Предисловие редактора перевода

Новый подход к проблеме фазовых переходов, развитый в работах К. Вильсона (1971—1973), является прекрасной иллюстрацией роли физической идеи при построении содержательной теории. Подход Вильсона — по существу реализация весьма наглядных рассуждений Л. Каданова (1966), в которых постулируется, что «огрубление» ситуации в областях размером Л-1, много меньшим корреляционной длины £ (Л-1 <С £, £ ~ | Г — Л|-v). приводит «лишь» к мультипликативной перенормировке т = |1—TJT\ и магнитного поля. Многократное «огрубление» при сохранении роли £ может в итоге доставить информацию о поведении физических величин, которое определяется взаимодействием длинноволновых флуктуаций, т. е. позволяет изучить поведение термодинамических величин и корреляционных функций при фазовых переходах.

Исходным пунктом анализа Вильсона — мы будем далее придерживаться простой формулировки Ма [2] — является некий «затравочный» эффективный гамильтониан

оо/1т х 2m

^=£л-<—>d£ А Е^Щ^М/, ^<Л,

т=1й., й .... k, \ i / /=11

(1) определяющий распределение вероятностей

Р~ехр(-^);(2)

здесь Ф1 (А) — фурье-компонента случайной переменной, принимаемой за вектор в n-мерном пространстве: 1 ^ i ^ п, и1т — эффективные параметры взаимодействия, d — размерность пространства. Ясно, что Р при фиксированном п вполне определяется параметрами u2m, полный набор которых образует параметрическое пространство 5:

ц = («2,-^4.- • ■)•(3)

Все качественные аспекты своего подхода Вильсон в данной книге проиллюстрировал, выбрав в качестве «затравочного»

Зи

гамильтониана гамильтониан Гинзбурга — Ландау: ^0=$^4а№+^2+^<1=т £ i^(^)i2a0+«m ' I, £<Л

+ п8~ X ^(р+6)^(?~ £)Мр)М?)> H = (oUo,«4),

I, i: к, q, р(4)

дающий нетривиальную реализацию ренормализационной группы лишь для d = 4 — е, е —► 0. Это позволило ему получить разложение критических индексов в ряд по е. На каждом этапе преобразования, которое будет пояснено ниже, можно выделить в 36» член, квадратичный по |&(&) |2; среднее с гамильтонианом, пропорциональным |&(6) |2, от любого произведения ^,(6) несложно вычислить, что позволяет развить диаграммную технику, эффективную при е —* 0. Весь этот круг вопросов детально разработан в гл. 3—8.

Поскольку к в аргументе фг(к") принимает Ld дискретных значений, то налицо n-Ld значений случайной переменной, участвующих в определении 36, см. (1). Вильсон предложил «сократить» число переменных, переходя от переменной Р, задаваемой формулой (2), к Р':

Р'~ехр(—Зб'^ / JJ^ d^^k'^exp^— 5^)1, (5)

(, i, A/s<6'<AJ ^ (6)-»a$*t.(s6)

т. е. он предложил произвести интегрирование в 36 по фурье- компонентам с величинами к', лежащими в интервале (Л/s, Л), затем преобразовать аргументы 4*iW с к <_ X]s к прежнему масштабу в ^-пространстве и далее изменить «масштаб» (см. гл. 3) ф^зку

ф^зк^аМзк).

Коэффициенты при произведениях &(&) в 36' образуют новое пространство ц'. Если интересоваться поведением средних от различных произведений &(&) при к < Л/s, то использование Р и Р' эквивалентно. Необходимо лишь провести преобразование непроинтегрированных переменных и умножить среднее на соответствующую степень as. Так, например,

< I W Г),="Ц| WD,..<6)

откуда, если учесть, что

МЖ = (Ж/4Л^(^0)^(Я

где G^—корреляционная функция, находим

G(^, p) = a2G(s^, ед. (8)

Полученное распределение Р' описывает систему объемом L'd = s~dLd. Таким образом проведено эффективное сокращение числа значений случайной переменной фг^ до n X s~dLd. Далее необходимо преобразовать 36' в формуле (5) к виду (1) и, учитывая, что L'd = s~dLd, сравнить коэффициенты при одинаковых произведениях фгЦг) в 36 и 36'. В итоге мы придем к совокупности связей между и^т и и^т, формально записываемых в виде

р/ = 7?sp. (9)

Набор преобразований Rs и определяется как ренормализа- ционная группа, отвечающая преобразованию, описанному выше, переводящему Р в Р'. Поскольку RSRS'ц = /?SS'P, то asas' = ass', что позволяет выбрать а$ в виде а$ = sy = s1-11/2. Такой выбор а$ наряду с преобразованием ^г (&)->as^ (s£) в (5), можно интерпретировать как масштабное преобразование ^/(^)-> sy<j>i(sk), размерность которого у=1—ц/2 определяется по отношению к неподвижной точке преобразования Rs:

ц*=ед. (ю)

Уравнение (10) резонно изучать в пределе s—► оо и интерпретировать как уравнение на «собственное значение» у = = 1 — т]/2, отвечающее собственному вектору ц*. В общем случае это нелинейное уравнение, относительно решений которого пока не существует каких-либо строгих заключений; проблема изучения поведения решений (10) обсуждается в гл. 12 и 13 на чисто качественной основе, где преобразования (9) и (10) рассматриваются просто как преобразования точки ц в параметрическом пространстве в точку р/.

Очерченную выше формальную схему Вильсон наполняет физическим содержанием, предполагая, что набор эффективных параметров ц = («2, «4, • • •) представляет канонический ансамбль при температуре Т. При этом, если температура Т весьма близка к Тс, для больших s параметр цДГ) может оказаться весьма близким к ц*. Естественно, существенным здесь является выбор параметров взаимодействия в затравочном гамильтониане (4) (этот вопрос обсуждается в гл. 1 и 4). Линеаризуя Rs, т. е. ^s-^Rg, можно в непосредственной

окрестности Тс считать, что р' = р* + др', р = р* + др, и поставить задачу на собственные значения вида др/ = ^др.. Полагая, что найдены собственные значения ух и собственные векторы еь имеем

др' = 2 tiS9ieb ух>у2> ... .

Дальнейший прогресс в данной проблеме связан с конкретным нахождением у{ и ех. Достаточно полно исследованные случаи е-разложений (гл. 12) и сферическая модель с п» 1 (Ма, 1973) позволяют заключить, что в окрестности Тс ситуация довольно простая: ух Т> 0, ух *< 0, i ^ 2; точки р на «критической поверхности» (/, = 0) при з —► оо приближаются к точке р*, а точки, выбранные не на критической поверхности, удаляются от точки р* по направлению ех. Выбирая температуру Т весьма близкой к Тс [р = р* + dp (Г)] и считая, что

г1 = Л(Т-Тс) + В(Т-Тс)2 +,

имеем

/?> (7) = а (Т - Г.) s'% + О W, 1 = ух. (11)

Используя (8) при s->oo, получаем

G (6, И (П) = s2^ [G (sfe, р* + А (Т - Г.) s1^ + О (s^))];(12)

выбирая з=А/2& (А — фиксировано), при Т = ТС имеем g (^, р та=^-2+л (4)2” [° (4 • ^+° (4Г] ~ ^'2+Т1’

(13)

т. е. получаем уравнение для определения т]. При этом точность приближения (13) оценивается последним отброшенным членом: размер области в ^-пространстве, когда справедлива степенная асимптотика Фишера — Барфорда, в основном определяется величиной у2 (у2 < 0). Если считать Т — ^ > 0, & = 0 и взять 8 = 1~\ t\ =я А (Г — Тс), то формула (12) даст

С(0, p(T)) = /r(2-4)v[G(0, p' + eD + oCr^)]^

«(Т-ТСГ\ y = v(2-71). (14)

Уравнение (14), подтверждая одно из соотношений «скейлинга», позволяет, зная из (13) т] и из (11) v, найти у. Закон-

ность аппроксимации (14) определяется величиной отношения — ydyi = |Уъ\1У\, т. е. по-прежнему величиной второго собственного значения у2. Поскольку £ ~ | 7— ^| —v, то (11) дает

^дЦ=(у) в! +0(5^),

следовательно, мы можем интерпретировать действие Rs как сокращение корреляционной длины в s раз; при этом (13)— (15) позволяют сделать заключение, что гипотеза «скейлинга» справедлива, если для Rs при s —♦ оо вблизи ц* доминирующим является вклад члена с у\. Естественно, мыслимы модельные системы с у\ > 0, у2 > 0; в работе [3] было предложено использовать это для описания так называемых три- критических явлений, могущих иметь место в Не3 — Не4. Не исключено наличие нескольких фиксированных точек; существенным может оказаться симметрия гамильтониана взаимодействия (например, относительно непрерывной группы вращений или отражений в статистической механике). Качественное обсуждение этого содержится в гл. 12.

Метод Вильсона, бесспорно, позволил глубже исследовать проблематику фазовых переходов; в распоряжении исследователей появился общий регулярный и стандартный метод расчета критических индексов. Статистическая физика обогатилась весьма нетривиальной методикой исследования макроскопических систем. Самому Вильсону принадлежат попытки распространить этот подход и на проблематику квантовой теории поля. Здесь оказалось возможным, если исходить из решеточных моделей статистической механики с анизотропным взаимодействием, позволяющих свести проблему вычисления статистической суммы к проблеме вычисления матрицы переноса, переформулировать их на языке некоторой полевой модели с обрезанием, гамильтониан которой и определяется через матрицу переноса и которая имеет положительную метрику. При этом спин-спиновая корреляционная функция в статистической теории (если говорить для определенности о спиновых моделях) эквивалентна пропагатору квантовой теории поля при дискретных значениях чисто мнимых временных переменных. "

Сформулированная в первых главах диаграммная техника оказывается фейнмановской диаграммной техникой, позволяющей находить соответствующие полевые «вершины^

в пространственно-подобной области (нефизическая размерность задач статистической механики d = 4 — е, е —► 0 соответствует нефизической размерности пространственных компонент импульсов полевых операторов d = 3 — е, е—*0). Этим вопросам посвящены гл. 9 и 10. Особенно удачно, на наш взгляд, изложен материал гл. 10. Предложенная здесь Вильсоном переформулировка сталкивается с рядом трудностей, обусловленных способом снятия обрезания, и не приводит пока к таким впечатляющим достижениям, как в проблеме фазовых переходов; сам он полагает, что поработать в этом направлении стоит. Несколько особняком стоит гл. 11, в которой преобразования ренормализационной группы сформулированы (опубликовано впервые!) в дифференциальной форме. Результаты использования этой формы иллюстрируются на примере простейшего «затравочного» гамильтониана в приложении.

В разных главах Вильсон упоминает о «стандартной» группе мультипликативных перенормировок квантовой теории поля [4, 5]. Зачастую это носит дискуссионный характер. Не вдаваясь в глубокую и неисследованную проблему соотношения между подходом Вильсона и более старым, но бесспорно оправдавшим себя и остающимся до сих пор весьма перспективным строгим подходом [4, 5], отметим, что Гелл-Манн и Лоу использовали уравнения ренормализационной группы для получения конкретных сведений об ультрафиолетовой асимптотике функции Грина в квантовой электродинамике [4]. Весьма успешным оказалось использование соответствующих групповых уравнений Ли, сформулированных Н. Н. Боголюбовым и Д. В. [Цирковым [5], в проблемах мезон-нуклон- ного взаимодействия, для анализа ультрафиолетовой и инфракрасной асимптотик в спинорной электродинамике и других полевых теориях (обзор и ссылки см. в книге [5]). На основании уравнений Ли для ренормализационной группы было показано, что степенные асимптотики и выражения масштабно-инвариантного типа могут отвечать как конечным, так и некоторому классу бесконечных перенормировок [6], кроме того, были исследованы логарифмически перенормируемые модели квантовой теории поля и проведена четкая классификация модели в зависимости от значения инвариантных зарядов (см. в особенности работу [7], где даны необходимые ссылки).

Данное издание представляет собой первое полное изложение нового подхода К. Вильсона и должно заинтересовать, по нашему мнению, как специалистов в области статистической физики, так и физиков, занимающихся теорией поля. Изложение в ряде глав (2,3) ведется на элементарном уровне, но основной материал требует весьма тщательной проработки. Подстрочные примечания и небольшие исправления, внесенные переводчиком и редактором, ни в коей мере не избавляют от необходимости внимательного и критического изучения материала книги. Лучше всего все выкладки проделать заново — результат стоит потраченного труда. Прекрасным дополнением к этому изданию является обзор Ма [2]. Мы бы посоветовали начать изучение подхода Вильсона именно.с проработки этого обзора. Новый подход Вильсона перспективен, идеи и методы его, безусловно, будут развиваться, изучение его необходимо и можно быть уверенным, что издание этих лекций в СССР будет способствовать дальнейшему прогрессу в области теоретической физики.

В. К. Федянин

ЛИТЕРАТУРА

Kadanoff L. Р., Physics, 2, 263 (1966).

Ma S. К., Rev. Mod. Phys., 45, № 4, (1973).

Wegner F. J., Riedel E., Phys. Rev., 157, 248 (1973).

Gell-Mann M., Low F., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).

Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, изд-во «Наука», 1973.

Ширков Д. В., Nucl. Phys., В62, 194 (1973).

Ширков Д. В., Лекции в школе по физике элементарных частиц, Тбилиси, 1973.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящей книги является обсуждение недавних работ, в которых рассматривался метод ренормализационной группы (РГ) и его приложения к критическим явлениям и теории поля. Возникшие здесь представления проиллюстрированы с помощью другой предложенной в последнее время идеи об определении критических явлений и теории поля в пространстве размерности 4— е [в теории поля (4 — е)— размерность пространства-времени] и последующем разложении по степеням е. Особенности метода РГ и g-разложения демонстрируются в первую очередь на примере критических явлений, причем основное внимание уделяется изложению основных идей, а не частным результатам. Настоящая книга не является исчерпывающей, т. е. она не может заменить всей литературы по этому вопросу. Данная глава является довольно общей и в какой-то степени абстрактной. Большинство следующих глав более конкретны, поскольку касаются вполне определенных проблем и вычислений.

В конце книги приводится общий список литературы и список последних работ по РГ и е-разложению, содержание части из них непосредственно примыкает к проблемам, рассматриваемым в настоящей главе ').

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА

И ПРОБЛЕМЫ КОГЕРЕНТНОСТИ В ФИЗИКЕ

В настоящей главе будет дан в некотором смысле общий анализ метода ренормализационной группы. (Это введение следует еще раз прочесть после изучения остальных глав.)

*) Мы сочли целесообразным добавить к общему списку литературы работы [131—147] в надежде, что они заинтересуют читателей. — Прим, пере в.

В конце главы мы приступим к обзору критических явлений.

Метод РГ позволяет исследовать ряд наиболее трудных проблем физики. Эти проблемы включают в себя отдельные вопросы релятивистской квантовой теории поля, теорию критических явлений, эффект Кондо (см., например, [1—7]) и другие задачи. Все они характеризуются тем, что здесь существенным образом проявляет себя большое число степеней свободы.

Многие проблемы, с которыми приходится сталкиваться в физике, связаны с учетом очень большого числа степеней свободы. Например, кристалл, жидкость или газ в макроскопических количествах содержат более 1023 электронов, а каждая координата любого из электронов является степенью свободы.

Большинство же теоретических методов «работает» лишь тогда, когда мы имеем дело только с одной независимой переменной, т. е. в случае одной степени свободы. Рассмотрим, например, уравнение Шредингера для волновой функции ф(х, у, z) одного электрона. Если удается разделить переменные в уравнении Шредингера [например, ф — ф1(г)ф2(6)ф3(^) в сферических координатах], то задача нахождения ф неизмеримо упрощается ). Очевидно, что найти волновую функцию 1023 электронов без каких-либо существенных упрощений, оправданных тем или иным образом, просто безнадежно.

При обычных обстоятельствах число степеней свободы порядка 1023 может быть значительно сокращено. Интенсивный или экстенсивный характер наблюдаемых (энергия, например, экстенсивная величина, а плотность — интенсивная величина) позволяет воссоздать свойства макроскопической системы, если только они заданы для микроскопического образца. Так, жидкость, содержащая, скажем, только 1000 атомов, вероятно, имеет приблизительно такую же энергию на единицу объема и плотность, как та же жидкость (при той же температуре и давлении), но содержащая 1023 атомов.

Как долго можно уменьшать объем и количество, например, газа без качественного изменения его свойств? Минимальный размер области, в которой свойства вещества в достаточной степени передают свойства макроскопического об-

разца, называется корреляционной длиной. Размер этой области £ определяется состоянием системы. Для газа корреляционная длина £ зависит от давления и температуры. При обычных обстоятельствах она имеет порядок всего лишь 1 — 2 средних межатомных расстояний. Когда корреляционная длина £ так мала, существует ряд методов определения свойств системы: вириальные разложения, теория возмущений, метод Хартри — Фока и т. д. Эти методы включают в себя различные приближения, однако все они имеют одну общую особенность: в них предполагается, что во всем объеме свойства материи определяются малыми группами атомов (кластерами). Кроме того, эти методы включают еще некоторые дополнительные предположения, так как даже группа только из трех атомов содержит слишком много степеней свободы, чтобы проблему можно было решить без значительных упрощений.

В особых случаях корреляционная длина гораздо больше межатомного расстояния. Первым примером такого рода является фазовый переход с некоторой выделенной критической точкой. Переходы жидкость — газ, ферромагнитные переходы, переходы порядок —- беспорядок в сплавах и т. д. — все они имеют критические точки при определенных значениях термодинамических переменных. (Критическая точка перехода жидкость — газ определяется критическими величинами температуры Тс и давления Рс.) Если говорить точно, то в критической точке корреляционная длина £ бесконечна, а в окрестности критической точки велика.

Существует, таким образом, некоторый класс проблем, включающий критические явления и характеризующийся тем, что в области с размерами порядка корреляционной длины имеется очень большое число степеней свободы. «Очень большое» означает не просто 3 или 4, а тысячи или миллионы, если небесконечное число. Кроме критических явлений, другими проблемами такого же рода являются проблема Кондо (магнитные примеси в металле), образование связей в больших молекулах и, наконец, все задачи релятивистской квантовой теории поля. В случае, скажем, скалярного поля ф(х') само поле ^(х) в каждой точке х можно рассматривать как отдельную степень свободы; следовательно, любая область конечных размеров будет содержать бесконечное число степеней свободы. Обычно корреляционной длиной для квантового поля является комптоновская длина волны, соответствующая

частице с наименьшей массой. В случае квантовой электродинамики на практике в качестве корреляционной длины выступает комптоновская длина волны электрона (10-11 см), а не фотона. Это позволяет экстраполировать основные закономерности квантовой электродинамики, установленные для «ящика» размерами ^ КН1 см, на все пространство. Если же брать «ящики» размером <С 10~и см, то это приведет к грубым искажениям взаимодействия электронов и фотонов.

Все проблемы, перечисленные выше, характеризуются своей неподатливостью. Едва ли лучше, чем это было в 1932 г., понята сейчас проблема образования связей в молекулах1). Очень неравномерно в последние 70 лет развивалась теория критических явлений. Хотя успехи в вычислительных аспектах квантовой электродинамики и весьма впечатляющи, мы очень мало продвинулись здесь в ее понимании, а в теории сильных взаимодействий нет успеха ни в том, ни в другом, и лишь проблема - Кондо, изучение которой началось в последнее время, возможно, наиболее близка к разрешению [2, 3, 7].

Изучение перенормировок как в квантовой теории поля, так и в теории критических явлений, рассматриваемых в рамках статистической механики, наводит на мысль, что поведение систем с большим числом степеней свободы в области, размеры которой порядка корреляционной длины, качественно отличается от поведения систем только с несколькими степенями свободы в этой области. Системы, которые мы рассматриваем, обычно определяются с помощью гамильтониана, и-, казалось бы, следовало ожидать, что поведение системы характеризуется главным образом видом взаимодействий, присутствующих в гамильтониане, и величинами соответствующих постоянных связи. Это действительно так при малых g. Оказывается, однако, что в задачах, обсуждаемых в настоящих главах, когда степени свободы ведут себя взаимосвязано, поведение системы определяется в первую очередь именно фактом кооперативного поведения и природой самих степеней свободы. Гамильтониан взаимодействия играет при этом лишь второстепенную роль. Таким образом, в теории критических явлений возникло понятие универсальности, т. е. предположе-

!) Проблема образования связей в молекулах требует учета корреляционных эффектов, а для этого должны быть развиты более тонкие ме: тоды расчета, нежели полуэмпирические методы квантовой химии, — Прим, ред.

ние, что все гамильтонианы взаимодействия приводят к одинаковому критическому поведению. Идея универсальности возникла впервые в связи с «законом соответственных состояний», который сводится к гипотезе о том, что все жидкости и газы с точностью до перенормировки шкал длины и энергии имеют одинаковые уравнения состояния. В качестве одной из относительно «недавних» работ по этому вопросу см. статью Гугенгейма [8]. В более общем виде идея универсальности была сформулирована несколько лет назад по отношению к критическому поведению различных систем с произвольными взаимодействиями. См., например, работу Л. П. Када- нова [9]. Гипотеза универсальности будет рассмотрена в дальнейшем и в частности в гл. 12.

Подход, основанный на ренормализационной группе, ставит перед собой две цели. Первая из них — практическое упрощение работы по нахождению решения для систем с большим числом степеней свободы в области размерами порядка корреляционной длины. Основная идея здесь такая же, как в гидродинамике. В гидродинамике вводят новые переменные [например, плотность р(х)], которые представляют собой средние по исходным микроскопическим степеням свободы. В гидродинамических уравнениях все микроскопические флуктуации исключены, т. е. предполагается, что в-функции р(х) проявляются только макроскопические флуктуации. В действительности это означает, что гидродинамическими степенями свободы являются величины р(х) в макроскопически отдаленных друг от друга точках. Таким образом, гидродинамических степеней свободы в единице объема гораздо меньше, чем первоначальных микроскопических.

Метод ренормализационной группы сходен с гидродинамическим подходом в том, что здесь исходные микроскопические степени свободы заменяются на меньший набор эффективных степеней! свободы. Делается это последовательно, причем на каждом этапе линейная плотность степеней свободы уменьшается в 2 раза.

Уменьшение «плотности степеней свободы» можно осуществить несколькими способами. Предположим, что исходная система состоит из спинов, сосредоточенных в узлах решетки, расстояние между которыми Lq. Новыми эффективными степенями свободы могли бы быть спиновые блоки, расстояние между центрами которых 2L0. С другой стороны, новые степени свободы могли бы быть определены с помощью плотт

ности намагниченности М^, зависящей от непрерывной координаты х [точно так же, как в гидродинамике дискретные атомы заменяются плотностью р(х)]. Тогда для уменьшения числа степеней свободы налагают следующее ограничение: величина М(х) содержит только такие флуктуации, длина волны которых больше 2L0. Эти идеи будут сформулированы более точно в последующих главах. (Отметим, что множитель 2 выбран достаточно случайно. В частности, часто бывает полезно изменить плотность числа степеней свободы только на бесконечно малую величину, а не в 2 раза. См. следующие главы.)

Такое сокращение числа степеней свободы проводится затем повторно. Начав со степеней свободы, разделенных промежутками Lo, после первого шага получаем степени свободы с промежутками 2£0, после второго — с 4L0 и т. д. Переход к следующим шагам осуществляется до тех пор, пока пространственное разделение эффективных степеней свободы не станет порядка корреляционной длины |. При этом на каждом этапе необходимо строить эффективное взаимодействие для эффективных степеней свободы, точно так же как в гидродинамике для р(х) необходимо строить гидродинамические уравнения. Простота метода ренормализационной группы связана с надеждой, что все эти эффективные взаимодействия 5^1, 36г и т. д. локальны, т. е. они имеют место только между ближайшими степенями свободы. Конечно, при этом предполагается, что исходное взаимодействие было локальным, а для задач, которыми мы будем интересоваться здесь, это действительно так. Таким образом, мы предполагаем, что радиус взаимодействия для исходного гамильтониана имеет порядок Lq, даже если g ^> Lo. Надежда на определенный прогресс в рамках сформулированной здесь идеи связана с тем, что радиус взаимодействия для гамильтониана 36х имеет порядок 2L0, для 36г — порядок 4L0 и т. д. Если же радиус взаимодействия равен £ уже для 36х, то применять метод ренормализационной группы нельзя. В примерах, которые были рассмотрены до сих пор, эту трудность удается обойти, однако в других случаях дело может быть далеко не таким простым.

Если же радиус взаимодействия для 36\ действительно имеет порядок только 2L0, то можно предположить (опять- таки по аналогии с гидродинамикой), что постоянную связи, входящую в 36л, можно определить с помощью изучения по-

ведения системы, ограниченной областью размерами порядка 2L0, т. е. для этого нет необходимости рассматривать области размерами порядка £). Следовательно, у нас нет больше того громадного числа степеней свободы, о котором необходимо было беспокоиться. Для определения постоянной связи, входящей в 5^2, необходима большая область, размером 4Lq. Однако здесь представляется естественным попытаться определить взаимодействие <Жг из 36\, степени свободы которого разделены расстоянием 2Л0, а не из исходного гамильтониана взаимодействия 36» с пространственным разделением степеней свободы L». Таким образом, мы должны рассматривать все же более ограниченное число степеней свободы. Аналогичным путем конструируется 36» из 36», 36^ из 36» и т. д. до тех пор, пока не получится 36^, для которого 2nLo ~ ^. На этом этапе на величину корреляционной длины будет приходиться только несколько степеней свободы, а эту проблему можно, вероятно, решить уже другими методами. В общем случае при расчете с помощью 36г необходимо рассматривать область размерами YL», однако мы отталкиваемся при этом от гамильтониана 36i-x, степеням свободы которого соответствует пространственное разбиение с размерами Y^L». Следовательно, для любого I можно рассмотреть область, содержащую только несколько эффективных степеней свободы.

К сожалению, общий метод ренормализационной группы не сводит проблему большого числа степеней свободы сразу к одной степени свободы. Нетрудно представить себе случай, когда при определении 36^. из 36г-\ необходимо рассматривать, например, 60 или более эффективных степеней свободы. Предположим, что эффективными степенями свободы в 36^-\ являются отдельные спины и что обсуждаются состояния в трехмерном кубе с длиной стороны в 4 спина: этот куб будет содержать, следовательно, 64 спина. Такая ситуация не очень приемлема с практической стороны. Необходимо далее упростить вычисление настолько, чтобы 36\ можно было вычислять из 36i-\ с использованием только одной степени свободы. Практические приложения метода ренормализационной группы, представленные в последующих главах, включают в себя с этой целью либо специальные условия (случай d =

= 4 — s с малым е), либо довольно грубые приближения («приближенная рекуррентная формула»), проводимые таким образом, чтобы для вычисления 36 х использовалась только одна степень свободы. (См. список дополнительной литературы.)

Вторая цель подхода, основанного на методе ренормализа- ционной группы, состоит в том, чтобы объяснить, как возникают качественные особенности кооперативного поведения. В рамках метода ренормализационной группы эти качественные особенности являются результатом ее итерационного характера. А именно, существует преобразование т, которое превращает 36 й в 36х, 36х в 5^2 и т. д. Преобразование это одно и то же, как при построении 36х из 5^0, так и 5^2 из 36х, причем в каждом случае происходит уменьшение числа степеней свободы в 2 раза. Единственное различие, которое, однако, легко устранимо, заключается в шкале длины (2L0 вместо 4). Следовательно, у нас имеется преобразование т, которое можно применить повторно:

т(^0) = ^„

Т(^1) = ^2,(1.1)

Т(^2) = ^з,

Это преобразование должно быть проитерировано п раз, где величина 2nLo порядка g. Когда величина £ велика, велико также и число итераций п.

Если у нас имеется преобразование т, которое многократно повторяется, то простейший результат, получаемый в этом случае, заключается в том, что последовательность 36х сходится к неподвижной точке преобразования т, а именно, к взаимодействию 36*, удовлетворяющему уравнению:

т(Ж) = Ж. (1.2)

Именно это и будет происходить в примерах, рассматриваемых в последующих главах.

Наличие неподвижной точки является свойством только самого преобразования т, т. е. чтобы найти возможные неподвижные точки (гамильтонианы 36*^, необходимо решить уравнение для неподвижной точки (1.2). Это уравнение не имеет никакого отношения к выбору исходного гамильтониана 36».

Возможные типы кооперативного поведения системы при описании их методом ренормализационной группы определяются возможными неподвижными точками 5^* преобразования т. Предположим, например, что имеются три неподвижные точки: 5^д, Ж^ и Же- Тогда у нас могли бы быть три возможных типа кооперативного поведения. Если некоторая конкретная система имеет начальное взаимодействие Ж, то необходимо построить последовательность 2^, Ж и т. д., чтобы найти, которая из точек, ЖА, Жв или Жс, — предел этой последовательности. Если этим пределом будет ЖА> то кооперативное поведение системы, причиной которого является взаимодействие 5^о, будет определяться ЖА. В этом примере множество всех возможных начальных взаимодействий 5^о можно было бы разбить на три подмножества (называемые «областями»), по одному для каждой неподвижной точки. Универсальность имеет место теперь отдельно для каждой области. Дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в гл. 12.

Описанные рассуждения поясняют, каким образом в рамках метода ренормализационной группы выводится некоторая форма универсальности. Она, однако, не так отчетлива, как предыдущие формулировки [9]. Опыт исследования точно решаемых примеров преобразования ренормализационной группы для случая критических явлений показывает, что обычно это преобразование имеет несколько неподвижных точек, поэтому на множестве исходных гамильтонианов нужно определить области, связанные с каждой неподвижной точкой, и только внутри данной области критическое поведение действительно не будет зависеть от начального взаимодействия.

Мы не можем требовать a priori, чтобы последовательность Ж сходилась к неподвижной точке при I —»оо. В принципе эта последовательность при больших I могла бы образовать предельный цикл, проявить эргодическое или турбулентное поведение; в таких случаях было бы трудно выполнить большую часть необходимых вычислений. Для знакомства с эргодическим и турбулентным поведением см. работу [10]. Однако даже если последовательность Ж сходится к неподвижной точке, маловероятно, что 96 п при больших п является гладкой функцией параметров, входящих в Ж. Трудность здесь заключается в том, что малые изменения параметров, входящих в 5^о, увеличиваются или уменьшаются под

действием преобразования т, а Когда т применяется многократно, это усиление или ослабление становится очень большим (на основании аргументов теории случайных блужданий полагают обычно, что оно порядка Кл)- Таким образом, если zz0 — постоянная взаимодействия, входящая в <Жо, то можно, по-видимому, ожидать, что существуют большие области изменения «о, эффект от которых при преобразовании уменьшается Qa^n очень слабо зависит от «о); эти большие области разделены малыми областями изменения «0, эффект от которых при преобразовании увеличивается (5^п очень быстро изменяется, если «о варьировать внутри выделенной области)). В случае когда все последовательности сходятся к неподвижным точкам, области изменения «о, для которых налицо эффект усиления, включают такие значения ио, для которых находится вблизи границы между двумя областями устойчивости, в то время как эффект ослабления возможен лишь тогда, когда 5^0 находится достаточно далеко внутри какой-нибудь определенной области устойчивости.

Перечислим кратко основные идеи метода ренормализа- ционной группы.

Во-первых, построение последовательности эффективных локальных взаимодействий 36г. Это означает, что если параметр пространственного разбиения степеней свободы в 5^г равен Я;, то взаимодействия должны были бы иметь радиус щ, а не £; выбирая затем at+1 = 2at, можно было бы из 36а. построить 5^z+i, рассматривая области размером порядка aw, а не £.

Во-вторых, существование преобразования т, которое многократно повторяется для построения 5@г из <Жо, эквивалентно предположению, что свойства <Ж; при больших I будут либо полностью, либо в большой степени определяться самим йреобразованием т, а не ^о; тем самым мы приходим к универсальности, по крайней мере в ее ограниченной форме.

Чтобы закончить это введение, кратко обрисуем историю метода ренормализационной группы. Этот обзор не является полным и, вероятно, не совсем точен. В конце 30-х годов Ландау [11] предложил гидродинамический подход к описанию

критических явлений. Его теория давала те же результаты, что и старая теория среднего поля, которая экспериментально не подтверждается. Подход, связанный с ренормализацион- ной группой, является, однако, как это прекрасно видно, лишь более изобретательной реализацией идей Ландау1).

Основные идеи метода ренормализационной группы появились в двух работах в начале 50-х годов' в связи с проблемами квантовой теории поля. Формулировку связанного с ренормализационной группой преобразования т дали Штюкель- берг и Петерман [12]. Гелл-Манн и Лоу [13] в своей замечательной работе ввели представление о неподвижной точке этого преобразования и рассмотрели некоторые его приложения: они показали, что в квантовой электродинамике единственная величина затравочного заряда во будет соответствовать всем (достаточно малым) величинам перенормированного заряда е. Это и есть эффект усиления, который обсуждался выше. В пределе бесконечного обрезания (т. е. в пределе бесконечно малого пространственного разделения исходных степеней свободы) преобразование т итерируется бесконечное число раз. Таким образом можно получить эффект бесконечного усиления, например непрерывную область значений е, соответствующую единственной величине е0. Рецепты расчетов с помощью метода ренормализационной группы приведены в книге Боголюбова и Ширкова [14].

Вышеупомянутая работа Гелл-Манна и Лоу имела два недостатка. Во-первых, она не содержала ни одного экспериментально проверяемого следствия. Во-вторых, интуитивные идеи этой работы были упакованы в толстую скорлупу форма-

*) В широко известной серии работ Л. Д. Ландау [11] сформулировал полуинтуитивный подход к теории фазовых переходов второго рода, качественно обсудил возможность специфического упорядочения в одно- и двумерных системах, предложил объяснение промежуточного состояния Пайерлса в сверхпроводниках, базирующееся на представлении о его слоистой структуре при Н -ф 0. Эксперименты на магнетиках, жидкостях и смесях убедительно продемонстрировали к настоящему времени количественную несостоятельность теории фазовых переходов Ландау; многие качественные утверждения его работ удалось впоследствии развить и количественно. Однако сама идея самосогласованного поля, могущего быть весьма затейливой функцией температуры и других термодинамических параметров, идея, которую количественно реализовывали Ван-дер-Ваальс, Кюри — Вейсс — Ланжевен, Дебай — Хюккель, Хартри — Фок и многие другие, представляется и до настоящего времени весьма привлекательной. -» Прим. ред.

лизма, и потребовалось много лет, чтобы эту оболочку снять.

В выдающейся работе Каданова [15] по критическим явлениям, появившейся в 60-х годах, содержалось в интуитивной форме обсуждение идеи об уменьшении числа степеней свободы системы. Каданов предположил, что спиновые блоки в ферромагнетике можно рассматривать так, как если бы они были отдельными эффективными спинами с очень простыми взаимодействиями между собой. Каданов показал, что это предположение приводит к законам подобия, связывающим критические показатели. Эти законы ранее постулировали Вандом и др. (см. списки литературы в работах [16, 17]). У Каданова для его предположения не было почти никаких оправдывающих обстоятельств; важность его работы состояла в том, что в ней была предложена простая, хотя и идеализированная картина того, какими могли бы быть эффективные степени свободы и как они будут взаимодействовать. Естественно, на практике эта картина не реализуется. То, что обычно делают, сводится к попытке приблизиться к этой картине настолько, насколько это возможно. Пытаются определить эффективные степени свободы, которые можно описать грубо как спиновые блоки, и вычислить взаимодействия между ними, которые по крайней мере в первом приближении, имеют некоторую простую форму (не обязательно изингов- скую). В заключение отметим, что Каданов поставил для дальнейших исследований гораздо более полезную цель, чем те, которые вытекают из сложных формализмов предыдущих работ.

Дифференциальные уравнения ренормализационной группы вновь всплыли при решении проблемы Кондо в работе Андерсона и др. [2—4] и в работах [5—7]. Андерсон [4] был первым, кто получил эти уравнения, явно используя идею о сокращении числа степеней свободы. Предыдущие работы по теории поля имели гораздо менее очевидную основу.

До последнего времени все формулировки ренормализационной группы включали в себя преобразование т, действующее на очень ограниченном пространстве взаимодействий. Гелл-Манн и Доу рассматривали электродинамику с обычным взаимодействием и зарядом е0 в качестве единственного свободного параметра. Каданов учитывал только взаимодействия изинговского типа между ближайшими соседями. За это ограничение приходится тяжело расплачиваться: преобразование Т

можно определить только тогда, когда решение задачи известно. Например, Гелл-Манн и Лоу определяют т с помощью точного электронного пропагатора, который неизвестен до тех пор, пока не решены уравнения квантовой электродинамики. Таким образом, имеется ограниченная возможность использования ренормализационной группы как инструмента для решения задач и построения теории. Исследование модели нуклона (модель фиксированного источника), в упрощенной форме, показало, что эта проблема снимается, если допустить, что S^z содержит все возможные взаимодействия, а не только одно или два [18]1). В таком случае довольно легко построить примеры преобразования т, не решая всей задачи целиком (см. последующие главы). Теперь, однако, приходится расплачиваться другой ценой: мы не можем учесть влияние одновременно всех возможных взаимодействий, так как их слишком много. Поэтому, если подход, основанный на ренормализационной группе, используется в плане практических применений, приходится учитывать только несколько доминирующих взаимодействий. Кроме них могут быть многочисленные взаимодействия с малыми постоянными связи, вклад от которых можно учесть методами теории возмущений. Это в точности соответствует ситуации в модели фиксированного источника. Хотя все это верно также и для примеров, обсуждаемых в последующих главах, однако в общем случае может оказаться не обязательно справедливым.

Наиболее известные работы по ренормализационной группе мы упоминаем в § 2 данной главы.

Существуют, кроме того, и другие подходы к таким проблемам, как критические явления. Мы специально упомянем бутстрапный подход Мигдала — Полякова к критическим явлениям и теории поля [19—29] и формулировку электродинамики, данную Джонсоном — Бейкером — Виллеем [30—32], поскольку эти подходы иногда путают с методом, основанным на ренормализационной группе. Ни в теории Мигдала — Полякова, ни в формулировке Джонсона — Бейкера — Виллея нет преобразования, сходного с т; эти авторы не делают по-

’) На примере модели с фиксированным источником это означает (см. [18]), что гамильтониан 36 х содержит, кроме членов, квадратичных по операторам рождения и уничтожения мезонов, члены с произвольно большим числом операторов рождения и уничтожения мезонов. Эти дополнительные члены взаимодействия аналогичны бесконечному ряду контрчленов в обычной теории перенормировок (см. следующие главы). — Прим, перев.

пытки уменьшить число степеней свободы. Следовательно, их идеи не могут рассматриваться как метод ренормализацион- ной группы. Эти авторы вместо сознательного сокращения числа степеней свободы надеются на то, что бесконечную сумму диаграмм можно заменить некоторой суммируемой подпоследовательностью. Дальнейшее разъяснение по этому поводу см. ниже.

Другим недавним достижением являются уравнения Келлена — Симанзика [33, 34]. Оказалось, что эти уравнения тесно связаны с исходной формулировкой ренормализацион- ной группы, данной Гелл-Манном и Л оу, и являются ценным средством анализа поведения фейнмановских диаграмм на малых расстояниях (см., например, работу [35]). В настоящее время уравнения Келлена — Симанзика представляются слишком формальными, чтобы их можно было использовать практически вне теории возмущений. Они будут оставаться таковыми до тех пор, пока не будут введены некоторые интуитивные соображения, как это было сделано Кадановым, дополнившим ренормализационную группу весьма наглядной схемой ).

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Проведем теперь кратко классификацию литературы по ренормализационной группе. См. также дополнительный список литературы, который дан в конце этой книги. Первыми перечислим работы по критическим явлениям. Приближенная рекуррентная формула для ренормализационной группы получена в работе [36], там же содержатся численные решения рекуррентной формулы для случая модели Изинга. В случае модели Гейзенберга численное решение нашли Гровер, Каданов и Вегнер [37]. В работе [38] Гровер численно решил X — У-модель. Бейкер [39] и Дайсон [40] описали класс «иерархических» моделей, для которых рекуррентная формула является точной. В работе [41] Голнер предложил для рекуррентной формулы такой вид, который дает для критического показателя г] ненулевое значение (г] определяется в гл. 2). Кроме того, в работе [42] он для некоторого примера с тройной симметрией нашел решение рекуррентной фор-

мулы. Метод е-разложения в окрестности размерности d = 4 развили Фишер и Вильсон [43]. Полное обсуждение свойств подобия (скейлинга) с помощью всего ряда теории возмущений в окрестности критической точки в рамках е-разложения дал Вегнер [44]; Пфети и Фишер [45] исследовали этим методом слабо анизотропную модель Гейзенберга. Ридель и Вегнер [46] использовали рекуррентную формулу для исследования тройных точек (таких веществ, как смесь Не3 — Не4). Лангер и Бар-он [47] использовали методы работы [36] для изучения проблемы разделения фаз.

Метод диаграмм Фейнмана для расчета критических показателей с помощью разложения по степеням е (см. гл. 8) был развит в работе [48]. Де Жен [49] применил его при решении проблемы «исключенного объема». В работе [50] Никл вычислил показатель у с точностью до е3. Брезин, Валлес и Вильсон [51, 52] получили е-разложение для уравнения состояния в окрестности критической точки. Заряженный и нейтральный бозе-газ рассматривался Ма [53]. Величина показателей в присутствии дальнодействующих сил вычислена Сузуки [54, 55] и Фишером, Ма, Никлом [56].

Формулировка Гелл-Манна и Лоу для ренормализацион- ной группы была использована Ларкиным и Хмельницким [57] при обсуждении критических явлений в четырехмерном пространстве (е = 0) и в трехмерной модели анизотропного сегнетоэлектрика. Де Паскуале, Ди Кастро и Иона-Лазинио [58— 60] и Мигдал [61] рассмотрели качественные следствия использования формулировки Гелл-Манна и Лоу для объяснения критических явлений. В работе [62] Ди Кастро использовал теорию Гелл-Манна — Лоу для подтверждения некоторых результатов работы [48]. Применяя усовершенствованную формулировку (см. также гл. 12), Вегнер [63] провел широкое исследование всех возможных типов возмущений в окрестности критической точки, обращая особое внимание на поправки к законам подобия. Несколько вопросов в этом направлении рассмотрел Хаббард [64, 70]; связь с проблемой жидкостей обсуждали Хаббард и Шофилд в работе [65]. Гауссову модель, с силами большого радиуса рассмотрели Ниемейер и Ван Левен [66].

Статьи Дайсона [40], Ларкина и Хмельницкого [57] и Ди Кастро и Иона-Лазинио [58—60] предшествовали работе, изложенной в настоящей книге. В качестве хорошего обзора по проблемам критических явлений, обсуждаемых на базе аппа-

рата, созданного до развития методов, которым посвящена эта книга, рекомендуем целиком сборник [59]. Краткий обзор новых работ содержится в [67].

Множество работ, перечисленных выше, посвящено некоторым частным приложениям метода ренормализационной группы, которые в настоящей книге мы затрагивать не будем.

Существует еще одна (более ранняя, но неполная) работа по ренормализационной группе [68] (записи лекций). В ней рассматривались идеи, связанные с современным ренормали- зационно-групповым подходом, однако в ней содержится меньше информации о вычислительной стороне вопроса, чем в настоящей книге.

Тесную математическую аналогию между критическими явлениями и квантовой теорией поля отметили Грибов, Миг- дал [61, 69] и Поляков [71—73], которые пользовались методом фейнмановских,диаграмм; Мур в своей работе [74] провел сравнение вычисления статистической суммы и фейнмановского интеграла по путям; в свою очередь Сури [75] использовал для установления этой аналогии формализм матрицы перехода, развитый в статистической механике (см. гл. 10).

Для ознакомления с работами по ренормализационной группе в квантовой теории поля, в которых используется формулировка Гелл-Манна и Лоу, рекомендуем обратиться к статье [76], а для знакомства с теоретико-полевой формулировкой приближенной рекуррентной формулы — к работе [77]. Кроме того, см. также работу Голнера [78].

Идея использования нецелых размерностей d и разложения в окрестности d = 4 является удобным теоретическим приемом, не имеющим особого физического смысла: физический смысл имеют только целые d. Нецелые размерности будут введены с помощью аналитического продолжения в уравнениях ренормализационной группы (гл. 4) или в фейнмановских диаграммах (гл. 8). Идея использования в статистической механике нецелых размерностей не является новой: см., например, работу [79]. Совсем недавно Вайдом в работе [80] рассматривал случай размерностей 1 + е. Не так давно в работах по теории поля [81—83] нецелая размерность d была использована для регуляризации выражений, соответствующих фейнмановским диаграммам; полное обсуждение этих вопросов содержится в работе т’Хуфта и Вельтмана [81]. Квантовая теория поля для нецелых размерностей d рассматривается

в работе [84], где для вычисления аномальных размерностей (см. также гл. 9) использовано е-разложение.

Другая техника разложения, применяемая и в теории критических явлений и в теории поля, — разложение по 1/А^, где .N — либо число внутренних компонент спина (критические явления), либо число внутренних компонент квантового поля. Стенли [85] установил, что предел N оо для спиновой системы приводит к известной точно решаемой модели Берлина и Каца [86]. Этот факт обсуждался в дальнейшем в работе Каца и Томсона [87]. Методы разложения показателей по степеням AJN предложили Абе [88, 114] и Вильсон [84]. Эти методы были использованы затем в работах Абе, Хиками [89, 90], Сузуки [54, 55], Ма [53, 91], Фишера и др. [56] и Феррела, Скалайпйно [92]. Брезин и Валлас [93] и Сузуки [55], используя разложение по степеням 1/А7, вычислили уравнение состояния. Разложение по 1/М, вероятно, не приносит особой пользы для случаев, представляющих наибольший физический интерес, т. е. для случаев N = 1, 2, 3. Причиной, по-видимому, является то, что знаменатели в е-разложении (справедливом для любых N) имеют вид N + 8 (см. гл. 8), а это наводит на мысль, что разложение по l/^ справедливо только для N > 8. Однако исследование моделей с большими N поучительно само по себе. Приложение разложения по \(N к полевым теориям с размерностью пространства-времени, меньшей четырех, обсуждается в работе [84].

Имеется особая ситуация, когда проблема большого числа степеней свободы внутри области, размеры которой порядка корреляционной длины, тривиальна, а именно, теория свободного поля (в квантовой теории поля) или гауссова модель (в статистической механике) (см. гл. 3). Эти теории тривиальны, так как взаимодействие может быть диагонализо- вано в импульсном пространстве. Существует множество диаграммных методов для исследования малых возмущений, рассматриваемых в этих тривиальных теориях. В случае критических явлений разложение по е делает возможным проведение успешных вычислений методами теории возмущений. В настоящее время имеется приводящее в замешательство множество методов для построения е-разложения. Кроме методов, обсуждаемых в этой книге, Ди Кастро [62] использовал старые методы Гелл-Манна и Доу, а Мак [29] — подход Миг- дала — Полякова. В настоящей книге особое внимание обра- щецо на новый метод ренормализационной группы из-за его

возможностей при рассмотрении проблем, которые нельзя исследовать методами теории возмущений (см. [36, 63] и гл. 12 и 13). В частности, отметим, что в задачах, которые нельзя свести к нескольким диаграммам, безнадежно что-либо вычислить, используя теорию Гелл-Манна и Лоу. Даже для решения принципиальных вопросов теория Гелл-Манна и Лоу не является удовлетворительной, так как она включает в себя предположения, которые мотивированы техническими, а не физическими потребностями [76]. Трудно поверить, что эти предположения всегда справедливы, хотя оказывается, что они верны в каждом порядке диаграммного разложения (см., например, [76]). Бутстрап Мигдала — Полякова (с предположением конформной инвариантности) более интересен, хотя не очень полезен в том случае, когда важно учесть вклад многих диаграмм. Для теоретиков, изучающих поле, интересной и необычной особенностью бутстрапа Мигдала — Полякова является «унитарность по струям», предложенная Поляковым [73].

Следующие семь глав касаются в первую очередь критических явлений. Отчасти это обусловлено тем, что критические явления — пример наиболее успешного приложения метода ренормализационной группы. В то же время критические явления представляют простейший и наиболее ясный пример проблемы большого числа степеней свободы в области порядка корреляционной длины. Эксперименты в этой области являются достаточно точными и однозначными, что позволяет проверить фундаментальные аспекты теории. На-пример, простейшая модель, такая, как модель Изинга, кроме основной проблемы учета бесконечного радиуса корреляции, не содержит никаких других осложняющих исследование обстоятельств. Изучение критических явлений дает нам общее представление о проблеме большого числа степеней свободы в корреляционной области, которое невозможно получить каким- либо другим путем и которое весьма существенно для понимания теоретико-полевых приложений ренормализационной группы, обсуждаемых в гл. 9—13.

Существуют прекрасные обзоры экспериментов и всей предшествующей теории критических явлений (см. гл. 2); настоящая же книга будет посвящена в основном объяснению метода ренормализационной группы. Эту книгу можно читать без предварительной подготовки в области критических явлений, так как вполне достаточные для этого сведения будут

изложены по мере надобности, однако здесь не будет обсуж» даться детально отношение метода ренормализационной группы к эксперименту и предшествующей теории.

Главы 11 —13 также важны для проблем статистической механики, однако главное внимание, начиная с гл. 9, уделяется квантовой теории поля. Эти главы в значительной степени основаны на результатах предыдущих глав. Они являются частью из серии работ [76, 94], рассматривающих метод ренормализационной группы как альтернативу канонической формулировки теории поля. Конечной целью является разработка полевой теории сильных взаимодействий. Для достижения этой цели все еще требуется значительная перестройка как основ теории, так и техники вычислений. При изучении метода ренормализационной группы возникли в качестве побочного продукта некоторые полезные идеи, которые позволили найти более феноменологические подходы к теории сильных взаимодействий [94, 95]. Специалисты в области элементарных частиц, ознакомившиеся с основными идеями этой книги, обнаружат, что за последнее время предприняты значительные усилия, чтобы понять физику сильных взаимодействий; в их распоряжении окажется эвристическая точка зрения на проблемы квантовой теории поля, хотя перспектива этих идей в настоящее время неопределена (см. гл. 14).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИ ИЗИНГА

Начнем с обсуждения некоторых элементарных свойств модели Изинга (об истории модели Изинга см. работу [96]). Эта модель использовалась в прошлом для описания ферромагнетизма *), кроме того, она, вероятно, также представляет собой некоторую модель релятивистской теории поля. Допустим, что мы имеем простую кубическую решетку из точек п, скажем, в трехмерном пространстве п = (п1, л2, поУ. поместим в каждую точку решетки спиновую переменную sn. Будем предполагать, что sn принимает только дискретные значения ±1, т. е. sn не рассматривается как полная трехмерная квантовомеханическая спиновая переменная. Если решетка

’) Модель Изинга (спин Уг) можно довольно успешно использовать в том круге проблем, где существенна статистическая механика систем с двумя состояниями: порядок — беспорядок в сплавах, теория бинарных смесей, решеточный газ, адсорбция и абсорбция.—Прим. ред.

содержит N узлов, то ясно, что система имеет 2№ возможных состояний. Каждая из этих спиновых конфигураций будет иметь некоторую определенную энергию. Если взаимодействуют только ближайшие соседи, то гамильтониан системы имеет вид

H = -JL Е5Л+т, (1.3)

е ®®е ®®где {г} — набор единичных векторов, направленных вдоль каждой из осей решетки (фиг. 1.1). Далее если решетка поме-

е ®®

е ®®

ее®

•©

1/ л

•®•*

- ®s

Фиг. 1.1. Двухмерная решетка.

Указаны единичные векторы на каждой

•®©

®©из осей.

®

щена во внешнее магнитное поле В, то в гамильтониан необходимо включить дополнительный член

Н = — J Е Е snsn+T + цВ Е s„,(1.4)

п iп

где ц — некоторое определенное гиромагнитное отношение. Термодинамика системы получается из статистической суммы: Z-^exp^^//],(1.5)

здесь суммирование проводится по всем возможным конфигурациям спинов в решетке, Т — температура, а к— постоянная Больцмана. Кроме этого, удобно ввести свободную энергию F;

(1.6)(1.6)F = — kT\nZ.

(1.6)

(1.6)

Рассмотрим теперь намагниченность на один узел решетки:

1 у <5лехР<-я/*:Г)>

N(ехр(— Н/кТ))

п

где (...) означает, что суммирование проводится по всем конфигурациям спинов. Намагниченность М можно записать в виде

.. 1 др о\ М — цМ дВ •

ИсПользуя модель Изинга размерности 2 или более, можно обнаружить спонтанную намагниченность. Пусть решетка находится во внешнем магнитном поле В. Если намагниченность М остается отличной от нуля, когда внешнее поле выключается, то налицо спонтанная намагниченность ). Такая ситуация имеет место, например, если при нулевой температуре состоянию системы с наименьшей энергией соответствует конфигурация, когда все спины направлены в одну сторону. Мы можем ожидать, что при нулевой температуре М = 1, а при бесконечно большой температуре, когда тепловая энергия подавляет спин-спиновое взаимодействие, М = 0. Только для температур Т ниже некоторой критической величины Те спонтанная намагниченность действительно имеет место. Спонтанная намагниченность тесно связана также с поведением парной корреляционной функции спинов, определяемой выражением

(exp (- HlkT)) ' u ■’

При нулевой температуре, когда все спины упорядочены, функция Гл не зависит от п и равна единице. Однако, когда Т —► оо, тепловые флуктуации размывают спин-спиновые корреляции, так что функция Гя отлична от нуля только в начале координат при л = 0. В действительности мы увидим в дальнейшем, что характер стремления Гя к нулю с ростом п будет зависеть от того, являются ли Т <_ Тс, Т = Тс или Т > Тс. Таким образом, модель Изинга содержит два параметра длины: постоянную решетки и расстояние между спинами, на котором еще необходимо учитывать спин-спиновую корреляцию.

