ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый читателю сборник составлен из статей, посвященных теории твисторов — новому разделу математической физики, возникшему в последнем десятилетии на базе столь далеких друг от друга, казалось бы, дисциплин, как комплексная алгебраическая геометрия и релятивистская теория поля. Твисторы появились в работах Роджера Пенроуза еще в конце 60-х годов, но только в 70-е годы оформились в самостоятельную теорию. Интерес к этой тематике резко возрос после статей Р. С. Уорда по автодуальным калибровочным полям (1977 г.) и Р. Пенроуза по нелинейным гравитонам (1976 г.), в которых удалось применить твисторы к уравнениям Янга — Миллса и Эйнштейна, имеющим важное значение для современной теоретической физики. Начиная с этого момента и по настоящее время теория твисторов переживает период интенсивного развития, а число публикаций, посвященных твисторному подходу, с каждым годом увеличивается. Поэтому представляется своевременным появление данного сборника, целиком посвященного твисторам.

Однако при отборе материала мы столкнулись с рядом трудностей, с одной стороны, из-за обилия разнообразных интересных работ по этой теме и, с другой стороны, из-за отсутствия хорошего введения в предмет (последнее объясняется тем, что теория твисторов пока еще находится в стадии формирования). В подобной ситуации мы воспользовались рекомендациями Роджера Пенроуза и ограничились статьями, относящимися к геометрии твисторов и твисторному описанию абелевых безмассовых полей (включающих электромагнитное поле Максвелла и нейтринное поле Дирака— Вейля) и гравитации. При этом пришлось, к сожалению, отказаться от работ, посвященных твисторной теории полей Янга — Миллса. Обширная тематика, связанная с твисторным подходом к полям Янга — Миллса, заслуживает, на наш взгляд, отдельного разговора и может быть предметом самостоятельного сборника. Отметим здесь, что именно с полями Янга — Миллса связаны наиболее впечатляющие приложения твисторов — такие, как построение инстантонных и монопольных решений автодуальных уравнений Янга — Миллса. Читатели, овладевшие «языком» твисторов в объеме предлагаемого сборника, могут приступить к самостоятельному изучению этой актуальной тематики, пользуясь указанной ниже литературой.

Каковы же в самом кратком виде исходные идеи и «действующие лица» теории твисторов? Пространство-время Минковского М— базисное пространство, на котором задаются объекты релятивистской теории поля — выступает в теории твисторов в довольно непривычном виде. Его основной моделью является грассманово многообразие СМ двумерных комплексных плоскостей в четырехмерном комплексном пространстве С4. Пространство СМ называется комплексифицированным компактифицированным пространством Минковского. Вложение пространства М (с фиксированным началом отсчета) в СМ строится в два шага. Сначала вектору х = (х°, х1, х2, х3) пространства М сопоставляется эрмитова 2Х 2-матрица

v/ х° + х1х2 +^3 \VI

\ у 2 ./уЗуО ,У1 /

\ Л 1ЛЛЛ /^**0

где Oi — матрицы Паули. Затем матрице X сопоставляется 4X2- матрица! L где /2 — единичная 2 X 2-матрица, и рассматри- \ Л /

вается двумерная плоскость в пространстве Т = СД натянутая на два четырехмерных вектора-столбца этой матрицы. Полученная двумерная плоскость и есть образ точки х^ М в пространстве СМ. Первый шаг указанной конструкции — «спинорная» реализация пространства М в виде эрмитовых 2 X 2-матриц — приводит к комплексифицированному пространству Минковского, совпадающему с пространством всех комплексных 2 X 2-матриц. Второй шаг — «твисторная» реализация пространства М в виде двумерных плоскостей в Т— приводит к комплексифицированному компактифицированному пространству Минковского, совпадающему с (компактным) грассмановым многообразием двумерных подпространств в Т. Последнее пространство можно рассматривать также как многообразие проективных прямых в трехмерном комплексном Й^оективном пространстве РТ = СР3.

Обозначим через Г многообразие (0, 1)-флагов в РТ, состоящее из пар: Гточка в РТ; содержащая эту точку проективная прямая в РТ). Многообразие F проектируется на пространства РТ и СМ посредством отображений

ц: (точка; прямая) н-> точка ® РТ,

v: (точка; прямая) ь-> прямая е СМ, составляющих диаграмму (двойное расслоение):

F

у \

РТ см.

Построенная диаграмма определяет преобразование Пенроуза, лежащее в основе теории твисторов, которое сопоставляет объектам, заданным на пространстве РТ, соответствующие объекты на пространстве Минковского СМ (и наоборот). Тем самым исходные объекты релятивистской теории поля, первоначально определенные на пространстве Минковского, получают «твисторную» интерпретацию в виде объектов, заданных на пространстве РТ.

Точки Т называются твисторами, точки рТ — проективными твисторами, а сами пространства Т и РТ называются соответственно твисторным и проективным твисторным пространствами. Твистор Z с координатами (Z°, Z1, Z2, Z3) называется положительным (соотв. отрицательным, изотропным), если величина O(Z) = = | Z° |2 +12112— | ^212— | Z312 положительна (соотв. отрицательна, равна нулю). Множества положительных (соотв. отрицательных, изотропных) твисторов обозначаются через Т+ (соотв. Т“, N), а их проективные аналоги — через RT+ (соотв. РТ" PN). Сформулируем основные факты твисторной геометрии в виде таблицы, где слева расположены объекты пространства Минковского, а справа— соответствующие им объекты твисторного пространства:

РТРТСМ

РТ

РТ

{точка СМ}{точка СМ}ч—> {проективная прямая в РТ}

{точка СМ}

{точка СМ}

(точка вещественного компактифи-')

< цированного пространства Мин- > ч—> {проективная прямая, лежащая в PN} (ковского М}

f точка трубы будущего СМ+ )1 (соотв. трубы прошлого СМ") )f точка трубы будущего СМ+ )1 (соотв. трубы прошлого СМ") )проективная прямая, лежащая в РТ+ (соотв. в РТ")проективная прямая, лежащая в РТ+ (соотв. в РТ")

f точка трубы будущего СМ+ )

1 (соотв. трубы прошлого СМ") )

f точка трубы будущего СМ+ )

1 (соотв. трубы прошлого СМ") )

проективная прямая, лежащая в РТ+ (соотв. в РТ")

проективная прямая, лежащая в РТ+ (соотв. в РТ")

.("точка РТ г пучок проективных

двумерная комплексная плоскость)J ПрЯМЫХ проходящих через фикси-

.(«-плоскость) в СМ/(рованную точку РТ.

двумерная комплексная плоскость) ч—> (р-плоскость) в СМ)двумерная комплексная плоскость) ч—> (р-плоскость) в СМ)проективная плоскость в РТ =е точка РТ* s комплекс проективных прямых, лежащих в фиксированной проективной плоскости в РТ

двумерная комплексная плоскость) ч—> (р-плоскость) в СМ)

двумерная комплексная плоскость) ч—> (р-плоскость) в СМ)

{комплексный световой луч в СМ}{комплексный световой конус в СМ}{световой луч в М}{комплексный световой луч в СМ}{комплексный световой конус в СМ}{световой луч в М}( (0, 2)-флаг в РТ » (проективная < плоскость; лежащая на ней > ( точка) е (точка РТ*; точка РТ) )Г (0, 1, 2)-флаги в РТ с фиксиро- ) ) ванной проективной прямой j ( точка PN s (точка PN; комплекс-") < ная касательная плоскость к PN > ( в этой точке))( (0, 2)-флаг в РТ » (проективная < плоскость; лежащая на ней > ( точка) е (точка РТ*; точка РТ) )Г (0, 1, 2)-флаги в РТ с фиксиро- ) ) ванной проективной прямой j ( точка PN s (точка PN; комплекс-") < ная касательная плоскость к PN > ( в этой точке))

{комплексный световой луч в СМ}

{комплексный световой конус в СМ}

{световой луч в М}

{комплексный световой луч в СМ}

{комплексный световой конус в СМ}

{световой луч в М}

( (0, 2)-флаг в РТ » (проективная < плоскость; лежащая на ней > ( точка) е (точка РТ*; точка РТ) )

Г (0, 1, 2)-флаги в РТ с фиксиро- ) ) ванной проективной прямой j ( точка PN s (точка PN; комплекс-") < ная касательная плоскость к PN > ( в этой точке))

( (0, 2)-флаг в РТ » (проективная < плоскость; лежащая на ней > ( точка) е (точка РТ*; точка РТ) )

Г (0, 1, 2)-флаги в РТ с фиксиро- ) ) ванной проективной прямой j ( точка PN s (точка PN; комплекс-") < ная касательная плоскость к PN > ( в этой точке))

{световой конус в М}{световой конус в М}{проективная прямая в PN}

{световой конус в М}

{световой конус в М}

Как действует преобразование Пенроуза на безмассовые релятивистские (т. е. инвариантные относительно действия конформной

группы) поля, заданные на пространстве Минковского? Основная идея «твисторной программы» Пенроуза состоит в том, что при преобразовании Пенроуза релятивистские поля должны переходить в объекты комплексной алгебраической геометрии твистор- ного пространства, такие, как голоморфные расслоения, когомологии с коэффициентами в этих расслоениях и т. д. Иными словами, релятивистские уравнения «заложены» в самой комплексной структуре твисторного пространства, и в этом смысле при применении преобразования Пенроуза уравнения «исчезают». '

Поясним это на конкретных примерах. Начнем с уравнений; Максвелла электромагнитного поля в М. Каждое решение уравнений Максвелла разлагается в сумму автодуального и антиавто- дуального решений. Любое автодуальное решение представляется* в виде разности автодуального решения, аналитически продолжающегося в трубу будущего СМ+, и такого же решения, продолжающегося в трубу прошлого С.М~ Преобразование Пенроуза; устанавливает изоморфизм между пространством автодуальных; решений уравнений Максвелла первого типа и группой когомологий /^(РТХ О^—4)) пространства положительных проективных: твисторов РТ+ с коэффициентами в пучке О^—4), сечениями которого (в однородных координатах на РТ) являются однородные- функции степени однородности —4. Аналогичным образом (с заменой РТ+ на РТ~) характеризуются автодуальные решения второго типа. Можно было бы непосредственно описать и преобразование Пенроуза автодуальных решений, сосредоточенных на М,. не переходя к представлению их в виде разности решений первого* и второго типа. Для этого в предыдущем результате следует заменить когомологии РТ^2 на касательные когомологии PN. Антиав- тодуальные решения уравнений Максвелла допускают аналогичную интерпретацию в терминах дуального твисторного пространства РТ*, точками которого являются проективные плоскости в РТ. Можно также охарактеризовать произвольные решения уравнений Максвелла, не переходя к авто- и антиавтодуальным решениям, в терминах (0,2)-флагов в РТ или инцидентных пар в РТ X РТ*. Заметим наконец, что приведенный результат допускает локализацию, иными словами, в нем можно заменить СМ+ на открытое подмножество U в СМ, удовлетворяющее некоторым слабым топологическим ограничениям, а РТ+—на U" = -P(v-4t/)).

Сформулированная теорема об изоморфизме допускает обобщение на безмассовые поля произвольного спина s, причем случай s = ±1 отвечает уравнениям Максвелла, случай s = ±l/2— уравнениям Дирака — Вейля для нейтрино, s = 0 — волновому уравнению. Для этого достаточно заменить в предыдущем результате пучок д(—4) на пучок <?(—2s — 2), сечениями которого (в однородных координатах) являются однородные функции степени од* породности —2s — 2.

Несколько слов о доказательстве сформулированной теоремы. Оно состоит (на языке абстрактных когомологий) в том, чтобы, пользуясь ограничением фундаментальной диаграммы (1) на РТ+, «перетащить» группу Нх ( РТ+,С?(—4)) на СМ+. Для этого нужно сначала «поднять» указанную группу когомологий на F+, пользуясь отображением обратного образа когомологий р*, а затем «спустить» полученную группу на СМ+ с помощью отображения прямого образа когомологий v* (подробное доказательство этим методом проводится в двух последних статьях предлагаемого сборника). Доказательство можно довести до «формульных» выражений, если использовать конкретные реализации групп когомологий. Для когомологий Чеха (т. е. для реализации'групп когомологий в терминах покрытий) такое доказательство предложено Р. С. Уордом (см. [21*], а также [15*6]). Другой подход, основанный на когомологиях Дольбо (т. е. для реализации групп когомологий в терминах дифференциальных форм), излагается в статье С. Г. Гиндикина и Г. М. Хенкина [15*6]. Первоначальный метод контурных интегралов Р. Пенроуза (см. статью Пенроуза и Уорда в этом сборнике) также опирается на когомологии Чеха, хотя и не использует явно диаграммы (1).

Уже приведенные результаты и методы их доказательства демонстрируют полезность и естественность твисторного подхода к анализу релятивистских уравнений. Однако только приложения к нелинейным полям могут объяснить столь широкий интерес и все возрастающее количество публикаций по этой тематике. Обратимся сначала к уравнениям Янга — Миллса и опять ограничимся рассмотрением аналитических решений автодуальных уравнений Янга — Миллса в трубе будущего СМл т. е. автодуальных голоморфных связностей в голоморфных векторных расслоениях над СМ+. Преобразование Пенроуза устанавливает изоморфизм между этим пространством и пространством голоморфных векторных расслоений над Р1Г+, голоморфно тривиальных на всех проективных прямых, лежащих в РТ+ (этот результат также допускает локализацию). Для того чтобы описать решения общих уравнений Янга — Миллса, необходимо перейти, как и выше, к пространству комплексных световых лучей (т. е. инцидентных пар) в РТХ X РТ* или (0, 2)-флагов в РТ.

Вообще, можно показать, что преобразование Пенроуза устанавливает изоморфизм между голоморфными связностями в голоморфных векторных расслоениях над областью U в СМ и голоморфными векторными расслоениями над соответствующей областью 1ДЩ комплексных световых лучей, пересекающих U> в РТХРТ*, которые голоморфно тривиальны на! образах L^ комплексных световых конусов с вершинами в точках z^U. Допуская вольность речи, можно сказать, что под действием преобл разования Пенроуза связности «исчезают». С автодуальными полями Янга — Миллса., свяааны. наиболее важные достижения теории.

твисторов. К ним относятся описание инстантонов, т. е. решений автодуальных уравнений Янга — Миллса на евклидовом пространстве Е в ОН, полученное в работе [22*], и построение монополей, т. е. решений стационарных автодуальных уравнений Янга — Миллса, в статьях [23*, 24*]. Подробное описание преобразования Пенроуза для уравнений Янга — Миллса см. в [15*а], [25*], [28*] и рекомендованной там литературе.

Не мейее интересные приложения связаны с твисторным подходом в гравитации. Рассмотрим искривленное комплексное пространство-время (в отсутствие материи), удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна Rab = 0. Тензор кривизны такого пространства (совпадающий с конформным тензором Вейля) разлагается в сумму автодуальной и антиавтодуальной частей. Пространство, тензор кривизны которого антиавтодуален, называется конформно правоплоским. Конформно правоплоские пространства допускают следующее описание в рамках теории твисторов. Точкам трубы будущего _СМ+, как было указано выше, соответствуют проективные прямые, лежащие в РТ+. Деформируя комплексную структуру РТ+, мы получим новое комплексное многообразие РТ. При этом проективные прямые из РТ+ «выживают», если деформация достаточно мала. Иными словами, в РТ существует четырехпараметрическое семейство компактных голоморфных кривых, являющихся деформациями проективных прямых в РТ+. Эти кривые назовем «точками» искривленного пространства Ж. Для задания конформной структуры Ж достаточно определить, что такое «световые лучи». Будем говорить, что две точки Ж лежат на одном «световом луче», если соответствующие кривые в Р2Г пересекаются. Можно показать (см. статью Р. Пенроуза «Нелинейные гравитоны...» в сборнике), что эта конформная структура возникает из некоторой комплексной метрики на Ж, а пространство Ж с этой метрикой является правоплоским. Обратно, локализуя приведенную конструкцию, можно показать, что любое правоплоское пространство может быть получено таким образом. Вопрос об описании произвольных искривленных комплексных пространств является более сложным и пока еще далек от решения. Не менее сложен вопрос об описании вещественных искривленных пространств (это равносильно описанию решений уравнений Эйнштейна). Следующим шагом за построением искривленных пространств является изучение безмассовых полей на этих пространствах. Указанные вопросы освещаются в статье Р. Пенроуза и Р. С. Уорда предлагаемого сборника.

Заканчивая этот «сверхкраткий» обзор теории твисторов, нельзя не сказать о том, что спектр оценок роли твисторного подхода, как и любой новой теории, весьма широк — от «оптимистической программы», которая выдвигает теорию твисторов в качестве кандидата на вакантное место формализма, объединяющего квантовую теорию и общую теорию относительности, до более

осторожного мнения, что твисторы являются просто удобным методом решения классических релятивистских уравнений. Дальнейшее развитие этой теории покажет, какая из этих оценок более правильна, но несомненно одно — это новый и вполне самостоятельный подход, уже завоевавший свое место в математической физике.,

Несколько слов о содержании сборника. Он открывается статьей Р. Пенроуза «Твисторная программа», которая носит обзорный й методологический характер. Ее можно считать вступлением к нашему сборнику. Наиболее «доступной» работой, с которой можно начать изучение теории твисторов, является, на наш взгляд, статья Р. О. Уэллса «Комплексные многообразия и математическая физика». Следующая работа, написанная Р. Пенроузом и Р. С. Уордом, является, по нашему мнению, самым удачным изложением теории твисторов на сегодняшний день. Ее дополняет статья Пенроуза «Нелинейные гравитоны и искривленная теория твисторов», в которой доказан ряд результатов, упомянутых в работе Пенроуза и Уорда. Статья Пенроуза и Мак-Каллума содержит физические основания теории твисторов и твисторные аспекты квантования безмассовых полей. Она является одной из наиболее часто цитируемых работ по твисторам. Статьи Иствуда, Пенроуза и Уэллса «Когомологии и безмассовые поля» и Уэллса «Решения- гиперфункции безмассовых уравнений теории поля» содержат строгие доказательства упомянутой выше теоремы об изоморфизме для преобразований Пенроуза безмассовых полей на языке абстрактных когомологий. Они потребуют от читателя хорошего владения аппаратом теории когомологий.

Поскольку предлагаемый сборник рассчитан как на математиков, так и на физиков, приведем примерные ссылки на доступные советскому читателю учебники и руководства по некоторым разделам математики и физики, затрагиваемым в статьях сборника. Подчеркнем, что здесь и ниже в примечаниях переводчика и редактора ссылки со звездочкой относятся к литературе, добавленной при переводе и помещенной отдельным списком в конце книги.

Справочные книги по Математике:

проективная и алгебраическая геометрия—[13*], [10*], [12*];

дифференциальная геометрия— [8*] — [10*];

комплексный анализ — [10*], [11*], [13*], [19*];

теория когомологий— [20*], [26*].

Справочные книги по физике:

специальная и общая теория относительности— [18*], [27*], [4*] _ [6*];

тензорный и спинорный анализ— [5*], [29*], [30*];

классическая и квантовая теория поля —[1*], [3*], [18*].

Для удобства читателя мы старались по возможности унифицировать обозначения, которые пока еще нельзя считать устано-

вившимися. Достигнуть полной унификации не удалось, мы смогли только снизить число различных нотационных систем до двух, каждая из которых является достаточно разумной. За основу первой системы, принятой в 1-й, 3-й, 4-й и 5-й статьях сборника, взяты обозначения из статьи Пенроуза и Уорда, за основу второй системы, принятой во 2-й, 6-й, 7-й статьях, — обозначения из последней статьи (см. прилагаемый список обозначений). Замеченные опечатки исправлялись нами без оговорок.

Мы надеемся, что овладение перспективным твисторным подходом в математической физике будет достаточным вознаграждением читателю, взявшему на себя труд по изучению теории тви- сторов.

В заключение мы хотим принести свою искреннюю благодарность Р. Пенроузу, советами которого мы воспользовались при составлении данного сборника.

В. Жаринов, А. Сергеев

ТВИСТОРНАЯ ПРОГРАММА1)

Р. Пенроуз

Mathematical Institute, Oxford, England

Твисторный формализм открывает новый подход к описанию оснований физики. Точки пространства-времени Минковского представляются двумерными линейными подпространствами четырехмерного комплексного векторного пространства (плоского твисторного пространства), на котором определена эрмитова форма с сигнатурой -Ц. Свободные безмассовые поля могут быть выражены в терминах когомологий подмножеств этого пространства с коэффициентами в пучках. Твисторное пространство (или некоторую его часть) можно наделить двумя различными структурами комплексного расслоения. Если деформировать одну из этих структур, полученное пространство будет представлять уже не пустое пространство Минковского, но в одном случае общее «правоплоское» решение уравнений Эйнштейна в пустоте, а в другом случае общее (левостороннее) решение уравнений Максвелла. Это дает описание наиболее простых типов взаимодействия (гравитационного и электромагнитного), которое, возможно, обобщается на другие поля в рамках единой твисторной схемы описания элементарных частиц.

В основе математических методов квантовой физики лежат комплексные числа. Так, линейная суперпозиция квантовых состояний всегда рассматривается с комплексными коэффициентами, которые (после нормировки) интерпретируются как амплитуды вероятности. С другой стороны, в общепринятом математическом описании пространства-времени используются только вещественные числа. Таким образом, считается, что пространственно-временной континуум есть вещественное дифференцируемое многообразие; большинство физических величин (таких, например, как скорость, энергия, импульс, температура), связанных прямо или косвенно с пространственно-временной структурой, также обычно описывается в терминах вещественных чисел. Но физика едина, и следует надеяться, что со временем вся она будет описываться единым образом. Если единый, подход к квантовой физике и геометрии пространства-времени существует, то тип математического описания, пригодный для одной из них, должен подходить и для другой.

9 Roger Penrose. The twistor programme. — Reports on Mathematical Physics, 12 (1977), 65—76. Presented on the Symposium on methods of differential geometry in physics and mechanics, June 1976, Warsaw.

© 1977 Pergamon Press Ltd. and PWN — Polish Scientific Publishers

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

Один из главных побудительных мотивов развития теории тви- сторов состоит в том, что она дает математическое описание физики, которое базируется целиком на комплексной структуре; при этом геометрия четырехмерного пространства-времени и квантовомеханический принцип суперпозиции возникают как тесно связанные аспекты этой комплексной твисторной структуры. Электромагнитное и гравитационное взаимодействия естественным образом описываются с помощью двух типов «деформаций» этой структуры исходного твисторного пространства. Далее, имеется общая схема классификации лептонов и адронов в терминах пар и троек твисторов соответственно. Это составляет часть программы по описанию квантовомеханических взаимодействий между частицами, направленной на построение всеобъемлющей твисторной версии квантовой теории поля.

Взаимосвязь между комплексной структурой квантовой механики и геометрией пространства проявляется уже в обычном квантовом описании спина. Различные чистые состояния (нерелятивистского) спина 1/2 соответствуют всевозможным направлениям в пространстве (направлениям оси спина). Представляя эти направления точками сферы S2, мы получим взаимно однозначное соответствие между S^ и лучами двумерного комплексного векторного пространства состояний. Сферу S2 можно рассматривать как риманову сферу (связанную стереографической проекцией с плоскостью Аргана) отношений двух комплексных компонент векторов состояний. Мы видим, что имеется тесная связь между трехмерностью пространства и тем, что именно комплексные числа используются в квантовомеханическом принципе суперпозиции. Иначе говоря, связь между комплексной структурой квантовой теории и геометрией пространства находит математическое выражение в двукратно накрывающем локальном изоморфизме:

St/(2)-> 50(3).

Переходя к (специальной) теории относительности, будем интерпретировать сферу S2 уже как множество изотропных направлений (в прошлое или будущее) в пространстве-времени (вместо направлений в трехмерном евклидовом пространстве). Указанный выше локальный изоморфизм продолжается до своего релятивистского аналога:

SL^, С) -><4(1, 3)

(справа стоит собственная группа Лоренца). Группа SL(2, С.) индуцирует преобразования римановой сферы в себя (преобразования Мёбиуса), сохраняющие структуру S2 как одномерного компактного комплексного многообразия. Это комплексное многообразие ввиду указанного выше соответствия имеет непосредственную физическую интерпретацию как «небесная сфера» наблюдателя ([5]). Следовательно, вещественная пространственно-времен-

пая геометрия светового конуса может быть частично описана комплексным образом.

Теория твисторов развивает это соответствие, позволяя описать геометрию всего пространства-времени в терминах комплексных многообразий. Небесная сфера связана только с направлениями фотонов. Рассмотрим вместо этого более полное пространство, каждая точка которого будет описывать правосторонний «классический» вращающийся фотон. Положив спиральность равной s = =+1 (с Й= 1), мы получим, как будет вскоре показано, пространство РТ+, которое является трехмерным комплексным мнр- гообразием ([6], [9], [14]). (С вещественной точки зрения РТ+ шестимерно; два из этих вещественных измерений отвечают направлению движения, одно — энергии и три, можно сказать,— положению.) Эта комплексная структура возникает только благодаря тому, что спин отличен от нуля, так что фотон однозначно характеризуется классическим импульсом и угловым моментом.

Пространство РТ+ может быть описано как открытая область в трехмерном комплексном проективном пространстве РТ(=С.Рз)« Границей РТ+ в РТ является пятимерное вещественное многообразие f N, точки которого можно сопоставить изотропным прямым (компактифицированного) пространства Минковского М. (В терминах изотропных прямых пространства-времени описываются не сами фотоны, а только их пределы при высоких энергиях.) Дополнение к PT+UPN в РТ есть другая открытая область РТ”, точки которой соответствуют левосторонним (спиральность s = = —1) «классическим» фотонам. Наиболее прямое соответствие между пространством-временем и комплексными многообразиями РТ+ и РТ” устанавливается с помощью их общего граничного многообразия FN. В М любая точка характеризуется системой проходящих через нее изотропных прямых. Этой системе отвечает некоторое множество в F N, а именно комплексная проективная прямая. Оказывается, каждая комплексная проективная прямая в РТ соответствует некоторой точке комплексифицированного пространства-времени СМ, а прямые, лежащие в F N, отвечают вещественным точкам М (возможно находящимся на бесконечности). Прямые, целиком лежащие в РТ+, соответствуют точкам СМ, мнимые части которых времениподобны и направлены в будущее (труба будущего); аналогично для РТ”. Группа голоморфных преобразований РТ+ (или, эквивалентно, РТ") в себя совпадает с 15-параметрической собственной конформной группой С+(1, 3) на М, которая 1-4-локально изоморфна 5(7(2, 2), причем изоморфизм задается последовательностью двукратно накрывающих локальных изоморфизмов

3(7(2, 2)—>О+(2, 4)->С+(1, 3).

Работы по комплексным многообразиям не так широко известны среди физиков-теоретиков. Последние работают преимуще-

ственно с вещественными многообразиями, а освоить необходимый математический аппарат ([1], [3], [19]) непросто. Необходимо также выработать соответствующую интуицию. Комплексным многообразиям и голоморфным функциям часто сопутствует жесткость, полностью отсутствующая в случае вещественных многообразий и функций. В то же время возможна и некоторая мягкость. Упрощенно говоря, следует ожидать жесткости в тех направлениях, вдоль которых есть компактность, и мягкости в направлениях, по которым имеется некомпактность. Вообще, контраст по сравнению с вещественным случаем весьма глубок. Например, любая замкнутая кривая на вещественном многообразии может быть непрерывно деформирована многими способами и деформированные кривые образуют бесконечномерную систему. (Этот факт, не зависит от класса дифференцируемости кривой и,- многообразия. Он выполняется как для Cto, так и для С°°, С1 или С°.) Напротив, замкнутая голоморфная кривая (которая с вещественной точки зрения является замкнутой поверхностью) на фиксированном комплексном многообразии может быть деформирована только в пределах конечномерной голоморфной системы. В некоторых случаях кривую вообще нельзя деформировать (нульмерная система).

Далее рассмотрим гладкие преобразования компактного многообразия в себя. В вещественном случае мы всегда получаем систему с бесконечным числом параметров, а в комплексном случае— систему с конечным (возможно, нулевым) числом параметров. Действительно, мы только что отметили один из подобных примеров, в котором шестипараметрическая группа Лоренца была реализована как группа голоморфных преобразований римановой сферы в себя. Тесно связана с этим проблема жесткости комплексной структуры. Может оказаться, что непрерывное (или голоморфное) связное семейство комплексных многообразий устроено таким образом, что любые два члена этого семейства комплексно диф- феоморфны (так будет, например, если один из членов совпадает с РТ); в случае компактных многообразий такое семейство может содержать лишь дискретную или конечнопараметрическую систему комплексно недиффеоморфных многообразий; в некомпактном случае оно может иногда содержать и бесконечнопараметрическую систему (например, если один из членов совпадает с Р0+). Тот факт, что информация, содержащая бесконечное число параметров, может быть «заложена» в глобальной структуре (некомпактного) комплексного многообразия — в то время как локально единственной информацией является размерность многообразия,— имеет решающее значение в твисторной теории взаимодействий.

Изучение упомянутых выше вопросов приводит к теории когомологий с коэффициентами в пучках, которая лежит в основе комплексной дифференциальной топологии. (Можно сказать, что теория пучков описывает «линеаризованную топологию» малых возмущений.) Оказывается, что (голоморфная) теория пучков по-

лезна в твисторном формализме также и по другим причинам. Ниже следует краткое описание необходимых сведений из этой теории ([1], [3], [19]).

Пусть X — (хаусдорфово, паракомпактное) комплексное многообразие и °И = {(/,} — локально конечное покрытие X открытыми множествами. Чтобы задать пучок У, выделим (подходящий) класс функций, определенных на открытых подмножествах X. Для определенности будем считать эти функции произвольными голоморфными функциями на X. Но в более общем случае они могут быть голоморфными сечениями комплексных векторных расслоений. (В частном случае можно ограничиться постоянными функциями. Тогда нижеследующая конструкция приводит к стандартной теории когомологий Чеха в «обычной» топологии.) Для определения 0-коцепи (относительно покрытия ^ и с коэффициентами в пучке ^) нужно выбрать для каждого i функцию ^ (принадлежащую выбранному классу), определенную на множестве Ui покрытия °Ы\ для определения \-коцепи нужно сопоставить каждой паре множеств Ui, Uj покрытия ^ функцию f//, определенную на Ui^Uj» так, чтобы выполнялось соотношение fij =—Ьь Для определения 2-коцепи нужно для каждой тройки Ui, Uj, Uk выбрать функцию ^ijk, определенную на UtH Uj f\ Uk, причем fijk должны быть кососимметричны по индексам; и т. д. Кограничный оператор д сопоставляет р-коцепи а = Уи.Д (р + 1)-коцепь да = ^gi...^; если р = О, то gM = h — f^ если р=1, то gnu = ft* — fik + hf. если p = 2, то guki = fjki — fiki + fiji — fa^ и т. д. р-коцепь а называется коциклом, если да = 0, и кограницей, если она имеет вид а = др. (Все кограницы являются коциклами, так как д2 = = 0.) Обозначая через Н^ДХ, 90 факторпространство комплексного векторного пространства р-коциклов по подпространству р-кограниц и переходя к прямому пределу по все более мелким покрытиям °И многообразия X, получим в пределе пространство НДХ, 9^ называемое р-й группой когомологий X с коэффициентами в 9. (На практике необязательно переходить к этому пределу, поскольку имеются критерии того, что уже конкретное выбранное покрытие °И является достаточно мелким.)

Чтобы показать, как эти понятия связаны с теорией твисторов, опишем сначала кратко основы твисторного формализма ([6], [9], [14]). Твистор Za с компонентами (Z°, Z1, Z2, Z3) е С4 есть элемент четырехмерного комплексного векторного пространства Т. Физическая интерпретация твистора состоит в том, что он описывает импульс ра и угловой момент МаЬ безмассовой частицы в плоском пространстве-времени по правилу:

Z° = co°) Z1=co1, 72 = Ло', Z3 = Л|', гдерАД, = лллЛ', МАА'вв — /со^л^’е^5' — i^AB<ptA л83

(круглые скобки означают симметризацию, прописные латинские индексы используются для стандартных спинорных обозначений, сопоставляющих вектору с компонентами Vй наборы V и Уда' посредством равенств V00 =Ухх-= 2~'12 (V°-V У'У V°v=—VX0' = = 2-1/2(У2 + /И), V10' = - Voi' = 2~1/2(V2 - IV3), Vй' = Voo' = 2’1/2Х X (V° — V1), сигнатура пространства-времени равна Н). Комплексно сопряженный твистор Za принадлежит пространству Т*, дуальному к Т, стандартные компоненты Za связаны ^компонентами Za посредством равенств Zo = Z2, Z\ = Z3, Z^ = Z°, Z3 = = Z1. Положим_

Za = (шл, лл0, Za = (лл, сол ),

ZaZa = (оллл + лЛ'ШЛ = 2s;

тогда s будет совпадать со спиральностью безмассовой частицы, которая определяется равенством Sa=spa, где Sa = ~eabcdpbMcd — вектор спина Паули — Любаньского. Заметим, что сол зависит от выбора начала отсчета в отличие от лл^.

Для того чтобы получить соответствие между твисторами и геометрией пространства-времени, определим отношение

точка х принадлежит твистору Za <=> сол = 1хАА‘лл^, где ха — радиус-вектор точки хе СМ относительно выбранного начала отсчета. Только при s = О (т. е. для изотропного твистора Za: ZaZa = 0) Za содержит вещественные точки, и в этом случае множество таких точек х есть изотропная прямая в М (в предположении Za#=0). В общем случае множество комплексных точек на Za является вполне изотропной (т. е. имеющей только изотропные касательные векторы), вполне геодезической двумерной комплексной поверхностью в СМ, касательные векторы которой имеют вид Лллл' с фиксированным лл' и меняющимся V. Дуальный твистор Wa определяет соответственно вполне изотропную двумерную поверхность комплексно сопряженного типа (V фиксировано, лл' изменяется). Твисторное отношение ортогональности ZaWa = 0 является условием того, что две вполне изотропные поверхности имеют общую (комплексную) точку.

Пространство Т разбивается на три непересекающиеся области Т", N, Т+, на которых ZaZa соответственно отрицательно, равно нулю или положительно. Проективное твисторное пространство РТ есть множество классов эквивалентности {XZa|Xe.C, X #= 0} с Za =# 0. Оно имеет структуру С.Рз и разбивается на три соответствующие области PT-, Т N, РТ+. Заметим, что «фазовые» преобразования Zai—>^’eZa (0 вещественно) не изменяют величин ра и МаЬ в отличие от вещественных масштабных преобразований Z^. Сказать, что Za описывает правосторонний «классический фотон», — значит фиксировать вещественный масштаб посредством

равенства 2s = ZaZa = 2 (выбирая единицы так, чтобы Й = 1). Таким образом, как и было указано ранее, пространство РТ+ описывает правосторонние фотоны, а РТ~— левосторонние фотоны (ZaZa =—2). Теперь легко устанавливаются различные упомянутые выше свойства этих пространств, при этом группа SU(2,2) возникает ввиду того, что эрмитова форма ZaZa имеет сигнатуру

‘ Переходя к схеме (первичного) квантования, будем считать Za и Za операторами, удовлетворяющими правилам коммутации [z“, Zp] = О, [Za, Zpl = dg, [Zo, Zp] = 0.

Такой выбор схемы квантования мотивируется различными соображениями. Он совместим с обычным каноническим квантованием координат и импульсов, но, по-видимому, вносит дополнительную «твисторную» особенность, которая выражается в том, что спиральность и фаза твистора становятся сопряженными переменными. Этот выбор совместим также с конформной инвариантностью безмассовых полей и с некоторыми соображениями из общей теории относительности ([7]). Указанные особенности связаны с тем, что форма idZa^dZa в классическом случае является естественной инвариантной симплектической формой на Т. Выбор твистор- ных переменных Za фактически означает, что в качестве основы процедуры квантования мы выбрали комплексную поляризацию ([20]). Этот подход отличается от подхода Сурьо [18], в котором используется вещественная поляризация безмассовых частиц, а в качестве переменных выбираются не Za = ^A, лл^), а (лл, лЛ'). Преимущество твисторного подхода состоит в очевидной конформной инвариантности теории, но необходимость выбора голоморфных функций f(Za) в качестве волновых функций (поскольку «независимость / от Za» совпадает с условием голоморфности df/dZa = 0) неизбежно приводит к теории когомологий пучков.

Оператор Za, действующий на f(Za), представляется теперь оператором —d/dZa. Подставляя его в выражения для ра и МаЬ (т. е. заменяя ол' на — д/длЛ', а лд на —д/дог4), мы получим дифференциальные операторы, которые удовлетворяют обычным соотношениям коммутации, где ра и МаЬ обозначают инфинитезимальные генераторы соответственно трансляций и лоренцевых вращений в группе Пуанкаре. При твисторном определении соответствующих операторов не возникает никаких проблем упорядочения сомножителей. С оператором спиральности § нужно быть осторожнее, но результат определен однозначно:

S = -(zaZa + ZaZa) = -lza-^-- 1.4““'2 dza

Отсюда следует, что твисторная волновая функция f(Za) безмас- совой частицы спиральности s должна быть однородной степени —2s —2.-

Из голоморфности f вытекает, что ее область определения не может совпадать со всем Т и даже со всем Т+. Однако мы можем интерпретировать f по-другому, а именно как функцию, задающую 1-коцикл, определяющий элемент первой группы когомологий. Характер однородности / указывает на то, что ее можно рассматривать как «подкрученную функцию» (т. е. сечение комплексного линейного расслоения) на подмножестве в РТ. Голоморфные подкрученные функции степени однородности п задают пучок на РТ, который будет обозначаться (Цп). В простых случаях можно использовать покрытие РТ+ двумя открытыми множествами Щ и (/2, пересечение которых jVi П ^2 есть область типа кольца. На ней задается функция f = f12 = —/21 с особенностями, лежащими в двух непересекающихся подмножествах РТ+, а именно Uy — U2 и U2—Щ. В более общих случаях может понадобиться больше открытых множеств и соответственно больше функций. Но в любом случае правильное твисторное описание волновой функции безмассовой частицы спиральности s ([И]) состоит в том, что она является элементом группы когомологий

2s-2))..

Использование РТ+ автоматически обеспечивает выполнение условия положительной частотности; продолжимость на замыкание PX+=PT+U N гарантирует нормируемость волновой функции. Для РТ+ вполне достаточно рассматривать покрытия двумя замкнутыми множествами, но саму конструкцию можно обобщить и на случай, когда РТ+ заменяется каким-либо другим подмножеством X в РТ. Тогда может понадобиться более сложное покрытие.

Перевод на пространственно-временной язык совершается явно с помощью одного из двух следующих контурных интегралов ([8], [9], [10], [14]) (мы предполагаем, что находимся в простой ситуации, когда требуется единственная функция f; в противном случае понадобилось бы некоторое обобщение, использующее «разветвленные» контурные интегралы ([11])):

фдв 1 = АА1в:Аг№

АВ „ . L (2л/)2 ^ дюА дюв dtoL

(s = 0, -1 -1,...),

Ч*Д'В' ... L' ~ (2л/)2 Ф ^А'Лв' • • • nL'f (^ ^ d Л (s = 0, -^, 1, . . .), 2s

где'

Za = (о/, лл-) = ^ixAA пА', лЛ'), ^'и = dn^- л dnt-

Интеграл берется по замкнутому двумерному контуру в лЛ'-про- странстве для каждого фиксированного хлл' и дает значение поля ср., в точке х. Контур изменяется непрерывно при изменении х. Благодаря однородности f интеграл легко переписывается как интеграл по одномерному контуру, при этом d?n заменяется на 2ш (л0' dn{- — Л1' dn0'). Из этих выражений автоматически следует, что поле ф удовлетворяет уравнениям безмассового свободного поля:

□ Ф = 0 (s = 0), V^XSi.iL = 0 (s < 0),\аа'^а'в'... L' = о (s > б).

При s = + 1/2 получаем уравнение Вейля для нейтрино; при s = = + 1 имеем 2-спинорный вариант уравнений Максвелла для свободного поля; при s =+2— калибровочно инвариантную спинорную форму свободного линеаризованного поля Эйнштейна.

Заметим, что для сложения двух пространственно-временных полей (волновых функций) достаточно сложить соответствующие- элементы групп когомологий, однако последнее не обязательно- сводится к сложению их представителей — функций f. Причина! этого в том, что структуры особенностей обеих функций не обязательно совместимы. Другой очевидной аномалией является асимметрия между правосторонними (s > 0) и левосторонними (s<0) спиральностями. Ответ на начальном уровне понимания состоит в том, что симметрия восстанавливается переходом к дуальному твисторному пространству Т* и переписыванием интеграла в терминах Za. Это потребует введения понятия «твисторного преобразования» функций f, но мы не будем обсуждать здесь детали. Однако на более глубоком уровне понимания возникает вопрос: а нужно ли вообще стремиться к подобной симметрии? Имеются доводы ([13]) в пользу того, что СРТ-инвариантность несправедлива в полном объеме для всех взаимодействий в природе. Если это действительно так, то теория твисторов предлагает возможный формализм для изучения подобной ситуации. В качестве исходного пространства нужно будет выбрать тогда либо пространство твисторов Т, либо дуальное пространство Т*.

Теперь мы подошли к активной роли, которую играют твистор-' ные функции в образовании взаимодействий. Как было отмечено выше, для описания инфинитезимальных (или «линеаризованных») деформаций комплексных пространств можно воспользоваться теорией когомологий пучков. Взятие экспоненты от таких деформаций может привести к качественному изменению структуры. Рассмотрим сначала случай, когда f(Za) однородна степени нуль (фотон с отрицательной спиральностью: s = —1). Считая Т+ комплексным линейным расслоением над РТ+, используем / для деформации этого расслоения ([2]), с тем чтобы получить искривленную твисторную структуру £Г+. Для простоты предположим что Т+ покрыто двумя областями Ui и U^ и функция f определен<

на U\V\U^ где каждое (Л, U^ есть объединение слоев. (Таким образом, РТ+ есть объединение двух областей р(Л и Р(/2, поднятия которых в пространстве расслоения совпадают с (Л и U^ Чтобы получить пространство ^+, склеим области U\ и [/2 по-другому, а именно для Z^eU^ и Za^U^ определим функции перехода в ^+ на пересечении U\ П Uz с помощью равенства

Z“ = ef (za)Z“.

Тем самым ^+ наделяется структурой расслоенного пространства над РТ+. (Здесь необходимо, чтобы f имело однородность степени нуль, так как преобразованию Zab->'kZa должно соответствовать преобразование Zai—>XZa.)

Так как геометрия пространства-времени полностью определяется структурой проективного твисторного пространства, то пространственно-временная геометрия, соответствующая ^+, остается такой же, как для Т+, т. е. геометрией Минковского. Однако происходящее при этом изменение «фаз» твисторов приводит (в пространственно-временной интерпретации) к появлению «связности» на М, индуцированной электромагнитным потенциалом. Оказывается, эта связность соответствует тому же электромагнитному полю (или волновой функции), которое получается контурным интегрированием, но теперь мы можем считать, что она описывает фотон в активной функции, поскольку описание в твисторном пространстве включает в себя форму взаимодействия фотона. (Эта конструкция, использующая некоторые идеи Спарлинга, принадлежит Уорду [2].) *

Использование в качестве базы расслоения в приведенной выше конструкции подмножества РТ+ пространства РТ связано с тем, что мы рассматриваем свободный фотон положительной частотности. Однако это построение можно провести и тогда, когда в качестве базы выбираются другие подмножества X в РТ, надо лишь правильно обобщить рассуждения на случай, когда /V. покрывается более чем двумя открытыми множествами. Если X содержит «дыры», соответствующие мировым трубам в М, которые отвечают заряженной материи, приведенная выше конструкция будет применима только тогда, когда заряд каждой дыры является целым кратным некоторого фиксированного значения ([2], 1Ш).

Аналогичное построение может быть проведено и в случае гравитации ([12]), когда степень однородности / равна 2 (т. е. спиральность равна —2). Теперь «невозмущенное» пространство Т+ рассматривается как «расслоение» в другом смысле: роль базы играет спиновое л ^-пространство, а отображением проекции является отображение (сол, лЛ')н^лл/. (Хотя тем самым задана структура топологического расслоения на Т+, она, строго говоря, не является глобально голоморфной. Мы называем подобную структуру голоморфным слоением.) Мы хотим подходящим обра-

зом «деформировать» Т+, но для простоты на этом этапе не будем особенно заботиться о глобальной структуре деформированного пространства Т. Для упрощения предположим также, что Т строится с помощью двух открытых областей Ux, U2clT и функции Д определенной на пересечении Ux П ^2- Чтобы получить ^, склеим Ux и U2 по-другому, а именно для 2ае Ux nZaE U2 определим функцию перехода на пересечении Ux П ^2 равенством

Za = expZa = expАВ df(za) д дв>А д<йвАВ df(za) д дв>А д<йвZa.Za.

Za = exp

Za = exp

АВ df(za) д дв>А д<йв

АВ df(za) д дв>А д<йв

Za.

Za.

(Отметим наличие в этом равенстве экспоненты от оператора; ее появления можно избежать, воспользовавшись методом производящей функции ([12]).) Вид этого соотношения обеспечивает сохранение комплексной симплектической структуры ^лвд^А A dtoB в каждом слое, и то же самое верно для оператора Эйлера Z^d/dZ^. Взяв в качестве базы все спиновое ^'-пространство, мы получим, как и раньше, голоморфное слоение.

Для нахождения пространственно-временной интерпретации Тх необходимо определить «точки пространства-времени». Их роль будут играть голоморфные сечения Т; пространство этих сечений является комплексным четырехмерным многообразием, которое будет обозначаться через Ж. Будем говорить, что две точки Ж изотропно расположены, если соответствующие сечения Т пересекаются. Задаваемую этим определением комплексную конформную структуру на Ж можно продолжить до полной комплексной римановой метрики gab на Ж. Оказывается, что эта метрика автоматически удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в пустоте Rab = 0. Сверх того автодуальная («правосторонняя») часть тензора Вейля также обращается в нуль:.

С abed *= *2 (С abedICabcd) — 0j

в то же время антиавтодуальная («левосторонняя») часть, вообще говоря, не равна нулю:

Cabcd :== "^ (pabed 4“ iCabcd) ^ 0.

Такие «пространства-времена» (обязательно комплексные или с четной сигнатурой) называются правоплоскими ([12]).

Приведем спинорные представления этих тензоров:

^AA'BB'CC'DD' = гАВгСП^ A'B'C'D''

^AA'BB'CC'DD' = ^ ABCD^A'B^C'D^

где каждый тензор ^a'b'c'd' и ^abcd симметричен, причем в комплексном случае эти тензоры независимы. Для вещественного пространства-времени

^А'в'с'о'— ^a'b'c'dS

а для право (лево) плоского пространства-времени ^АВСП^.

При выполнении некоторых глобальных условий на 9", делающих его аналогичным Т+, пространство Т описывает левосторонний нелинейный гравитон. В пределе слабого поля это согласуется с общепринятым определением волновой функции гравитона с отрицательной спиральностью в терминах безмассового представления со спином 2 группы Пуанкаре. Однако в нашем случае само- действие гравитона совместимо с нелинейностями и кривизной теории Эйнштейна ([12]). (Именно этот подход к нелинейному гравитону, использующий приведенное выше экспоненциальное операторное выражение, был развит Спарлингом [2], которому удалось показать, что кривизна в пределе слабого поля совпадает с кривизной, задаваемой контурным интегрированием (с той же самой f), т. е. Vabcd = ^abcd* Общая твисторная конструкция правоплоских «пространств-времен» опирается на более раннюю работу Ньюмана [4], относящуюся к асимптотически плоским «пространствам-временам» и связанным с ними «^-пространствам».)

Заметим, что в пределе слабого поля можно взять вещественную часть комплексного поля, которая будет по-прежнему удовлетворять линеаризованному уравнению безмассового поля со спином 2. Приведенная выше конструкция дает в действительности общее решение. В нелинейном случае мы по-прежнему имеем столько же свободы, что и в нашей конструкции правоплоских комплексных «пространств-времен», но у нас нет пока способа «выделения вещественной части». Если бы такой способ был найден, мы получили бы средства для построения общего решения уравнений Эйнштейна в пустоте!

Для дальнейшего развития теории твисторов по разным причинам необходимо ввести в рассмотрение произведения твисторных пространств, например TXT* и ТХТХТ, и исследовать когомологии и деформации подмножеств этих произведений. В случае уравнений Эйнштейна наиболее естественным представляется изучение деформаций подмножеств ТХТ* или CN = {Za, Wa | ZaU7a = О) с= Т X Т*, поскольку информацию по крайней мере о конформной структуре общего пространства-времени можно заложить в глобальную комплексную структуру этих пространств ([9]). Произведения ТХТ и ТХТХТ возникают в общей твисторной схеме ([10]) при описании лептонов и адронов соответственно (хотя, возможно, вместо одного или нескольких из этих Т следует использовать дуальное пространство Т*— в начальной стадии это не приводит к существенным различиям). Изложим указанную схему.

Основная идея состоит в том, чтобы вместо функций одного гвистора f(Za), характеризующих безмассовые частицы и полял

аналогичным образом использовать голоморфные функции нескольких твисторов F (za, .Za) для описания разного рода 1п

массивных частиц. Точнее, мы будем иметь дело не с самими функциями F, а с элементами групп когомологий, которые они определяют. Следовательно, на первом этапе мы будем рассматривать когомологии подходящих подмножеств, пространств TXT или TXT XT, например, с тем чтобы получить твисторное описание свободных массивных частиц. Можно ожидать, что на следующей стадии деформации этих пространств окажутся полезными при изучении взаимодействий между частицами. Однако в настоящий момент в этом направлении известно немногое, поэтому ограничимся обсуждением твисторного формализма свободных частиц.

Сначала мы введем мультитвисторные выражения ([9], [10], [14]) для импульса и углового момента:

п

Раа' = 2 ^а' = — Е лА-д/д<йА,Г—1 Г ГГТ

МАА,ВВ' __ X ^Iti^A^B^A'В' — l^AB^A'^B'Y^ =г=1 г гг г

= У {— UA'B'^AQjg^^ _|_ ^АВ^А'^^,^г—\г гг г

где Za = (®л, лЛ') = ^1хАА лЛ', лЛ').г г гг г

Тогда т2 = Раа'Раа'(^ 0 ПРИ обычных предположениях). Подходящие функции F порождают пространственно-временные поля (волновые функции) посредством контурных интегралов:

Фа' ... С ... Е' ... Н (х) =

“ ,0 \г» ф ЛД' • • • "Тс" ... лв- ... -^ F (Za) d'uK ... N d^. (2ш)^л J i^(o rдю г ।n

n

Если на F не накладывать никаких ограничений, можно построить много подобных полей, подставляя под интеграл различные произведения переменных л и производных д/дсо. Однако, потребовав, чтобы F было общим собственным состоянием для некоторой полной системы коммутирующих операторов, мы обеспечим отличие от нуля не более одного из этих полей, причем это поле будет неприводимо относительно группы Пуанкаре. Таким образом, функция F (или элемент группы когомологий, который она задает) может быть использована для построения волновой функции частицы, но она содержит больше информации (квантовых чисел), чем такая волновая функция, а именно различные собственные значения указанных операторов. (Иногда эти собственные значения невозможно описать в терминах пространственно-временных полей — важное наблюдение, принадлежащее Спарлингу,—

и в настоящий момент мы думаем, что такие функции F характеризуют высшие резонансы.)

Требуемая полная система коммутирующих операторов принадлежит обертывающей алгебре инфинитезимальной «внутренней» твисторной группы (квантованных) линейных преобразований переменных Za и Za, сохраняющих величины ра и МаЬ. К ним при- г г

надлежит операторы спина и массы, определяемые однозначно, а также различные другие операторы, определяющие дополнительные внутренние квантовые числа.

- Твисторная гипотеза о структуре частиц ([10]) состоит в том, что этими числами исчерпываются все квантовые числа элементарных частиц в природе, т. е. функция F (или ее класс когомологий) дает полное описание частицы, включая как ее внешние, так и внутренние параметры. Я не буду вдаваться здесь в подробное обсуждение этих вопросов (основанное во многом на работах Пе- реша [15], [16], [17], Хьюстона [2] и Спарлинга [17]), упомяну о них лишь в общих чертах. Во-первых, имеются 1-твис:орные частицы. Они безмассовые (описываются функциями f(Za), см. выше) и имеют «внутреннюю» группу U (1) (задаваемую преобразованиями Zab—>ei6Za)1 определяющую квантовое число — спиральность. Во-вторых, имеются 2-твисторные частицы; мы предполагаем, что это лептоны ([2]). Для них «внутренняя» группа является двукратным накрытием группы О(3)Х^(2) (где Е^— евклидова группа на плоскости). Имеются два неидентифициро- ванных квантовых числа, относящихся к заряду и электрон-мюон лептонным числам. В-третьих, имеются 3-твисторные частицы, которые мы считаем адронами ([2], [15], [16], [17]). В качестве «внутренней» группы, по-видимому, может быть взята ([15]) «неоднородная группа 5(7(3)», квантовые числа которой могут быть связаны с квантовыми числами обычной 5(7(3)-теории. Итак:

| Внешние""] | Скалярные]

ТГ: безмассовые частицы- 4ТГ: безмассовые частицы- 4ТГхтг: лептоны 2ТГхтг: лептоны 288коммутирующих операторакоммутирующих операторовкоммутирующих операторовкоммутирующих операторакоммутирующих операторовкоммутирующих операторов33441122оо22ТГхЦ хТ: адроны ?ТГхЦ хТ: адроны ?1212442266

ТГ: безмассовые частицы- 4

ТГ: безмассовые частицы- 4

ТГхтг: лептоны 2

ТГхтг: лептоны 2

8

8

коммутирующих оператора

коммутирующих операторов

коммутирующих операторов

коммутирующих оператора

коммутирующих операторов

коммутирующих операторов

3

3

4

4

1

1

2

2

о

о

2

2

ТГхЦ хТ: адроны ?

ТГхЦ хТ: адроны ?

12

12

4

4

2

2

6

6

От этой схемы, видимо, нужно дополнительно потребовать, чтобы любая n-твисторная частица допускала описание как

(n _|_ 1).твисторная частица, возможно с некоторым «перемешиванием», возникающим между двумя наборами твисторов (и связанным с углом Кабиббо). В этом состоит основная проблема «увеличения размерности твисторов»; один перспективный подход к ней дается теорией когомологий пучков ([11]).

Близкая проблема возникает при твисторном описании многочастичных состояний. Снова необходимы функции нескольких твисторов, при этом выражения для ра и МаЬ можно взять такими же, как и раньше. Но контурные интегралы для волновых функций уже не совсем такие, как для одночастичных состояний, и это указывает на то, что для одночастичных и многочастичных состояний необходимы разные группы когомологий подмножеств Т X Т X • • • ...XT. Сейчас становится очевидным, что всестороннее твистор- ное описание квантовой теории поля (которая развивалась до сих пор урывками, используя несколько явных контурных интегралов) должно существенно опираться на комплексную теорию когомологий пучков.

ЛИТЕРАТУРА

Gunning R. С., Rossi Н. Analytic functions of several complex variables.— Englewood Cliffs, N. J.; Prentice Hall, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969.]

Hughston L. Р., Penrose R., Sparling G. A., Ward R. In: Twistor Newsletter., № 1, 1976 ’).

Morrow J., Kodaira K. Complex manifolds. — N. Y.: Holt, Rinehart and Winston, 1971.

Newman. E. T. Gen. Rei. Grav. 7 (1976), 107.

Penrose R. Proc. C^mb. Phil. Soc. 55 (1959), 137.

Penrose R. /. Math. Phys. 8 (1967), 345—366.

Penrose R. I nt. J. Theor. Phys. 1 (1968), 61.

Penrose R. /. Math. Phys. 10 (1969), 38—39.

Penrose R. In: Quantum gravity. Isham C. J., Penrose R., Sciama D. W. .(eds.). — Oxford: Clarendon, 1975, pp. 268—407.

Penrose R. In: Quantum theory and the structures of time and space. Castell L, Drieschner M., Weiszacker C. F„ Hanser C. (eds.). — Munchen, 1975.

Penrose R. In: Twistor Newsletter, № 2, 1976 9

Penrose R. Gen. Rei. Grav. 7 (1976), 31—53. [Перевод в этом сборнике.] 13. Penrose R. In: Volume in honour of S. Chandrasekhar. Lebovitz N. (ed.).— Chicago: Chicago Univ. Press, 1977.

Penrose R., MacCallum M. A. H. Phys. Rep. 6C (1973), 241—316. [Перевод в этом сборнике.]

Perjes Z. Phys. Rev. 1 ID (1975), 2031.

Perjes Z. Rep. Math. Phys. 12 (1977), 193—211.

Perjes Z., Sparling G. A. J. preprint, 1976.

Souriau J.-M. Structures des systemes dynamiques. — Paris: Dunod, 1970.

Wells R. O. Jr. Differential analysis on complex manifolds. — Englewood Cliffs, N. Y.: Prentice Hall, 1973. [Имеется перевод: Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.]

Woodhouse N. М. J. In: Group theoretical methods in physics. — Berlin: Springer-Verlag, 1976.

9 См. примечание 13 в литературе к предпоследней статье данного сборника.— Прим. ред.

КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯи математическая физика1)

Р. О. Уэллс

Введение -

За последние несколько лет были выявлены замечательные связи между двумя довольно отдаленными областями исследований, а именно между теорией комплексных многообразий, с одной стороны, и математической физикой — с другой. Теория комплексных многообразий своими корнями уходит в теорию римановых поверхностей и алгебраическую геометрию; она достигла в этом столетии значительного прогресса* благодаря внедрению в нее идей алгебраической топологии, дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных и т. д. Развитие математической физики нашего столетия связано главным образом с теорией относительности, квантовой механикой, квантовой электродинамикой и квантовой теорией поля. Большинство этих теорий формулируется на языке уравнений поля, т. е. уравнений в частных производных, решения которых (удовлетворяющие определенным граничным условиям) описывают физические или измеримые величины. Упомянутая выше связь между теорией комплексных многообразий и математической физикой состоит в том, что во многих случаях решения данного уравнения поля можно записать полностью в терминах комплексных многообразий, голоморфных векторных расслоений или классов когомологий на открытых комплексных многообразиях с коэффициентами в определенных голоморфных векторных расслоениях. Упрощая ситуацию, можно сказать, что подходящей заменой основного геометрического пространства уравнения поля сводятся к уравнениям Коши — Римана.

Цель этой статьи — дать обзор некоторых из этих взаимосвязей, интенсивно изучавшихся последние несколько лет.

В § 2 мы приводим ряд известных нам главных взаимосвязей между теорией комплексных многообразий и математической физикой. В остальной части статьи мы ограничиваемся одним из упомянутых в § 2 вопросов и развиваем его более подробно. Именно, мы изучаем представление решений уравнений Максвелла (и более общих, но не требующих дополнительной работы уравнений безмас-

’) R. О. Wells, Jr. Complex manifolds and mathematical physics. — Bulletin о/ the American Mathematical Society, v. 1, No 2, March 1979.,

.© 1979 American Mathematical Society

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

сового поля) в терминах классов когомологий на некоторых открытых подмножествах Рз(С) с коэффициентами в определенных голоморфных линейных расслоениях.

В § 3 мы описываем геометрию пространства Минковского. В § 4 вводится соответствие Пенроуза между пространством тви- сторов и пространством Минковского. В этом и состоит упомянутая выше замена основного пространства, при которой точки пространства-времени переходят в комплексные проективные прямые в Р3(= проективные твисторы), а точки определенной вещественной гиперповерхности из Р3 переходят в изотропные прямые или световые лучи в пространстве Минковского. Геометрия твисторного пространства играет важную роль и изучается с некоторыми подробностями в § 4 и 5. В § 6 мы вводим язык спиноров, позволяющий записать ряд уравнений математической физики в компактном виде, что и проводится в § 7. В § 8 дается краткий обзор основ теории голоморфных векторных расслоений и когомологий на комплексных многообразиях. В § 9 показывается, как определенные когомологические классы посредством соответствия Пенроуза порождают решения уравнений безмассового поля (включая решения уравнений Максвелла). В § 10 мы кратко поясняем, почему уравнения безмассового поля естественным образом возникают из соответствия Пенроуза.

Я хотел бы выразить свою признательность Роджеру Пенроузу, чьи лекций в Питтсбурге летом 1976 г. побудили меня подробнее изучить этот предмет, за его гостеприимство и долгие дискуссии в Оксфордском университете и за его замечания по поводу первого варианта этой статьи. Я также хочу поблагодарить П. Дольбо, П. Лелона и П. Малявена за их приглашение прочитать лекции в Университете Парижа VI, где эти лекции впервые были записаны. Наконец, я хочу поблагодарить Исидора Зингера и Ричарда Уорда за их полезные замечания к первому варианту рукописи; в частности, Зингер высказал предположение, что уравнения безмассового поля должны быть следствием «интегральной геометрии» соответствия Пенроуза, что я кратко описал в § 10.

Взаимосвязь теории комплексных многообразийи математической физики: резюме

Мы хотим дать краткий обзор установленных недавно взаимосвязей между некоторыми областями математической физики и общей теорией комплексных многообразий. Сюда относятся, в частности, релятивистские волновые уравнения для частиц с нулевой массой покоя и уравнения Эйнштейна общей теории относительности. Большая часть этих взаимосвязей основывается на соответствии между Рз(С) и комплексификацией компактифицированного пространства Минковского, установленном Р. Пенроузом. Это соответствие

переводит задачи математической физики в пространстве Минковского в задачи теории многих комплексных переменных на (подмножествах) Р3(С). Взаимосвязь осуществляется на различных уровнях, и мы дадим в некотором роде исторический обзор.

Физические вопросы, которые мы попытаемся описать в терминах голоморфных объектов, включают:

Пространство Минковского Мо = {R4, снабженное плоской лоренцевой метрикой с сигнатурой (Н)} (§ 3).

Решения уравнений Максвелла в Мо (§ 7).

Решения уравнений безмассового поля со спином s в Мо.

s = 1/2: уравнение нейтрино Дирака — Вейля,

s = 1: уравнения Максвелла,

s = 2: линеаризованные гравитационные уравнения Эйнштейна, соответствующие «слабым гравитационным полям» (см. § 7).

Решения уравнений гравитационного поля Эйнштейна в искривленном пространстве-времени.

Решения уравнений поля Янга — Миллса с произвольной калибровочной группой.

Первые три вопроса подробнее обсуждаются в последующих параграфах статьи. Два последних вопроса коротко рассматриваются в этом введении.

Все перечисленные уравнения можно выписать в явном виде, используя определенные обозначения, разработанные в течение многих лет в математической физике, включая специальные системы координат, тензоры и спинорные обозначения ван дер Вардена, некоторые из которых будут приведены ниже. В этом параграфе мы, избегая обозначений математической физики, обсудим общие аспекты интересующих нас физических полей, чтобы понять, какого рода голоморфные объекты полезны при их описании.

Твисторная геометрия. Твисторная геометрия лежит в основе приложений теории комплексных многообразий к математической физике. Коротко,

Т = {твисторы} = {С? с эрмитовой формой Ф с сигнатурой

(+ Н)}•

Положим

Т+ = (Z е Т: Ф (Z) > 0} — положительные твисторы,

Т° ^ {2 g Т: ф (Z) = 0} —- изотропные твисторы,

T = {Z gT: Ф (Z) < 0} — отрицательные твисторы.

Переходя в проективное пространство, получим соответствующие подмножества проективного твисторного пространства р (Т) = = Рз(С), именно: Р^ Рз/Гр (с однородными координатами из Т+, Т°, Т” соответственно). Положим N = Рз‘, видно, что N — пятимерная вещественная гиперповерхность в Р (Т), разделяющая

Р(Т) на две комплексно аналитически эквивалентные части: Рз" и Рз". В частности, Рз" и Рр не являются многообразиями Штейна и не допускают голоморфных функций, отличных от постоянных. Комплексные многообразия Рз", Р^" и их общая топологическая граница N, которая представляет собой вещественно аналитическую гиперповерхность (с формой Леви, имеющей два собственных значения противоположного знака), и являются областями определения интересующих нас голоморфных объектов. На твисторном пространстве действует группа SU (2,2), которая является четырехкратной накрывающей конформной группы, действующей на (компактифицированном) пространстве Минковского, что будет показано в § 3. Здесь имеется аналогия со спинорами, образующими пространство представления группы SL(2, С), двукратной накрывающей группы Лоренца. Конформная группа содержит группу Лоренца как собственную подгруппу (см. § 3), поэтому твисторы являются обобщением спиноров. Полевые уравнения частиц, движущихся со скоростью света (с нулевой массой покоя), конформно инвариантны и, следовательно, доступны изучению в терминах твисторов (нейтрино, фотоны и т. п.). Частицы с ненулевой массой покоя в последнее время также изучались в терминах твисторов, но этот вопрос пока еще не так ясен (Хьюстон [12], Пенроуз [23]).

Обозначим через М компактифицированное пространство Минковского; это компактное четырехмерное лоренцево многообразие (^^XS3), содержащее открытое плотное подмножество, конформно эквивалентное плоскому пространству Минковского Мо (см. Кёйпер [13], Пенроуз [17]). Наглядно пространство М есть Moll {световой конус в оо}. Его можно реализовать явно в виде квадрики в Ps(R), где конформная группа индуцируется проективными преобразованиями.

Между М и ^czP(T) имеется взаимно однозначное соответствие Пенроуза;.

{комплексные прямые в N^ <-> {точки в М}, {точки в N^ <-> {изотропные прямые в М}.

Изотропные прямые суть кривые, касательные векторы которых имеют нулевую длину в метрике Минковского, и ясно, что множество изотропных прямых зависит только от конформной структуры М, а не от конкретного выбора метрики. Они являются траекториями движения частиц с нулевой массой покоя. Более общим образом введем четырехмерное комплексное многообразие М, ком- плексификацию вещественного многообразия М, для которого указанное выше соответствие допускает следующее расширение: {комплексные прямые в Р(Т)}«-*М

tt

{комплексные прямые в N^ М

при этом М оказывается не чем иным, как грассмановым многообразием 62, 4(C) двумерных комплексных подпространств в _СД которое, очевидно, эквивалентно множеству всех комплексных прямых в Рз(.С). Это соответствие с многочисленными приложениями развивалось в работах [17] — [23]. Мы изучим его подробнее в § 4.

Теорема Робинсона — Керра. Рассмотрим изотропное решение однородного уравнения Максвелла в Л40, т. е. 2-форму F на Мо> удовлетворяющую условиям

dF = a*F = 0 (Максвелл),

|| F || = || *F || = 0 (изотропность), где * означает оператор Ходжа, a d*— оператор, сопряженный с d относительно лоренцевой метрики на Мо. Это специальный класс «симметричных» решений уравнения Максвелла, для которых

Ряс. 1. Закрученные, ио бессдвиговые линии тока.

электрическое и магнитное поля имеют одинаковые напряженности и ортогональны. Робинсон [26] показал, что имеется соответствие между (локальными) изотропными решениями уравнений Максвелла и бессдвиговыми изотропными конгруэнциями (= бессдвиговые изотропные одномерные слоения). Здесь термин «бессдвиго- вый» относится к дифференциальному уравнению первого порядка, которому удовлетворяет векторное поле, порождающее конгруэнцию (или слоение)1).

Это согласуется с общепринятым понятием «сдвига» в классической механике сплошной среды. Для наших целей не потребуется уточнять этот термин, укажем лишь, что линии тока описывают поток электромагнитного излучения, который не может быть произвольным, но удовлетворяет ограничению, задаваемому условием бессдвиговости. Далее, изотропная конгруэнция локально является трехмерным семейством световых лучей (изотропных прямых), что в силу соответствия Пенроуза (§ 2А) отвечает трехмерному множеству точек из WczP(T). Обозначая эту конгруэнцию через С, а соответствующее параметризующее подмножество из N через С, получим теорему Керра: если данная конгруэнция вещественно аналитична, то

С бессдвиговая <^С = N П Ус»

По поводу конгруэнций и их свойств см. обзор [16*]. — Прим, перев.

где 1/с — локально определенное двумерное комплексно аналитическое подмногообразие.

Теорема была установлена в'статье Пенроуза [17], новое доказательство дано в [9]!).

Это был первый случай, когда объекты комплексного анализа (комплексное подмногообразие Vc) возникли при изучении полевых уравнений в твисторном контексте, и именно он стимулировал

дальнейшие исследования. Полученный результат был обобщен Пенроузом и Лернером (см. [14]), заметившими, что если конгруэнция С принадлежит хотя бы классу С1, то подмногообразие С максимально комплексно в Р3 (в данном случае последнее озна^ чает, что его голоморфное касательное пространство в каждой точке комплексно одномерно). Многие глобальные вопросы, относящиеся к теореме Робинсона — Керра, еще не решены, в частности, не выяснена их связь с недавними результатами Харви — Лоусона [10].

С. Контурные интегралы. Теорема Робинсона — Керра получила обобщение в виде представления Пенроуза контурными интегралами решений уравнений Максвелла, уже не обязательно изотропных. Обозначим через (^i,22, 23) локальные координаты в Р‘(Т) и рассмотрим аффинное отображение

мо х с Р (Т), (т, К) (zb z2, z3).

9 См. также статью Пенроуза и Уорда в этом сборнике. — Прим, перед»

Положим

Фг ("0 = jr §х1№, m))dX, r = 0, 1, 2,

где f — функция, голоморфная no (zi, z3, z3) вне некоторого множества особых точек, Кт — гладко изменяющийся контур в хН^ХС) (комплексная прямая в Р3), на котором функция f голоморфна. При надлежащем выборе отображения % оказывается, что если функция j однородная степени —4 по (zi.zi, z3), то семейство фо, фь фа дает локальные решения уравнений Максвелла. Именно если F = F+ + F~, где *F+ = iF+, * F~ — ~iF~< то форме

F~ = F;bdxa ^xb

соответствует (в спинорных обозначениях, см. § 6) величина

^AB^A'fiS

где фоо = Фо, Фю = Фь фи = ф2, матрица фдв симметрична по индексам А, В, а гА^вг — постоянная кососимметрическая матрица (см. § 7). По величинам фо, Ф1 и ф2, даваемым контурным интегралом, форма р- находится алгебраическими выкладками, аналогичное представление существует и для Ё^. В этом смысле мы говорим, что решения уравнений даются контурными интегралами. Этот подход развит в статьях [19], [20], подробное изложение имеется в работах [25] и [21], содержащих много просчитанных примеров.

Замечания. (1) Таким образом можно получить все веще- етвенно аналитические решения.

Если / не имеет внутри контура полюса или какой-либо Другой особенности, то получим тривиальное нулевое решение.

Если / имеет один простой полюс внутри контура, то получим изотропные решения, согласующиеся с упомянутыми выше «решениями Робинсона — Керра». Дивизор, определяемый простым полюсом, задает бессдвиговую конгруэнцию, соответствующую по теореме Робинсона — Керра изотропному решению урав- йёния Максвелла.

Описанная процедура дает только вещественно аналитические решения, однако если мы выйдем в комплексную область в М, то получим голоморфные решения, а любое не вещественно аналитическое решение, например из классов С°°, обобщенных функций или гиперфункций, можно выразить через граничные Значения голоморфных функций.

Эта же процедура годится и для безмассовых полей со спином s ^ 0, надо только потребовать, чтобы функция / была однородной степени —2s — 2 (см. § 7).

D. Когомологические классы. Приведенное выше описание решений уравнений Максвелла не является Пуанкаре- или конформно-инвариантным, а функция / определяется по полю неоднозначно. Положение улучшилось, когда стало ясно, что фигурирующая выше функция / есть локальный представитель класса когомологий с коэффициентами в некоем расслоении, зависящем от степени однородности /. Это привело к соответствию (см. Пенроуз [23])

№•1 (р^, я_&'2)^(№•1 (р^, я_&'2)^(волновые функции безмассовой частицы со спиральностью s

№•1 (р^, я_&'2)^(

№•1 (р^, я_&'2)^(

где #^>Рз—расслоение гиперплоского сечения над многообразием Рз. Подробнее эта связь описывается в § 8—10.

Приведенное выше соответствие между когомологиями и волновыми функциями практически можно осуществить, используя один из следующих подходов:

контурные интегралы с ветвлениями (см. [25]);

представление Дольбо, ф =... алО, где а — некоторая

Pi

d-замкнутая (0, 1)-форма, задающая класс в Н°* (Рз*, Т/”26”), а 0 — определенная (1,0) -форма ([35], см. § 8);

«метод расщепления» Уорда — Спарлинга [29].

Интегральная геометрия позволяет описать это соответствие строгим и инвариантным образом (см. § 10).

Очень коротко, идея состоит в следующем. Пусть р0 — точка из М и W — ее окрестность. При соответствии Пенроуза точке ро отвечает комплексная прямая Ло^Рз, а окрестности 117—окрестность U прямой Lo. Паре точек рьр2 из W, соединенных изотропной прямой в W, отвечают комплексные прямые L\ и L^ пересекающиеся в U (точке пересечения Q соответствует изотропная прямая I из см. рис. 3 и 4).

Известно, что в действительности Li пересекает L^ тогда и только тогда, когда точки pi и р2 соединены изотропной прямой в М (факт из элементарной твисторной геометрии). Деформируем теперь каким-либо образом комплексную структуру окрестности U (на примерах это можно проделать в явном виде): мы получим «нелинейную» окрестность 0, изображенную схематически на рис. 5.

Теорема Кодаиры утверждает, что в этой деформации О имеется четырехмерное комплексно аналитическое семейство голоморфных кривых, гомологичное четырехмерному семейству комплексных прямых в U. Определим ^ как пространство, параметризующее это семейство голоморфных кривых; фактически это четырехмерное комплексное многообразие.. Многообразие ^ будет окрестностью некоторой фиксированной точки р0, соответствующей фиксированной голоморфной кривой £о- Пару точек р\, р^ из ^

мы будем называть изотропно расположенной, если соответствующие кривые £i и £2 пересекаются. Такое определение задает общую автодуальную конформную структуру на ^. С помощью дополнительных построений в этом конформном классе можно определить голоморфную лоренцеву метрику (вообще говоря, с нетри

виальной кривизной) на W, удовлетворяющую уравнениям Эйнштейна в пустоте. Дальнейшие детали этой конструкции имеются в статье Пенроуза [22].

F. Уравнения поля Янга — Миллса. Уравнения Максвелла описывают электромагнитные взаимодействия. Уравнения Янга — Миллса описывают класс взаимодействий между частицами, называемых слабыми взаимодействиями и встречающихся, например, в некоторых процессах радиоактивного распада. Уравнения Янга — Миллса—это нелинейное обобщение уравнений Максвелла, возникающее в калибровочной теории. Их можно записать в терминах связностей и кривизны в векторных расслоениях над пространством-временем (см. Атья — Хитчен — Зингер [2]). Одно время физиков интересовали свойства решений этих уравнений.

Недавно Уорд с помощью соответствия Пенроуза установил связь между решениями уравнений Максвелла и голоморфными линейными расслоениями над открытыми подмножествами из Рз («подкрученный» фотон, [29]) и, обобщив свою конструкцию, показал, что решения Янга — Миллса соответствуют голоморфным векторным расслоениям ранга 2 над открытыми подмножествами из Рз (Уорд [30], [31]). Атья и Уорд [3] и Атья — Хитчен — Зингер [2] использовали это соответствие для получения различного рода информации о решениях уравнений Янга — Миллса, вытекающей из многочисленных результатов последнего времени по классификации голоморфных векторных расслоений ранга 2 над Рз (см., например, Барт [4]). Мы не будем в этой статье входить

в дальнейшие подробности, а сошлемся на цитированную выше литературу *).

Добавлено при корректуре. В последнее время достигнут значительный прогресс в понимании решений уравнений Янга — Миллса в одном важном частном случае. В вышедшей недавно статье (М. F. Atiyah, N. Hitchin, В. G. Drinfeld, and Yu. I. Manin, Construction of instantons. — Physics Letters, 65A (1978), 185—187) выписан полный набор решений автодуальных уравнений Янга — Миллса в евклидовой метрике на четырехмерной сфере S4 (случай инстантонов). Это решение в полном объеме использует соответствие Уорда между решениями уравнений и векторными расслоениями на Р3 и сводит задачу нахождения решений автодуальных уравнений Янга —Миллса к прямой задаче кватернирнной линейной алгебры.,

Пространство Минковского

В этом параграфе мы коротко опишем геометрию классического пространства Минковского. По определению, пространство Минковского — это R4, наделенное плоской лоренцевой (псевдо)- метрикой с сигнатурой —2, т. е. в подходящей системе координат метрический тензор диагональный с компонентами {+1, —1, —1, — 1}. Пространство Минковского мы обозначим через Мо, скалярное произведение на касательном пространстве в точке реМ0— через ( , )р и норму касательного вектора — через || ||р. Касательный вектор ХеТр^ называется изотропным, если || X ||р = — 0. Множество всех изотропных векторов в точке р называется изотропным или световым конусом в точке р. Группа всех движений Мо называется группой Пуанкаре Р, а группа Лоренца в точке р^Мо — это подгруппа Lp группы Р, оставляющая р неподвижной. Ясно, что Lp^ 0(1,3) и что Р изоморфна полупрямому произведению группы 0(1,3) и группы сдвигов R4. Собственная группа Лоренца (точку р опускаем) L+ = O+(1,3) состоит из матриц с определителем +1, сохраняющих пространственную и временную ориентации (= связная компонента группы 0(1,3)). ’ В пространстве Мо нет выделенного начала отсчета, и оно является основной моделью специальной теории относительности или плоского пространства-времени, в котором нет выделенных начала и (лоренцевой) системы отсчета. Выбрав какое-либо начало О е еМ0, можно определить два класса преобразований в точке О (композиция со сдвигами позволяет затем перенести их в любую другую точку Мо). Именно,

растяжения*, х t—> рх, р е R, инверсии; х н-> — х/|| х Цу

9 См. также [15*а].—Прим, перед.

Здесь мы отождествили 70(R4) с R4. Инверсии корректно определены лишь вне изотропного конуса с вершиной в 0, и как растяжения, так и инверсии сохраняют лоренцеву метрику с точностью до скалярного множителя, т. е.

(рх, рх)о = р|И1о.

/ — X — X \ 1 , х(3.1)

(и^иГ И%0’

Таким образом, эти отображения сохраняют углы, но не длины и являются примерами конформных преобразований (относительно заданной метрики на Л10). Конформная группа С (1,3) состоит из композиций инверсий и преобразований из группы Пуанкаре Р1). Собственная конформная группа С+(1,3)—это подгруппа, со:. храняющая пространственную и временную ориентации (связная компонента группы С(1,3)). Растяжения порождаются группой Р и инверсиями автоматически2), и инверсия (3.1) не принадлежит подгруппе С+(1,3), поскольку она не сохраняет пространственную ориентацию. Укажем для ссылок, что

dimR^ = 6, dimR Pt =Ю, dimRGt = 15.

Позднее мы увидим, что конформная группа естественным образом действует на компактном многообразии М, содержащем Мо как плотное открытое подмножество, которое мы будем называть конформной компактификацией Мо. Инверсии переводят световой конус в начале в «световой конус на оо». Поскольку эта компактификация естественным образом возникает при изучении твисто- ров в следующем параграфе, мы не будем давать здесь независимое изложение конформной компактификации, а сошлемся на хорошо написанную статью Кёйпера [13], посвященную этому предмету). Оказывается, эта компактификация есть вещественная квадрика в Ps(R), а конформная группа описывается в терминах проективных преобразований на Ps(R).

Как и в римановой геометрии, где удобно работать в ортонор- мированных системах отсчета, в геометрии Минковского полезно ввести аналогичное понятие, так чтобы базисные векторы были изотропными. Пусть реМ0 и Хо, Хь Х2, Х3— базис в ТР(МО). Если вектор X = х^Х^ х^ е R (мы принимаем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам), то х = (х°, х1, х2, х$)— координаты точки в Мо, и можно выбрать базис {X/} так, чтобы (X, Y)p = х°у°— х^1 — х2у2 — х3уё; последнее выражение мы

!) А также растяжений. — Прим., ped.

обозначим также (х, у)!). Полагаем || х || = (х, х)1/2. Этот набор координат зависит от выбора начала в точке р и от базиса {X/}. Хотя не существует предпочтительного начала отсчета, конкретные выкладки удобно проводить в этой координатной системе или в других, связанных с ней.

Положим

и = -^(х0 + х1),£ = —L- (х2 — /х3),и = -^(х0 + х1),£ = —L- (х2 — /х3),€= ^(х2 + /х3), у = —^(х° — х1);V2€= ^(х2 + /х3), у = —^(х° — х1);V2

и = -^(х0 + х1),£ = —L- (х2 — /х3),

и = -^(х0 + х1),£ = —L- (х2 — /х3),

€= ^(х2 + /х3), у = —^(х° — х1);

V2

€= ^(х2 + /х3), у = —^(х° — х1);

V2

тогда (и,уЛЛ)—новый набор координат в Мо, и || и || = || у || = = II £ II = II С II = 0)> гДе мы продолжили скалярное произведение ( , ) по комплексной линейности на пространство Мо ® С. — комплексификацию Мо. Рассмотрим 2 X 2-матрицу

Эта матрица эрмитова, и любая эрмитова матрица имеет такой вид с некоторыми (и, у, ^Л)- Далее,

det т = ио — & = j || х Ц2.

Таким образом, норма вектора х переходит в этих новых координатах в определитель 2 X 2-матрицы т. Для многих целей удобно отождествить /7(2), т. е. множество всех эрмитовых 2 X 2-матриц с нормой, задаваемой определителем, и пространство Минковского Мо с фиксированными началом отсчета и базисом в соответствующем касательном пространстве).

Преобразования Лоренца, оставляющие неподвижным началу отсчета пространства Минковского, индуцируют соответствующие преобразования пространства /7(2), причем преобразование

М0—^М0 (лоренцево) индуцирует преобразование

Я (2)-^ Я (2)

по формуле: Цт?) = sms*, где s^SL(2, С) и s* = s' — эрмитово сопряженная матрица. В действительности SL(2, С.) есть двукрат

ная (односвязная) накрывающая группы А*; это можно вывести из приведенного выше соответствия, если заметить, что s определяется по /неоднозначно.

Твисторы и соответствие Пенроуза

Наша цель теперь — ввести твисторы и показать, как пространство Мо из предыдущего параграфа естественным образом возникает в некоем комплексно аналитическом геометрическом контексте. Нашим основным инструментом будут комплексные многообразия флагов — естественные обобщения проективных пространств и грассмановых многообразий. Они определяются следующим образом. Рассмотрим комплексное пространство С”, «^-2, и для целых 0 < ^ < ... < dr < п положим

Fdxdr = K^i, L», • • •> Lr>. Lx<= L2c ... <= Lr с С" — возрастающая последовательность подпространств C", dimcL, = = db ! = 1г}-'

Такой набор из г подпространств ■ (Li, L^, ..., L^ называется флагом в С,п. Если г = 1, di = 1, то

Л = Р„-1(С)

— множество всех комплексных прямых в С", т. е. обычное (п—1)-мерное комплексное проективное пространство. Если г = 1, di = k, то

Рк = 6к.ДС>

— грассманово многообразие всех ^-мерных комплексных подпространств „С". Нетрудно проверить, что Fdxdr — компактное комплексное многообразие комплексной размерности dx^d^— di) + + d^ds— d2)+ ... + dr-x (dr — dr-i), являющееся однородным пространством с транзитивной группой Ли автоморфизмов. Именно, действие группы SL(n, С.) на .С? индуцирует эффективное транзитивное действие на F = Faxdr, так что F = SL^n.C^/Pp, где Рр— стационарная подгруппа какой-либо точки из F. Аналогичным образом и группа U^n) действует транзитивно, так что F можно представить как факторпространство компактных групп Ли. Используя однородные координаты (гь ..., z^eC?, легко построить аффинные координатные системы для F так же как и в случае проективного пространства, где отображение С"-1 э э(^1, ..., ^n-i)>—> {подпространство, натянутое на вектор (1, ^, .,.

.^-1)) задает аффинные координаты в Рп_1(П). Например, для комплексной 2 X 2-матрицы г отображение

г н-»

I подпространство, натянутое на столбцы 4 X 2-матрицы [ / J J задает аффинную систему координат для G2,4(C), грассманова многообразия, которое нам понадобится ниже. По поводу дальнейшей информации о комплексных многообразиях флагов см. Хир- цебрух [11], Уэллс [32], Уэллс —Вулф [33] и Вулф [34].

Рассмотрим теперь три специальных комплексных многообразия флагов. Начиная с этого момента будем считать _СЛ нашим основным комплексным векторным пространством и относительно С4 введем три комплексных многообразия флагов: FVz, F\ и F^* Имеем следующую естественную диаграмму:

iW = F,iW = F,f2 = g14wf2 = g14w

iW = F,

iW = F,

f2 = g14w

f2 = g14w

где а и р — естественные проекции: а(£1,£2) = £ь 0(£ь £2) = £2. Проекции аир позволяют определить соответствие т между многообразиями F\ и F2, а именно многозначное отображение

(4.1)(4.1)

(4.1)

(4.1)

задаваемое формулами: т (р) = р (а-1 (р)) и т-1(р) = а(Р-1(р)).

2. Предложение. (1) Образ т(р) есть двумерная комплексная проективная плоскость V= Рг(.С)), вложенная в F2.

) Прообраз т-1 (р) есть одномерная комплексная проективная прямая (s Р1СС)), вложенная в Fi.

Доказательство. (1) По определению

а-*(р) = {флаги (£°, Цу ЦсЦ, Ц фиксировано, Ц меняется}. Следовательно,

^^"Чр^^^ЦсС4: Ц^ Ц, Ц фиксировано},

т. е. р(а-1(р)) состоит из всех двумерных подпространств .СД содержащих фиксированное одномерное подпространство Ц. Это не что иное, как вложение Р2(С) в F2, поскольку если мы фиксируем один вектор в] и позволим другому вектору е2 пробегать трехмерное подпространство ^S ортогональное к е^ относительно

некоторой метрики на .СД то линейная оболочка пары {в1, е2} даст нам все подпространства Ц id Ц. Но множество всех таких векторов е2 совпадает с множеством всех комплексных прямых, ортогональных к вь т. е. с множеством всех комплексных прямых из и, значит, изоморфно Р2(С).

Второе утверждение проще, поскольку, как и выше, а (р-1 (р)) — {^i ^ С: AiczA2, L^ фиксировано}.

Но подпространство Ц комплексно двумерное и, следовательно, а,^^^ Pi(C), ч. т. д.

Введем теперь в пространстве С? твисторную структуру и посмотрим, как это скажется на установленном выше соответствии т. Пусть Ф — заданная невырожденная эрмитова форма на .С4 сигнатуры 0 (т. е. +Н). В подходящих системах координат матрицу, задающую Ф, можно записать как

Г /20 1 ГОГ о /21

0 L о - /2 J 1 L - th о J 2 L /2 о J

Легко проверить, что задаваемые этими матрицами эрмитовы формы на G? эквивалентны, и мы выпишем их как квадратичные формы•/

^Z> = \Z^AAZx\^-\Z4-\^\\■

ф1 (Z) == - IZ^ - IZXZ^ + z*Z2Z° + zZ3^1,

Ф2 (Z) = Z°Z2 + ZXZ^ + Z2Z° + Z3ZL

Здесь Фо — стандартная форма, форма Ф1 удобна при некоторых вычислениях, а форма Ф2 возникает при спинорной интерпретации определенных физических* величин. Мы будем пользоваться различными формами в различных местах, но рассматриваем их как одну и ту же абстрактную форму Ф на С4 (или любом другом фиксированном четырехмерном комплексном векторном пространстве), записанную в различных системах координат.

Пару (С4, Ф) обозначим через Т и будем называть пространством твисторовЧ. Положим

Т+ = {Z еС4:'ф(2)>0},

T = {ZgC4: O(Z) = 0},

F = {ZsC4: O(Z)<0).'

Элементы из этих подмножеств мы будем называть положительными, изотропными и отрицательными твисторами соответственно. Ясно, что Т= T+UT0U Т“ и что Т°— вещественный семимерный конус в ,СА

Теперь введем соответствующие подмножества трех наших основных многообразий флагов F\2, F\ и F^. Будем писать Ф (подпространство) > 0, если Ф положительна на ненулевых векторах этого подпространства; аналогичным образом определим Ф (подпространство) = О и Ф (подпространство) < 0. Введем другие обозначения для каждого из многообразий флагов. Именно, положим

р_/71(=Рз(С)),

m=f2(=g2.4(C)),

г = Л2,.

так что наша основная диаграмма (4.1) примет вид

Здесь Р — основное комплексное многообразие, на котором будут изучаться комплексно аналитические объекты, М окажется ком- плексификацией компактифицированного пространства Минковского М, a F—вспомогательное многообразие флагов, определяющее соответствие т между Р и М.

Далее, положим

Р+ = {Л1 еР: Ф(А,)> 0}, дг = ро==(£1 ер: ф(£1) = 0), p- = {t,eP: Ф(£,)<0}.

Аналогичным образом пусть

M+ = {LeM: Ф(А2)> 0},

М=М° = {А2еМ: Ф(Л2) = 0},

M’ = {L2eM: Ф(Г2) < 0}

И

Г+ = {(ЛЬ УеГ: Ф(Л2)>0},Г = {(ЛЬ УеР: Ф(Л2) = 0),^ = {(^1, A2)sF: Ф^ХО}.

Здесь N — пространство проективных изотропных твисторов, а М— изотропное четырехмерное подпространство М, которое, как мы

увидим, окажется компактифицированным пространством Минковского. Имеем индуцированные соответствия

(4.4)

(4.5)

(и аналогичное соответствие для F" и т. д., которое мы опускаем, поскольку для него проходят те же рассуждения, что и для F+ и т. д.).

Мы хотим описать геометрическую природу каждого из этих пространств, а затем перейти к индуцированным соответствиям. Суммируем элементарные геометрические свойства введенных выше пространств в виде следующего предложения.

. Предложение. (1) Р+ содержит четырехмерное семейство проективных комплексных прямых, параметризованное пространством М+.

М+ биголоморфно эквивалентно {ограниченной симметричной) области, состоящей из комплексных 2 X 2-матриц с положительно определенной эрмитовой мнимой частью.

Пусть Мо — множество всех эрмитовых 2 X 2-матриц; тогда Мо является компонентой границы М+ и открытым плотным подмножеством М.

М — компактное четырехмерное вещественно аналитическое подмногообразие М> диффеоморфное S1 X $^-,

N — компактная пятимерная вещественно аналитическая гиперповерхность в Р, диффеоморфная S2 X 53.

F+ биголоморфно эквивалентно многообразию PiXMh

Мы не будем в этой статье приводить подробное доказательство и ограничимся лишь кратким обсуждением идей доказательства. (1) вытекает из природы соответствия т. (4) и (5) наиболее просто выводятся с помощью представления М+, М и N в виде однородных пространств (см. § 5). Укажем элементарное представление пространства + матрицами, из которого (2), (3) и (6) получаются как простые следствия. Именно, пусть форма Ф представлена матрицей ,

О П21

— II2 О J ’

„ Г*11 z = (z) = [22i„ Г*11 z = (z) = [22iZ12222Z12222spanspan(4.7)(4.7)и рассмотрим отображение1)

„ Г*11 z = (z) = [22i

„ Г*11 z = (z) = [22i

Z12

222

Z12

222

span

span

(4.7)

(4.7)

Тогда отображение А: .С?->М задает аффинную координатную систему на плотном подмножестве М. Мы выбрали матрицу Ф1 так, чтобы М+ целиком содержалось в карте Мл = А (С?) cz М, аффинной части М. Будем обозначать символом > положительную определенность; тогда

Г 0z721 Г г 1

Ф,И(=)»0<»[г-,/4_./2 0][J>0o

<=>Imz»0, где Im z = (z — z*)/2f,

откуда следует, что М+ ^ (2 X 2-матрицы z: Imz>0}. Множество //(.2) всех эрмитовых 2 X 2-матриц можно отождествить с множеством всех 2 X 2-матриц г, для которых Imz = 0, компо* нентой границы М+. Обозначим через Л10 = А (Я (2)) образ Я (2) при аффинном координатном отображении А. Ясно, что MoczM, поскольку Ф(Д (Я(2))) s 0, в силу тех же вычислений, что и выше. Отсюда легко выводится, что МИ П М = Мо открыто и плотно в М.

Обратимся теперь к соответствиям т+ и т° из (4.4) и (4.5).

. Предложение. (1) т+(р) есть пересечение аффинной комплексной двумерной плоскости с MI+.

т°(р) есть окружность S1, вложенная в М.

^V^P^ и (^“Чр) — комплексные проективные прямые, вложенные в Р+ и N соответственно.

Доказательство. (1) Образ т+(р) есть просто сужение образа т(р) на MS+, которое совпадает е пересечением аффинной двумерной плоскости с М+, в чем легко убедиться с помощью введенных выше аффинных координат А: .СЛ->М1. Обратимся к части (2) и снова воспользуемся аффинными координатами (4.7), но эрмитову форму Ф на С.4 будем теперь представлять матрицей

Вектор

’) span [... ] обозначает линейное подпространство, натянутое на столбцы матрицы [...]. — Прим. ред.

порождает подпространство Z-icz.C?, так что Фо(и) = и*Фои = О, откуда Ф(£1)=0. Тогда множество {L2: L1GL2} параметризуется следующим образом:

Г 12‘21

Г 1г’21 а0z22

LO^J^spanj0•

L0 1 J

Потребуем теперь, чтобы и ф(Л2) = 0. Это влечет за собой равенство Фо (и2) = у*Ф0у2 = 0 для вектора

т. е. равенство |г12|2 + |г22|2 = 1. Но мы должны также иметь Фо (ау1 + 0^) = 0 для всех а, 0 г С, что сразу приводит к условию г12 = 0, и поэтому

г 1 0 -

0 е1^

1 0

-0 1 -

дают параметризацию всех двумерных плоскостей Л2 ^ Li» для которых Ф(Л2/)=0. Это окружность, целиком лежащая в выбранной аффинной карте. Специальный вид исходного вектора Ui не ограничивает общности в силу однородности пространства изотропных твисторов относительно группы £7(2,2) (см. § 5), ч. т. д.

