Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I
КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ
Глава 1
Калибровочный принцип в электродинамике
Действие электромагнитного поля в пустоте
Электромагнитное поле в вакууме описывается двумя пространственными векторами Е(т) и Н(ж) — электрическим и магнитным полями. Они образуют антисимметричный тензор напряженности поля F^p:
Eq = ~Eq{ = Ei, Fij = EijkHk
(так что Hi = ^eijkFjk\
Здесь и всюду в дальнейшем греческие индексы — пространственно-временные и пробегают значения р, v, А, р,... = 0,1, 2, 3 (в d-мерном пространстве-времени р, v, А, р,... = 0,1, 2,..., (d - 1)). Латинские индексы — пространственные, они пробегают значения г, j, к,... = 1,2, 3 (г, j, к,... = 1, 2(d - 1) в d-мерном пространстве-времени). По повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование с метрическим тензором Минковского, T)V>1 = diag (+1, -1,-1, —1), причем мы, как правило, не будем различать верхние и нижние индексы (например, ЕцуЕру будет означать Fie,FxpTfxifpY По повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование с евклидовой пространственной метрикой (таким образом, F^F^ означает -Е^Ен - Е^Ещ + FijFij = -2(Е2 - Н2), а скалярное произведение двух векторов кд и $м — это кихи = к°х° - кх).
Действие электромагнитного поля в пустоте имеет вид
S=-l fjxF^-(1.1)
В качестве динамических переменных здесь фигурируют вектор-потенциалы Ад, такие, что
F^v = 8цАу — дрА^.(1*2)
Здесь и всюду в дальнейшем Эд = ^.
Вариационный принцип для действия (1.1) приводит к уравнениям Максвелла в пустоте:
8ДУ = 0.(1.3)
Задача 1. Показать, что уравнения Максвелла (1.3) действительно являются условиями экстремальности действия относительно вариаций поля АДх) при фиксированных значениях Ам на границе пространственно-временного объема, в который помещена система.
Задача 2. Показать, что уравнения (1.3) эквивалентны паре уравнений
0Е
div Е = 0, - rot Н + — = 0,
а определение (1.2) эквивалентно уравнениям
divH = 0, rotE+^-=0.(1.4)
Показать, что пару уравнений (1.4) можно записать в лоренц-ковариантном виде
SpvXpdyFxp = 0.
Последнее равенство (следствие определения (1.2)) носит название тождества Бьянки для тензора напряженности электромагнитного поля.
Энергия электромагнитного поля выражается через электрическое и магнитное поля,
Е = ^ J(Е2 + Н2) d3x.(1.5)
Другие динамические величины (например, импульс поля) также выражаются через Е и Н, т. е. через тензор поля F^.
Калибровочная инвариантность
Тензор напряженности Ецу, а вместе с ним действие, энергия, уравнения поля инвариантны относительно преобразований
АДх) -)- А^х) = АДх) + 8Иа(х\(1.6)
где а(х) — произвольная функция пространственно-временных координат. Например, для тензора напряженности имеем
F^ -► F^ = 8ДАУ + 8уа) - сЦ4д + 8^ = 8^АУ - 8УАЦ = F^.
Преобразования полей, параметры которых зависят произвольным образом от точки пространства-времени, называют калибровочными преобразованиями (в отличие от глобальных преобразований, параметры которых постоянны, т. е. не зависят от х^; глобальные преобразования мы будем обсуждать чуть позже). Таким образом, преобразование (1.6) — простейшее калибровочное преобразование.
1111Общее решение уравнений Максвелла в пустоте
11
11
Основным постулатом теории калибровочных полей является требование, чтобы все физические (наблюдаемые) величины, а также действие и уравнения движения были калибровочно инвариантны, т. е. инвариантны относительно соответствующих калибровочных преобразований. В электродинамике этот принцип выполняется; таким образом, электродинамика представляет собой простейший пример калибровочной теории.
В электродинамике можно построить калибровочно инвариантную величину
^ A^dx^,(1.7)
где интегрирование ведется вдоль некоторого замкнутого контура С в пространстве-времени. В односвязном пространстве-времени (без дырок) эта величина сводится к Е и Н; например, для чисто пространственного контура С можно записать ^ A dx‘ = - J Hd^, СЕ
где S — поверхность в пространстве, натянутая на контур С. Если же пространство-время не односвязно, то калибровочный инвариант (1.7) может не выражаться через Е и Н. Например, в (2+1)-мерном пространстве-времени, где пространство имеет дырку (или в (3+1) -мерном пространстве-времени, в пространстве которого вырезан бесконечно длинный цилиндр), может быть так, что Е = Н = 0 всюду, но ^ Adx ^ О, с
где контур С оборачивается вокруг дырки. Эта величина, а точнее, фазовый фактор
(е — заряд электрона) оказывается наблюдаемой в квантовой теории (эффект Ааронова—Бома). Физически такая ситуация реализуется следующим образом: можно взять тонкий длинный соленоид, в котором сконцентрированно магнитное поле, и окружить его непроницаемой (для всех частиц и полей) стенкой. Электрическое и магнитное поля вне стенки равны нулю, однако рассеяние электронов на этой стенке зависит от величины фазового фактора (1.8).
Общее решение уравнений Максвелла в пустоте
Найдем общее решение уравнений Максвелла (1.3). Удобно сделать преобразование Фурье
Ац — J [&гкха^к) + к. с.] с^к.
fc°^0
Здесь и далее к. с. означает комплексно-сопряженную величину (так, в этой формуле «к. с.» = e-t*®a^(jl:)). аДк) — комплексные функции
четырехмерного вектора к. Отметим, что
кх = к^хц = kQxQ - kx,
так что к — это трехмерный волновой вектор, а ко — частота плоской волны.
Уравнения (1.3) эквивалентны следующим уравнениям для фурье- образов:
к^к^ау - к^куа^ = О,
или
k2av - ку<ка> = 0,(1.9)
где к2 = к^к^, ка = к^а^.
Рассмотрим сначала случай к2 + 0. Тогда из (1.9) следует, что вектор а,у^ направлен вдоль kv,
av(k) = kvc^k\(1.10)
Подставляя (1.10) в (1.9), убеждаемся, что на Дк) никаких ограничений нет: уравнения (1.9) превращаются в тождества. Итак, при к2 ^ 0 общее решение имеет вид (1.10).
Рассмотрим теперь случай к2 = 0, т. е. к0 = |к|. Уравнения (1.9) сводятся тогда к условию четырехмерной поперечности:
к^ = 0.
Имеется три линейно независимых вектора, ортогональных (в четырехмерном смысле) к к^. Один из них — сам к*1, два других — е^, а = 1,2, — можно выбрать чисто пространственными и ортогональными в трехмерном смысле вектору к и друг другу
4“’ = О, е("Ч( = 0, е^е^^б"»(1.11)
(последнее условие фиксирует также нормировку е^). Итак, при k2 = 0 общее решение имеет вид '
аДк) = кцДк) + е^Чк^ЪДк),
где с(к) и ЬДк) — произвольные комплексные функции трехвектора к (поскольку к0 = |к|).
Объединяя случаи к2 ^ 0 и к2 = 0, получаем, что общее решение уравнений Максвелла имеет вид
АДх) = АДх) + А^ (ж),(1.12)
где
А^ = [ d3k [e^e^k^k) +K.c.]fco=|k|,
Г ■(1ЛЗ)
А^ = I d^kVe^k^k) + к. с.]..
Поле Ад (я) — это чистая калибровка,
А^х) = д^х),гдеа(ж) =
Как и следовало ожидать, общее решение содержит произвольную скалярную функцию (если АДх) — решение уравнений Максвелла, то АДх') = АДх) + дца(®) — тоже решение). Нетривиальная часть решения, АДх), — это набор плоских волн, движущихся со скоростью света (частота fc° равна модулю волнового вектора к).
Задача 3. Считая векторы еД и е® (см. (1.11)) действительными (линейная поляризация) показать, что в плоской волне вида
АДх) = е^еД^
магнитное поле ортогонально (в трехмерном смысле) электрическому в каждой точке х, а электрическое и магнитное поля ортогональны волновому вектору к.
Отметим, что (1.12), (1.13) — не единственно возможная форма записи общего решения уравнений Максвелла. В некоторых задачах вместо разложения по плоским волнам удобно использовать разложения по другим полным наборам функций, например, по сферическим гармоникам. Мы не будем останавливаться на этих разложениях, поскольку важные для нас свойства решений — распространение волн со скоростью света и наг личие двух независимых амплитуд Ьа для каждого волнового вектора к — наиболее удобно увидеть именно в базисе плоских волн.'
Выбор калибровки
Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла приводит к тому, что их общее решение содержит произвольную скалярную функцию пространственно-временных координат хц. В этом мы явно убедились в п. 1.3 на примере электромагнитного поля без источников. Это свойство неоднозначности решения неудобно в более сложных случаях, когда имеются источники (а также представляет трудность при квантовании поля). Поэтому часто накладывают дополнительное условие на поле А^ так, чтобы этот произвол уменьшить, или, как говорят, фиксируют калибровку. Часто используют следующие калибровочные условия:
Кулоновская калибровка
divA = M» = 0.(1.14)
Это условие, так же как и все другие, не инвариантно относительно калибровочных преобразований: если АДх) удовлетворяет этому условию,
то Ар (ж) = Ар (ж) + др а (ж) тоже удовлетворяет ему, только если
ЭДа = Да = О,
т. е. только если а(ж) пространственно постоянна или растет в пространстве. Если ограничиться полями, убывающими на пространственной бесконечности (мы это неявно предполагали в п.1.3), то вектор-потенциал фиксируется однозначно. Проверка этого факта для решения (1.12) тривиальна: условие (1.14) дает
k2c^k) = О,
т. е. Ар (ж) = 0. Итак, решение уравнений Максвелла в кулоновской калибровке имеет вид
Ад (ж) = Ар (ж),
где Ар дается выражением (1.13).
Калибровка Лоренца
ЭрАр = 0.
В отличие от кулоновского условия, это условие инвариантно относительно остаточных калибровочных преобразований
Ар ^ Ар — Ар Н- Эр а,
где а(ж) удовлетворяет уравнению Даламбера
д^д^а = Da = 0.
Таким образом, калибровка Лоренца фиксирует решение с точностью до суммы продольных волн д^а^х), распространяющихся со скоростью света. На языке решения (1.12) это означает, что с(к) = 0 при к2 ^ 0, но при к2 = 0 функция с(к) произвольна.
Калибровка
Ад = 0.
Остаточная калибровочная инвариантность описывается калибровочными функциями а, не зависящими от времени, Эда = 0. Общее решение уравнений Максвелла имеет вид
Ар (ж) = АДж) + Вр(х)
(отметим, что Ад (ж) = 0), где Во = 0 и
Вг(х) = д(а(х).
Соответственно с(к) ^ 0 только при к° = 0.
Задача 4. Найти остаточные калибровочные преобразования и общее решение уравнений Максвелла в аксиальной калибровке
nA = 0,
где п — некоторый фиксированный единичный трехвектор, постоянный в пространстве-времени.
Глава 2
Скалярные и векторные поля
Система единиц Л = с = 1
Всюду в дальнейшем будет использоваться система единиц h = с = X. Единственная нетривиальная размерность при этом — размерность массы. Длина и время имеют размерность Х/М. Действительно,
тт!
Н = М = М-(2.1)
(последнее равенство очевидно, например, из соотношения Е = W). Из (2.1) и ft = с = 1 следует
Физически Х/М — это комптоновская длина волны частицы массы М.
Задача 1. Найти, в обычных единицах, длину и время, соответствующие 1/г.
Задача 2.
Найти размерность Е и Н в системе единиц h = с = 1. Показать, что действие электромагнитного поля безразмерно.
То же в пространстве-времени размерности d.
Задача 3.
Найти размерность электрического заряда в системе единиц ft = с = 1.
Найти численное значение величины е2/(4тг) (постоянная тонкой структуры), где е — заряд электрона.
То же, что в а), но в d-мерном пространстве-времени.
Задача 4. Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В. Найти связь между 1 г и 1 эВ в системе ft = с = 1. Найти, в обычных единицах, длину и время, соответствующие I/ГэВ, где ГэВ = 1О9эВ. Найти 1 Гаусс и 1 В/см (единицы магнитного и электрического полей) в системе ft = с = 1 и единицей массы 1 ГэВ.
Действие скалярного поля
Электромагнитное поле является наиболее известным — но не самым простым! — примером поля. Самый простой случай возникает, если вместо четырех функций пространственно-временных координат АДх) (образующих четырехвектор относительно преобразований Лоренца) рассмотреть одну действительную функцию у? (ж) (лоренцев скаляр). Другой пример — когда скалярное поле комплексно, иначе говоря, когда поле имеет две действительные компоненты Re <р^ и Im ^(ж).
В квантовой теории имеется соответствие между полями и частицами. Так, электромагнитное поле описывает фотон; тг°-мезоны, ^-мезоны и некоторые другие частицы описываются действительными скалярными полями; тг± -мезонам соответствует одно комплексное скалярное поле. Векторные бозоны IT* и Z описываются (массивными) векторными полями, отличающимися от электромагнитного. Важный класс полей, который не будет пока рассматриваться, поскольку не имеет классического с-числового аналога, описывает фермионы — частицы с полуцелым спином (электроны, нейтрино и т. д.).
Рассмотрим действительное скалярное поле ср(^с) и построим для него простейший лагранжиан. Потребуем, чтобы в результате вариации действия получились дифференциальные уравнения второго порядка — тогда производные в лагранжиан должны входить не более, чем квадратично. Потребуем, далее, чтобы лагранжиан был лоренцевым скаляром. Эти два достаточно общих требования дополним на время еще одним — требованием линейности уравнений поля. Оно означает квадратичность действия по полю. Указанные требования приводят к действию
(2.2)(2.2)
(2.2)
(2.2)
где т2 — единственный произвольный параметр, (д^)2 = д^д^. Знаки в (2.2) определяются требованием неотрицательности энергии; энергия поля будет рассматриваться ниже.
Задача 5. Вообще говоря, имеется более чем два инварианта, удовлетворяющих перечисленным выше требованиям. Лагранжиан мог бы быть выбран в виде
С = о(Уду>)2 + Ъд^дц<р + срд^д^р -I—^У2 "1" ^>(2-3)
где а,... ,4 — произвольные постоянные. Считая т1 ^ 0, показать, что теория с наиболее общим лагранжианом (2.3) эквивалентна теории (2.2).
Варьирование действия (2.2) приводит к уравнению Клейна—Гордона—Фока
д^д^р + т?р = 0.(2.4)
Приведем вывод этого уравнения из вариационного принципа с действием (2.2). Пусть 8<р^ — вариация поля. Тогда
8S = J ^х (УдУ>5(Ум¥>) - тп^ф6<р\.(2.5)
Далее, изменение производной поля равно производной от изменения поля, 6$^ = дДбф). В первом слагаемом в (2.5) интегрируем по частям,
8S = J ^х Х-дцд^бф - тг<р6<р\ + J (П^ [^^92],
где второй интеграл берется по границе объема. Как обычно, полагаем 8<р = О на границе четырехмерного объема, тогда второй интеграл исчезает. Требуя 8S = О для всех 8<р, получаем уравнение (2.4).
Найдем общее решение уравнения Клейна—Гордона. Перейдя в к -представление,
^(х^ = J (fk Vetkz(p^ + к.с.],
А°^0
получим уравнение
(к2 - т2)ср^ = О,
так что tp отлично от нуля — и произвольно — только при
к2 = (fc0)2 - (к)2 = т2,
т. е. при связи между частотой к0 и волновым вектором к вида
к0 = Vk2 + m2.(2.6)
Это равенство представляет собой закон дисперсии для свободных волн.
Закон дисперсии (2.6) напоминает релятивистское соотношение между энергией и импульсом
Е = Vp2 + m2.
Это не случайно: если представить себе поле <р^ как волновую функцию некоторой частицы (не обычной нерелятивистской частицы с волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера, но некоторой релятивистской частицы), то для нее справедливо
Е = к\ р = к,
так что т — масса этой частицы. Указанные соображения становятся точными в квантовой теории поля.
Мы будем называть параметр т массой поля, а поля с m ^ 0 - массивными полями. Для фотона т = 0; электромагнитное поле — безмассовое.
Таким образом, общее решение уравнения Клейна—Гордона представляет собой сумму плоских волн с законом дисперсии (2.6),
ip^ = J d3k [elfc^(k) + к. c.]A0=v^i ,
комплексные амплитуды ^(к) — произвольны.
Для дальнейшего полезно отметить аналогию классической теории поля с классической механикой со многими степенями свободы. Динамические координаты ддЦ) классической механики аналогичны полю р(х, t), только индекс А становится непрерывным индексом — координатой точки пространства (для электромагнитного поля АДх, £) «индекс» А, нумерующий динамические координаты, — это пара (д, х)). Суммирование по индексу А (например, в функции Лагранжа L = ^ ^QaQa +...)
А
заменяется интегрированием по d3x. Воспользуемся этой аналогией для построения энергии скалярного поля. В классической механике энергия равна
Аналог функции Лагранжа L в теории скалярного поля — это интеграл от лагранжиана по пространству,
Используя (опускаем зависимость от времени)
6L v
W=^
получим для энергии
выражение вида
Из этого выражения ясен выбор знаков в (2.2): а) отрицательный знак перед (Э^р)2 в (2.2) привел бы к отрицательному знаку в первых двух слагаемых в (2.8), и энергия быстро осциллирующих полей была бы отрицательна и неограниченно убывала с ростом частоты осцилляций; б) положительный знак при слагаемом с т2 в (2.2) привел бы к отрицательному знаку при соответствующем (третьем) слагаемом в (2.8), и энергия однородного поля была бы отрицательна и неограничена снизу для больших полей р.
Задача 6. Найти размерность поля <р. Показать, что параметр т действительно имеет размерность массы.
Задача 7. Используя выражение типа (2.7), найти энергию электромагнитного поля с действием (1.1) и динамическими координатами АДх, t). Показать, что при выполнении уравнений поля (1.3) найденная таким образом энергия совпадает с (1.5).
Задача 8. Считая, что поле <р(х, t) достаточно быстро убывает на пространственной бесконечности, проверить, что энергия (2.8) действительно сохраняется, ^ = О, если поле удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона.
Массивное векторное поле
Массивное векторное поле должно описываться четырехвектором ВДх). Однако если В^ представляет собой градиент скалярного поля, В^х^ = ддх(®), т0 ° векторном характере В^ говорить не имеет смысла: система описывается скалярным полем xkxY Иными словами, любое векторное поле Вд(ж) можно разделить на поперечную (в четырехмерном смысле) компоненту В^ и градиент скалярного поля,
S, = S^ + S,x. ^ = 0.(2.9)
Поперечное поле В^ не сводится к скалярному полю, и именно оно представляет интерес. Если масса поля отлична от нуля, то закон дисперсии должен иметь вид k° = Vk2 + т1, что будет достигнуто, если каждая компонента поля В^(х) будет удовлетворять уравнению Клейна—Гордона,
(d^ + mH^O.(2.10)
Итак, мы хотим описать поле В^, удовлетворяющее уравнениям (2.10) и (2.9).
Действие, приводящее к уравнениям (2.10), (2.9) имеет вид
"ВдуВду + ^-ВдВд d4x,(2.11)
где Вду = д^Ву - 5уВд в полной аналогии с тензором напряженности в электродинамике. Из действия (2.11) следуют уравнения поля
ЭдВду + т2Ву = 0.(2.12)
При тп2 ^ 0 уравнение (2.9) является следствием уравнений (2.12): продифференцировав (2.12) по xv и воспользовавшись антисимметрией тензора Вду, получим
дудцВцу + m2dyBy = m2dvBv = 0.
Далее, используя определение тензора В^ и учитывая поперечность В„, получим из (2.12)
Эцд^Ву - д^дуВц + m2Bv = дцдрВу + m2Bv = 0.
Таким образом, уравнения (2.12) эквивалентны системе
9^BV + m2Bv = 0, dvBv = 0,(2.13)
что и требовалось.
Задача 9. Найти общее решение системы (2.13).
Задача 10. Найти энергию для массивного векторного поля с действием (2.11).
Объяснить выбор знаков в (2.11).
Действие (2.11) и уравнения (2.13) не инвариантны относительно калибровочных преобразований В^ -> В^ + д^а. Иными словами, теория массивного векторного поля с действием (2.11) не является калибровочной теорией.
Комплексное скалярное поле
Еще одним важным примером поля является комплексное скалярное поле р(х) = (Re р^х) + г(1т у>)(ж). Выберем лагранжиан для этого поля в простейшем виде
С = д^д^р - т2р*р.(2.14)
Вариационный принцип для действия S = f С d^x формулируется следующим образом: будем формально считать р* (х) и ^(ж) независимыми полями и требовать экстремальности действия по отношению к вариациям др* и др по отдельности. Варьируя по др*, получим уравнение для р: д^р + т2р = 0,(2.15)
а варьирование по бр дает уравнение для р*\
О^р* + т2р* = 0.(2.16)
Вместо комплексного скалярного поля можно ввести пару действительных скалярных полей рх и pi, таких что
Р = ^^ +гу?2^
Тогда лагранжиан (2.14) перепишется в виде 1771^
с = 2^^^^ - -^ЧНФь(2.17)
где г = 1,2, суммирование по г подразумевается. Таким образом, комплексное скалярное поле эквивалентно двум действительным полям равной массы.
Задача 11. Считая поля epi независимыми, найти уравнения для этих полей, соответствующие лагранжиану (2.17), и показать, что они эквивалентны уравнениям (2.15), (2.16).
Новым элементом в теории (2.14) является наличие сохраняющегося тока
<2-18)
^ = 0.(2.19)
Задача 12. Показать, что ток j^ действительно сохраняется, если выполняются уравнения поля (2.15), (2.16).
Как мы увидим в дальнейшем, сохранение этого тока, т. е. равенство (2.19), связано с инвариантностью лагранжиана (2.14) относительно (глобальных) преобразований
у?(а;) -> ср(х) = е‘"у?(ж), у?*(ж) -^ у*^ = е“‘а9?*(ж), где а не зависит от точки пространства-времени (поэтому такие преобразования и называют глобальными).
Сохранение тока (уравнение непрерывности (2.19)) подразумевает, что существует заряд, который сохраняется, если поля быстро убывают на пространственной бесконечности. Действительно, определим
Q = J jod^x, где интегрирование ведется по всему пространству при фиксированном времени z° (поэтому Q мог бы зависеть от этого ж0). Имеем
d°Q = J d?x dojo = - J d^x 8di-
Последний интеграл сводится к интегралу по бесконечно удаленной поверхности,■
d X diji = j* dT^ ji-
Он равен нулю, если поле ср достаточно быстро убывает, поэтому doQ = О,
т. е. заряд действительно сохраняется.
Степени свободы
Суммируя наше обсуждение свободных полей (т. е. полей, удовлетворяющих линейным уравнениям), отметим, что во всех разобранных случаях закон дисперсии имеет вид
ко = Vk2 + m2,
где т — масса поля (которая может быть равна нулю). При А0 > О общие решения характеризуются одной или несколькими произвольными комплексными функциями трехмерного волнового вектора к (в электродинамике имеется еще произвольная функция с^ четырехвектора А, однако эта функция может быть устранена калибровочными преобразованиями). Количество таких произвольных комплексных функций называют числом степеней свободы поля. Таким образом, действительное скалярное поле имеет одну степень свободы; комплексное скалярное поле — две степени свободы, действительное массивное векторное поле — три степени свободы. В случае электромагнитного поля имеется две физических степени свободы, поскольку общее решение характеризуется двумя произвольными функциями &Q(k), которые нельзя устранить калибровочными преобразованиями.
Отметим, что в зависимости от выбора калибровки в электродинамике могут существовать или отсутствовать нефизические степени свободы, т. е. произвольные функции, от которых не зависят физические (калибровочно инвариантные) величины. В калибровке Лоренца имеется одна нефизическая степень свободы, поскольку общее решение в этой калибровке помимо функций ba(k) содержит при А2 = О произвольную функцию с(к) (см. раздел 1.4, пункт (б)). В кулоновской калибровке нефизических степеней свободы нет.
Задача 13. Найти число физических степеней свободы в электродинамике в d- мерном пространстве-времени. Рассмотреть отдельно случаи d = 2, d = 3 и d ^ 4.
Взаимодействие полей
с внешними источниками
В классической электродинамике взаимодействие электромагнитного поля с зарядами и токами строится с помощью четырехвектора тока jn = (-р, j), где р(ж) и j(x) — плотности заряда и тока частиц. С учетом этого взаимодействия действие записывается в виде
S = J d*x ^—F^F^ - ej^A^.(2.20)
Варьирование этого действия по А^ приводит к уравнениям Максвелла с источником:
8Др - ejv = 0.(2.21)
Здесь е — единица электрического заряда. Уравнение (2.21) подразумевает, что ток сохраняется
fy^ = 0(2.22)
(это равенство следует из (2.21) после дифференцирования по Xм \ Сохранение тока в свою очередь приводит к калибровочной инвариантности
действия (2.20), если калибровочная функция быстро убывает на бесконечности. Действительно, действие для поля
А^ — Ац 4- д^а
равно
S№ = SVA\- [ ^zei^a.
Последний интеграл сводится, при учете (2.22), к интегралу по бесконечно удаленной поверхности в четырехмерном пространстве-времени,
J d4x ej^d^a = J d^ft ea(x)j^.,
Он равен нулю для убывающих a(z), так что действие инвариантно,
sW = svay
Задача 14. Считая, что ток j^ соответствует двум точечным покоящимся зарядам, jo(x) = -qy5(x-xx) - g25(x-x2), найти решение уравнения (2.21) (закон Кулона).
Задача 15. Считая, что ток j^ не зависит от времени, найти функционал энергии, соответствующий действию (2.20). Выразить его через электрическое и магнитное поля Е и Н
Задача 16. Используя полученные в двух предыдущих задачах результаты, найти энергию взаимодействия двух точечных зарядов. Показать, что одноименные электрические заряды отталкиваются, а параллельные электрические токи притягиваются. .
Задача 17. Решить предыдущие три задачи в пространстве-времени размерности d.
Отдельно рассмотреть случаи d = 2, d = 3 и d > 4.
По аналогии с электродинамикой можно рассмотреть взаимодействие внешнего источника с массивным скалярным полем. Соответствующий вклад в действие будет лоренцевым скаляром, если источник — скаляр по отношению к преобразованиям Лоренца, р(ж). Полное действие равно
S =S =1 /п \22/ т41 /п \22/ т4(2.23)(2.23)
S =
S =
1 /п \22/ т4
1 /п \22/ т4
(2.23)
(2.23)
Аналогично формулам (2.20), (2.23) вводится взаимодействие тока j^ с массивным векторным полем В^..
Задача 18. Найти уравнение поля для действия (2.23). Решить их для точечного статического источника р(х) = -q§(x).
Задача 19. Найти функционал энергии для теории с действием (2.23). Вычислить энергию взаимодействия двух точечных статических зарядов q^ и qi, расположенных на расстоянии г друг от друга. Притягиваются или отталкиваются одноименные скалярные заряды? Найти выражение для силы.
Задача 20. Найти решения двух предыдущих задач в пространстве-времени размерности d.
1Л. Взаимодействующие поля.
Калибровочно инвариантное взаимодействие в скалярной электродинамике
До сих пор мы рассматривали лагранжианы, квадратичные по полям. Они приводят к линейным уравнениям для поля. Такие поля называют свободными или линейными. Под взаимодействием полей понимают слагаемые в лагранжиане более высокого, чем квадратичный, порядка по полям, и, соответственно, нелинейные слагаемые в уравнениях поля.
Теория взаимодействующих полей будет инвариантна относительно трансляций (сдвигов) в пространстве и во времени и относительно лорен- цевых преобразований, если лагранжиан взаимодействия — лоренцев скаляр, не зависящий явно от пространственно-временных координат. Простейший пример появляется в теории действительного скалярного поля, если в качестве лагранжиана взаимодействия выбрать некоторую функцию поля — V}(y>), так что действие (2.2) модифицируется следующим образом:
8 =8 =(2.24)(2.24)
8 =
8 =
(2.24)
(2.24)
где
^) = -^V + W)- •
Имеется в виду, что Vj содержит слагаемые типа у3, у4 и т. д.
В квантовой теории поля появляются серьезные соображения (перенормируе- мость) в пользу того, что Т/(у) является полиномом и содержит степень поля не выше четвертой в четырехмерном пространстве-времени и не выше шестой в трехмерном пространстве-времени (в двумерном пространстве-времени ограничений на вид Vjr(у?) по существу нет). Хотя в теории классических полей эти ограничения не возникают, мы часто будем подразумевать, что они выполняются.
Задача 21. Найти функционал энергии для действия (2.24). Считая V7(p) полиномом конечной степени по полям, найти ограничения на коэффициенты этого полинома, вытекающие из требования ограниченности энергии снизу. Требует ли ограниченность энергии снизу неотрицательности параметра т2?
Чтобы пояснить терминологию, рассмотрим простейший пример:
тг/ \ 2 3 ^4W) = —<p + -<р + -у> .
Параметр т называют массой скалярного поля (в случае т2 > 0, случай т2 < 0 мы будем рассматривать позже), а и А — константами взаимодействия. Саму функцию V(у>) называют потенциалом скалярного поля.
Уравнения поля, следующие из действия (2.24), имеют вид
(2.25)(2.25)М^ + ^о.
(2.25)
(2.25)
Если амплитуда поля у? мала (в каждой точке пространства-времени), то нелинейными слагаемыми в (2.25) можно пренебречь, и мы возвращаемся к уравнению Клейна—Гордона. Таким образом, малые возмущения поля описываются линейными уравнениями с массой т (мы здесь считаем, что т2 ^ 0 и потенциал Vi^) выбран так, что у? = 0 — конфигурация с минимальной энергией).
Рассмотрим теперь случай взаимодействия электромагнитного поля с другими полями. Этот случай представляет значительный интерес для всего дальнейшего. Уравнение электромагнитного поля должно иметь вид
8pFpV = ejv,(2.26)
где ток jp составлен из полей и сохраняется,
8рЗц = 0.
Для комплексного скалярного поля имеется кандидат на ток jp — выражение (2.18):
j^ = -i^^y? - 5ду>».
Таким образом, можно было бы предположить, что (2.26) с jp = j^ — это одно из уравнений теории взаимодействующих комплексного скалярного поля и электромагнитного поля. Убедимся, однако, что этот путь к успеху не приводит.
Действительно, уравнение (2.26) получается варьированием по Ар действия
S= I d^x 8p^*8ptpS= I d^x 8p^*8ptp- xn?tp Ф - ^FpVFpV - ej^Ap- xn?tp Ф - ^FpVFpV - ej^Ap(2.27)(2.27)
S= I d^x 8p^*8ptp
S= I d^x 8p^*8ptp
- xn?tp Ф - ^FpVFpV - ej^Ap
- xn?tp Ф - ^FpVFpV - ej^Ap
(2.27)
(2.27)
Наличие последнего слагаемого (взаимодействия) приводит к модификации не только уравнения электромагнитного поля, но и уравнения скалярного поля (поскольку j^ зависит от у? и у?*). Варьируя действие (2.27) по у?*, получим уравнение
-дддду? - тп2у? + 2ге5ду?Лд + геудрАр = 0.(2.28)
Сопряженное уравнение получается вариацией по у?:'
-8р8р<р* - т1^* - 2гедрф*Ар - геф*8рАр = 0.(2.29)
Убедимся, что ток з^ не сохраняется, если выполнены (2.28), (2.29). Для
•(о)
четырех-дивергенции тока Зр' имеем
8pj^ = -i(^8p8p<p - фдрдрф*).
Умножая (2.28) на (-гу?*) и (2.29) на (гу?) и вычитая получаемые равенства, получим
8рЗ^ = led^ppA^.
Правая часть этого равенства равна нулю для произвольных полей, только если е = 0, т. е. если взаимодействие отсутствует (отметим, что поле у? и его первая производная с^у? произвольны, т. е. не сводятся к чему-либо более простому с помощью уравнений движения (2.28), (2.29)). Таким образом, ток з^ не сохраняется, что противоречит уравнению (2.26).
В принципе можно было бы наложить условие дДр*рАм) = 0 и обеспечить тем самым сохранение тока (это было бы аналогично накладыванию условия дцАц = 0 в теории массивного векторного поля). Однако это условие существенно нелинейно по полям, и восстановить свободную электродинамику и свободное массивное скалярное поле в пределе слабых полей было бы невозможно.
Выход из этой ситуации можно было бы искать на пути добавления к току j^ слагаемых более высокого порядка по полям. В электродинамике со скалярным полем этот подход довольно просто реализовать, добавив к j^ слагаемое типа Ау,р*р (т. е. положив в уравнении (2.26) Зи = 3^ +const-Лду?у?*). Мы воспользуемся совершенно другим способом, который прямо использует свойство калибровочной инвариантности. Этот подход замечателен тем, что он играет ключевую роль при построении теории неабелевых калибровочных полей.
Потребуем инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразований поля А^ и одновременно поля у?
р^х) -4 р(х) = eta^p(x), р*(х) -4 р'*(х) = e“’Q^y?*(a:),
1(2.30)
АДх) -4 А^х) = АДх) + -Ора^х)
(константа е введена здесь для удобства в дальнейшем). Свободное действие электромагнитного поля инвариантно относительно этих преобразований. Свободное действие комплексного скалярного поля не инвариантно (инвариантность имеется, только если а не зависит от точки пространства-времени). Действительно, рассмотрим производную поля р^х)
О^рХх) = ега^ [5ду>(®) + iO^a^p^.(2.31)
Если бы второго слагаемого не было, мы бы имели инвариантность выражения О^д^р и свободный лагранжиан был бы инвариантен. Идея состоит в том, чтобы вместо обычной производной Э^р использовать в лагранжиане другой объект D^p, который сводился бы к д^р в пределе слабого поля, но преобразовывался бы однородно при преобразованиях (2.30):
= e^D^.(2.32)
Из (2.31) очевидно, что компенсировать слагаемое с д^а можно, добавив к д^р слагаемое типа рА. Так мы приходим к выражению
D^p = д^р - геА^р = (^ - геА^р.. (2.33)
Эту величину называют ковариантной производной поля р. Проверим соотношение (2.32). Имеем
^D^' = Э^р - геА^р* =.
= еш8цр + ^“ргд^а - геА^р - ге^д^ае^р = e^D^p.
Таким образом, соотношение (2.32) выполнено, и (D^pyD^p является калибровочным инвариантом.
"F^F^ + (D^pyD^p - m2p*p"F^F^ + (D^pyD^p - m2p*pДействие, инвариантное относительно калибровочных преобразований (2.30), выберем в виде
"F^F^ + (D^pyD^p - m2p*p
"F^F^ + (D^pyD^p - m2p*p
S =S =(2.34)
S =
S =
(можно было бы еще добавить самодействие скалярного поля Vj(p*py. Нелинейные (степени выше второй по полям) слагаемые в этом действии возникают из-за члена А^р в D^p и имеют структуру А^д^р и А^А^р.
Варьируя действие (2.34) по полю А^, получим уравнение (2.26) с током
Зц = -<^*8^ - д^р) - leA^p, который может быть записан в явно калибровочно инвариантном виде
Зц = -i- ^D^ - ^ррУр\.(2.35)
Отметим, что если поле р* считать независимым, то для него ковариантная производная будет иметь вид D^p* = ((^ + геА^р* (знак перед ieA^ диктуется требованием (Рд^*)' = e^D^p* и законом преобразования (2.30)), что совпадает с (D^py. Мы не будем в дальнейшем различать (Р^рУ и Dy,p* (поскольку это одно и то же).
Найдем теперь уравнение скалярного поля. Варьируя, как обычно, по у*, имеем
D^p + т2р = 0,(2.36)
где, разумеется, D^D^ определено вполне аналогично (2.33):
ОцОцр = (дд ~ ieA^yd^ ieA^p.
Проверим, что при учете уравнения (2.36) ток (2.35) сохраняется. Имеем
8^ = -< \8цР*ОИр + p*8ltDtlp - ф^рУд^р - 811Пцр*р\.
Далее,
Э^В^А-^дАлФ = d^D^p + ieAtl<p*Dllp^rp*dllDll(p - гер A^D^p = = D^D^p + (^D^D^p.
Это и аналогичное ему равенства дают
^7^ :=: ~^(^ B^D^p — В^В^р ip).
Выражение в правой части равно нулю в силу уравнения поля (2.36) и сопряженного ему уравнения. Ток j^ сохраняется, и система уравнений
a Av = jv,(2.37)
В^В^р + m^p = 0(2.38)
согласована.
Таким образом, требование инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразований полей (2.30) приводит к замене обычных производных Э^р на ковариантные В^р в действии. Ток j^, фигурирующий в уравнениях поля (2.37), оказывается при этом автоматически ка- либровочно инвариантным и сохраняется при учете уравнений поля (2.38).
Отметим, что бывает удобно записать преобразования (2.30) в виде
р(х) -> р (х) = д(х)р(х),(2.39)
ЛДж) -> АДх) = АДх) + д^д^Чх),(2-40)
где д(х) = е,а^, Ац = —геАц. Польза от такой записи состоит в том, что д^х) в каждой точке х можно интерпретировать как элемент группы U(\) — группы комплексных чисел, по модулю равных единице (по умножению). Преобразование (2.39) выглядит как преобразование под действием фундаментального представления группы, а д(х)дцд"Чх) представляет собой в каждой точке х элемент алгебры Ли этой группы. Обобщение преобразований (2.39), (2.40) на случай других (неабелевых) групп Ли приводит к неабелевым калибровочным полям, которые являются основным предметом раздела 4 и последующих разделов.
Подчеркнем в заключение, что в теории взаимодействующих полей лагранжианы содержат как слагаемые, квадратичные по полям, так и члены кубичного, четвертого и более высокого порядка по полям. Квадратичные слагаемые приводят к линейным членам в полевых уравнениях, а слагаемые более высокого порядка — к нелинейным. Общие решения нелинейных полевых уравнений найти, как правило, не удается (исключение составляют интегрируемые модели); некоторые физически интересные решения, существование которых целиком связано с нелинейностью уравнений, будут рассмотрены во второй части. Ситуация заметно упрощается, если рассматривать волны с малой амплитудой в каждой точке пространства-времени. В этом случае нелинейные члены в полевых
уравнениях малы по сравнению с линейными и ими можно пренебречь. Решение линеаризованных уравнений не представляет большого труда, как мы убедились в предыдущих разделах. В этой части мы будем строить полные лагранжианы, но обсуждать именно малые возбуждения. Их свойства могут быть найдены из структуры линейных членов в полевых уравнениях или, эквивалентно, из квадратичной части полевого лагранжиана.
В квантовой теории малым возбуждениям полей соответствуют (элементарные) частицы. Таким образом, изучение классических волн малой амплитуды в конкретной модели одновременно является изучением спектра элементарных частиц этой модели.
2.8. Теорема Нетер
В предыдущих разделах мы встречались с примерами глобальной инвариантности лагранжиана (трансляционная инвариантность в пространстве-времени, фазовые преобразования в теории комплексного скалярного поля и т. д.). Мы упоминали, что каждой такой симметрии соответствует сохраняющаяся величина. Это утверждение носит название теоремы Нетер. В данном разделе мы приведем вывод теоремы Нетер для двух наиболее важных для нас случаев: преобразований полей, не затрагивающих координат пространства-времени, и трансляций в пространстве-времени. Первому типу симметрий соответствует сохраняющийся вектор тока j^ (индекс а не имеет отношения к пространству-времени и пробегает столько значений, сколько имеется независимых глобальных преобразований),
8,4 = 0,(2.41)
а трансляциям — сохраняющийся тензор энергии-импульса Т^,
9^ = 0.(2.42)
Если поля (быстро) убывают на пространственной бесконечности, то (2.41) приводит к сохранению зарядов (в полной аналогии с разделом 2.4)
Q°= [ d3xjS(x),
а (2.42) — к сохранению энергии импульса
Р^ = J Л3хТ°Цх).
Отметим, что Q° — скаляры, а Ри — вектор по отношению к преобразованиям Лоренца.
Прежде чем переходить непосредственно к теореме Нетер, обсудим уравнения поля в достаточно общем виде. Пусть Ф7 — полный набор полей
в теории; индекс I обозначает весь набор индексов — как пространственно-временных, так и «внутренних». (Например, в скалярной электродинамике Ф7 — собирательное обозначение для А^, Re р, Im р\ Будем рассматривать лагранжианы, содержащие лишь первые производные полей, с-с^.е^'у(2.43)
В дальнейшем будет удобно записывать
а,ф' = ф^
Чтобы записать уравнения поля, рассмотрим вариацию действия
8=1 £(Ф7(ж), 9дФ7(®)) (fx.
ИмеемИмеем
Имеем
Имеем
Здесь и в дальнейшем подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу I.
Интегрируя второе слагаемое по частям и считая, как всегда, что вариации полей равны нулю на границе пространственно-временного объема, получим
58 - J ах ^ф/58 - J ах ^ф/4№д4№ддФ1.дФ1.
58 - J ах ^ф/
58 - J ах ^ф/
4№д
4№д
дФ1.
дФ1.
(2.44)(2.44)Из требования 58 = 0 имеем уравнения поля
(2.44)
(2.44)
9д \a*i/ + № ~ '
Этих уравнений — столько, сколько независимых полей в теории (т. е. сколько значений пробегает индекс 1).
Перейдем теперь к теореме Нетер для глобальных преобразований, не затрагивающих координат пространства-времени. Мы ограничимся классом преобразований типа фазовых:
Ф7 -> Ф'1 = ^6Ы + еЧ1^ Ф J, (2.45)
где мы рассматриваем инфинитезимальные преобразования, Еа — инфинитезимальные параметры преобразований (не зависящие от точки пространства-времени), индекс суммирования а пробегает столько значений, сколько имеется независимых симметрий, t1^ — численные постоянные. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (2.45) означает, что
(2-46)(2-46)6С = £(Ф + <?Ф, Ф д + 6Ф,^ - £(Ф, Ф,„) = 0,
(2-46)
(2-46)
где
<s$/ = e“t"$J, йф1, = еЧ^а^.
Равенство (2.46) дает
Поскольку инфинитезимальные параметры еа независимы, имеем
+=°-(247)
Воспользуемся теперь уравнением поля (2.44), чтобы записать вместо первого слагаемого в (2.47)
Таким образом, два слагаемых в (2.47) сворачиваются в полную производную, т. е. имеем сохранение тока
9Д = О,
где
з^^’^'(2'48)
Отметим, что ток сохраняется, только если поля удовлетворяют динамическим уравнениям (2.44); отметим также, что доказательство теоремы Нетер одновременно приводит к явному построению тока (2.48).
В качестве примера рассмотрим комплексное скалярное поле с лагранжианом
С = 9цр*дцр - V(M(2.49)
где V — некоторая функция квадрата модуля поля. Считаем формально, что у?и/ независимы, и обозначаем (у?, у>*) -> Ф7, I = 1, 2. Лагранжиан (2.49) инвариантен относительно фазовых преобразований
р->р' = eiap, р* -> р*' = еЧар*, или в инфинитезимальной форме
р' — (1 + id)p, р'* = (1 - га)р*.. (2.50)
Сравнивая с (2.48), имеем (в качестве еа фигурирует один параметр а) tn=i, t22 =-г, <12 = <21=0.
Отсюда сразу строится сохраняющийся ток
В явном виде имеем
Зц = Wd^cp - 8^р*\(2.51)
что совпадает с током, обсуждавшимся в разделе 2.4.
Задача 22. Рассмотрим теорию комплексного скалярного поля с лагранжианом (2.49). Введем два действительных поля <pi, р2, так чт0
= Т^1 + i<P^’ ^ = Т^1 “ ^‘
Записать лагранжиан в терминах полей р\, р2.
Записать преобразования (2.50) в терминах полей рх, р2. Найти соответствующие константы типа tIJ (I, J = 1,2).
Построить ток (2.48) в терминах полей <pi, р2 и показать, что он совпадает с (2.51).
Задача 23. Построить нетеровский ток в скалярной электродинамике с лагранжианом (2.34), используя преобразования (2.30) с не зависящей от координат а.
Рассмотрим теперь преобразования трансляций
Ф7(а?д) -> Ф^а^) = Ф7(а?д + е^,■
где ер — четыре независимых параметра трансляций. Лагранжиан (2.43) не зависит явно от координат пространства-времени, поэтому
£(Ф',ФУ = £^ + 6^,(2.52)
где в правой части — лагранжиан для полей Ф7(х), вычисленный в точке жд + ед. В низшем порядке по ед имеем
£(Ф', Ф^) = £(Ф, Ф„) + ^8,*V + ^W^
И
£^ ^г е^ = £<х^ 8v£ev.
В силу произвольности ev из (2.52) имеем
оФ1 ЭФ1^ р
Вновь воспользуемся уравнениями поля (2.44) чтобы свести левую часть к полной производной; получим
^удФ1^^
что эквивалентно равенству
^-д,»1-б»с\ =0.
Таким образом, тензор энергии-импульса можно определить следующим образом:■
=(2.53)
Он сохраняется, д^т% = о.
Интегральные законы сохранения — это закон сохранения энергии поля
Е= f Т^х = Ц ^-У - с) 44(2.54)
JJ \ ОФ1 /
и импульса поля
= j Т%44 = /(5579<$')dV
Отметим, что выражение (2.54) совпадает с использовавшимся ранее. Полезно сделать следующее замечание. Вместо нетеровского тока j^ можно использовать выражение вида
где /^ — произвольный антисимметричный тензор (зависящий от полей). Действительно, в силу тождества dpdvf^v = 0 ток $ также сохраняется. Аналогично, вместо нетеровского тензора энергии-импульса (2.53) можно использовать выражение
Т% = Т% + ах^\,(2,55)
где П^у антисимметричен по индексам д, А.
Тензор (2.53), вообще говоря, не симметричен по индексам д, v; ^v ^^ур однако, используя сделанное замечание, можно подобрать П^р так, чтобы сохраняющийся тензор Т^ был симметричен по индексам Д, V.'
Задача 24. Найти нетеровский и симметричный тензоры энергии-импульса в теории свободного электромагнитного поля. Какой из них можно выразить через напряженности поля Р^. -"
Задача 25. Используя инвариантность лагранжиана скалярного поля относительно пространственных вращений, найти выражение для сохраняющегося углового момента поля.1
Задача 26. То же, что в предыдущей задаче, но для свободного электромагнитного поля.
Симметричный тензор энергии-импульса может быть получен с помощью следующего приема. Введем в действие метрику пространства-времени д^, считая ее
произвольной, но мало отличающейся от плоской. Инвариантное относительно общих координатных преобразований действие запишем в виде
S = [
где д = dety^, 9ца9аУ = ^- Например, действие скалярного поля с потенциалом У^р) в пространстве-времени с метрикой дР* имеет вид
S = J d^x V~9 (^Э^Э^Эуф - И(р)),(2.56)
а действие свободного электромагнитного поля равно
S = - ^ J <fx V4 {t^F,^,(2.57)
где F^ = дмАу — дуАд. Отметим, что мы здесь различаем верхние и нижние индексы и используем только производную
дх^
а в качестве независимых переменных электромагнетизма выбираем потенциалы Ар. В общем случае тензор энергии-импульса получается дифференцированием плотности действия по метрике:
~д(У=д£)
- Яд^ *
причем метрика у^ полагается равной метрике Минковского после дифференцирования (поля Ф1 по метрике, разумеется, не дифференцируются). Ясно, что тензор Тду симметричен по индексам ц, v. Более точно это соотношение записывается в виде (с учетом симметрии тензора д^^
88 = И ^Т^д1" d*x,(2.58)
причем бд^ — это малые отклонения от метрики Минковского.
Задача 27. Получить явное выражение для ТдУ из (2.58) для теории скалярного поля с действием (2.56). Показать, что в этом случае метрический тензор энергии- импульса совпадает с нетеровским.
Задача 28. Получить явное выражение для метрического тензора знергии-импульса (2.58) в электродинамике с действием (2.57). Сравнить с известными выражениями.
Задача 29. Показать в общем виде, что метрический тензор знергии-импульса (2.58) сохраняется.
Глава 3
Элементы теории групп и алгебр Ли
Группы
Группой называется множество G, в котором определена операция умножения, обладающая следующими свойствами:
Ассоциативность: для всех a, b, с € G справедливо ^аБ)с = а(Ъс\
Существование единичного элемента е EG. такого, что для всех а € G справедливо ае = еа = а.
Существование обратного элемента а-1 € G для каждого а 6 G, так что а~ха = аа-1 = е.
Если операция умножения коммутативна (т. е. ab = Ъа для всех а, Ь € GY то группу называют абелевой, в противном случае — неабелевой.
Группы Gi и G2 изоморфны, если имеется взаимно однозначное отображение / : G\ -> G2, согласованное с операцией умножения,
Hgigi) = ftofto, f(g~l) = [/(^)Г1-
В дальнейшем мы будем записывать изоморфизм групп как Gy = G2 и часто не различать изоморфные группы.
Подгруппой Н группы G называют подмножество Н в G, которое само является группой по отношению к операции умножения, определенной в G. Иными словами, для h,hy,h2 Е G определены произведение ^1/г2 и обратный элемент Л-1; требуется, чтобы hyh,2 и ЬГХ были элементами множества Н, если h, ку, /г2 Е Н.
Приведем несколько примеров.
Группа U (1) — множество комплексных чисел х, по модулю равных единице, |^| = 1. Умножение в (7(1) — это умножение комплексных чисел (поскольку при |^i| = |^2| = 1 имеем |^i^2| = 1, умножение — действительно операция в (7(1)), единица — это х = 1, а обратный элемент к х Е (7(1) — это х"х (г-1 € (7(1), поскольку |^-11 = 1 при |z| = 1).
Группа Z^ — это множество целых чисел по модулю п, т. е. целые числа к и (к + п) отождествляются (иными словами, множество Zn состоит из п целых чисел 0,1,..., (п - 1)). Умножение в Zn — отд
сложение целых чисел по модулю п (иными словами, если 0 ^ ki ^ п - 1, О ^2 Ц - 1, ТО
№ + »2) (mod л) = (к? + и^
v 7 v 7 \ki + k2-nпри (fci + k2) > n - 1.
Аналогично определяется вычитание по модулю п. Отметим, что сложение по модулю п коммутативно). Единица в Zn — это к = 0, обратный к к элемент равен
(-С)(modn)= P „при* = ’•,
vv( п - кпри0 < к ^п - 1.
Задача 1. Показать, что группа Zn изоморфна группе корней n-й степени из единицы, т. е. группе, состоящей из всех комплексных чисел г, таких, что zn = 1 (групповое умножение — это умножение комплексных чисел). Таким образом, Zn — подгруппа группы У(1).
Группа GL(n, С) — множество комплексных матриц n х п с отличным от нуля детерминантом. Умножение в СЦп, С) —■ это умножение матриц, единица — единичная матрица п х п, обратный элемент к М Е СЦп, С) — это обратная матрица М"1 (она всегда существует, поскольку detM /0 по определению группы GL(n, С)).
Задача 2. Описать группу GL(l,Cy
Группы Z7(l), Zn, СЦ1, С) — абелевы, группы СЦп, С) с п^ 2 — неабелевы.
Группы в следующих примерах — это подгруппы группы GL^n, С\ Иначе говоря, мы будем иметь дело с матрицами п х п, а операция умножения будет умножением матриц.
Группа GL(n, R) — это группа действительных матриц с отличным от нуля детерминантом.
Труппа и^п) — это группа унитарных матриц п х п, т. е. таких, что и^и=1(3.1)
(мы будем записывать единичную матрицу размерности п х п просто как 1; именно она стоит в правой части (3.1)). Чтобы убедиться, что ?7(п) — действительно группа, покажем, что U{U2 и Z7-1 унитарны, если Z7i, U2, U — унитарны. Имеем
Ф^Чита = иЭДифг = 1,
Ф'ЧЧс'Ч = ии' = 1, что и требовалось. Отметим, что из (3.1) следует |det(7|2 = det(7det?7^ = 1, т. е. ]det U| = 1 для всех U Е Щп\
Группа SU (n) — группа унитарных матриц с единичным детерминантом (ясно, что SU(n) — подгруппа в U(n)\ То, что групповые операции (умножение и обращение матрицы) не выводят из SUin^ (т. е. SU^ — действительно группа), следует из равенств
det (П^) = det Ux det U2 = 1, dett7"1 = (deti7)"1 = l
при detUx = detU2 = detU = 1.
Группа O(n) — группа действительных ортогональных матриц, т. е. таких, что
ОТО = 1.(3.2)
Ясно, что О(п) — подгруппа в СЦп, R), а также, что О(п) — подгруппа в U(n). Отметим, что из (3.2) следует det О = ±1, поскольку
det ОтО = det От det О = (det О)2 = 1.
Таким образом, группа О(п) разбивается на два непересекающихся подмножества (det О = +1 и det О = -1).
Группа 5О(п) — подгруппа группы О(п), состоящая из матриц О с det О = +1.
Отметим, что подмножество в О(п), состоящее из матриц с det О = -1, подгруппой группы О(п) не является. Действительно, если detOt = detO2 = -1, то det(OiO2) = +1, т. е. указанное подмножество не замкнуто, относительно матричного умножения.
Продолжим с полезными для дальнейшего определениями. Центром группы G называют множество в G, состоящее из всех элементов w Е G, коммутирующих со всеми элементами группы, т. е. таких, что для всех д EG справедливо
wg = gw.(з.з)
Центр группы W С G является подгруппой в G. Действительно, для w\, w2 Е W имеем
(wxw^g = wx(w2g) = wxgw2 = g^wxw^,
так что -Wxw2 Е W. Умножая (3.3) на w"1 слева и справа, получим •
gw~x = -иГ^д,
так что множество W замкнуто относительно групповых операций.
Задача 3. Описать центр группы SU(n) и показать, что он изоморфен Zn.
Задача 4. Показать, что центр группы GL^n, С) состоит из матриц вида А • 1, где А — произвольное отличное от нуля комплексное число, 1 — единичная матрица п х п (нетривиальная часть задачи — показать, что все матрицы, коммутирующие с любой матрицей из СЦп, С), кратны единичной).
Прямым произведением G\ х G2 групп G\ и G2 называют множество пар {5, Л}, где g Е G\, h € G2, в котором операций умножения и взятия обратного элемента имеют вид
{#, ^{g', Л'} = {^', hh'^, {g, h}~1 = {g~\ /г"1}, единица — это пара {ei, е2}, где ei и е2 — единицы в G\ и G2. Таким образом, G\ х G2 — это группа. Отметим, что G\ — подгруппа группы 6д х G2, точнее, G\ изоморфна подгруппе группы 6д х G2, состоящей из элементов вида {д,е2}.
Польза от этого определения состоит в том, что если удается выяснить, что какая-либо группа G является прямым произведением двух других групп G, и G2, то свойства группы G можно получить, изучая свойства групп Gy и G2 по отдельности.
Гомоморфизмом групп называют отображение / группы G в группу G', согласованное с операциями умножения, т. е. для всех д,д\,д2 Е G верно f<9\9^ = ftotto
(произведение д^2 понимается в смысле умножения в G, а произведение /(^1)/(^2) — в смысле умножения в G'),
№ = е*
(е, е* — единицы в G, G', соответственно),
№^ = [/(s)]"1
(взятие обратного элемента в левой и правой частях равенства — в смысле групп G и G', соответственно).
Примеры гомоморфизмов:
Гомоморфизм 5(7(2) в SU(3), при котором матрице д размером 2 х 2 (у е 5(7(2)) ставится в соответствие матрица 3x3 вида
/0 \
9 о ,(3.4)
\ 0 0 1 / принадлежащая, очевидно, группе 5(7(3).
Гомоморфизм группы Сд х G2 в группу G\, при котором элементу Vg, М ставится в соответствие д из 6д..
Пусть / — гомоморфизм G в G*. Множество всех элементов из G', которые можно представить в виде /(#) для некоторого д EG, называют образом гомоморфизма, 1т/. Множество элементов д Е G, таких, что /(^) = е', называют ядром гомоморфизма, Кег/. В первом примере 1т/ — это множество матриц вида (3.4), Кег/ — единичная матрица 2 х 2. Во втором примере Im / = 6д, Кег / — это множество элементов вида {е, Л}, где h — произвольно (т.е. Ker / = G2\
Задача 5. Показать, что 1т/ — подгруппа вб' (/ — гомоморфизм G в G*\ Показать, что Кег/ — подгруппа в G.
Введем теперь понятие (правого) фактор-пространства G/H группы G по ее подгруппе Н. Пусть Н — подгруппа группы G. Определим соотношение эквивалентности в G: считаем, что дх эквивалентно д2 (^1 ~ 5г), если дх = g2h для некоторого h Е Н. Напомним, что для соотношения эквивалентности требуются следующие свойства: 1) если 91 ~ 92, то д2 ~ дх; 2) если дх ~ д2, а д2 ~ д3, то дх ~ д3. в нашем случае эти свойства легко проверяются: 1) если дх = g2h, то д2 = gxh~x, т. е. д2 дх, поскольку Л-1 6 Н; 2) если дх = g2hxi, 92 = 9з^3, то 91 = Эз^зЬ-п), и 91 ~ дз в силу h23hx2 G Н.
Это соотношение эквивалентности позволяет разбить множество G на непересекающиеся подмножества (смежные классы): в один смежный класс входят все элементы G, эквивалентные между собой. Отметим, что смежный класс единицы е EG — это сама подгруппа Н.
Множество смежных классов и называют (правым) фактор-простран- ством G/H.
Можно было бы ввести другое определение эквивалентности: дх ~ 9г если 9i = Мг для некоторого h Е Н. С его помощью строится левое фактор-пространство G\H.
Задача 6. Выберем подгруппу, изоморфную 50(2), в группе 50(3) как группу матриц вида
(
° \ 9 0 , д 6 50(2).
0 0 1/
Показать, что имеется взаимно однозначное соответствие фактор-пространства 50(3) по этой подгруппе и двумерной сферы,
5О(3)/5О(2) = 52.
С фактор-пространством G/Н тесно связаны однородные пространства. Множество А называют однородным пространством по отношению к группе G, если группа G транзитивно действует в А, т. е. каждому g Е G ставится в соответствие обратимое отображение F(g) пространства А в себя, так что
а' = F^a.
При этом требуется, чтобы операция F была согласована с групповыми операциями, т. е.
Fig^a = F(gx)F(g2)a,
F(e)a = a, F(g~x)a = №)]-1а,3,5
где F~x — отображение А -> А, обратное отображению F; а — произвольный элемент из А; д, дх, д2 — произвольные элементы группы G.
Требуется, кроме того, чтобы для любых двух а,а' Е А существовал такой д EG, что
а’ = F(g)a (транзитивность действия группы).
Стационарная подгруппа Н элемента ао € А состоит из всех элементов h Е G, оставляющих ао на месте:
Е(К)а0 = а0.
То, что это множество — подгруппа, проверяется с помощью (3.5); например, если hi, h2 Е Н, то
F(hihi)a0 = F(hi)F(h2)a0 = F(hi)a0 = а0,
е. hi h2 Е Н.
Для однородного пространства стационарные подгруппы для всех элементов а Е А одинаковы. Действительно, пусть Яо и Hi — стационарные подгруппы элементов ао и ai, соответственно. Возьмем д Е G, такой, что ах = F^a0.
Тогда изоморфизм подгрупп Яо и Hi дается отображением
h'=ghg-',(3.6)
где h — любой элемент из Яо.
Проверим сначала, что h' Е Hi, т.е. F(h')ai = ai. Имеем
F^ai = F^ghg-^F^ao = F(g)F(h)F(g~xg)a0 = F^F^ao = F(g)a0 = ai, что и требовалось. Очевидно, что соответствие (3.6) — взаимно однозначное: обратное отображение дается формулой
h = g"xtig.
Наконец, отображение (3.6) согласуется с групповыми операциями, например, если h\,hi € Н, то
ghih2g~x = ghig~xgh2g'x = ^1/1'2, где h'u = ghug~x.
Задача 7. Определим действие группы 50(3) на двумерной сфере 52 следующим образом. Пусть д — матрица из 50(3), а — (единичный) вектор с компонентами а^, г = 1,2, 3. Определим F(g)a как вектор b с компонентами Ь, = д^а;. Поскольку дТд = 1, справедливо Ь2 = а2, т. е. действие F(g) переводит сферу в сферу. Показать, что 50(3) действует транзитивно на 52, а стационарная подгруппа любой точки сферы 52 равна, 50(2).
Если группа G транзитивно действует в пространстве А (т. е. А — однородное пространство по отношению к О), то имеется изоморфизм
А = О/Я,(3.7)
где Я — стационарная подгруппа любого элемента пространства А.
Действительно, пусть ао — некоторый элемент из А, Н — его стационарная подгруппа. Поставим в соответствие классу к EG/Н элемент
а* = ^(Р*)ао,(3.8)
где дк — представитель класса к. Элемент а* не зависит от выбора представителя дк; если дк = gkh — другой представитель класса к, то F(^)a0 = F^g^F^ao = F^g^a^. Таким образом, отображение (3.8) — действительно отображение из G/H в А. Проверим, что оно взаимно однозначно. Пусть а — некоторый элемент из А. Всегда найдется некоторый д EG, такой, что а = F(g)a0. Он принадлежит некоторому классу к Е G[H. Покажем, что если F(p)a0 = F^g'^, то д и д' принадлежит одному классу (что доказывает обратимость отображения (3.8)). Имеем из F^g)a0 = Г(р')а0 равенство
F^g^F^ao = а0,
что означает д~хд' Е Н, т. е. д-хд' = h, где h Е Н. Отсюда д’ = gh, следовательно, д' и д принадлежат одному классу.
Иллюстрацией равенства (3.7) служат утверждения, сформулированные в двух следующих задачах.
Задача 8. Показать, что SO(n)/SO(n - 1) = S""1, где Sn — n-мерная сфера. Здесь вложение SO(n - 1) в SO(n) осуществляется как
($О(п-1)0) сдо^
Задача 9. Показать, что SU(n)/SU(n - 1) = S2"-1, где вложение SU(n - 1) С SO(n) осуществляется аналогично предыдущей задаче.
Подгруппу Н группы G называют нормальным делителем группы G, если для любых h Е Н и любых д Е G справедливо
ghg~' 6 Н.
Если Н — нормальный делитель, то К = G/H — это группа. Действительно, построим операцию умножения в К следующим образом. Пусть ку, ^2 6 К. ку и ^2 — смежные классы; выберем из них представителей ду Е ку, д^ Е к^. Тогда кук2 — это смежный класс, которому принадлежит элемент дуд2 группы G. Единица ек Е К — это класс эквивалентности, которому принадлежит единичный элемент группы G (заметим, что из определения фактор-пространства следует, что ек = Н\ а к-1 — это класс эквивалентности, которому принадлежит д-х, если д — представитель класса к.
Для того, чтобы указанные операции действительно были операциями в К, требуется, чтобы результат их действия не зависел от выбора представителей в смежных классах. Проверим это для операции умножения. Пусть ду,д’у Е ку; gi, g'iEk2 — два набора представителей, так что
91=91^-1,92 — 92^2,
где 7ц, Л2 € Н. Проверим, что д^ = gx9ih для некоторого h 6 Н. Имеемд'\92 = 51^152^2 = 9i9i9i Xh\92h>i.
Но g^higi € Н, поэтому (д^НхдгУЬ^ также принадлежит Н, что и требовалось.•
Задача 10. Пусть G = Gx х G^. Показать, что G2 — нормальный делитель группы G и
G2 = GjGv
Задача 11. Показать, что подгруппа £7(1) группы С7(п), состоящая из матриц, кратных единичной, — это нормальный делитель группы [7(п).
Задача 12. Показать, что центр любой группы — это нормальный делитель этой группы.
Задача 13. Показать, что
C7(n)/[7(1) = SU^(Zn,
где Zn — центр группы SU^nY
Труппы и алгебры Ли
Для простоты в дальнейшем мы будем рассматривать матричные группы, элементами которых являются матрицы (иначе говоря, будем рассматривать подгруппы группы GL(n, С)); хотя излагаемые здесь понятия имеют общий характер, они проще всего формулируются для матричных групп..
В пространстве матриц п х п естественным образом вводится понятие близости матриц (топология): две матрицы близки, если все их элементы близки. Так же вводится дифференцирование семейства матриц М(7) по действительному параметру t : элементами матрицы (^)у являются производные ^Mij(t) матричных элементов Mij (7). Вообще, пространство всех комплексных матриц n х п можно рассматривать как 2п2-мерное (действительное) евклидово пространство R2n , координатами которого являются 2п2 матричных элементов Re М^ и Im Mij. Гладкие семейства матриц представляют из себя поверхности (многообразия), вложенные в это евклидово пространство. Например, гладкое семейство матриц M(tY зависящее от действительного параметра t, представляет собой кривую в R2n , а ^ соответствует касательному вектору к этой кривой.
Гладкие (матричные) группы — это такие группы, которые представляют собой гладкие многообразия в описанном выше пространстве Л2”2. Такие группы мы будем называть группами Ли.
Здесь и в дальнейшем мы не уточняем понятия гладкости. Мы не будем сталкиваться, например, с непрерывными, но не бесконечно дифференцируемыми многообразиями.
Простейшим нетривиальным примером группы Ли является группа [7(1). Ее также можно считать матричной группой, считая комплексные числа матрицами 1x1. Группа [7(1) представляет собой окружность на плоскости комплексных чисел (на двумерном действительном пространстве матриц 1x1). Группы 77 (n), SU(n), О^п), 8О(п) также являются группами Ли.
Два многообразия называются гомеоморфными, если существует гладкое взаимно однозначное отображение одного на другое\ Например, эллипсоид гомеоморфен сфере, а тор и сфера не гомеоморфны.
Задача 14. Показать, что группа SU(2) гомеоморфна трехмерной сфере S.
Для каждой точки (искривленного) многообразия размерности к в 2п2-мерном евклидовом пространстве можно определить касательное пространство к многообразию в этой точке: это действительное векторное пространство размерности к, состоящее из векторов, касательных к многообразию в данной точке.
Касательным пространством для группы Ли в единице является алгебра Ли этой группы Ли (единица группы — единичная матрица — это одна из точек группового многообразия). Иначе говоря, любая кривая g(t) в группе Ли G представляется вблизи единицы в виде
S(t) = 1 + At + O(t2), (3.9)
здесь единица — это единичная матрица, сложение — это сложение матриц, А принадлежит алгебре Ли группы G. В дальнейшем алгебру Ли группы G будем обозначать AG.
Соотношение (3.9) можно рассматривать как определение алгебры AG; ее элементами являются все такие матрицы А, что (3.9) является кривой в G вблизи единицы. Проверим, что алгебра AG на самом деле является действительным векторным пространством. Если А € AG соответствует кривой g(t), то кривой ^(i) = ^(ct), где с — действительное число, соответствует элемент сА (действительно, g'(t) = 1 + (сЛ)< + 0((2)). Если Ау, Л2 6 AG соответствуют кривым gi(,t), gi^ в группе, то кривой
/(О = ЫОЫО
соответствует сумма (Л] + Лг), поскольку
9"^ = (1 + Ayt + .. .)(1 + A^t + ...) = 1 + (Л1 + A^t + О(£2).
Таким образом, произведение элемента из AG на действительное число и сумма двух элементов из AG — тоже элементы алгебры Ли AG, т. е. AG — действительное векторное пространство.
В алгебре Ли определена коммутация: матрица [Ль Л2] = AxA2-A2Ay тоже принадлежит алгебре AG, если Аь А2 6 AG. Действительно, если
Si(t) = 1 + Ayt + ..., 52(0 = 1 + A2t + ...,
то кривой
9$ = 91^92^914092 40»
где £ = VI, соответствует матрица Ць А2]. Чтобы это проверить с точностью до t = О включительно, запишем
«/(О^^"^^*^^^-^^^^!--^-/^^^-.^-/^), (3.10) где Д1,2 = ai,2-A^2 (такчто матрица (1-Л^-Д^2) — обратная к матрице (1 + Ai£ + а^2) с точностью до 0 включительно). Приводя подобные члены в (ЗЛО), получим
9$) — 1 + [^ь ^2^2 + o^OY
так что в линейном порядке по £
д^ = 1 + [Ai, A2\t.
Итак, в алгебре Ли определены не только умножение на число и сложение, но и коммутация.
Опишем алгебры Ли некоторых групп.
Алгебра U (п) (мы нередко будем обозначать конкретные группы и их алгебры одинаково, если это не будет приводить к недоразумениям). Унитарные матрицы, близкие к единичной, должны обладать свойством
(1 + А£ + О(£2))(1 + А^ + О(£2)) = 1.
Отсюда
А1 = -А,
т. е. алгебра Ли группы U(п) — это алгебра всех антиэрмитовых матриц.
Задача 15. Проверить явно, что в множестве антиэрмитовых матриц определено сложение, умножение на число и коммутация.
Алгебра SO(n) — это алгебра всех действительных матриц, удовлетворяющих условию
Ат =-А
(иначе говоря, матрицы из алгебры SO(n) — это действительные антисимметричные матрицы).
Задача 16. Проверить, что операции алгебры Ли (сложение, умножение на действительное число и коммутация) не выводят (а) из множества антиэрмитовых матриц с нулевым следом; (б) из множества антисимметричных матриц.
Поскольку всякую антиэрмитову матрицу можно представить в виде г А, где А — эрмитова матрица, алгебру SU (п) в физике часто определяют как алгебру эрмитовых матриц с нулевым следом, а близкие к единице элементы группы SU(п) записывают в виде
д=1 + гА1Ц-О^У
Задача 17. Описать алгебры Л^1 групп GL(n, С) и GL(n, R).
Две алгебры Ли изоморфны, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее сложение, умножение на действительное число и коммутатор.
Задача 18. Показать, что алгебры Ли SU@) и 50(3) изоморфны. Показать, что для групп справедливо SU^(Zi = 50(3), где Zi — центр группы SU^. Таким образом, хотя локально (вблизи единицы) группы 517(2) и 50(3) одинаковы, в целом (глобально) они различны.
Размерность векторного пространства, которое представляет собой алгебра Ли, называют размерностью алгебры. Она равна размерности группового многообразия соответствующей группы Ли. Найдем размерность алгебры SU (п). Произвольные матрицы пхп характеризуются 2п2 параметрами. В алгебре SU(п) на них наложено п? линейных условий
Af = -А
(это — матричное условие, т. е. 2п2 условий, однако лишь половина из них независимы, поскольку из A<j = -А^ следует комплексно-сопряженное условие A*j = -А^\ Кроме того, наложено еще одно линейное условие
Тг4 = 0
(это — всего одно условие, поскольку из А^ = -А следует, что все диагональные элементы мнимы). Итак, размерность алгебры SU(тг) равна (п2 - 1).
Задача 19. Показать, что размерность алгебры 50(п) равна 2^^.
В алгебре Ли как в векторном пространстве можно выбрать базис. Элементы этого базиса — к матриц Г, (г = !,...,£; к — размерность алгебры) — называют генераторами алгебры Ли и соответствующей
группы Ли. Поскольку коммутатор №, Ту] принадлежит алгебре, то он раскладывается по генераторам, т. е.
[Тьт;] = с£#п,
где Cijk — антисимметричны по первым двум индексам и действительны. Cijk называют структурными константами алгебры, или, что то же самое, структурными константами группы. Их значения, разумеется, зависят от выбора базиса.
Например, в пространстве антиэрмитовых матриц 2x2 можно выбрать базис в виде Tj = -|rt , где г, — матрицы Паули
/О 1\/0 -А /1 0\
П “ \ 1 О/ ’ Т2 \ г О/ Г3 ~/
Структурные константы алгебры SU (2) получаются из соотношения I7!» ТА = ^^ijkTk
и равны £ijk* Однако алгебру SU(2) в физике часто определяют как алгебру эрмитовых матриц 2x2; генераторы (базис в указанной алгебре) выбирают в виде
Тг = 2^
При этом структурные константы —■ чисто мнимые, и соотношение коммутации генераторов имеет вид
№, 2у] — ieijkTk-
Генераторы алгебры 517(3) (в физике ее тоже определяют как алгебру эрмитовых матриц с нулевым следом) выбирают в виде Та = ^Ха, а = 1,2,..., 8, где Ав — матрицы Гелл-Манна
(
О 1 0\/0 -г 0\/1 0 0\
оОI,А2 =М001 ,Аз =I 0-1О I,
ООО/\ооо/\0ОО/
(
О 01\/00-А/оо0\
О001,As =I ООО1 ,А6 =I О01 ],
100/VО0/\01о/
/0 00\1/1О0\
А? = IО0—i1,Ag =101ОI .
\0 гО/^3\00 -2/
Задача 20. Показать, что эти генераторы группы 517(3) линейно независимы.
Задача 21. Вычислить структурные константы группы SU(3) в указанном базисе (как уже отмечалось, структурные константы группы и алгебры — это одно и то же).
Подалгеброй Ли алгебры Ли А называют действительное векторное подпространство в А, замкнутое относительно операции коммутации (т. е. само являющееся алгеброй Ли). Например, подалгеброй в алгебре St7(3) является множество матриц вида
АО ОАО ОО о оО о о
А
О О
А
О О
О о о
О о о
где А — матрица 2 х 2 из алгебры SU(2). Эта подалгебра, очевидно, изоморфна алгебре SU^.