Глава 2

ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИКРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

В гл. 1 мы обсуждали модель Изинга и феноменологию критической точки. В качестве примера последней была взята критическая температура, т. е. температура, ниже которой впервые появляется спонтанная намагниченность. Мы будем изучать проблему критического поведения еще в семи главах, обращая особое внимание на явления выше критической температуры, где, хотя и нет спонтанной намагниченности, система чувствует близость критической точки. В этой главе мы рассмотрим на «физическом» уровне различные теории поведения систем в критической точке, а именно: теорию среднего поля в том виде, который ей придал Ландау, и теорию Каданова эффективных взаимодействий между спиновыми блоками. Вторая теория подготовит почву для перехода к изучению ренормализационной группы. (Рекомендуемый список работ [97—102] является некоторым стандартным списком литературы по критическим явлениям.)

ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ

В ОКРЕСТНОСТИ ИХ КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

Если мы начертим зависимость от температуры спонтанной намагниченности ферромагнетика, намагниченности одной из подрешеток антиферромагнетика или намагниченности в модели нзинга, то получится кривая, сходная с той, которая изображена на фиг. 2.1. Ниже критической температуры Тс начинает возникать спонтанная намагниченность, а при нулевой температуре она достигает некоторой конечной величины. В малой области температур ниже критической температуры намагниченность хорошо аппроксимируется степенным законом:

М~(ТС-Т^,(2.1)

где р — частный пример критического показателя. Теории критического поведения посвящены главным образом предсказанию величин таких критических показателей или, по крайней мере, установлению соотношений между ними ■).

Характерный для критического поведения параметр —корреляционная длина, которую мы ввели ранее. Рассмотрим два

Фиг. 2.1. Кривая зависимости намагниченности ферромагнетика от температуры.

Тс—критическая температура.

спина (один в узле п, а другой в начале координат) и определим корреляционную функцию

(2.2)(2.2)г _ <s«soexP(-fl'/&7’)>(ехр(-Я/ЙГ)>

(2.2)

(2.2)

где (...) означает суммирование по всем конфигурациям спинов. Корреляционная функция Гя обладает тем свойством, что при Т > Тс быстро уменьшается с ростом |л| (см. кривую 1

Фиг. 2.2. Зависимость спин- спиновой корреляционной функции от расстояния между узлами.

Кривая /—случай Т > Тс; кривая 2 — случай T < Тс.

на фиг. 2.2). Полагают, что асимптотическое поведение при больших |л| описывается формулой

Г„~ехр(-1^г),(2.3)

’) Весьма подробно и всесторонне критические показатели обсуждены в работах [16, 99, 102]. — Прим. ред.

2*35

где ^(Т)— корреляционная длина. [Существуют различные способы определения корреляционной длины, причем неочевидно, что качественное определение, данное в гл. 1 (см., в частности, обсуждение на стр. 15), согласуется с точным определением (2.3). В действительности они не всегда будут согласовываться, однако для модели Изинга при температурах выше Тс они, насколько известно, фактически согласуются.] К сожалению, справедливость формулы (2.3) из-за сложности системы не доказана. Ожидается, что при Т < Тс корреляционная функция с ростом |л| стремится к квадрату спонтанной намагниченности (кривая 2 на фиг. 2.2). Другими

Фиг. 2.3. Зависимость корреляционной функции при критической температуре Г = ТС от расстояния между узлами.

словами, при больших |л| корреляция в действительности исчезает, а то, что остается, есть просто произведение средних значений отдельных спинов. При критической температуре корреляционная функция для больших |п| спадает до нуля, поскольку спонтанная намагниченность отсутствует. Однако она спадает очень медленно (фиг. 2.3), так как мы находимся в точке фазового перехода. Полагают, что при Тс корреляционная функция спадает как степень |л|, и обычно представляют ее в виде

Г" ~ । n |d-2+n ’ (2.4)

где d — размерность системы. Известно, что для размерности 2 выражение (2.4) будет правильной формулой для корреляционной функции [97]. Однако в трехмерном случае это утверждение является только догадкой. Величина г] — второй критический показатель.

Можно также рассмотреть корреляционную длину ^(Т). Величина ^(Т) определяет масштаб изменения корреляционной функции, когда Т выше 7С. Как показано на фиг. 2.4, кор-

36

реляционная длина ^(Т) стремится к бесконечности, когда Т —* Тс сверху:

UT^~kT-TcY\(2.5)

Подобная кривая имеется также для магнитной восприимчивости:

(2-6)(2-6)дМ I

(2-6)

(2-6)

дВ |в_0

последняя вблизи критической температуры ведет себя как

(2.7)(2.7)т~<г-тсг\

(2.7)

(2.7)

Аналогично удельная теплоемкость (при постоянном объеме) Су определяется вблизи критической температуры критическим показателем а:

(2.8)(2.8)с0~кт-туа.

(2.8)

(2.8)

В табл. 2.1 мы включили как экспериментальные, так и теоретические значения различных критических показате-

Ф и г. 2.4. Зависимость корреляционной длины от температуры.

лей *). Теоретические предсказания основаны на теории среднего поля (Ландау), которая будет изложена ниже, двухмерной модели Изинга, точно разрешенной Онсагером, и трехмерной модели Изинга. В трехмерном случае критические показатели вычислены приближенно с использованием высокотемпературного разложения в модели Изинга, выполненного до очень высокого порядка, причем для получения величины критических показателей была использована техника аппро- ксимант Падё. Для соответствующих термодинамических ве-

’) См. также [16, 99, 102]. — Прим. ред.

37

личин это предполагает степенное поведение вблизи критической точки. Данные взяты из экспериментов с ферромагнетиками, антиферромагнетиками, из исследования переходов жидкость—газ, бинарных сплавов и сверхтекучего гелия. В каждой системе обычно можно измерить один или два критических показателя1). Таблица критических показателей приведена для того, чтобы проиллюстрировать идею (которая будет разъяснена в следующих главах) о том, что теория среднего поля объясняет поведение систем с размерностями больше 4 и что при d < 4 показатели непрерывно зависят от

Фиг. 2.5. Зависимость критического показателя у от размерности физической системы.

параметра размерности. Для этого можно отложить на графике величины критических показателей в зависимости от размерности системы и построить гладкую интерполирующую кривую между различными значениями размерности. На фиг. 2.5 представлена такая зависимость для показателя у- Полученная кривая имеет разрыв производной для размерности 4 и является гладкой во всех остальных точках.

’) Недавно в лаборатории И. Р. Кричевского (ГИАП) Л. А. Макаревич и Д. Ю. Иванов провели прецизионные (Р, V, Т)-измерения перехода жидкость — пар для SF6, что позволило определить критические показатели: б, у, 3 [16, 99, 102]. При этом удалось добиться рекордной точности по всем параметрам (р — Рс, р — рс, Т — Гс), так, например, промерить области т = |1 — Тс/Т\ ^ 10"в. Интересной особенностью результатов этих измерений является стремление критических показателей б, р, у к значениям, предсказываемым теорией среднего поля при Т-*ТС, р-*рс соответственно. (В области изменения параметров, промеренных в ранних экспериментах, результаты которых приведены в табл. 2.1, упомянутые результаты Л. А. Макаревича и Д. Ю. Иванова хорошо согласуются с ними). Такое «сглаживание» поведения термодинамических величин в критической области можно попытаться объяснить в первую очередь эффектом гравитации [140]. — Прим. рёд.

Мы сосредоточим свое внимание в первую очередь на показателях т], v и у, которые описывают поведение системы при критической температуре или чуть выше нее, когда внешнее поле отсутствует. Мы не будем работать в двухфазной области, хотя, возможно, это более интересно; все основные проблемы хорошо видны в области температур выше Тс.

ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

Различные теории критических явлений характеризуются так называемым «поиском аналитической структуры»1). Написанные нами формулы, подобные формуле (2.1) для спонтанной намагниченности, являются неаналитическими при критической температуре. В действительности в этом нет ничего необычного, однако довольно трудно увидеть, как возникает такое неаналитическое поведение, если исходить, например, из первоначальной формулировки модели Изинга. Напомним, что термодинамические функции вычисляются из статистической суммы:

г-Е«рГхЕ2>л+г1 К=^_ (2.9) {s} „ 7 J

До тех пор пока число спинов N конечно, Z является аналитической функцией К. Ясно, что такая система не может обнаруживать критического поведения. Однако стоит нам только рассмотреть термодинамический предел спиновой системы, заполняющей все пространство, как аналитичность более не гарантируется. Поскольку объем системы V стремится к бесконечности, становятся также неограниченными различные суммы. Однако неаналитическое поведение, которое мы хотим здесь обнаружить, обычно маскируется этими эффектами большого объема. Таким образом, в то время как неаналитичность в принципе возможна, из таких выражений, как (2.9), очень трудно практически получить правильное неаналитическое поведение. Описать критическое поведение пытаются тогда через аналитические функции в надежде, что аналитические функции с помощью доступных методов можно

*) Как станет ясно из дальнейшего, авторы под этим понимают необходимость сформулировать аналитический аппарат, позволяющий описать неаналитическое поведение термодинамических величин в критической точке.— Прим. ред.

получить более легко. Различные теории, следовательно, можно характеризовать соответствующим выбором аналитических функций, с помощью которых они описывают критические явления. Это и есть «поиск аналитической структуры». Мы обсудим эту проблему на двух уровнях: во-первых, на примере теории среднего поля, которая оперирует с очень простой аналитической структурой, и, во-вторых, на примере собственно ренормализационной группы.

/. Теория среднего поля

Одним из результатов теории среднего поля является существование термодинамической функции, которая аналитична по своим аргументам в критической точке Тс. А именно, магнитное поле В есть аналитическая функция удельной намагниченности At и температуры. Это предполагает справедливость гипотезы Ландау [111] о том, что термодинамические свойства системы должны выводиться из свободной энергии G, которая является аналитической функцией М и Т. Тогда поле В определяется выражением

B = ^-G(M, Т). (2.10)

Какие следствия получаются из этого подхода? Вблизи Тс, где намагниченность М мала, мы можем для энергии G воспользоваться разложением Тейлора по степеням М:

G^M, T) = Ge(T) + r(7W + u(T)M4+ .... (2.11)

Здесь М — удельная намагниченность (намагниченность на один спин). В разложении появляются только четные степени М, поскольку модель Изинга обладает симметрией относительно отражений. Магнитное поле (2.10) в этом случае определяется выражением

В = 2r (Т) At + 4« (Т) At3 + ... . (2.12)

Если мы ограничимся рассмотрением членов, пропорциональных М и М3, и предположим, что м > 0 (так что магнитное* поле растет при увеличении At), то столкнемся с двумя возможными случаями. Если г > 0, то свободная энергия G как функция At будет иметь один минимум (фиг. 2.6, а). Если г < 0, то свободная энергия G может иметь два различных минимума, соответствующих отличным от нуля намагничен-

ностям (фиг. 2.6,6), и, следовательно, три локальных экстремума, отвечающих В = 0. Однако система выбирает состояние с минимальной энергией, которое соответствует, согласно фиг. 2.6, б, состоянию с ненулевой намагниченностью. Мы видим, что случаю г >- 0 отвечает Т > Тс, когда спонтанная на-

GGааММ

G

G

а

а

М

М

ббММ

б

б

М

М

Фиг. 2.6. Зависимость свободной энергии от намагниченности для некоторых возможных значений параметра г. а) г > 0; 6) г < 0.

магниченность отсутствует, в то время как случай г < 0 означает, что Т < Тс.

Продолжая далее работать с этими допущениями об аналитической структуре, мы можем получить некоторые из критических показателей. Очевидно, что г(Тс)=0, в то время как «(Тс) достигает некоторой определенной величины. Следующий этап состоит в предположении, что для Т в окрестности Тс

Г^~^Т-ТС\(2.13)

Тогда при В = 0 из (2.12) следует

г(Л

2« (П

«{Тс - пч\

(2.14)

откуда мы устанавливаем величину первого критического показателя:

₽ = у.(2.15)

Если Т > Тс, тогда для намагниченности, близкой к нулю,

М = ^.(2.16)

Из этого соотношения мы находим восприимчивость:

^=^Ж^-Т=^Х»(2-17)

далее мы определяем другой критический показатель у:

у=1.(2.18)

Распространяя эти идеи на случай полей, зависящих от координат, можно найти величины показателей v и t]1). Получаем v = */2 и г] = 0.

К сожалению, теория среднего поля, как это видно из табл. 2.1, недостаточно хорошо предсказывает величины критических показателей. Например, надежные, эксперименты с жидкостями в такой малой области (Т — Тс)/Тс, как 10-5, дают для р величину р «# 0,35 ± 0,01 [98], а согласно предсказанию теории среднего поля, имеем р = 0,5.

Таблица 2.1

Критические показатели

Эксперимент

Теория среднего поля

Трехмерная модель Изинга

Двухмерная модель Изинга

₽

0,3-0,38

'/2

0,31

0,125

0-0,1

0

0,056

0,25

V

0,6-0,7

V2

0,64

1,0

Y

1,2-1,4

1

1,25

1,75

а

0-0,1

0

0,12

0

Теория среднего поля, однако, дает очень простую и ясную картину критического поведения. И, хотя ее предсказания не являются очень точными, они в то же время не являются и

очень плохими. В нашем последующем описании критических показателей результаты теории среднего поля будут выступать как приближения нулевого порядка. Систематическое разложение по размерности системы позволит нам_§атем получить более точные результаты.

. Теория Каданова

Теперь обратимся к обсуждению второго примера и рассмотрим картину Каданова в окрестности критической точки [15]. Основным результатом построения Каданова является установление связей между критическими показателями, которые ранее были угаданы с помощью почти эвристических аргументов (см. [97—102]). Здесь мы не будем обсуждать эти соотношения. В первую очередь рассмотрим вопрос о том, каким образом выбираются аналитические структуры и как, начав с аналитических функций, мы получаем критические сингулярности.

При изложении построения Каданова мы допускаем значительное своеволие. В последующих абзацах излагается сущность его идей, однако детали его работы будут в значительной степени искажены.

Каданов подробно занимался проблемой дальних корреляций в окрестности Тс. Прямой расчет критического поведения требует рассмотрения (как минимума) всех спинов в объеме размерами порядка корреляционной длины — это безнадежная задача. В противоположность этому вдали от Тс, где корреляционная длина мала, необходимо рассматривать одновременно только несколько спинов. Для решения таких проблем пригодна стандартная техника, например метод диаграмм Фейнмана и теория возмущений. -

Каданов высказал блестящую идею, позволяющую безнадежную проблему учета дальних корреляций заменить задачей, в которой учитываются только близкие корреляции. Для простоты разъясним эту идею на примере плоской решетки. Рассмотрим малую область, содержащую, скажем, 4 спина. Поскольку корреляционная длина (радиус корреляции) в окрестности критической температуры очень велика, все сцины в таком маленьком блоке должны будут сильно коррелировать. Каданов предположил, что 4 спина так сильно скоррелированы, что в одном блоке имеется только два возможных состояния: либо все спины направлены вверх, либо все спины

a

x X x

xxx

xxx

б

Фиг. 2.7. Наглядное представление кадановского построения спиновыхблоков.

Исходная решетка (а) со спинами в каждом узле делится на блоки по четыре спинав каждом блоке (6) н заменяется новой решеткой (а) с «эффективными» спинами.

направлены вниз. Это означает, что блок из 4 спинов ведет себя, как один эффективный спин. Предположим теперь, что £ равно 1000 в единицах постоянной решетки (фиг. 2.7, а). Сгруппируем спины в блоки так, чтобы в каждом было по 4 спина (фиг. 2.7,6). Предполагают, что каждый блок обладает только двумя спиновыми степенями свободы, следовательно, для каждого блока имеется единственная спиновая переменная. Таким образом, исходную решетку можно заменить на эффективную, у которой теперь g = 500 в единицах эффективной постоянной решетки (фиг. 2.7, в). Таким путем задача с £ = 1000 сводится к задаче с £ = 500. Повторение этого построения позволяет проводить дальнейшее уменьшение g до 250, 125 и т. д. до тех пор, пока в конце концов мы не получим эффективную задачу c g ~ 1. Ниже мы обсудим это дополнительно. Если исходные спины взаимодействуют только с ближайшими соседями, тогда очевидно, что и эффективные спиновые блоки также взаимодействуют только с ближайшими соседями. Удобно определить перенормированные спиновые блоки так, чтобы их значения равнялись ±1, а не ± 4. Тогда энергия спиновых блоков, деленная на кТ, равна

Е^Л'Ч'к»(2Л9)

л, I

где К\—постоянная, s^>— спиновая переменная блока, ал— номер узла эффективной решетки (X на фиг. 2.7, в). Единственное практическое различие между эффективным взаимодействием Каданова (2.19) и исходным взаимодействием

Е Ks„s„+Tп, i

состоит в изменении постоянной К на К\. Причем постоянную взаимодействия Ki нетрудно определить. Действительно, имеется только два типа спин-спиновых взаимодействий, получаемых из затравочного взаимодействия, которые связывают спиновый блок s*^ с одним из его ближайших соседей s^c. Если эффективные спины обоих этих блоков параллельны, энергия связи равна 2К, если они антипараллельны, энергия связи равна —2К. Следовательно,

КХ=2К-(2.20)

Предположим теперь, что мы решили первоначальную задачу с постоянной взаимодействия К и получили величину

корреляционной длины ^(Л) как функцию К в единицах постоянной исходной решетки. Тогда корреляционный радиус для решетки, состоящей из спиновых блоков в единицах постоянной блочной решетки, будет равен ^(Ki), поскольку взаимодействие в системе спиновых блоков имеет изингов- скую форму. Но теперь корреляционная длина, выраженная в единицах постоянной блочной решетки, должна быть равна половине корреляционной длины первоначальной задачи, т. е.

Ш1)=^Ш\ (2.21)

Если задано, что £(/<i) = '^(Ю, как только Ki = 2К, то зависимость g(K) от К становится несколько более определенной. Предположим, что температура системы равна критической. Для К соответствующая величина равна Кс = JlkTc. При К = Кс величина g бесконечна. Но теперь и корреляционный радиус в системе, состоящей из спиновых блоков, должен быть так же бесконечным, последнее же означает, что В №)=<», а это возможно только тогда, когда Ki также равно Кс- Следовательно,

Кс = Кх=2Кс, (2.22)

что дает К с = 0, либо Кс = °°, но не Кс = HkTc.

Это бессмысленный результат: в действительности Кс — конечное число, не равное 0 или оо. Неприятность возникает в связи с предположением о полной упорядоченности спинов внутри блока. В действительности Каданов не предполагал этого. Он лишь предложил считать, что блок будет вести себя так, как если бы он имел только 2 возможных состояния и, следовательно, мог бы быть заменен эффективным спиновым блоком. Оба эти состояния, однако, не будут соответствовать случаям, когда все спины внутри блока направлены либо вверх, либо вниз. Каданов предполагал, что между спиновыми блоками будет существовать эффективное изинговское взаимодействие с постоянной Ki, которая является некоторой функцией /(К), но функцией более сложной, чем величина 2К, которая получена выше. Каданов, однако, не дал никакого рецепта для определения ЦК). Единственное, что он действительно предположил, это по-прежнему аналитичность функции ЦК) по К, даже при К = Кс- Основной причиной этого являлась надежда, что на вычисление К\ — даже если это вычисление провести невозможно — влияют только спины, находящиеся в непосредственном соседстве с блоком п. Неана-

литичность в точке Кс может возникнуть только для тех величин, для которых существенно влияние всей решетки.

Предположение Каданова сводится, таким образом, к утверждению существования аналитической функции /(/(), такой, что

МНЮ] = 7иЮ'.(2.23)

К каким следствиям это приведет для величин, определяющих критическое поведение? Во-первых, должно выполняться соотношение

КС=ЦКС),(2.24)

так что величина МНЮ)] бесконечна. Во-вторых, предположим, что К находится в малой окрестности Кс, тогда приближенно можно написать

(2.25)(2.26) близких(2.27)(2.28)(2.25)(2.26) близких(2.27)(2.28)ЦК) = ЦКС)-Н(К-КС), где X = d}]dK в точке К = КС- Это означает, что

(2.25)

(2.26) близких

(2.27)

(2.28)

(2.25)

(2.26) близких

(2.27)

(2.28)

HK)-kc=xik-kc).

Предположим теперь, что величина МЮ для К, к Кс, ведет себя, как (.К— Кс)-'1, тогда должно быть

МНЮ] = f ЦЮ-Кс 1"vмю I к-Кс J 1

С учетом (2.23) и (2.26) отсюда получаем

Т = (аГ,

т. е. если бы можно было определить f'(Kc), то из уравнения (2.28) можно было бы вычислить v:

Например, если f^K) имеет явный вид: НЮ = 2/<, который был получен ранее, тогда К будет равно 2, a v равно 1.

Из уравнения (2.26) не следует однозначно, что ЦК) при К —* Кс изменяется по степенному закону; наиболее общий вид ЦК), согласующийся с (2.23) и (2.26), есть

ЦК) = <К-КсГ" F\\n<K-Kc)).(2.30)

где F^x)—периодическая функция х с периодом In А. Оправданием этой периодичности служит тот факт, что, если нам

известна £(Д), тогда известна также и £(Д1), где Ki — Кс = = Х^К — КСУ а умножение К — Кс на X эквивалентно трансляции 1п(Д—Кс} на величину In X. Поскольку F— функция периодическая, поведение £(Д) не отличается качественно от закона ^(Д) ~ (К — Kc)-V.

Для более точного определения ^(Д) можно представить себе следующую процедуру. Предположим, что ^(Д) известно для Д > 2ДС'). Для Д > 2ДС корреляционная длина g должна быть не очень велика и ее можно относительно легко вычислить. Предположим теперь, что К лежит в области Дс < Д < < 2ДС. Построим последовательность эффективных постоянных связи Д1, Д2 и т. д., удовлетворяющих соотношению

Kn^ = tkK„Y (2.31)

где Д1 = /(Д). Формула Каданова приводит тогда к величине

Ш^ = ТШп\ (2.32)

Это, в частности, означает, что для любой фиксированной величины Д (> Дс) можно выбрать такое большое п, что длина ^(Дп) будет достаточно мала, так как Дп > 2ДС. Тогда длина ^(Дп) известна, а ^(Д) определяется с помощью (2.32). Конечно, это вычисление можно провести, если только известна функция f(K).

Важным моментом в анализе Каданова является идея о том, что можно, исходя из аналитической функции ЦКУ прийти в итоге к неаналитическому поведению ^(Д) в точке Дс, в которой f(Kc)=Kc- Более того, для величины v не получается определенного, не зависящего от f(K), значения; для вычисления v необходимо знать функцию f(K). Следовательно, v не обязано иметь величину ‘/а, соответствующую приближению среднего поля. В действительности величина v, вопреки представлениям некоторых физиков, занимающихся статистической механикой, может быть числом иррациональным.

В следующих главах идея Каданова о существовании эффективных взаимодействий спиновых блоков с постоянными связи, аналитическими по Т, будет реализована в разных формах, причем все функции будут заданы явно. Явно будут вычислены также такие критические показатели, как v и др.

•) То есть в «ферромагнитной» области, которая соответствует температуре Т <_ТС — Прим. ред.

Глава 3

ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕРРЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ.ГАУССОВА МОДЕЛЬ

В этой главе, исходя из интуитивных идей Каданова, мы начнем получать количественные результаты. Найдем выражение, связывающее исходное взаимодействие и взаимодействие спиновых блоков, а для иллюстрации используемых идей вычислим для некоторой тривиальной модели (гауссовой модели) [86] критический показатель v. В этом случае показатель v = 7г, т. е. имеет такую же величину, как в теории среднего поля.

2 = П 5 2«toт —оо2 = П 5 2«toт —ооГауссову модель можно получить, модифицируя модель Изинга. Вначале запишем статистическую сумму Изинга в интегральном виде, а именно:

2 = П 5 2«toт —оо

2 = П 5 2«toт —оо

(3.1)(3.1)-l)exp р<££ V„+A dsmX п I/

(3.1)

(3.1)

Это простая запись исходной статистической суммы. Представим теперь, что происходит расплывание 6-функции (фиг. 3.1, а) около sm= + l, так что получается сначала плавное распределение (фиг. 3.1,6), а затем функция распределения Гаусса (3.1, в). Конечно, распределение на фиг. 3.1, в имеет лишь отдаленное сходство с распределением, соответствующим исходной модели Изинга. Если мы тем не менее в статистической сумме (3.1) заменим 6-функцию на ехр(—^-6s^y то получим

4-00

ZZX n t/X n t/= П [ ехр(—т — оо

Z

Z

X n t/

X n t/

где b — произвольная постоянная. Формула (3.2) отвечает гауссовой модели [86]. Позже мы рассмотрим обобщение:

ехр(-1б$2)->ехр(--^-^-из*),(3.3)

где и — положительное число. Если и порядка единицы (м не мало), то исследование можно провести, используя рекуррентную формулу, которая будет получена ниже. В этом случае

8

Фиг. 3.1. Переход от модели Изинга к гауссовой модели.

У модели Изинга спины в каждом узле решетки направлены либо вверх, либо вниз (о).У модели, соответствующей фиг. 3.1,0, спиновые переменные имеют максимальныезначения в окрестности изинговских значений спина sm«=±l. У гауссовой моделиспиновые переменные в каждом узле имеют гладкге гауссово распределение в окрест-ности нуля (в).

модель с распределением (3.3) начинает приближаться к реальной модели Изинга. Наконец, если и -* оо, а b -* — оо при b = —4м, мы снова получаем модель Изинга [для этого необходимо учесть еще, что на каждый спин приходится множитель (M/n)v,exp(—м)].

Напомним некоторые особенности гауссовых интегралов. Для этого удобно ввести матричные определения:

§Д$ = 52 snAnmsm,т

Р$ == 2 Рп^тл

причем матрица Л симметрична, т. е. матричные элементы не изменяются при п-^>-т. Тогда, используя формализм, который будет кратко изложен, можно оценить следующий интеграл:

Ц J ехр(—1§Л$ + р8)с?$„ = Сехр(урЛ *р), (3.5)

П —ОО

где нормирующий множитель С является функцией А. Например,

C = (det Л)-V1 (2 л) ^

где N — число узлов решетки. Чтобы привести показатель в подынтегральном выражении к полному квадрату, в выражении (3.5) производят сдвиг переменных интегрирования sn. [Ниже, см. (3.21), приведен пример такого преобразования.] Из представления (3.5) можно получить все интегралы вида

JJ $ (Smxsm2 ... Smfe)exp(— ^sAs^dsn = I(mh ..., /и*). (3.6)

п —ОО

Эти интегралы понадобятся нам в гл. 4. Процедура сводится к дифференцированию (3.5) по переменным рт[ ... pmfe. В результате получаем

Л —ООЛ —ОО^•■•г£;Сех|,(т^,|’)'^•■•г£;Сех|,(т^,|’)'JJ J (Sm, • • • Smfe) exp (— У ЗЛ5 + ps) ds„ =

Л —ОО

Л —ОО

^•■•г£;Сех|,(т^,|’)'

^•■•г£;Сех|,(т^,|’)'

Второй шаг состоит в том, что переменные рт для всех т полагаются равными нулю. Если А — нечетное число, то интеграл обращается в нуль; если же к — четное число, то необходимо рассмотреть только такой член разложения экспоненты, который имеет порядок рй; это дает

ЦтХ1 ..т^— dpmi ... dpmfe С (2 рЛ р) (й/2)| . (3.7)

Теперь у нас имеется к производных, действующих на А/2 множителей (*/2рЛр)- Для иллюстрации вычисления произ-

водных рассмотрим случай к = 4. Здесь необходимо вычислить

дд_ д9тх дРт,дд_ д9тх дРт,дрт. др_ (2 РЛ р) (2 РЛ *р)/2!

дд_ д9тх дРт,

дд_ д9тх дРт,

В результате дифференцирования получаем некоторое число членов вида (Д'^^СД^т^/З. Полное число таких членов равно 24, т. е. полному числу всевозможных способов действия каждой из производных на р или р. Однако многие из этих членов совпадают между собой. Например из-за симметрии матрицы Д-1, член (Д-')„,,,„, (Д-1)тат4/8 совпадает с членом (л ХтМ *)m,m4/8. Очевидно также, он совпадает и с членом U Х^ЛА XJ8- СобиРая все совпадающие члены, получаем

Нт,"-.) = С[(А-').,„,(А-,)т„.+

+ (Л-'),»^1).,^ + (4-').л (Л-1)^.(3.8)

Общее правило для любого к формулируется аналогично. Результат выглядит следующим образом: пусть sm,sm, означает матричный элемент (Д-1)т1т/ назовем s^sm, «спариванием», тогда /(Щ]тА) равно сумме всех возможных спариваний произведения smism2 . .. smfe, причем каждое smi входит в некоторое спаривание. Например:

/ (/И], /Пз> ^3> ^4) == ^ k.SmxSmtSm^nu “Ь 8тх8т£т18т4 -|-

+ SmlSm1Sm,Sm4),(3.9)

что совпадает с результатом (3.8). Величина Цпц, ..., /п6) состоит из smismism,Sm4Sm,sm, и 14 других членов. Заметим, что нет необходимости считать все т, различными. Предположим, например, что мы имеем дело с тривиальными матрицами 1 X 1, так что все тг с необходимостью равны 1. Тогда интеграл (3.6) от st равен ЗСДП2, интеграл от s® равен 15СДП3 и т. д. в соответствии со стандартными формулами. Отметим, что правило для вычисления 7(/Пь ..., т^ аналогично теореме Вика из квантовой теории поля [103].

В интересующих нас случаях матрица Апт зависит только от разности п— m и обратную матрицу (Д-1)пт МОЖНО ВЫ- числить с помощью преобразования Фурье:

Ап-т = 5 exp Viq • (Л — m)l A (q),(3.10)

я

где лл

С 1 Г j

\ =\dqi . .. \ dqd.

(2nd J 4 J ™

q—л—л

Так как матрица А в ^-представлении диагональна, обратная матрица получается в результате фурье-преобразования просто обратной величины А (д):

UA-m = $ ехР Viq • (л - т)1 л-1 (q).(3.11)

я

Вернемся теперь к гауссовой модели. Мы можем переписать интересующие нас выражения [см. (3.2)] в виде

* Е Е vw -Iй Е s«=-4 Е Е (w-sn? -

п ^пп 7

-^b-dK)^s^(3.12)

п

где мы для удобства предположили, что сумма по i пробегает только положительные значения; d — размерность решетки. Если выразить (3.12) через

Qq = 2 ехР (— lq ‘ ^ sn, п то получим

—"И [^Eiexp(^-112+7] °я°-я ’ (злз) где

r = b — 2dK,(3.14)

a </i — i-я компонента q.

Отметим теперь три дополнительных изменения, которые будут сделаны в модели. Первое — замена |ехр(/^,)—1|2 его разложением при малых q, а именно, замена на q2v Второе — изменение области интегрирования по q, т. е. теперь вместо —л < </г < л имеем 0<|д|<1. Третье — перенормировка

спиновых переменных так, чтобы ^= 1. Итак, окончательно взаимодействие принимает вид

-l^ + r),^,(3.15)

q

где

= (2n)-d ddq для 0<|д|<1 и г = ^. я

Второе изменение обусловливает некоторые идейные затруднения. При 0<|д|< 1 невозможно выразить исходные переменные sn через функциональную переменную aq, поэтому мы вынуждены определить статистическую сумму как функциональный интеграл по oq вместо старого определения с помощью обычных интегралов по sn ^ . Однако для настоящих целей это не является препятствием. Дело в том, что метод преобразования переменных интегрирования (сдвиг) для функциональных интегралов так же обоснован, как и для обычных интегралов, и его можно так же легко использовать. Основанием для проведения замены переменных в функциональном интеграле является то, что функциональный интеграл всегда определяется как предел обычных интегралов, каждый из которых допускает сдвиг переменных интегрирования. Например, функциональный интеграл по aq можно представить как предел обычных интегралов по переменным о^т, если в этом пределе расстояния между точками qm стремятся к нулю (см., например, [104]).

Замена jexp^) —1 f2 на q^ не приводит к существенным изменениям в модели, поскольку в конечном счете мы будем интересоваться только поведением модели в длинноволновом пределе, которое определяется вкладом |exp(i<7i)—1|2 при малых q. По тем же причинам несущественно и изменение области определения |д|.

Теперь можно вычислить корреляционную функцию в рамках описанной выше модели. Для этого удобно ввести спиновое поле s (ж):

s (ж) = exp (iq • х) oq, 0<|д|<1;(3.16)

q

*) Это приводит к некоторому несущественному в критической области (см. ниже) изменению исходной модели (3.2).—Прим, перев.:

54

оно заменяет s„. Тогда корреляционная функция имеет вид Г(х) = J s (х) s (0) ехр Г — у ^„а^ (q2 + г) 1 ^ - (3-17)

где ^ означает функциональный интеграл по oq,aZ — функ- о

циональный интеграл только от экспоненциального выражения. В результате для Г(х) получим

exp ^.q • х) Г,. яexp ^.q • х) Г,. я(3.18)(3.18)Г (х) = J exp (iq • х) ^7 я

exp ^.q • х) Г,. я

exp ^.q • х) Г,. я

(3.18)

(3.18)

Сейчас это выражение будет выведено. Имеем

Г (х) = $ J exp ^q • х) $ aqoqi exp Г — 1 $ (q2 + г) oqo_q I 4 ЯЯ1aк я)

(3.19)

Функциональный интеграл вычисляется с помощью производящей функции:

^ о)=4" Sех? (—т S ^2+г) °я°-я+$ ^-а) • (312°) О I яя )

Преобразование сдвига для переменных в этом случае означает замену

’,=А7 + <-,М1)

На языке а^ получаем

^o^TS^pf-TS^+^^+i-Sv-» (А?)|- а' к яЯ'

(3.22)

Функциональный интеграл пропорционален Z и мы имеем

гоз-арЩу-Д-^)!. (3.23)

к яJ

Разлагая выражения (3.20) и (3.23) по j до второго порядка, ВИДИМ, что

Т S S L»L». $ аг-». ехР f “ Т J ^ + г) V-Л Т =

—HV-,^-Р-24)

q

Это соотношение для функций / должно выполняться тождественно, отсюда

J oqoqi exp | — у J (q2 4- r) oqo-q 14"= a I qJ

= ^qA-qx^-~, (3.25)

где 6 (q + 9i)—сокращенная запись выражения (2л/ 6d (q + q^. Подставляя эту формулу в (3.19), получаем для Г() выражение (3.18).

Корреляционная длина g определяется обычно из выражения, описывающего поведение Г(*) при |*| —♦ оо. Если бы область изменения q была бесконечной, поведение Г(*) для больших |дс| определялось бы сингулярностью (<724-г)-1 ПРИ q=^i^r, т. е. (без учета предэкспоненциальных степеней |*|)

Г (*) — exp (— Vr |* |).(3.26)

Из выражения (3.26) находим |= 1/Vr- К сожалению, из-за наличия у области изменения q вполне определенных границ |^|= 1 в асимптотическом выражении для Г(*) при больших * появляется еще один член, который ведет себя как cos (| *])*). Этот член обусловлен искусственным характером модели; его можно устранить с помощью усреднения по большой, но конечной области в «-пространстве. Когда корреляционная длина £ велика (мало г), усреднение не влияет на член ехр(—Vr l*l)- Однако процедурой, более удобной для наших целей, является введение другого определения корреляционной длины. Как было отмечено первоначально, величина корреляционной длины устанавливается по ведущей син-

гулярности Г?: если ведущая сингулярность Г# имеет место при q = ±iqs, то ^=llqs. Положение этой сингулярности можно грубо определить, сравнивая производную dVqldq2 и Гq, когда q = 0, т. е. мы имеем

АналогичноАналогично(3.27)(3.27)q=0q=0

Аналогично

Аналогично

(3.27)

(3.27)

q=0

q=0

\ х2Г (х) ddx

?=—сТ-'

\ Г (х) ddx

Определенную таким образом величину g называют «эффективным радиусом корреляции» [97]. Для Гq = 1/ ^q2 + г) формула (3.27) дает

£2~у, (3.28)

и, следовательно, как и раньше, £ ~ 1 / Vr •

В гауссовой модели г изменяется линейно с температурой Т. Точнее, с учетом того, что К = ЦкТ [из (2.9)] для г получаем

(3.29)(3.29)ЬкТ — ^dJ

(3.29)

(3.29)

Г =__

[см. также (3.14), (3.15)].

Критическая точка соответствует г — 0 и £ = оо, следовательно, для Т > Тс

^^т-туч\

Таким образом, гауссова модель приводит к такому же значению критического показателя v, как и теория среднего поля: v = */г. Далее, формула (3.29) для критической температуры дает кТс = 2dJ/b. Критическая величина К равна Кс = bj2d. Точную формулировку метода ренормализационной группы можно дать для гауссовой модели; она позволяет понять те идеи, которые будут применяться позже к нетривиальным моделям.

В качестве первого шага при построении преобразования, отвечающего идее ренормализационной группы, проинтегрируем спиновые компоненты aq с 7г < |^| < 1 и оставим компоненты Qq с 0 < |^| < 7г непроинтегрированными. Другими

Словами, проведем интегрирование быстро флуктуирующих компонент спинового поля s^, а медленно флуктуирующие компоненты оставим непроинтегрированными. Это есть некоторый способ реализации в духе Каданова идеи о возникновении эффективного взаимодействия, включающего только переменные спиновых блоков; именно мы интегрируем те переменные, которые ортогональны переменным спиновых блоков. В нашем случае в качестве аналога переменных, описывающих спиновые блоки Каданова, подразумеваются длинноволновые спиновые компоненты a q с |д| < 7г-

Интегрирование по aq с 7г<|9|<1 будет проведено в функциональном интеграле, соответствующем статистической сумме, а не в функциональном интеграле, соответствующем корреляционной функции. Однако тот же самый метод вычисления применяется и в последнем случае, если только функциональный интеграл, соответствующий Г#1, рассматривать при |«7i [ < 72:

s (91 + q^ г»1 = $ Oq1Oq, exp Г— у $ (92 + И сг„сг_^-у. (3.30)

О X q )

Действительно, если и | qx |, и | q^ | меньше 7г, то соответствующие компоненты aqi и oqi не включаются при вычислении интеграла по oq с /г < I 9 I < 1-

Вычисление, соответствующее первому шагу, определенному выше, тривиально. Дело в том, что между компонентами oqc |g|> */г и компонентами oq с |д|^ 7г нет никакой связи. Следовательно, единственным результатом взятия функционального интеграла по oq с |9|> 7г будет появление постоянной *), которая умножается на

где означает интеграл только по области 0 < |д| < 7г- Так q

как эта мультипликативная постоянная в отношении двух функциональных интегралов, определяющих Г9, сокращается.

то ее появление можно игнорировать. Таким образом, эффективное взаимодействие, возникающее благодаря исключению спиновых компонент с большим импульсом q, определяется просто выражением

/

q

Второй шаг при построении преобразования, отвечающего Идее ренормализационной группы, сводится к некоторым изменениям масштаба, причем делается это для того, чтобы эффективное взаимодействие настолько, насколько это возможно, походило на исходное взаимодействие. Будет введено два изменения масштаба. Во-первых, масштабное преобразование импульса:

q' = ^q;

оно производится так, чтобы новый импульс q' имел такую же область изменения 0 < |g'| < 1, как и импульс q в исходном взаимодействии. Во-вторых, масштабное преобразование собственно спиновых переменных:

(Тф = ^О^'= ^О2ф-(3.31)

Масштабный множитель £ будет определен ниже. Используя новые спиновые переменные ст/, запишем эффективный гамильтониан в виде

ж=- 4 И^г+r) а^а-^-(3-32)

q'

Выберем теперь £ так, чтобы член д'2 в (3.32) имел такой же коэффициент, как и член д2 в исходном взаимодействии; это означает, что

(3.33) и

^ = - И ^ + ^ °VO'-q- ’(3-34)

q'

где

г'^г.(3.35)

59

Преобразование, которое переводит

^ = -|$(92 + r) V-»(3-36>

я

в Ж, является примером преобразования ренормализацион- ной группы.

Два масштабных преобразования, введенные выше, аналогичны масштабным преобразованиям, которые встречаются в построении Каданова. Действительно, когда обсуждается проблема взаимодействия спиновых блоков, в качестве масштаба вместо постоянной исходной решетки используется размер блоков. Это аналогично введенному здесь масштабному преобразованию импульса. Во-вторых, величина спинов у блоков путем изменения масштаба была переопределена Када- новым таким образом, чтобы она равнялась ± 1, как и величина исходных спинов; это аналогично изменению масштаба спиновых переменных oq, хотя теперь задача состоит в том, чтобы привести некоторый вполне определенный член во взаимодействии Ж к такому же виду, какой он имел в исходном взаимодействии.

Для каких же целей полезен гамильтониан Ж? Его можнр использовать, например, для вычисления корреляционной функции Г, при условии |^| < '/г- Корреляционная функция, естественным образом определенная из Ж, есть корреляционная функция, в которой вместо о фигурируют переменные о', а именно:

6 (^ + <^ V^ = J (/,</, exp {Ж} jr.(3.37) '

а' 1 2

Масштабные соотношения между <т и о' приводят к следующей связи между корреляционными функциями Г?1 и Гг#,:

6 (9i + q^ г „ = СТ^ ^q\ + 2g2),(3.38)

а так как

6(2д) = 2-“б(д), то

f, = C22-dr^ = 4r^.(3.39)

Таким образом, если вычислить Г^, зная Ж, то из соотношения подобия (3.39) можно получить Г»/2.

Обратимся теперь к более подробному рассмотрению корреляционной длины. Используя модифицированное определе-

ние Г»и g, корреляционную длину, вычисленную из Ж, можно записать в виде

Из-за изменения масштаба шкалы импульса при определении Ж величина V будет отличаться от g. Так как импульсы при преобразовании от 36 к Ж удваиваются, длины будут уменьшаться в 2 раза, т. е. корреляционная длина ^ должна равняться ^/2. Это действительно так, поскольку

^ = ^Т1и = ^гГЧ, = ^.(3.41)

Здесь мы имеем явный пример связи между величиной ^, вычисленной из эффективного взаимодействия Ж, и величиной g, вычисленной из исходного взаимодействия. Имеется три связанных между собой соотношения.

Первое соотношение между £' и £:

£ =-2'^

Это соотношение является следствием явного изменения масштаба в импульсном пространстве, которое вводится в преобразование ренормализационной группы. Оно будет справедливо для всех моделей до тех пор, пока мы придерживаемся программы интегрирования по компонентам aq в области 1^1 > '/г, а затем изменяем масштаб оставшихся импульсов.

Второе соотношение между г и г';

г' = 4г.

Это — связь между постоянными, появляющимися в выражениях для Ж и 36. Оно характерно только для гауссовой модели. Заметим тем не менее, что г' является аналитической функцией г даже в критической точке. Такое свойство аналитичности будет иметь место во всех последующих примерах.

Третье соотношение установлено между ^ и г:

Поскольку Ж имеет тот же вид, что и 36, новая корреляционная длина ^ имеет ту же зависимость от г*, что и g от г:

Эти соотношения также характерны только для гауссовой модели. В других случаях всегда будет справедливо следующее: если g = Х(г), то £' = Х^), причем функция X одна и та же.

1п 21v 1п X 2 11п 21v 1п X 2 1Критические особенности g можно найти методом, изложенным в гл. 2. Подставим г вместо переменной К, используемой в гл. 2. Функция f(/<) (см. гл. 2) теперь известна явно: г' = f(r)= 4г. Критической величиной г является гс = 0; она удовлетворяет уравнению f(rc)=rc. Параметр X, определенный в гл. 2, равен df/dr = 4. Таким образом, из уравнения (2.29) получаем

1п 21

v 1п X 2 1

1п 21

v 1п X 2 1

(3.42)

В этом случае величина g(r) должна вести себя, как ^(г) —(г — гс)~^

дополнительной периодической функции F [In (г — гс)] (см. гл. 2) здесь не возникло. Дело в том, что период F определен так, что при переходе от г к г' величина g изменяется в 2 раза [g(r') = ‘/г^)]- Можно было бы, однако, постулировать изменение £ в произвольное число раз s, интегрируя для этого по oq с импульсами s-1 <|^|^ 1 вместо /2 <|^|^ 1. Результат для v по-прежнему был бы равен ‘/г, но дополнительная функция вместо In 2 имела бы уже период In s. Если F не постоянная, это приводит к противоречию.

Таким образом, если известна функция f(r), можно определить как критическую точку гс = 0 ^Кс = bl2d), так и критическую особенность £.

Мы начали с аналитической формулы для г

г' = 4г

г' — г = Зг -> 0,г' — г = Зг -> 0,и получили неаналитическое выражение для g. Почему? Причина в том, что г' приближается к г при г —♦ 0, a g' не может приближаться к величине £, так как корреляционная длина X должна быть равна V2£. Именно это несоответствие и приводит к тому, что величина g имеет сингулярность в точке г' =; = г = О1).

г' — г = Зг -> 0,

г' — г = Зг -> 0,

Глава 4

МОДЕЛЬ s4

В этой главе мы несколько обобщим обсуждение гауссовой модели. В частности, мы добавим к взаимодействию малый член четвертой степени по aq. Проблема ренормируемости становится теперь совершенно нетривиальной, однако гораздо более поучительной. Ниже будет дано определение ренорма- лизационной группы с помощью теории возмущений, а для соответствующих уравнений будет найдено нетривиальное решение типа неподвижной точки. Эта глава познакомит также с методикой использования нецелых непрерывных пространственных размерностей.

Новая модель определяется статистической суммой [36, 57, 105, 106]:

Z = ^ ехр \36 [а]},(4.1)

а

где

И =VC + Г) °аО а — U(4.2)

l j2 J ' * i / q —qj j jq2 q3 _qt_qa_q3* \/

99i 9s 9s

Первый член гамильтониана (мы будем обозначать его 3#Р) хорошо известен из предыдущего. Предполагается, что параметр и мал по сравнению с 1. Это позволит нам использовать теорию возмущений для описания вкладов от нового члена гамильтониана. Отметим также, что в конфигурационном пространстве новый член есть просто

361 = — и s4 (дс).

X

Следуя идеям предыдущей главы, мы попытаемся определить новую физическую систему, в которой высокочастотные моды настоящей системы проинтегрированы. Эффективный гамильтониан, определяющий поведение новой физической си-

стемы, будет представлен в таком виде, который максимально сходен с (4.2). Это повлечет за собой некоторое значительное упрощение, обоснование которого будет дано в следующей главе. Вместо параметров г и ц в эффективном гамильтониане появятся новые параметры г' и и', причем они будут выражаться через параметры г и и с помощью простых формул. Это сходно с рассмотрением проблемы Кондо, проведенным Андерсоном [4].

Построение эффективного гамильтониана происходит следующим образом. Пусть в исходной системе интегрирование по импульсам выполняется в области 0 <|^|< 1. Новая система, как и в гл. 3, получается интегрированием высокочастотных мод с ’/г < |^| < 1. Запишем функцию oq в виде

^-Oo.-z + ^ir(4.3)

где

а, 9=а?, если у < I IKL и ah9=0 в противном случае, 1(4-4)

а0, q=oq, если ОК 1^ IK у > и <т0 9=0 в противном случае ).

Тогда функциональный интеграл Z можно представить следующим образом:

Z = J ехр{5#[ст]} = И J ехр{^[ст0 + аД}!.(4.5)

ао» \ »i)

Проинтегрируем высокочастотные моды Стр Тогда остается

Z'= J ехр {Ж [ст']},(4 6j

О'

Новый гамильтониан Ж выражается в виде

ехр {Ж [ст']} = ^ ехр {5^ [ст0 + стД},(4.7)

где

°0, q = ^lq* 0 < I ^ I < у «

Здесь, как и в гауссовой модели, определено перенормированное поле а'^, зависящее от импульсов с измененным масштабом.

С новым гамильтонианом Ж связана корреляционная функция Г,', причем новая корреляционная длина равна

§' ■■ Л -^1 -j-(4.8)

V а^ Г' ^.0

Как и в предыдущей главе, для Г, и f 2g мы будем иметь соотношение

Г, = ^2"%,

а для £ и £' — соотношение

^ = 2 ^‘

Точную связь между 5# и Ж, если и мало, можно найти, используя теорию возмущений. Наиболее общий вид для Ж можно записать следующим образом:

Ж = — 4 J «2 ^ OqO-q ~ ^ ^ ^ «4 (^1, ^2, ^3, — ^1 ,—^2, —^3) X 991 91 9«

X ^q^iO^-qi-qi-qt ~Ь Члены более высокого порядка по (/. (4.9)

Функции иг, «4 и т. д. будут определены из (4.7). Упрощения, необходимые для того, чтобы привести (4.9) к виду (4.2), будут введены ниже. Запишем (4.7) следующим образом;

ехр {Ж [</]} = exp {S^f [<т]5^/[<т]},

ехр \<Ж [о]} = exp \36р [<Tq]} ^ ехр {5^F [aj -[- 36 q [oq -[- <rj}. (4,10) 01

Член exp^,36F [a0]J можно довольно просто выразить через </:

^еЫ = -4 J (‘72 + r)V_g,(4.11)

о<| 91 <7«

^Haa] = -4(^2-d'2)$(^2 + 4r) Ogff-g. (4.12)

0<|9|<1

Нетривиальные физические следствия вытекают из рассмотрения членов, зависящих от и. Чтобы получить эти члены, возьмем (4.10) и разложим ехр {<3^4 [а]} по степеням и. Это разложение удобно представить графически. Сопоставим величине (—S^j) вершину с четырьмя внешними линиями (фиг. 4.1, а). Четыре линии, выходящие из точки пересечения, символизируют четыре величины а, которые содержатся в ^/.

Диаграммное представление разложения

ехр (5^у) = 1 + 361 + у Зб\ + -|- 365[ + .,.(4.13)

дано на фиг. 4.1, б. Рассмотрим теперь функциональный интеграл в формуле (4.10). Чтобы использовать разложение

аа/ -х+ |(хх)—б/ -х+ |(хх)—бФиг. 4.1. а — диаграммное представление величины—Зёрб—диа

а

а

/ -х+ |(хх)—б

/ -х+ |(хх)—б

граммы, соответствующие разложению ехр {^j-

мы должны уметь вычислять гауссовы интегралы следующего вида:'

Ч^» О = S"i.^ •■• ffi,,6exP{^Lai]}- (4-14)

Эти интегралы можно записать с помощью функционального интеграла

ZF = ехр \36р [aj}(4.15)

и спаривания а1да, qt, которое при /г < I ^ I < 1 имеет вид

„ = (2 л^ &d^ + ^ ,(4.16)

q 1, Я\ '' q2 + Гv '

а при |^| < V2 обращается в нуль. Интеграл /(^1q^,

как это установлено в гл. 3, равен функции ZF1 умноженной на сумму всех возможных спариваний из произведения *)

ai, qx • 1 1 а1. q^

(Этот вывод был получен в гл. 3 при интегрировании в слу^ чае дискретного множества спинов; он справедлив также и

для функциональных интегралов ) Множитель ZF дает в 36' вклад, равный постоянной, т. е. не зависящий от о', и поэтому его можно опустить (мы должны рассматривать в 36' только члены, зависящие от а').

В диаграммном разложении, представленном на фиг. 4.1,6, каждая внешняя линия, выходящая из вершины, отвечает переменной <3^. Записывая aq в виде

мы должны рассмотреть для каждой внешней линии два возможных случая. Если она представляет переменную ст, , то такую внешнюю линию необходимо спарить с другой внешней линией, которая так же представляет Qi,,. Для этого проведем,

Фиг. 4.2. Диаграммы первого порядка после х 2 ^ проведения функционального интегрирования

по av а б в

как это показано на фиг. 4.2, б, линию, соединяющую две внешние линии. Такая линия называется пропагатором. Если же внешняя линия соответствует переменной о0 , она остается без изменений. Диаграммное представление для функционального интеграла (4.10) получается, если рассмотреть все возможные способы спаривания некоторых внешних концов линий, причем другие концы остаются неспаренными. При выполнении этой процедуры различие между топологически эквивалентными диаграммами не делается, т. е. все они представляются одной диаграммой. Например функциональный интеграл, содержащий само взаимодействие 36ь включает в себя три топологически неэквивалентные диаграммы, изображенные на фиг. 4.2. Когда мы из одной вершины образуем все возможные спаривания, диаграмма без спариваний (фиг. 4.2, а) будет встречаться один раз, диаграмма с одним спариванием (фиг. 4.2,6) — 6 раз, в то время как диаграмма с двумя спариваниями (фиг. 4.2, в)—3 раза. Диаграммы, которые возникают во втором порядке разложения, показаны (с числовыми множителями, определяющими, сколько раз встречается каждая диаграмма после проведения спариваний) на фиг. 4.3 [в каждый числовой множитель здесь входит так же множитель Чг, на который в (4.13) умножается величина 5^].

Диаграммы, приведенные выше, вычисляются следующим образом. Рассмотрим, например, первую диаграмму, изображенную на фиг. 4.3, в. Вначале мы имеем две вершины; до интегрирования по ai это соответствует

“2 S • • * S t2”^ ^ (^ + ^1 + ^2 + ^3) «WVq, Х q qi

X J J (2n)d6d (q, + q5 + q5 + q^ oqoqoqoq? (4.17) »< qi-

Для каждой внешней линии переменная а заменяется на оо, в то же время для каждой внутренней линии соответствую-

^ ^ х -h 5^+j^ у { х+5$ +3§ } 36XX +42 ~Э^—г2~^~^~ав

48-е-48-е-+ 72)00 + 72-»»-б'+ 72)00 + 72-»»-б'гг+ 36 ООО +72+ 36 ООО +72

48-е-

48-е-

+ 72)00 + 72-»»-б'

+ 72)00 + 72-»»-б'

г

г

+ 36 ООО +72

+ 36 ООО +72

Фиг. 4,3. Диаграммы второго порядка после проведения интегрирова-ния по av

щие переменные о заменяются пропагатором. Для этого примера результат имеет вид

«2 J ... J (2луУ (q + q, + q2 + ^з) ^d6d (q. + . .. * q^X

X (2n)ddd (^2 + ^e) (2n)dSd (^3 + q^ Vqi + r] [^ + r3 X

XVo.Mt,' (4-18) причем величины |^|, |^i|, |^| и |^| ограничены сверху величиной */2, в то время как величины I ^21, I ^31, I ^s I и | ^71 должны лежать между */2 и 1. Исключая из (4.18) все 6- функции и умножая интеграл на 36, получаем 36S j jJ^7Т^Ь777; <419> здесь область изменения q2 такова, что величины | q21 и 19 + ^1 + ^2 I лежат между */2 и 1.