Вспомним основную диаграмму (4.3) вместе с соответствием т, которое мы назовем соответствием Пенроуза, поскольку почти все рассмотренные здесь результаты, связанные с этим соответствием, принадлежат Пенроузу и были получены им в серии статей, началом которой послужила работа [17]. Мы модифицировали изложение Пенроуза, введя вспомогательное многообразие флагов F, чтобы облегчить изучение соответствия т в подходе Пенроуза. Оно будет играть более важную роль ниже, когда мы перейдем к описанию физических полей посредством когомологий.

Сформулируем теперь последнее геометрическое предложение этого параграфа. Пусть Z и IF— твисторы из Г, a [Z] и [U/J-- определяемые ими точки из Р. Обозначим через

t(Z) = t([ZJ)

соответствующую двумерную комплексную проективную плоскость из М.

Предложение. (1) Либо т(/)Пт(№) = {точка} czM, либо И = [Г];

t(Z)Ht(№)czM тогда и только тогда, когда Ф(2) = = ф(Ц7)= 0 и Ф(7, №) = 0.

Доказательство простое, и мы его опускаем (см. Пенроуз [I7]1))..

Однородные пространстваи действия групп

В этом параграфе мы хотим обсудить однородные структуры на многообразиях флагов, изучавшихся в предыдущем параграфе. Комплексная группа Ли Gc = SL(4^C) транзитивно действует на С4 и индуцирует транзитивное действие на Г, Р и М. Вернувшись к обозначениям начала § 4, получим группу Содействующую на F12, F\ и F2. Пусть Л2, Р\ и Р2 — подгруппы Gc, оставляющие неподвижной некоторую точку из Fi2, Л или F2 соответственно. Эти подгруппы изоморфны подгруппам вида '

Таким образом, Fi2= GcjP^ F\ = Gc/Pi, F2 = GctP^

Теперь Ft^ Ft и F2 суть открытые орбиты в указанных выше компактных комплексных однородных многообразиях относительно действия вещественной части SU(2, 2) группы SL(4, С). Именно, любое положительное двумерное подпространство L2aC5 (т. е. Ф(^)>0) можно отобразить в любое заданное положительное двумерное подпространство с помощью некоторого элемента из SU(2, 2). В этом можно убедиться, выбрав в Ь2 базис, ортонорми- рованный по отношению к Ф, и продолжив его до Ф-ортонормиро- ванного базиса в DJ, затем проделать то же самое для второго подпространства; тогда отображение, переводящее один базис в другой, будет обязательно из (7(2,2). Деление на определитель соответствующей матрицы дает искомое отображение.

Открытые орбиты являются частным случаем открытых однородных комплексных многообразий, которые были объектом пристального изучения в прошедшие десятилетия (см. [33], где проводится подробное обсуждение таких «областей флагов» с допол-

*) См. также статью Пенроуза и Уорда в этом сборнике. — Прим, перев.

нительными ссылками). Очевидно, что, положив V = SU (2, 2), мы получим равенства

Ftt-G/Px^G, Ft = G/Px(\G, Р? = О/Р2ПО,

которые приводятся к виду

Р+ = 57/(2, 2)/S (7/(1) X 7/(1> 2)) = 7/(2, 2)/[/(l)Xt/(l, 2),

F+ = S7/(2,2)/S(7/(l)X7/(l)X7/(2)) = 7/(2, 2)/t/(I)Xf/(DXt/(2),

М+ = SU (2, 2)/S ф (2) x и (2)) = и (2, ^U (2) X U (2),

где запись 5( ) означает, что соответствующие определители равны 1, и мы выписали по второму представлению в правых частях. На данной стадии исследований неясно, какое теоретико-групповое представление наиболее полезное. Интересно, что стационарная подгруппа для Р+ не компактна, тогда как большая часть аппарата представлений групп и теории однородных многообразий предполагает наличие компактных стационарных подгрупп (см. Уэллс — Вулф [33] и приведенные там ссылки). Отметим, что выражение для М+ имеет вид: (полупростая группа)/(максимальная компактная подгруппа), откуда следует, что это эрмитово симметрическое пространство и, значит, ограниченная симметрическая область, а именно трубчатая область, как мы видели в § 4.

Главные интересующие нас векторные расслоения на этих однородных пространствах — это касательное расслоение и степени расслоения гиперплоского сечения над Р (см. § 8). Эти расслоения представимы как однородные векторные расслоения над Р+, индуцированные представлениями стационарных подгрупп, на чем мы не будем останавливаться здесь, хотя это имеет в ряде случаев важное значение.

Имеется однородное представление и для компактных многообразий, которые также оказываются орбитами группы О = = 577(2,2), но уже замкнутыми и, следовательно, минимальной размерности (см. Вулф [34]). Именно,

N = SU^ ^Р^ '

где

а, b, с, сЦ е —подходящие комплексные векторы и числа, удовлетворяющие условиям ортогональности 577(2,2). Группа Pn содержит две подгруппы: конформную группу t/(l, 1)

'а О О"

det[ ] = 1,det[ ] = 1,О 77(1, 1) О

det[ ] = 1,

det[ ] = 1,

-О 0»-

и группу Гейзенберга

" 1

bl

bl

c

0

1

0

bl

, с вещественное.

0

0

1

bi

.0

0

0

1 _

Хорошее описание таких гиперквадрик, определяемых эрмитовыми квадратичными формами смешанной сигнатуры, имеется в статьях Чжэнь и Мозер [5], Танака [27]. Поверхность М является подобной гиперквадрикой в М и имеет вид _

M = SU^, 2)/Рм,

где Рм — другая вещественная параболическая подгруппа, именно

Г ЛГ ЛвпвпРм^ 0 0Рм^ 0 0Ю ОЮ ОссazSU(2, 2).azSU(2, 2).

Г Л

Г Л

вп

вп

Рм^ 0 0

Рм^ 0 0

Ю О

Ю О

с

с

azSU(2, 2).

azSU(2, 2).

Мы не будем использовать конкретную природу групп, которые нам встретятся ниже в этой статье, напомним лишь, что топологический тип многообразий N и М определяется этой однородной структурой (см. Вулф [34]). Топологическую природу N и М можно определить и более элементарными методами (см. Пенроуз [17]), но мы оставляем это читателю.

Обратимся теперь к действию, индуцируемому группой S[/(2,2) на М+ и Мо. Будем считать, что форма Ф, как и выше, представлена матрицей.

Г 0

ф. =I

1 L - и2 о J

Тогда любой элемент g е SU^, 2) можно записать в виде

Л, 6, С, Z) — комплексные 2 X 2-матрицы,

причем коэффициенты матрицы g должны удовлетворять условию ортогональности

или

АВ* = В A*, AD* - ВС* = /2, CD* = DC*.

и условию det g = 1.

[

2

I ’ гАе

'2 J

z = (г*/) есть 2 X 2-матрица. Тогда действие на «однородные координаты» М

[

2i 1

где zb z2 суть 2 X 2-матрицы,

22 J22 Jзаписывается следующим образом:записывается следующим образом:Azx + Bz21CZj + Dz^ JAzx + Bz21CZj + Dz^ J

22 J

22 J

записывается следующим образом:

записывается следующим образом:

Azx + Bz21

CZj + Dz^ J

Azx + Bz21

CZj + Dz^ J

В аффинных координатах имеем индуцированное отображение zb->(Az + B)(Cz + B)_1,

которое корректно определено только там, где матрица (Cz + D) обратима (это открытое плотное подмножество Мл).

Пусть ds2 = det(dz)—голоморфная метрика на Мл. Она согласуется с метрикой Минковского в Мо (см. § 2), продолженной на его комплексификацию Мл .С-линейным образом. Обратимся к подгруппе G = SZ/(2, 2), задаваемой матрицами вида

В этом случаеВ этом случаеD = (AT\D = (AT\АВ* = ВА* и det (А (А*)-1) = 1.АВ* = ВА* и det (А (А*)-1) = 1.

В этом случае

В этом случае

D = (AT\

D = (AT\

АВ* = ВА* и det (А (А*)-1) = 1.

АВ* = ВА* и det (А (А*)-1) = 1.

Матрицы Р действуют на Мл по правилу

z (Az + В) ((А*)-1)"1 = AzA* + ВА*.

Определим подгруппу Р cP условием

(ГЛ В1)

^ = l[0 nV AeSL^ С)|;

тогда преобразованиетогда преобразованиеzv-> AzA*-V В А*zv-> AzA*-V В А*

тогда преобразование

тогда преобразование

zv-> AzA*-V В А*

zv-> AzA*-V В А*

сводится к действию группы SB(2,CJ на Мо (см. § 3) плюс сдвиги на эрмитовы матрицы ВА*, что в точности совпадает с действием группы Пуанкаре в Мо, продолженным .С.-линейным образом на Мл. В частности, если z = z* т. е. если матрица z эрмитова, то Р действует как группа Пуанкаре на Мо. Более того, такие отображения сохраняют ds2.

Растяжения соответствуют отображениям

Гр 0 1.

для которых

gp (z) = p2z,

так что Р/Р есть в точности подгруппа растяжений. Инверсии задаются отображениями из SU(2,2), имеющими вид

В ОВ Овс* = -ивс* = -иилиили

В О

В О

вс* = -и

вс* = -и

или

или

так что

z^*B^(-B*)~xz) X = -Bz"xB*.

Положим g(z) = —Вг~хВ*; тогда

g' (ds2) = det (dg (z)) = det (- Bd (z~x) B*) =

= det (- В (- z—x dz • z~x) B*) =

= det (BB*) (det z)-2 det (dz) = | det В |2 (det z)^’ds\

что отличается числовым множителем от исходной метрики ds2, так что g действует как конформное преобразование пространства Минковского. Заметим, что конформный множитель на Мо является положительной скалярной функцией, а на МА это квадрат голоморфной функции от 2, положительный на Мо.

Таким образом, мы имеем конформную метрику (метрику, определенную с точностью до конформного множителя) во всех точках М, согласованную (с точностью до множителя) с обычной метрикой Минковского во всех точках Af0, поскольку МА есть типичная аффинная карта М.

Вспомним теперь, что если Z е Т, Z #= 0, то

т (Z) ^ Р2 с: М, т° (Z) ^ S1 <= М.

5.L Предложение. (1) Плоскость t(Z) изотропна в конформной метрике Минковского ds2 на М, т. е. каждый вектор, касательный к t(Z), изотропный.

(2) Окружность t°(Z) изотропна в конформной метрике Минковского на М.

Доказательство. Пусть задан твистор Z =И= 0. Без ограничения общности можно считать, что Z = (l,0, а, 0); тогда t(Z) параметризуется следующим образом:

га 212п

L0L0z22 Г а z12

L0

L0

0~ L Р г22

1 -

(zX2, z22)(zX2, z22)ZV1Z22ZV1Z221 (случаем отображение

(zX2, z22)

(zX2, z22)

ZV1

Z22

ZV1

Z22

С2 С4 s мл,

Видно, что

Г 0 dzX2 "I 7(^s2) = det n , 22 = 0, L 0 dz22 J -

и, значит, образ отображения Т есть изотропная двумерная плоскость. Случай (2) рассматривается точно так же, ч. т. д.

Следующее предложение выражает фундаментальное свойство соответствия Пенроуза.

5.2. Предложение. Две точки q\ и q2 из М можно соединить изотропной кривой (т. е. qx и q2 изотропно расположены) тогда и только тогда, когда т^1 (9t) П V1 (^2) + 0 в N.

Доказательство. Положим р = т0“1(71) П V1 {q^\ тогда т(р) — изотропная кривая в М, проходящая через точки q\ и q2. Осталось показать, что каждая изотропная кривая в М отвечает некоторой точке из N. Ограничившись пространством Мо, мы можем рассматривать изотропные прямые (световые лучи), и элементарные методы линейной алгебры показывают, что данный световой луч определяет ненулевой твистор из Т, задающий конкретную точку в N. Выкладки легче всего проводить в спинорном представлении, которое мы разовьем в следующем параграфе, и мы отсылаем читателя к статье Пенроуза [17], где имеется полное доказательство этого предложения !).

Тензоры и спиноры

Если М — риманово или псевдориманово многообразие с метрикой g, т. е. локально ds2 = gabdxadxb, то определен изоморфизм

T(M)~gF(M),

причем если и = yad/dx°, w = Wbdxb, то изоморфизм состоит в отождествлении вектора и с компонентами иа с ковектором w с компонентами иь = vagab. Здесь мы воспользовались соглашением о суммировании, а сам процесс известен как «опускание и поднятие индексов» и означает переход от касательных векторов к кокасательным векторам посредством метрики g.

В общем случае тензор

7 = 1^;;;-^-®-^- ®-^-® ... ® dxd ® dxe ® dxf ® . дха дх дхс

есть сечение расслоения

Г(М)®Т(М)®Г(М)® ... ® Г(М)®Г(М)®... ®Г(М)

и Тд^ .Л — представление Т в некотором базисе.

Спинорное исчисление является обобщением тензорного исчисления с добавлением некоторой комплексной структуры. Мы приведем простую версию этого исчисления, отвечающую нашим целям (подробнее см. [28]’)). Рассмотрим пространство

S = (C, 8),

где е — кососимметричная комплексная невырожденная билинейная форма. Это базисное пространство спиноров, по которому строятся спиноры высших рангов (точно так же, как касательное пространство, снабженное скалярным произведением, индуцирует римановы тензоры высших рангов). Поскольку форма е невырож- денна, мы можем ее использовать для отождествления пространства S с его комплексным двойственным S*. Имеем '

'S®RC = S--°®S0-1,

s*®Rc=s*0®s;iP

где S’-0 и S0’1 — собственные подпространства, отвечающие собственным значениям +i и —I почти комплексной структуры 7 на S (умножение на t рассматривается как R-линейная .операция на .С), продолженной „С-линейным образом на S®RC. Таким же образом разбивается и пространство S*®RC. Далее, продолжим форму е .С-линейным образом на S ®RC и отождествим с ее помощью S1>0 с Sj 0. Заметим, что S комплексно линейно эквивалентно S1’0 и комплексно антилинейно эквивалентно So>

Спинор — это элемент тензорного произведения какой-либо комбинации четырех перечисленных выше пространств, например

З^фЗ0-1®^* 0®s* r

Выберем для С.2 базис Vеа, А = 0, 1}, в котором

Г 0 1

Тогда спинор g е S1-0 имеет представление

l = VeA, VaC, А = 0, 1,

а спинор | е S1-0 ® S0’1 — представление £ = |л®ел ®ев,

где ^ев = ев^ — базис в So> *. Например, в обычных для С.2 обозначениях комплексного анализа мы бы имели

с дуальным базисом

{еЛ} = ^dz°, dz1}, {ел} = \dz°, dz1}.

В качестве спинора более общего вида укажем

Эти спинорные обозначения восходят к Ван дер Вардену, причем большинство физиков вместо £л пишет £л, в то время как Пенроуз и его школа пишут £л', поскольку последняя запись удобнее при наборе. Мы будем пользоваться обозначениями Пенроуза (в которых записываются либо коэффициенты спиноров, как здесь, либо абстрактные спиноры, сечения расслоений S1’0®So, i, ..., когда индексы указывают на тип рассматриваемого тензорного произведения, ср. [18]). Для поднятия и опускания индексов мы пользуемся формулами

заметим, что форма sab кососимметрична, так что порядок сомножителей существен. Например, если

то §° = 51, 51 = —5о, так как ')

Рассмотрев произведение MoX^IS), где ^"(S) — тензорная алгебра спиноров, получим спиноры в точках пространства Минковского. Более того, имеется отображение

rCM^o-^S’-OQS0-1,'

где М4 — аффинное комплексифицированное пространство Минковского (комплексных 2X2-матриц), задаваемое соответствием

здесь ха— координаты голоморфного касательного вектора в точке 0 пространства Мл в системе отсчета, в которой метрика Минковского g на пространстве Мо имеет вид ds2 = (dx0)2— (dx1)2— — (dx2)2— (dx3)2. Вспомним, что

u = (х° + х1)/V2,5 = (х2 + zx3)/ V2,

5 = (x2 — zx3)/V2,у = (x° — х‘)/д/2.

•) Заметим, что е^в = sab и блседв = д^. — Прим. ред.

Далее, преобразования Лоренца координат ха индуцируют действие группы SL(2, С.) на 2Х 2-матрицы хАА' по правилу

[хлл'] 5 ^дд'] s», SeSL (2, С),

как указано в § 3. Это действие SL(2, _С) на матрицах хАА' есть действие этой группы на пространстве S’>0 ® S0- ^ индуцированное ее действием на ,С.2. Более того, это действие сохраняет кососимметричную форму е и, стало быть, полную спинорную алгебру. Таким образом, определено вложение тензорных алгебр (где £Г(Мо) — полная тензорная алгебра над пространством Минковского)

^"(МЛ)^МЛХ^'(5),

которое оказывается SL(2,.С)-инвариантным и индуцировано отображением ZVIWh-^S1’ °® So> ’, действующим по формуле х»^хАА\

Имеется также диаграмма

А )0* S1^® S0’1

Т\Мй )0► { хлл' = хА’А } (эрмитовы) ]

где мы пользуемся соглашением: ^л = |л' аналогично тому, как в исчислении дифференциальных форм полагают w = f(z)dz и w = f(z)dz. Следовательно, мы можем преобразовывать объекты тензорной алгебры в объекты спинорной алгебры. Спинорная алгебра шире, имеет более богатую структуру и упрощает многие геометрические рассуждения. Здесь видна аналогия с введением комплексных чисел как поля более широкого и богатого, чем поле вещественных чисел. Нас будут интересовать главным образом тензорные поля, т. е. сечения рассматриваемого тензорного расслоения, причем все расслоения будут расслоениями над Мо или М4. Эти расслоения глобально тривиальны, а соответствующие расслоения над М и М уже нетривиальны, однако мы не хотим сейчас их вводить, поскольку в этой статье они нам не понадобятся.

Физические величины (специальной теории относительности) обычно описываются тензорными полями над Af0. Скалярные поля — это инварианты; кроме того, рассматриваются векторные поля, дифференциальные формы и т. д. Указанное выше вложение позволяет представить все эти объекты как спинорные поля; например, задающая метрику форма gab перейдет в gAA'BBS и т. д. (см. [28] ’))•

’) См. также [18].— Прим, перев.

Одной из причин введения спиноров является возможность «извлечения квадратных корней» из изотропных векторов. Это важно, если рассматриваемый изотропный вектор имеет квадратичную природу, как, например, вектор импульса.

Предложение. Пусть иа — изотропный вектор со спинорными компонентами vAA'\ тогда существуют спиноры £л, тА\ такие, что

УЛЛ' = ^А^

а если вектор иа к тому же вещественный, то существует спинор £л, такой, что

уАА' — £л^л'.

Доказательство. Рассмотрим уравнение ГуОО' pOl'n рото' ^отг-|

и решим его. Ясно, что условие det = 0 необходимо для существования решения этого уравнения при заданном векторе иАА\ Оно также и достаточно, ч. т. д.

В силу принятых выше соглашений мы можем выбирать в качестве координат в Мо либо {ха}, либо ^хАА^. Следовательно, для записи дифференциальных уравнений мы можем использовать д[дхАА' и другие комбинации производных.

Уравнения Максвеллаи уравнения безмассового поля

Приступим теперь к изучению уравнений Максвелла. Их классическая запись имеет вид

+ rot Е = О,Е — электрическое поле,

дЕ.

—rot6 = y, S — магнитное поле,

div В = 0,/ — ток,

div Е = а, о — плотность заряда.

Эти уравнения инвариантны относительно преобразований Лоренца, если положить t = х°. Мы ограничимся только однородными уравнениями Максвелла, когда / = о = О, и будем называть эти однородные уравнения просто уравнениями Максвелла. Мы перепишем их в таком виде, чтобы соответствие Пенроуза давало голоморфное представление решений. Это будет сделано в несколько приемов.

Сначала введем тензор,

или 2-ф

юрму,

Максвелла, задав косо-

симметричную матрицу

г0

-Ех

-Е2

-^з-]

Ех

0

В3

-S2

[^1 =

Е2

-В3

0

Bl

Lf3

в2

-Вх

0 -

и положив

F =

= Fabdxa

Л dxb.

Это 2-форма на пространстве МинкОвского с координатами х°, х1, х2, х3 и метрикой ds2 = (dx0)2 — (dx1)2 — (dx2)2— (dx3)2.

Метрика ds2 на Mo индуцирует «-оператор Ходжа

*: Лр ТЧМ0)^~р Г(М0).

Напомним (см. де Рам [6]), что если

а = а/1 ... ipdx4 N-.NdxlP,

то

(* а)..= ± а^1 ip,

и М — р

где {t 1 ... ipji ... /4-р} — четная или нечетная перестановка индексов {0, 1, 2, 3}, определяющая знак, и

=... glPkPakt

причем

г1 О О О-,0-100^^= 00-10 *

-000-1-

По сравнению с обычным евклидовым «-формализмом (Уэллс [32]) это приводит к появлению в некоторых случаях знаков минус. Легко Проверяется, что в данном случае

* * (р-форма) = (— 1)р+1 (р-форма),

т. е. «2 = —1 на 2-формах в Мо. Следовательно, оператор « в этом случае имеет собственные значения ±/. Для комплексных 2-форм получим разложение

л2 г (Мо) ® с = л+(Мо) е л - (Мо),

где Л+ и Л- — собственные подпространства с собственными значениями +* и —i соответственно. Таким образом, всякая

2-форма ^^^(Мо)) представляется в виде w = w+ + w-1 где ^+ = (^ — / * ^)/2, w^ = (ty + i * w^

удовлетворяют соотношениям

* ^+ = iw+, * w~~ = — iw-.

Говорят, что форма w автодуальна, если w = w\ и антиавто- дуальна, если w = w. Справедливы следующие два предложения.

1. Предложение. (1) Однородные уравнения Максвелла принимают вид

dF = 0, d*F = 0.

) Если тензор Максвелла записать в виде суммы F = F+ +’ [4- F-, то уравнения Максвелла перейдут в уравнения1

dF^ = dF" = 0.

Доказательство этих утверждений сводится к переобозначениям. Здесь d* — оператор, сопряженный по Ходжу к d, равный 4z*d*.

Перейдем теперь к спинорным координатам в М^.

а ДА' 1 Г^ + Х1 Х + гХ31

V? Lx2 — lx3 Х° — X1 J

(см. § 6). Мы хотим переписать в спинорных координатах тензор Максвелла F = Еаь, а также тензоры F* и F-. Имеем

Fab~ Faa'bbs гДе FАА'ВВ' = Fbb'aas

и мы сопоставим Раь его образ при вложении ^(М0)-^М0 X ^(S)» Итак,

F АА'ВВ’ = "2^F АА'ВВ'F вв'ааЧ =

= "У (^АА'ВВ’F В А’АВ' + F ВА'АВ' — FBB'AA^ =

— 2" ^AbFМА'МВ' + гА'В'РвМ'АМ )> как легко проверить. Положим теперь

ФЛВ = "2 FВМ'АМ »^А'В' = "2 FМА'МВ'*

Тогда

Флв — Фвл > Фл'в' = Фв'л' и, кроме того,

Fab Fаа'вв' = 8лвФл'в' + ^а'в'Фав*(7.2)

Предложение. (1) Форма F вещественна тогда и только тогда, когда елв-фЛ'В' = Вд-в'^дв-

F автодуальна (т. е. *F = iF) тогда и только тогда, когда F = едв^д-в-.

F антиавтодуальна (т. е. »F = —IF) тогда и только тогда, когда F = 8A'B-^AB.'

Доказательство проводится элементарными выкладками, и мы его опускаем (см. Хансен и Ньюман [9]); оно опирается на следующую формулу для оператора * [28]:

(* F)aA'BB" = i (вддфд'в' — Вд'В'ФавУ

Представление (7.2) разбивает тензор Fab ~ FАА-ВВ- в сумму двух величин вида едв^д^, вд'вфдв, где

Г 0 11

8лв l-i о]

— постоянная матрица, а фл'в' ~ переменное симметричное спинорное поле. Произведение Sab^a'b' автодуально и соответствует определенному выше тензору F^. Той же природы и слагаемое ^а'в^ав- Таким образом, шесть независимых коэффициентов тензора F = Fab заменяются на шесть независимых спинорных компонент Фоо> Фю = Фоь Фп, Wo'> Фот = Фго' и Фг/, а связь между семействами {Флв, Фл'в'Ь V^abA и №> ^4 является чисто линейноалгебраической.

Переформулируем теперь уравнения Максвелла, пользуясь спинорным представлением 2-формы. Пусть ^хАА'^—спинорные координаты в Мо; положим

Тлл—^r. V"”^-

где хаа* — дуальные переменные, определяемые по формулеХдд- = ХВВ '8ва8в'А'-

Согласно правилу дифференцирования сложной функции, VAA' = eBAeB'A ^BB,e

Предложение. Пусть

F = Fab dxa Л dxb ~ елвФд'в' + ^а'в^ав*»

тогда уравнения Максвелла для F принимают вид

^аа^ав — 0, Фдв симметрична,Чаа^а'в,= ^ Фд'в' симметрична.‘ ^’^

$ Опять мы опускаем соответствующие выкладки. Заметим лишь, что, как указывалось выше, имеется шесть независимых величин

{флв}, {фл^'} и восемь независимых уравнений, так же как и в начале этого параграфа (напомним, что мы рассматриваем комплексные решения), например

V^'tPoi + V'^n^O,

Vol'<Poo + 7пфю = 0, и т. д.

Эти уравнения получаются линейными заменами переменных в пространстве векторных функций на Мо (компонент тензора F). Такая форма этих уравнений приводит к следующему обобщению.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение на (аффинном) вещественном или комплексифицированном пространстве Минковского:

^АА^авс ...d = °> ?АА'Ь'В'С' ...d' = ^(7-6)

где ^ABC...D> ^А'В'с D' симметрические спиноры, имеющие 2s индексов s=l/2, 1, 3/2, .

Эти уравнения суть уравнения безмассового поля (см. Пенроуз [19], [20]). При:

5=1/2 решения описывают нейтрино, это есть уравнение Дирака — Вейля «электрона нулевой массы»;

s = 1 решения описывают фотоны, это уравнения Максвелла, о которых говорилось выше;

s = 2 решения описывают «слабые гравитационные поля», это линеаризованные уравнения Эйнштейна, т. е. уравнения для ло- ренцевой метрики h, где g = г) + еА, g— метрика пространства- времени, А— возмущение и г)— метрика плоского пространства- времени (результат Паули — Фирца, см. Пенроуз — Мак-Каллум [25]).

В следующих параграфах мы построим голоморфные представления решений этих уравнений.

Теория когомологийи голоморфные векторные расслоения

В классической теории функций комплексных переменных основным объектом изучения является множество функций, голоморфных в области D а СЛ В современном комплексном анализе оказалось полезным обобщить эти понятия в различных направлениях. Первое обобщение связано с переходом от области в С? к комплексному многообразию, т. е. паракомпактному топологическому пространству X, локально гомеоморфному области в Сп и такому, что функции перехода суть голоморфные векторные

функции. Среди основных примеров комплексных многообразий содержатся РЛ = Л(С) и многообразия флагов, обсуждавшиеся в § 4. Эти многообразия суть компактные комплексные многообразия. Открытое подмножество Р+ многообразия Р3, описанное в § 4, есть пример некомпактного комплексного многообразия, биголоморфно неэквивалентного открытому подмножеству из С?, поскольку, как можно показать, на Р+ не существует голоморфных функций, отличных от постоянных (это связано с обилием в Р4- компактных одномерных комплексных подмногообразий, ср. с предложением 4.6). Второе обобщение, которое мы здесь рассматриваем, связано с переходом от (непрерывных, класса С°° или голоморфных) векторных функций на комплексном многообразии X к сечениям голоморфного векторного расслоения над X. Голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием X со слоем _С/ есть, по существу, отображение V—^X, где V и X— комплексные многообразия, л — сюръективное голоморфное отображение максимального ранга, удовлетворяющее условиям: (а) для каждой точки реХ прообраз ттх^ есть r-мерное комплексное векторное пространство, называемое слоем над р; (Ь) у каждой точки реХ существует окрестность U и сохраняющая слои биго- ломорфная эквивалентность ф: л"1 ((/) -^> U X Сг, комплексно линейная на слоях. Сечение расслоения V над X есть отображение s: X-^V, такое, что nos = idx, т. е. s(p) для каждой точки ре еХ— это точка из слоя Vp = л-1 (р) над р. Следовательно, локально, вблизи точки реХ, s(q) есть вектор в .С/, задаваемый (неединственной) локальной тривиализацией ф. Другими словами, сечение голоморфного векторного расслоения локально представимо (или отождествимо с) _С/-значной функцией.

Голоморфные векторные расслоения и их сечения являются важным обобщением голоморфных функций нескольких переменных; они имеют различные приложения в задачах, связанных с комплексными многообразиями, которые не являются подобластями О?. Например, над некоторыми открытыми подмножествами Рп (такими, как Р+ для п = 3) имеются нетривиальные векторные расслоения. Среди таких примеров содержатся касательное расслоение к комплексному многообразию и различные расслоения, порождаемые линейными алгебраическими операциями над слоями имеющихся расслоений типа операций ф, 0, дуальности и т. п.

Приведем один пример, важный для наших целей в этой статье. Сначала введем обозначения, удобные при описании расслоений.

Если X — комплексное многообразие и V—>X — голоморфное векторное расслоение над X, то существуют покрытие {t/a} многообразия X и локальные тривиализации (см. условие (Ь) выше) Фа: л;-1^)-^ UaX СГ индуцирующие функции перехода g^=\ = Фа ° Фр1, которые голоморфно отображают Ua П V^ GL^п, £21

и удовлетворяют условиям коцикличности g^ о gpY о g^ = id. Легко заметить, что функции перехода {£а|з} определяют класс эквивалентности данного расслоения и что любой набор функций перехода, удовлетворяющих условиям коцикличности, задает голоморфное векторное расслоение (точнее, класс эквивалентности). Обратимся теперь к Рт обозначим [z°, z1, ..., zn] однородные координаты точки в Ри и положим Ua = {[z°, z1, ..., zn]: za#=0}. Определим

gap ([г°, ..., 2"]) = г₽/г“ на Ua f] U^ тогда

g^ U^U^GL^, С) С — {0},

и семейство {gap} удовлетворяет условиям коцикличности. Этим задано голоморфное линейное расслоение на Рп (т. с. голоморфное векторное расслоение со слоем С); оно называется расслоением гиперплоского сечения и обозначается Н-^Рп. Введем расслоение Нт-^Рп, задаваемое степенями функций перехода {g^}- Хорошо известно, что определяемое естественным образом множество классов эквивалентности голоморфных линейных расслоений изоморфно дискретному множеству расслоений VH^m^z- Здесь Н°— тривиальное линейное расслоение ^Р„Х.С.

На комплексном многообразии X определяются дифференциальные формы класса С°° типа (p,q), локально задаваемые равенствами

ф = У фг ... i t ... / dzlx A ... A dzlP A dzix A ... A dziq, ix<...<ipq-

Ix<-<lq

где Ф^ ... ipjx ... iq~ функции класса C°°, dz^ = dx^ + idy^ dzi = = dx1' — idy1* — локально определенные 1-формы, порожденные комплексной структурой, в которой z;- = xj + igj — локальные голоморфные координаты на X, j = 1, ..., п.

Обозначим через ^^(Х) пространство дифференциальных форм типа (р, ?)- на X, а через ^Г(Х) пространство (комплексных)' дифференциальных форм степени г на X; тогда имеется естественная проекция лр, q*. Sp^q (Х)-^ Sp^q (X). Тем самым задан комплекс

—► $р’ q~x (X)^Р- ч (X) gP. »+1 (J)(8.1)

где дф = (лр, q об/)ф, d— обычный оператор внешнего дифференцирования дифференциальной формы фе^>^_1(Х). Пространство голоморфных функций на X обозначается через СЦХ) и является ядром отображения д, действующего на функциях (дифференциальных формах типа (0,0)), т. е. последовательность

О -> О (X) ^°'0 (X)^9'1 (X)

точная. Препятствие к тому, чтобы последовательность (8.1) была точной при (р, у)#Ц0, 0), изучается теорией когомологий, с которой мы встретимся ниже.

Теперь, имея определения голоморфного сечения голоморфного векторного расслоения V-^X и дифференциальной формы .типа (р, р) на X, объединим эти два понятия и введем дифференциальную форму с коэффициентами в голоморфном векторном расслоении. Будем исходить из того, что сечение голоморфного векторного расслоения V дается локально определенными векторными функциями, удовлетворяющими условиям согласования, задаваемым функциями перехода рассматриваемого расслоения. Таким образом, если V-*X — голоморфное векторное расслоение, описываемое покрытием {(7а} и функциями перехода {^ар}, то сечение есть семейство отображений (скажем, класса С°° или голоморфных) Sa: Ua-^Cr, удовлетворяющих условиям Sa(x) = ^ap^)^^(х). Сечение со значениями в классе дифференциальных форм (или, эквивалентно, дифференциальная форма с коэффициентами в голоморфном векторном расслоении) есть семейство векторных дифференциальных форм

удовлетворяющих условиям

fa(*) = gapWfpU)> XGU^U^ где матрица gap(x) действует на векторные дифференциальные формы по обычным правилам матричного умножения. Обозначим через Sp’qVX, V) векторное пространство всех таких дифференциальных форм типа (р, q) со значениями в V. Оператор д естественным образом продолжается на эти более общие формы, именно если / = {fa}, jo положим df = ^dfaY Такое определение корректно, поскольку д зануляет голоморфные функции перехода ^а|3. Таким образом, мы получаем общий комплекс Дольбо

...^gp'q~\X, V)-^Sp'q(X, V)-^ Sp'q^ (X, V)^..,

с условием d2 = 0. Положим

HP’4X m

’' Imd:(X, У)->#р> q(X, V)

и будем называть №’^(XV) группой когомологий типа (p,q) с коэффициентами в голоморфном векторном расслоении V. В случае тривиального линейного расслоения V = X X С получаем Нр' q(X, V) = Нр* qW, т- 6. группы когомологий исходного комплекса Дольбо (8.1). Имеется ряд важных альтернативных характеристик групп Hp>q(X, V) в терминах теории пучков, когомологий Чеха и т. д., и в данной геометрической или аналитической постановке для проведения вычислений следует выбрать соответствую-

щее представление. Для описательных целей этой статьи достаточно приведенного выше определения, но доказательства различных утверждений часто требуют применения альтернативных подходов к теории когомологий на комплексных многообразиях, имеющихся в стандартной литературе по данному вопросу).

Группы когомологий Нр' q(X, Г) описывают голоморфные объекты на X, обобщающие Н°*°(Х, Г) — векторное пространство голоморфных сечений V над X, которое в свою очередь обобщает пространство обычных векторных голоморфных функций на X. Аналогичное факторпространство дифференциальных форм полной степени г дает группу де Рама многообразия X, т. е.

цг /j^\ (d-замкнутые r-формы) )' ' (d-точные г-формы) ’

а ее размерность есть топологический инвариант X, r-е число Бетти, частично характеризующее глобальное топологическое поведение X. Аналогичным образом Hp’q^X,V^ характеризует глобальную комплексно аналитическую природу данного комплексного многообразия X, оснащенного векторным расслоением Обращение в нуль группы №>9(А, V) с подходящими V и (р, q) приводит к исчезновению препятствий к разрешимости определенных глобальных комплексно аналитических задач (например, в таком виде можно сформулировать теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса классического комплексного анализа, такую же природу имеет проблема Римана — Роха о существовании нетривиальных мероморфных функций с заданными типами полюсов на римановой поверхности). Если группа Hp'q^X; V) ненулевая, то поведение этого векторного пространства во многих смыслах аналогично поведению векторных пространств голоморфных или мероморфных функций в заданной области из Сл или Рп. Когомологические классы из №>^(А’, V) можно рассматривать как голоморфные объекты, доступные изучению теми же методами, которые применяются при изучении голоморфных или мероморфных функций (в качестве примера сошлемся на недавнюю работу Уэллса — Вулфа [33] по теории представлений групп и теории автоморфных функций). Как показано в следующем параграфе, в голоморфном представлении Пенроуза решений уравнений без- массового поля встречаются голоморфные объекты различных типов. Более обоснованное и подробное изложение кратко затронутых здесь вопросов читатель может найти в книгах Ганнинга и Росси [8], Хирцебруха [11], Морроу и Кодаиры [16] или Уэллса [32].

Голоморфное представлениерешений уравнений безмассового поля

Пусть НР = Р (.С)— описанное в § 8 расслоение гиперплоского сечения и №>^(Р, //”)— группы когомологий Р с коэффициентами в Нп. Легко проверяется, что

Н° °(Р, Нп) = {голоморфные однородные полиномыв С4 степени п, п^О^

Но,ЧР,Нп) = О, п<0.

Однако на открытом подмножестве U из Р могут существовать нетривиальные сечения Нп и при п < 0. Например, функция

№, Z\ Z\ Z^ = \[OT

задает голоморфное сечение расслоения Я”3 на подходящем открытом множестве, не содержащем полюса Z° = 0.

Мы собираемся рассмотреть группу Н°Л (Р+, H~2s~2\ s = 1/2,1, 3/2, ..., и показать, как получаются решения уравнения (7.6) безмассового поля со спином s в М+. Эти решения будут иметь вещественно аналитические граничные значения (удовлетворяющие уравнениям поля) в Мо, если рассматриваемый когомологический класс из Я°>1 (Р+, Я“25-2) фактически принадлежит //°»1 (Р+, Я-25-2). Более общим образом можно рассматривать граничные значения голоморфных решений в М+ на Мо в смысле гиперфункций, но мы не будем вникать в этот вопрос в данной статье !).

Для голоморфного векторного расслоения V над комплексным многообразием X обозначим через СЦХ, 17)= Я°’°(Х, V) пространство глобальных голоморфных сечений V над X, через йр(Х, У) = = Нр> °(Х, V) пространство голоморфных р-форм с коэффициентами из V на X и ц^рез QP(Z) пространство обычных голоморфных р-форм, т. е. Нр>0 (X)..'

Имеется два способа описания групп когомологий, приводящих к явным решениям уравнений поля: покрытия Чеха и формы Дольбо с коэффициентами в расслоении. В случае покрытия Чеха {иа} многообразия Р+ с голоморфными сечениями /ар е СЦОа П П Яр, Н-^5-^ можно рассмотреть некие контурные интегралы от сечений /ар по контурам, лежащим в пересечении 17аП17р, и получить спинорные поля в Мь, удовлетворяющие полевым уравнениям (7.6). По существу, каждый контур — это проективная комплексная прямая Т+1 (zAA'\ где хАА еМ+, а контурный интеграл не зависит от выбора контура (но зависит от его гомологического

класса). Первоначально эти контурные интегралы вычислялись от однородных голоморфных функций, определенных на некоторых открытых подмножествах. Только позднее было выяснено, что интегралы зависят лишь от когомологического класса, определяемого этими функциями. По этому поводу см. Пенроуз [19], [20] и [23], а также исчерпывающую статью Пенроуза — Мак-Каллума [25], содержащую много сложных подробно разобранных примеров таких интегралов. Как только стало понятно, что основной интерес представляет именно когомологический класс, были найдены другие методы отображения когомологическиих классов в решения полевых уравнений, такие, как «метод расщепления Спар- линга — Уорда» (см. [29]) и представление Дольбо, найденное Вудхаузом [35].

Мы приведем только один из этих трех методов, а именно метод Вудхауза [35]. Мы выпишем специальную интегральную формулу, содержащую дифференциальные формы, и покажем, что она удовлетворяет уравнениям поля (7.6). В следующем параграфе мы кратко расскажем, как интерпретировать это представление независимым от выбора координат образом. Но сначала введем ряд полезных обозначений и коротко обсудим однородные дифференциальные формы на С4. .

Будем работать в твисторных однородных координатах Z = = (Z°, Z\ Z\ Z^, в которых Ф (Z) = Z°Z2 + Z1/3 + Z2Z° + Z3/1. Обозначим эти координаты через Za (a = 0, 1,2, 3) в соответствии с нашими обозначениями координат х А' в пространстве Минковского Мд (см. § 6). Введем дуальные переменные относительно эрмитовой формы Ф равенствами .

Za: Z. = T\ ZX = Z\ Z2 = Z«, Z3 = Z\

так что ®(Za) = ZaZa. Эти обозначения используются в статьях Пенроуза. Положим

шл = (0)0, (О1) = (Z°, Z1), пА, = (лу, Ли) = (Z2, Z3);

тогда четверка комплексных чисел Za = (Z°, Z1, Z2, Z3) перейдет в пару спиноров (сол, лЛ'). Дуальные координаты перейдут в ^а=(Йл. ЙЛ'), И

Ф (/«) = ю^лл + ЛЛ'ЮЛ'. (9.1)

Замечание. Если частица нулевой массы покоя движется вдоль светового луча, то величина лллл'соответствует импульсу, ^А^А' — угловому моменту, а форма Ф(Za) описывает спин (или твист) этой частицы. Траектория движения частицы совпадает с образом т([сол, ллф. Дальнейшее обсуждение этой интерпретации см. в статье Пенроуза — Мак-Каллума [25]. Заметим еще, что действие группы SL^2, С) на спинорах сохраняет форму (9.1), так что естественно рассмотреть группу SU(2, 2), т. е. полную группу преобразований, сохраняющих форму (9.1), что мы и сделали в § 4.

Таким образом, представление (сол, лд') соответствует разложению .С? = „С? Ф С2, где аИ — координаты на первом слагаемом, а лЛ'— на втором. Эти координаты будут фигурировать в нашей интегральной формуле.

Обратимся теперь к однородным дифференциальным формам на С4 (мы могли бы изучать и С", но в целях непрерывности изложения ограничимся пространством В?). Пусть

Y = Za-^-dZa

-— эйлерово векторное поле на С4. Поля У и F касаются слоев

л

проекции С4—{0}-> Р. Предположим, что U есть открытое множество в Р, и мы хотим описать образ ^^Sp^U^clSp^O^, где О = ягхфу По существу, необходимо, чтобы рассматриваемая форма была постоянна вдоль слоев, так что нетрудно проверить справедливость следующей леммы.

Лемма. Имеет место изоморфизм

п:$Ч1Г)-Ц?е$рфу УЩ = 0, Fj/ = 0, Yjdf = O,YJdf=oV

Здесь У J f означает внутреннее произведение векторного поля и дифференциальной формы1). Видно, что в случае р = 0 первая пара условий отпадает, а вторая переходит в У(/)= У(/) = 0, т. е. в условие постоянства f на слоях проекции л (однородность степени 0). Условия леммы 9.2 заключаются в требовании тождественного обращения в нуль сужений f и df как дифференциальных форм на слои проекции л.

Обратимся теперь к дифференциальным формам с коэффициентами из Нп. Рассматривая сначала голоморфные формы, как и в лемме 9.2, для открытого подмножества U из Р и (7 = л~1((/) имеем'

ар(и)~{f@йрфу y jf = o, yjdf = o}

(поскольку YJf=Yjdf = O автоматически). Рассмотрим теперь изоморфизм

й° (U, Нт) = О (U, Нт> ^ЦеО фу. Y J df = mf), имеющий естественное обобщение на голоморфные р-формы:

&4U, Нт)^^^йрфу Yjf — 0, YJdf = mfy

Приведем пример, который нам понадобится ниже. Положим

S = I^ZadZ\(9.3)

где 4 X 4-матрица /ар имеет вид'

_ ГО °1

/==[о e^J*

Простые вычисления показывают, что форма 6 зависит только от двух последних координат в иСД именно

0 = — лЕ' dnE' = л£' duE'\

напомним, что Za = (Z°, Z1, Z2, Z3) = (a/, лЛ'). Далее,

У=/°-^- = а>д-^- + лв—— , dZ° dtoA дяд,

откуда

У J9 = (<йа-Лд + лВ' —^—1 J (— лЕ' dлE') = п£'Л£' = 0.

\ да>длд, )

Далее,

У J dO = Zv ^- J I^dZa л dZ^ =

= 2^32 £ I^dZaNdZ» =

a<p

= ^Z^I^ dZ* = 20,

так что форма 6 является представителем в пространстве твисто- ров I ^ С4 некоторого элемента из Й^Р, №).

Рассмотрим теперь форму

ф = h • f A 6,

где каждый из сомножителей h, f, 6 определен на 17 = л-1((/), U — открытое подмножество Р и

h — однородный голоморфный полином степени п в С4,

f — d-замкнутая (0, 1)-форма, такая, что

Fjf = O, yjdf = (-n-2)A0— голоморфная (1,0)-форма, такая, чтоY J0 = O, У J JO —20.

Проверяется, что ф — корректно определенная д-замкнутая (1, 1)-форма на О, удовлетворяющая условиям леммы 9.2, и.

следовательно, является подъемом некоторой формы на U. Именно, Y _3^ = М(¥ J0) = 0,

Y _^ = h(Y Jf)-0 = O,

Y jd^ = YJ (tZ/г A f A 0 + A • d/A 0 + A • f A d6) =

= У(А)-/л0 + А-(У Jdf)-0 + A-/A(y Jd0) =

= nh • f A 0 4- (- П - 2) / aA • 0 + 2A • f A e = 0,

Y _Ad^ = h-(X 2dh^ = h^ Jdh -0 =

= WY Jf))O = O.

Итак, предположим, что f e H°*1 (Р+, H~n~2) и что f представлено в T+ формой f е ^ 1 (Т+), удовлетворяющей условиям д/= = 0, У J / = 0, У J df = (—п — 2) f. Пусть также h е О (Р+, Я") представлено однородным голоморфным полиномом в Т+ степени однородности п. Предположим, что полином h спинорный и принимает значения в тензорном произведении

S5; 1 0 ... 0 So, i (га сомножителей), т. е.

hW = hA- ...о-№еА' ® ... 0е°',

где {И } — базис в So, ь а На* ... о- (2°) — однородный голоморфный полином степени п для каждого набора индексов (Л'D').

Введем форму

h • f А0 е #*•1 (t/)0So, 10_.. ._0S5, ь

п-1 раз

Из вида коэффициентов

кА'...п^№к^(9.4)

этой спинорной дифференциальной формы следует, что мы имеем просто 2-форму с коэффициентами в тривиальном векторном расслоении

Р+ X So, 1 ® ... ® So, ь

Теперь выражение (9.4) есть корректная d-замкнутая (1, 1)-форма на Р+ при каждом фиксированном наборе индексов (Д', ..., D'Y Поэтому можно проинтегрировать это выражение по какому-либо компактному двумерному многообразию в Р+ и получить число, зависящее от индексов. Основная формула зависит от правильного выбора величинЛд'в'... а', би семейства подмногообразий.

Будем считать, что форма 6 определена равенством (9.3J, и положим

hA,в»... ^'(Z)^^^ ... л^, (п сомножителей),

получив однородный полином от координат (<ол, лл,) на Т, зависящий от спинорных индексов. Фиксируем точку хАА в М+ и положим

D' tzAA') = S ЛЛ'ЛВ' • • • nD'f Л 9>(9 •5)

г-1 UAA')

где f е Н°*х (Р+, Н-п-^. Этот интеграл корректно определен, принимает спинорные значения и симметричен по индексам.

6. Теорема.. Функция фл, . D,, определяемая интегралом (9.5), голоморфна, симметрична по Д', ..., D' и удовлетворяет уравнениям безмассового поля со спином s = п/2

на М+, причем интеграл (9.5) зависит только от когомологического класса Долъбо в Н°> 1 (Р+, Н-п-^.

Доказательство. Пусть

/д,...^/)^, ... л^(^^

— подынтегральное выражение в (9.5), где Z = (<ол, лл,) — те же координаты, что и выше. Выберем гАА еМ+; тогда

.7) двумерная плоскость из Т, отвечающая, в силу соответствия Пенроуза, точке хАА', есть множество всех (<ол, лл,) е Т, для которых (ол =/глл'лл,, т. е. это график в С4 = С2Х.С2 .СЛ значной линейной функции на С2-плоскости.

Имеем следующую диаграмму:,

^иА<, ^)\—^-^{(а?4, иАд: иэА = iz^Tt^m„ m

С2х М +——„ т +

||(9.8)

то х м+ ► |р+ ,

Замечание. В диаграмме (9.8) произведение Р1ХМ+ есть явное выражение для области флагов FX зависящее от выбора системы координат (<о4, лл,) в Т, т. е. системы координат, в которой форма Ф записывается с помощью матрицы Ф2. Эти координаты не SU(2,2)-инвариантны и тем самым Р1ХМ+— не SU(2, 2) -инвариантное представление F+.

В указанных выше координатах IА, D, (Za) = IА, d^Ai лд,) есть (1,1)-форма; ее проекция на Р+ — это корректно

определенная спинорная (1,1)-форма, симметричная по индексам, и мы обозначим ее также 1а' ... d'- Стало быть, определен обратный образ «*(/л ... dO, являющийся (1, 1)-формой наГ+ = = Р1ХМ+. Проинтегрировав по слоям проекции р, получим

^А'— J ^А'...D'^A'^'Y(9-9)

Pi X клл/}

Дифференцирование под знаком интеграла показывает, что функция фд/ D, голоморфна в М+; мы опускаем выкладки, поскольку они аналогичны и даже проще, чем вычисления, проводимые ниже. Проверим, что функция <рл, D#) задаваемая интегралом (9.9), действительно удовлетворяет уравнениям безмассового поля. Для этого также достаточно просто продифференцировать под знаком интеграла. Имеем

дгАА' Фв' ... D' ^АЛ ) ~ ^ "д^АА ^^В' ... D^ ^А'» zAA )* п

Нам надо расписать подынтегральное выражение и вычислить производную. Работая в однородных координатах, имеем

I В' ...D'^ ^Е^= UB' *^ UD'^ ^а) Л Л ^Л£'ф

Положим_

rdZa = U'd^M4tMdnMl где

Тогда

^В' ... D' (ЛЖ’ zAA )= ЛВ' • • • ^D' VМ' ^ V^M ^Af)+^ ^Лм} ^ Л^ dnE,. Дифференцируя, найдем

ЭгАА' № В' ...D') (ttA'> zAA )

= лв, ... лп,л£ dn£, л ^ДД, ум, d ( izM млм^ + fM daM} =

™ . f ^.M' dti>L1 9^M dti>L Д- I

= — л„, ... лп,лЕ ал„ < —;-Гт- d<BM H;ттг ал„ ?,

в ° Е ( dtoL dzAAdtoL dzAA м)

где

dtoM' |т-1 ^АА'-) = — izM'M ditM.'

Итак,

dzAA' (“(/s'O') ^№A'* zAA ) ~

= — О‘лЛ') л5'... ttD-nE' dnE- AS —Л- dtoM' Hт<1лм f.

I O(£)5(0 J

и видно, что ^Л'» ..., Л/)'.и видно, что ^Л'» ..., Л/)'.симметричнасимметричнапоследнее выражение симметрично по переменным Следовательно, мы доказали, что производная

и видно, что ^Л'» ..., Л/)'.

и видно, что ^Л'» ..., Л/)'.

симметрична

симметрична

д

дгАА' Ф8' ... D’

собой равенствособой равенствопо индексам А\ ..., D'. Это немедленно влечет за

собой равенство

собой равенство

рА’В' ^ гп— л

6дгАА^В'...В'-^

в силу кососимметричности матрицы гА'в'. Вспоминая, что

получимполучим^АА' = eBAeB'A'VBB#>

получим

получим

ЧАА'фА- ...d- = eBAe A'VBB,4>A-... у = О,

как и требовалось.

Осталось показать, что интеграл (9.9) зависит только от когомологического класса функции / в Н0’1 (Р+, Н~п~2У Предположим, что f = dh, где h ^ ^°( Р+, Н-п~^ (т. е. h представлено в .С/ — — {0} гладкой функцией, для которой Fjd/z=(—n — ^hy Тогда

л5' ... лп7 л 0 = ^ (лВ' ... nD'h А 0) —

^(р^Р,Р*

= ^ ^ (лВ' ... n.D'h л 0) = 0,

Pi

поскольку сужение (2,0)-формы на Pi обязано обращаться в нуль, ч. т. д.

Вывод уравнений безмассового поляиз интегральной геометрии

касательное к слоям отображения а, и пусть Га(Г+) — двойственное расслоение. Определена естественная проекция

у* Tt® х J*> Qt fт^т^—о

двойственная к инъекции Та в Т (опускаем зависимость от Г+). Рассмотрим теперь оператор внешнего дифференцирования, касательный к слоям а, 1

^а =ж ^а 0 ^,

где мы продолжили естественным образом ла на дифференциальные формы высших порядков. Другими словами, мы вычисляем внешнюю производную данной дифференциальной формы и затем сужаем полученную дифференциальную форму на Та1 т. е. на пространство всех векторов, касательных к слоям отображения а. В результате получаем корректно определенное отображение

Я0, Ч^)-^* Я0, Ч^+> т*а\поскольку•'

4: ^(Г^-х^ЧГ*", Т^,

и, как обычно,* мы представляем когомологические классы d-замкнутыми (0,1)-формами. Дифференциальный оператор продолжается на дифференциальные формы с коэффициентами в а*Н-п-^ поскольку функции перехода для а*//-”-2 можно выбрать постоянными вдоль слоев отображения а, так что они будут аннулироваться оператором da. Следовательно, получаем отображение

Н0,1 (г+, а*Я~""2) da) Я0,1 (Г+, а‘Я"*"2 ® Га).

Определим векторное расслоение Уп-»-М+, полагая слои Ул равными.

Vn.x~H^-4x\a*H-n-2\ п>0.

Это определение зависит от сюръективного отображения 0, и можно проверить, что при таком послойном определении Vn действительно является голоморфным векторным расслоением в естественном смысле (доказательство опирается на свойства прямых образов пучков [7], которых мы здесь не будем касаться). Имеется естественное отображение

т: Н0’1 (г+, ^Я'"-2) -► Н0’0 (М+, Vn\

получаемое сужением <Э-замкнутых дифференциальных форм, представляющих классы в Я0- 1 (F+, а*Н-п~^, до дифференциалу-

ных форм на подмногообразии fH^)^ Pi (С)), задающих когомологические классы в Н°> ^р-Цх), а*Н-п-^, т. е. точки в векторном пространстве Vn. Имеется отображение

та: Н^Ч^.^Н""-2 8) Т*а^Н0>ЧМ+, V“Y

где 7“, х = Н°’Ч$~Х W> а*Н~п~2 ® Га), задаваемое тем же способом, и определена следующая диаграмма:

а'Н-"-1^—3**^3^, а*Н-"-1 ® Г*)

J/0'1^, Я-'*-2) ~тГ»

VV*

Z/°'°(M+, Уя)дв'ОфАЛ И“)«

Пунктирная линия обозначает отображение, индуцированное оператором da в предположении, что оно корректно определено. С этой диаграммой связана следующая теорема.

Теорема.. Фиксируем п> 0; тогда:

операторы % и та суть изоморфизмы и оператор Va корректно определен^

слой Vnx^ ®"ymC2;

слой Vn, х (®symC2) ® С2;

индуцированный дифференциальный оператор Va есть оператор безмассового поля со спином s = п/2;

ядро Ker da = Im a*..

Из этой теоремы вытекает такое следствие.

Следствие. Если s > 0, то

Нг 1 (р+, н-^ _1> {Ker Va. яо, о (м+, г&)^о. о (м+> г«

^ {автодуальные голоморфные решения уравнений безмассового поля со спином s на М+}.

В частности, из этого следствия видно, что установленное в § 9 представление в виде явной интегральной формулы обратимо.

Детали доказательства теоремы 10.1 будут опубликованы позднее, заметим лишь, что все элементы доказательства SU ^2, 2)-инвариантны. Это, в частности, приводит к конформной инвариантности решений уравнений безмассового поля, что не вытекает из интегральной формулы § 9. Часть (1) теоремы 10.1 доказывается с помощью спектральной последовательности Лере для прямых образов пучков (см. Годеман [7]) и соответствующих стандартных теорем теории функций многих комплексных переменных об об-

ращении в нуль групп когомологий либо вдоль слоев отображения р, либо на М+. Части (2) и (3) проверяются простыми выкладками с помощью элементарных результатов теории компактных комплексных многообразий. Часть (4) устанавливается подходя щим выбором бааисов для встречающихся здесь векторных пространств. Включение Ima*czKerda есть простое следствие того факта, что оператор da отвечает дифференцированию вдоль слоев отображения а, а когомологические классы из Im а*, будучи обратными образами вдоль слоев, по существу, «постоянны вдоль слоев» и, значит, аннулируются оператором da. Обратное утверждение гораздо глубже и требует решения соответствующих 5-задач локально вдоль слоев отображения а (неоднородные уравнения Коши — Римана для дифференциальных форм). Детали будут опубликованы в совместной статье с М. Иствудом и Р. Пенроузом), в которой будет рассмотрен и случай s ^ О, не охватываемый теоремой 10.1, а также ряд других вопросов, связанных с развитой выше техникой.

ЛИТЕРАТУРА

Andreotti A. and Norguet F. Probleme de Levi et convexite holomorphe pour les classes de cohomologie.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 20 (1966), 197— 241.

Atiyah M., Hitchen T. and Singer I. Deformations of instantons. — Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 74 (1977), 2662—2663.

Atiyah M. and Ward R. Instantons and algebraic geometry. — Commun Math. Phys. 55 (1977), 111 — 124.

Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Ря.— Math. Ann. 226 (1977). 125—150.

Chern S. S. and Moser J. Real hypersurfaces in complex manifolds. — Agta Math. 133 (1976), 219—271.

de Rham G. Varietes differentiables. — Paris: Hermann, 1960. [Имеется перевод: де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М: ИЛ, 1956.]

Godement R. Topologie algebrique et theorie des faisceaux. — Paris- Hermann, 1964. [Имеется перевод: Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.]

Gunning R. С. and Rossi Н. Analytic functions of several complex variables.— Englewood Cliffs N. J.: Prentice-Hall, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных.—М.: Мир, 1969.]

Hansen R. О. and Newman Е. Т. A complex Minkowski space approach to twistors. — General Relativity and Gravitation 6 (1975), 361—385.

Harvey R. and Lawson B. On boundaries of complex analytic varieties. I.— Ann. of Math. (2) 102 (1975), 233—290; II, Ann. of Math. 106 (1977), 213— 238 ).

Hirzebruch F. Topological methods in algebraic geometry. — Berlin and New York: Springer-Verlag, 1966. [Имеется перевод: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]

Hughston L Twistor description of low-lying baiyon states. — Twistor News letter No. 1, Oxford. March 1976, 1—6.*)

Kuiper N. On conformal, flat spaces in the large.—Ann. of Math. (2) 50 (1949), 916—924.

Lerner D. The non-analytic version of Kerr’s theorem. — Twistor Newsletter No. 4, Oxford, April 1977.*)

Lerner D. The inverse twistor function for positive frequency fields. — Twistor Newsletter No. 5, Oxford, July 1977. *)

Morrow James and Kodaira K. Complex manifolds. — New York: Holt, 1971. 17. Penrose R. Twistor algebra. — /. Math. Phys. 8 (1967), 345—366.

Penrose R. The structure of space-time. — Batelle Rencontres 1967 (С. M. de Witt and J. A. Wheeler eds.). New York: Benjamin, 1968. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.]

Penrose R. Twistor quantisation and curved space-time. — Inter. J. Theoret. Phys. 1 (1968), 61—99.

Penrose R. Solutions of the zero-rest-mass equations. — /. Math. Phys. 10 (1969), 38-39.

Penrose R. Twistor theory, its aims and achievements, Quantum Gravity: An Oxford Symposium (Isham, Penrose and Sciama eds.). — Oxford: Clarendon Press, 1975.

Penrose R. Nonlinear gravitons and curved twistor theory. — General Relativity and Gravitation 7 (1976), 31—52. [Перевод в настоящем сборнике.]

Penrose R. The twistor program. — Reports on Math. Phys. 12 (1977), 65—76. [Перевод в настоящем сборнике.]

Penrose R. Massless fields and sheaf cohomology. — Twistor Newsletter No. 5, Oxford, July 1977.*)

Penrose R. and MacCallum M. A. H. Twistor theory: an approach to the quantisation of fields and space-time. — Physics Reports (Section C of Physics Let er) 6 (1972), 241—316. [Перевод в настоящем сборнике.]

Robinson I. Null electromagnetic fields. — /. Math. Phys. 2 (1961), 290—291.

Tanaka N. On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space of n complex variables. — /. Math. Soc. Japan 14 (1962), 397—429.

Trautman A., Pirani F. A. E. and Bondi H. Lectures on general relativity. Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, 1964, vol. 1. — Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1965.

Ward R. The twisted photon. — Twistor Newsletter No. 1, Oxford, March 1976.*)

Ward R. Curved twistor space. — Thesis, D. Phil., Oxford, 1977.

Ward R. On self-dual gauge fields. — Physics Letters 61A (1977), 81—82.

Wells' R. O., Jr. Differential analysis on complex manifolds. — Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1973. [Имеется перевод: Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.]

Wells R. О., Jr. and Wolf J. A. Poincare series and automorphic cohomology on flag domains. — Ann. of Math. (2) 105 (1977), 397—448.

Wolf J. A. The action of a real semisimple group on a complex flag manifold. I: Orbit structure and holomorphic arc components. — Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1121—1237; II: Unitary representations on partially holomorphia cohomology spaces. — Mem. Amer. Math. Soc. no 138, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1974.

Woodhouse N. Twistor cohomology without sheaves. — Twistor Newsletter No. 2, Oxford, June 1976.*)

ТВИСТОРЫ В ПЛОСКОМ И ИСКРИВЛЕННОМПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ )

Р. Пенроуз

Mathematical Institute, Oxford, England

P. С. Уорд

Merton College, Oxford, England

•1. Введение

Каждая из двух великих теорий относительности Эйнштейна привела к революционным (и, по-видимому, необратимым) изменениям в наших представлениях о пространстве и времени. Действительно, специальная теория относительности играет сейчас в физике столь важную роль, что никакая попытка продвижения на пути к переформулировке теоретической физики не может быть принята всерьез, если она не обнаруживает полного согласия с этой теорией. А в последнее время и общая теория относительности начинает приобретать надежную экспериментальную основу в дополнение к ее уже неоспоримым качествам логически безупречной и эстетически привлекательной теоретической доктрины. Поэтому любой новый претендующий на что-то формализм должен столкнуться с гораздо более строгими требованиями совместимости с этой теорией как в деталях, так и по духу.

- Теория твисторов является попыткой создания такого формализма, в котором на первый план выдвигается новый геометрический подход к описанию физических явлений. В основе этого подхода на начальном этапе лежит пересмотр геометрии специальной теории относительности. Одним из главных мотивов такого пересмотра явилась мысль о том, что должна существовать более тесная, чем в традиционной теории, связь между структурой пространства-времени и квантовой механикой, ибо квантовая теория Ймеет не менее важное значение, чем теория относительности, для выяснения природы физических процессов. Главная особенность квантовой теории состоит в том, что в ней в качестве основной числовой системы для описания мира вместо вещественного поля используется поле комплексных чисел. Квантовая линейная суперпозиция всегда рассматривается с комплексными коэффициентами, но обычно считается, что это не имеет прямого отношения к структуре пространства и времени. В теории твисторов комплексные числа приобретают ключевое значение в определении самой структуры пространства-времени. При этом особую роль играют

*) R. Penrose, R. S. Ward. Twistors for flat and curved space-time.— In: General Relativity and Gravitation (A. Held, ed.), v. 2, pp. 283—328. — New York and London: Plenum Press, 1980.

© 1980 Plenum Press, New York

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

конкретные значения размерности и сигнатуры нашего пространства-времени. Формализм естественным образом привязан к этим специальным значениям размерностей пространства и времени. Несколько упрощая, можно сказать, что одни и те же комплексные числа определяют как структуру пространства-времени, так и квантовомеханическую линейную суперпозицию.

В настоящее время теория твисторов позволяет дать полное описание геометрической структуры только специальной теории относительности Эйнштейна, и в § 2 приводится краткий обзор теории твисторов в плоском пространстве. Дается описание разнообразных аспектов проявления твисторов в специальной теории относительности. Мы не приводим, однако, твисторной теории частиц, поскольку она подробно излагается в обзорных статьях Хьюстона [1] и Пенроуза и Спарлинга [2].

Твисторное описание общей теории относительности до настоящего момента завершено лишь частично. В последующих параграфах статьи приводятся некоторые указания относительно того, чего можно достичь в этой области на данном этапе. Будет показано (§ 3), как на языке твисторов описываются импульсные гравитационные волны. Затем дается изложение метода, позволяющего выразить все автодуальные (обязательно комплексные) решения уравнений Эйнштейна в терминах искривленного твистор- ного пространства (п. 4.1). Приводится также широкий класс примеров, для которых эта процедура может быть проделана явно (п. 4.2). Когда кривизна (Вейля) пространства-времени не является автодуальной, один из возможных методов состоит в том, чтобы обратиться к геометрии некоторой специальной гиперповерхности в пространстве-времени. Это приводит к понятию гиперповерхностных твисторов (п. 5.1). Для асимптотически плоского пространства-времени эта гиперповерхность может быть выбрана в (изотропной) бесконечности, что приводит к понятию асимптотических твисторов (п. 5.2). Пространство асимптотических твисторов имеет в точности структуру пространства твисторов для автодуального пустого комплексного пространства-времени, которое в этом случае оказывается ^-пространством Ньюмана [З]1).

Теория твисторов в плоском пространстве-времени

2.1. Алгебра и геометрия твисторов. Имеется много по существу эквивалентных путей установления соответствия между твисто- рами и физическими или геометрическими структурами в пространстве-времени Минковского. Возможно, наиболее прямой

!) См. Boyer С. Р., Finley J. D. Ill, Piebanski J. F. In: Held A. (ed.). General relativity and gravitation (one hundred years after the birth of A. Einstein).—* N. Y4 London: Plenum Press, 1980, v. 2, pp. 241—281.

физический подход состоит в том, чтобы рассматривать твистор !) (с точностью до неопределенного фазового множителя) как объект, характеризующий импульс и угловой момент классической безмассовой свободной частицы. Иначе можно дать описание тви- стора (с точностью до ненулевого комплексного множителя) в терминах некоторых «закручивающихся» конгруэнций изотропных прямых, известных под названием конгруэнций Робинсона. По- другому твистор можно рассматривать как решение конформно инвариантного «твисторного уравнения» или как такое решение вместе с его производной (что более подходит для определенных целей). Иначе говоря, твистор является элементом пространства основного представления группы SU(2, 2), рассматриваемой как четырехкратное накрытие связной компоненты единицы конформной группы пространства-времени. Его также можно рассматривать как оператор повышения спиральности, переводящий свободные безмассовые поля спиральности $ в такие же поля спиральности s + 4 ti.

Все эти описания касаются, по существу, структур в вещественном пространстве-времени. Но столь же поучительно, а для наших целей весьма полезно, дать исходное описание твистора в терминах геометрии комплексифицированного пространства-времени. Этому подходу мы и будем в основном следовать здесь, но мы покажем также, как эта точка зрения приводит к другим подходам, упомянутым выше.

Выберем начало отсчета О в (вещественном) пространстве- времени Минковского М7, и пусть точка х представляется радиус- вектором ха, компоненты которого х°, х\ х, х будут в этом случае задавать стандартную систему координат Минковского на М7. Эти координаты можно выразить в терминах двухкомпонентных спиноров с помощью равенства

Г X00' X01' 1! Г Х° + X1 X2 + /X3 1

I=I/о п

[х10' X11 J V2 L х2 — ix3 х° —- X1 J *' * 7

Мы сохраним это соответствие и в случае комплексных х°, х1, х2, х3. Тогда ха будет отвечать радиус-вектору точки х в комплексифи- цированном пространстве Минковского ИМ7. Следовательно, х будет вещественной точкой (х е М7) тогда и только тогда, когда матрица х№ эрмитова2).

9 Мы имеем здесь в виду основной тип твисторов, а именно твистор типа [ 0 ] в плоском пространстве. Твистиры общего типа [ ^ ] получаются из указанных твисторов с помощью стандартных операций комплексного сопряжения и тензорного умножения.

Основное соответствие между .СМ и пространством твисторов Т) задается фундаментальным соотношением

сол = Ixaa'kas(2.2)

которое является условием того, что твистор Za е Т, задаваемый как Za = (сол, лЛ'), инцидентен точке хе СМ7. Геометрия этого соответствия отчетливо проявляется в терминах проективного тви- сторного пространства РТ. Точки РТ совпадают с классами эквивалентности (ненулевых) пропорциональных твисторов, так что каждому ненулевому твистору Za е Т отвечает проективный твистор

Z = {pZa|0^p е С} е РТ,

где р2“ = (р®л, рлЛ'). Пространство РТ есть трехмерное ком- плексное проективное пространство (СР3), и каждая из его точек (т. е. каждый проективный твистор) интерпретируется в СМ7 как множество инцидентных ей точек комплексного пространства-времени, т. е. как множество комплексных решений х уравнения (2.2) при фиксированных сол и лл^. Обратно, каждая точка СМ7 интерпретируется в РТ как множество инцидентных ей проективных твисторов, т. е. как множество решений Za уравнения (2.2) и тем самым Z (поскольку (2.2) однородно) при фиксированном ха.

Из вида (2.2) ясно (поскольку сол есть не что иное, как произвольная линейная функция лЛ'), что эти последние множества являются просто комплексными линейными подпространствами Т размерности 2, за исключением подпространств, имеющих нетривиальное пересечение с двумерным пространством /, задаваемым уравнением лЛ' = 0. В терминах пространства РТ эти множества являются комплексными проективными прямыми в РТ, за исключением прямых, пересекающих прямую I (проективная версия /) (см. рис. 1). Такова твисторная реализация точек комплексифи- цированного пространства Минковского. Для обратной конструкции нужно исследовать множество точек СМ7, задаваемое решениями (2.2) при фиксированных сол, л/. Предположим сначала, что лл,=й=0, и пусть xj —частное решение, а ха — общее решение. Положив

па = ха_ Х^(2.3)

мы видим, что (2.2) дает

пАА'пА' = 0,(2.4)

так что па имеет вид

пАА' = ^АпА^(2.5)

[Поднимание и опускание спинорных индексов достигается с помощью кососимметричных спиноров еав, sA'Bs ъав, еА'в\ стандартные компоненты которых имеют значения, задаваемые равенствами В — А = 0, 1, —1, 0 = В7 —А71). Таким образом, §° = ^b V = = —^о, т)0'= T]i', т)1 ' = — т]0'. По элементарным леммам, если £л и т)л' — ненулевые, то из равенства ф^;;;^ £Q = 0 следует, что ф^ --jo' имеет вид фА;;;р 1Q, в то время как из равенства Фд* q ^Чу'= 0 следует, что этот спинор имеет вид XaVq4u> и т. д.] Позволяя V меняться в (2.5), получим комплексно дву- параметричеекое семейство взаимно ортогональных комплексных изотропных векторов па (поскольку (ХАпА') (ХдЛдО = 0). Следовательно, множество Z решений (2.2) есть вполне изотропная двумерная комплексная плоскость, т. е. двумерная плоскость, все касательные векторы которой изотропны и взаимно ортогональны, т. е. метрика этой плоскости, индуцированная комплексной метрикой gab, является нулевой.

Вполне изотропные двумерные плоскости в .СМ7 бывают двух типов: те, которые мы только что рассмотрели, называемые a-плоскостями, с касательными векторами вида (2.5), где лл' фиксировано, а V меняется, и те, которые называются ^-плоскостями и имеют касательные векторы вида (2.5) с фиксированным V и

0 Иными словами, еДВ и еД'В' имеют стандартное координатное представ/ 0 1 X П

ление ( Q /пеРе8^

меняющимся лл\ Таким образом, точки РТ (по крайней мере не лежащие на I) представляются в СМ7 a-плоскостями. (Интерпретация p-плоскостей будет дана ниже.)

Для интерпретации точек 1(лЛ' = 0) нужно перейти к компактифицированному комплексному пространству Минковского .СМ, точки которого удобно представлять как прямые в РТ, включая те, которые пересекают I. Таким образом, пространство СМ состоит из точек С М7 и, кроме того, из точек трехмерной комплексной поверхности С «7, отвечающих прямым в РТ, которые пересекают I. Трехмерная поверхность .С «7 изотропна (определяя «точки СМ7 на бесконечности») и является конусом, вершина которого / представляется в РТ самой прямой I. Все четырехмерное комплексное многообразие ,СМ компактно и может быть в действительности реализовано ([4]) как неособая квадратичная гиперповерхность в пятимерном комплексном проективном пространстве (СР5). Эта реализация известна как представление Клейна (или Грассмана)1) прямых в СР3. Пространство СМ имеет корректно определенную комплексную конформную метрику, задающую в каждой точке комплексный световой конус. Этот световой конус можно представлять в СР5 как пересечение квадрики с гиперплоскостью, касающейся квадрики в рассматриваемой точке. Изотропные прямые в СМ действительно являются прямыми на квадрике, а a-плоскости и p-плоскости образуют два семейства двумерных комплексных плоскостей, лежащих на квадрике.

Хотя точка / и гиперповерхность С3 определяют «бесконечность» в метрической геометрии пространства С М, они не имеют отношения к его конформной геометрии, поскольку с конформной точки зрения точка / ничем не отличается от всех остальных точек СМ. Линейные преобразования пространства Т составляют комплексную 16-параметрическую группу (ОЛ(4, С)), которая индуцирует комплексную 15-параметрическую проективную линейную группу на РТ. В терминах пространства СМ эта проективная группа превращается в комплексную 15-параметрическую (собственную) конформную группу С(4, С), состоящую из (сохраняющих ориентацию) симметрий комплексифицированного компактифицированного пространства Минковского (комплексные световые конусы сохраняются при этих преобразованиях). Собственная комплексифицированная группа Пуанкаре вместе с растяжениями возникает как подгруппа этой группы, для которой прямая I из РТ левоинвариантна. (Для исключения растяжений требуются дальнейшие ограничения. Мы обсудим это позже.)

Для следующего шага в построении твисторной алгебры нам необходимо понятие дуального твистора Wa. Будем говорить, что твистор Wa= (Хл, рА) инцидентен точке х^СМ1, если выпол-

9 См. [10*], с. 86—88. -— Прим, перев.

няется фундаментальное соотношение

рЛ = — 1ХАхАА', (2.6) и инцидентен твистору Za = ^\ ^д^ если скалярное произведение

2“Га^®лЛл + лл^' (2.7)

обращается в нуль. Заметим, что скалярное произведение (2.7) в действительности обращается в нуль всякий раз, когда выполняются оба соотношения (2.6) и (2.2), т. е. когда существует точка СМ7, инцидентная обоим твисторам. При условии что Wa ^ =# 0, определен проективный дуальный твистор W = {рЦ7а|0 ^ р е еС}, задаваемый в РТсистемой инцидентных ему проективных твисторов, т. е. проективной плоскостью в РТ с уравнением ZaWa = 0 относительно Z<\ В терминах пространства Т это — комплексное линейное подпространство размерности 3. В терминах пространства СМ7, твистор W задается множеством комплексных решений (2.6), где ц4' и Ха фиксированы, т. е., согласно нашим предыдущим обсуждениям p-плоскостью. Следовательно, р-плоскости в СМ отвечают комплексным проективным плоскостям в РТ. Некоторая a-плоскость инцидентна p-плоскости, если они пересекаются в СМ (возможно, на С39; это случается всякий раз, когда точка РТ, представляющая a-плоскость, лежит на плоскости в РТ, представляющей p-плоскость. Точка СМ инцидентна a-плоскости, соответственно p-плоскости, если эта точка лежит на a-плоскости (соответственно p-плоскости); другими словами, соответствующая прямая в РТ содержит точку, отвечающую a-плоскости, или лежит в плоскости, отвечающей р-плоскости. Заметим, что если точка РТ лежит на плоскости в РТ, то существует однопараметрическое семейство прямых, лежащих в этой плоскости и проходящих через эту точку. В противном случае таких прямых вообще нет. Подобное однопараметрическое семейство прямых называется плоским пучком. Таким образом, если а-пло- скость и p-плоскость пересекаются в СМ (т. е. инцидентны), они имеют общую (комплексную) кривую. Эта кривая, как легко видеть из (2.5), является комплексной изотропной геодезической (т. е. изотропной прямой) в СМ, поэтому изотропные геодезические в СМ представляются в РТ плоскими пучками. *

Заметим, что для описания геометрии СМ можно также использовать дуальное твисторное пространство Т* и его проективный вариант РТ*. Единственное различие состоит в том, что точки и плоскости из РТ поменяются ролями в FT* Так, точки РТ* будут теперь отвечать p-плоскостям в СМ. а плоскости РТ* — a-плоскостям в СМ, Как и ранее, проективные прямые и плоские пучки из РТ* отвечают соответственно точкам и изотропным геодезическим в СМ,

До сих пор мы не обращали внимания на вещественную структуру .СМ, т. е. на выделенное подмножество М в СМ. Другой путь определения этой вещественной структуры возможен в терминах операции 3, переводящей точки СМ в комплексно сопряженные точки. Сравнивая (2.2) с (2.6), мы замечаем, что комплексное сопряжение меняет местами твисторы и дуальные твисторы, a-плоскости и p-плоскости. Комплексно сопряженным к твистору /а = ((ол, кА'\ является дуальный твистор 2а = (лл, сол), соответственно комплексно сопряженным к дуальному твистору Wa = (Ал, Нл) является твистор й^а = (рД ХлО- Это позволяет нам определить твисторную норму Za и U7a соответственно как

ZaZa = <оллл + Лл'ЮЛ >(2-8)

+(2.9)

Эта норма является эрмитовой формой сигнатуры +Н, так что линейные преобразования Т, сохраняющие ее (или, эквивалентно, сохраняющие связь между твистором и его комплексно сопряженным), составляют реализацию вещественно 16-парамет- рической группы (7(2, 2)1). Эти преобразования индуцируют отображения вещественного компактифицированного пространства Минковского М [5] в себя, сохраняющие его конформную структуру. Но среди элементов U (2, 2) имеются фазовые преобразования

Zav->e^Z°* (6 вещественно),(2.10)

которые сводятся к тождественному преобразованию на FT к, следовательно, также на М. Факторгруппа группы (7(2,2) по преобразованиям (2.10) является вещественно 15-параметрической группой, изоморфной связной компоненте С+(1, 3) конформной группы С(1, 3) на М. Вместо того чтобы рассматривать эту факторгруппу, мы можем нормировать элементы группы U (2,2у\ требуя, чтобы они имели детерминант, равный единице, т. с. принадлежали к подгруппе SU (2,2). Это сужает произвол в (2 10) до дискретной подгруппы (Z4), элементами которой являются четыре преобразования:,

(2.11)

совпадающие с элементами 5(7(2, 2), индуцирующими тождественное преобразование группы С (1,3) на М. Группа SU (2 2) является, таким образом, четырехкратным накрытием группы С+(1,3), причем четырехкратность, отвечающая переходу от

9 Группы преобразований пространства твисторов и их связь с группами1 преобразований пространства Минковского рассматриваются в упомянутой выше, статье Уэллса из этого сборника. — Прим, перев.

С+ (1,3) к 5Щ2, 2), существенна, ввиду того что 5^(2, 2) связна. (Из этого следует, что любая непрерывная локальная конформно инвариантная геометрическая реализация твистора Za в терминах пространства-времени М должна содержать произвол в том смысле, что iZa, —Za и —iZa имеют ту же реализацию, что и Za.)

Исходный твистор Za интерпретируется теперь как элемент пространства представления Т, на котором группа SU (2,2) действует линейно, сохраняя норму (2.8), где SU (2, 2) рассматривается как четырехкратное накрытие группы С+ (1, 3), действующей на М. Другие конечномерные представления получаются перенесением указанного действия на дуальное пространство Т* или на тензорное произведение р экземпляров Т и q экземпляров Т*:

Т 0 . .. 0 Т 0 Т* 0 ... 0 Т.

Элемент этого пространства — или его запись в абстрактных индексах— называется твистором типа [^], так что исходные тви- сторы Za имеют тип [ ^ ], а дуальные твисторы — тип [°]. Твистор, комплексно сопряженный к твистору типа [^], имеет тип [р]. Стандартное обозначение 7'“ ...^ используется для твистора типа ^, а Taj ...а7— для комплексно сопряженного твистора типа р . Стандартные тензорные обозначения для сумм, произ ведений, сверток, замен индексов, симметрий (с круглыми и квадратными скобками, обозначающими симметричную и антисимметричную части соответственно) применимы, как правило, и к тви- сторам. _

Твистор Za (или, эквивалентно, Za) называется положительным (правосторонним), отрицательным (левосторонним) или изотропным в соответствии с тем, является число ZaZa положительным, отрицательным или нулем. Это определение применимо, очевидно, и к проективному твистору Z (или Z). Таким образом, каждое из пространств Т и РТ разбивается на три части, обозначаемые ТЛ Т- и N, соответственно РТ+, РТ-и FN, где элементы Т+ являются положительными твисторами, элементы Т“— отрицательными твисторами, элементы N — изотропными твисторами. С топологической точки зрения каждое из трехмерных комплексных многообразий РТ+ и РТ- совпадает с S2 XR4, а каждое из четырехмерных комплексных многообразий Т+ и Т“— с S3XR5, пятимерное вещественное многообразие f N совпадает с S2XS3, 3 семимерное вещественное многообразие N (где начало отсчета Za = 0 в данном случае исключается) — с S3 X S3 X R Ч.

Элементы FN интерпретируются в терминах пространства Мин-

9 См. упомянутую выше статью Уэллса из этого сборника. — Прим, перев.

ковского как световые лучи (т. е. как изотропные прямые), включая в это понятие образующие 3. (Световой конус на бесконечности 3 в пространстве М есть множество вещественных точек С3\ он порождается семейством соответствующих световых лучей, параметризуемым сферой S2 [6].) В самом деле, ZaZa = О является условием того, что a-плоскость, отвечающая Z, и 0-плоскость, отвечающая Z, инцидентны, а мы видели, что если a-плоскость пересекается с 0-плоскостью, то они имеют общую комплексную изотропную геодезическую. Эта комплексная изотропная геодезическая должна содержать вещественную изотропную геодезическую, поскольку комплексное сопряжение меняет местами a-плоскость с 0-плоскостью и тем самым оставляет их пересечение инвариантным. Эта вещественная изотропная геодезическая (или световой луч) является пересечением a-плоскости с М и одновременно пересечением 0-плоскости с М (т. е. является в точности множеством вещественных точек каждой из этих комплексных изотропных плоскостей) и однозначно определяет обе плоскости. Эти свойства можно увидеть непосредственно, обратившись к (2.2), в случае, когда лЛ'#=0. Таким образом, твистор Za = (ix^A лЛ', ^а^ (^ = *а) описывает световой луч, проходящий через вещественную точку с радиус-вектором ха в направлении лллл'.

В случае когда ZaZa =# 0, также можно дать интерпретацию Z в терминах вещественного пространства-времени, но она является более сложной. Мы можем интерпретировать Z в терминах семейства изотропных дуальных проективных твисторов W, которые ему инцидентны. Пусть ха вещественно; тогда твистор 1^а=(Хл, — ГКАхАА'^ представляет световой луч, проходящий через точку ха в направлении ЛЛХЛ\ Для того чтобы твистор №а был инцидентен Za = (со^, лЛ'), необходимо, чтобы

0= WaZa = Алсол - Ллхлл'лЛ' = Кд (V - ix^'^, (2.12)

т. е. V должно быть пропорционально со4 — 1хАА лл^. (Заметим, что (ол7^^лл Ла' Для вещественного ха, если ZaZa=#0.) Следовательно, направление светового луча W, проходящего через точку х из МН, является изотропным направлением, определяемым спинором

сол (х) = сол — ixАА лл\ . (2.13)

Когда ха изменяется, формула (2.13) задает спинорное поле, причем изотропные направления, определяемые сол(х), касаются искомого семейства световых лучей W. Такое семейство, задаваемое (2.13), называется конгруэнцией Робинсона (где «конгруэнция» означает в данном контексте трехпараметрическое семейство прямых). Конгруэнция Робинсона обязательно является бессдви-

говой ([5] 1)). Она закручивается вправо или влево в каждой точке в зависимости от того, положительно ZaZa или отрицательно.

Если мы вернемся к случаю ZaZa = 0 (с лЛ'#=0), то увидим, ’что для точек на световом луче Z, определяемом Z (т. е. для вещественных точек х, инцидентных Z), сод(х) = 0, поэтому каждый твистор W, инцидентный этой точке х, удовлетворяет (2.12). Иначе говоря, конгруэнция лучей W превращается в специальную конгруэнцию Робинсона, т. е. просто семейство световых лучей, пересекающих выделенный световой луч, определяемый Z. (Напомним также, что равенство ZaWa = 0 является условием того, что a-плоскость Z пересекает [3-плоскость W; для изотропных Z<\ Wa это условие того, что световой луч Z пересекает световой луч IF, возможно, на 3.^ Если лЛ' = 0, то (2.13) определяет конгруэнцию параллельных световых лучей, которые являются лучами, пересекающими выделенную образующую Z на 3.

Выше мы рассмотрели конгруэнцию Робинсона в терминах семейства проективных дуальных твисторов; удобно изобразить се в пространстве РТ*. (Можно дать, конечно, и описание в терминах РТ; для этого достаточно всюду произвести комплексное сопряжение.) Твистору Z отвечает теперь плоскость в РТ*, а инцидентным Z твисторам W — точки этой плоскости. Так как изотропные дуальные проективные твисторы являются точками PN*, то конгруэнция Робинсона, задаваемая Z, описывается в РТ* точками W, лежащими на пересечении PN* с плоскостью Z (рис. 2). Плоскость Z вещественно четырехмерна, а PN*— вещественно пятимерная гиперповерхность в РТ*. Поэтому пересечение PN* с Z вещественно трехмерно и определяет конгруэнцию в М, как и требовалось. Гиперповерхность PN* можно представлять себе как множество всех световых лучей в М (таким же образом можно рассматривать и PN); указанное трехмерное подмножество выделяет искомую конгруэнцию Робинсона.

Проективный дуальный твистор Z является точкой РТ*. Эта точка лежит на PN* тогда и только тогда, когда она принадлежит плоскости Z, что является условием специальности конгруэнции Робинсона. В этом случае Z описывает выделенный световой луч в М (именно, тот же световой луч, который определяет Z) и конгруэнция превращается в семейство световых лучей, пересекающих выделенный луч. Иначе говоря, такая конгруэнция совпадает с системой образующих различных световых конусов в М с вершинами на выделенном световом луче Z. Каждый такой световой конус описывается в РТ* точками проективной прямой в FN*, проходящей через точку Z. Следовательно, в этом случае пересечение РМ* с плоскостью Z является конусом с вершиной в Z, образую-

’) По поводу конгруэнций и их свойств см. обзор [16*].—Прим,, перев.

щие которого суть проективные прямые (с топологией S2), принадлежащие вещественно однопараметрическому (S1) семейству.

Рассмотрим более подробно твисторное описание световых конусов в М, где для удобства мы снова возвращаемся к пространству РТ вместо эквивалентного ему РТ*. Если Ха и Уа — ненулевые изотропные твисторы, отвечающие различным световым лучам в М, то, как мы видели, условие ортогональности твисторов X«ya = о необходимо и достаточно для того, чтобы световые лучи X и Y пересекались (возможно, на ЗУ Когда это условие выполнено, каждый твистор Za, задаваемый равенством

/а = р^а + аУа (2.14)

(в котором ри пне равны нулю одновременно), является изотропным (и ненулевым) и ортогонален как Ха, так и Ya. Следовательно, он отвечает световому лучу, пересекающему каждую из изотропных прямых X, Y, т. е. содержащему их точку пересечения q. Таким образом, при изменении отношения р : о проективные твисторы Z, задаваемые равенством (2.14), дают всевозможные световые лучи, порождающие световой конус в точке q (рис. 3). В терминах пространства РТ твисторы X и Y — это две точки PN, а условие ортогональности ХаУа = 0 в этой интерпретации означает, что проективная прямая, соединяющая X и Y, лежит целиком в PN. Различные точки Z этой прямой отвечают разным образующим светового конуса с вершиной в q; действительно, сама

Рис. 3.

прямая отвечает точке q согласно соответствию, описанному ранее, по которому точкам .С М отвечают проективные прямые РТ. В этом частном случае точка q — вещественная, что в интерпретации РТ означает, что соответствующая проективная прямая полностью лежит в PN. Заметим, что топологически любая проективная прямая в РТ есть S, поскольку пространство всевозможных отношений р : о пар комплексных чисел есть риманова сфера (плоскость Аргана1) с добавленной точкой в бесконечности). Для вещественной точки q эта сфера реализуется как пространство световых лучей, проходящих через q, т. е. как «небо» или «небесная сфера» наблюдателя в точке q.

Вернемся теперь к изучению спинорного поля сЬл(х), задаваемого формулой (2.13). Заметим, что оно удовлетворяет уравнению2)

W (х) = 0, (2.15)

называемому твисторным уравнением, где \а — стандартный оператор ковариантного дифференцирования) ^а = д/дга в координатах Минковского) в плоском пространстве МН. Обратно, каждое решение (2.15) имеет вид (2.13). (Чтобы убедиться в этом, воспользуемся перестановочностью операторов дифференцирования и уравнением (2.15) и докажем равенство 7дЛ7в'ЮС(х) = V^Vs'toC1(x) = 0; следовательно, сол(х) линейно по ха и, снова по (2.15), имеет требуемый вид (2.13).) Постоянные спиноры сол и лл, определяются соответственно значениями поля <ол (х) и его первой производной в начале координат ха = 0. Таким образом, мы имеем другой подход к определению твистора, а именно как решения уравнения (2.15). Эти решения образуют комплексное четырех - мерное векторное пространство, которое может быть отождествле-

’) Плоскость Аргана означает здесь просто плоскость комплексных чисел С.— Прим, перев.

но с т. Множество нулей каждого решения, т. е. множество тех х, являющихся теперь комплексными, для которых ол(х) = 0, определяет a-плоскость твистора. Но теперь масштаб фиксирован, поэтому это представление настоящего твистора Za, а не проективного Z). Такая точка зрения имеет определенное преимущество, состоящее в том, что свойства твисторов при конформных преобразованиях, как и сам факт конформной инвариантности понятия твистора, становятся гораздо более очевидными. Так, конформная инвариантность понятия твистора вытекает из инвариантности (2.15) относительно конформных замен метрики ([7]).

Мы не будем специально заниматься здесь вопросами конформной инвариантности). Однако зависимость от начала отсчета, определяемая ол(х), важна также для пуанкаре-инвариантности. Мы можем в действительности рассматривать ол(х) как «о-часть» твистора Za, взятую относительно вещественной точки х как начала отсчета; при этом «л-часть» твистора Za выбирается независимой от начала отсчета, а именно

Лл'М = лЛ'. (2.16)

Согласованность этого равенства с фундаментальным соотношением (2.2) очевидна. Действительно, пусть уа есть радиус-вектор точки у е С МИ относительно стандартного начала отсчета, так что относительно начала отсчета х радиус-вектор у равен

Уа^ = Уа~х\ (2.17)

Тогда из (2.13), (2.16) и (2.17) получаем

ол (х) — 1уАА' (х) лЛ' (х) = ол — iyAAnAs (2.18) поэтому условие того, что твистор Za инцидентен уа, не зависит от начала отсчета. Заметим также, что твисторная норма (2.8) инвариантна относительно (2.13), (2.16) (ха вещественно) и потому пуанкаре-инвариантна в этом смысле. Описание твистора Za как пары спиноров (юл, лЛ') правильнее с точки зрения пуанкаре-инвариантности заменить описанием, в котором явно выделена зависимость от начала отсчета:

Za = (о/ (х), лЛ' (х)) = (сол — 1хАА лЛ', лЛ'). (2.19)

Такое определение твистора как пары спинорных полей (второе из которых постоянно и является, по существу, производной первого) включает в себя описание поведения твистора как при трансляциях, так и при лоренцевых вращениях. Однако для простоты мы будем придерживаться первоначального определения Za = = (юЛ, Лл')-

Стоит отметить здесь, что постоянство иА\х^ по (2.16) можно выразить другим способом как существование пуанкаре-инвари- антного отображения проекции из пространства Т на пространство S* штрихованных «ковариантных» (т. е. с нижними индексами) спиноров ^А'. Подобным же образом существует пуанкаре-инва- риантное вложение пространства S нештрихованных «контрава- риантных» (т. е. с верхними индексами) спиноров сол в пространство Т, которое можно включить в точную последовательность ([11]) отображений комплексных векторных пространств

(2.20)(2.20)0->S

(2.20)

(2.20)

Второе отображение (вложение) просто переводит сол в (сол,0) (оно пуанкаре-инвариантно потому, что теперь л;л^ = 0 в (2.19)), а третье отображение (проекция) переводит (со4, лЛ) в лЛ', как указано выше. Точность последовательности очевидна. Дуальная к (2.20) последовательность

0<-S*0<-S*S<-0S<-0(2.21)(2.21)

0<-S*

0<-S*

S<-0

S<-0

(2.21)

(2.21)

является также (если читать ее в обратном направлении) комплексно сопряженной к (2.20).

Линейные преобразования пространства Т, сохраняющие последовательность (2.20) и комплексно сопряженную к ней последовательность (2.21), задают действие (собственной) группы Пуанкаре (точнее, ее двукратного накрытия) на пространстве М7. В этом смысле пуанкаре-инвариантная структура Т содержится, по существу, в последовательности (2.20). Другим способом эту пуанкаре-инвариантную структуру можно выразить в терминах бесконечно удаленных твисторов

(2.22)(2.22)7«е ГбЛВ°] т = Г° 0 1L о о J ’ ар L о еЛ'в' J

(2.22)

(2.22)

которые антисимметричны и удовлетворяют соотношениям '°%т = 0, 7tap/Y1 6 = 0, WvI 6 = 0,

7ap— 2 2 8apv6’ 17 7уб8 ’

где eapY6 и ea0Yd — антисимметричные твисторы Леви-Чивита с ео123 = е0123 = 1. Преобразования из группы SU (2, 2) сохраняют eapY6 и 8a0vd; комплексная группа Пуанкаре возникает, когда рассматриваются преобразования, сохраняющие /а^ и /ар (при этом еа|зУб и 8а^ также сохраняются); вещественная группа Пуанкаре сохраняет также операцию твисторного комплексного сопряжения. Проекция T—>S* по сути задастся отображением Zat—>/apZp, тогда как вложение S->T, по существу, сопоставляет спинору (о4 твистор вида 2а=1^и^. Таким образом, второе и третье ото-

бражения из последовательности (2.20) тесно связаны соответственно с /ар и /ар.

