Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
Редактор О. А. Пенина Оригинал-макет: Е. В. Третъяков Компьютерный набор: В. Я. Эпп
ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 15.05.02. Формат 60x90/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 36. Уч.-изд. л. 36,4. Тираж 400 экз. Заказ тип. №
ISBN 5-9221-0258-3ISBN 5-9221-0258-3© ФИЗМАТЛИТ, 2002© ФИЗМАТЛИТ, 2002Издательская фирма «Физико-математическая литература»
ISBN 5-9221-0258-3
ISBN 5-9221-0258-3
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0258-3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ...................................9
ГЛАВА 1
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Общие свойства релятивистского излучения ...............13
Электромагнитные поля произвольно движущегося релятивистско
го заряда ...................................13
О ковариантном определении излучения ...............17
Волновая зона излучения .......................23
Мощность излучения как инвариантная величина и интеграл дви
жения26
Угловое распределение мгновенной мощности излучения . . . . .30
Линейная поляризация и угловое распределение излучения . . . .36
Классическая теория синхротронного излучения .............41
Излучение электрона в однородном магнитном поле ........41
Спектрально-угловые характеристики излучения ..........44
Формула Шотта .............................50
Спектральный состав синхротронного излучения. ..........52
Нерелятивистское приближение. ...................54
Излучение с продольной составляющей скорости электрона. . . . .55
Излучение ультрарелятивистских электронов . ..............58
Ультрарелятивистское излучение как синхротронное излучение . .58
Угловое распределение и линейная поляризация излучения . . . . .59
Спектральный состав и круговая поляризация излучения ......60
Некоторые особенности низкочастотного излучения при /3^1 . .66
Кинематический метод в теории ультрарелятивистского излучения. 68
Пределы применимости классической теории излучения. ......71
Вопросы когерентности синхротронного излучения ...........75
ГЛАВА 2
СПИНОВЫЕ СВОЙСТВА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
Кинематика спина в классической и квантовой теории . .........81
Основные предпосылки классической теории спина. ........81
Пуанкаре-инвариантная квантовая теория спина. ..........85
Оператор координат центра инерции .................88
Физическая интерпретация спиновых операторов ............90
Классические спиновые уравнения движения . ..............96
Квазиклассическая теория спина ......................99
Релятивистская квантовая теория спина ..................104
Проблема интерференции зарядово-сопряженных состояний в тео
рии Дирака .................................104
Построение проекционных и четных операторов. ..........106
Гейзенберговские уравнения движения четных операторов . . . . .108
Об эффективной массе частицы со спином. .............112
Zitterbewegung, максимальное ускорение и спин .............113
Соотношение неопределенностей Гейзенберга и максимальное ускорение113
Уравнение движения с максимальным ускорением .........114
Zitterbewegung и спин. .........................120
Классические уравнения Френкеля-Корбена ...............120
Феноменологический вывод уравнений движения. .........121
Лагранжева формулировка классической теории спина. .......123
Формализм тензора плотности энергии-импульса. ..........125
Проблема неколлинеарности импульса и скорости частицы со спином .127
Полный угловой момент и спин. ...................127
Неколлинеарность импульса и скорости в теории Френкеля . . . .128
Импульс и спин в формализме Широкова. ..............130
Прецессия Томаса как кинематический спин-орбитальный эффект . . .131
Некоторые точные решения спиновых уравнений движения . ......133
Магнитный волчок. ..........................134
Электрон в постоянном и однородном магнитном поле. ......140
Спин-резонансные решения. .....................143
Классическая интерпретация спин-флип переходов ...........147
Спиновые инварианты и спиновые интегралы движения ........151
ГЛАВА 3
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Скалярные частицы в магнитном поле, уравнение Клейна-Гордона . .156
Электрон в магнитном поле. Уравнение Дирака .............159
Решение уравнения Дирака для электрона с определенным состоянием
поляризации спина .............................163
Продольно-поляризованный электрон. ................163
Вектор-оператор поперечной поляризации. . .............164
Тензор-оператор поперечной поляризации. ..............165
Оператор проекции спина на радиус орбиты электрона. . ......166
Матричные элементы матриц Дирака и оператора импульса. Некоторые
свойства функций Лагерра .........................167
Качественные оценки характера проявления квантовых эффектов в синхротронном излучении ...........................172
Квантовые эффекты в излучении нерелятивистского электрона . . . . .174
Математические особенности задачи об излучении ультрарелятивист- ских частиц .................................176
Вычисление угловых интегралов .....................177
Вычисление интегралов по спектру. Функции £弘 и Рд, их свойства . .180
Излучение электрона с продольно поляризованным спином ......186
Излучение поперечно-поляризованного электрона ...........196
Излучение бесспиновой частицы в магнитном поле ...........200
Особенности излучения электрона с ориентированным спином в магнитном поле .................................201
Радиационная самополяризация электронов ...............206
Излучение нейтральных частиц, обладающих магнитным и электрическим моментами, при движении в постоянных и однородных электромагнитных полях ..............................208
ГЛАВА 4
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ СПИНОВОГО МАГНИТНОГОМОМЕНТА (СПИНОВЫЙ СВЕТ)
Введение ...................................213
Классическая теория д-излучения .....................215
Уравнения поля. ............................215
Потенциалы и поля релятивистского магнетона. ...........216
Волновая зона и поле излучения. ...................220
Излучение релятивистского магнетона в однородных полях . ......221
Мощность излучения. .........................221
Угловое распределение и частота излучения. .............227
Линейная и круговая поляризация излучения. ............230
Ультрарелятивистский случай. ....................235
Спектральный состав излучения. ...................236
Релятивистская полу классическая теория синхротронного излучения .240
Эффекты отдачи и смешанное ед-излучение ...............244
Смешанное едЬ- и едТ/г-излучение релятивистского электрона . . . .249
Структура квантовых поправок к мощности синхротронного излучения 254
Является ли прецессия Томаса источником релятивистского излучения? 261
Излучение «истинного» магнитного момента ...............263
Переход к излучению аномального магнитного момента. ......263
Полуклассический метод в предельном случае а ^> 1. .......265
Принцип соответствия. ........................266
Время радиационной самополяризации. ...............267
ГЛАВА 5
ОНДУЛЯТОРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Общая теория ондуляторного излучения .................269
Решения уравнений движения. ....................269
Общие свойства излучения. ......................273
Приближение бесконечного ондулятора. ...............282
Дипольное излучение. .........................283
Излучение вигглера. ..........................289
Параксиальное приближение. .....................295
Полуклассическое описание излучения вигглера. ..........298
Излучение ондулятора с синусоидальным магнитным полем ......306
Осциллятор с кратными частотами. ..................306
Ондулятор с гармонически изменяющимся магнитным полем. . . .311
Излучение вигглера. ..........................315
Излучение гармонического осциллятора .................322
Четырехмерный осциллятор. .....................322
Поперечный осциллятор. .......................327
Продольный осциллятор. ....................... 329
Спиральный ондулятор. ........................ 332
ГЛАВА 6
ИЗЛУЧЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМАХ
Введение ...................................337
Излучение электрона, движущегося по дуге окружности ........337
Общие формулы. ............................ 338
Угловое распределение излучения. .................. 340
Генерация низкочастотного излучения. ................343
Высокочастотная асимптотика спектра излучения. .........346
Излучение нерелятивистского электрона. ..............347
Излучение при целом числе оборотов. ................348
Представление в терминах двумерных интегралов. .........349
Численный анализ спектрального распределения. ..........354
Излучение электронов в «коротком» магните ..............354
Обратная задача теории излучения ....................365
ГЛАВА 7
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ И РОЖДЕНИЕЭЛЕКТРОН^ПОЗИТРОННЫХ ПАР В КРИСТАЛЛАХ
Введение ...................................372
Излучение релятивистских электронов в кристаллах . ..........375
Принципы моделирования характеристик излучения релятивистских
электронов в тонких кристаллах ......................376
Спектральные и поляризационные свойства излучения для характерных траекторий ..................................378
Усреднение по траекториям и сравнение с экспериментальными данными ......................................381
Зависимость спектров излучения при каналировании от температу
ры кристалла. ................................ 384
Перспективы исследований излучения при каналировании . . . . .385
Когерентное рождение е+е^-пар в кристаллах ..............388
Коллимация рожденных е+е^-пар и яркость когерентных максимумов 388
Влияние эффекта каналирования е+ е一 -пар на поведение сечения фото
рождения вблизи когерентных максимумов ................392
Когерентное фоторождение релятивистских синглетных атомов позитрония в кристалле .............................395
Фоторождение Ps на атоме. ......................395
Фоторождение Ps в кристалле. ....................398
Сечение фоторождения Ps в кристалле в зависимости от энергии
фотонов. ...................................400
Угловое распределение Ps вблизи когерентных максимумов . . . .401
Когерентное электророждение релятивистских синглетных атомов Ps в кристалле .................................402
Развал рожденных атомов Ps в кристалле и эффективная толщина генерации403
Двухфотонный распад на лету и монохроматизация энергетического
спектра релятивистских синглетных Ps ..................404
Рождение е+е^-пары релятивистским ядром в кристалле с захватом
на К™оболочку ядра ...........................406
Сечение образования е+е^-пары фотоном с захватом электрона
на К-оболочку ядра .............................407
Когерентное образование е+е一 пары в кристалле релятивистским ядром.....................................408
Заключение .................................412
ГЛАВА 8
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ПРОЦЕССЫ ВСИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Введение ...................................414
Квантовая теория синхротронного излучения излучения в квазикласси-
ческом приближении ............................418
Квантовые эффекты в мощности синхротронного излучения . . . .418
Макроскопические квантовые флуктуации траектории электрона .421
Радиационная самополяризация электронов и позитронов . . . . .424
Синхротронное излучение в ультраквантовом случае ........426
Синхротронное излучение в сверхсильном магнитном поле .......432
Радиационные переходы релятивистских электронов на низколежа- щие уровни. .................................432
Переходы на высоко л ежащие уровни. . ................436
Полная мощность излучения. Вклад переходов на низколежащие
уровни ....................................439
Излучение слабовозбужденных электронов в магнитном поле. . . .443
Однофотонные процессы рождения и аннигиляции электрон-позитрон-
ных пар ...................................447
Фоторождение е^е+-пары .......................447
Однофотонная аннигиляция е^е+-пары ...............449
Динамическая природа аномального магнитного момента электрона в магнитных полях ..............................452
Слабое поле. ..............................457
Сверхсильное поле. ...........................459
Заключение. Развитие теории квантовых процессов в сильных внешних полях .....................................460
ГЛАВА 9
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В КОСМИЧЕСКИХ
МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Введение ...................................463
Спектры синхротронного излучения от внеземных источников . . . . .464
Синхротронное излучение системы электронов: спектры и их эволюция 468
Эволюция функции распределения системы электронов во внеш
нем магнитном поле. ............................468
Излучение системы электронов во внешнем магнитном поле. . . .471
Асимптотика распределения электронов при t оо ........472
Аккреция замагниченного газа на черную дыру .............473
Сферически симметричная аккреция. ................474
Аккреция в упорядоченном магнитном поле. ............478
Синхротронное излучение в радиогалактиках, квазарах и внегалактиче
ских джетах .................................483
Самопоглощение синхротронного излучения и оценка размера ис
точника483
Синхротронное излучение во внегалактических джетах ......487
Замагниченные нейтронные звезды; радио- и рентгеновские пульсары .496
Радиопульсары; когерентное синхротронное излучение. ......497
Аккреция на нейтронные звезды; сильные рентгеновские источни
ки.503
Излучение ультрарелятивистских электронов при сильной анизотропии
скоростей: магнито-дипольный режим ..................512
Синхротронное излучение от сверхновых и остатков сверхновых . . . .516
Радиоизлучение сверхновых. .....................520
Радиоизлучение от остатков сверхновых. ..............526
Космические лучи и синхротронное излучение ..............532
ПРИЛОЖЕНИЕ
П. 1. Интегралы, связанные с усреднением по времени ............535
П.2. Интегрирование углового распределения .................540
П.З. Интегрирование в ультрарелятивистском случае .............543
П.4. Интегрирование в ультрарелятивистском случае .............545
П.5. Суммирование по спектру .........................546
Список литературы ................................547
Предисловие
Теория излучения релятивистских частиц представляет собой крупный раздел современной классической и квантовой электродинамики с многочисленными применениями в области физики элементарных частиц, ядер™ ной физики, физики твердого тела и физики космического радиоизлуче™ ния. В настоящее время, коща техника ускорителей позволяет разгонять электроны до скоростей, почти равных скорости света, наибольший интерес представляет ультрарелятивистское излучение, которое по своим свойствам совпадает с синхротронным излучением. Теория синхротронного излучения была разработана целой плеядой выдающихся российских ученых (Д.Д. Иваненко, И.Я. Померанчук, Л.А. Арцимович, В.В. Владимирский, А.А. Соколов, Н.П. Клепиков, И.М. Тернов, В.Г. Багров и др.).
Синхротронное излучение является примером всесторонне изученного физического явления в том смысле, что до сих пор теория и эксперимент находятся в прекрасном согласии друг с другом. Уникальные свойства синхротронного излучения (непрерывный спектр, про стирающийся вплоть до гамма-излучения, большая интенсивность и высокая степень поляризации), а также возможность точного теоретического описания привели к широким теоретическим и техническим приложениям синхротронного излучения. Это излучение открывает все новые перспективы исследований в экспериментах с поляризованными пучками в физике частиц высоких энергий, в спектроскопии твердого тела (фотоэлектронная спектроскопия, кристаллография, рентгеновская люминисценция и т.д.), в химии (наблюдение развития реакций), в биологии (исследования структуры молекул ДНК), в медицине (ангиография, фильтрация крови), в геологии (элементный анализ), в экологии (анализ атмосферных аэрозолей, почвы и воды) и в создании новых прогрессивных технологий (микроэлектроники, микромеханики, конструировании новых композитных материалов) и т.д.
Методы, разработанные в процессе развития теории синхротронного излучения, позволяют исследовать поведение и свойства материи в экстремальных условиях (сверхсильные магнитные поля и сверхвысокие энергии), которые имеют большое значение для многих астрофизических приложений. Синхротронный и синхро-комптоновский механизмы генерации электромагнитного излучения с успехом используются для интерпретации излучения космических объектов в рентгеновской и гамма-астрономии.
В настоящее время исследования излучения релятивистских частиц все более смещаются в область инженерных и технических приложений, в ко-
торых уже накоплен большой опыт. К сожалению, чисто теоретические исследования релятивистского излучения остались несколько в стороне. Однако следует иметь в виду, что теория релятивистского излучения объединяет классическую, квазиклассическую и квантовую электродинамику и может служить прекрасной основой для установления связи между старыми и новыми физическими теориями. Энергия электронов (десятки ГэВ), соответствующая излучению отличается тем, что здесь все более начинают проявляться индивидуальные свойства электронов, что особенно важно для изучения фундаментальных свойств элементарных частиц (спин, масса, собственный магнитный момент)*
Эта книга написана как с целью систематизации хорошо известных результатов теории синхротронного излучения, так и для восполнения имеющихся пробелов в научной литературе по новейшему развитию этой теории. Первая книга по синхротронному излучению, сборник статей под редакцией А.А. Соколова и И.М. Тернова [1], появилась у нас более тридцати лет назад и стала уже библиографической редкостью. Она содержала основы классической и квантовой теории синхротронного излучения, разработанные учеными физического факультета Московского госуниверситета, Томского политехнического института и Томского госуниверситета. Позднее основные результаты этих исследований были опубликованы также в хорошо известных монографиях А.А. Соколова, И.М. Тернова иВ.В. Михайлина
Авторы настоящей книги в большинстве своем принадлежат к научной школе теоретической физики А.А. Соколова и И.М. Тернова. Все, кому довелось общаться и работать под руководством этих замечательных, необыкновенно щедрых талантом и душой ученых, с благодарностью вспоминают те славные годы. Хотелось бы верить, что вошедшие в эту книгу новые многочисленные публикации по теории излучения релятивистских частиц с упоминанием имён А.А. Соколова и И.М. Тернова станут лучшей памятью нашим учителям, основоположникам теории синхротронного излучения —— нового света в физике, созданного руками человека.
Предлагаемая вниманию читателей книга по сравнению с аналогичным английским изданием [5], претерпела ряд существенных изменений. Сильно изменился состав авторов, появилось много новых разделов, остальные значительно переработаны, добавлена еще одна глава. Работа над этим изданием стимулировала новые исследования по теории синхротронного излучения и физических процессов, протекающих в электромагнитных полях, включая вещество. Некоторые из результатов этих исследований публикуются здесь впервые.
Первая глава данной книги посвящена систематическому изложению классической теории релятивистского излучения (В.Г. Багров, В.А. Бор- довицын). Здесь рассматриваются не только практические вопросы, связанные с синхротронным излучением, но и ряд принципиальных вопросов теории релятивистского излучения, таких как ковариантное определение излучения, проблема волновой зоны, низкочастотное синхротронное излучение И Т.д.
Во второй главе рассматриваются спиновые свойства релятивистских частиц (В.А. Бордовицын). Как известно, классическая и квантовая теории спина долгое время развивались независимо друг от друга и только спустя много лет после появления гипотезы о спине выяснилось, что классическая теория спина Я.И. Френкеля и квантовая теория П.А.М. Дирака в квази™ классическом пределе совпадают друг с другом.
Третья глава, в которой изложена квантовая теория синхротронного из™ лучения, написана В.Г. Багровым, принимавшим самое активное участие в разработке этой теории и многих других вопросов, связанных с излучением релятивистских частиц. Заметим, что здесь наряду с хорошо известными результатами можно найти дополнительную интересную информацию, ко™ торая по тем или иным причинам не была включена в предыдущие издания.
В четвертой главе представлены последние результаты по релятивист™ скому излучению собственного магнитного момента электрона (спиновый свет), а также смешанному ед-излучению (В.А. Бордовицын). Следует заме™ тить, что смешанное ед-излучение впервые наблюдалось на основе эффекта радиационной самополяризации Соколова-Тернова в Новосибирске груп™ пой Г.Н. Кулипанова. Тем самым было показано, что как спиновые свойства релятивистского электрона, так и излучение его собственного магнитного момента играют существенную роль в теории и экспериментах по синхро тронному излучению.
В последние годы были построены новые источники излучения реля™ тивистских электронов, а именно, ондуляторы и вигглеры. Они представ™ ляют собой магнитные приборы со знакопеременным магнитным полем, вмонтированные в прямолинейные промежутки электронного накопитель™ ного кольца. Эти приборы дают излучение, которое, по образному выраже™ нию И.М. Тернова, «генетически связано» с синхротронным излучением, отличаясь от него большей яркостью, обусловленной увеличением числа участков траектории, с которых генерируется излучение в заданном направлении, а также интерференционным усилением волн на определенных частотах при периодическом движении электрона. Это излучение детально обсуждается В.Я. Эппом в пятой главе.
В следующей главе рассматривается проблема зависимости релятивист™ ского излучения от длины пути электрона в однородном магнитном поле (В.Г. Багров и В.Я. Эпп). Оказалось, что излучение, возникающее в од™ нородном магнитном поле и его свойства, в частности, спектральный со став, существенно зависят от длины дуги окружности, по которой движется электрон. Идеальный спектр синхротронного излучения получается только после большого числа оборотов в однородном магнитном поле.
В седьмой главе (Ю.Л. Пивоваров) рассматриваются жестское гамма-из™ лучение релятивистских частиц в кристаллах в условиях каналирования, метод моделирования спектральных и поляризационных характеристик это™ го излучения, а также процессы когерентного рождения электрон-позитрон™ ных пар и релятивистских атомов позитрония фотонами и заряженными частицами высоких энергий в кристаллах.
Отдельная глава посвящена излучению электронов в экстремальных
условиях сверхсильных магнитных полей (О.Ф. Дорофеев, В.Ч. Жуковский, А.В. Борисов). Интерес к проблеме синхротронного излучения в сверхсиль™ ных полях обусловлен исследованиями процессов, происходящих вблизи поверхности пульсаров, где величина магнитного поля может достигать значений порядка швингеровского магнитного поля (4,41 • 1013 Э). В на™ стоящее время нет сомнений в том, что синхротронное излучение активно «работает» и в космосе.
Последняя глава книги затрагивает широкую область приложений тео™ рии синхротронного излучения в астрофизике (Г.С. Бисноватый-Коган).
Авторский коллектив данной книги состоит из сложившихся ученых, которые внесли заметный вклад в развитие теории синхротронного и ре™ лятивитского излучения. В связи с этим одной из задач редактора, кроме обсуждения содержания и структуры книги, было сохранение оригинально™ го стиля авторов. Я прошу прощения у читателя за то, что по этой причине в книге отсутствует единая система обозначений.
Надеюсь, что наша книга будет полезна всем, кто интересуется синхро™ тронным излучением ——одним из самых замечательных открытий физики 20™го века.
Пользуясь случаем, хочу поблагодарить В.Я. Эппа, А.Н. Мягкого и В.Г. Буленка за кропотливую и трудоемкую работу над оригинал-макетом этой книги, а также Г.К. Разину за подготовку весьма полезного в практи™ ческой работе приложения.
В.А. Бордовицын
ГЛАВА 1
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Общие свойства релятивистского излучения
Электромагнитные поля произвольно движущегося релятивистского заряда. Поле произвольно движущегося точечного заряда вы™ числяется на основе потенциалов Лиенара-Вихерта. Обычно эти потенци™ алы получаются либо простым ковариантным обобщением кулоновского потенциала [1], либо последовательным интегрированием запаздывающих потенциалов [1Т] Менее известен вывод потенциалов Лиенара-Вихерта на основе преобразований Лоренца [5]. Здесь мы рассмотрим этот метод более подробно.
Для описания электромагнитного поля движущегося точечного заряда введем систему координат, показанную на рис. 1.1. Согласно этому рисунку
Рис. 1.1. Система координат «заряд-наблюдатель»: О ——начало координат, С —— положение заряда в момент излучения t = F, D ——точка фиксации излучения в момент времени t
положение заряда определяется радиус-вектором『（力）"который связан с радиус-вектором наблюдателя R соотношением
"⑴=R-T⑴，
или в четырехмерной форме:
m⑴=JT 一浊⑴，
где светоподобный вектор 泞'(力)имеет следующие компоненты:
沖⑴=化(彳一方)，R -"⑴)=W),W)), ^⑴沖⑴=0.(1Л)
Преобразования Лоренца из системы покоя заряда (штрихованная си= стема) в лабораторную систему для вектора 泞'«) имеют вид
2
где 0 = u/c, u ——скорость заряда, с ——скорость света, 7 = 1/，1 — 02, 丁 —— собственное время заряда. Вектор п(力)=r/r° согласно (1.2) преобразуется по правилу
…(1.3)
где в правой части все величины берутся в момент времени t.
Формулы (1.2) и (1.3) вместе с преобразованиями Лоренца для полей полностью решают поставленную задачу. Действительно, в системе покоя отличным от нуля является только скалярный кулоновский потенциал д'= =е/F(г). Следовательно,
Это и есть потенциалы Лиенара-Вихерта [6, 7].
Выражения для полей произвольно движущегося заряда в системе покоя имеют вид
目⑺=二+&吗" b⑺=一導" (L5)
Здесь члены, содержащие ускорение частицы а[ соответствуют диполь™ ному излучению заряда (см. [1], § 67). В лабораторной системе будем иметь поля
2
Е© =)(Е — [0Н〔)—ЗЕ),
可(16)
Н(£)=)卄十[0Е〔)-乙仪ДГ)"
Принимая во внимание уравнения (1.2) и (1.3), а также то, что
■2■
а' = 72 а+ -^тД(Да)，
口旭=二^ {[(口 -切а] - ^夕创口旬)卜
после несложных, но довольно громоздких вычислений получим
⑴卩一(n/3)]3 十 卢卩 _ 80)]，丨],(1*8)
что совпадает с хорошо известными выражениями для напряженностей полей произвольно движущегося заряда [1].
В заключение заметим, что данный метод позволяет получить поля и для более сложных точечных источников электромагнитного излучения, например, поля собственного магнитного момента релятивистской частицы (см. гл. 4).
Потенциалы Лиенара-Вихерта образуют четырехмерный вектор
4从=4从=rpvPrpvP(L9)(L9)
4从=
4从=
rpvP
rpvP
(L9)
(L9)
где Vм = dr11 /dr =)(с,/3) —четырехмерная скорость,
rpvp = —“ [1 — (n/3)]r(f).
Напряженности полей (1.8) объединяются в тензор электромагнитного поля, который с учетом запаздывания излучения4 можно определить еле™ дующим образом:
Н^ = D^^ Dv^, (1Л0)
где Лм = (д, А)——потенциалы (1.9), обобщенная производная D開 вычио ляется в точке наблюдения с радиус-вектором R仙 и учитывает запаздывание излучения от движущегося заряда:
少少(1Л1)(1Л1)
少
少
(1Л1)
(1Л1)
Первый член в правой части (1.11) вычисляется в фиксированный мо мент времени 力，который отвечает траекторному времени t из соотноше™ ний (1.1), т.е.
=沙"t=const=沙"t=const
=沙"
t=const
=沙"
t=const
Второй член в определении (1.11) обеспечивает синхронность запаздыва™ ния излучения от движущегося заряда (см. также [14, 15]).
Чтобы найти дт/dR^, вычислим производную:
D^7prp = 0.
Отсюда следует, чтоОтсюда следует, чтои, стало быть,и, стало быть,дt _沖OR单rpvP〜〜rpvp атдt _沖OR单rpvP〜〜rpvp ат(L12)(L12)
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что
и, стало быть,
и, стало быть,
дt _沖
OR单rpvP
〜〜
rpvp ат
дt _沖
OR单rpvP
〜〜
rpvp ат
(L12)
(L12)
Можно показать, что в терминах производной D^ условие Лоренца для потенциалов Лиенара-Вихерта принимает вид
=0.=0.(L13)(L13)
=0.
=0.
(L13)
(L13)
Подстановка потенциалов (1.9) в тензор электромагнитного поля (1.10) дает
(1Л4)
где wM ——четырехмерный вектор ускорения заряда
wM = dv^/dr = 72(72(Да), а + 72/3(/3a)), vMwM = 0, а квадратные скобки означают антисимметричную комбинацию
В используемой нами метрике компоненты напряженностей полей о6= разуют матрицу
оо=(—Е,Н)*=(—Е,Н)*
о
о
=(—Е,Н)*
=(—Е,Н)*
Отсюда согласно (1.14) получаются формулы (1.8). Можно показать, что тензор Н^ удовлетворяет уравнениям Максвелла для чистого (без зарядов и токов) электромагнитного поля:
DpH^ + 力"RW + D^Hup = 0, D^H^ = 0.(1.15)
Тензор Н仙"распадается на две принципиально разные части:
(L16)(L16)Н^ =豆 + >w,
(L16)
(L16)
е n^'v^ 行仙〃 е Г n^'w^a n^v^
r2 (npvP)s 7r I (npvP)2 ‘几^ (npVP)'
где пд = (1, п). На больших расстояниях от заряда преобладают связан™ ные с ускорением компоненты IF'J Они удовлетворяют всем свойствам плоских электромагнитных волн:
1 = [пЕ], (пЕ) = (п1) = (ЕН) = 0. (L17)
На более близких расстояниях становятся существенными компоненты ЦМ", которые не зависят от ускорения. Для этих компонент одно из уело™ вий (1.17) не выполняется, а именно, (пЕ) 护 0. Можно показать,что как
,так и Н^ порознь удовлетворяют первой паре уравнений Максвелла, тогда как вторая пара уравнений Максвелла выполняется только для суммы этих полей. Обычно поле Н仙"сопоставляется полю излучения заряда, а поле 11仙"относится к так называемому конвективному полю или полю, связанному с зарядом (см. ниже).
О ковариантном определении излучения. Проблема определения электромагнитного излучения имеет долгую историю. Более подроб™ ное обсуждение можно найти в литературе [11-17]. Здесь мы рассмотрим ковариантное определение мощности мгновенного излучения, которое удо™ влетворяет нашим дальнейшим задачам.
В теории поля импульс и плотность силы связаны между собой соотно шением
f
p 从=-尸г丫,(1.18)
c J
где d丫 = cdtdV — элемент объема четырехмерного пространства.
В свою очередь, плотность силы 尸仙 выражается через тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля [1]
+ : /出&月Н昭)(1.19)
следующим образом:
尹'=
В записи по компонентам
/.1 \
W :-S
р” =.... • •• • •.(1.20)
гдегде1
где
где
Е2 + Н2
——плотность энергии,
47r
——вектор Пойнтинга и
Bi = - ^ EiEj + H%Hj -京叮(炉 + H“
——максвелловский тензор напряжений.
Импульс электромагнитного поля частицы Рм = (丄以 Р)определя™ ется выражением
〜1 f
Р 仙=—ОР 仙"d(7""(1.21)
с J
Для импульса излучения тензор Р仙"берется в волновой зоне (см* ниже), а интегрирование осуществляется по замкнутой гиперповерхности поверх™ ности с элементом dau (см. рис. 1.2)
Рис. 1.2. Мировая линия и световой конус излучающего заряда. Излучаемая за время dt энергия проходит через цилиндрическую времениподобную полоскуРис. 1.2. Мировая линия и световой конус излучающего заряда. Излучаемая за время dt энергия проходит через цилиндрическую времениподобную полоску
Рис. 1.2. Мировая линия и световой конус излучающего заряда. Излучаемая за время dt энергия проходит через цилиндрическую времениподобную полоску
Рис. 1.2. Мировая линия и световой конус излучающего заряда. Излучаемая за время dt энергия проходит через цилиндрическую времениподобную полоску
Так как в системе покоя частицы мировая линия переходит в прямую, параллельную оси времени, то do” является пространственноподобным четырехмерным вектором, удовлетворяющим условию
v^da^ = 0.
Отсюда следует, что
(t22)(t22)d。仙=e^cdrT^dn,
(t22)
(t22)
где сШ — элемент телесного угла, причем
f2dO = inv
является лоренц-инвариантной величиной, ем ——единичный про стран™ ственноподобный четырехмерный вектор
— 勿田=0,= 1.(1*23)
В системе покоя ем принимает вид 6G = (0, п0).
Четырехмерный вектор ем связан с компонентами пм соотношением
7优=^npvp(仙 +(L24)
Определение (1.21) с учетом (1.22) принимает вид
г
—=声 0mpiL(L25)
ат J
Согласно (1.16) тензор плотности энергии-импульса Р仙"в общем слу= чае представляет собой сумму трех принципиально разных тензоров:
p从"=A仙"+ A仙"十 仅匕(126)
Так как поле 班‘"спадает с14-лхарактеризуется спаданиемудалением от заряда как 1/г2, то тензор：(豆М豆J +豆冲豆0s)(127)〜1/г4, и согласно (1.16) имеет видТак как поле 班‘"спадает с14-лхарактеризуется спаданиемудалением от заряда как 1/г2, то тензор：(豆М豆J +豆冲豆0s)(127)〜1/г4, и согласно (1.16) имеет видПервый из них в соответствии с (1.19) составлен на основе тензора Н^ш.Первый из них в соответствии с (1.19) составлен на основе тензора Н^ш.47r产1(普,因0尸(29ПруРВо второй тензорвходят смешанные произведения полей Н^ и IF'",{npVpy } •2)1^На^(1.29)вследствие чего с уда™47r产1(普,因0尸(29ПруРВо второй тензорвходят смешанные произведения полей Н^ и IF'",{npVpy } •2)1^На^(1.29)вследствие чего с уда™
Так как поле 班‘"спадает с
1
4-л
характеризуется спаданием
удалением от заряда как 1/г2, то тензор
：(豆М豆J +豆冲豆0s)(127)
〜1/г4, и согласно (1.16) имеет вид
Так как поле 班‘"спадает с
1
4-л
характеризуется спаданием
удалением от заряда как 1/г2, то тензор
：(豆М豆J +豆冲豆0s)(127)
〜1/г4, и согласно (1.16) имеет вид
Первый из них в соответствии с (1.19) составлен на основе тензора Н^ш.
Первый из них в соответствии с (1.19) составлен на основе тензора Н^ш.
47r产1(普,因0尸(29ПруР
Во второй тензор
входят смешанные произведения полей Н^ и IF'",
{npVpy } •2)
1^На^(1.29)
вследствие чего с уда™
47r产1(普,因0尸(29ПруР
Во второй тензор
входят смешанные произведения полей Н^ и IF'",
{npVpy } •2)
1^На^(1.29)
вследствие чего с уда™
лением от заряда он убывает как 1/г3. Можно показать, что На^На^ = 0, и тогда согласно (1.16) получим
1 с»4-тг 亍3(普№。)31 с»4-тг 亍3(普№。)3仍〃 +普,"npVP(普产0"+ n^V^)nxWX(npvP)2仍〃 +普,"npVP(普产0"+ n^V^)nxWX(npvP)22 2 nF" nw 入 (npv^)32 2 nF" nw 入 (npv^)3(L30)(L30)
1 с»
4-тг 亍3(普№。)3
1 с»
4-тг 亍3(普№。)3
仍〃 +普,"
npVP
(普产0"+ n^V^)nxWX
(npvP)2
仍〃 +普,"
npVP
(普产0"+ n^V^)nxWX
(npvP)2
2 2 nF" nw 入 (npv^)3
2 2 nF" nw 入 (npv^)3
(L30)
(L30)
Точно также на основе тензора Н^ имеем
力"=方а/百а] *(131)
Этот тензор соответствует плосковолновым полям (1.17) и спадает как 1/г2.
(L32)(L32)Аналогичным образом в соответствии с (1.16) будем иметь
(L32)
(L32)
4-ТГ r2{npVp)2 [(普,战。)2(npVP)4 J *
Общее выражение (1.26) имеет вид
4-ТГ 丁普У 『2(普,0富0尸
с2 z、 с4 Г1/ г 入、nMvp + nuv^ 1 1
『Xу с2 у Прур J J
(L33)
Обратим внимание на то, что в терминах напряженностей полей структур™ ный состав тензоров Р仙"и Р仙"сильно отличается от структуры тензора 戸仙"(ср. (127) и (131) с (1.29)). Тем не менее, можно показать, что компо™ ненты полного тензора Р仙"образуют стандартную структуру, идентичную (1.20), с напряженностями
Е = Е + Е, Н = Н + Й
и в соответствии с (1.16)
中=£ п —/3 百=е [п/3]
-尹 У2口 一(口0)]3) 一 尹 72[1 一(*]3,
前=§ [n[(n — 0间百=£ [n[n[(n /3)а]]
—^d[]_ (п/3)]з,— ^ 卢卩 _ ⑴⑺戸 *
Согласно (1.25) и (1.26) можно найти изменение импульса электромагнит™
ного поля заряда в зависимости от расстояния г:
化—е2 Г ( Г wawa — с2s尸)2]冗必 + dr 4тгс % I (npvp)'3 (npvp)5
nawav^(?nawan^(72°鶴。)4(fl。鶴。)5nawav^(?nawan^(72°鶴。)4(fl。鶴。)5c2npc2np(L35)(L35)
nawav^(?nawan^
(72°鶴。)4(fl。鶴。)5
nawav^(?nawan^
(72°鶴。)4(fl。鶴。)5
c2np
c2np
(L35)
(L35)
В этом выражении первый член, стоящий в квадратных скобках, не зависит от расстояния г. Очевидно, что при f ^ оо именно он соответствует полю излучения электромагнитных волн, поскольку остальные члены, пропорциональные 1/г и 1 /戶 в этом случае исчезают. Эти члены соответствуют полю, связанному с зарядом.
Выражение (1.35) упрощается при интегрировании в системе покоя частицы. В этом случае
(L36)(L36)
(L36)
(L36)
Здесь dQ()——телесный угол в системе покоя, £ ——инвариантный параметр, который можно интерпретировать как радиус сферической волны в системе покоя частицы:
€ = fpep = (noFo) = inv.
Приведем также ряд других полезных соотношений:
(L37)(L37)fM = ^ fем + — j ,'九д产=—с* fMwM = ^eMwM,
(L37)
(L37)
产dQ = idQo = inv.
Используя данное соотношения, вместо (1.35) получим
—(wpep)2]— + 匕(篁卅一epwpep) j dQ> (1.38)
Дальнейшее интегрирование по углам о суще ствляется элементарно:
小=1,= 0, 」=丄(厂 + 事产产
4тг J4тг J3 \ 标
Заметим, что в формуле (1.38) отсутствуют члены с изотропным излучением, дающие после интегрирования по rfO0 нулевой вклад в dP^/dr.
dP^ _ 2 屡 /dP^ _ 2 屡 /Окончательно после интегрирования получим
dP^ _ 2 屡 /
dP^ _ 2 屡 /
wpwpv^ + 土 篁产).(1.39)
Первый член в правой части этого выражения не зависит от расстояния и именно поэтому он соответствует излучению уходящих на бесконечность электромагнитных волн. Второй член становится существенным только в непосредственной близости от заряда. Соответствующее ему изменение импульса dP"/dT обусловлено конвективным полем заряда (тензор Н^),
Заметим, что с применением формулы (1.39) после небольших преобразований можно получить действующую на заряд силу радиационного трения. При этом следует иметь ввиду, что для частицы потери энергии- импульса в виде излучения имеют отрицательный знак, т.е.
=自H叩底一^；.(1.40)
Влияние излучения наиболее существенно при малых ^. Соответствующее изменение ускорения представим в виде
直产(丁 + △丁) = wM(r) + ——аT,
ат
где △丁 = —е/с Тогда при £ т 0 придем к уравнению Лоренца—Абрагама:
严=々勿 + - —(w м +『а w 勺卅)，(1.41)
где
е2
т = то^(1.42)
является известным выражением массы покоя частицы с поправкой на электромагнитную массу заряда.
Полагая в (1.39)从=0, найдем мощность электромагнитного импульса движущегося заряда
22「2■
^ = -^ wpwp + ^?3(/За)
Отсюда следует интегральный критерий образования волновой зоны:
R》R》а； + У2%а； + У2%(L43)(L43)
R》
R》
а； + У2%
а； + У2%
(L43)
(L43)
где Я = 7^ ——радиус сферической волны в лабораторной системе коорди
нат,нат,аНаН(/За)Р(/За)Р[/За] _ с2/32[/За] _ с2/32
нат,
нат,
аН
аН
(/За)
Р
(/За)
Р
[/За] _ с2/32
[/За] _ с2/32
——продольное и поперечное ускорение частицы, р ——радиус кривизны траектории.
В особом случае, когда скорость и ускорение частицы параллельны, т.е. ац = а и а丄=0 (это так называемое гиперболическое движение), имеем
аа(L44)
а
а
Заметим, что проблема излучения и наличия волновой зоны у гиперболически ускоренного заряда, начиная с М. Борна [20] и В. Паули [21], многократно обсуждались в литературе [22—26] Ниже мы еще вернемся к этой проблеме.
1.1.3. Волновая зона излучения. Область пространства, в которой преобладает поле излучения, называется волновой зоной [8]. Как было показано в [9, 10], волновая зона обладает заметной пространственной анизотропией с общей тенденцией приближения к заряду по мере увеличения его скорости. При больших скоростях волновая зона находится в непосредственной близости от заряда и только в двух направлениях, вдоль которых излучение отсутствует (см. [1], § 73), она уходит на бесконечность. Так как, в основном, нас интересует проблема излучения, то представляет интерес разработать специальный математический аппарат для работы в волновой зоне излучения.
Используя соотношение (1.35), при 从=0 можно получить угловое распределение мощности излучения с учетом связанного поля
竺= 發 Г Mr — (п/3)]2 — (na)2(l —万2)+ 2(na)(万a)[l — (па)] dC 4тгс3 [[1 — (n/3)]5
(口叫仍一(n/3)] + (/зa)[1 (n/3)] 1
Отсюда следует угловой критерий образования волновой зоны излучения:
。2(1 — /32){(па)[/32 — (п/3)] + (/За)[1 — (п/3)]}
а[1 — (п/З)]2 — (па)2(1 —万2) + 2(па)(/3а)[1 — (口万)]*''
С использованием сопутствующей системы координат, в которой
(п/З) = /3 cos&
(па) = ац cos(9 + а丄 sin 0 cos ф = a(cos а cos 0 + sin a sin 0 cos 0),
ац = a cos а, a± = a sin a,(1.47)
имеем
〜 c2 万(1 —万2) I (万一cos 日)cos ф sin a + sin 0 cos a | sin 0
Таким образом, волновая зона излучения имеет довольно сложный анизотропный характер. Впервые этот факт был отмечен в работе [9] (см. также [10]).
Отметим некоторые общие свойства поведения волновой зоны. Согласно критерию (1.48), с возрастанием скорости частицы волновая зона приближается к заряду, и в ультрарелятивистском случае она может находиться в непосредственной близости от него. Та же тенденция имеет место при возрастании величины ускорения частицы.
Наиболее ярко пространственная анизотропия волновой зоны проявляется в плоскости /За, для которой。= 0,小 В этом случае угловой критерий появления волновой зоны (1.48) принимает простой вид:
~ I e2万(1 -万2)S山0
丁 …/——” 丄• аг-(1.49)
a I (р cos sin а + sin У cos а |
Отсюда следует, что при 0 = 0, тг, т.е. в направлениях по или против скорости частицы, волновая зона начинается от заряда и при
&,2 = arccos (/3 sin2 а 士 cos ay 1 /32 sin2 a j .(1.50)
уходит на бесконечность. Далее мы увидим, что это как раз те два направления, вдоль которых излучение заряда полностью отсутствует.
При а = 7г/2, когда все ускорение является чисто поперечным (этот случай соответствует синхротронному излучению), оба направления (1.50) расположены симметрично относительно вектора скорости:
&,2 |а=7г/2 = arccos/3.(1.51)
В общем случае критерий образования волновой зоны для синхротронного излучения имеет вид
h=7T/2 冷—COS 夕)2 + (1 -万2) S山2 日 5山2 0 .Q 丿
Естественно, что с увеличением радиуса кривизны траектории р волновая зона удаляется от заряда. На рис. 1.3 показана условная граница образования волновой зоны, которая соответствует знаку равенства в критерии (1.52). На рис. 1.4 показаны сечения условной границы волновой зоны плоскостью /За.
Обратим внимание на то, что с возрастанием /3 граница волновой зоны уходит на бесконечность практически не меняя своих поперечных размеров. Очевидно, там и начинается более точная граница волновой зоны.
В особом случае гиперболически равноускоренного движения, когда а = 0, критерий образования волновой зоны (1.49) теряет зависимость от углов и принимает вид
一發万(1—万2)
■Г |а=0》.(L〉3)
Рис. 1.3. Условное изображение волновой зоны (вне поверхности) для г|ое=7Г/2 : а) /3=0,01; б)/3=0,8
Рис. 1.4. Сечения условной границы волновой зоны плоскостью /За
Этот критерий фактически совпадает с интегральным критерием (1.44) в случае а = а卜 Для гиперболического движения вдоль оси Z решение уравнений движения с начальными условиями
С2
% |t=0 = —? 户 |t=0 = О?do
как известно (см. [1], § 7 или [26]), имеет вид
y -巒产=二，
e+ 0心2/(1 + 届产/1)3
где
@о = а。3 = \/ wpwP = inv,
——ускорение в системе покоя частицы, являющееся релятивистски инвариантной величиной.
С применением этих соотношений критерий образования волновой зоны у гиперболически ускоренного заряда (1.53) принимает очень простой вид:〜
f = c(t —力)》ct.(1.54)
Можно, однако, заметить, что в фиксированный момент наблюдения £ и f т оо, что соответствует 力 т — ею, это условие выполняться не может (см. более подробно [26]). Здесь мы приходим к известному парадоксу отсутствия волновой зоны при гиперболическом движении М. Борна [20] и В. Паули [21] (см. также [22—26])*
Мощность излучения как инвариантная величина и интеграл движения. Заметим вначале, что непосредственно в волновой зоне обобщенная производная 力必 преобразуется к виду
少^少^沖 drpvp dr沖 drpvp dr(1.55)(1.55)
少^
少^
沖 d
rpvp dr
沖 d
rpvp dr
(1.55)
(1.55)
так как первый член О" в (1.12) повышает степень спадания поля после действия на потенциалы Лиенара-Вихерта. Условие Лоренца (1.13) в волновой зоне принимает вид
^彳公 0, (L56)
гдегдеv^rawa (грг^)2v^rawa (грг^)2(1.57)(1.57)
где
где
v^rawa (грг^)2
v^rawa (грг^)2
(1.57)
(1.57)
Из (1.56) следуют хорошо известные в случае лоренцевской калибровки потенциалов соотношения:
02〜
^(п А), 0^(пА),
которые легко проверяются с учетом того, что
В волновой зоне тензор электромагнитного поля Н“" можно представить в виде
В дальнейшем имеет смысл установить связь между производной по собственному времени и производной по времени наблюдателя. Взяв нулевую компоненту в соотношении (1.55), получим
Отсюда следует, что
方^ 1几極n"](1.59)
С и, стало быть,
Е - [п[пА]], Н^[пЕ],
где А = ЗА/а七 Это ——хорошо известные соотношения для плоской электромагнитной волны [1]. Заметим также, что
(1.60)(1.60)5 ==Н\(72 战 Р)2
(1.60)
(1.60)
Можно показать, что в волновой зоне
Здесь мы учли соотношения (1.58), (1.19), а также (1.1) и (1.56). Так как п^ = —п从曾必/c, то
dp^drdp^dr产Г 4тгс产Г 4тгсnpVPnpVPnM.nM.(L61)(L61)
dp^dr
dp^dr
产Г 4тгс
产Г 4тгс
npVP
npVP
nM.
nM.
(L61)
(L61)
Согласно (1.57) получим
=戸—丽阡一a(L62)=戸—丽阡一a(L62)Принимая во внимание (1.24),Принимая во внимание (1.24),а также дальнейшее интегрирование поа также дальнейшее интегрирование по
=戸—丽阡一a(L62)
=戸—丽阡一a(L62)
Принимая во внимание (1.24),
Принимая во внимание (1.24),
а также дальнейшее интегрирование по
а также дальнейшее интегрирование по
углам, имеемуглам, имеемат 4тгсЗ J(пр^руат 4тгсЗ J(пр^ру(1.63)(1.63)
углам, имеем
углам, имеем
ат 4тгсЗ J(пр^ру
ат 4тгсЗ J(пр^ру
(1.63)
(1.63)
Легко видеть, что это выражение соответствует первому члену (волновая зона) в формуле (1.38). Однако здесь, в отличие от (1.38), интегрирование проводится в лабораторной системе. Переход от формулы (1.38) к (1.63) осуществляется с помощью соотношения (1.36). Формула (1.63) интересна тем, что она дает угловое распределение излучения в лабораторной системе координат, хотя дальнейшее интегрирование по углам проще всего проводить в системе покоя.
В лабораторной системе интегрирование осуществляется с помощью интегралов [18]
47r J (TlpVpy '47r J (?"P)247r J (TlpVpy '47r J (?"P)23 f— =0, 47r J (npvp)2 '3c2 /3 f— =0, 47r J (npvp)2 '3c2 /(1*64)(1*64)
47r J (TlpVpy '
47r J (?"P)2
47r J (TlpVpy '
47r J (?"P)2
3 f
— =0, 47r J (npvp)2 '
3c2 /
3 f
— =0, 47r J (npvp)2 '
3c2 /
(1*64)
(1*64)
(1.65)(1.65)Выполняя интегрирование по углам, находим
(1.65)
(1.65)
dr 3 с5 p
Полагая в (1.65) // = 0 , можно найти полную мощность мгновенного излучения:
= |小…(L66)
Очевидно, что это выражение является инвариантной величиной. В других обозначениях
『* …①―(1.67)
При /3 丄 а получим мощность синхротронного излучения
(1.68)(1.68)2 в2 9 4°SR = W / 联)а
(1.68)
(1.68)
Эта формула была получена А.А. Лиенаром [6] еще в 1898 году. В нерелятивистском приближении она переходит в формулу Лармора [19].
Рассмотрим изменение мощности излучения (1.66) во времени, которое происходит в процессе излучения при движении заряженной частицы
во внешних электромагнитных полях. С этой целью продифференцируем выражение (1.66) по времени:
(L69)(L69)dW _ 4 е2da产
(L69)
(L69)
где
ddtddt=小(")=小(")
ddt
ddt
=小(")
=小(")
——стандартное определение полной производной. Учтем, что
то с产то с产dH^p dtdH^p dt
то с产
то с产
dH^p dt
dH^p dt
Подставив эти выражения в (1.69) и, приняв во внимание, что
汕飞=7((/ЗЕ),Е+[/ЗН]), w^Wp = О, (L70)
получим
_ 4 е4
Здесь Ipj ——релятивистски инвариантная функция, зависящая только от скорости частицы, внешних полей и их изменения во времени:
")=7")=7+ Н(н*) —卜 *]) —+ Н(н*) —卜 *]) —
")=7
")=7
+ Н(н*) —卜 *]) —
+ Н(н*) —卜 *]) —
Таким образом, изменение мощности излучения во времени полностью определяется только изменением полей вдоль траектории и не зависит от изменения скорости частицы [29].
В постоянных и однородных электромагнитных полях 勿 j = 0 и потери энергии на излучение в единицу времени есть величина постоянная, определяемая инвариантным выражением (1.66), где все кинематические характеристики частицы можно взять в произвольный, например, начальный момент времени.
Принимая во внимание (1.70), можно показать, что
昨I亲卜卜(碎)[+球卜一用]-20Еh])}.
(1.71)
В частном случае Е = 0 имеем мощность излучения заряда, движущегося по спирали в однородном магнитном поле:
I用尸（圖，I用尸（圖，(L72)(L72)
I用尸（圖，
I用尸（圖，
(L72)
(L72)
а в случае Н = 0, получим мощность излучения в электрическом поле:
w _ 2_(ew _ 2_(e(L73)(L73)
w _ 2_(e
w _ 2_(e
(L73)
(L73)
е2dW = — — dQ 4тг7е2dW = — — dQ 4тг7/0…产)2/0…产)2dl= (SdC) = — E2dQ,dl= (SdC) = — E2dQ,(1-77)(1-77)
е2
dW = — — dQ 4тг7
е2
dW = — — dQ 4тг7
/0…产)2
/0…产)2
dl= (SdC) = — E2dQ,
dl= (SdC) = — E2dQ,
(1-77)
(1-77)
Если положить Н = [пЕ] и (ЕН) = 0, то получим мощность мгновенного излучения в поле плоской электромагнитной волны
— 2 鼠炉(1 —/з丄)2— I [EH] I
Все выражения Wh^e,^ являются инвариантными величинами. Более подробно эти вопросы обсуждались в работах [29, 30].
Угловое распределение мгновенной мощности излучения. В общем случае угловое распределение мощности мгновенного излучения можно получить из (1.61) при 从=0:
(L75)
Угловое распределение в терминах напряженностей полей получается после подстановки ЛдЛ л из (1.60) в соотношение (1.61):
dW = £ 戸 dQ百2卩一(n/3)].
Если сюда подставить £? из (1.8), то угловое распределение излучения примет вид
dW = ^ а2[1^(п/3)]2^(па)2(1^/32) + 2(/За)(па)[1 — (п/3)]
dQ 4тгс3[1-(*5"(」"。丿
которая отличается от dW отсутствием множителя 1 — (п/3). В отличие от мощности интенсивность излучения является неинвариантной величиной и зависит от положения наблюдателя. Недооценка этих различий может привести к серьезным недоразумениям (обсуждение этих вопросов можно найти в [31—34], а также в [35]).
Естественно, что развертывание выражения (1.75) дает тот же самый результат.
Пространственная анизотропия углового распределения существенным образом зависит от величины 1 — (п/З) в знаменателе этого выражения. В ультрарелятивистском случае, когда угол х между векторами и и /3 очень мал, эта величина
стремится к нулю и угловое распределение сильно вытянуто вдоль направления скорости частицы («прожекторный» эффект).
Для анализа углового распределения удобно использовать систему координат, показанную на рис. 1.5. В общем случае произвольной ориентации векторов скорости и ускорения угловое распределение полной мощности мгновенного излучения имеет вид [29]
dWdQdWdQ2 22 2(1*78)(1*78)
dWdQ
dWdQ
2 2
2 2
(1*78)
(1*78)
、 sin2 ср sin2 а [(/3 cos (9) cos ср sin а + sin 0 cos а]2.
+" (L79)
Если интерпретировать р как радиус-вектор, то он будет описывать
некоторую поверхность в сферической системе координат, которую мы
будем называть индикатрисой излучения. Из определения (1.79) следует,
Рис. 1.5. Система координат, иоРис. 1.5. Система координат, иопользуемая для анализа углового распределения мгновенной мощ™ ности полного излучения. Плоскость ZX совпадает с плоскостью векторов скорости и ускорения. Компоненты векто™ ров п, /3 и а равны п = = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ср, cos (9), / = /3(0,0,1), а = a (sin а, 0,cos а)пользуемая для анализа углового распределения мгновенной мощ™ ности полного излучения. Плоскость ZX совпадает с плоскостью векторов скорости и ускорения. Компоненты векто™ ров п, /3 и а равны п = = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ср, cos (9), / = /3(0,0,1), а = a (sin а, 0,cos а)что в общем случае индикатриса излучения симметрична относительно /За-пло- скости, но несимметрична относительно /3 [/За]-плоскости. Сингулярные направления, вдоль которых излучение полностью исчезает, лежат в плоскости /За* Согласно (1.79) эти направления определяются соотношением [1, 10]
Рис. 1.5. Система координат, ио
Рис. 1.5. Система координат, ио
пользуемая для анализа углового распределения мгновенной мощ™ ности полного излучения. Плоскость ZX совпадает с плоскостью векторов скорости и ускорения. Компоненты векто™ ров п, /3 и а равны п = = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ср, cos (9), / = /3(0,0,1), а = a (sin а, 0,cos а)
пользуемая для анализа углового распределения мгновенной мощ™ ности полного излучения. Плоскость ZX совпадает с плоскостью векторов скорости и ускорения. Компоненты векто™ ров п, /3 и а равны п = = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ср, cos (9), / = /3(0,0,1), а = a (sin а, 0,cos а)
COS Jmin = « sin2 Q 土 COS 1 — /32 sin2 Q.
Как мы уже отмечали, в этих направлениях волновая зона уходит на бесконечность.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Наибольший интерес представляет синхротронное излучение. В этом случае ускорения частицы взаимно ортогональны (а = 7г/2). Для плоского движения электрона такая ситуация реализуется при наличии постоянного и однородного внешнего магнитного поля Н, параллельного вектору [/За]"
Рис. 1.6. Сечения индикатрисы синхротронного излучения плоскостями /За (а), /ЗН (6) при р = 0,01 (/), р = 0,3 (2) и /3 = 0, 5 (3) и плоскостью аН (в) для значений /3 от /3 = 0,01 (Г) до /3 = 1 (2) с объемным изображением (г) при /3 = 0,01
Индикатриса синхротронного излучения имеет вид
/、(1 — /3 cos(9)2 — (1 — /З2) sin2 0 cos2 ср
。(仇⑴=)5
Заметим, что эта функция симметрична относительно обеих плоскостей /За и /ЗН (см. рис. 1.6 а, 6)* Более полную информацию можно получить, исследуя сечения индикатрисы этими плоскостями:
COS^)2(7Г、1
Ж^ = o^)= (1^/3 cos ^- 0(а9=±D)=(1 _ /3(^。产
В случае синхротронного излучения угол 8 = 0 соответствует главному максимуму излучения. Направления, в которых излучение отсутствует, определяются условием cos ®min = /3. В нерелятивистском случае они
почти совпадают с направлениями вдоль или против ускорения (®пйп ~ рь 7г/2). Угол Jmin уменьшается с увеличением скорости, в то же время при 0,63 ^ /3 < 1 появляется вторичный максимум. Представляет интерес дать оценку отношения мощностей излучения в направлениях «вперед-назад»:
也」^1 =丫 _2б 6
а также отношения мощностей главного и вторичного максимумов излучения:
Сечения индикатрис синхротронного излучения для различных /3 представлены на рис. 1.6 а, 6, в. Сечения плоскостью аН даются кривой
0(® = 7г/2, 9)= sin2 g + /2 cos2 g.
Зависимости последних от /3 показаны на рис. 1.6 с* Пространственные индикатрисы для различных значений /3 представлены на рис. 1.6 г и 1.7.
Рис. 1.7. Сечения индикатрисы синхротронного излучения плоскостями /За, /ЗН и плоскостью, параллельной аН, для /3 = 0,9
Перейдем к рассмотрению другого крайнего случая, когда скорость и ускорение частицы параллельны. В частности, этот случай реализуется в постоянном и однородном электрическом поле (гиперболическое движе™
ние). Соответствующая индикатриса имеет вид
sin2 0
°(丛⑺=(1 — 0 cos 8 广
Это излучение обладает азимутальной симметрией в плоскости, перпендикулярной скорости, при этом в направлении /3 излучение полностью отсутствует. Интересно, что при J = тг/2 поперечное сечение индикатрисы не зависит от скорости. Зависимость продольного сечения от скорости и положение соответствующих максимумов излучения показаны на рисунках 1.8 а, б. Приходящиеся на максимумы излучения углы определяются выражением
COS ®тах
В общем случае при наличии продольного и поперечного ускорений сечение индикатрисы плоскостью /За показано на рис. 1.9, а полные индикатрисы излучения произвольно движущегося заряда для разных случаев взаимной ориентации векторов /Зиа ——на рис. 1.10.
Дальнейшее интегрирование углового распределения излучения произвольной индикатрисы по углам, естественно, приводит к полной мощности мгновенного излучения (1.67).
Рис. 1.8. Сечения индикатрис гиперболического излучения (а) и положение соот~ ветствующих максимумов излучения (6); /3 = 0,01 (/), /3 = 0,3 (2), /3 = 0,5 (3)
Рис. 1.9. Сечение индикатрисы излучения произвольно движущегося заряда плоскостью, содержащей векторы /Зиа
Рис. 1.10. Пространственные индикатрисы излучения: 1 ——гиперболически ускоренного заряда (а = 0), 2 ——произвольно движущегося заряда (а = тг/6), 3 ——(а = =7г/4), 4 ——поперечно ускоренного заряда (а = тг/2, синхротронное излучение).Во всех случаях /3 = 0,8Рис. 1.10. Пространственные индикатрисы излучения: 1 ——гиперболически ускоренного заряда (а = 0), 2 ——произвольно движущегося заряда (а = тг/6), 3 ——(а = =7г/4), 4 ——поперечно ускоренного заряда (а = тг/2, синхротронное излучение).Во всех случаях /3 = 0,8
Рис. 1.10. Пространственные индикатрисы излучения: 1 ——гиперболически ускоренного заряда (а = 0), 2 ——произвольно движущегося заряда (а = тг/6), 3 ——(а = =7г/4), 4 ——поперечно ускоренного заряда (а = тг/2, синхротронное излучение).
Во всех случаях /3 = 0,8
Рис. 1.10. Пространственные индикатрисы излучения: 1 ——гиперболически ускоренного заряда (а = 0), 2 ——произвольно движущегося заряда (а = тг/6), 3 ——(а = =7г/4), 4 ——поперечно ускоренного заряда (а = тг/2, синхротронное излучение).
Во всех случаях /3 = 0,8
В заключение заметим, что угловое распределение мощности излучения можно получить также совершенно иным способом с помощью преобра™ зований Лоренца [1, 35]. С этой целью необходимо принять во внимание, что(£₽м = (dP, £/с) является четырехмерным вектором, который согласно (1.61) удовлетворяет условию
n住厅件=0,
где ?2尸 =(1, п). Отсюда следует, что энергия излучения и соответствующий ей импульс связаны между собой простым соотношением:
d£ = cdP.
Теперь совсем несложно написать преобразование Лоренца для d£. По™ лагая, что штрихованная система относится к системе покоя заряда (см. рис. 1.5), получим
Принимая во внимание, что dt/dr =—俨,имеем
dW =dW =1 -/21 — 0 cos 01 -/21 — 0 cos 0而7而7
dW =
dW =
1 -/2
1 — 0 cos 0
1 -/2
1 — 0 cos 0
而7
而7
В системе покоя заряда угловое распределение излучения определяется
выражением (1.76), где следует принять /3 = 0. Тогда получим
Выражение, стоящее в квадратных скобках, является функциональным инвариантом:
〃(丛9)=a2 - (口 宅 产 = wMwM -(%合产(1.80)
Здесь мы учли, что
〃产 1/3=0 = (о, аЭ, €м I万=0 = (0, п')*
Можно показать, что прямое вычисление инварианта 1а на основе формул (1.3), (1.7) и (1.24) дает тот же самый результат.
Телесный угол, как известно, преобразуется по закону [1] [см. также (136)]
—丁2口 — geos。)?*
Так как (1 — /3 cos J) = —npvp/у, то в окончательном виде снова получим (1.75).
Линейная поляризация и угловое распределение излучения. Так же как и угловое распределение полной мощности мгновенного излучения, линейную поляризацию и угловое распределение поляризованного излучения можно проанализировать в общем случае без привлечения конкретных характеристик движения, которые следуют из решения соответ™ ствующих уравнений движения.
С этой целью разложим вектор напряженности электрического поля в волновой зоне на взаимно ортогональные компоненты:
元=工瓦网， 瓦=(必京)(1.81)
с двумя произвольными единичными векторами ns, которые ортогональны друг другу и единичному вектору и вдоль направления распространения плоской электромагнитной волны. Определение единичных векторов п^ зависит от выбора соответствующей системы координат. Наиболее удобной является сферическая система координат, в которой единичные векторы п^ совпадают с ортами и® и п^. В этом случае единичные векторы поляризации и® и и屮 выбираются следующим образом:
и 屮=[пп0], и® = — [nnj и = [п0п^],[kn]n(kn) — k
口屮— (kn)2，%— (kn)2 7
(rm®) = (nn^) = (nen 屮)=0,
где единичный вектор к совпадает с направлением оси Z* Направление единичного вектора к, как и оси Zj можно связать с некоторыми физически выделенными направлениями, например, такими, как направление магнитного поля, направления скорости и ускорения частицы [37].
Далее ограничимся рассмотрением трех возможных типов линейной поляризации излучения, показанных на рис* 1.11.
Рис. 1.11. Три типа линейной поляризации: а) к || [/За], /3 = /3(1,0,0), а = = а(0,1,0), (п/3) = /3 sin 0 cos ср, (па) = a sin 0 sin ср; 6) к || 仇 /3 = = /(0,0,1), а = а(1,0,0), (л/3) = /3 cos(9, (па) = a sin 0 cos ср; в) к || а, /3 = /3(0,1,0), а = а(0,0,1), (口价 = /3 sin 0 sin ср, (па) = a cos 0. Во всех случаях и = (sin в cos ср, sin в sin ср, cos в), 口⑦ = (^ sin ср, cos ср, 0), л® = =(cos 8 cos 屮，cos 8 sin 屮，一sin 8)
Наиболее распространенным определением линейной поляризации излучения является первый случай, когда ось Z в сферической системе координат совпадает с направлением магнитного поля. В этом случае ^р- компонента напряженности электрического поля электромагнитной волны колеблется в плоскости орбиты, а соответствующая компонента мощности поляризованного излучения получила название а-компоненты. Анало™ гичным образом ^-компонента электрического поля волны сопоставляется тг-компоненте излучения. Во втором случае выбор системы координат совпадает с тем, который использовался при анализе углового распределения полной мощности мгновенного излучения. Менее известным, но, как мы увидим, не менее интересным, является третий тип поляризации, когда ось Z направлена вдоль ускорения частицы. Заметим, что в последних двух случаях, в отличие от первого, ^-компоненты напряженностей электрического поля колеблются в плоскостях, перпендикулярных плоскости орбиты (см. рис. 1.11).
Согласно разложению (1.81) линейно поляризованные компоненты электрического поля Es = (nsE) имеют вид (я = 6>,(^)
瓦( ；产(wnj — “必)^^ *(1.82)
Г (npVP)2 [npVP
8Конечно, единичный вектор к может быть и не связан с ориентацией оси Z, однако в этом случае описание линейной поляризации излучения становится более сложным и не столь унифицированным.
В случае синхротронного излучения и с учетом того, что
wM = 72(0, а),
для перечисленных выше трех типов поляризации имеем (е > 0)
еаcos 0 sin 屮
=
ea /3 sin 0 — cos 屮
rc2 (1 — /3 sin(9 cos 屮)3 7
rc2 (1 — /3 sin(9 cos g)3〉
4 =
ea (cos 0 — (3) cos ср
Fc2 Q — Bssey ，
成=
冗2 (1-0358尸)丿
ea sin 6 — j3 sin 屮
ea P cos 0 cos 屮
Ес? (] — / sin(9 sin g)3 7
rc2 (1 — / sin(9 sin g)3 '
Угловые распределения излучения соответствующих поляризационных компонент имеют вид (г = Н, /3, а)
dWsdWs—в2а2 "、=石浮厶（2—в2а2 "、=石浮厶（2(1-84)(1-84)
dWs
dWs
—в2а2 "、
=石浮厶（2
—в2а2 "、
=石浮厶（2
(1-84)
(1-84)
Поляризационные индикатрисы определяются функциями 0^(。)д), которые в рассмотренных выше случаях равны
Hcos2 0 sin2 cp
°®—(1— sin 8 cos 夕产
万(cos 8 — /)2 cos2 屮
。ё(丛(1 …。s8)5，
—(Sin8 — /sing) 2
(1 - /3sin6>sin(p)5 7
(OsinJ — cos(p)2
» 2
目2 cog2 J cos2 屮
°屮(‘夕丿—(l^/3sin^sin(p)5'
Некоторые из этих индикатрис показаны на рис. 1.12. Для поляризационных индикатрис р® почти все излучение принадлежит ^-компоненте линейной поляризации, в связи с чем эта индикатриса по своей форме близка к индикатрисе полной мощности синхротронного излучения. По этой причине масштабы J- и ^-компонент линейной поляризации в третьем случае взяты различными (см. рис. 1.12, в). Релятивистская эволюция некоторых наиболее интересных поляризационных индикатрис показана на рис. 1.13.
В связи с тем, что электрон в однородном магнитном поле движется по окружности, после усреднения по периоду движения (или по азимуталь™ ному углу 9)будут наблюдаться только два максимума, расположенные симметрично относительно плоскости орбиты (см. также рис. 1.16).
Дальнейшая интеграция по углам дает полную мощность мгновенного
Рис. 1.12. Нерелятивистские поляризационные индикатрисы р^^'а (слева) и 或万,а (справа)： а) Н, 6) в) а.
излучения
wf =Wsr, W^ =审^ Wsr；
Wg = 4 Mzsr,W^ = ^Wsr；(1.86)
W7 =w/SR, 0c =w^r.
Важной характеристикой поляризации излучения является степень поляризации
д =吟
Рис. 1.13. Релятивистская эволюция р^"^-поляризационных индикатрис синхротронного излучения, показанных на рисунке 1.12 (а, 6) для /3 = 0,9. Слева —— тг-компонента синхротронного излучения
Своего максимального значения эта величина достигает в последнем случае:
"4-
-4,
При небольших скоростях имеем предельное значение, равное 1. Это легко понять, так как Е^-компонента согласно (1.83) при /3 = 0 полностью исчезает. С возрастанием /3 величина Аа монотонно убывает и в ультраре- лятивистском случае принимает свое минимальное значение, равное 0,75. Интересно, что в этом случае максимальное значение степени линейной поляризации
напротив, достигается в ультрарелятивистском пределе и совпадает с минимальной величиной △&; Ая имеет минимум при /3 = 0 и совпадает с независящей от скорости величиной △"，равной 0,5. Таким образом, для рассмотренных здесь трех типов линейной поляризации всегда выполняются следующие неравенства:
0,5 = Дя < Аа 1.
Заметим, что поляризационные свойства излучения можно описывать также с помощью хорошо известных в оптической поляриметрии параметров Стокса [3 8] (см. также [1,39]), которые доступны для прямых измерений и полностью характеризуют поляризацию плоской электромагнитной волны. Достоинством этого метода является то, что определенные комбинации параметров Стокса инвариантны относительно преобразований Лоренца. В случае синхротронного излучения обсуждение поляризации излучения на основе параметров Стокса можно найти в работе [40] (см. также [34, 41]). Среди прочих отметим работу [42], в которой содержится описание пер-
вых экспериментов по измерению параметров Стокса для синхротронного излучения [42].
Классическая теория синхротронного излучения
Излучение электрона в однородном магнитном поле. Задачу об излучении электрона в однородном магнитном поле будем рассматривать на основе точных решений уравнений движения в однородном магнитном поле. С этой целью введем систему координат, показанную на рисунке 1.14. Не нарушая общности, будем считать, что электрон в начальный момент времени находился в точке с координатами г = (0, — 〃 0). Выбор системы координат, показанный на рис. 1.5, адаптирован применительно к этим начальным условиям.
Рис. 1.14. Система координат в задаче об излучении электрона в однородном магнитном полеРис. 1.14. Система координат в задаче об излучении электрона в однородном магнитном поле
Рис. 1.14. Система координат в задаче об излучении электрона в однородном магнитном поле
Рис. 1.14. Система координат в задаче об излучении электрона в однородном магнитном поле
Соответствующие решения уравнений движения для заряда имеют вид (е = —£о < 0)
М⑴=(с力 psincjt, —/9COSG力 c/3||t),
M(力)=С7(1,Д± cosg力0丄 sins力问I),(1.87)
&必⑴=C)2 (0, —丄 sill G力丄 COS G力 0),
гдегдеeoHP = —,,gто суПринимая во внимание, чтоeoHP = —,,gто суПринимая во внимание, что
где
где
eoH
P = —,,
gто су
Принимая во внимание, что
eoH
P = —,,
gто су
Принимая во внимание, что
пр = (1, n) = (1, sin ^ cos 92, sin ^ sin 92, cos ^)
имеем
TlpVP = —c)(l — /3|| cos ^)TlpVP = —c)(l — /3|| cos ^)1 —1 —万丄sin 81 —万“ cos 8万丄sin 81 —万“ cos 8cos(cjf — g)cos(cjf — g)
TlpVP = —c)(l — /3|| cos ^)
TlpVP = —c)(l — /3|| cos ^)
1 —
1 —
万丄sin 8
1 —万“ cos 8
万丄sin 8
1 —万“ cos 8
cos(cjf — g)
cos(cjf — g)
npWP = — С)2/3丄G sin 6 sin(G力一屮)"
Подставив эти выражения в (1.67), получим угловое распределение излучения
dWС1с2 sin2 日 sin2 ж
而=串a. cos ж)3А2(1 а. cos ж)5 ］，
где х = ajt — (р,
Л = C7(l — Дц cos^),Л = C7(l — Дц cos^),/3丄 cos 8/3丄 cos 8а I -万口 cos J，а I -万口 cos J，e='一心2"e='一心2"
Л = C7(l — Дц cos^),
Л = C7(l — Дц cos^),
/3丄 cos 8
/3丄 cos 8
а I -万口 cos J，
а I -万口 cos J，
e='一心2"
e='一心2"
При。丄=0, что соответствует равномерному и прямолинейному дви™ жению электрона вдоль оси Z, излучение, очевидно, отсутствует.
Далее проведем усреднение углового распределения по периоду Т обращения электрона в магнитном поле:
dWdCdWdC1 f1 f
dWdC
dWdC
1 f
1 f
Интегрирование выполняется с помощью выражений
27r、 dx2 + а2.(1 ™ a COS ж)3 7r (1 — @2)5/2 о27r、 dx2 + а2.(1 ™ a COS ж)3 7r (1 — @2)5/2 о27r、 sin2 xdx7г 4 + а 2* (1 — а. cos ж)54 (1 — а2)7/2о27r、 sin2 xdx7г 4 + а 2* (1 — а. cos ж)54 (1 — а2)7/2о
27r
、 dx2 + а2
.(1 ™ a COS ж)3 7r (1 — @2)5/2 о
27r
、 dx2 + а2
.(1 ™ a COS ж)3 7r (1 — @2)5/2 о
27r
、 sin2 xdx7г 4 + а 2
* (1 — а. cos ж)54 (1 — а2)7/2
о
27r
、 sin2 xdx7г 4 + а 2
* (1 — а. cos ж)54 (1 — а2)7/2
о
После усреднения по периоду зависимость от азимутального угла 屮 исчезает, так что интегрирование по g сводится просто к умножению на 27r. В конечном итоге получим
2 +с?(1— @2)5/22 +с?(1— @2)5/2с2 sin2 日(4 + а2)442(1 — @2)7/2с2 sin2 日(4 + а2)442(1 — @2)7/2sin %仇sin %仇(1.88)(1.88)
2 +с?(1— @2)5/2
2 +с?(1— @2)5/2
с2 sin2 日(4 + а2)442(1 — @2)7/2
с2 sin2 日(4 + а2)442(1 — @2)7/2
sin %仇
sin %仇
(1.88)
(1.88)
Интегрирование по 0 проще всего выполняется с помощью замены переменной на основе преобразований Лоренца для углов (штрихованная система движется вдоль оси Z со скоростью с。”)：
cos^ =cos^ =cos®' + 万“1 + m cos 夕cos®' + 万“1 + m cos 夕sill 0 =sill 0 =Jl -筑 sin O'1 + 0|| cos 夕Jl -筑 sin O'1 + 0|| cos 夕sin OdO =sin OdO =(1+011 COS 伊)2(1+011 COS 伊)2sin 0f d0f.sin 0f d0f.
cos^ =
cos^ =
cos®' + 万“
1 + m cos 夕
cos®' + 万“
1 + m cos 夕
sill 0 =
sill 0 =
Jl -筑 sin O'
1 + 0|| cos 夕
Jl -筑 sin O'
1 + 0|| cos 夕
sin OdO =
sin OdO =
(1+011 COS 伊)2
(1+011 COS 伊)2
sin 0f d0f.
sin 0f d0f.
В результате
3 m^c3 I — 02 "
Таким образом, усредненная по периоду мощность излучения электрона в однородном магнитном поле совпадает с полной мощностью мгновенного излучения (1.72). Это ——обобщение известной теоремы о средней мощно™ сти синхротронного излучения.
Проделанные выше вычисления можно выполнить в другом порядке, исходя из определения поляризационных компонент напряженности злек- трического поля излучения.
Покажем это на примере синхротронного излучения (0 = 0丄 и 0“ = 0). В выбранной нами системе координат
npvp = —с)[1 — /3 sin 6 cos(cjf —屮)], npwp = —т^а sin 0 sin(cjt —屮),(n^v) = cy^ cos 0 cos(cjt —屮)，(n^v) = cy^ sin(cjt —屮)，
(n^w) = a cos 0 sin^ujt — g),(n^w) = 72acos(cjt — 92).
Начальное положение электрона в нашей системе координат сфазиро- вано так, чтобы эти соотношения при 力=0 совпали с соответствующими соотношениями в системе координат, показанной на рис. 1.11 а.
Теперь нетрудно найти поляризационные компоненты электрического поля. Согласно (1.82) получим
后 во a cos 0 sin(cdt — 99) 后 ео« /3 sin 0 — cos(cdt — 99)
6 rc2 1 — 0 sin 8 cos(W — g)' 炉 rc2 1 — 0 sin 0 cos(W — g) *
(L90)
При 力=0 эти соотношения переходят в (1.83) для 石片炉，где в случае электрона следует заменить в т —с。.
Усреднение по периоду Т проводится для величин
cos2 日(4 + 仍 sin2 0)8(1—02 近112日)7/24 + 3万2 Sin2 e8(1 — 02 sin? e)5/2 *cos2 日(4 + 仍 sin2 0)8(1—02 近112日)7/24 + 3万2 Sin2 e8(1 — 02 sin? e)5/2 *
cos2 日(4 + 仍 sin2 0)8(1—02 近112日)7/2
4 + 3万2 Sin2 e
8(1 — 02 sin? e)5/2 *
cos2 日(4 + 仍 sin2 0)8(1—02 近112日)7/2
4 + 3万2 Sin2 e
8(1 — 02 sin? e)5/2 *
После этого находим компоненты мощности излучения
cos2 日(4 + 万2 sin2 0)(1 —02 S山2日)7/2cos2 日(4 + 万2 sin2 0)(1 —02 S山2日)7/2sin %仇sin %仇(L91)(L91)оооо4 + 3万2 sin2^(1 — © sin2 0)5/24 + 3万2 sin2^(1 — © sin2 0)5/2sin OdO.sin OdO.
cos2 日(4 + 万2 sin2 0)(1 —02 S山2日)7/2
cos2 日(4 + 万2 sin2 0)(1 —02 S山2日)7/2
sin %仇
sin %仇
(L91)
(L91)
о
о
о
о
4 + 3万2 sin2^
(1 — © sin2 0)5/2
4 + 3万2 sin2^
(1 — © sin2 0)5/2
sin OdO.
sin OdO.
Полная мощность излучения представляется в виде
=击^「Г 2 + /з2sin2о — side(4 + 万2side)].
4с3 J (1 ™ Р2 sin2 ^)5/24)2(1 _ 02 si112 g)7/2 S" ~
0
Легко видеть, что эти выражения согласуются с (1.88), если в нем поло™ жить
/3 = /3丄， Л = С7, а = (3 sin 0, С = е^а2^/4тг.
Таким образом, интегрирование по 屮 и усреднение по периоду движения дают для углового распределения по 0 один и тот же результат. Отсюда следует, что вышеуказанная теорема о средней мощности синхротронного излучения применима также и для углового распределения по 6^ После интегрирования по 0 и сложения поляризационных компонент мощности излучения снова получим (1.86):
2 一歹 ——6 +歹
We =(L93)
Ж = Ж+>^ = W'sr-
B нерелятивистском случае имеем
—1—3
= ^Wsr, 0% = /%R,(1*94)
а в ультрарелятивистском ——
7
印6 = W%SR, и^ = gWsR-(L95)
Заметим, что полученные выше для однородного магнитного поля свойства поляризации синхротронного излучения справедливы также и в неод™ нородном магнитном поле произвольной конфигурации при условии, что периодическое движение заряда происходит в плоскости, перпендикуляр™ ной направлению магнитного поля [43, 44].
Спектрально-угловые характеристики излучения. Спектральные свойства излучения определяются характером движения излучаю™ щей частицы. Проблема формирования спектра излучения релятивистской заряженной частицы подробно обсуждалась в работах [45Т7] (см. также гл. 4). Здесь мы будем рассматривать только такое излучение, которое имеет полностью сформировавшийся спектр.
(L96)(L96)Энергия, поступающая в телесный угол "П за время 〃干(интенсивность излучения), определяется формулой (1.77):
(L96)
(L96)
Чтобы найти спектр излучения, необходимо проинтегрировать послед™ нее выражение по £ в пределах всего времени наблюдения, используя при этом известные соотношения для спектрального разложения полей (см. [1]):
— о©О
E(f) = — J ⑵邑 E&= J ^(ty^dt = W^
где * означает комплексное сопряжение.
Интегрируя по £ получим спектрально-угловое распределение энергии, которое с учетом компонент линейной поляризации (s =仇 屮)имеет вид
(L97)(L97)£ =±2而 dQ — 47r2 Г^|
(L97)
(L97)
В случае синхротронного излучения, разделив это выражение на период Т = с/3/2тг〃，с применением теоремы о средней мощности синхротронного излучения получим спектрально-угловое распределение мощности излуче™ НИЯ
少场_*后s|2少场_*后s|2(L98)(L98)
少场_*后s|2
少场_*后s|2
(L98)
(L98)
Аналогичную аргументацию можно использовать для любого периоди™ ческого движения. Интегрируя (1.96) по t в пределах периода, получим
dQ 47r.' '
Отсюда следует, что
47r"'
С помощью математического аппарата рядов Фурье напряженности ио лей излучения E(t) и Н(£) разлагаются на монохроматические волны с частотами S =冗з, кратными частоте периодического движения g:
元(干)=工g⑴，百⑴=[口元⑴]=(及n=ln=l
Как и для полного поля, поля монохроматической волны можно разло™ жить по компонентам линейной поляризации:
g(? = e”(干)口炉 +⑴口例
hn(t) = епв^п^ — е^^пд.
Известно, что любая плоская монохроматическая волна в общем случае обладает эллиптической поляризацией. Случай правой эллиптической по™ ляризации для вектора en(t) изображен на рис. 1.15. Результирующее дви™ жение вектора е九⑴ может быть разложено на два взаимно противополож-
Рис. 1.15. Эллиптическая поляризация n-й гармоники плоской монохроматической волны, распространяющейся от плоскости рисунка к читателю. Единичные векторы линейной поляризации п仇夕 адаптированы к системе координат рис. 1.11 а. Начальный момент £ и фаза & вектора еп(£) выбраны так, что en(0) = en,max. Индексы (土) соответствуют правой и левой круговым поляризациям волныРис. 1.15. Эллиптическая поляризация n-й гармоники плоской монохроматической волны, распространяющейся от плоскости рисунка к читателю. Единичные векторы линейной поляризации п仇夕 адаптированы к системе координат рис. 1.11 а. Начальный момент £ и фаза & вектора еп(£) выбраны так, что en(0) = en,max. Индексы (土) соответствуют правой и левой круговым поляризациям волны
Рис. 1.15. Эллиптическая поляризация n-й гармоники плоской монохроматической волны, распространяющейся от плоскости рисунка к читателю. Единичные векторы линейной поляризации п仇夕 адаптированы к системе координат рис. 1.11 а. Начальный момент £ и фаза & вектора еп(£) выбраны так, что en(0) = en,max. Индексы (土) соответствуют правой и левой круговым поляризациям волны
Рис. 1.15. Эллиптическая поляризация n-й гармоники плоской монохроматической волны, распространяющейся от плоскости рисунка к читателю. Единичные векторы линейной поляризации п仇夕 адаптированы к системе координат рис. 1.11 а. Начальный момент £ и фаза & вектора еп(£) выбраны так, что en(0) = en,max. Индексы (土) соответствуют правой и левой круговым поляризациям волны
ных круговых колебания с амплитудами а沪)/ \/5 (множитель 1 / введен для симметрии между амплитудами линейных и круговых колебаний, см. ниже):
£^)(干)=^ sinncji,£^)(干)=^ sinncji,
£^)(干)=^ sinncji,
£^)(干)=^ sinncji,
и два линейно поляризованных колебания
e也炉(£)=e也炉(£)=a（+）+ a（一）a（+）+ a（一）cos 冗з干="w cos nuji,cos 冗з干="w cos nuji,en0 (^)=—en0 (^)=—- Q『）- Q『）sin ncut = —bn,o sin ncut.sin ncut = —bn,o sin ncut.
e也炉(£)=
e也炉(£)=
a（+）+ a（一）
a（+）+ a（一）
cos 冗з干="w cos nuji,
cos 冗з干="w cos nuji,
en0 (^)=—
en0 (^)=—
- Q『）
- Q『）
sin ncut = —bn,o sin ncut.
sin ncut = —bn,o sin ncut.
Отсюда следует, что амплитуды линейно поляризованных колебаний определяются как
С（+）I —）с（+）—）
Обратные соотношения имеют вид
4+) =(1лоо)
Конкретный вид амплитуд а£士)и Ьпд^ будет определен из преобразований Фурье.
Степень эллиптической поляризации дается соотношением
М= *—(LIOD
Если Sn > 0, то результирующие колебания будут правополяризован™ ными, если же Sn < 0, то мы будем иметь левополяризованные колебания. При 6п = 0 остаются линейно поляризованные колебания.
Квадрат вектора еп(£), усредненного по периоду колебаний, связан с амплитудами а£土)и Ьпд^ простым соотношением:
磺⑷=j (4+)) +j •
Заметим также, что последнее выражение симметрично относительно знака круговой поляризации.
Таким образом,
E(t) =，2 ("з cos najin^ — bno sinncjtn^).
Отсюда следует, что
石 2(£) = е£(ь% + "&)"
Возвращаясь к соотношению (1.99), получим угловое распределение излучения по отдельным гармоникам:
号护=费储屮+%)=费(⑺+ (MJ)「(L102)
Перейдем теперь от этих общих рассуждений к более конкретным с использованием тензора электромагнитного поля излучения 方仙。С этой целью перепишем выражение (1.58) для тензора 8仙"в волновой зоне еле™ дующим образом:
L C dtL C dt科爺=一科爺=一e a冷5 rc di 1 — (n/3)5e a冷5 rc di 1 — (n/3)5
L C dt
L C dt
科爺=一
科爺=一
e a冷5 rc di 1 — (n/3)5
e a冷5 rc di 1 — (n/3)5
W Д17 = (I,。，
Дальнейшее применение этой формулы вызывает затруднения, так как все величины в дифференцируемом по i выражении в действительности зависят от траекторного времени t Эту трудность можно преодолеть с помощью J™функции9
8(力-Г) = 口 - (口/3)] 8 (力 + ；尸(力)-Л .
Тогда получим
Используя стандартное представление J-функции:
11expexp
1
1
exp
exp
где г = R — (nr) и, следовательно,
1 / 、—jnr)1 / 、—jnr)一wf +朽兄｝ "必一wf +朽兄｝ "必
1 / 、
—jnr)
1 / 、
—jnr)
一wf +朽兄｝ "必
一wf +朽兄｝ "必
с точностью до несущественного в дальнейших вычислениях фазового мно™ жителя exp(w^/c) получим
27Г J w，
9Эту формулу можно получить с использованием хорошо известной формулы для(5-функции с комплексным аргументом [4, 48]:
где f (t) = t + r(t)/c — t, a ta являются корнями уравнения 亍⑴ = с(£ —力) = =0. Последнее требование является условием причинности, согласно которому время t = ta становится моментом излучения, а 力 ——моментом наблюдения этого излучения. Для вакуума всегда /3 < 1 и в обсуждаемой здесь теории возможен только один корень ta = t*, что соответствует взаимно однозначной связи между 力* и t. Совсем иная ситуация может возникнуть при излучении заряда в среде, когда 万〉1 [49, 50].
где
exp ｛氾 t — i (nr) ^ dt.
Отсюда следует, что
Е^ = к (0 —п)ехр| 氾力一jnr)H^ = [nE^]" (1.103)
Единичный вектор и перед экспонентой можно опустить, так как про™ дольная компонента поля дает нулевой вклад в полную мощность излуче™ НИЯ：
(пей)〜次@) - 0*
Аналогичным образом можно получить компоненты Фурье для потен™ циалов Лиенара-Вихерта. В этом случае
Лм =止 Л- ехр (-勿⑦9d&
и
俨 ехр ｛应力一丄(nr) I di.
С учетом соотношений (1.59) имеем
~3~~~
Eg = -г^[п[пА^]], 抵=
Полученные таким образом компоненты Е^ и Н& полностью согла™ суются с (1.103) если принять во внимание сделанное выше замечание о нулевом вкладе в излучение продольной компоненты Е&. Заметим, что кулоновская калибровка потенциалов обеспечивает автоматическое отсут™ ствие продольной составляющей электрического поля [1]. Тоща
Е =—— А, Е& = 5—А^сс
и поля (1.103) получаются сразу без продольной составляющей.
Аналогичные рассуждения для периодического движения дают следую™ щий результат:
И^(£) = £ 方片 ехр
т
Н^ = ^^тЛ%"] ехр {»з t — - (nr) I dt.
о
Отсюда находим компоненты Фурье:
т
(1Л04)(1Л04)Еп ='侬""0 exp {?：?w 力一丄(nr) } 〃九о
(1Л04)
(1Л04)
Формула Шотта. Рассмотрим теперь поляризационные фурье™ компоненты электрического поля синхротронного излучения. В сфериче™ ской системе координат (см. рис. 1.11 о) имеем
(пг) = 〃 sin J sin(勾力一屮)，(1.105)
(Дп0)= /3 cos 0 cos(cjt —夕)，(Дп^) = /3siii(G力一^)-
В дальнейшем нам потребуются интегральные представления функций Бесселя [50]:
Jn(nx) = J™ exp {гп(Ф ж sin Ф)} ^Ф,
^Jn(nx) = ^^Jn(nx) = ^siii Ф exp {5n(m — x sin Ф)}"①，siii Ф exp {5n(m — x sin Ф)}"①，(1.106)(1.106)cos Ф ехp {成几® — X sin Ф)}"m*cos Ф ехp {成几® — X sin Ф)}"m*Аналогично (L81) полагаемАналогично (L81) полагаем石九5 = (nsEn)石九5 = (nsEn)(L107)(L107)и с помощью (1.104), (1.105) и (1.106), где 力=/3sin 仇①=g力一屮，легко находимnJ^ (冗/ siii 6) exp (%几屮),(1Л08)tg 0nJn(n^ sin 6) exp (勿几屮).и с помощью (1.104), (1.105) и (1.106), где 力=/3sin 仇①=g力一屮，легко находимnJ^ (冗/ siii 6) exp (%几屮),(1Л08)tg 0nJn(n^ sin 6) exp (勿几屮).Теперь можно выписать ряды Фурье для поляризационных компонент.Теперь можно выписать ряды Фурье для поляризационных компонент.
^Jn(nx) = ^
^Jn(nx) = ^
siii Ф exp {5n(m — x sin Ф)}"①，
siii Ф exp {5n(m — x sin Ф)}"①，
(1.106)
(1.106)
cos Ф ехp {成几® — X sin Ф)}"m*
cos Ф ехp {成几® — X sin Ф)}"m*
Аналогично (L81) полагаем
Аналогично (L81) полагаем
石九5 = (nsEn)
石九5 = (nsEn)
(L107)
(L107)
и с помощью (1.104), (1.105) и (1.106), где 力=/3sin 仇①=g力一屮，легко находим
nJ^ (冗/ siii 6) exp (%几屮),
(1Л08)
tg 0nJn(n^ sin 6) exp (勿几屮).
и с помощью (1.104), (1.105) и (1.106), где 力=/3sin 仇①=g力一屮，легко находим
nJ^ (冗/ siii 6) exp (%几屮),
(1Л08)
tg 0nJn(n^ sin 6) exp (勿几屮).
Теперь можно выписать ряды Фурье для поляризационных компонент.
Теперь можно выписать ряды Фурье для поляризационных компонент.
В действительной форме они принимают вид
(1.109)(1.109)…^2 nJ^(n/3 sin 0) cos п(ш1 — a),
(1.109)
(1.109)
Eo(t) = ctg 0 ^2 nJn (n/3 sin 0) sin— a),
где a = cuR/c + 夕"
С использованием правил четности для функций Бесселя:
Jn(nx) = J_n(fX))胃)=——
получим
Е屮(£) = ^2 %夕 cos п(ш£ — a), E® (£) = — ^^ %。sin n(ajt — a), (1.110) n=ln=l
где
bn 屮=2^^nJ^(nf3 sin^), bng = 2^-n ctg в Jn(nf3 sin^). (1.111)
Подставляя последнее выражение в (1.102), найдем спектрально-угловое распределение синхротронного излучения
= ^^^2 [f32J^(nf3 sin в) ctg2 в J^(n(3 sin *(1.112)
Здесь первый член в квадратных скобках соответствует а-компоненте, а второй ——тг-компоненте линейной поляризации. Формула (1.112) была получена ГА. Шоттом [52] еще в 1907 году10. Формула Шотта, очевидно, пригодна для любых скоростей электронов (в предположении, что справедлива классическая теория излучения).
Зная Ьп0^, по формулам (1.100) и (1.111) найдем
а^ = V2 ^^n [/3%(n/3 sin。) 土 ctg в Jn{n/3 sin^)].
Спектрально-угловое распределение круговой поляризации согласно (1.102) имеет вид
- = 1 黯sin6>) 土 ctg 0Jn(np sin6>)]2 .(1.ИЗ)
公2 N NTT"'
WEA. Шотт пытался объяснить стабильность вращательных электронных состояний в атомах при помощи этой формулы. Позднее она была забыта, но спустя 40 лет совершенно неожиданно снова возникла в связи с появлением теории синхротронного излучения.
Представляет интерес дать обобщение формулы Шотта на случай движения электрона по спирали в однородном магнитном поле. Эта задача была решена в работах [33] (см* также [35]). Здесь мы приведем окончательное выражение:
开咚 _e^c/3j 2比%2⑺+ (cos0一仇)2/S出20訳⑺
万- 27r炉 n(1—例 cos 夕)3，丿
где
n sin О
Заметим, однако, что эта формула элементарно получается с помощью преобразований Лоренца. Действительно, предположим, что плоское движение осуществляется в штрихованной системе координат, которая движется вдоль направления магнитного поля со скоростью с/Зц. Тогда преобразование Лоренца для углового распределения имеет вид
dWndWn1 dW^)/(1 —匈 cqsJ)3 dQz1 dW^)/(1 —匈 cqsJ)3 dQz
dWn
dWn
1 dW^
)/(1 —匈 cqsJ)3 dQz
1 dW^
)/(1 —匈 cqsJ)3 dQz
где dW^/dQf соответствует формуле Шотта , в которой штрихами обозначены величины в системе координат с движением по плоской траектории. Для их замены воспользуемся преобразованиями
丄l =)| 户丄，ctg 少=加，：［：」Д1 sin^ = ж.
После этого приходим к формуле (1.114).
Прежде чем анализировать формулы (1.112)и(1.113), рассмотрим спектральный состав излучения.
Спектральный состав синхротронного излучения. Спектральное распределение излучения получается интегрированием формулы Шотта по углам (в связи с азимутальной симметрией задачи, фактически, по 0)* С этой целью воспользуемся интегралами
оо2几万
о
о
sin ^) sin OdO = ^ ] J2n(x)dx^
0
7Г
/2(ПД sin^)^— = 2 J2n{x)dx,о0
7T2n/32n/3
J^(n/3sin^) sinOdO 二 2办;：几户)+ A J2n(x)dx —输 Л«(ж)^. ооо
Эти формулы легко проверяются почленным интегрированием функций
Бесселя. Интегрируя в (1.112) по dO = 27r sin 0 d6, находим
（也（也2-ПP22-ПP2. о2九万. о2九万2 n0-J2n(x)dx , о.2九万2 n0-J2n(x)dx , о.2九万^J^ln^) +Д ] J2n(x}dx - 2n ] J2n(^)^ , =о0.^J^ln^) +Д ] J2n(x}dx - 2n ] J2n(^)^ , =о0.
（也
（也
2-П
P2
2-П
P2
. о
2九万
. о
2九万
2 n0-
J2n(x)dx , о.
2九万
2 n0-
J2n(x)dx , о.
2九万
^J^ln^) +Д ] J2n(x}dx - 2n ] J2n(^)^ , =о0.
^J^ln^) +Д ] J2n(x}dx - 2n ] J2n(^)^ , =о0.
C2h%(2〃户)一(1一俨) J2n(x)dx .(1Л15)
Полная мощность излучения получается суммированием по спектру. Для этого следует воспользоваться формулами
00«00 「
£2rtJLj2nB) =俨产， £〃)(胃川胃w 炉)3
которые можно вывести из хорошо известных сумм для функций Бесселя [51].
После вычисления спектральных сумм получим уже известные нам результаты:
=£ [ok)0 + ok)J = ж+>^=>=wSR,
где W0, W^ и W даются формулами синхротронного излучения (1.91) и (1.88).
Суммирование по спектру можно непосредственно провести и в формуле Шотта еще до интегрирования по углам. Здесь следует использовать суммы [53]
±，W) = ]：U/) E 黯%(砌^胃尸(L116)
С применением этих формул получим угловые распределения синхротронного излучения (1.91) и (1.88).
Нерелятивистское приближение. Для получения нерелятивистского приближения формулы Шотта следует воспользоваться аппроксимацией функций Бесселя для малого значения аргумента (см. [51], формула 8.440; [74], формула 3.1.7):
小⑶1^0=声計，:⑶=2以几一 1）!*小⑶1^0=声計，:⑶=2以几一 1）!*(L117)(L117)
小⑶1^0=声計，:⑶=2以几一 1）!*
小⑶1^0=声計，:⑶=2以几一 1）!*
(L117)
(L117)
Полагая г = n/3 sin 0 при малых значениях аргумента вместо формулы (1.112) получим спектрально-угловое распределение синхротронного излучения в нерелятивистском случае (а = е2Д2/р):
dWndWnе/2 р 俨91)2打度22九m _ 1)户е/2 р 俨91)2打度22九m _ 1)户+ cos2 0) siYS-D 0.+ cos2 0) siYS-D 0.(1.118)(1.118)
dWn
dWn
е/2 р 俨91)
2打度22九m _ 1)户
е/2 р 俨91)
2打度22九m _ 1)户
+ cos2 0) siYS-D 0.
+ cos2 0) siYS-D 0.
(1.118)
(1.118)
Здесь первый член по-прежнему соответствует тг-компоненте, а второй ——а-компоненте.
Спектральный состав излучения можно получить, проинтегрировав по телесному углу dO с применением интегралов (см. [51], формула 3.621.4):
ооsin2w+1sin2w+1ede = 2ede = 2(2m)!!(2m + 1)!!(2m)!!(2m + 1)!!
о
о
sin2w+1
sin2w+1
ede = 2
ede = 2
(2m)!!
(2m + 1)!!
(2m)!!
(2m + 1)!!
Тогда получим
Ж； = 区3产7)^^^^,(1.119)
где
2 ел о
Жь= 3^а(1-НО)
——хорошо известная формула Лармора для мощности нерелятивистского излучения (см. (1.68) при j т 1).
Соответствующие поляризационные компоненты имеют вид
о2п+1J
（丽）尸”亨2『D河=%iFTTJ （1」21）
для тг-компоненты и
口二卜无尹（1）口二卜无尹（1）п2п + 11⑵2)! 2п + 1п2п + 11⑵2)! 2п + 12几+ 1п2(?1+ 1)2几+ 1п2(?1+ 1)(1.122)(1.122)
口二卜无尹（1）
口二卜无尹（1）
п2п + 11
⑵2)! 2п + 1
п2п + 11
⑵2)! 2п + 1
2几+ 1
п2(?1+ 1)
2几+ 1
п2(?1+ 1)
(1.122)
(1.122)
для а-компоненты.
Таким образом, в нерелятивистском приближении максимум излучения приходится на первую гармонику п = 1, что соответствует дипольному излучению. Мощность излучения на остальных гармониках с возрастанием п быстро спадает за счет множителя 户么几一
Теперь можно проанализировать поляризацию нерелятивистского излучения. Прежде всего заметим, что согласно (1.121) и (1.122) полная линейная поляризация при п = 1 совпадает с уже известными нам величинами (1.94). Спектрально-угловое распределение получается с помощью приближенных формул
(1.123)(1.123)11
(1.123)
(1.123)
Ji (Д sin в) sin 丛 J； (Д sin) применяя которые легко находим
—, bio =— cos и.
А гргр
Степень эллиптичности колебаний на первой гармонике [см. (1.101)] 81 = cos 0. Отсюда следует, что при 0 = 0 (вдоль магнитного поля) излучение электрона обладает только правой круговой поляризацией, а при。=冗 (против магнитного поля)——только левой. При 0 = тг/2 излучение полностью поляризовано в плоскости орбиты, так как в этом случае отлична от нудя только а-компонента.
Электрические поля первых гармоник E^t) и Eg (f) в нерелятивистском приближении имеют вид
Е*)cos 0 sin(cj£ — а), Е® (干)^^ cos(®£— а)
и совпадают с полями в (1.90), если в нем положить Д ^ 0. Интересно, что эти векторы вращаются в ту же сторону, что и электрон.
В наиболее интересном ультрарелятивистском случае, когда /3^1, анализ спектрально-углового распределения не является столь тривиальным и его следует рассмотреть отдельно.
Излучение с продольной составляющей скорости электрона. Рассмотрим практически важный случай ультрарелятивистского движения электрона вдоль направления магнитного поля, когда скорость поперечного движения невелика и удовлетворяет условию
(1.124)
В такого рода устройстве (назовем его спиральным ондулятором, см. также гл. 5) почти все излучение сконцентрировано вблизи направления 0 = 0 и происходит на основной частоте, трансформированной продольным эффектом Доплера:
CdCd®-例 cos е，®-例 cos е，еЯ ш =то суеЯ ш =то су
Cd
Cd
®-例 cos е，
®-例 cos е，
еЯ ш =
то су
еЯ ш =
то су
Аргумент функций Бесселя в обобщенной формуле Шотта (1.114) очень мал, так что можно принять
Ji(%)|ж =Ji(%)|ж =/3丄 sin О/3丄 sin О2(1 — /Зц cos 0)72(1 — /Зц cos 0)7
Ji(%)|ж =
Ji(%)|ж =
/3丄 sin О
/3丄 sin О
2(1 — /Зц cos 0)7
2(1 — /Зц cos 0)7
Если ввести новую переменную 吵=»& где % то можно написать приближенные соотношения:Если ввести новую переменную 吵=»& где % то можно написать приближенные соотношения:1~7,1~7,1 — dl cos 0(1 +1cos 0(12), sin OdO1 — dl cos 0(1 +1cos 0(12), sin OdO
Если ввести новую переменную 吵=»& где % то можно написать приближенные соотношения:
Если ввести новую переменную 吵=»& где % то можно написать приближенные соотношения:
1
~7,
1
~7,
1 — dl cos 0(1 +1cos 0(12), sin OdO
1 — dl cos 0(1 +1cos 0(12), sin OdO
Подставляя все это в формулу (1.114), в дипольном приближении (п = 1) получимПодставляя все это в формулу (1.114), в дипольном приближении (п = 1) получим布二4与綻布二4与綻1 + *1 + *(1 + @2)5(1 + @2)5吵d办吵d办Интегрируя по 吵 при помощи интегралов [51]Интегрируя по 吵 при помощи интегралов [51]f 4产—％@Г (m/2) Г 5 — m/2 )f 4产—％@Г (m/2) Г 5 — m/2 )J (1+ @2产J (1+ @2产I»I»(1.125)(1.125)найдем полную мощность излучения:丽=1Тнайдем полную мощность излучения:丽=1Т(1.126)(1.126)Отсюда следует, что существуют две противоположных тенденции: при 团 т 1 и /3丄卢 0 за счет множителя j4 происходит сильное увеличение мощности излучения, и все же, когда Д^ = 0 оно полностью исчезает. Равномерно и прямолинейно движущийся электрон (без учета собственного магнитного момента, см. гл. 4) в магнитном поле не излучает.Интересными свойствами обладает поляризация излучения спирального ондулятора. Из обобщенной формулы Шотта (1.114) следует, что полная линейная поляризация наблюдается под угломОтсюда следует, что существуют две противоположных тенденции: при 团 т 1 и /3丄卢 0 за счет множителя j4 происходит сильное увеличение мощности излучения, и все же, когда Д^ = 0 оно полностью исчезает. Равномерно и прямолинейно движущийся электрон (без учета собственного магнитного момента, см. гл. 4) в магнитном поле не излучает.Интересными свойствами обладает поляризация излучения спирального ондулятора. Из обобщенной формулы Шотта (1.114) следует, что полная линейная поляризация наблюдается под угломcos 0с = Дц.cos 0с = Дц.(1.127)(1.127)Синхротронное излучение полностью поляризовано в плоскости орбиты (a-компонента), так как Дц = 0 и 0с = тг/2. Однако с появлением продольной скорости угол 0с начинает уменьшаться и в рассматриваемом нами ультрарелятивистском случае он очень мал: 0с = J1 — /3j (^ = 1). Так как телесный угол, внутри которого сконцентрировано излучение, определяется той же величиной 0 = ^с, то практически все излучение будет обладать правой круговой поляризацией. Это свойство спирального ондулятора делает его уникальным источником излучения с круговой поляризацией.Синхротронное излучение полностью поляризовано в плоскости орбиты (a-компонента), так как Дц = 0 и 0с = тг/2. Однако с появлением продольной скорости угол 0с начинает уменьшаться и в рассматриваемом нами ультрарелятивистском случае он очень мал: 0с = J1 — /3j (^ = 1). Так как телесный угол, внутри которого сконцентрировано излучение, определяется той же величиной 0 = ^с, то практически все излучение будет обладать правой круговой поляризацией. Это свойство спирального ондулятора делает его уникальным источником излучения с круговой поляризацией.
Подставляя все это в формулу (1.114), в дипольном приближении (п = 1) получим
Подставляя все это в формулу (1.114), в дипольном приближении (п = 1) получим
布二4与綻
布二4与綻
1 + *
1 + *
(1 + @2)5
(1 + @2)5
吵d办
吵d办
Интегрируя по 吵 при помощи интегралов [51]
Интегрируя по 吵 при помощи интегралов [51]
f 4产—％@Г (m/2) Г 5 — m/2 )
f 4产—％@Г (m/2) Г 5 — m/2 )
J (1+ @2产
J (1+ @2产
I»
I»
(1.125)
(1.125)
найдем полную мощность излучения:
丽=1Т
найдем полную мощность излучения:
丽=1Т
(1.126)
(1.126)
Отсюда следует, что существуют две противоположных тенденции: при 团 т 1 и /3丄卢 0 за счет множителя j4 происходит сильное увеличение мощности излучения, и все же, когда Д^ = 0 оно полностью исчезает. Равномерно и прямолинейно движущийся электрон (без учета собственного магнитного момента, см. гл. 4) в магнитном поле не излучает.
Интересными свойствами обладает поляризация излучения спирального ондулятора. Из обобщенной формулы Шотта (1.114) следует, что полная линейная поляризация наблюдается под углом
Отсюда следует, что существуют две противоположных тенденции: при 团 т 1 и /3丄卢 0 за счет множителя j4 происходит сильное увеличение мощности излучения, и все же, когда Д^ = 0 оно полностью исчезает. Равномерно и прямолинейно движущийся электрон (без учета собственного магнитного момента, см. гл. 4) в магнитном поле не излучает.
Интересными свойствами обладает поляризация излучения спирального ондулятора. Из обобщенной формулы Шотта (1.114) следует, что полная линейная поляризация наблюдается под углом
cos 0с = Дц.
cos 0с = Дц.
(1.127)
(1.127)
Синхротронное излучение полностью поляризовано в плоскости орбиты (a-компонента), так как Дц = 0 и 0с = тг/2. Однако с появлением продольной скорости угол 0с начинает уменьшаться и в рассматриваемом нами ультрарелятивистском случае он очень мал: 0с = J1 — /3j (^ = 1). Так как телесный угол, внутри которого сконцентрировано излучение, определяется той же величиной 0 = ^с, то практически все излучение будет обладать правой круговой поляризацией. Это свойство спирального ондулятора делает его уникальным источником излучения с круговой поляризацией.
Синхротронное излучение полностью поляризовано в плоскости орбиты (a-компонента), так как Дц = 0 и 0с = тг/2. Однако с появлением продольной скорости угол 0с начинает уменьшаться и в рассматриваемом нами ультрарелятивистском случае он очень мал: 0с = J1 — /3j (^ = 1). Так как телесный угол, внутри которого сконцентрировано излучение, определяется той же величиной 0 = ^с, то практически все излучение будет обладать правой круговой поляризацией. Это свойство спирального ондулятора делает его уникальным источником излучения с круговой поляризацией.
Несложные вычисления показывают, что угловое распределение поляризованного по кругу излучения имеет вид
Отсюда следуют все сделанные выше выводы.Отсюда следуют все сделанные выше выводы.Спектральное распределение излучения можно найти с помощьюСпектральное распределение излучения можно найти с помощью応応функциифункции1 — /Зц cos е1 — /Зц cos еCdCdгде штах = 2）沁 В дальнейшем удобно ввести переменные £ = 1 + * и у = d/®max" Используя соотношениегде штах = 2）沁 В дальнейшем удобно ввести переменные £ = 1 + * и у = d/®max" Используя соотношениеЗтах1 + @2Зтах1 + @2dygdyg
Отсюда следуют все сделанные выше выводы.
Отсюда следуют все сделанные выше выводы.
Спектральное распределение излучения можно найти с помощью
Спектральное распределение излучения можно найти с помощью
応
応
функции
функции
1 — /Зц cos е
1 — /Зц cos е
Cd
Cd
где штах = 2）沁 В дальнейшем удобно ввести переменные £ = 1 + * и у = d/®max" Используя соотношение
где штах = 2）沁 В дальнейшем удобно ввести переменные £ = 1 + * и у = d/®max" Используя соотношение
Зтах
1 + @2
Зтах
1 + @2
dyg
dyg
спектрально-угловое распределение излучения можно представить в виде
戸=2T也「丿
Интегрируя по угловой переменной £, получим спектральное распределение излучения
嘗=2 ^^ *（1 - 2g + 2力）仏（1/28）
Дальнейшее интегрирование по у вновь приводит к （1.126）.
Аналогичные вычисления, проделанные для второй гармоники, дают результат [54]
dg Р2dg Р2
dg Р2
dg Р2
По сравнению с первой, вторая гармоника сильно подавлена, так как 尤）j《1[см*（1」24）]”
Таким образом, рассмотренная система дает направленное излучение высокой частоты и может быть использована в качестве источника излучения ондуляторного типа （более подробно об этом см* в гл. 5）.
Аналогичным образом можно рассмотреть другие устройства с очень высокой скоростью трансляции поперечного нерелятивистского движения. Например, в постоянных и однородных скрещенных полях Е = — [0Н] реализуется периодическое движение с постоянной дрейфовой скоростью Д в направлении （ДН） = 0. Излучение в таких полях рассматривалось в работах [30, 55]. Заметим, что дрейфовое движение имеет место и в
неоднородных магнитных полях. Сопровождающее его излучение наряду с типичными свойствами синхротронного излучения может иметь весьма необычные характеристики [43].
Излучение ультрарелятивистских электронов
Для более полного изучения поляризационных и спектральных свойств синхротронного излучения в наиболее интересном ультрарелятивистском пределе /3 — 1 необходимо разработать специальный математический аппарат.
Ультрарелятивистское излучение как синхротронное излучение. Проанализируем выражение мгновенной мощности излучения (1.67) произвольно движущегося заряда как функцию от ускорения. С этой целью представим члены с ускорением из формулы (1.67) следующим образом:
В результате полная мощность мгновенного излучения принимает вид
^74(4+72^).(1Л29)
На первый взгляд может показаться, что с увеличением скорости (при )》1) здесь доминирует второй член, связанный с продольным ускорением. Однако в действительности это не так. Дело в том, что ускорение полностью определяется внешним электромагнитным полем [1]:
а=^(Е —/3(/Ж) +[诳I])*
Отсюда следует, что
а^ = ^^=(В。)
и тогда
循=1 (网尸
4 一(侬е] +伊版印]产
За исключением особого случая, когда Н = 0 и Д || Е11, это соотношение при /3^1 спадает как 厂± Следовательно, при высоких скоростях основной вклад в мощность мгновенного излучения дает член с ортогональным к скорости ускорением, соответствующий синхротронному излу-
” Это ——случай гиперболически ускоренного заряда (см. пп. 1.2.2, 1.1.3)
чению. Подставляя (1.130) в (1.129), получим
"={1 + 3(£Е] f• (ED
Теперь очевидно, что
w 10Tl 7 WsR"
В дальнейшем мы увидим, что и другие характеристики излучения в ультрарелятивистском случае совпадают с характеристиками синхротронного излучения.
Если ускорение а 丄 в(1*131) заменить согласно (1.130),то придем к мощности мгновенного излучения, выраженной в терминах электромагнитных полей (1.71).
Угловое распределение и линейная поляризация излучения. Так как спектрально-угловое распределение синхротронного излучения (формула Шотта) не зависит от азимутального угла 夕,то, не умаляя общности рассуждений, будем считать, что 夕 = S Тогда углы 0 и % = /2 — 0 будут лежать в плоскости XZ (см. рис. 1.20). Далее введем новую переменную
=,1—2 = 7 sin X*(L 匕2)
В ультрарелятивистском случае углы х малы и в этом приближении
—俨 sin^2 ^-(1 + ^2) = (j + X?) = 〃L (1.133)
Рассмотрим угловое распределение линейно поляризованного синхротронного излучения. Согласно уравнениям (1.91), (1.92), (1.132) и (1.133) получим
等=XW"Fsr, ^^ = X 夕侬)Wsr,* = X®W"Fsr,
XW)=备計MW，(口34)
21115@2
X з侬)=正(1 + @2)5/2) X0 侬)=正(1 + 产)7/2)
X = Xg+X仇X@)d^= L
На рис. 1.16 представлены графики функций X, X夕 и X®. Полная мощность излучения и a-компонента имеют равный по величине центральный
максимум при ^ = 0, так как тг-компонента в этом случае обращается в нуль. Максимальные значения тг-компоненты приходятся на ^ = ±，0,4. Отношение максимумов равно
Х(@ = 0)Х®@ = ±^Щ4)Х(@ = 0)Х®@ = ±^Щ4)1 79/22 戸 5,33^1 79/22 戸 5,33^
Х(@ = 0)Х®@ = ±^Щ4)
Х(@ = 0)Х®@ = ±^Щ4)
1 79/2
2 戸 5,33^
1 79/2
2 戸 5,33^
Разумеется, если в формулах (1.134) провести интегрирование по ^, то мы получим известные нам результаты (1.93). Интегрирование осуществляется с помощью интегралов типа (1.125).
Рис. 1.16. Зависимость линейной поляризации от угла излучения. Функции Х« и X® описывают а- и тг-компоненты линейной поляризации соответственно, аХ = Х^ + + Хе ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излученияРис. 1.16. Зависимость линейной поляризации от угла излучения. Функции Х« и X® описывают а- и тг-компоненты линейной поляризации соответственно, аХ = Х^ + + Хе ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Рис. 1.16. Зависимость линейной поляризации от угла излучения. Функции Х« и X® описывают а- и тг-компоненты линейной поляризации соответственно, аХ = Х^ + + Хе ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Рис. 1.16. Зависимость линейной поляризации от угла излучения. Функции Х« и X® описывают а- и тг-компоненты линейной поляризации соответственно, аХ = Х^ + + Хе ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Интересно, что формулы линейной поляризации синхротронного излучения в ультрарелятивистском случае сначала были получены А.А. Соколовым и И.М. Терновым в рамках квантовой теории [56] и лишь затем ——в классической теории [57].
Приведенные выводы проверялись экспериментально ① А Королевым и сотрудниками [58, 59] на синхротроне ФИАН в области энергий порядка 250 и 680 МэВ(СМ" также работы [60, 61]). Они исследовали поляризацию и угловое распределение интенсивности излучения. Были идентифицированы а- и 7г-компоненты излучения, характеристики которых оказались в хорошем согласии с теорией. Эксперимент подтвердил основные теоретические выводы.
Более полную информацию о современном статусе экспериментальных работ в области синхротронного излучения и его применений в различных областях науки и техники можно найти в [61—65]”
Спектральный состав и круговая поляризация излучения.
Перейдем к рассмотрению спектрально-углового состава излучения. Для
ультрарелятивистского электрона непосредственное исследование точной формулы Шотта (1.112) приводит к некоторым математическим трудностям. Они связаны с тем, что максимум излучения соответствует очень высоким гармоникам ш = пси, которые вошли как в аргумент, так и в индекс функций Бесселя. Эти трудности довольно легко преодолеть, если при анализе синхротронного излучения воспользоваться известным асимпто™ тическим представлением для бесселевых функций большого индекса (см., например, [66, 67, 71, 72]):
(1.135)(1.135)
(1.135)
(1.135)
d2W而dQd2W而dQе2 w227rp Шуе2 w227rp Шу2'^TAi，2(z') + x Ai2 (z)2'^TAi，2(z') + x Ai2 (z)Wy = I IWy = I I(1.137)(1.137)
d2W而dQ
d2W而dQ
е2 w2
27rp Шу
е2 w2
27rp Шу
2'
^TAi，2(z') + x Ai2 (z)
2'
^TAi，2(z') + x Ai2 (z)
Wy = I I
Wy = I I
(1.137)
(1.137)
где К]_/з и К2/з — модифицированные функции Бесселя.
С учетом этой аппроксимации и других приближений в формуле Шотта при 1 н 几》1 необходимо сделать следующие преобразования:
п = , dn =——='dG = 1, da =——d吵)(1.136)
ww с7'
Jn{n(3 sin 6») =- (1 + ^2)1/2K1/3(x),
Try 3 7
4(^ sin 6») = T = (1 + ^2)K2/3(x),7TV o 7
где〜
Тогда вместо формулы (1.112) получаем
嘉=* [(1 + 峭2+ ^М/зИ-(1-138)
где g ^ с/p. Тем самым впервые спектральное распределение мощности синхротронного излучения было представлено в виде хорошо известной кривой (см. рис. 1.17) как результат интегрирования (1.137) по угловым переменным при помо-
Как и ранее, первый член в квадратных скобках соответствует екомпо- ненте, а второй ——тг-компоненте линейной поляризации излучения.
Чтобы получить спектр, в формуле (1.138) надо проинтегрировать по телесному углу, фактически, по 吵(см. данное выше определение dQ). Для этого нам потребуются интегралы (см., например, [72])
j （1 + 吵2尸1^/3（e）即=合
1k5/3(步川С+k2/3a)
-У-
(1.139)
吵 2(1 + 吵 2)K：/3(c)d^ =焉
1k5/3(步川С —к2/3a)
-У-
Переменная
2
более удобна для анализа спектрального состава излучения. Учитывая, что
о 2 9
S2dS = — —g2dу
16 р3 у ⑦
находим асимптотическую (« т 1) формулу
箒=W盡 У(и)，(Ы40)
где
Q 2
0傩=(Ы41)
У(д) = "g K5/3(x)dx, Y(y)dy = 1.
уО
Функция У (g) определяет спектр синхротронного излучения и, так как она нормирована на единицу, то после интегрирования по всему спектру получим
Ж = W黑
щи таблиц функций Эйри, составленных В .А. Фоком [66].
Здесь использовано современное представление функций Эйри (см., например, [74]):
VW<2/3 С = ；/3/2功
7Г V о7Г 7 °о
爲他）=鬻"爲他）=鬻"Эти результаты впервые были получены Д.Д. Иваненко и А.А. Соколовым [76]. Не представляет труда найти также спектральный состав компонент линейной поляризации излучения:
爲他）=鬻"
爲他）=鬻"
K5/3（c）dc + k2/3仅）,
-У-
K5/3（c）dc 一k2/3仅）•
-У-
М/зОМ =工М/зОМ =工Kb/^x）dxdy =Kb/^x）dxdy =Дальнейшее интегрирование по g о суще ствляется при помощи интегралов
М/зОМ =工
М/зОМ =工
Kb/^x）dxdy =
Kb/^x）dxdy =
Уо у
после чего мы снова получим формулы （1.93）.
Графики функций У, % и 爲 представлены на рис. 1.17.
Рис. 1.17. Зависимость линейной поляризации от номера гармоники. Функции Y中 и 爲 описывают а- и тг-компоненты спектрального распределения соответственно, а У = Y^ + Yq ——нормированная функция полного спектрального распределения синхротронного излученияРис. 1.17. Зависимость линейной поляризации от номера гармоники. Функции Y中 и 爲 описывают а- и тг-компоненты спектрального распределения соответственно, а У = Y^ + Yq ——нормированная функция полного спектрального распределения синхротронного излучения
Рис. 1.17. Зависимость линейной поляризации от номера гармоники. Функции Y中 и 爲 описывают а- и тг-компоненты спектрального распределения соответственно, а У = Y^ + Yq ——нормированная функция полного спектрального распределения синхротронного излучения
Рис. 1.17. Зависимость линейной поляризации от номера гармоники. Функции Y中 и 爲 описывают а- и тг-компоненты спектрального распределения соответственно, а У = Y^ + Yq ——нормированная функция полного спектрального распределения синхротронного излучения
Круговая поляризация излучения согласно （1.113 ） определяется выражением
"公‘=I 322:5［（1 + 吵2）k2/3（С）土吵（1 十吵2）k1/3（e）fd6
"山乙 О /4 C J
При интегрировании по 吵 возникает еще один интеграл от смешанного
члена. Однако он обращается в нуль вследствие нечетности подынтегрального выражения. Поэтому после интегрирования по спектру получим
IZ（+）= w（-）=
Отсюда следует, что степень круговой поляризации излучения обращается в нуль:
八（土） = Е —
ж（+）+ w（-）
Для исследования качественной картины спектрального распределения достаточно исследовать поведение функции У （д） в двух крайних случаях у <^1иу^1.
Если учесть, что при малых значениях у （см. [74]）
то, пользуясь правилом Лопиталя,
можно найти
g K5/3（c）dc =
Отсюда при g « 1 легко получить
1仅）
r（l）产
т.е. мощность излучения возрастает из частоты излучения S = д®*, где
=
——критическая частота излучения.
В другом крайнем случае g》1, функции （см. [74]）
%®） ~
находим
У k5/3（e）姦
У
и, стало быть,
\
пропорционально корню кубическому
1 73（1-142）
2 р
учитывая асимптотическое поведение
怎（1-143）
Таким образом, для частот выше критических g》/ мощность излучения экспоненциально спадает с ростом номера гармоники. Отсюда можно сделать вывод о том, что основная часть излучения приходится на частоты вблизи критической.
Впервые этот результат был опубликован в работе Л.А. Арцимовича и И.Я. Померанчука в 1945 [77]. Впоследствие оказалось (см. § 1.3), что эту и другие особенности синхротронного излучения можно вывести более простым способом.
Как видно из формулы (1.142), при очень больших энергиях вращающегося электрона критическая частота излучения (частота, вблизи которой лежит максимум излучения) может попасть в видимую, ультрафиолетовую и даже рентгеновскую часть спектра, т.е. электрон, в буквальном смысле, становится «светящимся» (А.А. Соколов). Это излучение было обнаружено визуально в 1947 в лаборатории Поллока (США) при ускорении электронов в синхротроне [78]. В полном согласии с выводами классической теории синхротронное излучение было направлено вперед по движению заряда и наблюдалось в виде красноватого (при 30 МэВ) и голубоватого (при 70 МэВ) пятна, столь яркого, что оно было видно даже при дневном свете. Дальнейшие исследования (см. [79]) спектрального состава синхротронного излучения полностью подтвердили справедливость классической теории.
Если спектрально-угловое распределение излучения (1.114) проинтегрировать по частотам, то, как и должно быть, получим рассматривавшиеся выше формулы для углового распределения излучения (1.134). При интегрировании следует использовать формулу [51]
Kp(x)Ku(x)xfl~1dx =
где 〃，〉〃 + 〃 применяя которую, найдем нужные нам интегралы:
x2Ky3{x)dx =x2Ky^x)dx =
оо
Для получения углового распределения круговой поляризации излучения необходимо знание еще одного интеграла:
f27r
J x2K1/3{x}K2/3{x)dx =
о
Тогда, действуя обычным образом, находим
X（土）⑹頂（X（土）⑹頂（7+12^232@、
X（土）⑹頂（
X（土）⑹頂（
2(1+ @2)7/2 土 ^(1 + у)з 丿”
Графики компонент круговой поляризации изображены на рис. 1.18, из
которого видно, что функции Х(±)(⑦)имеют максимумы соответственно при 吵 ±0.34.
Рис. 1.18. Зависимость круговой поляризации от угла излучения. Функция Х(土) описывает соответственно правую (+) и левую ( —) круговые поляризации излучения, а X = х(+)+ х(-) ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излученияРис. 1.18. Зависимость круговой поляризации от угла излучения. Функция Х(土) описывает соответственно правую (+) и левую ( —) круговые поляризации излучения, а X = х(+)+ х(-) ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Рис. 1.18. Зависимость круговой поляризации от угла излучения. Функция Х(土) описывает соответственно правую (+) и левую ( —) круговые поляризации излучения, а X = х(+)+ х(-) ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Рис. 1.18. Зависимость круговой поляризации от угла излучения. Функция Х(土) описывает соответственно правую (+) и левую ( —) круговые поляризации излучения, а X = х(+)+ х(-) ——нормированная функция полного углового распределения синхротронного излучения
Сумма компонент круговой поляризации, очевидно, должна равняться сумме линейных поляризаций, т.е.
Х = Х(+)+Х(—)=Xq + X&*
Теоретические исследования линейной и круговой поляризаций синхротронного излучения оказались в хорошем согласии с экспериментом [58, 59] (более подробно см. [61]).
Некоторые особенности низкочастотного излучения при /3^1. В связи с тем, что в ультрарелятивистском случае почти вся мощность излучения приходится на высокие гармоники, исследованиям низкочастотной области спектра синхротронного излучения до сих пор уделялось мало внимания. Считалось, что на фоне мощного высокочастотного излучения наблюдение низких частот практически невозможно и, следовательно, эта область синхротронного излучения малоинтересна.
Тем не менее, как оказалось [80], излучение первых гармоник в спектре синхротронного излучения обладает рядом замечательных особенностей, на основе которых можно успешно идентифицировать и исследовать свойства этого излучения.
Заметим вначале, что нерелятивистское спектрально-угловое распределение излучения (1.118), полученное из формулы Шотта (1.112) при малых значениях аргумента функций Бесселя % = пр sin 0, можно использовать и в релятивистском случае для анализа излучения в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты (малые 0):
dWndWn2 22 2
dWn
dWn
2 2
2 2
dQ
где
——спектрально-угловая индикатриса мощности излучения, усредненной по периоду движения электрона. Отсюда следует, что в направлении 0 = 0 излучается только первая гармоника, причем о- и тг-компоненты излучения будут при этом одинаковы:
ра(/3,0,1) = ^(/3,0,1) = |.
Примечательно, что это соотношение не зависит от скорости частицы и остается конечным даже в ультрарелятивистском случае 0 Tl. Отсюда следует, что первую гармонику излучения можно наблюдать в направлениях О = 0,7r, ПрИчем излучение других гармоник не создает при этом помех.
В общем случае согласно формуле Шотта (1.112)
Г0'
(1.144)(1.144)Р(р^ А 几)=2M 4(n/з sin 0) + 併-病-0 j„50 sin 6»)"
(1.144)
(1.144)
Здесь, как и ранее, первый член соответствует а-, а второй ——тг-компоненте излучения. Соответствующие спектрально-угловые индикатрисы обладают азимутальной симметрией и конечны при любых значениях /3. Согласно (1.144) при п》2 излучение в направлениях ^ = 0, тг отсутствует. Интересно, что вопреки «привычным» релятивистским представлениям максимум углового распределения на низких гармониках п > 2 при 13 Tl не стремится к плоскости орбиты, в которой лежит скорость частицы. Напротив, угол, на который приходится максимум излучения, с увеличением скорости частицы растет и при /3 = 1 достигает своего наибольшего значения. Численный расчет дает следующие значения этих углов (в градусах):
п
2
3
4
5
10
50
р
44,4953
53,7781
58,7084
61,89И
69,3438
78,9700
Рь
51,1596
61,5585
66,9411
70,3318
77,8576
85,9218
07Г
40,1667
48,9118
53,7086
56,8855
64,6643
75,7228
Отсюда видим, что в ультрарелятивистском случае максимумы излучения
низких гармоник весьма далеки от угла 0 = тг/2 (отличаются на десятки градусов!) и, кроме того, весьма заметно отличаются друг от друга при различных п (рис. 1.19). Это свидетельствует о том, что возможно экспериментальное наблюдение низких гармоник при выборе различных углов наблюдения.
Существенной особенностью низкочастотной части синхротронного излучения является то, что оно формируется всей траекторией частицы (а не только малыми участками дуги, как это имеет место в области высоких частот). Следовательно, апертура приемника излучения должна позволять «видеть» всю траекторию частицы. Как мы знаем, в высокочастотной области волновая зона излучения релятивистской частицы начинается на близких расстояниях от частицы (см. п. 1.1.3). Для низких частот это совсем не так даже в ультрарелятивистском случае.
Кинематический метод в теории ультрарелятивистского излучения. Как было показано сначала В.В. Владимирским [73], а затем Ю. Швингером [71], все рассмотренные выше свойства ультрарелятивистского синхротронного излучения можно получить более простым, изящным и, по существу, кинематическим методом (см. также [2]).
В основе этого метода лежит тот факт, что ультрарелятивистское синхротронное излучение почти полностью концентрируется вблизи плоскости орбиты и к наблюдателю, расположенному в плоскости п и /3, попадает практически все излучение, испускаемое с очень малой длины дуги окружности △厶ad в направлении скорости электрона (рис. 1.20). Длину дуги излучения Arad =夕△夕 можно определить с большой степенью точности, если в качестве △夕 принять угол между теми двумя направлениями, в которых излучение полностью отсутствует [см. (1.51)]. В системе покоя эти направления ортогональны скорости и совпадают с направлением ускорения (см. рис. 1.6 г), т.е.夕'=тг/2, Зтг/2. В лабораторной системе, согласно преобразованию Лоренца для углов, имеем
•— 02 sin” 1
Sin 8—=—,
1 + 0 cos(pf 7
что соответствует значениям &” в формуле (1.51). Отсюда следует, что △夕 md = 2/*
Таким образом, длина дуги, на которой формируется излучение, поступающее к наблюдателю (длина формирования излучения, см. также [45]):
△Zrad = pA^rad =子(1.145)
В точке наблюдения будет зафиксирован всплеск электромагнитных полей, приходящих от △Zrad* Очевидно, что мощность излучения движущегося источника будет максимальной для электромагнитных волн с разностью
()ь + к К——————)ьК— а I • |)к〔1 н 0 s& XBXsH02dBJ xsxmsH вн KWHGh/CLfmlH ог-оххоано&Е so Osxos5^cort^ OOWOE^ .^^^ .os^()ь + к К——————)ьК— а I • |)к〔1 н 0 s& XBXsH02dBJ xsxmsH вн KWHGh/CLfmlH ог-оххоано&Е so Osxos5^cort^ OOWOE^ .^^^ .os^
()ь + к К——————)ь
К— а I • |)к〔1 н 0 s& XBXsH02dBJ xsxmsH вн KWHGh/CLfmlH ог-оххоано&Е so Osxos5^cort^ OOWOE^ .^^^ .os^
()ь + к К——————)ь
К— а I • |)к〔1 н 0 s& XBXsH02dBJ xsxmsH вн KWHGh/CLfmlH ог-оххоано&Е so Osxos5^cort^ OOWOE^ .^^^ .os^
фаз △& и длиной формирования излучения △厶а(ь если
△ а = ®тах ^■△厶ad + ™ (HZXlracj) = ^®тах(1 — P ^08 ^')△^rad,
поскольку в этом случае их амплитуды складываются. Таким образом, длина формирования излучения равна
1
△/rad ~ ~ 彳 п ； •
^max 1 一 Р COS X
В ультрарелятивистском случае можно принять и = с и для излучения «вперед» (х = 0) получаем
△Zmd ~ ~72 = ^тах72-(1.146)
^тах
Если приравнять (1.145) и (1.146), то можно определить величину Smax:
®max = 7Г —7 •Р
Эта величина почти точно совпадает с выражением (1.142), которое было получено в систематической теории излучения.
Рис. 1.20. Сопутствующая система для ультрарелятивистского случая. Вектор п лежит в плоскости /ЗН; п^ = —и® = пх, па = —口屮
Кинематический метод состоит в том, что все переменные разлагаются в ряды по малым параметрам)一\ ct/p и х« Без ограничения общности можно считать, что х ——угол между вектором п и плоскостью орбиты.
После этого необходимые нам переменные с точностью до второго порядка малости примут вид (е < 0)
п = (1 - ^~,0,х) , пст = (0,-1,0), п» = (—х,0,1 - 书.
Единичные векторы поляризации адаптированы к системе координат, пока™ занной на рис. 1.11а. Фазовый множитель фурье-образа электромагнитной волны в (1.103):
ГСГС/3 exp < ш t/3 exp < ш t：(пг) ｝必：(пг) ｝必
ГС
ГС
/3 exp < ш t
/3 exp < ш t
：(пг) ｝必
：(пг) ｝必
можно представить в виде
Ш 力 _ 1 (nr)Ш 力 _ 1 (nr)
Ш 力 _ 1 (nr)
Ш 力 _ 1 (nr)
где
С力1 ®0 312
£ =万〃ж= з—^， 〃 = у+х*
Используя интегралы Эйри [74]:
22^ /《2/3⑺=^ /《2/3⑺=ехр|^|ж И + ｝代ехр|^|ж И + ｝代ехр*|с И + 卜代ехр*|с И + 卜代
2
2
^ /《2/3⑺=
^ /《2/3⑺=
ехр|^|ж И + ｝代
ехр|^|ж И + ｝代
ехр*|с И + 卜代
ехр*|с И + 卜代
находим
用=_专赛及/3⑺，用=2专号X g + X2) Kl/3(吟
После подстановки этих выражений в (1.97) снова получим (1.138).
Пределы применимости классической теории излучения. В ультрарелятивистском случае электрон находится под воздействием раз™ личных факторов, которые в стандартной классической теории вообще не
учитываются. Это ——сила радиационного трения, а также квантовые и спи™ новые эффекты.
Подробные обзоры по проблеме радиационного трения можно найти в работах [13, 26, 82-84] (см. также [85-88]% Уравнение движения электрона с учетом силы радиационного трения рассматривалось в работах [90—97] и др. Однако обсуждение всех проблем, связанных с силой радиационного трения, выходит за рамки нашей задачи. Здесь мы обсудим лишь Крите™ рий применимости классической теории излучения при наличии заметного влияния силы радиационного трения. Квантовые и спиновые эффекты в излучении ультрарелятивистских электронов будут рассмотрены также в гл. 4.
Начнем с того, что критерии применимости классической теории син= хротронного излучения в нерелятивистском и ультрарелятивистском слу= чаях существенно отличаются друг от друга. В самом деле, согласно (1.41) уравнение движения заряда с учетом силы радиационного трения имеет вид
尸丛=+曲=勿力仅j(1.148)
где
& С
—сила Лоренца,
~2 /о1о \
F丛=可£仅)(1.149)
——сила радиационного трения.
Прежде всего заметим, что уравнение (1.148) справедливо в предполо™ жении малости динамической электромагнитной массы (см. (1.42)):
~2 е2
3
т.е. на расстояниях, значительно больших классического радиуса электрона:
В предположении, что & < г, это условие соответствует кулоновским полям:
石《石* =(1Л50)
или, в терминах швингеровского критического магнитного поля:
Я* =少=4,4Ы013 Э,(1.151)
имеем
石《=丄Н* = 6,05-1015 Э,(1.152)
где а = &2/%с ——постоянная тонкой структуры. Поля 石* известны как граница, за которой классическая электродинамика приводит к внутренним противоречиям (см. [1], с. 267).
В приближении малости силы радиационного трения по сравнению с силой Лоренца, когда
犷=—М м(1.153)
mo сmo с疗&么'
формулу (1.149) можно переписать в виде
0"0又+ —H^Hvpvp + 工储間储Pнр^ну入储入)* mo с尸mo с3尸у
(1.154)
Далее для простоты будем рассматривать наиболее характерный для синхротронного излучения случай однородного магнитного поля. Тогда в нерелятивистском приближении наиболее существенным будет второй член в формуле (1.154) и с учетом wM из (1.153) получим
2 е32 е3
2 е3
2 е3
(1.155)(1.155)(1.156)(1.156)
(1.155)
(1.155)
(1.156)
(1.156)
а для трехмерного вектора
〜2
F|f = gRwH]*
Обратим внимание на то, что для любого знака заряда этот вектор на™ правлен против скорости частицы. Принимая во внимание, что в нашем случае |w| =)%丄，где
с” реН
a 丄==,
р W7
для модуля I F I имеем
22 Я
Поскольку в магнитном поле
|Fe| = 72m0a±,
то критерии малости силы радиационного трения в нерелятивистском слу= чае принимает вид
|F|2 Я
|FJ ='
(1.157)(1.157)или по порядку величины
(1.157)
(1.157)
что соответствует полям (1.150).
В ультрарелятивистском случае в формуле (1.154) превалирует пропори циональный 73 последний член и, следовательно,
Для vM = 7с(1,0) имеем
"3 WgC4
Таким образом, сила радиационного трения снова направлена против скорости частицы. Принимая во внимание (1.155) и (1.156), получим реля™ тивистский критерий малости силы радиационного трения:
I五 I 2 Я
или
(1.158)
Отсюда следует, что в релятивистском случае влияние силы радиационного трения на применимость уравнений движения (1.148) начинает проявляться при значительно более слабых магнитных полях, чем в нерелятивистском случае (1.158). Тем не менее, даже для ультрарелятивистских электронов допустимые внешние магнитные поля находятся в приемлемом для зкспе= риментальных установок диапазоне (см. таблицу)
Екнн
7
Ж
10 ГэВ
1,96-104
0,999999998694
1578 Тл
50 ГэВ
9,78-104
0,999999999948
63 Тл
С точки зрения квантовой теории условие малости силы радиационного трения вытекает из закона сохранения энергии при излучении:
то с2 7 = тос2^ + 扁.
Для того, чтобы электрон оставался релятивистским после излучения фотона с энергией 冇方，необходимо потребовать выполнения условия
m0c27》/iS.
Полагая здесь
〜3 с о *
ш - ш2 Р
——частоте, на которую приходится максимум мощности излучения реллти= вистского электрона (см. (1.142)), получим квантовые условия применимо™ сти классической теории излучения:
Н《Lh**(1.159)
7
Сравнив это условие с (1.158), можно заметить, что не исключается ин™ тересная ситуация, когда сила радиационного трения даже велика по срав= нению с силой Лоренца, а квантовые ограничения все еще незначительны (см. [26], с. 69):
Вопросы когерентности синхротронного излучения
Рассматривавшиеся до сих пор свойства синхротронного излучения от= носились к излучению одного отдельного электрона. Однако в реально существующих излучательных установках, а также в источниках синхро™ тронного излучения природного, например, космического происхождения (см. гл. 9), в процессе излучения может участвовать большое количество электронов, распределенных в пространстве самыми разнообразными сио собами. В одних устройствах электроны почти равномерно распределены по орбите (бетатрон), в других ——сгруппированы в отдельные сгустки, или банчи, содержащие до 1012^1013 частиц (синхротрон). В результате интерференции электромагнитных волн от огромного числа электронов, в принципе, может возникнуть ситуация, когда характер полного излучения будет существенным образом отличаться от излучения одного электрона. В таком случае говорят о появлении когерентного излучения.
Обсудим проблему когерентности синхротронного излучения более по™ дробно (см. также [61,67]). Согласно (1.110) напряженность электрического поля излучения находящегося на круговой орбите Зго электрона определяй ется выражениями
百⑺(t)=工现4 cosmА — &М Eei(t) = ^^bn0 sin п(ш£- di), n=0n=0
где a〃 = 3R] c + 夕 ——фаза г-го электрона, i = 1, 2,3,..., Z.
Проведем усреднение квадратичных комбинаций поля излучения в спек™ тральном распределении (1.98) с использованием интегралов
1/〜〜〜
— sin几(以力—%) cos 力—Qj)dt = О,
о
亍 sinn(cjf — a^sinn/fcjt — dj)dt = 0
1 f〜1
=亍 cos n3t — cii) cos n (a;t — %，)d力=且底疗 cos п(а^ — cij). о
После этого мощность излучения п-й гармоники представляется в виде
WnZ = ^zWn,
где Wn — мощность излучения одного электрона,
Sz = Z + ^2 cos 几 & — %)
——так называемый фактор когерентности. Если электроны распределены на орбите хаотически, то Sz = Z и излучение будет некогерентным. Ео ли же электроны расположены равномерно — так, что угол между двумя соседними электронами равен 2?r/Z, то
Sz = Z 工 cos n — i.