Выражение (4.19) соответствует вкладу одной диаграммы в интеграл <•

j exp (5^7? [aj + 361 [oq + <rj}.

Из выражения (4.10) вклады других диаграмм вычисляются аналогичным образом. Заметим, однако, что целью наших вычислений является величина 36’ [</]. Для этого требуется, во- первых, взять логарифм от интеграла, а во-вторых, заменить сто на а'. Это можно проделать в рамках диаграммной техники. Взятие логарифма от интеграла эквивалентно исключению из рассмотрения всех несвязных диаграмм. Во втором порядке по и несвязные диаграммы изображены на фиг. 4.3, а. Таким образом, с точностью до второго порядка по и логарифм от интеграла включает в себя диаграммы, изображенные на фиг. 4.1, плюс те диаграммы, которые изображены на фиг. 4.2, а — в. Этот факт легко проверить точно. Аналогично, путем прямой, но утомительной проверки, можно убедиться, что если 36'i — сумма всех связных диаграмм во всех порядках по и, то ехр ^,36'^ — сумма всех связных и несвязных диаграмм во всех порядках по и.

Поскольку в 36' [o'] мы будем рассматривать только члены, зависящие от о', диаграммы без внешних линий (см. фиг. 4.2, в и 4.3, г) также следует опустить (нам необходимо было бы учесть эти диаграммы, если бы мы вычисляли свободную энергию, если же мы рассматриваем только спин-спиновую корреляционную функцию, они не существенны). Наконец, замена сто величиной о' означает просто подстановку вместо величины о0 , соответствующей внешней линии, величины £0'^. Затем, чтобы привести 36' к виду (4.9), мы должны провести замену переменных q на 2q.

Итак, совокупность правил для вычисления произвольной диаграммы можно представить в следующем виде:

Линиям каждой вершины сопоставляются импульсы, причем предполагается, что они все «входящие».

Импульсы, соответствующие внутренним линиям, изменяются от */2 до 1, а импульсы, соответствующие внешним линиям, от 0 до Ч2.

Каждой внутренней линии сопоставляется пропагатор (2л/ б^ (У1 + Уг)

<71 + Г

здесь gb q2— два импульса, приписываемые этой линии.

Каждой вершине сопоставляется множитель и^Ъ^ (^ + ^ + <73 +<74).

Каждой внешней линии сопоставляется спиновая переменная

Интеграл ^ берется по всем внутренним и внешним q

импульсам согласно правилу 2.

Выписывая в явном виде вклады только от некоторых диаграмм, изображенных на фиг. 4.2 и 4.3, для функций иг, «4 и т. д., которые входят в новое взаимодействие 36' [см. (4.9)], получаем следующие выражения:

«2 ^ = e2-d J1 q + Г + 12U 5 -Ду - 96u2 J J -Ду X

АРР Рх

хД~-+ ...L (4.20)

р, + г ('hq — р — Pi) +r j

«4(^1» ^2» q^ qt) = ^2 3d Ju — 12u2 pT~j_r X vр

хwSTTv^pF+T-2 “Р"’™” ■ ■ ■ }• «.21) »(#1. »=• «г ».. q-, q^ = -^-V{ та-+-.^ V111), + r +

+ 9 перестановок . . . |. (4.22)

Импульсы | p | и | p, | изменяются в области от '/г До 1. Аналогично для импульсов q, qV) q^ и q3 имеем

Немного позже. Вначале вычислим «а (д') только с точностью до и. Тогда можно записать

«2 ^ = q- + г'(4.24)

при условии, что, как и в предыдущей главе,

£ = 21+d/2.(4.25)

Далее мы упростим выражения (4.20), (4.21) с помощью следующих приближений:

г 11 г . _х ]_

3 р2 + г ~* 1 + г J4 С 1 + г *

'/«<!?!< i'/2<1р1<1

где

и

Г 11

3Р24-Г (‘/291 + 72^2-Р)2 +г

V,<[pl<i

"*(l+r)= j J — 4Г(1+г)=- '/2<1Р1<1

Если теперь мы обозначим u^qi, ..., q^) сокращенно через и', то (4.21) принимает вид

г' = 4 [г + Зсг' = 4 [г + ЗсЧлены более высокого порядка по и,Члены более высокого порядка по и,и = 24-^u - 9си = 24-^u - 9с«2(1 +г)=«2(1 +г)=Члены более высокого порядка по и.Члены более высокого порядка по и.(4.26)(4.26)

г' = 4 [г + Зс

г' = 4 [г + Зс

Члены более высокого порядка по и,

Члены более высокого порядка по и,

и = 24-^u - 9с

и = 24-^u - 9с

«2

(1 +г)=

«2

(1 +г)=

Члены более высокого порядка по и.

Члены более высокого порядка по и.

(4.26)

(4.26)

Наконец, не и члены более высокого порядка в этой главе приниматься во внимание не будут. Обсуждению справедливости этих приближений посвящена следующая глава. Уравнения (4.26) будут теперь рассматриваться как пример, иллюстрирующий работу ренормализационной группы. (Эти уравнения изучались в работе [43].)

УПРОЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ,СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙГРУППЕ

Первое, что следует уяснить, это то, что уравнения (4.26) можно использовать для многократных итераций. Иначе говоря, если параметры исходного взаимодействия равны и = ий

71

и г = г0, то из уравнений (4.26) можно определить последовательность параметров взаимодействия щ и Гь соответствующих последовательности эффективных взаимодействий Ж. Эффективное взаимодействие Ж является результатом интегрирования по спиновым компонентам о9 с 2-г<|^|< 1 в исходном взаимодействии. Таким образом, эффективное взаимодействие Ж описывает поведение спиновых компонент оч с q в области 0<|^|<2~г. Уравнения (4.26), если пренебречь высшими порядками по Ui, гласят:

Г/+1 = 4< rz + Зс . ,z |,

.. х(4-27)

U/+12) щ 9с ,. . ,2 । •

е-РАЗЛОЖЕНИЕ И НЕТРИВИАЛЬНАЯНЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА

Рассмотрим теперь неподвижные точки соотношений (4.26) или (4.27). Для неподвижной точки (г = г*, и = и*) имеем г = г' и и = и'; это означает, что g = V- Однако выше мы показали, что ^ = Va^, следовательно, в неподвижной точке корреляционная длина должна быть бесконечна, т. е. мы должны находиться в критической точке теории. (Другое решение — это £' = £ = 0, однако такую возможность можно исключить с помощью иных соображений.) Из (4.26) и (4.27) ясно, что, как и в гауссовой модели, здесь имеется тривиальная неподвижная точка г* = и* = 0. Ниже мы увидим, однако, что в модели, которая рассматривается теперь, взаимодействие 36i может породить более интересные возможности.

Представим себе вначале, что размерность системы d больше 4. Тогда при проведении многократных итераций (4.27) величина щ стремится к нулю, и если итерационный процесс сходится к неподвижной точке, то это будет тривиальная точка г* = и* = 0. Поэтому, чтобы получить более интересные результаты, предположим, что d < 4, а параметр и0 выбран достаточно малым. При проведении итераций щ возрастает с номером / до тех пор, пока в соотношении (4.27) для uw второй член не станет сравним с величиной первого

члена*). В этом случае возникает новая, нетривиальная неподвижная точка. Параметры этой неподвижной точки («*, г*) равны

и» ^(2---1),

(4 28))

Г* « — 4си* (предполагается, что Г* <С 1).

Если d « 4, обе величины и* и г* малы, и наши приближения являются разумными (см. следующую главу). Обозначим отклонение от размерности d = 4 через в:

(4.29)(4.29)е = 4 — d.

(4.29)

(4.29)

Тогда положение неподвижной точки для малых 8 определяется формулами:

(4.30)(4.30)и*л:~ в In 2, г*»—4 в In 2.9с ’9

(4.30)

(4.30)

Предположим, что итерационный процесс (4.27) начинается с ti0 > и*- Тогда величины последующих иг будут при стремлении к и* уменьшаться (фиг. 4.4, а). Если же «о < “*. то величины Ut при стремлении к и* увеличиваются (фиг. 4.4,6). Следовательно, величина и, которая возникает в эффективном гамильтониане после большого числа итерационных шагов, близка к «*, причем неважно, каким было выбрано «о- Это означает, что неподвижная точка и* определяет интенсивность взаимодействия между длинноволновыми флуктуациями в системе независимо от величины затравочной постоянной ц0.

«гч

«/*/

б

Фиг. 4.4. Итерационная формула для «„.

Если Up > и*. итерационная процедура приводит к тому, что v^ сходится к и* сверху (а).Если Ug < и*, то и^ сходится к и* снизу (б).

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ

И ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ v

Теперь, используя уравнения (4.27), обсудим вычисление критического показателя v. По сравнению с предыдущими примерами это вычисление до некоторой степени более сложное, и поэтому будет проделано детально (см. также [36]). Прежде всего, полезно сравнить решения рекуррентной формулы (4.27) с решениями соответствующей рекуррентной формулы в случае гауссовой модели: гг+1 = 4гг. В последнем случае имеется два типа решений.. Если Го = 0, то гг = О для всех I, т. е. это решение есть неподвижная точка, и соответствует оно случаю Т = Тс. Если г0 =^ 0, то гг = 4'г0 и гг -> оо при I—* оо. Это соответствует случаю Т =£ Тс. Для Т, близких к Тс, величина г0 линейна по Т — Тс.

Одно из осложнений негауссового случая состоит в том, что можно достигнуть критической температуры Т = Тс, даже если г о и «о не совпадают с параметрами неподвижной точки. Дело в том, что для этого необходимо фиксировать всего один параметр Т, в то время, как для того, чтобы попасть в неподвижную точку, мы должны фиксировать оба параметра г0 = г*, ий = и*. Поэтому можно предположить, что для любой величины и» найдется некоторое критическое значение гОс параметра г0 (гос будет зависеть от «о), которое соответствует Т = Тс. Смысл неподвижной точки при Т = Тс сводится, таким образом, к существованию пределов гг -♦ г* и щ —► и* при Z —► оо. (Если Т =£ ТС1 гг и щ будут иметь другое поведение в пределе больших /.)

Предположим, что рассматривается некоторое начальное (затравочное) взаимодействие, единственным параметром которого является Т. Тогда г0 = г0(Т) и и0 = «о (Л будут некоторыми определенными аналитическими функциями Т [см., например, (3.29)]. Запишем

Г0 (^с) ^"0с> «О (^с) “Ос-

Чтобы вычислить показатель v, мы хотим теперь исследовать модель для температур Т, близких к Тс. Первый шаг состоит в исследовании последовательности Vi^, Ui(T)}, которая начинается с Го (Г), и0(Л и которую порождает итерирование (4.27). Примеры этих последовательностей приведены на фиг. 4.5. Мы ожидаем, что гг(Тс) —»г*, и^Т^-* и* при / —► оо (кривая А на фиг. 4.5). Поскольку рекуррентные соотноше-

ния (4.27) являются функциями аналитическими, мы также ожидаем, что для каждого фиксированного I и достаточно

Фиг. 4.5. Последовательности точек для итерационной процедуры при трех различных выборах начальных параметров.

Последовательность А(Т=ТС) сходится к неподвижной точке (и*. Г*), Последовательности В и С начинаются с такого выбора параметров и и г, которые немного смещены от их критического значения. Эти последовательности, в конце концов, значительно отклоняются от неподвижной точки, однако стремятся к некоторой одной и той же кривой D.

малых Т — Тс величину гг(Т) [и аналогично ^(Т1)] можно представить в виде

'ATW^T-Vr^W-T-y

Если I достаточно велико, гг(Тс) « г*, так что гг(Т) тоже близко кг*..

Это наводит на мысль попытаться исследовать рекуррентные формулы (4.27) для гг« г*, пг « и*. В таком случае фор. мулы (4.27) можно линеаризовать. Результат линеаризации

76

в матричной форме имеет вид

гдегде(4.31)(4.32)(4.31)(4.32)

где

где

(4.31)

(4.32)

(4.31)

(4.32)

В дальнейшем будет полезно знать результат многократного итерирования линеаризованного рекуррентного соотношения. Формально результат выглядит следующим образом:

(rt+n —/г, — г*Х

+л=М"'.(4,зз)

\и1+п —и ;\ut —и /

Преимущество изучения Мп с большими п вместо М заключается в том, что Мп почти полностью определяется наибольшим собственным значением М, а собственные значения матрицы М легко вычислить. В пределе «* —»О собственные числа М равны 4 и 1; следовательно, собственные значения Мп есть 471 и 1; ясно, что 4П доминирует.

Чтобы пренебречь собственным значением 1, нам необходимо знать явный вид Мп. Его легко получить, если только матрица М приведена к диагональному виду. Диагонализация осложняется, так как М несимметричная матрица; результат можно записать следующим образом:

МИ = К^цЯц + ^w^,(4.34)

где Wu и Ozj — собственные векторы (с собственными значениями Xz) матриц М и Мт соответственно. Более точно

^Muwlk = Xkwlk, Т.ок1Мц = ХкокЬ (4.35)

а условие ортонормированности записывается в виде

Е «М^п = &ки(4.36)

Заметим, что не каждая асимметричная матрица имеет полный набор таких собственых векторов, однако для матрицы М

77

Таблица 4.1

Собственные значения и собственные векторы матрицы М(с точностью до е)

%2 = 1 — е In 2%2 = 1 — е In 211

%2 = 1 — е In 2

%2 = 1 — е In 2

1

1

их можно построить явно (см. табл. 4.1). С помощью w, о и % матрицу Мп можно представить в виде

<Х% = Е^6»6/.(4.37)

Если %i — собственное значение, близкое к 4 (для малых «*)', в то время как %2 — собственное значение, близкое к 1, то для больших п получаем

rz+„- г^^ц^ц (rz - г*) + о12 («,-«)],

циональны Т — ТС1 так что

Oil [rz m - Л + 012 [О/ (П - «’] = ct (Г - Тс), (4.40) где сг — постоянная. Отсюда с помощью (4.38) находим

rz+„-r = ^Hcz(T-Tc),

♦„,(4.41)

UZ+n “ = ^1 ^21^ (^^с)1

Эти уравнения справедливы при условии, что разности гг+п — г* и U;+n — и* малы; в противном случае мы не смогли бы использовать для вычисления rz+n, иг+п линеаризованную рекуррентную формулу.

Смысл соотношений (4.41) проиллюстрирован графически на фиг. 4.5. Кривые В и С на фиг. 4.5 изображают две возможные траектории (rz, uiY Для больших I они асимптотически приближаются к некоторой кривой D, причем уравнения (4.41) соответствуют результату замены асимптотических частей В и С на D. Единственное различие, оставшееся между В и С, заключается в расположении данной точки (rz, щ) на кривой D1); это определяется множителем с^Т — TCV

Теперь можно вычислить критический показатель v [36]. Делается это следующим образом. Корреляционная длина £ определена для любых значений параметров взаимодействия г и и; запишем

g=X(r, «).(4.42)

В частности, она определена для г = г0(Т) и и = и0(Т) и соответствует, скажем, функции

£ = ЫЛ.(4.43)

Теперь, если rz+n и uz+n являются решениями рекуррентной формулы, правило подобия (скейлинг) для эффективных взаимодействий приводит к соотношению:

X (г[+п, и1+п) = 2~1~пХ (г0, «о).(4.44)

Однако из уравнения (4.41) нетрудно заметить следующее: rt+n+\ (Т) — г* для Т — Тс=х/К1 имеет такую же величину, что и rz+„ (Т)—г* для Т—Тс = х. То же самое справедливо и для и/+п+1(Л- Таким образом,

X (О+л+Ь Uz+n+1) 1т,=7'с+т/Х1 ^ X (.Гl+ni ^z+n) 1т’=Тс+т’ (4.45)

это означает

^„^ц^ + -^) = 2'(Z+n) ^ + т).(4.46)

Теперь если предположить, что

^Ч-т)-^,(4.47)

тогда для произвольного малого т имеем

Ш”'=2<*-’')-<4-48>

Это уравнение непротиворечиво только в том случае, если

ХГ = 2,(4.49)

т. е.

v = T . -.(4.50)

In Xi'7

С точностью до в это дает для v:

’- та^т-os+^«+°№•

Следует сделать несколько замечаний по поводу этого результата. В выражении для критического показателя v не появляются детали (а именно, множители In 2), связанные с искусственными особенностями построения итерационной схемы. Это очень существенно, так как величина v должна определяться свойствами физической системы, а не методом вычисления! Кроме того, для ненулевых в показатель v отличается от соответствующей величины в гауссовой модели (среднее поле). Следовательно, модель, рассмотренная в этой главе, является примером, в котором при определении критического поведения физической системы некоторую определенную роль играет взаимодействие. Заметим также, что величина v, определяемая (4.50), выражается через наибольшее собственное значение Xi матрицы М. Это очень похоже на результаты гл. 2. В гл. 2 матрица М с размерами 2X2 была заменена матрицей с размерами 1 X 1 с единственным собственным значением X [см. (2.26)]. Аналогично уравнение (2.29) для v в гл. 2 получается из (4.50) подстановкой X вместо Хь Заметим, наконец, что v не зависит от начальной (затравочной) постоянной «о. Это — пример реализации гипотезы универсальности, которая обсуждалась в гл. I,

Глава 5

МОДЕЛЬ s* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Как было показано в гл. 4, для того чтобы быстро получить результаты, уравнения ренормализационной группы пришлось в какой-то степени «испортить». В настоящей главе уравнения ренормализационной группы будут рассмотрены более аккуратно. На основании полученных результатов мы сможем сделать вывод, что простые уравнения, выведенные в гл. 4, верны с точностью до в = (4 — d). Обсуждение, будет состоять из двух частей. Сначала мы рассмотрим всевозможные мыслимые обобщения полученных выше простых уравнений и выясним, какие из этих обобщений могли бы вызвать затруднения. Затем исследуем полные уравнения ренормализационной группы.

§ 1. НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕИ 8-РАЗЛОЖЕНИЕ

В гл. 4 были получены рекуррентные формулы:

,. Г । Зсм 1' ое Г " 9см2 1/Г

г— 4[г+ 1 + г], « —2 [ц— (1 + r)2J,(5.1)

где 8 = 4 — d, a d — размерность системы. Эти уравнения обладают неподвижной точкой:

1*4

U* = ду 8 In 2, Г =g-sln2 (с точностью до е).(5.2)

Предположим теперь, что точные уравнения содержат еще и некоторую другую постоянную взаимодействия ty. Тогда будет иметь место еще одно уравнение для хи'. Положим, что это уравнение [по крайней мере вблизи неподвижной точки] имеет вид

(5.3)(5.3)хи' = ахи.

(5.3)

(5.3)

где а < 1. Тогда, итерируя (5.3), находим, что w' - 0 и параметр w, таким образом, исчезает из рассмотрения. Следовательно, о параметре w можно говорить как о несущественной переменной по отношению к такой неподвижной точке, для которой справедливо (5.3). Термин «несущественная переменная», или «несущественный параметр», не следует понимать буквально; смысл слова «несущественный» в теории критических явлений достаточно запутан, однако в этой и последующих главах в его понимание будет внесена некоторая

Фиг. 5.1. Диаграммы а и б, вклад которых лииееи по и.

ясность. Обсуждение несущественных переменных и неподвижных точек содержится также в работе [36]. Термин «несущественная переменная» введен Кадановым в работе [100] *).

Поставим вопрос: в каком случае присутствие несущественных параметров может изменить неподвижную точку (5.2)? Предположим, что уравнение для w' имеет вид

w'=~4-W + Члены второго порядка, такие, как м2, uw, w2 и т. д. (5.4)

Мы предполагаем, что в (5.4) отсутствуют члены, линейные по и. (Переменная w по-прежнему рассматривается как несущественная, причем члены второго порядка при определении того, является ли параметр zy существенным или несущественным, следует игнорировать. Член, пропорциональный и, может появиться только в формулах для г' и и'-, единственные диаграммы, вклад которых линеен по и, представлены на фиг. 5.1, а и б.)

Рассмотрим неподвижную точку, к которой приводит уравнение (5.4). Очевидно,

и,* =0(82),(5.5)

если предположить, что (5.2) не нарушается, т. е. и* = 0(e). Мы должны теперь задать еще вопрос: могла ли бы формула (5.5) привести к нарушению (5.2) для и* и г*, если бы члены с w появились в (5.1)? В уравнении для г* существенны только члены порядка в, так что вкладом от w* можно пренебречь. Однако уравнение для и' существенным образом включает в себя члены порядка в2. Поэтому выражение (5.2) значительно изменилось бы, если бы в уравнении для и' появился член, линейный по w.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение для w' имеет вид

w' = -^W + Члены порядка м3, и1® и т. д.(5-6)

На этот раз

w ~0 (в3),

и поэтому, даже если бы в уравнении (5.1) для и' появился член, линейный по w, это уравнение при малых в осталось бы справедливым.

Резюмируя высказанные соображения, приходим к выводу, что простое уравнение для и' может стать неверным, если имеется несущественная переменная ty, причем такая, что, во- первых, w* ~ 0(e)2 и, во-вторых, она входит в уравнение для и' линейно. Сейчас мы объясним, почему эта возможность не реализуется для точных уравнений, определенных в предыдущей главе. В точных уравнениях взаимодействие (после нескольких итераций) имеет вид *)

36 =—2°2 ача-ч—5(^1 + ^2 + ^з + ^4) X

49i ?j 41 4*

— (Члены 6-го порядка) — (Члены 8-го порядка) — ... .(5.7)

') Взаимодействие (5.7) получается из исходного взаимодействия (4.2) в результате некоторого конечного числа преобразований (4.7), которые рассматривались в предыдущей главе. Теперь это взаимодействие, содержащее все возможные степени спиновой компоненты aq, можно принять за исходное (см. гл. 1) и приступить к выводу уравнений ренормализа- циоииой группы. — Прим, перед.

Как уже обсуждалось на протяжении нескольких предыдущих глав, мы в этой системе интегрируем высокочастотные моды. После соответствующего изменения масштабов импульсов и полей возникает новая система, которая описывается гамильтонианом, совпадающим по форме с (5.7), однако выраженным в новых (штрихованных) переменных:

^'=-у $ «И^^0-.? - $ $ $ $ 6 (^i +^2 + ^3 + ^4) X qqi qi Яз q^

X «4(^1* ^2- 9з>ЛК,аХ/1. — (Член 6"го порядка)' — ... . (5.8) Соотношения между u't и i^ можно найти с помощью техники, изложенной в гл. 4 (предполагая при этом, что м2(р) зависит только от |р| = р; такая зависимость обусловлена инвариантностью уравнений относительно вращений). В результате получим

,2 и /<П. ю Г 42’2 ’ р) .

и2(<7) = £2Q-g-J + 12Ь

р

+ Член 2-го порядка + ...

«4(^1* ^2> ^з> ^4)6 2| uД 2 '2'2'2/

Заметим, что аргумент функции «2, как только она появляется в знаменателе, должен иметь значение между */2 и 1, например: ‘А < Д < 1 и т. д. Ясно, что полная система уравнений (5.9) является непреодолимо трудной для анализа. В частности, уравнение для w' является нелинейным интегральным уравнением. Поэтому предположение, что (5.9) можно заменить алгебраическими уравнениями (5.1) (в низших порядках по е), является чрезвычайно важным. Доказательство того, что алгебраические уравнения достаточны для определения неподвижной точки г*, и*, опирается в основном на определенную характерную особенность несущественной переменной и6.

Точное выражение для неподвижной точки, к которой приводит система (5.9), определяется совокупностью фиксированных функций «*(</), u^qv ..., q^, u*(qxq6) и т.д. Чтобы проверить, является ли система простых уравнений обоснованным приближением, допустим, что с точностью до s эти фиксированные функции сводятся к двум определенным постоянным г* и и*, а именно:

«2 ^ = г* + q2 + О (е2),

u\(qv • • •. О=«* + О(е2),(5.10)

^(?Р •••• Я^ = О^ и т. д.

Согласованность этого предположения будет проверена ниже. Рассмотрим вначале уравнение для «2- Запишем

«2 ^ = я2 + г* + °2 ^’(5-11)

где о* О?) — остаток. Параметр масштабного преобразования £ будем подбирать так, чтобы в результате коэффициент перед q2 получился равным единице. Пусть (5.10) представляет разложение в окрестности q2 = 0, так что

t^-W(5.12)

Подставив (5.11) в уравнение (5.9) для »2(<7), получим

q2 + г* + 0; (?) = e2"d {4 + '* + ^ (f) +

Теперь с точностью до е членами +... можно пренебречь и последний член в (5.13) привести к виду

12м* $ 7=^ + О (е2).(5.14)

Для определения параметра £ (как и в предыдущих главах) необходимо потребовать, чтобы члены, пропорциональные q2, в левой и правой части (5.13) были равны. Это даст

g22-d = 4 + О (е2).(5.15)

(Дальнейшее обсуждение свойств параметра £ содержится в конце этой главы.) Теперь для г* получаем уравнение

г* = 4.(>+12и*$ ^^О^2)!,(5.16)

t р)

а для остатка о'^ (q) — уравнение

02 (?) = 402 (у) + е2^ kq\(5.17)

В уравнении (5.17) е2/7* соответствует просто поправкам, возникающим из (5.13) от членов более высоких порядков (после того, как постоянная и вклады, пропорциональные q2, вычтены). Допустим, что функция Fa известна; тогда решение для о^?) можно записать в виде ряда

^ = el ^nFX^nq\(5.18)

п=0

Это выражение является решением только в том случае, если ряд (5.18) сходится. Известно, что функция F*2^q')-~»q4 [см. (5.12)]. Следовательно, n-й член в (5.18) имеет величину порядка

e222"-^=2-2"eV(5.19)

и разложение сходится. Поэтому, как и предполагалось, о*~О (е2).

Какая связь между этим рассуждением и представлением о несущественных параметрах? Чтобы усмотреть ее, разложим w2 по степеням q2;

«2 (?) = г + q2 + wvq^ + w2q6 + ....(5.20)

Тогда (5.17) (в низших порядках по q) дает

^ = ^^1' ^ = -^2»(5-21)

и, таким образом, все переменные wi, w2, ... являются несущественными переменными [см. (5.3)].

Теперь должно быть ясно, что член о* не может нарушить простых уравнений для т* и и*, поскольку о* появляется в (5.9) только в членах с пропагаторами. Эти члены уже имеют порядок О(е2), следовательно, присутствие о‘2 ведет к поправкам ~О(е4), которыми можно пренебречь.

Исследование и^ аналогично исследованию и^. Мы начнем с того, что запишем и* в виде

ОДХ, ...» q^ = u'^o\^qv q^y (5.22)

где о* — остаток, определенный таким образом, что

о;(о,о,..., о)=о.

Тогда, подставляя (5.22) в (5.9) и используя (5.15), можно получить уравнения для и* и »\^qv .... q^y.

и 2 < и 36 ^2 ++ 15 р2 + г* +•••?»

Iрр)

(5.23)

0*4 (qP ...» q^ = 2г< (-^ , • •., -у) + bF; (qv, q^. (5.24)

Все члены + ... в уравнении для и* имеют порядок е3 или выше, и ими можно пренебречь. Из соотношения (5.24) можно заключить, что у*~О(е2), если воспользоваться теми же рассуждениями, которые позволили из (5.17) получить о* ~ О (е2). Так как член о* не входит в уравнение для и* линейно, то он не нарушает этих простых уравнений.

Обсудим теперь величину вклада от члена «е- Поскольку член «6 входит в уравнение для и* линейно [см. (5.23)], возможно, что он является в этом смысле потенциально опасным. Рассмотрим уравнение (5.9) для и'6 и, в частности, член, соответствующий диаграмме на фиг. 5.2. Этот член возникает

87

только тогда, когда внутренняя линия «несет» импульс, больший V2, т. е.

|-г+4+-г|>т-(5-25)

Однако в уравнение (5.23) для и* входит только функция «в (0, ..., 0, р, —р). На фиг. 5.2 это соответствует qv = q2 = О, qa = p. Для того чтобы удовлетворить требованию (5.25), модуль |р|

Фиг. 5.2. Диаграмма, дающая вклад в “б(уь ..., у6).Фиг. 5.2. Диаграмма, дающая вклад в “б(уь ..., у6).

Фиг. 5.2. Диаграмма, дающая вклад в “б(уь ..., у6).

Фиг. 5.2. Диаграмма, дающая вклад в “б(уь ..., у6).

должен быть в точности равен 1 (фиг. 5.3). Это лишь одна точка в интеграле (5.23) по |р] и, следовательно, она не вносит вклада в и*. Существуют другие диаграммы, которые вносят вклад в «е(0, ..., О,р,—р) при |р|< 1, но величина этих вкладов порядка е3; таким образом, w6 не приводит к появле-

Фиг 5.3. Единственная диаграмма, дающая вклад в и6, который входит в уравнение для и* линейно.

нию членов порядка е2 в уравнении для w*1). Следовательно, уравнение (5.23) для и* является верным!

Наконец, мы должны преобразовать уравнение для и* к виду, который мы получили в гл. 4. В частности, так как

г* ~ О (е) и и* ~ О (е).

') Уравнение для и6 содержит член, линейный по «в! таким образом, если бы величина ив имела порядок е2, то величина ив также была бы порядка е2. Однако прямое исследование уравнения для «в показывает, что Ив имеет порядок е3.

мы можем провести в (5.23) следующее преобразование:

S

,.*2Г 1

\Д?у+(5-26)

рр

и если мы переопределим постоянную с из гл. 4 как

с=ДД(5.27)

р

то обнаружим, что (5.23) примет вид

и = 2е^и -9см2},(5.28)

который совпадает по форме с (5.1), если мы пренебрежем г в знаменателе второго члена (5.1). Вернемся теперь к уравнению для г*. В частности, чтобы вычислить показатель v, необходимо записать уравнение (5.16) для малых отклонений от критической точки. Получаем

г' - г* = 41 г - г* - 12м* $ ■ (рг2 ~ < +...].(5.29)

(рJ

Мы можем приближенно записать

$-(^Т7т = ^ + 0(8)=т + °(е)<5-3°)

рр

и, таким образом, представить (5.29) в виде

г' —г‘ = 4[1 - Зм*с] (г - г’).(5.31)

Поскольку в (5.28) и в (5.31) содержится одна и та же постоянная с, она, как и в гл. 4, при вычислении критического показателя v сократится. Следовательно, мы показали, что рекуррентные формулы (5.1) вполне достаточны для определения критического показателя в низшем порядке по е.

§ 2. ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕРЕНОРМАЛИЗАЦИОННОИ ГРУППЕ

Из проведенного выше обсуждения видно, что точные уравнения ренормализационной группы не являются безнадежно трудными для анализа. С точностью до 8 они сводятся к простым алгебраическим уравнениям для двух параметров

г* и и*. Основное свойство, которое сделало это упрощение возможным, заключалось в «итерируемое™» уравнений ре- нормализационной группы по оставшимся функциональным переменным уДц\ y^q.q^q^ q^ и т. д. Иначе говоря, если поправочные члены Fz^ в уравнении для o^q) известны и имеют порядок 82, то у* G?) можно явно вычислить с помощью (5.18), причем эта функция так же имеет порядок е2. В этом смысле поведение поправочных членов отличается от того, к которому мы приходим, решая уравнение для и*: второй член в нем порядка е2, однако решение уравнения для и* имеет порядок е.

Итерируемое™ уравнений по. переменным о* (</) и т. д. обеспечивает возможность последовательного вычисления положения неподвижной точки а* (</), u*(q, ..., q^ и т. д. с точностью до более высоких порядков по е. В этом случае функциями v^tfl) и т- Д- пренебрегать нельзя, однако при вычислении их не возникает никаких новых проблем (за исключением, возможно, некоторых трудностей, связанных с интегрированием при нецелой размерности d). Дело в том, что вычисление можно построить таким образом, чтобы до определения собственно o^q), о4(^, ..., q^ и т. д. с любой заданной точностью еп были известны диаграммы, дающие вклад в о* (</) [т. е. функция F^ (</)] и т. д. во всех порядках вплоть до еп. Возможность итераций в таком случае обеспечивает существование о* (</) с точностью до е".

Итерируемое™ уравнений для o^q) и т. д. является следствием того факта, что эти функции можно полностью выразить через несущественные переменные. Например, мы показали, что если член о^М записан как w*^ + w'zq6 + .... то для да, и т. д. имеют место выражения

да( = о^ + Член 2-го порядка,

да^ = а2®2 + Член 2-го порядка, (5.32)

где at < 1, 02 < 1 и т. д. Тот факт, что а< < 1, делает возможным решение этих уравнений для да* и да’, если члены второго порядка известны.

Г* = 4г* + Другие члены.Г* = 4г* + Другие члены.(5.33)(5.33)Итерируемость возможна даже для обычных переменных. В частности, уравнение для г* также можно итерировать, если записать его в виде

Г* = 4г* + Другие члены.

Г* = 4г* + Другие члены.

(5.33)

(5.33)

(5.34)(5.34)

(5.34)

(5.34)

Тогда его также можно разрешить относительно г*. Только уравнения, подобные уравнению для и*, т. е.

U* = а3и* + Другие члены,

где Дз = 1 + е, неитерируемы, так как коэффициент д3 слишком близок к единице,

Фиг. 5.4. Диаграмма низшего по- г—4 —

рядка, влияющая на величину £.\^^/

Рассмотрим, наконец, постоянную взаимодействия £. До сих пор во всех вычислениях постоянная £2 оказывалась равной 2d+2 независимо от е. Однако при вычислении в более высоких порядках величина £ изменяется. Уравнение, которое определяет £, имеет вид

2 f 2 ,„

q = 2 ь I J 9 Т Члены порядка q2, соответствующие всем

диаграммам, дающим вклады в и2

Диаграмма низшего порядка, вклад которой пропорционален q2, изображена на фиг. 5.4. Эта диаграмма имеет порядок е2, поэтому постоянная £ должна содержать компенсирующий член порядка е2. В гл. 7 будет показано, что величина £*, равная значению t, в неподвижной точке, определяет критический показатель тр Соответствующая формула имеет вид

(5.36)

Глава 6

ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА

Настоящая глава посвящается приближенной рекуррентной формуле [36]. Эта приближенная рекуррентная формула представляет собой некую аппроксимацию преобразования ренормализационной группы, которое обсуждалось в гл. 4 и 5. Она позволяет получить приближенное описание ренормализационной группы для размерностей 2 < d ^ 4, а также проливает некоторый свет на справедливость (т. е. область применимости) е-разложения.

Дополнительные степени свободы, возникающие в точных уравнениях ренормализационной группы, если их сопоставить с простыми уравнениями для г и w, будут в основном двух типов. Во-первых, вместо упомянутых параметров г и и мы имеем зависящие от импульсов функции, такие, как u^q^ и u^q, ..., ^з). Во-вторых, в общем случае имеются не только функции «2 и tz4, а бесконечное множество функций «2, «4, «е, «а и т. д., соответствующих всем степеням спиновой переменной. В приближенной рекуррентной формуле принимаются во внимание все степени спинов, однако импульсная зависимость учитывается только в и^. В этой книге наиболее важным моментом является то, что приближенной рекуррентной формуле соответствуют диаграммы Фейнмана, сколь угодно больших порядков и в достаточном числе, так что расходящийся характер ряда, отвечающего разложению по диаграммам Фейнмана, в рекуррентной формуле сохраняется. Это означает, что рекуррентную формулу можно использовать в качестве модели для иллюстрации того, как плохо вклады от диаграмм высших порядков влияют на е-разложение, когда вычисления проводятся, скажем, для размерности d = 3.

Приближенная рекуррентная формула была впервые получена с помощью метода функционального интегрирования [36]. Здесь будет дан более ясный и простой диаграммный вывод этой формулы, принадлежащий Полякову1).

*) 4. А1. Поляков, частное сообщение.

ВЫВОД, ПРЕДЛОЖЕННЫЙ ПОЛЯКОВЫМ

Рассмотрим гамильтониан вида

50 = - у $ {Vs (х)}2 - d J Q [c2s (х)],(6.1)

XX

где s(x) —обычное спиновое поле, а функцию Q можно представить в виде разложения

Q (И = ry2 + иу4 + wy* + ....(6.2)

В гамильтониан 36 введены две постоянные с\ и с2; они выбираются таким образом, чтобы в рекуррентную формулу не входили некоторые фазовые интегралы по пространству. Отметим, что в гамильтониане 36 зависимость от импульса появляется только в первом члене, т. е. в выражении (6.2) не появляются градиенты. Как обычно, мы намерены использовать уравнения ренормализационной группы для того, чтобы построить эффективный гамильтониан 36', который будет иметь тот же вид, что и 36. Иначе говоря, мы попытаемся с помощью некоторых аппроксимаций привести эффективный гамильтониан 36' к виду

=- т $ <Vs' w)2 - с> SQ'^s'(ж)Ь(6-1 а)

где s'(x)— эффективное спиновое поле, полученное фурье-пре- образованием поля ст',; последнее является таким же, как и в предыдущих главах:

Gq' = £ 'oq'»;

36' определяется интегрированием по компонентам aq с V2 <|?|< 1; постоянные Cj и с2— те же, что и в гамильтониане 36. Единственная разница между приближенной рекуррентной формулой, которая будет выведена здесь, и аналогичной формулой, полученной в гл. 4 и 6, заключается в использовании при выводе других приближений.

Чтобы проиллюстрировать те приближения, которые будут сделаны, рассмотрим диаграмму на фиг. 6.1, дающую вклад в и'. Все импульсы внешних линий мы без особых оснований будем полагать равными нулю, тем самым пренебрежем зависимостью от импульса. Такая идея не является со-

вершенно абсурдной, так как величина импульсов, соответствующих внешним линиям |^|< V2, меньше величины импульсов, соответствующих внутренним линиям (1^1 >*/2). Следовательно, сделанное приближение во всяком случае грубо соответствует реальному соотношению между внеш-

Фиг. 6.1. Диаграмма, дающая вклад в и', который входит в приближенную рекуррентную формулу.

ними и внутренними импульсами. Диаграмма на фиг. 6.1, таким образом, дает следующий вклад в и':

36 Г( и2^ ,Х 221 • 24-d • —Ц-.(6.3)

(р +2гс1с2) J

Множители с^ появляются в выражении (6.3) потому, что они входят в гамильтониан (6.1): в четвертом порядке по s(x) гамильтониан 96 имеет вид

96 = — у ^ [Vs (х)]2 — rcvcX $ s2 (x) — UCA $ s4 (*)+••• • (6-4) XXX

Множитель 24-d = £42-3d обязан своим появлением в (6.3) определению ст' (см. гл. 4) и значению ^ [см. (4.25)]; наконец, последний множитель (—cic2)~* появляется в (6.3) потому, что постоянная взаимодействия при члене s'4(x) в гамильтониане 96' равна —■ и'с^ и, следовательно, чтобы получить и', необходимо разделить на — ctc2. При выводе приближенной рекуррентной формулы можно упростить далее вычисление интегралов типа (6.3), если воспользоваться двумя следующими правилами:

Заменить р2 в подынтегральном выражении его средним значением р2.

Заменить интеграл ^ (V2 < I Р I < 1) постоянной Р. Ясно, р

что такие упрощения не являются необходимыми при обсуждении относительно простых диаграмм, таких, как на фиг. 6.1.

94

ВнешняяВнешняяВнутренняяВнутренняя

Внешняя

Внешняя

Внутренняя

Внутренняя

Однако пренебрежение точной зависимостью от импульсов во внутренних линиях позволит вычислять вклады от диаграмм сколь угодно большого порядка.

При вычислениях мы будем пользоваться еще одним правилом.

Фиг. 6.2. Диаграмма, вклад которой не появляется в приближенной рекуррентной формуле.

Она опускается в соответствии с правилом 3.,

Фиг. 6.3. Диаграмма, исключаемая из рассмотрения правилом 3.

Фиг. 6.4. Диаграмма, запрещаемая правилом 3, однако учет ее желателен.

Фиг. 6.5. Диаграмма, вклад которой не учитывается в приближенной рекуррентной формуле.

Область изменения импульса во внутренних линиях обозначена Ча—Х.

Фиг. 6.6. Диаграмма, вклад которой учитывается в приближенной рекуррентной формуле.

В каждую вершину должно входить только четное число внутренних линий. Главная цель этого правила — исключить из рассмотрения диаграммы, которые имеют вид, показанный на -фиг. 6.2. Такие диаграммы не должны появляться в физической теории, так как закон сохранения импульса для них не выполняется. Однако правила 1 и 2 будут приводить к их появлению (см. ниже). Правило 3 исключает из рассмотрения также и такие диаграммы, как диаграмма, изображенная на фиг. 6.3. В пределе нулевых внешних импульсов появление

этих диаграмм запрещено законом сохранения импульса, что, следовательно, согласуется с правилом 3. К сожалению, это правило запрещает также появление таких диаграмм, как та, что изображена на фиг. 6.4, хотя в реальной теории они должны присутствовать. В частности, в этом подходе очень ограничен класс диаграмм, которые могли бы давать вклад в г'. Однако нельзя считать, что все эффекты от диаграмм типа той, что изображена на фиг. 6.4, потеряны. Например, после первой итерации вклад в и' вносит диаграмма на фиг. 6.1. При следующей итерации две внешние линии могли бы спариваться и тогда образовалась бы диаграмма, топологически эквивалентная той, что изображена на фиг. 6.4. Другими словами, в рамках этих правил диаграмма, представленная на фиг. 6.5, должна быть опущена, в то время как диаграмма на фиг. 6.6 учтена.

Сейчас мы просто напишем приближенную рекуррентную формулу и покажем с помощью разложения ее по теории возмущений, что она согласуется с правилами 1—3, приведенными выше. Приближенная рекуррентная формула имеет вид

ехр [- у2 - у Q (21 ~№х + у) — у Q (21 -^х - у)] dy

= —^• (6.5)

Чтобы согласовать эту формулу с правилами, используемыми при вычислении упрощенных диаграмм, необходимо представить ее в виде диаграммного разложения. Это означает, во-первых, что экспоненту в числителе (6.5) следует переписать в виде'

= ехр{— (1 + г) у — 22*йгх2 — иу4 — 6 • 22-duy2x2 —-24~мих4- ...}, (6.6)а затем разложить по степеням одночленов четвертой степении выше (пропорциональных и). Разложение можно выполнить96

с помощью диаграмм, точно так же, как это было сделано для точного функционального интеграла '). Члены «у4, 6m/x222-d и их424-м, например, определяют вершины с четырьмя концами, причем член иу4 соответствует случаю, когда все линии внутренние, а член 6uy2x222-d — случаю, когда 2 линии внутренние, а 2 внешние и т. д. Пропагатором для внутренних линий является величина, обратная коэффициенту при члене 'ку2 в (6.6), а именно (2 + 2г)-1. Легко видеть, что отсутствие в (6.6) членов, нечетных по у, согласуется с правилом 3, которое устраняет из рассмотрения вершины с нечетным числом внутренних линий. Без правила 3 в выражении (6.5) мы вместо экспоненциального показателя с двумя членами, содержащими функцию Q, должны были бы иметь ехр[—у2 — Q (у + 21-d/2x)]. Тогда член ту2 в Q(z/) превращается в выражение r^y + 21~d/2x)2, содержащее перекрестный член гху. Это именно тот член, который соответствует диаграмме, изображенной на фиг. 6.2; он исключается в показателе экспоненты, входящей в выражение (6.6), и не присутствует в полной теории. Переменные х и у аналогичны переменным ст0 и ст, , введенным в гл., 4, причем в этой главе так же нет перекрестного члена, имеющего вид ст0 • ст, _q.

Знаменатель в выражении (6.5) позволяет исключить все диаграммы, не содержащие ни одной внешней линии (согласно терминологии теории поля это есть диаграммы, соответствующие переходам «вакуум — вакуум»). После логарифмирования правой части (6.5) устраняются все несвязанные диаграммы. Итак, выражение —Q'(x')/2d является суммой всех связанных диаграмм, содержащих по крайней мере одну внешнюю линию. Заметим, что член х2 в (6.6) выносится из- под интеграла (6.5) и дает в г' вклад, равный 4г. Мы узнаем в нем обычный член, соответствующий модели без взаимодействия 2).

Наиболее важным свойством формулы (6.5) является то, что эта формула (кроме ограничения, связанного с правилом 3) приводит к тому же самому множеству диаграмм), которое порождается при разложении точного функционального интеграла. Это обусловливается тем обстоятельством,

’) См., например, в гл. 4 выражения (4.20)—(4.22) или в гл. 5 выражение (5.9).—Прим, перед.

что сами по себе диаграммы не зависят от того, является ли переменная интегрирования единственной вещественной переменной у, или представляет собой множество переменных, или является функциональной переменной aq. Различие возникает только при формулировке соответствующих правил для построения диаграмм; например, в случае точного функционального интегрирования вершине с четырьмя концами сопоставляется u^^q, ..., ^3), в то время как в приближенной рекуррентной формуле этой же вершине отвечает и. Более того, топологический множитель, связанный с диаграммой (например, множитель 36 для диаграммы на фиг. 6.1), в обоих случаях также одинаков; он равен числу топологически эквивалентных способов объединения заданного множества вершин и пропагаторов, а это есть проблема подсчета числа некоторых определенных комбинаций; она включает в себя рассмотрение диаграмм только самих по себе, безотносительно к тому, что они представляют конкретно.

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Проверка справедливости первых двух правил является теперь делом некоторой «бухгалтерии». В первую очередь необходимо показать, что множители Р и pQ, которые возникают в соответствии с правилами 1 и 2, для каждой диаграммы в теории можно включить в коэффициенты С[ и с2 ). Рассмотрим диаграмму общего вида с I внутренними линиями, 2m внешними линиями и и вершинами. В точной теории эта диаграмма содержит (и—1) 6-функций, связывающих импульсы внутренних линий, а следовательно, только I — (и — 1) интегралов по импульсам. Всего в вершинах будет сходиться 2m + 2/ линий. Теперь для этой диаграммы можно выписать все соответствующие факторы (за исключением топологического множителя):

(—d)n— по одному множителю —cv для каждой вершины,

c2m+2i — п0 ОдНому множителю с2 для каждой линии, входящей в каждую вершину,

Р1~™+х — по одному множителю Р для каждого интеграла,

(р2 + Чс^ 1 — по одному пропагатору для каждой внутренней линии.

Мы хотим оценить вклад диаграммы в соответствующий коэффициент в разложении (6.2). Этот вклад мы должны разделить на общий множитель —сх и множитель с2"1 (по одному множителю Ci для каждой внешней линии). Наконец, имеется множитель, получающийся в результате масштабного преобразования и равный

^2т2-(2т-1) d^2т2-(2т-1) d22m-(m-1) d

^2т2-(2т-1) d

^2т2-(2т-1) d

Множитель £2 равен 22+d, так как (согласно правилу 3) диаграммы не могут давать вклады в иг(<7) в виде членов, пропорциональных q2. Учет всех множителей, соответствующих заданной диаграмме, дает '

(-I)"" 1c?^m+2,pz-"+1(-I)"" 1c?^m+2,pz-"+11(ро + 2с ^г)'1(ро + 2с ^г)'1- ,2тС1С21- ,2тС1С222m-(m- 1) d22m-(m- 1) d(6.7)(6.7)

(-I)"" 1c?^m+2,pz-"+1

(-I)"" 1c?^m+2,pz-"+1

1

(ро + 2с ^г)'

1

(ро + 2с ^г)'

1

- ,2т

С1С2

1

- ,2т

С1С2

22m-(m- 1) d

22m-(m- 1) d

(6.7)

(6.7)

Чтобы зависимость от Р и р2 исчезла, выберем

(6.8)(6.9а)(6.8)(6.9а)cv = P, с2 = —^р=.

(6.8)

(6.9а)

(6.8)

(6.9а)

V2P

Теперь выражение (6.7) принимает вид (1)"— 1 22m-(m-l) d (2+17/‘

Рассмотрим теперь ту же самую диаграмму в разложении приближенной рекуррентной формулы. Каждой внешней линии здесь сопоставляется множитель 21-d/2, а каждому пропагатору— множитель (2 + 2г)-1. Учет всех множителей для случая диаграммы с 2m внешними линиями и I внутренними дает 2?m-md (2 + 2r)~z.(6.96)

Кроме этих множителей, каждой вершине с четырьмя внешними линиями сопоставляется множитель — и, вершине с шестью линиями — множитель — ® и т. д.; эти множители за исключением знаков «—» появляются так же и при первоначальной интерпретации диаграмм. В разложении (6.6) имеются комбинаторные множители, возникающие при подсчете числа способов сопоставления данной вершине внутренних линий [например, множитель 6 в члене 6их2у222-4 в (6.6)

является комбинаторным множителем], или числа способов спаривания различных вершин, образующих заданную диаграмму. Комбинаторные множители одинаковы как для случая разложения функционального интеграла, так и для разложения рекуррентной формулы. Кроме этого, имеется некоторый общий множитель для всех диаграмм, а именно диаграммы для интегралов в правой части (6.5) дают вместо Q' (х) выражение — Q'^^4. Следовательно, чтобы получить Q^x), их умножают на множитель — 2d, что изменяет множитель (6.96) и приводит его к виду

(— ^n-^m-cm-Dd^ + 2г)"\

который совпадает с (6.9а).

Это выражение завершает вывод приближенной рекуррентной формулы, предложенный Поляковым. Заметим, что для приближенной рекуррентной формулы т] =0; последнее следует из формулы (5.36), поскольку £ = 2<d+2№. Причиной этого служит тот факт, что вся зависимость от импульсов в диаграммах не была принята нами во внимание.

Приближенная рекуррентная формула в количественном отношении не является приближением к точным уравнениям ренормализационной группы. Насколько известно, она не является ни первым членом какого-нибудь точного разложения точных уравнений ренормализационной группы, ни первым членом ряда последовательных приближений, сходящегося к точным уравнениям. Мы можем судить о ее справедливости, только сравнивая решения приближенной рекуррентной формулы с другими расчетами, такими, как высокотемпературные разложения (см. гл. 7 и 8). В этом смысле она действительно является неплохим приближением.

Бейкер [39] и Дайсон [40] построили модели, для которых эта рекуррентная формула является точной. Эти модели, однако, содержат дальнодействующие взаимодействия необычного характера. В работе [41] Голнер дал вывод некоторой модифицированной формы рекуррентной формулы, в которой т] не обращается в нуль автоматически.

Первоначальный вывод рекуррентной формулы [36], использующий «анализ разбиений фазового пространства на ячейки», является более убедительным, чем вывод Полякова, который предложен здесь. Анализ разбиений фазового пространства на ячейки не обсуждается в этой книге, поскольку он уже несколько раз излагался: достаточно полно в работе

[36] и кратко — в работе [77]. После изучения данной главы и гл. 7 упомянутые работы должны стать гораздо менее трудными для чтения. Анализ разбиений фазового пространства на ячейки первоначально был развит в связи с исследованием неподвижного источника в качестве модели нуклона [107]. Реальное значение этого анализа состоит в том, что он является методом, который можно использовать для исследования проблем, где вся обычная традиционная техника не применима. Именно такой, в действительности, и была ситуация в теории критических явлений в то время, когда была написана работа [36]. Другой пример использования анализа

Фиг. 6.7. Идеальный график приближения Qi к неподвижной точке.Фиг. 6.7. Идеальный график приближения Qi к неподвижной точке.

Фиг. 6.7. Идеальный график приближения Qi к неподвижной точке.

Фиг. 6.7. Идеальный график приближения Qi к неподвижной точке.

разбиений фазового пространства на ячейки дан в работе Лангера и Бар-она [47].

Сейчас мы обсудим, как рекуррентная формула используется для исследования критического поведения без проведения разложения по степеням и, w и т. д. Поскольку (6.5) — нелинейное интегральное уравнение, единственным адекватным средством анализа является компьютер. К счастью, одномерные интегралы с большой точностью и легкостью можно оценить численно. Анализ уравнения (6.5) начинается с поиска его неподвижных точек [36]. Рассмотрим начальное взаимодействие с Q0(z/) = гоу2 + 0,5z/4. Коэффициент г0 — параметр, который варьируется для того, чтобы определить критическую температуру. Чтобы сделать это, с помощью компью* тера для заданной величины г0 строят последовательность

Qo W ... ^Qi iy) ->• (6.10)

Последовательность исследуется для фиксированного значения у, скажем у = 1,5. Обычно в этом случае хотят получить, как изображено на фиг. 6.7, последовательность,, сходящуюся1

к пределу при / —» оо. На практике это никогда не происходит. Если г0 выбрано слишком большим, последовательность Qi расходится и стремится к бесконечности, так как мы находимся выше критической точки и гауссовый член г^ при больших I доминирует, а в таком случае rz+i = 4гг. Чтобы компенсировать этот рост, величину начального гс уменьшают, а затем строят новую последовательность Qi. Если параметр rQ выбран слишком малым, последовательность для больших / будет иметь тенденцию к сильным осцилляциям. На практике

Фиг. 6.8. Функция Q* (у), соответствующая неподвижной точке для размерности 3 и определенная численным методом из приближенной рекуррентной формулы.

обычно идут на компромисс между этими двумя предельными случаями и выбирают г0 вначале таким, чтобы последовательность Qi попадала внутрь некоторой заданной области после заданного числа итераций V. Эту процедуру ') затем повторяют для больших значений числа V. Считается, что мы имеем хорошее приближение к функции Q, соответствующей неподвижной точке, как только удается получить последовательность Qi^, поведение которой стабилизировалось после достаточно большого числа итераций V (на практике I' ^ 12).

В случае трех измерений результирующая функция изображена на фиг. 6.8. Дальнейшие свойства рекуррентной формулы и функции Q*, соответствующей неподвижной точке, будут рассмотрены в следующей главе.