Твисторы /ар и /ар отвечают вершине / поверхности 3 в М (или GM) или, эквивалентно, прямой I в РТ (которая в действительности лежит в PN). Это частный случай общего утверждения, согласно которому точка R в GM—т. е. прямая R в РТ — задается простым антисимметричным твистором R°$ или его дуальным R^:

^«р = 4^ = 4 ^6еаРу6.(2.24)

Действительно, мы имеем

^ = Х¥ и д^^у^

где X и Y — две различные точки прямой R в РТ, a U и V — две различные содержащие ее плоскости. Для R, не лежащих на 9, мы можем принять удобную нормировку /?“Р/ар = 2 =/?ар/“Р и получить ([7])

— ~^Авгсгс 1г АВ'— ~^Авгсгс 1г АВ'^ар^ар^ab irAB'— it А'в — ~ вАвгсгс^ab irAB'— it А'в — ~ вАвгсгс(2.25)(2.25)

— ~^Авгсгс 1г АВ'

— ~^Авгсгс 1г АВ'

^ар

^ар

^ab irAB'

— it А'в — ~ вАвгсгс

^ab irAB'

— it А'в — ~ вАвгсгс

(2.25)

(2.25)

где га— радиус-вектор точки R в СМ7.

Мы видели, что изотропный твистор Za определяет световой луч в пространстве М, но пока не дали физической интерпретации неизотропного твистора. Оказывается, неизотропные твисторы тесно связаны со свободными безмассовыми (масса покоя нуль) частицами со спином. Зависимость (2.19) твистора от положения (т. е. выбора «начала») в действительности весьма напоминает зависимость углового момента *) от выбора начала отсчета. В самом деле, если МаЬ(=— МЬа) и ра обозначают соответственно угловой момент и импульс некоторой конечной специально-релятивистской системы в пространстве М7 относительно некоторого стандартного начала отсчета О, а МаЬ(х) и ра (х) — соответствующие величины относительно точки х как начала отсчета, имеющей радиус-вектор ха относительно О, то

МаЪ ^ = МаЬ - харь + хьра(2.26)

и

Ра W = Ра*

Заметим теперь, что если положить

МАА'ВВ' ^ — ^{А (х) дВ) ^ &А'В' — ^АВ^А' ^ ДВ') ^

PAA' W = «А W Л Д' (х),^*2^

!) Принято также название «момент количества движения». — Прим, перев^

где, как и в (2.19), Za = (сол(х), ^a'WY то (2.26) будет автоматически выполнено. Итак, твистор Za определяет пуанкаре-инва- риантным образом угловой момент и импульс—или, коротко, кинематику— некоторой специально-релятивистской системы. Это, однако, не произвольная подобная система, поскольку всего имеется десять свободных вещественных параметров, отвечающих за кинематику (шесть для МаЬ и четыре для ра^ в то время как Za задается только восемью вещественными параметрами. Более того, фазовые преобразования

Zav->el^Za (0 вещественно)(2.28)

сохраняют (2.27), поэтому с помощью (2.27) получается не более чем вещественно семипараметрическое семейство кинематических структур. Но замечательным образом оказывается, что кинематические структуры, получаемые таким путем (с лл^0), являются в точности структурами, отвечающими безмассовым частицам со спином.

На кинематику такой частицы налагаются следующие требования: во-первых, импульс ра должен быть изотропным и направленным в будущее,

РаР^О, Ро>О»(2.29)

и, во-вторых, вектор спина Паули — Любаньского

Sa = 4eabcdPbMcd(2.30)

(где eabcd — антисимметричный тензор Леви-Чивита с ^0123 = = 1 = —^0123) должен быть скалярным кратным импульса

Sa = spa.(2.31)

Определяя Маь и ра с помощью (2.27) (с лЛ'=#0), где, согласно предшествующему обсуждению, достаточно рассмотреть случай ха=0, получим, что (2.29) и (2.31) удовлетворяются тождественно. Проверка (2.29) тривиальна, а (2.31) вытекает непосредственно из спинорной формулы ([7])

eAA'BB'CC'DD' — ^AC^BD^A'D'^B'C' — ^АпЬвСрА'с'Ьв'П' (2.32)

для тензора Леви-Чивита. Нетрудно показать, что и, обратно, любая кинематическая структура, удовлетворяющая (2.29) и (2.31), может быть получена в виде (2.27), а произвол в выборе Za задается в точности (2.28).

Инвариантная относительно собственной группы Пуанкаре псевдоскалярная величина s в (2.31), называемая спиральностью безмассовой частицы, совпадает с половиной твисторной нормы (2.8):

s = |Z“Za.(2.33)

Таким образом, мы видим, что правосторонние (s > 0) безмассо- вые частицы описываются правосторонними твисторами, а левосторонние (s < 0) безмассовые частицы — левосторонними твисторами. Когда спиральность обращается в нуль, твистор становится изотропным и в этом случае определяет единственный световой луч, вдоль которого сол(х) обращается в нуль. Возвращаясь к (2.27), мы видим, что для этих точек х угловой момент частицы обращается в нуль, и мы можем отождествить "этот световой луч с мировой линией частицы. Но когда s #= 0, поле нигде не обращается в нуль (для вещественных х) и, более того, оказывается, что все точки М7 равноправны между собой в том смысле, что существует (собственное) конформное преобразование, переводящее одну точку в другую и сохраняющее поле сол(х). Таким образом, при s =# 0 частица не локализована ни в каком конформно инвариантном смысле. Однако, если выбрана некоторая временная ось с направленным в будущее времениподобным единичным касательным вектором ta, ее можно использовать для построения зависящей от ta «нормы»

/лл<ол(х)шл'(х)> 0^(2.34)

минимальные значения которой определяют в действительности световой луч, который можно рассматривать как приближенную мировую линию частицы (на самом деле этот луч совпадает с лучом, определяемым изотропным твистором (сол — stAA'ttA'^pbtby\ ттд^ при этом минимальное значение (2.34) равно 4 s2(pbtbyxy

Кинематическая структура частицы (или системы) независимо от того, является эта частица безмассовой или нет, может быть задана в виде кинематического твистора

лраА],235.

А L pR's о г(2*35)

где

МАА' = р,лвел'в' + sAB^,A'B', цлв = цвл.(2.36)

Любой кинематический твистор подчиняется соотношениям

Аро = А00, А^10т = Ао/\(2.37)

В частном случае безмассовой частицы соотношения (2.37) принимают вид

A90 = =ZZtoCxZv(2.38)

Заметим, что ввиду того, что соотношение (2.38) нелинейно относительно твистора Za, (комплексная) линейная структура пространства Т не отражается непосредственно в каком-либо аддитивном свойстве кинематики. (В действительности сумма различных выражений (2.38) будет, вообще говоря, задавать кинематику не безмассовой системы, а массивной.) Чтобы понять физическую

роль линейной структуры Т, необходимо перейти к еще одной интерпретации твистора, а именно как оператора повышения спиральности для безмассовых полей. Это описывается в следующем разделе.

2.2. Свободные безмассовые поля Пусть ФАВ_Ь и фл,в, iL/ — симметричные спинорные поля, каждое с п индексами (п = 1, 2, 3,.), являющиеся функциями точки пространства-времени к.

Безмассовые уравнения свободного поля со спином-^ nti имеют вид

V^s...L = 0,(2.39)

(2.40)

Если поля обладают положительной частотностью (что при обычном описании означает, что они состоят из фурье-компонент вида ехр(—inaxa) с вектором па, направленным в будущее), то решения (2.39) отвечают волновым функциям отрицательной спиральности, или левосторонним частицам ^s= — ^nKy а решения (2.40) — волновым функциям положительной спиральности, или правосторонним частицам (s — ^nhy В любом случае независимо от того, выполняется условие положительной частотности или нет, решения (2.39) называются антиавтодуальнымг полями а решения (2.40) — автодуальными полями. Причина для такой терминологии заключается в том, что при п = 1 мы можем определить бивектор Fab(= —Fba, вещественный, если ^а'в' — ^а'в'^ посредством ‘

F АА'ВВ' — ^АВ^А'В' + ^АВ^А'В'(2.41)

и убедиться в том, что его разложение на антиавтодуальную и автодуальную части

Fab = FVbA-FVb\(2.42)

где

.F^ := 4 F^eabcd = ± i^\(2.43)

задается посредством

АА'ВВ' = ^АВ^А'В'’ ^АА'ВВ' = ^АВ^А'В'*(2.44)

Уравнения (2.39) и (2.40) превращаются в этом случае в уравнения Максвелла в пустом пространстве ([7])

V[J%d = 0, \aFab = 0.(2.45)

Аналогично в случае п = 2 поля ^abcd^ ^a'b'c'd' определяют тензор Kabcd, не имеющий следа и обладающий симметриями тензора Римана, посредством

К АА'ВВ'С С'Ы)' = ^ABCD^A'B'^C'D' 4" ^АВ^" С D^ А'В'С'D'*(2.46)

Снова первый и второй члены справа определяют соответственно антиавтодуальную и автодуальную части K^cd тензора Kabcd, где

K^d := 4 K^pqecdpq = 4 Oeabpq = ± IK&V (2.47)

Теперь уравнения (2.39) и (2.40) превращаются в (линеаризованные) уравнения поля (Эйнштейна) спина 2 («тождества Бьянки»)

\\aKbcA pq = 0,(2.48)

или, с учетом отсутствия следа и свойств симметрии, в эквивалентное уравнение

VaKabcd = 0.(2.49)

Для полноты мы включаем также случай нулевого спина; при этом уравнения свободного поля превращаются в волновое уравнение

VXX = O.(2.50)

Мы хотим теперь исследовать связь между свободными без- массовыми уравнениями (2.39), (2.40), (2.50) и твисторным уравнением (2.15). Пусть

Q“ = (иЛ (х), тЛ' (х)) = (хл — 1хАА tas тЛ')

есть твистор типа [^] в соответствии с определением (2.19), так что хл(х) удовлетворяет твисторному уравнению v!vxB) (х) = 0 и

Vaa^b to = — 1тА' W ^Ав-(2.51)

Предположим теперь, что (симметричное) спинорное поле фдв... l удовлетворяет (2.39) со спиральностью — ~nfi. Тогда в предположении п > 1 поле

^в ... l =(^ Фдв ... ь(2.52)

удовлетворяет (2.39) со спиральностью — j(n — 1)Й благодаря именно тому, что выполняется твисторное уравнение. Если п = 1, то х по т°й же причине удовлетворяет (2.50). Предположим теперь, что (симметричное) спинорное поле ФЛ/В, v УД°влетвоРяет (2.40) со спиральностью ^nh и определим поле

®д'в'... им' ~ ~ /им (х) V^aI^b' v ^п + ^ ^(Л'в'... [Л мт (2-53) Тогда мы получим, что 0л, м, удовлетворяет (2.40) со спиральностью у(п+ 1)Й ввиду (2.51). Аналогично если х удовлетворяет (2.50), то '

•еЛ' = - ЫА (х) Vaa'X — %тА'(2.54)

удовлетворяет (2.40) со спиральностью 4^- Таким образом, в каждом из случаев твистор Qa позволяет повысить спиральность на

4 Й (свойство положительной частотности полей не нарушается под действием этих операций), поэтому мы можем интерпретировать твистор типа [ ^ ] как оператор повышения спиральности. Аналогично, применяя комплексное сопряжение, получим интерпретацию твистора типа [°] как оператора понижения спиральности, который уменьшает спиральность на ^й. Заметим, что указанные операции являются линейными относительно твистора, поэтому комплексная линейная структура пространств Т и Т* получает при этом непосредственную интерпретацию. А так как мы рассматриваем здесь волновые функции, мы видим, что эта линейная структура существенным образом связана с комплексной линейностью квантовой суперпозиции.

Указанные твисторные операции находятся в тесной связи с основной твисторной конструкцией, при которой решения (2.39), (2.40) и (2.50) записываются в виде контурных интегралов. Пусть f(Za)—голоморфная функция твистора Za степени однородности либо п — 2, либо — п — 2, где п — некоторое неотрицательное целое число:

f^Z^ = Xn'^W или f (ZZa) = X~n'2f (za).(2.55)

Указывать точную область S)czT, на которой определены эти функции, мы пока не будем, заметим только, что ее выбор отвечает за нетривиальность следующих контурных интегралов !):

Флв L = —■ ° а^в • • •/ W d^ (2.56)

WAB...L (21tZ)2 7 dtoA dtoB d($)L/v /

ИЛИ

^д'в'. ..i/ = (2ш)2 $ ^a'^b' ••• ^L'f (^ ) d л,(2.57)

где

Za = (о/, лл4 = ^ixAA^AS nA^(2.58)

(начало отсчета выбрано в О) и

б/2л = d^ A d^v = 4 8Л В/ dnA* к dnB'.(2.59)

Следовательно, должно быть задано некоторое непустое открытое множество 8 в СМ7, на котором определено поле, и для каждого х^8 должна существовать нетривиальная вещественно двумерная замкнутая поверхность (контур) в области 3), состоящая из

J) Более знакомая (одномерная) форма этих интегралов дается в (2.63), (2.64). Приводимая здесь форма имеет, однако, преимущества в некоторых контекстах (см. [2], [9]). Введение членов djdw, приводящее к выражению (2.56), предложено Хьюстойом.

твисторов Za, инцидентных х. Для каждого фиксированного х мы можем рассматривать f как функцию лл^ т. е. как функцию на некотором открытом подмножестве 3 х в S*, и контур должен находиться в Зх и изменяться непрерывно при изменении х. Для нетривиальности поля необходимо, чтобы класс гомологий контура был ненулевым. Действительно, ввиду голоморфности f, (2.56) и (2.57) являются настоящими контурными интегралами, т. е. не изменяются при непрерывных деформациях контура. Нетрудно проверить теперь1), что полевые уравнения (2.39) и (2.40) (а также (2.50), если разрешить п = 0) автоматически выполняются в каждом случае, потому что оператор \АА- под знаком интеграла превращается в

тА' -Лг •(2.60)

-5(0

Пусть Qa = (хл (х), тА^х)) есть твистор типа [^]. Тогда линейное отображение

является оператором повышения спиральности: взяв его композицию с контурными интегралами (2.56) и (2.57), получим повышающие спиральность операции (2.52) и (2.53) соответственно. Аналогично твистор Ra типа [°] определяет понижающую спиральность операцию посредством

Для данных соотношений однородности (2.55) мы можем также написать слегка упрощенную версию (2.56) и (2.57), когда вещественно двумерный контур заменяется для каждого х° одномерной замкнутой петлей (для неправильного значения однородности (2.55) результат интегрирования в действительности равен нулю, ибо он не зависит от лЛ'). Выберем произвольное подмножество поверхности интегрирования, на котором я,у=#0, и перепишем дифференциал в (2.59):

1 dЛа/ X/ Л|/ X

— d4 = M2( — —IVUdUpL(2.61)

Благодаря тому что подынтегральные выражения в (2.56) и (2.57) (исключая дифференциал с?2л) имеют однородность степени —2, мы получаем, что каждое из этих выражений, умноженное на (л0')2> является функцией одного переменного лг/л0'. Следовательно, предполагая, что контур может быть продеформирован в такой, который для каждого фиксированного значения n-v/^ является просто замкнутой петлей вокруг начала отсчета, можно, используя

9 См. упомянутую выше статью Уэллса из этого сборника.—Прим, перев.

формулу Коши, выполнить явно интегрирование по л0' и исключить множитель (2ш^-1 (^ЛоО/яо'* Поэтому дифференциал (2.61) заменится на

Wd(Wd(^ = л0' б/л^ — яг йл0' = гА^Кд* dn.B' =: Ал. (2.62)

Wd(

Wd(

Аналогичное утверждение выполняется также с заменой (ло', лн) на (лр, —ло/), поэтому мы можем покрыть и область, где по. = 0. Окончательный результат состоит в том, что мы можем переписать (2.56) и (2.57) соответственно как

(2-63>

*Л' ...г= 25Г^Я» • • • "^ ^ 4я-<2'64*

Можно считать теперь, что интегрирование производится в РТ, а не в Т. Каждое х определяет проективную прямую, имеющую топологию S2, в пространстве РТ, а контур является замкнутой петлей на этой S2, разделяющей особенности f.

Для того чтобы сделать более явными наши рассуждения об области определения и контуре, рассмотрим частный случай положительно-частотных полей. Одно из возможных определений условия положительной частотности ([8]) состоит в том, что область, на которую голоморфно продолжается поле, должна совпадать со всей трубой будущего ЯМ+, точками которой являются элементы СМ7 с радиус-векторами вида

га = ха-1у\(2.65)

где ха и уа вещественны, а вектор уа времениподобен и направлен в будущее:

УаУ° > 0, у°> 0.(2.66)

Продолженное поле должно быть голоморфным на С М+ (замыкание ЯМ4 в ЯМ), если оно является аналитическим полем положительной частотности, или голоморфно только на СМ+, если оно не аналитично, а принадлежит классам С°° или С1 или является, скажем, обобщенной функцией или даже гиперфункцией ([24]). Заметим, что каждая точка геС№ представляется в РТ прямой z, лежащей целиком в РТ+ (и обратно). Это вытекает из того, что

ZaZa = Z UAA' - iyAA) Лл-Лл - /ЛЛ- UAA' + iyAA) ^л =

= 2у°Ра>0, где Za = (/глл лл-> лЛ').

Рис. 4.Рис. 4.

Рис. 4.

Рис. 4.

Предположим, что РТ+ покрыто двумя открытыми множествами (Л, U2 с РТ, так что

РТ+ с (Л U U2(2.68)

и пересечение каждой прямой z в РТ+ с их общей частью ^12 = ^П(72(2.69)

лежит в кольцевой области. Например, мы можем взять U^Z^T I (l+e) I z4z21 > I z4zaI, 81 z4zx \4zttza>oV

U^ZaeT^+Z^lH^U'+Z^eU^Z^-^Za^, 1 '

где e — некоторое положительное число (см. рис. 4). Тогда, если функция f голоморфна в S)i2, мы можем определить искомый контурный интеграл в (2.63) и (2.64) (точку х нужно теперь заменить на комплексную точку z), выбирая замкнутую петлю (^S1), которая делает один оборот внутри кольцевой области ^12 П z> с ориентацией, задаваемой упорядочением U\, Us. Можно показать, что любое аналитическое поле положительной частотности (по крайней мере при s > 0) на М может быть получено таким образом, где Ux и Us — специальные открытые множества (2.70), но

значение е при этом может зависеть от поля.

Один специальный класс полей, которые легко получаются с помощью этой конструкции, составляют элементарные состояния, для которых функция / имеет вид

kC^^D^f"^kC^^D^f"^(2.71)(2.71)

kC^^D^f"^

kC^^D^f"^

(2.71)

(2.71)

с с -V d— а — b = 2sh-x, где a, b, с, d— неотрицательные целые числа, твисторы Са и Da определяют плоскости в РТ, пересечение которых целиком лежит в РТ™ (см. рис. 5), и Ла, Ва, Са, Da линейно независимы. (В предшествующей работе [9] термин «элементарное состояние» сохранялся за случаем а = b = 0, но это

Рис. 5.

ограничение опускается здесь, чтобы включить систематическим образом поля отрицательной спиральности.) Множества Ux и U2 являются подмножествами РТ+, не лежащими на плоскостях D и С соответственно. Поля, получаемые подстановкой (2.71) в (2.63), (2.64) при фиксированных Да, Ва, Са, Da и при каждом фиксированном целом числе 2stt-\ образуют в действительности базис безмассовых полей (волновых функций) спиральности s и положительной частотности.

Другой специальный класс полей получается с помощью выбора комплексно аналитической поверхности ^, скажем в РТ ь, задаваемой локально некоторым голоморфным однородным уравнением

^(га) = 0, ГеГ,(2.72)

где нули q в Т+ являются простыми. Допустим, что Q пересекает каждую прямую в РТ+ в точности один раз. (Таких поверхностей Q существует в действительности много.) Положим

g(Za) = p(Za)^(Za)}’r(2.73)

(для некоторого положительного целого г), где р и q голоморфны в некоторой окрестности Ux поверхности ^, а i72 А РТ+= РТ+—Q» Когда s Т> 0 и г = 1 < п, поля, получаемые подстановкой (2.73) в (2.64), представляют особый интерес, поскольку являются изотропными ([10]). (В действительности изотропные поля неположительной частотности задаются в точности такой же конструкцией, которая однако уже не связана специальным образом с РТ+) Изотропное поле фл, L, (с п > 1 индексами) есть, по определению, поле вида

Фд'В' ...и = 7мАяв’ • • • аь-(2.74)

По-другому условие изотропности выражается в виде соотношения

o^'B'...L' = 0(2.75)

для некоторого ал,#=0. Заметим, что при подстановке (2.73) в (2.64) выражение (2.75) обращается в нуль, при условии что ал пропорционально значению лл^, взятому в точке пересечения zQ^. При г>1 утверждение останется справедливым, если заменить (2.75) на равенство

аА' ас'^А, G,D,L, = 0, (2.76)

содержащее г сомножителей а. (Это условие того, что гр... имеет по крайней мере п — г + 1 совпадающих главных изотропных направлений ([10] *)) в точке геМ< Если г < п, такое поле называется алгебраически специальным.)

Множество ^П PN имеет вещественную размерность 3 и определяет конгруэнцию световых лучей на М. Конгруэнция Робинсона (2.12) является частным случаем, когда ^(Za) = WaZa. Общее свойство всех таких конгруэнций (определяемых голоморфными поверхностями ^) заключается в том, что они являются бессдвиговыми; обратный результат ([5]) состоит в том, что такая голоморфная поверхность Q всегда существует локально для любой аналитической бессдвиговой конгруэнции световых лучей (теорема Керра). Можно отметить, что условие бессдвиговости всегда выполняется для ал'-конгруэнции благодаря (2.76) и (2.40), при условии что г < п.

Удивительной особенностью твисторного описания безмассовых полей, согласно (2.56), (2.57) или (2.63), (2.64), является то, что уравнения поля (2.39), (2.40) удовлетворяются автоматически, если твисторная функция f обладает всего лишь свойством однородности (2.55). Твисторная функция дает, следовательно, очень простой способ представления и образования решений полевых уравнений. Это преимущество до некоторой степени дискредитируется довольно непонятной связью между областью S)(=S)i2) и областью определения пространственно-временного поля, а также очевидной неединственностью этой области (например, под действием группы SU (2, 2) область Ui П ^2 из (2.70) преобразуется в другую, столь же подходящую область) и неединственностью твисторной функции даже в том случае, когда область фиксирована. Рассмотрим эту неединственность твисторной функции. Заметим сначала, что если бы функция / была голоморфной на всем множестве 1Л, то результат интегрирования (2.63) или (2.64) был бы равен нулю, поскольку (см. рис. 4) контур можно было бы стянуть в точку в пределах области голоморфности. То же самое рассуждение было бы применимо, если бы f была голоморфной на всем U^* Следовательно, при замене

^^hx-h^ (2.77)

См. также [6*], [16*].—Прим, перев.

где hi голоморфны на Ui (Z = 1, 2), a f голоморфна на U\ П U^ мы получим то же самое поле (2.63), (2.64), что и раньше.

Мы можем обобщить эту ситуацию. Допустим, что мы рассматриваем некоторую область 52 в Т, такую, как Т+ или Т+, которая заметается двумерными линейными подпространствами, отвечающими точкам некоторой подходящей области в СМ. Предположим, что 52 покрывается набором открытых множеств U\, U^ U^ ..., возможно бесконечным, но в этом случае покрытие должно быть локально конечным' (т. е. каждая точка содержится только в конечном числе множеств U^. Теперь вместо того, чтобы брать единственную голоморфную твисторную функцию, мы сопоставив такую функцию fa каждой паре множеств Ui, U, (каждая из этих функций подчиняется одним и тем же ограничениям однородности (2.55)) с областью определения Ui(\ Uu причем

hi = -hi (2.78)

Используя символ pz для обозначения сужения области определения на ее пересечение с Utx^ мы потребуем выполнения условия коцикличности

9^ = 0 (<./,6=1, 2, ...) (2.79)

(что в раскрытом виде есть pz/м + p/f^z + p^fz/= 0). Такой набор функций Уи^ называется 1-коциклом покрытия {£Л} области 52 с коэффициентами в пучке О* (ростков голоморфных функций на Т). Коцикл называется \-кограницей этого покрытия, если он имеет вид

Ти = Р\Лп (2.80)

(заметим, что отсюда автоматически вытекает (2.79), поскольку р^Ру^О), где 0-коцепь ^hi^ есть система голоморфных функций hi, заданных на Ui. Определим первую группу когомологий

Я^Я,#) (2.81)

покрытия {[/J области 52 с коэффициентами в (7 как аддитивную факторгруппу (или векторное факторпространство над С) 1-коциклов по подгруппе 1-кограниц, т. е. мы считаем, что два набора {fz/}, {hz} определяют один и тот же элемент группы когомологий, если f ti — fu = р(.h^ для некоторого набора {Az}.

Отметим, что замена (2.77^ просто переводит одну коцепь в другую, эквивалентную ей; в этом случае имеются только два множества Ui и f = f\2 (условие коцикличности здесь исчезает). Наши формулы, содержащие контурные интегралы, можно в действительности обобщить на случай, когда имеется более двух

9 Это обозначение принадлежит Хьюстону.

Рис. 6.

множеств Ur, при этом контуры заменяются на разветвленные контуры, как показано на рис. 6. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, поскольку вскоре дадим другой метод построения пространственно-временного поля по коциклу. Важно отметить, что вклады от 1-кограниц в эти поля всегда равны нулю, поэтому поле в действительности является функцией не коцикла, а элемента группы когомологий (2.81). Все, однако, пока еще зависит не только от области Й, но и от конкретного покрытия {(//}. Зависимость от покрытия исчезнет, как только мы перейдем к прямому пределу по все более мелким покрытиям, получив в пределе первую группу когомологий 91 с коэффициентами в пучке ()ху.

Нх (91, О\ (2.82)

К счастью, этот предел зачастую брать не нужно, если покрытие (U^ является в некотором смысле «достаточно мелким». В данном контексте это выполняется в случае, когда каждое Ui является так называемым многообразием Штейна или областью голоморфности ([11]). В любом случае зависимость от покрытия теперь исчезает, поэтому мы имеем инвариантный способ определения «твисторной функции» как элемента (2.82). Если 91 = Т+, это дает нам в точности волновые функции на .СМ+.

Мы не будем входить здесь в детальное обсуждение этих вопросов, а приведем в заключение этого параграфа «метод расщепления», позволяющий получить искомое пространственно-временное

^ Более подробное изложение теории пучков и когомологий с коэффициентами в пучках см. в книге [1Ц.—Прим, переа^'

поле из произвольной представляющей коцепи УиУ Эта процедура основана на том, что

я1(С2-{о},с?(т)) = |с_т_1я1(С2-{о},с?(т)) = |с_т_1еслиеслиеслиеслит^ — 1,т^ — 1,т < — 1,т < — 1,(2.83)(2.83)

я1(С2-{о},с?(т)) = |с_т_1

я1(С2-{о},с?(т)) = |с_т_1

если

если

если

если

т^ — 1,

т^ — 1,

т < — 1,

т < — 1,

(2.83)

(2.83)

Я'(С2-{0), <?(-!)) = 0;Я'(С2-{0), <?(-!)) = 0;(2.84)(2.84)где О (т) — пучок ростков голоморфных функций на С2 — {0}, однородных степени т по двум комплексным переменным. Поэтому, в частности,

Я'(С2-{0), <?(-!)) = 0;

Я'(С2-{0), <?(-!)) = 0;

(2.84)

(2.84)

это означает, что любой 1-коцикл Д/, однородный степени — 1 на С? — {0}, является 1-кограницей, т. е. ^ц имеет вид

^/ = Р^Л

для некоторой 0-коцепи hp

Предположим теперь, что {fz/(Za)} есть 1-коцикл, однородный степени — п — 2(п^0) по Za. Мы хотим использовать fa для определения безмассового поля фл, L, (xa). (Процедура для коциклов степени однородности п — 2 аналогична и не будет рассматриваться здесь.) Пусть твистор Za инцидентен точке пространства-времени ха (т. е. положим а>А = 1хАА'лА^ умножим fij на п + 1 спиноров лл<

лЛ' • • • ^c'fu (ix00'^ ла0-(2.85)

Теперь при фиксированном хАА' выражение (2.85) представляет 1-коцикл на S* — {0}= С2—{О}, однородный степени — 1. Ввиду (2.84) он является 1-кограницей; другими словами, существуют функции hjA,сДх°, л^), такие, что

Лл, . .. ^с^ц^Р^ПА' ... с,%(2.86)

Определим *^А,..еС/ посредством

Фд'... сДх ) = nD hjA, iee G,D, (x , л^,).(2.87)

Хотя правая часть (2.87), казалось бы, зависит от индекса / и от л^, на самом деле она, ввиду (2.86), независима от и jnE'. Более того, поле фл, с,, определенное таким образом, является решением безмассовых уравнений поля (2.40). Это следует из того, что Н°(С?—{0}, ОД — 1)) = 0 (ср. с (2.84)). В специальном случае, когда покрытие твисторного пространства состоит только из двух множеств U\ и U2 и f =/12, только что описанная процедура дает то же самое поле фл, с,, что и контурный интеграл (2.57).

’) Этот факт доказан, например, в статье Иствуда, Пенроуза и Уэллса р этом сборнике. — Прим, перед.

Твисторы в искривленномпространстве-времени

В предыдущем параграфе мы видели, каким образом комплексная линейная структура пространства Т соответствует конформной структуре плоского пространства-времени и каким образом голоморфные твисторные функции соответствуют определенным представлениям конформной группы С (1,3) (именно свободным без- массовым полям). Можно ли обобщить твисторную теорию на искривленные пространства-времена так, чтобы эти свойства сохранились? На первый взгляд не видно оснований для существования такого обобщения, поскольку конформная группа не действует на искривленном пространстве-времени: искривленное пространство- время, вообще говоря, не имеет конформных симметрий. Поэтому нужно, конечно, забыть о групповых и линейных свойствах и вместо этого обратиться к комплексной структуре пространства тви- сторов. Но и здесь, как мы увидим ниже, возникают препятствия. Несмотря на это, удалось получить некоторые замечательные частичные результаты; они и составляют предмет § 4 и 5 этой работы.

Для исследования проблемы рассмотрим пространство РЛ9 без- масштабных изотропных геодезических в пространстве-времени ЖХУ Чтобы избежать возможных патологий (например, пространство РЛ9 может, вообще говоря, быть нехаусдорфовым), предположим, что пространство Ж является глобально гиперболическим ([12]) с поверхностью Коши, диффеоморфной R32). Как вещественное многообразие РЛ9 тогда диффеоморфно R3 X S (поскольку через каждую точку поверхности Коши проходит пучок изотропных геодезических, параметризуемый S2). Какую дополнительную структуру мы можем выделить на РЛ9? Для мотивировки наших поисков рассмотрим уравнения Сакса [13]3) для конгруэнции изотропных геодезических:

Ур = Р2 + аа + Ф,, .

Do = (р + р) а + V.1 '

Здесь D означает дифференцирование вдоль геодезических конгруэнции; Re(p) измеряет расходимость конгруэнции, Im(p)—ее вращение, а о — ее сдвиг; Ф—(вещественная) компонента тензора Риччи, а Т — (комплексная) компонента конформного тензора Вейля. Мы интересуемся свойствами или величинами, которые

Для плоского пространства JL пространство РЛ9 совпадает с PN. — Прим, перев.

в существенном сохраняются под действием D, т. е. сохраняются при движении вдоль изотропных геодезических, ибо эти свойства и величины отвечают внутренней структуре РЛ9. Наиболее очевидной из таких величин является 1ш(р), вращение (или твист) конгруэнции. Поэтому можно предположить наличие некоторой «инвариантной структуры» на РЛ9, измеряющей вращение. Эта структура может быть описана следующим образом.

Удобно воспользоваться для этого пространством Л9 масштабных изотропных геодезических в .Ж). Каноническая симплектиче- ская форма) dpaA dxa на кокасательном расслоении Л постоянна вдоль подъемов изотропных геодезических (тождество Лагранжа [14]) и поэтому проектируется в 2-форму со на Л9. Эта 2-форма и совпадает с измеряющей вращение структурой на Л9, которую мы ищем. Для того чтобы увидеть это, заметим, что если ра = = ра(х) является кокасательным векторным полем конгруэнции изотропных геодезических, то

dp а (я) A dxa = VtaPti dxa A dxb

и V [аРь\ есть вращение (или твист) ра.

В плоском пространстве-времени легко найти твисторный вариант этой структуры. Твисторные координаты Za ^-> (сол, лЛ') связаны с ра и ха посредством

Ра = ^A^AS

сол = /хлллЛ', где хлл' = ^лл\

Следовательно,

iZa dZa = — лл ^dxAA лЛ' + хАА dTcA^ + хАА лл dn.A' =

= ~ Ра dxa

И

dpQ Adxa = 1 dZa AdZa.

Пространство Л9 получается из пространства непроективных изотропных твисторов факторизацией по фазовым окружностям

Z

a/0 ryd zx

Z , 6 вещественно,

и со = idZa AdZa является симплектической формой на Л9.

Можно ли выделить какую-либо другую инвариантную структуру на Л9 или РЛ9? В частности, мы можем искать CR (Коши — Римана) -структуру. Можно представлять себе CR-структуру на РЛ9 как структуру, возникающую в результате вложения РЛ9 в ком-

плексное многообразие ([15])1). В случае плоского твисторного пространства РЛ, конечно, вложено в РТ, поэтому PN имеет CR-структуру, и, как было замечено в § 2, эта структура тесно связана (по теореме Керра) с условием бессдвиговости изотропной конгруэнции. Однако уравнение (3.1) говорит нам, что если Т #= 0, то условие бессдвиговости о = 0 не сохраняется при движении вдоль изотропных геодезических. Условие бессдвиговости относится, вообще говоря, не ко всей геодезической в целом, а только к одной точке на каждой изотропной геодезической. Это указывает на то, что пространство РЛ9, вообще говоря, не допускает естественной CR-структуры, которая была бы связана с геометрией пространства-времени с помощью «теоремы Керра». В этом состоит основное препятствие к обобщению твисторной теории на искривленное пространство-время. Можно ли его преодолеть— неизвестно. Но имеется по крайней мере два способа его обойти:

Мы можем комплексифицировать пространство-время и затем наложить, например, условие Фд'в'с'о' = 0; при этом WABCD=^ #= 0. Это делает возможным существование конгруэнций с 5 = 0 (но п^О). Оказывается, твисторный формализм хорошо обобщается на такие конформно полуплоские пространства-времена, как мы увидим в § 4. .

С другой стороны, мы можем отметить на каждой изотропной геодезической точку, выбирая, например, пространственноподобную гиперповерхность в пространстве-времени. Это приводит к теории гиперповерхностных твисторов, которую мы обсудим в § 5.

Стоит упомянуть о том, что изменения CR-структуры (или сдвиговой структуры) искривленного пространства-времени отвечают импульсным гравитационным волнам ([7]). Последние строятся с помощью двух подмножеств Mi и М2 пространства-времени Минковского, граничащих по изотропной гиперповерхности ^. При этом будем считать, что метрика непрерывна на ^, а кривизна содержит 6-функцию. Другими словами, импульсная гравитационная волна сосредоточена на ^. Пусть Za обозначают твисторы в плоском пространстве Mi, а 2а— твисторы в М2. Исследуя рассеяние изотропных геодезических на ^, можно получить закон преобразования вида

(3.2)(3.2)2“ = Za — I Д2-,dZa

(3.2)

(3.2)

Za = Z„ + i —-,a a i dza>

где Н = Н(Za, 2a) — вещественнозначная функция, однородная степени 1 по каждому из Za и Za и удовлетворяющая соотношению ^6H/dZa) (dH/dZ^) = 0. Очевидно, (3.2) сохраняет условие изотропности ZaZa = 0 и симплектическую форму idZaNdZa, но не сохраняет комплексную структуру твисторного пространства.

Интригующей чертой этого примера является то, что вакуумные уравнения Эйнштейна Rab = 0 удовлетворяются тогда и только тогда, когда Н имеет вид

где g = g(Za) голоморфна, а /а^, /ар — бесконечно удаленные тви- сторы. Является ли такое косвенное появление голоморфных функций общей закономерностью или нет — неизвестно.

Построение нелинейной гравитации

Полуплоские пространства и искривленное твисторное пространство. Тензор кривизны пространства-времени можно разбить в сумму его неприводимых (спинорных) компонент следующим образом ([7]):

Rabcd = ^АВСОгA'B'^C'D' 4* ^ A'B'C'D'^AB^CD 4" ^AB^CDA'В'^С'D' 4"

4“ ^A'B^ABC'D^CD 4" 2A ^AC^BD^A'C'^B'D' ^AD^BC^A'D'^B'C'Y (4-1) где спиноры кривизны ^BCD, Фдвс'о' и Л удовлетворяют соотношениям

^двсо = ^(ДВСП), ФаВС'О' = ФавС-D' = Ф(ДВ) VC'D'V Л = Л. (4.2) Уравнения Эйнштейна в пустоте Rab = 0 эквивалентны уравнениям

Фавс'о' 0, Л = 0, (4.3)

а ^abcd и Wa'b'g'd' отвечают соответственно антиавтодуальной и автодуальной частям конформного тензора Вейля

Cabcd == Cabcd 4" Cabcd> (4.4) где

Cabcd = ^ABCD^A'S'SC'D', Cabcd = ^A'B'C'D'^AB^CDf (4.5) ^Cabcd^) ♦■ ”2 ^ab Ce^cd =b iCabcd*

Отметим, ЧТО ttbcd = Cabcd-

Рассмотрим теперь кривизну комплексного пространства-времени JL Пространство Ж является четырехмерным комплексным многообразием с комплексной голоморфной неособой метрикой gab. Так как gab комплексна, ей нельзя приписать сигнатуру; мы мо-

жем потребовать только, чтобы она была неособой, т. е. обратимой). Комплексное пространство-время может иметь (но не обязательно) лоренцево сечение), т. е. вещественно четырехмерное подмногообразие Ж^. на котором метрика gab вещественна и имеет лоренцеву сигнатуру. Если Ж имеет лоренцево сечение Ж^ то мы будем говорить, что Ж есть комплексификация Ж^. Любое вещественное аналитическое пространство-время может быть ком- плексифицировано. Можно представлять себе процесс комплекси- фикации как «небольшое раздутце Ж^ в комплексную область». При попытке дальнейшего раздувания Ж могут, вообще говоря, возникнуть особенности.

Возвращаясь к разложению тензора кривизны, мы сможем перенести уравнения (4.1) — (4.5) на комплексное пространство, если внесем в них следующие изменения:

^a-b-c'D’ заменяется на новое спинорное поле ^A'B'a'D't которое уже не является комплексно сопряженным к Тдвсэ (так что Ctbcd и C^bcd Уже не сопряжены друг другу).

Условие вещественности Л и условие эрмитовости Фдвс'п опускаются.

Комплексное пространство-время называется конформно правоплоским, если W xB'G-D- = 0 (т- е- если тензор Саьса антиавто- дуален). Ясно, что конформно правоплоское пространство обладает лоренцевым сечением тогда и только тогда, когда оно кон- формно плоское, так что конформно правоплоские пространства являются в этом смысле «существенно комплексными». Если и ^a'b'c'ds и тензор Риччи Rab обращаются в нуль, мы будем говорить, что пространство является правоплоским. Конформно левоплоские и левоплоские пространства определяются аналогично, а именно условиями Тдвсо = 0 и Тдвсо = 0 = Rab соответственно. Подобные пространства возникли первоначально как ^-пространства, ассоциированные с асимптотически.плоскими пространствами- временами ([3]). Другое возможное приложение правоплоских пространств состоит в том, что они могут представлять одногравитонные состояния с определенной спиральностью ([16]) — по этой причине такие пространства называют иногда «нелинейными гравитонами».

Ключом к обобщению твисторной теории на конформно полу- плоские пространства является обобщение понятия вполне изотропной двумерной плоскости. Двумерная комплексная поверхность Z в комплексном пространстве называется вполне изотропной, если для каждой пары векторов Ua и Va, касательных к Z

в точке x^Z, имеем UaVa = 0. В частности, Ua и Va должны быть изотропными. Нетрудно убедиться в том, что векторы Ua, касательные к Z в точке х, либо все имеют вид

и = ц л ,

где лл/ зависит только от Z и х, либо все имеют вид иа=л V',

где V зависит только от Z и х. В первом случае Z называется a-поверхностью, во втором — ^-поверхностью.

Значение ос-поверхностей заключается в том, что их существование гарантирует обращение в нуль ^a'B'G'D'- Действительно, имеет место следующая

Теорема, 4.1. Пусть Л — комплексное пространство-время. Тогда условие ^a'B'C'D' = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы в каждой точке х^Л и для каждого спинора лд/ в х существовала ^локально) a-поверхность Z, проходящая через точку х, с касательными векторами вида ^л4' в точке х.

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы Фробениуса и спинорных тождеств Риччи.

Предположим теперь, что Л является конформно правоплоским, и определим пространство Р^ ос-поверхностей в Л. Тогда, если Л достаточно «выпукло», РТ является трехмерным комплексным многообразием. Необходимость условия выпуклости вытекает из того, что если Л содержит «дыры» или «впадины», то Р^ может, например, оказаться нехаусдорфовкм. Это ограничение предназначено просто для того, чтобы исключить подобные патологические возможности. Трехмерность можно увидеть из следующего рассуждения: для любой точки х^Л (четыре измерения) и любого спинора Ла' с точностью до пропорциональности (2—1 = 1 измерение) существует единственная ос-поверхность (которая двумерна), так что пространство ос-поверхностей имеет размерность 4 + 1—2 = 3. Еще одно замечание: структура Р^ конформно инвариантна, другими словами, gab и ^gab дают одно и то же пространство Р£Г для любой голоморфной нигде не обращающейся в нуль функции Q.

Обратно, пространство Р^ определяет метрику gab с точностью до конформного множителя. Чтобы показать это, удобно воспользоваться теорией деформаций комплексной структуры ([16], [17]1)). Рассуждение следующее. Пусть S7 — некоторая окрестность прямой в плоском проективном твисторном пространстве РТ. Комплексные проективные прямые в $ отвечают точкам

9 См. также [14*]. — Прим, переев

некоторой области комплексифицированного пространства-времени Минковского. Деформируя теперь комплексную структуру $, получим новое комплексное многообразие ^'^. Это, однако, не всегда возможно: например, если $ совпадает со всем РТ, то его нельзя деформировать, поскольку комплексная структура С.Р является жесткой ([17]). Но мы предположим здесь, что $ допускает деформацию.

Теорема, 4.2. Для достаточно малой деформации существует комплексно четырехпараметрическое семейство компактных голоморфных кривых (с топологией S2) в Р^, принадлежащих тому же гомологическому классу, что и прямые в 3?.

Эта теорема вытекает из теоремы Кодаиры [18], [19]. Мы воспользуемся ею для построения конформно правоплоского пространства Ж. Точками Ж по определению являются голоморфные кривые, существование которых гарантируется теоремой 4.2. Для того чтобы задать конформную структуру на Ж (т. е. конформный класс метрик {Q^b|Q— некоторая функция}), нужно дать критерий изотропного расположения двух близких точек ^!). Наш критерий таков: две точки Ж изотропно расположены, если соответствующие кривые в Р^ пересекаются.

Теорема 4.3 ([16]). Эта «конформная структура» является в действительности квадратичной, т. е. возникает из комплексной метрики gab на Ж. '

Теорема, 4.4. Эта конформная структура является конформно правоплоской.

Доказательство. Фиксируем точку Z в Р£Г и рассмотрим все голоморфные кривые, проходящие через Z. Они образуют двупараметрическое семейство и, следовательно, соответствуют двумерной комплексной поверхности в Ж. Из определения изотропного расположения мы немедленно получаем, что эта двумерная поверхность является вполне изотропной. Поэтому она совпадает либо с a-поверхностью, либо с (3-поверхностью. Последнее есть вопрос соглашения, поскольку мы до сих пор не решили, что называть штрихованными спинорами в Ж, а что — нештрихованными. Договоримся теперь считать определенную выше двумерную поверхность a-поверхностью. Когда Z пробегает Р^, мы получаем множество a-поверхностей в Ж, и из теоремы 4.1 следует, что конформная структура на Ж является конформно правоплоской. □

Итак, правоплоские пространства (с точностью до конформных перенормировок) соответствуют деформациям областей РТ.

Аналогично конформно левоплоские пространства соответствуют деформациям областей дуального твисторного пространства. Для описания настоящей (а не конформной) метрики gab нам понадобится некоторая дополнительная структура на Р^. Оказывается, можно определить эту структуру таким образом, чтобы gab была обязательно правоплоской. Определение этой структуры основано на следующем факте.

Теорема. 4.5. Пусть Ж — комплексное пространство-время. Тогда Ж правоплоско -<=>- существует базис ковариантно постоянных штрихованных спиноров -<=>- векторное пространство кова- оиантно постоянных штрихованных спиноров комплексно двумерно.

Для того чтобы пояснить значение теоремы для определения структуры твисторного пространства, удобно перейти к непроективному твисторному пространству Т, которое определяется следующим образом. Пусть Ж конформно правоплоско и Z есть а-по- верхность в Ж. Тогда можно найти штрихованное спинорное поле лд' (х) на Z, такое, что лд' ковариантно постоянно на Z, а касательные векторы к Z в точке x^Z имеют вид Лллл'(х). Пространство всех таких пар (Z, лд') и есть непроективное твисторное пространство ассоциированное с Ж.

Если теперь Ж правоплоско, то (ввиду теоремы 4.5) пространство ковариантно постоянных штрихованных спинорных полей на Ж совпадает с S* = .С2. Так как постоянное спинорное поле на Z продолжается единственным образом до постоянного спинорного поля на Ж, то мы имеем на непроективном твисторном пространстве естественное расслоение

= S* — {0}.

Обратно, если дано такое расслоение на РГ, то можно ([16]) определить связность на Ж, совместимую с конформной структурой. Другими словами, мы получаем (комплексную) структуру Вейля на Ж, которая обязательно является правоплоской. Для определения метрики на Ж нам потребуются дополнительные данные на

В последующем все величины предполагаются в соответствующем смысле однородными. Требующиеся нам данные состоят из (1) невырожденной 2-формы т на ^ и (2) невырожденной 2-формы р на каждом слое 9" к расслоения 9"-^^.

Покажем, что соответствует нашей дополнительной структуре в случае плоского твисторного пространства. Расслоение Т->^ задается посредством

(4-6)(4-6)(^ Лд-)^лд,,

(4-6)

(4-6)

а формы т и ц— посредством

т4kft dZa NdZ^-V вАВ dm д' Л d«B',

i ₽(4-7)

р := 4 ^дв d®A Л dtoB.

Вернемся к случаю искривленного пространства. Голоморфные кривые в Р£Г отвечают голоморфным сечениям расслоения 9~-> ->^. Мы покажем теперь, как определить метрику gab на Ж в терминах структуры твисторного пространства.

Пусть точка хе / соответствует голоморфному сечению х расслоения Sr; пусть у и г — точки Ж, близкие к х, а у и z— соответствующие сечения Т. Векторам U = ху и V = хг в точке х е е Ж отвечают векторы U (л) и V (л) в ^л для каждого лл,. Например, ^(л) есть вектор в ^л, соединяющий xf)^ с уП^л- Определим функцию

^л ф, у) := 2р ф (л), V (л)).(4.8)

Это функция Лд', билинейная и кососимметрическая по U и V. В плоском пространстве ввиду (4.7) мы бы имели

^я(^ V^Uaa’Vab^kb.

Предположим теперь, что векторы U и V изотропны. Значит, по определению, существуют спиноры аЛ' и рЛ', такие, что (/(а) = = V(P) = 0. Тогда внутреннее произведение U и V определяется посредством

ал0л,

g (и’ И) = ?а^ wk ^ <и' у> (419)

(это выражение в действительности независимо от лл). По линейности оно определяет метрику gab на Ж, которая совместима с конформной структурой Ж. Кроме того ([16]), мы имеем следующую теорему.

Теорема 4.6. Метрика gab является правоплоской, и любая правоплоская метрика может быть {локально) построена таким образом.

Примеры. Мы видели в предыдущем разделе, что произвольная правоплоская метрика может быть получена (1) деформацией области 5? плоского твисторного пространства Т, сохраняющей некоторую структуру, и затем (2) нахождением голоморфных сечений и заданной на них метрики.

Часть (1) этой программы легко реализуется. Например, можно сделать это следующим образом. Покроем 91 двумя множествами Q и Q. Припишем Q координаты (сол, лЛ'), a Q— координаты

Внутреннее произведение л^,- спиноров в этой формуле задается 2-фор- мой т. — Прим, перев.

(йл, яд). Область Ж определяется «склеиванием» Q и Q посредством

ол = сол, к# = лл/.

Мы получим деформированное твисторное пространство 9* с требуемой структурой, заменяя это «плоское склеивание» на склеивание

дл _ ^А .|_ ^А ^В л )

(4.10)

^А'^А'»

где функция /л(2а) голоморфна на ^П$, однородна степени 1 и удовлетворяет соотношению

det (едв + ~л") = 1(4.11)

\(5(0 /

(чтобы форма р = ^^ABd^A Л dtoB сохранялась в каждом слое ^л). Удовлетворить (4.11) нетрудно — можно сделать это, например, интегрируя гамильтоново векторное поле.

Часть (2) указанной программы, а именно выделение голоморфных сечений 9", выполнить явно гораздо труднее. Эта проблема в общем случае до сих пор не решена. Но имеются некоторые частные случаи, когда удается построить голоморфные сечения и тем самым метрику. Их мы и опишем сейчас.

Пусть рАА' ••• с' = рА{А' •*• с'} есть постоянный спинор с одним нештрихованным и п > 0 штрихованными индексами. Положим рА\= рАА' с^д. ... Лс,е Пусть g(y, лл) есть голоморфная функция трех комплексных переменных со свойством однородности

gUn+1Y>«д')(4.12)

для всех ненулевых Хе С. Определим тогда склеивающую функцию ^А посредством

fA (сов, пв^ = pAg <рв^в, пв\(4.13)

Легко проверить, что f4 однородна степени 1 и удовлетворяет (4.11). Смысл этого специального выбора склеивающей функции состоит в том, что функция рв<ав является глобально определенной голоморфной функцией на деформированном твисторном пространстве 9", однородной степени n+ 1- Это вытекает из того, что, согласно (4.10) и (4.13), рв&в = Рв^в. В общем случае 9~ не допускает таких функций: единственными глобальными однородными функциями на 9* являются функции, поднятые с базы ^. Поэтому склеивающие функции (4.13) дают только некоторые, но не все правоплоские пространства.

Имея теперь пространство 9", определяемое равенствами (4.10) и (4.13), можем ли мы найти голоморфные сечения? Один из спо-

собов сделать это состоит в следующем. «Расщепим» сначала функцию g (1рдхАА ^А'» пд') в разность

g ^PaxAA kas лд-) = h (х, лл<) — А (х, Лд')

функции А(х, Л д'), голоморфной при ^Х^'кд', ЛЛ')е$, и функции (г(х,Яд/), голоморфной при ЦхАА,пА^ nA')^Q. Функция

g\ipAxAA'^AS ^лО, согласно (4.12), однородна степени 1 — п по лл^ поэтому такое «расщепление» возможно только при (см. 2.83))

1 — п ^ — 1 <=> п ^ 2.

Предполагая это, мы немедленно выпишем голоморфные сечения Т: они задаются посредством

<ол (х, лВ') = 1хаа'пА' + pAh (х, лВ')в Q,

&А(х, лВ') = ixAA'nA'+ pAh(xi л5')в $.

Если п > 2, эта процедура не проходит, и до сих пор неизвестно, как в этом случае строить голоморфные сечения.

Для п = 0, 1, 2 мы можем продвинуться далее и вычислить соответствующие правоплоские метрики. Детали вычислений опубликованы в другом месте ([20]), здесь мы только сформулируем результаты.

Случай п = 0. В этом случае метрика может быть записана в виде

ds2 = du dx) -\- dx dy -V ^ ^. х) dv2,

где f(u, х)—произвольная функция. Эта метрика имеет алгебраический тип [4] ® [—]; ее можно представлять себе как антиавто- дуальную рр-волну ([21]).

Случай п—\. Используем сначала функцию g для определения поля фд (х) посредством

фл (х) := ф (2л/ло')-1 g VPbxBB ^bs ^в^ Pa^^a^d' dnD\

где g(y, л д') :=dg^, лЛ')/ду. Заметим, что фд является статическим нейтринным полем; иными словами,

7да^л_0, РааМда'^в = ^

Без потери общности можно предполагать, что рара = 1. Положим t := раха, И !«= 1 + р^А, ^;=kV -V^dt-V^A4x№.

Тогда метрика оказывается равной ds^—V’Vdt-Ht-V^dx dx\ j,k=\,2,3.

Эти метрики обладают, очевидно, вектором Киллинга 9 d/dt. Они включают, например, «автодуальное решение Тауба— Ньюмана — Унти — Тамбурино» [22]).

Случай п = 2. Возьмем рАА'в' = оАоА'ов' + ИИТ5' и положим по определению

Wa'b' *= (2 л/)*1 ^) nA,nB,g М'РсхСс ^с,> лс) nD' d^D',

9 := 1 - Фоч^

Ф *“ ФоО'’

ф:=Ф1Р,

А :=02 — фф.

х01', х10') метрика зах01', х10') метрика заТогда в координатной системе уа = ^\ xxv,

х01', х10') метрика за

х01', х10') метрика за

писывается в виде

gab = -A‘gab = -A‘— 6 0 ф-2ф ф О

gab = -A‘

gab = -A‘

Ф 0 0 0 0 0 -

Эти метрики в общем случае, по-видимому, не имеют векторов Киллинга и являются алгебраически общими. Тем не менее ввиду того, что они зависят от произвольной функции двух переменных (именно от однородной функции g), от них еще далеко до общего правоплоского решения, которое зависит от произвольной функции трех переменных.

Безмассовые поля на полуплоской базе. Предыдущий раздел был посвящен использованию теории «искривленных твистор- ных пространств» для нахождения решений уравнений Эйнштейна. Другой интересный вопрос состоит в том, распространяются ли результаты теории твисторов в плоском пространстве (такие, как процедура решения безмассовых уравнений свободного поля) на искривленные пространства-времена. Мы увидим, что такое обобщение для правоплоских пространств возможно. Наши контурные интегралы будут задавать на деформированном твисторном пространстве (пробные) поля, которые «правильно» взаимодействуют с правоплоским базовым пространством.

Напомним прежде всего об алгебраических ограничениях, известных под названием ограничений Бухдаля, связанных с решениями безмассовых уравнений поля •

(4.14)

2s

в искривленном пространстве-времени. Дифференцируя (4.14), переставляя производные и используя спинорные тождества Риччи, мы получим для s ^ 3/2

^^...^АВС^.(4.15)

Аналогично равенство

ЧАА^А-в-= °(4.16)

2s

влечет за собой

= 0(4-17)

для s ^ 3/2. В правоплоском пространстве ^a'b'C'd' обращается в нуль и условие (4.17) исчезает, но условие (4.15) является нетривиальным. Поэтому мы можем ожидать, что нам удастся решить (4.16), волновое уравнение Пф = 0 и (4.14) при s ^ 1 на правоплоском пространстве. С другой стороны, для того чтобы иметь столько же решений уравнения (4.14) с s > 1, как и в плоском пространстве, необходимо модифицировать его таким образом, чтобы исчезли алгебраические ограничения. Как мы увидим и как впервые было замечено Спарлингом, теория твисторов предлагает такую модификацию и дает решения модифицированных уравнений.

Пусть Ж— правоплоское пространство-время и 9"— соответствующее деформированное твисторное пространство. Пусть /— голоморфная функция на £Г, однородная степени —2s — 2 cs^O. Предполагая, что f имеет нужную структуру особенностей, мы хотим вычислить контурный интеграл от f с тем, чтобы получить безмассовое поле. Первый шаг (см. п. 2.2) заключается, в том, чтобы «провести твистор Z через точку пространства-времени х». В нашем случае это достигается следующим образом: пара (х, лд'), где х е Ж, а лд' — постоянный спинор, определяет непроективный твистор, который мы обозначим Zx, л- Определим теперь функцию F(x, л) посредством

F У, пу.= ^Хх>я\

Из определения ясно, что

Хада'^ад-Р (х, л) = 0 для всех V =^ т^'ЧдА'Гкх, л) = 0. .(4.18)

Полежим

Фд'... С' М = 1^7 § ла' • • • ncF Iх’ л) ло- ^л°'-

Из (4.18) немедленно следует, что фл, с, есть решение (4.16) •или Пф = 0 при s = 0. Эту процедуру легко перевести на язык когомологий: элемент Нх (Р^, О (—2s — 2)) будет порождать юбычным образом безмассовое поле со спином s.

Пусть теперь / однородна степени 2s — 2 с s > 0. Воспользуемся процедурой «расщепления» для построения пространственно-временного поля. Для каждого фиксированного х расщепим Р^х, л) в разность

F (х, л) = ^ (х, л) — А (х, л).(4.19)

Это всегда можно сделать (см. (2.83)), поскольку 2s — 2^—1 при'5>0. Действуя на (4.19) оператором ла'Уаа' и используя к(4.18), получим

лл'7дд'А= л^дд'А,

откуда следует, что лл'Удд'А должно быть однородным полиномом степени 2s — 1 по л^:

^^AA'h (х, л) = ФЛд'... С' (х) лл' ... лс',(4.20)

где Фдд'... с'= Фд(Д'... с') есть некоторое спинорное поле на Ж, однозначно определяемое А. Применение к (4.20) оператора n,D'VD,A приводит к

7д(Д'Фв' ...оз = 0.(4.21)

Для s = 1/2 уравнение (4.21) сводится к

V44 Фд = 0.

Для s ^ 1 можно представлять себе Фа'...С' как левосторонний потенциал безмассового поля. Произвол в расщеплении (4.19) задается преобразованиями

Л(х, л) н-*й(х, л) + Ха' ... с (х) л4'... лс',

fl (х, л) н-» fl (х, л) + Ад' ... с- (х) л4' ... лс',

подставляя которые в (4.20), получим калибровочный произвол р Фла' ... о-> а именно

ФдА'В' ... 6'ФдА'В' ... D' + Va (Д'Ав' ... D'Y-(4-22)

Поле фл...л спина s определяется через потенциал Фаа'...с' посредством

.(4-23)'

производных

В случае s=l поле флв, задаваемое (4.23), калибровочно инвариантно и автоматически удовлетворяет уравнениям Максвелла ^аа'^ав = ^\ эт0 вытекает из (4.21) после некоторых алгебраических преобразований. Однако при s ^ 3/2 возникают ограничения Бухдаля и ситуация ухудшается. Если ^Vabcd =/= 0, то поле* Фл...в не является калибровочно инвариантным, а уравнение, которому оно удовлетворяет, является модифицированным вариантом (4.14). В качестве иллюстрации рассмотрим случай s = 3/2. Используя спинорные тождества Риччи и уравнение (4.21), можно-* показать, что (1) под действием калибровочного преобразования (4.22) поле флвс преобразуется как

^АВС ^авс у ^abcd^da ^az(4.24)

и (2) поле флвс удовлетворяет

^лвс = - ^BCDV^r-(4.25)

Легко проверить, что полевые уравнения (4.25) инвариантны относительно калибровочных преобразований (4.22) и (4.24); а сам факт, что мы можем получать их решения, используя твисторные функции, указывает на то, что они свободны от алгебраических ограничений типа Бухдаля.

5 Гиперповерхностные твисторы

CR-структура и гиперповерхностные твисторы. В § 3 было предложено определять твисторы на общем искривленном пространстве-времени Ж относительно некоторой гиперповерхности 9Р. Это действительно можно сделать, и возникающий при этом формализм гиперповерхностных твисторов является в данный момент наилучшим известным нам путем обобщения теории твисторов на пространства-времена, которые не являются конформно полупло- скими. Он применим только тогда, когда Ж и ^ вещественно аналитичны, но это условие аналитичности кажется нам непринципиальным; по-видимому, теорию можно модифицировать таким образом, чтобы избежать его.

Основная идея состоит в следующем. Допустим на время, что S^ является (пространственноподобной) поверхностью Коши. Тогда (как мы вскоре увидим) пространство РЛ9 безмасштабных изотропных геодезических в Ж приобретает относительно ^ CR-

структуру ([15]1)). Пусть РЛ9^) обозначает пространство РЛ9, снабженное этой структурой. CR-структура связана с геометрией Ж посредством следующей теоремы.

Гиперповерхностная теорема Керра. Пусть лЛ' — аналитическое спинорное поле на 9°. Тогда лд^ является бессдвиговым полем на У в том й только том случае, когда оно задается локально уравнением f = О, где f— решение касательных уравнений Коши — Римана на РЛ9^).

Из этой теоремы и из того, что сдвиг порождается конформной кривизной, вытекает, что для двух различных гиперповерхностей 9Р и 9Р1 в Ж пространства РЛ9^) и VJW^P'Y вообще говоря, различны. CR-структура изменяется ири переходе от ^ к дР'.

CR-структура РЛ9^) может быть определена одним из двух эквивалентных способов: можно выписать касательные уравнения Коши — Римана или построить трехмерное комплексное многообразие, содержащее РЛ9^) в качестве вещественной гиперповерхности. Мы опишем второй метод, использующий пространство Р2Г (^) гиперповерхностных твисторов.

Первый шаг состоит в комплексификации дР и Ж; в результате мы получим комплексную гиперповерхность СЭР, принадлежащую комплексному пространству-времени СЖ. Если бы Ж было пространством-временем Минковского, то твистор Za можно было бы представить парой (Z, лд'), где Z есть a-плоскость. Пересечение ZQ С 9? есть комплексная кривая £ в 09? с касательным вектором, пропорциональным

иа = tAB,TtB^A,e (5.1)

Здесь ta — вектор нормали к 9Р. Можно считать, что спинор лд параллельно переносится вдоль £, т. е.

^О^С' = 1№П^КА'У1аА^С' = 0. (5.2)

Все это очень хорошо в плоском пространстве-времени, но в общем искривленном пространстве-времени у нас нет а-поверхно- стей. Мы, однако, по-прежнему имеем пары (£, лЛ'), где (а) 5 есть комплексная кривая в С9\ (Ь) лд' —- спинорное поле на £, удовлетворяющее (5.2), (с) касательный вектор £ имеет вид (5.1). Такие пары, по определению, и называются гиперповерхностными твисторами. Пространство Т (9?) гиперповерхностных твисторов является комплексным четырехмерным многообразием.

Факторизуя по отношению эквивалентности

(£, лд') ~ (£, ХлдО, К е С, ^ #= 0,

мы перейдем от 5Г ^9^ к проективному пространству Р2Г (^) гиперповерхностных твисторов. Твистор (£, лд') называется изо-

!) См. также [11*], [17*]. — Прим, перев.

Рис. 1.x — вещественная точка, т. е. твистор (£, Яд') изотропный. тропным, если кривая £ содержит вещественную точку (в плоском пространстве-времени это эквивалентно обычному определению). Пространство проективных изотропных твисторов и есть пространство РЛ9^) (см. рис. 7), которое мы хотели определить. Стоит отметить, что структуры Р^Г^), РГ (^) и РЛ9^) являются конформно инвариантными ([9]).

Наибольшим недостатком подхода, использующего гиперповерхностные твисторы, является его зависимость от гиперповерхности дР. По-видимому, этот формализм будет наиболее полезен при естественном выборе гиперповерхности. Например, если пространство-время Ж является асимптотически плоским, мы можем взять др = 3^ или З- (см. п. 5.2); если Ж— статическое ^, можно выбрать поверхность др ортогональной к времениподобному вектору Киллинга2). Эти возможности еще должны быть полностью исследованы и испробовады.

Твисторы относительно изотропной гиперповерхности. В этом разделе мы изучим пространство 9~(^) гиперповерхностных твисторов в случае, когда ^ изотропна. То, что поверхность ^ не является больше трансверсальной ко всем изотропным геодезическим (как было в том случае, когда дР была пространственноподобной), вносит некоторые осложнения. Они, однако, не являются серьезными и компенсируются некоторой внешней структурой (в частности, кэлеровой структурой), которую приобретает тви- сторное пространство ST ^ду

Если дР изотропна, то вектор ta ее нормали имеет вид

Подставляя это выражение в (5.1), получим u° = (|sЛв') £Ллл, что обращается в нуль, если лл пропорционально ^А. Поэтому предпочтительнее опустить множитель V пв и определить гиперповерхностный твистор (относительно изотропной гиперповерхности ^) как пару (£, ллО, где (а) £— голоморфная кривая в С-У

То есть метрика Ж не зависит от времени.—Прим, перев.

с касательным вектором вида £ллл' и (Ь) лд' — спинорное поле на ^ удовлетворяющее £ллл'7да лв' = 0..

Проективные и изотропные гиперповерхностные твисторы определяются точно так же, как и в случае пространственноподобной гиперповерхности ^. Аналогично можно определить дуальное пространство ^(^) гиперповерхностных твисторов, просто поменяв местами штрихованные и нештрихованные индексы в приведенном выше определении.

Основное приложение этого формализма относится к случаю, когда в .качестве гиперповерхности ^ берется изотропная бесконечность прошлого или будущего (^ или «7+) асимптотически плоского пространства-времени Ж ([6], [13]). Тот факт, что Ж является асимптотически плоским, означает, по существу, что после конформной перенормировки метрики пространства-времени Ж можно присоединить к Ж (гладким образом) изотропные гиперповерхности 3" и 3^ в качестве границы. Так как конструкция пространства гиперповерхностных твисторов конформно инвариантна, она не зависит от конформной перенормировки. Отметим, что конформный спинор кривизны Тдвса обращается в нуль на 3, тогда как его первая ковариантная производная на 3 (относительно связности, ассоциированной с перенормированной метрикой), вообще говоря, нулю не равна. Отсюда следует, что тви- сторные пространства Р3~ (3+) и РЗДЗ-), называемые (проективными) асимптотическими твисторными пространствами будущего и прошлого на Ж соответственно, в общем случае искривлены. в том смысле, что их нельзя голоморфно вложить в С Р3. Действительно, входящее и выходящее гравитационные излучения на пространстве-времени Ж измеряются именно производными ^Yabcd на 3^ и 3" соответственно. Эта информация ч заложена в структуре Р3~ (3+) и Р3~(3-), или, эквивалентно, в структуре непроективных асимптотических твисторных пространств 3"^3~^. В частности, если гравитационное излучение на Ж — чисто запаздывающее, то 3" {3~} является плоским.

Возвращаясь к случаю общей изотропной гиперповерхности ^, отметим, что твисторное пространство обладает теперь структурой, которой оно не имело в пространственноподобном случае. Это «скалярное произведение», под которым понимается голоморфная функция П на открытом подмножестве Q произведения 3~ ^ЗУХ Х^^У однородная степени 1 на каждом из 3” ^^ и ^(^):

П: ^->С, где

H(XZ, iiZ) = ^n(Z, Z),г^з” (3), z^t (3), к ре с - {о}.

В частном случае 3> = 3- определение скалярного произведения приводится в [7] и [9]. Определение в случае общей изотропной

гиперповерхности ^ остается, по существу, таким же. Пусть £ и £—твисторная кривая и дуальная твисторная кривая на С99 для Z и 2 соответственно. Определим область VQ, состоящую из пар (L £), для которых комплексная изотропная геодезическая образующая т] гиперповерхности ^ пересекает как £, так и £ (и допустим для простоты, что эта образующая всегда односвязна). Из соображений размерности и непрерывности можно ожидать, что F5 является открытым подмножеством P^t^X ХР^(^). Множество Q есть при этом соответствующее подмножество ТV^XS'V^Y Для определения П(2, 2) рассмотрим (0,лЛ' ) как локальный твистор в точке £Пл (отвечающий Z), а (лл, 0)—как дуальный локальный твистор в точке СП Л, затем перенесем один из этих локальных твисторов вдоль какого-либо пути в л> соединяющего £Пл с£ Пл> используя локальный твистор- ный перенос, и наконец, возьмем локальное твисторное скалярное произведение этого твистора с другим.

Локальный твистор ([7]) и дуальный локальный твистор в точке р пространства £/ описываются соответственно парой спиноров в точке р;

(сол, ллО, (лл, ол').(5.3)

Это верно, если метрика gab на С^ фиксирована, но при конформной перенормировке

gab^^gab; елвн^йелв, еА'8^-»йеА-в-,(5.4)

мы должны сделать замены

(<ол, Яд/) и-* (со4, ЛД' + /Глл/Ш4), (лл, to4-) I-* (лл — /Тлл- б4', б4'), (5.5) где'

Ta = Q-'vaQ = ValogQ.

Локальный твисторный перенос вдоль некоторого пути в С^> имеющего касательный вектор иа, действует на (юл, л д') и (лЛ', ол') согласно

иь^ь^А = ““ iuAB'n.Bs uNb^A' — ” ^двд'в'^55

ubVb&A = IPaba'b^^^, ub\b^A' = шва'лв,^’^

где

Рав А'В' — ^ABA'B' ” ^AB^A'S' = 2 Rab + IT Rgab*

При выполнении правила преобразования (5.4) замены (5.5) конформно инвариантны. Заметим также, что формы (0, лЛ') и (лл, 0) сохраняются соответственно вдоль £ и вдоль £. Локальное твисторное скалярное произведение может быть вычислено в любой Урдной^ точке р и совпадает с

(<0Л, Лд • (Лд, ШЛ) = СОЛЛд + Лд'0)Л';

последнее выражение конформно инвариантно и сохраняется под действием локального твисторного переноса. В любой вещественной точке р^Л твистор (jtA> бИ'), комплексно сопряженный к (<ол, пА*\ является дуальным локальным твистором.

В плоском пространстве-времени П(7, 2) сводится к обычному билинейному скалярному произведению ZaZa. Но в общем случае П обладает только весьма ограниченными линейными свойствами. Если Z и 2 изменяются таким образом, что линия т) остается фиксированной, то можно сказать, что П сохраняет свою билинейную форму, имея в виду локальную линейную твисторную структуру вдоль ц. Но, если ц меняется, эта локальная твисторная структура изменяется неинтегрируемым образом из-за неинтегри- руемости (5.5) в случае, когда спинор Ч^вса или его первая ковариантная производная не обращаются в нуль на ^.

Комбинация П с отображением сопряжения

дает «норму» II(Z, Z) на некоторой подходящей окрестности Л (У7) в Т (^), обладающую тем свойством, что твистор Z является изотропным тогда и только тогда, когда II(Z, 2) = 0. Считая П(2, 2) «кэлеровым скаляром», мы придем к кэлеровой структуре на ^ (^) ([17] Ч), т. е. вторая производная П, являющаяся композицией голоморфной и антиголоморфной производной, задает кэ- лерову метрику. Кэлерова кривизна может быть выражена через кривизну пространства-времени. (См. [23] по поводу случая У = 3-\ входящее гравитационное излучение порождает кэле- рову кривизну на 9~ («7+), а выходящее излучение — кэлерову кривизну на 9~(з-).)

Как было указано в п. 4.1, с искривленным твисторным пространством Р^(^) ассоциируется комплексное четырехмерное «пространство-ъремя» с конформной метрикой, которая является конформно правоплоской. Обозначим это комплексное пространство-время через 36 (^). Точки 36 ^^ являются голоморфными кривыми в Р^(^), а каждая точка Р^" (^) соответствует кривой ^ в С^; поэтому точки 36(^) можно также представлять себе как двумерные комплексные поверхности в .С 5^, которые заметаются гиперповерхностными твисторными кривыми. В случае 3 = 3^ кривые £ и £ превращаются в комплексные изотропные геодезические на СЗ^. Двумерные поверхности, заметаемые кривыми £, часто называют также «хорошими срезами» или «бес- сдвиговыми срезами» 03. Они были введены впервые Ньюманом и его коллегами исходя из несколько иной точки зрения. В действительности ^-пространство Ньюмана совпадает с тем, что мы назвали бы здесь 36^3^ (голоморфные кривые в ^(«7+)). Кон-

струкция ^-пространства Ньюмана в значительной степени мотивировала первоначальное определение асимптотического тви- сторного пространства, которое в свою очередь привело к более общему понятию пространства гиперповерхностных твисторов. (См. современный обзор теории ^-пространств в [3].)

Следует отметить, однако, что имеется определенное качественное различие между двумерными поверхностями, отвечающими точкам 96 (^), в случае пространственноподобной гиперповерхности ^ и в случае изотропной ^. Рассмотрим сначала пространственноподобный случай. Допустим, что р— произвольная точка ^, и рассмотрим (голоморфную) систему Р кривых £, проходящих через точку р. Существует в точности одна такая кривая £, ортогональная любому вещественному изотропному направлению в точке р, так что Р компактно и топологически совпадает с S2. Топология Р остается такой же для всех точек р в С^7, находящихся вблизи У. Следовательно, мы имеем комплексное трехпараметрическое семейство таких множеств Р (компактных голоморфных кривых) в- Р^Г^). Это семейство образует комплексную трехмерную поверхность в 96(^), точки которой находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с точками С^7 (или по крайней мере с точками С57, находящимися вблизи ^). Переходя теперь к произвольной точке 96^), расположенной вблизи этой трехмерной поверхности, убеждаемся, что она представляется множеством Р' в Р ^ (^), которое не сильно отличается от только что рассмотренных множеств типа Р. Заметаемая кривыми £ двумерная поверхность, соответствующая Р\ превращается в пределе, когда Р' стремится к Р, в конус кривых £ с вершиной р. В этом смысле рассматриваемые двумерные поверхности остаются как бы «локальными» в CS7.

Однако в случае, когда гиперповерхность У изотропна, конструкция при р ^У вырождается. По-прежнему существует единственная кривая £, проходящая через точку р и ортогональная любому вещественному изотропному направлению в р, за исключением нормали ^AV в точке р. Эта нормаль ортогональна всем кривым £, проходящим через р, и У нас нет корректного способа, позволяющего пополнить неособым образом семейство кривых в точке р, параметризованное S2. Образующую ^ в точке р саму можно рассматривать как кривую £. Однако даже в случае, когда Ж есть пространство Минковского и ^ = 3^, это даст нам вместо правильной области I в РТ «раздутое» проективное твисторное пространство ([7]). Вопрос о том, как наилучшим образом определить гиперповерхностные твисторы, отвечающие нормальным направлениям изотропной гиперповерхности ^, является довольно Деликатным, и мы не будем обсуждать его здесь. Во всяком случае, ситуация мало напоминает ту, которая была рассмотрена выше для пространственноподобной гиперповерхности 9Р. Мы не

можем уже считать соответствующие системы кривых £ (или порожденные ими двумерные поверхности), представляющих точки пространства 36 (^), «близкими» к системам кривых £, проходящих через точки ^. Вместо этого более естественно считать рассматриваемые двумерные поверхности кривых £ «близкими» к СЗПС^, где CJ^ — комплексифицированный световой конус точки Ж, не лежащей на ^. (В случае, когда Ж— пространство Минковского, это дает нам в точности искомые двумерные поверхности.) Иначе мы можем рассматривать двумерные поверхности как сечения расслоения ^, где структура расслоенного пространства на ^ порождается изотропными образующими ^.

В частном случае ^ = 3- эти образующие являются бессдви- говыми ([6]). Отсюда вытекает, что индуцированная конформная метрика любого сечения, или «среза», С^ (не обязательно порожденного кривыми £) остается «одной и той же» в том смысле, что она не изменяется при движении вдоль образующих С^. Следовательно, две системы изотропных линий на любом сечении переходят при движении вдоль этих образующих в изотропные линии на других сечениях. Другими словами, эти изотропные линии лежат на двух системах (вполне изотропных) плоскостей на 3-, которые мы называем a-плоскостями и 0-плоскостями на 3-. Каждая кривая £ лежит на 0-плоскости в СЗ- (определяемой в случае пространства Минковского Ж посредством №а=/ар7&), а каждая кривая £—на a-плоскости в СЗ- (см. рис. 8). Следовательно, имеется каноническая проекция пространства кривых £ на пространство 0-плоскостей в 3-, т. е. проекция РЗ^З^ на СР1. Это дает нам также проекцию 3 (3±) на ^ = С2— {0}. «Сильная конформная геометрия» ([6]) пространств 3- позволяет нам сопоставить З- также дополнительную структуру, описанную в п. 4.2; тем самым мы имеем (а) расслоение Т(Ь) 2-форму т на $ и (с) 2-форму ц на каждом слое (однородную в соответствующем смысле). Следовательно, как и в п. 4.1, ^-пространство 36^3-^ обладает канонически определенной правоплоской метрикой.

В действительности ([3]) мы можем считать, что кривизна ЧСвса пространства 36(«У™) возникает из антиавтодуальной части выходящего гравитационного излучения в Ж, а кривизна 36^3^ — из автодуальной части. Аналогично кривизны 36^3^ и 36 ^3V^ возникают из антиавтодуальной и автодуальной частей соответственно входящего гравитационного излучения. Таким образом, твисторный язык является естественным средством описания этих двух частей гравитационного поля на Ж независимо друг от друга. Удовлетворительное твисторное описание комбинированных полей еще нуждается в дальнейшей разработке.

Мы продемонстрировали здесь (хотя и не в полной мере) некоторые замечательные и довольно неожиданные связи между теорией твисторов и общей теорией относительности. Поэтому не вы-

Рис. 8.

глядит необоснованной надежда, что упомянутая «дальнейшая разработка» действительно будет проделана. (См. [25] по поводу некоторых последних предложений в этом направлении.) Если это произойдет, теория Эйнштейна получит полное и естественное описание в рамках твисторной программы. По нашему мнению, для дальнейшего углубления этой программы настоятельно необходимо, чтобы теория Эйнштейна действительно допускала такую трактовку. Глубокие результаты, полученные общей теорией относительности, непременно должны быть охвачены твисторной теорией, если она претендует в какой-либо степени на более фундаментальное описание природы. Если это удастся выполнить, то эти результаты, по-видимому, окажутся полезными и при твисторном описании других взаимодействий в природе. Благодаря Эйнштейну в настоящее время мы удивительно глубоко понимаем гравитационное взаимодействие. Его теория бросает серьезный вызов и в то же время дает надежду на новые глубокие результаты в будущем.

ЛИТЕРАТУРА

Hughston L. Р. Twistors and particles. In: Lecture Notes in Physics, 97.— Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.

Penrose R., Sparling G. A. J. Twistor theory of particles. — Rev. Mod. Phys. (to appear).

Ro M., Ludvigsen M., Newman E. T., Tod К. P. The theory of //-space, prep* rint. — Pittsburgh, 1978; Phys. Rep. C (to appear).

Todd J. A. Projective and analytical geometry. — London: Pitman, 1947.

Penrose R. — /. Math. Phys. 8 (1967), 345—366.

Penrose R. Relativistic symmetry groups. In: Barut A. O. (ed.). Group theory in non-linear problems. — Dordrecht: Reidel, 1974, pp. 1—58.

Penrose R., MacCallum M. A. H. — Phys. Rep. 6C (1972), 241—316. [Перевод в этом сборнике.]

Streater R. F., Wightman A. S. PCT, spin and statistics, and all that. — New York: Benjamin, 1964. [Имеется перевод: Стритер P. Ф., Вайтман А. С. РСТ, спин, статистика и все такое. — М.: Наука, 1966.]

Penrose R. Twistor theory, its aims and achievements. In: Isham C. J., Penrose R., Sciama D. W (eds). Quantum gravity. — Oxford: Clarendon, 1975, pp. 268—407.

Penrose R. — J. Math. Phys. 10 (1969), 38—39.

Gunning R. C., Rossi H. Analytic functions of several complex variables.— Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных.— М.: Мир, 1969.]

Penrose R. Techniaues of differential topology in relativity. — Philadelphia: SIAM, 1972.*

Penrose R. Structure of space-time. In: de Witt С. M., Wheeler J. A. (eds). Battelle Rencontres. — New York: Benjamin, 1968, pp. 121—235. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.]

Crampin М. J., Pirani F. А. Е. Twisters, symplectic structure and Lagrange’s identity. In: Kuper Ch. G., Peres A. (eds). Relativity and gravitation. — London: Gordon and Breach, 1971, pp. 105—110.

Chern S. S., Moser J. K. — Acta Math. 133 (1974), 219—271.

Penrose R. — Gen. Ret. Gray. 7 (1976), 31—53. [Перевод в этом сборнике.]

Morrow J., Kodaira К. Complex manifolds. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1971.

Kodaira K. — Amer. J. Math. 85 (1963), V9—94.

Hansen R. O., Newman E. T., Penrose R., Tod К. P. — Proc. R. Soc. London Ser. A 363 (1978), 445—468.

Ward R. S. — Proc. R. Soc. London Ser. A 363 (1978), 289—295.

Curtis W. D., Lerner D. E., Miller F. R. — L Math. Phys. 19 (1978), 2024— 2027.

Hawking S. W. — Phys. Lett. 60A (1977), 81—83.-.

Ko M., Newman E. T., Penrose R. — /. Math. Phys. 18 (1977), 58—64.

Komatsu H. (ed.). Hyperfunctions and pseudo-differential equations. Springer Lecture Notes in Mathematics, 287. — Berlin: Springer, 1973.

Penrose R. In: Lerner D. E., Sommers P. (eds). Proceedings of the 1978 Kansas conference on complex manifold techniques in physics. — New York: Pitman, 1979.

ТЕОРИЯ ТВИСТОРОВ:

ПОДХОД К КВАНТОВАНИЮ ПОЛЕЙИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ)

Р. Пенроуз

Birkbeck College, London, England

M. A. X. Мак-Каллум

King’s College, Cambridge, England

Резюме. Теория твисторов предлагает новый подход, основанный на конформно инвариантных понятиях, к синтезу квантовой теории и теории относительности. Твисторы в плоском пространстве-времени совпадают с SU(2, 2)- спинорами группы 0(2, 4), являющейся двукратным накрытием конформной группы. Они описывают импульс и угловой момент частиц с нулевой массой покоя. Точки пространства-времени возникают как вторичные объекты, отвечающие линейным множествам в твисторном пространстве. От этих объектов следует избавиться при переходе к квантованию гравитации (сохранив изотропные конусы). Твисторы представляются в этой работе с помощью двухкомпонентных спиноров. Безмассовые поля описываются голоморфными функциями на твисторном пространстве, на котором имеется естественная каноническая структура, приводящая к естественному выбору канонических квантовых операторов. Обобщение твисторов на искривленное пространство приводит к трем различным понятиям: 1) локальные твисторы, конформно инвариантное исчисление, 2) глобальные твисторы и 3) асимптотические твисторы, которые лежат в основе S-матричного подхода в асимптотически плоских пространствах-временах. Для вычисления сечений рассеяния используется гамильтонова теория рассеяния глобальных твисторов. Это приводит к твисторным аналогам диаграмм Фейнмана для изучения безмассовой квантовой электродинамики. Дается краткий обзор недавно развитых методов работы с массивными (нарушающими конформную симметрию) источниками и полями.

Предисловие

Эта работа представляет собой расширенный, пересмотренный и отредактированный вариант подготовленного М. Мак-Каллумом конспекта лекций, прочитанных Р. Пенроузом в Институте теоретической астрономии в Кембридже в течение весны и лета 1970 г. В последнем параграфе помещено добавление Р. Пенроуза, касающееся последующих результатов. Финансовая поддержка лекций обеспечивалась Институтом теоретической астрономии.

0. Введение

Хорошо известно, что в наших современных физических представлениях имеется ряд неудовлетворительных пунктов. К ним

относятся бесконечные расходимости в квантовой теории поля, отсутствие действительно убедительного синтеза квантовой теории и общей теории относительности, а также, по-видимому, наша зависимость от понятия континуума, не имеющего никакого реального физического подтверждения. Теория твисторов является попыткой создания нового формализма для описания основных физических процессов, затрагивающего упомянутые выше проблемы, и мы надеемся, что, после того как теория станет более полной, в подходе к этим проблемам откроются новые перспективы. Если попытка будет успешной, это без сомнения окажет весьма широкое воздействие на всю физику. Для повседневных целей достаточно, конечно, существующих теорий, но наши общие представления могут измениться точно так же, как изменился взгляд на ньютонову механику после появления теории относительности. Хотя никакой окончательной оценки достижений теории твисторов в данный момент сделать нельзя, полученные результаты кажутся нам достаточно обнадеживающими для того, чтобы счесть полезным появление единого и в разумной степени современного изложения этой теории, предназначенного для наших коллег, работающих в различных областях физики.

Последние две трудности из упомянутых выше, очевидно, связаны друг с другом. Если отказаться от представления пространства-времени в виде континуума, то невозможно будет трактовать обычным образом ни квантовые, ни гравитационные поля. Можно, конечно, утверждать ([38]), что допущение о том, что в 10-13 см3 или даже в Ю-1000 см3 столько же точек, сколько во всей Вселенной, является физически нереальным, а наше использование континуума объясняется только его математической полезностью. Мы стоим, однако, на той точке зрения, согласно которой для удовлетворительного объединения квантовой теории и общей теории относительности необходимо нечто большее, чем простое применение соответствующей техники квантования к решениям уравнений Эйнштейна. Скорее, следует думать о квантовании самого пространства-времени. Под этим нужно понимать не простую замену континуума дискретным множеством точек (хотя такие попытки предпринимались), а скорее отыскание способа, при котором точки «размазываются», так же как размазываются частицы в квантовой теории.

В предшествующих работах [33], [37] было показано, что можно ввести понятие евклидова пространства, исходя из предела вероятностей взаимодействия большой сети частиц, квазистатически обменивающихся спинами. При таком подходе евклидова структура возникает из комбинаторных правил, которым удовлетворяет полный угловой момент в нерелятивистской квантовой механике. Подобно тому как SU(2) -спиноры служат основой для описания нерелятивистского углового момента, так и теория твисторов может быть использована для унифицированного описания

релятивистского углового момента, если подходящим образом объединить понятия спина и орбитального углового момента. Мы надеемся, что развитие твисторной теории приведет в конечном счете к построению лоренцевых многообразий, которые будут служить моделями пространства-времени. Конечно, точки пространства- времени являются вторичными величинами в твисторном формализме, а основную роль играют сами твисторы. Однако комплексный континуум по-прежнему занимает важное место в наших рассмотрениях. Комплексные числа и голоморфные функции, которые составляют основу современной физики элементарных частиц, оказываются теперь связанными с самой структурой пространства- времени. Вместе с тем голоморфные функции обладают определенной «жесткостью», свидетельствующей, возможно, о скрытой комбинаторной структуре.

Теория твисторов во многом базируется на идеях конформной инвариантности; при этом частицы с нулевой массой покоя и конформно инвариантные поля превращаются в фундаментальные понятия рассматриваемых физических теорий. В этом отношении теория твисторов имеет связь с современными работами специалистов по частицам, в которых с большой тщательностью разбирается вопрос о значении конформной инвариантности ([34, 39]).

Твистор (простейшего типа), по существу, можно представлять себе «классически» как безмассовую частицу в свободном состоянии; при этом частица может обладать внутренним спином, а также «фазой», которая может быть реализована как своего рода плоскость поляризации. Такие твисторы образуют 8-мерное вещественное многообразие, которое обладает естественной структурой 4-мерного комплексного векторного пространства. Это векторное пространство (твисторное пространство) в действительности заменяет пространство-время в качестве основы описания физических явлений. Точки пространства-времени восстанавливаются при этом по твисторному пространству (они отвечают определенным линейным подпространствам), но являются вторичным понятием по отношению к твисторам. Более того, ожидается, что при совместном рассмотрении общей теории относительности и квантовой теории понятие точки пространства-времени потеряет точный смысл. Действительно, точки пространства-времени должны «размазываться» из-за принципа неопределенности (в отличие от более принятой точки зрения, согласно которой «размазываются» не точки, а световые конусы).

На данном этапе теория твисторов еще не дает формулировки квантованной общей теории относительности; успешно включить в теорию квантованные гравитационные взаимодействия пока не удалось. Это относится и к всестороннему описанию частиц с ненулевой массой покоя. С другой стороны, теория твисторов даег правильные ответы для процессов рассеяния безмассовых за- ояженных частиц и фотонов (т. е. в высокоэнергетическом пределе

квантовой электродинамики) и, возможно, приведет к новым представлениям о природе электромагнитного взаимодействия. Пока в этой теории удавалось избегать расходимостей, т. е. выполненные до сих пор вычисления не приводили к бесконечностям такого рода, как в общепринятом формализме, и создается впечатление, что подобные бесконечности вообще должны отсутствовать. Есть надежда, что эта особенность сохранится и при дальнейшем развитии теории.

Трудности, с которыми сталкивается теория твисторов при изучении гравитационных взаимодействий и массивных частиц, по-видимому, связаны с тем, что эти объекты нарушают конформную инвариантность. Напротив, безмассовые частицы и электромагнитные взаимодействия конформно инвариантны. Исходный формализм обнаруживает очевидную конформную инвариантность, поэтому, если необходимо эту инвариантность устранить, нужно делать это в явном виде с помощью вспомогательных элементов, не обладающих инвариантностью. Один возможный метод включения таких элементов предлагается в § 5.3. Применение твистор- ного формализма опирается на веру в то, что этот формализм позволит отделить конформно неинвариантные аспекты физики от конформно инвариантных, в результате чего может оказаться, что многие важные физические процессы действительно обладают конформной инвариантностью.

Твисторы (точнее, твисторы в исходном плоском пространстве, которые в основном и изучаются в этой работе) являются в действительности редуцированными спинорами для собственной псев- доортогональной группы SO (2,4), которая локально изоморфна собственной конформной группе плоского пространства-времени, будучи ее двукратным накрытием. Они образуют пространство представления псевдоунитарной группы 50(2,2), которая в свою очередь локально изоморфна группе 50(2, 4), будучи ее двукратным накрытием. Таким образом, простейшие твисторы являются четырехзначными объектами с четырьмя комплексными компонентами, на которые действует 15-параметрическая конформная группа плоского пространства-времени. Четырехзначность твисторов до сих пор, однако, не сыграла никакой значительной роли в теории.

Одна из наиболее поразительных особенностей теории твисторов состоит в том, что комплексные числа и голоморфная (т. е. комплексно аналитическая) структура теснейшим образом вовлечены в геометрию пространства-времени. Мы уже привыкли к основополагающей роли, которую играют комплексные числа и голоморфные функции в квантовой теории, особенно в теории элементарных частиц. Поэтому комплексные числа представляются (по крайней мере на нашем современном уровне понимания) весьма важным составным элементом структуры физических законов. Теория твисторов распространяет этот тезис далее, выдвигая предположение о возможной тесной связи комплексных чисел с

определением природы самого пространства-времени. Сверх того, мы увидим, что безмассовые полевые уравнения для произвольного спина (волновое уравнение, уравнение Вейля для нейтрино, уравнения Максвелла для свободного поля, линеаризованные уравнения Эйнштейна) возникают очень простым путем из комплексной структуры твисторного пространства: они задаются контурными интегралами голоморфных функций от твисторов. Твисторное представление дает геометрическую трактовку обычному расщеплению амплитуд полей на части положительной и отрицательной частоты, описывая его в терминах расположения особенностей голоморфных функций. Таким образом, твисторный формализм соединяет в себе различные аспекты, как квантовые, так и классические, той роли, которую, по-видимому, играют в физике комплексные числа. '

Данную работу следует рассматривать до некоторой степени как предварительную. Многие проблемы теории еще ждут своего решения. Серьезным камнем преткновения являются даже трудности, связанные с простым переводом общепринятого формализма на твисторный язык. Твисторные диаграммы рассеяния, описанные в § 4, не всегда допускают непосредственную переформулировку в общепринятых (фейнмановских) терминах, и это приводит к трудностям при интерпретации. Приходится действовать до некоторой степени наугад, но тут возникает другой камень преткновения, связанный с тяжелыми задачами фактического вычисления твисторных диаграмм. Тем не менее, несмотря на эти трудности, мы считаем, что даже при настоящем состоянии теории она помогает получить некоторые новые представления о природе физических процессов. Например, если придать действительный физический смысл твисторным диаграммам §4, — а такое искушение возникает, — то, возможно, обретут некое содержание твисторные прямые, задающие нечто вроде «половинок частиц», обмен которыми происходит в виртуальных процессах. Это имело бы отношение к тому, что твистор является фактически чем-то вроде «квадратного корня» из структуры частицы с нулевой массой покоя.

Г. Предварительные сведения

Конформные преобразования. Существует определенная путаница в литературе, связанная с тем, что под названием «конформное преобразование» известны два совершенно различных понятия.

Первое из них, которое мы будем называть (см. [34]) конформной перенормировкой, состоит в простой замене *)

gab 6ab = ^gab(1 • 1)

9 Всюду в этой статье мы пользуемся «абстрактными индексными» обозначениями ([1], [2]). Абстрактные индексы не являются числами, а служат только

метрики gab пространства-времени на конформно связанную с ней метрику gab; при этом Q является гладким положительным скалярным полем на рассматриваемом многообразии. Тем самым интервал ds преобразуется в ds = ^ds. Если gab — плоская метрика, то gab не обязана, вообще говоря, быть плоской, будучи, конечно, конформно плоской. Конформные перенормировки данного пространства-времени образуют бесконечнопараметрическую абелеву группу. Конформная перенормировка не влияет на точки пространства-времени. Изотропные конусы и, следовательно, причинная структура пространства-времени при этом также остаются неизменными.

Другой тип конформного преобразования есть преобразование, которое мы будем называть конформным отображением. Это — гладкое отображение р, которое переводит каждую точку пространства-времени N в точку некоторого пространства-времени $ таким образом, что метрика на Я, индуцированная при отображении ц метрикой на N, является конформной перенормировкой исходной метрики на N. Другими словами, отображение ц сохраняет структуру изотропных конусов.

