преобразующихся как неприводимые представления группы SU(N) и группы Лоренца.

Локальная симметрия. Действие должно быть локально инвариантным относительно действия группы SU(N) и общековариантным.

(Первый принцип является физическим. Он определяет фундаментальные представления полей и утверждает, что они должны быть Истыми», т. е. не содержащими духов и высших производных. Мы не Хотим включать в теорию духов типа высших производных; мы прямо Исключаем из рассмотрения действия типа R2 или F\ содержащие Вь<сщие производные. Это означает, что первый принцип не может быть следствием второго, поскольку локальная инвариантность сама по себе совместима с теориями, содержащими высшие производные.)

Выделив эти два физических принципа, для отыскания действия мы УДем следовать следующей основной стратегии:

Калибровочная группа -► Связности -♦ Ковариантные производные ^ Тензоры кривизны -* Действие.(8д

Иначе говоря, для того чтобы вывести действие, мы сначала начинаем с двух полей связности, по одному для каждой группы. Пусть Л^-доля связности для генераторов т1 группы SU(N), а со^-поля связности ддя генераторов <з“ь группы Лоренца. Тогда с помощью этих полей можно построить следующие ковариантные производные:

1>и = ди + Л^?,

V^^ + fi)»*^.(8Л2)

Далее мы выписываем тензоры кривизны для этих двух групп:

(8.1.3)(8.1.3)[Dp, Dv] = F'^ т', [Vp, Vv] = R» о"6.

(8.1.3)

(8.1.3)

И наконец, мы видим, что тензорное исчисление для указанных групп столь ограничительно, что оно допускает существование только одного действия, которое основано на этих тензорах кривизны, содержащих две производные, и это действие обладает как общековариантностью, так и локальной SU (^-инвариантностью:

12х212х2- д fU f^ .- д fU f^ .(8.1.4)(8.1.4)

1

2х2

1

2х2

- д fU f^ .

- д fU f^ .

(8.1.4)

(8.1.4)

Замечательно, что этих двух принципов, основанных на одной лишь теории групп, оказывается достаточно для определения единственного действия. Причина состоит в том, что тензорное исчисление (т.е. правила умножения неприводимых представлений и мера интегрирования) устанавливается калибровочной группой. Его не нужно вводить «вручную». Таким образом, тензорное исчисление столь ограничитель

но, что это приводит к выделению единственного действия.

Подобным образом мы следуем этой основной стратегии (8.1 Л), свойственной обычной калибровочной теории точечной частицы и общей теории относительности, для того чтобы отыскать действие полевой теории струн. Мы предположим существование совершенно новой локальной калибровочной группы для струны, называемой нами объединенной струнной группой, и затем перейдем к построению 55 представлений. Согласно основной стратегии (8.1.1), мы сначала стройМ ковариантные производные, затем кривизны и, наконец, само действие. При этом выясняется, что причина, по которой полевая теория стрУн кажется столь отличной от общепринятой калибровочной теории» заключается в более богатой и сложной структуре неприводим представлений и тензорного исчисления для объединенной стрУнН группы по сравнению с группой Лоренца и SU (N).

Объединенная струнная группа в свою очередь может быть ДаЛ

„изложена на две меньшие локальные калибровочные группы, а именно ^репараметризационную и струнную группы.

Репараметризационная группа

репараметризационная группа-это группа преобразований параметризации струн:

о-* о + е(п).

Ее обозначают Diff(S), где S относится либо к открытой струне [0, 1], либо к замкнутой St. Группа Diff(S)_ порождается только нечетными генераторами Вирасоро Ln — L, и она является подгруппой Diff(S) (которая изоморфна конформной группе и порождается Ln для всех п). Diff(S). отображают физические струны С в себя, т. е.

Diff(S)_: С-* С.

Важность репараметризационной группы станет для нас ясной, после того как мы полностью сформулируем теорию в пространстве петель, т.е. в пространстве физических, непараметризованных пространственновременных струн {С}. До сих пор в этой книге рассматривались только параметризованные струны ХДсг) и ни слова не было сказано о непараметризованных струнах С. Главный смысл объединенной струнной группы состоит в нахождении такой групповой структуры, переводящей одни струны в другие, которая была бы полностью определена в пространстве петель. Реальные физические процессы, описываемые геометрической теорией, должны обязательно развиваться в физическом пространстве непараметризованных струн.