Глава 7

ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

§ 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,ВЫТЕКАЮЩИЕ из приближеннойРЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ

Эта глава делится на две части. В первой части заканчивается обсуждение результатов, полученных на основе приближенной рекуррентной формулы. Во второй части выводится формула, выражающая законы подобия (скейлинг) для п-спиновых корреляционных функций. Последняя формула позволит нам с помощью техники фейнмановских диаграмм вычислить е-разложения для критических показателей.

Напомним, что вывод приближенной рекуррентной формулы, приведенный в последней главе, связан в первую очередь с гамильтонианом:

ж = — ^ § [Vs(x)]2 — Cl Q0[c2s(*)];(7.1)

XX

допустимые значения импульса в этой физической системе лежат в интервале: 0<|^|< 1. Рекуррентная формула порождает новый гамильтониан, описывающий то же самое физическое явление для системы, у которой импульс обрезания в 2 раза меньше. В частности, гамильтониан

^ = - ^ [Vs (*)]2 - с, $ Qz [c2s (x)J (7.2)

XX

при условии, что

(7.3)

где

+”

(7.4)(7.4)/z(z) = $ ехр[— у2 — -^Qi(y + z) — ^QA— y + z)^dy,

(7.4)

(7.4)

приводит к тому же физическому явлению, что и (7.1), но уже для системы с импульсом обрезания |^|<2-г. Эти формулы

были исследованы численно для некоторых частных случаев выбора Qo и размерности физической системы dx). Рассмотрим, например,

Qo = ^д + uQy (7.5)

и размерность d в интервале от 2 до 4. Как указывалось в конце гл. 6, если задано некоторое значение параметра «о, то г0 подбирается так, чтобы определить критическую величину, т. е. такое гОс, для которого имеет место сходимость

Qi (у) -* Q* (у) при z->oo.

Для d = 3 и «о=О,5 функция Q*(g), соответствующая неподвижной точке, показана на фиг. 7.1. Для размерностей,

Фиг. 7.1. Функции, соответствующие неподвижным точкам для размерностей 3 и 3,9.

близких к d — 4, скажем, 3,9 или 3,8 (и меньших значений «о), кривая Q*(z/), как показано на той же фигуре, является более плоской. Напомним (это следует из наших предыдущих рассуждений), что для модели с размерностью 4 функция Q*, соответствующая неподвижной точке, тривиальна (т. е. Q* = 0), поэтому поведение кривых на фиг. 7.1, когда d стремится к 4, не является неожиданностью2). Когда d в точности равно 4 и «о < 0,35, находим, что ыг ~ 1// для больших /. Следовательно, поведение типа свободного поля, как

это ожидалось и из других формулировок ренормализацион- ной группы [57] (см. гл. 13), при проведении итераций (7.6) достигается очень медленно. На практике это означает, что когда d близко к 4, необходимо провести довольно много итераций соотношений (7.3) и (7.4), чтобы надежно определить вид функции, соответствующей неподвижной точке.

Когда размерность d изменяется от 3 к 2, поведение функции Q* становится гораздо более сложным. Для d = 2 функция Q* ведет себя приблизительно так, как показано на

Фиг. 72. Функция, соответствующая неподвижной точке для размерности 2.

Кривая получена с помощью численного анализа несколько модифицированной формы рекуррентной формулы.

фиг. 7.2. [Этот график получен из несколько модифицированного рекуррентного соотношения (7.3): множитель 21-df2 был заменен на 21~d/2-1/a.] Легко видеть, что случай двух измерений является весьма специфическим: предположим, что вычисляется Qz+i (z/) для больших у, тогда, если d = 2, функция Qz+i (z/) определяется функцией • Л(г/), т. е. аргументы обеих функций возрастают. Поведение Л(г/) при больших у в свою очередь определяется функцией Qi, когда ее аргумент велик и сравним по величине с у. Следовательно, асимптотическое поведение начальной функции Qo благодаря итерационной формуле (7.3) будет распространяться на многие другие итерации Qi. Это асимптотическое поведение противоречит существованию неподвижной точки, не зависящей от Qo, т. е. ставит возможность реализации неподвижной точки под вопрос. В противоположность этому для d > 2 множитель 21-d/2 означает, что Q/+i(z/) определяется функцией Qz(z/') при

у' ^ Т-^^у, что гораздо меньше у, когда у велико. В этом случае трудностей не возникает.

Раз найдена критическая функция Q*(y), дальнейший численный анализ рекуррентной формулы дает нам величину критического показателя v. Для этой цели итерационный процесс начинают со значения Го « гОс, т. е. не'совпадающего

Фиг. 7.3. Зависимость критического показателя v от размерности физической системы.

Кружочки соответствуют результатам, полученным нз численного анализа рекуррентной рормулы. Крестнк при d=2 отвечает величине v, полученной нз точного решения Онсл ера, а крестик при d=3 —нанлучшему значению v, которое дают имеющиеся в настоящее время высокотемпературные разложения.

точно с Го,.. Затем наблюдают, как Qz(z/) отклоняется от Q*. Ожидают, что для достаточно больших I функция Qt имеет вид [по аналогии с уравнением (4.41) из гл. 4]:

QzQ* + (Го - Го.) XlR* (у),(7.7)

где R*(y)—функция, не зависящая от I и г0. Для справедливости (7.7) I должно быть достаточно велико, настолько, чтобы начальные переходные стадии итерационного процесса уже закончились; тогда разность г0 — Гос в свою очередь должна быть достаточно мала, настолько, чтобы была мала величина (г0 — гос)Х1. Как и в гл. 4, Л — наибольшее собственное значение линеаризованных уравнений ренормализацион- ной группы, а показатель v определяется по формуле

Собственное значение X можно найти с помощью подгонки (7.7) под результаты численного анализа итераций.

На фиг. 7.3 дана зависимость критического показателя v, вычисленного из приближенной рекуррентной формулы (7.3),

от размерности модели d, а также указаны результат высокотемпературного разложения для d = 3 и точное решение Он- сагера для d = 2. Полученная кривая хорошо аппроксимируется квадратичной функцией по е = 4 — d.

Другая область применения рекуррентной формулы (7.3)— исследование 8-разложения. Мы можем вычислить 8-разложение для v, вытекающее из рекуррентной формулы, с помощью численного анализа. Для 2v рекуррентная формула приводит к следующему разложению по е: 2v=l+0,167e+0,0482^0,01683 + 0,07784 -

-0,265 + 0,6786 -2,587 + Ю,388 + ...; (7.9)

Разложение (7.9) является, в действительности, асимптотическим рядом. Если оборвать это разложение на члене второго порядка по в, то для d = 3 получим v = 0,603. Этот результат следует сравнить с лучшим числовым результатом, полученным из рекуррентной формулы, а именно v = 0,609. Сохранение в (7.9) только линейного члена дает v = 0,583. Эти результаты наводят на мысль, что в разложении (7.9) разумно ограничиться членом порядка 82. Анализ (7.9) с помощью аппроксимантов Падё так же показывает, что заметного улучшения полученного результата по сравнению с е2-приближением не наступает вплоть до восьмого порядка по е, когда разложение Падё дает немного лучшее значение величины v. Это указывает на то, что разложение для v важно вычислить с точностью до е2 и что в вычислении членов порядка в3 и выше особого смысла нет. Наиболее важным результатом, полученным из рекуррентной формулы (7.3), является указание на то, что ряд (7.9) с точностью до члена порядка е2 должен давать при 8 = 1 хорошее значение величины показателя v. Трудно ожидать, что в других отношениях этот ряд представляет собой что-либо хорошее для такой большой величины г.

Следующий вопрос, который мы здесь обсудим, — метод вычисления е-разложения с точностью до произвольного порядка при помощи техники фейнмановских диаграмм. Вначале, однако, необходимо доказать некоторую теорему, касающуюся корреляционных функций. Так как эта теорема будет лежать в основе большей части последующих рассуждений, то оставшуюся часть главы мы потратим на ее доказательство. Рассмотрим корреляционную функцию, зависящую от

температуры Т и определенную для исходного гамильтониана 5^о,

Г^, ..., qn, Л =Г^, ..., qn, Л =(7.Ю)(7.Ю)Z * <"«1 ••' % ехр №)>6№(У1 + ... + Уп)

Г^, ..., qn, Л =

Г^, ..., qn, Л =

(7.Ю)

(7.Ю)

Полевой аналог определения (7.10)—вакуумные средние от произведений п полей в импульсном пространстве (см. гл. 10). Мы покажем, что если все q^ очень малы (<С 1) и Г « Тс, то

Г(^, ..., qn, T^ = e-<l"n4AF^qv .... &„), (7.11)

где £ —корреляционная длина, а

(7.12)(7.12)ds = l(d-2 + nb

(7.12)

(7.12)

здесь rj — критический показатель. В теории поля ds выступает как аномальная размерность спинового поля (в единицах массы) [95, 114]. Ее мы вычислим в следующей главе, используя диаграммы Фейнмана. Корреляционная длина g зависит от Г — Тс, и только через этот множитель и нормирующую постоянную t,A в (7.11) входит зависимость от гамильтониана 5^о-

Формула (7.11) справедлива независимо от величины параметров g<?f (длина g велика для Т ~ТС, т. е. параметры Хчг можно сделать большими или малыми, не нарушая требований qt С 1, Т « Тс).

Формула (7.11) является одним из примеров «законов подобия», предложенных несколько лет назад для критических явлений (см. обзор в работе [101]); эта частная формула была предложена Паташинским [108]. Ни один из законов подобия не был доказан из первых принципов для размерности 3, и ни один из них в этой главе доказан не будет. Здесь предполагается, что существует преобразование, которое соответствует ренормализационной группе и имеет неподвижную точку, а вблизи нее, как это продемонстрировано на примере приближенных уравнений из гл. 4 и 6, обладает довольно простым видом. Доказательство, проведенное из первых принципов, должно было бы подтвердить справедливость этого предположения.

Для получения результата (7.11) требуется применять точное уравнение для ренормализационной группы, причем для настоящих целей удобно использовать дифференциальную

форму преобразования ренормализационной группы. В предыдущих главах это преобразование было дискретным и соответствовало уменьшению параметра обрезания от Л до Л/2. Дифференциальное преобразование является результатом бесконечно малого изменения параметра обрезания от Л до Л — 6Л. Точное дифференциальное преобразование будет построено в гл. 11; для настоящего же изложения достаточно знать, что это преобразование существует. В предыдущих главах взаимодействие с параметром обрезания Л = 2-i было обозначено 5^г; здесь удобно записать параметр обрезания в виде Л = e-t, а эффективное взаимодействие с параметром обрезания Л обозначить 36t. Далее, в предыдущих главах взаимодействие Ж+i с помощью рекуррентной формулы было выражено через Ж- Дифференциальный аналог рекуррентной формулы можно записать следующим образом:

A[36t = U\36tY(7.13)

Явный вид инфинитезимального преобразования U дан в гл. 11. В свою очередь взаимодействие 361 является функционалом от переменной ст', где

ст^^АЛ^, я' — ^я, 0<lVl<l, (7.14)

а £(А Г) — ренормализационный параметр; все это является прямым обобщением схемы, соответствующей дискретной рекуррентной формуле.

Главной особенностью уравнения (7.13) является то, что функция и\36Д явно от t не зависит, т. е. она не равна U \36t, fl. Это есть обобщение того факта, что рекуррентная формула для 36^\ не зависит от / *).

Как и в гл. 3, можно, используя вместо 36 й гамильтониан 36t, для достаточно малых я% вычислить величину Г(?ь ..., qn, Ту Результат выглядит следующим образом: f(^,..., яп, n = z7Y К (fl ЛГХ

exp (Ж [ст', ГПХ— (7.15)

\ *4 etqn6№(У1 + ... +Уп)

в предположении, что для всех I

0<\elqi\<\,(7.16)

J) См. гл. 4, уравнение (4.27). — Прим. ред.

а 2, — статистическая сумма, равная (ехр(3^<)). [Следует предупредить читателя, что когда 5^г определяется с помощью точной формулы из гл. 116 соотношение (7.15) по техническим причинам заменяется некоторой более сложной формулой. В то же время формула (7.11) не изменяется, и аргументы,

приведенные здесь, в общем случае, по-прежнему остаются справедливыми.]

Чтобы продолжить исследование формулы (7.11), необходимо знать, как £(7, Г) изменяется с обрезанием. Напомним, что функция £(/, Г) будет определена, если потребовать, чтобы член в гамильтониане 361, пропорциональный </2 и содержащийся в «2(1/, О, имел коэффициент, равный единице. В той итерационной форме ренормализационной группы, ко

торая рассматривается сейчас, одна итерация определяет от

и переменную о'^,и переменную о'^,зывающий переменную q qзывающий переменную q qвозникающуювозникающуюношение &+1/&, где &— ренормализационный множитель, свя

и переменную о'^,

и переменную о'^,

зывающий переменную q q

зывающий переменную q q

возникающую

возникающую

после / итераций. В дифференциальной форме вместо отношения £ж/& находят отношение £(7 + dt)/Z(t), т. е. (1 + g-1 ^\dtjdf\ df). Последнее определяется исключительно гамильтонианом S^t: если в u^q, t) член, пропорциональный q2, имеет коэффициент 1, то величина ^d^Jdt должна быть выбрана так, чтобы соответствующий член в u2^q, t + dt^ тоже имел коэффициент 1. Поэтому функция t^dtjdt будет

удовлетворять некоторому уравнению:

1 d?Ш dt1 d?Ш dtv \зед,v \зед,(7.17)(7.17)

1 d?

Ш dt

1 d?

Ш dt

v \зед,

v \зед,

(7.17)

(7.17)

где V — неопределенный пока функционал гамильтониана 36t.

1Лъ\ хотим рассмотреть физическую систему только вблизи критической точки. Из опыта обращения с рекуррентной формулой в предыдущих главах следует уже довольно ясное представление о поведении, к которому будет приводить уравнение (7.13). В частности, предположим, что можно было бы построить зависимость 361 от t (в действительности зависимость некоторого члена из 361, например ut); пример такой зависимости изображен на фиг. 7.4. Для малых t (т. е. относительно больших параметров обрезания) 36t проходит через некоторую переходную область до тех пор, пока не достигает своего критического значения1). Допустим, что система не находится в критической точке; следовательно, в конечном

’) Подробнее см. гл. 12 и 13. — Прим, перев.

ПО

счете 36t отклонится от своей критической величины. В этом случае 36t может либо стремиться к нулю, либо расходиться, как это показано на фиг. 7.4. Начало этой области значений t определяется, скажем, t = t0. Множество t справа от t0 мы называем «областью корреляционной длины». Представим теперь, что параметры в 5^0 изменились так, что начальное условие для дифференциального уравнения (7.13) сделалось

Фиг. 7.4. Зависимость 36 от t.

Параметр t связан с параметром обрезания А^ в гамильтониане gg^ соотношением

более близким к критическому. Тогда неустойчивость в (7.13) не возникает вплоть до значений t, больших /0. Тем не менее после переходной области память о начальном гамильтониане 5^о теряется, поэтому правый конец новой кривой будет совпадать по форме со старой, однако будет сдвинут вправо. Чтобы увидеть это формально из дифференциального уравнения, предположим, что имеется решение 36 kt, Т), зависящее от температуры Т. Рассмотрим область t чуть меньше to, где 5^(/, Г) отклоняется от неподвижной точки 36*, но пока не очень сильно. Ожидают, что 36 kt, Т) в этой области значений параметра t имеет вид

36 kt, Г) = ЗГ W -TcVat36d, (7.18) где а — наибольшее собственное значение, соответствующее линеаризованным уравнениям ренормализационной группы, а 36^ — некоторое фиксированное взаимодействие. Собственное значение А в дискретном случае [см., например, уравнение (7.7)] равно 2а. Важной особенностью уравнения (7.18) является то, что обе переменные t и Т, определяющие зависимость 36 kt, Г), содержатся в этом уравнении в виде единого параметра (Г—Tc)eaf. В результате изменение Т на кривой 36 kt, Т) эквивалентно, как и утверждалось выше, некоторому

сдвигу по t, по крайней мере до тех пор, пока справедливо (7.18). Как и в предыдущих главах, ожидается, что когда ef (величина, обратная параметру обрезания) порядка g, тогда 5^(/, Г) будет существенно отличаться от 5^*, т. е. когда ef ~ g, величина (Г — Tc)eaf~ 1. Последнее означает, что параметр а = 1/v. Это говорит также о том, что для ef > g линейное приближение (7.18) несправедливо и, следовательно, Э^(/, Г) не является более функцией, близкой к 5^*. Дальнейший анализ позволит нам исследовать и этот случай. Определим новый параметр toVT):

Т-Тс = ехр{-А^-}.(7.19)

Тогда в области, где справедливо линейное приближение,

36 kt, 7) = ^* + ехр{ 1~^П ^36d.(7.20)

Таким образом, выражение (7.20) выглядит так, как будто бы 36 kt, Т) можно записать в виде

36kt, T) = 36s(f-tQ{T)),(7.21)

где Ж(0—некоторое решение уравнений ренормализацион- ной группы. Оно не зависит от Г и определено для — оо < t < + оо. Так как (7.13) не зависит от Т, функция 368kt— М является решением уравнения (7.13), если 36skt^ является таковым. Это гарантирует, что 36skt— МЛ) продолжает определять 36kt, Т), даже если t слишком велико для того, чтобы выполнялось линеаризованное уравнение (7.18). Следовательно, как и утверждалось выше, «траектории» 36 v [o', Л имеют одинаковую форму для разных значений Т. Только для малых t, для которых имеет место начальная переходная область, 36 kt, Т) не равно 36skt— МЛ)-

Несколько слов о начальной переходной области (малые t). Кроме выбора различных температур Т, существует много способов изменить затравочное взаимодействие 36». В 36» имеется множество различных параметров; в общем случае это даже целые функции «2(9), и-^Ц, ...» Яз) и т. д. Обычно только один из этих параметров, символически обозначаемый г0 = иг(0), необходимо варьировать, чтобы определить критическую точку. Для малых t гамильтониан 36t, очевидно, будет зависеть от всех параметров в 36». Однако если параметр г0 = Гоо т. е. равен своему критическому зна-

чению, то Звг^-Зб* при /-► оо, и 36* не зависит от начальных значений параметров в ^о)- Все это потому, что 36* является решением уравнений ренормализационной группы, и по крайней мере в примерах, рассмотренных в гл. 4 и 6, 36?* полностью определяется этими уравнениями: в 36* нет свободных параметров, поэтому 36* не может зависеть от каких-либо параметров гамильтониана 36».

Более того, в примере, рассмотренном в гл. 4, имеется только одно (с точностью до мультипликативной постоянной) возрастающее решение линеаризованного уравнения ренормализационной группы. Однако мультипликативную постоянную можно включить в сдвиг по t, поэтому все неограниченно растущие решения можно получить из единственного решения 36Д1У Гамильтониан 36$А) определен так, что 36 А— оо) = 36*, т. е. 36А^ при t = — оо начинается в неподвижной точке. Для больших отрицательных t гамильтониан 36s имеет следующий линеаризованный вид).

36s^ = 36* А-е^36й\(7.22)

для / > О гамильтониан 36 А^ может заметно отличаться от 36*, однако, по-прежнему, определяется однозначно.

Независимость 36* и 36А^ от каких-либо параметров 36» является основой универсальности. Этот факт будет обсуждаться далее в гл. 12. Решение 36 А^ называется «ренормиро- ванной траекторией» (см. гл. 12).

§ 2. СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ ДЛЯ п-СПИНОВЫХКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Вернемся теперь к анализу «-спиновой корреляционной функции (7.15).

Для больших t гамильтониан 36 v [o', Л можно заменить на 36 АА, t — МЛ1- Определим следующую функцию:

f«, ....<^-^от)=

7.23)7.23)^ • • ■ ст<ехр ^$ ^,’1 -*° (Л^)

7.23)

7.23)

Тогда

Г(?ь .... qn, П =

6(d)(4i ++4n)

здесь мы явно выделили б-функцию, которая содержалась в знаменателе (7.15). Дельта-функции в числителе и знаменателе (7.24) после выделения в числителе общего множителя e~dt сокращаются:

Г (^ь ..., ^, П = [S V, 7)]" e"dtf (е^, ..., е‘дп,1 -t0 (Т)). (7.25)

Соотношение (7.25) выполняется лишь тогда, когда

t находится вне переходной области, т. е. t велико;

efqt < 1 для всех i ^ п.

Это означает, что необходимо рассматривать только очень малые величины qi-

Удобно ввести новую переменную т = t— ^о(7) и удерживать ее фиксированной независимо от величины Т. Перепишем (7.20) в виде

Г(^, .... qn) n-RtT + tom, 7’)]" ехр [—d Ко + т)] X

X f [exp (t0 + t) qx, .... exp Ko + t) qn, т]. (7.26)

Эта формула предпочтительнее в следующем отношении. Первоначально зависимость от Т определялась зависимостью последнего аргумента функции f от Г [как, например, в формуле (7.24)], и ее трудно было контролировать. Теперь эта зависимость выделена явно в виде экспоненциальных множителей ехр Ко (7)}, анализ которых более доступен. Множители ехр Ко(7)} можно выразить через корреляционную длину g. Рассмотрим, например, определение g, принятое в гл. 3:

.(7.27)

Тогда, используя соотношение (7.26), получаем

g2 (7) = ехр {2 Ко (7) + т]} d b^ (<’-т) |.(7.28)

dq 1^=0

Одним из следствий этой формулы является то, что ехр Ко(7)} можно представить следующим образом:

ехрКо(П} = ^-.(7.29)

где|(т)'—некоторая функция т, не зависящая от Т. Именно из этой формулы следует, что | (т) не зависит также и от г.

Наконец, необходимо найти зависимость функции £(/, Г) от t и Т. Эта зависимость определяется непосредственно дифференциальным уравнением (7.17). Для большей части значений t гамильтониан 36t близок к 36*, поэтому рассмотрим сначала более простое уравнение

4ine=^m

Удобно ввести параметр ds, определяемый как

d-ds = V\36*\(7.30)

(ds — постоянная, не зависящая от Г и f).

Решение этого простого уравнения имеет вид

^t,T> = ^\kd-dsW(7.31)

Существуют две области значений t, для которых упрощенное уравнение несправедливо; чтобы учесть это обстоятельство, формула (7.31) будет модифицирована. Прежде всего, гамильтониан 36t не является близким к 36* для t ^ t0; но 36t в этой области значений t можно заменить на ЗбДз' t— /о(Т’)]. Это означает, что V\36tA является функцией только t— totJY скажем, функцией u(t— ^о(Т')). При t <С to(T) функция иU — М^)) сводится к d— ds. Принимая во внимание функцию у, уравнение для £ можно записать следующим образом:

4 In £ = d - ds + [v (t -t0 (7*)) - (d - d5)].(7.32)

Это уравнение следует интегрировать с учетом граничного условия £ = 1 при t = 0. В интересующей нас области температур Т, близких к Тс, величина z'o(T') велика, так что для t ^ ^(Т) членом в квадратных скобках можно пренебречь. Таким образом, при решении уравнения (7.32) член в скобках можно интегрировать от t = — оо до t вместо того, чтобы интегрировать от 0 до t. В этом случае получаем

ln£(t T^=Vi-dsV^\n^Bkt-WY, (7.33) где

1п£в(т) = J [уМ — (d — ds№v(7.34)

Теперь для функции £(/, Г) имеем

£(Л Т) = £в(/-МП)ехр{(</-<4)0.(7.35)

(Заметим, что при / С /оСО величина £в близка к 1.)

Наконец, к формуле (7.35) имеется поправка при малых t, возникающая из-за наличия переходной области. До тех пор пока Т « Тс,. поведение 36t при малых / не зависит ни от Т, ни от того, каково значение 36t при больших, но конечных t [см. (7.18)]. В результате находим, что правильная формула для In £ имеет вид

1п£(Л T) = (d-ds)/ + ln:B[/-f0(T)] + lnU (7.36) где функция ^А не зависит ни от t, ни от Т (в том случае, если t велико и Т « 1^. Постоянная ^А в действительности зависит от параметров (кроме Г), которые входят в 5^0, таких, например, как и0, см. гл. 4. Используя уравнения (7.26) и (7.36), находим

Г ^, ..., qn, Т) = [Ub (т) exp {(d - ds) т}]" е"^ X

(7.37)(7.37)

(7.37)

(7.37)

Чтобы получить формулу (7.11), введем функцию

F «, • • • - <’ т) = [^в (т) ехР(- rfsT)14" X

Тогда

Г(^, qn, T^ = W^d"n<lsF^qv &п, т)^. (7.39)

Однако поскольку ни Г, ни g не зависят от т, функция F должна также быть независимой от т; таким образом выводится формула (7.11).

Некоторый более сильный результат можно получить для импульсов,-которые велики по сравнению с 1/6, но малы по сравнению с 1. Вернемся к уравнению (7.15) и рассмотрим случай, когда параметр t лежит в области t )?> 1, <0(Л— t )£> 1, так что 36t ^ 36*- Введем функцию /*:

(Z*)-1 /nF ...а\ ехр {Ж [а']}\

Для значений t из этой области t,B=l; следовательно,

Г(»р Ч„, T) = Z^P{n(d -d,)t}e-ar^q«у.

(7.41) Уравнение (7.41) приводит к двум следствиям.

Первое следствие — правая часть (7.41) не зависит от Т, это означает, что Т можно заменить на Тс:

f(7i,..., ^ П = Г(^, .... qn, Тс\ (7,42)

Единственным явным ограничением, налагаемым на уравнение (7.41), является условие (7.16); поскольку /должно быть велико, это ограничение означает, что |^i|<^ 1. При замене 36t на 36*, однако, мы пренебрегли в уравнении (7.18) членом 36 а, а это разумно только в том случае, если для всех |^| имеем £-]<С l^i) (см. ниже).

Второе следствие — закон подобия (скейлинг), который можно сформулировать для Т = Тс:

Г(^, .. ., qn, Tc> = sVn-x^-nd^<sqx, ..., sqn, Тс\ (7.43) где s — произвольный множитель масштабного преобразования, причем |7t|C 1 и s|7i|<C 1. [Для доказательства соотно* шения (7.43) вычислите функцию F(s^i, ..., sqn, Тс), используя (7.41), где qi заменены на sqt, a t на t' = t — 1ns.] Закон подобия (7.43) является (с точки зрения физиков, занимающихся теорией поля) следствием масштабной инвариантности для вакуумных средних поля с аномальной размерностью ds. Чтобы увидеть это более отчетливо, допустим теперь, что Г(*ь ..., хп, Тс)— корреляционные функции многих спинов в координатном пространстве:

г (ж,,..., хп, гс) = $... exp Vqi • *1 + . •. + iqn • *J X

«1 In

X^4qx^ ... + ^)Г(^, ...,qn, Tc). (7.44)

Закон подобия в координатном пространстве, аналогичный (7.43), имеет вид

Г (sxb ..., sxn, Тв) = s"^F (*!,..., хп, Тс); (7.45) он справедлив для 1*11.^ 1. В теории поля, обладающей точной масштабной инвариантностью, такого ограничения не

117

было бы; действительно, в (7.45) ограничение возникает потому, что в статистической механике имеется обрезание в импульсном пространстве (|^{|^ 1) и, следовательно, длина обрезания имеет порядок ~ 1; таким образом, масштабная инвариантность имеет место только для расстояний, которые велики по сравнению с длиной обрезания. Соотношение между ds и критическим показателем т] [см. выражение (7.12)] можно получить, сравнив (7.45) при п = 2 с формулой (2.4) из гл. 2.

Объясним теперь смысл ограничения £-1<С|^|, которое необходимо для выполнения уравнения (7.42). Чтобы пренебречь гамильтонианом 36а в уравнении (7.18), величина члена (Г — Tc)eafS^d должна быть мала. Параметры t и Т — Тс можно выбрать так, чтобы была мала величина (7 — Тс)еа<; проблема, однако, заключается в том, чему же равна «величина» ^. Как и всякое взаимодействие, гамильтониан 36а должен быть интегралом от плотности энергии:

Эё4=^М(7.46)

X

и «величина» 36а зависит от величины объема, существенного для вычисления интеграла. Приближенная рекуррентная формула дает пример конкретного вида выражения (7.46): в рамках этого приближения для 36а имеем

36й~-сх ^‘[^(х)](7.47)

X

[ср. (7.2) и (7.7)]. Рассмотрим зависимость от координат парной корреляционной функции спинов для гамильтониана 36tv

г (*1) = <8 (Xi) s (0) ехр(ж,)>.(7.48)

Эта функция для очень больших хх ведет себя, как ехр(—]*i|/^i), где gi — корреляционная длина, соответствующая 36 tx. Ясно, что параметр gi можно игнорировать только тогда, когда |*il<C Ь, а параметр £i становится бесконечным, если гамильтониан 36 tx заменяется гамильтонианом 36*. Из грубых соображений, базирующихся на локальности, ожидают, что область х, для которой при вычислении Г(*1) су-

ществен гамильтониан 36а (.х-), является областью, окружающей точки *i и 0 и имеющей размер в несколько |*i|. Если |*i | С gi, тогда вклад gi в Г(*1) незначителен; это указывает на то, что соответствующая область х достаточно мала, и, таким образом, член 36 а в (7.18) является лишь малым возмущением. Для |*i |^ & эта область * достаточно велика, поэтому 36а более не является возмущением.

Таким образом, для координатного пространства можно сформулировать общее правило: член 36а можно не принимать в расчет только для корреляционных функций, соответствующих расстояниям, малым по сравнению с корреляционной длиной. Это условие, переформулированное для импульсного пространства,1 означает, что все |^4| должны быть гораздо больше g-1. Изложенное здесь рассуждение довольно поверхностное; более аккуратный, однако нестрогий анализ приводит к тому же результату.

Если предположить, что функция Г(^ь ..., ^n, Г) имеет хорошо определенный предел при Т —► Тс, т. е. становится независящей от ^(Т) при Т->ТС, то вопрос, когда можно пренебречь гамильтонианом 36а, уже можно не обсуждать. Тогда закон подобия (7.43) вытекает непосредственно из (7.11). Мы рассматриваем величину взаимодействия 36а в качестве примера, связанного с очень общей проблемой в теории ренорма- лизационной группы. Это общая проблема состоит в следующем: пусть нам дано некоторое взаимодействие 36A-V ^Збв, где 6 — малый параметр, а 36а и 36в— два произвольных гамильтониана; возникает вопрос, при каких условиях можно пренебречь взаимодействием 936в? Например, для больших / гамильтониан 936в мог бы отвечать некоторому члену (с малым коэффициентом), который соответствует переходным процессам; тогда вполне уместно пренебречь таким членом. Согласно обсуждению, которое было проведено выше, пренебрежение членом 936 в должно быть вполне законным, если мы проводим вычисление спин-спиновых корреляционных функций для |*t | ~ 1. Однако, в случае, когда рассматриваются корреляционные функции для больших *, мы должны учесть возможность того, что вклад от члена 936 в из-за эффектов, связанных с большим объемом, увеличивается и он не является более малым возмущением.

Здесь уместно сделать некоторое предостережение. Предположим, что мы рассматриваем корреляционную функцию,

соответствующую некоторому малому расстоянию, и дифференцируем ее по параметру, входящему во взаимодействие, например по температуре. Для иллюстрации, пусть этим параметром будет 6. Выражение, которое получается в результате, может быть очень чувствительно к члену 65^в, даже если 6 мал. Причина этого заключается в том, что после дифференцирования у нас получается некоторая новая корреляционная функция, которая содержит выражение

5^в = ^в (ж), проинтегрированное по всему пространству, т. е. новая корреляционная функция не является более корреляционной функцией, соответствующей только малым расстояниям. '

МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯИ УСТРАНЕНИЕ ИХ ДЛЯ МАЛЫХ е

Теперь необходимо обсудить еще одну проблему, которая связана с методом вычислений, основанным на е-раз- ложении.

Проблема, возникающая, когда размерность пространства d близка к 4, состоит в медленной сходимости эффективного взаимодействия 5^ (или Ж в дискретном случае) к Ж", если мы находимся в критической точке. Медленную сходимость можно проиллюстрировать, используя упрощенную рекуррентную формулу из гл. 4. Исследование этой проблемы является важным для вычислений, которые проводятся в следующей главе.

Упрощенные рекуррентные формулы (4.27) имеют неподвижную точку (г*, и*), положение которой определяется (4.30). Предположим, что начальная величина и0 близка к и*, но не совпадает с ней, и что r0 = г0с(и0). Тогда решение рекуррентной формулы (n, Uz) при / —> оо стремится к (г*, и*). Скорость, с которой Г/ и и/ приближаются к г*, и*, можно определить с помощью решения линеаризованных уравнений для п— г* и щ— и*. Это было сделано в гл. 4. Результат состоит в том, что ri — г* и щ— и* при больших I ведут себя, рак 2~е/, где 2-8— наименьшее собственное значение, опреде-

ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) ляемое матрицей линеаризованных уравнений. Когда е мало, разность щ— и* сходится к 0 очень медленно; чтобы и/— и* было мало, е/ должно быть очень велико. Иначе говоря, должна быть велика величина 8 1пЛг, выраженная через параметр эффективного обрезания Л( = 2~г.

Эта медленная сходимость нежелательна для тех целей, которые преследуются в гл. 8. К счастью, вопрос о сходимости можно избежать. Если выбрать параметр и0 в точности равным и*, тогда щ = и* для всех /, и проблема, связанная с медленной сходимостью, вообще не возникает.

Однако это еще не конец. Полная рекуррентная формула, соответствующая ренорм ал изационной группе, кроме гг и щ включает в себя много других переменных. Чтобы упростить обсуждение, рассмотрим единственную промежуточную переменную Wb Нецелесообразно полагать w0 = w*, потому что на практике имеется слишком много промежуточных переменных 1). К счастью, нет необходимости полагать w0 = w*. Рассмотрим начальные условия (г0, u0, w0) вблизи неподвижной точки (г*, и*, w*). Тогда решение (г;, щ, Wi) можно получить, если составить и решить линеаризованные уравнения для гг— г*, щ— и* и wt— w*. В этом случае линеаризованные уравнения будут иметь три линейно независимых решения, отвечающие трем различным собственным значениям. В пределе е —> 0 эти собственные значения равны 4, 1 и Ча (Ча — наибольшее собственное значение для любой промежуточной переменной в пределе е—*0). Для малых е третье собственное значение по-прежнему близко к V4.

Растущее решение (собственное значение близко к 4) исключается путем выбора значения г0, равного критическому значению r0c(u0, w0). Аналогично решение, соответствующее собственному значению, близкому к 1, можно исключить, правильно выбрав и0, например, выбрав и0 = иОс(гУо), в результате уравнения для (г, — г*, ut — и*, wt — w*) будут иметь только третье решение с собственным значением, близким к Ча- Когда переменной w пренебрегают совсем, «критическое значение» Иос есть просто и*. Если переменная w принята во внимание, значение u0c(w0) равно и* только в том случае,

Ч Действительно, в этом случае возникла бы трудная задача вычислить величины параметров, определяющих неподвижную точку, по остальным промежуточным переменным. — Прим, перев,

когда w0 == w. Однако для других значений величины wQ все еще можно выбрать и0 так, чтобы коэффициент при медленно убывающем решении стал пренебрежимо малым. Фактически значение «oc(wo) оказывается равным и* с точностью до е; только во втором порядке по е величина «ос(^о) отличается от и*. Этого можно было бы ожидать, так как присутствие w изменяет и* только во втором порядке по е1).

В заключение отметим, что начальные значения всех промежуточных переменных можно выбрать произвольно (обычно все они полагаются равными нулю). Тогда существуют критические значения /ос и иОс, такие,- что ^->5^* как 4-г, а не как 2-ei. Полагая г0 = rQc и ы0 = «ос, получаем, что 5^г приблизительно равно 36* после нескольких итераций независимо от того, насколько малым является е (гос и «ос как и г*, и* зависят от е).

Глава 8

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙС ПОМОЩЬЮ ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ(е-РАЗЛОЖЕНИЕ)

В настоящей главе мы обсудим метод вычисления критических показателей, исходя из разложений по степеням е и нс* пользуя технику фейнмановских диаграмм [109]. Этот подход будет иллюстрироваться в рамках статистической механики и служить некоторым введением к главам по теории поля и аномальным размерностям. В частности, мы хотим найти поведение спин-спиновой корреляционной функции в окрестности критической температуры. Из результатов, полученных в последней главе [см. уравнение (7.45)], следует, что корреляционная функция Г(*), обозначенная в гл. 7 через Г(*, 0), при 1<С|ж|<С^иТ«Тс имеет вид

П*)^.(8.1)

X s

В настоящей главе мы найдем числовое значение аномальной размерности спинового поля dSl когда размерность d физической системы близка к 4. Мы получим также числовые значения различных других критических показателей. См. работы [109, 110] и табл. 8.1.

Эта глава слишком короткая, однако в настоящее время по е-разложению имеется много других работ (см. список дополнительной литературы в конце данной книги).

Основная идея вычисления, основанного на фейнмановских диаграммах, следующая. Для физических систем с размерностями d, близкими к 4, и со скалярным взаимодействием s4(x) величина постоянной взаимодействия и в неподвижной точке имеет порядок е = 4 — d. Следовательно, вычисления в рамках теории возмущений вполне разумно проводить по параметру и. Если бы d = 4, мы имели бы дело с обычными диаграммами Фейнмана для скалярной теории поля ^4. Тогда

фурье-образ Г(ж) становится в теории поля пропагатором и при Т = Тс имеет вид

Г(^)~^-{1 + а^ In ^2 + a2u2 in2 Q2 + ...}.(8.2)

Здесь «о — затравочная постоянная взаимодействия s4, а а{— некоторые вполне определенные постоянные. Теория поля за-

Таблица 8.1

Формулы, полученные в настоящее времядля критических показателейс помощью вычислений фейнмановских диаграмм

Определения критических показателей содержатся в гл. 2 (AfaH1^ при Г— Тсу Число п равно числу компонент спина з; в этих главах л=1. Постоянная T приближенно равна 0,60103; см. работу [110]. Формулы для показателей fl и у получены в работе [ПО]. Остальные показатели найдены из законов подобия; последние были получены для в-разложения в работе |ПЗ].

+ 920л2 + 3472л + 4800 — 192 (5л + 22) (л + 8) 7} в3,

6 = 2^ в 4- ^ "^ 2^ ^ ~^~ ^ в2 4- п + 2 и з , ]28я2 д_

Р 22(п + 8) +2(/1+8)3+ 8(л + 8)« 1++

+ 488/1 + 848 — 48 (5л + 22) (я + 8)7} в3, ’-,+l^e+<(^("’ + 22” + 52’'’+8(S^^

+ 44л3 + 664л2 + 2496л + 3104 — 96(5я + 22)(я + 8) 7} в3,

6 - 3 +е + 2PrW <"’ + и" + 601+ 3°”’ +

+ 276л2 + 1376я + 3168} в3 +(2л6 +

+ 93л5 + 1778л4 + 12760я3 + 50 280л2 + 147 136л + 263 040 +

+ 768 (л + 2) (л + 8) (5л + 22) 7} в4,

Ч = 9^Я2 в2 + 8/”tL (- «2 + 56л + 272) в3 + 2(л + ор о + о)’

+н 5«4 - 230л3 + 1124л2 + 17 920л +

П О)

+ 46 144 — 768 (5л + 22) (л + 8) 7} в4,

V = 2" + 4(я + 8) в + 8(л + 8)3 ("2 + 23" + 5°) в2 + 32pT+87 <2”4 ++ 89л3 + 1412л2 + 5904л + 8640 — 192 (5л + 22) (л + 8) 7) е3 •

висит от величины параметра обрезания; в данном случае параметр обрезания, как и в предыдущих главах, положен равным 1. Для 8 ^ О появляется больше логарифмических членов порядка е, е2 и т. д. (см. ниже). Чтобы получить из первых нескольких членов (8.2) полезную информацию, необходимо ограничить наше рассмотрение такими величинами «о и q2, для которых выполняется неравенство

| Uo In q21 < 1.(8.3)

В принципе можно было бы смягчить требование (8.3) и просуммировать логарифмические члены в (8.2) во всех порядках с помощью некоторой другой техники. Однако используя то, что мы уже знаем о ренормализационной группе и критическом поведении, достаточно рассмотреть в разложении только несколько пёрвых членов.

Для фурье-образа (8.1) при критической температуре имеем

Г (»)-—,(8.4)

<Г 1

здесь т] = 2 (ds + 1) — d. Когда т] — малая величина, выражение (8.4) можно разложить

f(?)~^-(l+nln<7 + 4n2ln2<7 + ...).(8.5)

Если бы обычная процедура сравнения коэффициентов перед логарифмами годилась для (8.2) и (8.5), мы непосредственно вычислили бы тр В общем случае соответствующие степенные ряды (8.5) и (8.2) смысла не имеют. Дело в том, что для большинства значений и0 степенной закон (8.4) является правильным только тогда, когда q2 настолько мало, что «о In q2 велико, а в этом случае разложение (8.2) несправедливо. Это жесткое ограничение на q2 возникает из-за медленной сходимости 36 \ к 36*, которая обсуждалась в предыдущей главе.

К счастью, параметры исходного гамильтониана можно выбрать так, чтобы выражение (8.4) было справедливо для большей области значений q1. На основании обсуждения в последней главе для этого необходимо выбрать и0 = Uoc(e), и тогда 36 v совпадет со своей критической формой 36* после нескольких итерационных шагов. Это означает, что выражения (8.4) и (8.5) справедливы для всех q, удовлетворяющих усло-

вию <7 С 1, независимо от е. Тогда для малых е, т. е. малых Uq, оба разложения (8.2) и (8.5) справедливы для q в области и между ними можно установить соответствие в каждом порядке по In q2.

Вернемся теперь к вычислению постоянной взаимодействия «ос(е) [обозначаемой в дальнейшем м0(е)] и показателя тр Чтобы сделать это, рассмотрим следующие две величины: четырехточечную вершинную функцию ин, внешним линиям которой при Т =# Тс сопоставляются нулевые импульсы, и пропагатор Г, внешним линиям которого при Т = Тс соответствуют импульсы q. Тогда, если мы определим, что пропагатор при Т Ф Тс и q = 0 (т. е. восприимчивость) равен г-1, из законов подобия для «-точечных функций, рассматриваемых в последнее время ), следует

ид^г^-^тч). (8.6)

Другое выражение для ин вытекает из диаграммного разложения «й по степеням Uq. Сопоставление диаграммного разложения с (8.6) позволяет определить и0^. Тогда, если сравнить разложения (8.5) и (8.2), показатель т] можно выразить окончательно через е.

Нашей первой задачей является доказательство соотношения (8.6) на основе теоремы, изложенной в последней главе. Исходный гамильтониан системы будет иметь вид

36й = — $ [<72(!+<72)2 +г0] 0^0-9 —

м° 5 5 S a<lxa4ia4aa_llx-<ii-<iw (8-7) 91 9s 9s

где q изменяется в пределах от 0 до 1. Часть 56 q, соответствующая кинетической энергии, имеет дополнительную зависимость от q2, которая заменяет собой обрезание, т. е. ограничение на q сверху. (Внимательные читатели обнаружат, что было бы достаточно и одной степени 1 + <А) Эта форма обрезания является более удобной для вычисления фейнманов-

ских диаграмм. Удобно также в (8.7) провести «перенормировку массы». Запишем

^о= — у^О +^2+ г]а,ст-9—.

— у ^ (го — г) ОдО-д — (ы0 член).(8.8)

q

Новый член в (8.8), соответствующий перенормировке массы, так же, как и член, пропорциональный «о, рассматривается как возмущение. Поскольку член, отражающий зависимость от г, в (8.8) добавлен и вычтен, зависимость от г можно выбрать произвольно. Мы выберем ее таким образом, чтобы пропагатор Г(0) (9 = 0) в точности равнялся г-1, т. е. потребуем, чтобы пропагатор Г(0) имел такой вид, как если бы в (8.8) присутствовал только первый член; все поправки к Г(0) должны быть тождественно равны нулю.

Определим обычным образом n-спиновую корреляционную функцию:

Г (91,Г (91,•, Яп» г)•, Яп» г)“ 6W(9i ++9n) *“ 6W(9i ++9n) *(8.9)(8.9)

Г (91,

Г (91,

•, Яп» г)

•, Яп» г)

“ 6W(9i ++9n) *

“ 6W(9i ++9n) *

(8.9)

(8.9)

здесь мы отметили явно, что Г зависит от г. Точное опрв'

деление ин тогда будет иметь вид

URUR(8.10)(8.10) Г(0, 0, 0, 0, г)свЯзанные

UR

UR

(8.10)

(8.10)

— Г4 (0, г)

где индекс «связанные» означает, что в (8.10) не должно появиться ни одной диаграммы, содержащей произведение двухточечных функций. Знаменатель Г4(0, г) эквивалентен устранению собственно-энергетических вставок во внешние линии всех диаграмм. Чтобы определить, как uR зависит от г, мы обратимся к законам подобия, полученным в последней главе. В частности, из соотношения (7.11) имеем

Г(9„ .... qn,r^~UrYn"1)d-n4sF(q^,..., qn^, (8.11)

следовательно.

(8.12)(8.12)Г (п нулей, г) -~ £ (г)(л 1)d nd'

(8.12)

(8.12)

127

Пропагатор тогда обладает следующим свойством:

Г (0,—(8.13)

Однако по определению Г(0, г) = г—’; следовательно, между г и £ имеется простое соотношение

г"1-^.(8.14)

Из (8.12) вытекает, что корреляционная функция для 4 спинов удовлетворяет соотношению

Г (0, 0, 0, 0, r)~^d-4^ = ^+4_2T|.(8.15)

Следовательно, комбинируя (8.13) и (8.15), получаем

ti+4-2n

(8.16)

Это соотношение, выраженное через г, как и утверждалось, имеет вид

(8.17)

Наша следующая задача — получить степенные разложения ил и Г(<7, г) по параметру z/q. Она представляет собой некоторое упражнение в вычислении фейнмановских диаграмм для размерности 3,99 [81, 109]. Диаграммы, дающие в uR вклад порядка и^, изображены на фиг. 8.1, а диаграммы, вклад которых в Г(</, г) имеет порядок и^, приведены на фиг. 8.2. Прежде чем иллюстрировать вычисление диаграммы, дающей вклад в ин, рассмотрим диаграммы на фиг. 8.2. Поскольку в гамильтониан (8.8) член, соответствующий перенормировке массы, введен для того, чтобы пропагатор Г (9, г) при q = 0 в точности совпадал со свободным пропагатором, и поскольку интеграл, соответствующий петле (вторая диаграмма на фиг. 8.2), не приводит к появлению зависимости от q, вклад от этой второй диаграммы в точности сокращается с вкладом от члена в (8.8), соответствующего перенормировке массы. Полная диаграмма для Г(^, г) зависит от q, т. е. поправка, отвечающая перенормировке массы, полностью сокращается с вкладом от этой диаграммы только при q = 0.

В качестве иллюстрации вычисления величины фейнмановской диаграммы для размерности 3,99 рассмотрим вклад в ин, пропорциональный и2. Это дает

ы2 СdWL,(8.18)

J [^(1+^2)2 + Н2 ‘

Интегрирование по углам не вызывает затруднений и приводит к появлению несущественной постоянной. Теперь (8.18)

Фиг. 8.1. Диаграммы, дающие вклад в uR.

Фиг. 8.2. Диаграммы, дающие вклад в Г(^, г).

Крестик соответствует члену нз выражения (8.8), пропорциональному (Го—Г).

принимает вид ”d—1

const • г 2,/, 2I2•(8.19)

° J Yq (1 + » г + г]о

Зависимость от е в (8.19) возникает из разложения

^-1 = ^з-е = ^з _ 8^ In <7 + у е2^з 1п2 «у — ... . (8.20)

Рассмотрим вначале член ^3, дающий вклад в (8.19). Мы интересуемся очень малыми значениями г, поэтому интегрирование по области г <С q2 <С 1 приведет к появлению единственного логарифмического члена In г:

1

С q2dqС dq2 _ _ г /о

J fa2(i +q2)24-n2 J q2 1

Г

Аналогично член е^3 In q из (8.20) приведет к появлению в (8.19) вклада, равного sin2 г. Таким образом, мы можем ожидать, что разложение (8.19) по параметру е будет иметь вид

и2 {1п г 4- е [In2 г + In г + const] + 82[ln3r + •••]+•••}; (8.22) здесь содержится некоторое множество числовых постоянных, явный вид которых не выписан. Интеграл в этом примере был исключительно простым. В общем случае мы встречаемся с нетривиальным интегрированием по углам, таким, например, как

J?'2-1 sind“2 (9) ... dq d9,(8.23)

или, возможно, даже с двумя интегрированиями по углам. Эти интегралы, однако, по-прежнему хорошо определены для нецелых размерностей d [81, 109].

Используя рассмотренную выше технику и более аккуратно обращаясь с множителями 2 и л, получаем следующие разложения:

«я=«о + 9^^-Д1пг + -д- —^-slnr ... ] + ...(8.24)

для малых г и

Г(<7,0) = ^{1 4-^-^^+ ...}(8.25)

для малых q. Заметим, во-первых, что (8.25) не содержит члена, пропорционального и0, так как ни одна из диаграмм не входит в расчеты в первом порядке. Поскольку Г (^, 0) ~ ~ <?-2+п для малых q, показатель т] должен иметь порядок м2. Обратимся теперь к ин. С точностью до логарифмического члена In г для uR имеем выражение

+^-1пг+ ...};(8.26)

оно должно быть пропорционально) г(®-ч)/(2-'п)е Множитель «о можно опустить (это постоянная пропорциональности) ; следовательно,

l+^-lnr+ ... ~г(*-2™2-ч)=1+[| + о(Ы^

(8.27)

и мы находим выражение для и0:

Uq = —g- 8 + Члены более высоких порядков. (8.28)

Сравнивая (8.25) и (8.5), получаем

(8.29)

Интересно отметить, что 54 не является малым числом, поэтому даже выбор 8 = 1 приводит в результате к числу т] « 0,02, которое мало по сравнению с 1. Показатель т], вычисленный с точностью до 83, при 8 = 1 приблизительно равен 0,04. В наилучших- приближенных расчетах т] из высокотемпературных разложений получаются значения 0,041—0,056 [111, 112]2), поэтому наше грубое вычисление оказывается вполне заслуживающим доверия. Аномальная размерность спинового поля, найденная из результатов высокотемпературных разложений, для 8 = 1 становится равной

Д^^-г+т)) = 0,5 +0,025.

Именно ds имеет особый смысл аномальной размерности в приложениях к теории поля. Интересно также отметить, что поправка к величине ds, соответствующей среднему полю, мала по сравнению с 1.

Табл. 8.1 содержит современные результаты вычислений критических показателей с помощью фейнмановских диаграмм. В табл. 8.2 приведены результаты, найденные при 8 = 1 методом фейнмановских диаграмм, а также результаты, полученные из высокотемпературных разложений для трех

Таблица 8.2

Результаты в-разложеиия до порядка в2(для показателя т) — до порядка е3) при в = 1 и п = 1,результаты, полученные нз высокотемпературных разложенийдля трехмерной модели Изнига [112],а также результаты теории Ландау

Показатели

е-разложенне

Высокотемпературные разложения для модели Изинга

Теория

Ландау

V

0,626

0,642+0,003

0,5

ч

0,037

0,055±0,010

0

V

1,244

1,250 ±0,003

1,0

а

0,077

0,125±0,015

0

р

0,340

0,312±0,003

0,5

б

4,46

5,150+0,02

3

мерной модели Изинга (как это подытожено в работе [112]). Разница слишком мала, чтобы ее принимать всерьез1).

*) В этой связи необходимо заметить, что, во-первых, модель, рассматриваемая здесь, не является моделью Изинга (см. гл. 3 и работы [64, 70]), а, во-вторых, разложение, используемое здесь для определения критических показателей, является, по-видимому, лишь асимптотическим [НО] (см. примечание в гл. 7, стр. 104). В работе [НО] показано также, что разложение до в4 ухудшает это соответствие. — Прим, перев.

Глава 9

РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С РАЗМЕРНОСТЬЮ 4-е

В этой главе будет обсуждаться квантовая теория поля в пространстве-времени с размерностью d, равной 3,99. В частности, используя е-разложение, мы вычислим размерности тензорных операторов, связанных с глубоко неупругим рассеянием. (В качестве обзора теорий глубоко неупругого электронного рассеяния и применимости тензорных операторов см. работу [95].) Теория, которая обсуждается здесь, при d —»4 переходит в теорию свободного поля, поэтому она не имеет прямого отношения к физике1). Важность этого конкретного исследования состоит в том, что оно дает пример аномальных размерностей в теории, которая оказывается масштабно-инвариантной на малых расстояниях. Единственным известным до сих пор примером была более тривиальная модель Тирринга. (Обзор литературы по модели Тирринга см. в работах [115, 116].)

Детали связи между критическими явлениями и теорией поля будут рассмотрены в следующей главе. Здесь мы будем полагаться на очевидную связь между диаграммами Фейнмана, которые рассматривались в предыдущих главах, и сходными с ними (неперенормированными) диаграммами Фейнмана для теории поля ф4. Настоящие вычисления будут проведены в рамках статистической механики; однако очевидная аналогия между корреляционными функциями спинов и вакуумными средними произведения полей позволит нам выразить результаты этих расчетов через аномальные размерности.

Для начала напомним правила фейнмановского диаграммного подхода к е-разложению. Пропагатор имел вид, соответствующий обрезанию, т. е. [^2(1 + <72)2+ И-1, а вершине сопоставлялась величина —«о. Перенормировка массы была проведена так, что полный пропагатор с импульсом, равным

*) См. примечание в гл. 7, стр. 104. — Прим, перев.