Особый интерес представляют конформные отображения пространства Минковского) М' в себя. Они включают преобразования Пуанкаре, сохраняющие метрику, и обычное растяжение по всем направлениям; отвечающая последнему преобразованию перенормировка состоит в умножении метрики в каждой точке на постоянный множитель. Остаются еще преобразования, порождаемые (инволютивными) инверсиями

£а = —■ ха (Ль)-1, ха= — £а (^ь^ь)"\ (1.2)

удобными метками, позволяющими выражать не зависящие от координат операции свертки, перестановки индексов, внешнего умножения, сложения и комплексного сопряжения в понятной и бескоординатной форме. Для этих обозначений будут использоваться латинские и греческие буквы, в то время как соответствующие «обычные» индексы (отвечающие компонентам в некоторой фиксированной системе отсчета) выделяются полужирным шрифтом. Строчные латинские буквы соответствуют абстрактным тензорным индексам, заглавные латинские буквы — абстрактным спинорным индексам, а греческие буквы — абстрактным твисторным индексам. Таким образом, полужирные латинские строчные (тензорные) индексы и полужирные греческие (твисторные) индексы изменяются от 0 до 3, а полужирные латинские заглавные (спинорные) индексы —от 0 до 1. Во всех случаях круглые скобки означают симметризацию индексов, заключенных внутри скобок, а квадратные скобки — кососимметризацию.

Рис. 1. Компактифицированное пространство Минковского М'е /°, /+, I- — точки в пространственной бесконечности, в бесконечности будущего и про* шлого соответственно, а 3~ — изотропные конусы будущего и прошлого (см. [3]). В компактифицированном пространстве точки /°, /+, 1~ отождествляются, а конусы ^“, ^+ отождествляются по противоположным образующим.

которые составляют четырехпараметрическое семейство, поскольку выбор начала отсчета произволен. Эти преобразования сохраняют направление времени, но включают пространственное отражение. Они являются конформными отображениями, поскольку индуцированная метрика связана с исходной соотношением

ds1 = dxa d^a = dxa dXa/(xbXb)2 = Q2 ds2. (1.3)

Однако эти преобразования определены не всюду на М7, поскольку изотропный конус в начале координат переходит в бесконечность. Поэтому мы введем компактифицированное пространство Минковского М» которое состоит из М7 и замкнутого изотропного конуса на бесконечности. Можно представлять себе его в виде двух конусов, соединенных по базе; их внутренность совпадает при этом с М7, а два ограничивающих конуса отождествлены вдоль противоположных образующих с сохранением направления будущего (см. рис. 1). (Следовательно, «экватор» /° нужно рассматривать как одну точку.) Более полное обсуждение структуры М см. в [2]-[4]. Заметим, что предпочтительнее рассматривать уравнения (1.2) не как точечное преобразование, а как замену координат на М, и до тех пор, пока имеется в виду симметрия относительно конформных отображений, изотропный конус на бесконечности ничем не отличается от любого другого изотропного конуса в М (см. [3]). Отсюда вытекает, что понятие излучения не является конформно инвариантным, поскольку оно предполагает известным местоположение бесконечности. -

Группа конформных отображений М зависит от 15 параметров (и некоммутативна). Нас интересует здесь только собственная конформная группа, т. е. подгруппа отображений, непрерывно деформируемых в тождественное отображение). Она не содержит

самих отображений (1.2), но включает их композиции с пространственными отражениями. Двукратным накрытием этой группы (и, следовательно, локально изоморфной ей группой) является псевдоортогональная группа 50(2,4) шестимерного пространства, двукратным накрытием которой в свою очередь является группа унимодулярных псевдоунитарных матриц SU(2, 2) ([6]).

Инфинитезимальные конформные движения) описываются конформными векторами Киллинга ^а и задаются для малого е посредством

xav^xa-Y^a*

Векторы ^а должны удовлетворять соотношению

^Л)=4^6№. (1.4)

Общее решение этого соотношения есть

1а = W + Та + Qa (х%) - 2ха (xCQc) + Rxa, (1.5) где матрицы Sab = S[ab] порождают лоренцевы вращения (6 параметров), векторы Та — трансляции (4 параметра), К — растяжения (1 параметр) и Qa — так называемые «преобразования с равномерным ускорением» ([8]) (4 параметра). (Эта терминология может, однако, ввести в заблуждение, поэтому мы будем избегать ее здесь. Правильнее использовать термин «равномерное ускорение» для замены координат, переводящей метрику Минковского в метрику ds2 = z2dt2 — dx2 — dy2 — dz2, см. [2].)

Вопросы конформной инвариантности удобнее рассматривать в рамках конформных перенормировок, а не конформных отображений. Будем говорить, что физическая теория конформно инвариантна, если всем встречающимся в этой теории величинам можно приписать конформные веса так, чтобы все полевые уравнения сохранялись при конформных перенормировках. Будем говорить, что тензор или спинор А... имеет конформный вес г, если при конформной перенормировке gab ^—> gab = ^2gab он заменяется на Л\' = ЙГЛ’^. В плоском пространстве теория, которая пуанкаре- инвариантна, а также конформно инвариантна в этом смысле, будет тогда инвариантной и относительно 15-параметрической конформной группы. Это вытекает из того, что движения пространства Минковского из группы Пуанкаре превращаются в конформные движения относительно любой другой конформно перенормированной плоской метрики. Получаемые таким образом конформные движения порождают полную конформную группу. Однако конформная инвариантность описанного выше типа охватывает в дей-

ствительности более широкий класс пространств, поскольку мы можем применять конформные перенормировки не только к плоскому и даже не только к конформно плоскому пространству-времени.

Для того чтобы установить конформную инвариантность теории, нужно знать, как преобразуется при конформных перенормировках оператор (ковариантного) дифференцирования. Любопытно, что это гораздо проще выяснить в рамках формализма двухкомпонентных спиноров, чем в рамках тензорного формализма. Так как двухкомпонентные спиноры играют существенную роль и в других аспектах теории твисторов, мы приводим ниже краткий обзор нужных нам понятий и методов.

Спиноры. Основной факт, на котором основано исчисление двухкомпонентных спиноров, заключается в локальном изоморфизме между группой Лоренца и группой SL(2, С) комплексных унимодулярных 2 X 2-матриц (которая является накрывающей группой связной компоненты единицы в группе Лоренца). Следует отметить, что это не означает, что спиноры можно использовать только в плоском пространстве, поскольку можно пользоваться этим изоморфизмом локально в искривленном пространстве-времени ([9], [40]).

Представляя компоненты Минковского иа мирового вектора иа с помощью соответствия

иаиа= (uQ, и1, и2, и3)<г->и^ == (uQ, и1, и2, и3)<г->и^ =Uio/Uio/и01' \1 /и0 + их и2 + ш3ихх' / V2 \ и2 — iu3 и° — их,и01' \1 /и0 + их и2 + ш3ихх' / V2 \ и2 — iu3 и° — их,

иа

иа

= (uQ, и1, и2, и3)<г->и^ =

= (uQ, и1, и2, и3)<г->и^ =

Uio/

Uio/

и01' \1 /и0 + их и2 + ш3

ихх' / V2 \ и2 — iu3 и° — их,

и01' \1 /и0 + их и2 + ш3

ихх' / V2 \ и2 — iu3 и° — их,

(1.6)

находим, что действию преобразования L из собственной группы Лоренца на компоненты иа соответствует преобразование

(1.7)(1.7)

(1.7)

(1.7)

где а, р, у, 6 — комплексные числа, а составленная из них матрица ймеет детерминант 1, т. е. аб — Ру = 1. При этом сохраняется эрмитовость мАА', т е. вещественность иа, и

{(м0)2 - (w1)2 - (и2)2 - (и3)2} = 2 det (ыАА'). (1.8)

Мы можем выразить (1.7) в виде

u^'^S^bU^'S^'b-.(1.9)

где 8Ще SL(2, СУ Штрихованные и нештрихованные индексы нужно считать совершенно разными при применении сверток и перестановок, но они связаны друг е другом комплексным

сопряжением5), которое превращает штрихованный индекс в нештрихованный и наоборот.

Соответствие (1.6) показывает, как можно заменять тензорные и спинорные компоненты, пользуясь стандартной схемой, но ничего особенного в этом конкретном соответствии нет. С точки зрения абстрактных индексных обозначений1) главное его свойство состоит в том, что каждый абстрактный (четырехмерный) тензорный индекс приравнивается паре (двумерных) спинорных индексов, одному штрихованному и одному нештрихованному. Тем самым абстрактные тензорные индексы а, Ь, ..., а0, ... выражаются в виде а = АА\ Ь — ВВ', ..., ао = АоАо, и мы можем написать

иа = иАА\

(Читатель, который предпочитает сохранить компонентное описание, как в (1.6),/может переписать наши уравнения в этих терминах, используя символы Инфельда — ван дер Вардена сгда', ааА [40].) Аналогично (см. (1.8))

gab = eABeA'B', gab^ABgA'B',(1110)

где спиноры е кососимметричны и еА'В- = еАВ, еА'в' = еАВ (т. е. их / 0 1 \

координатные представления при (1.6) имеют вид I ^ о л ^Ы используем спиноры е для подъема и опускания индексов, на- гфимер

1в=1а8дв, 1А = еАВ1в, Чв' = Ча'6а'в-, ЧА' = еА'в'Чв'- (Ы!)

Тензорные и спинорные «6-символы Кронекера» записываются как 8ьй ибав> *а'в' соответственно. Следовательно,

-§а = еАвеА-в'

И

= %**Ь.\,А)...А..ЛВА = Ф...В...»6.'/ J ЛАВ =6/ В /.

и т. д. Комплексный изотропный вектор ua^UbUh = 0) имеет спинорное представление

пАА' „ ^А^А'

5) Нештрихованные заглавные полужирные верхние индексы обозначают компоненты, преобразующиеся под действием представления S(L); штрихован* ные верхние индексы — под действием комплексно сопряженного представления S(L); штрихованные и нештрихованные нижние индексы — под действием транспонированных обратных представлений S(L) и S(L) соответственно.

(так как матрица с компонентами иАА' имеет ранг ^1, см.

(1.8) )). Если вектор иа вещественный, то)

иАА'= ±^А'.(1.12)

Знак плюс ставится, если вектор иа направлен в будущее, минус — если иа направлен в прошлое. Отметим, что £л£д=0 (так как матрица sAB кососимметрична), поэтому из (1.12) вытекает соотношение иаиа = 0. Обратно, если ^д = 0, то £л является скалярным кратным £л (или ^д =0).

Спинор ^д содержит больше информации, чем соответствующий изотропный вектор, задаваемый (1.12). Ненулевой спинор допускает геометрическую интерпретацию, с точностью до произвола в знаке, в виде изотропного флага ([2] ,[10]). Последний состоит из соответствующего изотропного вектора иа («древка») и элемента изотропной двумерной плоскости («полотнища»), которая содержит древко и ортогональна ему. Эта плоскость определяется бивектором

^ab = UYaPb\ = ^АВ^А^В' + гА'В^Лв»(L 13)

где Ра^^^д^А'^^ДА^ для некоторого %Д с £д%л = 1. При изменении фазы ^д (т. е. при замене ^н->е^д) вектор иа не изменяется, тогда как вектор рь поворачивается на угол 26. Мы можем рассмотреть пространственноподобную гиперплоскость 2, пересекающую изотропный конус V с вершиной в точке 0 по двумерной сфере S. Тогда £д описывается точкой на $ и вектором, касательным к S, который определяет направление поляризации. Когда 6 изменяется, этот вектор поляризации заметает двумерную плоскость, касательную к S, и совершает оборот на 2л при изменении 6 на л (см. рис. 2).

Наш оператор (ковариантного) дифференцирования Vq = Vaa' удовлетворяет соотношениям

^а^ВС = 0» Va^B'C' ~ ^

(откуда Vagbc = 0) И

Рис 2а. Спинор ^А задает изотропный флаг; его можно представлять себе как вектор поляризации, касательный к небесной сфере S. Одна пространственная переменная опущена.

Рис. 2Ь. Изображено вращение цектора рь за счет изменения фазы спинора £д.Временная переменная опущена.

В искривленном пространстве-времени имеем соотношение

(Vaa'Vbb' — Vbb'Vaa') 6с = ^abcd^P^a'b' —’

~ ^^(Д8В) G^A'B' + ^CDA'B'^^AB’ (1-14) где спиноры кривизны ^abgd» ^abg'ds Л обладают симметриями ^ABGD = ^(ABCD), ФавС'П' = ^ABC'D' = Ф(АВ) (G'D^ Л = Л (1.15) и связаны с тензором кривизны Rabcd (знак выбирается из условия ^aVb — VbVa) Vd = RabcdVC) равеНСТВОМ

Rabcd = ^ABCD^A'B'^C'D' + ^AB^CD^ A'B'G'D' +

+ 2Л ^AC^BD^A'B^G'D' + ^AB^GD^A'D^B'G'^ + гА'В'^>ABG'D^GD +

+ йдв^СОА 'B^C'D'*(1 • 16)

Таким образом, имеем

ФдВА'В' =Г Rab + Т RSab>Л = /?/24

Хгде Rab = RCacbi R = Raa^ И

^ ABGD^A'B'^G'D* + ^AB^CD^ A'B'C'd' ^ С abed»

где Cabcd есть конформный тензор Вейля, обращение которого в нуль является необходимым и достаточным условием для того, чтобы пространство-время было конформно плоским,

Введем также для дальнейшего использования абсолютно кососимметрический тензор

-qabcd — ^[abcrf] ,

определяемый посредством т]0123 = (д/ — g) \ так что Ло^з = — V"”g в правосторонней системе координат. Спинорный эквивалент этого равенства дается соотношением

^abcd= ^AD^BC^A'C^B'd' ^AC^BD^A'D^B'C'*(I•17)

Мы можем обсудить теперь действие конформных перенормировок на спиноры. Для перенормировки gab *—> ^аь = Q^gab получаем

еАВ = йгАВ) еА-в. = йеА-в-, 6AB = Q"VB, feA'B'= Q-VB'. (1.18)

Далее, имеем Уаф = 7аф, где ф —скаляр. Если Va действует на спиноры, то

АА^В = Vaa^B ^ВА^А»^АА'Чв' = ^ АА,Т\в' ” ^- AB'^XaS1 л х

-(1.19а)

Vaa'V = ЧАЛВ + Sab^ca'Ic, VAa'4b' = VAA^S' + ^а'^ас'П0'»

где

ro = Q-'vaQ.(1.19b)

Если Vo действует на спиноры более высокого типа, мы поступаем с каждым индексом в соответствии с изложенной выше схемой (так что каждому индексу отвечает один член, содержащий УД. Например,

VcC^AB = ^СС' №гАв) = (Vcc'^) ^АВ + ^ ^СС^АВ^ +

+ (VAc'^) ^св + (Vbc^)&ас = 3e[AsVci с'Й = О

(в силу двумерности пространства спиноров). Ковариантная производная вектора преобразуется следующим образом:

^аУ ь = ^AA'V ВВ' = ^AA'V ВВ' ~ ^BA'V АВ' — ^AB'V в А' =

= VaVb — ^aVb~ ^bVа + C^AA'VbB' + ^ BB'V АЛ' ^BA'VABr - Tab'Vba') = VaVb - TaVb - TbVa + ^AB^CC'V^ =

= ^aVb - ^aVb - ^bVa + gab (^П(1.20)

(использовано соотношение x...ab... — %...вл... = еАВеС£,%...со...)* Заметим, что это соотношение приводит к соответствующему выражению для изменения Va, применяемого к тензорным индексам, под действием конформных преобразований, играя ту же роль, что и (1.19) в случае спиноров.

Используя эту информацию, находим законы преобразования для кривизны

^ ABCD ™^АВСП

И

Р ABC'D' = PaBC'D'-" Vac'^BD' + ^AD^BC4(1 • 21)

где

РАВА'В' = ^АВА'В' ^^АВ^А'В' = IS* PSab Г ^ab*

Тождества Бьянки M\aRbc\ de = 0, эквивалентные соотношениям

rCabcd = 2VVcPdA ь,

превращаются в

^^ABCD = — ^сРА) BA'BS(1.22)

что в пустом пространстве-времени (Pab = Rab = 0) сводится к

4ad^abcd = ^(1.23)

Наконец, рассмотрим некоторые конформно инвариантные теории. Например, уравнения Максвелла

VaFba = W и V[«FbC] = 0

будут конформно инвариантны, если положить Fab = Fab и Ja™ = ОГЪа (так что Fab ==^-^Fab, Ja — ОГЬа). Иначе говоря, мы имеем

VaPa = 4n7b и V|aF6c] = 0.

Проверить это можно различными путями, например используя приведенную выше тензорную формулу для Va или используя формулы для спинорного варианта

^в'Флв = 2л/ввг(1 -24)

уравнений Максвелла, где

Fab = ^АВ^А'В' + ^АвФа'В'

с Флв = Ф(Лвр Фав = ^~Х^ав* Если /а = 0, то (1.24) превращается в частный случай безмассовых уравнений свободного поля спина

V^5...L = 0,(1.25)

где спинор <РдВ..Ф4 симметричен и имеет п индексов (см. [12])л

При п=0 мы будем рассматривать уравнение второго порядка (vX + t*)^0'(1.26)

Для любого п эти уравнения конформно инвариантны при условии, что флв д — ^ ^лв ..L’ что немедленно проверяется с помощью (1.19), и т. д. ([13]). Особый интерес представляет случай п = 4, поскольку тензор

Kabcd = ^АВСП^А'В'^С'П' + ^AB^CD^A'B'C'DS определяемый уравнением (1.25) в пространстве Минковского, удовлетворяет соотношениям

Kabcd = ^C[a6][cd] ~ Kcdab» KaybcdX1^^

Kabcd = °> VaKabcd = 0 (откуда 4VaKbc\ de = 0)* '

и задает гравитационное поле без источников в линеаризованной общей теории относительности. Иными словами, предполагается, что gab = Лдь + ^hab, где т]аь — метрика Минковского, е мало, а Наь — некоторый симметричный тензор. Локально) Каьса совпадает с тензором Вейля (или Римана в пустом пространстве) некоторой метрики такого типа при условии, что выполняется (1.27). Стоит отметить, что конформная перенормировка метрики приводит к Cabcd = ^Cabcd, тогда как Kabcd = ^-xKabcd. Дальнейшие подробности, относящиеся к спинорному исчислению, читатель найдет в [2], [9], [15] и лекциях Пирани в [35].

В заключение отметим, что комплексные векторы и тензоры используются для описания состояний квантовомеханических систем. Если оператор ihd/dt имеет положительное собственное значение, то квантовое состояние имеет положительную энергию. Мы называем эти и соответствующие классические состояния положительно-частотными. Оказывается, решения (1.25) с положительной энергией отвечают частицам с отрицательной спиральностью, а решения сопряженного уравнения

7л'р6д'В'...£' = 0(1.28)

с положительной энергией имеют положительную спиральность. Это существенное различие появится снова в п. 2.3. Поднимание и опускание индексов изменяет только конформный вес, а комплексное сопряжение спиноров обращает спиральность.

Например, волновая функция свободного фотона описывается комплексным тензором Fab. В спинорном представлении получим два независимых спинора <рлв, Од^» задаваемых посредством

РаЬ = Ьа'В'^АВ + ^AB^A'BS

и Фав» §а'в' удовлетворяют соответственно (1.25) и (1.28). Рассматривая плоскую волну, находим

Флв = «л«в ехр {— z (аРар'Хрр')}>

9д'в' = «а^в' ехр {— z (араР'Хрр'')У

Полученный таким образом спинор фЛВ соответствует спинору флд для вещественной волны с круговой поляризацией, которая в действительности является левосторонней. Следовательно, спинорное представление комплексных состояний расщепляет состояния таким образом, что спинор с нештрихованными индексами, обладающий положительной энергией, имеет отрицательную спиральность, а спинор со штрихованными индексами, обладающий положительной энергией, имеет положительную спиральность.

Импульс и угловой момент. В специально-релятивистской динамике любая конечная система обладает полным импульсом Ра(4-вектор) и полным угловым моментом* МаЬ (кососимметричный тензор), зависящим от начала отсчета О. Если Оь->О, то Ра Н-> ра — ра и J^[ab |___> j^ab — ]ЦаЬ — 2Х^аРЬ\ ГДС Ха ССТЬ BCK- тор ОО.

Определим вектор спина

Sa:=-T4abCdPbMcd.(1.29)

Тогда Sd = Sd.

Предположим, что PCPC>Q. Тогда релятивистский центр масс системы движется по мировой линии, описываемой началами отсчета О, для которой

PoMob = 0.(L30)

Значит, по отношению к полному импульсу и угловому моменту система ведет себя как частица, движущаяся вдоль этой мировой линии с импульсом Ра и внутренним спином №ь. Уравнение (1.30) может быть разрешено относительно Ха;

Xй = МаьРьКРсРс) + ХРа,

и это дает единственную времениподобную мировую линию. Внутренний спин равен

Mab = ^b^ScP^PeY

Для нас, однако, более важен случай нулевой массы покоя (т. е. РсРс = 0). Тогда (1.30) не имеет решений, если не выполняется соотношение

MabPb = -Pa(PbXby

Следовательно, решений нет, если МаЬРь не коллинеарно Ра, т. е. если не выполняются соотношения

. PV»MbA срс==0^ р\аМЬс\ Рс = 0^ P{cSd} = 0^Sd = sPd (1.31)

для некоторой константы s, называемой спиральностью, модуль которой |s| равен спину). (Это уравнение может быть выведено также из других соображений.) Уравнение ХьРь = к, где к — константа, задает изотропную гиперплоскость К; таким образом, «линия центров масс» превращается в трехмерную область. Можно сказать об этом немного больше, рассматривая отдельно два случая:

Спин |s| = 0. Тогда МаЬ = 2А^аРь\ где Аа — некоторый вектор, а центр массовой линии можно определить посредством

ха = Аа + ^Ра;

угловой момент относительно точки на этой линии есть Маь = 0. Следовательно, мы можем выбрать некоторую специальную образующую гиперповерхности в качестве линии центров масс, и, как и в случае, когда РаРа>^ и | s | = 0, система полностью определяется этой прямой.

Спин |s|#=0. В этом случае все точки изотропной гиперплоскости РаХа = к равноправны. Иначе говоря, для любых двух заданных точек существует преобразование Пуанкаре, переводящее одну точку в другую. В этом смысле частица нелокализована. Однако, если мы возьмем две точки а, b ^ К, нужное преобразование Пуанкаре, устанавливающее эквивалентность а и 6, есть не просто трансляция, а трансляция плюс специальное изотропное вращение (см. лекции Траутмана в [35]).

Изотропный вектор Ра определяет спинор лЛ'

Ра = ЛАПА^(1-32)

с точностью до фазы; преобразование пА't-> е19пА' сохраняет Ра. Момент МаЬ (=А41а61) задается симметричным спинором цлз = ц(ЛВ)1

КДаЪ АВ А'В' । АВ-А'В'М = р 8+ 8 Ц .

Уравнение Sa = sPa принимает вид

^DD' = — f Л£>ЛЛ P-A'd' Н~ ^^Pad^D' = S^D^d'»(1.33)

Если мы свернем это соотношение с лэ, то получим, чтоцлвйллв = = 0, откуда

^АВ G ^(А^В)

для некоторого а>л. Поскольку любой симметричный двухкомпонентный спинор есть симметризованное произведение двух спиноров6), то единственная новая информация о цдв состоит в том, что один из сомножителей совпадает с лд. Таким образом, *

МАА'ВВ' = i^B^A'B' — i^A^B^ABe( J 34)

Мы можем теперь сопоставить паре (Ра, МаЬ^ два спинора (сол, Лд') (неоднозначно, поскольку спиноры ^е1^\ е^п^ отвечают той же паре). Эта пара является представлением твистора ) Za. Мы не хотим определять твистор Za как пару спиноров (сол, Лд'), поскольку при замене начала отсчета (и конформных перенормировках) сол и Лд' изменяются, в то время как предполагается, что твистор Za должен оставаться неизменным. Поэтому мы будем считать (сол, Лд') просто представлением твистора Z*. В действительности твисторы имеют два разных представления. Первое, в терминах указанной пары спиноров, определяется заданием начала отсчета и выбором конформной нормировки, т. е. одной из конформно эквивалентных плоских метрик. (Спинорные индексы являются здесь просто абстрактными метками1).) Второе— в терминах координат этих спиноров в некоторой спинорной системе координат. Такие координаты будут обозначаться полужирными греческими буквами.

Если Za отвечает пара (сол, лЛ'), то твисторные компоненты имеют вид

Ze = (©°, со1, ЛО', яр).(1.35)

Определим сопряженный твистор Za как твистор с компонентами

Z-a = (n0, яь а0', о1').(1.36)

Забывая о спинорной системе координат, получим представления Z“-»->(®4, лд'), Za •*—* (лл, а4) и, используя (1.33),

ZaZa = а4лл + Яд'©4' = 2s.(1.37)

Заметим, что эрмитова форма (1.37) от твистора Za имеет сигнатуру Н—I, поэтому спиральность s может быть как положи

тельной, так и отрицательной.

При s = О твистор называется изотропным и отвечает изотропной мировой линии. Если s #= О, то твистор отвечает частице с внутренним спином, и это в некотором смысле означает, что мировая линия смещается в комплексную область. Тем самым частица перестает быть локализованной в М. В последующих пара графах мы будем развивать понятие твистора.

Твисторы в плоском пространстве

Исходные понятия; конформная инвариантность. В п. 1.3 были введены понятия твистора Za и комплексно сопряженного’ твистора Za; твистор Za задается парой спиноров (юл, лл4, определяющих импульс и угловой момент безмассовой частицы с помощью (1.32) и (1.34), а твистор Za задается соответственно парой (лл, шл'). Удвоенная спиральность частицы совпадает с эрмитовой нормой ZaZa твистора Za. Твисторы обладают также линейной структурой (т. е. Z,Za (Лсол, ^лЛ'), Za + Za (<ол + о>^у 1" V

яА' + ла ) > поэтому можно ожидать, что будет играть существенную роль группа преобразований, сохраняющих эту структуру. Так как сигнатура формы ZaZa есть +4, эта группа совпадает

с U(2,2). Но если мы хотим сохранить геометрический смысл фазы твистора в терминах плоскости поляризации (т. е. направление «полотнища» флага лл4, то мы должны рассматривать группу S(/(2,2), которая является четырехкратным накрытием собственной конформной группы. Оказывается, твисторы образуют пространство четырехзначного представления связной компоненты единицы конформной группы. Алгебра твисторов подробно обсуждается в [5]. Пространство твисторов вещественно восьмимерно (4 комплексных измерения). Эти измерения можно трактовать следующим образом: имеется пятимерное множество изотропных геодезических в М (рассмотрите образующие световых конусов с вершинами в точках произвольной фиксированной пространственноподобной поверхности), и на каждой геодезической можно задать нормировку импульса (один параметр); седьмое измерение есть поляризация (фаза лЛ') и восьмое — внутренний спин. Если внутренний спин не обращается в нуль (s#=0), у нас нет однозначно определенной изотропной геодезической; отметим также, что нашу интерпретацию нельзя непосредственно распространить на искривленное пространство-время (см. § 3). Твисторы являются чем-то вроде «квадратных корней» из импульса и углового момента в том же смысле, в каком спиноры являются «квадратными корнями» из векторов.

В п. 1.3 мы говорили о том, что способ задания твисторов парой спиноров зависит от выбора начала отсчета и конформной нормировки. Теперь нам нужно выяснить, как изменяется это представление при замене начала отсчета и/или нормировки. Рассмотрим сначала влияние замены начала отсчета на спинорное представление твистора. Если 0-^(5, то Pav—>Pa = Pa) МаЬ^>маЬ^МаЬ— — 2XVaPb\ Если, далее, мы потребуем, чтобы фаза лА, не изменялась при трансляции, учитывая ее интерпретацию как плоскости! поляризации («полотнища» флага), то получим

ЛА' = ЛА'> ^Л = С0Л — iXAA'tIas(2. F)

т. е. для данной метрики gab спинор со^ является функцией начала отсчета (О) и его можно рассматривать как спинорное поле. (На самом деле он соответствует в случае изотропных твисторов полю изотропных направлений прямых, пересекающих мировую линию, см. [5].) Согласно (2.1),

7Л,МД5) = О.(2.2)

В действительности соотношение (2.1) вытекает из (2.2), поскольку из (2.2) следует, что Va^8 кососимметрично по АВ, поэтому то же верно и для ^с^а'^ и, следовательно (так как в плоском пространстве операторы дифференцирования коммутируют), последнее выражение кососимметрично по СВ, а потому и по САВ. Стало быть, оно равно нулю и выражение ^а*&В есть константа. Тогда (будучи кососимметричным по АВ) оно записывается в виде — 1еАвлА' и общее решение (2.2) совпадает с (2.1).

Так как

Лд'= ~ fV^'to^#(2.3)

то поле сол полностью определяет твистор. Более того, согласно (1.19) и т. д., (2.2) инвариантно относительно конформных перенормировок с &в = юв. Поэтому спинорное поле со3, удовлетворяющее (2.2), можно использовать для конформно инвариантного определения твистора и тем самым получить ответ на вопрос о том, как изменяется спинорное представление твистора при замене начала отсчета или нормировки. Следует отметить, что замена начала сохраняет лА^ но изменяет сол, тогда как конформная перенормировка сохраняет сол, но изменяет лА^; при этом конформная перенормировка как бы сдвигает бесконечность в другое место (спинор лА' связан с вершиной /° изотропного конуса на бесконечности так же, как спинор сод с началом отсчета О).

Если мы положим (опуская раз и навсегда знак ~)

^а = флфл', то

VaWb) = -^ga4VcWc\(2.4)

так что Wb есть конформный вектор Киллинга. Однако МаЬ = = Vt°U76] конформно не инвариантно. Следовательно, угловой момент не является конформным инвариантом, хотя таковым является Wa (или (ол). Действительно, из (1.20) получаем

маЬ=а"ЧмаЬ + 2Y'vb|).

Это вытекает также из

йл = соА,лд' = Лд' + Тдд-сол(2.5)

и (1.34), что приводит далее к конформной инвариантности

S = T (^Лд + Лд'ОЛ').(2.6)

Именно конформная инвариантность (2.2) и (2.6) в совокупности с линейностью показывает, что твисторы образуют (локально) пространство представления конформной группы.

Рассмотрим теперь уравнение

V“aAB-L) = 0,(2.7)

которое можно считать мультииндексным обобщением спинорного уравнения 7р^<оЛ) = 0. Это уравнение конформно инвариантно, если его решение подчиняется соотношению

qAB • •. L —. qAB .. * L

Если мы образуем теперь

^ЛВ ... D = а^ £Флв ... DE ... L'(2*8)

где ф есть решение (1.25), то найдем, что Т... удовлетворяет (1.25) с меньшим спином. Как показано явно в [5], стр. 362, уравнение (2.7) имеет (3зП) линейно независимых решений, если а зависит от п индексов. Каждое решение для данного п в свою очередь может быть подставлено в (2.8).

Например, если ф... есть решение линеаризованного уравнения Эйнштейна, мы можем образовать

^лв = асофдвсв>

которое является полем Максвелла. Можно поинтересоваться, какие интегралы движения это дает. Имеется 10 независимых решений aCD, поэтому мы получим 10 сохраняющихся (комплексных) величин. Они совпадают в действительности с энергией, импульсом и угловым моментом ([14]). (Эти величины могут быть комплексными для общего решения (1.25), но мы получаем только 10 вещественных величин для ^abcd, извлекаемых из потенциала.) Если выполнить интегрирования на бесконечности, эти величины дадут массу Бонди — Сакса [17] в применении к общей запаздывающей изотропной гиперповерхности в пространстве Минковского для линеаризованной теории, ввиду чего становится ясно, что «поправочные члены», отличающие эту массу от массы Ньюмана — Унти [18], действительно необходимы — даже в линеаризованной теории.

Определяющее твистор уравнение

у^©л* = Q(2.9)

имеет четыре линейно независимых решения в М'. Имеется трудность на бесконечности, связанная с тем, что для построения М мы должны склеить световые конусы прошлого и будущего друг с другом, а твисторы (с одним верхним индексом) отличаются в этих точках на множитель ц по существу, из-за того, что представление конформной группы в твисторном пространстве является четырехзначным (см. [19]). (Для мультииндексного твистора каждому верхнему индексу будет соответствовать множитель ц а каждому нижнему индексу — множитель —I.) Можно избежать этой трудности, перейдя к четырехкратному накрытию М> но мы вместо этого условимся просто домножать на i всякий раз при проходе контура через бесконечность. Эта трудность указывает на то, что твисторы, как и спиноры, не являются локальными геометрическими объектами (поскольку спиноры с нечетным числом индексов домножаются на —1 при повороте на 2л).

Пространство твисторов и геометрия Минковского. Твистор с нормой 2s = Z^Z^ = 0 задает изотропную вещественную прямую (т. е. мировую линию некоторой частицы спина нуль). Если s ^ О, такой вещественной прямой нет, однако имеется в некотором смысле «комплексная прямая». Ясно, что, когда s = О, Za и XZa (X #= 0) отвечают одной и той же прямой, так что наиболее непосредственную геометрическую интерпретацию допускает тви- сторное пространство FN классов эквивалентности {XZa}, где £ = 0, Za #= 0, т. е.

PN = {{ZZa: W0, Л е С}: ZaZa = 0, Za Ф О}, (2.10)

что отвечает множеству изотропных прямых в М. Поэтому мы рассмотрим пространство РТ классов эквивалентности твисторов, -определяемое как PN, но без условия s = 0 (рис. 3). Это — трехмерное комплексное проективное пространство) .СР3, которое имеет три комплексных или шесть вещественных измерений. Оно не совпадает с комплексификацией PN, которая будет иметь девять вещественных измерений. В действительности даже комплексные точки РТ могут быть представлены как вещественные структуры ) (конгруэнции Робинсона) в М ([5], [21], [22]*). Конформные преобразования М соответствуют проективным точечным преобразованиям ll) FT, сохраняющим I N.

Посмотрим теперь, что соответствует точке пространства М в РТ. Мы можем задать точку М как пересечение изотропных прямых. Предположим, что имеются две прямые, отвечающие тви-

Рис. 3. Проекция твисторного пространства в Р1Г.

сторам Za (сол, лдх), Уа«->(§л, Пд')- Тогда прямые пересекаются, если существует общее решение уравнений

сол = 1рАА'л,А5 ^А = 1рАА'т\л'*

Формально оно задается выражением

рАА# =U- (солт)л' — £ллл),(2.11)

но, конечно, соответствующая точка не обязательно вещественна, т. е. рАА' не обязательно «эрмитова». Если прямые действительно пересекаются (т. е. ра вещественно), то •

4AtoA = 1ЛаРАА ^а' = 1ЛаРА'Ада’ == — V’^AS Т. е. Zara = 0.

Таким образом, для того, чтобы два твистора отвечали вещественным пересекающимся прямым, необходимо, чтобы

УаУа = 0, ZaZa = 0, Z% = 0.(2.12)

Эти условия также достаточны ([5]), если мы правильным образом интерпретируем условие параллельности Y и Z); в последнем случае они пересекаются на бесконечности, т. е. лежат на изотропной гиперплоскости ([5]). Достаточность можно доказать в предположении, что Y и Z не параллельны, так что лл и т]л не пропорциональны (случай параллельных Y и Z получается

в пределе), записывая условие эрмитовости (2.11) в компонентах лл и ту4. Получаемые при этом три условия в точности совпадают с (2.12).

Если условие (2.12) выполняется, то оно останется справедливым после замены Уа (или Za) на Ха=ц/а + ХУа с произвольными комплексными числами р, X. Следовательно, прямая X пересекает как У, так и Z и потому принадлежит изотропному конусу в точке Р с радиус-вектором ра. Этот изотропный конус и можно использовать для задания точки Р. Точка Р тем самым задается в PN линейным множеством р2а + ^Угх, т. е. (комплексной) прямой Р, соединяющей точки Z и У (которая имеет два вещественных измерения и топологию S2).

Мы можем поэтому задавать точку Р спинором с двумя индексами

р«Р _ 7«у» _ у»^( ^ * ^- ^в‘ ) _

X ЛЛ^В — Пл'“ ^'Пв' — Пл'Лд' )

— ТбАВРсс'РСС'— iPA'B— ТбАВРсс'РСС'— iPA'B(2.13)(2.13)

— ТбАВРсс'РСС'— iPA'B

— ТбАВРсс'РСС'— iPA'B

(2.13)

(2.13)

где ра = рАА' есть радиус-вектор точки Р. Таким образом, точки М соответствуют (с точностью до пропорциональности) кососимметричным двухиндексным твисторам, т. е. твисторам, подчиняющимся условиям

paP _ pIaPl p[aPpVl 6 __ Q (т е р1аРрУб] q)

Мы можем определить дуальный твистор Ра^ (который дает геометрически дуальное описание той же прямой11)) посредством

Раь = тР9Ч6ро.(2.14)

Можно _проверить, что ра вещественно тогда и только тогда, когда Ра^ = Ра^, где Ра$— твистор, комплексно сопряженный к Р^. Более общо, если ра комплексно, то комплексно сопряженное ра соответствует Ра^ таким же образом, как ра соответствует Ра^. Мнимая часть ра является пространственноподобной, изотропной или времениподобной соответственно в зависимости от того, пересекает ли Р множество PN по одномерному вещественному множеству (кривой с топологией S1), но точке или вообще не пересекает. Если мнимая часть ра является времениподобной или изотропной, то она направлена в будущее или в прошлое в зависимости от того, лежит ли Р в PT~U N или в PT+U PN.

Напомним теперь, что мы работаем в компактифицированном пространстве Минковского (рис. 1). Допустим, что точка Р совпадает с вершиной I изотропного конуса на бесконечности. Для изо-

тропных прямых на бесконечности лЛ' = 0 = т]Л', поэтому точке I соответствует твистор

который мы будем называть «бесконечно удаленным твистором». Дуальный к нему твистор есть

/О О^^(о еА'в'

Мы можем нормировать кососимметричные твисторы посредством

(2.16)(2.16)рае/ар = 2(т. е. ЛЛ'Т]Л'= 1)-

(2.16)

(2.16)

Это соотношение теряет смысл только тогда, когда лЛ' и т^7 пропорциональны, т. е. когда Р находится на бесконечности.

Предположим теперь, что P^J^ = Qa4a£ = 2. Тогда прямым вычислением получаем

(2.17)(2.17)PapQ«p = - (/ - 9°) (рв - 9a) =: -W

(2.17)

(2.17)

(или для ненормированных твисторов

4PaPQap/(/paPPa) foX) = - (/ - 9°) (Pa ~ 9a))-

Эта величина, очевидно, пуанкаре-инвариантна. В действительности подгруппа конформной группы, оставляющая /ар инвариантным, совпадает с группой Пуанкаре. Мы можем образовать конформный инвариант из твисторов четырех точек, именно

Ф = (P“PQap) ХХХХ XQJ = (PQ)2 WSfKPSf (RO)2,

который определяет нечто вроде «перекрестного отношения» для любых четырех точек М.

Итак, общая (комплексная проективная) прямая в (проективном) твисторном пространстве РТ соответствует точке в .СМ комплексификации М; прямая в F N соответствует вещественной точке М; точка F N отвечает изотропной прямой в М. Исходя из пространства РТ, мы можем определить СМ как представление Клейна11) прямых в трехмерном комплексном проективном пространстве РТ, которое реализует СМ в виде квадрики в пятимерном проективном пространстве. (В этом случае все размерности комплексны, поэтому СМ имеет восемь вещественных измерений, см. [23].)

Решения безмассовых уравнений поля. Мы переходим к обсуждению вопроса о твисторном представлении полей в М. Будет показано, что свободные безмассовые поля удивительно хорошо описываются голоморфными (комплексно аналитическими) функциями g(Za) и /(IFa) на твисторном пространстве РТ и дуальном твисторном пространстве) РТ *. Но для установления соответствия мы должны брать некоторые контурные интегралы. Следовательно, физический смысл имеют только вычеты в полюсах, и поэтому в основе последующего формализма лежит контурное интегрирование в РТ.

Решения уравнений (1.25) могут быть заданы набором величин фг(Р; ол, iB), где г = О, 1, ..., п; ол, iB — пара базисных спиноров в точке Р и

Ф^ФдВ ...У • • •• • • °L-

гп-г

Далее, од и iB определяют изотропные твисторы 14) Ua, Vp в точке Р, а именно Ua *-> (ол, —/рАлод), Ир^(1в, — 1рвв\в\ Тем самым мы имеем величины

<W«> Ир) = фг(Р; оА, vB\ г = 0, ..., п.

Если Ua и Vp являются изотропными твисторами с вещественным пересечением, то Фг задает безмассовое поле в М. Можно считать, что это поле определено на некотором трехпараметрическом начальном множестве (гиперповерхность Коши) и затем распространено на все пространство с помощью полевых уравнений. В терминах твисторов было бы экономичнее описывать поле на М, исходя из некоторого поля на трехмерном (комплексном) пространстве РТ или РТ*. Однако до сих пор выходило, что нужно определять поля на парах точек U, V в РТ* *.

Возьмем точку Р и рассмотрим стандартную тензорную и спинорную систему координат (см. (1.6)), для которой

и = роо' = 21±Д с = рог= РЦ2Р1

' V2Р ^2

£ = р10'= P2..-S*P.3 о = р"' = Р°-Х.

V2V2

Заметим, что £ = L и = й, v = v тогда и только тогда, когда ра вещественно. Полевые уравнения (1.25) превращаются в уравнения

дфг = ^Фг+1 д^ дидфг = ^Фг+1 д^ дид^^д^г^ г = 0n_L (2 18) до д^'

дфг = ^Фг+1 д^ ди

дфг = ^Фг+1 д^ ди

Эти уравнения выполняются автоматически, если

Tr = ^^W, u + At С + ^Ж(2.19)

К

где F— голоморфная (т. е. аналитическая или регулярная в комплексном смысле) функция трех комплексных переменных, контур К подходящим образом окружает полюсы F. Получаемые поля всегда будут аналитическими в вещественном смысле относительно и, v, £, £, но мы можем представлять неаналитические поля как пределы аналитических.

Вещественный изотропный вектор в точке pa = ^и, у, £, £) имеет направление, задаваемое du : dv: d^: dt» где

du + X d^ = 0 = dt, + ^ dv

для некоторого комплексного X (возможно, бесконечного). Действительно, метрика Минковского совпадает с S^dudv— d^d^^ поэтому dudv = d^dX для изотропного направления. Таким образом, du : dv : d^: dt> = XX: 1 : (—X): (— X). Соответствующий (изотропный) твистор есть Ua + X Va = Wa (лл, (ол?), где

_/ dv — dt> \

"аЯа'~(-^ du)

и А = Л1/л0 = WJWq. Отсюда, так как йл' = — 1рАА'лА>, имеем

/ и t \_

(Г2, ^з) = (®0', й1') = - i (л0, лО -= - iW0 ku + ^, £ + Ки\

Ч Ф

Тем самым kWQ, Wt, Г2, Г3) = Г0(1, X, -i{u + X^, -i^ + Xv)). Поэтому если мы положим

f^Wa^kWor^FkWJWo, iW^W», IW№,

то Ц№а) будет однородной степени —п — 2 по №а. (Мы можем теперь проверить, что она преобразуется нужным образом под действием вращения 15) для спина •^•пД Окончательная формула имеет вид

Фг Фа, Ир) = ^т ф ХЧ Фа + Wa) dX.(2.20)

К

См. подробное обсуждение в [21].

Мы можем теперь обобщить эту формулу, взяв произвольные ^а, ^3 (уже не обязательно изотропные) и определив тем самым комплексные поля, зависящие от комплексных точек UvaV^. Невидимому (вполне удовлетворительной теоремы на этот счет у нас нет), множество таких полей является очень обширным. Ясно, что для конкретного поля функция / выбирается неединственным образом, поскольку все контурные интегралы не изменяются при замене /г—>/ + й, где функция h регулярна внутри контура. Мы можем рассматривать это как аналог калибровочной инвариантности. Эта неединственность f будет, очевидно, приводить к трудностям при выводе явной формулы, выражающей / через Фл,фе£.

Однако в некоторых случаях легко построить специальные представления для Д Например, поле ФА...ь называется изотропным, если

^AB...L = aAaB--aD

и такое поле возникает, когда контур охватывает только один простой полюс ([24]). (Заметим, что произвольный симметричный спинор может быть записан в виде симметризованного произведения спиноров типа один6) ([2], [9]).) Более общо, алгебраически специальные поля

^АВ L = а(АавРс • • • ^L)

возникают, когда контур охватывает полюс порядка ^п—1. Например, чтобы получить линеаризованные тензорные поля Вейля типа {2,2} (т. е. типа D по Петрову), мы должны потребовать, чтобы функция / имела два тройных полюса, а контур отделял один из них от другого. (Поскольку f имеет здесь степень однородности —6, такая функция f в действительности является обратным кубом квадратичной формы.)

Если поле ф алгебраически специально (например, изотропно), ему можно сопоставить бессдвиговую изотропную конгруэнцию [22]. Если

f(^a) = P(^a)/9(^a).

то 9(^а)=0 есть (вещественно) четырехмерная поверхность в шестимерном пространстве (РТ), которая пересекается с пятимерной поверхностью I N по трехмерному множеству точек (рис. 4). Оно задает трехпараметрическую изотропную конгруэнцию в М. По теореме Керра (см. [21]) эта конгруэнция должна быть бессдвиговой. Теорема состоит в том, что конгруэнция изо

Рис. 4. Теорема Керра.

тропных прямых является бессдвиговой тогда и только тогда, когда она представима в РТ как пересечение PN с комплексной аналитической поверхностью S в РТ (или как предельный случай такого пересечения). Эта теорема послужила одним из поводов для изучения голоморфных функций на твисторном пространстве.

Если мы предположим, что q = 0 есть плоскость (т. е. #(№а) = = AaWa), то получим изложенным выше методом линейную систему изотропных прямых в М (конгруэнцию Робинсона [5]), которую можно рассматривать как геометрическое изображение (комплексного) твисТора Аа (которому ранее не сопоставлялось никакой интуитивно очевидной картинки). Эти конгруэнции Робинсона и привели во многом к названию «твистор», поскольку они бессдвиговые и закручиваются (twist) в ту или иную сторону в зависимости от знака АаАа.

Заметим, что безмассовое поле спина п)^ без источников на (компактифицированном пространстве Минковского) М, обладающее правильным свойством асимптотического вырождения ([4]), будет не согласовано на бесконечности, если только мы не перейдем к четырехкратному накрытию для четного п (и к двукратному для чисел п, кратных 4). (Это отражается на поведении введенных выше интегралов, поскольку степень однородности f(Z) равна —п — 2, а твисторы являются четырехзначными величинами, см. п. 2.1.) Чтобы не работать с неудобными накрывающими пространствами, мы условимся считать поле (без источников и с правильным свойством асимптотического вырождения) непрерывным на бесконечности, если оно имеет правильный «разрыв Гргина» на бесконечности (т. е. свободная волна общего положения со спином п/2 должна иметь скачок на множитель /”+2 ([19], [21])).

Рассмотрим теперь поля с правильным свойством асимптотического вырождения, удовлетворяющие условию Гргина на бесконечности (собственные импульсные состояния, например, не принадлежат к этому классу). Они (однозначно) расщепляются на поля с положительной и отрицательной энергией (см. [25]). Следующий

Рис. 5.

процесс, применяемый к полям с положительной энергией, эквивалентен технике гармонического анализа Гргина [19]. Вместо 7й — Z^ и т. д. выберем более естественные твисторные координаты Za=(Z°, Z1,—Z2,—Z3), в которых эрмитова форма Z^ сигнатуры +Ндиагонализуется. Тогда ортонормирован- ный базис {Еа} имеет два вектора положительной и два вектора t

отрицательной длины. Эти точки дают нам четыре плоскости (рис. 5), и простейшая возможная функция положительной частотности имеет особенности как раз на заштрихованных плоскостях на рис. 5 (см. [21]). Произвольная функция для положи- тельно-частотногополя спина п имеет вид

= Z(2.21)

где faoaxa2as есть константа и а^ аг, а^ а^—неотрицательные целые числа, удовлетворяющие соотношению ао + а\ + п = а2 + аз- Если S есть множество особенностей этой функции, то при подходящих предположениях о сходимости SQPT~ разбивается на две части и будет давать поэтому положительно-частотное поле ([21]). Отдельные члены в (2.21) будут в действительности образовывать ортогональный базис относительно скалярного произведения из п. 3.3.

Дальнейшее обсуждение материала этого пункта см. в [21], [24]*.

Квантование. Мы начнем с изучения связи между спином s в релятивистской динамике, который возникает в обсуждавшемся выше классическом твисторном описании углового момента (п. 1.3), и только что введенным спином s безмассовых полей.

Импульс частицы с нулевым спином описывается спинорам лл-(лллЛ'=ра), положение центра масс определяется после этого посредством о4 = 1ХАА'лА-. Так как

2“ (<°л. «д'), Za (лл, со4'),

то мы получаем, что

ZZ“ dZa -*^> 1юА dnA + in,Д' dmA' = — ХАА'лА- dnA + Лд-d (ХАА'лА) =

= — Хаа'лА' dHA + лА- ^dXAA'^ лл + Лд-ХАА' dHA =

= лA'ЛдdXAA' = PadXa)(2.22)

если ХАА* вещественно. Следовательно, взяв внешнюю производную idZ» NdZa = dPaNdXa,(2.23)

получим в правой части 2-форму, которая сохраняется при канонических преобразованиях, т. е. относительно уравнений Гамильтона. (Более подробное обсуждение этого соответствия см. в [26].) Это наталкивает на мысль рассмотреть — iZa, 2а в качестве канонических сопряженных переменных. Таким образом, переходя к квантовой теории, мы будем_ считать —iZa, 2а каноническими сопряженными операторами (с 2а ~ d/dZ^ и т. д.).

В операторной форме

9>а = id/dxa (9?° = - id/dP^,:

.- ^да=i&t(2,24)

единицы выбираются так, чтобы Й = 1. Следовательно, мы хотим, чтобы

(2.25)(2.25)£a = didZa X^^-dldZ^, s:aSft-Sfis:» = dg, ррР .

(2.25)

(2.25)

где операторы действуют на функции f(Z“). Следуя методу п. 2.3, мы, по существу, задаем поле ср функциями f(2a) и, переходя к комплексно сопряжённым величинам, убеждаемся, что решения (1.28) аналогичным образом описываются функциями g(Za). Далее,

SS»f <Z) = ^-f (Z), Ej (Z) = ZJ (Z),

-d(2-26)

2S»g^ = Z»g(Z\ Zag(Z) = -^g(Z).

Раньше мы имели Za2a = 2s, где S“ = sPa,s — спин, параллельный направлению движения. Поэтому рассмотрим оператор ^, задаваем мый посредством

4S^ : = ^Sa + £а&а = 2 (^«2;° + 2) = 2 (2:«.2а - 2). (2.27)

Тогда

(2°) = 72 ((« + 2) - 2) g ^ = sg (Z»),

так как функция g однородна степени —п — 2 и 2s = п, тогда как Z“dg(Z)/dZa дает £g (Za), где к есть степень однородности, (В связи с этим можно отметить, что соотношение 6“ = 4 в тви- сторном пространстве, эквивалентное его четырехмерности, связано с необходимостью рассмотрения степени —п — 2 в определении Д) Мы также получаем, что 9^(Za) = sf(Za), если n =—2s, поэтому твисторные поля, отвечающие спинорам со штрихованными индексами, имеют противоположную спиральность, как мы и ожидали. Полуцелость спина является следствием однозначности f.

Нас может заинтересовать также действие операторов 2/\ 2^ на поля ф.... Рассмотрим преобразование

.W^OW-(2-28)

которое состоит в применении оператора QaSCa. Если Q°-^-*(QA, QA^, то преобразованию (2.28) соответствует преобразование

Флв ... l~*QA4*ab ... l~ ^в ... v(2.29)

где QA = QA — IX^'Qa' и фв ... l удовлетворяет безмассовым уравнениям поля спина (п—1). Аналогично если Rtt*-* (Ra, R^), то действие оператора RaS£a задается посредством

tkW^R^HW^(2.30)

И Флв ...L V2I (^ + О Ф(ЛВ ... lN М) М'^М ^^МУ^АВ ...L)~%AB...Mt где ХАВ...М есть решение безмассовых уравнений поля спина (п-Н). Таким образом, оператор SSa повышает, а оператор 2> понижает спиральность наполовину.

Твисторыв искривленном пространстве

Имеются три подхода к обобщению твисторного формализма на искривленное пространство-время. Они приводят к несколько различным понятиям твисторов, которые мы будем называть соответственно глобальными твисторами, локальными твисторами и асимптотическими твисторами. .

Глобальные твисторы являются наиболее логичным обобщением обычных твисторов в плоском пространстве на искривленное пространство-время. Однако они обладают двумя серьезными не*

достатками, а именно: пространство глобальных твисторов наделено довольно бедной структурой (оно имеет только симплекти- ческую структуру и не имеет линейной и/или комплексно аналитической структур, как в плоском случае), и только изотропные твисторы допускают точную геометрическую интерпретацию, в то время как существование неизотропных твисторов просто постулируется.

С другой стороны, локальные твисторы (независимо от того, являются они изотропными или нет) корректно определены и наделены линейной и комплексно аналитической структурами. Но их определение зависит от точки пространства-времени, поэтому их нельзя рассматривать как удовлетворительное обобщение твисторов в плоском пространстве, достаточное для построения формализма, в котором точки пространства-времени будут вторичными объектами. Локальные твисторы приводят к конформно инвариантному исчислению на пространстве-времени. Это само по себе может найти некоторое употребление, однако главный смысл введения локальных твисторов состоит в том, что они используются для определения асимптотических твисторов.

Понятие асимптотических твисторов применимо только к асимптотически плоским пространствам-временам. Но именно эта ситуация возникает в S-матричной теории гравитации и потому имеет непосредственное отношение к программе твисторного квантования. .Пространство асимптотических твисторов наделено комплексно аналитической структурой с (нелинейным) эрмитовым скалярным произведением, которая приводит к (псевдо)кэлеро- вой (и, следовательно, также симплектической) структуре. Асимптотические твисторы, которые были введены уже после лекций, на которых основана эта работа, обсуждаются в § 5. Здесь будут даны краткое описание теории локальных и глобальных твисторов и обсуждение ее связи с гравитационным рассеянием.

Локальные твисторы. При этом подходе мы вводим тви- сторное пространство в каждой точке пространства-времени). Это твисторное пространство можно представлять себе как прямую сумму спинового и дуального спинового пространств. Однако, строго говоря, разложение твисторного пространства в прямую сумму зависит от выбора конформной нормировки. Более точно, локальный твистор Za в точке р задается относительно метрики gab парой спиноров (сол, лЛ') в точке р. Применяя конформную перенормировку (см. п. 2.1), мы получаем (см. (2.5), (1.19а))

^==^6, 6Л = ил, Лд' = л/ + 1"ТАА,«Л (3.1)

Это согласуется с поведением, которое уже встречалось нам в плоском пространстве-времени, поскольку в этом случае

^АА^ = ^АА-®8 = ^ДД«>В + 6АВ^СА®С,(3.2)

откуда

ieAB^A' = №авИа' — тса'®сбав.(3.3)

в силу равенства

VAA'toB=- №ДВЛА'.(3.4)

Это последнее уравнение справедливо, однако, только в конформно плоском пространстве-времени. Тем не менее оно дает мотивировку соотношений (3.1), которые мы сохраним для локальных твисторов в искривленном пространстве-времени.

Вычисление ковариантных производных локальных твисторов легче всего производить, используя операторы проектирования из твисторного пространства на два задающих его спиновых пространства. Таким образом, мы определяем) операторы

рА ррО.раА*

еаА'> еА> е ’

такие, что 2а^ = сол, Z°eaA, = лд, и т. д., и

^ = евл, ф“л' = 0, еаД,е»в'==б/, еаА^д = 0,

, (3.5)

еле§ + е Л^А' = 6®, еА = еоЛ', е“ = е .,а А 1 аАа’ а ’ А аА'.

Под действием конформной перенормировки мы будем иметь Za >-* Za = Za, a <s>a, nA' преобразуются согласно (3.1). Таким образом,

= ба, ёаА' = еаА' + ^АА'еа» А»* _ р»А’да а _ .у аА'(3’6)

в — С ,С А — «А UАА^ •

Нам предстоит теперь понять, как изменяются операторы проектирования при переходе от одной точки к другой. Потребуем, чтобы (см. (1.21))

V/?Sz^ = №з,Ле^,V«s'6a = —- /е^леа$',

Vrs'Ca = iPRAS'A’^ , ^RS-BaA- = — IPRAS'A'Ba.

Имеем ®A = eaZa, nA'= eaA'Za, поэтому

Vp2^ — в CpVRS' ~T~ 6 Яд') —-

= 6peaS {ед (V/^s'G)4 + ^^s7) + eaA (Vrs^a* + iPrbs'a^^Y (3-8)

Формы (3.7), (3.8) подобраны таким образом, чтобы обеспечить конформную инвариантность твисторной производной, которая проверяется с использованием (3.1) и (3.6), а также чтобы в плоском пространстве постоянные локальные твисторы (т. е. аннулируемые оператором ^Rs^ соответствовали прежним глобальным' твисторам в плоском пространстве). По отношению к базису выражение (3.8) имеет в общей сложности 64 компоненты, из них 48 равны нулю. Оператор Vp обладает обычными свойствами производной (линейность и правило Лейбница) и коммутирует с комплексным сопряжением и сверткой.

Мы можем рассмотреть теперь коммутатор

VpV? - v^vg = [Vp, v?].

Действуя этим оператором на скалярную функцию ф, получим [Vx, Vp] ". = i (dxVp - ^ ф = «ф,(3.9)

где

Тогда

Щ^ = i Ы, Vp] - т^Ш za. (ЗЛО) где г^цаа LulM'R aS' Г В ( а .

лхрр = ^ е^еBLR —

— еаЛ (brlVb Wb'M's'A' — е^'х^д'^Ид^дв)} + срв'еаЛ iBRi?¥B a-m's'Y (3.11)

Эти соотношения определяют твистор кручения Z^p и тви- стор кривизны /С^рр. Спинорные компоненты KxpY задаваемого формулой (3.11), содержат 4?abcd и ^p-Wabcd-

Заметим, что в соответствии с правилами конформного преобразования твисторов (п. 2.1) любой локальный твистор Qapv, например, определяет конформно инвариантный спинор QA'B'Q. Если этот спинор обращается в нуль, то каждый из спиноров Qab q> Qa b°i Qa в g конформно инвариантен. Если Qabg = 0 и QA'BQ = 0, то Qab° конформно инвариантен, и т. д. Таким образом, любой не обращающийся в нуль локальный твистор определяет по крайней мере один не обращающийся в нуль конформно инвариантный спинор. В частности, это справедливо для К-Ж? (при этом мы получим e.B'G'^ALMN\ или для производных VpKxuv» VtTv2ti и т. д., или для производных в композиции с операциями симмет-

рии. (К- Дайтон показал, что таким путем можно получить тензор Баха и другие конформно инвариантные тензоры.)

Глобальные твисторы. Рассмотрим изотропную геодезическую Z с определенным на ней спинором лЛ', который параллельно переносится вдоль Z с направлением «древка», касательным к Z. По аналогии с ситуацией в плоском пространстве мы можем естественным образом определить такие объекты, как изотропные (глобальные) твисторы в искривленном пространстве. Это описание конформно инвариантно (см. (1.19а)). (Мы не даем спинорного представления твистора относительно каждой точки 19) и не можем распространить на рассматриваемую ситуацию данное выше определение неизотропного твистора.) Изотропные твисторы образуют семимерное многообразие JV (5 измерений отвечают множеству изотропных геодезических, 2 — множеству спиноров лл^). Будем считать, что JV вложено в абстрактное восьмимерное многообразие ^, при этом точки Т — Jf формально представляют неизотропные твисторы. Это делается ввиду того, что структуру Л9 легче всего описать как структуру, индуцированную вложением Л9 в ^, а структура 9Г допускает простое описание. Никакого точного геометрического определения элементов ST — Л9 не будет (да и может ли быть?) дано.

Пространство 2Г будет наделено симплектической структурой . Симплектические структуры возникают только в пространствах четных размерностей, и симплектические многообразия одной и той же размерности локально изоморфны. Симплектическая структура Т индуцирует на Л9 структуру, имеющую геометрический смысл в пространстве-времени. Эта структура на Л9 выражает соотношения между близкими точками Jf, а указанные соотношения в свою очередь характеризуют геометрические связи между изотропными геодезическими (и лЛ'- спинорами), отвечающими точкам Л9. Подобные геометрические связи относятся к свойствам изотропных геодезических. Например, тот факт, что конгруэнция изотропных геодезических имеет нулевое вращение, т. е. образует (изотропную) гиперповерхность, является подобным свойством, и, оказывается, это свойство просто описывается в терминах симплектической структуры Т. Сдвиг изотропной конгруэнции, с другой стороны, в общем искривленном пространстве-времени может

Можно, например, попытаться определить (ол, ял,) в точке О, взяв пересечение Р изотропного конуса в О с изотропной геодезической (твистором) и параллельно перенося л-спинор вдоль изотропной геодезической РО, или, иначе, используя локальный твисторный перенос вдоль РО. Но, по-видимому, это определение не согласуется с той структурой, которой мы желаем наделать твисторное пространство.

быть определен только относительно фиксированных точек изотропных геодезических. Изотропная конгруэнция, которая является бессдвиговой в одной точке, в присутствии конформной кривизны может иметь сдвиг в других точках. Напомним, что теорема Керра устанавливает тесную связь между условием бессдвиговости изотропных конгруэнций в плоском пространстве-времени и комплексно аналитической структурой в ^-изображении. Тот факт, что понятие «бессдвиговости» нельзя применить в общем искривленном пространстве-врецени к изотропным геодезическим в целом, указывает в сильной степени на то, что. пространство £Г, вообще говоря, нельзя наделить геометрически осмысленной комплексно аналитической структурой.

Исследуем структуру Т для частного случая искривленного пространства-времени Ж, в котором выделены две области Mi и М2 плоского пространства-времени, разделенные некоторой искривленной поверхностью пространства Ж, через которую изотропные геодезические могут проходить из Мх в М2. Это позволит нам изучить структуру Т в сравнении с рассмотренной ранее структурой плоского пространства-времени. Вводя плоские метрики, мы сможем описать структуру Т с помощью структур, индуцированных Mi и М2. В каждом из пространств Mi и М2 мы можем задавать твисторы посредством пар спиноров и, следовательно, посредством четырех комплексных компонент Z°, Z1, Z2, Z3 (удовлетворяющих ZaZ« = О). Выражения 7? dZn и dZ4 Л dZ» определяют формы) на Л9, которые, как мы покажем, совпадают для координат Za, определенных в Mi и в М2. Каждая из форм ^ = lZa dZtt и (о = dq = i dZa К dZa определяет геометрически осмысленную структуру на Ж. Действительно, оказывается, что <р измеряет временной сдвиг между соседними геодезическими, тогда как (о измеряет вращение; см. также [26].

Рассмотрим два примера, в которых плоские пространства Mi, М2 разделены изотропной гиперповерхностью К, причем Mi и М2 индуцируют одну и ту же (вырожденную) метрику на К. Кривизна целиком сосредоточена в К, имея вид 6-функции на К.

X. Рассмотрим два плоских пространства

Мх: ds2 = 2(dudv — d^dQ, у<0,,g

М2: ds2 = 2(<du*dv*-d^dt*\ у>0,*

разделенных изотропной гиперплоскостью у = 0 = у*, где £* = £, и* = и — ^(^). Кривизна содержит 6-функцию на стыке (такую же, какую имеет поверхность цилиндра конечной протяженности на стыке боковой поверхности и «крышки», при этом обе поверхности

являются плоскими)). Кривизна Риччи есть (в главном члене) 6(^)д2^/д^, тогда как конфромная кривизна есть (в главном члене) 6(y)d2 q/d^, 6(y)d2g/d£2. Полевые уравнения Эйнштейна для пустого пространства дают

dWM, откуда q = r^Hr^ (3.13)

где г — голоморфная (т. е. комплексно аналитическая) функция.

В. Рассмотрим плоские пространства'

Mf. ds2 — dudv — uM^dt, v^O,Гз

M2: ds2 = du*dv*~u*2d^dl\ v>0,’

разделенные изотропным конусом у = О с £* = f (£) (f—голоморфная функция), и* = u/|f(£) |. Оказывается, это пространство автоматически удовлетворяет полевым уравнениям Эйнштейна в пустоте. (Более полное обсуждение этого случая см. в [29].)

В этих примерах прохождение изотропной геодезической через v = 0 определяется из условия ее ортогональности одним и тем же векторам на поверхности у = 0 с каждой стороны стыка. (Такое поведение можно также описать, исходя из соответствующего предела пространств с гладкой метрикой). Это показывает нам воздействие импульсной волны на твистор. В обоих случаях рассеяние изотропной геодезической может быть описано в гамильтоновых терминах.

Покажем это непосредственно на примере А. Для твистора Za, отвечающего изотропной линии, имеем в координатах п. 2.3 Z0: Z1: Z2: Z3 = (- iu d^ + i^ du): (- it ^ + w du): (- ^): du =

= (— iu dv + i^ dQ : (— it dv + iv dX): (— dv): d^.

Таким образом, выполняются соотношения

- Z3 d^ = Z2 du,- Z3 dv = Z2 dt(3.15a)

Z1 = itz2, Z° = igz3 + iuZ2 (3.15b)

(поскольку в рассматриваемой точке у = 0). Аналог (3.15b) со звездочкой также справедлив. Следовательно,

Z*x = itz*2, Z*° = i£Z*3 + i (и - q) Z*2.(3.16)

Для того чтобы написать оставшуюся часть формулы (3.15) со звездочкой через du, dv, dt„ нужно воспользоваться тем, что Z* и Z ортогональны одним и тем же векторам К в точке Z f] К. Обозначая направление в ZV\K в координатах и, V, £ через Su:Sy:65,

получаем би = 0, если направление лежит в К. Для того чтобы направление было ортогонально направлению Z, нужно, чтобы

би dv + 0 du = б£ dX + бХ d^(3.17)

откуда, согласно (3.15),

бы = - 6£ • Z3/Z2 - б£ • Z3/Z2.(3.18)

«Звездная» версия последнего соотношения дает, согласно (3.12),

du — -^- 6g — 6g = — 6g • Z*3/Z*2 — 6g • Z*3/Z*2.(3.19)

5g 5g

Уравнения (3.18) и (3.19) должны налагать одинаковые условия на 6u :6g :6g, поскольку они задают одну и ту же двумерную плоскость. Следовательно,

Z3: Z2= Z*3 - Z*2 ^ : Z*2.(3.20)

Уравнения (3.15), (3.16) и (3.20) определяют отношения компонент Z*“ через отношения компонент Za после исключения g и и. При наиболее удобном выборе нормирующего множителя мы можем положить

Z*3 = Z3 + Z2 dq/dt, Z^Z2,

Z4 = ZX, Z*Q = Z0-iZ4q-yq/d^,(3.21)

где g = ZZ‘/Z2. Вводя обозначение

H^Z», Ze) = \Z4-q,(3.22)

мы можем записать (3.21) в более понятном виде:

Z*“ = Z“-Zd^/dZa.(3.23)

Та же самая формула для вещественной функции Н степени однородности 1 отдельно по Za и Za справедлива и в примере В, хотя Н зависит в этом случае от f(g), а не от q. Для инфинитезимальной замены получаем уравнения

bZ» = Z*a-Za = -idHldZa< bZa — idHldZa (3.24) гамильтонова типа, поэтому эта замена сохраняет симплектиче- скую структуру ([21], [26]). Действительно, в£е формы Z°Za, q) = tZ“dZ„, Z“d/dZa, Z(d/dZ°)®(d/dZe)-Z(d/dZo)®(d/dZ"), = idZa ^dZa сохраняются в том смысле, что 6(ZaZo) = 0, 6 (Za dZa) = 0, 6 ° Za d[dZ° = Z« djdZa ° 6 и т. д. Если определить

[х,(3.25,

' dZa dZa dZa dZa''

то

дТ = pF, Щ,(3.26)

- 6 (dZ») = d(i 42-) = idZ» + i dZB; (3.27)

'’ V dzj dZ»dZadZsdZa p

с помощью этих соотношений уже легко доказать инвариантность указанных форм.

Если мы рассмотрим слабую гравитационную волну произвольной формы, мы придем к уравнениям точно такого же типа, как и выше. Это объясняется тем, что слабые гравитационные волны подчиняются линейной суперпозиции и раскладываются в суперпозицию волн только описанного типа. (На самом деле для этого достаточно одних плоских волн.) Соответствующие функции Н точно так же являются линейными композициями описанных выше функций.

Мы должны определить, что мы понимаем под формами ф и ю на Л9 в случае общего искривленного пространства. В плоском пространстве мы видели, что ((2.22), (2.23))

ф = lZa dZa = Ра dxa,(3.28а)

to = I dZa К dZa = dPa A dxa = V[aPb] dxa A dxb, (3.28b)

где Pa в выражении (3.28b) является касательным векторным полем конгруэнции геодезических. В искривленном пространстве мы используем эти соотношения для определения ф и ®. Это возможно благодаря тому, что формы Padxa и dPa^x^ примененные к векторам, соединяющим соседние геодезические, остаются постоянными (постоянность dPa^xa в этом смысле совпадает с хорошо известным тождеством Лагранжа, см. [26], [27]), а так как Л9 (по модулю фазовых множителей) отождествляется с пространством изотропных геодезических, то формы ф и о будут инвариантно определены на Л922)). Выражения (3.28) приводят к упо-

22) Инвариантность <о тесно связана с общей теорией симплектических многообразий (т. е. многообразий с 2-формой (о максимального ранга, такой, что dw = 0). Пусть Т— такое многообразие с симплектической структурой со, например кокасательное расслоение Т = Т*(Ж) многообразия Jt с со = dPa /\dxa, где Ра обозначает кокасательный вектор в точке х ([26]). Тогда на любой гиперповерхности S в 7 форма со вырождается (так как S нечетномерна), поэтому в каждой точке S найдется вектор, который со обращает в нуль. Если мы про- факторизуем по отношению эквивалентности вдоль интегральных кривых этого векторного поля, то новое многообразие (классов эквивалентности) снова будет иметь симплектическую структуру (и на два измерения меньше, чем TY

В случае твисторного пространства мы можем взять кокасательное расслоение пространства-времени T*(V4) и рассмотреть семимерное подпространство S, задаваемое посредством РаРа = пг2 = 0. Классы эквивалентности совпадают сизотропными геодезическими, а получающееся шестимерное пространство G можно также построить, применяя аналогичную процедуру к Т = 9"; в этом случае гиперповерхность S совпадает с Л9, а векторное поле на Л9 порождается преобразованиями Zai—>et^Za. Эти преобразования не изменяют изотропную геоде-

мянутым выше интерпретациям ф и о как временного сдвига и вращения близких изотропных геодезических соответственно.

В обоих примерах А и В при условии справедливости уравнений Эйнштейна в пустоте мы можем написать

//(Z°, 2^ = нЧН', Н+ = 1г,

Н+ = ZJ^dgldZ?\(3.29)

где функция g^Z01) голоморфна и однородна степени 2 по Z“. В случае А мы имеем явную формулу

Н+ = | Z212 г (- zZ'/Z2) = ZJ^ д ^g (Z^/dZ^,(3.30)

поэтому мы получаем (3.29), если

-izmz^

g(Za) = i(Z2)2 J r(x)dx.

«Бесконечно удаленный» твистор входит в (3.29) из-за того, что гравитация не является конформно инвариантной: /а$ есть нарушающий конформную симметрию член, указывающий «где» находится бесконечность.

Мы можем аналогичным образом рассмотреть электромагнитное рассеяние, вводя заряженные частицы с нулевой массой покоя и импульсом Ра. Ускорение такой частицы равно

P^aP^eF^Pa,(3.31)

где е — заряд, a Fab— поле Максвелла. Это даст нам корректно определенные уравнения движения частицы, несмотря на то, что ее масса покоя равна нулю. Мы можем рассмотреть идеализированную ситуацию, аналогичную рассмотренной выше для импульсных гравитационных волн. Возьмем две области свободного от полей пространства, разделенные электромагнитной плоской или сферической волной с амплитудой, равной 6-функции. Частица нулевой массы покоя по любую сторону волны описывается изотропным твистором. Волна сообщает импульс частице и тем самым определяет преобразование твисторного пространства. Это преобразование снова будет иметь гамильтонову форму, но теперь в инфинитезимальном случае функция Н оказывается однородной степени однородности нуль отдельно по Za и Za, где Я = Я+ + Hv с функцией Н^ = f(ZP), голоморфной и степени нуль по Za (предполагается, что Fab удовлетворяет уравнениям Максвелла в пустоте). Этот подход можно аналогичным образом распространить

зическую Z и ее касательный вектор лЛлл' = Ра, поэтому в любом случае мы приходим к пространству G аффинно параметризованных изотропных геодезических; его симплектическая структура индуцируется формой dPa/\dxa в первом случае или, эквивалентно, формой idZa/\dZa во втором случае.

на произвольное инфинитезимальное рассеяние с помощью линейной суперпозиции таких волн и, следовательно, соответствующих функций Н.

Мы столкнулись с голоморфными функциями как в гравитационном, так и электромагнитном случае. Однако, вообще говоря, эти функции имеют полюсы, в противном случае Н есть билинейная функция Za, 2a. Для полей последнего простого типа изотропные геодезические выходят в конечном итоге нерассеянными, хотя волны могут при этом пересекать область раздела (рис. 6). Однако в общем случае, когда волна имеет особенности, могут возникать особенности и у функции, и тогда происходит рассеяние. Например, в рассмотренной выше ситуации В (ввиду того, что не существует неособой непостоянной гармонической функции на двумерной сфере) можно показать, что функция f(£) на изотропном конусе, разделяющем два плоских пространства, имеет особенность хотя бы на одной образующей конуса. Эту особенность можно устранить, соединяя вместе нужное количество подобных конусов, но тогда мы вернемся к ситуации на рис. 6, в которой нет рассеяния.

Квантование. Мы хотим перейти от рассеяния безмассовых частиц (слабой) гравитационной или электромагнитной волной к рассеянию безмассовых полей. В общем случае безмассовое поле Фл,в, L, определяется голоморфной функцией f(Za). Мы можем спросить теперь, как изменить функцию f, чтобы она задавала рассеяние поля (₽.... До некоторой степени формальный ответ можно получить, если воспользоваться соответствием Za^—» ь-> —d/dZa, основанным на том, что Za и Za являются каноническими сопряженными переменными. Рассмотрим

Н (Za, - djdZa) вместо Н (za, Z J

и применим этот оператор к /. Мы считаем здесь, что Н описывает воздействие фиксированного заданного гравитационного поля. Для введенного Н получим в случае рассеяния безмассовых частиц слабым гравитационным полем соотношение

Н^Н^(3.32)(3.32)д о dg _ _ / ,ар dg \ _д^dZa dZ^ V dZMdZa ’

Н^

Н^

(3.32)

(3.32)

где коммутирование обеспечивается кососимметричностью /°^. Поэтому никакой проблемы упорядочения сомножителей здесь не возникает. Аналогично .

Н ^^ ^ ^ар [^/^plzp t—^-dldZ^’

а это уже неприятно! Однако нашей целью является рассмотрение матричных элементов <g\H\f>, и потому нам незачем вычислять вектор Н-^ сам по себе, ибо

(£|/Ш)=<£|^Ю + (£|#Щ)

и мы можем действовать оператором Н- на <g|, записывая его в виде H-b->(d/dZa,)Ia^dg/dZ^ Однако мы до сих пор не определили, что мы понимаем под <g|f>, поэтому наша следующая задача состоит в том, чтобы построить гильбертово пространство функций f. На этом пути мы можем руководствоваться тем, чтобы получить в конечном итоге достаточно хорошие формальные выражения и согласие со скалярным произведением, использованным Фирцем [30].'

..Л индексов w _

По полю фл. ..ь можно построить набор потенциалов фА^в' -. ь*, удовлетворяющих соотношениям

(D ,

VaA^b ... L = ^А ... L’

/W(ft-И

^dd’^e:::l = ^d'.v.l •

(ft)

V?EE' ^’."t =°'

'(3.33)

^^a’b'-:L' = Q.

На каждом шаге имеется калибровочный произвол в выборе (ft)

Ф... (см. [4]). Следуя Фирцу, мы можем определить теперь (для подходящей числовой константы &)'

(%1<Р>:=^ ^'B'-K^A'B'...L'dSLL,(3.34)

s

где S — пространственноподобная поверхность. Нужно (и можно) проверить, что это выражение не зависит от калибровки и выбора поверхности, а также что оно эрмитово симметрично при перемене % и ср местами и конформно инвариантно (см. [36])..

Наша следующая задача состоит в том, чтобы выразить это скалярное произведение через f(Za) и g^Way Физически осмысленный ответ должен задаваться контурным интегралом, поскольку, если заменить f на /', где f — f7 не имеет особенностей внутри контура интегрирования в уравнении (2.20), поле не изменится. Посмотрим, какой вид должен иметь такой контурный интеграл. Допустим, что мы имеем функцию P(Za, Ха, ... Ц7а, ...) степени однородности —4 по каждому переменному. Для интегрирования мы должны определить дифференциальную форму 3)ZX ... W ... так, чтобы интеграл зависел только от гомологического класса (по отношению к пространству за вычетом областей сингулярности) области интегрирования (т. е. мы требуем, чтобы полученный объект был настоящим контурным интегралом). Для этого мы используем

SZ-'k’W^hdZ'» AdZ\

®W = хк^^а dW Л dW^ л dW5,*

®ZX ...W ...=®Za®Xa...A л ... .

Тогда получим d^3)ZX ... W . ..) = 0, что необходимо для того, чтобы интеграл ^^3)ZX ... W ... зависел только от гомологического класса контура и являлся скаляром, как мы и хотели ([21]).

Отвлечемся на некоторое время от основной темы, чтобы пояснить смысл подобных контурных интегралов. Пусть P(Za) задает электромагнитное поле; тогда ^№^®Z даст значение заряда источника поля. В гравитационном поле введенная выше функция f(Za) имеет степень однородности —6, поэтому мы рассматриваем интеграл

^z^z^uz^ ®z, который, как показывает проверка, задает твистор, описывающий энергию-импульс и угловой момент источника поля.

Используем теперь подобные дифференциальные формы для определения скалярных произведений в терминах [ и g. Для того чтобы функция f(Za)g(Wa) имела правильную степень однородности, т. е. (—4,—4), нужно ввести в интеграл дополнительные мно-

жители. Для n=0, 1 это можно сделать следующим образом):

§ fOT g^ (w^y'szw, (3.36)

степень -п~2 степень -n—2

поскольку в этом случае существует шестимерный контур, не гомологичный нулю, в 16-мерном подпространстве ^ ®^*, на котором f, g, (ZaWa)n~2 не имеют особенностей (т. е. существует контур, охватывающий особенности). Однако для м ^ 2 эта формула уже неудовлетворительна, так как особенность (ZaWa)n-2 исчезает. Если определять последующие дополнительные множители (при увеличении п) как интегралы от предыдущих, то для п = О получим множитель log(U7aZa), который нс является однородным. Поэтому положим

(x)t = (—х) ~6 Г (&)(3.37)

для нецелого к и формально определим значения в целых числах, переходя к очевидному пределу. Суть состоит в том, что для к = — 1, —2, ..., отсутствие полюса у (—х^-н компенсируется сингулярным поведением Г(А). Таким образом, для произвольного п в (3.36) мы берем (WaZa^2-n> определенное формулой (3.37), вместо (l^aZa)n“2. (В действительности при п=0 мы приходим к выражению

log {(WaZaWtaC^ ZaA6B^,(3.38)

которое не зависит от вспомогательных твисторов Л\ .Da.) Можно проверить, что при таком определении базисные функции, использованные в (2.21), ортогональны. Функции ^W*Z^k удовлетворяют формальному соотношению

д(W • Z^X = WaW- Z^x.(3.39)

которое, по существу, и используется в вычислениях.

4. Вычисление амплитуд рассеяния

Введение. В этом параграфе мы рассмотрим вычисление амплитуд рассеяния для основных процессов, в которых участвуют частицы с нулевой массой покоя. Исходя из твисторного формализма, будут вычислены некоторые контурные интегралы, каждый

из которых ассоциируется с графом определенного типа. В случае электромагнитного рассеяния твисторные вычисления согласуются со стандартными результатами для простых процессов (например, для комптоновского и мёллеровского рассеяния), но общая теория, связывающая явно твисторный подход с обычными правилами Фейнмана, пока не создана. До сих пор в рамках твисторного формализма не удалось найти и правильной трактовки безмассовых и гравитационных взаимодействий. Поэтому наше изложение по необходимости носит фрагментарный и недостаточно мотивированный характер. Более полное изложение потребует развития и более полной теории.

Основная идея состоит в том, чтобы использовать для описания in- и out-состояний процесса рассеяния твисторное представление безмассовых полей в терминах голоморфных функций (см. п. 2.3). Эти in- и out-состояния должны быть в этой теории, строго говоря, волновыми пакетами, а не чистыми импульсными состояниями. Последнее приводит к определенным трудностям при сравнении с существующей теорией, в которой почти всегда используются чистые импульсные состояния. Однако мы дадим и формальный метод изучения импульсных состояний в~рамках теории твисторов.

Волновые пакеты, определяющие in- и out-состояния, можна описывать посредством (нормированных) решений безмассовых уравнений спина s: 7ЛРФдв... l = О, Vpa'0a'b'... l' — О- Так как эти поля получаются из твисторных голоморфных функций f(Z) с помощью контурного интегрирования и не определяют функции f единственным образом, следует ожидать, что любая амплитуда рассеяния, которая является функционалом от функций Д также должна получаться из функций f с помощью некоторого контурного интегрирования. Мы уже рассматривали один пример — хотя и тривиальный — амплитуды рассеяния, а именно скалярное произведение <а|р>. Оно выражает амплитуду вероятности того, что при заданном out-состоянии а... in-состояние совпадает ср... для невзаимодействующей частицы. Соответствующий твисторный контурный интеграл равен (см. (3.37))

^akWMZW-ZVn^WZ. (4.1)

Для того чтобы до некоторой степени мотивировать обобщения этой формулы на взаимодействия, будет полезно коротко обсудить рассмотренные в последнем параграфе примеры рассеяния классической гравитационной и электромагнитной волной. Напомним, что гамильтониан Н=Н*-^Н~ грагитационного рассеяния определяется посредством

Н+ = 1Г = №а dgjdZ», (4.2)

где ^ — голоморфная функция от Z®, однородная степени +2, тогда как для электромагнитного рассеяния

Я+ = Л(4.3)

где / голоморфна по Za и однородна степени 0. Можно сопоставить эти степени однородности со степенями однородности соответственно —6 и —4 голоморфных функций, задающих посредством контурного интегрирования линеаризованные гравитационные и электромагнитные поля (см. п. 2.3). Мы можем считать, что эти последние голоморфные функции (функции отрицательной степени) описывают поля в «пассивном» состоянии, тогда как голоморфные функции (неотрицательной степени), которые появляются в гамильтониане, являются «активными» в том смысле, что они выражают рассеяние, других полей. Следует ожидать, что имеется некоторый способ перехода от «пассивной» функции к «активной». Формула, выражающая этот переход, должна увеличивать степень однородности на 4 в электромагнитном случае и на 8 в гравитационном.

. Рассмотрим выражения (с числовыми множителями, добавленными ради удобства)

§№ = -^^Р^^^_^,(4.4а)

tU4 = ^§qWaW^0W,(4.4b)

где р и q имеют степени однородности соответственно —6 и —4, как требуется для «пассивных» гравитационных и электромагнитных функций. Следовательно, функции g и f имеют требуемые «активные» степени +2 и 0 соответственно. Однако выражения (4.4) нужно рассматривать как до некоторой степени формальные. Это объясняется характером множеств особенностей р и q. Напомним, что для определения безмассового поля нам требовалась не просто голоморфная функция, а такая, для которой множество ее особенностей в РТ+ (или в РТ~) распадается на две непересекающиеся области; при этом контуры выбирались так, чтобы отделить одну из этих областей от другой. Но для определения контуров в (4.4) это не подходит. По топологическим причинам. здесь требуется разделение множеств особенностей р и q на три непересекающиеся области). Следовательно, для вычисления g и f требуется больше информации, чем для вычисления безмассо- вых полей исходя из функций р и q. Сделав это замечание, мы можем считать уравнения (4.4) в определенном смысле корректными. Их корректность явно устанавливается для конкретных функций р, q вида р^а), ?(и^=1/(1^Е^т^^ (где G«/a3=0,

п = 4, 2), задающих специальные плоские волны. Получающиеся при этом g(Za), /(Za) — (EaF&K^Z6ea^n~VExFwG^ (К^ произвольно) являются, по существу, корректными «активными» функциями в этом случае. Общий случай можно рассматривать как переход к линейным комбинациям подобных плоских волн. Однако придание точного смысла выражениям (4.4) связано с определенными трудностями.

Попытаемся теперь использовать (4.4) для того, чтобы выразить рассеяние безмассового поля гравитационным полем, определяемым р, или электромагнитным полем, определяемым q. Согласно п. 3.3, мы можем ожидать, что это рассеяние удастся описать с помощью матрицы <а|Я+|р> или <а|Я“|р>. Подставляя (4.2) или (4.3) (с Zav~>—d/dZa или Zav—>d/dza^ в (4.1) и используя (4.4), мы придем соответственно к выражениям вида (снова для удобства добавлены числовые множители)

-1- 6 а (Г) (гvZv)2_„/ofS -^ьм-^ Wu6z6V.p И ®wzu=

= - "^ ^a^b ^ Р (Ю (^ • ZVn W . ZVvU^WaU^ ®wzu и

ф а (Г) b (Z) q (U) (W • ZVn W • z\SWZU.

Полезно описывать структуру особенностей подынтегральных выражений таких контурных интегралов при помощи диаграмм. Твисторным переменным, по которым нужно интегрировать, будут отвечать вершины; при этом черная вершина обозначает твистор с верхним индексом (например, Za), а белая вершина — твистор с нижним индексом (например, U?a). Линия, соединяющая две вершины, отвечает особенности, соответствующей обращению в нуль скалярного произведения двух твисторов, представляющих эти вершины. Таким образом, линии могут соединять вершины только разного цвета. Вдобавок к этому мы допускаем линии, имеющие вершину только на одном из своих концов. Такие линии отвечают особенностям голоморфных функций a(Z), 6(Z), ..., которые стоят под интегралами. В общем случае особенности функций b будут разделяться на два множества, поэтому из вершины, отвечающей Z, будут выходить две соответствующие линии, каждая из которых задает одно множество особенностей Ь. Можно представлять себе все это на примере конкретных функций b вида

Ь = (Д- zV~r(B.(4.5)

Тогда можно считать, что каждая из линий только с одной вер- щиной отречает одной из двух областей: A-Z =0, B-Z =0. Таким

образом, постоянные твисторы Ла, 5а соответствуют отсутствую- •щим вершинам на концах этих линий. Состояния, описываемые функциями (4.5), мы называем элементарными состояниями.

На рис. 7 изображена диаграмма, задающая структуру особенностей скалярного произведения (4.1); диаграмма на рис. 8 изображает структуру особенностей предложенных нами интегралов взаимодействия. Мы можем сделать наши диаграммы более содержательными, снабжая линии целыми показателями: линия с показателем г отвечает множителю (U7-Z)r+i. Это соглашение можно применять как к линиям, содержащим две вершины, так и к линиям, имеющим одну вершину, что позволяет нам включить в диаграммы и элементарные состояния. Например, скалярное произведение двух элементарных состояний, задаваемых посредством а (Г) = (W• С)г+1 • (Г • D)^r+1, b (Z) = (А • Z)w • (В-Z)^+ь равное

^ § (W . C)r+1 (W . DVr-w W • Z^.n (Л • Z)(+1 (В . Z)n_m SWZ,

точно описывается диаграммой на рис. 9. .Аналогично (если ограничиться электромагнитным случаем) предложенный интеграл взаимодействия можно описать диаграммой на рис. 10; при этом электромагнитное поле описывается функцией q^ — = (E*Z)\(F*Z)\(G*Z)2- Можно считать, что рис. 10 описывает некоторый тип электромагнитных взаимодействий, аналогичный тем,, которые возникают в обычной теории Фейнмана. Поэтому можно попытаться построить диаграммы, соответствующие таким простым процессам, как, например, мёллеровское или комптоновское рассеяние.

Рассмотрим мёллеровское рассеяние, стандартная фейнмановская диаграмма которого изображена на рис. 11 (за исключением

Рис. 11.Рис. 11.

Рис. 11.

Рис. 11.

того, что электроны должны здесь быть безмассовыми). Мы придем к твистор- ной диаграмме типа изображенной на рис. 12, где стрелки внутри пунктирного круга нужно «просуммировать» или свернуть некоторым подходящим образом. Благодаря тому что справедлива формула, изображенная

на диаграммном языке на рис. 13, разумно выполнить эту свертку так, чтобы прийти к рис. 14.

Рис. 14.

Рис. 15.

Вспомним теперь, что при получении этой диаграммы мы использовали разложение Н = Н^ + Н~. Если бы мы повторили рассуждения для Н~ вместо Н\ то пришли бы к диаграмме на рис. 15. По-видимому, твисторные диаграммы на рис. 14 и 15 можно ассоциировать с процессами, изображенными на рис. 16а и 16b соответственно, где стрелки обозначают спиральность (в единицах - А), так что двойная стрелка на линии фотона отвечает спину 2X4^- Можно подумать, что мёллеровское рассеяние (рис. 11) в соответствии с разложением Н = Н^ + Н~ представимо в виде суммы двух членов: рис. «16а плюс 16Ь» или рис. «14 плюс 15». Однако это предполагает возможность представления виртуального фотона в виде суммы двух состояний, каждое из которых имеет корректно определенную спиральность. Эта возможность отрицается обычной теорией из-за того, что виртуальному фотону разрешается находиться «вне массовой оболочки», т. е. иметь ненулевую (и иногда мнимую) массу покоя. Частицы с ненулевой массой покоя не имеют корректно определенной спиральности. В твисторном подходе, напротив, было бы бессмысленно разрешать фотонам иметь массу покоя, поскольку это противоречило бы основным принципам теории. Тем не менее теория не сможет давать разумные ответы (для мёллеровского рассеяния, например), если она не будет каким-либо образом отражать тот факт, что в обычном формализме виртуальным фотонам разрешается находиться вне массовой оболочки. Поэтому представляется маловероятным, что твисторное вычисление мёллеровского рассеяния может быть проведено для суммы двух интегралов типа изображенных на рис. 14 и 15, в каждом из которых вклад виртуального фотона отвечает фотону с корректно определенной спиральностью ).

Действительно, это подтверждается явным вычислением интегралов, отвечающих рис. 14 и 15. Оказывается, ответ в каждом случае пропорционален тому ответу, который получается, если опустить сегмент «—1». Иначе говоря, не существует взаимодей-

Рис. 17.

ствия, выражаемого этими интегралами. С другой стороны, мы можем представить себе, что два рисунка 14 и 15 «наложены» друг на друга. Результат есть рис. 17, и, как это ни странно, интеграл, который он выражает, действительно дает, как мы увидим позже, правильную угловую зависимость для мёллеровского рассеяния безмассовых электронов (т. е. для массивных электронов в пределе высоких энергий), когда спиральности входящих частиц противоположны (как указано на рис. И). Следует подчеркнуть, что на данном этапе не существует теоретического обоснования наложения рис. 14 и 15. С другой стороны, нет никакого разумного способа так изменить рис. 14, чтобы получить какое-либо рассеяние вообще, не говоря уже о правильном мёллеровском рассеянии. То, что рис. 17 правильно представляет однофотонный обмен, подкрепляется далее тем, что он естественным образом приводит к аналогичному выражению (рис. 18), которое дает правильную угловую зависимость в случае двух безмассовых частиц с нулевым спином, обменивающихся фотоном. Здесь мы должны сложить результаты двух диаграмм: на первой бесспиновые частицы имеют противоположные «спиральности», на второй — одинаковые. (Оказывается, что в данной теории следует различать две разные «спиральности» безмассовой частицы даже в случае, когда спин равен нулю, но для получения физически осмысленного ответа эти «спиральности» нужно сложить.) Стоит отметить, что последующие результаты, основанные на выводах п. 5.3, полностью подтвердили эти твисторные выражения. Наконец, позднее мы увидим также, что рис. 17 непосредственно приводит к другой диаграмме (рис. 30), которая дает правильную угловую зависимость для высокоэнергетического предела (т. е. для безмассовых частиц) комптоновского рассеяния.

Правила построения диаграмм. Принимая на время правильность рис. 17, мы придем) к некоторым дополнительным

О-' U^W*,»^.

интегрируютсяинтегрируются

интегрируются

интегрируются

• : X^Y^Z"1, и т.д.• : X^Y^Z"1, и т.д.4-^-*: UaZ^j4-^-*: UaZ^jо===* : (WaZX2 №агХзо===* : (WaZX2 №агХзВ JLq ; (в^)^В JLq ; (в^)^

• : X^Y^Z"1, и т.д.

• : X^Y^Z"1, и т.д.

4-^-*: UaZ^j

4-^-*: UaZ^j

о===* : (WaZX2 №агХз

о===* : (WaZX2 №агХз

В JLq ; (в^)^

В JLq ; (в^)^

Рис. 19.

правилам построения наших диаграмм. Потребуем, во-первых, чтобы в каждую вершину входило ровно четыре линии. В изображении скалярного произведения (см. рис. 7) заменим внутренний отрезок на двойную линию. Условимся сопоставлять двойной линии одно целое число. Тогда линия будет отвечать множителю (Waz») г+2, где твисторы lFa и Za соответствуют вершинам на концах линии, если г — отвечающее ей целое число. Аналогично мы будем иногда пользоваться тройной линией в диаграмме, отвечающей множителю (WaZa)r+3. Для полноты разрешается также четвертая линия, отвечающая (№aZa)r+4, но из-за условия, согласно которому из каждой вершины может исходить ровно четыре линии, такие линии не должны быть связаны с другими частями диаграммы. (Поэтому они могут появляться только для несвязных вакуумных процессов.) На самом деле в этом случае мы должны иметь г = 0, поскольку для того, чтобы построенная по указанным выше правилам диаграмма представляла интеграл, однородный степени нуль (а это необходимо для того, чтобь! интеграл был настоящим контурным интегралом, инвариантным относительно непрерывных деформаций контура), нужно потребовать, чтобы сумма целых чисел на всех линиях, выходящих из данной вершины, была равна нулю. Диаграммные обозначения перечислены на рис. 19.