Вычисляя сумму [67]
Е
2-7Г ./ 案 Sin П7Г
1) ^^
находим, что Sz = 0 во всех случаях, когда отношение s = n/Z не лвлл= ется целым числом. Таким образом, излучается только та гармоника, для которой $ будет целым числом. Тогда фактор когерентности вычисляется предельным переходом:
Sz = lim(—1 广Sz = lim(—1 广sin П7Г(1 + £)COS 57Г(1 + £)sin П7Г(1 + £)COS 57Г(1 + £)sin S7T(1 + £)sin S7T(1 + £)=к工=к工
Sz = lim(—1 广
Sz = lim(—1 广
sin П7Г(1 + £)COS 57Г(1 + £)
sin П7Г(1 + £)COS 57Г(1 + £)
sin S7T(1 + £)
sin S7T(1 + £)
=к工
=к工
В этом случае будет наблюдаться когерентное излучение с мощностью [см. (L115)]
(1Л60)
—(1—声)I hsz{x)dx *о
В нерелятивистском случае максимум когерентного излучения при дан™ ном Z соответствует значению s = 1 и согласно аппроксимациям функций Бесселя (1.123) будем иметь
"金=亨才終产号^ (1.161)
По существу, эта формула определяет мощность нерелятивистского из™ лучения как функцию концентрации электронов на орбите. При Z = 1 значение Ws=i, как и должно быть, совпадает с мощностью нерелятивист™ ского синхротронного излучения на первой гармонике для одного электрона [см. (1.120), формула Лармора]. При Z = 2, для двух симметрично расположенных на круговой орбите электронов, первая гармоника подавлена, а максимум когерентного излучения, пропорциональный Д2, приходится на вторую гармонику. При Z = 3, когда на орбите находятся три симметрично расположенных электрона, подавлены как первая, так и вторая гармоники, а пропорциональный Д4 максимум приходится на третью гармонику и т.д. В конечном итоге, эти свойства ведут к тому, что постоянный круговой ток (Z》1) с нерелятивистскими электронами вообще излучать не будет. Заметим, что формула (1.161) была получена еще Дж. Томсоном (см. [52]).
В ультрарелятивистском случае следует использовать аппроксимацию функций Бесселя (1.135) и формулы (1.140), (1.141), в которых следует заменить
22
Уdyз
(мы учли, что для когерентного излучения s ——целое число). Окончательно
в первоначальной (одночастичной) шкале частот будем иметь (ср. (1.140))
04 j&/3
У
где W^ ——асимптотическая мощность излучения (1.141). Частота, на кото™ рую приходится максимум излучения, определяется теперь соотношением (1.142):
Отсюда следует, что максимум когерентного излучения соответствует
Так как наблюдаемая (разрешенная) частота излучения определяется выражением
ш =簿 з = sZuj^
то спектральное расстояние между соседними спектральными линиями равно Zcj. Это означает, что спектральный состав очень сильно зависит от концентрации электронов. Можно выделить три разных случая: Z «)?, Z ^)з и Z》)з • Первый случай соответствует малым концентрациям злек= тронов. При этом максимум когерентного излучения приходится на <§*》 》1, однако непрерывность спектра, характерная для излучения одного электрона, почти не меняется. С возрастанием концентрации электронов, равномерно распределенных на круговой орбите, спектральное расстоя™ ние между разрешенными спектральными линиями плавно увеличивает™ ся, причем номер первой разрешенной гармоники приближается к s* и в случае Z ^)% он находится вблизи максимума спектрального распределе™ ния одноэлектронного синхротронного излучения. Низкочастотная область спектра в этом случае сильно подавлена. Наконец, в третьем случае Z》)％ первая разрешенная гармоника попадает в высокочастотную ниспадающую область спектра, где g》1 [см. (1.143)]. При очень больших концентрациях электронов, равномерно распределенных по окружности, излучение полно™ стью исчезает. Как и в нерелятивистском случае, непрерывный круговой ток не излучает. Таким образом, когерентное синхротронное излучение ультра™ релятивистских электронов более характерно для низкочастотной области спектра. В действительности, релятивистское синхротронное излучение, как мы видели, формируется на малой длине дуги окружности △(/? 1/7 и, следовательно, число электронов, участвующих в излучении, значительно уменьшается: Z f Z/27r7a К тому же, равномерное распределение злек= тронов на круговой орбите является чрезмерной идеализацией.
В связи с этим представляет интерес обсудить эффекты когерентности синхротронного излучения отдельных электронных сгустков. В этом случае фактор когерентности представляется в виде [98]
Sz = Z(l—2九
Излучение полностью когерентно, если Д = 1, и некогерентно для /5 = =0. В предположении, что распределение электронов по азимуту симмет™ рично относительно некоторой точки отсчета (например, нуля по азимуту), функция fs дается выражением
'=(]"& 仅 m) cos “&),
где w(a) является вероятностью того, что электроны находятся на ор6и= те в угловом интервале между а и а + da. В частности, если электроны распределены равномерно на угловом интервале а, то
И,
/ sin sa/2 \ 2
Если же электроны распределены на азимуте по закону Гаусса, то
и соответственно
Рассмотрим теперь когерентное излучение релятивистских электронов в наиболее существенной длинноволновой области. В этом случае полная мощность когерентного излучения представляется в виде
Wz = W^hfsds,
о
суждался в связи с радиационным пределом в работе бетатронов. Вначале предполагалось, что потери энергии электронов на излучение в бетатроне будут незначительны вследствие эффекта когерентности излучения для кругового тока (см. работу Г.С. Болдуина о первых наблюдениях синхротронного излучения [75]). Однако исследования Л.А. Арцимовича и И.Я. Померанчука [77], а также решающие эксперименты Дж.П. Блюита [82], показали, что бетатронное излучение некогерентно. Более того, оказалось, что предел достижимых энергий электронов в бетатронах обусловлен именно потерями энергии на некогерентное излучение.
где Wg вычисляется асимптотически (у <^ 1):
嗯構=0碟工嗯構=0碟工е2с 31/6Г(2/3)Р27Ге2с 31/6Г(2/3)Р27Г
嗯構=0碟工
嗯構=0碟工
е2с 31/6Г(2/3)
Р27Г
е2с 31/6Г(2/3)
Р27Г
После интегрирования по разрешенным s-гармоникам с использование ем формул (см. [99])
sin2 ах л 7г (2а)л
诞 с W「(b) sin(7Г(Ь — 1)/2)'
F [他+ D/2]2凉计1)/2
получим
2 ,2 ,
2 ,
2 ,
Отсюда следует, что форма сгустка слабо влияет на мощность когерентного излучения. Обратим внимание на то, что в длинноволновой области мощ™ ность излучения 〜Z2 и, что очень важно, не зависит от энергии электро™ нов. В этом случае размеры сгустков сравнимы с длиной волны излучения. Спектральный состав когерентного синхротронного излучения в далекой инфракрасной области экспериментально наблюдался в Японии [100, 101].
Наиболее мощное высокочастотное синхротронное излучение, напро™ тив, является некогерентным и весьма существенно зависит от энергии. Этот вывод подтверждается многочисленными экспериментами, в которых мощность излучения сгустков электронов в синхротронах и накопительных кольцах пропорциональна Z и 74 M Таким образом, эксперимент находится в полном согласии с теорией синхротронного излучения отдельного злек= трона. Другие аспекты когерентности синхротронного излучения дискути™ руются в работах [84, 102-106].
ГЛАВА 2
СПИНОВЫЕ СВОЙСТВА
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ1
Кинематика спина в классической и квантовой теории
История открытия и создания основ классической и квантовой теории спина, начиная с известной гипотезы Г. Уленбека и С. Гаудсмита [1], а также основополагающих работ Я.И. Френкеля [2], В. Паули [3] и П.А.М. Дирака [4] хорошо известна в литературе [5—8] Однако систематические исследования спиновых свойств элементарных частиц в квантовой теории начались только с развитием теоретико-групповых методов, в первую очередь, благодаря работам Е. Вигнера, В. Баргманна [15—17] и Ю.М. Широкова [18] (см. также работы [19, 21, 22]). В результате этих исследований было установлено, что понятие спина и его кинематические свойства заложены в самой структуре неприводимого представления группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца), которое соответствует элементарной, по Вигнеру [23], системе с одним знаком энергии и двумя инвариантами (масса и спин).
Долгое время классическая и квантовая теории спина развивались, по™ существу, независимо друг от друга. Вначале даже казалось, что между ними вообще не существует никакой связи и только спустя много лет после появления гипотезы Г. Уленбека и С. Гаутсмита было установлено, что при % т 0 квантовая теория спина имеет классический предел (см. [10-12]), а в квазиклассическом приближении из уравнения Дирака с дополнительным взаимодействием Паули, которое учитывало аномальный момент электрона, следует чисто классическое уравнение движения спина, полученное ранее В. Баргманном, Л. Мишелем и В.Л. Телегди [13] (так называемое ЕМТ・ уравнение). Таким образом, история полностью подтвердила правильность замечаний Н. Бора [14] (см. вторую статью Г. Уленбека и С. Гаудсмита в Nature [1]) о важности гипотезы «вращающегося электрона» и принципа соответствия классических и квантовых представлений в физике микромира.
Основные предпосылки классической теории спина. В релятивистской классической механике орбитальный момент импульса точечной бесспиновой частицы с координатами 7屮 и импульсом 夕丛 определяется тензором
£仙"=7 小 р"—『"рМ =
Компоненты L^ образуют матрицу
ХВ.А. Бордовицын
/0— Ку-凡Кх0Lz—LyКу0Lx\Kz—Lx0/0— Ку-凡Кх0Lz—LyКу0Lx\Kz—Lx0= (KJ),= (KJ),(2Л)(2Л)гдегдеL 二[гР]二L 二[гР]二m07[ru], К 二 m07(r — и力))m07[ru], К 二 m07(r — и力))
/
0
— Ку
-凡
Кх
0
Lz
—Ly
Ку
0
Lx
\
Kz
—Lx
0
/
0
— Ку
-凡
Кх
0
Lz
—Ly
Ку
0
Lx
\
Kz
—Lx
0
= (KJ),
= (KJ),
(2Л)
(2Л)
где
где
L 二[гР]二
L 二[гР]二
m07[ru], К 二 m07(r — и力))
m07[ru], К 二 m07(r — и力))
и, как всегда, 7 = 1/，1 —夕,Д = u/c, и — скорость частицы.
В общем случае тензор £丛"является времениподобным, так как в системе покоя
Напротив, собственный момент импульса, или спин, характеризуется пространственноподобным тензором S^" = (Т, S) со структурой, аналогичной £м”，однако в системе покоя
S『 = ©S)
Таким образом, если тензор M^y является полным моментом импульса, то есть
(22)(22)М 削=L^ + SR
(22)
(22)
то, исходя из этого, тензор спина S^" можно определить как пространствен™ неподобную часть тензора М 丛"：
S^ = М^ = G^aG^Ma^S^ = М^ = G^aG^Ma^(23)(23)
S^ = М^ = G^aG^Ma^
S^ = М^ = G^aG^Ma^
(23)
(23)
где
с2с2(2.4)
с2
с2
——пространственноподобный метрический тензор, удовлетворяющий свой™ ствам
G" = G* GMGJ = G『 G"G“ = 3, G『％ = 0*(2*5)
Согласно (2.3) тензор S^" удовлетворяет условию
S=0,(2.6)
которое впервые было сформулировано ИМ Френкелем [2]. Отсюда вытекает соотношение
T=[/3S]"(2.7)
Вследствие антисимметрии и условия (2.7) тензор S^" имеет всего три независимые компоненты, две из которых связаны с вращательным движением, а на третью можно наложить дополнительное условие, которое зафиксирует значение инварианта:
1方2
；S/" = S2— Т2 = _/
Справа мы выделили размерный множитель %/2^ Число《характеризует значение спина в системе покоя. В классической теории можно принять《=
Из выражения (2.3) можно выделить тензор полного момента импульса:
= ^^M^pv^vp + SMJ
Первое слагаемое в этом выражении совпадет с тензором орбитального момента импульса
(2用)
если принять
Заметим, что четырехмерный вектор Ям не совпадает с 7屮 и является пространственноподобным вектором:
&勿 1Т = 6
Отсюда
R。= (ДВ).
Принимая во внимание выражение (2.3) и условие Френкеля (2.6), получим
Поскольку вектор R^ описывает орбитальное движение частицы, то можно считать его компоненты координатами центра масс.
Для описания спина, кроме тензора S^", используется также четырех™ мерный пространственноподобный вектор sa = (s0, s), такой что
= j 尸叫"(210)
В этом случае условие Френкеля (2.6) автоматически выполняется. Соотношение, обратное (2.10), имеет вид
产=^严p°S仙(2Л1)
Легко видеть, что 尊° удовлетворяет условию Тамма [25]:
2。= 0(2.12)
Так как спин является характеристикой микрочастицы, то точное определение ( может дать только квантовая теория. Это число, очевидно, связано с собственным значением оператора спина в системе покоя частицы. См. также (2.44), (2.52) и сноску на с. 80.
и, следовательно,
= (/М
Таким образом, у нас снова имеются три независимые компоненты 尊期 и, если потребовать, чтобы
1方2
3J(2」3)
то оставшиеся две независимые спиновые компоненты будут связаны с вращательными степенями свободы. Можно показать, что выражение (2.13) представляет собой хорошо известный инвариант группы Пуанкаре, введенный ЛК. Любаньским [26] по предложению В. Паули, (см. [17]):
4р = I M^MW + 京 M"MP”PNP""(2Л4)
Это классический аналог операторного инварианта Любаньского-Паули.
Посредством преобразований Лоренца можно найти связь S^" и 5a с вектором спина в системе покоя ^.
В дальнейшем для простоты перейдем к безразмерной форме описания спина:
6。= & 7га, S^ = & IPJ(2.15)
252
Тогда, принимая во внимание (2.13), получим
m=也41"=产(2.16)
Если в системе покоя 口片"=(0, ^), а 7Гд = (0, ^), то соответствующие преобразования Лоренца имеют вид
—Т丿=(①(2Л7)
77(7+ 1)7(7+ 1)
где b = v/c = 7/3. Согласно соотношениям (2.10), (2.11) и (2.15) взаимосвязь спиновых компонент имеет следующий вид:
7га = ((ЬИ), |п + b(bU)) , IP" = ([Ьтг], 77Г — ；b(b7T)) . (2*18)
Известно, что орбитальный момент импульса для бесспиновой частицы L^ 二 Мм” сохраняется благодаря инвариантности функции Лагранжа по отношению к пространственно-временным вращениям, генерированным
тензором L^. В этом случае вариация функции Лагранжа должна быть равна нулю:
(2 Л 9) 2 ат
где 幻丛"——антисимметричный тензор вращения координат. Если вращения происходят в плоскости, ортогональной четырехмерному вектору импульса, то
吗=0,(220)
и, принимая во внимание соотношения (2.2)-(2.6), получим
吗$伍"=G“Sk(221)
Аналогичным образом вращения, подобные (2.20), могут быть описаны вектором который связан с тензором 幻丛"и импульсом Ра соотношениями
J = 4= — е^шаР^ (2.22)
27noe产 产mo сa
3©S© 二 I …忆 шаР^ 二 0.
Таким образом,
6£ = К G仙"— = Ga = 0.(2.23)
2 arar
Отсюда следует, что инвариантность функции Лагранжа при вращениях, генерированных тензором или вектором спина, в плоскости ортогональной 4-вектору импульса ведет к соответствующему закону сохранения спина. Такие вращения принадлежат введенной Е. Вигнером [15] так называемой малой группе Лоренца.
Пуанкаре-инвариантная квантовая теория спина. Аналогичное рассмотрение может быть проведено в квантовой теории на основе уравнения Дирака:
(mQc^ilpP^ = Q.(224)
где
—матрицы Дирака, Рм = —历9M — оператор импульса свободной частицы.
В отличие от вектора и тензора спина в классической теории векторный и тензорный спиновые операторы, также как и оператор координат центра масс, в квантовой теории имеют структурно конкретный вид. Покажем, как они могут быть получены.
Известно, что в теории Дирака даже для свободной частицы сохраняется только сумма проекций орбитального и спинового момента импульса (см., например, [27]). Это следует из вариационного принципа наименьшего
действия, который в квантовой теории поля для произвольных пространственно-временных вращений относительно фиксированного направления импульса
(2.25)(2.25)户足山=Р^Ф
(2.25)
(2.25)
приводит к следующему выражению оператора полного момента импульса:
应从"=*户"一产户从+ 2 0м"应从"=*户"一产户从+ 2 0м"(226)(226)
应从"=*户"一产户从+ 2 0м"
应从"=*户"一产户从+ 2 0м"
(226)
(226)
Аналогично для вращений (2.22) из малой группы Лоренца можно получить законы сохранения векторного и тензорного спиновых операторов [56]:
'仙"=余…"㈠ / = 费 e仙"叩6^2,(2.27)
причем, как и в классической теории,
S^ =А勿匕(2.28)
Интересно, что соотношения (2.10), (2.11) и (2.27) были получены разными авторами независимо как в классической [34—36], так и в квантовой [18, 21, 37—39] теории. Однако в квантовой теории, в отличие от классической, 应является конкретным оператором (2.26) и, следовательно, 6丛" и sa, согласно (2.26) и (2.28), также являются вполне определенными операторами:
6" = i 卜一鳥卜小 T")] 一。V + 訂川 7%
(2.29)
Оператор S^ был введен Дж. Хилгивудом и С.А. Ваутхайзеном [40]
(см. также [41]), a sa 一 В. Баргманном и Е.П. Вигнером [17] (см. также [4173])*
Компоненты 8丛"и sa имеют вид
》"=》"=22mo сто сmo сто с(2*30)(2*30)
》"=
》"=
2
2
mo сто с
mo сто с
(2*30)
(2*30)
Надо отметить, что некоторые из них использовались В. Фоком [44], М.Л. Прайсом [45] и А.А. Соколовым [46] (см. также [47]) задолго до того, как было получено ковариантное обобщение этих операторов.
В соответствии с (2.26), (2.29) и (2.30) операторный инвариант Любань- ского-Паули (2.14) имеет вид
iLp = ^訐=I = £ 扰=：庐 (231)
Так как в квантовой теории (см., например, [48])
4? =%"(尊 + 1),
то соотношения (2.31) соответствуют частице с полуцелым квантовым числом 5 = 1/2.
На основе операторного обобщения соотношения (2.3) с
а также определений операторов М^ в (2.28) и 8丛"в (2.29), можно найти оператор орбитального момента импульса:
=应仙"_6" = A仙户"_A"户J=应仙"_6" = A仙户"_A"户J(2.32)(2.32)
=应仙"_6" = A仙户"_A"户J
=应仙"_6" = A仙户"_A"户J
(2.32)
(2.32)
где
(233)
—пространственноподобный оператор координат центра масс:
Ям4 = 0.
Набор релятивистски инвариантных коммутационных соотношений ме~ жду операторами 户匕 м^, £м“，«м“，sa и R^ имеет следующий вид [56]:
=ihP[ag^] = ^,Ма^ ,=ihP[ag^] = ^,Ма^ ,=&=&
=ihP[ag^] = ^,Ма^ ,
=ihP[ag^] = ^,Ма^ ,
=&
=&
[£",£а[ = ih(^aG^ - ^Gy]a) + ^^ ^ар^р^ s[^p^]pa), W(2*34)
Г^?5«^1 =^(必[^户"]户户_м^р^р^^
w力]二鳥必R 科d]=z^R 口二捻8“T [户匕 a]=—访俨J r] = 0*(2.35)
Представление (2.35) было получено Ю.М. Широковым [18].
Заметим, что формулы (2.34) и (2.35) являются следствием хорошо известных (см., например, [22]) коммутационных соотношений, которые выражают релятивистскую инвариантность квантовой теории для неприводимого представления группы Пуанкаре:
[Р^Р^] = 0, [PJ Ма^] = ihP[ag^\
[Мр^М^ = ЩМ^ад^ — М^д^а), а все коммутаторы в (2.34) могут быть проверены прямой подстановкой соответствующих операторов.
Оператор координат центра инерции свободной частицы. Рассмотрим теперь более подробно оператор центра масс Ж. Однако сразу заметим, что для свободной частицы этот оператор правильней было бы называть оператором координат центра инерции (см. ниже). Если исходить из общего определения оператора полного момента импульса дираковской частицы (2.26) в предположении, что
где спиновый оператор 8丛"определен согласно (2.29), то можно найти явный вид оператора орбитального момента:
и вместе с ним оператора координат
戸7 = 1仙+廿"
Оператор 7屮 известен в литературе как оператор Фейнмана-Бунге- Корбена ([53], [54] и [55] соответственно), хотя впервые он встречается в работе Фока [44] (см. также [45]).
Непоередственная проверка показывает, что операторы 6丛"и £丛"удовлетворяют коммутационным соотношениям (2.34), однако оператор координат соотношениям (2.35) не подчиняется и поэтому Пуанкаре-инвариант» ным оператором не является.
Положение можно исправить, выделив из г^ пространственноподобную часть:
丘丛=尸=WGpp.
Тогда, принимая во внимание, что
7м =/Ру>(2.37)
то с
получим
(2.38)
Этот оператор в системе покоя частицы совпадает с оператором координат центра инерции Фока [44]:
+.(2*39)
\zmoc у
Для свободной частицы
L^ = 力户"一6户仙=R^P^ _左"户仙
и прямым вычислением нетрудно убедиться в том, что все коммутационные соотношения (2.35) с пространственноподобным оператором координат R^ выполняются.л
Далее мы увидим, что оператор координат центра инерции R^ непо™ средственно связан со спиновыми свойствами дираковских частиц.
Физическая интерпретация спиновых операторов
Операторы 6丛"и W° непоередственно связаны со спиновым оператором Паули в системе покоя . Это легко продемонстрировать на примере свободной частицы для которой решение уравнения Дирака (2.24) имеет вид
W”) = %ехр (小 JM
Уравнение для спинора 吵^ в случае частицы с положительным знаком энергии(€ = 1) имеет вид
(1 宀 j 二 0,(2.40)
где 6м = рм/ш()с? b” = —1* Решение системы однородных алгебраиче™ ских уравнений (2.40) представляется в форме
吵(5Ь))夕(2.41)
с условием нормировки фф 二 1, где ⑺=吵+夕3"
Двухкомпонентный спинор 夕 определяется из условия ориентации спи™ на в системе покоя:
(о<)夕=С，(2.42)
из которого следует, что《=±1 и
1( ,1 + С cos J
у ，1 — , cos J 屮
Углы 19 K 夕 показывают направление единичного вектора спина в системе покоя:
С =〈(/% =3(/夕=(sin 0 cos з sin J sin 夕,cos J).(2.43)
Обратим внимание на то, что
廿^ = 1 = 1,(2*44)
тогда как 兴=з
Найдем значения плотностей независимых билинейных ковариантных форм матриц Дирака
◎ =7 丁 7 , PR 75(245)
или
7М75 = ^Up<Jl^pla, 75 = -^^P<Jl^lpla^
Напоминаем, что мы используем матрицы Дирака в метрике с сигнату™ рой +2, для которой
(246)(246)7м = ?0з(，а), 产"=(-❷ а),7М75 = (?02/з<), 75 = т>ь
(246)
(246)
Можно показать, что с применением спиноров (2.41) и с учетом (2.42) имеют место следующие соотношения:
j乃=f,j乃=f,6匕5〉= ((ЬС“ +岁)=тЛ (?) = О,6匕5〉= ((ЬС“ +岁)=тЛ (?) = О,(2.47)(2.47)
j乃=f,
j乃=f,
6匕5〉= ((ЬС“ +岁)=тЛ (?) = О,
6匕5〉= ((ЬС“ +岁)=тЛ (?) = О,
(2.47)
(2.47)
где (...)=吵(….)认 Как это и должно быть, мы пришли к классическим преобразованиям Лоренца для спина (2.17).
В безразмерной форме спиновые операторы «"" и 名。[см. (2.27)] в случае свободной частицы имеют вид
立 м"=产"—(у/ —旷屮)，i« = (7« + iba)^. (248)
а соответствующие им спиновые инварианты равны
介。产=I 九"小"=3.(249)
Можно показать, что
КП = (П* (7а75)=〈产〉"(250)
Согласно (2.41) для спиноров в системе покоя:
吵0 =(夕+,0),吵о = (^),
соотношения (2.47) принимают вид
ЬпПо = (1, 0),〈产"〉о = (№Эо = (0,0 = 口仁，
(7а75)о =〈产〉尸(0, Q =屯 h5)o = б八
Отсюда следует, что в отличие от (2.49)
= |(Й^)(Й^) = с2 = LQ52)
Это соответствует классическому значению инварианта Любаньского- Паули с С = 1 (см. (2.43) и (2.44)).
Таким образом, значения плотностей билинейных ковариантных форм приобретают простую классическую интерпретацию (см. (2.16)).
Заметим, что из полученных выше соотношений следует, что классиче™ ские значения Ьм, И"" и тг° могут быть использованы для проектирования волновых функций ^е^С) с собственными значениями ей?:
Ст/м — е)瞑(Q = О,
"(СЕ
(7«757га - Q现(Q = 6
При £ = 1 эти уравнения можно проверить прямой подстановкой (2.41). Если использовать преобразования Лоренца (2.17), то представленные вы™ ше спиновые уравнения переходят в (2.42).
Введем теперь проекционные операторы
А = ； (1优),
1、(2.53)
以=5 (1 +5 十•
Они обладают следующими свойствами:
А^/Ае == J 十,
то есть
А±2 = А土， А土 А 干=о, А+ + А— = 1(2.54)
и аналогично для Z^.
Для фиксированных значений 6 и ^ имеем
人+吵=认 А_吵=о, z^ =次 z^^ = о.
Ранее мы показали, что спиновые операторы в лабораторной системе удовлетворяют довольно сложному набору коммутационных соотношений [см. (2.34)]. Возникает вопрос: возможно ли, зная спиновые операторы в системе покоя, получить такие операторы, которые и в лабораторной системе оставляют справедливыми коммутационные соотношения для матриц Паули:
[必叫=2i€ijk(7fk.(2.55)
В принципе, эта проблема может быть решена при помощи унитарного преобразования Фолди-Ваутхайзена [57]. Напомним некоторые свойства этого преобразования.
Безразмерный «гамильтониан» уравнения Дирака:
7 = Рз + (&Ь) + 7(2.56)
под действием преобразования ①олди—Ваутхайзена принимает диагональ™ ный вид:
力 = Р37, где
Вместе с тем, решения уравнения Дирака (2.41), по существу, преобразуются в систему покоя:
Для наших целей удобно воспользоваться обратным преобразованием:
6=
согласно которому матрицы билинейных ковариантных форм (2.45) пере™ ходят из системы покоя в лабораторную систему по правилу
0〉。Г0〉。Г卄、1 / и а) + 彳(оз а卄、1 / и а) + 彳(оз а(2.57)(2.57)
0〉。Г
0〉。Г
卄、1 / и а) + 彳(оз а
卄、1 / и а) + 彳(оз а
(2.57)
(2.57)
В качестве отправной точки при построении спиновых операторов со свойствами матриц Паули в лабораторной системе из набора (2.46), следует взять четырехкомпонентные спиновые матрицы а из 廿"и р^а из 7М75. В первом случае мы получим
*= ； (с — ^з[«Ь] + ^^)•
На решениях уравнения Дирака этот оператор принимает вид
Существует другая форма его записи [22] (см. также [60]):
7+7+TW-TW-
7+
7+
TW-
TW-
Во втором случае
茎1 , (ab)b/、(ob)b
03c + -pib — Рз—+ 03c + (1 —?•
Этот спиновый оператор был рассмотрен в работах [58, 59]* Можно пока™ зать, что и и
自сг В ^р3а ♦自FW + 立(2.58)
Интересно, что соотношение типа
(03x)=7 ⑺=7(
остается справедливым для всех этих операторов. Отсюда следует, что для вектора
с = е〉о =(рз^)о
представленная выше цепочка равенств [см. (2.57)] замыкается сама на
себя.л
Спиновые операторы Е можно получить и при помощи прямого преобразования Лоренца:
(1 +岩)，£+=(2.59)
Аналогично (2.57) преобразование имеет вид
L
(П)о = {L^QL) =〈◎〉*
Связь этого преобразования с преобразованием Фолди-Ваутхайзена мо жет быть определена посредством соотношений
0，二 1 +03
Спиновые операторы, полученные с помощью преобразования Лоренца (2.59), имеют вид
g / b(crb)、. V
X°3b= 031 — 502b. Sp3(T -
Таким образом, все спиновые операторыи и L L纟 ++ 自сг + 纟оз。 +玄FW,
действующие в лабораторной системе, обладают свойствами матриц Паули: 玄足3 = IStJ + 5% 汴玄汴，E2 = 3,(2*60)
и имеют такие же средние значения, как в системе покоя. Кроме того, как и следовало ожидать,
Ио = (Й) = С, (Н£)=L(2.61)
На основе операторов X можно сконструировать пространственнопо™ добный тензор и вектор спина. Действительно, согласно (2.51), имеем
=(0,京)，》=(0,京 J
Если эти операторы подвергнуть преобразованию Лоренца, то в лабораторной системе мы получим уже известные спиновые операторы (см. (2.48)):
立= a№а"纟吋，戸=У%”，
где У" — коэффициенты преобразований Лоренца (2.17).
Однако теперь собственные значения также изменятся. В частности, если мы потребуем, чтобы
ftzV; = e入丄我 介总吵=eA我 то, соответственно, получим
Можно показать, что, как и в классической теории, компоненты спино вых операторов fl"" = {[/ЗП], П} и iM = {(/行))亓} связаны друг с другом соотношениями типа (2.18). Отсюда следует, что классические векторы ?, П и 7г можно использовать для построения спиновых операторов с одинаковыми собственными значениями
л 1 八 1(仪)=彳(开口)=-(介口)*
В случае свободной частицы все компоненты 立乂" и iM коммутируют с «гамильтонианом» 7 [см. выше (2.56)] и пригодны для определения соответ™ ствующих спиновых состояний. В присутствии внешнего поля некоторые из них перестают быть интегралами движения. Однако это уже отдельный вопрос, который мы рассмотрим позже.
Классические спиновые уравнения движения
Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита [1] собственный магнитный и механический моменты частицы пропорциональны друг другу:
и = —= uq(.(2.62)
то с'
Здесь /1 ——магнитный момент частицы, m ——механический момент, /1。= =с方,/2тпос ——магнетон Бора, ?——единичный вектор спина. С точки зрения современных представлений следует считать, что ц = g^os, где s ——спи™ новое число (для электрона s = 1/2), д ——фактор Ланде, который, в общем случае, является сложной функцией энергетического состояния электрона и напряженности магнитного поля [61]. Далее мы ограничимся постоянным швингеровским [62] значением g = 2(1 + &/2тг), где а = е2 /Нс ——по сто™ янная тонкой структуры, не затрагивая вопросы сложной функциональной зависимости аномального магнитного момента электрона от напряженно™ сти магнитного поля и номера энергетического уровня (см. [201]).
Таким образом, в этом приближении магнитный момент электрона является суммой магнетона Бора /1。и аномального магнитного момента ца:
/. а、 д
/1 = /1о + /1а = /А) (1 + 万 I = 2^о,
и тогда
/1 = kQ(2.63)
Исходным продуктом наших дальнейших рассуждений является независимость движения заряда и спина во внешнем электромагнитном поле. В этом случае на заряд будет действовать только сила Лоренца
尸J = /"，％ = mow^.(2.65)
Самый простой способ определения уравнений движения спина ——сфор™ мулировать их сначала в системе покоя, где спин определен как физическая величина. Согласно формуле Пуассона, движение единичного вектора под™ чиняется уравнению
皆(2.66)
Частота 口。может быть найдена из уравнения прецессии магнитного момента в классической электродинамике [63]:
嘗="
Следовательно, в соответствии с (2.62), находим, что
и тогдаи тогда◎о =—◎о =—geHo2moegeHo2moe火 dr火 dr>52moe>52moe(2.67)(2.67)
и тогда
и тогда
◎о =—
◎о =—
geHo
2moe
geHo
2moe
火 dr
火 dr
>5
2moe
>5
2moe
(2.67)
(2.67)
Представим ковариантное обобщение этого уравнения в виде
ат 2moe *с'ат 2moe *с'(2.68)(2.68)
ат 2moe *с'
ат 2moe *с'
(2.68)
(2.68)
Дополнительное слагаемое в правой части (2.68), содержащее вегюмо гательный четырехмерный вектор X", вводится для сохранения условия
Френкеля (2.6) во времени. В безразмерной по спину форме будем иметь
= 6
Отсюда, принимая во внимание уравнение движения заряда (2.65), а также пространственноподобный характер и антисимметрию тензора И叱 легко найти, что
+ (м" + ±&收产)X" = 0.(2.69)
Второй член является пространственноподобной частью Xм, т.е.
G"Xp = —(2.70)
Времениподобная часть X" = Х^— X" удовлетворяет соотношению
и, очевидно, не дает никакого вклада в (2.68).
Окончательно, с учетом (2.70) уравнение (2.68) принимает вид
dEF" — egdEF" — egdr 2mocdr 2moc(2.71)(2.71)
dEF" — eg
dEF" — eg
dr 2moc
dr 2moc
(2.71)
(2.71)
Можно убедиться, что при выполнении условия Френкеля (2.6) и очевид™ ного соотношения
ПРРН^ = 0
имеет место равенствоимеет место равенствоdlT"dlT"drdr=0=0
имеет место равенство
имеет место равенство
dlT"
dlT"
dr
dr
=0
=0
и, следовательно, значение
I L"" = ,2
является постоянным, как и должно было быть, числом.
Уравнение (2.71) в представленном выше приближении было получено в работах многих авторов (см. [13, 65] и др.).
Аналогичным образом можно получить спиновое уравнение в вектор™ ной форме:
力产 едd 丁2moc力产 едd 丁2moc(2.72)(2.72)
力产 ед
d 丁2moc
力产 ед
d 丁2moc
(2.72)
(2.72)
Оно вытекает и непосредственно из уравнения (2.71) при помощи соотношений (2.18). Спиновое уравнение (2.72) известно как уравнение Барг™ манна—Мишеля—Телегди (БМТ) [13] (см. также [14]).
(2.73)(2.73)Стоит обратить внимание на интересную особенность спиновых урав™ нений. Они могут быть значительно упрощены, если ввести некоторое эф™ фективное внешнее поле
(2.73)
(2.73)
eregc
где HM"——пространственноподобная часть тензора Н^, которая опреде™ ляется по аналогии с (2.3) соотношением
^= Н收 + -4 v^vpHpyl^= Н收 + -4 v^vpHpyl(2.74)(2.74)
^= Н收 + -4 v^vpHpyl
^= Н收 + -4 v^vpHpyl
(2.74)
(2.74)
Тогда, вместо (2.71) и (2.72) получим
dH^ egdH^ egdr 2moedr 2moe^eff 11 р〉^eff 11 р〉Q75)Q75)
dH^ eg
dH^ eg
dr 2moe
dr 2moe
^eff 11 р〉
^eff 11 р〉
Q75)
Q75)
(2.76)(2.76)d7r e9 тта/3
(2.76)
(2.76)
Заметим, что
drdr4五岁。",4五岁。",(2.77)(2.77)
dr
dr
4五岁。",
4五岁。",
(2.77)
(2.77)
но в отличие от уравнений (2.75) и (2.76) последнее соотношение является простым следствием определения Н^ в (2.73).
В аналогичной форме можно записать пространственноподобные части уравнений (2.75)-(2.77):
добные члены, имеющие чисто релятивистское кинематическое происхо
ждение. Дополнительная спиновая прецессия, именуемая прецессией То™ маса [24], возникает вследствие преобразований Лоренца при движении частицы вдоль искривленной траектории.
Проиллюстрируем это утверждение на примере уравнения БМТ:
Совершая переход к вектору спина ? в системе покоя в соответствии с соотношениями (2.17) получим уравнение
[&]《=7 ртьС],[&]《=7 ртьС],
[&]《=7 ртьС],
[&]《=7 ртьС],
где а — обычное ньютоновское ускорение,
Orh =——J [<а](2*78)
с 7 + 1
——угловая скорость прецессии Томаса.
Прецессии Томаса [2, 25] посвящена обширная литература (см., напри™
мер, [64—81] и др.). Более подробно эти вопросы мы рассмотрим в гл. 4.
Квазиклассическая теория спина
Квазиклассическое приближение уравнения Дирака, начиная с В. Па™ ули [9], рассматривалось многими авторами [60, i04—112, 114]. Теория,
изложенная ниже [114], построена на основе собственновременного пред™ ставления уравнения Дирака. В этом случае все соотношения квазиклас™ сической теории, включая уравнение БМТ, могут быть сформулированы в ковариантной форме. Как обычно, при этом должны выполняться квази™ классические условия, в соответствии с которыми волновая функция локализована в окрестности траектории частицы и при 方，т 0 плотность оператора импульса должна равняться мгновенному классическому значе™ НИЮ：
〈户м〉о = рм = movM = mgcb^.
Первоначально метод собственного времени был введен В.А. Фоком [113] для квадрированного уравнения Дирака и с тех пор этот метод использовался многими авторами [114-120].
Следуя В.А. Фоку, введем волновую функцию
Ф = m右)
где интегрирование проводится в некоторых постоянных пределах (или в комплексной плоскости 丁 по некоторому контуру). Тогда собственновременное уравнение Дирака может быть представлено в виде
при условии, чтопри условии, что(2.79)(2.79)f атf атdr = Ф |с=。"dr = Ф |с=。"
при условии, что
при условии, что
(2.79)
(2.79)
f ат
f ат
dr = Ф |с=。"
dr = Ф |с=。"
Уравнение (2.79) назовем т-уравнением Дирака. Оно представимо в обычном квантовомеханическом виде:
.方am.方am=ЯФ=ЯФ
.方am
.方am
=ЯФ
=ЯФ
с инвариантным гамильтонианом
(2*80)(2*80)Я = тос — nMFM.
(2*80)
(2*80)
Запишем волновую функцию 丁-уравнения Дирака в обычной квазиклас™ сической форме:
Ф = Fe^s/h, Ф =产巾£(2.81)
где 5(т)——собственновременное действие, удовлетворяющее релятивист™ скому квазиклассическому уравнению Фока [113]
Ц + ^ [(^^ М (%S — * j 十時Т = 0.(Z82)
Предполагая, как обычно, что
наложим условиеналожим условие沙s — £』从=т^. с'沙s — £』从=т^. с'(283)(283)(2.84)(2.84)
наложим условие
наложим условие
沙s — £』从=т^. с'
沙s — £』从=т^. с'
(283)
(283)
(2.84)
(2.84)
которое гарантирует, что т будет собственным временем, aS ——реляти™ вистской функцией действия.
F = /о + 方/1 + 戸『2 + • • ■F = /о + 方/1 + 戸『2 + • • ■(2.85)(2.85)Далее представим спинор F в виде разложения в ряд по постоянной Планка:
F = /о + 方/1 + 戸『2 + • • ■
F = /о + 方/1 + 戸『2 + • • ■
(2.85)
(2.85)
Принимая во внимание (2.83), в нулевом приближении по 方 будем иметь
Ф Рм= -7710VмФ, Рм Ф = т^Ф,“®т = о.
Поскольку
访后访 —Forу от от у
то, с учетом (284) и (2*85), получим
.尹dФОТ.尹dФОТ=0.冇—■>0=0.冇—■>0
.尹dФ
ОТ
.尹dФ
ОТ
=0.
冇—■>0
=0.
冇—■>0
Тогда в том же приближении по 方 на решениях т-уравнения Дирака будут выполнены следующие равенства:
(1 — "'〉- о,
（父（1一）优））+0,〈宀（If）〉- 0,（父（1一）优））+0,〈宀（If）〉- 0,(2.86)(2.86)
（父（1一）优））+0,
〈宀（If）〉- 0,
（父（1一）优））+0,
〈宀（If）〉- 0,
(2.86)
(2.86)
Обозначение (...) = /(...)/ используется для нормированных спиноров
С применением свойств независимых комбинаций)=матри口 (2.45)
у у + °产 у = 2gq
о"7a + 丁产"=2 辽
产！尸—父产"=2i 09yg"ay),(287)
15
)5 产"=^寸"3 严“'б荐=。"У*
соотношения (2.86) могут быть сведены к виду
“(75) = 0.
Легко видеть, что
= % 俨―0.
Отсюда следует, что в нулевом приближении по 方 для спиновых опера™ торов и 亓从"(см. (2.48)) имеют место соотношения
которые, с учетом свойств)=матри口 (2.87), принимают форму чисто клас™ сических соотношений (2.10) и (2.11):
(由"〉=尸『^〉外，
с дополнительными условиями Френкеля и Тамма [см. (2.6) и (2.12)]:
好(fr")= a %(冲〉=0.
С учетом аномального магнитного момента『『уравнение Дирака (2.79) видоизменяется следующим образом:
勿 g 禦户"一^(jaf3Hal3^ Ф = 0.
Стоящий в круглых скобках инвариантный гамильтониан
Я = (”℃ -g卜俨-为『)(2.88)
соответствует уравнению Дирака-Паули.
Подставляя квазиклассическую волновую функцию (2.81) в это уравне= ние и приравнивая члены одинакового порядка гю % к нулю, получим си= стему самосогласованных уравнений для определения спиноров /о, /1?* • •：
= о,
(1 鳥。，
(1 —力“卄)/2 =志(二^： + УЧ + |^^я^л,
Из первого уравнения следует, что
/о =屮％ 九(2.89)
Далее, если все последующие уравнения умножить на 1 + iy^, то их левые части будут равны нулю, а второе уравнение после некоторых преобразований примет вид
1* + (乙卄)/о = г4…网九 (290)
Здесь мы использовали соотношение (2.89) и представление производной d/dr в виде
1 d _ 1 а _, о
+2
Вводя нормированный спинор / вместо /о в уравнение (2.90) и учитьр вая, что
! ^二高^ 匕， найдем
Если пренебречь аномальным магнитным моментом, то это уравнение совпадет с уравнением Фока в [113] (см. также [10]).
Аналогичным образом из сопряженного т-уравнения Дирака можно найти—
1 m = ?：萨 1^Н^ 一 号 了哥"网"(292)
с ат 2ДссД
Далее эти производные используются для вывода уравнений заряда и спина в казиклассическом приближении.
Заметим, что согласно (2.91) и (2.92) d(//)/dr = 0. Это свойство доста™ точно очевидно, так как // = 1. Теперь нетрудно показать, что при 方一 0 уравнение движения заряженной частицы, определенное посредством 6и= линейной формы〈一?：)从〉=6м, имеет вид обычного уравнения Лоренца:
d廿 ё
dr с
Этот результат соответствует известному утверждению (см., например, [29]) о том, что в нулевом приближении по 方 центр тяжести квазиклассиче™ ского волнового пакета движется вдоль классической траектории.
Полученные с учетом (2.91) и (2.92) спиновые уравнения для〈寸从"〉и (ia) совпадают с классическими уравнениями БМТ (2.72) и (2.71):
dr - 2moc
dr 2moc '2moc'
Чтобы получить эти уравнения, мы использовали соотношение
и тождество
寸"dBKo^H館В =从勺口邮])%76z
Такие же результаты получаются на основе квадрированного т=уравне= ния Фока (см. [115]).
Таким образом, мы показали, что в квазиклассическом пределе 方一 0 полностью реализуется изложенная выше классическая теория спина.
Релятивистская квантовая теория спина
Проблема интерференции зарядово-сопряженных состояний в теории Дирака. Ранее в рамках неприводимого представления группы Пуанкаре для свободной дираковской частицы с положительным знаком энергии мы получили спиновые операторы в явном виде и показали их клас™ сическое происхождение. В присутствии внешнего поля квазиклассические спиновые уравнения движения также совпадают со своими классическими БМТ™ аналогами при 方一 О* Однако эта аналогия справедлива по столь™ ку, поскольку можно игнорировать отрицательный знак энергии в теории Дирака, точнее, квантовые переходы между состояниями с разным знаком энергии. Более полный анализ квантовых процессов ведет к разнообраз™ ным парадоксам, которые выходят далеко за рамки классической теории. Например, если в классической теории учитывать оба знака энергии, то плотность тока
注=^iec^^^ + £ (于户从w+分于疗‘"爲屮)
будет представлять собой сумму обычной (орбитальной) плотности тока и спиновой добавки, которая возникает вследствие интерференции энергети™ ческих состояний с различным знаком (см., например, [121]). В результа™ те, разделение орбитального и спинового движения становится невозмож™ ным даже для свободной частицы. Вероятно, поэтому возникло ошибочное мнение о том, что классической теории спина вообще не существует (см., например, [48, 122, 123], а также обзор этой проблемы, данный в статье Г. Корбена [81]).
Интерференция энергетически сопряженных состояний в теории Дира™ ка ведет к появлению эффекта Zitterbewegung, т.е. к быстрым осцилляциям электрона с частотой szb 二 2moe?/% ^ 1,6 -__1021 с^1 и амплитудой поряд™ ка комптоновской длины волны электрона Ас = К/т^с ^ 3,9 • 10™11 см. Только в нерелятивистском случае, когда решения уравнения Дирака с от™ рицательной энергией подавлены, Zitterbewegung исчезает. В этом случае орбитальный и спиновый моменты импульса разделяются, а уравнение Ди-
рака становится двухкомпонентным и в слабом однородном магнитном поле принимает вид [121]
/— ((L + 2s)H)]夕，
dt [2mo 2mocu'
где L = [rP]——оператор орбитального момента, s =(方/2)(т，——нереляти™ вистский спиновый оператор с собственными значениями 土％/2^ Заметим, что член, который описывает взаимодействие магнитного поля и собствен™ ного магнитного момента, дает правильное значение ^-фактора, равное 2.
Таким образом, адекватное описание спиновых свойств дираковских частиц связано с возможностью релятивистски инвариантного выделения Zitterbewegung в области локализации волнового пакета вблизи классиче= ской траектории. Более точные оценки можно дать на основе соотношения неопределенностей Гейзенберга (см. п. 2.6.1).
А сейчас рассмотрим, как можно решить проблему разделения знер= гетических состояний с помощью унитарного преобразования Фолди-Ва™ утхайзена [57]. В этом случае уравнение Дирака преобразуется к очень простому виду:
访 qp = m0c2p37>FW.(2.93)
Здесь верхние компоненты волновой функции относятся к частице с поло™ жительной энергией, в то время как нижние компоненты связаны с части™ цей, обладающей отрицательной энергией. Разделение волновой функции по знаку энергии
проводится при помощи преобразования
^FW = 5 (1 + P3)^FW,咏W)= 5 (1 — P3)^FW,
и тогда уравнение (2.93) разделяется на два двухкомпонентных уравнения для разных знаков энергии:
访。丁 = т0с27Ф^, 历 a：；w = -m0c27^Fw ■
Ранее мы видели (см. § 2.2), что в этом случае достигается более глу™ бокое понимание принципа соответствия в спиновой теории. Однако пре™ образование Фолди-Ваутхайзена здесь не подходит, поскольку не является инвариантным и, кроме того, в присутствии внешнего поля вычисления значительно усложняются.
Построение проекционных и четных операторов. Вместо ио пользования преобразования Фолди-Ваутхайзена можно поступить иначе, а именно, перейти к двум инвариантным зарядовосопряженным уравне= ниям Дирака, каждое из которых относится к волновой функции с поло™ жительным знаком энергии [124]. Таким способом проблема решается на основе преобразования Фейнмана и Гелл-Манна [125] для волновой функ™ ции уравнения Дирака.
Как известно, сопряженные уравнения Дирака с фиксированным знаком заряда имеют вид
где
сс
стрелочки показывают направление действия производной.
Согласно преобразованию Фейнмана и Гелл-Манна, положим
0 = W 5 (1 —分)5),$ (1 + п )ф =夕”
Обратные преобразования на решениях уравнений (2.94) соответствуют
Отсюда следует, что волновые функции 夕 и 0 удовлетворяют квадриро™ ванному уравнению Дирака, которое было получено Фоком [ИЗ]:
(т^с2^-尸件户件— тик0Go夕=0,
/ Г ГAQ95)
0 卜若j = 0.
Решение квадрированных уравнений (2.95) удовлетворяет двум парам крест-накрест зарядовосопряженных уравнений:
— «7М 户从丿=0, ^шос + 分仙户从)W— = О,
где >+ = > (е > 0), тогда как W_ = i^^ (е < 0). Поскольку мы решили ограничиться случаем е > 0, то спинор W_ должен быть исключен из рассмотрения.
Эта проблема может быть решена посредством использования проек= ционных операторов Ле [см. (2.53)], которые в более общей записи имеют вид
a土=费(岬干"±户")=Л± .
Проекционные операторы А± разделяют зарядовосопряженные со сто™ яния автоматически:
帀土=而a土，A±w± = w±，(2.96)
о =帀干А±, А±屮干=о.
Свойства проекционных операторов позволяют сконструировать опера™ торы, которые будут действовать только в пространстве волновых функций Ф+ или 3_м Действительно, любой оператор, действующий на Ф± может быть представлен в виде
0 = (A土 + а干)0(A土 + а干)-a土0A土 + A干0A土 =0土 +0土,
где_〜
方土 = A±QA±, 6土 = A 干 @A 土(297)
——четная и нечетная части оператора Q соответственно. Связь этих опре= делений с традиционной схемой четных и нечетных операторов (см., на™ пример, [126]) может быть выявлена при помощи знаковых операторов
таких, что
金3± = 土W±，产3± = 土e山± =w±"
Знаковый оператор е связан с проекционным оператором А土 очевидным соотношением:
八1
(299)
Согласно (2.98) и (2.99), для Q土 и Q будем иметь
^± = I (О + ^), 6土 = g © — ад,
что совпадает с общепринятой формулировкой четных и нечетных опера™ торов.
Из соотношений (2.96) следует, что четные операторы сохраняют со6= ственные значения операторов, на основе которых они были построены, в то время как у нечетных операторов они становятся равными нулю.
Построим четные операторы из независимых комбинаций матриц Ди= рака (2.45). Согласно (2.97), имеем
Эта формула наиболее удобна для практических вычислений. Подстав™ ляя сюда Q = Q из (2.45) получим
=一分b出+疗小兀)+ b j
\(2Л00)
= (0/十分6"))，= 7гa,
75 = 0.
Здесь 6м = Р^/тос — безразмерный оператор импульса, ЙАШ и 亓° совпадает со спиновыми операторами (2.48), полученными ранее другим путем.
Оператор координаты 7屮，записанный в четной форме, совпадает с one™ ратором Фока для координат центра инерции:
尸=М Т———7м.(2.101)
2тос'
В отличие от обычных дираковских операторов, четные операторы аде™ кватно согласуются с соответствующими классическими аналогами. На™ пример, плотность тока, построенная на основе —分)匕 согласно (2.100), имеет стандартный вид:
尸=一在e于»г也+二¥f^>,
то
и рассмотренный выше парадокс интерференции орбитального и спинового тока не возникает.
Гейзенберговские уравнения движения четных операторов. Кинематические соотношения между операторами также имеют хорошо известную «классическую» форму. Действительно, в рамках т™формализма (см. § 2.4) гейзенберговские уравнения движения операторов имеют вид
£ = ? [H.QI(2.102)
где Н ——гамильтониан т-уравнения Дирака (2.80). Применительно к 7屮， согласно (2.102), мы получим хорошо известное в теории Дирака соотно™ шение:
—~ = —分 с)“ =右叱 (2.103) dr
Однако широко распространенная интерпретация 右从 как оператора «скоро™ сти» частицы является неудовлетворительной, потому что 右儿历从=^4с2, в то время как должно быть равно —с? (см. также § 2.6).
В случае оператора Н7 (2.101) все иначе: согласно (2.102) мы имеем
(2.104)(2.104)dF^ .—— —dr'
(2.104)
(2.104)
где 力"=户从/т()и в отсутствии внешних полей 右从右从 4——с2.
Внешнее поле сильно меняет как кинематику, так и динамику дираков™ ских частиц. Для того, чтобы исследовать эту проблему, в квантовой теории с дефинитной четностью операторов необходимо разработать специальный математиче ский аппарат.
В дальнейшем мы будем учитывать оба знака заряда: е 二 ±е0, где с。＞ 0. Тогда вместо (dQ/dr) в уравнении (2.102), следует записать
停）± =*±，@，停）± =*±，@，(2.105)(2.105)
停）± =*±，@，
停）± =*±，@，
(2.105)
(2.105)
где
Я± = тос干分户从"
Аналогичным образом уравнение движения для четных операторов за™ писывается в виде
где ◎土 определяется согласно (2.97).Принимая во внимание, что 方土 А土 二 А土方土, может быть записано в видегде ◎土 определяется согласно (2.97).Принимая во внимание, что 方土 А土 二 А土方土, может быть записано в видепоследнее уравнениепоследнее уравнение
где ◎土 определяется согласно (2.97).
Принимая во внимание, что 方土 А土 二 А土方土, может быть записано в виде
где ◎土 определяется согласно (2.97).
Принимая во внимание, что 方土 А土 二 А土方土, может быть записано в виде
последнее уравнение
последнее уравнение
Q± = Q +Q± = Q +ih 2moc2ih 2moc2(2.106)(2.106)
Q± = Q +
Q± = Q +
ih 2moc2
ih 2moc2
(2.106)
(2.106)
Это выражение удобно для итерации. Согласно (2.106) любой оператор
может быть представлен в виде разложения по четным операторам:
@ = Q士 + ^2 Qmoc) ]н± 后三…」н七 Q±]+
Jk
71 (J e /\一V一/
n+1
ИЛИ
a = a .2方丫 d厘±/访或"骏
用一用土十上\2moc2丿drk十\2moc2丿 而
Развивая далее эту схему, всю квантовую теорию можно построить в терминах четных операторов, если пренебречь последним слагаемым, со™ держащим обычный оператор Q. Очевидно, это можно сделать всегда, по™ скольку параметр разложения К/^т^с2 ^ 6,3 ” 10^22 с очень мал.
Продолжая процедуру выделения четной части оператора, согласно (2.106), можно записать дважды четный оператор
I 访 dQ±*访dQ _方2染0
土 2moc2 drmo c2 dr 4??IqC4 dr2
И Т.Д.
Уравнение движения четных операторов можно получить дифференци= рованием выражения (2.106) по т. Тогда [127, 128]
(2.107)(2.107)dQ 访 *Q
(2.107)
(2.107)
где
@ = U (冗户"+ ‘"紆-仰”О0^н^)(2.108)
——гамильтониан уравнения Дирака в квадрированной форме [см. уравнение Фока (2.95)]. Поскольку этот оператор не зависит от знака заряда, то в уравнении (2.108) знаки 土 опущены.
Уравнение (2.107) выполняется для операторов произвольной степени четности. Заметим также, что
G = G = G = ... = inv.
Таким образом, квантовая теория с дефинитной четностью операторов инвариантна по отношению к степени четности оператора и, следовательно, она является замкнутой теорией.
Для производных по собственному времени может быть введено более удобное обозначение:
Dr dr 2moc2 dr2
Тогда уравнение (2.107) принимает более простой вид:
+ /(2」09)
Повторное использование обобщенной производной дает уравнение
Рассмотрим применение полученных формул для е > 0 к операторам (2.100) с учетом аномального магнитного момента электрона. В этом слу= чае Н определяется соотношением (2.88) и
@=^(2户a + 時^ 一 ^т^а^Н^ + *班"寸产)а
Можно показать [129], что при
2шос2 у
исходные соотношения не изменятся.
Подставляя 6м,立从"и ттм в уравнение (2.109) получим (члены пропорциональные 无//а опускаем)
产亨…(2.110)
2moc^ d丁亠 ат то с8moc
2moe2 dr^ dr 2moc2 口拓^产
+ /^Ьа{даН^ ^даЕ^\ (2.111)
47710 С
尹^ 簣 + % =+
2 7710 с2 d丁/dr2 7710 с
+*(2Л12)
2771qC3X 8moC X
Если условия
^ каз^н吗I《1〈中"2〉1,…
выполнены, то четная форма т …всех уравнений (2.110)—(2」12) сохраняется. В этом приближении коммутативные свойства операторов Рм, 立弘"и 亓м можно проигнорировать, и мы получаем, по существу, классиче™ ские уравнения движения, включая члены, пропорциональные постоянной Планка 方.Эти члены, очевидно, описывают Zitterbewegung. Если отбросить все члены, содержащие 瓦 то получим чисто классическое уравнение Лоренца для заряда и уравнение БМТ для спина.
Об эффективной массе частицы со спином. Как мы видели (см. § 2.2 и далее), основой релятивистской квантовой теории спина являются пуанкаре-инвариантные спиновые операторы. Этот подход принципиально отличается от классической теории спина. Тем не менее, было установлено, что многие операторные соотношения, такие как связь векторной и тензорной форм оператора описания спина, операторные преобразования Лоренца, инварианты плотностей спиновых операторов и другие имеют точные классические аналоги. Более того, мы показали, что в терминах плотностей спиновых операторов классическая теория спина полностью реализуется в квазиклассическом пределе уравнения Дирака 方 т 0. Заметим также, что вопрос о точных классических аналогах релятивистских операторных уравнений движения заряда и спина в терминах плотностей вероятностей решается в рамках метода деквантизации теории Дирака-Паули (см. [124] и, кроме того, [89]).
Здесь мы рассмотрим вопрос о точном аналоге массы частицы со спином. Классическая спиновая масса, начиная с Я.И. Френкеля [2], вводилась разными способами в работах многих авторов (см. [67, 172-184], а также наши работы [153, 210, 211]). Покажем, каким образом она появляется в квантовой теории с дефинитной четностью операторов [190].
Вначале обратим внимание на тот факт, что с точностью до членов 〜%2(д — 2) квадрированный гамильтониан G (2.108) уравнения Дирака- Паули в терминах четных операторов имеет чисто «классический» вид [190]: где
> =На^ (2.113)
——точный квантовый аналог эффективной массы классической частицы со спином [см. (2.152)]. Исходный оператор нулевого порядка четности соответствует
М = т0 (2Л14)
Далее мы увидим, каким образом спиновая масса (2.113) появляется в классической теории (см. п. 2.7.2).
Zitterbewegung, максимальное ускорение и спин
Проблеме Zitterbewegung, начиная с Э. Шредингера [130], посвящена обширная литература (см. [27, 51, 5 5, 67, 121, 126—129, 131—147], список не претендует на полноту). Однако среди таких работ можно, по-видимому, выделить две почти противоположных тенденции в исследовании этого феномена.
В одной из них Zitterbewegung рассматривается как чисто квантовое явление, затрудняющее более простое «классическое» понимание квантовых эффектов. Движение заряда и спина представляется здесь в независимой форме, а возникающие при этом квантовые эффекты, как правило, не обсуждаются. Данная тенденция достаточно подробно была изложена в предыдущих параграфах.
Здесь будет рассмотрена другая тенденция, состоящая в том, что Zitterbewegung представляется как составная часть весьма специфического квантового движения, которое само по себе генерирует спиновые свойства микрочастиц (см. [128, 129, 131-148] и др.). Далее мы попытаемся развить этот подход.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга и максимальное ускорение. Известно, что свободный электрон не в состоянии изменить свою энергию путем самопроизвольного испускания или поглощения фотонов. Этому препятствуют законы сохранения энергии и импульса. Однако в рамках соотношений неопределенностей Гейзенберга энергия электрона при его взаимодействии с вакуумом может изменяться в течение очень маленьких промежутков времени. Максимальное изменение энергии электрона, при котором он еще остается реальной частицей, равно 展。~ 2тос2. Отсюда находим возможную частоту осцилляций энергии
(2.115)(2.115)2шос2
(2.115)
(2.115)
^0 =—z—
которая в точности совпадает с частотой Zitterbewegung. Это очень быстрые осцилляции: ш0 = 1,6 • 1021 с」Для сравнения заметим, что на шкале электромагнитных волн они соответствуют 7-диапазону.
Размеры области, в которой происходят такие быстрые осцилляции можно оценить из соотношения неопределенностей для импульса и координаты. Если в качестве максимально возможного изменения импульса частицы принять 27noс, то при 2т^ср^ ^ 无 получим характерный размер области осцилляций
= (2.116)
27710 С
что соответствует половине комптоновской длины волны электрона Ас = =К/2т^с = 3,86 • К)—" см. Таким образом, амплитуда осцилляций Zitterbewegung ничтожно мала. В случае электромагнитных волн она также пришлась бы на диапазон длин волн 7-диапазона.
Пока что нам не ясны ни причины, ни характер описанных осцилляций, но, если исходить из простейшей формы движения по окружности с параметрами (2.115) и (2.116), то для собственного механического углового момента такой системы получим величину
S = ?710Ш0р0 二 ^)
которая как раз совпадает со спиновым моментом дираковской частицы. Интересно, что такое движение по окружности должно происходить со скоростью света с = шоро- Важной особенностью вращательного Zitterbewegung является то, что оно соответствует максимальному ускорению
—2moc3 —
а。 ——— 3()с(乙• 117)
Заметим, что это максимальное ускорение впервые ввел Е.Р. Кайанел- ло [150]. Более подробный анализ Zitterbewegung в рамках соотношения неопределенностей можно найти в работах [146, 147].
Уравнения движения с максимальным ускорением. Перейдем к рассмотрению квантовой кинематики Zitterbewegung на основе гейзенберговского уравнения движения операторов (2.102), которое мы перепишем здесь в эквивалентной форме:
[丸(2.118)
ат2 九J
где W =分7〃,户м — «укороченный» дираковский гамильтониан (2.80), Рм =
= —ihM — -Лм — кинетический оператор импульса, с
Полагая Q = гм, при многократном применении формулы (2.118) полу™ чим
丁 =辽7匕(2.119a)
爲="96)
安=8展产％ + 4审干
dr炉炉
干击^^НМ"7" + 沙HQ? (2Л19г)
Здесь, как и ранее, символ = указывает на то, что соответствующее равенство справедливо «на решениях» уравнения Дирака, например, R = =QU = ±mocQ, где верхний знак соответствует частице, а нижний —— античастице. Заметим, что такая модификация операторов не влияет на адекватность их дальнейшего дифференцирования по т.
Уравнения (2.119) описывают операторную кинематику дираковских частиц. Они содержат всю информацию о свойствах классического и квантового движения, включая эффекты Zitterbewegung. Однако наглядная физическая интерпретация этих уравнений в стандартной квантовой теории невозможна.
Эффекты Zitterbewegung в (2.119) можно было бы выделить на основе квантовой теории с дефинитной четностью операторов (см. § 2.5). Например, «дрожащая» часть оператора координаты центра инерции Фока [см. (2.101)] содержит оператор скорости (2.119а):
(2.120)(2.120)(2.121)(2.121)戸=М 土 _9= м 土 —竺_ 竺2moc2moc2 dr
(2.120)
(2.120)
(2.121)
(2.121)
Физическая интерпретация этого оператора очевидна, так как
сd г"
Р^ = ±т0 —•
Здесь знаки 土 соответствуют известному утверждению о том, что для частицы импульс и скорость центра инерции параллельны, тогда как для античастицы ——антипараллельны (см., например, [146]).
«Классическое» понимание уравнений (2.119) становится возможным в терминах плотностей вероятностей12
(2.122)(2.123)(2.122)(2.123)
(2.122)
(2.123)
(2.122)
(2.123)
Здесь мы учли, что в рамках собственно-временного формализма ①ока производные от волновой функции по собственному времени равны нулю (см. § 2.4, а также [113]).
Поскольку
=(2.124)
то первые два уравнения (2.119а) и (2.1196) можно рассматривать как определения независимых переменных Vм и шм [см. (2.122)]. Уравнения движения заряженной частицы и античастицы в электромагнитных полях с учетом Zitterbewegung даются (2.119в) и (2.119г). В первом приближении по h Zitterbewegung описывается уравнением (2.119в), которое с учетом (2.124) принимает вид
土 / + 沙=“(2.125)
Впервые это уравнение было получено Г. Корбеном [55] (для частицы).
Решение уравнения (2.125) для поперечного движения электрона (е = =—ед < 0) в однородном магнитном поле Н = (0, 0, Н) в комплексной форме имеет вид [129]
vx =[五 + р±егш°Т] cos шт,
vy =[—五 + 沙丄产。[sinsT,(2.126)
где ш = eH/rriQC ——частота обращения электрона по невозмущенной круговой орбите в однородном магнитном поле (в единицах собственного времени) и согласно (2.117) шо = а^/с ——частота Zitterbewegung.
Мы видим, что на плавное классическое движение электрона по окружности налагаются быстрые осцилляции с частотой шо (2.115). Заметим, что формулы (2.126) написаны в приближении слабых магнитных полей
Свободная частица, согласно (2.125), движется со скоростью
М(2.127)
Амплитуда осциллирующего движения рм будет определена ниже.
Перейдем к следующему, квадратичному по 无 приближению, которое дается уравнением (2.119г)* Внешне это очень громоздкое уравнение. Од™ нако, если воспользоваться уравнением первого приближения (2.125) и равенством
которое является следствием Gordon-deconiposition (см. в [121], с. 45), то можно прийти к очень простому уравнению:
2 М“(2.128)
4叫炉ШоС
Коэффициент при w 〃‘ содержит максимальное ускорение Кайанелло (2.117). Заметим, что это уравнение можно получить также дифференциро™ ванием уравнения Корбена (2.125) с учетом соотношения
dr drd丁“
Обратим внимание на то, что внутри плотности вероятности операторные производные и не коммутируют [см. (2.119а)]. ат ат
Заметим, что уравнение Zitterbewegung (2.128) допускает лагранжеву формулировку, которая согласно принципу наименьшего действия дает уравнение
医 dLd dLdL
(2.129)(2.129)1
(2.129)
(2.129)
dr2 dw^ dr dv^dr^
方2e附一中土 丁М力"方2e附一中土 丁М力"с функцией Лагранжа
方2e
附一中土 丁М力"
方2e
附一中土 丁М力"
L = L(r^vM, wM) = ^itiqv^
Анализ решения уравнения Zitterbewegung проведем на примере свободной частицы (土 —> +). Вначале заметим, что решение (2.127) уравнения Корбена удовлетворяет также и уравнению (2.128). Однако в отличие от решения уравнения Корбена решение уравнения (2.128) можно представить в полностью вещественной форме:
wM = IF* cos aw ТVм sin шот =方匕(2.130)
с
где Vм и 屮弘 ——постоянные взаимноортогональные четырехмерные векторы, удовлетворяющие соотношениям (см. также [145])
= Y " =一畸 号= S (2.131)
Более подробно эти соотношения обсуждаются ниже.
С усреднением по быстро осциллирующему движению ускорение сво™ бодной частицы, как и должно быть, обращается в нуль: w^ = 0.
Интегрируя (2.130) по т, получим скорость
М 二前—丁 cos &0丁 + £ W^ sin шот.(2.132)
Отсюда следует, что постоянную скорость и〃 при условии, что 万必万* = =—с2, можно интерпретировать как скорость макроскопического (трансляционного) движения свободной частицы. Соответствующий импульс с учетом (2.132) и (2.130) имеет вид
2
(2ЛЗЗ)(2ЛЗЗ)Р〃‘ = т，о^м =勿io о必 + о шм
(2ЛЗЗ)
(2ЛЗЗ)
причем согласно уравнению движения свободной частицы с максимальным ускорением (см.(2.128) при Н^ = 0), как и должно быть, dP^/dr = 0.
В квантовой теории имеется точный операторный аналог соотношения (2.133). Действительно, согласно равенствам (2.119) и (2.124) с верхним знаком (частица) оператор импульса FM с учетом уравнения Корбена пред™ ставляется в виде
dr^ 方2 tF严dr4m0c4 dr3dr^ 方2 tF严dr4m0c4 dr3
dr^ 方2 tF严
dr4m0c4 dr3
dr^ 方2 tF严
dr4m0c4 dr3
&仙=皆以一&仙=皆以一ао /ао /
&仙=皆以一
&仙=皆以一
ао /
ао /
Аналогия очевидна.
Интересно, что согласно (2.133) импульс Рм и мгновенная скорость Vм частицы неколлинеарны. Это свойство, а также условия
可Р读=T71О(Д 乜…=Т71紆)
широко используются в классической теории спина (см. § 2.8). Интегрируя в (2.132) еще раз по 丁, будем иметь
2
7屮="—% (Ж^ cos шот + —Vм sin шот),(2.134)
где 丁м = и〃т + Tq ——«макроскопическая» координата, которая, очевидно, играет роль координаты центра инерции. Можно показать, что этот вывод совпадает с определением пуанкаре-инвариантного оператора координат
Тогда при
» = — . + i^W^
решение уравнения Корбена (2.125) совпадет с действительной частью (2.132).
центра инерции (2.38). Действительно, в операторной форме соотношение (2.134) с учетом (2.130) и (2.1196) принимает вид
•(2」35)
Взяв отсюда пространственноподобную часть, получаем
что идентично с определением (2.38). Здесь мы учли, что оператор а^Р^ уже является пространственноподобным оператором, так как для свобод™ ной частицы Р^а^Ри = 0. В системе покоя оператор R^ переходит в фоковский оператор координат центра инерции [см. (2.39)].
Таким образом, Zitterbewegung характеризуется тремя четырехмерными пространственноподобными векторами
ГМ = 丁 М — 丁匕 万м = D* — D 匕 WM =方
Соответствующие им инварианты согласно соотношениям (2.131) равны
=一加 加方m= ^c2, w^1 =一总 (2.136)
Заметим, что для свободного Zitterbewegung сила радиационного трения [см. (1.41)]
rad 3 c3 V
равна нулю, хотя проблема самоускоряющихся решений сама по себе остается.
(2.137)(2.138)(2.137)(2.138)Zitterbewegung и спин. Для построения тензора спина составим «орбитальный» момент количества движения Zitterbewegung
(2.137)
(2.138)
(2.137)
(2.138)
Нетрудно видеть, что он является интегралом движения:
2
ao
и, что очень важно, инвариант этого тензора
совпадает со спиновым инвариантом дираковской частицы (2.52), взятым на плотностях вероятностей тензорного оператора спина S^ =伍/2)立叫 Легко видеть, что, если амплитуды осциллирующего движения Vм и W^ являются пространственноподобными, в том смысле, что
阪卜从=阪@牛=0,(2Л39)
то тензор S^ также будет пространственноподобным: S^"而=0. Таким образом, в этой версии Zitterbewegung, действительно, генерирует спин.
Полный момент количества движения свободной частицы
М^ = m^vu — LM)
является интегралом движения только после усреднения по осциллирующим членам Zitterbewegung. После этого он распадается на сумму орбитального и спинового моментов
М^7 =『+ SR(2.140)
где _
В общем случае тензор полного момента М^ содержит интерференционные спин-орбитальные члены и разделение орбитального и спинового моментов (2.140) становится невозможным. Это хорошо известный в теории Дирака факт (см., например, [51, 121]). Разумеется, возможно более строгое обсуждение затронутых здесь вопросов с применением точных решений уравнения Дирака и построения средних на не стационарной волновой функции с разными знаками энергии.
Классические уравнения Френкеля-Корбена
Несмотря на быстрое развитие квантовой теории спина [15-20, 22], классическая теория спина в связи с удобствами в интерпретации поляризационных эффектов релятивистских частиц и определении фундамен-
тальных постоянных [164, 165, 167] оказалось не менее актуальной и продолжает развиваться. Здесь мы рассмотрим наиболее общий формализм классической теории спина.
Л.Г. Томас [24] был первым, кто применил специальную теорию относительности в классической теории спина. Однако основы релятивистской классической теории спина были заложены U.K Френкелем [2]. Теория Френкеля была построена на основе тензора магнитного момента, пропор™ ционального тензору спина
маз =仰口a纟
где 仰 = еК/2т^с — магнетон Бора.
После открытия аномального магнитного момента [62] уравнение, по лученное U.K Френкелем для спина, было обобщено Г.К. Корбеном [36, 55]. В частном случае постоянного однородного магнитного поля спиновое уравнение Френкеля-Корбена преобразуется в уравнение БМТ.
Феноменологический вывод уравнений движения. Проще всего уравнение Френкеля-Корбена можно получить по методике, применявшейся в § 2.3, если в уравнении движения заряда в системе покоя учесть силу Штерна и Герлаха (2.64), действующую на заряд. Тогда для ускорения вместо (2.65) получим
犷…4 口叩 ГЯ^,(2.141)
где /1 = ДОо/2. Заметим, что в отличие от предыдущего параграфа здесь мы снова вернулись к «макроскопическому» пониманию Vм и wM как скорости и ускорения центра инерции частицы (^仙^丛=^с2, vMwM = 0).
Для того, чтобы выполнялось условие vMwM = 0 в (2.141) сделано обоб™ щение производной:
屮 т/仙=% + * V^vpdp.(2.142)
Это пространственноподобная производная: vM 3^ = 0. Тогда пространственноподобная часть Хм в спиновом уравнении (2.68) примет вид
2 mo с12产
После этого вместо уравнения (2.70) получим спиновое уравнение Кор- бена [55] (см. также [170, 183])
娱=户也口叩Н华产一
dr2 mo c产2mocd
-奈 /口小口w 訳切囈(2.144)
Интересно, что в формализме Н^ [см. (2.73)] с w^ из (2.141) это уравнение совпадет с уравнением (2.71), которое было получено ранее без учета
силы Штерна-Герлаха.
dIF"drdIF"dr2moc2moc(2.145)(2.145)После выделения ускорения wM в (2.144) в соответствии с (2.141) это уравнение легко преобразуется в уравнение, полученное Я.И. Френкелем И：
dIF"dr
dIF"dr
2moc
2moc
(2.145)
(2.145)
где
(2.146)(2.146)
(2.146)
(2.146)
Конечно, в уравнении Френкеля g = 2, поскольку в то время аномаль™ ный магнитный момент известен не был.
В однородном магнитном поле с учетом (2.141) имеем
и уравнение Френкеля перейдет в тензорный вариант уравнения БМТ (2.71).
Согласно ГК. Корбену [36] спиновое уравнение (2.145) представляется в виде
胃(2.147)
dr2moc …7
где
pm=一± Рр - ± S= ^n^.(2.148)
Можно показать, что уравнение Корбена (2.147) является следствием баланса моментов сил в магнитном поле (см. [81]):
^ = ^(kP] + S) = [rF] + [^H],
где М ——полный угловой момент.
Действительно, полагая F = dP/d^, мы получим отсюда
^ + [vP] = [^Н].(2.149)
С другой стороны, приняв во внимание, что Н^ = (—Е,Н) и S^ = =(Q, S), будем иметь
H^pS^ = (—[SE] — [HQ] JSH] + [QE])"
Легко видеть, что чисто пространственные компоненты уравнения Кор- бена при Е = 0 преобразуются в уравнение (2.149), что и доказывает сделанное выше утверждение. Заметим, что в этой интерпретации орбитальный импульс Р и мгновенная скорость частицы v не параллельны друг другу: [vP] 0, и вообще, Р # mov! [см. (2.148)].
Проблема неколлинеарности импульса и скорости частицы возникла еще в первой работе Я.И. Френкеля [2] и неоднократно обсуждалась в даль™ нейшем (см., например, [184]). Актуальность данной проблемы состоит в том, что она затрагивает фундаментальные законы и принципы механи™ ки микромира (определение пространственноподобных величин и центра инерции частицы, кинематические свойства прецессии спина и Zitterbe™ wegung, проблему массы частицы со спином и т.д-)- В связи с важностью перечисленных выше задач мы перейдем к рассмотрению более общей классической теории спина [210].
Лагранжева формулировка классической теории спина. Введем функцию Лагранжа заряженной частицы с собственным магнитным моментом
£ = Le + Ls,
где
- movpvp + - vpAp
представляет собой хорошо известную функцию Лагранжа релятивистской заряженной частицы (см., например, [183]),
0 = g На^
——спиновая добавка, учитывающая взаимодействие между собственным магнитным моментом частицы и внешним электромагнитным полем.
Напоминаем, что тензор Па^ является пространственноподобным и удовлетворяет условию Френкеля (см. (2.6)):
Перепишем теперь функцию Лагранжа L в эквивалентной, но более приемлемой для нас форме:
£ =；加。(1 - ^^vpvP + I г^Л" + £ На^. (2Л51)
Первый член содержит множитель
(2 Л 52)(2 Л 52)
(2 Л 52)
(2 Л 52)
который можно интерпретировать как аналог оператора массы спиновой частицы (2.113).
В действительности спиновая добавка к массе является очень малой величиной и в лучшем случае для поляризованных вдоль направления маг™ нитного поля частиц при Л 105 Э и 7 ~ 104 имеем
т10-4*
Подставив (2.151) в релятивистское уравнение Эйлера-Лагранжа
d dLdL _ Q
dr dv^дг^ '
получим
£ (Mvp) = I Hpxvx + g Па/3дрНа^(2.153)
Уравнение (2.153) может быть также представлено в виде
МHpxvx + 任 11cфдРН^ —(2.154)
dr с2 х
Для определения dM/dr необходимо использовать спиновое уравнение Френкеля-Корбена (2.144). Тогда с точностью до членов порядка /г2,方(д—2) получим
：=Т v^dxHa^ат 2с2 у
В этом случае уравнение (2.154), как и должно быть, принимает пространственноподобную форму (см* [153]):
='"办 +% дрН^,(2.155)
где пространственноподобная производная др определена в (2.142).
Уравнение (2.153) было получено Я.И. Френкелем [2] в другой форме при помощи вариационных множителей Лагранжа17.
пПервая лагранжева формулировка классической спиновой теории была дана
Формализм тензора плотности энергии-импульса. Тензор плотности энергии-импульса спиновой частицы представляется в виде (полем излучения пренебрегаем)
0а6 =0户 +0”(2.156)
где
。炉=с d^mt^ir^v^T^S [Rp —评(i)](2.157)
——тензор плотности энергии-импульса заряда, rf ——инвариантный пара™ метр, который после интегрирования по 丁' с(5™функцией
b (сТ — с^тЗ) = „ :— т)
““ ” c(dt/drf)T=t ci “ 丿
становится собственным временем 丁：
ру =т1^(т)и^т^^^г^^(2.158)
Здесь п^(т) = (с, u), и ——обычная (ньютоновская) скорость частицы.
Формула (2.157) написана в предположении, что сила, действующая на частицу, определяется соотношением Fa = mwa. Если же Fa = dPa/dr, где Ра ——импульс частицы, то вместо (2.157) и (2.158) имеем
0俨=e 力0。(丁/)庐(丁/)8 [Я^ —评(У)](2.159)
и
0户=Ра(т)и^(т)5 [R —卩丁)] *(2Л60)
Тензор плотности энергии-импульса внешнего электромагнитного поля, как обычно, определяется выражением
В дифференциальной форме закон сохранения энергии-импульса имеет вид
D^ = 0,
Я.И. Френкелем в работе [2]. Для того чтобы учесть дополнительные условия v^v^ = —с? и 管仙11"" = 0 в принципе наименьшего действия, Я.И. Френкель использовал метод множителей Лагранжа. Один из этих множителей, А = М, был включен в функцию Лагранжа (в линейном приближении по д).
где 刀万 =д/ dR^ ——четырехмерный градиент по координатам точки наблюдения В/3 = (сТ, Ж). Проинтегрировав это выражение по четырехмер™ ному объему d丫 (см., например, [63]), получим
=^(m欠尸)=/ ла%g+ ^口办歹Н办(2.161)
в случае (2.158) и
尸° =單=^H^vb + ^ЦрХдаНрх(2 Л 62)
в случае (2.160).
Легко видеть, что уравнение (2.161) при т = М совпадает с уравнением (2.153), полученным методом Лагранжа. Уравнение (2.162), вообще говоря, может отличаться от упомянутого выше уравнения, так как импульс Р" пока не определен. В дальнейшем мы будем использовать более общее уравнение (2.162). Заметим, что проблема соответствия между уравнениями (2.161) и (2.162) далеко не тривиальна. Она еще будет нами обсуждаться.
Тем не менее, в обоих случаях плотность силы одинакова:
万m=eF«7/)8 [Ж 一产(75 dr! =
где
尸(2.163)
j^ = ec dTfva(rf')5 [Rp — гр(т)]
——плотность тока заряда,
j； = “2 dTfHaX(Tf)Dx5 [Rp —评(У)]
——плотность тока магнитного момента.
Однако если в первом случае магнитный ток являлся следствием определения спиновой массы в (2.152), то во втором случае он обязан своим происхождением тензору намагниченности собственного магнитного момента
М叩=“ dTfH^(Tf)5 [Ж — №(『)],(2.164)
связанного с плотностью магнитного тока соотношением
居=(2.165)
Уравнение Максвелла имеет при этом стандартный вид:
47r
为…=—
с
но с полной плотностью тока (2」63)噜
Проблема неколлинеарности импульса и скорости частицы со спином
Полный угловой момент и спин. Рассмотрим вначале вывод спиновых уравнений с использованием тензора плотности полного момента импульса частицы
Мgар =足0Tg =正a户6_RBp人a=M"万+ М；吗
гдеа
М^ = сММ^ВМ以吟5 [Rp — r^(/)]
или, после интегрирования по 丁' [ср. (2.158)],
М》В = Ма/3(т)их(г)5 [R — г(т)].
Соответствующий закон сохранения момента импульса в дифференци™ альной форме имеет вид
DxMaX^ = 0.
Действуя далее точно так же, как и в предыдущем параграфе, получим следующее уравнение движение для тензора момента импульса Ма^:
^^^ = ^арар^ +(^Н例噴卜+ ^%入a例口。),
dMa^drdMa^drили, принимая во внимание (2.162),
dMa^dr
dMa^dr
^ 卜ПрЗ) —/ap例 + ^Я^Ш/1(2.166)
Используя определение орбитального момента импульса: £«/5 = га рВ — ГВ
представим уравнение (2.166) в виде
Антисимметричный тензор S°°, очевидно, можно интерпретировать как тензор спина. Соответствующее уравнение согласно (2.166) имеет вид
(2.167)(2.167)
(2.167)
(2.167)
и, как легко заметить, совпадает с уравнением Корбена (2.147). Отсюда следует, что Иа^ (dUa^/dr) = 0, и, стало быть, tlapUa^ = const. Это хорошо известный спиновый инвариант.
Если считать, что импульс частицы, как обычно, определяется соотношением Ра = Mva, т.е. импульс и скорость коллинеарны, то спиновое уравнение (2.167) упрощается:
2 dr2 dr= р,Я^П/1= р,Я^П/1
2 dr
2 dr
= р,Я^П/1
= р,Я^П/1
Однако это уравнение не совпадает с экспериментально проверенным уравнением БМТ, поскольку оно не содержит члены с аномальным магнит™ ным моментом 〃口 =从—从о =从о(0 — 2)/2" Ситуацию можно исправить заменой
Ра = Мг；а+ 亍匕 (2.168)
Добавочный пространственноподобный член Z ° каким-то образом должен быть связан с аномальным магнитным моментом (см. ниже). Мы пришли к неколлинеарности импульса и скорости спиновой частицы. Отсюда еле™ дует, что спиновая частица совершает весьма специфическое дрожащее движение (классический Zitterbewegung!).
Заметим, что соотношение типа (2.168) впервые встречается в работе Я.И. Френкеля [2] (в теории Френкеля М ——неопределенный множитель Лагранжа А, см. также примечание 15). Но здесь, находясь в рамках общего формализма Я.И. Френкеля, мы будем использовать иную аргумента™ цию [210].
Неколлинеарность импульса и скорости в теории Френкеля.
Дополнительный член можно определить следующим образом. Вслед™ ствие пространственноподобности он должен удовлетворять условию
%=0*(2.169)
Отсюда следует, что
vaPa = -ТИсЛ(2.170)
Подставив (2.168) в спиновое уравнение (2.167), будем иметь
х^ +^Я[аШ/1(2.171)
Интересно, что спиновая масса выпала из этого уравнения. Чтобы опре™
делить 2°, уравнение (2.171) следует умножить на г^. Тогда получим
办=《口*5 -与尸声吟夕(2172)
Теперь перепишем Z" с учетом уравнения движения (2.155) и условия
Френкеля (2.150):
(2.173)(2.173)
(2.173)
(2.173)
Таким образом, мы получили не только ожидаемый аномальный магнитный момент 〃口，но также и градиентный по полю член, пропорциональный 瓦 Поскольку порядок Z° совпадает с порядком /г2,方(д — 2), то спиновую массу в (2.173) можно заменить массой покоя т0.
Из определения Z ° следует, что центр инерции свободной частицы не испытывает спиновых возмущений траектории. Если предположить, что g = 2 (аномальный магнитный момент отсутствует), то Z ° совпадет с выражением, полученным Френкелем другим путем:
亍。小=:*"小為…
Принимая во внимание определение импульса (2.168) с учетом полу™
ченного выше выражения для Za в терминах。万[см. (2.146)] будем иметь
р° = Mva - рПа^ар.
Тогда уравнение движения заряда со спином (2.162) примет вид
£(Mva — = jHa%/ + 勺丄入^女叱 (2.174)
Оно уравнение в точности воспроизводит уравнение Френкеля из его первой работы по классической теории спина. Однако, что интересно, в нашем рассмотрении магнитный момент 从 включает в себя аномальный магнитный момент, который во время написания работы [2] еще не был открыт. Значительно позднее с учетом (/-фактора, не равного двум, уравнение (2.174) повторно было получено ГК. Корбеном [55] (см. также [153]).
Подставляя Za (2.173) в уравнение (2.171), получим спиновое уравнение Корбена (2.144). Оно записывается с точностью до членов порядка %, g — 2* Для случая однородных полей оно совпадает с уравнением БМТ в тензорной форме (2.71).
dMdrdMdrТеперь мы можем уточнить выражение dM/dr в уравнении (2.154). Согласно (2.170) и (2.162) имеем
dMdr
dMdr
^^Р^адаНР\
Это выражение записывается с точностью до /г2,方(д — 2), так как мы предполагаем, что уравнение движения заряда имеет точность первого порядка по %” Легко видеть, что в постоянных и однородных полях спиновая масса является интегралом движения: М = const.
Если подставить dM/dr в уравнение движения заряда (2.154), то оно примет форму известного нам уравнения (2.155) (см. также [153]).
Импульс и спин в формализме Широкова. Вместо условия Френкеля (2.150) многие авторы (см., например, работы [184, 185]) ис™ пользуют дополнительное условие, введенное впервые Ю.М. Широковым (см. [18], 1951):
(2.175)
С точки зрения формализма Широкова разложение импульса частицы представляется в виде
=团产 + Z\(2 Л 76)
где вектор Z。удовлетворяет условию (см. также [188])
PaZa = 0.(2.177)
По аналогии с предыдущим случаем вместо (2.172) получим следующее выражение:
交=読(一机。号 +闷。/%0).(2.178)
Учитывая малость квадрата ZaZa 〜/г2, имеем
РаРа(2.179)
Следует отметить, что это соотношение остается справедливым и в рамках формализма Френкеля.
Используя уравнение движения (2.162), условия (2.177) и соотношения (2.179) в линейном приближении по полю приходим к выражению
= и。。(黑11 办GH•(2.180)
Прецессия Томаса как кинематический спин-орбитальный эффект 131
Эта формула отличается от Z° в (2.173) только производной (здесь да вместо 3。)" Однако в формализме Френкеля неважно, какая производная присутствует в спиновом уравнении в формализме Френкеля, да или да, так как
Таким образом, в формализме Широкова спиновое уравнение (2.167) имеет точно такой же вид как и в формализме Френкеля. Что касается уравнений движения заряда, то они совпадают с уравнениями (2.161) и (2.162) в линейном приближении по степеням 方 и по полям (см. также [189], с. 51).
Прецессия Томаса как кинематический спин-орбитальный эффект
Лучше всего анализ спиновых уравнений движения проводить, исполь™ зуя вектор спина 以 взятый в системе покоя. Этот вектор связан с компо™ нентами тензора Па^ при помощи преобразований Лоренца (2.17). Тогда соответствующее спиновое уравнение имеет вид
"就zW %?差К侬餌川一
+ 舄—~ {(再)+ ⑷问-71T低)(网)} . (2.181)
В частном случае однородных полей это уравнение известно в литера™ туре (см., например, [30]). В терминах，уравнение спиновой прецессии может быть представлено в виде
(2.182)(2.182)2 =m
(2.182)
(2.182)
Можно показать (см., например, [64, 66]), что в случае однородных по™ лей угловая скорость прецессии Q состоит из двух принципиально разных частей:
fl = Ol + Одр^,
= —网-崂(2.183)
^Th =([/ЗЕ] + [0[0Н]]).(2.184)
Ларморовская частота Ql имеет динамическое происхождение, а частота Отв представляет собой чисто кинематический релятивистский эффект —— прецессию Томаса [см. (2.78)].
Переходя в (2.183 ) и (2.184) к электромагнитным полям в системе покоя частицы:
Н = 7 Но + [0Е。] — Т/Х/Ш。)，
7；(2」85)
Е =)
получим довольно простой результат:
Ql = — §—纟— - Но, Сть =——г [/ЗЕ。]*
2moe 7m°c 7 + 1
Прецессия Томаса [24] рассматривалась в довольно большом числе ра~ бот (см. [67, 68, 77, 177] и др.). Здесь же мы хотим показать, как провести разделение спинового уравнения на динамическую и кинематическую ча~ сти непосредственно в ковариантной форме спинового уравнения (2.144). Для простоты так же, как и выше, ограничимся случаем однородных полей (приближение уравнения БМТ).
Уравнение БМТ, как мы знаем (см. § 2.3), существенно упрощается с введением эффективного поля (2.73):
Н『=Я а^Н^.(2Л86)
где Н а^ — пространственноподобная часть внешнего электромагнитного поля (2.74), а
еде
——некоторое кинематическое поле, связанное, как мы увидим, с прецессией Томаса.
Уравнение (2.181) для вектора，в этом случае имеет совсем простой вид：
力г2 то с [ \7 + I у
Отделяя здесь кинематическую часть полей согласно (2.186)
Hef =Н+р2[/3(Е + [/ЗН])],
-9
Eef =Е +^ 72(Е + [0Н] —
где Н и Е — компоненты Н, получим уравнение (2.182) с разделенными
частотами.
Можно ввести кинематическое поле, дуальное 五當：
Легко видеть, что 石^； является пространственноподобным тензором: vaE^ 二 О,
и, кроме того,
Другой инвариант кинематического поля связан с квадратом ускорения:
Интересно, что
I &,"Г" = I Н^ Г" = I &；"马"=(<H0).(2.187)
Отсюда следует, что прецессия Томаса никакого вклада в эффективную массу (2.152) не дает.
Следовательно мы убеждаемся в том, что прецессия Томаса ——чисто кинематический спин~орбитальный эффект.
Некоторые точные решения спиновых уравнений движения
Спиновые свойства электронов играют большую роль в прецизионных измерениях фундаментальных физических величин [51, 52, 102, 161-164].
Изучение спиновой прецессии на основе классического уравнения БМТ позволило измерить с большой точностью аномальный магнитный момент электрона и других легких частиц [155, 156, 163]. Высокая точность из™ мерения масс элементарных частиц (。，ш, К土，К0-мезонов, ^-частиц и семейства Т-резонансов) посредством электрон-позитронных столкновений была продемонстрирована в экспериментах на встречных электрон™ позитронных пучках со сверхточным измерением энергии методом резонансной деполяризации в ИЯФ СО РАН [159, 164].
Основа метода резонансной деполяризации состоит в измерении часто™ ты прецессии спина электронов вокруг направления ведущего магнитного поля накопителя. Для измерения частоты прецессии спина использовалось резонансное воздействие на пучок поляризованных электронов высокоча™ статного магнитного поля. При совпадении частоты внешнего поля с ча~ стотой прецессии спина пучок деполяризуется. По факту деполяризации можно измерить частоту прецессии спина и тем самым провести абсолют™ ную калибровку энергии пучка в накопителе.
Аналогичная методика использовалась на накопителях CESR в США [165] и DORIS в Германии [166].
Поляризационный анализ на основе мощных источников поляризован™ ных частиц все более широко применяется в атомной и ядерной физике, физике твердого тела и физики поверхности [50, 51, 52]. Нашей целью не является обсуждение этих экспериментов. Здесь мы приведем только некоторые точные решения уравнения БМТ, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Магнитный волчок. Проще всего прецессию спина и собственный магнитный момент, связанный со спином, изучать на примере электри™ чески нейтральной частицы (магнитный волчок), движущейся в постоянном и однородном электромагнитном поле. В этом случае можно получить точное решение для произвольной конфигурации постоянных и однород™ ных электромагнитных полей [192].
Для электрически нейтрального волчка с магнитным моментом /1 > 0 имеют место соотношения
де 9де 90=三从0 =2moe 力 ns0=三从0 =2moe 力 ns
де 9
де 9
0=三从0 =
2moe 力 ns
0=三从0 =
2moe 力 ns
В случае нейтрона /i = —1,91/1%, где /i^ = eofi/2mnc ——ядерный магнетон Бора, тп ^ тр ——масса нейтрона, которую в приближенных оценках можно считать равной массе протона тр = 1, 67-10™24 г.
В дальнейшем удобно ввести следующие обозначения:
где W"——пространственноподобная часть тензора внешнего электромаг™ нитного поля (2.74).
В этих обозначениях векторное уравнение БМТ (2.72) при условии, что в однородных полях wu = 0, принимает простой вид:
гдегде(2.188)
где
где
у” =九“ + ^ v^Vph^\ /气"=0.
Компоненты тензора qaw = (—d,q) равны
d = 72([/3[/3e]] - [/3h]), q = 72(h — 0(0h) - [/Зе]),
где 万=u/c, u — скорость магнитного волчка.
Большое значение имеют инварианты тензора /":
；弘&"/"=『—储=犬，I q^q^ = —(qd) = 0,
где
产=l^Q^
и
X = )，(h— [0В])2 — (0h)2.
Уравнение (2.188) представляет собой систему обыкновенных диффе™ ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение системы имеет вид [192]
= д^ + ^/" sin Ат + */忆/(1 — cos Ат)j 冗“，(2.189)
где yr”]——начальные спиновые компоненты, удовлетворяющие условию %%7г, = 0, вследствие чего нулевая компонента тг? = (万穴1) “ Эти соотно™ шения, в свою очередь, вытекают из условия пространственноподобности вектора спина ^从穴从 二 0.
Решение тензорного уравнения (2.71)
dr "丄
представим в виде
IP" = nf + ^["И爲 Sin Ат —卜Uf" + ^小％。用；")(1 — cosAr),
(2.190) где %IIf"二 0, откуда ①i 二[/3Ui], что также является следствием условия пространственноподобности тензора спина: ^从口从"=0.
Оба решения, (2.189) и (2.190), согласно соотношениям (2.10) и (2.11), взаимно однозначно переходят друг в друга. Проще всего это можно про™ верить при помощи преобразований (2.18), которые являются следствием
и (2Л1).
Согласно (2.189) и (2.190) частота прецессии спина равна
g = △ = “(h—决]尸―(0h产(2Л91)
7
Рассмотрим специальные случаи.
Однородное магнитное поле. Вначале рассмотрим равномерное и прямолинейное движение магнитного волчка в однородном магнитном по™ ле Н = (0,0, Н). Будем считать, что поступательное движение волчка происходит в плоскости XZ: /3 = /3(sin а, 0, cos а).
Пользуясь инвариантом
"时=勺门ь1’ = (2,(2.192)
начальные значения 7Г1 можно подчинить дополнительному условию: 俨 sin a cos а
1 —方 cos2 а
Тогда
7rMi7rf 二)2(1 — 02 cos2 a)7r厶 + 7r二
Приняв
7Г1Ж = _《7\/1 — 02 cos2 a sin^i, тг^ = (cos921,
получим (/1 < 0)
7rz =1 _ 02 cos2 Q sin (Ar + Q),
(2.193)(2.193)穴期=C cos(Ar + 9i),
(2.193)
(2.193)
.7/З2 siii a cos a . z Л 、
Аналогичным образом из формулы (2.190) будем иметь
пж 二—/。 Uip sin 入丁 + П1Х cos Ат,
— 02cos2 a(2.194)
Uy =— 02 cos? a U］况 sin Ar + Uiy cos Ar, U? = Ui/“
На основе инварианта
I Пм,п^ = I ПАШ1ПГ = и；—對=；и； + (Ж1)2 = с2 (2.195)
сформулируем дополнительное условие М? = 0, откуда И? = 0”
Полагая
Uiz =?= singi, Uig =《丄)cosq,(2.196)
V1 —声 соУ а
получим более простое решение:
(2.197)(2.197)
(2.197)
(2.197)
Uy = (±7COS(^T + gi), nz = 0.
Частота спиновой прецессии равна
ш— 02 COS?(X7ш— 02 COS?(X7(2.198)(2.198)
ш— 02 COS?(X
7
ш— 02 COS?(X
7
(2.198)
(2.198)
Для электрически нейтральной частицы с отрицательным магнитным моментом (нейтрон) имеем h = \/л\Н/И8.
Интересно, что при а = 0 (движение в направлении магнитного поля) прецессия спина обладает азимутальной симметрией и частотой w = А/7,
тогда как при а = тг/2 (движение поперек магнитного поля) амплитуда компонент тг^ и Пу возрастает в 7 раз, а частота прецессии ш = h вообще не зависит от скорости.
Ортогональные поля. А. Здесь мы рассмотрим движение магнитного волчка в плоскости постоянных и однородных электромагнитных полей
Н = (О, О, Q cos?}), Е = (О, Q sin 77, 0), /3 = /3(0, sin a, cos а), где Q =，石2 + jj2,第〃 =Е/Н. Как и в предыдущем случае, пользуясь инвариантом (2.192), определим вспомогательное условие в виде
0 cos а(—7T1N sin п + 7^iyP cos п sin а)
^lzcos ?7(1 /З2 cos2 а)7
а также набор начальных компонент
7Г1Ж =,1 — 02 cos2 Q cos Q ,
7Tiy =— 02 cos2 а sin зь
(7/3 cos а (..q .[
7rb = /丁 S P sin asm 921 —三 shi^cosq
у 1 соУ a [入J
где q = 2|/i|Q/瓦
В этом случае решение имеет вид
7rz = q С： ”，1 _ 02 COS? a COS (Ат _
7гу =— 02 cos2 a sin(Ar — gj
7rz = j] 0 ； а 2 , I : sin?) cos(Ar — gi) — /3 sin a sin (Ar — gi)} *
Аналогичным образом можно получить компоненты тензора спина из (2.190). Однако, для упрощения вычислений можно воспользоваться уже известным результатом для компонент вектора спина и формулами (2.18). Таким образом, имеем
Пж = Ь —j— ，1 —万丄 cos2 a cos(Ar -
门f 。)2。3 gm ,9sin(Ar - ^1) 1
[— 02 со$2 &,1 — 02 соУ & J
U? =° s：1 ” 万 cos a ,1-02 cos? a cos (Ar — q).
В этом случае, частота прецессии спина принимает вид
з = △ = g J cos? 〃(] — 02 cos? a) + 夕 sin? 〃 cos? <x (2.199)
Б. Теперь перейдем к рассмотрению равномерного движения магнитного волчка перпендикулярно плоскости полей
Н = (0,0,Qcos?7), Е = (0,Qsin?7,0), 0 = (/3,0,0).
Используя (2.192), наложим дополнительное условие тг^ = 0, вследствие чего также 7rz = 0. Предполагая далее, что
7Г1Ж = 7c cos Q, ^ly = C sin Q ,
получим
冗重=?C cos(Ar — Q), 7Tg = —c sin(Ar —
Отсюда следует, что
Пж = ( cos(Ar — q), Uy = -7( sin (Ат — q).
В этом случае результаты зависят от параметра 〃 только через частоту прецессии спина
ш = - = q(cos г] — sin ?]).(2.200)
7
В. Рассмотрим теперь движение магнитного волчка (заряженного или электрически нейтрального) в постоянных и ортогональных электромаг™ нитных полях Е < Н:
Н = (0,0, Я), Е = (0Л,0), E = Hsin〃 /3 = (sin?), 0,0),
где 〃 ——некоторый постоянный угол. Известно, что в этом случае заряд дви™ жется вдоль оси X равномерно и прямолинейно (фильтр Вина, см. [102]).
С учетом того, что X = 九 cos 〃，а также предполагая, что
^i® = с^i® = сSill01 cos?)Sill01 cos?)^ly =《cosgi) ^lz = °〉^ly =《cosgi) ^lz = °〉
^i® = с
^i® = с
Sill01 cos?)
Sill01 cos?)
^ly =《cosgi) ^lz = °〉
^ly =《cosgi) ^lz = °〉
получим
7rz = — sin(Ar — gi), by =《cos(Ar —7rz = 0.
При 〃 = 0 это решение совпадает с (2.193), где следует принять а = =7г/2.
Таким же образом для тензорного варианта с дополнительным условием
口1 况=_《丄 sinимеемПж = —С丄 sin(Ar — gi),口1 况=_《丄 sinимеемПж = —С丄 sin(Ar — gi),口1“ = cos(pi, Ui? = 0” cos n口1“ = cos(pi, Ui? = 0” cos nU 電=cos (Ат —И，= 0”cos ^^"U 電=cos (Ат —И，= 0”cos ^^"
口1 况=_《丄 sin
имеем
Пж = —С丄 sin(Ar — gi),
口1 况=_《丄 sin
имеем
Пж = —С丄 sin(Ar — gi),
口1“ = cos(pi, Ui? = 0
” cos n
口1“ = cos(pi, Ui? = 0
” cos n
U 電=cos (Ат —И，= 0”
cos ^^"
U 電=cos (Ат —И，= 0”
cos ^^"
Это решение для ту = 0 получается из (2.197) при а = тг/2. Частота спиновой прецессии равна
(2.201)(2.201)Л hh
(2.201)
(2.201)
Cd = - = - COS 〃 = г
77
Отсюда следует, что угол поворота спина на отрезке пути длиной L определяется выражением
= egH L
” 2moC2 02)*
Эта формула используется в экспериментах с поляризованными частицами в фильтре Вина [38].
Параллельные поля. Интересно также рассмотреть движение магнит™ ного волчка в постоянных и параллельных электромагнитных полях
Н = (0, 0, Q cos?}), Е = (0, 0, Q sin ту), /3 = /3(sinct, 0, cos а).
Будем действовать подобно предыдущим случаям. Определяя дополни™ тельное условие
/3 sin a(7Tiz/3 cos a cos ?)— 7Ид sin ?))cos ?7(1 - 02 cos2
и принимая, что
7Г1Ж =—万2 cos? a cos
7rlp = cos - 02 cos? a sill
7(/3 sin a (q *^
7Tiz = —/===== < p cos a cos gi —《sin 〃 sin gi "— /32 cos2 & [Л
получим следующее выражение для компонент вектора спина:
7ГЖ =_ 02 cos2 a cos(Ar —炉]),
7Гу = _)《三 cos Т]\/1/32 cos2 a sin(Ar —
/ /3 cos a cos(Ar —£ sin〃sin(XT —
у 1 /32 cos2 a [X
и, соответственно, для компонент тензора спина:
COS(Ar 一01)，1 — 02 cos? aCOS(Ar 一01)，1 — 02 cos? aд)2рз疝帀Ад/1 — /32 COS2 Qд)2рз疝帀Ад/1 — /32 COS2 Qsin2 a cos a sin(Ar — q)sin2 a cos a sin(Ar — q)
COS(Ar 一01)
，1 — 02 cos? a
COS(Ar 一01)
，1 — 02 cos? a
д)2рз疝帀
Ад/1 — /32 COS2 Q
д)2рз疝帀
Ад/1 — /32 COS2 Q
sin2 a cos a sin(Ar — q)
sin2 a cos a sin(Ar — q)
Up = _)2《g cos 〃，1 — 02 cos? a sin (Ar — gj
□z = )2《三万 sin a sin 77,1—02 匸^ & sin(Ar — q).
Частота прецессии спина равна
& = - = qJcos2 77(1 — 02 cos2 a) + 俨 sin2 〃 sin2 a* (2.202)
(2.203)(2.203)Спин в системе покоя. Рассмотрим теперь ситуацию, когда спин задан в системе покоя, а магнитное поле ——в лабораторной системе. Уравнение БМТ в этом случае принимает вид (см. (2.68), здесь /1 < 0)
(2.203)
(2.203)
dr — hs К 心
где Но ——магнитное поле в системе покоя волчка:
7 + 1
Решение уравнения (2.203) при тех же параметрах, что и в первом случае имеет вид
点=1—§ sin(wt + СУ = С cos(wt +
，cos2 a
Л Л [(71)7]/sill a cos a、
Q = Y ——片一方一一耳一一smQj +
—夕z cop a
Частота прецессии спина равна
以—万2 cos? a.(2.204)
Электрон в постоянном и однородном магнитном поле. В
этом случае, векторное уравнение БМТ (2.72) принимает вид
手4 кН] + v(vkH]).(2.205)
dr 2moc2moc3
Входящая в это уравнение скорость заряда v = 7С/З определяется соот・
ношениями (е > 0, JJ II Z)
(2.206)(2.206)(2.207)(2.207)vx = и丄 sin wf, vy = и丄 cos wt,vz = и”
(2.206)
(2.206)
(2.207)
(2.207)
с частотой
w =.
Представим решение уравнения (2.205) в виде [193]
7ГЖ = ^X(COS wt cos wat — QSinwf sin wat),
7Ty 二 ^^x(sinwf cos wat + q cos wt sinwaf),
7rz = (<|| —)万丄
гдегдеq =+)2宣=7q =+)2宣=7
где
где
q =+)2宣=7
q =+)2宣=7
“0|1 — )0丄С丄 sin®a力“0|1 — )0丄С丄 sin®a力（07r）=（07r）=Отсюда следует, что
“0|1 — )0丄С丄 sin®a力
“0|1 — )0丄С丄 sin®a力
（07r）=
（07r）=
и (ср. с (2.16))и (ср. с (2.16))不開不浊=,；+ ,『=С-不開不浊=,；+ ,『=С-
и (ср. с (2.16))
и (ср. с (2.16))
不開不浊=,；+ ,『=С-
不開不浊=,；+ ,『=С-
Заметим, что
(Д^)15=2 = -= const.
Уравнение БМТ в тензорном виде (2.71)
? = 4 [ПН] +(vn)[vH])
dr 2moe2moeз丿 l
имеет решение
, sinwt sin ujat7 cos s% cos ujat), sinwt sin ujat7 cos s% cos ujat)Q sin wt,Q sin wt,и,=—,丄и,=—,丄при этом (ср. с (2.16))при этом (ср. с (2.16))(2208)(2208)I “IF"I “IF"
, sinwt sin ujat
7 cos s% cos ujat)
, sinwt sin ujat
7 cos s% cos ujat)
Q sin wt,
Q sin wt,
и,=—,丄
и,=—,丄
при этом (ср. с (2.16))
при этом (ср. с (2.16))
(2208)
(2208)
I “IF"
I “IF"
и
(伪г) = 7(Ж)-
С помощью (2.18) можно показать, что решения (2.207) и (2.208) взаим™ нооднозначно переходят друг в друга. Сохраняются также условия спиновой инвариантности [см. (2.192) и (2.195)].
Более интересны решения уравнения БМТ для вектора спина в системе покоя (2.182).
Как мы уже видели в §2.9, угловая скорость прецессии спина О включает в себя ларморовскую угловую скорость Оь (2.183) и угловую скорость
прецессии Томаса OTh (2.184). В векторной форме это означает, что
О = Cl + ^ть = СО = Cl + ^ть = С訂—тЬ^н) 39)訂—тЬ^н) 39)
О = Cl + ^ть = С
О = Cl + ^ть = С
訂—тЬ^н) 39)
訂—тЬ^н) 39)
Все векторы О, OL и ОТь могут быть вычислены на основе формул (2.206) для движения заряда в однородном магнитном поле:
д 72(/1
^Th = ^^^тру ｛户丄dl(sin^匕 cosg%);—户；｝,
720 = g7 + 1720 = g7 + 1Д±Дц (sin cos wt);/31 - I ( J 十 1 —Д±Дц (sin cos wt);/31 - I ( J 十 1 —
72
0 = g
7 + 1
72
0 = g
7 + 1
Д±Дц (sin cos wt);/31 - I ( J 十 1 —
Д±Дц (sin cos wt);/31 - I ( J 十 1 —
а их абсолютные значения равны
Cl = |w, Qih = g(7 — 1),
Заметим, что в нерелятивистском случае
Brh :户%
а полная частота прецессии спина О при д = 2 совпадает с круговой частотой:
С I g = 2 = G •
Решение уравнения (2.203) имеет вид
Ge = C± (cos wt COS UJat — 5口 sin wt sin wat)—Ge = C± (cos wt COS UJat — 5口 sin wt sin wat)—70丄 01|70丄 01|7 + 17 + 1《sin wt,《sin wt,(у = — C丄(sinwt cos ujat + 5|| cos wt sinwat)(у = — C丄(sinwt cos ujat + 5|| cos wt sinwat)770丄仇0丄仇7 + 1/^7 + 1/^q cos wt,q cos wt,Q = 6|“ 一 6丄《丄 sinGa3Q = 6|“ 一 6丄《丄 sinGa3(2.210)(2.210)
Ge = C± (cos wt COS UJat — 5口 sin wt sin wat)—
Ge = C± (cos wt COS UJat — 5口 sin wt sin wat)—
70丄 01|
70丄 01|
7 + 1
7 + 1
《sin wt,
《sin wt,
(у = — C丄(sinwt cos ujat + 5|| cos wt sinwat)
(у = — C丄(sinwt cos ujat + 5|| cos wt sinwat)
7
7
0丄仇
0丄仇
7 + 1/^
7 + 1/^
q cos wt,
q cos wt,
Q = 6|“ 一 6丄《丄 sinGa3
Q = 6|“ 一 6丄《丄 sinGa3
(2.210)
(2.210)
гдегде
где
где
К) 。丄仇x _)(1-窗)+ 1
7+1(7+l)v^
门+蜡=1.
Можно убедиться в том, что решения (2.210) связаны с решениями (2.207) и (2.208) преобразованием Лоренца (2.17).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Для чисто поперечного движения в плоскости, перпендикулярной маг™ нитному полю, получаем
Д± =仇 Д| = & 5丄=0, б” = 1) g = 7
и
Сж = cos Оцt, & = —С± sin Оцt,《z = С|| ?(2.211)
где
С” = g 幻 j 2 2)+ 1) .(2.212)
При g = 2 вектор《прецессирует с частотой обращения заряда в магнитном поле ш в направлении его движения. Это означает, что во вращающейся с ларморовской частотой ш системе отсчета он сохраняет свое направление во времени, а при g * 2 прецессирует с частотой, пропорциональной аномальному магнитному моменту.
Формула
П||1 , Да
—=И7
легла в основу прецизионных измерений аномального магнитного момента мезона /1+ [ 156] Она также использовалась для точной калибровки энергии электронных пучков в прецизионных экспериментах по определению масс элементарных частиц и резонансов (д, К。，К土，ш, ©，Т) [159, 164—166]”
В случае чисто продольного движения имеем
Д± = о, Д| =凤 5丄=0, 5|| = 1, q = l
и решения, аналогичные (2.2И), но с частотой
d
Спин-резонансные решения. Спиновые резонансы сильно влияют на поляризацию электронного пучка. Поэтому исследование спиновых резонансов имеет первостепенное значение при создании релятивистских поляризованных пучков, сохранении и трансформации поляризации [158, 160, 161, 164, 166, 191]. Уравнение ВМТ дает простой и надежный метод исследования спиновых резонансов.
Для начала рассмотрим простую модель релятивистского магнитного спинового резонанса [194]. С этой целью определим внешнее магниторезонансное поле, как обычно, в виде
Hres = /z(i cos Ct + j sin Ct) + kH,
где i, j, к ——орты декартовой системы координат, Н ——однородное магнитное поле и h ——амплитуда вращающегося магнитного поля.
Для описания кинематики спина воспользуемся уравнением БМТ для вектора《(& = —〃 < 0, ^ = 2), в котором [см. (2.181)]
О =О =Сото суСото су(223)(223)
О =
О =
Со
то су
Со
то су
(223)
(223)
(2.214)(2.214)В координатной системе, вращающейся с угловой скоростью 2, уравнение (2.182) принимает вид (см. также [195])
(2.214)
(2.214)
гдегде(У =(幻自 0,5), 5 = g — a g = mo су(У =(幻自 0,5), 5 = g — a g = mo су^h =^h =mo суmo су
где
где
(У =(幻自 0,5), 5 = g — a g = mo су
(У =(幻自 0,5), 5 = g — a g = mo су
^h =
^h =
mo су
mo су
В дальнейшем удобнее записать уравнение (2.214) в матричной форме:
drdrО —55 ООО —55 ООООcoswfcoswfsin St Оsin St О—g九 С, 《'= —sin& 方 cos&方 0 U—g九 С, 《'= —sin& 方 cos&方 0 UООООоо11(2215)(2215)
dr
dr
О —5
5 О
О
О —5
5 О
О
О
О
coswf
coswf
sin St О
sin St О
—g九 С, 《'= —sin& 方 cos&方 0 U
—g九 С, 《'= —sin& 方 cos&方 0 U
О
О
О
О
о
о
1
1
(2215)
(2215)
Уравнение (2.215) формально совпадает с уравнением Блоха для вектора намагничивания в случае, когда релаксационные члены пренебрежимо малы [195, 196]. Решение этого уравнения находится с помощью сложения трех последовательных вращений:
cos £ ОО 1 sin £ Оcos £ ОО 1 sin £ О—sin gОcos £—sin gОcos £1 ОО cos(УО sin (У1 ОО cos(УО sin (УО—sin (Уcos UО—sin (Уcos Ucos £О—sin gcos £О—sin g0 sin £1 0 UО cos £(226)0 sin £1 0 UО cos £(226)
cos £ О
О 1 sin £ О
cos £ О
О 1 sin £ О
—sin gОcos £
—sin gОcos £
1 О
О cos(У
О sin (У
1 О
О cos(У
О sin (У
О
—sin (Уcos U
О
—sin (Уcos U
cos £
О
—sin g
cos £
О
—sin g
0 sin £
1 0 U
О cos £
(226)
0 sin £
1 0 U
О cos £
(226)
гдегде
где
где
^п£ = ^7，cos£ = ^〉О = J(P 十党,
/I ——вектор спина в момент времени t = 0. Из (2.216) легко получить все проекции:
G月 + 6? cos Q t f 5 .I
点 = ^好虞一五 smC 力 Cly + 一 cosC 力)
С = ^7 sin О力 CQ + cos 6力 Sg —蕊 sin 6方《%,
С =— cos a t)(lx + — Sin О t &y +Q/2
Нетрудно проверить, что ^2 = ^2. В частности, когда ^ = (0,0,1), получается релятивистское обобщение формулы Раби:
С = 1 -城十加 snT —-(227)
В квантовой механике эта формула выводится совсем другим способом [196].
В случае резонанса, когда 5 = 0, вектор《'вращается (при тех же начальных условиях) в плоскости X'Z[ которая содержит Н:
С = (0,-siiiw^^cos^t)^,.
В другом предельном случае, когда 幻九《5 и (У 弋 5 (£ = ±тг/2), согласно (2.216) имеем
c = 8S5的l干前115吗r e； = ± sin K^f +cos(5^, e =丸*
В общем случае
Если расстройка частоты 5 изменяется с течением времени адиабатически медленно (см. [103]), то угол между векторами ^ и С практически остается фиксированным, а вектор《'плавно следует за (Г, прецессируя вокруг этого вектора.
Вдали от резонанса, когда b》g%〉0, вектор《'вращается в плоскости Х'У- сохраняя при этом свою величину:
С = {(i[cos(5t + a), sin(5t + a)], (и},
где а = arctg(^iy/Gx)- Если, кроме того, ш ^> т.е. b g, то при а = 0, что несущественно, эта формула переходит в формулу (2.212) предыдущего параграфа, если в ней положить д = 2，)= 1 и в = ^вд. Не представляет труда обобщить данное рассмотрение на случай наличия аномального магнитного момента.
Заметим, что рассмотренная здесь модель магнитного резонанса может быть использована для прохождения спиновых резонансов в циклических ускорителях [158, 191].
Теперь рассмотрим поведение спина релятивистского электрона при движении в фокусирующем азимутально симметричном магнитном поле
где q ——параметр, характеризующий радиальную неоднородность магнит™ ного поля, которое в случае стабильного равновесия лежит в пределах 0 < < д < 1 (слабая фокусировка). В плоскости равновесной орбиты
то с2/З7
n т a q т 兄=——
и
Нр、Н屮HztIL
Классическая теория движения электрона в полях этого типа рассматривалась, например, в работах [197], а квантовая теория ——в работах [198].
Решение классического уравнения движения заряда (в = ^вд < 0) в линейном приближении по амплитуде бетатронных колебаний имеет вид [199]
(2.218)(2.218)р = R[1 + ар sin(wpt + ар)],n = Raz sin(wzt + a j
(2.218)
(2.218)
y? = Cjf T斤：乌==：=：COS^UJpt + CEp),
где
= у 1 g ujz = y/q w = eH/mgcy
и a. = Ap/R, az = Az/R ——относительные амплитуды бетатронных колебаний.
Мы рассмотрим прецессию спина для движения (2.218) на основе урав™ нения БМТ (2.182) с вектором угловой скорости прецессии спина, определенным формулой (2.209). В цилиндрической системе координат, принимая во внимание (2.218), имеем
Цо = — (g + Ga"。％ sin(5工 + Q j
^屮=-ujay/qaz cos(ujzt + az\
гдегдеCz = (g + Ga) [1 — 9。夕 sin(wpf + a。)],
где
где
g —2 eH
UJa =————
2 moc
Найдем решение уравнения БМТ при помощи метода последователь™ ных приближений. В приближении нулевого порядка, т.е. в отсутствии бетатронных колебаний, получим простое решение
<р = G cos(wat+ aa), (° = G sin(wat+ aa), Q = Q,
которое в декартовой системе координат совпадает с решением, полученным ранее для однородного магнитного поля (в = ^во < 0, Дц = 0).
В общем случае решение уравнения (2.182) принимает вид
& = Q cos(Ga力 + Qa)—《丄ap sm(wat + Qa)cos(wpt + ap)—
3p
—4 (g — Ga 十 k3z)^^^Qz sinQz力 + Q/)〉
& = (± sin(wat + aa) +
ap COS(Ga力 + Qa) COS(Gq方 + Q°) +ap COS(Ga力 + Qa) COS(Gq方 + Q°) +(1 — q)s + q®a
ap COS(Ga力 + Qa) COS(Gq方 + Q°) +
ap COS(Ga力 + Qa) COS(Gq方 + Q°) +
+ <11 [(G — Ga)s + ^]^^^az cos(Gz力 + az\ (2.219)
Q = 一 储-(1+一"……]-
где
k —--.
7 + 1
Обратим внимание на резонансный характер этих выражений: все ком™ поненты имеют всплеск при ujz = ша. Заметим, что абсолютное значение |《| остается постоянным по величине.
Аналогично можно получить решения уравнения БМТ для И从"и тга. Например, .г-компонента решения тензорного уравнения имеет вид (см. также [200])
sin[(w2 + Sa)力 + Qz — Qa]—
(2.220)(2.220)гдегдеg — 22g — 227-7-sin[(sz — Sa)力 + Qz + «a]
(2.220)
(2.220)
где
где
g — 2
2
g — 2
2
7-
7-
Решения (2.219) находятся в полном согласии с квантовой теорией. По™ лагая в (2.220) Q = cos Ф, а Q = sin Ф, получим формулу (35) в работе [198], в которой впервые была рассмотрена квантовая теория спиновых резонансов.
Классическая интерпретация спин-флип переходов
Квантовые переходы с переворотом спина (спин-флип переходы) имеют большое значение в теории синхротронного излучения и в методах получения пучков поляризованных элементарных частиц. Для лучшего понимания природы этого явления необходимо исключить из рассмотрения эффекты, связанные с излучением электрического заряда. Этим объясняется предложенный здесь выбор модели спин-флип излучения в виде излучения электрически нейтральной частицы Дирака-Паули, движущейся в однородном магнитном поле. Известно [201], что в этом случае полное излучение в квантовой теории обусловлено исключительно спин™флип переходами. Идея состоит в том, что спин-флип излучение представляется в виде нестационарного процесса, связанного с прецессией спина. С этой точки зрения будет показано, как построить решение классического уравнения прецес™ сии спина в БМТ-теории, имея точное решение уравнения Дирака-Паули. Таким образом, мы определим связь квантовых спин-флип переходов с классической прецессией спина [202].
Рассмотрим электрически нейтральную частицу, которая подчиняется уравнению Дирака-Паули (2.88):
=О,=О,
=О,
=О,
где 力从=—访万匕 и движется в однородном магнитном поле Н = (О, О, Н). Как известно [201], волновая функция такой частицы имеет вид (см. гл. 3)
>(r,t)=L3/2>(r,t)=L3/2©% 夕ехр(£%У)=《七(г) exp
>(r,t)=L3/2
>(r,t)=L3/2
\。4厂屮/
где 阱 = 7^(1, Д), ^м = (иг。с/方)/ ——безразмерные импульс и координата
частицы,частицы,7《7《=7=7
частицы,
частицы,
7《
7《
=7
=7
где С = ±1 и, кроме того, S = \ji\H/т^(?, 7 = 1/у1Д2.
Спиновые коэффициенты с?： (£ = 1, 2, 3,4) определяются из условия, что стационарная волновая функция《七 является собственной функцией спинового оператора
立％ = 02 匕б]% + dz,
который является интегралом движения и описывает проекцию спина на направление магнитного поля с квантовым числом《”
Если частица движется в плоскости XZ, то Д = /3(sin а, 0, cos а) , и спиновые коэффициенты принимают вид
=©，=©，
=©，
=©，
где q = 7у 1 Д2 cos2 а.
В квантовой теории прецессия спина описывается нестационарной волновой функцией, которая представляет собой суперпозицию спиновых со™ СТОЯНИЙ С = ±1:
Ф(г, t) = A^i(г) expФ(г, t) = A^i(г) exp+ W^i(r) exp+ W^i(r) exp2
Ф(г, t) = A^i(г) exp
Ф(г, t) = A^i(г) exp
+ W^i(r) exp
+ W^i(r) exp
.mo cf
Постоянные множители Л и В определяются из начальных условий(ftn)f(r,0) = Л>(г,0),
где n = (sin Л cos 纟 sin Л sin 纟 cos Л). Например, в случае начальной ориентации спина вдоль оси X, имеем
A = ^TA = ^T&)俨 sin a cos а
A = ^T
A = ^T
，1 + )204 sin? Q COS? Q
《1)02 sin Q COS Q
，1 + )204 sin? Q COS? Q，
A = Q，1 十)202 COS? Q；
вдоль оси Y
вдоль оси Z
2 s 2*2
搪 N n 小1 Л COS a + 7 Sin a
/ =(1,0), в =(0,1),入=С ——
7y 1 — cos2 a
Заметим, что во втором случае эти соотношения имеют самый простой вид, так как для него компонента тензора спина 立^ не подвергается преобразованиям Лоренца. Действительно, согласно (2.17) имеем Пу = 7^. Значение ^1 = ±1 характеризует направление начальной ориентации спина. В последнем случае G совпадает с《*
Чтобы вычислить средние значения всех компонент тензора 立从",необходимо использовать соотношения
…В2 sin a cos a ,…1
2(|C = Y；— —5—, 〈ГАЮ = —F—万万一/—, у 1 — р2 cos2 &у 1 — р2 cos2 a
9%© = 0, 〈Y1fgc = -乂)，
(4立/e =—/2 cos2q, 4立/0 = 0.
Средние значения〈立〉力 будут существенно отличаться друг от друга в зависимости от начальной ориентации спина. В наиболее общем случае, когда (П)о =〈立J加 имеем
尸==』==^= sin
°,1—02 cos? a
(立 g)力=Q7COSG 力(立 n)力=0-
Фактически эти выражения не отличаются от решения (2.197) тензорного уравнения БМТ при《丄=Q и 玄=0.
Частота прецессии спина
^^cos2 a
совпадает с (2.198) при $ = 1/2*
В случае начальной ориентации спина вдоль оси X вычисления становятся более сложными и здесь мы их опускаем, хотя никаких принципиаль™ ных отличий не существует.
Интересные результаты получаются, если в начальный момент времени ориентировать спин вдоль оси Z:
,-,Т/З? sin Q COS Q
(С02 cos2 J
т.е. все компоненты ——постоянные величины.
Важное значение имеет спиновый инвариант
Простые, но довольно громоздкие вычисления показывают, что в любом случае 1 = 1, что соответствует классическому значению этого инварианта [см. (2.52)].
Рассматриваемый метод позволяет также определить прецессию проекции спина на направление движения:
S1P/2.2-2八
,/ (cos q + t sm a cos wt).
—02 COS? +)2万2 五帝 Q
Аналогично можно рассмотреть прецессию вектора спина〈行。〉方，а также 〈“.Во всех случаях при одинаковых начальных условиях получаются результаты, совпадающие с решениями соответствующих классических уравнений БМТ [202].
Таким образом, нестационарная квантовая теория спин-флип переходов оказалась в полном согласии с классической теорией прецессии спина.
Какое отношение имеют полученные здесь результаты к теории излучения с переворотом спина? Известно (см. гл. 4), что в классической теории спин, а точнее, собственный магнитный момент, ориентированный вдоль или против направления поля, не излучает при равномерном и прямолинейном движении частицы. Тем не менее, возникающее в этом случае квантовое спин-флип излучение можно объяснить классической прецессией спина в плоскости, ортогональной магнитному полю. При этом все характеристики данного излучения полностью соответствуют результатам, полученным из квантовой теории излучения с переворотом спина. Отсюда следует, что фактически не существует различия между классической и квантовой теорией излучения при не стационарном представлении спин-флип переходов.
Спиновые инварианты и спиновые интегралы движения
В практических целях при исследовании точных решений спиновых уравнений важно знать релятивистские спиновые инварианты, которые могут быть интегралами движения. Инвариантные интегралы движения очень удобны в связи с тем, что они сохраняют собственные значения при переходе от одной инерциальной системы к другой. Обычные спиновые операторы Й7" и 彳° не обладают таким свойством. Более того, в присутствии внешнего электромагнитного поля они, вообще говоря, перестают быть интегралами движения. Это легко показать, если воспользоваться собственновременным уравнением движения операторов [см. (2.102)]. Согласно этому уравнению для Q =皿" получаем
атто с
Отсюда следует, что
= ^7(РзкН]+р2[аЕ]),(2221)
Здесь мы учли тот факт, что d/dt 4- p^d/dr и, кроме того,
Н^аа^ = (—6[аН] — [аЕ], [аЯ] — i[aE]).
Следовательно, в том случае, когда присутствует лишь магнитное поле (Е = 0) с фиксированным направлением, проекция спина на направление магнитного поля является интегралом движения. С другой стороны, в случае постоянного электрического поля (Н = 0) проекция спина на направление электрического поля также является интегралом движения.
Аналогичным образом для Q = тта получим
ииdt mo сdt mo с0仆50仆5d 介 е , „ г 一万7 = (piE + сгН ),dtm0 сСледовательно, в том случае, когдаd 介 е , „ г 一万7 = (piE + сгН ),dtm0 сСледовательно, в том случае, когдаdtdt—(оЕ)* тос ■—(оЕ)* тос ■электрическое поле отсутствуетэлектрическое поле отсутствует(Е = 0), а магнитное поле имеет фиксированное направление, проекция пространственной компоненты тг на направление постоянного магнитного поля, а также компонента тт° являются интегралами движения. При отсут™ ствии магнитного поля (Н = 0) сохраняется только проекция тг на направ™ ление, ортогональное постоянному электрическому полю, а компонента тг° перестает быть интегралом движения.С учетом аномального магнитного момента электрона число спиновых интегралов движения еще более сокращается. В однородном магнитном(Е = 0), а магнитное поле имеет фиксированное направление, проекция пространственной компоненты тг на направление постоянного магнитного поля, а также компонента тт° являются интегралами движения. При отсут™ ствии магнитного поля (Н = 0) сохраняется только проекция тг на направ™ ление, ортогональное постоянному электрическому полю, а компонента тг° перестает быть интегралом движения.С учетом аномального магнитного момента электрона число спиновых интегралов движения еще более сокращается. В однородном магнитномполе Н = (О, О, Н) также п/п. 2.10.2).Тем не менее, <поле Н = (О, О, Н) также п/п. 2.10.2).Тем не менее, <только проекция Й2 является интегралом движения (см.только проекция Й2 является интегралом движения (см.спиновые операторы и их компоненты позволяют кон™спиновые операторы и их компоненты позволяют кон™
и
и
dt mo с
dt mo с
0仆5
0仆5
d 介 е , „ г 一
万7 = (piE + сгН ),
dtm0 с
Следовательно, в том случае, когда
d 介 е , „ г 一
万7 = (piE + сгН ),
dtm0 с
Следовательно, в том случае, когда
dt
dt
—(оЕ)* тос ■
—(оЕ)* тос ■
электрическое поле отсутствует
электрическое поле отсутствует
(Е = 0), а магнитное поле имеет фиксированное направление, проекция пространственной компоненты тг на направление постоянного магнитного поля, а также компонента тт° являются интегралами движения. При отсут™ ствии магнитного поля (Н = 0) сохраняется только проекция тг на направ™ ление, ортогональное постоянному электрическому полю, а компонента тг° перестает быть интегралом движения.
С учетом аномального магнитного момента электрона число спиновых интегралов движения еще более сокращается. В однородном магнитном
(Е = 0), а магнитное поле имеет фиксированное направление, проекция пространственной компоненты тг на направление постоянного магнитного поля, а также компонента тт° являются интегралами движения. При отсут™ ствии магнитного поля (Н = 0) сохраняется только проекция тг на направ™ ление, ортогональное постоянному электрическому полю, а компонента тг° перестает быть интегралом движения.
С учетом аномального магнитного момента электрона число спиновых интегралов движения еще более сокращается. В однородном магнитном
поле Н = (О, О, Н) также п/п. 2.10.2).
Тем не менее, <
поле Н = (О, О, Н) также п/п. 2.10.2).
Тем не менее, <
только проекция Й2 является интегралом движения (см.
только проекция Й2 является интегралом движения (см.
спиновые операторы и их компоненты позволяют кон™
спиновые операторы и их компоненты позволяют кон™
струировать новые операторы, которые могут стать интегралами движения и в присутствии внешнего поля более сложной конфигурации.
Один из первых успешных результатов такого подхода ——спиновый оператор Дирака [203]
)d = Рз[(^1) + 矶
где i = [гР]——оператор орбитального момента импульса.
Оказывается, что оператор Дирака Л)имеет явное пуанкаре-инвари™ антное происхождение [56]. Чтобы это показать, построим вначале тензор, дуальный тензору орбитального момента импульса £"户=(К, L) (2.1):
К@户=—；Ea^^Lpa
即，Q.222)
где гамильтониан уравнения Дирака 丸 имеет вид
Я = c(dP) + е* + рзт0с2 =访历 + ср^Н + 访历自(2*223)
Подставляя это выражение в (2.222), получим
工Л1=Q金dt- 03d丁 ■
Разумеется, используя (2.222) вместо (2.102), мы получим тот же самый результат [см. (2.221)].
Согласно (2.8) имеем
= -mBpoRpP。= (I, —К》
Легко видеть, что этот тензор является пространственноподобным:
К。％ = 0.
Спин-орбитальная связь обеспечивается нулевой компонентой J0 век™ тора
gjM = K^sy = (—(Ls) JKs] — Ls°).(2.224)
В операторной форме согласно определениям L^ и 6" [см. (2.32) и (2.30)], имеем
2 ( Рз<т) +pi2 ( Рз<т) +pimQCmQC
2 ( Рз<т) +pi
2 ( Рз<т) +pi
mQC
mQC
Отсюда, согласно (2.224), получим
产=力（"户）一 °3（方）+产=力（"户）一 °3（方）+hто с2hто с2（无一七夕）—Jd（无一七夕）—Jdи, следовательно,и, следовательно,/d:為（无一"）/d:為（无一"）
产=力（"户）一 °3（方）+
产=力（"户）一 °3（方）+
hто с2
hто с2
（无一七夕）—Jd
（无一七夕）—Jd
и, следовательно,
и, следовательно,
/d:為（无一"）
/d:為（无一"）
Оператор Дирака Jd в поле центральных сил коммутирует с гамильто™ нианом究(2.223) и используется в решении уравнения Дирака для атома водорода (см. [148, 203] и др.).
Другим примером является спиновый интеграл движения для взаимно ортогональных полей типа плоской электромагнитной волны в конфигурации Редмонда (плоская волна и однородное магнитное поле направлены вдоль скорости распространения волны) [204]:
元兄=（П7Г）+ Ji0,
где п ——постоянный единичный вектор, 5 ——произвольная константа. Мож™ но показать, что
警=十 3(пЕ) — (“нН]) + *°E)] %(2225)
Шо c
Отсюда следует, что в полях типа
Н = [nE] + n(nH), Е = —[нН] + п(пЕ)
уравнение (2.225) дает нуль при 小=—1 н (пЕ) = 0.
Исчерпывающий анализ линейных по импульсу спиновых интегралов движения был сделан в работе [205].
Перейдем к рассмотрению спиновых инвариантов, которые являются интегралами движения. Впервые на возможность построения таких интегралов движения было указано в работе [204], где был построен январи™ антный спиновый оператор
1=|
Позднее оператор I был использован для вычисления конкретных физических эффектов [206, 207]. В работе [206] было показано, что оператор I может быть представлен в форме
гдегде= Е^прР^/тос = I,
где
где
Е^ = I &^рьНр「
Мы рассмотрим здесь свойства спиновых инвариантов I и 1^ в рамках приближения Баргманна-Мишеля-Телегди. Этот вопрос имеет важное значение в связи с проблемой адекватности релятивистски инвариантного описания спиновых состояний в классической и квантовой теориях [208].
Покажем вначале, что спиновые инварианты / н /' в классической и в квантовой теории эквивалентны. Это легко сделать при помощи соотноте- ний между 口丛"и 7га (см. (2.10) и (2.1 Г)), согласно которым
где ①м” ——тензор, дуальный IZ^J Учитывая это соотношение, получим
1=| НМ = —； Ei = I E^NF = 7"
В операторной форме классические соотношения (2.10) и (2.11) при наличии внешнего поля имеют вид
mo с х
Однако, как известно, в БМТ-приближении пропорциональные 方 члены можно опустить, и тогда (2.10) и (2.11) останутся справедливыми и в квантовой теории.
Посмотрим теперь, как меняются спиновые инварианты / и /' с течением времени. Если электромагнитные поля постоянны во времени, то, применяя классические спиновые уравнения (2.71) и (2.72), а также уравнение движение заряда (2.65), можно показать, что / = /' = const. При
доказательстве этого условия следует принять во внимание, что 口丛"и тга, соответственно,——пространственноподобный тензор и вектор (см. (2.6) и (2.12)), а также тождества
Н開2叮== о,
不产be* = ^№ев尸=s
Явное выражение спинового инварианта I в квантовой теории имеет вид
I = (НЙ) + (ЕФ) = (аЯ) + 鳥[р2(Н[аР]) — ^田心户川 + 几
Таким образом, оба инварианта описывают проекцию спина в системе покоя на направление магнитного поля.
Перейдем к рассмотрению эволюции спиновых инвариантов во вре™ мени. Для того, чтобы спиновый инвариант был интегралом движения в терминах квантовой теории с дефинитной четностью операторов (см. § 2.5) должно быть [124] справедливо
小总以/-(2226)
где G ——квадрированный гамильтониан собственновременного уравнения Дирака (2.108). Для доказательства соотношения (2.226) следует использо™ вать коммутаторы (с точностью, необходимой для БМТ-приближения)
[F«pa,pq = —2 味 нН八
К。匕 W] = 4/q%“5,[Н^ГР^^] = 2犷冲“5,
а также соотношения (с той же точностью)
Е^РаН^ = :Е^К/Пм户从-Емс(ЕН),
Е^РаН^рВ = \Еа^Н^Р^ - mgc2(EH).
Таким образом, ясно, что в БМТ-приближении оба спиновых январи™ анта I = Г являются интегралами движения как в классической, так и в квантовой теории.
ГЛАВА 3
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Понятие траектории чуждо квантовой механике, поэтому при построении квантовой теории синхротронного излучения классическая модель релятивистского электрона, движущегося по окружности заданного радиуса, непригодна. В реальных ускорителях и накопительных кольцах такое движение о суще ствляется с помощью достаточно сложных внешних элек™ тромагнитных полей (обеспечивающих устойчивость электронных орбит). Однако если отвлечься от проблемы устойчивости движения электрона (ко™ торая имеет только косвенное отношение к синхротронному излучению), то простейшим видом внешнего поля, обеспечивающего с классической точкой зрения движение по окружности, является постоянное и однородное магнитное поле, вектор напряженности которого ортогонален плоскости орбиты электрона. Именно эту модель в большинстве случаев выбирают для описания синхротронного излучения. Ниже будут изложены основные способы и физические результаты теоретического исследования методами квантовой теории излучения электронов, движущихся в однородном и постоянном внешнем магнитном поле.
Скалярные частицы в магнитном поле, уравнение Клейна-Гордона
Из методических соображений удобно предварительно рассмотреть поведение бесспиновых частиц в магнитном поле, с тем, чтобы в дальнейшем можно было сравнить излучение, испускаемое фермионами и бозонами и сделать, таким образом, некоторые заключения о «роли спина» в синхротроном излучении.
Поведение скалярных частиц во внешнем поле описывается уравнением Клейна-Гордона:
，方 七夕)Ф = {гр2 + (тс2)2}Ф,(31)
гДел е
0 = 0 ——А, 0 =—访^,(32)
с'
Аид ——потенциалы внешнего поля, е, m ——заряд и масса частицы,方 —— постоянная Планка, с ——скорость света.
Рассмотрим постоянное и однородное магнитное поле Н, потенциалы которого можно выбрать в виде
А = —； [г,Н],夕=0.
Выбирая систему координат так, чтобы ось z была направлена вдоль поля, получаем
(33)(33)4 = —^耳 Ay = |я, X = 0,夕=0"
(33)
(33)
В цилиндрической системе координат г р z, которую естественно выбрать в нашей задаче, уравнение (З.Г) примет вид
1 д д\ г с>г \ с>г /1 д д\ г с>г \ с>г /1 а2 а2 1 а21 а2 а2 1 а21 г2 A*? dz2 с2 3*1 г2 A*? dz2 с2 3*++.еН д 12 2.еН д 12 2e2H2e2H24c2 方24c2 方2М 卜 3 = S (34)М 卜 3 = S (34)
1 д д\ г с>г \ с>г /
1 д д\ г с>г \ с>г /
1 а2 а2 1 а2
1 а2 а2 1 а2
1 г2 A*? dz2 с2 3*
1 г2 A*? dz2 с2 3*
+
+
.еН д 12 2
.еН д 12 2
e2H2
e2H2
4c2 方2
4c2 方2
М 卜 3 = S (34)
М 卜 3 = S (34)
Будем искать стационарное решение:
Ф = exp j ^i^~t > 屮(『)"
Частицу считаем заряженной отрицательно: е = ^|е|. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать отрицательно заряженные частицы, и обозначать буквой е модуль заряда. Потребуем далее, чтобы волновая функция была собственной функцией для операторов проекции импульса и момента на ось z:
p-Ф =跳3叽
九3=一访=初3*
С учетом всех этих требований получаем решение (34) (см. [1, 2])в виде
以『)=у 6〃屮以『)=у 6〃屮(35)(35)
以『)=у 6〃屮
以『)=у 6〃屮
(35)
(35)
причем энергия определяется выражением
石九=chKn, Кп = J储 + 抬 + 4)(几 + 1/2),
(3.6)(3.6)石几=тс2 у 1 + (Pz/mcy + £ (2几 + 1).