133

нулю, был равен свободному пропагатору с импульсом, равным нулю, а именно г-1. Рассмотрим теперь теорию поля ф4. Пропагатор в этом случае равен [А2 — m2 + te]~\ а вершине сопоставляется величина iXo. Между теоретико-полевыми величинами т2, к2, Хо и статистическими параметрами г, q2 и «о можно установить соответствие. Сравнивая пропагаторы с импульсами, равными нулю, приходим к очевидной идентификации г и т2:

г->т2. (9.1)

Рассматривая только область малых q2 (<?2<С1), получаем связь между q2 и к2

q2^-k\ (9.2)

Следовательно, положительная величина q2 соответствует пространственно-подобному к. Поэтому вычисления, проводимые в рамках статистической механики, касаются только вакуумных средних произведений полей в пространственно-подобной области. Хорошо известно, что внутренние импульсы в диаграммах, имеющих пространственно-подобные импульсы во внешних линиях, можно сделать пространственно-подобными с помощью поворота контура 1). Следовательно, правила теории возмущений, упомянутые в предыдущих главах, являются правилами Фейнмана для пространственно-подобных импульсов. Затравочная постоянная взаимодействия после поворота внутренних импульсов становится равной — Хо; ее следует идентифицировать с — Uq. Величина т2, возникающая при применении этих правил, не вполне совпадает с настоящей перенормированной массой, поскольку перенормировка была проведена не на массовой оболочке, а при нулевом импульсе. Так как параметр обрезания фиксирован и равен 1, величина m должна быть мала (т. е. мало г), для того чтобы физическая масса была гораздо меньше параметра обрезания. Наконец, перенормировка ни волновой функции, ни постоянной взаимодействия не проведена.

Интегралы в случае статистической механики имели вид $ ddq, где d—размерность пространства. В случае теории поля d— размерность пространства-времени. Таким образом, d = 4 — е в случае теории поля означает пространственную размерность, равную лишь 3 — е, в то время как в случае

статистической механики d = 4 — е соответствует пространственной размерности 4 — е.

В рамках изложенных выше правил мы намерены вычис- Л(ить в этой главе размерности некоторых составных операторов. Определим вершину в конфигурационном пространстве соотношением

иа» (Я, — ?) Г2 (?) = ^ ехр ^ " *) ехр {“ iq ' у} <s ^ s ^ ^9 (°^>

гдегдеra3(0)^s(0)VaVps(0),ra3(0)^s(0)VaVps(0),(9.4)(9.4)(9.3)

где

где

ra3(0)^s(0)VaVps(0),

ra3(0)^s(0)VaVps(0),

(9.4)

(9.4)

а Г(?)—полный пропагатор; в (9.3) он входит в квадрате, что и позволяет исключить собственно-энергетические вклады во внешние линии вершины. Оператор Тар будет обозначаться

Фиг. 9.1. Диаграммное представление составного 'v оператора Тор. X.

графически так, как это изображено на фиг. 9.1. Мы особенно заинтересованы чисто тензорной частью оператора Тар (в противоположность его скалярной части 2V Выбрав а=#^,

мы тем самым выделим именно эту часть оператора Тар.

На языке теории поля Та$ является линейной комбинацией тензора энергии-импульса и полной производной VaVps2(0). Матричный элемент Ua^ искусственно выбран так, чтобы полная производная не давала вклада в Ua^. Дело в том, что внешний импульс, соответствующий Тар, равен нулю. Из общих соображений можно утверждать, что в масштабно-инвариантной теории размерность тензора энергии-импульса равна d, т. е. размерности системы. Мы увидим ниже, что это справедливо по крайней мере с точностью до е2. Реально существуют еще и другие операторы, которым сопоставляются внутренние квантовые числа, такие, как изоспин, и которые не должны иметь размерность d. Чтобы проиллюстрировать

это, введем внутренние квантовые числа, приписывая s внутренний индекс. Обозначим новые поля через s,. Теория будет построена таким образом, чтобы быть инвариантной по отношению к вращениям в пространстве, соответствующем этим полям. Член взаимодействия в новом гамильтониане будет иметь вид ^ ми5;5/. В этом случае имеется два возможных тензора:

Та^-^О^^ (9.5а) и

Тар11 (0) = st (0)VaVpS/ (0) (i /). (9.56) Тензор ^рг-ДО) является тензором не только по отношению к пространственным вращениям, но и по отношению к вращениям в пространстве внутренней симметрии. Соответствующие вершины Ua^q, — q), Ua9tl(,q, — q) определяются с помощью подстановки <5/(ж)5/(у) 7^(0)) или {si(x)sj(y) TafiU(fl)) в формулу (9.3).

Анализ этих тензоров будет проведен для малых г и малых внешних импульсов q. Чтобы рассмотреть случай q —» 0, из Ua^ необходимо явно выделить кинематический множитель qaq^. Мы должны вычислить соответствующие скалярные функции, которые умножаются на qaq^. Прежде всего напомним некоторые результаты последней главы. Согласно аргументам, приводимым при рассмотрении скейлинга, полный пропагатор при нулевом импульсе изменяется в скейлин- говой области как £d-2ds, т. е. как корреляционная длина в степени d — 2ds. Аналогично четырехточечная функция, если все ее внешние импульсы положить равными нулю, изменяется как £3d-4dsl^-^s^ Эти результаты нетрудно понять. В случае пропагатора рассматривается величина

ddx (s (ж) s (0)).

Основной вклад в интеграл вносят те х, которые меньше или примерно равны |, т. е. х ^ £. Поэтому d-мерный интеграл дает вклад £d, а каждое из спиновых полей вносит дополнительно множитель l) £-ds. Такие же аргументы можно использовать для исследования величин Ua^q, — q^ и U^^q, — q),

*) См. гл. 7. —- Прим, перев.

когда q очень мало. Если 4т — аномальная размерность оператора Тар, то

2d—2ds—df

иа» (9, - 9) ~ "Jid-^ ^аР №(9.6)

Как утверждалось выше, функция U^q, —q) пропорциональна qaqy Следовательно, для малых q величина Еар пропорциональна q^q^ Тогда (9.6) можно записать в виде

Ua% (9, - ») ~ ^'^АаА^№ «О-(9.7)

Соотношение (9.7) можно выразить через г и т], используя определения:

ds = ^<d-24-4) и г"1-^.

Тогда (9.7) примет вид

Ua6 (9, - q)~r<dT-^/^qaq6 ^ « 1).(9.8)

Критический показатель т] с помощью процедуры сравнения, описанной в гл. 8, можно представить в виде ряда по е. Единственным дополнительным обстоятельством является наличие внутренней симметрии, приводящей к увеличению числа диаграмм, учет которых необходим. Соответствующее обобщение (8.24) и (8.25) имеет вид

г^-иф^га + З)^г^-иф^га + З)^1пг+ ...},1пг+ ...},^-Н-зг^ + г)^^^ .^-Н-зг^ + г)^^^ .(9.9)(9.9)

г^-иф^га + З)^

г^-иф^га + З)^

1пг+ ...},

1пг+ ...},

^-Н-зг^ + г)^^^ .

^-Н-зг^ + г)^^^ .

(9.9)

(9.9)

где п — число возможных степеней свободы, соответствующих внутренней симметрии и обозначаемых 1'\ И наконец, м0 и т] можно выразить через е:

2 Un8Un

1&тг = 8(П +8) ’ Л = 32 (га 4-2) (16Л2)г •(9.10)

Положив га = 1, мы воспроизведем результаты гл. 8.

Анализ такого же типа будет использован сейчас для определения размерностей тензорных операторов. Рассмотрим

’) См. гл. 8. — Прим. ред.

диаграммы, дающие вклад в вершинные функции Ua^(q, —q) и Ua£tj(q, —q). В нулевом порядке по «о это те диаграммы,

d

Фиг. 92. а —диаграммы нулевого порядка, дающие вклад в Ua^; ' б — диаграмма нулевого порядка, дающая вклад в U^if.

которые изображены на фиг. 9.2. Возможные диаграммы порядка «о и «о изображены на фиг. 9.3 и фиг. 9.4. Однако вклады этих диаграмм (фиг. 9.3 и фиг. 9.4, а) обращаются

У

Фиг. 9.3. Возможный вкладв Уар порядка я0.

-д Эта диаграмма пропадает.

в нуль. Причина этого заключается в том, что q не появляется при интегрировании по петле, в которой присутствуют индексы аир. Таким образом, при вычислении этих вкладов множитель qaq% возникнуть не может. Следовательно, вклады

должны быть тождественно равны нулю. Вычисление вклада диаграммы, показанной на фиг. 9,4, б, состоит из двух частей. Первая часть — вычисление интегралов, а вторая — подсчет числа способов, которыми эту диаграмму можно построить. Один из путей вычисления вклада диаграммы, изображенной

аа

а

а

Фиг. 9.4. Две диаграммы порядка ng, дающие вклад в ^ар-

Вклад диаграммы а тождественно равен нулю, однако вклад диаграммы б не равен нулю.

на фиг. 9.4, б, состоит в проведении вначале внутреннего интегрирования по р:

2^ + »)г] =

= SТрЧТ+^+ТГ [(р+й + »)2П+(р + Т+^рТй^Р- (9,1 ^

Тогда интегрирование по к имеет вид

S каЧ -^d+^+.p X ^ + ^ ^<9Л2)

Так как нашей целью является вычисление (7ар и (7арг-3- с точностью до О (и?^, интегралы с размерностью d — 4 — е можно

заменить на обычные четырехмерные интегралы. Это справедливо потому, что (9.12) имеет порядок О (и^ и зависимость интегралов от е приведет лишь к поправкам более высокого порядка. Интеграл (9.12) нетрудно оценить. Вклад в выражение для [7ар в пределе q —*0 равен

— "6 ^Р (16л2)2 1пг’ (9.13)

Чтобы проделать это вычисление до конца, необходимо найти число различных способов, которыми можно расставить

аа

а

а

Фиг. 9.5. Диаграммы а и б изображают два различных способа подстановки индексов в диаграмму, которая дает вклад в Г/ар.

на диаграмме индексы i и /. На фиг. 9.5, а и б показаны две возможности для Ua£, а на фиг. 9.6, а и б — две возможности для иа£ц. Комбинаторный множитель, сопоставляемый диаграмме на фиг. 9.5,а, равен 4-4-2м. Множитель п возникает от прямого суммирования по индексам внутренней петли. В действительности любая диаграмма с индексами во внутренней петле дает член, пропорциональный п. Кроме того, существуют 4 возможных способа, которыми можно построить верхнюю четырехточечную вершину. Такой же множитель возникает при построении нижней вершины. Наконец, имеется множитель 2, равный числу способов образования петли после того, как определены обе вершины. Аналогичным об-

разом находим комбинаторный множитель, соответствующий фиг. 9.5,6; он равен 64 п. Величина полного множителя для этих двух фигур равна 96 п. Существуют также диаграммы без петель (типа той, которая изображена на фиг. 9,6, б), дающие вклад в Ua£. Если принять это во внимание, суммарный числовой множитель будет равен 96 (п + 2). Комбинаторная задача для Ua^tj включает в себя подсчет других комбинаций. Диаграмма на фиг. 9.6, а дает вклад, пропорциональный 32 п (вычисления идентичны расчетам комбинаторного множителя, соответствующего фиг. 9.5, а). Однако это единственная диа-

^ар ~ 2<7о<7р ф 1^ар ~ 2<7о<7р ф 196 (П + 2) Яд6(16л2)296 (П + 2) Яд6(16л2)2In гIn г(9.14)(9.14)

^ар ~ 2<7о<7р ф 1

^ар ~ 2<7о<7р ф 1

96 (П + 2) Яд

6(16л2)2

96 (П + 2) Яд

6(16л2)2

In г

In г

(9.14)

(9.14)

Ф и г. 9.6. Диаграммы а и б изображают два различных способа подстановки индексов в диаграммы, дающие вклад в Uар//-

грамма, которая дает петлевой вклад в С^р^; на фиг. 9.6, б показана одна из непетлевых диаграмм, дающих вклад в Ua^tj. Учет всех возможностей приводит для <7ар^ к комбинаторному множителю, равному 32 (п + 6).

Совместный учет величины интегралов и комбинаторных множителей дает

Дополнительный множитель 2 в члене порядка О (/Zg) соответствует тому факту, что индексы аир могли бы по-

явиться либо в верхней, либо в нижней линиях на фиг. 9,5, а и б и т. д. Аналогично

32 (и+6) “о ,1

^agi/~|_ 16(16л2)2 Пг]‘ (9.15)

Соотношение (9.14) следует сравнить с результатом, полученным на основании скейлинга1):

q^^-^'2^.(9.16)

Так как показатель т] имеет порядок О («о), в знаменателе экспоненты (9.16) им можно пренебречь. Тогда, сравнивая (9.16) и (9.14), находим

d^d^-^^^^.(9.17)

Используя для т] предыдущий результат (9.10), нетрудно показать, что второй и третий члены в (9.17) сокращаются, оставляя для dT, как и утверждалось выше, выражение

dT = d.(9.18)

Чтобы определить аномальную размерность d^T^ для Ta^j, сравним (9.15) с (9.16). Это даст

+—(„ + 6)^^.(9.19)

Если использовать (9.10), соотношение (9.19) примет вид

<^/) = ^+ 3^8)2 е2'(9 20)

Выбирая п = 3 (таким образом, величины s, образуют изо- спиновый триплет), получаем

d(7\/) = </ + -j^-.(9.21)

Так как е по порядку величины не превышает единицы, отклонение d^Tt^ от d весьма мало. Конечно, поправки к d(Tt^ более высоких порядков изменят конкретное выражение для d(Tt^—d, однако ожидается, что полуколичественный результат, который утверждает, что разность d(Ttj)— d мала, по-прежнему будет иметь место. Причина малой аномально

') См. соотношение (7.39).—Прим, перев.

142

сти кроется в том, что вклад от диаграммы порядка ий (фиг. 9.3) тождественно равен нулю.

То, насколько этот расчет относится к делу, является, конечно, вопросом дискуссионным. Однако он представляет собой реальный пример масштабно-инвариантной теории, с помощью которой можно реально вычислить аномальные размерности. Возможно, что аномальные размерности, определяющие на самом деле поведение глубоко неупругого рассеяния [95, 117], также очень близки к каноническим. (Для ознакомления с недавними исследованиями глубоко неупругого рассеяния электронов, использующими теорию возмущений, см. работы [118, 119].)

Так как и0 имеет порядок е, ясно, что при е—>0 и0—>0, это означает отсутствие взаимодействия, когда d—4*). Следовательно, изложенное выше вычисление непосредственно не применимо к реальной физике элементарных частиц. Мы надеемся, однако, что все обнаруженное здесь для размерности d < 4 (скажем, d = 3) позволит нам понять, к чему приведет некоторая более реалистическая теория при d = 4.

Аномальные размерности вычислены также для тензорных операторов Т пг-го ранга:

Тах ... ат (0) = Z ss (0) V», . . . ^amSi (0),(9.22)

Tax...amU^ = StWax ■ • • ^i (0)(9.23)

для четных т. Они будут обозначаться соответственно Т^ и Лт) и- Результаты, с точностью до е2, имеют вид

d (W = 2(n + 8)2 6' { 1 ~ m(m + I) } ’(9 24)

# /т . \ я + 2 е2 J 12 (п + 6)) /л qk\

dVW И)— 2(п + 8)2 8 ( 1 (п +2)m(m + 1) Г

Глава 10

СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙИ ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ

В гл. 9 было приведено краткое доказательство того, что фейнмановские диаграммы, представляющие взаимодействие ф (преобразованные к мнимому времени, т. е. в евклидовой метрике), совпадают с диаграммами, соответствующими статистической сумме и рассмотренными в предыдущих главах. Более точно, вакуумное среднее произведения п полей ф пропорционально n-спиновой корреляционной функции. В этой главе те же самые соотношения будут установлены на более фундаментальном уровне и с большей аккуратностью. Большая аккуратность означает, например, введение специальной (и нековариантной) процедуры обрезания в теорию взаимодействия ф4, а также отказ от использования разложения по фейнмановским диаграммам.

Связь между критическими явлениями и теорией поля обнаружили и использовали в диаграммной форме Грибов и Мигдал [61, 69], а также Поляков [71—73]; детальное сравнение фейнмановского интеграла по путям со статистической суммой провел Мур [74]. Эта связь обсуждается также в диссертации Сури [75]. В настоящей главе (как и в работе [75]) основное внимание уделяется матрице переноса.

Главным моментом обсуждения будет квантовая теория поля на решетке. В этой теории вместо обычных полевых операторов ф(х') мы имеем «дискретные» операторы ^я1). Простые гамильтонианы, используемые в теории поля на решетке, имеют вид, соответствующий связанным гармоническим или ангармоническим осцилляторам (см. ниже). На взаимодействие будет налагаться также условие локальности: гамильтониан Н должен иметь вид суммы

Н=Цнт, (10.1) т

СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ где Нт зависит только от операторов фп для узлов п, близких к узлу т. Квантовая теория поля на континууме сводится к теории поля на решетке с помощью подходящего метода обрезания; в свою очередь теории поля на решетке с помощью формализма «матрицы переноса» (см., например, [120]) будут расматриваться в рамках статистической механики.

Различные процедуры обрезания должны, вероятно, искажать исходную теорию взаимодействия $4, даже если эта теория имеет смысл. В рамках теории возмущений от эффектов большого, но конечного обрезания можно избавиться с помощью стандартной ренормализационной техники. Теория перенормировок, не использующая теорию возмущений, будет изложена в гл. 12. В конце настоящей главы будут сделаны некоторые предварительные замечания, устанавливающие эквивалентность бесконечного обрезания в теории поля и бесконечной корреляционной длины в статистической механике.

Теории поля на решетке не являются инвариантными относительно преобразований Лоренца (или инвариантными относительно евклидовых преобразований для мнимых времен). Лоренц-инвариантность должна восстанавливаться в континуальном пределе. Основные свойства этого предела определяются способом перенормировки. В рамках теории возмущений лоренц-инвариантность действительно восстанавливается. (Например, все диаграммы в гл. 13 и 9 евклидово-инвариантны.) Условия, необходимые для получения инвариантности относительно евклидовых преобразований в общем случае, рассматриваются в гл. 12.

Между гамильтонианом, с которым имеют дело в статистической механике, и гамильтонианом, используемым в теории поля (определенном в этой главе), не существует тривиальной связи. Если гамильтониан в статистической механике определен в пространстве размерностью d, то отвечающий ему гамильтониан в теории поля действует в пространстве размерностью d—1. Гамильтонианы взаимодействия в статистической механике обозначаются далее через 38, а гамильтонианы в теории поля — через Н. Гамильтониан взаимодействия в статистической механике 38 более тесно связан с лагранжианом в теории поля (см. ниже и [74]).

Формализм матрицы переноса рассмотрен во многих работах, например в работе [120], однако здесь мы кратко изложим идеи этого метода. (В работе [120] он был использован в качестве базиса для подробного вывода решения Онсагера

для двухмерной модели Изинга.) Рассмотрим для случая дискретной решетки модель, соответствующую статистической механике. По определению статистическая сумма для этой модели имеет вид

г = П (^smexp { - |s2m - uos^ ) exp IК £ £ s„s„+? I,

(Ю.2)

где все обозначения заимствованы из гл. 3 и 4; сумма по г представляет собой сумму по d осям; t — единичный вектор вдоль оси I. Статистическая сумма (10.2) включает в себя интегрирования по спинам в каждом узле решетки. В показателях экспонент имеются члены, связанные с каждым индивидуальным узлом решетки, а также члены, отвечающие взаимодействию с ближайшими соседними узлами. С помощью некоторого построения мы сейчас покажем, что Z можно записать в виде

Z = spv"i(103)

где N — число узлов в решетке (в настоящем изложении предполагается, что оно конечно), а V—матрица переноса, которая будет определена ниже. Для начала необходимо описать порядок интегрирований в (10.2). На плоской решетке спиновые переменные интегрируются по рядам (фиг. 10.1). (Для решетки размерностью d в качестве ряда выступает подрешетка размерностью d—1.) Схематически Z записывается следующим образом;

Z= ... J j ... J ...,(10.4)

ряд 1 ряд О ряд -1

где ряды занумерованы в соответствии с фиг. 10.1. Так как взаимодействие в (10.2) включает в себя только взаимодействие с ближайшими соседями, статистическую сумму можно более точно записать в виде

Z — ... ^ ехр{5^[ряд2, ряд 1]}Х

ряд 1

X ехр {5^ [ряд 1, ряд 0]} ^ ... . (10.5)

ряд О

В величине гамильтониана взаимодействия 36 в выражении (10.5) имеется некоторая степень неопределенности, поскольку члены из (10.2), включающие в себя, скажем, только ряд 1, могли бы появляться либо в 36 [ряд 2, ряд 1], либо в 5^ [ряд 1, ряд 0]. По условию такие члены будут равнорас- пределены между 36 [ряд 2, ряд 1] и 36 [ряд 1, ряд 0]. Ясно,

е ее ее •

®т 8т+Т

РяЭ+1 ••©••©

Ряд 0••♦••©

®т 8т+1

Ряд-1 •••••©

Фиг. 10.1. Двухмерная решетка спинов.

Спины внутри каждого ряда нумеруются с помощью дополнительного индекса.

что все гамильтонианы взаимодействия 36 в (10.5) имеют одинаковый вид и отличаются только трансляцией на один ряд. Удобно обозначить узлы решетки внутри ряда (подрешетки) с помощью d—1-мерного вектора т. (Для двухмерной решетки т является скаляром.) Из (10.2) следует, что если sm(s^) — спины, принадлежащие ряду 0 (ряду 1) (см. фиг. 10.1), то

■ 36 [ряд 1, ряд 0] = — J b £ (s^, + s^) — у Uq £ (s4m + s^) +тт

“Ь4" 8т8т4" К 8 S? , (10.6)

т,?т

где третий член включает взаимодействия между узлами решетки, принадлежащими рядам 0 и 1. Четвертый же член

147

в выражении (10.6) определяет взаимодействие между рядом 0 и рядом 1.

Пусть s обозначает множество спинов {sm}, принадлежащих некоторому определенному ряду. Тогда 36 является функцией s и s'. Запишем V(sz, s) в виде

V(sz, s) = exp{^(sz, s)}.(10.7)

Функция V(sz, s) определяет элементы некоторой матрицы; произведение таких матриц включает в себя интегрирование по всем спиновым переменным sm из s. Теперь можно приступить к развитию формализма операторных волновых функций. Волновыми функциями будут служить функции -ф (s); оператор V, действуя на ф, дает волновую функцию ф'(sz):

ф,($,) = V (s', $)ф($),(10.8)

з

где означает

3

j^ dsm.

На решетку конечных размеров удобно наложить периодические граничные условия, которые означают, что в дополнение к взаимодействию между рядами п и n-V 1 (п изменяется, скажем, в пределах 1 ^ п <7 N — 1) включается взаимодействие между рядом N и рядом 1. В этом случае, как и было обещано, статистическая сумма-имеет вид 5р(7^).

Пространство функций ф(х) определяет некоторое гильбертово пространство (в том случае, если каждый ряд имеет конечную длину; в противном случае мы имеем дело с несепарабельным гильбертовым пространством, появление которого вызывает некоторое неудовольствие со стороны тех, кто расположен рассуждать строго)1). Оператор V является эрмитовым, поскольку гамильтониан взаимодействия 36 (s', s) действителен и симметричен. Таким образом, V можно выбрать в качестве гамильтониана некоторой квантовомеханической системы. Однако приемлемый для этой цели гамильтониан должен удовлетворять определенному дополнительному требованию локальности. Оператор V является экспонентой от

*) См., например, статью Ф. А. Березина [147]. — Прим, перев,

148

сумм по узлам решетки. Чтобы получить величину, которая является аддитивной по достаточно отдаленным узлам решетки, гамильтониан теории поля будет выбран равным

Я = -11п1/, (10.9)

где т — произвольная постоянная нормировки. Когда величина К в (10.6) равна нулю, нетрудно показать, что In V действительно является суммой по узлам решетки (в этом случае V равно прямому произведению независимых операторов: по одному для каждого узла). Сделанное выше утверждение можно также проверить с помощью теории возмущений по К (см. [75]). Доказательство локальности In V каким-либо другим способом является нетривиальной задачей, которая в дальнейшем обсуждаться не будет.

Чтобы разъяснить перспективность определения (10.9) для Н, будет сделано длинное отступление по поводу определения гамильтониана и природы оператора ехр(—//т) в квантовой механике и квантовой теории поля.

В обычной формулировке квантовой механики имеются два типа ограничений, налагаемых на гамильтониан. Во-первых, это общие ограничения на гамильтониан Н: он должен быть эрмитовым, в особых случаях он должен удовлетворять специфическим свойствам симметрии и т. д. В теории поля гамильтониан Н должен быть также по крайней мере макроскопически локальным. Ограничение второго типа сводится обычно к некоторому требованию простоты. Например, кулоновский гамильтониан можно записать в явном виде с помощью только двух параметров: заряда электрона и массы. В противоположность этому множество собственных значений, например атома гелия, который является чрезвычайно сложным объектом, не позволяет представить гамильтониан в замкнутом'виде. Гамильтониан был бы гораздо менее полезным понятием, если бы не существовало простого способа определения его ).

Даже в случае таких систем, как ядра, где точный гамильтониан неизвестен, имеется тенденция к введению простых мо< дельных гамильтонианов (например, для моделей с потенциа-

лами типа прямоугольной ямы или типа гармонического осциллятора), которые воспроизводили бы качественные особенности физических явлений.

В настоящем случае мы игнорируем требование простоты. Оператор V определен достаточно просто, a In V является более сложным оператором. Например, матричные элементы (sz | In V|s) нельзя записать в замкнутом виде. В теориях поля, которые обычно рассматриваются (например, в квантовой электродинамике или в теории скалярного поля со взаимодействием ^>4), вводятся простые гамильтонианы. По крайней мере это так, если можно верить канонической теории поля. Существуют три аргумента в пользу того, чтобы заинтересоваться теориями с менее простыми гамильтонианами, такими, например, как тот, который определен здесь выше.

Во-первых, определенный интерес представляет изучение гамильтонианов любого вида, которые удовлетворяли бы общим принципам, например локальности. Тогда, рассматривая In V в качестве гамильтониана, мы получаем преимущество — вся техника статистической механики оказывается пригодной для решения этой задачи. Из результатов гл. 14 станет очевидно, что методы статистической механики для случая (скалярных) теорий с сильным взаимодействием являются более мощными, чем любые методы теории поля.

Во-вторых, следует иметь в виду принцип универсальности, который будет обсуждаться в гл. 12. То, что мы выясним в гл. 12, сводится к следующему: ожидается, что большие классы взаимодействий приводят к одной и той же перенормированной теории поля, следовательно, точный вид исходного взаимодействия (простого или сложного) не очень существен.

В-третьих, существуют способы обрезания, которые в результате определяют вид формулы (10.9) для Н; эти способы обрезания будут изложены ниже в настоящей главе-.

Рассмотрим теперь обычную квантовую механику и в ее рамках оператор ехр(—//т). Если определить вектор состояния ф(т) соотношением

| ф (т)) = ехр (—Ят) | ф), (10.10) где ф от т не зависит, то ф(т) будет удовлетворять следующему дифференциальному уравнению:

^|ф(т)>=-Я|ф(т)>. (10.11)

Это как раз и есть уравнение Шредингера для мнимого времени. Предположим, что состояние |ф(т)) имеет волновую функцию ф(х, т). Тогда решение уравнения (10.11) можно записать в следующей форме:

ф(х, т) = ^ G(x, т; х', О)-ф(лс/, 0)^х',(10.12)

где G — функция Грина; в общем виде имеем

G(.x, т; х', 0) = (х |ехр(—/7т)|х').(10.13)

Функция Грина, как установили Дирак и Фейнман (см. [121] или [104]), имеет простой вид для малых т. Формально можно записать

G(x, т; х', 0) = exp| L [х, x]dr |,(10.14)

где L — лагранжиан нерелятивистской системы, в которой время / заменено на —Д. Для простого, не зависящего от времени потенциала V лагранжиан в случае мнимого времени имеет вид

L = - 1 тх2 - V (х),(10.15)

где х есть dx/dx. Величину х для малых т приближенно можно представить следующим образом:

х = Д1±^Мф(10.16)

Тогда функция (10.14) для малых т превращается в функцию

п , zГ 1(* — *')2 ГУ (*) + V (х')!)

G (х, т; х , 0)»ехр | — у «~——:тI 1Ч |. (10.17)

Это соотношение позволяет практически применять определение (10.14). Доказательство того, что (10.17) определяет функцию Грина для малых т, дано во многих работах, и в частности в работах [104, 121].

151

Соотношение (10.17) показывает, что ехр(—/7т) для малых времен т является довольно простым оператором. Если т не мало, тогда ехр(—/7т) можно записать в виде

ехр(—Ят)^ехр ^—-у-^ехр^—у^) ...ехр(—^")* (Ю.18)

«-/ раз->

где / настолько велико, что величина т// мала. Операторы ехр(—/7т//) являются простыми, а оператор ехр(—/7т) получается из них итерациями. Если вычислять многократное произведение с помощью перемножения матриц, то можно найти

(х|ехр(— /7т) |У> = J ... ${х|ехр(—j^l^XX (*i I exp ^—-^-^ | *2) • •• X

X(*z 1ехр(—у4)| х^.X(*z 1ехр(—у4)| х^.(10.19)(10.19)

X(*z 1ехр(—у4)| х^.

X(*z 1ехр(—у4)| х^.

(10.19)

(10.19)

Этот многократный интеграл можно записать более явно, используя соотношение (10.17). В пределе Z —► оо он переходит в фейнмановский интеграл по траекториям [104, 121].

В квантовой теории поля также имеется формализм интегрирования по траекториям, причем, для того чтобы сделать этот формализм хорошо определенным, необходимо ввести некоторое обрезание. Это обрезание можно ввести таким образом, чтобы у гамильтониана сохранился простой вид, точно так же как и у оператора ехр(—/7т) для бесконечно малых т. Обрезание можно ввести и так, чтобы только оператор ехр(—Нт) для заданной конечной величины т имел простую форму. К объяснению этого мы вернемся ниже. Ни тот, ни другой из методов обрезания не является лоренц-инва- риантным; конечно, существуют также и лоренц-инвариантные методы обрезания. (Евклидово-инвариантное обрезание было использовано в гл. 8 и 9.)

Рассмотрим лагранжиан скалярной теории поля (1 — размерность времени в пространстве размерностью d — 1):

L = ^ ^-*х {1 (^-)2 -1W - 4 ^</.2 - Хйф4 } , (10.20)

где ф(х^ — скалярное поле. Проведем обрезание первым методом; для этого заменим непрерывное пространство рещет-

кой с малой, но ненулевой постоянной а. Для градиента воспользуемся приближением конечной разности, а интеграл заменим суммой. Пусть фт— величина ф(х') в узле решетки с координатами т (т. е. х = та\ Тогда

Выражение (10.21) является лагранжианом для множества связанных ангармонических осцилляторов, причем каждое фт соответствует смещению осциллятора. Параметр массы каждого осциллятора равен ad-1. Если Рт— оператор импульса для осциллятора т, тогда гамильтониан системы имеет вид

и-Е| ^+г^Е (^+г - v+

7

+ 4 Р^"1^ + V*’1^ |. (10.22)

Оператор ехр(—Яг) для достаточно малых т [по аналогии с нерелятивистской формулой (10.17)] можно записать следующим образом:

(^ | ехр (- Ят) | ф) to exp £ { — -^ а4-1 (ф^ — фт^ — т

т^-’Е к*-^ - v+^ - ки -

7 т^- X № + «) - 4- X № + «) } • (10.23)

Насколько мало должно быть т, чтобы эта формула была справедлива? Для получения грубой оценки, рассмотрим гамильтониан (10.22), но пренебрежем ф4т и членами фтфт+-[ч которые отвечают взаимодействию различных узлов решетки. Тогда гамильтониан станет равным

н ~ Е {^^+[у ц»“""+у -11 **”] *4 • (10-24)

т. е. будет представлять сумму независимых гармонических осцилляторов, энергетические уровни которых разделены промежутками величиной

® = V^o + 2 (^ — о °-2 •® = V^o + 2 (^ — о °-2 •(10.25)(10.25)

® = V^o + 2 (^ — о °-2 •

® = V^o + 2 (^ — о °-2 •

(10.25)

(10.25)

Так как <в— единственный энергетический параметр в гамильтониане Н, ожидают, что (10.23) будет хорошим приближением, когда сот С 1, т. е. для достаточно малой постоянной решетки а в точности будем иметь т <С а.

Выражение (10.23) гораздо проще формул (10.6) и (10.7)' для (s'l V|s). Чтобы провести подробное сравнение, допустим, что smc точностью до скалярного множителя совпадает с фт;

sm = ^m.(10.26)

Тогда соотношение (10.23) принимает вид

(s' | exp (- Ят) | s> = exp £ { -16 ^т + s^) - у ий {s^ + s^) + + 2 2j LSmSm-Vl + SmSm+?) + K2Smsm ^ ’(10.27)

гдегдеad J 2 b = -zr i — £2 l таad J 2 b = -zr i — £2 l та2 (d — 1) т2 (d — 1) т«0 =«0 =KxKxK2 =K2 =a3Xoad~1'Vad"3Ti2a^1t^2 'a3Xoad~1'Vad"3Ti2a^1t^2 'HpTaHpTa(10.28)(10.28)

где

где

ad J 2 b = -zr i — £2 l та

ad J 2 b = -zr i — £2 l та

2 (d — 1) т

2 (d — 1) т

«0 =

«0 =

Kx

Kx

K2 =

K2 =

a3Xoad~1'

Vad"3Ti2a^1t^2 '

a3Xoad~1'

Vad"3Ti2a^1t^2 '

HpT

a

HpT

a

(10.28)

(10.28)

Требование, чтобы т было гораздо меньше а, означает, что

(10.29)(10.29)Кх < Кг

(10.29)

(10.29)

Тем не менее оператор ехр(—Ят) = V можно по-прежнему рассматривать как матрицу переноса некоторой статистической системы, причем соответствующее взаимодействие будет пространственно-анизотропным: вдоль одной оси постоянная взаимодействия равна Кг, вдоль всех остальных Кь

Таким образом, если мы готовы допустить в статистической механике анизотропные взаимодействия, то в результате можно получить и простой полевой гамильтониан с обрезанием, и соотношение

т// = -1п V,

связывающее Н с матрицей переноса.

На практике в статистической механике проще иметь дело с изотропными взаимодействиями, которые получаются, если положить т = а, так что Кд = Ki- Теперь выражения (10.22) и (10.23) несовместимы1). Если же мы готовы отказаться от простого явного вида (10.22) для Н, то для определения Н можно использовать выражение (10.23); это означает, что, как и предполагалось выше,

Я=--1п V,

причем К = Ki = К2.

Итак, можно взять формальное выражение, используемое в теории поля [аналогичное (10.14)]:

(^ |ехр(-//т)| ^>) = ехр[- J ^d-1^{^("lr)2 + о

+ |W + 4^2 + M4}]. (ю.зо)

и провести в нем обрезание, вводя пространственную решетку с постоянной а. Тогда мы имеем параметр пространственного обрезания, равный а, и временное обрезание т. Если т = а, получается изотропная матрица переноса и непростой вид оператора Н. Если т <С а, матрица переноса анизотропна, а оператор Н имеет простой вид. Уравнения (10.28) дают связь между полевыми параметрами цо. ^-о, обрезанием а, ренорма- лизационным параметром £ и параметрами в статистической механике Ь, ий, Кд и К2- Мы будем рассматривать только случай т = a (Кд = Ki = К).

Следующая проблема — установление связи между спин- спиновыми корреляционными функциями и величинами вакуумных средних в квантовой теории поля с обрезанием. Подробно будет рассмотрен только пропагатор, однако получен-

') Формула (10.23) получена в предположении, что т-О.—Прим. перев.

ные результаты будут справедливы для любых вакуумных средних произведения п полей. Будет предполагаться, что соотношения

Н = -т_11пУ и у> =sm° 1 т т

имеют место. Стандартное определение пропагатора в координатном пространстве имеет вид

D(x, t^ = <Q\T<j>(x, /Ш0, 0)| Q>,(10.31)

где |Q)—вектор основного состояния (состояния вакуума), а Т — оператор хронологического упорядочения. Оператор ф(х, /) является полевым оператором в гейзенберговском представлении

ф (х, i) = exp (IHf) ф (х) exp (— iHt\ (10.32)

Заменим теперь непрерывную переменную х решеточной переменной tn. В результате получим решеточный пропагатор £)«(/), определяемый выражением

п^=<а\тфттошо1). (ю.зз)

Используя решеточный аналог формулы (10.32) для t > 0, находим

Dm ^ = (^ I ^m exp (— iHi) фо I Q> exp (iEQt),(10.34)

где Ео — энергия основного состояния оператора Н.

Нам нужна формула для спин-спиновой корреляционной функции, которая выражала бы ее через матрицу переноса V (см., например, [120]). В статистической механике точка на решетке выделяется с помощью индекса ряда п и решеточной переменной т внутри ряда. Произвольный спин на решетке обозначается sn,m. Спин-спиновую корреляционную функцию можно тогда записать следующим образом:

ГП1 щ — ZГП1 щ — Z... ^ ... lsn,mSo,oexp(S^). (10.35) ряд п ряд 0)

ГП1 щ — Z

ГП1 щ — Z

(Эта формула для п > 0; для п < 0 интегрирования по рядам п и 0 будут проводиться в обратном порядке.) Предположим, что имеется всего 2N -ф 1 рядов, занумерованных от —N до N, с периодическими граничными условиями (и N^ny

Тогда нетрудно увидеть, что для п ^ О

Гп, mГп, m_ Sp (у"'^^^"4"1) ._ Sp (у"'^^^"4"1) .Sp y2JV+1Sp y2JV+1(10.36)(10.36)

Гп, m

Гп, m

_ Sp (у"'^^^"4"1) .

_ Sp (у"'^^^"4"1) .

Sp y2JV+1

Sp y2JV+1

(10.36)

(10.36)

здесь один из множителей V связывает ряд N с рядом —N, a sm— теперь шредингеровский оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций ф($), определенных ранее. Шпур в (10.36) можно переписать в следующем виде:

Д, m —Д, m —Sp^+'-XJ^o)Sp (y2JV+1)Sp^+'-XJ^o)Sp (y2JV+1)(10.37)(10.37)

Д, m —

Д, m —

Sp^+'-XJ^o)

Sp (y2JV+1)

Sp^+'-XJ^o)

Sp (y2JV+1)

(10.37)

(10.37)

Предположим, что эрмитов оператор V имеет единственное наибольшее собственное значение. (В рамках статистической механики, как показывают факты, это справедливо для Т > Тс, т. е. для К < Кс, и несправедливо для К > Кг, см., например, работу [120].) Наибольшее собственное значение V равно ехр(—Сот), где Ей — наименьшее собственное значение энергии оператора Н = — 1п V/r. Соответствующий собственный вектор оператора V является основным состоянием |й) для Н, Для больших N оператор ^ можно представить в виде

У^^|Q)exp(^Eoт)<^L(Ю.38)

причем ошибка экспоненциально по N стремится к нулю при N —► оо. Используя этот результат, получаем (для «бесконечно большого» ^)

Г„. ш = (й | sm exp (— п//т) s01 Q) exp <пЕот\(10.39)

Теперь можно связать £>m(Z) и Гп,т. Результат (для п ^ 0) выглядит следующим образом:

Vn,m = ^Dm(-inT\(10.40)

Функцию Dm(t), определенную на полуоси t > 0, можно аналитически продолжить на нижнюю половину плоскости 1. Это возможно по той причине, что Н — Ей является положительным оператором (по определению Ео), и, следовательно, величина ехр {—ЦН—E^t^ будет ограничена для Im t < 0. Такое аналитическое продолжение определяет Dm^—if). Если же известна функция Dm(—if), то аналитическое продолжение определяет Dm^t).

Итак, спин-спиновая корреляционная функция, используемая в статистической механике, эквивалентна пропагатору квантовой теории поля на решетке при дискретных значениях пт (мнимой) временной переменной.

Заметим, что в то время как исходная система в статистической механике определена на решетке для мнимой временной переменной, система в квантовой теории, полученной из статистической механики, определена для непрерывной действительной временной переменной. Однако оценить Dm(f) для любых действительных или мнимых величин t между точками решетки, т. е. в интервале т, довольно трудно. На практике, чтобы найти значения t между точками решетки, необходимо диагонализовать оператор V и использовать соотношения, подобные (10.44). В настоящее время не существует реальных методов диагонализации оператора V вблизи критической точки (за исключением точно решаемой двухмерной модели Изинга [120]). В работе [75] проведено исследование некоторых собственных состояний и собственных значений оператора V, представленного в виде разложения по К.

Замена пространственной решетки, узлы которой характеризуются вектором т, непрерывным континуумом является более трудной задачей. При выводе квантовой механики на основе теории поля на решетке была введена постоянная решетки а, поэтому можно было ожидать, что теория поля в непрерывном пространстве восстанавливается, если положить а—>0. Рассмотрим, однако, физическую (ренормированную) массу цд, фигурирующую в теории поля. Если не проводить перенормировку массы (т. е. если цо считать фиксированной величиной при а—>0), то масса цд будет пропорциональна обрезающему импульсу а-1, а не постоянной. Этот вывод следует из теории перенормировок, основанной на теории возмущений, для размерности d = 4 (для 3 < d < 4 величина цн при а -* 0 расходится, однако не так быстро). Точно такой же вывод получается из рассмотрения статистической механики в пределе малых а независимо от теории возмущений. Как будет показано ниже, физическая масса равна (^а)-1, где § — корреляционная длина соответствующей статистической системы, выраженная в единицах постоянной решетки. Для размерности d = 4 корреляционная длина £ при а —► 0, вероятно, остается конечной (см. ниже) и, следовательно, величина цд ведет себя как а-1.

Для доказательства того, что

^ = -^,(10-41)

сравним поведение спин-спиновой корреляционной функции на больших расстояниях и поведение пропагатора. Рассмотрим спин-спиновую корреляционную функцию Гп,т в пределе больших п и т = 0, тогда для п £ без учета предэкспонен- циальных степеней п получим

Г„,0~ехр(-|).(10.42)

Рассмотрим теперь пропагатор Dm(—/пт) для больших п и ш = 0; он равен

£>о (— /пт) = (Q [ </>0 ехр (— //пт) фй [ Q) ехр (^опт). (10.43) Представляя это выражение в виде суммы по всем собственным состояниям |v) оператора Н, получаем

Do(- inr) = £ ехр {- (£v - Ео) пт} |(Q 1 ^о I v> р. (10.44)

При больших rt доминировать будут члены, соответствующие наименьшей энергии. Из-за инвариантности относительно замены ф-* — ф состояние с наименьшей энергией, которое дает главный вклад в (10.44), не является основным, а соответствует первому возбужденному состоянию. Согласно общепринятому мнению, первое возбужденное состояние совпадает с одночастичным состоянием, когда частица покоится. (Это утверждение можно продемонстрировать с помощью теории возмущений по К [75], однако оно не доказано в общем виде.) Разность энергий Ev — Ей для этого состояния равна массе частицы р,д. Следовательно, для п -> оо

Do(— /пт) ~ ехр(— ц^пт).(10.45)

(Сумма по v превращается в интеграл по импульсу одночастичного состояния и определяет степень п в предэкспонен- циальном множителе; см. [122].) Сравнивая соотношения (10.40), (10.42) и (10.45), находим

1

Рдт=у.

Поскольку мы выбрали т = а, то получили уравнение (10.41).

Чтобы увидеть, что корреляционная длина £ при а—*0, по всей видимости, конечна, рассмотрим в пределе а = т->0

159

в рамках статистической механики модель с параметрами, определяемыми соотношениями (10.28). Если масштабный множитель £ фиксирован, тогда все параметры Ь, и0 и K=Ki = Ka при а —► 0 стремятся к нулю, что не очень желательно. Для конечных а величину £ можно выбрать по своему усмотрению, не изменяя £ (см. ниже); при специальном выборе

£ = a(d-2)/2(10>46)

параметры b и К при а->0 имеют ненулевые пределы:

(10.47)

Для любых а получаем

(10.48) следовательно, ий = Хо при d = 4 (u0—► 0 при d < 4, если а —► 0). Причины независимости корреляционной длины £ от параметра £ связаны с тем, что переход от фт к sm представляет собой просто замену переменных; если производится замена £ на tf, это совсем не изменяет средних по вакууму от фт, а спин-спиновая корреляционная функция Гп, т изменяется только на масштабный множитель (£'/£)2. Это не меняет величину £.

Для d = 4 и а—>0 параметры в статистической модели суть: b = 8, К = 1, ий = Хо. Чтобы корреляционная длина £ была бесконечна, параметр К должен равняться своей критической величине. Если Хо=О, критическая величина К равна 1 (см. гл. 3) и корреляционная длина £ бесконечна. Для Хо ^ 0 величина Кс в общем случае не равна 1 и корреляционная длина £ конечна. Например, для больших Хо случай К = 1 можно легко рассмотреть с помощью разложения по К и, как оказывается, мы тогда нигде не приблизимся к критической точке (это аналогично разложению, предложенному Шиффом [123]).

Для d < 4 и а = 0 параметр «о равен нулю, следовательно, К = 1, т. е. своей критической величине для любого значения Хо. Однако аккуратное исследование того, как ведет себя корреляционная длина £ при а —► 0, показывает, что, когда d изменяется в области 3 ^ d < 4, величина (£а)-1 при а -* 0 по-прежнему расходится.

На этом отступление заканчивается.

Основная цель этой главы состоит в построении некоторой теории поля на основе статистической механики. В этом слу-

чае у нас нет априорных правил, которые бы указывали, как параметры b, и0 и К должны зависеть от постоянной решетки а. В статистической механике не возникает таких постоянных, потому что все длины естественным образом выражаются в единицах постоянной решетки. В теорию поля постоянную решетки а приходится вводить как некоторый нетривиальный параметр, потому что для физика-теоретика, занимающегося полем, естественной единицей длины является величина, обратная массе цд. Даже если не полагать р,д = 1, необходимо, чтобы величина р,д при а-* 0 имела конечный предел.

Так как мы хотим построить теорию поля, то логично рассмотреть статистическую механику в таких единицах, при которых рд = 1. Эти единицы можно использовать для любого выбора статистических параметров b, Uq и К вне критической точки. Постоянную решетки в этих единицах запишем в виде

1 .

Имеется некоторая характерная система единиц, связанная с параметрами Ь, и0 и К, при работе, в которой величина р,д остается фиксированной независимо от того, как изменяются эти параметры. В частности, удерживая величину р,д фиксированной, можно получить предел а —► 0, если положить К~>КДЬ, «о), где Кс^Ь, “о) —критическая величина К.

Таким образом, определить конечную массу цд в пределе а —► 0 довольно просто. Менее тривиально получить при а —* О определенные пределы для полевых вакуумных средних. Трудность состоит в том, что необходимо знать, как ведут себя при К—* Кс многоспиновые корреляционные функции. В частности, мы интересуемся вакуумными средними для расстояний, которые фиксированы в единицах ц*1. Фиксированное в этих единицах расстояние является расстоянием, которое в единицах постоянной решетки пропорционально £. Таким образом, если поведение корреляционных функций, медленно спадающих на бесконечности, при К-* Кс очень усложняется, вакуумные средние при К -* Кс не будут иметь определенного предела. В гл. 12 будет показано, что непрерывный предел для всех вакуумных средних действительно существует, если критическое поведение определяется неподвижной точкой ре- нормализациониой группы.

Мы закончим эту главу двумя краткими замечаниями.

Для d < 4 определенная обычным образом теория взаимодействия Хоф4 является легко перенормируемой в рамках теории возмущений, причем для этого требуется только небольшая перенормировка массы. Это связано с тем фактом, что, как указывалось выше, «о ~*0, если а—>0. Однако отталкиваясь от статистической механики и удерживая фиксированным при а—*0 параметр и0 (вместо Хо), можно построить для d < 4 более общую теорию поля. Существование предела в этом случае установлено (в предположении, что существует неподвижная точка) в гл. 12. Именно эта теория содержит тензорные операторы с аномальными размерностями, которые были вычислены в гл. 9.

Обычно считается само собой разумеющимся, что в квантовой теории гильбертово пространство имеет положитель* ную метрику (хотя со стороны Гейзенберга и других имел место некоторый флирт с квантовыми теориями поля с индефинитной метрикой). Использование формализма матрицы переноса приводит к тому, что статистическая механика определяет квантовую теорию поля с положительной метрикой на решетке. Это нетривиальный результат, так как в статистической механике можно построить такие модели, для которых нельзя найти эквивалентные квантовые теории поля с положительной метрикой. Простым примером является гауссова модель со взаимодействием

-3^0 = ^ tr° + ^2 °ч°-ч-(10.49)

q

Пропагатор в этой теории равен

1

(го + Ч2У

и имеет двойной полюс в точке q2 = ■—г0. Двойной полюс не может иметь место для квантовой теории с положительной метрикой. Следовательно, эту теорию нельзя представить как теорию поля на решетке, имеющую матрицу переноса. Основное ограничение подхода, основанного на матрице переноса, заключается в том, что взаимодействия между рядами рассматриваются только для ближайших соседей, так что выполняется соотношение (10.7). Следовательно, решеточные приближения для (10.49) с необходимостью включают в себя взаимодействия соседей, по крайней мере следующих за ближайшими.

Глава 11

ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯРЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Цель этой главы — дать точную формулировку ренормализационной группы в дифференциальной форме. Полученные уравнения оказываются очень сложными, поэтому мы не будем рассматривать их слишком подробно. Внимание будет уделено идеям, лежащим в основе этого подхода. (Выведенные здесь уравнения содержались в неофициальном сообщении К. Вильсона на конференции в Ирвине (1970); ранее они не были опубликованы.)

Формальное обсуждение следствий, к которым приводит ренормализационная группа, лучше всего проводить, если представить ее в дифференциальной форме. Дифференциальная форма полезна также и при исследовании свойств е-раз- ложения во всех порядках (в частности, для решения вопроса типа «существует ли оно»; на этот вопрос до сих пор еще нет ответа). Большие возможности, связанные с этой формой, возникают и потому, что мы теперь можем получить приближенные формы преобразования, позволяющие провести численное интегрирование, а это в свою очередь приводит к решению проблем, которые нельзя решить каким-либо другим способом.

В предыдущих главах для получения дискретного преобразования, соответствующего ренормализационной группе, было проведено интегрирование спиновых компонент aq с |^| > V2- Затем был изменен масштаб оставшихся компонент а, (|q| < */2) в результате замены их на t,<5zq) где £ — постоянная масштабного преобразования.

Очевидный путь построения инфинитезимального преобразования— проведение интегрирования только по тем aq, для которых импульсы q изменяются в области

1 -bt <\q\< 1,163

где 6t мало. Это, однако, вызывает затруднения. Дело в том, что величина порядка Ы обычно возникает тогда, когда фейнмановская диаграмма из этой области имеет не более одного внутреннего импульса; однако при определенном (частном) выборе внешнего импульса (например, при р = О, см. фиг. 11.1) два внутренних импульса будут равны соответственно q и —q, в таком случае они оба могут одновременно попасть в область 1 —Ы <|^|< 1. Этот факт и порождает проблему. Дальнейшее обсуждение этой проблемы см. в работе [5] из списка дополнительной литературы.

Фиг. 11.1. Диаграмма Фейнмана, которая приводит к трудностям при инфинитезимальной формулировке дискретного преобразования, соответствующего ренормализационной группе.

Иначе говоря, желательно избежать возникновения в импульсном пространстве резких границ между проинтегрированными и непроинтегрированными спиновыми компонентами ач. Опасность связана с тем, что резкие границы в импульсном пространстве приводят к нелокальным взаимодействиям в координатном пространстве, а они крайне нежелательны (см. гл. 1).

Чтобы избежать резких границ, используем некоторый специальный прием. Между проинтегрированными и непроинтегрированными переменными введем некоторую гладкую интерполирующую процедуру и назовем ее «неполное интегрирование». Это позволит заменить резкую границу в ^-пространстве на конечный интервал по q, на котором компоненты оживляются «не полностью» интегрируемыми (фиг. 11.2). Существует много способов реализации идеи неполного интегрирования. Конкретная реализация, представленная ниже, как оказалось, имеет много полезных особенностей, однако наверняка не является уникальной. Мы объясним идею реализации процедуры неполного интегрирования на примере обычного, а не функционального интеграла.

Напомним некоторые факты относительно дифференциальных уравнений. Рассмотрим, в частности, дифференциальное

Фиг. 11.2. а —резкая граница между импульсами, соответствующими интегрируемым и неинте- грируемым спиновым компонентам; б — переходная область между импульсами, соответствующими почти полностью интегрируемым и незначительно интегрируемым спиновым компонентам.

уравнение вида

Незначительно интегрируемые

а

/ Почти полностью ! интегрируемые

-^=л-/- + ^+

ot ох \ох х / т

(11.1)

Решение уравнения (11.1) можно записать с помощью функции Грина, т. е.

ф (х', /) = ^ G (/, t; х, 0) фо W dx. (11.2)

Поскольку уравнение (11.1) квадратично по х и д/дх, функция Грина известна точно; она имеет вид

G(,x\ t; х, 0)G(,x\ t; х, 0),1= exp Г -• (Н.З)

G(,x\ t; х, 0)

G(,x\ t; х, 0)

72л (1 — exp (—2/)) L 2(1- е“2/) J

Выражение (11.2) обеспечивает чрезвычайно простую реализацию понятия неполного интегрирования. Когда < —* 0, функция Грина переходит в дельта-функцию б(х— V), а функция ф(х', /) переходит в первоначальную произвольную функцию фо W:

ф« О)=фо(л/). (П.4)

Когда t становится очень большим, функция ф(х', /) переходит в известную функцию Гаусса ехр(—'^х'2) с коэффициентом пропорциональности, равным интегралу

4-00

фо (х) dx.

т. е. имеем

♦^ “> = ^ехр(-♦^ “> = ^ехр(-4-00у я'2) J фо (x)tZx.4-00у я'2) J фо (x)tZx.(П.5)(П.5)

♦^ “> = ^ехр(-

♦^ “> = ^ехр(-

4-00

у я'2) J фо (x)tZx.