Диаграмму для скалярного произведения можно теперь изобразить, как на рис. 20. Здесь in- и out-состояния совпадают с элементарными состояниями, задаваемыми (№аЛа) i (U7pSP)n+1 и (CaZa) 1 (Z)pZP)n+i соответственно. Эти элементарные состояния представляют особый интерес, поскольку соответствующие поля всюду изотропны, см. п. 2.3. Если п = 4 и Ап, Са — изотропные твисторы, то они совпадают с линеаризованными изотропными волнами Робинсона — Траутмана [31] специального типа, волновые фронты которых являются изотропными конусами с вершинами на изотропной прямой А. Если А и В находятся на бесконечности, мы имеем постоянную плоскую волну, а если только А находится на бесконечности, мы получаем плоскую волну непостоянной амплитуды. Во всех этих частных случаях поля обладают

-п-п°Кп А В°Кп А ВРис. 22.Рис. 22.

-п

-п

°Кп А В

°Кп А В

Рис. 22.

Рис. 22.

Рис. 20. Рис. 21.

особенностями (возможно, только на бесконечности); но если мы потребуем, чтобы на РТ-картинке линия АВ или CQD лежала целиком в РТ + (соотв. РТ”), то мы получим неособое поле, имеющее положительную (соотв. отрицательную) частотность (п. 2.3), см. [4].

Однако мы не хотим представлять наши in- и out-состояния только как элементарные. Для более общих ситуаций (например, плоских синусоидальных волн) уже бесполезно сопоставлять множествам особенностей a(Z), ... два различных целых числа; имеет смысл только их сумма (равная удвоенному спину). По этой причине мы будем часто сопоставлять in- или out-состоянию одну двойную внешнюю линию, которой отвечает только одно целое число п (совпадающее с удвоенным спином поля). На рис. 21 изображено скалярное произведение при таких допущениях. Следует иметь в виду, однако, что внутренняя двойная линия (отмеченная —п^ существенно отличается от внешних двойных линий. Внутренние двойные линии характеризуют топологическую структуру контуров. Упрощенно говоря, мы должны окружить каждую особенность, обозначенную одной линией, топологической окружностью S1, каждую особенность, обозначенную внутренней двойной линией, топологической трехмерной сферой S3 и каждую особенность, обозначенную тройной внутренней линией, сферой S2, взяв при этом соответствующее (подкрученное?) топологическое произведение. Затем для того, чтобы повысить или понизить размерность до значения, соответствующего контуру (т. е. до Зу вещественных измерений, где у — число вершин), нужно «домножить» или «разделить» на соответствующее число окружностей S1. (Это означает, что для четвертой линии мы интегрируем по CjP3 =

S7S1.)

Логично рассматривать двойную линию как пару отдельных линий, определенным образом «сцепленных» друг с другом. Уравнение, представленное на рис. 22, останется в действительности справедливым при условии, что мы правильно интерпретируем две отдельные линии, соединяющие одни и те же вершины (в левой части уравнения). Мы не можем взять просто произведение мно-

Рис. 23.Рис. 23.

Рис. 23.

Рис. 23.

жителей (WaZa^i-a(W&Z^w в интеграле, поскольку предполагается, что контур проходит «между» особенностями, задаваемыми каждым сомножителем. Так как в данном случае оба сомножителя имеют одну и ту же особенность (именно WaZa = 0), то, очевидно, невозможно провести контур между ними. Однако мы можем воспользоваться соотношением, изображенным на рис. 23, и «отделить» эти особенности друг от друга. Смысл левой части рис. 22 раскрывается тогда рисунком 24, для которого существует вполне корректно определенный контур. Заметим наконец, что для упрощения числовых множителей в этих выражениях) удобно добавить перед интегралом, соответствующим каждой диаграмме, некоторый подходящий множитель. В качестве такого множителя мы берем (2ш)~3и+г, где и — число вершин, а г — число дополнительных линий, которые нужно провести для того, чтобы «размножить» кратные линии (т. е. наименьшее число линий, которые нужно «разорвать», для того чтобы уничтожить кратные линии). Так, перед интегралом в правой части рис. 22 нужно добавить множитель (2ш)”5, перед интегралом в левой части рис. 23 — множитель (2ш)^4, перед интегралом в правой части рис. 24 — множитель (2ш)“10.

Стоит остановиться здесь на любопытной интерпретации электромагнитного взаимодействия, заложенной в рис. 17. Представим себе, что две заряженные безмассовые частицы спина ^ и положительной спиральности сближаются друг с другом. Если взаимодействия не происходит, то твисторная диаграмма совпадает с изображенной слева на рис. 25, именно с объединением двух диаграмм скалярных произведений. Согласно рис. 22, мы можем иначе выразить эту ситуацию с помощью диаграммы в центре рис. 25. Однако если допустить, что две линии, помеченные «—1», подчиняются некоторой статистике Ферми (или Бозе), то следует ожидать, что придется добавить или вычесть вклад, обусловленный скрещиванием линий, помеченных «—1», как изображено справа на рис. 25. Но этот последний рисунок в точности совпадает, с рис. 17, обозначающим обмен фотоном между двумя частицами

(за исключением того, что линии фотона теперь перекрещиваются — просто из-за того, что спиральности сближающихся частиц выбраны одинаковыми, а не противоположными). Таким образом, исходя из твисторного формализма, можно предположить, что электромагнитное взаимодействие может быть некоторой формой проявления статистики Ферми (?), примененной к индивидуальным линиям твисторных скалярных произведений, возникающим в диаграммах. .

Целые числа, сопоставляемые линиям в твисторных диаграммах, можно интерпретировать как спиральности. Так, целое число г на линии указывает на то, что спиральность *^г переносится из черной вершины в белую вершину, которой оканчивается линия. Тот факт, что сумма всех целых чисел на линиях, заканчивающихся в некоторой вершине, должна равняться нулю, приводит к закону сохранения спиральности для построенных таким путем диаграмм: полная спиральность, поступающая в диаграмму, должна равняться полной спиральности, выходящей из нее. На рис. 26 указаны спиральности, отвечающие фотонному обмену на рис. 17. Заметим, что обмениваемый фотон представлен двумя несвязанными линиями, указанные спиральности противоположны. Характерной особенностью теории твисторов является то, что частицы представляются парами линий, отвечающих твисторным скалярным произведениям. В случае свободного невзаимодействующего фотона мы можем изобразить диаграмму скалярного произведения в одной из форм, приведенных на рис. 27. Отметим, что если две центральные линии разнесены, то спиральности переносятся в одном направлении в отличие от случая обмена виртуальным фотоном, когда они переносятся в противоположных направ-

лениях. В случае фотонного обмена можно, по-видимому, представлять себе два отрезка «—1» как отрезки того же типа, на которые расщепляется свободный фотон в правой части диаграммы на рис. 27. Различие состоит в том, что при фотонном обмене линии не связаны и имеют противоположные спиральности. Следовательно, виртуальный фотон в целом не имеет (как и должно быть) корректно определенной спиральности.

В этой теории мы можем считать, что изображенная на рис. 28 твисторная ситуация играет роль фейнмановской вершины в обычной теории. Здесь, однако, линия фотона расщеплена на две отдельные части, которые нельзя, вообще говоря, объединить в одну внешнюю линию фотона. Это, по-видимому, отражает тот факт, что отдельная фейнмановская вершина отвечает виртуальному процессу. Но каким же образом тогда представлять реальные процессы, построенные из нескольких фейнмановских вершин, в которых могут присутствовать внешние фотонные линии? Рассмотрим простейший случай, а именно комптоновское рассеяние. Мы попытаемся придать смысл соответствию, указанному на рис. 29. Внешние фотонные линии пока еще не объединены правильным образом, поскольку мы должны задавать внешние фотоны двойными линиями с числами «4-2». Для того чтобы достичь этого, мы должны, согласно правилам для твисторных диаграмм, «составить» каждый внешний фотон, используя по одной твисторной линии от каждой «фейнмановской вершины». Результат приведен на рис. 30. Отметим, что оба фотона связаны с электроном таким

Рис. 29.Рис. 29.

Рис. 29.

Рис. 29.

образом, который не позволяет говорить о том, что одно взаимодействие произошло «перед» другим. Следовательно, мы должны считать, что рис. 30 описывает не просто фейнмановскую диаграмму на рис. 29, но полный процесс, изображенный на рис. 31, за исключением того, что мы выделили состояния фотона и (безмас- сового) электрона с конкретными спиральностями. (Конечно, в общепринятом формализме мы обязаны в любом случае сложить обе диаграммы, чтобы получить осмысленный ответ.) Замечательно, что вычисление твисторного интеграла на рис. 30 действительно приводит к правильной угловой зависимости комптоновского рассеяния безмассовых (т. е. в высокоэнергетическом пределе) электронов. .

Вычисление диаграмм, отвечающих элементарным состояниям. До сих пор мы не пытались вычислить какой-либо твистор- ный интеграл. Неудивительно, что эти вычисления трудно выполнить. Интегралы берутся по многообразиям (которые сами по себе иногда нелегко выделить) достаточно большой размерности. Кроме того, твисторные диаграммы даже простейших процессов содержат «замкнутые петли» в тех случаях, когда обычный формализм приводит к «деревьям». Часто приходится использовать косвенные методы вычисления интегралов, когда прямые вычисления не удается осуществить. Но мы начнем с вычисления нескольких совсем простых твисторных диаграмм, не заботясь пока об их

физической осмысленности. Первая диаграмма, которую мы будем вычислять, изображена на рис. 32. Однако прежде, чем переходить к вычислениям, введем некоторые графические обозначения, которые помогут нам следить за свертками и кососимметризация- ми подынтегральных твисторов (см. [1]). Они таковы:

W

| отвечает И^Л* | | | | отвечает еаМ

А

Illi отвечает бару5, |^. отвечает 2^“^,ж отвечает 6^^.

так что

Л Вj^ отвечает ЗА^З^С^В^ С DЛ Вj^ отвечает ЗА^З^С^В^ С Dотвечает бАаВрС-уВ^Е^Е^ и т.д.отвечает бАаВрС-уВ^Е^Е^ и т.д.

Л В

j^ отвечает ЗА^З^С^В^ С D

Л В

j^ отвечает ЗА^З^С^В^ С D

отвечает бАаВрС-уВ^Е^Е^ и т.д.

отвечает бАаВрС-уВ^Е^Е^ и т.д.

Заметим,-что

Рассмотрим в качестве примера рис. 32. Соответствующий контур* ный интеграл равен

I W dWAdWAdW

(4.6)(4.6)1 . б I I-J—L

(4.6)

(4.6)

(2.0 M ||

А В C D

контур совпадает c S' X 51 X 5*. Положим w w w w

= “’ | =P, | =r, I =1.А В C D

Тогда . W dW^dW^dW. W dWMdW

»Ж^^ - Tffn b++4

А В C D А В C »

Далее,Далее,dw dw= d^ ~ dy, ^. Cdw dw= d^ ~ dy, ^. CdW

Далее,

Далее,

dw dw

= d^ ~ dy, ^. C

dw dw

= d^ ~ dy, ^. C

= d(l)=0

D

^r- da^Ad-t

A В G D

^ daAdp Л dy _ iм^о/зу ГТГГ " ~ ГТ I IА В C D AB CD

(4.7)(4.8)(4.7)(4.8)Вычисляя аналогично интеграл, отвечающий рис. 33, получим

(4.7)

(4.8)

(4.7)

(4.8)

= (2«i)6 ® WWWWD Е F~D Е К(2лП3

I I I I Irm III

I I I I I I IА В С Z Z Z Z

45 С Z ZZZ

-Г =1-Г =1АВСАВС(4.9)

-Г =1

-Г =1

АВС

АВС

Заметим далее, что значение интеграла на рис. 34 может быть найдено дифференцированием интеграла, отвечающего рис. 33, по Са и выделением коэффициента при D^ в ответе (в этом можно убедиться с помощью интегрирования по частям в интеграле рис. 34). Тогда интеграл на рис. 34 будет равен

(4.Ю)

Комбинируя эти процессы, мы можем вычислить любую диаграмму в форме дерева с одинарными внешними линиями, имеющими

Рис. 33.

Рис. 34.

Рис. 35.

неотрицательные целые числа. Для рис. 35 имеем

(4.11)(4.11)4 = (2itb5 ^W W /WV G H

(4.11)

(4.11)

I III I '

А В Ч' XX

где контурное интегрирование выполняется последовательным вычислением четырех интегралов по S’ и одного по S2. (В другом случае поверхность интегрирования может содержать явно сферу S3, которая совпадает с подкрученным произведением S1 и S2) Предположим, что на РТ-картинке линия пересечения двух плоскостей G, Н не имеет общих точек с линией АВ (в противном случае /4 обратится в бесконечность). Выберем вспомогательные тви- сторы Ра, Qa, Ra, Sa, где для простоты мы считаем, что R и S — плоскости общего положения, проходящие через АВ, a Р = СП П Н П S, Q = G П Н П R. Тогда, подбирая подходящую нормировку, получим

(4.12)(4.12)RRRSSSGHGHR $

(4.12)

(4.12)

I = I =1 =1 = I = I = I = I =1= I =0, I = I =1

ABQABPPPQQР Q

Положим

Интегрирование по S2 подразумевает, что переменные ф, %, р, a задаются равенствами

ф = е1^ cosy 6, %=sin — 0, р = 5"l(pcos~9, a=sin~8.

Так как ф, х, Р, о содержат только две независимые переменные, то внешнее произведение более чем двух из них должно обращаться в нуль. Следовательно,

(

G Н R 8 V'

|||| ) det a d^ a (<{>dX — Xd^) A dy л dr] л (pdd — 6dp) AB PQ>

откуда

GH RS

^ | |-1 da л dp л ^dX- Xd<p) л dy л djj л (pdd - Qdp)

36 л AB PQ

?nZ)5^сфр)/ GH RS\ 2

2g(2g((cpdX-Xdcp) Л (pda -6dp)(cpdX-Xdcp) Л (pda -6dp)mlAB PQ,/mlAB PQ,/(tydX - ХВф) л (pda - odp) (p| -l- 6X)Z(tydX - ХВф) л (pda - odp) (p| -l- 6X)Z2fli2fli

2g(

2g(

(cpdX-Xdcp) Л (pda -6dp)

(cpdX-Xdcp) Л (pda -6dp)

ml

AB PQ,/

ml

AB PQ,/

(tydX - ХВф) л (pda - odp) (p| -l- 6X)Z

(tydX - ХВф) л (pda - odp) (p| -l- 6X)Z

2fli

2fli

посколькупосколькуABPQABPQне зависящая от a = |, равна Aне зависящая от a = |, равна A. WA-5-M-B ptl. WA-5-M-B ptlи т. д., где использованы условия (4.12). Наконец,и т. д., где использованы условия (4.12). Наконец,интегрируя в сферических координатах 0 и <р, получиминтегрируя в сферических координатах 0 и <р, получим(4.13)(4.13)

поскольку

поскольку

ABPQ

ABPQ

не зависящая от a = |, равна A

не зависящая от a = |, равна A

. WA

-5-M-

B ptl

. WA

-5-M-

B ptl

и т. д., где использованы условия (4.12). Наконец,

и т. д., где использованы условия (4.12). Наконец,

интегрируя в сферических координатах 0 и <р, получим

интегрируя в сферических координатах 0 и <р, получим

(4.13)

(4.13)

На рис. 36 изображен более трудный пример. Имеем

<5SWXYZ _ 1 ^SXYZ

ъ~<ЫУг^ WW W С Р YYY Y G И W~(inlf'PCD YYYYGH

I I I I I I I I I I IГШ I I I I I I

АВ XXX ХЕ F Z Z Z ZZABX XXX Е F Z Z Z

-1_ фU^O6 У-1_ фU^O6 У5641- 1 АУ У Y 6Я=(2^о"з У5641- 1 АУ У Y 6Я=(2^о"з У3)23)2ZA ВZA Ва ва вС DС DЕ FЕ FананЕ F Z Z 2Е F Z Z 2ZZZZZ ZZ Z

-1_ ф

U^O6 У

-1_ ф

U^O6 У

5641- 1 А

У У Y 6Я=(2^о"з У

5641- 1 А

У У Y 6Я=(2^о"з У

3)2

3)2

ZA В

ZA В

а в

а в

С D

С D

Е F

Е F

ан

ан

Е F Z Z 2

Е F Z Z 2

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z Z

Обозначим

(4.14)(4.14)

(4.14)

(4.14)

Введем вспомогательные твисторы Ra, Sa и положим

ИИ££(4.15)(4.15)ZZ

И

И

£

£

(4.15)

(4.15)

Z

Z

Рис. 38.Рис. 38.Тогда1 ^ $г зб/s "(W ^ "гх сП' №рА Иг г zxТогда1 ^ $г зб/s "(W ^ "гх сП' №рА Иг г zxGH RSGH RS

Рис. 38.

Рис. 38.

Тогда

1 ^ $г зб/s "(W ^ "гх сП' №р

А И

г г zx

Тогда

1 ^ $г зб/s "(W ^ "гх сП' №р

А И

г г zx

GH RS

GH RS

1 жГ^ CKRSA/Г г? СН XX 6н5 (RGH /X GH S■ismu.iJj/L1’ I I I А\ 11 I -И । । । АЛ । и +

+ ШАШ)+ ШАШ]

Выбирая контур так, чтобы он проходил между двумя нулями квадратичного выражения в знаменателе, мы получим после не* которых преобразований

15 = (2а6 + 2Ьс 4- 2са — а2 — Ь2 — с2)1/2, (4.16)

где

с*с*CD GHI I 4 | | | | АВ Е F,CD GHI I 4 | | | | АВ Е F,С D GHСН С D

с*

с*

CD GH

I I 4 | | | | АВ Е F,

CD GH

I I 4 | | | | АВ Е F,

а = 14 Р" И ’ Ь=5 Н "Н ’

ЛД EFА,6 Ё F

Можно показать, что рис. 37 приводит к интегралу

Тогда для рис. 38 (высокоэнергетический предел мёллеровского рассеяния в терминах элементарных состояний) имеем

, д2 д2 ,” dD^dF. дВид№

4.4. Диаграммы в импульсном представлении. В заключение мы хотим рассмотреть собственные импульсные состояния, задаваемые функциями

где А и В — образующие изотропного конуса на бесконечности, а К — изотропная прямая, пересекающая А. Импульсные состояния нужны для проведения прямого сравнения с обычными результатами квантовой механики, поскольку элементарные состояния с трудом поддаются интерпретации. Формула (4.18) задает плоскую волну с круговой поляризацией в направлении А. Имеем)

Фо (У, Z) = — ф / (XZ + У) dX = <А; z>n.^^AK -.^AB •. Р>\ (4)

’х '(ЛВ :P)ra+1''

где Ра|3 (т. е. xQQ') задает точку пересечения Y и Z). Имеем /ар = АаВ^ — ЛрВа, если Ла = (О, хА'), Ва = (0, тА'), Ка = (йл, 0) и гА’в' — на'тв' _ х8'^ (хД'ТА' = 1). Эго поле изотропно с главным изотропным направлением А, когда Л • Z задает простой полюс. Далее, Л/С : Р = — ZSqXq'aPQ' = —- ikaxa и

<р0(У, Z) = (хА 'лЛ')ехр(— ikax^, ^А'в'= хА' ... х£'ехр(—ikqxq\

(Для полей Максвелла это выражение было приведено в п. 1.2.)

Теперь мы хотим вычислить интегралы, отвечающие рис. 17 и рис. 30, используя импульсные состояния. В этом случае контуры вырождаются и следует ожидать появления особенности типа 6-функции. При вычислении рассеяния, задаваемого рис. 17 и рис. 30, т. е. при нахождении коэффициента при 6-функции, можно действовать формально, используя определяемые ниже операторы.

Рис. 39а.Рис. 39b.

Ia^d/dZ^. Этот оператор действует на fn по формуле

jqti a =^ie2^_2!^i£L=

dZ^ *п (B-Z) (А ■ Z) (В ■ Z)n+l

(4.20)(4.20)=exp W • Z/B • Z) = да,

(4.20)

(4.20)

^B-Z^(A-Z)(B-Z)n+ln+b

поскольку /аВЛ$ = /“^ = 0.

la^. Этот оператор, действуя под знаком интеграла, дает U^L = {^а U^ - Btt U»Z6^ fn = Аа kB^ fn = Aafn_v. (4.21) Мы воспользовались тем, что (^) fn (Д • Z)S2 = 0, поскольку кон- тур разделяет особенности Л и В, а умножение на (Л-Z) позволяет сжать контур, охватывавший ранее особенность (Л-Z)-1.

ZaI^dfn/dZ^. Это выражение задается формулой

fZaI»^ + У“/В¥ -^)<Ро (У, Z) = АкРХаАЧ *^(4.22)

/ - ^с.хАСив | хд,йв \( хв д^^дйд | хвхл,<р0 X

к о j б- 7 фо — кО I б )1 ^412^

Применяя оператор 3) и его сопряженный к двум связанным вершинам и свертывая по а, мы получим в результате, что числитель подынтегрального выражения умножится на (W-Z) и при этом ^W-Z)a заменится на — a (W-Z)a~i.

Мы хотим теперь вычислить сечения для диаграмм вида рис. 39а, которые мы будем условно изображать как на рис. 39b. Состояния задаются здесь спинорами хА\ рл, оА\ тл, отвечающими векторам импульса:

ha = йлхл/, га = рлрл', sa = оАоА\ 1а — тлтл'. Используя оператор 1) и интегрируя по частям, получим

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

а + 1а + 1(4.25)

а + 1

а + 1

Используя эту формулу, достаточно вычислить одну из «ящичных» диаграмм.

Рассмотрим, например, случай, когда входят импульсы ка и sa, и положим

6 = 6 (хх — рр + оо — тт) = 6 (ка — ra + sa — ta\

Определим отношение « посредством

О ф <=>06 = фб,

т. е. 9 ^ ф означает, что 9 — ф обращается в нуль при ka-V sa = = ra + ta. Тогда'

a := — x • р/т • p — t • a/x • a =: a',P := — о • т/р • т ~ — p • x/o • x —: p',X := — x • т/р • т ~ — p • a/x • о —: V,p : = — a • р/т • p ~ — t • x/o • x =: p/.

Переменные a, p, X, p связаны с переменными Мандельстама s, t, a, используемыми в квантовой механике при вычислении рассеяния. Информация, выражаемая дополнительными переменными, связана с фазой (по отношению к спину).

Далее, если

(4.26)(4.26)0 = 6^,

(4.26)

(4.26)

Ъ

Для доказательства указанного предположения нужно применить о

(4.22), (4.23) к о(4.22), (4.23) к оо=х, откудао=х, откуда

(4.22), (4.23) к о

(4.22), (4.23) к о

о=х, откуда

о=х, откуда

(4.27)(4.27)

(4.27)

(4.27)

о

^А^дхА + хА- d'/jdTA’ = 0, нт. д.

Следовательно,

о

о

есть функция только

от (хх— рр + оа — тт), которая должна совпадать с 6-функцией по закону сохранения импульса.

Работать с диаграммами вида

сложнее. Мы можем установить ряд соотношений типа

1 вверх1 вверхТ 1 вверхТ 1 вверх1 вниз1 вверх1 вниз1 вверх1 вверх п1 внизII1 вверх1 вверх п1 внизII1 вверх

1 вверх

1 вверх

Т 1 вверх

Т 1 вверх

1 вниз

1 вверх

1 вниз

1 вверх

1 вверх п

1 вниз

II

1 вверх

1 вверх п

1 вниз

II

1 вверх

а также соотношения для дифференциальных операторов, аналогичные (4.20) — (4.23), и в конце концов свести все к (решаемому) дифференциальному уравнению. Результат равен

&&

&

&

= cta-Wp.d 11-'!±\Ь^'[^1а + г\(Ь+''+е\ /WL ' ар/ (^ \гА-е/\ г / \а/3/ J

где ^^ — обычный биномиальный коэффициент.

Для нахождения дифференциальных сечений, исходя из этих амплитуд, нужно взять квадраты их модулей. Можно проверить, что

р т. _ и

поэтомупоэтомуazP' —- Х'р/ ’2/р/ — azpz

поэтому

поэтому

|ap ~ |0р ~ 1 —] Лр » 1 —|ир.

ВеличиныВеличины

Величины

Величины

I °-12 = karaltbrb, \Х^ = ка1а!г/ и т. д.

могут быть выражены явно через угол рассеяния. Имеем (при условии, что справедлив закон сохранения импульса)

|а | = |р | = С, | Я| = |ц| = 5,

если входящие импульсы равны ка и sa (с kav->ta, sav->ra) или ta и ra ^tav->ka) rav—>sa^ где мы положили

С = cos У2 6, S = sin У2 9,

а угол рассеяния 6 измеряется в системе центра масс.

Учитывая модификации, необходимые при рассмотрении других пар входящих состояний, получим

|а|==|р|=1/С, | X | = | р | = 5/С,

если входящими являются импульсы ка и ta^kaY—>sa, iat—>ra) или импульсы га и sa(jav->ta, sav—>kay (Подобные проявления перекрестной симметрии должны получаться автоматически ввиду аналитичности используемых операций.)

Рассмотрим мёллеровское рассеяние (рис. 11) в пределе высоких энергий. Мы считаем, что время на наших диаграммах «течет снизу вверх». Таким образом, имеем

о Ио Ио\/Ьо\/Ь

о И

о И

о\/Ь

о\/Ь

когда спиральности двух входящих (безмассовых) электронов противоположны, и

если спиральности одинаковы. Применяя статистику Ферми — Дирака в случае, когда спиральности одинаковы, мы должны объединить две последние амплитуды когерентным образом, т. е. вычесть одну из другой или сложить (неопределенность в знаке Возникает потому, что пока еще нет точного правила выбора ориентаций контуров), прежде чем брать квадраты их модулей»

Суммируя (некогерентно) по различным спиральностям, получим в случае неполяризованных электронов

для дифференциального сечения (игнорируя возможные общие множители и выбирая знак плюс, чтобы добиться согласия с правильным ответом [48]!).

Вычисления для комптоновского рассеяния (или, эквивалентно по перекрестной симметрии, для парной аннигиляции) проводятся аналогично; при этом используется соотношение

1

-1 —к1 (а/З - Х^)**1^

О -1

-1 о

Для парной аннигиляции имеем

что согласуется (если опустить общий множитель) с обычным результатом [48].

Дальнейшие результаты

В этом параграфе мы коротко остановимся на более поздних продвижениях в теории твисторов, полученных после курса лекций 1970 г. Эти результаты еще находятся в развитии, и было бы неуместно излагать их здесь в деталях, поэтому мы обсуждаем только основные идеи.

Асимптотические твисторы. Напомним, что изотропный глобальный твистор Za в искривленном пространстве-времени определяется в п. 3.2 как изотропная геодезическая Z с заданным на ней спинором лл/, направление «древка» которого всюду является- касательным к изотропной геодезической, причем лЛ' параллельно' переносится вдоль нее. Главная трудность заключается здесь в

бедности структуры; все исчерпывается симплектической структурой, а неизотропные твисторы даже не определены. Отсутствует комплексная структура, необходимая для придания смысла контурным интегралам, нет также основного элемента рассмотренных ранее контурных интегралов, а именно твисторного скалярного произведения. Однако, если мы предполагаем использовать эти понятия для построения теории S-матрицы, применимой к искривленным пространствам-временам, ситуация становится гораздо более обнадеживающей. В самом деле, мы можем с полным правом ограничиться рассмотрением пространств-времен, которые в подходящем смысле являются асимптотически плоскими. Будем предполагать также, что вакуумные уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла (без космологического чле.на) справедливы на больших расстояниях. Тогда каждая изотропная геодезическая начинается в области, удаленной от массивных источников, где пространство-время является «достаточно плоским* для того, чтобы сопоставить ему дополнительную твисторную структуру требуемого типа, и точно так же любая изотропная геодезическая заканчивается в области подобного вида. Оказывается, обычных предположений о том, что пространство-время асимптотически плоское, достаточно для того, чтобы определить неизотропные твисторы, комплексную структуру и форму скалярного произведения. Однако на бесконечности все еще имеется остаточная кривизна пространства-времени, сообщающая твистор- ному пространству структуру, существенно отличающуюся от структуры пространства-времени Минковского. В действительности твисторное пространство является искривленным (как кэле- рово многообразие).

Для более подробного обсуждения нам потребуется понятие конформной бесконечности, приспособленное к асимптотически плоскому пространству-времени Ж (подробности см. в [2, 4, 41]). Мы уже рассматривали компактифицированное пространство Минковского в п. 1.1. Существенно новая черта в случае асимптотически плоского пространства состоит в том, что изотропную бесконечность прошлого и изотропную бесконечность будущего уже нельзя естественным образом отождествить друг с другом. Вводя подходящий конформный множитель, который нужным образом убывает вблизи изотропной бесконечности, получим новую метрику ^аъ = Q?gab, которая остается конечной и гладкой вдоль двух примыкающих граничных изотропных гиперповерхностей: «7”, представляющей изотропную бесконечность прошлого, и 3^, представляющей изотропную бесконечность будущего. Картина та же, что и на рис. 1, но без отождествления.

В задаче рассеяния данные, характеризующие in-состоянця (в предположении, что масса покоя равна нулю), задаются на 3~, а данные, отвечающие out-состояниям, — на <7+ Каждая точка 3* является вершиной светового конуса, образующие которого, а

именно изотропные геодезические, проходящие через эту точку, заметают изотропную гиперповерхность в Ж, которая является асимптотически плоской в прошлом. Эту гиперповерхность можно поэтому представлять себе как гиперповерхность постоянной фазы входящей асимптотически плоской волны (игнорируя эффекты дисперсии). Аналогично каждая точка 3^ ассоциируется с гиперповерхностью постоянной фазы выходящей асимптотически плоской волны.

Каждая изотропная геодезическая в Ж имеет концевую точку в прошлом на 3* и концевую точку в будущем на 3^ (если в качестве необходимого условия асимптотической плоскости принята «асимптотическая простота» ([2], [4])); через каждую точку на 3- проходит также изотропная геодезическая, лежащая на 3-, так как 3-, Ср^чъ изотропными гиперповерхностями, порождаются изотропными геодезическими. Различные точки одной образующей 3" отвечают различным гиперповерхностям постоянной фазы одной и той же входящей асимптотически плоской волны; аналогично точки образующей 3^ отвечают различным фазовым гиперповерхностям одной выходящей асимптотически плоской волны. Можно показать, что каждая образующая З- естественно ассоциируется с соответствующей «противоположной» образующей 3^*. Иначе говоря, каждое входящее изотропное направление задает единственное «параллельное» выходящее изотропное направление. Для данной изотропной геодезической в Ж входящее и выходящее направления будут, вообще говоря, различаться (т. е. происходит «преломление»). По-видимому, нет естественного однозначного соответствия между отдельными точками З- и отдельными точками 3+. Это означает, что мы не можем придать естественного смысла сдвигу фазы между входящей и выходящей асимптотически плоскими волнами даже тогда, когда их направления совпадают.

Не только связь между 3” и 3^ становится в случае асимптотически плоского пространства иной по сравнению с пространством Минковского, но и структура каждой из гиперповерхностей 3" и «7+ содержит информацию об асимптотическом гравитационном поле. Оказывается, тензор Вейля Cabcd или, эквивалентно, спинор) Тдвсо должен обращаться в нуль на 3-. Но величина Kabcd = ^Cabcd (эКВИВаЛеНТНО ^ABCD = ^НФдвсо), вообще говоря, не равна нулю (см. (1.27)). Компонента Ч^ := фдвсоИс5^^ измеряет в действительности поле гравитационного излучения, входящего на 3” и выходящего на 3^ где спинор И направлен вдоль образующих 3-. Величина W? совпадает с производной вдоль образующих 3- функции новостей N Бонди — Сакса, квадрат мо-

дуля которой NN можно взять в качестве величины, характеризующей поток энергии гравитационного излучения через 3-. Величина N описывает скорость изменения вдоль образующих 3- асимптотического сдвига о0 систем (типа Бонди) опережающих или запаздывающих гиперповерхностей.

Определим далее пространство ^(«7) асимптотических твисторов. Имеются два таких пространства в зависимости от того, используем мы 3^ или 3~ для задания рассматриваемых объектов. Для определенности выберем гиперповерхность 3\ но будем помнить о том, что можно провести параллельное построение и в терминах 3~. (Однако в случае запаздывающего гравитационного поля можно ожидать, что для З- получится менее интересная информация, чем для 3+.) Рассмотрим локальные твисторы (<ол, лЛ') (см. п. 3.1), определенные в точках 3^. Можно было бы думать, что благодаря обращению в нуль конформной кривизны (Вейля) в каждой точке 3^ допустимо пользоваться локальным твистор- ным переносом, т. е.

tbVb<»A = — ИАВ'лВ', tbVbnA’ = — гРвсв'А’^6'^ (5.1) (см. (3.8)), для переноса локального твистора (сол, лЛ') вдоль кривой на 3^ с касательным вектором tb, а тем самым для получения интегрируемой эквивалентности между локальными твисто- рами в разных точках 3Л\ Это'привело бы к единому твисторному пространству для всей гиперповерхности 3^. К сожалению, все обстоит не так просто, поскольку коммутатор локальных твистор- ных производных зависит от производной конформного спинора Вейля (на самом деле от величины ?лЛ1тлвса, см. (3.11)), которая, вообще говоря, не обращается в нуль на 3^. Таким образом, если (<ол, лЛ') переносится с помощью локального твисторного переноса из одной точки 3^ в другую вдоль двух различных путей, лежащих на <7+ мы должны ожидать, что в общем случае будут получаться разные результаты.

Поэтому придется действовать несколько по-другому. Рассмотрим локальные твисторы на 3\ которые имеют спинорное представление вида

ФА лл0, (5.2)

где сделан специальный выбор спинора И в каждой точке («древко» спинора направлено вдоль образующей «7+, проходящей через точку). Мы можем использовать локальный твисторный перенос вдоль образующих 3* для того, чтобы приравнять локальные твисторы указанного вида в разных точках одной и той же образующей. (Форма (5.2) сохраняется под действием преобразования (5.1), если мы применяем его вдоль образующих (/° = (АЛ'); не может также возникнуть никаких проблем из-за неинтегрируемости, поскольку образующие являются одномерными односвязными линиями.) Тем самым с каждой образующей 3^ ассоциируется

трехмерное комплексное векторное пространство, которое параметризуется в произвольной точке образующей комплексным числом | и двумя компонентами лЛ'. Сами образующие 3V параметризуются еще одним комплексным параметром £. Следовательно, мы получаем четырехмерное комплексное многообразие величин указанного вида. Это — «раздутое» многообразие асимптотических твисторов (будущего).

Мы снабдим вскоре это многообразие некоторой структурой. Пока же объясним немного более подробно, как оно возникает. Рассмотрим обычный глобальный изотропный твистор Za (см. (3.2)) в Ж. Изотропная геодезическая Z, которую он определяет, пересекает «7+ в единственной точке, например Р. При этом лЛ' параллельно переносится вдоль Z относительно масштабно и конформно перенормированных метрик (это вытекает из (1.19а), поскольку перенос вдоль Z определяется оператором пАпА\АА^. Следова* тельно, мы можем определить лЛ' в «бесконечной» точке Р так же, как в «конечных» точках Z. Более того, знания точки Р на <7+ и спинора лЛ' в точке Р достаточно для определения твистора Za, Сопоставим Za локальный твистор (0, лл< в точке Р.

Он имеет вид (5.2) в Р, поэтому локальный твисторный перенос вдоль образующей у на <7+ проходящей через точку Р, в точку Q даст нам другой локальный твистор вида (gtA, лл^). Зная этот локальный твистор в точке Q, мы можем найти Р, просто отыскав точку, в которой g обращается в нуль. Спинор лл^ в этой точке позволит нам найти глобальный твистор Z. Конечно, не каждый спинор (£ьл, лЛ') в точке Q даст нам точку Р, в которой^ обращается в нуль, поскольку | комплексно, а мы имеем только одно вещественное измерение точек у. Условие существования Р в предположении, что лЛ' не пропорционально iAs состоит в том, чтобы локальный твистор (£|Д лЛ') был изотропным, т. е.

Кейла^О, (5.3)

где лц = ллчлЗаметим, что норма ZaZa сохраняется при локальном твисторном переносе.

Если и — параметр, ассоциированный с касательным вектором ИИ'к образующей у (т. е. ^w*-=vAv,A^AA, = d'ldu в применении к скалярным функциям на у), а спинор И параллельно переносится вдоль у (т. е. Уц'Ьв = 0), то (5.1) с ta = \,AvAf дает

d^du = — /л/. (5.4)

Удобно выбрать конформный множитель Q так, чтобы устранить расходимость образующих «7+. Тогда и сдвиг <7+ необходимо обращается в нуль ([4]). Образующие 3^ становятся при этом параллельными друг другу в том смысле, что каждое сечение 3V (пространственноподобная двумерная поверхность) имеет ту же самую метрику (индуцированную £а&), что и любое другое. В та-

ком случае можно показать ([4, 42]), что

^ 11ГЛ'*—^ВАВ'А'^^ —0.

(5.5)

Тогда из (5.1) получаем

?ц'ЛЛ' = — 1Р^Л = 0

(5.6)

и, в частности,

•dnvldu = 0.

(5.7)

Отсюда и из (5.4) получаем формулу и^ = и (Q) — Zg/л г

(5.8)

для определения точки Р через точку Q и значение ^А) лЛ') в Q. Если (5.3) не выполняется, то эта формула даст нам комплексное значение и на у. 'Тем самым мы можем считать, что неизотропные твисторы пересекают 3^ в точках с комплексными координатами и. Иначе говоря, они пересекают «комплексифицированную» гиперповерхность 3^. Эта точка зрения будет вскоре развита дальше.

Рассмотрим теперь, что происходит, когда спинор лЛ' пропорционален 1Л', т. е. когда л/ = 0). Мы имеем в каждой точке у локальный твистор вида

ПМ'), (5.9)

где £ и т] постоянны вдоль у. Стоит исследовать смысл этой величины в случае пространства Минковского. Здесь <7+ можно рассматривать как световой конус с вершиной /. Локальный изотропный твистор (£|Д лЛ') в точке Q, который принимает в пределе вид (^^ЛМ'), задает глобальный твистор Za, для которого Р = Z П У в пределе совпадает с / (см. (5.8): значение и(Р) стремится к ±<х>). Тем самым (£|Д Л^л') в Q задает некоторый изотропный твистор Za, изотропная прямая которого пересекает /. Но мы можем точно так же задать этот изотропный твистор Za, используя любую другую образующую 3V В частности, так как сам твистор Z становится теперь образующей, можно использовать для описания Za локальные твисторы вдоль Z, которые имеют специальный вид

(0, W). (5.Ю)

Следовательно, наше описание твисторов пространства Минковского в терминах 3^ позволяет сделать дальнейшее отождествление, когда используемые локальные твисторы имеют вид (5.9). Такое отождествление может быть в действительности проведено и для асимптотически плоских пространств-времен (хотя оно и не всегда желательно). Как же оно осуществляется в общем случае? Имеются различные эквивалентные пути определения этого ото-

Рава'в' видаРава'в' видаРцА'В' И PABWРцА'В' И PABW(5.11)(5.11)ждествления, но все они сводятся * к следующему. Выберем конформный множитель так, чтобы образующие «7+ были не только параллельны, но вдобавок к этому все сечения <7+ были сферами. (Это можно сделать ([41]).) Используем далее модифицированный локальный твисторный перенос, при котором компоненты

Рава'в' вида

Рава'в' вида

РцА'В' И PABW

РцА'В' И PABW

(5.11)

(5.11)

формально полагаются равными нулю, тогда как компоненты P1AVAS PaiVAS P\AA'V> Р a\a'V(5.12)

оставляются нетронутыми. (Эти требования совместимы ввиду (5.5).) В применении к локальным твисторам вида (5.9) этот перенос оказывается интегрируемым, что позволяет таким образом получить требуемое отношение эквивалентности между величинами (5.9) в различных точках <7+ Получающиеся классы эквивалентности называются асимптотическими твисторами полностью на 3^. Определенные ранее классы эквивалентности локальных твисторов на <7+ вида (5.2), не имеющих вид (5.9), называются асимптотическими твисторами (будущего) не полностью на 3^. Асимптотические твисторы (будущего)—это просто величины одного из этих типов.

Описанная выше процедура может показаться читателю искусственной. Однако это не совсем так. Мы можем представить ее себе по-другому. Предположим, что испускаемое (или передаваемое) гравитационное излучение имеет конечную эффективную длительность, иначе говоря, оно подходящим образом стремится к нулю, когда абсолютное значение и велико. Величины (5.11) описывают, по сути дела, функцию новостей N (и N) Бонди — Сакса и поэтому должны стремиться к нулю при больших \и\. Величины (5.12), с другой стороны, постоянны вдоль образующих «7+ (и являются постоянными кратными 1Л1а' над всем ^+). Мы можем, по существу, считать, что модифицированный локальный твисторный перенос есть предел при |м|->оо обычного локального твисторного переноса на «7+ В пределе этот локальный твисторный перенос становится интегрируемым для величин (5.9).

Стоит отметить также, что существует предельный случай вышеприведенной конструкции, в котором ситуация становится более простой. Для этого выберем Q так, чтобы сечения 3^ были плоскостями, и отправим одну из образующих <7+ «назад в бесконечность». При таком выборе Q можно нормировать спинор 1Л так, чтобы он был постоянным вдоль всего «7+ В действительности мы можем считать, что

7Лд^ = 0.(5.13)

Для такого выбора Q мы имеем также

Р iia'b' = Nia^bs(5.14)

а все величины (5.12) обращаются в нуль. Такой выбор Q и 1Л очень удобен для вычислений на «7+ (см. [42, 43]). Напомним

также, что Wabcd = 0 на <7+ поэтому на .7+ «выживают» только немногие компоненты кривизны; из них наиболее важной является комплексная величина N. Для построения отношения эквивалентности между локальными твисторами вида (5.9) мы можем выбрать й так, чтобы в некоторой точке Q е «7+ данный локальный твистор сводился к виду (£1л,0). В выборе Й имеется достаточно свободы для того, чтобы этого добиться, при условии, что ^ #= 0. Тогда другие локальные твисторы, эквивалентные данному, также имеют вид (^г4, 0), где £ постоянно на всем «7+. Изотропная линия, задаваемая получающимся асимптотическим твистором, совпадает тогда с образующей «7+ которая «отправляется на бесконечность» при таком выборе Й.

В случае пространства Минковского асимптотические твисторы полностью на <7+ совпадают с твисторами (за исключением нулевого твистора), образы которых на РТ-картинке являются точками прямой /. Если мы не будем проводить отождествление на всем 3^ локальных твисторов вида (5.9), а будем пользоваться только определенным ранее отождествлением, задаваемым локальным твисторным переносом вдоль образующих (применимым также к (5.2)), то мы получим раздутый асимптотический твистор полностью на .7+. Эта терминология восходит к названию процедуры в алгебраической геометрии, при которой некоторое множество точек заменяется алгебраически другим множеством более высокой размерности. В нашем случае прямая / «раздута» до квадратичной поверхности, каждая точка которой представляет не только точку /, но и плоскость, проходящую через I.

Пространство асимптотических твисторов можно, упрощенно говоря, рассматривать как расслоение спинового пространства над спиновым пространством (на самом деле — над дуальным комплексно сопряженным спиновым пространством). Это обобщает ситуацию в пространстве-времени Минковского, где относительно обычной метрики Минковского и некоторого начала отсчета твистор Za можно представить как (шЛ, лл . Базой расслоения является пространство спиноров лЛ' (а именно дуальное сопряженное спиновое пространство). Слой над каждым фиксированным лЛ' есть пространство спиноров сол (спиновое пространство). Эта структура расслоения пуанкаре-инвариантна, но не конформно инвариантна. Пуанкаре-инвариантного сечения не существует, а (пуанкаре-инвариантная) проекция на базу задается как

(®л, лА')н->лЛ'. (5.15)

фл н-* (®л, 0).фл н-* (®л, 0).Существует в точности одно пуанкаре-инвариантное вложение спинового пространства в качестве слоя расслоения, а именно слоя над лЛ' = 0 :

фл н-* (®л, 0).

фл н-* (®л, 0).

(5.16)

Это дает короткую точную последовательность

О-^-^-^д'-э-О,(5.17)

где ^ и ^ обозначают спиновое и твисторное пространства типа, указываемого индексами. Переходя к дуальным пространствам, получаем

0<-^л^-^а<-^л'<-0.(5.18)

Эта точная последовательность на самом деле совпадает с последовательностью, комплексно сопряженной к (5.17). Вся эта структура сохраняется) также для асимптотических твисторов. Для доказательства нужно определить требуемое спиновое пространство — асимптотическое спиновое пространство — в случае асимптотически плоского пространства-времени. Это можно сделать в терминах двукратного накрытия кокасательного расслоения пространства образующих «7+. Эквивалентный, но более удобный для наших целей путь состоит в использовании пространства асимптотических твисторов полностью на <7+. Поскольку отношение эквивалентности в определении этого пространства задано на всем ^t, мы можем складывать два таких асимптотических твистора, просто складывая соответствующие локальные твисторы в некоторой данной точке Q на «7+. Результат не зависит от Q. Мы можем точно так же умножать указанные асимптотические твисторы на скаляры, получая тем самым структуру двумерного комплексного векторного пространства. Две комплексные величины g, tj; где (^л, цсЛ') — представление локального твистора в точке Q, служат при этом компонентами. Мы можем положить искомое (кососим- 112 2

метрическое) спинорное скалярное произведение между (g, т)) и (£, т]) равным 1212

^-/^(5.19)

при условии, что И нормировано так, чтобы

УЛд'Й = Ьд^д'(5.20)

на 3^. (Уравнение (5.20) совместимо с другими нашими предположениями.) Оказывается, определение (5.19) не зависит от Q и от выбора Q (независимость 1Л1Л' от й обеспечивается нормировкой (5.20)). Это инвариантное кососимметрическое скалярное произведение завершает определение структуры асимптотического спинового пространства, которая согласуется с обычной структурой спинового пространства в пространстве Минковского.

Определив асимптотическое спиновое пространство как подпространство асимптотического твисторного пространства, мы тем самым установили вложение (5.16) для асимптотически плоского

пространства-времени. Рассмотрим теперь проекцию (5.15). Ее можно переписать в виде

(®л, ллО^(0, лЛ),(5.21)

где выражение справа отвечает твистору типа [?] и задается посредством

Zav^Ia^.(5.22)

Возвращаясь теперь к описанию асимптотических твисторов в терминах локальных твисторов на 3^, мы получим для бесконечно удаленного твистора представление в виде (в любой, точке Q)

/ 0— ixA?' \

^3 VVin 0/(5.23)

Подставляя (5.23) в {5.22), получим относительно Q вариант (5.21), применимый и к асимптотическим твисторам:

(^л, лЛ') ^ (—inri4) 0)(5.24)

(что совпадает с комплексно сопряженным вариантом (5.10); при этом правая часть (5.24) задает, как и требовалось, асимптотический твистор типа [о]). Слой над асимптотическим спинором, задаваемым правой частью (5.24), совпадает с ядром (5.24), т. е. с пространством твисторов (^И, лЛ') с лг = 0. Можно использовать £ и л0' в точке Q в качестве компонент этого двумерного комплексного векторного* пространства. При этом инвариантного кососимметрического скалярного произведения не существует. В качестве группы слоя можно взять просто L(2, С).

Мы можем сложить два' асимптотических твистора, если они лежат в одном слое, но неясно, как это сделать, если они отвечают разным образующим <7+ Любой асимптотический твистор можно умножить на скаляр.

Посмотрим теперь, как определить комплексную структуру пространства асимптотических твисторов (или раздутых асимптотических твисторов). Наиболее прямой путь состоит, по-видимому, в том, чтобы дать интерпретацию асимптотических твисторов в терминах комплексифицированной гиперповерхности «7+. Эта процедура с математической точки зрения не вполне удовлетворительна, поскольку для того, чтобы комплексификация была вообще возможна, необходимо, чтобы структура .7+ была аналитической. Отсюда следует, что выходящее гравитационное излучение должно быть аналитическим, поэтому придется исключить гравитационные импульсные волны или волны типа сандвичей (например, «временную бомбу» Бонди). Более приемлемо было бы определять нужную нам структуру в терминах вещественного 3^ * — и, вероятно,

это удастся сделать в конечном итоге, — но в любом случае потеря общности при нашем подходе незначительна, поскольку всякое неаналитическое поведение можно сколь угодно близко аппроксимировать аналитическими <7+

Воспользуемся координатами и, $ на «7+, где и — вещественный параметр, определенный выше вдоль образующих <7+ (так что и является параметром запаздывающего времени), а £— параметр, постоянный вдоль каждой образующей и нумерующий образующие стандартным образом, т. е. £ = exp (— /ф) etg V2 0, где 6 и ф — обычные сферические полярные координаты. Для того чтобы ком- плексифицировать «7+, заменим и на комплексный параметр и, а £—на комплексный параметр ^ независимый от £. Иначе говоря, мы продолжаем произвольную величину, задаваемую на ^.аналитической функцией %(и, £, £), на комплексифицированное «7+, обозначаемое .С «7+, до единственной (по крайней мере локально) голоморфной функции трех независимых комплексных переменных и, J, £ (которая по-прежнему обозначается % (и, £,£)), значения которой совпадают с -/АиЛЛ^ когда и = и вещественно и £ = £.

Поскольку в действительности нужно считать, что £ принимает значения на римановой сфере S2 (разрешается £ = оо), то топологически .С.7+ совпадает с R2 X S2 X S2. (Параметр и пробегает _C^R2, а £ и £ независимо пробегают сферу S2.) Эта картина, однако, не вполне правильна. Дело в том, что некоторые величины, задающие структуру <7+, будут становиться сингулярными вдали от вещественного сечения «7+ пространства С*7+. Это относится, в частности, к полю гравитационного излучения Ч^. (Например, такие функции, как (1 + ы2)-1, хорошо ведут себя для вещественных и, но становятся сингулярными при продолжении в комплексную

область.) Следовательно, многообразие С «7+ совпадает только с некоторой окрестностью «У+ в R2 X S2 X S2 (рис. 40).

Рассмотрим на С«7+ локальные твисторы вида (£ьл, лЛ') в точке QeJ+. Так как и комплексно, мы можем при условии л^ ^ 0 воспользоваться (5.8) и найти точку Р на образующей .Су в С <7+ (или в R2 X S2 X S2, если Р— особая точка С «7+), проходящей через Q, такую, что локальный твисторный перенос обращает £ в этой точке в нуль, сводя локальный твистор к

(0, лл0- (5.25)

Начиная теперь из любой точки С«7+ или Cv<, в которой мы имеем локальный твистор вида (5.25), мы сохраним вид (5.25) при сдвиге с помощью локального твисторного переноса в любом (комплексном) направлении типа ’

ta = TAnA' (5.26)

(по формулам (5.1)). В плоском (или конформно плоском) пространстве локальный твисторный перенос является интегрируемым и определяет глобальный твистор Za (п. 3.1). Поэтому точки, в которых сохраняется представление (5.25), образуют комплекск- фицированную плоскость (четырехмерное вещественное подмножество СЯ}, все касательные векторы которой имеют тип (5.26). В случае изотропного твистора Za такая плоскость содержит изотропную вещественную прямую* (а именно прямую Z); в общем случае, когда ZaZa =# 0, на плоскости нет вещественных точек. Эта комплексифицированная плоскость (если предполагается, что она не содержится в С «7+) будет пересекать С «7+ по комплексифици- рованной прямой Г = ~С Z П-С ZZ+, касательные векторы которой пропорциональны

= (5.27)

поскольку эти векторы совпадают с комплексными векторами типа (5.26), касательными к С «7+. В действительности Г является изотропной геодезической на С «7+, что вытекает из соотношения

lVVbb'^' — O (5.28)

(согласно (5.1)) и из (5.13). (Если мы нс будем требовать выполнения условия (5.13), то получим, что tbNbta пропорционально ta.^ Напомним, что понятие изотропной геодезической конформно инвариантно— это относится также и к комплексным изотропным геодезическим. .

Возвращаясь к общему случаю асимптотически плоского пространства „<, мы можем точно так же определить изотропную геодезическую Г, проходящую через точку P^CS^ в направлении 1ллл', и сопоставить каждой точке Г локальный твистор (0, лЛ'); при этом (0, лЛ') переносится вдоль Г посредством локального твисторного переноса. Теперь поверхности {£ = const} на С^4-

имеют касательные векторы типа Их4', как и в (5.27); поверхности {£= const} имеют касательные векторы типа тлсл'. Тем самым Г лежит полностью на одной поверхности {£ = const}. Каждой точке Г отвечает свое значение 5 (в предположении, что пА' нс пропорционально 1Л'). Значение у при £ = £ вместе с лЛ' в этой точке задают Г. Обратно, Г вместе с нормировкой, задаваемой выбором касательного вектора 1ллл\ определяет у, £ и иА' и соответствует тем самым единственному асимптотическому тви- стору нс полностью на *7+ Имеются также изотропные геодезические на С.7+, лежащие на плоскостях {£ = const}. Они имеют касательные векторы типа рАл' и соответствуют аналогичным образом дуальным асимптотическим твисторам не полностью на «7+ Все изотропные геодезические на С «7+ принадлежат одному из этих классов, за исключением образующих С .7+ которые принадлежат обоим классам одновременно. Эти образующие отвечают раздутым асимптотическим твисторам (полностью на «7+). Асимптотические твисторы полностью на .7+, нс являющиеся раздутыми, соответствуют целым плоскостям {£—const}; дуальные асимптотические твисторы такого типа ассоциируются с плоскостями {£ = const}.

Это описание асимптотических твисторов на .С «7+ дано без использования комплексного сопряжения. Поэтому многообразие этих асимптотических твисторов имеет естественную комплексную структуру. Эту комплексную структуру мы и сопоставляем пространству асимптотических твисторов, которое становится тем самым комплексным многообразием. Здесь есть, однако, «подводный камень». Дело в том, что для некоторых асимптотических твисторов точка Р, от которой мы отправляемся, с тем чтобы получить представление (5.25), может в действительности лежать не в С.7+, а в области, выброшенной из R2 X 52 X S2 из-за того, что в ней _С«7+ становится особым. По-видимому, в общем случае комплексная структура асимптотического твисторного пространства не продолжается на такие области. Однако это происходит только вне некоторой окрестности пространства изотропных асимптотических твисторов. Из-за этого нам приходится рассматривать некомпактное подпространство, на котором определена комплексная структура, хотя исходное пространство асимптотических твисторов было компактным. (Вероятно, это некомпактное комплексное многообразие можно расширить так, чтобы сделать его вновь компактным, однако полной уверенности в этом нет. Если это можно сделать, то единственным образом; при этом будет возникать корректно определенная группа симметрий, изоморфная комплексной группе Пуанкаре или комплексной конформной группе. Этот вопрос находится сейчас в стадии изучения.)

Для того чтобы пояснить геометрический смысл комплексной структуры асимптотического твисторного пространства, рассмот-

рим асимптотический аналог теоремы Керра). Асимптотическое РТ-представление содержит классы эквивалентности пропорциональных асимптотических твисторов. Каждая точка PT — 1 отвечает изотропной геодезической в СЗ^ (лежащей на плоскости {£= const}, но нс являющейся образующей). Комплексно аналитическая поверхность в РТ задаст комплексно аналитическую конгруэнцию подобных изотропных геодезических. Те из них, которые пересекают «7+ (задаваемые точками PN), определяют поле по переменным лЛ' (с точностью до пропорциональности) на «7+. При этом должно выполняться уравнение (5.28), или, если мы заботимся не о нормировке лЛ', а только о направлении его «древка», — уравнение

1влв'лл^вв'л;Л' = 0. (5.29)

Если мы определим лА» вне 3^ с помощью параллельного переноса вдоль изотропных геодезических (%) в Ж. которые пересекают 3^ в направлениях, задаваемых переменными лА' (т. е. лвлв'Увв'ЛЛ' = 0), то придем к уравнению

лв'лл'?вв'л;Л' = 0

на 3^. Мы примем это уравнение ([9]) в качестве условия бес- сдвиговости (а° = 0) изотропных геодезических (X) на 3^, т. е. их асимптотической бессдвиговости.

Определим, наконец, скалярное произведение на асимптотическом твисторном пространстве. Пусть Za—асимптотический тви- стор, a W^— дуальный асимптотический твистор, причем ни один из этих твисторов нс является асимптотическим твистором, полностью лежащим на 3^. Пусть Za отвечает изотропной геодезической Г на плоскости {^ = ^} в СЗ^, a W^ — изотропной геодезической А на плоскости {^=^2^ в :СЗ+. Существует единственная образующая £3+, которая пересекает и Г, и А, а именно образующая, задаваемая уравнениями £ = ^, £ = £2, при условии что точки пересечения нс лежат в особой области. Если они лежат там (см. рис. 40), то скалярное произведение будет иметь особенности, поэтому мы не рассматриваем этот случай. Тогда (предполагая также, что особая область jCS^ не разделяет указанные точки) мы можем использовать локальный твисторный перенос вдоль этой образующей для того, чтобы перенести локальный твистор, задающий IFp,B точку пересечения с Г и вычислить скалярное произведение в этой точке (или, иначе, мы можем перенести локальный

твистор, задающий Za, в точку пересечения с А — ответ от этого не зависит). ___

Когда W^ = Z^, мы приходим к определению ZaZa, которое непосредственно вытекает из локального твисторного определения ZaZa, содержащегося в (5.3). (В действительности построенное выше скалярное произведение Za и W^ есть просто «комплексифи- кация» ZaZa, когда Za становится независимым от Za.) Определив на асимптотическом твисторном пространстве вещественнозначную скалярную функцию и комплексную структуру, мы получаем структуру кэлерова многообразия (сигнатуры ++) ([45]).

Это приводит к понятию ковариантной производной и кривизны асимптотического твисторного пространства. Кэлерова кривизна может быть вычислена явно в терминах величин, связанных с кривизной асимптотического пространства-времени. Такими величинами являются Ч^, хГз, Im ^2 (см. [9])—компоненты спинора

и (в случае неизотропных твисторов) некоторые интегралы от них по образующим «У+. Эти вычисления слишком сложны для того, чтобы можно было с пользой описать их здесь.

Рассеяние в поле заданного источника. В п. 3.2 мы рассмотрели классическое рассеяние частиц с нулевой массой покоя (описываемых в терминах изотропных твисторов) заданной гравитационной или электромагнитной волной. Используя возникающие гамильтоновы уравнения, мы попытались найти правильное тви- сторное описание соответствующих квантовых процессов. В электромагнитном случае это удалось сделать только после (необоснованного) введения в диаграммы дополнительной линии; в гравитационном случае добиться успеха пока нс удалось. В этом параграфе мы коротко рассмотрим один из вариантов указанной программы, при котором рассеяние осуществляется нс свободной волной, а полем заданного источника. Возникающие контурные интегралы будут обладать рядом существенно новых особенностей и в некоторых отношениях станут более приятными, чем в случае свободных волн. Результаты, полученные для классического рассеяния, оказались правильными, но получить строгое обоснование для квантового рассеяния поначалу не удавалось. Это сузило область поиска новых идей в теории. Основу полученных результатов составляют твисторные описания электромагнитного и гравитационного потенциалов, данные в п. 5.3.

Для того чтобы описать электромагнитное или (линеаризованное) гравитационное поле массивного (обладающего моментом) источника в терминах твисторов, целесообразно рассмотреть сначала двухиндексный твистор А0^, определяющий его энергию-импульс и угловой момент. Вообще, пусть Ра есть импульс, а МаЬ — угловой момент относительно начала отсчета О некоторой конеч-

12маЬ = маЬ + МаЬ,12маЬ = маЬ + МаЬ,(5.30)(5.30)(5.31)(5.31)ИмеемИмеем«Р — 2£(а/|3) Y«Р — 2£(а/|3) Y(5.35)(5.35)

12

маЬ = маЬ + МаЬ,

12

маЬ = маЬ + МаЬ,

(5.30)

(5.30)

(5.31)

(5.31)

Имеем

Имеем

«Р — 2£(а/|3) Y

«Р — 2£(а/|3) Y

(5.35)

(5.35)

ной физической системы в специальной теории относительности. Обычно Ра времениподобен (и направлен в будущее), поэтому тви- сторное описание п. 1.3 и 2.1 нс применимо непосредственно. Но мы всегда можем в подобных случаях представить тензоры (Ра, МаЬ^ (многими способами) в виде суммы конечного числа тензоров (Ра, МаЬ^ такого типа, для которых непосредственно применимо твисторнос описание (1.32), (1.34), т. с. для которых импульс изотропен и направлен в будущее, а вектор спина пропорционален ему. В действительности нам нужно только два таких члена, на- пример (Ра, Ма ) и (Ра, МаЬ\ так что

12

р = р -L Р г аг а । г а

где (Ра, МаЬ) строятся из* твисторов (со4, лЛ') согласно (1.32) и (1.34). Этого можно достичь многими способами, в чем нетрудно убедиться непосредственно.

Выражения (1.32) и (1.34) для импульса и углового момента в терминах твистора Za -<-> (сод, лЛ') даются формулами

Ра = ^А^А'»^^ ~ MAnBW В' — UABti^A,KB,V

Эти величины эквивалентны некоторым компонентам ZaZ^. Они определены, как только известны кА'йв и ^Айв\ т. с. как только известно симметризованное произведение (<ол, лл^) с (лв, 0). Так как №zy (лв, 0) (ср. с (5.22)), то для описания 4-импульса и углового момента в изотропном случае может быть использован твистор углового момента

(5.32)

Это распространяется и на общий времениподобный случай по линейности. Следовательно, в общем случае твистор углового момента есть

(5.36)(5.36)

(5.36)

(5.36)

где

E^ = T.ZaZ6,i 1

а различные Z совпадают с твисторами, отвечающими разным системам с изотропными импульсами, в сумму которых разлагается

наша общая система (например, в (5.30) имеем Е^ = ZaZ^ + Z^Z^y Отметим, что Ер обладает свойством эрмитовости

Ер = Ер.(5.37)

(Левая часть равна, конечно, ЕЙ.) Твистор Ер обладает ‘также свойством неотрицательной определенности

Га£₽Г₽>0 для всех Wa,(5.38)

как следует непосредственно из (5.36). Из формулы (5.35) вместе с (5.37) вытекает, что

Дае = Хро, А^-А^Г4.(5.39)

Обратно, из (5.39) вытекает существование Ер, для которого справедливы (5.35) и (5.37). Неотрицательная определенность (5.38) влечет за собой неравенство

VaAav/pvV₽>0 для всех Va.(5.40)

Из (5.40) вытекает также второе соотношение в (5.39) и существование Ер, удовлетворяющего (5.38).

Заметим, что вычитание следа из Ер:

(5.41)

не влияет на (5.35) (из-за кососимметричности /аР), но изменяет соотношение (5.38). Для данного ЛаР, удовлетворяющего (5.39), выбор Ер в (5.35), очевидно, далеко нс единствен. В действительности «калибровочный произвол» в выборе Ер задается преобразованиями

Ер > Ер + SaY/pY + SpYZaY(5.42)

(если пренебречь полуопредслснностью (5.38)), где

Sap = — spa.(5.43)

Рассмотрим теперь квадратичную функцию

Д^Гщ(5.44)

определенную на дуальном твисторном пространстве. Так как она голоморфна и однородна, множество се нулей определяет по теореме Керра (см. [5] ) бессдвиговую конгруэнцию изотропных прямых

{W: ДорГоГр = 0 = Га^°, 1Га^=0}.(5.45)

В случае когда вектор спина (1.29) обращается в нуль, эта конгруэнция состоит из всех изотропных прямых, которые пересекают мировую линию релятивистского центра масс (см. п. 1.3). В общем случае системы со спином конгруэнция имеет более общий тип, рассмотренный Керром [47] (в связи с его вакуумным решением уравнений Эйнштейна, описывающим вращающуюся черную дыру). Конгруэнция обладает локальным вращением тогда и только тогда, когда система имеет ненулевой спин. Оказывается также, что изотропные направления в каждой точке пространства-времени, касательные к линиям конгруэнции, совпадают в точности с «главными изотропными направлениями» ([9], [46]) тензора углового момента МаЬ. (Последние являются направлениями «древков» спиноров V и vA, где цАВ = Х^Ачв\)

Функция (5.44) участвует также в определении пассивной голоморфной функции, порождающей решение уравнений Максвелла для заряженного и обладающего магнитным моментом источника или решение линеаризованных уравнений Эйнштейна (линеаризованные решения Шварцшильда или Керра) для массивного (обладающего моментом) источника. Действительно, положив

/ (Г) = U^W^,g (W) = (ЛарГ ай7р)'3,

мы получим однородную функцию / степени —4 (как требуется для построения поля Максвелла) и однородную функцию g степени —6 (как требуется для построения линеаризованного гравитационного поля). Мы уже отмечали в п. 2.3, что если g(W^ есть обратный куб квадратичной формы, то получающееся линеаризованное гравитационное поле имеет алгебраический тип {2,2}, чго и имеет место для линеаризованных решений Шварцшильда и Керра. Эти функции на самом деле порождают поля стационарных источников нужного типа. Когда вращение отсутствует, мы получаем решения типа монополей (решение Кулона в электромагнитном случае и линеаризованное решение Шварцшильда в гравитационном случае).'

Пусть Вар — матрица, обратная к Аа0,

A“pSpY = б";(5.46)

положим

А = {det Аар}1'2 = {det Ва₽}~1/2.(5.47)

(Матрица АаР является особой только в случае изотропного импульса. Мы не рассматриваем этот случай ниже.) Легко проверить, что свойства

5«р = 5ра, Ва/? = В%(5.48)

и

ХаВа^Х>60 для всех Ха(5.49)

непосредственно вытекают из (5.46) и соответствующих свойств (5.39) и (5.40) для Л“К Кроме того, А вещественно:

Д = Д.(5.50)

Условие отсутствия вращения записывается в виде

AaR = BaA.(5.51)

Заряд электромагнитного поля упоминался в п. 3.3. Он задавался интегралом ^ f ^W) 2)W (с некоторым постоянным множителем). Здесь мы имеем

e = ^(r)W = n2A-1.(5.52)

Контур удобно выбрать в виде сферы S3. Аналогично интеграл, задающих энергию-импульс и угловой момент источника линеаризованного гравитационного поля, равен ^WaW^g^W^SW, что дает

$ WaWpg (Г) ^Г = 1 л2ВарД-'(5.53)

(хотя А-*1 измеряет здесь массу покоя, а нс заряд). Это соотношение можно получить дифференцированием (5.52) по Аа^ (опуская временно ограничения (5.39)), поскольку

df/dAa6 = -2WaW6g(5.54)

И

dA 1дВао

^=-я*<5-55>

Заметим, что ДаР и Вар поменялись здесь ролями. В действительности возникающий при этом твистор углового момента пропорционален 5°^.

Мы хотим рассмотреть рассеяние заряженной бсзмассовой частицы электромагнитным полем с пассивной твисторной функцией f^W^. Для вычисления гамильтониана необходимо вычислить Интеграл для активной функции):

Hz^-^W-ZW^W.(5.56)

Так как эта формула содержит формальное выражение (W-Z)a, лучше всего продифференцировать ее по Za:

dtldZa = ^Wa(W •Z'hHW'lSW.(5.57)

Это выражение уже корректно определено. Структура его особенностей отличается от структуры особенностей (5.52), поскольку здесь имеется дополнительный полюс, связанный с (W-Z)i. Этот полюс попадает на выбранный контур, но найдется новый контур, который обходит этот полюс и нс гомологичен нулю. Аналогичное явление происходит, если внести в интеграл другой полюс (№-У)1 или если добавить к этим полюсам еще один, внося в интеграл ^W-X)i. (Для того чтобы обеспечить единственность класса гомологий контура, нужно требовать, чтобы каждый полюс «обходился» один раз в «положительном» направлении.) Полезно привести значения некоторых необходимых интегралов:

(5.58)(5.59)(5.60)(5.58)(5.59)(5.60)г raW _ 2л2 B^Z»

(5.58)

(5.59)

(5.60)

(5.58)

(5.59)

(5.60)

® FpZp (Л°аГрГст)2 “ Д BpaZpZ° ’

&аГ = 8л3,

J ГоУа • FpZp (Д9°ГрГа)ор?й Wp0J

A= 8л3г M^zs

7 Fp^. r/V. fsZ6 (л^Г^р) e^^A^X’WXtW '

Интеграл (5.58) дает ответ для (5.57), который мы можем проинтегрировать и получить (формально)

f (Z) = 4 (Ba/a2p)0 = 8 log (SapZaZB).(5.61)

Наш твисторный гамильтониан рассеяния равен

Z/(Z°, Zp) = f~(Za) + f(Zp),(5.62)

что дает

6Za = 2zeBapZp/BpaZpZa.(5.63)

Расписывая эту формулу в координатах, получим правильный низший порядок «1/г» угла преломления. Кроме того, (5.63) дает правильный низший порядок времени запаздывания, которое оказывается константой, нс зависящей от прицельных параметров.

Аналогичным образом рассматривается гравитационный случай. Окончательный результат равен

23log|BpaZZ IJ’ (5-64)

что является в некотором смысле формальным выражением из-за логарифмического члена. Логарифм влияет только на время запаздывания; угол рассеяния задается вторым членом. Второй член совпадает по форме с выражением в электромагнитном случае, за исключением импульсного множителя

b^°z°zv

Это означает просто, что угол рассеяния не зависит от импульса рассеиваемой частицы (поскольку весь член имеет теперь тот же порядок однородности, что и 6Za) в соответствии с принципом эквивалентности. Из-за логарифмического члена нс существует осмысленного («инвариантного») абсолютного понятия времени запаздывания. Это подкрепляется рассмотрением изотропных орбит решения Шварцшильда. Время запаздывания содержит в этом случае аналогичный логарифмический член, который стремится к минус бесконечности для больших прицельных параметров.

Наконец, возникает вопрос, как получить правильные квантовые версии указанных задач рассеяния, используя твисторные методы. Слепо подставляя гамильтониан в формулу <р|р> для скалярного произведения, мы получим вместо правильных матричных элементов нуль. Оказывается, для получения корректных результатов необходимо привлечь потенциалы. Метод введения потенциалов в теорию твисторов приводится в следующем пункте.

Потенциалы и массивные поля. Основная формула (2.20) для решения (в плоском пространстве) безмассового уравнения спина ~ п,: ^PP^PR... s = 0 в терминах произвольной голоморфной функции HW^, однородной степени — п — 2, может быть переписана в компонентах твистора IFa следующим образом:

TpQ ... S (Х°) ~ "2^[ ^ ^P^Q • •• ^sf ^А’ 1ХААХД^3)Х, (5.65) где

2)Х=еАВ^д дКв

(см. (3.35)). Проверка того, что это поле действительно удовлетворяет безмассовому уравнению, проводится непосредственными вычислениями, поскольку выражение

^ТГ' ^PQ ... S = "2лГ ^ “” ^P^Q • • • ^s^rfТ' (\г ~ ^хМ ^а) ^^очевидным образом симметрично по PQ ... ST, гдеafiaw.^y*.

Формула (5.65) допускает непосредственное обобщение на функции F^Wa;Za), голоморфные по двум твисторам Wa, Za и однородные степени —р — 2 и — q —- 2 соответственно. Мы можем положить

аР ... SG'... Д' (Х°) = (2Ш)2 §^‘ * ’ 1_1^^12_ ' р"q

XF((kA, — 1хАА'ХД; ixAAVA^ м^^Лц (5.66)

(где 3>Xyi = 2Ук/\ 2)pi и т- Д-J см- (3.34)). Тогда, ввиду того что да .. .[дхгт' есть сумма члена, симметричного по своим нештрп-

хованным индексам, и члена, симметричного по своим штрихованным индексам, имеем

^PG'®pq...sg-...k' = 0- (5.67)

Заметим, что а... зависит только от значений F^W^ Za) с WaZa = = 0. (Можно также очевидным образом обобщить формулу (5.66) на двухточечные поля арSG, , к, (х*3, уь\ удовлетворяющие уравнениям ^ар... sg' ...к'1дхр' = ^ д% SG'... к'1^Уо' = ^* Эти поля сводятся к предыдущим, если положить у° — ха, но они зависят от значений F( Wa; Z^ и при WaZa 0.)

Уравнение (5.67) представляет большой интерес. При р — q = = 1 оно сводится к VPG apG/ = 0, что совпадает с калибровочным условием Лоренца, если aa — электромагнитный потенциал. Мы можем тогда определить спинор электромагнитного поля посредством ^дв^^а^вс'» и симметрия по АВ обеспечена. Более общо, из (5.67) следует, что спинор

Рр STH' ... К, = ^Т аР ...SG'H' ... к' (5.68) симметричен по Р ... ST, а спинор

Vq ... SG' ... K'L' = ^L'aPQ ... SG' ...к' (5.69) симметричен по G' ... K'L, где мы пользуемся симметричностью ^р sg' к' по Р * * * и по G' ... К'. Кроме того, каждый из спиноров р... и у... также удовлетворяет (5.67) ^рн'$р ...Тн' ...к,= = 0, VqgYq ... sg'... L'= 0). Действительно, они возникают из формулы типа (5.66), в которой F^Wa; Za) заменяется соответственно функциями)

- HpaZp dF/dW0 или ilpoW9 dF/dZ*. (5.70)

Заметим, что операция (5.68) на единицу увеличивает число нештрихованных индексов и на единицу уменьшает число штрихованных индексов, тогда как операция (5.69) действует противоположным образом. Если мы выполним одну операцию вслед за другой, результат будет эквивалентен применению оператора — 4 □> где □ = V^V^ — даламбертиан плоского пространства. Тем самым мы получаем твисторную версию даламбертиана:

□ = - 2 fIa6Za —) = (= -2IMZalpaW0 —:. (5.71) V 9 dW^) \ p dZa) 9 р5Гр dZ° V ’

Используя квантовомеханические замены —d/dZ^ -<->- 2а, d/dll^ «-> ч-> ^S и D -*->■ —m2, получим

m2 = 2|/apZar3|2.(5.72)

Обнадеживает совпадение этого выражения с формулой для полной массы системы, которая, как и в п. 5.2, складывается из двух безмассовых систем, а именно систем, возникающих из Za и из Wa. Имеем Ра = ZaZa' -VWaW д', так что РаРа = 21 Za'Wa' |2, откуда и вытекает (5.72).

Если ^(W^Za) есть собственное состояние с собственным значением —т2 оператора (5.71), то получающееся поле а..., задаваемое (5.66), удовлетворяет уравнению (□ + m2)a... = 0. Из этого уравнения вместе с (5.67) вытекает, что а... (в паре с р... из (5.68) или с у... из (5.69), если необходимо) описывает неприводимое свободное дираковское поле массы т (которая предполагается здесь положительной) «высшего спина», равного ^р + qY (Если pq = 0, то условие (5.67) исчезает. Это справедливо, в частности, по отношению к обычному уравнению Дирака для электрона, в котором р= 1, q = 0 или р = 0, ^=1.) Тем самым мы получаем возможность описания в рамках твисторного формализма состояний частиц с ненулевой массой покоя.

Если т = 0, мы имеем способ непосредственного описания потенциалов в терминах твисторов. Это позволяет вводить взаимодействие в твисторном формализме гораздо более прямым путем, нежели до сих пор). При этом мы можем не ограничиваться только рассмотрением полей без источников, поскольку применение оператора (5.71) к F приводит к членам, отвечающим источникам.

Если т = 0 и источников нет, можно получить функцию f(l^a), порождающую поле фр...$, так же как в (5.65), из функции F^W^Z^, порождающей то же поле, что и в (5.66), с q = 0. При условии что FQ^ 1хААХд; iyAA\x.A,, цл,) не зависит от уа, т. е. при условии что Ia^dF/dZ^ = 0, справедливо соотношение

ЛИТЕРАТУРА

Penrose R. In: Welch D. J. A. (ed.). Combinatorial mathematics and its applications.— London: Academic Press, 1971.

Penrose R. Structure of space-time. In: de Witt С. M., Wheeler J. A. (eds.). Battelle Rencontres. — New York: Benjamin, 1968, pp. 121—235. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.]

Kuiper N. Н. — Ann. Math. 50 (1949), 916;

Rudberg Н. Dissertation. — University of Uppsala, Sweden, 1958;

Penrose R. In: Proc. 1962 Conf, on relativistic theories of gravitation. — Warsaw: Polish Academy of Science, 1965;

A. Uhlmann. — Acta Phys. Polon. 24 (1963), 293.

Penrose R.— Proc. Roy. Soc. London. A284 (1965), 159.

Penrose R. — J. Math. Phys. 8 (1967), 345—366.

Cartan E. — Ann. Ecole Norm. Super. 31(1914), 263;

Klein F. Gesammelte Math. Abh. — Berlin: J. Springer, 1921;

Weyl H. The classical groups. — Princeton, N. J.; Princeton University Press, 1939 [имеется перевод: Вейль Г. Классичеслие группы, их инварианты и представления.— М.: ИЛ, 1947];

Brauer R., Weyl Н. — Amer J. Math. 57 (1935), 425.

Eisenhart L. P. Continuous groups of transformations. — Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1933; reprinted by Dover, 1961.

Laue H. — Nuovo Cimento 38(1971), 55.

Penrose R. — Ann Phys. (N. Y.) 10(1960), 171;

Newman E. T., Penrose R. — J. Math. Phys. 3(1962)', 566.

Whittaker E. T. — Proc. Roy. Soc. London A158 (1937), 38;

Payne W. T. — Amer. J. Phys. 20(1952), 253.

Penrose R. Null hypersurface initial data. In: Bergmann P. G. (ed.). A. R. L. Techn. Report 63-56; Office of Aerospace Research, U. S. Air Force, 1963.

Dirac P. A. M.— Proc. Soc. London A155 (1936), 447;

Fierz M., Pauli W. — Rroc. Roy. Soc. London A173 (1939), 211;

Wigner E. P., Bargmann V. — Proc. Nat. Acad. Sci. (Washington) 34 (1948), 211.

Cunnigham E. — Proc. London Math. Soc. 8(1910), 77;

Bateman H. — Proc. London Math. Soc. 8(1910), 223;

McLennan J. A., Jr. — Nuovo Cimento 10(1956), 1360;

Buchdahl H. A. — Nuovo Cimento 11 (1959). 496.

Sachs R. K., Bergmann P. G. — Phys. Rev. 112(1958), 674.

van der Waerden B. L. — Nachrichten von der Gesellschaft der Wlss. Gottin* gen (1929), 100.

Hepner W. A. — Nuovo Cimento 26(1962), 351;

Murai X. — Prog. Theoret. Phys. 9(1953), 147; 11(1954), 441;

Murai X. — Nucl. Phys. 6(1958), 489;

Segal I. E. — Proc. Nat. Acad Sci. (Washington) 57(1967), 194.

Bondi H. — Nature 186(1960), 535;

Bondi H., Metzner A. W. K-, van der Burg N. J. G. — Proc. Roy. Soc. (London) A269(1962), 21;

Sachs R. K- — Proc. Roy. Soc. London A270(1962), 103.

Newman E. T., Unti T. W. J. — J. Math. Phys. 3(1962), 891.

Grgin E. — Ph. D. thesis: Syracuse University, 1966.

Todd J. A. Projective and analytic geometry. — London: Pitman, 1947;

Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. — Oxford: Clarendon Press 1949.

Penrose R.—Int. J. Theor. Phys. 1(1968), 61.

Robinson L — I. Math. Phys. 2(1961), 290.

Kopczynski N., Woronowicz L. S. — Reports Math. Phys. 2 (1971), 35.

Penrose R. — /. Math. Phys. 10(1969), 38.

Streater R. F., Wightman A. S. PCT, spin and statistics, and all that. — New York: Benjamin, 1964. [Имеется перевод: Стритер P. Ф., Вайтман А. С. РСТ, спин, статистика и все такое.—М.: Наука, 1966.]

Crampin М. J., Pirani F. А. Е. Twistors, symplectic structure and Lagrange’s identity. In: Kuper Ch. G., Peres A. (eds.). Relativity and gravitation. — London: Gordon and Breach, 1971, pp. 105—110.

Hicks N. J. Notes on differential geometry. — Princeton: Van Nostrand, 1965.

Brinkmann W. Н.— Proc. Nat. Acad. Sci. (Washington) 9(1923), 1;

Ehlers J., Kundt W. In: Witten L. (ed.) Gravitation: an introduction to current research. — New York: John Wiley, 1962, ch. 2.

Penrose R. In: O’Raifertaigh L. (ed.) General relativity (papers in honour of J. L. Synge). — Oxford: Clarendon Press, 1972.

Fierz M. — Helu. Phys. Acta 13(1940), 45.

Robinson I., Trautman A. — Proc. Roy. Soc. London A265(1962), 463.

Qadir A. — Ph. D. thesis: Birkbeck College, London, 1971.

Penrose R. An analysis of the structure of spacetime. — Princeton: Adams Prize Essay, 1967.

4. Fulton T., Rohrlich F., Witten L. — Rev. Mod. Phys. 34(1962), 442.

Trautman A., Pirani F. Л. E., Bondi H. Lectures on general relativity, Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, 1964. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1965, vol. 1.

Gross L. — J. Math, and Phys. 5 (1963), 687.

Penrose R. In: Bastin E. T. (ed.) Quantum theory and beyond. — Cambridge: Cambridge University Press, 1972.

Penrose R. In: Klauder J. R. (ed.) Magic without magic: John Archibald Wheeler. — San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1972.

Flato M., Simon J., Sternheimer D. — Ann. Phys. (N. Y.) 61(1970), 78; Kastrupp H. — Phys. Rev. 142(1966), 1060.

Infeld L, van der Waerden B. L. — Sltzber. Preuss. Akad. 9(1933), 380.

Penrose R. In: de Witt C., de Witt B. (eds.) Relativity, groups and topology, Les Houches lectures, 1963. — London and Glasgow: Blackie and Son, 1964.

Penrose R. In: Ehlers J. (ed.) Relativity theory and astrophysics. — Providence, R. L: American Mathematical Society, 1967, vol. 1.

Newman E. T., Penrose R. — Proc. Roy. Soc. London A305 (1968), 175.

Aronson B., Lind R., Messmer J., Newman E. T.—J. Math. Phys. 12(1971), 2462.

Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. — New York: Academic Press, 1962 [имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964];

Nelson Е. Tensor analysis, Mathematical Notes. — Princeton: Princeton University Press, 1967.

Synge J. L. Relativity; the special theory. — Amsterdam: North-Holland, 1956.

Kerr R. P. — Phys. Rev. Letters 11 (1963), 237.

Bjorken J. D., Drell S. D. Relativistic quantum fields. — New York: McGraw- Hill, 1965. [Имеется перевод: Бьеркен Дж., Дрелл С. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978.]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАВИТОНЫИ ИСКРИВЛЕННАЯ ТЕОРИЯ ТВИСТОРОВ1)

Р. Пенроуз

Mathematical Institute, Oxford, England

§ L Введение

Вопрос о наилучшем квантовании гравитации в течение долгих лет являлся предметом многочисленных обсуждений и дискуссий. И Петер Бергман неоднократно и неустанно напоминал нам, что гравитационные кванты не могут быть описаны только в терминах линеаризованной теории гравитации. Сознаю, что мне потребовалось довольно длительное время, чтобы самостоятельно прийти к полному признанию этой мысли. Действительно, заманчиво было бы использовать квантовомеханический принцип линейной суперпозиции как оправдание для того, чтобы освободиться до следующего этапа изучения от сложной нелинейной природы гравитационного самодействия и отложить на неопределенное время вопрос о вопиющем несоответствии между квантовой механикой и принципами пространственно-временной геометрии! Но если Петер Бергман чему-то научил нас в наибольшей степени, так это, без сомнения, тому, что, лишив прекрасную теорию Эйнштейна жизни, насильственно сделав ее плоской и линейной, мы ничего не добьемся, размахивая волшебной палочкой квантовой теории над получившейся безжизненной схемой.

Рассмотрим этот вопрос с несколько иной стороны. Согласно общепринятой точке зрения, «гравитоны» описываются по теории возмущений линеаризованной теорией Эйнштейна (безмассовые пуанкаре-ковариантные поля спина 2) в плоском пространстве Минковского. Если один такой «гравитон» добавляется к вакуумному состоянию, пространство остается плоским. Световые конусы при этом не изменяются. Если добавляется второй такой «гравитон», затем третий и четвертый, пространство по-прежнему остается плоским, а световые конусы сохраняются. При таком подходе в рамках теории возмущений пространство искривится только после того, как в него будет добавлено бесконечное число «гравитонов». Эту ситуацию можно сравнить с разложением в степенной ряд. Например, для любого конечного числа членов функция

1_L 1 _L ! _L г *‘ ‘ zn

!) Roger Penrose. Nonlinear gravitons and curved twistor theory. — General Relativity and Gravitation, 7, No. 1 (1976), 31—52.

© 1976 Plenum Publishing Corporation

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

имеет полюс, расположенный в точке 2 = 0. Однако в бесконечной сумме

-—

222* Z3 ГZ — 1

этот полюс сдвигается в точку 2=1. Обычные разложения гравитационных пропагаторов по теории возмущений ведут себя аналогичным образом; их полюсы располагаются на световых конусах пространства Минковского до тех пор, пока сумма не становится бесконечной. Только после этого особенности пропагаторов сдвигаются на их истинные позиции в искривленном пространстве. Но если имеет смысл говорить о физических гравитонах1), то законно говорить и о конечном числе таких гравитонов. И если теория Эйнштейна физически осмысленна, то, несомненно, каждый отдельный гравитон должен иметь свою собственную меру кривизны. Я не могу поверить, что кривизна появляется только после бесконечного суммирования.

Подход, который я здесь предлагаю, допускает состояние ровно из одного гравитона, причем его описание учитывает как кривизну, так и нелинейность теории Эйнштейна. Хотя я понимаю, что единственным оправданием указанного подхода могут служить его собственные достоинства, тем не менее он получает неожиданную поддержку с другой стороны — благодаря поразительному математическому результату, который позволяет построить произвольный нелинейный гравитон указанного типа в терминах искривленного твисторного пространства, используя одну голоморфную функцию трех комплексных переменных. Таким образом, этот подход естественно укладывается в общую твисторную программу ([1]—[3]) описания квантованных полей.

Нелинейный гравитон

Для того чтобы представить себе, как должен описываться гравитон, будем действовать вначале по аналогии с электромагнитным полем. Каково же математическое описание отдельного свободного фотона? Имеется, конечно, много эквивалентных путей.

Мне потребуется описание, которое является одновременно релятивистски и калибровочно инвариантным. В этом случае можно

!) Можно, с другой стороны, считать, что теория возмущений в терминах (линейных) «гравитонов» является просто удобным аппаратом, и не придавать никакого физического смысла отдельному «гравитону». Это было бы оправдано, если бы удалось успешно довести подобную программу до конца. Но, хотя в последние годы в этом направлении и был достигнут впечатляющий прогресс ([1]), еще остаются фундаментальные проблемы, решения которых пока не видно. В частности, стандартная техника теории возмущений, по-видимому, приводит при наличии источников к неперенормируемой квантовой теории Эйнштейна ([!])«

задать волновую функцию фотона Раь^ =—Рьа") как решение свободных уравнений Максвелла

VVaFbcl = 0> ГРаЬ = 0. (2.1) Имеется, однако, существенное различие между классическим решением уравнений (2.1) и решением, задающим волновую функцию свободного фотона, поскольку классические решения вещественны, а волновые функции комплексны. Кроме того, волновая функция свободного фотона должна содержать только положительные частоты. Возникает также вопрос о нормируемости волновой функции, но мы отложим его до следующего этапа.

Условие положительной частотности поля на (компактифицированном) пространстве Минковского М удобно переформулировать ([4]) на языке комплексифицированного (компактифицирован ного) пространства Минковского СМ. Обозначим через СМ+ область в JCM точки которой имеют комплексные радиус-векторы

wa = xa — iyQ

(ха и уа вещественны), где вектор у° времениподобен и направлен в будущее', через £М+ обозначим замыкание этого множества в СМ. Очевидно, Мег СМ+. Удобное условие, обеспечивающее не только положительную частотность волновой функции, определенной !) на М, но и ее нормируемость, состоит в том, что эта функция может быть продолжена как голоморфная (т. с. комплексно аналитическая) функция на все множество .СМ+ (где голоморфность на границе означает голоморфную продолжаемость через границу). Если не требовать нормируемости и разрешить волновой функции быть разрывной или обобщенной функцией, то в предыдущем условии нужно считать только, что волновая функция на М является граничным значением некоторой функции, голоморфной в СМ+.

Такое определение гораздо удобнее для наших целей по сравнению с определением, опирающимся на фурье-разложение поля, поскольку анализ Фурье мало пригоден для общей теории относительности. (Упрощенно говоря, соотношение между двумя Подходами в случае пространства М выглядит следующим образом: фурье-компонента ехр(—ipawa) положительной частотности в области _СМ+ подавляется, когда вектор ра направлен в будущее, и растет, когда ра направлен в прошлое. Заметим, однако, что фурье-компоненты любой частотности плохо ведут себя на бесконечности, что связано с их ненормируемостью.)

!) Ввиду того что мы рассматриваем здесь компактифицированное пространство М, обсуждение приспособлено более к безмассовым, чем к массивным полям. Я занимаюсь в этой работе только безмассовыми полями, однако в подобную схему можно включить и массивные поля. Для того чтобы безмассовое поле было «определено на М», нужно, чтобы оно имело подходящее поведение на бесконечности ([3]) в смысле Гргина.

Данное выше описание свободного фотона является в некотором важном смысле приводимым, поскольку в нем рассматривались совместно левосторонний и правосторонний фотоны. В действительности их можно считать двумя различными частицами; при этом их волновые функции совпадают с антиавтодуальной и автодуальной частями F^ и Fab тензора Раь*

=+(2.2)

где eabcd— альтернирующий тензор. Если тензор Раь веществен, то М^ и F^ комплексно сопряжены друг другу, однако для волновой функции они являются просто независимыми комплексными величинами положительной частотности (и потому не могут быть комплексно сопряжены друг другу). Если F^ = 0, мы имеем левосторонний фотон (спиральности —й); если F^a? = 0 — правосторонний фотон (спиральности +^)-

Уравнение (2.2) можно переписать в терминах 2-спинорного формализма как

'Fflb = ^АВ^А'В' + ^AB^A'B'(2.3)

(в обозначениях используются для удобства абстрактные индексы; см. [5]), где

F^b = ^AB^A'B'’ F^ = ^AB^^B'*

Тогда для классического (вещественного) поля будем иметь ^А'В^^А'В^ в то вРемя как Для волновой функции фотона Флв и фл,в, являются независимыми (симметричными) спинорами, описывающими левостороннюю и правостороннюю компоненты фотона ([3]). Уравнения Максвелла (2.1) превращаются в

V^b = °>V^,B, = 0..• (2.4)

Для задания чистого состояния спиральности —Й нужно положить Фл'в, = 0, Для чистого состояния спиральности +Й нужно взять фдв = 0.

Обратимся теперь к гравитации. Приняв общепринятую точку зрения на «гравитоны», а именно представляя их как слабые возмущения пространства Минковского, мы придем к описанию, аналогичному приведенному выше, в котором два симметричных спинора ^Abgd» ^a'B'G'd' с четырьмя индексами используются для задания (комплексного) линеаризованного тензора кривизны

К abed ^ ФЛВСГ^Л'В^С'В' + гАВгСО^А'В,С,О,е(2*5)

Рассуждения такие же, как в приведенном выше случае. Однако я предлагаю отказаться здесь от линейной теории. Вместо этого я хочу применить аналогию с электромагнетизмом к полной теории Эйнштейна. Действительно, разложение полной римановой кривизны вакуумного пространства-времени (с нулевой космологической константой) может быть выражено ([5]) в той же форме, что и в (2.5):

Rabcd ~ ^ ABCD^A'B'^G'D' + 6AB6CD^ A'B'G'D' (2-6)

с симметричными ^abgd и Wa'b'G'ds где слагаемые в правой части являются соответственно автодуальной и антиавтодуальной частями кривизны вакуума. Для классического (вещественного) пространства-времени ^a'b'g-d' комплексно сопряжено ^abcd. Но при описании (нелинейного) гравитона следует ожидать по аналогии с электромагнитным случаем, что ^abgd и Фawc'd' станут независимыми величинами, причем в некотором смысле, положительной частотности. Кривизна Rabcd становится, следовательно, комплексной, так что мы имеем дело с некоторым комплексным римановым пространством.

Понятие вещественного (псевдо) риманова пространства можно обобщать многими способами, получая при этом пространства с комплексной кривизной. Однако по аналогии с электромагнетизмом ясно, каким должно быть наше обобщение. Нам требуется пространство с комплексной симметричной метрикой §аь (в противоположность, скажем, кэлеровой метрике, которая эрмитова). А так как условие положительной частотности подразумевает исследование поля в точках комплексного пространства-времени и его голоморфность в соответствующей области этого пространства, то мы приходим естественным образом к заключению, что рассматриваемое пространство должно быть комплексным четырехмерным многообразием, а метрика gab— голоморфной на этом многообразии. Стандартные формулы общей теории относительности легко обобщаются на подобную ситуацию. Правило состоит в том, что все величины, которые ранее были вещественными, теперь становятся комплексными; величины, которые ранее были комплексными, теперь «освобождаются» от комплексно сопряженных к ним величин; так, выражение, содержащее, скажем, величину £ и ее комплексно сопряженную |, заменяется на аналогичное выражение, содержащее две независимые величины £ и£. Следовательно, комплексная кривизна Rabcd общего комплексного риманова четырехмерного многообразия имеет спинорное представление ([5])

Rabcd = ABC DB A'B^C'D' + 6 AB^CD^ A'B'C'D' + г АВ® CD А'В'6, С'D' +

+ ^CD® ABG'D'^A'B' + 2Л ^aq^bD^A'C'^B'D' ^АО^ВС^А'О^В'С'У ^»7)

где величины

Wabgd = ^ubcdo и ^а'вчго' = ЧЧа'В'С'оч(2.8/

независимы, а величины

Фавс'П' = Ф(дв) tc'D') и Л(2.9)

комплексны (и не связаны ^икакими соотношениями эрмитовс- сти — равенства Фавс'п' = Фавс'п' и Л = Л можно воспринимать как определение величин Фдвс'п и Л).