(3.6)
(3.6)
Здесь введены следующие обозначения:
厶2/(б) н厶2/(б) н, тсеН … m2c3, тсеН … m2c3(3*7)(3*7)鼻「/20(…/辽「⑺，几Z 5 = 0鼻「/20(…/辽「⑺，几Z 5 = 0(3*8)(3*8)
厶2/(б) н
厶2/(б) н
, тсеН … m2c3
, тсеН … m2c3
(3*7)
(3*7)
鼻「/20(…/辽「⑺，几Z 5 = 0
鼻「/20(…/辽「⑺，几Z 5 = 0
(3*8)
(3*8)
Lls 一 полиномы Лагерра:
(39)(39)1小
(39)
(39)
Функции In^s в дальнейшем будем называть функциями Лагерра. Некоторые простейшие свойства этих функций будут отмечены позднее. Числа п, 厶 s называются, соответственно, главным, азимутальным и радиальным квантовыми числами. Они имеют следующие области изменения:
{
О ^ п < ш,
< Z ^ п,О W 6 < оо.
Нетрудно убедиться в том, что волновые функции (3.5) нормированы на единицу:
|Ф(г)|2 d% = 1.
Квантовые числа n, I, s имеют простую физическую интерпретацию. Из классической электродинамики известно, что проекция момента количества движения отрицательного заряда на ось г есть [3]
mvmvГ X /=_\ ,1 _n2/C2Г X /=_\ ,1 _n2/C2—|А—|А
mv
mv
Г X /=
_\ ,1 _n2/C2
Г X /=
_\ ,1 _n2/C2
—|А
—|А
Рассматривая движение заряда по окружности радиуса К с центром, находящимся в точке а (радиус-вектор центра окружности), после усреднения по всем направлениям найдем
(ЗЛО)(ЗЛО)〈££〉= g（普一們,
(ЗЛО)
(ЗЛО)
где учтено, что радиус окружности связан с магнитным полем соотношением [3]
(ЗЛ1)(ЗЛ1)
(ЗЛ1)
(ЗЛ1)
Для квантового движения имеем
〈£,==以几一s).
Сравнивая (3.10) с (3.11), приходим к выводу, что
(3」2)(3」2)
(3」2)
(3」2)
Таким образом, п характеризует радиус орбиты вращения, s ——отклонение центра орбиты от начала координат.
Вычислим в квантовом случае величины (г2) и (Р^ =〈圮〉十 ^у)- Простые выкладки приводят к соотношениям
* = i(n + s + l) >0,(3」3)
〈呼〉=4)戸 5+ 1/2)*(ЗЛ4)
Уравнение (3.13) подтверждает соотношения (3.12), (3.14) и приводит к классической формуле
Е = cj (mQ2 +〈力^〉+〈力^〉= c J (mQ2 +〈力2〉*(3.15)
Таким образом, п характеризует вращательную энергию частицы. Интерес™ но отметить, что вращательная энергия не может обратиться в нуль:
石》加“^，(3.16)
т.е. имеются «нулевые колебания» частицы, аналогичные «нулевым коле™ баниям» гармонического осциллятора.
Электрон в магнитном поле. Уравнение Дирака
Поведение электрона во внешнем поле следует описывать уравнением Дирака:
"^ —方)3 = 0, Н = с(а力)+ р^тс2 + е(^,(3.17)
где а, рз ——матрицы Дирака [4],力 определено формулой (3.2), Ф ——четы™ рехмерный спинор:
Если Н не зависит явно от времени, то стационарное решение (3.17) можно искать в виде
Ф = ехр < —分方力｝屮(")“Ф = ехр < —分方力｝屮(")“(3」9)(3」9)
Ф = ехр < —分方力｝屮(")“
Ф = ехр < —分方力｝屮(")“
(3」9)
(3」9)
Тогда уравнение (3.17) запишется в виде системы четырех уравнений для четырех функций:
(石一me2)^1 — c(Px — iPy)^4 — cPz^3 = 0,
(万一屮2 — c(Рж + 分丸)屮3 + cPz^4 = 0,(3 ?0)
(石 + тс2}фз — с(丸一歩у)屮2 — cPz^i = 0,
(E + me2 )^4 — с(Рж + 1Ру)ф1 + cPz^2 = 0.
Уравнения (3.20) для случая постоянного и однородного магнитного поля решались многими авторами [5-13]®
Для нахождения решения уравнений (3.20) заметим, что кроме Н ин™ тегралами движения в случае постоянного и однородного магнитного поля являются величины Mz и Рг, так как операторы, соответствующие этим величинам,——Mz =—分方已/已夕 + ha^/2 н 户？ = ihd/dz ——явно не зависят от времени и коммутируют с гамильтонианом Н. В данном случае волновая функция должна быть собственной для этих операторов:
(321)(321)ЖФ = 7z(Z — 1/2)Ф,рzФ =跳33"
(321)
(321)
С учетом перечисленных требований волновую функцию в цилиндри™ ческой системе координат нужно искать в виде
р 泳 3Z г(г™1)9?
Vn,3(r) = к к，九3(")，
гдегде/(г) = V^ =/(г) = V^ =卄宁(3.22)
где
где
/(г) = V^ =
/(г) = V^ =
/ 5厶-1心()戸)\ гс21п^Ьг2) j
\ ic4In^(yr2) /
При этом для коэффициентов & получаем вещественную систему уравне-
НИЙ：
(k — ko)^ 一，4)几(?4 —出禽 =0,
(K 一任)實一，4)几窝 + &M = 0,(K + kQ)c^ —，4小2 —侬 5 = 0,
(K + 例”4 —，4)几以 + k3c2 = 0.
(Все обозначения ясны из формул (3.6)-(3.9)). Для разрешимости (3.23) нужно потребовать равенства нулю определителя △ этой системы:
△ = (к2 _к彳一忌_4)制产=0M△ = (к2 _к彳一忌_4)制产=0M(3.24)(3.24)
△ = (к2 _к彳一忌_4)制产=0M
△ = (к2 _к彳一忌_4)制产=0M
(3.24)
(3.24)
Отсюда следует, что спектр энергии будет дискретным, причем уровни энергии определяются главным квантовым числом п:
К =瓦+ (Р//тпс)2 + 2 占几=J储 + 玲 + 4)九(3.25)
Для того, чтобы функции (3.21), (3.22) были нормированы на единицу, мы должны потребовать, чтобы
(3.26)(3.26)
(3.26)
(3.26)
При выполнении равенства (3.24) оказывается, что одновременно и все определители третьего порядка обращаются в нуль, а система (3.23) да™ же при условии (3.26) не имеет единственного решения. Это связано с возможностью различных ориентации спина электрона.
(3.27)(3.27)Решение системы (3.23) совместно с (3.26) приводит к следующим коэффициентам (см. [13]):
(3.27)
(3.27)
у/^пВ + к^А7^пА кзВ
，2К(К + 屈)，—，2K(K + k°)
где
лл+ + ВВ+ = 1.
Аналогичные волновые функции в декартовой системе координат найдены в [14].
Для выяснения смысла коэффициентов Л и В найдем среднее значение оз по функциям с этими коэффициентами:
47ПК(К + %)47ПК(К + %)(лл+ — вв+)+(лл+ — вв+)+
47П
К(К + %)
47П
К(К + %)
(лл+ — вв+)+
(лл+ — вв+)+
+ ^^"Л (328)
В нерелятивистском приближении получаем
(аз) = ЛЛ+ ^ВВ+.
Таким образом, функции с коэффициентами (3.27) при Л = 1, В = О описывают в нерелятивистском случае электрон со спином, направленным по полю, а при Л = О, В = 1 ——электрон со спином, направленным против поля. При произвольных Л и В функции (35) описывают состояние частично поляризованного в нерелятивистском приближении электрона.
Как видно из (3.28), полностью неполяризованный электрон описывается волновыми функциями, такими, что
ЛЛ+ = ВВ+ = g, ЛВ+ + Л+В = 0.
Кроме того〈di〉=出〉=0 при любом выборе Л и В, что соответствует симметрии задачи.
Отметим, в заключение, что физическое истолкование квантовых чисел п,厶 § остается прежним (см. п. 3.1). Вычисления приводят к выражениям (ср. с (3.13) и (3.14))
捲〉=4з〉)，(3.29)
⑴卜+ s + g-|03)).
Для полностью неполяризованного электрона получаем
〈巾〉=4%2H俨〉=I 卜，+ $+；)"
Мы снова приходим к классической формуле (3.15). Из (3.29) можно сделать вывод, что в основном состоянии п = 0, аз = —1, т.е. Л = 0, В = 1, т.к. 〈力^〉扌 0- Впрочем, это следует и из (3*22) и (3.27) ввиду того, что /一1,§ (ж)= = 0 и с учетом условия (3.26) мы должны положить Л = 0, В = 1. Таким образом, в основном состоянии электрон полностью поляризован, его волновая функция есть собственная функция оператора аз:
(73屮=XW, X = — 1,
т.е. спин направлен против поля; явный вид волновой функции следующий (ср. (3.22)):
\ —signk3\/l —瓦/A у
где введено обозначение
[1> 0,
sigils = г 0 к3 = 0,
〔—1 кз < 0-
Отметим, наконец, что в отсутствие движения вдоль поля (кз = 0) волновая функция не обращается в нуль. При этом полная энергия равна энергии по™
коя, однако электрон совершает некоторые «нулевые спиновые» колебания с энергией (уравнение с (3.13) и (3.16))
石='Jc2們〉=胧
на среднем удалении от начала координат
〈户)=> 0.
7
Это снова напоминает поведение гармонического осциллятора и совпадает с поведением бозона, однако в отличие от электрона энергия бозона не может быть равна энергии покоя: К =，储 + 2)〉®
Решение уравнения Дирака для электрона с определенным состоянием поляризации спина
Рассмотрим теперь уравнение Дирака (3.20) совместно с уравнением
Аз = XW,
где в качестве Л выбран один из спиновых операторов.
Продольно-поляризованный электрон. Выберем в качестве поляризационного оператор
тс
(ср. с (2.28)). Это ——наиболее часто применявшийся до сих пор оператор, впервые введенный А.А. Соколовым [15]. Легко проверить, что для маг™ нитных полей с фиксированным направлением оператор 7г° есть интеграл движения. Уравнение
产屮貝汽1 = 1(3*30)
представим в явном виде, используя для функций Ф выражения (3.21) и (3.22). Тогда для коэффициентов Ci в дополнение к (3.23) получим систему уравнений:
(Aici — (К + 屈)鱼=0,
С^1с2 — (К + ^o)Q = 0,/.
(К 一= a)
(К — ko)c2 —《无图=Cl-
Из равенства нулю определителя системы (3.31) получаем
Ai = »—储,(332)
а С = ±1 описывает соответственно проекцию спина по и против направления движения. Решая совместно (3.31) и (3.23) при условии (3.26), находим
Вектор-оператор поперечной поляризации. В безразмерной форме справедливо выражение
где 7г определяется (2.28). Легко показать (см. п. 2.12), что проекция тг на направление магнитного поля есть интеграл движения. В явном виде
(ко — C^2)ci + кзМ = &
(3*34)(3*34)(瓦 + С^2)С*2 — ^Зс4 = &
(3*34)
(3*34)
% + С^2)сз —無5 = &
(к。一 C^2)Q + ^зс2 = 0-
Из равенства нулю определителя системы (3.34) находим
，2 = J储+居,
величина《=±1 описывает два возможных направления спина относительно оси г (направление поля). Совместно решая (3.34), (3.23) находим
Тензор-оператор поперечной поляризации. Согласно (2.30) этот оператор имеет вид
Й^ = (Ф,П), Й =Ф =
тстс
Проекция □%
m = (ПН)/Я
на направление магнитного поля есть интеграл движения, и
ЛО
В явном виде получаем
(К — С》з)5 - fec3 = 0,
侬5 — (К + С^з)сз = &
(3.35)
(К + (Лз)С2 + fec4 = 0,
侬實 + (К — С^3)с4 = 0"
Из равенства нулю определителя системы (3.35) находим
Аз = ‘К?—総
а из совместного решения (3.35), (3*23) и (3.26) имеем
где С = ±1 соответствует двум возможным ориентациям спина относительно поля Н.
Оператор проекции спина на радиус орбиты электрона. Рассмотрим, наконец, оператор проекции спина на радиус орбиты электрона, он тоже интеграл движения:
Фя =—(力Н)/Н = ^р3(а[РН])/Я,
“w = cR 必
Отсюда следует
(鳥—火福)5 — (k + k^c^ = 0,
(к3 — 北入4)宵 + (k + 品)备=0,
(3.36)
(k — k^C!—(题 + 北》4)為=0,
(К + k0)c2 + (医 + i(A4)c4 = 0.
Из равенства нулю определителя системы (3.36) получим
》4 =，4)几,
а из совместного решения (3.36), (3.23) и (3.26) находим
1 儲 2 侬 =1 一不，仇=元1 儲 2 侬 =1 一不，仇=元
1 儲 2 侬 =1 一不，仇=元
1 儲 2 侬 =1 一不，仇=元
Отметим, что это единственный случай, когда коэффициенты получились комплексные.
Таким образом, для некоторых возможных операторов поляризации электронного спина найдены волновые функции.
При заданных энергий, г ——проекции полного момента и импульса возможны две ориентации спина и две линейно независимые волновые функции, образующие полную систему функций. Очевидно, что собственные функции любого из поляризационных операторов могут быть разло™ жены по двум собственным функциям любого другого оператора. Такие разложения нетрудно получить, однако коэффициенты при этом получаются громоздкими и выписывать их здесь не представляется целесообразным. Возможность подобного разложения указывает на то обстоятельство, что любое состояние поляризации спина электрона может быть представлено в виде суммы состояний с частичной поляризацией по другому направлению.
Матричные элементы матриц Дирака и оператора импульса. Некоторые свойства функций Лагерра
Из квантовой электродинамики известно (см., например, [4, 14]), что мощность излучения W (количество полной энергии, излучаемой частицей в единицу времени) при переходе частицы из состояния а в состояние b с учетом поляризации излучения в первом порядке теории возмущений по постоянной тонкой структуры описывается выражением
Ж = ^ I d3K6(Kab 汽)Si)Kab = ка — K“(3*37)
Здесь волновой вектор излучаемого фотона к = км。，где с^ = ш ——частота излучения, а единичный вектор
к。= (sin <9 cos 夕‘，sin <9 sin 夕‘，cos 0)
указывает направление вылета фотона (сферические углы <9,夕')* Очевидно, что
^Ki = ^2^^, dfi = sin 0d0 d(pf,
0 < ^ < oo, 0 < <9 < 7Г, 0二夕’ < 27r.
Величина Si для электрона определяется выражением
& = 1(〈a〉仇)匕(338)
В формуле (3.38) матричные элементы〈&〉имеют вид
а единичные векторы Д (勿=—1,1,2,3) задают поляризацию излучения (см., например, гл. 1) следующим образом: выбирая векторы поляризации в виде
q _版，o(版，oj)-j
где j ——произвольный постоянный единичный поляризационный вектор, мы получим две линейные компоненты поляризации (которые принято называть а- и 7г-компонентами соответственно).
Выбирая
仇=3 (仇 + 疯。з)，，= ±1,
имеем излучение левой (I = —1) и правой (I = +1) круговой поляризации. Выражение (3.38) удобно записать в следующем виде:
St = S = \l2S2 + ihs3\\(3.40)
Если в форме (3.40) положить Z2 = 1, /з = 0, то мы получим а-компоненту линейной поляризации излучения, если /2 = 0, Z3 = 1 ——тг-компоненту линейной поляризации, если Z2 = "з = 1/v^ ——левую (Z = —1) и правую (Z = 1) круговые поляризации и, наконец, если 處 =Zf = 1, Z2/3 = 0 — получим полную мощность неполяризованного излучения.
Поляризационный вектор j следует выбирать по некоторому физически выделенному направлению. В нашем случае таким направлением является направление внешнего магнитного поля] = (0,0,1).
В случае бесспиновой частицы все вышеприведенные формулы сохраняются с заменой матричных элементов〈&〉на (Р):
〈户〉=禽 ^1^ "^ ехр[—〃кх)]力"a d%”
Для получения полной излучательной мощности в уравнении (3.37) следует произвести суммирование по всем конечным энергетическим состояниям частицы.
Если нас интересует вероятность w (а не мощность) излучения в единицу времени, то для нее имеет место выражение
W =— ——“к—К)£(3.41)
V 71十丄7nm+1(2)—+ ]9ж/忆疗(方)+/小疗(方)?t^InxW+^xMj，342)V 71十丄7nm+1(2)—+ ]9ж/忆疗(方)+/小疗(方)?t^InxW+^xMj，342)①+ к①+ кИз вышесказанного следует необходимость вычислить матричные элемен™ ты〈&〉или операторы (Р), которые выражаются через интегралы от функций Лагерра, определенных формулами (3.8) и (3.9). Свойства полиномов Лагеррахорошо известны (см. [16], с. 1051). Воспользовавшись этими свойствами, установим прежде всего следующие рекуррентные формулы, связывающие функции, индексы которых отличаются на единицу:
V 71十丄
7nm+1(2)—+ ]
9ж/忆疗(方)+/小疗(方)?
t^InxW+^xMj，342)
V 71十丄
7nm+1(2)—+ ]
9ж/忆疗(方)+/小疗(方)?
t^InxW+^xMj，342)
①+ к
①+ к
Поскольку полиномы Лагерра обладает свойством (см. [4], с. 152)
функции Лагерра удовлетворяют соотношению
Полиномы Лагерра могут быть выражены через производящую функцию (см. [16], р. 1052):
几!£*f(c)几!£*f(c)JnJn(3.43)(3.43)z=0z=0
几!£*f(c)
几!£*f(c)
Jn
Jn
(3.43)
(3.43)
z=0
z=0
с помощью которой можно, например, легко вычислить сумму
J = £ 馥‘ 1п п，(х)1р 川(工)=「с 2 х
х ££ (力+т)V кФ + Еа + т)]"、dtn drp I加！/
'nz=0/ 力=T=0
Порядок суммирования и дифференцирования можно поменять благодаря равномерной сходимости ряда (считаем, например, что \т\ < 1 и \t\ < 1). Суммируя, находим:
J ———— D 史匕 」,а , с'
^n!p!dtn d丁p
力=т=0力=т=0
力=т=0
力=т=0
Снова воспользовавшись формулой (3*43), окончательно получаем
а? — 1 р + к
J =厂％ 2a % 2
В частности, при а = 1 (см. [4])
〉[/九,л/(£)/р,л/(£)= ^р,п ■
nz=0
Пользуясь формулами (3.42), для функций Лаггера можно легко следующие соотношения:
(力z —疗у)，^=1п，У)= —ih-^^n—石h 1n_i,s(g)
咤 n(3.44)
(Я + 沪у) 寸 /…Mg)=汾小s(g),7乙不V 27r
где у =)戸，а Р определено формулами (3*2) и (3.3).
Наконец, воспользовавшись интегральным представлением функции Бесселя (см. [16], с. 966):
112тгdgeTZsEq+z^ = JS(X)2тгdgeTZsEq+z^ = JS(X)
1
1
2тг
dgeTZsEq+z^ = JS(X)
2тг
dgeTZsEq+z^ = JS(X)
О
(где / (с)——функция Бесселя), а также значением интеграла
/«/У (方)/小5 (方) j -厂(^/^^)d方=In^n1
0
П - S — I = 72/ - I1 — S',
мы сумеем подсчитать матричные элементы матриц〈&〉Дирака. Матричные элементы (Р) можно легко вычислить, учитывая соотношения (3.44). Отметим, что если таким путем найти матричные элементы и подставить их в формулы (3.38) и (3.39), то $2, S3, Si не будут зависеть от угла 夕',что полностью соответствует аксиальной симметрии задачи. Поэтому мы сразу полагаем 夕'=тг/2 и приведем окончательный результат:
& =〈&1〉〈&1〉+ ,(3.45)
S3 = 1g2〉cos <9 —〈&3〉sini9|2,(3.46)
s") = (〈a1)+(a2〉一(a1〉〈a2〉+ ) COS0 — (〈a1)+〈a3〉一〈a3)+(a1)) sinе.
(347)
Для бозона〈&〉заменяется на (Р). Матричные элементы матриц Дирака и оператора кинетического импульса примут вид [17, 18]:
(a1) = iIs^(X){(C^fC4 + <3，専)/小疗一1(方)一©c/ + 资^‘)〃一1,方(方)}£(a2〉=人3(方){(仃】4 + 域&)儿疗一10) +(QC 『 + QscJ)/-im(c)}f〈&3〉=厶S ⑺{(才 M + CiejVn^l^^K^)—化2小 + cfc4)ln,nf(x)}f,
(3.48)
〈户〉2 = у ^7 {Vn + nn+1^(x) + ^4^1Х(Ж)} £(*49)
伊〉l
где
,_sin2 0
/ 一-k cos 0 •(3.50)
Штрихами обозначены величины, относящиеся к конечному состоянию. Если учесть закон сохранения энергии
—К’(351)
и только что полученное условие сохранения импульса вдоль поля
屈 = 屈 —к cos О,(3.52)
то, решая совместно эти уравнения относительно 儿,находим
儿=—仇 cos е — J(1 —仇 cos 0)2 — («2 — W)上 sin2 0 ,snr evn
где введены следующие обозначения:
у = п _ п\у = п _ п\
у = п _ п\
у = п _ п\
В частности, если кз = 0, то получаем более простой результат:
(3.53)(3.53)
(3.53)
(3.53)
Наконец, если воспользоваться правилом интегрирования выражений, со™ держащих(5™функцию, и произвести интегрирование по ^ и ^\ то формулы (3.37) и (3.41) примут вид
(3.54)(3.54)е2 ' к sin OdO дК' (кз « cos ^) cos О 方「1 + dKf /дк 7 дкК — к
(3.54)
(3.54)
РУ = се2РУ = се2«2 sin OdO1 + aK7aJ«2 sin OdO1 + aK7aJ(3.55)(3.55)
РУ = се2
РУ = се2
«2 sin OdO
1 + aK7aJ
«2 sin OdO
1 + aK7aJ
(3.55)
(3.55)
где S определяется из (3.40). Суммирование по всем конечным состолнк- лм и/, 511fc}, ^ в формулах (3.54) и (3.55) дает полную вероятность переходов и мощность излучения.
Качественные оценки характера проявления квантовых эффектов в синхротронном излучении
Достаточно очевидно, что теоретически рассчитанные методами кван™ товой теории характеристики синхротронного излучения всегда будут отличаться от полученных в классической теории. С физической точки зрения можно выделить три наиболее существенных фактора, обуславливающих такое различие: квантованность уровней энергии частицы в магнитном по™ ле (3.6) и (3.25); эффект отдачи при излучении фотона, что выражается, в частности, законами сохранения (3.51) и (3.52); наличие у частицы сикно- вых свойств (что, в частности, должно обуславливать различие характери™ стик излучения скалярной и спиновой частиц). Все эти факторы отсутствуй ют в классической теории.
Оценим качественно роль указанных факторов, считая, что в началь™ ном состоянии движение частицы вдоль оси г отсутствует. Важную роль в такой оценке будет играть постоянное поле Н*，определенное формула™ ми (3.7) и называемое в дальнейшем швингеровским полем. Считая, что масса покоя изучаемых нами частиц совпадает с массой покоя электрона, получаем численное значение
Н* 4,41 х 1013 Э.
Из выражений (3.6) и (3*25) следует, что если напряженность внешнего поля Н сравнима с Н* (или превышает ее), то как дискретность знергетк- ческого спектра частицы, так и фактор отдачи фотона становятся весьма существенными. В этом случае будем говорить об области сверхсильно™ го поля. Квантовые эффекты здесь играют определяющую роль; анализу физических результатов этой области посвящена гл. 8.
В условиях физической лаборатории магнитное поле ускорителей и накопителей, являющихся источником синхротронного излучения, много меньше швингеровского (как правило, Н 〜103 + 105 Гс). В этом случае дискретность уровней энергии может быть существенна лишь при неболь™ ших значениях главного квантового числа п. Если считать, что
то из (3.6) и (3.13) следует
т.е. частица ——нерелятивистская и в расчетах можно использовать разло™ жение по малому параметру /З2. Хотя теоретический интерес нерелятивист™ ское приближение, безусловно, представляет, однако в практически важных
случаях энергии частиц велики по сравнению с энергией покоя: тс2/Е《1 (релятивистский случай). В релятивистском случае при Н《Н* начальное число п весьма велико и разность энергий между соседними уровнями
весьма мала по сравнению с самой энергией, т.е. энергетический спектр становится квазинепрерывным и его дискретность практически можно не учитывать. Если в этом случае энергия излучаемого фотона мала по сравнению с энергией частицы, то и фактор отдачи является малосуществен™ ным и здесь следует ожидать наиболее близкого соответствия результатов классической и квантовой теории. Однако если энергия фотона сравнима с энергией электрона, то фактор отдачи будет существенным и квантовые эффекты вновь проявятся. Характерный параметр, определяющий возмож™ ность появления квантовых эффектов в этом случае, может быть найден следующей оценкой. Условие малости энергии излучаемого фотона 耳h по отношению к энергии частицы имеет вид
Eph «
или, учитывая (3.53),
sin2 е'
что возможно лишь при условии (声 〜1)
沙《n.
При выполнении этого условия из (3.53) находим для энергии излучаемого фотона
石疝=c%k = с%К/3" 丁 = Е jk =权％ з =
где з ——классическая частота вращения частицы по круговой орбите в поле Н с энергией Е, v ——номер излучаемой гармоники. Если считать в на™ шем случае справедливым вывод классической теории о том, что основной вклад в излучение вносят гармоники 沙 〜〃е& где
ТО ДЛЯ Eph получим
..3 Н Е
口北~%=石£? £ = 5万冇/
Выполнение неравенства у <^ п обеспечивается условием £《1; если 冰е £》1, то квантовые эффекты в синхротронном излучении релятивист™ ской частицы при Н《Н* становятся существенными и именно безразмерный параметр £ является характерным.
Квантовые эффекты в излучении нерелятивистского электрона
С практической точки зрения излучение нерелятивистских частиц пред™ ставляет ограниченный интерес, однако выявление различий между клао сической и квантовой теорией весьма поучительно. Проводя разложения в матричных элементах по малой величине /З2, для полной мощности кзлу- чения можно получить
ру = RWC\ 产ру = RWC\ 产2也2023m2 с3 (1 — 02)2也2023m2 с3 (1 — 02)
ру = RWC\ 产
ру = RWC\ 产
2也2023m2 с3 (1 — 02)
2也2023m2 с3 (1 — 02)
Здесь Жс1 ——соответствующая классическая величина, а безразмерная по™ стоянная Я зависит от номера энергетического уровня частицы в начальном состоянии и для электрона имеет вид
Для бесспиновой частицы имеем иное выражение:
R =费=R =费=2n2几+ 12n2几+ 1
R =费=
R =费=
2n
2几+ 1
2n
2几+ 1
При любом конечном п справедливы неравенства
1〉尺°〉R1.
С ростом п величины Я6 и 尺‘ монотонно возрастают и стремятся к единице. Таким образом, квантовые эффекты уменьшают излучаемую мощность по сравнению с классической. Наибольшее отличие 岳 и 頁(и наибольшее отличие от классической теории) достигается при n = 1. В этом случае
Полная вероятность излучения в первом отличном от нуля приближении по /3? имеет вид
? — 2几一1 b一2n cl _ 3 "J
—切—tcI，丄—2 &4H2 •
Отсюда несложно получить полное время «высвечивания» частицы. В нере™ лятивистском приближении переходы носят дипольный характер (〃 = 1) и частица последовательно переходит при излучении фотонов из состояния п в состояние '几一1 до тех пор, пока не окажется в наинизшем возможном (высветится). Полное время такого перехода
k=0
Для электрона
При больших п имеем
S с/2 + In 2Vn + j^ + …，
где О ——постоянная Эйлера. Поскольку 5 весьма медленно (логарифмиче™ ски) растет с ростом п, оставаясь практически всегда порядка 1, то полное высвечивание происходит за время Т 〜Тс\ которое может быть получено интегрированием классического выражения
川一字=1黑(彦一苏峭，
Таким образом, Т& играет роль времени жизни возбужденного состоя™ ния и зависит только от величины внешнего поля. При Н 〜 104 Гс Тс1 〜5 с”
Остановимся детальнее на роли спиновых свойств частиц в излучении. Рассматривая, например, поперечную ориентацию спина электрона, най™ дем, что переходы с переворотом спина в /З2 раз менее вероятны, чем без переворота, а именно, для вероятности переходов с переворотом попереч™ ного спина wi получаем
где а ——численный коэффициент. При ^ = 1 (начальный спин по на™ правлению поля) вероятность переворота спина намного превышает со™ ответствующую вероятность при《=—1 (начальный спин против поля).
т.е. процесс излучения (происходящий в основном состоянии без переворота спина) приводит к самополяризации спина (возникновению преиму™ щественной ориентации спина против поля). Подробнее этот эффект мы рассмотрим позже, а здесь обратим внимание на следующее обстоятель™ ство. Если имеется система нерелятивистских невзаимодействующих элек™ тронов в магнитном поле и в среднем электроны не поляризованы, то за время Т 〜Т" все электроны, имеющие спин против поля, в результате высвечивания попадают в основное состояние п = 0 за счет переходов без переворота спина. За это же время электроны, имеющие спин по полю, ио падают в первое возбужденное состояние п = 1, а их переход в основное состояние будет затруднен, поскольку такой переход обязательно должен сопровождаться переориентацией спина (вероятность последнего мала по отношению к вероятности перехода без переворота спина). Таким образом, возникает двухфазная система, состоящая из электронов со спином против поля в основном состоянии и со спином по полю в первом возбужденном состоянии.
Математические особенности задачи об излучении ультрарелятивистских частиц
Наиболее интересным с теоретической точки зрения и практически наи™ более важным является рассмотрение проблемы синхротронного излучения в случае ультрарелятивистских частиц в слабых полях
В этом случае максимум излучения падает на высокие гармоники (3.56), а энергетический спектр частицы может рассматриваться как квазинепрерыв™ ный (как и спектр излучения фотонов). Получение точных аналитических результатов для полной мощности излучения и других его характеристик с использованием точных выражений для матричных элементов (3.48), (3.49) в этом случае пока оказывается невозможным. Однако можно получить асимптотические разложения по малому параметру &>
Прежде всего, как и в классической теории, считая изменение номера гармоники у квазинепрерывным и заменяя суммирование по 沙 кнтегркро- ванием, введем новую переменную интегрирования у путем замены
(357)(357)
(357)
(357)
(3.58)(3.58)(3.59)(3.59)
(3.58)
(3.58)
(3.59)
(3.59)
С учетом этой замены легко получить
C^^dy — 81亡 2厂5/2 力 dg
i + ам/аа 16 0 %(1 + 包)5，
к 局 包
А = 1」，77 =——亡 cos А
8 е2т2с3
Жо=36°)
Далее, считая, что излучение в основном сосредоточено в плоскости орбиты (0 = 7г/2) в малом растворе Д^ 〜^ (как в классике), найдем
а = 1 - /3" sin2 е = Q)+ /2 COS2 е 8。+ 声(△0)2 2^0《1.
Таким образом, & и &0 — величины одного порядка малости. Наконец, для функции Лагерра воспользуемся известным асимптотическими формулами:
г) =^1/2<1/з€го),
7TV 3
W+ 包)3/2
лI,П/ 一冗，^侬8K2/3
(3.61)
где x определено в (3.50). Для функции Лагерра со сдвинутым индексом из (3.42) с учетом (3.50) и (3.57)-(3.59) имеем
^п-1,п/ (ж) = ^п,пг (ж) + 1 + £д(化)，
(3.62)(3.62)Лг/ — 1,п (ж) = Л1,пх (ж) — СУ^п,п, (Ж) 7
(3.62)
(3.62)
厶2 - 紋一1(加)=厶2,加(加)—]+包(/TV (%)
Лг+1,пх (ж) = Лг,пх (ж) — 1 + gg In,’# (化)，
после чего следует воспользоваться формулами (3.61).
Вычисление угловых интегралов
Интегрирование по углам в выражениях для характеристик излуче™ ния теперь сведется к вычислению интегралов, содержащих произведение функций Макдональда и степеней
Метод вычисления интегралов такого типа был предложен в [19]. Все они находятся единым приемом, поэтому мы рассмотрим здесь пример вычисления какого-нибудь одного из них. Рассмотрим, например, интеграл
d0 sin0产K射 оd0 sin0产K射 о
d0 sin0产K射 о
d0 sin0产K射 о
Заменой
cos 0 =—雙一
V 1 一 £。
этот интеграл при &()《1 приводится к виду
J 2^/2 ] (1 + t2fK^ 心(1 + 产产 j 必. о
Для его вычисления воспользуемся известными соотношениями для функций Макдональда и Г™функций [16, 20]
К^{х)Ки{х) = 2 Км_„1/(2хсЫ)сЬ(д + dt , о
、К"⑺、К"⑺2g2gK+ioo1 fK+ioo1 fdSdS、信弋）從+、信弋）從+K — iooK+ioo8тгг J S \ 22K — iooK+ioo8тгг J S \ 2222
、К"⑺
、К"⑺
2g
2g
K+ioo
1 f
K+ioo
1 f
dS
dS
、信弋）從+
、信弋）從+
K — ioo
K+ioo
8тгг J S \ 22
K — ioo
K+ioo
8тгг J S \ 22
2
2
F(q+p)F(q — p)
0
dt _ E『(S — 1/2)dt _ E『(S — 1/2)J (1 +力2)s — 2 оJ (1 +力2)s — 2 оF(S)F(S)
dt _ E『(S — 1/2)
dt _ E『(S — 1/2)
J (1 +力2)s — 2 о
J (1 +力2)s — 2 о
F(S)
F(S)
221/2/1、
Г(2х)Г(2х)二 Г(х)Г 卜 + 豆丿，Г(5 + 1) = SRS),
Г(2х)
Г(2х)
貝3?)=寸貝"(十力m+詐
Пользуясь этими формулами, легко представить наш интеграл в виде
ОО ООfe + ^СЮ—
立債('/2) ch姦/3
宕7 J碗J点 J(1 +力2)3s/2 -2
00 k-~-ioo
Интегрируя по х и t, находим
^/2 « fyys r2S(s/2)r(3s/2 — 5/2)F("2 + 2/3)Г(5/2 — 2/3)
S \2 JF(3"2 - 2)F(6)
Используя далее свойства Г-функции, получим
£『2 ^Г . /У VS 3^2 F(f/2 — 5/6)F("2 — 1/6)
или, сдвигая 耳 т з + 1, найдем, что
уу(зМ/з(д) — Mg)),(зМ/з(д) — Mg)),
у
у
(зМ/з(д) — Mg)),
(зМ/з(д) — Mg)),
Mg) = J K1/3(x)dx.
Пользуясь указанным приемом, мы сумеем вычислить все необходимые нам интегралы:
:5/2
е2Kl/S(zo) sin0d0 = ^^(衣2/3®) + “g)), о
；5/2
产 K^3(2o)sin%e = ^|^(3К2/3®)一矶 g)),
О
27rg2
g3/2k1/3(?0)к(?0)五口%0=0. (к]/3®),
0
f貝/2
£Kl/3{z0) sinOdO = /j“g),(3*63)
о
У5/2
^COS2 0Kl/3(zo) sin0d0 = ^^(仆/式g)-М9)),
о
产/2 cos2 OK1/3(z0)K1/3(z0) sinOdO =・： о
^5/2<i/3(^o)<2/3(^o)sin6»d6» = —^(3yK1/s(y) ^u(y).
0
С помощью этих выражений мы сможем получить в явном виде спектраль™ ное распределение интенсивности излучения.
Вычисление интегралов по спектру.
Функции £р и Рр, их свойства
Точное вычисление интегралов по спектру представляло собой одну из трудных задач теории излучения. Интегралы по спектру вычислялись в работах [19], однако их удалось выразить лишь через произведения обоб™ щенных гипергеометрических функций. Полученные выражения настолько громоздки, что не могут быть использованы для практического анализа. В частности, не представляется возможным просто получать из них аскмито тические формулы при £《1 (см. [21]). Нет также таблиц обобщенных гипергеометрических функций, что затрудняет использование их для кон™ кретных численных оценок результатов. Здесь предлагается новый простой метод расчета интегралов по спектру, для чего вводятся новые специальные функции £弘 и Рм, связанные с функциями Бесселя, изучаются свойства этих функций и показывается, как интегралы по спектру выражаются не- рез эти специальные функции. Легко видеть, что после интегрирования по углам интенсивность излучения выражается в виде линейной комбинации интегралов вида
оl^lK^dx=ldyK^ОуОО
Разлагая алгебраические дроби под интегралами на простые, представим интенсивность излучения в виде линейной комбинации интегралов
ln(l + &)Ks(g)dg)
о
Ks (y)dy(1+包尸Ks (y)dy(1+包尸n = 0,1, 2, 3,...n = 0,1, 2, 3,...(3.64)(3.64)
Ks (y)dy
(1+包尸
Ks (y)dy
(1+包尸
n = 0,1, 2, 3,...
n = 0,1, 2, 3,...
(3.64)
(3.64)
Ведем новую переменнуюВедем новую переменную1 х = т1 х = т(365)(365)
Ведем новую переменную
Ведем новую переменную
1 х = т
1 х = т
(365)
(365)
Поскольку в дальнейшем мы будем использовать ж лишь для обозначения этой переменной, то не может возникнуть неясностей, связанных с данным обозначением. Введем функцию [18]
£*(с)=£*(с)=.х + у о.х + у о' £%(y)dgо' £%(y)dgо(3.66)(3.66)
£*(с)=
£*(с)=
.х + у о
.х + у о
' £%(y)dg
о
' £%(y)dg
о
(3.66)
(3.66)
Легко видеть, что с учетом (3.64) и (3.65)
0仙(化)= hiK^)dy = lii(l + ^K^dy =
о0
= £m⑴必一Z一'一石—(3.67)
J2 cos 〃7г/2
о
гдеа
人=-]lnyKp(y)dy.о
Известно (см. [16], с. 691), что £*(с) может быть выражена через функции Бесселя мнимого аргумента 1^ (ж) и функции Ангера J*(c):
以=^^ ｛儿(不+ 4(# .ё一人/2九(^)一人*(^)卜
Используя известные разложения /* (с) и JM (ж) в ряды, получим
以=以=м 12 sin2 〃7г п!Г(п + 1 + 〃)м 12 sin2 〃7г п!Г(п + 1 + 〃)++++1m!「(m + 1 — 〃)1m!「(m + 1 — 〃)
以=
以=
м 1
2 sin2 〃7г п!Г(п + 1 + 〃)
м 1
2 sin2 〃7г п!Г(п + 1 + 〃)
+
+
+
+
1
m!「(m + 1 — 〃)
1
m!「(m + 1 — 〃)
Итак, мы видим, что £*(%), а значит и 0»(с), всюду представляются сходящимися степенными рядами. Если воспользоваться известными интегральными представлениями [16]:
9 T卞
/*(%) +/_*(с)=二 < еж cos 0 cos fiOdO + sin /17г е^х^^1^ dt > , (оо/
Х(ж)= 丄 cos(/i^ — х sin O)dO,7Г J，
0
то можно получить следующие важные интегральные представления:
冗/2оо
卜Sin 〃7Г JJ
Оо
тг/2
f 1 — q —① cos &
4— sill/l^ +
卜Sin /17Г J COS J
0
oo、
—7r
+, shut dt } —/ In x — cu.
， ch 力 产2 cos “тг/2*
0丿
Здесь всюду подразумевается, что |/i| 7^ 0,1, 2,... Из интегральных представлений следуют важные свойства. Очевидно, прежде всего, что
£М(%)=(Q(3.68)
Несложно получить
2£；(%)=?」*(力)+ £1+m(片)(3.69)
и, кроме того
Комбинируя формулы (3.69) и (3.70), получим следующие важные соотношения:
(3J1)(3J1)£；（%） =— ?£仙（不—2sin〃7F/2^，
(3J1)
(3J1)
窗一m（步）=£*（"）-? £lf（c）- 2二冗/2；
И, наконец, дифференциальное уравнение для £* (х):
11Д7Г Ж2 cos -^-11Д7Г Ж2 cos -^-加) + 2®-(1 + ^)£“(2)= ;5^
11
Д7Г Ж
2 cos -^-
11
Д7Г Ж
2 cos -^-
2
которое может служить определением функции £仙(с}
Используя уравнения (3.71), (3.66) и (3.67), легко получить фундаментальные для теории излучения соотношения (см. [18]):
Ь1(1 + ^K^dy =。仙(с),：%：" =
оо
j Г皆=№ 以(с)—川 + 2 sin；7r/2 0
」1 + 乂)3 0」1 + 乂)3 02 cz(с) = 2p + /^(! + /^)]4ЛЖ)
」1 + 乂)3 0
」1 + 乂)3 0
24sin〃7r/2"4 cos 〃7г/2"
I 产号——三£；⑴=:[a + /4/ + Mi + 从)(2 + о
+ 从)]£m(胃)一小["+ (2 + j^^x^Ci^^x) +
(1 + /1)(2 + /1)7Г7ГЖ27ГЖ3
+12 sin //7г/2”6 cos //7г/2 + 12 sin //тг/2 '
С помощью этих соотношений интенсивность излучения представится в виде линейной комбинации функций £]/з, £2/3, °1/з, °2/з* Впрочем, функция 02/3 ни разу не встретилась в конкретных расчетах, а функция 办 1/3 встречается очень редко.
Найдем теперь асимптотические представления £必⑺ и DM (ж) при больших х (т.е. малых £). Для этого отдельно рассмотрим интегралы
冗/2ОС
/= I 厂宓 cousin/10 d 仇 J=—zc%h箇必，
оо0[ены переменных cos 0 = t,0[ены переменных cos 0 = t,ch 方—1 = T2ch 方—1 = T2имеют вид11=[「況имеют вид11=[「況sin〃 arccos t , T——dt, J = V2e^xsin〃 arccos t , T——dt, J = V2e^xsh2/iarshr/%/2sh2/iarshr/%/21 + 犬/21 + 犬/2dr.dr.которые после
о
о
0
[ены переменных cos 0 = t,
0
[ены переменных cos 0 = t,
ch 方—1 = T2
ch 方—1 = T2
имеют вид
1
1=[「況
имеют вид
1
1=[「況
sin〃 arccos t , T
——dt, J = V2e^x
sin〃 arccos t , T
——dt, J = V2e^x
sh2/iarshr/%/2
sh2/iarshr/%/2
1 + 犬/2
1 + 犬/2
dr.
dr.
Теперь для функций
/1 = cos /1 arccos t ,/2 = ch2/i a『shg
имеем
/// sin /1 arccos t //// sin /1 arccos t /2〃sh2〃 arshg + g22〃sh2〃 arshg + g2(3.73)(3.73)
/// sin /1 arccos t /
/// sin /1 arccos t /
2〃sh2〃 arshg + g2
2〃sh2〃 arshg + g2
(3.73)
(3.73)
Прямой проверкой убеждаемся, что /1 и /2 удовлетворяют уравнениям
а —户)н —力尤=犷九=& (1 + 力)％ + yf2 — 4/?力=0.
Отыскивая решения уравнений в виде рядов, найдем с учетом (3.73) следующие разложения:
sin〃 arccos t sin〃 Г (n + 1 + /х/2) Г (n + 1 — 〃/2)
VF^ - 7Г У 2」《т(п+ 1)
V^ sh2〃 arsh (г / у^)2 sin /17гV^ sh2〃 arsh (г / у^)2 sin /17гггXX7Гх £(—1 广п=07Гх £(—1 广п=02пГ(п + 1 ^Г(п 1 fl)2пГ(п + 1 ^Г(п 1 fl)Г(2п + 2)Г(2п + 2)产，|т| < L产，|т| < L
V^ sh2〃 arsh (г / у^)2 sin /17г
V^ sh2〃 arsh (г / у^)2 sin /17г
г
г
X
X
7Г
х £(—1 广п=0
7Г
х £(—1 广п=0
2пГ(п + 1 ^Г(п 1 fl)
2пГ(п + 1 ^Г(п 1 fl)
Г(2п + 2)
Г(2п + 2)
产，|т| < L
产，|т| < L
Тогда, пользуясь методом перевала, легко получить асимптотику £» (х) при больших х (малых £) (см. [22], лемма на с. 447):
— 1/Е Г(п + 1 + М)Г(п + 1 — 〃) е(2п + 1)!!
Если учесть соотношение
то нетрудно получить асимптотику
ад=€Е {^г (丁) г (卞)-(Т)\
где 叫 определяются рекуррентными формулами:
^о =^о =〃7Гsin 〃7Г〃7Гsin 〃7Гdn = ’几或_1 +dn = ’几或_1 +Г(п + 1 + /1)Г(?2 + 1 — 〃)(2п + 1)!!Г(п + 1 + /1)Г(?2 + 1 — 〃)(2п + 1)!!
^о =
^о =
〃7Г
sin 〃7Г
〃7Г
sin 〃7Г
dn = ’几或_1 +
dn = ’几或_1 +
Г(п + 1 + /1)Г(?2 + 1 — 〃)(2п + 1)!!
Г(п + 1 + /1)Г(?2 + 1 — 〃)(2п + 1)!!
Если ввести величины
r(3n + 8 3n + 4}
А =33
п _(2п + 3)!!，
—(3n + 8)(3n + 4)
(3m + 8)(3m + 4)
%+i—9(2n + 5)“
а величины dn3 и 疝之 определить рекуррентными формулами:
d/ = n瞰\+ %Т,成/3 = nd* + |^! "一，
то можно записать асимптотические формулы в виде
G/з⑺=£ Е
п=0
£1/з(с) = § £。『2 + е /£就一1 (—а
(374)(374)?г=0 '/
(374)
(374)
n=0 ''
n=0 ''
Выпишем здесь для справок несколько первых коэффициентов:
а_2 = —V^tt/Z, @—1 = 7г, а。= 2・^万/9, @i = 5тг/9, а2 = 64^^/81,6_i=4v^7t/9, Ьо = 20-^/243, Ьх = ^/2, Ь2 = 1408^/19683,《б = 2-^/9,《б = 178-^/243,
с/；/' = 3316-^/2187,厶б = 90812-^/19683,
dj/3 = 4-^/9, d" = 56岳/243,с/# = 1136-^/2187,宕/з = 32080-^/19683.
Укажем также, что при малых х (больших £) функции £必⑺ ведут себя следующим образом:
以(с)以(с)(375)(375)
以(с)
以(с)
(375)
(375)
Итак, функции £» (х) и D* (ж) изучены в объеме, достаточном для наших целей и могут быть использованы как для качественного исследования, так и для количественных оценок интенсивности излучения.
Излучение электронас продольно поляризованным спином
Рассмотрим электрон с продольно поляризованным спином: спин электрона имеет два возможных направления ——по движению или против движения. Волновые функции такого электрона определены формулами (3.22) и (3.33). В этом параграфе мы проведем подробный расчет интенсивности излучения и вероятности переходов, с тем чтобы в дальнейшем опускать малоинтересные подробности расчетного характера. Рассмотрим а- компоненту линейной поляризации, определенную формулами (3.45) и (3.48). Легко найти (здесь опущен множитель Iss>x) выражение
где А определено формулой (3.32). Возводя его в квадрат, получаем
Производя замены (3.57)—(3.61) и разлагая в ряд по с。и cos2 0 (фактически по б), находим
S2 = 4\"，{(/小7/—1 - Лг —+ 产才 COS20片,
—C&8S。(片 w —11#，)} + a 2
Теперь осталось воспользоваться уравнением (3.62).
Совершенно аналогично производятся вычисления других компонент поляризации. В результате можно получить выражения, характеризующие спектрально-угловое распределение интенсивности излучения:
…27 …q f f V2 sin 9d9dy 十 丿
0 0
где функции ①?)怎 g/) имеют вид
①产={(2 + &)也/3(20)+ CV^&8S0Ki/3(2o)}2，
虱D = {(2 + ^)-v^cos OK1/3(z0) + С€^<2/з(^о)}2 ,
①;D = 5 (2 + 3 + l((y)2{s COS2 0К；/з(20)+ £2к^/з(20)) +
+ 2《[&(2 + Q) + 4(2 + 2& +『力收/2 8$еК]/з(?оЖ(%),
①产=(1 + ZQ ①⑴，ф(2)=虱2) = & = ^y2£Q£K2^ZQy
Интегрируя по углам с помощью формул (3.63), найдем спектральное распределение интенсивности:
吨=誓j oSf {券耳⑴(за) +守耳⑵(зУ)}, 0
где функции 月")(g, у) имеют вид
用D = [3(2 + "产+『产 %*®) - [(2 + "产+『产认)
网D = [(2 + &)2 + 3『产 М/з®) — [(2 + &)2 +『产 〃®),
片⑴=(2 + & + KG)?(2/<2/з®) —,
/⑵=(1 +女尸，用2)=网2)=少=2产力м力
Вероятность переходов получается из интенсивности излучения делением спектрально-угловой плотности на Кек. Угловое распределение вероятности перехода не представляет интереса, поэтому мы сразу приведем формулу ее спектрального распределения:
о
где
耽=(2 + 2& + fy2)(^K2/3{y)ti(2/)),⑦2 =『力〃匂)
и введено обозначение
Ti = Т。Т。= Збу^тг = 3.45710—17* К* тс2
Если теперь провести усреднеие по начальным и просуммировать по конечным спинам, то можно получить интенсивность излучения и вероятность перехода неполяризованного электрона:
=看也旨 J ^^^ {(3 + 3з +1們小®) — (1 + 3)Mg)}, о
(3.76)
也'3 =看也'"2(1 :%)4 {(1 + & + 产力)к2/3匂)一(1+&)〃®)}, 0
8(3刀)
屮=^1忆镉 I (П^p {(2 + 2gg +『力)K2/3®) - (1 + &)〃®)}， 0
m(3.78)
w = ^! j :七)3 {(2 + 2& +『力)/j/3®) — (1 + &)〃®)} " (3.79) о
Наконец, интегрируя по спектру с помощью соотношений (3.72), находим
屮2 = gN% {(36/ + 82)Q/3(c) + (27/+
+ 201с)£1/з(с) — Этг-у'Зж2 — 277rt — 67тгу^} , (3.80)
l伍з = qiWQ {(198* + 46)£2/з(с) + (27/+
+ 363с)£1/з(с) — 97rVi? — 1897ГС — 85ttV^} , (3.81)
红7 =齐{1；其[(9* + 56)4/3⑴一15*/з(с)_
—9тгс + 7тгУ^ — 180]/з(с)] + J—•56S- [9^2£2/з(с) + +33с£1/з(с) — 97rt — 97rV^ + 1801/з(с)]，. (3.82)
Если же интенсивность излучения только про суммировать по конечным спиновым состояниям (без усреднения по начальным), то мы получим
Ж = giWb {[(117 — 99太)/ +(64 — 44ZC)]£2/3(x) +
+ [27/ + (282 — 297Z0x]£1/3(x) — 9万7^川一
-(108 - 99太)万C-(76 - 7，0万75} a (3.83)
Переходы за счет переворота спина вносят в излучение следующий вклад:
屮⑵=3gj% {72川 J/з⑺ + (9d + 139с)£1/з(с)—
—Зтг-у'Зж2 — 697rt — ЗЗтгУ^ + 5401/3(с)} , (3.84)
а полная вероятность перехода неполяризованного электрона имеет вид:
w =子{(9* + 28)&/з⑺ + 9"1/з⑺—9тгж — 7rV^}，(3.85)
где введено обозначение:
_V3
Найдем, наконец, асимптотики выражений при малых & Используя (3.74) и отбрасывая члены, содержащие е^1^ как малые при £《1, получаем
1忆=27qiWci 工⑺ + l)(n2 + 5n + 14)м(—f)\(3.86)
n=0
l 伍3 = 27(?11УС1 工⑺ + l)(n2 — n + 2)^(—G\(387)
I伍=54必皿7 工⑺ + l)(n2 + 2n + 8)^(—g)\(3.88)
n=0
п=0 'п=0 '几1/
п=0 '
п=0 '
1 —其'n(n^l)(3n+l)l
Усредненная по спиновым состояниям вероятность переходов равна
W = ^ £(3" + Зп +
п=0
Переходы за счет переворота спина описываются асимптотическим разложением вида
n=0
где
В частности, первые три члена дают
忆=/｛三£信一察3 +限2）+一q
(3.89)(3.89)дМ（一警£ + £『）•
(3.89)
(3.89)
Последний результат (3.89) был впервые получен в [23] (см. также [4, 17, 24, 25]).
В отличие от результатов [23-25] мы имеем также и члены вида ехр(—1/^), которые отбросили ввиду малости. В частности, вклад первого такого члена в W есть
I严1I严18£48£4
I严1
I严1
8£4
8£4
Этот член максимален при £ = 1/4 и достигает значения
Однако асимптотическими формулами можно пользоваться лишь при малых £ (при £ = 0,1 они дают ошибку уже в третьем знаке), когда этот член действительно мал. Например, при £ = 0,01 он равен ^Wcl • 10-35. Для Wi асимптотика имеет вид
Wz = 27qiwcl £(n + 1) fn2 + 2n + 8 + ^位c) an(^0n,
也，=I仅cl也，=I仅cl!-^(3 + 5*24+ 1UQ「!-^(3 + 5*24+ 1UQ「
也，=I仅cl
也，=I仅cl
!-^(3 + 5*24+ 1UQ「
!-^(3 + 5*24+ 1UQ「
В другом крайнем случае, g》1，учитывая (3.75), получаем [17, 26]:
2222
2
2
2
2
где
жт“ = д2Жо€2/з?
Круговая поляризация имеет вид
用=丁用=丁(3.90)(3.90)
用=丁
用=丁
(3.90)
(3.90)
Для промежуточных значений численные расчеты приведены на рисунках 3.1-3.9. На рис. 3.2, 3.4, 3.7 построены функции
для от 0 до 1 и
0/Fot，
П/Tot
для 0,01 W с W 1- На рисунках 3.3, 3.6 и 3.8 построены функции
WW2 >3
[Д/Tot 'WTot ' |утм
для 0 W ® W 0,01.
Мы видим, что в области ^ < 1 все величины меньше своих предельных классических значений и довольно быстро убывают с ростом & В области g > 1 (т.е. ж < 1) соответствующие величины меньше своих предельных значений при g т оо и с ростом g приближаются к ним. На рис. 3.9 построены компоненты круговой поляризации как функции g, причем /£ = =1 соответствует W± и 悠=—1 соответствует W^i. Любопытно, что W^i при g》1 приближается к своему предельному значению (5/32)lFTot сверху, что можно увидеть из формулы (3.83), однако максимум этой функции лежит при g > 1000 (т.е. ж < 0,001) и его не удалось найти численными расчетами. В связи с круговой поляризацией излучения отметим два существенных момента. Во-первых, имеется корреляция спина электрона и испущенного фотона при больших энергиях электрона (см. (3.90)), где корреляционный член имеет вид (11/16)/^, во-вторых, различие в компонентах круговой поляризации возрастает с ростом энергии электрона. Важно также, что усреднение по спину электрона приводит к исчезновению круговой
Рис. 3.2. Полная интенсивность излучения частиц в зависимости от £
Рис. 3.4. Зависимость W2 -компоненты линейной поляризации от £ или ж
Рис. 3.6. Зависимость Жз-компоненты линейной поляризации от £ или ж
Рис. 3.7. Зависимость Жз-компоненты линейной поляризации при малом ж
Рис. 3.8. Компоненты круговой поляризации при продольно поляризованном спине (Wi： 1( = 1, РИт： 1( = —1)
поляризации излучения, что соответствует общему положению, согласно которому излучение, поляризованное по кругу, может испускаться частицами с ориентированным спином. Отметим, в заключение, что начальная ориентация спина по или против движения не влияет на полное излучение и на линейные компоненты поляризации. Более подробный анализ свойств излучения мы проведем после рассмотрения других ориентаций спина электрона и излучения бозона, когда можно будет провести сравнение различных случаев и выделить как общие закономерности, так и частные особенности каждого случая.
Излучение поперечно-поляризованного электрона
Поперечную поляризации электрона можно описывать как оператором вектора поляризации, так и оператором тензора поляризации. Однако вектор поляризации мало удобен для конкретных расчетов, поскольку в релятивистском случае он переходит в оператор Т ^ 乌 и не содержит спиновой матрицы. Тензор поляризации не имеет этого недостатка и поэтому поперечную поляризацию целесообразно описывать именно этим оператором.
Методом, аналогичным примененному в предыдущем параграфе, получаем спектрально-угловое распределение в виде
①尸={(2 + Q左K2/3(%)-Cv^ QKi/3(%)}\
① J = (2 + ^)2ecos2 0Kl/3(zo\ Ф^2) = ^г/Vcos2 OKl/3(zo\
①= g2g2(EК2/3(/0)+?，£。e ^l/3(^o))2-
Круговая поляризация отсутствует. Интегрируя по углам, находим [17]
U)= 3(2 + &)2K2/3 ⑺—£Q(2 + &『K]/3 匂)+ 它戸—4Q — 4)М 力
内‘"=g2力(К2/3匂)一虱(力，
内2)=g才(К2/3匂)+ 44 Kl/3匂)+乳(g))"
Интегрируя по спектру и представляя результаты в виде для нашего случая получаем
W』)=^【％ {(54Q* + 81川—372g + 150)£2/з(с) +
+ (54ж3 + 90Q + 456宏一200С)£1/3(ж)—
—187r(，^ + 3?)川—(7 + 2，^)97Г金 -
—6"(25^ - 62Q + 810/3⑺} 词=f Wo {(-9d + 50)£2/3⑴ +
+ 54 c £]/з(с) + 9тгж — 20д/Зтг — 810/з(с)} 词2) = |Жо {(—9川 + 14)&/з54"1/з⑺ +
+ 16V37F — 81Р1/3
W『)=^【％ |(5<)ж3 + 405ж2 + 600/ + 42)£2/3(ж) +
+ (54ж3 + 414/ + 672c + 160С)£1/3(ж)—
—187r(V^ + 3()ж2 一 97r(43 + 14^Q/ —
—6тг(25^ + 82() + 810/3 ⑺}
Для вероятности переходов получаем спектральное распределение
机=(2 + ;)2K2/3匂)一2(1 + Gu) K1/3(x)dx -?з(2 + 牙)к1/式/
次=^2У2{К2/^У)-4K1/3匂))*
Интегрирование по спектру дает
回2 - %方 + 52)г2/3(ж) + (9炉-9方一
—14С&/3⑺-3»(3 + С^3)ж + ^(5^3 + 12()] +
+[(9川 + 270 + 4)g/3(方)+ (%* + 27金+
-lOQG/з⑺-3»(3 +《问方-7r(7V^ + 24()] . (3*91)
Асимптотики при малых g имеют вид
[(п+ 3)(п+ 8)(3几+ 7)+ n(n — l)(3n + 4)]an +
+《2乳(几 + l)(n + 5)(3几 + 1)ап^Д (―
记D记D=争厂工n=0=争厂工n=0(n + 1)5 + 3)(n + 8)(n + 2)(n + 1)5 + 3)(n + 8)(n + 2)他2)他2)Ст n=0Ст n=0n(n — l)(n + 1)(n + 2)n(n — l)(n + 1)(n + 2)吋）=争尸工n=0吋）=争尸工n=0n(n — 1)5 + 1)n(n — 1)5 + 1)(n + 2)(n + 2)[(6 几 + 11)a九+[(6 几 + 11)a九+
记D
记D
=争厂工
n=0
=争厂工
n=0
(n + 1)5 + 3)(n + 8)(n + 2)
(n + 1)5 + 3)(n + 8)(n + 2)
他2)
他2)
Ст n=0
Ст n=0
n(n — l)(n + 1)(n + 2)
n(n — l)(n + 1)(n + 2)
吋）=争尸工
n=0
吋）=争尸工
n=0
n(n — 1)5 + 1)
n(n — 1)5 + 1)
(n + 2)
(n + 2)
[(6 几 + 11)a九+
[(6 几 + 11)a九+
+ 2cs + 2)(3几 + l)an^i] (—^)n,
33Т1Т1n=0n=0—^^-[(3(7z+ 1)(nq + 2) + 14)an +C(^4- 3)(3n— 2)710^—2] +—^^-[(3(7z+ 1)(nq + 2) + 14)an +C(^4- 3)(3n— 2)710^—2] +
3
3
Т1
Т1
n=0
n=0
—^^-[(3(7z+ 1)(nq + 2) + 14)an +C(^4- 3)(3n— 2)710^—2] +
—^^-[(3(7z+ 1)(nq + 2) + 14)an +C(^4- 3)(3n— 2)710^—2] +
T^^几(几—1) [3an^i +《(3几—2)a九—2〕｝ (一£广"(3.92)
Первые члены разложений дают
7-8Г1-87-8Г1-83) 9 (3.3) 9 (3.
7-8Г1-8
7-8Г1-8
3) 9 (3.
3) 9 (3.
В случае g》1 имеем предельные выражения
优1)=
128，
25
128
|yTot
优2)=
128，
吋)=
21
128
Численные расчеты в промежуточных точках приведены на графиках 3.1—3.9, причем %+ соответствует = +1, a W^ —— g = —1. Отметим здесь, что W^ (g = — 1) (рис. 3.2, 3.3)——наибольшая по сравнению со всеми другими функциями, т.е. электрон со спином, ориентированным против поля, излучает наиболее интенсивно. Как следует из рис. 3.3, 3.6 и 3.8, функции W^, W^, W^ при g》1 приближаются к своим предельным значениям сверху.
Существенным моментом является отсутствие круговой поляризации излучения. Это можно объяснить тем, что спин испущенного фотона направлен практически вдоль мгновенной скорости электрона, а спин электрона в данном случае перпендикулярен к нему и корреляция между ними отсутствует.
Особенностью данной поляризации электрона является то, что как излучение, так и вероятность переходов явно зависят от спина, причем эта зависимость входит при g《1 в член, линейный по % (см. формулу (3.93)). Таким образом, переходы с переворотом спина могут иметь направленный характер, что действительно и было установлено в [27—29]. Любопытно, что если ввести нековариантную поперечную поляризацию спина электрона, положив, например, в (3.27) А = (1 +《)/2и8 = (1 —^)/2,то мы придем к результатам, в точности совпадающим с изложенными в настоящем параграфе. В частности, в [27] использовалось нековариантное введение спина, и лишь в [28,29] была показана тождественность результатов в случае нековариантного и ковариантного введения поперечной поляризации электрона. Зависимость вероятности переворота спина (формула (3.91)) от его начальной ориентации спина приводит к тому, что спин электрона вследствие излучения преимущественно ориентируется против поля.
Таким образом, при достаточно длительном вращении пучка электронов в магнитном поле большая их часть приобретает спин, ориентированный против поля. Функция 〃(£), определяющая долю электронов, со спинами направленными против поля, изображена на рис. 3.10. Мы видим, что процент электронов со спином, ориентированным против поля, чрезвычайно высок и слабо меняется с изменением g* Лишь при очень больших g электронов с《 = 1и《 = —1 становится примерно одинаковое число (〃 т 1/2 при g Т сю).
Отметим в заключение, что усреднение по начальной ориентации спина в данном случае приводит к тем же результатам, что и в случае продольной поляризации, а именно, среднее излучение описывается формулами (3.76)— (3.78), (3.80), (3.81), а вероятность ——формулами (3.79) и (3.82).
Рис. 3.10. Полная вероятность переходов, сопровождаемых изменением ориентации спина; ®i соответствует продольно-поляризованному электрону; - двум поперечным поляризациям. Функция 〃(£) показывает долю электронов со спином, ориентированным против поля
Излучение бесспиновой частицы в магнитном поле
Излучение бесспиновой частицы (бозона) исследуется совершенно аналогично излучению электрона, только в этом случае для матричных элементов нужно воспользоваться выражениями (3*45)—(347) с заменой (а) на〈Р) и формулами (3.49). Тогда мы получаем спектрально-угловое распределение в виде [18]
唐=次：器吸①о о
①У = e2Kl/3(zQ\ ①£ = ecos2 Ж£/3(20).
Интегрирование по углам дает выражения
о
内"=3k2/3匂)(/ff)=k?,式у) - икуу
Круговая поляризация отсутствует. Интегрирование по спектру приводит к соотношениям
历受=5匂卩% {(1 - 3*G/3⑺-2cg/3⑺ + 3жГ},
)= 18д1Ж0 "2/3⑺ + 3n&/3(n) — ^}.
При малых § имеем асимптотики (ср. с (3.86) и (3.87))
0/f)= 5460a 工⑺ + l)(3n + 7)%(—H\n=0
W『)=54glM 工⑺ + l)an(^)n-n=0
Первые члены разложения дают
Здесь «+» относится к электрону, «—» ——к бозонам. Итак, мы видим, что бозон излучает несколько меньше электрона при §《1 и поправки эти сказываются лишь в членах 〜Й2, причем обе компоненты поляризации убывают на одну и ту же величину. Более того, имеет место соотношение
Ж2 - L
Таким образом, обе компоненты поляризации излучения бозона всеща одинаково отличаются от соответствующих компонент для электрона.
В другом предельном случае, §》1, имеем
=空 и/гз =ЛЖТт,印3)= 2用丁"2 64 7 3 64 7 16
Итак, бозон всеща излучает несколько меньше электрона, причем при §》 》1 разница становится существенной (см. также [21, 24]). Результаты для промежуточных значений приведены на графиках 3.1-3.9.
Отметим здесь существенный момент: разница в излучении неполяри- зованного электрона и бозона при §《1 сказывается в членах порядка Й2, что отмечалось еще Матвеевым [21, 28]; однако, если электрон поляризован, то разница в излучении возникает уже в членах порядка 无(см. (3.93)).
Особенности излучения электрона
с ориентированным спином в магнитном поле
Проведем анализ численных расчетов, результаты которых были представлены на рисунках 3.1-..
Начнем с анализа особенностей излучения электронов и бозонов (см. рис. 3.1-3.9). Напомним использованные обозначения: Wi ——компоненты излучения неполяризованного электрона и электрона с продольно-ориентированным спином, W^ (для《=+1) и %— (для《=—1)——компоненты излучения поперечно-поляризованного электрона, 0?")——компоненты излучения бозона. Отметим, прежде всего, общую закономерность, следующую из всех рисунков: в области ^ < 1 излучение электрона с произвольной ориентацией спина, как и излучение бозона, меньше предельного классического значения. На рис. 3.1 изображена полная интенсивность излучения неполяризованного электрона и бозона как функция §, причем для сравнения приведены функции Жс1(^) и ЖТо1(^). Мы видим, что как при ^ < 1, так и при ^ > 1 промежуточные значения для электрона существенно отличаются от предельных Жс1 (§ 7 0) и ЖТт (§ 1 сю). Характерно, что излучение электрона больше соответствует классике, чем излучение бозона. Обратимся к рис. 3.2 и 3.3, где построены зависимости полного излучения частиц от § 二 1/х. Мы видим, что наиболее интенсивно излучает электрон со спином, ориентированным против поля и наименьшая интенсивность излучения соответствует электрону со спином, ориентированным по полю при ^ < 1 и бозону при ^ > 1.
Отметим еще раз, что Ж™ при ^ ^ сю приближается к своему предельному значению сверху, т.е. излучение оказывается больше 用丁°* начиная примерно от §》700 (см. рис. 3.3). На рисунках 3.3-3.8 приведены графики компонент поляризации. Здесь любопытно отметить, что из электронных компонент Жз наименьшая соответствует электрону со спином по полю и наибольшая ——электрону со спином против поля. Наименьшая из компонент %, наоборот, соответствует электрону со спином против поля, а наибольшая ——со спином по полю. Поведение этих компонент при малых х (т.е. § 一 сю) аналогично поведению полной интенсивности (см. рисунки 3.6 и 3.8). На рис. 3.8 построены компоненты круговой поляризации при продольной ориентации электронного спина (Ж1： 1( = 1; Ж-i： 2《=—1). Мы видим, что наибольшая разница между компонентами достигается при очень больших § (малых ж), причем W_i при малых n приближается к своему предельному значению сверху. Максимум Ж-i лежит при § > 1000, что легко может быть установлено при помощи формулы (3.83).
На рис. 3.9 приведены полные вероятности переходов при излучении для неполяризованного и продольно-поляризованного электрона (w = wTi, формула (3.14)), электрона, поляризованного вдоль поля (w+ = w+T1?《= = ± 1, формула (3.91)) и против поля (ш二 w^Ti, ^ 二 ^1, формула (3.91)). Мы видим, что электрон со спином против поля излучает в единицу времени больше фотонов, чем неполяризованный электрон или электрон со спином по полю. На рис. 3.10 построены аналогичные вероятности, но только для переходов, сопровождающихся изменением ориентации спина, причем и^ соответствует продольно-поляризованному электрону, а ш^ ——двум поперечным. Из этих графиков видно, что наиболее неустойчив при излучении спин при его ориентации по полю и, наоборот, наиболее устойчивым (при
^ < 10) оказывается спин при его ориентации против поля. Таким образом, как уже отмечалось, возможна спонтанная поляризация электронного пучка при его длительном вращении в магнитном поле, причем процент электронов со спином против поля очень велик (см. [29]) и слабо меняется с изменением § (см. рис. 3*9, функция 〃)*
Отметим интересную особенность: каждый тип поляризации электронного спина имеет точку наибольшей неустойчивости (рис. 3.10), правда, все эти точки соответствуют большим значениям £ (§ > 4). Любопытен и тот факт, что полная вероятность излучения оказывается наибольшей у электрона со спином, ориентированным против поля, однако переходы с изменением ориентации спина у такого электрона по сравнению с другими наименее вероятны.
На рис. 3.11 построены функции, характеризующие относительный вклад в интенсивность излучения для переходов с переворотом спина. Например, / есть W^/Ж, где Ж^2\ определенное формулой (3.84), является частью излучения продольно-поляризованного электрона, связанной с переходами, сопровождающимися перебросом спина; /土 ——то же для поперечно-поляризованного электрона.
Рис. 3.11. Функции, характеризующие относительный вклад в мощность излучения переходами с переворотом спина
Мы видим, что для продольной поляризации вклад перехода с переворотом спина имеет максимум, однако даже в максимуме этот вклад не достигает и 8 %. Переходы же с переворотом спина для спина, ориентированного вдоль поля =+1) в максимуме дают почти 34 % всей интенсивности излучения. Для спина, ориентированного против поля, наибольшее значение (21,9 %) достигается лишь в пределе § 一 сю*
Рассмотрим степень поляризации излучения (определенную формулой 尸 = (Wa — W^)(Wa + 必)一i) как функцию параметра & Зависимость поляризации излучения от § приведена на рисунке 3.12. Здесь Р —— степень линейной поляризации излучения неполяризованного электрона и
электрона с продольно ориентированным спином, Р^ ——степень линейной поляризации излучения бозона, Рс ——степень круговой поляризации излучения продольно-поляризованного электрона, Р土 ——поляризация излучения поперечно-поляризованного электрона《 = ±1, соответственно. Мы видим, что степень линейной поляризации излучения произвольно поляризованного электрона равномерно убывает с ростом £ до § = 33, где у электрона со спином, ориентированным по полю, имеется существенная особенность: минимум линейной поляризации излучения. Степень круговой поляризации излучения Рс продольно-поляризованного электрона равномерно увеличивается с ростом Отметим, что сильнее всего поляризовано излучение электрона со спином против поля (《=—1)*
Значительно поляризовано излучение бозона. Интересно, что при § 一 一 сю Р^ = 1/2, что совпадает со степенью поляризации излучения нерелятивистской частицы.
Подчеркнем еще раз, что при §《1 разница в излучении неполяризованного электрона и бозона проявляется лишь в членах Й2, тогда как разница в излучении бозона и электрона с ориентированным спином может проявляться в членах 无.
Мы видим, что исследование поляризационных свойств излучения электрона с ориентированным спином представляет несомненный интерес ввиду наличия многих тонких особенностей, наиболее ярко выступающих при точных численных расчетах.
Рассмотрим вопрос о том, на какую длину волны приходится максимум излучения электрона в магнитном поле. Если воспользоваться соотношениями (3.76) и (3.78), то для неполяризованного электрона получим
где нужно положить
л =尸{(з + з& + е2^/2)^2/зЫ — а + 侬加®)},
/з =(1 二&尸{(1 + 侬 + Tg2)K2/3(g) — (1 + 3"®)} ■
Для ПОЛНОЙ интенсивности f = f2 + fз при условии
^т = X",入0 =^т = X",入0 =2тг% Нтс Н*2тг% Нтс Н*
^т = X",入0 =
^т = X",入0 =
2тг% Нтс Н*
2тг% Нтс Н*
Максимум интенсивности в компоненте 力 определяется из условия
延=1力延
откудаоткудаdX Ao dy
откуда
откуда
Проводя дифференцирование, приходим к соотношениям
屮2(&У2)= ^з(€лз)=屮陰 и)=屮2(&и) + 屮 з&д) = о
для 恥,W3 и W соответственно, ще введены следующие обозначения:
Ы^У)= [(21 + 15& + 7 片才 + ТдЗ)к2/з®)—(6 + 12&+
+ 然2g2 + 3Tg3)gKi/m(g)— 9(1 + 侬”⑺],
屮 3(8 g) = (7 + 53 + 11С2у2 + t犷)K2/3®)一
—9(1 + &)&(/)— 3dg2。+ 侬)дК1/з(д)"
Решение этих уравнений yi =玖(§) находилось численными методами. Результаты приведены на рис. 3.13, откуда видно, что максимум излучения приходится либо на X 〜Хс при ^ < 1, либо на X 〜Хт при § > 1. Ив том и в другом случае он приходится на малые длины волн (высокие частоты), что соответствует сделанным ранее предположениям. Спектральные свойства
излучения для §《1 исследовались экспериментально в [30], где получено хорошее согласие теории и эксперимента.
Более подробную информацию о численных расчетах характеристик синхротронного излучения можно найти в [31] и цитированной там литературе.
Радиационная самополяризация электронов
Поскольку вероятность переходов с переворотом спина для поперечно-поляризованных электронов зависит от начальной ориентации спина, постольку устойчивость спиновых состояний различна и в процессе излучения в первоначально неполяризованном пучке электронов возникает пре- имуще ственная относительно направления магнитного поля (более устойчивая) ориентация электронного спина.
Возможность самополяризации электронного пучка впервые была отмечена в докторской диссертации И.М. Тернова [32], первые ко личе ственные предсказания были сделаны в работах [28, 29]. В настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу (см. [33] и цитируемую там литературу). Динамику процесса радиационной поляризации можно исследовать следующим образом. Акты излучения, сопровождающиеся переворотом спина, происходят довольно редко и их можно считать независимыми. Пусть ni ——число электронов, имеющих заданную ориентацию спина (по полю, например), а П2 ——имеющих противоположную ориентацию спина. Пусть вероятность перехода в единицу времени из спинового состояния
1 в спиновое состояние 2 есть wi2, а вероятность перехода из состояния 2 в состояние 1 ——it?2i- Динамика (т.е. зависимость 也工 и п2 от времени) статистически независимых переходов в этом случае будет определяться следующей системой уравнений
П1 = —£"12 汽工 + W2in2, П2 =—攸 21 汽 2 + 攸12 汽b
которая имеет очевидный первый интеграл движения:
汽1(力)+ 汽2(力)=汽=汽? + 汽? = const,喟=m(0), П2 = n2(0),
и следующее общее решение:
711 ⑴ = r[llW21 + (诚汝12 -晒仅21) еХp(一力/丁)],
712 ⑴=r[nw2l + (п^ш21 — nlw12) exp(—〃丁)],
丁 二(W12 + W21)™1.(3.94)
Из (3.94) видно, что при 丁》力,где 丁 ——время релаксации, устанавливается равномерное распределение электронов в пучке:
—=1 —〃 = п—=1 —〃 = пW21W21 + w 12W21W21 + w 12
—=1 —〃 = п
—=1 —〃 = п
W21
W21 + w 12
W21
W21 + w 12
П2W12
——=〃=
ПW21 + il； — 12
Считая, что состояние 1 соответствует ориентации спина по магнитному полю, а состояние 2 ——ориентации против поля, из формулы (3.92) в приближении §《1 найдем
15+ 8^3П = —^— ~ 0, 962*15+ 8^3П = —^— ~ 0, 962*
15+ 8^3
П = —^— ~ 0, 962*
15+ 8^3
П = —^— ~ 0, 962*
При Е = 1 ГэВ и И ^ 104 Ге время релаксации составляет 丁〜1 н, что свидетельствует о возможности наблюдения эффекта радиационной само- поляризации в современных электронных накопительных кольцах. Впервые этот эффект был обнаружен в эксперименте в 1968 г. во Франции и затем во многих ускорительных центрах. Экспериментальные особенности его наблюдения изложены, например, в работе [33] и в цитируемой там литературе. Степень поляризации электронного пучка 〃 весьма велика (более 96 % при §《1) и, как видно из рис. 3.9, довольно слабо зависит от §”
Наконец, можно поставить следующий вопрос. Выбор тензорного спинового оператора для описания поперечной ориентации спина не является единственно возможным. Более того, можно составить произвольную линейную комбинацию спиновых операторов ——интегралов движения и попытаться подобрать коэффициенты этой комбинации так, чтобы увеличить степень поляризации 〃, либо уменьшить время релаксации 丁" Такая
попытка была предпринята в работе [34], где было показано, что действительно при определенном выборе коэффициентов линейной суперпозиции степень поляризации может быть доведена до 99 %, а время релаксации — уменьшено почти на 20%.
Явление радиационной самополяризации электронного спина интересно в мировоззренческом плане как явная демонстрация квантовых закономерностей на макроскопическом уровне. Оно важно и в практическом отношении как способ (и пока единственный экспериментально реализованный способ) получения пучков релятивистских частиц с ориентированным спином.
Излучение нейтральных частиц, обладающих магнитным и электрическим моментами,
при движении в постоянных и однородныхэлектромагнитных полях
Наличие аномального магнитного и, возможно, электрического момента у элементарных частиц даже в случае отсутствия электрического заряда (нейтрон, например) должно, очевидно, обуславливать взаимодействие этих частиц с внешним электромагнитным полем и приводить, в частности, к возможности спонтанного электромагнитного излучения. Возможность такого излучения на основе уравнения Дирака-Паули была установлена впервые в работе [35], где рассматривалось излучение частицы, имеющей аномальный магнитный момент, при ее движении в постоянном магнитном поле. Затем эти результаты были обобщены на случай, когда частица обладает электрическим моментом и находится в постоянном электромагнитном поле [36—38].
В настоящем параграфе мы рассмотрим излучение незаряженной частицы, имеющей аномальный магнитный Д1 = д cos а и электрический Д2 = Д sin а моменты и движущейся в поле, представляющем собой суперпозицию постоянных и однородных электрического Е и магнитного Н полей. Если оба инварианта электромагнитного поля
11 = Е2 Н2 , 厶=(ЕН)
одновременно не равны нулю (что мы считаем выполненным), то, как известно, существует лоренцева система координат, где поля параллельны. Рассмотрим именно эту систему координат, выбрав ось Z вдоль общего направления полей:
Н = (0, 0,(? cos 7/), Е 二(0, 0,(? sin7/), (3.95)
где
Q=，e2+^
Будем считать, что волновые функции частицы удовлетворяют уравнению Дирака-П^ли:
ihdt^ =
W = с(ар) + р3тс2 + е%〃1["з(оН) + р2(^Е)] +
+ ф12【"з(оЕ) — р2(с^Н)]. (3.96)
Стационарные решения этого уравнения для полей, заданных формулами (3.95), соответствующие значению энергии chK, импульса 无к и спина С = ±1, имеют вид
(397)(397)屮 二 Nbe^p[—icKt H——(кг)],
(397)
(397)
где постоянный спинор b можно представить в виде
(3*98)
\ с4е^
Коэффициенты с^ находятся из решения уравнения (3.96):
Здесь вектор импульса кЗдесь вектор импульса к(3.99)(3.99)
Здесь вектор импульса к
Здесь вектор импульса к
(3.99)
(3.99)
к = k(sin 0 cos 夕，sin 0 sin 夕，cos 0),
а также приняты обозначения
d = у A：q cos2 Фо + k2 sin2 0 ,2)=①° —
2 J = _Фо —е①,Ф0 = t] — a,sin Ф = (К2 — A? cos2 0) — 1/2岛 sin Фо , ^ = к/К.
Энергия К определяется выражением
К = [к^ sin2 ① о + A? cos2 0 + (d + gQ)]】/* к0 = тс/К.
Из (3.97) и (3.99) следует, что
w+w=|N匕
Вычисляя
=屮+。3屮=4|N|2%/d)cosmo, (mol <,
найдем, что при《= 1 спин ориентирован по оси Z, а при《= 一1 —— против оси Z. Мощность излучения W и вероятность w определяются следующими выражениями:
户方2/12「к4 sin 0f d0f d(pf
c2 f к3 sin 3f d3f d(pf
S = S2 + $3, a = K —K'*
Для вектора импульса фотона 儿 выбрана сферическая система координат:
儿 二儿* 儿о, 儿о 二(sin^, cos 夕「sin®' sin“，cos0f)^
а выражения S^ определяются формулами (338)-(3.40), где вместо матриц а нужно использовать матрицы В
В = {"з[о 儿 о] + "2°}cosa + {"30 — p2k^o]}sina.
Несложный, но громоздкий расчет матричных элементов (3.39) приводит к следующим результатам. Излучение возможно лишь при переходе из состояния ^ = 1 в состояние《'=—1, другие переходы строго запрещены. Тем самым, излучение приводит, как и в случае электрона, к радиационной самополяризации пучка. Численные расчеты необходимо проводить в разложении по д, поскольку сам исходный гамильтониан задачи (3.96) справедлив в этом приближении. Для частоты излучения 儿 находим
儿=24Q(1 ./3cosQ)T[(l 一俨)《)52 ①0 +俨 sin2 円1/2,
cos П = sin 0 sin 0f cos 夕о + cos 0 cos 少，夕° =夕一夕
Здесь П ——угол между скоростью частицы и направлением вылета фотона. Угловое распределение излучения можно представить в виде
dW — 8с2%2//а4а — д2со$2е)2(1—$Е2<|)/^1?2+〃Ьз『
7Г(1 — p COS Q)5
F? = i/3 sin 0 sin О1 sin Фо —勿(1 一 S)(l — /3 cos 0 cos О1) x
X sin Фо COS 夕0 — (0 cos £ — COS 少)X
x у 5(1 — 5 sin2 Фо) cos </?0 + i cos Фо sin(pQ , (3.100)
G = £0 sin £ sin 01 cos ①。+ £(1 — S) (0 cos 0 — cos 少)x
x sin Фо cos go + (1 — /3 cos £ cos 少)x
x ，S(1 —Ssiifm。)sin go — 5 cos Фо cos 夕。
Z? = %2 COS Q —办3 sin/3 = Z3 COS Q —疗2 sin
s = (1 — /32)/(l —俨 соУ g), dd = sin 少》d“" Интегрируя в (3.100) по углам, для полной излучаемой мощности и вероятности излучения получим выражения
10=^(^) (1 — ；：^； 0产~ (cos2軌 + d sh?①0)1/2.(3.102)
Здесь введены обозначения
с _ 自 2 —歹 sin2 e0 从')1 — /3? cos2。•
Для компонент линейной и круговой поляризации из (3.100) находим (I = =±1)
Р = 4(2Т+\«^。) 3 +(3 — 2s + 夕)со82Ф0］义
х cos 2а + (1 — S)(3 + S) sin 2mo sin 2a},
ЖЖ1 + -Z/3 cos £ cos Фо1 + -Z/3 cos £ cos Фо1 — )2 cos2 Фо + 72 sin2 Фо1 — )2 cos2 Фо + 72 sin2 Фо(3.103)(3.103)
Ж
Ж
1 + -Z/3 cos £ cos Фо
1 + -Z/3 cos £ cos Фо
1 — )2 cos2 Фо + 72 sin2 Фо
1 — )2 cos2 Фо + 72 sin2 Фо
(3.103)
(3.103)
Дадим краткий анализ полученных результатов. Для релятивистской частицы (0 〜1) излучение сосредоточено в узком конусе с раствором—夕
вокруг вектора скорости, о чем свидетельствует наличие знаменателя (1 — —/3 cos Q)s в формуле (3.100). В нерелятивистском приближении (0 <С 1) излучение равномерно распределено в пространстве:
7rdW = 8/方246(^9$ m°)4卩宾蚱。CQS ^/ + ille^i^dn1.
Полная излучаемая мощность в нерелятивистском приближении совпадает с мощностью при движении частицы вдоль оси Z (£ = 0) и равна
/\ 4
В ультрарелятивистском приближении при £ * 0 (точнее, sin2 0 > 1 — /З2) из (3.101) и (3.102) следует
Излучение покоящейся (или движущейся вдоль оси Z) частицы отсутствует, если cos Фо = 0, откуда 〃 = а 土 тг/2, т.е. между величинами моментов Д1 и 〃2 и полей Е, Н имеется связь
41Н = д2Е.
Движущаяся под ненулевым углом к оси Z частица всегда излучает. Наличие электрического момента, как это следует из (3.100) и (3.103), существенно сказывается на поляризации излучения, а именно, ориентация оси эллипса поляризации зависит от а (см. (3.100)) и степень линейной поляризации существенно меняется с изменением а.
Установление возможности генерации электромагнитного излучения нейтральными частицами представляет несомненный интерес. Например, можно предположить, что хотя бы часть космического радиоизлучения обусловлена рассмотренным здесь механизмом. Выделение этой части могло бы дать некоторые сведения о наличии нейтральных частиц в межзвездном пространстве ——такая информация в настоящее время полностью отсутствует.
ГЛАВА 4
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕСПИНОВОГО МАГНИТНОГО МОМЕНТА(СПИНОВЫЙ СВЕТ)
Введение
Спиновый магнитный момент электрона, движущийся во внешнем магнитном поле, является источником электромагнитного излучения. Однако заметным образом это излучение (спиновый свет, или д-излучение) проявляется только при высоких энергиях и в современных ускорителях электронов становится доступным для измерений. Здесь мы рассмотрим проблему идентификации спинового света при наличии мощного синхротронного излучения, к тому же сопровождающегося квантовыми эффектами отдачи и многими другими сопутствующими явлениями.
Несмотря на то, что долгое время вопрос о спиновом свете оставался практически невостребованным, в этой области электродинамики, особенно в классической теории излучения точечного магнитного момента, была проделана большая исследовательская работа. Сначала Я.И. Френкель получил потенциалы полей излучения [1], затем сами поля и интегральные характеристики излучения были найдены Г. Дж. Бхабха и Г.К. Корбеном [2]. Позже эти результаты были повторены и развиты другими авторами [3—8] Однако систематического исследования излучения собственного магнитного момента электрона с применением принципа соответствия классической и квантовой теории до сих пор не было. Возможно, это связано с тем, что спиновый магнитный момент как физическая величина, в отличие от заряда, обладает сложными тензорными свойствами и все вычисления становятся значительно более трудоемкими.
Мощность магнитно-дипольного д-излучения на фоне сильного синхротронного излучения электрона очень мала:
где g ——хорошо известный параметр в релятивистской квантовой теории излучения:
3 方)2Моя 3 Я 3 方 /
(4」)
7 = 1/，1 — 02 — релятивистский лоренц-фактор, до = еоЛ/(2тос)—— магнетон Бора, Н* = 刀言仃^/亿方)~ 4.4 . Ю13 Э ——швингеровское магнитное поле, wM ——ускорение электрона. В нерелятивистском случае 7^1
эта величина пренебрежимо мала (g ^ 3.4 • 10^7) даже для сверхсильных магнитных полей (Н ^ 107 Э). В лучшем случае при интерференции излучения магнитного момента с излучением заряда мощность смешанного излучения будет пропорциональна первой степени 方,(см. § 4.6).
Тем не менее в настоящее время проблема излучения релятивистского магнитного момента приобретает особую актуальность в связи со строительством новых ускорителей частиц со сверхвысокой энергией, так как мощность излучения магнитного момента релятивистского электрона становится экспериментально достижимой величиной (^ 10^ 10^). Сейчас возможно проведение более детальных исследований синхротронного излучения, включая излучение самого заряда, квантовые эффекты отдачи при излучении, интерференцию полей излучения заряда и спинового магнитного момента электрона (смешанное е/,£-излучение), излучение самого спинового момента и, наконец, излучение, связанное с аномальным магнитным моментом электрона.
Заметим, что хотя квантовые поправки к мощности синхротронного излучения известны уже довольно давно [9—13]:
Mot = WSR 1 —茫Mot = WSR 1 —茫55-^3 . , 64 ,9 ,广 35-^355-^3 . , 64 ,9 ,广 35-^3
Mot = WSR 1 —茫
Mot = WSR 1 —茫
55-^3 . , 64 ,9 ,广 35-^3
55-^3 . , 64 ,9 ,广 35-^3
их физическая интерпретация долгое время оставалась неясной2.
В 1983 г. в ИЯФ СО АН (Новосибирск) была экспериментально идентифицирована зависящая от ориентации спина первая квантовая поправка к мощности синхротронного излучения — С§ [21] 3. Фактически, этот эксперимент стал первым наблюдением зависимости макроскопической величины ——мощности излучения от ориентации спина электрона, движущегося в магнитном поле.
Следует заметить, что проблема наблюдаемости электронного спина имеет давнюю и очень сложную историю. Как показал еще Н. Бор, прямое измерение спина свободного электрона в экспериментах типа Штерна и Герлаха невозможно, поскольку при наличии силы Лоренца условия наблюдения спина вступают в противоречие с соотношением неопределенностей и волновой природой электрона. Подробный анализ этой проблемы содержится в статье Паули, опубликованной в 1930 г. [26].
В связи с тем, что прямой метод измерения спина для электронов оказался практически непригоден, были предложены другие способы получения и наблюдения поляризованных электронов, некоторые из них были успешно
реализованы [27, 28]. Однако вопрос о наблюдении спина в макроскопическом магнитном поле по-прежнему оставался открытым [29]. Возможно, синдром «табу» Бора и Паули проявился в том, что выдающееся значение новосибирского эксперимента осталось почти незамеченным.
Классическая теория д-излучения
Уравнения поля. Здесь мы рассмотрим поля точечного магнитного момента (магнетона). Случай электрического диполя может быть описан дуальным формализмом. Полученные формулы будут использованы для расчета мощности излучения при равномерном движении магнетона. Более полную информацию можно найти в работах [70] (см. также [14—16])*
Введем антисимметричный тензор-потенциал Герца релятивистского магнетона Q*“ = (Z, Q), связанный с векторным потенциалом Лм = =(з А) соотношением [14]
tF =力QR(4*2)
то естьЛм = (—div Q, rot Z +
Тензоры плотности магнитной поляризации МАШ = (N)М) и плотности «магнитного тока» jmag удовлетворяют соотношению (см. также [6])
Cg = сдиМ^ = (div N, с rot М + ? ) •(4.3)
Легко видеть, что условие Лоренца и условие непрерывности плотности тока выполняются автоматически:
办4"=0, a"弗=0.
Вектор Лм удовлетворяет волновому уравнению
а тензор-потенциал ——уравнению
UQ^ = —4冗八宀(4А)
которое может быть получено из вариационного принципа 8s = 0 для функции действия
S= £(Q"*S)dr
если в качестве плотности функции Лагранжа берется
£ = м，屮-(4.5)
где d丫 一 элемент четырехмерного объема.
Действуя далее обычным образом, получаем уравнение Эйлера-Лагранжа
аг аг
pdpQ^ 一m丛"-，
которое после подстановки (4.5) дает уравнение (4.4).
Дифференцируя уравнение (4.4) по координатам, получим обычное вол™ новое уравнение для векторного потенциала с «током» jmag-
(4аб)(4аб)Представим тензор-потенциал Q*" в форме, аналогичной четырехмерному потенциалу Лиенара-В ихерта:
(4аб)
(4аб)
rava
где д ——собственный магнитный момент, vp = drp/dr ——четырехмерная скорость магнетона, rp = RP — гр ——четырехмерный вектор, соединяющий мировую точку магнетона с мировой точкой наблюдателя. Взаимная ориентация векторов г, Ж, г в трехмерном пространстве была показана на рис. 1.1.
Безразмерный тензор спина ГР" = (Ф, П) (см. гл. 2) связан с тензором магнитной поляризации соотношением
AW ⑴-⑴],
где 7г“" = И。"/), 7 = 1/у 1 —02 — лоренц-фактор, g ——вектор «размазанного» магнетона в момент времени 力 связанный с моментом наблюдения излучения i соотношением t = t — г/с.
Потенциалы и поля релятивистского магнетона. Согласно (4.2) и (4.6) векторный потенциал магнетона Аа в точке наблюдения имеет вид
(47)(47)〜 口"
(47)
(47)
7r = 一 м" Е
(4*8)(4*8)где производная Dv определена правилами дифференцирования функций с запаздывающим аргументом (см. § 1.1):
(4*8)
(4*8)
rpvP ат
причем瓦=д/дг1".
Дифференцируя (4.7) по правилу (4.8), получим
—(с2 + fpw^) ,(4.9)
\rpvpy*/
где wM = dn*/dT =п 川一ускорение магнетона, кружочком отмечена производная по собственному времени. Компоненты Ла = (д, А) записываются в виде
a =-乃—"(响卩* ([П由-*) + ±网一网J}，(4 io)
3=們「"(响]2 * (* + ^ (叫 J 卜 3=(nA),
где n = F/戸 = f/c(t — t)——единичный вектор, направленный от магнетона в точку наблюдения,
J = 1 + ^pwP = 1 + %)2 {(па) - 72(/3q)[1 - (п/3)]}.
Здесь а = 3 = а/с, ще а — ускорение магнетона.
Заметим, что потенциалы (4.10) можно получить также с помощью преобразований Лоренца. Действительно, в системе покоя магнетона (0 = 0) потенциалы (4.9) имеют вид
А'=台{[/ —陋飞—(□&)[*]} — Д КС],
Учитывая, что штрихованные и нештрихованные величины связаны соотношениями
«7 = 73 'Й三。(a。)，
n 一 7万+万S万)
产=»[1 - (n/3)],
а также, что
c = -口+三/Хдп),
3尸+仔凤0u) +』п]], и, принимая во внимание преобразования Лоренца:
А = т(А‘ +力)+ —
夕=心‘ + (0A)],
после несложных, но довольно трудоемких вычислений получим формулы (4Л0).
С физической точки зрения этот результат ничего необычного не представляет, однако преобразования Лоренца позволяют нам глубже понять характер поведения и трансформационные свойства различных физических величин.
Пользуясь стандартным определением тензора электромагнитного поля на основе потенциалов (4*9) и правил дифференцирования (4.8), получим
(4Л2)(4Л2)
(4Л2)
(4Л2)
где
/ Л [aararP] 3rpwp п [аь^/] + 户0 W Р^ГаГ^
rpVP I (户因。)2(户開。)3+
3(rpwpfn[aarar^]
+)4
(小。)2 [ urpVP
П 心气匕尸例 +2П [a<Tr^] +
rpVP
с2 п ^ГаГ^ — rpWp^r^ ^TpWp^r^ I
—3(“)2+ 6j，
-(小。)3 I)
Прямым вычислением с учетом (4.8) можно показать, что тензор На^ удовлетворяет уравнению Максвелла д^На^ = 0.
В общем случае напряженности магнитного и электрического полей представляют собой сложные выражения. Однако в собственной системе отсчета (/3=0=0= 0) эти выражения упрощаются и из (4.12) следуют известные в электродинамике выражения для электрических и магнитных полей произвольно прецессирующего магнитного момента [15]:
｛萼+粵｝,
J [n，*]3n'(n'0 -《,3n，(n<)-C
I rzc2r/2cF3 J '
В частном случае неподвижного магнитного момента (С = С = 0) эти формулы переходят в поля «истинного» магнитного диполя ——магнитного
аналога точечного электрического дипольного момента [52] (см. также [53,
54»。
Подставляя в (4.10) /3 = 0, получим потенциалы полей, излучаемых магнетоном при равномерном и прямолинейном движении:
А =—А =—72[1(п/3)]272[1(п/3)]2гсг2 7[1 — (пр)] J夕=(/ЗА)-гсг2 7[1 — (пр)] J夕=(/ЗА)-
А =—
А =—
72[1(п/3)]2
72[1(п/3)]2
гсг2 7[1 — (пр)] J
夕=(/ЗА)-
гсг2 7[1 — (пр)] J
夕=(/ЗА)-
Отсюда следует, что векторный потенциал А^ в данном случае является пространственноподобным вектором и удовлетворяет условию п川厶川=0.
Точно таким же образом, учитывая, что
ц[а。〃卢]=—产[пИ(п — 0)11]]] ,[п[(п —/3)11]]),
П[аа^Л = —)М (0(п[Д1]) + [(п — 0)11] J0[(n — /3)П]]),
Rg。％ 卢]=0,
из (4.12) при /3 = 0=0 найдем поля равномерно и прямолинейно движущегося магнетона:
Hi =二一5-而-巴…7一万In[(n -户)加)
— (пр)]3'
_ 从[圳⑴-/3)而]-/3)而]1
— 产“2 卩—[丄丄 1 _ (ng) 十 Jj，
一河73口一(з)]3 I1一(3)十
E1 =2)3 口"(n0)]3 岡П[(П - /?) П]]],
E2 =-(喇Р{2^ ^] +
[(u -万)向+万(甸户向) 皿6-/3)加]]
e3 = -二京~……7-]2[/3口] +
_ (пр)]3 [
[(n -加+3口])[n[n[(n -切国口 1
Поля электрического дипольного момента можно получить на основе дуального формализма [16].
Волновая зона и поле излучения. В волновой зоне преобладает поле, спадающее, как 1/г, где г ——расстояние от излучающей частицы (заряда или магнетона) до точки наблюдения.
Дифференцирование Лм по собственному времени в волновой зоне (см. гл. 1) дает
rpVp(声00吁rpVp(声00吁(4」3)(4」3)
rpVp(声00吁
rpVp(声00吁
(4」3)
(4」3)
Подставив это выражение в формулу (1.58):
Н^ 'rpvp
получим 方川"=Н?", где Hf" определено в (4.12) и соответствует полю, спадающему, как 1/江
Тензор 方川"удобно представить в более компактной форме:
小』Q5,小』Q5,(4Л4)(4Л4)
小』Q5,
小』Q5,
(4Л4)
(4Л4)
где, согласно (1.58), Q* представляет собой выражение, стоящее в фигур™ ных скобках формулы (4.13).
В случае равномерного и прямолинейного движения магнетона
npVP 户 5p电呼npVP 户 5p电呼(4」5)(4」5)
npVP 户 5p电呼
npVP 户 5p电呼
(4」5)
(4」5)
Входящие в тензор Н*" антисимметричные комбинации можно представить в виде
И〃严]=r2(K, [Kn]),
O ["]С
П 〃产]=M(Ki」Kin]),
ool/s]
П 7^ =r2(K2,[K2n]),
K = -[п[п[(п^/3)П]]],
Ki = -[n[n[(n — 0) П]]] + [n[n[^ П]]],
ООО ООО
K2 = ^[n[n[(n — 0) п]]] + 2[n[n[/3n]]] + [n[n[/3 П]]].
Вводя представление [см. (2.18)]
IP"=)仆"=)(,")),=[/ЗтгХ
7Г，= 7Г — /3(/?7Г), будем иметь [14]
Й =而不-上Е5”'[川(口 - °)川],E = ^[пй],(4Л6)
где
(n§H + 2(mF)6 +(П7Г‘)В(П7г')(п6)6
++G3r
Легко заметить, что электромагнитные поля излучения удовлетворяют условиям ортогональности и поперечности:
(пЙ) = (пЁ) = (ЕЙ) = О*
В системе покоя (/3 = 0)
W = ПКМ] = ПЁ1(4Л7)
投=《+ "6父 + (口＜卅 + [3(口©(口日)+ 2(nQ -(? Q]/
Здесь мы учли, что согласно (4.11)
4.3. Излучение релятивистского магнетона в однородных полях
Мощность излучения. В общем случае полная мощность мгновенного излучения магнетона определяется очень сложным выражением (см. [2-5], а также наши работы [70]). Однако при равномерном и прямолинейном движении магнетона в постоянных и однородных полях это выражение значительно упрощается:
1 оо q оо2 о0 оо
历'=у 3 口 ° На尸•(4」8)
Таким образом, как и в случае излучения заряда, мощность излучения магнетона является инвариантной величиной.
Выражение (4.18) можно получить и при помощи преобразования Лоренца для мощности излучения (см. гл. 1).
В нашем случае /3f = /3f = 0 и согласно (4.17) поля в системе покоя имеют вид
贤=先 КПc]] = [口询]"
Эти выражения отличаются от соответствующих членов в формуле (1.5) для заряда заменой
с£ — 4s 哥一百1 宜一一白.
Следовательно, инвариантный функционал 1а в (1.80) принимает вид
где еа ——единичный пространственноподобный вектор (еава = 1, eava = =0). Теперь легко получить угловое распределение мощности излучения:
d WЦ冗а冗 —)〃 Са ПП什烈€
dQ47rу(npv^)347rу(气雜用尸 '
Для того чтобы провести ковариантное интегрирование по углам, перепишем эти выражения в виде [ср. с (1.63)]
dr 4冗。3 J(npvP)24冗。3 J{npvP)2
После интегрирования, согласно (1.64) найдем
dPp 2 д2 ОО оо 1 д2 о 齧 齧
d丁33 С5"
Из этого соотношения совсем несложно получить формулу (4.18).
Используя тензорное БМТ-уравнение для равномерного движения магнетона (см* гл. 2) и усредняя по периоду спиновой прецессии, найдем, что
ОО ОО川о
口仙"口 仙"=А4ПашП^" —(4.19)
где
А =)"(h— [/Зе]尸—(fh)2 = g частота спиновой прецессии,
加〃 =Л^ н^.
27710 С
Принимая во внимание, что
где Ilf"——начальные компоненты тензора спина, выражение (4.18) можно представить в виде
> =I А2 犬Т — 1 (乙“цу(420)
Эта формула удобна для описания излучения магнетона при равномерном движении в постоянных и однородных электромагнитных полях различной конфигурации. Рассмотрим некоторые из них.
Однородное магнитное поле. Направление магнитного поля выберем вдоль оси Z:
Н = (0,0, Я), Е = 0.(421)
Пусть скорость магнетона определяется компонентами
/3 = /3(sina, 0, cos а),(4.22)
что соответствует движению в плоскости XZ” Поэтому
Л =)/г，1 — /2 cos? a, h = 2 \ /I \ H/h.
Инвариантное начальное условие, согласно (2.10.1, п.1), имеет вид
口1 =《(--亏二二)7 cos 夕ь )h^U^ = 0*
Мощность излучения, усредненная по периоду прецессии, представляется в виде
>=|d)4《2(423)
с частотой прецессии спина
ш = ^ = 2 I I 一 /2 cos?(X(4.24)
Согласно (4.24) частота излучения магнетона в направлении единичного вектора л определяется преобразованием Лоренца [18]:
〜__ 21屈=0,
где “о ——частота прецессии спина в системе покоя магнетона. Учитывая, что в однородном магнитном поле [см. ниже формулы (4.59)]
Ио = 7,Н'2 — («Н)2 =— /J2 cos2%
получаем выражение
2|4户丁产*^
"一*"25)
Интересно, что точно такой же результат для излучения нейтрона был получен в квантовой теории на основе уравнения Дирака-Паули И.М. Терновым, В.Г. Багровым и А.М. Хапаевым [66]. Принимая во внимание (4.24), мощность излучения (4.23) можно представить в виде
—_ 32 //”2 (1 仍 cos2 & у
Квантовая теория [66] дает это же выражение, но с единственным отличием: для полного совпадения результатов следует положить ^ = 2. Аналогичная ситуация имеет место и для других, более сложных, конфигураций постоянных и однородных полей (см* ниже). Этот факт является тем более удивительным, что сам процесс излучения в классической и квантовой теориях излучения спинового магнитного момента интерпретируется по- разному: в классической теории это излучение связано с прецессией спина, тогда как в квантовой теории ——с не стационарными спин-флип переходами (с переворотом спина).
По сравнению с зарядом магнетон обладает еще одним совершенно уникальным свойством: он излучает при наличии внешнего поля даже в состоянии абсолютного покоя частицы, когда /3 = /3^ = /3^ = 0. В этом случае согласно (4.18) имеем
Однако, поскольку модуль《является постоянной величиной, равной ш|^ (см. соответствующее решение для《в и* 2.10.1), то обычного в таких случаях усреднения по периоду прецессии проводить не надо и мы сразу получаем (〈 = 1)
Такой же вид имеет и мощность излучения электрического дипольного момента, вращающегося в одной плоскости с постоянной угловой скоростью g при замене д 一 d [18]. Таким образом, магнетон с вращающимся магнитным моментом в классической теории всегда излучает.
Перейдем к рассмотрению других конфигураций постоянных и однородных полей.
Ортогональные поля. Рассмотрим вначале поступательное движение
магнетона в плоскости взаимно ортогональных полей:
/3 = /3(0, sina, cosa),
Н = (0, 0, Q cos-/}), Е = (0)Q siir/0))
где Q = %/石2 + IF, tg ,〃 = Eg 川
Согласно п. 2.10.1 условие h^U^ = 0 снова выполняется. Поэтому формула мощности излучения имеет такой же вид, как в (4.23). Меняется только связанная с Л = G)частота прецессии спина [см. (2.199)]:
G = q J COS2 々(1 — /2 cos2 Q)+ /2 sin2 ,〃 cos2 Q,(4.27)
где q = (2^Q)/九
В частном случае 〃 = 0 из (4.27) следует результат для однородного магнитного поля (4.24).
А. Особый интерес представляет случай ортогональных и равных по величине полей (〃 = тг/4):
Н = (0,0, И), Е= (0, И, 0).
В этом случае частота прецессии спина g = 2\p\H/h, а выражение для мощности излучения не зависит от а и имеет такой же вид, как в чисто магнитном поле (4.26), когда магнетон движется перпендикулярно линиям напряженности магнитного поля (а = тг/2):
评=(4.28)
Б. Рассмотрим также движение магнетона вдоль направления, ортогонального к плоскости полей:
/з =(В(Ш
Соответствующее решение спинового уравнения дано в п. 2.10.1. Начальные условия определяются выражением
П1 =《(33Ь”e外0))h^U^ = 0.
Соответствующая Л частота прецессии спина равна
g = X/)= q(cos г] — В sin ту).(4.29)
Мощность излучения
而 32 /Q4C2 [(соз^^/Ззш^)2!2
w = ¥——•«3。)
Выражение (4.30) также впервые было получено в квантовой теории излучения нейтрона [74] (при《=2).
Отсюда в случае ортогональных и равных по величине полей мощность излучения при движении магнетона в направлении, перпендикулярном плоскости полей, определяется выражением
(431)
Параллельные поля. В этом случае
Н = (О, О, Q cos-zj), Е = (0,0, Qsini]).
Рассмотрим магнетон, движущийся в плоскости XZ под углом а по отношению к направлениям полей:
/3 = /3(sina, 0, cosq).
Мощность излучения определяется выражением типа (4*23):
>=|^Л2С2.(432)
Единственное отличие заключается в том, что частота спиновой прецессии в》=определяется формулой [см. (2.202)]
g = qy cos2 ^(1 /З2 cos2 а) 4- /З2 sin2 ^ sin2 а. (4.33)
Тотда мощность излучения представляется в виде
f， (4.34) где
2 =/2 $出2 &2 =1 _/2
I — / cos2 &，1 — 02 cos2 & *
При《=2 полученное выражение соответствует мощности излучения нейтрона в параллельных полях, полученной И.М. Терновым, В.Г. Багровым и др. [73] на основе квантовой теории (см. гл. 3).
При，〃 = 0 будем иметь мощность излучения в однородном магнитном поле (4.26). Полагая ‘〃 = тг/2, можно получить мощность излучения для случая движения магнетона в однородном электрическом поле с частотой прецессии g = q/3 cos а.
Таким образом, излучение магнетона (спиновый свет) даже в наиболее простых случаях свободного движения является весьма разнообразным. Далее мы увидим, что при наличии заряда ситуация усложняется за счет интерференции излучения заряда и излучения спинового магнитного момента.
Перейдем к рассмотрению свойств излучения магнетона, движущегося равномерно и прямолинейно в постоянных и однородных электромагнитных полях перечисленных выше конфигураций [71].
Угловое распределение и частота излучения. Согласно (1.15) и (1.16) поля излучения магнетона при равномерном и прямолинейном движении в волновой зоне определяются выражениями (д < 0)
豆Ё = ^[пЙ].(435)
Действуя далее стандартным методом классической теории излучения (см. гл. 1) или с помощью преобразования Лоренца (см. 4.3.1), можно получить среднее по времени угловое распределение мощности излучения магнетона (П = 7тг,):
=小Г 戸 (卅)(0»)( — 2)旧咛I
dQ — 47ГС3 l 口 _ (n/3)]3 十「1 _ (n/3)]4[1 — (n/3)]5 广 ' 丿
где dC ——телесный угол, а верхняя черта означает усреднение по периоду прецессии магнетона.
Интересно, что подстановка |д|тг 一 еа формально преобразует это выражение в известную формулу для углового распределения мощности излучения заряда [18] [см. также (1.76)].
Найдем угловое распределение и частоту излучения в рассмотренных выше частных случаях.
Однородное магнитное поле. Прецессия спина в этом случае описывается соответствующими формулами в (2.10.1, п.1). Переход тг，= П/7 и вычисление необходимых средних значений в формуле (4.36) осуществляется элементарно. В результате получим угловое распределение излучения
«37)«37)dQ 8笈。3 Ц1 /3(sin a sin 0 cos 99 + cos a cos 6>)]3 h2(/3 cos a cos(9)2
«37)
«37)
A2 [1 — /3 (sin a sin 0 cos 夕 + cos a cos J)] 5
где A = G), g ——частота прецессии спина, определяемая выражением (4.24), а углы а и 8 соответствуют обычному определению единичного вектора п:
n = (sin 夕 cos g, sin 夕 sin 夕〉cos 夕).(4.38)
На рис. 4.1 показаны индикатриса излучения и ее сечение плоскостью XZ для случая a = 0.
Наиболее просто интегрирование по углам можно провести, если повернуть оси X и Z на угол а вокруг оси У:
n = (cos a sin 0f cos “ + sin a cos 弘 sin 0f sin ",
—sin a sin 8' cos " + cos a cos 少). (4.39)
Рис. 4.1. Пространственные индикатрисы излучения магнитного момента и их сечение плоскостью XZ в случае /3 || Н
Тотда подынтегральное выражение в (4.37) принимает вид
1
(1 — 0 COS 夕)3 +
h2 [cos a(0 — cos 夕)+ sin a sin 夕 cos 夕]/
+ *(1 COS 夕)5J ，
где dQf = sinO'd夕dgt После интегрирования по углам получим (4.23).
Интересно, что мощность излучения в случае, когда магнетон движется в направлении, перпендикулярном по отношению к магнитному полю, отличается от мощности излучения при движении магнетона в продольном направлении на множитель 74:
二 74Жц.
(4.40)
При движении вдоль поля мощность излучения не зависит от скорости:
评_ 32
(4Л1)
В нерелятивистском приближении получим следующий известный из классической [18] (^ = 1) и квантовой [71] (^ = 2) механики результат:
Ортогональные поля. Рассмотрим вначале излучение магнетона при движении в плоскости полей. Угловое распределение излучения, усредненное по периоду спиновой прецессии, по-прежнему определяется общей формулой (4.36). Вычисления можно упростить, повернув систему координат вокруг оси X на угол а. Тогда
n = (sin 0f cos cos a sin 0f sin g' + sin a cos ®[
—sin a sin 0r sin g' + cos a cos 8')) (4.42)
1 — (n/3) = 1 — 0 cos 弘
А. В случае равных по величине полей (〃 = О, Q = Н) после интегрирования по углу д' получим
—竺—=3 尸⑺(443)
где 尸(8‘)——нормированная на единицу функция:
F(r)sinW = 1, ^(Г) = ^/(#),左=(444) о
/ —勺1 + (l/т)2cos2 a丄2 少 1 —3(l/))2cos2 a
1 (1 — 0COS 夕)372(1— 0COS 夕)5 *
Дальнейшее интегрирование по 夕,естественно, приводит к формуле (4.28).
Б. Теперь рассмотрим излучение, создаваемое магнетоном, движущимся вдоль оси X перпендикулярно к плоскости ортогональных и равных по величине полей.
Угловое распределение излучения, согласно (4.36), представляется в виде
更=/?е [1(「2)соУе ]
dQ 8冗。3 I (1 —/3 sin J cos 夕)з(1 —/3 sin J cos 夕户 j **
Индикатриса излучения и ее сечение плоскостью XZ показаны на рис. 4.2.
Интегрируя по углам, с учетом того, что согласно (4.29)
3
получим формулу (4.31).
Рис. 4.2. Пространственные индикатрисы излучения и их сечения плоскостями /За и /ЗН в случае поперечного движения магнетона
Параллельные поля. Для упрощения углового распределения повернем систему координат на угол а вокруг оси У. Тогда вектор п будет определяться формулой (4.39).
Воспользовавшись выражением (4.36), проведем усреднение по периоду прецессии спина и интегрирование по углу gt В результате получим угловое распределение мощности излучения в виде (4.43) и (4.44), но с бо™ лее сложной функцией /(夕)(см. [70], статья IV). Интегрируя по 夕，вновь получим (4.32) и (4.34).
3.3. Линейная и круговая поляризация излучения. Линейную поляризацию излучения определим при помощи единичных векторов (см. рис. 1.11 а)
е7r = (cos 0 cos </?, cos 0 sin p^ — sin®), ea = (—sin g〉cos g〉0))
которые вместе с единичным вектором л, направленным в точку наблюдения, образуют триаду ортогональных векторов:
(口e冗)=(口ёb)=(e^-e冗)=0, e冗=[e^-口]*
Согласно (4.35), имеем (s = тг, а)
гдегде1〃1гс2731〃1гс273([(п —户)е/ 由R 一(叫丁([(п —户)е/ 由R 一(叫丁
где
где
1〃1
гс273
1〃1
гс273
([(п —户)е/ 由R 一(叫丁
([(п —户)е/ 由R 一(叫丁
([(п —。瓜]П)=([(п —。瓜]П)=({ё。- [。e亓]} n),—({©冗 + [Деа]} П),({ё。- [。e亓]} n),—({©冗 + [Деа]} П),
([(п —。瓜]П)=
([(п —。瓜]П)=
({ё。- [。e亓]} n),
—({©冗 + [Деа]} П),
({ё。- [。e亓]} n),
—({©冗 + [Деа]} П),
а также
еа — [/3©冗]={— sin g(l — В cos a cos 6>),
Я sin a sin 6> + cos 92(1 /3 cosa cos 6>), ^/3 sin a cos 6> sin 92}; e^ += — {cos g(/3 cos a — cos J), sin 屮卜0 cos a — cos J),
sin 6 — 0 sin a cos 92}.
Однородное магнитное поле. В случае произвольного движения магнетона проекции ^ и Ёа имеют довольно сложный вид:
++|〃,(九入 J (1^/3 cos a cos ^) sin 99 sin(wt + 991) rc272 [ [1 — /3(sin a sin 0 cos 夕 + cos a cos ^)]3
+
+
Л [cos 夕一/3(cos a cos 0 cos 夕 + sin a sin 0)] cos(wf + 內) h[1/3(sin a sin ^ cos 99 + cos a cos ^)]3
^a = ^Г^Г (cos 9 — 0 cos a)〈 7；Я7^：™™л7 ：+
p (sin a sin t/cos ср + cos a cost/)]3
Лsin 99 cos(wt +(pi)[
A [1 — /3(sina sin^ cos 99 + cos a cos ^)]3 J *
Однако в интересующих нас случаях: a = 0 (движение вдоль магнит™ ного поля), а также a = тг/2 (движение перпендикулярно этому полю), эти выражения можно упростить и записать в виде
虞Г = —% cos(G力 + 屮1 — з), Ёа = —6。sin(wt + 屮1 —屮)，
где
(4.46)(4.46)=|〃|屮 I > = l〃'Q2 cos 0 — /3
(4.46)
(4.46)
7r 户^2)2 (l—/cOS0)2‘°ГС272 (1 ^/3 COS ^)3
для случая се = 0 и
|〃К力2 -^/(1/3 sin 0 cos 99)2 Р2 cos2 0 sin2 99
7r rc2(1^/3 sin 0 cos g)3，
cos 0，1 —户2 соS2 夕
。 rc2 (1 — /3 sin 0 cos 99)3
для случая а = тг/2.
Выпишем поляризационные компоненты мощности излучения в однородном магнитном поле:
评 $ = WoFs{0^)dQ.
Здесь и далее под W понимается средняя мощность излучения магнетона в каждом конкретном случае.
Полное угловое распределение излучения содержит функцию F = 及 + + Fa, нормированную на единицу:
c)F(e“)dn = 1,
р(е“)=左/(а。),左=4•
Тот же множитель будут иметь функции Fs =左/§.
Ниже функции Д представлены в наиболее интересных для нас случаях:
—1— (cos" /3)2
— (1 —…。产 % - (1—/3cos0)5
ДЛЯ СЕ = О и
(1 — /3 sill 0 COS 夕)2 —户2 cos2 0 sin2 g
7r(1^/3 sin ^ cos(p)5，
COS2 0(1 —户2 COS2 夕)
°(1^/3 sill 0 cos g)5
для a = тг/2.
Мы видим, что в случае движения вдоль магнитного поля поляризационные компоненты, как и полное угловое распределение излучения, не зависят от g и имеют азимутальную симметрию. Полностью поляризованное излучение (тг-компонента) наблюдается под углом 0 = arccos В (рис. 4.3). После интегрирования по 0 окончательно получим
_ з _1 _____
工忆冗=4工匕 = 41K Ж =工忆冗+= ТГц,(4.47)
где Wr|| определено в (4.41).
Для случая поперечного движения найдем
/=12弋+济评丄,『=4 + 2;4印丄,(4.48)
Рис. 4.3. Поляризация излучения магнитного момента, движущегося вдоль направления однородного магнитного поляРис. 4.3. Поляризация излучения магнитного момента, движущегося вдоль направления однородного магнитного поля
Рис. 4.3. Поляризация излучения магнитного момента, движущегося вдоль направления однородного магнитного поля
Рис. 4.3. Поляризация излучения магнитного момента, движущегося вдоль направления однородного магнитного поля
где W± определено в (4.40).
Интересно, что в первом случае, когда а = О, ни степень линейной поляризации, ни полная мощность излучения не зависят от скорости магнетона.
Круговая поляризация представляет наибольший интерес в случае а = =0, когда излучение имеет азимутальную симметрию. Амплитуды круговой поляризации a±i связаны с амплитудами линейной поляризации % и Ьа формулами
^7Г + Ьа67r — Ьа
Используя соотношения (4.46), найдем следующие выражения для этих амплитуд:
—1 |д|Л2( (1 干/3)(1 土 cos 0)
^2 rc272(1 — /3 cos^)3 *
Мощность излучения, усредненная по периоду прецессии спина, равна
гдегде/= g (1 干⑴2/= g (1 干⑴2(1 ± COS 0)2(1 — /3 COS 0)5(1 ± COS 0)2(1 — /3 COS 0)5(4.49)(4.49)
где
где
/= g (1 干⑴2
/= g (1 干⑴2
(1 ± COS 0)2
(1 — /3 COS 0)5
(1 ± COS 0)2
(1 — /3 COS 0)5
(4.49)
(4.49)
Функция F 二 F+i + F_ 1 нормирована на единицу, как и в случае линейной поляризации.
Отсюда следует, что в направлении 8 = 0 наблюдается только правополяризованное излучение, а в противоположном направлении 8 = тг —— только левополяризованное излучение (рис. 4.3). При cos 0 = (3 различие
между компонентами круговой поляризации излучения исчезает, и в этом случае, как мы уже упоминали, излучение полностью линейно поляризовано.
После интегрирования по углам имеем
评(±i)= I (1± 外可 > =>(+1) +评(Т)= >ц.(4*50)
Все полученные здесь результаты находятся в полном соответствии с квантовой теорией [66, 73].
Ортогональные поля. Определим линейную поляризацию излучения в штрихованной системе координат (4.42). Соответствующие единичные векторы поляризации представляются в виде
е7r 二(cos 0f cos “, cos O' sin ”, — sin 少), ea = (— sin g[ cos 0).
'(4.51) Это значит, что a-компонента соответствует колебаниям вектора напряженности электрического поля в плоскости, перпендикулярной /3. В данном случае мы имеем
еа —= {— sin g'(l — 8 cos 少),cos g'(l — /3 cos 少),0},
e亓 + [Деа] = — {(cos д'(/3 — cosO), sin д'(/3 — cosO), sinO'}.
А. Вначале рассмотрим излучение магнетона, движущегося в плоскости ортогональных и равных по величине полей. Для дальнейших вычислений преобразуем компоненты спинового вектора к новой системе координат. Действуя обычным образом [см. (4.43), (4.44)], после интегрирования по ", ПОЛуЧИМ(S = 7Г, а)
评5 =评 Fs(0f) sin 0fd0\ 金(少)=左九(少)，(4.52)
где
/ — 1 + (l/72)cos2a
今(4.53)
Дальнейшее интегрирование по 0f дает
『+『=Ж.
В ультрарелятивистском случае, при)》1, поляризационные компоненты не зависят от угла а.
Б. Аналогично можно рассмотреть линейную поляризацию излучения для магнетона, движущегося перпендикулярно плоскости полей.
Линейную поляризацию излучения определим в системе координат, повернутой вокруг оси У на 90°. Тогда можно использовать орты поляризации (4.51) с той же интерпретацией а-компонент излучения. В результате получим формулу (4.52). Однако функции /§(夕)в этом случае отличаются от (4.53):
今(一勺工，)5 •
Следует отметить, что вдоль направления движения магнетона (夕=0) функции /7r и fb совпадают и, следовательно, излучение имеет только круговую поляризацию. Аналогичная ситуация имела место и в предыдущем случае [см. (4.53)]. Очевидно, что это явление может быть использовано в экспериментах для определения направления движения магнетона.
После интегрирования по 夕 находимг = е 可 = ^ ж.8'8
Аналогичные результаты получаются и в квантовой теории излучения Тернова-Багрова и др. (см. [68, 69]), построенной на основе уравнения Дирака-Паули.
Параллельные поля. В этом случае линейная поляризация излучения вычисляется в штрихованной системе координат (4.39). Приведем окончательный результат:
VK7r = I (1 + ^ cos2 7 cos2 a) IF,
Wa = I I + ^ sin2 a (j2 — sin2 〃) W.
3.4. Ультрарелятивистский случай. Ввиду особой важности рассмотрим отдельно ультрарелятивистский случай для однородного магнитного поля. Пусть магнетон вначале движется вдоль направления магнитного поля (а = 0). В этом случае при /3^1 удобно ввести переменную г = = j sin 8 ^)®. Поскольку излучение обладает азимутальной симметрией, получим dQ = 27r sin OdO 2тгу~2zdz. Таким образом,
()(...)dQ т — (... )zdz.(4.54)
о
Для функций % имеем
8)6=8)6(—2)2= 1б76(1 + 2'4)
J7r 一(1 + 济)3，一 (1+，2)5 ， J一ЬТ 十 Jo一 口 + 炉)5 "
Интегрирование по углам, осуществляемое в соответствии с формулой (4.54), снова дает поляризацию в (4.47). Как мы уже упоминали, в этом случае поляризация не зависит от скорости.
В другом экстремальном случае ——движения перпендикулярно магнитному полю (се = 7г/2)——более удобной переменной является 力=)cos。
~7Х, где х = 7г/2 —仇 Тогда(Ш 二 sin 6Wdg р^ —?一2d屮dx и, следовательно,
22
2
2
После интегрирования по g найдем
27r、57r 4 (8 + *)*О27r、57r 4 (8 + *)*О27r'7Г 412 + 7*J2 7(1 + 吟7/2，о27r'7Г 412 + 7*J2 7(1 + 吟7/2，о
27r
、57r 4 (8 + *)*
О
27r
、57r 4 (8 + *)*
О
27r
'7Г 412 + 7*
J2 7(1 + 吟7/2，
о
27r
'7Г 412 + 7*
J2 7(1 + 吟7/2，
о
27r
；57r4 12 + 59* + 12^4
о
Теперь, интегрируя по 力,получим
7尸I = fl即丄，『=评丄.
Этот результат следует также из (4.48), если там положить /3 т L Круговая поляризация (а = 0) задается функциями
—1676— 167S'4
= (1 + %2)5, J = (1 + %2)5‘
/+1 + /-1 =
где /±i определены в (4.49). После интегрирования по г, найдем
评(+1)= ：评卜 评：评心
что также можно получить из (4.50) в ультрарелятивистском пределе.
3.5. Спектральный состав излучения. Перейдем к рассмотрению спектральных свойств излучения релятивистского магнетона при равномерном и прямолинейном движении в постоянных и однородных электромагнитных полях различных конфигураций. С этой целью сначала запишем спектрально-угловое распределение излучения в системе покоя магнетона, усредненное по периоду спиновой прецессии:
Сферические углы 0° и 屮。характеризуют направление излучения, dQo = =sin O^dO^d^Q ——соответствующий телесный угол,(5-функция выделяет основную частоту излучения шо, которая совпадает с частотой прецессии спина ш0 в системе покоя, функция Jo определяется выбором системы координат и конфигурацией внешних полей (см. ниже).
Используя известные соотношения (см. § 4.2), проведем преобразования Лоренца:
— «cos。)，(4*56)
Go = 7G = Wo, Wo =已)(1 — /3 cos e),dCo = dC/[)(l — В cos。)]乙
Кроме того, если。一 угол между направлением скорости магнетона В и направлением излучения, то согласно преобразованиям Лоренца для углов [18]
cosJ —/3.八 1 sin®. .
cosJo = ~一™——sill 6>o = — ~一3——(4.57) 1 — 0 cos 日cos 日
Так как наибольший интерес представляет ультрарелятивистский случай, то для В т \ имеем
1 — /3 cos。= —-~~-—, cos 0 — В = —-~~-—, X =)仇 (4.58)
Абсолютные величины напряженностей полей, входящих в ш0, также преобразуются:
%—(«н^ + ^ЕК —2(Н[/ЗЕ]),б»
瓦二)，£2 — («е)2 + [/ЗН]2 + 2(Е[/ЗН])*м
(4.60)(4.60)Согласно (455)—(4.59) спектрально-угловое распределение принимает ВИД
(4.60)
(4.60)
Рассмотрим особые случаи.
Однородное магнитное поле. Спектрально-угловое распределение из™ лучения магнетона в системе покоя, усредненное по периоду спиновой прецессии, определяется выражением [см. (4.37)]
=；勺了 (1 + cos2 М州而》 (4.61)
Отсюда следует, что
Прежде чем применять преобразования Лоренца, повернем систему ко™ ординат на угол а вокруг оси У” Тогда
cos & 二 sin a sin 织 sin 公 一cos a cos 织.
Теперь воспользуемся формулой (4.60 ) и, кроме того, преобразованиями
(4.55)-(4.59). В ультрарелятивистском случае получим
而二竺个2cog2 2x
(4.62)(4.62)(1 + с")? + [2ж sill a sin ^ — cos a(l — ж2)]2/9
(4.62)
(4.62)
X(1 +絞)4V + "
где dC = cdcd“/)2*
Максимальная частота излучения равна wmax = 2j2w. Подставив сюда из (4.24) частоту прецессии спина имеем
/ах =号 j?，1 — /2 со$2 以/ах =号 j?，1 — /2 со$2 以(4.63)(4.63)
/ах =号 j?，1 — /2 со$2 以
/ах =号 j?，1 — /2 со$2 以
(4.63)
(4.63)
Интересно, что в ультрарелятивистском случае для а = тг/2 (движение, перпендикулярное к магнитному полю) максимальная частота сдвигается в область более коротких длин волн.
Используя свойства(5-функции, после интегрирования по углу “ получим спектрально-угловое распределение мощности излучения в виде
1PW = Ж j< j /(ж,емо о
(1 + ж2)2 + 2ж2 sin2 а + cos2 а(1ж2)2/1\
(1 + &2)53，
ГДе = ш/已max •
Затем, интегрируя по ж (0 ^ ж < оо), найдем спектральное распределе™ ние излучения:
而=WF(CX,
где F(£) — функция спектрального распределения, нормированная на еди™ ницу (рис. 4.4):
T)],(4*64)T)],(4*64)F⑹=I [€(l + cos2 о)+ 2(1^3 cos2 о)(С2
T)],(4*64)
T)],(4*64)
1
^(€)< 二 L
о
0,2 0,4 0,6 0,8 10,2 ОД 0,6 0,8 10,2 0,4 0,6 0,8 10,2 0,4 0,6 0,8 10,2 ОД 0,6 0,8 10,2 0,4 0,6 0,8 1Рис. 4.4. Нормированные спектральные функции F(£) для а = 0 (а); а = тг/4 (6); а = 7г/ 2 (в)Рис. 4.4. Нормированные спектральные функции F(£) для а = 0 (а); а = тг/4 (6); а = 7г/ 2 (в)
0,2 0,4 0,6 0,8 10,2 ОД 0,6 0,8 10,2 0,4 0,6 0,8 1
0,2 0,4 0,6 0,8 10,2 ОД 0,6 0,8 10,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 4.4. Нормированные спектральные функции F(£) для а = 0 (а); а = тг/4 (6); а = 7г/ 2 (в)
Рис. 4.4. Нормированные спектральные функции F(£) для а = 0 (а); а = тг/4 (6); а = 7г/ 2 (в)
После интегрирования по & получим полную мощность излучения (4.26).
Спектральные функции F(£) при а = 0 (движение вдоль поля) и а = =7г/2 (движение, перпендикулярное к полю) значительно отличаются друг от друга. Заметим, что в этих случаях мощности излучения W [см. (4.26)] отличаются множителем j4!
Ортогональные поля.
(4.65)(4.65)А. Сначала рассмотрим движение магнитного момента в плоскости полей. Согласно (4.36) с учетом компонент вектора спина (см. 2.10.1, п.2а) d2Wo имеет точно такой же вид, как в (4.61) (где % т Qo = ^^ + Яд), отличаясь только частотой
(4.65)
(4.65)
Дальнейшие преобразования и интегрирование по углам, очевидно, даст такой же спектр, как в предыдущем случае [см. (4.64)].
Б. В том случае, когда магнитный момент движется вдоль оси X перпендикулярно плоскости полей, имеет место ситуация, аналогичная (4.64), если принять а = тг/2, но
Параллельные поля. В системе покоя спектрально-угловое распределение излучения согласуется с (4.61), где вместо Hq следует положить Qo = =，研 + 陽.Таким образом, все сводится к различию в частоте (4.65).
Мы рассмотрели наиболее простые типы излучения точечного собственного магнитного момента (магнетона). Интересно, что результаты квантовой и классической теорий воспроизводят друг друга, несмотря на различные подходы в описании /z-излучения. В квантовой теории излучение магнитного момента (нейтрон) при равномерном движении объясняется спин-флип переходами, тогда как в классической теории ——прецессией спина относительно направления магнитного поля. Полученные результаты будут использованы при анализе свойств синхротронного излучения с учетом собственного магнитного момента электрона. Оказывается очень важным уметь отделить чистое ^-излучение, или собственно спиновый свет, от множества побочных явлений среди квантовых поправок, пропорциональных 方.
Релятивистская полуклассическая теория синхротронного излучения
Успехи квантовой теории синхротронного излучения [9] основаны на точных решениях релятивистского уравнения Дирака и строгих методах квантовой электродинамики, сделавших возможным описание спектрально-углового распределения мощности синхротронного излучения с учетом всех квантовых особенностей, включая динамику спина [9, 30, 33]. Однако, как мы уже отмечали, физическая интерпретация квантовых поправок долгое время оставалась неясной. Лишь относительно недавно выяснилось, что синхротронное излучение обладает сложной структурой, зависящей от множества фундаментальных факторов [17, 20].
Интерпретация спиновых поправок к мощности синхротронного излучения ——далеко не простая задача, так как спиновые поправки имеют равноправного конкурента в виде сопровождающих излучение эффектов отдачи, которые также дают вклад в мощность синхротронного излучения, пропорциональный 方 и /г2. Более того, для электрона и заряженной бесспи- новой частицы (бозона) эффекты отдачи существенно различны [48].
В этой ситуации релятивистская квазиклассическая теория, предложенная вначале В.В. Владимирским [34] и развитая затем Ю. Швингером [35] (см. также [36—38]), оказалась весьма удобным инструментом исследования. В квазиклассике были воспроизведены основные выводы квантовой теории синхротронного излучения релятивистских электронов [9, 30], движущихся по макроскопическим траекториям (более подробно см. гл. 8). Полное математическое обоснование квазиклассического подхода дано в работе [39]. Здесь мы используем упрощенный полуклассический вариант этой теории (полуклассический метод Джексона [40]), применявшийся нами в [12, 13, 24, 41ТЗ]. Полуклассическая теория синхротронного излучения основана на следующих приближениях.
Излучение электрона формируется на классической траектории движения. Квантовая природа движения (дискретность энергетических состояний) не учитывается.
Согласно формуле квантования энергии электрона в однородном магнитном поле (см. гл. 3), главное квантовое число п определяется выражением
то ср个 рР几=2方
где р ——радиус орбиты, Р ——импульс электрона. Отсюда следует, что
△п ДР Арп Р р '
Поскольку максимум излучения приходится на частоту [см. (1.142)]
〜*1 с 3
3F =2^7,
тото△Р =△Р =Йw〜方)3с ~ 2"Йw〜方)3с ~ 2"
то
то
△Р =
△Р =
Йw〜方)3с ~ 2"
Йw〜方)3с ~ 2"
Величину Ар можно найти из соотношения неопределенностей:
АрАР ^ В.
В результате получим
1 Я 2
где Н* = т^с^/еоН = 4.41 • 1013 Э ——швингеровское магнитное поле.
Условие малости первого члена6:
尸 22 mocp 3’'尸 22 mocp 3’'(4.66)(4.66)
尸 22 mocp 3’'
尸 22 mocp 3’'
(4.66)
(4.66)
совпадает с критерием (1.159) применимости классической теории излуче™ ния. Второй член монотонно стремится к нулю с увеличением 7.
Для типичных параметров ускорителя:
石=m0c2 = 2,5 ГэВ, 7 = 4,9-103, Нр = 8,34 • 106 Э • см, (4.67)
£ = 1,07- 10"6,
имеем
1 aAn А Р711А Р
п = 8,25 • 1016, ——^ — = 3,56 "ИГ’，= 1,68 • 10"11 < —.
(4.68)
Таким образом, с большой степенью точности можно считать, что
Ап/п < 1,
Это означает, что с увеличением энергии траектория электрона становится все более классической.
Сам процесс излучения (испускания фотонов) является исключительно квантовым эффектом, но он не должен влиять на формирование излуче™ ния вдоль классической траектории.
Для реализации этого условия необходимо, чтобы время излучения △力* было много меньше времени формирования излучения △干,т.е.
= —~《1,
Заметим, что само по себе это условие означает, что и после излучения фотона электрон остается релятивистской частицей:
△尸 to/c
где
△Z* = сАГ =匹=二 =包
АЕ w W7373 7
△j = p/7 ——отрезок, на котором формируется излучение (см. гл. 1). Для типичных параметров (4.67)
2
—z~ = — = 0,84 • 10《1.
72
Таким образом, можно полагать, что процесс излучения является практически безынерционным.
Квантовые эффекты, связанные с реакцией электрон-позитронного вакуума (Zitterbewegung, рождение пар) не учитываются.
Это условие может быть получено из уравнения движения электрона с учетом Zitterbewegung (см. гл. 2):
h2mo с2h2mo с2W^W МW^W М< 1.< 1.
h
2mo с2
h
2mo с2
W^W М
W^W М
< 1.
< 1.
Подставив сюда ускорение и гиперускорение электрона в однородном маг™ нитном поле (е = —* < 0):
wM = —"^以。)coscdf, sincjf, 0), К м = с73ш2(0, sincjf, — се®®%〉0),
где ш = еН/т^с^ — частота обращения электронов в магнитном поле, получим условие одночастичного приближения в квантовой электродина™ мике:
Ясно, что если условие (4.66) выполнено, то это условие тоже должно выполняться.
Радиационное трение не должно влиять на справедливость законов классической электродинамики. Эта проблема обсуждалась в гл. 1, где было показано, что силой радиационного трения можно пренебречь, если
Т £ « 1"(4.69)
Для параметров приведенного выше примера при значении постоянной тонкой структуры & = е2/Вс 1/137 получим
=2,54-10"5<1.
Это — более жесткое ограничение, чем (4.68), однако его реализация не вызывает сомнений.
В дальнейшем мы не будем учитывать силу радиационного трения, хотя полу классический метод, который здесь применяется, в принципе, позво™ ляет сделать такое обобщение.
Таким образом, мы считаем, что в релятивистской полуклассической теории излучения все траекторные свойства движения релятивистского электрона рассматриваются чисто классически, а связанные с излучением квантовые процессы учитываются заменой скорости электрона матричным элементом перехода:
(470) где /3 = и/с ——безразмерная скорость электрона, 6 = 6⑴——хорошо известные дираковские матрицы в представлении Гейзенберга, | i)——кет- вектор начального состояния, а (/ | ——бра-вектор конечного состояния. Поскольку связанные с излучением квантовые переходы в характерном для синхротронного излучения диапазоне скоростей по существу безынерци™ онны и не влияют на движение электрона, матричный элемент (4.70) будет вычисляться на волновых функциях свободного электрона (квантовая кинематика) с хорошо известным кет-вектором
//7 + 1 、
1 V 7
ГО =10,(471)
丿
где 7 = 1/— 02 ——релятивистский лоренц-фактор, а ——матрицы Па™ ули, спиновые состояния в проекции на произвольное направление《= =(sin и cos A, sin 沙 sin A, cos 沙)задаются спиновым кет™вектором
1 / СVI + ( cos I/、
К) =，С = ±1,(4*72)
\— С COS 沙 у
где А и I/ — углы, задающие направление спина. Нормировка выбрана так, что
⑴ 6 ⑵=仇 RR IQ = C(473)
Эффекты влияния неоднородности ведущего магнитного поля на процесс поляризации электронов [44, 45] не учитываются.
При вычислении матричного элемента (4.70) следует учесть законы сохранения энергии и импульса:
ш0с27 = ?тг0с27 / + 方С, )д =)行 / 十方Cm(4.74)
Фурье-образ поля излучения формально определяется так же, как и в классической электродинамике [ср. (1.103)]:
Е^ =分^ ((/ I а I 分〉п$) ехр t — | (nr) ｝必〉 (4.75)
где ns ——орты линейной поляризации излучения (s = а, тг), п ——единичный вектор, проведенный от заряда в точку наблюдения, ш ——частота излучения, остальные обозначения общеизвестны.
Все переменные в ультрарелятивистском приближении разлагаются в ряды по малым параметрам* cf/p, и х [см. формулы (1.147)].
Полное спектрально-угловое распределение излучения определяется, как обычно, выражением [см. (1.98)]
Эффекты отдачи и смешанное ед-излучение
Введем параметр отдачи е = haj/т()с2^у С Тогда вместо (4.74) получим
7 ' == (1 +- m.(4.77)
В линейном приближении по В матричный элемент (4.70) равен
(/I & I 2〉= ^^^(Cf\C)-^ 卜门方 I C (n —二 °)] "(4祠
Первый член в этой формуле, содержащий /3, описывает излучение заряда и связанные с £ эффекты отдачи, тогда как второй член с матрицами Паули отвечает за излучение спинового магнитного момента электрона (д™ излучение, или спиновый свет).