4-00

у я'2) J фо (x)tZx.

(П.5)

(П.5)

Таким образом, функция ф(х', /), рассматриваемая как функция t, является интерполяционной функцией между полностью непроинтегрированной функцией фо(х') и ее полностью проинтегрированной формой. Следовательно, параметр / определяет степень проинтегрированности по переменной х.

Рассмотрим теперь функциональный интеграл. Так как в этом случае каждая компонента поля aq, связанная с импульсом, должна быть проинтегрирована, для измерения степени ее проинтегрированности необходимо ввести функцию “»(/)• Ниже будет приведен частный случай выбора а4(/). В общем случае мы хотим, чтобы функция а» (О имела вид, показанный на фиг. 11.3. Пусть а-' означает спиновую переменную в гамильтониане 36г до изменения масштаба импульса. Спиновая переменная после изменения масштаба бу-

дет обозначаться через о'. Функциональные аналоги уравнения (11.1) и выражения (11.2) имеют вид

т1- ехр {^, [о"]} =f -4- +exp ^ [о"В, (11.6)

да,да, \да_,4) k >

exp \36t [о"]} =

—2 J1 — exp {—2а (/))ГА

а k 94)

Хехр{^0[о]}.(11.7)

Постоянная с не играет существенной роли, так как вычисляются только отношения средних, включающих в себя

ач$ач$Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции а, (/), которая (как функция f) является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из компонент aq.Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции а, (/), которая (как функция f) является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из компонент aq.

ач$

ач$

Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции а, (/), которая (как функция f) является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из компонент aq.

Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции а, (/), которая (как функция f) является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из компонент aq.

d36t с da, (О Г b36t bXtdtJ dt ( da" da",d36t с da, (О Г b36t bXtdtJ dt ( da" da",ехр(Ж)- Функции а", и о появляются в правой части (11.7) потому, что гамильтониан З^Да] сохраняет импульс. Непосредственно из (11.6) следует функционально-дифференциальное уравнение для З^^а"^:

d36t с da, (О Г b36t bXtdtJ dt ( da" da",

d36t с da, (О Г b36t bXtdtJ dt ( da" da",

H+const L u1 -8)

^q ^^—q® 6aq)

где const — член, не зависящий от о"; его можно не принимать во внимание.

Теперь необходимо выбрать пригодную для наших целей функцию a9(f). Эта функция должна обладать некоторым определенным свойством: она должна отделять малые q от

больших q. Хорошим выбором, как оказывается, будет выбор функции в виде

a^-q’^-XH^Y р(0) = 0.(11.9)

Цель введения функции р(0—наложить условия нормировки на кинетический член в гамильтониане 36t, например

•••(11Л0)

q'

(мы выражаем этот член через функции о',, которые будут определены ниже). Ясно, что функция р(/) служит той же. цели, как и постоянная ^ при дискретном изменении масштаба, о котором шла речь в предыдущих главах [см., например, (3.33)]. Если критическое поведение должно описываться неподвижной точкой, то такое условие нормировки существенно. Налагая эго условие нормировки на гамильтониан для всех t, получаем в результате уравнение для р(/).

Последний шаг в построении преобразования, соответствующего ренормализационной группе, заключается в изменении масштаба импульсов, т. е. гамильтониан 361 следует выразить через переменную q', которая эффективно изменяется в области 0С|</|С 1. Из выражений (11.7) и (11.9) ясно, что эффективное обрезание по q равно e-t, поэтому после изменения масштаба импульс q' должен быть равен q' = qe1. Необходимо также ввести спиновую переменную a'q. с измененным масштабом. Она будет выражаться формулой *)

°V = ехр (- -у) а".(11.11)

Масштабный множитель определяется требованием: дифференциальное преобразование, соответствующее ренормализационной группе, которое мы должны вывести, не должно за- висеть от t. [Из (11.8) легко видно, что сделать произвольное изменение нормировки о" нельзя, ибо мы испортим это уравнение.]

Функционально-дифференциальное уравнение (11.8) теперь следует переписать с помощью переменных о',,заменяю-

J) В формуле (11.11) d — размерность пространства.—Прим, перев.

168

щих о". Производная по времени dSBddt в уравнении (11.8) берется при фиксированной функции о^. Ее необходимо заменить на производную при фиксированной функции о',. Связь между этими двумя производными по времени имеет вид

d96t "дГd96t "дГW6tW6t(11.12)(11.12)

d96t "дГ

d96t "дГ

W6t

W6t

(11.12)

(11.12)

Величину производной do^dt | можно определить из (11.11);

daV ( d ' v А 'daV ( d ' v А '(11.13)(11.13)

daV ( d ' v А '

daV ( d ' v А '

(11.13)

(11.13)

dt Zq . dt 4 dt. *dt Zq . dt 4 dt. *(H.14J(11.15)(H.14J(11.15)63^ д<63^ д<63gf да;, ’63gf да;, ’(11.16)(11.16)

dt Zq . dt 4 dt. *

dt Zq . dt 4 dt. *

(H.14J

(11.15)

(H.14J

(11.15)

63^ д<

63^ д<

63gf да;, ’

63gf да;, ’

(11.16)

(11.16)

следовательно, (11.8) примет вид

dt о, ^1^244) 4 J да',

г Г дЖ дЗ^, . №361Ь36,

J dt L baq &a_q baq6a_q 4 baq

Однако из выражения (11.9) следует

Наконец, формула (11.11) и свойства функциональных производных приводят к соотношению

Подставив выражения (11.15) и (11.16) в (11.14), получим искомое дифференциальное уравнение ренормализационной группы

”L_ (fiV,а'Л2^- +

31«4’ *) to'.

+ S Й + ^ (^ ■ ^- + ,-^- + <- ^). (11.17) l,\dt /V°q'^-q'^q'^-q-4 ^qj

Выражение (11.17) является функционально-дифференциальным уравнением. Его можно свести к обычным уравнениям в частных производных, если разложить гамильтониан

469

961 по степеням о; запишем гамильтониан, опуская штрихи при о и q;

361 [о] = — у $ “2 (у. О OqO-q — q

— Т S S “4^’ qx’ Ч2’ ^ Ъ0^0^- "" (П-18) q qx »2

где q3 = — q — qx — q2 в соответствии с законом сохранения импульса. Постоянная, не зависящая от о, в (11.18) опущена. Соответствующие уравнения для и2, ы4 и и3 имеют вид д^^Ц_д.^2(^^2ч2у\-и2^ 0]}«2(<7, 0 +

+ $ (5+4И(9. -q’ qv -qv 0; du. (q,<73, /) = f d _ ^ . V1? + ( da + 2q2\ u _ 2u2 ^ /}]_

- • • • - 93* \. + (?T + 2?0 D - 2ы2 (У-З- 0] } “4^’ . . ., ^3* 0 +

"^\(^"W^u3(q, Чр q2, qy qv -qv 0;<11J9)

q*

du, (q, ..., <75, 0 = | _ 2rf _ ^ . Vi? + ^ + 2(j^ [1 - 2u2 (q 0]_ --^•v45+® + 2<725)[1 -2u2(95’ 0]} “6(9’-, q^ 0”

— 2[-§- + 2 (q + qx + 9г)2] 1Ц {q, qv, q2, q3 + 9t + 9s. 0 X

X u4 (q3, qv q3, q + qx + q2, t) — (9 перестановок) +

+ S (^ + 29б) “8 (9,, 95, 96, - q3, t)-,

q«

«9 перестановок» в уравнении для и6 означает 9 неэквивалентных перестановок импульсов (дхq^ в члене, содержащем произведение и4 (...) и4 (...).

Для члена dpldt не написано пока никакого уравнения. Условие нормировки (11.10) означает, что если функция и2(у, /) разложена по степеням q2:

и^ (q, Й = и2А (0 + и2В (f)q2-V ....(11.20)

то «25(0 не зависит от t и равно 1.

Это в свою очередь означает, что

d4BWdt — и’

т. е. приводит к уравнению для dpjdt. Запишем и4 в виде разложения по степеням q;

«4 kq. — q* qx> — qv, Й = u4A (qv, 0 + 9- qvu4B fa, /) +

+ q^UAc (^i, t) + (q • ^i)2 uw (^i, t) + ...(11.21)

(это разложение подразумевает наличие симметрии относительно вращений). Тогда уравнение, определяющее dpjdt, будет иметь вид

О = 2ы2д ^/ (1 2«2д (01 — 2u2b + ^^гд [ 1Ы2Д W] +

+ S[^ + ЭД] 1“»Vh-twr'<Й«„(»„ 0].01 -22)

Однако следует предупредить читателя, что простое условие нормировки: П2в^= 1 для всех t — не всегда можно реализовать; необходимо быть готовым к тому, что и2в^ может равняться другой постоянной или, возможно, даже зависеть от t. Пример решения уравнений, соответствующих ренормализа- ционной группе, и определения dpldt содержатся в приложении.

Мы знаем теперь, как получить спин-спиновые корреляционные функции для гамильтониана 5#0, однако желательно также уметь находить их, когда задан гамильтониан 36f Чтобы добиться этого, рассмотрим сначала производящий функционал, заданный первоначально для 5^0, а затем выразим его через ^. Начнем с того, что набросаем решение аналогичной задачи для случая одной переменной х. Функция фо (*) в выражении (11.2) имеет сходство с ехр(<Жо[о]); следовательно, построим производящий функционал в виде

4-00

Z (/) = § Фо ОО ехр (/У) dx'.(11.23)

Непосредственное вычисление показывает, что выражение (11.23) для произвольных t эквивалентно выражению

+г°°+г” Г

Z (/) = ) ) exp I j/e1 — g—‘ j (^ *• х> 0) Фо W dx* dx.

~°°~”(11.24)

(Для доказательства этого необходимо провести интегрирование по х', используя явный вид (11.3) для функции Грина.) Изменение порядка интегрирования дает

+Г°°(

Z(j) = ) Ф (У, 0 ехр | jx'e1 — 1 -■- g—- J dx'. (11.25)

Рассмотрим теперь производящий функционал, представляющий реальный интерес:

Z Q>= Jexp Л j ^ а-, + Эё01.(11.26)

а q)

Выражая производящий функционал через ^t и о" по аналогии с (11.25), имеем

z V) = $ ехР [ $ / М <ч ехР {% W} —

a" kq

- у 5 / (?) / (- ?) [ехР (Ч W) - 11 + ^Л;(11.27)

q■V

переход к </ дает

Z (/) = ^ ехр f ^ e~dti<ze<1Wi kfl'e-^ o'q, ехр [(/)2 — (/)2е-2/] —

-^j We-Ч j (- q'e-^ e~dt [exp ^q'2 - 2q'2e"2t + 2p ^ - 1] + д'

+ ^ [oil. (11.28)

Это чрезвычайно сложная формула. Согласно общим принципам подхода, связанного с ренормализационной группой, единственное изменение в вычислении корреляционных функций при переходе от гамильтониана ^ к <^0 должно заключаться в изменении масштаба, а именно величина компо-

нент о _q должна быть заменена на величину £,ol^ cq' = qet. Другими словами, необходимо записать

5 / (?) o-q^e-^t J / ^q'e-^ a'_q, = J / (q', t) o'_q„ (11.29) qq1q'

где

^ = е-^]^е-1\(11.30)

Предположим, что параметр ^ определен следующим образом:

^ = ел/2ерщ(1L31)

Тогда выражение (11.28) (опуская штрихи) превращается в следующее:

z U) = S ехр Г ( / (у, f) О-q exp Vq2 — q2e~2t] —

О t q.

— у $ / ^’ ^7 (— q’ ^ texp ^ — 2^e~2<) ”" e“2p W1 +5^t l°l q

(11.32)

Выражение (11.32) для вычисления Z(/) более сложное, чем ожидалось из общих принципов. Однако это не влияет на общий анализ свойств ренормализационной группы: для больших t и q порядка 1 членами e-2f и е~2p<f> можно пренебречь (отбрасывание члена e~2P(f) означает, что [(/)-> оо, если t —► оо, а это действительно справедливо для всех примеров, которые рассмотрены до настоящего времени). Тогда Z^ зависит от t только через функцию Цд, /) и гамильтониан ^. Это решающий факт, необходимый для общего рассмотрения следствий из ренормализационной группы.

Замечательным является то, что для d36t!dt [см. уравнение (11.17)] можно написать точное и совершенно явное уравнение. Ранее все формулировки ренормализационной группы существенным образом включали в себя теорию возмущений (например, формулировка Гелл-Манна и Лоу и диаграммная формулировка, которая дана в гл. 4 и 5). или же включали невычисляемые функции (подход Каданова). Работать с уравнением (11.17) неприятно, однако нам представляется, что именно это или похожие уравнения явятся, вероятно, основой для большинства работ по ренормализационной группе.

Для использования в дальнейшем запишем выражение для производящего функционала Z(/) при больших t в виде

2 (/) = $ ехр Л / (у, 0 <т_д ехр (^2) —

- у $ / lq, t) j (- q, t) exp (2^) + ^ [or] 1.(11.33)

q)

Именно формула (11.33) применяется для исследования гамильтониана Э^г[о] вблизи неподвижной точки 5^* или для исследования ренормированной траектории, выходящей из точки 36*.

Заметим, что корреляционные функции, с которыми приходится работать, всегда включают в себя знаменатель Z-1, следовательно, производящий функционал, представляющий практический интерес, имеет вид Z(/)/Z(0). Это очень удачно, потому что при выводе дифференциального уравнения (11.17) в гамильтониане 36t был отброшен член, равный постоянной.

Для производящего функционала Z(/) [а более точно для Z(/)/Z(0)] существует другая полезная формула. Выглядит она следующим образом. Определим некоторую специальную функцию or' (</):

Ot^^j^qe-^exp^q (0--у },(11.34)

где

(0 = ?2 (1 - е-29 + Р (0 = «„expi-o V\ (11.35)

Тогда

Z (/) : lim expZ (/) : lim exp36tМ + 4 $ °t^ < (- q) [1 + ехр {- 2р? (0}]|.

Z (/) : lim exp

Z (/) : lim exp

(11.36)

Справедливость этой формулы доказывается следующим образом. Запишем вначале выражение (11.7) через or'(</), затем перейдем к пределу /—>оо, а для того чтобы получить производящий функционал Z(/), используем определение (11.26). Для начала свяжем переменную а", которая не подвергалась масштабному преобразованию, с переменной о', масштаб которой изменен,

< W) = ехр (-у) a't (qe*) = j (q) exp {^ (/)}.(11.37)

Подстановка а" (у) вместо а^ в выражение (11.7) дает

г( If / W / (-») ехр [2а,; (/)} ч

ехр {Ж Го Л) = с ехр J — -т \ —:fs— I X

r < tr <2 J 1 — exp {— 2а? (/)}(

Л J P j J 1 - exp (- 2a„ (/)}2 J 1 - exp (- 2a„ (/)} +(•

a Vqq)

(11.38)

В пределе /—>oo выражение (11.38) можно переписать следующим образом:

^ еХр f ^ ^ + U a' ^ °t <— ^ Е1 + ехр {“ 2^ (^И )

°° ГqJ

= с ^ ехр Н / (q) a-q + 36Q [о] I.(11.39)

о I q)

Тогда, используя определение (11.26), в выражении (11.39) можно без труда узнать производящий функционал Z(j). Преимущество определения (11.36) состоит в том, что оно позволяет избежать явного вычисления функциональных интегралов; необходимо только решить функционально-дифференциальное уравнение для Ж-

Глава 12

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАРЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ

§ 1. ТОПОЛОГИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙРЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ(НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ, ТРАЕКТОРИИИ ПОДПРОСТРАНСТВА)

В основе детальных вычислений и анализа, использующего метод ренормализационной группы, изложенный в предыдущих главах, лежат некоторые простые топологические идеи. Как уже отмечалось, таковыми являются, например, идеи о неподвижных точках. В настоящей главе эти топологические идеи будут обсуждаться подробно. Их мы рассмотрим в простой, но достаточно абстрактной форме, не обращаясь к конкретному виду преобразований, соответствующих ренормализационной группе. По отношению к эффективным взаимодействиям, связанным с ренормализационной группой, будет сделано несколько общих предположений. Эти предположения справедливы для всех тех решений (точных или приближенных), которые получены до настоящего времени, однако их справедливость не доказана в общем виде. Для иллюстрации будут рассмотрены простые топологические понятия. Топология в реальных примерах более сложна (например, может иметь место случай большого числа различных неподвижных точек), однако эти сложности можно преодолеть, если понять основные идеи, изложенные в этой главе.

Неподвижные точки впервые были рассмотрены в оригинальной работе Гелл-Манна и Лоу [13] (см. также работу [76]). Необходимость в полном топологическом исследовании возникла только тогда, когда преобразование, соответствующее ренормализационной группе, было использовано для случая не одной постоянной связи, а большого их числа. Полный топологический анализ был впервые проделан для упрощенной модели с фиксированным источником [18]; многие вдохновляющие соображения, положенные в основу этой главы, были почерпнуты именно в работе [18]. В работе Вегнера [63] дано пространное обсуждение решений уравнения ренормализационной группы вблизи критической точки, это обсуждение

перекрывает и значительно расширяет последнюю часть настоящей главы.

Пространства и подпространства

Преобразование, соответствующее ренормализационной группе, — это преобразование U на пространстве S взаимодействий с обрезанием. В предыдущей главе был дан пример инфинитезимального преобразования U. Уравнение ренорма- лизационной группы имеет вид

^ = U \36Д.(12.1)

Взаимодействия 361 берутся из пространства S.

Взаимодействия из пространства S даны в безразмерной форме с импульсами, выраженными в единицах параметра обрезания. Мы всегда можем выбрать любое взаимодействие $gS и изменить параметр обрезания путем изменения единиц измерения. Параметр обрезания может представлять собой верхнюю границу для всех импульсов q, определяемую либо непосредственно, либо с помощью введения решетки (см. гл. Зи 10). Обрезание необходимо потому, что по определению преобразование U, соответствующее ренормализационной группе, заключается в интегрировании по импульсам, которые должны быть чуть меньше параметра обрезания; следовательно, преобразование U будет бессмысленной операцией, если параметр обрезания бесконечен. В случае точных уравнений ренормализационной группы, которые приведены в гл. 11, определенная верхняя граница для q не является необходимой, однако, если негауссовы члены в гамильтониане 5^о не имеют обрезания для импульсов ^^1, проинтегрировать эти уравнения трудно. В методе ренормализационной группы теория поля без обрезания должна получаться как предел теорий с обрезанием. (Это не зависит от того, проводятся ли вычисления в рамках теории возмущений или нет.)

Координатами в пространстве S являются свободные параметры произвольного взаимодействия $е S. В случае простых примеров, рассмотренных в предыдущих главах, координатами в пространстве S были параметры г и и. При обсуждении точных уравнений ренормализационной группы произвольное взаимодействие 36 определяется с помощью некоторого бесконечного множества произвольных функций и^^,

u^q, qi, q2, q^ и т. д. Это означает, что в последнем случае пространство S является бесконечномерным.

Решение 961 дифференциальных уравнений ренормализа- ционной группы как функция t определяет множество взаимодействий, причем все они описывают одну и ту же физическую систему. Однако при установлении связи между решением 961 и реальными физическими свойствами необходимо сделать зависящее от t изменение масштаба. Можно с самого начала при исследовании физических свойств взаимодействия 5#0 изменить масштаб, так что физическая система будет иметь в импульсном пространстве параметр обрезания Ло =/= 1. Это изменение масштаба не приведет к каким-либо ограничениям: Ло можно выбрать как угодно. Для заданного Ло изменение масштаба, необходимое для установления связи между решением 96t и реальными физическими свойствами, фиксированно, а именно импульс обрезания в 96t, выраженный в физических единицах, должен быть равен е-(Л0 (см., например, гл. 7).

Пусть физическая система имеет корреляционную длину £р, выраженную в физических единицах (скажем, в см или МэВ-1). Это не должно зависеть от того, какое взаимодействие 96t (т- е. при каком значении величины /) используется для описания физических свойств. Пусть ^ — корреляционная длина, соответствующая взаимодействию 96t, в безразмерных единицах. Тогда масштабные преобразования, определенные выше, дают

^ = е-%Л0.(12.2)

Это, в частности, означает, что для решения 96t уравнения (12.1) корреляционная длина ^ удовлетворяет соотношению

^ = е-^0.(12.3)

После изменения масштаба, в результате которого происходит переход к физическим единицам, взаимодействие 96t имеет параметр обрезания е-'Ло, т. е. необычайно малый по сравнению с настоящим параметром обрезания Ло, соответствующим физической системе. Это свойство определяется построением: большие импульсы во взаимодействии 5^0 устраняются с помощью интегрирования. Необычайно малое значение параметра обрезания означает, что взаимодействия в гамильтониане 96t имеют необыкновенно большой радиус взаимодействия. Взаимодействия в гамильтониане 96t с из-

Топологический свойства ренормализационной группы

мененным масштабом будут иметь радиус по крайней мере порядка ef/Ao. В исходный же гамильтониан 5^о с измененным масштабом, если к нему умышленно не добавлены взаимодействия с большим радиусом, входят взаимодействия только с радиусом 1/А0.

Отвечающий короткодействию член в гамильтониане 5#о до изменения масштаба практически имеет вид

^ехр{—(х — y)2}s(x)s(y), ж у

в то время как примеры членов, характеризующих дальнодействие (т.'е. взаимодействия с большим, но конечным радиусом действия), имели бы вид

J j exp {— 0,0001 (х — у)2} s (х) s (у), ж у или

(если радиус взаимодействия бесконечен).

В пространстве S мы будем рассматривать только те взаимодействия, у которых в безразмерных единицах короткий радиус действия. Для этого имеется несколько причин. Одна из них практического характера: в приближенных схемах, приведенных в предыдущих главах, предполагается, что гамильтониан ^содержит простые взаимодействия с коротким радиусом. Более фундаментальной причиной является то, что качественные утверждения относительно критического поведения (например, универсальность) станут, как известно, неверными, если включить в рассмотрение взаимодействия с большим радиусом (см., например, [56, 97]). Для теории ренормализационной группы, излагаемой ниже, тот факт, что пространство S содержит только взаимодействия с коротким радиусом, будет также решающим.

Пространство S должно быть достаточно велико для того, чтобы все эффективные взаимодействия 36^ которые порождаются из некоторого произвольного 36q е S, лежали в пространстве S. Поэтому необходимо удостовериться, например, в том, что взаимодействия 36t имеют короткий радиус (до изменения масштаба). К сожалению, в общем случае в этом нет

никакой уверенности. Это справедливо для примеров, которые решены до сих пор. (Заметим, однако, что неправильный вьь бор функции р(/) в уравнении, которое рассматривалось в гл. 11, может привести к взаимодействиям с большим радиусом; см. приложение.) В приближенных формулировках ренормализационной группы (например, приближенная рекуррентная формула, рассмотренная в гл. 6) мы можем заменить пространство S на его подпространство, однако при этом мы должны удостовериться, что приближенное преобразование переводит подпространство в себя.

Фнг. 12.1. Лнннн, характеризующиеся фиксированной величиной корре ляцноннон длины §.

Линия, соответствующая £=оо, отвечает «критической поверхности» 8С*

Имеются четыре типа подпространств, или «поверхностей» в пространстве S, которые следовало бы определить.

Во-первых, элементы пространства S можно разделить в соответствии с корреляционной длиной, которая им приписывается. Таким образом определяются поверхности, содержащие все те взаимодействия 98 г S, которые имеют заданную величину безразмерной корреляционной длины ^. Специальный интерес будет вызывать «критическая поверхность», обозначаемая Sc, для которой £ = оо. На фиг. 12.1 показано возможное множество поверхностей, соответствующих фиксированным ^, в пространстве, которое характеризуется только двумя параметрами г и и. .

Во-вторых, имеется поверхность, отвечающая простым взаимодействиям, которая будет называться «канонической поверхностью». Эта поверхность содержит множество начальных взаимодействий 38 а для заданной системы или модели.

Топологические свойства ренормализационной группы

Например, - каноническая поверхность могла бы содержать взаимодействия (4.2) с г и и в качестве единственных свободных параметров.

В-третьих, имеются поверхности, соответствующие определенной симметрии. Например, чтобы учесть взаимодействия на решетке, пространство S должно включать в себя такие

Фнг. 12.2. Вложенные друг в друга подпространства S (7). В этом примере подпространство S (°°) одномерно.

взаимодействия, которые не являются инвариантными относительно вращений. (Взаимодействия на трехмерной кубической решетке имеют кубическую симметрию, но не обладают симметрией относительно произвольных поворотов.) В таком случае в пространстве S будет существовать подпространство SH таких взаимодействий, которые инвариантны относительно вращений.

Наконец, существуют подпространства S (t), порождаемые действием преобразования (7 на само пространство S. Это означает следующее. Допустим, у нас имеется пространство S, как это изображено на фиг. 12.2, и на пространстве S определено инфинитезимальное преобразование U. Пространство

5(6/), соответствующее бесконечно малому сдвигу б/, определяется как множество точек «Ж', таких, что

36'= 36-V Ы • U \36\, (12.4)

где 36—некоторая точка в пространстве 5. Пространство 5 (26/) получается тогда с помощью действия преобразования U на пространство 5(6/): пространство 5(26/) содержит все взаимодействия 36' вида (12.4), где 36 некоторая точка в пространстве 5(6/). По индукции можно определить пространство 5(/) для любого значения величины /. Другими словами, если мы решаем уравнения ренормализационной группы и хотим получить 361 из 36», тогда пространство 5(/)— это пространство, включающее все взаимодействия 36t, которые порождаются всеми возможными начальными взаимодействиями 36», содержащимися в пространстве 5.

По предположению эффективное взаимодействие 36t принадлежит пространству 5, следовательно, 5 (/) является подпространством пространства 5.

Подпространства 5 (/) вкладываются друг в друга, т. е. 5 (/ ф- /') с: 5 (/) для любых положительных значений / и 1'. Основания для этого простые: подпространство S^ + Z') получается в результате интегрирования преобразования U по промежутку времени / + V, начиная от точек, принадлежащих пространству 5. Это эквивалентно интегрированию преобразования U по промежутку времени /, начиная от точек, принадлежащих подпространству 5(/'). Поскольку S(f) содержится в пространстве 5, то мы получим большее пространство, если начнем от точек, принадлежащих 5, а не 5 (Г); следовательно, 5 (/ + /') а 5 (/).

Пространства 5(/), соответствующие конечным значениям времени /, имеют ту же размерность, что и само пространство 5. Однако пространство 5(оо) (которое получается как предел 5(/) при t—► оо) может быть пространством с меньшей размерностью. Основная идея метода ренормализационной группы состоит в предположении, что пространству 5(оо) соответствует поверхность, размерность которой много меньше размерности пространства 5. Поверхность 5(оо) на фиг. 12.2 изображена просто в виде кривой С. Причина, по которой ожидается, что пространство 5(оо) будет характеризоваться размерностью гораздо меньшей, чем пространство 5, заключается в следующем: взаимодействие 36t (для больших зна-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОИ ГРУППЫ чений величины /) описывает физическую систему, у которой радиус действия сил гораздо меньше (как показано выше), чем радиус действия сил в исходном взаимодействии 36». Маловероятно, чтобы произвольное взаимодействие 36 в пространстве S обладало этим свойством; следовательно, S (/) для больших / должно являться лишь малым подмножеством в пространстве S.

Такое дифференциальное уравнение, как (12.1), интегрируется как для положительных, так и для отрицательных значений t. Предположим, что взаимодействие 36 принадлежит пространству S и не принадлежит S(f). Тогда взаимодействие 5^-ь которое появляется при интегрировании в направлении, обратном по отношению к положительным значениям /, не может лежать в пространстве S. Если взаимодействие 36-t не принадлежит пространству S, тогда есть соображения, что Зб-t, вероятно, является взаимодействием, имеющим в безразмерной шкале большой радиус. Действительно, при интегрировании вдоль произвольной траектории в обратном направлении разумно было бы ожидать, что все взаимодействия Зб-t имеют одинаковые радиусы, если их выразить в физических единицах. Если это так, то радиус взаимодействия, выраженный в безразмерных единицах, должен возрастать для взаимодействий 36 _t как е(. Следовательно, для больших значений / взаимодействие Зб-t будет лежать, вообще говоря, вне пространства S.

Траектории и неподвижные точки

Уравнение ренормализационной группы (12.1) определяет в пространстве S траектории. На траектории выполняется соотношение

^ = е-Ч».

Следовательно, если исходному взаимодействию 36» соответствует конечная величина корреляционной длины £0, то траектория проходит через все поверхности, соответствующие фиксированным значениям X', если ^ < £о- Этот факт иллюстрируется кривой А на фиг. 12.3, а. Если исходному взаимодействию 36» соответствует бесконечная величина корреляционной длины £д, то траектория целиком лежит на критической поверхности Sc (кривая В на фиг. 12.3, а\,

Поскольку преобразование, соответствующее ренормализа- ционной группе, не зависит от переменной t, то траектории

б

Фиг. 12.3. а — две траектории А и В, соответствующие ренормализа- ционной группе.

Кривая А начинается на линии 5=2 и пересекает линии с меньшими значениями 5- Кривая В начинается на критической поверхности (5=оо) и остается иа ней.

б — траектория А, сдвинутая так, что g0 = 1.

(как уже было видно в гл. 7) можно сдвигать по переменной t. Единственный эффект от сдвига

X ^Х = X-t,X ^Х = X-t,(12.5)(12.5)

X ^Х = X-t,

X ^Х = X-t,

(12.5)

(12.5)

заключается в том, что сдвинутая траектория начинается В точке /о, а не в точке / = 0. Свободу в выборе величины

184

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ группы сдвига по переменной t можно использовать для того, чтобы конкретизировать условие нормировки на величину ^/например £о = 1- Тогда £/ = e-t. При таком условии нормировки поверхности, соответствующие фиксированным величинам g, превращаются в поверхности, соответствующие фиксированным величинам t для сдвинутых траекторий (фиг. 12.3,6).

Неподвижная точка отвечает взаимодействию Ж, которое удовлетворяет условию U [Ж] = 0. Неподвижная точка является тривиальным случаем траектории: решение уравнения (12.1) для всех / удовлетворяет соотношению Ж = Ж. Корреляционная длина, соответствующая неподвижной точке, должна иметь величину ^* = 0, либо £*=оо, поскольку если Ж = Ж, тогда £< = £*,. однако, так как 36t является решением уравнения (12.1), для функции ^ должны выполняться соотношения: ^ = e-ito = е~Ч*-

Чтобы продемонстрировать топологические идеи, касающиеся метода ренормализационной группы, мы намерены рассмотреть сейчас простейшую топологическую структуру, которая может быть в этом случае. Имеется много способов усложнить топологию, описанную ниже, однако все эти усложнения нетрудно учесть, если усвоить простейшую картину.

Предположим, что имеются только две неподвижные точки: одна соответствует £* = 0, вторая £* = сю. На фиг. 12.4 эти неподвижные точки обозначены соответственно Ро и Р<». Будем предполагать, что неподвижная точка Р» обладает теми же свойствами, что и неподвижная точка (г*, и*), упомянутая в гл. 4.

Простейшее поведение, которое можно получить для траектории в пределе t —► сю — стремление к неподвижной точке. В принципе это не единственный способ поведения траектории, однако как это было видно из предыдущих глав, это единственный предельный способ поведения; будет предполагаться, что он имеет место и здесь. Другие возможности рассматриваются в работах [10, 76]. Если все траектории стремятся к неподвижным точкам, тогда те из них, которые отвечают конечным значениям корреляционной длины g, при / —> оо стремятся к точке Ро (например, кривая А на фиг. 12.4), а те траектории, которые находятся на критической поверхности, стремятся к точке Р<» (кривая В на фиг. 12.4).

Всему этому имеется простая аналогия из классической физики, которая служит примером рассматриваемой здесь топологии [36]. Представим себе шар, катящийся по склону

холма в соответствии с уравнением движения

^Г=-^(*)>(12.6)

где х = (х, z/)— горизонтальные координаты шара, а функция V(х)—высота холма в точке х. (Это уравнение является некоторым упрощением второго закона Ньютона: в последнем член, содержащий произведение массы на ускорение, заменен скоростью dxldt.) Пример карты рельефа для функции V показан на фиг. 12.5. Предполагается, что функция У(х) аналитична по х. Уравнение движения является примером уравнения типа (12.1); при этом неподвижным точкам соответ-

Фиг. 12.4. Случай простой топологии.

Пространство S обладает двумя неподвижными точками Ро и Р^. Точка Р^ лежит на критической поверхности, ей соответствует £=оо. Точке Ро соответствует £=0, Кривая В направлена в точку Р^, а кривая А в точку PQ.

ствуют стационарные точки функции V(х). На фиг. 12.5 показаны две неподвижные точки: точка Ро соответствует абсолютному минимуму У(х), а Р«> является седловой точкой. Если шар помещен в некоторой точке к западу от гребня функции У(х), обозначенного линией R (см. фиг. 12.5), тогда он скатывается к точке склона Ро, соответствующей минимуму V^x), и останавливается в ней (кривая А на фиг. 12.5 — пример траектории движения шара). Если шар помещен в точности на гребне R, он катится вниз к седловой точке Р» и останавливается (см. кривую Е на фиг. 12.5). Линия греб-

ня R в этом случае аналогична критической поверхности, со* ответствующей уравнению ренормализационной группы (12.1).

Интересно исследовать траекторию шара, когда он помещается бесконечно близко к линии гребня R. В этом случае он скатывается вниз почти до седловой точки, находясь вблизи линии гребня. Это иллюстрируется кривой D на фиг. 12.5. Вблизи седловой точки шар меняет направление движения,

Фиг. 12.5. Карта рельефа для случая топологии, соответствующей фиг. 12.4.

Р^ —седловая точка на хребте (гребне) R, точка Ро — дно лощины G. Путь D отвечает движению шара, который первоначально находился вблизи линии гребня; он проводит большую часть времени в окрестности седловой точки Р , но в конце концов скатывается в лощину G и останавливается на дне в точке Рл.

отходит от линии гребня и скатывается в лощину G. Вблизи седловой точки шар катится очень медленно, так как склон в этой области становится почти плоским.

Пусть теперь начальное положение шара берется ближе к гребню R. В этом пределе кривая D стремится к предельной кривой Е. Кривая Е состоит из двух частей: одна часть—это отрезок линий гребня R, а вторая — это линия G, определяю-

щая дно лощины. Линия G является так же траекторией шара, если он начинает двигаться из точки, бесконечно близкой к точке Рос.

Перейдем опять к рассмотрению простого примера ренор- мализационной группы с двумя неподвижными точками (фиг. 12.4). Рассмотрим траекторию, которая начинается в точке, расположенной бесконечно близко к критической поверхности (кривая D на фиг. 12.6). Предположим, что аналогия с классическим уравнением движения является справедливой, тогда кривая D состоит из двух частей: одна

Фиг. 12.6. Траектории, соответствующие ренормализационной группе в окрестности двух неподвижных точек.

Кривая D начинается вблизи критической поверхности. По мере того как начало кривой D приближается к критической поверхности, траектория D приближается к траекториям Е и О. В этом примере G является подпространством S(°°).

часть — это по-существу траектория Е, идущая в неподвижную точку Роо, а вторая — это траектория G, соединяющая две неподвижные точки. [Приближение, соответствующее замене кривой D на траекторию G, эквивалентно аппроксимации (4.41), сделанной в гл. 4. Изменение переменной t в настоящей главе эквивалентно изменению п в (4.41). Линейное приближение в гл. 4 справедливо только вблизи точки Р», где траектория G есть просто прямая линия: изменение п либо Т— Тс приводит только к изменению положения на траектории G. Аналог кривой D в гл. 4 можно получить, если удержать в уравнении (4.41) члены, пропорциональные^ (величина Хг определена в гл. 4). Тогда аналог кривой Е в гл. 4 получается, если в уравнении (4.41) положить Т = Тс; это соответствует учету только членов, пропорциональных Af.]

Обратимся теперь к пространству S(oo), определенному выше..При некоторых предположениях S(oo) совпадает с кривой G, которая включает в себя две конечные точки Р» и Ро- Любое взаимодействие 36 на кривой G мы можем экстраполировать назад вдоль траектории для произвольной величины времени t, не рискуя выйти за пределы пространства S. Причина этого состоит в том, что при приближении к точке Р«> величина £—»сю на кривой G; однако, для того чтобы попасть в точку Роо с £ = оо из любой другой точки с конечной величиной ^, требуется бесконечный промежуток времени (так как It = e^lo) ■

Это означает, что любая точка на кривой G принадлежит пространству S(oo). Экстраполируя назад по t любое другое взаимодействие из пространства S, не принадлежащее кривой G, мы можем выйти за пределы пространства S. Например, экстраполяция в обратном направлении траектории D (фиг. 12.6) привела бы к тому, что траектория D вышла бы за пределы фигуры. Если так, то пространство S(oo) совпадает только с кривой G.

Это замечание завершает формулировку простейшей топологии, соответствующей ренормализационной группе. Теперь следует сделать несколько общих замечаний. Прежде всего заметим, что главная роль неподвижных точек заключается в том, что они выступают в качестве «временных стоков». Шары, движущиеся по траекториям, которые направлены в неподвижную точку, проводят вблизи нее бесконечный промежуток времени (точно так же, как шар, скатывающийся к седловой точке, затрачивает бесконечный промежуток времени, чтобы ее достичь). Это происходит потому, что скорость d36tldt при приближении 36t к неподвижной точке стремится к нулю. По той же причине шары, движущиеся по таким траекториям, как траектория D на фиг. 12.6, которая проходит вблизи неподвижной точки, проводят вблизи нее большой промежуток времени. Существование таких временных стоков позволяет траекториям находиться в компактной области пространства S бесконечное время; в противном случае существовала бы опасность, что траектории выходили бы за пространство S, особенно когда мы пытаемся двигаться вдоль траектории в обратном направлении по времени.

Второе замечание состоит в том, что в рассматриваемом здесь примере только одна траектория выходит за пределы критической поверхности: это траектория G. Причина того,

что траектории не выходят за критическую поверхность где-то в другом месте, кроме точки Р», состоит в том, что вне критической точки скорость d^tldt отлична от нуля, а во всех точках критической поверхности, где скорость отлична от нуля, она должна быть направлена вдоль критической поверхности. До тех пор пока скорость непрерывна в пространстве S, направление ее должно быть параллельно критической поверхности для точек, бесконечно близких к этой поверхности. Поэтому такие траектории, как D, остаются вблизи критической поверхности до тех пор, пока они не достигнут окрестности точки Роо. В точке Роо для скорости нет хорошо определенного направления; следовательно, в точках, бесконечно близких к Роо, скорость может быть перпендикулярна критической поверхности.

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ, ПОДПРОСТРАНСТВАИ ПЕРЕНОРМИРОВКА

Приложение к теории поля

Теперь будет рассмотрена проблема перенормировки в квантовой теории поля. Для иллюстрации общих идей перенормировки будет использована простая топологическая картина, описанная выше. Из оригинальной работы Гелл-Манна и Лоу [13] с очевидностью следует, что проблема перенормировки включает в себя ренорма-лизационную группу и ее неподвижные точки. Обзор метода Гелл-Манна и Лоу содержится в работе [76]. Мы увидим здесь, что и простая, и общая формулировки перенормированной теории поля могут быть даны в терминах определенного выше пространства S(oo).

В действительности проблема перенормировки состоит из двух частей. В первой части в пределе бесконечного обрезания стремятся получить конечные теории (т. е. теории без расходимостей). Эту часть проблемы очень легко рассмотреть в терминах пространства S(oo). Во второй части хотят получить теории со взаимодействием. Эта часть проблемы будет рассмотрена позже в терминах гауссовых и негауссовых неподвижных точек. Как будет видно из гл. 13, в четырехмерном пространстве-времени трудности возникают именно во второй части проблемы. См., однако, список дополнительной литературы, приведенный в конце книги.

Мы рассмотрим проблему перенормировки, используя традиционный подход.

Предположим, что нас интересует решение для модели с взаимодействием ф4. Чтобы сделать эту теорию конечной, т. е. избавиться от расходимостей, вводится (как в гл. 10) некоторое обрезание Ло. Проблема теперь состоит в том, чтобы в пределе Ло —* оо получить конечную теорию, свободную от ультрафиолетовых расходимостей.

Фиг. 12.7. Ренормированные траектории, выходящие из канонической поверхности С (рассматривается теория взаимодействия Ф4 с обрезанием). Каноническая поверхность пересекает критическую поверхность в точке, соответствующей Л0=°о. Траектория G определяет ренормированную теорию. Такие траектории, как G, называются «ренормированные траектории».

Взаимодействие с обрезанием Ло можно превратить, изменяя масштаб в пространстве импульсов, во взаимодействие с параметром обрезания, равным единице, так что оно станет взаимодействием, принадлежащим пространству 3. Во взаимодействии имеется два свободных параметра (голая масса и затравочная постоянная связи), следовательно, каноническая поверхность является двухмерной. На фиг. 12.7 каноническая поверхность иллюстрируется кривой С.

По определению «канонической кривой» «^^(Ло)—это множество безразмерных взаимодействий 36D из пространства 3 по одному для каждого значения параметра обрезания Ло- Если никакой перенормировки еще не проведено и

параметр обрезания определяется просто наибольшим импульсом (а не обрезанием, которое задается решеткой, как в гл. 10), тогда безразмерные параметры в гамильтониане З^о(Ло) будут иметь вид

2

го (Ло) = —у и Uq (Ло) = Л0Л0 ,ло

где Цо и Ло — голая масса и голый заряд (величины г0 и и0 определены в гл. 4). Найдем для взаимодействия 5^д(Л0) безразмерную корреляционную длину £0(Ao). В гл. 10 было установлено, что величина ^д(оо) должна быть равна оо для того, чтобы конечной была величина ц^, и что это утверждение неправдоподобно, если не проведено никакой перенормировки.

Проведение перенормировки обычно означает такой выбор зависимости голой массы цо и затравочной постоянной взаимодействия Ло от параметра обрезания Ло, что перенормированная масса цн и перенормированная постоянная взаимодей" ствия Ля становятся не зависящими от параметра обрезания. В рамках рассматриваемой здесь простой топологии оказывается, что достаточно будет удерживать не зависящей от об-, резания только перенормированную массу цд (см. ниже). Процедура для выполнения этой программы уже обсуждалась в гл. 10. Если нам даны безразмерные параметры г0 и ы0, то безразмерная корреляционная длина £ определяется независимо от параметра Ло, т. е. £ = £(г0, и0). Выберем далее более конкретно величину р,д. А именно, выберем теперь параметр Ло так, что

Л0 = 14^ (г0, Ы0)-

[Это аналогично тому, как в гл. 10 постоянная решетки была выбрана равной l/ps ^(b, ий, /().] Чтобы получить кривую 5^д(Л0), предположим, что величина параметра ы0 задана. Тогда уравнение Ло = pR^ (г0, «о) можно решить относительно г0 и мы получим величину Го как функцию параметра обрезания Ло. Зная функцию Го(Ло), можно определить величины

Ро = Го (Ло) Л„ и Ло = uoXo~d.

Предел Ло —> оо соответствует теперь пределу г0 -* Гос(ио), где величина rOc(«o) — значение параметра г0 на критической поверхности. Перенормированная масса (в физических едини-

цах) равняется Ло/^(го, «о) (см. гл. 10) и, следовательно, не зависит от параметра Го по построению.

Кривая Хд(Ло) изображена на фиг. 12.7. Здесь каноническая поверхность заменена кривой (в противном случае для иллюстрации нам потребовался бы чертеж размерностью больше двух, а это неудобно). Кривая ^D(A0) на фиг. 12.7 является частью кривой С. Мы покажем теперь, что эта каноническая кривая определяет перенормированную теорию, которая не зависит от параметра ий.

Предположим, что мы решили уравнение ренормализа- ционной группы (12.1) с 5^с(Ло) в качестве начального взаимодействия. В пространстве S это дает множество кривых 5^<(Ло). Например, кривая А на фиг. 12.7 соответствует 5^/(4), а кривая D — 5^(10). Так как для изменения масштаба взаимодействия <3^С(ЛО) масштабный множитель уже выбран, а именно Ло, то мы знаем масштабный множитель для изменения масштаба Э^ДЛо): он равен е-1Л0.

Рассмотрим теперь следующее. Для каждого значения параметра Ло существует такая величина t, при которой траектория, соответствующая 5^ (Ло), пересекает поверхность взаимодействий с | = 1. Множество таких пересечений определяет кривую I, показанную на фиг. 12.7. Например, траектория 5(^(4) (кривая А на фиг. 12.7) пересекает кривую J в точке Q4. Взаимодействие, отвечающее точке Q4, определяет ту же самую физическую картину, что и взаимодействие 5^D(4). Аналогично взаимодействие, отвечающее точке Qio, определяет ту же физическую картину, что и взаимодействие 5^D(10). Единственное изменение состоит в масштабном преобразовании. Легко видеть, что изменение масштаба одинаково как для взаимодействия, отвечающего точке Q4, так и для взаимодействия, отвечающего точке Qio- Взаимодействие 5^D(Ao) было определено так, что соответствующая ему корреляционная длина оказывалась постоянной и, будучи выражена в физических единицах (а именно ц^1), не зависела от параметра обрезания Ло; а так как взаимодействия Q4 и Qi0 опреде-. ляют одну и ту же физику, что и взаимодействия 5^с(4) и 5^о (10), то они определяют также одинаковую физическую корреляционную длину. Поскольку точкам Q4 и Qio отвечает одна и та же безразмерная корреляционная длина, равная 1, множитель масштабного преобразования будет одинаков для обоих взаимодействий, соответствующих точкам Q4 и Qio (а именно импульсы умножаются на р,л/| = цн).

Пусть теперь параметр обрезания Ао —► оо. В этом пределе точки Q4 и Qio заменяются точкой Q^ — точкой пересечения кривой / с траекторией G. Точка Q^ соответствует хорошо определенному взаимодействию с обрезанием, следовательно, она описывает все физические свойства модели, включая полный набор вакуумных средних. Итак, предел Ло -> оо существует: это значит, что в пределе Ло -> оо существует конечная (перенормированная) теория, т. е. теория без расходимостей.

В такой формулировке мы имеем дело с перенормировкой массы (поскольку голая масса цо зависит от параметра обрезания Ло). При этом для постоянной взаимодействия имеется лишь тривиальная перенормировка (вместо параметра Хо фиксированным удерживается параметр и0), и, таким образом, перенормированная теория не зависит от ы0. Следовательно, в перенормированной теории нет свободной постоянной взаимодействия; единственным свободным параметром в этой теории является перенормированная масса р,д. Причина кроется в простой топологии, которая здесь предполагается; в следующей главе будут рассмотрены примеры перенормированных теорий с большим числом свободных параметров. Перенормированная теория, в особенности связанная с нетривиальными неподвижными точками г*, и*, рассмотренными в гл. 4, является примером, в котором перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована [74]. Это со всей очевидностью следует из гл. 7 и 8; выражения для корреляционных функций с бесконечным радиусом корреляции зависят соответственно только либо от корреляционной длины £, либо от параметра г. Как уже было показано в работе [76], могут существовать неподвижные точки, в которых перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована, а непе- ренормированная постоянная взаимодействия произвольна (в работе [76] это свойство было названо «инфракрасной стабильностью») .

В рассматриваемой теории имеется также перенормировка волновой функции. Происходит она потому, что перенормированное поле ^(х) может отличаться от фурье-образа спиновой переменной ст' в точке Qoo по крайней мере на конечный масштабный множитель. В свою очередь эта спиновая переменная будет отличаться от исходной спиновой переменной aq, входящей во взаимодействие 5^d(o°), на бесконечный масштабный множитель, потому что траектория, направлен-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕН0РМАЛИЗАЦИ0НН0Й ГРУППЫ пая из точки, соответствующей 5^D(°°), в точку Q^, проводит бесконечно много времени в неподвижной точке Р.». (Исходная спиновая переменная oq отличается, по-видимому, на бесконечный масштабный множитель от неперенормированного поля: соотношение (10.46) с а = 0, например, соответствует Ао = оо; маловероятно, чтобы два бесконечных масштабных множителя скомбинировались так, чтобы образовался конечный множитель.)

То, что перенормированная теория не зависит от параметра и0, является примером универсальности в теории поля. Мы обладаем даже большей свободой: мы можем выбрать каноническую кривую Жо(А0) так, чтобы она совпадала с самой траекторией G, и по-прежнему получим ту же самую перенормированную теорию. (Это означает, что мы готовы рассматривать кривые 5^d(Ao) не только на исходной канонической поверхности.)

Обобщение этого результата состоит в следующем. Любая траектория, соответствующая уравнению ренормализационной группы (12.1), которую (как G), не покидая пространство S, можно экстраполировать в обратном направлении к критической поверхности (t = — оо), определяет некоторую перенормированную теорию. Причина этого проста: затравочное взаимодействие 5^d(A0) можно выбрать так, чтобы оно отвечало точке на траектории, которой соответствует корреляционная длина £ = Ао/цд. Поскольку траектория экстраполируется обратно к критической поверхности, на ней будут точки, соответствующие сколь угодно большой величине £, следовательно, мы можем без труда перейти к пределу Ао -* оо. Любая такая траектория будет называться «ренормированная траектория». Пример некоторой ренормированной траектории, аналогичной кривой G, рассматривался в гл. 7 и частично (как было разъяснено выше) в гл. 4. Наоборот, любая траектория, которая при экстраполяции в обратном направлении покидает пространство S прежде, чем достигает критической поверхности, определяет некоторую нелокальную теорию, не представляющую для нас интерес. Заметим, что нет никаких гарантий, что заданная ренормированная траектория может быть достигнута, если начать двигаться с данной канонической поверхности. В рассматриваемом примере траектории, выходящие из канонической поверхности (траектории А и D на фиг. 12.7), приближаются к кривой G, так как в этом примере имеется единственная ренормированная траектория.

Отметим, наконец, что подпространство S(oo) — это одно то же, что и множество всех ренормированных траекторий. Таким образом, множество S(oo) есть просто множество всех возможных ренормированных траекторий в том смысле, что мы можем рассматривать взаимодействие, соответствующее точке Q», как перенормированное взаимодействие.

СЛУЧАЙ БОЛЬШОГО ЧИСЛА НЕПОДВИЖНЫХТОЧЕК, ОБЛАСТИ И УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ

Случай нескольких неподвижных точек. Области

В практических случаях у ренормализационной группы имеется обычно более двух неподвижных точек. Рассмотрим некоторые усложнения, которые возникают при наличии нескольких неподвижных точек. Чтобы проиллюстрировать эту проблему, представим, что на критической поверхности (фиг. 12.8) в дополнение к точке Ро имеются еще три неподвижные точки: РАоо, РВоо и РСоо- По-прежнему будем предполагать, что при t —> оо все траектории стремятся к неподвижным точкам.

Неподвижные точки можно классифицировать в соответствии с их устойчивостью или неустойчивостью. Неподвижная точка является устойчивой, если все траектории, находящиеся в ее окрестности, стремятся в эту точку. В рассматриваемом примере только Ро является устойчивой неподвижной точкой. Другие неподвижные точки являются неустойчивыми, причем с разной степенью неустойчивости. В настоящем примере предполагается, что траектории, близкие к точке РАоо на критической поверхности (например, траектория В на фиг. 12.8), стремятся к Рдоо, в то время как траектории вне критической поверхности отклоняются от точки Рдоо- Точка РАоо называется однократно нестабильной. В соответствии с этим определением неподвижная точка Рс<», согласно фиг. 12.8, является однократно нестабильной. В то же время неподвижная точка Рдоо является двукратно нестабильной: траектории, находящиеся на или вне критической поверхности, отклоняются от точки РВоо. Происходит это потому (в предположении, что других неподвижных точек нет), что скорость dS^t/dt на критической поверхности между точками РА № и Рв оо должна быть всегда направлена в сторону точки РАаа, а между точками Рв ю и Рс — в сторону Рс<»; причем ско-

рость эта не может изменить направление на критической поверхности, не проходя через нуль.

При рассуждениях, приведенных выше, явно использовалась фиг. 12.8, на которой пространство S двумерно, а критическая поверхность одномерна. Общее определение п-кратно нестабильных неподвижных точек для произвольного числа п в бесконечномерном пространстве S будет дано ниже.

В настоящем случае имеются две особые ренормирован- ные траектории Ga и Gc, выходящие из неподвижных точек

Фиг. 12.8. Топология ренормализационной группы в области, которая на критической поверхности имеет три неподвижные точки: РЛоо, PSoo и РС оо-

Точки Рд о и Рс оо являются однократно нестабильными; точка Pg с» является двукратно нестабильной.

Рд ^ и Рс оо, которые аналогичны особой траектории G на фиг. 12.6 или, согласно классической аналогии, дну лощины G. В дополнение к этому имеется бесконечное множество ренор- мированных траекторий, выходящих из точки РВоо. Точка РВоо соответствует по классической аналогии вершине холма, в то время как Рд ^ и Рс» соответствуют седловым точкам. Соответствующая карта изображена на фиг. 12.9. Кривые GB и G'B и на фиг. 12.8, и на фиг. 12.9 являются примерами траекторий, выходящих из точки РВоо.

Когда имеет место несколько неподвижных точек, возникает дополнительная проблема. Допустим, у нас есть каноническая поверхность (кривая С на фиг. 12.8). Возникает вопрос: какая неподвижная точка с помощью ренормализацион-

ной группы связана с канонической поверхностью? На фиг. 12.8 траектории, соответствующие ренормализационной группе и выходящие из канонической поверхности, приходят либо в точку Р», либо в точку РАоо. Последнее имеет место в том случае, когда точка, отвечающая взаимодействию, находится на критической поверхности. Итак, критическое поведение определяется не точкой РВоо или Рс», а точкой Ра<»;

Фиг. 12.9. Карта рельефаФиг. 12.9. Карта рельефадля случая топологии, соответствующей фиг. 12.8.для случая топологии, соответствующей фиг. 12.8.

Фиг. 12.9. Карта рельефа

Фиг. 12.9. Карта рельефа

для случая топологии, соответствующей фиг. 12.8.