Будем считать, что комплексное пространство-время описывает гравитон, если выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна:

Rab = 0, т, е.

Фава'В' = 0 и Л = 0.

Тогда комплексные вакуумные тождества Бьянки превращаются в соотношения

7лл Чгдвсо = 0,VAA A¥a'B'C'd' ~ 0,

тесно связанные с (2.4). Но для отдельного гравитона с определенной спиральностью требуется также выполнение либо соотношения

a'b'G'd' = 0 (спиральность — 2й), либо

Wabgd = 0 (спиральность + 2Й).

Я буду называть правоплоским комплексное вакуумное пространство-время, для которого Wa'B'G'd' = 0, и левоплоским, если Фдвсл = 0. Таким образом, левосторонний гравитон описывается правоплоским (левоискривленным) комплексным пространством- временем положительной частотности; правосторонний гравитон — левоплоским пространством-временем !).

Использование такого описания, которое ни в каком общепринятом «физическом» смысле не напоминает обычное пространство- время, может показаться надуманным. Но мы должны иметь в виду, что Вселенная, единственным «обитателем» которой является гравитон, скорее всего, вряд ли похожа на обычное пространство-время. Кроме того, как и в случае одного фотона, мы имеем дело не с полем, а с величиной, описывающей некоторым образом распределение вероятности обнаружения гравитона. Для

!) Понятия правоплоского и левоплоского пространства-времени восходят к предложенной Ньюманом конструкции пространств [6], [7], называемых «небесами». Хотя многое из моих рассуждений основано на работе Ньюмана, мне не понадобится обращаться к ней явно в этой статье.

того чтобы пояснить эту мысль, понадобится определение скалярного произведения гравитонных состояний. Но предварительно, нужно дать разумное определение «положительной частотности» для право- или левоплоского комплексного пространства-времени. Для этого требуется какой-либо аналог плоского комплексного пространства-времени СМ+. Все указанное выглядит труднопреодолимой задачей. Поэтому особо замечательным и воодушевляющим является тот факт, что обцее право (или лево) плоское комплексное (положительно-частотное?) вакуумное пространство- время строится автоматически с помощью теории твисторов ([1] —[3])! Имеется уже целый ряд свидетельств в пользу того, что теория твисторов, по-видимому, способна дать новую точку зрения на некоторые явления природы. Здесь мы сталкиваемся с совершенно другим аспектом этой теории. Прежде казалось, что твисторы годятся только для описания плоских (или конформно плоских) пространств-времен. Но, как теперь выясняется, наиболее простой тип искривленного пространства-времени (согласно приведенным выше соображениям), а именно одногравитонное состояние с определенной спиральностью, весьма естественно возникает в теории твисторов, как мы увидим далее, из наиболее простого типа искривленного твисторного пространства. В этой работе невозможно входить во все детали, но основной математический результат будет приведен ниже.

Структура плоскоготвисторного пространства

Напомним ([1]—[3]) определение комплексного (компактифицированного) пространства Минковского, возникающее из обычного (плоского) твисторного пространства Т. Пространство Т является четырехмерным комплексным векторным пространством, снабженным эрмитовой формой Ф сигнатуры (+Н), обычно записываемой в виде1)

ф=г0/2 + z1^ + 7270- + ^ = z«2a,(3.1)

где (комплексные) компоненты (абстрактного) твистора Za равны Z°, Z1, Z2, Z3, а_ компоненты (абстрактного) комплексно сопряженного твистора Za равны

Z0 = Z2, Z^F, Z2=?> Zg — Z1*.

Подмножества T, на которых форма Ф положительна, отрицательна или равна нулю, обозначаются соответственно через Т+,

Т~ и N. Комплексные двумерные линейные подпространства соответствуют точкам LOM по следующей схеме *):

poi • р02 • роз ; р12 • р13 • р23 ,_

где твисторгде твистор(да + /да3): (—да0—да1): (да0—да'): (—да2 + /да3): (/ V^),

где твистор

где твистор

ра3Хау^X^Yра3Хау^X^Yаа(3.2)

ра3Хау^X^Y

ра3Хау^X^Y

а

а

задает линейную оболочку твисторов Ха, Уа, a wa—радиус-вектор2) соответствующей точки иСМ. Линейные двумерные пространства («2-пространства»), лежащие в N, определяют точки вещественного (компактифицированного) пространства Минковского М, а 2-пространства, лежащие в T+U{0}, определяют точки ,QM+. '

Часто бывает удобно рассматривать проективное твисторное пространство РТ («приставка» Р означает «проективное»). Тогда точки .СМ представляются комплексными проективными прямыми в РТ (которые являются компактными голоморфными кривыми, имеющими топологию S2); точки М представляются проективными прямыми в PN, а точки СМ+ — проективными прямыми в РТ+. Две точки СМ изотропно расположены тогда и только тогда, когда соответствующие проективные прямые в РТ пересекаются.

В пространстве М имеется также выделенная точка /, которая является вершиной светового конуса в бесконечности. Она соответствует специальной проективной прямой I в PN, задаваемой кососимметричным твистором /ар или, эквивалентно, дуальным твистором /ор = 4еар/(где eaPv6 = e^ единственные ненулевые компоненты которых равны

/2з=-/з2=1==/01 = -/10. (3.3)

15-параметрическая группа линейных преобразований Т, сохраняющая форму (3.1) и твистор eapY6 (следовательно, унимоду- лярная), есть 5(7(2, 2). Она является четырехкратной накрывающей конформной группы на М. Ее 10-параметрическая подгруппа, сохраняющая /ар (или, эквивалентно, 1а^, точно так же соответ-

!) Грассманово многообразие двумерных линейных подпространств в Т допускает представление (представление Клейна — Кэли — Грассмана [16*]) в виде квадратичной гиперповерхности в пятимерном комплексном проективном пространстве СР6, при котором каждой точке квадрики отвечает двумерное линейное подпространство в Т • Это представление и имеется в виду в формуле (3.2).— Прим, перев.

ствует группе Пуанкаре на М. Важную роль в теории твисторов играют дифференциальные формы

i = /apZodZe,(3.4)

x = Ldv=Li HZ»Naz^(3.5)

(форма т является вырожденной, она имеет ранг 2),

Р = |еа₽Тв Z“ dZ^ А А dZ&(3-6)

И

о = 1 dp = 4 eapY6 dZa л dZ^' л dZ^ к dZb.(3.7)

Формы р и со инвариантны относительно 15-параметрической группы (т. е. конформно инвариантны), в то время как t и т инвариантны только относительно 10-параметрической группы (т. е. пуанкаре-инвариантны).

Вырожденная 2-форма т, будучи ранга 2, определяет в каждой точке Т комплексную 2-плоскость. Так как с/т = 0, распределение этих 2-плоскостей интегрируемо, и все пространство Т приобретает структуру (тривиального) расслоения, слоями которого являются указанные 2-плоскости; каждая из них имеет структуру двумерного комплексного аффинного пространства, а база имеет структуру двумерного комплексного векторного пространства. В координатах слои параметризуются координатами (Z°, Z1) при фиксированных Z2 и Z3, а база параметризуется координатами (Z2, Z3). Проективное пространство РТ также приобретает структуру расслоения (не являющегося уже тривиальным), при условии что мы исключим прямую I. Слои являются теперь просто плоскостями (с выброшенной I), проходящими через прямую I. База имеет топологию S2 и является комплексной проективной прямой (СР1).

Мы можем считать, что форма т определяет меру комплексного объема на базе расслоения в Т («горизонтальная мера»), а со задает меру объема ц на каждом слое («вертикальная мера») с помощью равенства

со = тЛц.(3.8)

Дополнительная информация — сверх той, что дается формами т и со,— задаваемая формами t и р, содержится в векторном поле

Y = Zad/dZa(3.9)

(«операторе Эйлера»), комплексные интегральные кривые которого можно рассматривать как точки РТ. В обычных обозначениях ([8]) имеем1)

l = YJt, p = YJ(o.(3.10)

9 Символ J обозначает произведение векторного поля и формы (см. также [9*]).—Прим, перев.'

Искривленное проективноетвисторное пространство

Для построения нелинейного гравитона необходимо заменить плоское твисторное пространство Т на новое пространство ^, локальная голоморфная структура которого та же, что и у Т, а крупномасштабная структура в некотором смысле деформирована (т. е. «искривлена»). Локальная структура комплексного многообразия ^, векторное поле Y, формы t, т, р, со и структура расслоения на Т сохраняются). (Структура расслоения задается в конечном итоге локальными свойствами формы т.) Однако линейная структура Т не сохранится. Это ключевой момент, который будет подробно рассмотрен ниже. Основная идея состоит в том, что, подобно тому как линейные 2-пространства в Т задают точки иС.М, некоторые аналоги линейных 2-пространств в ^ задают точки нового пространства Ж. Это комплексное четырехмерное пространство наделено естественной комплексной метрикой, которая является правоплоской. В действительности все правоплоские (вакуумные) четырехмерные пространства могут быть получены с помощью подобной конструкции. Наконец, требуя, чтобы 9" было в некотором подходящем смысле похожим на Т+ (или, лучше, на T+UN), мы предлагаем в порядке обсуждения определение положительной частотности для Ж. Такое пространство Ж будет описывать, согласно изложенным соображениям, общий (левосторонний) гравитон.

Я начну с изучения несколько упрощенной ситуации. Рассмотрим проективное пространство РТ просто как некоторое комплексное многообразие. Допустим, что мы совершаем малую, но конечную деформацию его комплексной структуры). Тогда имеется теорема ([9], [10]) о том, что любое комплексное многообразие, являющееся деформацией РТ (т. е. комплексного проективного трехмерного пространства .СР), в действительности совпадает с РТ как комплексное многообразие. Помимо этого, и линейная структура остается такой же, как у РТ. Поэтому, деформируя комплексную структуру всего РТ, мы не получим ничего нового. Однако, если мы выберем сначала подходящее подмножество РТ и деформируем его комплексную структуру, мы можем получить нечто новое. Таким подходящим подмножеством была бы область РТ+ или окрестность 3 некоторой проективной прямой L в РТ.

Рассмотрим пока случай $ (случай РТ+ рассматривается аналогично). Проективные прямые, лежащие в $, соответствуют точкам окрестности L в СМ (А— точка СМ, соответствующая L). Эти проективные прямые являются компактными голоморфными кривыми, имеющими топологию S. В окрестности $ имеются также другие компактные голоморфные кривые (коники, кубики и т. д.), отличающиеся от проективных прямых тем, что они «наматываются» более одного раза при вложении в $\ иными словами, они принадлежат к другим классам гомологий по сравнению с проективными прямыми, поэтому их нельзя непрерывно деформировать в проективные прямые. Я не буду здесь касаться этих более сложных голоморфных кривых. Но если мы рассмотрим только компактные голоморфные кривые, принадлежащие гомологическому классу проективных прямых в $, то из общей теории ([11]) будет вытекать, что они исчерпываются этими проективными прямыми. Таким образом, локальное условие голоморфности (т. е. просто дифференцируемости в комплексном смысле) вместе с топологическими условиями компактности и принадлежности нужному гомологическому классу уже достаточны ^ для выделения требуемого четырехпараметрического семейства — проективных прямых, представляющего точки СМ. Линейную структуру РТ как независимое свойство выделять не нужно. Она уже заложена неявно в голоморфных и глобальных свойствах $.

Деформируя теперь комплексную структуру $, получим новое комплексное трехмерное многообразие $'. Первый вопрос заключается в том, существуют ли по-прежнему в $' подходящие аналоги проективных прямых. Потребуем, чтобы эти аналоги были, как и раньше, компактными голоморфными кривыми, принадлежащими тому же гомологическому классу, что и проективные прямые в $. К счастью, имеется теорема Кодаиры [12], касающаяся как раз подобной ситуации. Необходимо исследовать группу когомологий НЦЪ, S), где S — пучок ростков голоморфных сечений нормального расслоения2) к L в $. Если HX(L, S) = 0, то, согласно теореме Кодаиры, в каждой достаточно малой деформации S’' окрестности 2? будет существовать подходящий аналог L. Эго означает, что если $ (/) — семейство комплексных многообразий (соответствующим образом голоморфное по /), определенное в некоторой окрестности начала координат в ,С по параметру /, причем 27(0) = 2>, то существует (голоморфное) семейство L(/)c: с$^ с И<Р Для некоторого достаточно малого р > 0, для которого L(0)= L. В этом смысле аналог L существует в каждом $(^) при р| < р.

!) Такое поведение, конечно, находится в полной противоположности с вещественным случаем. Дифференцируемые (или аналитические) вещественные кривые можно деформировать локально очень многими способами. Совокупность таких деформаций образует в действительности бесконечномерную систему.

Рис. 1. Точки Р и Q пространства Jt изотропно расположены тогда и только тогда, когда соответствующие голоморфные кривые Р и Q пересекаются в ^'j в этом случае точка их пересечения Z отвечает вполне изотропной плоскости в Ж.

Равенство /^(L, S) = 0 действительно справедливо. (Оно вытекает1) из того, что нормальное расслоение L в $ является прямой суммой нормальных расслоений L в двух плоскостях, про-, ходящих через L, из двойственности Серра [13], примененной к каждому из этих расслоений, и из того, что близкие к L прямые в этих плоскостях пересекают L) Следовательно, если выбранное нами $г достаточно близко к $ по отношению к его комплексной структуре, то 3' заведомо содержит аналог L. Подобное рассуждение применимо к любому другому элементу четырехпараметрической системы проективных прямых в $. Отсюда видно, что 23 (достаточно близкое к 3^ содержит в точности четырехпараметрическую систему компактных голоморфных кривых, принадлежащих нужному гомологическому классу. Можно считать, что каждая из этих кривых представляет собой -точку абстрактного пространства Ж. Можно показать, что Ж является комплексным четырехмерным многообразием.

Пространство Ж имеет комплексную конформную. структуру (т. е. комплексную метрику, задаваемую с точностью до локальной пропорциональности), естественно определяемую самим построением. Для задания конформной метрики достаточно определить, когда две близкие точки Ж изотропно расположены (определив тем самым «световые конусы» в ЖУ В действительности можно дать определение, применимое и к точкам, которые не обязаны быть близкими. Если Р и Q — две точки Ж, соответствующие компактным голоморфным кривым Р и Q соответственно, то по определению точки Р и Q изотропно расположены тогда и только тогда, когда кривые Р и Q пересекаются (см. рис. 1).

Необходимо проверить, что эта «конформная структура» является на самом деле квадратичной (т. е. возникает из комплекс-

9 Я глубоко признателен М. Ф. Атье, предоставившему мне это доказательство равенства Н^Ъ, 5) = 0 и обратившему мое внимание на работу Кодаи- ры [12].

ной римановой метрики). Достаточно исследовать ситуацию в случае, когда точки Р и Q близки. Это означает фактически, что кривую Q можно рассматривать как голоморфное сечение нормального расслоения ^ к Р в S£r. Эти сечения с нулями определяют световой конус в точке Р на Ж. Квадратичный характер этого светового конуса является следствием общих результатов о деформациях комплексных структур. Действительно, мы знаем, что этот конус является квадратичным в исходном плоском случае, в котором пространство .СМ получается из РТ с помощью аналогичной конструкции. (А именно основной конструкции твисторов, описанной в § 3. В этом случае СМ есть «представление Клейна» прямых в * РТ, так что СМ — квадрика, а световые конусы получаются из касательных гиперплоских сечений, являющихся конусами на квадрике, и, следовательно, квадратичны.) Когда мы деформируем структуру, чтобы получить 2/, деформируются и эти световые конусы. Система световых лучей в точке Ж (образующих светового конуса) есть компактное двумерное комплексное многообразие ^, являющееся квадрикой в плоском случае, которое в общей ситуации получается деформацией комплексной структуры этой квадрики. Но имеется теорема ([14]), утверждающая, что любая деформация комплексной структуры квадрики тривиальна (т. е. приводит снова к той же квадрике). Следовательно, конформная структура ^ действительно квадратична.

Обладая этой информацией, мы можем теперь перейти к изучению кривизны Ж. Для любого выбора метрики, совместимого с указанной конформной структурой, имеет место спинорное разложение (2.7). Спиноры Фдвс'о' и Л, отвечающие тензору Риччи, не являются конформно инвариантными, поэтому о них мало что можно сказать. Каждый же из спиноров ^¥abcd и ^a'b'C'd' конформно инвариантен и отвечает соответственно антиавтодуальной и автодуальной частям конформного тензора Вейля. Определение этих четырехиндексных спиноров в терминах 22 зависит от определения «нештрихованных» и «штрихованных» спиновых пространств в точке Р пространства Ж. Для этого мы должны рассмотреть световой конус в точке Р и понять, каким образом можно выразить пространство ^ его образующих (световых лучей в точке Р) в виде произведения двух пространств С.Р1— нештрихованного и штрихованного проективных спиновых пространств в точке Р.

Изотропный комплексный вектор Vй в точке Р будет иметь спинорное представление вида

Vй = ^(4Л)

(с абстрактными индексами; см. [5]). Фиксируя |л и изменяя т)л'> получим двумерное линейное пространство изотропных векторов

9 Определение этих понятий см. в [И], [13]. [См. также [9*]. — ПеревД

Va, задаваемое V с точностью до пропорциональности; фиксируя т)^, и изменяя £л, получим двумерное линейное пространство, задаваемое т]л' с точностью до пропорциональности. Семейство двумерных пространств, определяемых различными спинорами £л с точностью до пропорциональности, задает нештрихованное проективное спиновое пространство в точке Р; семейство, определяемое различными спинорами т]л с точностью до пропорциональности, задает штрихованное проективное спиновое пространство в точке Р. При обычных предположениях относительно тви- сторов ([1], [3]) получаем, что в случае плоского твисторного пространства различные плоскости, проходящие через прямую Р в 3, соответствуют всевозможным нештрихованным проективным спинорам в точке Р, в то время как точки на прямой Р соответствуют штрихованным проективным спинорам в точке Р. Иначе говоря, если мы фиксируем плоскость g, проходящую через прямую Р, то прямые в плоскости £, близкие к Р, соответствуют семейству векторов (4.1), для которых ^А фиксировано, а ц4' меняется; если мы фиксируем точку т] на Р, то прямые, проходящие через т) и близкие к Р, соответствуют семейству векторов (4.1), для которых т]л' фиксировано, а ^л меняется. Для «искривленного» З' ситуация похожая, за исключением того, что вместо аналогов полных плоскостей в S77 мы имеем только плоские «полоски» инфинитезимальной ширины, проходящие через Р и соответствующие нештрихованным проективным спинорам в точке Р. Точки Р, как и ранее, соответствуют штрихованным проективным спинорам в точке Р.

Основная особенность вышеприведенного описания заключается в том, что, в то время как в S7 имеются одновременно и точки, и плоскости, в S’7 мы имеем обычно только точки; плоские полоски, вообще говоря, нельзя проинтегрировать до полных плоскостей. Для интерпретации этой особенности в терминах пространства Ж рассмотрим систему линий) в S77, проходящих через точку Z в 3'. Эта система комплексно двумерна (поскольку условие прохождения через точку понижает вещественную размерность системы линий на 2). Таким образом, система соответствует двумерной комплексной поверхности Z в Ж. Касательная плоскость к поверхности Z в точке ,Q (соответствующей линии Q в S77, проходящей через точку Z) задается векторами вида (4.1) при фиксированных т]л' и изменяющихся £л. Заметим, что все такие векторы ортогональны друг другу (поскольку спиноры т)л' взаимно уничтожаются из-за кососимметричности едв). Следовательно, Z— вполне изотропная поверхность. Каждый касательный вектор к Z имеет вид (4.1) для некоторого ^л, где тИ' можно счи-

тать фиксированным спинорным полем на Z. Условие интегрируемости (т. е. условие того, что скобка Ли любых двух таких векторов снова является вектором такого же вида) дает после свертывания с Лд' соотношение1)

= 0, (4.2)

где Va — риманова ковариантная производная относительно некоторой метрики, совместимой с конформной структурой Ж. Применяя к (4.2) лсУ^ (и свертывая по В), получим после некоторого упрощения/ и использования спинорных тождеств Риччи [5] соотношение

Фд;в'С7)Лл = 0. (4.3)

Соотношение (4.3) должно выполняться в каждой точке Ж для любого спинора ту4' (поскольку для любой соответствующей линии в $г мы имеем аналогичное соотношение в каждой ее точке). Следовательно (используя симметрию 'Va'b'c'd'Y мы получаем

^A'B'C'D' = 0 (4.4)

в каждой точке Ж. Таким образом, Ж автоматически конформно правоплоско. Однако Ж не является, вообще говоря, конформно левоплоским, поскольку в $f плоскости отсутствуют.

Нетрудно обратить приведенные рассуждения и получить обратный результат, состоящий в том, что любое конформно правоплоское четырехмерное пространство получается с помощью изложенной выше конструкции. Конечно, соответствующая конструкция применима и к конформно левоплоским пространствам, но я буду считать обычно, что эти пространства получаются с помощью деформаций структуры дуального проективного твисторного пространства РТ*.

Искривленное твисторное пространство

Для дальнейшего продвижения нам понадобится метрика gab на пространстве Ж и ассоциированная с ней риманова связность Va. Для этого удобно рассматривать деформации (подмножеств) непроективного твисторного пространства Т, поскольку нам потребуются формы со и т (которые не определены на РТ). Деформированное (подходящее) подмножество Т будет обозначаться через £Г, где Р£Г есть пространство 9?' (или Т+'), рассмотренное выше. Переход от £Г к Р2Г достигается факторизацией относительно интегральных кривых (голоморфного) векторного поля Y,

!) Одно из следствий (4.2) состоит в том, что Z является вполне геодезической поверхностью. Следовательно, изотропная расположенность точек на рис. 1 в действительности означает их геодезически изотропную расположенность*

являющегося деформированным вариантом (3.9). Форма т есть точная вырожденная 2-форма, удовлетворяющая условию

т = }й,(5.1)

где, как и выше (см. (3.5), (3.10)),

i = YJT.(5.2)

Аналогично 4-форма о удовлетворяет условию

со = 4(/р,(5-3)

где, как и выше (см. (3.7), (3.10)),

Р = Т J®.(5.4)

Снова из вырожденности и замкнутости формы т вытекает, что она определяет двумерное слоение; я предполагаю, как и выше, что это есть расслоение ST на двумерные поверхности. Расслоение инвариантно относительно действия оператора Y, поскольку из (5.1) и (5.2) мы получаем ([8] *))

/,гт = 2т.(5.5)

Аналогично из (5.3) и (5.4) следует, что

Lr® = 4(0,(5.6)

так что,интерпретируяYкак оператороднородности (Эйлера),

можносказать,чтотисоявляются формамистепеней однородно

сти 2 и 4 соответственно.

База этого расслоения) имеет комплексную структуру

С2 - {0}(5.7)

и будет интерпретироваться как штрихованное спиновое пространство (без нулевого спинора) пространства Ж. Важное значение этого расслоения и его интерпретации объясняется следующим. Мы хотим получить пространство Ж, являющееся правоплоским. Это означает, что метрика Ж, которую мы строим, должна удовлетворять соотношениям

Фд'В'с'в'— 0, Фавс'О' = 0, Л = 0.(5.8)

Из спинорных тождеств Риччи [5] следует, что выполнение (5.8) необходимо и достаточно для коммутирования ковариантных производных, примененных к штрихованным спинорам:

(VaVb-VbVo)nc' = 0,(5.9)

!) Символ LT обозначает производную Ли относительно векторного поля Y ([9*]). — Прим, перев.

Рис. 2. Точки ^ задаются голоморфными сечениями расслоения ЗГ. Глобальный параллелизм штрихованных спиноров в Ж порождает структуру расслоения в Т.

откуда вытекает, что существует интегрируемый (глобальный) параллелизм ковариантно постоянных штрихованных спиноров в точках Ж. Пространство всевозможных (ненулевых) постоянных штрихованных спиноров будет отождествлено с (5.7).

В нашей конструкции (см. рис. 2) точки Ж будут отождествляться с голоморфными сечениями Т, рассматриваемого как расслоение над .С?—{0}, которые касаются векторного поля Y. Следовательно, если мы профакторизуем ST относительно интегральных кривых Y с тем, чтобы получить Р^, эти сечения превратятся в компактные голоморфные кривые (принадлежащие обязательно соответствующему гомологическому классу) в согласии с конструкцией, приведенной выше. Выберем теперь точку 3^ в ^ и рассмотрим различные сечения ^, проходящие через %. Соответствующие точки Р в Ж заполнят вполне изотропную поверхность Z с касательными векторами вида ^АпА' с изменяющимся £л, где мы можем выбрать нормировку1) так, чтобы спинор лл> был ковариантно постоянным на Z:

лв'7вв'ЛЛ'= 0. (5.10)

(Условие интегрируемости (5.10), где лЛ' кратно т)Л' из (4.2), имеет вид Ф^в'с'^'Л^л^л0, = 0. Последнее равенство выполняется ввиду (4.4).) При заданной поверхности Z произвол в выборе лл сводится к общей нормировочной константе. Этот произвол соответствует тому, что мы можем выбирать различные «твисторы» 3£, отвечающие одному и тому же «проективному твистору» Z е Р^. Твистор Э£, содержит в себе информацию как о положении поверхности Z в Ж, так и о нормировке лл\

Фиксируя теперь точку <2 и изменяя проходящее через нее голоморфное сечение ^, получим в Ж систему точек с постоянным

*) Выбор спинора л^/ с «опущенным» индексом в (5.10) объясняется соображениями конформной инвариантности. Этот выбор совместим с обычным^ твисторными предположениями ([1], [3]).

лЛ'. Если мы будем изменять сечение ^ так, чтобы оно больше не проходило через ^, мы получим другие точки Ж. Глобальный параллелизм лЛ'-спиноров продолжается также и на эти точки, так что возникает множество различных Z, соответствующих одному и тому же постоянному лЛ'. Каждое такое множество поверхно* стей Z образует слой расслоения Т. Следовательно, слои параметризуются различными спинорами лЛ', при этом пространство всевозможных лЛ' совпадает с базой (5.7). '

Приведенные рассуждения показывают, по существу, что если мы хотим получить правоплоское пространство с помощью подобной конструкции, то структура ^ должна быть такой, как описано выше. В обратном направлении рассуждения более трудные. Сначала необходимо определить в терминах структуры Т метрику на Ж, затем ввести связность и, наконец, установить, что кривизна является правоплоской. Я приведу доказательство только в общих чертах.

- Определение метрики в терминах форм т, со не является столь непосредственным, как можно было бы надеяться. Упрощенно говоря, оно состоит в следующем. Пусть 3— подходящее голоморфное сечение ^, соответствующее точке Р пространства Ж, a Q и 91— близкие к ^ сечения, соответствующие точкам Q и R, близким к Р (т. е. лежащим в касательном пространстве в точке Р из Ж). Обозначим эти касательные векторы (т. е. PQ, PR) через Ua, Va соответственно. Нам требуется определить метрику

g^U,V) = gabUaVb. ' (5.11)

Мы можем теперь рассматривать Q и 91 как голоморфные сечения нормального расслоения ^ в ^. По определению расслоения 9Г слои нормального расслоения ^ можно отождествить с различными двумерными касательными пространствами к слоям в точках пересечений ^ со слоями расслоения Так как каждый слой ^л расслоения РГ имеет симплектическую структуру (элемент площади) р, такую, что, как и в (3.8),

(о = тАр, (5.12)

то существует кососимметрическое «скалярное произведение» ^л(^, V) в каждом слое нормального расслоения. (Интуитивно мы ищем пересечения ^ и близких сечений ^ и 5? с #V- Мы проводим векторы из пересечения ^ с ^л в соответствующие пересечения Q и ^ с ^л и, вычисляя 2ц на этой паре векторов, получаем ^л(^ И).)

Варьируя теперь З7 л (т. е. варьируя штрихованный спинор лл в базе расслоения Т), получим функцию от лЛ', которая голоморфна и однородна степени 2 (поскольку, согласно уравнениям (5.5) и (5.6), ц однородна степени 2 относительно Т). Все подобные функции от лЛ' (определенные на всем .С2—{0}) квадратичны. Коэф-

фициенты такой квадратичной формы определяют величину, которую я записываю в виде

Uma'Va\(5.13)

тем самым

9»Ди, v^ = uAA'V^A,ttB,.(5.14)

Формулы (5.13) и (5.14) дают в действительности информацию о «половине» метрики gab, именно о половине, отвечающей где в соотношении ([5])

gab = гАВгАгВ'(5.15)

(поскольку гАв участвует в опускании индекса А в VAB'\ Остальная информация, отвечающая вА'В* (или, скорее, обратной матрице еА'в^, определяется формой т, так как т задает комплексную симплектическую структуру (элемент площади) на лЛ'-пространстве.

Получить (5.11) непосредственно из (5.14) не удается — это не так уж удивительно ввиду того, что (5.11) симметрично по U, V, в то время как (5.14) кососимметрично. Для упрощения мы ограничимся случаем, когда Ua и Va являются изотропными векторами. Определение (5.11) в общем случае будет следовать отсюда по линейности. Условие изотропности означает, что сечение ^ должно пересекать в этом случае и Q, и Я. Пусть пересечение1) ^ с ^ лежит в слое ^а, а пересечение ^ с Я — в слое ^р (т. е. соответственно над аА' и над 0Л' в ^-пространстве). Тогда в терминах ^л(^, Ю метрика определяется следующим образом:

(ас р/у)

8 № Ю =,2/ , У, № V).(5.16)

(а Лд,) Л^)

(Спинорные скалярные произведения ас'рС' и т. д. берутся относительно линейной структуры на пространстве С? — {0} и комплексной меры на нем, задаваемой формой т. Явные выражения в координатах будут даны в § 6.) Независимость метрики (5.16) от лЛ' вытекает из того, что она однородна степени нуль и голоморфна на всем ,С2 — {0}.

Теперь я покажу, как определить с помощью Т связность на Ж. Достаточно определить параллельный перенос произвольного вектора Ua вдоль кривой у в Ж, выходящей из произвольной точки Ж в произвольном направлении. По линейности можно ограничиться случаем изотропного вектора Ua и изотропной кривой у. Я буду предполагать в действительности, что у лежит на вполне изотропной плоскости Z в Ж, соответствующей сечениям Т, проходящим

IIV

-^С2 - {0} “л'Пл'Ра’

Рис. 3. Параллельный перенос изотропных векторов PQ и PR в Л изображен в пространстве Т. Направление переноса лежит в двумерной плоскости пространства Л, задаваемой «^.Постоянность ^л (U, V) устанавливается рассмотрением трех различных лЛ/-спиноров: ал,, рл,, лЛ/.

через фиксированную точку X в Т. В тех же обозначениях, что и выше, пусть ^а— слой, отвечающий штрихованной спинорной части вектора Ua\

иа = %АаА'е(5 17)

Вектор Ua в точке Р (на у) определяется в ЗГ сечением S9, слоем 8Га и вектором q в ^(^jg), соединяющим точки пересечения ^ и $ с ^я. (Чтобы получить ^, нужно «приставить» вектор q к точке ^(№.) Для переноса Ua вдоль у (в Ж^ нужно просто фиксировать q и STa, изменяя ^ (что соответствует движению Р вдоль у). См. рис. 3. Заметим, что этот параллельный перенос интегрируем при условии, что кривая у остается в фиксированной плоскости Z. Но если мы будем переносить Ua в направлениях, отвечающих различным плоскостям Z и различным слоям ^л, вектор q будет изменяться, вообще говоря, неинтегрируемым образом. Тем не менее слой 9~а не будет изменяться при движении Р. Это означает, что %А в (5.17) изменяется, вообще говоря, неинтегрируемым образом при параллельном переносе, в то время как аА' подвергается в Ж интегрируемому параллельному переносу, который отвечает фиксированию ал' в базовом пространстве.

Для дальнейшего нужно проверить, что введенный параллельный перенос действительно определяет связность, имеющую нулевое кручение, относительно которой метрика ковариантно постоянна. Первую часть доказательства (которая не содержит особых трудностей, однако является громоздкой) я опущу и сосредоточусь на постоянстве метрики. Заметим, что g(U, V) в (5.16) отличается от S^fJJ, V) только на выражение, содержащее свертки штрихованных спиноров. Параллельный перенос, определенный выше, оставляет эти члены неизменными, поэтому нам нужно ис-

следовать только его действие на ^n(U, У). Согласно (5.14), форма ^л(^, У) квадратична по яЛ'. Поэтому она полностью определяется своими значениями для трех различных лЛ'. Выберем в качестве этих трех различных точек спиноры аЛ', бд' и лЛ', отвечающие переносу в (изотропном) направлении (см. рис. 3) (предполагая, как и выше, что Ua и Va также изотропны). Мы видим, что при переносе S^U, У) = 0 = ^р(У, У), поскольку один из векторов, на которых вычисляется р, является нулевым. Более того, для спиноров nAs отвечающих направлению переноса, форма ^л(У, У) по определению не изменяется. Поэтому ^(^, У) действительно постоянна при переносе, а следовательно, постоянна и метрика g(U, У), как и утверждалось.

Это показывает, что введенный параллельный перенос задается римановой связностью. Мы видели, что он индуцирует глобальный параллелизм штрихованных спиноров. Поэтому выполняется (5.9), а также (5.8), и Ж является правоплоским.

Наконец, для того чтобы пространство Ж задавало гравитонное состояние, необходимо наложить на него условие положительной частотности. В действительности требуется, чтобы пространство Т содержало в некотором подходящем смысле аналог T+UN, поскольку условие положительной частотности означало бы в этом случае, что метрика и кривизна Ж должны быть голоморфны на соответствующим образом определенном аналоге СМ+. Каков этот подходящий смысл, пока еще не вполне ясно. Однако в порядке рабочей гипотезы я могу предположить, что каждый из слоев ^л должен по своей внутренней структуре совпадать с тем, что имеется в случае, когда Т является открытым подмножеством плоского твисторного пространства, содержащим ^+(JN. То есть с открытым подмножеством \СЛ содержащим полупространство Re 2^ 0, где (2, w^^C?. Аналог МП^л будет задаваться в этих координатах1) уравнением Re 2 = 0, а аналог Т+П^л — неравенством Re 2 > 0.

Если мы добавим к Т некоторые внешние точки, подходящим образом определенные при лЛ' = 0, то мы сможем считать, что аналог PN заметается вещественно трехпараметрическим семейством компактных голоморфных кривых. Эти внешние точки отвечают «вещественным» бесконечно удаленным точкам Ж. Но в общем случае Т не содержит других компактных голоморфных кривых, отвечающих «вещественным» конечным точкам Ж Таким образом, Ж является настоящим комплексным пространством, которое нельзя рассматривать как «комплексификацию» некоторого вещественного пространства-времени.

9 В стандартных координатах Т, введенных в § 3, слой ^Гя определяется равенствами Z2 = a, Z3 = Б (а и b — константы). Тогда мы можем положить г = aZ^ + bZ\ w = Zx (предполагая, что а ф 0).

Явная конструкцияправоплоских пространств

В этом параграфе я покажу, как можно явно определить структуру общего искривленного твисторного пространства ^ через одну комплексную функцию трех переменных. Это даст нам общее четырехмерное правоплоское пространство. Насколько я могу судить в данный момент, предлагаемый метод, по-видимому, не дает простого определения условия положительной частотности, поэтому я не буду касаться здесь этого аспекта конструкции нелинейных гравитонов. Стоит заметить, что при совершенно ином подходе к построению правоплоских пространств («небес»), принадлежащем Ньюману [6], [7], также можно определить эти пространства с помощью произвольных комплексных функций трех переменных (комплексные «функции новостей»), причем при таком подходе, по-видимому, имеется способ выделения класса указанных функций, отвечающего правоплоским пространствам, которые, вероятно, можно называть пространствами положительной частотности. Преимущество данного подхода состоит, однако, в его очевидной простоте. При нашем подходе не возникает необходимости явного решения дифференциальных уравнений.

Пространство £Г будет строиться из двух перекрывающихся открытых множеств Q и Q №11^ = ^), на которых определены координаты (2°, z1, 22, 23) и (2°, 21, 22, 23) соответственно. Функции перехода на ^П^ задаются в терминах одной голоморфной функции

f(2°, 21, 22, 23)(6.1)

степени однородности *) 2:

ЦХ^ Х21, Л22, ^23) = ^(2°, 21, 22, 23)(6.2)

с помощью равенств

-gr = г°,5-=^,^ = 2\^ = 2^(6.3)

на Q^\Q. База расслоения 2 ^п^^ координаты (22, 23) и (22, f3). Можно рассматривать их как компоненты спинора иА-\

Л0' = 22 = 22, ЛГ = 23 = 23.(6.4)

Отношения л0': Л! задают точки сферы S2 Определим множества Q и Q так, чтобы они соответствовали покрытию S2 двумя перекрывающимися открытыми множествами 3) и Ф (S)(J^ = S2) с пересечением Ж = Ф Г) Ф кольцевого типа. Именно, область Q

9 Таким образом, /есть, по существу, голоморфная функция трех комплексных переменных.

Рис. 4. Две координатные карты покрывают ^*, пересекаясь по области кольцевого типа.

определим как множество точек 9", для которых 22:z3eS), и аналогично Q— как множество точек, для которых z2:z3e^ (см. рис. 4).

Оператор Эйлера Y будет иметь обычный вид (см. (3.9)) в обеих координатных системах. Дифференциальные формы

т = dz2 Л dz3 = dz2 Л й^(6.5)

иц = dz° л dz1 = dz° Л dz1(6.6)

также задаются обычными выражениями. Причина выбора конкретной формы координатного преобразования, задаваемого (6.3), состоит' в том, что оно сохраняет Y и расслоение, не меняя координаты на базовом пространстве, в то же время симплектическая форма ц сохраняется на каждом слое, поскольку производящая функция f задает, согласно (6.3), каноническое преобразование на слоях.

Для построения точки Ж нам нужно задать голоморфное сечение д'. Это достигается заданием z°, z1 как функций z2, z3 в ^ и z°, f как функций г2, 23 в Q-.

2° = р° (Z2, 23),21 = р1 (z2, Z3)(z2 : 23 S ®\

i° = р° (z2, z3), z1 = р1 (z2, z3)(г2: 23 е 0),

причем на пересечении z2: z3 = 22: z3 е зФ действует координатное преобразование (6.3). Каждая из функций р°, рх, 0°, рх должна быть однородна степени 1 по своим аргументам и голоморфна в указанной области. Такие наборы функций (при условии, что преобразование (6.3) не слишком отличается от тождественного преобразования) образуют комплексно четырехпараметрическую систему, задающую пространство Ж.

Как утверждалось выше, задача построения точек Ж не включает в себя явного решения дифференциальных уравнений. Однако это впечатление является в некотором смысле обманчивым, поскольку построение содержит сложную неявную граничную задачу. (Можно выписать вещественные и мнимые части выражений и переписать их в терминах эллиптических дифференциальных уравнений.) Возможно, имеется некоторый путь явного построения функций р и структуры ^'), но пока нет метода, приводящего к такому пути.

Наконец, метрика на Ж может быть определена через скалярное произведение g^U, V) двух изотропных векторов Ua, Va в точке Р пространства Ж; это скалярное произведение вычисляется с помощью (5.16). Если точка Р определяется по (6.7), то инфинитезимально близкие точки Q и R, получаемые добавлением al)a и eVa соответственно, задаются заменой каждой функции р в (6.7) соответственно на р + su и р + ev, где е мало, и обозначает набор четырех функций u°(z, z), ..., ^(z2, z3) и аналогично для и (и р"). Так как вектор Ua изотропный, то Р и Q будут пересекаться, скажем, при z2 = az3 (или z2 = az3). Это означает, что и0 = 0 = и1 при z2 = az3 (или й° = О = й1 при г2 = а^3 соответственно). Следовательно, функции (z2— az3)-1r/° и (Z2— az3)-1^1 не имеют особенностей (и аналогично для тех же функций с крышечками). То же самое рассуждение применимо к функции и при некотором другом значении z2: z3, скажем при z2 = 0z3. Далее2),

п ^ a) (w0^1^1у0)/^

g(6.8)

согласно (5.16). Та же формула верна для функций с крышечками, поскольку, согласно (6.6), значение 2ц на (и0, и1), (и0, и1) равно Л1 — и1^0, поэтому

й0#1 — й1#0 = и°их —- и1^0-

вытекает из законов преобразования для и, и и канонического характера (6.3). Выражение (6.8) однородно степени нуль и голоморфно (по z2: z3) на всей сфере S2; следовательно, оно не зависит от z2, z3, что и требовалось доказать.

Перспективы

Изложенные идеи представляют собой лишь самые предварительные результаты нового подхода к квантованию общей теории относительности. Дальнейшего прояснения требует условие поло

жительной частотности. Хотелось бы иметь также какое-либо определение нормируемости и матричных элементов для гравитационных состояний. Кроме того, необходимо выяснить, как описываются состояния с более чем одним гравитоном. По-видимому, для этого недостаточно какой-либо непосредственной конструкции типа фо- ковского пространства1), не принимающей в расчет взаимных нелинейностей между различными гравитонами. Более вероятно, что для этого потребуется деформированное произведение твисторных пространств или нечто в этом роде. Помимо того, требуется ввести состояния частиц, отвечающие различным материальным полям. Твисторные функции, порождающие эти поля ([1], [3]), будут определены на уже имеющихся деформированных твисторных пространствах гравитонных состояний. Но предварительно потребуется проделать еще очень большую работу.

Благодарности. Я особенно признателен Э. Т. Ньюману и М. Ф. Атье за стимулирующие идеи.

ЛИТЕРАТУРА

Isham С. J., Penrose R., Sciama D. W. (eds.). Quantum gravity: an Oxford symposium. — Oxford: Oxford University Press, 1975.

Penrose R.— J. Math. Phys. 8 (1967), 345—366. '

Penrose R., MacCallum M. A. H. — Phys. Rep. 6C (1973), 241—316. [Перевод в этом сборнике.]

Streater R. F., Wightman A. S. PCT, spin and statistics, and all that. — New York: Benjamin, Inc., 1964. [Имеется перевод: Стритер P. Ф., Вайтман А. С. РСТ, спин, статистика и все такое. — М.: Наука, 1966.]

Penrose R. In: Dewitt С. М., Wheeler J. A. (eds.). Battelle Rencontres. — New York: Benjamin, Inc., 1967, pp. 121—235. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.]

Newman Е. Т. — Report to Tel Aviv conference, 1974 (unpublished).

Newman E. T. — Gen. Rei. Grau. 7(1976), 107—111.

Nelson E. Tensor analysis. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1967.

Kodaira K., Spencer D. C. — Ann. Math. 67 (1958), 328, 403.

Hirzebruch F., Kodaira K. — L Math. Pares Appl. 36(1957), 201.

Hirzebruch F. New topological methods in algebraic geometry. — Berlin: Springer, 1962. [Имеется перевод: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]

Kodaira К- — Amer. J. Math. 85 (1963), 79.

Gunning R. C. Lectures on Riemann surfaces. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1966.

Brieskorn E. — Math. Ann. 155 (1964), 184.

Geroch R. P. — Ann. Phys. 62 (1971), 582.

9 Здесь стоит, видимо, изучить модифицированную форму предложения Герока [15]. Я признателен А. Эштекару (A. Ashtekar) за это замечание.

ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ И БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ')

М. Дж. Иствуд, Р. Пенроуз

Mathematical Institute, Oxford University, Oxford, England

P. О. Уэллс.

Department of Mathematics, Rice University, Houston, USA

Введение

Твисторная геометрия впервые была введена в статье Пенроуза [28]. С тех пор она играет важную роль в решении различных задач математической физики как линейной, так и нелинейной природы (см. Пенроуз [29], Пенроуз [35], Уорд [48] и Атья — Хитчин — Дринфельд — Манин [2]; в качестве свежего обзора рассматриваемого вопроса с более подробной библиографией рекомендуем Уэллс [52]). Главную роль она сыграла в установлении общего соответствия, переводящего ряд важных физических полевых уравнений на пространстве-времени в голоморфные структуры на родственном комплексном многообразии, известном как твисторное пространство. Цель этой статьи — дать строгое изложение этого соответствия в случае линейных уравнений свободных безмассовых полей, включая уравнения Максвелла в отсутствии источников, волновое уравнение, уравнения Дирака — Вейля для нейтрино и линеаризованные (предел слабого поля) уравнения Эйнштейна в пустоте. Подобный анализ можно провести и исходя из техники, развитой для нелинейных уравнений Янга — Миллса и Эйнштейна в (анти) автодуальном случае. Соответствие осуществляется интегрально-геометрическим преобразованием, переводящим комплексно аналитические данные на твисторном пространстве в решения линейных уравнений безмассового поля и фактически являющимся обобщением классического преобразования Радона, что мы обсудим ниже.

С общей точки зрения основанием для поисков подобного соответствия является то, что оно составляет неотъемлемую часть «твисторной программы», цель которой — избавиться от физических уравнений, выводя их из жесткости комплексной геометрии и голоморфных функций (см., например, Пенроуз [38]). Степень, в которой оказалось возможным осуществить эту программу, действительно замечательна. Успех, очевидно, связан с тем, что в тви- сторных конструкциях информация «заложена» нелокально. Локальное значение поля в точке пространства-времени зависит от

Michael G. Eastwood, Roger Penrose, and R. O. Wells, Jr. Cohomology and massless fields. — Communications in Mathematical Physics, 78 (1981), 305— 351. Research supported by the Natjonal Scjence Founndation, the Institute for Advanced Study, and the Vaughn Foundation.

© Springer-Verlag, 1981

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

устройства голоморфной структуры твисторного пространства в целом. Поэтому в теории твисторов подходящим инструментом оказываются когомологии пучков и теория функций многих комплексных переменных. Есть надежда, что в рамках общей твистор- ной программы удастся достигнуть более глубокого понимания взаимосвязи между квантовой механикой или квантовой теорией поля (неразрывно связанными с теорией функций комплексного переменного) и классической структурой пространства-времени.

Наше изложение по большей части ограничено аналитическими линейными безмассовыми полями на плоском пространстве-времени и ведется в терминах компактифицированной комплексифи- кации М (часто используется еще обозначение СМ) пространства Минковского. С этой целью и определим пространство М как грасс- маниан всех двумерных линейных подпространств твисторного пространства, т. е. комплексного векторного пространства Т размерности 4. Мы установим ряд теорем, связывающих аналитические когомологии подмножеств Т, точнее соответствующего проективного трехмерного пространства Р, с решениями сопутствующих полевых уравнений в соответствующих областях пространства М.

Для таких безмассовых полей указанное выше соответствие первоначально было установлено в виде контурного интеграла, дающего общие аналитические решения полевых уравнений при подстановке в подынтегральное выражение голоморфных функций, определенных в подходящей области (для правосторонних полей см. Пенроуз [29], [30], [33] и Пенроуз — Мак-Каллум [32]; для левосторонних полей см. Пенроуз [34] или Хьюстон [23]). (Для волнового уравнения очень близкая интегральная формула была найдена гораздо раньше Бейтменом [4].) Только сравнительно недавно (Пенроуз [36]) осознали, что эти голоморфные функции следует интерпретировать как коциклы Чеха, представляющие элементы групп когомологий1). Определение преобразования (в случае правосторонних полей), использующее представление Дольбо аналитических когомологий, описано в статьях Вудхауза [55] и Уэллса [52]. Хьюстон [21] и Уорд [49] показали, как в левостороннем случае когомологии порождают потенциалы полей, а метод построения самих полей способом, более близким к интегральным формулам, описан Пенроузом [37] и, более инвариантным образом, Уэллсом [53] . Вопрос о биективности преобразования рассмотрен в статьях Пенроуза [37], Лернера [24], Иствуда [8] и Уэллса [52]. Недавно выяснилось, что в одном частном случае рассматриваемое преобразование является также специальным случаем предложенного Гиндикиным и Хенкиным обобщения преобразования Радона (см. [15] *). Интегральные формулы для

взаимодействующих с фоном полей были получены Уордом [47]\ В этой статье мы не делаем явных ссылок на известные ранее описания с помошью контурных интегралов, а приводим описание, целиком базирующееся на математически более адекватном языке теории когомологий. '

Одним из примеров уравнений безмассовых полей являются линеаризованные уравнения Эйнштейна (спиральность ±2). Согласно развитой в этой статье теории, группа когомологий Нх (Р+, (7(2)) задает голоморфные решения со спиральностью —2 этих уравнений в трубе будущего М+ комплексифицированного пространства Минковского. Эта группа когомологий в точности совпадает с инфинитезимальным параметрическим пространством для деформаций структуры расслоения P+->Pi, которое является элементом конструкции нелинейного гравитона (Пенроуз [35]) и которое дает общее (локальное) голоморфное антиавтодуальное решение уравнений Эйнштейна. Решения уравнений безмассовых полей в терминах групп когомологий аналогичным образом- связаны с решениями других нелинейных задач, и есть надежда, что они помогут проникнуть в еще не решенные нелинейные задачи (такие, как автодуальное или общее решение уравнений Эйнштейна). Кроме того, имеются алгоритмы построения решений нелинейных полевых уравнений, в которых принципиальную роль играют специальные когомологические решения ассоциированных линейных уравнений (см. Атья — Уорд [3], Уорд [50]). •

В полученном недавно решении автодуальных уравнений Янга— Миллса на сфере S4 ключевым элементом является представление некоторых групп когомологий на Р3 в терминах решений конформно инвариантных эллиптических дифференциальных уравнений на S4 (см. Атья — Хитчин— Дринфельд — Манин [2], Дрин- фельд — Манин [7], Хитчин [19] и Роунсли [42] ). Как следует из рассуждений § 9, это частный случай нашего общего метода представления решений линейных уравнений поля с помощью когомологий.

Дадим теперь краткий обзор статьи. В § 1 устанавливается базисное твисторное соответствие между проективным твисторным пространством (обозначаемым Р)и естественной комплексифика- цией компактифицированного пространства Минковского (обозначаемой М). В частности, мы строим важную относительную последовательность де Рама на многообразии флагов Г, дающую соответствие мёжду Р и М посредством двойного расслоения следующего вида

р м

Базисное интегральное преобразование данных на Р в данные на М осуществляется взятием у данного когомологического класса на (открытом подмножестве) Р его прообраза на IF в соответствии с отображением р и зaтe^ подходящим «интегрированием этого прообраза по слоям», в результате чего получаются (векторные) функции на (открытых подмножествах) М, удовлетворяющие определенным полевым уравнениям. Мы делаем это в несколько шагов. Сначала мы изучаем прообразы локальных данных (обратные образы пучков и относительную последовательность де Рама в § 1). Затем мы изучаем «интегрирование по слоям» для отображения v. Оно связано с прямыми образами пучков и фундаментальной спектральной последовательностью Лере для расслоения, но по сути является переводом более классического понятия послойного интегрирования дифференциальной формы на алгебраический язык, не связанный с координатами и делающий очевидными свойства групповой инвариантности. Прямые образы прообразов различных степеней расслоения гиперплоского сечения на Р отождествляются со спинорными пучками на М, т. е. пучками, сечения которых локально суть различного рода классические спинорные поля. Мы также с некоторыми подробностями проводим отождествление инвариантных дифференциальных операторов, порождаемых относительным комплексом де Рама, с некоторыми классическими дифференциальными операторами, действующими на спинорные поля на М. Именно это отождествление позволяет нам совершить переход от комплексной геометрии к математической физике. Одно из следствий состоит в том, что уравнения безмассовых полей приобретают явно конформно инвариантную форму. В § 3 изучается глобальная задача сохранения информации при подъеме когомологических классов с Р на Г в соответствии с отображением ц. Оказывается, что это чисто топологическая задача, связанная со слоями отображения р: ^-> IF, где W и ^—открытые подмножества Р и F соответственно, на которые сужено отображение р. Выясняется, что классы прообразов пучков и пучков, к которым применима теория прямых образов пучков, не совпадают, но связаны точными относительными последовательностями де Рама, а соответствующие группы когомологий связаны стандартной спектральной последовательностью. Обсуждением этого вопроса в § 4 завершается разработка аппарата, необходимого для вывода уравнений безмассовых полей и нахождения их решений. В § 5 для случая s > 0 мы доказываем изоморфизм 3*. НЦР\ Ор (—2s — 2))= {голоморфные правосторонние безмассовые поля со спиральностью s на М+}. Этот изоморфизм инвариантен относительно действия группы SU(2, 2) на Т. Аналогичный результат устанавливается и в более общих геометрических постановках. В § 6 подобное утверждение доказано для безмассовых полей с нулевой спиральностью, где появляется волновое уравнение второго порядка. Теория спектральных последовательностей объясняет, почему при ненулевой

спиральности возникают уравнения первого порядка, а при нулевой спиральности — второго. Фактически все рассмотренные дифференциальные уравнения первоначально выводятся в инвариантной форме из твисторной геометрии (и спектральной последовательности на Г), затем сравниваются с классическими (неинвариантными) формами, а затем с помощью интегрального преобразования строятся решения. В § 7 левосторонние решения описываются на; языке потенциалов, которые являются преобразованиями определенных аналитических данных. В § 8 это сравнивается с прямым подходом (разложения когомологических классов в степенные ряды вблизи заданной комплексной прямой в проективном тви- сторном пространстве) Уэллса [53]. В § 9 эти результаты обобщаются на взаимодействующие с фоном поля, где потенциал фона описывается в твисторном пространстве посредством голоморфного линейного расслоения (или, более общим образом, посредством голоморфного векторного расслоения), как это сделано впервые в работах Уорда ([46], [47], [48]). Наконец, в § 10 мы обсуждаем различные ответвления и возможные обобщения методов и идей, развитых в этой статье.

L Твисторное соответствиеи относительный комплекс де Рама

По определению пространство твисторов Т есть четырехмерное комплексное пространство, снабженное эрмитовой формой Ф с сигнатурой Н—|. Положим

^!... dr = {(^ь ..., Lr\. L\c: ... с: Lr — последовательность векторных подпространств Т, где dimcL/ = dJ, и пусть

Г = Л\2, Р = л, m = f2.

Эти три компактных комплексных многообразия (называемых многообразиями флагов, см, Уэллс [51]) естественным образом связаны следующим двойным расслоением:

5/Fxv(i.i)

О» М

где p(Li, L^=L\, v(Li, L^ = Li. Твисторное соответствие') — это теоретико-множественное'сопоставление (см. Уэллс [52])

Z е Рн-Z = v(p.-1 (Z)) сМ,

2 еМ н-*LZ = р (v-1 (z)) <= Р.

Отметим, что Р~Р3(С.)—трехмерное проективное пространство, М ~ О2,4 (С) — грассманово многообразие двумерных подпрЪ- странств четырехмерного пространства, Lz — Pi (С) —комплексная проективная прямая, вложенная в Р, и 2~Р2(С.) и называется а-плоскостью в М, задаваемой точкой Z ^-плоскости в М задаются проективными гиперплоскостями из Р, но они не будут играть роли в нашем изложении). С точностью до незначительной разницы в обозначениях (1.1) есть базисное двойное расслоение, используемое в [52], где можно найти дальнейшие подробности и ссылки, относящиеся к этому соответствию. Читатели, уже знакомые с основами твисторной теории, узнают в Р проективное тви- сторное пространство, в М — комплексифицированное компактифицированное пространство Минковского, а в пространстве соответствия F — (двойственное) проективное штрихованное спиновое расслоение над М (см. Пенроуз — Мак-Каллум [32]).

Наша цель в этом параграфе — описать ряд естественных пучков над Р и F и связи между ними. Эти пучки в некотором смысле обеспечат исходные локальные данные для интегральногеометрического преобразования, которое будет построено в последующих параграфах.

Квадратичная форма Ф выделяет на Р, Р и М открытые подмножества, обозначаемые Р+, М+ и т. д., как это сделано в [52]. В частности, в [52] построения опираются на двойное расслоение

Мы будем при необходимости обращаться к этим подмножествам, но хотим рассмотреть более общие открытые множества, связанные таким же образом, но необязательно 5(7(2, 2)-инвариантные. Именно, пусть U — произвольное открытое подмножество М; положим

U" = pi(U') (иногда обозначается как Ьц).

Аналитические и топологические свойства этих множеств определяют конкретные свойства преобразования, которое будет построено ниже. Имеем открытое вложение двух диаграмм

(1.2)(1.2)

(1.2)

(1.2)

где ц и v — сюръективные отображения максимального ранга.

Определим теперь на F комплекс дифференциальных форм вдоль слоев отображения ц. Сначала введем несколько стандарт-

ных обозначений). Пусть X— комплексное многообразие; обозначим через Ох пучок голоморфных функций на X и через Qx — пучок голоморфных р-форм на X, р ^ 0, так что ^х = Ох- Имеем

О —> С —> Ох ~* Qx “* Qx —> .

— точную последовательность пучков де Рама, где d — обычный оператор внешнего дифференцирования. Зададим пучок Q^ относительных 1-форм относительно расслоения ц точной последовательностью

ц*йр->Йг -*йр->0,

так что йц — это факторпучок, а л^ — обычное факторотображе- ние. Положим dM = л^ о d. Мы вскоре выпишем для пучка Й^ и дифференциального оператора d^ явные представления, но сначала перенесем эти понятия на формы высших порядков и дифференциальные формы с коэффициентами в векторном расслоении. Обозначим через Q^ пучок относительных 2-форм, задаваемый точной последовательностью

p*Qp A Qp —> Q^ —> Q^ —> О,

и пусть .dp,; й^->йц.

— индуцированный оператор внешнего дифференцирования. Обозначим через ^“^р топологический обратный образ пучка Ор, т. е. сечения пучка ^“^р локально суть прообразы относительно отображения ц сечений пучка Ор, или, другими словами, ц"1^ — подпучок пучка C^jf, состоящий из функций, локально постоянных на слоях отображения ц.

Лемма 1.1. Последовательность

0^ц-1(?р->^(г ^Й^Й^О(1.3)

точная.

Прежде чем доказывать эту лемму, приведем ее простое обобщение. Пусть V — голоморфное векторное расслоение над открытым множеством U из Р, и пусть ц*У— его прообраз над p-^t/). Расслоение p*V можно описать с помощью функций перехода, постоянных вдоль слоев отображения р. Можно взять тензорное произведение последовательности (1.3) с пучком p~16?p(V) ростков

сечений расслоения ц^И, постоянных вдоль слоев ц, и получить точную последовательность

О -> н’^р (Ю -> (7Г (цТ) ^ (7г (нТ) ®cF Q^

^<7г(цТ)®^Й^->0,(1.4)

поскольку <7Г О^-л^рЦ-1^ (У) канонически изоморфно (7г (ц*Ю. Отметим, что дифференциальные операторы dg в (1.4) имеют смысл, поскольку они аннулируют функции перехода расслоения ц*К Для удобства обозначений будем писать

Q^ = (7r; □2(К) = <7г(ц‘Ю®(?гй^

и перепишем (1.4) в виде

О — ц-‘(7р (К)Q^(V) ^ Q^ (I/) ^ Оц(У) -*0.(1.5)

В частном случае, когда V = Нп есть n-я степень расслоения гиперплоского сечения (см. Уэллс [52]), будем писать й£(п) вместо ^ц,(^п)- Это согласуется с обычным обозначением «подкручивающих» расслоений на проективном пространстве. Итак, в этом случае для п е Z имеем

0-*n~'(7p(/i)->Qp(rt)^Q^(n) ^Q^H^O.(1.6)

Эта точная последовательность пучков содержит исходные локальные данные для описания решений уравнений безмассовых полей на М. Заметим, что последовательность (1.6) инвариантна относительно действия группы GL(T ) на Т и индуцированных действий на Р, F и М, а также и на Нп. Нам придется «глобализовать» эти данные с помощью теории когомологий и затем «спустить их на М», используя прямые образы (см. § 2).

Перейдем теперь к доказательству леммы 1.1 и дадим явные описания введенных пучков и дифференциальных операторов. Фактически утверждение леммы 1.1 является локальным в точке многообразия Г и доказательство зависит только от максимальности ранга отображения ц, так что в силу теоремы о неявной функции можно выбрать локальные координаты, в которых ц будет просто координатной проекцией (т. е. отображением подмножества .С5 = = С3 X С2 в С3). Однако на данной стадии полезно ввести специальные координаты, связанные со спинорной структурой твистор- ного пространства Т. Эти координаты имеют важную физическую интерпретацию (см. Пенроуз — Мак-Каллум [32]) и, кроме того, делают очевидной максимальность ранга ц. Выберем в Т координаты (Z°, Z1, Z2, Z3) и положим

(Z°, Z1) = (co°, со1),(Z2, Z3) = K, л^),

так что (<оА, лА,) — компоненты пары спиноров, представляющих твистор Za (см. [32] и [52]). Ниже мы часто будем писать Т° вместо Т и Та — вместо твисторного пространства Т*, двойствен; ного к Т“. Эти координаты выбраны таким образом, что

ф (2°) = соАлд + ®А лА, (соглашение о суммировании),

или, в эквивалентной матричной форме,

ГО м

ф =

L /2 о J

Выберем аффинные координаты za в М' — аффинной части М, где М' определяется открытым вложением *

с^с2хс2 ^«(O^cM,

Г zzAA'1(1-7)

ха > zAA” >—>span| . I.

L /2 J

при биголоморфном отображении G2,4(C) — М. Видно, что М7 определяется множеством двумерных подпространств пространства Т®, являющихся графиками линейных функций над {покоординатной плоскостью, т. е. плоскостями в Т® вида (оА = =/гАА'лА„ Многообразие М покрывается конечным числом таких аффинных координатных систем (фактически пятью). Заметим, что М+ есть подмножество М', где уа в записи za = ха — 1уа — времениподобный направленный в будущее вектор, и что вещественное (аффинное) пространство Минковского определяется условием У =0 (или, эквивалентно, матрица zkk'— xkk' эрмитова) (см.. [52]). Обозначим через F/ = vI(M/) и P/ = p(F/) ассоциированные аффинные подмножества многообразий F и Р соответственно (хотя они не будут аффинными в смысле алгебраической геометрии). Ца Р7 и F7 легко описываются ассоциированные координаты- Варьируя выбор аффинных координат на М, можно получить цолную систему согласованных координатных карт на всех трех многообразиях. Сначала заметим, что

F'^M/XPi с координатами (zkk', [лА,]),

Р' = Р\/,

где4)

7 НМ’ лА,]гР: лА, = 0}

* span [...] означает линейное подпространство, натянутое на столбцы матрицы [...]. — Прим. ред.

— проективная прямая в Р и [ ] означает, как обычно, однородные координаты на проективном пространстве. Далее,

Г7 = Го U F1,

pz = p'upL

где

Ро = {[юА» лА,]еР: л0,0),

Р{ = {рА, лл,]ер; яг^0},

(Р5) = М' X (Р, - {л0, = 0}),Г' = ц "1 (Р{) = М' X ^ - {лг = 0}).

Введем на Р^ аффинные координаты (70, 9', г) равенствами 7А = (qA^^г —. лу/Лу,

а на Го — равенствами

^а = /2ААлд//л0,, г = nlz/n0„

SA = — 2^ = ZKV.

В этих координатах отображениеВ этих координатах отображениеЦ|г/“оЦ|г/“осводится к проекциисводится к проекции

В этих координатах отображение

В этих координатах отображение

Ц|г/

“о

Ц|г/

“о

сводится к проекции

сводится к проекции

Г/ = С3ХС2э(<7а, г, sa)

Р'= С3 э(9а, г)

так что sA можно рассматривать как координаты вдоль слоев отображения р, а оператор d^ имеет явную реализацию

^/ = "^ d^ + "^ d^ = "ds^ ^sA>

что можно рассматривать как внешнее дифференцирование по переменным sA, считая величины q\ г параметрами. Аналогичным образом относительные 2-формы можно рассматривать как 2-формы по переменным sA, параметрически зависящие от ^А, г. На Ff аналогичный анализ можно провести в координатах

Q^ = /2аала//лг, R = л^/л^,

SA = — 2^ = — 2А0'.

Так, на F{ оператор d^ действует по правилу

dj=-5Ld„s\

На пересечении Го П Н имеем'

SA = — г* = — гА0' = — qx(i + zxrnvlnv = — q^fi + rsA, так что величины d^ и dy,Sx для й^ на ГоПН связаны соотношением

^5А = г^«А.(1.8)

Вспомним теперь, что г = л1-/л0- есть функция перехода для расслоения гиперплоского сечения 77->Р1, так что из (1.8) следует, что

й>|г/^^г(1)®^(1)1гГ(1.9)

Аналогичным образом получаем

dp.8 A dyT = rMp,s A dpt, откуда

Замечание. Изоморфизмы (1.9) и (1.10) не имеют места на всем F. В случае соотношения (1.9) заметим, что слой У расслоения Г->Р изоморфен Рг(С), так что У имеет нетривиальное голоморфное кокасательное расслоение. Но это расслоение в точности совпадает с сужением Q^ (в смысле расслоений) на У, в то время как ^(1) ® 6^0) тривиально над У. Аналогичные рассуждения справедливы и для (1.10). ’Причина непродолжаемости этих изоморфизмов состоит в сущности в том, что соотношение (1.8) содержит спинорный индекс А, игнорируемый изоморфизмами (1.9) и (1.10). Этот вопрос будет разрешен после завершения доказательства леммы 1.1.

Доказательство леммы 1.1. Во введенных выше координатах видно, что точность последовательности (1.3) немедленно вытекает из точности последовательности (де Рама)

0СЙ>.гQ2 2О,

если относительные формы в С5 рассматривать как формы в С2, зависящие от трех дополнительных параметров. |

Из соотношения (1.8) вытекает равенство

на rir,F1- (u,)

Используя в формулах для qKjtisK правило дифференцирования сложной функции, находим

—а,дд . д

А = ~~ dsA 1Г dqx *

Va dz? 1 3^ ’

Итак, мы можем переписать левую часть равенства (1.11) в виде (^а ) Я°'= ^ + Г7а) Я0' = Я»'7а + ^а =

Переписывание правой части (1.11) приводит, конечно, к такому же ответу. Это представление прямо показывает,- как в соотношении (1.9) появляется искривление. Причина — в коэффициентах лА„ которые можно рассматривать как сечения расслоения СТр, (1). Отсюда также видна роль спинорного индекса А. Фактически Q^ глобально можно каноническим образом отождествить со спинорным пучком С^а(1) [—1]', что будет подробно разъяснено в следующем параграфе. Над Р, однако, этот спинорный пучок надлежащим образом тривиализуется и сводится к (1.9). Предыдущее обсуждение немедленно приводит к следующей лемме над Р, глобальный вариант которой будет вытекать из рассуждений § 2 (как обычно, [АВ] означает кососимметризацию индексов).

Лемма 1.2. Относительная последовательность де Рама (1.3) на Г каноническим образом отождествляется со следующей последовательностью спинорных пучков-.

ОО . О1 02

II (II (II

о ->6?A(l)[-l]'^<7tABj(2)[-2rш ш ш л.

Спинорные пучкии прямые образы пучков

Для того чтобы корректно определить безмассовые поля, являющиеся предметом изучения данной статьи, необходимо ввести ряд естественных голоморфных векторных расслоений над М. Эти расслоения суть различные спинорные расслоения с конформными весами, а интересующие нас поля на М лучше всего описываются как их сечения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, задаваемым естественными дифференциальными операторами, действующими между этими спинорными расслоениями. Мы будем отождествлять голоморфное векторное расслоение с пучком его голоморфных сечений, часто без явного упоминания об этом. Итак, наша первая задача — описать спинорные пучки на К

В предыдущем параграфе мы назвали F проективным штрихованным спиновым расслоением. Слой IF над точкой 2 из М есть пространство лучей, лежащих в г (рассматриваемом как комплексное двумерное подпространство Т). Следовательно, Г есть проективная версия векторного расслоения над М, которое с каждой

точкой 2 из М ассоциирует двумерное векторное подпространство Т, представляющее 2. В топологии это расслоение называют универсальным расслоением над М (см. [26], [51]). Как уже говорилось выше, мы не делаем различия между векторными расслоениями и локально свободными пучками; обозначим через О А универсальное расслоение над М, назвав его дуальным штрихованным спиновым расслоением, так что IF—проективный вариант С^. Двойственное к нему штрихованное спиновое расслоение обозначим ОА\ Следует подчеркнуть, что 0А- не является прямой суммой двух линейных расслоений, так что А'— это не числовой индекс, а абстрактный индекс (см. [31], [40] )). Роль этого индекса— служить меткой, указывающей, как сечения данного голоморфного векторного расслоения выглядят в координатных картах. Например, элемент jA'e0A' в координатах представляется парой fA' — (fQ\ f ) е О^О, а переход от /л к fA осуществляется с помощью базисных элементов (локальной системы координат) ел ® = (еЛ'°\ гА^ е 0А' ф 0А' cf = fAeAB\ где повторяющийся индекс А' означает абстрактное скалярное произведение между вектором и элементом дуального пространства. Обратный переход от /А к /л осуществляется с помощью двойственного базиса евЛ==(е0,л, гх^^ОА' ^0А' по правилу fA' = fBeBA, где теперь подразумевается суммирование по повторяющемуся числовому индексу W. Аналогичным образом, величины gA, s ОА< и gx, е 0^0 связаны соотношениями gB» = gA^BA' и gA' = gB^AB» а скалярное произведение элементов gA^ и/л равно gAfA = gx,tA = gJQ + + guf'- Можно выбрать базисы гД,в и евА, осуществляющие тривиализацию расслоений 0А' и 0А' над подпространством М из М, (например, с помощью координат (1.7)).

Чтобы определить нештрихованное спиновое расслоение над М, заметим, что по построению 0А' каноническим образом вложено в О^, т. е. тривиальное расслоение над М, слой которого в каждой точке М есть твисторное пространство Та. Нештрихованное спиновое расслоение 0А определяется как факторрасслое-

ние (или дополнение). Другими словами, имеем короткую точную последовательность)

М; О->О‘Д-^Оа^0А->О(2.1)

(ср. с определением «локальных твисторов», например у Пенроуза— Мак-Каллума [32]). Дуальное нештрихованное расслоение обозначается О а, причем как О а, так и О^ можно тривиализо- вать над М с помощью базиса, например

М'; 0^0^Мх> = к^А = к^6А.

Переход в последовательности (2.1) к двойственным объектам дает точную последовательность

М; ^->Оа->С^Саг ->0.(2.2)

Сходство между (2.1) и (2.2) заслуживает дальнейшего изучения. Обозначим через М* грассманиан двумерных подпространств двойственного твисторного пространства Та. Тогда имеется канонический изоморфизм

и М~^М*

■ ш ш

z =Т„: ZaWa = 0 VZa е Z}

Теперь с помощью этого же процесса можно описать различные расслоения на М*. Поскольку в Та используются координаты (т)А, gA), естественно универсальное расслоение на М* обозначить через 0а и определить ОА' с помощью последовательности, по внешнему виду совпадающей с (2.2). Такая вольность в обозначениях оправдывается наличием канонических изоморфизмов z^V^Jz^i Tlz^^'V и т. д.,

порождающих канонические изоморфизмы

^0 а' на М)^/*(^ на М*), 1ОА на М)^/*(^л на М*) и т. д.

Заметим, однако, что любой изоморфизм р: Та~^>Та порождает изоморфизм

р: М-^М*,

приводящий к естественному соответствию между универсальными расслоениями, т. е. Оа'^Р^а* Отсюда мы заключаем, что любой изоморфизм пространств Та и Та естественным образом продолжается до изоморфизма последовательностей (2.1) и (2.2). Итак,

расслоения ОА» и СА равноправны, если М рассматривать как абстрактное комплексное многообразие, а не конкретный грассма- ниан. Выбор одного из этих расслоений в качестве штрихованного спинового расслоения в этом смысле произволен и соответствует выбору комплексной ориентации на М. /

Замечание. В этой статье мы различаем «изоморфизм» и «канонический изоморфизм», причем оба они использовались в предыдущих рассуждениях. Интуитивное представление о том, что канонично («дано от бога»), а что нет, широко распространено среди математиков, но его все же стоит уточнить. Вообще говоря, смысл этого слова зависит от контекста. Считается, что некий объект является каноническим, если он корректно преобразуется, когда вся система подвергается морфизму в смысле категории, в рамках которой проводятся исследования (и о которой часто явно не упоминают). В этой статье нашим базовым объектом является четырехмерное векторное пространство Т, и канонический изоморфизм для нас значит изоморфизм двух величин, зависящих от Т, сохраняющийся под действием группы GL(T) на Т. Видно, что в предыдущих рассуждениях изоморфизм /: М—>М* канонический, а изоморфизм р: М —> М* нет. Мы используем обозначение ^ для канонического изоморфизма и обозначение ^ для произвольного, необязательно канонического изоморфизма (обычно в том случае, когда производится некоторый выбор координат; например, М^Ог,4(С) отвечает выбору базиса в Т). .

Из этих двух базисных расслоений с помощью стандартных тензорных операций можно построить большое количество новых расслоений. Используемые ниже обозначения естественны и, по существу, говорят сами за себя):

^А'В' — О А' ® C^s С ДА' = 0л ® О А',

0^4 = 0^©Ов'> гДе 0 означает симметрическое тензорное произведение,

^51 = ^A^^det(^),

OA'™^®^' и т. д. и т. п.

Особый интерес представляют два естественных линейных расслоения б?[дв] и Ova'b'A* Введем для них альтернативные обозначения:

^дв] = ^[-1] и OU'Bi = OV—lY-

Это согласуется с обозначением (?(—1) для универсального расслоения на проективном пространстве. Число —1 в квадратных скобках можно рассматривать при подходящей нормировке как первый класс Чжэня этих расслоений. Так же как и в случае проективного пространства, (?[1] (соответственно б^[1]') означает двойственное к С?[—1] (соответственно к СЦ—1]Э пространство, и, более общим образом,

СЧ£] = {СЧ1]}6 и OVkY = OTY^

Теперь можно, например, переписать

М; ОА {А'В'} = Од ® ОМ'в1 = Од ® О [- If = Од [- If,

а запись О(ав)[—1] [2]' означает O(AB>®OV— 1 ]®С?[2]' и т. д. Наши обозначения несколько избыточны. Например, имеется канонический изоморфизм

" М; Ovg.d.A\Y-=OVc^^OVA'B'A^o.

Обозначим через еА-в- сечение расслоения О^'В^ [If, отвечающее при этом изоморфизме элементу led. Аналогичным образом имеем сечения

елв®^[лв111Ь ел,5,а^л'в'1[-1Г, елв а б?Мв1[-1].

Эти величины следует рассматривать как обычные символы е с конформным весом, используемые для поднятия и опускания спинорных индексов. Следовательно, числа в квадратных скобках можно рассматривать как конформные веса; например, еА-В' имеет конформный вес 1. Упрощенно говоря, это означает, что при замене еА-в- на Х'еА'В' и еАВ на ХеАВ метрика gab переходит в ^'баь (в то время как ел'в' следует заменить на (V)- еАВ и еАВ — на VV18). Более того, заметим, что величины 8 можно использовать для поднятия и опускания спинорных индексов на пучках. Например,

ОА' s ОА' ® О ^ Oa'^Ova.b^ [If ~ Ов- [If

М; Ш Ш ШШ

М' ^'® 1^ 0 6д,в,^fA-6A,B,

Все эти расслоения можно поднять на F, причем для подъемов мы часто будем использовать те же самые обозначения. Так, мы пишем Од вместо ^Од, если ясно, что мы рассматриваем расслоения на F, а не на М. Можно также рассмотреть прообразы

на F расслоений О^ на Р. Опять мы не делаем различий в обозначениях и пишем

Од (1)[—If вместо ^0А [— 1]' ® Н*^(1) и т. д.

Тем самым мы придали смысл всем пучкам из леммы 1.2, и наша следующая цель — придать смысл дифференциальным операторам. Мы утверждаем, что на М дифференциальный оператор

Vлд,• О->0дд'

имеет корректное внутреннее определение. Фактически мы покажем, что его можно каноническим образом отождествить с оператором внешнего дифференцирования

d*. 0-+&.

Используя в полной мере абстрактные индексные обозначения, перепишем это отображение так: .

Vo: О^0а.

В локальных координатах операторы d и Удд', конечно, выглядят идентичными. Наша задача — проверить, что Q1 канонически изоморфно С да'. Другими словами, следует показать, что голоморфное касательное расслоение можно естественным образом отождествить с 0АА\ По определению

М; 0АА' = ОА ® ОА' = бА® ^Од^ ^ Hom крА’> ОА\

Хорошо известно, однако, что касательное расслоение грассманова многообразия изоморфно расслоению гомоморфизмов из универсального расслоения в его дополнение (см. [26]). Поднимая индексы с помощью величин е, можно получать другие дифференциальные операторы. Например, оператор V^ определяется как композиция

^ АВ'еА'В'

М; О-*0АВ—>01 [-If.

Оператор внешнего дифференцирования d: Q^Q2 также можно запйсать на языке спинорных пучков. Пучок Q2 расщепляется на автодуальную и антиавтодуальную части: Q2“Q+®Qi. Разложение 2-формы Fab в сумму Ftb + Fab легко записывается в спинорных обозначениях (см. [52], [40]):

Fab™ F АА'ВВ' = Фа'В'^АВ 4" 'ФдВ^Д'В',

где величины фА^ и фдв симметричны по индексам. Альтернативным образом на языке расслоений

М; Q = О\аь\ = й+ фQ_ Си'вч[дв1® ^сав)\а'в'\

= ^(Д'В')! 1]Ф^(ДВ)[ 1К,•

и оператор внешнего дифференцирования можно записать так:

^АА' ^ ^U'B') [ - 11 ® ^UB) [ — 1К

М; ШШ

ФЛД' ^ V^B^Al А + VkBA Фд) А'

Более общим образом, можно выписать всю последовательность де Рама:

Й°„Й1 й2 _ Й1>- Й4

м, ill illill 'illi"

^^^ ”6 ®^# M-1] Н'^ФМ a cteHl ■

(2.3)

Эти операторы определены и для других пар спинорных пучков, что мы увидим, когда перейдем к рассмотрению прямых образов.

Чтобы придать смысл дифференциальному оператору

Г; лл^': O->0AWV-XX,

фигурирующему в лемме 1.2, сначала заметим, что можно инвариантным образом определить гомоморфизм расслоений

Г; лл< ОА’->0^.

Действительно, это эквивалентно заданию двойственного отображения

IF; ^А-: О^-\^ОА,,

что геометрически означает следующее. По определению, слои расслоений <?(—!) и О А> над элементом (LbL2)eF суть подпространства L\ и £2 соответственно, так что ^' можно определить над (Li,L2) как вложение Li<=*L2. Можно было бы попытаться определить иА^АА' как композицию

но это невозможно, поскольку оператор ^АА' не имеет смысла на Г. Если, однако, выбрать конкретную тривиализацию F над некоторой окрестностью точки из М, то, конечно, ^АА- будет определен как дифференцирование вдоль базы. Мы утверждаем, что композиция лл,7^ не зависит от этого выбора тривиализации. Несомненно, так должно быть, поскольку предполагается, что лл^' совпадает с оператором d^ который по определению является дифференцированием вдоль слоев отображения ц, а эти слои изоморфно переводятся отображением v в ос-плоскости в М ([52]). Поэтому можно считать, что оператор du сначала осуществляет сужение на слой ц, отождествляет этот слой с а-плоскостью

в М и, наконец, проводит внешнее дифференцирование/ на этой a-плоскости. Последний шаг, конечно, можно описать, пользуясь лишь оператором 7ЛЛ' внешнего дифференцирования на М. Следовательно, мы докажем наше утверждение, показав, что отображение из кокасательного расслоения М, суженного на «-плоскость, в кокасательное расслоение самой «-плоскости задается умножением на лл'. Последнее легко увидеть геометрически, исходя из определений рассматриваемых пространств.

Возможно, стоит привести другой, более прямой способ представления оператора d^ в виде лл,у^'. Выберем на F локальные координаты (xAA\ лА,); тогда выражение лА'?АА, корректно определено и в силу вычислений § 1 действительно представляет оператор dy,. В самом деле, легко усмотреть, что если функция / постоянна вдоль слоев отображения р, т. е. если f зависит лишь от ©а (=/хаа'л^ и п^ то I аннулируется оператором ^A'VAA/:

яА^АА'/ (®“> ЛВ') = «*' (гЧ' ^/ (юВ. лв')) = °-

Теперь, переходя из одной локальной системы координат в другую, можно непосредственно проверить инвариантность оператора mA'VAA'. "

Вероятно, полезно на этой стадии указать, как именно в выражениях, содержащих оператор Vaas может возникнуть нарушение инвариантности. Каждая из рассмотренных нами тривиа- лизаций многообразия F ассоциирована с конкретной плоской связностью Vaa' на некотором подмножестве пространства М (на* пример, на Mz из § 1). Возможная неинвариантность из-за использования Vaa' может быть обнаружена в явных формулах перехода от одной такой связности к другой. Более того, полезно рассмотреть такие формулы перехода в более широком контексте общих симметричных связностей на М, согласованных с (комплексной) конформной структурой на М. Мы требуем, чтобы оператор Vaa' действовал на спинорные поля на некотором открытом W а М и, следовательно, задавал связность в расслоении над Wf a F. Пусть gab и ^аь — две (не обязательно плоские) комплексные метрики на W, согласованные с данной конформной структурой, со спинорным представлением

где Ваа'вв' = ^АВ^А'В^ &АА'ВВ' = ^AB^A'BS йаЬ = ^^Sabi 6АВ ~ ^АВ» ^А'В' ~ ^A'BS ’

Q и Й— произвольные голоморфные функции, нс имеющие нулей на W. Для спинорных полей на М необходимые формулы, по существу, приведены в [31], [32], [40]:

(Vaa' - VaaO ^в ::: f* :::=6архха^в ::: £::: + • • •

••• + VTa'XM:::: + -^-Гс:- •••

• • • -taf<:кi'^ДД,%1:;:£:::, (2.4)

где

к = (число верхних нештрихованных и нижних штрихованныхиндексов) — (число верхних штрихованных и нижних нештрихо-ванных индексов)

и

^АА' — ^АА'й + й VaA'^»

4ПЛа' й Vaa'^ ^ Vaa^.

Эти формулы полностью характеризуются аддитивностью, правилом Лейбница, отсутствием кручения и условиями

^АА'^ВС = 0 = V АА'^ВС» VАА^В'С' = 0 — 7ЛЛ'$В'С'*

Формула (2.4) полезна при проверке инвариантности многих операций, применяемых в этой статье, например уравнений безмассо- вых полей (соответствующего веса), рассмотренных в § 5—9, где величина %..; с весами [р] \qY при действии оператора Vaa' за" меняется на

Практически разница между штрихованными и нештрихованнымн весами, по-видимому, не играет здесь особой роли, так как оказывается, что при преобразованиях из группы GL(T) величины й и Й отличаются на постоянный множитель, и, значит, ПЛЛ' = 0.

Для скалярного поля / на F, считая Паа' = О, находим

(Vaa' — ^АА^ f — ЛА'^ЛС' 'dJ™ ’(2-5)

где послойная производная д//длС' имеет очевидный инвариантный смысл. Общий вид правой части равенства (2.5), а именно с коэффициентом ллЛ*Л(у, замененным на коэффициент Qaa'gs не зависящий от /, находится из условия, что как Vaas так и Vaa' дают оператор d на М. Конкретное выражение (2.5) можно получить из равенства (2.4), например взяв

где fp' ■" R' — спинорное поле на М. Чтобы охватить выражения, содержащие как спинорные индексы, так и л-зависимость, следует к выражению (2.4) добавить подходящий член типа (2.5).

Инвариантность оператора лл'\7дд- при действии на скалярные величины без веса на теперь очевидна.

Заметим, что с помощью елв относительную последовательность де Рама из леммы 1.2 можно записать в виде

—">йч

F; 91 лап, ;н

или иначе (с заменой знака, которой мы пренебрегаем)

яд^АА'ЯЛ^Л

F;>tf(2)[~l][-2]'.

Обратимся теперь к пучкам на М, получаемым из пучков й£ или, более общим образом, из пучков Q£(V), где V — голоморфное векторное расслоение над подмножеством из Р. Мы воспользуемся понятием прямых образов пучков (см. Бредон [5], Годеман [14]), которое определяется так. Пусть f: X -> Y есть непрерывное отображение топологических пространств и ^— пучок абелевых групп на X; тогда прямые образы fq$T на Y определяются с помощью предпучка

U н-> Hq (f~{ ([/), ^) для открытого U ^Y

с очевидными отображениями сужения. Тем самым мы видим, что слой пучка ^ЗГ в точке у г Y есть

(№9=Ит НЧГЧШ,

U

т. е. «группа когомологий вдоль слоя» пучка ЗГ. В наиболее естественном случае, когда V = Нп, прямые образы v*(Q£(rc)) оказываются различными спиновыми расслоениями на М, подобными расслоениям, уже введенным в этом параграфе. Такое отождествление выводится из леммы 1.2 и следующего предложения (где

Ох

МЫ ПОЛОЖИЛИ V* = V*).

Предложение 2.1. Для прямых образов ^qC^ пучков СЦк) на F справедливы следующие канонические отождествления*.

а) если п^О, то NjO^n)^O^AB ***D) (п индексов), v^^^O V?>1,

М; b)v^(-l) = 0 ^q,

с) если п^О, то v^(— п — 2) ^ О^в*... d') [— If (п индексов), ^0(-п-2) = О V^=^L

Доказательство. По определению наша задача состоит в вычислении групп Hq^~x^U),0^k))' для открытых множеств Uc М, но, поскольку существуют сколь угодно малые открытые множества Штейна8), достаточно ограничиться случаем, когда U — многообразие Штейна, a r^t/) имеет тривиализацию: U' = v1 (U)^ — t/Х Рь На Pi выберем однородные координаты [л0', л^]. Сна-

8) См. Ганнинг и Росси [18] и Хёрмандер [20] по поводу теории голоморфных функций на открытых комплексных многообразиях, в частности на многообразиях Штейна.

чала рассмотрим когомологии на Рь а затем учтем дополнительные параметры из U. Покроем Pi множествами

Уо == {[^о'» Л-1'1 Рр Ло' 0},

V1 = {[ло', л,'] е Рр Л|' ^ 0);

тогда Ио = Pi = С и, значит, штейновы. Следовательно, можно воспользоваться последовательностью Майера — Вьеториса (см. Бредон [5])

0->Г(Рь ^(^))->Г(Уо, t?W)er(Kb Я(^))->Г(У0ПУ1, <ЭДН -> Я1 (Рь О (ф) -> Я1 (Ио, о (6)) ф Я1 (У ь О (fe)).

IIII

оо

(поскольку множества Ио и И1 штейновы) для вычисления групп Я» (Рь £?(&)). Вычисление состоит в разложении элементов групп Г(Уо,<?(£)), Г(УЬЯ>(^)) и Г(УоПУь 00г')') в ряды-Лорана и сравнении коэффициентов (см. Гриффитс и Адамс [16]). Далее, Я'^ЯХРь так что мы можем покрыть U' двумя подмножествами Штейна

Я6 ~ Я X Уо и U{ ^ U X И1

и вычислить группы Я»^U',0(k)) с помощью этого покрытия Лере и той же самой техники разложения в ряды Лорана. Единственное отличие в том, что теперь коэффициенты разложений будут голоморфными функциями на U. Последнее можно проверить, записав коэффициенты в виде интегральных формул на Рь Тогда получим Hq(U', О (&)) = {голоморфные функции Я-*Я‘7(Р1, Яр, (Я))}. (2.6)

Теперь утверждения доказываемого предложения о тривиальности вытекают из (2.6) и хорошо известных теорем о тривиальности для Pi (см. Уэллс [51]):

Я^Рь Я(п)) = 0 при n>0, q>\,

Hq($\, OV-1)) = 0 при всех q,(2.7)

Я^Рь Я(-п-2)) = 0 при n>0, q #= 1.

По-другому эти утверждения можно доказать разложением в ряды Лорана. Из равенства (2.6) также видно, что прямые образы т?Я(£) в общем случае суть векторные расслоения, у которых слой в точке z е М канонически отождествляется с Hq (v-1 (z), ^v'1^)1 Задача в том, чтобы увидеть, как эти слои согласуются между собой. В простейшем случае (а) надо вычислить 4*0 knY Ясно, что 4*0 = 0, поскольку слои отображения v компактны и допускают только постоянные голоморфные функции. Итак, рассмотрим v*6?(l). Для всякой точки zeM слой v~*(z) по определению есть проективное пространство Р (Сд'), где Сд—

слой над точкой 2 штрихованного спинового расслоения 0А'. Далее, выражение ^Р(СЛ^(1) инвариантным образом определяется как линейное расслоение, которое каждой прямой в Сд' (т. с. каждой точке в Р(СЛ')) сопоставляет двойственную к ней прямую (как комплексное векторное пространство). Каждый элемент пространства Сл', двойственного к CAs можно сузить на прямые в CAs получая таким образом сечение расслоения б?р(сл/)(1). Итак, имеем канонический гомоморфизм

Сл'Г(Р(СлО, ^(Сл-)(1)),

и разложение в ряды Лорана показывает, что это изоморфизм. Следовательно, можно отождествить Н° (v"1 (2), 6?v-i(z)(l)) с Сл', т. е. со слоем пучка 0А' над 2, причем совершенно не зависящим от координат способом. Отсюда v* 0 (1) ^ 0А', как и требовалось. Общий результат ^„0 (п) ^ 0^Bf ••• ^ доказывается теми же рас суждениями. Обратимся теперь к случаю (с) и вычислим пучок ^0 (— п —• 2). Эта задача нс так проста, что видно уже на примере v^(—2). Сложность в том, что, хотя группа Hx^V\,0^—2)) изоморфна С, этот изоморфизм нс канонический, а зависит, например, от выбора координат в Рь Верно лишь, что имеется канонический изоморфизм Zf^P^Q^^C (задаваемый интегрированием; это двойственность Серра [43]) и неканонический изоморфизм 0^—2)^Q*. Изоморфизм двойственности Серра задается следующим образом. Отождествив Pj с Р(СЛ'), как и выше, будем иметь точную последовательность

0-*Q*1) —(2.8)

где Яд': С^'-»(?(!) определяется как отображение, двойственное к отображению глЛ': СЦ—1)->^', которое определяется независимым от координат образом (поскольку О(—1) — универсальное расслоение, т. е. по определению подрасслоение расслоения О As тривиального расслоения со слоем Сл')- Фактически последовательность (2.8) можно принять за определение расслоения Q1. Длинная точная когомологическая последовательность, порождаемая последовательностью (2.8), дает

Г(Р„ б?л'(-1))^Г(Р!, ^-^//‘(Рь Й^-^Я'СРь <?л'(-1)),IIII

О (в силу (2.7))(в силу (2.7)) О

так что //'(Pi.fi1) изоморфно Г(Рьб7). Но Г(Р1,С?) канонически изоморфно пространству С. Имитируя это доказательство для О<—2), используем вместо (2.8) точную последовательность (изоморфную (2.8), но не канонически):

ЛА'ЛВ'

Р,; 0->(?(-2) —>^(-1)-^<71л'В1^0.(2.9,

Отсюда видно, что группа Нх (v 1 (г), ^-1(2)(—2))' канонически изоморфна 0\а'в'\, и, следовательно, v^eS? (—-2) ^ 0\а’в'\ = ^[— 1]', как и требовалось. На самом деле мы могли бы непосредственно из последовательности (2.9), рассматриваемой как последовательность на F, вывести с помощью только длинной точной последовательности прямых образов ([45]), что v^(7(—2) ^ ч^а'вл = ^ 0\A'B'v Это позволило бы избежать явного использования представления (2.6). Для вычисления v]<?(—п —2) заменим (2.9) на

.Л Д ' * е • ^Р»Лpt

Р; 0 -> £7 (— п — 2)» Ova'b' ... d'e') (— 1) *■

0<Л'В' ... D^ [E'FI “> 0(2.10)

и придем к выводу, что

V^ (— П — 2) = О^'В' ... D^ [E'FI = О^А'В' ... D')!—!]'- ■

В процессе доказательства предыдущего предложения мы показали, что если U* — открытое подмножество Штейна из М, то Hq(U',0{k)') изоморфно Г(t/, ^O^Y Более общим образом, имеет место

Предложение 2.2. Пусть U — произвольное открытое подмножество М. Тогда для всех р

Нрф\ Оф^НЦи» 0^b'...d^ при п^0)

Нрф', tf(-l)) = 0,-

H^U', СЦ-п-^^Н^Чи, ^^...^[-ir) при п>0.