Подставив теперь матричный элемент (4.78) в (4.75), найдем
旣=-総｛ (1 +力(门C这+1g I2I 0五+
+ £ [仁 I+ Cl <7- I O^]|, (4.79)
где
^ = ц(1 + *)&/3(吟 ^ = 一^ 以1 + *)1/2(/3 ⑺，
-|!(1 + *)1/2К1/3(胃)，Uf = 3
再3 = ^以1 + *户2仆/3⑺，
U% = ±*(1 + *)1/2 回/3⑺干(1 + 状产2K2/3(斗
и, кроме того,
В иной записи при ш с/р имеем
ч я2 р ш 〜mo с2с亠一
胃=д =g = TTP £ = £勿(4用°)
Функции Макдональда 仆/з ⑺ и 衣2/3 ⑺ возникают в результате раз™ ложения предэкспоненциального множителя в (4.75) с точностью до чле= нов первого порядка малости по)一匕 ci/р и х* Вообще говоря, следует учитывать и временную зависимость операторов a(f), которые являются решениями гейзенберговских уравнений прецессии спина в однородном магнитном поле (д < 0):
方士⑴=<7±с±'『柒⑴=а.,(4.81)
где а± = (аж 土 iay)/2. Однако в разложении ехр(±5®力)^ 1 土 ict/p можно ограничиться основные! членом, так как все остальные члены в (〈/ | /3 | 2)nS) и без того первого порядка малости [см. (1.147)]. Далее эта корреляция рас™ сматривается для «истинного» магнитного момента электрона (см. § 4.7).
Применяя стандартный метод классической электродинамики, согласно (4.76) и (4.79) получим спектрально-угловое распределение излучения:
+ 产+ Г Ilo^l2}. (02)
Здесь мы учли тот факт, что члены типа UqU^ и U^U^ являются нечет™ ными функциями 吵 и после интегрирования по углам исчезают. Если огра™ ничиться линейным по £ приближением, то в выражении (4.82) останутся только излучение заряда, бесспиновые эффекты отдачи и смешанное ед™ излучение системы «заряд + спиновый магнитный момент электрона»:
储W凯dGdQ储W凯dGdQU F [(1 + e)I ^|2 + C cos 沙 .U F [(1 + e)I ^|2 + C cos 沙 .(483)(483)
储W凯dGdQ
储W凯dGdQ
U F [(1 + e)I ^|2 + C cos 沙 .
U F [(1 + e)I ^|2 + C cos 沙 .
(483)
(483)
При выводе этой формулы были использованы соотношения
〈「с =〈「с ==坛"=坛"
〈「с =
〈「с =
=坛"
=坛"
(С kz I С) = I [(1 + 久‘)7 cos I/ — (1 — (О sin 沙].
Здесь и ——угол ориентации спина относительно направления магнитного поля [оси см. (4.72)].
Принимая во внимание (4.80) и интегрируя далее в (4.83) по спектру и углам обычным способом, получим полную мощность поляризованного излучения:
=印SR号(9印SR = 3广，(4用5)
Функции /$(£) определяют линейную поляризацию излучения:
产725V\с*、1
/ (£)=豆一— «cos% / (£)=豆一
где £ ——инвариантный параметр (4.1) (иногда вместо £ используется другой параметр х = 2^/3, см. [36]). Наличие множителя (1 + 0/2 в формулах (4.83) и (4.85) указывает на то, что это излучение не связано с переворотом спина, поскольку при《'=—《мощность излучения обращается в нуль.
Суммирование по s = а, тг дает
mot = Wsr Ц^ /(€),(4*86)
где
/(€) = 1 + ^^€ — €С cos %
Формулы (4.85) и (4.86) получены в предположении, что £《1. В реальной ситуации для самых современных ускорителей это условие хорошо выполняется. Обобщение на случай £》1 не представляет труда (см., например, [32] и гл. 8).
Квантовые поправки в (4.86) были вычислены ранее более строгими методами квантовой электродинамики. Например, первая квантовая поправка —(55，5/24)£ была определена в [46] (позднее этот результат был повторен в [35]). Другая квантовая поправка —《£, зависящая от ориентации спина, была получена в [33] (см. также более позднюю работу [47]). Однако физический смысл этих квантовых поправок долгое время оставался неясен. Теперь мы знаем, что первая из них описывает эффекты отдачи, а вторая представляет собой смешанное ед-излучение [12], интерпретация которого не так проста, как может показаться на первый взгляд (см. § 4.6).
Рассмотрим более подробно свойства смешанного ед-излучения. Как мы уже отмечали, это излучение обусловлено квантовыми переходами, происходящими исключительно без переворота спина. Смешанное ед-излуче- ние линейно поляризовано в плоскости орбиты (a-компонента). Наибольший вклад в излучение дают электроны, поляризованные вдоль направления магнитного поля, когда 沙=0. Мощность смешанного ед-излучения плавно увеличивается по мере возрастания степени поляризации электронного пучка [21]. В случае неполяризованных электронов, когда 〃 = тг/2, сме-
Рис. 4*5* Нормированные функции углового распределения: Х^ = 3/[4(1 + + 或户)5/2] —синхротронное излучение (1); X% = 35/[32(1 + ^?2)9?/2]——смешанное е/1-излучение (2)
шанное €/1™излучение исчезает; нет его и для электронов, поляризованных вдоль скорости или вдоль радиуса орбиты [48].
Угловое распределение смешанного ед-излучения в отличие от синхро™ тронного излучения более остронаправлено (рис. 4.5). Максимальная мощ™ ность излучения приходится на частоту ⑦^丛,которая по сравнению с ш* заметно сдвинута в область более высоких частот (рис. 4.6).
Наиболее просто и убедительно эффекты отдачи можно выделить на примере излучения бесспиновой частицы (бозон). В этом случае излучение, связанное со спином, отсутствует и квантовые поправки, пропорциональ™ ные В и В2, сводятся к эффектам отдачи.
=(9^^/8тг)д2Kl/з(д)——смешанное е/1-излучение (2)
Матричный элемент (4.70) для бозона вычисляется тем же полукласси- ческим методом на спиновых функциях с кет-вектором | i) = 1/.^.
Бозонная нормировка выбирается так (см. [9]), что
а 17/31 о =仇
Формальное отличие от первого условия в (4.73) состоит в замене а на 7/3. Легко видеть, что
и|7/3|0 = '\/1+^Д(4.87)
В линейном приближении по £ или по В это выражение совпадает с бесспиновым членом в формуле (4.78), отличным от нуля согласно (4.84) при С =《'.Различия в эффектах отдачи для электрона и бозона начинают проявляться только в членах, пропорциональных В2. Этот факт известен и в более точной квантовой теории [48].
То, что член с матрицами Паули в (4.78) соответствует излучению именно спинового магнитного момента электрона, можно показать, рассмотрев специфику прецессии спина дираковской частицы в электромагнитных полях. С этой целью представим взаимодействие спинового магнитного момента с полем излучения в виде (здесь е > О)
(4.88)(4.88)
(4.88)
(4.88)
где С и Ндй — соответственно единичный вектор спина и некоторое эффективное магнитное поле в системе покоя электрона, которое можно определить из уравнения прецессии спина [49, 50]. Здесь мы представим это уравнение в виде (см. гл. 2)
停(4用9) где
П = - —— н/
тоС7
н口 Н - (а +
а величина а = (g — 2)/2 характеризует аномальный магнитный момент электрона 4a =厶紀九 Наличие лоренц-фактора в знаменателе уравнения
объясняется тем, что изменение《во времени 力 определяется в лабо™ раторной системе координат.
Если в уравнении (4.89) пренебречь аномальным магнитным моментом электрона, приняв g = 2, то
НА» \Е].НА» \Е].(4*90)(4*90)
НА» \Е].
НА» \Е].
(4*90)
(4*90)
Эффективное взаимодействие спинового магнитного момента электро™ на с полем излучения согласно (4.88) и (4.90) определяется выражением
а полное взаимодействие заряда и магнитного момента электрона с полем излучения имеет вид
Hint =笈黑 + я^ =Hint =笈黑 + я^ =“А) —В « ｛百“А) —В « ｛百(4.91)(4.91)
Hint =笈黑 + я^ =
Hint =笈黑 + я^ =
“А) —В « ｛百
“А) —В « ｛百
(4.91)
(4.91)
Учитывая, что
Е = -шА, Й = [пЕ], где 片=ш/с — волновое число, выражение (4.91) можно представить в виде
где
Легко видеть, что (4.92) отвечает матричному элементу (4.78) в релятивистской полуклассической теории излучения, но без эффектов отдачи, которые в приведенных выше чисто классических рассуждениях мы, естественно, не учитывали. Примечательно, что для излучения без переворота спина,〈С 丨 сг 丨 С = С, выражения (4.92) и (4.78) без учета эффектов отдачи полностью совпадают и происхождение смешанного ед-излучения становится очевидным.
Смешанное едЬ- и едТ/г-излучение релятивистского электрона
Излучение собственного магнитного момента электрона (д-излучение) распадается на два принципиально различных типа излучения: дБ- и ^iTh- излучения. При этом /iL-излучение обусловлено ларморовской прецессией собственного магнитного момента электрона (и его аномальной части), в то время как дТА-излучение связано со спиновой прецессией Томаса и имеет чисто кинематическое происхождение. В релятивистской квантовой теории
излучения, основанной на уравнении Дирака,从厶=и дТ/г™типы излучения неотделимы друг от друга и квантовых эффектов в излучении электрона. Их раздельное рассмотрение возможно только в рамках релятивистской по™ луклассической теории излучения. Разумеется, при этом все интегральные характеристики излучения должны совпадать с результатами более строгой квантовой теории.
Полный гамильтониан взаимодействия электрона с полем излучения имеет вид (е > 0)
H = He + Hf = He + H^ 右7 = ^e(/3effA),
где
/3eff = /3 + /3L + (3Th,(4.93)
T{H](l — SO)) + 0(”0n])}-
Отметим, что в выражении (4.93) мы не принимаем во внимание эффекты отдачи при излучении, хотя сделать это не так сложно (см. ниже).
Квантовая природа поведения спина при излучении учитывается при помощи матричного элемента (С = ±1)
ГР I С =三区(i + К) + Ck = С (4.94)
Эту формулу можно интерпретировать как разложение спинового вектора С на взаимно ортогональные компоненты:
I С 1= 1 [“ ь《и =
В дальнейшем будем считать, что квантовые переходы происходят только вдоль направления магнитного поля, хотя возможно и более общее рассмотрение этого вопроса. Кроме того, для простоты положим g = 2.
Ранее мы показали, что спектрально-угловая и поляризационная характеристики излучения в полуклассической теории получаются на основе Фурье-преобразования (см. (1.103), здесь в =―鄧 < 0):
(/3effns) exp < гш f — - (nr) I dt, (4.95)(/3effns) exp < гш f — - (nr) I dt, (4.95)分合
(/3effns) exp < гш f — - (nr) I dt, (4.95)
(/3effns) exp < гш f — - (nr) I dt, (4.95)
rc
где ris ——орты линейной поляризации излучения (s = а, тг), f ——расстояние от заряда до точки наблюдения.
С учетом сделанных выше замечаний рассмотрим смешанное едХ™ и e/iTh- излучение электрона.
Согласно (493)—(4*$5) имеем [см. также (4.79)]
Ё ~Ё ~(4.96)(4.96)
Ё ~
Ё ~
(4.96)
(4.96)
где
О；〉=
。产〉=|| ^ (1 + ^)1/2 {与S 8К1/3 +
。产)=一^ (1 + F) {Ц^ ёк2/3 +
+ 1 j [^2/3 + ,(1 + ~/)1/2К1/з] },
。尸牛=—{^^ (1 + ^2)1/2^1/з + ^^ ^^2/3},0叱=2M]『[竹(1 +状产+守^/3} •
Для краткости мы опустили здесь аргумент К™функций ж = ш?73/Зш.
Смешанное ед-излучение связано с интерференционными членами
代^*旣上h И ке
При интегрировании спектрально-углового распределения учтем, что
В результате интегрирования получим
где, как обычно, Wsr полная мощность синхротронного излучения электронного заряда.
Обратим внимание на тот факт, что все смешанное ед-излучение, как и должно быть, связано с квантовыми переходами без переворота спина.
Суммируя едХ™ и едТ/^-излучения, получим известный результат [см. (4.85) без эффектов отдачи и при р = 0]:
ТК"=卜％£ +卜吗£ = ^^ WSR I笈，
(4.97)(4.97)1 +4
(4.97)
(4.97)
WSR 3 €C,
We从=砲陷+砲以方，=一wSR 乂
Вместе с тем
^ = ^ь + ^ть =^ = ^ь + ^ть =Ц^ WSR 笛Ц^ WSR 笛
^ = ^ь + ^ть =
^ = ^ь + ^ть =
Ц^ WSR 笛
Ц^ WSR 笛
畤=% + 咤 Т% = (X
Таким образом, при g = 2 тг-компоненты едБ- и едТ/z-излучения полностью компенсируют друг друга.
Покажем теперь, что в классической теории излучения смешанное е//-излучение является чистым едБ-излучением и не содержит едТ/г-излучения.
Действительно, согласно общим формулам классической электродинамики (см. гл. 1) потери энергии-импульса на излучение применительно к смешанному излучению определяются выражением, аналогичным (1.21):
户叩。=；j户叩a^db陋户叩。=；j户叩a^db陋(4*98)(4*98)
户叩。=；j户叩a^db陋
户叩。=；j户叩a^db陋
(4*98)
(4*98)
где do■户 =e^f2cdrdQ ——элемент замкнутой гиперповерхности, е万 ——пространственноподобный единичный вектор, определенный в (1.23), остальные обозначения также известны.
Тензор плотности энергии-импульса смешанного излучения имеет вид
Ре^ =—今(瓦°。方мJ + Н^Не/ + ^НераН/^ . (4.99)
Напряженно сти полей излучения заряда и магнетона берутся в волновой зоне и определяются соответственно формулами (1.16) и (4.12). Подставив (4.99) в (4.98), найдем потери энергии-импульса в единицу собственного времени:
^2 dr
=I * (寸。％力—^，产 wp n^wa — Ln^w^WpWp} " (4.100)
Заметим, что этот результат можно получить и другим способом, а имен™ но, с применением соотношения типа (1.61):
_4 = —^odnTZ ,
dr47ГС J TlpVP
где Лед дается формулой (1.57), а』从" ——формулой (4.13).
Мощность излучения соответствует нулевой компоненте (4.100).
Подставляя сюда решения уравнения Лоренца для заряда и уравнения БМТ для спина (см. гл. 2), в случае g = 2 получим («“ = П1г/7 = ±1)
评叩=WSR (1 + ；笈|) = Wew(4Л01)
где WeM£ ——сумма а- и тг-компонент едБ-излучения, определенных в (4.97) (множитель (1 + «7)/2 = 8其，в этом случае роли не играет). Можно показать, что спектрально-угловые и поляризационные характеристики e^L- излучения также совпадают.
Это совпадение, конечно, не является случайным. Дело в том, что классическая теория излучения точечного магнитного момента ——это, по существу, теория излучения «истинного» магнитного момента, который пре™ цессии Томаса не испытывает. «Истинный» характер магнитного момента электрона проявляется в гипотетическом случае g》1 9, когда весь магнитный момент является аномальным, и уравнение (4.89) принимает вид
dtdt2moC72moC7(4.102)(4.102)
dt
dt
2moC7
2moC7
(4.102)
(4.102)
По сути дела, уравнение (4.102) описывает прецессию спина нейтрона, магнитный момент которого, как известно, весь является аномальным. Это уравнение можно использовать и в случае равномерно и прямолинейно движущегося электрона в полях типа фильтра Вина, когда прецессия Томаса полностью исчезает [56-58].
Более подробно роль прецессии Томаса в излучении релятивистского магнитного момента будет рассмотрена в § 4.7.
Структура квантовых поправок к мощности синхротронного излучения
Перейдем к изучению синхротронного излучения с учетом квантовых поправок второго порядка по h. Эффекты отдачи и смешанное ед-излучение имеют место и здесь. Однако появляется и специфически новый тип излучения, обусловленный исключительно собственным магнитным моментом электрона (спиновый свет). Квадратичное по 冇 излучение, сопровождающееся переходами как с переворотом, так и без переворота спина, имеет довольно сложную природу. К тому же в этом приближении начинает сказываться еще и излучение от аномального магнитного момента электрона, которое, как мы увидим, принципиально отличается от излучения спинового магнитного момента (магнетона Бора).
В квантовой теории излучения, основанной на уравнении Дирака-Паули, учет аномального магнитного момента сводится к замене [59]
а Тi а (рз[ап] + 他方)•
Переходя к полу классической теории излучения, вместо (4.70) следует принять
P^(f\^\i}.(4*103)
При вычислении матричного элемента нужно иметь ввиду, что в характерном для синхротронного излучения диапазоне скоростей аномальный магнитный момент, точнее множитель а = (д — 2)/2, можно рассматривать как малый параметр наряду с перечисленными ранее параметрами разложения ct/ри %. Тогда матричный элемент (4.103) с учетом аномального магнитного момента можно вычислять в линейном по е приближении. Действуя, как в § 4.5, получим
(/I N12〉=(I + 力 У〉К [ri 3——
По сравнению с (4.78) здесь появились дополнительные члены с аномальной частью магнитного момента электрона. В полу классической интерпретации энергия взаимодействия магнитного момента с полем излучения представляется в виде
h1={(6口-[施]d -
—[:й —[/?圓—т^!(*)(丽)}卜
Отсюда следует, чтоОтсюда следует, что+++ 7。"(п — /3)]—+ 7。"(п — /3)]—77 + 177 + 1（编制（编制
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что
+
+
+ 7。"(п — /3)]—
+ 7。"(п — /3)]—
7
7 + 1
7
7 + 1
（编制
（编制
Эта формула является обобщением (4.92) и аналогом полученного выше выражения (4.78).
Если члены в фурье-образе поля группировать по тому же критерию, что и в формуле (4.79), то спектрально-угловое распределение излучения формально не будет отличаться от соответствующего выражения в формуле (4.82). Однако на этот раз функции Uf (г = 1, 2, 3) будут иметь более сложный вид:
=一方(1 + 产)1/2(1 - a^2)e^/3(Х),
Uf = ^认1 +犷)ar2/3(吟
% =表机1 +川产2 {(1 + a)к1/3⑺干
干2。(1+产产2k2/3⑺}, (4Л04)
им3 = 土羽{[1 + 2a(1 +产)]&/3(金)干
干(1 + 2a)(1 + V?2)1/2^2/3(^)} •
Функции Uq остаются без изменений. Кроме того следует заметить, что в дополнение к формулам (4.84) имеет место следующее соотношение для спинового матричного элемента:
〈7 S± 丨 С = g ( ； ) [1 干(〈—7)8sz/ — (Ccos2p]1/2e±u. (4.105)
Дальнейшие вычисления выполняются обычным образом.
Опуская громоздкие и малоинтересные подробности, приведем окончательные выражения для линейно поляризованного излучения в линейном по а приближении (в том же, в котором справедливо и уравнение Дирака- Паули):
0ct = WSR0ct = WSR1 + СС' /725^31 + СС' /725^33253252\8245^ 2\72 '丿2\8245^ 2\72 '丿1212,2+ COS Р,2+ COS Р++]—С / 5 Q，]—С / 5 Q，2299++一 245，S 24…一^^ -一 245，S 24…一^^ -5 — а 2• 22、1 + 2а£ — sm р cos Л—г™—5 — а 2• 22、1 + 2а£ — sm р cos Л—г™—991818• 2, /2.• 2• 2、、1 + 2аSin Р +(COS Р + Sin Р sin Л)——卜• 2, /2.• 2• 2、、1 + 2аSin Р +(COS Р + Sin Р sin Л)——卜(4Д06)(4Д06)25 q л /1Л 245^3^+18^ + а<СО8Чб^^ +25 q л /1Л 245^3^+18^ + а<СО8Чб^^ +5 + 22a ® &—^ — sin5 + 22a ® &—^ — sin221313A + -- (1 + 4а) cos2 A sinA + -- (1 + 4а) cos2 A sin181822++1 一《/5 + 22а1 一《/5 + 22а2299(cos2 p + sin2 p cos2 A) +(cos2 p + sin2 p cos2 A) +
0ct = WSR
0ct = WSR
1 + СС' /725^3
1 + СС' /725^3
325
325
2\8
245^ 2\
72 '丿
2\8
245^ 2\
72 '丿
12
12
,2
+ COS Р
,2
+ COS Р
+
+
]—С / 5 Q，
]—С / 5 Q，
2
2
9
9
+
+
一 245，S 2
4…一^^ -
一 245，S 2
4…一^^ -
5 — а 2• 22、1 + 2а
£ — sm р cos Л—г™—
5 — а 2• 22、1 + 2а
£ — sm р cos Л—г™—
9
9
18
18
• 2, /2.• 2• 2、、1 + 2а
Sin Р +(COS Р + Sin Р sin Л)——卜
• 2, /2.• 2• 2、、1 + 2а
Sin Р +(COS Р + Sin Р sin Л)——卜
(4Д06)
(4Д06)
25 q л /1Л 245^3^+18^ + а<СО8Чб^^ +
25 q л /1Л 245^3^+18^ + а<СО8Чб^^ +
5 + 22a ® &
—^ — sin
5 + 22a ® &
—^ — sin
2
2
13
13
A + -- (1 + 4а) cos2 A sin
A + -- (1 + 4а) cos2 A sin
18
18
2
2
+
+
1 一《/5 + 22а
1 一《/5 + 22а
2
2
9
9
(cos2 p + sin2 p cos2 A) +
(cos2 p + sin2 p cos2 A) +
13 八…л 35^3 Л38Л
Т(1 + 4q)(cos~ р + sin р snT А)十 С cos р 1 Тq〉U〉.
1848 \9 // J
(4.107)
Полная мощность излучения имеет вид
叫。t = WsR叫。t = WsR1 + CC /.55V3 175 2(245 V3/ ]£Hf — f cos 沙 £2\24 %9 %' V 48245д/з , 9~\9 5 — a q1 + CC /.55V3 175 2(245 V3/ ]£Hf — f cos 沙 £2\24 %9 %' V 48245д/з , 9~\9 5 — a q+++ ；а《cos р+ ；а《cos р"2/ 5 + 22a+ sin p I ——-——"2/ 5 + 22a+ sin p I ——-——1 — С / 5 — а1 — С / 5 — а2299sin2A+I^C0S2Aj €2\ +sin2A+I^C0S2Aj €2\ +sin2 p +sin2 p +5 + 22a2 I • 22 I(cos p + sin p cos A) +5 + 22a2 I • 22 I(cos p + sin p cos A) +
叫。t = WsR
叫。t = WsR
1 + CC /.55V3 175 2(245 V3
/ ]£Hf — f cos 沙 £
2\24 %9 %' V 48
245д/з , 9~\9 5 — a q
1 + CC /.55V3 175 2(245 V3
/ ]£Hf — f cos 沙 £
2\24 %9 %' V 48
245д/з , 9~\9 5 — a q
+
+
+ ；а《cos р
+ ；а《cos р
"2/ 5 + 22a
+ sin p I ——-——
"2/ 5 + 22a
+ sin p I ——-——
1 — С / 5 — а
1 — С / 5 — а
2
2
9
9
sin2A+I^C0S2Aj €2\ +
sin2A+I^C0S2Aj €2\ +
sin2 p +
sin2 p +
5 + 22a2 I • 22 I
(cos p + sin p cos A) +
5 + 22a2 I • 22 I
(cos p + sin p cos A) +
7 + 27a / о . 9. о л \ Л 35，^ /40
+(cos p + sin" p sin 入)+《cos 沙 4811 + —a
(4」08)
Если в этих формулах провести усреднение по азимуту:
sin2 Л = cos2 A =-
(4.109)(4.109)2
(4.109)
(4.109)
то они совпадут с результатами работы [42] (см. также [60]). Если же вместо усреднения по А рассмотреть отдельные случаи ориентации спина вдоль скорости электрона (р = тг/2, Л = 0) или вдоль радиуса орбиты (перпендикулярно к магнитному полю) (р = тг/2, Л = тг/2), то формулы (4.106)-(4.108) при а = 0 перейдут в результаты, полученные в квантовой электродинамике В.Г. Багровым [61].
В наиболее интересном случае поперечно поляризованных электронов (р = 0) формулы (4.106)-(4.108) упрощаются и после усреднения по А принимают вид (s = а, тг)
(4.110)
尸=疗+舟+ я + я + я,尸=疗+舟+ я + я + я,/г/гс +с +=я=яс +с +18 + o^s 5 _ 918 + o^s 5 _ 9с +с +а - 6 Z4а - 6 Z4где
尸=疗+舟+ я + я + я,
尸=疗+舟+ я + я + я,
/г
/г
с +
с +
=я
=я
с +
с +
18 + o^s 5 _ 9
18 + o^s 5 _ 9
с +
с +
а - 6 Z4
а - 6 Z4
где
2厶—22厶—2
2厶—2
2厶—2
Индексы 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют здесь мощности излучения заряда электрона (Г), эффектов отдачи (2), смешанного ед™излучения (3), излуче™ ния спинового магнитного момента электрона (/^излучение) (4) и излуче™ ния, связанного с аномальным магнитным моментом (5).
Следует обратить внимание на тот факт, что излучение, связанное с аномальным магнитным моментом, в линейном приближении по § совпадает
с классическим едХ-излучением (см. также § 4.6). Очевидно, это объяс™ няется тем, что аномальный магнитный момент не подчиняется прецессии Томаса.
Полная мощность излучения определяется выражением
Mot = VCt + Wt：t = ^sr/(€),(4Л11)
/(€) = /(£)1 + f ⑹2 + /(Сз + /低)4 + 〃£底
гдегде/®2 =/®2 =1 + у21 + у2/(€)5 =/(€)5 ="03 ="03 =/(§)4 =/(§)4 =1 + СС21 + СС21 + СС 5 21 + СС 5 2十十
где
где
/®2 =
/®2 =
1 + у
2
1 + у
2
/(€)5 =
/(€)5 =
"03 =
"03 =
/(§)4 =
/(§)4 =
1 + СС
2
1 + СС
2
1 + СС 5 2
1 + СС 5 2
十
十
Если не делать различия в структурных элементах синхротронного излучения и пренебречь аномальным магнитным моментом электрона, то получим известное выражение для мощности излучения [см. также (4.86)], где
/(£) = —/(£) = —
/(£) = —
/(£) = —
Аналогичные вычисления для бесспиновой частицы на основе матричного элемента (4.87), вместо /(£), дают
Ж) = 1-^ + ^2
Это выражение было получено в [62] (см. также [48, 63, 64]). Заметим, что «роль спина» в синхротронном излучении сводилась к квантовой поправке (8/3)^2 [65]. Здесь она получается как усредненная разность
I Е [/ш^/оО = |
С=±1
Однако структурная роль и физическое содержание этой и других квантовых поправок выясняются только благодаря (4.108).
Представляет интерес записать функции /§(§) для д-излучения, когда дБ- и дТ/^-компоненты разделены. Пренебрегая аномальным магнитным моментом, согласно (4.95) для р = 0 получим
裁=/м(ь)+ 瓜Th) +
гдегде1 1 + СС 丄 1 —СС ( 7 35VS 八48丿1 1 + СС 丄 1 —СС ( 7 35VS 八48丿尸 二 i+w q ,13几(T%) 一 —2 - 162 - 144尸 二 i+w q ,13几(T%) 一 —2 - 162 - 144州 =1 + W И 「К f 13 — 2 八鹏工埔— —2722I 724324丿州 =1 + W И 「К f 13 — 2 八鹏工埔— —2722I 724324丿/£ = f^L) + fpiTh) + fp(LThp/£ = f^L) + fpiTh) + fp(LThpгдегде严=1 + W 131Уj从(七)—2144十 2严=1 + W 131Уj从(七)—2144十 2203144 +203144 +175^3216175^3216
где
где
1 1 + СС 丄 1 —СС ( 7 35VS 八
48丿
1 1 + СС 丄 1 —СС ( 7 35VS 八
48丿
尸 二 i+w q ,13
几(T%) 一 —2 - 162 - 144
尸 二 i+w q ,13
几(T%) 一 —2 - 162 - 144
州 =1 + W И 「К f 13 — 2 八
鹏工埔— —2722I 724324丿
州 =1 + W И 「К f 13 — 2 八
鹏工埔— —2722I 724324丿
/£ = f^L) + fpiTh) + fp(LThp
/£ = f^L) + fpiTh) + fp(LThp
где
где
严=1 + W 131У
j从(七)—2144十 2
严=1 + W 131У
j从(七)—2144十 2
203
144 +
203
144 +
175^3
216
175^3
216
几(Т%)— 1442 十 482« '
严 =131 + СС1^ССГ 1135V3 .
丁乩(LTh) _役一22—72432《
九=fp(L) + f^Th) + f^LTh)〉 где
11 + CC 1 - CC /14385^3
9 —22 —+ 432
九(ТА) — 92九(ТА) — 92丄i i У + 9丄i i У + 9/乩(£t%) 一 32 十 2/乩(£t%) 一 32 十 221321335^3 "216《35^3 "216《
九(ТА) — 92
九(ТА) — 92
丄i i У + 9
丄i i У + 9
/乩(£t%) 一 32 十 2
/乩(£t%) 一 32 十 2
2
1
3
2
1
3
35^3 "216《
35^3 "216《
где индексы в скобках обозначают L-, Th- и смешанное LT/г-излучение магнитного момента. Заметим, что все свойства синхротронного дБ-излучения без переворота спина можно получить на основе классической теории д-излучения [75, 76].
Полная мощность д-излучения определяется функцией
г(0 =严国 + 严h® + 片""(9 =
и входит в структуру выражения (4.111).
Разумеется, изложенный метод позволяет вычислить и вероятности излучения фотонов. Приводить здесь соответствующие формулы вряд ли имеет смысл, однако мы все же выпишем выражение для вероятности излуче-
ния с переворотом спина, усредненное по азимутальному углу Л и про сум™ мированное по линейным поляризациям фотонов [42]:
1W = е21ст1W = е21ст1 +1 +3737(4Д12)(4Д12)
1
W = е
21ст
1
W = е
21ст
1 +
1 +
37
37
(4Д12)
(4Д12)
moce^j2moce^j2(Н*/Н)3(Н*/Н)3a)230a)230(4.113)(4.113)
moce^j2
moce^j2
(Н*/Н)3
(Н*/Н)3
a)230
a)230
(4.113)
(4.113)
где
СТ — 15
——время самополяризации в эффекте Соколова-Тернова [9] (см. гл. 3). Более удобным для вычислений является следующее выражение:
где а = e^/hc 1/137 ——постоянная тонкой структуры, частота шо = =2moe2/冇^ 1,6 ■ 1021 с~1 соответствует частоте Zitterbewegung (см. гл. 2), Н* = т^с3/е()Н 4,4 • 1013 Э ——швингеровское магнитное поле.
Поскольку магнитное поле в накопительных кольцах имеет порядок 104 Э, время самополяризации становится величиной, доступной для наблюдения только в области высоких энергий. При энергиях порядка 1 ГэВ (7 = 1,96 х х 103) это время составляет примерно один час.
Заметим, что согласно (4.112) при р 二 тг/2, когда спин ориентирован в плоскости орбиты, переходы с переворотом спина не зависят от начальной ориентации спина, тогда как при р = 0, когда спин ориентирован вдоль магнитного поля, спин-флип переходы существенно зависят от ориентации спина, что приводит к самополяризации пучка электронов. Например, при Q = 0(9 = 2) из (4.112) в этом случае следует формула
(4.114)(4.114)
(4.114)
(4.114)
которая легла в основу эффекта радиационной самополяризации Соколова- Тернова [25] (см. также [9, 10]). Согласно (4.114) вероятность переходов из состояния С = 1 (спин ориентирован вдоль магнитного поля) будет больше, чем при обратном переходе. Таким образом, в результате излучение электроны будут проявлять тенденцию перехода в состояние с преимущественной ориентацией спина против магнитного поля [11].
В общем случае время релаксации спина определяется соотношением
[w(( = 1) + w(C = -1)] т = 1.
Отсюда следует (см. также [42]), что
и, стало быть, аномальный магнитный момент только способствует упорядочению ориентации спина электронов в процессе излучения, хотя по абсолютной величине добавки, вносимые аномальным моментом, малы. Этот вывод впервые был сделан в работе [59].
Является ли прецессия Томасаисточником релятивистского излучения?
Ответ на этот вопрос вовсе не очевиден, так как члены, соответствующие прецессии Томаса, входят в суммарную мощность излучения электрона и его собственного магнитного момента.
Полученные в предыдущем параграфе формулы полностью описывают смешанное излучение заряда и спинового магнитного момента электрона с учетом аномальной добавки, т.е. в случае д = 2(1 + а/2тг)” Выписав из формулы (4.110) только эти члены вместе с основной мощностью синхротронного излучения заряда, получим
(4.115)(4.115)Wtot = >SR ^十长
(4.115)
(4.115)
Спиновый множитель (1 + О/2 считается здесь очевидным и потому опущен. Полная мощность излучения согласно (4.115) определяется выражением
(4.116)(4.116)嗚。t =呜工 + 叫％ = wsr i + |a(|^4
(4.116)
(4.116)
В этих формулах члены, содержащие g-фактор в точности соответствуют e/iL-излучению, а последующие члены дают е//Т/г™излучение. При д = =2 получаем известный результат для дираковского электрона (без учета эффектов отдачи):
Mot = wSR(i а).
Однако классическая теория излучения, как мы видим, подтверждает только члены с e/iL-излучением [см. (4.101)]. Естественно, возникает вопрос: почему это происходит?
Чтобы прояснить ситуацию, обратимся к эффективному внешнему полю (2.73), введенному нами при рассмотрении прецессии Томаса. В терминах Н蒙 уравнение прецессии спина значительно упрощается:
drdr
dr
dr
где
h? = I ^Н^р + ^"乩"Н鼠)=П 工 я■第=h? + h*
I歷 ес
Примечательно, что в классической теории взаимодействие магнитного момента с томасовским полем Н^ вообще отсутствует:
тогда как взаимодействие магнитного момента с ларморовским полем в классической и квантовой теориях имеют одинаковый вид:
и^ =々н；% = 一卜{Н—[/Ж] —击 3(ЗН)}) = —?СНо).
Ситуация проясняется, если формулы мощности излучения (4.115) и (4.116) представить в несколько иной форме [77]:
>；ot = %>；ot = %W >SRW >SR781878184444呜ot = >SR呜ot = >SR+ We^E*+ We^E*(4.117)(4.117)
>；ot = %
>；ot = %
W >SR
W >SR
7
8
1
8
7
8
1
8
4
4
4
4
呜ot = >SR
呜ot = >SR
+ We^E*
+ We^E*
(4.117)
(4.117)
В этих формулах множитель 1 — (4/3)£《 не связан с поляризацией излучения и его можно исключить за счет спиновой перенормировки массы частицы. Действительно, согласно (2.152) массу спиновой частицы, находящейся в однородном магнитном поле Н = (О, О, Н\ можно представить в виде (沙=0, см. выше)
М = Ж)(1 -鼻灰产 j =Шо (1 + |а
Именно такая зависимость массы частицы от спина обсуждалась с совершенно разных точек зрения в очень большом количестве работ (см. более подробно п. 2.5.4).
Полагая, что энергия частицы Е = Мс2^, мощность синхротронного излучения можно переписать следующим образом (см. также [20]):
=W'SR=W'SR44
=W'SR
=W'SR
4
4
Отсюда следует, что формула (4.117) принимает вид
呜。t = wSR +W叩£
и, стало быть, классическая и квантовая теории смешанного излучения оказываются в полном согласии друг с другом. Это означает, что томасовская прецессия в обычном смысле не может рассматриваться как источник мощности релятивистского излучения [77]. Разумеется, поправка на спиновую массу очень мала, но она уже находится в рамках современных возможностей эксперимента (см. [21—23])*
Излучение «истинного» магнитного момента
Мы видели (см. § 4.6), что спиновый магнитный момент электрона проявляет все свойства «истинного» магнитного момента только в нереляти™ вистском пределе, а также в экзотическом случае g》1 и при равномерном и прямолинейном движении, когда прецессией Томаса можно пренебречь. Последний случай, когда излучение заряда электрона и смешанное излу™ чение отсутствуют, можно получить из (4.104) в пределе 夕 т оо* Сам метод релятивистской полу классической теории излучения каких-либо изменений при этом не претерпевает, однако функции U$ 3, ответственные за излучение «истинного» магнитного момента, существенно изменяются.
Переход к излучению аномального магнитного момента. Далее мы не будем ограничиваться предположением малости аномального магнитного момента и перейдем к рассмотрению произвольных значений а. Формулы (4.104) в этом случае уже не годятся. В более общей записи они имеют вид [41]
U^3 = Кд吵{(1 + a)Ai(z±) 土 qaAif(z^)},
и£з = ±тгд {[1 + (1 + ^2 ± aq3)a\Ai(z±) ± (1 + a)qAi!(z±)} , "U8)
где
Появление функций Эйри 4分 и их производных объясняется тем, что зависимость от аномального магнитного момента вошла в аргумент и применение функций Макдональда в U^ стало невозможным [40]. Можно показать, что в частном случае а《i из (4.118) следуют прежние U^^ определенные в (4.104).
В пределе 夕 т оо функции U^^ упрощаются:
U^3 = 土7rg (1 + 吵2 土 |ag3 j Ai(z^).
Более того, при 夕 т оо с учетом (4.81)
也（之土） -也（之土） -
也（之土） -
也（之土） -
где штах = 2аш73, вместо (4.103) будем иметь
UJ = 0, U” гтгUJ = 0, U” гтг(4.119)(4.119)
UJ = 0, U” гтг
UJ = 0, U” гтг
(4.119)
(4.119)
Если весь магнитный момент является аномальным (нейтрон), то можно принять д/2 = а, и тогда
^тах = —^— 7 , I М 1=—,^тах = —^— 7 , I М 1=—,(4.120)(4.120)
^тах = —^— 7 , I М 1=—,
^тах = —^— 7 , I М 1=—,
(4.120)
(4.120)
где //о ——ядерный магнетон Бора. Частота прецессии спина в общем случае зависит от направления движения нейтрона в магнитном поле (см. 2.10.1, п.1). В рассматриваемом нами случае нейтрон (как и до этого электрон) движется вдоль оси X，а магнитное поле направлено вдоль оси Z, поэтому & = тг/2 и и частота (4.120) совпадает с максимальной частотой излучения (4.63), полученной ранее в классической теории излучения магнетона.
Полное спектрально-угловое распределение излучения «истинного» магнитного момента, в данном случае нейтрона, вычисляется по формулам (4.76), (4.82) и (4.119). В результате получим
d2W 64р6Я4.2 4疗 + (1 + “2)2/ 小ах \
Отсюда следует, что излучение идет на частоте
ш =ш =0тах1+^20тах1+^2
ш =
ш =
0тах
1+^2
0тах
1+^2
Дальнейшее интегрирование по углам и частоте с учетом (4.105) для 〈《/ II С) дает полную мощность излучения
128 д6Я4 4 (1 + Ccosi/)(1 —C'cosi/)n
В квантовой теории излучения спиновые переходы рассматриваются только для сохраняющихся во времени проекций спина. В нашем случае адаптация к таким переходам соответствует 沙=0, когда спин нейтрона ориентирован вдоль направления поля. При 沙=0 спиновые переходы согласно (4.121) происходят только в одном направлении ——против магнитного поля, когда С = 1 и С = — 1 (〃 < 0)” Полная мощность
—128 р6Я4 &忆=丁 l^F 7—128 р6Я4 &忆=丁 l^F 7(4.122)(4.122)
—128 р6Я4 &
忆=丁 l^F 7
—128 р6Я4 &
忆=丁 l^F 7
(4.122)
(4.122)
совпадает с мощностью спин-флип излучения нейтрона, вычисленной на основе уравнения Дирака-Паули [66]. При 沙 二 тг/2, когда спин вращается в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля, полная
мощность излучения нейтрона уменьшается ровно в 4 раза с сохранением всех качественных характеристик излучения. Этот случай адекватно отвечает рассмотренной ранее (см. § 4.3) классической постановке задачи об излучении магнитного момента и полностью описывается классической электродинамикой [65]. Заметим, что при 沙=0, когда 〃 = const, «истинный» магнитный момент в классической теории вообще не излучает. Это излучение, связанное со спин-флип переходами, является чисто квантовым.
В квантовой теории формулу (4.122) можно также получить с помощью преобразования Лоренца для вероятности магнитодипольного излучения [71]. В классической электродинамике преобразования Лоренца использовались нами в п.1.1.5.
Полуклассический метод в предельном случае а》1・ Формула (4.122) может быть получена также методом Джексона [40] в пределе а т 7 оо. При произвольном а мощность //-излучения имеет вид
W =^^ФхИ+cos21/Ф3(а) +
1 —《С’1 + COS"以不/、. 2/ \
H2— 2①+ Sln 〃①з(а) +
+ Ccos(击① 1(a) + 句①2(a)
где
乐I 4989 2, 349 4
Фх(а) = 1 + ~^a + ^a 十 7а 十通а +
5
4
Y十|即
①2（a）二
35^3 А 24819 2
-64 (1+315a15
73 о 76 л
—
1 1 \
966
7
32
① з(а)=通(5 — а + а2).
Отсюда следует, что в первом приближении по а
cos2 〃 +cos2 〃 +++4 f 1 + Г/ 49 \ sin2 以 5 — а
cos2 〃 +
cos2 〃 +
+
+
1 —其‘「乙 49 \ 1 + cos2 v
++ M —2~
5 —а • 235^3 А 40、宀 '
Эта формула совпадет с мощностью //-излучения в формуле (4.108), если в последней провести усреднение по азимутальному углу Л согласно (4*109)*
В случае а》1 имеем
(1 + С cos I/)(1 + С cos I/)
(1 + С cos I/)
(1 + С cos I/)
Легко видеть, что это выражение совпадает с (4.121), если принять во внимание, что при ji = jia
Wsr J а%?Wsr J а%?128 (虑)6T3©3%4128 (虑)6T3©3%474 =吋74 =吋
Wsr J а%?
Wsr J а%?
128 (虑)6T
3©3%4
128 (虑)6T
3©3%4
74 =吋
74 =吋
и
1 У sin2 沙 + 1 £ (1 + C cos г/)? = (1 + C cos 沙)(1 — 7 sin 沙).
Принцип соответствия. Рассмотрим теперь более подробно принцип соответствия в излучении «истинного» магнитного момента. В классической теории излучение равномерно и прямолинейно движущегося релятивистского точечного магнитного момента определяется выражением [см. (4Л4)]
方= -^^0g。叫川1(4.123)
где
rpyp
Как и ранее, И。。——безразмерный тензор спина, t ——время фиксации излучения в точке наблюдения, гр = (г, г), а квадратные скобки при индексах означают антисимметризацию по этим индексам.
Фурье-образ тензора электромагнитного поля (4.123) имеет вид
Н^ =」у ^и;27г^арпрп^ exp “С 力一™ (nr) I 卄
где тг'ао = Пар/7, па = (1, п).
В более подробном виде
〃[а几例=с(/3 — п, [/Зп]), ^арпрп^ = (к,[кл]))
где
к = [птг^] + [п[п[/3тг,]]].
Перейдем в последнем выражении для к от вектора тг' к спиновому вектору в системе покоя согласно преобразованию Лоренца [см. (2.17)]:
Тогда
К = —К(п —⑴]+(СД)[М-
Выделяя из (4.123) поляризационные компоненты электрического поля и принимая во внимание, что (nns) = 0, имеем
ОО
Дс5 = ^(3从必)exp《泣 方一^ (пг) У d力
где
г-白卜(n --看!(⑺制｝=畔
Видим, что эти выражения отличаются от соответствующих членов в (4.93) и (4.95) всего лишь заменой а т &
Время радиационной самополяризации. Несмотря на то, что классическая теория не оперирует терминами спин-флип переходов, объясняющих эффект Соколова-Тернова, правильное выражение для времени радиационной самополяризации нейтрона можно получить и в классике. Для этого необходимо представить //-излучение в классической теории в виде не стационарного процесса с начальными условиями
“⑴忆 0 = 3 с 丄⑴ |『 = C=L(4.124)
Соответствующий им энергетический баланс в системе покоя нейтрона (// < 0) имеет вид
:(//Но) = -
Следовательно, подставив сюда полу классическое выражение для мощности излучения (4.121), при 〃 = тг/2 c учетом (4.124) найдем
费(1一 G),(4.125)
ат о
гдегде3 П4с3
где
где
64 I М |5 НГ
Решение уравнения (4.125) имеет вид
- 1
4 ⑺= ”/т。 + 厂
Таким образом, Tq есть время релаксации спина. При 丁 т оо спин нейтрона будет ориентирован против магнитного поля Сц (оо) = — L
Для преобразования ТЬ в лабораторную систему отсчета учтем, что
Т = 77g, Hq = уН\/1/З2 cos2 а.
Тогда получим
Точно такое же выражение получается в квантовой теории (см., например, [40, 71]).Заметим, что в отличие от электрона нейтрон может иметь 100-иро- центную самополяризацию, но время поляризации для нейтрона довольно велико. В наиболее эффективном случае ортогонального движения (а = =7r/2)Точно такое же выражение получается в квантовой теории (см., например, [40, 71]).Заметим, что в отличие от электрона нейтрон может иметь 100-иро- центную самополяризацию, но время поляризации для нейтрона довольно велико. В наиболее эффективном случае ортогонального движения (а = =7r/2)М = 3М = 3(Я*/Я)3(Я*/Я)3а) 2® °а) 2® °роро55(4.126)(4.126)У /И —3"
Точно такое же выражение получается в квантовой теории (см., например, [40, 71]).
Заметим, что в отличие от электрона нейтрон может иметь 100-иро- центную самополяризацию, но время поляризации для нейтрона довольно велико. В наиболее эффективном случае ортогонального движения (а = =7r/2)
Точно такое же выражение получается в квантовой теории (см., например, [40, 71]).
Заметим, что в отличие от электрона нейтрон может иметь 100-иро- центную самополяризацию, но время поляризации для нейтрона довольно велико. В наиболее эффективном случае ортогонального движения (а = =7r/2)
М = 3
М = 3
(Я*/Я)3
(Я*/Я)3
а) 2® °
а) 2® °
ро
ро
5
5
(4.126)
(4.126)
где I /1几//10 I ~1,04 • 10™3 ——отношение нейтронного и электронного магнитного моментов (остальные обозначения такие же, как в формуле (4.113)), заметный результат может быть получен только для высоких энергий нейтронов в сильном магнитном поле. Для энергии 1013 ГэВ и Н = 4 * 106 Э имеем эффективную длину самополяризации иТ сТ 1 м.
Интересно, что в применении к электрону (| ^п/^о |= 1) формула (4.126) отличается от (4.113) лишь числовым множителем.
ГЛАВА 5
ОНДУЛЯТОРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Общая теория ондуляторного излучения
Решения уравнений движения. Ондулятором в широком смысле называется прибор с периодической структурой электромагнитного поля, предназначенный для генерации электромагнитного поля с помощью реля™ тивистских заряженных частиц. Частицы в ондуляторе совершают периодические колебания на фоне релятивистского дрейфа вдоль оси ондулятора. Как правило, частицы совершают поперечные относительно оси ондулятора колебания, хотя возможны ондуляторы с продольными колебаниями частиц. В нстоящем параграфе мы ограничимся таким движением частиц в магнитном поле, при котором существенны поперечные осцилляции. Как известно, излучение релятивистской частицы сосредоточено в направлении скорости, в узком конусе с раствором порядка ^一匕 где 7 = 1/，1 — 夕 — релятивистский фактор, а /5 = v/c ——безразмерная скорость частицы. Это свойство излучения определяет его основные характеристики, поскольку спектр излучения существенно зависит от соотношения между углом а отклонения скорости частицы от оси и релятивистским фактором. В случае относительно слабого магнитного поля (а?《1) ось конуса излучения практически совпадает с осью ондулятора и излучение формируется на всей траектории движения частицы. Спектр излучения в этом случае существенно зависит от структуры магнитного поля вдоль оси ондулятора. В случае сильного поля (а?》1) излучение в данном направлении генерируется в течение относительно короткого отрезка времени с короткого участка траектории, который можно аппроксимировать дугой окружности. При этом спектр излучения близок к синхротронному и слабо зависит от структуры магнитного поля. Ондулятор с сильным магнитным полем обычно называют вигглером. Соотношение между углом колебания скорости а и углом раствора конуса излучения характеризуется так называемым параметром дипольности ондулятора.
Рассмотрим движение заряженной частицы в поле ондулятора. Будем считать частицу ультрарелятивистской. Тогда уравнения движения в магнитном поле Н(г) имеют вид
где епт ——заряд и масса частицы.
Используя разумные приближения, можно существенно упростить решение уравнения (5.1). Во-первых, вследствие высокой энергии вектор скорости 0 мало отклоняется от своего начального направления. Во-вторых,
будем считать, что начальное направление скорости параллельно оси ондулятора. И наконец, предположим, что продольная компонента магнитного поля порядка или меньше поперечной. Таким образом, мы предполагаем выполненными следующие условия:
7 » 1, Д± < 1,。丄修 < Я±.7 » 1, Д± < 1,。丄修 < Я±.(52)(52)
7 » 1, Д± < 1,。丄修 < Я±.
7 » 1, Д± < 1,。丄修 < Я±.
(52)
(52)
Здесь 0丄 и Н± ——поперечные относительно оси ондулятора компоненты скорости и магнитного поля соответственно, Лц ——продольная компонента. Последнее условие позволяет пренебречь продольной составляющей магнитного поля в векторном произведении (5.1).
Направим ось х вдоль оси ондулятора. Интегрируя уравнение (5.1), найдем поперечную компоненту скорости частицы:
Hy{x)dx.Hy{x)dx.(5.3)(5.3)
Hy{x)dx.
Hy{x)dx.
(5.3)
(5.3)
Мы учли, что vx ^ си заменили dt на dx/c. Как будет показано ниже, для расчета спектрально-углового распределения излучения ультрарелятивист- ских частиц необходимо знать продольную компоненту скорости частицы с точностью до 7—2 (см., например, х-компоненту скорости в формуле (5.114)). Интегрируя х-компоненту в уравнении (5.1), получим
(5*4)(5*4)& = Дц +，九戌7 j凤h方⑺一仇%⑺]"片,
(5*4)
(5*4)
где (Зу и j3z ——известные функции 胃，определяемые уравнением (5.3). Постоянная 科| представляет собой среднюю скорость частицы: /Зц = (Дж). Из определения /Зц следует, что второе слагаемое в уравнении (5.4) есть осциллирующая функция х со средним значением, равным нулю.
Мы положили в уравнении (5.4) dt = dx/c, поскольку подынтегральное выражение представляет собой малую первого порядка ПО7^Х, а отличие vx от с заключено во втором порядке. В приближении 7》1 угол а отклонения скорости от оси равен поперечной компоненте вектора /5:
(5*5)(5*5)q = 3丄=J街+照
(5*5)
(5*5)
Как уже отмечалось, характер излучения задается соотношением между а и 7—1. Поэтому определим параметр режима излучения ондулятора как произведение 7 на среднеквадратичное значение /3丄：
(5.6)
Роль коэффициента к будет видна из формул для излучения. Мы будем называть его параметром дипольности ондулятора. Иногда к называют
параметром режима работы ондулятора. Ондулятор с к》1 называется вигглером.
Из уравнений (5.6) и (5.3) следует, что параметр дипольности пропорционален поперечной компоненте магнитного поля. Поскольку интегралы в уравнении (5.3) изменяются с пространственным периодом Ло, параметр к имеет величину порядка
k〜k〜еХоН±тс2еХоН±тс2(5，)(5，)
k〜
k〜
еХоН±тс2
еХоН±тс2
(5，)
(5，)
Отсюда следует, что к не зависит от энергии частиц и определяется только величиной магнитного поля и длиной периода ондулятора. Зная параметр дипольности, нетрудно найти скорость дрейфа частицы:
Ai =〈尸丁）（5 用）
В качестве примера рассмотрим два частных вида магнитного поля ондулятора.
1. Синусоидальное магнитное поле. Пусть напряженность магнитного поля определяется следующим образом: Н(х) = (О, О, Н sin 2тгж/Ло). Это ——хорошая аппроксимация магнитного поля на оси типичного ондулятора, показанного на рис. 5.1. Продольной компонентой магнитного поля можно пренебречь, так как условия (5.2) обычно выполняются.
Рис. 5.1. Схема плоского ондулятора. Стрелки указывают направление поля постоянных магнитовРис. 5.1. Схема плоского ондулятора. Стрелки указывают направление поля постоянных магнитов
Рис. 5.1. Схема плоского ондулятора. Стрелки указывают направление поля постоянных магнитов
Рис. 5.1. Схема плоского ондулятора. Стрелки указывают направление поля постоянных магнитов
Точные решения уравнений движения в этом случае выражаются через эллиптические функции [1, 2]. Найдем приближенные решения уравнений (5.3) и (5.4):
% = 2^ со$иЛ 儿=Д||(1^) з2川.(5*9)
Рис. 5.2. Схема спирального ондулятора
Частота осцилляций частицы кратна ш0 = 27rql/入山 Усредняя Д^ в уравнении (5.6), получим
еАоП2у/2тгтс2
(5.10)
Наконец, проинтегрируем уравнение (5.9) еще раз. В результате получим следующие решения уравнений движения:
Z =簿"一Б一™ Sin 2wof, у = 丁一 sm wof, "8тг)2V27T7
(5Л1)
где V|| определено уравнениями (5.8) и (5.10).
2. Спиральное магнитное поле. Для генерации излучения с высокой степенью круговой поляризации часто используется магнитное поле вида Н⑺=(0, Ну sin 2тгж/Ло, Hz cos 2тгж/Ло). Магнитное поле такого типа реализуется в ондуляторе, схематически представленном на рис. 5.2. Повторяя расчеты, приведенные в предыдущем примере, получим
Ру =sinf3z = az cos
AoAo
4тг
8x = Д|| + 廉a% COS 2wgt,
(5Л2)
где
64?r3m2c4727 賣仏/47r2772c2)"
(5*13)
Параметр дипольности при этом равен
eAo2V^7T^C2
Решения уравнений движения имеют вид
z = v^t + аж sin2Go力
у = ay cos wot,(5.15)
% = —az sin wot.
В случае Hy = Hz продольные колебания отсутствуют и траектория частицы имеет вид спирали.
Общие свойства излучения. Рассмотрим движение релятивистских заряженных частиц в ондуляторе, имеющем целое число N периодов. Радиус-вектор частицы можно представить как сумму двух векторов, один из которых описывает равномерный дрейф, а другой ——периодические колебания:
*⑴=@“ +勺⑴，OctcNT;
r(f) = @о匕 f < 0, t > NT.
Здесь *i(力)——периодическая на интервале [0, NT] функция с периодом Т, ©о — постоянная скорость частицы вне ондулятора. Последние уравнения представляют собой модельное описание движения частицы. В реальных ондуляторах крайние секции отличаются от основных и движение не является периодическим. Напряженность электрического поля излучения в момент времени У вычисляется по формуле [3, 4]
e(T唄，("7)
где правая часть уравнения зависит от запаздывающего времени /；=，一 —R/з Де ——вектор от заряда к наблюдателю в момент времени 力 пе = =Re/Re — единичный вектор. Обычно считается, что расстояние между ондулятором и точкой наблюдения много больше длины ондулятора. В этом случае говорят о приближении волновой зоны. Предположим, что это условие выполнено. Обозначив через R вектор от начала координат, находящегося где-либо внутри ондулятора, до наблюдателя, найдем
R。= J(K —r)2 ^R — n〜(5.18)
где n = R/R. Таким образом, для времени запаздывания получим
力=，一 O + 也丄(5」9)
С с
Найдем фурье-преобразование поля излучения
NT
EQ)=為尹 R ：：万：；0*^№"北 (520) о
Здесь g ——частота излучения, к = шп/с ——волновой вектор. Последний интеграл можно представить в виде суммы N интегралов по периоду. Интегрируя по частям в уравнении (5.20) и используя сумму геометрической прогрессии
NN&2沁п&2沁пSin N"/(N+l)a sin аSin N"/(N+l)a sin а(52)(52)
N
N
&2沁п
&2沁п
Sin N"/(N+l)a sin а
Sin N"/(N+l)a sin а
(52)
(52)
получим
T、
(522)
о>
Здесь
〃=艺(1 —例 n)(523)
——приведенная частота излучения, ш0 = 2тг/Т ——частота движения частицы, го = г(0) и /30 = /3(0) = В (NT) 一 координата и скорость частицы на входе в ондулятор. Первое слагаемое в уравнении (5.22) зависит только от начальных и конечных координат и скоростей частицы и, следовательно, оно описывает поле излучения, связанное с переходом от равномерного движения к периодическим колебаниям и обратно. Второе слагаемое модулировано функцией siniryN/ sin7rp. Модуль этой функции имеет максимумы на частотах 〃 = (т + 1/2) /N л и = п, где тип ——целые числа. Максимум абсолютного значения на целых 〃 пропорционален числу периодов ондулятора и, следовательно, при больших значениях N второе слагаемое значительно превосходит первое в окрестности целых к Кроме того, уравнение (5.16) предполагает идеализированную динамику частицы на границах ондулятора. Для реального ондулятора первое слагаемое в (5*22) может быть другим. Впредь мы будем пренебрегать членами такого типа, считая N большим и рассматривая излучение в окрестности целых 〃 (приближение длинного ондулятора). Нетрудно показать, что ширина пиков функции sin x*N[ sin тп/ равна 2/Ж. Таким образом, будем считать, что
k^n| < 1. (5.24)
Спектрально-угловое распределение излученной энергии вычисляется по формуле [3]
dQdwdQdw
dQdw
dQdw
dE! dQd3
11
1
1
Рис. 5.3. Типичный спектр ондуляторного излучения в некотором выделенномнаправлении
Возводя (5.22) по модулю в квадрат и сохраняя только члены, пропорциональные №，получим
Т2
(5.26)(5.26)5.N)}8/3储(3力f必dQdw47r2c(1 —/3“тг)2J
(5.26)
(5.26)
0
где
(527)(527)sin2 7П/^
(527)
(527)
sin2 7П/
Спектрально-угловое распределение (5.26) распадается на произведение двух множителей, один из которых определяется траекторией заряда в пределах периода, а второй представляет собой известный интерференционный множитель I(y^ N). Пример спектра излучения в заданном направлении показан на рис. 5.3. Он имеет острые максимумы на целых 〃* Частоты, на которые приходятся максимумы, можно найти из уравнения (5.23), положив и = п:
(5*28)(5*28)ПШо
(5*28)
(5*28)
1 —例тг
Они кратны частоте колебаний частицы с учетом эффекта Доплера. Ширина каждой гармоники равна 2/N (между соседними минимумами), а амплитуда пропорциональна №. Центральный пик окружен вторичными максимумами, величина которых быстро убывает с удалением от целого к Заметим, что в области побочных максимумов формула (5.26) имеет погрешность, превышающую 1/N, поскольку условие (5.24) не выполняется. Распределение излученной энергии по гармоникам определяется значением коэффициента к.
Правую часть уравнения (5.26) можно представить в виде суммы по гар-
моникам. С этой целью разложим sin7rz/ в степенной ряд в окрестности
11F汀
…)2p+三5一"厂+
Последним слагаемым 〜(тг — 〃尸 〜1/N2 можно пренебречь не уменьшая принятой точности. Тогда профиль n-й гармоники принимает вид
In(y, N)=In(y, N)=sin2 7ГZ/^ТГ2(П —沙)2sin2 7ГZ/^ТГ2(П —沙)2(529)(529)
In(y, N)=
In(y, N)=
sin2 7ГZ/^
ТГ2(П —沙)2
sin2 7ГZ/^
ТГ2(П —沙)2
(529)
(529)
Умножая числитель и знаменатель на (n+z/)2^4n2, получим другую форму для 1п(у^ N) в окрестности целых 〃：
厶%(%N)=厶%(%N)=4*2 sin2 7П/^7Г2 (П2 一沙2)24*2 sin2 7П/^7Г2 (П2 一沙2)2(530)(530)
厶%(%N)=
厶%(%N)=
4*2 sin2 7П/^
7Г2 (П2 一沙2)2
4*2 sin2 7П/^
7Г2 (П2 一沙2)2
(530)
(530)
Чтобы представить энергию излучения в виде суммы по гармоникам, учтем, что правая часть уравнения (5.26) представляет собой произведение быстро осциллирующей функции /(% N) и функции, медленно изменяющейся с частотой. Последний сомножитель с точностью до 1/N можно считать постоянным в пределах узкой полосы |〃 一九| 〜X/N. Тогда уравнение (5.26) можно представить в виде
22е2е2dQdw e(1_万1”)2dQdw e(1_万1”)2ТТ11оо(5.31)(5.31)
2
2
е2
е2
dQdw e(1_万1”)2
dQdw e(1_万1”)2
Т
Т
1
1
о
о
(5.31)
(5.31)
где кп = пшп/с, а частота g九 n-й гармоники определяется уравнением (5.28). Последнее уравнение представляет собой непрерывный спектр, несмотря на то, что оно записано в виде суммы по гармоникам. Очевидно, что для вычисления спектральной плотности на произвольной частоте 〃， близкой к целому числу т, в уравнении (5.31) достаточно учесть только одно слагаемое сп = т.
Спектральное распределение энергии излучения в пределах одной гармоники имеет стандартную форму, определяемую функцией 1n (% N), и не зависит от вида ондулятора. При этом распределение энергии по гармоникам существенно зависит от магнитного поля в ондуляторе. Угловое распределение излучения можно найти, интегрируя уравнение (5.31) по приведенной частоте к Нетрудно показать, что
Далее представим угловое распределение в виде суммы по гармоникам:
dQdQd£ndQd£ndQ(5.33)(5.33)
dQ
dQ
d£ndQ
d£ndQ
(5.33)
(5.33)
где n-e слагаемае описывает угловое распределение излучения n-й гармоники:
d£ndQd£ndQe2n2w07Ve(1 -自")3e2n2w07Ve(1 -自")3(534)(534)
d£ndQ
d£ndQ
e2n2w07V
e(1 -自")3
e2n2w07V
e(1 -自")3
(534)
(534)
Из уравнений (5.31) и (5.34) следует, что спектрально-угловое распределение и угловое распределение излучения n-й гармоники связаны простым соотношением:
dEnAo(1 —万“几) / dEndEnAo(1 —万“几) / dEn(5.35)(5.35)
dEnAo(1 —万“几) / dEn
dEnAo(1 —万“几) / dEn
(5.35)
(5.35)
cos &% =— Aicos &% =— AiРассмотрим спектральное распределение как функцию направления на наблюдателя. Основные свойства углового распределения на заданной частоте определяются функцией I(y^ N). Обозначим через 斤 угол между векторами п и /Зц. Последний вектор параллелен оси ондулятора. Излучение на заданной частоте g под углом 斤 соответствует приведенной частоте 〃 = =幻(1 — /3“ cos^)/wq. В частности, на оси ондулятора 〃 =幻(1 —例卩/幻山 Если приведенная частота близка к целому числу п, то мы будем наблюдать яркое пятно в центре картины, соответствующее п-й гармонике излучения. С ростом угла 斤 номер наблюдаемой на данной частоте гармоники увеличивается и при некотором 斤九+i будет наблюдаться кольцо излучения (п + 1)-й гармоники. Таким образом, картина углового распределения на фиксированной частоте имеет вид концентрических колец, соответствующих отдельным гармоникам излучения. Из уравнения (5*23) видно, что максимум п-й гармоники приходится на угол
cos &% =— Ai
cos &% =— Ai
(536)
Азимутальное распределение излучения в пределах одного кольца существенно зависит от номера гармоники и от динамики частиц в ондуляторе. Результаты первых экспериментальных исследований ондуляторного излучения можно найти, например, в [5—8]. В случае ультрарелятивистских частиц угол 斤 мал и имеет величину порядка ^1. Разлагая уравнения (5.23) и (5.28) в ряд по малым)一工 к 斤，найдем приближенные формулы для номера гармоники и частоты, на которую приходится ее максимум:
2^0)2*，1 +女2 +职2^0)2*，1 +女2 +职(5*37)(5*37)
2^0)2*，
1 +女2 +职
2^0)2*，
1 +女2 +职
(5*37)
(5*37)
Здесь 吵 =)斤 ——приведенный угол. В том же приближении угол £п, на который приходится максимум n-й гармоники (см. (5.36)), равен
-1*(5.38)
Мы определили параметр дипольности ондулятора к через среднее квадратичное значение поперечной скорости частицы или через поперечную составляющую магнитного поля ондулятора. Однако значение к в реальном ондуляторе может отличаться от расчетного вследствие погрешностей в скорости частиц, распределении магнитного поля и т.д. В результате максимум п-й гармоники может быть смещен относительно шп, вычисленного по формуле (5.37). В этом смысле второе из уравнений (5.37) можно рассматривать как эмпирическое определение параметра к.
Рассмотрим поляризацию излучения. Фурье-преобразование поля излучения (5.20) можно представить в виде
EQ) = паЕа(и) + n7r 石 7rQ),(5.39)
где па и n7r ——единичные векторы поляризации, показанные на рис. 5.4.
Средняя скорость частицы направлена вдоль оси ж. Зададим единичный вектор направления излучения п углами 0 к g (см. рис 5.4). Тогда векторы поляризации имеют проекции
па = (— sin g, cos 6 0),п^ = (cos0cosg, cos0sing, — sin0)“
В ультрарелятивистском случае угол между направлением излучения и средней скоростью частицы мал. При этом более удобной оказывается другая система угловых координат ——^ и ф (см. рис. 5.4), которая связана с первой соотношениями
п = (sin 0 cos 6 sin 0 sin g, cos 0) = (cos 也 sin 斤 cos ф, sin 斤 sin 0), (5.41)
из которых следует, что
(—sin 少 cos ф^ cos 也 0)-^1 — sin2 sin2 ф(—sin 少 cos ф^ cos 也 0)-^1 — sin2 sin2 ф(542)(542)
(—sin 少 cos ф^ cos 也 0)
-^1 — sin2 sin2 ф
(—sin 少 cos ф^ cos 也 0)
-^1 — sin2 sin2 ф
(542)
(542)
(cos 少 sin 少 sin 0, sin2 少 sin ф cos 0, sin2 少 sin2 0—1)^/1 sin2 ^ sin2 ф
Разлагая в ряд по малой 斤 с точностью до 炉，получим следующие выражения для координат единичных векторов:
П = (1—；斤2,斤 cos ф> 斤 sin ф ),
(5*44)(5*44)n7r = (斤 sin ф、炉 sin ф cos ф> j®? sin2。一 1Tib =(—斤 COS 0, 1 — ^ 斤2 cos2 0,0)"
(5*44)
(5*44)
Компоненты поляризации вектора E(g) можно получить непосредственно из уравнения (5.22). Ограничиваясь приближением длинного ондулятора N》1，получим
马(5 =注 R+W"(N—D^^g.Q),-=645)
J ■ CMWoSin 7Ш J'
где
(5.46)(5.46)
(5.46)
(5.46)
Функция Bj(w) является комплексной и несет информацию о разности фаз между компонентами поляризации. Излучение линейно поляризовано, если фазы Ва и 87r отличаются на величину, кратную тг. В противном случае оно имеет эллиптическую поляризацию. Поляризация монохроматической компоненты однозначно определяется одним комплексным параметром F(w)
р(5 = !4Й Л。р(5 = !4Й Л。(5*47)(5*47)
р(5 = !4Й Л。
р(5 = !4Й Л。
(5*47)
(5*47)
или двумя вещественными параметрами ——отношением амплитуд р(ш) и разностью фаз А(ш). Существует более общий формализм описания поляризации с помощью параметров Стокса, который мы здесь не рассматриваем. Иногда вместо компонент Еа и Е^ удобнее использовать компоненты круговой поляризации Е+ и Е_, которые определяются выражением
E± = (E^iEa)/^(5.48)
Компоненты Е+ и Е_ определены таким образом, что интенсивность правополяризованного или левополяризованного излучения пропорциональна \Е+\2 или 旧соответственно.
Спектрально-угловое распределение компонент поляризации излучения дается формулами
駐 = 旧式(5・49)
где индекс / обозначает вид поляризации:(ти7г для компонент линейной поляризации или «+» и «—» для компонент круговой поляризации. Последнее выражение можно представить в форме (5.31):
嶽=N)医"，(5・50)
где
т
Bjn =亍")北(5.51)
о
Для того чтобы получить явные выражения для интенсивности излучения как функции направления п и частоты ш, необходимо в уравнении (5.51) взять интегралы по конкретной траектории частицы. Тем не менее существует возможность оценить характер поляризации излучения исходя из общих соображений. Например, излучение имеет линейную поляризацию в том случае, когда на траектории движения имеется точка, относительно которой радиус-вектор частицы r(f) есть нечетная функция времени [9]. Для доказательства этого утверждения определим начало отсчета времени в этой точке так, что 丁⑴ = —*(—/；)• Тогда, в соответствии с уравнением (5.45), мнимая часть фурье-образа Ej(g) равна нулю для обеих компонент поляризации:
Т/2
Ini[Bj(w)] = ； ] nj8(t) sinQ力一kr)dt = 0,(5.52)
— Т/2
поскольку функция /3(t) = /Зц + dri/dt ——четная. Следовательно разность фаз между компонентами равна нулю.
Вид поляризации можно определить качественно, используя следующее свойство излучения заряда [10]: вектор электрического поля излучения нерелятивистской частицы параллелен проекции вектора ускорения на плоскость, перпендикулярную волновому вектору к. Так, если частица движется по спирали, то излучение в направлении оси спирали имеет круговую поляризацию. В других направлениях оно эллиптически поляризовано. Соответственно, если частица движется по плоской траектории, то излу™ чение в этой плоскости имеет линейную поляризацию. И, наконец, зная траекторию частицы и мгновенное угловое распределение, можно найти компоненты поляризации количественно.
Мгновенные значения электрического поля можно найти непосредственно из уравнения (5.17). Ограничиваясь случаем, когда ускорение ортогонально скорости, получим
К = (епа)=亞兀)
石一(E….
Мгновенная мощность излучения дается формулой
dW сЕ?而= 17(1-用⑴к(外"dW сЕ?而= 17(1-用⑴к(外"(5*53)(5*53)
dW сЕ?
而= 17(1-用⑴к(外"
dW сЕ?
而= 17(1-用⑴к(外"
(5*53)
(5*53)
В терминах углов ^ и ф угловое распределение принимает вид
Ра =Ра =07Г =07Г =Р(Т + 07Г =Р(Т + 07Г =dW _1声[/3(1 sin2 i3 sin2 ф) — cos i3]2(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — (3 cos H)5 'sin4 冃 cos2 ф sin2 ф(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — В cos H)5 '(1 — /3 COS H)2 — sill2 户 COS2 0(1 — /3)2(1-/3 COS H)5dW _1声[/3(1 sin2 i3 sin2 ф) — cos i3]2(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — (3 cos H)5 'sin4 冃 cos2 ф sin2 ф(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — В cos H)5 '(1 — /3 COS H)2 — sill2 户 COS2 0(1 — /3)2(1-/3 COS H)5(554)(554)
Ра =
Ра =
07Г =
07Г =
Р(Т + 07Г =
Р(Т + 07Г =
dW _1声
[/3(1 sin2 i3 sin2 ф) — cos i3]2
(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — (3 cos H)5 '
sin4 冃 cos2 ф sin2 ф
(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — В cos H)5 '
(1 — /3 COS H)2 — sill2 户 COS2 0(1 — /3)2
(1-/3 COS H)5
dW _1声
[/3(1 sin2 i3 sin2 ф) — cos i3]2
(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — (3 cos H)5 '
sin4 冃 cos2 ф sin2 ф
(1 — sin2 户 sin2 0)(1 — В cos H)5 '
(1 — /3 COS H)2 — sill2 户 COS2 0(1 — /3)2
(1-/3 COS H)5
(554)
(554)
Эти же функции приведены в уравнении (1.85) главы 1 для синхротронного излучения, где р^^ соответствуют 07r口 настоящей главы. Поверхности, описываемые функциями ра(^^ ф) и о7r (Н, ©), называются индикатрисами излучения. Они были графически изображены в п. 1.1.6. В случае ультра- релятивистских частиц функции 0b и р^ можно разложить по малым)一】 и仇
(5*55)(5*55)876(1 — * cos 20)28?б@4 shf 2。
(5*55)
(5*55)
О。 =(1 — @2)5， 07r = (I—" *
Более подробную информацию о свойствах этих индикатрис можно найти в п. 1.1.6 или в работе [10].
Приближение бесконечного ондулятора. Иногда удобно рассматривать достаточно длинный ондулятор как бесконечный. Естественно, бесконечный ондулятор является моделью. Более того, для расчета излучения бесконечного ондулятора мы не можем пользоваться формулами типа (5.26), поскольку не выполняется условие волновой зоны (условие того, что расстояние между ондулятором и наблюдателем много больше размеров ондулятора) как бы далеко ни находился наблюдатель. Корректный путь использования модели бесконечного ондулятора, позволяющий избежать трудностей, возникающих, например, в описании излучения при гиперболическом движении [12], заключается в том, что мы сначала находим искомую функцию излучения (например, спектр или угловое распределение) для конечного ондулятора, а затем устремляем число периодов N к бесконечности. При этом полная энергия dE, излученная ондулятором в телесный угол dQ в интервале частот dw стремится к бесконечности, но отношение энергии ко времени △，= NT(1 —万产)，в течение которого наблюдатель принимает эту энергию, конечно и представляет собой интенсивность излучения di. Соответственно, отношение энергии d£ ко времени △力=NT, за которое заряд эту энергию излучает, тоже конечно и называ™ ется мощностью потерь энергии или мощностью излучения dWt
(5.56)(5.57)(5.56)(5.57)diwod8
(5.56)
(5.57)
(5.56)
(5.57)
dQdw27r(1 — P\\n) ntoo NdQduj
dW々小di
Далее, переходя в уравнении (5.31) к пределу N т оо, с учетом того, что
ИшN) = b(m — i/),
NToo
где ё(п —沙) ——дельта-функция Дирака, получим
Т2
备=M(5g
n=1 о
Мы видим, что бесконечный ондулятор генерирует дискретный спектр излучения. Соответствующие выражения для мощности излучения нетрудно найти с помощью формулы (5.57).
Угловое распределение излучения можно получить, интегрируя последнее выражение по частоте. Это дает
di dQdi dQ1届2тгс(1 — /Зцп)41届2тгс(1 — /Зцп)4(5.59)(5.59)ОО
di dQ
di dQ
1届
2тгс(1 — /Зцп)4
1届
2тгс(1 — /Зцп)4
(5.59)
(5.59)
О
О
Несмотря на то, что выражение (5.59) записано в форме углового распределения, оно также представляет спектр излучения, поскольку каждое слага™
емое соответствует определенной гармонике. Сравнивая его с уравнениями (5.33) и (5.34), получаем для длинного, но конечного ондулятора результат:
而-27rN(l —加n)而a
Угловое распределение мощности излучения можно найти, умножая последнее выражение на 1 —例 тг*
Обсудим практическое применение полученных формул. Может воз™ никнуть вопрос: какая из величин ——интенсивность или мощность измеряется при регистрации ондуляторного излучения? Как видно из уравнения (5.57), эти величины отличаются множителем 1 —万口九 Если частица движется по замкнутой траектории, то скорость дрейфа 万“ равна нулю и обе величины совпадают, как например, в случае синхротронного излучения. Однако модель, которую мы используем, подразумевает ненулевой дрейф. Если через ондулятор проходит одна частица и временное разрешение приборов позволяет регистрировать излучение в данном направлении как функцию времени, то они измеряют мгновенное угловое распределение интенсивности излучения d//dQ. Если приборы имеют недостаточное временное разрешение, то они регистрируют всю энергию импульса излучения за время прохождения частицы через ондулятор d£/dQ = dlAt/dQ, где △力 二 2tt7V(1 —万“ n)/wq ——длительность импульса излучения в данном направлении. Однако обычно приходится иметь дело с пучком частиц и это играет существенную роль.
Рассмотрим следующую простую модель. Пусть цепочка релятивистских частиц, разделенных расстоянием 厶 проходит через ондулятор конечной длины L. Тогда импульс излучения, испущенного каждой частицей, имеет длину △% = £(!—万口几)〜)一？£ с расстоянием между импульсами, равным I, Усреднение интенсивности излучения по всем частицам эквивалентно умножению интенсивности на Ы/1. Это дает
(di) = d/(l —例川+ (5.61)
Легко видеть, что средняя интенсивность излучения пучка частиц равна средней мощности излучения, поскольку множитель L/Ы в уравнении (5.61) имеет смысл числа частиц, находящихся в ондуляторе одновременно. В применении к излучению пучка частиц, движущихся по спирали, этот вопрос обсуждался, например, в [13-16].
Дипольное излучение. В случае относительно слабого магнитного поля свойства ондуляторного излучения можно исследовать в общем виде. Покажем, что частица, движущаяся в магнитном поле, удовлетворяю™ щем условию к《1, является нерелятивистской в системе отсчета, движущейся со скоростью /3卜 Будем считать частицу ультрарелятивистской,
поскольку в нерелятивистском случае это очевидно. Из условия к《1 следует, что /3丄《)—1 ” Продольная скорость отличается от полной на величину порядка 范：
厶=J炉-无=S+。(尤)工(5*62)
Средняя продольная скорость равна
W =(儿〉=/3+。(尤)*(5*63)
Поперечная составляющая скорости В] в движущейся системе отсчета определяется преобразованиями Лоренца:
SI = J ” = Д±7[1 +。(用О]《丄(5.64)
丄一PxP\\
Продольная составляющая в движущейся системе отсчета равна
现==。(店)《L(5*65)
1 — PxP\\
Таким образом, в сопутствующей системе отсчета частица действительно является нерелятивистской. Следовательно, излучение частицы является дипольным. В этом случае фурье-преобразование поля излучения вычисляется по формуле [3]
^(^)=為a ：工产 卜几[S")6(5产(2产)园(5.66)
где скорость 万 предполагается постоянной. Мы разлагаем по малым к только амплитуду электрического поля, сохраняя точное значение для фазы. Это связано с тем, что малые изменения в к могут привести к существенному сдвигу в частоте. Действительно, из уравнения (5.37) следует, что изменение частоты △以,связанное с ненулевым значением к, равно △以 = =以兴/?"。)? 〜〃衣2, в т0 время как естественная ширина спектральной линии равна ^n = 1 /N* Следовательно, величиной к в фазе можно пре™ небречь только при условии
к2《1/N%(5.67)
Представив интеграл в (5.66) в виде суммы интегралов по отдельным периодам и используя уравнение (5.21), можно записать
= 27r& cikR+i(N—if sin7r〃N [伺⑺—0)6(〃)]]
I cRujqsin tkv(1 —/3n)2，'
гдегде
где
где
(5.69)(5.69).1
(5.69)
(5.69)
万（沙）=亍
Таким образом, фурье-образ электрического поля выражается через фурье» образ ускорения. Ускорение, в свою очередь, зависит от магнитного поля ондулятора. Запишем уравнения движения, разбив скорость и напряженность магнитного поля на поперечные и продольные компоненты:
(5а70)(5а70)7^^=e {[区h丄]+ [万丄h丄]+ [万丄h||]} •
(5а70)
(5а70)
Очевидно, второе слагаемое много меньше первого и им можно пренебречь. Третье слагаемое мало, если выполняется условие
耳1《丄*
Допустим, что оно выполняется. Тогда
(5G)(5G)^ = е[^ц Л].
(5G)
(5G)
Здесь 用 =/3 = const ——начальная скорость в соответствии с уравнениями (5.62) и (5.63), Н丄 заменено на Н, поскольку в принятом приближении продольной компонентой магнитного поля можно пренебречь. Теперь в уравнении (5.68) можно выразить фурье-компоненту ускорения через фурье-компоненту магнитного поля:
(5*72)(5*72)
(5*72)
(5*72)
где
(5.73)
Здесь U (ж)——магнитное поле на траектории частицы, которую можно считать прямолинейной, Ло ——длина периода ондулятора.
Чтобы найти спектрально-угловое распределение излучения, подставим
уравнение (5.68) в (5.25). В результате получим
dQd® Wq(1 — /Зп)dQd® Wq(1 — /Зп)jI(i/,7V) |[п[(п^^)Д(1/)]]| .jI(i/,7V) |[п[(п^^)Д(1/)]]| .(5*74)(5*74)
dQd® Wq(1 — /Зп)
dQd® Wq(1 — /Зп)
jI(i/,7V) |[п[(п^^)Д(1/)]]| .
jI(i/,7V) |[п[(п^^)Д(1/)]]| .
(5*74)
(5*74)
Мы видим, что в приближении малых к спектр излучения полностью определяется фурье-образом ускорения или магнитным полем на оси траекто™ рии [9, 17]. В работе [18] получены формулы, выражающие спектр излучения в этом случае через фурье-образ вектора намагниченности полюсов ондулятора.
Рассмотрим теперь наиболее распространенный ондулятор ——ондулятор с плоской траекторией заряженных частиц. Из уравнения (5.71) следует, что в этом случае вектор ускорения колеблется вдоль некоторого направления. Зададим это направление единичным вектором еа так, что 万=^еа. Тогда тройное векторное произведение в (5.74) принимает вид [п[(п — — 万)8(〃)]] = [n[(n — 万把a]]6(〃) Разлагая этот вектор на компоненты поляризации и подставляя в уравнение (5.49), получим
dEdEе2(1 —万 и л) sin2 7r〃NCW|Sill2 7TZ7е2(1 —万 и л) sin2 7r〃NCW|Sill2 7TZ7(Pa +Р7Т)|ДМ|2,(Pa +Р7Т)|ДМ|2,(5.75)(5.75)
dE
dE
е2(1 —万 и л) sin2 7r〃N
CW|Sill2 7TZ7
е2(1 —万 и л) sin2 7r〃N
CW|Sill2 7TZ7
(Pa +Р7Т)|ДМ|2,
(Pa +Р7Т)|ДМ|2,
(5.75)
(5.75)
где угловые зависимости ра и р^ даются выражениями (5.54) или (5.55). Представив непрерывную функцию /(% N) в виде суммы по гармоникам в соответствии с уравнением (5.31), найдем эквивалентное представление уравнения (5.75):
爲=t>(%N)|6⑺匕 (5.76)
Таким образом, в случае произвольной плоской траектории угловое распределение излучения можно представить в явной форме. Это обусловлено тем, что углы отклонения векторов скорости и ускорения в пределах периода много меньше углового раствора конуса излучения. В результате угловое распределение совпадает с мгновенным.
Найдем спектр излучения в ультрарелятивистском приближении. Интегрирование по углу ф в уравнении (5.76) с использованием (5.72) дает
^ =詫t3("%(-){(5.77)
n=1 о
Здесь и далее первая строка соответствует а-компоненте, а вторая ——тг- компоненте поляризации. Верхний предел интеграла по 少 равен тг, но основная часть излучения генерируется в интервале углов 少 〜)一 \ который много меньше тг. Поэтому верхний предел можно положить равным бесконечности. Определим новую переменную и следующим образом (см. (5.37)):
и = --(1 十 店 十 ^2), d吵2 = ^^^du.(5.78)
В результате получим
гдегде
где
где
(5.80)(5.80)ш(1 + 紹)2шо72
(5.80)
(5.80)
В приближении длинного ондулятора (N》1) можно положить и = п всюду, кроме быстро осциллирующего множителя sin2 TwN/(n — 〃产* Таким образом, спектр излучения ультрарелятивистской частицы в приближении к《1 оказывается близким к спектру излучения нерелятивистской частицы [3]:
* =二 £ t"｛卡V，+ 1 卜m(一叫"(5*81)
Здесь
0(х) = 1 +0(х) = 1 +с si 2с — sin2 жс si 2с — sin2 ж7ГЖ7ГЖ(5.82)(5.82)
0(х) = 1 +
0(х) = 1 +
с si 2с — sin2 ж
с si 2с — sin2 ж
7ГЖ
7ГЖ
(5.82)
(5.82)
где si х ——интегральный синус [19]. Гладкая функция 6(c) является «размазанной» ступенчатой функцией ——она мала при 方 « 1 к близка к единице в области с》L В пределе N т оо функция 0(Nx) переходит в ступенчатую функцию. Таким образом, спектр 九-й гармоники простирается примерно до £ ^ 1 или, в терминах частоты излучения,——до wn = 272wq п/(1^к2). Фор™ ма спектральной кривой как функция переменной £也=£/九 одинакова для
Рис. 5.5. Спектральное распределение излученной энергии на произвольной гармо™ нике в случае малых к для разных значений произведения Nn; 1一3 ——а-компонента; Nn = 5 (/); Nn = 10 (2); Nn т сю (3); /‘一3’ ——7г~компонента (зависимость от N неразличима)Рис. 5.5. Спектральное распределение излученной энергии на произвольной гармо™ нике в случае малых к для разных значений произведения Nn; 1一3 ——а-компонента; Nn = 5 (/); Nn = 10 (2); Nn т сю (3); /‘一3’ ——7г~компонента (зависимость от N неразличима)
Рис. 5.5. Спектральное распределение излученной энергии на произвольной гармо™ нике в случае малых к для разных значений произведения Nn; 1一3 ——а-компонента; Nn = 5 (/); Nn = 10 (2); Nn т сю (3); /‘一3’ ——7г~компонента (зависимость от N неразличима)
Рис. 5.5. Спектральное распределение излученной энергии на произвольной гармо™ нике в случае малых к для разных значений произведения Nn; 1一3 ——а-компонента; Nn = 5 (/); Nn = 10 (2); Nn т сю (3); /‘一3’ ——7г~компонента (зависимость от N неразличима)
всех гармоник и показана на рис. 5.5 для нескольких значений произведе™ ния nN. Полоса частот, в пределах которой обрывается спектр, имеет величину порядка А^п 〜1/ nN. Чем длиннее ондулятор и чем больше номер гармоники, тем круче обрывается ее спектр с высокочастотной стороны.
Параметр к входит в уравнение (5.81) как множитель к2 в |Л(?1)|2 и в аргумент функции 0(х) в виде
с = тгNn — 31+产)2a)o7Jnс = тгNn — 31+产)2a)o7Jn(5.83)(5.83)
с = тгNn — 31+产)2a)o7Jn
с = тгNn — 31+产)2a)o7Jn
(5.83)
(5.83)
Пренебречь малым к в этом выражении можно только в том случае, если изменение |Аж|
〔△/]=n：(用)一之：(0)=〔△/]=n：(用)一之：(0)=TvNuok2TvNuok22公0722公072(5.84)(5.84)
〔△/]=n：(用)一之：(0)=
〔△/]=n：(用)一之：(0)=
TvNuok2
TvNuok2
2公072
2公072
(5.84)
(5.84)
обусловленное ненулевым значением к, достаточно мало. Это выполняется, когда
(5.85)(5.85)22^о72
(5.85)
(5.85)
что соответствует выражению (5.67).
Угловое распределение излученной энергии можно получить, интегрируя (5.75) по частотам. Принимая во внимание тот факт, что множи™ тель |К(?1)|2 sin2 7t〃N/ sin2 тп/ имеет смысл квадрата преобразования Фурье для магнитного поля, и используя теорему Парсеваля
(5.86)(5.86)(5.87)(5.87)|/(w)|2dw = 7Г j 『阳
(5.86)
(5.86)
(5.87)
(5.87)
О—оо
получим
ооNT
^0 J Sin27TZ7 1 川]―例冗 J
оо
Таким образом, угловое распределение
dE _小尤产)dQ47ГС47n2丁20dE _小尤产)dQ47ГС47n2丁20(Per + 0г)(Per + 0г)(5.88)(5.88)
dE _小尤产)
dQ47ГС47n2丁20
dE _小尤产)
dQ47ГС47n2丁20
(Per + 0г)
(Per + 0г)
(5.88)
(5.88)
ооdx.dx.
о
о
dx.
dx.
пропорционально среднеквадратичному значению магнитного поля
(5.89)
Как и следовало ожидать, угловое распределение излученной энергии имеет ту же форму, что мгновенная мощность излучения. Полную излученную энергию можно найти интегрированием уравнения (5.88) по углам,
(5.90)(5.90)или уравнения (5.81) по частотам. В результате получим
(5.90)
(5.90)
Зс4 m2
Излучение вигглера. Ондулятор с относительно сильным полем (к》1) называется вигглером. Часто подразумевается, что излучение вигглера имеет синхротронный характер. Действительно, в этом случае излучение в заданном направлении генерируется с короткого участка траектории, который можно заменить дугой окружности [4]. Тем не менее, излучение вигглера отличается от синхротронного. Во-первых, конечное число периодов вигглера модулирует спектр и угловое распределение на фиксированной частоте. Во-вторых, область изменения направлений скорости частицы ограничена, что приводит к неоднородному распределению излучения по углам. Если частица движется по плоской траектории, то интенсивность излучения убывает практически до нуля в направлениях максимального отклонения скорости. Другие особенности излучения будут рассмотрены в п. 5.2.3. Для расчета излучения вигглера можно использовать технику, развитую для исследования синхротронного излучения уль- трарелятивистских частиц [20, 21]. Возможность использовать аналогичный подход для расчета излучения релятивистской частицы в ондуляторе с большим к обусловлена тем, что при k》1 частица является ультраре- лятивистской и в сопутствующей системе отсчета, движущейся со скоростью 万卜 Действительно, энергия частицы в этой системе отсчета дается преобразованиями Лоренца:
тс2 утс2 утс2тс2(591)(591)
тс2 у
тс2 у
тс2
тс2
(591)
(591)
Продольная компонента скорости в этой формуле имеет величину порядка
(5.92)
Подставляя (5.92) в формулу (5.91), получим
0к》1,
что и требовалось доказать.
Далее будем следовать работе [22]. Пусть движение частицы удовле™ творяет следующим условиям: а))》1; 6) траектория является плоской и радиус кривизны меняет знак один раз за период; в) скорость и ускорение частицы изменяются настолько плавно, что производные от радиус-вектора \dnr/dtn\ меньше или порядка Ло/Тп, где Ло и Т ——пространственный и временной периоды движения. Рассмотрим свойства излучения в плоскости, касательной к траектории частицы в некоторой произвольной точке и
ортогональной плоскости орбиты (в плоскости, проходящей через векторы пие^ на рис. 5.6). В соответствии с б, на траектории имеется две такие точки в пределах каждого периода. Обозначим их цифрами 1 и 2, их коор- (0)(0)
динаты ——черезк 吗 \ а моменты времени, когда частица находится в
этих точках ——через 力i и 力2, соответственно. В случае больших к излучение в данном направлении формируется на коротких участках в окрестности точек 1 и 2. Это позволяет разложить радиус-вектор частицы в ряд по малой величине 丁金=ш()色 一f):
T⑴4⑼++ "产播+ %，⑶播(5・93)
где
& drk '
Для того чтобы переменная 丁 была достаточно мала, поперечная составляющая ускорения『f)должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить поворот вектора скорости на угол 7"1 за время, много меньшее периода движения, а именно
1)》九丁1"(594)
Это выражение является другой формой условия k》L
Энергия, излученная в единичный телесный угол в единичный интервал
частот, определяется стандартной формулой:
(5.95)(5.95)
(5.95)
(5.95)
однако теперь мы разбиваем интеграл на 2^ частей, по две на каждом периоде. Пределы интегрирования устремляем к бесконечности, поскольку период движения много больше продолжительности излучения. Обозначим угол между касательной к траектории в точках 1 и 2 и ее осью через 少中 а угол между вектором о и плоскостью траектории — через ^z (см. рис. 5.6). Единичные векторы поляризации оа и n7r определены таким образом, что вектор па параллелен плоскости траектории. Разложение векторного произведения в уравнении (5.95) по малым 少у, dz и 7™1 дает
.(2)
［飼九万卜=［飼九月］］冗=也"
Ao
Выражение для фазы в уравнении (5.95) следует, как это будет видно из дальнейшего, разложить до третьего порядка малости гю)一L
3力_ k『 =2 _竺也『(0)+ g j +)_ 2)7一
(596)(596)幻⑶夕2®0幻⑶夕3
(596)
(596)
2c 0 丁 6c 0 丁
Последующие преобразования существенно зависят от соотношения меж™ ду слагаемыми в этом уравнении. Первое слагаемое является константой и связано с начальной фазой. Второе имеет величину порядка)一｛ третье и четвертое слагаемые зависят от множителей &()(『(卜)万)/% имеющих в соответствии с принятыми предположениями величину порядка или меньше единицы. Таким образом, последнее слагаемое имеет величину порядка 7^3 или меньше, в то время как член, пропорциональный г2, может быть много больше остальных. Мы видим, что значение продольной составляющей ускорения является существенным. Обозначим через а@ угол между скоростью частицы и ее ускорением, а через af ——угол между скоростью и вектором силы, создающей это ускорение. Тогда направления силы и ускорения связаны соотношениями ［3］
(5.97)(5.97)tgQf = LtgQa 工
(5.97)
(5.97)
При этом член, квадратичный по г, имеет величину порядка
⑴⑵/3) 2(2) 2 *С —4 +
——CtgQa - —7 CtgQ.
Таким образом, можно выделить три типа траекторий частиц: 1) &/ 〜 〜 1 — квадратичный член порядка)一七 им можно пренебречь; 2) а『 〜 〜)—1 ——квадратичный член, сравнимый с остальными; 3) а/ 〜)一？ —— квадратичный член значительно больше остальных.
Ограничемся рассмотрением первого случая, который включает движение в магнитном поле в отсутствие электрического. Из уравнения (5.97) следует, что при этом ускорение ортогонально скорости и аа ^ тг/2. Взяв производную от тождества (гг) = 0, получим (©『⑸))= —^。(『(^))“ Таким образом, уравнение (5.96) можно записать в виде
гдегдез£ — кт =з£ — кт =С£3Ш37式2)媪С£3Ш37式2)媪£ =，)-2 + 睥£ =，)-2 + 睥X = , WX = , W
где
где
з£ — кт =
з£ — кт =
С£3Ш
37式2)媪
С£3Ш
37式2)媪
£ =，)-2 + 睥
£ =，)-2 + 睥
X = , W
X = , W
Подставляя последнее выражение в уравнение (5.95) и суммируя по 2^ точкам на траектории, получим
d£bdQdwd£bdQdwе2ш2с sin2 7грЖ37Г2Шд Sin2 7ГРе2ш2с sin2 7грЖ37Г2Шд Sin2 7ГР
d£bdQdw
d£bdQdw
е2ш2с sin2 7грЖ
37Г2Шд Sin2 7ГР
е2ш2с sin2 7грЖ
37Г2Шд Sin2 7ГР
0）$2声2/3（必）%/3（必）》,（5*98）0）$2声2/3（必）%/3（必）》,（5*98）
0）$2声2/3（必）%/3（必）》,（5*98）
0）$2声2/3（必）%/3（必）》,（5*98）
d&rd&r工 Ik： !券抬/3（必）+春К:/3（必）+工 Ik： !券抬/3（必）+春К:/3（必）++ 2+ 2*2*2e0827/k1/3(4)k1/3(4) k (5*99)e0827/k1/3(4)k1/3(4) k (5*99)
d&r
d&r
工 Ik： !券抬/3（必）+春К:/3（必）+
工 Ik： !券抬/3（必）+春К:/3（必）+
+ 2
+ 2
*2
*2
e0827/k1/3(4)k1/3(4) k (5*99)
e0827/k1/3(4)k1/3(4) k (5*99)
где 2〃 二 з(力2 —力1 _ S『12)/c),『12 =内)一M), K1/3(J) и 衣2/3(/)— модифицированные функции Бесселя. Если энергия частицы в точках 1 и 2 одинакова, то 印=€?• Угловое распределение излучения неявным образом зависит от горизонтального угла ^у через параметр『｝)= г^^у), в то время как зависимость от вертикального угла 少之 выражена в явной форме.
В пределе, при % 一 ±Му П1ах, где 少^ max ——абсолютная величина угла между осью траектории и касательной в точках перегиба, излучение отсут- (2)
ствует, поскольку ускорение и, следовательно, параметр г,-丿 в этих точках обращаются в нуль. При этом аргумент функций Бесселя стремится к бес™ конечности, а сами функции экспоненциально стремятся к нулю. Таким образом, вся энергия излучается в интервал углов —少^ тах < 少^ < 少у тах. На самом деле, как будет показано в п. 5.2.3, излучение генерируется вплоть
до углов ду ^ 土(少у max + )一')• Если частица имеет разное ускорение в точках 1 и 2, то на любой фиксированной частоте излучение эллиптически поляризовано, поскольку разность фаз между а- и тг-компонентами поля излучения не равна нулю. Это свойство используется в так называемых асимметричных ондуляторах, предназначенных для генерации эллиптически поляризованного излучения [24, 25].
Особый интерес представляют наиболее часто используемые ондуля™ торы, в которых траектория частицы симметрична относительно точек перегиба. В этом случае мы имеем г^ = г^2^ и £i = ^2- При этом уравнения (5.98) и (5.99) сильно упрощаются:
蒜 =2。产招/3(J)sin27
где
4е2ш2се2 sin2 7wN03打2公^丁(2)2 En27rzy
Рассмотрим общие свойства излучения, вытекающие из уравнений (5.98) и (5.99). Здесь медленно изменяющиеся функции К1/3(ш,) и 衣2/3(以，)рас- щепляются на отдельные гармоники быстро о сциллирующим множителем sin2 7r〃N/ sin2 7гр. Максимум спектрального распределения излучения находится в окрестности частоты wmax, такой, что аргумент функций Бесселя имеет величину порядка единицы. Равенство w, = 1 дает следующую оценку5:
^max - —(5Л01)
С
Неравенство (5.94) показывает, что эта частота значительно больше часто™ ты основной гармоники 〜 wq72/c™2, определяемой уравнением (5.37). Здесь произведение『(引公^ представляет собой центростремительное уско™ рение частицы в точках 1 и 2:
|г|.(5.102)
Следовательно, выражение для шП1ах можно представить в виде
Зтах 〜ИЛ% 〜Wife3.(5.103)
Таким образом, максимум излучения приходится на номера гармоник
冗max 〜"(5.104)
〉Мы предполагаем, что ®1 и ®$ одного порядка.
В соответствии с уравнением (5.101), частота wmax имеет тот же порядок величины, что и критическая частота синхротронного излучения в магнитном поле, равном полю в точках 1 и 2. Однако расстояние между гармониками в спектре излучения вигглера существенно отличается от соответствующего расстояния в спектре синхротронного излучения. Чтобы убедиться в этом, аппроксимируем полупериод траектории дугой окружности с определенным центральным углом 6. Если частица движется по полной окружности, то она испускает в данном направлении импульсы с частотой движения Тс. В вигглере же длина периода 尊 много меньше, точнее 累=Tc8/tv. Более того, этот отрезок времени существенно уменьшается релятивистским фактором 1 — /3“ п (嗚 +1/^ + *)/2* Таким образом, импульсы излучения вигглера повторяются с периодом Tw 〜£8)一2k? = £8/丄.Принимая во внимание, что Р± 〜8，получим Tw/Tc 〜8?* Соответственно интервал между гармониками в спектре вигглера в 8一' раз больше интервала в спектре синхротронного излучения. Кроме того, свойства излучения вигглера, описываемого формулами (5.100), отличаются от свойств синхротронного излучения интерференцией с соседних полупериодов траектории. Это явление определяется множителем cos 2т/.
Если излучение генерируется неоднородным пучком частиц, то быстрые осцилляции в спектрально-угловом распределении излучения сглаживают™ ся и при достаточно большом угловом разбросе частиц в пучке уширение спектральных линий может быть сравнимо с расстоянием между ними. В этом случае излучение описывается формулами (5.100), усредненными по быстрым осцилляциям. Для того чтобы произвести такое усреднение, используем тождество
• 2%
(5.105)(5.105)SIH— &沁(2V+1)、、e2ian sin2 a
(5.105)
(5.105)
возведем его по модулю в квадрат:
sin2 aNsin2 аsin2 aNsin2 а^ n=N + 2££cos 2/а,^ n=N + 2££cos 2/а,(5.106)(5.106)
sin2 aNsin2 а
sin2 aNsin2 а
^ n
=N + 2££cos 2/а,
^ n
=N + 2££cos 2/а,
(5.106)
(5.106)
после чего усредним обе части:
sin2 туsin2 туsin2 ttuNsin2 ttuNsin2不期sin2不期Ж nk=lj=lЖ nk=lj=lNN(5.107)(5.107)
sin2 ту
sin2 ту
sin2 ttuN
sin2 ttuN
sin2不期
sin2不期
Ж n
k=lj=l
Ж n
k=lj=l
N
N
(5.107)
(5.107)
Здесь мы использовали неравенство тг/2 > т//р, из которого следует ttpj 卢 У 〃* Аналогично для множителя в тг-компоненте:
COS2 7/COS2 7/sin2 ttuNsin2 ttuNNNsin2 7П/sin2 7П/(5.108)(5.108)
COS2 7/
COS2 7/
sin2 ttuN
sin2 ttuN
N
N
sin2 7П/
sin2 7П/
(5.108)
(5.108)
Подставляя полученные выражения в уравнение (5.100), приходим к очевидному результату:
(5」09)
где индекс SR означает синхротронное излучение.
Интересно отметить, что предположение о плоской траектории частиц было использовано нами только для вычисления векторного произведения в уравнении (5.95)* Следовательно, формулы (5.98) и (5.99) будут справедливы и в случае трехмерной траектории, если плоскости, касающиеся траектории в точках 1 и 2, параллельны друг другу, а плоскость /, g выбрана так, что она параллельна этим плоскостям. Однако трудность описания излучения при трехмерной траектории в общем виде заключается в том, что ориентация этих плоскостей определяется направлением вектора п. В результате система угловых координат 少у, ^2 может оказаться доволь™ но сложной. Тем не менее, в отдельных случаях описанный метод удается применить и для трехмерной траектории (см. п. 5.3.4).
Параксиальное приближение. Решение уравнений движения заряженной частицы в магнитном поле ондулятора, использованное в п. 5.1.1, основано на так называемом параксиальном приближении. Грубо говоря, параксиальное приближение основано на малости угла отклонения вектора скорости от направления скорости дрейфа. Для существующих ондуляторов это условие, как правило, выполняется. Рассмотрим теперь этот приближенный метод более детально.
В начале п. 5.1.1 было принято предположение, что в направлении, ортогональном оси ондулятора, магнитное поле в окрестности траектории частицы изменяется достаточно медленно. Кроме того, мы пренебрегли продольной составляющей магнитного поля. В работах [26, 27] было показано, что продольная составляющая вызывает медленные бетатронные колебания с периодом порядка fc^17Ao в направлении, ортогональном плоскости орбиты [26, 28]. Очевидно, что продольной компонентой поля и бетатронными колебаниями можно пренебречь, если пространственный период этих колебаний значительно больше длины ондулятора, т.е.
kLN《l, (5.110)
где ^ — число периодов ондулятора. Точные решения уравнений движения в двумерном магнитном поле произвольной конфигурации получены в работе [31]. Плоская траектория заряженной частицы в одномерном маг™ нитном поле была найдена в работе [26,28]. Найдем условия, допускающие применение параксиального приближения.
Пусть релятивистская заряженная частица пересекает магнитное поле, занимающее ограниченную область пространства. Направим ось ж параллельно начальной скорости частицы v0- Обозначим через L характерный размер области, занятой магнитным полем вдоль оси х. Пусть Нт — мак™
симальное значение магнитного поля на этой оси, а 九(『)——безразмерная функция, определяющая геометрию магнитного поля в соответствии с выражением Н(『)=Hmh(r). Решим уравнения движения методом возмущений. В качестве малого параметра возьмемсимальное значение магнитного поля на этой оси, а 九(『)——безразмерная функция, определяющая геометрию магнитного поля в соответствии с выражением Н(『)=Hmh(r). Решим уравнения движения методом возмущений. В качестве малого параметра возьмем&HmL6 = mcvoy&HmL6 = mcvoy(5.111)(5.111)где с ——угол, на который отклонился бы вектор скорости на пути Б, если бы магнитное поле было однородным и равным Нт. Условие с《1 居 приложении к ондулятору эквивалентно (5.110). В соответствии с методом возмущений разложим радиус-вектор частицы по малому параметру:где с ——угол, на который отклонился бы вектор скорости на пути Б, если бы магнитное поле было однородным и равным Нт. Условие с《1 居 приложении к ондулятору эквивалентно (5.110). В соответствии с методом возмущений разложим радиус-вектор частицы по малому параметру:『⑴=И)⑴ + €Ti(t) + €2r2(t) + ...,『⑴=И)⑴ + €Ti(t) + €2r2(t) + ...,(5.112)(5.112)где『о(方)=[力(力),уо, zq]——координаты частицы в отсутствие магнитного поля. Прямую у ^ уо, z = zq назовем осью траектории. Магнитное поле в ее окрестности можно представить в виде следующего разложения:где『о(方)=[力(力),уо, zq]——координаты частицы в отсутствие магнитного поля. Прямую у ^ уо, z = zq назовем осью траектории. Магнитное поле в ее окрестности можно представить в виде следующего разложения:九（丁）=bо + （T丄▽丄）九（）+ ...,九（丁）=bо + （T丄▽丄）九（）+ ...,(5.113)(5.113)где (『丄▽丄)= (у — уо)д/ду + (% — z^d/dz. Индексом «нуль» отмечена величина поля и его производная на оси траектории. Подставляя уравнения (5.112) и (5.113) в уравнение движения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем скорость:где (『丄▽丄)= (у — уо)д/ду + (% — z^d/dz. Индексом «нуль» отмечена величина поля и его производная на оси траектории. Подставляя уравнения (5.112) и (5.113) в уравнение движения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем скорость:力⑴=г?0 1 — |б2а2(г；о^, -€ay(vot), -eaz(vot),力⑴=г?0 1 — |б2а2(г；о^, -€ay(vot), -eaz(vot),(5.114)(5.114)и траекторию:и траекторию:votб2 Г/(力)=v()t ———a2(x)dx,votб2 Г/(力)=v()t ———a2(x)dx,votg⑴=go — 6 ] ay{x)dx,votg⑴=go — 6 ] ay{x)dx,(5.115)(5.115)
симальное значение магнитного поля на этой оси, а 九(『)——безразмерная функция, определяющая геометрию магнитного поля в соответствии с выражением Н(『)=Hmh(r). Решим уравнения движения методом возмущений. В качестве малого параметра возьмем
симальное значение магнитного поля на этой оси, а 九(『)——безразмерная функция, определяющая геометрию магнитного поля в соответствии с выражением Н(『)=Hmh(r). Решим уравнения движения методом возмущений. В качестве малого параметра возьмем
&HmL
6 = mcvoy
&HmL
6 = mcvoy
(5.111)
(5.111)
где с ——угол, на который отклонился бы вектор скорости на пути Б, если бы магнитное поле было однородным и равным Нт. Условие с《1 居 приложении к ондулятору эквивалентно (5.110). В соответствии с методом возмущений разложим радиус-вектор частицы по малому параметру:
где с ——угол, на который отклонился бы вектор скорости на пути Б, если бы магнитное поле было однородным и равным Нт. Условие с《1 居 приложении к ондулятору эквивалентно (5.110). В соответствии с методом возмущений разложим радиус-вектор частицы по малому параметру:
『⑴=И)⑴ + €Ti(t) + €2r2(t) + ...,
『⑴=И)⑴ + €Ti(t) + €2r2(t) + ...,
(5.112)
(5.112)
где『о(方)=[力(力),уо, zq]——координаты частицы в отсутствие магнитного поля. Прямую у ^ уо, z = zq назовем осью траектории. Магнитное поле в ее окрестности можно представить в виде следующего разложения:
где『о(方)=[力(力),уо, zq]——координаты частицы в отсутствие магнитного поля. Прямую у ^ уо, z = zq назовем осью траектории. Магнитное поле в ее окрестности можно представить в виде следующего разложения:
九（丁）=bо + （T丄▽丄）九（）+ ...,
九（丁）=bо + （T丄▽丄）九（）+ ...,
(5.113)
(5.113)
где (『丄▽丄)= (у — уо)д/ду + (% — z^d/dz. Индексом «нуль» отмечена величина поля и его производная на оси траектории. Подставляя уравнения (5.112) и (5.113) в уравнение движения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем скорость:
где (『丄▽丄)= (у — уо)д/ду + (% — z^d/dz. Индексом «нуль» отмечена величина поля и его производная на оси траектории. Подставляя уравнения (5.112) и (5.113) в уравнение движения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем скорость:
力⑴=г?0 1 — |б2а2(г；о^, -€ay(vot), -eaz(vot),
力⑴=г?0 1 — |б2а2(г；о^, -€ay(vot), -eaz(vot),
(5.114)
(5.114)
и траекторию:
и траекторию:
vot
б2 Г
/(力)=v()t ———a2(x)dx,
vot
б2 Г
/(力)=v()t ———a2(x)dx,
vot
g⑴=go — 6 ] ay{x)dx,
vot
g⑴=go — 6 ] ay{x)dx,
(5.115)
(5.115)
Votz⑴=%o — e ] az(x)dx,
где
1 г
旬(/)=z九Oz(伤 У0, zo)d/，
1 г(5.116)
Oz(/) = —E hOy{x,yo,zo)dx,
演(力)=W(/) + a；(/).
Функции ai(x) пропорциональны векторному потенциалу магнитного поля на оси траектории. Уравнения (5.115) представляют собой обобщение известных решений уравнений движения для различных частных случаев. Решения такого типа для ондуляторов и вигглеров можно найти, например, в [27, 32].
Найдем условия применимости решений (5.115). Они могут быть получены как условия малости следующих членов разложения. Второе слагаемое в ^-компоненте уравнения (5.114) много меньше предыдущего при €а(/)《1. Если мы имеем дело с неосциллирующим магнитным полем, т.е. если характерная длина, на которой изменяется магнитное поле, сравнима с Б, то функции а〃(/) в уравнении (5.116) имеют величину порядка единицы, и, следовательно, приближение (5.114) справедливо при с《1. Для того чтобы оценить следующие члены разложения в у- и ^-проекциях вектора r(t), рассмотрим уравнения движения во втором порядке малости:
亏2 = ^ -工伙)(『丄▽丄)九Oz + %2无0%,e2 = В :鏡0 (『丄▽丄)九оy -•
Этими членами можно пренебречь, если
1(?丄▽丄)伉丄1《1%丄I，(5Л17)
1叫丄аb1 ＜也|九0丄I "(5.118)
Неравенство (5.118) выполняется при с « 1, поскольку из (5.114) следует, что |@1丄| 〜vq |九。丄|, и hOx имеет величину порядка единицы. Неравенство (5.117) означает, что в направлениях, ортогональных оси траектории, магнитное поле можно считать однородным в пределах области, занятой траекторией. Если перечисленные условия удовлетворяются, то решение уравнения (5.115) можно записать в терминах векторного потенциала на оси траектории. При этом уравнения (5.114) и (5.115) позволяют выразить спектрально-угловое распределение излучения заряда через напряженность магнитного поля на оси траектории. С этой целью подставим в фурье- разложение поля излучения координаты частицы из уравнений (5.115), ско-
рость из уравнения (5.114) и возведем его по модулю в квадрат. В результате получим
=e%247r2廟%⑺e2"當)/安/=e%247r2廟%⑺e2"當)/安/(5.119)(5.119)
=e%247r2廟%⑺e2"當)/安/
=e%247r2廟%⑺e2"當)/安/
(5.119)
(5.119)
где индекс j обозначает компоненты поляризации, а
了⑴吋了⑴吋/(1 -仇小)+ 6/(1 -仇小)+ 6|а2(ж) + (Зо{па(х)) dx > . (5.120)|а2(ж) + (Зо{па(х)) dx > . (5.120)
了⑴吋
了⑴吋
/(1 -仇小)+ 6
/(1 -仇小)+ 6
|а2(ж) + (Зо{па(х)) dx > . (5.120)
|а2(ж) + (Зо{па(х)) dx > . (5.120)
Последнюю формулу можно существенно упростить в случае ультрареля- тивистских частиц. Предположим, что энергия частицы много больше ее энергии покоя. Тогда 7》1, а угол 犷，определенный уравнением (5.44), имеет величину порядка)一L Следовательно, уравнения (5.119) и (5.120) можно разложить в ряд по малым)一 ^ кА” Тоща в первом приближении получим
оо2
縱=修 J + (叽,,(5.⑵)
p = [0, ф cos ф, ф sin ф\ к 3 = 少).Уравнения (5.119)-(5.121) выража™ ют спектрально-угловое распределение излученной энергии как функцию приведенного векторного потенциала а(/) магнитного поля на оси траектории.
Полуклассическое описание излучения вигглера. В § 4.4 был предложен простой полуклассический метод расчета квантовых поправок к синхротронному излучению ультрарелятивистских электронов. Этот метод можно использовать для нахождения квантовых поправок к ондуляторному излучению в случае сильных магнитных полей. Квантовые эффекты ондуляторного излучения исследованы в работах [17, 33, 34]. В частности, были подробно изучены поправки в дипольном приближении, когда к《1“ Что касается противоположного крайнего случая к》1，обычно считается, что излучение совпадает с синхротронным и, следовательно, совпадают квантовые поправки. Строго говоря, это верно лишь тогда, когда вигглер состоит из одного поворотного магнита (одного полупериода). Наличие нескольких периодов приводит к тому, что амплитуда вероятности излучения фотона становится о сциллирующей функцией и этим отличается от амплитуды
синхротронного излучения [35, 36]. Здесь мы рассмотрим излучение ультрарелятивистских частиц с учетом квантовых поправок, используя метод, описанный в п. 5.1.5.
Пусть магнитное поле вигглера и динамика частиц удовлетворяют уело виям, сформулированным в п. 5.1.5. Согласно полуклассическому методу, изложенному в § 4.4, фурье-образ электрического поля излучения с учетом квантовых поправок имеет вид
EjQ) = ^ (f\anj\i) exp wEjQ) = ^ (f\anj\i) exp w(5.122)(5.122)
EjQ) = ^ (f\anj\i) exp w
EjQ) = ^ (f\anj\i) exp w
(5.122)
(5.122)
где |г) и I/)——векторы состояния свободного электрона до и после кзлуче- ния фотона соответственно, ш = з/(1 —方以/占)，® ——частота фотона, а —— матрицы Дирака. Состояния |г) и |/) связаны законами сохранения:
£ = £ ™ р = рО, с£ = £ ™ р = рО, с(5.123)(5.123)
£ = £ ™ р = рО, с
£ = £ ™ р = рО, с
(5.123)
(5.123)
где е и р ——энергия и импульс электрона до, а е, к р '——после испускания фотона. Как и в п. 5.1.5, интегрирование в уравнении (5.122) производится в окрестности точек 1 и 2, где касательная к траектории параллельна проекции вектора о на плоскость траектории. Будем считать, что условия, наложенные на динамику частицы в предыдущем пункте, выполняются. Кроме того, предположим, что в точке 1 в начальном состоянии спин частицы направлен вдоль магнитного поля.
Таким образом, производя вычисления также, как это было описано в п. 5.1.5 для классической части и в параграфах 4.4 и 4.7 для квантовых поправок, получим выражения для поля излучения а- и тг-компонент поляризации:
/3） = %r-叮｛（2 + 8）m+0m1%/3（必）+广无仅К2/3（必）］一
-8 （《m+ +⑦m一）向k1/3（必）-發改02k1/3（必）］｝ , P
/ 3） = %RT ｛m一而7 向К2/3（必）+ 度％2K2/3（必）］一—
-［（2 +向公/3（必）-發以02k1/3（必）］｝-
Здесь
еш1] sin ttuN /|ргр??31 ±
石0=。公…,毋=3 ,M士二 一5
(5.125)(5.125)с2 v З72 sin пи2
(5.125)
(5.125)
г?11 = cj3^ ——средняя скорость движения частицы в направлении оси вигглера; шо ——частота движения;⑦=^Zb 8 =方公/占‘；& 7 = ±1 соответствуют
начальной и конечной проекции спина на ось z; pi = s/eHi ——локальный радиус кривизны траектории; Hi ——магнитное поле в точках 1 и 2.
Уравнения (5.124) содержат два вида слагаемых: квантовые поправки, пропорциональные 8, и классические, не содержащие(£ Видно также, что а- и 7г-компоненты имеют различные фазы, что говорит об эллиптической поляризации излучения.
Рассмотрим сначала излучение вигглера, в котором pi 卢 02 a Вигглер такого типа называется асимметричным и используется обычно для получения циркулярно поляризованного излучения [24, 25]. При этом ограничимся квантовыми поправками первого порядка. Далее мы рассмотрим спектрально-угловое распределение излучения симметричного виггле- ра 01 = 02 с учетом членов, пропорциональных 方？.
Излучение асимметричного вигглера. Возводя уравнение (5.124) по модулю в квадрат и сохраняя только члены, линейные по 8, получим
d8a EqC1]U+
+ 2pi Р2 COS 2х.К2/з (^1) 112/3 (Ц ) + р!^2/3(Ш2)]—
-8,[届k1/3(必)к2/3(必)-pl Kl/3(必)к2/3(m)+
d&rd&r石也3統+(1 + 6)石也3統+(1 + 6)dQdwdQdw[р1^1/з(ш1) + о|к；/з(必)一[р1^1/з(ш1) + о|к；/з(必)一
d&r
d&r
石也3統+(1 + 6)
石也3統+(1 + 6)
dQdw
dQdw
[р1^1/з(ш1) + о|к；/з(必)一
[р1^1/з(ш1) + о|к；/з(必)一
— 20102 COS
Заметим, что уравнения (5.126) не содержат членов, пропорциональных множителю м_ 二(1 —《7)/2, который описывает излучение при перевороте спина. Поэтому более нет необходимости сохранять множитель м+. Наличие осциллирующего множителя cos 2左 приводит к тому, что соотношение между компонентами поляризации сильно зависит от частоты и направления излучения. Оценим расстояние △& между максимумами функции cos 2儿 Из уравнения (5.125) следует, что оно сравнимо по величине с расстоянием между соседними гармониками в спектре излучения. Подставляя △〃 = 1 в уравнение (5.125), найдем
где с^± ——характерное значение поперечной скорости. Основная часть излучения генерируется в окрестности частоты
(Мы учли, что р/А 〜/3“//3丄 J Поэтому относительное расстояние между максимумами в спектре излучения порядка
5（户丄?）3«•
Таким образом, излучение отдельного электрона сильно модулировано интерференцией полей, генерируемых в точках 1 и 2. Если же наблюдается излучение пучка электронов, то интерференционная картина смазывает™ ся, и тогда имеет смысл найти усредненные выражения для спектрально™ углового распределения излучения. Усредняя (5.126) по быстро осцилли™ рующим множителям, с помощью уравнений (5.107) и (5.108) получим
备=ё^ ｛（1 + Ь）〃 И^/зН） +。通з（闺一
(5.127)(5.127)dE^dQdcudE^dQdcu弋^「)П^/зИ) + ^^/зИ)]-弋^「)П^/зИ) + ^^/зИ)]-(5.128)(5.128)
(5.127)
(5.127)
dE^
dQdcu
dE^
dQdcu
弋^「)П^/зИ) + ^^/зИ)]-
弋^「)П^/зИ) + ^^/зИ)]-
(5.128)
(5.128)
Мы видим, что знак квантовой поправки в а-компоненте зависит от на™ чальной поляризации электрона £ Изменяя начальную поляризацию электрона или направление магнитного поля вигглера, можно эксперименталь™ но найти значение квантового члена, содержащегося в уравнении (5.127). Его относительная величина равна
Da = 3Da = 3(5.129)(5.129)g‘1k1/3（必）K2/3（必）一J5Kl/3（必）K2/3（必）g4К^/3（以）+”^к^/з（也）
Da = 3
Da = 3
(5.129)
(5.129)
и зависит от частоты и направления излучения. С другой стороны, сравнивая излучение, полученное при противоположных направлениях поля в вигглере, можно найти начальную поляризацию пучка электронов.
Найдем угловое распределение. Интегрируя (5.127) и (5.128) по часто™ там, получим
居dQ居dQ1607^9тг"31607^9тг"3(5.130)(5.130)
居dQ
居dQ
1607^9тг"3
1607^9тг"3
(5.130)
(5.130)
где & ——малый квантовой параметр:
” 2mc\pi\
Проинтегрируем далее (5.127) и (5.128) по углу "? для того, чтобы найти энергию, излученную в вертикальную щель с угловой шириной d-ф. Это дает
黑=4£匕((1 + 6)]к5/3(z)/+к2/3(%)—
—2(—1)绪OQ/式仇)，，(5*131)
蒜=41 + " £ 匕「5/3⑴d一a/3(仇)，
где
—— 2MW
3V^c3757r' Уг 3 73c (1 —方必/?九戌“
Интегрируя по частотам, найдем полную энергию, излученную в телесный угол dф:
d0 —3I 8126，
e(5.132)
号八三1 Г1 573
西———m丽■
Тот же результат получается при интегрировании уравнений (5.130) по углу "?* Найдем, наконец, полную энергию, излученную электроном за одно прохождение вигглера. При интегрировании уравнения (5.132) по ф учтем, что
(5.133)(5.133)dxтс2 7
(5.133)
(5.133)
=——,Pi =
Интегрирование по х следует производить по всему периоду вигглера. Пусть точка 1 находится в интервале (zi,%2), где 胃1Hz2 ——координа™ ты соседних точек перегиба траектории, в которых магнитное поле равно нулю. При интегрировании отя；1 до х^ в уравнениях (5.132) полагаем г = 1, а в интервале (&2, ^1 + А) подставляем £ = 2. В результате получим
8 —'8 —'(5.134)(5.135)(5.134)(5.135)_2*2N入评[7
8 —'
8 —'
(5.134)
(5.135)
(5.134)
(5.135)
-3m2с4[8
7r 3m2 c4
Здесь введены следующие обозначения:
М — Зе 方炉—3eh(Hf — Hf)
寫i+A
1 f
= д \Hn(x,y0)\dx.
XI
ж2Ж1+А
硏\H^(x,y0)\dx, Hf = ^\H^(x,y0)\dx.
Считается также, что частица движется в плоскости г = 0 в окрестности прямой у = уо, параллельной оси вигглера, и в этой окрестности можно пренебречь зависимостью напряженности магнитного поля от поперечной координаты у.
До сих пор мы вычисляли компоненты линейной поляризации излуче™ ния. Однако преимущество асимметричного вигглера состоит в том, что он позволяет получать излучение круговой поляризации, даже при плоской траектории. Поэтому представляет интерес найти квантовые поправки к компонентам круговой поляризации. Определим, как обычно, компоненты правой Е+ и левой Е^ поляризации следующим образом:
Еь 士 iE^
Подставляя уравнения (5.124) в последнее выражение и возводя его по модулю в квадрат, найдем спектрально-угловое распределение компонент круговой поляризации:
超=^1+f {a +方2 加(必)+Р淞/3(凰+
+ 矶欢(1 + " 土 ⑭][р?К1/3(Ц) + Р2^1/з(4)] + 4 ] 土 2欢(1 + b)+
+ 同[届k2/3(必)к1/3(必)一冠K2/3(必)Kl/3(必)]} " (5*136)
Мы видим, что энергия излучения зависит от ориентации спина электрона. Изменяя направление спина или направление магнитного поля вигглера, можно изменять энергию излучения. Это явление можно использовать для экспериментального определения степени поляризации пучка электронов.
Степень поляризации излучения, определенная согласно выражению
Р土Р土djdj非一非一一1一1
Р土
Р土
dj
dj
非一
非一
一1
一1
равна
Р土 = ｛欢3 ［Р1^1/3（Ш1） +Р2^1/3（Ш2）］ +
+ 21/?77（1 + 6）［冠K2/3（m）к1/3（必）-0*2/3（必）к］./3（必）］｝ X
X ｛（1 + 6）^2 ［届К^/з（&）十/^К^/з（必）］+
+ ^⑭］届K2/3（必）к1/3（必）一/^К2/3（必）к1/3（必）］｝ • （5.137）
В заключение обсудим трехполюсную змейку, представляющую собой асимметричный вигглер. Первые измерения квантовых поправок, связан™ ных с магнитным моментом электрона, были выполнены именно на таком приборе ［37］. Магнитное поле змейки как функция продольной координа™ ты имеет три экстремума. Поперечная координата электрона вычисляется двукратным интегрированием уравнений движения, т.е. магнитного поля, и имеет, следовательно, один экстремум. Таким образом, излучение в задан™ ном направлении генерируется в окрестности только одной точки траек™ тории. Поэтому излучение трехполюсной змейки в ультрарелятивистском приближении эквивалентно синхротронному излучению. Соответствующие формулы хорошо известны. В частности, они могут быть получены из формул настоящего пункта, если в суммах по г ограничиться одним членом, например, г = 1.
Излучение симметричного вигглера. Полагая в формулах （5.124） pi = =—02 = Р，^1 = ^2 = J, ПОЛуЧИМ
£Ц&）=目｛—〃十（2 + 5）77siiixK2/3（^） +
+ 16з&хК\/式з'）（и—2 — 〃+Q｝ , （5.138）
石7r（5 = E' ｛〃—b^7sinxK2/3（J） +
+ cosxK1/3（ujf）［u+（2 + "欢 +<K］｝,
где
Ef =处8双石
LU
Классические члены в уравнениях （5.138） имеют одинаковую фазу. Это говорит о том, что основная часть излучения линейно поляризована （см. обсуждение формулы （5.52））. Квантовые поправки а™ и тг-компонент имеют разные фазы. Следовательно, часть излучения, обусловленная эффектами отдачи и спином частицы, имеет ненулевую степень круговой поляриза™ ции. Чтобы найти спектрально-угловое распределение излучения, найдем
квадрат модуля выражения (5.138) (сохраняя члены, квадратичные по 5). В результате получим
非。i力2 2 22 ^n2
+ <52 cos2xKi/3(W)[n+ + 〃—欢2]})(5.139)
蠡广*£嘗{屮2 + ^)宀/3) +
一〃一户切25m2X抬/3 3)+«352Х^/3(/)]}*
В классическом пределе 方一 0 уравнения (5.139) переходят в уравнения (5.100). Усреднение быстро о сцил лирующего множителя с помощью формул (5.107) и (5.108) дает
紀=3+(2 + "冲抬/зН) + 庐(〃+ + 欢卜 猊="S^ 卜一产〃2/3(⑺ + [也(2 + W + 〃一庐"MJ)]
Полученные выражения отличаются от соответствующих формул для синхротронного излучения отсутствием членов, линейных по спину электрона.
В симметричном вигглере вместо уравнений (5.131) имеем
d0而d0而л/Зе2 у Ny8тгс(1 + 6)2л/Зе2 у Ny8тгс(1 + 6)2(2 + 6)2 (: ^5/3(^)^ + -^2/3(?/)у +(2 + 6)2 (: ^5/3(^)^ + -^2/3(?/)у +СЮ+ 2尸〃2 Ki/3(z)dzУ•СЮ+ 2尸〃2 Ki/3(z)dzУ•сю+ 〃—尸K5/3(z)dz — К2/зЫсю+ 〃—尸K5/3(z)dz — К2/зЫd&rd0而d&rd0而y/^e2 j Ny8тгс(1 + 6)2y/^e2 j Ny8тгс(1 + 6)2сюсю« u+(2 + 5)2 Kb/3(x)dx - К2/Лу) +« u+(2 + 5)2 Kb/3(x)dx - К2/Лу) +LgLg+ 我一产+ 我一产K5/3(z)d% + К2/з(>) + 2 Kr/B^dxK5/3(z)d% + К2/з(>) + 2 Kr/B^dxLyLyУУ
d0而
d0而
л/Зе2 у Ny
8тгс(1 + 6)2
л/Зе2 у Ny
8тгс(1 + 6)2
(2 + 6)2 (: ^5/3(^)^ + -^2/3(?/)у +
(2 + 6)2 (: ^5/3(^)^ + -^2/3(?/)у +
СЮ
+ 2尸〃2 Ki/3(z)dz
У•
СЮ
+ 2尸〃2 Ki/3(z)dz
У•
сю
+ 〃—尸K5/3(z)dz — К2/зЫ
сю
+ 〃—尸K5/3(z)dz — К2/зЫ
d&r
d0而
d&r
d0而
y/^e2 j Ny
8тгс(1 + 6)2
y/^e2 j Ny
8тгс(1 + 6)2
сю
сю
« u+(2 + 5)2 Kb/3(x)dx - К2/Лу) +
« u+(2 + 5)2 Kb/3(x)dx - К2/Лу) +
Lg
Lg
+ 我一产
+ 我一产
K5/3(z)d% + К2/з(>) + 2 Kr/B^dx
K5/3(z)d% + К2/з(>) + 2 Kr/B^dx
Ly
Ly
У
У
Интегрируя по частотам, найдем полную энергию, испущенную в телесный угол d°:
居—4e274^d。 3p居—4e274^d。 3p787825v^1225v^12111818d°d°(5.140)(5.140)
居—4e274^
d。 3p
居—4e274^
d。 3p
7
8
7
8
25v^
12
25v^
12
1
1
18
18
d°
d°
(5.140)
(5.140)
Рассмотрим более подробно структуру уравнений (5.140). Интересно сравнить их с уравнениями (3.93) и (4.110). Первое слагаемое соответствует с- и тг-компонентам классической теории синхротронного излучения. Кван™ товые поправки, пропорциональные 〃+ (излучение без переворота спина), описывают эффект отдачи при испускании кванта (за исключением чле™ на (5/9)§2 в сг-компоненте уравнения (4.110)). Член (5/9)^2 и слагаемые, соответствующие излучению с переворотом спина, описывают излучение собственного магнитного момента частицы. Эти поправки присутствуют также в синхротронном излучении и были получены в работах [38, 39]. Однако в отличие от синхротронного излучения, уравнение (5.140) не со™ держит членов, линейных по спину электрона. Это связано с тем, что вслед™ ствие симметрии функции H(z) поле вигглера не выделяет в пространстве какого-либо аксиального вектора. Независимость полученных выражений от начального состояния поперечного спина электрона говорит об отсутствии в симметричном вигглере эффекта радиационной самополяризации.
Излучение ондулятора
с синусоидальным магнитным полем
Осциллятор с кратными частотами. Рассмотрим излучение заряженной частицы, движущейся по закону [40]
(5.141)(5.141)г =伫1 — + Л. sin 丁 十 В sin 2т,
(5.141)
(5.141)
Е =с— + Ло sin т + Bq sin 2т,
где 丁 ——параметр. Уравнения (5.141) описывают движение, при котором ча™ стица движется по траектории, напоминающей цифру «8» и при этом дрей™ фует в произвольном направлении с постоянной скоростью. Такое движение реализуется в ондуляторе с синусоидальным магнитным полем, плоской линейно поляризованной электромагнитной волне [3], линейно зависящих от координат электрическом и магнитном полях [41]. Полагая, например, Ах Az Aq Ву = Bz = Bq 0, получим траекторию частицы в ондуляторе, магнитное поле которого изменяется по закону синуса. В комбинированном электрическом и магнитном квадруполе поля линейно зависят от поперечных координат. Движение в таких полях описывается уравнениями (5.141), если в них положить Ах = Az = Aq = Ву = Bz =
=Ву = Bq = Q. Устремляя Ло, Во, В к нулю, получим гармонический осциллятор.
Исследуем излучение частицы, движущейся по закону (5.141). Будем считать, что частица совершает N полных колебаний с периодом Т = =2тг/шо. При t < 0 и t > NT частица движется равномерно и прямолинейно* Предположим также, что N》L Распределение энергии излучения частицы описывается уравнениями (5.50) и (5.51). Фаза в экспоненте уравнения (5.51) может быть записана в виде
wnt — knr = 几(丁 一0cost — Qsin2т),
где
Utt 一 doUtt 一 do
a = jtl, b = jD , dg = TIq , 6q = x?q .cccc
Определим обобщенную функцию Ангера J” (z, у) следующим образом [8]:
J“(Z,〃) = ^ ei^XSinr^ysin2T)d^(5.143)
Обобщенная функция Ангера возникает при интегрировании в уравнении (5.46). В приближенных формулах (5.50) и (5.51) мы имеем дело с функциями целых индексов р. В этом случае обобщенная функция Анге= ра переходит в обобщенную функцию Бесселя, введенную в работах [42, 43]. Функции такого типа использовались ранее для описания излучения электрона в поле плоской электромагнитной волны или рассеяния фотона на электроне [42, 47, 48]. Обобщенные функции Бесселя двух и более переменных детально исследованы в работах Даттоли и др. [45, 46]. Здесь мы рассмотрим основные свойства обобщенных функций Ангера, которые вытекают непосредственно из определения (5.143).
Рекуррентные соотношения:
7TZAJ"(伤 4)=siD7TP + 57rz[J"+1(伤4)十乙一1(但4)]+
+ 7Г矶J"+2(Z,〃)十 J" —2応加 (5.144)
^^ = |口…1位4)-l+1@4儿(5Л45)
^^ = 3…2也4)一乙+2応疥(5.146)
Частные случаи:
J"(z,0) = J(5.147)
J^(o, 〃)= cos ^ J"/2(—办(5.148)
Представление s виде ряда: сделав замену
「"2丁= £ e^2lkTJk^
в формуле (5.143), получим
J”応4)= e(-1产办®)J"+2k(z)= 工 办(〃))"_2Mz》 (5.149) k = — g1fc= —oo
Здесь 办(z) и J左(z)——функции Бесселя и Ангера соответственно. Чтобы найти представление обобщенной функции Бесселя целого индекса в виде степенного ряда, подставим в определение (5.143)
& —2Z SIH 丁& —2Z SIH 丁S (—分tsinr)22T — S (—匆sin2丁)m
& —2Z SIH 丁
& —2Z SIH 丁
匕=0m=0
После интегрирования получим
匕=0 m = 0
F (тп, (n — /)/2 — m; (/ + n)/2 + 1; _]) 2
—n)/2 + m+l)F((/ + n)/2 + l)丿 ”丿
Здесь F(q, 6; c; z) — гипергеометрическая функция [19]. Чтобы исключить нулевые слагаемые с нечетными (I + п) и индексами I < п — 2m, пере™ обозначим индексы следующим образом: I = 2j ^ п — 2т. В результате получим [32, 46]
Jn(x,y) = xnJ2^—^ 工
j=0m=0
(23‘ + 冷一m)!F(—m, —j;j + n — m —1)
2也+27一勺№ + 冷—7九)！(冷 + 2j — 2m)!")
где [j + 71/2] = j + 几/2, если п четно, и [/ + 几/2] = j + (几一1)/2, если п нечетно.
Свойства симметрии:
(5.152)(5.152)Jn(—伤 〃)=(—1) Jn (x^ У\
(5.152)
(5.152)
J—n (^1? y} = /l(—伤—〃)=(—1) Jn {X^ —y\
где п ——целое.
Вернемся к осциллятору с кратными частотами. Функция Bnj в выражении (5.51) принимает вид
Bnj = (/3叮 + }) Jn(np,nq) + I (叼一^%) [Jn+1(np,nq) +
+ 小-1(几0)几4)]* (5*153)
Функции Впа и ВП7Т вещественны, следовательно, излучение линейно поляризовано. Подставляя Bjn в уравнение (5.50), находим спектрально™ угловое распределение компонент поляризации:
/ =可十可 ^几％{2(叫戸 b3)Jn(np,nq) +
+ (qaj - p6J[Jn+i(?ip, nq) + J^^np.nq)]}2 . (5.154)
Рассмотрим свойства излучения в пределе малых амплитуд колебаний (дипольное приближение). Предположим, что аргументы ри q обобщенных функций Бесселя много меньше единицы. Считаем, что частицы являются ультрарелятивистскими. Знаменатель в уравнениях (5.142) имеет порядок величины Чтобы параметры @ и q были малыми, следует предполо™ жить, что (па), «о, (mb),匕。《т~L Скалярные произведения можно пред™ ставить в форме (па) = (п丄а丄)+ (пцац), где индексы ± и || означают поперечную и продольную компоненты векторов относительно средней скорости 万卜 Принимая во внимание, что 几丄 〜 и 几“ 〜1, получим следующие условия малости параметров р и q:
1a 丄 |/b丄 |《7一* @0,历《7一2. (5.155)
Малость параметров «о и bo обеспечивает линейную зависимость 丁 от времени в уравнении (5.141). Перечисленные условия дают возможность раз- дожить функцию Jn(np^ nq) в ряд по степенямр иди ограничиться первыми членами разложения. Из уравнения (5.150) имеем
J^x.y) = 1, Ji(x.y) = z/2,小(伤4)=4/2,小(伤4)=z沙/人(5.156)
Подставляя последнее выражение в формулу (5.154), в качестве первого приближения получим
d&gе / q I 、2 sin? 7г沙N
= 47r2c(1 —绮 п)2(0自(1 — ^)2，
d&j4е2/、2 ^口27rlzN(5.157)
<MJ = Ted—例円)2g炉叮 +(2 — 1/)2 "
Как и следовало ожидать, основной вклад в излучение дают первая и вторая гармоники. Более того, энергия излучения на первой гармонике зависит только от амплитуд колебаний с частотой шо, а на второй гармонике ——от амплитуд колебаний с частотой 2Gо* Перепишем последнее выражение в терминах углов ^ и ф. Разлагая уравнение (5.157) в ряд по малым и "， получим для первых двух гармоник (⑦=?")
d£ib,7rdadcud£ib,7rdadcue274 sin2 kuNe274 sin2 kuN7Г2g(1 + ^2)4 (1 -沙产7Г2g(1 + ^2)4 (1 -沙产[2,欢 sin 0(生р — «о) +[2,欢 sin 0(生р — «о) +
d£ib,7rdadcu
d£ib,7rdadcu
e274 sin2 kuN
e274 sin2 kuN
7Г2g(1 + ^2)4 (1 -沙产
7Г2g(1 + ^2)4 (1 -沙产
[2,欢 sin 0(生р — «о) +
[2,欢 sin 0(生р — «о) +
d£2cr,7TdQdajd£2cr,7TdQdajооsin2 k*N (n 一以)2sin2 k*N (n 一以)2dw =dw =2冗%0?27V1 +麻2冗%0?27V1 +麻(5.159)(5.159)
d£2cr,7TdQdaj
d£2cr,7TdQdaj
о
о
sin2 k*N (n 一以)2
sin2 k*N (n 一以)2
dw =
dw =
2冗%0?27V
1 +麻
2冗%0?27V
1 +麻
(5.159)
(5.159)
+ Q 方,g 欢2 sin 20 —旬/(1 干欢 2 cos 20)](5.158)
16e274 sin2 k”N .、丄
Интегрируя уравнение (5.159) по углам, найдем спектр излучения:
(5.160)(5.160)d£《d£i jdg? §
(5.160)
(5.160)
dcu dcudcu 7
где
^J^ = e 7r；7 W [狂气急—Qo)2式]—g) + 吃(1 - 2g + 1) +
+ 考/(3£2 — 2£ + 1)] 0MV(1 — 0], (5.161)
专广=e ' [4)2(" - 60)2€(2 -€) + 成?(1 一 4£ + 4) +
+ ¥/(3『 —4£ + 4)]0MV(2 —◎•
Здесь £ = w/2wq72 ——приведенная частота, а функция 0(z) определена уравнением (5.82). Как видно из уравнений (5.160) и (5.161), спектральная
плотность излучения в области частот ^ < 1 представляет собой суперпозицию первой и второй гармоник и зависит от &勿 и 加，в то время как в области £〉1 спектр определяется только амплитудами bi.