для случая топологии, соответствующей фиг. 12.8.

следовательно, перенормировка, начинающаяся на канонической поверхности, определяется единственной ренормирован- ной траекторией GA.

С каждой неподвижной точкой 36* в пространстве 8 ассоциируется некоторая область взаимодействий О(^) в этом пространстве. Область 0^36*^ определяется как множество всех таких начальных взаимодействий 36» е 8, для которых траектория 361, выходящая из точки 36», при / —> оо стремится в точку 36*. На фиг. 12.8 область, соответствующая точке Р», включает все точки, находящиеся выше критической поверхности; область, соответствующая точке Ра<», содержит все точки критической поверхности, расположенные слева от Рв<»; область, соответствующая точке Рв<», состоит из одной точки РВоо и т. д. Если заданная каноническая поверхность С

пересекает область 0(^36*^, тогда неподвижная точка 36* связана с этой поверхностью.

Размерность области D(36*) зависит от степени нестабильности точки 36*\ если 36* является n-кратно нестабильной неподвижной точкой, тогда размерность области D^36P^ на п меньше размерности пространства S. Это легко видно на примере фиг. 12.8. Как только будет дано определение нестабильности, обнаружить этот факт в общем случае будет почти тривиально.

Правило размерности для областей приводит к тому, что неподвижные точки с высокой степенью нестабильности трудно обнаружить. Предположим, что каноническая поверхность— это кривая (единственным свободным параметром ее является температура или голая масса). Тогда маловероятно, что каноническая поверхность пересечет какую-нибудь область, соответствующую двукратно нестабильной неподвижной точке, такой, например, как Рвоо. Это с очевидностью следует из фиг. 12.8. Данное правило выполняется при условии, что такие топологические структуры, как неподвижные точки, критическая поверхность и т. д., случайным образом расположены в пространстве S по отношению к любой a priori заданной канонической поверхности. Исключением из этого правила является случай, когда имеется симметрия (см. ниже).

В теории критических явлений критические точки определяются числом термодинамических параметров, которые в этой точке фиксированы. В случае обычной критической точки, соответствующей ферромагнетику, требуется, чтобы фиксированными были температура Т и магнитное поле; следовательно, соответствующая неподвижная точка является двукратно нестабильной. Если, как в этих главах, мы определяем само пространство S так, что исключаем магнитные поля, тогда единственным фиксированным параметром будет температура Т и неподвижная точка окажется однократно нестабильной. Таким образом, каждая из точек РАоо и Рс ет в примере на фиг. 12.8 могла бы описывать критическое поведение, соответствующее обычной критической точке. Существование двух неподвижных точек означало бы существование двух различных наборов критических показателей; различные физические системы (соответствующие различным каноническим поверхностям) были бы разделены на два класса,

причем каждый класс в отдельности демонстрировал бы общее критическое поведение. Это по-прежнему не что иное, как гипотеза универсальности, однако в более ограниченной форме, чем предыдущие формулировки (см., например, работу [9]).

Существуют критические точки, в которых вместо двух термодинамических параметров фиксированы три. Это так называемые три-критические точки (см., например, работу [125]). Исключив опять магнитное поле, получим всего два фиксированных параметра. Дополнительным термодинамическим параметром является также, например, концентрация. Наиболее популярная три-критическая точка имеет место в растворах Не3 — Не4: двумя термодинамическими параметрами являются концентрация Не3 и температура. Три.-крити- ческая точка соответствует двукратно неустойчивой неподвижной точке, такой, например, как РВоо (исключаем внешние поля: в системе Не3—Не4 нет практического способа имитировать внешнее поле, как у магнитных систем). Для размерностей, близких к 4, гауссова неподвижная точка, рассмо* тренная в гл. 3, является двукратно нестабильной; Ридель и Вегнер [46] предположили, что эта неподвижная точка описывает три-критическую точку в системе Не3 — Не4.

В теории поля степень нестабильности неподвижной точки определяется числом свободных параметров в перенормированной теории, соответствующей этой неподвижной точке. В примере, обсуждавшемся выше (см. фиг. 12.7), имеется однократно нестабильная точка и соответственно только один свободный параметр, а именно перенормированная масса цл. [Эффективное взаимодействие, отвечающее обрезанию цн^, однозначно определено как точка на траектории G (фиг. 12.7) с корреляционной длиной g = e-t. Следовательно, других свободных параметров нет.] Для двукратно нестабильной неподвижной точки имеется однопараметрическое семейство ре- нормированных траекторий; в этом случае параметр, определяющий эти траектории, является в дополнение к цл вторым параметром перенормированной теории.

Таким образом, перенормированная теория поля, связанная с нетривиальной неподвижной точкой для d < 4 (см. гл. 4), не имеет свободных постоянных взаимодействия. В противоположность этому неподвижная точка, рассматриваемая Гелл-Манном и Лоу в работах [13, 76], должна соответствовать двукратно нестабильной неподвижной точке, по-

тому что в перенормированной теории остаются два свободных параметра (масса и заряд). [Однократно нестабильные неподвижные точки, рассматриваемые здесь, соответствуют «инфракрасно-стабильным» неподвижным точкам из работы [76], в то время как двукратно нестабильные соответствуют «ультрафиолетовостабильным» неподвижным точкам из работы [76].] Когда мы строим перенормированную теорию с двумя свободными параметрами, такую, например, какой является обычная перенормированная теория взаимодействия ф4, каноническая поверхность также должна быть по крайней мере двухмерной, а каноническая кривая 5^D(A0) включать два параметра, зависящих от обрезания Ао [например, цо(Ао) и Хо(Ао)]. Этот факт не будет обсуждаться дет тально (см., однако, гл. 13). Наконец, чтобы в перенормированной теории получить произвольную перенормированную постоянную взаимодействия, нам необходима и перенормировка постоянной взаимодействия "(параметр Ло, зависящий от параметра обрезания Ло) и двукратно нестабильная неподвижная точка.

Существуют аргументы (см. работу [76], мы их не рассматриваем здесь из-за недостатка места), согласно которым только неподвижные точки ограниченной нестабильности будут связаны с реальными элементарными частицами. Эта гипотеза, сформулированная более точно, звучит следующим образом: только стабильные неподвижные точки имеют отношение к реальной физике при условии, что пространство S включает только взаимодействия, сохраняющие соответствующую внутреннюю симметрию. Могут существовать нестабильности, которые ведут к нарушению симметрии (эти нестабильности соответствуют «обобщенным массовым членам» в работе [76]), однако мы надеемся; что их не так много. Эта гипотеза является основой для получения взаимодействий, которые имеют только несколько свободных параметров; она заменяет собой канонический подход к рассмотрению простых полиномиальных взаимодействий.

Симметрии

Следующей задачей является рассмотрение влияния на топологический анализ пространственно-временных или внутренних симметрий. Мы сделаем здесь только несколько замеча-

ний, поскольку это такая проблема, которую можно усложнять до бесконечности; см. также работы [43—45].

В общем случае при преобразовании U, соответствующем ренормализационной группе (определенном таким же образом, как в гл. 11), будет сохраняться любая симметрия, которую можно включить во взаимодействие 96. При преобразовании U сохраняется симметрия относительно вращений (в случае теории поля евклидова симметрия). В отсутствие магнитного поля сохраняется симметрия относительно преобразования oq —> — Од. Если переменная oq имеет внутренние компоненты [как, например, в случае ферромагнетика Гейзенберга или теории поля с изоспином (см. гл. 9)], то при преобразовании U сохраняется внутренняя симметрия относительно вращений. Если имеет место симметрия, то в пространстве S будут подпространства, включающие взаимодействия, имеющие эту симметрию. Существуют также взаимодействия, нарушающие симметрию: решеточные модели вместо полной симметрии относительно вращений обладают кубической симметрией, а взаимодействия, включающие внешние магнитные поля, нарушают симметрию относительно отражений oq —> -►- Oq.

Подпространства пространства S, включающие взаимодействия, сохраняющие некоторую симметрию, инвариантны относительно преобразования U. Если мы не интересуемся взаимодействиями, нарушающими симметрию, мы можем переопределить пространство S так, чтобы оно являлось подпространством взаимодействий, которые сохраняют симметрию, и провести топологический анализ настоящей главы в этом подпространстве. Действительно, пространство S в этой главе рассматривалось как пространство, в котором взаимодействия, включающие внешнее поле, были опущены.

Необходимо отметить некоторое следствие из этого факта. Предположим, что мы интересуемся критической точкой ферромагнетика, считая внешнее магнитное поле равным нулю. Как было отмечено выше, эта критическая точка соответствует в пространстве 5 однократно нестабильной неподвижной точке, которая соответствует взаимодействию, сохраняющему симметрию: oq -* — oq. В большем пространстве S', включающем все взаимодействия, та же самая неподвижная точка могла бы быть в сильной степени нестабильной; нет гарантии, что она будет только двукратно нестабильна, как утверждалось выше. Дополнительные нестабильности должны

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ были бы означать существование, кроме внешнего поля, дополнительных термодинамических параметров, которые в критической точке фиксированы. Равенство внешнего поля нулю означает, однако, что нет никаких взаимодействий, которые нарушали бы симметрию спинов относительно отражения: в действительности, полагая внешнее поле равным нулю, мы полагаем также равными нулю дополнительные термодинамические параметры.

Может случиться так, что все неподвижные точки в пространстве S сохраняют симметрию, скажем симметрию относительно вращений. Тогда, даже если начальное взаимодействие нарушает симметрию, перенормированная теория, ассоциирующаяся с неподвижными точками, сохраняет эту симметрию.

Например, кривая С на фиг. 12.7 могла бы представлять множество взаимодействий на решетке между ближайшими соседями, причем эти взаимодействия обладают только куби- ческой или гиперкубической симметрией. Решетка используется также для того, чтобы обеспечить некоторую положительную метрику (см. гл. 10)). Если кривая G лежит в подпространстве, соответствующем полной евклидовой симметрии, тогда перенормированная теория будет евклидово-инвариантной. Чтобы кривая G лежала в евклидово-инвариант* ном подпространстве SR, необходимо, чтобы неподвижные точки Ре» и Ро, а также траектория G при замене пространства S на SR по-прежнему существовали. Конечно, решающим является то, что преобразование U само по себе сохраняет евклидову инвариантность: в противном случае маловероятно, чтобы такая траектория, как G, оставалась в пространстве Sr.

Мы не можем гарантировать a priori, что все неподвижные точки принадлежат пространству SR или что все траектории, такие, как траектория G, выходящая из неподвижной точки, остаются в пространстве SR. Если говорить более обще, то, для того чтобы одновременно достичь и евклидовой инвариантности, и положительности), необходимо иметь траектории, порождаемые взаимодействием с ближайшими сосе-

дями и оканчивающиеся в пространстве 5д. Так ли это на самом деле, необходимо проверять в каждом отдельном рассматриваемом случае.

Кажется вероятным, что данному условию можно удовлетворить в рамках теории возмущений (малые и), однако это не было проверено с должной аккуратностью.

Могут существовать также неподвижные точки, которые нарушают возможные в системе симметрии. Специальный пример некоторых неподвижных точек, нарушающих внутреннюю вращательную симметрию, и других точек, сохраняющих ее, был рассмотрен в работе [43]. Имеется также малое количество нестабильных неподвижных точек, которые могут сохранять или нарушать симметрию; только конкретное вычисление может определить, какая из точек сохраняет, а какая нарушает симметрию. Если неподвижная точка нарушает некоторую непрерывную симметрию, то мы можем использовать преобразования, соответствующие этой симметрии, для построения из этой неподвижной точки некоторой неподвижной поверхности.

Вернемся опять к проблеме перенормировки. Как установлено в гл. 3, существует гауссова неподвижная точка, а также некоторая кривая, такая, например, как G на фиг. 12.6, которая содержит только гауссовы взаимодействия. Для размерностей меньше 4 (размерность пространства-времени) имеется также негауссова неподвижная точка, однако для размерности, равной 4, гауссова неподвижная точка является единственной до сих пор известной (см. гл. 13). Это означает, что, если даже каноническая поверхность содержит негауссовы взаимодействия, перенормированная теория будет чисто гауссовой, определяемой кривой G, т. е. теорией свободного поля. Способность теорий со взаимодействием приводить после перенормировки к теориям свободного поля тесно связана с перенормировкой постоянной взаимодействия в рамках теории возмущений. См., например, часть 3G работы [76].

Таким образом, серьезной проблемой теории перенормировок при d = 4 является нахождение перенормированной теории со взаимодействием. Простейший способ установить существование таких теорий заключался бы в обнаружении негауссовой неподвижной точки или по крайней мере конечной границы для области, соответствующей гауссовой неподвижной точке (см. гл. 13).

§ 4. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИИ АНОМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Линеаризованные уравнения ренормализационной группы

Следующей нашей задачей является обсуждение преобразования ренормализационной группы вблизи некоторой неподвижной точки. Вблизи нее будут определены линеаризованные уравнения. Собственные функции этих линеаризованных уравнений дают некоторое полное базисное множество локальных операторов (в статистической механике это—локальные операторы Каданова, введенные им в работах [9, 126]). Собственные значения являются аномальными размерностями (масштабные индексы у Каданова) этих локальных операторов. Операторы с аномальными размерностями, меньшими d, называются «существенными». Число таких операторов совпадает, со степенью нестабильности неподвижной точки. Операторы с размерностью, большей d, называются «несущественными». Операторы с размерностью, равной d, доставляют некоторые неприятности (они могут давать либо не давать вклад в степень нестабильности; они вызывают появление долго живущих переходов (см. гл. 7) и другие усложнения [63]).

В работе [63] Вегнер обсуждает поведение вблизи неподвижной точки, причем идет дальше простого линейного приближения. Этот анализ будет продолжен в абстрактной форме с весьма общими предположениями, которые подкрепляются лишь некоторыми примерами.

Рассмотрим траекторию 36t, удовлетворяющую уравнению (12.1), и предположим, что 36t~36\ где 36*— неподвижная точка. Тогда можно записать

^ = Ж + 6^,(12.7)

где добавка b36t мала. Возмущение б^ удовлетворяет уравнению

A b36t = L b36t + О [бЗ^],(12.8)

где О [б^?] — члены второго порядка по постоянной взаимодействия. Оператор L является линейным оператором; он связан с преобразованием в гл. 11 и подробно рассмотрен в приложении. Оператор L зависит от неподвижной точки 36*.

205

Матрица М размерами 2X2 [см. в гл. 4 выражение (4.32)] также служит примером оператора L.

Начальное взаимодействие б^о определяется обычно интегралом по всему пространству от плотности энергии. Однако его будет удобно рассмотреть как локализованное возмущение б5^о- Запишем в общем виде

6^o=^g(x)O*[x, о],(12.9)

X

где g (х) — некоторая произвольная малая функция, а 0Ух, о] — произвольная плотность взаимодействия.

Удобно рассматривать трансляционно-инвариантные плотности О [х, ст]. Примерами трансляционно-инвариантных плотностей О [х, ст] являются:

s (х), J ехр {— (х — у)2} s (у),

У

ехр {— (х — у)2} ехр {— (х — z)2} s (у) s (z) и т. д.,

где s (х) — фурье-образ величины cq. (Формальное определение см. в приложении.) В линейном приближении возмущение b96t линейно по g-(x). Выражение (12.9) можно переписать в виде

^t = § gW О [*е-<> ст, /],(12.10)

X

где в аргументе функции О по причинам, которые мы объясним ниже, вместо переменной х стоит переменная xe-t.

Вполне естественно рассмотреть экспоненциальные решения уравнения (12.8), а именно решения вида

S^ = exp(-dm0^k]-(12.11)

Функционалы От должны удовлетворять уравнению на собственные значения:

-dm0m\6\ = L.0mYa\.(12.12)

Явные примеры решений, выраженных через локализованные функционалы 6?m[o], приведены в приложении. Оператор L не является эрмитовым; это означает, что, кроме (12.11), могли бы существовать также решения, которые ведут себя, как th ехр (—dmt), однако на практике они не учитываются, и мы

их будем игнорировать. Мы будем предполагать, что множество решений 67m[o] является полным, т. е. любой локальный функционал можно выразить в виде линейной комбинации функционалов (XJo] (для большей точности см. ниже теорему о разложении).

Функционалы 67m[o] локализованы вокруг начала координат. С помощью трансляции мы можем определить функционалы От [х, а], локализованные в окрестности любой точки х. Правило связи между этими функционалами следующее (см. приложение):

От\х. <т]=^т1<т1,(12.13)

где о' = exp (z^ • х) oq. Эти преобразованные плотности также определяют решения линеаризованных уравнений в виде

б^ = ехр(— dmt)OmVxe-t, а].(12.14)

Соотношение (12.14) доказано в приложении. Причина, по которой аргумент х заменяется на хе-*, заключается в том, что физически локализация взаимодействия не должна зависеть от величины параметра t. Множитель ert компенсирует изменение шкалы безразмерной длины.

Предположим теперь, что у нас имеется некоторое произвольное начальное взаимодействие, имеющее вид (12.9), где О [х, о] — взаимодействие, сдвинутое на произвольную величину. Оператор О [0, о] (по предположению) можно представить в виде линейной комбинации операторов б7т[оф

^[0, <т] = 2^АМ.(12.15)

т

Это немедленно означает, что

O\x,C\ = lLcmCm\x, а].(12.16)

т

Таким образом, решение 696t, соответствующее начальному условию (12.9), имеет вид

6^ = J g (х) У сдаехр(— dmt^ От VxeS а].(12.17)

х т

Предостережение. На практике разложение (12.17) не всегда сходится. Единственное действительно верное утверждение— это то, что разложение (12.17) справедливо асимптотически для больших значений t. Некоторый абстрактный

пример, который иллюстрирует это утверждение, заключается в следующем. Пусть f(q')—функция, похожая на функцию (1 + ^2)-1, для которой ряд Тейлора по степеням q2 сходится только для q2 < 1. Рассмотрим функцию {(qe-) для заданного q, причем q2 > 1. При / = 0 ряд. Тейлора по q2 для этой функции расходится. Однако для достаточно больших / разложение справедливо.

Локальные возмущения, рассматриваемые в статистической механике, возникают из-за локальных флуктуаций температуры, химического потенциала и т. д.; каждый тип таких флуктуаций соответствует некоторому определенному функционалу О [х, о]. В теории поля эти функционалы после перенормировки соответствуют составным локальным операторам *). (С первого взгляда кажется, что типичные локальные операторы, такие, как

J J exp (— x2 — y^s (х) $ (у), х У

совсем не похожи на локальные произведения в теории поля, например ^(х). Однако если безразмерное расстояние |х— У| ~ 1 в гамильтониане 65^О выразить в физических еди- ницах, то оно станет пропорциональным Ло1, а, когда Ло —► со, физическое расстояние между переменными х и у будет стремиться к 0.) Особые функционалы (?т[х, о] соответствуют локальным операторам Каданова [9, 126], которые имеют масштабные индексы dm. В теории поля они определяют базис из локальных масштабно-инвариантных операторов <7т(х) [94]; величина dm является аномальной размерностью оператора От. (Дальнейшее обсуждение этого вопроса см. ниже.)

До сих пор в нашем анализе предполагалось, что 36» « 36*, так что возмущение 636» мало. Для большей общности рассмотрения предположим, что 36» является критическим взаимодействием некоторой системы и определяется на критической поверхности в области, соответствующей неподвижной точке 36*, однако не в непосредственной близости от этой точки. Тогда существует критическая траектория^?, которая при / —» со стремится к точке 36*. Рассмотрим малые отклонения от критической траектории:

36t = 36t^b36t. (12.18)

В этом параграфе под малостью возмущения &96t понимается следующее (на языке гл. 7): параметр t соответствует либо начальной переходной области, где взаимодействие Ж существенно отличается от 96*, либо промежуточной области, в которой 96° «» Н*, а возмущение 6961 тем не менее мало. «Область корреляционной длины», которая соответствует большим значениям /ив которой величина 696t велика, здесь рассматриваться не будет. В переходной области возмущение &96t удовлетворяет некоторому линеаризованному уравнению, но с оператором к\9бП> зависящим от времени t. Для больших значений I, когда 96\ ^ 96’, оператор L \9бП сводится к оператору L, который определен выше. Для больших значений / имеет место некоторая теорема разложения; возмущение 696t для больших t удовлетворяет уравнению (12.8) и, следовательно, ему соответствует разложение вида (12.17) с коэффициентами ст, не зависящими от времени /.

Чтобы показать, что величина dTO— аномальная размерность, полезно рассмотреть корреляционные функции, включающие в себя локальное возмущение О [х, а]. Мы можем вычислить такие корреляционные функций, как

/""'(s^i)s^»)^^, о] exp (Ж))

с помощью производящего функционала

Z [/, g] = Z"x J exp H j (x) s (x) + J g (x) О [x, a] + Ж [a] 1,

(12.19)

включающего в себя член, содержащий функцию ^(х) и рассматриваемый далее в первом порядке по g^. Начальное взаимодействие 960 выберем теперь в виде

Ж + g (*) О [*, о]-

X

Так как вклад g^ может рассматриваться в первом порядке, взаимодействие 96t имеет вид, сходный с выражением (12.7):

Ж = 96* + $ g (х) £ ст exp (- d.^ Ст [хе~\ а]. (12.20) хт

[Если мы будем использовать уравнение ренормализационной группы из гл. 11, производящий функционал (12.19) получится путем подстановки взаимодействия 36t в соотношение (11.32).]

Таким образом мы пришли к рассмотрению корреляционных функций, включающих в себя локальные операторы С?т[х, о] и вычисляемых с помощью взаимодействия 5^*, например

MZT’^i) ...$М(Цх, о] exp {Ж [а]}), (12.21) где Z* — статистическая сумма, соответствующая взаимодействию 36*. Можно показать, что эта корреляционная функция удовлетворяет закону подобия, аналогичному соотношению (7.45):

хх«„) =

= ехр(-^)ехр(-4/т/)^(хе-^ ххе"1хпе-^\ (12.22) соотношение (12.22) означает, что dm—аномальная размерность оператора От точно так же, как ds — аномальная размерность, соответствующая спину $(х). Мы здесь дадим только набросок доказательства соотношения (12.22). Функцию fm(*> *1*„)можно вычислить с помощью производящего

функционала

в котором член, содержащий функцию g(x), рассматривается только в первом порядке. Уравнения ренормализационной группы с начальным взаимодействием

360 = Ж+^(х)С?т[х, о]

X

можно проинтегрировать. В результате рассмотренный выше производящий функционал можно записать в виде

(Z*)-1 ехр(— ndst> Is (*ie-<) ... s (хпе~^ X

(12.24(12.24

(12.24

(12.24

отсюда сразу следует искомый результат. [Если мы работаем с точными уравнениями ренормализационной группы (см. гл. 11), тогда выражение

(s (*0 ... $ (х„) ехр (30,)) (12.25) необходимо понимать как сокращение для функциональной производной

<12-26>

где функционал Z\j,36t\ определяется выражением, (11.32) а функция j (х, /) имеет вид

/(ж, 0 = $exp(zg-x)/(g, О- (12.27)

Более того, чтобы выражение (12.25) можно было использовать во всей области t, необходимо провести интегрирование, скажем, от f до f + t вместо интегрирования от 0 до t, причем для большого значения Г. Предполагается также, что функция р(/) (см. приложение) имеет вид Ы, где b— некоторая постоянная; величина ds равна тогда d/2 — b. Функция р(/) строится таким образом, что она не изменяется при появлении возмущения

^g-(x)№, а].

Это возможно потому, что функция р(/) нам необходима только для того, чтобы установить существование неподвижной точки 36*, т. е. нет необходимости изменять функцию р(/), когда рассматриваются возмущения в окрестности точки 36* (за исключением некоторого особого случая, которого можно ожидать при наличии близких неподвижных точек).]

В качестве следствия из закона подобия для корреляционных функций включающих в себя оператор От [х, а], получаем, что операторам, обладающим наименьшими значениями dm, соответствуют наиболее медленно спадающие корреляционные функции (дальние корреляции). «Дальние корреляции» означают, что корреляционная функция отлична от нуля для расстояний |х, — xj^l, выраженных в безразмерных единицах начального взаимодействия, т. е. в статистической механике «дальние» по сравнению с постоянной решетки,

а в теории поля «дальние» по сравнению с расстоянием (Ло)-1, соответствующим обрезанию. Таким образом, если для оператора ^[х, о] можно записать разложение (12.20), тогда в любой медленно спадающей корреляционной функции его можно заменить ведущим оператором От\.х, о] (т. е. оператором с наименьшей величиной dm, для которого коэффициент ст отличен от нуля). В простой модели, рассмотренной в гл. 4, это означало, что почти все операторы О [х, а], нечетные по о, ведут себя как s(x), а почти все операторы, четные по о, ведут себя как плотность энергии (порождаемая флуктуациями температуры 7). Все это является частью общей теории операторов, предложенной Кадановым в работах [9, 126].

В рамках идей, которые здесь рассмотрены, можно получить редукционную операторную формулу Каданова [126] (в теории поля этому соответствует формула для разложения произведения операторов [94, 124, 127]). Мы не будем здесь вдаваться в детали. Идея состоит в следующем: если мы интересуемся произведением операторов О^хх^ о)б?т2(х2, а) для больших расстояний |xi —х2| в рамках корреляционной функции, содержащей удаленные от хь х2 спины s(x3), s(x4) и т. д.') (| х3 — Х[ | > I 2 — ■*! I и т. д.), тогда это произведение можно включить во взаимодействие З^о, определив его следующим образом:

500 = Ж + $ $ g (*ь *г) От1 (хь о) От1 (х2, о). (12.28) *1 *2

Если теперь это взаимодействие рассматривается с точностью до первого порядка по g, то для больших / мы получаем выражение

Ж = ЖА" $ J g(Xi, х2)£ Cmlxx — х2)ехр(— dm^Om^xe-1, о), т

(12.29)

которое устанавливает соответствие между произведением операторов и суммой по операторному базису.

Следующая задача состоит в исследовании трансляционно-инвариантных возмущений [63]. Это означает, что возмуще-

ние 6<Жо имеет вид (12.9) с функцией g(x), не зависящей отх,- т. е. g(x') = g. В этом случае замена переменных х —> xet в выражении (12.17) приводит к выражению

б^ = g ^ cm exp {(d — dm) /} ^ От [ж, о]. (12.30) т х

В этом выражении члены, для которых dm <_ d, растут с t, в то время как члены, для которых dm > d, убывают. Следовательно, число существенных операторов 0т ^dm <_ d) определяется степенью нестабильности неподвижной точки <^*. Таким образом, мы можем определить n-кратно нестабильную неподвижную точку 5^* как неподвижную точку, которой соответствует п существенных операторов. [Если имеется некоторое число «неприятных» операторов, соответствующих dm = d, то для определения того, дают ли эти операторы вклад в нестабильность или нет, необходимо провести вычисление во втором порядке по функции g(x) (см. работу [63] и гл. 13).]

В заключение отметим, что часть области, соответствующей точке 36*, в окрестности самой 36*, легко определить: она состоит из всех возмущений, не содержащих ни одного существенного оператора. Это означает, что размерность области 36* на п меньше размерности пространства S.

Глава 13

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕНЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ —ТЕОРИЯ ПОЛЯ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ $-4

В гл. 12 мы показали, что для любой фиксированной точки 36* существует область взаимодействий D, критическое поведение которых описывается гамильтонианом 36*. И для статистической механики, и для теории поля чрезвычайно важно сформулировать способ определения границ подобных областей.

Мы опишем здесь некоторую приближенную технику определения границы области, опирающуюся на высокотемпературные разложения. Эта техника будет развита для весьма специфичного примера, а именно применительно к задаче определения границы области гауссовой неподвижной точки для модели в пространстве четырех измерений. (Подобную область мы будем называть областью взаимодействий, соответствующих «свободному полю», или свободной областью.) Развитый метод после дальнейшего усовершенствования можно использовать и в других задачах, касающихся границ областей, отвечающих неподвижным точкам.

Особый интерес для специалистов по квантовой теории поля представляет природа и особенности поведения свободной области в четырехмерном пространстве. Рассмотрим случай перенормированной теории поля со взаимодействием ф4. До тех пор пока взаимодействие ф4 (при подходящем выборе параметра обрезания) лежит в свободной области, перенормированная теория поля, определенная так, как это пояснено в гл. 12, является теорией без взаимодействия. Свободная область с определенностью имеется для случая малой затравочной постоянной взаимодействия (см. ниже); следует выяснить вопрос, не оказывается ли взаимодействие при больших значениях постоянной взаимодействия вне свободной области и, тем самым, возможно, в области, для которой существует нетривиальная неподвижная точка.

Вполне возможно, что вся критическая поверхность (см. гл. 12) может оказаться внутри свободной области. В таком случае невозможно было бы получить перенормированную теорию ф4 с отличным от нуля взаимодействием. Это не противоречит существованию перенормированной теории возмущений для взаимодействия ф4. Общеизвестным примером может служить модельная теория (модель Ли [128]), которой соответствует перенормированная теория возмущений, но для которой, однако, единственной точно определенной перенормированной теорией будет теория свободного поля.

[Для модели Ли можно найти некоторую теорию со взаимодействием как предел взаимодействий с неэрмитовым обрезанием. Теория, получаемая при таком предельном переходе, представляет собой перенормированную теорию возмущений. В ней, однако, возникают нежелательные «призрачные» состояния. В теориях, обсуждаемых здесь, все гамильтонианы при обрезании являются эрмитовыми (см. гл. 10).]

Сама идея наличия неподвижных точек и областей, состоящих из неподвижных точек, возникла в старой теории ренор- мализационной группы Гелл-Манна и Лоу (см. [76]). Старый подход имел недостаток: невозможно было определить расположение неподвижных точек или границ области, и, как след- ствие этого, подобная теория была в высшей степени неконкретна. Расчеты, описанные в нашей книге (и в особенности предлагаемые обобщения их), полностью основываются на современном подходе к этим вопросам.

Так, в частности, обрезание в теорию взаимодействия ф4 будет введено при помощи задания некоторой решетки так, как это обсуждалось в гл. 10. Решеточные модели из гл. 10 будут изучены для всех значений постоянной взаимодействия при ф4, т. е. для всех значений коэффициента и0 при s4, по- аналогии со статистической механикой. Найдено, что вся область 0 ^ «о ^ 00 лежит в свободной области ). Используемые здесь высокотемпературные разложения позволяют рассматривать на равных основаниях и большие, и малые значения «о- Проводимые расчеты грубы, но, по всей вероятности, надежны. Частично они были подтверждены расчетами с использованием приближенной рекуррентной формулы из гл. 6 (см. конец этой главы). В дальнейших исследованиях в мо-

дель будут включаться дополнительные члены s6, s8 и т. п., что позволяет надеяться на определение границы области.

Яснов и Уортис [129] пытались показать существование резкой границы области (в несколько иной проблеме), исходя из того факта, что при переходе через границу области критические показатели испытывают скачок. Однако в рамках используемой ими техники высокотемпературных разложений практически возможно появление лишь непрерывно изменяющихся показателей; существование разрыва должно подразумеваться. В данной главе метод ренормализационной группы

Фиг. 13.1. Топология на критической поверхности (рассматривается теория поля со взаимодействием Ф4).

По оси и откладывается величина постоянной затравочного взаимодействия и0Ф*, по оси w — промежуточная переменная. Pg —гауссова неподвижная точка. Траектории В и С—две типичные траектории, обсуждаемые в тексте.

будет использован для определения функции ф(м0), исчезающей на границе (если такая граница существует). Следовательно, в нашем случае нет необходимости искать разрывы.

Обратимся вначале к результатам анализа, проведенного с помощью метода ренормализационной группы. Чтобы разобраться в них, необходимо понять, каким образом траектории в свободной области приближаются к гауссовой неподвижной точке. На фиг. 13.1 изображено некоторое сечение критической поверхности. Координатами являются постоянная взаимодействия и, стоящая при $4(^4), и промежуточная переменная ш. Точка Рц является гауссовой неподвижной точкой. Начальные взаимодействия не имеют членов с w и характеризуются различным выбором значений величины «о; при этом траектории для разных значений и0 выглядят подобно траекториям 5 и С на фиг. 13.1. Найдено, что вблизи PG они располагаются

весьма близко к единственной траектории Л. Это будет пояснено ниже.

Если свободная область имеет границу, то простейшая топологическая конфигурация подобна той, что представлена на фиг. 13.2: имеется двукратно нестабильная неподвижная

Фиг. 13.2. Простейшая топология при наличии второй неподвижной ТОЧКИ Pg.

Вертикальная линия W соответствует воротам, которые обсуждаются в тексте. uflc—наименьшая величина параметра и, начиная с которой траектория уже не заканчивается в точке Ру.

точка Рв, а граница свободной области сама является областью для Рв. Траекторию А в этом случае можно определить как траекторию, связывающую Рв и PG. Если граница пересекает каноническую поверхность (в данном случае ось и), тогда траектории, выходящие из канонической поверхности, при приближении к границе выглядят подобно D на фиг. 13.2.

Определяющей особенностью траекторий, подобных D, является то, что они долгое время остаются вблизи неподвижной точки Рв и, следовательно, в течение большого промежутка времени t не проходят через « ворота» W (см. фиг. 13.2). Для любого начального значения м0 из области изменения постоянной взаимодействия и определим время ^w(^o) как время, через которое траектория, начинающаяся в точке «о, пройдет через ворота W. Для удобства ворота будут распола-

гатьбя в напоерадственной близости от гауееовой неподвижной точки.

Из чисто топологических соображений нетрудно усмотреть, что время tw(Uo)—* оо, если точка и0 приближается к границе свободной области. Обусловливается это следующей причиной. Пусть величина и0 возрастает. Когда и0 достигает границы, траектория, выходящая из точки и0, должна вести себя разрывно: вместо того чтобы приближаться к PG, она либо остается на границе, либо покидает пределы области. И если дифференциальное уравнение, из которого находятся, траектории, не является патологическим, то лишь в предельном случае /->оо траектория может вести себя разрывно. Следовательно, время прохождения ворот W стремится к со по мере того, как и0 приближается к границе. Это обстоятельство будет использовано для выяснения факта существования границы.

Определим теперь функцию

w-[W (131)

Чтобы время tw^o) становилось бесконечным при и0 =. Иос, оставаясь конечным для меньших значений Ио, производная dtw(uo^iduo должна быть бесконечной при и0 = иОс; это означает, что функция ф(ы0) в точке и0 = иОс должна обращаться в нуль. (Функция ф(ио) является, таким образом, аналогом функции ф, введенной первоначально Гелл-Манном и Л оу, в том смысле, что существование нуля у ф(ы0) при некотором ненулевом значении параметра Uq делает возможным существование нетривиальной перенормированной теории; см. работу [76].) Обсуждение в общих чертах случая, когда точка м0 = со, стоит провести особо. Однако в этом случае, как станет ясно, точка и0 = со располагается внутри свободной области.

Как будет видно ниже, функция ф(«о) нигде не обращается в нуль, а при «о = со функция ф отрицательна. Следовательно, время tw(Ho>) конечно для конечных и0, а с ростом «о уменьшается. Таким образом, вся ось и0 содержится внутри свободной области.

Покажем, что в модели ф\ во-первых, существует единственная траектория А, к которой при больших / стремятся траектории, выходящие из точек, близких к PG. «Близость к точке PG» означает, что параметры и и w малы и, следова-

тельно, применим подход, использующий ту форму уравнений ренормализационной группы, которая основана на теории возмущений. Согласно гл. 4, в случае d = 4 итерационное уравнение для ut [уравнение (4.27), в котором мы пренебрегаем г;] имеет вид

«,+1 =и£ — 9си].(13.2)

Переписанное в виде дифференциального-уравнения, оно выглядит следующим образом:

du.

-^-=-9си^(13.3)

Решение уравнения (13.3) записывается в виде

“*= 9 (f — /0) с ’^ 3‘4)

где /0— постоянная. Таким образом, ut-*0 при t —> оо как 1//. В противоположность этому типичное уравнение для промежуточной переменной в низшем неисчезающем приближении можно записать так:

d®.

-^ = -2wt-Y^t.(13.5)

Поскольку ut уже известно, нетрудно найти решение этого уравнения:

t

wt = tyoexp(— 2/) 4- J exp{—• 2(/ — h)} «?, dt\. (13.6) о

Единственным параметром, который оказывает влияние на местонахождение траектории, является ty0; изменяя /0, мы изменяем лишь начало отсчета переменной t вдоль траектории. Для больших / членом и>0 по сравнению со вторым членом в (13.6) можно полностью пренебречь; следовательно, с точностью до членов порядка ехр(—2/) все траектории вблизи точки Pq (на критической поверхности) совпадают.

В качестве следующего шага необходимо обсудить поведение траекторий, которые начинаются весьма близко к критической поверхности, но не на ней. На основе этого анализа для функции ф(ио) будет получена формула, которую можно использовать для расчетов, основанных на высокотемпературном разложении.

Если вначале некая траектория чрезвычайно близка к критической поверхности, то лишь для очень больших t она заметно отойдет от нее. Следовательно, такая траектория будет вначале проходить очень близко к траектории Л и очень близко к точке Р8) однако прежде чем достигнуть PG, она покинет критическую поверхность. Существенные переменные вблизи точки PG — это г и и; возможные траектории, покидающие критическую поверхность, показаны на фиг. 13.3 (5 и С). (Параметр г был введен в гл. 13. Его начальные

Фиг. 13.3. Поведение траекторий (В и С) ренормализационной группы вблизи точки PQ в случае, когда они немного сдвинуты с критической поверхности.

значения г0 связаны с выраженной в единицах параметра обрезания затравочной массой р0 из теории взаимодействия $4; см. гл. 3 и 10.)

Пусть g0 — корреляционная длина, соответствующая начальному взаимодействию. Ее можно изменять независимо от н0; величина go варьируется при варьировании разности г0— rOc(Uo), где г0с(н0)—значение параметра г0 на критической поверхности.

Вместо функции Zvy(“o) можно взять более общую функцию tw(Uo, go), продолжая ворота W за критическую поверхность так, как это показано на фиг. 13.3.

Определим теперь ф(и0> go) как функцию, переходящую в ф(но) при go—* оо. Если корреляционная длина go очень велика, разность tw(n0 + д«о)— tw(uQ) слабо зависит от go, что позволяет заменить эту разность следующей разностью:

tw (“о + 6«о> go + 6go) — tw (и^, g0),

220

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ а вариацию 6g0 можно выбрать таким образом, чтобы вычисления стали проще. Рассмотрим траектории, отвечающие (м0, ^о) и (м0 + бм0, g0 + 6g0); они отмечены на фиг. 13.3 соответственно буквами В и С.

Как это показано на фиг. 13.3, траектории В и С значительно отличаются в области за воротами W. Удобно сделать их совпадающими. Этого можно добиться, подбирая 6g0 таким образом, чтобы В и С, пересекая линию g = 1, прошли через одну точку. В таком случае эти траектории совпадут во всей области после ворот W. Обусловлено это тем, что задание гамильтониана 361 в одной точке определяет траекторию 36t целиком. На самом деле невозможно сделать так, чтобы траектории на поверхности g = 1 совпали в точности, поскольку значения промежуточных переменных, подобных w, будут слегка отличаться для двух таких траекторий. В области перед воротами W, где величина параметра и не мала, эти промежуточные переменные важны и траектории В и С существенно различаются. Это было уже показано на фиг. 13 1.

Разность времен

tw (“о + бм0, £о + б|0) — tw («о, £о)

не меняется при перемещении вдоль общей траектории от ворот W до линии g = 1. Таким образом, эту разность времен можно записать также в виде

fi («о + бм0, ?о + 6go) — fi («о, =о)>

где fi(u0, £о) означает время, соответствующее той траектории, которая пересекает поверхность с g = 1. В таком случае время fi («о, ^о) можно выразить через go, поскольку соотношение gt = e-igo = 1 будет иметь место, если

^1 (Ио, lo) = In go-(13.7)

Таким образом, разность времен дается выражением

tw (м0 4- быд) — f^ (wq) = In Йо 4- 6g0) — In g0.(13.8)

Пусть значение параметра и, при котором f = t^u0, g0), будет равно Mi(m0> £о). Две траектории В и С совпадают на поверхности g = 1, если величины Mi одинаковы для обеих траекторий. Следовательно, вариацию dgo необходимо вы-

221

брать так, чтобы величина «1 оставалась постоянной. По этой причине функцию i|)(«o, £о) определяют как производную:

Ф(«о.•<13-9)

где корреляционная длина g0 изменяется с и0 так, что вели' чина Ы] («о> £о) остается фиксированной. При g0->oo получаем •ф(«о, ?o)~*^(«o);

W= limГ*.(13.10)

Тот факт, что параметр и0 должен меняться, когда с целью зафиксировать величину «1 изменяется go, является примером перенормировки постоянной взаимодействия. В этом примере имеется однопараметрическое семейство траекторий, проходящее через поверхность g = 1 и параметризуемое постоянной иг, постоянная и\ тесно связана с перенормированной постоянной взаимодействия (см. ниже). В том случае, когда меняют начальную корреляционную длину g0, соответствующую некоторой траектории (что аналогично варьированию параметра обрезания Ло в гл. 12), то, для того чтобы величина и\ оставалась фиксированной, необходимо изменить также величину параметра и0 (см. гл. 12).

Следующим шагом является получение высокотемпературного разложения для функции ф(но, £о)- Высокотемпературные разложения определены для решеточных моделей статистической механики. В гл. 10 было разъяснено, что эти решеточные модели определяют некоторые квантовые теории поля. Здесь будет использован язык статистической механики. Исходное взаимодействие на решетке берется в том же виде, что и в гл. 10:

л 7лл

где К, b и Uq — свободные параметры. Функция ф (u0, g0) будет получена из спин-спиновой корреляционной функции во внешнем поле h:

/sns0 exp (— ^0) exp (h £ 5„^\

Г„(й, К. = X У " ”(13.12)

/ехр (- ^0) exp Mi 2, s„ R

Предварительное исследование нетривиальной неподвижн. точки

где

4-00

<-->=П $ds"-

fl — ОО

Высокотемпературное разложение является разложением функции Гп(/г, К, «о) по степеням параметра К. Подобное разложение весьма широко обсуждалось (см., например, в работе [97]), и мы не станем излагать его здесь еще раз. Чтобы получить разложение функции Г„(/г, К, «о) до девятого порядка по К, был использован метод Яснова и Уортиса [129]. Расчеты были проведены Вильсоном с помощью компьютера. В настоящее время существуют программы [113, 130], позволяющие провести вычисления до 12-го порядка по К. При разложении по параметру К для каждого члена разложения получаем интегралы вида

П S4£sn-u^L- (13л3) т\лап)

где Р [sm] означает произведение спинов. Этот интеграл распадается на произведение отдельных интегралов: по одному для каждого узла решетки. Для какого-либо узла интеграл в свою очередь имеет вид

4-00

j dss1 exp | — у s2 —• u^ + hs }.(13.14)

Подобные интегралы были рассчитаны численно с высокой точностью с помощью компьютера.

Ничто не запрещает нам произвести в этих интегралах масштабное преобразование sn —> ^sn; единственным следствием его является масштабное преобразование функции Гл:

Г„->С2Г„,

что не оказывает влияния на вычисление функции ф(«о, £о), которое излагается ниже. Вследствие этого произвола нет необходимости проводить вычисления для всех значений параметров К, b и и0. При численных расчетах было использовано условие нормировки

4 +«о=1.(13.15)

Спин-спиновая корреляционная функция была вычислена для значений параметра Яо, приведенных в табл. 13.1. Она была получена в виде разложения по К и h.

Таблица 13.1

“о

0

0,25

0,25

0,329

0,5

0,3637

1

0,4004

2

0,4276

3

0,4322

5

0,4218

7,5

0,4000

10

0,3794

20

0,3362

40

0,3152

ОО

0,3000

Теперь необходимо выразить функцию ф(я0, £о) через спин- спиновую корреляционную функцию. Во-первых, перейдем о г переменных go к К. Корреляционная длина g0 является функцией переменной Л' (для фиксированного значения параметра я0) и стремится к оо, когда К-> Кс(«о), где Кс(я0)—критическое значение переменной К. Таким образом, ф будет рассматриваться как функция параметров я0 и К[ф(яц, К)], а исходная функция ф(я0) имеет вид

(13.16)(13.16)Ф (я0) = ф (я0, Кс («о))-

(13.16)

(13.16)

В качестве определения go, используемого здесь, служит «эффективный радиус корреляции», введенный в гл. 3 [соотношение (3.30)]:

(13.17)(13.17)d In f 9 (О, К, и0) ISo =d^ |,=0 ’

(13.17)

(13.17)

где

Г^ (/г, К, я0) = £ехр(г? • п) Г„(/г, К, я0).(13.18)

п

Чтобы с помощью выражения (13.10) определить функцию ф, необходимо знать, каким образом можно зафиксировать ui(«o, So). Для этого нам нужно найти величину, которую можно рассчитать и выразить через функциюГ9 (А, К, «о), но которая зависит лишь от «ь

Рассмотрим эффективное взаимодействие Ж,, соответствующее моменту времени, когда траектория ренормализа- ционной группы пересекает поверхность g = 1. Это эффективное взаимодействие фиксировано, если определено значение величины «i(«o, So). Таким образом, любая величина, зависящая только от взаимодействия a^t» будет зависеть фактически только от Ыь Формулу для функции Г? при А = 0 с помощью взаимодействия можно представить следующим образом:

Г9(0, К, и0) = ехр(—^^(«о, К, tx)F2(qexp(tx), их), (13.19) где

F2 (q, «1) = -',(13.20)

Zx — статистическая сумма для гамильтониана 36tvi а величина £(н0, Л", А) — множитель, соответствующий перенормировке спинов. [См. уравнения (7.15) и (7.25).] Поскольку экспонента ехр(^) равна корреляционной длине g0, имеем (в этой главе d = 4):

Г,(О;К,ио)=1о"4^(«о,К. W2^^(13-21)

Производная d2fg(A, К, ы0)/дА21„=0 (если отбросить несвязанные диаграммы Фейнмана) является четырехспиновой корреляционной функцией. Как легко видеть, она имеет следующее представление:

^^^ = So’V(«o, к, tx^F^, «1).(13.22)

[Выражения (13.21) и (13.22) справедливы лишь для больших значений корреляционной длины go'- если параметр «о порядка 1, а корреляционная длина go невелика, тогда величина их также порядка 1. В таком случае гамильтониан 361 наряду с «1 зависит от промежуточных переменных; следовательно, функции К2 и /^ зависят, помимо go# и их, и от других переменных. Здесь все это несущественно, поскольку мы нуж-

даемся в соотношениях, которые используются лишь для больших g0J

Из выражений (13.21) и (13.22) следует, что величина

(13.23)(13.23)^4№(0. К, u^dh^

(13.23)

(13.23)

[Го(О, К, м0)Г2

зависит только от параметра ub а именно

ttR = UMM^P 't1 3‘24^

(Введенная здесь величина uR не совпадает с uR из гл. 9, однако они играют сходную роль — обе выступают как постоянные перенормированного взаимодействия.) Легко проверить, что для малых значений величины их функция F4(0, Ui) линейна по «1, в то время как функция ^(О, Ui) является некоторой постоянной. Следовательно, в первом приближении величина uR линейна по «ь Таким образом, фиксируя величину uR, мы фиксируем и величину и,\.

Формула для функции ф(ыо, /С) выглядит теперь так:

ф(ио, ^P^-l Г- (13.25)

Поскольку высокотемпературное разложение дает значение величин uR(K, ыо) и ^о(К, «о), то в этой формуле необходимо перейти от переменной К к переменной uR. Производную (13.25) можно выразить с помощью производных по параметрам «о и К, рассматриваемых как независимые переменные, в итоге это дает

ди_ ( d In duD 5 In дио

=-(13.26)

Выражение (13.26) было использовано для получения разложения функции ф(ыо, К) по параметру К- Эти степенные ряды были записаны для каждого значения параметра ы0, приведенного в табл. 13.1. (Для расчета как производной dTniduo^h, К, Ыо), так и функции Г„(/1, К, «о) были использованы вычисления, полученные с помощью компьютера.)

Чтобы определить функцию ф(«о, Кс), необходимо знать критическое значение параметра К, т. е. Л"с(ыо). Для этого используем стандартную процедуру [97] определения Кс. Рассмотрим функцию Г?(0, К, Ыо) при q = 0. Эта величина равна

восприимчивости х- Для заданного значения параметра и0 положим

(13.27)(13.27)X = rq=0^,K, и^^^а^1.

(13.27)

(13.27)

1=0

В критической точке восприимчивость стремится к бесконечности (отражая факт появления спонтанной намагниченности). Таким образом величина Кс является радиусом сходимости разложения (13.27) по К, если только, конечно, не существует комплексных сингулярностей, расположенных ближе к началу координат (|/С| = 0). Однако для I ^ 9 все известные коэффициенты а/ положительны — это наводит на мысль, что ведущая сингулярность находится на положительной полуоси К. В таком случае величина Кс определяется из соотношения

(13.28)(13.28)а, ,Кс= Нт -^-.z-»=o “/

(13.28)

(13.28)

Значения отношений az-i/az приведены в табл. 13.2 для Ыо=2О. Чтобы получить точное значение величины /СДыо), была использована процедура экстраполяции, описанная в работе [97]; это позволило определить величину /<с(ио) с ошибкой, меньшей 1%. Результаты приведены в табл. 13.1.

Таблица 13.2

1

ai—\!ai

Ь1

0

931,88

1

0,283

4 743,8

2

0,321

— 18 402

3

0,323

70 212

4

0,328

—24 969

5

0,328

860 892

6

0,331

-2 857 774

7

0,331

8

0,332

9

0,332

Поскольку степенные ряды, отвечающие функции ф(Ыо, Ю > при К = Кс(ио) сходятся медленно, то, следуя установив-

шейся в статистической механике практике [97], эти ряды суммируются с помощью метода аппроксимантов Падё. Так как разложение функции ф(ы0, К) начинается с члена К2, то метод Падё применяется к функции [ф(«о, КМКЧ. Процедура заключается в расчете «таблицы Падё» при К = Кс. Числа, стоящие на пересечении М-й строки и N-ro столбца, т. е. [М, АД вычислялись следующим образом. Допустим, что для данного значения параметра «о разложение функции ф(ы0, К) имеет вид

КГЧ^о, K^YbtK1.1=0КГЧ^о, K^YbtK1.1=0(13.29)(13.29)

КГЧ^о, K^YbtK1.

1=0

КГЧ^о, K^YbtK1.

1=0

(13.29)

(13.29)

M+NЕ »Л'= /=0M+NЕ »Л'= /=0+ О (№*+»+>).+ О (№*+»+>).(В табл. 13.2 приведены постоянные bi для ы0 = 20; оказывается, что мы можем, задав разложение для функции Г? до членов порядка К9 включительно, рассчитать bi только для Z 6.) В разложении (13.29) берут члены до порядка (Af + N) и для малых значений К аппроксимируют ряд отношением полиномов соответственно порядка М и N по К с точностью до членов порядка K.N+M+X:

M+N

Е »Л'= /=0

M+N

Е »Л'= /=0

+ О (№*+»+>).

+ О (№*+»+>).

(13.30)

Если заданы постоянные Ьг, то с точностью до общего масштабного множителя эта формула позволяет получить М + 1 постоянных с; и N + 1 постоянных dt. В итоге «матрица» !) ^М, W] из табл. 13.3 определяется выражением

(13.31)

Таким образом были рассчитаны все «матричные элементы» для параметра и0 = 20 с (Af -f- N)^ 6 и результаты сведены

*) Результаты расчета аппроксиманта [Af, А] данного выражения, выполненные по правилам, сформулированным ниже, мы называем «матрицей», чтобы избегать более длинного выражения «таблица Падё» величин... — Пром. ред.

Таблица 13.3

м=о

1

2

3

4

5

М = 0

. -1,073

1

1,546

-2,891

2

-0,719

-4,119

-3,624

3

0,836

—3,983

-3,994

-3,870

4

-0,536

-4,854

-4,097

—2,949

—4,205

5

0,607

—4,356

-4,518

-4,792

—4,438

—4,342

6

-0,448

-5,093

-4,632

-4,806

—4,806

—3,321

Примечание. По ошибке эти числа вычислены для Кс = 0,3328, а не для 0,3362.

в таблицу Падё (табл. 13.3). Указанные в ней числа соответствуют аппроксимантам Падё для функции \000К2с(^ (ыо, Ко) при ио = 20. Стандартные сведения относительно таблиц Падё [97] сводятся по существу к следующему: 1) аппрокси- мантам рИ, 0] и [0, У] доверять нельзя, 2) «матричные элементы» вблизи середины строки ближе к искомой величине, чем те, что находятся по ее краям, и, наконец, 3) вообще говоря, среди матричных элементов может быть несколько «непутевых», т. е. таких чисел, которые не имеют смысла по сравнению с соседними «матричными элементами». Естественно, что те «матричные элементы», которые находятся в нижней части таблицы Падё (М + N большие), лучше передают искомую величину, чем те, что находятся в верхнем углу. Применяя эти правила к результатам расчета, приведенным в табл. 13.3, можно заключить, что

(13.32)(13.32)1000К2с

(13.32)

(13.32)

ф (20, Кс)

со сравнительно большой ошибкой, скажем 20%. По-види- мому, весьма маловероятно, чтобы функция ф(20, IQ оказалась равной 0.

Поведение функции ф(ыо), полученной с помощью описанной выше процедуры, представлено на фиг. 13.4 [по оси х отложена величина х = и0/(I + «о)]- Эта функция стремится

к бесконечности при и0 = 5, а для остальных значений параметра «о она отрицательна и конечна. Из уравнения

-^■ = [^(ыо)Г1(13.33)

можно усмотреть, что сначала время Zw(uo) при увеличении параметра ы0 возрастает и достигает максимума при ы0 = 5,

Фиг. 13.4. Функция ф, вычисление которой обсуждается в тексте.

а затем для «о > 5 уменьшается. Расчеты должны были бы содержать очень большую ошибку, если предположить, что время tw(uo) обращается в оо для конечных или бесконечных и0. Конечно, это утверждение не означает, что бесконечные значения tw(uo) полностью исключены; приближение Падё представляется слишком ненадежным, даже если в разложении по К известно 7 членов.