Доказательство. Эти утверждения немедленно следуют из спектральной последовательности Лере ([14]) и предложения 2.1, дающего равенство Е^4 = Е^,ч. Другое доказательство можно получить, непосредственно используя когомологии Чеха и покрытие Штейна множества U. 1

Из предложения 2.1 и леммы 1.2 легко получить следующие изоморфизмы:■

v^Q^rt)^ v^M^^ ®'■‘‘£1')(п индексов) при п>0,

v^^n)^ v^A(n+ 1)[—1],^£?л'в'"‘£,[— 1]' (п+1 индексов) при п"^ — 1,

vX (n) ~ NtO (п + 2) [-1] [—2К ^ OWB’ - F,) [-1] [-2]' (n + 2 М;индексов) при п ^ — 2,

v’Qg(— п — 2) as м\О(— и — 2) ^ Oia'B' ... d^ [—If (п индексов) при n^O,

v^(— n — 2) ^ VpA (— n — 1) [— 1Y ^ C?A^в'... oz)[—2]'(n — 1

индексов) при п>1,

vM (- п - 2) ~ <0 (- и) [-1 ] [-2Г - 0№-... do [-1] [—ЗГ

(п —2 индексов) при и ^2;

(2.11)

остальные пучки тривиальны. Справедлив и соответствующий аналог предложения 2.2. Наша следующая задача — описать действие дифференциальных операторов ^ на прямых образах. В случае отображения V» можно рассуждать следующим образом. Пусть jA'B'...D'—локальное сечение расслоения С^'в*... o'). Дифференциальный оператор

Г; лв,^: ^(п)->С7Л(п+1)[-1Г

"А • • • ”D-tA'8' -D'^ ЛА,ЯВ, ... ло,лЕ^Р'в' -D\ что индуцирует на vt0(n) = О^А'В' ••• °') оператор

^. IA-...D- ^^Е-^А-В'...D'^

Отсюда, в силу леммы 1.2 и (2.11), имеем

v,Q^ (п)~—► v,Qg (п) > v^Q^ (nj

aifliги

М; d^'B'-D^_ оив- ...^)[_1]/>^(жв'...г')[_1][_2]/ (2.12)

UJ ш шш

jA'B' ... D' ^{E'fA'B' ...D'^ gA'B' ... Е* ,__=» ^А ^'g^B’ • • • Е')

Заметим, что отсюда автоматически следует, что оператор V^ из ^(А'в'... д') в 0'А'в'... Е'^_уу корректно определен. Для вычисления действия оператора d^ на первых прямых образах можно воспользоваться последовательностью (2.10) и, выбрав локальные координаты Яд', записать

ЯЛ'"'ЛВ'дЕ 6F'G'

0->С?(—П — 2)^(A'B'...D'E'}(~ Ч* ^(A'B'...D')lF'G'l

ЛB,"*Л£,тгEгF,G,

о -> ^л(~п-1)[-1Г-^Ca^...d^^V-xY^^a^...dwg'aV-xY^

Отсюда

*^\о (— «- — 2)^^^(Л,В,...П,)[ЕТ1tt^M'B'...D')[B,F,I=^(A'B'...D')f"“^

М; |vX^'Va) |\(va)lVAiVA

vl<^A(—»—!)[—Ц'ет^д^,...в-це-р^ Ш'=ОД^В,. D,^E,F,^—1Y=CA^B, q,) [— 2J

так что аналог диаграммы (2.12) для оператора vj имеет вид

v1Q^ (— п — 2) —-> v*Q^ (— п — 2)—-> v^ (— п — 2)

»1И1»1

М; О^а'в* ... d')[— 1]'> Оа^в' ... d'A~^X^ £7(0'... d,)[—1] [—3]'

шш шш

^A'B'...D#^^^А^А'В' ... Df' ^АВ'С' ... D'^^^^^AB'C'.-.D'

(2.13) Подчеркнем, что формулы (2.12) и (2.13) совершенно естественно вытекают из основной диаграммы (1.1) твисторной геометрии. Эти формулы, как мы увидим, приводят к безмассовым полям. Другими словами, уравнения безмассовых полей неявно порождаются твисторной геометрией. Это представляется значительным упрощением.

Топология отображения и

Мы хотим научиться интерпретировать аналитическую информацию, заданную на подмножествах Р (например, определенные группы когомологий), на языке аналогичных объектов, определенных на подмножествах F. Для этого необходимо глубже изучить свойства отображения ц: F ~> Р.

Пусть №— открытое подмножество F и 1^ = ц(^). Множество W также будет открытым. Мы хотим изучить поведение пучков и групп когомологий на W и ^ и найти условия на ^ позволяющие переводить без потери информации данные на № в данные на W. Для пучка У на W можно образовать его топологический обратный образ рт1^ на ^. Этот пучок задается предпучком Гн->r(p(V),^), где V — открытое подмножество ^ с очевидными отображениями сужения и характеризуется требованием: (ц-1^7)^ ^ Э9^ для всех qE^. Последний изоморфизм порождает отображение

р*: Г (Г, ^)->Г(Г, ц”1^), определяемое равенством р*/ = f о р (где, допуская вольность в обозначениях, мы отождествили (р-1^)^ с У мА- Пучок рНО^У), введенный в § 1, является примером такой конструкции. Отображение обратного образа р* может быть следующим образом перенесено на когомологии (см. Годеман [14]). Группы Hp^W, ^) можно вычислить, подобрав подходящую резольвенту пучка У, т. е. точную последовательность

или кратко

(3.1)

HP<W, 9^ = НР(Г(№, ЖHP<W, 9^ = НР(Г(№, Жгде термин «подходящая» можно понимать как инъективная, вялая, тонкая или мягкая (на практике это часто резольвента, состоящая из пучков гладких дифференциальных форм). Тогда абстрактная теорема де Рама (см. Уэллс [51]) утверждает, что имеется канонический изоморфизм

HP<W, 9^ = НР(Г(№, Ж

HP<W, 9^ = НР(Г(№, Ж

~ im д: Г (Г, ^р-1)->Г(Г, ^р) *

Резольвента (3.1) пучка У порождает резольвенту

пучка рг1^. Записав ее как семейство коротких точных последовательностей и рассмотрев соответствующие длинные точные когомологические последовательности (или используя некое универсальное свойство резольвент), легко усмотреть канонический гомоморфизм

Нр (Г (Г, рс~х^ -> Нр (Г, рГ1^).(3.3)

Отображение р,*, определенное на сечениях, порождает отображение комплексов

Н*: Г (Г, Й‘)->Г(Г, ц"1^)

и, следовательно, отображение групп когомологий. Учитывая еще соотношения (3.2) и (3.3), определим отображение pi* на Hp(W, У) с помощью коммутативной диаграммы

HP^W, 9s)HP<W, Н-1^)

IIt

Легко проверяется, что эта конструкция не зависит от выбора резольвенты 91\ Нетрудно также понять, как задать отображение pi* на языке когомологий Чеха.

Если отображение ц: ^->1^ имеет связные слои, то ясно, что

Г (Г, ^)=Г(Г, рС1^).

Ситуация не так проста для когомологий высших порядков, pi*: HP(W, 9^HP(W, рГ1^),р>\.(3.4)

Оказывается, следует учитывать более тонкие топологические- свойства слоев отображения pt. Основное важное для нас условие состоит в том, что отображение

pi: W->W

имеет связные слои с нулевыми первыми числами Бетти. Другими словами, для всех ZeW множество pi-1 (Z) связно

и Нх (р-1 (Z), С) = 0. Такое отображение мы будем называть элементарным.

Замечание. Если U г М, а множества U' и U" тс же, что и в § 1, то слой ^(Z) отображения р: U'-^U" биголоморфен подмножеству Zpt/czM. Здесь 2 есть a-плоскость, определяемая (проективным) твистором ZeP (см. § 1). Ниже нас главным образом будет интересовать случай, когда W = U" и ^ = U', так что это замечание можно будет использовать при проверке элементарности отображения р: ^->- W.

Возвращаясь к вопросу о природе отображения (3.4), рассмотрим специальный случай 9^ = 0^), где V — некоторое голоморфное векторное расслоение на W. Отображение р* можно определить с помощью резольвенты Дольбо

«7; 0 -> О (V) -> $°-° (И) -^ З’0-1 (И) -^ Й^2 (И) -^ ...,

где ^р»4^ — пучок (р, 9)-форм с коэффициентами в V (см. [51] или [43]). Если векторное расслоение V гладкое (т. с. класса С°°), то обозначим через S(У) пучок гладких сечений V (т. с. ^(У) = = ^°(У)).

Лемма 3.1. Пусть отображение р: ^->W элементарное и V— гладкое векторное расслоение над W. Тогда

НЦ№, ц"1^(У)) = 0.

Доказательство. По аналогии с голоморфным случаем (§ 1) можно определить пучок гладких относительных р-форм ^ на W и дифференциальные операторы d^, и получить тонкую резольвенту

(3.5)

(ср. с (1.5)). Пусть ZeW. Мы хотим показать, что существует окрестность Uz точки Z, такая, что Нх (р-1 (l7z)D р-1^ (У))= 0. Сначала выберем окрестность Uz так, чтобы прообраз p,-1([/z) тривиализовался:

v х /

Р2

Далее выберем какую-либо точку s0eP2, такую, что (Z, so)g^ (где, допуская неточность в обозначениях, мы отождествили W*4Uz^ и UzXVW и, сужая при необходимости Uz, добьемся выполнения условия: X s Uz влечет за собой (X, So)e ^. Мы

Можем также считать, что расслоение V тривиально на Oz, где О г = ц-1 (Л7г) П ^\ тогда

нчи2, p-W))^1^,

где г — ранг расслоения V, а 8— пучок гладких функций на Р. Из (3.5) следует, что Hi^Oz, ц-1^) = 0 тогда и только тогда, когда последовательность

V$z, 8й^Гфг, ^^Y{UZ,

точная. Поэтому предположим, что ®еГ({7г, 8^) и <7цСо = О. Тогда о можно рассматривать как семейство гладких замкнутых 1-форм <о(Х) по переменным seP2, гладко параметризованное переменной X е Uz. Следовательно, можно определить сечение f е Г фх> 8^ интегральной формулой

(X, s)

(^ So)

где интеграл берется по какому-либо пути, лежащему в р-ЦХ)^ П ^ и соединяющему точки (X, s0) и (X, s). Такое определение возможно и не зависит от выбора пути, поскольку отображение р: ^->W элементарное. По построению d^f = о, так что Н1 (Oz, р-1^) = 0. Отсюда и Нх (Oz,^-^(V)) == 0, т. е. последовательность

г (Uz, 8l (Ю) -^ Г (и2) 8\ (V)) -^ Г (Uz, ^ (Ю)(3.6)

точная. Выберем покрытие множества W подмножествами Uz указанного вида и подберем разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Прообраз этого разбиения единицы на ^ будет постоянным вдоль слоев отображения р и, значит, будет аннулироваться оператором d^. Поэтому его можно использовать для склейки решений уравнений, задаваемых требованием точности последовательности (3.6), и получить точную последовательность

Г (г, ^(IZ))^>r(t, 8Uv^^r(W, 8^V^

или, другими словами (в силу (3.5)), равенство НЦ^, ц~18 (V)) — = 0. |

Замечание. Если W = U", ^ = U', где U с М — штейново, то предыдущие рассуждения можно применить непосредственно к последовательности (1.6) и доказать приведенную ниже теорему в частном случае V = Нп, п^—1. Для п = 0 (т. е. когда V— тривиальное расслоение) доказательство, по существу, дано Уордом [47].

Теорема 3.2. Пусть ^ — открытое множество из IF и W = = р(1^). Если отображение р: W-^W элементарное, то

есть канонический изоморфизм для всякого голоморфного векторного расслоения V на W.

Доказательство. Пучки gp»4^ имеют вид ^(t^), где V = = Лр> pT(W)® V, Ap^T^W)—гладкое расслоение, сечения которого суть скалярные (р, q) -формы. Поэтому, в силу леммы 3.1, Нх^, р-1^’ ^(V)) = 0 для всех р, q. Фактически нам необходимо лишь равенство Я1 (^, p-1^(V)) = 0, чтобы с помощью простого диаграммного поиска установить, что каноническое отображение (3.3)

Нх (Г (Г, р"1^ • (У))) -* Н' (W, ц-'б? (У)) является изоморфизмом (оно всегда инъективно). Отображение р: ^-> ХУ имеет связные слои, поэтому

Г (Г, р"1^0- »(У)) = Г(Г, ^-ЦУ^.

Следовательно, р* есть композиция трех изоморфизмов

НЦ№, O(V))^Hx(r(W, ^-(Ю))^

^НЦГ^, р-^МУ)))^#1^, li-1d№ что и приводит к требуемому результату. |

Доказанная теорема показывает, как влияет топология слоев отображения р на свойства отображения р*. Пока мы имеем:

А. р*: Г(1У, С?(У) )-*Г( IF, р-'СПУ)) всегда инъективно;

В. если р: ХУ-*№ имеет связные слои, то р*: Г(1У,О>(У))-^- Г(^, p_V(У)) есть изоморфизм, а р*: НЧ№,(ЦУ))-^- HY ^, yrvO кУ^ инъективно;

С. если, кроме того, первое число Бетти каждого слоя отображения р: У-^W равно нулю (другими словами, если р: У-*ХУ элементарно), то р*: Нх (IF, С? (У))->Н1 (IF, р-'С^У)) есть изоморфизм и р*: H2(W, О^У^ )-> Д2(М p_V(y)) инъективно (это последнее утверждение легко доказывается с помощью леммы 3.1 рассуждениями, аналогичными использованным при доказательстве теоремы 3.2).

Мы предполагаем, что это лишь часть общей картины, но доказательства общего случая у нас нет*. Однако довольно элементарные выкладки показывают, что если все слои р: ХУ-»-ХУ выпуклые, то У гомеоморфно произведению IF X (слой), и с помощью

аналога леммы 3.1 для групп когомологий более высокой степени можно установить изоморфизм

ц*: HP(W, 0(V))^Hp(Wt ^^(У))

для всех р. Другое доказательство для случая W = Р+, ^ = р+ дано Иствудом [9]. В этой статье, однако, нас в первую очередь интересует действие р* на Н\ так что теоремы 3.2 будет достаточно.

Общее ^-преобразование

Цель этого параграфа — завершить построение общего аналитического механизма, преобразующего элементы групп аналитических когомологий №ф\ С?(У)) в решения определенных дифференциальных уравнений на открытых подмножествах [7czM. Весь процесс в совокупности мы назовем ^-преобразованием). Уже построенные компоненты этого преобразования включают изомор физм

р*: Н1 ф", О (V)) ^ Нх ф7, ^Ю (I/)),(4.1)

когда отображение р: U7-^U77 элементарно (§ 3), и канонические изоморфизмы прямых образов (например):

а) Нх (ir, QU-n- 2)) Нх (U', Q^-n- 2))

(4.2)

изученные в § 2. Чего нам не хватает в данном случае, так это связи между группами Нхкф', р.-хО(— п — 2)) и Нх(ф\ й^—п — — 2)). Такая связь будет вытекать из результата, который мы установим в этом параграфе (теорема 4.1). Нетрудно показать, что при п ^ 1

Нх ф7, ^Ф ф-п- 2)) ker d^ в (4.2а),(4.3)

так что определено интегральное преобразование (в предположении, что р: U7 U" элементарно)

^: Нх ф77,ker V^ в (4.2b).(4.4)

Детали приведены в § 5, но основная идея именно в этом. В общем случае соотношение (4.3) переходит в спектральную последовательность (см. Иствуд [9] в случае (/ = М+), связывающую нЧи', 1Г‘<Ж)) с нЧи', ^(Ю). " В зависимости от геометрии и рассматриваемых расслоений спектральная последовательность дает правильные соотношения между этими группами когомологий (ср. с (4.3) выше). В остальной части этой статьи мы будем изучать различные частные случаи ^-преобразования. В этом параграфе мы только сформулируем общий метод.

В общих чертах это преобразование действует так. Сначала элемент о из Hp^Un, O^V^) поднимается до элемента ц*о) из Hp(U\ ^^(У)). Затем когомологический класс ц*о) сужается на слой v1^), z^U, давая «значение» в слое соответствующего прямого образа пучка. При переменном г это интерпретируется как спинорное поле. Итак,

(^со)^) = со, «вычисленное» на L2.

Фактически первоначальные интегральные формулы имеют такой вид без явной ссылки на промежуточное пространство U' г Г. Однако оказывается, что разбиение преобразования на два этапа с помощью F есть удачный прием, позволяющий анализировать аналитическое поведение ^.

Сформулируем главный результат этого параграфа.

Теорема 4.1. Для всякого открытого подмножества Ха? определена спектральная последовательность

EpVq = H4x, О^У^Н'+Чх,

где дифференциалы dp Е^’4->Ei+V‘q индуцированы операторами d/.

Доказательство. Точная последовательность (1.5)

Г; О^ц-^^-^Й^П-^а^Ю^ЙмСЮ^О

дает нам резольвенту пучка ^^(У). Спектральная последовательность из формулировки теоремы строится по этой резольвенте стандартными методами (частный случай «дифференциального пучка»; см. Бредон [5]). |

Замечание. Один из способов построения спектральной последовательности теоремы 4.1 состоит в том, чтобы записать (1.5) в виде пары коротких точных последовательностей, рассмотреть возникающие длинные точные последовательности групп когомологий и воспользоваться элементарным диаграммным поиском. Этот же диаграммный поиск позволяет, конечно, доказать все, что выводится из спектральной последовательности. Однако язык

спектральных последовательностей ярче и единообразнее описывает результаты следующих параграфов, а также позволяет прослеживать временами сложную информацию.

Твисторное описаниеправосторонних полей

Пусть в соответствии с определением § 2 О^д-в ... о*) [—If— спинорный пучок на М с п (^1) индексами. Положим

Ml ^-kerVf: ЫГ ,а. [-2]'- (51)'

Будем называть ^п пучком голоморфных правосторонних без- массовых свободных полей спиральности п^. Сечения пучка %гп над открытым подмножеством U czM

гр, 85-1ц„_,еГр. О,,.,....,,., [—1]'): Vfv,r „.„-О)

суть голоморфные безмассовые поля спиральности п/2 на U (Дирак [6], Фирц [12]). Заметим, что мы не сохраняем (как иногда делают) термин «правосторонний» (или, эквивалентно, «положительной спиральности») за случаем U = МР Для спиральности 1/2 эти уравнения сводятся к уравнениям антинейтрино Дирака — Вейля, для спиральности 1 —это уравнения Максвелла автодуального поля (правосторонний фотон), а для спиральности 2 — автодуальные линеаризованные уравнения Эйнштейна. Точнее, сечения пучка %п — это голоморфные правосторонние безмассовые свободные поля спиральности л/2 со штрихованным конформным весом. На М; эти поля совпадают с классическими безмассовыми полями, впервые введенными Дираком. Мы могли рассмотреть и поля с нештрихованным конформным весом, т. е. заменить (5.1)' на

М; £n = Wv^.C^ (5.1)

что на МН также отвечает полям Дирака. Единственное различие возникает при неунимодулярных * преобразованиях из группы GL(T), относительно которых %п и %'п не будут канонически изоморфными. Физический смысл этого явления пока не ясен, но оказывается, что ^-преобразование, действуя на Р, естественно приводит к сечениям из Э^'п. Различие между 2£'г и ^п (как и вообще между штрихованными и нештрихованными весами) исчезнет, если мы ограничимся группой SL(T) вместо OL(T).

Сформулируем теперь теорему, характеризующую правосторонние голоморфные безмассовые поля на М в терминах голоморфных данных на Р.

Теорема 5.1. Для всякого открытого Del и всякого п^ 1 имеется каноническое линейное преобразование

^; H4U\ С^-п-^-^Уф, ^).

Если отображение р: UZ-^UZZ имеет связные слои, то ^ инъективно, а если р: UZ->UZZ элементарно, то ^ есть изоморфизм.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, вспомним, что отображение р: UZ-^UZZ имеет связные слои тогда и только тогда, когда каждая a-плоскость в М пересекает U по связному множеству, и р: UZ—^U,Z элементарно тогда и только тогда, когда все эти пересечения связны и имеют нулевые первые числа Бетти.

Доказательство теоремы 5.1. В § 3 мы уже выяснили, что отображение

р*: Нх ф", СЦ-п-^-> Н1 ф\ р"1^ (- п - 2)) инъективно или биективно в зависимости от предположений теоремы. Поэтому достаточно показать, что имеется естественный изоморфизм

Нхф\ р-^-я-^^П!/, ^).

Проделаем это с помощью спектральной последовательности теоремы 4.1. В силу формул (2.11) (и аналога предложения 2.2)

Е\’° = HQ ^Uz, й£(— п — 2)) = 0 для всех р,

EV = H4uz, Q^(— п — 2)) Г ([/, Ouvb'... d')[— 1К) (^ индексов), eV 1 = нЧи', ^(-n-2))^r(u, ^^...D-i^r) и т. д.

Следовательно, член Е\ спектральной последовательности теоремы 4.1 изоморфен диаграмме

^^•••^н)—

(5.2) ооо5•

Тем самым Е^ '^kerVj': Г (17, <^A,B,iirn\—\Y)-*

r^>OA(B,_D,}[-2]')=r(U, ^'п\

Согласно общей теории спектральных последовательностей, нам следовало бы рассмотреть теперь отображение d^; Е% 1 -*

-*Ei °, но Ей ° = Ei ° = 0, так что это просто нулевое отображение. Отсюда Ей 1 — Ё^ ’. Аналогично и Е*’0 = О, а следовательно, и Е^° = 0. В общем случае спектральная последовательность теоремы 4.1 приводит к точной последовательности

q->eV-*hx<u', ц-^^-^е^’-^о.

В нашем случае, однако, Ею =0, откуда

Н1 (О', р-1С? (-п - 2)) ^ £» 1 ^ Е®’ 1 = Г (и, ^,

как и требовалось.

Группа GL(T) линейных автоморфизмов Т (изоморфная группе OL(4, С)), очевидно, действует на Р и М таким образом, что твисторное соответствие (1.1) сохраняется. Следовательно, если фЕ ОЛ(Т) и U — открытое подмножество из М, то ф ([/)"= = ф((///). Преобразование ср сохраняет также пучки C^(—п— 2) и 2^. Поэтому имеет смысл проверить коммутативность диаграммы

^: Нх ф", О^-п-^) -> Г У» ^

|ф|ф(5.3)

^: ЯЧФ^), б?(-п-2))->Г(Ф(^), ^

Именно это выражает каноничность ^. Но такая проверка тривиальна, поскольку доказательство теоремы 5.1 не зависит от выбора базиса в Т. |

Наше доказательство предыдущей теоремы носило излишне подробный характер. Для каждого, кто знаком с языком спектральных последовательностей, достаточно одного взгляда на диаграмму (5.2). Другие примеры и приложения спектральных последовательностей имеются в книгах Бредона [5] и Годемана [14]. Как отмечалось ранее, тот же результат легко доказывается непосредственно с помощью (1.6) и (2.11) без использования этой на вид громоздкой техники.

Безмассовые поля часто описываются с помощью интегральной формулы Фурье (Фирц [12]). Эта формула тогда позволяет определить понятия положительной частотности (или, эквивалентно, положительности энергии) поля. Волновые функции, встречающиеся в природе, являются положительно-частотными. Вещественно аналитическое положительно-частотное поле на вещественном пространстве Минковского автоматически расширяется до поля, голоморфного в открытой окрестности М+ (что часто принимается за определение положительной частотности). Если бы преобразование ЭР было изоморфизмом для подходящего семейства таких окрестностей, то можно было бы взять индуктивный предел по

всем таким окрестностям и получить изоморфизм

^: Я1 (Р+, С (— п — 2)) *5* {вещественно аналитические положительно-частотные безмассовые поля спиральности п$ на вещественном пространстве Минковского}.

Преобразование ^ действительно является изоморфизмом для подходящих произвольно малых окрестностей М+. Доказательство, по существу, такое же, как и для самого М+ (см. следствие 5.2 ниже), обычно выбираемого в качестве U (например, у Пенроуза [37] и Уэллса [52]). Имеется и другая причина, по которой множества М+ и МГ представляют особый интерес: именно такие множества требуются для определения гиперфункций на вещественном пространстве Минковского. Следовательно, разумно ожидать, что ^-преобразование можно продолжить на поля из класса гиперфункций, и это действительно так (см. Уэллс [53] и [54]). Результат для М+ заслуживает отдельной формулировки.

Следствие 5.2. Преобразование

Ф'. НХ(Р\ <?(—и — 2))-*Г(М+, Х^

есть канонический изоморфизм для всякого п^ 1.■

Доказательство. Поскольку М + — выпуклое подмножество М7 —С4, каждая a-плоскость пересекает М+ по выпуклому и, стало быть, односвязному подмножеству.

Ясно также, что теорема 5.1 локально описывает все правосторонние поля, поскольку каждая точка из М имеет выпуклую окрестность, к которой применима эта теорема.

Волновое уравнение

Классическое скалярное волновое уравнение в аффинном пространстве Минковского М7 имеет вид '

□ ф = 0,(6.1)

где ф— скалярное поле (функция) и □ = VaVa = Улл'^аа'* Каждая компонента безмассового поля удовлетворяет волновому уравнению, так что (6.1) называют также уравнением безмассового ноля нулевой спиральности. Глобально безмассовое поле должно иметь конформный вес —1. Другими словами, ф следует рассматривать как сечение пучка ^0 или где

^0 = кегП: б?[-Ц ->б?[-2][-1Г,^ = kerD: <^[—1]'1][—2]'.

Мы увидим, что оператор □ естественным образом возникает в твисторной геометрии. Интересно проследить, каким образом появляется здесь оператор второго порядка, ведь оператор V^ из § 5 имеет первый порядок. Это можно сделать с помощью спектральной последовательности.

Теорема 6.1. Для всякого открытого U cz М имеет место каноническое линейное преобразование

^: Нх ф\ О (-2)) -> Г (17, ^).

Если отображение р: U'->U" имеет связные слои, то ^ инъективно, а если р: U'-^U" элементарно, то ^ — изоморфизм.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 5.1, достаточно вычислить группу Нх (Uz, р-хС?(—2)) с помощью теоремы 4.1. В силу (2.11) имеем

E\*q = Hq(U', йц(—2)) = 0 для всех q.

Отсюда Е^' q ^ Е\' q и> согласно (2.11), член £2 имеет вид

ЯШМ) 0 Я2(/7,0[ч][-2]') ,

нЧцоИМ’)

оо—г (о;о f-i][-2])

Следовательно, Я1 (Я', ц-’С7(—2) )^ ker О: Г(Я, С?[— 1]')-^ ->Г(Я,СЧ—1] [—2]'). Поскольку все дифференциалы первого члена этой спектральной последовательности равны нулю, а мы рассматриваем второй член, то D — дифференциальный оператор второго порядка. Для нахождения D поступим следующим образом. Вспомним, что для отождествления группы НХ(Д,(Ц—2)) с Г (Я, О[—1]') мы использовали последовательность (см. (2.9))

Л Л'ЛА'

Г; 0->б?(-2)—>^(-1)—>^[-1Г->0

и изоморфизм Г((7', б?[—1]') ^ Г([/, (У [—I]')- Отображение комплексов

О(-2)-^- СМ-1)С1-1Г

"л^л'ЛдЛЛЛ'

О (-2)> Од (-1) [- If>- О I-1] 1-2]'

порождает отображение спектральных последовательностей, которое в члене Е^ имеет вид

Отсюда D = 4 □. |

Левосторонние поляв терминах потенциалов

Классическое голоморфное левостороннее безмассовое свободное поле на открытом подмножестве U из М — это голоморфное спинорное поле

Ъв ... D Г (^ °МВ ... оД-П'), для которого

(7.1)

говорят, что поле имеет спиральность —п/2, если оно зависит от п индексов. Для спиральности —1 это спинорная форма уравнений Максвелла для антиавтодуального поля. Пучок с такими сечениями мы обозначим через ^-п. Имеется также изоморфный ему пучок %-П1 определяемый как ядро морфизма

VD/)': О^дв ... щ[— 1]->^мв ... о [—2] [— l]z.

Эти поля можно представлять аналитическими когомологиями подмножеств дуального проективного твисторного пространства Р. Для этого следует в точности повторить рассуждения § 5, что приведет к сечениям пучка 2£_п. Левосторонние поля (сечения ^-^ можно, однако, задавать и на подмножествах самого пространства Р. Такое представление можно осуществить с помощью метода контурного интеграла (см. Пенроуз [34]*) или «разложения в степенные ряды» когомологических классов вблизи прямых Lz, геМ (см. Уэллс [53] и обсуждение в следующем параграфе). Однако метод, опирающийся на теорему 4.1, состоит в использовании потенциалов.

Под потенциалом поля фЛ5 D г Г ((/, 2/_п) мы понимаем спинорное поле ф^ °' е Г (U, С^' ••• ^'Ч—-1]'), такое, что

^А^А'^ •••D') = 0,

^огф ..У b'b^A) D = г|)лв D

(симметризация в левой части второго равенства распространяется лишь на нештрихованные индексы). Прямые, но утомительные выкладки показывают (см. (7.6) и (7.7)), что если поле фдв... о задано формулами (7.2), то полевые уравнения выполняются автоматически. Очевидно, имеется некая «калибровочная свобода» в выборе потенциала, поскольку легко заметить, что если ф^ ••• °' —- потенциал поля ^b...d> то и

(73)

тоже потенциал, где ус'••• D'— произвольное спинорное поле из Г (/7, Ос' ••• °'\ Имеются и другие близкие определения потенциала. Например, полезным понятием является потенциал Герца (см. Пенроуз [27]).

Локально для данного безмассового поля всегда можно подобрать потенциал, и имеющийся произвол полностью определяется выражением (7.3). Это вытекает из построений Пенроуза [37] и Уорда [49], включающих явные формулы для представлений полей и потенциалов через когомологические классы.

Согласно нашему определению, потенциал нейтринного поля (спиральность —1/2) совпадает с самим полем, так что простейший случай — поле Максвелла:

7^Л5_0.(7.4)

Если рассматривать фдв как антиавтодуальную 2-форму Fab = ^ABsA'Bs то уравнение (7.4) переходит в dF = 0 и искомый потенциал есть 1-форма со, такая, что dm = F, а калибровочная свобода состоит в том, что со можно заменить на со + dy, где у — произвольная голоморфная функция. Таким образом, локальная эквивалентность поля потенциалу по модулю калибровкй вытекает из точности последовательности де Рама

М; Q°->Q1->Q2-^Q3.

На языке спиноров эта часть последовательности де Рама с точностью до постоянных множителей записывается так (ср. с (2.3)):

М; (7-^^[-1Г^®-^(^[-Щ-З]'. (7.5)

^вв' OubA-IY v

Тем самым один из способов убедиться, что левостороннее поле Максвелла локально эквивалентно потенциалу по модулю калибровки, состоит в изучении следующей коммутативной диаграммы (см. Иствуд [9]):

о о

f в' , f ,,

о^о® И -^— ^8^-11И'

(7.6)(7.6)I , с^г-аг-з]'

(7.6)

(7.6)

О

Подчеркнем, что все столбцы здесь точные, а средняя строка совпадает с (7.5) и, стало быть, тоже точная. Простой диаграммный поиск показывает, что в этом случае когомологии первой строки (потенциалы по модулю калибровки) изоморфны когомологиям последней строки (полям). Причина перехода к такому способу описания полей в том, что он локально обобщается на произвольные спиральности. Детали довольно громоздки, и мы их опустим, диаграмма для спиральности —п^ содержит п—1 промежуточных строк между строками, описывающими потенциал и поле, причем /-я строка есть последовательность де Рама, сдвинутая на / — 1 шагов вправо и умноженная тензорно на О^ "* д1”^-

Рассмотрим теперь глобальную ситуацию в случае спиральности — 1,

Для исследования вопроса о глобальной эквивалентности полей потенциалам по модулю калибровки на данном открытом подмножестве U из М рассмотрим сечения диаграммы (7.6) над U. Если бы мы, к примеру, имели дело с гладкими формами, то сечения последовательности (7.5) над U давали бы точную последовательность тогда и только тогда, когда Нх ^U, С) ^ №^U, С) = 0. Действительно, диаграмма (7.6) привела бы к точной последовательности

{Потенциалы} Г Левосторонние поля')

a (и, С)-> ^алибровки} (Максвелла над Uw>M> (7.7)

поэтому равенства Нх (U,C) = Н2^, С) = 0 приводили бы к изоморфизму на U:

{Потенциалы} ~ f Левосторонние поля ) {Калибровки} "^ (Максвелла над U J*

Однако, как легко проверить, в случае голоморфных форм необходимо, чтобы, кроме того, отображение

V^: НЧи,СГ)->Нх ([/, О®' [-1 ]')(7.8)

было инъективным. Если множество t/^M7 выпукло, то 7/1 ([/, С) =/72((/, С) = 0 и Нх (U, б?) = 0, поскольку U штейново. Следовательно, для таких множеств U, в частности для U = М+, описание в терминах потенциалов всегда возможно. Исследование случая произвольной спиральности проводится аналогичным образом, и мы не включаем его в данную статью. Главный результат этого параграфа — это следующая

Теорема 7.1. Пусть п^\, U открыто в М и отображение

V^: нЧи, О(С'- с'^-»нЧи, Оа'С' ^ [—1]')(7.9)

инъективно, причем последнее условие отсутствует, если п=\. Тогда имеется каноническое линейное преобразование

^Потенциалы голоморфных') /ГКалибро-') 9; Нх (U", С ^п — 2)) -> s безмассовых полей спи-г явочная г.

(ральности — п/2 на U )/ (свобода )

(7.Ю) Если отображение ц: Uf-^Un имеет связные слои, то 9 инъективно, а если ц: U'-^U" элементарно, то 9 есть изоморфизм.

Доказательство. Как и в доказательствах теорем 5.1 и 6.1, для построения преобразования 9 сначала рассматривается отображение ц*: HX(JJ", О^п — 2))-+ HX(U', ^-^(п — 2)), а затем с помощью спектральной последовательности из теоремы 4.1 вычисляется группа Нх (U', ртх0^п— 2)). Поэтому достаточно показать, что существует естественный изоморфизм

Нх (U', рГх0 ^п — 2)) ^ {Потенциалы}/{Калибровки}.

Пользуясь изоморфизмами (2.11), вычислим член Ех спектральной последовательности

V(U,0 ^^г^'... »)[-1]')^rQj>0WBl„. ^[-j][-2]'^

Следовательно, инъективность отображения (7.9) означает в точности, что ЕХ 1 = 0. Кроме того, по определению

Е^ 0 = {Потенциалы)/{Калибровки}.

Далее, Е^ = Еъ = 0 и Е^ ^ £2 , так что точная последовательность

Q^eV-^H^U', \k"XOkn-^->EV-*0

приводит к требуемому результату. |

Условие инъективности отображения (7.9) в формулировке теоремы 7.1 может показаться несколько странным. Это очень слабое условие, и, в частности, теорема 7.1 применима к М+ и применима локально в том смысле, что каждая точка имеет сколь угодно малые окрестности, для которых теорема верна. Тем не менее заметим, что в случае п = 2 (левосторонние фотоны) условия (7.8) и (7.9) совпадают. Другими словами, дополнительное условие, наложенное в теореме, есть в точности аналитическое условие, которое необходимо, в дополнение к топологическим условиям, для обеспечения существования потенциалов. Это, по-видимому, указывает на то, что если мы опустим это условие, то все еще можно будет найти искомое поле, но, возможно, не имеющее потенциала (см. также Пенроуз [37]). В оставшейся части этого параграфа мы ограничимся случаем п = 2.

" Вспомним, что преобразование ^ из теоремы 7.1 осуществляется сначала применением отображения ц*: Нх (JJ", 0^-> Нх {U\ ц-1^), а затем интерпретацией группы Нх ^U', ц-1^) в терминах объектов на U с помощью спектральной последовательности теоремы 4.1. Определим комплекс пучков ^ на М диаграммой

...1> ^’> ^'-> 9^

М;М;II II IIIIII

М;

М;

тогда спектральная последовательность теоремы 4.1 есть не что иное, как вторая гиперкогомологическая спектральная последовательность комплекса ^е (см. Суон [45]) или спектральная последовательность дифференциального пучка по Бредону [5] или Го- деману [14]. Поэтому интерпретировать группу Hr(U\ ц-1^) через данные на множестве U в общем случае позволяет изоморфизм

нци\ ^хс^нчи. ^.нци\ ^хс^нчи. ^.(7.Н)(7.Н)

нци\ ^хс^нчи. ^.

нци\ ^хс^нчи. ^.

(7.Н)

(7.Н)

Определим теперь другой комплекс %" диаграммой

...^' -*^2> №-> ^* Я8-*...

М; II IIIIIIII

...^0 ->^лВ)[-1Г^^ [-1][-2Г->СЧ-2][-2Г-> 0 ->....

Описывая соответствующие спинорные пучки на языке голоморфных форм, можно дополнить диаграмму (7.6) до точной последовательности комплексов

М; 0->S?"->Q"->^’^0

и получить тем самым длинную точную последовательность гиперкогомологий

... ->Н*(^, е’)-*НЧ^, И->Н2(67, $')->Н2(^, Q")^ ... . (7.12) Далее,

НЦи, Q^^H^U, С\(7.13)

поскольку й’ есть резольвента пучка С. Группа гиперкогомологий Ц2((/, Si") легко вычисляется через первую гиперкогомологическую спектральную последовательность или исходя из определения группы гиперкогомологий, и оказывается, что

H4U, ^ = V4U, ^Ч), НЧи,^ = 0.(7.14)

Подставив (7.11), (7.13) и (7.14) в (7.12), получим точную последовательность (см. Иствуд [9])

0->H4U, С^нчи', |1-*<7)->Г([7, ^^нчи, СН..., (7.15)

и преобразование 9s можно определить как композицию

нчи", ^-^нчи', ц-^нпб/, ^с2).

Теперь легко понять, когда

^: Нхф\ О^Гф, £/_^

является изоморфизмом. Во-первых, имеются обычные топологические условия на отображение р: U'-^U", при которых отображение р* является изоморфизмом (теорема 3.2). Во-вторых, из последовательности (7.15) видно, что отображение//1 ф', р-1д)-> -> Г ф, 3^-2) будет изоморфизмом при условии, что группы H^U, С) и Н2ф, С) тривиальны. Итак, топологические препятствия к существованию и единственности потенциалов остаются, в то время как аналитическое условие исчезло. Возможно, это служит указанием на то, что в случае голоморфных форм в качестве определения потенциалов по модулю калибровочной свободы следует принять H^t/, ^'%

Прямой подходк левосторонним полям

В статье Уэллса [53] описан когомологический метод построения левосторонних полей спиральности —п/2 непосредственно по элементам группыН\ф\О^п — 2)). Для таких степеней однород-

ности интегральные формулы (см. Пенроуз [34]*) содержат дифференцирование под знаком интеграла, и это проявляется в когомологическом методе, когда с помощью степеней конормального расслоения прямой в U" пытаются разложить элемент из Нх ^U^^O ^п—2)) в степенной ряд около этой прямой. Таким образом, вполне очевидно, что, когда интегральное представление существует, оно согласуется с более абстрактным когомологическим подходом. Не столь ясно, согласуется ли этот подход с методом, описанным в предыдущем параграфе. Ниже мы дадим обзор конструкции Уэллса [53], описав ее инвариантным образом) на языке спинорных пучков § 2. Затем мы воспользуемся процессом повышения и понижения спиральности (см. Иствуд [10] и Пенроуз [33], [39]) и покажем, что она действительно согласуется с твисторным описанием через потенциалы, изложенным в § 7. Этот же результат вытекает и из сравнения конструкций Пенроуза [37] и Уорда [49].

Рассмотрим расслоение ОА (1) (= 6^(1) ®ОА) на РХМ. Слой этого расслоения над (Li,L2)ePXM есть L*®(T/A2). Выберем точку l^L\. Пусть /* — двойственный элемент из Ц (т. е. /*(/) = !) и [/] — образ I при факторотображении T->T/L2. Тогда элемент Г ® [/] s L* ® (Т/Аг) не зависит от выбора / и, следовательно, определяет сечение расслоения ^(l), которое мы обозначим со4. Заметим, что сол (Ai, L^ = 0 тогда и только тогда, когда L\ cz А2, и, более того, сол определяет F без кратностей как подмногообразие в Р X М. Другими словами, если 3 обозначает пучок идеалов F как подмногообразия в Р X М , то отображение

ОЛ-xv^ з

РХМ; Ш Ш/л ^ /л®л

сюръективно. Это также приводит к следующей точной последовательности:

0->^2~> д

РХМ;Ш Ш(8.1)

/л® л/л If

отождествляющей конормальное расслоение 9[ЕР с Х?д(—1) на F. Здесь мы позволили себе написать ХО вместо Ох, чтобы избе-

жать путаницы со спинорными индексами. Предположим теперь, что U — открытое подмножество Штейна из М, и применим приведенную выше конструкцию к LP как подмногообразию в U"X V» Мы утверждаем, что отображение

Нхф"Хи,О^п-ОД (8.2)

есть изоморфизм. Общий случай не сложнее случая спиральности — 1 (п = 2), так что ради простоты обозначений ограничимся доказательством этого случая. Из точной последовательности пучков

U"XU\ 0 ->3->О->и'О-> О

получаем точную когомологическую последовательность

Г ф" XU.O^V ф\ О)^НХ ф" ХОфф

-> Н1 ф" хи,О^ Нх ф\ оу

Голоморфные функции на U"XU и U'— это голоморфные функции на U, так что отображение Тф^Х О,О^-^Гф',О) сюръективно. Кроме того, в силу предложения 2.2, Нх ф',О) ^Нх ф, О) = = 0, поскольку множество U штейново. Значит, отображение

Нх ф" XU, 3^ Нх ф” х и, О)

есть изоморфизм. Рассмотрим теперь точную последовательность (8.1) на U^XU. Соответствующая длинная точная когомологическая последовательность содержит отрезок

г ф\ о А ф\у-> Нх ф" х и, ^2) -> Нх ф" хи,3^нх ф\ О А ф 1)), где, согласно предложению 2.2, первый и последний члены нулевые. Следовательно,

Нх Ф" X U, 3^ ^ Нх ф" XU, 3^ Нх ф" X и, О),

как и требовалось. Интуитивно чувствуется, что изоморфизм (8.2) означает, что информация, содержащаяся в элементах группы Нхф"ХО,Оф — 2)), зависит только от нормальных производных к U' порядка п и выше. При вычислении поля, факторизуя по З^^п— 2), мы фактически просто берем zi-ю нормальную производную. Это одновременно включает требуемое сужение на U', поскольку пучок Зпф— 2)/3<п+1(п— 2) сосредоточен на U'. Последнее вытекает из точности последовательности (см. (8.1))

РХМ; 0-> ^"+1>9п*и-О^в...оА-п^й

АВ ... I^^^ ' * *^AB...olu'

так что пучок Sf^n— 2)/^7п^Цп — 2) можно канонически отождествить с сужением пучка С^ав ... dA™^ на U'. Преобразование ^ определялось Уэллсом [53] как композиция

Я1 «7", О (я -2» —*-нЧи"х и, о (п-2)) ^- я’ (и "х Ц, У (л-2))

W^L^H)) (8.3)

где последний изоморфизм следует из предложения 2.2. Для доказательства того, что отображение (8.2) является изоморфизмом, мы предположили, что U штейново (хотя использовали только, что H^U, б?) = 0 для случая п = 2). Это в сильной степени указывает на то, что данная конструкция фактически проходит для потенциалов, особенно с учетом того, что в случае п = 1 это предположение излишне. Чтобы обойти эту проблему, мы просто выполним преобразование (8.3) локально. Ясно, что локальные преобразования совпадают на пересечениях и, следовательно, склеиваются, давая корректно определенное преобразование для всякого U. Альтернативный подход состоит в применении этих рассуждений к фиксированной прямой LZ) z^U, как подмногообразию из Ur\ а не к О' как подмногообразию из 17" X U. Именно такой подход мы используем для того, чтобы показать, что преобразование ^, определяемое диаграммой (8.3), совпадает (с точностью до постоянного комбинаторного множителя) с преобразованием ^, определяемым теоремой 7.1.

• Ограничимся вновь случаем спиральности —1. Выберем точку из U. Назовем эту точку началом отсчета и введем координаты 2av, как в § 1, так что это начало отсчета действительно является началом координат вМ7. Введем также координаты (оА, лА) на Т, как в § 1. Тогда прямая L из Р, отвечающая началу, определяется обращением в нуль переменных оА. Пусть ^ обозначает пучок идеалов L как подмногообразия [7"; тогда значение ^ в начале, согласно (8.3), дается композицией

Нх (U", О^ ^- Нх <U^ ^2) -> Нх (L, SfW ~ Нх (L, LO^ {-^ (8.4) где последнее пространство рассматривается как слой расслоения 67(ав)[— 1]' над началом. Чтобы сравнить это с § 7, поступим следующим образом. Поскольку пучок З2 порождается произведениями (оАа>в, имеем точную последовательность

0-*.T->6W-2)—(8.5)

где ЭС — некоторый когерентный аналитический пучок. Рассмотрим коммутативную диаграмму

Нх У", (?(АВ) (-2)) -^^ Н1 ф", 3^ -Д- Я1 (Я", О>

44(8.6)

Я* (L, 1<?(АВ) (-2)) ~ Я1 (Я", Зг№

Переход по этой диаграмме от Нх ф , О^ к Нх ф l^abiC—2)) совпадает с предложенной выше конструкцией (8.4), в то время как сужение Нхф", 6?(ав)(—2))->Нх (L, l0(ab)(—2)) — это вычисление поля в начале отсчета по методу § 6. Действие отображения

(оАюв: Нхф\ С<хвА-^^Нхф\ О)

в терминах соответствующих безмассовых полей (по § 6 и 7) может быть вычислено в явном виде (Иствуд [10] и Пенроуз [39]) и, оказывается, имеет вид

Фав ^ - [^^аа'^вв'Фсп + ^'Va^a^b.c + 2Фав]-

Таким образом, значение поля в начале отсчета просто умножается на ~2. Если бы отображение соАсов: Нхф", С^авИ—2))-> ->Нхфп, ^2) было сюръективным, мы могли бы из диаграммы (8.6) заключить, что с точностью до множителя —2 метод § 7 согласуется с (8.4). Тогда были бы справедливы и все выводы § 7. Если группа Н2ф",^=^ то требуемая сюръективность вытекает из точности последовательности (8.5). Для подходящих множеств U это верно (см. Андреотти и Грауэрт [1]), но вместо того, чтобы доказывать это утверждение, можно поступить следующим более простым способом. Значение поля в начале отсчета не изменится, если мы сузим U (и, значит, U"). Мы утверждаем, что всегда возможно сузить U до такого множества V, что соответствующее отображение H2(U//,J^)--^H2(V//,3^) будет нулевым. Этот факт, которого, конечно, достаточно для завершения сравнения, вытекает из следующей леммы.

Лемма 8.1. Каждая прямая L из Р имеет сколь угодно малые открытые окрестности W, такие, что H2{W, ^) = 0 для всех когерентных аналитических пучков У.

Доказательство. Выберем две стандартные координатные карты на Р, объединение которых содержит L В каждой из этих карт имеются сколь угодно малые множества Штейна, содержащие часть L, лежащую в рассматриваемой карте. Окрестность W можно выбрать в виде объединения двух множеств Штейна. Теорема Майера — Вьеториса и теорема В Картана (см. Хёрмандер [20] или Ганнинг и Росси [18]) приводят тогда к равенству п2фУ, ^) = 0 для всех когерентных аналитических пучков У. I

Поля, взаимодействующие с фоном

В статьях [46], [47] Уорд развил метод, использующий «подкрученный фотон», для описания некоторых взаимодействующих с фоном полей посредством твисторных интегральных формул. В этом параграфе мы покажем, как, объединив общую схему § 1 с результатами § 7, можно интерпретировать этот результат когомологически.

Пусть Фл — потенциал левостороннего фотона (поля Максвелла) на U в смысле § 7. Зададим дифференциальный оператор Од на U правилом

Тогда (Гасёрович [13]) голоморфное правостороннее безмассовое поле на U, минимально взаимодействующее с электромагнитным фоном, определяемым потенциалом Ф^', есть сечение фл,в, ... D, расслоения 0kArBr ее# р/Д—1], удовлетворяющее уравнению

^А ^А'В' ... D' = ^e

Если имеется п индексов, то говорят, что поле имеет спиральность п/2. Соответствующий пучок обозначим через ^^(Ф). В случае Фа =0 мы возвращаемся, конечно, к пучку ^п из (5.1). Имеется также связанный с фоном вариант пучка (5.1)', который мы обозначим через ^п(Ф).

Если Фа заменить на эквивалентный потенциал (см. (7.3))

Ф£ + Vf V,

то взаимодействующие с фоном поля останутся в сущности невозмущенными, поскольку

Vf + 2л/Ф^ = e2™Y (Vf + 2ш (Ф^ + Vf у)) 5"2jiZy.

Следовательно, потенциал важен только с точностью до обычной калибровочной свободы.

В § 7 мы описали, как левосторонние фотоны в подходящих условиях представляются элементами группы Hx0J”,0Y Поскольку это было представлением через потенциалы по модулю калибровочной свободы, можно ожидать, что оно окажется полезным и при описании электромагнитно взаимодействующих полей. Так и есть на самом деле. Представление левостороннего фотона как элемента из Hx0J",0^ называется пассивным описанием. Активное описание есть описание в терминах подкрученного фотона, т. е. в терминах линейного расслоения над U" (Уорд [46],

)и). Для получения этого расслоения из пассивного описания рассмотрим короткую точную последовательность пучков

Р; 0^Z^tf-^^(T->0,

где Z — постоянный пучок целых чисел, О* — пучок не обращающихся в нуль голоморфных функций. Длинная точная когомологическая последовательность содержит отрезок

HЧU^^^HЧUf^ О^НЧи"» <П-^НЧиЧ Z),(9.1)

и подкрученный фотон L определяется как образ фотона при пассивном описании под действием экспоненциального отображения H4U", С)->нчиЧ О*\

Линейные расслоения, которые можно получить этим процессом, согласно (9.1), суть топологически тривиальные расслоения (для которых с(Ц = 0). Более того, вспомним (§ 7), что имеется ряд условий на U, которые должны выполняться при описании левостороннего поля Максвелла как элемента из H4U4<T^ и среди них:

»)№(У.С)-0,

Ь) ц: 1У ->U" элементарно.v 7

Прямые вычисления показывают, что условия (9.2) влекут за собой Нх VU4 Z) = 0, так что левосторонние фотоны находятся во взаимно однозначном соответствии с топологически тривиальными линейными расслоениями на U". Это связано с «целочисленностью заряда» (см. Пенроуз [36]).

Однако для когомологического описания взаимодействующих с фоном полей нам не потребуются подобные ограничения. Мы только предположим, что задан подкрученный фотон (т. е. топологически тривиальное линейное расслоение на U"), которому соответствует потенциал на U. Точный смысл последнего условия следующий. Вспомним точную последовательность (1.3):

Г; 0Q^O.

Определим пучок X на F формулой

Ж = кег^:

Тогда получим точную последовательность

til лв, til

Г (и, ^'[-in ^ Г (и, Ои'в'^ [— 1 ] [—2К)

и) Использование здесь терминов «активный» и «пассивный» отличается от терминологии Пенроуза и Мак-Каллума [32].

так что Г^и',Ж^ изоморфно пространству потенциалов на U. Точная последовательность

индуцирует точную когомологическую последовательность

-*Тф', О) -^- Г (£/', ^)H4U', \k-xO^H4U', 0^...

3131/

Г(^, О^ —> {потенциалы на (/}(9.3)

Итак, элемент из НЦи\ ртхО) порождает потенциал на U тогда и только тогда, когда его образ в HX(U', О) нулевой. Более того, этот потенциал единствен с точностью до обычной калибровочной свободы. Будем говорить, что потенциал Фд соответствует подкрученному фотону L, если существует элемент со е Нх (U", 6?), такой, что L = ехр 2л/со и ц*со = 6Ф, где/(Ф) = Фд при изоморфизме прямого образа I в (9.3). В условиях теоремы 7.1 это соответствует использованию пассивного описания указанной теоремы и затем взятию экспоненты.

Когомологическое описание связанных полей получается заменой Нп на L ® Нп в обычном описании несвязанных полей (см. теорему 5.1).

Теорема 9.1. Пусть L— подкрученный фотон, соответствующий потенциалу Фд левостороннего поля Максвелла на U. Тогда при п ^ 1 имеется каноническое линейное преобразование

‘^: Нх ф\ О (L) (- п - 2)) -> Г (^, ^п (Ф)).

Если отображение ц: U'~+U" имеет связные слои, то ^ инъективно, а если ц: U'->U" элементарно, то SP есть изоморфизм.

Доказательство. Доказательство опирается на теорему 5.1. Преобразование ^ строится следующим образом. Сначала применяется отображение

ц*: Нх IU", 0 (L) (- п - 2)) -> Нх ф\ р"1^ (L) (- п - 2)).

Затем достаточно показать, что

я1 уд ц-ха(ь)(-п-2))^г(и, ^дф)\

Как обычно, делаем это, используя теорему 4.1. Следовательно, мы должны вычислить группу Hq (U , Q£(L)(— п — 2)) и дифференциалы

c^t НЦи', й^ЬЧ-п-^-^НЧи', Q^UM-n-Tp. (9.4)

Поскольку L соответствует потенциалу Фд, имеем следующую коммутативную диаграмму (см. (9.3)):

Г (£/', Ж^нчи'» ^0)^НЧ0\ О^нчи^ О*) ш ш ш ш ф (^ р*© ।►. о |>■ о

t1(9.5)

со I•> L

(ЛШ

//' У", О) >- Н1 <U", о^

Тем самым p*L тривиально как голоморфное линейное расслоение на U', откуда

Q£(L)(-n-2)~Q£(-n-2).

Следовательно, член Е\ спектральной последовательности теоремы 4.1 в точности такой же, как и в случае теоремы 5.1, где L тривиально. Единственное различие имеется в дифференциалах, где мы ожидаем, что оператор \а должен быть всюду заменен на Da* Дифференциалы даются формулой (9.4), так что достаточно показать, что если мы естественным образом тривиализуем p*L (используя потенциал Фд)> то получим следующую коммутативную диаграмму:

$(О —QUO

Г; О > ^(Щ-Ц'(9.6)

. ШШ

fl^A'DaI

поскольку она нужным образом обобщает лемму 1.2. Тривиализа- ция расслоения p*L неявным образом дается диаграммой (9.5), Чтобы сделать ее явной, используем когомологии Чеха. Пусть ^/)/е/— открытое покрытие множества U". такое, что со имеет представление в виде коцикла Чеха

^$к е Г (Uj f] U^ См

Тогда |л*со определяется коциклом

относительно покрытия {p~‘(L//)}. Согласно (9.5), 6Ф = р,*<о, т, е. имеем:

открытое покрытие W^jeu множества U' (возможно, после перенумерации покрытия {17/}), такое, что У/Ец-1((7/);

hj е Г (Vh 0), причем ]1

I ajk ° ц = hj — hk на V, П УА.

Таким образом, в силу последнего уравнения,

(ехр 2л/(о/6 о ц) ехр 2лг/гд = ехр2шН; на Vj f| V^

Но {ехр 2лш»/* ° р} суть функции перехода расслоения p*L, поэтому {ехр 2л//г/} есть не обращающееся в нуль сечение расслоения p*L, которое, следовательно, тривиализует его:

С = 0^ = ^п ш ш

f н-> {f ехр 2шЛ7}

Применим теперь к этому сечению оператор d^. Q^^-^C^^LY d^ У ехр 2nihj) = (dj) ехр 2mAz + f ^id^ exp 2ш’Лу = = [(d^ + 2ш’Ф) f] exp Znihj.

Отождествляя с помощью той же тривиализации ^(L) с С?л(1)[— 1]', получим (9.6). 1

Приведенная выше теорема дает интерпретацию группы HX(U", 0Щк^ при к <<—2. Для к = —2 справедлив аналог теоремы 6.1, а при кТ>—2 имеет место аналог теоремы 7.1. Требуется только заменить Уд на Da в формулировках и доказательствах этих теорем. Заметим, что равенство уЛ(ЛФл) = 0 эквивалентно условию DaDA)A = 0.

Итак, замена оператора Уд на деформированный оператор DA эквивалентна переходу от тривиального расслоения к расслоению L. Такая точка зрения на L как на деформированное тривиальное расслоение и привела Уорда [46], [47] к его оригинальной конструкции подкрученного фотона (хотя при данном им определении твист также равен —1). На самом деле лучше рассматривать Da как связность в тривиальном линейном расслоении на U. Тогда конструкция подкрученного фотона обобщается до взаимно однозначного соответствия (при условии, что отображение ц: U'-+U" элементарное) между голоморфными линейными расслоениями на U с антиавтодуальными связностями и голоморфными линейными расслоениями на U", тривиальными при сужении их на прямые LZ) z^ U. Теорема 9.1 легко обобщается на этот случай. Действительно, общий случай немедленно доказывается склеиванием результатов для тривиальных расслоений.

Для подходящих множеств U (например, выпуклых в М7) имеем Н2{и", Z) ^ Z, так что все линейные расслоения имеют вид

L(&) для подходящего подкрученного фотона L и с(£(£)) = £, где с: Нх (U",€?*)-+ H2(U",Z) есть отображение класса Чжэня. Таким образом, класс Чжэня линейного расслоения V простым образом связан со спиральностью поля, представляемого элементом из Hx^Uff, O^Y Точнее,

спиральность = (— с (V) — 2)/2.

В работах [47] и [48] Уорд также показал, как конструкция подкрученного фотона обобщается на неабелевы калибровочные группы. В этом случае левосторонние поля Янга — Миллса списываются голоморфными векторными расслоениями на U". Если мы выберем V в качестве одного из этих расслоений в группе Нх ^U\ СЦУ)), то получим поля, взаимодействующие с потенциалами Янга — Миллса (см. Роунсли [42] и Хитчин [19]).

Дальнейшие замечания

Результаты § 5—9 связаны с интерпретацией первых групп когомологий множества Uff с коэффициентами в различных аналитических пучках на языке соответствующих дифференциальных уравнений на U. Однако общее ^-преобразование (теорема 4.1) не ограничивается первыми группами когомологий, и возникает вопрос: что оно означает для групп Нр ^Uf\O ^п^ при р#= 1? Рассмотрев сначала группу №^U,f, О^п^ = T^U", найдем, что для всякого открытого (/czM

^: Г ф", О Ш ker Уд : Г (ф, О^А'В’ - D'^ Г ((/, Ovab' е^ при п^О,

F(U",0(n)) = O при п<-1.

Для достаточно хороших множеств U (например, выпуклых в М7) множество LT удовлетворяет условиям теоремы Андреотти — Грауэрта о тривиальности групп Hq(U'\9?Y q^^, для всякого когерентного пучка ^ на U", так что ^-преобразование высших групп когомологий несет не слишком много информации (ср. с леммой 8.1). Легко показать, что образ ^-преобразования в общем случае имеет вид: [потенциалы]/[калибровочная свобода], и обращение ^-преобразования в нуль попросту означает, что каждый потенциал в этом случае калибровочно эквивалентен нулю. Заметим, что //3(У", ^) = 0 для любых Uff и когерентного пучка ^ на U” (Сью [44]; Мальгранж [25] в нашем случае локально свободных пучков), так что ни при какой геометрии не существует нетривиальных полей, порождаемых этими группами когомологий. ' '

Легко показать, что всякое сечение расслоения С?(п) над U" однозначно продолжается до сечения (Цп?) над всем Р. Следовательно, имеем канонические изоморфизмы

Г(6/", ^(«)) = Г(Р, ОШ = ( 0>Г(6/", ^(«)) = Г(Р, ОШ = ( 0>если песли п0,0,еслиеслип ^ — 1.п ^ — 1.

Г(6/", ^(«)) = Г(Р, ОШ = ( 0>

Г(6/", ^(«)) = Г(Р, ОШ = ( 0>

если п

если п

0,

0,

если

если

п ^ — 1.

п ^ — 1.

В частности (/г=1), отсюда вытекает, что дуальный твистор (т]л, £Л) можно рассматривать как решение уравнения

Va^ = 0.(10.1)

Действительно, легко показать, что общее решение уравнения (10.1) есть

£ = § + Т]л

для постоянных спиноров ^А' и т|д. Итак, можно считать, что уравнение (ЮЛ) задает двойственное пространство Т. Это уравнение называется дуальным твисторным уравнением. Аналогичным образом твисторы можно рассматривать как решения твисторного уравнения (см. Пенроуз [28]*)

V'X^O.(10.2)

В заключение приведем несколько общих замечаний, касающихся методов этой статьи. Ясно, что наш подход не ограничен лишь обычным твисторным соответствием (1.1). Все, что нам нужно, — это некое общее соответствие

(10.3)

с отображением v, имеющим достаточно хорошие слои. В случае (1.1) слои отображения v суть римановы сферы, так что каждое векторное расслоение расщепляется в прямую сумму линейных расслоений, характеризующихся своими классами Чжэня (см. Гротендик [17]). Таким способом можно описать соответствующие прямые образы и построить преобразование, исходя из любого векторного расслоения V над каким-либо подмножеством из Р. В общем случае ситуация может усложниться, но все же рассмотрению поддаются многие интересные частные случаи (10.3), когда слои отображения v суть проективные пространства (или многообразия флагов) высших размерностей. Например, можно дать когомологическую интерпретацию интегральных формул, выведенных Хьюстоном [22] в связи с обобщенными твисторами. Другая возможность состоит в том, чтобы заменить широко используемые в этой

статье множества U", О', U на множества X cz Р, У cz М и Сс F, так чтобы диаграмма (10.3) давала сюръективное двойное расслоение. Например, нс обязательно выполнение условия X = У,г, допустимы и более общие ситуации). Особенно интересное обобщение связано с деформацией двойного расслоения (1.1) или лучше (1.2). Результирующая деформация твисторного пространства называется конструкцией нелинейного гравитона (Пенроуз [35]), а соответствующее пространство-время автоматически является правоплоским. Методы этой статьи дают когомологическую интерпретацию интегральных формул Пенроуза и Уорда [41]. В правоплоском пространстве-времени твисторное описание левосторонних полей через потенциалы уже не эквивалентно полевым уравнениям. Это указывает на то, что правильное описание левосторонних полей на правоплоском фоне есть описание через потенциалы по модулю калибровочной свободы (подробнее см. Хит- чин [19] и Пенроуз и Уорд [41]). Имеется еще по крайней мере два примера, где применимы методы этой статьи. Один из них — когомологическая интерпретация твисторных интегральных формул для массивных полей (см. Пенроуз [33] и Хьюстон [23], а в случае двух твисторов см. Иствуд [11]). Другим примером является приложение теории твисторов к классификации инстантонов, данной Атьей, Хитчином, Дринфельдом и Маниным [2]. Отождествив Т с двумерным кватернионным векторным пространством Н2, получим вложение

S4 = pi(H)czM.

В статье [2] ^-преобразование используется для отождествления группы Нх ф", 0(E) (—2)) с решениями определенного дифференциального уравнения (связанного волнового уравнения Янга — Миллса) на открытом подмножестве U из S4, где Е — «инстан- тонное расслоение» на Р. Для установления этого результата методами нашей статьи слегка «раздуем» S4 в М и, используя эллиптичность волнового уравнения, продолжим данное решение на это раздутие. Затем с помощью теоремы 3.2 покажем, что ц* есть изоморфизм, и продолжим рассуждения, следуя § 6.

Наконец, следует заметить, что абстрактные на вид рассуждения этой статьи можно сделать вполне конкретными и привести интегральные формулы для прямого и обратного ^-преобразования. В оригинальных интегральных формулах для построения безмассовых полей (см. Пенроуз [29] и т. д.) фактически используются когомологии Чеха. Это очень полезно, поскольку позволяет, применяя теорему о вычетах из теории функций одного комплексного переменного, получать различные примеры безмассовых полей (особенно «элементарные состояния»; см. Пенроуз [33]).

В более общих случаях этот метод нс так удобен, поскольку контур зависит от выбора покрытия и, следовательно, может оказаться довольно сложным (включая «контур с ветвлением»). Чтобы избежать этого, можно использовать когомологии Дольбо и интегрировать по всем прямым Lz в Р, а нс по контурам на этих «прямых» (фактически римановых сферах). Этот метод описан Вудхаусом [55] и Уэллсом [52]. Оба метода в действительности сводятся к вычислению группы когомологий //1(Р1(С),б7(&)) с помощью двойственности Серра [43]. Интегрирование было заменено на вычисление первого прямого образа -vid (k) в (2.11). Для явного описания обратного преобразования ^-1 следует воспользоваться интегральной формулой из леммы 3.1 для обращения отображения р*, как в теореме 3.2, и конкретным методом обращения прямого образа v*. Оба шага содержат некоторый произвол, но этого и следовало ожидать, поскольку построенная таким образом форма Дольбо будет лишь представителем (отнюдь не единственным) когомологического класса. Наиболее естественный способ обращения vl состоит в использовании гармонических представителей для когомологий слоев отображения v. В явном виде этот способ изложен Вудхаусом [55] в случае безмассовых полей и Роунсли [42] для инстантонных расслоений. При описании левосторонних полей через потенциалы (§ 7) использования интегральных формул для Р можно избежать, поскольку мы пользуемся лишь теоремой Лиувилля о том, что всякая голоморфная функция на Pi(C) постоянна (см. Пенроуз и Уорд [41]).

Изучая поля на пространстве М, мы проводили различие между штрихованными и нештрихованными весами. Физический смысл такого различия нс вполне ясен, и роль, играемая им в этой статье, не является решающей. Однако можно отмстить, что если провести локальную перенормировку метрики, как это описано в § 2 (см. (2.4), (2.5)), при которой елвн->йелв и е^в' *—^ ^a'bS где Q и Q — независимые скалярные функции на (подмножествах) М, то уравнения поля со спиральностью -^г (где г — положительное или отрицательное целое число) будут локально инвариантными, если веса положить равными [—*7^—4] и [^ г ~' "^]- ^то УтвеР" ждение справедливо и при г = 0, если волновое уравнение записать в виде (□ + 4^)ф = 0> гДе R — скалярная кривизна, а метрика перенормируется по правилу: §аь^->^й§аЬ. Описание в терминах потенциалов § 7 будет инвариантным, если для спиральности — ^п(п> 1) полагать веса равными [—7я] и [4 я— 1]\ Когда отношение Q/Q постоянно на М (как это имеет место в случае рассмотренных нами глобальных GL(T)-преобразований),

локальная конформная инвариантность зависит только от суммы штрихованных и нештрихованных весов (см. (2.4)), и для безмас- совых полей полученное в § 5—8 значение —1 согласуется с этими результатами.

Роль более общей конформной инвариантности, проявляемой этими полями, когда отношение Q/Q не постоянно, туманна, но возникающие, как указано выше, специфические веса, по-види- мому, связаны с замеченным Гргином [15а] фактом, что только поля с нечетной спиральностью могут глобально удовлетворять полевым уравнениям на вещественном компактифицированном пространстве Минковского и иметь обычную тензорную структуру. Соответствующие поля с четной спиральностью потребовали бы двукратного накрытия этого пространства, а поля с полунечетной спиральностью — четырехкратного. Это связано с тем, что при переходе через бесконечность поля изменяются на множитель (—l)(i/4)r-i/2 Однако необходимость в этих накрытиях отпадает, если рассматривать поля как сечения соответствующих твисторных векторных расслоений (см. Лернер [24а]). Фактически такая интерпретация неявно содержится в этой статье. Определение спиновых расслоений О А' и СА, приведенное в § 2, естественным образом обобщается на эту ситуацию (см. также [32]).

ЛИТЕРАТУРА

Andreotti A., Grauert Н. Theoremes de finitude pour cohomologie des espaces complexes. — Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 193—259. [Имеется перевод: Андреотти А. и Грауэрт Г. Теоремы конечности для когомологий комплексных пространств. В сб.: Комплексные пространства. — М.: Мир, 1965, с. 105— 189.]

Atiyah М. F., Hitchin N. J., Drinfeld V. G. and Manin Yu. I. Construction of instantons. — Phys. Lett. 65A (1978), 185—187.

Atiyah M. F., Ward R. Instantons and algebraic geometry. — Commun. Math. Phys. 55 (1977), 111 — 124.

Bateman H. The solution of partial differential equations by means of definite integrals. - Proc. L. M. S. (2)1 (1904), 451—458.

Bredon G. E. Sheaf theory. — New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney: McGraw-Hill, 1967.

Dirac P. A. M. Relativistic wave equations. — Ptoc. Roy. Soc. A155 (1936), 447—459.

Дринфельд В. Г., Манин Ю. И. Инстантоны и пучки на СР3. — Функц. анализ и его прилож. 13, вып. 2 (1979), 59—74.

Eastwood М. G. Some cohomological arguments applicable to twistor theory.— Twistor Newsletter 7 (June 1978), 6—10.)

Eastwood M. G. Zero-rest-mass fields and topology. — Twistor Newsletter 7 (June 1978), 11—ll.13)

Eastwood М. G. On raising and lowering helicity.--Twistor Newsletter 8 (April 1979), 37—38.13)

Eastwood M. G. Ambitwistors.— Twistor Newsletter 9 (November 1979), 55—58.13)

Fierz M. Uber die relativistische Theorie kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin. — Helu. Phys. Acta 12 (1939), 3—37.

Gasiorowicz S. Elementary particle physics. — New York: Wiley, 1966.

Godement R. Topologic algebrique et theorie des faisceaux. — Paris: Hermann, 1964. [Имеется перевод: Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — Мл ИЛ, 1961.]_

Гиндикин С. Г., Хенкин Г. М. Интегральная геометрия для д-когомологий в //-линейно вогнутых областях в СРП.— Функц. анализ и его прилож. 12, вып. 4 (1978'), 6—23.

15а. Grgin Е. A global technique for the study of spinor fields. — Ph. D. Thesis. Department of Physics, Syracuse University, 1966.

Griffiths P., Adams J. Topics in algebraic and analytic geometry. — Math. Notes 13, Princeton: Princeton Univ. Press, 1974.

Grothendieck A. Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de Riemann. — Amer. J. Math. 79 (1957), 121—138.

Gunninig R. C., Rossi H. Analytic functions of several complex variables.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг P. и Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — Мл Мир, 1969.]

Hitchin N. J. Linear field equations on self-dual spaces. — Proc. Roy. Soc. London Ser.-A, 370 (1980), 173—191.

Hormander L. An introduction to complex analysis in several variables. — Amsterdam: North-Holland, 1973. [Имеется перевод: Хёрмандер Л Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных — Мл Мир, 1968.]

Hughston L. Р. The twistor cohomology of local Hertz potentials. — Twistor Newsletter 4 (April 1977), 12—16.13)

Hughston L. P. Some new contour integral formulae. In: Complex manifold techniques in theoretical physics (eds. Lerner D. E., Sommers P. D.). — Research Notes in Math. 32, 115—125. San Francisco, London, Melbourne: Pitman, 1979.

Hughston L. P. Twistor and particles. — Lecture Notes in Physics 97. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.

Lerner D. E. The «inverse twistor function» for positive frequency fields. — Twistor Newsletter 5 (July 1977), 17—18.13)

24a. Lerner D. E. Twistors and induced representations of SU (2,2). — J. Math. Phys. 18 (1977), 1812—1817.

Malgrange B. Faisceaux sur les varietes analytiques reelles.— Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 231—237.

Milnor J., Stasheff J. Characteristic classes. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1974. [Имеется перевод: Милнор Дж. и Сташеф Дж. Характеристические классы.—Мл Мир, 1979.]

Penrose R. Zero-rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour.— Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 284 (1965), 159—203.

Penrose R. Twistor algebra. — J. Math. Phys. 8 (1967), 345—366.

Penrose R. Solutions of the zerc-rest-mass equations. — J. Math. Phys. 10 (1969), 38—39.

Penrose R. Twistor quantization and curved space-time. — Int. J. Th. Phys. 1 (1968), 61- 99.

Penrose R. The structure of space-time. In: Battelle rencontres 1967, 121— 235. — New York: Benjamin, 1968. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — Мл Мир, 1972.]

Penrose R. and MacCallum М. А. Н. Twistor theory: an approach to the quantization of fields and space-time. — Phys. Rep. 6C (1972), 241—316. [Перевод в данном сборнике.]

Penrose R. Twistor theory, its aims and achievements. In: Quantum gravity: an Oxford Symposium (eds. Isham C. J., Penrose R., Sciama D. W.), pp. 268— 407. — Oxford: Clarendon Press, 1975.

Penrose R. Twistors and particles: an outline. In: Quantum theory and the structure of space-time (eds. Castell L, Drieschner M., von Weizsacker C. F.).— Munich: Munich Verlag, 1975.

Penrose R. Non-linear gravitons and curved twistor theory. — Gen. Rei. Grau. 7 (1976), 31—52. [Перевод в данном сборнике.]

Penrose R. Twistor functions and sheaf cohomology. — Twistor Newsletter 2 (June 1976), 3- 12. ,3)

Penrose R. Massless fields and sheaf cohomology. — Twistor Newsletter 5 (July 1977), 9—13. l3)

Penrose R. The twistor programme. — Rep. on Math. Phys. 12 (1977), 65- 76. [Перевод в данном сборнике.]

Penrose R. Twistors as helicity raising operators. — Twistor Newslette. 8 (April 1979), 35—36.13)

Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time structure. — Cambridge: Cambridge University Press (to appear).

Penrose R., Ward R. S. Twistors for flat and curved space-time Einstein centennial volume (eds. Bergman P. G., Goldberg J. N., Held A. P.) —N. Y., London: Plenum Press, 1980. [Перевод в данном сборнике.]•

Rawnsley J. H. On the Atiyah — Hitchin — Drinfeld — Manin vanishing theorem for cohomology groups of instanton bundles. — Math. Ann. 241 (1979), 43—56.

Serre J.-P. Un theoreme de dualite. — Comm. Math. Helu. 29 (1955), 9—26.

Siu Y. T. Analytic sheaf cohomology groups of dimension n of м-dimensional noncompact complex manifolds. — Pacific J. Math. 28 (1969). 407—411.

Swan R. G. The theory of sheaves. — Chicago, London: Univ, of Chicago Press 1964.

Ward R. S. The twisted photon. — Twistor Newsletter 1 xMarch 1976), 2—4.13)

Ward R. S. Curved twistor spaces. — D. Ph. thesis, Oxford. 1977.

Ward R. S. On self-dual gauge fields. Phys. Lett. 61A (1977), 81—82.

Ward R. S. Sheaf cohomology and an inverse iwistor function. — Twistor Newsletter 6 (December 1977), 13—15.13)

Ward R. S. A class of self-dual solutions of Einstein’s equations. — Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 363 (1978), 289—295.

Wells R. O., Jr. Differential analysis on complex manifolds. — New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1980 [Имеется перевод: Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях —М.: Мир, 1976.]

Wells R. О., Jr. Complex manifolds and mathematical physics. — Bull. Amer. Math. Soc. 1 (new series) (1979), 296—336. [Перевод в данном сборнике.]

Wells R. О., Jr. Cohomology and the Penrose ‘ransform. In: Complex manifold techniques in theoretical physics (eds. Lerner D. E., Sommers P. D.).— Research Notes in Math. 32, pp. 92—114. — San Francisco, London, Melbourne: Pitman, 1979.

Wells R. O., Jr. Hyperfunction solutions of the zero-rest-mass field equations.— Commun. Math. Phys. 78 (1981), 567—600. [Перевод в данном сборнике.]

Woodhouse N. M. J. Twistor cohomology without sheaves. In: Advances in Twistor Theory (eds. Hughston L. P., Ward R.S.).— Research Notes in Math. 37. — San Francisco, London, Melbourne: Pitman, 1979.

РЕШЕНИЯ-ГИПЕРФУНКЦИИ УРАВНЕНИЙБЕЗМАССОВОГО ПОЛЯ)

Р. О. Уэллс

Department of Mathematics, Rice University, Houston,and Institute for Advanced Study, Princeton, N. J.

В этой статье показано, что касательные группы когомологий Дольбо в классе гиперфункций с коэффициентами в степенях расслоения гиперплоского сечения на гиперквадрике изотропных твисторов в проективном твисторном пространстве изоморфно отображаются преобразованием Пенроуза на пространство всех решений-гиперфункций уравнений безмассового поля с неотрицательной спиральностью на компактифицированном пространстве Минковского. Это отображение является расширением преобразования Пенроуза, порождающего вещественно аналитические решения уравнений поля на том же пространстве (см. Иствуд М., Пенроуз Р., Уэллс Р. О. [10]). Кроме того, доказано, что каждое решение-гиперфункция уравнений безмассового поля с неотрицательной спиральностью является суммой положительно- и отрицательно-частотных безмассовых полей, что обобщает обычное разложение Фурье решений соответствующего роста.

§ 0. Введение

Некоторое время тому назад Пенроузом было показано, что решения уравнений безмассового поля можно получать из голоморфных функций на открытых подмножествах трехмерного комплексного проективного пространства Рз(С), преобразуя их с помощью процесса контурного интегрирования в спинорные поля на пространстве Минковского ([24]). Этот основополагающий результат, называемый теперь преобразованием Пенроуза, опирается на твисторную геометрию (заложенную Пенроузом в статье [25]) и был развит различными авторами в довольно полную теорию (свежий обзор вопроса см. в [35], [19]). В твисторной геометрии естественным образом возникает компактифицированное пространство Минковского, обозначаемое через М. По сути это конформная компактификация относительно физической конформной группы.

9 R. О. Wells, Jr. Hyperfunction solutions of the zero-rest-mass field equations.— Communications in Mathematical Physics, 78 (1981), 567—600. Research supported by the National Science Foundation, The Vaughn Foundation, and the Institute for Advanced Study.

S

Springer-Verlag 1981

Перевод на русский язык, «Мир», 1983

На этом компактном многообразии М естественным образом определяются конформно инвариантные уравнения поля (по существу описывающие частицы нулевой массы покоя, например, уравнения Максвелла).

В работе [10] было показано, что уравнения безмассового поля, введенные Дираком [9] (включая безмассовое уравнение Дирака, однородные уравнения Максвелла и линеаризованные уравнения Эйнштейна), получаются при помощи твисторной геометрии. Более того, все голоморфные решения этих дифференциальных уравнений на данном открытом подмножестве (специального вида) естественной комплексификации М многообразия М получаются преобразованием Пенроуза (гладких) когомологических классов на соответствующих открытых подмножествах из Рз(С). Например, имеется изоморфизм [35], [10]

^: ЯЦР*, бН-п-2)) ^> 2„(М±),(0.1)

где

P+ = {zeP3(C): |20|2 + lz1|2-|z2|2-|z3|2>0},

p- = {zeP3(C): lz0|2 + |z1|2-|z2|2-|z3|2<0}

и

М+ = {г = х — iy е С4: уо — у\ — уХ — уХ > 0, у0 > 0}

— трубчатая область с выделенной границей 9

M0 = ^z = x — iy^ С4: у = 0}R4,

которую можно отождествить с аффинным пространством Минковского (М™ определяется аналогично). Здесь

^2$(М+) = {фд'...п'(;г), голоморфные в М+: 7ЛЛ фд'...п' = 0}

— голоморфные безмассовые поля положительной спиральности (например, s = 1 отвечает автодуальным уравнениям Максвелла), а НЦР\ б?р(— п — 2)) означает группу когомологий Р+ с коэффициентами в пучке сечений степени —п— 2 расслоения гиперплоского сечения Н-> Р = Рз(С) (т. е. в пучке локальных голоморфных функций, однородных степени —п— 2 в однородных координатах). Степень расслоения гиперплоского сечения №->Р определяет спиральность полевых уравнений, решения которых задаются этими когомологическими классами. В работе [10] рассмотрены случаи как положительной, так и отрицательной спиральности, но в этой статье, где мы допускаем обобщенные решения, мы ограничимся более простым случаем неотрицательной спиральности (другой случай содержит пока еще нс решенные проблемы).

Рассмотрим теперь эти же уравнения поля на вещественном

!) Иными словами, Мо есть граница Шилова области М+. — Прим, персе.

(компактифицированном) пространстве Минковского М (такое рассмотрение корректно, поскольку уравнения поля конформно инвариантны). Так как эти уравнения имеют гиперболическую природу, то у них много негладких решений. Напомним, что гиперфункции являются расширением обобщенных функций, восходящим к Мартино и Сато; они определены на любом вещественно аналитическом многообразии и имеют различные применения ([29], [22], [16]). Локально гиперфункции можно рассматривать как элементы сопряженного пространства к пространству вещественно аналитических функций, снабженному соответствующей топологией. Глобально это неверно; в общем случае гиперфункции нс являются элементами сопряженного пространства. Сато показал, что их можно с большой пользой описывать как локальные суммы скачков граничных значений голоморфных функций, определенных на комплексификации данного вещественно аналитического многообразия. В теории обобщенных функций Шварца дифференцирование сводится к дифференцированию пробных функций и использованию обычной формулы интегрирования по частям. В теории гиперфункций гиперфункции представляют как «алгебраические суммы скачков» граничных значений голоморфных функций, затем дифференцируют эти голоморфные функции и, переходя к граничным значениям продифференцированных функций, получают искомые производные гиперфункций. Имеется вполне корректное исчисление гиперфункций, которое опирается на тонкие результаты теории голоморфных функций многих комплексных переменных точно так же, как теория Шварца опирается на соответствующие результаты о локально выпуклых топологических векторных пространствах. Кроме того, для определения упомянутых «алгебраических сумм» используется гомологическая алгебра в той форме, в какой она фигурирует в алгебраической геометрии и комплексном анализе. Гиперфункции широко применялись к различным задачам, связанным с классификацией дифференциальных уравнений и их решений, в частности решений со специальными типами особенностей (см. [16], где приведены современные результаты, связанные с применением гиперфункций и, более общим образом, микрофункций в этой области).

Цель этой статьи — продолжить преобразование Пенроуза с гладких функций (случай, рассмотренный в [10]) на гиперфункции таким образом, чтобы: (а) при сужении на гладкие функции оно совпадало с преобразованием из [10] и (Ь) в результате давало все решения-гиперфункции уравнений поля. Это можно проделать полностью. Необходимый математический аппарат подробнее описывается ниже. Сначала мы сформулируем главные результаты статьи.

Группы Дольбо НЦР"^, Ор^— п — 2)), фигурирующие в изоморфизме (0.1), естественным образом определяются и для

границы множества Р+, обозначаемой через Л Именно, можно рассмотреть касательные группы Долъбо на Р:

8 \mdp; S^^VP^-*^’4^ ’ где dp — касательный d-оператор1) (обозначаемый многими авторами через бь). Эти группы, восходящие к Кону и Росси [20], широко изучались, начиная с [33], [12]. Можно рассматривать дифференциальные формы различных классов гладкости; для наших целей удобно использовать формы с коэффициентами из класса гиперфункций, обозначаемые через ^^(Р), и формы с коэффициентами в векторном расслоении точно так же, как это делалось в случае гладких коэффициентов. Итак, обозначим через

W(p, V)

касательные группы Дольбо из класса гиперфункций с коэффициентами в голоморфном векторном расслоении V над Р, суженном на Р. Такое определение инвариантно по отношению к CR- структуре на Р и не зависит от объемлющего пространства ([27]).

С другой стороны, напомним, что решение ср уравнений поля (нс обязательно бсзмассового) на пространстве Минковского (компактном или аффинном) называется положительно-частотным, если ср есть граничное значение решения этого же уравнения на М+. Решение называется отрицательно-частотным, если оно является граничным значением решения на М~. Здесь граничное значение понимается в соответствующем контексту смысле, например в смысле непрерывных функций, С°°-функций, обобщенных функций, функций из А2, гиперфункций и т. д. Понятие частотности играет важную роль в квантовой теории поля ([8], [31]), но мы не будем уточнять его здесь. Всякое решение, имеющее в каком- либо разумном смысле разложение Фурье, распадается на две части, отвечающие положительным и отрицательным частотам в экспонентах Фурье, что и приводит к понятию частотности.

Теперь мы можем сформулировать главные результаты этой статьи.

Преобразование Пенроуза ^ корректно определено на касательных когомологиях Дольбо в классе гиперфункций, и имеет место изоморфизм

2^58. nW,

где ^^, п (АГ) — векторное пространство всех решений-гиперфункций на М уравнений безмассового поля неотрицательной спиральности м/2.

9 Определение касательного ^-оператора и других понятий, относящихся к касательной CR-структуре, см. в [Н*], [17*]. — Прим, персе.

Каждое решение-гиперфункция уравнений безмассового поля неотрицательной спиральности на М есть сумма решений- гиперфункций положительной и отрицательной частотности, т. е. естественное отображение граничного значения (в смысле Мартино [23])

Хп (М+) ф Хп (М") п (М)

есть изоморфизм.

Доказательство утверждения (В) опирается на утверждение (А) и на тот факт, что определено естественное отображение Ь; Нх (Р+, СР (- п - 2)) е Н1 (Р~, Ср (- п - ^^^Н® * (М, Н~п~2), являющееся изоморфизмом. Последний изоморфизм есть естественное обобщение представления функции на действительной оси в виде скачка функций в верхней и нижней полуплоскостях, получаемого с помощью формулы Коши. Таким образом, это обобщенное представление Коши даст разложение (В) решений уравнений поля, а преобразование Пенроуза — это механизм, переводящий одно разложение в другое.

В настоящее время несколько вопросов остаются открытыми. Можно ли преобразование Пенроуза определить как отображение в аффинное пространство Минковского Мо (для этого оно должно быть определено на Р— /, где 1 — некоторая комплексная проективная прямая из Р [Ю])? Это неясно. Далее, любое ли решение- гиперфункция уравнений поля на Мо продолжается до решения- гиперфункции на всем М? Можно показать, что всякое решение из класса обобщенных функций допускает такое продолжение и является суммой положительно- и отрицательно-частотного решений (см. [11]). В статье [11] показано с помощью общего анализа Фурье, что всякое такое решение распадается на положительно- и отрицательно-частотную части и, как следствие этого, имеет продолжение в классе гиперфункций на М, но часть этих построений нс проходит для решения из класса гиперфункций на Мо. Похоже, что все решения-гиперфункции уравнений безмассового поля продолжаются с Мо на его компактификацию М, но это пока еще не доказано }).

Мы надеемся, что такая интерпретация положительной и отрицательной частотности и слабых решений в терминах голоморфных объектов на проективном твисторном пространстве окажется полезной при решении многих вопросов, связанных со «слабыми решениями» гораздо более сложных нелинейных дифференциальных уравнений теории поля, возникающих при учете самодействия, а также в неабелевых калибровочных теориях.

Дадим теперь обзор содержания статьи. Язык, развитый в статье [10] для инвариантного описания твисторной геометрии

9 См. замечание в конце статьи.—Прим, перев.

и ассоциированных уравнений поля, в полном объеме используется и здесь. В частности, имеется основная диаграмма

IF

AZ

образованная голоморфными проекциями компактных комплексных многообразий, где слои отображения v являются проективными прямыми, а слои отображения ц— проективными плоскостями. Многообразия Р, Г и М являются многообразиями флагов подпространств четырехмерного комплексного векторного пространства твисторов Т. Изотропные твисторы (удовлетворяющие равенству Ф(2) = 0, где Z = (Z°, ..., Z3), а Ф — твисторная эрмитова форма с сигнатурой ( + Н)) задают вещественные под

многообразия многообразий Р, F и М:

F

где ц и v — сужения указанных выше отображений. Это есть подрасслоение в естественном смысле, причем слои отображения v — проективные прямые, как и прежде, а слои ц—вещественные окружности (световые лучи в пространстве М, которое можно отождествить с вещественным компактифицированным пространством Минковского, см. [35]). Форма Ф определяет естественным образом также открытые подмножества

(именно подпространства, на которых форма Ф положительно определена).

В статье [10] мы разложили отображение

(0.2)(0.2)^: ^^Р4-, ^р(-п-2))->^п(М+) в композицию отображений

(0.2)

(0.2)

Н1 (Р+, Ор (- п - 2)) -^ Нх (F+, ц-'^р (- п - 2)), (0.3а) Нх (F+, ц-'^р(- га - 2)) -^ Нх (F+, у^СЬ ^-п- 2)),(0.3b)

//‘(F+, ^<7Р(-га-2))//°(М+, <цН (-га - 2)) ~

^ Я°(М+, ^...рЛ-1Г)(0.3с)

и показали, что

|и* — изоморфизм;

im а = ker d^ где d^— дифференциальный оператор на пространстве Н1 (Р+, pVp (— п — 2)) (доказывается с помощью спектральной последовательности);

L— изоморфизм (спектральная последовательность Лере);

L (ker d^ = ker V, где V— соответствующий оператор без- массового поля.

Из этих четырех шагов обобщение трех последних на данный случай особых трудностей не представляет и осуществлено в § 6 (при этом подразумевается, что для представления соответствующих объектов в классе гиперфункций используются, как это показано ниже, относительные когомологии). Трудное место — обобщение отображения р* для (а) подъема объектов-гиперфункций с Р на F и (Ь) описание его образа. Это проделано в § 2—5 и подробнее обсуждается ниже.

В § 1 мы изучаем открытые множества, содержащие Р, с тем чтобы определить преобразование 2Р (с помощью результатов из [10]) для вещественно аналитических объектов на гиперквадрике Р. Это приводит к отображению

^: Н1 (Р, Ср (- п - 2)) -> ^ п (Ж(0.4)

образом которого являются вещественно аналитические решения уравнения поля, однако сюръективность этого отображения остается пока недоказанной. Затем мы показываем, что

Нх (Р, (М-п- 2)) ^ 'Н^ (Р, Н~п~^(0.5)

и, более того, что

РГп-т)^Нх^+, ОД-п-^^нЦР", Op^-n-^s,

s Нр (Р, Ор (- п - 2)),(0.6)

где последняя группа есть группа относительных когомологий с коэффициентами в пучке (см. § 2). Мы определили преобразование ^ на Н1 (Р, Ор^— п — ^Y) и хотим продолжить его на группу Н°& (Р, Н-п-^ из (0.5). В силу изоморфизмов (0.6) мы имеем три различных представления для этого объекта. При построении нашего преобразования мы пользуемся представлением в терминах относительных когомологий. В этом случае при описании образа преобразования ^ как множества решений интересующих нас уравнений можно пользоваться теорией пучков. Утверждения (2) — (4) выше также доказываются проще на языке относительных когомологий Затем мы показываем, как выглядит преобразование ^ в других представлениях, и доказываем эквивалентность различных подходов к этому преобразованию.

Точнее, в § 2 мы формулируем соответствующее обобщение отображения обратного образа р* на относительные когомологии

(Г: Нр<Р,ц-1^")

для интересующих нас пучков ^. С этой целью в § 3 приводится обобщение спектральной последовательности Лере расслоения на относительные когомологии, содержащее относительные прямые образы пучков. Относительные прямые образы пучков, возникающие в нашей геометрии, вычисляются в явном виде. Затем с помощью стандартных теорем комплексной геометрии о тривиальности когомологий удастся доказать, что спектральная последовательность вырождается. Переход к пределу спектральной последовательности приводит к искомому отображению обратного образа (теорема 2.2). Отображение обратного образа, обобщающее отображение (0.3а), является изоморфизмом в случае отрицательного линейного расслоения. В общем случае имеются препятствия, которые удалось выделить, но нс вычислить.

В § 4 показано, что ц* можно отождествить с отображением, двойственным к интегрированию вещественно аналитических форм по слоям расслоения F —> Р. Здесь нужно воспользоваться CR-структурой, индуцированной на F и Р из Г и Р ([33]). В частности, показано, что послойное интегрирование (Штолль [30])

обладает свойством

К^Чр^^^Чр) (0.7)

сдвига бистепени (понятие, корректное на CR-многообразии). Это доказывается обобщением рассуждений Штолля в случае комплексно аналитического расслоения и выбором удобных координат для описания CR-структур на F и Р (способом, восходящим к Э. Картану). В результате получаем нужное расщепление точной последовательности кокасательного расслоения, определяемой исходным расслоением, приводящее к вложению (0.7).

В § 5 проводится сравнение отображений абстрактного обратного образа (исходя из спектральной последовательности) и подъема при послойном интегрировании при помощи выбора подходящих резольвент, задаваемых пучками гиперфункций, для возникающих аналитических пучков (с использованием результатов Комацу [21]). Получены также конкретные отображения резольвент, связанные с послойным интегрированием, что позволяет провести указанное сравнение. Благодаря этому удастся показать, что сужение отображения (0.4), определенного для объектов-гиперфункций, сводится к обычному преобразованию Пенроуза. При этом используется тот факт, что (по теореме Фубини) дуальное отображение к послойному интегрированию обладает этим свойством.

В § 6, как и в работе [10], мы рассматриваем спектральную последовательность дифференциального пучка

но в контексте относительных когомологий, что нс привносит никаких трудностей. Рассуждения, связанные с этой спектральной последовательностью и с соответствующей относительной спектральной последовательностью Лере голоморфного расслоения F —-► М, такие же, как и в [10]. Из этих рассуждений вытекают главные результаты статьи, среди которых сюръективность преобразования (0.4) (в § 6), а также приведенные выше теоремы (А) и (В), доказанные в § 6 и 7.

Некоторые из этих результатов были анонсированы в работе [34]. В статье [14]) дано описание преобразования Пенроуза для гладких объектов на М+ в случае автодуальных уравнений Максвелла. Теоремы из [14] являются частными случаями общих результатов, полученных в [10]. Они содержат, однако, явное выражение для обратного отображения и продолжение на границу в случае граничных данных класса А, сводя их к частному случаю слабых решений, изучаемых в данной статье. Методы указанной статьи включают явные вычисления, основанные на послойном интегрировании, и являются частным случаем более общих результатов о преобразовании Радона на ^-вогнутых пространствах ([13]).

Формы с коэффициентами в классахвещественно аналитических функцийи гиперфункций на гиперквадрикеизотропных твисторов

Напомним определения основных геометрических пространств, на которых действует преобразование Пенроуза. Более подробно с геометрией твисторов можно ознакомиться по статьям [35] и [10]2). По определению векторное пространство твисторов Т есть четырехмерное комплексное векторное пространство, снабженное эрмитовой формой Ф с сигнатурой (+Н). Имеется основная диаграмма комплексных многообразий флагов

(1.1)

где Р — пространство одномерных подпространств Т, М—пространство двумерных подпространств Т, F— пространство вложенных пар одно- и двумерных подпространств Т, а ц и v—

естественные голоморфные отображения. Если L— подпространство Т, то запись

Ф (Л) > О, Ф (L) = О, Ф (Л) < О

по определению означает, что

Ф(у)>0, Ф(у) = 0, Ф(у)<0 для всех ненулевых векторов ueL соответственно. Положим

P = {ieP: Ф х) = 0},

F = ^xeF. Ф(х) = 0},

М = {х е М: Ф (х) = 0},

и пусть F+, Р+, М + — открытые подмножества F, Р, М, на которых Ф > 0, a F”, Р™, М- — открытые подмножества F, Р, М, на которых Ф<0 ([35]). Очевидно,

F = F+ f] — П dF",

и аналогично Р есть общая часть границ множеств Р+ и Р~, а М — общая часть границ М+ и МГ. Заметим, что Р = 5Р+ = дР~ а в остальных двух случаях это неверно, ибо размерность многообразий F и М ниже, чем размерность полных топологических границ. Напомним, что М есть четырехмерное компактифицированное пространство Минковского, а Р— пятимерная гиперквадрика изотропных твисторов, параметризующая множество всех световых лучей в М.