Наконец, найдем полную излученную энергию. При интегрировании по частотам в приближении 1/N (приближение длинного ондулятора) функцию 6(力)можно заменить ступенчатой функцией. Тогда получим
27гe2^wo7427гe2^wo74ЗсЗсg)2(g - «о)2 + *Qy +g)2(g - «о)2 + *Qy +&(Т,7Г&(Т,7Г167гe2^wo74167гe2^wo74(5.162)(5.162)/)2也—瓦)2 + § 匠g./)2也—瓦)2 + § 匠g.
27гe2^wo74
27гe2^wo74
Зс
Зс
g)2(g - «о)2 + *Qy +
g)2(g - «о)2 + *Qy +
&(Т,7Г
&(Т,7Г
167гe2^wo74
167гe2^wo74
(5.162)
(5.162)
/)2也—瓦)2 + § 匠g.
/)2也—瓦)2 + § 匠g.
Как видно из уравнений (5.161) и (5.162), угловое распределение в дипольном приближении распадается на сумму соответствующих характеристик отдельных осцилляторов, колеблющихся в направлениях осей ж, у или г. В частности, спектр первой гармоники состоит из спектра продольного осциллятора, который описывается функцией g? (1—£), и спектра поперечного осциллятора хорошо известной формы: ^(2^2 — 2g + 1) (здесь произведено суммирование по компонентам поляризации). Заметим, что степень поляризации, например, первой гармоники равна
=I&L&" = 3 就-吟 (5 163)
и определяется соотношением между амплитудами колебаний. Она макси™ мальна и равна степени поляризации синхротронного излучения (Р = 3/4), когда а①一а。= 0 и одна из амплитуд ау или az равна нулю. Компоненты ау или az всегда можно сделать нулевыми соответствующим поворотом системы координат, т.е. выбором векторов поляризации. Таким образом, существенна только зависимость от аж — а。* Аналогично, степень поляризации второй гармоники определяется амплитудами 仇.
Ондулятор с гармонически изменяющимся магнитным полем. Одним из важных частных случаев рассмотренного выше движения частиц является движение в магнитном поле Н(г) = (О, О, Н sin(27ra?/Ao)). Это поле в хорошем приближении описывает магнитное поле, реализуемое в плоскости симметрии плоского ондулятора, показанного на рис. 5.1. Решение уравнения движения дается формулой (5.11). Сравнивая его с уравнениями (5.141), получим следующие выражения для приведенных амплитуд:
®ж = а? = а。= by = Ь% = Ьи = G〉а у = V^/3“ к) )Ьх = —/Зц к^у "/4.
Запишем спектрально-угловое распределение излучения в приближении
ультрарелятивистских частиц. Используя уравнения (5.44) и (5.154), получим (^ =)")
爲J = с(1+?鼠們 2 £^2/心 N){v^COS”“(砂，喃-
—kpn+i(wv妆)+ 厶一1(WMW)]} , (5.164)
где
(5.166)(5.166)2，^k 吵 cos ф廿
(5.166)
(5.166)
1 + k2 + 吵2)"2(1 + k2 + 吵2)"
Рассмотрим интенсивность излучения на оси ондулятора. Полагая в уравнениях (5.164) и (5.165) ^ = 0, найдем, что излучение тг-компоненты отсутствует, а излучение a-компоненты принимает вид
гдегдеdUdujdUduj2 200• 2 АТ2 200• 2 АТРП (左)7РП (左)7(5.167)(5.167)9也（左）=9也（左）=(1 + Р)2(1 + Р)2к2п2к2п2
где
где
dUduj
dUduj
2 200• 2 АТ
2 200• 2 АТ
РП (左)7
РП (左)7
(5.167)
(5.167)
9也（左）=
9也（左）=
(1 + Р)2
(1 + Р)2
к2п2
к2п2
左=k/，l + АА Таким образом, в этом направлении а-компонента со™ держит только нечетные гармоники. Энергия излучения в максимуме 几-官 гармоники определяется формулой
(1Еа(1Еа2е272>22е272>29也 (左)*9也 (左)*(5Л68)(5Л68)
(1Еа
(1Еа
2е272>2
2е272>2
9也 (左)*
9也 (左)*
(5Л68)
(5Л68)
Функция 夕九(左)для первых трех гармоник изображена на рис. 5.7. Мы видим, что при малых к излучается только первая гармоника. Высшие гармоники возникают с ростом к. Каждая гармоника максимальна при опреде™ ленном к. При дальнейшем увеличении параметра к интенсивность излучения убывает вследствие того, что увеличивается телесный угол, в котором распределена энергия излучения. Несмотря на то, что полная энергия излучения на данной гармонике растет, излучение в единицу телесного угла убывает и стремится к нулю при к т ос.
Чтобы найти угловое распределение компонент поляризации, проинтег-
Рис. 5.7. Спектральная плотность излучения на оси ондулятора как функция « для первой (7), третьей (2) и пятой (3) гармоник
рируем по времени мгновенную мощность излучения, определяемую уравнением (5.57):
d& _ е2 T [(/万)(九6) + (乡6)(1 -万九)]"
dQ 4?го 工(1 一万九)5"
о
(5.169)
Направление вектора п задается углами ^z и "^ между вектором и плоскостями ху и xz соответственно. Для ультрарелятивистского заряда углы "? и "у малы. Разлагая уравнение (5.169) в степенной ряд по "?, "у и 7™1 и используя обозначения ^^ = 7"^, 1Pz =)"?，получим
*=4EQk2(I^ 例2/4 + 例4/5),索=16EQk2^(I4 - 〃2厶),(5Д70)
где 〃2 = 1 + 此,
1 ” sin2 ж dx^^ujqN
7Г 工[(к cos ж V;?/ )2 + ^2]n，° c
0
Интегралы In можно найти, дифференцируя тождество
— dx(q cos2 x ^ r cos ж + s)=
0
(r2 — 2q『tg(/i/2))i/2
sin /2 = q + s
по q или S" Опуская простые, но громоздкие детали интегрирования, запишем результат в следующем виде:
/з =彳[(36 — l)g + 2м],
(5.171)(5.171)厶=丽^ [(5产-46 - 1)『+ 2(36 - 1)ад + 4炉],
(5.171)
(5.171)
厶=蒜[(35戸—45b2 — 36 + 5)/ + 4(1562 — 12b — 5)W2+
+ 20(36- l)'U2^ + 40'U3],
где
и = 1 + ^2 + fc2, g =，(1 + 吵2 —衣2)2 + 4〃 2k2,
Графическое представление этого распределения приведено в работе [23]. Более подробную информацию относительно углового распределения излучения можно найти также в статье [49].
В случае малых к мы можем разложить уравнения (5.164)-(5.166) в степенной ряд с помощью (5.151). При этом следует иметь в виду, что р к, но q к2, Запишем зависимость от к в явной форме, используя обозначение р = кР. Сохраняя только низшие степени параметра р, из уравнения (5.151) находим
Jn(pn,qn)=Jn(pn,qn)=n [九/2]n [九/2]5P 厂 2%Q)m,5P 厂 2%Q)m,(n — 2m)!m!(n — 2m)!m!n —1 n/2n —1 n/2Л+1(рп, gn) + Jn^i(pn, gn)=Л+1(рп, gn) + Jn^i(pn, gn)=(n — 2m — l)!m!(n — 2m — l)!m!
Jn(pn,qn)=
Jn(pn,qn)=
n [九/2]
n [九/2]
5P 厂 2%Q)m,
5P 厂 2%Q)m,
(n — 2m)!m!
(n — 2m)!m!
n —1 n/2
n —1 n/2
Л+1(рп, gn) + Jn^i(pn, gn)=
Л+1(рп, gn) + Jn^i(pn, gn)=
(n — 2m — l)!m!
(n — 2m — l)!m!
Подставляя эти выражения в уравнения (5.164) и (5.165), получим спектральное и угловое распределения излучения на n-й гармонике в первом приближении:
где
[S+D/2]
«а = 8S。 £ (п + 2т + 1)ЬШП,
[п/2]
a7r = sin。工⑺一2т + 1)6ШП,
_(^吵cos
mn 22，m(l + ^2')n^mml(n — 2m + 1)!'
Исследуем подробно угловое распределение излучения первых трех гармоник [50, 51]. Полагая в уравнении (5.172) n = 1, 2, 3 и используя формулу (5.35), получим
d8jn sin2 7гp^ (1 + ^2 )Ао d&3n.у
e4宀Nc e — 5(5」73)
где dEjn/dQ ——угловое распределение n-й гармоники:
祟=Ki(1 —状 cos 20)2,(5.174)
餐=КТф4 sin2 2^,(5.175)
祟=2K2^2 cos2 ф [8抬 cos2 0 — 5(1 + 状)匕(5.176)
^^^ = 2K2也2 sin2 ф [8^2 cos2 0 - 1 - ^2]2,(5.177)
^^ = |^Кз [24^4 cos4 ф - 18^2 cos2 </)(! + ^2) + (1 + 状(5.178)
^^ = ^Кз@4 sin2 20 [4^2 cos2—状匕 (5.179)
где
—87ге274k2у
(5.180)(5.180)'% =入 0(l + 吵 2)2n + 3*
(5.180)
(5.180)
Формула для Kn показывает, что основная часть энергии излучается на первой гармонике и при малых к излучением высших гармоник можно пренебречь. Однако различные гармоники генерируются на разных частотах. Следовательно, мы можем наблюдать, например, третью гармонику без помех со стороны первой и второй.
Излучение вигглера. Излучение синусоидального ондулятора в пределе больших к было рассмотрено в работах [23, 52, 53]. Будем считать, что k》1, но поперечная скорость частиц мала: /3丄《L Совместно эти два условия дают неравенство
Спектрально-угловое распределение излучения компонент поляризации в этом случае дается уравнением (5.100), где приведенное ускорение『(^)= =|г|/шд вычисляется с помощью уравнения (5.11). Ускорение |г| следует
вычислять в точках 1 или 2 (см. п. 5.1.5). Таким образом, ускорение является функцией угла "^. Поскольку этот угол мал, имеем
"у = У = —'^к)—1 sin®。九"у = У = —'^к)—1 sin®。九(5.181)(5.181)
"у = У = —'^к)—1 sin®。九
"у = У = —'^к)—1 sin®。九
(5.181)
(5.181)
Очевидно, что у± =—号》, следовательно, cos шой =cos ш0^2, siiicuoti =
=sin си。力2； поэтому "g связан с й и 力2 соотношением
(5.182)(5.182)sin шой,2 = _Q) COS Шой,2 =干— q2
(5.182)
(5.182)
где
л/2кл/2к(5.183)
л/2к
л/2к
Ускорение в точках 1 и 2 оказывается равным
(5.184)(5.184)г = \/2ckajQ 7 - ］，1 — q2
(5.184)
(5.184)
Подставляя это выражение в уравнение (5.100) для спектрально-углового распределения излученной энергии, получим
= ?o此 cos2 хК》з(
где
2e2w2(l + ^z ) sin2 7ГP^
037Г2072k2a_ &2) sin27rly ，
3 V^72 kujo，1 — a?'
X =万(力2 一力1(1-的几①》 (5.186)
Таким образом, уравнения (5.185) содержат произведение медленно изменяющихся функций аргументов "⑦"？，® и быстро осциллирующих множителей (sin2 7r〃N)/(sin2 7П7), sin2 % и cos2 x« Рассмотрим сначала медленно изменяющуюся часть.
Аргумент функций Бесселя К1 /3(г), К2/з (之)говорит о том, что угловое распределение в плоскости траектории ограничено направлениями а = ±1, т.е. ду = ±友厂1 у^. В соответствии с уравнением (5.182) эти направления совпадают с направлениями максимального отклонения вектора скорости от оси траектории. В плоскости xz основная часть энергии излучается в
область углов порядка)一L Частота, на которую приходится максимум в спектре излучения, имеет величину
?2k,]一a2(1 + 讽)3/2 W?2k,]一a2(1 + 讽)3/2 W(5.187)(5.187)
?2k,]一a2
(1 + 讽)3/2 W
?2k,]一a2
(1 + 讽)3/2 W
(5.187)
(5.187)
и изменяется от нуля для направлений а = ±1 до шт.〜т^к®。для направления вдоль оси траектории. Для излучения в направлении оси вигглера уравнение (5.185) дает
d& 12е272 sin2 7ГP^ sin2 (тгр/2)d& 12е272 sin2 7ГP^ sin2 (тгр/2)dad® 7г2сdad® 7г2сsin2 7ГРsin2 7ГР®2K^/3（J）， 瀛=6 （5」88）®2K^/3（J）， 瀛=6 （5」88）
d& 12е272 sin2 7ГP^ sin2 (тгр/2)
d& 12е272 sin2 7ГP^ sin2 (тгр/2)
dad® 7г2с
dad® 7г2с
sin2 7ГР
sin2 7ГР
®2K^/3（J）， 瀛=6 （5」88）
®2K^/3（J）， 瀛=6 （5」88）
Как и следовало ожидать, излучение в этом направлении содержит только нечетные гармоники. При этом максимум в спектре приходится на приве™ денную частоту а/ р^ 0,42 или 弋 1,8)?к®。.
Рассмотрим свойства излучения, определяемые множителем
(5.189)(5.189)sin2 7ti/N [ sin2 хsin2 7ГР [ cos2 X
(5.189)
(5.189)
Разлагая уравнение (5.2.3) в степенной ряд по малым)т,衣一匕 к「-、, получим
(5.190)(5.190)(5.191)(5.191)沙=^(1 + 2q)
(5.190)
(5.190)
(5.191)
(5.191)
С помощью уравнения (5.182) найдем
g(Q)= (1 + 2a2) arccos q —1 — a2.
Как отмечалось выше, максимум в спектре излучения лежит в области ® 〜)2衣@0, следовательно номера гармоник 〃, а также значение пара™ метра х, имеют порядок величины к3 (ср. (5.104)). Исключение составляют границы телесного угла (где 1 — а?《1), в который генерируется излучение. Заметим, что при разложении в формулах (5.190) и (5.191) мы пренебрегли слагаемыми, которые малы в сравнении с оставшимися, но имеют величину много большую единицы. Например, для вычисления функций sin тг〃 или sin% следует использовать выражения (5.2.3), которые имеют более высокую точность, чем уравнения (5.190) и (5.191). Тем не менее, последние уравнения можно использовать для анализа зависимости у и х от углов, частоты и параметра к.
Рассмотрим теперь спектр излучения. Множитель sin2 ^yN/ sin2 тг〃 вырезает из спектра отдельные гармоники шириной △“ 〜1/N. В основной части спектра относительная ширина гармоник равна Аш/ш = △〃/〃 〜 〜(^^3)^1, а расстояние между ними Аш/ш 〜 衣一L функции sin2 % и
cos2 х модулируют спектр с периодом того же порядка. Таким образом, множители sin2 T^yN/ sin"»% sin2 % и cos2 x изменяются значительно быстрее, чем функция K1^{ujf) и 衣2/3(®，)户 Интересно, что максимумы и минимумы а-компоненты чередуются в спектре излучения с максимума™ ми и минимумами тг-компоненты. Это означает, что в любом заданном направлении имеются близкие частоты, на которых излучается либо а-, либо тг-компонента.
Влияние множителя sin2 不uN] sin2 тг〃 на угловое распределение было подробно исследовано в п. 5.1.2.
Зависимость множителей sin2 % и cos2 х от направления определяется функцией g(а)2 заданной уравнением (5.191). Эта функция монотонно растет с ростом а, принимая значения Зтг и 0 для а = —1иа = +1 соответственно. Направления, в которых функции sin2 % и cos2 х принимают нулевые или максимальные значения, определяются уравнением х =亓厶 где / = 0,1, 2,, 1т, Число 1т есть наибольшее целое, удовлетворяющее условию
(5.192)
Величина х не зависит от 少^，следовательно, в данном приближении эти направления лежат в плоскостях, параллельных оси г.
Из уравнения (5.191) следует, что спектрально-угловое распределение излучения не симметрично относительно плоскости xz. Эта асимметрия обусловлена тем, что в вигглере конечной длины точки 1 и 2 расположены несимметрично относительно краев вигглера. Однако при N т оо эта асимметрия исчезает. Действительно, мы можем переписать уравнение (5.191) в эквивалентной форме:
X = 〃( 5 - arcsin а i + 2&2 卜(5.193)
При N т оо имеем излучение на частотах, соответствующих целым 沙, поскольку
lim ； :〃N = £ “〃 — n).(5.194)
Ntoc N sin2 7ГР冷士3c
Как вытекает из уравнения (5.193), функции sin2 х и cos2 % при целых 沙 являются четными относительно приведенного угла а. Естественно, излучение с целыми “ не зависит от знака а при любых N. Важно, однако, что при малых N излучение на нецелых “ составляет заметную часть в полном спектре излучения. Более того, максимумы гармоник в этом случае не совпадают с целыми значениями приведенной частоты 〃.
Поскольку расстояние между гармониками много меньше, чем ширина всего спектра излучения, мы можем усреднить спектральное распределение
по коротким интервалам, содержащим большое число гармоник. Тогда с помощью формул (5.107) и (5.108) найдем
(5.195)
e2g2(1 +也)N
37Г2 c?2 卜2 a^(1 - a2 ) ”
Полученные выражения отличаются от соответствующих формул для синхротронного излучения только зависимостью от угла "д* Если в формулах для синхротронного излучения заменить однородное магнитное поле величиной локального поля На = Hov 1 «2 в точке, в окрестности которой происходит излучение, то эти формулы примут вид (5.195).
Выражения (5.195) являются асимптотическим представлением спектрально-углового распределения излучения при k》L Относительная ошибка имеет величину порядка 衣一t
157Г2FTP^fp^(5Л96)217Г2元(1+*)9/2"157Г2FTP^fp^(5Л96)217Г2元(1+*)9/2"]5?2£l/弓，1 一 a216^k(l +*)7/2]5?2£l/弓，1 一 a216^k(l +*)7/2Для того, чтобы найти угловое распределение, проинтегрируем (5.195) по частотам, используя тождества
157Г2
FTP^fp^
(5Л96)
217Г2
元(1+*)9/2"
157Г2
FTP^fp^
(5Л96)
217Г2
元(1+*)9/2"
]5?2£l/弓，1 一 a2
16^k(l +*)7/2
]5?2£l/弓，1 一 a2
16^k(l +*)7/2
О'
О'
В результате получим
而一16，ЙС(1 + 吋？)5/2 ‘ И где
(5.198)
есть полная энергия, излученная частицей в вигглере.
Зависимость мощности излучения от угла 也/ имеет такой же вид, как в синхротронном излучении. В плоскости орбиты излучение ограничено направлениями ду = 土\^)一
Строго говоря, границы излучения в области а = ±1 не могут быть такими резкими, как это следует из уравнения (5.197). Согласно свойствам излучения ультрарелятивистских частиц границы области излучения размыты и занимают интервал углов порядка 厂丄 Это несоответствие возникает
вследствие того, что используемый здесь метод дает только члены первого порядка асимптотического разложения, которые пропорциональны ^一\ как это следует из уравнения (5.197). Более высокая степень приближения может быть достигнута с помощью уравнения (5.170) в пределе к Т ос« Структура этого уравнения допускает два вида предельного перехода: 1) угол "у лежит между границами конуса излучения, т.е. в пределах направлений ду = 土Ьу—* I"1 — |"М》)一 1; 2)угол "у изменлетсл в окрестности границ конуса излучения: fcj™1 — |"^| 〜 ±7一
Начнем с первого случая. Переходя в уравнении (5.170) к пределу к 一 т схэ при фиксированном фу/к < 1, получим (5.197).
Во втором случае, когда 12yl 〜fe, удобно обозначить 8 = 12yl —ku прейти к пределу к т оо при 8 и 欢/ 〜 1. Тогда из уравнения (5.170) получим
焉=+ 3q — (1 + 也)Q],霑=k*q, (5.199)
Q =必(]+ 3q + 5厂)-%….金占丿(1 + 3q + 6g2 + 7g3),
q = 2(〃； 6)，〃 =，1 + 脆 + 屏, К = f竺
Уравнения (5.199) позволяют описать излучение в окрестности направлений \фу\ = к, где оно растет как корень из к. Подробный анализ этого распределения можно найти в работе [49].
Проинтегрируем уравнение (5.195) по углам с целью найти суммарный спектр излучения. Интегрирование по 1Pz аналогично соответствующей процедуре в теории синхротронного излучения и дает
(5.200)(5.200)d£ V^e2Nk匕㈠
(5.200)
(5.200)
丁 = day a5/3(况)出^
У
(5.201)(5.201)где
(5.201)
(5.201)
Изменяя порядок интегрирования, найдем
(5.202)(5.202)d£&^1 不/kN
(5.202)
(5.202)
где
(5.203)(5.203)F(W) = ^|с f ^5/з(з?) arccos |с?ж.
(5.203)
(5.203)
Здесь функция 尸(£) нормирована на единицу следующим образом:
F(0< = L(5.204)
о
Заменой переменных во втором интеграле уравнения (5.200) можно получить альтернативное выражение для функции F(g):
^(е)= |^е|<1/6 Q^(5.205)
График этой функции приведен на рис. 5.8. Она имеет максимум при 胃= =0,20. Как следует из уравнения (5.201), частота, на которую приходится
Рис. 5.8. Интегральный по углам спектр синхротронного излучения (7) и излучения вигглера (2)
максимум излучения, пропорциональна напряженности магнитного поля и энергии частицы. Для сравнения на рис. 5.8 построен спектр синхротронного излучения как функция
兄(g)=写8 k5/3(%)/，J Fs^d^ = 1. (5.206) £ о
Поскольку оба спектра нормированы на одну и ту же величину, график для синхротронного излучения представляет излучение в однородном магнитном поле, равном среднеквадратичному значению поля вигглера на траектории движения: Нs = у (Н2).
Рассмотрим теперь низко- и высокочастотную асимптотики спектра из-
лучения вигглера. Чтобы вычислить интеграл в (5.205) при g《1, преобразуем его следующим образом:
(5.207)(5.207)
(5.207)
(5.207)
При g т 0 интеграл от первого слагаемого конечен, при этом интеграл от второго слагаемого расходится. Пренебрегая первым слагаемым и интегрируя второе по частям, найдем
337^237r2337^237r2(5.208)(5.208)
337^
237r2
337^
237r2
(5.208)
(5.208)
При малых значения аргумента функция Бесселя имеет вид [19]
(5.209)
Следовательно, при g《1
尸（а =尸（а =R г w [R г w [44(5.210)(5.210)
尸（а =
尸（а =
R г w [
R г w [
4
4
(5.210)
(5.210)
Таким образом, в низкочастотной области спектр синхротронного излучения и излучения вигглера описывается одним и тем же законом ш1/3, но с большим множителем в последнем случае. Приведенная частота g ограничена снизу предположением, что номера гармоник 〃 велики. Принимая во внимание, что g 〜〃/兴,находим область применимости уравнения (5.210): 『з1.
Чтобы найти высокочастотную асимптотику спектра, используем следующее приближенное выражение [19]:
(5.211)(5.211)
(5.211)
(5.211)
После интегрировании в уравнении (5.205) при g》1 получим
9-УЗ9-УЗ(5*212)(5*212)
9-УЗ
9-УЗ
(5*212)
(5*212)
Излучение гармонического осциллятора
Четырехмерный осциллятор. Движение частиц в ондуляторе определяется напряженностями электрического и магнитного полей. Существуют всевозможные конфигурации полей, в которых заряженные частицы
могут осуществлять гармонические колебания с дрейфом. Например, движение такого вида реализуется в однородном магнитном поле, однородных скрещенных электрическом и магнитном полях [3], неоднородных полях специального вида [54] и др. Кроме того, во многих случаях приближенное решение уравнений движения можно выразить через гармонические колебания. Существует множество работ, как научных статей, так и учебников, в которых подробно исследовано излучение заряженных частиц, движущихся по спирали (см., например [32, 55—58])* Излучение одно- и двумерного осцилляторов было исследовано в начале прошлого века [59, 60]. Здесь мы получим общие выражения для спектрального и углового распределений излучения произвольного трехмерного гармонического осциллятора, дрейфующего с постоянной скоростью. Затем мы рассмотрим некоторые частные случаи.
Наиболее общий вид четырехмерного радиуса-вектора гармонического осциллятора можно представить формулой
М(丁 + У), д = 0,1, 2, 3,(5.213)
где зо ——частота колебаний, г ——параметр, и/ = (с,г?ц), Л^ = (Д, Л) и 吵从 =(耽，吵巧吵⑦吵乞)——четырехкомпонентные величины, г；ц = с/Зц —— трехмерная скорость дрейфа. Параметр г не является четырехмерным скаляром, соответственно, величины Л^ и ^；м не являются 4-векторами. Направим ось 胃 системы координат вдоль вектора г?ц, а направления осей g и 2 выберем таким образом, чтобы 恥=тг/2 —叽* Мы можем также положить 4% = 0 соответствующим выбором начала отсчета параметра г. Тоща, не умаляя общности, вместо уравнения (5.213) получим
х = — г + Лж sin(丁 + фх), у = Ау cos г, г = Лг sin г,
(5214) ct = —г + At sin (г + 吵力).
Найдем энергию, излученную в единицу телесного угла и в единичный интервал частот, используя уравнение (5.50). Заменим при этом переменную 方 в уравнении (5.51) на г. В результате получим
2тг
взп = ^ I е3^ег^к^ат.(525)
о
Показатель экспоненты можно преобразовать следующим образом:
cunt — knr = п[т — к sin(丁 一 а)],(5.216)
где
Постоянные Ли а определяются уравнениями
(5.218)(5.218)Л sin а = at sin 耽一axnx sin фх — аупу,Л cos а = — а右 cos ^t + axnx cos фх + aznz,
(5.218)
(5.218)
где rii ——компоненты единичного вектора п и a.j = Л^шо/с. Постоянные Л и since задаются уравнениями (5.218) с точностью до знака, однако знак произведения A sin а определен однозначно. Другими словами, уравнения (5.218) инвариантны относительно преобразования
к Т —к, a 一 a + тг工(5.219)
Мы можем считать, что к > 0. Тоща знак sin а однозначно определяется уравнениями (5.218). Производные компонент г^ = (гпа) и r^ = (гп^) по переменной г равны
^^ =+ QjCOS(r — a) + R3 sin(r — a).
Здесь Pj, Qj и Rj являются функциями угловых координат:
Пт = /З^П^х , P(J = /3|| Пах ?
Q7r = ахTL-^x cos(a + 4%) + a?九тг/ cos a — dy^^y sin a,
Q◎ = ^ж^сгж cos(a + 2x) 一 ^y^ay sina,(5*220)
R^ = —axii^x sin (a + 吵宓)一azn^z sin a — ауП^у cos a,
A(t = 一^ж^dx sin(a + 吵化)一 ^y^ay cos Q.
Компоненты векторов поляризации берутся из уравнений (5.40) или (5.42) в зависимости от того, какая система угловых координат J, g или ", ф принята. Интегрирование в уравнении (5.215) приводит к функциям Бесселя [19]:
" J cosTein{T^zs^^dT = ^Jn(M，
二 Sin т е^Тт^тМ丁 =分4(27»
Штрих означает производную по аргументу. Окончательно получим
Взп =(р7T 1%) Jn(№)+ iRjJ^n) *(5.221)
Из этого уравнения следует, что излучение каждой гармоники, вообще говоря, эллиптически поляризовано, поскольку разность фаз между напряженностями электрического поля а- и тг-компонент отлична от нуля. Отметим,
что уравнение (5.221) инвариантно относительно преобразований (5.219). Спектральное и угловое распределение компонент поляризации находится с помощью уравнения (5.50):
+招%击)%(5222)
Чтобы найти угловое распределение, интегрируем это уравнение по частоте. Имея в виду (5.32), а также тождество [61]
к2 (4+ к,2)16(1 — К,2)7/2к2 (4+ к,2)16(1 — К,2)7/24 + Зк,216(1 — К,2)5/24 + Зк,216(1 — К,2)5/2(5*223)(5*223)
к2 (4+ к,2)16(1 — К,2)7/2
к2 (4+ к,2)16(1 — К,2)7/2
4 + Зк,216(1 — К,2)5/2
4 + Зк,216(1 — К,2)5/2
(5*223)
(5*223)
нетрудно найти
阳— е ®°N Г(кр. I °4 + к,2 4 + Зк, 1
dC _ 16с(1—6||П)3(1 _ Н)7/2 十_ 设2)5/2 j
(5.224)
Знаменатель выражения в скобках не может обратиться в нуль, поскольку я; < 1. Действительно, из уравнения (5.216) следует, что
力一? = 1 J" [丁 — к sin(丁 一 а)].(5.225)
Взяв производную по времени, получим
1 — /Зп = ™——^^)卩—к ©os(丁 — «)].(5.226)
Очевидно, что 1^/Зцп > Ои 1 — ^п > 0. Производная dt /dr также положительна, поскольку функция времени f(r) монотонно растет. Следовательно, к < L
Рассмотрим теперь колебания с малой амплитудой. Будем считать, что а%《7一 Движение такого рода о суще ствляется при k《1 и было исследовано в п. 5.1.4. Однако мы не можем прямо использовать полученные там результаты, поскольку они справедливы только для движения в магнитном поле (в отсутствие электрического поля), в то время как уравнение (5.213) подразумевает, что на частицу действует и электрическое поле. Другими словами, условие k «1 ограничивает только поперечную компоненту ускорения, которая в нашем случае не является единственной. Мы ограничимся
рассмотрением движения с параметрами фх = 娱 = 认 Будем считать также, что частица движется с ультрарелятивистской скоростью. В этом случае удобной является система угловых координат, определенная уравнениями (5.44). Имеем
(1 -例n)У ^(丁2 + 克 + 炉)"
Из уравнения (5.214) следует, что
G； ~ ау sin? г + а| cos2 г《7-2.
Следовательно,
(1 —/Эр)片 |(7^2 + ^2).
В приближении малой 7—1 из (5.218) имеем
4"2 +彼)24"2 +彼)2{(ах — at)2 + 2"(g — at){az sin ф cos ф ++ ay cos ф sin 吵)+ a；"2 cos2 ф + a；"? sin2 0}.{(ах — at)2 + 2"(g — at){az sin ф cos ф ++ ay cos ф sin 吵)+ a；"2 cos2 ф + a；"? sin2 0}.(5227)(5227)
4
"2 +彼)2
4
"2 +彼)2
{(ах — at)2 + 2"(g — at){az sin ф cos ф +
+ ay cos ф sin 吵)+ a；"2 cos2 ф + a；"? sin2 0}.
{(ах — at)2 + 2"(g — at){az sin ф cos ф +
+ ay cos ф sin 吵)+ a；"2 cos2 ф + a；"? sin2 0}.
(5227)
(5227)
Предположим, что аж близко к a九 так что |аж — а/《7^2. Таким образом мы принимаем следующие условия:
7 > 1,电«厂\ 1a宓一命1《7一±(5.228)
Эти условия обеспечивают малость параметра к” После разложения (5.222) по малой к с точностью до первого порядка получим следующее выражение:
阳1dCd®阳1dCd®е2е2Sin2 7ГP^Sin2 7ГP^4тг2с(1 — Р\\п)2 (1 — 〃)24тг2с(1 — Р\\п)2 (1 — 〃)2{(kPj+Q戸 + 居}"{(kPj+Q戸 + 居}"(5.229)(5.229)
阳1dCd®
阳1dCd®
е2
е2
Sin2 7ГP^
Sin2 7ГP^
4тг2с(1 — Р\\п)2 (1 — 〃)2
4тг2с(1 — Р\\п)2 (1 — 〃)2
{(kPj+Q戸 + 居}"
{(kPj+Q戸 + 居}"
(5.229)
(5.229)
Как и следовало ожидать, излучается только первая гармоника. Заметим, что мы сохранили малый параметр к в произведении к怡，поскольку Pj》 》Q” как это следует из уравнения (5.220).
Угловое распределение нетрудно найти из уравнения (5.224):
dSjdCdSjdCe2u)oN4c(1 —例 п)зe2u)oN4c(1 —例 п)з(5.230)(5.230)
dSj
dC
dSj
dC
e2u)oN
4c(1 —例 п)з
e2u)oN
4c(1 —例 п)з
(5.230)
(5.230)
Спектр излучения находится интегрированием (5.229) по телесному углу и равен
d£jdCd£jdC4е2727Г2С4е2727Г2Соо⑦壮⑦ sin2 7t»N(1 + ^2)2 (1 -»2)2⑦壮⑦ sin2 7t»N(1 + ^2)2 (1 -»2)22тг2тг[(^ + QJ2 + A"d6[(^ + QJ2 + A"d6(5.231)(5.231)00
d£jdC
d£jdC
4е272
7Г2С
4е272
7Г2С
о
о
⑦壮⑦ sin2 7t»N
(1 + ^2)2 (1 -»2)2
⑦壮⑦ sin2 7t»N
(1 + ^2)2 (1 -»2)2
2тг
2тг
[(^ + QJ2 + A"d6
[(^ + QJ2 + A"d6
(5.231)
(5.231)
0
0
Следуя тем же путем, который привел к уравнению (5.81), получим
警=卜T同)2(「拱+
+ ( ；； ) (1 — £)2 + (卡)(1 — 2g + 3『)} JKN(1 — 0]. (5232)
Здесь мы использовали обычные обозначения: g = ш/272шо. Суммирование по компонентам поляризации дает полный спектр:
=勺史 g {4)2(44)2(1 Y)g+
+ (北 +』；)(1 - 2g + 2殆}加N(1(5233)
Мы видим, что он представляет собой сумму спектров излучения трех независимых осцилляторов, колеблющихся во взаимно ортогональных направлениях.
Найдем, наконец, полную излученную энергию:
£ = ^^^[(4 — /3||4)%2 + 弋 + 堂卜 (5234)
Далее мы используем полученные результаты для описания излучения одномерного осциллятора и частицы, движущейся по спирали.
Поперечный осциллятор. Рассмотрим заряженную частицу, совершающую одномерные гармонические колебания ортогонально направлению скорости дрейфа. Координаты частицы зависят от времени следующим образом:
ж = q也 у — Ау cos зо方, г = 0.(5.235)
Эти выражения следуют из (5.214) в случае Ах — Az — At — 0. Поля, реализующие движение такого типа, описаны в работе [54]. Подобные осцилляторы рассматривались в первых моделях ондулятора [62]. Некоторые свойства их излучения исследованы в работе Шотта [60]. Подробное описание истории исследований излучения такого осциллятора можно найти в [63L
Найдем свойства излучения поперечного осциллятора из общих формул предыдущего пункта. Уравнения (5.218) и (5.220) дают
ау sin 0 sin 99.о Л
к = —^——р^п = 1 Р|| sin&COS 99,
Q7r = ay cos 0 sin 99, Qa = ay cos 99, R^ = Ra = 0.
Отсюда следует, что излучение линейно поляризовано, поскольку амплитуды компонент поляризации в уравнении (5.221) имеют одинаковую фазу.
Подставляя последние уравнения в (5*222), получим
dCdudCdu
dCdu
dCdu
200
而=Z(T^¥…)……，(5237)
Запишем суммарное по компонентам поляризации спектрально-угловое распределение в векторной форме:
d£dCdud£dCdu（1 一例九产 一 （1 一窗）"；呜（1 -约几）2（1 一例九产 一 （1 一窗）"；呜（1 -约几）2Jn（K，几）*Jn（K，几）*(5.238)(5.238)Угловое распределение находим с помощью (5.224):Угловое распределение находим с помощью (5.224):d&y —е2Л2а；о^(4 + к2)[ (cos g —/3“ sin0尸dQ — 16с3(1^цп)5(1к2)7/2 j cos2 0 sin2 99d&y —е2Л2а；о^(4 + к2)[ (cos g —/3“ sin0尸dQ — 16с3(1^цп)5(1к2)7/2 j cos2 0 sin2 99(5.239)(5.239)Полную излученную энергию можно найти интегрированием по углам:Полную излученную энергию можно найти интегрированием по углам:62cdejTrNa'j(4 — За у)6С(1 —吟)3/2(1—岗)*62cdejTrNa'j(4 — За у)6С(1 —吟)3/2(1—岗)*(5.240)(5.240)Здесь а' =значение величины а в системе координат, движущейся со скоростью г；ц в направлении оси х.Рассмотрим колебания с малой амплитудой. Пусть условие (5.228) выполнено. Тогда спектр и угловое распределение можно найти из (5.229):Здесь а' =значение величины а в системе координат, движущейся со скоростью г；ц в направлении оси х.Рассмотрим колебания с малой амплитудой. Пусть условие (5.228) выполнено. Тогда спектр и угловое распределение можно найти из (5.229):dby — 4е2Л2и§74 sin2 tvuN Г (1 — * cos 20尸 dCdu 7г2е3(1 + ^2)4 (1 —沙2)2 j ^；4 sin2 2фdby — 4е2Л2и§74 sin2 tvuN Г (1 — * cos 20尸 dCdu 7г2е3(1 + ^2)4 (1 —沙2)2 j ^；4 sin2 2ф(5.241)(5.241)Угловое распределение дается формулойУгловое распределение дается формулойd&,7r — е2a2 届 t'N dQ =炉(1 + *)5d&,7r — е2a2 届 t'N dQ =炉(1 + *)5J (1 —* COS 20)2j @4 sin2 20J (1 —* COS 20)2j @4 sin2 20(5.242)(5.242)Мы видим, что угловое распределение и распределение по поляризации совпадают с мгновенным распределением (5.55). Это происходит потому, что в приближении а《1 скорость частицы можно считать постоянной. Ускорение также можно считать постоянным по направлению, но изменяющимся по величине. Спектр излучения дается уравнением (5.232), которое в этом случае можно представить в видеМы видим, что угловое распределение и распределение по поляризации совпадают с мгновенным распределением (5.55). Это происходит потому, что в приближении а《1 скорость частицы можно считать постоянной. Ускорение также можно считать постоянным по направлению, но изменяющимся по величине. Спектр излучения дается уравнением (5.232), которое в этом случае можно представить в виде*=^^ ｛「詫好犬卜内（1 T）］,（5243）*=^^ ｛「詫好犬卜内（1 T）］,（5243）
d£dCdu
d£dCdu
（1 一例九产 一 （1 一窗）"；呜（1 -约几）2
（1 一例九产 一 （1 一窗）"；呜（1 -约几）2
Jn（K，几）*
Jn（K，几）*
(5.238)
(5.238)
Угловое распределение находим с помощью (5.224):
Угловое распределение находим с помощью (5.224):
d&y —е2Л2а；о^(4 + к2)[ (cos g —/3“ sin0尸
dQ — 16с3(1^цп)5(1к2)7/2 j cos2 0 sin2 99
d&y —е2Л2а；о^(4 + к2)[ (cos g —/3“ sin0尸
dQ — 16с3(1^цп)5(1к2)7/2 j cos2 0 sin2 99
(5.239)
(5.239)
Полную излученную энергию можно найти интегрированием по углам:
Полную излученную энергию можно найти интегрированием по углам:
62cdejTrNa'j(4 — За у)6С(1 —吟)3/2(1—岗)*
62cdejTrNa'j(4 — За у)6С(1 —吟)3/2(1—岗)*
(5.240)
(5.240)
Здесь а' =значение величины а в системе координат, дви
жущейся со скоростью г；ц в направлении оси х.
Рассмотрим колебания с малой амплитудой. Пусть условие (5.228) выполнено. Тогда спектр и угловое распределение можно найти из (5.229):
Здесь а' =значение величины а в системе координат, дви
жущейся со скоростью г；ц в направлении оси х.
Рассмотрим колебания с малой амплитудой. Пусть условие (5.228) выполнено. Тогда спектр и угловое распределение можно найти из (5.229):
dby — 4е2Л2и§74 sin2 tvuN Г (1 — * cos 20尸 dCdu 7г2е3(1 + ^2)4 (1 —沙2)2 j ^；4 sin2 2ф
dby — 4е2Л2и§74 sin2 tvuN Г (1 — * cos 20尸 dCdu 7г2е3(1 + ^2)4 (1 —沙2)2 j ^；4 sin2 2ф
(5.241)
(5.241)
Угловое распределение дается формулой
Угловое распределение дается формулой
d&,7r — е2a2 届 t'N dQ =炉(1 + *)5
d&,7r — е2a2 届 t'N dQ =炉(1 + *)5
J (1 —* COS 20)2
j @4 sin2 20
J (1 —* COS 20)2
j @4 sin2 20
(5.242)
(5.242)
Мы видим, что угловое распределение и распределение по поляризации совпадают с мгновенным распределением (5.55). Это происходит потому, что в приближении а《1 скорость частицы можно считать постоянной. Ускорение также можно считать постоянным по направлению, но изменяющимся по величине. Спектр излучения дается уравнением (5.232), которое в этом случае можно представить в виде
Мы видим, что угловое распределение и распределение по поляризации совпадают с мгновенным распределением (5.55). Это происходит потому, что в приближении а《1 скорость частицы можно считать постоянной. Ускорение также можно считать постоянным по направлению, но изменяющимся по величине. Спектр излучения дается уравнением (5.232), которое в этом случае можно представить в виде
*=^^ ｛「詫好犬卜内（1 T）］,（5243）
*=^^ ｛「詫好犬卜内（1 T）］,（5243）
а полная излученная энергия определяется формулой (5.240), где а'у <С 1. Между прочим, в данном случае можно ввести параметр дипольности к в соответствии с уравнением (5.6), поскольку релятивистский фактор 7 можно считать постоянным: 7 1 — /3 j, а ускорение ——ортогональным скорости. Из уравнения (5.6) следует, что к = 70/^2《 1. Таким образом, уравнения (5.241), (5.242) и (5.243) вытекают из соответствующих уравнений п. 5.1.4.
Рассмотрим излучение в пределе большого к (приближение вигглера). А именно, предположим, что частица является ультрарелятивистской в системе отсчета, движущейся со скоростью q卜 С помощью уравнения (5.235) можно показать, что максимальное значение скорости частицы в движущейся системе отсчета равно 241ax = ^0，1 —百 или, в единицах скорости света, /З^ах = “，1 — /3“ = а\ В соответствии с последними предположениями af ^ 1, т.е. параметр к в уравнении (5.236) близок к единице. Тогда функцию Бесселя можно согласно [19] заменить модифицированной функцией Бесселя:
Лг(К几)/一质1/3•(5.244)
Уравнения (5.237) и (5.238) остаются справедливыми, однако вследствие больших значений п эту дискретную переменную удобно заменить на непрерывную переменную 〃, а сумму ^^ 〃(〃,№)——на /(〃, тг). Это практи
чески эквивалентно переходу от уравнения (5.31)к (5.26). Спектр излучения в приближении бесконечного ондулятора имеет вид [63]
dW62cd2，/、
石-二…居产0(力g=荻(1-3)，(5-45)
где
。匂)=亭[^1/зЫ<2/зЫ + 3gK；/3 (g) — ЗдК^/з (/(5.246)
с нормировкой
Ф(у^,у = 1.
о
В работе [63] показано, что, несмотря на большие значения п, максимум в спектре излучения приходится на первую гармонику, поскольку 0(g)—— монотонно убывающая функция.
Продольный осциллятор. Под продольным гармоническим осциллятором мы понимаем частицу, совершающую колебания по закону
х = Л/sin o/厶 у = У = 0х = Л/sin o/厶 у = У = 0(5.247)(5.247)
х = Л/sin o/厶 у = У = 0
х = Л/sin o/厶 у = У = 0
(5.247)
(5.247)
в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью г；ц в направлении колебаний. В лабораторной системе отсчета движение частицы описывается уравнениями
х = —г + Л sin г,
g = 2 = о,(5.248)
& = —г + /ЗиЛ sin г,
гдегде
где
где
Скорость частицы не может превышать скорость света, следовательно,
а =а =А1 ш' ЛиА1 ш' Ли< 1.< 1.
а =
а =
А1 ш' Ли
А1 ш' Ли
< 1.
< 1.
Излучение, генерируемое таким осциллятором, исследовано в работе [64]. Получим соответствующие выражения с помощью формул п. 5.3.1. Сравнивая уравнения (5.248) и (5.214), найдем
/у = Az =《% =《% = 0, Ах = А,』右=
Очевидно, что угловое распределение излучения аксиально симметрично относительно совместного направления скорости © и ускорения 心,поскольку они определяют единственное физически выделенное направление. Поэтому естественно использовать систему угловых координат 斤 и 0, определенных уравнением (5.44). Направления осей g и / не имеют значения при исследовании углового распределения или спектра, но существенны при изучении поляризации.
Из уравнений (5.217) и (5.218) следует, что
Заменим в уравнениях (5.220) компоненты векторов е〃 соответствующими функциями углов 斤 и 0. Найдем, например, величину Р^:
cos Z sin Z sin ф
V 1 — sin “ sin ф
После громоздких преобразований из уравнения (5.222) получим
dCd® c(l —绚?i)4(cosQ —例)2(1 — sin2 ^sin2 ф)义
了/心解з)｛黑：小J. (5.250)
Качественный анализ поляризации можно провести с помощью уравнения (5.17). Ясно, что вектор электрического поля излучения параллелен вектору [п[пЗ]], поскольку [п[^3]] = 0. Однако направление ускорения постоянно, поэтому излучение линейно поляризовано и плоскость поляризации совпадает с плоскостью, в которой лежат векторы п и ^. Угловое распределение следует из уравнения (5.224):
7r — е'а%。。一銳尸(4 + М)
dQ 16c(l -例 COS 1^)5(1 - M)7/2 Х
sin2^J cos2 ф I? n
* 1 — sin2 犷 sin2 ф [ cos2 犷 sin2。j~
В случае ультрарелятивистской частицы предыдущие выражения можно разложить по малым 7-1 и ". Нетрудно записать уравнения (5.250) и (5.251) в ультрарелятивистском виде. Приведем последние из них:
dQdQ262aа®。％*262aа®。％*4 + М4 + МС(1 —所)2(1 + ^2)2(1 + *)5 (1 — Н)7/2С(1 —所)2(1 + ^2)2(1 + *)5 (1 — Н)7/2cos2 ф sin2 фcos2 ф sin2 ф,(5.252),(5.252)
dQ
dQ
262aа®。％*
262aа®。％*
4 + М
4 + М
С(1 —所)2(1 + ^2)2(1 + *)5 (1 — Н)7/2
С(1 —所)2(1 + ^2)2(1 + *)5 (1 — Н)7/2
cos2 ф sin2 ф
cos2 ф sin2 ф
,(5.252)
,(5.252)
где
Мы видим, что а- и тг-компоненты поляризации отличаются только поворотом на угол 7г/2 вокруг оси х. Суммарное по поляризациям угловое распределение зависит, как и следовало ожидать, только от угла 曾* Полная излученная энергия определяется уравнением (5.240) или интегралом от уравнения (5.252). Уравнение (5.240) остается справедливым, поскольку в системе отсчета, движущейся со скоростью иц вдоль оси ж, оба осциллятора эквивалентны с точностью до направлений колебаний, которые в данном случае не имеют значения. Поэтому в уравнении (5.240) нужно заменить величину а! соответствующим значением для продольного осциллятора. Из уравнений (5.247) и (5.248) следует, что а!=火= а. Таким образом, имеем
С _ e2w07r№2(4 - 3。2)
-6с(1 — *3/2(1—纬)*
В случае малых колебаний представим только спектрально-угловое распределение в ультрарелятивистской форме:
dC 而С7Г2dC 而С7Г2sin2 7ГP^ 吵2(1 — /2)2 (1 + 吵 2)4sin2 7ГP^ 吵2(1 — /2)2 (1 + 吵 2)4cos2 ф sin2 фcos2 ф sin2 ф(5.254)(5.254)
dC 而С7Г2
dC 而С7Г2
sin2 7ГP^ 吵2
(1 — /2)2 (1 + 吵 2)4
sin2 7ГP^ 吵2
(1 — /2)2 (1 + 吵 2)4
cos2 ф sin2 ф
cos2 ф sin2 ф
(5.254)
(5.254)
Угловое распределение нетрудно найти из уравнений (5.251) и (5.252) в
пределе к 一 0, а спектр ——из уравнения (5.233). Заметим, что максимум в
спектре излучения приходится на величину = 2/3, а йена = 1, как в случае поперечных колебаний. Последнее следует из того, что в направлении оси траектории излучение не генерируется. Именно в этом направлении излучаются высокие частоты в случае поперечного осциллятора.
5・3・4・ Спиральный ондулятор. Излучение заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории, подробно рассмотрено в научных статьях [55, 57, 58, 65], в монографиях и учебниках [32, 56]. Оно также было рассмотрено в гл. 1 настоящей работы. Здесь мы приведем практически полный набор формул, характеризующих излучение частицы, движущейся по спирали.
(5.255)(5.255)Спиральное движение заряженных частиц может реализоваться в электромагнитных полях различной конфигурации. Простейшие из них ——однородное магнитное поле, а также магнитное поле, рассмотренное в конце п. 5.1.1. С точки зрения генерации излучения недостатком однородного поля является то, что ускорение частицы обусловлено только поперечной относительно направления скорости его компонентой. Вращающееся магнитное поле Н = (О, Н& sin 27rz/А, % cos 2开力/Л) является в этом смысле более эффективным. Итак, пусть заряженная частица движется по траектории
(5.255)
(5.255)
х = о“; g = Reos例)力;z = Rsinш01.
Положим в формулах п. 5.3.1 аж = at = 0, ау = az = Rujq/c = Д±, где 0丄 ——ортогональная компонента скорости. В приближении длинного ондулятора угловое распределение излучения является аксиально-симметричным. Поэтому достаточно рассмотреть его в произвольной плоскости, проходящей через ось траектории. Пусть, например, ф = Q. Тогда уравнение (5.221) принимает вид
(5.256)(5.256)
(5.256)
(5.256)
。丄 sin" Г &n Q
1 —.diss"*
Таким образом, а- и тг-компоненты сдвинуты по фазе на тг/2* Это означает, что излучение эллиптически поляризовано. Исключение составляет конус с угловым раствором cos 斤 = Дц, на котором излучение имеет линейную поляризацию, а вектор электрического поля ортогонален векторам nnv^.
Найдем степень круговой поляризации. Из (5.256) и (5.48) имеем
а из уравнения (5.49) следует, что
dQdu?2c(l - Р\\п)2 乙工[sin"
(5257) Первое слагаемое в квадратных скобках положительно внутри конуса с угловым раствором 斤=arccos Дц и отрицательно вне этого конуса. Поэтому выражение в квадратных скобках, взятое со знаком плюс, больше, чем взятое со знаком минус. Отсюда следует, что излучение внутри конуса 犷о = arccos Дц имеет, очевидно, преимущественно правую круговую поляризацию (в соответствии с уравнением (5.255) траектория представляет собой правую спираль).
Это свойство излучения становится очевидным, если рассмотреть задачу в сопутствующей системе отсчета, движущейся со скоростью 切卜 В ней частица движется по окружности. Как известно, излучение в направлениях, лежащих в плоскости орбиты, линейно поляризовано. В лабораторной системе отсчета эти направления образуют конус с угловым раствором 佣. Излучение, наблюдаемое в лабораторной системы отсчета под углом, большим 犷°, с точки зрения сопутствующего наблюдателя испущено назад относительно вектора скорости q 卜 В [10] показано, что направление поворота вектора электрического поля волны излучения совпадает с «видимым» направлением поворота вектора ускорения. Поэтому излучение под большими углами имеет обратный знак круговой поляризации. Как и следовало ожидать, излучение в направлении оси траектории содержит только первую гармонику с правой круговой поляризацией.
Угловое распределение определяется формулами (5.223) и (5.32):
d£ e2uJoN/3± J / cos"—例4 + ^24 + 3«2 [
而=16c(l —齿 n)3 i 伪…犷丿(1 —依)7/2 + (1)5/2 J •
(5.258)
Соответствующие выражения для ультрарелятивистского заряда можно получить подстановками
COS" 一你=★(1 + 廿一
(5259)(5259)1 — Д|| COS” = ±(1 + 廿 + 吵2),
(5259)
(5259)
где k 二)0丄 ——параметр дипольности ондулятора. Излучение в направлении скорости дрейфа пропорционально величине
d£ к2
丽〜(1 +依)3
Это означает, что с ростом к оно растет при малых к, достигает максимума при к = 1/V2 и резко падает с его дальнейшим ростом. В пределе больших к основная часть излучения генерируется в направлении, касательном к траектории, т.е. под углом 斤^/3丄 или 吵弋；к* Полную излученную энергию найдем из уравнения (5.234):
4тге2 uj ок2 N6 =4тге2 uj ок2 N6 =ЗсЗс(5.260)(5.260)
4тге2 uj ок2 N
6 =
4тге2 uj ок2 N
6 =
Зс
Зс
(5.260)
(5.260)
что совпадает с энергией синхротронного излучения.
Интегрируя уравнение (5.257) по углам, найдем спектр излучения:
x kN (n(1 —团))一0 7rN (n(1 + /?н1 , (5.261)
где ^-функция определена уравнением (5.82),加=(1 一 所尸分 и
Фигурные скобки, содержащие ^-функцию, ограничивают спектр n-й гармоники областью
1 +Al
с размытыми границами.
Выпишем формулы излучения ультрарелятивистского заряда в дипольном приближении. Из формулы (5.257) следует, что в этом приближении излучается только первая гармоника:
(5.262)(5.262)d£±2е274/3]_sin2 тг沙N1 — ^2
(5.262)
(5.262)
dC 而ТГ2С(1 + ^2)2 (1 -沙 2产1 + 吵2
Используя уравнение (5.32), можно найти угловое распределение:
(5.263)(5.263)d£ — 4e276/31woiV(l + ^4)
(5.263)
(5.263)
疝=C(l+ 吵 2)5
Спектр излучения следует из уравнения (5.233):
^ = 2 …丁 ％(1 — 2g + 2 号)外兀№(1 — £](5.264)
Излучение в пределе большого к интересно найти с использованием результатов п. 5.1.5. Пусть к》1, но 0丄《 1. Плоскость, касательная к
траектории, образует угол ^о = Д± с осью спирали. Поместим вектор п в плоскость, ортогональную плоскости, касательной к траектории, в соответствии с п. 5.1.5. Обозначим угол между вектором п и касательной плоскостью через £, т.е. " = "()+ & Угол g имеет величину порядка 厂丄 Излучение в произвольном направлении испускается один раз за период. Поэтому в уравнении (5.98) следует сохранить только одно слагаемое с индексом 1 или 2. Подставляя R^ =。丄/g。, получим
鳥=：£d /(% N){О + 川吟⑺ +』(叫，(5265) где
+866)
Основная часть энергии излучается в окрестности угла 斤о = 0丄 с угловой шириной △/ 〜1. Другими словами, излучение заключено между двумя конусами с угловыми растворами 〜 犷 °—и 〜 犷 о +)—^ или △£ 〜 〜Что касается спектра, функции К1/з(〃) и К2/з(^) имеют значения, существенно отличные от нуля в области 〃〜1. Поэтому основная часть излучения приходится на частоты ш = ^。倉)？电 Соответствующие номера гармоник имеют величину порядка 〃〜к?, как это видно из уравнения (5.37). Тот же результат вытекает из общего анализа излучения вигглера (см. выражение (5.104)).
Чтобы найти спектр излучения, проинтегрируем уравнение (5.265) по телесному углу da = 2开0丄dg. В результате получим
而 Зтгси?дА：74 J iИспользуя тождества [66](1 +*)2К^3⑺矗=ж2(1 + x^K^^r^dx = где)K^/3(# + «к£/зт)}(1 + 川)矗"(5*267)K.5/3(Z)dz + k2/3®)，广](5*268)^^ 1 K^^(x)dx - К2/Лу),3/3±73u?o '而 Зтгси?дА：74 J iИспользуя тождества [66](1 +*)2К^3⑺矗=ж2(1 + x^K^^r^dx = где)K^/3(# + «к£/зт)}(1 + 川)矗"(5*267)K.5/3(Z)dz + k2/3®)，广](5*268)^^ 1 K^^(x)dx - К2/Лу),3/3±73u?o '
而 Зтгси?дА：74 J i
Используя тождества [66]
(1 +*)2К^3⑺矗=
ж2(1 + x^K^^r^dx = где
)K^/3(# + «к£/зт)}(1 + 川)矗"(5*267)
K.5/3(Z)dz + k2/3®)，
广](5*268)
^^ 1 K^^(x)dx - К2/Лу),
3/3±73u?o '
而 Зтгси?дА：74 J i
Используя тождества [66]
(1 +*)2К^3⑺矗=
ж2(1 + x^K^^r^dx = где
)K^/3(# + «к£/зт)}(1 + 川)矗"(5*267)
K.5/3(Z)dz + k2/3®)，
广](5*268)
^^ 1 K^^(x)dx - К2/Лу),
3/3±73u?o '
мы можем переписать уравнение (5.267) в виде
/(у) = у K5/3{x)dx.(5.269)
3 cu?o72v3J
Форма спектра определяется функцией /(?/), которая имеет тот же вид, что в синхротронном излучении, но отличается масштабным множителем в зависимости у от ш.
Угловое распределение можно получить, интегрируя (5.265) по частоте:
d£ = /…"7 + 12*
而--W - (1+济)7/2 *2一
Формулу (5.270) можно также найти из точного выражения (5.258) в приближении к》L При этом следует сделать замену 冃="о + g или ф = к + х в уравнении (5.259).
Полная излученная энергия в приближении k》1 легко определяется из точной формулы (5.260).
ГЛАВА 6
ИЗЛУЧЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНЫХ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Введение
Синхротронное и ондуляторное излучения заряженных частиц являются важнейшими феноменами с точки зрения как теории, так и практических применений в прикладной физике и даже в промышленности. Однако разнообразие излучающих систем не сводится только к этом типам. Одной из особенностей синхротронного и ондуляторного излучений является то, что набор излучаемых частот ограничен снизу некоторой наименьшей частотой, и поэтому получение излучения в длинноволновом диапазоне в системах такого типа невозможно.
В настоящее время имеются радиотехнические (радиоэлектронные и т.д.) устройства, позволяющие генерировать излучение в любых спектральных интервалах от сверхдлинных радиоволн до гамма-лучей. Однако теоретически интересен и практически важен вопрос о возможности генерации любых заданных частот или частотных интервалов при движении точечного заряда в некотором внешнем поле. Теоретический интерес вызвали две электродинамические системы ——излучение с участка дуги окружности и в системах типа «короткого» магнита. Здесь будут рассмотрены обе эти системы.
В современной литературе имеется несколько десятков статей, где в том или ином плане дано теоретическое рассмотрение излучения в этих системах. В первых работах [1-17] были выявлены некоторые основные особенности излучения. В статьях [18, 19] удалось решить общую задачу о нахождении движения заряженной частицы, формирующей в определенном направлении излучение с наперед заданными свойствами, такими как спектральный состав и поляризация. Дальнейшие исследования позволили обнаружить много новых и весьма интересных особенностей излучения релятивистских частиц в рассматриваемых системах [20-26].
Излучение электрона,движущегося по дуге окружности
Классическая и квантовая теории синхротронного излучения, изложенные в предыдущих главах, основаны на предположении, что заряженная частица совершает бесконечно большое число оборотов по окружности и ее излучение наблюдается со всей окружности. В действительности при регистрации синхротронного излучения наблюдается, как правило, излуче-
ние с небольшого участка траектории и число оборотов частицы в любом случае конечно. Заметим, что макроскопическое движение заряженной частицы по замкнутой траектории является идеализацией.
Если рассматривать синхротронное излучение частицы в космическом пространстве, то вполне возможна такая ситуация (например, при рассеянии), когда траектория представляет собой неполную окружность. В земных условиях также существуют возможности, при которых частица будет двигаться по конечной дуге окружности, например, в отклоняющих магнитах.
Известны качественные оценки (см., например, [27]), показывающие, что основные свойства излучения частицы, движущейся с релятивистской скоростью по дуге окружности с угловым размером 2a > тс2/е = 7-1 (где с ——энергия частицы), совпадают со свойствами синхротронного излучения. Существует, однако, возможность уточнить эти качественные оценки с целью выявить особенности излучения заряда, движущегося по дуге окружности произвольного размера. Такие исследования могут найти применение при анализе излучения систем типа «короткого» магнита и им подобных [28-31].
В настоящем параграфе мы дадим подробный анализ свойств излучения электрона, движущегося с постоянной по модулю скоростью v = с/3 по дуге окружности с угловым размером 2a. Пусть траектория частицы лежит в плоскости z = 0. Начало системы координат расположим в центре окружности и предположим, что траектория симметрична относительно плоскости yz.
Общие формулы. Пусть радиус окружности равен R. Тогда частица движется по дуге окружности в течение времени Т = 1/с/З = 2а/@о, где шо 二 с/3/Я и I 二 2aR ——длина дуги. Например, если электрон движется во внешнем магнитном поле Н, то
R =庆/е& ш0 = сеН/е. (6.1)
Электрическое поле Е излучения в волновой зоне в точке с координатой г в момент времени 力 хорошо известно [27]:
Е(г,力)=(е/3/2тгcr) f (ш, n) exp[icj(f —『/e)]d®,
n) = [n[(n — /3)6]][1 — ri/?]—? вхр{—£@[力一na/c]}df, где
/3 = 6 = 黑，и = 工 =(sin® cos 6 sin Osin 6 cos 0),
а а = а(У) — радиус-вектор движущегося заряда в момент времени У. Из уравнения (6.2) получим спектрально-угловое распределение излученной энергии W:
(63)(63)dW = (е2Д2/4тг2с)|£(ш, n)|2dcjdO, сШ = sin%%? ш > 0.
(63)
(63)
Вводя векторы поляризации п。и г17rB соответствии с (5.40), из уравнения (6.2) получим
f = /аП^ + /7Tli|f|2 = |Л|2 + |/х|2,
где величины /а = (ftia), /7r = (fn^) являются характеристиками а- и 7г-компонент линейной поляризации излучения электрона. В случае движения по дуге окружности имеем с точностью до несущественного фазового множителя следующее выражение:
/ст = (cos х —(х)е^гд^' dx,
屮+a
爲 =cos0 p_2(z)ё-24з sinzdz,(6*4)
p(x) = 1 — д cos ж, 吵=2(z) = z — /isinz,д = Д sin^, q = ш/шд.
Эти уравнения являются основой анализа свойств излучения.
Проинтегрируем уравнение (6.3) по частотам и углам с учетом уравнения (6.2). В результате получим следующие выражения для полной излученной энергии:
Ж = WqT, Wo = (2^2/3^2)347—*(6.5)
где Wq ——мощность синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности радиуса R. Таким образом, мы получили физически очевидный результат: полная излученная энергия равна мощности синхротронного излучения, умноженной на время движения по дуге окружности. Этот факт говорит о том, что спектрально-угловое распределение (6.3) целесообразно представить в виде
dW = WgTF(伏 а, % 0, p)dqd^ F = Fa + F.^
Fb,Kl3a,q;1 6 = 3(1 -仍尸(167?a)-11/67r r0
Здесь F ——функция углового распределения, нормированная следующим образом:
dq ^ dQF(/3, ci, q; ^,(/?) = 1.
о
Интегрирование по углам и спектру компонент поляризации дает
Per,% = dq () dQ尸7T(/3；1a, q; О,夕)，
J J67)
= (6 + Д2)/8,卩7r = (2 — Д2)/8,
что хорошо известно из теории синхротронного излучения. Таким образом, распределение по компонентам линейной поляризации не зависит от а. Это вытекает также из общих свойств излучения, рассмотренных в [32]. Нетрудно показать (см. уравнение (6.4)), что fa^ убывает как ^ при q 一 一 оо. Следовательно, при ® 一 оо спектральное распределение убывает как 〜2, т.е. значительно медленнее, чем синхротронное излучение, которое с ростом частоты убывает экспоненциально. Последнее происходит вследствие того, что при конечном I и заданном характере движения ускорение /3 отличается от нуля в интервале 力 е Т и резко обрывается вне этого интервала. Другими словами, ускорение является разрывной функцией времени. В этом случае из уравнения (6.2) и из общих свойств преобразования Фурье следует, что при ® 一 оо Фурье-образ кусочно-непрерывной функции убывает по закону ш^1. Если ускорение изменяется непрерывно, как в реальной физической ситуации, то Фурье-образ (6.2) при ® 一 оо убывает не медленнее, чем ш^2 и, следовательно, спектр убывает не медленнее, чем ®—& Сделанные заключения будут подтверждены конкретными примерами в § 6.3.
Угловое распределение излучения. Интегрирование по частотам в уравнении (6.6) может быть выполнено точно, и после простых, но громоздких вычислений можно получить
F67r (伐 а, 0, g) = F67T (伏 а, q；仇夕)dq =
о
=此"(乱0)+①^(з+ a)-妃"(夕-a)，68)
где Ф° определяет угловое распределение синхротронного излучения, усредненное по одному обороту:
小64?Г(1 -标)5/2，丿647r(1 -后)7/2)
(69)
а функции ①^7r определены выражениями
I(①)+
+ [(23//2)рЗ(с) + (9//“2)(1//^)р^(ж)
-2(1 —42)20(金)+ 6(1 -42)3] sin ж} , (6.10)
品⑺=Q cos^ [arctg+
+ [(2 + 13р,2)р3(ж) + (3从2 + 2)(1 — р,2)р2(ж) +
+ 2(1 —小产m金)一6(1 — ^2)3] sin ж},
Q = (1 — /32)2[1287г^а(1 — ^2)3р4(ж)]"\
Рассмотрим угловое распределение (6.8)-(6.10). Если проинтегрировать по 夕 уравнение (6.8) или положить а = 7г^ (т.е. считать, что электрон делает N полных оборотов по окружности), то получим
1127r
1
1
F^.^e.^dp^^A^O).(6Л1)
о
т.е. угловое распределение синхротронного излучения, усредненное по одному обороту. Это утверждение является следствием общей теоремы, доказанной в работе [32]. Если а т 0 (а точнее, а << 7™1), то из уравнений (6.8)-(6.10) имеем
/(仇0；仇⑴=3(1 一俨尸3-8S 3)2[8切53)「1,
居Д/З, 0;仇夕)=3(1 - /32)2 cos2 0 sin2 д[8тф5(д)「1.~
Эти формулы представляют собой мгновенное угловое распределение а- и тг-компонент поляризации синхротронного излучения (см. п. 1.1.5)). Таким образом, если а изменяется от 0 до тг, то уравнения (6.8)-(6.11) описывают непрерывный переход от мгновенного углового распределения к распределению, усредненному за оборот.
Из уравнений (6.8)-(6.И) следует, что
成好(仇a；仇3)=成,7r(0,a;4一⑴，
т.е. угловое распределение симметрично относительно плоскости д = 0 и, следовательно, достаточно рассмотреть только область углов 0 < ^ < тг. Наиболее интересен случай релятивистского электрона ()》1)* Все характеристики излучения нерелятивистской частицы описываются относительно простыми формулами и будут рассмотрены в п. 6.2.5.
При)》1 основная часть излучения сосредоточена в узком интервале углов 60 〜)т в окрестности 0 = тг/2.
Рассмотрим функцию ж（^） = F（/3, а; тг/2, ^）, описывающую угловое распределение в плоскости ^ = тг/2. Ограничимся углами 0 < а < тг.①ун『 кция ж（^） имеет экстремумы в точках ^ = 0 и ^ = тг при любых а и /3* Эта функция имеет также экстремумы в точках 夕=夕卜，k = 1, 2,3,4 （точнее, точки gi и дз могут быть точками минимума, в то время как точки 夕2 и 夕4 являются точками максимума）. Мы будем называть эти экстремумы вторичными. Положения точек 夕卜 зависят от а и /3, т.е.夕左 = 夕卜（&,0， При фиксированном /3 все 夕左 являются монотонно растущими функциями а, в то время как при фиксированном а функции gi и 夕2 являются монотонно растущими функциями /3, а функции ^3 и д《монотонно убывают. Функции рк удовлетворяют неравенствам
о < ^1 < ^2 < а < ^3 < ^4 < тг-
При заданном а имеем lim 夕卜（/3, а） = а, тогда как при）》1 справедливы асимптотические представления
外,2（仇a） ^ а 一）一干丁^^近不а）一,
Зз,4（仇 &） ^а +）т 干4（2v^sin3 &） —L
Предполагая, что /3 > ,2/5, найдем два угла V;i и 吵2：
О V * < V;2 < тг/2, cos* = 0, cosФ2 = （5。2 — 2）/30.（6.13）
В ультрарелятивистском случае 吵i ^）一\ 吵2 ^）一丄 \/^!/3. Что касается функций 夕卜（0, &）, мы располагаем следующей дополнительной информацией относительно их области определения и частных значений:
（6Л4）（6Л4）。S 31（仇 &） S тг — V;2, 吵2 < а < тг,31（乱次）=0, 01（仇 7Г）= 7Г 一次，О < 32（仇 а） S тг —耽，叫 < а < тг,32 （仇*） = 0, 02（仇 7Г）= 7Г —叫，叫 < Зз（仇 а） S『0 < а < 7Г -叫,^з（/3,о）=沙Ь 。3（仇 7Г —次）=7Г,吵2 < 夕4（仇 а） < тг, 0 < а < 7Г -吵2,34（仇0）= V;2, 夕4（仇7Г 一吵2）= 小
（6Л4）
（6Л4）
Функции 夕友（0, а） могут быть найдены в неявном виде из уравнений
［0 - cos（pk + а）『［1 - 0cos{pk - а）］5_
—— COS停友一а）］2［1 — 0cos（^fc + а）］5 = 0. （6.15）
Теперь мы можем подробно описать структуру углового распределения ж（^）.
Если 0 < а < ф1^ то 金停)достигает абсолютного максимума в тон- ке ^ = 0, а в точке g = ^з(/3, а) имеется вторичный минимум. В точке g = ^4(/3, а) находится вторичный максимум, а при ^ = тг снова имеем минимум. Таким образом, функция ж(^) имеет четыре экстремума в интервале [0, тг] при 0 < а < V;i-
С дальнейшим ростом а, когда ф1 V а V 吵2, в точках 夕2(仇 &) имеется абсолютный максимум функции ж(^), в то время как g = 0 является точкой минимума для этих значений а. Таким образом, при 吵i < а < 吵2 функция 金停)имеет пять экстремумов в интервале [0, тг].
Если 吵 2 V а V тг — V;2, появляется новая точка минимума g = ^i(/3, а), а ^ = 0 снова принимает максимальное значение. Таким образом, в этом случае 金停)достигает максимумов при ^ = 0, ” 夕4 и минимумов — при = ^i, ^з, тг. Если а близко к точке 吵2, то она является точкой абсолютного максимума, в то время как для а, превышающего определенное значение а > 吵2, возникает абсолютный максимум при ^ = 0.
Как видно из уравнений (6.14), при дальнейшем увеличении а максимум 夕4 сливается с минимумом ^ = тг при а 二 тг —吵i, а точка ^ = тг при тг —吵2 < а < тг — 'ipi становится максимумом, в то время как максимум 夕4 исчезает. Следовательно, функция ж(^) имеет пять экстремумов на интервале тг —吵2 < а < тг — ф± с абсолютным максимумом в точке ^ = 0.
В соответствии с уравнениями (6.14) при а =穴一吵工 вторичный минимум ^з, находящийся в точке ^ = тг, исчезает. При тг — 'ipi < а < тг точка g = тг снова становится точкой минимума функции. Функция ж (^) при этих а имеет два максимума в интервале [0, тг], т.е. абсолютный максимум при ^ = 0, вторичный максимум при ^ = ^2 и два минимума при g = gi, тг.
С ростом а абсолютное расстояние между экстремумами растет, и при а = тг все максимумы сливаются друг с другом. Это означает, что в соответствии с уравнением (6.11) функция ж(^) не зависит от g при а = тг.
Генерация низкочастотного излучения. Простые качественные оценки показывают, что спектр излучения релятивистского электрона при а》)—1 должен иметь синхротронный характер, по крайней мере в области частот, в которой генерируется основная часть излучения. В частности, максимум спектра приходится на частоты ш 〜wq73. Однако характер спектра в низкочастотной области w < wg нельзя определить из качественных соображений. В этом случае требуются точные расчеты.
Разлагая уравнения (6.4) в степенной ряд по ш с точностью до членов порядка си и интегрируя по углам, получим
dW = W0TF((3,a,q)dq,
F(B)a, q) = F° (仇 a) + q2F1(/3, ,我(仇 a) = 3(1 - 02)2(8皿02尸产(仇 a),
(6.16)(6.16)1 1 +斤 1八1 1 +斤 1八#(仇a) = 2沙]ii[(l + 沙)/(1 -沙儿严(仇 a) = 2厂"川(1 + 沙)/(1 - 沙)]-4,
(6.16)
(6.16)
1 1 +斤 1八
1 1 +斤 1八
/ sin2 a ,/ sin2 a ,
/ sin2 a ,
/ sin2 a ,
期=8 sina(l — О? cos2 а) —"У
Значения функции F°(/3,a) характеризуют относительный вклад узкого интервала частот dw/wg в окрестности точки ш = 0 в полное излучение. Из уравнений (6.16) получим Р^^^З. 0)=可再(0，тг) = 0, в то время как функции "/(/?,&) положительны в интервале 0 < a < тг. Поэтому при a = &'(/?) функции F° (仇 損⑺)достигают максимума. Значения &'(/?) и F°(/3, az(/3)) как функции /3 рассчитаны численно и приведены в таблице.
0
必⑶
必(0)
損⑺
可
F0
0,0
1,166
1,166
1,166
0,346
0,115
0,461
0,1
1,163
1,164
1,163
0,341
0,112
0,454
0,2
1,153
1,158
1,155
0,325
0,109
0,434
0,3
1,137
1,148
1,140
0,299
0,102
0,400
0,4
1,112
1,134
1,118
0,264
0,091
0,355
0,5
1,176
1,112
1,086
0,221
0,078
0,299
0,6
1,023
1,080
1,039
0,173
0,063
0,236
0,7
0,946
1,033
0,971
0,122
0,046
0,167
0,8
0,828
0,955
0,865
0,071
0,028
0,099
0,9
0,629
0,801
0,678
0,027
0,011
0,038
0,99
0,212
0,325
0,240
0,001
0,000
0,001
Функции &'(/?) монотонно убывают с ростом /3, при этом все af(/3) имеют одинаковые значения при /3 = Он/3 = 1 (а'(1) = 0). В интервале 0 < /3 < 1 они удовлетворяют неравенствам 必(0) < &'(/?) < а4(/3)，а при /3 т 1 функции &'(/?) имеют следующую асимптотику:
где
1,509, 07r2,391, а 1,722.
Функции F°(/3, &'(/?)) монотонно спадают к нулю с ростом /3.
Нетрудно увидеть, что в низкочастотном пределе ш 0 спектральное распределение не стремится к нулю, если дуга окружности удовлетворяет условию а 卢 0,7г. Область частот в окрестности ш = 0 вносит наибольший вклад в полную излучаемую мощность при малых скоростях частицы /3. Уменьшение вклада низких частот с ростом /3 может быть следствием того, что либо спектр излучения расширяется в область высоких частот, либо максимум смещается в высокочастотную область, либо имеют место оба эти фактора. Как будет показано в § 6.3, при а《 厂丄 абсолютный максимум приходится на частоту ш = 0. Эффективная ширина спектра имеет величину порядка Аси 〜Шо72/а.
Таким образом, ширина спектра в этом случае растет. Если угол раствора дуги а близок к тг, то спектр излучения фактически совпадает с синхротронным, для которого частота, соответствующая максимуму спектральной плотности, равна wmax 〜wq73. При этом вкладом низкочастотной компоненты можно, очевидно, пренебречь. В связи с этим представляет наибольший интерес исследование слагаемого 尸丄(0, а) Если выполняется условие F1^^ а) > 0, то ш = 0 является точкой минимума. Если же F1^^ а) < О, то на нулевой частоте ш = 0 спектр имеет максимум, и либо этот максимум является абсолютным (как в случае а <<7^1), либо он является вторичным, а абсолютный максимум лежит в высокочастотной области.
Итак, уравнение F1^^ а) = 0 определяет такое а = а(/3), которое разграничивает перечисленные выше случаи. Численные расчеты показывают, что функция а(/3) растет с ростом /3 и при этом выполняется условие a7r (0) < &(0) < &。(/3) для /3 > 0. В граничных точках функция а(/3) принимает следующие численные значения:
а。= &冗(0) = аа(0) = а(0) р^ 1,303,
a7r(1)1,467, а(1)1,953, &。(1) 2,260.
Отсюда следует, что если &<&()— 75° (а именно, если раствор дуги < < 150°), то ш = 0 является точкой максимума спектра, но не обязательно абсолютного.
С точки зрения физики очевидно, что при а〉)一 工 спектр излучения должен быть близок к синхротронному. Теперь мы видим, что это утверждение верно только в высокочастотной области. Что же касается низкочастотной области ш < шо, то при а < а(/3) спектр излучения похож на спектр «короткого» магнита (см. § 6.3), и только при а > а(/3) можно ожидать аналогии со спектром синхротронного излучения практически во всем интервале частот.
Теперь с помощью уравнений (6.2) и (6.4) нетрудно показать, что излучение в заданном направлении & g в низкочастотной области линейно
поляризовано и электрический вектор поля излучения параллелен векто- Pyj(&)：
j(a) = (cos g — 4 cos a)e夕 + cos 0 sin ge^.(6.17)
Уравнения (6.16) позволяют найти критерии малости а. Величиной а можно пренебречь при 〃〜1，что эквивалентно неравенству
а《,1-02 = тс2/е.(6.18)
Высокочастотная асимптотика спектра излучения. Нетрудно найти высокочастотную асимптотику спектра. Дважды проинтегрируем по частям уравнение (6.4). В результате получим тождество
夕+a.I <р+а
q р(ж) dx р3(ж)
9? —aI 9? —a
<p + «i f+ _q J<p + «i f+ _q J1 d Ьст,7Г (ж) p(①)dx р3(ж)1 d Ьст,7Г (ж) p(①)dx р3(ж)(6.19)(6.19)
<p + «
i f
+ _
q J
<p + «
i f
+ _
q J
1 d Ьст,7Г (ж) p(①)dx р3(ж)
1 d Ьст,7Г (ж) p(①)dx р3(ж)
(6.19)
(6.19)
匕。(力)= cos ж —从, 6^(^) = cos ^ sin x.
Сохраняя члены, убывающие при q 一 оо не медленнее, чем q~з, найдем
3(1 ТУ г3(1 ТУ г27r27r87r2aq2.О87r2aq2.Оsin OdO dgоsin OdO dgо成产（夕+ a） + 碌久夕一a）成产（夕+ a） + 碌久夕一a）2评(夕+ a)2评(夕+ a)2评（夕一a）2评（夕一a）
3(1 ТУ г
3(1 ТУ г
27r
27r
87r2aq2.
О
87r2aq2.
О
sin OdO dg
о
sin OdO dg
о
成产（夕+ a） + 碌久夕一a）
成产（夕+ a） + 碌久夕一a）
2评(夕+ a)
2评(夕+ a)
2评（夕一a）
2评（夕一a）
bСТ,7Г(9^ + ^)^<7,7Г(9^ 一 а)p3 (夕 + а)р3 (夕一a)bСТ,7Г(9^ + ^)^<7,7Г(9^ 一 а)p3 (夕 + а)р3 (夕一a)
bСТ,7Г(9^ + ^)^<7,7Г(9^ 一 а)p3 (夕 + а)р3 (夕一a)
bСТ,7Г(9^ + ^)^<7,7Г(9^ 一 а)p3 (夕 + а)р3 (夕一a)
cos 2q(a —从 cos g sin a) . (6.20)
Простые вычисления дают
7T27r
” Д С J 成,7Г(夕土 а)7Г?67r
卜如 Р6(夕土。)=15(一华)3,
о о
= 30 + 25俨—304, z7r = 10 — 902 + 304*
Последний интеграл в (6.20) убывает с ростом q，если аргумент 2q(a — —4 cos g sin a) зависит от переменных ^ и ^. Очевидно, что такая зависимость отсутствует только в случае /3 sin a = 0. Поэтому либо /3 = 0 —— электрон является нерелятивистским, либо a = ип (п ——целое)——число оборотов является целым. Оба случая будут рассмотрены ниже. Основной
член высокочастотной асимптотики спектра принимает вид
成(仇a;q)成(仇a;q)30 + 25斤—3Д440тга(1 — /32)q2 510 - 9忻 + 3Д440тга(1 — /?2)q2 '30 + 25斤—3Д440тга(1 — /32)q2 510 - 9忻 + 3Д440тга(1 — /?2)q2 '(6.22)(6.22)
成(仇a;q)
成(仇a;q)
30 + 25斤—3Д4
40тга(1 — /32)q2 5
10 - 9忻 + 3Д4
40тга(1 — /?2)q2 '
30 + 25斤—3Д4
40тга(1 — /32)q2 5
10 - 9忻 + 3Д4
40тга(1 — /?2)q2 '
(6.22)
(6.22)
Если /3 * 0 но а 二 7nz, то из уравнения (6.20) получим
F^^^n'.q) ^F^^^n'.q) ^30 + 25/32 — 3/4 / sin7rng \ 230 + 25/32 — 3/4 / sin7rng \ 2F^^.Tm^q)F^^.Tm^q)20п(1 —02)10 — 902 + 3/420п(1 —夕)20п(1 —02)10 — 902 + 3/420п(1 —夕)7TQ /.、281П7ГП^ \7TQ /.、281П7ГП^ \7rq7rq(6.23)(6.23)
F^^^n'.q) ^
F^^^n'.q) ^
30 + 25/32 — 3/4 / sin7rng \ 2
30 + 25/32 — 3/4 / sin7rng \ 2
F^^.Tm^q)
F^^.Tm^q)
20п(1 —02)
10 — 902 + 3/4
20п(1 —夕)
20п(1 —02)
10 — 902 + 3/4
20п(1 —夕)
7TQ /
.、2
81П7ГП^ \
7TQ /
.、2
81П7ГП^ \
7rq
7rq
(6.23)
(6.23)
Обратим внимание на высокую степень линейной поляризации в высокочастотном пределе. Из уравнений (6.22) видно, что при /3^1 тг-компонента составляет только 1/14 общей мощности излучения.
Излучение нерелятивистского электрона. Основные характеристики излучения нерелятивистского электрона имеют достаточно простую форму. Из уравнений (62)—(6*4) и (6.6) при /3 = 0 найдем спектральноугловое распределение:
3成(0,a,q”g) =而五3成(0,a,q”g) =而五sin2 a(q — 1) sin2 a(q + 1)(一尸 + g+i)2+sin2 a(q — 1) sin2 a(q + 1)(一尸 + g+i)2++ 2+ 2sin a(q — 1) sina(g + 1)sin a(q — 1) sina(g + 1)14(0, a, q;仇 g)=14(0, a, q;仇 g)=3 cos2 03 cos2 0167r2a167r2asin2 a(q — 1)(一产sin2 a(q — 1)(一产q2 _ 1I sin2 a(q + 1) + g+i)2q2 _ 1I sin2 a(q + 1) + g+i)2cos 2g , (6.24)cos 2g , (6.24)
3
成(0,a,q”g) =而五
3
成(0,a,q”g) =而五
sin2 a(q — 1) sin2 a(q + 1)
(一尸 + g+i)2+
sin2 a(q — 1) sin2 a(q + 1)
(一尸 + g+i)2+
+ 2
+ 2
sin a(q — 1) sina(g + 1)
sin a(q — 1) sina(g + 1)
14(0, a, q;仇 g)=
14(0, a, q;仇 g)=
3 cos2 0
3 cos2 0
167r2a
167r2a
sin2 a(q — 1)
(一产
sin2 a(q — 1)
(一产
q2 _ 1
I sin2 a(q + 1) + g+i)2
q2 _ 1
I sin2 a(q + 1) + g+i)2
cos 2g , (6.24)
cos 2g , (6.24)
cos 2gcos 2g(6.25)(6.25)尸 m3 cos2 0Kr(0,a/“)=167r尸 m3 cos2 0Kr(0,a/“)=167rsin a1 — cos a cos 2g .sin a1 — cos a cos 2g .
cos 2g
cos 2g
(6.25)
(6.25)
尸 m3 cos2 0
Kr(0,a/“)=167r
尸 m3 cos2 0
Kr(0,a/“)=167r
sin a
1 — cos a cos 2g .
sin a
1 — cos a cos 2g .
sin a(q — 1) sin a(q + 1)q2 — 1
После интегрирования по углам получим спектр излучения:
31
成(0,a,q) = J Kr(0,a,q) = J尸 sin2 a(q - 1) sin2 a(q + 1)
7r— l)2 + 7ra(g + I)2 '
Проинтегрировав уравнение (6.24), найдем угловое распределение излучения нерелятивистского электрона:
/、иDill 3
-Го- (0, а,仇— 1 +cos a cos 2g
Хоттa
Этот же результат вытекает из уравнения (6.8), если /3 = 0. Из уравнения (6.25) следует, что основной вклад в излучение определяется частотами ш 〜 〜си。, а эффективная ширина спектра имеет величины порядка Дш 〜wg/a.
Излучение при целом числе оборотов. Пусть электрон делает целое число ^ оборотов (а 二 ttN, TV = 1,2,...). В этом случае удобно задать точки влета и вылета электрона на оси у. Тогда уравнение (6.6) принимает вид
dW = WQTgN(q)(Fa + F^dqdQ. q > 0,
+ 7rqE；(q4)> sin 7гд + ttqJ^ (да) cos тгд , (6.27)
、2
+ 分7rqEq(q4) sin7rg + i7rqJq(q^) cos7rg
gN(q)二(sin2 TrqN) (^ sin2 7rg) ™1.
Здесь Jq(c) и Eg (ж) — функции Ангера и Вебера соответственно; штрихи обозначают производную. Из уравнения (6.27) видно, что число оборотов входит только в множитель gN(q), а остальная часть формулы (6.27) не зависит от ^ и совпадает с выражением для спектрально-углового распределения излучения электрона, сделавшего один оборот (gi(q) = 1).
Спектрально-угловое распределение зависит от угла д* Физически очевидно, что асимметрия в угловом распределении связана с наличием точки влета-вылета. Интегрирование по частотам в (6.27) приводит к формулам п. 6.2.2 и исключает асимметрию в зависимости от ^.
Уравнение (6.27) позволяет проследить, как формируется спектр синхротронного излучения при ^ ^ оо. Нетрудно видеть, что
Hm gN{q) = * *q — ?力(6.28)
Кроме того, если N》1, то эффективная ширина спектральных линий
при q = п равна Дд 1/М В пределе N т оо из (6.27) находим
lim dW/T = 7rA2)几2份2/2(叉必)+ ctg2dQ (629)
Мы учли, что Jn (ж) = Jn (ж), где Jn (ж)——функция Бесселя целого индекса. В результате получена хорошо известная формула Шотта классического спектрально-углового распределения синхротронного излучения.
При ^ ^ оо слагаемое, ответственное за асимметрию поля излучения в (6.27), выпадает, будучи в N раз меньше членов, не зависящих от /
Таким образом, мы выявили характер формирования спектра синхротронного излучения в случае электрона, совершающего большое, но конечное число оборотов по окружности.
Представление в терминах двумерных интегралов. Интегрируя функцию F(/3, a; q; О, д) в (6.6) по углам, получим спектральное распределение
тг2тг
F(仇 a;q)= sin%。 dgF(仇 a; q;仇夕)，(6.30)
о0
которое удовлетворяет очевидному условию
F(/3, а; q)dq = 1.(6.31)
о
Имея в виду (6.4), спектральное распределение можно представить в следующей интегральной форме:
F(仇 a;q) = %(仇 a;q) + F7r(仇 a;q), 凡尸(仇 &；G = ^、7r7 ①5
?Г2Тг夕+a9?+a
JJJJ犷(①)綻®)’
(632)(632)00q —q — a
(632)
(632)
тг27r夕+a夕+a
2/ g
m7r = cos2 <9 sin OdO d夕dx、cos 2qy,
JJ J J рЧх)рЧу) '
00q — aq — a
где
2x =吵®）一吵（金）*
Последнее выражение может служить основой численного исследования поведения F(/3, a; д). Однако вычисление четырехкратных интегралов при
различных фиксированных значениях /3, а и q требует большого машинного времени, и с этой точки зрения представление (6.32) неудобно.
Путем преобразований выражения (6.32) удается записать в виде двукратных интегралов, что заметно облегчает численный анализ. Сдвигая интегрирование по с (ж т с + д) и no g (д т g + 夕)，перепишем формулы (6.32) в виде
(6*33)(6*33)夕。尸 = sin 0d0 dg dx dyr^2aa^ cos 2g%,
(6*33)
(6*33)
где введены обозначения
«а = ［cos(g + %)—川［cos(g + g)—从］=
=从2 - 2从 COS (夕 + 忑；U ) COS 忑；У + cos(g + ж) cos 停 + у),
a7r = cos2 0 sin(c + g) sin® + g),
X =X =У - x2У - x2+ 4 cos+ 4 cos22sin —2sin —2(6*34)(6*34)
X =
X =
У - x
2
У - x
2
+ 4 cos
+ 4 cos
2
2
sin —2
sin —2
(6*34)
(6*34)
r =+ P)P{y +— 2从 cos ( g H— I cos —h
+ 42 cos停 +金)COS停 + 办
Поскольку подынтегральные выражения в (6.33) являются периодическими (с периодом 2тг) функциями g и интегрирование ведется по полному периоду, то сдвигая 夕—夕一(ж + д)/2 мы не изменим области интегрирования по g и формула (6.33) сохранит свой вид. Из (6.34) с учетом сдвига по g находим
9/ х — у \/ х — у \①一У
а。=+ cos ( g Н I cos (夕 cos g cos
a7r = cos J sin ( g H J sin ( g
у —啰.х — у
х =———И 4 8S 3 sill,
嘖 С①у 9/ х —/ х —
『=1 — 2从 cos g cos 卜从"cos ( g T 丿 cos ( g .
(6.35)
Теперь в интеграле по у произведем сдвиг у у -^ х, после чего получим
7T27ra a — x
①7T = sin 0d0 dg dx dy r^2aa^ cos 2g%,(6.36)
00—а—а —ж
где подынтегральные выражения имеют вид
2/ у \/ у \„у
(6.37)(6.37)аа = fi + cos + 5 J cos —5 J — 2/i cos g cos -,
(6.37)
(6.37)
an = cos2 g sin ( g g ) sin ( g g
а переменные x и г являются следующими функциями у:
у. g
X = - -//cos^sin^,
丁 = 1 — 2/i COS 夕 COS ^ + //2 COS (夕 + ^ ) COS (夕—^
Подынтегральное выражение в формуле (6.36) содержит переменную х только в пределах интегрирования по переменной у. Рассмотрим отдельно интегралы вида
J(a)= dx f(y)dy,J(a)= dx f(y)dy,(6.38)(6.38)
J(a)= dx f(y)dy,
J(a)= dx f(y)dy,
(6.38)
(6.38)
где /(g)——произвольная функция у. Дифференцируя предыдущее выражение по а, найдем
О2 ааа
/(а) = /(g)dg + f(y)dy + ] /(а — y)dy + /(—а — y)dy. (6.39) —2а0—а—а
В первом из этих интегралов делаем замену у = —/, в третьем — у = а — /, в четвертом ——g = / — а, после чего предыдущее выражение приводится к виду
2а
/(а) = 2 [/(/) + f{—x)]dx.(6.40)
о
Интегрируя (6.40) по а с учетом начального условия J(0) = 0, следующего из (6*38), найдем окончательно
2а
J(a) =(2q x)[f(x) + f(—x)]dx.(6.41)
о
Таким образом, двукратный интеграл (6.38) свелся к однократному. Наконец, делая замену / 一 2/ и отмечая, что, как следует из (6.37), в нашем
случае /(/)——четные, формулу (6.36) приведем к виду тг2тга
①内冗=8 sinfdg d屮 dx(a x)r^2aa^ cos 2gx, (6.42) оо0
где теперь следует положить
а。= /3? sin2 0 — 2/3 sin f cos 夕 cos / + cos2 夕—sin2 x,a= cos2 6>(cos2 / — cos2
.(6”4j)
X = / — 0 sin © cos 夕 sin Ж,
r = (1 — f3 sin 0 cos 夕 cos /『一/3? sin2 f sin2 夕 sin2 x.
Мы подставили значение // из (6.4). В двойном интеграле по телесному углу можно произвести замену переменных, эквивалентную повороту декартовой системы координат, относительно которой определены сферичаские углы:
sin 6> cos р = cos^, 0 < ^ < 7Г, 0 < 7J < 2тг, sin 0 sin ^ = sin £ sin 〃， sin fdfdg = sin fdgdj(6.44)
cos 0 = sin g cos 7 sin2 9 = A = cos2 g + sin2 g sin2 〃
В результате такой замены из (6.42) и (6.43) получим тг27rа
①67r = 8 singdg d〃 dx{a — х)1ал cos[2q(x — /3 cos sin x)], (6.45) оо0
где
02/2 — /(2/3 cos g cos ж + sin2 Ж)+ cos2 g
оA(B A/32 sin2 ж)25
(1 — 4)(/ cos2 ж — cos2 g)
A(B — /02 sin2 ж)25
g = 1 — 2/3 cos g cos / + 声 cos? &
Из уравнения (6.45) видно, что переменная 〃 входит только в величину Л и, следовательно, теперь интегрирование по 〃 можно провести точно. Величины легко представить в виде
「⑴г(3)
一 丁十8 一 /02 $由2 c十(8 一/出$山2T)2 aв臼0丿
Сравнивая (6.45) и (6.46), найдем
⑴—⑴—cos2 £⑶—俨 Sin4 ж cos2 £ — 8
° -“ - В2 sin2 ж ，
(2) 讲 COS2 С — /3’ Sin4 Ж COS2 g
B2p2 sin2 ж '
C^ =[俨 sin4 x cos2 g — 2(2/3 cos ж + sin2 x) sin2 / + B2](B sin2 x)-1,
。产=(俨 sin2 / — 2)(2 cos2 / — /32 sin2 x cos2《乂召俨 sin2
(647)
Учитывая значение интегралов
27r27rJ 1 + £ sin2 770ВЫЧИСЛИМ27r” dn 27r02тт27r27rJ 1 + £ sin2 770ВЫЧИСЛИМ27r” dn 27r02тт27r27rd刀d刀к (1 + £ sin2 I])2(1 + £)3/2 5Ок (1 + £ sin2 I])2(1 + £)3/2 5О(648)(648)2тг2тгdr]dr]2тг2тгк 8 —厶夕 sin2 c(1^/3 cos ^ cos ж) \/В — fi2 sin2 жк 8 —厶夕 sin2 c(1^/3 cos ^ cos ж) \/В — fi2 sin2 ж
27r27r
J 1 + £ sin2 77
0
ВЫЧИСЛИМ
27r
” dn 27r
0
2тт
27r27r
J 1 + £ sin2 77
0
ВЫЧИСЛИМ
27r
” dn 27r
0
2тт
27r
27r
d刀
d刀
к (1 + £ sin2 I])2(1 + £)3/2 5
О
к (1 + £ sin2 I])2(1 + £)3/2 5
О
(648)
(648)
2тг
2тг
dr]
dr]
2тг
2тг
к 8 —厶夕 sin2 c(1^/3 cos ^ cos ж) \/В — fi2 sin2 ж
к 8 —厶夕 sin2 c(1^/3 cos ^ cos ж) \/В — fi2 sin2 ж
”d刀7г[(1 /3 cos ^ cos x)2 + В /32 sin2 ж]
< (В Afi2 sin2 ж)2(1^/3 cos ^ cos ж)3 (В /32 sin2 ж)3/2
0
(6.49) и тем самым проинтегрируем по переменной 〃.
Если затем сделать замену у = cos & то можно окончательно получить для спектрального распределения следующие интегральные представления:
1 а
F[^ а; q) =^dy d/(a -(伏g) cos 2g—/Зд sin/),
0
(6.50)
где для суммарного (по поляризациям) излучения следует положить
厶二 1(/3; ж, у) = (В — /З2 sin2 с)-*? < 2(1 — Зп cos ж)—
(1 + 3俨为2 cos2 x — 2(1 + 俨)У2 — (3 + /32) cos2 ж + 4(1 + 3俨为2 cos2 x — 2(1 + 俨)У2 — (3 + /32) cos2 ж + 4++1 — [3y cos ж02(1 一力升2 一 (1 + 优)力]sin4 ж1 — [3y cos ж02(1 一力升2 一 (1 + 优)力]sin4 ж++(1 — /3?/cos ж)3(1 — /3?/cos ж)3,(651),(651)
(1 + 3俨为2 cos2 x — 2(1 + 俨)У2 — (3 + /32) cos2 ж + 4
(1 + 3俨为2 cos2 x — 2(1 + 俨)У2 — (3 + /32) cos2 ж + 4
+
+
1 — [3y cos ж
02(1 一力升2 一 (1 + 优)力]sin4 ж
1 — [3y cos ж
02(1 一力升2 一 (1 + 优)力]sin4 ж
+
+
(1 — /3?/cos ж)3
(1 — /3?/cos ж)3
,(651)
,(651)
Для а- и тг-компонент линейной поляризации найдем
/加=一得 + .炉/一二一「.小■灰5 |(1 - Pycos :r)[cos2 / + 力(1 + sin2 /)]一
,(6.52),(6.52)(1 + 2 sin2 ж)(1 — у2)р2у2 sin2 ж р4у4^ —力)sin6 x
,(6.52)
,(6.52)
1 — py cos ж(1 py cos ж)3
/(7 = Д) — /jT"
Выражения (6.51) и (6.52) являются исходными формулами для численных расчетов.
Численный анализ спектрального распределения. Поведение спектра на малых частотах анализировалось в п. 6.2.3. В случае ультрарелятивистского движения положение максимума в терминах переменной q практически перестает зависеть от а при &》)一】и определяется известными из теории синхротронного излучения асимптотическими выражениями
дП1ах а?* а = 0,4287, аа = 0,5032, а7r = 0,2158.
Основные итоги численных расчетов представлены на рис. 6.1-6.13, где приведены семейства функций F(/3, a; q) при различных значениях параметров, причем на рис. 6.1-6.7 представлены семейства при фиксированном /3 и различных а, а на рис. 6.8-6.13 фиксировалось а и менялось /3. Приведенные графики дают наглядное представление об эволюции спектрального распределения в зависимости от изменения параметров а и /3.
Излучение электронов в «коротком» магните
Рассмотрим излучение электрона в поле «короткого» магнита. Под «коротким» магнитом мы будем понимать систему, обладающую следующим свойством: вне ее электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью 管=с/3 (ще с ——скорость света), а электромагнитное поле системы изменяет направление скорости на малый угол, практически не изменяя при этом энергии электрона. Угол, на который рассеивается электрон, удовлетворяет условию
- 02”(6.53)
Таким образом, движение в «коротком» магните представляет собой рассеяние на малый угол во внешнем электромагнитном поле.
Некоторые простые свойства излучения «короткого» магнита рассмотрены в учебниках по классической электродинамике (см., например, [27]) и статьях [1, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 20, 23, 25]. Здесь мы покажем, что основные свойства излучения в «коротком» магните достаточно интересны, могут
Рис. 6.1. Спектр излучения при /3 = 0; а = 0,5 (7), 1,0 (2), 1,5 (3), 2,0 (4)，
2,5 (5), 7г (6)
Рис. 6.3. Спектр излучения при /3 = 0,4； & = 0,5 (7), 1,0 (2), 1,5 (3), 2,0 (4), 2,5 (5), тг (6)
Рис. 6.5. Спектр излучения при /3 = 0,8; а = 0,5 (/)，1,0 (2), 1,5 (3), 2,0 (4), 2,5 (5), тг (6)
Рис. 6.7. Спектр излучения при /3 = 0,99; а = 0,5 (7), 1,0 (2), 1,5 (3), 2,0 (4), 2,5 (5), тг (6)
Рис. 6.9. Спектр излучения при а = 1; /3 = 0 (7), 0,2 (2), 0,4 (3), 0,6 (4), 0,8 (5), 0,9 (6), 0,99 (7)
Рис. 6.11. Спектр излучения при а = 2; (3 = 0 (/)，0,2 (2), 0,4 (3), 0,6 (4), 0,8 (5), 0,9 (6), 0,99(7)'
Рис. 6.13. Спектр излучения при а = тг; /3 = 0 (7), 0,2 (2), 0,4 (3), 0,6 (4)，0,8 (5), 0,9 (6), 0,99
быть исследованы методами классической электродинамики и представлены в замкнутой аналитической форме.
Рассматриваемая система является частным случаем ондулятора с малым параметром G (см. п. 5.1.4), но отличается тем, что внешнее поле не меняет знак на траектории частицы.
Скорость электрона вне «короткого» магнита равна
vx = ф cos а/2, vy = 土c/3sina/2*
Условие (6.53) означает применимость дипольного приближения [27], в соответствии с которым можно положить
必=с 仇 &)у =管z = 0-(6.54)
В этом случае из уравнения Лоренца имеем |g賓 |《|8у|，а для Ду получим
mcq^y = Bf3(Hz — gTEy), /Зж = 0.(6.55)
Точка означает производную по времени; Hz, Еу — соответствующие компоненты электромагнитного поля. Введем эффективное поле на траектории
Hh = Hz — ГгЕу = Hf(s/l\(6*56)
где Н ——постоянная, f(s/l)——распределение поля по траектории s, s —— линейная координата вдоль траектории, I ——характерная длина «короткого» магнита, которая будет определена ниже.
Пусть / > 0. Выберем начало отсчета s в окрестности максимума эффективного поля. Пусть функция / удовлетворяет условию
(6.57)(6.57)1/2(s/Z) ds =f2(u) du = 1.
(6.57)
(6.57)
Тогда H ——среднеквадратичная амплитуда поля. Введем средний радиус траектории Я и характерную длину I следующим образом: Я = Ртс2^/еН, I = аЯ. Введем также эффективное время движения электрона в «коротком» магните: Т = 1/с,
Принимая во внимание сформулированные выше предположения, найдем выражения для электрического поля излучения в точке г в момент времени t:
E(r/) = ；*、^(g) exp[icj(t r/c)] duj.(6.58)
Здесь вектор j не зависит от частоты шив терминах единичных векторов сферической системы координат имеет вид
j = (cos g — /3 sin。)©夕 + cos J sin (peg.(6.59)
Функция 吵(q) является фурье-компонентой эффективного поля:
吵(G =/(w) exp(-iqu)
q = Тшр, p = 1 — /3 sin J cos ?
и, в соответствии с уравнением (6.57), удовлетворяет условию
|^(g)|2 dq = тг.(6.61)
о
Из уравнения (6.58) следует, что излучение электрона в «коротком» магните в заданном направлении 仇 g полностью линейно поляризовано, причем вектор поля излучения параллелен вектору]. Для различных направлений 0, 3 плоскость поляризации различна. Выражение для вектора] в терминах единичных векторов е^, е^ сферической системы координат представляет собой разложение поля излучения на а- и тг-компоненты линейной поляризации.
Найдем из уравнения (6.58) спектрально-угловое распределение излученной энергии £• Оно имеет следующий вид:
= WoTG(仇夕 q),(6.62)
где
Ж) = зд2 , G(O^,q) = (ра + p^pg{q),g(q) = 11^й)|2,母①)
Ат = p—5(cosg — /3 sin О)* p^ =夕一‘ cos2 esin? g.
Отметим, что из уравнения (6.61) следует очевидное свойство:
g(q) й = 1,(6.64)
о
где функции углов ра и р^ эквивалентны функциям р^ и р^, определенным в уравнениях (1.85). В другой системе координат эти функции приведены в уравнениях (5.55).
Интегрируя распределение (6.62) по частоте ш и используя (6.64), получим
近=W()T(pa + Ртг),(6a65)
а интегрируя (6.65) по углам, найдем полную излученную энергию, а также а- и тг-компоненты линейной поляризации:
= Ж0Т,厶=£(6 +俨)/8,以= £(2—俨)/8,(6.66)
где % есть полная мощность синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности радиуса Я. Таким образом, полная энергия является произведением мощности синхротронного излучения на эффективное время движения электрона в «коротком» магните. Этот же вывод следует из уравнения (5.90), если сделать в нем замену AqTV т L Степень линейной поляризации совпадает со степенью поляризации синхротронного излучения.
Угловое распределение излучения полностью характеризуется функциями ра, 07r и совпадает с мгновенным угловым распределением синхротронного излучения. В частности, для релятивистских электронов (万 〜1) излучение сосредоточено в узком конусе ДО 〜)一2 с осью, совпадающей с осью 力* Максимум излучения приходится на 6> = тг/2,99 = 0.
Спектральные свойства излучения определяются функцией g(q)* Поскольку функция f(u) заметно отличается от нуля в области \и\ < 1, то функция g(q) принимает ненулевые значения при g < 1, и убывает с ростом q, если q > 1. Как следует из общих свойств преобразования Фурье, спектральное распределение непрерывно изменяющейся функции убывает с ростом ш не медленнее, чем ш^4. Если f(u) дискретна (очевидно, что та-
кой случай физически не реализуем), то g(q) убывает не медленнее, чем 0—2* При ш = 0 имеем
д(0) = 1^(0)|27Г,吵(0) = /о =〃м) du > 0.(6.67)
Более того, из уравнения (6.60) нетрудно найти, что для ш 0 справедливо следующее выражение:
I吵(G『=后口-厂(/一炉)+垣二/尸 unf(u)du. (6.68)
Поскольку /(ад) > 0, имеем и2 > и2 и точка ш = 0 является точкой максимума функции g(q), а также g，(q = 0) = 0. Таким образом, спектр излучения электрона в «коротком» магните представляет собой нечто типа «белого шума», про стирающего ся от нуля до частот ш шс, где критическая частота равна шс = (c/3/Z)74. Последнее подтверждает общее представление о том, что основная часть излучения приходится на частоты 必 〜®с [27].
Приведем несколько простых примеров функции 吵(q) для различных распределений эффективного поля вдоль траектории электрона.
Ступенчатая функция:
/3) = {；；/3) = {；；IM < 1/2, hl > 1/2,IM < 1/2, hl > 1/2,
/3) = {；；
/3) = {；；
IM < 1/2, hl > 1/2,
IM < 1/2, hl > 1/2,
吵(G =
Полупериод косинуса: .[%/2со8тш, |ад| < 1/2,
2，5тг cos q/2
/3) = {/3) = {Полупериод квадрата косинуса:
/3) = {
/3) = {
,8/3 cos2 тш, \и\ < 1/2,0, U > 1/2,
吵(G =吵(G =8，57r* sinq/2
吵(G =
吵(G =
4，5(4打2 一产)
Нормальное распределение:
= (2тг)^1/4 ехр(-ад2/4),吵(q) = (8тг)1/4 exp(^g2).
Для критической частоты шс при I 〜 104-100 см и тс27 〜 1 ГаВ имеем приближенное значение 〜 1016^1015 с^1. Это — частоты оптической части спектра. Следовательно, излучение в «коротком» магните с такими параметрами есть «белый шум», перекрывающий радиодиапазон и простирающийся до видимого света. Как мы видим, спектральные свойства рассмотренного здесь излучения существенно отличаются от свойств синхротронного излучения.
Обратная задача теории излучения
Здесь мы рассмотрим обратную задачу излучения заряженной частицы. Наибольший интерес представляют две стороны этой задачи: а) определение характера движения заряженной частицы по известным (наблюдаемым) параметрам излучения; б) создание источников излучения с заранее заданными спектральными и поляризационными свойствами. Например, предложено несколько способов формирования параметров излучения в системах типа ондуляторов [33—37] В общем случае решение такого типа задачи дано в работе [18, 19].
Пусть наблюдается электромагнитное излучение, испускаемое в заданном направлении п (п ——единичный постоянный вектор) и создаваемое одним движущимся зарядом вдали от этого заряда. Требуется найти такое движение заряда, чтобы электрический вектор поля излучения Е (力)в месте наблюдения был наперед заданной функцией времени. Очевидно, поставленная задача эквивалентна задаче формирования наперед заданного спектра и поляризации излучения. Столь же очевидно, что решение этой задачи одновременно позволяет восстанавливать характер движения заряда, если экспериментально известна функция Е(力).Поскольку вектор Е(力)ортогонален вектору распространения волны, известны только две компоненты поля как функции времени. Очевидно, что по двум скалярным функциям нельзя однозначно найти три координаты частицы как функции времени. Таким образом, сформулированная выше обратная задача может быть решена с точностью до одной скалярной функции времени. Наложение некоторых дополнительных условий позволяет исключить эту неоднозначность.
Аналитическое решение поставленной задачи достигается следующим образом. Если известно электрическое поле излучения Е(力)，то, очевидно, известно [27] и магнитное поле излучения Н = [пЕ], причем в приближении волновой зоны (пЕ) = 0. Связь между Е(力)и параметрами движения заряда дается формулами Лиенара-Вихерта (1.8):
Е(" =Е(" =伙门=*伙门=*6(力=6(力=d万修)dtrd万修)dtr©Н(п-万向 eRR _ (口6)]3©Н(п-万向 eRR _ (口6)]3("))c ‘一区("))c ‘一区(6.69)(6.69)
Е(" =
Е(" =
伙门=*
伙门=*
6(力=
6(力=
d万修)dtr
d万修)dtr
©Н(п-万向 eRR _ (口6)]3
©Н(п-万向 eRR _ (口6)]3
("))
c ‘一区
("))
c ‘一区
(6.69)
(6.69)
где R——радиус-вектор, идущий из начала координат, расположенного вблизи излучающей частицы, в точку наблюдения, R = |Ж|. В правых частях
формулы (6.69) все величины берутся в момент времени 力［и, следовательно, формула (6.69) задает E(t) в параметрическом виде с параметром tf. Искомой величиной является радиус-вектор излучающей частицы г(力).Введем вектор электромагнитного потенциала А«), задаваемый параметрической формулой
А⑴=(认 f⑴=nf = 0.(6.70)
К丄一пр
Учитывая соотношение
丽(6.71) легко видеть, что
Поскольку функция Е (力)известна, считаем известной и функцию f (力)：
f (力)=—? E ⑴ d九(6.73)
Из формулы (6.70) легко определить величину п/З:
n/3 =(产 + 6(1 + 产)3 = 3⑴=土［/一产(1 -/)］(6.74)
(6.75)(6.76)(6刀)(6.78)(6.75)(6.76)(6刀)(6.78)Отметим, что из (6.74) следуют неравенства
(6.75)
(6.76)
(6刀)
(6.78)
(6.75)
(6.76)
(6刀)
(6.78)
Учитывая (6.71), находим
= ^^(nr(t))?
а из (6.74) получаем
口万_俨+夕
一 口万=］一炉 *
Сравнивая (6.76) и (6.77), придем к соотношению
Из формулы (6.70) с учетом (6.71) и (6.76) найдем
Теперь из (6.79) и (6.78) имеем
(6.80)(6.80)
(6.80)
(6.80)
Из формул (6.71) и (6.74) найдем связь между 力 и，：
(6.81)(6.81)就=1 一俨
(6.81)
(6.81)
Если бы 万2 было известной функцией 力 то формулы (6.80) и (6.81) давали бы решение задачи в параметрическом виде. Однако легко видеть, что при любой зависимости /З2 (力)формулы (6.80) и (6.81) дают решение поставленной задачи.
Таким образом, по известной функции f (力)движение заряда восстанавливается в параметрическом виде:
Г (У) = с f ⑴ d力 + СП—0,(6.82)
JJ丄一口一J丄一夕一 С
причем здесь 万？ есть произвольная функция t (с естественным ограничением 声(力)< 1), а функция з(力)связана с 俨 соотношением (6.74).
Решение (6.82) можно представить и в другой форме. Из (6.74) следует
声=(尸+ 6)(1 +产厂 L(6*83)
Тогда формулы (6.82) преобразуются в выражения
r(tz) = с f(t)dt + cn I一士…艺d力 tl = : + / 必—0)(6.84)
где функцию g(力)можно уже считать произвольной, и она, конечно, должна удовлетворять неравенству (6.75). Наконец, возможно представить решение задачи в следующем виде:
Г(у) = c f(方)d力 + cn［以力)一力)tf =吵⑴,(6.85)
где 吵⑴ ——произвольная монотонно возрастающая функция 力 удовлетворяющая условию 2沙(力) > 1 + /2. Функцию з ⑴ можно выразить через 吵⑴：
3 ⑴=1 一3 ⑴=1 一1+产沙⑴1+产沙⑴(6.86)(6.86)
3 ⑴=1 一
3 ⑴=1 一
1+产沙⑴
1+产沙⑴
(6.86)
(6.86)
Из (6.82), (6.84) или (6.85) несложно найти
т =т =[f⑴（1-屮）+ 口（产+屮）][f⑴（1-屮）+ 口（产+屮）]f（力）+ n（“ 一 i）沙f（力）+ n（“ 一 i）沙
т =
т =
[f⑴（1-屮）+ 口（产+屮）]
[f⑴（1-屮）+ 口（产+屮）]
f（力）+ n（“ 一 i）沙
f（力）+ n（“ 一 i）沙
Таким образом, формулы (6.82), (6.84) или (6.85) дают решение поставленной задачи. Как видим, оно не единственно и содержит одну произвольную функцию. Отметим, что произвол связан с неоднозначностью определения движения заряда вдоль вектора п (вдоль направления распространения поля) и, соответственно этому, с определением связи между временем излучения поля，и временем t его наблюдения. Возникает естественный вопрос, нельзя ли использовать эту неоднозначность так, чтобы, например, обеспечить не только нужную зависимость Е(力)при фиксированном п, но и попытаться обеспечить наперед заданную зависимость Е(п,力)" Очевидно, что ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный, поскольку одна произвольная функция одной переменной (д(力)，например) не может в общем случае обеспечить наперед заданную зависимость от двух переменных п.
Отметим некоторые общие особенности полученного решения. Поскольку функция f (力)определяется по полю Е(力)с точностью до произвольного постоянного вектора, то вектор г(，) определяется с точностью до произвольной в плоскости, ортогональной п, лоренцевской трансляции в системе наблюдателя. Следовательно, если f (方)ограничено, всегда можно выбрать движение таким, чтобы средняя скорость в направлениях, ортогональных п, была нулевой. В направлении п этого, вообще говоря, сделать нельзя. Однако если /2(t) < 1, то, полагая 屮(力)=—/^(力)，найдем замечательный по простоте результат:
гр
г(У) = с f(t) df, tf = t,(6.88)
т.е. излучение с такой зависимостью поля от времени реализуется движением в плоскости, ортогональной п, однако амплитуда потенциала поля излучения не может быть сколь угодно большой. Если функция /2 (力)ограничена (однако может быть и /2(f) > Г), то всегда можно выбрать в (6.85)吵(力)= =at, где a ——постоянная, удовлетворяющая условию 2a > 1 + /2. В этом случае произвольный спектр реализуется сложным движением в плоскости, ортогональной п, и поступательно-равномерным движением вдоль п. Форма траектории в плоскости, ортогональной п, однозначно определяется функцией f(t). Если потребовать, например, чтобы излучение было линейно поляризовано (f (力)имеет одну отличную от нуля компоненту), то такое излучение создается зарядом, движущимся по плоской (с точностью до лоренцевской трансляции) траектории. Для электрона, движущегося в плоском магнитном ондуляторе, это свойство излучения было отмечено в работах [38Т0] (см. также обсуждение формулы (5.52))* Здесь же показано, что это утверждение носит общий характер. Важным, на наш взгляд, является следующий вывод: решение поставленной задачи при ограниченной функции f (力)всегда может быть обеспечено движением с постоянной по модулю скоростью (О? = const). Такое движение заряда может быть реализовано, например, с помощью только внешнего магнитного поля. Если же f(t) неограничена, то, как следует из (6.75), этот случай может быть
реализован лишь при движении, когда 万？(力)т 1, что обязательно предполагает наличие внешнего электрического поля.
В заключение приведем несколько конкретных примеров применения полученных результатов. Считаем, для определенности, что вектор п направлен по оси %" Например, потребуем, чтобы излучение было монохроматическим и поляризованным по кругу, для чего положим
f ⑴=fо (cos cut, sin cut, 0), /о = const, ш = const. (6.89)
Из (6.85) найдем
『(')=-™{/o sin cut, ^/o cos cut, g吵⑴一力g}〉У =吵⑴一^,(6.90)
откуда видим, что траектория есть спираль, «намотанная» на цилиндр радиуса с/о/^ с произвольным характером движения вдоль образующих цилиндра, причем поляризованное по кругу монохроматическое излучение распространяется только вдоль образующих цилиндра. Подобный вывод (при /3 = const) был известен в теории синхротронного излучения, здесь же получено его обобщение.
Пусть излучение линейно поляризованое и монохроматическое. Реализуем его движением заряда с постоянной по модулю скоростью. Выбирая f«) в виде
(6*91)(6*91)f⑴={0(1 —/f)T/2 cos ^,0,0}, по формулам (6.82) найдем
(6*91)
(6*91)
(692)(692)г(У) = с)3а{ д/1 — ^2 sin cut, 0, f3ujt 土 cos cut},力/= a0力±а0cosg力—0)—02了
(692)
(692)
Формулы (6.92) описывают движение в плоском магнитном ондуляторе специального вида, а наблюдение излучения ведется вдоль оси ондулятора, причем наблюдается только первая его гармоника. Рассмотрим, наконец, линейно поляризованное излучение «колоколообразного» вида, выбирая
f(方)={0(1 一/)一1/2 tlicvt, 0, 0},(6.93)
где /3 и g ——постоянные. Очевидно, что при таком выборе f(t) поле излучения имеет вид Е(力) 〜 (с11ш^)^2. Считая скорость заряда по модулю постоянной и равной с/З, по формулам (6.82) найдем
T(tf) = с/3а{，1 — 02 IndiG力 0, f3ujt ± arctgslicut},
я —(694)
tf = aut 土 &B arctg sliut,= ш(1 — /З2).
Формулы (6.94) описывают движение в системах типа поворотных магнитов, в частности, при релятивистском движении заряда 1 — /3?《1 居
системах типа «короткого» магнита, которое изучалось в предыдущем параграфе. Полученные здесь результаты позволяют, таким образом, аналитически решить задачу о формировании излучения с наперед заданными свойствами. Определение характера движения заряда по наблюдаемому излучению однозначно не может быть проведено, однако в аналитичеоком виде явно выделен произвол в решении этой задачи.
Рассмотрим теперь случай, когда поле излучения задано в двух точках вдали от точечного заряда. При ее решении удобно использовать формулу Фейнмана [41]:
Е(" =Е(" =е d2nс2 d力2е d2nс2 d力2(6.95)(6.95)
Е(" =
Е(" =
е d2nс2 d力2
е d2nс2 d力2
(6.95)
(6.95)
Единичный вектор п берется в момент времени tr. Вектор п в приближении волновой зоны можно считать постоянным, но его производной по времени нельзя пренебречь, поскольку она определяет движение заряда. Пусть в двух направлениях ni и п2 на расстояниях R± и R2 в моменты времени 力i и 力2 определены векторы электрического поля излучения Ei (力 1) и Е2(^2) соответственно. Введем две декартовы системы координат О±{х±^у^ %i) и °2(力2, % %2)с общей осью у. Оси 力 1 и 力2 направим вдоль векторов ni и 屯 соответственно. Будем считать, что векторы Ei и Е? не лежат в плоскости, проходящей через векторы ni и П2. Обозначим через а угол между векторами ni и п2, а через 力為 у, & (г = 1, 2)——координаты частицы в момент времени 从 Интегрируя (6.95), получим
口丄(力=Fi(力i), r2±(/) = F2(力2),(6.96)
где
C2 ff
Fig = Ri ^ dt* Ei(ti)dti + biti + I•汕
„ оо一
i*i± и г2± ——проекции радиус-вектора заряда на плоскости yz± и yz2 соответственно, Ь^ и г^о — постоянные. Уравнения
У1(У) = ^(Й), %(У) = Fiz(力)(6S7)
沙2(，)= ^2у(力 2)〉 ％2(У)=尸2式力 2)〉(6.98)
совместно с уравнениями запаздывания поля волны:
厶=方/+ 山，方2=方‘+ d，(6*99)
Сс
дают уравнения траектории заряженной частицы в неортогональной системе координат (у = ух = j2)%i)%2)как функцию двух параметров 力 i и 力2* Постоянные слагаемые в уравнении (6.99) отброшены, так как начало отсчета времен 力1 и 力2 может быть выбрано произвольно. Моменты времени
й и 方2 связаны соотношением Fly(ti) = 巳^(方2)，т.е.力2 = £(方1)，Нетрудно выразить 胃 1 и 化2 через z± и г2:
6(х)= (^2г[€(й)] Fiz(ti)cosa)(sina)^1,(6.100)
岔2(У)=(尸2/上(刀)]COS а — Fic(ti))(sina)™1.(6.101)
равнения (6.100) и (6.99) дают
/ = h -(f2/貝力1)]-用/(厶)cos a) (c sin 0)(6.102)
равнения (6.97), (6.100) и (6.102) определяют траекторию заряда в системе координат 化i,g, /> Аналогичным образом можно записать уравнение траектории в системе координат 化2,沙,之2. Заметим, что система уравнений (697)—(699) переопределена, поскольку содержит четыре известные скалярные функции времени при трех неизвестных функциях. Это означает, что для решения задачи достаточно знать поле излучения в одном направлении и одну из проекций поля в другом.
Полученные формулы справедливы в предположении, что излучение генерируется только одним точечным зарядом, поэтому совместность системы уравнений (697)—(6.99) может служить одним из критериев того, что заданное поле излучения соответствует излучению одной частицы.
ГЛАВА 7
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
И РОЖДЕНИЕ ЭЛ1КТРОН-ПОЗИТРОННЫХ
ПАР В КРИСТАЛЛАХ1
Введение
При взаимодействии релятивистских заряженных частиц с веществом генерируются различные виды электромагнитного излучения, лежащие в диапазоне от оптического до рентгеновского и жесткого гамма-излучения. Каждый вид излучения связан либо с особенностями траектории частицы в веществе (тормозное излучение, излучение при каналировании в кристалле), либо со свойствами среды, если траектории можно считать прямолинейными (черенковское излучение, переходное излучение, параметрическое рентгеновское излучение в кристалле). Возможно также взаимодействие этих двух факторов и, как следствие ——возникновение смешанных типов излучения. Предметом рассмотрения данной главы является излучение, возникающее при каналировании релятивистских электронов в кристаллах.
Несколько слов об этой области физики взаимодействия частиц с веществом. Эффект каналирования возникает при углах влета быстрых заряженных частиц в кристалл относительно кристаллографических осей или плоскостей, меньших или порядка специального угла ——критического угла Линдхарда——и заключается в возникновении характерных траекторий движения частиц в кристалле. Для релятивистских электронов это — квазипе- риодическое движение вдоль плоскостей кристалла или движение, связанное с осью кристалла. Если в случае синхротронного или ондуляторного излучения причиной, формирующей траекторию частицы (и, как следствие, вызывающей излучение) являются магнитные поля определенных конфигураций, то в случае кристаллической мишени траектории формируются электрическими полями плоскостей или осей кристаллов. Эти поля принято описывать так называемыми непрерывными потенциалами плоскостей или осей. Таким образом, в случае плоскостного каналирования говорят о непрерывном потенциале плоскости (потенциал зависит от одной, поперечной к плоскости кристалла координаты), а в случае аксиального (осевого) каналирования ——о непрерывном потенциале оси (двумерный потенциал). В первом случае электроны (потенциалы ——притягивающие) при каналировании совершают колебания около плоскости, одновременно двигаясь с релятивистской скоростью вдоль нее. Во втором случае электроны при осевом каналировании «навиваются» на ось (двумерное сложное движение) и одновременно движутся вдоль нее (в некотором смысле траектория похожа на винтовую линию). Движение электронов по этим специфичным траек-
、ЮЛ Пивоваров
ториям и является причиной возникновения излучения при каналировании электронов в кристалле.
Если говорить об истории исследований в этой области, можно отметить, что физика взаимодействий быстрых заряженных частиц с ориентированными кристаллами развивалась в последнее время в основном в направлениях, которые можно условно разбить на когерентные эффекты, эффекты каналирования и комбинационные эффекты. Результаты проведенных до конца 60-х годов исследований когерентных эффектов, обусловленных квантованием переданного кристаллу импульса при взаимодействии фотонов и электронов высоких энергий с кристаллическими мишенями, изложены в классической монографии М.Л. Тер-Микаэляна [1]. Различные механизмы когерентного рентгеновского излучения релятивистских электронов в периодических структурах проанализированы в монографии Г.М. Гарибяна и Ян Ши [2].
Й. Линдхард [3] ввел понятие о непрерывных потенциалах атомных осей и плоскостей и развил теорию каналирования, послужившую толчком к интенсивным исследованиям эффекта каналирования быстрых тяжелых заряженных частиц в кристаллах, итоги которых подведены Д.С. Гемме- лом [4]. Эффект теней, предсказанный для ядерных реакций в кристаллах А.Ф. Туликовым [5], дал новый метод исследования времен жизни возбужденных состояний ядер. Эффект когерентного возбуждения электронных и ядерных уровней быстрых ионов, пролетающих через кристалл, предсказанный В.В. Окороковым [6, 7] экспериментально исследовался во многих лабораториях мира при нерелятивистских энергиях. Ш. Датц и С.Д. Моак изложили многие результаты этого типично комбинационного эффекта (резонанс, обусловленный совпадением частоты столкновений быстрого иона с периодично расположенными атомами кристалла с частотой перехода между электронными уровнями иона, и одновременно — возмущение этих уровней полем оси кристалла, уширяющее резонанс) в обзоре [8]. Многие вопросы физики каналирования быстрых ионов освещены в монографии М.А. Кумахова и Г. Ширмера [9]. Проблемы взаимодействия заряженных частиц с твердыми телами (каналирование электронов и ионов, неупругое рассеяние, зарядовые состояния и кильватерный эффект, излучение) рассмотрены в монографии Е.Х. Оцуки [10].
Теоретические и экспериментальные исследования электромагнитных процессов в ориентированных кристаллах, выполненные с конца 70-х годов по настоящее время, привели к ряду чрезвычайно интересных открытий, наиболее яркие из которых ——излучение при каналировании легких релятивистских частиц, отклонение релятивистских тяжелых частиц изогнутыми кристаллами, вращение спина релятивистских частиц при отклонении изогнутым кристаллом, параметрическое рентгеновское излучение, излучение и рождение электрон-позитронных пар в сильных полях кристаллов при высоких энергиях. Теория этих эффектов достаточно полно отражена в монографиях и обзорах Н.П. Калашникова [11], В.Г. Барышевского [12], С.А. Воробьева [13], Д. Кимбалла и Н. Кью [14], М.А. Кумахова [15], В.А. Базылева и Н.К. Жеваго [16], А.П. Потылицына [17], М.А. 母махо
ва и Ф.Ф. Комарова [19], В.Н. Байера, В.М. Каткова и В.М. Страховенко [20], А.И. Ахиезера и Н.П. Шульги [22], В.А. Рябова [23], коллективных монографиях [18, 25], тематических выпусках журналов [21, 26]. Результаты теоретических исследований других видов излучения релятивистских частиц, не связанных с использованием кристаллических мишеней,——тормозного, переходного, черенковского, поляризационного, ондуляторного и синхротронного ——изложены в монографиях [24, 27—32].
Введение в строй в последние годы новых ускорителей тяжелых ионов с энергией от единиц до сотен ГэВ/нуклон и набором ускоряемых ионов вплоть до урана позволит осуществить новые эксперименты по когерентному возбуждению электронных и ядерных уровней релятивистских тяжелых ионов, электромагнитной диссоциации в условиях каналирования. В то время как когерентное возбуждение электронных уровней быстрых нерелятивистских ионов обнаружено и подробно исследовано [8], когерентное возбуждение ядерных уровней каналированных ионов, возможное при релятивистских энергиях, до сих пор экспериментально не обнаружено. Корректная оценка вероятности этого процесса требует дальнейшего развития теории релятивистского кулоновского возбуждения Винтера- Альдера с целью применения к задачам о когерентном возбуждении ядер в кристалле. Другое перспективное направление ——когерентное рождение электрон-позитронных (е+е~) пар фотонами, электронами и тяжелыми ионами высоких энергий в кристалле. При рождении пар фотонами или полем релятивистской частицы на атомах кристалла когерентный эффект проявляется в усилении дифференциальных сечений процессов, особенно если в конечном состоянии импульсы рожденных частиц коррелированы или, как в случае рождения атома позитрония, совпадают по величине и направлению. Здесь также может возникнуть комбинационный эффект, связанный с влиянием каналирования частиц пары при когерентном рождении. При взаимодействии релятивистских ядер с кристаллами возможно также когерентное образование е+е^-пары с захватом электрона на К-оболочку релятивистского ядра; при этом угловое и энергетическое распределения образованных позитронов могут иметь особенности, связанные с периодичностью поля кристалла, рождающего пару.
Глава 7 посвящена изложению метода анализа спектрально-угловых и поляризационных характеристик гамма-излучения при каналировании релятивистских электронов в кристаллах с помощью компьютерного моделирования траекторий, а также теории новых когерентных электромагнитных эффектов ——рождению е+е~-пар и атомов позитрония фотонами, электронами и ядрами в кристалле. Необходимость развития специальных методов анализа данных задач обусловлена невозможностью получения в общем случае аналитических решений для траекторий (или волновых функций). Рождение электрон-позитронных пар ——процесс, в некотором смысле обратный излучению фотона, что оправдывает включение в главу этих разделов.
В первых пяти параграфах главы изложены принципы моделирования характеристик когерентного гамма-излучения релятивистских электронов в
тонких кристаллах при энергии ниже 1 ГэВ, в области применимости классической электродинамики, с использованием модели бинарных столкновений. В частности, анализируется формирование спектрально-угловых и поляризационных характеристик излучения электронов с энергией 900 МэВ в результате усреднения по специфичным траекториям электронов в кристалле.
Вторая половина главы посвящена теории когерентных эффектов типа Б для рождения е+е~-пар фотонами, электронами и тяжелыми ионами. Показано, что при фоторождении связанных е+е~-пар (атом позитрония Ps, движущийся с релятивистской скоростью) когерентный эффект возникает при энергиях фотонов порядка сотен МэВ и приводит к значительному усилению сечения рождения синглетных Ps при определенных энергиях фотонов, а также к специфичным угловым распределениям рожденных Ps.
Аналогичные когерентные эффекты были изучены для рождения синглетных атомов Ps пучком релятивистских электронов. Предсказывается новый когерентный эффект при рождении е+в^-пары релятивистским ядром в кристалле, с захватом электрона на К-оболочку релятивистского ядра, приводящий к специфичному энергетическому спектру испущенных под фиксированным углом позитронов.
Излучение релятивистских электронов в кристаллах
Первые когерентные эффекты при высоких энергиях в кристаллах были обнаружены в излучении релятивистских электронов. Это — когерентное тормозное излучение (КТИ), теория которого подробно изложена в монографии М.Л. Тер-Микаеляна [1]. При высоких энергиях углы рассеяния малы, поэтому продольный переданный импульс в процессе излучения уменьшается, а длина формирования /соь =冇/△р“ 〜2Х?2(》—длина волны фотона, 7 ——релятивистский фактор электрона) растет с увеличением энергии электрона и начинает превышать межатомные расстояния [1]. Амплитуды процесса на этой длине в кристалле складываются с постоянным сдвигом фазы; если он кратен 2тг, то возникает когерентный эффект, спектр КТИ содержит максимумы (в жесткой части) и резко отличается от спектра обычного тормозного излучения из аморфной мишени.
Другой когерентный эффект в излучении релятивистских электронов в кристалле ——излучение при каналировании (ИК), предсказанный в [33] и экспериментально открытый сравнительно недавно (см., например, [15, 20, 21]). Здесь когерентность ——следствие специфичных траекторий в кристалле, возникающих при коррелированных столкновениях релятивистских электронов с атомами осей или плоскостей кристалла. При энергиях электронов ниже 100 МэВ для описания свойств ИК необходимо использовать квантовомеханический подход [16, 19], при энергиях выше нескольких ГэВ общепринято использовать квазиклассический подход Байера-Каткова [20], наконец, при энергиях от 100 МэВ до нескольких ГэВ можно использовать классическую электродинамику [22]. Большинство теоретических работ по ИК было основано на концепции непрерывных потенциалов осей или плоскостей кристалла, формирующих траекторию или волновую функцию. Ана-
литические решения в квантовом случае найдены лишь для небольшого числа аппроксимаций осевых (см., например, [35]) и плоскостных потенциалов (см., например, [16, 34]). Идея об использовании модели бинарных столкновений для нахождения характеристик ИК в области, где работает классическая электродинамика, впервые реализована в работах Й. Лмаму- ры и Е.Х* Оцуки [36,37], а также, независимо,——в цикле работ Е.Г. Вяткина и автора [39Y4] Этот метод также использовался в работах [38, 46]. Предметом главы 7 является изложение принципов моделирования и некоторых интересных результатов расчетов спектрально-угловых и поляризационных характеристик ИК электронов с энергией 900 МэВ, которые были опубликованы в перечисленных работах.
Принципы моделирования характеристик излучения релятивистских электронов в тонких кристаллах
Характеристики излучения релятивистских частиц в кристалле можно получить, находя компьютерным моделированием с помощью стандартной модели бинарных столкновений (МБС) траектории частиц и используя формулы классической электродинамики для вычисления характеристик излучения на найденных траекториях. В тонких кристаллах можно пренебречь потерями энергии на излучение и множественным испусканием фотонов. Применение классической электродинамики подразумевает исследование мягкой части спектра излучения, когда эффект отдачи при излучении несущественен.
d2e dsdQd2e dsdQе2 9е2 9户(力2)exp [гш (力2 — nr(力2)/с)]Д(й) exp [гш (й — пг(й)/с)]户(力2)exp [гш (力2 — nr(力2)/с)]Д(й) exp [гш (й — пг(й)/с)][1 — 口户（方2）][1 — 口户（方2）][1 — П户(Й)][1 — П户(Й)]С помощью МБС (используя атомный потенциал Мольер при вычислении углов рассеяния) находятся траектория г(方)и скорость частицы /3(f)= =v(f)/c. Найденные траектории представлены суммой прямолинейных отрезков, на каждом из которых скорость постоянна по величине и направлению. При переходе к следующему отрезку траектории вводятся поправки к вектору скорости из-за многократного рассеяния, а также с учетом тепловых колебаний определяется координата атома кристалла для следующего акта рассеяния. После определенного количества столкновений вводится поправка к вектору скорости, учитывающая многократное рассеяние на электронах. Найденные в виде суммы векторов скорость и траектория подставляются в известные формулы классической электродинамики для интенсивности излучения [27]. После интегрирования по частям из этих формул можно получить следующее выражение:
d2e dsdQ
d2e dsdQ
е2 9
е2 9
户(力2)exp [гш (力2 — nr(力2)/с)]Д(й) exp [гш (й — пг(й)/с)]
户(力2)exp [гш (力2 — nr(力2)/с)]Д(й) exp [гш (й — пг(й)/с)]
[1 — 口户（方2）]
[1 — 口户（方2）]
[1 — П户(Й)]
[1 — П户(Й)]
(71)
(72)
(73)
Здесь шип ——частота и направление вылета фотона,力1 и 方2 ——моменты первого и последнего столкновений частицы с атомами кристалла. В (7.1) h описывает излучение внутри кристалла, Ь учитывает граничный эффект, а кроме того появляется член, описывающий интерференцию этих двух типов излучения. Очевидно, что в МБС интеграл в (7.1) заменяется суммой соответствующих подынтегральных выражений вдоль найденной траектории.
Поляризационные свойства излучения полностью описываются поляризационной матрицей [27]壮㈡友=loPifc- Матрица pik может быть выражена через параметры Стокса & (г = 1, 2,3):
Параметры Стокса являются квадратичными комбинациями компонент напряженности поля Е\ (А = 1, 2) с определенной линейной поляризацией А:
广 石心+石；e2e；邑 一瓦砲
I0 = |^i|2 + |^2|2.(7.5)
Максимальная степень линейной поляризации [27] есть Р = (§； + + §^)1/2, а степень круговой поляризации характеризуется параметром Стокса ^2- Угол д, задающий направление максимальной линейной поляризации в плоскости, перпендикулярной направлению вылета фотона, определяется как tg(2g) = §1/§з* Компоненты поля Е\ находятся с помощью векторов поляризации ед и с точностью до несущественных для определения ^ констант равны
ЕЛ = еЛ(11 + 12).(7.6)
Входящие в (7.6) 11 и Ъ определяются компьютерным моделированием по формулам (7.1—7*3)"
Далее мы будем использовать набор векторов поляризации ед, принятый в теории синхротронного (ондуляторного) излучения (см. гл. 5), поскольку можно провести определенную аналогию между излучением релятивистской частицы в спиральном (плоском) ондуляторе и излучением при аксиальном (плоскостном) каналировании. Если s ——единичный вектор, направленный по выделенному в задаче направлению, то
[ns]n (ns) — S
n = [eie2], nei = nei = eie2 = 0.(7.7)
Выбирая s II OX (рис. 7.1), например, для излучения «вперед» (на угол ^ = 0, для которого проведен компьютерный эксперимент) получаем п = =(0,0,1), ei = (0,1,0), е2 = ( — 1,0,0). Как следует из (7.1-73) и (7.6),
Рис. 7.1. Система координат и векторы поляризации, использованные в компьютерных экспериментах по моделированию ИК: ось OY перпендикулярна, а оси ОХ и OZ параллельны системе плоскостей кристалла. Электроны влетают в кристалл в направлении OZ под малыми углами к плоскостям. Схематично показана траектория; Д(й)——вектор начальной скорости, s ——единичный вектор. Направление вылета фотона п и векторы поляризации ei, е? даны для угла излучения 0 = 0
компоненты 石i,石2 для излучения «вперед» определяются поперечными компонентами скорости /3，方)，/3况(方)частицы в кристалле. Важной особенностью задачи является формирование наблюдаемых характеристик излучения при суммировании по всем возможным траекториям, что для полной интенсивности излучения достигается сложением интенсивностей (7.1) с различных траекторий. Нетрудно показать, что с учетом отсутствия интерференции излучения с различных траекторий усреднение параметров Стокса §勿 при суммировании по различным траекториям должно проводиться по схеме
N
口))=工 С п) х Wfe 3, П)，
2，(7S)
где Wk ——относительный вклад в полную наблюдаемую интенсивность (на частоте шив направлении п) от к-п траектории; ^(ш, п)——параметр Стокса излучения, пришедшего с к-й траектории.
Спектральные и поляризационные свойства излучения для характерных траекторий
Компьютерный эксперимент проводился для плоскостного каналирования 900 МэВ электронов вдоль (ПО) и (100) плоскостей алмаза и кремния.
Распределение частиц по углам влета принималось гауссовым, со средним углом % = 0 и дисперсией (庐У а 10™5 рад, что составляло для указанных типов плоскостей 〜0,1^ (屮l ——критический угол Линдхарда). Данные моделирования позволяют заключить, что в кристаллах толщиной, не превышающей длину деканалирования для этой энергии электронов, можно определить подбарьерное и надбарьерное движение (по терминологии непрерывной модели) и смешанный тип движения с переходом от одного типа к другому. В более толстых кристаллах, как показано в [43, 44], сильное перемешивание не позволяет выделить чистые подбарьерные и надбарьерные состояния.