Задача 22. Пусть Н — подгруппа Ли в группе Ли G. Рассматривая Н как группу Ли, построим ее алгебру Ли АН. Показать, что АН является подалгеброй в AG.
Пусть А и В — две алгебры Ли размерности Na и Nb; Tf,..., Т^А — полный набор генераторов алгебры А, Т®,...,Т®В — полный набор генераторов алгебры В. Будем считать, что элементы алгебры А — это матрицы пл кпд, элементы алгебры В — матрицы пв хпв- Построим набор из (Na + Nb) матриц (пл + ng) х (па + пв) так, что первые Na матриц имеют вид
(
тАл\
Л) JIКГ
Л0I ’ 1> -WA,
где Okxi — нулевая матрица к х I. Оставшиеся NB матриц выберем в виде
®пАхпАОцВХПА®пАхпАОцВХПАОпаХПвтВОпаХПвтВq = l,...,NB.q = l,...,NB.
®пАхпА
ОцВХПА
®пАхпА
ОцВХПА
ОпаХПвтВ
ОпаХПвтВ
q = l,...,NB.
q = l,...,NB.
Натянутое на этот набор из Да + Nb) матриц, как на базис, действительное векторное пространство называют прямой суммой алгебр А и В и обозначают (А + В). Ясно, что изучение прямой суммы двух алгебр Ли сводится к изучению каждой из алгебр по отдельности.
Задача 23. Пусть G = Gi х G2 — прямое произведение групп Ли Gi и G2. Показать, что алгебра Ли группы G изоморфна определенной выше прямой сумме алгебр Ли групп Gi и G2, т. е.
AG = AGX + AG2.
Подалгебра Ли С в алгебре Ли А называется инвариантной подалгеброй (или идеалом), если для всех с Е С и а Е А справедливо
[с, а] е С.
Задача 24. Пусть подгруппа Н — нормальный делитель в группе Ли G. Показать что алгебра Ли группы Н является инвариантной подалгеброй в алгебре Ли G.
Таким образом, локальные (и только локальные) свойства групп Ли удобно изучать, рассматривая соответствующие алгебры Ли. Основные понятия теории групп при этом имеют аналоги в теории алгебр Ли. В то же время, алгебры Ли — достаточно простые объекты, поскольку они являются векторными (линейными) пространствами.
Представления групп и алгебр Ли
Представление Т группы G в линейном пространстве V — это отображение, при котором каждому элементу g € G ставится в соответствие обратимый линейный оператор Т(д), действующий в V; это отображение должно быть согласовано с групповыми операциями, так что единице группы G ставится в соответствие единичный оператор, а также выполняются равенства
T(S1S2) = T(»1)T(J2), W") = [Т^)]-1.(3.11)
Соответственно, представлением Т алгебры Ли AG в пространстве V называется отображение, при котором каждому элементу А € AG ставится в соответствие линейный оператор Т(А), причем это отображение согласовано с операциями в алгебре AG, т. е.
Т(4 + В) = Т(А) + Т(В),
Т(аА) = аТ(А),(3.12)
Т([4,В]) = [Т(4),Т(В)]
для всех А, В G AG и любых действительных чисел а. Здесь коммутатор двух операторов, действующих в V, — это, как обычно,
[Т(4), Т(В)] = Т(4)Т(В) - Т(В)Т(4).
Если T^G) — представление группы Ли G в пространстве V, то с его помощью строится представление T(AG) соответствующей алгебры Ли AG в пространстве V по формуле
Т(1 + М) = 1+еТ(А),(3.13)
где е — малый параметр. В левой части Т(1 + еА) — это оператор, соответствующий близкому к единице элементу группы (1 + еА) € G, в правой части Т(4) — оператор, соответствующий элементу алгебры А € AG для представления T^AG). Заметим, что не всякое представление алгебры генерируется представлением группы (см. задачу ниже).
Задача 25. Проверить, что определенное равенством (3.13) отображение алгебры AG в множество линейных операторов, действующих в V, действительно является представлением алгебры AG, т. е. удовлетворяются свойства (3.12).
Если V — действительное векторное пространство (т. е. в V определено умножение векторов только на действительное число) то представление в нем группы или алгебры Ли называют действительным представлением.
Если Т^д) — унитарный оператор для всех д € G, то представление группы называют унитарным представлением. Для унитарного представления группы определенное формулой (3.13) представление соответствующей алгебры Ли состоит из антиэрмитовых операторов,
[Г(Л)Г = -Т(4)
для всех А € AG.
Зафиксируем базис е, в V. Если Т\д) — оператор, соответствующий элементу g Е G для представления группы T(G), то его действие переводит е, в некоторый вектор из V, который снова можно разложить по базису е,, так что
Т^-Т^,.(3.14)
Таким образом, при фиксированном базисе каждому элементу g Е G ставится в соответствие матрица Tj^gY Для действительного представления матрицы Tj^g) действительные, для унитарного представления Т^д) — унитарные матрицы. Размерность матриц Т^д) равна п х п, где п — размерность пространства V (и не имеет ничего общего с размерностью группы GY Любой вектор ф Е V можно представить в виде разложения по базису е,-,
Ф = М‘,где ф^ — компоненты вектора (числа). При этом
ТШ = ФАТ^е^ = ф^вз-
Таким образом, компоненты вектора Т(д)ф равны
(Ш = 71,^,.(3.15)
Это соотношение обусловливает несколько необычный выбор порядка индексов в (3.14).'
Из равенства (3.15) следует, что
TiAthgi) = TikMTkjto,(3.16)
Tij^e) = 6ij,(3.17)
W11) = W.(3.18)
т. e. произведению элементов из групп соответствует произведение матриц, единичному элементу — единичная матрица, а обратному элементу — обратная матрица. Действительно, для всех ф имеем
WgigiWi = Тц^хд^Фг
С другой стороны,
УЦд^ФАг = УГ^Т^ф^ = TiktoVTtolAk = Т{к(дх)Тк^д2)Фз,
что, в силу произвольности ф, доказывает равенство (3.16). Свойства (3.17) и (3.18) доказываются аналогично. Отметим, что равенства (3.16)-(3.18) можно было бы положить в основу определения представления.
Представления группы (или алгебры) T(G) и T'(G) в одном и том же пространстве V называются эквивалентными, если существует обратимый оператор S, действующий в V, такой, что
Т\д) = ST^S"1
для всех д EG.
Пусть W — линейное подпространство в V. Оно называется инвариантным подпространством представления Т((7), действующего в V, если для всех ф € W и g € G справедливо
ТШ € W,
т. е. действие любого оператора Т (д) не выводит из подпространства W. Тривиальные инвариантные подпространства — это само пространство 7 и подпространство, состоящее из единственного нулевого вектора. Представление T^G) называют неприводимым представлением группы G в V, если в V не существует нетривиальных инвариантных подпространств.
Приведем важные для дальнейшего примеры представлений групп Ли.
Фундаментальное представление.
Пусть G — группа Ли, состоящая из матриц п х п (например, SU(n) или SO(n)), V — это п-мерное пространство столбцов
Ф =Ф =(3.19)
Ф =
Ф =
ХМ
Фундаментальное представление Т(д) действует в этом пространстве V следующим образом:
@Wh = 9*
Можно было бы дать другое определение: пусть V — п-мерное пространство, ei — базис в нем; тогда действие оператора Т(д) на вектор ei имеет вид
1Ш = д^.
Задача 26. Показать, что эти определения эквивалентны.
Отметим, что для группы SU (тг) фундаментальное представление — комплексное, для группы 5О(п) — действительное.
Задача 27. Показать, что фундаментальные представления групп S77(n) и SO(n) неприводимы.
Представление, сопряженное фундаментальному — это представление группы матриц п х п в тг-мерном пространстве столбцов (3.19), определенное равенством
kTW)i = 9*цФг
эквивалентное определение: сопряженное фундаментальному представле-ние — это представление в пространстве строк ф = (ф[,... ,фп), такое, что(ТШ\ = Фз9^-
Задача 28. Показать, что фундаментальное представление группы SU(T) эквивалентно своему сопряженному.
Аналогичным образом определяются фундаментальное представление алгебры Ли AG и представление алгебры, сопряженное фундаментальному.
Задача 29. Как уже отмечалось, алгебры SU(2) и 50(3) изоморфны. Пусть Т — фундаментальное представление алгебры SU^T). Ему соответствует некоторое представление алгебры 50(3), обозначим его Т. Показать, что не существует представления группы 50(3), которое генерировало бы представление Т алгебры 50(3) по формуле (3.13).
Присоединенное представление M^G^ группы Ли G. Пусть AG — алгебра Ли группы G; будем считать, что как группа G, так и алгебра AG состоят из матриц п х п. Алгебра AG — это действительное векторное пространство, которое и является пространством присоединенного представления. Определим действие линейного оператора Ad(5), соответствующего элементу g 6 G, на матрицу А € AG следующим образом:
Ad(5)A = gAg~{.
Для того, чтобы это было представлением, требуется, прежде всего, чтобы gAg-1 был элементом алгебры AG для всех А € AG и д € G. Чтобы убедиться в этом, построим кривую в группе G вида
^(0 = 99 а ^д~\
где рД<) = 1 + <А +... — кривая, определяющая элемент А Е AG. Имеем й(0) = 1 и
h^ = 1 + tAh + ...,
где Аь — некоторый элемент из алгебры AG. С другой стороны
ОД = 1 + tgAg~} + ...,
поэтому дАд-1 = Ah Е AG, что и требовалось.
Выполнение свойств (3.11) проверяется просто; например
Ad(pi52)A = (5152)^(51^2)"1 = 5152^5^57* =
= Р1(М5Г1)РГ1 = Ad(5i)Ad(52)A
(как всегда, Ad(5i)Ad(52) понимается как последовательное действие сначала оператора Ad(52), а затем — оператора Ad(5i)).
Из формулы (3.13) следует, что присоединенное представление алгебры Ли — это такое, которое элементу В Е AG ставит в соответствие оператор ad(B), действующий на элементы А из AG (пространства представления) следующим образом
ad(B)A = [В, А].(3.20)
Действительно, если g = 1 + еВ, то
Ad(5)A = (1 + eB^l -еВ) = А + е[В, А],
что, вместе с равенством (3.13), которое в данном случае имеет вид Ad(p) А = А + е ad(B)A,
и приводит к (3.20).
Матрицы присоединенного представления алгебры Ли совпадают со структурными константами. Действительно, по определению матриц представления
ad(ti)t,- = T^tk, где tj — генераторы (элементы базиса) в AG, ТЙ — матрица линейного оператора, соответствующего генератору £t. С другой стороны
ad(t|)(j = [fj, tj\ = 0^1^, где Cijk — структурные константы алгебры AG. Следовательно,
Т^=Сцк.(3.21)
Подчеркнем еще раз, что присоединенное представление — всегда действительное. Это видно и из (3.21), поскольку структурные константы действительны.
Компактные группы и алгебры Ли
Группы Ли представляют собой гладкие многообразия (матричные группы Ли — это подмногообразия в пространстве всех матриц определенной размерности, см. раздел 3.2). Компактными группами Ли называют такие группы Ли, многообразия которых компактны.
Задача 30. Показать, что группы SU^n) и SO(n) компактны, a GL(n, С) и GL(n, К) — некомпактны.
Компактные алгебры Ли — это алгебры Ли, соответствующие компактным группам Ли.
Имеет место следующая теорема: алгебра Ли компактна тогда и только тогда, когда в ней существует (положительно определенное) скалярное произведение, инвариантное относительно действия присоединенного представления группы.
Иными словами, во всякой компактной, и только компактной, алгебре Ли AG имеется билинейная форма (А, В), такая, что для всех д Е G и всех А, В Е AG справедливо
(AdU)AAdto)B) = (A,B), при этом для всех А Е AG верно.
(А, А) ^ 0, и равенство здесь имеет место только для нулевого элемента алгебры 4 = 0.
Для матричных групп скалярное произведение в соответствующей алгебре — это след
(А, В) = -Тг (АВ).
Инвариантность его относительно присоединенного представления очевидна из возможности циклической перестановки матриц под знаком следа:
(.дАд-'.дВд"1) = - Тг (дАд-'дВд-^ = - Тг (АВ).
Нетривиальная часть этой теоремы для матричных алгебр — это положительная определенность - Тг (А2) для компактных и только компактных матричных алгебр Ли.
Задача 31. Показать, что - Тг (А2) положителен для всех ненулевых А из алгебры SU(2). Показать, что -Тг(А2) бывает как положительным, так и отрицательным для алгебры СЦ2, С).
Существование в алгебре Ли положительно определенного скалярного произведения, инвариантного относительно присоединенного представления, исключительно важно для калибровочных теорий, поэтому именно компактные группы и алгебры Ли используются при их построении.
В дальнейшем мы будем рассматривать только компактные группы и алгебры Ли и не станем оговаривать это каждый раз. z
В алгебре можно выбрать генераторы так, чтобы они образовывали ортонормированный базис. Обычно выбирают нормировку следующим образом:
Tr(t,fy) = -^y.(3.22)
В этом базисе структурные константы антисимметричны по всем трем индексам. Действительно, из определения
[^i, tj\ = Cijktk
и соотношения (3.22) следует
Cijk = —2 Тг [(,, £j]£fc = —2[Тг (titjtk) — Тг (^j^i^fc)]-
Сравним с этим выражением величину с переставленными индексами
Cikj = — 2[Тг (titktj) ~ Tr(^ig<j)].
Имеем, сделав циклическую перестановку матриц под знаком следа,
Сй> = -2[Тг(^^
что совпадает с -С^. Итак,
Cikj = ~Cijk и Cijk полностью антисимметричны в силу их антисимметричности по первым двум индексам.
Задача 32. Пусть А — инвариантная подалгебра компактной алгебры В. Пусть А± — ортогональное дополнение к Ав В (напомним, что А — векторное пространство со скалярным произведением). Показать, что AL также является инвариантной подалгеброй и
В = А + Ал
в смысле прямой суммы алгебр Ли.
Все абелевы компактные алгебры Ли являются прямыми суммами алгебр 17(1).
Компактная алгебра Ли называется полупростой, если она не содержит абелевых инвариантных подалгебр. Компактная алгебра Ли называется простой, если она вообще не содержит инвариантных подалгебр.
Имеет место следующее утверждение: всякая компактная алгебра Ли А представима единственным образом в виде прямой суммы некоторого количества подалгебр £7(1) и простых подалгебр,
А = £7(1) + £7(1) + ... + £7(1) + Аг + ... + Ап, (3.23) где Ап — простые алгебры. Таким образом, изучение компактных алгебр Ли сводится к изучению простых алгебр Ли. Равенство (3.23) означает, что локально каждая компактная группа Ли представлена единственным образом в виде прямого произведения
G = £7(1) х £7(1) х ... х £7(1) х Gx х ... х Gn, где Gn — простые группы (простые группы Ли — это такие, которым соответствуют простые алгебры). Глобальная (т. е. справедливая для группы в целом) версия этого утверждения несколько сложнее; мы не будем ее использовать и не формулируем здесь^.
В случае простой компактной алгебры Ли существует всего одно инвариантное положительно определенное скалярное произведение (с точностью до умножения на число). Если же алгебра полупроста, то весь набор инвариантов описывается следующим образом. Пусть, например,
А = Ах + ^2,
так что любой вектор В Е А имеет вид
В = Вх + В2, Вх Е Ах, В2 Е А2.(3-24)
Пусть (,)i — инвариантное скалярное произведение в Ах, (,)г — инвариантное скалярное произведение произведение в Л2. Тогда все инвариантные скалярные произведения векторов вида (3.24) имеют вид
(B,B,) = ai(B1,B,1)1+a2(B2,B^2,
где Qi и а-2 — произвольные положительные числа. Иными словами, положительные квадратичные инварианты (относительно присоединенного
представления) в сумме простых алгебр — это линейные комбинации квадратичных инвариантов в каждой из простых алгебр с произвольными положительными коэффициентами.
Компактные простые алгебры Ли полностью описаны. Кроме известных нам алгебр ЗТДпЬ п = 2, 3,..., и 8О(п), п = 5,7, 8,..., (50(3) и 50(4) сводятся к SU^, а 50(6) — к 50(4)) имеется еще бесконечный набор матричных алгебр Sp(n, С), п = 3,4,_..., и конечное количество (пять) так называемых исключительных алгебр Gi, F^, Е^, Ет, Е%.
Задача 33. Показать, что алгебра 50(4) изоморфна алгебре 50(2) + 50(2).
При построении моделей в физике частиц наиболее часто используются группы 50(п); нередко рассматривают и симметрии 50(п), а при построении объединенных теорий сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий и в теории суперструн — группы Е6 и Е%.
Для представлений справедливо утверждение: любое представление компактной группы Ли эквивалентно унитарному, а представления алгебр Ли эквивалентны антиэрмитовым. Это свойство тоже важно для теории калибровочных полей; в дальнейшем мы всегда будем считать представления групп унитарными.
Рассматривая группу SU(п) в физике, как уже отмечалось, обычно используют эрмитовы (а не антиэрмитовы) генераторы (если А — анти- эрмитова матрица, то А = IB, где В — эрмитова). Тогда всякий элемент алгебры представляется в виде
А = iAata, где ti — эрмитовы матрицы, Д, — действительные коэффициенты. Близкий к единице элемент группы Ли записывается в виде
9 = Хц-ieX, где еа — действительные малые параметры. Соотношения между генераторами содержат явно мнимую единицу
■[^0, ^б] = ^Ca^ctc,
где Саьс — полностью антисимметричные действительные структурные константы алгебры. Для комплексных представлений SU(n) и других алгебр также используют эрмитовы генераторы T(ta) = Та, так что
[Да, ^ь] = гСаьсТс.
Мы, как правило, будем пользоваться таким соглашением при дальнейшем изложении.
Задача 34. Показать, что SU(n), п = 2, 3,..., и 50(п), п = 5,6,..., — это простые группы.
Глава 4
Неабелевы калибровочные поля
Неабелевы глобальные симметрии
В теории комплексного скалярного поля (раздел 2.4) мы встречались с глобальной СГ(1)-симметрией: лагранжиан инвариантен относительно преобразований
где д = е‘“ — произвольный элемент группы [7(1), не зависящий от координат пространства-времени. В этом разделе мы рассмотрим обобщение [7(1)-симметрии (которая является абелевой, поскольку [7(1) — абелева группа) на неабелев случай.
Простейшая модель, обладающая глобальной неабелевой симметрией, — это модель N комплексных скалярных полей tpt -с лагранжианом
С = б^б^г - m2^, - X^tpif(4.1)
(здесь и далее подразумевается суммирование по индексу г = 1,..., N). Эта модель, очевидно, имеет абелеву [7(1)-симметрию
<Pi -> eia^.(4.2)
Кроме того, лагранжиан (4.1) инвариантен относительно глобальных (не зависящих от точки пространства-времени) преобразований
tpi^ -> р'(ж) = Шу^Х®)’(4-3)
где w — произвольная матрица из SU(N). Свойство инвариантности лагранжиана (4.1) относительно преобразований (4.3) очевидно из тождества
vTv'i = Ч>кш1№Ч>з = Vk^Wi = WPk-
Отметим, что SU(N) -инвариантность лагранжиана (4.1) обеспечивается тем, что масса каждого из полей уь ^2> • • • > У# одинакова (и равна т), а член взаимодействия подобран специальным образом и имеет всего одну константу связи.
Для того, чтобы прийти к дальнейшим обобщениям симметрии (4.3), запишем лагранжиан (4.1) в более удобной форме. Введем столбец полей
(4.4)
так что у?^ = (у?*,..., cp^). Лагранжиан (4.1) можно записать в виде
£ = д^д^р - m^tp - A(y?ty?)2,(4.5)
где дифференцирование столбца понимается, как обычно, как дифференцирование каждой из его компонент (то же для строки или матрицы). Столбец полей у? (ж) можно понимать как одно поле со значениями в 7V-мерном комплексном пространстве столбцов. Преобразование (4.3) — это преобразование под действием фундаментального представления группы SU (IV):
у?(ж) -> у?'(ж) = шр(х\(4.6)
Отметим, что инвариантность лагранжиана (4.5) относительно преобразований (4.6) очевидна из унитарности матрицы у.
Такая конструкция сразу обобщается на более сложные случаи. Нас будут интересовать ситуации, когда группа симметрии — компактная группа Ли G. Пусть T(G) — унитарное представление группы G (вообще говоря приводимое), а поле у?(ж) принимает значения в пространстве этого представления. Рассмотрим лагранжиан вида
£ = 8д^д^-Г(^,р)(4.7)
и потребуем, чтобы потенциал V был инвариантен относительно действия представления Т;
У^тЧш\ Т(ш)у>) = У(уЛ у?)
для всех ш Е G. Тогда лагранжиан (4.7) инвариантен относительно преобразований
у?(ж) -> Т(ш)у?(ж), при которых
<р\х) -> ср\х)т\ш\
Действительно, потенциальный член инвариантен, а инвариантность кинетического слагаемого следует из унитарности представления Т: Т\ш)Т(ш) = 1 (мы всюду считаем что ш не зависит от координат пространства-времени, т. е. рассматриваем глобальные преобразования).
Приведем несколько примеров.
Пусть у?,(ж), х^®) — Два набора из N комплексных скалярных полей, i = \,...,N. Если у? и х — соответствующие столбцы, то лагранжиан
£ = д^дцф + д^9цХ - т^р - тп^Х -
- Ai (y?fy?)2 - А2 [(у^х)2 + (xW] - А3(Х^)2(4.8)
инвариантен относительно преобразований группы SU(Ny.
р^шр, ШХ,
ш 6 SU(N). Отметим, что пару полей р, х можно понимать как одно поле, принимающее значения в пространстве приводимого представления группы SU{N), являющегося прямой суммой двух фундаментальных представлений.
Пусть поле р^ преобразуется по фундаментальному представлению группы SU^ (т. е. р(х) — комплексный столбец ^^^^’ а преобразование ш из 517(2) действует как р -> шр, где ш не зависит от ж). Пусть поле ^(ж) — это действительный триплет £Ч®У а = 1, 2, 3, преобразующийся по присоединенному представлению группы SU(2). Лагранжиан, инвариантный относительно группы SU (2), можно построить следующим образом:
С = VM + 8^8^ - Х^?)2 - Хг^1 - AspW^, (4.9)
где т° — матрицы Паули (генераторы 5(7(2)).
Для проверки инвариантности достаточно убедиться, что (^а$а)2 и рЧ^О^ инвариантны. Построим матричное поле
с = тТ,
принимающее значения в алгебре Ли группы SU (2) (с точностью до мнимой единицы). По определению фундаментального и присоединенного представлений, поля р и £ преобразуются под действием группы SU(2) следующим образом:
р-^ р* = шр,(4.10)
=(4.11)
Отметим еще, что
4Т = |тг(2.(4.12)
Инвариантность выражения (4.12) относительно (4.11) очевидна, а инвариантность величины
^(тТ)у = <рЧу
следует из цепочки равенств
р^р* = (^шЧ^игЧ^р)= W^"1* = уЧу*
Отметим, что пара полей (у?, £) представляет собой поле в пространстве прямой суммы фундаментального и присоединенного представлений группы 517(2).
Пусть Ршкх^ — набор из т • п комплексных полей, г = 1,..., п; а = 1,..., т. Этот набор реализует представление группы 517(п) х 517(т)
и представляет собой прямое произведение фундаментального представления группы SU(n) и фундаментального представления группы SUim). Это означает, что пара (w, П), ш € SU(n), П 6 SU^m), действует на pia следующим образом:
Pia ~^ Pia = ^ij^apPjP(4-13)
(иными словами, группа SU (п) действует на первый индекс в р^а, а группа SU(m) — на второй).
Инвариантный лагранжиан имеет вид
£ =: ^n^ia^pPia ~ ^ ^ia^ia — ^kPiaPia) •(4-14)
Мы будем в дальнейшем несколько условно не писать индексы у полей и записывать преобразование (4.13) как
р -> р = ш9.р, а лагранжиан (4.14) — в форме
С = ЭрР^ЭрР - т^р - А(^у?)2.
Если поле р описано и известно, что ш € SUin), П € SUim), то такая запись не приводит к недоразумениям.
Отметим, что с ситуацией, похожей на ту, что имеется в последнем примере, мы уже сталкивались: поле (4.4) с лагранжианом (4.5) реализует, в действительности, представление группы SU(N) х (7(1), где группа SU(N) действует согласно (4.6) (фундаментальное представление), а группа (7(1) — согласно (4.2).
Построим нетривиальную модель, инвариантную относительно группы SUi^) х (7(1). Пусть р, % — дублеты относительно группы SU(2) (фундаментальное представление), $ — синглет относительно 5(7(2) (тривиальное представление). Иначе говоря, поля р, х, С преобразуются под действием SU (2) следующим образом
р^шр, Х^шх, 6
Поля р, х — двухкомпонентные комплексные столбцы, $ — однокомпонентное комплексное скалярное поле. Пусть поля р, х и £ преобразуются под действием (7(1) как
р-^е^р, Х^^Х, С^^аС.(4.15)
Здесь а — параметр преобразования, q^, qx и q^ — фиксированные действительные числа. Кинетический член в лагранжиане имеет стандартный вид, а взаимодействие можно выбрать в виде
Л[(^)х + к.с.].(4.16)
Оно инвариантно относительно 5(7(2) х (7(1), если
^ + ^ ~ ^
(числа qx, у^ и q^ можно выбрать целыми, тогда (4.15) — действительное (однозначное) представление группы (7(1)).
Задача 1. Рассмотрим теорию трех полей, как в последнем примере. Положим, однако, _
5? + 5Х + 9< — 0.
Построить инвариантное относительно 5(7(2) х 17(1) кубическое взаимодействие полей у>, х и £ (указание: воспользоваться тем, что для группы 5(7(2) фундаментальное представление эквивалентно своему сопряженному).
Примеры глобальных симметрий можно было бы продолжать, рассматривая различные группы Gi х ... х Gn , где G; — простые группы или (7(1)-сомножители, различные поля, преобразующиеся по прямым произведениям неприводимых представлений групп Gi,..., Gn , а также комбинации таких полей.
До сих пор мы обсуждали для простоты скалярные поля. Однако глобальные внутренние симметрии можно вводить для полей с любыми свойствами относительно преобразований Лоренца: лоренцева структура и «внутренняя» структура полей не чувствуют друг друга (например, для рассмотрения внутренних симметрий векторного поля нужно сделать замену <р -4 ср^ в формулах этого раздела).
Задача 2. Найти сохраняющиеся токи, соответствующие рассматривавшимся глобальным симметриям, в моделях с лагранжианами (4.1) (и эквивалентном ему (4.5)), (4.8), (4.9), (4.14), а также в модели четвертого примера. .
Симметрии, близкие к рассмотренным выше, действительно имеются в физике частиц. Так, поля протона и нейтрона объединяются в столбец N = (,
/ который представляет собой фундаментальное представление группы SU(T) (так называемая изотопическая симметрия). Из действительного поля тг° -мезона и комплексного поля тг заряженных тг-мезонов можно построить три действительных поля тг1 = ^(тг+тг*), тг2 = ^(тг-тг*), тг3 = тг°, которые образуют триплет (присоединенное представление) по отношению к изотопической группе SU (2). Сильные взаимодействия инвариантны относительно изотопической группы SU (2), а пи- он-нуклонный лагранжиан имеет структуру (4.9) (с заменой у? —> N, £° -> тг° и отличиями, связанными с тем, что нуклоны имеют спин Уг и являются фермионами; дополнительные отличия возникают из-за того, что в полном лагранжиане имеются маленькие слагаемые, не инвариантные относительно изотопической симметрии).'
Лагранжиан взаимодействия типа (4.16) возникает при описании взаимодействия лептонного дублета (левый электрон, нейтрино), правой компоненты электрона и дублета хиггсовских полей; 517(2) х 17(1) — группа электрослабых взаимодействий.
Преобразования типа (4.13) имеются в теории легких кварков, где симметрия имеет вид 5(7(3) х 5(7(3). Первая 5(7(3) — это группа цвета (в действительности —■ калибровочная группа), вторая 5(7(3) — группа ароматов, по отношению
к которой легкие кварки образуют триплет
Первую и вторую 517(3) обозначают 5(7(3)с и 5(7(3)f, соответственно. Группа SU(3)f — не точная: массовые члены, а также электромагнитные и слабые взаимодействия не инвариантны относительно нее.
Неабелева калибровочная инвариантностьи калибровочные поля: группа SU(1)
Наша цель — обобщить конструкцию, изложенную в разделе 2.7 для скалярной электродинамики с калибровочной группой (7(1) на случай неабелевой калибровочной группы (Янг, Миллс, 1954). Рассмотрим снова теорию двух комплексных скалярных полей, образующих столбец
f рЛ
лагранжиан которой имеет вид
£ = ЭцР^дцР - т^р^р - Х^р)2.(4.17)
Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных преобразований из группы SU (2),
р(х) -> р\х) = шр^х), ш € 5(7(2), причем о? не зависит от точки пространства-времени.
Постараемся модифицировать лагранжиан (4.17) так, чтобы он был инвариантен относительно преобразований 5(7(2), произвольным образом зависящих от точки пространства-времени,
р^х) -» р’(х) = ш^р^,(4.18)
Цх) € SU^Y(4.19)
(Напомним, что аналогичное требование в скалярной электродинамике приводило к замене в лагранжиане обычной производной на ковариантную, д^р ->■ (д^ - геА^р?) Потенциальные слагаемые (последние два слагаемых в (4.17)) инвариантны относительно преобразований (4.18), но кинетический (содержащий производные) член неинвариантен. Действительно, при преобразовании (4.18) производная поля переходит в
d^p'Y^ = ш(х) • дцР^х) + ЭцЦх) • р(х)(4.20)
и в лагранжиане £(р') возникают члены с дцш. Чтобы избавиться от этих членов, заменим в лагранжиане (4.17) обычную производную на ковариантную, дцР -> D^p, и потребуем, чтобы при преобразованиях (4.18) она
переходила в
(D^1 = шВИр.(4.21)
Из (4.20) видно, что этого можно добиться, введя векторное поле АДх) и записав
D^P = д^р + А^р.
Структура поля А^ (область его значений) нам пока неизвестна, найти ее — наша ближайшая задача.
Выясним, прежде всего, как преобразуется поле А^ при калибровочных преобразованиях. Для этого выпишем явно левую часть равенства (4.21):
В^р' = д^р' + А^р’ = шд^р + д^шр + А’^шр
и потребуем, чтобы она была равна правой части
шВ^р = шдду? + шА^р.
Имея в виду, что р — произвольный столбец, получим отсюда
дцШ + А'^ш = шА^,
т. е. закон преобразования А^ имеет вид
Ац —> А’^ = шА^ш + шд^ш(4.22)
(мы воспользовались тем, что из шш”х = 1 следует шд^ш-х + ^ww-1 = 0).
Выясним теперь, какие значения принимает поле А^. Рассмотрим для этого инфинитезимальное калибровочное преобразование, т. е. преобразование (4.22) с
ш = 1 + €^х\
где е^ принимает значения в алгебре Ли группы 5(7(2) (иначе говоря, е^х) — антиэрмитова матрица 2 х 2 с нулевым следом в каждой точке ж). Второе слагаемое в (4.22) в низшем порядке по е равно
шддШ-1 = -Э^х),(4.23)
т. е. оно принимает значения в алгебре Ли. Следовательно, необходимо, чтобы алгебра Ли содержалась в множестве значений поля А^. Этого оказывается и достаточно: если поле А^ принимает значения в алгебре Ли группы SU^T), то при любом (Дх) как wA^uT1, так и ыдцШ-1 принадлежат алгебре Ли. Тот факт, что шА^ш-1 € Л5(7(2), очевиден, поскольку шА^и)~х — это результат действия присоединенного представления на элемент А^ е Л5(7(2).
Задача 3. Показать, что если Дх) принадлежит группе SU(T) в каждой точке х, то шдцш~х принадлежит алгебре Ли группы SU(2) в каждой точке х.
Итак, калибровочное поле АДх) (его называют полем Янга—Миллса) — это поле со значениями в алгебре Ли (в данном случае — группы SU^Y закон преобразования скалярного и калибровочного полей при калибровочных преобразованиях имеет вид (мы по-прежнему считаем, что скалярное поле преобразуется по фундаментальному представлению группы ST7(2))
Ац^ —> Л^(ж) = ш^АДх^ш""1^ + ш(х)дцШ~1(х), (4.24)
р^ —> <р\х) = u)(x)p(xY (4.25) а лагранжиан скалярного поля, инвариантный относительно калибровочных преобразований, равен
£ = (D^D^ - та^р - А(^р)2, где
D^ = Эцр + Арр = (дд + А^р (4.26) — ковариантная производная скалярного поля, преобразующаяся согласно (4.21).
Отметим одно из отличий неабелева калибровочного поля от вектор-потенциала электродинамики. При глобальных (не зависящих от ж) преобразованиях электродинамические вектор-потенциалы не меняются, а неабелевы потенциалы преобразуются нетривиально,
АДх) -> А'Дх) = шАДх^гЧ (4.27) т. е. по присоединенному представлению группы.
Построим теперь лагранжиан для самого поля Ац, который аналогичен -^Ецр в электродинамике. Для этого найдем сначала тензор напряженности для неабелева поля. По аналогии с электродинамикой мы ожидаем, что в тензоре напряженности будет содержаться слагаемое
дцАр - д„Ац. (4.28)
Отсюда и из (4.27) видно, что тензор напряженности должен преобразовываться нетривиально при калибровочных преобразованиях: выражение (4.28) преобразуется по присоединенному представлению группы при глобальных преобразованиях. Потребуем, чтобы тензор напряженности преобразовывался по присоединенному представлению при всех калибровочных преобразованиях,
ЕД®) -> Е’^х) = ш^ЕцрЫ'ЧхУ (4.29) Тогда калибровочно инвариантный лагранжиан будет строиться из инварианта Tt^vEuvY
Само по себе выражение (4.28) свойством (4.29) не обладает. Действительно, дифференцируя (4.24), получим
8ЦАр - дрА’ц = ш^дцАр - dvA^w~x + 8цЦ)АрцГх + шАрдцШ-1 -
душА^ш 1 - шА^дуШ 1 + дцшдуШ 1 - душд^ш \(4.30)
Слагаемые со вторыми производными функции ш сократились, но остались слагаемые с первыми производными. Чтобы их не осталось, требуется добавить к (4.28) члены, не содержащие производных поля А^. Аналогично (4.28), эти члены должны быть элементами алгебры Ли, они должны нести индексы д, у и быть антисимметричными по этим индексам. Единственный кандидат — это коммутатор
[Ад, Ау^ = АцАу — АуАц.
Из (4.24) следует, что
1Л>Х]= и^Ау, Aylw 1+ыддШ ^АуШ ^шА^ш 1шдуШ 1
шдуоГ^шА^ы-1 - шАуШ^шдцШ-1 +
+ шддоГ^дуйГ1 - ыдуиГ'шдциГ1. (4.31)
Сравнивая (4.30) и (4.31), убеждаемся, что ковариантной величиной (в смысле (4.29)) является тензор
F^ = 6цAy - ЭуАц + [Ад, AJ.(4.32)
Действительно, нежелательные слагаемые (все слагаемые, кроме первых) в (4.30) и (4.31) сокращаются при учете тождеств
шдцШ^ы = -ддшш-1ш = -ЭцШ,
шд^^шдуШ-^ = -шиГ^дцшЭуЫ-1 = -дцЫдуиГ\
которые следуют из шы-1 = 1. ш-1ш = 1 и производных по хц от последних равенств.
Итак, тензор напряженности имеет вид (4.32) и преобразуется по закону (4.29).'
Задача 4. Показать, что в электродинамике ^Вц,Ву^ = -геЕЦу, где Вц = дц-геА1л понимается в смысле оператора, действующего на скалярное поле, D^Dy -~ последовательное действие сначала Dv, потом Вц; как обычно, [DM,Dyl = D^Dy — DyD^.
Задача 5. Показать, что для калибровочной теории с калибровочной группой SU(T) справедливо [Р^Р^] = ЕЦу, где ковариантная производная определена формулой (4.26). Используя это равенство, убедиться еще раз в том, что тензор напряженности преобразуется согласно (4.29).
Калибровочно-инвариантный лагранжиан калибровочного поля выберем в виде
£а = т-2F^F^y,(4.33)
где д1 — некоторая положительная постоянная. Выбор знака в (4.33) мы обсудим несколько позже.
Отметим, что важным отличием неабелевой калибровочной теории от электродинамики является наличие в лагранжиане С а слагаемых, кубичных и четвертого порядка по полю А^. (Они имеют структуру типа Тг (5дЛу • А^А^ и Тг (ЛдЛуЛ^Лу).) Это означает, что уравнения калибровочного поля нелинейны даже в отсутствие других полей. Говорят в связи с этим, что поле А^ — самодействующее.
Калибровочное поле Лд(ж), принимающее значения в алгебре SU^T), можно выразить через три действительных поля (по числу генераторов алгебры 5(7(2)),
= -гд—АйДх\(4.34)
где а = 1, 2, 3; Л” (ж) — действительные поля; та/2 — эрмитовы генераторы алгебры 5(7(2); множитель д — тот же, что в (4.33), — введен для удобства. Аналогичным образом можно записать тензор напряженности:
та
Е^ = -гд—Е^х\(4.35)
Из определения (4.32) получим
F^) = -i9^Mi-Ml) + <ig)41Al -,- =
= -iffyМ - dvA^ - дЧ^.е*- =
= -iffy (М! - 8„А" + де^А^А^У
Следовательно, действительные компоненты тензора напряженности F£v выражаются через действительные поля А^ с помощью соотношения
F^, = Ml - Ml + де^А^А!.(4.36)
Отметим, что множители ео6с возникают здесь в результате коммутации генераторов т°/2, т. е. они появляются как структурные константы группы 5Г(2).
Задача 6. Пусть
ш(ж) = l+iy£°(x)
— инфинитезимальные калибровочные преобразования с действительными параметрами е^х1). Найти преобразования компонент А^х-) и выразить их через еа(х). То же для F^x).
Лагранжиан калибровочного поля (4.33) можно выразить через действительные компоненты F£v:
1та ть 1
и = ^^(-^уу = —F^.
В дальнейшем мы будем пользоваться как матричными полями Аи, так и действительными компонентами А^ и использовать и для тех, и для других термин «калибровочные поля». То же относится к матричному тензору напряженности F^ и его действительным компонентам F£v. Отметим, что ковариантная производная для дублетного скалярного поля (фундаментальное представление 5(7(2)) имеет вид
/ та \
D^ =- ig—А“ jр.(4.37)
Обсудим теперь выбор знака в лагранжиане (4.33) и появление множителя g в (4.34) и (4.35). Рассмотрим малые (линейные) возмущения поля нац состоянием А^ = 0. Для этого в лагранжиане калибровочного поля
с А =(4.38)
пренебрежем членами третьего и четвертого порядка по полю А^, которые малы по сравнению с квадратичным слагаемым, если поле А^ мало во всех точках пространства-времени. Тогда лагранжиан для малых возмущений будет иметь вид
^Л = -;№^ - б^КМ^ - ЭуА^У^А.^
Видно, что он разбивается на сумму лагранжианов для полей А^, .Ад, Д^, причем каждый из этих лагранжианов совпадает с лагранжианом электродинамики. Это стало возможным благодаря фактору g в (4.34) и (4.35). Отсюда ясен и выбор знака в (4.33) (или, что то же самое, в (4.38)): именно при таком знаке энергия полей с малой амплитудой будет положительна.
Из выражения (4.39) сразу следует, что малые физические возбуждения поля А>> — это три типа (а = 1,2, 3) поперечных безмассовых (т. е. движущихся со скоростью света) волн, каждый из которых полностью аналогичен электромагнитным волнам в пустоте. Константа g входит в лагранжиан скалярного поля
и лагранжиан калибровочного поля (4.38) только в слагаемые третьего и четвертого порядка (используется равенство (4.37)), т. е. только в члены взаимодействия. Поэтому g называют калибровочной константой связи.
Задача 7. Найти размерность поля А® и константы g в системе единиц h = с = 1.
Задача 8. Как в теории электромагнитного поля, так и в неабелевой калибровочной теории имеется еще одна калибровочно инвариантная и лоренц-инвариантная величина е^хр Тг (FpVFxp) (для электромагнитного поля — е^хрЕ^ЕхрУ квадратичная по Гду. Ее можно было бы попытаться использовать в качестве дополнительного слагаемого в лагранжиане калибровочного поля. Показать, что и в абелевом, и в неабелевом случае эта величина представляет собой полную четырехдивергенцию дрКц. Найти выражения для Кц. Показать, что добавление в лагранжиан полной дивергенции от любого вектора, зависящего от полей, не изменяет уравнения поля. Таким образом, (4.33) — единственный нетривиальный классический лагранжиан, квадратичный по Еру (В квантовой теории добавление в лагранжиан слагаемого const • epVxp Тг (F^Fxp) приводит к нетривиальным следствиям.)
Обобщения на другие группы
Обобщение понятия калибровочного поля А^ на другие простые группы Ли G очевидно. Поле А^ принимает значения в алгебре Ли группы G, т. е.
А*(ж) = 9^ АДх\
где ta — генераторы группы (антиэрмитовы генераторы для группы SU(п), антисимметричные действительные генераторы 50 (п) и т. д.). Тензор F^v также принимает значения в алгебре Ли и дается формулой (4.32). Калибровочные преобразования поля А^ и напряженности Р^у имеют по-прежнему вид
Лд -> Ад = шА^иГ1 + шдмш"\ Еру -> РД = шР^ш"1,
где ш(ж) Е G в каждой точке х (рассуждения раздела 4.2, приводящие к этим формулам, не использовали то, что в качестве группы G выбиралась 5(7(2)). Единственным квадратичным инвариантом служит по-прежнему Тг Р^Р^у, так что лагранжиан калибровочного поля имеет вид
^А —) ^1" ■^Д1'2у2 р^А —) ^1" ■^Д1'2у2 рР^и-Р^и-
^А —) ^1" ■^Д1'
2у2 р
^А —) ^1" ■^Д1'
2у2 р
Р^и-
Р^и-
Отметим, что если бы группа Ли была некомпактна, то в ее алгебре не было бы положительно определенного квадратичного инварианта, что привело бы, в конечном итоге, к неограниченности снизу энергии малых возмущений калибровочного поля: в квадратичном лагранжиане имелись бы как слагаемые
-|(Mt -м-)2,
так и слагаемые
+^(м^ - му.
Второй тип слагаемых и дает отрицательную энергию поля.
Выражение тензора F^v через компоненты А^ содержит структурные константы группы:
^ = M‘v - М? +gC„bcAbllA,'i,.
Вывод этого равенства повторяет вывод формулы (4.36).
Количество компонент поля А® равно размерности группы G (например, для группы SU^ индекс а пробегает значения 1, 2,..., п2 - 1). В линейном приближении каждая из этих компонент описывает безмас- совое векторное поле, полностью аналогичное электромагнитному полю в пустоте.
В случае, когда калибровочная алгебра компактна, но не проста, удобнее всего иметь дело с каждой из компонент (7(1) и каждой из простых компонент по отдельности. Каждой из этих компонент соответствует свое калибровочное поле и своя константа связи. Например, калибровоч- но инвариантный аналог примера (3) раздела 4.1 выглядит следующим образом. Поле ^ja(«) по-прежнему преобразуется по фундаментальному представлению группы SU(n) (г = !,...,«) и по фундаментальному представлению группы 8Щт) (a = 1, ...,m). Вводим калибровочное поле группы SU(n)
АД®) = -гд1аАаДх\.
где (ttt)ij — эрмитовы генераторы группы SU(n), действующие на первый индекс поля <pia, а = 1,..., п2 - 1. Константа д — это калибровочная константа связи для группы SU (п). Аналогично вводим калибровочные поля группы SU(m),
ВДх) =-igtpBp(x),
где (tp^ap — генераторы группы S77(m), действующие на второй индекс поля (pia, р = 1,..., m2 - 1; д — константа связи для группы SU(m). Производную ПОЛЯ tpia,
&l№ia = 5^ 5аР дцфцз, обобщаем до ковариантной производной
= (.8? 8^8, - 1д8а%А; - igS^tf^.
Иначе говоря,
(D^^)ia — d^ia 4* ^АД^<р^а + {Bjj^apfpip
или, символически,
D^ = ^ + Ац + в^, где матрица А^ действует на первый индекс поля у? и «не действует» на второй (Вц — наоборот). Лагранжиан модели имеет вид
£ = ^Вц^^ДВц^р^а — 771 (Pia^ia — M^taVia) — ^ВцуРцу — -^FPvF^y,
где F^v строится из полей Л“,
^ = М" - М+gc*AVv,
Cabo — структурные константы группы SU^Tiy аналогично
^ = Mv ~ дУВ^ + gCpqrB«Brv,
Cpqr — структурные константы группы SU (т\
Таким образом, в моделях, где калибровочная группа не проста, имеется столько калибровочных констант связи, сколько имеется 17(1)-компонент и простых компонент у калибровочной группы. Отметим, однако, что отнюдь не обязательно обобщать все глобальные симметрии до калибровочных: в зависимости от физической ситуации в модели могут иметься одновременно и калибровочная инвариантность с калибровочной группой G, и глобальная инвариантность по отношению к другой группе G*. Например, если бы в предыдущей модели мы не вводили вектор-потенциал Вц, то в ней имелась бы калибровочная симметрия SU (п) и глобальная симметрия SU (т). Такая ситуация реализуется в сильных взаимодействиях легких кварков, где имеется калибровочная группа SU(3)с и глобальная SU(3y. Другим примером глобальной инвариантности в физике является симметрия, приводящая к сохранению барионного числа.
Задача 9. Построить калибровочное обобщение модели примера (4) раздела 4.1.
Дальнейшее обобщение связано с использованием произвольных представлений группы, по которым преобразуются скалярные поля (и вообще, «поля материи», в отличие от калибровочных полей). Мы будем всегда считать, что представления группы Ли унитарны, а алгебры Ли — соответственно антиэрмитовы. Пусть Т^ — представление калибровочной группы, Т(А) — соответствующее представление алгебры Ли этой группы. Будем, без ограничения общности, считать у? столбцами, так что Т(ш) и Т(Л) — унитарные и антиэрмитовы матрицы, соответственно. При калибровочных преобразованиях у? переходит в
у/(ж) = Т(о>(®))у?(ж)(4.40)
и, по-прежнему,
Ац-^ А'р = шА^1 + wdpw-i.(4.41)
Определим ковариантную производную поля у? следующим образом (считаем калибровочную группу простой, а представление — неприводимым):
D^W*(4.42)
или
D^ = (^ - W^A^tp, где Та — генераторы в представлении Т;
Та =
(имея в виду группу 517(п), считаем генераторы алгебры ta эрмитовыми, так что Та — тоже эрмитовы матрицы). Определенная таким образом ковариантная производная действительно преобразуется при калибровочных преобразованиях (4.40), (4.41) ковариантным образом:
D^^tP^t-T^D^.(4.43)
Для проверки этого равенства достаточно убедиться в том, что
Т^Л^1) = Т(м)Т(Л)Т(м-1)(4.44)
и
= Т^Т^"1),(4.45)
где Т^А^ и Т^дцЫ-^ — представления элементов алгебры, Т(о>) и Т(ш-1) — представления элементов группы. В остальном рассуждения вполне аналогичны приведенным в разделе 4.2.
Задача 10. Показать, что равенства (4.44), (4.45) действительно выполняются.
Калибровочно-инвариантный лагранжиан скалярного поля строится вполне аналогично построению в разделе 4.2:
Сф = (D^D^tp - m^tp - А(^р)2
(вообще говоря, можно построить не один инвариант четвертого порядка для поля у? в неприводимом представлении группы G; нередко можнб также построить кубические инварианты, так что самодействие (у?^у?)2 — это только пример).
В качестве примера рассмотрим поле у? в присоединенном представлении, считая калибровочную группу группой SU(n). Тогда у>(ж) — матрицы в алгебре Ли (которые считаем эрмитовыми), так что
У>(®) = ^^(ж),
где £° — эрмитовы генераторы SU^n) (для п = 2 генераторы равны <° = та/2, та — матрицы Паули), у?°(ж) — действительные поля, а = 1, 2,..., п2 - 1. Ковариантная производная (4.42) равна в этом случае
D^p = fyy? + абЦ/Ду? = д^рА- [А^уф(4.46)
Ее можно записать в виде (Р;,у> — снова элемент алгебры SU(п))
D^p = 1аф^\
где (D^pY — действительные коэффициенты. Выразим их через действительные поля Лд и уЛ Имеем из (4.46)
= t^1 + (-*ff A^'xt6, г ].
Для эрмитовых генераторов \tb, tc] = iCbcata, так что
^y-v+sC^AV.(4.47)
Инвариантными величинами являются
Тг (Р^)(Рдр) = ^ (Р^)а(Рдр)° и Тг р2 = ^>V>
поэтому калибровочно инвариантный лагранжиан скалярного поля можно выбрать в виде
Ц = Тг (Рдр)2 - т2 Тг у?2 - А(Тг у?2)2,
или, в компонентах,
1А
£, = ^UWUW - т// --W?-(4.48)
Отметим, что в последнем выражении фигурируют только действительные поля ^аи Л“,
Задача 11. Построить все инварианты до четвертого порядка влючительно для скалярного поля в присоединенном представлении группы 517(2).
Задача 12. То же для группы 577(3).
Поля, преобразующиеся по приводимым представлениям калибровочной группы, удобно рассматривать как наборы независимых полей, каждое из которых преобразуется до неприводимому представлению.
Отметим одно отличие неабелевых теорий от электродинамики. В электродинамике заряд поля может принимать любые значения, и отношение зарядов двух различных полей может быть произвольным (целым, рациональным, иррациональным). Иными словами, ничто не мешает выбрать поля ^ и х, преобразующиеся при калибровочных преобразованиях электродинамики как
Р -> e’V х ^Х^
Произвольная константа q будет тогда входить в ковариантную производную
D^X = № - ieqA^x
и, в конечном итоге, во взаимодействие поля х с электромагнитным полем. В неабелевых теориях имеется лишь одна свободная константа д, определяющая взаимодействие полей материи с калибровочным полем для каждой простой компоненты калибровочной группы. Если д фиксирована, то взаимодействия полей материи с калибровочным полем однозначно определяются представлением, по которым преобразуются поля материи. Говорят в связи с этим, что неабелев заряд всегда «квантован», в отличие от электродинамики, где заряд не обязан быть квантованным, т. е. целочисленным (другое дело, что заряды известных частиц кратны заряду электрона: это экспериментальный факт, установленный с высокой точностью, но понимание его в рамках электродинамики, по-видимому, невозможно).
Рассмотренные в этом разделе конструкции, по существу, исчерпывают обобщения рассмотренной в разделе 4.2 калибровочной модели
с группой 311(2?) и дублетом скалярных полей: с их помощью можно построить калибровочную теорию с любой компактной группой Ли и любым представлением скалярных полей.
Уравнения поля
Получим теперь уравнения поля для калибровочных полей и полей материи в неабелевых калибровочных теориях. Рассмотрим случай простой калибровочной группы и скалярного поля, преобразующегося по неприводимому представлению. Действие для такой системы имеет вид
S = SA+SV,'(4.49)
где
SA = j ^(-'-F^?), ^^M^-Mil+sC*^,(4.50)
И"
3^=1 d^x [(P/iy?)t(P/iy?) - т^р - А(^)2],(4.51)
D^p = d^p - igT^p.(4.52)
Мы выбрали самодействие скалярного поля в простейшем виде (^^)2. Считаем, что Та — эрмитовы генераторы в представлении Т.
Рассмотрим сначала вариацию действия За по действительным полям А^; она приведет к уравнениям для калибровочного поля в отсутствие полей материи. Получим
6SA = J ^(-^iF^,(4.53)
где
6F;V = 8^6а: - д^л; + 9С*Л‘ 5АС„ + дС^АЛ‘ Л?.
Отметим, что второе и четвертое слагаемое в последнем выражении отличаются от первого и третьего заменой д о v и знаком. Используя этот факт и антисимметрию тензора F£v по индексам д, у, запишем для (4.53)
68Д= У" ^х [-^(д^Л^+^Л^)].
В первом слагаемом проинтегрируем по частям, во втором — переименуем индексы а, Ъ, с и воспользуемся антисимметрией СаЬс. Получим
6SA = У d‘x [8^ + gC^A^F^dAi.(4.54)
Отсюда получаем уравнения для калибровочных полей без материи:
8Д + дС^А^ = 0.(4.55)
Напомним, что тензор F^ преобразуется по присоединенному представлению калибровочной группы. Поэтому ковариантная производная для него равна (см. (4.47), лоренцевы индексы у FMV несущественны)
№Д)‘ = ЭД + дС^АД.(4.56)
Следовательно, уравнение поля (4.55) можно представить в виде
ФМа = 0.(4.57)
Отметим, что левая часть этого уравнения ковариантно (по присоединенному представлению) преобразуется при калибровочных преобразованиях.
Задача 13. Показать, что тензор F^ удовлетворяет тождеству Бьянки
e^D^-O.(4.58)
Уравнение (4.57) и тождество Бьянки (4.58) — это неабелевы аналоги уравнений Максвелла в электродинамике. Однако, в отличие от уравнений Максвелла, неабелевы уравнения (4.57) и (4.58) содержат, помимо тензора напряженности, вектор-потенциал А®; это очевидно из (4.56). Заметим еще, что ковариантная производная (4.58) может быть записана в матричной форме
ВцРХр = ОцРхр + Мд, ]%],
где, как обычно, j% = -igtaF£p.
Рассмотрим теперь вариацию действия 8Ф по полю Л“. Учтем, что из (4.52) следует, что
UW = dpV' + igA”V'T0,(4.59)
так что
6(пД = ig^^SA^(4.60)
(мы считаем, что у? — это столбец, соответственно у?^ — это строка; на у?^ эрмитовы матрицы Та действуют справа, так что (4.60) — это равенство между строками). Далее, из (4.52) имеем
5(D^ -igT0^, поэтому
6S,p = J d^x [(Dv<p)\-igTa<p) + ig<№
Введем ток
Й = -i Vt*D,V - (P.p^p].(4.61)
Тогда
8SV = [ d*x (-дй)^.
С учетом (4.54) получим отсюда, что требование равенства нулю вариации полного действия (8a + S^) приводит к уравнению калибровочного поля в присутствии полей материи
(4.62) которое аналогично уравнению Максвелла для электродинамики с полями материи.
Найдем теперь уравнения, следующие из варьирования действия по скалярным полям. Скалярные поля содержатся только в S^, поэтому достаточно варьировать только эту часть действия. Будем, как. и в электродинамике, считать у?^ и у? независимыми и найдем вариацию 8Ф по у?^ (иными словами, если
^1 \
то ^ = (у?*,..., (рк), и мы варьируем по всем р*, i = 1,..., N, считая их независимыми от у?,). Получим с учетом (4.59)
68Ф = J d^x [(^rfy?1 + igA^S^T^D^p - тп?б^р - 2А(у^у?)0у^У>]. Интегрируя в первом слагаемом по частям и требуя равенства Ь8Ф = О, находим уравнение
(8ц - igA^T^D^p + т2у? + 2А(^у?)у? = 0.(4.63)
Заметим еще, что величина D^p преобразуется при калибровочных преобразованиях по тому же представлению T(w), что и само поле у? (см. (4.43); лоренцев индекс, как обычно, несуществен). Поэтому ковариантная производная от D^p записывается в виде
DyD^p = Оу(Оцр^ = (8у — igAvT ^О^р.
Следовательно, уравнение (4.63) приобретает вид
D^D^p + т^р + 2А(у?^у?)у? = 0. (4.64) Варьирование действия по у? приводит к эрмитово сопряженному уравнению.
Система уравнений (4.62) и (4.64) и является системой полевых уравнений в модели с действием (4.49). Ее обобщение на более сложные случаи (полупростая калибровочная группа, несколько полей материи) достаточно просто может быть получено для каждой конкретной модели.
Задача 14. Показать, что ток j^, определенный согласно (4.61), преобразуется при калибровочных преобразованиях по присоединенному представлению калибровочной группы. Таким образом, уравнение (4.62) содержит ковариантные величины в левой и правой частях (иначе говоря, левая и правая части одинаково преобразуются при калибровочных преобразованиях).
Задача 15. Доказать тождество
(D,DvF^a=0.
Показать, что если удовлетворяются уравнения (4.64), то для тока j“ выполнено соотношение
№;,)* = о,
где ковариантная производная понимается в смысле присоединенного представления калибровочной группы. Таким образом, уравнения (4.62) и (4.64) согласованы друг с другом.
Задача 16. Получить уравнение (4.64) в случае калибровочной группы SU(n) и скалярного поля в присоединенном представлении непосредственно из лагранжиана (4.48). Записать это уравнение и ток з®, фигурирующий в (4.62), через действительные поля <ра и А“.
Задача 17. Калибровочная теория с действием (4.49) инвариантна, в частности, относительно глобальных преобразований
А^-> А'^ = шА^-1, <р -> tp = Т(ш)<р,
где ш не зависит от х. Найти нетеровский ток, соответствующий этим преобразованиям. Совпадает ли он с током з‘“, фигурирующим в уравнении поля (4.62)? Ковариантен ли нетеровский ток относительно калибровочных преобразований? Равен ли нетеровский ток нулю в отсутствие полей материи? Записать уравнение поля (4.62) через нетеровский ток и тензор F^,.
Найдем тензор энергии-импульса в модели с действием (4.49). Воспользуемся для этого приемом, изложенным в конце раздела 2.8. Именно, введем в действие метрический тензор д^ \ например, вместо (4.50) запишем
Sa = J d^ V^g (-^'"'^А^).(4.65)
Симметричный тензор энергии-импульса связан с вариацией действия по д^,
68=^ J ^хТ^дд1*,(4.66)
причем рассматриваются малые отклонения д^ от тензора Минковского ^,
Имея в виду, что д^ — обратная матрица к д^, поэтому
9 = M^ = ta^y<4-67»
запишем
5д = -т1хР5дХр
(эта формула аналогична известному соотношению det (1 + е) = 1 + Тг е, если е — малая матрица). Используя (4.66) и (4.67), получим тензор энергии-импульса для калибровочного поля без материи, действие которого имеет вид (4.65):
Т^ = -F^F?X + ^Fx,F“Xl>y(4.68)
В частности, плотность энергии калибровочного поля равна
T
^t^) тлО го । ^ / тлО го три ।\
00 — -^Oi-^Ot + ^ (“^Oi^Oi - Л'ОЛ'О + ^ij^ij)>
где суммирование по пространственным индексам ведется с евклидовой метрикой 5ij. Окончательно, энергия калибровочного поля имеет вид
Е^ = J d1® Т№ = J d3x ^Е&Е& + ^Ff^.(4.69)
Мы иногда будем использовать обозначения
трЯ три 17<1 _ ттй
где Ea и H“ — неабелевы аналоги электрического и магнитного полей. В их терминах энергия калибровочного поля равна
Ew = / d3x (-ЕаЕа + -HaHaV
'J \22/
Аналогичным образом может быть получено выражение для симметричного тензора энергии-импульса скалярного поля, взаимодействующего с калибровочным полем, действие для которого имеет вид (4.51),
Т$ = I^D^HD^ - ч^Ц,(4.70)
где
Ц = кРх^кРхЧ^ ~ m^tp - А(^)2
— лагранжиан скалярного поля. Из (4.70) получим выражение для энергии скалярного поля
Е^ = / ^Х ^^^^W) + (Д^)^^) + т^р + А(^р)2]. (4.71)
Полный тензор энергии-импульса в модели (4.49) равен сумме вкладов (4.68) и (4.70),
Т^Т^ + Т*.(4.72)
Соответственно, энергия скалярного и калибровочного полей равна
Е = Е^ А-Екф\
где Е^ и Е^ даются формулами (4.69) и (4.71).
Отметим очевидный факт, что симметричный тензор энергии-импульса калибровочно-инвариантен, а энергия положительно определена (считаем, что для скалярного поля т2 ^ 0). Положительность энергии калибровочного поля обеспечивается, в частности, компактностью алгебры Ли (существованием положительно определенного инварианта типа ЕаЕа).
Задача 18. Найти нетеровский тензор энергии-импульса Т^ для модели скалярного и калибровочного полей с действием (4.49). Подобрать тензор £1*%, антисимметричный по индексам д, А, такой, что на уравнениях поля
Т% = Т% + дх^\,
где Т^ задан формулой (4.72).
Задача Коши и условия калибровки
В моделях теории поля, не обладающих калибровочной инвариантностью, задача Коши для уравнений поля ставится достаточно очевидным образом. Например, в модели одного скалярного поля с лагранжианом
£ = ^Mf - v(v)
уравнения поля имеют вид
9V
или
S?y = -5- + V2y,
ор
где dt = d/dt. Поскольку уравнение (4.73) позволяет выразить вторую производную поля по времени через р и dtp, a dtp этим уравнением не определяется, для нахождения решения вблизи поверхности t = 0 необходимо и достаточно задать р(х) и dtp(x) на этой поверхности; иными словами, р(х, t = 0) и dtp^, t = 0) представляют собой данные Коши.
То, что формулировка задачи Коши в калибровочных теориях менее тривиальна, видно уже из существования множества решений уравнений поля с одинаковыми значениями полей и их производных по времени на начальной поверхности (скажем, t = 0). Действительно, если Ац и р — это решение уравнений поля, то калибровочно преобразованная конфигурация
А'ц -» шА^ш"1 + шдцШ^, р' -> Т^р(4.74)
также является решением уравнений поля, причем ш^х, <) можно выбрать так, что ш^х, t = 0) = 1, а производная ш по i равна нулю при < = 0 (здесь Т(ш) — представление калибровочной группы, по которому преобразуются поля материи). Обсудим задачу Коши для системы уравнений (4.62) и (4.64):
(jD^JP^)» = gj®,(4.75)
ЭУ
D^D^p + 5^ = 0(4-76)
несколько подробнее.
Рассмотрим сначала уравнение (4.75) при и = 0 (его еще называют уравнением Гаусса),
WT = —gj®.(4.77)
Поскольку F^ и j‘q содержат только первые производные полей по времени, условие Гаусса не содержит вторых производных по времени. Более того, оно не содержит и первых производных по времени от Ло. Таким образом, на поверхности Коши задать произвольным образом Л“, dtA“, р, dt<p и Л“ невозможно: на них наложено N условий (4.77), где N — размерность калибровочной группы.
Уравнения (4.75) с v = i (пространственные компоненты) имеют вид
(DoF^-tDjF^^gj?.(4.78)
Они содержат вторые производные по времени от Л“ и первые производные по времени от А". Важным свойством условия Гаусса (4.77) и уравнений (4.78) и (4.76) является их совместность: если условие Гаусса выполнено в начальный момент времени, то оно выполняется и в последующие моменты времени, если поля удовлетворяют уравнениям (4.78) и (4.76).
Чтобы проверить это утверждение, найдем
д0Г = do^DiFfo + gjo),
где мы используем матричную форму для полей и тока. Покажем, что 90Г = О в момент времени t, если в этот же момент выполняется условие Гаусса и уравнения (4.78) и (4.76). Используя условие Гаусса в момент t, запишем
50Г = DoDiFio + gDojo.
Далее, [Pq, Р^] = Fo, (в данном случае это равенство надо понимать как действие оператора в присоединенном представлении), поэтому
D0DtFt0 = P,PoF,o + [JFbi, Р*о] = DjDoFio.
Используем еще уравнение (4.78) и запишем
д0Г = -D^DjFji +gji) + gDojo.
Далее,
СОД, - ^№. W# - iffy, ^,] = о, поэтому
50Г = g(-Diji + DQjQ) = gDJy.
Наконец, из результатов задачи 15 к разделу 4.4 следует, что при выполнении уравнения (4.76) справедливо D^ = 0, так что
д0Г = О, что и требовалось.
На это свойство можно взглянуть с двух сторон. Во-первых, можно удовлетворить условию Гаусса в начальный момент, а потом «забыть» о нем, и использовать уравнения второго порядка по времени (4.76) и (4.78). С другой стороны, можно использовать условие Гаусса при всех временах, тогда N из 3N уравнений (4.78) не будут независимыми. Эти два подхода реализуются в разных калибровках.
Калибровка Ао = 0. Для того, чтобы зафиксировать калибровочную свободу (4.74), положим
А" = 0
при всех х и t. В качестве начальных данных выбираем А°, 8tAa, р, д^, но так, чтобы удовлетворялось условие Гаусса (4.77) в начальный момент времени. Уравнения (4.76) и (4.78) рассматриваем как уравнения второго порядка по времени относительно А° и р при t > 0. Условие Гаусса будет удовлетворяться при t > 0 автоматически. Такой подход удобен при реальных вычислениях; его недостаток состоит в необходимости явно учитывать условие Гаусса при t = 0.
Гамильтоновы калибровки — это условия, накладываемые на вектор- потенциалы А°, например,
А" = 0
(аксиальная калибровка) или
8<А“ = 0
(кулоновская калибровка). Зафиксировав калибровку одним из способов такого типа, можно переписать (хотя бы в принципе) поле А® через независимые компоненты а„, а = 1,2. Зададим в качестве начальных данных а„(х, t = 0), д(Пд(х, < = 0), а также, если есть материя, р(х, t = 0) и 8tp(x,t = 0). Тогда Aq в начальный момент времени определяется из условия Гаусса. В последующие моменты времени 2N из 3^ уравнений (4.78) определят а„(х, t), Aq будет найдено из уравнений Гаусса, а оставшиеся N уравнений из (4.78) будут удовлетворяться тождественно.
Такой подход применяется при построении канонического (гамильтонова) формализма и квантовании калибровочных теорий.
Задача 19. Выписать уравнения первого порядка по времени для полей Янга- Миллса без материи в аксиальной калибровке А® = 0, считая независимыми переменными А® и Е“ = F®a, а = 1,2, и выразив А® через эти переменные с помощью условия Гаусса. Показать, что эти уравнения можно представить в гамильтоновой форме
5А£ _ 5Я ЭЕ^ _ 6Н8t ~ SE^ "8Г-”"бА»’
где
H = J (1^ + ^А + ^ + i<^) d4 ,
причем в Е® и Еза нужно положить А" = 0 и подставить выражение для Aq через А" и Ед, полученные из условия Гаусса.
Для почти однозначного выбора решения уравнений калибровочных теорий можно использовать и ковариантные калибровки типа калибровки Лоренца
8^ = 0.
Так же, как и в абелевой теории, решение определяется с точностью до функции, удовлетворяющей некоторому (нелинейному) уравнению, а в остальном произвольной. Отсюда ясно, что калибровки типа лоренцевой неудобны для постановки задачи Коши. Они, однако, весьма удобны для конкретных вычислений в квантовой теории.
Глава 5
Спонтанное нарушение глобальной симметрии
В рассмотренных до сих пор ситуациях симметрии — глобальные и калибровочные — приводили к определенным свойствам малых возмущений полей. Именно, глобальные симметрии в скалярных теориях означали равенство масс всех малых линейных волн для полей, принадлежащих одному и тому же представлению группы симметрии, а также одни и те же свойства взаимодействия этих полей (см. раздел 4.1). Калибровочные симметрии приводили к безмассовости векторных калибровочных полей: действительно, выражения типа т2АацА^ не инвариантны относительно калибровочных преобразований (и вообще, невозможно построить квадратичный по Ац инвариант, не содержащий производных), поэтому добавление их в лагранжиан явно нарушало бы калибровочную инвариантность.
В этой и следующей главах мы рассмотрим динамический механизм, приводящий к потере этих свойств в теориях, лагранжиан которых инвариантен относительно глобальных (глава 5) и калибровочных (глава 6) преобразований.
Как уже отмечалось, малым возмущениям полей соответствуют частицы. В природе существуют как безмассовые векторные бозоны (фотон, а также глюоны — переносчики сильных взаимодействий между кварками), так и массивные бозоны (заряженные W* и нейтральный Z0, обеспечивающие слабые взаимодействия). Рассматриваемый в главе 6 механизм (или его обобщения) позволяет описать W* и Z° в рамках калибровочных теорий. Нарушение глобальной симметрии, подобное излагаемому в главе 5, также имеет место в природе: речь идет о спонтанном нарушении киральной симметрии в сильных взаимодействиях. Имеются многочисленные примеры спонтанного нарушения симметрии в конденсированных средах, один из них — сверхпроводимость.
Спонтанное нарушение дискретной симметрии
Рассмотрим теорию одного скалярного поля с лагранжианом
С = ^8^■(5.1)
Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразований
*)”*),(5.2)
которые являются дискретной симметрией данной модели. Функционал энергии для этой модели имеет вид
(5.3)(5.3)311 , Л ТП?" 2 Ад
(5.3)
(5.3)
4® ^Wv) + 2^ + Т*1 + 4** '
Ограниченность энергии снизу требует, чтобы А > О (случай А = О тривиален и не будет рассматриваться), а на параметр т2 ограничений нет.
Найдем основное состояние в этой модели — конфигурацию поля у>(ж), обладающую минимальной энергией. Из (5.3) видно, что минимум энергии достигается на полях, не зависящих от времени,
dt^x, t) = 0,(5.4)
и однородных в пространстве,
(5.5)(5.5)дцр(х, t) = О
(5.5)
(5.5)
(первые два слагаемых в (5.3) неотрицательны и равны нулю, только если выполнены равенства (5.4), (5.5)). Иными словами, конфигурация поля в основном состоянии на самом деле не зависит, от х и t,
(р = const.
Константу найдем из требования минимальности потенциала
Следует рассмотреть отдельно случаи т2 ^ 0 и т2 < 0.
т2 ^ 0. Минимум потенциала — это
^ = 0.
Это состояние инвариантно относительно преобразования (5.2); говорят, что основное состояние не нарушает симметрию модели. Отклонения от основного состояния описываются самим полем р, а лагранжиан для этих отклонений совпадает с исходным лагранжианом (5.1); лагранжиан для отклонений от основного состояния (возбуждений поля) инвариантен относительно дискретной симметрии (5.1).
т2 < 0. В этом случае потенциал имеет вид, изображенный на рис. 5.1. Симметричное относительно преобразования ф -> -ф поле у? = 0 является максимумом потенциала, а основных состояний — два:
Р = ^<ро.Р = ^<ро.Дро = Та’Дро = Та’
Р = ^<ро.
Р = ^<ро.
Д
ро = Та’
Д
ро = Та’
где мы изменили обозначения,
I? = -т2 > 0, д > 0.
Действительно,
8Vз з
—(^ = ±у>о) = ±у>0(-д + Ау?о) = 0, Оф
так что ±у?о — минимумы потенциала.
Если у поля «забрать» всю возможную энергию, то оно окажется в одном из основных состояний, скажем, в ф = Ч-^о- Для того, чтобы перевести поле из одного основного состояния в другое, требуется передать ему энергию, пропорциональную объему пространства (напомним, что У (у?) — это плотность энергии однородного поля; потенциальная энергия однородного поля ф равна ClVt^), где Q — объем пространства). Таким образом, для систем с большим объемом пространства (Q -> сю) мы должны выбрать одно из основных состояний и рассматривать возмущения около него. Выберем в качестве основного состояния
_ Д
Ф — +<Ро = ^
(с равным успехом мы могли бы выбрать ф = -фо, однако тот или иной выбор сделать необходимо). Это состояние не инвариантно относительно преобразований ф -> -ф; говорят, что симметрия спонтанно нарушена.
Энергия основного состояния равна
Ео = ПУЫ = -^.
В дальнейшем мы будем отсчитывать энергию от энергии основного состояния (уровень отсчета энергии можно выбирать произвольно, если не рассматривать гравитационные взаимодействия). Для этого удобно рассматривать вместо лагранжиана (5.1) лагранжиан, отличающийся на константу: l^W + y^"-^^^,(5-6)
или, что то же самое,
£ = 5№р)2-^(р2-ро)2.
При этом плотность энергии однородного поля (потенциал) равна
Ш = ^2-^4 + ^ = ^2-Л2,
так что V(9?o) = 0.
Само по себе однородное поле в основном состоянии прямо наблюдать невозможно: всякое наблюдение связано с изменениями физических величин в пространстве или во времени. Однако тот факт, что основное состояние нетривиально, проводит к ряду следствий для возмущений около него.
Рассмотрим возмущения х($) относительно <р = +у?о, т.е. запишем
4>к^ = ^о + Х<®¥(5.7)
Лагранжиан для х(®) получается подстановкой (5.7) в исходный лагранжиан (5.6),
£*(х) = ^(^о + х).
Имеем
Ш + х) = #дХ» V*(x) = V^o + х) = ^ ((фо + X)2 - Фо)2-
Отсюда
^х(х) = АроХ2 + (А^о)х3 + ^Х4 = Л2 + VX дх3 + ^Х4-
Следовательно, лагранжиан для возмущений имеет вид
At = | (^д х)2 - Л2 - VX дх3 - ^Х4-(5.8)
Этот лагранжиан не инвариантен относительно дискретных преобразований X _Х> что и следовало ожидать, поскольку основное состояние
не инвариантно. След симметрии ^ -> -^ в лагранжиане (5.8) остался в виде соотношения между массой поля х и константами кубичного и четверного взаимодействия: произвольный полиномиальный лагранжиан до четвертого порядка включительно выглядит как
(5.9)
где тх, а, 0 — вообще говоря, произвольны. Для теории же со спонтанным нарушением симметрии имеем
т^ = 2д2, а = VA д, Д = А,
и имеется одно соотношение между а, 0 и тх.