Из вычислений, проведенных выше, можно сделать вывод, что ось «о на критической поверхности в пространстве началь-

230

Предварительное исследование нетривиальной непоДвижн. точки

ных взаимодействий лежит внутри свободной области. Остается рассмотреть, может ли добавление к исходному взаимодействию членов ф6, ф& и т. и. вывести нас за пределы свободной области. Подобные добавки могли быть изучены с помощью той же самой техники, что и выше. Хотелось бы также исследовать влияние более сложных членов градиентного типа фз^фа и т д ( ОдНаКд эти члены в рамках решеточных моделей связывают различные узлы решетки и оценить их вклады гораздо труднее.

Фиг. 13.5. Зависимость Ию от параметра и0> полученная с помощью приближенной рекуррентной формулы.

Теория ф* в четырехмерном пространстве была рассмотрена также с использованием приближенной рекуррентной формулы из гл. 6. Было установлено следующее: для значений параметра «о, меньших примерно 0,4, эффективное взаимодействие Qz(t/) для больших I вело себя как г^2 4- и^, где щ мало (порядка 1//). Для больших, но фиксированных значений I поведение величины щ как функции параметра «о в грубых чертах передается фиг. 13.5: величина Ы/ возрастает до некоторого максимального значения, а затем уменьшается, становясь отрицательной примерно при ы0 ~ 0,4.

Отрицательное значение величины Ы/ означает, что ехр {—Qi^y^ стремится к оо для у —» оо, если только вклад от члена у6 или членов более высокой степени не стабилизирует Qi; это означает в свою очередь, что необходимо исследовать поведение функции Qi^ для больших у — задача, которая нами пока не исследована.

Ожидаемое значение величины Ui для больших, но фиксированных I связано со временем прохождения через ворота tw(u0). Время ^г(ыо) — время, для которого величина ut принимает заранее определенное значение. Поскольку величина ut уменьшается с увеличением t, то, если время fw(«o) увеличивается с ростом параметра и0, из этого следует, что величина Ut для фиксированного I также должна увеличиваться с «о; если же время tw^Uo) уменьшается, когда параметр и0 увеличивается, то величина Ui также должна уменьшаться. Следовательно, возрастание и убывание величины ut на фиг. 13.5 согласуется с результатами высокотемпературного разложения для времени tw(uo'), из которых следует, что величина /w(uo) первоначально растет, а затем убывает. Поскольку в приближенную рекуррентную формулу входит большое число аппроксимаций, не стоит предавать особого значения тому факту, что максимум tw(uo) имеет место при «о ~ 5, в то время как для Ui максимум имеет место при «о < 0,4.

Вывод, полученный из рекуррентной формулы о том, что величина щ для «0 > 0,4 становится отрицательной, не подтверждается результатами, полученными с помощью высокотемпературных разложений. Ниже будет показано, что если эффективная постоянная взаимодействия ut становится отрицательной для конечных t и для величины ы0, большей, чем некоторое «критическое» значение Uot, тогда функция ф(ыое) равна нулю и функция ф(ыо) равна нулю, а для значений параметра ы0, несколько меньших ийь функция ф(ис)< 0. В терминах величины Zw(«o) это означает, что fw(«o)~*— 00 при «о —* Uot- Результаты для функции ф, полученные методом высокотемпературного разложения (фиг. 13.4), не позволяют сделать вывода о наличии подобного нуля.

Чтобы показать, что величина ф(ыое) действительно равна нулю, рассмотрим вначале случай «о < «оь В этом случае величина ut асимптотически для больших t ведет себя, как (/ — /о)-1 [см. уравнение (13.4)], где to зависит от параметра ий. Легко видеть, что величина ^о(“о) лишь на постоянную отличается от £w(«o). Причиной этого является то, что для t = tw(uo) величина ut равна значению и в области ворот W, которое не зависит от параметра и0. Следовательно, разность tw(u0)—to(uo) не зависит от параметра и0. Таким образом,

^q(Uq) _ Idu0 M)(«o)

Теперь, для того чтобы величина Ut уменьшалась с увеличением параметра «о при фиксированном I, значение to должно уменьшаться; чтобы величина ut обращалась в нуль при «о = Hot, значение /о («ot) должно обращаться в — оо, а, следовательно, функция ф(ыОг) должна обращаться в нуль.

Метод высокотемпературного разложения, по всей вероятности, более точен, чем рекуррентная формула. Следовательно, представляется весьма вероятным, что функция ф(ы0) никогда не обращается в нуль и вся положительная полуось и» лежит в свободной области.

Глава 14

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В статистической механике идеи ренормализационной группы и е-разложения дают основу для более аккуратного рассмотрения критических явлений, нежели теория Ландау (или же теория среднего поля). Теория Ландау представляет собой первый шаг в описании явлений в критической точке: ренормализационная группа и 8-разложение являются следующим шагом. В настоящее время неясно, понадобятся ли дальнейшие шаги или нет.

В этой книге основной упор был сделан на идейную сторону нового подхода, а не на его частные приложения. Многие вопросы, не упомянутые здесь, обсуждаются в периодических журналах. Некоторые ссылки были даны в гл. 1.

Не вполне ясно, насколько существенным является использование нашего подхода в разобранном здесь примере из теории поля. Наш подход предназначен для использования в теории сильных взаимодействий, где стандартные методы перенормированной теории возмущений отказывают. Точная формулировка ренормализационной группы (см. гл. 11) предоставляет основу для нелагранжевой формулировки нарушения масштабной инвариантности и алгебры токов [94] (хотя до сих пор еще не все общие утверждения работы [94] выведены из точных уравнений).

Проблемы, детально рассмотренные в этой главе, пока довольно далеки от насущных задач физики сильных взаимодействий. Частично это обусловливается тем обстоятельством, что мы обсуждали в статистической механике лишь высокотемпературную фазу. Можно ожидать, что, использовав новые методы, удастся в ближайшем будущем детально исследовать сверхтекучий Не4 и ферромагнетик Гейзенберга ниже Тс. Существование этих обеих низкотемпературных фаз обусловлено нарушением симметрии относительно непрерывной группы преобразований. Теория этих фаз должна, вероятно, иметь

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

некоторое таинственное сходство с теорией нарушения 3^(3) X 3^(3)-симметрии.

Возможно, наиболее фундаментальной проблемой сильных взаимодействий является построение составных моделей адронов. Хотелось бы знать, например, можно'ли получить наблюдаемый спектр масс элементарных частиц как связанных состояний взаимодействующих кварков или каких-либо других составляющих. Применима ли к такой проблеме ренормали- зационная группа?

В настоящее время нет даже четкого понимания, каким образом следует изучать модели составных частиц. В методе диаграмм Фейнмана предполагается, что все частицы элементарны; другие подходы слишком феноменологичны, чтобы класть их в основу изучения этих моделей.

Используя фазовые переходы как аналогию, заметим, что, отыскивая подходы к некоторым явлениям, вполне уместно размышлять в терминах фаз. В ферромагнитных моделях, которые обсуждались в данной книге, имелось три фазы: одна высокотемпературная фаза и две низкотемпературные фазы. Для каждой фазы имелась «фазовая область» в пространстве взаимодействий S; взаимодействия в заданной фазовой области принадлежат к одной и той же фазе, хотя их детальные свойства заметно меняются. Так, например, внутри каждой фазовой области корреляционная длина g меняется от 0 до оо. При распространении аналогии на теорию поля предполагается, что пространство взаимодействий в теории поля также разбивается на фазовые области; лишь некоторые из подобных областей можно легко исследовать при помощи фейнмановских диаграмм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы исследовать возможные фазы взаимодействующих составных частей адрона с целью выяснить, напоминают ли свойства любой фазы качественные черты сильных взаимодействий. Для выявления тех или иных свойств фазы, к счастью, нет никакой необходимости изучать ее вблизи критической точки, в которой велика корреляционная длина. Зачастую бывает достаточно исследовать эти свойства в высокотемпературном или низкотемпературном пределах. На языке теории поля это означает, что можно исследовать теории с сильным обрезанием. Более того, можно использовать нековариантные обрезания, в частности решеточное обрезание. В гл. 12 было показано, каким образом теорию можно сделать ковариантной

вблизи критической точки. (Этот аргумент может и не сработать, но рискнуть стоит.) С таким упрощением, как сильно нековариантное обрезание, возможно, удастся развить надежные методы для решения составных моделей, представляющих адрон в виде сильно взаимодействующих составных частей, и выяснить, какие фазы оказываются возможными. Здесь уже не годится метод ренормализационной группы, поскольку нам нет необходимости исследовать теории с большими £.

Имеется много вопросов, которые в данной работе не обсуждались. Совсем не обсуждались фермионные поля. Лишь упомянуто было о связи предложенного метода ренормализационной группы с перенормировками, обсуждаемыми в рамках теории возмущений. Мы не пытались установить связь (если это в какой-то степени вообще возможно) с проблемой связанных состояний, а также использовать метод группы перенормировок для нахождения амплитуд рассеяния. Не получила адекватного обсуждения идея теории поля с аномальными размерностями в пространстве с d < 4. Будем надеяться, что эти вопросы будут исследованы в ближайшем будущем.

Благодарности

Авторы весьма признательны доктору Д. Фаррару за большую помощь при проверке рукописи. Мы благодарны также докторам Д. Соперу и А. Зи за прочтение некоторых частей рукописи.

Один из авторов (К. Вильсон) весьма много почерпнул из многочисленных обсуждений с профессором М. Фишером, сотрудничавшим с ним в важной части этого труда (е-разложение). Он благодарен также профессору Б. Вайдому и П. Каррузерсу за обсуждение и поддержку. Автор получил большое удовольствие от бесед с А. М. Поляковым, А. А. Мигдалом и В. Н. Грибовым; он особенно признателен Полякову за его вывод рекуррентной формулы (гл. 6). Профессор Я снов дал много полезных советов по программированию высокотемпературного разложения. В осуществлении этих программ большую помощь оказали студенты-дипломники А. Сури и Д. Гоэлнер.

Наконец, К Вильсон благодарит профессора К- Каузена и членов Института высших исследований Принстонского университета за гостеприимство во время чтения лекций, которые легли в основу этой книги.

ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ

В данном приложении для точных уравнений ренормали- зационной группы, полученных в гл. 11, будут вычислены неподвижная точка, соответствующая свободному полю (гауссова неподвижная точка), и некоторые из локальных «операторов» От [*, s], связанные с этой фиксированной точкой. В общем виде будет выведено линеаризованное преобразование, определяющее операторы От[х, s] и аномальные размерности dm.

Предположим, что начальное взаимодействие З^о является чисто гауссовым

5^о = — у S(П.1)

В таком случае эффективное взаимодействие 3^< является также чисто гауссовым. Дифференциальное уравнение для функции и2(д, t) [уравнение (11.19)] можно записать в виде

^^- = 2 [-§. + Wl\ и. V, t)[l-u2 V, 0Ь (П.2)

Начальное условие выглядит следующим образом:

«2 (9. 0) = (о (^).(П.З)

Дифференциальное уравнение (П.2) допускает разделение переменных и легко решается; получаем

Н^тУ-2^2^]'8’ (П.4)

Это дает, если предположить, что р(0) = 0:

=ехр {2р (/) + Sq^e» - 1)}.(П.5)

— и2 (qe, О 1—й) <q)

Отсюда для функции и2 окончательно находим

4® (^"^ + [1 - ш ^‘Y exp {- 2р (0 — ^q2 + Ve"^ ‘

(П.6)

Чтобы получить неподвижную точку, желательно находиться в критической точке. Поскольку корреляционная функция Г(^) для взаимодействия 3^0 имеет вид 1/со(^)^ то критическая точка существует, если со(0)=0. Итак, пусть для малых q

«Vb-q^O^Y(П.7)

Тогда в первом приближении при больших t и фиксированном q из (П.6) получаем

2 -2t

«2 (^, О = ——м^г;27 •(П-8)

Л“2'+ ехр [-2р (/) - 2^2]

Чтобы это выражение при /—>оо стремилось к некоторой фиксированной функции u^qY мы хотим выбрать функцию р (/) для больших t в виде

р(0 = # + с,(П.9)

где с — постоянная. В таком случае

л2

(пло) » + [е exp 2q )

Другие возможные выборы функции р(/) приводят к зависимости от t или же к нелокальному поведению функции u^q, f) при больших t. Нелокальность в координатном пространстве связана с сингулярностью функции u^q, Г) по q или же с резким ее изменением как функции q. Если, например, р(/).^ t для больших t, то функция u^q, t) ж 1 всюду, исключая очень малые q, для которых «2(0, /) = 0. Таким образом, при очень малых q имеется резкое изменение функции u^q, t), которое и нарушает локальность. Если же p(/)<Cf для больших t, то

и2 (q, t)« q2 exp (2^2) exp {2p (/) — 2/}(П.11)

для больших t и фиксированного q, т. е. неподвижная точка отсутствует. Таким образом, единственно приемлемым выбором асимптотики для функции р(/) является (П.9). Различ-

ные выборы постоянной с приводят к различным значениям для члена порядка q2 в разложении функции ы2(д, /). Чтобы удовлетворить условию нормировки

uUq^qHO^,(П.12)

необходимо выбрать с = 0.

Неподвижная точка не зависит от вкладов q\ q6 и т. д. членов разложения функции «(qy, это означает, что коэффициенты при q\ q5 и т. д. в разложении «(д) являются промежуточными (т. е. несущественными) переменными. ■

Из уравнения (11.31) получаем величину параметра перенормировки

^(О^ехр}-^^1}-(ПЛЗ)

Сравнивая (ПЛЗ) с соотношением (7.35), находим

(ПЛ4)

это определяет каноническую размерность для скалярного поля. Выражение (ПЛЗ) для параметра £(/) согласуется с параметром перенормировки £, полученным в гл. 3. Там было найдено, что £ = 2*+d/2 при изменении параметра обрезания в 2 раза. Обрезание е~1 изменяется в 2 раза, если провести замену t -> t + In 2, что в свою очередь приводит к увеличению функции £(/) в 2*+d/ раз.

Интересно непосредственно рассмотреть уравнение для функции u^^q\ соответствующей неподвижной точке. Если и2 (^, 0 = “2 (<?) не зависит от t, то производная dpfdt также должна быть некоторой постоянной, скажем, dp[dt=b. Из уравнения (11.19) для функции иХ^ получаем

0 = _ q . VuHq) + 2 (b + ^ ы2* (1 - «2*).(П. 15)

Предположим, что «2 (<?) зависит только от | q |. В таком случае du-.

“Hi - «2).(п.1б)

Таким образом, мы приходим к обычному дифференциальному уравнению, которое допускает разделение переменных и общее решение которого определяется из алгебраического уравнения

—^- = p"1</26exp(2<72),(П.17)

где р — произвольная постоянная. Окончательно имеем для м2 (7):

(П.18)

Полученное выражение для функции ы* (д) сводится к предыдущему результату, если выбрать b = 1, а р = ехр(—2с). Однако теперь оказывается, что функция, соответствующая неподвижной точке, существует для любого значения параметра Ь. Почему мы должны выбирать b = 1? Если число b нецелое, то функция ы| ^q) неаналитична по компонентам вектора q в точке q = 0. Вследствие этого, как пояснялось выше, взаимодействие в координатном пространстве становится нелокальным. Следовательно, решения, которые неаналитичны при q = 0, можно отбросить. Решения с целым b соответствуют истинным неподвижным точкам, однако теперь они образуют некоторое дискретное множество. Исследование показывает, что эти неподвижные точки отвечают начальному взаимодействию со(^), которое при малых q ведет себя как q2b. (Для b = 0 неподвижной точке соответствует £ = 0; для b > 0 имеем £ = оо.) Таким образом, случаи, когда определяющая начальное взаимодействие аналитическая в точке q = 0 функция со(^) приводила бы к неаналитической по <7 функции, соответствующей неподвижной точке, не реализуется. Следовательно, представляется оправданным исключение из пространства S всех неаналитических функций ы2(<?), что эквивалентно исключению тех случаев, когда число b нецелое.

Далее, выведем точные уравнения на собственные значения в случае аномальных размерностей для произвольной неподвижной точки 36*. Мы рассмотрим вначале траектории вида

36t = 36* + От [о] exp (- dmt\(П. 19)

где бЛпМ является неким локализованным функционалом о, рассматриваемым в первом порядке. Термин «локализованный», вообще говоря, означает, что <7m[o] зависит от фурье- образа s^ функции oq, отличного от нуля лишь на конечных областях х. На практике это означает, что если функционал б?тМ разложен по степеням aq, то

S

i с г

^1(^1)% Т J(П.20)

9191 92

где функции у^^), v^qx,q.^ и т. д. аналитичны по q. и q2 для действительных значений компонент qx и q2 (и, в частности, не содержат d-функций, отвечающих закону сохранения импульса).

Если задан любой локализованный оператор От [aj, то для него можно определить следующим образом сдвинутый оператор Cmlx, ст]:

С^ [х, ст] = Сот [ст'],(П.21)

где

Qq = exp (iq • х) oq(П.22)

(доказательство см. ниже); далее будет показано, что

Ж^Ж + ^Гхе"', ст]ехр(—^)(П.23)

также является траекторией для любого х.

Подставляя выражение (П.19) в дифференциальное уравнение для 36t и удерживая лишь члены первого порядка по От, получаем уравнение для неподвижной точки Ж и уравнения на собственные значения для dm-.

п d , XI \ 62Г [»] , °HU а» + 9-¥,стд)-5—- +

q

+ И'’+ад{ &?7-8^7 + 5^77+°«^7}' <п-24>

q

где величина b = dpjdt должна быть постоянной;

-4AW = $ (4 о, + q ■ V,o„) ^izL + q4

+ ^ + 27)|2+ (7?((П.25)

qx ч ч ч чч J

здесь мы сохранили для d^(dt значение b, соответствующее неподвижной точке (см. гл. 12). Разлагая оператор От по степеням Qq [см. (П.20)], приходим к следующим уравнениям:

- dmyY 071) = А • У1 (^1) + 5 (^ + ^ У3 (-71- ^2, - q.^,(П.26)

здесь Л1 является оператором:

Л = - q, ■ v„ - 4 + (» + 2q^ [1 - 2«; (?,)] (П.27)

(в дальнейшем будут использоваться также операторы Л„; они получаются подстановкой в оператор Л1 переменной qn вместо q^

— dmu2 (q^, q^) = (Л, + Л2) • у2 (</i, 4'2) +

+«73. -«7з)>

9s

— dmv3 (q}, q2, q3) = (Л, + Л2 + Л3) • v3 (q,, q2) qa) +

Н-ЗЕ^+З^+^г+^з)2] yi (4'1+92+4'3) “4(<7i> Чъ 9з> —4'1—4'2—4'з) + + $(fr + 294)y5(4'i.4'2, 4'3. 4'4.-4'4)(П.28)

St и т. д.

Предположим, что мы получили решения уравнений (П.24) и (П.25), т. е. Ж и От\о\. Теперь будут определены и сдвинутые операторы От\х, ст]. Определение преобразованного таким образом оператора следующее:

^[*,<7] = ^ [0, ст'],(П.29)

если

S (х + у) = s' (у),(П.30)

где

s {у) = $ exp (iq • у} aq, s' (у) = ^ exp(iq • у} о,.(П.31)

qq

В соотношении (П.31) предполагается, что Qq = exp (iq • х) oq.

В заключение определим Уот[0, ст] как 0т [ст].

Оператор 0т(х, ст] удовлетворяет уравнению

V^m [х, ст] = ^ iqoq ^^ [х, ст].(П.32)

q 9

Проверяется (П.32) непосредственно подстановкой. Из определения (П.29) имеем

v^m[x,<T]=

(П.ЗЗа)

^sd+^L = exp (iq • x) dd2K£l,

(П.336)

l4Gq .= \ tqOq. ,

6aqq6aq

(П.ЗЗв)

Сравнивая (П.ЗЗа) с (П.ЗЗв), приходим к (П.32). Другим полезным результатом является соотношение

Ж [ст] = Ж [o'],(П.34)

которое следует из закона сохранения импульса, Из этого уравнения вытекает

«Н21_еХрУ,.х)^1.(П.35)

бст„бст„

С помощью этих результатов мы покажем теперь, что выражение (П.23) определяет решение уравнения ренормализа- ционной группы с точностью до первого порядка по От. Если это так, то мы должны получить

—о] — хе-' - V/7m [у, о] |у=,ехр(_#) =

Г (d _ , „ v „ б^Гхе-', ст] ,=И 2"а»+9 Nqaq) —ч— +q4

I Г /1. | О-9\ ( П б^* ЬОт , Wm | „ бб7т )/тт Qcx

+ +2^ 12 47+ 4^7 + q ч" J'(К }

Я

Уравнение (П.36) можно обосновать, используя (П.25), (П.32) и (П.35). Продемонстрируем в явном виде только сокращение члена N^OmXy, ^Ь имеем

— хе-^50т [у, о] 1у„ехр(_#) = — ^7 • хе-^'д дoaq

(П.37)

Имеем также (если учесть у = хе~'), что

qq6<7ОТ [у, ст]бст96<7ОТ [у, ст]бст9qq= ^<7 1 (Vgo7) exp (iq • у) —^-■■1- =j^q_ С у. iy^ б^а^ст!. (П 38)6aq^q= ^<7 1 (Vgo7) exp (iq • у) —^-■■1- =j^q_ С у. iy^ б^а^ст!. (П 38)6aq^q

q

q

6<7ОТ [у, ст]бст9

6<7ОТ [у, ст]бст9

q

q

= ^<7 1 (Vgo7) exp (iq • у) —^-■■1- =j^q

_ С у. iy^ б^а^ст!. (П 38)

6aq^q

= ^<7 1 (Vgo7) exp (iq • у) —^-■■1- =j^q

_ С у. iy^ б^а^ст!. (П 38)

6aq^q

Таким образом, член V^Cm сокращается со вторым членом

В качестве примера решении уравнения на собственные значения для dm рассмотрим гауссову неподвижную точку

[u*(q), определяется выражением (П.18) с с = 0; м< = Ма = = ... =0 и Ь = 1]. Удобно определить вспомогательную функцию ф(^), удовлетворяющую уравнению

<7-?ШМ~1 + (1+2?2)[1-2«H<7)DW (П.39)

Некоторое частное решение данного уравнения имеет вид

q2 + ехр(-2<72) '

Рассмотрим теперь уравнения для Уь у2 и т. д. Легко видеть, что эти уравнения имеют решения только для У1 или Уг не равных нулю; однако если у3 или и^ не равны нулю, то У1 или у2 также не равны нулю. Простейший случай реализуется, если лишь функция У1(^) не равна нулю. Уравнение для У1(^) в этом случае можно записать в виде

(—<-+«V, + ^)[^]=0.(П.41)

Уравнение (П.41) имеет общее решение

^- = l-7lPf(9).(П-42)

где величина р есть

P = dm-^-,(П.43)

a f(q) является произвольной функцией единичного вектора q <q = q!\q\Y.

Потребуем теперь, чтобы функция yt (9) была аналитична в точке q = 0. Это условие означает, что р должно быть положительным целым числом или нулем (если р нечетно, то функция f(^) должна быть нечетной функцией qY например, f(q) = qit где q^—произвольная компонента ^).В таком случае возможные собственные значения будут

dm-Ц^Р 1р>^\(П.44)

а несколько первых собственных функций выглядят так:

dm = ^-^ :У1т (q) = Ф (qY

с/т = -^- + 1: vXm(q1) = qt^(q') (любые/)(П.45)

dm = "2 2 + 2: У|ОТ(^)==^^/Ф(7) (любые i или /)

Построение решений с у2, Уз или у4, не равными нулю, теперь очевидно [чтобы упростить уравнения, можно продолжать использовать функцию ф(^)]. Найдено, что полный набор собственных значений dm, когда функции уг, уг_2 и т. д. не равны нулю, дается формулой

4п=/(^) + Р,

где р — целое число (положительное или 0). Это согласуется с известными каноническими размерностями для скалярной теории поля в пространстве размерности d.

Предостережение, Некоторые из локальных операторов От [*» о] эквивалентны нулевому в следующем смысле, Все п-спиновые корреляционные функции

<s (xj ... $ (х„) От [х, о] ехр (Ж))

обращаются в нуль, если только х не равен одному из х,. Примером является оператор ^2ф (^) а?, который на языке тео- q

рии поля, как оказывается, является оператором V2^, a V2^ = 0 (поскольку теория, отвечающая гауссовой неподвижной точке, является теорией свободного поля с нулевой массой).

Литература )

Kondo J., Progr, Theor. Phys, (Kyoto), 32, 37 (1964),

Anderson P. W„ Yuval G., Phys. Rev., Bl, 1522 (1970).

Anderson P, W., Yuval G., Hamann D,, Phys. Rev., Bl, 4464 (1970); Solid State Commun., 8, 1033 (1970),

Anderson P. W„ Journ. Phys., C3, 2436 (1970).

Абрикосов А. А., Мигдал A, A., Journ. Low Temp, Phys,, 3, 519 (1970).

Fowler M., Zawadowski A., Solid State Commun., 9, 471 (1971).

Fowler Л4., Phys. Rev., B6, 3422 (1972).

Guggenheim E. A., Journ. Chem. Phys., 13, 253 (1945).

Kadanoff L. P., Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Corso 51, ed. M. Green, Acad. Press, New York, 1971. (Имеется перевод в сборнике: «Квантовая теория поля н физика переходов», изд-во «Мир», 1975.)

Lorenz Е. N., Tellus, 16, 1 (1964).

Ландау Л. Д., Sow. Phys., 11, 26, 545 (1937).

Stueckelberg Е. С. G., Petermann A., Helv. Phys, Acta, 26, 199 (1953).

Gell-Mann M„ Low F. E., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).

Боголюбов H. H,, Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, изд-вд «Наука», 1975.

Kadanoff L. Р., Physics, 2, 263 (1966). z

Kadanoff L. P. et al., Rev. Mod. Phys., 39, 395 (1967).

Griffiths R. B., Phys. Rev., 158, 176 (1967).

Wilson K., Phys. Rev., D2, 1438 (1970).

Поташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 46, 994 (1964).

Поляков А. М., Письма ЖЭТФ, 12, 381 (1970).

Мигдал А. А„ Phys. Lett., 37В, 386 (1971).

Parisi G., Peliti L., Lett. Nuovo Cim., 2, 627 (1971),

d'Eramo M., Peliti L., Parisi G., Lett. Nuovo Cim., 2, 878 (1971),

Parisi G., Peliti L., Phys. Lett., 41A, 331 (1972).

Mach G., Todorov I. T., Phys. Rev., D8, 1764 (1973),

Symanzik K., Lett. Nuovo Cim., 3, 734 (1972).

Schroer B., Berlin, preprint (lecture notes), 1972.

Mach G„ Symanzik K., Commun. Math. Phys., 27, 247 (1972).

Mack G., в сборнике «Strong Interaction Physics», eds. W. Ruhl and A. Vancira, Springer Verlag, Berlin, 1973, p. 300.

Johnson K„ Willey R., Baker M,, Phys. Rev., 163, 1699 (1967).

Baker М., Johnson К., Phys. Rev., 183, 1292 (1969); D3, 2516, 2541 (1971).

Adler S„ Phys. Rev., D5, 3021 (1972).

Callan C. G„ Phys. Rev., D2, 1541 (1970).

Symanzik K., Commun. Math. Phys., 18, 227 (1970); Springer Tracts in Modern Physics, 57, 222 (1971).

Christ N., Hasslacher B„ Mueller A., Phys. Rev., D6, 3543 (1972).

Wilson K. G„ Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971).

Grover M. K„ Kadanoff L. P., Wegner F. J., Phys. Rev., B6, 311 (1972).

Grover M. K„ Phys. Rev., B6, 3546 (1972).

Baker G. A., Jr,, Phys. Rev., B5, 2622 (1972).

Dyson F. J., Commun. Math. Phys., 12, 91 (1969).

Golner G., Phys. Rev., B8, 339 (1973).

Golner G„ Phys. Rev., B8, 3419 (1973).

Wilson K., Fisher M. E., Phys. Rev. Lett., 28, 240 (1972).

Wegner F. J., Phys. Rev., B6, 1891 (1972).

Pfeuty P., Fisher M. E., Phys. Rev., B6, 1889 (1972).

Riedel E. K., Wegner F. J., Phys. Rev. Lett., 29, 349 (1972); Phys. Rev., B7, 248 (1973).

Langer J. S., Bar-on M., Ann. Phys., 78, 421 (1973).

Wilson K., Phys. Rev. Lett., 28, 548 (1972).

De Gennes P. G„ Phys. Lett., 38A, 339 (1972).

Nickel B., Cornell (Clark Hall) preprint; Oxford preprint.

Brezin E., Wallace D., Wilson K., Phys. Rev. Lett., 29, 591 (1972).

Brezin E., Wallace D., Wilson K., Phys. Rev., B7, 232 (1973).

Ma S„ Phys. Rev. Lett., 29, 1311 (1972).

Suzuki M., Phys. Rev. Lett., 42A, 5 (1972).

Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 424, 1106 1440 (1973).

Fisher M. E„ Ma S„ Nickel B. G„ Phys. Rev. Lett., 29, 917 (1972).

Ларкин А. И., Хмельницкий Д. E., ЖЭТФ, 56, 2087 (1969).

Di Castro C„ Jona-Lasinio G., Phys. Lett., 29A, 322 (1969).

De Pasquale F., Di Castro C., Jona-Lasinio G„ Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Course 51, ed. M. Green, Acad. Press, New York, 1971.

Di Castro C., Riv. d. Nuovo Cim., 1, 199 (1971).

Мигдал А. А., ЖЭТФ, 59, 1015 (1970).

Di Castro C„ Lett. Nuovo Cim., 5, 69 (1972).

Wegner F. J., Phys. Rev., B5, 4529 (1972).

Hubbard J., Phys. Lett., 39A, 365 (1972).

Hubbard J., Schofield P„ Phys. Lett., 40A, 245 (1972).

Niemeijer Th., Van Leeuwen J. M. J., Phys. Lett., 41A, 211 (1972).

Physics Today «Search and Discovery», March, 1972.

Serene J., Wilson K., Cornell (Newman Lab.) preprints.

Грибов В. H., Мигдал А. А., ЖЭТФ, 55, 1498 (1968).

Hubbard J., Phys. Lett., 40А, 111 (1972).

Поляков A. M„ ЖЭТФ, 55, 1026 (1968).

Поляков А. М„ ЖЭТФ, 57, 271 (1969).

Поляков А. М., ЖЭТФ, 59, 542 (1970).

Moore М. A., Lett. Nuovo Cim., 3, 275 (1972).

Suri A., Thesis, Cornell University, 1969 (не опубликовано).

Wilson К., Phys. Rev., D3, 1818 (1971).

Wilson K., Phys, Rev., D6, 419 (1972),

Golner G., Phys. Rev., D8, 3393 (1973).

Fisher M. E., Gaunt D. S., Phys. Rev., 133, A224 (1964).

Widom B„ Mol. Phys., 25, 657 (1973).

’t Hoft G., Veltman M„ Nucl. Phys., B44, 189 (1972).

Bollini C. G., Giambiagi I. J., Phys. Lett., 40B, 566 (1972).

Ashmore J. F., Lett. Nuovo Cim., 4, 289 (1972).

Wilson K. G„ Phys. Rev., D7, 2911 (1973).

Stanley H. E„ Phys. Rev., 176, 718 (1968).

Berlin T. H., Кас M., Phys. Rev., 86, 821 (1952).

Кас M., Thompson С. J., Phys. Norvegica, 5, 163 (1971),

Abe R., Theor. Phys. (Kyoto), 48, 1414 (1972).

Abe R., Hikami S., Phys. Lett., 45A, 11 (1973).

Hikami S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1096 (1973).

Ma S., Phys. Rev., A7, 2172 (1973).

Ferrell R. A., Scalapino D. J., Phys. Rev. Lett., 29, 413 (1972); Phys, Lett., 41 A, 371 (1972).

Brezin E., Wallace D., Phys. Rev., B7, 1967 (1973).

Wilson K., Phys. Rev,. 179, 1499 (1969).

Wilson K., Proc, of the 1971 Intern. Symposium on Electron and Photon Interactions at High Energies, ed. N. Mistry, Laboratory of Nuclear Studies, Cornell University, Ithaca, New York, 1972, p. 115,

Brush S„ Rev. Mod. Phys., 39, 883 (1967).

Fisher M. E., Rep. Prog. Phys., 30, 615 (1967).

Heller P., Rep. Prog. Phys., 30, 731 (1967).

Fisher M. E., в сборнике «Lectures in Theoretical Physics», Vol. VIIC, University of Colorado Press, Boulder, 1965.

Покровский В. Л., УФН, 94, 127 (1968).

Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Course 51, ed. by M. Green, Acad. Press, New York, 1971.

Stanley H. E., Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford University Press, New York, 1971. (Имеется перевод: Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.)

Bjorken J. D., Drell S. D„ Relativistic Quantum Fields. McGraw Hill, New York, 1965, p. 181.

Feynman R. P., Hibbs A. R., Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw Hill Inc., New York, 1965. (Имеется перевод: P. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, изд-во «Мир», 1968.)

Langer J. S., Ann. Phys., 41, 108 (1967).

Вакс В. Г., Ларкин А. И., ЖЭТФ, 49, 975 (1965).

Wilson К., Phys. Rev., 140, В445 (1965).

Паташинский А. 3., ЖЭТФ, 53, 1987 (1967).

Wilson К., Phys. Rev. Lett., 28, 548 (1972).

ПО. Brezin Е., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Nickel B. G., Phys. Lett., 44A, 227 (1973).

Moore M. A., Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev. Lett., 22, 940 (1969).

Jasnow D., Fisher M., не опубликовано.

Brezin E., Le Guillou J. C.. Zinn-Justin J., Phys. Rev., D8, 2418 (1973).

Abe R., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 113 (1973).

Mueller A. H., Trueman T. L., Phys. Rev., D4, 1635 (1971).

Mueller A. H., Trueman T. L., Wilson K. G., Phys. Rev., D5, 102Q (1972).

Поляков А. М., препринт, Черноголовка.

Fishbane Р. М., Sullivan J. D., Phys. Rev., D4, 2516 (1971).

Грибов В. Н., Липатов Л. Н., Phys. Lett., 37В, 78 (1971); препринт, Ленинград.

Schulz Т. D., Mattis D. С., Lieb Е. Н., Rev. Mod. Phys., 36, 856 (1964),

Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948).

Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 (1967).

Schiff L. I., Phys. Rev., 92, 766 (1953).

Zimmermann W, Ann. Phys., 77, 536, 570 (1973).

Griffiths R. B., Phys. Rev. Lett., 24, 715 (1970).

Kadanoff L., Phys. Rev. Lett., 23, 1430 (1969).

Zimmermann W., в сборнике «Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory», eds. S. Deser, M. Grisaru, H. Pendleton, M. I. T. Press, Cambridge, 1970.

Lee T. D„ Phys. Rev., 95, 1329 (1954).

Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev., 176, 739 (1968).

Wortis M., Jasnow D., Moore M. A., Phys. Rev., 185, 805 (1969).

131*. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., preprint DPh-T/73-24, Soc- lay, 1973.

132*. Ширков Д. В., Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики квантово-полевых моделей, лекция в школе по физике элементарных частиц, Тбилиси, 1973.

133*. Ширков Д. В., Препринт ОИЯИ, Р2-6938, Дубна, 1973.

134*. Ширков Д В., Nucl. Phys., В62, 194 (1973).

135*. Di Castro С., Jona-Lasinio G., Peliti L., Preprint Inst di Fisica, № 483, 1973.

136*. Jegenlechner, Schroer B., Acta Phys. Austrica, Suppl. XI, 389 (1973), 137*. Авдеева Г. M., ЖЭТФ, 64, 741 (1973).

138*. Гинзбург С. Л., ЖЭТФ, 66, 647 (1974).

139*. Brout R., Phys. Rept, 10, № 1 (1974).

140*. Barmatz M., Hohenberg P., Phys. Rev., 6A, 289 (1972).

141*. Гинзбург В. Л., УФН, 38, 490 (1949).

142*. Гинзбург В. Л., Леванюк А. П., Journ. Phys. Chem., 6, 51 (1958).

143*. Леванюк А. П., ФТТ, 5, 1776 (1963).

144*. Волович И. В., Дынин Е. А., Загребное В. А., Фролов В. П., ТМФ, 15, 417 (1973).

\45*. Загребное В. A., Acta Phys. Polonica, 45А, 613 (1974),

146*. Ахиезер Н. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, изд-во «Наука», 1969.

147*. Березин Ф. А., УМН, 24, № 4 (1969),

О НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДНИХ РАБОТАХ

Здесь мы перечисляем и кратко комментируем работы по ренормализационной группе *), большая часть которых появилась после того, как был составлен список основной литературы. Все такие работы помещены в список дополнительной литературы, приводимой ниже. Этот список, наверняка является неполным, и мы просим авторов, чьи работы не вошли в него, нас извинить.

Лекция, прочитанная Вильсоном на конференции по магнетизму и магнитным материалам [1], — элементарное введение в тот круг идей, с которыми связана ренормализационная группа. Ма в работе [2] дал обзор по ренормализационной группе для больших п (п—число компонент переменной s). В обзоре Егерлехнера и Шроера [3] изложены идеи квантовой теории поля, которые нашли свое применение в теории критического поведения. Сузуки [4] обсуждал технику разложения.

В работах [5—7, 82] даны различные формулировки точной ренормализационной группы.

Немейер и Ван Леувен [8] сформулировали и приближенно определили, не прибегая к теории возмущений, преобразование ренормализационной группы для двухмерной модели Изинга. Они получили результаты с точностью до 1%.

В работах [9—13] рассматривается 8-разложение, которое строится с помощью методов теории поля, таких, например, как уравнения Каллена — Симанзика). Паризи [14] использовал уравнения Каллена — Симанзика непосредственно для

9 См. также работы в списке основной литературы, добавленные редактором и переводчиком. — Прим, пере в.

размерности 3. Фишер и Ахарони [15], используя е-разложе- ние, вычисляли спин-спиновую корреляционную функцию. (Лейбович и Пенроуз [16] доказали наличие экспоненциального затухания корреляций вне точки 7V) Методами скелетных диаграмм 8-разложение было получено в работах [17, 18]1). Уравнение состояния было найдено в работах [19, 20] (независимо от [48, 49]). Метод s-разложения рассматривается также в работах [21—24]. В статье [25] изложен некоторый расчет приближенной рекуррентной формулы.

В работах [26—29] рассматривается предел п -* оо и разложение по 1/п. Дониах [26] исследовал особенно интересный случай, когда d « 2. Динамика в окрестности критической точки изучалась в [30—33]. В работах [34—37] проведено широкое исследование дипольных взаимодействий. Анизотропные взаимодействия (члены кристаллического поля, или направленные анизотропии) рассмотрены в [38—45]. В работе [46] обсуждается некоторый структурный переход. Дальнодей» ствующие взаимодействия рассмотрены в [47—49].

Дубенский и Рубин [50] в рамках s-разложения исследовали поверхностные эффекты. Ахарони [51] рассмотрел некоторую сжимаемую решетку. Трикритические явления изучались в работах [44] и [52—54]. О свойствах систем с п = — 2 сообщается в [55—56.] Связь случая п = 0 с задачей о блуждании без самопересечений обсуждается в работах [57, 58]. В статье [59] рассматривается гауссова модель на решетке. Конформная инвариантность в критической точке (см. вначале [19]) обсуждается в работах [60, 61].

Странное поведение модели Потса в критической точке рассматривалось в работах [39] и [62—64].

Проблема Кондо (в ее простейшей форме) была решена недавно с помощью современной техники ренорм а лизационной группы (см. [65]).

В работе [66] рассматривается ренормировка волновой функции. Паризи [67] получил некоторую связь между аномальными размерностями тензорных операторов (см. гл. 9) и аномальной размерностью поля ф. В работах [68—71] обсуждается применение метода s-разложения в теории поля. Разложение по 1/п прилагается к теории поля в работе [71].

!) См. также работу [138] из списка основной литературы,»— Прим, перед.

Идея асимптотической свободы в квантовой теории поля обсуждалась в работах [72—74] (понятие асимптотической свободы относится к теориям, у которых поле ведет себя, как свободное, на коротких расстояниях, а на больших расстояниях описывает нетривиальное взаимодействие). Двухмерная электродинамика рассматривалась в [75].

В работе [76] ренормализационная группа сформулирована «на языке партонов», а кроме этого, интуитивно объяснены следствия аномальных размерностей для тензорных операторов.

Чтобы вычислить на малых расстояниях конечные массовые поправки, в работах [77, 78] обсуждается возможность расширения области применимости подходов Каллена — Си- манзика и Гелл-Манна — Лоу.

В работах [79, 80] 8-разложение применяется к расчетам по полюсам Редже, которые проделал Грибов. Статистическая модель в пространстве размерностью 2 -[- е обсуждается в работе [81].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Wilson К. G., AIP Conf. Proc., No. 10: Magnetism and Magnetic Materials—1972, eds. C. D. Graham, Jr., and. J. J. Rhyne, American Institute of Physics, New York, 1973, p. 843.

Ma S„ Rev. Mod. Phys., 45, 589 (1973).

Jegerlehner F., Schroer B., Acta Phys. Austr. Suppl., будет опубликовано.

Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 393 (1973),

Wegner F., Houghton A., Phys. Rev., A8, 401 (1973),

Green M„ Phys. Rev., A8, 1998 (1973).

Hubbard L, Journ. Phys., C6, 2765 (1973).

Niemeyer Th., Van Leeuwen J. M. J., Phys. Rev. Lett., 31, 1411 (1973); Physica, 71, 17 (1974).

Brezin E., Le Guillou I. C., Zinn-Justin J., Phys. Rev., D8, 434, 2418 (1973).

Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Phys. Rev., B8, 5330 (1973),

Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Nickel B. G., Phys. Lett., 44A, 227 (1973).

Yamazaki У., Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 1097 (1973),

Shroer B., Phys. Rev., B8, 4200 (1973).

Parasi G., Rome preprint (INFN No. 46).

Fisher M. E„ Aharony A., Phys. Rev. Lett., 31, 1238, 1537 (E) (1973).

Lebowitz J. L., Penrose O., Phys. Rev. Lett., 31, 749 (1973).

Tsuneto T., Abrahams E., Phys. Rev. Lett, 30, 217 (1973).

Stephen M. I., Abrahams E., Phys. Lett., 44A, 85 (1973).

Авдеева Г. M., Мигдал А. А., Письма в ЖЭТФ, 16, 253 (1972).

Авдеева Г. M., ЖЭТФ, 64, 741 (1973)Amit D. I., Phys. Lett., 42A, 299 (1972)./ " ~ ' " - - .„ 4Авдеева Г. M., ЖЭТФ, 64, 741 (1973)Amit D. I., Phys. Lett., 42A, 299 (1972)./ " ~ ' " - - .„ 423.24.25.26.27.23.24.25.26.27.Amit D. J., Bergman D. J„ Imry Y„ Journ. Phys., C6, 2685 119731 Hubbard J„ Phys. Lett, 45A, 349 (1973). ( b Loodts J., Colon J. L„ Brout R., Phys. Lett., 44A, 453 (1973).

Авдеева Г. M., ЖЭТФ, 64, 741 (1973)

Amit D. I., Phys. Lett., 42A, 299 (1972).

/ " ~ ' " - - .„ 4

Авдеева Г. M., ЖЭТФ, 64, 741 (1973)

Amit D. I., Phys. Lett., 42A, 299 (1972).

/ " ~ ' " - - .„ 4

23.

24.

25.

26.

27.

23.

24.

25.

26.

27.

Choquard Ph., Sari R. R., Calinan R., Comp. Phys. Comm., 7 69 (1974) Doniach S., Phys. Rev. Lett., 31, 1450 (1973).

(1973).(1973).Abe R., Hikami S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 442, 1851

(1973).

(1973).

Abe R., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1074, 1877 (1973).

Ma S„ Phys. Lett., 43A, 475 (1973).

Halperin В. I., Hohenberg P. C., Ma S., Phys. Rev. Lett., (1972).

Suzuki M., Igarishi G., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1070

32.33.34.35.36.37.38.39.40.32.33.34.35.36.37.38.39.40.Suzuki M„ Phys. Lett., 43A, 245 (1973).

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 1767 (1973).

Fisher M. E., Aharony A., Phys. Rev. Lett., 30, 559 (1973).

Aharony A., Fisher M. E., Phys. Rev., B8, 3323 (1973).

Aharony A., Phys. Rev., B8, 3342, 3349, 3358, 3363 (1973).

29, 154829, 1548(1973).(1973).Aharony A., Phys. Lett., 44A, 313 (1973).

29, 1548

29, 1548

(1973).

(1973).

Wallace D. L, Journ. Phys., C6, 1390 (1973).

Ketley 1. J., Wallace D. J., Journ. Phys., A6, Aharony A., Phys. Rev. Lett., 31, 1494 (1973).

Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49,

42.43.44.45.46.42.43.44.45.46.Liu L., Phys. Rev. Lett., 31, 459 (1973).

42.

43.

44.

45.

46.

42.

43.

44.

45.

46.

Grover M. K., Phys. Lett., 44A, 253 (1973).

Chang T. S., Stanley H. E., Phys. Rev., B8,

16671667(1973).(1973).14511451(1973).(1973).44354435(1973).(1973).Aharony A., Phys. Rev., B8, 4270 (1973).

1667

1667

(1973).

(1973).

1451

1451

(1973).

(1973).

4435

4435

(1973).

(1973).

Cowley R. A.. Bruce A. D., Journ. Phys., C6, L191 (1973).

Baker G. A., Jr., Golner G. R., Phys. Rev. Lett, 31, 22 (1973).

Suzuki M., Yamazaki Y., Igarishi G., Phys. Lett., 42A, 313 (1972).

Sak J., Phys. Rev., B8, 281 (1973).

Lubensky T., Rubin M. H., Phys. Rev. Lett., 31, 1469 (1973).

Aharony A., Phys. Rev., B8, 4314 (1973).

Stephen M. J., McCauley J. L., Jr., Phys. Lett., 44A, 89 (1973).

Riedel E. K-, Wegner F. J., Phys. Rev., B9, 294 (1974).

Amit D. J., DeDominicis С. T., Phys. Lett., 45A, 193 (1973).

Balian R., Toulouse G., Phys. Rev. Lett., 30, 544 (1973).

Fisher M. E„ Phys. Rev. Lett., 30, 679 (1973).

Domb C., Barrett A. J., Lax M., Journ. Phys., A6, L82 (1973).

Bowers R. G., McKerrell A., Journ. Phys., C6, 2721 (1973).

Weyland A., Phys. Lett., 44A, 141 (1973).

Wolsky A. M„ Green M. S., Gunton J. D., Phys. Rev. Lett., 31, 1193 (1973).

Wolsky A. M„ Green M. S., Phys. Rev., A9, 957 (1974).

Baxter R. L, Journ. Phys., C6, L445 (1973).

Baxter R. L, Wu F. Y., Phys. Rev. Lett., 31, 1294 (1973).

Griffiths H. P„ Wood D. W„ Journ. Phys., C6, 2533 (1973).

Wilson K-, Nobel Symposia-Medicine and Natural Sciences, Vol. 24, Academic Press, New York, 1974.

Jouvet B., Nuovo Cim., 18A, 459 (1973).

Parisi G., Nuck. Phys. B59, 641 (1973).

Mitter P. K., Phys. Rev., D7, 2927 (1973).

Гинзбург С. Л., Письма в ЖЭТФ, 17, 448 (1973).

SheiS. S„ Yan T. M„ Phys. Rev., D8, 2457 (1973).

Wilson К., Phys. Rev., D7, 2911 (1973).

Politzer H., Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973).

Gross G. J., Wilczek F., Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973); Phys. Rev., 08,3633 (1973).

Zee A.. Phys. Rev., D7, 3630 (1973).

Crewther R. /., Shei S. S., Yan T. M., Phys. Rev., D8, 1730 (1973).

Ko gut I., Susskind L., Phys. Rev.,-будет опубликовано.

Weinberg S„ Phys. Rev., 08, 3497 (1973).

Symanzik K-, Commun. Math. Phys., 23, 49 (1971).

Мигдал А. А., Поляков A. M., Тер-Мартиросян К. A., Phys. Lett., 48B, 239 (1974).

Abarbanel H. D. L, Bronzan J. B., Phys. Lett, 48B, 345 (1974).

Белавин А. А., Юришчев M. А., ЖЭТФ, 64, 407 (1973).

Bissett M. L, Journ. Phys., C6, 3061 (1973).

Оглавление

Предисловие редактора перевода5

Литература И

Глава 1.Введение . . 13

Ренормализационная группа и проблемы когерентности в физике 13

Обзор литературы26

Элементарные сведенияомоделиИзиига31

Глава 2.Поведение систем вокрестностикритической точки . ... 34

Простейшие свойства систем в окрестности их критической температуры .34

Исследование аналитических свойств39

Теория среднего поля (40). 2. Теория Кадаиова (43).-

Глава 3. Тривиальный пример реиормализационной группы. Гауссова модель . . . ."49

Глава 4. Модель s4 .... '63

Упрощенное преобразование, соответствующее реиормализа- циониой группе71

е-разложеиие и нетривиальная неподвижная точка . . . . 72

Линеаризованные уравнения и вычисление критического показателя v • ■ 75

Глава 5. Модель з* (продолжение)81

Несущественные переменные и е-разложеиие81

Полное преобразование, соответствующеереиормализациои-

иой группе89

Глава 6. Приближенная рекуррентная формула92

Вывод, предложенный Поляковым93

Некоторые числовые результаты98

255

Глава 7. Приближенная рекуррентная формула (продолжение) . . . 103

Дополнительные результаты, вытекающие из приближенной рекуррентной формулы103

Соотношения подобия для n-спииовых корреляционных функций ИЗ

Медленные переходные явления и устранение их для малых в120

Глава 8. Вычисление критических показателей с помощью фейнмановских диаграмм (е-разложение)123

Глава 9. Размерность тензорных операторов в пространстве-времени с размерностью 4 — в . .133

Г лава 10. Связь между статистической механикой и теорией поля . . 144

Глава 11. Точные уравнения ренормализациоиной группы в дифференциальной форме163

Г лава 12. Топологические свойства ренормализациоиной группы . , . 176

Топология преобразований ренормализациоиной группы (неподвижные точки, траектории и подпространства) .176

Пространства" и подпространства (177). 2. Траектории и неподвижные точки (183).

Неподвижные точки, подпространства н перенормировка . . 190 1. Приложение к теории поля (190).

Случай большого числа неподвижных точек, области и универсальность 196

Случай нескольких неподвижных точек. Области (196).

Симметрии (201).

Неподвижные точки и аномальные размерности205

Линеаризованные уравнения ренормализациоиной группы (205),

Глава 13. Предварительное исследование нетривиальной неподвижной точки —теория поля со взаимодействием Ф^=4214

Глава 14. Заключительные замечании234

Приложение. Простые решения уравнений ренормализациоиной группы 237

Литература 246

Дополнение. О некоторых последних работах 250

Дополнительная литература252

1 . I 1I ..1/11, 1, 1

’) Подробное вычисление проведено в гл. 8 (см. также работы [36, 43]). — Прим, перев.

2) В действительности

,1 , Л ГТ . I (2^-1)

г =НА/4см , а м =т—(1 + г )2.

** г /(4.38)

<4^ - и « %, W21 [о п Vi - г ) + t>12 (uz - и

В чем смысл и значение этого результата? Пусть значение I велико, но фиксированно, а Т достаточно близко к Тс настолько, что разности rt — г* и Ut — и* малы и использование линеаризованного рекуррентного уравнения вполне обосновано. Вначале пусть Т = Тс. Тогда, как было отмечено выше, при ОО

ri~+r* и uz —> и*.

Это согласуется с уравнениями (4.38), если только

Oil Ь (тс) — r*J + о12 \иАТсУ — «1 = о. (4.39) Более того, величина %2 должна быть меньше единицы, так как в противном случае член %" в М" также возрастал бы с ростом п. Из табл. 4.1 видно, что %2 (для в > 0) действительно меньше единицы.

Рассмотрим теперь случай Т « Тс. При фиксированном I обе величины г^Ту—г^Тс) и и^Ту—и1^Тсу будут пропор-

78

*) См., например, [36, 48]. — Поим. ред.

вой [36, 48]. Это в свою очередь возможно соответствует тому, что при d = 4 асимптотики корреляционных функций содержат логарифмические

УДК 530.145.1

В основу книги положен курс лекций по теории ренорма- лизационной группы и е-разложению, прочитанный К- Вильсоном в Принстонском университете в 1972 г. В ней изложены идеи, приводящие к новому перспективному подходу к системам с большим числом степеней свободы и, в частности, к проблеме фазовых переходов, скейлинга, аномальных размерностей и т. д.

Книга рассчитана на физиков-теоретиков и математиков, ее можно также рекомендовать аспирантам и студентам старших курсов в качестве дополнительного пособия по курсам статистической физики и квантовой теории поля.

Редакция литературы по физике

ВВ20402-060 т „„«1(00-78 6°-7520402-060 т „„«1(00-78 6°-75© North-Holland Publishing Company, 1974

В

В

20402-060 т „„

«1(00-78 6°-75

20402-060 т „„

«1(00-78 6°-75

© Перевод на русский язык, «Мир», 1975

К. Вильсон, Дж. Когут

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА И е-РАЗЛОЖЕНИЕ

Редактор Е. И. МайковаХудожественный редактор Е. К. Самойлов

Технический редактор Н. Б. Панфилова

Сдано в набор 4/VII 1975 г. Подписано к печати 31/Х 1975 г. Бумага № 2 60X84‘/ц=8,0014,88 печ. л. Уч.-изд. л. 13,84. Изд. № 2/7907. Цена 1 р. 38 к. Зак. 409.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская - типография № 2 имени ЕвгенииСоколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52,- Измайловский пр.,-29"