Каждая из бесконечного множества струнных конфигураций представляется как отдельная точка в пространстве петель. Это важно потому, что пространство петель определяет физическую динамику взаимодействующих струн, вполне очищенную от всяческих калибровочных артефактов (таких, как параметризационные средние точки, параметризационные длины, духи Фаддеева-Попова, духовые числа), которые лишь затемняют рассмотрение того, что происходит в физическом пространстве-времени.

Пусть Х^(и)- вектор, соединяющий начало системы координат с точкой, обозначенной и на струне С. Потребуем, чтобы наше действие 86 зависело от конкретной параметризации {и}, т.е. для свободного Действия 7(C) выполнялось:

HCw) = /(Cj-!).”(8.1.5)

^тематически это значит, что теория должна быть инвариантной ^осительно всех возможных диффеоморфизмов струны. Поэтому ^Метризационная длина

Р° = /(8.1.6)

оказывается чистой фикцией.

В подлинно ковариантном формализме следует иметь возможность по желанию изменять параметризационную длину струны. Конечно со струной С связывается также реальная физическая величина, пред ставляющая ее действительную физическую инвариантную длину:

i

L = I Vхv^ do-(8.1.7)

О1

Данное выражение инвариантно при изменении параметризации:

ст->ст + е(п, X).(8.1.8)

Различие между фиктивной параметризационной длиной / и физическим инвариантом L явится главным фактором геометрического формализма. (Все калибровочно-фиксированные струнные полевые теории, такие как теория в калибровке светового конуса и BRST, основываются на фиктивной параметризационной длине. Для теории в калибровке светового конуса она пропорциональна р*, для BRST равна к. Как мы увидим, геометрическая теория отталкивается от физической инвариантной длины L, измеряемой в сантиметрах.) Мы построим теорию на тензорах, инвариантных относительно вышеприведенного закона преобразования, что позволит изменять параметризационную длину в любой момент.

Струнная группа

Далее в рамках объединенной струнной группы мы хотим обсудить вторую группу симметрии, образованную взаимодействующими струнами. Определим триплет как набор из трех ориентированных физических струн (с произвольными параметризационными длинами) С^Сг и С3, которые можно расположить как на рис. 8.1. Скажем, что две струны сопряжены друг другу, если они входят в один триплет. (Заметим, что струна имеет бесконечный ряд сопряженных. Сопряжение струны С будем обозначать С.) Тогда струнная группа есть совокупность преобразования С во все ее сопряжения, т. е.

SG:C^ С.

Эти две группы, репараметризационная и струнная, в свою очередь могут быть объединены в один принцип.

Мы определяем универсальную струнную группу как группу, которой отображает струну С в себя и во все ее сопряжения:

USG:{^.,,,.9)

с.

При обобщении этой бозонной группы, связанном с включений

рве. 8.L Триплет трех струн. Три физические непараметризованные струны в пространстве петель образуют триплет, если они могут быть расположенными щв, как на рисунке. Такое определение свободно от параметризационных средних точек и параметризационных длин. Точка соединения трех струн является произвольной.

пространственно-временной суперсимметрии, мы получаем объединенную струнную группу.

Располагая этой калибровочной группой, можно выделить два физических принципа, из которых мы выведем всю струнную теорию [1-5]:

Глобальная симметрия, Поля А„ и е^ должны преобразовываться по неприводимым представлениям глобальной группы Diff(S).

Локальная симметрия. Теория должна быть локально инвариантной относительно группы USG, которая отображает С в себя и в С.

Замечательно, что существует только одно выделенное действие, которое удовлетворяет обоим этим принципам. Преимущества этого геометрического действия состоят в следующем:

Таинственный «духовый сектор» имеет простую и элегантную интерпретацию в геометрической теории. Мы увидим, что он соответствует касательному пространству.

Оба варианта струнной полевой теории BRST можно получить как калибровочно-фиксированные варианты геометрической теории. Симметричную теорию BRST называем калибровкой, «склеивающей в средней точке», а BRST-теорию, подобную формализму светового конуса,- калибровкой, склеивающей струны концами. Эти калибровки соответствуют различным параметризациям геометрической вершины.

W Формализм определяется в пространстве петель и, следовательно, совершенно не зависит от параметризации или от классической

,.. Фоновой гравитационной метрики д^.