Задача 1. Показать, что лагранжиан для возмущений относительно основного состояния <р = -<р0 эквивалентен (5.8) (т. е. сводится к (5.8) заменой переменных).
Итак, явление спонтанного нарушения глобальной симметрии состоит в том, что основное состояние не инвариантно относительно симметрии лагранжиана. Лагранжиан для возмущений также не обладает исходной симметрией; она проявляется в виде соотношений между константами связи и массами возмущений.
s = qs = qг Г Ф2 ' J df^-F^)г Г Ф2 ' J df^-F^)В квантовой механике с двумя симметричными ямами (потенциал типа изображенного на рис. 5.1) основное состояние представляет собой симметричную линейную суперпозицию волновых функций, сосредоточенных вблизи каждой из ям. Это свойство основного состояния возникает вследствие туннелирования между ямами. В теории поля такое туннелирование должно происходить сразу во всем пространстве, поэтому его амплитуда исчезает в пределе П -4 оо. Действительно, запишем действие для пространственно однородных полей у?(<)
s = q
s = q
г Г Ф2 ' J df^-F^)
г Г Ф2 ' J df^-F^)
Оно совпадает с действием для частицы с массой М = Q в потенциале U^ = QV(y>). Амплитуда туннелирования между +у?о и —<ро оценивается величиной
поэтому
т.е. амплитуда туннелирования экспоненциально стремится к нулю при Q -> оо. Таким образом, и в квантовой теории законно рассматривать <р = +у?0 в качестве основного состояния, если пространственный объем достаточно велик.
Спонтанное нарушение глобальной симметрии 17(1). Намбу-голдстоуновский бозон
Рассмотрим простейший случай непрерывной симметрии — симметрию 67(1). Пусть
— комплексное скалярное поле, лагранжиан которого имеет вид
£ = 8цр*8цр - т2р*р - А(у>*у>)2 - с,(5.10)
где константа с введена для удобства в дальнейшем. Лагранжиан (5.10) может быть записан также в терминах действительных полей ^рх, Р2) = ^(Re^Imy?),
„1т2 А.
С = ^p^pi - — pipi - -kpiPi) - с, где подразумевается суммирование по г = 1,2.
Лагранжиан (5.10) инвариантен относительно глобальных 67(1)-преобразований
р^у -> р^) = etap(x)(5.11)
или, в терминах полей у? 1,2,
рх -> cos арх - sin ар2,^
Р2 -> sin арх + cos ар2-
Рассмотрим энергию поля
Е = J d3x (дор^дор + 8ip*8ip + V^p*, р)), где
V(p*,p) = т2р*р-V-Х^р*р)2 + с.(5.13)
Основное состояние вновь однородно в пространстве-времени, р = const, и представляет собой минимум потенциала (5.13).
При т2 ^ 0 основное состояние — это р = 0, возбуждения представляют собой два действительных поля рх и pi равной массы и со специальным выбором взаимодействия (у?2 + у?2)2. Симметрия 67(1) ненарушена.
При т2 = -д2 < 0 потенциал V (у?) представляет собой фигуру вращения, изображенную на рис. 5.2. Он зависит только от одной переменной
*<pi и равно*<pi и равно^0^0(5-14)(5-14)
*<pi и равно
*<pi и равно
^0
^0
(5-14)
(5-14)
и имеет непрерывный набор минимумов
га Ро
где р0 определяется из условия
Нам снова необходимо выбрать один из этих минимумов в качестве основного состояния и рассмотреть возбуждения около него.
Хотя переходы между различными минимумами можно совершать без увеличения потенциальной энергии, двигаясь вдоль окружности минимумов, для них по-прежнему требуется бесконечная энергия в пределе бесконечного объема пространства, Q -> оо. Действительно, для однородного поля ср (С) кинетический член в энергии пропорционален объему,
^щ = Q|^| .
Поэтому изменение поля во всем пространстве требует бесконечной энергии. Таким образом, снова достаточно рассматривать лишь один из минимумов.
Рассмотрим основное состояние
т. е. <pi = (ро, (р2 = 0, и возмущения около него, описываемые полями ^1(®) = ^о + х(®), ^(ж) = 0(х\(5.15)
Ограничимся малыми возмущениями, для чего выделим слагаемые в лагранжиане, квадратичные относительно возмущений х и #• Имеем ЬцЧ>\ = 9Их, 0^2 = Эц0 и
2ч4
V = -^- feo + х)2 + 02] + ^ [(^о + х)2 + 02] + ^,
где константа с в (5.10) подобрана так, что энергия основного состояния равна нулю.
В квадратичном порядке по полям х и 9 получим
V = А2.
Слагаемые типа 02 или х^ в потенциале отсутствуют. Это видно и из рис. 5.2: квадратичные слагаемые по х и 0 в потенциале представляют собой кривизны потенциалов в направлениях <р\ и ф^Х кривизна же потенциала в направлении ^2 равна нулю в точке (у^ = р0, у>2 = 0) в силу (7(1)-симметрии (5.12).
Итак, квадратичный лагранжиан равен
^^(W + ^-A2.
Поле х имеет массу тх = V5 Д, а поле 9 остается безмассовым. Появление безмассовой моды прямо связано с наличием (7(1)-симметрии в лагранжиане и несимметричностью основного состояния (Намбу, I960; Вакс, Ларкин, 1961; Голдстоун, 1961). Это безмассовое поле называют полем Намбу — Голдстоуна, а соответствующую частицу — намбу-гол- дстоуновским бозоном.
Связь намбу-голдстоуновской моды с симметрией лагранжиана можно проиллюстрировать еще и следующим образом. Будем рассматривать небольшие возмущения поля относительно несимметричного основного состояния, такие, что ср не обращается в нуль нигде в пространстве-времени (это возможно, только если симметрия спонтанно нарушена!). Тогда можно ввести переменные р^ и а (ж),
<p(x) = еш^р(х\(5.16)
Поскольку лагранжиан симметричен относительно преобразований (5.11), потенциал не содержит поля а(ж) (это ясно и из (5.13)), т. е. поле а(х) входит в лагранжиан только через производную d^a^xY Отсутствие слагаемого типа а2(ж) в лагранжиане и означает, что а(ж) — безмассовое поле.
Итак, на примере модели с U(1)-симметрией мы убедились, что спонтанное нарушение непрерывной глобальной симметрии (лагранжиан симметричен, основное состояние — нет) приводят к появлению безмассовых возмущений, которые называют намбу-голдстоуновскими модами. Это утверждение имеет общий характер, в чем мы убедимся в разделах 5.3, 5.4.
Частицы, наиболее близкие к намбу-голдстоуновским бозонам, — это тг* и тг°-мезоны. Соответствующая симметрия — это киральная инвариантность сильных взаимодействий. Отличие от нуля масс тг-мезонов связано с малыми слагаемыми в лагранжиане, явно нарушающими киральную симметрию.
Задача 2. Найти полный лагранжиан для полей X и ^ определенных согласно (5.15). Сколько независимых констант он содержит?
Задача 3. Показать, что выбор основного состояния в виде . pi = фо cos а, фг = фо sin а
приводит к полному лагранжиану для отклонений, эквивалентному найденному в предыдущей задаче.
Задача 4. Выписать полный лагранжиан для отклонений от основного состояния в терминах полей а(ж) и Др(г) = р(ж) — ро. Найти связь между а(®) и намбу- голдстоуновской модой 0(z) в главном порядке по полям.
5.3. Частичное нарушение симметрии: модель SO(3)
Птобальная симметрия лагранжиана может спонтанно нарушаться не до конца. Пример частичного нарушения симметрии возникает в модели с тремя действительными полями ра, а = 1, 2, 3, и лагранжианом
(5.17) где
+(5.18)
В (5.17) и (5.18) подразумевается суммирование по индексу а; полагаем I? > 0.
Лагранжиан (5.17) обладает глобальной симметрией SO(3) (вращения в трехмерном пространстве). Основное состояние представляет собой однородное в пространстве-времени поле, минимизирующее потенциал V(у?). Потенциал V(р) имеет минимум при
а а 2Р
<р <р = Ро, где р0 = -д.
Таким образом, множество всех возможных основных состояний — это двумерная сфера радиуса ро. В качестве основного состояния (мы еще будем называть его классическим вакуумом модели) можно выбрать любую точку на этой сфере: выберем
pY = р2 = 0, р3 = р0.
В отличие от предыдущих примеров, вакуумный вектор ^ = (0,0, у?о) не полностью нарушает симметрию: имеется нетривиальная подгруппа группы 50(3), относительно которой вакуумный вектор инвариантен:
шр^ = р<°\(5.19)
Эта подгруппа представляет собой группу 50(2) вращений в пространстве полей относительно третьей оси,
1233
р -> cos ар — sin ар , р -^ sin ар + cos ар , р -^ р .
Ясно, что лагранжиан для возмущений относительно выбранного классического вакуума будет инвариантен относительно этой группы 50(2).
Найдем квадратичную часть этого лагранжиана, в частности, определим, какие возмущения являются безмассовыми намбу-голдстоуновскими модами.
Введем поля отклонений х($)> ^(®), 02(ж)> так 470
^(ж) ^(ж), р2(ж) = 02(ж), р3(ж) = у>0 + х(ж).(5.20)
Потенциальное слагаемое в лагранжиане для возмущений имеет вид
22
г = ~^[(^ + (»2)2Ьу(^ + х)2 +
+ ^ [(01)2 + (02)2 + (уо + х)2]'+ ^,(5.21)
а кинетический член равен
£ш = ^(д/)2 + ^М1? + ^х)2-(5.22)
Из (5.21) и (5.22) видно, что лагранжиан возмущений £ = £ип - V инвариантен относительно SO (2) -вращений полей 9х и У2, поскольку в него входит только комбинации типа (У1)2 + (У2)2. Он, разумеется, не обладает 50(3) -симметрией.
Раскрывая скобки в (5.21), убеждаемся, что квадратичная часть потенциала содержит только х , 7ак 470 квадратичный лагранжиан для возмущений имеет вид
£(2) = i(^1)2 + |(5^2)2 + ^(^х)2 - А2.
Следовательно, 01 и 02 — безмассовые намбу-голдстоуновские поля. То, что намбу-голдстоуновских мод должно быть действительно две, ясно из следующего рассуждения. Среди трех генераторов группы 50(3) имеется один генератор, аннигилирующий вакуум ^^ = (0,0, <роУ
th<pW = O.(5.23)
Это — генератор ненарушенной подгруппы 50(2): равенство (5.23) эквивалентно (5.19) для ш, близких к единице, ш = 1 + et^, е — малый параметр. Два других генератора (а также любые их линейные комбинации) вакуум не аннигилируют, иначе ненарушенная подгруппа была бы шире, чем 50(2). Образуем два вектора
й\ = *i^(0), n2 = i2^(0),(5.24)
где ti, <2 — ненарушенные генераторы (т. е. не аннигилирующие вакуум ^^). Вектора ni и п2 линейно независимы (иначе линейная комбинация ii и i2 аннигилировала бы вакуум). Далее, если 9* и^2 малы, то
вектор
^ = <р^ + 9 ^i + 92П2
является одним из классических вакуумов, близких к ^^: действительно
^ = (1 + 9V tv + 9 2(2)^(0) = ^(°\
где ш — близкий к единице элемент 50(3). Поэтому в первом нетриви- ~1 -2
альном порядке по 9 , 9 имеем
V№) = V(^, т. е.
V(<pw + 941+9^ = О
(мы учли, что V(^^) = 0). Поскольку ^^ — это точка минимума потенциала V, первый нетривиальный порядок — это квадратичный. Итак, если построить поле ф(ж), являющееся малым отклонением от вакуума (р^ вида
^(ж) = <р^ + 0 ^ni + 9 2(ж)п2,(5.25)
то квадратичная часть потенциала не будет содержать 9 1 и 9 2, т. е. поля 9 1 —2 _„
и 9 будут безмассовыми.
Для группы 50(3) генераторы имеют вид
^a)bc = ^abci
а выбранный классический вакуум равен
(0)й хоЗ’ = 0 <Pq.
Ненарушенный генератор — это <з, поскольку
(^з)бс^^с = езъс6с3<Ро = О,
нарушенные генераторы — это tv и (2, а фигурирующие в (5.24) векторы равны
Ч = (<1)а6^(°)6 = ^lei/Vo = 5а2<Ро,
и2 = 52обд63у?о:= -S61^-
Из (5.25) следует, что поле с безмассовыми отклонениями имеет вид
^(®) = (-92(х)<ро, 9\х>ро, (ро\
Сравнивая это выражение с (5.20) при х — ^, имеем соотношение между сконструированными выше полями 9 и использованными при явном вычислении полями У1,2:
»' = -в Vo> = » Vo-
Итак, с точностью до обозначений и нормировки, сконструированные с помощью (5.24) поля совпадают с построенными явно намбу-голдсто- уновскими модами.
Описанная здесь конструкция обобщается на общий случай произвольной. компактной глобальной группы и произвольного унитарного представления скалярных полей. Это обобщение носит название теоремы Голдстоуна и изложено в следующем разделе.
Вообще говоря, мы могли бы не быть столь удачливы при выборе полей отклонений 6х(х), 62(з:) и х(®) (см. формулу (5.20)), что поля 6х и 02 сразу оказались намбу-голдстоуновскими модами. Можно было бы ввести три линейно независимых вектора fii, п2, г?з и записать для поля с отклонениями, вместо (5.20),
^(ж) = <р№ -Vn^\x),
где <р^ = (0,0, ^0), 4’ — поля отклонений. Тогда кинетический член в лагранжиане отклонений имел бы вид
а квадратичный вклад в потенциал имел бы структуру
V»4^ =(5.26)
где Му — некоторая действительная симметричная матрица, не зависящая от координат (массовая матрица для полей £*). Для приведения квадратичного лагранжиана к каноническому виду (5.22) необходимо:
выбрать векторы й, ортогональными, (п, • n^) = бу. Тогда кинетический член в квадратичном лагранжиане будет иметь канонический вид
= ^‘8,6
но потенциальные слагаемые по-прежнему будут цметь структуру (5.26);
сделать затем ортогональное преобразование над полями 4*, т- е. ввести поля
где О1 j — ортогональная матрица. В терминах полей ^ кинетическая часть лагранжиана по-прежнему имеет канонический вид. Матрицу О', нужно выбрать так, чтобы квадратичный член в потенциале принял вид
v'2| = ^Em^",
т. е. чтобы матрица (ОТМО) была диагональна. Такая матрица О всегда существует; из (5.21) следует, что в рассматриваемой модели два собственных значения т2 матрицы М равны нулю.
Задача 5. Рассмотрим теорию трех комплексных скалярных полей /<($), t = 1,2,3, с лагранжианом
£ = МАЛ + /-2/;/.-а(/;Л)2.
Найти группу глобальной симметрии этого лагранжиана.
Найти множество основных состояний модели. Выбрав одно из них, найти ненарушенную подгруппу.
Рассматривая возбуждения над основным состоянием, найти намбу-голдстоуновские моды и массы остальных возбуждений.
По каким представлениям ненарушенной подгруппы преобразуются намбу-голдсто- уновские моды и массивные моды?
Общий случай. Теорема Голдстоуна
В качестве общего случая будем рассматривать теорию со скалярными полями, которые для определенности будем считать действительными (комплексное поле эквивалентно паре действительных полей). Пусть G — глобальная группа симметрии лагранжиана; мы ограничимся физически интересным случаем компактной группы G. Совокупность скалярных полей будем обозначать у? (а?); при каждом х поле у? (а?) принимает значение в пространстве унитарного (вообще говоря, приводимого) представления Т(ш) группы G. Лагранжиан выберем в виде
c = ^MAvW^(5.27)
где (у’ьу’г) — скалярное произведение в пространстве полей. Унитарность представления T(w) означает, что кинетический член в лагранжиане инвариантен относительно действия группы G; для инвариантности потенциального члена потребуем
¥(Т^ = V^)
при всех ш EG.
Пусть минимум потенциала У(у>) нетривиален. Выберем в качестве основного состояния однородное поле
^(ж) = У’О-
Однородность полевой конфигурации основного состояния возникает, как и в рассмотренных примерах, из требования минимальности (равенства нулю) градиентных слагаемых в энергии; значение у?0 реализует минимум потенциала, что мы запишем символически
д¥ х
= °'
Пусть, далее, Н — это подгруппа группы G, являющаяся стационарной подгруппой классического вакуума у?0, т. е.,
TQi)<po = у?0(5.28)
для всех h Е Н. Тот факт, что множество всех элементов h Е G, удовлетворяющих (5.28), действительно образует подгруппу в G, следует из основных свойств представлений групп: действительно, для всех h, hi, hi 6 Н справедливо (см. также раздел 3.1)
T^hihi)^ = TQii)T^hi)<p0 = T(Jii)<p0 = <р0,
а из
Т^Т^сро = ^о
следует
Т^-1)^ = <р0,
т. е. hihi и ЬГ1 принадлежат Н. Мы будем называть Н ненарушенной подгруппой для модели (5.27).
Пусть th — генераторы подгруппы Н. Поскольку (i-\-ehth) — близкий к единице элемент Н, для него справедливо
T(l + e4)^ = W.(5.29)
С другой стороны, по определению представления алгебры Т(1 + £hth) = 1 + EhT(th), и если ввести обозначения для представления генераторов Th = T(th), то из (5.29) будем иметь
Th<po = 0.
Разделим генераторы группы G на два семейства {th^ и {i'a}, где th — генераторы группы Н, a t'a дополняют семейство {^} до полного орто- нормированного набора. Если Rq и Rh — размерности групп G и Н, то семейство {th^ состоит из Rh генераторов, а семейство {fo} — из (Rq - Rh) генераторов. Отметим, что любой элемент А алгебры Ли, аннигилирующий классический вакуум, т. е.
Т(Л)^0 = 0,представляет собой линейную комбинацию генераторов th:
А = аьН
(близкий к единице элемент группы G вида (1 + еА) оставляет вакуум инвариантным, поэтому он принадлежит Я). Поэтому генераторы t'a и любые их линейные комбинации не аннигилируют вакуум,
T(cat'a)<p0 ^ 0(5.30)
при ненулевых с“. Генераторы типа t'a будем называть нарушенными генераторами.
Рассмотрим теперь возмущения поля у? (ж) относительно основного состояния у?о, т.е. запишем
Ч>^ = у?о + %<х\
где х(ж) — новые динамические переменные. Лагранжиан для полей ^(ж) имеет вид
^Х) = ^Х, д^х) ~У(фо + xY
Покажем, прежде всего, что Сх инвариантен относительно глобальной группы Н. Пусть h — любой элемент группы Н. Нам требуется убедиться, что
£х(Т(й)х) = £х(х).(5.31)
Поскольку
£Х(Х) = £(ро + X),(5.32)
можно записать
£х(Г(й)х)=£(?>о + 7’ГОх).(5.33)
Далее, в силу Т(Л)^о = фо и линейности оператора Т(Л) имеем
Z^ + lWt) = £(Т(й)(фо + X)).(5-34)
Далее, £(у>) инвариантен относительно всей группы G, и в частности, относительно ее подгруппы Н. Следовательно
£ (Т^д + х)) = £(фо + х)-(5-35)
Цепочка равенств (5.33), (5.34) и (5.35) и доказывает требуемое соотношение (5.31).
Среди возмущений х(ж) можно выделить такие, которые имеют структуру вида
Ха^ = Оа^Тафо(5.36)
(нет суммирования по а), где а = 1,..., RG - Rh ; а 9а^х) представляют собой (Rg ~Rh) действительных скалярных поля. Как всегда, Та = T^t'^ — нарушенные генераторы в представлении Т. В силу (5.30) эти возмущения линейно независимы, т. е. 9а^ — это независимые поля. Теорема Голдстоуна состоит в том, что поля 0а(ж) — безмассовые. Чтобы убедиться в ее справедливости, запишем произвольное возмущение в виде
х(®) = OaWL<Po + T)^Y(5.37)
где поле т^х) содержит моды, отличающиеся от 9а (в (5.37) суммирование по а подразумевается). Нам требуется показать, что разложение потенциала
V (у?о + 0аТафО + 7?)(5.38)
при малых 6а и ту не содержит слагаемых 9а9р или 9ад, т. е. квадратичная часть потенциала содержит только ^х^) (поскольку классический вакуум — это минимум У^ф), линейных по 9а и т) слагаемых в (5.38) нет). Рассмотрим выражение
VVTW<Po + ^L
где g — элемент группы G вида
9 = 1 + 9а^а + ®^
(член порядка 92 записан в символической форме). Имеем в силу инвариантности потенциала относительно группы G
(539)(539)V\TW<Po-Hy\ = V(<p0-\-Ti\
(539)
(539)
С другой стороны,
ИГ(5)(ро + 9)] = ^о + 8«г^о + >? + ВбЧ#аед (5.40)
где мы опустили члены, кубические и более высокого порядка по возмущениям 9а и д, член порядка 92 снова записали в символической форме. Разложим правую часть (5.40) в ряд вблизи точки (у>о + 9аТа<ро + Т}):
Я^Ж^о + Г)У = V(<po + 9аТ'а<Ро + V) +
+ [—(№ + елу» + о)] W2 + еД^,(5.41)
где мы вновь пренебрегли кубическими и более высокими членами, и записали второе слагаемое в довольно условном виде. Второе слагаемое в действительности равно нулю в квадратичном порядке по полям: потенциал имеет минимум в точке <ро, поэтому входящая в (5.41) его производная по крайней мере линейна по возбуждениям, а множится она на квадратичное выражение. Используя (5.39), получим в квадратичном порядке
V (у?о + 9аТ'а Фо + г}) = V (^0 + г)\
так что квадратичная часть потенциала не содержит полей 9а, что и требовалось.
Таким образом, теорема ГЪлдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении глобальной симметрии возникает по крайней мере столько безмассовых скалярных (или псевдоскалярных) полей, сколько имеется нарушенных генераторов. Она также дает конструктивный способ выделения безмассовых полей из всего набора возмущений относительно нетривиального вакуума <р0 (формула (5.36)).
Альтернативный вывод теоремы Голдстоуна основан на использовании сохранения токов, соответствующих симметрии действия относительно глобальной группы G. Согласно теореме Нетер, сохраняющиеся токи имеют вид (см. (2.48))
^ = №^, Та<р\
где Тй — полный набор генераторов группы G. В терминах возбуждений Х(х) около вакуума <р0 эти токи равны
3^ = №х> Тй<фо) + ^цХ» ТаХ\
^ Безмассовых полей может быть и больше, чем число ненарушенных генераторов. Такая ситуация нередко возникает в суперсимметричных теориях.
Для токов, соответствующих ненарушенной подгруппе И, первое слагаемое равно нулю, и эти токи, как обычно, квадратичны по полям х(ж). Другая ситуация возникает для токов, соответствующих нарушенным генераторам: они содержат в себе слагаемые, линейные по полям:
Й = №х, Т'а<р^ + (дцх, T'axY
(5.42)
Введем поля
Оа^ = (х(х\Т«(р0\
(5-43)
Тогда из сохранения тока (5.42), ЭРз“ = 0, получим
^д^9а + ЭДЭИх, Кх) = 0.
(5.44)
В линейном приближении это равенство означает, что поля 9а удовлетворяют уравнению свободного безмассового скалярного поля
д^ва = 0.
Поля 9а — суть намбу-голдстоуновские поля; поскольку вектора Тёфо линейно независимы, количество таких полей равно Rg - Rh, по числу нарушенных генераторов. Это и доказывает теорему Голдстоуна.
Поля 9а, фигурирующие в (5.43), совпадают с полями, определенными в (5.36), если наложить на поля ^(х), возникающие в общем разложении (5.37), условие
(?/, Та<ро) = 0 для всех а, (5.45) а также потребовать ортонормированности векторов Тцфо,
№ро, Т'^ = Sap • (у>0, М (5.46)
Выбор генераторов, для которого выполняется (5.46), с очевидностью существует (линейно-независимые вектора всегда можно ортонормировать), при этом т)^х), удовлетворяющее (5.45), будет иметь вид
Л = X - 6аТа<р0.
Таким образом, способ выделения безмассовых полей — формула (5.43) — становится вполне явным.
Формула (5.44) иллюстрирует еще одно свойство намбу-голдстоунов- ских полей: члены взаимодействия, включающие эти поля, содержат по крайней мере одну производную намбу-голдстоуновского поля. Действительно, если интересоваться членами в лагранжиане, зависящими от 9а линейно, а также кинетическим членом для самих полей 9а, то вид лагранжиана восстанавливается2^ из (5.44):
С = const •С = const •^^д^а^д^а + Э^а • ^дцХ^ ТаХ^^^д^а^д^а + Э^а • ^дцХ^ ТаХ^(5.47)(5.47)
С = const •
С = const •
^^д^а^д^а + Э^а • ^дцХ^ ТаХ^
^^д^а^д^а + Э^а • ^дцХ^ ТаХ^
(5.47)
(5.47)
(подразумевается суммирование по а). Варьирование именно этого лагранжиана по 0а приводит к уравнению (5.44). Лагранжиан (5.47) содержит только производные намбу-голдстоуновских полей, но не сами 0а. Это свойство связано с законом преобразования полей при действии глобальной группы G: при инфинитезимальном преобразовании с g = 1 + iae0 имеем ср -> (1 + Та€а)р, так что
б<р = Таеа(р = Т«€а<р0 + О(б • У) + О(б • ту), (5.48) где мы воспользовались разложением (5.37) и учли, что среди всех операторов Та только операторы Тц не обращают вакуум в нуль. Поскольку по определению имеем 5<р = б0аТцРо + бт), из выражения (5.48) следует, что поля 0а получают постоянное (не зависящее от координат) линейное приращение
50а = еа + О(б • У) + О(б • if), (5.49) а поля г) такого приращения не получают. Из инвариантности лагранжиана относительно действия группы G следует теперь, что по крайней мере в линейном порядке по полям 0а он содержит эти поля только в виде производных.
Далее, в конечной окрестности вакуума р0 можно выбрать параметризацию полей так, чтобы взаимодействие намбу-голдстоуновских полей между собой и с другими полями содержало хотя бы одну производную Эц0а во всех членах лагранжиана, а не только в слагаемых, линейных по 0а. Чтобы построить такую параметризацию, введем координаты 0а в конечной окрестности единицы в группе G, причем а = 1, ...,Rq. Подберем эти координаты так, что в линейном порядке по 0а
g^a^XA-taOaA-O^Y (5.50)
Параметризуем теперь поля в конечной окрестности вакуума <ро\
<р(х) = Т[у(5а(а:))][^о + i?(®)L (5.51) где а = 1,..., Rq - Rh, а на совокупность полей т;(а?) наложены условия (5.45). Поскольку в линейном порядке по 0а справедливо
ШОаШ = Т(1 + t'tM^ = 1 + T’^xY
в линейном порядке по отклонениям от вакуума справедливо разложение (5.37). Далее, потенциальные слагаемые в лагранжиане зависят только от т)(х) (поскольку потенциал G-инвариантен), V = V(j)Y С учетом (5.45) и (5.46) квадратичная часть кинетического члена имеет вид
1 f2 1 .
2^нФ» ^нФ^ = "^2 9^00(6^0а + — (.O^T), 0^,
где /2 = ^<ро,<ро\ Взаимодействие намбу-голдстоуновских полей между собой и с полями т;(а?) возникает только из кинетического члена, поэтому оно содержит две производных. Наконец, в силу G -инвариантности
скалярного произведения в пространстве полей справедливо равенство (Т^аЖ^Т^аЖ1^ = (M^MY
Поэтому возникающие из кинетического слагаемого члены взаимодействия обязательно содержат хотя бы одну производную намбу-голдсто- уновского поля 0а, что и требовалось доказать.
В заключение этого раздела отметим, что параметризация (5.51), во-первых, содержит в себе некоторый произвол (например, координаты в конечной окрестности единицы группы G условием (5.50) определяются неоднозначно, а в условии (5.45) могли бы иметься нелинейные по полям слагаемые), а во-вторых, не обязательно является наиболее удобной. Разумеется, выбор той или иной параметризации полей — это вопрос удобства, и на физическое содержание теории он не влияет.
Еще одно замечание состоит в том, что изложенные в этом разделе результаты переносятся и в квантовую теорию поля. При этом общее доказательство теоремы Голдстоуна основывается на сохранении токов и не требует знания явного вида действия. Так же как в классической теории, взаимодействие намбу-голдстоуновских полей между собой и с другими полями содержит производные; в квантовой теории это означает, что взаимодействия с участием намбу-голдстоуновских бозонов выключаются в инфракрасном пределе, когда импульсы и энергии стремятся к нулю.
Эффективные низкоэнергетические теории намбу-голдстоуновских полей '
Как в классической, так и в квантовой теории поля значительный интерес представляет предел низких энергий и малых импульсов, иначе говоря, предел длинных волн и малых частот. В этом пределе существенны лишь поля, имеющие малые или нулевые массы. В теориях со спонтанным нарушением глобальной симметрии в качестве таких полей выступают намбу-голдстоуновские поля. Если других легких полей нет\ то задача описания физики низких энергий сводится к нахождению действия для самих намбу-голдстоуновских полей. При этом главные члены в действии имеют наименьшее количество производных (наименьшее количество четырех-импульсов), а поправки можно искать в виде разложения по числу производных в лагранжиане. Это эффективное низкоэнергетическое действие намбу-голдстоуновских полей должно обладать симметрией исходной теории. Последнее требование настолько ограничительно, что главные члены определяются однозначно с точностью до одной или нескольких констант, даже если полная теория неизвестна (или не поддается анализу), а известно только, каковы ее симметрии и как они нарушены. В членах с высшими производными появляются новые константы,
которые симметриями не фиксируются. Существенно, что эффективное низкоэнергетическое действие нелинейно даже в главном порядке по производным, поэтому низкоэнергетическая теория намбу-голдстоуновских полей вполне содержательна. Наиболее интересным примером является теория сильных взаимодействий — квантовая хромодинамика, обладающая приближенной глобальной симметрией SU(3) х SU(3) (ее называют киральной симметрией; в пределе безмассовых u, d, s-кварков эта симметрия становится точной). Эта симметрия спонтанно нарушена до «векторной» SU(3), что приводит к появлению восьми легких полей, которые в пределе точной SZ7(3) х SU(3) являются намбу-голдстоуновскими полями. Соответствующие им частицы — это пионы тг+, тг-, тг°, каоны к+,к~,к°,к° и г)-мезон. Эффективная низкоэнергетическая теория этих полей действительно хорошо описывает свойства пионов, каонов и г)-мезона при низких энергиях.
Итак, пусть исходная теория обладает глобальной симметрией с группой G, которая нарушена до подгруппы Н. Это означает, что имеются различные вакуумы, которые получаются из раз и навсегда выбранного вакуума действием группы G, но действие группы Н на этот выбранный вакуум тривиально (см. (5.28)). Будем предполагать, что все вакуумы могут быть получены из данного действием группы G, т. е. группа G действует на пространстве вакуумов транзитивно. В соответствии с обсуждением в разделе 3.1, в этом случае множество вакуумов изоморфно фактор-пространству G/Н. Намбу-голдстоуновские поля — это координаты 9“ на множестве вакуумов^, т. е. координаты на фактор-пространстве G/Н. В пространстве G/Н действует группа G, а преобразование gEG индуцирует преобразование координат 9а -> 9а'. Требуется, чтобы эффективное низкоэнергетическое действие было инвариантно относительно таких преобразований с не зависящими от а^, но в остальном произвольными g Е G.
Иначе говоря, эффективная низкоэнергетическая теория — это теория поля, принимающего значения в многообразии G/H\ при этом требуется, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно группы G, действующей в пространстве полей G/Н. Теории с полями, принимающими значения на нетривиальных многообразиях (каковым является G/Н), называют нелинейными сигма-моделями, а реализацию группы глобальной симметрии как группы, действующей на таком многообразии, называют нелинейной реализацией симметрии.
Из требования G-инвариантности следует, что лагранжиан низкоэнергетической теории не содержит нетривиальных членов без производных, в противном случае значение этих членов в разных точках полевого многообразия G/Н было бы различным, что противоречило бы G-инвариантности и транзитивности. Птавный член в лагранжиане, содержащий наименьшее количество производных, имеет бб-
щий вид
£(2) = ^П^Э^Э/,(5.52)
где / — некоторая константа, а 9,^(9) — это G-инвариантная метрика в G/H. Действительно, из инвариантности £(2) относительно действия группы G следует, что «элемент длины»
^9) d9a d^
должен быть G -инвариантен. Как правило, в G/H существует только одна G -инвариантная метрика, так что главный член в эффективном низкоэнергетическом лагранжиане фиксируется симметрией однозначно, с точностью до константы /. На нетривиальном многообразии G/H инвариантная метрика СХар зависит от 9а, потому лагранжиан (5.52) содержит, кроме квадратичного члена, слагаемые более высоких порядков по полям 9а, так что уравнения поля являются нелинейными.
В качестве первого примера рассмотрим теорию с глобальной группой SO(n), спонтанно нарушенной до SO^n - 1), причем вложение SO(n - 1) в 8О(п) имеет вид
/SO(n-l) (А
\0'
В этом случае (см. задачу в разделе 3.1)
SO(n)/SO(n-l) = Sn~1,
причем группа SO(n) действует на Sn-i как группа вращений. Намбу- голдстоуновские поля принимают значения на (п - 1)-мерной сфере Sn-i. Пусть па — единичный радиус-вектор (а = 1,...,п), нумерующий точки сферы Sn~l. Тогда метрика на Sn-1, инвариантная относительно вращений, имеет вид
dna dna
(суммирование по а подразумевается). Эффективная низкоэнергетическая теория — это теория полей п^х), удовлетворяющих дополнительному условию
п\х)п\х) = 1 для всех х.(5.53)
Низший по производным член в эффективном лагранжиане имеет вид
У2
£(2) = -уд^Э^,(5.54)
где /2 — некоторая постоянная размерности квадрата массы. Введя на сфере п - 1 независимых координат 9а (так что па = па(9а)), лагран-
Низкоэнергетические теории намбу-голдстоуновских полей 101 жиан (5.54) можно записать в виде (5.52) с
о -^ дпй
а9~эо» 900 ‘
6=1
Например, при п = 3 на двумерной сфере можно выбрать координаты
где 0 и у> — обычные полярные углы. Координаты 01 и 02 принимают значения от —тг/2 до тг/2 и от -тг до тг соответственно, а лагранжиан С^ имеет вид
f2
Сед = у [(в/)2 + cos2 в1 ■ (Э,^2)2].(5.55)
Он действительно нелинеен по намбу-голдстоуновским полям 01 (ж) и 02(ж). Вакуум этой 50(3) сигма-модели (или модели n-поля) можно выбрать в точке 01 = 02 = О, тогда лагранжиан (5.55) будет содержать как квадратичный член
f2
yKMV+cV)2], так и члены взаимодействия
L(cos2 01 - 1)(5M02)2 = -^-(01)2. (дм02)2 + ... .
Задача 6. Показать, что в модели раздела 5.3 можно выбрать параметризацию полей так, что лагранжиан для произвольных (не обязательно малых) отклонений от вакуума будет иметь вид
с = '^WW + ^(М2 - ^р1 - V*),
где р — действительное массивное скалярное поле, поля п° с а = 1,2,3 удовлетворяют соотношению (5.53), a V^t начинается с кубичных членов по р. В длинноволновом пределе (при энергиях, много меньших тр^ возбуждениями поля р можно пренебречь, и мы действительно приходим к лагранжиану (5.54) с / = /(р = 0). Выразить параметр / через параметры исходного лагранжиана.
Вообще говоря, симметрийные соображения не запрещают появления в эффективном низкоэнергетическом лагранжиане слагаемых четвертого и более высоких порядков по производным. Другое дело, что в классической теории поля с исходным лагранжианом, квадратичным по производным, таких слагаемых не возникает. В квантовой теории (в частности, в квантовой хромодинамике) это не так. В модели п-поля слагаемые четвертого порядка по производным, имеющие локальный вид в терминах полей пй, можно выбрать следующим образом
£(4) = а1(д^пад^па)2 + а2дцпадупад^пьдупъ + аздцдцпа -dvdvna,(5.56)
где «1, «2, «з — безразмерные постоянные. Видно, что количество постоянных, не фиксируемых требованием симметрии, быстро растет с увеличением числа производных.
Задача 7. Показать, что все остальные локальные SO(n)-инвариантные слагаемые в лагранжиане четвертого порядка по производным в модели n-поля сводятся к комбинации (5.56) с точностью до полной производной. Указание: учесть, что поля «“(ж) удовлетворяют (5.53).
При п = 6 в модели n-поля имеется еще одно допустимое слагаемое в действии четвертого порядка по производным — член Becca—Зумино—Виттена, структура которого совершенно нетривиальна. Для его построения заметим сначала, что входящие в действие поля можно считать стремящимися к вакуумным значениям на пространственно-временной бесконечности: уравнения поля получаются варьированием действия при условии, что вариации полей на бесконечности обращаются в нуль. Для таких полевых конфигураций точки на пространственновременной бесконечности можно отождествить; тогда пространство-время будет иметь топологию сферы S*. Введем фиктивный пятимерный шар Р, границей которого служит эта сфера; обозначим координаты точек внутри этого шара как хА, А = 0,1,2, 3,4. Действие Becca—Зумино—Виттена не зависит от метрики внутри этого пятимерного шара, поэтому описанная конструкция эквивалентна следующей, возможно, более понятной. Вместо шара D5 можно ввести «половину» пятимерного пространства Я5, границей которого служит наше четырехмерное пространство-время, и потребовать, чтобы поля стремились к вакууму всюду на бесконечности в этой половине Я5. Рассмотрим теперь n-поле, принимающее значение на сфере S5 = SO(6)/SO(5). Если оно задано на пространстве-времени S4 (мы будем для определенности использовать конструкцию со сферой S4 и шаром Р5), то его можно продолжить5^ (разумеется, неоднозначным образом!) внутрь шара D5. Запишем действие Becca—Зумино—Виттена:
Swzw = ^ J d5x eABCDEeabC(Ief • n° • 8Anb ■ 8Bnc • 8cnd • 8Dne • 8Enf,(5.57)
D
где q — произвольный безразмерный параметра, п°(ж) — поле, подчиняющееся условию (5.53), т. е. принимающее значение на сфере S5, а = 1,..., 6, а интегрирование ведется по шару D5.
Заметим, прежде всего, что функционал (5.57) не зависит ни от пятимерной метрики в шаре D5, ни от четырехмерной метрики на его границе — нашем пространстве-времени. Тем не менее он инвариантен относительно координатных
преобразований в D5 и на границе шара S4 = 8D5 (при координатном преобразовании подынтегральное выражение умножается на якобиан преобразования, который сокращает другой якобиан, возникающий из преобразования элемента объема d5®). Далее, действие (5.57) зависит лишь от значений поля п“ в нашем пространстве-времени, т. е. на границе шара D5. Для проверки этого факта рассмотрим вариацию действия при вариации поля п^х) всюду внутри шара D5 и на его границе. После перестановки индексов будем иметь
5SWzw = ТГз / d5® eABCDB€abcdef (бп®дАпь... 8Enf + 5па8Д8пь)8впс... 8Enf>).
°(5.58)
При этом вариация п° должна сохранять соотношение (5.53), т. е.
п“ • 8па = 0.(5.59)
Производные 8Ап® удовлетворяют аналогичному соотношению
8Ап® -па = 0,
которое также вытекает из (5.53). Отсюда следует, что каждый из шести векторов 8п®, 8оП®,..., д^п®, рассматриваемых как векторы в шестимерном пространстве, ортогонален радиус-вектору п®. Поэтому эти шесть векторов линейно-зависимы, и первый член в (5.58) равен нулю. Второй член проинтегрируем по частям, при этом он сведется к первому (равному нулю) плюс интеграл по поверхности шара. В результате получим, что вариация действия (5.57) зависит только от полей и их вариаций на границе,.
5Swzw = - ^ j <^х ^с^, • 8na • пь8цпс • 8„nd - 8xne • 8pnL (5.60)
Отсюда следует, что действие Swzw не зависит от того, как именно поле п® продолжается из нашего пространства-времени в пятимерный шар\ Отсюда же определяется и вклад действия Becca—Зумино—Виттена в уравнение для намбу- голдстоуновских полей
8£>v/zw _9 -и^рь д „с « d й я
j^0 — 4!тг3 C ^obcdef "' 8pn • 8vn • 8xn • 8pn (5.61)
(тот факт, что вариация 8n® должна быть ортогональна п®, формула (5.59), для вывода (5.61) несуществен: вариация 8Sww равна нулю для 8п®, параллельного п®У Вклад (5.61) в уравнения поля удовлетворяет требованиям локальности,
лоренц-инвариантности и т. д., так что член Becca—Зумино—Виттена является вполне допустимым вкладом в действие.
Если работать в рамках теории возмущений по отклонениям полей па от их вакуумных значений и выбрать какую-либо параметризацию п“(0“) в терминах пяти независимых полей 0а (а = 1,...,5), то каждый член ряда по 0° для действия Becca—Зумино—Виттена будет представлять собой обычный интеграл по четырехмерному пространству-времени от локального лагранжиана. Например, вблизи вакуума па = (Г6 можно выбрать параметризацию так, что в линейном порядке по отклонениям 6па = 0°, для а = 1,..., 5, а 8п6 = 0 (в квадратичном порядке бп6 = -|0а0“). Тогда в главном порядке по 0® член Becca—Зумино— Виттена (5.57) будет иметь вид
Swzw = - 5^3 J ^х eABCDEеа8* " 8а9“ • Вв^бс^1 • 8п0е • Вв^ = п5
-^-sJ^a 1«“™<»* -У-Sb* ■.. • • М'] = D5
/ ^ е^М^ • 6а • 8/ • 8^ • 8х0е • 8Р0\(5.62)
В последнем выражении интеграл берется по границе шара D5, т. е. по нашему четырехмерному пространству-времени; это выражение имеет вид обычного четырехмерного действия. Подынтегральное выражение в нем — лагранжиан Becca— Зумино—Виттена в низшем порядке по намбу-голдстоуновским полям. Он не инвариантен относительно инфинитезимальных глобальных преобразований из группы 50(6), которые имеют вид (5.49): при таких преобразованиях к нему добавляется полная производная, что, однако, не сказывается на инвариантности уравнений поля. Аналогичная ситуация имеет место и в более высоких порядках по 0а.
По определению, фактор-пространство [SU{N)LxSU(N)r\/SU(N)v состоит из смежных классов по соотношению эквивалентности
(дь, 9я) ~ кОь '9,9r‘ д)-
В каждом смежном классе существует единственный элемент вида (U, 1), где U € SU(N). Поэтому
\SU(N)l х SUWr\/SUWv = SUkN\(5.63)
Далее, из соотношения
to, Sr№, 1) = № 8r) ~ (SbUsi1,1)
следует, что группа SU{N)l х SU(N)r действует на фактор-пространстве (5.63) следующим образом
U^SbUSR.(5.64)
Таким образом, намбу-голдстоуновские поля U(ж) принимают значения в SU(N), а эффективное низкоэнергетическое действие должно быть инвариантно относительно (5.64) с не зависящими от координат, а в остальном произвольными матрицами дь и gR, принадлежащими SU{N). Отметим, что естественный (хотя, разумеется, не обязательный) выбор вакуума — это
Го = 1;(5.65)
его стационарная подгруппа SU{N)v состоит из Преобразований вида (5.64) с gL = gR = g.
Требование инвариантности лагранжиана относительно преобразований (5.64) однозначно (с точностью до одной постоянной) фиксирует главный член, квадратичный по производным:
с0) = —- тг (va^' • иа^и *),(5.66)
где F — постоянная размерности массы (коэффициент 1/16 включен по традиции). В конечной окрестности вакуума (5.65) можно записать
U(x) = ё'^^
(суммирование по а = 1, 2,..., N2 - 1 подразумевается), где ta — эрмитовы генераторы группы SU(N), нормированные, как обычно, условием
Тг#а^ = 2^"
В квадратичном порядке по намбу-голдстоуновским полям 6а лагранжиан (5.66) сводится к каноническому кинетическому члену
Сед = ^Э^Э^ + (V).
Вообще говоря, не запрещены члены четвертого и более высокого порядка по производным; в частности, имеется три независимых комбинации четвертого порядка, инвариантные относительно преобразований (5.64)
£(4) = £1 Тг (Г^и1 • Ud^f 4
+ Ь2 Тг (Ud^ • UdvU^ • Тг (ПЭ^ • UdvU^ 4-
+ ь3 тг (ua^ • ua^ • uavu^ • uavu\ (5.6?)
где L\,L^,L3 — безразмерные постоянные. Сумма лагранжианов (5.66), (5.67) и членов более высокого порядка по производным описывает ^N1 - 1) действительных намбу-голдстоуновских полей, взаимодействующих между собой.
Задача 8. Показать, что с точностью до полной производной выражения (5.66) и (5.67) исчерпывают все SU(N)L х Я7(^)я-инвариантные комбинации с двумя и четырьмя производными поля U(x\ принимающего зйачения в SU(N).
Отметим, что по отношению к группе SU(N)V намбу-голдстоунов- ские поля 0а образуют присоединенное представление. Действительно, для малых 0а имеем
4
U = l + -itQ0a.
Поэтому преобразование из SU(2V)y вида
U^gUg"1
сводится к
^-^д^^д'1,(5.68)
что и означает, что 0а — это компоненты вектора в присоединенном представлении SU(N)V-
Задача 9. Показать, что закон преобразования (5.68) выполняется для всех, а не обязательно малых 6а.
Задача 10. Выразить лагранжианы (5.66) и (5.67) через поля 9° вплоть до четвертого порядка по 0° и показать непосредственным вычислением, что они инвариантны относительно инфинитезимальных преобразований
У« _>fl«+y^76^y7)(5 б9)
где f®91 — структурные константы SU(N), еа — не зависящие от х малые параметры преобразований. Формула (5.69) как раз и соответствует тому, что 5“ преобразуется по присоединенному представлению ненарушенной группы SU(N)V.
Задача 11. Показать, что по крайней мере в конечной окрестности вакуума модель [577(2)х х SU(T)r\/SU(T)v эквивалентна модели n-поля SO(4)/SO(3) (глобальные свойства многообразия намбу-голдстоуновских полей мы здесь не рассматриваем).
При N > 2 в рассматриваемой сейчас VSU(N^b х SU^N)^/SU(N)y модели также возможен член Becca—Зумино—Виттена. Действительно, многообразие намбу- голдстоуновских полей совпадает с SU(N), a Tr4(5[7(lV)) тривиальна. Выражение для члена Becca—Зумино—Виттена имеет вид
Swzw =/d^e^® Тг (U8AU^ • U8BU' • U8CU' • U8Dtf • U8BU^, (5.70)
240ir J
n5
где обозначения — такие же как в (5.57). В квантовой теории параметр q должен быть целочисленным; в квантовой хромодинамике он равен числу цветов Nc (в природе Nc = 3).
Задача 12. Показать, что действие (5.70) обладает свойствами, аналогичными свойствам действия (5.57): 1) вариация действия (5.70) при вариации поля и(хА^ в шаре D5 и на его границе зависит только от значений поля U(ж) и его вариации 8U(ж) на границе шара D5 (ср. (5.60)); 2) в главном порядке по полям 9а действие (5.70) представляет из себя обычный интеграл от локального лагранжиана по четырехмерному пространству-времени (ср. (5.62)), причем этот лагранжиан инвариантен относительно SU(N)l х SU(N)r лишь с точностью до полной производной (такая ситуация имеет место в каждом порядке по намбу-голдстоуновским полям). В заключение отметим без доказательства, что член Becca—Зумино—Виттена является единственным допустимым членом в \SU(N)L х SU(N)r\/SU^N)v модели, который не может быть записан как четырехмерный интеграл от локального лагранжиана, инвариантного относительно SU(N)i х SU(N)R (см. книгу С. Вайнберга (1996), том 2).
Глава 6
Механизм Хиггса
Пример абелевой модели
В этой главе мы рассмотрим ситуацию с нетривиальным основным состоянием скалярного поля в моделях с калибровочной инвариантностью (Андерсон, 1963; Энглер, Браут, 1964; Хиггс, 1964; Гуральник, Хаген, Киббл, 1964). Мы иногда будем применять термин «спонтанное нарушение симметрии» и в этом случае, хотя, в отличие от рассмотренных в главе 5 моделей с глобальной симметрией, нарушения калибровочной инвариантности в действительности не происходит. В качестве простейшего примера рассмотрим модель, обладающую калибровочной 17(1)-симметрией. Лагранжиан выберем в виде.
С = -^Г^уГ^у + (D^D^ - [-^W + A(^V)2],(6.1)
где у? — комплексное скалярное поле,
F^v = д^Ау - дуА^, D^ = (dM - ieA^tp.
Мы сразу выбрали отрицательный квадрат массы в потенциале скалярного поля
V^*, р) =+ А(/у>)2,
поскольку именно он представляет интерес для нас в этой главе. Напомним, что лагранжиан (6.1) инвариантен относительно калибровочных преобразований
А^ -> А'Дж) = А^ + ^ма(«), р(я) -» у’Хж) = ега^^хУ где а(ж) — произвольная действительная функция.
Е^, р)
= J дч 1(fm)2+1(v+
+ (Dop),PoV’ + №v’),Pi»’ + K(/,V>) .(6.2)
Для нахождения основного состояния выпишем функционал энергии для полей А^, <р\
Основное состояние — это конфигурация полей А^, р, минимизирующая энергию. Сразу ясно, что имеется функциональный произвол в выборе основного состояния: энергия Е^А^, р) калибровочно инвариантна, поэтому если (А™0,^™0) — это основное состояние, то (А^с + ^д^а, е^р™) — это тоже основное состояние при любой функции а(ж). Как и в главе 5, необходимо выбрать один из этого семейства классических вакуумов и изучать возбуждения около него.
Первые два слагаемых под интегралом (6.2) минимальны (равны нулю), когда электрическое и магнитное поля равны нулю, т. е. АДх) представляет собой чистую калибровку,•
А^ = -диа^х\(6.3)
Третье и четвертое слагаемые минимальны (равны нулю) при
D^p = (dM - гд^р = 0, т. е.
,,(») = eio<*>-i=po,(6.4)
где ро не зависит от х (множитель ^ введен для удобства). Константа ро определяется из минимизации потенциала У^Р*, ^) и равна
Ро = ^-(6.5)
Таким образом, все возможные основные состояния определяются формулами (6.3), (6.4), (6.5); как уже отмечалось, необходимо выбрать одно из них (все равно, какое). Выберем а = 0, так что вакуумная конфигурация имеет вид
л7 = о, у” = ^о.(6.6)
Рассмотрим теперь возбуждения относительно основного состояния. Возбуждения поля А^ описываются самим вектор-потенциалом, а возбуждения скалярного поля — двумя действительными полями х(ж) и 0(я), такими, что
= ^^Q^x^^ie^V(6-7)
Напомним, что в аналогичной модели с глобальной 17(1)-симметрией (раздел 5.2) поле 9 было безмассовым намбу-голдстоуновским полем, а х было массивно.
Найдем спектр малых (линейных) волн над основным состоянием
Для этого вычислим лагранжиан в терминах полей Ац, % и #
в квадратичном приближении по этим полям. Воспользуемся тем, что в квадратичном порядке
Пр) = А1
с точностью до несущественной аддитивной постоянной (мы уже делали это вычисление в разделе 5.2), а также
D^ = ~^=(дцХ + *М - гер0А^
с точностью до квадратичных слагаемых по полям А^, % и #• Таким образом, квадратичный лагранжиан имеет вид
£(2) = _ 1^ + 1 |^х + ^^ _ ie^A^|2 - ^х1
(F^v изначально квадратично по А^\ Расписывая квадрат модуля, получим
£т = -^- + 5<9^ ~ ^ + ^ (л-" ^М^(68)
ZZ у/
Мы столкнулись с несколько необычной ситуацией: последнее слагаемое в (6.8) содержит, помимо выражений А2 и (дм0)2, перекрестный член Ацдрб. Чтобы привести квадратичный лагранжиан к каноническому виду (сумме лагранжианов отдельных полей), произведем замену полевых переменных: вместо полей Ац, 0 введем поля
Вм = Ам -
и 0. Тогда квадратичный лагранжиан будет иметь вид
£й = - ^В^„ + ^В^ + ^хУ - nV(6.9)
где В^р — ддВр ЭрВц.
Лагранжиан (6.9) представляет собой-сумму лагранжиана массивного векторного поля В^ с массой
еmv = ер0 = -^д
и лагранжиана массивного скалярного поля х с массой
тпх = V2 д.
Поле 0(ж) вообще не входит в лагранжиан; оно не должно удовлетворять никаким уравнениям поля, т. е. произвольная функция координат 0 является экстремумом действия по 0(я).
Наиболее интересным в лагранжиане (6.9) является появление массы у векторного поля и исчезновение поля 6 (я). Поле 6 (ж) было бы
намбу-голдстоуновским полем, если бы симметрия была глобальной, а не калибровочной. Образно говоря, векторное поле «съело» намбу-гол- дстоуновское поле и приобрело массу. В этом и состоит суть механизма Хиггса. Подчеркнем, что массивное векторное поле появилось в теории с калибровочно инвариантным лагранжианом.
Помимо векторного поля В^ в спектре возбуждений присутствует скалярное поле х- Мы увидим, что оно всегда возникает в моделях, где векторные бозоны приобретают массу посредством механизма Хиггса; это скалярное поле называют хиггсовским полем, а соответствующую частицу — хиггсовским бозоном (термин «хиггсовское поле» применяют и ко всему скалярному полю у>(ж), вакуумное значение которого нетривиально).
Задача 1. Выберем основное состояние в виде
где а(ж) — фиксированная функция.
Рассматривая поля вида
А^А^а,, р^ + е,
где а^, £ — малые возбуждения, показать, что спектр линейных волн описывается лагранжианом, эквивалентным (6.9).
Сделаем несколько замечаний в связи с изложенным. Во-первых, найдем свойства полей ВИ и х относительно калибровочных преобразований. Калибровочную функцию а^) будем считать малой, так что если Ац мало, то мало и
А'^ = Ац + ^дма(ж)
и можно пользоваться линейным приближением. Заметим, что при малых калибровочных преобразованиях
р —> р = у? + iap.(6.10)
Чтобы найти вид преобразований для полей х и 0, запишем
У> = ^=(у>о + X + »#)> / = ^=(у>о + х'+^')
и из (6.10) получим в линейном порядке по х, 5 и а
х' + г^ = (х + ^ + iapo или
X б'=О + аро.(6.11)
Таким образом, поле х калибровочно инвариантно, а поле У(ж) сдвигается на а(х)ро. Поле В^ также калибровочно инвариантно: имеем при
калибровочных преобразованиях
В' = А' д^О’ = А^-дца-— д^О- —род^а = А^——6^0 = В^. ц * ер0 м м е и еу?0 еу?0 ер0 и м
Таким образом1^, лагранжиан (6.9) содержит только калибровочно инвариантные переменные. Тот факт, что поле 0(ж) произвольно, получил объяснение в виде формулы (6.11): выбором функции а(ж) можно, при заданном 0(ж), сделать калибровочно преобразованное поле ^(ж) произвольной наперед заданной функцией.
Сравним теперь количество степеней свободы в теории с тривиальным вакуумом (т. е. т1 > 0) и в теории с механизмом Хиггса. В теории с тривиальным вакуумом имеется безмассовое векторное поле (две физических степени свободы плюс произвольная калибровочная функция) и комплексное массивное скалярное поле (две степени свободы) — итого четыре физические степени свободы (и одна калибровочная функция). В теории с механизмом Хиггса векторное массивное поле имеет три степени свободы (напомним, что поле В^ удовлетворяет условию д^В^ = 0, а каждая из его компонент подчиняется уравнению Клейна—Гордона), поле х обладает одной степенью свободы — итого снова четыре физических степени свободы (плюс одна калибровочная функция, или, что то же самое, произвольная функция 0(ж)). Итак, количество степеней свободы одинаково в этих случаях, однако при механизме Хиггса векторное поле отбирает одну степень свободы у скалярного поля.
На первый взгляд кажется, что нефизическая степень свободы может появиться в лагранжиане в членах более высокого порядка, чем квадратичные: если подставить в лагранжиан (6.1) поле (6.7), то в высших членах действительно появится поле 0(ж). Однако «лишнее» поле можно изгнать, сделав замену полевых переменных.
Задача 2. Найти полный лагранжиан в терминах полей Ац, х и 6. Найти замену переменных, сводящую этот лагранжиан к лагранжиану взаимодействующих массивных векторного и скалярного полей. Найти закон преобразования этих массивных полей относительно общих (не обязательно малых) калибровочных преобразований.
В исчезновении нефизического поля из полного лагранжиана для возбуждений полей легче всего убедиться следующим образом. Поскольку вакуумное значение скалярного поля отлично от нуля, для полей, не слишком далеких от классического вакуума, можно ввести представление
где р^ и ^(ж) — новые действительные поля (такое представление возможно для полей у>(ж), не обращающихся в нуль нигде в пространстве-
Здесь это было показано только для малых калибровочных функций а^. Общий случай содержится в задаче 2.
времени, причем флуктуации фазы не должны достигать тг или -тг). Заметим, что при калибровочных преобразованиях у/(ж) = ^“^^(х) имеем
i„iP' i0+iaре = ре ,
т. е. р(х) — калибровочно инвариантное поле, а Д(ж) преобразуется сдвигом
Р'(х) = р^ + а(х\(6.13)
Для ковариантной производной имеем
d^ = 7! ^р+^^""еЛ^е^’
поэтому лагранжиан в терминах А^, р и р имеет вид
11 о11 V
t = --F^ + -(ЗД2 - V(p-) + -е2р2( Л„ - -8„9\ ,(6.14)
где
Введем поле
в, = 4, - ^9,(6.15)
тогда полный лагранжиан не будет содержать поля р:
1е2 1
с = --в^в^ + -рХ + -№р)2 - V<p\ (6.16)
Поле В^ калибровочно инвариантно (это следует из (6.13) и (6.15)), так что лагранжиан (6.16) содержит только калибровочно инвариантные поля. Основное состояние для такого лагранжиана — это конфигурация
В
vacп „vac
М =0, Р =
а квадратичный лагранжиан для отклонений Вм и %, где
Р = Р™ + X,
имеет в точности вид (6.9). Итак, в переменных р, р и В^ полный лагранжиан не содержит нефизического поля р и является лагранжианом калибровочно инвариантных взаимодействующих массивных векторного и скалярного полей. Отметим, что в случае малых полей р связано с 0 соотношением 0 = фор. Подчеркнем еще раз, что переход, к полям р(ж) и 0(ж) по формуле (6.12) возможен, только если вакуумное значение скалярного поля отлично от нуля, т. е. только когда реализуется механизм Хиггса, и только тогда, когда рассматриваются небольшие возмущения
полей над классическим вакуумом (последнее требование заведомо выполняется для линейных волн).
Заканчивая это раздел, заметим, что до сих пор мы не фиксировали калибровку. Результаты этого раздела проще всего, однако, было бы получить, зафиксировав калибровку /3(ж) = 0. Действительно, выполнения этого условия всегда можно добиться, подбирая калибровочную функцию а(ж) в (6.13). Это же условие можно записать в виде Imy> = 0, при этом Re у> = ^/), т. е. в поле у>(ж) остается только физическая степень свободы. Такая калибровка называется унитарной. В унитарной калибровке В^ совпадает с Ам, а лагранжиан (6.16) сразу получается, если в исходном лагранжиане (6.1) положить
Imy> = 0, Rey? = -^p.
Такой выбор калибровки удобен для анализа спектра физических возбуждений в неабелевых теориях.
Неабелев случай: модель с полностью нарушенной SU(2)-симметрией
В качестве простейшей модели с неабелевой калибровочной инвариантностью выберем модель с калибровочной группой SU($ и дублетом (фундаментальное представление) скалярных полей
у>1, у?2 — комплексные скалярные поля. Лагранжиан имеет вид (а = 1, 2, 3)
С = "Б*^ + kp^D^ - V^t- + A(e=W].(6.18)
Основное состояние — это минимум функционала энергии
Е(Л;,»>)= У" d1! 'ftF^F^ID^D^,
где
У(^, ^ =+ A(y>W(6.19)
— потенциал скалярных полей.
основном состоянии F£v = 0, поэтому Ад представляет собой чистую калибровку; в матричной форме
Ад(ж) = ш^д^ш”1^.(6.20)
Поле у>(ж) — ковариантно постоянное, D^x) = 0, т. е.
У>(®) = ш(х^с,(6.21)
где ^ — постоянный столбец. Он определяется из минимизации потенциала V'^, у). Требование
8V _ 9v ... 0
8-^8<р
дает
„2
V>*y = ^-(6.22)
Из семейства калибровочно эквивалентных вакуумов выберем один; из соображений простоты возьмем его в виде
/ ° \
4 = 0,^1,(6.23)
\ v^^° /
где у>0 = д/VX.
Задача 3. Показать, что любая конфигурация, удовлетворяющая (6.20), (6.21), (6.22) может быть получена из классического вакуума (6.23) калибровочным преобразованием (вообще говоря, не убывающим на бесконечности).
Для нахождения спектра малых возбуждений относительно основного состояния (6.23) воспользуемся приемом, намеченным в конце раздела 6.1, а именно, зафиксируем унитарную калибровку. Произвольное поле, близкое к у>тас, можно представить в виде
/°\
^) = «(«)М(6.24)
где х(ж) — действительная функция координат, а ш(ж) — близкая к единице функция со значениями в SU(1Y Чтобы убедиться в справедливости представления (6.24), заметим, что левая часть равна
(6.25)(6.25)6(®) + *6(®)
(6.25)
(6.25)
^^о + 6 (ж) + »&(®)
где 6(ж),. • •, &($) — четыре малых действительных функции. Для близких к единице ш(ж) имеем
ш(ж) = 1 + <та,и\х),
где иа(в) малы. Правая часть (6.24) равна, в линейном приближении по иа и х»
/ ° \/ 0 \/ 0 \
1+1+ iraua 1=
xV^v
^^(ж) +-^и2(ж)
_V2
1. . г<р0 з/ .’
\ 75^° + 71XZ ” 75“ ^ /
Сравнивая это выражение с (6.25), убеждаемся, что можно выбрать иа, х так, чтобы равенство (6.24) выполнялось в линейном порядке по отклонениям поля от вакуумного значения.
Представление (6.24) справедливо и в некоторой конечной окрестности классического вакуума, однако оно не имеет места вблизи ^ = 0.
Из представления (6.24) ясно, что любая близкая к классическому вакууму конфигурация поля у? (ж) калибровочно эквивалентна конфигурации
/°\
+ ■<6-26*
где хкх^ — действительное поле. Таким образом, можно выбрать калибровку, где поле имеет вид (6.26) (унитарная калибровка).
Используем унитарную калибровку для нахождения спектра линейных возбуждений в модели. Для этого выделим линейную по возбуждениям часть в
/^ = м“ - 8» а" +де"кАь11Аг
И
та
D^ = 8^ - ig—A^tp,(6.27)
считая, что поле Ад мало, а поле у? (ж) имеет вид (6.26) с малым xkxY В линейном порядке имеем
^~^,(6.28)
где
Т0, — 8 Ай - 8 Аа
Далее, подставляя (6.26) в (6.27), получим в линейном порядке
1 _. g^х+.^м, ;1 _. g^х+.^м, ;(6.29)(6.29)
1 _. g
^х+.^м, ;
1 _. g
^х+.^м, ;
(6.29)
(6.29)
Наконец, в квадратичном порядке по % потенциал (6.19) равен, с точностью до несущественной аддитивной постоянной,
V = А2.(6.30)
Используя соотношения (6.28), (6.29), (6.30), запишем квадратичную часть лагранжиана (6.18) в унитарной калибровке
£ =+ ^44 + j(W " Л2-(6.31)
Таким образом, в результате механизма Хиггса в модели возникают три массивных векторных поля А^, а = 1, 2, 3, с одинаковой массой
и одно массивное скалярное поле х (поле хиггсовского бозона) с массой
р — х/ 2 А ^о*
Отметим, что если бы симметрия была глобальной, а не калибровочной, в модели было бы три намбу-голдстоуновских бозона (компоненты £i, £2, £4 в формуле (6.25)), по числу нарушенных генераторов (группа 5/7(2) полностью нарушается, нарушенных генераторов — три). Эти гол- дстоуновские бозоны «поедаются» в калибровочной теории тремя векторными бозонами, которые становятся массивными. Отметим еще, что при положительном квадрате массы (д2 < 0 в лагранжиане (6.18)) в модели имеется три безмассовых векторных поля (6 степеней свободы) и четыре массивных действительных скалярных поля (действительные и мнимые компоненты полей у?] и ф^ фигурирующих в (6.17), всего 4 степени свободы). В результате механизма Хиггса при р2 > 0 три векторных бозона имеют девять степеней свободы, а хиггсовский бозон х —- одну. Таким образом, в модели имеется 10 степеней свободы как в ненарушенной, так и в нарушенной фазе.
Задача 4. Найти спектр линейных физических возбуждений в модели этого раздела, не фиксируя калибровку.
Задача 5. Найти полный лагранжиан полей А^ и х в модели этого раздела в унитарной калибровке.
Задача б. В модели этого раздела поле <р можно записать в виде
= / 91 + «9? \\ и + 11)3 ) ’
где и, 7/1,^2>9з “ действительные скалярные поля. Показать, что скалярный потенциал инвариантен, помимо исходной группы 517(2), относительно глобальной
симметрии 50(3), причем и — синглет относительно этой 50(3), т/0 — триплет (вектор) относительно этой 50(3). Подобрать закон преобразования векторных полей относительно этой группы 50(3), при котором полный лагранжиан (6.18) инвариантен относительно этой глобальной группы 50(3). Вакуумное значение поля (6.23) не нарушает указанную глобальную симметрию 50(3). Убедиться, что равенство масс трех векторных полей, обсуждавшееся в связи с формулой (6.31), является следствием ненарушенной глобальной 5О(3)-симметрии. Убедиться, что полный лагранжиан, полученный в предыдущей задаче, инвариантен относительно этой 50(3).
Задача 7. Введем в теорию с калибровочной группой 517(2) помимо дублета р еще три действительных скалярных поля /°(ж), а = 1, 2, 3, образующих триплет относительно калибровочной 517(2). Подобрать калибровочно инвариантный скалярный потенциал так, чтобы одним из вакуумов модели был
/ ° \
у>= t Уо I , f = f = °’ /3 = «,\ V2/
где рй и v — некоторые постоянные. Найти спектр малых физических возбуждений относительно этого вакуума. Равны ли массы трех векторных бозонов? Имеется ли в модели с триплетом ненарушенная глобальная симметрия (не обязательно 50(3)), аналогичная рассмотренной в предыдущей задаче?
Задача 8. Построить модель с полностью нарушенной калибровочной 5(7(2)-сим- метрией, в которой массы всех трех векторных бозонов различны.
Пример частичного нарушения калибровочной симметрии: бозонный сектор стандартной электрослабой теории
Так же, как глобальная симметрия, калибровочная симметрия может нарушаться не полностью.
Упомянем еще раз, что термин «спонтанное нарушение симметрии» носит весьма условный характер по отношению к калибровочной симметрии: например, лагранжиан абелевой модели Хиггса, записанный в терминах отклонений полей от вакуумных значений, по-прежнему обладает калибровочной инвариантностью. В случае квадратичного приближения это очевидно из формулы (6.9): лагранжиан Z^2) инвариантен относительно преобразований (6.11), поскольку он записан в калибровочно инвариантных переменных Вд и х. В общем случае это ясно из выражения для полного лагранжиана (6.14) (или (6.16)), которое инвариантно относительно преобразований (6.13) и соответствующего преобразования поля АДх\ Здесь и далее мы будем понимать под нарушенной симметрией такую, которая действительно была бы нарушенной, если бы исходная симметрия была глобальной, а не калибровочной.
Общая ситуация состоит в следующем. Пусть G — калибровочная группа, (А™с, ^р^) — основное состояние. Без ограничения общности
можно считать, что А^с = 0 и что у>тас не зависит от координат; здесь индекс vac обозначает вакуумные значения полей. Выключим на мгновение калибровочные поля, тогда G будет группой глобальной симметрии. Вакуумное значение ^ нарушает G до некоторой подгруппы Я; генераторы алгебры G можно при этом разделить на ненарушенные генераторы {^} (которые являются генераторами алгебры Я) и нарушенные генераторы {i'a}, как изложено в разделе 5.4. Если бы группа G действительно была группой глобальной симметрии, то в модели имелись бы намбу-голдсто- уновские безмассовые поля, количество которых равнялось бы количеству нарушенных генераторов.
Если группа G является калибровочной группой, то калибровочные поля, соответствующие подгруппе Я, остаются безмассовыми, и калибровочная Я-симметрия реализуется так, как изложено в главе 4. Иными словами, в модели остается явная калибровочная Я-симметрия. Калибровочные поля А“, соответствующие нарушенным генераторам i«, становятся массивными. При этом намбу-голдстоуновские бозоны, соответствующие генераторам £а, исчезают из спектра.
Задача 9. Доказать сделанные выше утверждения в общем случае компактной калибровочной группы G.
Проиллюстрируем эту общую ситуацию на примере стандартной электрослабой теории Глэшоу—Вайнберга—Салама (точнее, ее бозонного сектора, поскольку мы не включаем в рассмотрение фермионные поля). Калибровочной группой этой теории является группа SU(T) х 17(1). Как отмечалось в главе 4, для каждой из двух компонент — SU(T) и 17(1) — имеется своя калибровочная константа связи; обозначим их д и д', соответственно. Пусть поле А“ (а = 1, 2, 3) — калибровочное поле группы 517(2), Яд — калибровочное поле группы 17(1). В модели имеется один дублет (по отношению к SU(2)) скалярных полей р, имеющий заряд 1/2 по отношению к 17(1). Заряд по отношению к 17(1) часто называют слабым гиперзарядом У; итак, хиггсовский дублет имеет Y = 1/2. Эти свойства (вместе с требованием, чтобы потенциал скалярного поля был полиномом четвертого порядка по у?) однозначно фиксируют лагранжиан теории:
11/2 \ 2
£ = -"^F^pF^p — -ЯдрЯду 4- (Яду>)^D^p — А ^^^^— J ,
где
F^, = 8^ - 8^ + gE^A^Ai, В,, = 8иВ, - брВр, а ковариантная производная поля р равна
О^ = 9^-.|т°4у-»^В^,(6.32)
где матрицы т“ действуют на столбец р = I Т ) .
В качестве основного состояния выберем
/ ° \
а; = вд = о, <р = I е ^ (б.зз) V V2/
Генераторами группы SU(1) х [7(1) являются матрицы Г“ = та/2 и У = 1/2 (мы считаем генераторы эрмитовыми). Представим себе, что калибровочные поля выключены, и найдем нарушенные и ненарушенные генераторы. Ненарушенные генераторы Q — это такие эрмитовы матрицы, что
Q^ = 0.(6.34)
Для конкретного выбора (6.33) условие (6.34) означает, что Г имеет вид
и из эрмитовости имеем
9=7* °)\о °/
или
Q = Г3 + У.(6.35)
Таким образом, имеется ненарушенная подгруппа с одним генератором Q — это U(1)еш -подгруппа группы SU(1) х [7(1). Мы ожидаем, что этой подгруппе будет соответствовать безмассовое калибровочное поле, которое отождествляется с электромагнитным полем. Подчеркнем, что ^(1)ет не совпадает с фактором (7(1) в 5(7(2) х [7(1); иначе говоря, электромагнитный вектор-потенциал, который мы будем обозначать Ац (без верхнего индекса), — это линейная комбинация полей А^ и Вц (из (6.35) ясно, что Ац — это на самом деле линейная комбинация Ад и В
Рассмотрим малые (линейные) возбуждения полей вокруг вакуума (6.33). Так же, как и в разделе 6.2, используем унитарную калибровку, в которой
/ ° \
V = I ^X ,(6.36)
\ V2V5 /
где %(ж) — действительное скалярное поле. В данном случае унитарная калибровка фиксирует калибровочный произвол не полностью: калибровочные преобразования из (7(1)ет не изменяют поля (6.36), так что полный лагранжиан в унитарной калибровке остается инвариантным относительно калибровочной группы (7(1)ет.