Рис. 7.2. Проекция траектории 900 МэВ, типичной для (110)-плоскостного каналирования электронов в алмазе на плоскости YZ (о) и XY (6) (г (力工)——точка влета), спектр излучения (в) и три параметра Стокса для найденного спектра (е—е)* Спектр интенсивности нормирован на максимум, толщина кристалла / = 10 мкм, температура Т = 0 К. Угол влета по отношению к оси〈100〉夕о = 40 мрад
На рис. 7.2 приведена одна из характерных подбарьерных траекторий электронов при (110)-плоскостном каналировании в алмазе, соответствующий спектр (® 二 0) и параметры Стокса излучения с этой траектории. Из анализа проекций траектории на плоскости У Z и ХУ (рис. 7.2 о, 6) следует,
что реальная траектория не является плоской кривой, как в непрерывных моделях. Более того, амплитуда и частота колебаний ш* электрона в канале существенно меняются при прохождении через кристалл из-за близких столкновений с атомами и многократного рассеяния. Эти особенности реальной траектории влияют на спектр и поляризационные характеристики излучения.
В самом деле, теория (см., например, [20]) предсказывает для излучения на угол ^ = 0 возникновение только нечетных гармоник (если не учитывать граничный эффект). Ширина этих гармоник Г% 〜2^2h(v*n/N, где N —— полное число колебаний в канале, п = 1, 3, 5 ... Непрерывная модель для траектории с теми же начальными значениями『(方i)，/3(方i), что и на рис. 7.2, приводит к величине Г n + 0,54-0,6 МэВ. Реальный спектр (рис. 7.2 в) более сложен из-за изменений ш*. Действительно, ширина первых трех гармоник, наблюдаемых на рис. 7.2 s вблизи 5,15, и 25 МэВ, гораздо больше, чем Г Более того, поскольку конечное значение ш* в два раза больше начального, в области каждой начальной ш* возникают новые гармоники с частотами до 2ш* (рис. 7.2 в).
В теоретических работах излучение релятивистских частиц при плоскостном каналировании описывают обычно с помощью непрерывного потенциала кристаллографических плоскостей V(y), формирующего траектории частиц (см., например, [15, 20]). В рамках этого подхода компонента скорости частицы, перпендикулярная ее средней скорости, /3况(方)=const и поэтому излучение в заданном направлении ^ = 0 полностью линейно поляризовано, т.е. ^з (ш, ^ = 0) = 1 для каждой траектории, а следовательно и〈§貝必,® = 0))二 1. Для реальной траектории как /3^，так и ^х зависят от времени. Это приводит к более сложной зависимости параметров Стокса от частоты фотона (рис. 7.2 г-е). Параметры Стокса ^i(w) и §2(必)быстро осциллируют с изменением ш. Максимум параметра Стокса ^з(ш) (рис. 7.2 г) хорошо коррелирует с основным максимумом в спектре излучения (рис. 7.2 в), что свидетельствует о его высокой степени линейной поляризации в районе характерного для излучения при каналировании максимума. Осцилляции ^i(w) и §2(必)окажутся существенными при усреднении по различным траеториям (см. § 7.5).
Что касается надбарьерных траекторий, то моделирование показывает, что проекция такого типа траектории на плоскость ХУ в принципе аналогична получаемой из непрерывной модели [15, 20], в то время как движение в плоскости XZ оказывается достаточно сложным. Как следствие, спектр излучения оказывается более жестким и более сложным, но излучение по-прежнему с высокой степенью поляризовано. Для спектров излучения от траекторий смешанного типа (часть пути электрон движется по подбарьерной, а часть ——по надбарьерной траектории) характерно присутствие частот, наблюдаемых в спектрах как подбарьерных, так и надбарьерных частиц.
Более сложные типы траекторий и спектров при каналировании электронов вдоль «двойных плоскостей» (111) кристаллов с решеткой типа
алмаза рассмотрены в работе [43]. Аксиальный случай был исследован методом моделирования в работах [36, 39]. В [44] в спектре ИК обнаружено изменение структуры максимума (трансформация двойного максимума в один), обусловленное деканалированием из состояний, связанных с одной из двойных плоскостей (111), с увеличением толщины кристалла.
Усреднение по траекториям и сравнениес экспериментальными данными
Наблюдаемые спектры излучения и параметры Стокса формируются при суммировании и усреднении по траекториям. Полученные моделированием по изложенной выше схеме спектры излучения по форме согласуются с экспериментом [45]. Это сравнение было выполнено в наших работах [42—44]. Форму спектра излучения при плоскостном каналировании также удается хорошо описать, используя непрерывный потенциал плоскости и учитывая многократное рассеяние методом, предложенным в [47, 48]. В связи с этим остановимся подробнее на сравнении результатов эксперимента и теории для спектральной зависимости степени линейной поляризации излучения 900 МэВ электронов при плоскостном (ПО) каналировании в алмазе и кремнии.
Рис. 7.3. Кривая 3 ——параметр Стокса (£з(о;)〉для спектра излучения при (Побило скостном каналировании в алмазе 900 МэВ электронов, полученный моделиро™ ванием (/ = 10 мкм); кривые / к 2 ——расчет с использованием непрерывной модели [47] для двух значений начальной угловой расходимости пучка; крестики ——данные эксперимента [45]
На рис. 7.3 приведены зависимости〈£3 (®)) для излучения 900 МэВ элек™ тронов при (НО) каналировании в алмазе. Кривые / и 2 получены с использованием потенциала плоскости типа «перевернутая парабола». Кривая / вычислена с начальной угловой расходимостью пучка электронов Ад =
= 10^4 рад, а кривая 2 ——с угловой расходимостью, соответствующей углу многократного рассеяния в мишени толщиной 350 мкм (Ао = 6,1 • 10™4).
В компьютерном эксперименте углы влета частиц относительно осей (110), (100) в плоскости каналирования составляли ф = 40 мрад, темпе™ ратура кристалла Т = 293 К. Углы влета относительно плоскостей ——те же, что и в § 7.4. Положение максимума в спектре излучения (приведен в работе [45]) хорошо коррелирует с положением максимума в зависимости параметра Стокса〈&(®)) от энергии фотона (рис. 7.3, кривая 3). Излучение в этом спектральном диапазоне линейно поляризовано с высокой степенью поляризации. Параметры Стокса〈£i(g)〉и 〈§2(®)〉после усреднения по всем траекториям близки к нулю и не приводятся. Последнее является след™ ствием быстрых осциляций £f (®) и ^ (ш) для отдельных траекторий (см. рис. 7.2). Таким образом, полное излучение 900 МэВ электронов при (100) каналировании в алмазе круговой поляризацией не обладает, а направление максимальной линейной поляризации практически совпадает с нормалью к плоскостям (ПО), поскольку〈£i(g)〉＞ 0. Из сравнения кривых на рис. 7.3 с экспериментальными данными следует, что как теория [45], так и моде™ лирование приводят к выводу о существовании характерной спектральной зависимости степени линейной поляризации излучения при плоскостном каналировании. Вместе с тем полнота совпадения данных моделирования, аналитических расчетов и эксперимента не достигнута. Это объясняется следующим. Расчет &(®)〉(кривые / и 2) выполнен по формулам [47], полученным для описания поляризационных свойств излучения электронов в дипольном приближении в тонких кристаллах. Сравнение результатов расчета и эксперимента может носить пока лишь иллюстративный характер, поскольку полное теоретическое описание поляризационных свойств излучения при каналировании должно включать учет коллимации и многократного рассеяния в толстом кристалле, как это было сделано при сравнении результатов теории и эксперимента по спектрам излучения в работе [50]. Соответствующие уточнения должны быть внесены и в схему моделирования, для того чтобы продвинуться в область больших толщин и учесть коллимацию излучения. Во время выполнения работы [45] вычислительные возможности компьютеров не позволяли это сделать. Мощности современных персональных компьютеров вполне достаточны для детальных расчетов спектрально-угловых и поляризационных характеристик излучения при каналировании релятивистских частиц в кристаллах. На этом пути следует ожидать достижения полного описания поляризационных свойств излучения при плоскостном каналировании электронов с энергией сотни МэВ.
Все сказанное выше относится и к данным по кремнию, представленным на рис. 7.4. Здесь кривая 1 ——расчет по формулам [47], кривая 2 ——результаты моделирования, крестики ——экспериментальные данные (см. [45]) по степени линейной поляризации излучения 900 МэВ электронов при (ПО) каналировании в кремнии. При моделировании использовали / = 16 мкм, Т = 293 К; в эксперименте I = 400 мкм. Как следует из рисунка, моделирование более удовлетворительно описывает экспериментальные данные, хотя полного согласия нет.
Рис. 7.4. Кривая 2 ——параметр Стокса (£з(®)〉для излучения 900 МэВ электронов при (100)-плоскостном каналировании в кремнии, кривая 1 ——расчет с использованием непрерывной модели [48]. Крестики ——данные эксперимента [45]
В эксперименте [45] измерялось среднее значение &Q)) по определенным спектральным диапазонам Аш. Для получения этих значений из данных моделирования на рисунках 7.3, 7.4 необходимо проинтегрировать поляризационную матрицу 血注 по угловому размеру детектора и по спек™ тральному интервалу Аш, найти параметры Стокса для каждой траектории, а затем усреднить по всем траекториям. В результате получаем следующие формулы:
〈& (Аш, △◎)〉= d®da〈&◎)〉q (ш, Q),
где а(ш, П)——относительный вклад интенсивности излучения на частоте ш на угол ◎ в полную интенсивность излучения в спектральном диапазоне Аш в телесный угол АП. В формулах (7.9)〈& (®)) определено формулой (7.8) и представляет собой параметр Стокса для излучения на частоте ш в телесном угле П, усредненный по всем траекториям. Рассчитанные с помощью (7.9) значения
〈& (Аш)) = Р (Аш)
приведены в табл. 7.1 вместе с экспериментальными данными и удовлетворительно согласуются с ними, несмотря на большие различия в толщине кристалла при моделировании и в реальном эксперименте. Таким образом, изложенный выше метод моделирования характеристик излучения реляти-
Таблица 7.1
Экспериментальные и полученные моделированием значения степени линейной поляризации излучения 900 МэВ электронов в (110) алмазе
△/kq МэВ
Эксперимент
Моделирование
1+3
0,61 ±0,10
0,245
3+7
0,66 ±0,13
0,647
7+20
0,61 ±0,17
0,570
4+20
0,65 ±0,17
0,593
вистских частиц в кристалле в принципе описывает все характерные особенности спектров и степени линейной поляризации излучения. Ясно, что для детального описания экспериментально полученных поляризационных свойств излучения при плоскостном каналировании релятивистских электронов [45] необходим просто больший объем вычислений, связанный с про слеживанием траекторий до глубины проникновения, равной толщине использованного в эксперименте кристалла, и учетом излучения на другие углы. Вместе с тем, было бы интересно провести более прецизионные измерения степени линейной поляризации излучения при плоскостном каналировании электронов в тонких кристаллах.
Зависимость спектров излучения при каналировании от температуры кристалла. Метод моделирования позволяет легко исследовать изменение спектров излучения релятивистских электронов в кристалле при изменении основных параметров задачи ——типа кристалла, типа плоскости, температуры кристалла, начальной энергии электронов.
Если энергия пучка электронов фиксирована, спектром ИК можно управлять, меняя параметры кристалла или угол влета в кристалл. Если фиксированы энергия и угол влета, спектр ИК можно изменять нагреванием или охлаждением кристалла (рис. 7.5). Качественно картина изменения спектра ИК при понижении температуры кристалла ясна: увеличивается глубина потенциала оси или плоскости, максимум в спектре излучения и ширина спектра должны также увеличиться. Изменение потенциала легко рассчитать (см., например, [4]). Для наблюдения этого эффекта следует выбрать кристалл с меньшей дебаевской температурой. Изменение положения максимума штах в спектре ИК при изменении начальной энергии электронов подчиняется закону (см., например, [15])
где 7 = Е/те(? — релятивистский фактор, Е — полная энергия электрона.
Эта простая зависимость легко выводится, если рассмотреть колебания электрона в поперечной плоскости в системе координат, движущейся со скоростью, равной продольной скорости электрона (вдоль оси или плоско-
dl/dcudJ, отн. ед.dl/dcudJ, отн. ед.Рис. 7.5. Изменение спектра ИК (а) и параметра Стокса (£з (ш)) (б) при охлаждении кристалла Ge для излучения 900 МэВ электронов при (100)™плоскостном кана™ лировании в кремнии; данные получены моделированием по схеме, описанной в работе [46]Рис. 7.5. Изменение спектра ИК (а) и параметра Стокса (£з (ш)) (б) при охлаждении кристалла Ge для излучения 900 МэВ электронов при (100)™плоскостном кана™ лировании в кремнии; данные получены моделированием по схеме, описанной в работе [46]
dl/dcudJ, отн. ед.
dl/dcudJ, отн. ед.
Рис. 7.5. Изменение спектра ИК (а) и параметра Стокса (£з (ш)) (б) при охлаждении кристалла Ge для излучения 900 МэВ электронов при (100)™плоскостном кана™ лировании в кремнии; данные получены моделированием по схеме, описанной в работе [46]
Рис. 7.5. Изменение спектра ИК (а) и параметра Стокса (£з (ш)) (б) при охлаждении кристалла Ge для излучения 900 МэВ электронов при (100)™плоскостном кана™ лировании в кремнии; данные получены моделированием по схеме, описанной в работе [46]
сти кристалла), а затем совершить преобразования к лабораторной системе координат. Эффект Доплера преобразует частоту излучения в движущейся системе координат, которая сама зависит от 7, в частоту излучения в лабораторной системе. При этом и возникает зависимость типа 73/2 положения максимума в спектре излучения при каналировании.
Управление положением максимума в спектре излучения при каналировании изменением параметров кристалла или начального электронного пучка позволяет рассмотреть возможные применения излучения при каналировании для генерации вторичных пучков частиц со специфичным энергетическим спектром ——позитронов или нейтронов, а также увеличить скорость набора данных в экспериментах, использующих фотонные пучки с энергией до 5+50 МэВ. Например, если излучение при каналировании генерируется электронами с энергией в сотни МэВ, изменением энергии пучка электронов можно добиваться совпадения положения максимума в спектре ИК с положением максимума в сечении исследуемой фотоядер- ной реакции и тем самым увеличивать выход этой реакции. Если вместо кристалла используется аморфная мишень и генерируется обычное тормоз™ ное излучение, такого изменения спектра фотонов с помощью изменения энергии электронов добиться невозможно.
Перспективы исследований излучения при каналировании. Проведенное методом компьютерного моделирования исследование поляризационных и спектральных характеристик излучения 900 МэВ электронов при плоскостном каналировании в алмазе и кремнии позволяет заключить: а) существует характерная спектральная зависимость степени линей™ ной поляризации излучения при плоскостном каналировании от частоты фотона, с выраженным максимумом, положение которого совпадает с положением максимума в спектре излучения; б) излучение вблизи максимума интенсивности при плоскостном каналировании линейно поляризовано с высокой (Р о 0,6^0,8) степенью поляризации.
Интересным результатом моделирования является обнаружение суще™
ственного изменения частоты колебаний электронов в плоскостном канале, что приводит к уширению спектра излучения. С другой стороны, сильное изменение частоты колебаний электрона при движении в канале кристалла практически исключает различные способы стимулирования излучения при каналировании при помощи внешних периодичных полей (лазеры, ультразвук). Интересно также отметить, что положение максимума в спектрах излучения 900 МэВ электронов совпадает с областью гигантского диполь™ ного резонанса для фотоядерных реакций. Это ведет к возможности создания источника линейно поляризованных фотонов для изучения структуры ядра и фотоядерных реакций.
В связи с обнаружением описанным выше методом моделирования некоторых новых особенностей зависимостей параметров Стокса излучения электронов при каналировании в кристалле, для дальнейших теоретических и экспериментальных исследований перспективными представляются: а) исследование ориентационной зависимости (зависимость от угла влета электронов в кристалл относительно оси или плоскости) степени линейной поляризации с переходом излучения при больших 夕“夕° к когерентному тормозному излучению; б) исследование поляризации излучения при каналировании в квантовой области, т.е. при энергии электронов 瓦 W W 100 МэВ; в) более детальное изучение поляризационных характеристик излучения при каналировании от толщины и температуры мишени и типа плоскости (особенно интересно каналирование около (111) двойных плоскостей). В частности, в [44] моделированием обнаружена смена знака линейной поляризации излучения при каналировании при малых энергиях фотонов, недавно переоткрытая (теоретически) в [51].
Все сказанное выше также актуально и для случая каналирования позитронов с энергией от 100 МэВ до нескольких ГэВ в кристаллах. В этом случае спектр излучения при каналировании более монохроматичен и более высока степень линейной поляризации излучения. Подобные исследования важны в плане создания интенсивного источника монохроматичных фотонов с высокой степенью линейной поляризации и легко регулируемой энергией для целей экспериментальной ядерной физики.
В последнее время в области исследований поляризационных свойств излучения при каналировании электронов с энергией до 1 ГэВ наметился определенный прогресс, связанный с измерениями линейной поляризации излучения электронов с энергией Во = 62,5 МэВ группой Р. Коттхауза [52, 53] новыми методами (CCD-поляриметрия). Эти измерения подтверждают наличие высокой степени линейной поляризации в излучении релятивистских электронов при плоскостном каналировании. Вместе с тем, ряд проблем в данной области (температурная зависимость степени линейной поляризации, поляризация излучения при каналировании около сложных плоскостей, поляризация излучения в переходной от плоскостного к осевому каналированию области, поляризация излучения в области энергий электронов до 10 МэВ) остаются открытыми для экспериментальных и теоретических исследований.
В квантовой области (энергии электронов до 100 МэВ) возможен но-
вый комбинационный эффект, предсказанный недавно X. Нитта и др. [54] и состоящий в испускании фотонов при переходе между квантовыми уровнями поперечного (связанного) движения в кристалле в условиях одновременной дифракции фотонов на системе кристаллографических плоскостей. Здесь должно выполняться определенное условие, связывающее энергию перехода между квантовыми уровнями поперечного движения электронов (зависит от начальной энергии электронов) и условие дифракции фотонов (связывает энергию фотона, параметры решетки кристалла и угол дифракции).
Теория [54] предсказывает резкое увеличение интенсивности излучения под брэгговским (относительно направления начального импульса) углом по сравнению со случаем, когда эти условия не выполнены (в частности, по сравнению со случаем движения в кристалле в отсутствие каналирования, когда фотоны под брэгговскими углами испускаются в результате дифракции электромагнитного поля релятивистского электрона на периодически расположенных атомах кристалла). Этот эффект также экспериментально еще не исследован.
Важный вклад в дальнейшее развитие методов моделирования излучения электронов ультрарелятивистских энергий был сделан К. Артру [55], который использовал мультистринговую модель (потенциал кристалла определяется суммой периодически расположенных непрерывных потенциалов осей) для нахождения траектории, квазиклассический подход Байера- Каткова для вычисления вероятности излучения и ввел розыгрыш точки испускания фотона. Этот подход позволил описать полученные в CERN данные по спектрам излучения электронов 204-150 ГэВ в кристаллах с учетом отдачи при излучении и с учетом испускания нескольких фотонов при пролете через кристалл. В дальнейшем аналогичный метод был применен для анализа каскадных процессов и излучения, инициированных электронами с энергиями 100+200 ГэВ в ориентированных кристаллах [56, 57].
Моделирование позволяет легко вычислить интегральные характеристики излучения ——радиационные потери энергии, т.к. в классической электродинамике они определяются локальным значением внешнего поля, в котором происходит излучение (поля кристалла в случае каналирования). Определение моделированием траектории г ⑴ фактически определяет радиационные потери на данном участке траектории. Поскольку каналированные электроны осциллируют вблизи плоскостей (осей) кристалла, где поля максимальны, и количество электронов, захваченных в режим связанного движения с плоскостью (осью), зависит от глубины проникновения в кристалл, возникает нелинейная зависимость радиационных потерь от толщины мишени 厶 если Z ——порядка длины деканалирования [58].
Следует отметить, что моделирование позволило успешно интерпретировать эффект осцилляций выхода ядерных реакций в кристалле [59, 60], также связанный со специфичными траекториями релятивистских электронов в кристалле при каналировании.
Когерентное рождение е+е^-пар в кристаллах
Процесс рождения электрон-позитронной пары характеризуется определенной протяженностью во времени и пространстве. Действительно, используем закон сохранения энергии для рождения е+е~-лары фотоном на неподвижном ядре:
Далее, рассматривая для простоты рождение симметричных пар (七十 = =е_) и полагая углы вылета частиц пары нулевыми, находим, что продольный переданный кристаллу импульс уменьшается с ростом энергии фотона:
тес2
а когерентная длина (или длина формирования) Zcoh = В/ Адц растет с увеличением энергии фотона и, как впервые показал М.Л. Тер-Микаелян [1], может превысить межатомные расстояния. Амплитуды процесса на этой длине складываются, а в кристалле складываются с постоянным сдвигом фазы. Если этот сдвиг фазы кратен 2тг, возникает когерентный эффект. Тре™ буя, чтобы дц был равен одному из векторов обратной решетки кристалла (фактически, требуя квантования переданного импульса), можно получить энергии фотонов, при которых возникает когерентный эффект, т.е. усиление дифференциального сечения рождения е+е~-лары фотоном в кристалле.
В случае рождения электрон-позитронной пары релятивистским электроном или тяжелым ионом причины возникновения когерентного эффекта также связаны с квантованием переданного импульса (см. параграфы 7.7 и 7.8).
Ниже дан анализ новых особенностей (эффект коллимации е+е^-пар, влияние каналирования частиц е+е~-лары) для давно известного процесса когерентного фоторождения электрон-позитронных пар в кристалле, а также изложение теории новых когерентных процессов ——когерентного фоторождения связанных электрон-позитронных пар (релятивистских атомов позитрония) и когерентного образования е+е"-пар релятивистским тяжелым ионом в кристалле с захватом на К-оболочку ядра.
Материалы следующих нескольких параграфов основаны на работах [64, 65,71,72,74, 77,91,92]
Коллимация рожденных е+е^-пар
и яркость когерентных максимумов
Когерентное рождение е+е"-пар фотонами в кристаллах теоретически исследуется достаточно давно (см., например, классическую монографию [1] и ссылки). Критерий появления когерентного эффекта подробно разобран М.Л. Тер-Микаэляном и состоит в том, что дифференциальное сечение процесса резко усиливается, если переданный кристаллу импульс совпадает с одним из векторов обратной решетки кристалла. Величина переданного импульса ограничена сверху фактором Дебая-Валлера, поэтому число «разрешенных» или наблюдаемых когерентных пиков обычно неве-
лико. Известно, что для кросс-симметричного процесса ——когерентного тормозного излучения (КТИ) коллимация фотонного пучка приводит к возрастанию яркости когерентных максимумов [1, 61]. По аналогии можно ожидать, что эфффект коллимации вторичных частиц в процессе когерент™ ного фоторождения в кристалле также приведет к увеличению яркости ожидаемых когерентных максимумов.
В случае когерентного тормозного излучения обычно представляют интерес спектрально-угловые распределения фотонов и поэтому проводится интегрирование по импульсам излучающего электрона, что приводит к зависимости полученного сечения от трех переменных: энергии фотона и двух углов вылета. В случае фоторождения е+е"-пар, при измерениях необходимо регистрировать в совпадениях электрон и позитрон. Поэтому мы имеем дело с дифференциальным сечением, зависящим от шести переменных, и наиболее удобным способом теоретического исследования когерентного фоторождения пар являются прямые численные расчеты. Ниже мы ограничимся рассмотрением только когерентного фоторождения е+е~- пар типа Б.
Современная классификация ——разделение когерентных процессов на процессы типа А и Б ——введена А. Заенц и Г. Юбераллом (см., например, [62]). Когерентный процесс типа А возникает, когда минимальный переданный импульс 8 « 2тг/а (а — постоянная решетки) и электрон движется под малым углом к кристаллографическим плоскостям, а вклад в процесс дают векторы обратной решетки, лежащие в плоскости, практически перпендикулярной к направлению влета в кристалл. Когерентный эффект типа Б возникает, когда 5》2тг/а, электрон движется вдоль кристаллографической оси и вклад в процесс дают векторы обратной решетки, концы которых принадлежат семейству плоскостей обратной решетки, перпендикулярных кристаллографической оси и разделенных на (2тг/а) друг от друга. Следуя этому подходу, Н. Кью и Д. Кимбалл [63] впервые рассмотрели когерентное фоторождение типа Б е+е™ пар в кристалле и показали, что этот эффект возникает, когда начальный импульс фотона направлен вдоль кристаллографической оси, а энергия фотона ——порядка нескольких сотен МэВ. Они анализировали только полное сечение, проинтегрированное по углам вылета частиц пары, и показали, что сечение содержит когерентные максимумы, величина которых составляет 〜104-15 % от полного сечения в аморфной мишени.
Эффект коллимации частиц пары, как было показано нами численными расчетами в [64, 65], приводит к резкому увеличению яркости когерентных максимумов. В численных расчетах использовано стандартное дифференциальное по углу вылета электрона и позитрона сечение фоторождения е+е~-лары в кристалле [1]. Рассмотрен процесс фоторождения симметричных (равной энергии) пар в кристалле W. Расчеты показывают, что при фиксированной энергии фотонов угловое распределение рожденных электронов и позитронов имеет относительно сложную структуру с множеством узких пиков, количество которых зависит от температуры кристалла. В любом эксперименте энергии и углы вылета рожденных частиц могут быть
измерены с определенной точностью. Поэтому проведено интегрирование по углам вылета е+е™ в пределах А0 = 0—1 мрад, результаты которого обсуждаются ниже.
Существенным является то, что понижение температуры кристалла про™ является в увеличении высоты когерентных пиков одновременно с их уширением. Выбраны фиксированные значения угла коллимации (А0), поскольку в эксперименте проще сохранять его постоянное значение и менять энергию фотона, например, используя пучок тормозного излучения.
Рис. 7.6. Сечение фоторождения симметричных е+е^™пар как функция энергии фотона в (100) W, вычисленное для температуры кристалла Т = 0 К (пунктир) и Т = 293 К (точка-пунктир), проинтегрировано по углам вылета позитрона и электрона ДО = 0+1 мрад. То же самое, но проинтегрировано по углам вылета позитрона и электрона ДО = 0+5 мрад (сплошная линия и короткий пунктир)
На рис. 7.6 детально представлена форма когерентного пика в области энергий фотонов 130+160 МэВ для двух значений А0 и для двух значений температуры кристалла. Как следует из рисунка, влияние температуры кристалла на форму когерентного пика тем заметнее, чем сильнее коллимация А0. Увеличение амплитуды пика при понижении температуры кристалла связано с фактором Дебая-Валлера, в то время как уширение пика обязано взаимовлиянию фактора Дебая-Валлера (квадрат «разрешенного» переданного импульса увеличивается с понижением температуры ) и интерференционного сомножителя, зависящего от продольного переданного импульса.
Действительно, продольный переданный импульс уменьшается с ростом энергии фотона, в то же время он растет с увеличением А0. Вместе с тем, рост квадрата переданного импульса (который входит в показатель
1，4 厂 R
160200240 方з, МэВ
Рис. 7.7. Экспериментальная зависимость от энергии фотонов отношения R выхода электрон-позитронных пар из Si (40 мкм) и А1 (48 мкм) [99, 100]. Максимальный угол вылета частиц пары 2 мрад.
экспоненты фактора Дебая-Валлера в произведении с и2 ——среднеквадратичной амплитудой тепловых колебаний атомов кристалла) с увеличением △О может компенсироваться уменьшением &2 из-за понижения температуры кристалла. Следовательно, условие возникновения когерентного пика становится возможным при более высокой энергии фотона с понижением температуры кристалла. Это является причиной уширения когерентных максимумов с уменьшением температуры (см. рис. 7.6).
Аналогичные эффекты должны проявиться при когерентном фоторождении е+е^-пар типа А, но при более высоких энергиях фотонов.
Эффект когерентного фоторождения типа Б и сильного увеличения яркости когерентных максимумов с введением жесткой коллимации вторичных частиц был впервые обнаружен в экспериментах группы японских и российских физиков на синхротроне «Сириус» в Томске [67] и на синхротроне КЕК в Токио [99, 100]. На рис. 7.7 представлена экспериментально измеренная зависимость отношения R выхода электрон-позитронных пар из кристалла Si толщиной 40 мкм к выходу электрон-позитронных пар из аморфного А1 толщиной 48 мкм от энергии фотона. Оригинальная методика эксперимента ——предельно малая расходимость начального фотонного пучка и введение вето-счетчика на пути электрон-позитронных пар к детекторам (специальные годоскопы для регистрации частиц пары)——позволила реализовать в эксперименте идею о возрастании яркости когерентных максимумов в сечении фоторождения типа Б электрон-позитронных пар в кристалле. Рисунок 7.7 демонстрирует резкое увеличение (порядка 80+100 %) выхода электрон-позитронных пар в кристалле при энергиях
фотонов 230+240 МэВ, что соответствует теоретическим предсказаниям [64]. Измерения на кристалле кремния большей толщины (163 мкм) показали, что многократное рассеяние частиц рожденной пары в кристалле приводит к значительному уменьшению величины R.
Влияние эффекта каналирования е+е^-пар на поведение сечения фоторождения вблизи когерентных максимумов
Подобно искажению формы когерентных максимумов в когерентном тормозном излучении типа Б релятивистских электронов в кристалле, из-за влияния взаимодействия электронов с непрерывным потенциалом оси [66] можно ожидать появления подобного эффекта в кросс-симметричном процессе ——когерентном фоторождении е+е"-пар в кристалле (когерентное фоторождение в каналированных состояниях).
Оценим характерную область энергий фотонов в окрестности когерентного пика, где может проявиться каналирование рожденных частиц. Будем следовать качественному подходу, предложенному нами в [64]. Пусть импульс фотона к параллелен кристаллографической оси. Законы сохранения энергии и импульса в этом случае могут быть записаны в виде
方G = J(叩2c2 + 7712c4 十 J唁产畏 + 7722c4 十(7.10)
k = p+ + p^ +gn, |k|c =(7.11)
где huj ——энергия фотона, дп 二 27m方/а ——вектор обратной решетки (п 二 =1,2,...), а ——расстояние между атомами оси, е[ и £工 ——так называемые поперечные энергии позитрона и электрона в непрерывном потенциале кристаллографической оси. Эти энергии и соответствующие волновые функции являются собственными значениями и собственными волновыми функциями соответствующих квантовых уравнений, описывающих каналирование электрона (позитрона) в кристалле (о каналировании релятивистских частиц см., например, [14]).
Введем далее новое определение симметричных пар:目丁 = р^ = р. Используя это определение и подставляя р из (7.11) в (7.10), после несложных преобразований получаем значение пороговой энергии фотона ш* для возникновения когерентного пика:
(7Л2)(7Л2)4m2 с4 + ^с2 +
(7Л2)
(7Л2)
^РпС(1 — △丄/Pn)
где △丄 =£〔+£] характеризует каналирование рожденных частиц. Случай △丄 =0 соответствует когерентному рождению пар без учета взаимодействия б+ и 6一 с непрерывным потенциалом оси кристалла, когда когерент-
ный пик возникает при
方g几=以(△丄=0) = (4?Л2е4 + 廉巒)/2g几* 几=12 3
что совпадает с положением когерентного пика, следующего из стандартной (без учета каналирования частиц пары) теории [63]. Естественно, если принять во внимание член 夕 j/2пг, связанный с надбарьерным движением, положение пика сдвинется в сторону больших значений Кш.
Как следует из (7.12), взаимодействие е+ и е" с непрерывным потенциалом оси приводит к размытию порога возникновения когерентного пика. Для того чтобы оценить неопределенность положения когерентного пика, достаточно подставить △丄 =± %, где Vq ——характерное значение глубины потенциала оси. В частности, рассмотрим когерентный пик (п = 1) для когерентного фоторождения типа Б в (100) 1У при шх 》133,1 МэВ. Для этого случая д^с = 2?r%c/d 〜3,92 кэВ, % = 842 эВ, т.е. △丄/ge 〜0,215, что приводит к неопределенности положения пика △е 〜± 30 МэВ около порогового значения w = 133,1 МэВ, следующего из стандартной теории.
Эффект неопределенности положения когерентного пика зависит от температуры кристалла Т в силу зависимости % от Т. Используя (7.12), находим дополнительный температурный сдвиг положения когерентного пика, вызванный понижением температуры кристалла от 賞 до △:
9пС [1 — Vq(Ti)/дпс\[1 — Vo^i)/дпс\
if %2 (T2)_它⑵)]
2 \gnc^V0(T2) Vb(Ti) J
Например, в случае (100) W имеем Vb (300 К) = 842 эВ, Vq(0 К) = 1052 эВ, т.е. максимальный дополнительный сдвиг положения когерентного пика может составить 〜8 МэВ, и поэтому неопределенность положения пика при Т = 0 К может достичь значения ±38 МэВ вблизи пороговой энергии фотона wi = 133,1 МэВ, определяемой стандартной теорией когерентного фоторождения.
Оценки влияния каналирования на когерентное фоторождение несимметричных пар можно выполнить таким же способом, как при получении (7.12), но алгебра в этом случае более громоздка.
Следует отметить, что эффект влияния каналирования исчезает в кристалле, толщина которого меньше установления режима каналирования (для осевого каналирования электронов это длина, на которой частица совершает несколько оборотов вокруг оси). Поэтому в тонком кристалле эффект может, например, проявляться для когерентного пика к = 2, 3 ... 5, но отсутствовать для когерентного пика к = 1, т.к. характерная длина установления режима каналирования растет с увеличением энергии частицы 〜 Наконец, этот эффект должен быстро исчезать с разориентацией кристалла относительно импульса фотонов.
Равенство (7.12) дает только оценку области энергий фотонов, где кана-
лирование рожденных частиц может изменить форму когерентных пиков. Для того, чтобы количественно описать форму когерентного пика, необходимо выйти за пределы стандартной теории когерентного рождения пар [1, 63], провести вычисление матричных элементов с использованием не плоских волн, а волновых функций частиц ——решений соответствующих волновых уравнений с непрерывным потенциалом оси. Можно предположить, что чем больше будет величина △丄,тем меньше будет матричный элемент, поскольку он сильно зависит от перекрытия волновых функций электрона и позитрона в классически запрещенной (для каждой частицы) области, сильно зависящей в свою очередь от поперечной энергии рожденной частицы. Таким образом, каналирование рожденных частиц может изменить яркость когерентных пиков по сравнению с результатами расчетов по стандартной теории (см. рис. 7.6). Экспериментальное исследование когерентного фоторождения типа Б е+е"-пар в каналированных состояниях (а также температурного эффекта) обещает быть очень интересным, но требует существенно лучшего экспериментального разрешения, чем использованное в экспериментах [67, 99, 100].
Резюмируя, отметим, что если прямые численные расчеты (см. § 7.7) наглядно демонстрируют сильное влияние коллимации и температуры кристалла на яркость когерентных пиков для когерентного фоторождения типа Б е+е"-пар в кристалле, то предложенный выше качественный анализ позволяет также оценить область энергий фотонов вблизи «стандартных» положений когерентных пиков, где когерентный пик будет уширен эффектом влияния каналирования частиц пары в кристалле (своего рода комбинационный эффект).
Как уже отмечалось, влияние температуры кристалла на когерентное тормозное излучение и излучение при каналировании хорошо известно. Сравним более подробно влияние изменения температуры кристалла на когерентное тормозное излучение и излучение при каналировании с полученными нами оценками для когерентного рождения электрон-позитронных пар. Температурный эффект для каналирования и излучения при каналировании возникает из-за изменения непрерывного потенциала оси или плоскости, которые возрастают при понижении температуры. Обычно спектр излучения при каналировании для релятивистских частиц состоит из большого числа спектральных линий с достаточно большой шириной (коллимация и уширение неупругими процессами) и представляет собой широкий максимум в мягкой части спектра излучения. При этом максимальное изменение характерной энергии фотонов излучения при каналировании при понижении температуры ——порядка 20+30 % [68]. К тому же, изменение температуры не влияет на угловые распределения излучения при каналировании, которые главным образом определяются релятивистским фактором частицы 7, Наоборот, изменение температуры очень сильно влияет на угловые распределения фотонов когерентного тормозного излучения и частиц при когерентном рождении пар из-за фактора Дебая-Валлера ехр [—q2〃2/%2], где 厂=g2(幻,6)——переданный кристаллу импульс. Эффект коллимации
для когерентного тормозного излучения хорошо известен [61] и проявляется в увеличении яркости когерентных пиков. К сожалению, измерения угловых распределений фотонов когерентного тормозного излучения фиксированной энергии вблизи когерентных пиков не проводились. Характерная структура угловых распределений фотонов когерентного тормозного излучения предсказана М.Л. Тер-Микаеляном [1], но не обнаружена экспериментально. Однако М.Л. Тер-Микаелян не проводил анализа температурной зависимости этих угловых распределений. Можно предположить, что изменение температуры кристалла в случае когерентного тормозного излучения будет так же сильно влиять на угловые распределения фотонов, как на угловые распределения связанных е+е"-пар ——релятивистских атомов позитрония (см. § 7.9), хотя здесь эти пики могут быть не такими яркими в силу того, что обычно направление вылета излучившего электрона не фиксируется.
Когерентное фоторождение релятивистских синглетных атомов позитрония в кристалле
Наиболее ярко когерентный эффект должен проявиться для фоторождения связанных электрон-позитронных пар ——атома позитрония, когда электрон и позитрон, образующие Ps, рождаются с одинаковыми по величине и направлению импульсами. Этот случай в некотором смысле является предельным случаем жесткой коллимации, рассмотренным в § 7.7.
Образование релятивистских синглетных Ps фотонами высокой энергии при столкновениях с атомами впервые рассмотрено в [69, 70]. Под релятивистским атомом позитрония (релятивистским Ps) будем подразумевать атом Ps, движущийся с релятивистской скоростью. Когерентный эффект для этого процесса предсказан в [71, 72], где показано, что в кристалле происходит существенное увеличение сечения фоторождения синглетных атомов позитрония для определенных углов вылета и энергий Ps. Образованный Ps может развалиться при дальнейшем движении в мишени [69]. Соответствующие сечения развала релятивистских Ps в кулоновском поле атомов детально изучены в [73]. Излагаемые ниже результаты основаны на работах [71, 72, 77].
Фоторождение Ps на атоме. При столкновении фотона высокой энергии с атомом в силу правил отбора по зарядовой четности может образоваться только синглетный атом Ps. Дифференциальное сечение фоторождения синглетного Ps фотоном на атоме имеет вид [69, 70]
^1 = ^2«6 [1 —尸(GF p3mf sin2 0
dQ - 2Ep(Ep —ppcoW ( ” 丿
где 尸(g)——атомный формфактор, q ——переданный импульс, тр = (2?& — —£), £ ——энергия связи Ps, те ——масса электрона, п ——главное квантовое число (ниже п = 1). Здесь Ер и рр ——энергия и импульс Ps, движущегося
как целое с релятивистской скоростью, причем Ер равна энергии начального фотона:耳=方g，если пренебречь отдачей ядра мишени. Переданный импульс определен как
^2 = Вр + Рр — 2石Р]9P COS 4
где 夕 ——угол между импульсами фотона и Ps.
Ниже мы будем использовать параметризацию Мольер для экранированного атомного потенциала, когда
(7」5)(7」5)(q)
(7」5)
(7」5)
加={0,1; 0,55; 0,35} , хч = {6,0; 1,2; 0,3} Я^1,
где Rs ——радиус экранирования. Упрощенная форма (7.15) соответствует экранированному потенциалу типа Юкава:
V (г)=V (г)=
V (г)=
V (г)=
В этом случае дифференциальное сечение рождения синглетного Ps в основном состоянии(71 = 1) может быть переписано в виде
(7Л6)(7Л6)_:牙靖歹S山20
(7Л6)
(7Л6)
8)4[1 + 炉—2/3 cos e + (入/2)凡)2『(1 — /3 cos
7 = Ep/mpc2; /3 =，]-厂2； Д = h/mec,
где 7, /3 = v/с ——релятивистский фактор и скорость рожденного Ps, Л —— комптоновская длина волны электрона. Далее, интегрирование по углам вылета может быть выполнено аналитически, и для полного сечения как функции энергии фотона получаем выражение [77]
_7FZ2a6入2 〃一2= 2(1 — 0)2 I_7FZ2a6入2 〃一2= 2(1 — 0)2 I
_7FZ2a6入2 〃一2
= 2(1 — 0)2 I
_7FZ2a6入2 〃一2
= 2(1 — 0)2 I
£ =入/2凡)
которое совпадает с приближенными формулами X. Ольсена [69] иВ.Л. Лю-
бошица [70] для двух предельных случаев: отсутствие экранирования (Rs 一
ос, £ 一 0):
nscr 冗z2a6入2^tot = nscr 冗z2a6入2^tot =
nscr 冗z2a6入2
^tot =
nscr 冗z2a6入2
^tot =
и полное экранирование (凡 一 0, £ 一 ос):
Полученное нами выражение (7.17) позволяет детально проследить этот переход. Если использовать аппроксимацию Мольер для атомного формфактора, получается более громоздкое выражение для atot, которое мы здесь опускаем.
На рис. 7.8 представлены дифференциальные сечения фоторождения Ps на отдельном атоме для различных мишеней (Si, Ge, W). Учет экранирования ядра атомными электронами изменяет угловые распределения и подавляет малоугловой вклад в полное сечение. Как можно видеть из рис. 7.8, дифференциальные сечения, вычисленные для различных атомов с использованием аппроксимации Мольер для атомных форм-факторов, возрастают и становятся шире с увеличением Z. Изменение формы дифференциального сечения связано здесь со слабой зависимостью радиуса экранирования Rs от заряда ядра Z: Rs = Z^1^a0, где а。——радиус Бора.
8000 г d。, мбарн / стерад
02006001000
仇 мкрад
Рис. 7.8. Дифференциальное сечение фоторождения релятивистского синглетного атома Ps фотонами с энергией 100 МэВ на атомах Si (—), Ge (——),W (——)с учетом эффекта атомного экранирования
На рис. 7.9 представлено полное сечение фоторождения Ps на атоме Ge в зависимости от энергии фотона, вычисленное как для кулоновского, так и для экранированного кулоновского потенциала. Как следует из вычислений, эффект атомного экранирования приводит к быстрому выходу на плато сечения фоторождения Ps при энергиях фотонов выше 100 МэВ. Абсолютное значение полного сечения при энергии фотона 100 МэВ меняется при этом от приблизительно 9,14 - 10"5 мбарн в случае атома С до 2,44 х х 10-3 мбарн в случае Ge и до 1,21 • 10-2 мбарн в случае W. Позитроний может образоваться также в возбужденных состояниях, и сечение, просуммированное по всем возбужденным состояниям, приблизительно в 1,2 раза больше [69, 70], чем рассмотренное выше. В то же время больший радиус и меньшая энергия связи возбужденных состояний приводят к более быстро-
Рис. 7.9. Зависимость полного сечения фоторождения релятивистского синглетного атома Ps на атоме Ge от энергии фотона без учета (——)и с учетом (- - -) атомного экранирования
му развалу в мишени. Это означает, что эффективная для генерации Ps в возбужденных состояниях толщина мишени и выход значительно меньше. Атом Ps также может образоваться в столкновениях фотонов с электронами атома. Вклад этого механизма, однако, порядка 1/Z [69], где Z ——заряд ядра атома мишени.
Фоторождение Ps в кристалле. Ниже мы будем рассматривать энергии фотонов в случае, когда когерентный эффект возникает, если импульс фотона совпадает с направлением кристаллографической оси (так называемый когерентный эффект типа Б, рис. 7.10). Минимальный продольный переданный импульс в процессе фоторождения на отдельном атоме
Это означает, что с ростом энергии фотона все большее продольное расстояние “J = %/q“ дает вклад в амплитуду и рождение Ps на отдельных атомах мишени не является больше независимым. Если импульс падающего фотона параллелен оси кристалла, продольный переданный импульс также параллелен оси. Этот импульс определяет разность фаз амплитуд рождения на двух соседних атомах оси: △夕=q“d, где d ——расстояние между атомами. Если эта разность фаз кратна 2тг, амплитуды складываются в фазе и возникает когерентный эффект. На языке переданного импульса последнее означает, что дц должен совпадать с одним из векторов обратной решетки кристалла, в данном случае с дп = 2тгВ1/< п = 1,2 ...
В аморфной мишени разности фаз амплитуд рождения на отдельных атомах случайны и полное сечение является суммой сечений на отдельных
Рис. 7.10. Когерентное фото- и электророждение типа Б синглетных атомов Ps в кристаллеРис. 7.10. Когерентное фото- и электророждение типа Б синглетных атомов Ps в кристалле
Рис. 7.10. Когерентное фото- и электророждение типа Б синглетных атомов Ps в кристалле
Рис. 7.10. Когерентное фото- и электророждение типа Б синглетных атомов Ps в кристалле
атомах. Напротив, в кристаллической мишени атомы расположены периодически, разность фаз амплитуд рождения на любых соседних атомах одинакова. Проводя суммирование амплитуд и усреднение по тепловым колебаниям атомов кристалла также, как в теории когерентного тормозного излучения и рождения пар [1], находим, что дифференциальное сечение рождения Ps в кристалле фотоном записывается в виде [71, 72]
db = dc&h + d(T jncoh ?
d^coh = d(j± expd^coh = d(j± expdeincoh = de 1Ndeincoh = de 1N工 exp (iqrk/fl) k = l工 exp (iqrk/fl) k = l1 — exp1 — exp■ 18)■ 18)
d^coh = d(j± exp
d^coh = d(j± exp
deincoh = de 1N
deincoh = de 1N
工 exp (iqrk/fl) k = l
工 exp (iqrk/fl) k = l
1 — exp
1 — exp
■ 18)
■ 18)
где dai определено формулой (7.15), exp(—g2a2/方？) —хорошо известный фактор, учитывающий тепловые колебания атомов кристалла,
22『n = J2exP (^к/К) = *ехр 的||办/加)『n = J2exP (^к/К) = *ехр 的||办/加)к = 1к = 1к = 1к = 12=sid(Nq||d/2 方) sin2 (q\\d/2h)*2=sid(Nq||d/2 方) sin2 (q\\d/2h)*
2
2
『n = J2exP (^к/К) = *ехр 的||办/加)
『n = J2exP (^к/К) = *ехр 的||办/加)
к = 1
к = 1
к = 1
к = 1
2
=sid(Nq||d/2 方) sin2 (q\\d/2h)*
2
=sid(Nq||d/2 方) sin2 (q\\d/2h)*
является интерференционным множителем, ответственным за появление когерентного эффекта вследствие периодичного расположения атомов на оси кристалла, i•靑 ——равновесные положения атомов оси кристалла. Другие обозначения: &2 ——среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов кристалла, дц =(方g/е) (1 — /3 cos 夕)——продольный переданный импульс, N ——число атомов в оси; ^ определено главным образом процессом развала рожденных Ps в веществе.
Сечение фоторождения Ps в кристалле в зависимости от энергии фотонов. Интегрирование дифференциального сечения (7.18) по углам вылета дает выход рожденных Ps в заданный телесный угол. Интегрирование проводилось численно, с использованием аппроксимации Мольер для атомного форм-фактора (рис. 7.11). Возрастание выхода Ps при строго определенных энергиях фотонов вследствие когерентного эффекта достаточно велико, причем когерентные пики локализованы в узкой области вблизи «резонансных» энергий фотонов [71, 72]:
—4m2 с4 + 成 Т — 27гЛ,п _
方 -, Qn -, 几-(/ *2°)
2qncd
где me2 ——масса электрона.
Условие (7.18) прямо следует из сохранения энергии и квантования, благодаря интерференционному множителю (7.19), продольного переданного импульса, дц = дп. Наибольшее увеличение сечения фоторождения
сг, мбарн
102Г
101
50100150 方з, МэВ
Рис. 7.11. Фоторождение релятивистских синглетных атомов Ps в кристалле Ge: сечение, проинтегрированное по углам вылета В = 0・5 мрад, как функция энергии фотона (7 ——аморфная мишень, 2 ——кристалл). Показаны когерентные пики п=2,3,...
синглетного Ps благодаря когерентному эффекту типа Б (импульс фотона параллелен кристаллографической оси) ожидается при энергии фотонов около 119,3 МэВ для кристалла Ge и около 132,5 МэВ для кристалла W при температуре жидкого азота. Форма когерентных пиков зависит от нескольких параметров, таких как число атомов на оси ^, температура кристалла Т, энергия фотона В работе [77] представлены сечения фоторождения синглетных атомов позитрония для двух значений: ^ = 102 и ^ = 103, свидетельствующие об уширении когерентного пика при уменьшении N. Наиболее вероятное значение N, которое может быть достигнуто в экспериментах, ожидается между двумя этими величинами.
Угловое распределение синглетных Ps вблизи когерентных максимумов. После подстановки сечений рождения на отдельном атоме 壮内 (см. (7.16)) в (7.18) и использования аппроксимации Мольер для атомного форм-фактора, можно провести численные расчеты угловых распределений рожденных синглетных Ps в кристалле. Результаты расчетов [77] показывают, что когерентные пики возникают при углах вылета, удовлетворяющих условию
方®а 27r励г
Q|| = — d COS = ―—, n = 2 ...
и дополнительному ограничению на малость «тепловой» экспоненты:
q2u2/h2 = (1 + 声—2/3 cos J) W 1.
В частности, результаты расчетов свидетельствуют о том, что когерентный пик сдвигается в сторону больших углов, следуя небольшому изменению энергии фотона от 119,2 до 119,5 МэВ в (110) Ge, и достаточно велик в интервале углов вылета 0+500 мкрад.
Найденные положения пиков в угловых распределениях Ps при фоторождении в кристалле Ge [77], вообще говоря, слишком малы, чтобы отделить рожденные Ps от начального пучка фотонов. Поэтому следует применить более сложные методы детектирования, чтобы избежать проблем с фоном в экспериментах. Другим способом образовать когерентные пики при больших углах вылета атомов позитрония (это значительно облегчило бы в возможном эксперименте задачу отделения пучка нейтральных атомов от начального пучка фотонов) является понижение температуры кристалла или выбор кристаллической мишени с меньшей амплитудой тепловых колебаний (например алмаз или вольфрам). В последнем случае когерентные пики в угловых распределениях Ps велики при углах вылета до нескольких мрад, как и в случае электророждения, который будет рассмотрен в § 7.10.
Существует несколько веских причин, вызывающих интерес к экспериментальному исследованию процесса когерентного фоторождения атомов Ps в кристалле:
впервые может быть обнаружен новый когерентный эффект в кристаллической мишени, предсказанный для относительно невысоких энергий (до нескольких сотен МэВ) фотонных пучков, хотя детектирование рожденных нейтральных атомов Ps представляет довольно сложную задачу для экспериментаторов;
имея монохроматичный (по энергии) пучок атомов Ps, даже невысокой интенсивности, можно рассмотреть возможность прямого измерения вероятности распада синглетных Ps на два гамма-кванта и, следовательно, измерить время жизни синглетного Ps. Все выполненные до сих пор измерения времени жизни были выполнены с Ps, замедленными в веществе, когда реальная волновая функция Ps может сильно отличаться от его волновой функции в вакууме;
аналогичные когерентные эффекты были предсказаны для фоторождения атомов 〃+〃— [74] и для фоторождения тг° мезонов [75, 76] при существенно более высоких энергиях фотонов. Поэтому наблюдение когерентного рождения позитрония в кристаллах может стимулировать поиск такого же типа когерентных эффектов при крайне релятивистских энергиях.
Когерентное электророждениерелятивистских синглетных атомов Ps в кристалле
Релятивистские синглетные и триплетные атомы Ps могут быть генерированы релятивистскими электронами при столкновениях с атомами (см. [78] и приведенные ссылки). В кристаллической мишени, благодаря когерентному эффекту, сечение рождения как синглетных, так и триплетных атомов Ps релятивистскими электронами (электророждение) может оказаться значительно выше аналогичного сечения в аморфной мишени для определенных энергий и углов вылета рожденных Ps [79]. Ниже мы рассмотрим когерентное электророждение в кристалле только синглетных Ps. Согласно [79], дифференциальное сечение электророждения синглетного Ps в кристалле формально имеет такой же вид, что и в случае фоторождения в кристалле (см. § 7.9):
"々oh ="々oh =“С ="々oh + d(7incoh,“С ="々oh + d(7incoh,d% expd% expdoincoh = do\N 1 — expdoincoh = do\N 1 — exp工exp (后也/方) k = l工exp (后也/方) k = l(72)(72)
"々oh =
"々oh =
“С ="々oh + d(7incoh,
“С ="々oh + d(7incoh,
d% exp
d% exp
doincoh = do\N 1 — exp
doincoh = do\N 1 — exp
工exp (后也/方) k = l
工exp (后也/方) k = l
(72)
(72)
где doi теперь является сечением электророждения синглетного Ps на отдельном атоме [78]. Если использовать аппроксимацию Мольер атомного форм-фактора, то
dbi A2Z2q6 万3dbi A2Z2q6 万3dQdEpdQdEp874874a?, sin2 6M + 賢—2万 cos e + (入》/2))2『(1 —万 COS 6)2a?, sin2 6M + 賢—2万 cos e + (入》/2))2『(1 —万 COS 6)222XXQEp 27rQEp 27r1 +1 +Ei (Ei — Ep)П普Wc4)2—Ei (Ei — Ep)П普Wc4)2—(7.22)(7.22)— ％— ％
dbi A2Z2q6 万3
dbi A2Z2q6 万3
dQdEp
dQdEp
874
874
a?, sin2 6
M + 賢—2万 cos e + (入》/2))2『(1 —万 COS 6)2
a?, sin2 6
M + 賢—2万 cos e + (入》/2))2『(1 —万 COS 6)2
2
2
X
X
Q
Ep 27r
Q
Ep 27r
1 +
1 +
Ei (Ei — Ep)
П普Wc4)2—
Ei (Ei — Ep)
П普Wc4)2—
(7.22)
(7.22)
— ％
— ％
где £i ——энергия начального электрона;耳,),/3 ——энергия, релятивистский фактор и скорость рожденного Ps. Последний сомножитель в (7.22) в действительности представляет собой спектр виртуальных фотонов, ассоциированный с начальной релятивистской частицей. Как следует из (7.22), с помощью процесса электророждения можно получить широкий энерге™ тический спектр синглетных Ps, причем форма этого спектра зависит от энергии начальной частицы (в нашем случае — электрона). К сожалению,
в работе [79] при проведении численных расчетов не учитывались тепловые колебания атомов кристалла. Нами показано, что учет тепловых колебаний атомов кристалла существенным образом изменяет угловые распределения рожденных Ps и практически полностью подавляет когерентные максимумы, предсказываемые в [79] для больших углов вылета.
Рис. 7.12. Электророждение релятивистских синглетных Ps в кристалле W (100), и = 0,03 А; пунктир ——аморфная мишень, сплошная линия ——кристалл
С помощью (7.22) были проведены численные расчеты для кристалла W и энергии электронного пучка £i = 150 МэВ [77]. Число атомов оси кристалла было выбрано N = 100. На рис. 7.12 представлена зависимость сечения когерентного электророждения синглетных Ps, проинтегрированного по углам вылета 0+5 мрад, от энергии Е рожденного Ps. Расчеты детальной структуры сечения вблизи когерентного пика при энергии Ps около Е = 66,7 МэВ можно найти в [77]. Вычисленные угловые распределения рожденных атомов позитрония [77] в кристалле W показывают, что сильное увеличение сечения при определенных энергиях рожденных Ps из-за когерентного эффекта возникает только при малых углах вылета Ps. Предсказанные в [79] когерентные пики при больших (до 20 мрад) углах вылета в действительности подавляются фактором Дебая-Валлера.
Развал рожденных атомов Ps в кристаллеи эффективная толщина генерации
Предполагая, что Ps, рожденный на определенном атоме кристалла, может развалиться при столкновении с другими атомами мишени, мы можем заменить интерференционный множитель параграфов 7.9 и 7.10 более сложным выражением, добавляя мнимую часть (описывающую развал ато-
мов позитрония в веществе) в фазу каждой амплитуды [77]. В результате возникает новое (модифицированное) выражение для интерференционного множителя:
22(723)(723)
2
2
(723)
(723)
где 夕 =q^d/h возникает из-за периодичного расположения атомов оси кристалла;儿=(a^pd/ cos^)——безразмерный коэффициент поглощения, р ——атомная плотность мишени, % ——сечение развала Ps при столкновении с отдельным атомом [73]. Суммирование в (7.23) может быть выполнено аналитически:
Jn =Jn =sшh2(^/l/4) + sin2(7V(^/2)sinh2 (/i/4) + sin?(夕/2)sшh2(^/l/4) + sin2(7V(^/2)sinh2 (/i/4) + sin?(夕/2)exp[(l — N)///2].exp[(l — N)///2].(724)(724)
Jn =
Jn =
sшh2(^/l/4) + sin2(7V(^/2)sinh2 (/i/4) + sin?(夕/2)
sшh2(^/l/4) + sin2(7V(^/2)sinh2 (/i/4) + sin?(夕/2)
exp[(l — N)///2].
exp[(l — N)///2].
(724)
(724)
Если развалом Ps пренебречь, то полученное выражение совпадает с обычным интерференционным множителем /% (см. выражение (7.2)). Для случая, когда условие возникновения когерентного эффекта выполнено, т.е. В = q“d/% = птг, выражение (7.24) преобразуется к виду
JN (夕==冗 7Г )―—JN (夕==冗 7Г )―—,1 - вхр (-N/i/2)I 1-ехр(-〃/2),1 - вхр (-N/i/2)I 1-ехр(-〃/2)(725)(725)
JN (夕==冗 7Г )―—
JN (夕==冗 7Г )―—
,1 - вхр (-N/i/2)
I 1-ехр(-〃/2)
,1 - вхр (-N/i/2)
I 1-ехр(-〃/2)
(725)
(725)
Как следует из (7.25), если поглощение в мишени толщиной Г = Nd мало, Jn 〜№ и величина когерентного пика пропорциональна квадрату числа атомов оси кристалла. Далее, если поглощение на толщине мигпе- ни Т = Nd велико, но поглощение на межатомном расстоянии d мало, мы получаем значение Jn о 4儿一？, откуда следует, что эффективная толщи™ на генерации в действительности по крайней мере в два раза превосходит оценку, приведенную в [70]. В этом случае выход когерентно рожденных
Ps может быть в четыре раза выше.
Двухфотонный распад на лету
и монохроматизация энергетического спектрарелятивистских синглетных Ps
При использовании монохроматичного пучка фотонов яркость когерентных пиков (отношение амплитуды пика к подложке) зависит только от энергетической расходимости фотонного пучка и энергетического разрешения детектирующей Ps установки.
Если использовать пучок тормозного излучения или электронный пучок, можно получить широкий непрерывный энергетический спектр Ps из аморфной мишени и очень специфичный, с резкими максимумами, из кристаллической мишени. Поскольку рожденный синглетный Ps распадается
на лету на два гамма-кванта с константой распада в системе покоя г = =1,25 • 1()—1° с, соответствующая длина распада в лабораторной системе будет 1Т = 7/3ст, где у /3 = v/с ——релятивистский фактор и скорость Ps. В действительности это означает, что низкоэнергетические пики быстро исчезают на более далеких расстояниях от мишени. Например, для уско™ рительного комплекса REFER [82] и случая фоторождения (см. рис. 7.9) на расстоянии Е》291 см от мишени может быть зарегистрирован только второй сильный пик, т.к. первый получить невозможно из-за максимальной энергии фотонов тормозного излучения (около 150 МэВ), а третий и более высокого порядка пики исчезнут благодаря двухфотонным распадам.
Важно также отметить, что Ps с энергией, большей, чем необходимая, могут быть удалены из пучка наложением внешнего магнитного поля заданной напряженности. Действительно, как впервые предположено в [80] и позднее использовано в [81] в успешных экспериментах по детектированию релятивистских атомов Ps от распада тг°-мезонов, лабораторное магнитное поле Н приводит к возникновению электрического поля в системе покоя Ps, которое разваливает Ps, имеющие в лабораторной системе энергию выше некоторой пороговой. Пороговый импульс Ps для диссоциации в магнитном поле определяется выражением [80, 81]
р^Н W 1,4- Ю5Э, (726)
где /Зс и 7 ——опять скорость и релятивистский фактор Ps. Если пороговое условие выполнено, соответствующая длина диссоциации 1н — 丁/Зс冇/с, где 冇/占 ——характерное внутреннее время Ps. Для энергий Ps, меньших 150 МэВ, эта длина мала (порядка ? см).
Таким образом, энергетический спектр синглетных Ps может быть сделан монохроматичным в любой энергетической области благодаря комбинации двухфотонный распад ——внешнее магнитное поле.
На ускорительном комплексе REFER [82] пучок электронов с энергией 150 МэВ выводится из инжектора в накопительное кольцо с максимальной интенсивностью Ne = 1013 электронов/с. Пучок тормозных фотонов (BS) можно получить от аморфной мишени, помещенной между инжектором и накопительным кольцом. Интенсивность пучка тормозного излучения может быть порядка N：$ = 1010 фотон/с, в то время как интенсивность пучка меченых фотонов существенно ниже (〜N； = 106 фотон/с).
Спектр тормозного излучения 150 МэВ электронов (описываемый, например, формулой Шиффа), свернутый с сечением фоторождения синглетного Ps в кристалле (см. § 7.9), даст специфичный энергетический спектр Ps, испущенных из кристалла, который похож на энергетический спектр Ps при электророждении в кристалле (см. § 7.10). Различие состоит в том, что с помощью тормозного пучка фотонов можно генерировать синглетные Ps с энергией до 150 МэВ, в то время как путем электророждения пучком 150 МэВ электронов можно получить синглетные Ps со значительно меньшей энергией. Поскольку максимальная длина двухфотонного распада синглетных Ps с энергией 150 МэВ составляет около 1Т о 512 см, это
значение характеризует продольный размер экспериментальной установки.
Ожидаемую скорость генерации синглетных Ps при использовании BS пучка фотонов с интенсивностью N* = 1010 фотон/с можно оценить, ио пользуя сечение, представленное на рис. 7.8, и плотность кристаллографических осей кристалла порядка 〜1 /dL Для энергии Ер = 118,84-120 МэВ легко получить, что скорость генерации составит около 250 синглетных Ps в час от кристалла Ge, если число атомов, дающих вклад в когерентный эффект, около N = 1000. При этом скорость генерации Ps с такой же энергией из аморфной мишени будет примерно в двенадцать раз меньше.
В случае электророждения, используя сечение, приведенное на рис. 7.12, получаем, что ожидаемая скорость генерации ——порядка 94-10 Ps в час для энергии Ps около Ер = 67 МэВ. Следует отметить, что в экспериментах по когерентному электророждению Ps в кристаллах можно генерировать и долгоживущие (в вакууме) триплетные Ps [79], но с заметно более низкими сечениями.
Таким образом, открывается возможность впервые экспериментально обнаружить существование новых квантово-электродинамических эффектов при средних энергиях [69, 70] с помощью увеличения выхода этих процессов благодаря когерентному эффекту в кристалле [71, 72, 77, 79].
Рождение е+е~-пары релятивистским ядром
в кристалле с захватом 巳-на К-оболочку ядра
Создание новых ускорителей релятивистских тяжелых ионов (SIS GSI, SPS, RHIC, LHC) дает возможность изучения не только новых ядерных, но и новых квантово-электродинамических процессов при взаимодействии пучков релятивистских тяжелых ионов с веществом. Одним из последних является образование е+е^-пар в столкновениях релятивистских тяжелых ионов. Теория образования е+е_-пар при прохождении релятивистских ионов через аморфную мишень, в том числе и теория образования е+е^-пар с захватом е~ на К-оболочку релятивистского тяжелого ядра, рассмотрена в ряде работ (см. [83-86] и приведенные ссылки). Первые экспериментальные результаты по образованию свободных е+е~-пар релятивистскими ионами в аморфной мишени недавно опубликованы в работе [87], а по образованию е+е^-пар релятивистскими иономи с захватом электрона на К-оболочку иона ——в работе [88]. Этот процесс позволяет также получить простейшие атомы антивещества ——атомы антиводорода ——посредством образования е+е—-пар релятивистскими антипротонами в аморфных или газовых мишенях [85, 90] с захватом позитрона в связанное с антипротоном состояние. Образование электрон-позитронных пар в столкновениях релятивистских тяжелых ионов, наряду с новой информацией об этом процессе квантовой электродинамики, может играть и негативную роль: если рожденный электрон остается на К-оболочке тяжелого ядра, меняется зарядовое состояние иона и характер его движения в ускорителе, что принципиально ограничивает светимость коллайдеров релятивистских тяжелых ионов [83].
Как и для процессов рождения атомов позитрония фотонами и электро-
нами в кристалле, новый яркий когерентный эффект возникает в образовании е+е~-пары релятивистским ядром при пролете через кристалл, если рожденный электрон будет захвачен на К-оболочку ядра [91,92]. Поскольку мы будем использовать метод виртуальных фотонов (его применимость доказана в работе [89]), ниже кратко рассмотрено сечение образования е+е™ пары реальным фотоном в кулоновском поле ядра с захватом электрона на К-оболочку ядра.
Сечение образования е+е~-пары фотоном с захватом электрона на К-оболочку ядра. Вычисление сечения образования е+е^-пары фотоном на ядре с захватом электрона на одну из атомных оболочек представляет собой самостоятельную довольно сложную задачу и до сих пор обсуждается в литературе [83-86]. Ниже мы выпишем некоторые соотношения, которые будут далее применяться при анализе когерентного эффекта для этого процесса в кристалле. Будем использовать данные работы С.К. Эггера и А. Соренсена [86].
Полное сечение в зависимости от рода приближений при вычислениях имеет различный вид. Так, полученное З^тером в борновском приближении сечение
где Е+ ——энергия позитрона (в единицах тес2),夕 и 任 ——импульсы позитрона и фотона (в единицах тес), Ас ——комптоновская длина волны электрона, Z ——заряд ядра. При высоких энергиях фотонов его называют сечением З^тера:
(7.28)
Эти сечения применимы для &Z《1 и демонстрируют рост 〜Z5 c увеличением заряда ядра Z. Для очень тяжелых ядер при вычислениях сечения следует использовать точные волновые функции электрона и позитрона в кулоновском поле ядра. Как показано многими авторами и наиболее детально исследовано в [86], это уменьшает сечение при небольших энергиях фотонов. Вместе с тем, вблизи порога образования е+е^-пары фотоном на ядре с захватом электрона на К-оболочку сечение с захватом на К-оболочку превышает сечение рождения свободной пары [86].
А.И. Мильштейн и В.М. Страховенко [84] предложили записывать сечение образования е+е~-пары с захватом электрона на К-оболочку в виде
(729)(729)Ок = ^о/ (Z), ко》т.
(729)
(729)
Для /(Z) предложена аппроксимация [85]
Для сечений, дифференциальных по углу вылета позитрона, простых формул, пригодных для быстрого качественного анализа в широком интервале Z и энергий позитрона, к сожалению, не приводится. Подробные численные расчеты С.К. Эггера и А. Соренсена [86] демонстрируют сложную зависимость угловых распределений позитронов от заряда ядра Z: с максимумом вблизи 夕+ о тг/4 для Z = 1 и максимумом при ^+ = 0 для Z = 92* Абсолютная величина сечения 0K на пороге достигает 〜0,42 барн в случае иона U92+.
Рождение е+е~-пары с захватом на К-оболочку ядра происходит и при столкновениях релятивистских ядер с ядрами мишени, с той разницей, что пары рождаются теперь потоком виртуальных фотонов (ВФ), пред™ ставляющих поле атома мишени, в СЦИ релятивистского ядра (см. [83] и цитированную литературу). При этом энергия ВФ w в пренебрежении отдачей ядра переходит в энергию электрона £§ = тес2 — ^к, где £к ——энергия связи электрона на К-оболочке ядра, и энергию позитрона 占十.
Когерентное образование е+е~-пары в кристалле релятивистским ядром. Известно, что каналирование ядер в кристаллах позволяет избежать центральных ядро-ядерных столкновений и выделить электромагнитный канал взаимодействия даже при релятивистских энергиях. Дифференциальное по углу вылета 0+ и энергии е+ позитрона сечение образования &+&—-пары с захватом электрона на К-оболочку релятивистского ядра, движущегося параллельно оси кристалла, может быть получено при помощи метода виртуальных фотонов (ВФ) и в системе центра инерции (СЦИ) ядра имеет вид
(7*31)(7*31)dbciystQ) __ dbph(5 dnN^.y)
(7*31)
(7*31)
公+m+ dQ+
где g = 仄 + £+ —— энергия ВФ; da = 於+ для задачи с захватом электрона на К-оболочку. Здесь driN® 7)/do;——спектр ВФ, действующий на ядро при пролете параллельно оси кристалла, проинтегрированный по разрешенным в задаче прицельным параметрам столкновений (большим радиуса К-оболочки релятивистского ядра), который можно найти согласно процедуре, описанной в книге М.Л. Тер-Микаеляна [1]:
d^N /、 d%oh /、 d^incoh /、
,2 万 2 c2,2 万 2 c2J〃2 ,2 万 2c2J〃2 ,2 万 2c2而(3)=+ k(f)，
,2 万 2 c2
,2 万 2 c2
J〃2 ,2 万 2c2
J〃2 ,2 万 2c2
d%oh /、1』2(G)『/、
^…二号三卜(5- "(зёхР^…二号三卜(5- "(зёхР(7*32)(7*32)証(2 冗尸 s /n3,7)ёхР
^…二号三卜(5- "(зёхР
^…二号三卜(5- "(зёхР
(7*32)
(7*32)
Здесь 7 и /3 ——релятивистский фактор и скорость ядра в лабораторной системе (ЛС), функции 厶(必),"(⑺ определены в [64], й2 ——среднеквадратичные отклонения атомов кристалла от положений равновесия.
В (7.32) In® 7)— интерференционный множитель:
*jxp(B而，(733)
где d —— расстояние между атомами оси. Из (7.33) следует, что /%(公,7) обладает резкими пиками, высотой, пропорциональной N?, и шириной, пропорциональной 1 /N, при выполнении условия
Gd/27/3 = 7rk, к = 1,2,3...(7.34)
Это означает, что в СЦИ иона возможно резкое увеличение вероятности рождения е+ с энергией
£十=—™7/Зк - (тпес^ - £к) , к = ], 2, 3
Нужно отметить, что в СЦИ релятивистского иона значения 必用,дающие вклад в когерентный эффект, ограничены снизу порогом процесса 冇g森 > > (2mec2 — £к), а сверху — резким убыванием ехр [—сЛ卢/寸户吋]и убыванием сечения фотопроцесса daph(w). Поэтому для рассматриваемого случая (аксиальное каналирование) когерентный эффект будет наиболее ярко проявляться, если параметр %5 о)релятивистского ядра 75 < 7 < 71, где 71 = 5)5 = (2тес2 — £к)/^*, g* = 2тгс/а. Например, в случае ядра U92+ (энергия связи электрона на К-оболочке £к 132 кэВ) и ми・ шени (110) W (d = 3,16 • 10^8 см) когерентный эффект может возникать в интервале значений релятивистского фактора 46 < 7 < 227, при этом от 7 зависит, какие к в (7.30) дают вклад в когерентную часть сечения процесса. Значения 7 о 200 в последнее время достигнуты для пучков ядер в ЦЕРН.
В ЛС эти резкие пики в энергетическом спектре образованных позитронов сдвинуты в область высоких энергий преобразованиями Лоренца, причем их положение зависит как от кинетической энергии ядра (релятивистского фактора 7), так и от угла вылета испущенного позитрона. Преобразование дифференциального сечения из СЦИ в ЛС можно выполнить стандартным способом; соответствующие численные расчеты энергетических спектров и угловых распределений (при фиксированной энергии) рожденных позитронов с использованием дифференциального сечения фоторождения для случая, когда позитрон описывается плоской волной, и для пролета ядер РЬ через кристалл алмаза приведены в работах Ю.П. Куна™ шенко и автора [91, 92].
Здесь мы рассмотрим более простую модель, позволяющую наглядно получить энергетический спектр рожденных позитронов в ЛС при фиксированном угле вылета.Чтобы не усложнять изложение, используем изотропное угловое распределение рожденных в СЦИ ядра позитронов:
(735)
где ак ——полное сечение фотопроцесса (7.29), а энергия ВФ w в пренебрежении отдачей ядра переходит в энергию электрона 占与 =mec2 — q<(£к —— энергия связи электрона на К-оболочке ядра) и энергию позитрона £十.
В ЛС под углом = 0 будут регистрироваться позитроны, вылетевшие в СЦИ под углами 毋 =0 и Jg = тг. В соответствии с преобразованиями Лоренца в ЛС эти позитроны будут иметь различные энергии:
7(£*+/*) ,£"2 = 7(£* —(7*36)
где = ho)— (mec2 — £к), Р* = ((&*)2 — 'mec2Y^ ——энергия и импульс образованного позитрона в СЦИ,冇g ——энергия виртуального фотона.
Поскольку в СЦИ мы приняли угловое распределение изотропным (см. (7.35)), в ЛС число позитронов с энергиями £i и 占2 одинаково. Это означа™ ет, что энергетический спектр в ЛС состоит из двух ветвей, ниже и выше энергии позитронов с。= 7тес2, соответствующей в СЦИ рождению позитронов «на пороге». При этом каждому значению к в (7.34), при котором интерференционный множитель /% = №, соответствует два когерентных пика, в левой и правой ветвях относительно £q. Энергетический спектр позитронов, согласно вышесказанному, определяется произведением сечения фоторождения и спектра ВФ и последующим преобразованием Лоренца в ЛС. Благодаря наличию интерференционного множителя в (7*33) этот спектр обладает резкими когерентными пиками при определенных энерги™ ях рожденных позитронов, задаваемых формулами (7.34) при 冇g =冇公森* При N = 1 (7.33) описывает спектр виртуальных фотонов, действующих на релятивистское ядро при столкновении с отдельным атомом. Наиболее наглядно когерентный эффект характеризует отношение выхода под фиксированным углом позитронов данной энергии £ из кристалла и аморфной мишени одинаковой толщины:冗(£十，7)= daN(e^, 7)/[JVdai(s+, 7)]. В СЦИ иона это отношение А* (耳,7) одинаково для углов вылета гюзитро- на J* = 0 и J* = тг и имеет вид
期 2 —2 1人3 °
W{cv, 7) = exp,
где /kJ ——энергия виртуального фотона, рождающего пару в СЦИ иона, 7 ——релятивистский фактор иона. Преобразования в ЛС очевидны: каждому значению 尸(耳),где 瑋 определяется значением w (см. выше), будут соответствовать два одинаковых значения 冗(占+) при энергиях позитрона £十 二 £1,^2. Дальнейший расчет проводился численно. На рис. 7.13 показано поведение функции 冗(占+, 7) для пролета ядра U92+ через (100) W при 7 = 200. Яркие когерентные пики ——следствие периодичности расположения атомов кристаллографической оси, с которыми последовательно сталкивается релятивистское ядро.
Рис. 7.13. Отношение Я(е+), характеризующее особенности энергетического спек™ тра позитронов, испущенных в ЛС под углом 0 = 0 при пролете релятивистского ядра U92+ через кристалл (100) W, с образованием водородоподобного иона U91+ в результате рождения е+е^-пары с захватом на К-оболочку иона; TV = 103,
W = 0,04 • IL см, d = 3,16 * IL см, 7 = 200
Полное сечение когерентного образования е+е~-пары в кристалле релятивистским ядром с захватом рожденного электрона на К™оболочку об™ разовавшегося иона, проинтегрированное по энергиям, а также по углам вылета позитронов, столь яркими когерентными пиками, естественно, не обладает [91].
После рождения е+е~-пары релятивистским ядром с захватом рожден™ ного электрона на К™оболочку ядра образуется водородоподобный тяжелый ион. При дальнейшем движении в мишени образованный водородоподоб™ ный ион может быть ионизован при столкновениях с ядрами и электронами мишени. Эффективную толщину мишени для наблюдения нового когерент™ ного эффекта можно оценить как
£ef = М/Р1 + ^ЕП^'е] 〉
где aj и авп — сечения ионизации водородоподобного релятивистского иона при столкновениях с атомами и электронами мишени (в обратной кк- нематике), р ——плотность атомов мишени, пе ——электронная плотность мишени. Используя формулы [89] для сечения ионизации aj релятивист™ ских водородоподобных ионов при близких и далеких столкновениях с атомами и формулу Лотца [89] для сечения ионизации электронным уда™
ром степ, обе ——в обратной кинематике, для 160 ГэВ/нуклон иона U91+ в (100) W, получаем ст/ + 48 барн и аЕ11 а 2 барн, соответственно, что дает эффективную толщину мишени £ef = 350 мкм. На самом деле, в си™ лу искривления траектории ядра полем оси кристалла, эффективное число атомов, дающих вклад в когерентный эффект, для нашего случая по поряд™ ку величины Mf 心〃吵工 〜103. Как и в случае когерентного образования релятивистских атомов Ps (см. параграфы 7.9 и 7.10), вопрос об эффектив™ ной толщине оказывается более сложным, если учитывать одновременно и рождение пары, и ионизацию образовавшегося водородоподобного иона.
В наших расчетах не были учтены разброс по углам и энергиям в началь™ ном пучке ядер и реальные траектории релятивистских ядер в кристалле, ограничивающие эффективное число атомов, которые дают вклад в коге™ рентный эффект, что должно быть предметом отдельного исследования. Эффективным способом решения этой проблемы, как и в случае когерент™ ного возбуждения ядер и ионов, может быть компьютерное моделирование с использованием суммирования амплитуд рождения пары при столкно™ вении с отдельными атомами вдоль реальной траектории ядра в мишени одновременно с розыгрышем вероятности ионизации образующегося водородоподобного иона.
Заключение
В настоящей главе были изложены принципы подхода к проблеме ана™ лиза спектральных и поляризационных свойств излучения каналированных электронов средних энергий в тонких кристаллах, основанные на прямом моделировании траекторий и вычислении характеристик излучения по известным формулам классической электродинамики на найденной траектории” Этот подход позволяет понять, как происходит формирование наблю™ даемых в экспериментах спектров интенсивности излучения и параметров Стокса в результате усреднения по траекториям в кристалле, и проводить сравнение с экспериментальными данными. Рассмотрены также новые эф™ фекты квантовой электродинамики при взаимодействии фотонов, электро™ нов и тяжелых ионов с кристаллами при высоких энергиях ——когерентное фото™ и электророждение свободных и связанных электрон-позитронных пар, когерентное рождение пары тяжелым релятивистским ионом с захва™ том рожденного электрона на К™оболочку иона.
Мы не рассматривали здесь другие виды излучения релятивистских частиц в кристаллах и в веществе ——тормозное излучение, черепковское излучение, параметрическое рентгеновское излучение, рентгеновское переходное излучение в периодических структурах, излучение и рождение электрон-позитронных пар в непрерывных полях осей и плоскостей при сверхвысоких энергиях (родственные процессам в сильном поле, см. гл. 8). Последние достижения в исследовании этих видов излучения релятивист™ ских электронов достаточно полно отражает ряд недавно опубликованных монографий и обзоров, ссылки на которые даны во введении, и сборники трудов недавних конференций [94—98]*
Что касается излучения тяжелых релятивистских частиц в веществе, этой проблеме пока посвящено сравнительно небольшое количество работ. Прогресс в данной области следует ожидать в ближайшие годы в связи со вводом в строй новых ускорителей тяжелых ионов, способных ускорить ионы и ядра до релятивистских энергий. Отметим в связи с этим две работы: анализ Z? зависимости (Z — заряд иона) интенсивности черен™ ковского, переходного и параметрического рентгеновского излучения многозарядных релятивистских тяжелых ионов [101] и анализ особенностей угловых распределений черепковского излучения релятивистских тяжелых ионов в веществе, обусловленных торможением ионов в веществе [102]. Следует отметить, что излучением фотонов в жестком рентгеновском дна- пазоне заканчивается также другой процесс ——когерентное возбуждение водородоподобных тяжелых релятивистских ионов (или ядер), пролетаю™ щих через кристалл (см., например, [103, 104]). Недавние эксперименты [105] убедительно продемонстрировали существование этого эффекта.
В заключение следует отметить, что работы по излучению релятивист™ ских частиц в веществе и в кристаллах регулярно докладываются на Меж™ дународных Совещаниях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (НИИ ЯФ МГХ Москва — начиная с 1976 г.), на Конферен™ циях по Атомным Столкновениям в Твердых Телах (ICACS — с 1977 г.), а в последнее время 一 на специализированных Международных Симпо™ зиумах «Излучение релятивистских электронов в периодических структу™ рах» (Томск, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001) (см. [94-98]). Кроме того, этой проблеме были посвящены специализированные международные конфе™ ренции и совещания: Всесоюзное Совещании по применению эффектов каналирования в физике высоких энергий (ИФВЭ, Протвино, 1991); Меж™ дународное Совещание «Channeliiig and Other Coherent Crystal Effects at Relativistic Energy» (Aarhus, Denmark, 1995). Данная область ядерной физи™ ки представляет собой очень перспективное направление, особенно в связи с вводом в последнее время в строй ряда новых ускорителей электронов и тяжелых ионов. Есть все основания полагать, что исследования в этой об™ ласти принесут в ближайшие годы новые интересные экспериментальные и теоретические результаты.
ГЛАВА 8
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕИ СВЯЗАННЫЕ С НИМ ПРОЦЕССЫВ СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А.А. Соколов и И.М. Тернов были создателями квантовой теории с ин™ хротронного излучения ——уникального физического явления, широко используемого в различных областях науки и техники. Они предсказали два фундаментальных эффекта: квантовое возбуждение радиальных колебаний электронов в циклических ускорителях (1953 г.) и радиационную поляри™ зацию электронов и позитронов вследствие квантовых флуктуаций синхротронного излучения (1963 г.). Последний эффект в мировой научной литературе получил название эффекта Соколова-Тернова. Продолжая работы А.А. Соколова, И.М. Тернов внес существенный вклад в развитие общей теории квантовых процессов в сильных внешних полях на основе разработанного ими метода точных решений релятивистских волновых уравнений.
В настоящей главе, посвященной памяти А.А. Соколова и И.М. Тернова, дан обзор теории синхротронного излучения и связанных с ним процессов в сильном магнитном поле.
Введение
Исследование квантовых свойств синхротронного излучения оказалось весьма интересным с точки зрения развития квантовой теории макроско™ пического движения. Оно привело к открытию принципиальных, порой неожиданных, эффектов, имеющих фундаментальное теоретическое и прак™ тическое значение [1, 2]. Первоначальные соображения о возможности проявления квантовых эффектов в синхротронном излучении были неоче™ видны, поскольку синхротронное излучение в главных чертах хорошо они- сывалось методами классической электродинамики Максвелла-Лоренца. Действительно, обычный критерий применимости классических методов описания излучения релятивистского заряда заключается в том, что знер- гия испускаемого фотона 石ф должна быть мала по сравнению с энергией электрона. При этом, как указали В.В. Владимирский [3] и Ю. Швингер [4], квантовые эффекты могут проявиться только в том случае, если 石ф = =(Вс/Я)(Е7mс?)' 〜 石(для оценки взята энергия фотона Е^ 〜Bwmax, отвечающая максимуму классической спектральной кривой). Таким обра™ зом, возникает критерий возможности классического описания:
石《石1/2 = mi (分. (8.1)
1 тсНс1 тсНс0 )]0 )]Е Н тс2 НсЕ Н тс2 Нс(8*2)(8*2)
1 тсНс
1 тсНс
0 )]
0 )]
Е Н тс2 Нс
Е Н тс2 Нс
(8*2)
(8*2)
Этот критерий был подтвержден также соображениями инвариантности мощности синхротронного излучения, в силу которых мощность в относи™ тельно слабом магнитном поле Н《& зависит только от инвариантного параметра [5] (см. также [6])
тс Нс
(Мы рассматриваем систему отсчета, в которой импульс вдоль поля pz = О, так что ср丄 亠 Е) Здесь введено швингеровское магнитное поле
瓦= 4,414- 1013 Гс .瓦= 4,414- 1013 Гс .(8*3)(8*3)
瓦= 4,414- 1013 Гс .
瓦= 4,414- 1013 Гс .
(8*3)
(8*3)
Вместе с тем оказалось, что критерий 吊/2 не вскрывает всех особенно™ стей, связанных с дискретными свойствами синхротронного излучения, и прежде всего это касается влияния дискретности излучения на движение частицы. Действительно, поскольку энергия излучаемого фотона 石巾= =(сВ/Я)(Е/ (улс2)) достаточно велика, число таких мощных фотонов, излучаемых за время одного оборота электрона, является конечным и равно
Ngyr о 27r区/с)物7石巾=—(е2/^ {Е/тс"),
причем
Т¥= I (е2с./Я2) (Е/тс2)4
——мощность излучения. Для более наглядной оценки фактора дискретно™ сти излучения можно найти длину пути £, проходимого электроном без испускания фотонов высокой энергии (длина «свободного пробега»):
(8*4)(8*4)г сЕф 3 辰方 Нс п104
(8*4)
(8*4)
L = ———к = 34,9— см.
W 2 е2 тс НН
При обычных значениях напряженности поля для ускорителей и накопи™ тельных колец Н 〜104 Гс имеем L 〜30 см, т.е. в среднем один фотон излучается на пути длиной 30 см.
Дискретность излучения, выступающая здесь как важный фактор, может влиять на траекторию частицы, вызывая ее квантовые флуктуации как следствие эффекта отдачи, испытываемой электроном при испускании им фотона. Для оценки критического значения энергии, при которой начина™ ется воздействие излучения на траекторию частицы, учтем, что
еН7=市еН7=市
еН
7=市
еН
7=市
где〈△区2〉= 〈区2〉一〈区〉2 — квадратичная флуктуация радиуса, s = =0,1, 2,... 一 радиальное квантовое число, характеризующее положение центра (квазиклассической) орбиты электрона. Очевидно, что возбуждение радиальных флуктуаций начнется, если энергия фотона
石巾=^ (鳥)三。5〉1/2 =(合Н2公斤))1/2 =亿班加)1/2,(8.6)
откуда для критического значения энергии получаем
(87)(87)
(87)
(87)
Критерий 石1/5, как условие возбуждения радиальных флуктуации траек™ тории электрона, был впервые указан А.А. Соколовым [7], положившим начало развитию квантовой теории синхротронного излучения.
Таким образом, пределы применимости классической теории синхро™ тронного излучения определяются тремя критериями.
Критерий 石]/2 = me2 (incR/K)1^ ——предел применимости класси™ ческой теории излучения, физически означающий, что энергия излучаемого фотона должна быть меньше энергии электрона:方з《Е
Критерий 石1/5 = тс2 (mcR/h)1^ ——предел применимости уравне™ нии движения с учетом радиационной силы трения. Физически это озна™ чает, что энергия излучаемого фотона должна быть меньше, чем энергия квантового возбуждения радиальных степеней свободы:
方3«(〈△后2)y/2 = ,eнe方s
В противном случае, когда Е 〜^^, сила реакции излучения должна быть модифицирована с учетом дискретности излучения, т.е. эффекта квантовых флуктуаций траектории. Заметим, что критерий ^^ входит в выражение только для вероятности квантовых переходов, а при рассмотрении мощности синхротронного излучения он выпадает (см. (8.18)). Таким образом, критерий 石 1/5 выделяет, по существу, «квазиквантовую» область энергии: классическое описание излучения еще остается справедливым, однако дис™ кретный характер излучения уже начинает проявляться в виде квантовых флуктуации траектории электрона (квантовое «уширение» орбиты [8]).
Особо следует выделить область малых квантовых чисел, когда кван™ тующие свойства магнитного поля начинают проявляться наиболее сильно. В этих условиях динамический параметр
X = (Н/Нс) (р^/тс) = V^(H/Hc)3/2
принимает существенно дискретный ряд значений, и хотя при Н/Нс《 < 1 он остается малым, классическое описание синхротронного излучения оказывается невозможным (анализ критериев применимости классической теории см. [9]).
Развитие квантовой теории синхротронного излучения было проведено А.А. Соколовым и И.М. Терновым с сотрудниками на основе квантово™ го описания состояния электрона в однородном магнитном поле (решение уравнения Дирака) и строгих методов квантовой электродинамики (картина Фарри). Этот метод ——метод «точных решений» [2,10] — не накладывал нк- каких ограничений на величину магнитного поля и допускал возможность рассмотрения задачи в области полей даже больше критического швинге™ ровского значения 冗 心 4 * 1013 Гс. Такой подход и выбор модели (одно™ родное магнитное поле) открыли возможность предсказать и установить ряд принципиально новых физических эффектов: квантовые флуктуации траектории электрона в условиях макроскопического движения (А.А. Соко™ лов, И.М. Тернов, 1953 [8]), эффект радиационной поляризации электронов и позитронов при их движении в накопительных кольцах (А.А. Соколов, И.М. Тернов, 1963 [11]), динамическую природу аномального магнитного момента электрона (И.М. Тернов, В.Г Багров, В.А. Бордовицын, О.Ф. До™ рофеев, 1968 [12]). Вместе с тем метод точных решений дал возможность рассмотреть и экзотическую область значений магнитного поля, особо ин™ тересную в астрофизике, где поля порядка Нс 2^ 4-1013 Гс уверенно наблю™ даются экспериментально. Как показал Н.П. Клепиков в 1954 г. [13], в этих условиях открываются новые каналы реакций: однофотонная аннигиляция и однофотонное рождение электрон-позитронной пары. С целью анализа спиновых эффектов был разработан и применен метод разделения решений уравнения Дирака
访^3 = {с(аР) + р^тс2 + ед} 3 (8.8)
по спиновым состояниям (см. [1, 11]), в соответствии с которым волновая функция электрона подчиняется, наряду с уравнением ЛФ = ЕВ, также дополнительному уравнению =彳3, где S — оператор поляризации, коммутирующий с гамильтонианом. В качестве такого оператора для они- сания продольной поляризации (проекции спина по направлению движения электрона) можно выбрать
丸=臂， (8.9)
где <7 = pi» ——матрицы Дирака, а Р =—分冇▽ — § А ——кинетический им™ пульс. Тогда волновая функция будет удовлетворять, наряду с уравнением Дирака, уравнению Т^ = ^цФ, где “ = ±1 соответствует двум возмож™ ным ориентациям спина по или против направления движения электрона. Для исследования проекции спина на направление магнитного поля целе™ сообразно ввести оператор поляризации
六 cP тс2Р((тР) “ 小 о = Р3СT + p1—03石(石 + ^。2)， (8」°)
который в системе покоя электрона переходит в оператор спина Паули. При этом проекция спина на магнитное поле является интегралом движения (для поля Н = (О, О, Н) — это компонента О?) и волновую функцию следует подчинить уравнению 033=2 ,где Q = ±1 соответствует двум возможным ориентациям спина: по и против внешнего поля Н.
Квантовая теория синхротронногоизлучения в квазиклассическом приближении
С помощью общих методов квантовой теории излучения [2] можно по лучить следующее выражение для мощности синхротронного излучения:
Ж = J £ IdK3 Цк^кп/п)Фг,(8.11)
где скп/п = (Еп Еп!) /В ——частота излучения, п, s, кз)彳 ——квантовые числа, определяющие состояние электрона, г соответствует двум компонен™ там поляризации фотона. Выражения для функций Ф?： (г = а, 2 = тт — две компоненты линейной поляризации) имеют вид
①。 = 1〈01)|2 ,①7r = 1(02)350一〈a3)热16＞『,
а матричные элементы матриц Дирака
〈因〉={n\s\kf3Xf\^i\^^,k3X)
связаны с функциями Лагерра 1ПП/ (ж) и 厶訳(ж):
(；2 J =у ⑺ 干8/九—1产丿⑺]八m⑺ 九人一…е (8
〈&3〉=[。厶— 1 (с) + DInn/ (ж)] Issf (ж) ^k^k3-KCOs0^
в которых Л, В, С, D — спиновые коэффициенты, зависящие от выбора оператора поляризации. Мы не имеем возможности останавливаться здесь на расчетах более детально (см. [2]) и перейдем к выводам.
Квантовые эффекты в мощности синхротронного излучения. Мощность излучения W является, как уже отмечалось выше, релятивист™ ским инвариантом. В случае постоянного однородного магнитного поля она ——функция двух независимых инвариантных параметров [5, 6]:
(8.13)(8.13)次=W»/),
(8.13)
(8.13)
где х ——динамический параметр (8.2), а второй параметр чисто полевой:
1F 21F 21/2 Н=瓦1/2 Н=瓦(8Л4)(8Л4)
1F 2
1F 2
1/2 Н
=瓦
1/2 Н
=瓦
(8Л4)
(8Л4)
В лабораторных условиях напряженности магнитных полей малы по сравнению с Нс (8.3), т.е. /《1; например, в ускорителях и накопителях Н 〜 104 Гс. В случае сравнительно слабого поля Н<^НС и релятивистского поперечного импульса рх》^с движение электрона квазиклассично (п》 》1), причем /《х, так что мощность излучения (8.13) приближенно оказывается функцией единственного параметра %:
Выберем систему отсчета, в которой продольный импульс электрона в начальном состоянии pz = 0. Основной вклад в полную мощность кзлу- чения релятивистского электрона (р丄》тс) вносят переходы электрона в состояния с большими поперечными импульсами (см. (8.20)):
/ 、 h
р丄 > тс —》тс
в силу неравенства Н/Нс《1, т.е. конечные состояния также оказываются квазиклассическими: п1》1. Поэтому сумму по п1 в общей формуле для мощности синхротронного излучения (8.11) можно заменить интегралом:
п?
^2 {у = п
п，о
а для функций Лагерра в (8.12) использовать квазиклассическую аппрокси™ мацию через функции Макдональда [2, 14, 15]:
гдегде(8」5)(8」5)
где
где
(8」5)
(8」5)
Введя вместо пг непрерывную спектральную переменную у согласно вы™ ражению
и про суммировав далее по состояниям поляризации электрона и фотона, получим мощность синхротронного излучения в квазиклассическом при™ ближении:
ОО/ ОО\
次亭I⑺蒞+ K&/3®) . (8」7)
0\y/
ЗдесьЗдесь1尸1尸
Здесь
Здесь
1尸
1尸
——классическая мощность излучения.
При выводе этой формулы очень важным является обращение в единицу суммы по радиальному квантовому числу Г [14]:
(8.18)(8.18)e以⑺=1 , s'=0
(8.18)
(8.18)
в силу чего критерий 石1/5 из выражения для мощности излучения выпадает.
Таким образом, мощность излучения зависит только от одного инвари™ антного параметра %, как и должно быть в квазиклассическом случае.
Подчеркнем, что формула (8.17) равномерно описывает весь спектр синхротронного излучения: вклад переходов в слабовозбужденные состоя™ ния с нерелятивистскими поперечными импульсами р]，тс оказывается малым. Действительно, основной вклад в интеграл (8.17) вносит область g Е 1, так как при g》1 функции Макдональда экспоненциально убывают:
m叭一3^「"(8/9)
Учитывая (8.16), получаем, что даже при х》1 существенная область спек™ тра синхротронного излучения формируется переходами электрона в состояния с поперечными импульсами
Р± 三 0丄/X = шс(Нс/Н) .(8.20)
Следовательно, при Н <^НС конечные состояния также эффективно квази™ классические:
что и обеспечивает самосогласованность метода расчета (см. также п. 8.3.3). При х W 1 интегрирование по спектру в (8.17) дает квантовые поправки к классической мощности синхротронного излучения:
Ж =1 (1 —胃х + 48f《丄 (8.21)
Первая поправка по х была впервые найдена Соколовым, Клепиковым и Терновым [16] и позже для бесспинового электрона подтверждена Швин™ гером [17]; полный ряд по степеням х получен в [2].
Интересно заметить, что квантовые поправки в настоящее время нашли экспериментальное подтверждение. Если в выражении (8.17) сохранить
члены, зависящие от начальной ориентации спина, то мы получим [2]
К = /出 dyyоК = /出 dyyо]&/3（2）壶一 代以2/3匂））•]&/3（2）壶一 代以2/3匂））•(8.22)(8.22)
К = /出 dyyо
К = /出 dyyо
]&/3（2）壶一 代以2/3匂））•
]&/3（2）壶一 代以2/3匂））•
(8.22)
(8.22)
Здесь сохранены только линейные по £ члены. В 1977 г. в ИЯ① СО АН был предложен метод измерения спиновой зависимости синхротронного излучения [18]. Как это следует из (8.22), добавочная мощность синхротронного излучения, связанная с ориентацией спина по отношению к направлению магнитного поля (，丄 = Q, имеет вид
dWcdydWcdy△ — © & №/з (g)УjK5/3(宽)d宽△ — © & №/з (g)УjK5/3(宽)d宽(8*23)(8*23)
dWcdy
dWcdy
△ — © & №/з (g)
УjK5/3(宽)d宽
△ — © & №/з (g)
УjK5/3(宽)d宽
(8*23)
(8*23)
Наиболее благоприятная возможность для наблюдения открывается в коро
тковолновой области спектра у》1тковолновой области спектра у》1поскольку у — упоскольку у — уcl —cl —|^ (тс2/Е)3|^ (тс2/Е)3
тковолновой области спектра у》1
тковолновой области спектра у》1
поскольку у — у
поскольку у — у
cl —
cl —
|^ (тс2/Е)3
|^ (тс2/Е)3
Тогда5 учитывая асимптотику (8」9)夕 нетрудно получить^ что
△ = KI &,€ =尹△ = KI &,€ =尹з 方2 mcRз 方2 mcR
△ = KI &,€ =尹
△ = KI &,€ =尹
з 方
2 mcR
з 方
2 mcR
При наблюдении излучения пучка электронов \(\ в этом выражении характеризует среднюю поляризацию пучка, которую он приобретает в процессе излучения (К| < 1). Поэтому, наблюдая мощность синхротронного излучения на фиксированной частоте спектра, можно определить поляризационные характеристики пучка. Особенно благоприятно проведение эксперимента в накопительном кольце, поскольку радиационные потери энергии электрона компенсируются в кольце внешними источниками высокочастотного поля. При этом энергия частицы в среднем остается постоянной величиной.
Итак, существование квантовых поправок к мощности синхротронного излучения (см. (8.22)) можно считать экспериментально установленным фактом, а сам метод их наблюдения является одним из интересных способов определения поляризации пучков электронов и позитронов высокой энергии.
Макроскопические квантовые флуктуации траектории электрона. В случае, когда энергия излучаемого фотона оказывается достаточной для возбуждения радиальных степеней свободы электрона:
斗三(0七)2)1/2=/(斤)一(用2)1/2 ,
то есть Е > Е]/5 , начинаются радиальные переходы s 7 s', и классическая теория движения частицы становится неприменимой, поскольку она
не может объяснить флуктуационный характер реакции излучения. Возвращаясь к формуле для мощности синхротронного излучения (8.17), разделим подынтегральное выражение на энергию фотона 方з и получим вероятность квантовых переходов [2]:
dwsfs ，5 е2 Е 1
dy 27r HR тс2 (1 十 gg『
x (； K5/3 (ж) dx + ；+"《y K2/3(У))■(8.24)
Здесь мы восстановили радиальный множитель /宾，(力),который при сум™ жировании по sf обращался в единицу и не вносил вклад в мощность синхротронного излучения. Радиальный фактор /*, отражает стохастический характер возбуждения радиальных степеней свободы электрона. Это ста™ новится особенно наглядным в предположении, что в начальном состоянии центр орбиты вращения электрона совпадает с началом координат (s = 0). Тогда получаем обычное распределение Пуассона:
或!或!(1 + Ы2(1 + Ы2
或!
或!
(1 + Ы2
(1 + Ы2
В приближении классической теории (В 一 0) аргумент ж в этой формуле также обращается в нуль, поэтому
Другими словами, радиальное число s в классической теории не подверга™ ется изменению. Если орбита в начальный момент времени была круговой, то она такой останется и в последующие моменты времени. Поэтому излу™ чение с точки зрения классической теории будет иметь следствием только сокращение радиуса орбиты, которое в ускорителях и накопителях ком™ пенсируется за счет внешнего высокочастотного электрического поля, а флуктуации радиуса орбиты не возникают:
S = — (〈5〉—宙〉2) = Const .
Методами квантовой теории задача об изменении квадратичной флуктуации радиуса орбиты была впервые решена А.А. Соколовым и И.М. Терновым [8] на основе метода точных решений уравнения Дирака: они предсказали эффект квантового «уширения» траектории .
С помощью формулы (8.24) нетрудно найти, что изменение радиального квантового числа s имеет вид
о s，
Отсюда, учитывая, что
£ (『 一 5)冗⑺=
в случае квазиклассического движения, когда £《1, получим [8]
или, используя связь Е = eHR,
(△筋)=(826) 48 ^/3 wc2 mcR у me2 у'
Таким образом, при постоянной средней энергии электрона стохастический процесс излучения приводит к характерной для броуновского движения формуле, отражающей воздействие на частицу случайных сил:〈胃》=2。力 где D ——коэффициент диффузии. Здесь следует заметить, что данный эф™ фект подобен влиянию на электрон вакуумного электромагнитного поля. Вакуумные колебания поля, как это особенно ясно подчеркнули Н.Н. Boro- любов и С.В. Тябликов [19], индуцируют у электрона некоторую размазан™ ность, или эффективный радиус. При этом электрон совершает броуновское движение с определенным средним квадратом смещения. Изменение квад™ ратичной флуктуации радиуса можно рассматривать как макроскопическое проявление квантовых флуктуаций излучения ——следствие дискретного характера испускания фотонов и эффекта отдачи, испытываемой электроном. Электроны движутся в радиальном направлении по квантовым законам, в то время как движение по окружности остается в среднем классическим («макроатом» [2]).
Ситуация изменяется, однако, в том случае, если радиационные потери энергии электроном не компенсируются. Это реализуется, например, в астрофизических условиях и, в частности, в магнитосфере пульсаров. В этом случае интересно подчеркнуть, что в силу двух процессов ——ради™ ационного сокращения радиуса орбиты электрона и роста квадратичной флуктуации 一 устанавливается некоторое равновесие. Поскольку
〈僧=肃(几 + 5 + 1/2),
тото++ds dtds dt(8.27)(8.27)
то
то
+
+
ds dt
ds dt
(8.27)
(8.27)
где ds/dt определено формулой (8.25), а изменение главного квантового числа п связано с изменением энергии:
dn — Нс EW d 力Н (me2)2dn — Нс EW d 力Н (me2)2—2 е2с=3 >—2 е2с=3 >
dn — Нс EW d 力Н (me2)2
dn — Нс EW d 力Н (me2)2
—2 е2с
=3 >
—2 е2с
=3 >
Тогда из (8.27) следует, что d^B2)/d力=0 при условии минимального значения радиуса
(鳥)•
Аналогичный эффект возникает в случае движения электронов в фоку™ сирующем поле накопительного кольца [1, 2]: классическое радиационное затухание колебаний электронов около равновесной орбиты компенсируй ется их квантовым возбуждением, в результате чего амплитуда колебаний достигает некоторого стационарного значения. Надо сказать, что эффект квантового возбуждения радиальных колебаний имеет существенное значение для инженерной практики в конструкции накопительных колец, опре™ деляя условие фокусировки пучков. Квантовые флуктуации наблюдались в США (М* Сэндс [20]) и в СССР (①.А« Королев [21]) в полном согласии с предсказанием теории (более подробно см. [1, 14]). Был подтвержден также и критерий начала их возбуждения ^/5 .
Радиационная самополяризация электронов и позитронов. Эффект радиационной поляризации электронов и позитронов заключается в направленном процессе ориентации спинов частиц под влиянием синхротронного излучения при их длительной циркуляции в накопительных кольцах. Этот эффект был предсказан И.М. Терновым [22] и строго установлен им на основе точных решений уравнения Дирака, разделенных по состояниям поляризации, совместно с А.А. Соколовым [11, 23]. Расчет вероятности квантовых переходов в единицу времени (при g《1) [1, 2], сопровождающихся переворотом спина (спин-флип переходы), приводит к характерной зависимости вероятности от начальной ориентации спина， по отношению к направлению магнитного поля:
小2X
dQdy 327r HR
X [cos 20 К ；/3 (2) + (\/^^2/3 (2) + CV^Kl/3(2))]) (8*28)
где
g ]—俨 sin 24 go = 1 —俨，2 = ^ У (^/^0)3/2 , g = |》^/\ G = ^0.
Явная зависимость от ориентации спина остается и в интегральной веро™ ятности (см. [2, И]):
(8.29)(8.29)
(8.29)
(8.29)
где время поляризации имеет вид
8^Д 方2fm(?V /Ис\3 — 157^ 方(E W 1
15 mce2 ( E 丿 丿 16 mcR у me2 J E
Отсюда ясно, что вследствие излучения электроны будут проявлять тенденцию перехода в состояния с ориентацией спина против магнитного по ля [11]. Для позитронов ориентация спина будет противоположной. Эти спиновые состояния соответствуют минимальному значению потенциаль™ ной энергии частиц, обладающих магнитным моментом 从=С (вВ/ (2тс)) (заряд электрона в = ^во < 0), в магнитном поле
U = *
Здесь мы не будем подробно останавливаться на кинетике процесса поляризации (см. [11, 23, 24]) и, обращаясь к ансамблю электронов, будем характеризовать поляризацию пучка частиц средним значением ,(力)=(0, имея в виду, что взаимодействие электронов с электромагнитным полем приводит к переходу частиц в смешанное состояние. Тогда находим
откуда следует закон эволюции поляризации пучка:
c ⑴=-胃(1 - exp (-"丁)),c ⑴=-胃(1 - exp (-"丁)),(8.30)(8.30)
c ⑴=-胃(1 - exp (-"丁)),
c ⑴=-胃(1 - exp (-"丁)),
(8.30)
(8.30)
причем предельная степень поляризации, достигаемая при 力》丁, равна
Р(схэ) = 8^3/15 = 0,924"
Оценка времени поляризации г показывает, что при типичных для ускорителей значениях напряженности магнитного поля (Н 〜104 Гс) эффект поляризации оказывается доступным для наблюдения лишь при длительной циркуляции частиц в магнитном поле (порядка 1 часа). Такая возможность реализуется в накопительных кольцах. Несмотря на то, что в реальных условиях накопительного кольца встречаются деполяризующие пучок ча™ стиц явления, эффект радиационной поляризации там существует и являет™ ся уникальной основой для создания пучков поляризованных электронов и позитронов высокой энергии. Эффект наблюдался в СССР, Франции, ФРГ, США, Японии в хорошем согласии с теорией Соколова-Тернова. Более подробно эти вопросы освещены в обзоре [25].
Синхротронное излучение в ультраквантовом случае. Рассмотрим теперь предельный ультраквантовый случай, когда динамический инвариантный параметр (8.2) х》L Эта область представляет большой ин™ терес в связи с астрофизическими проблемами, связанными с излучением электронов высокой энергии в сильном магнитном поле (например, в маг™ нитосфере пульсаров).
Вернемся к выражению (8.17) для мощности синхротронного излуче™ ния. В случае g = Зх/2》1 свойства излучения существенно отличают™ ся от обычных свойств синхротронного излучения при g « L Действительно, найдем выражение для lFuq = IF (g》1)” Заметим, что функции у J K5^3(x)dx и 沙？1<2/3(У)достигают максимума при у 〜 1, после чего У
они экспоненциально убывают. В ультраквантовом случае благодаря мно™ жителю (1 + &)—з спектр обрезается при у 〜1/£《1. Тогда для функций Макдональда можно воспользоваться асимптотической формулой
K*®)a2"t(4)/gJ g《l,(831)
и, проведя интегрирование в выражении (8.17) с помощью интеграла
dyyPT U + 3尸оdyyPT U + 3尸о1「(р)「(。— р)е По)1「(р)「(。— р)е По)(8*32)(8*32)
dyyPT U + 3尸
о
dyyPT U + 3尸
о
1「(р)「(。— р)
е По)
1「(р)「(。— р)
е По)
(8*32)
(8*32)
найти [2, 14]
= у г (!) (ЗхГ4/3 wcl =
字(Зх『/з = 0, 371 彳(cehHEf^ * (833)
Таким образом, в ультраквантовом случае (х》1) мощность излучения сильно подавлена (〜'/*), причем не зависит от массы частицы. В отли™ чие от квазиклассического случая (х «1), когда квантовые эффекты давали лишь небольшие поправки к классическим формулам (см. (8.21)), в полу™ ченной формуле (8.33) квантовым является уже основной член, и переход к классическому приближению здесь невозможен.
С целью более наглядной интерпретации полученного результата рассмотрим особенности спектра излучения. С помощью (8.1), (8.2) и (8.16) нетрудно получить оценку частоты, соответствующей максимуму спектра синхротронного излучения:
(834)(834)_ Е ^t/maxС —3/2/? 广1
(834)
(834)
"max = I ……~元%( + '"^°
так как jmax 〜1. Отсюда следуют два предельных случая:
Таким образом, в ультраквантовом случае спектр излучения обрывается на частоте, намного меньшей, чем характерная классическая частота синхро™ тронного излучения (см. [2]):
〜蜀ах/Х《蜀ах •
Другими словами, электрон не может излучать энергию большую, чем его собственная энергия Е.
Рис. 8.1. Спектральное распределение классической мощности синхротронного излучения
На рис. 8.1 изображен график нормированного спектрального распределения /(у) мощности синхротронного излучения в классическом приближении:
W/ (у) dy , f(y)=粵 у <5/3 ⑺ dx *
оу
Характерные особенности этой кривой определяются ее асимптотиче™ ским поведением:
22/3门2/3”е
ПосколькуПоскольку「2产з尸j/з[(1+⑶)3(1 + 3)4「2产з尸j/з[(1+⑶)3(1 + 3)4
Поскольку
Поскольку
「2产з尸j/з
[(1+⑶)3(1 + 3)4
「2产з尸j/з
[(1+⑶)3(1 + 3)4
(это следует из формулы (8.17) при у《 1), то можно усмотреть близость кривых /KQlg) и /(у) в области малых значений у. Найдем для сравнения энергию излучения по классической теории в конечном спектральном интервале 0 <у < ^шах, где граничное значение
歹max = I (R/c) (Е/方，)£》2
отвечает частоте 必隐乂 =石/冇(см. заштрихованную область на рис. 8.1). Тогда мы получим
lyscllyscl空 22/3Г f87r уЗ у空 22/3Г f87r уЗ уоо犷/3知=『犷/3知=『
lyscl
lyscl
空 22/3Г f
87r уЗ у
空 22/3Г f
87r уЗ у
о
о
犷/3知=『
犷/3知=『
Если сравнить это с точной формулой (8.33), то отличие оказывается незна™ чительным:
Wscl 3 • 37/6 • 31/3 • З3
Таким образом, в рассматриваемой модели уменьшение мощности синхро™ тронного излучения в ультраквантовом случае получает вполне наглядное истолкование.
Итак, спектр излучения и его мощность резко отличаются от обычного синхротронного излучения.
Рассмотрим теперь угловое распределение мощности и сравним его с соответствующими характеристиками классического синхротронного из™ лучения, как известно [2], обладающего «прожекторным эффектом»: излу™ чение направлено вперед по движению электрона и сосредоточено в узком конусе с углом раствора △£ 〜тс2/Е. Однако в существенно квантовой об™ ласти, когда параметр х 三 1, положение резко изменяется. Действительно, вернемся к формуле (8.17) для мощности излучения и восстановим в ней интегрирование по углу 0. Тогда для спектрально-углового распределения мощности излучения получим
++
+
+
о0
+(£ COS %2 + ££0)K；/3 (力)卜 (8.36)
Здесь ж 二(g/2) (e/q))3/2 , s = 1 —俨 sjn2 仇 % = \ —俨=(тс2/Е)2. Далее перейдем от g и £ к новым переменным интегрирования 力 и @ = =£о~1/2(7г/2 — £)* Для малых .у€о #7 имеем € = е0 (1 + #?2), cos2 0 = £0#?2- Тогда интегралы примут вид
Ji = 8cn dxx21 Т乏f…x
JJ L (i + ^2)3/2J
0—oo
(8.37)(8.37)^2/3 (Ж)少％:/3 (优)
(8.37)
(8.37)
X 一(1 + 疔)5/2 十(1+*了/2
丿2 二 16g2^ dxx4 I d@0—oo丿2 二 16g2^ dxx4 I d@0—oo12g优-^-2/3 (ж) + К；/з (优)
丿2 二 16g2^ dxx4 I d@0—oo
丿2 二 16g2^ dxx4 I d@0—oo
.(1 + ^2)3/2] (1 + ^2)11/2
Здесь пределы интегрирования по 认 равные ±(тг/2)г0 1//2, растянуты до бесконечности ввиду Sq1^2 = Е/тс2》1 и быстрого убывания подынтегральных функций при больших 认 К сожалению, точное интегрирование по спектру провести сложно. Для качественного анализа углового распределения мощности излучения оценим интегралы по ж, учитывая, что подын™ тегральные функции в (8.37) имеют максимум при 力〜1, так как функции Макдональда К〃з и К2/3 при 胃》1 экспоненциально убывают. Поэтому можно в знаменателях положить ж = 1 и свести полученные интегралы по х к табличным:
岂浊—^К： (ж) dx = о
В результате находим
СЮ
2£
W = J 认(838)
где
ф（@）=ф（@）=(7 + 12* (1 + @2) +35£2уГ^^[(1 + @2)з/2 + 2「｝
ф（@）=
ф（@）=
[(1 + ^2)3/2 + 2е]3
В классическом приближении, когда £ 一 0, отсюда следует известная в теории синхротронного излучения формула углового распределения мощности [2]:
Она выражает прожекторный эффект: все излучение сосредоточено в области I ф I W 1, т.е. в узком конусе с осью вдоль вектора скорости частицы:
k/2 - 6>| = ■y^lVd S т(?/Е《1.
Однако в квантовом случае острота пика излучения сильно сглаживается, а при ^ > 1 острая направленность излучения вообще исчезает (рис. 8.2). Таким образом, в ультраквантовом случае зависимость от угла излучения 0 становится слабо выраженной.
Рис. 8.2. Прожекторный эффект в синхротронном излучении и его ослабление в квантовом случае
Рассмотрим далее поляризационные свойства излучения и сравним их со случаем квазиклассического движения электрона, когда синхротронное излучение обладает ярко выраженной линейной поляризацией. Как известно (см. [2, 26]), (7/8) Wcl составляет так называемую а-компоненту излу™ чения, характерную тем, что электрический вектор поля излучения лежит в плоскости орбиты вращения частицы и направлен по радиусу к центру орбиты; (1/8) Wcl соответствует тг-компоненте, электрический вектор при этом направлен почти по направлению внешнего магнитного поля.
Обратимся далее к формуле спектрально-углового распределения мощ™
ности излучения (8.36), которая после интегрирования по углу с учетом компонент линейной поляризации [2], принимает вид
Ж = 0尸 dy /л (и) , А = а,тг;
О
办句)= *^f]及5/3⑺厶土
У
± К2/3 ®) + ；+七衣2/3(У)} , (8.39)
где верхний (нижний) знак относится к а (тг) -компоненте.
В пределе g т 0 получаем отсюда известный классический результат:
Wb =；阴不\ И4 = ； и/с1.(840)
Рассмотрим теперь ультраквантовый случай, когда g》L Используя асимптотику функций Макдональда (8.31), из (8.39) находим
1 9V3 Г (2/3) fб]
о
После интегрирования с помощью (8.32) получим [27]
41
WCq = ^W/uq, WCq = ^W/uq,(8.41)
где W^uq дано в (8.33). Таким образом, согласно уравнению (8.41), преимущественная поляризация излучения сохраняется, хотя различие в мощности излучения а- и тг-компонент значительно сглаживается: Wa/W^ о 5/3 вместо 7/1.
Весьма интересен случай круговой поляризации излучения. При этом можно получить [27], что
W^=g『Q(l + ^〃B，(8.42)
где £ = ±1 соответствует круговой поляризации (спиральности) фотонов, а《=±1 ——продольной поляризации электрона: электроны с продольной ориентацией спина излучают фотоны преимущественно с той же круговой поляризацией. Для неполяризованных электронов круговая поляризация отсутствует.
Синхротронное излучение в сверхсильноммагнитном поле
Как уже было отмечено выше, в последние десятилетия развитие астрофизики привело к необходимости обобщить квантовую теорию синхротронного излучения на область сверхсильных магнитных полей Н > Нс. Вместе с тем было обнаружено, что вблизи поверхности пульсаров, которые являются нейтронными звездами, имеются магнитные поля Н 〜 〜1012 4- 1014 Гс, и одним из основных механизмов излучения пульсаров является синхротронный механизм (см., например, [28]). В сверхсильных полях Н > 瓦，в отличие от случая Н « 及,радиационные переходы релятивистского электрона на низколежащие уровни Ландау оказываются весьма существенными, что было впервые показано в работе [29]. Такие переходы служат источником жестких гамма-квантов и могут рассматриваться как основа одного из возможных механизмов наблюдаемых с 1962 г. космических гамма-всплесков, природа которых до сих пор окончательно не выяснена (см. также обзор [30]).
В работе [31] было рассмотрено магнитокулоновское излучение, обусловленное возбуждением электронов на высокие уровни Ландау при кулоновском рассеянии в замагниченной плазме и последующими радиационными переходами на основной уровень, и показана эффективность этого механизма для генерации жестких гамма-квантов в условиях космических объектов, обладающих сильными магнитными полями (например, пульсаров). В работе [32] показано, что наблюдаемые спектры гамма-всплесков могут быть объяснены синхротронным излучением электронов, возбуждаемых фотонами высокой энергии в холодной магнитосфере сильно замагниченной нейтронной звезды, под поверхностью которой произошел термоядерный взрыв. Нейтронные звезды как источники гамма-всплесков рассматривались во многих работах (см., например, [33]), но следует отметить, что был предложен также ряд альтернативных моделей этих всплесков [30]. Из недавних укажем работу [34], где подчеркнута общепринятая точка зрения, что гамма-всплески генерируется синхротронным излучением релятивистски расширяющихся файрболов, образующихся в различных астрофизических процессах (коллапс или слияние компактных звезд, взрыв гиперновой и др.). Авторы [34] развивают свою модель гамма-всплесков, образующихся струями компактных сгустков вещества («пушечных ядер»), которые испускаются при взрыве сверхновых, причем синхротронное излучение служит одним из эффективных механизмов последующего охлаждения этих сгустков.
Радиационные переходы релятивистских электронов на низколежащие уровни. Исследуем спектр синхротронного излучения в магнитном поле произвольной напряженности, уделив особое внимание случаю сверхсильных полей Н > Йс [35].
Используя известный спектр энергии электрона в постоянном магнитном поле [2], получаем следующее выражение для энергии фотона, излу-
ченного при переходе электрона из состояния \npz) в состояние \nfpfz}:
Е
冇以 = hujn>n = Е — Е‘ = —5(1 — /3, cos 0) х
sin J "
(8.43)
Здесь 0 — угол между импульсом фотона Кк и вектором Н, vz = c(3z = 二 cpz/Е ——продольная (вдоль Н) скорость электрона, р± 二 тс (几/а) ^'^ —— поперечный импульс, параметр
(844)(844)Яс
(844)
(844)
2Я '
Вероятность радиационного перехода wn/n выражается через функции Лагерра(см. (8.11), (8.12)):
(8.45)(8.45)
(8.45)
(8.45)
где 厶；厂九(ж)——полином Лагерра [36] от инвариантного (относительно лоренцевых сдвигов вдоль оси Oz) аргумента
(8.46)(8.46)
(8.46)
(8.46)
с = 1 — /3^ sin 2。0, Oq ——угол излучения фотона в системе отсчета, в которой начальный продольный импульс электронаpz = 0. Связь углов 0° и 0 имеет ВИД [2]
sin= -г—笈'白 Sin 仇 cos & = ~— Б ,
1 — pz cos 01 pz cos J
где введена инвариантная скорость
管0 = с/Зо = С/З丄(1 —走)1/2 ,(8.47)
с/3丄 二。丄=cp^/E ——поперечная скорость. Используя (8.47), определим поперечную энергию:
石丄=0簡2c4 + g2?：)1/2 =?簡产(]—瓏)卩"*(8.48)
Заметим, что для астрофизических приложений особый интерес представляет случай, когда релятивистские электроны движутся под малыми углами
к направлению поля Н (питч-углами) [37,38]. При релятивистском поперечном импульсе (夕丄/тс》1) безразмерная инвариантная скорость До + 1, и величина е в (8.46) мала:
Малость же питч-угла (p±/pz « 1) означает, что поперечная скорость —— нерелятивистская: /3丄 « 1, хотя поперечная энергия (8.48) велика: Е± = ср丄》тле?. Излучение в этом случае сосредоточено в узком интервале углов ширины
△ 0 〜(1 —叫 1/2
с центром, отвечающим питч-углу
то есть (рис. 8.3)
Рис. 8.3. Схема углового распределения синхротронного излучения релятивистско™ го электрона в случае малого питч-угла
Рассмотрим переход из состояния с главным квантовым числом 7?》1 в состояние с nf « п. Энергия испущенного при этом фотона согласно (8.43) и (8.49) равна
Г / 八]
/zw = Е 1 —+ — )+ cos & + О (с) ,(8.50)
а аргумент функций Лагерра (8.45)
X п 2[п (п‘ + 几 £)]1/2 .X п 2[п (п‘ + 几 £)]1/2 .(8.51)(8.51)
X п 2[п (п‘ + 几 £)]1/2 .
X п 2[п (п‘ + 几 £)]1/2 .
(8.51)
(8.51)
В рассматриваемом случае (п ^ 1,几'« п) для функций Лагерра справедлива (с точностью О (几「I/?) ) следующая асимптотика [29, 35]:
Inn' (^) t 卜！(2?m)i/〔 / Dn；(t) .(8*52)
Здесь
刀九，⑴=2一疗/2 exp (一产/4)Hnf ("V^)(8*53)
является функцией параболического цилиндра, аргумент которой (см. (8.51))
=2…+•
Подчеркнем, что асимптотика (8.52) значительно отличается от квазиклас- сической асимптотики через функцию Макдональда Ki/з (8.15), полученной при п 〜л/》1 [2].
Используя (8.52), находим дифференциальную вероятность синхротронного излучения в виде [35]
dw„ / „ас Е彳t 「/、
dpfz2 方 EEf
F ⑴=[当?'!(2тш)1/[ { [1 + ]1 + л//а) —В]义
х ⑴一(用一I ^刀:，⑴}(8.54)
где q 二 巒/呢 ——постоянная тонкой структуры. Здесь квантовое число С = ±1 задает ориентацию спина электрона в конечном состоянии вдоль (0 = +1) или против (U = —1) направления магнитного поля Н, причем вероятность (8.54) в рассматриваемом случае (几》1, nf « 几)оказывается не зависящей от начальной ориентации спина《”
Следует отметить, что формула (8.54) применима, в частности, и для переходов на низколежащие уровни nf = 0, 1, 2,...(〜 1，В сверхсильном магнитном поле Н Нс (а 1) в конечном состоянии с л/ 〜1 поперечный импульс оказывается слаборелятивистским: р[ = тс (nf/а)1^2 〜тс. При малом питч-угле в начальном состоянии (pz》夕丄》тле) конечный продольный импульс остается релятивистским (р：》тс), поскольку в силу (8.49) и (8.50)
Егтс2Егтс2Е Е /1/2 Е
Егтс2
Егтс2
(8.55)(8.55)7正〜"一施)/ =ж>b
(8.55)
(8.55)
Полную вероятность переходов в состояния с фиксированным п! нахо-
дим, проинтегрировав (8.54) по pfz (с релятивистской точностью в бесконечных пределах):
「/ dwnnf me2 (1/2
X dt *产 _ g) T/2 F ⑴=(1 _ 吟1/2 "禺，(8*56)
где g = 4 (几'+ а). Здесь w^ ——вероятность в системе отсчета, в которой pz = 0. Она связана с wn/n преобразованием Лоренца, как и должно быть.
Интегрирование по f в (8.56) выполняется с помощью соотношения
dtt (产—g) 1/2⑴=(―1 广几'！dxln>nl (ж),(8*57)
где согласно (8.45)
I-n'n (^) = е / Ln‘ (z).
Из (8.56) и (8*57) получаем вероятность перехода (п》1) 一 (nf « 1):
wn'n =■(%)…伍)—：[i + С(х + n7a)"1/2]义
oo、
义]dx \Inrn! (z) + In/ — i, nr — i (第)]> * (8.58)
В частности, вероятность перехода в основное состояние (nf = 0, ^ = =—1) имеет вид
(8.59)(8.59)a (тс2)2 Я (Нс次几= 5^^瓦工p(一互
(8.59)
(8.59)
Этот результат был также получен (при pz = 0) численными методами в работе [39]. Заметим, что в основном состоянии поперечный импульс р] = 0, но продольный импульс в силу (8.55) может быть велик: pfz》тс.
Переходы на высоколежащие уровни. Рассмотрим радиационные переходы на уровни л/, лежащие гораздо выше основного, но по- прежнему значительно ниже начального уровня 几：
В этом случае, предполагая, что
nf/а = (р^/тс)2》1 ,
для функций Лагерра в (8.58) получаем асимптотическую формулу [35]
44V ⑷ О 1)" (2川厂1/3 开Т/2m⑶，(8"60)
где8
m (z) = » —dt cos(2f + f3/3)(8.61)
о
——функция Эйри от аргумента
z = (2а — 1)(2〃)т/з.(8.62)
Подставив (8.60) в (8.58), после суммирования по спиновому числу《' получим вероятность радиационного перехода 几一 л/ в виде
i^g ⑵门 73,(863)
где 巾‘⑶=dm ⑶ /dz *
В случае, когда п!》|а — 1/2|3, аргумент 2 -С 1, и можно положить
З1/6/ 2、
&(2) f &(0)=一中.(864)
В результате (8.63) упрощается:
тс2тс2w*w*7/37/3(865)(865)
тс2
тс2
w*
w*
7/3
7/3
(865)
(865)
Следовательно, в области больших п! вероятность убывает по степенному закону: wn/n 〜(几')一2/3,工е* довольно слабо. Подчеркнем, что формула (8.65) справедлива при п! « п. При 1 <^nf ^ п она заменяется известной квазиклассической формулой [2, 35]:
dy _ 2打 方，（丿 Яedy _ 2打 方，（丿 ЯeXX(1 + 〃厂2义"oo厶及5/3⑺+上-У(1 + 〃厂2义"oo厶及5/3⑺+上-УК2/3® , (&66)К2/3® , (&66)
dy _ 2打 方，（丿 Яe
dy _ 2打 方，（丿 Яe
X
X
(1 + 〃厂2义
"oo
厶及5/3⑺+上
-У
(1 + 〃厂2义
"oo
厶及5/3⑺+上
-У
К2/3® , (&66)
К2/3® , (&66)
где дискретная переменная п! заменена непрерывной у согласно соотношениям
(8.67)(8.67)3_ 3 р丄 Н f _ Н f Р±\2 ^dy
(8.67)
(8.67)
Переменная и = gg связана с энергией фотона:
(8*68)
Заметим, что умножив (8.66) на /гш (8.68), получим спектр мощности синхротронного излучения (8.17).
При nf》а3, т\е. х' = (pf±/mc) {Н/Н^》1, аргумент у в (8.66) мал:
Тогда справедливы известные асимптотические формулы [36], которые следуют из (8.31):
(8.69)(8.69)焱К5/3 (z)О 2K2/3 勿)= 22/зf (I)厂2/3
(8.69)
(8.69)
Из них получим следующую асимптотику спектра вероятности (8.66):
也一上1/2
Х方一2/3(1 + 旷3(1 + "+3).70)
С помощью (8.67) перейдем от g к дискретной переменной nf:
(Ol)(Ol)wn/n = w*u"2/3 (1 + u + у
(Ol)
(Ol)
В пределе nf « п имеем и =(几/几‘尸"》1, и формула (8.71) переходит в (8*65). Следовательно, при l<^nf ^ п области применимости формул (8.65) и (8.71) перекрываются.
В противоположном предельном случае, когда
у = п — п п (и = 〃/2几 « 1),
из (8.71) получаем
^球九=w* (2几/〃『/" ,(8.72)
что дает известный классический результат для низкочастотной области спектра мощности синхротронного излучения [2] (см. также гл. 1):
Wn4l 二 hujwnfn 〜ш1/3 〜犷/3”
Подчеркнем, что формула (8.71) применима при 1 « z/ «几"В области 〃 〜 〜1 вероятность излучения выражается через функции Бесселя 厶(％) (см. [2]) в силу известного предельного соотношения между ними и функциями Лагерра (8.45):
lim 1п I u J”(z).
Соответствующий результат имеет вид [2]
W41 =a罢(1)1"〃卜出5由出 [ctg2^o Jp(2)+ До J^2(2)],
0
где аргумент z = 〃仇 sin 0Q, J； (z) = dJ” ⑶ /dz. Следовательно, при 〃 = =n — nf = 0 вероятность радиационного перехода wnn = 0, как и должно быть.
Полная мощность излучения. Вклад переходов на низколе- жащие уровни. Из (8.58) и (8.59) следует, что вероятности переходов релятивистского электрона (Е》тс2) на уровни п! = 0,1, 2 ...〜 1 в относительно слабом магнитном поле Н《Нс оказываются экспоненциально малыми. Именно поэтому формула (8.66) равномерно описывает в этом случае спектр вероятности синхротронного излучения во всем интервале О < ^ < оо.
Полная мощность излучения W связана с вероятностью wn/n соотношением
ж = Ж (»/)=£ 0Gs， И4^п =,(873)
п;=0
где си = зп，п —частота перехода (8.43). Напомним, что W — инвариантная функция инвариантных параметров (8.2) и (8.14) [5, 6] (см. также [40]).
Как было показано в п. 8.2.1, при Н《Н^.乳 Р丄》тс (/ « 1, х》/) основной вклад в сумму (8.73) вносят переходы на уровни nf》1. Тогда, заменив суммирование по п' интегрированием по у (см. (8.67)), с учетом (8.68) получим
dy^ — ,(&74)
о
где dw/dy определено в (8.66). При 卩？ = 0 выражение (8.74) переходит в (8.17). При х》1 отсюда с использованием асимптотики (8.70) находим (см* также (8.33))
W(x) + W* (х)三(；)5 г (I) Q? (Зх)2/3 -(8*75)
Как уже отмечалось, при х》1 основной вклад в мощность (8.74) вносит область спектра и = ^у 1 (nf 〜 几)* Поэтому с точностью до численного коэффициента порядка единицы результат (8.75) немедленно следует из (8.73), если положить в нем (см. (8.71) и (8.68)) wnfn 〜uf, Кз 〜Е: W 〜 〜nEw*. Вклад же области nf « п (и》1) мал, поскольку согласно (8.70) здесь dw/dy 〜厂
Обратимся теперь к случаю сверхсильных полей Н > Нс. В этом случае квазиклассическая формула (8.66) правильно описывает только начальный участок спектра синхротронного излучения 匂《 1) и сводится к (8.70), (8.71), так как (см. (8.67))
при nf》1. Жесткий конец спектра (у > 1), который формируется переходами в состояния с малыми квантовыми числами (п‘ = 0, 1, 2, 1), описывается формулой (8.58). Еще раз подчеркнем, что области применимости формул (8.66) и (8.58) перекрываются (см. цепочку (8.58), (8.65), (8.66), (8.71)).
Полная мощность излучения определяется суммой (8.73) и не сводится в общем случае к интегралу (8.74), так как вклад переходов в состояния с п!〜1 может быть существенным. Однако при 几》1 и Н 之 Н© имеем X》/，и формула (8.75) дает главный член асимптотического разложения мощности W (х, /) по степеням параметров 1/х и 1/п = /3/х2 в (8.73). Следующие члены разложения были получены в работе [41]:
ж(х? Л (х)ж(х? Л (х)27V387r27V387rГГ++++(Зх)Тз(Зх)Тз1 +费1 +费(8.76)(8.76)
ж(х? Л (х)
ж(х? Л (х)
27V3
87r
27V3
87r
Г
Г
+
+
+
+
(Зх)Тз
(Зх)Тз
1 +费
1 +费
(8.76)
(8.76)
Заметим, что полный асимптотический ряд по степеням х для W (х) в (8.74) был получен уже в работе [13]. Первые два его члена определяются формулой (8.76) при / = 0. Более того, из (8.76) следует, что учет чисто полевого параметра / (см. (8.14)) при / g 1 приводит к несущественному изменению (менее 1,5 %) второго члена асимптотического разложения W (х, /). Следовательно, при х》1 豆几》1 можно использовать простую формулу (8.75).
Оценим теперь вклад в полную мощность W переходов на уровни п/ 〜 〜1, определив его как отношение (см. (8.75) и (8.76))
Rn^n = Wntn/W i Wnln/W^ ,(877)
рассматриваемое как функция 簿，при фиксированном п для различных значений напряженности магнитного поля Н. Соответствующие графики функции (8.77), построенные с использованием формул (8.58) и (8.71) при n = 103, приведены на рис. 8.4. Мы видим, что вклад W„/n переходов на низколежащие уровни п1 〜 1 возрастает с увеличением напряженно сти поля Н и при Н ^ Нс достигает около 10% суммарного вклада переходов на высокие уровни W* i W, Например, для перехода на основной уровень (nf = 0) имеем
Мп —243/ НД
声一64г (2/3)
Это отношение при Н = Нс, п = 103 (石丄 =23 МэВ) равно 0,04, а при Н = 2НС , n = 102 ( Е± = 10 МэВ ) достигает 0,14.
Рис. 8.4. Относительный вклад переходов на уровни п 〜 1 в полную мощность синхротронного излучения
На рис. 8*5 показана эволюция нормированного спектра синхротронного излучения Wn/n/Won с изменением напряженности магнитного поля. Как видно, монотонный при Н/Нс > 1 спектр постепенно превращается в характерный для Н/Нс《1 спектр с хорошо выраженным максимумом в области 簿/》L
Заметим, что выше радиационные поправки не учитывались. Однако даже в сверхсильных полях они оказываются малыми. Так, радиационный
Рис. 8.5. Эволюция нормированного спектра синхротронного излучения с изменением напряженности магнитного поляРис. 8.5. Эволюция нормированного спектра синхротронного излучения с изменением напряженности магнитного поля
Рис. 8.5. Эволюция нормированного спектра синхротронного излучения с изменением напряженности магнитного поля
Рис. 8.5. Эволюция нормированного спектра синхротронного излучения с изменением напряженности магнитного поля
сдвиг энергии электрона в основном состоянии в поле Н》Нс имеет вид (см., например, [40, 41])
△Е 0 — тс2 In 24-тг△Е 0 — тс2 In 24-тг
△Е 0 — тс2 In 2
4-тг
△Е 0 — тс2 In 2
4-тг
откуда при Н/Лс = 102 находим △£/тс2 + 0, 02. Для электрона высокой энергии (р丄》тс и % >> 1) имеем [40]
22
2
2
что при Н = Нс, n = 103,卩乞 = 0 дает \ АЕ\ /Е ? 4 • 10^5. Поэтому пренебрежение радиационными поправками в предыдущем рассмотрении вполне оправдано.
Рассмотрим теперь кратко процесс, обратный синхротронному излучению —возбуждение электронов с низких уровней Ландау на высокие при поглощении жестких гамма-квантов. Такой процесс также характерен для нейтронных звезд (см., например, [32]). В сверхсильном поле Н > Нс он был впервые исследован в работе [29], тде, в частности, для сечения возбуждения электрона из основного состояния (п = 0,《=—1) гамма-квантом с энергией 方g》тс2 было получено выражение
°。°。=2冗3/2a=2冗3/2aexpexp(879)(879)
°。
°。
=2冗3/2a
=2冗3/2a
exp
exp
(879)
(879)
Как функция Н оно достигает максимума при Н = 2及:
Сравним это сечение с обычным комптоновским рассеянием гамма-кванта на покоящемся электроне в отсутствие внешнего поля [9]:
с\2 1 /1\2 方3%
先= 2тга —1ПЛ+2
Отсюда и из （8.80） находим следующее отношение:
（Q In К）Т（Q In К）Т
（Q In К）Т
（Q In К）Т
которое при 方g = 1 ГэВ равно г о 25.
Таким образом, релятивистский электрон, движущийся в сверхсильном магнитном поле Н > 及，с достаточно большой вероятностью переходит с высокого уровня 簿，》1 на основной или низколежащий уровень （簿，=0, 1, 2, 1）, испуская жесткий гамма-квант. В результате фор™ мируется жесткий дискретный конец спектра синхротронного излучения, который вносит существенный вклад в полную мощность синхротронного излучения. Сечение обратного процесса фотовозбуждения электрона в поле Н 三及 также достаточно велико. Как уже отмечалось выше, рассмотренные процессы играют важную роль в астрофизике нейтронных звезд.
Излучение слабовозбужденных электронов в магнитном поле. Выше было рассмотрено излучение релятивистского электрона, первоначально находящегося в высоковозбужденном состоянии: главное квантовое число 几》1. Однако большой интерес представляет также случай малых чисел п = 0,1, 2 ... В таких слабовозбужденных состояниях особенно проявляются квантующие свойства магнитного поля. Заметим, что в сверхсильном поле Н > Нс спектр электрона
Еп pz = тпсЕп pz = тпс1/21/2
Еп pz = тпс
Еп pz = тпс
1/2
1/2
является релятивистским при любом п 0.
Рассмотрим некоторые результаты расчета мощности излучения электрона, находящегося в слабовозбужденном состоянии в сильном магнитном поле, полученные в [42, 43] на основе метода точных решений. Используем систему отсчета, в которой начальный продольный импульс электрона Pz = 0.
Прежде всего остановимся на случае слабого поля Н <^Нсл нерелятивистского электрона:
При этом для мощности излучения в первом приближении по параметру /З2 получается выражение
2 е4Я23 т2с32 е4Я23 т2с3(8.81)(8.81)
2 е4Я2
3 т2с3
2 е4Я2
3 т2с3
(8.81)
(8.81)
которое тем сильнее отличается от классического, чем меньше номер уровня энергии п.
Нетрудно вычислить время жизни возбужденного состояния. Действительно, поскольку в рассматриваемом случае (0?《1) квантовые переходы имеют дипольный характер, процесс излучения сопровождается последо™ вательностью переходов между соседними уровнями:簿，т 簿，一1 т ” … ...—> 1 —> 0. Для полного времени жизни электрона в состоянии п полу
чим
гдегдеw (к)=w (к)=丄(21),То丄(21),Тогг1w (к)1w (к)及2mce2及2mce21,7- 10"19с.1,7- 10"19с.
где
где
w (к)=
w (к)=
丄(21),
То
丄(21),
То
г
г
1
w (к)
1
w (к)
及2mce2
及2mce2
1,7- 10"19с.
1,7- 10"19с.
ТогдаТогдаЗдесьЗдесь曾曾3 m3c5Е "23 m3c5Е "2(8.82)(8.82)
Тогда
Тогда
Здесь
Здесь
曾
曾
3 m3c5
Е "2
3 m3c5
Е "2
(8.82)
(8.82)
г (n) = S (п) 丁°<
——классическое время «высвечивания» электрона,
S (п)=工S (п)=工12k — 112k — 1
S (п)=工
S (п)=工
1
2k — 1
1
2k — 1
—— квантовый фактор. Заметим, что S (1) = 1, а при 簿，》1 справедлива асимптотическая формула
s (n) = Е + In 2\/п +
где С = 0, 577 ... —— постоянная Эйлера. Отсюда видно, что время жиз™ ни электрона в возбужденном состоянии (для не слишком большого п) не сильно отличается от тс1, которое сразу следует (с учетом (8.81) и (8.82)) из классической (нерелятивистской) формулы для скорости убывания кк・ нетической энергии электрона Г = mv2/2 вследствие излучения:
dT „12
—=—Н1 = —dt丁 ci
Интегрирование этой формулы дает известные классические законы радиационного затухания кинетической энергии и скорости:
Т ⑴=Т (0) 2 W V(t)=v (0)
Заметим, что время (8.82) определяется только напряженностью магнитного поля:戸 〜Н~2. Так, при Н = 104 Гс находим 戸 + 5 с, а при Н = 1012 Гс (такие поля могут существовать вблизи поверхности пульсаров) 丁°1 * 5" 10一I" с, что на восемь порядков меньше характерного времени жизни первых возбужденных состояний атома водорода.