') Правила умножения и интегрирования жестко устанавливаются Теорией групп. Тем самым отпадает необходимость в их постулиро-

К вании.

|^Со*а лению, в случае общей теории относительности и теории Янга- аЗ^а вначале необходимо построить внушительный математический аРат для анализа SU (N) и общей ковариантности. Наибольшая часть

работы отводится на построение представлений групп и тензорнОГо исчисления. После того как это сделано, выписывание самого действия занимает всего несколько строк. То же самое относится и к геометру, ческой струнной полевой теории. В следующих шести разделах м^ будем следовать основной стратегии (8.1.1) и терпеливо выведем ддя USG все представления, связности и кривизны. После этого на вывод самого действия в разд. 8.7 понадобится только одна страница.

§ 8.2. СТРУННАЯ ГРУППА

Следуя основной стратегии (8.1.1), начнем обсуждение струнной группы с введения совокупности всех непараметризованных физических пространственно-временных струн:

(8.2.1)(8.2.1)Непараметризованные физические струны: {С}.

(8.2.1)

(8.2.1)

Очень важно отметить, что эти струны определяются независимо от любой конкретной параметризации или любой фоновой классической гравитационной метрики. При этом каждая струна в данном триплете имеет определенное направление или ориентацию, поэтому в целом триплетная конфигурация является циклической (антициклической). Теперь определим

(8.2.2)(8.2.2)+ 1 для триплета,

(8.2.2)

(8.2.2)

/схс2с3 -/схс2с3 -— 1 для антитриплета,

/схс2с3 -

/схс2с3 -

0 во всех других случаях.

Эти константы просто равны 1, — 1 и 0 в зависимости от того, образуют ли струны 1, 2 и 3 триплет, антитриплет (с обратным порядком) или ни то ни другое.

Пусть С представляет струну с обратной ориентацией по отношению к струне С. Тогда окончательная форма структурных констант такова:

{

у С _у _

-с1^2(8.2.3)

по струнам. связанныйпо струнам. связанный/сЗ,С1 = -/с2с^3-

по струнам. связанный

по струнам. связанный

Эти структурные константы являются антисимметричными 1 и 2. Далее мы вводим абстрактный групповой генератор Lc, с физической струной С. Алгебра струнной группы определяется следуй- щим образом [1, 2]:

SG: [Lc , Lc ] =/с’,с2 ^с3-(^

ли этагенера*ли этагенера*(Мы будем всегда суммировать по повторяющимся индексам.)

ли этагенера*

ли этагенера*

Решающая проверка, конечно, состоит в том, удовлетворяет алгебра тождеству Якоби. Образуем коммутатор трех таких

торов:

[LC ,[LC2, Lc ]] + перестановки = 0.

С3

pgC 8,2. Доказательство тождества Якоби. Сумма по перестановкам триплетного коммутатора трех струн исчезает тождественно. При этом отсутствует необходимость подбирать точку соединения трех струн для выполнения тождества Якоби.

Следовательно, хотелось бы показать, что

/^/^ = 0- (8-2-6) (Заметим, что суммирование по С4 тривиально, поскольку существует только одна струна, которая сопряжена как С15 так и С2.)

Замкнутость алгебры легко доказать, рассмотрев рис. 8.2. Для доказательства требуется пять струн. Выбрав перестановку с порядком следования струн Сх и С2 сначала и С3 потом, мы приобретаем фактор -«-1. Однако вклад от перестановки С2 и С3 и затем Сх равен + 1. И наконец, последняя перестановка Q и С3, а затем С2 дает нуль, потому что эти струны триплета не образуют. Таким образом, сумма по циклическим перестановкам равна

-1 + 1+0 = 0.

Важно отметить, что структурные константы группы удовлетворяют тождеству Якоби без каких-либо ссылок на параметризацию струны. Каждый индекс представляет пространственно-временную струну С, не зависящую от любой параметризации или классической метрики. При этом не нужно подбирать точки соединения четырех струн, и следовательно, на струне не существует специальной «средней точки», которая как-то выделяется.

Убедившись в замкнутости алгебры, попытаемся теперь построить Некоторое ее простое представление. При этом мы будем придерживаться вывода представлений групп Ли, описанного в приложении, где строится представление ортогональной группы O(N). Там мы начинаем с Преобразования поворота для вектора

х^Очхъ (8.2.7) °ставляющего неизменной комбинацию xt х{:

(8.2.8)(8.2.8)xi^i = инвариант.