В статье [10] было построено основное преобразование Пенроуза

9>-. НЧ?+, СЦ-п-^ -^* ^(М+),

где 5^ (М+) — векторное пространство голоморфных правосторонних безмассовых полей со спиральностью п/2, n^Z. Одна из главных целей этой статьи — продолжить это преобразование так, чтобы оно переводило внутренние объекты на Р в решения тех же самых дифференциальных уравнений на М.

При описании комплексов (0,7)-форм на Р а Р мы будем пользоваться обозначениями и терминологией из [27], поскольку Р есть вещественно аналитическая гиперповерхность на комплексном многообразии. В частности, имеется комплекс вещественно аналитических форм, инвариантно1) определенных на Р:

(1.2)

где др — касательный (3-оператор на гиперповерхности Р. Аналогичным образом определен комплекс форм-гиперфункций на Р

(1-3)

которые можно рассматривать как дифференциальные формы на Р с коэффициентами из класса гиперфункций (напомним, что гиперфункции являются расширением обобщенных функций и корректно определены на всяком вещественно аналитическом многообразии, так что формы-гиперфункции естественным образом обобщают потоки де Рама [7], [27]). Обозначим теперь через 'hV1^ и 'H^tJP) группы когомологий комплексов (1.2) и (1.3) соответственно [т. с. пространства kerdp/imdp в (0,7)-членах комплексов]. Это основные объекты, которые мы, обобщив преобразование ^, собираемся трансформировать в слабые решения безмассо- вых полевых уравнений на компактифицированном вещественном пространстве Минковского М. Сначала мы выясним, как преобразуются внутренние вещественно аналитические объекты на Р. Для этого мы представим вещественно аналитические когомологические классы на Р как граничные значения голоморфных объектов на Р+ и Р~ Нам придется рассмотреть комплексы (1.2) и (1.3) для дифференциальных форм с коэффициентами в сужении на Р голоморфного векторного расслоения V, определенного на всем Р. Это делается стандартным образом, и мы обозначим через

'Н^ЧР, 7) и 'H%q(P, Ю

(внутренние) группы когомологий Р с коэффициентами в классах вещественно аналитических функций и гиперфункций и значениями в У( = у|р). Эти группы называются касательными группами когомологий Дольбо. Пусть теперь V — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии X и H°>4X,V)— группа когомологий Дольбо (гладких форм) на X; тогда справедлива фундаментальная теорема Дольбо

н^чх, V^H4X, Сх^\

где справа стоит группа когомологий пространства X с коэффициентами в пучке голоморфных сечений голоморфного векторного расслоения V ([36]). Заметим, что касательные группы когомологий Дольбо не имеют аналогичного описания в терминах когомологий пучков на гиперповерхности Р, поскольку лемма Пуанкаре не выполняется для возникающего комплекса пучков (фактически препятствие к выполнению леммы Пуанкаре является иногда бесконечномерным, в частности в (0,1)-члене для Р; см. [2]). Однако мы можем связать эти внутренние касательные группы когомологий Дольбо на Р с группами прилегающих к Р открытых подмножеств в Р. Сначала напомним, что если S — замкнутое

подмножество паракомпактного топологического пространства X и SF-^X— пучок абелевых групп над X, то по определению №(S,^") = №(S,S~|s) и имеет место изоморфизм Hq(S, ^) ^ ^ lim ind Hq (U, 9") ([15]). Для групп когомологий Дольбо на коми =>s

плексном многообразии X положим

//^(З, у) = lim ind J/0- ^ (t7, V),UoS

где S— замкнутое подмножеств X, V—голоморфное векторное расслоение на X.

Лемма 1.1. Пусть НЦР, ОР (V)) = № (Р, СГР (У)) = 0; тогда

'Н^ (Р, У) ~ Н0,1 (F, У) © Н°-1 (F, V) ^

н1 (F, Ор во) © н1 (F, <w)\

'н^Чр, ю^я^Чр^ Юфя^Чр-, v) =

^нЧр+, ор^)®нЧр", oP(V)\

Доказательство. Рассмотрим точные последовательности

->№■'(₽, y)->^0,l(F vWh^F", v)—^

...->я011 (Р. ю^^0,1(р+. Юфя^Чр-, v)—*

^*'hV<p, v)-^h^4p, ю->

непосредственно вытекающие из теорем 6.6 и 5.6 статьи [27], обобщенных на случай коэффициентов в векторном расслоении ([2], [17]). Отображения Ь^ и Ь^ описывают «скачки» граничных значений когомологических классов на Р^ Отсюда и из предположений леммы немедленно следуют наши утверждения, причем в каждом случае второй изоморфизм доказывается применением теоремы Дольбо, связывающей группы когомологий Дольбо с когомологиями пучков. |

Пусть Н— расслоение гиперплоского сечения над Р!) ^С\^Щ= I)); тогда доказанная лемма дает

Следствие 1.2. Если V = Нп, n^Z, то

'Н^х (Р, Нп) ~ 'Нх (F, СР^ © Нх (F, Op^Y

'Н^ 1 (р, нЧ ^ И1 (Р+, Ор<п^ © Н1 (Р", Ор^).

Доказательство. Пусть К = Л37Р — каноническое расслоение над Р; тогда К=Н~* на Р ^ Р3. Поскольку Нп®К* = Нп® ® Н^ — Нп^— положительное линейное расслоение при п^О, из теоремы Кодаиры о тривиальности когомологий [36] следует, что Hq^P,OkHn^=Q при q^L п^О. С другой стороны, расслоение Нп отрицательно при п < 0, так что Hq(P, О^Н^) = 0 при п < 0, q < 3, в силу двойственной теоремы. |

Имеется другой, внешний способ описания вещественно аналитических объектов на многообразиях Р, F и М. Именно, можно рассмотреть группы когомологий Hq(P^)y Hq(F,^') и H^N^ST"^ с коэффициентами в пучках ST, Э7' и ST", определенных над окрестностями многообразий Р, F и М в Р, F и М соответственно.

Лемма 1.3. Нх (Р, ОР(п^ ^'Н^х (Р, Нп\ neZ.

Доказательство. Мы покажем, что

нЧр, Ор(п))^нх(р, о^ен1^, о^, .

и затем используем предыдущие результаты. Пусть У/ —последовательность окрестностей Р+ и V, — последовательность окрестностей Р_; тогда UjftVj будет фундаментальной системой окрестностей Р. Для каждого фиксированного / имеем последовательность Майера — Вьеториса

...->нЧР, о? W) -> нх (uh dp и ф m у^ Ор ^ ->

->H4lWh0p Ш -> № (Р, Ор (п)).

Используя, как и при доказательстве следствия 1.2, теоремы Кодаиры о тривиальности когомологий, получаем диаграмму

НЦиь OP(n))®H'(VhOp(n)) -^H^UjfWb OpW)

Н1 (Р+, OpU)) © Н1 (F, Ор(п^ -^ Н' (Р, Ор(п))

где естественный изоморфизм получается переходом к пределу. |, Отображение обратного образа

р*: НЦР, Ор^^НЦР, ^”vOpH(1-4)

определяется теперь переходом к индуктивному пределу, поскольку отображения

р*: H4U\ ОрШ->НЧи\ 1x”x0pH

определены и инъективны для подходящих окрестностей U многообразия М, таких, что слои отображения р: Uf-^Uff связны1). Заметим, что не существует фундаментальной системы окрестностей

{U} многообразия М, такой, чтобы слои U' —> U" были односвязны, поскольку М диффеоморфно S1 X S3.

Вспомним теперь один из фундаментальных результатов, установленных в [10], касающийся преобразования Пенроуза на голоморфных объектах:

^: Нх^*, Орк-п-^-*^п№\ neZ,(1.5)

^: Нх(^, OpV-n-S^-^'ntNT), neZ.(1.6)

Пользуясь леммами 1.1 и 1.3, определим

^: 'Н^(Р, Н^^З^Дм^(1.7)

разлагая f в сумму f^ -Д-f , где /+ е Нх (Р+, Ор (—п — 2)) и ГеН1^, Ор^—п — Д^, и полагая

^(f)=^(f+) + ^(r).

Здесь ЗС^пк^ есть векторное пространство глобальных веще: ственно аналитических решений с положительной спиральностью безмассовых уравнений на М ([10]). Указанное отображение инъективно по построению, но его сюръективность не столь очевидна, хотя и вытекает из результатов, которые мы получим позднее в этой статье. Свяжем теперь эти вещественно аналитические объекты на Р с соответствующими объектами из класса гиперфункций на Р.

Лемма 1.4. Естественный гомоморфизм

'НД^Р, H-^^'hVIp, Н"пД является инъективным.

Доказательство. Естественный гомоморфизм, о котором идет речь, задается инъективным отображением комплекса (1.2) в комплекс (1.3). Но в общем случае отсюда не вытекает инъективность соответствующего отображения групп когомологий. Однако, пользуясь преобразованием Пенроуза, определенным выражениями (1.5) и (1.6), и леммой 1.1, можно вывести требуемый результат из инъективности отображения ^ (М+) ^<^п(М+), поскольку последнее есть сужение голоморфных полей с замыкания М+ на era внутренность. |

Теперь мы имеем преобразование Пенроуза, определенное на 'Н^^Р, 1Гп~2\ и наша цель — расширить его на 'Н^^Р, Н~п-^* Это мы проделаем в следующем параграфе, выразив когомологии Р с коэффициентами в гиперфункциях в терминах относительных когомологий Р. Заметим, что мы могли бы просто воспользоваться следствием 1.2(b) и выразить данные из класса гиперфункций

через суммы голоморфных решений на М1, а затем взять граничные значения в классе гиперфункций в смысле Мартино [23] на М, получив в результате отображение требуемого вида. Этот способ вполне корректен, но, действуя так, трудно доказать, что образ отображения состоит из всех решений-гиперфункций. Все решения-гиперфункции действительно содержатся в образе только что описанного отображения, но это окажется следствием более важных результатов, доказываемых в следующих параграфах.

§ 2. Относительные когомологии,формы-гиперфункции и отображение обратного образа

Пусть X— топологическое пространство, S— замкнутое подмножество в нем и ST— пучок абелевых групп на Х\ обозначим через Hs(X, 9~\ q ^ 0, группу относительных когомологий пары (X, X— S) с коэффициентами в пучке 9". Если ^-^^*(S^) есть каноническая вялая резольвента над X, то группа Н^Х, З7^ определяется как H^^Ys^X, ^*(^))), где Hq(K*) есть ^-я группа когомологий данного комплекса К*, а Г$(Х, ^)—группа сечений пучка ^ над X с носителями в S ([4], [15]). В случае S — X мы возвращаемся к обычному определению когомологий с коэффициентами в пучке. Относительные когомологии вычисляются с помощью покрытий или специальных резольвент точно так же, как и в случае обычных когомологий; примеры таких вычислений будут даны в этом параграфе.

Фундаментальный результат Сато утверждает, что гиперфункции можно описывать на языке относительных когомологий ([29], [22]). В этом направлении мы докажем следующее

, Предложение 2.1. Пусть mZ\ тогда

Нр (Р, Ор (га)) ~ Н1 (Р+, Ор (га)) ф н' (р-, Op (п)) ~ 'Н0*1 (Р, Нп\

Доказательство. Выпишем длинную точную последовательность относительных когомологий ([4])

... -> Нх (Р, Op W) ^НХ(Р- Р, Ор (га)) Н^р (Р, Ор (га)) ->

^Я2(Р, ОрШ^ ••• • Заметим теперь, что .

Нх (Р - Р, Ор (га)) ~ Нх (р+, Ор ^ ф Нх (р-, Ор (га)),

и, как и выше, воспользуемся равенствами Нх (Р, 6?р(я)) = Н2 (Р, СМя)) = 0; тогда в силу леммы 1.1 получим требуемый результат. ■

Пусть V-^X— голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии X, и пусть

...-*^P,V)-*.-. (2.1)

— резольвента пучка йд(К), задаваемая пучками (р, ^-форм-гиперфункций с коэффициентами в V (Комацу [21]). Согласно полученному Комацу обобщению теоремы Дольбо,

hmy op п/й ~_

S^ ’ *' imd: Г5(Х, «Р-9-1 (Ю)^Г5(Х, «Р-’(V))

= H4VS(X, ^TO,(2.2)

т. е. относительные когомологии представляются формами-гиперфункциями с носителями в S. Это прямое следствие того, что (2.1) есть вялая резольвента пучка Qx(K), что неверно в случае С°°-форм или форм класса обобщенных функций.

Далее, для вещественного ориентированного С°°-подмногообра- зия У cz X комплексного многообразия X вещественной коразмерности г обозначим через [У] поток, отвечающий интегрированию по У ([7]). Поток [У]— это поток (дифференциальная форма с коэффициентами — обобщенными функциями) степени г. Всякий поток является одновременно и формой-гиперфункцией, поскольку обобщенные функции на X вкладываются в пространство гиперфункций на X. Каждая форма-гиперфункция ср степени г на комплексном многообразии X однозначно разлагается в сумму формгиперфункций определенных бистепеней или типов

ф — д/> 0 -}- фГ- 1, 1 ^- . . . ^- фО, г,

так же как и в случае дифференциальных форм с гладкими коэффициентами. Поэтому для подмногообразия У, о котором шла речь выше, имеем

[У] = [yf0 +[УГ+ [yf;

где [У]г~5>s — форма-гиперфункция на X типа (г — s, s) с носителем на У.

Дадим теперь явную реализацию на языке дифференциальных форм приведенного в лемме 1.4 отображения

'Н°лЧр, Н^—'Н^Чр, НЧ

вещественно аналитических объектов на Р в гиперфункции и аналогичных отображений на F и М. Будем считать, что многообразия Р, F и М снабжены ориентацией, согласованной с ориентацией объемлющих комплексных многообразий Р, F и М.

Предложение 2.2. Пусть ST, ST' и ^"— локально свободные аналитические пучки на Р, Г и М соответственно; тогда кор*

ректно определены следующие отображения, задаваемые в терминах представителей соответствующих групп когомологий Дольбо*.

НЧР, ^->Н^Р, Т) ШШ

ф1-->фл [Р]0,1

H4F, SF')-> H5f(F, ^') ш ш Фл ।-> ф' л [F]0,4

нчм, ^"^Н^М ^ ш ш ф"|>ф"л[М]0’4

Доказательство. Заметим сначала, что подмногообразия Рс Р, F cz F иМсМ имеют вещественные коразмерности 1, 4 и 4 соответственно. Далее, ф, ф' и ф" — гладкие дифференциальные формы, и, следовательно, определено их внешнее произведение с дифференциальной формой с сингулярными коэффициентами (в данном случае мерами), которое задает соответствующий когомологический класс при описании когомологий с помощью изоморфизма (2.2). |

Замечание. Из леммы 1.4 вытекает, что отображение (а) инъективно, а из стандартного результата Сато следует, что отображение (с) инъективно ([29], [22]). Гомоморфизм (Ь) также инъективен, но это утверждение более тонкое и является следствием некоторых общих результатов из [28]. Этот вопрос будет подробнее обсуждаться ниже.

Теперь мы подходим к одному из наших главных результатов, утверждающему, что отображение ц* из (1.4) продолжается на относительные когомологии. Сначала мы изучим подъем р* в терминах абстрактных когомологий. Затем мы покажем, как можно описать его на языке дифференциальных форм, и докажем, что последний способ согласуется с обычным подъемом гладких объектов.

Теорема 2.3. Пусть ^ — локально свободный аналитический пучок на Р; тосда определена каноническая точная последовательность

Q-^Hp (р, ST) —-> Hf (F, Ц " ‘^Г) -* Нр (Р, 5") -> 0.

Позднее мы докажем (лемма 3.4), что Нр(Р, (7р(—п)) = 0, п > 0, поэтому приведенная выше теорема дает

Следствие 2.4. При п^О имеет место канонический изоморфизм

Н2Р (Р, 0Р (- n)) V- Н5? (Г,(- п)).

Доказательство теоремы и следствия будет подробно проведено в § 3 на языке спектральных последовательностей.

Обобщенная спектральнаяпоследовательность Лере для относительныхкогомологий

Спектральная последовательность Лере для собственного отображения хорошо известна ([15]) и имеет многочисленные приложения в топологии, алгебраической геометрии и комплексном анализе. Для наших целей, особенно для доказательства теоремы 2.3, требуется слегка обобщить стандартную теорию.

Пусть X —> Y — собственное непрерывное отображение топологических пространств, и пусть У-^Х— пучок абелевых групп над X. Пусть S— замкнутое подмножество X, а Т — замкнутое подмножество У, такие, что л(S)czT. Относительные прямые образы

(относительно замкнутого подмножества S cz X) определяются как пучки (занумерованные целыми числами q^O), порождаемые предпучками

иь-*нЦп-Чи\ 9>\

где U — открытые подмножества У.

Теорема 3.1. Определена спектральная последовательность

El’ 4 = Нт (Г, R^n (^)) * Hrs (X, У).

Доказательство. Доказательство этой теоремы получается простым обобщением доказательства теоремы 4.17.1 из книги [15], и мы его не будем здесь повторять. Следует лишь заменить прямые образы канонической вялой резольвенты пучка ^ над X на q-e относительные прямые образы той же резольвенты и заметить, что все рассуждения остаются по-прежнему справедливыми. Обычная теорема Лере отвечает случаю S = X и Т = У. |

Мы хотим применить теорему 3.1 в нашей геометрической постановке, когда основными изучаемыми геометрическими объектами являются Fez Г, РсР и |i: F->P. Однако по причинам, которые станут ясными позже, следует быть осторожным при вы-

боре замкнутых подмножеств из Г. Известно, что F—>Р есть расслоение со слоями S1, на котором естественным образом действует группа SU (2,2) ([35]). Мы хотим построить продолжение этого расслоения на окрестность подмногообразия Р в Р. Это можно проделать теоретико-групповым методом с помощью однопараметрической подгруппы {gj группы SL(4, С), такой, что семейство VgtTO образует слоение окрестности Р в Р «сдвигами» Р при |/|<е, и go = {id}. Такая подгруппа строится следующим образом. Обозначим через

С: D-*C+

а b с dа b с dОЛООЛОпреобразование Кэли единичного круга D в верхнюю полуплоскость С+ и положим gt = C-xTtC, где отображение Тс С^-С задается формулой zv-^z-Vit. Будем рассматривать gt как элементы группы SL(2, С). Затем представим {gt} как подгруппу в SL(4, С), вложив SL(2, С) в SL(4, С) по правилу

а b с d

а b с d

О

Л

О

О

Л

О

Ь" 0 d-

получим искомую подгруппу SL(4, С). Здесь мы выбрали однородные координаты на Т, так что основная эрмитова форма Ф имеет матричное представление:

и множества Р+, Р и F рассматриваются как SU(2,2)-орбиты. Применение отображений gt к F в IF дает однопараметрическое семейство расслоений

Ft = gtlF^Pt = gAP\

п эквивалентных расслоению F —> Р, и расслоение

I t |<еI t |<еF= U Ft^N= U Pt

I t |<е

I t |<е

является искомым продолжением F в окрестность N многообразия Р. Справедлива следующая основная

Лемма 3.2. Если SF-+N есть пучок абелевых групп, то

Доказательство. Положим Рх = ц Ч^)> Рх = ^ Ч*)П^ и Рх — = FXy если х^Р. Так как отображение р собственное, то для xeN имеем

R^V^X^H^^,, ^^Ну?,. Z)®z^x, (3.1)

где последний изоморфизм имеет место ввиду того, что пучок И”Ч^) является постоянным на слое F*. Теперь

^(^.Zlafl^P,, Z),

где S‘c»P2- какое-либо вложение S1 в Р2. Далее, имеется точная относительная когомологическая последовательность

...^Др(Р2-5‘, Z)-^//p(P2, Z)-^^'(P2, Z)-> ... . (3.2)

Согласно стандартной теории когомологий,1

п(Z,рчетно,

Я^(Р2, Z) ={пР ’(3.3)

(0,рнечетно,v 7

а группы Нр(?2— S^Z) легко вычисляются. Именно пусть Т — малая трубчатая окрестность S1c^P2. Тогда имеется последовательность Майера — Вьеториса

...->Др(Р2, Z)-*//p(P2, Z)®HP(T, Z)->

^Нр(р'2пт, Z)-> ....(3.4)

где мы положили Р2 = Рг — S1. Заметим, что

Др(Р2ЛЛ Z)s//p(S*XS2, z) = {o’ р>4 L 2’3’ (3.5)

Нр (Т, Z) = Нр <S\ Z) ~ ^’ ^ 2* 1 ’(316)

Здесь мы воспользовались тем, что ni(P2) = 0, так что вложенную окружность можно считать (с точностью до гомотопической эквивалентности) вложенной в координатную окрестность, а нормальное расслоение трубчатой окрестности Т — диффеоморфным S1 X XD^. Учитывая в точной последовательности (3.4) изоморфизмы (3.3), (3.5) и (3.6), сразу получаем

(3.7)

Из равенств (3.3) и (3.7) и последовательности (3.2) вытекает, что "

<з.8)

В общем случае имеем

х^нЧ^-Рх, х^н^ (f>, z)->....

Г X

919191

ZZ®ZZ

Многообразия Р и N имеют естественные ориентации и, следовательно, индуцируют ориентацию на слоях {^}. Выберем в Нр (Fx> Z) образующую, гладко зависящую от х. Для этого рассмотрим Н3^ (Fx, Z)®zC = //^ (Fx, С) и построим искомую образующую в терминах потоков. Обозначим через [^х] поток, отвечающий интегрированию по подмногообразию Fx в Fx ^ Р2. В данном случае [Fx] есть замкнутый поток степени 3 на Fx с носителем на Fx, задающий образующую Н^ (Fx, СЦ В терминах потоков де Рама этот поток задается элементом, двойственным по Пуанкаре циклу Fx a Fx. Нам нужно выбрать образующую так, чтобы она гладко зависела от точки, хотя интуитивно ясно, что и приведенная выше конструкция дает гладкую зависимость от х. Рассмотрим поток интегрирования [Л], считая F подмногообразием коразмерности 3 в ц-ЦА/). Тогда [^] есть 3-форма на ц-ЦМ), которая в некотором смысле соответствует параметризованному семейству 1-циклов. Пусть Ж? — пучок ростков d-замкнутых 3-форм-гиперфункций на F. Тогда поток [^], суженный на малую окрестность Fx в р-ЦМ), задает элемент

[?ь е г (Л, ^), поскольку

Г (Fx, ^) = lim ind Г (F n ц"' (U), ^).Uax

Мы утверждаем, что [f]x определяет образующую Н3^ (Fx, С) для всякого xeN. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим резольвенту

постоянного пучка С вялыми пучками форм-гиперфункций на F ([21]). Тогда для всякого открытого множества W cz F и всякого замкнутого подмножества S cz № будем иметь

hUw, о^/ЦгИ^, ^г)).

С помощью этого представления проверяется, что для всякого открытого U czN сужение [?] |^-i((/) определяет элемент

{^J1ц,-i(y)} е ^глц- Чщ (^ W> ^)е

Переходя к индуктивному пределу по U э х, находим, что

lim Ind {[?]!..,,„,)-{[?],},

где {[F].J — когомологический класс элемента [F]x в №(Г^ (F^), ^р). Итак,.

(П}^и’(Ч(р- ОИЛ с).

и, следовательно, класс {[^Ь} является корректно определенной образующей Н^ (F^, С).

Возвращаясь к основному утверждению леммы, вспомним, что [см. (3.1)]

r^^X-h^,, Z)®^.

Теперь [F]x есть образующая для Н^ (F*, Z) ^ Z, поскольку в данном случае кручение отсутствует, и мы имеем ’

^(p-'^^Zt^Oz^sr,.(3.9)

Это гомоморфизм пучков, поскольку отображение порождено глобально определенным потоком [^]. Отсюда

Аналогичным образом проверяется, что и /?^р (р-1^*) ^ ^", но мы не будем выписывать образующую в явном виде. Остальные утверждения леммы следуют из (3.8). |

Теперь, пользуясь леммой 3.2, мы можем вычислить члены спектральной последовательности, задаваемой теоремой 3.1, в данной геометрической постановке. Именно, рассмотрим

EV = HpP^P, ^(p-'^^Z/Hr, <‘О.(3.10)

где ^— локально свободный аналитический пучок над Р. Тогда

'^х’ xsp'

-( 0,X £Р.

Это вытекает из того, что для всякого пучка ^ на Г

R^v- ^)х = Нт ind Нуп- iw GT1 (U), ^ ~

« H^ (Г„ У) »

«яуг,?), еслихвР,

поскольку отображение р, собственное. Но мы также имеем RpP ^)х= lim ind Н^_ i(U) (ц"1 ф\ У) =

= H^Fx, ^ для хеР,и очевидно, что группа Rqy. (^)* тривиальна при х ^ Р. ОтсюданЦр, рЫ^зг^-н^р, RVU’V'p-

(Нрр(Р, to,(Нрр(Р, to,^),^),9 = 3, 4, 9=^=3, 49 = 3, 4, 9=^=3, 4(3.11)(3.11)

(Нрр(Р, to,

(Нрр(Р, to,

^),

^),

9 = 3, 4, 9=^=3, 4

9 = 3, 4, 9=^=3, 4

(3.11)

(3.11)

в силу леммы 3.2.

Теперь мы хотим вычислить группы Нр (Р, 5") для нужных нам пучков ^*. Сначала отметим, что имеется длинная точная последовательность относительных групп когомологий Р с коэффициентами в произвольном пучке ^:

0->Яр(Р, ^)^Я°(Р, ^-»нЧр-р, 9^

^Hxf^, ^")^//'(Р, д^Н^Р-Р, 9*^

->Нр(Р, д^Н^Р, д^нЧР-Р, 9")->(3.12)

-*Н3р(Р, 9")^Н3(Р, 9"^Н3(Р-Р, 9"^

->Нр(Р, л->^4(Р, д*)-*... .

Лемма 3.3. Пусть 9"— локально свободный аналитический пучок над Р; тогда

Нр^Р, Л = 0,

Я^(Р, ^) = 0, <?>4.

Доказательство. Ясно, что голоморфные сечения векторного расслоения над Р с носителями на вещественной гиперповерхности Р должны обращаться в нуль тождественно. С другой стороны, Hq( Р — Р, 9") = 0, ^^3, поскольку Р — Р —- открытое трехмерное комплексное многообразие, и аналогично Hq(Р, 9^) = О, q ^ 4, поскольку Р — трехмерное комплексное многообразие (см. [18]). Подставляя эти равенства в (3.12), получим требуемый результат. Р

Имеет место и более специальный результат о тривиальности относительных когомологий.

Лемма 3.4. //?(Р, ОД-0^ = 0, п>0.

Доказательство. Поскольку линейное расслоение ST = ОД— п) отрицательно, то в силу теоремы Кодаиры о тривиальности когомологий ([36]) //‘'(Р,^*) = О, q = О, 1, 2. Положим т-1(х) = = pov-1(x), хе М; тогда г'(г)^Р1(С) при хеМ ([35]). Если / е//°(Р —Р,^), то

аь№1Р1, Ср,(-/>)) —0 при terur.

Следовательно, сечение / равно нулю на f^x), но Р— Р можно полностью покрыть такими проективными прямыми и, значит, f = 0. Отсюда выводим, что HV) (Р — Р, 9~^ = Нр (Р, 9”) = 0. |

Замечание. Мы можем вычислить группу Нр(Р, 9") для произвольного отрицательного линейного расслоения 9" и проверить, что !)

Нр(Р, ОР^-п)) = 0,/г = 1, 2, 3,

НЦР, ОД-А-п^оЧС4'), п>0.

Доказательство использует тот факт, что Р— Р= p+(jP*" и что Р+ и Р” являются 2-полными в смысле Андреотти—Грауэрта [1], и, значит, НЧ *,^-)=0, 9^2, откуда Нр(Р, 9~) s Н3 (Р, 9") в этом случае. Дальнейшие рассуждения сводятся к стандартным выкладкам.

Итак, с помощью равенств (3.11) и леммы 3.3 мы находим, что для всякого локально свободного аналитического пучка спектральная последовательность (3.10) имеет вид

Р| ;;;;;;

0

0

0

0

0

0 ...

0

0

0

Нр^Р, 9~)

Нр(Р, 94

0 ...

(3.13)

0

0

0

Нр (Р, ^)

Нр (Р, 94

0 ...

0

0

0

Нр (Р, #")

Яр(Р, 9")

0 ...

0

0

0

0

0

0 ...

>q

‘) Символ Ол обозначает симметризованную п-ю степень. — Прим. перев.

все остальные члены нулевые. Поскольку выписан £2-член последовательности, мы видим, что

Ез ^Ез^...^ Е^ Нр (Р, Л,

Ез ~ Ез ^ ... « Е» ~ Н'Р(Р, Г\

E^ = Ep3q= ...=E” = Q, р + <? = 5, р^= 1, 2.

Поскольку в спектральной последовательности (3.10) все элементы нулевые, за исключением двух столбцов в (3.13), то каноническим образом строится точная последовательность

(см. [5, гл. XV, предложение 5.5]). Отсюда

0-*Яр(Р, HW, <Х^-^НХр(Р, ^-)->0,

и теорема 2.3 доказана. Следствие 2.4 доказывается с помощью леммы 3.4.

Обратные образы форм-гиперфункцийпри послойном интегрировании

В этом параграфе мы хотим дать явную конструкцию отображения подъема классов когомологий

Нр(Р, ^-^Н5?^, ц*^) в терминах дифференциальных форм-гиперфункций, согласованную, как будет показано, с обычным подъемом гладких форм. В следующем параграфе мы покажем, что этот метод подъема и метод, описанный в предыдущем параграфе, приводят к одному результату. Сначала нам понадобится понятие «интегрирования вдоль слоев» для вещественно аналитических форм, а затем, воспользовавшись двойственностью, мы получим искомое отображение. Подробное описание послойного интегрирования можно найти в монографии Штолля [30], основные результаты которой мы используем и приспособим для наших целей.

Пусть М и N— вещественно аналитические многообразия; предположим, что отображение f: M-^N собственное, вещественно аналитическое, сюръективное и максимального ранга с размерностью слоев, равной q. Послойный интеграл есть отображение

L* ^p(M)-^^p-q(N)

при р^ q. Это отображение обладает рядом привлекательных функториальных свойств, например f*(da) = df*(a) и т. д., и задается процедурой явного интегрирования, которую мы не будем здесь уточнять. Мы будем использовать определенные свойства

этого отображения, отсылая за деталями к монографии Штолля. В случае когда многообразия М и N комплексные, а отображение f голоморфное, можно показать, что /* согласовано с бистепенью. Действительно, если слой имеет комплексную размерность q, то отображение /* переводит форму ср типа (г, $) в форму /*(ф) типа (г — q, s— q^ на N, и, более того, f* коммутирует с оператором д.

Нам понадобится обобщение последнего результата на CR-многообразия, т. е. на многообразия, вещественное касательное расслоение которых содержит вещественное подрасслоение, допускающее комплексную структуру (обзор этого вопроса см. в [33] 9). Сначала определим (p,q) -формы на CR-многообразии. Пусть М — некоторое CR-подмногообразие n-мерного комплексного многообразия X. Предположим, что CR-размерность М равна d. Тогда можно найти вещественные 1-формы {61, ..., 0/}, обращающиеся в нуль на CR-касательном пространстве Н(М) cz Т(М). Далее, можно найти формы {coi, ..., со^, wi, ..., ю^}, такие, что семейство

{0ь ..., 0Z, ®ь ..., ®d, йь ... , wd)

будет базисом в кокасательном пространстве Г*(Л1) вблизи точки р^М, где I + ^d = dimM. Как и в случае гиперповерхностей (см. [32], [6]), имеется естественная группа замен координат, в данном случае, очевидно, состоящая из матриц вида

Г GL (lt R) |01

L *| GL (d, С) J ’

действующих на семейства {01, ..., 6/, (Di, ..., со4> рассматриваемые как вектор-столбцы. Определим пучок (р, д)-форм класса С30 на М как пучок ростков (р + д)-форм на М вида

W-V I alv..iriv..!skv..k9ivN... aG^a^a...

r-Vs-p 4

Легко проверить, что понятие (ptq) -формы не зависит от выбора системы координат. Более того, оказывается, что если j: М^Х есть вложение, то

р^х^^^м11,0^p<n, 0<<?<d,(4.1а)

0^p<n, q + I > d, 0^1<р.(4.1b)

Это можно проверить, пользуясь специальными системами координат в объемлющем пространстве, согласованными с CR-структурой многообразия М около выбранной точки, но мы опустим дока-

!) См. также [17*].—Прим, перев.

зательство (см. [27], где подробно разобран случай гиперповерхности).

Пусть X и У— комплексные многообразия; рассмотрим CR-под- многообразия МсХ, N аУ и вещественно аналитическое CR-oto- бражение f:

о

Мс»Х

4(4.2)

N^Y

причем f сюръективное и является сужением голоморфного отображения максимального ранга, переводящего некоторую окрестность подмногообразия М в окрестность подмногообразия N. Обозначим теперь через пит соответствующие вложения в (4.2); тогда ^м q — пучок вещественно аналитических (р, д)-форм на М и т. д.)

ст* (^ ’) с ^ q, Т* <5$ q) с ^ q,

как и выше, и более того, определены касательные 5-операторы дм и дм, такие, что диаграмма

■ ^Pxq^^Pxq+X

<7+1

коммутативна, и аналогично для N^Y (см. [27]).

Предложение 4.1. Пусть dimRAl = 7, dimcX = 5 и N = Y с dimc У = 3 !); тогда определена коммутативная диаграмма

s^n ' (Af)^ ^ 2(JV)-^^3 (JV) —* 0

где f*— отображение послойного интегрирования.

Замечание. Согласно этому предложению, послойное интегрирование сохраняет биградуировку дифференциальных форм на рассматриваемых CR-многообразиях. Это справедливо для всякого CR-отображения. Конкретный закон преобразования бистепеней зависит от данного CR-отображения и, как видно из предложения, не всегда очевиден из наших интуитивных представлений

9 CR-размерность М равна 2. —Прим, перев.

о послойных интегралах на вещественных или комплексных многообразиях. Мы не будем в этой статье изучать общий случай, поскольку нам понадобится только приведенный выше частный результат.

Доказательство. Основная идея послойного интегрирования состоит в том, чтобы найти расщепление точной последовательности

О -> Г (Гх (N)) -> Г (М) |рх -> Т (Fx) -> О,

где Fx — слой над xeW. Послойный интеграл определяется в терминах расщепления, а затем показывается, что он не зависит от расщепления (см. [30]). Более того, характер расщепления определяет сохранение таких свойств, как тип, коммутирование с оператором д, и т. д., что подробно изучено Штоллем в комплексно аналитическом случае. Таким образом, нам достаточно показать, что всегда можно найти подходящие системы координат в Р^М) и P(N^, обеспечивающие соответствующее расщепление. Именно если {91, 02, 9з, осн, ob со2, ^—типичная CR-система координат в 7*(М), а {51, 51, 52, 52, 5з, 5з}—типичная система в P^N^ (N — комплексное многообразие), то мы утверждаем, что для данного отображения f и любой точки x^N всегда можно выбрать такие системы координат, что

Г(^ = ^ r(ti) = ^ < = 1,2,(4.3)

Г(/(^-5з))=02.

Это системы координат, согласованные с CR-отображением f.

Чтобы доказать существование систем координат со свойствами (4.3), заметим, что CR-касательное расслоение к М, обозначаемое

Н (Л4) cz* Т (Af), имеет вещественное двойственное расслоение Н*(М^ и определена естественная сюръективная проекция тчм>-^* нчм\

Заметим, что /7* (АГ) имеет комплексную структуру и что отобра^ жение обратного образа

f: rw->rw

в композиции с проекцией I* дает отображение

/%/*: ?4N^H4N\

которое комплексно линейно. Это отображение обязательно максимального ранга, и, поскольку пара {<x>i, со2} порождает НЧМ) как комплексное векторное пространство, справедливы разложения

®i = axf* (5i) + a2f* (52) + ^зГ (^з),

^ = ЬхГ^НЬ2Г^НЬ,Г^

Выбрав новую систему координат {£р £2, £3} в ^*(^)> можно добиться, чтобы a\ = b2=V а остальные коэффициенты были нулевые. Тогда в новой системе будем иметь

Далее, вещественная линейная оболочка у* (Re ^), f* (Im £')} есть двумерное подпространство Т*^М) и, следовательно,

Г (Re ^з) = £ а;е; + X a^i + S «А-

Г(1ш^) = Ерд + 2&а + Еьа-

Положив

£з = £3 + ^1^1 + С2^2’

можно подобрать коэффициенты С\ и С2 так, чтобы at = bi — 0 в соответствующих разложениях для /*(Re^z), /*(Im^z). Тогда эти вещественные векторы будут вещественно линейными комбинациями элементов {61, 62, 63}• Подберем линейные комбинации из {6/}, обозначив их через {6'}, такие, что

f(Re^)=e;, Г(1т^)=е;.

В результате мы получим систему со свойствами (4.3).

Пользуясь такими специальными системами координат, можно проверить, что если

Ф = а61 Л 62 Л 63 Л а)! л со2

есть форма типа (5, 0) на М, то

ф = аГ & + Ёз) Л Г (I ^з - Ёз)) Л 03 Л Г &) Л Г (&)•

Видно также, что 03 |р #=0 для всякого слоя Fx. Следовательно, X

мы можем представить нашу форму ф в виде•

Ф = — ^63 л / (£з л £з л £1 л £2).

Отсюда вытекает, что послойный интеграл этой формы типа (5, 0), есть форма типа (3, 1) (поскольку £3 Л £3 Л ^ д £2 — форма типа (3, 1), см. [30]). Действие оператора /* на формах высших порядков вычисляется аналогичным обр_азом, поэтому мы опустим дальнейшие подробности. Равенство dMf* = f*dN вытекает из простых соображений, связанных с типом, и из того, что оператор d коммутирует с U ([30]). |

Замечание. Те же идеи показывают, что если М — общее шестимерное CR-подмногообразие пятимерного комплексного

многообразия X, расслоенное над пятимерной CR-гиперповерхностью в трехмерном комплексном многообразии, то

^W^мЧм^О

Ь т(4-4)

Именно такой ситуации отвечает наше расслоение F-^ Р. Но нам придется использовать послойное интегрирование для отображения F—> ^, где F— продолжение расслоения F -^> Р в окрестность N многообразия Р, как обсуждалось в § 3. Однако нам еще представится возможность воспользоваться диаграммой (4.4) позднее.

Положим W = К4^) и рассмотрим комплекс вещественно аналитических форм, определенных на фиксированных окрестностях W многообразия F и N многообразия Р:

^0 (Г) -^* ^5-1 (Г) -^> ^5-2 (Г) ->

I7 __ I7

^3, 1 (ДГ) Л. ^з, 2 ^^ 3 (У)

где I — отображение, индуцированное интегрированием вдоль слоев отображения F-^N, которое удовлетворяет условиям предложения 4.1. Далее, формы-гиперфункции с компактными носителями суть элементы пространств, двойственных к перечисленным выше, так что по двойственности имеем

о ^— ah5 (Г) *^- ^4 (Г)д&3 (г)

| |/*|/*

^\N^ ^2(N)^1 (^) <— <°(JV)

где^**( )—пространства форм-гиперфункций с компактными носителями. Отсюда мы получаем отображение

Нс'2(^-^ Н°с5^

и если ограничимся рассмотрением форм-гиперфункций с носителями в Р, то получим отображение

Hp2(N)—+ H°f4W).

Н^ЧР, V)-^H°f5(F, н*Ю,Н^ЧР, V)-^H°f5(F, н*Ю,(4.6)(4.6)Эта конструкция без труда обобщается на случай коэффициентов в векторном расслоении, и мы приходим к естественному отображению

Н^ЧР, V)-^H°f5(F, н*Ю,

Н^ЧР, V)-^H°f5(F, н*Ю,

(4.6)

(4.6)

где И->Р— голоморфное векторное расслоение. Мы воспользовались тем фактом, что

Н°р\Р, V)^Hp2(N, У),

и аналогично для Г. Мы также использовали двойственное расслоение V*-^ Р для коэффициентов вещественно аналитических форм, применяемых при определении отображения /, двойственным к которому является (4.5).

Теорема 4.2. Диаграмма

Нйр\Р, У)-^Нйр\г, цТ)

Н°*х(р, У^Н°’ЦР, ц*Ю

где вертикальные стрелки определены в предложении 2.2, коммутативна.

Доказательство. Обозначим через (,> спаривание между формами-гиперфункциями с компактными носителями на Р или F и вещественно аналитическими формами, определенными в окрестности Р или F. Нужно показать, что если

ср е ^°»1 (Р, У) и дф = 0,

то

ПфЛИ0’1)-;-^ (Ф)ЛИ0’4.

Для ф е ^5’ Q(F, У*) имеем

<Ц*Ф A [Р]0,4, ф) = - < И0’ \ Ф А ц*ф> =

= — ^ ф Л Ц*Ф = — ^ / (ф Л Ц*ф),FР

где / — послойный интеграл на F, и последний шаг есть глобальный вариант теоремы Фубини [30]. Но одно из свойств послойного интеграла состоит в том, что

I (ф Л Ц*ф) — ф Л / (ф)

([30]), и мы получаем

(р*Ф Л [Р]0’4, ф) = — ^ ф Л / (ф) = р

= — <ср А [Р]0’ \ / (ф)) = - (Г (ф Л [Р]0’!), ф).

Учитывая, что d-оператор коммутирует с /*, приходим к искомому результату. |

Сравнение абстрактного обратного образас обратным образом при послойноминтегрировании форм

Пусть У— локально свободный аналитический пучок над Р. Тогда, согласно теореме 2.3 и (4.5), имеется диаграмма

^Я*(Р,р*Я)

где /—гомоморфизм, задаваемый естественным гомоморфизмом пучков

ц"1^" ->ц*#~ = ц“1^’ ®^р^г над IP.

Мы хотим показать, что эта диаграмма коммутативна. Имеем следующие отображения резольвент пучков над Р и Г:

0>9">■ З^*^^

j80j8

0->т?|гр(р V) —»{?} ®ур ^р * ®5р^

0 -> ^3 ® 1^> < *+3 ®оР №

Здесь мы обозначили через

^’ = ker’+‘)

пространство d-замкнутых (0, q) -форм-гиперфункций на комплексном многообразии X. Мы положили

что корректно в силу (3.9). Обозначим через {Л} подпучок пучка ^г, порожденный (как (^р-модуль) ^х при каждом x^F. Определим отображение g как естественное продолжение go на указанные дифференциальные пучки, а отображение h по формуле

h ([f], ® Ф°’q ® /х) = Г (ф0' q)®fxe < "+3 ® ^.

Отображение h в свою очередь является продолжением отображения ho. Мы видим, что каждая из фигурирующих здесь резольвент является специальной резольвентой соответствующего пучка. Такие отображения индуцируют отображения когомологий. В част-

ности, в силу «абстрактной теоремы де Рама» [15] имеем естественные отображения

Нр (Р, ^-) -е н2 (Гр (Р, 3$ * ® ^))

<*jgos|g

Н2р(Р, К^^'^^нЧГр^Р, {F}®^'®^)(5.1)

Hf(F, Ж^3®^^ 4" №(Гр(г, ^р’’13®^))

Кроме того, имеем диаграмму

нЖ ц'1^)—-—н2Р(Р, &~)——> н2р(р, е^Цг'зЧ)

zj^.|А»(5.2)

Нр (F, ^) ^Н2 (Гр (F, < *+3 ® ц*^))-^ H2f (F, 2^3 ® \x*^

где /го — индуцированное отображение, причем используется тот факт, что а — изоморфизм. Далее, б есть изоморфизм, задаваемый представлением Дольбо группы НЬе^, ц*5~) в терминах форм-ги* перфункций. Заметим, что диаграмма

2^®р*оГ2^®р*оГ

2^®р*оГ

2^®р*оГ

коммутативна, гдекоммутативна, где

коммутативна, где

коммутативна, где

«о(^) = [Лх ®L,Ao([rL®/J = [r]3’3®^.

Отсюда следует коммутативность диаграммы (5.2).

Итак, мы видим, что диаграммы (5.1) и (5.2) согласуются и справедлива

Теорема 5.1. Диаграмма

я/ (О”,#’) -^»-Яр (F, |Х-*5Г) ^^^(F.pV)

коммутативна.

Преобразование Пенроузав классе гиперфункций

Обратимся теперь к относительной последовательности де Рама на Г из [10]:

’^р (n) -> Q^ ^ ^ Qi W -► Qi (п) -> О

и рассмотрим спектральную последовательность относительных групп когомологий

E^q = Hpf(F, Щп^Нр (F, р-'^р^)),(6.1)

естественным образом обобщающую спектральную последовательность из [10] (см. [4], [15]). Чтобы выяснить, когда она вырождается, мы, как и раньше, вычислим прямые образы пучков Q t (п} при отображении у, а затем воспользуемся вариантом относительной спектральной последовательности Лере (§ 2) для нахождения членов из (6.1). Вырождение спектральной последовательности (6.1) приведет тогда, как и прежде, к дифференциальным уравнениям. Прямые образы пучков те же, что и в [10]; в данном случае нам не требуются их относительные версии.

Для простоты мы ограничимся случаем ЗГ = Ор (— п — 2), п > 0 (который соответствует решениям положительной спиральности уравнений поля). Итак, согласно [10, (2.11)], имеем v*Q^(— п — 2) ^ О{А'в' ...г>')[— 1]' (п индексов),п^О,

v^Q^— п — 2) ^ О а кв'... г>')[—2]' (/1—1 индексов),м>1, (6.2)

v*Q^(— п — 2)^ 0{С'... Dot— 1] [—3]z (/г — 2 индексов), м>2,

а остальные прямые образы нулевые. Следовательно, относительная спектральная последовательность Лере для фиксированного / = 0, 1,2 имеет вид

Нм (М, v^ (- п - 2)) ^ HrF (F, Qi (- » - 2)),(6.3)

и поскольку все прямые образы, за исключением выписанных в (6.2), нулевые, эта последовательность полностью вырождается. Отсюда вытекает изоморфизм Лере

Hf (г Qi (- п - 2)) *^ Нм" 1 (м, v^Qi (- п - 2)).(6.4)

Согласно фундаментальной теореме Сато,

HSM^ ^) = 0, s^4,(6.5)

поскольку М — вещественно аналитическое подмногообразие своей комплексификации ([29], [22]); здесь 3 — произвольный локально

свободный аналитический пучок на М. Итак, мы видим, что

ЯДг, йД-п-2)) = 0, г#=5.

Следовательно, все элементы Ei-члена спектральной последовательности (6.1) нулевые, кроме Ei’^ 7 = 0, 1, 2, ^000

Я5Дг, йД-п - 2))-> яДг, йД-п-2))->Я, (IF, йД- и-2)

ООО

оооооо

оо

оо

о

о

Далее, отображение dy. индуцирует дифференциал спектральной последовательности d\, и мы получаем диаграмму

#f О?, р-10р(-п-2))-^ > ker [H|(F,S2^(-n-2))-^*-^/(F,Я Д-л-2))]

||(6.6)

^ ker [»4 (М,(^..0^-1]') -2^4 (м,Од^ ^Е_2^

где V—индуцированный дифференциальный оператор.

Спектральная последовательность (6.4) вырождается и локально. Именно, пусть U — открытое подмножество М и U' = = рг1 (^); тогда

Hfru' (и', йД- п - 2)) -X яД и-(и', ЙхД-п- 2))

(6.7)

Нм^и Д> O(A'...D') [— 1]')> Нм(] и <Д, О а (Вг ... D^ ["”2]Z).

Это следует из того, что равенства (6.5) локально также справедливы ([29], [22]). Пусть Uo — открытое подмножество М, a U — открытое подмножество М, такое, что ^о=^П^- Обозначим тогда через 2?^ п пучок на М, порожденный предпучком

До ker [Я^пп (Д, ^А'... оэ I— 1 Г) Я^ПУ (д, ОА^ ...D^ [-2]')].

(6.8)

Оказывается, что этот пучок есть пучок решений-гиперфункций уравнений безмассового поля положительной спиральности на М. Мы вернемся к этому позднее, а пока, как указано, будем считать элементы из 2^^ п просто локальными решениями (6.8).

Итак, на глобальном уровне имеем отображения [теорема 2.3,

(6.6), (6.8)]*

Нр (Р, Ор(- п - 2))^Н^1(М-п- 2)) ->

-^ ker Vh5f (F, Й® (- n - 2)) -> H^f (F, ^ (- n - 2))] ^> ^, „ (M); обозначим композицию этих отображений через ^ и будем называть преобразованием Пенроуза объектов из класса гиперфункций. Таким образом, получаем фундаментальный результат

^>: ^(Р, ^р(-«-2))-^*^.Л^), п > О, (6.9)

приводящий к следующей теореме.

Теорема 6.1. Преобразование Пенроуза объектов-гиперфункций согласовано с преобразованием Пенроуза вещественно аналитических объектов (1.7), причем имеется коммутативная диаграмма

W- Opk-^-^^^VnW

где вертикальные стрелки определяются предложением 2.2, п > 0. В частности, ^, действуя на вещественно аналитические объекты, дает все вещественно аналитические решения с положительной спиральностью уравнений безмассового поля на М.

Замечание. Эта теорема оправдывает использование одного и того же обозначения ^ для преобразования Пенроуза на разных объектах. Можно также рассмотреть объекты промежуточного типа, такие, как обобщенные функции, С°°-функции, функции из классов Соболева и т. д., расположенные по гладкости между вещественно аналитическими функциями и гиперфункциями, и для них также получить корректно определенное отображение. Образ такого отображения будет зависеть от рассматриваемого класса гладкости, и это требует дальнейшего изучения.

Доказательство. Достаточно показать, что диаграмма

Нх (F, й^-п- 2))> Нр (F, й^ (- к - 2))

Н° (М, <^ (-п- 2)) -> Нм (М <^ (-п- 2))

коммутативна, где L^ — индуктивный предел изоморфизмов Лере на открытых окрестностях М в М, отображение L& задается диаграммой (6.6), а горизонтальные стрелки — предложением 2.2.

Нам нужно явное выражение для L^. Мы найдем это выражение в окрестности слоев отображения v, и этого будет достаточно.

Фиксируем пучок 9* = иЦ— п — 2). Тогда

Я^ (F, S) a Hf (f, S ® ^ 4),H4M (M, <S) ~ Н°м (M, <4 ® <S)

(заметим, что ^4 = ^M4 в СИЛУ соображений размерности). Кроме того, имеется отображение послойного интегрирования для голоморфного расслоения Г—>М, слоями которого являются компактные одномерные комплексные подмногообразия

Этот послойный интеграл корректно определен на окрестностях v-1(^) многообразия F, расслоенного над U zd М, и, следовательно, на соответствующем индуктивном пределе. Двойственное отображение имеет вид*

гЖ^Н^Мм,^4).

Заметим, что I* коммутирует с д, и, значит,

Г^ (М, ед = Гм (М, <4) -^ 17 (F, ^’4).

Поэтому мы имеем следующее представление для отображения L^ локализованного вблизи слоя v-1 (х), хе М\

H4F, ^) ->Нх^"Чх\ ^)->Hl(v-x(x)y ^^Г^"1^), ^4)->|id|id®y

Н° (М, <S) -> Н° (х, V»> Н° (х, <S) <3 ;<4Х>

-^hWvXxYS^^^S^^-H'f^^S^^^S^ -^ Hf^.S1)

> Н° (х, <4 ® v>) <— Нм (М, <4 ® <S) ^* Нм (м, V»

Теперь заметим, что

Г ([Р]°. 4) = [F]0’4,

поскольку для всякой (5, 1)-формы ф, определенной вблизи F,

(Г(№4), ^ = <И0’4,/Ш =

= j / (ф) = ^ i|) = ([F]0’4, i|)>.

Р ' f

Отсюда вытекает, что приведенная выше диаграмма коммутативна, и, значит, отображения Ьл и L^ совместимы.

Обозначим через ^л отображение ^, действующее на вещественно аналитические объекты. Мы знаем, что ^л инъективно (см. § 1). Чтобы убедиться в том, что оно сюръективно, предположим, что ф ^ ^^ „(М), и будем рассматривать ср как решение- гиперфункцию. В следующем параграфе мы увидим, что отображение граничного значения

ьм

^(М+)ф^(М") —> ^.nW,

является изоморфизмом, где граничные значения берутся на границе Шилова трубчатых областей М+ и М- в смысле Мартино [23] (мы покрываем М аффинными картами и сужаем данные функции на эти карты). В случае гладких граничных значений 6(<р+, Ф~) равно разности (ф+— Ф“)|м граничных значений функций ф+ и ф~ на М. Из конструкции Мартино вытекает, что решение Ф 2^ п(М) вещественно аналитично на М тогда и только тогда, когда функции ф+ и ф-, даваемые изоморфизмом (6.10), имеют вещественно аналитические граничные значения на М (в этом, по существу, состоит теорема об острие клина). Из изоморфизма (6.10) и приведенных выше замечаний следует, что ф+ и ф~ голоморфны в M+|JA^(M) и M“UW(M) соответственно, где N(M)--* некоторая окрестность М. Но мы знаем, что т-1 (М+ U N (М)) и т-1 (М" U N (М)) — окрестности множеств Р+ и Р- соответственно (т“! = цо V1). Таким образом, в силу (1.4) и (1.5) существуют элементы ^ г Нх (Р^ Ор (— п — 2)), такие, что ^(^J — = Ф±. Разность f+ — f~ задает определенный элемент f^H^P, Ор (— п — 2)), такой, что ^^ (f) = ф, и, значит, ^^ сюръективно. |

Замечание. Можно определить касательные группы когомологий Р с коэффициентами из классов С°° и обобщенных функций, как это сделано в [2], [27]. В этих двух случаях, как и выше, доказывается, что ^ отображает обобщенные объекты во все обобщенные решения уравнений поля на М, а С°°-объекты во все С°°- решения уравнений поля на М. В этом случае рассуждения также опираются на работу Мартино по изучению классов гладкости граничных значений голоморфных функций в трубчатых областях М+ и М". Мы не будем приводить точные формулировки в этой статье, поскольку они не содержат новых идей.

§ 7. Представление Пенроуза безмассовыхполей-гиперфункций

Теперь мы объединим идеи, развитые независимо в предыдущих параграфах. Мы имеем следующую коммутативную диаграмму, где дт = Ор^- п — 2) для п > 0, а = и = v^^ — естественные в данном контексте производные пучки (фигурирующие в диаграмме отображения будут подробнее обсуждены ниже):

2 И1 (р*. ^) Е И1 (г*,-^Цн0 (м±, ^")

'Н^'(Р, Т} 'hV (F, 9") -^ 'hV^M.S"")(7Л)

Н2Р(Р,^) -^ Нр^,^ ^ Нм (М, ^")

Отображения bp, bF и Ьм — это отображения граничного значения; они описывают «скачки на границе граничных значений, взятых с каждой стороны». Точнее, Ьм есть отображение граничного значения Мартино [23], где мы берем граничные значения в открытом аффинном подмножестве Мо с: М, М0 ^ R4; заметим, что существует конечное покрытие М такими картами (можно положить Л10 = М П М7, где М7 описано в [10, § 1]). Тогда имеем области М- с границей Шилова Мо ™ R4, и векторные расслоения превра^ щаются в тривиальные спинорные расслоения, так что мы просто пользуемся конструкцией Мартино граничных значений скалярных голоморфных функций в трубчатых областях. Отображение sM есть внутреннее описание Сато гиперфункций на М, обобщенное на случай коэффициентов в векторном расслоении. Отображения sP и sF являются обобщениями отображения sM. Отображение sP описано в [27], [17]. Отображение Sf есть его дальнейшее расширение на высшие коразмерности и представляет собой частный случай общего результата Сато и др. [28, гл. II, следствие 3.5.8]. Эти отображения среди прочего связаны с теоремой Коши — Ковалевской. Как мы видели в § 1, ЬР есть изоморфизм. Определим Ьр как индуцированное отображение. Внутреннее описание отображения bF потребовало бы перенесения результатов Мартино на более общие трубчатые области (типа IF±) с заменой голоморфных функций на когомологические классы. Насколько нам известно, это пока еще не проделано, но в нашем случае можно обойтись без общего определения, поскольку рассматриваемое отображение индуцируется остальными. Что касается горизонтальных отображений, то ц* — обычное отображение обратного образа, a L — отображение прямого образа Лере, описанные в [10]. Отображения ц* и U — обобщения отображений ц* и Л, изученные

выше. Отображение /* можно описать как двойственное к отображению послойного интегрирования

с коэффициентами из соответствующего расслоения; оно согласуется с отображением jl* (см. замечание после предложения 4.1). Отображение L" не было описано инвариантным образом, но оно индуцируется другими. Инвариантное описание потребовало бы более тонкой теоремы Лере для касательных групп когомологий Дольбо на CR-расслоении FМ.

Хорошо известно, что не все гиперфункции на М представляются граничными значениями из М~ В общем случае это верно лишь тогда, когда гиперфункции удовлетворяют дифференциальному уравнению, характеристики которого соответствующим образом связаны с границей М± ([3]). Но у нас речь и идет о решениях дифференциальных уравнений, и мы можем получить подобное представление для безмассовых полей с положительной спиральностью.

Рассмотрим в диаграмме (7.1) ядра естественных дифференциальных операторов, с которыми мы имеем дело. Вспомним, что 9”'= йц(— п — 2), и, положив

'Z! (F+, V?^ = ker [Я1 (F+, йц (- п - 2)) ^* Нх (F+, О^Д-п- 2))], Z^1 kF, №) = ker \'Н^1 (F, Q^ (- n - 2)) X 'H0*1 (F, Q* (-n. - 2))]

и т. д., заменим H на Z в каждом из шести функциональных пространств в правой части диаграммы (7.1). Пользуясь еще диаграммой (6.6) и аналогичным результатом из [10], получим коммутативную диаграмму

£ я1 (р*,£ z1 (f±, 0") -^> £ z° (м*, ^")

±±±

'яУ(р,^)^‘(F,^)'г^Чм, <7-2)

Нр(Р,^ -^> Z^F,^') -^ Z^M^")

Теорема 7.1. Все отображения в диаграмме (7.2) суть изоморфизмы.

Доказательство. Теперь это тривиальное следствие того, что jl* и U — изоморфизмы [теорема 2.3 и (6.6)], так же как отображения р* и L (см. [10]) и вертикальные отображения слева. ■

Эта теорема дает довольно полное описание глобальных решений-гиперфункций уравнений безмассовых полей с положительной спиральностью на М.

Заметим, что, как показано в статье [10], абстрактный дифференциальный оператор, порожденный спектральными последовательностями, следующим образом связан с классическими уравнениями безмассовых полей (см., например, [26], [35]):

Н° (м+, v^^ (- п - 2)) Н° (М+, хД (-п- 2))

91 91

н° (М+, О^а- ...d-A-VY)^H° (М+, С a W... вч [-2Г) (7.3) Ш , ш

Фд'.-.О' * ^А Фд'В' ... D'

где спинорные пучки на М + соответствуют классическим спинорным полям на М+. Дифференцирование гиперфункции f сводится к дифференцированию голоморфных функций, через граничные значения которых она представляется. Следовательно, дифференциальные операторы, определяющие пространства 'Z^Q ^М, SF”^ и ^м(М, ^") и согласованные с оператором V из диаграммы (7.3) выше, должны соответствовать классическим дифференциальным операторам, когда мы ограничиваемся аффинным пространством Минковского MqgzM, которое имеет координатную систему, со гл а-, сованную с координатами на М+ и МГ (координатная карта М из [10]). Это оправдывает наши неоднократные заявления, что ^^ п1 ^^ п и т- Д- являются пространствами решений уравнений безмассового поля с положительной спиральностью.

Теорема 7.1 имеет важное следствие. Сначала напомним понятие положительной и отрицательной частотности. Решение f уравнения поля (подобного уравнениям безмассового поля) на аффинном пространстве Минковского Мо называется положительно-частотным, если / есть граничное значение (например, в смысле гиперфункций) голоморфного решения этого же уравнения на М+е Решение называется отрицательно-частотным, если f есть граничное значение голоморфного решения на М" ([8], [26]). Равным образом можно говорить о положительной или отрицательной частотности решений конформно инвариантных уравнений на М, при условии что данное дифференциальное уравнение обладает голоморфными продолжениями в М+ и в М~, что несомненно имеет место в случае уравнений безмассового поля. Итак, из теоремы 7.1 вытекает

Следствие 7.2. Всякое решение-гиперфункция уравнений безмассового поля положительной спиральности на М есть сумма положительно- и отрицательно-частотного решений.

Доказательство. Достаточно обратиться к изоморфизму Ьм в диаграмме (7.2). |

Описанный в этой статье формализм проходит и в случае нулевой спиральности, как это имело место ив [10], где спектральная последовательность (6.1) вырождалась во втором порядке, а индуцированный дифференциальный оператор переходил в волновой оператор, действующий на скалярные плотности. При такой модификации результаты сохраняют свой вид, и мы не будем выписывать их в явном виде. Было показано (см. [11]), что все обобщенные решения уравнений безмассового поля на аффинном пространстве Минковского продолжаются до гиперфункций на компактифицированном пространстве Минковского, удовлетворяющих соответствующим уравнениям поля. Следовательно, такие решения всегда можно представить как преобразование Пенроуза голоморфных объектов (или как их граничные значения).

Мы не пытались здесь перенести на случай гиперфункций результаты из [10] относительно левосторонних полей, потенциалов, полей, взаимодействующих с фоном, и т. д., хотя ясно, что многие из них останутся справедливыми. Однако еще имеется ряд мест, нуждающихся в разъяснении, поскольку мы пользовались отрицательностью коэффициентного расслоения при построении конкретных изоморфизмов. В общем случае следовало бы включить препятствие (например, коядро ц* ^ Нр (Р, ^)) в теорию потенциала или калибровочную свободу.

Добавление при корректуре. Тоби Бейли сообщил недавно, что им доказана гипотеза, высказанная во введении к этой работе, о том, что безмассовые поля-гиперфункции на аффинном пространстве Минковского продолжаются до решений-гиперфункций уравнений поля на компактифицированном пространстве Минковского.

Литература

Andreotti A., Grauert Н. — Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 193—259. [Имеется перевод: Андреотти А. и Грауэрт Г. Теоремы конечности для когомологий комплексных пространств. В сб.: Комплексные пространства. — М.: Мир, 1965, с. 105—189.]

Andreotti A., Hill С. D. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 26 (1972), 325—363.

Bony J. M., Schapira P.—Ann. Inst. Fourier, Grenoble 26 (1976), 81—140.

Bredon G. E. Sheaf theory. — New York: McGraw-Hill, 1967.

Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra. — Princeton: Princeton University Press, 1956. [Имеется перевод: Картан А. и Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, I960.]

Chern S. S., Moser J. — Acta Math. 133 (1974), 219—271.

de Rham G. Varietes differentiables. — Paris: Hermann, 1960. [Имеется перевод: де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.]

Dewitt В. S. Dynamical theory of groups and fields. — New York, London, Paris: Gordon and Breach, 1965.

Dirac P. A. M. — Proc. Roy. Soc. (London) A 155 (1936), 447—459.

Eastwood M., Penrose R., Wells R. O., Jr. — Commun. Math. Phys. 78 (1981), 305—351. [Перевод в данном сборнике.]

Ehrenpreis L. and Wells R. О., Jr. A removable singularity theorem for massless fields (to appear).

Folland G. B. and Kohn J. J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. — Ann. of Math. Studies No. 75. — Princeton: Princeton University Press, 1972.

Гиндикин С. Г., Хенкин Г. M.— Функц. анализ и его прилож. 12, вып. 4 (1978), 6—23.

Гиндикин С. Г., Хенкин Г. М.— Теор. и мат ем. физика 43 (1980), 18—31.

Godement R. Topologie algebrique et theorie des faisceaux. — Paris: Hermann, 1964. [Имеется перевод: Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.]

Guillemin V., Kashiwara М., Kawai Т. Seminar on micro-local analysis.— Ann. of Math. Studies No. 93. — Princeton: Princeton University Press, 1979.

Hill C. D., MacKichan B. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 4 (1977), 577—597.

Hormander L. An introduction to complex analysis in several variables.— Amsterdam: North-Holland, 1973. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — ДЕ: Мир, 1968.]

Hughston L. Р. Twisters and particles. — Leet. Notes in Phys., Vol. 97. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.

Kohn J. J., Rossi H. — Ann. Math. 81 (1965), 451—472.

Komatsu H. — Math. Ann. 176 (1968), 77—86.

Komatsu H. Hyperfunctions and pseudo-differential equations. — Lecture Notes in Math., Vol. 287. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1973.

Martineau A. Le «edge of thewedge theorem»entheoriedeshyperfonctions

de Sato.— Proc. Intern. Conf,on Fund. Anal,andRei.Topics.Tokyo,1969.

Univ, of Tokyo Press, 1970, pp. 95—106.

PenroseR. — /. Math. Phys. 10(1969), 38—39.

PenroseR. — /. Math. Phys. 8(1967), 345—366.

Penrose R., MacCallum M. A. H. — Physics Rep. 6 (1972), 241—316. [Перевод в данном сборнике.]

Polking J. C., Wells R. О., Jr. — Abhand. Math. Sem. Univ. Hamburg 47 (1978), 1—24.

Sato ДЕ, Kawai T., Kashiwara M. Microfunctions and pseudo-differential equations. — Lecture Notes in Math., Vol. 287. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1973.-

Shapira P. Theorie des hyperfonctions. Lecture Notes in Math., Vol. 126. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1970. [Имеется перевод: Шапира П. Теория гиперфункций. — М.: Мир, 1972.]

Stoll W. Value distribution of holomorphic maps into compact complex manifolds. Lecture Notes in Math., Vol. 135. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1970.

Streater R. F., Wightman A. S. PCT, spin and statistics, and all that. — Reading, M. A.: Benjamin-Cummings, 1978. [Имеется перевод: Стритер P., Вайт- ман А. PCT, спин и статистика и все такое. — М.: Наука, 1966.]

Tanaka N. — J. Math. Soc. Japan 14 (1962), 397—429. '

Wells R. O., Jr. Function theory on differentiable submanifolds, pp. 407—441. In: Contributions to analysis. — New York: Academic Press, 1974. [Имеется перевод: Уэллс P. О. Успехи матем. наук 33, вып. 1 (1978), 157—193.]

Wells R. О., Jr. Cohomology and the Penrose transform. In: Complex manifold techniques in theoretical physics (eds. Lerner D. E. and Sommers R. D.), pp. 92—114. — San Francisco, London, Melbourne: Pitman, 1979.

Wells R. O., Jr. Bull. Amer. Math. Soc. (New Series) 1 (1979), 296—336. [Перевод в данном сборнике.]

Wells R. О., Jr. Differential analysis on complex manifolds. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980. [Имеется перевод более раннего издания: Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях.— М.: Мир, 1976.]

ЛИТЕРАТУРА,ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ

1*. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.— 3-е изд.—М.: Наука, 1976.

2*. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики.— М.: Наука, 1979.

3*. Пост Р. Общая теория квантованных полей. — М.: Мир, 1967.

4*. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.

5*. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.

6*. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. — М.: Наука, 1966.

7*. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.

8*. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Г. Современная* геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.

9*. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.

10*. Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — М.: ИЛ, 1961.

11*. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, часть II. — М.: Наука, 1976.

12*. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.

13*. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.

14*. Паламодов В. П. Деформации комплексных пространств. — УМН, 31, вып. 3 (1976), 129—194.

15*а. Манин Ю. И. Калибровочные поля и голоморфная геометрия. В сб.: Современные проблемы математики, т. 17. — М.: ВИНИТИ, 1981, с. 3—55.

15*6. Гиндикин С. Г., Хенкин Г. М. Преобразование Пенроуза и комплексная интегральная геометрия. — Там же, с. 57—111.

16*. Фролов В. П. Метод Ньюмана — Пенроуза в общей теории относительности.— Труды ФИАН, 96 (1977) 72—180.

17*. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных. В сб.: Современные проблемы математики, т. 4. — М.: ВИНИТИ, 1975, с. 13—142.

18*. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.

19*. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1964.

20*. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969.

Литература, добавленная при переводе

35335321*. Ward R. S. On self-dual gauge fields. — Phys. Letters, 61A (1977), 81, 82.

353

353

22*. Atiyah M. F., Drinfeld V. G., Hitchin N. J., Manin Yu. I. Construction of instantons. — Phys. Letters, 65A (1978), 185—187.

23*. Ward R. S. Ansatze for self-dual Yang — Mills fields. — Commun. Math. Phys., 80 (1981), 563—574.

24*. Corrigan E., Goddard P. An n monopole solution with 4n—1 degrees of freedom. — Commun. Math. Phys., 80 (1981), 575—587.

25*. Les equations de Yang — Mills (eds. Douady A. et Verdier J.-L.)—Aste- risque, 71, 72 (1980).

26*. Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.

27*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.

28*. Atiyah М. F. Geometry of Yang —Mills fields. — Lezioni Fermiane.— Pisa: Scuola Normale Superiore, 1979.

29*. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967.

30*. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965,

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

«Абстрактные» индексы (см. подстрочные примечания на с. 135, 262), используемые в статьях сборника, обозначаются латинскими и греческими буквами, соответствующие «координатные» индексы (отвечающие компонентам в некоторой системе координат) выделяются полужирным шрифтом. Круглые скобки означают симметризацию по индексам, заключенным внутри скобок, а квадратные — антисимметризацию. Во всех формулах подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Обозначения, принятые во 2-й, 6-й, 7-й статьях сборника (если они отличаются от принятых в 1-й, 3-й, 4-й и 5-й статьях), указаны в списке обозначений в круглых скобках.

Индексы, отвечающие тензорным величинам, обозначаются латинскими строчными буквами, верхние индексы отвечают контравариантным тензорам, нижние — ковариантным. Например: ха, Va, Ga, gab, Mab, Kabcd, £abcd, ... . Индексы, отвечающие спинорным величинам, обозначаются латинскими прописными буквами и помещаются вверху для контравариантных спиноров, внизу — для ковариантных; штрихованные индексы отвечают комплексно сопряженным спинорам. Например: сол, лЛ/, уф, ^ав» хАА» ^АА'ВВ'> Индексы, отвечающие твисторным величинам, обозначаются строчными греческими буквами: вверху, если они отвечают твисторам, и внизу, если они отвечают дуальным твисторам. Например: Za, Za, Wa, Aa^, еаруб, ... . Проективные аналоги указанных тви- сторных величин выделяются полужирным шрифтом. Например: Z, W, ...

л/, s4-p* ч, 's^p’ 4

кинематический твистор 95, 215

пучки вещественно аналитических функций и форм с вещественно аналитическими коэффициентами 318

Я, ^р-'$р1 4

Cabcd' ^abcd

С (1,3)

сф (1, 3)

с (4, С)

С"

СМ(М)

пучки гиперфункций и форм-гиперфункций 319, 324

тензор Вейля ПО, 142

конформная группа 39, 85

собственная конформная группа 39, 85

конформная группа С4 83

и-мерное комплексное пространство

компактифицированное комплексное пространство* время 83 (31, 254, 317)

см' (мА, м')

аффинное комплексное пространство-время 80 (46, 55, 258)

см* (м*)

СР"

с^

труба будущего (прошлого) 227 (44, 258, 318)

n-мерное комплексное проективное пространство 41 комплексификация искривленного пространства-времени 122

С^, С^*

д

ду д№ др

eabcd> ^abcdi еару6

комплексификация гиперповерхностей ^, 9- 122, 210 оператор относительного дифференцирования 256 оператор Коши — Римана

касательный оператор Коши — Римана 312

абсолютно кососимметричный тензор (твистор) 92, 94, 232

АВ А

^АВ’ 6» 8 В

$р’ q (Af), 8r (М), g^ 4

кососимметричный спинор 54, 82, 140, 265

пространства гладких дифференциальных форм 63, 334

gp. q, Ер* q

Fab’ Fab’ FAA'BB'> FAA'BB'

Fi, F2, Fx2, F

F, F^ F°, F2

ФДВ I/ ^A'B' L'

Ф

Ф, Фр, Ф], Фз

ФАВС'О'

G2, 4 (С)

Gk.n^

Sab> бДА'ВВ'

GL (4, C)

члены спектральной последовательности

тензор (спинор) Максвелла 58, 59, 144, 227, 228

пространства флагов 42, 254, 258

пространства флагов 44, 254, 317, 318

безмассовое поле 21, 61, 96, 282, 287, 310

каноническая форма 167, 170

эрмитова форма сигнатуры( -Ц) 30, 43, 231

бессдвиговый спинор Риччи НО, 142, 230

грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 32, 255 комплексное грассманово многообразие 41 метрический тензор (спинор)

группа невырожденных линейных преобразований С4 83

Г (А, У)

H, H^

Hm

Я (2)

пространство сечений пучка 9?- на многообразии X гамильтониан 169, 171

т-я степень расслоения гиперплоского сечения 63 пространство эрмитовых (2X2)-матриц 40, 46

№ (X, ^), HP* q (X, ^), HP* 4 (X, 7) когомологии 17, 64, 105

Hps 4 (А, V)

'нуи, И), 'Н^ЧХ, И)

98 (У)

Й

относительные когомологии 323

касательные когомологии 312, 319

пространство гиперповерхностных твисторов 126 постоянная Планка

/"Р, /ар /^ /°

бесконечно удаленная прямая 83

бесконечно удаленные твисторы 92, 155, 232

бесконечность будущего (прошлого), пространственная бесконечность 137

изотропная бесконечность будущего (прошлого) 124, 137, 201

1

1Л

твисторная дифференциальная форма 233

базисное спинорное поле 202, 203

^abcd К abed К»

ДР' ’ W, Лр' «Г (М)

абсолютно кососимметричный спинор 143

тензор кривизны 145

твистор кривизны 165

пространство гладких дифференциальных форм (см.

^р*Ч^

Л

М', М7 (Мо)

М(М)

след тензора Риччи 142, 210, 230

пространство-время Минковского 136 (38, 310)

компактифицированное пространство-время 137 (31, 318)

Л

М°Ь) МАА'ВВ' н

^9”

N (Т°)

искривленное пространство-время 107, ПО, 236, 241

момент 93, 146, 215

отображение IF -> Р 254

обратный образ пучка ^ 275

<7-й прямой образ пучка ^ 270

пространство изотропных твисторов 18, 86, 232 (30, 43)

Д’

пространство масштабных изотропных геодезических 108, 166

V

v-1^, v'S’, v^ о to

О (X), ox

отображение IF -> М 254

см. ц-1^, ...

пучок сечений расслоения Я* 66, 25?

пучок ростков голоморфных функций 63, 256

О [£], С [Л]', Од (&), Одв (&) [/]', О^ ... спинорные пучки 263—265

0(1,3)

О| (1, 3), L^

Рп (С), Р„

Ра' PAA’* ^а Р

Р^

группа Лоренца 38

собственная группа Лоренца 38

см. СР"

импульс 93, 146, 215

группа Пуанкаре 38, 51

собственная группа Пуанкаре 38, 51

PN (N, Р, Р3)

пространство проективных изотропных твисторов 18, 86, 152, 232 (30, 44, 318)

РЛ>

пространство безмасштабных изотропных геодезических 107

рл (s*-), рг (S')

пространства проективных гиперповерхностных твисторов 122

F7

подмножество пространства Р 258

PT, CP3 (P (T), P, P3 (O)

пространство проективных твисторов 18, 81, 152 (30, 44, 254, 255)

PT

пространство дуальных проективных твисторов 84

FT±(P±, P±)

пространство положительных (отрицательных) твисторов 18, 86 (30, 44, 310, 318)

PS"

искривленное пространство проективных твисторов

PJ"(7±)

пространства проективных асимптотических твисторов 124

S>

преобразование Пенроуза 280, 281, 344

R”

n-мерное вещественное пространство

Rabul

тензор кривизны 110, 142, 229

Rab

тензор Риччи 142

R

скалярная кривизна 142

Rqs9>

q-й относительный образ пучка ^ 326

P '

твисторная дифференциальная форма 233

sn

n-мерная сфера

8

спиральность 18, 94, 147

S, S, S*, S\ Sp’ q

пространства спиноров 54, 92, 114

Sa

вектор спина 18, 94, 146

SU (2, 2)

специальная группа псевдоунитарных матриц 85, 232

SL (2, C)

специальная линейная группа С2 139

о

сдвиг конгруэнции 107

Ga

матрицы Паули

изотропная или пространственноподобная гиперповерхность 121

Т(Та)

пространство твисторов 30, 43, 231, 254, 317 (258)

Г (Ta)

пространство дуальных твисторов 18 (258)

T±

пространство положительных (отрицательных) твисторов 18, 30, 43, 86, 231

твистор кручения 165

T (M), Tp w, Tp (M)

касательное и кокасательное расслоения многообразия М

S"

искривленное пространство твисторов 114, 166

ST (У), Г (У)

пространства гиперповерхностных твисторов 122, 124

пространства асимптотических твисторов 203, 206

т, т°, т+

соответствие Пенроуза 42, 44, 45

т

твисторная дифференциальная форма 233

U (2, 2)

группа псевдоунитарных матриц 85

U, U\ U"

открытые подмножества М, Г, Р 255

^ABCD’ ^A'B'C'D'

спинор Вейля НО, 142, 229

Г(П

оператор Эйлера 233 (68)

Та

конформный тензор 125, 143

пространства безмассовых полей спиральности п^ 282, 310

za = (z°, z\ z\ z^ =

(со24, Лд^ твистор 17, 67, 149

2;

комплексно сопряженный твистор 18, 67, 85, 148, 231

.£“ 5а

канонические сопряженные операторы 161

дуальный твистор 83

to

твисторная дифференциальная форма 233

to

симплектическая форма 108, 161, 167, 170

Q

конформный множитель 136

QJ, Q£, Of

пространства голоморфных форм 256

QP QP(V), Q'OO

пространства относительных голоморфных форм 256, 257

□

даламбертиан 221

внутреннее умножение

A

внешнее произведение

«крышка», конформная перенормировка

®

тензорное произведение

О

симметризованное тензорное произведение

v44' v.., v4 v v > VAA'> VA'’

оператор дифференцирования 60, 266

*

оператор Ходжа 58

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абстрактные индексы 80, 135, 262

Автодуальная форма 59

Автодуальное решение безмассовых уравнений 96

уравнений Максвелла 8, 228

Адроны 26

Активная твисторная функция 177, 218

Алгебраически специальное поле 103, 158

Амплитуда рассеяния 176

Антиавтодуальная рр-волна 117

Асимптотическая бессдвиговость 213

— простота 202

Асимптотически плоское пространство- время 124, 201

Асимптотические твисторы (не) полностью на 9- 206, 207, 212

Асимптотическое спиновое пространство 208

а-плоскость 82, 91, 255

а-поверхность 112, 128

Безмассовое поле, взаимодействующее с фоном 297

спиральности s 21, 61, 71, 75,94, 102, 119, 144, 220, 282, 287, 310

Бесконечно удаленные твисторы /а^. l^ 92, 155, 232

Бессдвиговая конгруэнция 32, 109, 122,

167

Бессдвиговый срез 126

Бетти числа 65

Бонди — Сакса масса 151

функция новостей N 202, 206, 246

Бухдаля ограничения 119

Бьянки тождества 144, 230

Р-плоскость 82, 255

Р-поверхность 112, 128

Вейля (конформный) тензор (спинор) 23, ПО, 142, 144, 229

Вектор спина см. Спин

Волновое уравнение 97, 119, 145, 221, 251, 285

Вполне изотропная плоскость 52, 82

поверхность 111

Вращение (твист) конгруэнции 108, 166, 167

Время запаздывания 219, 220

Высшие резонансы 26

Гамильтониан импульсной волны 169, 171

Гейзенберга группа 50

Герца потенциал 288

Гиперкогомологии 291, 292

Гиперфункции 311

Главные изотропные направления углового момента 217

Глобальный твистор 166, 200

Голоморфная форма 66

Голоморфное векторное расслоение 62, 64

Гравитон 228

Грассмана представление см. Клейна представление

Грассманово многообразие С2,4(С) 32,

255

Гргина условие 159

Группа SL^ С) 14, 31, 40, 139 — SU^, 2) 15, 19, 31, 48, 80, 138, 149, 232

Даламбертиан 221

Де Рама когомологии 65

Деформация комплексной структуры

35, 113, 234

Дирака —Вейля уравнение 21, 61, 282

— поле 222

Дифференциальная форма 63, 64, 334

Дольбо касательные когомологии 312, 319

— относительная георема 324

Древко изотропного флага 141

Дуальный твистор 67, 83

Закон сохранения спиральности 186

Заряд 174

Изотропная бесконечность будущего (прошлого) ^^^~^ 124, 137, 201 — конгруэнция 32, 158

— плоскость см. Вполне изотропная плоскость

— прямая см. Световой луч

— расположенность 23, 37, 53, 113, 232, 236

Изотропное безмассовое поле 102, 158

— решение уравнений Максвелла 32, 34

Изотропный вектор 38, 140

— конус см. Световой конус

— флаг 141

Импульс 17, 25, 80, 93, 146, 215

Импульсная гравитационная волна 109, 171

— электромагнитная волна 171

Инверсия 38, 52, 136

Инстантон 38, 304

Инцидентность 81, 83, 84

Искривленное пространство-время Л, СЛ 107, ПО, 122, 167, 236, 241

— твисторное пространство ^, РТ 112, 114, 116, 166

in-состояния 176, 201

Канонические сопряженные твисторные операторы 19, 161

Каноническое расслоение 321

Квантовые числа 26

Керра гиперповерхностная теорема 122

— линеаризованное решение 217

— теорема 32, 159

Кидлинга вектор 118, 138

Кинематический твистор Да^ 95, 215

Клейна представление 83, 155, 232, 254

Когомологии с коэффициентами в пуч- ке 17, 64, 65, 105, 312

Кодаиры теорема 36, 235

Компактифицированное пространство- время М 31, 137, 232, 309, 318

— комплексное пространство-время СМ 31, 83, 254, 310, 317

Комплексная поляризация 19

Комплексно сопряженный твистор 18,

85, 148, 231

Комплексный световой конус 83

луч 83

Комптоновское рассеяние 187, 200

Конгруэнция 32, 87, 107

Конформная группа 31, 39, 85

— компактификация пространства Минковского 39, 137

— метрика (структура) 23, 37, 52, 113, 237

— перенормировка 135, 143

Конформно право-(лево-)плоское пространство 23, 111, 115, 230

Конформное преобразование (отображение) 39, 136

Конформный вес 265

Коши поверхность 107

Коши — Римана касательный (дь-) оператор 311

(CR-) структура 108, 122, 334

Кулона решение 217

Кэлерова структура (кривизна) 126

Кэли — Трассмана представление см.

Клейна представление

Лептоны 26

Локальный твистор 125, 163

— твисторный перенос 125, 206

Лоренца группа 39, 85

— калибровка 221

— преобразования 40, 138, 139

— собственная группа 14, 38, 41, 139

Лоренцево сечение 111

Максвелла тензор (спинор) 58, 144, 227

— уравнения 21, 32, 57, 121, 144, 227, 282, 287

Максимально комплексное подмногообразие 33

Мандельстама переменные 197

Метод контурного интегрирования 20,

33, 66, 98, 100, 120, 157, 220, 251

Мёллеровское рассеяние 179, 185, 195, 199

Минковского пространство-время 38, 55, 80, 136, 139, 310

Мировая линия частицы 95, 146

Многообразия флагов 41, 42, 254

Момент 17, 25, 80, 93, 146, 148, 215

Небесная сфера 14, 90

Нейтрино 21, 61, 282

Нелинейный гравитон 24, 111, 230, 304

Нештрихованное спиновое пространство 238

расслоение 262

Нормируемость 227

Ньюмана — Унти масса 151

— ^-пространство 24, 79, 111, 126,246

Обобщенные твисторы 303

Обратный образ пучка 275

Оператор повышения (понижения) спиральности 80, 98, 151, 162

— спиральности 161

Относительные когомологии с коэффициентами в пучке 323

Относительный прямой образ пучка 326

Отрицательная частотность 312, 349

out-состояния 176, 201

Парная аннигиляция 200

Пассивная твисторная функция 177, 217

Пенроуза преобразование 280, 318, 344 — соответствие 31, 35, 37, 47, 254 Плоский пучок прямых 84 Подкрученный фотон 37, 298, 301 Положительная частотность 96, 100, 145, 227, 245, 284, 312, 349

Полотнище изотропного флага 111

Поляризация 141, 149

Послойный интеграл 333

Потенциал безмассового поля 120, 173, 288

— электромагнитного поля 297

Поток 324

Правильное асимптотическое вырождение (peeling-off) 159

Пространства асимптотических твисто- ров ^(^±), Р^ЧЗ^) 124, 203, 206, 212

— гиперповерхностных твисторов ^(^), Р^(^),РЛ9^), ^^

121—124, 126

— дуальных твисторов I*, PIT* 18, 21, 84, 156

— изотропных твисторов N, PN 18, 30, 43, 44, 86, 152, 232, 318

— положительных (отрицательных) твисторов 1Г±, РТГ± 18, 30, 43, 86, 231, 310

— спиноров S, S, S*, S* 31, 54, 92, 114

Пространство безмасштабных изотропных геодезических РЛ9 107

масштабных изотропных геодезических Л9 108, 166

— проективных твисторов РТ 18, 30, 44, 81, 152, 254

твисторов Т 30, 43, 231, 254, 317

— флагов IF 44, 254, 317, 318

Прямой образ пучка 270

Пуанкаре группа 38, 51, 92, 233 — собственная группа 39, 83 ^-преобразование см. Пенроуза преобразование

Радона преобразование 251

«Раздутое» пространство асимптотиче

ских твисторов 204, 212

Расслоение гиперплоского сечения Н

66, 257, 310, 320

Растяжение 38, 51, 136, 138

Риччи тензор Rab 142

Робинсона — Керра теорема 33, 34

— конгруэнция 87, 159

— Траутмана волны 168, 183

Твисторное преобразование см. Пенроуза преобразование

— соответствие см. Пенроуза соответствие

— уравнение 80, 90, 150, 303

Тензор 53, 56

— кривизны НО, 142, 229

Труба будущего (прошлого) СМ+ (СМ")

227, 232, 258, 318

Сакса уравнения 107

Световой конус 38, 39, 154

— луч 31, 36, 87, 152

Сдвиг конгруэнции 107, 166

Симплектическая форма (структура) о 108, 161, 167, 170

Скалярное произведение безмассовых полей 173, 175

Слабые взаимодействия 37

Собственная конформная группа 15,39, 85, 137

Собственные импульсные состояния 195

Спарлинга — Уорда метод расщепления

67, 105, 106

Спин 14, 18, 94, 146

Спинор 31, 54, 139

Спиральность 18, 94, 147

Тауба — НУТ автодуальное решение 118

Твист конгруэнции см. Вращение конгруэнции

Твистор 17, 67, 80, 91, 133, 148, 150, 159

— кривизны 165

— кручения 165

— углового момента см. Кинематический твистор

энергии-импульса и момента гравитационного поля 174

Твисторная диаграмма 178, 183, 189 — норма 85, 91, 94

Угловой момент см. Момент

Угол преломления 219

Универсальное расслоение 262

Уорда соответствие 38

Флаг 41

Формы-гиперфункции 319, 324

Фотон 15, 18, 22, 61, 145, 186, 227,

282, 297

Ходжа *-оператор 58

Шварцшильда линеаризованное решение 217, 220

Штрихованное спиновое пространство 238, 240, 255

расслоение 262

Эйлера оператор (векторное поле) 23, 68, 233

Эйнштейна линеаризованные уравнения 21, 61, 97, 252, 282

уравнения 23, 35, ПО, 230

Элементарное отображение 277, 283

Элементарные состояния 101, 160, 179

Янга — Миллса уравнения 37, 38, 252, 302

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие5

Р.Пенроуз. Твисторнаяпрограмма13

Литература27

Р.О.Уэллс. Комплексныемногообразия и математическая физика . . . .28

Введение28

Взаимосвязь теории комплексных многообразий и математической физики: резюме29

Пространство Минковского38

Твисторы и соответствие Пенроуза41

Однородные пространства и действия групп48

Тензоры и спиноры53

Уравнения Максвелла и уравнения безмассового поля57

Теория когомологий и голоморфные векторные расслоения . . . 61

Голоморфное представление решений уравнений безмассового поля 66

Вывод уравнений безмассового поля из интегральной геометрии . 73

Литература76

Р. Пенроуз, Р. С. Уорд. Твисторы в плоском и искривленном пространстве-

времени 78

Введение78

Теория твисторов в плоском пространстве-времени79

Твисторы в искривленном пространстве-времени107

Построение нелинейной гравитацииНО

Гиперповерхностные твисторы121

Р. Пенроуз, М. Л. X. Мак-Каллум. Теория твисторов: подход к квантованию полей и пространства-времени131Предисловие1310. Введение■131Р. Пенроуз, М. Л. X. Мак-Каллум. Теория твисторов: подход к квантованию полей и пространства-времени131Предисловие1310. Введение■131Литература129

Р. Пенроуз, М. Л. X. Мак-Каллум. Теория твисторов: подход к квантованию полей и пространства-времени131

Предисловие131

0. Введение■131

Р. Пенроуз, М. Л. X. Мак-Каллум. Теория твисторов: подход к квантованию полей и пространства-времени131

Предисловие131

0. Введение■131

редварительные сведения135

висторы вплоском пространстве149

висторы вискривленном пространстве162

ычислениеамплитуд рассеяния175

альнейшиерезультаты200

Литература222

Р. Пенроуз. Нелинейные гравитоны и искривленная теория твисторов . . . 225

Введение225

Нелинейный гравитон226

Структура плоского твисторного пространства 231

Искривленное проективное твисторное пространство 234

Искривленное твисторное пространство 239

Явная конструкцияправоплоскихпространств246

Перспективы248

Литература249

М. Дж. Иствуд, Р. Пенроуз, Р. О. Уэллс. Теория когомологий и безмассовые поля250

Введение250

Твисторное соответствиеиотносительныйкомплекс де Рама . . 254

Спинорные пучки и прямые образы пучков261

Топология отображения ц275

Общее ^-преобразование280

Твисторное описание правосторонних полей 282

Волновое уравнение285

Левосторонние поля в терминах потенциалов287

Прямой подход к левосторонним полям292

Поля, взаимодействующие с фоном297

Дальнейшие замечания302

Литература306

Р. О. Уэллс. Решения-гиперфункции уравнений безмассового поля . . . . 309

Введение309

Формы с коэффициентами в классах вещественно аналитических функций и гиперфункций на гиперквадрике изотропных твисторов 317

Относительные когомологии, формы-гиперфункции и отображение обратного образа 323

Обобщенная спектральная последовательность Лере для относительных когомологий326

Обратные образы форм-гиперфункций при послойном интегрировании 333

Сравнение абстрактного обратного о(гным образом

при послойном интегрировании форм 340

Преобразование Пенроуза в классе гр 342

Представление Пенроуза безмассовых lix^ivrx-l ША^рфункций . . 347

Литература350

Литература, добавленная при переводе352

Список обозначений 354

Предметный указатель360

Уважаемый читатель!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

ТВИСТОРЫИ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

Ст. научный редактор Н. И. ПлужниковаМл. научный редактор Т. А. ДенисоваХудожник И. И. КалединХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Е. С. ПотапенковаКорректор В. И. Киселева

И Б № 2945

Сдано в набор 12,0 4.82. Подписано к печати 25.03*83. Формат бОхЭО’Ае- Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 11,50 бум л. Усл. печ л. 23,00. Усл. кр.-отт. 23,00. Уч.-изд. л. 21,65. 1/1840 Тираж 4 000 экз. Зак. 183. Цена 3 р. 50 к.

Издательство «МИР»129820, Москва, И-110, ГСП,1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств^ полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград. Л-52, Измайловский проспект, 29

Имеется в продажекнига издательства «Мир»

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: В 4-х томах. Т. 3. Теория рассеяния. Пер. с англ., 1982, 27 л., 2 р. 20 к.

Третий том известной монографии (т. 1—М.: Мир, 1977; т. 2— 1978; т. 4— 1982) посвящен теории рассеяния и ее приложениям в теоретической физике. В нем представлены новые результаты, полученные в последнее время, изложение богато иллюстрировано физическими примерами.

Для всех, кто занимается функциональным анализом и его применениями.

]) По-видимому, здесь с помощью базиса {X/} производится отождествление Мо с Тр(Мо). — Прим. ред.

ными — из образа Im d. — Прим, перев.

!) Определение твисторов см. в статье Уэллса «Комплексные многообразие и математическая физика» в этом сборнике. — Прим, перее.

жений в теории твисторов см. в [5].

точки в P,f и т. д. с их координатными представлениями.

[31]). Абстрактные индексы не являются числовыми и служат только как упорядочивающие метки, позволяющие записывать по существу не зависящие от си

* См. также [41], [15*6]. — Прим, перев.

ТВИСТОРЫ

поля

и калибровочные

СБОРНИК СТАТЕЙ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГОА. Г. Сергеева

ПОД РЕДАКЦИЕЙВ. В. Жаринова

МОСКВА «МИР» 1983

ББК 22.314 Т 26

УДК 513.6 + 530.1

Твисторы и калибровочные поля: Сб. статей. Пер. с англ.— М.: Мир, 1983.—368 с., ил.

Сборник статей по теории твисторов, имеющей важные приложения в комплексном анализе и теории поля. Обсуждается преобразование Радона — Пенроуза, лежащее в основе теории твисторов и открывающее новый подход к изучению уравнений классической и квантовой теории поля. Среди авторов — известные английские и американские математики Р. Пенроуз, Р. Уэллс и др.

Для математиков и физиков, аспирантов и студентов университетов.-

Редакция литературы по математическим наукам

ТТ1702050000—054041(01)—831702050000—054041(01)—839-83,4.19-83,4.1© «МИР», 1983© «МИР», 1983

Т

Т

1702050000—054

041(01)—83

1702050000—054

041(01)—83

9-83,4.1

9-83,4.1

© «МИР», 1983

© «МИР», 1983