В случае сверхсильного магнитного поля Н > Нс электрон, находящийся даже на первом возбужденном уровне, является, как уже отмечалось, релятивистским. К сожалению, проведение расчетов в этом случае возможно лишь численными методами (см. [42-44]). Однако при Н ^> Нс , введя нормированную мощность W согласно выражению
e
歹=Ct—ж
и учитывая соотношение
можно перейти в общем выражении для W [44] к пределу /3 т L В этом пределе для мощности излучения при переходе n = 1 п/ = 0 получается простая формула:
炉Q ~Z-2%炉Q ~Z-2%Г dt /1Г dt /11 +用丿，1 +用丿，(8.83)(8.83)
炉
Q ~Z-
2%
炉
Q ~Z-
2%
Г dt /
1
Г dt /
1
1 +用丿，
1 +用丿，
(8.83)
(8.83)
причем
% = * =(8*84)
т.е. излучение оказывается неполяризованным.
Подынтегральное выражение в (8.83) описывает распределение мощ™ ности по угловой переменной t = cos 0. Как и должно быть при pz = 0, угловое распределение симметрично относительно плоскости % = 0 к имеет максимум при t = 0 (0 = тг/2). На рис. 8.6 показано не только это предельное распределение, но и распределения для некоторых значений напряженности поля, построенные по точным формулам из работы [44]. При этом энергия излученного фотона
万g 0万g 0Е1 + |cos ^|Е1 + |cos ^|
万g 0
万g 0
Е
1 + |cos ^|
Е
1 + |cos ^|
Рис. 8.6. Угловое распределение нормированной мощности излучения при переходе и = 1 nf = 0 в сверхсильном магнитном поле
практически совпадает с энергией начального электрона
Е = тс2Е = тс2-(2е%сН)1/2-(2е%сН)1/2
Е = тс2
Е = тс2
-(2е%сН)1/2
-(2е%сН)1/2
Интеграл в (8.83) очевидной заменой переменной сводится к элементарно™ му:
1
一 (1 + e^xdx = 1 — -e^1 + 0, 448 .
о
В результате
Е"m2c4 Н
歹=0,224а— = 0, 448 а—— — = 0, 448асеН .(8.85)
Видно, что в этом пределе мощность не зависит от массы частицы.
Важно подчеркнуть, что выражения (8.84), (8.85) не совпадают ни с классическими формулами (8.40), ни с формулами для ультраквантового случая (8.33), (8.41). Различаются также угловые распределения на рисунках 8.2 и 8.6.
Таким образом, излучение электронов, находящихся на первых возбужденных уровнях, обладает существенно квантовыми особенностями, которые не описываются ни классической теорией, ни квазиклассическим методом. Приведенные здесь результаты представляют интерес для астрофизических приложений и, в частности, при исследовании процессов в магнитосфере пульсаров [28, 45].
Однофотонные процессы рожденияи аннигиляции электрон-позитронных пар
В отсутствие внешнего поля процессы рождения и аннигиляции e+百 пар идут с участием не менее двух фотонов. Во внешнем поле уже разрешены однофотонные процессы: 7 —> 「е+ —> 7. Эти процессы в постоянном магнитном поле впервые были рассмотрены в работе [13] (см. также [2, 5, 6, 14, 40]). В случае сравнительно слабого поля Н《& полная вероятность процесса определяется единственным параметром (ср. (8.2)):
м 吃, (8.86) тсНс L 产 J me Hc
тде 方衣弘 = 方(g/c, к)——4-импульс фотона, hk± ——его поперечный (по отношению к направлению поля Н) импульс. При этом основной вклад в полную вероятность процесса с участием релятивистских частиц дают квазиклас- сические состояния с большими квантовыми числами [2, 13, 14], причем максимального значения вероятность достигает, котда параметр м > 1.
В сверхсильном поле Н > Нс, так же, как и в случае синхротронного излучения, существенный вклад вносят слабовозбужденные состояния одной из частиц е^е+-пары [46].
Фоторождение е^е+-пары. Рассмотрим рождение е_е+-пары 7-квантом высокой энергии, который летит перпендикулярно направлению магнитного поля Н||О% (случай произвольного угла между к и Н сводится к к ± Н преобразованием Лоренца вдоль оси Oz, не меняющем вида поля Н).
Исследуем сначала участок спектра состояний пары, где энергия по™ зитрона значительно меньше энергии электрона (здесь и ниже штрихом отмечаются величины, относящиеся к позитрону): Er《Е, т.е. п1《п, причем в силу законов сохранения энергии и ^-компоненты импульса 方g = =Е + Е[ р； = —pz (kz = 0 при k ± Н). Вероятность рождения такой асимметричной пары дается формулой [46], аналогичной (8.58):
сю、
—4 dx \1п>п' (с) + 1п/п1— 1 (^)] >) q = 4(/1 + а) • (8.87)
Здесь проведено усреднение по поляризациям фотона и суммирование по спиновым состояниям электрона и позитрона (при 簿，R 0).
Вероятность рождения позитрона в основном состоянии (簿，=0, ^ = =+1 ——спин направлен по полю) имеет вид
а / тс2、2位。F 丿а / тс2、2位。F 丿я瓦ехря瓦ехр(8.88)(8.88)
а / тс2、2
位。F 丿
а / тс2、2
位。F 丿
я
瓦ехр
я
瓦ехр
(8.88)
(8.88)
При Н « Нс эта вероятность экспоненциально мала, но с увеличением Н она возрастает и при Н》及 рост становится линейным.
Следовательно, в сверхсильном поле Н > Нс рождение одной из частиц пары на низких уровнях (п/ = 0, 1, 2,...〜 1) вносит существенный вклад в полную вероятность процесса 仅=£ wn/ *
ri'
Пусть теперь 簿/》1, но по-прежнему 簿，《п. Тогда для функции 1n，疗(q) применима асимптотика (8.60), и мы получаем вероятность рождения по™ зитрона в состоянии 簿/》1 (ср. (8.63)):
wwН 瓦Н 瓦(2几L/3 [—①/⑶(2几L/3 [—①/⑶(8.89)(8.89)
w
w
Н 瓦
Н 瓦
(2几L/3 [—①/⑶
(2几L/3 [—①/⑶
(8.89)
(8.89)
% = (2q — 1)(2〃)т/з.
При п1》|а — 1/2|3 аргумент % « 1; с учетом (8.64) упростим (8.89):
31/6Г(2/3) а5=25/J 231/6Г(2/3) а5=25/J 2— 2/3— 2/3(8.90)(8.90)
31/6Г(2/3) а
5=25/J 2
31/6Г(2/3) а
5=25/J 2
— 2/3
— 2/3
(8.90)
(8.90)
При п1 〜п формула (8.87) неприменима, и следует использовать из™ вестную квазиклассическую формулу для спектра вероятности фоторождения пары (см., например, [2]), справедливую для больших квантовых чисел (几》1,簿，》1, т.е. Е》тс2, Е1》тс2):
dw dudw duа7T'^3cJа7T'^3cJ
dw du
dw du
а7T'^3cJ
а7T'^3cJ
XX&/3 (g)&/3 (g)сюj dxK5/3 (х) , (891)У-сюj dxK5/3 (х) , (891)У-где вместо п/ введена непрерывная переменнаягде вместо п/ введена непрерывная переменная
X
X
&/3 (g)
&/3 (g)
сю
j dxK5/3 (х) , (891)
У-
сю
j dxK5/3 (х) , (891)
У-
где вместо п/ введена непрерывная переменная
где вместо п/ введена непрерывная переменная
U =、4у nnfU =、4у nnf4石，（方3 _ 4），4石，（方3 _ 4），8〃8〃(8.92)(8.92)
U =、
4у nnf
U =、
4у nnf
4石，（方3 _ 4），
4石，（方3 _ 4），
8〃
8〃
(8.92)
(8.92)
а параметр х имеет вид (8.86). В рассматриваемой области (Ef《Е) имеем
〃 + ®/4Ef》1, но 〃/х《1 при 簿，》а3. Поэтому применимы асимптотики (8.69), и спектр вероятности принимает вид
— 3“6『 (2/3) а / mc2V 1 / х V/3
Переходя здесь от и к п1 согласно (8.92), приведем (8.93) к (8.90). Так и должно быть, поскольку области применимости формул (8.87) и (8.91) перекрываются при 1《〃/《几.
Заметим, что спектральное распределение вероятности фоторождения пары симметрично относительно перестановки квантовых чисел электрона и позитрона. Поэтому при Е‘》Е (nf》簿，》1) снова получаем (8.93), а в формулах (8.87), (8.89), (8.90) надо сделать очевидную замену 簿，т п.
В слабом поле Н《及 вклад состояний пары (п》1, п/ 〜1) и (п 〜 〜1)簿/》1), как уже отмечалось, экспоненциально мал. Поэтому формула (8.91) равномерно описывает весь спектр вероятности (1 < и < сю). В сверхсильном же поле Н ^ Н© конец спектра и > м, отвечающий рождению одной из частиц пары на низких уровнях, вносит заметный вклад в полную вероятность процесса и должен описываться формулой (8.87) (и следующей из нее заменой 簿，—> n). С ростом 簿，вероятность (8.90) убывает сравнительно слабо:仅; 〜 (簿,')一？/з, и состояния 1《簿，< п также вносят существенный вклад в полную вероятность рождения пары. Поэтому в области Н > Нс не удается получить замкнутых формул для wn/ при произвольных п1 и для w = 52 仅九/ в области Н > Нс (в отличие от случая
ЖЯС[2, 13]).
Однофотонная аннигиляция е^е+-пары. Рассмотрим теперь обратный процесс ——аннигиляцию пары в один фотон. Ограничимся случаем, KOi^apz = Р； = UsE' «Е (п/《п). Тогда для вероятности аннигиляции в единицу времени, усредненной по спиновым состояниям пары и просуммированной по поляризациям фотона, находим [46]
с me2 1/、丁2\
Wn,S,, ns = 2汀~\/a⑴，
t = 2 (nf + а)1/2 , x = |^(n + a)1^2 + (п/ + a)1/2] ,(8.94)
где Dn>(t}——функция параболического цилиндра (8.53), Lz ——нормировоч™ ная длина по оси z* Результат (8.94) получен для аксиально-симметричных относительно направления Н“О% состояний электрона и позитрона, отвечающих калибровке 4-потенциала внешнего поля
tF = (3—дН/2,сН/2,0),
причем s, sz = 0,1, 2, ... —радиальные квантовые числа. Как известно [2, 14], в квазиклассическом случае (п, $》1) радиальное число s определяет расстояние 6 = 2 (sa)1^2 h/mc от оси Oz до центра электронной орбиты радиуса R = 2 (па)1/2 h/mc.
Явная зависимость вероятности (8.94) от Lz означает, что она не имеет прямого физического смысла. Физической величиной является время жизни г позитрона (электрона) в среде из электронов (позитронов). Пусть электроны среды распределены по s равномерно (равновероятное распределение центров орбит). Тотда следует усреднить (8.94) по s согласно соотношению
тп/Е、тстп/Е、тс(8.96)(8.96)причем smax — кратность вырождения, обусловленного тем, что положение центра орбиты в однородном магнитном поле не фиксируется [2, 14]. В (8.95) использовано равенство (8.18). Обратное время жизни позитрона относительно аннигиляции с электронами среды получаем, усреднив вероятность (8.94) согласно (8.95) и умножив результат на полное число электронов среды N:
тп/Е、тс
тп/Е、тс
(8.96)
(8.96)
где р 二 N/ (LxLyLz)——плотность электронов среды. В частности, для позитрона в основном состоянии (тт/ = 0,，/ = +1) из (8.96) находим
(8.97)
Поэтому вероятность аннигиляции пары в состоянии (几》1,簿/ 〜1) экспоненциально мала в поле Н С Нс, но достигает заметной величины в сверхсильном поле Н > Нс.
Пусть позитрон находится в возбужденном состоянии 簿，》1, но 簿，« 《п. Тогда можно использовать асимптотическое представление функций Dnf (方)через функцию Эйри (8.61):
Dn| (t) -，/2(几『/2+1/6 ф ⑶，
%=(〃)1/6 上一2 (川 + 1/2)1/2] = (a . 1/2) (〃)Т/3 ,(8.98)
п/》1,
и в предположении, что и/》а", т.е. z « 1, представить (8.96) с учетом (8.64) в виде
(899)(899)
(899)
(899)
Из (8.97) и (8.99) следует, что при Л 〜 瓦
丁7丁7⑺J〃》1,⑺J〃》1,(8.100)(8.100)
丁7
丁7
⑺J〃》1,
⑺J〃》1,
(8.100)
(8.100)
то есть вероятность аннигиляции позитрона с релятивистским электроном (Е》тс?) монотонно убывает с ростом энергии позитрона, принимая мак™ симальное значение для позитрона в основном состоянии nf = 0.
Рассмотрим теперь аннигиляцию пары в состоянии (тг》1, и/》1), включая случай nf 〜п, который формулой (8.96) не описывается. Тогда для обратного времени жизни позитрона в электронной среде справедлива квазиклассическая формула [2, 13, 14]:
1т1т1(тс2)2=产 PF^1(тс2)2=产 PF^2 Яс 互2 Яс 互++++
1
т
1
т
1(тс2)2
=产 PF^
1(тс2)2
=产 PF^
2 Яс 互
2 Яс 互
+
+
+
+
Т] = тс2 (1/石/ + l/石)Нс/Н. (8.101)
В интересующем нас случае £' « £ (и/ ^n)nnf ^ а3, так что аргумент ?7 « 1 и применима асимптотика (8.31). В результате (8.101) переходит в (8.99), что объясняется перекрытием областей применимости этих формул при 1 nf п.
Итак, выше были рассмотрены однофотонные процессы рождения и аннигиляции электрон-позитронной пары в магнитном поле в состояниях, в которых энергии частиц пары значительно различаются (£' <^i Е^ Е》 》тс2). Показано, что в сверхсильном поле Н > Нс вероятности указанных процессов для состояний (п^> 1, nf 〜1) достигают заметных величин (в противоположность случаю слабого поля Л « 瓦,когда эти вероятности экспоненциально малы).
Указанные процессы тесно связаны с синхротронным излучением: в сильном магнитном поле электроны высоких энергий испускают жесткие гамма-кванты, которые с заметной вероятностью переходят в е+ -пары. В свою очередь, родившиеся электроны и позитроны излучают фотоны и т.д. В результате развивается электромагнитный каскад, аналогичный тому, который наблюдается при прохождении космических частиц через вещество. Такого рода каскадные процессы происходят, например, в магнитосферах
пульсаров [28, 47]. Заметим, что однофотонное рождение е+-пар генерирует релятивистскую плазму в магнитосфере, а обратный процесс аннигиляции приводит к появлению фотонов, спектр которых принципиально отличается от синхротронного спектра.
Динамическая природа аномального магнитного момента электрона в магнитных полях
Прежде всего кратко остановимся на вопросе о том, почему важно изучение отклонения величины аномального магнитного момента (АММ) от магнетона Бора:
从=—从0 (1 + @е) , @е 二(9 — 2) /2.
Бесспорно важным здесь является сильное, а иногда и решающее влияние АММ на динамику спина частицы во внешнем поле. Это непосредственно следует из уравнения эволюции спина Баргмана-Мишеля-Телегди [48]. Так, в частности, под влиянием АММ возникают деполяризующие резонансы, способные разрушить поперечную поляризацию электронного пучка, приобретаемую им при движении в накопительном кольце. При этом в случае, если частота прецессии спина оказывается кратной частотам, характерным для орбитального движения (частота бетатронных радиальных шг, вертикальных з^ и фазовых 3炉 колебаний), поперечная поляризация разрушается и вследствие деполяризации эффект радиационной поляризации не приводит к преимущественной ориентации спина электрона. Условие резонанса имеет вид [49]
еН
тс'
где Ni ——целые числа, и существенно зависит от величины ае.
Еще сильнее АММ влияет на продольную поляризацию электрона —— проекцию спина частицы на направление ее движения. В результате этого влияния продольная поляризация теряет свойство сохранения во времени. Физически это связано с тем, что частота обращения частицы в магнитном поле, определяемая уравнением движения
Р = ^ [РН],
и частота прецессии спина, согласно уравнению БМТ (при Р 丄 Н)
не совпадают, что и приводит к несохранению продольной поляризации:
= cos I ае —.(8.102)
Вакуумный АММ электрона играет также важную роль в анализе устойчивости электромагнитного вакуума. Решение обобщенного уравнения Дирака-Паули
—тс + 巴 Л } 3 = 0,—тс + 巴 Л } 3 = 0,(8.103)(8.103)
—тс + 巴 Л } 3 = 0,
—тс + 巴 Л } 3 = 0,
(8.103)
(8.103)
где ае ——аномальная часть магнитного момента, приводит к спектру знер- гии, в котором снимается вырождение по спину [50]:
епp^ = ±mе2< [(1 + 2冷聲)/ + (аеепp^ = ±mе2< [(1 + 2冷聲)/ + (ае2+2+1/2” (8.104)1/2” (8.104)
епp^ = ±mе2< [(1 + 2冷聲)/ + (ае
епp^ = ±mе2< [(1 + 2冷聲)/ + (ае
2
+
2
+
1/2
” (8.104)
1/2
” (8.104)
И если взять швингеровское значение аномального момента (ае = а/2тг), то в основном состоянии (п = 0, pz = 0,《=—1) имеем
£° = ±тс •
Следовательно, при увеличении магнитного поля энергетическая щель между состояниями с положительными и отрицательными частотами уменьшается. Отсюда можно было бы сделать вывод о том, что при достижении значения Н = 4тгНс/а щель исчезнет, т.е. вакуум станет неустойчивым относительно спонтанного рождения электрон-позитронных пар. Однако этот вывод ошибочен, поскольку основан на предположении о применимости формулы (8.104) в сильном магнитном поле. На самом деле, как показано ниже, АММ электрона имеет динамическую природу: он зависит от напряженности внешнего электромагнитного поля и от энергии электрона. В сверхсильном магнитном поле АММ резко убывает и даже меняет знак, так что указанная энергетическая щель увеличивается по сравнению с величиной 2тс2 в отсутствие поля. Поэтому вакуум остается стабильным в очень сильном магнитном поле2.
Аномальный магнитный момент электрона представляет также боль™ шой интерес в связи с развитием прецизионной техники измерения, открывающей возможность исследования не только членов порядка а = е2/сЛ,
но и высших приближений по а :
从=—从0 I 1 + Q]从=—从0 I 1 + Q]+ @2+ @22+ «з2+ «з3■3■
从=—从0 I 1 + Q]
从=—从0 I 1 + Q]
+ @2
+ @2
2
+ «з
2
+ «з
3
■
3
■
При этом динамическая природа АММ может дать вклад, доступный для наблюдения, поскольку влияние магнитного поля оказывается существенным на фоне высоких степеней разложения по квадрату заряда. В однопетлевом приближении АММ электрона впервые был рассчитан Швингером [54], однако величина магнитного момента электрона в общем случае является довольно сложной функцией, зависящей от напряженности внешнего магнитного поля. Впервые на эту особенность обратил внимание Гупта [55], который в первом порядке теории возмущений по а рассмотрел не только линейный, но и высшие члены разложения магнитного момента по характерному параметру а] где а = Нс/2U, а Нс — критическое поле. Необходимо подчеркнуть, что во всех ранних работах [54, 55] рассматривалось нерелятивистское приближение задачи. Это особенно четко проявляется в работе Латинжера [56], где электрон, находящийся во внешнем поле, взят в основном состоянии, в котором энергия орбитального движения частицы и энергия взаимодействия магнитного момента с внешним полем взаимно скомпенсированы. В связи с этим можно ожидать, что в случае релятивист™ ского движения электрона его магнитный момент является функцией не только напряженности поля, но и энергии электрона. И, наконец, отметим, что во всех упомянутых работах был рассмотрен только случай слабого поля, когда напряженность Н ограничена пределами изменения 0<Н ^НС.В свете последних открытий экстремально высоких значений напряженности магнитного поля вблизи пульсаров, а также и в лабораторных условиях (о чем уже кратко упоминалось), представляет интерес исследование величины АММ в сильном магнитном поле.
Рассмотрим теперь задачу об аномальном магнитном моменте электрона в первом порядке теории возмущений по а методом, свободным от отмеченных здесь ограничений. Заметим, что впервые задача о динамиче™ ской природе АММ электрона была поставлена и решена И.М. Терновым совместно с В.Г. Багровым, В.А. Бордовицыным и одним из нас [12].
В основу рассмотрения задачи об аномальном магнитном моменте электрона положим интегродифференциальное уравнение Дирака-Швингера
7м (访厶二)—mj > (ж) = J сМ (ж, у) W (g) d4g , (8.105)
правая часть которого содержит взаимодействие электрона с электромаг™ нитным вакуумом, включает в себя эффекты собственной энергии и поправки, связанные с поляризацией вакуума внешним полем. Массовый оператор в первом порядке по а теории возмущений квантовой электродинамики
М (ж, у)=—沁 7м $с (伤 у) VD力(у —力)
содержит пропагатор электрона S° (ж, у) с учетом внешнего магнитного поля, удовлетворяющий уравнению
—тс 卜 S° (ж, у) = -S 4 (х - у),
а также пропагатор фотона D^ (g — %)”
力> У,t < У,力> У,t < У,Воспользуемся далее фейнмановским представлением для пропагаторов электрона и фотона:
力> У,
t < У,
力> У,
t < У,
S°(%,犷)=《S°(%,犷)=《Е >П (г) >n (Н) exp [-iEn (f - tz) /Л], Еп> О
S°(%,犷)=《
S°(%,犷)=《
分 £ >п (г) >п (У) exp [-iEn (力一У) /%], Еп<0
где ¥n = >+1°?
0々〃(力—犷)=-4"〃^^ exp0々〃(力—犷)=-4"〃^^ exp淞(r _ У)淞(r _ У)?： I力"I?： I力"Id3 кd3 к
0々〃(力—犷)=-4"〃^^ exp
0々〃(力—犷)=-4"〃^^ exp
淞(r _ У)
淞(r _ У)
?： I力"I
?： I力"I
d3 к
d3 к
В этих формулах 3几(『)exp [—iEnt/h\ ——стационарные функции электрона, удовлетворяющие невозмущенному радиационными поправками уравнению Дирака. Сумма по п при 力〉У включает состояния только с положительной энергией, а при t < tf причинная функция равна той же сумме с обратным знаком, взятой по состояниям с отрицательной энергией (позитронные состояния). Интегрирование по времени приводит к стационарному уравнению:
(£ —百)3= к (г,/) 3(У)驚“=公3(『>(8.106)
Здесь K(r, Н)——ядро, имеющее вид
[FF（Г）吟g限
где У = (1, a),石=chK — энергия электрона, е — знак энергии в промежуточных состояниях, причем е = +1 (—1) для электронных (пози™ тронных) состояний.
Заметим, что массовый оператор в линейном приближении по напряженности магнитного поля легко вычисляется:
и мы приходим к уравнению Дирака—Паули (8.103). В этом уравнении дополнительное взаимодействие магнитного момента с полем проявляется
локально, а динамическая природа величины 从 остается скрытой. Для того чтобы выяснить динамическое происхождение АММ электрона, а также обнаружить нелокальность порождающего его взаимодействия, необходимо обратиться к уравнению (8.106) в его полном виде, отвлекаясь от предела слабого поля. Тем самым будут установлены условия применимости уравнения Дирака-Паули, в которых динамическая природа АММ электрона игнорируется. Попытка же использования этого уравнения также и в случае сильного электромагнитного поля приводит к указанным выше трудностям в объяснении стабильности вакуума.
Вернемся к уравнению Дирака-Швингера (8.106). Рассматривая правую часть этого уравнения как возмущение, можно заметить, что радиационные поправки к энергии полностью определяются матричными элементами оператора Я, характеризующего эффективную энергию вакуумного взаимодействия:
3^(")大田女("川%,3^(")大田女("川%,
3^(")大田女("川%,
3^(")大田女("川%,
причем индексы《，《'=±1 характеризуют начальную и конечную ориентацию спина. Нам необходимо рассмотреть полевую поправку к массе электрона, зависящую от спина, поскольку эта часть массы связана с существованием у электрона вакуумного магнитного момента [12]. Вычисления приводят к следующему выражению:
△msp = W^p△msp = W^pnZ , £ = ±1 0nZ , £ = ±1 0X(0—1%X(0—1%— 013)5 (8.107)— 013)5 (8.107)
△msp = W^p
△msp = W^p
nZ , £ = ±1 0
nZ , £ = ±1 0
X(0—1%
X(0—1%
— 013)5 (8.107)
— 013)5 (8.107)
где D ——спиновые коэффициенты [2], определяемые волновыми функциями ——точными решениями уравнения Дирака, разделенными по спиновым состояниям с помощью оператора Оз:
выражается через функции Лагерра (8.45) от аргумента
% = тс/ Л.
Часть вакуумного оператора R, связанная с аномальным магнитным мо™ ментом, в нерелятивистском приближении обычно заменяется оператором Rf = /1/?з<тН, где постоянная величина 〃 = — (&/2冗)从()интерпретируется
как аномальный магнитный момент электрона. Как было отмечено Паули, такое обобщение уравнения Дирака является ковариантным. Поэтому можно предполагать, что и в общем случае замена оператора R т R остается справедливой, однако величина 从 может теперь оказаться зависящей от напряженности магнитного поля и энергии электрона. Это и будет означать, что аномальный магнитный момент электрона обладает динамической природой.
Сравнивая далее матричные элементы оператора R:
1戈＜ =[^c/(r)Rf^nC(r)d3x = МЯ (О—屮」一,
с энергией вакуумного взаимодействия Amsp (см. (8.107)), можно прийти к выводу, что замена оператора R 7 Rf действительно оказывается возможной, если 从 выбрать в виде
ReAmspН (DQ1s.l)ReAmspН (DQ1s.l)(8.108)(8.108)
ReAmsp
Н (DQ1s.l)
ReAmsp
Н (DQ1s.l)
(8.108)
(8.108)
Производя далее суммирование в (8.107) по знаковому множителю е = ±1, для функции /(п, а) получим выражение [12]
/(% a) = -8Q е \ / /*一——
n'力 jCOS 20 +— 1
XX1 +1 +”+ /2 sin2^Ж sin 20，?7 + /2 cos 20”+ /2 sin2^Ж sin 20，?7 + /2 cos 20(8*109)(8*109)
X
X
1 +
1 +
”+ /2 sin2^
Ж sin 20，?7 + /2 cos 20
”+ /2 sin2^
Ж sin 20，?7 + /2 cos 20
(8*109)
(8*109)
причем
及几‘ + а/\2 • 2 д
а 二—：, г]二, z =(冷 + а) % sin 口 .
2”72 + Q
Это выражение для функции /(п, а) не содержит расходимостей, является конечным во всей области изменения энергии и внешнего поля и точным в рамках теории Дирака.
Слабое поле. Рассмотрим случай слабого магнитного поля, когда а = НС/2Н》1. При этом и 冷 + а》1, в силу чего возможно разложение по величине (п + а)^1. После интегрирования и суммирования в (8.109) получим [12]
7/3，а) = 1 —7/3，а) = 1 —576 In 2 — 83
7
/3，а) = 1 —
7
/3，а) = 1 —
ш а
420
в результате чего АММ электрона получает зависящую от поля поправку к швингеровскому значению:
从=—Ao (1 +, ае = — 1 +可In — + ... .(8.110)
Однако, как было показано в [12], это справедливо только для не слишком сильно возбужденных квантовых состояний электрона, когда п а. Это соответствует нерелятивистскому приближению: поскольку главное квантовое число п = а (р^/тс)2 , требование 冷 « а эквивалентно 0 « 1* Заметим, что рассмотренный здесь случай соответствует приближению
X = ； (^/@3)1/2 = (р±/тс) (Н/Яс)《1,
но при условии малых значений числа п (дискретное изменение параметра X). В этом случае поправки по полю действительно имеют квадратичнологарифмический характер и не зависят от энергии электрона. И тем не менее, даже в этом сравнительно простом случае проявляется динамическая природа АММ*
Если же поле остается слабым (а》1), но электрон ——релятивистский (п/а = (рх /тс) 》1), то поведение аномального магнитного момента резко меняется. Действительно, вернемся к исходной формуле (8.109) и проанализируем ее в предположении, что а》1 и 冷》L Основной вклад в этом случае будут давать переходы на возбужденные промежуточные уровни cnf^>l. Поэтому можно вместо суммирования по п7 вновь перейти к интегрированию, однако переменную интегрирования необходимо выбрать в виде и = (^/п -, то есть
nf = п / (1 + а)? , dn = —2冷 du / (1 + 〃)3 .
При этом для функций Лагерра 1rm/ (z) и 1ni (z) можно применить аппроксимацию с помощью функций Макдональда К]/з и К2/3 (см. (8.15)). Тогда Re /(п, а) принимает вид [2, 57]
Re /(% а) = 2^^ dt sin (力 + 奈力3),
оо
где X ——инвариантный динамический параметр (8.2). Отсюда с учетом (8.108) находим асимптотическое поведение АММ:
厂,X 1,
27t L \
Qe =〈(8.111)
(см. также [6, 40, 58]). Таким образом, в области х « 1 (квазиквантовая область) поправки к швингеровскому значению АММ по-прежнему малы, однако если параметр х》1, т。возникает совершенно иное поведение АММ: его значение резко убывает с ростом поля и/или с ростом энергии электрона и радикально отличается от швингеровского значения а/27r (уль- траквантовый случай).
Сверхсильное поле. Совершенно новая ситуация с полевыми поправками к аномальному магнитному моменту возникает в сверхсильном магнитном поле Л》Н— Вернемся к выражению (8.109) и путем замены переменной х х/ sin 23 и точного интегрирования по 3 приведем его к виду
а In а п + аа In а п + а—8a dx—8a dx川а+# - а -疗川а+# - а -疗XX
а In а п + а
а In а п + а
—8a dx
—8a dx
川а+# - а -疗
川а+# - а -疗
X
X
х {/焉[5 + °) *] 一 /乙1,歩一1 [3 +a)力1}①(夠⑺,
Разрывная функция Ф равна
Ф (ж, ?))=《Ф (ж, ?))=《для |у^— 1| S % S |&+ 1|,для |у^— 1| S % S |&+ 1|,22су^22су^для прочих х.для прочих х.
Ф (ж, ?))=《
Ф (ж, ?))=《
для |у^— 1| S % S |&+ 1|,
для |у^— 1| S % S |&+ 1|,
22су^
22су^
для прочих х.
для прочих х.
В случае асимптотики при а т 0 из всей суммы остается лишь один член п7 = 0 (эффект локализации функции Грина), интегрирование которого дает
(8.112)(8.112)/(1,а) = ^2а [1п(1/а)^1,08], /(п, а) = ^2а In (п/а), ае = (а/2тг) / .
(8.112)
(8.112)
Таким образом, в пределе Н ^> Нс главный вклад в АММ электрона вно™ сят промежуточные состояния с п7 = 0. Данное обстоятельство еще раз подчеркивает, что и реальные, и виртуальные состояния в сверхсильном магнитном поле являются сильно локализованными в поперечном к магнитному полю направлении, причем размер области локализации в этом направлении ограничен площадью окружности тгЯ2 о тг (^/тс)2 (Нс/Н). Как следует из (8.112), функция /(п, а) при а 7 0 отрицательна, и, следо™ вательно, величина АММ стремится к нулю с уменьшением а (с ростом напряженности поля) со стороны отрицательных значений. Однако поскольку при а》1 функция /(п, а) положительна и, кроме того, она непрерывна во
всей области изменения своего аргумента а (при фиксированном значении п), в этой области имеется по крайней мере две характерные точки, в одной из которых /(п, а) обращается в нуль, а в другой ——достигает своего минимального значения, которое, очевидно, отрицательно. Ясно также, что обе точки находятся вблизи значений а 〜 1, т.е. Н 〜Нс . На рис* 8.7 изображен график функции /(п, а) для состояния п = 1, рассчитанный по формуле (8.112). Заметим, что изменение знака АММ электрона было впервые об™ наружено в группе И.М. Тернова [12] и позже подтверждено в работе [59].
Рис. 8.7. Поведение аномального магнитного момента электрона в сверхсильном магнитном поле для п = 1
Таким образом, аномальный магнитный момент электрона имеет ярко выраженную динамическую природу, являясь нелинейной функцией энергии частицы и напряженности магнитного поля.
Заключение. Развитие теории квантовых процессовв сильных внешних полях
Мы показали, что движение релятивистских электронов в сильном магнитном поле сопровождается рядом фундаментальных эффектов: квантовые флуктуации мощного синхротронного излучения приводят к уширению квазиклассических макроскопических орбит в циклических ускорителях и накопителях, а также к преимущественной поляризации электронов высокой энергии против направления внешнего магнитного поля. В сверхсильном магнитном поле спектр синхротронного излучения радикально отличается от классического спектра, при этом переходы релятивистских электронов на низколежащие уровни Ландау вносят существенный вклад в его формирование. Значительно изменяются электромагнитные свойства и самого электрона: его АММ нелинейно зависит от напряженности поля и энергии электрона.
Недавнее развитие теории синхротронного излучения открывает новые перспективы его использования в различных областях науки и техники. Более того, на основе квантовой теории синхротронного излучения быстро развивается общая теория электромагнитных и слабых взаимодействий элементарных частиц в сильных внешних полях и ее приложения как в физике
частиц на современных ускорителях, так и в астрофизике и космологии (например, процессы в нейтронных звездах, при взрывах сверхновых, а также в ранней Вселенной) [см., например, обзор [60]].
Рассмотрим кратко основные результаты, полученные в последнее время.
Построена теория нейтринного синхротронного излучения в сверхсильном магнитном поле ——испускания электронами высоких энергий нейтрин- антинейтринных пар. Развита теория электродинамических процессов выс™ ших порядков по константе связи во внешних электромагнитных полях (тормозного излучения электрона на ядре, фоторождения пар на ядре, рождения пар несколькими фотонами) с учетом поляризационных эффектов и с использованием эффективных методов расчета, обобщающих методы квантовой теории синхротронного излучения [45].
Эта теория широко используется при расчете физических эффектов, сопровождающих прохождение частиц высоких энергий через кристаллы, напряженности внутренних электрических полей которых значительно пре™ восходят обычные лабораторные значения [61].
Построена теория резонансных процессов в поле электромагнитной волны, обусловленных выходом промежуточных частиц на массовую обо™ л очку: тормозного излучения электрона, фоторождения электрон-позитрон- ных пар на электроне и на ядре.
Исследованы процессы рождения пар заряженных частиц (бозонов и фермионов) частицей, движущейся во внешнем магнитном поле. Показано, что в области высоких энергий и сильных полей такие процессы оказываются эффективными механизмами рождения частиц, что представляет большой интерес для приложений в астрофизике.
Построена теория электромагнитных свойств массивных дираковских и майорановских нейтрино, движущихся во внешних электромагнитных полях; исследовано рассеяние нейтрино в неоднородных магнитных полях и указаны возможные астрофизические эффекты.
Исследованы процессы рождения новых частиц (фамилонов, аксионов, суперчастиц), существование которых предсказывается различными теориями, обобщающими стандартную модель взаимодействий элементарных частиц. Предложены новые механизмы энергетических потерь замагничен- ной нейтронной звезды на основе следующих процессов: синхротронного излучения пары фотино, распада электрона на мюон и фамилон, синхротронного излучения аксионов, комптоновского рождения и примаковского фоторождения аксионов в сильно замагниченном вырожденном реляти™ вистском электронном газе в коре звезды, а также тормозного излучения аксионов при рассеянии электронов в магнитном поле абрикосовских нитей (флюксоидов), несущих один квант магнитного потока, в условиях сверх™ проводящего ядра нейтронной звезды. С помощью астрофизических методов были получены ограничения на константы связи этих новых частиц с известными частицами (лептонами и фотонами).
Методы теории квантовых процессов во внешних полях используются и в современной калибровочной теории сильных взаимодействий ——квантовой хромодинамике (КХД), вакуум которой характеризуется сильными
флуктуирующими глюонными полями. Этими методами были исследованы различные физические эффекты при распространении фотонов, кварков и глюонов в непертурбативном вакууме КХД.
В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области кван・ товой теории поля с учетом внешних условий, которые включают, наряду с сильными внешними калибровочными полями, конечные температуру и плотность среды. Некоторые из недавно полученных в этой области результатов, включая отмеченные выше, изложены в обзорных статьях [60, 62] и в книгах [63, 64].
ГЛАВА 9
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХЭЛЕКТРОНОВ В КОСМИЧЕСКИХМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ1
Введение
Важность излучения релятивистских электронов в астрофизике была осознана более 40 лет назад, когда синхротронное излучение было исполь™ зовано для объяснения происхождения диффузного Г алактиче ского излучения и нетеплового спектра некоторых объектов, из которых наибольшее значение имел остаток сверхновой в Крабовидной туманности. Большой шаг в понимании механизмов происхождения синхротронного излучения от различных астрономических объектов, имеющих как звездоподобную, так и диффузную природу связан с именами X. Альфвена и Н. Герлофсо» на [1], К.О. Кипенхойера [68], В.Л. Гинзбурга [38], Г.Г. Гетманцева [37], И.С. Шкловского [124, 125], И.М. Гордона [50], чьи пионерские работы да™ ли толчок возникновению большого количества работ, где синхротронное, а позднее и синхро-комптоновское излучение использовалось для моделирования излучения активных ядер галактик (АЯГ), квазаров, пульсаров и многих других обычных и экзотических объектов Вселенной (см. [42,126]).
Основным признаком синхротронной природы излучения, приходящего из космоса, является его нетепловой спектр, который формируется, когда релятивистские электроны инжектируются в область с сильным магнитным полем. В условиях разряженной плазмы, когда столкновениями можно пренебречь, произвольное распределение релятивистских электронов быстро трансформируется в степенное распределение вследствие потерь энергии на синхротронное излучение, что в свою очередь приводит к формированию степенного распределения излучаемой радиации [37, 63]. Другой отличительной чертой синхротронного излучения является его поляризация, которая была открыта в оптическом излучении Крабовидной туманности [33, 52] после ее теоретического предсказания в [39, 50].
Открытие пульсаров [115] и их теоретическое отождествление с быстро вращающимися нейтронными звездами с сильным (1012 Гс и более) магнитным полем произошло почти одновременно с появлением гипотезы, что излучение очень сильных электромагнитных волн нейтронной звездой происходит вследствие ее вращения, как несоосного магнитного диполя [90]. Электроны ускоряются до ультра-релятивистских энергий в электрическом поле этой волны и теряют энергию двигаясь в магнитном поле. При этом
/С Бисноватый-Коган, О.В. Шорохов. (Работа частично поддержана грантом РФФИ 99=02/8180, грантами ИНТАСЕСО 120 и ИНТАС 00Л91. Институт Космических^ Исследований, Профсоюзная 84/32, Москва 117810.)
они излучают на частоте много выше чем частота исходной сильной волны, чья величина порядка Гц. Это излучение является результатом взаимодействия электронов с электромагнитной волной и поэтому его можно назвать комптоновским излучением. Однако вследствие большого количества коге™ рентных фотонов в сильной волне это излучение можно также трактовать классически, и тогда оно обладает всеми свойствами синхротронного излучения. Сейчас возникает понимание того, что возможно плазма вокруг пульсаров препятствует формированию столь сильных электромагнитных волн, так что этот вопрос до конца еще не выяснен.
Мы рассмотрим различные проявления синхротронного излучения в астрофизике, делая основной акцент на рентгеновских источниках, сверхновых, остатках сверхновых, активных ядрах галактик и квазарах, в которых происходят наиболее интенсивные процессы и которые находятся в центре интересов современной астрофизики.
Спектры синхротронного излученияот внеземных источников
Заряженная частица (электрон), двигаясь со скоростью v в магнитном поле В с углом 0 между v и В следует [44, 46] спиральной траектории со следующим радиусом проекции орбиты на плоскость, перпендикулярную к В:
V sin <9 mcv sin <9小、
rB = = 一/得(9」)
Угловая частота вращения ш石 электрона с энергией Е в магнитном поле В равна
еВ тес2 тес ЕеВ тес2 тес Е(92)(92)
еВ тес2 тес Е
еВ тес2 тес Е
(92)
(92)
Ультрарелятивистский электрон, двигаясь в магнитном поле, излучает дис™ кретный спектр кратный частоте [46]
шв =шв =sin2 <9 *sin2 <9 *Максимум энергии излучается на частоте [74]Максимум энергии излучается на частоте [74](9*3)(94)(9*3)(94)
шв =
шв =
sin2 <9 *
sin2 <9 *
Максимум энергии излучается на частоте [74]
Максимум энергии излучается на частоте [74]
(9*3)
(94)
(9*3)
(94)
Потери энергии электрона I (эрг/с) в магнитном поле даются выражением
2e4Bi V2 — 2е4В130,湿5 1 — &2/产一3m!c32e4Bi V2 — 2е4В130,湿5 1 — &2/产一3m!c32При 石》теС2；V2/С2 При 管《С"2При 石》теС2；V2/С2 При 管《С"(9,(9,
2e4Bi V2 — 2е4В1
30,湿5 1 — &2/产一3m!c3
2e4Bi V2 — 2е4В1
30,湿5 1 — &2/产一3m!c3
2
При 石》теС2；
V2/С2 При 管《С"
2
При 石》теС2；
V2/С2 При 管《С"
(9,
(9,
Различают два (иногда три) режима излучения в зависимости от разницы между шв и штах. Для нерелятивистских электронов с и《с, тс2 эти частоты совпадают и практически вся энергия излучается в линии на частоте шо = еВ/тес. Эта частота называется циклотронной, также как и соответствующий режим излучения. Для ультрарелятивистских электронов с 石》mec2 имеем штах》公石；зтот дискретный спектр может быть приближенно рассмотрен как непрерывный, синхротронный спектр синхротронного излучения. В астрофизике встречаются ситуации, когда магнитотормозное излучение генерируется электронами с 石〜mec2. Дискретный спектр такого излучения состоит из множества гармоник, чем отличается от обеих предыдущих случаев. Этот тип излучения иногда называется гиро- синхротронным излучением [117]. Для последнего случая мы также будем использовать термин «циклотрон».
Спектр электрона, вращающегося со скоростью и, состоит из гармоник частоты шв из (9.2), со следующим распределением энергии по гармоникам 【74]:
(9£)(9£)
(9£)
(9£)
В циклотронном пределе nv《с, используя [32] асимптотики функций Бесселя /, получаем
(9*7)(9*7)е4В2/ n \ / 2nv \ 2n+1
(9*7)
(9*7)
n mlc2v22nr(2n + 1) (2 冗+1 丿(с 丿
27r mec2 шс27r mec2 шсK5/^z)dz.K5/^z)dz.Для очень маленьких и практически все излучение происходит на первой гармонике на частоте шд. При п = 1 (9.7) совпадает с нерелятивистским пределом (9.5). Случай nv с рассмотрен в [74]. Предел синхротронного излучения для релятивистского электрона наиболее интересен. В этом случае разница между гармониками так мала, что используется приближение непрерывного спектра с распределением энергии по частоте [74]:
27r mec2 шс
27r mec2 шс
K5/^z)dz.
K5/^z)dz.
(9用)
Здесь
ЗеВ2mecЗеВ2mec
ЗеВ
2mec
ЗеВ
2mec
пропорциональна штах из (9.4). Функции Макдональда K?(z) имеют следующие асимптотики [6]:
{
7不]〉при z》1,
(9.10) при…
Для ансамбля электронов с распределением по энергиям п(Е) спектр синхротронного излучения определяется интегрированием по ансамблю:
几= 几n(е^Е,几田=^.(9.11)
о
Заметим, что максимум синхротронного излучения от ультрарелятивист- ского электрона находится на частоте што ^ 0,29cde. Здесь мы рассматриваем только изотропные распределения п(Е) ине принимаем во внимание анизо™ тропию, обусловленную наличием крупномасштабного магнитного поля. В последнем случае можно использовать для оценок величину В± ;
Распределение электронов с концентрацией Ne в источниках нетеплового излучения часто описывается степенным законом на интервале энергий Emin < 石 < Emax
加石)=4巾2/(夕)=АеЕ^е с 7е > 1； ± = "「*： J (9.12)
石 2 = р2с2 + т^с^.
Подставляя (9.8), (9.12) в (9.11), получаем спектр синхротронного излучения электронов со степенным распределением по энергиям. Для упрощения вычисления спектра можно с хорошей точностью при ш < t/2(7e)х X Шс (-Е/тах) = У2 (,Уе}^с max = ^max И ГфИ Cd > у± ^е^^с (-^min) = У1 ("Те) XGcmin 三 Gmm интегрировать по dE от 0 до сю вместо интервала (石min, ^max). Это возможно в силу очень малого количества электронов с Е > > Етах И очень МИЛОГО ВКЛЯДа В излучение электронов С 石 < Emin* Что касается спектра синхротронного излучения при Gmin < s < штах, то он имеет степенной характер [44]:
27г7е + 112 丿
X ГX Г/3?е + 19/3?е + 19Зе —D/28,+D/21)/2*(9」з)Зе —D/28,+D/21)/2*(9」з)
X Г
X Г
/3?е + 19
/3?е + 19
Зе —D/2
8,+D/21)/2*(9」з)
Зе —D/2
8,+D/21)/2*(9」з)
Для больших частот (ш》шстах) из (9.11), используя (9.12) и асимптота™
ческие выражения (9.10), получаем спектральное распределение
(9*14)(9*14)
(9*14)
(9*14)
Формулы (9.13), (9.14) верны для однородного магнитного поля. Для хаотического магнитного поля поток 几 определяется после усреднения по углам следующим выражением [44]
з / ч \(Te — i)/2
几=2人。(匂^ (寸)8(…/2「-)/2.(9.15)
Коэффициент а(7е) определяется как
G = 2(Г (^2^) г (Г) х
X 8^(7е + 1)Г, (9」6)
где для различных значений 7е
12а()е)0,2830,103勿(Те)0,801,8^2(7в)0,000450,03212а()е)0,2830,103勿(Те)0,801,8^2(7в)0,000450,0323450,07420,07250,09222,73,44,00,180,380,653450,07420,07250,09222,73,44,00,180,380,65
1
2
а()е)
0,283
0,103
勿(Те)
0,80
1,8
^2(7в)
0,00045
0,032
1
2
а()е)
0,283
0,103
勿(Те)
0,80
1,8
^2(7в)
0,00045
0,032
3
4
5
0,0742
0,0725
0,0922
2,7
3,4
4,0
0,18
0,38
0,65
3
4
5
0,0742
0,0725
0,0922
2,7
3,4
4,0
0,18
0,38
0,65
Ю = +3"хрЮ = +3"хрдается выражением [10, 27]дается выражением [10, 27]
Ю = +3"хр
Ю = +3"хр
дается выражением [10, 27]
дается выражением [10, 27]
Спектр синхротронного излучения релятивистской максвелловской плазмы с распределением
(9.17)
где j = Е/^ШеС2), В двух предельных случаях интеграл в (9.18) можно вычислить, используя метод перевала [27] для высоко энергетического предела:
Г1
— Go z exp — I — I ,%》1；
j.= < c一 」(9.19)
早/6
[—Г(4/3)Г(5/3)z《1,
Излучательная способность для синхротронного излучения
后石=J3dз = In(E)dE(9.20)
о0
максвелловской плазмы получается [27] путем интегрирования с использованием (9.5):
E右=2上e届上^0,53T炉 3ргг:ет(92)
р с тес^р
для кТ《те(? (нерелятивистский циклотрон):
期=8上e廟(与)[321L。』t2京зретут (922) р с \тес^ /р
для кТ》тес2 (релятивистское синхротронное излучение). Нерелятивист™ ское максвелловское распределение используется при получении (9.21):
4Я =(923)
Синхротронное излучение системы электронов: спектры и их эволюция
Эволюция функции распределения системы электронов во внешнем магнитном поле. Задача об эволюции системы электронов во внешнем однородном магнитном поле с заданным начальным угловым распределением и распределением по энергиям была детально рассмотрена в работе [63]. Двигаясь вдоль силовых линий по винтовым траекториям, электроны теряют энергию за счет магнитно-тормозного излучения. Угол между вектором скорости электрона и направлением магнитного поля (питч-угол)
также уменьшается, и распределение со временем приобретает сильно анизотропный характер.
Однако составляющая скорости вдоль магнитного поля 管“ остается постоянной (см. [41]):
管 Н = vz = const,(9.24)
а составляющая, перпендикулярная полю, убывает:
方丄=—4u丄，1 一管2,где Л =一(9.25)
(Здесь и далее в этой главе с = 1.)
Рассмотрим однородную в пространстве систему электронов, помещенную во внешнее магнитное поле. Число п частиц в единице объема можно записать в виде
n = Np(p,力)d/,(9.26)
где N(p,力)——«плотность» в фазовом пространстве. Вводя сферические координатыр, 0, g в фазовом пространстве и предполагая аксиальную сим™ метрию, получаем
п = 2тг 7Vp(p, 0, t^p2 sin 0 dp d0.(9.27)
Для Np выполняется «уравнение непрерывности в пространстве импульсов»:
^ + vp 第=0"(928)
Следуя [28], введем переменные @, u, д, которые связаны с декартовыми переменными рХ1ру, pz соотношениями
Р = JpI +Ру +р! , 口 =,(9*29)
cos д翼 二,sin д二.
+ PyVp^ + Ру
Движение электрона в координатах р, u, g задается следующими уравнениями:
心=0, 0 = —си,(9.30)
dp Л，@2 + т,2(@2 _ 疗红2) dt т р (1 + и2)“
Учитывая (9*29), (9.30) и предполагая аксиальную симметрию:
dNp
легко показать, что (9.28) перейдет в уравнение
dNp 1 а出 0，р2 + т,2 纱dNp 1 а出 0，р2 + т,2 纱、0，02 + 爲2^) = 0.、0，02 + 爲2^) = 0.(9.32)(9.32)
dNp 1 а
出 0，р2 + т,2 纱
dNp 1 а
出 0，р2 + т,2 纱
、0，02 + 爲2^) = 0.
、0，02 + 爲2^) = 0.
(9.32)
(9.32)
Переходя от Np к Ne (согласно соотношению Ne = pENp), можно переписать (9.32) в виде
dNE “石2 — m2 а Л E dE、dNE “石2 — m2 а Л E dE、(9.33)(9.33)
dNE “石2 — m2 а Л E dE、
dNE “石2 — m2 а Л E dE、
(9.33)
(9.33)
В литературе [63, 89] часто используется уравнение
+=0,+=0,(934)(934)
+=0,
+=0,
(934)
(934)
которое является ультрарелятивистским пределом (9.33). Решая (9.32), с учетом (9.30) находим
Np(p,u,t} = N^(p0,u)Np(p,u,t} = N^(p0,u)(届 +п?)(届一П?1?) (p2 + m,2)(p2 — m2u2)(届 +п?)(届一П?1?) (p2 + m,2)(p2 — m2u2)(9"35)(9"35)
Np(p,u,t} = N^(p0,u)
Np(p,u,t} = N^(p0,u)
(届 +п?)(届一П?1?) (p2 + m,2)(p2 — m2u2)
(届 +п?)(届一П?1?) (p2 + m,2)(p2 — m2u2)
(9"35)
(9"35)
где 0 и 0o связаны легко получаемым из (9.30) соотношением
arccthf= arccth (—「(936)
Вводя сферические координаты p,仇夕 и переходя от Np к NE, имеем
№(Б,^ J) = <(^О,^о)№(Б,^ J) = <(^О,^о)
№(Б,^ J) = <(^О,^о)
№(Б,^ J) = <(^О,^о)
/ 厌—n? / sin ^o \ 2 (石2 — n?) siif £ + m2)
X V( sin <9 丿(E^ — m2) sin2 & + m2 '*
Здесь 7Vl (石。，О。)——начальное распределение электронов по углам и энергиям, а начальные энергия 石о(石,0,£) и угол 0()(石,0，力)определяются из соотношений
.I Е \ 力力./ Ео
(9*38)(9*38)arccth I I = — + axccth I
(9*38)
(9*38)
7II\吟
tg。= tg6»0 —tg。= tg6»0 —N E” m2*N E” m2*=tg°o=tg°o(9.39)(9.39)
tg。= tg6»0 —
tg。= tg6»0 —
N E” m2*
N E” m2*
=tg°o
=tg°o
(9.39)
(9.39)
гдегде
где
где
7ц (Е/) = sin2 6 + () cos2 6.(9.40)
Из уравнения (9.38) получим предельное значение энергии, которой могут обладать электроны, летящие под углом 6 в момент времени t. Для того чтобы энергия 石о в (9*38) была положительна, требуется положительность следующей величины:
(941)(941)/ Е \ At с
(941)
(941)
aTceth I扌 0电
\叫1I/ 7ц -
ЯгЯг叫II叫IIТо есть 石 < 石仃(仇力)，где Ecr — корень уравнения
Яг
Яг
叫II
叫II
(942)
Физический смысл величины ЕСТ состоит в следующем: электроны высве™ чивают свою энергию таким образом, что в момент времени t все электроны, движущиеся под углом 仇 не могут иметь энергию, превышающую Ecr(B^ t).
Из (9.42) видно, что при /〃» « 1
(943)(943)туй
(943)
(943)
石。十》呷卜
а при /〃％》1а при /〃％》1石сг Ш7|| (1 + 2& —24"%) ”石сг Ш7|| (1 + 2& —24"%) ”(9.44)(9.44)
а при /〃％》1
а при /〃％》1
石сг Ш7|| (1 + 2& —24"%) ”
石сг Ш7|| (1 + 2& —24"%) ”
(9.44)
(9.44)
Если 石》m7||, что выполняется при 4力/)“ « 1 (см. (9.43), (9.44)), то из формулы (9.42) следует равенство
Е ^Е ^石01 + 石。/ Ecr石01 + 石。/ Ecr(9.45)(9.45)
Е ^
Е ^
石0
1 + 石。/ Ecr
石0
1 + 石。/ Ecr
(9.45)
(9.45)
Излучение системы электронов во внешнем магнитном поле. Интенсивность ①幻 синхротронного излучения системы электронов на частоте ш в момент времени t можно подсчитать с помощью формулы
①з«) = ] ] N(E 从 WE,ff)dEdQ =
тг/2
(9.46)(9.46)=27rN(E,0, t)Iw(^, ^) sin OdEdO,
(9.46)
(9.46)
— 7t/2 ТП
где 几(％ 石)一вклад одного электрона, a dQ = 27r sin OdO — элемент телес™ ного угла. В работах [28, 63] вычислены спектры для начального степей™ ного распределения электронов по энергиям. Показано, что спектр имеет степенной характер с изломом на частоте 以匕 〜力一 ？：
①з9Т)/2,(9.47)
①出 〜ОT9 -D/2@产)一9+5)/6,》g岳(9.48)
Кроме того, в работе [28] рассмотрены вклад релятивистского дкпольно- го излучения в спектр полного излучения системы электронов и влияние неоднородности магнитного поля на спектр излучения. Учет неоднородности магнитного поля выполнен феноменологически путем введения мк- нимального питч-угла(9min ^ 2/А, дце R — масштаб неоднородности, зк- Бивалентный радиусу кривизны поля; Z = с力 « А ——характерная длина пробега частиц. Последнее приводит к экспоненциальному завалу спектра на больших частотах:
①⑴ ⑴〜П = e^/R\(9.49)
Асимптотическая функция распределения электронов при 力 т оо. С учетом того, что движущийся электрон обладает интегралом движения (у него сохраняется составляющая скорости, параллельная направлению магнитного поля: q〔 = const) [41], можно поставить вопрос о нахождении асимптотической функции распределения электронов (по про дольным скоростям) при 力 т ос [56, 103].
Поскольку q 二 const, а импульс электрона р асимптотически стремкт- ся к Poo = 7nqi (J1 — uj) при 力 т ос, удобно в качестве одной из переменных выбрать 虱(а*), где и ——произвольная функция. Следуя [29], перейдем к координатам р,虱，夕，где
и =и =©II©II
и =
и =
©II
©II
Тогда число частиц в единице объема
п(г)=п(г)=1(1 + М)3/21(1 + М)3/2Np(p〉w, 92, t~)py р2 + m2 dpdudkp.Np(p〉w, 92, t~)py р2 + m2 dpdudkp.(9.50)(9.50)
п(г)=
п(г)=
1
(1 + М)3/2
1
(1 + М)3/2
Np(p〉w, 92, t~)py р2 + m2 dpdudkp.
Np(p〉w, 92, t~)py р2 + m2 dpdudkp.
(9.50)
(9.50)
Здесь область интегрирования — {0 < 夕 < 2тг, |р| > т]и\^ ри > 0}.
Для аксиально™симметричных распределений с использованием функ™ ции Nu имеем
п =п =Nn du,Nn du,(9.51)(9.51)
п =
п =
Nn du,
Nn du,
(9.51)
(9.51)
где
Nz (虱，力)=q+j；)3/2Np(p,u,t) Vp2 + ^2P Ф-(952)
{pu>O,|p|>m|u|}
Поскольку M = 0, to Nu = 0 и в (9.52) можно использовать Np(p^ и, t) в произвольный момент времени, в частности, при 力=0* Так как р т ти при 力 т ос, то в этом пределе Nu является асимптотическим распределением. Если начальное распределение изотропно, то (9.52) можно переписать в виде
Nu =(1 +：；)з/2然(夕)，@2 +m2Pd卩(9.53)
Для электронов в начальном изотропном распределении, которые удовле™ творяет условиям
р»т, рц <р,(9.54)
имеет место простое асимптотическое распределение [103]:
T 豆(1 + 吟3广2"(955)
Аккреция замагниченного газа на черную дыру
Эволюция массивных звезд с М》М0 проходит через стадии горения водорода, гелия, углерода, кислорода и т.д., вплоть до формирования в цен™ тре ядра из наиболее стабильной железной группы элементов. Последую™ щая трансформация элементов протекает с поглощением энергии вместо выделения энергии на предыдущих стадиях. Интенсивные потери энергии, в основном за счет нейтринного излучения, при этом не компенсируются, рост давления оказывается недо статочным для поддержания равновесия звезды в ее собственном гравитационном поле, и сжатие звезды ускоряется. Такое сжатие переходит в коллапс в режиме свободного падения, чей итог зависит от массы коллапсирующего тела.
Если масса сжимающегося ядра превосходит определенную предель™ ную массу, которая лежит примерно между 2 и 3 массами Солнца, коллапс невозможно остановить и возникает черная дыра, которая представляет собой объект, имеющий чрезвычайно сильное гравитационное поле с гравитационным потенциалом 夕仃 〜cZ Возможность ее существования была в свое время предсказана общей теорией относительности. Свойства чер™ ных дыр описаны во многих книгах (см. например, [59, 87]). Наиболее важное для наблюдения свойство черной дыры заключается в следующем: она в принципе ничего не излучает, так что в вакууме она может быть обнаружена только делая невидимым какой-нибудь известный источник света.
Однако пространство между звездами и галактиками заполнено газом, ко™ торый, падая на черную дыру, нагревается и излучает, делая последнюю в принципе наблюдаемой. Наиболее сильная аккреция и наилучшие уело вия для наблюдения возникают в случае, когда черная дыра включена в двойную систему, и вещество перетекает от соседней звезды на черную дыру. Таковыми являются рентгеновские источники в двойных звездных системах — кандидаты в черные дыры: Лебедь Х-1, LMCX-1, А0620-00, 4U1658-48(GX339-4) и другие [1181，
Ниже мы обсудим модели аккреции на черные дыры, в которых ва* ную роль играют магнитное поле и синхротронное излучение (см., напри™ мер, [13]). Все они являются гидродинамическими, т.е. предполагается, что средняя длина пробега частиц меньше радиуса звезды. В сильно ионизован™ ной межзвездной среде это условие выполняется вследствие запутывания траекторий электронов и ионов в магнитном поле, тогда как в двойных ск- стемах, где плотность высока, длина пробега определяется Кулоновскими столкновениями и также мала.
Сферически симметричная аккреция. В случае сферически- симметричной аккреции поток проходит через звуковую точку в седловой сингулярности системы гидродинамических уравнений [59]. Условия про хождения через звуковую точку однозначно определяют поток массы М и все его свойства при данных % и 00cl. Адиабатический поток в гравитационном поле точечной массы может пройти через звуковую точку, только если адиабатический индекс 71 < 5/3. Теория адиабатической аккреции рассмотрена в [59]. В дальнейшем мы обсудим поток проходящий через звуковую точку и являющийся сверхзвуковым вблизи центра гравитации.
Исследования сферически-симметричной аккреции межзвездного газа на черные дыры показали, что при наличии магнитного поля, вмороженно™ го в плазму, эффективность преобразования кинетической энергии в тепло достигает 〃^ 10 % [121], тогда как в случае отсутствия магнитного поля тормозное излучение обуславливает очень малую эффективность аккреции: 〃 10™8. Когда газ падает радиально, линии магнитного поля вытягива™ ются вдоль радиуса, Вг 〜г^2, и магнитная энергия на единицу объема Ем 〜В2 〜 厂4 возрастает быстрее, чем кинетическая энергия 石kin 〜 〜pv2 〜Mv/r2 〜丁―5/2 (八7 = 4开，2疗2 ——стационарный поток массы, ⑵ 〜 厂1/2 — скорость свободного падения). Поскольку энергия Ем 巾кзк- чески не может превышать 石kin, в [121] было предположено, что равное распределение энергии Ем 弋 石kin поддерживается благодаря диссипации магнитной энергии, избыток которой идет на нагревание плазмы. Этот нагрев, рассмотренный в [23], и приводит к увеличению эффективности г] до 30 %, что может быть принято как реалистическая оценка при сделанных приближениях.
Если Ем 〜丁―4 — энергия магнитного поля без диссипации, а 石"= =Ek® 〜丁一5/2 — энергия магнитного поля в потоке, то увеличение энтро™
пии на единицу объема вдоль радиуса вследствие аннигиляции в стацио™ нарном потоке дается формулой
Qm =Qm =мм
Qm =
Qm =
м
м
—4 Ем 5 Ем _ з В2
=—4И з= —(9*56)
г 2 T 2T 87r
Рассмотрим раздельно области с нерелятивистскими: kT « тес2, 71 = 5/3,
и релятивистскими электронами. Заметим, что протоны всегда полагаются нерелятивистскими:
kT》тес2,рЕ=^Р+^=^Р = пР,(9.57)
71 = 1 Н— = 13/9.
Здесь Ре = Рр = 1/2Р, 71 = (У) — показатель адиабаты [73], п — индекс адиабаты. Кроме того, для простоты мы рассматриваем водородную плазму. Подставив в уравнение энергетического баланса:
dEР dp _ Qmев巾
dru ar pvr
где £ в [эрг-г™1^™1]——скорость магнитотормозных потерь максвелловской плазмы, выражения
В2 19/2GATВ2 19/2GAT丄3'丄3'(959)(959)
В2 19/2GAT
В2 19/2GAT
丄3'
丄3'
(959)
(959)
а также в в из (9.21) для кТ <^тпес2 (нерелятивистский случай) ивв из (9.22) для kT》тес2 (релятивистский случай), получаем уравнения
(960)(960)3 dT 3 Г 3 ^GM ГМ _
(960)
(960)
2 dr 2 г 4 冗gT? ' R對2
для kT « me(? (нерелятивистский случай),
9 dT 3 Г 3 a22GAГ 八Т2М 八
4 d? + 27 + 4 ^7^ — 22 1°寸=°
для kT》тес2 (релятивистский случай).
Здесь 冗g = 2к/тр ——газовая постоянная для ионизованного водорода. При заданных значениях рт, Т^, М поток массы определяется выражением
М = ^pvrr2М = ^pvrr2Роо 10-24 г • см-3Роо 10-24 г • см-3Too104 кToo104 к— 3/2
М = ^pvrr2
М = ^pvrr2
Роо 10-24 г • см-3
Роо 10-24 г • см-3
Too
104 к
Too
104 к
(9.62)
Пренебрегая излучением в (9.60) и адиабатическим нагревом в (9.61), на-
ходимходимТ = 2」0—7"%(*^)Т = 2」0—7"%(*^)(9.63)(9.63)
ходим
ходим
Т = 2」0—7"%(*^)
Т = 2」0—7"%(*^)
(9.63)
(9.63)
в нерелятивистском случае и
к1 6矶竄一富0)+ ］，к1 6矶竄一富0)+ ］，(9.64)(9.64)
к1 6矶竄一富0)+ ］，
к1 6矶竄一富0)+ ］，
(9.64)
(9.64)
в релятивистском случае. Здесь
/ т 、一3/4 /、—1/2。 = 1，3e/№产(韬)曲)/ т 、一3/4 /、—1/2。 = 1，3e/№产(韬)曲)(9.65)(9.65)
/ т 、一3/4 /、—1/2
。 = 1，3e/№产(韬)曲)
/ т 、一3/4 /、—1/2
。 = 1，3e/№产(韬)曲)
(9.65)
(9.65)
Величина ж0 слабо зависит от A, 00cl и для разных значений а равна
а2
1
1/3
1/10
對
2•10"4
5•10"4
1,2 • 10"3
Когда ж = £(), мы имеем Т = те(?/к и решения (9.63), (9.64) сшиваются друг с другом. Светимость и спектр для этой модели были вычислены в [23]. Светимость из-за магнитотормозного излучения в основном определяется релятивистскими электронами из (9.64) и равна
刀石==
а < 1а < 1а》1.а》1.
а < 1
а < 1
а》1.
а》1.
Сравнивая это выражение с (9.62), мы находим при реалистическом значении се2 = 1/3 величину 〃 二 Lb/Мс2 < 30 %. Приближенный спектр
излучения 厶з (厶石 二 厶公 dw) черной дыры с массой М = 1ОМ0 дан на о
рис. 9.1 [13]. Область с 厶出 〜ш3/5 связана с излучением нерелятивистских электронов; при kT》тес2 и Вш « кТ имеем 厶公 〜ш1/3, тогда как при Вш Вшвшах{кТ1/те(?')2 〜10 эВ для р1ЭО = 10一24「см~?, Тт = Ю4 К, Вшах 〜1()5 Ге возникает экспоненциальный завал. Видимая величина ту для такой черной дыры в предположении плоского спектра [23] есть
mv = 4,8 — 2,5 IgL/ О L + 51g(A/10 пс) 14,1 — 7,51gM/M0^
一2'5垓](杀)(n)-/；ем.3)+5眩(誅)• (9-67)
В случае высокой светимости при большой плотности вещества роль тор™ мозного излучения возрастает и становится существенным взаимодействие аккреционного потока с исходящим потоком излучения, вследствие чего меняются уравнения (9*60)—(9*67)*
Рис. 9.1. Спектр магнитотормозного излучения черной дыры с массой 10 М0 при сферически-симметричной аккреции с хаотическим магнитным полем при 00G = 10™2 г • см™3, Too = 104 К, а2 = 1/3. Сплошная линия представляет асимптотические зависимости, штриховые линии являются экстраполяциями [13]
Приведенное рассмотрение предполагает, что равнораспределение установлено в любой точке потока. В реальности аннигиляция магнитного поля в потоке может происходить дискретно и приводить к формированию ударных волн [26]. Последнее служит причиной того, что эмиссионный
спектр будет отличается от изображенного на рис. 9.1 даже при низкой све™ тимости, следовательно этот спектр можно считать лишь грубой оценкой.
GMGMАккреция в упорядоченном магнитном поле. Если характерный масштаб неоднородно стей магнитного поля намного превышает аккреционный радиус
GM
GM
(9.68)
(&% — скорость звука в газе), то поток более не является сферически™ симметричным. В случае однородного магнитного поля аккреция обладает цилиндрической симметрией. Для покоящейся черной дыры устанавлк- вается стационарная картина магнитных силовых линий, когда вещество течет вдоль них и формирует диск в плоскости симметрии. Качественная картина потока показана на рис. 9.2. При большой, но конечной проводимо™ сти вещество диска медленно просачивается через линии магнитного поля по направлению к черной дыре. Процесс формирования, структура диска, поддерживаемого магнитным полем, и его излучение были рассмотрены в [12, 24].
Рис. 9.2. Схематическая картина магнитных силовых линий в веществе при аккреции на черную дыру (магнитное поле однородно на бесконечности) с учетом влияния искажений, вызванных электрическими токами в диске. Стрелки указывают направление движения газа, заштрихована область плотного аккреционного диска [23, 24]Рис. 9.2. Схематическая картина магнитных силовых линий в веществе при аккреции на черную дыру (магнитное поле однородно на бесконечности) с учетом влияния искажений, вызванных электрическими токами в диске. Стрелки указывают направление движения газа, заштрихована область плотного аккреционного диска [23, 24]
Рис. 9.2. Схематическая картина магнитных силовых линий в веществе при аккреции на черную дыру (магнитное поле однородно на бесконечности) с учетом влияния искажений, вызванных электрическими токами в диске. Стрелки указывают направление движения газа, заштрихована область плотного аккреционного диска [23, 24]
Рис. 9.2. Схематическая картина магнитных силовых линий в веществе при аккреции на черную дыру (магнитное поле однородно на бесконечности) с учетом влияния искажений, вызванных электрическими токами в диске. Стрелки указывают направление движения газа, заштрихована область плотного аккреционного диска [23, 24]
Рассмотрим приближенно структуру стационарного диска. Равновесие в невращающемся диске определяется балансом между магнитными силами и гравитацией:
丁2丁21 С У 27r 产=1〃夕1 С У 27r 产=1〃夕(9.69)(9.69)
丁2
丁2
1 С У 27r 产
=1〃夕
1 С У 27r 产
=1〃夕
(9.69)
(9.69)
Здесь Е = 2hp ——поверхностная плотность, р ——средняя плотность ве™ щества, /夕 ——круговой ток, протекающий через элемент площади диска с единичной длиной вдоль г и высотой 2/г* Приближенно имеем [15]
(9.70)(9.70)ве — /处
(9.70)
(9.70)
Равновесие вдоль вертикали поддерживается градиентом давления
竺_pGM £…竺_pGM £…dz г2 г7 \GM рdz г2 г7 \GM р(971)(971)
竺_pGM £…
竺_pGM £…
dz г2 г7 \GM р
dz г2 г7 \GM р
(971)
(971)
Принимая во внимание преобразование энергии вещества, падающего на диск со скоростью, близкой к скорости свободного падения, в тепло, мы получаем поток энергии с единичной площади поверхности диска:
(9.72)(9.72)GMM4тгг3
(9.72)
(9.72)
С учетом сохранения массы для радиальной скорости получаем
ММvr =「 2Gvr =「 2G(973)(973)
М
М
vr =
「 2G
vr =
「 2G
(973)
(973)
Здесь М определяется величинами на бесконечности (9.62), R га из (9.68). В диске происходит омическая диссипация, из-за которой веще™ ство просачивается через магнитные силовые линии, и которая определяет основную часть выделяемой энергии:
47r (747r (7(974)(974)GMM
47r (7
47r (7
(974)
(974)
4仃3
где а ——проводимость. Если диск непрозрачен для излучения, энергия переносится к его поверхности посредством лучистой теплопроводности, так что приближенно выполняется равенство
(975)(975)(976)(976)асТ4 = «EF,
(975)
(975)
(976)
(976)
где Т(г)——средняя температура диска. Для прозрачного диска
2F = E(6ff + sB).
Это соотношение включает как тормозное излучение плазмы 占任，так и магнитотормозное £ в •
Уравнения (9.69)-(9.76) с известными функциями F,尤，а,占珏 к 占石 задают структуру невращающегося диска с магнитным полем вокруг черной дыры.
В ламинарном приближении диск всегда оптически толстый, электро™ ны ——невырожденные и нерелятивистские, давление в основном определяется ионизованным газом: Р = 〃冗Т, где 冗 ——газовая постоянная. Проводимость, определяемая кулоновскими столкновениями (см. [13]):
6 73/2
о = 3,31 *1()7*с—\(9.77)
Z Л、
где А 〜 10 — кулоновский логарифм. В диске можно выделить две области: Г) внешнюю область, где основную роль в непрозрачности играют процессы тормозного поглощения с
6 ■ 1022 •京 (NR)(9*78)
для нерелятивистских электронов (формула Крамерса) и с [13, 24]
р
Kff 2 • 1018 • — In，九 ©о (ультрарелятивистский случай) (9.79)
для ультрарелятивистских электронов; 2) внутреннюю область, где непрозрачность в основном определяется магнитотормозным поглощением нерелятивистских электронов с [13, 24]
«в ~ 2 • 102 • — (нерелятивистский случай). (9.80)
Отметим, что приближенное соотношение для магнитотормозной неиро зрачности, также как и для ультрарелятивистского свободно-свободного случая, получено [24] из усредненного закона Кирхгоффа, дающего соотношение между излучательной способностью q и соответствующей непро зрачностью Ki в форме соотношения
雕=АаТ4^,(9*81)
где а ——постоянная плотности излучения. Постоянная Л была найдена в [24] из хорошо известного соотношения для свободно-свободных процессов с нерелятивистскими электронами [41], дающего А ^ 170. Излучатель™ ная способность свободно-свободных электронов определяется соотноте- ниями [41]
‘6 • Ю20^1/2 (нерелятивистский случай),
2 • 1016рТ In 9 (ультрарелятивистский случай). 卜тес
Используя те же соотношения, из (9.22) для непрозрачности синхротрон™ ного поглощения ультрарелятивистских электронов получаем
冗石 3 " I。—® _ (ультрарелятивистский случай). (9.83)
Поскольку кулоновская проводимость мала, вещество медленно просачивается через линии магнитного поля и в стационарном случае масса диска оказывается большой: для черной дыры с массой М = 1ООМ0 масса стационарного диска 八厶 ~ 0,2 М0. Основная масса диска накапливается во внешней области. Внутренность диска является основным источником радиации, температура в нем достигает IdXiU к, магнитное поле — 1010.1012 ГСа Тем не менее толщина диска нигде не превышает 0,01 долей радиуса.
В приближении турбулентного диска диссипация происходит гораздо быстрее благодаря запутыванию силовых линий магнитного поля, и [24]
а = 0,1^0,01.(9.84) a^hyjP I р
Внешние области такого диска прозрачны для излучения, электроны там нерелятивистские, доминирует газовое давление, вклады потерь от тормозного излучения с €狂 из (9.82) и магнитотормозного излучения с €石 из (9.21) одного порядка. При
& = тх 100а2
электроны становятся релятивистскими и €石》€狂(см. (9.22) и (9.82)). Зона релятивистских электронов узка вдоль радиуса, т.к. оптическая толщина быстро увеличивается и диск становится непрозрачным с его уменьшением. Во внутренних областях диска при 10 < тх < 1000 доминируют газовое давление и электронное рассеяние с непрозрачностью
Kes = 0,2 (1 + zh + 号哑)/(zo),(9.85)
где zh ——массовая доля водорода, а последний член в скобках, вычисленный в [13], учитывает наличие позитронов с концентрацией п+. Функция /(ж0) приближенно учитывает поправку Клейна-Нишины к томсоновскому рассеянию в форме [13]
ч 3 Г/ 48 \ 1、181] 1
/(zo) = - I 19 I ln(l + zo) + з 4 ——=
4 L\co g,2 co 2(1 + ж0)2 J ж0
「1 — Zo при ж0 < 1,
=《3 I …г (9.86)
-—111(1 + Жо) + - при Ж0》1-
L2 _
Здесь величина ж о связана с температурой Т соотношением [13]
窃=20审0窃=20审0
窃=20审0
窃=20审0
с численным коэффициентом « ^ & При тх > 1000 основную роль в давлении играет радиация. Масса турбулентного диска всегда остается малой из-за большой диссипации и быстрого просачивания вещества через магнитное поле. Отметим, что немонотонный характер функции Т(г) возникает из-за перехода от прозрачного диска к непрозрачному с уменьшением г. Соотношения, описывающие распределения параметров для различных областей диска, даны в [24].
Поскольку при стационарной дисковой аккреции всегда есть время на то, чтобы гравитационная энергия превратилась в тепловую, светимость черной дыры с минимальным радиусом, равным 1,5 гд:
L = |мс2,(9*88)
где М берется из (9.62). Связь спектра излучения непрозрачного диска с его эффективной температурой дается соотношением
三唱=F(9.89)
локально в каждой точке поверхности диска, при условии, что энергия ударных волн полностью термализуется. Следовательно, используя (9.72), для внутренних областей диска с『《А, в которых реализуется большая часть энергии, получаем
К/(9*90)
Распределение (9.90), будучи проинтегрировано по поверхности диска, дает спектр
£(з)〜J/з(9.91)
с экспоненциальным завалом при 方з 〜кТшах, 1^1ax ~ 7 • 105 К, для М = = ЮМ©. Таким образом, несмотря на значительное различие картин потока для случайного и упорядоченного магнитного поля, для случая ламинарного диска их спектры излучения похожи и соотношение (9.67) для ту верно в обоих случаях. В турбулентном диске существует большая прозрачная область, чье магнитотормозное излучение в инфракрасном диапазоне может быть сравнимо по мощности с ультрафиолетовым и мягким рентгеновским излучением непрозрачных внутренних областей диска.
Если аккрецирующее вещество обладает внутренним угловым моментом, то намагниченный диск генерирует электрические поля, вызывающие появление релятивистских частиц [16]. Вероятно, такой механизм действует в Лебедь Х-1, галактических ядрах и аналогичен униполярной машине, предложенной для объяснения излучения пульсаров [49].
Наблюдения со спутников привели к открытию источников, основная часть излучения которых приходится на рентгеновский диапазон. Такими
источниками обычно являются двойные системы, состоящие из компактного объекта ——нейтронной звезды или черной дыры и нормальной звезды.
Синхротронное излучение в радиогалактиках, квазарах и внегалактических джетах
Дискретные источники радиоизлучения были идентифицированы на Галактическом фоне благодаря их мерцанию. Первое отождествление наиболее мощных радиоисточников Дева А и Центавр А с соседними галактиками М 87 и NGC 5128 было сделано в 1949 году [30]. После отождествления сильного радиоисточника Лебедь А с галактикой, имеющей видимую величину 15ш и красное смещение г 弋 0,06, внегалактическая природа дискретных источников была твердо установлена. Основными внегалактическими источниками радиоизлучения являются активные ядра галактик (АЯГ) и квазары. Последние могут быть прародителями АЯГ и представлять собой наиболее активную стадию их эволюции.
Точечные источники в квазарах и АЯГ часто связаны с протяженными джетами, видимыми как в радиодиапазоне , так и в оптическом диапазоне. Считается, что такие джеты, которые часто видимы как односторонние, являются результатом выброса из центрального мощного источника. Светимость джетов, тем не менее, сравнима со светимостью центрального «родительского» источника. Таким образом, джеты можно рассматривать в качестве инструмента, благодаря которому центральный источник может в несколько раз увеличить свою светимость.
Излучение от АЯГ, квазаров и джетов имеет две характерные черты, указывающие на его синхротронное происхождение: нетепловой, а иногда степенной, спектр и большую степень поляризации. В то время как центральный источник имеет сильную тепловую компоненту в оптике, УФ и рентгене, излучение джетов обычно является нетепловым во всех спектральных диапазонах, что указывает на наличие сильного ускоряющего механизма, посредством которого электроны приобретают очень большие энергии. Открытие очень жесткого (до десятков ГэВ) гамма-излучения от многих АЯГ [106, 113] указывает на то, что энергии электронов в джетах могут быть намного больше. Существует значительное количество обзоров, посвященных свойствам АЯГ, квазаров и джетов (см., например, [5, 65, 77]). Здесь мы рассмотрим свойства синхротронного излучения в этих объектах, которые важны для построения их физических моделей, а также проблему устойчивости и ускорения частиц в джетах.
Самопоглощение синхротронного излучения и оценка размера источника. В мощных источниках синхротронного излучения его спектральная интенсивность S® может достигать таких значений, при которых становится важным переизлучение. Для низких частот, когда энергия фотона много меньше энергии излучающего электрона, используя соотношение Эйнштейна для спонтанного и индуцированного излучения [44], можно написать следующее соотношение для зависящего от частоты коэффициента
поглощения изотропно распределенных электронов:
1 dSg4тг3с2S3 dxи21 dSg4тг3с2S3 dxи2(9*92)(9*92)
1 dSg4тг3с2
S3 dxи2
1 dSg4тг3с2
S3 dxи2
(9*92)
(9*92)
Для ультрарелятивистских электронов распределение по импульсу связано с распределением по энергии относительно простым соотношением 4тг/(р)р2ф = 47rf(E)E2dE, и для распределения по энергии п(Е) = =1冗石"2/(石)из (9.92) получаем
J^e^E*J^e^E*(9.93)(9.93)
J^e^E*
J^e^E*
(9.93)
(9.93)
Для степенного распределения по энергиям (9.12), используя (9.8), (9.11), находим коэффициент поглощения [44]:
Цг=дМ——(9.94)
■ те у у
Для однородного магнитного поля В в (9.94) надо положить В = 8丄,
z/37е + 2\/37е + 22\
L …)丿) (995)
где величина gi (je) для разных значений 7е равна
Те
1
2
3
4
5
gig
0,96
0,70
0,65
0,69
0,83
Для случая хаотического магнитного поля после усреднения по углам для (j(7e) получаем [46]
9 = ^2(?е)=9 = ^2(?е)=(9.96)(9.96)存 Г((7е + 6)/4)/37е + 2、/37е + 22、
9 = ^2(?е)=
9 = ^2(?е)=
(9.96)
(9.96)
к Г ((%+ 8)/4)丿 I 12 丿
со следующими значениями(j2(7e)«
1
2
3
4
5
92 (н)
0,69
0,47
0,40
0,44
0,46
С учетом переизлучения спектральный поток S® от однородного слоя толщиной dпропорционален
d
SL j 几 e^^rdr = —[1 exp(—wd](9.97)
о
Для оптически толстого слоя 4r d》1 спектр исходящего излучения
= /〜(т—l)/23(T+4)/2g —1/2 = 35/"2g —1/2"(99g)
Эта зависимость отличается от планковского соотношения для равновесного спектра черного тела, где S^ 〜ш2. Используя (9.93) для вычисления коэффициента поглощения 儿丁根 ультрарелятивистских максвелловских электронов (9.17), получаем
2 2 тт
丁启(999)
где 几‘ дается выражением (9.18). Используя (9.98) для оценки низкочастотного спектра с переизлучением, находим
〜至〜(9.100)
подобно равновесному планковскому спектру. Отличие (9.98) от равновесного спектра связано с неравновесным степенным распределением электронов (9.12).
С помощью (9.18) интеграл в (9.93) может быть взят по частям, что приводит к выражению
4『4『=тгс^^ — (тес2У9 шо '=тгс^^ — (тес2У9 шо '(9Л0Г)(9Л0Г)
4『
4『
=тгс^^ — (тес2У
9 шо '
=тгс^^ — (тес2У
9 шо '
(9Л0Г)
(9Л0Г)
которое является положительным для любого распределения п(Е). Отсюда следует важное заключение: отрицательное поглощение (излучение мазерного типа) невозможно для синхротронного излучения изотропно распределенных в вакууме частиц [89]. Влияние плазмы на распространение волн и (или) неизотропность распределения излучающих частиц может отменить это заключение.
Отметим, что мы можем применять (9.93) для вычисления переизлучен- ного спектра свободно-свободного излучения. Приближенный свободносвободный спектр электронов с энергией Е дается выражением [7]
J^E = Kff0(E^Hw), (9.102)
где
/、 fl, ДЛЯ ж > 0;
= длях<0
является функцией Хевисайда. Подставляя (9.17), (9.102) в (9.93), получаем
2炉2炉expexp7Г2С2 Ks7Г2С2 Ks_ 方31кТ 2_ 方31кТ 2(9.103)(9.103)
2炉
2炉
exp
exp
7Г2С2 Ks
7Г2С2 Ks
_ 方31
кТ 2
_ 方31
кТ 2
(9.103)
(9.103)
На низких частотах 方а《кТ имеем 儿驚 〜L? Таким образом, для ультра- релятивистского максвелловского распределения, подобно (9.99), находим
丁 IF丁 IF(9.104)
丁 IF
丁 IF
откуда, с учетом (9.97), S打 〜 必？，что согласуется с равновесным спектром. Коэффициент поглощения свободно-свободного излучения степенного распределения электронов (9.12) можно, используя (9.93), записать в виде
4f = ^^lKsAe^wY^ 〜d— (9.105)
Свободно-свободная излучательная способность степенного распределения электронов с учетом (9.1 Г) имеет вид
(9Л06)(9Л06)胃=/（方З）
(9Л06)
(9Л06)
Следовательно, мы получаем для низкочастотного спектра с переизлуче- нием С 〜曜/В 〜У. Этот спектр также имеет неравновесную форму из-за неравновесного распределения электронов.
В случае, когда синхротронный спектр источника имеет низкоэнергетический завал, возникающий благодаря синхротронному самопоглоще- нию, можно оценить угловой размер источника [99], используя данные наблюдений на более высоких частотах. Пусть ш* ——частота максимума спектра, соответствующего единичной оптической толщине для синхротронного самопоглощения. Если d — размер источника, то дг* d =仰(必*) d = 1
ии(9.107)(9.107)
и
и
(9.107)
(9.107)
Пусть 必2〉必* — частота, где самопоглощение пренебрежимо мало и
(9.108)(9.108)S®2 = d Jз? 7
(9.108)
(9.108)
awi <s* ——частота в области завала, где спектр определяется (9.98) в виде
(9.109)
Если угловой размер источника синхротронного излучения, расположенного на расстоянии Я, равен 0 = d/R, то поток, наблюдаемый на различных частотах, определяется как
d «Лu* "^")d «Лu* "^")
d «Лu* "^")
d «Лu* "^")
(9.110)(9.110)02
(9.110)
(9.110)
f(з2)= d几2元)
Здесь 几 и дг берутся из (9.13), (9.94). Предполагая, что магнитное поле в источнике однородно, из (9.110) и (9.13) находим
万(з1) = F(w*)万(з1) = F(w*)5/25/2
万(з1) = F(w*)
万(з1) = F(w*)
5/2
5/2
(УШ)(УШ)F(g) = (1 - j [^(ш2)47^1)/2]公dy
(УШ)
(УШ)
……
Подставляя F(^i) и используя (9.13), (9.94), (9.95) в последнем выражении (9.111), находим [99]
宀4)/2 =卜……)/]宀4)/2 =卜……)/],1/2 (2开)7/27Г户,1/2 (2开)7/27Г户(9.112)(9.112)
宀4)/2 =卜……)/]
宀4)/2 =卜……)/]
,1/2 (2开)7/2
7Г户
,1/2 (2开)7/2
7Г户
(9.112)
(9.112)
где
=(?е + 1)(37е + 10) Г ((37е + 2)/12) Г ((37е + 10)/12) / е汨
-3"7「((Зн —1)/2) Г ((3" 7)/12)丿 4 V £
(9.113)
Значения R(je)〜Ю31 для различных je затабулированы в [89].
Для степенного спектра в жесткой области 必〉з величина в квадратных скобках не зависит от частоты и достаточно хорошо определяется вместе с je. Слабая зависимость углового размера 0 от величины магнитного поля (〜81/4) дает возможность получить правдоподобную оценку 0.
Синхротронное излучение во внегалактических джетах; магнитная коллимация и ускорение частиц. Внегалактические джеты часто наблюдают возле точечных внегалактических источников, таких как квазары и АЯГ. Наблюдаемые джеты имеют самые разные масштабы ——от долей парсека при радиоинтерферометрических наблюдениях со сверхдлинной
базой (РСДБ) до сотен килопарсек, видимых на оптических и радиоизображениях. В настоящее время является общепризнанным (см. [75]), что энергия, излучаемая квазарами и АЯГ, генерируется благодаря аккреции вещества на сверхмассивную черную дыру (СЧД) с массой М = (106^109) М0. Такие СЧД в квазарах и АЯГ могут формироваться в конце эволюции очень плотных звездных скоплений [11].
Вещество, падающее на СЧД, берется из движущихся вокруг нее звезд, которые разрушаются приливным взаимодействием с СЧД или из-за столкновений друг с другом. Эта материя обладает большим угловым моментом и, удерживаясь центробежными силами, формирует диск вокруг СЧД. Вследствие быстрого охлаждения диск становится тонким, и, таким образом, градиент давления в нем мал по сравнению с гравитационными и центробежными силами. Турбулентное трение между слоями диска, вращающимися с кеплеровской скоростью, приводит к потере углового момента и аккреции вещества на СЧД. Подобная картина дисковой аккреции наблюдается и в мощных галактических рентгеновских источниках, где возникает дисковая аккреция на черную дыру звездной массы или на нейтронную звезду в тесной двойной системе.
Эффективность преобразования гравитационной энергии в излучение в процессе дисковой аккреции на черную дыру варьируется от 〜6 % для невращающейся (шварцшильдовской) черной дыры до 〜40 % для быстро вращающихся (керровских) черных дыр [59]. При высоких темпах аккреции светимость становится такой большой, что радиационные силы уравновешивают гравитацию. Это случается, когда светимость %, создаваемая аккрецией, равна
^cGMbh厶а =厶Edd =^cGMbh厶а =厶Edd =(9.114)(9.114)
^cGMbh
厶а =厶Edd =
^cGMbh
厶а =厶Edd =
(9.114)
(9.114)
Светимость L^^ называется эддингтоновской критической светимостью. Как правило, она не превышается в процессе аккреции, а светимость приближается к ней при возрастании притока материи извне. Дополнительный поток вещества М, который не может достичь черной дыры, меняет направление своего движения и истекает наружу. Таким образом, при суперкритических М светимость приближается к LEdd и вещество истекает из плоскости диска одновременно с аккрецией [16, 17, 119]. При отсутствии магнитного поля этот поток из геометрически тонкого диска становится почти сферическим и не приводит к формированию коллимированного джета. Однако ситуация меняется, если вещество, падающее на черную дыру, за- магничено и имеет крупномасштабное упорядоченное магнитное поле. В § 3.2 была дана картина аккреции материи с упорядоченным магнитным полем, но без вращения. На самом деле мы можем ожидать наличия обоих факторов. В этом случае картина магнитной дисковой аккреции из § 3.2 становится более сложной. Вещество, вращающееся в диске, закручивает линии магнитного поля, и вращение в магнитном поле приводит к возникновению электрического поля (подобно униполярному генератору). Это поле имеет компоненту вдоль направления магнитного поля, так что заряжен-
ные частицы ускоряются вдоль магнитных силовых линий, приводя к формированию коллимированного газового потока и потока релятивистских частиц в форме джета. Если индуцированное электрическое поле достаточно сильно, заряженные частицы ускоряются до очень высоких энергий и, двигаясь вдоль кривых магнитных силовых линий, порождают каскады электрон-позитронных пар. Таким образом, джеты могут содержать большое количество позитронов, которые не аннигилируют во время активной фазы джета из-за очень маленькой плотности в нем. Ускорение частиц во время дисковой аккреции замагниченного вещества на черную дыру было рассмотрено в [16], формирование колиммированных джетов согласно приведенной картине было описано в [79] (см. также [5]). Общая картина формирования коллимированых джетов показана на рис. 9.3. Ось враще-
Рис. 9.3. Схематическая картина силовых линий магнитного поля и движения вещества, указанного стрелками, в замагниченном аккреционном диске, вращающемся вокруг черной дыры
ния на нем совпадает с плоскостью симметрии магнитного поля. Вдали от звезды магнитное поле направлено по оси ^. Падающее вещество образует диск в плоскости симметрии и из-за диссипации медленно оседает на черную дыру сквозь силовые линии магнитного поля благодаря конечной проводимости турбулентного происхождения из (9.84) и турбулентной вязкости. В центральной части диска, где вращение близко к кеплеровскому и силовые линии магнитного поля закручиваются вращением, магнитные и центробежные силы приводят к истечению вещества, коллимированному магнитным полем. Дополнительная сила, способствующая истечению, создается радиационным давлением, когда локальный поток излучения 2『 эрг/см2/с приближается к критическому значению /гс = ^Еаа/4тгг2 (см. (9Л14)).
Джеты представляют собой протяженные светящиеся структуры, исходящие из центрального источника, видимого как яркий точечный источник. Однако эти структуры не однородны, а разделены на последовательность ярких квазисферических сгустков и темных интервалов между ними. Наиболее изученные джеты в ядре галактики М 87 [97, 116] и квазаре ЗС 273 [93] демонстрируют именно такую структуру (см. также [31]).
Принимая правдоподобную гипотезу о том, что внегалактические джеты формируются в результате истечения из аккреционного диска материи, которая коллимирована крупномасштабным магнитным полем, нам следует объяснить два основных свойства этих джетов: Г) их стабильность по отношению к расширению и дисперсии; 2) длительное время свечения джета, указывающее на непрерывное ускорение частиц внутри него. Светимость внегалактических джетов в широком спектральном диапазоне ——от радио до рентгеновского ——имеет синхротронную природу. Это излучение имеет все свойства синхротронного излучения: нетепловое, степенной спектр с низкоэнергетическим завалом, сильная степень поляризации на уровне десятков процентов, невозможная для теплового излучения [93, 116].
Поток, исходящий от вращающегося замагниченного аккреционного диска, приводит к закручиванию линий магнитного поля и появлению его азимутальной компоненты. В [21] было выдвинуто предположение, что азимутальное магнитное поле в джетах обеспечивает их стабильность, предохраняя их от расширения и дисперсии, так что джеты можно рассматривать как магнитно-коллимированые. Наличие азимутального магнитного поля связано с наличием электрического тока 厶 вдоль оси джета. Помимо электродинамического происхождения этого тока, связанного с вращательным накручиванием линий магнитного поля, формирование аксиального тока может быть связано с происхождением джета, которое, в свою очередь, может быть связано с радиационным давлением, действующим на электроны гораздо сильнее, чем на протоны (ионы). Это давление пропорционально
87r / е2
томсоновскому сечению рассеяния ау 二— I ——I , зависящему от массы 3 \тс^ /
как 〜т~2. В пространственно ограниченных джетах радиуса R движение электронов по отношению к протонам генерирует азимутальное магнитное поле на поверхности джета Вф 〜 厶 /cR, которое удерживает джет от расширения при его удалении на большие расстояния от центральной машины. Напряженность аксиального магнитного поля падает с увеличением расстояния от центра [24], так что вскоре азимутальное поле Вф становится больше, чем Bz. В этих условиях джет с аксиальным током становится нестабильным по отношению к сжатию (пинч-нестабильность, см. [34, 62]) и джет распадается на сгустки, видимые при наблюдениях. Такие сгустки могут быть отделены друг от друга и являться с амоподдерживающимися благодаря электродинамическим осцилляциям в них.
Наличие аксиального тока в пространственно ограниченном теле приводит к накоплению электрического заряда, электрическое поле которого останавливает этот ток, а затем обращает его. Если сгусток рождается с на-
чальным разделением зарядов или (и) начальным аксиальным током, то он порождает крупномасштабные электромагнитные осцилляции, подобные осцилляциям в системе индуктивность^емкость [21]. Если Q ——начальный разделенный заряд и R ——характерный размер сгустка, то электростатиче™ ская энергия сгустка по порядку величины равна £е1 〜石？&?〜Q2 /R^ где E ——напряженность электрического поля. Магнитная энергия при наличии аксиального тока Iz по порядку величины равна £тag 〜В2 Я3 〜Il R/с2, Iz = dQ/dt. Во время осцилляций мы имеем Q = QQ^bt. Баланс сил во время осцилляций нарушается, что влечет за собой гидродинамические колебания при движении сгустка, чьи размер и форма осциллируют с той же частотой. Для того чтобы приближено оценить период этих осцилля™ ций, пренебрежем кинетической энергией движения, которая в силу своего происхождения не превышает электромагнитную энергию, и рассмотрим закон сохранения энергии в форме d(£ei+£mag)/dt = 0, что дает следующее соотношение для частоты ш^ и периода 乳 осцилляций сгустка:
* 〜i/HL Ть - 2тгЯ/с. (9.115)
Оптические наблюдения сгустков в ядре галактики М 87 показали нали™ чие сильной линейной поляризации в их излучении с углом поляризации, меняющимся от одного сгустка к другому, и разницей около тг/2 меж™ ду сгустками [116]. Этот факт объясняется в модели магнитно-коллими™ рованных джетов тем, что разделение на сгустки происходит вследствие пинч-неустойчивости. При наличии общего аксиального магнитного поля Bz 〜 (8。)max существуют электромагнитные осцилляции. Если в со с ед них сгустках осцилляции возникают в противофазе, то направление по™ лей Вф противоположно, и между направлениями полного магнитного поля В(0, 8/, Вф) возникает угол тг/2, что и может являться причиной наблюдаемого поведения угла поляризации в М 87 [21].
Угол поляризации ультрарелятивистских электронов, движущихся от™ носительно линий магнитного поля, однозначно связан с направлением по следнего [44]. Степень поляризации П для изотропного степенного спектра электронов зависит только от показателя степени 7е и равна [44]
口 = т二：з = 75 %; 69% (9.116)
для 7е = 3; 2 соответственно. Наблюдаемым следствием модели джета, подверженного пинч-неустойчивости, является переменность угла поля™ ризации по времени, период которой (9.115) К 〜500(Я/30 пс) лет, что может составлять около нескольких сотен лет для М 87. Это предсказание нуждается в наблюдательной проверке, которая очень важна для подтвер™ ждения модели коллимированных джетов, однако затруднена вследствие большой величины ожидаемых периодов и малой точности измерений угла поляризации.
Джеты простираются на расстояния килопарсек и более и являются дос™
таточно яркими вдоль всей своей длины. Время жизни джета 叮，выброшенного из ядра, оценивается по его длине:
(9.117)(9.117)rj > L/c > 3,3 • 103(Ь/1 кпс) лет,
(9.117)
(9.117)
и достигает 〜2,6 • 105 лет 弋 8 • 1012 с для джета в квазаре ЗС 273. Угловой размер этого джета [93] — около 20 секунд дуги, красное смещение г = 0,158, что соответствует расстоянию 103 Мпс при постоянной Хаббла И = 50 км/(с-Мпс). Это соответствует длине джета около 80 Кпс, что дает нижнюю оценку его возраста, т.к. скорость движения джета может быть значительно ниже скорости света. Сравним время Tj с временем жизни релятивистских электронов, чтобы сделать заключение о необходимости ускорения электронов в джете. Беря выражение для потерь энергии ультра- релятивистского электрона из (9.5):
(9Л18)(9Л18)
(9Л18)
(9Л18)
находим время жизни этого электрона т$「из оценки
3mfc5 _ 3 • 1083mfc5 _ 3 • 108(9.119)(9.119)
3mfc5 _ 3 • 108
3mfc5 _ 3 • 108
(9.119)
(9.119)
Максимум спектра ультрарелятивистских электронов соответствует частоте [44]
(9 Л 20)(9 Л 20)®тах 0 0,29шс 7 8」0б8丄)2「\
(9 Л 20)
(9 Л 20)
с шс из (9.9). Из наблюдений мы знаем частоту высокоэнергетического за™ вала, который характеризует время жизни большинства энергичных злек・ тронов. Он соответствует ш 〜1014 для джета в квазаре 30 273 [84]. Беря штах в качестве частоты высокоэнергетического завала, для rsr из (9.119), (9.120) получаем
(9.121)(9.121)3成/"2公/2 〜8J . 10112。7/2b：/2GA^x ~ B?2G?：x
(9.121)
(9.121)
Здесь 发=0,29 • 1,5 = 0,435 ——коэффициент, связывающий штах и ш0 (см. (9.2)): штах =发®о)2” Подставляя общепринятые значения В = 10^4 Гс и штах = 1014 с~ 1 в (9.121), мы получаем оценку 丁$「弋 8 * 1010 с, что по крайней мере на два порядка меньше наблюдаемого времени жизни джета в ЗС 273. Такая величина магнитного поля соответствует очень высокой энергии электронов 7^4- 105 = 2 • 1011 эВ (см. (9.120)). Большему маг™ нитному полю требовались бы менее энергичные электроны, и это бы дало меньшее значение для т$「Таким образом, несоответствие между ту и т$「 может быть объяснено только в модели, где существует непрерывное ускорение электронов в самом джете.
Нередко рассматриваемый механизм ускорения частиц ударными волнами [53] не дает надежного объяснения ускорению электронов во внегалактических джетах ввиду неизвестной эффективности ускорения на удар™ ных волнах (что называют в литературе проблемой инжекции, см. [111]) и неизвестного распределения энергии между электронами и протонами [53]. Кроме того, не похоже, чтобы ускорение на ударных волнах могло дать фактически однородное распределение яркости, наблюдаемое в дже™ тах в некоторых случаях. Ускорение на ударных волнах в основном может ожидаться из областей возле отошедшей ударной волны перед джетом. Эффективность механизмов ускорения частиц, связанных с пересоединением магнитного поля [92] и плазменной турбулентностью [53], также в высшей степени неопределенна.
Новый механизм ускорения заряженных частиц во внегалактических джетах был предложен в [22]. Рассматривается эмиссия длинноволновых электромагнитных волн, сопровождаемая электромагнитными осцилляциями в сгустках (см. выше). Предполагаемые амплитуды электромагнитных волн достаточно велики, чтобы придать электронам большое ускорение.
Когда плотность плазмы в окружающей среде достаточно мала, электромагнитные волны, генерируемые непотенциальными плазменными колебаниями ограниченного тела, излучаются наружу и могут ускорять одиночные частицы. Ясно, что когда излучаемые волны достаточно сильны, они вычищают среду вокруг и плотность может становится очень малой, состоящей только из ускоряемых частиц. В этом смысле воздействие осциллирующего сгустка подобно действию пульсара в модели наклонного магнитного ротатора. Оба излучают сильные электромагнитные волны, которые могут эффективно ускорять частицы [51, 90].
Для решения проблемы в целом необходимо рассмотреть динамическое поведение пространственно ограниченных сгустков, погруженных в крупномасштабное протяженное магнитное поле и создающих тороидальное поле, связанное с электродинамическими колебаниями. Целиком проблему можно решить путем самосогласованного расчета колебаний сгустка с совместным использованием гидродинамических уравнений и уравнений Максвелла, получив в результате не только зависимость от времени распределения плотности и электрического тока, но и распределение излучаемой радиации по энергиям.
Для того чтобы представить свойства длинноволнового излучения осциллирующего сгустка, рассмотрим идеализированную проблему, имеющую аналитическое решение. Представленная здесь модель даже проще, чем модель, предложенная в [22], где был рассмотрен вакуумный слой, окружающий цилиндриче ский джет, и учитывалась окружающая плазма. Здесь [14] плазменный цилиндр помещен в вакуум. Рассмотрим линейные осцилляции бесконечно длинного однородного цилиндра с постоянным поперечным сечением. Проблемы такого рода интенсивно изучались для плазменных волноводов [69]. Главное отличие нашей проблемы состоит в использовании других граничных условий, которые предполагают вакуум вокруг цилиндра. Когда мы рассматриваем линейные электромагнитные ко-
лебания в статическом плазменном цилиндре, нам нужны только уравнения Максвелла:
[▽B] = «j —竺 Е,(9.122)
С с」
[▽Е] = ^В.(9.123)
Зависимость берется в форме 〜 ехр(—成上力)，а внешнее поле принимается постоянным: Bz = Во. Зависимость j от Е, В и Во может быть получена с помощью выражение для диэлектрической проницаемости:
с47r 2「/、/、]
з
Ji 二匕叮(e) + ^tj(P)](9.124)
Для простоты мы рассматриваем чисто водородную плазму. Компоненты для aij (а) в случае бесконечной проводимости равны [69]
(711(a) = 3 (а) = I Л，(9-125)
где ®ра и ®8а — плазменные и ларморовские частоты электронов (а = е) и протонов (а = р):
47moeеаВо ®ра =，®8 а =*(9* 126)
В цилиндрических координатах г, 0, z с д/дф = Q, d/dz = ik из (9.122) имеем
4тг .dBr4тг .
сarс с
1 d /、 4тг
с
(9.127)
а из (9.123) получаем
ikEr —牛.=^В(9.128)
dr с'
Поскольку мы интересуемся длинноволновыми осцилляциями с ® « шре, ®рр, ^Ве, ^Вр, то приближено
Jr =—Jr =—Зф =—Зф =—JzJz2 Ш2—竺石工(9.129)4тг ш2 Ш2—竺石工(9.129)4тг шПодставляя (9.129) в (9.127), (9.128), имеем два типа длинных волн, соПодставляя (9.129) в (9.127), (9.128), имеем два типа длинных волн, соответствующих различным поляризациям и существующим независимо:ответствующих различным поляризациям и существующим независимо:электрические (Е) волны с Bz = 0 и ненулевыми (Е» Ez, 8/ и маг™ нитные (В) волны с Ez = 0 и ненулевыми (Br, BZJ Еф). Уравнения дляэлектрические (Е) волны с Bz = 0 и ненулевыми (Е» Ez, 8/ и маг™ нитные (В) волны с Ez = 0 и ненулевыми (Br, BZJ Еф). Уравнения дляш2ш21 + 叫亂3飞卩 1 + 47r0c2/^21 + 叫亂3飞卩 1 + 47r0c2/^2z石=0,z石=0,Ez = 0,Ez = 0,(9.130)(9.130)(9.131)(9.131)(9.132)(9.132)есть скорость альфвеновских волн. Уравнения для В-волн получаем из выражений力二(")]+ (刍-)8=0,(9-133)есть скорость альфвеновских волн. Уравнения для В-волн получаем из выражений力二(")]+ (刍-)8=0,(9-133)(9.134)(9.134)
Jr =—
Jr =—
Зф =—
Зф =—
Jz
Jz
2 Ш2
—竺石工(9.129)
4тг ш
2 Ш2
—竺石工(9.129)
4тг ш
Подставляя (9.129) в (9.127), (9.128), имеем два типа длинных волн, со
Подставляя (9.129) в (9.127), (9.128), имеем два типа длинных волн, со
ответствующих различным поляризациям и существующим независимо:
ответствующих различным поляризациям и существующим независимо:
электрические (Е) волны с Bz = 0 и ненулевыми (Е» Ez, 8/ и маг™ нитные (В) волны с Ez = 0 и ненулевыми (Br, BZJ Еф). Уравнения для
электрические (Е) волны с Bz = 0 и ненулевыми (Е» Ez, 8/ и маг™ нитные (В) волны с Ez = 0 и ненулевыми (Br, BZJ Еф). Уравнения для
ш2
ш2
1 + 叫亂3飞卩 1 + 47r0c2/^2
1 + 叫亂3飞卩 1 + 47r0c2/^2
z石=0,
z石=0,
Ez = 0,
Ez = 0,
(9.130)
(9.130)
(9.131)
(9.131)
(9.132)
(9.132)
есть скорость альфвеновских волн. Уравнения для В-волн получаем из выражений
力二(")]+ (刍-)8=0,(9-133)
есть скорость альфвеновских волн. Уравнения для В-волн получаем из выражений
力二(")]+ (刍-)8=0,(9-133)
(9.134)
(9.134)
где ZB = Вг или Еф. Вне цилиндра уравнения (9.130), (9.131), (9.133), (9.134) сохраняют свою форму после подстановки с везде вместо са* Реше™ нием этих уравнений являются функции Бесселя:
Zg = ZgoJM儿8丁)，Bz = ВzqJq^b^)■)
(9.135)(9.135)%石=ZeqJ^et). Ez = EZoJo(KEr),
(9.135)
(9.135)
где
(9.136)(9.136)
(9.136)
(9.136)
внутри цилиндра. Снаружи цилиндра также верно уравнение (9.135) с
(9.137)
вместо 发^ или 发^" Соотношения, которые выбирают дискретные значения 发8 и 发石，дают дисперсионные уравнения, полученные из граничных условий на поверхности границы цилиндра с вакуумом. Для В-волн компо™ ненты Вг и Еф непрерывны на границе и Bz = 0 принимается на границе 『=『о — 0” Это приводит к соотношениям
(9.138)(9.138)
(9.138)
(9.138)
Для Е-волн Ez непрерывна и Ег = 0 на границе г = г0 0, поэтому
получаемполучаемд2-e2 \ ^1\『6®$e /д2-e2 \ ^1\『6®$e /(9.139)(9.139)
получаем
получаем
д2-e2 \ ^1
\『6®$e /
д2-e2 \ ^1
\『6®$e /
(9.139)
(9.139)
где AOn и Хц являются нулями функций Бесселя Jo (ж) и /](£)• Тогда для волновых векторов вне цилиндра имеем
(В-волны).(В-волны).(В-волны),(В-волны),(9 Л 40)(9 Л 40)
(В-волны).
(В-волны).
(В-волны),
(В-волны),
(9 Л 40)
(9 Л 40)
Из (9.132) ясно, что к^ < 0 для Е・волн, но для каждого к есть соответ™ ствующее 簿,*，такое что к^ > 0 для п > п* и альфвеновская 8-волна трансформируется в электромагнитную, излучаемую в вакуум. Внешняя величина Bz(r0 + 0) находится из последнего уравнения (9.128). Скачек △8/ = Bz(г。+ 0) на границе определяет индуцированный поверхностный ток iф.
Очень длинные электромагнитные волны, излучающиеся с амплитудой Е@, могут ускорять частицы вплоть до энергий е ^ еЕ г()弋 ctlO3 эрг для го = 1псиЕ = а • 10^6 в СГС. Реальная энергия ускоренных частиц будет намного меньше вследствие радиационных потерь синхротронным и синхрокомптоновским механизмами. Очевидно, что ожидаемые энергии сравнимы с энергиями частиц, ускоряемых пульсарами.
Схожесть механизмов ускорения частиц в пульсарах и релятивистских джетах может быть причиной схожести высокоэнергичного излучения в области 100 МэВ, которое наблюдалось в эксперименте EGRET от ряда радиопульсаров [105, 112], квазаров и АЯГ [106, 113] и не наблюдалось от компактных объектов какого-либо другого типа.
9・6・ Замагниченные нейтронные звезды;
радио- и рентгеновские пульсары
Нейтронные звезды, являющиеся конечной точкой эволюции массивных звезд с М > (810) М0 [13, 59], должны проявлять себя как рент™
геновские источники в процессе аккреции, однако первое надежное доказательство их существования было получено из радионаблюдений, когда были открыты радиопульсары [115].
Радиопульсары; когерентное синхротронное излучение. Это наименование было дано точечным радиоисточникам, излучающим периодические сигналы очень высокой точности, соответствующей периодам < 1 с. Вскоре стало ясно [48], что пульсары ——это вращающиеся ней™ тронные звезды с огромным магнитным полем В 〜1012 Гс, в котором синхротронное излучение должно играть очень важную роль. Сейчас известно более 700 радиопульсаров, чьи периоды варьируются от 1,5 мс до нескольких секунд [82, 104]. Нейтронные звезды (см. [76]) — очень маленькие (Я р^ 10 км) и очень плотные (рс > 1015 г/см3) звезды с массами порядка 1,5М0. Наблюдаемые периоды пульсаций соответствуют перио™ дам вращения, и импульсы излучения определяются сильным магнитным полем, ответственным за формирование узкой диаграммы направленности излучения.
Частота твердотельного вращения звезды не может превысить значения, при котором центробежная сила на поверхности экватора равна гравитационной силе: ^R < GM/Я2. Отсюда следует, что Q < 々儿夕/聲户？ и период вращения Р > мс, где Я6 = Я/(106 см), Ms измеряете 兄 в солнечных массах М0 二 2 • 1033 г. Следующими по компактности звездами после нейтронных являются белые карлики, чьи радиусы превы™ шают 108 см и массы лежат ниже 1,2М0. Их периоды вращения долж™ ны превышать 〜0,5 с. Пульсар в Крабовидной туманности имеет период 况rab = 0,033 с, который может существовать только у нейтронной звезды.
Длительные наблюдения показали, что периоды пульсаров медленно увеличиваются, в хорошем соответствии с моделью, в которой энергия вра・ щения является основным источником для энергии излучения пульсара. Нейтронная звезда, вращающаяся с периодом F, обладает энергией вра・ щения Erot = 1/2/5П2, где Q = 2тг/Р ——угловая скорость вращения звезды, Is = ЬМВ2 弋 1045 г - см2 ——аксиальный момент инерции звез・ ды для М = 1,5М0 二 4,5 • 1033 i; А = 106 см, b = 1/4,5. Если энергия вращения является основным источником, то светимость пульсара 工卩 не может превышать значения производной по времени от энергии вращения £р < —力rot = —/§аСм Наблюдения показали, что этот предел действительно никогда не достигается и наблюдаемая радио светимость пульсаров в 102^105 раз меньше, чем —Eroi, Последнее означает, что основные потери энергии идут на ускорение частиц, что и наблюдается в Крабовидной туманности. Радиосветимость пульсаров имеет очень высокую яркостную температуру П, которая определяет источник с потоком Ре лея-Джинс а на частоте ш:
F(3)=备"Bг 传)，a =":产 偿), °
где кв — постоянная Больцмана. Из наблюдаемых 尸(®)，радиуса области излучения Rr、108 см и оценочных расстояний до пульсаров /р следуют огромные яркостные температуры в радиодиапазоне Ть 2 1 产 К. Это указывает на наличие нетеплового когерентного механизма радиоизлучения пульсара, т.к. не один существующий источник не может быть нагрет до таких огромных температур. Яркостная температура пульсара в Крабовидной туманности, наблюдаемая в оптическом, рентгеновском и гамма-диапазонах много меньше, чем 109 К, что указывает на возможность некогерентного излучения, в то время как светимость в этих диапазонах по величине на 3+5 порядков больше, чем в радиодиапазоне. Наиболее часто радиопульсары вообще не видны в оптическом и рентгеновском диапазонах, однако некоторые из них видны в жестком (% > 100 МэВ) гамма- диапазоне [105, 112], что может указывать на мощное ускорение частиц, непрерывно происходящее в радиопульсарах.
Наблюдения пульсирующего излучения возможны только в случае, если ось магнитного поля наклонена по отношению коси вращения. Наклонный ротатор испускает электромагнитное излучение, которое для магнитного диполя с полем 瓦 на поверхности полюса звезды имеет мощность, равную [74, 90]
"=”屋宏sid仇 (9.142)
где 万 ——угол между осью вращения и магнитной осью. Другие магнитные моменты (квадрупольный и т.д.) по крайней мере в (и/с)? раз менее эффективны [74] и обычно не рассматриваются. Предполагая, что потери энергии вращения определяются магнитодипольным излучением, мы можем оценить магнитное поле нейтронной звезды:
厶=—氏。t =岁，В=(総)"• (9.143)
Для Is 二 1045 г • см2, R 二 106 см и F, выраженного в секундах, получаем
В^3,2- 1019(РР)1/2 Гс. (9.144)
Из наблюдений F и F видно, что значения В лежат [78, 81] в диапазоне от 2 • 108 до 2 • 1013 Гс, причем типичное значение равно Ю12 Гс. При оценке величины магнитного поля в (9.142) бралось значение sin 0 = 1. Подобный выбор не связан с тем, что во всех пульсарах оси вращения и направления магнитного поля перпендикулярны между собой. Оценки этого угла, сделанные на основе наблюдений, весьма противоречивы. Вращающаяся замагниченная нейтронная звезда действует подобно униполярному генератору, в котором силы электрического поля на поверхности Еи = - [B(Qr)] достаточно велики для того, чтобы ускорить частицы до очень высоких энергий. Потери энергии вследствие выброса этих частиц для соосного ротатора с параллельными осями, оцененные в [49], совпадают с (9.142) при
выборе sin /3 = 1. Таким образом, (9.142) с sin /3 = 1 по-видимому верна для любого угла /3. Из (9.142), (9.143) следуют соотношения
上 =4①=厶^以 C = ；Q3, a = 3；a2a， n = ^ = 3. (9.145)
Измерения С для пульсара в Крабовидной туманности дают значение показателя торможения 簿，^ 2,5 [76] в удовлетворительном согласии с теорией.
В сильных полях пульсаров циклотронная частота шо соответствует рентгеновскому кванту:方з° = 12(В/1012 Гс) кэВ. Потери энергии в та™ ких магнитных полях столь высоки (см. § 4.2), что электроны занимают в магнитном поле только основной и несколько возбужденных квантовых уровней, называемых уровнями Ландау. Это квантование относится только к движению в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Движение вдоль магнитного поля не квантуется и может иметь про- изволь ный характер.
(9.146)(9.146)Механизм радиоизлучения пульсаров является когерентным и связан с магнитным полем, однако его по с л едовательная теория еще не разраб。- тана. Рассматриваются два возможных когерентных механизма. Первый, называемый антенным механизмом, базируется на излучении движущихся заряженных капель, заряд которых в п раз больше заряда электрона. Мощность излучения заряженной капли с п электронами пропорциональна п2 и в п раз больше, чем излучение п хаотически движущихся электронов. При характерной температуре Т 〜1013 К, соответствующей 7 〜103, для получения яркостной температуры 1025 К нам нужны капли с 几〜106. Отметим, что когерентное излучение будет иметь место только [40] для волн с длиной X > &d, где dd ——размер капли. Такие капли могут зарождаться возле поверхности нейтронной звезды, где движение электронов вдоль кривых линий магнитного поля приводит к излучению гамма-квантов, которые в свою очередь порождают электрон-позитронные пары в магнитном поле и т.д., что в итоге приводит к рождению каскадов пар [94, 101]. Ожидается, что двухпучковая неустойчивость приведет к формированию сильно заряженных капель, которые, двигаясь вдоль магнитных силовых линий, излучают в радиодиапазоне. Как было упомянуто выше, в сильных магнитных полях большинство электронов занимает основной уровень Ландау и их излучение связано с движением вдоль искривленных линий магнитного поля. Этот тип излучения [91] называется излучением кривизны и обладает всеми свойствами синхротронного излучения, если подставить вместо ларморовского радиуса вращения в магнитном поле гв (9.1) радиус кривизны силовых линий магнитного поля rcur, принимая везде В = В/егсиг, где Е ——энергия электрона. Например, потери энергии ультрарелятивистского электрона на излучение кривизны определяются из (9.5) как
(9.146)
(9.146)
cur 3mec3rcur 1
а частота, на которой уходит максимум энергии (9.4)
(9.147)(9.147)cur 〜"3
(9.147)
(9.147)
Наблюдения жесткого гамма-излучения от радиопульсаров можно рассматривать как доказательство в пользу этой модели. Их можно объяснить с помощью излучения кривизны и аннигиляции частиц, имеющих в каска™ дах пар возле нейтронной звезды 7 〜1044-105. В процессе движения от нейтронной звезды 7 и магнитное поле уменьшаются, так что когда характерные частоты достигают рентгеновского или оптического диапазонов, мощность излучения становится очень маленькой. Излучение кривизны вновь становится сильнее в радиодиапазоне, когда развитие неустойчиво™ стей приводит к формированию заряженных капель и сильно когерентному излучению. Из наблюдений следует, что эффективность жесткого гамма™ излучения выше для более старых и слабых пульсаров. Это может быть связано с тем, что старые пульсары генерируют более слабое электрическое поле и оно ускоряет частицы до меньших 7. Последнее приводит к более быстрой аннигиляции пар [7] и увеличению эффективности жесткого гамма-излучения. В молодых же пульсарах, подобных пульсару в Крабовидной туманности, каскады пар достаточно сильны для того, чтобы дать детектируемое оптическое и рентгеновское излучение в более слабых маг™ нитных полях на расстоянии 凡 ~ 1074-108 см.
Второй возможный когерентный механизм базируется на излучении мазерного типа, связанном с распределением заряженных частиц в фазовом пространстве или неравновесным возбуждением плазмы, окружающей пульсары. Когерентный механизм, связанный с усилением плазменных волн и их последующей трансформацией в радиоизлучение, рассматривался как более подходящий для пульсаров, чем когерентный синхротрон. Тем не менее последний тоже возможен.
Рассмотрим когерентное синхротронное излучение, которое возникает в среде с ненулевым коэффициентом преломления вследствие влияния плазмы. Коэффициент преломления пг для электромагнитных волн в «холодной» плазме
(9.148)
где электронная плазменная частота шр
(9.149)(9.149)W 二 4冗二 5,64
(9.149)
(9.149)
0 me
Было показано [44, 45, 55], что даже в случае достаточно высокочастотных волн, для которых 1 —簿，« 1，влияние плазмы важно при 72(шр/ш2) > 1.
С учетом плазмы излучательная способность одного электрона J^E,
вместо (9.8), (9.9), равна [44, 45, 55]
КБ/?⑶ dZaКБ/?⑶ dZa(9Л50)(9Л50)
КБ/?⑶ dZa
КБ/?⑶ dZa
(9Л50)
(9Л50)
Здесь /, .23/2
d="(1 + 竣)2), "=5叫/(9.151)
Коэффициент поглощения синхротронного излучения при наличии плазмы 出Р)для изотропного распределения электронов, вместо (9.93), с учетом (9.150) равен
Здесь (см. (9.9), (9.151))Здесь (см. (9.9), (9.151))
Здесь (см. (9.9), (9.151))
Здесь (см. (9.9), (9.151))
(9.153)(9.153)(9.154)(9.154)
(9.153)
(9.153)
(9.154)
(9.154)
{,2
при 72 T《1；
2 ^7
ПРИ 》丄
3 gw"
Выражение внутри квадратных скобок в (9.152)
W(z) = ZK5/3O) — 2K5/3(z)dz
меняет знак. Оно отрицательно при малых z, меняет знак при z ^ 1,35, достигает максимального положительного значения >тах ^ 0,1 при z ^ 2 и с учетом (9.10) имеет асимптотику
5…通z _2)「
при z》】• Таким образом, существуют распределения п(Е\ для которых излучение на некоторых частотах имеет отрицательное поглощение и может усиливаться мазерным механизмом.
Для моноэнергетических электронов с 7 = 70 и из (9.152) (см. также [55]) имеем
М?) = Я-^^(2*зК5/з(2о) —
—— 20K"5/3(20) — 2衣5/3(才川3：] ) .(9.155)
Здесь zq = ^(7о). Для очень высоких частот влияние плазмы пренебрежи™ мо мало и мы получаем положительное поглощение, определяемое первым членом в квадратных скобках. Когда 72Шр/ш2》1, но ^о < 1,35, поглощение также положительно. Отрицательное поглощение имеет место при 72Шр /ш2》1 к с。> 1,35. В этом случае 5(z) —— положительна и первым членом в скобках можно пренебречь, так что мы получаем усиление мазерного типа. При с。》1 в этом пределе имеем
2 г 2 产 1"
力Р)= ж^^— 2)j 仆/3(20)(9」56)
с пренебрежимо малым первым членом.
Для степенного распределения (9.12) при 72Шр/ш2》1, когда первым членом в (9.152) можно пренебречь [45], получим
小P)=一人小P)=一人тг，^。％®。тг，^。％®。288P288PXX(meC^f (1 + ；) j 加一)eK5/3(Z)d3о(meC^f (1 + ；) j 加一)eK5/3(Z)d3о(9.157)(9.157)
小P)=一人
小P)=一人
тг，^。％®。
тг，^。％®。
288P
288P
X
X
(meC^f (1 + ；) j 加一)eK5/3(Z)d3о
(meC^f (1 + ；) j 加一)eK5/3(Z)d3о
(9.157)
(9.157)
Выражение (9.157) верно только для je < —2/3, что связано с условием сходимости [55]. Из (9.157) следует, что отрицательное поглощение имеет место при 7е < —2* Поскольку таким способом происходит усиление обеих линейно-поляризованных волн, то, следовательно, усиленный сигнал должен иметь сильную круговую поляризацию, что может служить наблюдательным тестом для действия мазерного типа усиления.
Другая сшуация, в которой возможно отрицательное поглощение синхротронного излучения, может реализоваться при наличии сильной анизотропии функции распределения электронов [57]. Рассмотрим моноэнерге- тические электроны с энергией Е, движущиеся в плоскости, перпендику-
лярной магнитному полю, с функцией распределения п(р)
几(p)=几(石")=^8(e—瓦州(g一^)(9.158)
при нормировке
27r sin 夕 几(石)夕)d^pdE = Ne.
о
Здесь 夕 ——угол, отсчитываемый от направления магнитного поля. Для волн, движущихся почти перпендикулярно магнитному полю, коэффициенты поглощения для необыкновенной (出「)) и обыкновенной (从卜))волн записываются в виде [57]
к2/3匂)к2/3匂)2дК1/з(д) + 生”2дК1/з(д) + 生”(9.159)(9.159)
к2/3匂)
к2/3匂)
2дК1/з(д) + 生”
2дК1/з(д) + 生”
(9.159)
(9.159)
Эти выражения получены в пренебрежении влиянием плазмы для nr = 1 в (9.148); V《1 — угол между направлением распространения волны и плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля,
(9.160)(9.160)
(9.160)
(9.160)
Второе соотношение в (9.159) верно при ограничениях
"訂 叩设 g 2 1)при g《L"訂 叩设 g 2 1)при g《L(9.161)(9.161)
"訂 叩设 g 2 1)при g《L
"訂 叩设 g 2 1)при g《L
(9.161)
(9.161)
Из (9.159) можно заключить следующее. В плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля, поглощение обыкновенных волн отсутствует. Не происходит отрицательного поглощения необыкновенных волн в отсутствии плазмы. Отрицательное поглощение обыкновенных волн возмож™ но, когда у < у^ 0,1 и выполнено второе ограничение из (9.161). В [57] показано, что при наличии плазмы обе волны могут иметь отрицательное поглощение.
Аккреция на нейтронные звезды; сильные рентгеновские источники. Рентгеновские источники были открыты во время ракетных полетов [58], однако их надежное отождествление с нейтронными звездами было проведено только после запуска рентгеновского спутника UHURU (см. обзор [76]). Его наблюдения показали, что многие рентгеновские источники являются рентгеновскими пульсарами, существование которых было ранее предсказано теоретически [120]. Рентгеновские пульсары, также как
и большинство других сильных галактических рентгеновских источников, представляют собой нейтронные звезды в тесных двойных системах. Поток массы от звезды-компаньона падает на нейтронную звезду, и гравитационная энергия падающего газа трансформируется в излучение. Аккреция на нейтронную звезду отличается от аккреции на черную дыру наличием границы у нейтронной звезды, благодаря чему гравитационная энергия падающего газа не исчезает под гравитационным радиусом, а распределяется между энергией излучения и энергией вращения нейтронной звезды. Таким образом эффективность преобразования гравитационной энергии в тепло не может быть маленькой и варьируется между 〜10 к 〜20 % от мс2.
Если нейтронная звезда обладает сильным магнитным полем, давление магнитного поля останавливает поток вещества при pv^ ^ б^/Зтг. Для скорости свободного падения Df = (2GM/г)1/2 плотность вещества в ста™ ционарном потоке с потоком массы М изменяется как
(9.162)(9.162)ММ
(9.162)
(9.162)
4?rr2'Uf47r(2GA夕)工/2『з/2
Для нейтронной звезды с дипольным магнитным полем В = Во (Я/г)3 альфвеновский радиус, где происходит остановка потока магнитным полем, определяется как
(9.163)(9.163)MV2GM — Bgr ( Bo^6 4ttN/2 247r \ r J 7 入 \qmV2GM 丿
(9.163)
(9.163)
Этот радиус достигает поверхности нейтронной звезды гд = Я при
「「f 6MV2GM\1/2「
(9.164)(9.164)以=4=a/2^1。…c
(9.164)
(9.164)
для 工37 = Ь/1037 эрг/с, £ = GMM/R, GM/R = 1,8 • 1020 см2/с2, что соответствует эффективности 〃 = 20% к А = 106 см. Если В < В*, аккреционный поток не может быть остановлен магнитным полем и падает непосредственно на поверхность нейтронной звезды.
Газ в двойной системе обладает большим угловым моментом и фор™ мирует диск вокруг нейтронной звезды. Вследствие быстрого остывания давление в диске падает и он становится геометрически тонким, вращающимся с кеплеровской скоростью. Из-за трения между слоями диска, которое имеет 1ур6улентную природу, вещество в диске теряет угловой момент и движется по направлению к нейтронной звезде. При В < В* внутренний край диска достигает поверхности нейтронной звезды и вещество диска соприкасается с ней. Если нейтронная звезда вращается медленно, у ее поверхности формируется пограничный слой, в котором выделяется большое количество энергии. В случае невращающейся звезды половина гравитаци-
онной энергии выделяется в пограничном слое, и другая половина ——в аккреционном диске.
Вещество, присоединяющееся к нейтронной звезде, обладает большим угловым моментом и ускоряет ее вращение. Когда аккреционный диск достигает поверхности нейтронной звезды с В < В*, ее угловая скорость со временем достигает критической величины, при которой центробежная сила компенсирует гравитационную силу на экваторе. После окончания эволюции компаньона и его превращения в белый карлик или другую нейтронную звезду аккреция прекращается и рождается радиопульсар, излучающий за счет своей энергии вращения, который называется «подкрученным пуль™ саром». Такие пульсары могут иметь очень малые периоды, достигающие порядка миллисекунд.
При 8》8* сферическая или дисковая аккреция останавливается на альфвеновском радиусе (9.163) и дальнейшее движение вещества канализируется магнитным полем, поскольку при г < гд магнитное давление дипольного поля возрастает как Рв 〜г^6, т.е. намного быстрее, чем динамическое давление р* 〜г^5/2. Из-зарэлей-тэйлоровской неустойчивости вещество проникает внутрь магнитосферы нейтронной звезды, двигается вдоль магнитных силовых линий и падает на нейтронную звезду возле ее магнитных полюсов. При такой аккреции нагреваются только магнитные полюса нейтронной звезды, и если ось угловой скорости не совпадает с магнитной осью, то излучение подобной звезды модулируется периодом вращения. Легко оценить, до какой темпера1уры нагревается поверхность нейтронной звезды, предполагая, что спектр близок к чернотельному. Получаем
Tef =(若Q 1,1 • 107bJ/4 К, (9.165) для А = 106 см. При такой температуре максимум излучения приходится на рентгеновский диапазон. В полном соответствии с теорией, наблюдения ио казывают, что рентгеновские пульсары, получающие энергию от аккреции, уменьшают свои периоды со временем, в противоположность получающим энергию от вращения радиопульсарам. Как и в случае аккреции на черную дыру, светимость в процессе аккреции не может превышать значение порядка критической эддингтоновской светимости (9.114), которая для нейтронной звезды и непрозрачности, определяемой томсоновским рассеянием —— 儿=0,4, равна LEd^ 1,3 • 1038(М/М) эрг/с. Светимости, наблюдаемые от наиболее сильных рентгеновских источников,——порядка критической, од™ нако большинство стационарных рентгеновских источников имеют светимости, в несколько раз меньшие критической, так что оценка эффективной темпера1уры в (9.165) близка к наблюдаемой. Отметим, что это относится только к эффективной темпера1уре, характеризующей светимость звезды, поскольку локальная энергия частиц может быть много больше k£f, и спектр рентгеновских источников часто далек от чернотельного.
Предполагая, что угловой размер 0s горячего пятна на полюсе нейтрон™ ной звезды определяется конфигурацией силовых линий магнитного поля,
приходящих на полюс от альфвеновской поверхности, возможно выписать следующую оценку [72]:
sin^0,258产工!久(9Л66)
где Зю = gai。—1°「с—L Даже в случае малого углового размера пятна тепловое излучение рентгеновского пульсара не будет модулировано сильнее, чем 〜sin(27rt/F), однако наблюдения показывают существование гораздо более узких и сложных форм диаграммы направленности излучения рентгеновских пульсаров. Это указывает на формирование анизотропного излучения около полюсов нейтронной звезды.
В [47] рассмотрены два возможных способа формирования диаграммы направленности излучения, и оба они связаны с синхротронным излучением. Первый механизм использует свойство высоких гармоник s > 5 маг™ нитотормозного излучения электронов со средней степенью релятивизма к с £ 〜109 К, для которых угол диаграммы направленности не превышает 30°. Ширина резонансной циклотронной линии 8g равна примерно [kTe/mec2)1^bJ^ с ш = scjq, s = 1,2... Спектр излучения %$ тепловой плазмы около резонанса с номером s может быть записан в виде [47]
Zs=$sQ 庐(9.167)
где
есть функция Планка, / = 1 для необыкновенной и / = 2 для обыкновенной волн соответственно. Коэффициент поглощения тормозного излучения в области резонанса с номером s равен [54]
& (5=，2*/2& (5=，2*/2評 e2評 e2X I cos 0 IX I cos 0 Iхх2%! mecaj2%! mecajmeC2 (1 — SUJo/uj)22kTe cos2 0meC2 (1 — SUJo/uj)22kTe cos2 0(9.168)(9.168)
& (5=，2*/2
& (5=，2*/2
評 e2
評 e2
X I cos 0 I
X I cos 0 I
х
х
2%! mecaj
2%! mecaj
meC2 (1 — SUJo/uj)2
2kTe cos2 0
meC2 (1 — SUJo/uj)2
2kTe cos2 0
(9.168)
(9.168)
Зависимость излучения от угла определяется функцией
(9.169)(9.169)/!(6>) = [1 — ( — 1)2 COS 仞2 sill25^2 丛
(9.169)
(9.169)
где J ——угол между направлением магнитного поля и траекторией кванта. Соотношения (9.168), (9.169) верны, если пренебречь эффектами плазмы, для 2^s^ sm, где sm определяется соотношением
sin2 gsin2 g=1.=1.(9.170)(9.170)
sin2 g
sin2 g
=1.
=1.
(9.170)
(9.170)
ПриПри
При
При
(9.171)(9.171)формула (9.168) верна также для s = 1. При s > sm можно использовать формулу для ультрарелятивистского предела:
(9.171)
(9.171)
pTs(G()5)7S — 5m exp —— —j~~万
где дГ5т определяется (9.168). В случае s = 1 сумма двух поляризованных волн дает форму диаграммы направленности излучения в виде /].(£) = 1 + + cos2 £，что означает почти изотропную диаграмму направленности.
Оптическая толщина для магнитотормозного поглощения т§ в первом резонансе велика: т§ = firsd > 1 вследствие большого 从『§，так что его интенсивность в тепловой максвелловской плазме равна рэлей™джинсовской, 几§ 〜ш2. Максимум излучения соответствует большим s, где возможно формирование узкой диаграммы направленности излучения. Вышеприведенные оценки были сделаны для изотропного распределения электронов в магнитном поле, тоща как в сильном поле это распределение может быть анизотропным в силу быстрой потери перпендикулярного импульса. Кроме того, наблюдения показали, что рентгеновские пульсары имеют диаграмму направленности, близкую к карандашной (модель полого конуса), вместо ножевой диаграммы, характерной для рассмотренных выше высоких гармоник.
С этой точки зрения более привлекательной представляется другая модель генерации узкого луча, основывающаяся на возможности формиро™ вания анизотропного распределения релятивистских электронов с Тц 〜 〜1011 К и Ti <С Тц. В этом случае формирование диаграммы направленности излучения связано с релятивистским движением вдоль магнитного поля, что приводит, вследствие аберрации, к формированию диаграммы направленности карандашного типа. Упрощенная модель формирования такого луча была рассмотрена в [9].
Для наблюдаемого угла диаграммы направленности, равного 30°, из (9.166) мы можем получить ограничение на величину магнитного поля:
В10 >0,1v/£37 = B1,. (9*172)
Величина 81* примерно в 10 раз больше, чем 8* из (9.164), при котором альфвеновский радиус достигает поверхности нейтронной звезды. Мы рассматриваем модель, когда аккреционный поток, движущийся по каналам к магнитным полюсам, останавливается у поверхности нейтронной звезды и кинетическая энергия движения трансформируется в тепловую в бесстолкновительной ударной волне [27]. Когда электроны и протоны, движущиеся с одинаковой скоростью, останавливаются ударной волной, протоны нагреваются до гораздо больших энергий и в результате релаксации передают
свою энергию электронам. Мы предполагаем, что плазма за ударной вол™ ной является 1урбулентной, так что обмен энергиями происходит гораздо быстрее, чем при бинарных кулоновских столкновениях.
Пусть Л ——характерная длина, на которой протоны всю свою энергию передают электронам вследствие развития пучковой неустойчивости. Вообще говоря, нагрев электронов в сильном магнитном поле может происходить анизотропно, так что мы будем различать Лц и Л±. Часть энергии Л/2Лц идет на увеличение энергии 石卜 параллельной магнитному полю, и часть Х/2入丄 ——на увеличение энергии 石丄 в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, так что Л = 2ЛцЛ±/(Лц + X丄).Одновременно 石丄 теряется вследствие потерь на синхротронное излучение, а анизотропия в распределении электронов вызывает развитие анизотропной неустойчиво™ сти, что приводит к релаксации между параллельной и перпендикулярной энергиями, а отношение между инкрементами пучковой и анизотропной неустойчивости Лз/Л 〜1.
Определим величины 後丄 и Е^ = тес2/у1 —後；/声 昼 системе координат, где электроны вращаются в магнитном поле без движения вдоль него, и величины % и Е“ = тес2/ J]—守/合 в системе координат наблюдателя, в которой центр Ларморовского кружка движется со скоростью q卜 Выбор 石“ и 石丄 сделан таким способом, что магнитотормозное излучение уменьшает только Е± и не влияет на Е^. В системе координат наблюдателя полная энергия электрона 石=石“石丄 /mec2. Упрощенную систему уравнений, описывающую изменение Е“ и Е± вдоль радиуса нейтронной звезды, можно выписать в виде [9]
23-e丄 mec2АзЕ丄23-e丄 mec2АзЕ丄(9.173)(9.173)d石1| 入丄 ^ее2
23-e丄 mec2
АзЕ丄
23-e丄 mec2
АзЕ丄
(9.173)
(9.173)
I 2E" — E丄 mec2+大3hI 2E" — E丄 mec2+大3hdx ° Л 入丄石丄 + 2aи £/||
I 2E" — E丄 mec2
+大3h
I 2E" — E丄 mec2
+大3h
痊丄=2E h
dx ° Л X±E± + 2A||E^
mec2 2e2ujQ石“ 3cw||mec2 2e2ujQ石“ 3cw||(9.174)(9.174)
mec2 2e2ujQ
石“ 3cw||
mec2 2e2ujQ
石“ 3cw||
(9.174)
(9.174)
Эта система верна при ж < Л, где протоны передают энергию электронам. При ж > Л, где происходят только магнитотормозная и анизотропная релаксации, система имеет вид
(9.175)(9.175)dE^ 2£/ц — Е丄 nieс'
(9.175)
(9.175)
dxЛ3Е 丄
dE丄 2Е|| — Е± mec2 mec2 2e2cjgdxЛ3 当 石“ 3 aqi
где 虱胃 о 0,5c ——аккреционная скорость на поверхности нейтронной звез
ды; 石о = 0,2трс2 ——энергия протона около поверхности звезды. Коэф-
фициенты при Е“ и 石丄 в (9.173)-(9.175) связаны с числом степеней сео- боды к = 1 в параллельном направлении к к = 2 в перпендикулярном направлении. Здесь использовано общее выражение для магнитотормозного охлаждения из (9.5).
Уравнение для изменения полной энергии электронов 石 в системе отсчета наблюдателя может быть получено из (9.173)-(9.175):
при ж < Л,при х > А.при ж < Л,при х > А.(9.176)(9.176)
при ж < Л,
при х > А.
при ж < Л,
при х > А.