(8.2.8)

(8.2.8)

Фкество матриц Ои, не меняющих xtxb образуют группу O(N). Пе1/1рименим тот же подход к струнной группе. Для этого мы сделаем /ФСХод от O(N) к струнной группе, отмечая элементы представления Сексом С ;

где С представляет все возможные пространственно-временные стру^ ные конфигурации, совершенно не зависящие от любой параметризаций струны. фс играет точно такую же роль, что и xt. Как и в случае O(jV) выполним над этим вектором преобразование с помощью матриц1 определенных на струнных состояниях: ’

ф'с, = £О£фс,-(8.2.10)

cj

Теперь потребуем, чтобы комбинация фсфс не менялась под действием группы О:

(8.2.11)(8.2.11)(8.2.12)(8.2.12)фСфс = инвариант.

(8.2.11)

(8.2.11)

(8.2.12)

(8.2.12)

Здесь использовано определение фс= Фс’

(8.2.13)(8.2.13)где С обозначает струну С с измененной ориентацией. Обратим внимание на то, что струнные индексы С преобразуются под действием струнной группы ковариантным образом (Л - параметр преобразования),

(8.2.13)

(8.2.13)

бФс, =/§.С; дС' Фс.»

(8.2.14)(8.2.14)в то время как индексы элементов для струн с обратной ориентацией преобразуются контравариантно'.

(8.2.14)

(8.2.14)

^С1=-1Сс,.сЛС‘^-

Подставляя (8.2.13) и (8.2.14) в (8.2.11), можно показать, что комбинация фсфс действительно инвариантна.

В этом представлении явный вид генераторов таков:

(8.2.15)

Элементы струнной группы удовлетворяют условию

ОГО=1.(8.2.16)

Подобно примеру O(N) с метрикой 50, здесь мы видим, что метрик1 есть

(8.2.17)(8.2.17)г J + 1, если С, = С.,

(8.2.17)

(8.2.17)

Л

с- (0 в противном случае.

Используя (8.2.16), легко проверить, что под действием струнной ГРУП®^ дельта-функция преобразуется как истинный тензор со смешанны компонентами:

(0г)£8§0£ = 8§.(8.2.1®

Выразим элементы нашей группы через экспоненцирование элеМвИ1®

алгебры:

ft = Z\(8.2.19)

где АС- параметры группы. Такое определение групповых элементов как операторов позволяет написать

Q^CT1^^(8.2.20)

Действие группы на состояниях определим следующим образом:

[LC/, Фсу] ™/q,cv Фск-(8.2.21)

Подставляя (8.2.21) в (8.2.20), мы можем снова получить инфинитезимальное преобразование:

Ис=/Сг.сЛС^ск-(8.2.22)

Отметим, что эти преобразования действительно образуют группу, так как

й, й2 Фс QJ1ЙГ1 = (О2 0^'^.(8-2.23)

Этот групповой закон можно проверить для инфинитезимальных преобразований. В этом случае мы просто заново выводим тождество Якоби.

В отличие от ортогональной группы, для которой векторы xt и групповые генераторы Хч преобразовывались различным образом, мы находим, что вектор фс преобразуется по присоединенному представлению нашей группы. Пусть, к примеру, базисные состояния струнной группы представляются базисными векторами

|ес>.(8.2.24)

Теперь определим | ф ^:

1<Р> = Фс|ес>.(8.2.25)

Следовательно, мы имеем следующий инвариант:

8|ф> = 0.(8.2.26)

Тахим образом, преобразования

^^дс,^,

^раняют этот инвариант.

Имея набор таких контравариантных базисных векторов, мы можем определить действие генераторов в их пространстве:

1<ес|ес> = 5^; <ес|й|ес > = Ос ,

I(o.Z.Zol

Lc,lec'>=/§c|ec->.

В этом специальном представлении единичный оператор имеет вид

1 = I ес > < ес |,

а генератор нашей алгебры в новом базисе может быть представлен как Cc-^f^.c.^V

Следовательно, еще раз получаем уравнение

(ф | ф ) = фс <рс = ф х ф = инвариант.(8.2.29)

Здесь мы сочли удобным ввести новый символ х, обозначающий умножение струн. Таким образом, показано, что следующая комбинация инвариантна относительно преобразований, параметризуемых параметром Л (см. рис. 8.3):

5Л<<рхф> = 0.(8.2.30)

Рассмотрим теперь вопросы, связанные с трехструнными взаимодействиями. Определим

<Ф х Ф X Ф> = Фс фС; 4>CJC"C,’C1.(8.2.31)

Здесь мы суммируем по всем возможным триплетным комбинациям Ch Cjs Ck. Можно теперь показать, что эта комбинация инвариантна относительно действия струнной группы:

5Л(фХфХф) = 0.(8.2.32)

(Простейший способ показать инвариантность трехструнной вершины состоит в том, чтобы разложить сумму по всем возможным взаимодействиям и выделить только одно значение Лс. Зафиксировав величину параметра Л, найдем четыре различных члена, дающих вклад в вариацию. На рис. 8.4 видно, что сумма всех четырех диаграмм дает нуль.)