Для нахождения квадратичного лагранжиана необходимо вычислить ковариантную производную поля <р. В унитарной калибровке
D^ = d^+ -уД1D^ = d^+ -уД10 Ц _ !£з2 f° 1 о; 2_ W .3 / 12 " КО0 Ц _ !£з2 f° 1 о; 2_ W .3 / 12 " КОо/°\ ig' /1о/°\ ig' /1О1О1У-У-
D^ = d^+ -уД1
D^ = d^+ -уД1
0 Ц _ !£з2 f° 1 о; 2
_ W .3 / 1
2 " КО
0 Ц _ !£з2 f° 1 о; 2
_ W .3 / 1
2 " КО
о/
°\ ig' /1
о/
°\ ig' /1
О
1
О
1
У-
У-
Получаем
-^TS^-iA^v + x)
(6-37)(6-37)Р^= j V ,i ■
(6-37)
(6-37)
к ” 2V5^'B" ” 9А^” + ^ + Vl8^)
Введем комплексные поля
(6.38)(6.39)(6.38)(6.39)так что (Wp)* = W^. Введем также два действительных поля 1и ,
(6.38)
(6.39)
(6.38)
(6.39)
z,= VF^5^9®*
Поля Z^ и Ац подобраны так, что в ковариантную производную (6.37) входит только поле Z^ и выполняется свойство
zJ + ^^u^ + bJ.zJ + ^^u^ + bJ.(6.40)(6.40)
zJ + ^^u^ + bJ.
zJ + ^^u^ + bJ.
(6.40)
(6.40)
Итак, ковариантная производная (6.37) равна
РдУ> =РдУ> =I 2V5d-x + ^h^”z-I 2V5d-x + ^h^”z-(6.41)(6.41)
РдУ> =
РдУ> =
I 2
V5d-x + ^h^”z-
I 2
V5d-x + ^h^”z-
(6.41)
(6.41)
Здесь первый столбец линеен по возмущениям (полям W^, х> ^Д а второй — квадратичен. Поэтому вклад ковариантной производной в квадратичную часть лагранжиана равен
[(Р^)’о^](2)^-^х?+9^-w*w;+V^±£^\Z2.(6.42)
Займемся теперь кинетическим членом векторных полей в квадратичном лагранжиане. Получим в квадратичном порядке
-д^у^и/ ” д^иу = -^Х - 4(^1/) ” дФцу) ■(6.43)
Здесь
^f = 8^-M;, W^, = 8,W?-8.W^.
Далее, используя свойство (6.40), запишем вместо (6.43)
— 2^^^^ ~ "д^цу^цу ~* "д^^^цу’(6.44)
где
2р,у = 9ц2у — dyZ^, F^y = 8цАу - 8уАц.(6.45)
Таким образом, в квадратичном лагранжиане имеются стандартные кинетические члены для комплексного векторного поля W^ и действительных векторных полей Z^ и А^.
Наконец, квадратичная часть потенциала равна, с точностью до несущественной аддитивной постоянной,
V = Xv1^.(6.46)
Введем обозначения
gv VFv^-v /—mw = —, mz =, mx = V2Av.
Собирая члены (6.42), (6.44) и (6.46), получим квадратичный лагранжиан в виде
£<2) = - Iv^W" + m^W+W" - 1f^ -
„ „ mZ „ „17
- д^цу^цу ^ "^ЯцЯц + ^(^дХ)^~X •
Этот лагранжиан описывает массивное комплексное векторное поле И^ (при этом W^ = (И^)*) с массой т^ (поле TF-бозонов), безмассовое векторное поле (фотон А^, массивное действительное векторное поле с массой mz (поле Z-бозона) и массивное действительное скалярное поле % (поле хиггсовского бозона). Удобно ввести еще слабый угол смешивания 0w, такой, что
9.9*
cos 0w = — _, sin 9w — —7==.
V7+F VTvp
Смысл этого названия вытекает из формул (6.38) и (6.39), которые принимают вид
Z^ = соз^и^^д ~~ бш^^гВд, А^ = cos О^В^ + sin^nrA^, (6.47)
т. е. поля Zp и Ар являются «смесью» полей Ад и Вр. Отметим, что массы W- и Z-бозонов связаны соотношением
ТП^mz = —— .
COS
W- и Z-бозоны экспериментально обнаружены, их массы равны mw = 80 ГэВ, mz = 91 ГэВ. Угол 0W независимо измеряется путем изучения взаимодействия фотонов, W- и Z-бозонов с другими частицами (кварками и лептонами): он определяется константами связи д и д'. Значение sin2 6^ найденное экспериментально, равно 0,23. Таким образом, соотношение (6.48) выполняется в природе с хорошей точностью.
Задача 10. Введем в модель дополнительно действительные скалярные поля, образующие триплет по группе SUi^Y Подобрать скалярный потенциал и значение гиперзаряда триплета скалярных полей так, чтобы 5(7(2) х (7(1) по-прежнему нарушалась до С7(1)ет. Найти массы W- и Z-бозонов. Выполняется ли соотношение (6.48)?
В полном лагранжиане полей Wp, Zp, Ар и х присутствуют, разумеется, нелинейные члены, описывающие взаимодействие полей. Наедем, в частности, взаимодействие всех полей с электромагнитным полем. Мы ожидаем, что полный лагранжиан инвариантен относительно калибровочной группы Г7(1)ет, поскольку вакуум инвариантен относительно Й(1)ет< Убедимся в этом прямым вычислением.
Поскольку в ковариантную производную (6.37) входят только поля Wp, 2^ и х (см. формулу (6.41)), а потенциал У(у>) вообще не содержит векторных полей, взаимодействие .с электромагнитным полем Ар содержится только в слагаемом
в исходном лагранжиане. Запишем это слагаемое в терминах полей Wp, Z^ и Ад. Имеем
Д > „„123 ^2 .3 . „„132 м3 ,<2
7д1/ — Ау Оу Ар + дс АцАу + дс АрАу —
= dp Ay- дАрАу -(.jjmvY(6.49)
где (д н- р) обозначает слагаемые, отличающиеся от выписанных заменой индексов. Аналогично,
Еру = дрАу + дА3рАу - (д vY(6.50)
Образуем комбинацию
W^y =(6.51)
Получим из (6.49) и (6.50)
Из (6.47) следует, что поле Ад выражается через поля Z-бозона и фотона следующим образом
Ад = cos 0^2^ + sin ^^гАд.(6.52)
Поэтому
И^ = b^Wp т ig sinGwAj^Wp т ig cosGwZ^Wp - (д н- vY Введем еще обозначения
e = g^6w = —===(6.53)
V9 + 9 и
T>„W* = (9^ieAv)W?.
Тогда напряженности W^, будут иметь вид
W* = T>„W? - DPW* T ip cosM^W? - Z,W^\(6.54)
Ясно, что это выражение ковариантно преобразуется при U(1)ет-преобразованиях вида
W^ -^ W'^ = e±ia^,(6.55)
Ад -э Ад = Ад + ^да,(6.56)
Z^Z'^ Яд,(6.57)
где а^ — произвольная действительная функция: для этих преобразований РдИ^* представляет собой ковариантную производную полей Wp, так что W^p преобразуется как
ДУ * vy ЦУ А— с vv ЦУ*
Константу е следует отождествлять с единицей электрического заряда, а поля W+ и W" имеют заряд (+1) и (-1), соответственно.
Рассмотрим теперь третью компоненту напряженности F^p. Имеем
F^p = дЙАр - брА^ + уе312АдАр 4- дЕ32ХА^Ар =
= дИАр - дрА^ + g^A2 - A^ApY
Воспользуемся снова выражением (6.52) и выразим Ад’2 через поля ТУд . Получим
F^v = F^p sin 0W + 2цр cos 0W + ig(W^Wj" - WpW^), (6.58) где F^y и Z^p определены формулами (6.45). Это выражение инвариантно относительно преобразований (6.55), (6.56), (6.57). Таким образом,
из. (6.54) и (6.58) получим члены лагранжиана, содержащие электромагнитные взаимодействия:
= "\T>,Wv-+igcosewZ.W- - (д « у) |2 =
= " \F^sm0w + ZUvCOS0w^^ - W^W^V (6.59)
Итак, лагранжиан полей, описывающих отклонения от нетривиального вакуума, действительно обладает явной калибровочной t7(l)em-симметрией, и взаимодействие полей с электромагнитным полем Ац содержится в слагаемых (6.59) в лагранжиане. ■
Отметим, что наиболее экономный, «минимальный» способ обеспечения калибровочной (7(1)-инвариантности состоит в замене обычной производной дц в первоначальном лагранжиане комплексных полей на ковариантную производную Рд = дд - 1еАц. Так мы строили калибровочно инвариантный лагранжиан, описывающий взаимодействие комплексного скалярного поля с электромагнитным полем (раздел 2.7). Применение аналогичной процедуры к лагранжиану массивного векторного поля (раздел 2.3) привело бы к минимальному взаимодействию комплексного векторного поля Сд с электромагнитным полем Лм:
с- = -||d,c, -р,с,|2 + ^АА - ^.
В отличие от этого лагранжиана, взаимодействие с электромагнитным полем, появляющееся в 577(2) х (7(1)-теории, нарушенной до 77(1)ет, не минимально: вклад (6.59) содержит члены вида
^w;w+, d^; • w+z^. (6.60)
Их структура, а также величина соответствующих констант взаимодействия (численных множителей перед членами (6.60)) однозначно фиксирована. Фиксированы и взаимодействия W- и Z-бозонов между собой и с хиггсовским полем %, а также самодействие хиггсовского поля. Таким образом, в модели имеются разнообразные взаимодействия (нелинейные слагаемые в лагранжиане) между полями И^д , Яд, Ац, х, однако все константы связи и массы полей выражаются через небольшой набор параметров, содержащий лишь безразмерные константы д, д' и А и один размерный параметр и.
Задача 11. Найти взаимодействие полей W^ с полем Яд и хиггсовским полем х, возникающее благодаря наличию слагаемого (Лду^Лду? в исходном лагранжиане. Показать, что это взаимодействие инвариантно относительно калибровочных преобразований из t7(l)em.
Электрические заряды полей W^, связь полей Z-бозона и фотона с исходными полями А^ и Вц (формула (6.47)) и выражение для единицы электрического заряда (6.53) можно было бы найти из закона преобра-
зования полей по отношению к действию группы U(l)em, не выписывая явно лагранжиан взаимодействия. Для этого напомним, что основное состояние (6.33) инвариантно относительно калибровочных преобразований из группы SU(2) с калибровочной функцией
Цх) =(6.61)
производимых одновременно с преобразованием из группы 17(1) с калибровочной функцией
П($) = е‘а^.(6.62)
Такие калибровочные преобразования (вида w(x)5l(x)) и образуют ненарушенную подгруппу С7(1)ет. при этих калибровочных преобразованиях хиггсовское поле %(ж) не преобразуется (т. е. х(®) — электрически нейтральное поле), а поля Ар и Вр преобразуются согласно общему правилу
Ар -^ Ад = wApw“l + w0pw“l,(6.63)
Вр —>• Bp = Bp + ПддП \(6.64)
где мы временно используем обозначения Ар и Вр для полей, принадлежащих алгебрам Ли, т. е. Ар и Вр являются линейными комбинациями генераторов групп SUi^ ъП^ соответственно,
Ар —ig—Ap, Вр = -ig Вр,
Используя явный вид функций w(aj) (формула (6.61)), получим из (6.63)
Ар— 2 V Ар + т Ар + г Ар) —
~ 2е Ар + т Ар)е гд Ар % 8pOt —
= - у [(cosaA^ + sinaA^r1 + (созаАд - 8пшАд)т2] -ig^ ^Ap+^dpO^.
Отсюда получаем закон преобразования полей Ар, Ар, Ар относительно преобразований из Г7(1)ет;
Ад = Ар cos а + Ар sin а, Ад = Ад cos а - Ад sin а, (6.65) а также
Ад = Ар + ~9ра.(6.66)
Далее, используя явный вид О(ж) (формула (6.62)), получим из (6.64) закон преобразования поля Вр при преобразованиях из 17(1)ет
В'р = Вр + ^Эра.(6.67)
Таким образом, электромагнитная калибровочная группа действует на исходные поля по формулам (6.65), (6.66), (6.67).
Формулы (6.65) эквивалентны (6.55), т. е. поля W^ имеют электрические заряды (±1). Из полей Лд и В^ можно построить поле Z^, инвариантное относительно электромагнитных калибровочных преобразований. Из (6.66) и (6.67) ясно, что это поле имеет вид (с точностью до нормировки)
Яд ос дАц — д Вц.
Ортогональная линейная комбинация нетривиально преобразуется при электромагнитных калибровочных преобразованиях; она представляет собой электромагнитное поле и имеет вид (снова с точностью до нормировки)
Лд ос д'Лд +дВц.
Учитывая нормировочное условие (6.40), необходимое для того, чтобы кинетический член в свободном лагранжиане полей Яд и Лд имел стандартную нормировку, получим
■^ = J—^V^ + дВ„\(6.68)
V 9 -vg
что совпадает с (6.39). Для Яд получим выражение (6.38).
Единица электрического заряда е получается из сравнения стандартного закона преобразования электромагнитного поля
Лд —э Лд = Лд + ~9^a
с законом преобразования для поля (6.68), вытекающим из (6.64) и (6.63). Последний имеет вид
/2 ^'^ + дВ^ = ^ + / ТГ а +^а'
V9 + 9V9 + д'2\99 /
Таким образом,
1 =1 /У + /Л
е V92 + д'2\99')’
откуда следует выражение (6.53) для единицы электрического заряда.
В заключение отметим, что намеченный в конце этого раздела групповой подход достаточно просто обобщается на более сложные модели с чдстичным нарушением калибровочной симметрии. Он позволяет найти ряд свойств физических полей путем изучения законов их преобразования под действием ненарушенной калибровочной подгруппы. -.
Дополнительные задачи к части I
Задача 1. Смешивание полей.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей y?i, у?2 с лагранжианом
С- = ^¥>1)2 + ^М^1 ~ ^^1 " ^12^1^2 -
m22 2^11 4^12 2 2^22 4
^Vi—4-P1—2~¥’ifP2—^Vi-(Al.l)
Отметим, что массовый член в этом лагранжиане можно записать в матричной форме
tpT М<р,
где
Р =Р =рг = (pi р2) , м =рг = (pi р2) , м =22
Р =
Р =
рг = (pi р2) , м =
рг = (pi р2) , м =
2711! ГП12
22
27112 Г»22
(матрицу М называют матрицей квадратов масс, или массовой матрицей). Лагранжиан (А1.1) инвариантен относительно дискретной симметрии (pi -> -pi, р2 -> “Рг)- ■
Какие ограничения на т^ и А^ накладывает требование ограниченности снизу классической энергии?
Найти множество значений 27iii, т^ и 27122г при которых дискретная симметрия не нарушается спонтанно.
В случае ненарушенной симметрии найти спектр малых возмущений относительно основного состояния.
Задача 2. Дилатационная симметрия.-
1)1)2)2)Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в 4-мерном пространстве-времени, описываемую действием1
1)
1)
2)
2)
s = Jtfx ^а^Ф - ^/ ■
Показать, что действие инвариантно относительно преобразований дилатации
р(я) -> фЧх^ = a<p(ax\
где a — действительный параметр. Найти соответствующий сохраняющийся ток. Подобрать тензор энергии-импульса 1% так, чтобы след его был равен нулю на уравнениях поля, Т^ = 0.
Найти дилатационную симметрию в теории Янга—Миллса без материи в 4-мерном пространстве-времени. Построить сохраняющийся ток. Убедиться, что Т^ц = 0, если выполняются уравнения поля.
Найти наиболее общий вид потенциала И(у>) в теории одного действительного скалярного поля в d-мерном пространстве-времени (d ^ 3), при котором действие
инвариантно относительно дилатационной симметрии, аналогичной (но не тождественной) описанной в п.1.
Найти аналог дилатационной симметрии в модели Лиувилля в двумерном пространстве-времени с действием
S =S =а ха х^tpd^ip - aeN^tpd^ip - aeN
S =
S =
а х
а х
^tpd^ip - aeN
^tpd^ip - aeN
где ц = 0,1; а, b — некоторые постоянные, <р — действительное скалярное поле.
Для моделей п. 3), 4) построить сохраняющиеся токи; убедиться, что Т^ц = 0.
Задача 3. Сдвиговая симметрия.
Рассмотрим теорию одного скалярного поля с лагранжианом
£ = —d^y?d^y>.
Действие инвариантно относительно преобразований
<р^х) -> <р\х^ = у>(®) + с, где с — действительный параметр преобразования.
Найти сохраняющийся ток.
Нарушена ли симметрия спонтанно? Если да,то выполняется ли теорема Голдстоуна?
Задача 4. Слабое явное нарушение симметрии и массы «псевдоголдстоунов- ских» бозонов.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей с лагранжианом £ = £0 + £i,
где
д = \а,^ + \W + ^[(У) + (У2)2] - 5[(У1)2 + (У2)2]2 и
причем е — малый параметр, U нетривиально зависит только от компоненты у?1. Часть £0 полного лагранжиана инвариантна относительно глобальной 5'0(2) симметрии.
Задача 5. Модель п-поля
Рассмотрим модель с п действительными скалярными полями /“(я), подчиняющимися условию
ff = 1
в каждой точке х. Иначе говоря, поле принимает значения на (п - 1)-мерной сфере единичного радиуса. Построим лагранжиан, инвариантный относительно глобальной SO^n) симметрии:'
с = ^8,Г8,Г.
где g — действительный параметр.
Найти размерность параметра g в d-мерном пространстве-времени.
Вывести уравнения поля.
Найти тензор энергии-импульса и сохраняющиеся токи, соответствующие симметрии SO^.
Ц Найти основное состояние и показать, что оно нарушает S'O(n).
Найти явно спектр малых возмущений относительно основного состояния. Найти группу ненарушенной симметрии. Показать, что выполняется теорема Голдстоуна.
Задача 6. Топологически массивные калибровочные теории в трехмерном пространстве-времени (Дезер, Джекив, Темплтон, 1982).
Рассмотрим теорию одного действительного векторного поля в трехмерном пространстве-времени, д = 0,1,2. Выберем действие в виде
S = J d3x (-^Р1”' + g€,"'xAlidt,A^,
где е*1^ — полностью антисимметричный тензор, е012 = 1, g — действительная постоянная, F^ = дцАр - дрА^.
Найти размерность константы д.
Показать, что действие инвариантно относительно убывающих на бесконечности калибровочных преобразований
АДх) -> АДх) + ^а(ж)
(а(ж) достаточно быстро убывает при х -> оо).
Найти уравнения поля и показать, что они калибровочно инвариантны.
Найти спектр физических возбуждений поля (т. е. таких, которые не уничтожаются калибровочными преобразованиями). В частности, найти количество физических степеней свободы, структуру поля в этих модах и зависимость частоты у от волнового вектора к.
Слагаемое е^А^Ах называют лагранжианом Черна—Саймонса. Обобщить это выражение на случай неабелевых калибровочных полей так, чтобы неабелев лагранжиан Черна—Саймонса содержал не более одной производной и был инвариантен, с точностью до полной производной, относительно неабелевых калибровочных преобразований.
Задача 7. Бозонный сектор модели Джорджи—Глэшоу.
Рассмотрим модель с калибровочной группой 5(7(2) и триплетом действительных скалярных полей р° (Джорджи, Глэшоу, 1972). Пусть g — калибровочная константа связи, а потенциал скалярных полей имеет вид
v = -^»V + -4W?.
Найти основное состояние и остаточную (ненарушенную) калибровочную группу.
Найти спектр всех малых возмущений относительно основного состояния, расклассифицировать эти возмущения по отношению к ненарушенной калибровочной группе.
Задача 8. Модель 5(7(5) (Джорджи, Глэшоу, 1974).
Рассмотрим теорию с калибровочной группой 5(7(5).
Подобрать представление скалярных полей и скалярный потенциал так, чтобы 5(7(5) нарушилась до 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1), где 5(7(3) и 5(7(2) вложены в 5(7(5) следующим образом:
5(7(3) О
О 5(7(2)
а группа (7(1) диагональна в 5(7(5).
Найти массы векторных бозонов и их представления относительно ненарушенной калибровочной группы.
Скалярное поле в каком представлении 5(7(5) нужно добавить, чтобы обеспечить дальнейшее нарушение до 5(7(3) х (7(1), причем так, что 5(7(2) х (7(1) нарушается до (7(1) аналогично Стандартной модели? Подобрать полный скалярный потенциал для нарушения 5(7(5) -> 5(7(3) х (7(1).
Задача 9. Плоские направления.
Рассмотрим модель двух комплексных скалярных полей pi и р2 с лагранжианом
£ = В^Э^х + Адр^дрг - А(р*Р1 - р2р2 - V2)2-
Найти группу глобальной симметрии этого лагранжиана (указание: ограничиться компактными группами).,
Найти множество классических вакуумов в модели. Найти ненарушенную подгруппу для каждого вакуума.
Найти спектр малых возбуждений относительно каждого из вакуумов. Какие вакуумы являются физически эквивалентными, а какие — нет? Выполняется ли теорема Голдстоуна? Совпадает ли количество безмассовых возбуждений с количеством ненарушенных генераторов? Почему?
Введя соответствующие калибровочные поля, построить теорию, в которой найденная в п.1 группа симметрии была бы калибровочной. Найти спектр малых возбуждений относительно каждого из вакуумов в полученной калибровочной теории. Остаются ли в спектре безмассовые скалярные возбуждения?
ЧАСТЬ II
СОЛИТОНЫ, ИНСТАНТОНЫ И СФАЛЕРОНЫ.БОЗОННЫЕ ТЕОРИИ
Глава 7
Простейшие топологические солитоны
До сих пор мы рассматривали малые линейные возбуждения полей над основным состоянием (классическим вакуумом) и интересовались, в основном, спектром масс. В квантовой теории поля этим элементарным возбуждениям соответствуют точечные частицы. В этой и последующих главах мы рассмотрим солитоны — решения классических уравнений поля, которые сами по себе, без квантования, похожи на частицы. Они представляют собой сгустки полей (а значит, и энергии) конечного размера; точнее, поля быстро убывают от центра сгустка^. Существование и устойчивость солитонов обусловлены, в первую очередь, нелинейностью уравнений поля. В квантовой теории солитонам соответствуют протяженные частицы, которые, грубо говоря, состоят из элементарных частиц в каждой конкретной модели. -
Среди возможных типов солитонов особый интерес представляет класс топологических солитонов. Смысл этого термина выяснится в дальнейшем, а здесь лишь скажем, что именно топологические солитоны будут, в основном, рассматриваться в этой и следующих главах. Как правило, мы будем изучать статические солитоны, т. е. такие решения, которые в некоторой системе отсчета не зависят от времени.
В физике частиц использование представления о солитонах довольно ограниченно, хотя иногда и весьма плодотворно. В то же время, солитоны встречаются весьма часто в физике конденсированных сред.
^ В математической литературе термин «солитон» употребляется, как правило, в более узком смысле. Мы будем его использовать для любых частицеподобных устойчивых решений.
Кинк
Простейший топологический солитон — кинк — возникает в теории одного действительного скалярного поля в двумерном пространстве- времени. Действие для модели выберем в виде
|(W-V(V)],(7.1)
где v = 0,1;
Г(р) = -уу2 + ^4 + ^,(7.2)
или, что то же самое,
Действие инвариантно относительно дискретного преобразования у -> -у; эта симметрия спонтанно нарушается, поскольку классические ваку- умы равны
утас = ±v.
Напомним, что в двумерном пространстве-времени поле у безразмерно (мы по-прежнему используем систему единиц h = с = 1), размерности параметров таковы:
[д] = М, [А] = М2, [и] = 1.
Линейные возбуждения относительно одного из классических вакуумов имеют массу
m = V5 д.
В дальнейшем мы будем рассматривать теорию со слабой связью, т. е. с малым параметром А. Поскольку А размерно, более точно утверждение о слабой связи записывается следующим образом:
А < д2
(д2 — единственный параметр размерности М2, с которым можно сравнивать А) или
v > 1.(7.3)
Чтобы пояснить смысл неравенства (7.3), нам придется воспользоваться простым соображением, возникающим в квантовой теории. Рассмотрим частицу с массой т и характерным пространственным импульсом р < т. Ее комптоновская длина волны — порядка 1/т. На классическом уровне ей соответствует линейная волна Ду(я,£) = у(г, t) - v (мы рассматриваем отклонения от вакуума у — v). Амплитуду Ду оценим из требования, чтобы классическая энергия для (линейного) отклонения Ду(г, t) имела порядок т. Запишем для линейного отклонения
ЕЕ= J ^(A^ + ^A^ + yM2= J ^(A^ + ^A^ + yM2dx,dx,(7.4)(7.4)
Е
Е
= J ^(A^ + ^A^ + yM2
= J ^(A^ + ^A^ + yM2
dx,
dx,
(7.4)
(7.4)
где точка и штрих обозначают дифференцирование по t и х, соответственно. Поскольку характерный волновой вектор р и частота ы имеют порядок пз, имеемгде точка и штрих обозначают дифференцирование по t и х, соответственно. Поскольку характерный волновой вектор р и частота ы имеют порядок пз, имеем
где точка и штрих обозначают дифференцирование по t и х, соответственно. Поскольку характерный волновой вектор р и частота ы имеют порядок пз, имеем
где точка и штрих обозначают дифференцирование по t и х, соответственно. Поскольку характерный волновой вектор р и частота ы имеют порядок пз, имеем
Ду ~ Ду?' ~ пзДу?.
Далее, волновые пакеты с характерным волновым вектором р имеют типичный размер порядка 1/р, поэтому в (7.4) область интегрирования по dx имеет порядок 1/р ~ \/т. Таким образом,
Е ~ пз(Ду?)2.
Потребовав Е ~ т, получим, что порядок величины амплитуды
Ду? ~ 1.
Для того, чтобы такие отклонения от вакуумного значения ip^ = у были действительно малыми (линейными), требуется Ду? <£. v, что и дает неравенство (7.3).
Кинк — это статическое решение уравнений поля у>к(ж), интерполирующее между вакуумом у = -ми вакуумом у? = +v, когда х изменяется от х = -оо до х = +оо (рис. 7.1). То, что конфигурации, подобные изображенной на рис 7.1, могут иметь конечную энергию, видно из выражения для статической энергии (т. е. энергии для полей, не зависящих от времени)
/
1 (dtp'XА з э
dx й I ~« ) •
При х ->• ±оо как первое, так и второе слагаемое под интегралом убывают; если это убывание достаточно быстрое, то энергия конечна.
Поскольку у? = 0, уравнение поля имеет вид
(7-5)(7-5)-, 8V^
(7-5)
(7-5)
где штрих по-прежнему обозначает d/dx. Прежде, чем написать решение уравнения (7.5) в явном виде, отметим аналогию, полезную в некоторых
других ситуациях. Уравнение (7.5) имеет, формально, вид закона Ньютона для частицы с координатой <р, движущейся во времени ж в потенциале
Uto = -К(у)
(см. рис. 7.2). При этом решению Рк^ соответствует траектория, начинающаяся в бесконечном прошлом в точке у = -у и заканчивающаяся в бесконечном будущем в точке у> = +v. Такая траектория действительно требует бесконечного времени, если «энергия» этой «частицы» равна нулю (в этом случае скорость стремится к нулю вблизи каждой из вершин).
Решение уравнения (7.5) легко найти явно. Первый интеграл этого уравнения имеет вид
^'2- У(у>) = £о.
Для кинка ср1 ^ О, У (у?) ^ 0 при ж ^ ±оо, поэтому е0 = 0 (з^ЭДим, что £о — это энергия «частицы» в отмеченной выше аналогии). Поэтому
dxV 2
(выбор знака перед корнем сответствует движению слева направо, т. е. из р = -v в у? = и). Отсюда .
^ = vth (^^х-х^,
.где ж0 — постоянная интегрирования, имеющая смысл положения центра кинка. При жо = 0 конфигурация кинка у>к(ж) = v th ^j^ox
симметрична относительно замены <р -^ -<р, х -^ -х. Иногда удобно записывать конфигурацию кинка в других обозначениях:
Обсудим некоторые свойства решения (7.6) (или (7.7)), которые, в действительности, имеют весьма общий характер.
Размер кинка имеет порядок величины ' Гк ~ д"1, или
(7.8) т. е. порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения.
Действительно, решение (7.7) отклоняется от вакуумного значения только в области порядка rk. Иными словами, плотность энергии кинка
существенно отличается от нуля только в области |®| < Гк.
Статическая энергия кинка равна 00
Г2
Ek = I е^ d® = 3mv -
-оо
где т = \П д — масса элементарного возбуждения. Статическую энергию кинка можно отождествить с массой этого частицеподобного классического возбуждения поля; таким образом,
27
Me = -ти .(7.9)
Важно отметить, что размер кинка значительно превышает его комптоновскую длину волны А = 1/Мк‘. из соотношений (7.8) и (7.9) следует (см. также (7.3))
Таким образом, классический размер кинка значительно превышает его квантовый размер; даже в квантовой теории кинк будет представлять собой, по существу, классический объект. Отметим также, что масса кинка (7.9) значительно превышает массу т элементарного возбуждения.
При больших |ж| поле кинка мало отличается от вакуумного, поэтому |^к(®)1 ” v должно удовлетворять уравнению Клейна—Гордона
с массой m в этой области. Действительно, при больших х (рассматриваем для определенности х > 0) из (7.7) имеем
pk = V-^-m\
так что разность (y>k ~ «) действительно удовлетворяет статическому уравнению Клейна—Гордона с массой т (в двумерном пространстве- времени) и экспоненциально убывает.
Решение (7.7) не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако все эти преобразования должны переводить решение уравнений поля в другое решение. Применяя эти преобразования, получим семейство решений
,* \ Д Д (®^®о)-^\
фк^х - ж0; t; и) = th I -=—’
VA \у2 VI-iz /
описывающее движущиеся кинки. Физический смысл параметра и — это скорость солитона; Жо — это положение центра кинка в момент t = 0.
Задача 1. Вычислить классическую энергию и классический импульс движущегося кинка. Показать, что для кинка выполняются релятивистские соотношения между энергией, импульсом, массой и скоростью.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости решения (7.7) относительно малых возмущений 2\ Излагаемый ниже подход имеет весьма общий характер и используется для изучения устойчивости разнообразных статических решений.
Пусть ^(я) — статическое решение уравнений поля (для определенности рассматриваем (1 + 1)-мерный случай). Рассмотрим малые возмущения ф(х, t) около него, так что исходное поле имеет вид
p(x,t) = у>к(я) + ^(ж, t).(7.10)
Поле р(х, t) должно удовлетворять классическим уравнениям
д¥
(7.П)
ИЛИ
д¥ d2V
~0M<pk + ф) - ^ W - "д^^Ф + ... = 0,(7.12)
где многоточие обозначает слагаемые более высокого порядка по возмущениям ф^х,^, а производные потенциала берутся при р = <рк; они зависят явно от ж, поскольку рк зависит от ж. Поле рк удовлетворяет уравнению (7.11), поэтому слагаемые, не содержащие ф, сокращаются в (7.12), а в Линейном порядке по ф получим
d2V
(7.13)
В частности, для возмущений около кинка (7.7) в модели (7.1), (7.2) имеем
^М = д2 [з th2 (-^х) - 11.(7.14)
v*PI \v2 / J
Поскольку и в общем случае §г(у>к) зависит только от ж, переменные в уравнении (7.13) разделяются и решение можно искать в виде
<^:М) = е^.Ш,(7.15)
где /ш удовлетворяет уравнению
о2 у
<7Л6)
или
где
д2У
U^ = ^^(7Л8)
Уравнение (7.17) — это уравнение на собственные значения ш2, которое формально совпадает со стационарным уравнением Шредингера в потенциале U(ж). Общее решение уравнения (7.13) представляет собой линейную комбинацию решений (7.17). От решений /Дж) требуется, чтобы они были гладкими и не возрастали при |ж| -> оо, так что поле (7.10) — гладкое и ограниченное при |ж| оо.
Вопрос об устойчивости статического решения у>к(®) сводится к вопросу о существовании или отсутствии отрицательных значений оператора
л2
-^ + tf(x).(7.19)
аж2
Если отрицательных собственных значений нет, то все ш действительны, и малые возмущения (7.15) не растут со временем: они либо осциллируют (w2 > 0), либо вообще не зависят от времени. В этом случае решение устойчиво. Если же есть отрицательные собственные значения (хотя бы одно) ш2 = -П2, то возмущения (7.15) экспоненциально растут со временем,
0 ~ е ,
т. е. поле (7.10) экспоненциально удаляется от решения фк с течением времени; в этом случае решение неустойчиво >.
Изложенные соображения очевидным образом обобщаются на случай более чем одного пространственного измерения и систем с более сложным набором полей..
Отметим, что оператор (7.19) с потенциалом (7.18) всегда имеет нулевое собственное значение, причем собственная функция (нулевая мода) имеет вид
w)дх *(7‘20'
Действительно, <рк(х) удовлетворяет уравнению
//.
-^к +~ ^‘
Дифференцируя это равенство по х, получим
-№" + ^Ы^ = о,
т. е. функция (7.20) действительно удовлетворяет уравнению (7.16) с а? = 0. Далее, у>к(я) стремится к константе при |ж| -э оо, поэтому ^(ж) убывает при |х| -> ею, так что (7.20) удовлетворяет требованию ограниченности на пространственной бесконечности, что и требовалось. Существование этой моды связано с нарушением трансляционной инвариантности в пространстве: р^кх + а) является статическим решением уравнений поля, но оно не совпадает с ^к(ж). При малых а функция p^x-Va) представима в виде
ук(ж + а) = ^к(ж) + а/0(х),
причем а/о(ж) — малое отклонение от решения у?к(я) • Поскольку у?к(ж+а) удовлетворяет уравнениям поля, малое отклонение а/о (ж) удовлетворяет линеаризованному уравнению (7.12); оно не зависит от времени, убывает при |ж| -> ею и потому является нулевой модой.
Если количество пространственных измерений d больше единицы, то имеется d трансляционных нулевых мод. В этом случае классическое решение может нарушать и вращательную симметрию, тогда появятся вращательные нулевые моды. Наконец, в моделях с внутренней глобальной симметрией классические решения могут нарушать и внутреннюю симметрию; этому нарушению будут также соответствовать нулевые моды.
Задача 2. Пусть £(д/1Ф^; Ф^) = ^^Ь^аЬ^в - К(Ф) — лагранжиан модели со скалярными полями Ф^. Пусть он инвариантен относительно глобальных преобразований Фл -> Ф^, где £ — инфинитезимальный параметр преобразования. Пусть, далее, основное состояние не нарушает эту симметрию, а Фк>Дх) — статическое решение уравнений поля типа солитона — нарушает указанную симметрию (т.е. Ф^(х) ^ Фм(х)).
Сформулировать в общем виде условие устойчивости решения Ф^Дя) относительно малых возмущений.
Показать, что в соответствующей задаче на собственные значения имеется нулевая мода, соответствующая описанной симметрии; найти ее вид.
Вернемся к обсуждению устойчивости кинка. Спектр оператора (7.19) с U(х) = j^i^k), заданного формулой (7.14) можно найти в явном виде; он не содержит отрицательных собственных значений. Кинк устойчив относительно малых возмущений поля.
Задача 3. Найти спектр малых возмущений относительно кинка, т. е. спектр собственных значений и собственные функции оператора (7.19) с потенциалом (7.14).
Обсудим, в каком смысле кинк является топологическим солитоном. Рассмотрим для этого всевозможные конфигурации поля с конечной энергией <р(х) (момент времени фиксируем). Для конечности энергии требуется, в частности, чтобы при х -> +оо поле стремилось к одному из вакуумов +г> или -V, это же верно и для х -> -оо. Таким образом, любая конфигурация поля задает отображение двух «точек» ж = +ооиж = -оо, которые представляют собой пространственную бесконечность в одномерном пространстве, в множество классических вакуумов, которое также представляет собой две точки +v и -о. При этом любые изменения полей во времени (классическая эволюция под действием уравнений поля, действие локализованных внешних источников, и т. д.), не приводящие к возникновению конфигураций с бесконечной энергией, а потому не затрагивающие значений поля на пространственной бесконечности, не изменяют заданного таким образом отображения. В связи с этим говорят, что это отображение является топологической характеристикой полевой конфигурации.
Ясно, что две точки множества Яос{ж = +оо, х = -оо} можно отобразить в две точки множества V^p = +v, р = -v} четырьмя раз-
ными способами, как это изображено ни рис. 7.3. Это означает, что все конфигурации поля с конечной энергией можно разбить на четыре не- пересекающихся подмножества (сектора), причем эволюция не выводит поле из его сектора. Рисунок 7.3 (а) соответствует вакуумный сектор около вакуума у> = +v, поскольку у>(+оо) = ^(-оо) = г; рис. 7.3(d) — вакуумный сектор около вакуума <р = -v. Кинк находится в секторе, соответствующем рис. 7.3 (в). Наконец, в секторе рис. 7.3 (г) находится антикинк — конфигурация вида
^(®) = -рк(я) = ^к(-®).
Представим себе, что в секторе, соответствующем рис. 7.3 (в), нам удалось найти поле, реализующее минимум статической классической энергии среди полей данного сектора. Это поле заведомо отлично от вакуумного — оно находится в другом секторе — и представляет собой решение статических уравнений поля. Такое поле будет наиболее энергетически выгодным среди полей данного сектора, а потому — устойчивым. В модели, рассматриваемой в данном разделе, таким полем и является конфигурация кинка (поскольку кинк — единственное статическое решение в секторе 7.3 (в)). Таким образом, существование кинка связано с нетривиальной топологией отображений пространственной бесконечности в множество классических вакуумов. Отметим, что топологические соображения, обобщающие изложенные здесь, хотя и не гарантируют существования солитонов в других моделях, но очень часто оказываются весьма полезными для поиска солитонов. Мы будем встречаться с соображениями подобного рода в последующих главах.
Познакомимся, наконец, с понятием топологического тока на примере модели этого раздела. Определим
где д, v = 0,1,— антисимметричный тензор.
Ток к11 тривиально сохраняется (не обязательно на уравнениях поля) и этим отличается от нетеровских токов (сохраняющихся только на уравнениях поля),
8,4" = ^e'“'8v8,v> = 0.
Топологический заряд
+оо4-оо
Qt = J k° dxx = J —8\^dxx = —^(^^^ -00-00
равен нулю для вакуума и +1 и -1 для кинка и антикинка, соответственно. Таким образом, кинк реализует минимум энергии при топологическом заряде Qt = 1.
В модели этого раздела введение топологического заряда не приносит большой пользы, однако, как мы увидим уже в разделе 7.4, в других моделях использование топологического заряда открывает путь к получению явных формул для солитонных конфигураций.
В заключение этого раздела сделаем замечание, касающееся моделей рассмотренного типа в пространстве-времени числа измерений, большего 2 (физически интересный случай — четырехмерный). В этом случае уравнения скалярного поля по-прежнему будут иметь решение ^(z1), которое будет зависеть только от одной координаты. Физически это решение представляет собой бесконечную плоскую «доменную стенку», по одну сторону от которой поле принимает значение (-и), а по другую — (+v). Выражение (7.9) должно теперь интерпретироваться как энергия стенки на единицу ее площади. Таким образом, четырехмерные модели с дискретным набором вырожденных основных состояний предсказывают существование протяженных объектов, энергия которых сосредоточена вблизи двумерных поверхностей — доменных стенок. Это предсказание весьма существенно для космологии (Зельдович, Кобзарев, Окунь, 1974).
Задача 4. Синус-Гордон, преобразование Баклунда и бризеры.
Рассмотрим модель действительного скалярного поля в (1 + 1)-измерениях с ла
гранжианом
(7.21)(7.21)£ = тдиР^иР + m2v2 cos - - 1 .
(7.21)
(7.21)
2v
Найти множество вакуумов в этой модели.
Найти солитон, аналогичный кинку, который интерполирует между соседними вакуумами.
Введем переменные ф = tp/v, £ = тх, т = mt, а также переменные
P=5«+r), V = i«-r). .
2^+0о) >^(ф-фо) .2^+0о) >^(ф-фо) .(7.22)(7.22)Пусть фо — некоторое решение классических уравнений поля (зависящее, вообще говоря, от £ и т). Рассмотрим систему уравнений первого порядка относительно ф (уравнения преобразования Бэклунда)
2^+0о) >^(ф-фо) .
2^+0о) >^(ф-фо) .
(7.22)
(7.22)
5^-^) = “™
а _. 1 .
55у(*+*-) = -™
За) Показать, что решение ф этой системы удовлетворяет и уравнению синус-Гордона, т. е. уравнению поля, получаемому из лагранжиана (7.21). Это решение уравнений поля ф (которое, разумеется, зависит от выбора исходного решения фо) называют преобразованием Бэклунда решения фо.
Решая систему (7.22) для ф0 = 0, показать, что преобразованием Бэклунда классического вакуума (ф0 = 0) является найденный в п. 1) этой задачи синус- гордоновский солитон (вообще говоря, движущийся).
Зв) Применяя к решению фо = 0 преобразование Баклунда дважды (с различными комплексными a-параметрами), найти действительные зависящие от времени решения уравнения синус-Гордона. Найти среди этих решений такие, которые описывают рассеяние солитонов, а также решения, периодические во времени (бризеры). Проверить, что это действительно решения, прямой подстановкой в уравнение синус-Гордона.
Найти, какие бывают топологические заряды всех возможных конфигураций в системе синус-Гордон, как они связаны с отображением бесконечности в множество классических вакуумов. Привести примеры конфигураций со всеми возможными топологическими зарядами. В каком топологическом секторе находится бризер?
Задача 5. Рассмотрим модель комплексного скалярного поля с лагранжианом
£ = ММ* + ^г^ - ^W)2
в (1 + 1) измерениях. Показать, что рассмотренный в этом разделе кинк р = ф* = у>к(®) является решением классических уравнений поля в этой модели. Выяснить вопрос о его устойчивости относительно малых возмущений в этой модели.
Масштабные преобразования и теоремы об отсутствии солитонов
В целом ряде моделей в (d+1)-мерном пространстве-времени с d > 1 удается доказать отсутствие нетривиальных статических решений уравнений поля с привлечением масштабных аргументов (Деррик, 1964). Эти аргументы, излагаемые в данном разделе, применимы не только к устойчивым решениям типа солитонов, но и к неустойчивым статическим решениям (последние также могут представлять интерес, как мы увидим в следующих главах).
Рассмотрим сначала теорию п скалярных полей р0, а = 1,... ,п, в (d + 1)-мерном пространстве-времени. Запишем лагранжиан в достаточно общем виде
£ = \W)W - у(0, (7.23) где Fa^tp) и V\p) — некоторые функции скалярных полей ра. Будем действовать от противного. Пусть р“(х) — статическое решение классических уравнений поля с конечной энергией. Оно является экстремумом функционала энергии
№1 = J№1 = Jdd$dd$^.WW + к(р)^.WW + к(р)(7.24)(7.24)
№1 = J
№1 = J
dd$
dd$
^.WW + к(р)
^.WW + к(р)
(7.24)
(7.24)
Мы будем считать, что матрица FabQp) при всех р определяет положительно-определенную квадратичную форму, т. е. все собственные значения этой матрицы положительны при всех р. Тогда
(7.25)(7.25)*WW ^ о,
(7.25)
(7.25)
причем равенство наступает только для полей, не зависящих от х. Кроме того, мы будем считать У (у?) ограниченным снизу и выберем начало отсчета энергии так, чтобы значение V в абсолютном минимуме У (у?) (классическом вакууме) было равно нулю:
V^ = 0.
Тогда
У(у>) > 0,(7.26)
и равенство наступает только для классического вакуума. Тогда классический вакуум — однородное поле, реализующее абсолютный минимум потенциала У (у?), — будет иметь нулевую энергию, а любая другая конфигурация поля будет иметь положительную энергию.
Задача 6. Вычислить тензор энергии-импульса для модели (7.23) и показать, что выражение (7.24) действительно является функционалом энергии для полей, не зависящих от времени.
Задача 7. Показать, что в случае статических полей уравнения поля для лагранжиана (7.23) являются одновременно уравнениями экстремальности функционала энергии (7.24).
Задача 8. Показать, что если матрица Fob(y>) имеет отрицательные собственные значения при некотором выборе у>° и Е^ф) — гладкие функции полей у>“, то энергия (7.24) не ограничена снизу.
Если у>“(х) — статическое решение уравнений поля с конечной энергией, то функционал энергии должен быть экстремален при у?° = у>“ относительно любых вариаций поля, исчезающих на пространственной бесконечности. Рассмотрим конфигурацию полей вида (индекс а опустим)
Ра(х) = Ук(Ах).(7.27)
При малых А разность
^a(x) - у>к(х) = у>к(Ах) - у>к(х)
является малой вариацией поля. Она исчезает на пространственной бесконечности, поскольку у?к(х) стремится к константе при |х| -> оо (иначе градиентный вклад в энергию расходился бы). Следовательно, функционал энергии, вычисленный на конфигурациях (7.27),
ею = вьдо]
должен иметь экстремум при А = 1 (вычисленный на однопараметрическом семействе полевых конфигураций (7.27) функционал энергии является функцией единственного параметра А),
dE _
^ А=1
Убедимся, что в ряде случаев это не так.
Вычислим энергию для конфигурации (7.27):
ЖА) = /d^x \раЬ^Х^•
Сделаем в этом интеграле замену переменных у = Ах,
так что ddx = X"dddy, д/дх' = А д/ду'. Получим
Е^ = A"d J ddy ^a6(^k(y)) • A2(^Рк(у)} (^^(у)) + V(pk(y)) , или
Б(А) = A2"dE + A~dn,(7.29)
где
T = J ^^(^МА. n = Jd*zV(y11).(7.30)
Подчеркнем, что Г и П выражаются только через исходное решение рк(х), при этом Г и П — градиентный и потенциальный члены в энергии этой конфигурации, соответственно. В силу условий (7.25), (7.26) имеем
Г > 0, П > 0.
Поскольку Г и П не зависят от А, функция Е(Х) нам известна явно: она дается формулой (7.29). Условие ее экстремальности (7.28) дает
(2 - d)r - dn = 0.(7.31)
Вместе с положительностью Г и П это условие приводит к серьезным ограничениям на существование классических решений в скалярных теориях:
d > 2: условие (7.31) удовлетворяется только при
Г = П = 0.
Это означает, что $у?к = 0 и у>к — абсолютный минимум потенциала У (^), т. е. единственным решением является классический вакуум.
d = 2: условие (7.31) дает
П = 0.
Если потенциал V^ нетривиален, то это условие также означает, что единственным статическим решением является классический вакуум. Единственным классом (2 + 1)-мерных скалярных моделей, где возможно существование нетривиальных классических решений, являются модели с
У (у>) = 0 при всех р, т. е. потенциального слагаемого в лагранжиане нет вообще (при этом кинетический член должен иметь достаточно сложную структуру). Такая ситуация реализуется, например, в модели n-поля, которая будет рассмотрена в разделе 7.4.
При d = 1 условие (7.31) дает теорему вириала
Г = П
и не накладывает ограничений на выбор модели.
Физическая причина отсутствия статических солитонов в (d+ ^-мерных скалярных теориях сй>2(ий = 2 при У^ ^ 0) следующая. Если р°(х) — некоторая конфигурация скалярных полей, то, как видно из (7.29), энергия соседней конфигурации ^а(Ах) меньше, чем энергия исходного поля, при А > 1. Конфигурация ^а(Ах) отличается от ^а(х) своим размером: если г — характерный размер конфигурации р°(х), то характерный размер конфигурации ^“(Ах) равен А-1г, т. е. он меньше в А раз (А > 1). Иными словами, частицеподобной конфигурации энергетически выгодно неограниченно сжиматься.
Заметим, что указанную трудность можно обойти в скалярных теориях с d > 2 лишь ценой добавления в лагранжиан членов с высшими производными. Например, если в лагранжиан (а следовательно, в статическую энергию) добавить слагаемое с четырьмя производными, то изложенный выше масштабный аргумент модифицируется: вместо (7.31) получится
(4 - d)F4 + (2 - d)E2 - </П = 0,(7.32)
где Г2 — вклад в энергию поля рк(х) членов с двумя производными (типа (7.30)), а Г4 — вклад в энергию конфигурации ^“(х) членов с четырьмя производными (типа J с?^ж (с^^)4). При d = 3 условие (7.32) может выполняться при положительных П, Г2, Г4, т. е. солитон может существовать. Такая ситуация реализуется в модели Скирма, рассмотренной в одной из задач к этой части.
Рассмотрим теперь калибровочные теории. Ограничимся для удобства записи формул случаем простой калибровочной (матричной) группы G. Пусть А^ — калибровочное поле, <р — скалярное поле, преобразующееся по (вообще говоря, приводимому) унитарному представлению Т группы G. Лагранжиан калибровочной теории имеет вид
с = Л Tr Fj, + ф^ф^ - УМ,
где
Ецр = дцАу — дрА^ + [Ад, Ay], D^ip = [дд + Т(Ад)]у> (напомним, что А^ и Г^р — антиэрмитовы матрицы: мы пользуемся матричной формой калибровочных полей).
В качестве примера рассмотрим поля, не зависящие от времени в калибровке Ао = 0. (Отметим, что независимость полей от времени не является калибровочо инвариантным утверждением: если какая-то конфигурация не зависит от времени, то, сделав над ней калибровочное
преобразование с калибровочной функцией, зависящей от времени, получим поля, зависящие от времени.) Для интересующих нас конфигураций
F^ = 0,(7.33)
D^tp = 0.(7.34)
Заметим, что эти равенства калибровочно инвариантны; их можно было бы положить в основу определения рассматриваемого класса полей.
В действительности класс полей, удовлетворяющих условиям (7.33), (7.34), не исчерпывает все интересные случаи статических решений (пример статического решения, не удовлетворяющего (7.33), (7.34) дает магнитный монополь с электрическим зарядом — дион). Однако мы ограничимся рассмотрением этого класса полей для конкретности дальнейшего изложения.
Функционал энергии для рассматриваемых здесь полей имеет вид
Я[Л,^= /^ --^TrFy^ + ^/^ + V^) ,
причем все три слагаемых положительны (мы по-прежнему считаем, что V(p) неотрицателен и равен нулю только для классического вакуума).
Пусть Ак(х) и рк(х) ~ классическое решение. Применим снова масштабное преобразование, причем подберем преобразование поля А так, чтобы F^ ы Dip преобразовывались однородно. Это требование приводит к рассмотрению следующего семейства полей:
(7.35)(7.35)Рл(х) = v>k(Ax), Ал(х) = ААк(Ах).
(7.35)
(7.35)
Тогда ковариантная производная по х для новой конфигурации равна
где у = Ах,где у = Ах,П?)узЛ(х) = ^+Т(Аа(х)) ^>A(x) = ADy^k(y),
где у = Ах,
где у = Ах,
Dy^k(y) — ^+T(Ak(y)) ^(у)
— ковариантная производная по у для исходной конфигурации. Тензор напряженности для нового поля равен
^=Ь^ - ^ ^+W(x)’ А'(хЯ=х1р‘М
где
^1+ W(y)- 4(у)1
— тензор напряженности исходной конфигурации с координатой у. Подставляя эти выражения в функционал энергии для конфигурации (7.35), получим
Е(А) = A4~dG 4- A2-dT + A~dn,
где
G= [ ^(-A^W^Y
Г = У ddffyWWPk), П = У ^ГМ,
G, Г, П представляют собой вклад калибровочного поля, ковариантной производной и потенциала скалярного поля в энергию классического решения (^k, Ак); все эти величины положительны. Условие экстремальности Е(А) при А = 1 дает
(4 - d)G + (2 - d)r - dH = 0.(7.36)
Это условие гораздо слабее (7.31): оно не запрещает существования нетривиальных классических решений при d = 2 и d = 3; мы познакомимся в разделе 7.3 и в последующих главах с солитонами в калибровочных теориях в (2 + 1)- и (3 + 1)-мерном пространстве-времени. Интересен также случай d = 4 (инстантоны), в этом случае условие (7.36) требует, чтобы скалярные поля вообще отсутствовали в теории (или значение скалярных полей было бы вакуумным всюду в пространстве).
Таким образом, масштабный аргумент для калибровочных теорий со скалярными полями не работает при d ^ 3, а для калибровочных теорий без скалярных полей — при d = 4. Он запрещает существование нетривиальных статических классических решений
в теориях со скалярными полями при d ^ 4;
в чисто калибровочных теориях (без скалярных полей) при d ^ 4. (В частности, в чисто калибровочной теории в физически интересном (3 + 1)-мерном пространстве-времени солитонов нет.)
Вихрь
Вихрь — простейший солитон в калибровочной теории со скалярами (Абрикосов 1966; Нильсен, Олесен, 1973). Он возникает в модели с калибровочной группой ?7(1) и механизмом Хиггса в (2 + 1)-мерном пространстве-времени. Итак, в модели имеется однокомпонентное калибровочное поле Ад (ж) и комплексное скалярное поле у>(ж), преобразующиеся при калибровочных преобразованиях следующим образом:
р^ -)• ега(я)у?(ж), Ад(ж) -> Ад(ж) + ^дда(ж).
Здесь и далее в этом разделе д, v = 0,1, 2. Лагранжиан модели имеет вид
£ =+ (VW - VVpY(7.37)
где, как обычно,
Fцр = дцАр дрАц, ОцР = (дд - жеАд)^,
а потенциал выберем в виде, обеспечивающем возникновение механизма Хиггса:
У(р) = ~li2p р + -^*^2 +
или, что эквивалентно,
где v = —7=VXгде v = —7=VX
где v = —7=
VX
где v = —7=
VX
Напомним, что основное состояние в этой модели можно выбрать так, чтобы Л, = О, ^ = v; при этом векторное поле приобретает массу
(7.38)
а скалярное поле в унитарной калибровке записывается в виде
р = гН—
где действительное поле т?(ж) имеет массу
Шн = V2A v = V2 д. (7.39) Разумеется, формулы (7.38) и (7.39) относятся к малым (линейным) возмущениям относительно вакуума р = v.
Для нахождения солитона в этой модели рассмотрим сначала все возможные несингулярные конфигурации полей, не зависящие от времени в калибровке До = 0- (Напомним, что в этой калибровке имеется остаточная инвариантность относительно калибровочных преобразований, не зависящих от времени.) Потребуем конечности энергии полей, а остаточную калибровочную свободу пока не фиксируем. Для интересующих нас конфигураций функционал энергии имеет вид
Я[А(х), у>(х)]Я[А(х), у>(х)]J ^FijFij + (DipyDip + У(у>)J ^FijFij + (DipyDip + У(у>)d2x.d2x.(7.40)(7.40)
Я[А(х), у>(х)]
Я[А(х), у>(х)]
J ^FijFij + (DipyDip + У(у>)
J ^FijFij + (DipyDip + У(у>)
d2x.
d2x.
(7.40)
(7.40)
Для конечности энергии необходимо (но не достаточно), чтобы У(^) обращался в нуль при |х| -4 оо, т. е.
|у>| -> V при |х| -> ОО.
Зафиксируем большую окружность (радиуса R) с центром в начале координат. Для достаточно больших R модуль поля на этой окружности равен -и, однако фаза поля р может зависеть от полярного угла 6 на плоскости. Таким образом, на нашей окружности
р = e^^D.
Функция -ие^^ задает отображение окружности радиуса R в пространстве в окружность радиуса v в плоскости комплексных р. Отображения окружности в окружность можно охарактеризовать целым числом
Рис. 7.4
п = 0, ±1, ±2,... — «числом наматываний». Наглядно это можно представить следующим образом: возьмем резиновое кольцо и будем помещать его на жесткий обруч. Способ, соответствующий п = 0 — это стянуть все кольцо в одну точку на обруче, или положить кольцо так, как изображено на рис. 7.4(a). Отображение с п = +1 — это отображение, изображенное на рис. 7.4 (5); n = -1 получится, если резиновое кольцо положить «вверх ногами». Отображение с п = 2 получится, если сделать из резинового кольца восьмерку, сложить ее, как показано на рис. 7.4(e), а затем положить на обруч. Построение отображений с более высокими п очевидно. В аналитическом виде отображения с различным п могут быть выбраны, например, как
^9) = ein%.(7.41)
Разумеется, фаза поля р не является калибровочным инвариантом. Однако число наматываний инвариантно относительно калибровочных преобразований, гладких во всем двумерном пространстве. Например, можно было бы попытаться изменить число наматываний на ( -1), взяв в качестве калибровочной функции
е‘а(^ = е-<6
однако такое калибровочное преобразование сингулярно в начале координат; в частности, преобразованный вектор потенциал
Ai + ^О^х)
растет как 1/г при г -> 0. Интуитивно ясно, что этот пример носит общий характер; мы будем более подробно обсуждать свойства отображений такого типа в главе 8.
Число наматываний, характеризующее конфигурацию поля р(ж), не зависит от выбора кривой вокруг начала координат, если эта кривая находится в достаточно удаленной области, где |у>| = и. Действительно, число наматываний дискретно, и оно не может меняться при непрерывном изменении кривой. Из этих же соображений ясно, что число наматываний не может изменяться и при гладкой эволюции полей во времени, не затрагивающей поля на пространственной бесконечности. Таким образом, число наматываний — это топологическое число, характеризующее конфигурацию поля и являющееся интегралом движения. Как и в примере с кинком, множество всех полей с конечной энергией разбивается на не- пересекающиеся подмножества (сектора); в данном случае их бесконечно много и они характеризуются целым числом п = 0, ±1,....
В действительности формула (7.41) исчерпывает все возможные асимптотики полей с точностью до калибровочных преобразований, гладких во всем пространстве. Для того, чтобы убедиться в этом, заметим, прежде всего, что число наматываний можно записать в явном виде как
п = —4~т / d®‘21Г8У2 J Y
где интеграл берется по удаленной окружности. Если р = e'^D, то п = ^[/(2тг) - /(0)]. Поэтому два поля с одинаковым числом наматываний отличаются асимптотически на фазовый фактор с нулевым числом наматываний: если асимптотически
^Д®) = e’^^v, ^(®) = е^^и
и при этом /1(2тг) - /ДО) = /2(2тг) - /2(0), то
■р2^ = е‘Л1(а!)^1(ж),
где /21 = /2 - /1, И
/21(2тг) - /21(0) = 0.
Поскольку /21 — однозначная функция 6, можно построить гладкую калибровочную функцию
а(г,») = 5(г)Л1(»),(7.42)
где 5 (г) — некоторая произвольно выбираемая гладкая функция, удовлетворяющая д(г -> 0) = 0, ^(г -> 00) = 1. При калибровочном преобразовании с калибровочной функцией (7.42) поле pi переходит в
а поле р\ имеет ту же асимптотику, что поле р2. Итак, с помощью гладких во всем пространстве калибровочных преобразований можно добиться того, чтобы асимптотики полей имели фиксированный (для каждого п) вид; этот вид можно зафиксировать формулой (7.41). В каждом из секторов
пространства полей нам теперь известен асимптотический вид скалярного поля.
Будем искать солитон в секторе с n = 1. Асимптотически, при |х| -> оо, скалярное поле имеет вид
'<р = е%.(7.43)
Для конечности энергии необходимо, чтобы ковариантная производная Dup убывала быстрее, чем 1/г (иначе J d2x\Diip\2 расходился бы при |х| -> оо). Обычная производная не обладает этим свойством, поскольку 8i<p = е*% • i8i6 = (e‘9i)) • ^“-^Wj^,
где и, — xJt — единичный вектор в направлении х. Такое медленное убывание обычной производной необходимо скомпенсировать полем Aj, имеющим асимптотику
Ai =(7-44)
Эта асимптотика представляет собой чистую калибровку, А, = ^6^6, поэтому тензор Е^ убывает быстрее, чем 1/г2, хотя поле А, убывает как 1/г.
Для получения солитонной конфигурации необходимо найти гладкое решение уравнений поля с асимптотиками (7.43), (7.44). Для нахождения соответствующей подстановки воспользуемся приемом, который работает и в случае более сложных систем- Заметим, что асимптотики (7.43) и (7.44) инвариантны относительно пространственных вращений, дополненных глобальными фазовыми преобразованиями поля у>, т. е.
^) = е-,а^ + а)
(инвариантность Ai очевидна: вращение вектора nj приводит к вращению Ai как пространственного вектора). Запишем наиболее общий вид полей, инвариантных относительно этих обобщенных пространственных вращений,
tp^r, 0) = 1)ег6Е^т\ А^т, 0) = -^eijUjA^r) + n,B(r),
где F(r), А(г) и В (г) — функции радиуса, которые требуется найти из уравнений поля. Заметим еще, что вклад В (г) представляет собой чистую калибровку,
г
■>цВ(г) = д/у В(г) dr^,
поэтому можно положить В (г) = 0 (это не противоречит асимптотике (7.44)). Таким образом, решение можно искать в виде
tp^r, 6) = -ue^F^, Ai(r, 0) = - —£ijn}A(r). (7.45)
He вполне тривиальное свойство этой подстановки состоит в том, что она «проходит» через уравнения поля, т. е. все уравнения поля сводятся к двум уравнениям для F(F) и А^г). (Это утверждение й результаты двух следующих задач обобщаются на произвольные модели и произвольные симметрии и носят название теоремы Коулмена.)
Действительно, подставляя выражения (7.45) в уравнения поля, следующие из лагранжиана (7.37), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно двух функций А(г) и F(r),
ddrddrddrddr(7.46)(7.46)\dA\ n _ _2eV— 1- A) = 0, r dr ) r
ddrddr
ddrddr
(7.46)
(7.46)
r^- ) + X^rF^F1 - 1) + -(1 - A)2 = 0. dr)T
Существенно, что количество уравнений совпадает с количеством неизвестных функций, т. е. система (7.46) непротиворечива.
Задача 9. Показать, что все уравнения поля для полей вида (7.45) сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям (7.46) для F^ и А(г).
Задача 10. Записать функционал энергии для полей вида (7.45) в форме однократного интеграла по dr. Найти условия экстремальности этого интеграла и показать, что они сводятся к уравнениям (7.46).
Из (7.43), (7.44) следует, что функции F(r) и А(г) обладают следующими асимптотиками:
F^ -> 1, A(r) -> 1 при г —^ оо.(7.47)
Кроме того, требование гладкости полей при г = 0 накладывает условия
(7-48)(7-48)F(r) -> 0, А(г) —> 0 при г -» 0
(7-48)
(7-48)
(более точно, F^ = О(г), А(г) = О(г2) при г -> 0). К сожалению, явного решения уравнений для F^ и А(г) с граничными условиями (7.47) и (7.48) найти не удается; форма функций F^ и А(г) может быть найдена численно.
В существовании решений уравнений (7.46) с поведением (7.47) и (7.48) можно убедиться с помощью следующего достаточно надежного, хотя и нестрогого аргумента. Рассмотрим для определенности случай тд < 2ту. Покажем сначала, что имеется двухпараметрическое семейство решений уравнений (7.46), удовлетворяющее условию (7.47); требование (7.48) при этом накладывать не будем. При больших г запишем А(г) = 1 - a(r), F = 1 - /(г), причем требуем а(г) -> 0 и /(г) -> 0 при
т -> оо. Первое из уравнений (7.46) очевидным образом линеаризуется и имеет вид
d /1 da \ уr— I —— I - mva = 0.
dr \т dr )
Оно имеет однопараметрическое семейство решений, стремящихся к нулю при Г —> СЮ,
a^ = CaV^e"mvT,(7.49)
где Са — произвольная постоянная. Второе из уравнений (7.46) также линеаризуем,
d ( df\ .
г dT у dr /
и получим семейство решений, убывающих при г -> оо,
/(г) = с,-^,(7.50)
где С/ — другая произвольная постоянная \ Таким образом, мы действительно имеем двухпараметрическое семейство решений, убывающих при г ->■ оо.
Изучим теперь другое семейство решений уравнений (7.46), а именно, таких, которые удовлетворяют условиям (7.48) (без требования (7.47)). При малых г запишем
F(r) = ajr-V Pjt3 +..., A(r) = aor2 + par4 + ..., где af,..., pa — неизвестные пока константы. Подставляя эти выражения в (7.46) и приравнивая члены при одинаковых степенях г, получим, что aj и а0 произвольны, a pf и ра через них выражаются,
0а = —^af> 0f = ~ -^«f - gttea/ (существенно при этом, что в лидирующем — нулевом — порядке по г второе из уравнений (7.46) превращается в тождество). Таким образом, второе семейство решений — также двухпараметрическое и характеризуется двумя параметрами а/ и аа.
Интересующее нас решение удовлетворяет обоим условиям (7.47) и (7.48), т. ё. оно должно принадлежать как первому, так и второму семейству. Иначе говоря, какое-то решение из первого семейства, характеризующееся некоторыми значениями С8 и С/, должно сшиваться с одним из решений второго семейства с какими-то аа и ар Условия сшивки
двух решений в некоторой (все равно какой) точке Го — это равенства функций ^(го) и А(г0) и их производных F'(ro) и А'(г0) в этой точке. Это требование дает четыре уравнения на четыре неизвестных параметра Са, Cj, аа и а/, т.е. количество параметров совпадает с количеством уравнений для них. Такая система, как правило, имеет решение (одно или дискретный набор), что и служит серьезным аргументом в пользу существования интересующих нас решений.
Этот аргумент можно применять, разумеется, не только для вихря. Хотя он носит несколько эвристический характер, он во всех известных случаях приводит к правильному результату. Отметим, что при применении этого аргумента к системам линейных уравнений необходимо учитывать, что общая мультипликативная постоянная параметром решения по существу не является.
Задача 11. Найти численно F^ и Л(г) для тн = ту = 1.
Задача 12. Рассмотреть случай тн > ту. Показать, что область, где |у>| существенно отличается от у,т. е. (|у>| — у) ~ у, имеет размер порядка ^-, а область, где Л(г) существенно отличается от единицы, имеет размер порядка ^. Таким образом, солитон имеет маленький скалярный кор и относительно большой векторный кор. Найти асимптотику функции Л(г) вне векторного кора (г > ^). Показать, что вне скалярного кора (г > ^, но не обязательно г > ^) поле В, = (Л,- + ^СуП,) удовлетворяет уравнению свободного массивного векторного поля (отметим, что В, -> 0 при г -> оо). Найти явный вид Л(г) вне скалярного кора, т. е. при г > ^ (но не обязательно г ^ ^). Найти массу солитона с логарифмической точностью по ^, т. е. убедиться, что М^ = С(ту, е)(1п ^ +0(1)) и вычислить коэффициент О перед логарифмом.
Хотя явно солитонное решение найти не удается, массу солитона и его размер можно найти из масштабных соображений. Сделаем это, считая ^ ~ 1. Сделаем в функционале энергии (7.40) замену переменных
ip(x) = 0(у), Л(х) = ^С.(у),
где
у = тух.(7.51)
Эта замена подобрана так, чтобы три слагаемых в плотности энергии имели один порядок при ф ~ 1, Ci■ ~ 1, у ~ 1:
(
2 \ 21
"г) 21ад2’
§(М2 - »2)2 = ^(W2 -1)2 = (тУ^2 -1)2-
ZZу v / Ollby
где sc, 9Ci/ а. \ ,
Си = Т-Г, Did) — I — hCi I
3 9угду3у ду1 /
Таким образом, функционал энергии в терминах новых переменных имеет вид
S=^ / ^[Уи + ^^ + ^еМ2-!)2]-(7-52)
v JЯгZО ТГЬу_
При т-н ^ mv подынтегральное выражение не содержит малых или боль-ших параметров, поэтому минимум функционала энергии достигается приф-1, Ci-1,
а характерный размер солитона в новых переменных — порядка единицы,У ~ 1-
Последнее соотношение вместе с (7.51) означает, что размер солитона в пространстве имеет порядок
Наконец, масса солитона (значение функционала энергии (7.52) в минимуме) имеет порядок
-mV
е2Более точно, зависимость массы от параметров модели вытекает из (7.52),
М^^мГ—),(7.53)
е2 у ту /
где функция М(^) может быть найдена численно.
Завершая этот раздел, заметим, что описанный в этом разделе солитон можно рассматривать и как статическое решение уравнений поля в модели (7.37) в (3 + 1)-мерном пространстве времени, не зависящее от ж3 и имеющее Л3 = 0. Такое решение описывает бесконечно длинный прямой объект — вихрь, или струну. При этом в общем случае топологическое число п пропорционально магнитному потоку вихря
е f з
п = — H3d2x,(7.54)
где интеграл берется по некоторой плоскости, ортогональной вихрю (или системе параллельных вихрей), например, по плоскости (ж1, ж2). Действительно, требование быстрого убывания ковариантной производной поля
р = e‘9nv приводит к асимптотике поля А, вида (сравни с (7.44)) п
At =-did, i = l,2.е
Отсюда п выражается через интеграл по удаленному контуру в плоскости (ж1, ж2)
п = Ф Ai dxl,2тг J
что и приводит к (7.54) по теореме Стокса. Целочисленность топологического числа означает, что магнитный поток вихря квантуется. Выражение (7.53) представляет собой массу вихря на единицу длины.
Физической системой, в которой действительно возникают вихри, являются сверхпроводники второго рода. Функционал энергии (7.40) представляет собой гамильтониан Гинзбурга—Ландау.
Вихри описанного типа рассматриваются и в теории частиц, хотя пока неизвестно, существуют ли они в природе (в Стандартной модели их нет). В космологическом контексте их называют космическими струнами.'
Солитон в модели п-поля в (2 + 1)-мерном пространстве-времени
Модель п-поля дает пример ситуации, когда в теории с одними скалярными полями потенциальное слагаемое в лагранжиане отсутствует, и существование солитона в (2 + 1)-мерном пространстве-времени не запрещено масштабными аргументами раздела 7.2. Другой интересной особенностью этой модели является наличие топологических свойств, несколько отличающихся от тех, которые были рассмотрены в предыдущих примерах (разделы 7.1 и 7.3).
Модель содержит три действительных скалярных поля ра,а = 1, 2, 3, на которые наложено одно нелинейное условие в каждой точке х
t^W^ = 1(7.55)
(иногда для полей используют обозначение п°, отсюда пошло название модели; мы зарезервируем обозначение п для единичного радиуса-вектора). Таким образом, поля лежат на сфере S2 единичного радиуса; лишь две переменные из трех полей ра являются независимыми. Лагранжиан модели выберем в виде
С =(7.56)
где g — некоторая постоянная, д, v = 0,1, 2. Отметим, что лагранжиан и условие (7.55) инвариантны относительно глобальных преобразований
из группы 0(3), при которых поля р° преобразуются как компоненты трехмерного вектора.
Хотя лагранжиан (7.56) квадратичен по полям, уравнения поля нелинейны, поскольку на поля наложено нелинейное условие (7.55). Для получения этих уравнений воспользуемся стандартным методом Лагранжа. Добавим к действию связь (7.55) с лагранжевым множителем, т. е. запишем
^=/ ^ ^t^6^ + 2^ / ^MW^H)-
Здесь А(ж) — лагранжев множитель; фактор ^ во втором слагаемом введен для удобства. Уравнения поля получатся, если варьировать S по полям ^“(ж), считая их независимыми, а лагранжев множитель А(ж) подбирать так, чтобы выполнялось уравнение связи (7.55).
Из варьирования S получим
-д^*^ + 4*4®) = 0.(7.57)
Лагранжев множитель найдем, умножая (7.57) на tpa и пользуясь (7.55):
-^(^дддду?0^) + А(ж) = О,
т. е.
А(ж) = <раацд^а.(7.58)
Таким образом, получим окончательно из (7.57) и (7.58) уравнение, не содержащее лагранжева множителя:
-8,8,/ + ^8,8,^ = °-(7.59)
Это уравнение нелинейно, как и следовало ожидать.
Будем изучать статические (не зависящие от времени) конфигурации полей с конечной энергией. Функционал энергии для них имеет вид
Б=^ f ^^ ^х'(7>6°)
Рассмотрим сначала основное состояние, которое представляет собой конфигурацию поля с наименьшей энергией. Ясно, что наименьшее значение энергии равно нулю, и оно реализуется на однородных (не зависящих от х) полях. Как обычно, учитывая глобальную симметрию 0(3), можно выбрать в качестве основного состояния любой постоянный вектор, при этом глобальная 0(3)-симметрия нарушится. Выберем в качестве основного состояния конфигурацию
/ = -6а\(7.61)
что соответствует южному полюсу сферы S2.
Вернемся к обсуждению статических конфигураций полей с конечной энергией. Условие конечности энергии означает, что у>°(ж) стремится
к константе при |х| -> оо, причем эта константа не зависит от угла на плоскости (ж1, ж2) (в противном случае Vp“ ~ 1/г и интеграл в (7.60) расходится). Если говорить о топологических свойствах таких конфигураций, то все «точки» пространственной бесконечности можно отождествить, при этом пространство становится топологически эквивалентным двумерной сфере S2. Каждая конфигурация полей р°(х) с конечной энергией задает отображение сферы 52 (пространство с отождествленной бесконечностью) в S2 (множество значений поля). Как и в случае отображений S1 —> S'1, отображения S2 -у S2 характеризуется целым топологическим числом п = 0, ±1, ±2,... , которое называют степенью отображения. Конструкция отображений с различными п повторяет конструкцию, изложенную в разделе 7.3, только вместо колец надо рассматривать сферы. Таким образом, множество конфигураций поля ра разбивается на непересекающиеся подмножества (сектора); сектор с п = 0 содержит вакуум, а в секторе с n = 1 можно искать топологический солитон. ’
Полезно получить явную формулу для п как функционала ^(ж). Для этого рассмотрим отображение площадки вблизи точки х в площадку вблизи точки ^(х), изображенное на рис. 7.5 (тройку у>° мы иногда будем понимать как вектор р единичной длины в трехмерном пространстве полей).
d®2d®2dxxdxxРис. 7.5Рис. 7.5
d®2
d®2
dxx
dxx
Рис. 7.5
Рис. 7.5
Площадь площадки, полученной при таком отображении, равнаda = (dp)i х (d^,
и вектор da может быть либо параллелен, либо антипараллелен вектору tp (da — площадка на сфере S2, а р ортогонален этой сфере). Если отображение 5^р0странств0 -> ^Ноле имеет степень п, то сфера ЗНоле накрывается п раз, т. е.