Итак, мы установили, что представления струнной группы очень похожи по своей структуре на представление группы O(N). Более того, найдены два инварианта ф2 и ф3, не зависящие от параметризации или

ф • Оф • ОФФ

ф • О

ф • О

Ф

Ф

Рис. 8.3. Построение инвариантов струнной группы. Прямым вычислением мо*Ипоказать, что вариация этого квадратичного члена обращается в нуль-

Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.

Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.

Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.

(8.2.33)(8.2.33)фоновой гравитационной метрики: (8Л<фХф> = 0, 18л<фХфХф) = 0.

(8.2.33)

(8.2.33)

ОБЪЕДИНЕННАЯ СТРУННАЯ ГРУППА

Определив порознь струнную группу SG и Diff(S), объединим их теперь и обсудим универсальную струнную группу для бозонных струн и ее суперсимметричное обобщение-объединенную струнную группу.

Чтобы выписать генераторы универсальной струнной группы, нам придется ввести параметризованные генераторы струнной группы. Пусть струна С параметризуется параметром Хи(с>):

(8.3.1)(8.3.1)C^(n).

(8.3.1)

(8.3.1)

приводит к тому, что Lc принимает вид

^с Lx = Lx^X(o^X(OaV ^OnV(8.3.2)

^струна С параметризуется теперь точками, обозначенными п15 п2> 3>'••’ ^n, и N можно выбирать сколь угодно большим.

"Ведя конкретную параметризацию, мы получаем бесконечное число Ф^^тризованных струн X, которые соответствуют одной и той же веской струне С. Это означает, что с каждой физической струной

С связывается ее класс эквивалентности параметризованных струн В каждом классе эквивалентности лежит бесконечное число параметризованных струн, описывающих одну и ту же физическую струну с Таким образом, имеет место следующее разложение: *

(8.3.3)(8.3.3)USG = SG,

(8.3.3)

(8.3.3)

Diff(S)_ ’

т. е. универсальная струнная группа представляет собой полупрямое произведение струнной группы и диффеоморфизмов струны. Вообще говоря, параметризованные струны X и У принадлежат одному классу эквивалентности, если они описывают одну и ту же пространственновременную струну, т. е.

(8.3.4)(8.3.4)X - У, если Xй (и) = Уи(п) + ест у'^^,

(8.3.4)

(8.3.4)

и отличаются на бесконечно малую величину.

(8.3.5)(8.3.5)Теперь, необходимо переопределить структурные константы группы SG для параметризованных струн:

(8.3.5)

(8.3.5)

[^Х? LyI —fxY^Z'

В качестве первого предположения можно было бы принять

ииfxYZfxYZ+ 1, если Сх Y г образуют триплет,— 1, если они образуют антитриплет, О во всех других случаях+ 1, если Сх Y г образуют триплет,— 1, если они образуют антитриплет, О во всех других случаяхfxY-fxYZ»JyX = ~fYXZ'fxY-fxYZ»JyX = ~fYXZ'(8.3.6)(8.3.7)(8.3.6)(8.3.7)

и

и

fxYZ

fxYZ

+ 1, если Сх Y г образуют триплет,

— 1, если они образуют антитриплет, О во всех других случаях

+ 1, если Сх Y г образуют триплет,

— 1, если они образуют антитриплет, О во всех других случаях

fxY-fxYZ»

JyX = ~fYXZ'

fxY-fxYZ»

JyX = ~fYXZ'

(8.3.6)

(8.3.7)

(8.3.6)

(8.3.7)

Эти определения удовлетворяют тождеству Якоби. Однако в результате суммирования по всем струнным состояниям, принадлежащим одному классу эквивалентности, здесь появляется бесконечная константа. Иными словами, необходимо определить меру интегрирования по этим состояниям.