п = (площадь поверхности, заметаемой при отображении).
4тг
При этом площадь элемента поверхности нужно брать со знаком плюс, если ориентация (dp)\ и Ц^г — такая же, как (d^1) и (d^2), и со знаком минус в противоположном случае (последний случай изображен на рис 7.5). Знак получится правильным, если записать
п = — /
4тг J
что дает
11п = — 4тгп = — 4тгj d?xp-j d?xp-' j¥ х ^1 = _ _8хх 8х\ 8тг' j¥ х ^1 = _ _8хх 8х\ 8тг11d X Е E^jp О^р ujp .d X Е E^jp О^р ujp .(7.62)(7.62)
1
1
п = — 4тг
п = — 4тг
j d?xp-
j d?xp-
' j¥ х ^1 = _ _8хх 8х\ 8тг
' j¥ х ^1 = _ _8хх 8х\ 8тг
1
1
d X Е E^jp О^р ujp .
d X Е E^jp О^р ujp .
(7.62)
(7.62)
Это топологическое число не изменяется при гладких изменениях поля р0,, не затрагивающих пространственную бесконечность. В отличие от топологических чисел, встречавшихся в разделах 7.1 и 7.3, оно связано не со свойствами полей на пространственной бесконечности, а с полями во всем пространстве.
Задача 13. Показать явным вычислением, что топологическое число (7.62) не изменяется при локальных вариациях поля ра, т. е. при замене ра на ipa + 8ра, где 5<ра — инфинитезимальная вариация поля, быстро убывающая на пространственной бесконечности.
В дальнейшем мы будем полагать, без ограничения общности, что поле pQ(x) стремится к вакуумному значению (-503) на пространственной бесконечности.
Задача 14. Рассмотрим конфигурацию поля вида
У°(х) = па sin /(г), р3^ = cos /(г), где а = 1,2; па = $а/г — единичный радиус-вектор в двумерном пространстве, /(г) — действительная функция, /(г) -4 тг при г -4 оо, так что поле ра стремится к вакуумному значению на пространственной бесконечности. Поскольку <рара + (у3)2 = 1, указанная конфигурация — действительно возможная конфигурация п-поля.
Найти граничное условие для /(г) при г = 0, обеспечивающее гладкость поля ра(х). Показать, что все граничные условия характеризуются целым числом.
Вычислить топологическое число (7.62) для данных конфигураций. Найти его связь с целым числом из предыдущего пункта этой задачи.
Как уже отмечалось, солитон следует искать в секторе с единичным топологическим числом. Для нахождения явного решения воспользуемся приемом (Белавин, Поляков, 1975), имеющим аналоги и в некоторых более сложных моделях. Рассмотрим величину
F? = 8ilf>°± 6*6^8^
(далее будет ясно, что знак «+» надо выбирать для положительных топологических чисел, а .знак «-» — наоборот). Ясно, что
/ F^F® d2x 0,(7.63)
причем равенство наступает только при
а^Ье^ец^Э^О.(7.64)
С другой стороны,
F?Ff = а^а^^ге^д^а^Че^е^е^а^^. (7.65)
Последнее слагаемое здесь равно
а^а"-а^з^^э^а,.^ = э^а^-^а^^а^ = а^э^,где мы воспользовались связью у>°у>° = 1 и следующим из нее равенствомуадцра = 0.
Переобозначая и переставляя индексы в (7.65), получим
f°f° = iw т ^‘е^а^а^.
Таким образом, неравенство (7.63) дает
J d^x 8i<pa8i<pa ^ ± J d2x EabcEij<padi(pbdj(pc,
или
4тг
Е ^ ^-|п|.(7.66)
Отсюда заметим, что в секторе с топологическим числом п энергия ограничена снизу величиной ^ |п|, причем абсолютный минимум энергии в каждом из секторов достигается, если поле удовлетворяет уравнению (7.64). Солитон — это абсолютный минимум энергии в секторе с п = 1; его можно найти, решая уравнение (7.64) (с выбором знака «+»). Важно отметить, что, в отличие от исходного уравнения поля (7.59), уравнение (7.64) — это уравнение первого порядка, и решать его легче.
Задача 15. Показать, что любое решение уравнения (7.64) является и решением уравнения (7.59)..
Найдем теперь явное выражение для полей солитона. Используем для этого подстановку, инвариантную относительно пространственных 50(2)-вращений, дополненных 50(2)-вращениями вокруг третьей оси в пространстве полей:
у?а(х) = na sin /(г), у>3(х) = cos /(г),(7.67)
где п“ = х“/г, a = 1, 2. Условие ^афа = у>ау>“ + (у?3)2 = 1 удовлетворяется автоматически. Производные полей равны
8^ра = -(5ia - n‘na) sin / + nsna/ cos /,8^ = -nV' sin /.
г
Далее,
^jE"^jE"•3aPipadj^ = 8ijeapna sin / ^(dta - nV) sin / + nlnaf cos /
^jE"
^jE"
= Ei^ap^Tla^ Sin2 / = П, ^ sin2 /.
Уравнение (7.64) с а = 3 принимает вид
,1 2
-n,/ sin / + п, - sin / = О,г
(7.68)(7.68)или
(7.68)
(7.68)
/ = ;sin/.г
Уравнение (7.64) с а = 1, 2 сводится к уравнению (7.68).
Задача 16. Показать, что уравнение (7.64) с а = 1,2 для полей вида (7.67) сводится к уравнению (7.68).
Решение уравнения (7.68) с граничным условием, обеспечивающим фа = -д°3 при Г —> ОС,
имеет видимеет вид/(оо) = 1Г,
имеет вид
имеет вид
г
/ = 2arctg—,Го
так что
Tq 4- r2 ’ Tq + r2 ’
4тг4тггде Tq — произвольная постоянная (размер солитона). То, что размер солитона может быть любым, следует, в действительности, уже из масштабных соображений раздела 7.2. Из результатов задачи 14 этого раздела следует, что топологическое число этого солитона действительно равно единице, а из (7.66) вытекает, что его энергия (масса) не зависит от размера и равна
4тг
4тг
(7.69)
Задача 17. Вычислить явно энергию солитона и убедиться в справедливости равенства (7.69).
Задача 18. Введем переменные Wa = 2^у, а = 1, 2, а также комплексную переменную W = W\ + iW^. Показать, что уравнения (7.64) являются условиями Коши—Римана, гарантирующими, что W представляет собой функцию комплексной переменной z = ж1 + г®2. Используя это свойство, найти общее п-солитонное решение (т. е. решение с топологическим числом п). Показать, что найденное выше односолитонное решение единственно с точностью до О(3)-вращений и пространственных сдвигов.
Скирмион
В этом разделе мы рассмотрим солитон, в топологическом плане аналогичный солитону раздела 7.4, но возникающий в нелинейной сигма- модели в (3 + 1)-мерном пространстве-времени. Он был найден Скирмом (1961) и получил название скирмиона. В течение долгого времени скирмион служит интересной и достаточно реалистичной моделью нуклона (протона, нейтрона): его качественные характеристики — спин, изоспин и т. д. — вполне соответствуют нуклону > (Виттен, 1983), а количественные свойства нуклона, такие как зарядовый радиус, воспроизводятся в модели скирмиона с неплохой точностью (Адкинс, Наппи, Виттен, 1983).
Итак, рассмотрим модель скалярного поля U(x), представляющего собой 2x2 матрицу из группы SU^ в каждой точке четырехмерного пространства-времени. Потребуем инвариантности действия относительно глобальных преобразований из группы SU^ х 817(2); первую 817(2) обозначим SU(2)i,, а вторую — SU(2)r. Закон преобразования поля ?7(®) выберем в виде
U^ -4- Г'(®) = wlU(x)wr\ (7.70) где шь € SU^l, Wr € SU(2)r. Таким образом, мы имеем дело с нелинейной сигма-моделью \SU(2)l х £?7(2)я]/£?7(2)у, рассмотренной (для произвольных SU (N)) в разделе 5.5.
В квантовой хромодинамике с двумя типами безмассовых кварков сигма-модель [|9(7(2)£ х SU(2)r\/SU(2)v — это эффективная низкоэнергетическая теория трех намбу-голдстоуновских бозонов. В природе им соответствуют пионы тг°, тг+, тг-, чья масса отлична от нуля из-за небольшого явного нарушения симметрии массами и и d кварков. Тот факт, что сигма-модель \SU(2)l х SU(2)^]/SU(2)у, (или модель \SU(3)l х SU(3)r\/SU(3)v, возникающая при учете s-кварка) является эффективной низкоэнергетической теорией сильных взаимодействий, служит некоторым эвристическим обоснованием для представления о том, что солитон в этой теории может служить моделью нуклона. Дополнительные обоснования вытекают из рассмотрения хромодинамики в пределе большого числа цветов.
Простейшим лагранжианом, инвариантным относительно SU(2)l х SU^r, является (см. (5.66))
L® = ~ 16 Tr (U8“U' ■ U8"U7 <7-71)
Однако из масштабного аргумента раздела 7.2 следует, что в теории с таким лагранжианом статических солитонов не существует: энергия полевой конфигурации уменьшается при уменьшении ее размера. Поэтому солитон может существовать, только если в лагранжиане модели
имеются слагаемые четвертого (или более высокого) порядка по производным. Ограничимся лагранжианами четвертого порядка по производным и потребуем, чтобы энергия была ограничена снизу. Это требование однозначно фиксирует лагранжиан четвертого порядка:
1(4) = ^ Тг ([£79,£7», £79,£7»][£79,£7», £7Д,£7»[),(7.72)
где квадратные скобки обозначают коммутатор, а коэффициент и обозначение для константы следуют традиции. Слагаемое (7.72) называют скирмовским членом, а е — константой Скирма.
Итак, лагранжиан модели Скирма представляет из себя сумму вкладов (7.71) и (7.72),
Ь = L(i) +1,(4).'(7.73)
В нем фигурируют постоянная F размерности массы и безразмерная постоянная е.
Задача 19. Вычислить тензор энергии-импульса в модели Скирма с лагранжианом (7.73) и показать, что энергия неотрицательна.
Задача 20. Показать, что из всех независимых линейных комбинаций (5.67) только член (7.72) приводит к энергии, ограниченной снизу. Указание: воспользоваться тем, что для любого эрмитова оператора А выполняются неравенства Тг А2 ^ 0, (Тг А2)2 ^ Тг А4, причем последнее неравенство для некоторых операторов обращается в равенство, а для некоторых — нет.
Нас будут интересовать статические солитоны в этой модели. Они являются минимумами функционала статической энергии■
/
Г
d3a? — Тг (UdiU1 - U6iU^-
-^Tr([£79i[/,,£7a,C7t][£79MU9)£7,|)'j..(7.74)
Обсудим топологические свойства конфигураций с конечной энергией. Конечная энергия означает, что [7(х) стремится к константе при |х| -^ оо; без ограничения общности эту постоянную матрицу, опять-таки следуя традиции, можно выбрать равной
(7.75)(7.75)U (|х| -> оо) = -1
(7.75)
(7.75)
(любая конфигурация поля с конечной энергией сводится к конфигурации с асимптотикой (7.75) глобальным преобразованием симметрии (7.70)). С топологической точки зрения трехмерное пространство представляет теперь сферу S3, поскольку удаленные точки можно отождествить. Следовательно, конфигурация поля U(x) с конечной энергией задает отображение S3 517(2). Далее, многообразие SUi^ гомеоморфно трехмерной сфере S3 (см. раздел 3.2). Так же, как и в случаях отображений 8х -> 51
и S2 -4 52, отображения S3 -¥ S3 (и, следовательно, интересующие нас отображения S3 -У SU(2)) разбиваются на непересекающиеся классы — топологические сектора, характеризуемые целым топологическим числом п = 0, ±1, ±2В секторе с п = О наименьшую энергию имеет вакуум, а в секторе с n = 1 минимумом энергии является солитон (скирмион).
Чтобы догадаться, как выглядит поле скирмиона, заметим сначала, что соответствие между трехмерным пространством с отождествленной бесконечностью и сферой S3 можно установить с помощью формул
№ = cos /(г), N1 = тС sin /(г),(7-76)
где № (а = 0,1, 2, 3) — единичный радиус-вектор в (фиктивном) четырехмерном пространстве, параметризующий точки S3; п1 (г = 1, 2, 3) — единичный радиус-вектор в нашем трехмерном пространстве, а /(г) — произвольная монотонная функция радиуса г =+ (ж3)2
с асимптотиками
7(0) = 0,(7.77)
/(оо) = тг.(7.78)
Далее, простейшее отображение с n = 1 сферы S3 в сферу S3 (тильда здесь добавлена для удобства) — это
Na = Na,
где Na нумерует точки сферы S3. Накрнец, гомеоморфизм сферы S3 в группу SU^ можно выбрать в виде
U = Naoa,(7.79)
где (То = 1, оч = -гт,, a ъ — матрицы Паули. В итоге мы приходим к конфигурации поля с единичным топологическим числом
U = cos /(г) - гТ|П» sin /(г) =(7.80)
где /(г) — неизвестная пока функция с асимптотиками (7.77), (7.78).
Задача 21. При отображении (7.76) начало координат в R3 отображается в северный полюс сферы 53, а пространственная бесконечность — в южный полюс. При каком /(г) это отображение является стереографической проекцией?
Задача 22. Показать, что отображение (7.79) является взаимнооднозначным отображением S3 в 577(2)..
Для нахождения неизвестной функции /(г) следовало бы подставить (7.80) в уравнения поля, следующие из минимизации функционала энергии (7.74), и получить таким образом уравнение на /(г). Однако задача упрощается тем, что подстановка (7.80) является наиболее общей сферически-симметричной подстановкой. Сферическая симметрия
здесь понимается в том смысле, что пространственные вращения можно скомпенсировать глобальными преобразованиями (7.70), т. е.
U(Ax) = иь^Мх^ЧХ),(7.81)
где А слева обозначает вращение координат, а зависимость от нее справа указывает просто на зависимость ш^ и Шд от параметров этого вращения. В инфинитезимальной форме
(Лж/^ + е^Л*,(7.82)
где Хк — инфинитезимальные параметры вращения, и соотношение (7.81) удовлетворяется для конфигураций вида (7.80) при
ш^ = Ыд = 1 + 4Т&Л*.(7.83)
Задача 23. Проверить, что равенство (7.81) действительно выполняется для конфигураций вида (7.80), если преобразования даются формулами (7.82), (7.83). Показать, что подстановка (7.80) — наиболее общая подстановка, обладающая такой сферической симметрией.
В силу того, что (7.80) — наиболее общая сферически-симметричная подстановка, уравнение для /(г) можно получить, сначала подставляя (7.80) в функционал энергии (7.74), и лишь затем варьируя по /(г) (в общем случае процедура обратная: сначала нужно проварьировать функционал энергии или действия, считая вариации полей произвольными, а затем подставить в полученные уравнения конфигурации полей конкретного, угаданного вида; при этом может получиться так, что количество независимых уравнений больше, чем неизвестных функций, т. е. подстановка «не проходит» через уравнения поля). Доказательство теоремы Коулмена, утверждающей, что такая процедура законна, составляет предмет одной из дополнительных задач к этой части, а здесь мы просто применим эту теорему.
Итак, подставляя выражение (7.80) в (7.74), получим после непосредственного, хотя и довольно длинного вычисления
_* f 2 Л F2 / ,222 Л 1 / sin4 /2 .,2 2 Л
Е = 4тг / т1 dr — ( /2 + sin2 / ) + —г ( —т—- + -г/2 sin2 / ) .
У L 8 \ г2 72е2 \ г4 г2 /
о
(7.84)
Задача 24. Проверить непосредственным вычислением, что для конфигураций вида (7.80) справедливы следующие формулы:
Lt = UdiU^ = iTjnjnif +1——^i^ sin / cos / - г -sin2 /,
rr
где штрих обозначает производную по г; антикоммутатор (симметричная часть):
~ {-^«,L3} = —fiifij f- stn /;
zг
коммутатор:
[Z>i, Lj] = eijkTk, где
туп^п, —:—I-Tjf sin / cos /-—-Tkf sin2 / ).
Г2Гг/
Используя эти свойства, убедиться в справедливости формулы (7.84).
Из выражения (7.84) видно, что энергия конечна, только если sin / обращается в нуль при г = 0 и г -> оо. Таким образом, мы вновь приходим к топологическим секторам в пространстве полевых конфигураций с конечной энергией; для сферически-симметричных конфигураций вида (7.80) топологические сектора характеризуются целыми значениями топологического числа
п= ^[/(оо) - /(0)].
Далее, из вариации энергии (7.84) по /(г) получим уравнение, определяющее эту функцию,
pi dF22 1
” Т^^^ + у Sin / C0S / + ^ ^2 Si"3 / COS / -
""Ti^'si”2 D + 4^2 shl / cos / = °- (7-85) ez dre
Это уравнение не удается решить аналитически, и для его анализа приходится пользоваться качественными соображениями. В секторе с единичным топологическим числом граничные условия имеют вид (7.77), (7.78). На пространственной бесконечности уравнение (7.85) линеаризуется относительно / = тг, и подходящее решение имеет вид
f =г —00,(7.86)
г2
где Соо — произвольная постоянная. Отметим, что медленное (степенное) спадание /(г) при больших т связано с тем, что в модели имеются безмассовые поля (в контексте раздела 5.5 это — намбу-голдстоуновские поля). Вблизи начала координат уравнение (7.85) не линеаризуется, тем не менее нетрудно угадать его решение, удовлетворяющее (7.77):
/ = Сот, г -> 0,(7.87)
где Со — другая произвольная постоянная. Таким образом, вблизи начала координат поле U^x1) имеет вид (см. (7.80))
■ U = 1 - гСоТ(Х{,
т. е. оно действительно регулярно при |х| -4-0. Качественные соображения, аналогичные приведенным в разделе 7.3, показывают, что решение уравнения (7.85), обладающее асимптотиками (7.86) и (7.87), действительно
должно существовать. Наконец, делая замену переменных, аналогичную (7.51), можно найти зависимость энергии и размера скирмиона от параметров модели:
F
До1 = ~ ‘ const,(7.88)
где const — численная постоянная, и
г™, = i(7.89)
Солитон является классическим объектом (т. е. rsoi > Е~у) при е < 1. Разумеется, скирмионное решение нетрудно найти численно.
Задача 25. Показать, что выражения (7.86) и (7.87) действительно дают решения уравнения (7.85) в асимптотических областях. Используя эти решения, показать на качественном уровне, что солитон действительно существует.
Задача 26. Убедиться в справедливости оценок (7.88), (7.89).
В заключение этого раздела отметим, что скирмион возникает во всех нелинейных сигма-моделях VSU^N^l х SU(N)r]/SU(N)v , а не только при N = 2. Топологическая причина существования скирмиона — возможность нетривиальных отображений пространства с отождествленной бесконечностью в полевое многообразие, т. е. отображений S3 -► SU^ = \_SUWl х SUWrUSUWv - имеется для всех N (поскольку тгз (SU\N\) = Z, см. главу 8). Скирмовский член в лагранжиане при любом N имеет буквально тот же вид, что (7.72), только теперь нужно считать, что [7(х) — это матрица из группы SU(N). Простейшая возможность построить скирмионное решение состоит в том, чтобы ограничиться подгруппой 517(2), вложенной в SU(N) стандартным образом
(SU^ 0\\ О 1/ '
Можно показать, что 517(2)-скирмион, вложенный таким образом в теорию с N > 2, является в действительности решением с минимальной энергией.
Глава 8
Элементы гомотопической топологии
Гомотопия отображений
В главе 7 мы встречались с примерами отображений одних многообразий в другие. При этом были существенны глобальные свойства этих отображений, не меняющиеся при непрерывных изменениях отображений. В этой главе мы кратко обсудим некоторые топологические (т. е. глобальные) свойства отображений в достаточно общем виде, а также полезные для физики конкретные результаты.
Пусть X, У — топологические пространства (мы часто будем просто говорить — пространства), т. е. такие множества, в которых определено понятие близости двух точек. Для нас будут существенны случаи, когда топологические пространства — это области евклидова пространства Rn размерности п или меньше. Отображение / : X -э У — непрерывное отображение, если оно переводит близкие точки из X в близкие точки из У. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные отображения, специально этого не оговаривая. Отображения / : X -> У и д : X —^ У называют гомотопными, если одно можно непрерывно про- деформировать в другое, т. е. если существует семейство отображений ht, непрерывно зависящее от параметра t € [0,1], такое, что
^о = /, hi = д.
Иначе говоря, если I — отрезок [0,1], то существует непрерывное отображение Н прямого произведения X х I в У, такое, что
Н^х, 0) = /(я), Н^х, 1) = д^
' (при этом Н^х, () = ht(x) для всех х Е X).
Чуть иначе это же определение можно сформулировать так: пусть С^Х, У) — множество непрерывных отображений X в У, тогда / гомотопно д, если / и д принадлежат одной компоненте связности С^Х, У).
Задача 1. Показать, что гомотопия является соотношением эквивалентности в С<Х,¥У
Соотношение гомотопности разбивает С^Х, У) на классы эквивалентности. Центральной для нас задачей является описание множества
Рис. 8.1
классов эквивалентности (гомотопических классов), которое обозначаем
Пример. Если X состоит из одной точки, то С^Х, У) совпадает с У, а {X, У} — с множеством компонент связности пространства У.
Отображение f ; X ->¥ называют гомотопным нулю, если оно гомотопно отображению, переводящему все пространство X в одну точку из У. Если У связно, то все такие отображения гомотопны между собой. Их класс эквивалентности называют нулевым гомотопическим классом. В дальнейшем мы будем рассматривать связные топологические пространства X, У, если обратное специально не оговорено.
Пример. Пусть X = 8х, У = Я2 \ {0} (У — плоскость с выколотой точкой). Отображение / : 8х -> В? \ {0}, изображенное на рис. 8.1, гомотопно нулю, отображение д не гомотопно нулю.
Задача 2. Пусть У — выпуклое пространство в Rn, т. е. такое множество, которое вместе с любыми своими двумя точками содержит и отрезок, их соединяющий. Показать, что отображение любого пространства X в У всегда гомотопно нулю.
Задача 3. Пусть / — отображение сферы 8п в топологическое пространство X. Пусть Pn+1 "— шар, границей которого является сфера Sn (записывается 8Dn+1 = S”). Показать, что / гомотопно нулю тогда и только тогда, когда оно может быть продолжено непрерывным образом внутрь шара Pn+1, т. е. когда существует непрерывное отображение д : Pn+1 -> X, такое, что у|удп+1 = /.
Известное понятие односвязного пространства (два пути с общим началом и концом всегда можно непрерывно продеформировать один в другой) на языке теории гомотопий формулируется следующим образом: пространство У односвязно, если всякое отображение 8х -^ У гомотопно нулю.
Рассмотрим отображение в прямое произведение
/ : X -^У х Z.
Его можно рассматривать как пару отображений
/1 : X -4 У, h : X -4 Z,
так что /(ж) суть пара (/i(®), МХ)У При непрерывной деформации отображения / происходят непрерывные деформации отображений /1 и /2- Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между {X, У х X} и {X, У} х {X, ZY Классификация отображений в прямое произведение сводится к классификации отображений в каждый из сомножителей.'
С гомотопией отображений тесно связано понятие гомотопии топологических пространств. Два пространства У и У2 называют эквивалентными (гомотопными), если существуют отображения
hy.Yx^Y! и hyY^Yy,
такие, что hyh^ : У2 -4 У2 и h^hy \Yy -4 У гомотопны тождественным (отображение е : У -4 У называется тождественным, если е(у) = у для всех у € У). Если У и У2 гомотопны, а X — любое топологическое пространство, то между {X, У} и {X, У2} существует взаимно однозначное соответствие.
Задача 4. Пусть У и У2 гомотопны, a hy, h2 — отображения из предыдущего абзаца. Каждому отображению / : X -4 У поставим в соответствие отображение д : X -4 У гто формуле д = hyf.
Показать, что таким образом индуцируется отображение {X, У) в {X, У2}, т. е. если / и /' принадлежат одному и тому же классу из {Х,У}, то hyf и hyf принадлежат одному и тому же классу из {X, У2);
показать, что это отображение {Х,У} в {Х,У2} является взаимно однозначным.
Задача 5. Показать, что S1 и Я2 \ {0} гомотопически эквивалентны. Для этого построить отображения hy : Sx -4 В? \ {0} и Л2 : Я2 \ {0} -4 8х, фигурирующие в определении гомотопической эквивалентности.
Вообще, сфера S”-1 и п-мерное евклидово пространство с выколотой точкой Rn \ {0} гомотопически эквивалентны.
Другим примером гомотопически эквивалентных пространств является сфера с выколотой точкой (скажем, северным полюсом) 8п \ {с. п.} и Rn. Наконец, вспомним еще пример из раздела 7.4: пространство Rn с отождествленной бесконечностью гомотопически эквивалентно сфере 8п (при этом роль отображения hy играет стереографическая проекция).
Таким образом, изучение гомотопических классов {X, У} можно производить, рассматривая отображения X в пространство Y*, гомотопически эквивалентное У. Выбор пространства У' — это вопрос удобства.
Наоборот, если Ху и Xi — гомотопически эквивалентные пространства, то множества {X}, У} и {Х2, У} находятся во взаимно однозначном соответствии для любого топологического пространства У.
Задача 6. Доказать последнее утверждение.
Фундаментальная группа
В этом разделе мы обсудим отображения окружности 51 в топологические пространства. Эти отображения можно рассматривать как отображения / отрезка [0,1] в X, такие, что /(0) = /(1). Будем рассматривать связные пространства X. Зафиксируем точку Жо, в которую отображается начало и конец отрезка: /(0) = /(1) = Жо- Отображения, обладающие этим свойством, образуют подмножество в множестве С (8х, X) всех отображений 8х в X; для этих отображений также можно определить понятие гомотопии, в полной аналогии с разделом 8.1 (помимо обычного требования непрерывности, на семейство отображений ht, фигурирующее в определении гомотопии, накладывается условие Д((0) = ^(1) = Жо для каждого I; мы увидим, что это ограничение несущественно). Множество гомотопических классов отображений / отрезка [0,1] в X, таких, что /(0) = /(1) = Жо, обозначим тг^Х, Жо).
Отображение отрезка [0,1] в X называют путем в X. Таким образом, интересующие нас отображения — это пути в X, начинающиеся и заканчивающиеся в точке Яо- 7Г1(^, ж0) — это множество гомотопических классов замкнутых путей с началом и концом в ж0.
В 7Г1(Х,Жо) вводится групповая структура следующим образом. Пусть / и д — два пути в X, начинающиеся и заканчивающиеся в точке Жо.
о^о^12’12’Построим путь f*g как путь, при котором сначала проходится д, а затем /, как изображено на рис. 8.2. Отображение / * д единичного отрезка [0,1] в X можно записать как
о^
о^
1
2’
1
2’
дШU*gXO = <
7(2^-1),
где £ € [0,1]. Поскольку g(V) = /(0) = ж0, обе половинки формулы «сшиваются» в точке £ = 1/2, так что определенное этим равенством отобра
жение / * д действительно непрерывно.
Обратным отображением к / является путь, проходимый в обратном направлении:
ГЧб = №-0
(рис. 8.3). Операция * и взятие обратного отображения индуцируют операции в 7Г1(^,Ж0).
Задача 7. Пусть отображения отрезка в X с началом и концом в ж0 таковы, что f гомотопно /, д' гомотопно д. Показать, что f * д' гомотопно / *д, а /,-1 гомотопно /-1. Таким образом, определенные выше операции индуцируют операции В Г!(Х,®о).
Выберем в качестве единицы в тг^-Х^Жо) гомотопический класс, содержащий Отображение, при котором весь отрезок [0,1] отображается в одну точку Жо (нулевой гомотопический класс отображений 51 в X). Определенные выше операции * и взятия обратного элемента являются групповыми операциями в тг^Х, Жо).
Задача 8. Проверить, что tti(X, ж0) является группой по отношению к операциям * и взятия обратного элемента.
Группа 7Г1(Х, Жо) носит название фундаментальной группы.
Если пространство X связно, то л^Х.Жо) и тг^Х.ж'о) изоморфны для всех Жо и ж'о. Изоморфизм индуцируется следующим образом. Выберем, раз и навсегда, путь, соединяющий Жо и Жд. Каждому пути /, начинающемуся и оканчивающемуся в точке жо, поставим в соответствие путь f с началом и концом в ж'о так, как это изображено на рис. 8.4. (При этом путь из Жо в Жо проходится дважды — в прямом и обратном направлении.) Это соответствие между путями индуци-/}
рует соответствие между 7Г1(Х, ж0)[/
и 7Г1(Х, Жо). Доказывается, что это./
соответствие взаимно однозначно—
и сохраняет групповые свойства.ж°
Этот изоморфизм зависит, во
обще говоря, от выбора пути из Жо х> в ж'о. Можно также увидеть, что 0 в случае коммутативной фунда-Рис. 8.4
ментальной группы изоморфизм
не зависит от этого пути. Тогда можно говорить о группе tti(X), не фиксируя точку Жо. В общем же случае мы можем говорить о группе Л1(Х) лишь как об абстрактной группе, т. е. не конкретизируя, какой именно элемент соответствует какому-то конкретному пути.
Задача 9. На основании рассуждений, приведенных в разделе 7.3, показать, что
^(s1) = Z, где Z — группа целых чисел по сложению.
Задача 10. Привести пример топологического пространства X, фундаментальная группа которого некоммутативна.
Из результата последней задачи следует, что фундаментальная группа, вообще говоря, некоммутативна. Доказывается, однако, что фундаментальная группа любой группы Ли коммутативна.
Гомотопические группы
Мы видели в предыдущем разделе, что множество гомотопических классов 7Fi(X) отображений окружности 51 в топологическое пространство X имеет структуру группы. Эту конструкцию можно обобщить на отображения сфер Sn большей размерности, п ^ 2. При этом гомотопические группы irn(X') оказываются абелевыми.
Рассмотрим отображения f : Sn -^ X, при которых южный полюс сферы переходит в фиксированную точку яо. Такие отображения назовем сфероидами (многомерные аналоги пути). Два сфероида называем гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать один в другой так, что южный полюс всегда отображается в точку я0 € X. Множество гомотопических классов (по отношению к так определенной гомотопии) называют п-мерной гомотопической группой и обозначают кп^Х,х^. Мы увидим, что гомотопические группы не зависят от выбора xQ для связных пространств X, но пока держим точку xQ фиксированной.
Для дальнейшего полезно заметить, что сфера 8п гомотопически эквивалентна п-мерному кубу Г1 с отождествленной границей. Поэтому сфероид — это отображение куба 1° в X, при котором вся граница куба отображается в Хо.
Определим сумму двух сфероидов следующим образом (при п ^ 2 группа 7ГП(Х) — абелева и групповую операцию в ней называют суммой). Пусть f^.P-^X — два сфероида (/ и g отображают границу куба в Яо). Определим их сумму h = f + д формулой
^х1,^) = <^х1,^) = </(2Я1, х^/(2Я1, х^(8.1)(8.1)
^х1,^) = <
^х1,^) = <
/(2Я1, х^
/(2Я1, х^
(8.1)
(8.1)
Здесь j = 2,3,...»п; хг,... ,хп — координаты в кубе 1° и пробегают значения от 0 до 1. Поскольку все точки (l,xJ) и (0, х^) принадлежат границе куба,
/(1, а?) = ^(0, х5) = я0
И
и (8.1) определяет непрерывное отображение. Сумма (8.1) проиллюстрирована на рис. 8.5: половина Рис 8 5ку^а отображается с помощью отображения /,
' *другая половина — с помощью отображения д.
Сложение сфероидов индуцирует сложение гомотопических классов irn^X, Яо): если / гомотопно Д а Д - семейство отображений, соединяющее / и f (т. е. /0 = /, /! = /'), д гомотопно д' и gt — соответствующее семейство отображений, то ft + gt — это семейство отображений, соединяющее (f + д) и (/' + д’).
Нуль (групповая единица) в тгп(Х) — это класс, которому принадлежит отображение всего куба в х<>.
Обратный сфероид — это отображение, задаваемое формулой
f-4x\ Х^ = /(1 - X1, х^).
Взятие обратного отображения также индуцирует операцию в irn(X, Xq).
Задача 11. Показать, что отображение / + /-1 гомотопно нулю.
Итак, операция сложения в ^(Л-, Xq) действительно является групповой операцией (ассоциативность ее очевидна). При п ^ 2 эта операция коммутативна, поскольку можно убедиться, что (/ + д) гомотопно (у + /). Соответствующее семейство отображений строится следующим образом. Продеформируем сначала f + д, как изображено на рис. 8.6 (измерения х\... ,хп на нем не изображены). Здесь закрашенные черным области целиком отображаются в Xq. Дальнейшая деформация очевидна (см. рис. 8.7). Таким образом, 7ГП(Л", Xq) — абелева группа при п ^ 2.
Рис. 8.6Рис. 8.6
Рис. 8.6
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Как мы уже упоминали, группы тгп(Х,Хо) и ^(JC, apq) изоморфны для всех Хо, ж'о € X, если топологическое пространство X связно. Изоморфизм строится следующим образом. Пусть а — раз и навсегда выбранный путь в X, соединяющий точки xQ и х'о. Сфероид / будем рассматривать как отображение шара Dn, при котором вся его граница отображается в точку Xq (шар очевидно эквивалентен кубу). Пусть сфероид / отображает границу шара в точку Хо, тогда / принадлежит одному из гомотопических классов из 1тп(Х, Xq). Построим отображение /' шара Dn в X, такое, что граница шара отображается в £q. Д™ этого возьмем шар меньшего размера Dn внутри Dn и отобразим его с помощью / в X. При этом его граница 0Dn перейдет в точку х0. Отображение оставшейся части шара Dn осуществим так, что каждый участок радиуса отображается в путь а (см. рис. 8.8). Поскольку граница шара Рп отображается в ж0, это можно сделать; полученное отображение непрерывно,
Рис. 8.8
и граница шара Dn отображается в ж'д. Доказывается, что построенное таким образом соответствие между сфероидами с выделенной точкой ж0 и сфероидами с выделенной точкой ж'д индуцирует изоморфизм групп irn(X,Xo) и тгп(^,Жд). Таким образом, абелева группа тгп(Х, ж0) не зависит от выбора точки ж0 (для связных X); она носит название п-й гомотопической группы пространства X и обозначается ^(Х) \
В заключение этого раздела приведем простые результаты, касающиеся гомотопических групп сфер.
Гомотопические группы яп(8т) тривиальны (состоят из одного нулевого элемента) при -п <т \ записывают
iv^S^ = 0 при и <т.
Действительно, рассмотрим непрерывное отображение^ Sn -> 8т при п <т. Имеется по крайней мере одна точка в Sm, в которую не попадает никакая точка из 8п \ Эту точку из 8т можно выколоть. 8т с выколотой точкой гомотопически эквивалентна Rm, а в Rm любой сфероид гомотопен нулю (последнее ясно хотя бы из того, что Rm гомотопически эквивалентно одной точке).
Гомотопические группы irn^Sn>) изоморфны Z — группе целых чисел по сложению. С этим утверждением мы уже сталкивались в главе 7
(при n = 1 и п = 2). Соответствующее топологическое число называют степенью отображения /, deg /. Можно найти аналитическое выражение для deg/, обобщающее выражение для степени отображения 52 -> S2 из раздела 7.4. Пусть S и S' — две n-мерные сферы, а отображение / : S -> 8* задается соотношением между координатами ж1,..., ж” точки на сфере 8 и координатами у1уп на сфере S';
У^ = №гжп),
У2 = М^,...,хп\(82)
Уп = fn(x\...,xn).
Доказывается, что для почти всех точек у € S’ нет корней уравнения /(ж) = у, таких, что якобиан J(x) = det (^-) равен нулю (теорема Сарда). Точки, где якобиан отличен от нуля, называют регулярными в 8 и S'; итак, почти все точки S и S1 регулярны («почти все» означает все, за исключением множества меры нуль).
Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 8.9, где изображено отображение /: S1 -4 S'1 со степенью 1. Все точки окружности S за исключением ж0 и яь регулярны; все точки окружности S1 за исключением точек уо, у 1 — регулярны.
Степень отображения 8 в S' совпадает с алгебраическим числом решений уравнения
f(x) = V (8.3)
в регулярной точке у. Это алгебраическое число определяется как сумма
(8.4)(8.4)(8-5)(8-5)52 sign J(Xi). корни /(z)=y
(8.4)
(8.4)
(8-5)
(8-5)
Итак,
deg / = ]Р sign/(ж.)корни /(z)=y
для регулярной точки у. Доказывается, что правая часть этого равенства не зависит от у для регулярных точек -у и действительно определяет топологическое число отображения 8п в 8п.
На рис. 8.9 уравнение /(®) = у для регулярной точки у может иметь либо одно, либо три решения; в любом случае сумма (8.4) для регулярных точек равна единице.
Формула (8.5) уже представляет собой аналитическую формулу для степени отображения. Чтобы привести ее к более удобному виду, воспользуемся равенством для дельта-функции
»№ -»)=52 у5^х- Zi^’
справедливым для регулярной точки у; здесь суммирование идет по всем корням уравнения /(ж) = у. Отсюда
deg/ = / dx J(s)<$(/(s) -у)
для любой регулярной точки у. Проинтегрировав это равенство с произвольным весом д(у), получим (учитывая, что почти все точки S* — регулярные)для любой регулярной точки у. Проинтегрировав это равенство с произвольным весом д(у), получим (учитывая, что почти все точки S* — регулярные)deg/ =deg/ =11^^11^^dx J(x)p(f(x)).dx J(x)p(f(x)).(8.6)(8.6)
для любой регулярной точки у. Проинтегрировав это равенство с произвольным весом д(у), получим (учитывая, что почти все точки S* — регулярные)
для любой регулярной точки у. Проинтегрировав это равенство с произвольным весом д(у), получим (учитывая, что почти все точки S* — регулярные)
deg/ =
deg/ =
1
1^^
1
1^^
dx J(x)p(f(x)).
dx J(x)p(f(x)).
(8.6)
(8.6)
Это и есть искомое аналитическое выражение для степени отображения. Выбор веса д диктуется в каждой конкретной задаче соображениями удобства.
Задача 12. Проверить, что deg / не изменяется при гладких деформациях отображения /, т. е. при гладких вариациях функций 7 (см. (8.2)).
Задача 13. Показать, что введенное в разделе 7.4 аналитическое выражение для степени отображения S1 -4 S'2 действительно имеет структуру (8.6). Найти соответствующий вес д(у).
Расслоения и гомотопические группы
При вычислении гомотопических групп (и не только для этого круга задач) очень полезной оказывается следующая конструкция.
Пусть Е и В — топологические пространства. Пусть имеется отображение■
р : Е -ч- В.
Ему соответствуют непересекающиеся подпространства из Е: по каждой точке & € В можно построить пространство ее прообразов в Е, т. е. таких точек х 6 Е, что р(ж) = Ъ. Обозначим пространство прообразов точки Ъ через F6. Если все Fb топологически эквивалентны между собой, то говорят,. что задано расслоение, пространство Е называют пространством расслоения, В — базой расслоения, пространство F, которому эквивалентны все Fb, — слоем расслоения, р — проекцией расслоения. При этом
F6 = р"1^) называют слоем расслоения над точкой Ъ. Вся конструкция обозначается (Е, В, F, р) или (Е, В, F).
Простейшим примером расслоения является поверхность цилиндра, причем р — ортогональная проекция его на основание. База этого расслоения — окружность, типичный слой — отрезок. Этот пример представляет собой пример тривиального расслоения. Расслоение (Е, B,F,p) называют тривиальным, если Е = В х F, а проекция р ставит в соответствие точке (6, f)EE точку b € В. Очевидно, р-1(Ь) = F для каждой точки Ъ тривиального расслоения.
Менее простым примером служит касательное расслоение. Пусть В — многообразие в Я”. В каждой точке Н 5 построим всевозможные касательные векторы, они образуют пространство, эквивалентное Rk, где к — размерность многообразия В. Пространство касательного расслоения Е — это множество всех касательных векторов во всех точках многообразия В, причем векторы считаются «привязанными» к точкам многообразия В (если b и Ь' — различные точки многообразия В, то векторы, касательные к В в точках b и Ь', считаются различными). Базой касательного расслоения служит многообразие В, а проекция р переводит любой вектор в точку из В, к которой он «привязан». Ясно, что типичный слой — это Rk.
Задача 14. Пусть В — это двумерная сфера S'2, a Fb — множество ненулевых касательных векторов в точке b € В, так что Ft топологически эквивалентно Я2 с выколотым началом координат, Fb = Я2\{0}. Построим расслоение с той же проекцией р, что и у касательного расслоения (т. е. Е состоит из всех ненулевых касательных к S'2). Показать, что это расслоение не является тривиальным. (Указание: воспользоваться «теоремой о еже»: не существует непрерывной конфигурации ненулевых касательных векторов на сфере S'2.)
В дальнейшем мы будем иметь дело с локально тривиальными расслоениями, т. е. такими, что для каждой точки 6 € В существует окрестность 17 С В, такая, что p-1(Z7) ^ U х F; более того, существует гомеоморфизм у? : р-1(и) U х F, такой, что р = / о у?, где / : [7 х F [7 — естественная проекция.
Кроме того, мы будем предполагать необходимые свойства гладкости всех отображений, когда речь пойдет о многообразиях.
Ряд важных примеров расслоения получается, если задано пространство Е, в котором действует компактная группа Ли G (напомним, что группа G действует в Е, если любому д Е G поставлено в соответствие обратимое отображение tp(g); Е -> Е, такое, что
<Р<№) = Vto^to»
у>(е) = тождественное отображение, <р(,д-1) = [y’G?)]1-
Говорят, кроме того, что G действует в Е транзитивно, если для любых точек ®ь ®2 € Е существует такое д, что ®2 = ^(р)®!; в этом случае Е называют однородным пространством, см. раздел 3.1).
Итак, пусть в пространстве Е действует группа G. Пусть, кроме того, стационарная подгруппа любой точки х € Е тривиальна (состоит только из единицы е EG; напомним, что в общем случае стационарная подгруппа точки х Е Е состоит из элементов h Е G, таких, что ip(h)x = х, см. раздел 3.1). В этом случае говорят, что G действует в Е свободно. Орбитой точки х Е Е назовем множество элементов вида tp(g)x, где д пробегает всю группу G. Если G действует в Е свободно, то орбита точки х эквивалентна G. Действительно, пусть у принадлежит орбите точки х; тогда у = ip^x. Это равенство определяет взаимно однозначное соответствие у и д (точек орбиты и группы): если р^х = р(д')х, то ф^д^д'^х = х, т. е. д-гд* = е, и д' = д. Таким образом, получаем расслоение с пространством расслоения Е, базой — множеством орбит в Е и слоем G. Проекция р для этого расслоения — это отображение точки х в орбиту, которой принадлежит эта точка. Такое расслоение называют главным расслоением.
, Наконец, понятие однородного пространства также приводит к расслоениям. Именно, если G — компактная группа Ли, Н — ее подгруппа, a G/H — однородное пространство (напомним, что любое однородное пространство эквивалентно G/Н, причем Н — стационарная подгруппа какой-либо точки однородного пространства, см. раздел 3.1). Тогда можно определить проекцию р : G -^ G/Н, которая переводит точку д Е G в ее смежный класс — элемент G/Н. Слоем получаемого таким образом расслоения является группа Н: действительно, если -и — некоторый класс в G/Н (например, содержащий элемент д Е G), то его прообраз ^-'(м) — это множество элементов из G, входящих в и, т. е. элементов вида gh, где h Е Н (мы рассматриваем для определенности правые смежные классы). Как отмечалось в разделе 3.1, множество таких элементов эквивалентно Н. Итак, имеет смысл рассматривать расслоение (G, G/Н, Н^.
Сформулируем без доказательства ряд утверждений, позволяющих вычислить многие важные гомотопические группы. В дальнейшем мы будем рассматривать связные пространства и интересоваться труппами ^1,^2,....
Если Е = В х F, то
itk(E) = irk(B) + тгк(Р^где знак + обозначает прямую сумму. Это утверждение следует из заме-чания, сделанного в разделе 8.1.
Пусть дано расслоение (Е, В,Е,р) и
1^8) = ^+1(В) = 0
(нуль здесь обозначает группу из одного элемента — единицы). Тогда
VkW = ъ(Е).
Этот изоморфизм порождается следующим образом. Выберем точку Ь € В, ей соответствует подмножество в Е вида р-1(Ь) (слой над 6), причем р-1(Ь) эквивалентно F. Поэтому всякому отображению сферы Sk в F можно поставить в соответствие отображение Sk в p~\bi), т. е. отображение Sk в Е. Далее, при тг^В) = О любой образ сферы Sk (сфероид) в Е можно продеформировать в сфероид в р-1 (6). Кроме того, при тг*+1(В) = 0 любые сфероиды, гомотопные в Е, гомотопны в F.
Пусть для расслоения (Б, В, F,p) справедливо
^-1(Л = ^(Л = 0.
Тогда
ir^B) = 7гДВ).
Этот изоморфизм порождается проекцией р..
Если для расслоения (Б, В, F,p) верно
**-1(Я) = 7ГА(Е) = 0,
то
ir^B) = irk-i(FY
Этот изоморфизм строится следующим образом. Пусть / : Sk"1 -^ F — отображение (fc — 1)-мерной сферы в слой. По нему можно построить отображение / : Sk-X -^ Е способом, изложенным в п. 2. Отображение / стягиваемо в Е (так как TTfc-i(E) = 0), т. е. существует продолжение Д отображения / в шар Dk. Спроецируем отображение fa : Dk -> Е на базу, т. е. рассмотрим отображение pfa : Dk -4 В. Отметим, что на границе шара (т. е. исходной сфере S*"1) / отображает Sk-X в слой над некоторой точкой b Е В, т. е. pf отображает Sk-X в точку Ъ. Следовательно, pfa — это отображение шара Dk в В, причем граница шара отображается в одну точку, и границу шара можно отождествить при рассмотрении отображения pfa. Поскольку шар Dk с отождествленной границей эквивалентен Sk, то таким образом построено отображение Sk в В по отображению Sk-X в F. Это соответствие между отображениями порождает соответствие между гомотопическими классами, которое взаимно однозначно при 1Гк(Е) = 0.
Если G — группа Ли, Е — ее дискретный нормальный делитель, то ■ irk^G) = ^(G/E), к ^ 2.
Приведем примеры вычислений гомотопических групп некоторых простых групп Ли, основанные на приведенных выше утверждениях и известных нам гомотопических группах сфер.
^(S1) = 0 при к ^ 2,jrt(SO(2))=Ti(^(l)) = 0, к >2.
Группа 517(2) гомеоморфна 53 (см. раздел 3.2), поэтому ^(5С7(2)) =0 при * = 1,2, тг3(5Г(2)) = Z.
Группа 50(3) изоморфна SU^/Z^ (см. раздел 3.2), поэтому
12 (80(3)) = О,1з(8О(3)) = Z.
Кроме того, доказывается, что фундаментальная группа равна ^(80(3)) = Z2.
Группа 50(4) изоморфна 517(2) х SU^Zi, поэтому
1» (80(4)) = it(S3) + it(S3), k ^ 2.
В частности,
12 (80(4)) = О,
1з (80(4)) = Z + Z.
Кроме того, доказывается, что
*1(50(4)) = ^2.
Сфера 5°-1 гомеоморфна фактор-пространству 50(n)/50(n - 1) (см. раздел 3.1). Поэтому можно построить расслоение (50(п), 5П-1, 50(п - 1)). При к < п - 2 справедливо тг^8п-х) = 7rjfc+i(5n"1) = О, значит
7г&(5О(п)) = тг* (50(п - 1)) при к < п - 2.
В частности,
7Г1 (50(п)) = Z2 при П 3.
Далее, в силу ^(50(4)) = 0 верно
*2(5О(п)) = 0 для всех п1
(случаи п = 2 и п = 3 уже были рассмотрены).
Сфера S1^ гомеоморфна 5t7(n)/5C7(n-1) (см. раздел 3.1). Поэтому можно построить расслоение
{SU{n\ Sln~\ SU{n-ty.
Отсюда
Ик {SU(n)) = ял, {SU{n - l)) для к < 2n - 2.
В частности
тг2^SU(п)) = 0 для всех п
и
тгз(5С7(п)) = Я для п ^ 2.
Вообще, для любой компактной группы справедливо утверждение тг2(6) = 0.
Наконец, рассмотрим расслоение (G, G/H, Н^. Пусть G компактна и односвязна (например, SU(n)\ Тогда в силу ir^G) = tt2(G) = 0 имеем
ТГ2(6/Я) = 7Г1(Я).
Отметим еще, что если G связна, то
^!Н> = ^о(Я),
где 7Го(Я) — множество связных компонент группы Я.
Сводка результатов
Приведем важные для приложений результаты по вычислению гомотопических групп. Большая часть их уже фигурировала в предыдущих разделах; остальные приводятся без доказательств и обсуждений.
В дальнейшем Яп — группа целых чисел по модулю п по сложению (mod п). В частности, Я2 состоит из двух элементов 0 и 1, причем 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0 (плюс здесь обозначает групповую операцию в Я2). Напомним, что Z — группа целых чисел по сложению.
. Гомотопические группы сфер.
La. 'Kk^S^ = 0 при к < п;
1.6. Ttu^ = Z.
В частности,
^1(8*) = Z,
К1(8г) = Z,
= Z;
l.B. Tr^S1) = 0 при п ^ 2;
1.г. тг3(82) = Z,'
^(s2) = г2;
1.д. ir„(S3) = ir„(S2) при п > 3.
В частности, тг4(83) = Z2.
. Гомотопические группы групп Ли.
2.а. 7Ti(G) — абелева группа для всех групп Ли G;
.6. 7Tn(Gi X G2) = Л"п(61) + ^„(62)
для всех п и для любых групп Ли Gi и G2 (в действительности, для любых двух многообразий, если вместо прямой суммы писать прямое произведение при n = 1);
.в. тг2(С) = 0 для любой компактной группы Ли G;
.г._ %з(С) = Z для любой простой компактной группы Ли G;
.д. 7^(1)) = Tn(SO(2)) = Z,
7Гп(^(1)) = 7ГП(5О(2)) = 0 при п 2;
.е. 7Г1(5Я(п)) = О,
тг2(^(п)) = О,
ir3(SU(n^ = Z.
Эти три равенства справедливы при всех п ^ 2;
.ж. 7Г1(5О(п)) = Z2 при всех п 3,
7Г2(5О(п)) = 0 при всех п,
тг3(£О(3)) = Z,
тгп(5О(4)) = тгп(5О(3)) + тгп(5О(3)) при п ^ 2.
Гомотопические группы однородных пространств.
.а. 7Г1(С/Я) = множество связных компонент группы Н.
Это равенство справедливо для связной и односвязной группы Ли G;
.б. ^(б/Я) =7Г1(Я).
Это равенство справедливо для односвязной группы Ли G. Если группа G не односвязна, то данное соотношение обобщается в терминах так называемых универсальных накрывающих групп.
Глава 9
Магнитные монополи
Мы закончим обсуждение топологических солитонов важным примером — магнитным монополем ’т Хоофта—Полякова. Интерес к этим решениям вызван в первую очередь тем, что они существуют в четырехмерном пространстве-времени и присущи всем моделям, объединяющим сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия в рамках калибровочной теории с компактной простой или полупростой калибровочной группой. Такие модели называют теориями большого объединения. Таким образом, существование магнитных монополей является весьма общим предсказанием теорий большого объединения, по существу не зависящим от выбора модели (хотя некоторые свойства монополей, например их масса, зависят от выбора модели). Не удивительно, что ведется экспериментальный поиск монополей, который, правда, не привел (пока?) к успеху.
Солитон в модели
с калибровочной группой SU(2)
Простейшей моделью, где возникают монопольные решения, является модель Джорджи—Глэшоу с калибровочной группой 517(2) и триплетом действительных хиггсовских полей <ра, а = 1,2,3. Лагранжиан модели имеет вид
£ = "Fp^ + ^Ф^ГФ^У - ^V - f2)2.(9.1)
Здесь ц, v = 0,1,2, 3 (пространство-время четырехмерно),
= 8„/ +96*4^, Е^ = 8, А* - 8„А" + де^А^. Мы будем иногда использовать и матричные обозначения
так что матрицы А^ и у принадлежат алгебре SU(2\
Потенциал скалярного поля в (9.1) выбран так, что в модели реализуется механизм Хиггса. Основное состояние у?о можно выбрать в виде
¥>о = Ро = 0, у?о = 1).(9.2)
В результате механизма Хиггса в модели среди малых возбуждений относительно вакуума имеется одно действительное безмассовое векторное поле, два действительных массивных векторных поля и одно действительное массивное скалярное поле (см. задачу 7 к первой части). В унитарной калибровке поле tp с малыми отклонениями относительно основного состояния (9.2) имеет вид
pv = р1 = 0, у?3 = и + т/(®);
массивное скалярное поле — это ??(ж); его масса равна
тн = V2A и.
Безмассовое векторное поле соответствует ненарушенной калибровочной подгруппе 17(1) вращений (во внутреннем пространстве) относительно третьей оси. Мы будем называть это поле электромагнитным, а ненарушенную подгруппу 17(1) — калибровочной группой электромагнетизма. В унитарной калибровке электромагнитный вектор-потенциал совпадает с А3И,
А = А3
Наконец, два действительных массивных векторных поля в унитарной калибровке описываются вектор-потенциалами А^ и А^. Они имеют одинаковую массу
ту = gv.
Удобно вместо двух действительных полей рассмотреть одно комплексное поле W^ и ему сопряженное W^,
^ = ^=(Л‘±8А^).
Электрический заряд поля W* равен д ; это — тоже результат задачи 7 к первой части. Поле q(x) электрически нейтрально.
Таким образом, рассматриваемая модель может служить прототипом более сложных теорий, где компактная (полу)простая калибровочная группа нарушается до подгруппы, содержащей электромагнитную группу 17(1).
Наша ближайшая задача — показать, что в модели могут существовать топологические солитоны. Начнем, как и в разделах главы 7, с рассмотрения статических конфигураций поля с конечной энергией. Под статическими конфигурациями мы будем понимать конфигурации, для которых
^0=0,
а поля Л® и (ра не зависят от времени,
А* = АМ / = /(х).
E = f^x ^^VIV^W"^E = f^x ^^VIV^W"^(9.3)(9-4)(9.3)(9-4)Для таких конфигураций функционал энергии имеет вид
E = f^x ^^VIV^W"^
E = f^x ^^VIV^W"^
(9.3)
(9-4)
(9.3)
(9-4)
Необходимым условием конечности энергии является требование
<ра<ра = v2 при |х| = ОО,
обеспечивающее конечность вклада в энергию, связанного со скалярным потенциалом. При этом направление поля <ра во внутреннем пространстве может зависеть от угла в физическом трехмерном пространстве
/I. .= ^°(п),
Т 1|х|-400 Т \
где п = х/т — единичный радиус-вектор. Таким образом, с каждой конфигурацией поля с конечной энергией связано отображение бесконечно удаленной сферы 8^ в физическом пространстве в сферу 8^ в пространстве скалярных полей, определенную соотношением
у? у — V .
Отметим, что 8^с представляет собой множество классических вакуумов модели.
Поскольку Л2(52) = Z, отображения 8^ —>■ 8^с характеризуются целым топологическим числом п = 0, ±1, ±2,... . Это число не изменяется при гладких деформациях конфигураций ^°(х), при которых энергия остается конечной: при таких деформациях соотношение (9.4) выполняется для каждой конфигурации, а отображения 8^ -4- 8^ остаются в одном гомотопическом классе. Как и в примерах главы 7, мы имеем дело с набором компонент связности (топологических секторов) в пространстве конфигураций полей с конечной энергией, причем различным компонентам связности соответствуют различные топологические числа. Сектор с нулевым топологическим числом содержит классический вакуум; топологический солитон следует искать в секторе с п = 1: он реализует абсолютный минимум энергии среди полей с п = 1. Существенно, что масштабные аргументы раздела 7.2 не запрещают существования минимума функционала энергии.
Для выбора подстановки (вида полей) для решения уравнений поля заметим, что наиболее симметричный вид поля ^°(п), соответствующего отображению 8^ -4 8^с с единичным топологическим числом, — это
^®(п) = п°и при г -4 оо. (9.5) Такая асимптотика поля при |х| -4- оо инвариантна относительно пространственных вращений, дополненных глобальными 517(2)-преобразованиями (первые вращают вектор п, вторые действуют на <ра как на вектор
с векторным индексом а):
(Л"1)^6^) = /(.?),(9.6)
где Л — матрица из группы 50(3) трехмерных вращений.
Найдем теперь асимптотику векторного поля Л“(х). Для конечности энергии солитона требуется, чтобы ковариантная производная
D^S^+ge^AW(9.7)
убывала на пространственной бесконечности быстрее, чем 1/г. В то же время, обычная производная для поля с асимптотикой (9.5) убывает как 1/г:
<9, у? ° = -(Jai - n®n*)v при г оо.(9.8)
г
Такое поведение должно быть скомпенсировано вторым слагаемым в (9.7), для чего требуется, чтобы Л® убывали как 1/г. К сокращению слагаемого (9.8) приводит следующая асимптотика поля Л®:
Л“(х) = ~е^п? при г-^ оо.(9.9)
дт
Действительно, второе слагаемое в (9.7) для полей вида (9.5) и (9.9) равно
abc с abci с
де Аде = де —е-п -и =
дт
=+ б^п’п^ = -^(Г - n"n>,
Гт
что в точности сокращает (9.6) в ковариантной производной (9.7).
Для получения гладкого решения можно искать солитонную конфигурацию в виде, подсказанном асимптотиками (9.5), (9.9),
^° = Л(1 -H(r)), А- = ^e^n^l-F^,(9.10)
где Я (г) и F(r) — неизвестные функции радиуса. Не вполне тривиальным фактом является то, что такая подстановка «проходит» через уравнения поля, т. е. все уравнения поля для конфигураций вида (9.10) сводятся к двум уравнениям для функций Я (г) и F(r\ Из асимптотического поведения полей (9.5), (9.9) следуют граничные условия на F (г) и Я (г):
F(r) = Н(г) = 0 при гоо.(9-11)
Два других граничных условия вытекают из требования гладкости полей в начале координат:
Я(0) = Я(0) = 1.(9.12)
Более точно, функция (1 - Я(г)) должна убывать не медленнее, чем г, при т -у О,
1-Я(г) = О(г) при г -> О,
а функция (1 - F(r)) — не медленнее, чем г2:
1 - F(r) = 0(г2) при г —^ О
(если (1 - F(r)) ~ т при г —> О, то значение Л“ вблизи г = О зависело бы от направления п).
В общем случае решение уравнений для F^ и Я (г) не удается найти в аналитическом виде, и функции F^ и Я (г) приходится искать численно.
Тот факт, что подстановка (9.10) «проходит» через уравнения поля, можно понять следующим образом. Мы уже отмечали, что если в лагранжиане имеется какая-либо глобальная симметрия, то наиболее общая подстановка, совместная с этой симметрией, всегда «проходит» через уравнения поля. В нашем случае такой симметрией является сферическая симметрия, понимаемая в смысле (9.6). т. е. симметрия относительно пространственных 50(3)-вращений, дополненных 517(2)-преобразованиями по индексу а. Подстановка у?°(х) = n°v(l - Я(г)) очевидным образом является наиболее общим видом хиггсовского поля, инвариантным относительно обобщенной сферической симметрии. В то же время, наиболее общее сферически-симметричное поле А“ имеет вид
А“(х) = ^^а^ + <6ai - пап^Ш + еа1Ч*Ыт),(9.13)
где a(r), /1(г), /2(г) — произвольные функции радиуса (вид (9.13) ясен из того, что А“ должно быть тензором относительно 50(3)-вращений по индексам а и i, составленным из единственного в задаче вектора па и тензоров 6М и е^. В подстановке (9.10) присутствует только третье слагаемое из (9.13). Возможность ограничиться только этим слагаемым следует из того, что оно нечетно относительно преобразования х -> -х, в то время как два других — четны. Иначе говоря, подстановка (9.10) — это наиболее общий вид полей, инвариантных относительно обобщенных вращений и дискретных преобразований
/'(-х) = -Ра(х), АГ(-х) = -А^.
Существенно, что эта дискретная симметрия является симметрией функционала энергии статических полей (и лагранжиана).
Задача 1. Выписать уравнения поля для случая, когда Л“ = 0, а поля <ра и А® не зависят от времени. Показать прямой подстановкой, что все эти уравнения при выборе полей в виде (9.10) сводятся к двум уравнениям для функций F^ и Н(г). Выписать эти два уравнения.
Показать, что F(r) и Я(г) экспоненциально стремятся к нулю при г -> оо в случае тн ~ mv.
Задача 2. Показать, что имеется двухпараметрическое семейство решений уравнений для F и Я, удовлетворяющих условиям (9.11) (без требования (9.12)). Показать, что имеется другое двухпараметрическое семейство решений этих уравнений, в которое входят решения, удовлетворяющие только условиям (9.12). (Указание: рассмотреть решения типа
Я(г) = 1 + анг + Рнт3 + ..., ■ F^ = 1 + арт^ + ^рт* + ...
при г -> 0; показать, что константы ан и ар не фиксируются уравнениями для Я и F, а 0Н и Pf выражаются через ан и ар.) Таким образом, аргумент раздела 7.3
можно применить и для обоснования существования солитонного решения в модели настоящего раздела.
Задача 3. Найти солитонную конфигурацию численно при ту = 2тн.
Оценим энергию (массу) и характерный размер солитона при ту ~ тн из размерных соображений. Введем переменные у1, /° и В“ равен
У* =gvxl, ipa(x) = -ufa^. Л?(х) = vB^y). (9.14)
В их терминах входящие в функционал энергии (9.3) величины запишутся в виде
(Л/) = г»27>,7“, Р?3=д»2В?5,d3x=-^d3y,(9Л5>
где
88(9Л6)
рй рв рй , abc pb рс
В« - 8^Bi - 8?В‘ + е В'В>
Подставляя (9.15) в (9.3), получим следующее выражение для функционала энергии
(9.17)(9.17)е = ^ J а3у [;ву5у + ^ff + ^(ff - О2
(9.17)
(9.17)
Мы рассматриваем случай ту ~ тн, поэтому
' А = тн ~ 14у2 8ту '
Отсюда и из (9.16) следует, что интеграл в (9.17) не содержит параметров, существенно отличающихся от единицы. Солитонная конфигурация является его минимумом, поэтому для нее
'е~-~ —
д «д’■
где ад = ^ — «постоянная тонкой структуры» (напомним, что электрический заряд поля W+ равен д). Характерный размер солитона в терминах у — порядка единицы, поэтому физический размер — порядка (gvy1, т. е. порядка
Го = Шу\
Итак, масса солитона (его статическая энергия) и его размер оцениваются как
., mv-1
М ~ —, т ~ то — mv .
Как и в предыдущих примерах, в теории со слабой связью (т. е. при ag < 1) комптоновская длина волны солитона, А = M-Y, мала по сравнению с его размером
А ,, ад С 1.
То
Солитон с хорошей точностью можно рассматривать как классический объект.
Задача 4. Найти количество нулевых мод для малых возбуждений полей Ам и ^а относительно солитонного решения. Указание: рассмотреть симметрии классического решения; воспользоваться тем, что часть этих симметрий представляет собой калибровочные преобразования, такие симметрии (их бесконечное число) должны быть учтены отдельно.
Магнитный заряд
В отличие от абелевой модели Хиггса, рассмотренной в разделе 7.3, модель (9.1) имеет, после нарушения симметрии, безмассовое векторное поле, которое мы называем электромагнитным. Вдали от центра солитона массивные поля должны экспоненциально убывать, однако безмассовое поле может убывать медленно. Иными словами, солитон может, вообще говоря, иметь электрический или магнитный заряд (а также электрический или магнитный дипольный момент и высшие мультипольные моменты). В этом разделе мы убедимся, что солитонное решение раздела 9.1 обладает нулевым электрическим и отличным от нуля магнитным зарядом, т. е. представляет собой магнитный монополь.
Вдали от центра солитона квадрат хиггсовского поля <р0<р0 стремится к вакуумному значению v , а векторные поля должны представлять собой малые отклонения от вакуума А° = 0. Если бы солитонное решение имело <р° = до3и при т —¥ оо (унитарная калибровка), то электромагнитное поле (вдали от центра) описывалось бы вектор-потенциалом А3. Однако асимптотика (9.5) не соответствует унитарной калибровке, поэтому для вычисления электромагнитного поля при больших т потенциал А3 использовать сразу нельзя. Простейший путь для нахождения электромагнитного поля вдали от центра состоит во введении калибровочо инвариантной величины
(9.18)
Для малых возмущений поля А^ относительно вакуума в унитарной калибровке имеем
J" p.V = F^y,
поэтому J^y совпадает с электромагнитной напряженностью. Поскольку величины (9.18) калибровочно инвариантны, определением (9.18) можно пользоваться в любой калибровке, лишь бы массивные поля отсутствовали, безмассовые были малы, a ipaipa близко к и2. Далее, вдали от центра солитона массивные поля должны быстро (экспоненциально) затухать; электромагнитное поле также убывает (но медленно). Поэтому выражением (9.18) действительно можно пользоваться для нахождения электромагнитного поля солитона вдали от его центра.
Вычислим напряженность электромагнитного поля 7^ для решения (9.10) вдали от центра монополя. Поскольку F(r) экспоненциально стремится к нулю при больших т (см. задачу к разделу 9.1), мы можем для вычисления любого конечного числа электромагнитных мультипольных моментов воспользоваться асимптотическим выражением
А? = ЛЕ«У„,(9.19)
Напомним, что Лд = 0.
Поскольку Л® не зависят от времени, а Ло = 0, напряженность F^ равна нулю, т. е. электрическое поле равно нулю вдали от центра солитона:
Si — Foi = 0.
Вычислим теперь магнитное поле
% = ^яу, где 11? = -^$^.
Воспользовавшись определением F^, запишем
Н{ — —SijkdjA^ — -geijkE AjA^.
Вычисление Н® для поля (9.19) проводится с использованием формул дифференцирования
dtr = щ, ditij = -(д,,- - niTij)т
и сверток
W = 3, eijkeilm = ^6km - 5jm6kl
(мы не различаем верхние и нижние латинские индексы). Получим
2—^ijk^jAk =тТЦТ1а,дт^Таким образом, имеем2—^ijk^jAk =тТЦТ1а,дт^Таким образом, имеем1 „ А Ь А С-EijkE AjA^ —_П,?10.2дт^1 „ А Ь А С-EijkE AjA^ —_П,?10.2дт^Н® = -^-п,п0.д-гН® = -^-п,п0.д-г(9.20)(9.20)
2
—^ijk^jAk =тТЦТ1а,
дт^
Таким образом, имеем
2
—^ijk^jAk =тТЦТ1а,
дт^
Таким образом, имеем
1 „ А Ь А С
-EijkE AjA^ —_П,?10.
2дт^
1 „ А Ь А С
-EijkE AjA^ —_П,?10.
2дт^
Н® = -^-п,п0.д-г
Н® = -^-п,п0.д-г
(9.20)
(9.20)
Отметим, что, как и следовало ожидать, Я“ направлено в пространстве (по индексу г) вдоль радиуса-вектора п,, а во внутреннем пространстве — вдоль вектора <ра. Последнее свойство — отражение того факта, что вдали от центра солитона имеется только электромагнитное поле (в унитарной калибровке электромагнитная напряженность F^v направлена во внутреннем пространстве вдоль вакуумного поля <ртас = -и5а3; поля F“v и <ра одинаково преобразуются при калибровочных преобразованиях, поэтому электромагнитная напряженность направлена во внутреннем пространстве вдоль <ра в любой калибровке). Первое свойство — это следствие сферической симметрии конфигурации (9.10).
Из (9.20) и асимптотики <ра = im° (верной снова с точностью до членов, экспоненциально убывающих при больших г) получаем выражение для магнитного поля решения (9.10):
Hi =(9.21)
Это — поле магнитного монополя с магнитным зарядом
Рм = ~-(9.22)
Действительно, магнитное поле (9.21) направлено вдоль радиуса-вектора, а по величине равно дм!т2.
Задача 5. Добавляя новые скалярные поля без вакуумного среднего во всевозможных представлениях калибровочной группы SET(2), показать, что минимальный электрический заряд в получаемых моделях равен g^n = ^, а электрический заряд любого поля кратен gmin. Таким образом, магнитный заряд монополя равен 0М = 2^- Тот факт, что магнитный заряд в теориях, где имеется одно дально- действующее векторное поле — электромагнитное, кратен ^—, носит название условия квантования Дирака (gmin — минимальный электрический заряд; заряд любого поля предполагается кратным дшы)- Отметим, что в случае точечного (дираковского) монополя в электродинамике условие квантования магнитного заряда возникает на уровне квантовой механики в поле монополя; в случае же монополя 'т Хоофта—Полякова условие квантования имеется уже на уровне классической теории поля. Последнее обстоятельство имеет глубокую связь с квантованием электрического заряда, которое автоматически возникает уже на классическом уровне в моделях типа рассмотренной в этом разделе.
Выражение (9.21) для магнитного поля монополя справедливо с точностью до вкладов в F^,, убывающих как e"mvT вдали от центра. Магнитное поле не содержит компонент, убывающих степенным образом по радиусу при больших г, кроме выписанной в (9.21) компоненты с поведением г2. Это означает, что магнитный дипольный момент и высшие магнитные мультиполи отсутствуют, так же как и электрические мультиполи.
Изложенный способ вычисления магнитного заряда не указывает на его связь с топологическими свойствами конфигураций поля, т. е.
с тем обстоятельством, что монополь является топологическим солитоном. Чтобы проследить эту связь ^, рассмотрим снова асимптотики полей на пространственной бесконечности. Поле <ра = т^-и не находится в унитарной калибровке, поэтому обсуждать калибровочный вектор-потенциал неудобно. Хотелось бы перевести поле <ра в унитарную калибровку. Сразу на всей бесконечно удаленной сфере это сделать несингулярным калибровочным преобразованием невозможно. Действительно, если бы существовало несингулярное на 8^ калибровочное преобразование w(n), такое, что
W = «5е3
(здесь и далее фш обозначает калибровочно преобразованное поле), то можно было бы построить непрерывное по параметру т € [0,1] семейство гладких на 8^ полей ^(т), интерполирующих между vn° и -иба3: поскольку ^2(517(2)) = О, ш(п) гомотопно тождественному калибровочному преобразованию с w(n) = 1; соответствующее семейство шт(п), осуществляющее деформацию w в w(n), порождало бы семейство <р°(т) = (<ршг)а. Это семейство ^Wr интерполировало бы между конфигурациями tpa = nav и у?° = t>5°3, что невозможно.
Итак, калибровочное преобразование, переводящее поле <ра = nav в унитарную калибровку, существует только на части бесконечно удаленной сферы 8^, например, всюду, кроме некоторой малой окрестности южного полюса. Обозначим это калибровочное преобразование через Wn(d) (оно действует на севере). Существует другое калибровочное преобразование Ws(n), которое несингулярно всюду, кроме некоторой малой окрестности южного полюса. (Существование ws и o>n обеспечено тем, что сфера с выколотой точкой — северным или южным полюсом — гомотопна Я2.) При этом
W = (у"’)" = »#"3 = (.^У,(9.23)
или
(Л У = (Л У = nav(9.24)
всюду, кроме малых окрестностей северного и южного полюса. Из (9.23) и (9.24) следует, что
AVn ) = ^тас, т. е. Q(n) = Ws^n1
принадлежит ненарушенной подгруппе U^em вращений вокруг третьей оси.
Рассмотрим Q(n) на экваторе сферы 8^. Там оно осуществляет отображение окружности SY (экватора) в группу 17(1)ет. Ясно, что это отображение должно принадлежать нетривиальному гомотопическому классу
^ Дальнейшие соображения по существу совпадают с подходом Арафуне, Фройнда
и Гебеля (1975).
из л"1(17(1)) (напомним, что tfi(17(1)) = Z\ Действительно, если бы оно было гомотопно нулю, то его можно было бы гладко продолжить на северную полусферу; если обозначить это продолжение через Q(n) (Q(n) 6 tf(l)em для всех п), то калибровочная функция, равная
ш(п) = *ш(п) = *ws(n) на южной полусфере,О(п)а^(п) на северной полусфере
ш(п) = *
ш(п) = *
была бы непрерывна на всей 8^ и преобразовывала бы поле <ра = nav в унитарную калибровку. Мы видели, что этого сделать невозможно, поэтому О(п) на экваторе принадлежит нетривиальному гомотопическому классу из ^(17(1))..
На экваторе можно записать П(п) в виде
fi = ew*\(9.25)
где у? — азимутальный угол на экваторе (напомним, что группа С7(1)ет состоит из матриц вида е^Т ). Топологическая нетривиальность Q(n) на экваторе означает, что
/(2тг) - /(0) = 2тгп,(9.26)
где п — целое число, отличное от нуля. Можно показать (мы это сделаем путем явного построения ws(n) и о^(п)), что п совпадает с топологическим числом поля ^а(п) (степенью отображения S^ -> S^); в нашем случае n = 1.
Рассмотрим теперь вектор-потенциал А“. Перейдем в унитарную калибровку всюду, кроме малой окрестности южного полюса, с помощью калибровочного преобразования o>n ■ Калибровочно преобразованный потенциал
.4^ = WN-^iW^1 + Wn^Wn1
— гладкий всюду, кроме малой окрестности южного полюса. Здесь At — вектор-потенциал в исходной калибровке (в данном случае его компоненты имеют вид (9.9)); мы пользуемся матричными обозначениями. Ясно, что в унитарной калибровке вдали от монополя имеются только электромагнитные компоненты вектор-потенциала (остальные поля массивны), поэтому
Л” =(9.27)
2г
где Xf — потенциалы магнитного поля (действительные функции, зависящие от х).
Далее, всюду кроме малой окрестности северного полюса, определим вектор-потенциал
А? = ws^Wg1 + wsdiw^ \
Он также имеет только третью компоненту,
As = ^-А8.(9.28)
Хотя потенциалы Др1 и Д8 описывают одно и то же магнитное поле всюду вне северного и южного полюсов, они не равны между собой, а связаны калибровочным преобразованием П(п):
А? = М^£ГХ -^д1£Г\
Это — калибровочное преобразование из группы U(l)em над электромагнитными вектор-потенциалами (в унитарной калибровке), т. е. абелево преобразование. Используя (9.25) и (9.27), (9.28), получим связь между действительными величинами на экваторе сферы 5^:
7
A?(n) = AN +(9.29)
Вычислим, наконец, поток магнитного поля через сферу 8^. Сделаем это в унитарной калибровке. Магнитное поле на северной полусфере можно найти через несингулярные там вектор-потенциалы Л^. Д^ бесполезны на южной полусфере, поскольку они сингулярны в южном полюсе. В южной полусфере воспользуемся несингулярными вектор-потенциалами А^. Итак,
- J - rot XN на северной полусфере,- rot Л на южной полусфере.
Отметим, что го1Дк = rot Xs всюду вне северного и южного полюсов, поскольку ^N и Л8 связаны калибровочным преобразованием Q(n) из 17(1). Магнитное поле Н не сингулярно нигде на сфере 8^. Поток магнитного поля равен
J lids = - J rot ZN ds - J rot Л5 ds = - J ZN df^ J Л8 df,верхняянижняя5151
полусфераполусфера
где S1 обозначает экватор сферы 8^. Из (9.29) имеем
/ Hds = - &if(<p)dli,
sl
или, с учетом (9.26),
Такой поток магнитного поля соответствует монополю с магнитным зарядом
9м =(9.30)
9
где п — топологическое число, фигурирующее в (9.26). В нашем случае n= 1, имы приходим к (9.22).
Изложенные здесь соображения носят весьма общий характер и проясняют связь между магнитным зарядом монополя и топологией хиггсов- ских полей. Из них, в частности, следует, что магнитный заряд в SU(2) -модели кратен 1/р, а число п в (9.30) равно степени отображения S& в 5^с, характеризующей хиггсовское поле на пространственной бесконечности.
Функции wN(n) и ws(n) для конкретного случая <ра = nav можно построить в явном виде:
=(9.31)
(9.32) где <р и 9 — стандартные углы на сфере S2. Тот факт, что wN несингулярны всюду, кроме южного полюса 0 = тг, a ws — всюду, кроме северного полюса 9 = 0, очевиден. На экваторе
Q(p) = (w^^Q = у) = е'^3»
что соответствует (9.26) и n = 1.
Задача 6. Показать, что калибровочные преобразования (9.31) и (9.32) действительно переводят поле фа = n°v в унитарную калибровку. Указание: воспользоваться матричной формой хиггсовского поля. Используя эти преобразования, найти явный вид поля монополя в унитарной калибровке вдали от центра.
Полученные в этой задаче поля соответствуют точечному монополю Дирака , в чистой электродинамике, для которого можно использовать либо формулировку в терминах сингулярного вектор-потенциала (с ненаблюдаемой дираковской струной), либо формулировку с различными вектор-потенциалами на северной и южной полусферах (By, Янг, 1975), как это мы сделали выше.
Обобщения на другие модели
Соображения, изложенные в разделах 9.1 и 9.2, указывают на то, что существование магнитных монополей как топологических солитонов должно быть довольно общим свойством калибровочных теорий с нарушением компактной простой или полупростой калибровочной группы до подгруппы, содержащей фактор типа 17(1). В этом разделе мы убедимся
в этом с помощью топологических аргументов (Тюпкин, Фатеев, Шварц, 1975; Монастырский, Переломов, 1975).
Рассмотрим теорию с компактной простой или полупростой калибровочной группой G. Для определенности будем считать группу G односвязной (это предположение в действительности не ограничивает общность дальнейших рассуждений). Пусть в теории имеется хиггсовское поле sp, преобразующееся по некоторому, вообще говоря, приводимому, представлению Т^ группы G. Пусть в модели реализуется механизм Хиггса, и G нарушается до некоторой подгруппы Н. Это означает, что вакуумное значение хиггсовского поля отлично от нуля и при некотором выборе классического вакуума р^ его стационарная подгруппа равна Н,
T^h^p^ = р^ для всех h € Н
(напомним, что р^с не зависит от жд). Вакуум р^, разумеется, не является единственным: любое значение поля вида
Ф = Т(д)рvac?(9.33)
где д не зависит от жд, также является основным состоянием (мы всюду считаем, что в основном состоянии Ац = 0). Предположим, что все возможные вакуумы имеют вид (9.33), т. е. что в модели нет случайного вырождения вакуума (это предположение тоже на самом деле можно было бы не делать).
Рассмотрим множество классических вакуумов М/ас. Сделанные предположения означают, что группа G транзитивно действует на Мтас, причем это действие задается представлением Т. Следовательно, МуаС — однородное пространство
М™ = G/H.
Рассмотрим теперь статические конфигурации полей с конечной энергией в трехмерном пространстве, причем будем считать, что энергия вакуума равна нулю. Вклад скалярного потенциала в энергию будет конечен, если поле р на пространственной бесконечности стремится к какому- либо вакуумному значению, которое может зависеть от направления п. Таким образом возникает отображение бесконечно удаленной сферы 8^ В Mvac- Поскольку
тг2(Мтас) = тг2(6/Я) = тп(Я),
такие отображения могут быть топологически нетривиальными в случае неодносвязной группы Н, т. е. когда
7Г1(Я) ^ 0.
В этом случае пространство конфигураций с конечной энергией разбивается на непересекающиеся подпространства (топологические сектора), каждое из которых соответствует элементу из 7Г1(Я). Минимум энергии в нетривиальном топологическом секторе и представляет собой солитон.
Задача 7. Пусть Н = U^. Используя соображения, аналогичные приведенным в разделе 9.2, показать, что описанные только что солитоны являются магнитными монополями.
Таким образом, монополи имеются во всех моделях с компактными простыми или полупростыми калибровочными группами, где механизм Хиггса приводит к нарушению симметрии до неодносвязной подгруппы. Поскольку в природе действительно имеется ненарушенная группа электромагнетизма 17(1)ет> монополи всегда существуют в реалистичных теориях большого объединения с простой или полупростОй калибровочной группой.
Предел ^ ^ О
Продолжим изучение монополей в SU(2)-модели разделов 9.1 и 9.2. В предельном случае, когда константа самодействия хиггсовского поля А стремится к нулю, решение уравнений поля можно получить в явном виде. Физически этот предел (его называют пределом Богомольного— Прасада—Соммерфилда) соответствует ситуации, когда масса хигтсов- ского бозона тн = V2At> много меньше массы векторного бозона ) my = gv. из формул (9.14) и (9.17) следует, что А входит в решение в комбинации Л =.
При А ^ О потенциальное слагаемое в функционале энергии (9.3)
J dx ^<рафа - v2)2
стремится к нулю, если выполнено условие его конечности (9.4). Иначе говоря, в этом пределе монопольная конфигурация является минимумом функционала
5д=0 —5д=0 —44 [1(Я")2 + ^В^ЧВ^644 [1(Я")2 + ^В^ЧВ^6(9.34)(9.34)
5д=0 —
5д=0 —
44 [1(Я")2 + ^В^ЧВ^6
44 [1(Я")2 + ^В^ЧВ^6
(9.34)
(9.34)
в классе полей, удовлетворяющих условию
(ра(ра = v2, |®| -> оо(9.35)
и обладающих единичным топологическим числом. В (9.34)
Для нахождения этого минимума воспользуемся приемом (Богомольный, 1976), аналогичным использованному в модели n-поля. Запишем следующее неравенство:
Г d’x 1(Я? - D^H? - D^ ^ 0,(9.36)
причем равенство здесь выполняется при
П^а = Н?.(9.37)
Раскрывая скобки в (9.36), имеем
[ HfD^x .
Далее, используем определение
1ф = dvp + де А^
и проинтегрируем «по частям». Получим
J H“Dipad3x = J H?<pad^- J p^diH^ge^A^H^d^x. (9.38)
Вспомним еще тождество Бьянки
ЕциХрОуРхр = 0,(9.39)
где
0^ = а^ + де^А^.
Компонента // = 0 в (9.39) дает
М? + je’^# = 0,
так что второе слагаемое в (9.38) исчезает.
Наконец, первое слагаемое в (9.38) пропорционально магнитному заряду (см. раздел 9.2):'
/ Я^“ d^ = v / % d^ = —.
JJ9
sis^
Таким образом, имеем неравенство для энергии при А -> 0:
причем равенство наступает, только если выполняются уравнения (9.37).
Монопольная конфигурация — это минимум энергии при единичном магнитном заряде. Поэтому в пределе А —> 0 ее можно искать, решая уравнения (9.37) (их называют уравнениями Богомольного).
Задача 8. Записать уравнения поля, вытекающие из экстремизации функционала энергии (9.34). Показать, что любое решение уравнений (9.37) является одновременно решением полученных уравнений поля.
Сферически-симметричное (в смысле обобщенной симметрии, обсуждавшейся в разделе 9.1) решение уравнений (9.37) можно получить в явном виде. Запишем еще раз сферически-симметричные поля, на этот раз в виде
ра = 1?паЦт), Af = ею5п^(\ - F(r))
(эта подстановка отличается от (9.10) лишь заменой h = 1 -Н). Вычисляя «магнитное» поле Н“ и ковариантную производную, получим
н? = -Ua = -®^i^F' + ^ _ply
2 vrgдт1
—. a ^o* — TljTla ../
= VFh + VTliTlah .
r
Из независимости тензоров тцпа и (50i- - п$п0) следует, что уравнения (9.37) сводятся к уравнениям
F^-W, h^^l-F1).(9.41)
Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям
F№ = 1, Л(0) = о,4
F(r -> ос) = 0, Цт -> оо) = 1.
Эти условия обеспечивают несингулярность полей ра и А“ при г -> ос и г —> О, конечность энергии (9.34) и выполнение дополнительного соотношения (9.35). Решение уравнений (9.41) с граничными условиями (9.42) можно угадать:
F = -^-, h = cthp--,sh рр
где
p = gvr = ~, г0 = (yv)"1 = (my)"1.
Го
Отметим, что получить явный вид решения удалось благодаря тому, что вместо исходных уравнений второго порядка мы решали уравнения первого порядка (9.37).
Как и следовало ожидать, функция F(r) экспоненциально стремится к нулю при г -> оо:
Г(г) ос е"г/г°.
В то же время, Цт) стремится к единице степенным образом:
1-й(г)а~.(9.43)
т
Такое поведение связано с тем, что масса хиггсовского бозона тн равна нулю при А-^0, т.е. среди малых возбуждений над вакуумом имеется безмассовое скалярное поле.
Масса монополя (его статическая энергия) в пределе А -> 0 равна, как следует из рассуждений, приводящих к (9.40),
М = ^о = ^ = ^,(9.44)
29 «д
где, по-прежнему, ад = ^.
Задача 9. Показать прямым вычислением функционала энергии Ех=о рдя найденного решения, что масса монополя в пределе А -> 0 действительно дается формулой (9.44).
Отметим, что существуют (и найдены в явном виде) многомонопольные решения уравнений (9.37). Это утверждение, на первый взгляд, противоречит ожиданиям: монополи испытывают «кулоновское» отталкивание из-за их магнитных зарядов, поэтому энергия двух монополей, казалось бы, должна иметь минимум тогда, когда расстояние между их центрами бесконечно. В действительности отталкивание магнитных зарядов в точности компенсируется за счет притяжения, связанного с дальнодействующим скалярным полем (см. (9.43)), так что два монополя находятся в безразличном равновесии. Такая ситуация, разумеется, имеет место лишь прц А = 0; при А > 0 хиггсовское поле массивно и связанное с ним взаимодействие монополей экспоненциально убывает при г > т^ .
Отметим еще, что при А > 0 вклад потенциального слагаемого в энергию положителен, и модификация рассуждений этого раздела приводит к неравенству
«д
Таким образом, монополь имеет наименьшую массу в пределе ^ -4 0.
9.5. Дионы
До сих пор мы рассматривали решения с нулевым электрическим зарядом. Кроме них в S77(2)-модели существуют решения с ненулевым магнитным и ненулевым электрическим зарядами — дионы (Джулиа, Зи, 1975). Поскольку статический электрический заряд можно описывать потенциалом Ао(х), не зависящим от времени, дионное решение можно искать, считая, что Ад(х) и 99 (х) не зависят от времени, при этом А“(х) отлично от нуля. В сферически-симметричном случае для поля А“(х) выбираем подстановку
Л8 = п*В(г).(9.45)
причем из условия отсутствия сингулярности при г = 0 получаем условие
В(т = 0) = 0.
Для полей 9?“(х) и Л“(х) по-прежнему используем подстановку (9.10) с граничными условиями (9.11) и (9.12). Выбор (9.45) приводит к тому, что
D0(pa = 90(pa+geabcAV = 0.
Поэтому энергия диона будет конечна, если электрическая компонента тензора напряженности Р& убывает как 1/г2.
Найдем асимптотику функции В (г) для диона с (электрическим) зарядом q. Ддя этого вычислим Р^ вдали от центра диона, где поле А“ дается формулой (9.9). Получим
Е® = Р“ = -п^В*.
Поскольку Ei направлен во внутреннем пространстве вдоль ipa, в асимптотике действительно имеется лишь электрическое поле, соответствующее ненарушенной подгруппе (7(1)ет- Он° равно
Si = -Е“<ра = -п,В'.
У
Электрическое поле направлено вдоль радиуса-вектора, как и должно быть для поля электрического заряда. Если заряд диона равен q, то должно быть
откуда получаем асимптотику
В = - + С,(9.46)
г
где С — константа, зависящая от q.
Так же, как решение для монополя, дионное решение найти в аналитическом виде не удается. Исключение составляет лишь предельный случай А -> 0. Конфигурации полей для диона при А ^ 0 были найдены численно.
Задача 10. Выписать уравнения для радиальных функций В(г), Р^ и Н^ для диона. Показать, что асимптотики (9.11) и (9.46) удовлетворяют этим уравнениям в пределе больших г.
Глава 10
Нетопологические солитоны
Солитон в модели с двумя полями
До сих пор мы рассматривали солитоны, существование которых связано с топологическими свойствами полевых конфигураций. Кроме того, мы ограничивались обсуждением статических решений, что в действительности было оправдано для топологических солитонов (более или менее ясно, что абсолютный минимум энергии в секторе с ненулевым топологическим числом достигается — если вообще достигается — на статической конфигурации). Однако ни нетривиальные топологические свойства, ни статичность полей не являются обязательными для солитонов, понимаемых как стабильные (или метастабильные) частицеподобные решения уравнений поля с конечной энергией. В этой главе мы приведем пример стабильного солитона, поле которого зависит от времени и не обладает нетривиальной топологией (Фридберг, Ли, Сирлин, 1976). Этот пример имеет довольно общий характер; причиной существования солитона и его стабильности служит наличие заряда у солитона. Такие солитоны, следуя Коулмену (1985), в последнее время называют Q-шарами (Q-balls). До сих пор не ясно, играют ли они какую-нибудь роль в физике частиц, хотя похожие идеи использованы в моделях адронов (кварковые мешки). Отметим, что совершенно другой пример нетопологического солитона приведен в одной из задач к этой части.
В качестве простейшей модели, в которой имеются нетопологические солитоны, можно выбрать теорию с двумя скалярными полями: действительным полем р(ж) и комплексным полем ^х). Лагранжиан модели имеет вид
с = \<МУ - v^ + We^ - hVCL (10.1) причем скалярный потенциал поля у? равен
2
Мы считаем, чтоМы считаем, чтот^, v,h> 0.т^, v,h> 0.
Мы считаем, что
Мы считаем, что
т^, v,h> 0.
т^, v,h> 0.
Для определенности будем рассматривать эту модель в (1+1)-мерном пространстве-времени, хотя последующее рассмотрение просто обобщается на случай пространства-времени произвольного числа измерений.
В модели имеется непрерывная глобальная (7(1)-симметрия
^^ч<х\ е^^е^(Ю.2)
Этой симметрии соответствует нетеровский ток
з» = j(f ^ - з^ЧУ
Заряд
Q= f кС8Ч-8ЧЧ)<1х1(10.3)
сохраняется на уравнениях поля.
Для нахождения основного состояния запишем, как обычно, функционал энергии
^(db^ + ^Si^ + ^^ + ISoSl' + ISiSP + ^^KI2 ■ (10.4)
Он имеет минимум на однородной конфигурации вида
у = и, £ = 0,(10.5)
которая и представляет собой основное состояние в модели. Отметим, что симметрия (10.2) не нарушена.
Рассматривая малые возмущения полей относительно основного состояния (10.5), заключаем, что они описывают массивное действительное скалярное поле
7/(ж) = ^(ж) - V, ?ПЧ = ТП^ и массивное комплексное скалярное поле £ с массой
m^ = hv.
Поскольку заряд (10.3) сохраняется, можно поставить вопрос о конфигурациях полей с минимальной энергией среди всех конфигураций с заданным значением Q. Если при некотором фиксированном Q конфигурация с минимальной энергией представляет собой локализованное состояние, то в модели имеется абсолютно устойчивый солитон («Q-шар»). Иными словами, все множество конфигураций полей можно разбить на непересекающиеся сектора, характеризуемые значением Q, в каждом из которых собраны все поля, имеющие одно и то же значение заряда (в квантовой теории эти сектора называют секторами суперотбора). При классической эволюции поля не переходят из одного сектора в другой в силу сохранения заряда. Солитон («Q-шар») реализует абсолютный минимум энергии в секторе с некоторым Q, поэтому он устойчив.
Отметим, что в модели (10.1) топология полевых конфигураций тривиальна; существование солитона не опирается на топологические аргументы. Далее, заряд (10.3) отличен от нуля, только если поля зависят от времени, поэтому солитон (если он существует) — это зависящая от времени конфигурация.
Задача 1. Записать уравнения для условного экстремума функционала энергии (10.4) при фиксированном заряде Q. Показать, что поля ^(жМ) и ^(z1,/), удовлетворяющие этим уравнениям, удовлетворяют и лагранжевым уравнениям поля, следующим из лагранжиана (10.1). Указание: считать вариации 6^8о<р) и J(^) не зависящими от dtp и 6^.
Покажем, что нетопологический солитон действительно существует в нашей модели при достаточно больших значениях Q. Для этого нам нужно показать, что существуют локализованные конфигурации полей, энергия которых меньше энергии нелокализованных конфигураций при фиксированном (и большом) Q.
Рассмотрим сначала нелокализованные конфигурации. Если поля не локализованы, то их амплитуды малы, и можно пользоваться теорией, линеаризованной вблизи классического вакуума (10.5). Для линеаризованной теории функционал энергии имеет вид
(10.6)(10.6)&' ^(йм)2 + ^(91Ч)2 + "Ч2 + №£12 + |а^|2 + т||$|2 .
(10.6)
(10.6)
Ясно, что при фиксированном Q функционал (10.6) будет наименьшим, если Т) = 0. Для оценки энергии при фиксированном Q удобно воспользоваться фурье-представлением для решений уравнений поля в линеаризованной теории:
(Ю.7)(Ю.7)у2тг J.
(Ю.7)
(Ю.7)
где
Шк = ^й2 + п^,(10.8)
множители ^= и ^= введены для удобства, ак и Ьк — произвольные малые амплитуды; интегрирование в (10.7) идет как по положительным, так и по отрицательным к. В терминах амплитуд ак и Ък энергия (10.6) и заряд (10.3) запишутся в виде
dk Шк(ЬкЪк + а^аь).dk Шк(ЬкЪк + а^аь).(Ю.9)(Ю.9)Q — I dk (bkbk Q>kO>k^.Q — I dk (bkbk Q>kO>k^.(10.10)(10.10)
dk Шк(ЬкЪк + а^аь).
dk Шк(ЬкЪк + а^аь).
(Ю.9)
(Ю.9)
Q — I dk (bkbk Q>kO>k^.
Q — I dk (bkbk Q>kO>k^.
(10.10)
(10.10)
Из формул (10.9), (10.10) и (10.8) ясно, что если заряд Q фиксирован, то
E^m^Q, (10.11)
причем равенство наступает тогда, когда ак = 0, а Ьк отличны от нуля только при к = 0 (для нахождения амплитуды Ьк необходимо, в действительности, рассмотреть теорию в пространственном ящике большого размера).
Задача 2. Рассмотреть систему с лагранжианом (ЮЛ) в «ящике» большого размера L, т. е. считая -Z/2 ^ ж1 ^ L/2. Найти значение амплитуд Ък, минимизирующих энергию (10.9) при фиксированном (и конечном) заряде Q. Верно ли сделанное в тексте утверждение о малости поля £($) в каждой точке пространства времени?
Соотношение (10.11) имеет следующую интерпретацию в квантовой теории. Поле £($) описывает частицы с массой т^ и единичным зарядом (а также античастицы с зарядом -1). Чтобы заряд был равен Q, требуется не менее Q частиц; их энергия минимальна и равна Е = m^Q, если все они покоятся (пространственный импульс к равен нулю).
Теперь мы покажем, что при достаточно больших Q существуют локализованные конфигурации полей с зарядом Q, энергия которых меньше m^Q. С учетом (10.11) это и будет означать существование нетопологического солитона .
Выберем конфигурацию поля ф статической и имеющей вид «ямы», изображенной на рис. 10.1. Вне области размера I поле у? (ж1) равно своему значению в основном состоянии, у? = у. Имеется небольшая переходная область (размера много меньше Z), где поле изменяется от -и до нуля, а внутри ямы поле ^ равно нулю. Энергия, связанная собственно
с полем у?,с полем у?,dxvdxv
с полем у?,
с полем у?,
dxv
dxv
складывается из энергии переходной области и энергии ямы. Нас будет интересовать зависимость энергии от I, и мы можем записать
Е^ = ^ + Vol,.
где первое слагаемое возникает за счет переходной области и не зависит от I, второе слагаемое набирается внутри ямы, где плотность энергии равна
Vo = V(y = 0) = ^V.Vo = V(y = 0) = ^V.(10.12)(10.12)
Vo = V(y = 0) = ^V.
Vo = V(y = 0) = ^V.
(10.12)
(10.12)
9 Строго говоря, нам было бы нужно еще показать, что минимум энергии при заданном Q действительно достигается, т. е. ситуации типа изложенной в разделе 7.2 не возникает. Это можно сделать на основе соображений, изложенных ниже (см. формулу (10.19)).
Рассмотрим теперь конфигурацию поля £(ж\0. Во внешнем поле выбранной нами конфигурации у? (ж1) уравнение для поля £ имеет вид
-W-*W)e = o.(Ю.13)
Выберем зависимость £ от времени в виде
() = ?%(?),
тогда уравнение (10.13) станет уравнением на собственные значения
[-^ + fcV(?)J (п(®*) = П2^1).(10.14)
Нас будет интересовать наинизшее собственное значение Q. «Потенциал» ^^(ж1) имеет вид ямы размера I (и глубины тЦ), причем на дне ямы он равен нулю. Поэтому наинизшее собственное значение равно, с точностью до поправок высшего порядка по 1/1,
7Г / 1 \
Яо = т + 0(-у).(10.15)
Соответствующая собственная функция ^(ж1) — низшее связанное состояние в потенциале ^^(ж1) — действительна и экспоненциально убывает вне ямы.
Итак, выберем в качестве конфигурации £(ж\ t) функцию
^x'.t^N^^x11),(10.16)
где функцию £п0 считаем нормированной на единицу:
ОО
/^(з1)^!,(10.17)
-ОО
а постоянную N определим из требования, чтобы заряд (10.3) был равен заданному значению Q. Имеем
Q = 2№ПО,
так что
N1 =(10.18)
Вычислим, наконец, энергию, связанную с полем £(ж\ i),
е(= / to1 [д04’дь4 + 914’914 + лУ«Ч].
Перебрасывая во втором слагаемом производную и учитывая (10.16), (10.17) и (10.14), получим
Е^ = 2П?№..
Воспользовавшись (10.18), имеем окончательно
Е^ = CIqQ.
Итак, полная энергия для выбранной нами конфигурации полей ^(ж1) и ^(ж1, i) равна'
(10.19)(10.19)7Г(Э
(10.19)
(10.19)
Е = Е^ + Е^ = /z + VqI Н——,
где мы воспользовались (10.12) и пренебрегли поправками в формуле (10.15). До сих пор мы никак не фиксировали значение размера ямы I и лишь предполагали его достаточно большим. Определим теперь I из требования, чтобы энергия (10.19) была наименьшей. Имеем
дЕ
61°
при
(10.20)
и минимальное значение энергии для конфигураций используемого типа
равноравно^-eG-^A\ У ^о /^-eG-^A\ У ^о /= д + 2 V^M= д + 2 V^M(10.21)(10.21)
равно
равно
^-eG-^A
\ У ^о /
^-eG-^A
\ У ^о /
= д + 2 V^M
= д + 2 V^M
(10.21)
(10.21)
При достаточно больших Q это выражение меньше, чем m^Q, что и требовалось.
Подчеркнем, что описанные конфигурации действительно, локализованы: поле ^(ж1) быстро стремится к своему вакуумному значению при больших I®11, а ^(ж1, i) экспоненциально стремится к нулю при (ж11 оо.
Для того, чтобы наши оценки были справедливыми, требуется, чтобы размер ямы был велик. Равенство (10.20) показывает, что это действительно верно при достаточно больших Q.
Оценим значение заряда QCrit> больше которого в модели имеется нетопологический солитон. Для этой оценки пренебрежем первым слагаемым в энергии солитона (10.21) и потребуем, чтобы его энергия была равна энергии нелокализованного состояния:
2 V^Qcrit^O := ^^Qcrit'
Получим с учетом (10.12)
2
си = 2тг—yv2.(10.22)
При Q ~ Qcrit размер построенной нами конфигурации в действительности не велик,
, _ / Qcrit _ 1 у туг Поэтому приведенное выше вычисление энергии этой конфигурации несправедливо, вообще говоря, при Q ~ QCnt- Это означает, в частности, что коэффициенту 2тг^ в формуле (10.22) для критического заряда доверять нельзя. Вид солитонной конфигурации для Q ~ QCrit и истинное значение критического заряда могут быть получены лишь численно; можно только утверждать, что
Qcnt '"'■' у
при больших и и mv ~ т^.
Напомним, что в (1 + 1)-мерном пространстве-времени характерное значение поля d играет роль обратной константы связи, т. е. пределу слабой связи соответствует у2 -> оо при фиксированных т^ и т^. Таким образом, нетопологические солитоны в моделях со слабой связью имеют большой заряд,
Q > (константа связи)-2.
Отметим, что масса легчайшего нетопологического солитона также велика,
•^crit = -^(Qcrit) TTiy) .
Так же, как и для топологических солитонов, размер солитона значительно превышает его комптоновскую длину волны: из (10.20) и (10.21) имеем соотношение
^crit(Q) _1< 1.
HQ) " E(Q)l(Q) ~*
В этом смысле топологические и нетопологические солитоны имеют аналогичные свойства.
Задача 3. Показать, что в модели (10.1) нетопологические солитоны имеются (при достаточно больших зарядах) в пространстве-времени любой размерности (d + 1), d ^ 1. Оценить критический заряд и массу нетопологического солитона при d = 3, считая безразмерную константу h малой, а ^ ~ 1.
Нетопологические солитоны описанного в этой главе типа возникают во многих моделях, где имеется сохраняющийся заряд, а соответствующая симметрия не нарушена спонтанно. Еще раз отметим физическую причину их появления: при достаточно больших Q энергетически выгодным оказывается состояние, в котором поля, несущие заряд (в нашем случае £), удерживаются в конечной области пространства; в этой области поле, придающее им массу (в нашем случае (р) имеет отличное от вакуумного значение, такое, что масса заряженных полей равна нулю.
На языке частиц энергетическая выгодность такого состояния видна из следующего качественного соображения. Для того, чтобы заряд состояния был равен Q, необходимо присутствие Q штук заряженных частиц (описываемых полем £)• Конфигурация поля ip, изображенная на рис. 10.1, представляет собой потенциальную яму для этих частиц. В яме их масса равна нулю, что дает выигрыш в энергии порядка Q по сравнению со свободными частицами (если I фиксировано). При достаточно больших Q этот выигрыш в энергии превышает энергию, необходимую для того, чтобы яма образовалась (последняя энергия равна Ev и не зависит от Q при фиксированном 1).
Это соображение имеет, очевидно, весьма общий характер. Оно справедливо и в моделях, где роль заряженных частиц играют фермионы, если число их типов достаточно велико (принцип Паули не позволяет применить приведенные аргументы в моделях с одним типом или небольшим количеством типов фермионов).
Q-шары в теориях с плоскими направлениями
Если в модели имеется всего одно комплексное скалярное поле, то существование или отсутствие нетопологических солитонов (Q-шаров) существенно зависит от формы скалярного потенциала. В этом разделе мы рассмотрим модель с лагранжианом
£ = 8Аф-Ш(10.23)
где Ф — комплексное скалярное поле, а скалярный потенциал У(|Ф|) имеет абсолютный минимум при Ф = 0, так что глобальная (7(1)-симметрия
Ф -» гаФ
не нарушена в основном состоянии. Мы увидим, что Q-шары в этой модели существуют, если функция
Г(|Ф|)|фр
имеет минимум при |Ф| ^ 0 (Коулмен, 1985). Этот минимум может иметь место при |Ф| = ос; для этого требуется, чтобы скалярный потенциал рос при больших Ф медленнее, чем |Ф|2, т. е. был достаточно плоским. Плоские направления скалярного потенциала (модули) характерны для суперсимметричных теорий, так что в таких теориях вполне возможно существование Q-шаров. Исследование свойств Q-шаров в суперсимметричных расширениях Стандартной модели физики частиц и возможных проявлений этих объектов в астрофизике и космологии представляет значительный интерес, при этом в качестве глобального заряда может (хотя и не обязательно) выступать барионное число, лептонное число или их комбинация (Кусенко 1997, Двали, Кусенко, Шапошников 1997).
Q-шар в модели (10.23) — это конфигурация поля Ф(х, t), являющаяся минимумом функционала энергии
j d3x [|а0Ф|2 + 15,-Ф|2 + V(|Ф|)](10.24)
при дополнительном условии, что фиксирован заряд
Q = I d3 х | (ф*доф - д0Ф*Ф).(10.25)
Для определенности мы рассматриваем наиболее интересный случай трехмерного пространства: Разумеется, нас интересует решение исходного уравнения поля
д¥
(Ю-26)
Как и в разделе 10.1, нелокализованные конфигурации имеют энергию
Е m^Q,(10.27)
где тПф — масса поля Ф в классическом вакууме Ф = 0 (считаем, что вблизи Ф — 0 скалярный потенциал имеет вид V = Шф|Ф|2 + О(|Ф|4), а абсолютно стабильный Q-шар должен иметь энергию, меньшую mфQ).
Будем искать решение уравнения (10.26) в виде
Ф(М) = еыф(х),(10.28)
где ф(х) — действительная функция, и подбирать ф(х) и ш так, чтобы при данном значении заряда (10.25) энергия (10.24) была минимальной. Из уравнения (10.26) получим уравнение на функцию ф(х),
Ог Ф + v ф - - —— = 0.(10.29)
2 Оф
Задача 4. Рассматривая потенциалы V(ф), являющиеся полиномами по |ф|2 = ф*ф, показать, что уравнение (10.26) для полей вида (10.28) сводится к уравнению (10.29).
Выражения для энергии и заряда имеют вид
Е =d3x[u^ + (%ф)2 + У(ф)],(10.30)
Q = 2wQ = 2wd3x ф2.d3x ф2.(10.31)(10.31)
Q = 2w
Q = 2w
d3x ф2.
d3x ф2.
(10.31)
(10.31)
Уравнение (10.29) совпадает с условием минимальности энергии (10.30) при фиксированном заряде (10.31), причем как конфигурация ф(х), так и частота ш считаются независимыми переменными. Действительно, для нахождения указанного условного экстрермума можно воспользоваться методом Лагранжа и искать безусловный экстремум функционала
(10.32)(10.32)S = E-XQ,
(10.32)
(10.32)
где Л — неизвестный пока множитель Лагранжа. Условие экстремума функционала (10.32) по переменной у,
— =2ш du— =2ш dud3x ф2 - 2Хd3x ф2 - 2Хd3x ф2d3x ф2= 0= 0
— =2ш du
— =2ш du
d3x ф2 - 2Х
d3x ф2 - 2Х
d3x ф2
d3x ф2
= 0
= 0
дает
А = ш.
С учетом этого равенства функционал (10.32) равен
S = Jd3x [-и2ф2 + (д^ф)2 + V(ф)].
Условие его экстремума по ф(х) действительно совпадает с уравнением (10.29).
Итак, наша задача — найти минимум энергии Е при фиксированном Q, считая ф^х) и ш независимыми переменными. По аналогии с разделом 10.1, рассмотрим конфигурацию в виде шара большого размера R, внутри которого поле ф принимает неизвестное пока постоянное значение фо, вблизи границы изменяется от фо до нуля и вне шара принимает вакуумное значение ф = 0. Энергия и заряд такой конфигурации равны
Е = о?фоУ + У(фо)У + О(Я2), Q = 2шфоУ + O(R2\(10.33)
(10.34)(10.34)где V = |тгЯ3 — объем шара, а поправки порядка R2 возникают из-за поверхностных вкладов. Пренебрегая этими поправками, получим из (10.33)
(10.34)
(10.34)
V 2иф20’
так что энергия равна
Минимум этого выражения по ш достигается при
ш = Уош = Уо
ш = Уо
ш = Уо
и равен
^Ю1 —^Ю1 —•Q.•Q.
^Ю1 —
^Ю1 —
•Q.
•Q.
Эта энергия минимальна при таком значении фо, для которого выражение У(фо)/фо имеет абсолютный минимум. Если этот минимум достигается при фо 0, то энергия Q-шара меньше (при достаточно большом Q), чем энергия нелокализованных конфигураций (см. (10.27)), поскольку в этом
случаеслучае14*)Фо14*)ФоVWф2VWф2— ТПф. 0=0— ТПф. 0=0
случае
случае
14*)
Фо
14*)
Фо
VWф2
VWф2
— ТПф. 0=0
— ТПф. 0=0
Наше приближение большого размера шара R («приближение тонкой стенки») действительно справедливо при достаточно большом Q, поскольку размер Q-шара растет как Q\ см. (10.34). Отметим еще, что частота ш0 не зависит от Q (при достаточно больших Q\ Наконец, при больших Q размер шара R ос Q^ значительно превышает комптоновскую длину волны солитона, Е^ a Q"1, поэтому представление о Q-шаре как классическом объекте вполне оправдано.
Задача 5. Используя соображения, аналогичные приведенным в начале раздела 7.1, показать, что в случае четырехмерного пространства-времени характерная амплитуда квантовых флуктуаций свободного скалярного поля с массой тФ по порядку величины равна Аф ~ тф. Поэтому приведенный выше анализ, выполненный на уровне классической теории поля, справедлив при ф0 "> тф.
Задача 6. Потребовав, чтобы классический радиус Q-шара значительно превышал его комптоновскую длину волны, найти ограничение на заряд Q. Показать, что в любом случае Q » 1 (учесть при этом, что ф0 > т^. Таким образом, Q-шар является классическим объектом, только если его заряд значительно больше единицы.
Отличием рассмотренного выше Q-шара от солитона раздела 10.1 является то, что его энергия линейно растет с зарядом при больших Q, а в разделе 10.1 она росла медленнее (см. (10.21) и задачу в конце раздела 10.1). Это свойство Q-шаров в теориях с (почти) плоскими направлениями имеет место, однако, только если функция ^^ имеет минимум при конечном значении ф = фо- Если же минимум функции ^ достигается при бесконечном (или очень большом) значении поля, то приведенный выше анализ несправедлив, и конфигурацию Q-шара нужно находить иначе.
Рассмотрим для примера случай, когда скалярный потенциал является плоским вне некоторой окрестности минимума ф = 0, рис. 10.2. Как мы
Рис. 10.2
увидим ниже, при достаточно больших Q значение поля ф0 велико, и имеется большая область размера R, в которой поле изменяется от фо до фу (см. рис. 10.2), а значение скалярного потенциала остается постоянным. В этой области dV|dф = 0, и уравнение (10.29) сводится к свободному. Считая, что ф зависит только от г, запишем это уравнение в виде
1 d ( з dф Аэх
37, ГА? + ш^ = °-10-35
rz dr \ dr /
Решение этого уравнения, ограниченное при г = 0, имеет вид
, ч sinwr,
0(г) = Фо——,(10.36)
ШТ
где фо — неизвестное пока значение поля в центре шара. Поле (10.36) монотонно убывает при увеличении г и достигает значения фу при т = R, т. е.
(10.37)
При т R решение (10.36) перестает быть справедливым; в этой области (которую мы назовем поверхностной областью) ф(т) убывает от фу до нуля. Считая, что фо > фу, получим из (10.37) соотношение между частотой и размером шара,
. шR = 7г-O^(10.38) \фо/
Наша ближайшая задача — вычислить энергию и заряд такой конфигурации.
С точностью до поправок порядка (фу/фо) вклад области, где выполняется (10.36), в заряд (10.31) равен
л• 2
Г з з Sin ШТ з з,.
Q = 8irw / г2 dT фо -7—^- = 4Л20о,(10.39)
J(шту
о
где мы воспользовались соотношением (10.38). Во втором слагаемом в выражении для энергии (10.30) проинтегрируем по частям, учтем уравнение
и получим вклад области г < R в энергию:
Е = 4тгЯфо + ^тгЯ3Уо + 4тг ?ф^ 3L аг.Е = 4тгЯфо + ^тгЯ3Уо + 4тг ?ф^ 3L аг.4433r=Rг=0r=Rг=0(10.40)(10.40)
Е = 4тгЯфо + ^тгЯ3Уо + 4тг ?ф^ 3L аг.
Е = 4тгЯфо + ^тгЯ3Уо + 4тг ?ф^ 3L аг.
4
4
3
3
r=R
г=0
r=R
г=0
(10.40)
(10.40)
где Vo — значение скалярного потенциала при больших полях, и где мы вновь воспользовались (10.38). Внеинтегральный член здесь отличен от нуля только при г = R и оценивается величиной
л2*. ^ ~ афоф1.
Поэтому он мал по сравнению с первым членом в (10.40), и им можно пренебречь.
В поверхностной области поле меняется от фиксированного значения ф\ до нуля. При большом R кривизной поверхности можно пренебречь, и поверхностная плотность энергии не зависит от R (поскольку ш ~ R~l, первое слагаемое в (10.30) дает пренебрежимо малый вклад в поверхностную плотность энергии). Вклад поверхностной области в плотность заряда содержит явно множитель ш в (10.31), поэтому он пропорционален Я"1. Таким образом, вклады поверхностной области в энергию и заряд равны
. bE = CBR2, ^Q = CqR, (10.41) где Се и Cq не зависят от ф0 и R. Сразу видно, что поверхностный вклад в заряд мал по сравнению с объемным вкладом (10.39); мы увидим, что поверхностный вклад в энергию также мал по сравнению с (10.40). Пренебрегая поверхностными вкладами, получим из (10.39)
и выражение для энергии (10.40) примет вид
Я = ^ +(10.42)
Единственный оставшийся параметр Q-шара — его размер R — найдем из требования минимальности энергии (10.42). Получим
при этом энергия Q-шара равна
^1 = ^х/2(?3/Х1/4-
При больших Q энергия растет как Q3^4, а поверхностный вклад (10.41), с учетом (10.43), растет медленнее, ДЕ ex Q1^2. Поэтому поверхностный
вклад действительно пренебрежимо мал при больших Q. Поле ф0 в центре шара ведет себя как фо ex Q1^4, так что оно действительно велико при больших Q. Таким образом, все сделанные нами предположения оправданы.
Мы уже отмечали, что в контексте суперсимметричных расширений Стандартной модели плоские направления возникают естественным образом, а в качестве глобального заряда может выступать барионное число. В последнем случае Q-шар был бы стабилен при достаточно больших значениях барионного числа Q, поскольку энергия на единицу барионного числа для него меньше, чем масса протона — легчайшей частицы, несущей ненулевое (единичное) барионное число. Более того, при взаимодействии с нуклонами было бы энергетически выгодным забрать барионное число нуклона в Q-шар, что приводило бы к энерговыделению, близкому к энергии покоя нуклона (Двали, Кусенко, Шапошников 1997). Этот и другие процессы с участием Q -шаров представляют интерес с точки зрения астрофизики и космологии. Отметим еще, что значение поля внутри Q-шара велико при больших Q, так что изучение Q-шаров, если бы их удалось обнаружить, позволяло бы делать заключения о поведении скалярного потенциала при больших полях, что также было бы крайне интересно.
Задача 7. Предположим, что в качестве глобального заряда, стабилизирующего Q-шар, выступает барионное число. Взяв для оценки Vo = (1ТэВ)4 (предполагаемый масштаб суперсимметричных расширений Стандартной модели), оценить минимальное барионное число Q-шара, при котором он стабилен относительно распада на отдельные нуклоны. Каково при этом значение поля в центре Q-шара? Какова его масса? При этом же значении % оценить барионное число Q-шара, при котором поле в его центре составляет величину 1016 ГэВ (масштаб теорий Великого объединения). Какова при этом энергия на единицу-барионного числа и масса Q-шара?
Глава И
Туннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механике
Локализованные решения классических уравнений поля, чье существование обусловлено нелинейностью этих уравнений, важны не только для описания частицеподобных состояний — солитонов. Такие решения возникают и при исследовании совершенно другого класса вопросов. Речь идет о процессах туннелирования в квантовой теории поля (и в квантовой механике). В теориях с малой константой связи эти процессы могут быть исследованы квазиклассическим методом, при этом ключевую роль играют локализованные решения уравнений поля в евклидовом пространстве- времени — решения инстантонного типа. Они определяют лидирующую квазиклассическую экспоненту в вероятности туннелирования. Еще один класс решений — сфалероны — определяет высоту барьера, разделяющего классически стабильные состояния поля. В этой и последующих главах мы остановимся на данном круге вопросов, сначала на примере квантовомеханических систем, а затем в рамках теории поля.
Отметим, что инстантонные эффекты существенны как для понимания свойств основного состояния — вакуума — в калибровочных теориях, так и для теоретического исследования процессов, происходящих в ранней Вселенной. Методы, которые будут изложены в этой и последующих главах, имеют близкие аналоги в теории конденсированных сред.
Распад метастабильного состояния в квантовой механике одной переменной
Простейшая система, в которой возникает задача о распаде метастабильного состояния, — это квантовая механика одной переменной q, описываемая потенциалом V(q), изображенным на рис. 11.1. Нас будет интересовать распад основного метастабильного состояния, т. е. такого состояния, которое было бы основным в потенциальной яме вблизи точки qo, если бы барьер был непроницаем. В квазиклассической ситуации вероятность туннелирования через потенциальный барьер дается
известным выражением
(И-1)(И-1)Г = Ле"51,
(И-1)
(И-1)
где Г — ширина метастабильного состояния (Г = 1/т, т — время жизни), А — предэкспоненциальный множитель, а 5ь — главная квазиклассиче- ская экспонента,
й = 2й = 291J ^IMV^i»,91J ^IMV^i»,(П-2)(П-2)9о9о
й = 2
й = 2
91
J ^IMV^i»,
91
J ^IMV^i»,
(П-2)
(П-2)
9о
9о
здесь М — масса частицы; qx — точка поворота, в которой V(^i) = О, см. рис. 11.1; мы положили для удобства в дальнейшем, что в локальном минимуме потенциала V(qo) = 0.
Заметим сразу, что 8ь совпадает с евклидовым действием, вычисленным на классической траектории частицы, движущейся «в мнимом времени» с энергией Е = 0 из точки q = q0 в точку q = q^ и обратно. Чтобы пояснить сделанное утверждение, запишем сначала обычное действие для классической частицы в потенциале V (q):
8 =8 =-V(q) at.-V(q) at.(11.3)(11.3)
8 =
8 =
-V(q) at.
-V(q) at.
(11.3)
(11.3)
Сделаем, чисто формально, в этом действии замену t = -гт, и будем считать т действительным. Тогда действие 11.3 превратится в 18^, где
(П.4)(П.4)„ C\M(aqV , .1
(П.4)
(П.4)
5е =+V^ dT-
J 2 \ dr /.
Функционал SE мы будем называть евклидовым действием, ат — евклидовым временем.
Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского ds2 = dt1 - dx2 при формальной замене t = -гт превращается, с точностью до знака, в евклидову метрику ds^ = dr1 + dx2. Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля описываются решениями уравнений поля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем, что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского ds2 = dt1 - dx2 при формальной замене t = -гт превращается, с точностью до знака, в евклидову метрику ds^ = dr1 + dx2. Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля описываются решениями уравнений поля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем, что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.
Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского ds2 = dt1 - dx2 при формальной замене t = -гт превращается, с точностью до знака, в евклидову метрику ds^ = dr1 + dx2. Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля описываются решениями уравнений поля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем, что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.
Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского ds2 = dt1 - dx2 при формальной замене t = -гт превращается, с точностью до знака, в евклидову метрику ds^ = dr1 + dx2. Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля описываются решениями уравнений поля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем, что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.
Уравнение движения, следующее из действия 11.4, имеет вид
(П.5)(П.5)d2^9V _ д(-У)
(П.5)
(П.5)
dr2dq — dq
Это уравнение формально совпадает с уравнением ньютоновской механики для частицы в потенциале (-У), изображенном на рис. 11.2. Интеграл движения этого уравнения
МТМТ-У^ = €-У^ = €22
М
Т
М
Т
-У^ = €
-У^ = €
2
2
мы будем называть евклидовой энергией.
О= 2 У 2Р(дь(т)) dr, -00О= 2 У 2Р(дь(т)) dr, -00(11.6)(11.6)Рассмотрим решение с нулевой евклидовой энергией, которое начинается при т -> -оо в точке q = qo, достигает точки q^ и возвращается в точку qo при т -V +оо. Отметим, что выбором начала отсчета евклидова времени т можно добиться того, что точка поворота q = q^ достигается при т = 0. Такое решение называют «отскоком» (bounce), или отскоко- вым решением; будем обозначать его ^ь(т). Евклидово действие на этом решении равно
О
= 2 У 2Р(дь(т)) dr, -00
О
= 2 У 2Р(дь(т)) dr, -00
(11.6)
(11.6)
00 г /\ 2-1
^еЫ = J dr у^^) +^(9ь) -00
где мы воспользовались тем, что £ = 0 для отскока. Интеграл (11.6) преобразуется к виду (11.2) путем перехода к переменой дь с помощью формулы dr = у5^у ^дь. ® итоге имеем
Sb = 5Е[дь(т)].(11.7)
Таким образом, квазиклассическая экспонента распада метастабильного состояния равна евклидову действию на отскоковом решении.
Задача 1. Найти поведение отскокового решения вблизи q = qo. Показать, что точка qo достигается асимптотически, при т -+ -оо или т -4 +оо. Считать потенциал вблизи q = q0 квадратичным, V(q) = ^V"(qo)(q - go)2 + O[(g - go)3].
Задача 2. Показать, что квазиклассическая экспонента распада высоковозбужденного метастабильного состояния с энергией Е в яме потенциала V^ (рис. 11.1) определяется укороченным евклидовым действием на периодическом решении евклидова уравнения (11.5) с £ = -Е. (Укороченным евклидовым действием для периодического решения д(т) с периодом то и евклидовой энергией £ называется выражение (5Е[д(т)] + 5т0), где SE[g(r)] — евклидово действие за один период.) Разумеется, результат (11.7) не случаен. Чтобы прояснить связь туннельной экспоненты с отскоковым решением и наметить путь его обобщения на квантовую механику с многими переменными и теорию поля, получим его несколько более систематическим образом. Запишем уравнение Шредингера для стационарного состояния, такого, что вблизи g = до оно совпадает с основным состоянием в потенциальной яме,
[шЫ +V(«)]^ = 0.
Здесь мы пренебрегли отличием энергии этого состояния от нуля — это законно при вычислении квазиклассической экспоненты. В классически запрещенной области go < g < gi решение представляет собой, вообще говоря, сумму падающей и растущей экспонент, причем падающая экспонента значительно превышает растущую всюду, кроме малой окрестности точки g = gi- Поэтому нас будет интересовать экспоненциально падающая компонента волновой функции, которая с точностью до предэкспоненциального множителя равна
-ф^ = е"8^, где, как обычно, 5(g) удовлетворяет уравнению
(1L8)
Квазиклассическая экспонента для вероятности распада определяется волновой функцией на границе запрещенной области (в точке gj. Таким образом
Г ос |^(gi)|2 = e-2S(91).(11.9)
Вблизи g = до волновая функция не мала, поэтому
S(®) = 0.(НЛО)
Для системы с одной переменной q уравнение (11.8) легко решить непосредственно (и получить выражения (11.1), (И.2) с помощью (11.9)). Можно, однако, заметить и то, что уравнение (11.8) является стационарным уравнением Гамильтона—Якоби для теории с действием (11.4). Как известно из классической механики, классические траектории движения являются характеристиками уравнения Гамильтона—Якоби, и решения уравнения Гамильтона—Якоби можно получить, проинтегрировав лагранжиан вдоль классических траекторий. В данном случае речь идет о теории с действием (11.4), поэтому классические траектории удовлетворяют евклидову уравнению (11.5). Кроме того, стационарное уравнение Гкмильтона—Якоби (11.8) характеризуется нулевой евклидовой энергией 8, поэтому его решение определяется траекторией с 8 = 0. Учитывая (11.10), получим решение уравнения (11.8) в виде
S^ =S^ ="МТ"МТ(^) + ^(5ь(г))(^) + ^(5ь(г))(Н.П)(Н.П)
S^ =
S^ =
"М
Т
"М
Т
(^) + ^(5ь(г))
(^) + ^(5ь(г))
(Н.П)
(Н.П)
где дь ~ решение уравнения (11.5) с 8 = 0, т. е. в точности отскоковое решение, а интегрирование ведется от значения т = -оо, где qb = qo, до такого значения т, где дь(т) = q.
Задача 3. Показать непосредственным вычислением производной d/dq, что функция S^q), заданная формулой (11.11), удовлетворяет уравнению (11.8).
Считая, что точка поворота достигается при г = 0, получим для показателя экспоненты в (11.9)
°_/ х 2
dr — ( 7-) +V<qb) .
.2 у ат /
-00
Учитывая, наконец, симметрию отскокового решения относительно замены т -> -г, получим Sb = 2S(qi), поэтому выражение (11.9) действительно совпадает с (11.1), (11.2).
Задача 4. Обобщить изложенное соображение на случай ненулевой энергии и получить таким способом результат задачи 2.
В заключение этого раздела упомянем еще об одном решении уравнений классического движения, представляющем интерес. Это — точка максимума потенциала (gmax на рис. 11.1), которая представляет собой неустойчивое (в обычном времени) статическое решение уравнения ньютоновской механики. Она определяет высоту потенциального барьера, ysph = V(gmax), для данной системы. Решения с этим свойством называют сфалеронами. Высоту потенциального барьера полезно знать при изучении
процессов, происходящих при конечных энергиях (при Е > V^h процесс выхода из ямы может происходить без туннелирования, с вероятностью порядка единицы в квантовой механике с одной степенью свободы; при Е < Kph туннелирование обязательно и вероятность экспоненциально мала), а также процессов при конечных температурах. Остановимся чуть подробнее на последнем случае. При конечных, но не слишком высоких температурах (Т < Vsph; константу Больцмана полагаем равной единице, так что температура измеряется в единицах энергии) возбужденные уровни в яме заселены в соответствии с распределением Больцмана
Р^ а е"^,
где Р^Е^ — вероятность того, что частица, взаимодействующая с термостатом с температурой Т, имеет энергию Е. В частности, имеется конечная вероятность того, что частица будет характеризоваться энергией Е ^ Vsph, попадет на вершину барьера и покинет яму без туннелирования. Такой процесс — чисто классический; он приводит к вероятности распада Г (величине, обратной времени жизни частицы в яме при конечной температуре), подавленной больцмановской, а не туннельной экспонентой,
Гг = е~ т ,
с точностью до предэкспоненциального множителя (формула Аррениуса). Даже при Т < V^ эта величина может значительно превышать туннельную экспоненту e~Sb, поэтому начиная с некоторой температуры тепловые прыжки становятся доминирующим механизмом распада. Их скорость определяется высотой барьера — энергией сфалерона Ирь = V (qm).
Задача 5. При промежуточных температурах наибольшую вероятность может иметь процесс туннелирования с возбужденного уровня с энергией Е < 7sph. Его вероятность, с точностью до предэкспоненциального множителя, дается произведением вероятности того, что частица имеет энергию Е, и вероятности туннелирования из состояния с энергией Е:
Г = е"те"5(£) = е"^в\ (И.12)
причем требуется найти максимум этого выражения по энергии. Здесь 8(E) — ква- зиклассическая экспонента для туннелирования из состояния с энергией Е. Найти связь показателя экспоненты (11.12) с периодическими евклидовыми решениями, рассмотренными в задаче 2: убедиться, что показатель экспоненты связан с действием на соответствующем решении, а температура — с его периодом. Нарисовать качественную зависимость показателя экспоненты в (11.12) от /3 = Т-1.
Отметим, что все изложенное в этом разделе применимо к квазиклас- сическим ситуациям. Необходимым условием для этого является большое значение 5ь, т. е. экспоненциально малая вероятность распада основного метастабильного состояния.
Задача 6. Пусть потенциал имеет вид
х 2 23
7(g) = -д g " з9'
Найти соотношение между массой частицы М и параметрами д и А, при которых выполняются стандартные условия применимости квазиклассического приближения. Найти зависимость Sb от параметров М, д и А и показать, что в области применимости квазиклассического приближения вероятность туннелирования из основного состояния д0 — О действительно экспоненциально мала. Провести вычисление энергии основного метастабильного состояния в первых двух порядках теории возмущений по А и убедиться в применимости теории возмущений при указанных значениях параметров.
Результаты этой задачи иллюстрируют достаточно общую ситуацию: если параметры теории таковы, что применима обычная теория возмущений, то распад основного метастабильного состояния можно, как правило, описывать в рамках квазиклассического приближения.
1.2. Обобщение на случай многих переменных
Найденная в предыдущем разделе связь между решениями евклидовых классических уравнений движения и квазиклассической экспонентой для вероятности туннелирования из основного состояния допускает обобщение на квантовую механику систем со многими переменными q = (g1,..., qn) (и теорию поля). Сформулируем сначала рецепт для вычисления вероятности (Бэнкс, Бендер, By, 1973; Бэнкс, Бендер, 1973), а затем займемся его обоснованием.
Рассмотрим для определенности систему с классическим действием (в обычном времени)
= /Й у(^)■О1-13)
Будем считать, что потенциал имеет (достаточно глубокий) локальный минимум в точке q = q0; выберем начало отсчета энергии так, что 7(qo) = 0. Будем считать далее, что имеется область, где V(q) < 0, отделенная барьером от локального минимума. На классическом уровне частица, покоящаяся в точке qo, находится в состоянии устойчивого равновесия. В квантовой механике соответствующее основное состояние в потенциальной яме метастабильно, и вероятность его распада Г (величина, обратная времени жизни) в квазиклассической ситуации равна
Г = 4e-Sb,(11.14)
где А — сублидирующий предэкспоненциальный множитель, а 5ь — главная квазиклассическая экспонента. Рецепт нахождения главной экспоненты состоит в следующем. Для вычисления 5Ь необходимо перейти
к евклидову времени, т. е. рассмотреть систему с действием
+ У(е)+ У(е)(И-15)(И-15)
+ У(е)
+ У(е)
(И-15)
(И-15)
и найти отскоковое решение классических уравнений движения, следующих из действия (11.15). Это отскоковое решение ^ь(т) должно обладать следующими свойствами: 1) при т -у -оо и г -> +оо отскоковое решение должно стремиться к локальному минимуму потенциала, qb(r -> ±оо) = qo; 2) решение должно иметь точку поворота при некотором т (без ограничения общности можно считать, что это — «момент» г = 0),
drdr= 0 для всех г. (11.16) 7=0
dr
dr
Таких решений имеется, как правило, конечное число; нужно выбрать такое, на котором евклидово действие (11.15) минимально (если система обладает непрерывной симметрией типа вращения координат q, то могут иметься — и обычно имеются — семейства отскоковых решений, отличающихся друг от друга преобразованием симметрии; евклидово действие на решениях из одного семейства одинаково, и по-прежнему нужно минимизировать евклидово действие среди всех семейств подобного рода). Показатель экспоненты, фигурирующий в (11.14), равен евклидову действию на (наиболее выгодном) отскоковом решении,
Sb = SE [qb(r)].
Сделаем несколько замечаний в связи с изложенным рецептом. Прежде всего, он работает только для туннелирования из основного метаста- бильного состояния. Аналогичного рецепта для туннелирования из фиксированного возбужденного состояния в потенциальной яме не известно.
Далее, уравнения движения, вытекающие из действия (11.15), формально имеют вид уравнений ньютоновой механики в потенциале [-V(q)L
dr2 dq '
Интеграл движения для этих уравнений — евклидова энергия
МТМТdq\2 dr /dq\2 dr /(11.18)(11.18)
М
Т
М
Т
dq\2 dr /
dq\2 dr /
(11.18)
(11.18)
Для отскока справедливо 5 = 0; именно при этой евклидовой энергии частица, движущаяся в потенциале [-K(q)], закатывается на его вершину qo (или скатывается с вершины) за бесконечное время, т. е. qb -> qo при г->±оо. .
В силу (11.16) все компоненты скорости равны нулю при т = О, откуда следует, что V (qb(r = 0)) = О (из сохранения евклидовой энергии
и £ = 0); иначе говоря, при т = 0 частица находится на границе, разделяющей классически разрешенную (V < 0) и классически запрещенную (V > 0) области исходной системы. Наконец, снова в силу (11.16), отско- ковое решение симметрично относительно замены т -> -т, т. е. частица в потенциале (- V) скатывается с горба, останавливается на границе области V ^ 0 и вновь закатывается на горб по исходной траектории. При этом
°2
Я = 2 [ v( ^) + 4(qb) ^.(Ч-19)
J [ 2 \ ат / -оо
С учетом (11.18) и £ = 0 это выражение можно преобразовать к виду
91
sb = 2 J tjmv^di, 9о
где Qi = qb(r = 0) — точка поворота, интегрирование ведется вдоль отскоковой траектории, а
— элемент длины траектории. Отметим, что отскоковую траекторию иногда называют еще путем наиболее вероятного выхода из-под барьера (most probable escape path).
Перейдем к обоснованию описанного рецепта. Как и в предыдущем разделе, нас интересует решение стационарного уравнения Шредингера с нулевой энергией
' 1 / д \
М= 0(И-20)
в классически запрещенной области V(q) > 0, которое экспоненциально убывает при удалении от локального минимума потенциала qo. По крайней мере в некоторой окрестности точки qo решение можно искать в виде
V»(q) = Л(q)e”s(<l),(11.21)
где Л(q) — медленно меняющаяся предэкспонента. Как обычно, для S(q) получим из (11.20) уравнение
iO2-^=°-<il22>
Это уравнение снова выглядит как стационарное уравнение Гамильтона— Якоби с нулевой энергией для системы с действием (11.15); его характеристики — решения евклидовых уравнений Ньютона (11.17). На S(q)
снова необходимо наложить условие
S(q0) = О, необходимое для того, чтобы волновая функция (11.21) была не мала в точке qo.'
Обсудим подробнее важные для нас решения ньютоновских уравнений (11.17) — характеристик уравнения (11.22). Нас интересуют решения с евклидовой энергией £, равной нулю, которые начинаются (при т -оо) из точки qo. Если рассматривать точки q в достаточно малой, хотя и конечной, окрестности точки qo, то через каждую такую точку проходит одна и только одна характеристика указанного типа (мы предполагаем, что потенциал V(q) квадратичен вблизи qo).
Задача 7. Доказать сделанное только что утверждение, считая, что вблизи точки q = q0 потенциал имеет вид
r(q) = yate* - qW -qi) + o[(9 - 9o)3], где Ру — положительно определенная квадратичная форма.
В этой области решение уравнения (11.22) имеет вид
г \21
S(q) = J dr y^J +^(q(r)) ,(11.23)
-сю
где q(r) — траектория с нулевой евклидовой энергией, начинающаяся в qo и проходящая через точку q в «момейт» r(q).
Новое обстоятельство в системах с более чем одной переменной состоит в том, что евклидовы траектории указанного типа покрывают, вообще говоря, не всю область с V(q) > О (классически запрещенную область исходной системы). Если потенциал не обладает достаточно широкой симметрией, то большинство интересующих нас траекторий (т. е. таких, которые начинаются на вершине потенциала (-V(q)) и имеют нулевую евклидову энергию) загибаются, не дойдя до поверхности V(q) = О, и пересекаются с другими такими же траекториями (см. рис. 11.3, где траектории изображены непрерывными линиями со стрелками). Решение евклидова уравнения Гамильтона—Якоби в виде (11.23) возможно лишь в области, ограниченной огибающей наших траекторий, которою называют каустикой, или каустической поверхностью. Каустика изображена на рис. 11.3 пунктирной линией. Вне каустической поверхности найти убывающее решение уравнения Шредингера (11.20) изложенным только что способом невозможно.
Нас, однако, в действительности и не интересует решение уравнения Шредингера во всей области V > 0. Все, что нам важно — это максимальное значение |^|2 на поверхности V = 0. Чтобы найти это значение, рассмотрим сначала значения ^(q)!2 на каустической поверхности. Они
(11-24)(11-24)по-прежнему даются выражением (11.21). Далее, «евклидова функция действия» S(q) изменяется вдоль каустической поверхности, причем
(11-24)
(11-24)
dq dr’
где слева записан градиент евклидова действия в точке q каустической поверхности, а справа — евклидов импульс на траектории, касающейся каустической поверхности. Этот импульс касателен к каустической поверхности, так что евклидово действие действительно изменяется вдоль каустики (на рис. 11.3 оно растет в направлении, показанном стрелкой).
Зададимся теперь вопросом о минимуме евклидова действия 5(q) на каустической поверхности. Поскольку градиент 5(q) касателен к каустической поверхности, в этом минимуме выполняется
55(g) _5g '
Из (11.24) видно, что в этом минимуме скорость частицы обращается в нуль, откуда следует, что минимум находится на границе запрещенной области, т. е. на поверхности У(д) = 0. Эта ситуация изображена на рис. 11.4, где каустическая поверхность изображена пунктирной, а поверхность V = 0 — сплошной линией; сплошными линиями показаны также траектории с нулевой евклидовой энергией; qi — точка, где действие на каустике минимально.
Поскольку на каустике 5(g) > 5(gi), а волновая функция продолжает убывать между каустикой и поверхностью V = 0 (это — все еще запрещенная область исходной системы), то волновая функция, рассматриваемая на поверхности V(g) = 0, имеет максимум в точке qi. Иными словами, на границе классически запрещенной области волновая функция максимальна в точке qi, где ее значение дается выражением
a 5(qi) = ^Sb, Sb определено формулой (11.19). Это завершает обоснование рецепта, сформулированного в начале этого раздела.
Задача 8. Рассмотрим квантовую механику двух переменных q и у с потенциаломW^y) = ^y^V^qY
где 7(g) имеет форму, показанную на рис. 11.1. Найти отскоковое решение. Найти форму линии 17 = 0, разделяющей классически разрешенную и запрещенную области, вблизи точки поворота отскокового решения. Найти классические решения рассмотренного в этом разделе типа, близкие к отскоку. Найти каустику вблизи точки поворота отскока, изобразить все на плоскости (у, у) по аналогии с рис. 11.4. Используя тот факт, что переменные в потенциале W(q, у) разделяются, найти квазиклассическую волновую функцию в области между каустикой и границей запрещенной области и убедиться, что на линии W(q, у) = О она действительно минимальна в точке поворота отскокового решения."
Итак, задача нахождения квазиклассической туннельной экспоненты распада основного метастабильного состояния сводится к нахождению отскокового решения 4ь(т), т. е. решения евклидовых классических уравнений движения с нулевой евклидовой энергией, которое стартует при т -> -ос из точки локального минимума потенциала 7(q) (т. е. стабильного состояния классической системы), останавливается в некоторой точке Qi поверхности 7 = 0 (поверхности, разделяющей классически запрещенную и разрешенную области) и возвращается в локальный минимум при т -> +оо. Волновая функция на поверхности 7 = 0 максимальна в точке Qi и равна, с точностью до предэкспоненты, e-Sb//2, где Sb — евклидово действие отскокового решения, а главная экспонента для вероятности туннелирования равна e-Sb.
Рассмотрим теперь движение частицы после выхода из-под барьера, т. е. в классически разрешенной области. В точке 41, являющейся точкой
максимума волновой функции на поверхности V = 0, градиент (главной экспоненциальной части) волновой функции равен нулю. Иными словами, частица с наибольшей вероятностью выходит из-под барьера в точке qi с нулевым импульсом (и, соответственно, с нулевой скоростью). Дальнейшее движение этой частицы можно найти, решая классические уравнения ньютоновской механики в обычном времени с начальными условиями
q(f = 0) = qi, —(i = 0) = 0.
Классическая энергия этого решения равна нулю. Таким образом, в классически разрешенной области, как и в подбарьерной, существенна всего одна траектория. Эта ситуация изображена на рис. 11.5. Если отскоковая траектория qb(r) известна явно, то для нахождения классической траекто
рии после выхода из-под барьера q(f) можно воспользоваться следующим
соображением. Сделаем аналитическое продолжение отскока qb(r) в комплексную плоскость т. При чисто мнимом т = it (( действительно), функция
Оь(»О = ч(О (И.25)
удовлетворяет обычным уравнениям Ньютона
„42еw
М—Г = — ——
di2dq
(это следует, после замены обозначений, из евклидовых уравнений Ньютона (11.17), которым удовлетворяет отскок). Далее, при т = it = 0 имеем
q = qb=q1 и = ^ = 0. Таким образом, аналитическое продолже
ние (11.25) отскокового решения в область чисто мнимого т и является
искомым классическим путем.
Задача 9. Рассмотрим теорию с одной переменной q и потенциалом
V(q) = ^-q--q -
Найти отскоковое решение 9ь(т), его аналитическое продолжение в область чисто мнимого т и убедиться, что q(f) = qb(it) действительно является классическим решением в обычном времени, описывающем движение частицы после выхода из-под барьера.
Так же, как и в теории с одной переменной, можно поставить вопрос о минимальной высоте барьера, разделяющего локальный минимум потенциала (точку qo) и классически разрешенную область. Она снова
связана с неустойчивым решением qsph статических уравнений движения (сфалероном),
^-(q = qsPh) = о.
В случае многих переменных qsph — это седловая точка потенциала: при движении из qsph в одном направлении потенциал уменьшается (частица скатывается либо в сторону локального минимума, либо в сторону разрешенной области), а во всех других перпендикулярных направлениях — увеличивается1^. Отметим, что отскоковое решение qb(r) (путь наиболее вероятного выхода из-под барьера), вообще говоря, не проходит через седловую точку qsph (сфалерон).
Изложенные в этом разделе результаты непосредственно обобщаются на системы, более сложные по сравнению с (11.13), например, на системы с действием типа
s = / ^ [5^0(4)^-у(ч)J at at _
или системы, где координаты удовлетворяют условиям связи. В следующих главах будет рассмотрено обобщение этих результатов на случай теории поля.
Задача 10. Рассмотрим систему двух переменных с действием
Г П (daA1 1/d(72V'
S= dt — ) +— } -V(qi,q2) ,
J\ dt /2\ dt /,
где
V49i* 9г) = ^^Й + ^) ~ 4^(91 + 9b2 + ^2-
Пусть m2 5> mi, a e — мало. Найти отскоковое решение и сфалерон. Проходит ли отскоковое решение через сфалерон?
То же для mi = т2.
То же для mi = т2 и е = 0.
Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением
Задача о вычислении квазиклассической туннельной экспоненты возникает и для систем с вырожденными минимумами классического потенциала. Простейшая такая система — квантовая механика одной
^ Если система обладает непрерывной симметрией, то сфалероны, вообще говоря, образуют непрерывное семейство, и имеются безразличные направления (нулевые моды), вдоль которых потенциал не изменяется. Эти нулевые моды соответствуют преобразованиям симметрии над одним из сфалеронов.
переменной q с симметричным потенциалом V\q) = -^q2 + ^q4, изображенном на рис. 11.6. Если бы барьер, разделяющий минимумы ^+) и q^, был непроницаем, то в системе было бы два вырожденных основных состояния ^о+) и ^ , волновые функции которых были бы сосредоточены вблизи q = 9q+) и q = q^, соответственно. При учете туннелирования вырождение снимается, что можно увидеть следующим образом. Определим оператор отражения Р так, что (Рф^д) = фф-q). Он коммутирует с гамильтонианом, а его собственные значения равны +1 (симметричные волновые функции) и -1 (антисимметричные волновые функции). Низшие состояния гамильтониана сР = +1иР = —1 имеют вид ^s = ?2 W+) ^о1 и ^а = ^ № - ^j , соответственно, где мы считаем, что ^о+) и <> всюду положительны, так что Р^(±) = ±^м. Функция ^>s не имеет узлов, и именно она является истинным основным состоянием; -фа имеет один узел в точке q = 0, поэтому она представляет собой первое возбужденное состояние.
Расщепление определяется, в главном квазиклассическом приближении, значением квазиклассической экспоненты туннелирования из точки q^ в точку д^,
8= J фшШ8= J фшШdq,dq,(11.26)(11.26)
8= J фшШ
8= J фшШ
dq,
dq,
(11.26)
(11.26)
где М — масса частицы.
Для того, чтобы найти разность энергий Ей и Д состояний фа и ф8) запишем стационарные уравнения Шредингера, которым удовлетворяют эти состояния
- тЬ< + (И - ^W» = °'- ^< + (у - ^ = °-
Умножив первое из них на ^s, второе — на ^а и проинтегрировав по dq от -оо до 0, получим
о
(11.27)(11.27)-^7(^-^а)(9 = 0) = (Ea-Ss) / ^sdq.
(11.27)
(11.27)
2МJ
Учтем, что ^>'(0) = ^а(О) = 0, ^s(O) = V2^\^, V’a(O) = V2^o+,'(O)> a также что интеграл в правой части (11.27) набирается в области q = q^ и равен -1/2. Получим
в. - В, = 1^+1(0)^(0).(11.28)
Это уже приводит к (11.26), поскольку
~ ехр | - / V^^49
о
Можно еще привести выражение (11.28) к виду, удобному для обобщения на квантовую механику многих переменных. Именно, учтем, что ^о+)(О) = ^(О), ^о+),(О) = -^Q-)/(0). Далее, выражение в правой части равенства (11.28) экспоненциально мало, поэтому в нем можно считать ^^ удовлетворяющим уравнению Шредингера с невозмущенной энергией Ео,
-^Г + (г-ДХ’ = о-
Из этого уравнения следует, что
j(q) =j(q) =*нСdq*нСdq(+) *М}(+) *М}
j(q) =
j(q) =
*нС
dq
*нС
dq
(+) *М}
(+) *М}
не зависит от q. Вблизи q = q^ имеем ^^^^ ~ L а ^о ^q^) ~ V’o ^о*’)* Таким образом,
в. - в, = ^j(g = 0) = ^j(q ~ q^) ~ ф^). (11.29) Следовательно, квазиклассическая экспонента волновой функции ^ в правом минимуме q^ и определяет (Бй - Е^) в главном квазиклассическом приближении. Разумеется, отсюда снова получается, что
(Д - Es) = А ехр(Д - Es) = А ехр
(Д - Es) = А ехр
(Д - Es) = А ехр
Задача 11. Обобщить результат (11.29) на случай квантовой механики многих переменных q^ ,<^,... ,qn с потенциалом V^qx, q2,..., qn), симметричным относительно преобразования q1 -4 -qx и имеющим минимумы при qx = ±go, q2 = q3 = ... = qn = 0.
Повторяя рассуждения раздела 11.1, можно непосредственно убедиться, что выражение (11.26) связано с некоторым решением евклидова уравнения ньютоновской механики
dr2 dq
Это решение обладает нулевой евклидовой энергией,
Оно описывает частицу в потенциале [-V^)] (см. рис. 11.7), которая при т -у -оо стартует с левого горба этого потенциала (из точки q^) и при т -> +оо закатывается на правый горб (в точку q^). В отличие от отско- кового решения, рассматривавшегося в разделе 11.1, решение не возвращается назад в точку q^. Такие решения (и их обобщения на квантовую механику многих степеней свободы и теорию поля) называют инстантонами. Выражение (11.26) представляет собой евклидово действие
+оо г /2-I
с f д М d^inst^I
SE= dr — I —— ) +y(9inst) ,
J L 2 \ dr /_
-00
вычисленное на инстантоне qmstQr). Объяснение равенства между евклидовым действием инстантона и туннельной экспонентой вновь, так же, как и в разделе 11.1, дает квазиклассическое решение уравнения Шредингера Для ^ в подбарьерной области, сводящееся к евклидову уравнению Гамильтона—Якоби. Соответствующий анализ вполне аналогичен выполненному в разделе 11.1, и мы не будем его приводить.
Отметим еще, что вычисление квазиклассической экспоненты для расщепления уровней в квантовой механике многих переменных (см. задачу 11) также сводится к нахождению инстантонного решения с только что
описанными свойствами, и вычислению евклидова действия. Обоснование этого утверждения основывается на результате задачи 11 и по существу повторяет приведенное в разделе 11.2.
Другим примером, где играют роль инстантоны описанного только что типа, является частица в одномерном периодическом потенциале У (9), изображенном на рис. 11.8. Инстантон в такой системе — классическое решение в евклидовом времени, которое стартует при т -> -оо из точки q = 0 и достигает точки q = а при т -> +оо. (Аналогичное решение, начинающееся в q = 0 и заканчивающееся в точке q = -а, называют антиинстантоном.) Евклидово действие инстантона дает ква- зиклассическую экспоненту туннелирования между соседними минимумами, которая, в свою очередь, определяет энергию блоховской волны с квазиимпульсом 0. Чтобы пояснить сделанное утверждение, заметим прежде всего, что при отсутствии туннелирования в системе имелось бы бесконечное количество вырожденных основных состояний, волновые функции которых ‘(Мд) = ^0(9 - fia) были бы сосредоточены вблизи минимумов q = па, где п — произвольное целое число. Здесь ^о — основное состояние в яме вблизи q = 0. При учете туннелирования волновые функции фп(я) не являются уже собственными функциями гамильтониана. Чтобы построить приближенные волновые функции, определим оператор Та трансляции на а,
ТаФ^ = ^(9 - «)•(11.30)
Этот оператор унитарен, ТаТа = 1, и коммутирует с гамильтонианом.
Задача 12. Найти действие оператора Tj на произвольную волновую функцию и доказать унитарность оператора Тв.
Отметим, что
*0?) = (T„)n*(g).(11.31)
Далее, гамильтониан и Та диагонализуются одновременно, причем Та имеет собственные значения, по модулю равные единице,
Т,|6) = е"|#),(11.32)
где 9 Е [0,2тг). Приближенное собственное состояние гамильтониана и оператора То с энергией, близкой к нулю, должно строиться из состояний |п) с волновыми функциями -фпк^У Из (11.32) получим
+00
|#) = 52 е""^}.
П=-00
Действительно, из (11.31) имеем Та\п) = |n + 1), и
+оо+оо
Та№ = 52 е"“’|п + 1) = е" 52 е~1(|1+1,^п + 1),
П=-00П=-00
откуда и следует (11.32). Состояние \9) называют блоковской волной, а параметр 9 — квазиимпульсом.
При учете туннелирования энергия состояний |0) становится зависящей от 9. Главная квазиклассическая экспонента в энергии определяется евклидовым действием инстантона б^,
Е(9) = const - Де-5ы cos 9,(11.33)
где А — сублидирующий предэкспоненциальный фактор.
Задача 13. Найти энергию состояния |0), т. е. убедиться в справедливости равенства (11.33)..
Отметим, что рассмотренная здесь квантовая механика частицы в периодическом потенциале используется в качестве модели поведения электронов в идеальном кристалле.
В качестве последнего квантовомеханического примера туннелирования рассмотрим физический маятник массы М и длины I. В качестве координаты для него фигурирует угол, который мы по-прежнему будем обозначать буквой q; при этом на волновую функцию накладывается условие периодичности
^(д + 2тг) = ^(д).(11.34)
Потенциал для этого маятника равен ■
У(д) = Afgi(l - cosg),
где мы выбрали начало отсчета энергии так, что У(0) = 0. Эта система формально совпадает с точкой в периодическом потенциале, изображенном на рис. 11.8, при а = 2тг; единственное отличие состоит в дополнительном условии (11.34). Подбарьерный процесс для маятника — это полный оборот, при котором q изменяется от нуля до 2тг. В силу (11.34), параметра 9, характеризующего различные состояния маятника, не возникает;
на языке оператора 2^ > введенного в (11.30), свойство (11.34) означает, чтоТ2^ = ^,
т. е. в терминах модели рис. 11.8 мы должны ограничиться сектором с 9 = 0.Параметр типа 9 можно ввести, рассмотрев другую систему, а именно, физический маятник в потенциале Ааронова—Бома. Будем считать, что маятник имеет электрический заряд е, а вращается он вокруг тонкого соленоида с магнитным потоком Ф (рис. 11.9, магнитное поле Н направленот. е. в терминах модели рис. 11.8 мы должны ограничиться сектором с 9 = 0.Параметр типа 9 можно ввести, рассмотрев другую систему, а именно, физический маятник в потенциале Ааронова—Бома. Будем считать, что маятник имеет электрический заряд е, а вращается он вокруг тонкого соленоида с магнитным потоком Ф (рис. 11.9, магнитное поле Н направленоперпендикулярно рисунку). В плоскости маятника имеется вектор-потенциал А, циркуляция которого вдоль окружности, по которой движется маятник, пропорциональна магнитному потокуперпендикулярно рисунку). В плоскости маятника имеется вектор-потенциал А, циркуляция которого вдоль окружности, по которой движется маятник, пропорциональна магнитному потокуФнФнII2тг2тг00ААМ, еРис. 11.9М, еРис. 11.9АА
т. е. в терминах модели рис. 11.8 мы должны ограничиться сектором с 9 = 0.
Параметр типа 9 можно ввести, рассмотрев другую систему, а именно, физический маятник в потенциале Ааронова—Бома. Будем считать, что маятник имеет электрический заряд е, а вращается он вокруг тонкого соленоида с магнитным потоком Ф (рис. 11.9, магнитное поле Н направлено
т. е. в терминах модели рис. 11.8 мы должны ограничиться сектором с 9 = 0.
Параметр типа 9 можно ввести, рассмотрев другую систему, а именно, физический маятник в потенциале Ааронова—Бома. Будем считать, что маятник имеет электрический заряд е, а вращается он вокруг тонкого соленоида с магнитным потоком Ф (рис. 11.9, магнитное поле Н направлено
перпендикулярно рисунку). В плоскости маятника имеется вектор-потенциал А, циркуляция которого вдоль окружности, по которой движется маятник, пропорциональна магнитному потоку
перпендикулярно рисунку). В плоскости маятника имеется вектор-потенциал А, циркуляция которого вдоль окружности, по которой движется маятник, пропорциональна магнитному потоку
Фн
Фн
I
I
2тг
2тг
0
0
А
А
М, е
Рис. 11.9
М, е
Рис. 11.9
А
А
Без ограничения общности можно считать, что А направлен касательно к окружности маятника.
Гамильтониан для такого маятника получается, как обычно, удлинением производной,
Я = ^:H(V ~ ieA)]2 + 1Л
В терминах переменной q он равен
(11.35)(11.35)1/ ,х 2
(11.35)
(11.35)
H=4MrAdTielA)+т
причем на волновую функцию по-прежнему наложено условие (11.34). Перейдем к новой волновой функции p(q) согласно
ie J1А dq
= е о p^qY
В ее терминах уравнение Шредингера будет иметь стандартный вид с гамильтонианом
Hv = -2Mdp + V^’
т. е. с гамильтонианом для маятника в отсутствие вектор-потенциала. Однако функция p(q) не будет уже периодична; для ^(д) вместо (11.34) имеем
p<q + 2тг) =
Это — в точности условие Т^ф = el6<p с 9 = еФ, так что мы приходим к 9- сектору модели рис. 11.8. Формула (11.33) описывает теперь зависимость энергии основного состояния маятника от магнитного потока.
Из рассмотренного примера видно, что интерпретация 0-состояний зависит от модели: в системе с периодическим потенциалом (рис. 11.8) 0 -состояния — это различные состояния одной и той же системы, а для маятника — это состояния различных систем (маятников в присутствии различных потенциалов Ааронова—Бома).
Задача 14. Показать, что гамильтониан (11.35), где для простоты А считаем не зависящим от q, А = ^, соответствует классическому лагранжиану
(11.36)(11.36)„ Ml2 f dq\2 еФ^ .
(11.36)
(11.36)
2 \dt J2тг dtw
Отметим, что второе слагаемое не дает вклада в классические уравнения движения.
Сделав формальную замену t = -гт, найти функционал евклидова действия.
Найти инстантон и его евклидово действие. Дать интерпретацию мнимого слагаемого в евклидовом действии.
В заключение этого раздела заметим, что во всех рассмотренных примерах имеет смысл рассматривать также сфалероны — неустойчивые статические решения уравнений движения dV/dq = 0, которые определяют высоту барьера, разделяющего классические минимумы. Для потенциала рис. 11.6 сфалерон — это точка q = gsph = 0, на рис. 11.8 — точки максимума потенциала, для физического маятника — точка q = тг, где маятник стоит вверх ногами.
Так же, как и в разделе 11.2, в системах с многими переменными и вырожденными минимумами потенциала сфалерон — это седловое решение статических уравнений dV/dq = 0 с одной отрицательной модой. Его можно определить также следующим образом. Рассмотрим для примера потенциал в системе с многими переменными, периодический по одной из переменных q^ и имеющий минимумы (с V = 0) в точках q\ = па, q2 = q$ = ... = Q (такой выбор координат возможен без ограничения общности). Рассмотрим всевозможные пути С, соединяющие соседние минимумы потенциала. На каждом из этих путей введем параметр А € [0,1], так что q(A = 0) = (0,0,..., 0), q(A = 1) = (а, 0,..., 0). Рассмотрим статическую энергию как функцию точки на пути,
VW = Пч(А)).
Ясно, что У(0) = У(1) = 0, и имеется максимальное значение У (А) в некоторой точке пути, max V(А). Эта величина — высота барьера вдоль
данного пути С. Чтобы определить минимальную высоту барьера, найдем минимум выражения шах У (А) по всем путям, соединяющим соседние минимумы,
ysph = пцпшахУ(А).(11.37)
Это и будет минимальная высота барьера, а точка, где минимакс (11.37) достигается — это сфалерон qsph.
В моделях типа физического маятника это рассуждение нужно слегка модифицировать. В этом случае минимум у потенциала V(q) всего один, однако существуют нестягиваемые пути, замкнутые в конфигурационном пространстве (пространстве возможных значений {q}), выходящие и заканчивающиеся в минимуме потенциала. Туннельный процесс в таких моделях — это подбарьерное «движение» вдоль такого нестягиваемого пути. В предыдущем рассуждении в качестве С должны выступать всевозможные нестягиваемые замкнутые пути, начинающиеся и оканчивающиеся в классическом основном состоянии. В остальном это рассуждение не меняется.
Глава 12
Распад ложного вакуума в теории скалярного поля
Предварительные соображения
В этой главе мы рассмотрим модель одного действительного скалярного поля в d-мерном пространстве-времени (d ^ 3) с действием
s=f^V^w-v^Y(пл)
где скалярный потенциал VQp) имеет вид, показанный на рис. 12.1. Подчеркнем, что V^) представляет собой плотность энергии однородного и статического скалярного поля, величина которого равна у (всюду в пространстве). -
На классическом уровне в модели имеется два устойчивых статиче
ских состояния: состояние у? = у?_ (ложный вакуум), плотность энергии в котором выбрана равной нулю без ограничения общности, и состояние
р = ро (истинный вакуум), где плотность энергии отрицательна, а полная энергия пропорциональна пространственному объему (и равна -оо в пределе бесконечного объема).
Предположим, что в начальный момент времени система находится в ложном вакууме р = р_. В квантовой теории возможен, вообще говоря, туннельный про
цесс, в конечном итоге приводящий систему в истинный вакуум у? = у>о. В предположении о квазиклассическом характере этого процесса его вероятность будет экспоненциально мала. Задача состоит в вычислении квазиклассической экспоненты для этой вероятности.
Прежде всего мы должны пояснить, что такое квантовая теория поля с действием (12.1). Для наших целей будет достаточно следующих соображений. Представим себе, что (d - 1)-мерное пространство дискретно, т. е. состоит из отдельных точек х*. Простейший вариант — это кубическая решетка; для нее индекс i — это на самом деле (d - 1) целых индексов i = (?i,..., ij-i). Каждый узел этой решетки имеет координаты ($1,..., ®d-i)j = (аг'1,..., aid-i), где а — расстояние между узлами решетки. На каждом узле решетки зададим переменную <p\(ty Будем далее считать, что пространственные размеры системы конечны, хотя и велики; тогда индексы iy,... ,id-\ будут пробегать конечный ряд значений. Теперь можно рассмотреть систему с действием
(12.2)(12.2)S= [dt £ а«[1№)2-1^)?-Ш)" v..Ze X. UlV ) Ze
(12.2)
(12.2)
где дискретизованный градиент, например, вдоль первой координаты равен
■ (Vi^)j = ""(фй+Мг,-..,id-i — ^ibiir-^id-i)’ а
Таким образом мы приходим к системе с конечным, хотя и очень большим, числом переменных фу. На квантовом уровне она представляет из себя квантовую механику конечного числа переменных. Физически ясно, что при достаточно малых а система с действием (12.2) не отличается от теории поля с действием (12.1), по крайней мере на классическом уровне. На квантовом уровне возникают тонкости, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями и перенормировкой, однако для нас эти тонкости будут несущественны. Действительно, мы будем рассматривать только лидирующие квазиклассические экспоненты, для вычисления которых по существу достаточно лишь знание классической теории (в обычном или евклидовом времени). Итак, для наших целей достаточно считать теорию (12.1) моделью с конечным, хотя и очень большим числом переменных, а пространственные координаты х воспринимать как нумерующие переменные <р(х, t) (при этом время мы считаем непрерывным, как обычно в квантовой механике).
После этого общего замечания вернемся к распаду ложного вакуума. Состояния ложного вакуума и истинного вакуума пространственно однородны, однако переход между ними пространственно однородным быть не может. Действительно, туннельная экспонента для пространственно однородного туннелирования пропорциональна пространственному объему системы, поэтому однородный переход идет с нулевой вероятностью в пределе бесконечного объема (сравни с обсуждением в конце раздела 5.1). В то же время, возможен процесс неоднородного туннелирования, конечным результатом которого является переход в состояние истинного вакуума. Именно, для туннельного процесса достаточно, чтобы система выходила из-под барьера с нулевой статической энергией. В нашем случае
под статической энергией нужно понимать величину
Яш = d4"1:Яш = d4"1:x[^)2 + V» .x[^)2 + V» .(12.3)(12.3)
Яш = d4"1:
Яш = d4"1:
x[^)2 + V» .
x[^)2 + V» .
(12.3)
(12.3)
Отметим, что именно это выражение является аналогом потенциала в квантовой механике, поскольку в нем не содержатся производные р по времени (лучше всего это видно в дискретной версии (12.2): подынтегральное выражение в (12.2) представляет собой квантовомеханический лагранжиан — разность кинетического члена, квадратичного по фь и потенциального слагаемого, не зависящего от ф\; в непрерывном пределе потенциальное слагаемое сводится к (12.3)).
Добиться того, чтобы Sstat = 0, а конфигурация поля имела р ф р_ лишь локально в пространстве, можно, рассматривая пузырек истинного вакуума в ложном (Волошин, Кобзарев, Окунь, 1974), см. рис. 12.2. Статическая энергия такого пузырька складывается из энергии переходной области (стенки), где поле изменяется от фо до ф_, и энергии внутренности пузырька. Энергия стенки пропорциональна ее площади и положительна, const-Д^^2, а энергия внутренней области отрицательна и пропорциональна объему пузырька, const • Кй-Х. Таким образом, статическая энергия оценивается величиной
Ssut = tiR4^ - сК4-\
где /z > 0 и с ос (-У(фо)) > 0; ее график изображен (для d > 3) на рис. 12.3. Пузырек размера До может образоваться в результате туннельного процесса. Из рис. 12.3 видно, что после образования пузырек будет расширяться, в результате чего истинный вакуум будет запол
нять все большую область пространства. В конечном итоге вся система перейдет в состояние истинного вакуума ф = фо • Мы увидим, что буквально такая картина имеет место только в специальном случае, когда энергия истинного вакуума мало отличается от энергии ложного вакуума, т. е. когда ^(фо)! мал по сравнению со всеми остальными параметрами. В общем случае в момент спонтанного образования
«стенка» имеет размер, сравнимый с размером самого пузырька, так что о стенке и внутренней области в момент образования говорить в действительности не имеет смысла. В центре пузырька в момент его образования поле, вообще говоря, может сильно отличаться от р0. Тем не менее, описанная картина ухватывает основные черты процесса образования пузырька; она буквально работает через достаточно долгое время после его образования.
Качественные соображения этого раздела позволяют установить и примерную структуру сфалерона (критического пузыря). Сфалерон в нашей модели — это такая конфигурация в (d - 1)-мерном пространстве, которая (после слабого «толчка») может проэволюционировать либо в истинный, либо в ложный вакуум. На качественном уровне сфалерон — это пузырек размера Psph (см. рис. 12.3); его неустойчивость связана с тем, что пузырьки чуть меньшего размера схлопываются (так что система возвращается в ложный вакуум), а пузырьки чуть большего размера неограниченно расширяются, и истинный вакуум заполняет все пространство.
Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок)
Для количественного описания процесса подбарьерного образования пузыря в главном квазиклассическом приближении (Коулмен, 1977) воспользуемся рецептом, сформулированным в разделе 11.2. Запишем действие в виде
и сделаем в нем формальную замену t = -гт. С точностью до множителя г действие (12.4) перейдет в евклидово действиеи сделаем в нем формальную замену t = -гт. С точностью до множителя г действие (12.4) перейдет в евклидово действие
и сделаем в нем формальную замену t = -гт. С точностью до множителя г действие (12.4) перейдет в евклидово действие
и сделаем в нем формальную замену t = -гт. С точностью до множителя г действие (12.4) перейдет в евклидово действие
где мы вновь объединили координаты, хц = (т,х), а суммирование по д = 0,..., d - 1 ведется с евклидовой метрикой diag (1,1,..., 1). Как уже отмечалось в разделе 11.1, последнее обстоятельство дает основание называть т евклидовым временем.
Уравнения поля, следующие из действия (12.5), имеют вид
(12.6)(12.6)-9^+ —- =0.
(12.6)
(12.6)
Наша задача — найти отскоковое решение этих уравнений, которое стремилось бы к ложному вакууму р_ при г -> ±оо и имело бы «точку поворота». В теории поля «точка поворота» означает «момент времени» (без ограничения общности можно положить его т = 0), при котором
(12.7)(12.7)Эр Л
(12.7)
(12.7)
— = 0 для всех х. от
Действительно, х мы воспринимаем как непрерывный индекс, нумерующий переменные, поэтому непрерывным аналогом соотношения (11.16) служит именно (12.7).
Требованию
р^т, х) -4 р_ при т -4 ±00 (12.8) и условию (12.7) можно одновременно удовлетворить, если рассматривать гладкие сферически-симметричные поля у (г), где т = Vr2 + х2 = у^Жд®^, с асимптотикой
р(г -4 оо) = р~.(12.9)
Действительно, условие (12.9) обеспечивает выполнение (12.8), а
= 7 *(12ло)
обращается в нуль всюду при г = 0; точка г = 0 не является особой в (12.10), поскольку для гладкости поля вблизи г = 0 требуется
^(г = 0) = 0.(12.11)
Для сферически-симметричных полей уравнение (12.6) приводится к виду
// d 1 ,^ +=т// d 1 ,^ +=тдУдр ’дУдр ’(12.12)(12.12)
// d 1 ,^ +=
т
// d 1 ,^ +=
т
дУ
др ’
дУ
др ’
(12.12)
(12.12)
где штрих обозначает производную по г.
Убедимся, что решение уравнения (12.12) с граничными условиями (12.9), (12.11) действительно существует. Уравнение (12.12) формально эквивалентно уравнению ньютоновской механики для частицы с координатой р, движущейся во «времени» г в потенциале [-7(^)1 в присутствии силы трения, пропорциональной скорости частицы, причем коэффициент трения обратно пропорционален «времени». Условия (12.11) и (12.9) означают, что в начальный момент г = 0 частица покоится, а в конце движения (г -4 оо) она закатывается точно на горб р_ потенциала (-У) (рис. 12.4). Существование такого решения вытекает из следующего соображения. Рассмотрим траекторию частицы, стартующей при г = О с нулевой скоростью, как функцию начальной точки. Если начальная точка выбрана так, что
-У(р^г = 0^ <0,
то частица заведомо не докатится до вершины горба, точки <р- (ее «энергия» отрицательна). Если начальная точка выбрана очень близко ко второй вершине горба у? = р0, то частица будет долго находиться вблизи этой вершины, двигаясь с очень малыми ускорением и скоростью. За это время она потеряет мало энергии (скорость мала!). Дальнейшее движение будет про
исходить при больших г, когда коэффициент трения мал. Следовательно, при таком выборе начальной точки частица потеряет мало энергии за все время своего движения, и она перекатится через горб <р_. Таким образом, при изменении положения начальной точки режим недокатывания до у>_ сменяется режимом перекатывания, и по соображениям непрерывно
сти существует начальное положение, при котором частица закатывается точно на горб при г -> оо. Интересующее нас решение действительно
существует.
Конфигурация отскока в d-мерном евклидовом пространстве-времени весьма проста. Он представляет собой сферически-симметричный «евклидов пузырь», вне которого поле быстро стремится к ложному вакууму р_, а внутри сильно отличается от р_. В центре пузыря поле принимает значение, меньшее р0, но может быть довольно близко к истинному вакууму ро. Главная квазиклассическая экспонента для вероятности распада ложного вакуума определяется евклидовым действием этого решения,
Г ос е Sb.
Задача 1. Рассмотрим теорию со скалярным потенциалом
V (р) = -ар2 - bp3 + Ay?4 + const,
где a, b, X — положительные параметры.
Найти область значений параметров a, b, X, в которой потенциал имеет вид, изображенный на рис. 12.1.
Пользуясь соображениями, изложенными в начале раздела 7.1, найти область значений а, Ь, А, в которой выполнено свойство (а) и реализуется режим слабой связи в истинном и ложном вакуумах.
Найти параметрическую зависимость размера евклидова пузыря и его евклидова действия от комбинаций параметров а, Ь, А. Убедиться, что в режиме слабой связи евклидово действие велико (что обосновывает применимость квазиклассического приближения).
Обсудим теперь поведение пузыря после его появления в результате туннелирования. Как обсуждалось в разделе 11.2, наиболее вероятными
значениями переменных в момент выхода из-под барьера являются их значения в точке поворота евклидова решения. В теории поля «точкой поворота» является (d-1)-мерная поверхность т = 0 d-мерного евклидова пространства. Итак, в момент выхода из-под барьера (в момент материализации пузыря) конфигурация поля совпадает с ф(х, т = 0). Это — снова локализованная сферически-симметричная (но уже в (d- 1)-мерном Пространстве) конфигурация с ф = ф_ вне пузыря и р близким к фо в центре пузыря. В момент материализации скорости равны нулю (см. раздел 11.2); в нашем случае это означает, что
—(х, t = 0) = 0 для всех х,ot
если t = 0 — момент материализации пузыря.
Если известно евклидово решение (отскок) фь(г), то поведение пузыря вне светового конуса в пространстве-времени Минковского (после его, материализации) можно найти, используя тот факт, что его поле ф(х, t) является аналитическим продолжением решения фь(х, г) в область чисто мнимого т = it (см. раздел 11.2). Вне светового конуса это аналитическое продолжение сделать легко: для этого достаточно заменить г = Vx2 + т2 на р = Vx2 - i2 (подкоренное выражение положительно
Рис. 12.5Рис. 12.5вне конуса). Таким образом, поле пузыря в обычном пространстве-времени имеет вид
Рис. 12.5
Рис. 12.5
ф(х, t) = фЬ(\/х2-72).
Поверхности постоянного р — это гиперболоиды х2 - t2 = const; они изображены на рис. 12.5, Ясно, что глубоко внутри конуса поле достигает своего значе-
ния в истинном вакууме, что также отмечено на рис. 12.5. С точки зрения покоящегося наблюдателя размер стенки пузыря (области, где поле изменяется от ф_ до фо) уменьшается со временем, а скорость стенки приближается к скорости света.
Задача 2. Рассмотрим пузырь в (3 + 1)-мерном пространстве-времени, который расширился до большого размера. В этом случае толщина стенки пузыря мала по сравнению с его размером; мала также и кривизна стенки. Считая, что форма стенки не меняется в ее собственной системе отсчета, и пренебрегая кривизной стенки, стенку можно характеризовать единственной переменной ж1^) (если стенка перпендикулярна первой оси).
Вычислив тензор энергии-импульса, найти давление на стенку и ее ускорение в инерциальной системе отсчета, мгновенно связанной со стенкой.
Перейдя в фиксированную инерциальную систему отсчета, найти уравнение для ж1^). Решить это уравнение. Нарисовать мировую линию на плоскости (ж1, t) (сечение мировой поверхности стенки плоскостью ж2 = ж3 = 0).
В заключение этого раздела рассмотрим сфалерон (критический пузырь) в этой модели. Он представляет собой неустойчивое решение статических уравнений поля и определяет высоту барьера, разделяющего ложный и истинный вакуумы. Как отмечалось в разделе 12.1, сфалерон должен представлять собой пузырек в ложном вакууме в (d - 1)-мерном пространстве.
Статическое уравнение поля в d-мерном пространстве-времени имеет вид
ЭУ
-didi4> += 0,
где индекс г — пространственный и пробегает значения г = 1,... ,d- 1. Это уравнение совпадает с уравнением (12.6), только евклидово пространство теперь (d - 1)-мерное, а не d -мерное. Его решение снова имеет сферическую симметрию, р = р (V2^) , и уравнение для р совпадает с (12.12) с заменой d на (d - 1). Иными словами, евклидов пузырь (отскок) для (d- 1)-мерного пространства-времени совпадает с критическим пузырем (сфалероном) для d-мерного пространства-времени. Структура этого решения обсуждалась выше.
Задача 3. Показать, что критический пузырь неустойчив, и среди возмущений вокруг него имеется отрицательная мода. .Указание: воспользоваться существованием нулевых мод вокруг критического пузыря и их свойствами относительно пространственных вращений.
Подчеркнем, что евклидов пузырь и сфалерон мы нашли в предположении сферической симметрии решений. Это предположение, в действительности, можно строго обосновать (Коулмен, Птазер, Мартэн, 1978).
Итак, для нахождения вероятности туннелирования (при нулевой температуре) необходимо найти отскоковое решение (евклидов пузырь), и вероятность образования пузырька истинного вакуума в ложном будет равна
Г = Ае"\
где 5ь — евклидово действие отскока, А — сублидирующий предэкспо- ненциальный фактор. Пузырь может образоваться в любой точке пространства, поэтому Г представляет собой в действительности вероятность рождения пузырька на единицу пространственного объема в единицу, времени. В большом объеме пространства пузырьки будут образовываться в разных местах в разное время, расширяться, их стенки будут затем сталкиваться; ложный вакуум «закипит». В конечном итоге энергия ложного вакуума (точнее, ее превышение над энергией истинного вакуума) превратится в тепло.
В полной аналогии с разделом 11.1, при достаточно высоких температурах (но все еще малых по сравнению с энергией критического пузыря в ложном вакууме) образование пузырей происходит не путем туннелирования, а посредством тепловых скачков с образованием критического пузыря. Вероятность таких процессов в единице объема в единицу времени пропорциональна
Г ос e"F>₽h/r,
где Fsph — свободная энергия критического пузыря (сфалерона). В ряде случаев свободная энергия критического пузыря совпадает с энергией критического пузыря в теории (12.1), но со скалярным потенциалом, измененным за счет температурных поправок. Методы, изложенные в этом разделе, применимы, таким образом, к изучению критических пузырей при конечной температуре.
Потенциалы типа изображенного на рис. 12.1 характерны для систем с фазовым переходом первого рода. Именно в теории фазовых переходов (происходивших, например, в ранней Вселенной) используются решения, обсуждавшиеся в этом разделе. .
Задача 4. В модели задачи 1 найти параметрическую зависимость размера критического пузыря и его энергии от а, Ъ, и А в режиме слабой связи. Дать численные оценки по порядку величины в случае параметров, характерных для Стандартной модели (вакуумное среднее скалярного поля порядка 250 ГэВ), считая для примера безразмерные константы связи величинами порядка 0,3 (размер пузыря измерять в сантиметрах). Отметим, что энергия критического пузыря дает представление о температуре фазового перехода.
Тонкостенное приближение
Явный вид решения для евклидова пузыря или критического пузыря в общем случае найти не удается. Это, однако, можно сделать в специальном случае, когда разность энергий ложного и истинного вакуумов мала по сравнению со всеми другими параметрами модели (Коулмен, 1977). Именно, рассмотрим скалярный потенциал специального вида
Ш = Ш'Ш (12.13)
где Vq(у) симметричен относительно замены р -> -ip и имеет вырожденные минимумы при р = -у?о и у = +у?о, У1(ф) не инвариантен относительно этой симметрии. Будем считать, что VoC^o) = 0, Vi(-y>o) = 0 и И1(+уо) = 1- Предположим далее, что параметр е мал. Тогда однородное поле ip_ = -у>0 + 0(e) будет ложным вакуумом с нулевой энергией, a ip = +pQ 4- 0(e) будет истинным вакуумом с плотностью энергии (—е). Будем для определенности рассматривать четырехмерное пространство- время, d = 4.
Решение уравнения (12.12) для евклидова пузыря будем искать, пользуясь механической аналогией (рис. 12.4). Поскольку е мало, частица
должна потерять мало энергии, двигаясь из окрестности горба ip = <р0 в окрестность горба <р = tp_. Вдали от горбов скорость частицы во всяком случае конечна при сколь угодно малом е, поэтому основное движение частицы должно происходить при больших г, когда сила трения мала. При этом движении как силой трения, так и частью потенциала, пропорциональной £, можно пренебречь, так что уравнение (12.12) сводится к
Нас интересует решение этого уравнения, которое скатывается из точки +у?о и закатывается в точку -у о- Это решение нам известно: оно представляет собой антикинк в симметричном потенциале Vb. Антикинк характеризуется единственным параметром R — своим положением. Итак, в области значений г, где отскок <ръ(г) существенно отличается от +у?о и — ^о» имеем
Pb(r) = <М& ~ ту
Это решение изображено на рис. 12.6. Отметим, что ^ьМ при г, близком к R (область стенки), не зависит от е. Для того, чтобы сила трения действительно была мала, требуется, чтобы R было велико при малом е. Структура решения в евклидовом пространстве в точности соответствует рис. 12.2.
Параметр R — единственный параметр решения, который осталось определить. Для его нахождения заметим, что евклидово действие должно быть экстремально в классе конфигураций, удовлетворяющих условиям (12.9), (12.11). В частности, оно должно быть экстремально относительно вариаций параметра R. Вычислим евклидово действие (12.5) как функцию R. На сферически-симметричных конфигурациях
SE = 2тг2SE = 2тг2ООJ г3 dr оООJ г3 dr о|(у')2 + Vo (у) - eV(p)|(у')2 + Vo (у) - eV(p)(12-14)(12-14)
SE = 2тг2
SE = 2тг2
ОО
J г3 dr о
ОО
J г3 dr о
|(у')2 + Vo (у) - eV(p)
|(у')2 + Vo (у) - eV(p)
(12-14)
(12-14)
(2тг2 — площадь единичной трехмерной сферы). Вдали от области кинка (стенки) поле <ръ не зависит от г; кроме того Vo (у) = 0. Внешняя область
пузыря (г > R, вне стенки) не дает вклада в Se, а внутренняя область дает вклад
Se = -^-rS
с точностью до поправок порядка eR3. Вклад стенки пропорционален R3 и в главном порядке не зависит от е; для его вычисления положим т = R в мере в (12.14) и пренебрежем еУр Получим
5^ - l^R3^
где
+оо+оо-ОО-ОО|(^))2 + ?о(^(г))|(^))2 + ?о(^(г))
+оо
+оо
-ОО
-ОО
|(^))2 + ?о(^(г))
|(^))2 + ?о(^(г))
Отметим, что по форме д совпадает с энергией кинка в одномерном пространстве; р не зависит от е. Итак, в главном порядке по е и R евклидово действие отскока размера R равно
5Ь(Л) = l-^pR3 - ^R4£.
Экстремум этого выражения достигается при
R = Rb = A(12.15)
Для евклидова действия в экстремуме получим окончательно
5Ь = уХ.(12.16)
Отметим, что размер евклидова пузыря (12.15) действительно велик при малых £. Действие (12.16) тоже велико, так что туннельный процесс образования пузыря сильно подавлен.
Напомним, наконец, что в соответствии с изложенным в разделе 12.2, стенка пузыря после его материализации будет двигаться по гиперболоиду
Задача 5. Найти размер евклидова пузыря Rb непосредственно из уравнения (12.12), рассматривая баланс энергий для механической аналогии рис. 12Х
Задача 6. Найти форму стенки (т. е. ^ь(г) при г близком к R) и значение параметра р рля потенциала
W) = ^(у2""2)2-
Убедиться, что размер евклидова пузыря и его действие велики не только по в-1, но и по А-1 при малых А. Найти предел применимости тонкостенного приближения (указание: потребовать, чтобы размер R^ был много больше ширины самого кинка).
Задача 7. Найти форму, размер и статическую энергию критического пузыря в модели (12.13) в четырехмерном пространстве-времени при малом е.
Задача 8. Показать непосредственным вычислением в главном порядке по е, что статическая энергия отскоковой конфигурации при т = 0, т. е. конфигурации <Рь(х, т = 0), равна нулю. Используя это вычисление, дать альтернативный вывод соотношения (12.15).
Глава 13
Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
В главах 11 и 12 мы видели, что решения евклидовых уравнений движения полезны для описания туннельных процессов в квантовой механике и теории скалярного поля. В этой главе мы рассмотрим евклидовы решения в калибровочных теориях и дадим им интерпретацию в терминах процессов туннелирования. Мы также обсудим неустойчивые статические решения уравнений поля в калибровочных теориях (сфалероны), позволяющие найти высоту соответствующих барьеров.
Евклидовы калибровочные теории
Прежде всего необходимо понять, как осуществляется переход к евклидову времени в калибровочных теориях. Наиболее наивный переход, состоящий в замене t = -гт без какой-либо модификации полей Ац, не годится по следующей причине. Если поля А^ не модифицируются, то компоненты Е^ напряженностей поля становятся комплексными,
F^Mi-MS+Sf*^ -f гМ'-ЭЛ + д^А^. (13.1)
Ковариантные производные Dotp скалярных полей также превращаются в комплексные величины; комплексными будут и евклидово действие, и уравнения поля. Это явно не похоже на то, что происходит в квантовой механике или теории скалярного поля.
Формула (13.1) подсказывает, что полезно, одновременно с заменой t = -гт, сделать и замену Л“ -> гАу. Тогда ^ будут чисто мнимыми, а евклидово действие калибровочного поля — действительным,
-HSE,
причем евклидовы напряженности поля даются обычными выражениями, F“v = 8цАу - дуА^ + g f^A^Ay, где д0 обозначает д/Эт и суммирование по греческим индексам ведется с евклидовой метрикой. Аналогично, после замены
t-^-гт, А^гА^, А^А^, р-> р, (13.3)
ковариантная производная скалярного поля Dop станет чисто мнимой, а действие скалярного поля — действительным и неотрицательным,
SE = / ^ V^Vd^ + V^', р)],(13.4)
где вновь Вцр дается обычным выражением,
В^р = (дд — igT A^tp.
Чтобы пояснить рецепт (13.3), рассмотрим вновь теорию в пространстве- времени Минковского, и выберем калибровку
(13.5)(13.5)Ао=О.
(13.5)
(13.5)
В этой калибровке действие калибровочного поля имеет канонический
вид:
^= [^(М)2 - ^о)2^= [^(М)2 - ^о)2(13.6)(13.6)
^= [^(М)2 - ^о)2
^= [^(М)2 - ^о)2
(13.6)
(13.6)
причем производные по времени входят только в первое слагаемое под интегралом. Теперь можно перейти к евклидову времени по обычному правилу, t -> -гт, без модификации переменных А*, и получить
й^Г^М^ + ^Ю2 .й^Г^М^ + ^Ю2 .(13.7)(13.7)
й^Г^М^ + ^Ю2 .
й^Г^М^ + ^Ю2 .
(13.7)
(13.7)
Действие скалярных полей в калибровке (13.5) также имеет канонический вид и допускает стандартный переход к евклидову времени. В принципе на этом можно было бы остановиться и искать евклидовы решения в калибровке (13.5). Однако на практике это, как правило, оказывается неудобным. Поэтому полезно восстановить калибровочную инвариантность евклидова действия, введя евклидову переменную Ад в (13.7). Так мы придем к евклидову действию (13.2) и аналогично к (13.4) для скалярных полей. Евклидовы решения мы можем искать в произвольной калибровке, а интерпретировать их будем, переходя в калибровку (13.5).
Здесь мы проигнорировали одно обстоятельство. Уравнения поля, получающиеся из действия (13.6) путем вариации А®, не исчерпывают всех уравнений Янга— Миллса D^F^ = 0, записанных в калибровке (13.5). Недостающее уравнение — это условие Гаусса
(13.8)(13.8)од^рдма^о
(13.8)
(13.8)
(и аналогичное ему условие в теории со скалярными полями). Как отмечалось в разделе 4.5, в классической теории условие Гаусса можно рассматривать как дополнительное условие на начальные данные. В квантовой теории его накладывают на допустимые состояния М,
(A^S) W = 0.(13.9)
На квазиклассическом уровне условие (13.9) означает, что конфигурации полей, из которых происходит туннелирование (т. е. конфигурации полей при т -> -ос), должны удовлетворять условию Гаусса. Для решений, которые мы рассматриваем в этой главе, это свойство будет выполняться автоматически, поскольку решать мы будем полную систему евклидовых уравнений D^jP^ = 0, следующую из действия (13.2).
Задача 1. Найти уравнения поля, следующие из вариации действия (13.6) по переменным Aj. Показать, что эти уравнения, дополненные условием Гаусса (13.8), эквивалентны полной системе уравнений Янга—Миллса, записанной в калибровке (13.5).
Задача 2. То же в теории со скалярными полями.
. 13.2. Классические вакуумы и инстантоны в (1 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса
Характерным свойством калибровочных теорий является наличие в них наборов калибровочно-эквивалентных классических вакуумов, разделенных энергетическим барьером, и инстантонов — классических решений евклидовых уравнений поля, описывающих туннелирование между этими вакуумами. В этом смысле калибровочные теории аналогичны частице в периодическом потенциале, рассмотренной в разделе 11.3, а точнее — физическому маятнику, обсуждавшемуся в конце раздела 11.3. Сложная структура вакуума приводит в калибровочных теориях к появлению новой «константы связи» — параметра 9 (ср. с разделом 11.3), а также новым классам явлений с участием фермионов (последние будут обсуждаться в части I книги II). В четырехмерном случае сложная структура вакуума имеет место в неабелевых калибровочных теориях, и этот случай представляет наибольший физический интерес. В этом разделе, однако, мы рассмотрим более простую теорию, а именно, абелеву модель Хиггса в двумерном пространстве-времени.
В модели имеется калибровочная группа 17(1) и соответствующее ей калибровочное поле Ац, р = 0,1, а также комплексное скалярное поле у?. Калибровочные преобразования имеют вид
Ац -> Ац + ^д^а, у? -> etatp,
где а(х) — калибровочная функция. Мы будем работать в калибровке
Aq = 0.
В этой калибровке единственная ненулевая компонента тензора напряженности равна
Foi = ^оЛ1, а функционал энергии имеет вид
^(Mi)2 + lW + I^W + r(|y>|) ,(13.10)
где V(|p|) — скалярный потенциал, абсолютный минимум которого находится при |р| = -и.
Классические вакуумы модели — это конфигурации полей, на которых энергия (13.10) принимает минимально возможное значение. Тривиальный вакуум — это
Ai = 0, р = г>,(13.11)
а остальные вакуумы получаются из него калибровочными преобразованиями, не зависящими от времени,
^(ж1) = ^[«(ж1), ^(ж1) = е10^ • у.(13.12)
Нас будут интересовать только такие вакуумы, которые отделены от тривиального конечным энергетическим барьером. Это означает, что должны существовать зависящие от времени конфигурации полей А\(х\ t), и ip(x\ (), которые при t -> -оо превращаются в тривиальный вакуум (13.11), при t -> +оо стремятся к вакууму вида (13.12) и при всех t имеют конечную энергию (13.10). Это накладывает определенные условия на калибровочную функцию «(ж1), фигурирующую в (13.12). А именно, для конечности энергии необходимо, чтобы до<р было равно нулю при ж1 -> ±00, т. е. асимптотики ^(ж1 -> ±оо) не должны зависеть от времени. Поэтому и при t -> ±оо должно выполняться равенство ^(ж1 -> ±оо) = v, т.е.
П(ж[) = е1"^'^ -> 1 при ж1 -> ±оо.(13.13)
Из-за этого в вакууме (13.12) поле Л^ж1) равно нулю на пространственной бесконечности. Таким образом, достаточно рассматривать только вакуумы [\ характеризуемые калибровочными функциями со свойствами (13.13).
Между некоторыми из этих вакуумов энергетический барьер вообще отсутствует. Если калибровочные функции «[(ж1) и а^^1) можно гладко
То, что мы выбрали в качестве «опорного» тривиальный вакуум (13.11), не снижает общности. Можно было бы стартовать с любого другого вакуума, не обязательно удовлетворяющего условию (13.13), и повторить рассуждение. Однако, сделав раз и навсегда не зависящее от времени калибровочное преобразование, можно привести опорный вакуум к виду (13.11) и возвратиться к излагаемой в тексте ситуации.
продеформировать друг в друга, не нарушая условие (13.13), то энергетического барьера между соответствующими вакуумами действительно нет: конфигурация
^1(^,0 = |^(?,0, (13.14)
(13.15)(13.15)^(ж1,0 = е^’^-и
(13.15)
(13.15)
имеет сколь угодно малую энергию при всех временах, если /^(ж1^) интерполирует между аДж1) и «г^1), удовлетворяет е^®1’^ -+ 1 при а?1 -+ ±оо и всех t, и адиабатически медленно меняется со временем. Эта ситуация имеет место уже в теории возмущений и для нас сейчас мало интересна. Однако она не является общей: не все калибровочные функции можно продеформировать друг в друга, не нарушая условия (13.13). Действительно, с топологической точки зрения условие (13.13) означает, что «точки» ж1 = -оо и ж1 = +оо можно отождествить, и пространство представляет собой окружность 51. Калибровочная функция П(ж0 = еш^ , определяющая классический вакуум, задает отображение S1 -+ (7(1) этой окружности в калибровочную группу. Поскольку ТГ1((7(1)) = 771(50 = Z, такие отображения разбиваются на классы, нумеруемые целым топологическим числом вакуума п. Отображения, принадлежащие одному и тому же классу, могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, а принадлежащие разным классам — не могут. Это означает, что полевые конфигурации, интерполирующие между топологически различными вакуумами, не могут иметь вид (13.14); при промежуточных временах эти конфигурации имеют ненулевую энергию. Вакуумы с различными топологическими числами п разделены энергетическим барьером.
В данной модели степень отображения п имеет очень простой вид
тг =тг =dж1 Q 1(®0д1П(®0,
тг =
тг =
или в терминах вакуумного поля А Дж0
е п = —2тге п = —2тгdж1 Льdж1 Ль
е п = —
2тг
е п = —
2тг
dж1 Ль
dж1 Ль
ее9=^9=^Конфигурации, интерполирующие между вакуумами с топологическими числами П1 и 712, характеризуются топологическим числом конфигурации, которое мы запишем в калибровочно-инвариантном виде
е
е
9=^
9=^
dz1 6t F6X = у- / «fxe^F™,4тг J
где бду — антисимметричный тензор, б01 = 1. Отметим, что топологическое число q двумерной полевой конфигурации и топологическое число вакуума п — связанные, но не тождественные понятия, и путать их
не следует. Эта связь в калибровке Ао = 0, в которой мы по прежнему работаем, имеет вид
9 = »2 - ПьПоследнее равенство очевидно из тождества
(=4-oo dxv AiJ t=-oo(=4-oo dxv AiJ t=-oo4-оо
(=4-oo dxv Ai
J t=-oo
(=4-oo dxv Ai
J t=-oo
е [ , 1 f q = — I dx I с
2тг J J
-00
Для квазиклассического вычисления амплитуды туннелирования между соседними вакуумами необходимо найти инстантон — решение евклидовых уравнений поля, интерполирующее между вакуумами с п = О и n = 1, и соответственно, имеющее q = 1. Такое решение нам в действительности уже известно — это вихрь Абрикосова—Нильсена—Олесена, интерпретируемый теперь как инстантон в двумерном евклидовом пространстве. Топологическое число q формально совпадает с магнитным потоком (с точностью до множителя ^, см. (7.54)), а выражение для массы вихря (7.53) теперь интерпретируется как действие инстантона,
2/
(13.16)(13.16)S'inst —2(
(13.16)
(13.16)
е2\тпу
(отметим, что в двумерном пространстве-времени константа е имеет размерность массы, так что Sinst безразмерно, как и должно быть). Со
ответствие между вихрем и инстантоном вытекает из того, что евклидово действие модели
аЧ ^ + |ЗД2 + П1р1)
(суммирование идет с евклидовой метрикой) формально совпадает со статической энергией (7.40) в (2 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса. Разумеется, поле вихря (7.45) не удовлетворяет калибровочному условию Ао = 0, однако приведенные выше рассуждения показывают, что после перевода в калибровку Aq = О поле вихря действительно будет интерполировать между вакуумами с п = 0 и n = 1 (или, в общем случае, вакуумами с топологическими числами п и п + 1).
В этом нетрудно убедиться явно. Калибровочные поля вихря равны
^Ч^^Их/^)’03.17)
^b^XV^O-<*3.18)
где “inst” обозначает поле вихря в исходной калибровке (7.45). Напомним, что функция А(г) быстро (экспоненциально) стремится к единице при г -4 оо. Будем
отсчитывать фазу 9 в (7.45) от отрицательной оси ж0. Тогда поле ^“^(ж0, ж1) имеет следующие асимптотики
(13.19)(13.19)угш -ч v при ж0 -4 -оо,у>ы -ч e<)rv при ж0 -> +оо.
(13.19)
(13.19)
Для перевода исходного поля (13.17), (13.18) в калибровку Ао = 0 сделаем калибровочное преобразование с калибровочной функцией
7(х0, Xi) = jdr ™^,-007(х0, Xi) = jdr ™^,-00^(V^)-^(V^)-(13.20)(13.20)
7(х0, Xi) = jdr ™^,
-00
7(х0, Xi) = jdr ™^,
-00
^(V^)-
^(V^)-
(13.20)
(13.20)
Тогда калибровочно преобразованные поля равны
Ло = Л?* + ^7 = О, Л, = ат* + ^817,(13.21)
^e'V"(13.22)
Предел интегрирования в (13.20) подобран так, что при Жо -4 — оо калибровочная функция 7(ж0, Ж1) стремится к нулю, а поля Ау и у> стремятся к тривиальному вакууму (13.11) (поскольку Ау51 -4 0 при ж0 -4 ±оо). Отметим, что поля (13.21), (13.22) быстро стремятся к значениям Л] = О, = v при конечном ж0 и $i ч ±оо, что согласуется с нашим анализом допустимых полей, интерполирующих между вакуумами.
Задача 3. Доказать последнее утверждение явным вычислением. Указание: учесть, что для соответствия с вихрем координаты (ж0, Ж}) образуют правую пару, как и координаты (ж1, ж2) в (2+1)-мерной модели, где имеется вихрь (поворот от оси ж0 к оси Ж1 идет против часовой стрелки).
Итак, начальная конфигурация — это тривиальный вакуум. В силу того, что ^tnsi _^ q ПрИ ^ _^ ^qq, конечная конфигурация имеет вид (13.12) с
а(Ж1) = 7(ж0-4+оо, Ж1) + it,'
где последнее слагаемое учитывает асимптотику (13.19) (на виде +t оно не сказывается). В явном виде
+оо
-00
Это — гладкая калибровочная функция; с учетом того, что А(г) быстро стремится к единице при г -4 оо, получим
а(ж1 -4 -оо) = 0, а(Ж1 -4 +оо) = 2тг.
Таким образом, эта калибровочная функция действительно имеет топологическое число n = 1. Вихрь, интерпретируемый как инстантон, действительно интерполирует между классическими вакуумами с п = 0 и n = 1. Инстантон, описывающий туннелирование между вакуумами с п и (n + 1) получается из (13.21), (13.22) калибровочным преобразованием.
Итак, структура (1 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса аналогична механике частицы в периодическом потенциале: имеется дискретный
набор абсолютных минимумов энергии — классических вакуумов, нумеруемых вакуумным топологическим числом п. Между этими вакуумами возможно туннелирование, которое в случае An = 1 описывается ин- стантонным решением (в данном случае оно совпадает с решением, описывающим вихрь). Амплитуда туннелирования подавлена фактором е-йпк , а вероятность пропорциональна
Г ос е"2^,
где инстантонное действие имеет вид (13.16). Напомним, что ту = V2 ev, а функция М(^) по порядку величины равна единице. Поэтому
^inst »
т. е. инстантонное действие велико в теории со слабой связью (в (1 + 1)- мерных моделях условие слабой связи имеет вид v > 1, см. раздел 7.1), а вероятность туннелирования мала. Это оправдывает использование ква- зиклассического приближения для описания туннелирования.■
В действительности более точной является аналогия с физическим маятником, рассмотренным в конце раздела 11.3: вакуумы с различными топологическими числами п получаются друг из друга калибровочными преобразованиями, а поскольку физический смысл имеют только калибровочно-инвариантные величины, эти вакуумы физически неразличимы. Тем не менее, существование туннельных процессов, описываемых инстантонами, приводит к вполне определенным физическим эффектам. Мы продолжим обсуждение этого вопроса в разделе 13.5.
Инстантон в четырехмернойтеории Янга—Миллса
В этом разделе мы рассмотрим классические решения с конечным евклидовым действием в неабелевых калибровочных теориях без скалярных полей в четырехмерном евклидовом пространстве — инстантон и антиинстантон (Белавин, Поляков, Шварц, Тюпкин, 1975). Интерпретация этих решений будет дана в следующем разделе. Масштабные аргументы раздела 7.2 не запрещают существования таких решений. В то же время, масштабное преобразование Ад (ж) -> А Ад (Аж) оставляет евклидово действие (13.2) инвариантным, т. е. оно переводит одно решение в другое. Поэтому в решениях должен появиться свободный параметр — размер инстантона.
Нам будет удобна матричная запись калибровочного поля
Ад = -igta А^,
где ta — генераторы алгебры Ли, нормированные, как обычно, условием
Калибровочную группу Ли G будем считать простой. Напомним, что в терминах матричных полей евклидово действие имеет вид
8ъ = -^Л Tr^d4®
2g2 J “
(здесь и далее суммирование подразумевается с евклидовой метрикой).
Рассмотрим сначала всевозможные конфигурации полей с конечным действием. Для них напряженность Fpy должна достаточно быстро убывать при |®| оо, где |®| = г = ^/ХцХ^. Это означает, что вектор-потенциалы А у должны представлять из себя чистую калибровку при |®| -> оо,
Ац = шд^иГ^ при |®| -> оо,(13.23)
где ш^х) € G — некоторая калибровочная функция. Рассмотрим удаленную сферу S3 в четырехмерном пространстве. В соответствии с (13.23), любая конфигурация с конечным действием задает отображение этой сферы в группу G;
u?:S3 ->G.
Далее, нам известно, что тгз(С) = Z для любой простой группы Ли G (см. главу 8). Следовательно, калибровочные функции разбиваются на не- пересекающиеся гомотопические классы, нумеруемые целым числом Q. Конфигурации калибровочных полей с конечным евклидовым действием также разбиваются на непересекающиеся гомотопические классы в соответствии со своими асимптотиками (13.23). При этом принадлежность к тому или иному классу не зависит от выбора удаленной сферы S3 в евклидовом пространстве, а калибровочно эквивалентные конфигурации принадлежат одному и тому же гомотопическому классу. "
Задача 4. Рассмотрим две удаленные сферы S\ и S2 радиусов R^ и R^. Пусть между этими сферами поле Ац имеет вид (13.23). Показать, что калибровочные функции сДЯ^пД и w^R^n^ на этих сферах принадлежат одному и тому же гомотопическому классу (пй — единичный радиус-вектор в четырехмерном пространстве).
Задача 5. Пусть -АД®) имеет поведение (13.23), Ад(ж) — калибровочно преоб- ■ разованное поле (П(ж) — гладкая во всем четырехмерном пространстве калибровочная функция). Показать, что А^х) и А^(ж) принадлежат одному и тому же гомотопическому классу.
Без ограничения общности можно считать, что ш(х), фигурирующая в (13.23), зависит только от углов. Действительно, если ш(т, иД зависит от г = |®| (пм — единичный радиус-вектор в четырехмерном пространстве), то можно построить калибровочную функцию
Цт, Пд) = ш(К, п^ ш-1(г, п^,
где R — радиус некоторой фиксированной удаленной сферы 53. При всех достаточно больших т калибровочная функция П принадлежит тривиальному (нулевому) гомотопическому классу, в котором находится единица группы G (действительно, ^К,П1^ = 1, а при изменении г функция П(г, пм) меняется непрерывно). Поэтому можно распространить П(г, пм) гладким образом на все пространство, в том числе внутрь шара радиуса R. Сделав над исходным вектор-потенциалом Ац(х) калибровочное преобразование П(ж) во всем пространстве, получим, что преобразованный вектор-потенциал находится в том же гомотопическом классе, что АДх), и имеет асимптотику с калибровочной функцией (Q-w)(r, nM) = w(R, п^), не зависящей от г.
Таким образом, мы приходим к топологической классификации евклидовых конфигураций калибровочного поля с конечным евклидовым действием. Минимум действия среди полей с одинаковым топологическим зарядом Q (т. е. в каждом топологическом секторе), если он существует, представляет собой решение уравнений Янга—Миллса. Наша ближайшая задача — найти явный вид решения в секторе с Q = 1, инстантон (и Q = -1, антиинстантон) в теории с калибровочной группой SU (2).
Полезно записать явное выражение для Q ;
Q = / da» е^Хр Тг (шдрш"г • о;^"1 • о^оГ1), (13.24) 24тг2 J
где интегрирование ведется по удаленной сфере. Напомним, что греческие индексы пробегают значения 0,1,2, 3; антисимметричный тензор epvXp определен так, что г0123 = 1. Для доказательства представления (13.24) в теории с калибровочной группой 5(7(2) вспомним, что любую калибровочную функцию w(nM) € SU(2) можно представить в виде
ш(п) = иа(п)сга, (13.25)
где а = 0,1,2, 3; <т0 = 1, 04 = -irt, а действительные функции иа(п) удовлетворяют соотношению
Vafa = 1.
Соотношение (13.25) — это взаимно однозначное соответствие между многообразием группы 5(7(2) и сферой Sgy^; топологическое число Q суть не что иное, как степень отображения удаленной сферы 53 в группу 5(7(2). Непосредственно проверяется, что (13.24) приводится к выражению для степени отображения сферы на сферу, рассмотренному в главе 8.
Задача 6. Записать выражение (13.24) в терминах vQ(n). Показать, что полученное выражение представляет собой степень отображения удаленной сферы S3 на сферу Я3 ' ■
В общем случае произвольной простой калибровочной группы доказательство формулы (13.24) более сложное, и мы не будем на нем останавливаться. Тот факт, что интеграл в (13.24) является топологической
характеристикой отображения S3 -fr G, виден из результата следующей задачи.
Задача 7. Показать для произвольной калибровочной группы, что выражение (13.24) не меняется при гладких изменениях функции ш(х) на сфере S3.
Следующий шаг состоит в преобразовании поверхностного интеграла (13.24) в объемный. Для этого напомним, что (см. задачу 8 раздела 4.2)
Тг (FpyFpy) = дуКр, где
ри — "^pvXp^Xp — дуальное поле и /2\
Кр = SpvXp Тг ( Fv\Ap — —АуА\Ар].(13.26)
Следовательно, интеграл по четырехмерному объему от Тг (F^yF^y) сводится к поверхностному интегралу от К^ по удаленной трехмерной сфере. На этой сфере F^y исчезают на бесконечности быстрее, чем г-2 в силу конечности действия, при этом Ац ~ г-1, поэтому первое слагаемое в (13.26) в поверхностный интеграл вклада не дает. Имеем, таким образом,
(? =/ АТг(2%,^).(13.27)
1О7Г J
Теперь можно воспользоваться трюком, который мы уже неоднократно применяли (в разделах 7.4 и 9.4). Рассмотрим очевидное соотношение:
- J ДЧТг (2%, - ЁдЛ2 > 0,.(13.28)
где равенство имеет место, только если
Fpv = F^y
во всем пространстве. С учетом того, что Тг (F^F^y) = Тг (F^yF^y), неравенство (13.28) приводит к ограничению снизу для евклидова действия в секторе С фиксированным Q,
Это йёравенство полезно при положительных Q; для отрицательных Q нужно воспользоваться тем, что Тг (F^y + F^y)1 ^ 0 и равенство имеет место при Fp,v = -F^y. Повторяя сделанное рассуждение, при отрицательных Q имеем:
о_2
s 2 -p\QV(13.29)
В обоих случаях абсолютный минимум в секторе с данным Q достигается, если удовлетворяются уравнения первого порядка,
F^ = F^,Q > 0,(13.30)
Fp = -F^, Q < 0.(13.31)
Уравнение (13.30) называют уравнением самодуальности, а (13.31) — уравнением антисамодуальности. Они, разумеется, проще, чем уравнения второго порядка D^F^ = 0 — общие уравнения Янга—Миллса. Из тождества Бьянки (см. задачу 13 в главе 4)
EpvXpDvFXp = 0
следует, что всякое решение уравнений (13.30) или (13.31) удовлетворяет общим уравнениям Янга—Миллса; обратное утверждение неверно.
Найдем теперь инстантон в SU(2) -теории — решение уравнений (13.30) в секторе с Q = 1. Для этого построим прежде всего асимптотику при г оо. Она дается чистой калибровкой (13.23), причем ш^) должна осуществлять первое нетривиальное отображение сферы S3 в SU(^). В терминах функций г)а, фигурирующих в (13.25), это означает, что мы должны иметь отображение S3 -> S3su(^ с единичной степенью. Наиболее простой выбор — это
^а^р^) = ^а»
так что
При этом калибровочное поле при г -> оо выглядит как
АДт оо) = ы6пШ~х = (та<ГдПа ——.(13.32)
Далее,
•^^ = дар + гт)а0ата,(13.33)
где значения символов т)ара получаются прямой подстановкой выражений <га = (1, -гт), (Та = (1,гт). Символы т)ара называют (в физике) символами ’тХоофта. Они антисимметричны относительно индексов а, 3, и их ненулевые компоненты имеют вид
ЧОга = —^г'Оа = ^ia> Ilija = Eija-
Также прямой подстановкой устанавливается, что символы ’тХоофта са- модуальны по первым индексам,
1/ \
"^ар^б " 'Пчба — ‘Пара-(13.34)
Задача 8. Доказать соотношения (13.33) и (13.34) прямой подстановкой.
Подставляя (13.33) в (13.32), имеем для асимптотики поля
Ац = - ^рад-^Тц, Г ОО.(13.35)
Разумеется, это поле принадлежит алгебре Ли группы SU(2).
Асимптотика (13.35) подсказывает следующую подстановку для поля Ад во всем пространстве:
Ад = /(r)w^oT1 = -г^айу/(г)та.(13.36)
Напряженность поля для таких вектор-потенциалов равна
Fpy = 2?Т)дрй ^ ^а 4" 41 2^~ у (^д^аа^а ^р^раа'П'аУт'а*
(13.37)
Задача 9. Убедиться в справедливости (13.37) прямым вычислением.
Уравнение самодуальности теперь можно решить в явном виде. Поскольку первое слагаемое в (13.37) самодуально, для выполнения уравнения самодуальности достаточно добиться выполнения равенства
/' = ;/(1 - /)■(13.38)
Г
При этом нужно потребовать, чтобы функция /(г) обращалась в единицу при г -> оо (тогда поле (13.36) будет иметь асимптотику (13.35)) и в нуль при г О (достаточно быстро, чтобы поле (13.36) было регулярно в нуле). Решение уравнения (13.38) с этими свойствами имеет вид
г2
<13-39)
где р — произвольная постоянная интегрирования. Отметим, что р представляет собой размер инстантона, т. е. размер области, где Ад существенно отличается от своей асимптотики (13.35). Как и ожидалось, размер инстантона является произвольным параметром.
Итак, инстантонное решение имеет вид
Ар, 1 = -il)nva®vTa ^2 _^ ^ ,(13.40)
где мы учли, что nv = xv/r. Напряженность поля дается первым слагаемым в (13.37) и равна
2
^ = 2ir)pVara ^2 ^ ^2.
Вспоминая связь матричных полей с их действительными компонентами, Ац = -ig^A^, запишем еще для компонент
“ дГ2
Заметим, что поле Fy,v убывает степенным образом, как и положено для безмассовых полей. Действие инстантона, как следует из (13.29), равно
8тг2..
Si = Y'<V3AV^
Задача 10. Проверить формулу (13.41) непосредственным вычислением.
Задача 11. Действие Янга—Миллса инвариантно относительно группы 50(4) пространственных вращений и глобальной группы 517(2) калибровочных преобразований, не зависящих от точки пространства. Относительно какой подгруппы этой группы 50(4) х 5У(2) инвариантно инстантонное решение?
Для нахождения антиинстантона воспользуемся тем, что калибровочная функция -
= (ГаПа(13.42)
имеет топологическое число Q = -1. Повторяя выкладки этого раздела, получим для антиинстантона
А» =(13.43)
где ?^0 — антисамодуальный символ ’тХоофта, ^loia —%0а~5ia, Ilija ^ija-
Действие для антиинстантона также равно Sr2/#2.
Задача 12.
Показать, что
<Га<Тд = ба9 + гча#ата.(13.44)
Показать, что
1 _ _ _ 2^а^7<? ’ g^ia "Пара-
Показать, что
-In— па
ы амш =-гд^—Та.
Показать, что топологическое число калибровочной функции (13.42) равно (-1).
Показать, что поле (13.43) удовлетворяет уравнению антисамодуальности (13.31).
Классические вакуумы в четырехмерных калибровочных теориях
На основе соображений, изложенных в главе 11, можно ожидать, что инстантоны в теории Янга—Миллса описывают некоторый процесс туннелирования из основного состояния. Возможность распадной интерпретации (типа встречавшейся в разделе 11.2 и главе 12) нужно сразу исключить, поскольку классический вакуум в теории — конфигурация А = 0 — имеет наименьшую возможную классическую энергию, равную нулю. Поэтому речь может идти только о туннелировании между вырожденными классическими вакуумами (Грибов, 1976; Джекив, Ребби, 1976а; Каллан, Дашен, Гросс, 1976).
Проведем анализ классических вакуумов в неабелевых четырехмерных калибровочных теориях, взяв в качестве примера калибровочную группу 5(7(2). Этот анализ имеет прямую аналогию с тем, который мы провели для двумерной абелевой модели Хиггса в разделе 13.2. Будем работать в калибровке Ао = 0. Тривиальным классическим вакуумом является
А = 0(13.45)
(мы по-прежнему пользуемся матричной записью калибровочных полей и считаем, что других полей в модели нет; включение скалярных полей тривиально и не меняет результата о вакуумной структуре, а эффекты, связанные с фермионами, мы рассмотрим в части I книги II). Нулевую энергию имеют также статические чисто калибровочные конфигурации
А^х) = £WT\(13.46)
где калибровочная функция Q(x) € SU(2) не зависит от времени. Именно для таких полей F^ = 0 и Fo, = 5оЛ = 0.
Нас будут интересовать вакуумы (13.46), в которые возможны переходы из тривиального вакуума (13.45). Конфигурации с конечной энергией А^х,!), интерполирующие между вакуумом (13.45) и вакуумом (13.46), имеют напряженность Foi = 90А,, быстро убывающую при |х| -> оо. Поэтому для них At = 0 при |х| -> оо; это свойство должна иметь и конечная конфигурация (13.46). Следовательно, характеризующая вакуум (13.46) калибровочная функция Q(x) не зависит от х (например, от углов) на пространственной бесконечности \ С точки зрения топологии это означает, что пространство представляет собой сферу S, а П(х) задает отображение S3 5(7(2). Поскольку тг3 (5(7(2)) = Z, такие отображения,
а следовательно, и классические вакуумы, разбиваются на гомотопические классы, нумеруемые целым числом п = 0, ±1,... В рамках одного класса калибровочные функции Q(x) можно гладко продеформировать друг в друга, поэтому энергетический барьер между соответствующими вакуумами отсутствует^ (по тем же соображениям, что и в разделе 13.2). Энергетический барьер существует только между вакуумами с различными топологическими числами п.
Итак, в SU(2) -теории существует дискретный набор топологически различных классических вакуумов, нумеруемых целым числом п. Поскольку этот результат целиком основан на равенстве ^(5(7(2)) = Z, а тгз(С) = Z для любой простой группы, он справедлив для любой четырехмерной калибровочной теории с простой калибровочной группой. В теориях с калибровочными группами, содержащими N простых сомножителей, вакуумы характеризуются N числами ni,..., Пу. При этом (7(1)-факторы несущественны, поскольку 7Г3(СЛ(1)) тривиальна. В частности, в электродинамике сложная структура вакуума отсутствует.
В квазиклассическом приближении туннелирование между соседними классическими вакуумами (например, тривиальным вакуумом (13.45) с п = 0 и вакуумом с п = 1) описывается инстантоном — классическим решением евклидовых уравнений поля, которое в калибровке 40 = О имеет асимптотики
(13.47)(13.47)Лг(х) = 0 при т -э -оо,
(13.47)
(13.47)
Д(х) = Qi^Qf1 при т -> +оо,
где П[(х) — калибровочная функция с единичным топологическим числом, а г = х0 — евклидово время. В теории Янга—Миллса (без механизма Хиггса) с калибровочной группой 5(7(2) таким решением является инстантон, описанный в предыдущем разделе (переведенный в калибровку Ло = 0). Чтобы убедиться в этом, запишем прежде всего выражение для топологического числа калибровочной функции П(х), вполне аналогичное (13.24),
п[П] = ^ /^ eijk Тг N0"1 • ^dj^-Y • ОДП"1).(13.48)
Далее, переведем инстантонное поле (13.40) в калибровку Ао = 0 калибровочным преобразованием ш(х, ж0),
Ai = шА^ш 1 4- шд{Ы \Ai = шА^ш 1 4- шд{Ы \(13.49)(13.49)
Ai = шА^ш 1 4- шд{Ы \
Ai = шА^ш 1 4- шд{Ы \
(13.49)
(13.49)
где Д™1 обозначает исходное инстантонное поле (13.40), а ш подобрана так, что
Ло = еЛ^у-1 + w^ow"1 = 0.(13.50)
Напряженность поля (13.49), так же, как и напряженность исходного инстантонного поля, достаточно быстро стремится к нулю как при |х| -> оо, так и при т = х° -^ ±оо. Поэтому поле (13.49) является чисто калибровочным при т = х° —у ±оо,
(13.51)(13.51)Л8- = ПО№о 1 При т -> -оо,At = Qi^Qf1 при т -> +оо.
(13.51)
(13.51)
Поскольку топологическое число полевой конфигурации, записанное в виде (13.27), явно калиб- ровочно инвариантно, для поля (13.49) имеем
3 = 1
(отметим еще раз, что не следует путать топологическое число Q четырехмерной полевой конфигурации и топологическое число п[П] чисто калибровочной трехмерной конфигурации — классического вакуума). С другой стороны
Kt a eijk Тг (Aj Л^Ло) = 0), а вклад оснований равен
24тг224тг2® €ijk Tr (A,AjAk)® €ijk Tr (A,AjAk)т=+ос
24тг2
24тг2
® €ijk Tr (A,AjAk)
® €ijk Tr (A,AjAk)
т=-оо
С учетом (13.51) имеем
(13.53)(13.53)Q = п[П1] - п[П0],
(13.53)
(13.53)
так что в калибровке Ло = О инстантон с Q = 1 действительно интерполирует между соседними вакуумами. Туннелирование с An = -1 описывается антиинстантоном (Q = -1).
Отметим, что уравнение (13.50) определяет калибровочную функцию ш с точностью до не зависящего от времени левого фактора Q(x) € SU(2). Этой свободой можно воспользоваться, чтобы сделать Qq в (13.51) равной единице; тогда поле (13.49) будет иметь асимптотики (13.47). Отметим еще, что приведенное рассуждение не использует явного вида инстан- тонного поля (13.40); существенно только, что для него Q = 1. Поэтому соотношение (13.53) справедливо для любых четырехмерных евклидовых конфигураций с конечным действием, а значит, с F^ достаточно быстро убывающим в четырехмерном пространстве.
Проиллюстрируем общий результат (13.53) явным вычислением для инстантона (13.40). Найдем решение уравнения (13.50), или, что то же самое, уравнения
ш^Эош = Л™1 = —гхата 1.(13.54)
х2 + г2 + р2
Эквивалентность уравнений (13.54) и (13.50) следует из тождества .
Ам = шА^иТ1 + w^w-1 = ш^Ац - иГ'ЭцШуиГ1.
Решение уравнения (13.54), стремящееся к единице при г -4 — оо, имеет вид
2 = e-^^^W’^),(13.55)
где х® = ®°/|х| — единичный радиус-вектор в трехмерном пространстве, а
F(|x|, г) = —= Tarctg —. Г+ — Y
VIх!2 + р2 V Vlxl2 + Р2 2/ Пространственные компоненты инстантонного поля равны
л^‘ = гт^-™-— - ieijaXjTQ-г-™2 „ -.(13.56)
х2 + т2 + Р2X2 + т2 + р2
Они быстро убывают при т -4 ±оо, поэтому поле
Л,- = ЯЛ^оГ1 + W1(13.57)
стремится к чистой калибровке при г -4 ±оо, определяемой асимптотиками калибровочной функции (13.55) при больших |т|. При т -4 -оо имеем ш -4 1, поэтому
Л, -4 0 При 7 -4 -ОО.
При 7 -4 +оо асимптотика калибровочной функции имеет вид
ш -4 П](х),
где
ПДх) =(13.58)
И
|х|
Fi(|x|) = F(|X|, 7 -4 +ос) = 7Г .,■
VIх!2+
Отметим, что П](х) действительно не зависит от х при |х| -4 оо (она равна -1 на пространственной бесконечности). Непосредственным вычислением проверяется, что n[Qi] = 1. Итак, поле (13.57) действительно имеет асимптотику
А,- -4 (11#№ при 7 -4 +оо, где калибровочная функция fii(x) не зависит от времени и имеет единичное топологическое число.
Задача 13. Показать прямым вычислением интеграла (13.48), что для калибровочной функции (13.58) справедливо n[Qi] = 1.
Задача 14. Показать прямым вычислением, что вектор-потенциал (13.57) при фиксированном 7 убывает не медленнее, чем |х|~2 при |х| -4 оо (для вектор-потенциала (13.56) это не так).
Итак, инстантон в четырехмерной теории Янга—Миллса описывает туннелирование между классическими вакуумами с топологическими числами п, различающимися на единицу. Амплитуда этого туннельного процесса подавлена фактором
e-Sinw = е-8^/<?2(13.59)
и мала при малой константе д. В связи с этим использование квазикласси- ческого приближения для описания туннелирования оправдано в теориях со слабой связью. Подчеркнем, что инстантонные процессы имеют существенно непертурбативный характер, что отражается в неаналитической зависимости амплитуды (13.59) от константы связи д.
0-вакуумы
В предыдущих разделах мы видели, что как четырехмерные неабелевы теории, так и двумерная абелева модель Хиггса напоминают квантовомеханическую модель частицы в периодическом потенциале в том отношении, что с точностью до тривиальных калибровочных преобразований в них существует дискретный набор классических основных состояний, нумеруемых целым числом п. Поле Л(х) (в калибровке 40 = 0) в каждом из этих классических вакуумов представляет собой чистую калибровку, Д(х) = Qn(x)dtQn *(х), причем топологическое число вакуума Qn равно п.
Отметим, что выбрав Qj(x), калибровочные функции можно считать равными
Оп(х) = [01 (х)]".
Туннелирование между соседними вакуумами описывается инстантоном (если п увеличивается на единицу) и антиинстантоном (если п уменьшается на единицу).
В квантовой теории каждому классическому вакууму Оп соответствует состояние |п), в котором поля близки к среднему значению Ai = П^П*1. Квантовые флуктуации полей относительно этого среднего поля описываются (в теориях со слабой связью) теорией возмущений по константе д. Однако конечная вероятность туннелирования между п-вакуумами приводит, как и в квантовой механике с периодическим потенциалом, к тому, что ни одно из состояний |п) не является собственным состоянием гамильтониана. Чтобы построить квазиклассические собственные состояния гамильтониана в квантовой теории, введем оператор калибровочного преобразования Т = Т^О с единичным топологическим числом. Этот оператор аналогичен оператору трансляции (11.30) в квантовой механике с периодическим потенциалом. Этот унитарный оператор определен тем, что он действует на поля следующим образом:
Т AiT = fii^gfii -Ь Hiд^Qi .
Мы предполагаем, что в калибровке Ло = 0 калибровочная инвариантность относительно калибровочных преобразований, не зависящих от времени, сохраняется и в квантовой теории (это предположение выполняется в неаномальных калибровочных теориях). Это, в частности, означает, что оператор Т коммутирует с гамильтонианом. Поэтому оператор Т и гамильтониан можно одновременно диагонализовать. Мы приходим к выводу, что собственные состояния гамильтониана удовлетворяют условию
Т|Ф,) = е*|ФД(13.60)
В частности, вместо n-вакуумов собственными состояниями гамильтониана являются 0-вакуумы — линейные суперпозиции вида)
+оо
I») = £ е-"|п),п=-оо
которые удовлетворяют (13.60).
До сих пор построение было вполне аналогично построению состояний с квазиимпульсом 9 в квантовой механике частицы в периодическом потенциале. На этом аналогия заканчивается в следующем смысле.
В квантовой механике можно представить себе взаимодействие частицы с другими частицами, нарушающее трансляционную инвариантность, а следовательно, приводящее к изменению квазиимпульса 9. В калибровочных теориях калибровочная инвариантность является точной при, учете всех взаимодействий. Это означает, что соотношение (13.60) является точным для всех физических состояний, а параметр 9 не зависит от времени (поскольку оператор Т коммутирует с гамильтонианом при учете всех взаимодействий). Итак, в квантовой теории появляется новый параметр 9, который не зависит от пространственно-временных координат и в этом смысле является новой константой связи.
На несколько более формальном языке можно сказать, что 9 является параметром суперотбора. Тильбертово пространство состояний разбивается на ортогональные друг другу 9 -сектора, в каждом из которых состояния удовлетворяют соотношению (13.60), причем значение параметра 9 одинаково в каждом из секторов и различно для разных секторов. В силу калибровочной инвариантности полного гамильтониана эволюция происходит внутри каждого 9 -сектора независимо. Физические, т. е. калибровочно инвариантные операторы также действуют в каждом 9-секторе независимо, а их матричные элементы между состояниями из различных 9-секторов обращаются в нуль (последнее следует из равенств (Ф»|д|Фу) = ^T-'OT^ =е-,(^ЗД
которые выполняются для калибровочно-инвариантных операторов, удовлетворяющих Т~ХОТ = О). Поэтому достаточно (и необходимо) ограничиться одним У-сектором теории (сектором суперотбора), в котором значение параметра 9 раз и навсегда фиксировано.
Зависимость физических величин от параметра 9, вообще говоря, нетривиальна^. Например, матричные элементы калибровочно инвариантных операторов по вакууму |У) содержат вклады типа
е**(п + 1|О|п),
которые явно зависят от 9. Значение параметра 9 должно определяться экспериментально, как и значения других констант теории (констант связи, масс и т.д.). В теориях со слабой связью зависимость физических величин от 9, как правило, экспоненциально подавлена: этот параметр входит в матричные элементы вместе с факторами типа (п + 1|О|и), которые пропорциональны перекрытию состояний |п) и |n+1), т. е. амплитуде туннелирования между классическими вакуумами п и п + 1, которая экспоненциально мала. В четырехмерных теориях соответствующий фактор подавления пропорционален
g-Simt _ g-Sir2/^,
Отметим, что экспоненциальное подавление эффектов, связанных с 0-структурой вакуума, не имеет общего характера даже в теориях с малой константой связи д. Например, если в теории имеются монополи, то за счет этих эффектов они становятся дионами, приобретая электрический заряд ^ (Виттен, 1979).
Появление параметра 9 весьма существенно в квантовой хромодинамике, где при 0 / 0,7Г возникает нарушение СР-симметрии (’тХоофт, 1976 а, Ь). Это противоречит экспериментам по поиску электрического дипольного момента нейтрона, если 0 > 10-9. Одно из решений указанной «проблемы сильного СР-сохранения» состоит в добавлении новых полей и приводит к предсказанию новой частицы — аксиона (Печчеи, Квинн, 1977; Вайнберг, 1978; Вильчек, 1978).
В электрослабой теории зависимость от параметра 9, связанного с подгруппой 377(2) электрослабой калибровочной группы 377(2) х 77(1), отсутствует.
Отметим, что инстантонам можно дать несколько иную интерпретацию (Мантон, 1983), которая, в действительности, эквивалентна изложенной выше. С точки зрения калибровочно-инвариантных величин топологически различные классические вакуумы эквивалентны, поскольку они отличаются только калибровочным преобразованием. Давайте эти вакуумы отождествим. Тогда ситуация станет аналогичной квантовомеханической модели физического маятника. Именно, в калибровке До = О рассмотрим конфигурационное пространство — множество всех статических конфигураций ДДх) с конечной статической энергией, причем калибровочно-эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное основное состояние — классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пути в этом множестве, ДДх, т), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом вакууме. Теперь т — это параметр вдоль пути; мы будем считать, что он изменяется от 0 до 1. Для каждого из этих путей можно определить величину
118тг28тг2J ^ТоJ ^ТоJ dWik Tv l&TAi • F^YJ dWik Tv l&TAi • F^Y
1
1
8тг2
8тг2
J ^То
J ^То
J dWik Tv l&TAi • F^Y
J dWik Tv l&TAi • F^Y
Эта величина не зависит от выбора параметризации пути (т. е. она инвариантна относительно замены т —> т'(т)) и совпадает с (13.27), если формально положить FOi = ^оЛ- • Так же, как и в предыдущих разделах, убеждаемся, что Q принимает целые значения для путей, начинающихся и оканчивающихся в вакууме; пути р различным Q не могут быть непрерывно продеформированы друг в друга. Таким образом, в конфигурационном пространстве имеются замкнутые нестягиваемые пути, аналогичные полному обороту физического маятника. Статическая энергия вдоль путей с Q О принимает ненулевые значения (поскольку где-то на пути F^ # О), т. е. эволюция Вдоль таких путей возможна при нулевой энергии
только благодаря туннелированию. Этот туннельный процесс и описывается инстантоном. Введение параметра 9 осуществляется, аналогично модели физического маятника, изменением лагранжиана, а именно, добавлением в исходное действие (в пространстве Минковского) слагаемого
— 1^2 J ^ ^IwFpv^ 2D
(сравни с (11.36)). Это слагаемое представляет собой полную производную и не сказывается на классичеких уравнениях поля. В то же время, оно отлично от нуля для инстантона и приводит, так же как в случае маятника, к зависимости физических величин (например, вакуумных средних калибровочно-инвариантных операторов) от 9.
Подчеркнем, наконец, что в четырехмерном пространстве-времени все сказанное в этом и предыдущем разделах, переносится (с незначительными изменениями) на теории с произвольной неабелевой простой калибровочной группой. Обобщение на полупростые калибровочные группы также несложно: инстантоны существуют независимо для каждой простой подгруппы. В то же время, в абелевых четырехмерных теориях нет ни инстантонов, ни связанной с ними структуры вакуума, ни дополнительного параметра 9. '
Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса
Рассмотрим теперь вопрос о высоте барьера, разделяющего классические топологически различные вакуумы. Как отмечалось в разделах 11.2 и 11.3, ключевую роль здесь играет сфалерон — статическое неустойчивое решение классических уравнений движения. Именно, в системах с конечным числом переменных, рассмотренных в главе 11, высота барьера равна значению потенциала в седловой точке (сфалероне). В теории поля нас интересует седловая точка функционала статической энергии.
В четырехмерной теории Янга—Миллса без механизма Хиггса статическая энергия имеет вид
Estat ~ ~ [ ^xTr (Fу).
Масштабный аргумент раздела 7.2 показывает, что функционал Estat не имеет экстремальных конфигураций. Именно, при масштабном преобразовании Л,(х) -^ АЛ, (Ах) имеем #stat -^ AEstat, что и означает отсутствие экстремумов. Иными словами, конфигурации большого размера могут иметь сколь угодно маленькую энергию (если Л,(ж) сосредоточены в области с размером порядка единицы, то Л,-(Аж) — в области размера порядка 1/А). Энергия вдоль пути, соединяющего топологически различные вакуумы, может быть сколь угодно мала.
Чтобы разобраться в том, почему это свойство не приводит к большой вероятности туннелирования, рассмотрим набор конфигураций вида
Ai(x^=0(№WlV, Ао=О,(13.61)
где Qi — калибровочная функция типа (13.58). Для нас важно, что ПДх) топологически нетривиальна и что fit = ^(х/р), где р — произвольный масштаб. При Д = 0 и Д = 1 конфигурации вида (13.61) представляют собой классические вакуумы с п = 0 и n = 1, соответственно. Для конфигураций вида (13.61) имеем
Гц = Д(1 - ^[ОДП"1, П^П"1], и статическая энергия равна
E„ = [^(l-/J)]2 /--^Тг (№$!-', Па^"1])2^.
Сделав замену переменных, х = ру, получим
^Stat=4-^(1-^2C'b
9 Ргде С\ не зависит от р. Аналогично, кинетическая энергия
9 Jдля конфигураций (13.61) имеет вид5и« = Л^2-
где Ci также не зависит от р. Таким образом, если мы ограничимся только полями вида (13.61), то мы получим механическую систему с одной переменной Д(/) и действием (в обычном времени)
S, = I dt(.Blk-B«M) = J «{^С^-^Лв-1)]2}.(13.62)
Отметим, что потенциал в этой системе пропорционален 1/р, так что барьер между состояниями Р = 0 и Д = 1 мал при больших р. В то же время, эффективная масса (коэффициент перед р1 в (13.62)) пропорциональна р. В итоге, туннельная экспонента не зависит от р*.
1 I 1,
[viMVdp= [ jLcv2i.W-iw4g = Lvcs; (
JJ V 99 P9 J
00*0
Пример конфигураций вида (13.61) показывает, что туннельная экспонента конечна несмотря на то, что потенциальный барьер сколь угодно мал и что это свойство связано с ростом кинетического члена при увеличении пространственного размера конфигурации.
Тот факт, что потенциальный барьер между топологически различными вакуумами сколь угодно низок в четырехмерных теориях Янга- Миллса, прямо связан с безмассовостью векторных полей. В теориях с механизмом Хиггса конфигурации калибровочных полей большого размера
имеют большую энергию, и барьер имеет конечную высоту. В этих моделях сфалерон должен существовать (Мантон, 1983; Клинхамер, Мантон, 1984). Наша ближайшая задача — найти структуру сфалерона и оценить высоту барьера в теории с калибровочной группой SU (2) и дублетным полем Хиггса
Эту модель можно рассматривать как предельный случай Стандартной модели, когда калибровочная константа д' группы 17(1) равна нулю, т. е. sin ^ = 0. Эта модель обсуждалась в разделе 6.2; напомним, что с точностью до глобальных преобразований в тривиальном вакууме выполняется
Ар — 0,Ар — 0,1 / ° XЛ \Фо) ’1 / ° XЛ \Фо) ’(13.63)(13.63)где в обозначениях раздела 6.2где в обозначениях раздела 6.2л vacфл vacф
Ар — 0,
Ар — 0,
1 / ° XЛ \Фо) ’
1 / ° XЛ \Фо) ’
(13.63)
(13.63)
где в обозначениях раздела 6.2
где в обозначениях раздела 6.2
л vac
ф
л vac
ф
Малые возмущения вокруг этого вакуума имеют массы
ту = —,ту = —,тх = V2A фотх = V2A фо
ту = —,
ту = —,
тх = V2A фо
тх = V2A фо
2 ч2 чнам будет удобно выбрать начало отсчета энергии так, что в классических вакуумах Е = 0; тогда евклидово действие в модели запишется в виде
2 ч
2 ч
~ A Tr F^ + <D^D^ + А (^ - ^
а статическая энергия равна
-®stat --®stat -d «сd «с-^ Tr^ + W)'D^ + а(^ - i^-^ Tr^ + W)'D^ + а(^ - i^(13.64)(13.64)
-®stat -
-®stat -
d «с
d «с
-^ Tr^ + W)'D^ + а(^ - i^
-^ Tr^ + W)'D^ + а(^ - i^
(13.64)
(13.64)
В калибровке Ло = 0 классические вакуумы представляют собой калиб- ровочно преобразованные поля (13.63)
А<(х) = Пд#\ ф(х) = Пфтас.
Как и в предыдущем разделе, они определяются калибровочной функцией
Q(x) и характеризуются топологическим числом п.
Для того чтобы угадать структуру сфалеронного решения, рассмотрим прежде всего евклидовы конфигурации с
Q = —2^® Тг {FpVFpV) = 1.
В калибровке До = 0 они интерполируют между соседними классическими вакуумами с топологическими числами п(П), отличающимися
на единицу. Нам будет удобно отвлечься от калибровки Ло = 0 и вновь рассмотреть поля АДх) с асимптотикой
АДх) -> шд^ш~г, ж2 = г2-> оо
в четырехмерном евклидовом пространстве, причем ш(х) = стат1а (в обозначениях раздела 13.3). Интересные конфигурации хиггсовского поля должны иметь конечное евклидово действие, поэтому асимптотически
0(я) -> ш^ф^
(только в этом случае ковариантная производная В^ф и скалярный потенциал равны нулю на бесконечно удаленной сфере S3 в четырехмерном пространстве). Если теперь рассмотреть конфигурации вида
АДх) = /(г)шдцШ~{, ф(х) = к^шф™,(13.65)
где / и h зависят только от г = Vx^ = Vx2 + г2 и удовлетворяют очевидным условиям /(оо) = /i(oo) = 1, /(0) = /1(0) = 0, то можно убедиться, что они имеют следующие свойства:
они обладают 50(4)-симметрией относительно вращений четырехмерного пространства, дополненных глобальными преобразованиями из полной глобальной группы теории;
при отражении евклидова времени, т —> -т, конфигурации с Q = 1 переходят в конфигурации с Q = -1 и теми же функциями / и д.
Задача 15. Доказать эти два свойства.
Указание: воспользоваться результатом задачи 11 и дополнительной глобальной 5О(3)-симметрией, рассмотренной в задаче 6 раздела 6.2.
Второе из указанных свойств означает, что в момент т = 0 конфигурация полей находится «посередине» между соседними вакуумами (если ее перевести в калибровку Ло = 0). Поэтому можно надеяться, что с точностью до калибровочного преобразования сфалерон представляет собой конфигурацию типа (13.65), взятую прй т = 0. Разумеется, для нас существенны только пространственные компоненты вектор-потенциала А^х,т = 0). Поскольку при калибровочном преобразовании, переводящем конфигурацию (13.65) в калибровку Ло = О, энергия не меняется, для нахождения высоты барьера делать это калибровочное преобразование нет необходимости. Итак, можно ожидать, что с точностью до калибровочного преобразования сфалеронная конфигурация имеет следующую структуру:
Л;(х) = /(|х|)шОд,Шо \ ф(х) = /1(|х|)о>о0таС,
где ш0(х) = ш(х, г = 0) = -гтаха и, как и раньше, мы обозначили ха = х0/|х|. В явном виде
•^t(«^) — i^ija^jTa
£W|х|
0(|х|) = ф0Ц\х\^-гтахД Р j , (13.66)
причем / и д удовлетворяют условиям
/(оо) = Л(оо) = 1, /(0) = Л(0) = 0.
Поскольку любая конфигурация такой структуры находится (с точностью до калибровочного преобразования) «посередине» между двумя соседними вакуумами, для получения сфалеронного решения необходимо найти минимум статической энергии среди конфигураций вида (13.66): в этом минимуме высота барьера будет минимальна, отрицательная же мода должна выводить из класса конфигураций (13.66), т. е. иметь другую пространственную и групповую структуру.
Задача 16. Показать, что подстановка (13.66) проходит через уравнения поля, т. е. статические уравнения поля сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций /(|х|) и h(|x|). Показать, что эти уравнения могут быть получены экстремизацией функционала энергии (13.64) в классе конфигураций вида (13.66). Отметим, что это свойство является следствием 50(4)-симметрии полей (13.65) (которая на поверхности т = 0 приводит к 5О(3)-симметрии полей (13.66)).
Приведенные рассуждения относительно возможности поиска сфа- лерона в виде (13.66) отнюдь не являются сколько-нибудь строгими. Решение уравнений поля с подстановкой (13.66) относительно просто найти численно \ Анализ же количества отрицательных мод вокруг этого решения представляет собой гораздо более сложную задачу. Было показано с помощью численных расчетов (Яффе, 1989), что среди флуктуаций вокруг решения вида (13.66) действительно имеется ровно одна отрицательная мода при тх < 12ту; при таком соотношении между параметрами модели сфалерон действительно имеет вид (13.66). В противном случае сфалерон искать в виде (13.66) нельзя. Отметим, что в электрослабой теории область m^ < 12m у охватывает всю физически интересную область значений массы бозона Хиггса.
Размерная оценка статической энергии сфалерона дословно повторяет оценку массы магнитного монополя, приведенную в разделе 9.1. Традиционно энергию сфалерона записывают в виде
(13.67)(13.67)2ту
(13.67)
(13.67)
-®sph = Лу
где ау = £, а функция В изменяется в пределах 1,56 4- 2,72 при изменении тх от малых до больших значений (это — результат численного анализа (Клинхамер, Мантон, 1984)).
Задача 17. Оценить энергию сфалерона вариационным методом, выбрав в качестве /(Iх!) функцию, соответствующую инстантонной конфигурации,
х2
J х^р2’
а в качестве А(]х|) взяв функцию
д/х2 + р2
Считать р2 варьируемым параметром.
Как уже неоднократно подчеркивалось, сфалероны полезны для описания процессов перехода между топологически различными вакуумами при конечных температурах. Мы обсудим этот вопрос в разделе 4.4 книги II, а здесь лишь укажем, что такие процессы представляют значительный интерес для космологии.
В заключение этого раздела отметим, что масштабный аргумент раздела 7.2 запрещает существование инстантонов в четырехмерных теориях с механизмом Хиггса. Это не означает, что туннелирование между топологически различными вакуумами в таких теориях отсутствует, однако его анализ требует специальных методов (’тХоофт, 1976b; Аффлек, 1981). Ограничение (13.29) имеет в теориях Янга—Миллса—Хиггса характер строгого неравенства,' так что в любом случае в теориях с малой константой связи вероятность туннельных процессов инстантонного типа экспоненциально мала,
( 16тг2 ]
Г < ехр <г- >.
I )
Дополнительные задачи к части II
Задача 1. Нетопологический солитон ^.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей у/1 в (1 + 1)-мерном пространстве-времени. Лагранжиан выберем в виде
£ = 5 Е W - v,№ - VM а
где
г°^) = ^ (53 vV - v2) , Vi(^) = -е^1 •
Отметим, что при е=0 лагранжиан инвариантен относительно глобальной О(2)-сим- метрии. Слагаемое Vi(y>) в потенциале явно нарушает эту симметрию. '
Найти размерности констант A, v и е.
Найти основное состояние и спектр малых возмущений около него при малых е.
Показать, что при достаточно малых е в модели имеется солитон — статический локальный минимум функционала энергии, являющийся решением уравнений поля и имеющий конечную энергию.
Показать, что этот солитон можно продеформировать в основное состояние так, что все промежуточные полевые конфигурации будут иметь конечную энергию. Таким образом, солитон не имеёт топологической природы.
Оценить высоту энергетического барьера между солитоном и основным состоянием при малых е.
Задача 2. Потенциал взаимодействия вихрей.
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в (2+ 1)-мерном пространстве-времени, и выберем тн ^ mv ^тн и mv — массы хиггсовского и векторного бозонов).
Найти энергию взаимодействия двух вихрей, находящихся на расстоянии т друг от друга, в следующих случаях:
г > туХ, большие расстояния;
туХ ^ г ^ mg, малые расстояния; в этом случае ограничиться логарифмической точностью, т. е. считать
|1п (Г7ИК)| » 1, |1п (гтя)| > 1.
То же для вихря и антивихря.
^ В четырехмерном пространстве-времени такому солитону соответствует доменная стенка. Стенки с такой структурой возникают в некоторых моделях с аксионами и представляют космологический интерес (Виленкин, Эверетт, 1982; Киббл, Лазаридес, Шафи, 1982).
Задача 3. Многоинстантонные решения ('тХоофт, 1976 b; Джекив, Нол, Ребби, 1977).
Рассмотрим теорию Янга—Миллса в евклидовом 4-мерном пространстве-времени. Выберем следующую подстановку:
Лд = ——ту^ 9^(111 ф),
где ф(хц') — действительная функция.
Показать, что уравнения самодуальности Е^, = Е^, сводятся к четырехмерному уравнению Лапласа
МиФ = О
всюду, где ф ^ 0.
Показать, что особенности в функции ф типа 1/ж2 приводят к чисто калибровочным особенностям в вектор-потенциале Аац, т.е. к таким особенностям, которые можно устранить сингулярным калибровочным преобразованием.
Найти n-инстантонные решения указанной структуры. Показать явным вычислением, что для них
J F^F^ dS ос п.
Найти в явном виде калибровочное преобразование, приводящее полученное в п. 3 решение с n = 1 к стандартному виду, приведенному в основном тексте.
Задача 4. Сфалерон в абелевой модели Хиггса (Бочкарев, Шапошников, 1987;
Григорьев, Рубаков, 1988).
Найти сфалерон в абелевой модели Хиггса в (1 + 1)-мерном пространстве-времени.
Задача 5. Теорема Коулмена для скалярных полей.
Рассмотрим теорию в (n+ 1)-мерном пространстве-времени, содержащую только скалярное поле у°. Пусть действие инвариантно относительно пространственных вращений
ж* -4 Л’/А) ж2,
где А обозначает п(п - 1)/2 параметров вращений. Пусть, кроме того, действие инвариантно относительно группы G глобальных преобразований
ф° -4 wabV\
где а?[у] — представление группы G (возможно, приводимое). Пусть 5(A) — вложение группы SO(n) в G (считаем, что G содержит в себе группу 50 (п) в качестве подгруппы). Рассмотрим комбинированные преобразования: пространственные вращения, дополненные глобальными преобразованиями:
У(х) -4 ш[5(А)]у?(Л(А)х).(А2.1)
Пусть C“Mj(n‘) — полный набор инвариантов относительно таких преобразований (индекс М = \,...,N нумерует эти инварианты, а п* = ж’/г — единичный радиус-вектор в n-мерном пространстве). Рассмотрим конфигурации полей вида
N
У V) = £ С^п'Ш (Г),(А2.2)
М=1
где функции /м зависят только от г. Вычисленный на таких конфигурациях функционал энергии
Е«Д1м(г)] = Е ^у? = У^ С(м)/м]
является функционалом от функций /м(т) и представляет собой однократный интеграл по радиусу.
Показать, что исходные статические уравнения поля при подстановке в них полей вида (А2.2) превращаются в N обыкновенных дифференциальных уравнений на функции /м(г) (т. е., что подстановка (А2.2) «проходит» через уравнения поля).
Показать, что эти N уравнений эквивалентны уравнениям, получаемым из условия экстремума функционала ^^[/^(г)]. Таким образом, для наиболее общих сферически-симметричных подстановок (в смысле (А2.1)) можно сначала вычислить функционал энергии (или действие), а затем получать уравнения для неизвестных радиальных функций как условия его экстремума.
Задача 6. Рассеяние в поле вихря (Алфорд, Вильчек, 1989).
Рассмотрим вихрь —- статический солитон в абелевой модели Хиггса в (2+1)-мер- ном пространстве-времени. Обозначим конфигурацию вихря А^(х), у?^(х). Добавим в модель еще одно комплексное скалярное поле £ с зарядом q и лагранжианом где
ЕД = дД — ieqA^.
Будем считать поля А^\ у?^ внешними.
Записать уравнение для поля $ во внешнем поле вихря. Найти разложение его решений по собственным функциям энергии Е и углового момента L = -t^, где 9 — полярный угол на плоскости (ж1, ж2). Найти соответствующие радиальные уравнения и их решения вдали от центра вихря при низких энергиях Е < mv, тн, т^.
В унитарной калибровке, где у/к\х) действительное, поле ^(х, t) вдали от вихря можно интерпретировать (по крайней мере при низких энергиях) как волновую функцию частицы. Найти сечение рассеяния этой частицы на вихре на фиксированный угол 9 при низких энергиях и при произвольных q.
Задача 7. Уравнение Клейна—Гордона в поле монополя.
Пусть А“(х), ф°(х) — классическое поле монополя в 5У(2)-модели, рассмотренное в основном тексте. Введем в теорию еще одно скалярное поле £(ж) — дублет относительно калибровочной группы SU^ — с лагранжианом
где
л,4 = (б„-19ул;)с
g — калибровочная константа связи.
Считая поле монополя внешним, записать уравнение для поля £ (схематически это уравнение можно записать в виде К£ = 0; требуется найти оператор К). Используя тот факт, что поле монополя инвариантно относительно пространственных вращений,
дополненных калибровочными преобразованиями, найти аналог оператора углового момента (обычно L = [г х р], р = -г Д), который коммутирует с оператором К. Найти явный вид низших «монопольных гармоник», т. е. собственных функций аналога углового момента с наименьшим собственным значением.
Рассматривая решения для поля £ с фиксированной энергией, £ = е~,Еа:0^(х) записать систему радиальных уравнений для низших монопольных гармоник. Найти решение этой системы при Е < mv,mH (m^ и тн — масса векторного и хиггсовского поля) вдали от ядра монополя, т > ту\т^.
Задача 8. Евклидов пузырь в модели у?4 (Фубини, 1976; Липатов, 1977).
Рассмотрим модель одного скалярного поля в (З-Ц)-мерном пространстве-времени с лагранжианом
£ = ^д^у?+ -/.
Скалярный потенциал У(у?) = -^4 неограничен снизу, поэтому основное состояние в модели отсутствует. Грубо говоря, основное состояние соответствует полю у? = оо. Тем не менее, можно задать следующие вопросы:
Является ли состояние у? = О устойчивым относительно малых возмущений с конечной энергией?
Если да, найти в явном виде евклидов пузырь, соответствующий распаду состояния у? = О туннельным образом. Считая, что Л <С 1, найти квазиклассическую экспоненту для вероятности распада.
Задача 9. Рассмотренное в разделе 7.4 решение в модели n-поля можно рассматривать и как инстантон в двумерном евклидовом пространстве-времени.
Дать интерпретацию этого решения в терминах туннельного процесса, происходящего в теории n-поля в двумерном пространстве-времени Минковского, действие которой имеет вид
8 = J d х ^j (дд^вУд^в),
з
^ = 0,1, а =1,2,3, ^фафа = !•
а=1
Видоизменим эту двумерную модель, добавив к действию слагаемое
&S = - J d2x А(уз — I)2,
где А — действительный параметр. Найти классический вакуум и сфалерон в модели с действием (5 + AS) (Моттола, Випф, 1989).
Литературные указания
Сначала мы приведем список учебников, монографий и обзоров, относящихся к теме данной книги. Этот список предназначен для первоначальной ориентации читателя и не претендует на полноту.
Затем мы перечисляем статьи, на которые имеются ссылки в тексте книги. Этот перечень составлен в алфавитном порядке. Более подробные ссылки можно найти в приведенных монографиях и обзорах.
Учебники, монографии, обзоры
При чтении этой книги полезно пользоваться книгой: Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории. М.: КомКнига, 2005.
К части I.
Вопросы, которым посвящена часть I, рассматриваются во многих учебниках и монографиях, в том числе:
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1984.
Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: В 2 т. М.: Мир, 1984.
Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: УРСС, 2005.
Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. М.: ИТФ им. Ландау Л. Д., 1994.
Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.
Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. М.: Мир, 1984.
Славное А. А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1988.
Ченг T-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М.: Мир, 1987.
Peskin М. Е., Schroeder D. V. An Introduction to Quantum Field Theory. Reading: Addison-Wesley, 1995.
Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.; Vol. 2: Modem Applications. Ibid., 1996; Vol. 3: Supersymmetry. Ibid., 2000.
В качестве исторических обзоров можно порекомендовать:
O’Raifeartaigh L. The Dawning of Gauge Theory Ц Salamfestschrift, eds. A. Ali, J. Ellis, S. Randjbar-Daemi. Singapore: World Scientific, 1994, p. 577.
Kibble W. В. T. Genesis of Unified Gauge Theories. Ibid., p. 592.
Tavkhelidze A. N. Color, Colored Quarks, Quantum Chromodynamics // Quarks- 94, Proc. Sth International Seminar, eds. D. Yu. Grigoriev, et al. Singapore: World Scientific, 1995, p. 3.
Ниже помещены ссылки на учебники, монографии и обзоры, относящиеся к отдельным главам.
Главы 1, 2.
Калибровочная инвариантность классической электродинамики обсуждается во многих учебниках, например:
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. 2: Теория поля. М.: Наука, 1967.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.
Chambers LI. G. An Introduction to the Mathematics of Electricity and Magnetism. London: Chapman and Hall, 1973.
Глава 3.
Книги по теории групп, написанные для физиков:
Balachandran А. Р., Trahern С. G. Lectures on Group Theory for Physicists. Napoli: Bibliopolis, 1984.
Isham C. J. Lectures on Groups and Vector Spaces for Physicists. Singapore: World Scientific, 1984.
Jin-Quan Chen. Group Representation Theory for Physicists. Singapore: World Scientific, 1989.•
Многочисленные конкретные результаты из теории простых трупп Ли и их представлений содержатся в обзоре:
Slansky R. Group Theory for Unified Model Building. Phys. Reports, 79, p. 1, 1981.
Главы 4—6.
Обзоры:
Abers E. S., Lee B. W. Gauge Theories. Phys. Reports, 9, p. 1, 1973 (имеется перевод в сборнике «Квантовая теория калибровочных полей», М.: Мир, 1977).
Coleman S. Secret Symmetry: An Introduction to Spontaneous Symmetry Breakdown and Gauge Fields. In: Laws of Hadronic Matter, Proc. 1973 International School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York: Academic Press, 1975 (имеется перевод в сборнике «Квантовая теория калибровочных полей», М.: Мир, 1977).
К части II.
Солитоны и инстантоны в теории поля рассматриваются в книге Полякова [5] и в книгах:
Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1991.-
Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой -геории поля. М.: Мир, 1985.
Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989.
Глава 7.
Обзоры:
Coleman S. Classical Lumps and Their Quantum Descendants // New Phenomena in Subnuclear Physics, Proc. 1975 International School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York: Plenum Press, 1977.
Фаддеев Л.Д. Солитоны // Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля, материалы 4 Международного совещания по нелокальным теориям поля. Дубна: ОИЯИ, 1976.
Faddeev L. D., Korepin V. Е. Quantum Theory of Solitons. Phys. Reports, 42, p. 1, 1978.-
Jackiw R. Quantum Meaning of Classical Field Theory. Rev. Mod. Phys., 49, p. 681, 1977.
Vilenkin A. Cosmic strings and domain walls. Phys. Reports, 121, p. 263, 1985.
Вихри в сверхпроводниках рассматриваются в учебниках по физике конденсированных сред, например, в книге:
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. 2. М.: Наука, 1978.
Глава 8.
Изложение гомотопической топологии для физиков содержится в Книге Шварца [27].
Глава 9.
Кроме обзоров [28, 31], можно порекомендовать обзор:
Goddard Р, Olive D. I. New Developments in the Theory of Magnetic Monopoles. Rep. Prog. Phys., 41, p. 1357, 1978.
Глава 10.
Обзор:
Lee T.D., Pang Y. Non-Topological Solitons. Phys. Reports, 221, p. 251, 1992.
Главы 11, 12.
Обзор:
Coleman S. The uses of Instantons // The Whys of Subnuclear Physics, Proc. 1977 International School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York: Plenum Press, 1979.
Теория распада ложного вакуума при нулевых и отличных от нуля температурах и ее приложения в космологии рассматриваются в книгах:
Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука, 1990.
Kolb Е. Ж, Turner М. S. The Early Universe. New York: Addison-Wesley, 1990.
Глава 13.
Обзор Коулмена [36] и обзоры:
Вайнштейн А. И., Захаров В. И., Новиков В. А., Шифман М. А. Инстантонная азбука. УФН, 136, с. 553, 1982.
Jackiw R. Introduction to Yang—Mills Quantum Theory. Rev. Mod. Phys., 52, p.661, 1980.
Статьи
Абрикосов A. A. (1957) ЖЭТФ, 32, c. 1442.
Adkins G. S., Nappi C.R., Witten E. (1983) Nucl. Phys., B228, p. 552.
Adler S.L. (1969) Phys. Rev., 177, p. 2426.
Affleck I. (1981) Nucl. Phys., B191, p. 429.
Aganagic M., GopakumarR., Minwalla S., StromingerA. (2001) IHEP, 0104, p. 001.
Akama A. (1982) In: Proc, of Symposium on Gauge Theory and Gravitation, Nara, 1982.
Alford M.G., Wilczek F (1989) Phys. Rev. Lett., 62, p. 1071.
Ambjorn J., Greensite J., Peterson C. (1983) Nucl. Phys., B221, p. 381.
Ambjorn J., Rubakov V.A. (1985) Nucl. Phys., B256, p.434.
Anderson P. W. (1963) Phys. Rev., 130, p. 439.
Ansourian M. (1977) Phys. Lett., 70B, p. 301.
Antoniadis L, Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G.R. (1998) Phys. Lett., B436, p. 257.
Arafune J., Freund P. G. O., Goebel C. J. (1975) J. Math. Phys., 16, p. 433.
Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. R.'(1998) Phys. Lett., B429, p. 263.
Bak D. (2000) Phys. Lett., B495, p. 251.
Bak D., Lee K., Park J. H (2001) Phys. Rev., D63, p. 125010.
Balitsky 1.1., Braun V. M. (1993) Phys. Rev., D47, p. 1879.
Banks T., Bender С. M„ Wu T. T. (1973) Phys. Rev., D8, p. 3346.
Banks T., Bender С. M. (1973) Phys. Rev, D8, p. 3366.
Banks T., Farrar G., Dine M., Karabali D., Sakita B. (1990) Nucl. Phys., B347, p. 581.
Banks T„ Rabinovici E. (1979) Nucl. Phys., B160, p. 349.
Белавин А. А., Поляков A. M. (1975) Письма в ЖЭТФ, 22, с. 503.
Belavin A. A., Polyakov А. М., Schwarz А. 5., Tyupkin Yu.S. (1975) Phys. Lett., 59В, p. 85.
Bell J. S., Jackiw R. (1969) Nuovo Cimento, A60, p. 47.
Bezrukov F, Rebbi C., Levkov D., Rubakov V., Tinyakov P. (2003) Phys. Rev, D68, p. 036005.
Bochkarev A. I., Shaposhnikov M.E. (1987) Mod. Phys. Lett., A2, p. 991.
Боголюбов H. H, Струминский Б. В., Тавхелидзе A. H. (1965) Препринт ОИЯИ Д - 1968.
Богомольный Е. Б. (1976) ЯФ, 24, с. 861.
Boguta J. (1983) Phys. Rev. Lett, 50, p. 148.
Brihaye У., Grigoriev D. Yu., Rubakov V.A., Tchrakian D.H. (2003) Phys. Rev, D67,p. 034004."
Брийе И., Рубаков В. А., ЧракянД., Циммершид Ф. (2001) ТМФ, 128, с, 361.
Brown L.S., Carlin R.D., Lee С. (1977) Phys. Rev, D16, p. 417.
Вакс В. Г., Ларкин А. И. (1961) ЖЭТФ, 40, с. 282.
Владимиров В. С., Жареное В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000.
Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. М.: УРСС, 1998.
Волошин М. Б., Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б. (1974) ЯФ, 20, с. 1229..
Cabbibo N. (1963) Phys. Rev Lett., 10, p. 531.
Callan C.G. (1982) Phys. Rev, D25, p. 2141; ibid., D26, p. 2058; Nucl. Phys., B212,p. 391.
Callan C.G, Coleman S. (1977) Phys. Rev, D16, p. 1762.
Callan C. G., Dashen R. F., Gross D. J. (1976) Phys. Lett., 63B, p. 334.
Callan C. G., Dashen R. F., Gross D. J. (1978) Phys. Rev, D17, p. 2717.
Callan C.G., Witten E. (1984) Nucl. Phys., B239, p. 161.
Coleman S. (1977) Phys. Rev, D15, p. 2929.
Coleman S. (1985) Nucl. Phys., B262, p. 263.
Coleman S., Glaser V., Martin A. (1978) Commun. Math. Phys., 58, p. 211. "
Coleman S., Weinberg E. (1973) Phys. Rev, D7, p. 1888.
Dashen R., Hasslacher B., NeveuA. (1974a) Phys. Rev, D10, p. 4130.
Dashen R., Hasslacher B., NeveuA. (1974b) Phys. Rev, D10, p. 4138.
Dereli T., Swank J. H., Swank L. J. (1975) Phys. Rev, D12, p. 3541.
Deser S., Jackiw R., Templeton S. (1982) Annals of Physics, 140, p. 372.
Derrick G.H. (1964) J. Math. Phys., 5, p. 1252.
D’HokerE., Farhi E. (1984) Nucl. Phys., B241, p. 109.
Dolan L., Jackiw R. (1974) Phys. Rev, D9, p. 3320.
Dubovsky S. L., Rubakov V.A., Tinyakov P. G. (2000) IHEP, 0008, p. 041.
Dubovsky S. L, Rubakov V.A., Sibiryakov S. M. (2002) IHEP, 0201, p. 037.
Dubovsky S.L., Sibiryakov S.M. (2003) Nucl. Phys., B664, p. 407.
Dvali G., KusenkoA., Shaposhnikov M.E. (1997) Phys. Lett, B417, p. 99.
Dvali G., Shifman M.A. (1997) Phys. Lett., B396, p. 64.
Englert F., Brout R. (1964) Phys. Rev Lett., 13, p. 321.
Espinosa O. (1990) Nucl. Phys., B343, p. 310.
Fradkin E., Shenker S. (1979) Phys. Rev, D19, p. 3682.
Frere J.-M., Libanov M. V., Troitsky S. V. (2001) Phys. Lett., B512, p. 169.
Friedberg R., Lee T.D. (1977) Phys. Rev, D15, p. 1694; ibid., D16, p. 1096.
Friedberg R., Lee T.D., Sirlin A. (1976) Phys. Rev, D13, p. 2739; Nucl. Phys., B115, p. 1; ibid., p. 32.
Fritzsch H., Gell-Mann M., Leutwyler H. (1973) Phys. Lett, 47B, p. 365.
Fubini S. (1976) Nuovo Cimento, 34A, p. 521.
Furuuchi K. (2001) IHEP, 0103, p. 033.
Georgi H, Glashow S.L. (1972) Phys. Rev. Lett., 28, p. 1494.
Georgi Н, Glashow S.L. (1974) Phys. Rev. Lett, 32, p. 438.
Glashow S. L. (1961) Nucl. Phys., 22, p. 579.
Goldstone J. (1961) Nuovo Cimento, 19, p. 154.
Gopakumar R., S, Minwalla, StromingerA. (2000) IHEP, 0005, p. 020.
Gribov И N. (1976) unpublished.
Grigoriev D. Yu., Rubakov V.A. (1988) Nucl. Phys., B299, p. 67.
Gross D. J., Nekrasov N. A. (2001) IHEP, 0103, p. 044.
Gross D. J., Wilczek F. (1973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1343.
Guralnik G. S., Hagen C. R., Kibble T. W. B. (1964) Phys. Rev. Lett, 13, p. 585.
Зельдович Я. Б., Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б. (1974) ЖЭТФ, 67, с. 3.
Han М. Y, Nambu К (1965) Phys. Rev., 139В, р. 1006.
Harvey LA., Kraus R, Larsen F. (2000) IHEP, 0012, p. 024.
Hasenfratz. R, ’tHooft G. (1976) Phys. Rev. Lett., 36, p. 1119.
Higgs P. W. (1964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 508.
’tHooft G. (1974) Nucl. Phys., 79, p. 276.
’tHooft G. (1976a) Phys. Rev. Lett, 37, p. 8.
’tHooft G. (1976b) Phys. Rev., D14, p. 3432.
Horvath Z, Lechtenfeld 0., WolfM.^T^ IHEP, 1212, p. 060.
Jackiw R., Rebbi C. (1976a) Phys. Rev. Lett, 37, p. 172.
Jackiw R., Rebbi C. (1976b) Phys. Rev, D13, p. 3398.
Jackiw R., Rebbi C. (1977) Phys. Rev, D6, p. 1052.
Jackiw R., Nohl C„ Rebbi C. (1977) Phys. Rev, D15, p. 1642.
Jackiw R., Rossi R (1981) Nucl. Phys., B190, p. 681.
Julia B., Zee A. (1975) Phys. Rev, Dll, p. 2227.
Kajantie K, Laine M., Rummukainen K, Shaposhnikov M.E. (1996) Phys. Rev. Lett., 77, p. 2887.
Khlebnikov S. Yu., Rubakov V.A., Tinyakov RG. (1990) Mod. Phys. Lett., A5, p.1983.
Kibble TW„ LazaridesG., Shafi Q. (1982) Phys. Rev, D26, p. 435.
Киржниц Д.А. (1972) Письма в ЖЭТФ, 15, с. 745.
Kirzhnits D. A., Linde A. D. (1972) Phys. Lett., 72B, p. 471.
Kirzhnits D. A., Linde A. D. (1976) Annals of Physics, 101, p. 195.
Kiskis J. (1977) Phys. Rev, D15, p. 2329.
Kiskis J. (1978) Phys. Rev, D18, p. 3690.
Klinkhamer F. R., Manton N. S. (1984) Phys. Rev, D30, p. 2212.
Kobayashi M., Maskawa К (1973) Prog. Theor. Phys., 46, p. 652.
Krasnikov N V., Rubakov V.A., Tokarev V. F. (1979) J. of Phys., A12, p. L343.
Kusenko A. (1997) Phys. Lett, B405, p. 108.
Кузьмин В. A. (1970) Письма в ЖЭТФ, 13, с. 335.
Kuzmin V.A., Rubakov V.A., Shaposhnikov M. E. (1985) Phys. Lett., 155B, p. 36.
Kuznetsov A. N., Tinyakov RG. (1997) Phys. Rev, D56, p. 1156.
Липатов Л.Н. (1977) ЖЭТФ, 72, с. 411.
Lowenstein J.H, Swieca J. A. (1971) Annals of Physics, 68, p. 172.
Maggiore M., Shifman M. (1992) Nucl. Phys., B365, p. 161.
Manton N.S. (1983) Phys. Rev., D28, p.2019.
Марков M.A. (1940) ЖЭТФ, 10, c. 1313.
ИЗ. Марков M.A. (1951) ЖЭТФ, 21, c. 11.
Matveev V.A., Rubakov V.A., Tavkhelidze A. N., Tokarev V.E (1987) Nucl. Phys., B282, p. 700.
McLerran L, Vainshtein A., Voloshin M. (1990) Phys. Rev., D42, p. 171.
Miyamoto Y. (1965) Prog. Theor. Phys. SuppL, Extra No., p. 187.
Монастырский M. И., Переломов A. M. (1975) Письма в ЖЭТФ, 21, с. 94.
Mottola Е., Wipf А. (1989) Phys. Rev., D39, p. 588.
Nambu Y. (1960) Phys. Rev. Lett., 4, p. 380; Phys. Rev., 117, p. 648.
Nekrasov N, Schwarz A. (1998) Commun. Math. Phys., 198, p. 689.
Nielsen H. B., Ninomiya M. (1983) Phys. Lett., 130B, p. 389.
Nielsen H. B„ Olesen P. (1973) Nucl. Phys., B61, p. 45.
Nielsen N.K., Schroer B. (1977a) Nucl. Phys., B120, p. 62.
Nielsen N.K., Schroer В. (1977b) Nucl. Phys., B127, p. 493.
Oda I. (2000) Phys. Lett., B496, p. 113.
Patrascioiu A. (1979) Phys. Rev., D20, p. 491.
Peccei R.D., Quinn H. (1977) Phys. Rev. Lett., 38, p. 1440.
Polychronakos A. P. (2000) Phys. Lett., B495, p. 407.
PolitzerH.D. (1973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1346.
Поляков A. M. (1974) Письма в ЖЭТФ, 20, с. 430.
Porrati М. (1990) Nucl. Phys., B347, p. 371.
Prasad M. К., Sommerfield С. M. (1975) Phys. Rev. Lett., 35, p. 760.
Randall L., Sundrum R. (1999) Phys. Rev. Lett, 83, p. 3370.
Rebbl C., Singleton R. (1996) Phys. Rev., D54, p. 1020.
RingwaldA. (1988) Phys. Lett, 213B, p. 61.
RingwaldA. (1990) Nucl. Phys., B330, p. 1.
RingwaldA. (2003) IHEP, 0310, p.001.
RingwaldA., Schrempp F. (1994) In: Proc. International Seminar “Quarks-94”, eds.
D. Yu. Grigoriev et.al. — Singapore: World Scientific, 1995.
Рубаков В. A. (1981) Письма в ЖЭТФ, 33, с. 658.
Rubakov VA. (1982) Nucl. Phys., B203, p. 311.
Rubakov V. A. (1986) Prog. Theor. Phys., 75, p. 366.
Rubakov V.A., Shaposhnikov M.E. (1983) Phys. Lett., B125, p. 136.
Rubakov V.A., Son D. T., Tinyakov P.G. (1992) Phys. Lett, B287, p. 342.
Salam A. (1968) In: Elementary Particle Theory. Proc 1968 Nobel Symposium, ed. A. Svartholm. — Stockholm: Lerum.
Сахаров А.Д. (1967) Письма в ЖЭТФ, 5, с. 32.
SeibergN, Witten Е. (1999) IHEP, 9909, р. 032.
Skyrme T.H.R. (1961) Proc. Roy. Soc., A260, p. 127.
Snyder H.S. (1947a) Phys. Rev., 71, p. 68.
Snyder H. S. (1947b) Phys. Rev., 72, p. 38.
Soni V. (1980) Phys. Lett., 93B, p. 101.
Schwarz A. S. (1977) Phys. Lett., 67B, p. 172.
Schwinger J. (1962) Phys. Rev., 125, p.397.
Тюпкин Ю. С., Фатеев В. А., Шварц А. С. (1975) Письма в ЖЭТФ, 21, с. 91.
Vilenkin A., Everett А. Е. (1982) Phys. Rev. Lett., 48, р. 1867.
Weinberg S. (1967) Phys. Rev. Lett., 19, p. 1264.
Weinberg S. (1974) Phys. Rev, D9, p. 3357.
Weinberg S. (1978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 223.
Wilc^ekF. (1978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 279.
Witten E. (1979) Phys. Lett, B86, p. 283.
Witten E. (1982) Phys. Lett., 117B, p. 324.
Witten E. (1983) Nucl. Phys., B223, p. 433.
Witten E. (1985) Nucl. Phys., B249, p. 557.
Wu T. T., Yang C. N. (1975) Phys. Rev, D12, p. 3845.
Yaffe L. (1989) Phys. Rev, D40, p. 3463.
Yang C. N, Mills R. L. (1954) Phys. Rev, 96, p. 1.
Zakharov V.I. (1991) Phys. Rev. Lett, 67, p. 3650.
Zakharov V.I. (1992) Nucl. Phys., B371, p.637.
Предметный указатель
Ааронова—Бома потенциал 237, 238
— эффект 11
Абрикосова— Нильсена— Олесена
вихрь 257
аксион 273, 280
алгебра Ли SO(n) 45
SU(n) 44, 56
[7(2) 46
[7(3) 46
[7(n) 44.
полупростая 54
простая 54
, размерность 45
, структурные константы 46
антиинстантон 235, 259, 265, 269
антикинк 141, 249
Барионное число 69, 212, 217
блоховская волна 235, 236
Богомольного уравнения 200
Богомольного—Прасада—Соммер-
филда предел 199
бризер 142, 143
Бьянки тождество 10, 73, 200, 263
Бэклунда преобразование 142
Becca—Зумино—Виттена действие 102
Гаусса условие 78, 79, 253, 254
1Ьлл-Манна матрицы 46
генератор алгебры Ли 45
нарушенный 93, 95, 96, 117, 119
ненарушенный 89, 90, 119, 120, 131
Гйнзбурга—Ландау гамильтониан 157
Глэшоу—Вайнберга—Салама теория 119
глюон 80
гомотопический класс 170
гомотопия пространств 171
группа ОЦп, С) 36
ОЦп, Я) 36
О(п) 37
SO(n) 37
SU(n) 37
[7(1) 28, 35
[7(n) 36
- Zn 35, 36
— абелева 35
— Ли простая 54
— матричная 42
— неабелева 36
стандартной модели, SU^ х [7(1) 119
цвета 5[7(3)с 60
, центр 37
электромагнетизма, [7(1)ет 186, 199
Джорджи—Глэшоу модель 131, 185
дилатационная симметрия 128, 129
Дирака монополь 197
дисперсии закон 17
доменная стенка 142, 280
Евклидова энергия 220, 225
евклидово время 220, 253
— действие 219, 221, 225, 238
— уравнение Гамильтона—Якоби 227, 234
Заряд магнитный 191, 193
— топологический 141, 142
Изоспин 163
импульс поля 10, 33
Калибровка Ао = 0 14, 79
— аксиальная 14, 79
— гамильтонова 79
— кулоновская 13, 14, 79
— Лоренца 14, 22, 79
— унитарная 114-116, 186, 194
калибровочная константа связи 66, 68
калибровочное преобразование 10,
14, 62, 63
каустика 227, 228
квазиимпульс 235, 236
квазиклассическая экспонента
распада 221, 229, 283
расщепления уровней 234
квантовая теория поля 241
— хромодинамика, КХД 99
кварки 80, 104, 163
киральная симметрия 99
классический вакуум 88, 92
абелевой модели Хиггса 259
, множество 99, 140, 187, 198
Клейна—Гордона—Фока уравнение 16
в поле монополя 282
, общее решение 17, 18
ковариантная производная 27, 63, 64, 69, 73
коммутации операция 44
Коулмена теорема 153, 166
критический пузырь 243, 247
Лагранжиан взаимодействия 24
— калибровочного поля 64
— скалярного поля, калибровочно инвариантный 70
— Черна—Саймонса 130
лептон 123
лептонное число 212
Лиувилля модель 129
Магнитный поток вихря, квантование 156, 157 масса поля 17, 19 , векторного 110 массовая матрица 91, 128 многоинстантонные решения 281 многомонопольные решения 202 модель SU(5) 131 модули 212
Нейтрино 16 нелинейная реализация симметрии 99
нулевая мода вращательная 139 трансляционная 139
Обобщенное вращение 152, 189 однородное пространство 39, 180 основное состояние 81 отрицательная мода вокруг сфалерона 238, 278 отскоковое решение 220, 244 , аналитическое продолжение 229, 230, 246
Паули матрицы 46, 58 подалгебра 47 — инвариантная 47 подгруппа 35 — ненарушенная 89 —, нормальный делитель 41 — стационарная 40 классического вакуума 92 потенциал скалярного поля 24 представление группы Ли действительное 48
неприводимое 50 присоединенное 51 сопряженное 50 унитарное 48
фундаментальное 50 проблема сильного СР-сохранения 273
псевдоголдстоуновский бозон 129
Самодуальности уравнение 263, 264
сигма-модель 99
синус-Гордон 142
Скирма модель 146, 164
скирмовский член 164
слабая связь 133
слабый гиперзаряд 119
— угол смешивания 122 смешивание полей 128 солитон, масса 136, 155, 190
—, размер 136, 156, 190
— статический 132
—, устойчивость 137
степень отображения 102, 159, 177, 195, 256
струна 156
сфалерон 218, 222, 231, 238, 243, 247, 252, 274
— в абелевой модели Хиггса 281 сфероид 174
Тензор напряженности дуальный 262 неабелева поля 63 электромагнитного поля 10 — энергии-импульса 29, 33 калибровочного поля 76 симметричный 33 скалярного поля 76
тепловые скачки 248
ток неабелев 73
—, сохранение 21, 22, 26, 31
— топологический 141
топологически массивные теории 130 топологический сектор 143, 165, 167,
187
топологическое число 151, 156, 159-162, 165, 177
вакуума 256
евклидова калибровочного поля 261
трансляции 24, 29
’тХоофта— Полякова монополь 185
’тХоофта символы 263'
Фактор-пространство 39
Хиггсовский бозон 111, 117, 199
хиггсовское поле 60, 111
Число наматываний 149, 150
Энергия поля 10, 18, 33
калибровочного 76
статическая 242
п-поле 130, 283
6-состояния 238
ф-шар 204
W* -бозоны 80, 122
Я-бозон 80, 122
URSSURSSУважаемые читатели! Уважаемые авторы!
URSS
URSS
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. Теории с фермионами.
Некоммутативные теории.
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 1-4.
Иваненко Д.Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация.
Коноплева Н. И, Попов В. Н. Калибровочные поля.
Волобуев И. П., Кубышин Ю, А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля.
Маслов В. П., Шведов О. Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля..
Богуш А. А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий.
Богуш А. А., Мороз Л. Г. Ведение в теорию классических полей.
Розенталь И. Л., Архангельская И. В. Геометрия, динамика. Вселенная.
Петрашень М. И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике.
Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.
Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. Ч. 1, 2.
Горбацевич А. К. Квантовая механика в общей теории относительности.
Горбацевич А. К. Основы квантовой механики в искривленном пространстве-времени.
Килин С. Я. Квантовая оптика: поля и их детектирование.
Вильф Ф. Ж. Логическая структура квантовой механики.
Эддингтон А. Относительность и кванты.
Бройль Л. де. Введение в волновую механику.
Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц.
Окунь Л. Б. Лептоны и кварки.
Борн М. Лекции по атомной механике.
Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика.
Иванов Б. Н. Законы физики.
Капитонов И. М. Введение в физику ядра и частиц.
Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности.
Планк М. Введение в теоретическую физику. Кн. 1-5: Общая механика; Механика деформируемых тел; Теория электричества и магнетизма; Оптика; Теория теплоты.
Фейнман Р., Лейтон Р, Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.
Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. Пер. с англ.
Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны и поиски окончательной теории.
Научная и учебнаялитератураНаучная и учебнаялитератураПо всем вопросам Вы можете обратиться к нам: телефакс (095) 135-42-16,135-42-46 или электронной почтой URSS@URSS.ru Полный каталог изданий представлен в Интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебнаялитература
Научная и учебнаялитература
Представляем Вам наши лучшие книги:
Термодинамика и статистическая физика
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. В 4 т.
Квасников И. А. Молекулярная физика.
Бриллюэн Л. Квантовая статистика.
Базаров И. П. Заблуждения и ошибки в термодинамике.
Хайтун С.Д. История парадокса Пгббса.
URSSURSSАгеев Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах.
URSS
URSS
Дуров В. А., Агеев Е. П. Термодинамическая теория растворов.
Мюнстер А. Химическая термодинамика.
Крылов Я. С. Работы по обоснованию статистической физики.
Зайцев Р. О. Введение в современную статистическую физику.
Варикаш В. М., Болсун А. И., Аксенов В. В. Сборник задач по статистической физике.
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении и законах физики.
ТрубецковД. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны; Хаос и структуры.
Арнольд В. И. Теория катастроф.
Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики.
Капица С. П, Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего.
Хокен Г Информация и самоорганизация.
Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.
Баранцев Р. Г. и др. Асимптотическая математика и синергетика.
Гельфанд И. М. и др. Очерки о совместной работе математиков и врачей.
Чумаченко Е. Я., Смирнов О.М., Цепин М.А. Сверхпластичность: материалы, теория, моделирование, технологии.
Редько В. Г. Эволюционная кибернетика. На пути к теории происхождения мышления.
Пригожин И. Неравновесная статистическая механика.
Пригожин И., Стенгере И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожин И., Стенгере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожин И., Николис Г. Познание сложного. Введение.
Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.■
Тел./фанс: (095) 135-42-46, (095) 135-42-16,
E-mail: URSS@URSS.ru http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«Библио-Глобус» (и.Лубянна, ул. Мясницкая, 6. Тел. (095) 925-2457)
«Московский дои книги» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (095) 203-8242)
«Москва» (и. Охотный ряд, ул. Тверская, 8. Тел. (095) 229-7355)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Поляниа, 28. Тел. (095) 238-5083,238-1144) «Дои деловой книги» (и. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. (095) 270-5421) «Гнозис» (и. Университет, 1 гуи.корпус МГУ, иоин. 141. Тел. (095) 939-4713)
«У Кентавра» (РГГУ) (и. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (095) 973-4301)
«СПб. дои книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)
Валерий Анатольевич
РУБАКОВ
Выдающийся физик-теоретик, ученый с мировым именем, один из крупнейших специалистов в области классической и квантовой теории поля, физики элементарных частиц и космологии.
Родился 16 февраля 1955 г. Окончил физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова (1978). Доктор физико-математических наук (1990), профес
Калибровочно-инвариантные лагранжианыКалибровочный принцип в электродинамикеСкалярные и векторные поляЭлементы теории групп и алгебр ЛиНеабелевы калибровочные поляСпонтанное нарушение глобальной симметрии Механизм ХиггсаКалибровочно-инвариантные лагранжианыКалибровочный принцип в электродинамикеСкалярные и векторные поляЭлементы теории групп и алгебр ЛиНеабелевы калибровочные поляСпонтанное нарушение глобальной симметрии Механизм ХиггсаСолитоны, инстантоны и сфалероны. Бозонные теорииПростейшие топологические солитоныЭлементы гомотопическойтопологииМагнитные монополиНетопологические солитоныТуннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механикеРаспад ложного вакуума в теории скалярного поля Инстантоны и сфалероны в калибровочных теорияхСолитоны, инстантоны и сфалероны. Бозонные теорииПростейшие топологические солитоныЭлементы гомотопическойтопологииМагнитные монополиНетопологические солитоныТуннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механикеРаспад ложного вакуума в теории скалярного поля Инстантоны и сфалероны в калибровочных теорияхсор (1997), академик РАН (1997). Главный научный сотрудник Отдела теоретической физики Института ядерных исследований РАН. Удостоен звания «Заслуженный профессор МГУ» (1999). Лауреат премии им. А. А. Фридмана РАН (1999), Международной премии им. И. Я. Померан- чука ИТЭФ (2003), премии им. М. А. Маркова ИЯИ (2005).
Калибровочно-инвариантные лагранжианы
Калибровочный принцип в электродинамике
Скалярные и векторные поля
Элементы теории групп и алгебр Ли
Неабелевы калибровочные поля
Спонтанное нарушение глобальной симметрии Механизм Хиггса
Калибровочно-инвариантные лагранжианы
Калибровочный принцип в электродинамике
Скалярные и векторные поля
Элементы теории групп и алгебр Ли
Неабелевы калибровочные поля
Спонтанное нарушение глобальной симметрии Механизм Хиггса
Солитоны, инстантоны и сфалероны. Бозонные теории
Простейшие топологические солитоны
Элементы гомотопической
топологии
Магнитные монополи
Нетопологические солитоны
Туннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механике
Распад ложного вакуума в теории скалярного поля Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
Солитоны, инстантоны и сфалероны. Бозонные теории
Простейшие топологические солитоны
Элементы гомотопической
топологии
Магнитные монополи
Нетопологические солитоны
Туннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механике
Распад ложного вакуума в теории скалярного поля Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
E-mail: URSS@URSS.ruКаталог изданий в Интернете:http://URSS.ruТел./факс: 7 (095) 135-42-16E-mail: URSS@URSS.ruКаталог изданий в Интернете:http://URSS.ruТел./факс: 7 (095) 135-42-16
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS Тел./факс: 7 (095) 135—42—46
Любые отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные опечатки присылайтепо адресу URSS@URSS.ru. Ваши замечания и предложения будут учтеныи отражены на web-странице этой книги в нашем интернет-магазине http://URSS.ru
6) Фактор (5!тг3)—1 введен из тех соображений, что с учетом этого фактора интеграл по всей пятимерной сфере, а не по ее половине (шару Р5), был бы равен целому числу — степени отображения этой S5 в пространство полей 55 = 5О(6)/5О(5), см. главу 8.
В качестве второго примера рассмотрим теорию с глобальной группой
SU (N) х SU (JV), нарушенной до диагональной SU (N). Чтобы не запутать
ся в обозначениях, назовем первую и вторую группы из SU(N) х SU(N) группами SU(N)l и SU(N)r соответственно, а ненарушенную подгруппу
обозначим SU(N)v Элементы группы SU(N)l х SU(N)r — это пары
(Яь.дк). где gL G SU^l, 9r € SU^r, а подгруппа SU^v образована элементами вида (д, д\ Этот пример важен тем, что глобальная группа
симметрии SU(N)l х SU(N)r имеется в квантовой хромодинамике с N типами («ароматами») безмассовых кварков: SU(N)L и SU(N)r — это
группы унитарных вращений левых и правых кварков, соответственно.
Симметрия SU(N)l х SU(N)r, которую называют хиральной симметрией, действительно спонтанно нарушена в квантовой хромодинамике до векторной симметрии SU(N)V унитарных вращений одновременно левых и правых компонент кварковых полей. Физический интерес пред
ставляют случаи N = 2 (учитываются наиболее легкие кварки и, d;
SU(2)v — группа изоспина; намбу-голдстоуновские бозоны — пионы
3) Найти связь между четырехдивергенцией тока, построенного в п. 1), и псевдоголдстоуновской модой в низшем порядке по полям отклонений от основного состояния и в низшем нетривиальном порядке по е.
выходит за рамки этой книги.
кривой Пеано). Сделать доказательство строгим можно с помощью леммы
о свободной точке: Пусть U — открытое подмножество пространства Rp и р :
U —У IntD9 — такое непрерывное отображение, что множество V = ^-1(d?) С U,
где дЯ — некоторый замкнутый шарик в LntD®, компактно. Если q > р, то
' существует непрерывное отображение ф : U -> IntD®, совпадающее с р вне V
и такое, что его образ не покрывает всего шара дЯ. Доказательство леммы см. в книге: Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.
9 = -"^ JtU7»Ki*’ <13-52)
где Кр имеет вид (13.26) (и не является калибровочным инвариантом!), а интегрирование ведется по удаленной трехмерной поверх
ности в четырехмерном евклидовом пространстве. Выберем в качестве такой поверхности цилиндр, изображенный схематически на рис. 13.1. Поскольку F^ быстро стремится к нулю на бесконечности в четырехмерном евклидовом пространстве, на поверхности цилиндра выражение (13.26) сводится к
К и — ^pvxp Тг (АуАхАр).
Для поля (13.49), (13.50) вклад боковой поверхности цилиндра в интеграл (13.52) равен нулю (поскольку он пропорционален / ddi Ki, а
В. А. Рубаков
КЛАССИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
озонные теории
URSS
В. А. Рубаков
КЛАССИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
Бозонные теории
URSSURSSИздание второе, исправленное и дополненное
URSS
URSS
МОСКВА
ББК 22.314я73 22.311 22.312
Рубаков Валерий Анатольевич
Классические калибровочные поля: Бозонные теории: Учебное пособие.
Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: КомКнига, 2005. — 296 с.
ISBN 5-484-00139-0
В основу книги положен курс лекций, прочитанный студентам 3-го и 4-го курсов физического факультета МГУ, специализирующимся в области теоретической физики.
Первая часть книги содержит изложение основных идей теории калибровочных полей, построение калибровочно-инвариантных лагранжианов и описание спектров линейных возбуждений, в том числе над нетривиальным основным состоянием. .
Вторая часть посвящена построению и интерпретации решений, существование которых целиком обусловлено нелинейностью уравнений поля, — солитонов, «евклидовых пузырей», инстантонов и сфалеронов.
Излагаемый материал можно изучать параллельно с изучением квантовой механики, а затем квантовой теории поля. В связи с этим книга должна быть полезна как научным работникам и аспирантам, так и студентам старших курсов университетов.
Настоящая книга является первой частью монографии, выходившей первым изданием под названием:
Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: URSS, 1999.
Издательство «КомКнига». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Подписано к печати 09.06.2005 г. Формат 60x90/16. Бумага типографская.
Печ. л. 18,5. Зак. № 108.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д. ИА, стр. 11.
ISBN 5-484-00139-0ISBN 5-484-00139-0© В. А. Рубаков, 1999, 2005
ISBN 5-484-00139-0
ISBN 5-484-00139-0
© КомКнига, 2005
2469 ID 289502469 ID 289509785484 001392 >9785484 001392 >НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2469 ID 28950
2469 ID 28950
9785484 001392 >
9785484 001392 >
E-mail: URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернета: http://URSS.ruТел./факс: 7 (095) 135-42-16E-mail: URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернета: http://URSS.ruТел./факс: 7 (095) 135-42-16
E-mail: URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернета: http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
E-mail: URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернета: http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (095) 135-42-46
Оглавление
Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие к первому изданию 7
Часть I
Калибровочно-инвариантные лагранжианы9
Глава 1. Калибровочный принцип в электродинамике 9
Действие электромагнитного поля в пустоте 9
Калибровочная инвариантность 10
Общее решение уравнений Максвелла в пустоте 11
Выбор калибровки 13
Глава 2. Скалярные и векторные поля 15
Система единиц ^ = с = 1 15
Действие скалярного поля 16
Массивное векторное поле 19
Комплексное скалярное поле 20
Степени свободы 21
Взаимодействие полей с внешними источниками ....... 22
Взаимодействующие поля. Калибровочно инвариантное взаимодействие в скалярной электродинамике 24
Теорема Нетер 29
Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли 35
Группы 35
Группы и алгебры Ли 42
Представления групп и алгебр Ли 48
Компактные группы и алгебры Ли 52
Глава 4. Неабелевы калибровочные поля 56
Неабелевы глобальные симметрии 56
Неабелева калибровочная инвариантность и калибровочные поля: группа SU(1) 61
Обобщения на другие группы . . . 67
Уравнения поля 72
Задача Коши и условия калибровки 77
Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии 80
Спонтанное нарушение дискретной симметрии 81
Спонтанное нарушение глобальной симметрии Z7(l). Намбу-голдстоуновский бозон 85
Частичное нарушение симметрии: модель 80(3) 88
Общий случай. Теорема Голдстоуна 92
Эффективные низкоэнергетические теории намбу-голдстоуновских полей 98
Глава 6. Механизм Хиггса108
Пример абелевой модели 108
Неабелев случай: модель с полностью нарушенной SU(T) -симметрией114
Пример частичного нарушения калибровочной симметрии: бозонный сектор стандартной электрослабой теории . . . . 118
Дополнительные задачи к части I128
Часть II
Солитоны, инстантоны и сфалероны. Бозонные теории132
Глава 7. Простейшие топологические солитоны132
Кинк133
Масштабные преобразования и теоремы об отсутствии солитонов. ■143
Вихрь148
Солитон в модели п-поля в (2+1)-мерном пространстве-времени157
Скирмион163
Глава 8. Элементы гомотопической топологии169
Гомотопия отображений169
Фундаментальная группа172
Гомотопические группы174
Расслоения и гомотопические группы178
Сводка результатов183
Глава 9. Магнитные монополи .185
Солитон в модели с калибровочной группой 577(2)185
'9.2. Магнитный заряд191
Обобщения на другиемодели197
Предел ^ ^ 0199
Дионы202
Глава 10. Нетопологические солитоны 204
Солитон в модели с двумя полями204
Q-шары в теориях с плоскими направлениями 211
Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения в квантовой механике218
Распад метастабильного состояния в квантовой механике одной переменной218
Обобщение на случай многих переменных224
Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением 231
Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля240
Предварительные соображения240
Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок)243
Тонкостенное приближение248
Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях252
Евклидовы калибровочные теории252
Классические вакуумы и инстантоны в (1 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса' 254
Инстантон в четырехмерной теории Янга—Миллса259
Классические вакуумы в четырехмерных калибровочных теориях 266
0-вакуумы 270
Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса274
Дополнительные задачи к части II280
Литературные указания284
Предметный указатель292
Предисловие ко второму изданию
Эта книга, вместе с публикуемой параллельно книгой «Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории», является переработанной и расширенной версией книги «Классические калибровочные поля» (М.: УРСС, 1999).
В редких случаях, где это совершенно необходимо, на книгу «Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории» имеются ссылки, при этом она именуется «книга II».
Помимо устранения опечаток и неточностей, при подготовке данной книги был добавлен ряд разделов; особенно значительной переработке была подвергнута глава 13.
Мне бы хотелось выразить благодарность моим коллегам Ф. Л. Безрукову, Д. Ю. Григорьеву, М. В. Либанову, Д. В. Семикозу, П. Г. Тинякову, С. В. Троицкому и Д. Т. Шону за большую помощь в подготовке и чтении курса лекций. Подготовка этой книги во многом опиралась на всестороннюю помощь и многочисленные советы Ф. Л. Безрукова, Д. С. Горбунова, С. В. Демидова, С. Л. Дубовского, Д. Г. Левкова, М. В. Ливанова, Э. Я. Нугаева, Г. И. Рубцова, С. М. Сибирякова и С. В. Троицкого; всем им я искренне благодарен. Хотелось бы поблагодарить П. Г. Тинякова и А. А. Цейтлина за сделанные замечания. .
Предисловие к первому изданию
В основу этой книги положен курс лекций, читавшийся в течение ряда лет на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета студентам 3-го и 4-го курсов, специализирующимся в области теоретической физики.
Традиционно теория калибровочных полей включается в курсы квантовой теории поля. Однако многие понятия и результаты калибровочных теорий появляются уже на уровне классической теории поля, что делает возможным и полезным их изучение параллельно с изучением квантовой механики. Соответственно, чтение первых десяти глав этой книги не требует знания квантовой механики, в главах 11-13 используются представления и методы, излагаемые обычно в начале курса квантовой механики, и лишь для чтения последующих глав необходимо знание квантовой механики в полном объеме, включая уравнение Дирака. Сколько-нибудь подробное знакомство с квантовой теорией поля для чтения основного текста не обязательно. В то же время, с самого начала предполагается, что читателю известны классическая механика, специальная теория относительности и классическая электродинамика.
Первая часть этой книги содержит изложение основных идей теории калибровочных полей, построение калибровочно инвариантных лагранжианов и описание спектров линейных возбуждений, в том числе над нетривиальным основным состоянием. Вторая часть посвящена построению и интерпретации решений, существование которых целиком обусловлено нелинейностью уравнений поля, — солитонов, «евклидовых пузырей» и инстантонов. В третьей части рассматриваются некоторые интересные эффекты, возникающие при взаимодействии фермионов с топологическими скалярными и калибровочными полями.
Книга содержит Дополнение, где кратко обсуждается роль инстантонов как седловых точек евклидова функционального интеграла в квантовой теории поля и некоторые связанные с этим вопросы. Цель Дополнения — дать первоначальное представление об этом довольно сложном аспекте квантовой теории поля; изложение в нем схематично и никоим образом не претендует на полноту (например, мы полностью оставляем в стороне важные вопросы, касающиеся суперсимметричных калибровочных теорий). Для чтения Дополнения необходимо знакомство с квантовой теорией калибровочных полей.
Разумеется, большинство вопросов, затронутых в этой книге, так или иначе рассматривается в имеющихся монографиях, учебниках и обзорах по квантовой теории поля, далеко не полный перечень которых помещен
в конце книги. В определенном смысле эта книга может служить введением в предмет.
В книге содержатся два математических отступления, где кратко, без претензии на полноту или математическую строгость излагаются элементы теории групп и алгебр Ли и гомотопической топологии. Это должно сделать возможным чтение книги без постоянного обращения к более специальной литературе по данным вопросам.
Мне бы хотелось выразить благодарность моим коллегам Ф. Л. Безрукову, Д. Ю. Григорьеву, М. В. Либанову, Д. В. Семикозу, П. Г. Тинякову, С. В. Троицкому и Д. Т. Шону за большую помощь в подготовке и чтении курса лекций, внимательное чтение рукописи и подготовку ее к публикации.