(9.176)
(9.176)
Решение системы (9.173)-(9.175) может быть легко найдено только для некоторых предельных случаев. Рассмотрим оценки, следующие из (9.173)(9.175) для случая полной прозрачности, имея в виду получение направ™ ленного излучения, а также изменение энергии протонов. Примем оценку Лц о 入丄 о Лз о Л. В процессе возбуждения плазменных колебаний протоны теряют свою параллельную энергию, увеличивая параллельную энергию электронов. Таким образом, мы можем ожидать, что Лц < 入丄， что увеличивает степень анизотропии, полученную ниже. В зависимости от соотношения между скоростями нагрева плазменными колебаниями и охлаждения магнитотормозным излучением могут быть рассмотрены следующие случаи.
Сильное магнитное поле, удовлетворяющее неравенству
с(9.177)
Этот случай соответствует очень сильной анизотропии, где Е”》тес2 и 石丄一тес2《mec2. Оценки с учетом энергии протонов дают
0 о瓦 о 14mec2,(9.178)
Е丄г 3 Ео cwii 1 г 61
тес28 Л е2 u?qЛ см Bj0 *
Электроны с 石丄《2mec2 в системе отсчета покоящегося ларморовского кружка излучают, в основном, на частоте ш0 ~ 2 • 1017В10 (см. (9.2)). Из-за релятивистского продольного движения наблюдатель принимает часто1у с сильным доплеровским сдвигом, которая в 2Е^/тес1 раз больше, так что частота максимума излучения
0тах =~ 5 • 1018Вю, E®,max = (3810)КЭВ.(9」79)
Если максимум нетепловой компоненты излучения рентгеновского источника отождествить с энергией Еш^^, равной 3 или 10 кэВ, то мы получим
оценку магнитного поля 8ю = 1 или 3. С учетом (9.177) находим, что этот случай может иметь место при Л > 6 или 2/3 см.
Среднее магнитное поле удовлетворяет неравенствам
3 cw||3 cw||mec2 < Шд <mec2 < Шд <3£?0 cw I j8Ae23£?0 cw I j8Ae2
3 cw||
3 cw||
mec2 < Шд <
mec2 < Шд <
3£?0 cw I j
8Ae2
3£?0 cw I j
8Ae2
или
< Вю << Вю <(9.180)(9.180)0,04 смЛ
< Вю <
< Вю <
(9.180)
(9.180)
Этот случай соответствует средней анизотропии, когда к 石卜 и Е± больше тес2. Тогда имеем
3 =，35nieC2瓦 ~ 14тес2,3 =，35nieC2瓦 ~ 14тес2,(9.181)(9.181)
3 =，35nieC2瓦 ~ 14тес2,
3 =，35nieC2瓦 ~ 14тес2,
(9.181)
(9.181)
mec^V А см Вю
Здесь частота, соответствующая максимуму излучения в системе наблюдателя, равна
5 . ю18з
5 * В10(Л/6)
В этом случае для ^?тах = 3 или 10 кэВ получаем величины, равные 810 (Х/6) = 1 или 1/3. Из (9.179) и (9.182) следует, что граница между двумя случаями, соответствующая 8W =，6 см/入 имеет следующие экстремальные свойства. Для заданного Л и меняющегося В10 величина штах = Ш1 возрастает с увеличением 8ю вследствие увеличения циклотронной частоты шо, а с уменьшением 8ю величина штах = Ш2 возрастает вследствие возрастания перпендикулярной энергии 石丄* Таким образом, граничная величина Вю соответствует минимальному значению штах для данного А.
С другой стороны, при фиксированном Вю возрастание Л не меняет штах = Ш1, которая по порядку равна циклотронной частоте, а уменьше™ ние Л ведет к увеличению штах = вследствие увеличения 石丄 Таким образом, для данного 8ю граничное значение Л = 6 см/В^0 также соот™ ветствует минимальному значению штах.
Таким образом, одна величина штах в нетепловой части спектра рентгеновского источника может соответствовать двум различным комбинациям параметров. Например, для штах = 1019 можно ожидать 8ю = 2 и Л > 3/2 (см. (9.177), (9.179)) или другой комбинации ВюА = ЗиЛ < 3/2 (см. (9.180), (9.182)). В обоих случаях мы ожидаем карандашную диаграмму направленности излучения с углом 0 = 20s + (тес2/Е) о 20s + 0,07 радиан, где 0s ——угловой размер радиуса горячего пятна на магнитном полюсе звезды.
Третий случай соответствует пределу «слабого» поля, когда
9 3 cwii о с /0,04 см 小《“、 < 石или 81° < у X■ (9" 183)
В этом случае обмен энергией между степенями свободы происходит на™ столько быстро, что образуется почти изотропное распределение электро™ нов с 2Е“ о Е± и излучение перестает иметь узкую диаграмму направлен™ ности.
Довольно трудно оценить длину, на которой происходит релаксация энергии между протонами и электронами А, Ац,入丄,также как и длину Аз, на которой происходит изотропизация распределения электронов. В турбулентной плазме существует несколько характерных длин, связанных с плазменной и ларморовской частотами (9.126):
(9.184)(9.184)(9*185)(9*185)С СССШр с
(9.184)
(9.184)
(9*185)
(9*185)
Gp已OJpp' ^Ве^Вр7九сGpp
Беря наибольшую длину, последнюю в (9.184), получаем оценку
X тр с 4 • 1010
771 е Wpp \/7Ve
Параметры плазмы около поверхности полюсов нейтронной звезды были оценены в [72]. Плотность электронов Nep и оптическая глубина томпсоновского рассеяния тр оценивается как
Nep с 10^L^7B^\Nep с 10^L^7B^\T? F 4区7蕾£T? F 4区7蕾£(9.186)(9.186)
Nep с 10^L^7B^\
Nep с 10^L^7B^\
T? F 4区7蕾£
T? F 4区7蕾£
(9.186)
(9.186)
Формирование диаграммы направленности излучения рентгеновского пульсара возможно только при тр < 1, что ведет к ограничениям
(9.187)(9.187)В10 < 0,1£з75/4,Wep<2,5-1018.
(9.187)
(9.187)
Тогда из оценки (9.185) следует неравенство А > 25 см. При Е37 = 0,3 получаем ограничение Вю < 0,4. Сравнивая с выражениями (9.177) и (9.180), находим, что комбинация В10 и А соответствует случаю 2, для которого выполняется неравенство 0,04 < В10 < 0,4. На границе Вю = =0,4 получаем штах ? 3 • 1018, Етах + 2 кэВ. Если максимум наблюдается на большей энергии, то это может соответствовать меньшему магнитному полю.
Анизотропно распределенные электроны излучают вдоль магнитного поля в процессе колебаний в обеих направлениях, так что половина излучения от диаграммы направленности приходится на поверхность полюсов нейтронной звезды, создавая там горячие пятна, излучающие чернотель™ ный спектр в мягком диапазоне энергий. Таким образом, ожидается, что форма диаграммы направленности в этой модели зависит от диапазона
энергий, а ее ширина будет меньше в жестком диапазоне, где превалирует вклад анизотропного магнитотормозного излучения. Соотношение такого рода между диаграммами напрявленности в жестком (14-30 кэВ), и мягком (0,02+2 кэВ) диапазонах наблюдалось в излучении рентгеновского пульсара Her Х-1 [1081.
Модель магнитотормозного излучения ультрарелятивистских электронов с сильно анизотропным распределением может также объяснить особенность в спектре жесткого излучения от источника Her Х-1 [36, 85, 107]. Названная особенность обычно интерпретируется как циклотронная линия излучения с энергией Е^ ? 50 кэВ или поглощения с энергией 马? 34 кэВ. Это дает поле В * 5 • 1012 Гс в случае поглощения или В + 3 • 1012 Гс в случае излучения. Обе величины достаточно высоки для старых нейтронных звезд с возрастом 〜108 лет. Еще более важно то, что наличие такого сильного магнитного поля входит в сильное противоречие с самосогласованной моделью этого объекта, которая удовлетворительно объясняет весь комплекс его характеристик, включая форму диаграммы направленности излучения в различных фазах орбитального и тридцати пяти дневного цикла, изменения спектра, изменение орбитальной кривой блеска в течении тридцати пяти дневного цикла и т.д. [123].
Величина магнитного поля, следующая из этой модели, ограничена значением 1011 Гс, поскольку радиус альфвеновской поверхности (9.163) не может находиться слишком далеко от звезды. Если интерпретировать наблюдаемую особенность как магнитотормозное излучение в модели, рассмотренной выше, то оценка магнитного поля уменьшается в 2Е^/те(? ? 30 раз, делая интерпретацию этой особенности согласующейся с моделью, представленной в работе [123].
Излучение ультрарелятивистских электроновпри сильной анизотропии скоростей:магнито-дипольный режим
Как отмечалось в предыдущем параграфе, в спектре источника Геркулес Х-1 неоднократно [109] наблюдалась особенность в диапазоне 39+58 кэВ, которая интерпретировалась как циклотронная линия излучения. Обычно определяемая по нерелятивистской формуле величина магнитного поля равна
(9.188)(9.188)Н mewе
(9.188)
(9.188)
где ш ——циклическая частота фотонов. Для напряженности поля при этом получались значения (3+5) • 1012 Гс. Столь большие значения напряженности встречают много возражений, главным из которых является следующая из наблюдений близость внутреннего края аккреционного диска к поверх™ ности нейтронной звезды [123], что возможно только при Н < 1011 Гс. По™ мимо этого, в пользу существенно меньшей величины поля свидетельству™ ют интерпретация наблюдений ускорения вращения пульсара [19], уело
вие прозрачности для выхода направленного излучения [9] и рассмотрение связи между рентгеновскими и радиопульсарами [20]. Каждое из этих со обряжений в отдельности не может полностью опровергнуть гипотезу о большой величине поля пульсара, однако такое обилие возражений позво™ ляет усомниться в ее правильности.
Причина вышеперечисленных противоречий состоит, по-видимому, в неприменимости в данном случае нерелятивистской формулы (9.188). Например, согласно [27], электроны, излучающие циклотронную линию, имеют энергию 〜10 МэВ, т.е. являются ультрарелятивистскими. Такие электроны излучают широкий спектр, причем его максимум наблюдается на частотах, приблизительно в 7 раз больших, чем нерелятивистская цикло- еН
тронная частота ®н = ——• В работе [4J рассмотрена модель горячего пятна тс
на поверхности пульсара и показано, что весь наблюдаемый рентгеновский спектр (от 0,2 до 120 КэВ) может возникать при значительно меньших (^5 х х 1010 Гс) полях у поверхности пульсара. В этой работе рассматривались анизотропные электронные распределения с
Р^^Рр 。丄《тс. р”》тс.(9.189)
Распределение частиц поперек поля считалось двухмерным максвелловским:
血=元 ёхр(9*190)
Было рассмотрено несколько продольных распределений и показано, что максимум излучения смещается в точку
(9.191)(9.191)з Ёе
(9.191)
(9.191)
Последнее является общим свойством релятивистской циклотронной линии, не зависящим от конкретного вида продольного распределения. Для объяснения рентгеновского спектра пульсара Геркулес Х-1 была использована модель горячего пятна. Согласно этой модели на некотором расстоянии от поверхности нейтронной звезды образуется бесстолкновительная ударная волна, за которой возникает горячая турбулентная область. Ультра- релятивистские электроны, излучающие циклотронную линию появляются во фронте ударной волны.
Наблюдаемый спектр пульсара Her Х-1 в широкой области энергий при наличии циклотронной линии был теоретически получен в работе [4] в модели горячего пятна с еще более горячей короной, над которой располагается бе сстолкновительная ударная волна, излучающая циклотронную деталь (рис. 9.4).
Для получения циклотронной детали в этой модели использовалась [4] двухпучковая функция распределения электронов, в которой разброс энергии внутри каждого пучка (6) был в семь раз меньше средней продольной энергии электронов пучка (а) (см. рис. 9.4).
Рис. 9.4. Наблюдаемый (сплошная линия) [86] и теоретический (штриховая линия) [4] спектры Her X-L Параметры теоретической подгонки: Тпятна = 0,9 КэВ, ^е,короны = 8 КэВ, те,короны = 14, а = 7 • 10^4 эВ • с/см, а = 10^4 эВ • с/см. Здесь а характеризует продольную энергию электронов, а а ——разброс энергий в пучке
Недавно появились сообщения о наблюдениях старших циклотронных гармоник в спектрах некоторых рентгеновских пульсаров (Х0115+63 [НО]; Vela X/ [70, 88]; 4U1907+09 [71, 95]; А0535+26 [661). Так, в спектре Х0115+63 наблюдаются как минимум три гармоники [96, 114]. Наличие старших циклотронных гармоник для этого источника установлено наиболее достоверно. Для других объектов ситуация менее определена, вторая наблюдаемая гармоника у них очень слаба. Эти наблюдения чрезвычайно интересны, поскольку они, возможно, позволяют разрешить ряд проблем теории излучения рентгеновских пульсаров.
Во-первых, для многих рентгеновских пульсаров до сих пор открыт вопрос о том, являются ли циклотронные особенности в их спектре линиями поглощения или излучения. В работе [3] у четырех вышеназванных источников все линии интерпретируются как эмиссионные.
Во-вторых, не вполне ясно, какое распределение по скоростям имеют электроны, излучающие циклотронную линию. Вероятно, движение электронов поперек поля является относительно медленным, слаборелятивистским (или вообще нерелятивистским), поскольку в противном случае циклотронная линия имела бы характерный синхротронный вид, т.е. содержала бы множество гармоник, вместе образующих квазинепрерывный спектр. В большинстве случаев видна только одна основная гармоника. Как правило, считается, что скорость движения электронов вдоль линий поля заметно меньше с. Вполне возможно, однако, что распределение электронов по скоростям сильно анизотропно, так что поперек магнитного поля их скорость является слаборелятивистской, а вдоль поля ——ультрарелятивистской.
В статье [4] был проанализирован спектр рентгеновского пульсара Геркулес Х-1 и было показано, что есть достаточно оснований предполагать,
что электроны, формирующие циклотронную линию в его спектре, лвлл- ются ультрарелятивистскими с очень анизотропным распределением. Если наблюдается только одна циклотронная гармоника, как у Геркулес X-1, про™ верка этого предположения требует привлечения дополнительных соображений (анализ зависимости формы линии от фазы пульсара и.т.д.). Если наблюдаются несколько гармоник, то как показано в работе [3], циклотрон™ ное (магнито-дипольное) излучение ультрарелятивистских анизотропных электронов имеет очень специфический вид. В частности, гармоники разных порядков становятся неэквидистантными. Это может позволить по форме линии определить, является ли движение излучающих электронов вдоль поля ультрарелятивистским или нет.
Формула, задающая среднее по времени количество фотонов n-й гармоники, принимаемое наблюдателем после излучения однородным горячим пятном на поверхности звезды в единичном интервале частот, в единичный телесный угол за единицу времени, имеет вид [3]
Qn = apR"—2—Qn = apR"—2—
Qn = apR"—2—
Qn = apR"—2—
где R ——радиус звезды, р ——поверхностная плотность электронов, а —— постоянная тонкой структуры и введена безразмерная частота
(9.193)(9.193)ш =.
(9.193)
(9.193)
Тзн
Частота ш для n-й гармоники принимает значения 1/7 < ш < 2п. Поэтому соотношение (9.192) справедливо только в этом интервале частот, a Qn обращается в нуль вне его. Сложив гармоники нескольких порядков, начиная с первого, получим окончательную форму циклотронной особенности.
Рассмотривая высокоэнергетические участки спектров источников, у которых наблюдались старшие циклотронные гармоники, мы обнаруживаем, что в этой области спектр (без учета циклотронной особенности) оказывается степенным с экспоненциальным завалом. Спектр такого вида возникает, по-видимому, в результате комптонизации относительно холодного излучения горячими электронами [102] и на энергиях, больших энергии завала Ес, является виновским с температурой, равной температуре горячих электронов Те. Он формируется фотонами, которые испытали большое число столкновений с электронами и успели «прогреться» до температуры Те. Сами же фотоны, образующие степенную часть спектра, испытывают относительно мало столкновений с горячими электронами и не успевают достичь с ними теплового равновесия. Вследствие этого степенной спектр на каждой конкретной частоте содержит меньше фотонов, чем планковский спектр с температурой Те.
Интерепретация наблюдаемого циклотронного спектра неоднозначна. Наблюдаемые детали могут трактоваться как линии излучения, так и поглощения.
Если наблюдаемые линии считать эмиссионными, то на спектре Х0115+ +63 [96] они оказываются неэквидистантными. Кроме того, эти линии лв- ляются очень широкими (рис. 9.5). Как показано в работе [3], наиболее естественным объяснением всех этих явлений может служить предположение о том, что электроны, формирующие циклотронную линию, являются ультрарелятивистскими с очень анизотропным распределением. На рис. 9.6 приведен рассчитанный спектр циклотронного излучения [3], соответствующий поперечной температуре 20 кэВ, 7》1.
Если принять рассмотренный выше механизм формирования циклотронной линии, то для того, чтобы определить магнитное поле пульсара, необходимо знать релятивистский фактор электронов 7, который, в свою очередь, зависит от физических условий в аккреционном потоке. Вследствие этого разные типы рентгеновских пульсаров могут имеют разные характерные значения 7.
Синхротронное излучение от сверхновых и остатков сверхновых
Взрывы сверхновых ——несомненно самые эффектные события в мире звезд. Большая часть энергии выделяется за временной интервал (< 1 с), малый не только по сравнению с временем жизни звезды, но даже по сравнению со временем человеческой жизни, тогда как величина выделяемой энергии превышает на порядок и даже более энергию, излученную звездой за все ее время жизни, составляющую 〜1010 для звезд Солнечного типа. В процессе формирования нейтронной звезды подавляющая часть энергии выделяется в виде трудно наблюдаемых нейтрино.
Взрыв сверхновой является заключительной стадией жизни массивных звезд с М > 84,0. Сама вспышка представляет собой результат либо развития тепловой неустойчивости в вырожденном ядре, либо гравитационного и частично ядерного выделения энергии в процессе коллапса, ведущего к образованию нейтронной звезды. Вращение и магнитное поле могут играть важную роль в преобразовании гравитационной энергии в наблюдаемую вспышку. Малая часть звезд (наиболее массивных) оканчивает свою жизнь гравитационным коллапсом и образованием черной дыры. В этом случае коллапс может быть «тихим» и не приводить к взрыву сверхновой.
Согласно наблюдениям, сверхновые делятся на два типа. Свехновые типа I (CH I), у которых отсутствуют линии водорода в излучательном спектре, но присутствуют многочисленные линии поглощения различных тяжелых элементов, и сверховые типа II (CH II) с наличием водорода и примерно нормальным (Солнечным) химическим составом. Как было установлено, СН II являются результатом эволюции массивных звезд, тогда как CH I имеют менее массивные звезды-прародители; вероятно, многие CH I возникают в двойных системах.
Рис. 9.5. Наблюдаемый спектр рентгеновского пульсара ХО115+63 на спадающей части спектра основного импульса по данным спутника БеппоСАКС [96]
Как показывают наблюдения, пульсары возникают в результате взры™ bob CH II. Общим свойством CH II и некоторых CH I подклассов lb и 1с является нетепловое радиоизлучение, наблюдаемое в течении нескольких лет после взрыва. Последнее служит реальным индикатором того, что СН lb, с также дают рождение пульсарам. Напротив, СН подкласса 1а никогда не демонстрируют никакого радиоизлучения, поэтому предполагается, что они возникают в результате ядерных взрывов, приводящих к полному разрушению звезды, тогда как другие типы СН являются результатом гидродинамического коллапса, приводящего к формированию нейтронной звезды. Коллапсирующее ядро в СН II окружено большой водородной обо дочкой, а в СН lb, с ——практически обнажено. Последние предположи™ тельно происходят от менее массивных звезд, которые потеряли большую часть своей богатой водородом оболочки в процессе эволюции, возможно в двойных системах. Существует несколько спектральных различий между тремя типами СН I, однако все они не имеют водородных линий.
Наличие водорода в спектрах СН II является доказательством того, что взрыв происходит до потери звездой своей водородной оболочки. Формы кривых блеска показывают, что перед взрывом эта оболочка может быть крайне протяженной: (103 + IO’)R。[60]. Наблюдения SN1987A в Большом Магеллановом Облаке, первой сверхновой, видимой невооруженным глазом за последние более чем 300 лет, дало свидетельство взрыва СН II в довольно компактном голубом сверхгиганте. Кривая блеска SN1987A может быть воспроизведена только в случае продолжительного выделения энергии после основного взрыва.
Отсутствие водорода в спектре СН I приводит к заключению, что звезда потеряла водородную оболочку в течение своей эволюции до взрыва, и предсверхновая представляет собой довольно компактный объект. Форма кривой блеска СН I находит свое объяснение, если предположить, что излучаемая энергия черпается из радиоактивного распада ggNi т 羽Со т т 26Fe; для объяснения выделяемых энергий необходимо иметь массу никеля Ms6Ni = 0,34-1,1 Mq. Медленное выделение энергии в течение двухдвадцати дней продлевает фазу максимальной светимости (10-20 дней) для модели компактной звезды [60]. Такой же радиоактивный распад при t > 120 дней после взрыва соответствует характеру кривой блеска SN1987A после взрыва; здесь необходимо иметь начальную массу 56Ni, равную 0,078Мо [61].
В конце эволюции массивных звезд формируются железные ядра с массой MFe > 1,4 Мо, которые теряют устойчивость вследствие диссоциации железа, что ведет к быстрому коллапсу. Предполагается, что СН II возникают в результате обращения этого коллапса и возникновения взрыва после формирования устойчивой нейтронной звезды. Железное ядро формируется в звездах с начальной массой 7V厶 > 10Mo, тогда как для М > 13МО все стадии ядерного горения протекают спокойно. Поскольку все эволюционные расчеты дают значительную неопределенность в отношении Мре{М^, можно утвеждать, что потеря устойчивости вследствие диссоциации железа гарантировано происходит у одиночных звезд с 7V厶 > 13 ± ЗТИ。.
Гидродинамические расчеты коллапса были проведены с учетом эффек™ тов электронных и мюонных нейтрино, роли нейтринного вклада в нагрев оболочки и возможный выброс (нейтринная депозиция), а также эффекта горения термоядерного топлива 12С, 16О, остающегося вокруг железного ядра. Отражение падающего внутрь вещества от поверхности устойчивой нейтронной звезды и формирование ударной волны (отскок) тоже может быть важно для возникновения взрыва сверхновой.
В настоящее время результаты многочисленных расчетов (см. обзоры [13, 60]) чувствительны к уравнению состояния ядерной материи, количеству оставшегося термоядерного топлива, возможной конвекции. Они сильно зависят от принятых методов учета нейтрино на прозрачных и непрозрачных стадиях. Самосогласованные вычисления в сферически-симметричном приближении с наиболее аккуратным учетом нейтринных процессов и нейтринного переноса показали, что коллапс обращается очень слабо, так что это либо вообще не приводит к взрыву, либо его энергия намного меньше, чем необходимо для объяснения взрывов сверхновых. Это следует из структуры образовавшейся горячей нейтронной звезды, которая непрозрачна для нейтрино. На уровне нейтриносферы, с которого начинается свободное убегание нейтрино, температура и энергия нейтрино слишком малы. Поскольку сечение рассеяния нейтрино пропорционально квадрату энергии, нагрев вещества вследствие его вклада не достаточен для возникновения гидродинамиче ского взрыва.
Единственная возможность получить взрыв благодаря вкладу нейтрино состоит в увеличении энергии выходящих нейтрино, которые могли бы нагревать вещество с большей эффективностью. Это может произойти, если вещество горячей нейтронной звезды неустойчиво относительно развития конвекции. Конвективное перемешивание выносит горячее вещество к нейтрино сфере и энергичные нейтрино получают шанс взорвать сверхновую в результате депозиции. Вычисления показали, что конвективная неустойчивость действительно имеет место, однако окончательный результат зависит от вида ее учета. Численные расчеты, в особенности трехмерные, необходимые для рассчета нейтринной конвекции, на сегодняшний день не могут быть выполнены с точностью достаточной для того, чтобы получить однозначный ответ. Из физических соображений ясно, что критическим параметром является масштаб нейтринной конвекции: чем больше масштаб, тем больше энергия нейтрино, вынесенных к нейтрино сфере из глубоких слоев, и тем легче получить сильный взрыв. Невозможно определить этот параметр каким-либо способом, кроме численных расчетов, которые, однако, недостаточно надежны. Так что даже при наличии некоторых расчетов, дающих достаточно сильные взрывы, проблема «нейтринной сверхновой» все еще однозначно не решена.
Открытие радиопульсаров показало, что новорожденные нейтронные звезды быстро вращаются и имеют сильное магнитное поле. Это приводит к идее магнито-ротационных сверхновых [8].
Когда другие механизмы взрывов оказываются неэффективными, магнитное поле может преобразовать энергию вращения нейтронной звезды,
образовавшейся в результате коллапса, в кинетическую энергию оболочки и обеспечить таким образом взрыв сверхновой. Наблюдения радиоизлуче™ ния на сравнительно ранних стадиях вспышки, примерно через один год после пика светимости, дают косвенное подтверждение тому, что магнит™ ное поле играет важную роль во взрыве свехновой. Радиоизлучение было обнаружено у CH II, где предполагается рождение пульсара, и у тех типов CH I (CH lb, с), где также ожидается рождение нейтронной звезды.
Численные расчеты для этой модели были сделаны в цилиндрическом приближении, сферически-симметричном приближении и в двухмерной формулировке. Результаты вычислений качественно согласуются друг с другом и дают преобразование 〜3 % вращательной энергии в кинетическую энергию выброса. Для Erot = 1053 эрг получаем Ekin = 3 • 1051 эрц достаточную для взрыва сверхновой.
Механизм магнито-ротационного взрыва сверхновой может быть сфор™ мулирован следующим образом. Когда быстровращающаяся иред-сверх- новая коллапсирует, это приводит к формированию быстровращающейся нейтронной звезды, окруженной дифференциально вращающейся оболоч™ кой, в которой центробежные силы сравнимы с гравитационными. Диф™ ференциальное вращение вызывает закручивание линий магнитного поля, приводя к линейному со временем росту магнитного поля с начальной энергией &м《£g・ Когда энергия поля в оболочке приближается к ем 〜 〜eg, магнитное поле выталкивает вещество наружу. Возникающая волна сжатия, распространяясь по среде с падающей плотностью, усиливается и транс формируется в ударную волну, что приводит к мощному взрыву. Когда волна сжатия и последующая ударная волна движутся наружу, их энергия продолжает нарастать, поддерживаемая вращательной энергией, поставляемой посредством магнитного поля. Магнитное поле также способствует переходу во внешние слои существенной части полного углового момента звезды. Закручивание магнитного поля было использовано ранее для расчета перехода энергии от нейтронной звезды в Крабовидную туманность и поддержания ее светимости [64].
После выброса оболочки остается молодой пульсар, который продолжает поддерживать ее ускорение давлением своего излучения в форме частиц высоких энергий и дипольного электромагнитного излучения. Действие магнитогидродинамического ротационного механизма выброса оболочки и последующая активность молодого пульсара могли повлиять на взрыв и формирование кривой блеска сверхновой SN1987A.
. Радиоизлучение сверхновых. Радиоизлучение, наблюдаемое от молодых СН, явилось свидетельством важности влияния магнитного поля и синхротронного излучения в этих грандиозных событиях. Открытие радиоизлучения от СН в удаленных галактиках стало возможным после создания очень больших антенн (VLA), что дало достаточную чувствительность на уровне плотностей потока порядка субмиллиянских со временем интегрирования всего несколько минут [35]. Единица мощности радиопотока 1 Ян = 1 Янский = 10-26 Вт/(м2-Гц) = 10-23 эрг/(см2-Гц). Помимо
этого, VLA дала угловое разрешение на уровне угловой секунды, что позволило получить согласие в положении источника на небе как в радио-, так и в оптическом диапазоне даже в присутствии посторонних источников помех и влияния крупномасштабной струк1уры родительской галактики. Радиоизлучение от СН было впервые открыто в апреле 1980 г. во время наблюдения области, откуда приходило оптическое излучение SN1979C в галактике NGC 4321 (Ml00). Эта СН наблюдалась в среднем раз в месяц с 1980 по 1983 гг., и порядка четырех раз в год с 1984. Кривые блеска в радиодиапазоне и эволюция спектрального индекса показаны на рис. 9.7. Подобные кривые радиоблеска предполагаются типичными для источников типа СН II, к которому принадлежит SN 1979С, если они дают радиоизлучение [12, 24].
Рис. 9.7. Кривая блеска радиоизлучения на длинах волн 6 и 20 см для СН П SN 1979С в NGC 4321 (Ml00) (а) и эволюция спектрального индекса a (S з+。) между 20 и 6 см (6) [35]
Излучение становится ярким вначале на высоких, а затем ——на постепенно уменьшающихся частотах. После первоначального быстрого роста плотность потока медленно падает на временах (порядка месяцев или лет), более длинных, чем оптическая кривая блеска, время за1ухания которой не превышает 1—2 месяцев. После того как излучающая область становится оптически тонкой, спектральный индекс в радиодиапазоне остается постоянным, и вполне типичным для нетеплового синхротронного источника (S 〜L°"). Плотность радиопотока от SN1979C оставалась достаточно высокой, для проведения измерений с помощью радиоинтерферометра со сверхдлинной базой (РСДБ) с целью нахождения струк1уры источника на угловом масштабе миллисекунд дуги. Был измерен диаметр радиоисточни™ ка и установлено его расширение. Измерения на длине волны 6 см показали увеличение диаметра с 1,05 миллисекунды дуги в декабре 1982 г. до 1,43 миллисекунды дуги в декабре 1983 г.
После успеха с SN1979C и позднее — с SN1980K были начаты регулярные VLA-наблюдения всех вновь открытых ярких СН. Первой СН типа I, открытой в радиодиапазоне, была SN1983N в NGC 5236(М83)* Радиоизлучение от этой сверхновой было обнаружено на длине волны 6 см за 11 дней до ее оптического максимума. Радиоизлучение эволюционировало через- вычайно быстро, и менее чем через один год SN1983N стала невидимой для предела чувствительности, соответствующего VLA, тогда как СН типа II оставались наблюдаемыми в радиодиапазоне много лет. Оптически тонкий спектральный индекс был в этом случае значительно круче (〜ш^1), чем у СН II. Сверхновые типа I с радиоизлучением принадлежат к специальному классу lb, в остатке которого, вероятно, формируется нейтронная звезда.
Традиционно все СН сперва находили по оптическому излучению, но некоторые недавно открытые, включая SN1981K в NGC 425 8 и SN1986J в NGC 891 [35], были обнаружены по радиоизлучению. Обе принадлежат второму типу, сам взрыв в оптике был пропущен, однако они были позднее идентифицированы и оптическим путем поиска на фотопластинках. Объект, получивший обозначение SN1986J, вероятно, взорвался в 1982 или 1983 годах и оставался в 1988 г. самым ярким СН источником в радиодиа™ пазоне. Его абсолютная светимость в радиодиапазоне на длине волны 6 см была примерно в 1000 раз больше, чем у Cas А, самого яркого радиоостатка сверхновой (ОС) в Галактике, и более чем в 4 раза превышала максимальную радиосветимость SN1979C, следующий по мощности радиоисточник в СН. Свойства SN1986J в различных диапазонах означают, что пульсар мог бы стать важным источником энергии в этой СН в возрасте четырех лет.
Радиоизлучение от SN1987A в первом радионаблюдении было обнаружено на 0,843 и 1,4 ГГц спустя всего два дня после ее открытия. Наблюдения день спустя на 2,3 ГГц также обнаружили сверхновую, но уже с резко уменьшающейся плотностью потока. Максимальный радиопоток от SN1987A был больше 100 мЛн, однако Магеллановы Облака находятся так близко, что его абсолютная радио светимость была более чем на три порядка меньше, чем от SN1979C. Кроме того, радиоизлучение от SN1987A уменьшалось чрезвычайно быстро и стало необнаружимо уже через несколько дней (за исключением излучения на длине волны 0,843 ГГц). Если бы эта СН была на нормальном расстоянии для внегалактических СН, таком как скопление галактик в Деве или, даже, как Местная группа галактик, то она конечно, не был бы обнаружена.
Следом за начальной радиовспышкой SN1987A оставалась спокойной на радиочастотах около двух лет. В июле 1990 г. источник снова стал излучать в радиодиапазоне. С тех пор он показывает устойчивое нарастание плотности потока, достигнув уровня 5 мЯн на 8,6 ГГц в апреле 1993 г. [100]. Такое поведение отличается от других радио сверхновых, у которых через 10+1000 дней полная плотность потока начинала испытывать степенной спад. Более того, эта СН имеет намного меньшую светимость в радио, чем обычно, — примерно в 106 раз меньше, чем SN1986J. Причиной различия является то, что радио сверхновые имеют прародителями красных сверхгигантов, которые обладают мощными истечением, или ветром.
Взаимодействие фронта ударной волны с ветром приводит к появлению сильного радиоизлучения. С другой стороны, прородителем SN1987A был голубой сверхгигант с быстрым разреженным ветром, который порождает слабое радиоизлучение при столкновении с ударной волной. Вероятно, этот ветер ответственен за выметание ветра от бывшего красного сверхгиганта в экваториальное кольцо радиуса 〜6 • 1017 см. Поэтому радиоизлучение от этой СН, появившееся после перерыва, вполне может быть начальной стадией развития классического ОС типа Кассиопеи А.
Радио сверхновые обладают крутым радиоспектром, и их угловые размеры подразумевают черезвычайно высокие яркостные температуры, что указывает на нетепловое происхождение их радиоизлучения. Как правило, рассматривается синхротронное излучение, так что модели радио СН должны объяснять происхождение и эволюцию релятивистских частиц и магнитных полей. Были развиты два типа моделей, которые могут быть названы «миниоболочками» и «миниплерионами» [35]. Последняя использует потери вращательной энергии быстро вращающегося и быстро замедляющегося молодого пульсара, появившегося после вспышки СН. Эта модель сталкивается с серьезными трудностями. Поскольку источником энергии является пульсар, глубоко погребенный внутри огромной массы выброшенного из сверхновой вещества, излучению, генерируемому пульсаром и его окрестностями, необходимо добраться до радиуса, где плотность ионизированного вещества достаточно мала, чтобы быть оптически прозрачной для радиоизлучения. Эта проблема могла бы быть решена в модели, где масса, выброшенная СН, очень быстро группируется на плотные фрагменты, между которыми в радиоизлучении может быть виден миниплерион. Другая проблема состоит в большом размере радио СН (согласно РСДБ измерениям), что с трудом поддается объяснению. В силу указанных причин миниплерионная модель обычно не рассматривается, как подходящая для радио СН, во всяком случае ——для очень молодых СН.
Модель миниоболочек использует существование за ударной волной от СН области, неустойчивой по критерию Релея—Тейлора, в которой происходит развитие турбулентности. Эта область располагается между ударной волной, распространяющейся наружу по образованному ранее плотному околозведному веществу, которое возникло благодаря звездному ветру от красного сверхгиганта предсверхновой звезды, и обратной ударной волной, распространяющейся внутрь по оболочке сверхновой. Это обеспечивает увеличение магнитного поля и ускорение частиц для радиоизлучения синхротронной природы. Поскольку околозвездная оболочка является ионизованной и, в общем, оптически толстой для радиоизлучения, последнее становится наблюдаемым только после того, как ударная волна пройдет достаточно далеко через оболочку, достигнув области, где оптическая толщина по радиоизлучению станет порядка единицы. Ввиду роста сечения поглощения с уменьшением частоты в радиодиапазоне уменьшение слоя вещества над ударной волной порождает быстрые наблюдаемые включения на последовательно уменьшающихся частотах и градиент плотности в оболочке сверхновой приводит к падающей кривой блеска радиоизлуче-
ния в виде S 〜ujatb9 похожей на наблюдаемую. Как интенсивность, так и временной масштаб радиоизлучения зависят от свойств околозвездного вещества и, таким образом, позволяют получить оценку темпа потери массы звездой-предшественницей сверхновой.
Наблюдаемый поток является результатом совместного действия процессов поглощения и процессов, ответственных за собственное излучение, которые сами зависят от способа ускорения электронов и эволюции магнитного поля внутри источника. В [122] было предположено, что собственное радиоизлучение от радиосверхновых можно понять предположив, что фиксиро- ваная часть (около 2 %) от потока энергии через фронт ударной волны разделяется поровну между релятивистскими электронами и магнитным полем.
Аппроксимируя излучающую область тонкой оболочкой заударной волной и принимая во внимание эффекты свободно-свободного поглощения в звездном ветре с плотностью, падающей пропорционально квадра1у расстояния от звезды-предшественницы, в [122] было предсказано, что плотность радиопотока S(g<) должна описываться пятипараметрической моделью. Эта модель оказалась достаточно хорошей для нескольких радиосверхновых, однако она не работает в применении к одной из ярчайших и наиболее хорошо изученной радио сверхновой SN1986J.
Эта сверхновая, впервые открытая как радиоисточник, принадлежит к «пекулярным» сверхновым типа II с очень массивным М 〜20^60 М0 прародителем. Ее радиоизлучение возрастало гораздо медленнее, чем следовало из стандартной модели с ее довольно быстрым уменьшением поглощения с ростом радиуса. Последнее привело к предположению о возможности дополнительного вклада в свободно-свободное поглощение благодаря наличию вещества в тепловом равновесии, смешанного с веществом, дающим нетепловое синхротронное излучение. Это дало к значительно лучшее совпадение с данными для ранних эпох.
Модель, основанная на механизме диффузного ускорения электронов в ударных волнах, распространяющихся от сверхновых, была рассмотрена в работе [2]. Раннее она применялась для объяснения уникальной второй фазы радиоизлучения от SN1987A, но требовала для своего понимания детального изучения окрестности предшественника, а также учета обратного влияния ускоренных частиц на гидродинамику взрыва. Для случая сверхновой SN1986J этими усложнениями можно пренебречь, и поэтому удается согласовать простой вариант модели, включающий в себя сочетание как внутреннего, так и внешнего свободно-свободного поглощения, с радиодан™ ными. Свободные параметры довольно просто соотносятся с физическими свойствами взрыва, позволяя оценить такие величины, как степень сжатия на фронте ударной волны, магнитное поле и эффективный коэффициент диффузии электронов.
Модель предполагает диффузное ускорение частиц в ударной волне, распространяющейся с постоянной скоростью с радиусом ударного фрон™ та, зависящим от времени по закону rs 〜 (t—te), и меняющимся магнитным полем. Для преимущественно азимутального магнитного поля в ветре предшественника зависимость от времени магнитного поля на ударном фронте
определяется посредством функции B(rs)〜(力一方\ где te есть время взрыва.
Если магнитное поле в веществе, по которому распространяется ударный фронт, преимущественно радиально, то B(rs) 〜 « —力修)一Z Общее решение в этом случае было рассмотрено в работе [2], где полагается, что В (г s)〜« — te)^n, а п — свободный параметр. Кроме того, модель предполагает постоянной скорость поciynления электронов в область фа™ зового пространства, где начинается действие механизма ускорения. В этих условиях уравнение, описывающее ускорение частиц, дает решение для внутренней (непоглощенной) плотности потока излучения как функцию времени и частоты в следующем виде:
FQ/)〜—力 (i+叫 (9.194)
Здесь параметр а связан с распределением ускоренных частиц ^(p) по импульсам р, так что N (р)〜р—2а -1* Учет внутреннего поглощения приводит к более быстрому падению радио светимости со временем, что соответсвует наблюдениям, но на больших временах и при больших радиусах ударного фронта, когда поглощение пренебрежимо мало, должна иметь место зависимость (9.194).
Для радиоярких SN1986J и SN1988Z наилучшее согласие диффузион™ ной модели имеет место, если а) магнитное поле меняется со временем как 8 〜 力―2 и 6) степень сжатия на ударной волне не очень отличается от значения 4, которое ожидается на ударном фронте без учета давления ускоренных частиц. Подобная зависимость для магнитного поля возникает, когда звезда-предшественник сверхновой ——слабо вращающаяся с магнитным полем, близким к радиальному, либо в результате действия 1урбулентных процессов внутри самого ветра. Если имеет место существенное замедление ударного фронта, то даже дипольное поле с 8 〜г^3 могло бы привести к временной зависимости 8 〜 方一Z Значение степени сжатия указывает на малый вклад ускоренных частиц в давление. Это может быть связано с наличием резкого спада магнитного поля.
Давление релятивистских частиц в основном определяется частицами с ТэВ энергией, или выше, а слабое магнитное поле сильно увеличивает время, требуемое для ускорения частиц вплоть до таких больших энергий. Магнитное поле на уровне ударного фронта через 1000 дней после взрыва равно примерно 3 ■ 10^5 Гс, что существенно выше магнитного поля в окружающей межзвездной среде. Это согласуется с модельной картиной, в которой магнитное поле в области ударного фронта непосредственно связано с предшественником.
Экстраполяция назад к поверхности звезды приводит к огромному полю на ее поверхности, однако в данной модели не требуется, чтобы зависимость 力—2 использовалась при временах, меньших, чем 500 дней после взрыва. Высокое магнитное поле, следующее из данной модели, может указывать на важность роли магнитных сил для самого взрыва и на действие магниторотационного механизма взрыва.
Эффективный коэффициент диффузии, полученный в [2], эквивалентен длине свободного пробега электрона, равной 1014 см, что примерно на четыре порядка больше ларморовского радиуса радиоизлучающих электронов. Это могло бы быть возможным, если бы диффузия происходила преимущественно вдоль направления магнитного поля. Значение скорости потери массы предшественником определяется в описываемой модели с большими ошибками.
Модель диффузного ускорения может быть также успешно применена для объяснения радиоизлучения других, менее радиоярких сверхновых, включая CH II и CH lb. В отличие от SN1986J и SN1988Z, моделирование этих СН приводит к зависимости для магнитного поля 8 〜 力一\ как при моделировании второй фазы радиоизлучения от SN1987A. Причина такого различия может крыться в свойствах звезд-предшественников. Диффузионная модель имеет восемь параметров для подгонки наблюдений, поэтому ее ценность будет подтверждена, если тот же самый набор параметров даст наилучшее согласие для нескольких радиосверхновых.
Различные модификации синхротронной модели не могут быть непосредственно применены для объяснения первой фазы радиоизлучения от SN1987A, которая наблюдалась вскоре (〜2 дня) после взрыва. Это время слишком мало для ускорения электронов до энергий, необходимых для синхротронной модели.
Альтернативная модель, предложенная в [18], не содержит подобных трудностей и может применяться даже в случае более раннего начала радиоизлучения от этой СН. Модель основана на ускорении позитронов вплоть до энергии 〜15 МэВ потоком нейтрино во внешних прозрачных слоях посредством реакции
£>е 十 0 7 71 十 с+" (9.195)
Быстрые позитроны возбуждают плазменные колебания на частоте (9.149), которые конвертируются в излучение на той же и на удвоенной частоте, объясняя происхождение радиоизлучения. Малая длительность наблюдаемого радиоизлучения может быть связана с аннигиляцией позитронов и за1уханием плазменных колебаний в случае отсутствия какого-либо другого источника энергии. В данной модели радиоизлучение могло бы начаться через несколько секунд после взрыва, а дрейф частоты максимума излучения со временем в сторону меньших частот связан с вытекающим потоком быстрых позитронов и возбуждением плазменных колебаний в областях со все уменьшающейся плотностью.
・ Радиоизлучение от остатков сверхновых. Внегалактические остатки сверхновых (ОС) являются единственными ОС, расстояние до которых, или по крайней мере их относительные расстояния, определяются с разумной надежностью. Однако обычно они малы, слабы и плохо разре™ шены, так что гораздо болше информации можно получить от ОС в нашей Галактике. В Галактике известны около ста пятидесяти ОС, но их список далеко не полон, что подтверждается регулярными открытиями новых ОС.
Галактические ОС отождествляются, как имеющие форму оболочки, или части оболочки, и нетепловой радиоспектр. На основе детального изучения было выделено четыре типа ОС [83]: Бальмер-доминантные, кислороднобогатые, сложно-плерионные и проэволюционировавшие. В [35] был до™ бавлен возможный пятый тип ——ОС с центральным влиянием.
Бальмер-доминантные ОС выделяются как остатки с оболочечными филаментами, которые сильно светят в бальмеровских линиях водорода, но не видны или очень слабы в линиях кислорода [О Ш] и серы [S П]. Они являются оболочечными или частично оболочечными радиоостатками, в которых выс око скоро стной неизлучающий бе с сто лкновительный ударный фронт сталкивается с частично ионизованным газом окружающей межзвездной среды (МС). Эти ОС относят к молодым остаткам CH 1а, возникшим в результате взрыва полного разрушения маломассивного (〜1,4 М0) прародителя. Два наиболее молодых галактических ОС SN1604 (СН Кеплера) и SN1572 (СН Тихо)——относятся к этому классу.
Кислородно-богатые ОС расположены обычно вблизи Н II областей и, как предполагается, являются результатом взрыва массивной звезды (< 25 М©), где наблюдаемый богатый кислородом выброс состоит из ве™ щества, проэволюционировавшего из ее глубоких слоев. Эти ОС черпают энергию из ударной волны, которая нагребает сначала околозвездное вещество, потерянное звездой-предшественником на последних стадиях эволюции перед своим взрывом, а затем ——вещество из МС. Самый молодой (〜 1670 г.) и самый яркий радиоисточник на небе ОС ——Кассиопея А —— принадлежит к этому классу.
Сложно-плерионные ОС содержат плерионы, представляющие собой центрально-заполненные остатки, с окружающей оболочкой. Энергия пле™ рионов черпается из энергии вращения центральной нейтронной звезды- радиопульсара. Причиной существования оболочек вокруг плерионов является их взаимодействие с МС, чистые плерионы могут образоваться в наиболее разреженной МС* Обзор свойств плерионных ОС дан в [98]. Наиболее известным членом этого класса является Крабовидная iyманность, остаток SN1054, где наблюдается яркий пульсар. Активность пульсара заполняет плерион релятивистскими частицами, излучающими синхротронное излучение в широком диапазоне от радио до рентгена.
Рентгеновская синхротронная iyманность занимает небольшой объем в центре iyманности вблизи пульсара, который наблюдается как точечный источник. Меньший размер рентгеновской 1уманности указывает на то, что время жизни релятивистских электронов, излучающих в рентгене, меньше, чем время, за которое эти электроны могут продиффундировать к краю Крабовидной iyманности. В рентгеновском диапазоне Краб является самым ярким ОС в нашей Галактике. Девяносто пять процентов его светимости в мягком рентгене обеспечивается синхротронной 1уманностью. Уникальным свойством Краба является присутствие быстровращающегося чрезвычайно яркого пульсара, поддерживающего светимость 1уманности, и низкая скорость расширения оптических волокон, удерживающих nociy- пающую энергию в относительно малом объеме, в котором образуется вы-
сокая плотность энергии, благодаря чему Краб обладает уникальной яркостью. Оптический и радио континуумы ограничены объемом, окруженным волокнами. Радиоизлучение имеет наибольшую яркость вблизи некоторых ярчайших волокон, что указывает на сжатие магнитного поля 1уманности, причиной которого является задержка волокнами потока энергии, идущего из окрестности пульсара. Оптические спектры указывают на то, что вещество в волокнах фотоионизовано, так что даже энергия оптического излучения волокон в линиях черпается из пульсара.
Остаток SNR 0540-69.3 был назван близнецом Крабовидной 1уманно- сти. Он содержит 5О-миллисекундный пульсар, видимый в рентгене и в оптике, а скорость потери его вращательной энергии составляет 1/3 от пульсара в Крабе. Этот остаток расположен в Большом Магеллановом облаке (БМО) и, аналогично Крабу, излучает синхротронный континуум от радио до рентгена. Отличие от Краба имеется в излучении волокон, которое идет в основном в линиях кислорода [О II] и [О Ш]. Это может указывать на то, что предшественник звезды был более массивным, чем предшественник Крабовидной iyманности. Двадцать три процента рентгеновского излучения, наблюдаемого от этого остатка, пульсируют, что составляет гораздо боль™ шую долю, чем 4 % наблюдаемого пульсирующего излучения от Краба. Это может быть результатом более благоприятной ориентации вращающейся нейтронной звезды.
Другим известным представителем данного класса является ОС Вела, содержащий второй по молодости пульсар в нашей Галактике. Пульсар хорошо виден в радиодиапазоне, оптике и в жестком (> 30 МэВ) гамма- излучении, где он является самым ярким источником на небе. Он окружен небольшой излучающей рентген 1уманностью, имеющей по крайней мере 4’ в диаметре. Рентгеновской излучение от «точечного источника» не пульсирует (верхний предел пульсирующей компоненты составляет 1 % в интервале энергий 0,2+4 кэВ).
Восемнадцать ОС имеют в рентгене морфологию, указывающую на существование нейтронных звезд в их центрах. Среди них шесть ОС содержат радиопульсары с рентгеновской синхротронной светимостью. Указание на существование центрального источника энергии в других ОС содержатся в их радиоморфологии. В целом, примерно в двадцати пяти остатках наблюдаются нейтронные звезды, либо имеются свидетельства их существования.
Проэволюционировавшие ОС имеют характерную форму оболочек с отношением потоков в линиях [S II] к На, превышающим 0,7, и ударными волнами, имеющими умеренные скорости 50:200 км-с^1. Излучение возникает в межзвездных облачках, сжатых ударной волной. Вероятно, что в Э1у категорию входят ОС, представляющие собой заключительные стадии эволюции ОС всех трех предыдущих типов. Бальмер-доминантные и кислородно-богатые ОС имели оболочечную форму еще будучи молодыми, а сложно-плерионные ОС, как ожидается, приобретут оболочечную форму после угасания внутреннего плериона. Во всех случаях энергия передается МС, и как только индивидуальные свойства отдельных взрывов становят-
ся несущественными, все остатки, вплоть до их окончательного угасания, наблюдаются как слабые оболочки, поддерживаемые ударной волной.
Остатки сверхновых с центральным влиянием представляют собой необычные ОС, имеющие общую оболочечную форму, которая существен™ ным образом искажена центральным компактным пекулярным активным объектом. Наиболее поразительным их примером является W50 (G39*7-2.0)， содержащая внутри объект SS 433, в котором видны сильные субрелятивистские выбросы (джеты), существенно влияющие на остаток.
Детальное изучение ОС [67] показало, что большинство из них имеют «бочкообразную» форму. Объяснение этого факта может быть связано с тороидальным выбросом сверхновой, ожидаемым в результате действия магниторотационного механизма, или в результате характерного распределения окружающего вещества, созданного анизотропным ветром от пред- сверхновой, а также какой-либо другой причиной. Оба фактора принимались во внимание в теории при численном моделировании формы некоторых конкретных ОС [25].
Анализ набора ОС в нашей и в ближайших галактиках позволили получить следующие связи между их свойствами.
Отношение поверхностных яркостей в радио Ед и в рентгене Хх сильно коррелированы (Ед 〜Е^69). Это указывает на то, что нагрев и дальнейшее ускорение тепловых электронов, излучающих в рентгене, до релятивистских энергий (для получения синхротронного радиоизлучения) происходят совместно в ударной волне ОС различного возраста.
Остатки сверхновых эволюционируют адиабатически при почти постоянной Ед, после чего происходит резкое падение яркости вблизи максимально наблюдаемого диаметра, когда остаток переходит в радиативную фазу.
Наблюдаемые вариации Ед связаны с вариациями в энергии взрыва £^о и в плолтности окружающей плазмы uq, но не с возрастом или с эволюционными эффектами
Яркость Ед и Dr (радио-диаметр) связаны с окружающей плотностью соотношением Ед 〜tzq,3/, D冗 〜 几丁"'、что справедливо для всех оболочечных ОС.
Имеется слабая корреляция роста спектрального индекса в радиоди™ апазоне a (S 〜ш+а) с ростом DR.
Применяя теорию сильного точечного взрыва с взрыву СН в МС, получим [127] зависимость от времени диаметра ОС D на адиабатической стадии в виде
В = (2,О2Бо/ро)°12^)см. (9.196)
Синхротронное происхождение радиоизлучения ОС подтверждается их степенным радиоспектром и сильной поляризацией, что позволяет получить некоторые количественные зависимости (см. [80]). Потери энергии путем синхротронного излучения изменяют форму функции распределения электронов. С учетом потерь энергии и поciynления электронов извне Q (石,t) кинетическое уравнение, описывающее эволюцию электронной
функции распределения п'Е巾^ принимает вид в виде [43, 65]
時'十関“瓦*)] =(9」97)
где скорость энергетических потерь для ультрарелятивистских электронов (9.5) можно записать в виде
"彳炉，д=£.(9.198)
Уравнение (9.198) есть характеристическое уравнение для (9.197), а его решение с начальным условием Е = Eq при t = 0
石0е
(9.199)
Из (9.199) можно получить характерное время энергетических потерь из-за синхротронного излучения (9.119), положение обрыва спектра электронов в отсутствие поступления электронов извне Еъ
石6⑴(9.200)
B^t (годы)七 丿
и положение обрыва в спектре излучения
т 0,295(石ь)弋 g；；：\).(9.201)
Временная зависимость спектра в присутствии синхротронного излучения без поciynления электронов извне получается подстановкой Eq(E, t) из (9.199) в начальное распределение (9.12). С учетом равенства
— dE
° — (1 gB^tEY
получим
n(E,t) = AeE^e(l — gg^E；p—2*(9.202)
Приведенные выше формулы были получены при 8丄=const, что приблизительно верно для ультрарелятивистских электронов с
7± = А 1 2 / 27|| =/
когда В± ^ В/^2. Со временем)丄 уменьшается, и при приближении к единице мы имеем быстрое падение 石丄.В конечном итоге 石 приближает™ ся к 石н = mec2/y 1 — v^/с2 при 力 т ос, вместо (9.199) (см. также § 9.3
и п. 9.6.2). Временную зависимость спектральной интенсивности излучения можно получить после подстановки (9.202) в (9.11) и интегрирования. Для низких частот (ш《 幻匕)основной вклад в спектр дают электроны с £《£加 и мы получаем спектр (9.13). На высоких частотах (ш》ш^) основной вклад дают электроны с очень малыми питч-углами, дающими степенной спектр при больших временах в строго однородном магнитном поле [63]. Учет неоднородности поля приводит к выводу о возникновении экспоненциального завала (см. § 9.3). В стационарном режиме с непрерывным поступлением электронов извне с распределением (9.12) из (9.197) при dn/dt = 0 получаем следующее распределение:
"£)〜-* (9.203)
что, аналогично (9.13), дает спектр
Это распределение устанавливается только при g > 幻协 в то время как при меньших частотах остается справедливым распределение (9.13). Таким образом, в окрестности ш^ происходит скачок спектрального индекса а = =—6% — 1)/2, равный Аа = —0,5,几 〜
Адиабатическое расширение приводит к уменьшению потока излучения без изменения наклона спектра. Энергия ультрарелятивистских электронов и их распределение (см. (9.12)) во всем объеме, с учетом сохранения адиабатического инварианта изменяются согласно соотношениям
(9.204)
В условиях постоянства магнитного потока изменение магнитного поля записывается в виде В = Bq (Rq/R)2, а спектральная плотность потока при степенном распределении электронов (см. (9.13))
几〜冗3几〜Rf+ lg(“D/2「(7e — D/2 〜R-27e「“l)/2”(9205)
Вывод о том, что синхротронное излучение от ОС уменьшается со временем был подтвержден наблюдениями. В заключение, опишем связь между различными типами СН и ОС. На основе различных аргументов можно сделать вывод о том, что плерионные и сложно-плерионные ОС возникли в результате взрывов CH II, где наличие или отсутствие окружающей оболочки зависит от плотности локальной МС [35]. Общепринята связь между CH 1а и Бальмер-доминантными ОС оболочечного типа, внутри которых отсутствует остаток звездного типа. Наиболее спорным является происхождение массивных кислородно-богатых ОС. Казалось, что для них остается
класс CH lb, однако общее мнение склоняется в пользу того, что предшественники CH lb не были столь массивными. Если бы удалось доказать связь CH lb с массивными звездами, это помогло бы получить решение многих давно стоящих проблем [35].
Космические лучи и синхротронное излучение
Первый раз использование синхротронного излучения в астрофизике было сделано для объяснения происхождения диффузного радиоизлучения Галактики [1, 38, 39, 68]. В то время космические лучи уже были известны, так что для этой модели использовались электроны, входящие в состав космических лучей. В потоке космических лучей электроны составляют немногим более 1 % от всех частиц, однако из-за маленькой массы покоя только они дают регистрируемое диффузное синхротронное излучение в радиодиапазоне. Существуют различные точки зрения на происхождение протонно-ядерной компоненты. Имеются свидетельства того, что космические лучи, за исключением высокоэнергичного хвоста с Ер > 1017 эВ, возникают в Галактике. Это с уверенностью относится к электронной компоненте, энергия частиц которой не превышает 2 • 1012 эВ, 7е < 4 • 106 [43]. Характерная длина энергетических потерь релятивистским электроном за счет синхротронного излучения Asr 〜crsr, откуда, используя (9.119), получаем
X? к см* (9.206)
Чтобы оценить характерную длину для потерь на обратный Комптон, следует заменить В2/8тг в (9.206) на аТ’. Характерная длина комптоновских потерь для электронов вследствие взаимодействия с фоновым ЗК-излучением равна Xic ~ 1Озо/7е см, что для энергичного хвоста электронов с 7е ~ 4 х х 106 дает Aic 2,5 • 1023 см ^ 82 кпс. Эта длина очень мала по сравнению с космологическими расстояниями, что исключает возможность их внегалактического происхождения. Другой характерной длиной для космических лучей в Галактике является ларморовский радиус частиц (9.184):
СМ,СМ,см.см.(9.207)(9.207)
СМ,
СМ,
см.
см.
(9.207)
(9.207)
Для Ер > 1017 эВ, 7Р > 108 ларморовский радиус протона в характерном галактическом поле 〜3 • Ю^6 Гс составляет около 1020 см ^30 пс. Для того, чтобы космические лучи удерживались в галактике, ларморовский радиус не должен превышать характерный масштаб неоднородности магнитного поля, который находится между 3 и 100 пс. Таким образом, протоны с £〉 > 1017 эВ не удерживаются в магнитном поле галактического диска [43].
Электроны и позитроны, доля которых в потоке космических лучей около Земли составляет около 10% от электронного потока, рождаются в первичных и вторичных процессах. Ко вторичным относят процессы, связанные со взаимодействием протонной компоненты космических лучей с
галактическим газом, которое рождает тг±-пионы, в свою очередь рождающие электроны путем распада в цепочке тг士 т 〃士 т е±. Около 10% электронов и почти все позитроны в космических лучах, вероятно, рождаются во вторичных процессах, хотя некоторые позитроны могут порождаться радиопульсарами. Электроны различных энергий в космических лучах возникают в галактических объектах, в основном в объектах галактического диска, несмотря на видимую изотропию их распределения. Изотропизация происходит из-за наличия в галактическом диске хаотического магнитного поля, меняющего и запутывающего траектории электронов. Низкоэнергичные электроны с Е < 1 ГэВ в космических лучах в основном поставляются солнечными вспышками и за счет активности мало-массивных звезд. Наиболее активными являются красные карлики, называемые также «вспыхивающими звездами», с массами меньше Солнечной.
С Земли синхротронное излучение от галактических электронов может наблюдаться в ограниченном интервале частот, от 10 МГц (Л = 30 м) до 10 ГГц (Л = 3 см). Наличие нижней границы связано с поглощением в областях ионизованного межзвездного водорода, а верхний предел частот определяется микроволновым фоновым излучением, превалирующем на высоких частотах. Оценка интервала энергий электронов в космических лучах, радиоизлучение от которых может быть обнаружено, для галактического магнитного поля 8G 〜3 * 10^6 Гс (см. (9.2), (9.9), (9.120)).
ш0 1,76 ■ 1^В, шт 7.7 ■ 106B7f, (9.208)
7етш~1,6-103, ^етш^О^ГэВ, 7е шах 5,2 • 104, ^e max ~ 30 ГэВ.
Радиофон Галактики, в дополнение к синхротронному излучению электронов, формируют неразрешеннные фоновые метагалактические радиоисточники. По современным оценкам вклад метагалактики в направлении минимума фона находится в пределах от 25 до 50 % наблюдаемого потока. Для анализа распределения релятивистских электронов в Галактике используются направления, где отсутствуют неоднородно сти с повышенным радиоизлучением, которые, вероятно, являются остатками взрывов сверхновых. Таковыми направлениями являются: анти-центр Галактики (I = 180° галактической долготы и 6 = 3° галактической широты); и направление гало-минимума (I = 180°, b 弋 60°). Спектральный индекс радиоизлучения на малых частотах (меньше 100 МГц) равен а = ^0,54—— 0,6. На больших частотах его абсолютная величина постепенно возрастает до значений —0)8+—1。Это изменение спектрального индекса вероятно связано с потерями энергии электронов (см. (9.203)). Отметим, что низкочастотная часть радиофона определяется электронами, чей галактический спектр не может быть измерен возле Земли вследствие модуляции в околозвездном пространстве.
Спектральный индекс а меняется с направлением. Его абсолютная величина увеличивается с ростом угла между галактической плоскостью и направлением на область наблюдения (с увеличением 6). Разница в спектральном индексе а между высокими и низкими широтами составляет око™
ло 0,1^0,2. Этот эффект имеет место для низкочастотной части спектра (104-100 МГц). На высоких частотах для а наблюдается противоположная зависимость, его абсолютная величина уменьшается с широтой. Такое аномальное поведение а может быть связано с радиоизлучением соседних остатков сверхновых, имеющих сравнительно более энергичные электроны.
Наше положение в Галактике не позволяет выполнить непосредственные наблюдения Галактического гало и оценить его протяженно сть. Его можно теоретически вычислить, используя модель, описывающую впрыскивание и распространение электронных космических лучей в Галактике, однако эта модель содержит свободные параметры: спектральный индекс распределения галактических электронов по энергиям вблизи Земли 7е, индекс впрыскиваемых электронов 7ед, относительный вклад в фон от метагалактических электронов. Для общепринятого значения 7е = 2,7 свойства радио-гало в этой модели в основном зависят от входных параметров, которые не определены точно.
Косвенные сведения относительно радио-гало нашей Галактики получают из радионаблюдений соседних галактик. Главной проблемой, касающейся ближайшей гигантской галактики М 31 (туманность Андромеды), является ее положение на низких галактических широтах, где имеется интенсивное радиоизлучение от Галактики. Увеличение чувствительности радиотелескопов позволяет исследовать более отдаленные галактики, особенно те, которые видны с края диска. У нескольких галактик были обнаружены протяженные радио-гало с заметным потоком на расстояниях нескольких килопарсек от галактической плоскости. Свойства NGC 891 перечислены в [43].
Помимо звезд типа Солнца, вспыхивающих звезд и пульсаров, очень важным источником электронов для космических лучей являются сверхновые и остатки сверхновых. Мощное нетепловое радиоизлучение синхротронного происхождения указывает на то, что в остатках сверхновых имеет место ускорение электронов. Механизмы ускорения космических лучей в остатках сверхновых и в пульсарах различны. В последних ускорение происходит в регулярном электрическом поле. В остатках сверхновых ускорение происходит в области фронта ударной волны: электроны рассеиваются на плазменных неоднородностях и многократно пересекают поверхность ударной волны. Каждое пересечение сопровождается ростом энергии. Эффективные массы неоднородностей очень велики, что соответствует очень высоким температурам. В процессе рассеяния температура электрона стремится к «температуре» неоднородностей вследствие установления термодинамического равновесия. Этот механизм ускорения, основанный на рассеянии элементарных частиц макроскопическими телами, был предложен Э. Ферми, который рассматривал рассеяние частиц на межзвездных за- магниченных облаках. Рассеяние на облаках может ускорять протоны до гораздо больших энергий, чем электроны вследствие гораздо более слабого синхротронного излучения и других энергетических потерь в течении времени между рассеяниями. Различные проблемы, связанные с космическими лучами, рассмотрены в [43].
Приложение1
Ниже приведены интегралы и суммы, используемые при расчетах излучения релятивистских частиц. Подавляющее большинство формул получено на основе выражений, имеющихся в работах [1—3]. Вывод формул можно найти в работе [4]. В формулах а и b удовлетворяют условию: а > \Ь\ > 0.
П.1. Интегралы, связанные с усреднением по времени
П.1.1.
sin"—1 ж dx
2mT8Q/2,m/2)
(а + bcos/"
(a2 —产"/2■
0
П12
sinM—i ж dx
—2м^1В(д/2,д/2) а
(а + 匕 cos/)^+i
—(а2 — Ь2)д/2 + 1 s
0
ЮЗ
sin^T ж dx
一2ь18(m/2,m/2) [® + 1)m + 俨]
(а + 匕 cos/)^+2
д + 1(а2 — Ь2)м/2+2 '
0
sinM—i ж dx
_»宀⑺工 д/2) a [(д + 1)a2 + 3产]
(а + 6cos/*+3
—〃+1(а2—б2*/2+з•
0
П15
sin^T ж dx
一2丁18(m/2?/2)
(a + fecos /)^+4
-(从+1)(从 + 3)(a2 -廿"/2+4
0
X [(д + 1)(д + 3)а‘ + 6(д + 3)а2Ь2 + ЗЬ4]
Юб
sinM-i ж dx
=2мt8M/2,m/2) 乂 (д + 1)(〃 + з)
(a + 6cos/)m+5
0
а [(/1 + 1)(从 + 3)〃4 + 10(/1 + 3)а2b2 + 156^]
X(а2 —匕 2)м/2+5
П17
(
sinM-i ж dx
—2丁18(m/2,从/2) 乂
—М + 1)(М + 3)(м + 5)
)
(a + 6cos/)m+6
x 3 _
块兴/2+6 [(〃 +1)О + 3)(〃 + 5)а +
+15(д + 3)(д + 5)а462 + 45(д + 5)а264 + 1566]
1Г.К. Разина
个 sin^^1 ж dx _ 2ь18(从/2,m/2)
，(a + bcosж)^+7 (д + 1)(д + 3)(д + 5) о
X з — ^州/2+7, [3 + 1)3 + 3)(〃 + 5)a6 +
+ 21(д + 3)3 + 5)a”2 + 105(〃 十 5)a264 + 10566].
sin^^1 ж dx _2丁18(m/2〃/2)
(a + Ьсозж)^+8 (д + 1)(д + 3)(д + 5)(д + 7) Х
X .@…二-..戸存[О + 1)(〃 + 3)3 + 5)(д + 7)a8 +
+ 28(/i + 3)(/i + 5)(// + 7)a%2 +
+ 210(д + 5)(д + 7)a464 + 420(д + 7)川№ 十 Ю568].
с ' cos ж sin^™1 ж dx 口.Lid 二:
J (a + о cos
0
——2川Т8(м/2#/2)匕
—(a2 — b2)^/2+i8
一 、cos ж sin^™1 ж dx
HL1L -——：=
0
_—2 丁18(〃/2川/2)(从 + 2)而
一Д + 1(a2 . /兴/2 + 2 •
с ' cos ж sin^™1 xdx П.1.12. 7一z=
0
_—2MT8Q/2,m/2) "® + 3)m + 产]
д + 1(a2 —匕2)〃/2+3 '
Ш.13"
Г
cos/sin"т ж dx
—2匕18(m/2川/2) (м + 4)[(д + 3)a2 + 3b2]ab
с
(a + Ьсозж)^+4
(д+1)(д + 3)(a2一 块州/2+4"
□L14.
к
cos ж sin"—1 ж dx
_2丁18(m/2川/2)b
)
(a + 6cos/"+5
(д+ 1)(д + 3)(a2 —办2*/2+5 X
x [(д + 3)(д + 5)鼠 + 6(д + 5)a262 + 364]
口 1 15
cos ж sin"—' ж dx
—2广183/2川/2) 乂
)
(a + bcos /"+6
(д + 1)(^ + 3)(д + 5)
х g；"；：\[(4 + 3)(Д + 5)鼠 + Ю(д + 5)a262 + 1564].
f cos ж sinm™1 ж g?ж — 2丁18(m/2,从/2)
J (a + bcos/)川+7 (m + 1)(从 + 3)(从 + 5) * о
X (仪2 — j*/2 + 7 [3 + 3)3 + 5)3 + 7)/ +
+ 15(д + 5)(д + 7)а%2 + 45(д + 7)а264 + 15Ь6].
cos ж sin^™1 ж dx— 2川—工8(从/2,从/2)
，(a + bcos/)E (д + 1)(从 + 3)(д + 5)(д + 7) * о
х 播\ 十 3)(〃 十 5)(〃 + 7)a6 +
+ 21(〃 + 5)(〃 + 7)a%2 + 105(〃 + 7州2b4 + Ю5&6].
Некоторые частные случаи
П.1Л8.
2тг
" sin2 ж dx
J (1 + fecos ж)3 о
7Г
(1 — /)3/2”
П.1.19.
2тг
f dx
J (1 + Ьсозж)5 о
7Г (8+ 24庐+ 3胪)
4(1 —块)9/2
П.1.20.П.1.20.
П.1.20.
П.1.20.
2тг
" cos ж dx
< (1 + Ьсозж)5 о
—5тг b (4 + ЗЬ2)
^^ (1 — #)9/2 以
HL2LHL2L
HL2L
HL2L
2тг
" sin2 ж dx
,(1 + 匕 COS /)5 о
7Г (4 +В)
4 (1 — 62)7"
П.1.22.
2тг
"cos ж sin2 ж dx
,(1 + bcOS/)5 о
—57r
4
ь
(1 — #)7/2 2
2тг
П.1.23.
sin4 ж dx
Зтг
1
< (1 + bcosж)54 (1 — Ь2)5/2 '
о
2тг2тгJ (1 + bcos ж)6ОJ (1 + bcos ж)6О
2тг
2тг
J (1 + bcos ж)6
О
J (1 + bcos ж)6
О
7Г (8 + 4062 + 1564)
4(1 —垃)ii/2
П.1.25.
2тг
" cos ж dx
< (1 + Ьсозж)6 о
2тг
、 sin2 ж dx
"(1 + Ьсозж)6 о
Зтг 6 (8 + 12b2 + 胪)
_"Г(1 —/严/2
7Г (4 + ЗЬ2)
4 (1—方2)9/2*
27r
，cos ж sin2 ж dxтг b (6 + b2)
，(1 + bcos ж)64 (1 _ /)9/2 *
о
2тг
' sin4 ж dxЗтг 1
，(1 + Ьсозж)64 (1 — b2)7/2 '
о
2тг
"cos ж sin4 ж dx — Зтг b
<(1 + bcosж)64(1 — #)7/2 *
о
2
П.1.30.
2
H.L3L
'dx_ тг (16 + 12062 + 90胪 + 5匕6)
(1 + bcosxy8(1 — 62)13/2
'sin2 ж dxтг (8 + 12b2 + 胪)
(1 + bcos ж)78(1 — b2)11/2 '
27Г
、cos ж sin2 ж dx — 7тг 6 (2 + Ь2)
，(1 + bcos ж)78(1 — 62)11/2*
о
H.L33.
2
sin4 ж dxтг
(6 + 产)
С
)
(1 + Ь COS/)78
(「/)9/2*
П.1.34.
2
cos ж sin4 ж dx
77rb
(
)
(1 + bcos ж)7
8 (1 —坟)"2
HIM
П.1.36.
П.1.37.
H.L38.
П.1.39.
П.1Л0.
П.1Л1.
П.1Л2.
П.1ЛЗ.
HL44"
П.1Л5.
sin6 ж dx
57r1
(1 + bcos /)7
8(1 -坟)7/2 隔
dx
7Г (16 + 168俨 + 210b4 + 35庐)
(1 + fecos ж)8
8(「/严/2
sin2 ж dx
7T (8 + 20产 + 5尸)
(1 + fecos ж)8
8(1 -块严/2 •
cos ж sin2 ж dx
一 7Г b (16 + 16b2 + ь4)
(1 + bcos/)8
一 8(1 _ /)13/2"
sin4 ж dx
Зтг (2 + b2)
(1 + 6 COS/)8
8(1 —块)11/2*
cos ж sin4 ж dx
тг Ь (8 + 庐)
(1 + b cos/)8
一 8 (l^fe2)ll/2-
dx
7Г
26 (1 — /)17/2 X
(1 + bcos /)9
х (128 + 1792b2 + 3360胪 + 112066 + 35泸)
cos ж dx
26(1乙产/2 (64 + 336户 + 28田 + 35№)*
(1 + fecos 啰)9
sin2 ж dx
тг (64 + 240b2 + 12064 + 5b6)
(1 + fecos /)9
26(1 - 62 产广2
cos ж sin2 ж dx
— Зтг b (48 + 80^2 + 15匕4)
(1 + bcos /)9
一 26(1一疗严/2
sin4 ж dx
з?г (16+16庐+胪)
(1 + bcos /)9
26(1 — #)13/2"
2тг
"cos ж sin4 ж dx 97rb (8 + 3b2)
，(l + bcOS/)9 =一声(1 一块尸3/2” о
2тг
"sin6 ж dx 57r(8 + 廿)
，(l + bcos/)9 = 2^ (1 — #尸/2" о
2тг
'cos ж sin6 xdx — 45тг b
，(1 + Ьсозж)9 26(1 _ 坟)11/2 "
о
П.2. Интегрирование углового распределения
H2L
/2
、sin272™1 ж cos2s ж dx
—8g+ 1/2)
(a — b sin2 /产+§+i/2
2as+i/2(a — b)n
тт/2
】2 2' six12TlB(n, s + 1/2) 乂
.% % " (a bsin2 ж)«+^+з/22(n + s + 1/2)
о
[a (ti + s + 1/2)—匕(s + 1 /2)]
X а§+з/2(а _ bp+i '
тг/2
工 2 3、six12Tl/ d/ B(n, s + 1/2) 乂
* ' '" (a — bsin?/产+6十5/22(n + s + 1/2) X
о
(办 + 6 + 3/2)由+5/2 s 一方严+2 I/ 八
—2ab(72 + s + 3/2)(s + 1/2) + b? (s -4- 1/2) (s + 3/2)].
]2 4 f sin2n-1 x cos2s ж dx B(n, s + 1/2) 乂
* ' ' J (a bsin2 ж)«+«+7/22(n + s + 1/2) X
о
sin ж dx2
□25"
(1 — Ьsin2 方)з/21 — 6 *
0
□26.
sin ж dx2(3 — 6)
(1 — bsin2 ж)5/23 (1 — 6)2 "
0
IL27
sin3 x dx41
(1 — bsin2 ж)5/23 (1 — б)? *
0
□ 28
sin ж dx2(15 ™ 10Ь + 3b2)
(1 — bsin2 方)7/23 • 5(1 — 6)з"
0
П.2.9.
sin ж cos2 ж dx2 (5 — 36)
(1 — Ь sill2 方)7/2 з • 5 (1 — 6)2 以
0
П.2.10.
” sin3 x dx4(5 — 6)
(1 — b sin2 ж)7/23 • 5 (1 — 6)з *
0
□21L
” sin3 ж cos2 ж dx41
(1 — b sin2 ж)7/23 • 5 (1 — 6)2 "
0
П.2.12.
” sin5 ж dx241
(1 - bsin2 ж)7/2 ^3-5 (1 — 5)3 川
0
П.2ЛЗ.
' sin ж dx— 2(35 — 355+ 21 庐一5庐)
(1 — b sin2 ж)9/2 — 5 * 7(1 — 6)4
0
□214”
” sin ж cos2 ж dx2(35 — 426+1562)
(1 - bsiii2^)9/2 ^3-5-7(1 — 6)3*
0
П.2.15.
' sin5 ж dx24(7 — b)
с
(1 - bsin2 ж)9/2 ^3-5-7 (1 — 6)厂 )
□216*
sin ж cos4 ж dx
—2(18^36Ь+15Ь2)
(1 — Ь sin2 力)9/2
—35 7(1 — 6)3*
0
П.217.
sin3 ж cos2 ж dx
—4(7 — 36)
(1 — 6 sin2 ж)9/2
—35 7 (1-6)3”
0
П.2.18.
sin5 ж cos2 ж dx
(1 — b sin2 ж)9/2
—35 7 (1-6)3*
0
П.2.19.
sin ж cos2 ж dx
_2
(1 — bsin2 ж)11/2
5.7河 9 (1 — 6)4 Х
0
х (105 — 189b + 135b2 — 35戸)
П.2.20.
sin z cos4 ж dx
—2(63 — 906+ 35 庐)
(1 — b sin2 ж)11/2
5-7-9(1Т)з*
0
П.2.21.
sin3 ж cos2 ж dx
—4(21^ 18Ь + 5Ь2)
(1 — b sin2 ж)11/2
—5 79(l — b)4'
0
□222”
sin ж cos6 ж dx
_ 2(9 — 76)
(1^Ьзт2ж)11/2
一7.9 (1 — 6)2”
0
□223.
sin5 ж cos2 ж da?
_24(3 - 6)
(1 — b sin2 ж)11/2
一579 (1 —*
0
П.2.24.
sin ж cos8 ж da?
_ 21
(1 — bsin2 ж)11/2
9 (1 —■ Ь)
0
П.2.25.
sin / ж cos2 ж da?
_251
(1 一 6 sin? ж)11/2
—57 9 (1 — 6)4 %
0
П.2.26.
sin ж cos4 ж da?
_21
—3.5 7 11 (1-6)4 Х
с
(1 — b sin2 方)13/2
х (231 — 4956 + 385庐—105b3).
□ 2 27
" sin ж cos6 ж dx
—2(99 —154b+ 63 戸)
(1 — b sin2 ж)13/2
7-9-11(1 — 6)3'
0
□ 2 28
sin3 ж cos4 ж dx
—4(99- 110Ь + 35Ь2)
(1 — b sin2 ж)13/2
—5 79,(1 — 6)4
0
□ 2.29.
" sin ж cos8 ж dx
—2(11 — 96)
(1 — b sin2 方)13/2
^9-11 (l^b)2 '
0
п 9 ЧЛ
” sin5 ж cos4 ж dx
—24(11 - 56)
丄丄.乙.QU，
(1 — b sin2 ж)13/2
—5 79*11 (1 — 6)4 ”
0
” sin z cos10 ж dx
21
□ 2.31.
(1 — b sin2 方)13/2
0
” sin / ж cos4 ж dx
_251
□232.
(
(1 — b sin2 ж)13/2 )
3-5-7-11 (1 — 6)4”
П.З. Интегрирование углового распределения в ультрарелятивистском случае
П.З.1.
с
xn dx
=加/2—/2—1/2)
(2n + 1)!!'
(a+ 反2)九+ 3/2
П.З.2.
方+1 dx
=加/2-l/2%(f/2—1)
с
(a+ 反2)九+3/2
(2n + 1)!!
□ 33
xn dx
=m!(n + 2)(f/2 —/2 —1/2)
с
(a + 6 方 2)九+5/2
(2n + 3)!!
□ 3.4.
жп dx
_n!(n + 2)(n + 4) (_7"2-3)力(一九/2-1/2)
(
)
(a + 6 方 2)九+7/2
-(2n + 5)!!°°
□ 3.5.
xn dx
_n!(n + 2)(n + 4)(n + 6)(_九/2_4)%(一冷/2—1/2)
(
)
(a + Ьж2)п+9/2
-(2T)!!a匕
П.3.6.
IL37
П.3.8.
1139*
П.3.10.
dx
(1 + ж2)3
dx
(1 + ж2)4
=7Г
=7r
3
5
24
” dx5" 7
*(1+方2产
” ж2 dx
*(1 + ж2)5
" dx
，(1 + ж2)6
J (1 + к)б 28
5
7-9
П.ЗЛ7.П.ЗЛ7.П.3.18.П.3.18.П3」9”П3」9”□32S□32S□32L□32L□322”□322”П.3.23.П.3.23.
П.ЗЛ7.
П.ЗЛ7.
П.3.18.
П.3.18.
П3」9”
П3」9”
□32S
□32S
□32L
□32L
□322”
□322”
П.3.23.
П.3.23.
П.4. Интегрирование спектрально-угловогораспределения в ультрарелятивистском случае
口4L%2(1 + x2)K力3(2)队={U®)一к2/3®)},
2.4f
где г = I а (1 + %2)3/2, U = § 电 U匂)= 仆/з⑺ ^*
у
П.4.2.(1 + 工2)2<^/3(乞)d.x ={U(g) + К2/з(у)}.
546 □.43
П.4.4.
1145
IL5丄
1152
П.5.3.
П.5.4.
П.5.5.
П.5.6.
га+^)^/3^ 队=^^ x
X 4 [u®)-к2/3®)] + 石Kl/3
X2(l + %2)2<2/з(-)队=^ X
X 4 [U(u) - -^2/3Ы] + ^К1/з
X K1/3(N)dz = 三[2k2/3 匂)—U(u)] •
П.5. Суммирование по спектру
^^И) = 2 一0—坟)i/2 — 1
^n2 Jп{пЬ)=
b2 (4 + 廿)24(1 — 62)7/2*
斗子（询27g
斗）2（…（64 + 6黑:篇丁"）.
Список литературы
К предисловию
Синхротронное излучение. Сб. статей под ред. Соколова А.А., Тернова И.М.—— М.: Наука, 1965.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М*: Наука, 1983.
ТерновИ.М., Михайлин В.В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент.—— М.: Энергоатомиздат, 1986.
Тернов И.М. Введение в физику спина релятивитских частиц.——М*: Изд. МГУ 1997.
Synchrotron Radiation Theory and Its Development. In memory of I.M. Ternov. Ed. Bordovitsyn V.A.——Singapore: World Scientific, 1999.
К главе 1
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.——М.: Наука, 1973.
Джексон Д Классическая электродинамика.——М•: Мир, 1965.
Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика.——М.: Физматгиз, 1963.
Соколов А.А., Тернов И.М, Жуковский В.Ч., Борисов А.В. Квантовая электроди™ намика. — М.: Изд-во МГУ 1983.
Бордовицын В.А., Гущина В.С. // Изв. вузов. Физика, 1993. Т. 36. N 2. С. 113.
LienardА.А.——Ueclairage electr., 1898. V. 16. Р. 5, 53, 106.
WiechertE. —Archives neerland., 1900. V. 5. P. 549; Ann. d. Phys., 1901. V. 4, P. 667.
Abraham M.——Ann. d. Phys., 1904. V. 14. P. 236.
Багров В.Г.——Оптика и спектроскопия, 1965. Т. 18. С. 541.
Багров В.Г., Бордовицын В.А., Копытов Г. Ф.——Изв. вузов. Физика, 1972, Т. 15. N3.C. 30.
Schild А. — J. Math. Analysis & Appl., 1960. V. 1. P. 127.
Rohrlich E ^^uovo Cim., 1961. V. 21. P. 811.
Rohrlich F. Classical Charged Particles.——New York: Addison™Wesley, 1965.
Teitelboim C — Phys. Rev., 1970. V. DI. P. 1572; Phys. Rev., 1971. V. D3. P. 297.
де Гроот С.Р, Сатторп Л.Г. Электродинамика.——M.: Наука, 1982.
Marx К — Intern. J. of Theoret. Phys., 1975. V. 14. P. 55.
Косяков БЛ. ^¥ФН, 1992. T. 162. С. 161.
Бордовицын В.А., Разина Г.К., Бызов И.М.——Изв. вузов. Физика, 1980. Т. 23. N Id С. 33.
Larmor J. 一 Phil. Mag., 1897. V. 44. P. 503.
Born M.——Ann. d. Phys., 1901. V. 30. P. 1.
Паули В. Теория относительности.——М.: Наука, 1983 (см. также последний англ, перевод: Pauli Ж Theory of Relativity. — London: Pergamon Press, 1958).
22“ Fulton f, Rohrlich F. — Ann. of Phys., 1960. V. 9. P. 499.
Leibowit C, Peres A. — Ann. Phys., 1963. V. 25. P. 400.
ГинзбургВЛ^У^ 1969. T. 98. С. 569.
Никигиов А. И., Риту с В. И. — Труды ФИАН СССР, 1979. Т. 111. С. 182.
Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика: Дополнительные главы.—— М.: Наука, 1987.
Фейман Р, Лейтон ?, Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Эле- тродинамика.——М.: Мир, 1966.
Heras J А.——Am. J. Phys., 1996. V. 62. N 6. P. 525.
Багров B.E, Маркин Ю.А.——Изв. вузов. Физика, 1967. Т. 10. N 5. С. 37.
Бордовицын В.А.——Изв. вузов. Физика, 1971. Т. 14. N 1. С. 131.
Мычелкин Е.Г.——Астрон. Журн., 1968. Т. 45. С. 408.
Гинзбург В.Л., Сазонов В.Н., Сыроватский С.И. —УФН, 1968. Т. 94. С. 63.
Соколов А.А., Тернов И.М., Багров В.Г. и др.——Изв. вузов. Физика, 1968. Т. 11. N 5. С. 13; Zs. Phys., 1968. Т. 211. С. 1.
Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме.——М.: Мир, 1971.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М.: Наука, 1983.
Тернов ЖМ, Бордовицын В.А.——Изв. вузов. Физика, 1982. Т. 25. N 2. С. 120.
Багров В.Г., Бордовицын В.А., Копытов Г.Ф., Эпп В.Я.——Изв. вузов. Физика, 1974. Т. 17. N 1.С. 46.
Stokes G.G.——Trans. Cambridge Phil. Soc., 1852. V. 9. P. 399.
Борн M, Вольф Э. Основы оптики.——М.: Наука, 1973.
McMaster ЖЯ.——Rev. Mod. Phys., 1961. V. 33. P. 8.
Пахольчик А. Радиоастрофизика. — M.: Мир, 1973.
Гришанин Б.А., Титов А.В. и др.——Сб. статей ФИАН, 1984. Т. 7. С. 37.
Багров В.Г., Бордовицын В.А., Журавлев А.Ф. — Вестник моек, у нив. Сер. III. 1968. N3. С. 107.
Тернов И.М., Багров В.Г., Бордовицын В.А. —Вести. Моск, ун-та. Сер. III. 1972. N 2. С 248"
Болотовский Б.М.——Труды ФИАН, 1982. Т. 140. С. 95.
Бонч-Осмоловский АТ., Подгорецкий М.М.——ЖТФ, 1985. Т. 65. С. 1500.
Аббасов И.И., Болотовский Б.М., Давыдов В.А.——УФН, 1986. Т. 149. С. 709.
Lighthill M.J. Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions.——Cam™ bridge: Cambridge Univ. Press: 1956.
Болотовский Б.М., Быков ВЛ. —УФН, 1990. Т. 160. С. 141.
Болотовский Б.М., Столяров С.Н.——УФН, 1992. Т. 162. С. 178.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений. ——М.: Наука, 1971.
52“ Schott G.A. — Phil. Mag., 1907,13, 189; Arm. d. Phys., 1907. V. 24. P. 63 5; Electro™
magnetic Radiation. — Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1912.
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т. 1.——М.: ИЛ, 1949.
Соколов А.А., Гальцов Д.В., Жуковский В. Ч.——ЖТФ, 1973. Т. 43. С. 682.
5. Багров В.Г., Бордовицын В.А.——Изв. политехи, инет., 1969. Т. 170. С. 72.
Соколов А.А., Тернов PLM.——ЖЭТФ, 1956. Т. 31. С. 473.
Le Roux К ——Ann. d5Astrophys., 1961. V. 24. P. 71.
Королев Ф.А. и др.——Докл. Акад. Наук СССР, 1956. Т. 110. С. 542.
Королев, Ф.А., Куликов О. Ф., Яров А. С. — ЖЭТФ, 1962. Т. 43. С. 1653, см. также Куликов О. Ф.——Труды ФИАН, 1965. Т. 80. С. 3.
Синхротронное излучение / под. ред. Соколова А. А., Тернова И.М.——М.: Наука, 1966.
Тернов И.М., Михайлин В.В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент. —ТС: Энергоатомиздат, 1986.
Synchrotron Radiation. Techniques and Application. Ed. by Kunz C — Berlin: Springer, 1979.
Synchrotron Radiation Research. Ed. by WinickH., Doniach S. —New York: Plenum, 1980.
Winick. H. Synchrotron Radiation Sources: A Primer.——Singapore: World Scientific, 1995.
Rullhusen E, Artru X, Dhez P. Novel Radiation Sources Using Relativistic Electrons. — Там же, 1998.
Фок В. — Докл. Акад. Наук СССР, 1934. Т. 1. С. 97.
Иваненко Д., Соколов А.А. Классическая теория поля.——М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.
Фейнман Р, Лейтон ? Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т.6. Электродинамика. ——М.: Мир, 1966.
Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике.——М.: Прогресс, 1967.
Schwinger J. — Found. Phys., 1983. V. 13. N 3. P. 373.
Schwinger J. — Phys. Rev., 1949. V. 75. P. 1912 (an erratum list for this paper: Schwinger J.——Phys. Rev., 1973. V. D7. P. 1696).
WestfoldK.C. Astrophys. J, 1959. V. 130. P. 241.
7 3. Владимирский В.В.——ЖЭТФ, 1948. Т. 18. С. 3 32.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под. ред. М. Абрамовица, И. Стиган ——М.: Наука, 1979.
Baldwin G.S. — Phys. Today, 1975. V. 28. P. 9.
Иваненко Д, Соколов А.А. —Докл. Акад. Наук СССР, 1948. Т. 59. С. 1551.
Арцимович Л.А., Померанчук И. — ЖЭТФ, 1946. Т. 16. С. 3 79.
PollokН. С. et al. — Phys. Rev., 1947, 71, 829; 1948. V. 74. P. 52, см. также Am. J.
Phys., 1983.V. 51.P. 278.
Joos E — Phys. Rev. Lett., 1960. V. 4. P. 5 5 8.
Bagrov EG., Bordovitsyn O., Bulenok EG., Epp V.Ya. In: Basic science in ISTC activities (Proc. IV ISTC sem., 2001, 292-300). —Novosibirsk: Budker INP, 2001.
Blewett J.P.——Phys. Rev., 1946. V. 69. P. 87.
Erber T.——Fortschr. Physik., 1961. V. 9. P. 343.
83“ Chen CS.——Phys. Rev., 1972. V. D6. P. 2736.
Клепиков Н.П. — УФН, 1985. T. 146. C. 317.
Гальцов Д.В., Лосев B.A. — Яд. Физ., 1979. Т. 17. С. 109; Вести. Моск, ун-та. Сер. III, 1975. N L С. 37.
Bonnor W.B. —Proc. Roy. Soc., 1974. V. A337. P. 591.
Paskual E, Mas L. — Phys. Rev., 1974. V. D9. P. 2482.
Nelson R. Wasserman Z — Astrophys. J., 1991. V. 371. P. 265.
Plass G.N. — Rev. Mod. Phys., 1972. V. 33. P. 2736.
Гернет Г.Е.——Докл. Акад. Наук СССР, 1966. Т. 168. С. 63.
Sen Gupta N.D.——Phys. Letters, 1970. V. A32. P. 103; Int. J. Theor. Phys., 1971. V. 4. P. 3 89; Phys. Rev., 1972. V. D5. P. 1546.
Соколов A. A., Колесникова M.M.——Вестн. Моск, ун-та. Сер. Ill, 1971.N 2. С. 198.
Сермягин В.А.——Дубна: ОИЯИ, препринт Р2-11772, 1978.
Caldirola Р, Casati G., Prosperetti А. —Nuovo Cim., 1978. V. A43. N 1. P. 127.
Бонч-Осмоловский AT., Подгорецкий М.И.——ЖТФ, 1979. T. 49* С. 449.
96“ Her er a J.С. — Phys. Rev., 1980. V. D21. P. 3 84.
Lieu 区 一 J. Phys., 1987. V. A20. P. 2405.
Schiff L. J. —Rev. Sci. Instr., 1946. V. 17. P. 6.
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1983.
Ishi К,..., Kondo К, Nakazato Т. et al. — Phys. Rev., 1991. V. A43. P. 5597.
Shibata K,..., Kondo 匕 Urazawa S. et al. — Phys. Rev., 1991. V. A44. P. 3445.
Goldreich P, Keely D.A.——Astrophys. J., 1971. V. 170. P. 463.
Клепиков Н.П., Ященко A.К. — Вестн. Моск, ун-та. Сер. III, 1985. N 5. С* 15*
Klepikov ЖР, Ternov I.M. —Nucl. Instrum, and Meth., 1991. V. A308. P. 113.
Тернов И.М. ^N^, 1995. T. 165. C. 429.
Klepikov ЖР, Ternov ZM, Epp V.Ya. —Nucl. Instrum, and Meth., 1989. V. A282.
P.413.
К главе 2
Uhlenbeck G.K, Goudsmit S ——Naturwissenschaften, 1925. V. 13. P. 953; Nature, 1926. V. 17. P. 264.
Frenkel J. — Zs. Phys., 1926. V. 37. 3. 243 (см. перевод в: Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. Т. 2. Научные статьи.——М.-Л.: Изд. АН СССР, 1958. С. 460— 470); там же: Смородинский Я.А., Тамм И.Е. Работы Я.И. Френкеля по теории электронов и атомных ядер.
Pauli W ——Zs* Phys., 1927. V 43. Р. 601.
Di『ac Р.АМ.——Proc. Roy. Soc., 1928. V. A117. P. 610 (см. перевод в: ДиракП.А.М. К созданию квантовой теории поля.——М.: Наука, 1990. С. ИЗ).
Варден В. ван дер. В кн*: Теоретическая физика 20 века. Памяти Вольфанга Паули. 一 М.: ИИЛ, 1962. С. 231-289.
Гаудсмит С — УФН, 1967. Т. 93. Вьш. 1. С. 151.
Дирак П.А.М. — УФЫ, 1979. Т. 129. Вьш. 4. С. 681.
Френкель В.Я. Яков Ильич Френкель. — М.-Л.: Наука, 1966.
Pauli Ж — Helv. Phys. Acta., 1932. V. 5 III. P. 179; см. также Паули В. Общие принципы волновой механики.——М.~Л.: ГИТТЛ, 1980.
А勿сжжВЛ — У①Н, 1963. Т. 18. С. 220.
Rubinov S.L, Keller J.B. Phys. Rev, 1963. V. 131. P. 2789.
Rafanelli K, Schiller R.——Phys. Rev., 1964. V. B135. P. 279.
Bargmann И, Michel£., Telegdi EL. — Phys. Rev. Lett., 1959. V. 2. P. 435.
Bohr Ж ——Nature, 1926. V. 117. P. 265. (см. перевод в: Нильс Бор. Избранные труды. Т. 2. Статьи 1925-1961. — М.: Наука, 1971. С. 29).
Wigner Е. — Ami. Math., 1939. V. 50. Р. 149.
Bargmann V. —Ann. Math., 1947. V. 48. P. 568.
Bargmann И, Wigner E.P. — Proc. NAS. USA., 1948. V. 34. P. 211.
Широков Ю.М. 一氷ЭТ①，1951. T. 21. С. 748; 1957. Т. 33. С. 861, 1196, 1208.
Федоров Ф.И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979.
Bhabha HJ 一 Rev. Mod. Phys., 1949. V.21.P.451.
Газиорович С Физика элементарных частиц. — М.: Наука, 1969.
Швебер С Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.——М.: ИИЛ, 1963.
Newton T.D., Wigner Е. — Rev. Mod. Phys., 1949. V. 21. N 3. P. 400.
Thomas LH — Phil. Mag, 1926. V. 117. P. 514; 1927. V. 1.
Tamm /. ——Zs. Phys., 1929. V. 55. P. 199 (см. перевод в: Тамм И.Е. Собрание научных трудов. Т. 2. — М.: Наука, 1975. С. 5—29)*
Lubanski JK — Physica, 1942. V. 9. Р. 310.
Бете Г. Квантовая механика.——М.: Мир, 1965.
Бордовицын В.А., Цыпленкова Т.М. — Изв. вузов. Физика, 2000. Т. 43. N 10. С. 93.
Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.——М*: Наука, 1969.
Берестецкий В.Б., Лифшиц ЕМ, Питаевский ЛЛ. Квантовая электродинамика. —М.: Наука, 1989.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М.: Наука, 1983.
Багров ВТ., Дорофеев О.Ф. — Весник МГУ 1966. N 2. С. 97.
Тернов И.М., Багров В.Г., Дорофеев О.Ф. — Изв. вузов.①нзнка, 1968. N 10. С. 63.
Halb^achs F. — Progr. Tlieor. Phys., 1960. V. 24. P. 291.
5. Vos JN. de. — Ned. T. Natuurk., 1961. V. 27. P. 287.
6. Corben Н.С. 一 Proc. NAS USA., 1962. V. 48. P. 3 87.
Широков Ю.М. —Доклады АН СССР, 1954. Т. 49. С. 737.
Michel £., Wightman S. — Phys. Rev., 1955. V. 98. P. 1190.
Bouchiat C, Michel C —Nucl. Phys., 1958. V. 5. P. 416.
Hilgewoord J., Wouthuysen S.A. —Nucl. Phys., 1963. V. 40. P. 1.
Calogero F. 一 Nuovo Cini., 1961. V. 20. P. 280.
Fradkin D.M, Good, Jr R.H. —Rev. Mod. Phys., 1961. V. 33* P. 343.
<o/5rwJM Phys. Norv., 1967. V. 2. N 3. P. 141; 1978. V. 2. N 3. P. 149.
44“ Fock % —— Zs电 Phys., 1929. V. 55. P. 127; 1931. V. 68. P 522.
Pryce M.H.L. Proc. Roy. Soc., 1948. V 195. P. 62.
Sokolov A.A. 一 J. Phys. USSR, 1945. V. 9. P. 363.
Jauch /М, Rohrlich £ The Theory of Photons and Electrons. — Berlin: Springer, 1980.
Соколов A.A., Тернов Jf M, Жуковский В. X Квантовая механика.——М.: Наука, 1979.
Паули В. Труды по квантовой теории.——М.: Наука, 1977. С. 131—181.
Мотт Н, Месси Г. Теория атомных столкновений.——М.: Мир, 1969.
Тернов И.М. Введение в физику спина релятивистских частиц. — М.: Изд. МГУ 1997.
Кесслер И. Поляризованные электроны. — М.: Мир, 1988.
Фейнман Р Квантовая электродинамика.——М.: Мир, 1964.
4. Bunge М —Nuovo Cim., 195 5. V. 1. Р. 5 77.
Corben Н.С. —Phys* Rev., 1961. V. 121. P. 1833.
Бордовицын В.A., Тернов И.М. — ТМФ, 1982. Т. 51. С. 327.
Foldy L.L., Wouthuysen S.A. — Phys. Rev., 1950. V. 78. P. 29.
Stech B. — Zs. Phys., 1956. V. 144. P. 214.
Байер В.H., Катков B.M.——Яд. Физ., 1966. Т. 3. С* 81*
Rosen М. —Nuovo Cini., 1964. V. 23. Р. 1664.
Тернов ЛМ, Багров В.Е, Бордовицын В.А., Дорофеев О.Ф. — ЖЭТФ, 1968. Т. 55. С. 2273.; Докл. Акад. Наук. СССР, 1968. Т. 183. С. 810.
Schwinger J.——Phys. Rev., 1948. V. 73. P. 416.
ЛанЗ^у 〃〃, Лифшиц E.M Теория поля.——М.: Наука, 1973.
Bacry Н. Theses Dr. Sc. Phys. — Paris: Masson, 1963.
Kolsrud M — Phys. Norv., 1966. V. 2. P. 51.
Бордовицын В.А., Сорокин С.В. —Изв. вузов. Физика, 1983. Т. 26. N 8. С. 125.
Corben Н. С Classical and Quantum Theories of Spinning Particles.——San~Francis~ ko: Holden-Day, 1968.
SardR.D. Relativistic Mechanics.——New York: Beniamin, 1970.
Mann R.A. The Classical Dynamics of Particles Galilean and Lorentz Relativity.— New York: Acad. Press, 1974.
Джексон Д. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.
Zatzkis Н. — J. Frankl. Inst., 1960. V. 269. Р. 268.
BacryH. — Nirovo Cim., 1962. V. 26. Р. 1664; C.r. Acad. Sci., 1968. V. 267. P. 89.
Chakrabarti A.——J. Math. Phys., 1964. V. 5. P. 1747; Nuovo Cim., 1966. V. A43. P. 576.
Schulman LS. — Nucl. Phys., 1970. V. B18“ P. 595“
Fisher G.P 一 Am. J. Phys., 1972. V. 40. P. 1772.
Barone S.R. — Phys. Rev. D., 1973. V. 8. P. 3492.
Schwinger J. — Am. J. Phys., 1974. V. 42. P. 5 07, 510.
Browne 上£ 一 J. Phys., 1977. V. АЮ. P. 727.
Ziino G. — Lett. Nuovo Cim., 1981. V. 18. P. 629.
Bolog J, Hrasko 上 ——Found. Phys., 1981. V. 11. P. 873.
Cor ben Я. C. — Am. J. Phys., 1993. V. 61. P. 551.
Mathens PM, Sankaranarayanan A. — Progr. Theor. Phys., 1961. V. 26. N 4. P. 499.
BacryH. — Phys. Lett., 1963. V 5. N 1. R 37.
Chakrabarti A.——J. Math. Phys., 1963. V. 4. N 10. P. 1223.
Bacry H. — J. Math. Phys., 1964. V. 5. N 1. P. 109.
Yamasaki H. — Progr. Theor. Phys., 1964. V. 31. P. 322; 1964. V. 31. P. 324.
BergR.A. 一 J. Math. Phys., 1965. V 6* N 1. P. 34.
Sankaranarayanan A., GoodR.H. Jr. — Phys. Rev., 1965. V. 140. N 2B. P. 509.
PlatheE.A. — Nuovo Cim. Suppl., 1967. V 5. N 3. P. 944.
Lugarini G., Pauri M ——Nuovo Cim., 1967. V. 27. N 2. P. 299; errata: Ami. Phys., 1968. V.46.N 1.P.200.
Beirut A. O., Malin S.——Rev. Mod. Phys., 1968. V. 40* N 3. P. 632.
Johnson J.E. —Phys. Rev., 1969. V. 181. N 5. P. 175 5.
Kdlnay A. J., Cotrina E.M.——Progr. Theor. Phys., 1969. V. 42. N 6. P. 1422.
Bunge M, Kdlnay A J. — Progr. Theor. Phys., 1969. V. 42. N 6. P. 144 5.
Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире — М.: Наука, 1970.
Suttorp L.G., Groot S.R. de — Nuovo Cim., 1970. V. A65* N 1. P. 24 5.
KeyfEA de, Bauerle G.G4 — Pliysica, 1972. V 57. N 1. P. 121.
OVonnellRE, Wigi^ier E.R Phys. Lett., 1977. V. A61. N 6. P. 3 53; 1978. V. A67. N 5-6? 319.
Sohkawa Tohru. — Progr. Theor. Phys., 1978. V. 60“ N 1. P. 257*
Jordan T.F.——J. Math. Phys., 1978. V 19. N 6. P. 13 82.
Ellis J.R. J. Phys. A, 1981. V. 14. P. 2917.
Методы определения основных характеристик атомных ядер и элементарных частиц. Измерение масс, спинов, четности, поляризации и времен жизни. / Составители редакторы Юан Люк К.Л. и Цзянъ-сюн By. — М.: Мир, 1965.
Померанцев Н.М., Рыжков В.М, СкроцкийГ.В. Физические основы квантовой магнитометрии. — М.: Наука, 1972.
Schiller R.^ Phys. Rev, 1962. V. 128. P. 1402.
KolsrudM —Nuovo Cim., 1965. V. 39. P. 504.
Yamasaki H.——Progr. Tlieor. Phys., 1966. V. 36. P. 72.
Sniatycki J —Zesz. nauk. Univ. Jagell., 1967. V. 176. P. 3 61.
Pardy M — Acta. Phys. Slov., 1973. V. 23. P. 5.
Жуковский В.Ч., Никитина H.C. — Вести. Моск, ун-та. Ill, 1974. Т. 14. N 2. С. 189.
Stachel J., Piebanski J — J. Math. Phys., 1977. V. 18. P. 2368.
Мур В.Д., Попов B.C. — Яд. Физ., 1978. T. 28. С. 837.
Bazeia D. — Lett. Nuovo Cim., 1980. V. 29. P. 228.
Fock И 一 Phys. Zs. Sow., 1937. V. 12. P. 404.
Тернов И.М., Бордовицын B.A. — Вест. Моск, ун-та. Ill, 1982. Т. 23. N 6. С. 72.
Hambu К ——Progr. Theor. Phys., 1950. V. 5. P. 82.
Feynman R.P. — Phys. Rev., 1951. V. 84. P. 108.
Moses HE — Ann. Phys., 1969. V. 52. P. 444.
Saavedra I. —Nucl. Phys., 1966. V 77 P. 673.
Johnson J.E., Chang K.K. —Phys. Rev., 1974. V. D10. P. 2421.
Collins R.E., Fanchi J.R. — Nuovo Cim., 1978. V. A48. P. 314.
Бъеркен Дж.Д., Дрелл C.〃 Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика.——М.: Наука, 1978.
Alonzo М., 1ЫкН. Quantum Mechanics.——Addison-Wesley, Reading, MA: 1973.
Graw~Hill Me Encyclopedia of Physics.——New York: Me Graw~Hill, 1983. P. 293.
Бордовицын B.A., Тернов И.М. — TM①，1983® Т. 54. С. 3 3 8.
Feynman R., Gell-Mann M — Phys. Rev., 1958. V 109. P. 193.
Давыдов А.С. Квантовая механика.——M.: Наука, 1973.
Bordovitsyn О. in: Quantum Systems: New Trends and Methods / Eds. BarutA.O. et al.——Singapore: World Scientific, 1995. P. 125.
Бордовицын B.A. —Изв. вузов. Физика, 1995. Т. 38. N 4. С. 72.
Бордовицын В.А., Тернов И.М. — Изв. вузов. Физика, 1991. Т. 34. N 2. С. 5.
Schrodinger Е. —— Sitz.-ber. Prenss. Acad. Wiss., Phys.-Math. KI., 1930. P. 418; 1931. P. 63 (перевод с нем. в кн.: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. —М.: Наука, 1976).
Mathisson М ——Acta Phys. Polon., 1937. V. 6. P. 163; 1937. V. 6. P. 218.
Yamasaki H.——Progr. Tlieor. Phys., 1968. V. 39. N 2. P. 372*
Rae J —— J. Phys. A, 1972. V. 5. N 10. P. 1438.
4. Look J.A.——Am. J. Phys., 1979. V. 47. N 9. P. 797.
5. Barut A. O., Bracken A. J. —Phys. Rev. D, 1981. V. 23. N 10. P. 2454.
FudaM.G. — Am.丄 Phys., 1982. V. 50. N 6. P. 545.
Тернов Jf.M ЖЭТФ, 1990. T. 68, вып. 4(10). C. 1969.
Hestens D. —Found. Phys., 1990. V. 20. N 10. P. 1213.
Huang К. 一 Amer. J. Phys., 1952. V. 20. N 8. P. 479.
Feshbach H, Willars F. — Rev. Mod. Phys., 195 8. V. 30. N 1. P. 24.
Barut A. O., Zanghi N. — Phys. Rev. Lett., 1984. V. 52. P. 2009*
Bopp F. — Acta Phys. Austriaca, 1975. V. 41. P. 299.
Rodrigues W.A.力:，Vaz J 力:，Recami E, Salesi G. — Phys. Lett., 1993. V. B318* P. 623.
Recami E, Salesi G — Adv. Appl. Cliff. Alg., 1996. V 6. N 11. P. 27.
Bordovitsyn %4* ——NIM, 2001. V. A470. N 1—2* P. 7.
Вонсовский C.B., Свирский M.C. —УФН, 1993. Т. 163. N 5. С. 115.
Вонсовский С.В., Свирский МС. — ЭЧАЯ, 1997, Т. 28, вьш. 1. С. 162.
Фок В.А. Начала квантовой механики.——М.: Наука, 1976.
Байер В.Н., Катков В.М., Фадин В.С. Излучение релятивистских электронов. —М.: Атомиздат, 1973.
Caianiello E.R.——Lett. Nuovo Cim., 1984. V. 41. N 11. P. 370.
Тернов И.М., Михайлин В.В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент. —К/L: Энергоатомиздат, 1986.
Бордовицын В.А., Бызов Н.Н.——Изв. вузов. Физика, 1977. Т. 20. N 10. С. 36.
ТерновИ.М., Бордовицын В.А.—УФН, 1980. Т. 132. С. 345; Ann. d. Phys., 1982. V.39.N4.P. 295.
Pauli Ж —— Rev. Mod. Phys., 1941. V. 13. P. 203. (см. перевод в: Паули В. Релятивистская теория элементарных частиц.——М.: ИИЛ, 1947.)； см. также [49], С. 372-423^
Schupp А.А., PiddR. Ж, Crane H.R. —Phys. Rev., 1961. V. 121. P. 1.
CharpakG., FarleyF.J.M., GarvinR.L. et al.——Phys. Rev. Lett., 1961. V. 6. P. 128.
Meister HJ. —Zi Phys., 1962. V. 166. P. 468.
Байер ВЛ. ^УФН, 1971. T. 105. С. 441.
Середняков С.И. и др. — ЖЭТФ, 1976. Т. 71. С. 2025.
Дербенев Я. С, Кондратенко Л.М —ЖЭТФ, 1973. Т. 64. С. 1918.
Montague В. Ж — Physics Reports, 1984. V. 113. Р. 1.
Jackson J.D. — Rev. Mod. Phys., 1976. V. 48. P. 417.
Field J.H., Picasso E, Combley F. Tests of Fundamental Physical Theories from Measurements of Free Charged Leptons. — Geneva: CERN, 28 February, 1978.
Скринский A.H., ШатуновЮ.М.——УФН, 1989. T. 158. С. 315.
Mackay ЖЖ, Has sard JE, Giles R.T. et al. — Phys. Rev., 1984. V. D29. P. 2483.
Barber D.P. et al. — Phys. Lett., 1984. V. D135. P. 498.
Corben H.C.——Intern. J. Teor. Phys., 1995. V. 34. P. 19.
Good, Jr. RH — Phys* Rev., 1962. V. 125. P. 2112.
Solomon A.I. —Nuovo Cim., 1962. V. 26. P. 1320.
NyborgP. ——Nuovo Cim., 1964. V. 31. P. 1290; 1964. V. 32. P. 1131.
Weyssenhoff J., Raabe A. —Acta. Phys. Polon., 1947. V. 9* P. 7.
Надж К. — Бюлл. Польск. Акад. Наук. III, 1956. Т. 4. N 6. С. 333.
HalbwachsF.^C. г. Acad. Sci., 1956. V. 243. Р. 1022, 1098; 1957. V. 245. Р. 1298;
Acta. Phys. Poloix, 1960. V. 19. Р. 93; Nuovo Cim., 1965. V. 36. P. 382“
BohmD., Vigier J.~P. ^Vhys. Rev., 195 8. V. 109. P. 1822.
Linet К — Lett. Nuovo Cini., 1973. V. 8. P. 63.
Grassberger P — J. Phys., 1978. V. All. P. 1221.
Dixon 取G.—— Nuovo Cim., 1965. V. 38. P. 1616.
PlatheE. —Nuovo Cim. SuppL, 1966. V. 4. P. 246, 291; 1967. V. 5. P. 944.
Scagerstam B.S., Stern A. 一 Phys. Scr., 1981. V. 24. P. 493.
Amorim R.——J. Math. Phys., 1984. V. 25. N 4. P. 874.
NashP.L 一丄 Math. Phys., 1984. V. 25. N6.P. 2104.
Rowe E.G.P., Rowe GN — Phys. Reports, 1987. V. 149. N 5. P* 287.
Barut A. O. Electrodynamics and Classiacal Theory of Fields and Particles.——New York: Mac Millan, 1964.
Гроот СР де, Сатторп Л.Г. Электродинамика. M*: Наука, 1982.
Меллер К. Теория относительности.——М.: Атомиздат, 1975.
Nakano 工 ——Prog. Tlieor. Phys., 1956. V. 15. P. 333.
NyborgP. —Nuovo Cim., 1962. V. 26. N 4. В 821.
Dam H van., Ruijgrok Th. Ж — Physica, 1980. V. 104A. P. 281.
Teitelboim C, Villarroel D., Weert Ch.G. van — Nuovo Cim., 1980. V. 3. P. 1.
Бордовицын B.A. — Изв. вузов. Физика, 1982. Т. 25. N 3. С. 109.
Тернов ЯМ ЭЧАЯ, 1986. Т. 17. С. 884.
Бордовицын В.А. —Изв. вузов.①изика, 1993. Т. 36. N 11. С. 3 9.
Тернов И.М., Бордовицын В.А., Разина Г.К. — Изв. вузов. Физика, 1981. Т. 24. N1.C. 44.
Тернов И.М., Бордовицын В.А. — Изв. вузов. Физика, 1987. Т. 22. N 4. С. 120.
Аллен 〃‘ Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.——М*: Мир, 1978.
Люиселл У Излучение и шумы в квантовой электронике.——М.: Наука, 1972.
Эпп В.Я., Разина Г.К., Бордовицын В.А. — Изв. вузов.①нзнка,1979. Т. 22. N 3. С. 120.
Соколов А.А., Борисов А.В. и др. — Изв. вузов. Физика, 1974, Т. 17. N 12. С. 5.
Тернов Jf.M, Бордовицын В.А., Сорокин СК —Изв. вузов. Физика, 1983. Т. 26. N 12. С. 112.
Тернов И.М., Халилов В.Р, Павлова О.С. — Изв. вузов.①нзнка, 1978. Т. 21. N 12. С. 89; 1979. Т. 22. N 2. С. 39.
Тернов И.М., Багров В.Г., Хапаев Л.М —ЖЭТФ, 1965. Т. 48. С. 321.
Bordovitsyn О., Gushchina О., Afyagkii A.N. —Nucl. Instr. Meth. Phys. Res., 1998. V.A405.P. 256.
Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики.——М.: ГИФМЛ, 1960.
Тернов И.М., Багров В.Г., Бордовицын В.А. — Изв. вузов. Физика, 1967. Т. 10. N 4. С. 41.
Багров ВТ., Гитман Д.М. Точные решения релятивистских волновых уравнений. ——Новосибирск: Наука, 1982.
；^жжск疝 8 4.—氷ЭТ①，1973, С. 1169.
Клименко Ю.В.——Яд. Физ., 1978. Т. 27. С. 1677.
Бордовицын В.А., Тернов И.М. — ТМФ, 1984. Т. 59. С. 220.
Bordovitsyn О., Myagkii A.N. —NIM, 2000. V. А448. Р. 81.
Bordovitsyn О., l^fyagkii A.N. In: Particle Physics at the start of the new millenium. Ed. A.I. Studenikin. World Scientific, Singapore, 2001. P. 203—208.
Bordovitsyn V.A., Myagkii A.N. —NIM, 2001. V. 470. P. 29.
Бордовицын В.A., Мягкий A.H. — Изв. вузов.①нзнка, 2001. Т. 44. N 4. С. 88.
Bordovitsyn V.A., Myagkii A.N. — Phys. Rev. E, 2001. V. 64. P. 046503.
К главе 3
Page L. — Phys. Rev., 193 0. V. 36. P. 444.
Pleesset M.S. —Phys.Rev., 1930. V. 36. P. 1728.
Иваненко Д.Д., Соколов A.A. Классическая теория поля.——Москва - Ленинград: Гостехиздат, 1949.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М.: Наука, 1983.
Rabi LI. —Z九 f. Phys., 1928. V. 49. Р. 507.
HuffL.D. —Phys. Rev., 1931. V. 38. P. 501.
Фок B.A. Начала квантовой механики. — Ленинград: Гостехиздат, 1932.
Фурсов В. С. 一 ЖЭТФ, 1934. Т. 4. С. 767.
Luttinger ZM —Phys. Rev., 1948. V. 74. P. 893.
Johnson M.N. and Lippman B.A.——Phys. Rev., 1949. V. 76. P. 828.
Johnson MM and Lippman B.A.——Phys. Rev., 195 0. V. 77. P. 702.
Тернов Jf.M, Туманов В. C. —ДАН СССР, 195 9. Т. 124. С. 103 8.
Соколов А.А., Тернов И.М. —ДАН СССР, 1953. Т. 92. С. 537.
Ахиезер Г.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.——М.: Физматгиз, 1953.
Sokolov А. А. 一 Journ. ofPliys. USSR, 1945. V. 9. P. 303.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —М.: Наука, 1971.
Тернов И.М., Багров В.Г., Рзаев РЛ. — ЖЭТФ, 1964. Т. 46. С. 3 74.
Багров В.Г. — Изв. вузов. Физика, 1965. N 5. С. 121.
Клепиков Н.П. — Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1952.
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, т.1.——М.: ИЛ, 1949.
Матвеев А.Н.——Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ 1958.
Лаврентьев М.А., Шабад Б.В. Методы функций комплексного переменного.—— М.:①изматгиз, 1958.
Соколов А.А., Клепиков ИЛ., Тернов И.М. — ЖЭТФ, 1953. Т. 24. С. 249.
Соколов А.А., Матвеев А.И., Тернов И.М. —ДАН СССР, 195 5. Т. 102. С. 6 5.
Матвеев А.И. ^ЖЭТФ, 1956. Т. 31. С. 479.
Тернов ЛМ, Багров В.Г., Рзаев Р.А. — Изв. вузов. Физика, 1963. N 5. С. 127.
Тернов И.М., Лоскутов Ю.М., Коровина Л.И. —ЖЭТФ, 1961. Т. 41. С. 1924.
Соколов А.А., Тернов И.М. —ДАН СССР, 1963. Т. 153. С. 1052.
Тернов ЛМ, Багров В.Г., Рзаев Р.А. — Вести. Моск, ун-та, 1964. N 4. С. 62.
Tomboulian D. and Hartman 上 ——Phys. Rev., 1956. V. 102. P. 1423.
Багров В.Г., Дорофеев О. Ф., Каргин Ю.Н. и ф. — Деп в ВИНИТИ 12.11.87. N 8002-V87. С. 98.
Тернов И.М. — Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ 1961.
Тернов И.М., Михайлин В.В., Халилов В.Р. Синхротронное излучение и его применение. —М.: Изд~во МГУ 1980.
Багров В.Г., Дорофеев О.Ф., Соколов А.А. и др剪—ДАН СССР, 1975. Т. 221. С. 312.
5. Тернов И.М., Багров В.Г., Хапаев Л.М —ЖЭТФ, 1965. Т. 48. С. 921.
Тернов И.М., Багров В.Г., Кружков Г.М., Хапаев А.М. — Изв. вузов. Физика, 1967. N 4. С. 10.
3 7. Любошиц В.Л. —Ядерная физика, 1966. Т. 4. С. 269.
Багров В.Г., Бозриков П.В., Гитман Д.М. и др. ——Изв. вузов. Физика, 1974. N 6. С. 17.
К главе 4
Frenkel J. — Zs. Phys., 1926. V. 37. P. 243. (см. перевод в: Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. Т. 2. Научные статьи. — М.-Л.: Изд. АН СССР, 1958. С. 460—470.); см. также Френкель Я.И. Собрание научных трудов. Т. 1. Электродинамика. —М.-Л.: Изд. АН СССР, 1956.
Bhabha H.J., Corben Н.С. — Proc. Roy. Soc., 1941. V. A178. P. 273.
Bialas A. — Acta Phys. Pol., 1962. V. 22. P. 349.
KolsrudM, Leer К ——Phys. Nor., 1967. V. 2. P. 181.
Cohen J., Wiebe H.——J. Math. Phys., 1976. V. 17. P. 1946.
Гроот C.P. де, Сатторп Л.Г. Электродинамика.——M.: Наука, 1982.
Farkas ZE ——Acta. Phys. Hung., 1961. V. 15. P. 131.
Horvath J.I. —Acta. Phys. Hung., 1954. V. 3. P. 171.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М.: Наука, 1983.
Тернов ЛМ, Михайлин В.В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент. —М.: Энергоатомиздат, 1886.
Тернов ЛМ Исследования по квантовой теории светящегося электрона. Авто- реф. дис. д.ф.~м.н. — М.: М「У 1961.
Тернов И.М., Бордовицын В.А. — Веста. Моск, ун-та. Физика, астрон., 1987. Т. 28. N 2. С. 21.
Бордовицын В.А., Тернов И.М., Багров ВТ. — УФН, 1995. Т. 165. N 9. С. 1083.
Бордовицын В.А., Бызов Н.Н., Разина Г.К., Эпп В.Я.——Изв. вузов. Физика, 1978. N5.C. 12.
Бордовицын В.А., Разина Г.К., Бызов НН — Изв. вузов. Физика, 1980. N 10* С. 33.
Бордовицын В.А., Разина Г.К. — Изв. вузов. Физика, 1981. N 4. С. 120.
Тернов ЖМ, Бордовицын В.А. — Весты. Моск, ун-та. Физика, астрон., 1980. Т. 21.N3.C. 8.
Ландау ЛД, Лифшиц Е.М. Теория поля.——М.: Наука, 1973.
Тернов ИЖ — У①Н, 1995, Т. 165. N 4. С. 429.
Бордовицын В.А. Дисс. д.ф.~м.н. — Томск, Москва, 1983.
Belomestnykh S.A., Bondar А.Е., Yegorychev MN et al.——Nucl. Instrum. Methods, 1984. V. 227. P. 173.
Korchuganov ИЖ, Kulipanov GN, Mezentsev N.A. et al. Preprint INP 77-83 —— Novosibirsk: Institute of Nuclear Physics, 1977.
Bondar A.E., Saldin E.L. —Nucl. lustrum. Methods, 1982. V. 195. P. 577.
Kulipanov G.N., Bondar Л.Е., Bordovitsyn O., Gushchina 忆S. —NIMA, 1998. V.405.P. 191.
Соколов A.A., Тернов И.М.——Докл. Акад. Наук. СССР, 1963. Т. 153. С. 1052.
Паули В. Труды по квантовой теории.——М*: Наука, 1977. С. 131—181* Паули В. Труды по квантовой механике. 1928—1958* ——М.: Наука, 1977.
Мотт Н, Месси Г. Теория атомных столкновений. — М.: Мир, 1969.
Кесслер И. Поляризованные электроны.——М.: Мир, 1988.
Вонсовский С.В. Магнетизм микрочастиц.——М.: Наука, 1973.
Синхротронное излучение. Сб. статей под ред. Соколова А. А. и Тернова И.М..—— М"： Наука, 1966.
Багров В.Е, Дорофеев О.Ф., Соколов А.А. — Докл. Акад. Наук. СССР, 1975. T.221.N2. С. 312.
Тернов И.М., Дорофеев О.Ф. — ЭЧАЯ, 1994. Т. 25. Вып. 1. С. 5.
3. Тернов И.М., Багров В.Г., Рзаев Р.А. — ЖЭТФ, 1964. Т. 46. С. 3 74.
Владимирский В.В. —ЖЭТФ, 1948. Т. 18. С. 332*
5. Schwinger J. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954. V. 40. P. 132.
£疝ерВН —У①HJ97L T. 1(Ж C. 441.
Байер B.H., Катков B.M., Фадин В. С. Излучение релятивистских электронов.—— М"： Атомиздат, 1973.
Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М, Питаевский ЛЛ. Квантовая электродинамика. —М•: Наука, 1989.
9. Багров ВТ., Трифонов А.Ю., Белов В.В. — J. Phys., 1993. V. А26. Р. 6431.
Jackson J.D. — Rev. Mod. Phys., 1976. V. 48. P. 417.
Тернов И"М( Бордовицын В.A., Эпп В.Я. — Изв. вузов.①изика, 1990. Т. 33. N 5. С. 49.
Тернов ЛМ, Бордовицын В.А., Эпп В.Я. — Изв. вузов.①нзнкаJ 990. Т. 33. N 6. С. 22.
Тернов И.М., Бордовицын В.А., Эпп В.Я. 一 Изв. вузов.①нзика, 1990. Т. 33. N 7. С. 103.
Дербенев Ю.С., Кондратенко А.М. —ЖЭТФ, 1973. Т. 64. С. 1918.
Barber D.R, Мапе S.R. — Phys. Rev., 1988. V. А37. Р. 456.
Соколов А.А., Тернов И.М. —ЖЭТФ, 1953. Т. 24. С. 249.
Tsai Wu-Yang, Yildiz Asim — Phys. Rev., 1979. V. D8. P. 3446.
Багров В.Г. —Изв. вузов.①нзика, 1965» Т. 5. С. 121.
Тернов ЛМ, Бордовицын В.А. — УФН, 1980. Т. 132. С. 345.
Бордовицын В.А., Сорокин С.В. —Изв. вузов. Физика, 1983. Т. 26. N 8. С. 125.
ТаммИ.Е. — Докл. Акад. Наук. СССР, 1940. Т. 29. С. 5 51; Phys. Rev., 1940. V. 58.
Р. 952, см. также Тамм И.Е. Собрание научных трудов. Т. 2. — М.: Наука, 1975.
Гинзбург В.Л. См. в: Проблемы теоретической физики. Памяти И.Е. Тамма.—— М•: Наука, 1972.; Изв. вузов. Радиофизика, 1984. Т. 27. С. 852; Труды ①ИАН， 1986. Т. 176. С. 3.
3. Frahm Ch.P. — Am. J. Phys., 1983. V. 51. N 9. P. 826.
Griffiths D.G. 一 Am. J. Phys., 1992. V. 60.N 11. P 979.
Тернов И*М., Багров В.Г., Бордовицын В.А., Дорофеев О.Ф. — ЖЭТФ, 1968. Т. 55. С. 2273.
Тернов И.М., Бордовицын В.А.——Вести. Моск, ун-та. Физика, астрон., 1982. Т. 23. N 6. С. 72.
Тернов Jf.M, Багров 8匸，Бордовицын В.А., Дорофеев О.Ф. — ЖЭТФ, 1968. Т. 55. С. 2273.
Бордовицын В.А. — Изв. вузов.①изика, 1993. Т. 36. N 11. С. 39.
Тернов ЛМ, Багров В.Г., Жуковский В. Ч.——Вести. Моск, ун-та. Физика, астрой., 1966. Т. 1. С. 30.
Bordovitsyn О., Gushchina О., Temov I.M. — Nucl. lustrum. Methods, 1995. V. A359. P. 34.
Багров В.Г. Дисс. к.ф.-м.н. — Москва, МГУ 1964.
Соколов А.А., Матвеев А.Н., Тернов И.М. — Докл. Акад. Наук. СССР, 1955. Т. 102. N L С. 65.
Schwinger J, Tsai Wu~Yang — Ann. Phys. (USA), 1978. V. 110. P. 63.
Tsai Wu-Yang — Phys. Rev., 1979. V. D8. P. 3460.
65“ Матвеев A.H.—氷ЭТ①,1956.工 31. С 479.
Тернов И.М., Багров В.Е, Хапаев А.М. —ЖЭТФ, 1965. Т. 48. С. 921.
Елъяшевич МЛ. Атомная и молекулярная спектроскопия.——М.: ГИТТЛ, 1962.
Тернов ИМ., Багров В.Е, Бордовицын В.А., Маркин Ю.А. — ЗКЭТ①，1967. Т. 52. Вьш. 6. С. 1584.
Деменътъев Л. С., Павленко Ю.Г. ——Изв. вузов. Физика, 1974. Т. 17. N 10. С. 34.
Бордовицын В.А., Гущина В.С.——Изв. вузов. Физика, 1993. Т. 36. N 2. С. 60.; 1993. Т. 36. N 3. С. 73; 1994“ 工 37. N 1. С. 53; 1995. Т 38. N 2. С. 63; 1995. Т 38. N3.C. 83.
Любошиц В.Л. —ЯФ, 1966. Т. 4. С. 269.
Багров В.Г., Бордовицын В.А.——Изв. вузов. Физика, 1980. Т. 23. N 2. С. 67.
Тернов ЖМ, Багров В.Г., Кружков КМ, Хапаев А.М. — Изв. вузов. Физика, 1967. Т. 4. С. 41.
Багров В.Г., Бозриков П.В., Гитман Д.М. и др.——Изв. вузов. Физика, 1974. Т. 17. N6. С. 150.
Тернов И. М., Бордовицын В.А. Синхротронное излучение релятивистского магнитного момента.——М.: МГУ препринт N 2, 1981.
Бордовицын В.А. —Изв. вузов. Физика, 1997. Т. 40. С. 40.
Bordovitsyn О., Myagkii A.N. —Nucl. Instrum. Methods, 2001. V. A470. P. 29.
К главе 5
Моц X — в сб.: Миллиметровые и субмиллиметровые волны. М.: ИЛ, 1959. С.194.
Комб Р, Фейке М.——в сб.: Миллиметровые и субмиллиметровые волны. М.: ИЛ, 1959. С. 240.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.——М.: Наука, 1988.
Джексон Дж. Классическая электродинамика.——М.: «Мир», 1965.
Алиханян А.И., Есин С.К., Испирян К.А. и др. — Письма в ЖТ①，1972. Т. 15. С.142.
Алферов Д. Ф., Башмаков Ю.А., Бессонов Е.Г. и ф. — Письма в ЖЭТФ, 1977. Т. 26. С. 525.
Диденко А.Н., Кожевников Л.К, Медведев Л.Ф., Никитин М.М.——Письма в ЖГ①，1978.工 4. С. 689.
Диденко А.Н., Кожевников А.В., Медведев А.Ф. и ф. — ЖЭТФ, 1979. Т. 76. С.1919.
Багров В.Г., Гитман ДМ, Соколов А.А. и ф. —ЖТФ, 1975. Т. 45. С. 1948.
Фейнман Р.П., Лейтон Р.Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т. 2.—— М.: «Мир», 1967.
Багров В.Г., Бордовицын В.А., Копытов ЛФ., Эпп В.Я.——Изв. вузов. Физика, 1974. N 1. С. 46.
Паули В. Теория относительности.——М.: «На>гка», 1983.
Гинзбург В.Л., Сазонов В.Н., Сыроватский С.И. —УФН, 1968. Т. 94. С. 63.
Мычелкин Э.Г.——Труды Астрофизического института АН КазССР. 1969. Т. 14. С. 100.
Соколов А.А., Гальцов Д.В., Колесникова М.М.——Изв. вузов. Физика, 1971. N 4. С. 14.
Scheuer RA. G. —Astrophys. J., 1968. V. 151. P. L139.
Байер B.H., Катков KM, Страховенко KM ——ЖЭТФ, 1972. T. 63. С. 2121.
Смоляков КВ.—來Т①，19 8a 工 58. С 4 8 9; С. 2174.
Справочник по специальным функциям. /Под ред. М. Абрамовица, И.А. Сти- ган. — М.: Наука, 1979.
Schwinger J 一 Phys. Rev., 1949. T. 75. С. 1992.
Байер В.Н., Катков В.М., Фадин В. С Излучение релятивистских электронов.—— Ью: Атомиздат, 1973.
Моисеев МК, Никитин ММ, Эпп В.Я. — Изв. вузов. «Экзнка, 1981* N 9. С 95川
Kim K.-J. — в сб.: Phys, of Part. Accelerators, AIP Conf. Proc., 1989. V. 1. P. 565.
Goulon J. et al. — Nucl. Instr. Meth., 1987. V. A254. P. 192.
Pfluger J. — Rev. Sci. Instr., 1992. V. 63. P. 295.
Luccio A. and Krinsky S.——в сб.: Free-electron Generators of Coherent Radiation. New York: Addison-Wesley, 1982. P. 181.
Koch К К, ed. Handbook of Synchrotron Radiation.——Amsterdam: North Holland, 1983.
Torggler P andLeubner C. — Phys. Rev., 1989. V. A39. P. 1989.
Karr T.J. — Phys. Rev., 1987. V. A 35. P. 1697.
Rosenbluth MM — IEEE J. Quantum Electron, 1985. V. QE-21. P. 966.
Моисеев MK, Никитин ММ, Сорокин C.K, Федосов Н.И.——Изв. вузов. Физика, 1984. N 8. С. 7.
Никитин М.М., Эпп В.Я. Ондуляторное излучение. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
Алферов Д Ф., Башмаков Ю.А., Бессонов Е.Г. — Труды ФИАН 1975. Т. 80. С. 100.
Тернов ЖМ, Халилов Б.Р, Багров В.Г., Никитин М.М.——Изв. вузов. Физика, 1980. N 2. С. 79.
Бордовицын В.А., Тернов ММ, Эпп В.Я.——Изв. вузов. Физика, 1991. N 5. С. 10.
Bordovitsyn 匕 4. and Epp V.Ya. —Nucl. Instr, and Meth., 1998. V. A405. P. 220.
Belomestnych S./., Bondar A.E., Yegorychev MM et al. —Nucl. Instr, and Meth., 1984. V. A227.P. 173.
8. Соколов A.A., Клепиков Я.Л., Тернов И.М.——ЖЭТФ, 1952. Т. 23. С. 632.
Schwinger J. ^Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954. V. 40. P. 132.
Nikitin MM, Muravyatkin К Yu. and Epp V.Ya. — Nucl. Instr, and Meth., 1989. V. A282.P. 48L
Бордовицын B.A. — Изв. вузов.①口знка, 1972" N 10. С. 88.
Reiss H.R. — Phys. Rev., 1980. V. A22. P. 1786.
Datto Ii G, Renieri A. and Torre 4 Lectures on the Free Electron Laser Theory and Related Topics.——Singapoure: World Scientific, 1993.
Leubner C — Phys. Rev., 1981. V. A23. P. 2877.
Datto Ii G., Gianessi L., Mezi L. and Torre A. —Nuovo Cim., 1990. V. 105B. P. 327.
Dattoli G., Torre Л., Lorenzutta S. at all. —Nuovo Cim., 1991. V. 106B. P. 21.
Никишов А.И., Ритус В.И. —ЖЭТФ, 1964. T. 46. C. 776.
Brown LX and Kibble EWA — Phys. Rev., 1964. V. 133. P. 705“
Epp V.Ya., Zalmezh KK and Nikitina Tw.M —Nucl. Instr, and Meth., 1996. V. A368. P. 543.
Никитин M.M., Медведев Л. Ф., Моисеев МК, Эпп В.Я. — ЖТ①，1981. Т. 51. С.584.
Никитин ММ, Медведев Л.Ф., Моисеев М.Б. и ф. — ЖТФ, 1981. Т. 51. С. 592.
Kim K-J. —Nucl. Instr, and Meth., 1986. V. A246. P. 67.
Epp V.Ya. and Razina G.K. —Nucl. Instr, and Meth., 1991. V. A307. P. 562.
Эпп В.Я., Чуриков В.A. —Изв. вузов. Физика, 1984. N 8. С. 121.
Алферов Д.Ф., Башмаков Ю.А., Бессонов Е.Г.——ЖТФ, 1976. Т. 46. С. 2392.
Тернов И.М., Михайлин В.В., Халилов В.Р. Синхротронное излучение и его применение. —М.: Изд-во МГУ, 1980.
Takakura Т.——Publ. Astron. Soc. Jap., 1960. V. 12. P. 352.
8. KincaidB.M. — J. Appl. Phys., 1977. V. 48. P. 2684.
Abraham M — Ann. d. Phys., 1904. V. 14. P. 236.
Schott G.A. Electromagnetic Radiation.——Cambridge: Cambridge University Press, 1912.
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, т.1.——М.: ИЛ 1949.
Гинзбург В.Л. —Изв. Акад, наук СССР, 1947. Т. 11. С. 165.
Багров В.Г., Глазов 〃二 Каргин Ю.Н., Разина Г.К. — Томск: 1986. (Препринт/ Инст-т сильноточной электроники ТФ СО РАН: ИСЭ N 35).
Куканов А.Б., Сулейман Эль X ——Изв. вузов. Физика, 1975. N 11. С. 7.
Соколов А.А., Гальцов Д.В., Жуковский В. Ч.——ЖТФ, 1973. Т. 43. С. 682.
Westfold К. — Astrophys. J., 1959. V. 130. С. 241.
К главе 6
Coisson R. — Phys. Rev., 1979. V. A20. P. 524.
Coisson R.——Opt. Conimun., 1977. V. 22. P. 135.
Coisson R.——Nucl. Instr, and Meth., 1977. V. 143. P. 241.
Тернов /fM, Халилов KP, Багров В.Г., Никитин М.М.——Изв. вузов. Физика, 1980. N 2. С. 5.
Багров ВТ., Моисеев МК, Никитин М.М., Федосов Н.И.——Изв. вузов. Физика, 1981.N3.C.26.
Bagrov KG, Moiseev МБ., Nikitin ММ, Fedosov N/ — Nucl. Instr, and Meth., 1982. V. 195. P. 569.
Багров В.Г., Никитин ММ, Тернов И.М., Федосов Н.И.——IV Всесоюзный симп. по сильноточной электронике, ч. П. Томск: ИСЭ СО РАН, 1982. С. 160.
Багров В.Г, Тернов И.М., Федосов Н.И. ^ЖЭТФ, 1982. Т. 82. С. 1442.
Багров КГ, Тернов И.М., Федосов Н.И. —ДАН, 1982. Т. 263. С. 1339.
Болотовский КМ —Труды <ЭИАН,1982.Т.140*С.35.
И. Багров КГ, Моисеев МК, Никитин ММ, Федосов Н.И.——Изв. вузов. Физика, 1981. N 5. С. 26.
Багров Б.Е, Никитин ММ, Тернов И.М., Федосов Н.И.——Изв. вузов. Радиофиз., 1983. Т. 26. С 253.
Bagrov V. G., Nikitin М.М., Ternov I.М, FedosovN.L — Nucl. Instr, and Meth., 1983. V.208. P. 167.
Bagrov 忆G, FedosovN.L, TernovLM. —Phys. Rev., 1983. V. D28. P. 2464.
Бонч~Осмоловский А.Г., Любошиц В.Л., Подгорецкий М.И.——Дубна: 1983 (Сообщения ОИЯИ, N Р2-83/57，
бессошжЕ/： —ЖГ①，1983^ Т. 53. С. 1368.
Смоляков КВ. 一來Т①，198% 工 58. С. 489.
Багров КГ, Никитин ММ, Федосов Н/£, Эпп В.Я.——Изв. вузов. Радиофиз., 1984. Т. 27. С. 1287.
Bagrov KG., Nikitin ММ, Fedosov N.L, at all. — Nucl. Instr, and Meth., 1985. V. A239. P* 579.
Бонч-Осмоловский А.Г, Подгорецкий М.И.——Дубна: 1984 (Сообщения ОИЯИ, NP2-84/36).
Каргин Ю.Н., РазинаГ.К., Федосов Н.И. — Изв. вузов.①口знка, 1985. N 4. С. 58.
Гонзалес Фелиппе Р., Павленко Ю.Г. ——Весты. МГУ Физ., астрой., 1985. Т. 26. С. 13.
Бонч-Осмоловский Л.Г, Подгорецкий М.И.——ЖТФ, 1985. Т. 55. С. 1505.
Болотовский КМ, Столяров С.Н.——УФН, 1992. Т. 162. С. 195.
Болотовский КМ, Серов А.В.——ЖЭТФ, 1992. Т. 102. С. 1506.
Болотовский В.М, Серов А.В. —ЖЭТФ, 1994. Т. 105. С. 43.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.——М.: Наука, 1988.
Никитин ММ, Медведев 4G., Моисеев МК, Эпп В.Я. — ЖЭТФ, 1980. Т. 52. С. 388.
Бессонов КГ ЖЭТФ, 1981. Т. 53. С. 433.
Bagrov KG., Nikitin ММ, Sirota NN, FedosovN.L — Nucl. Instr, and Meth., 1989. V. A282. P. 402.
Chubar О. K, Smoljakov NN — J. Optics, 1993. V. 24. P. 117.
Тернов ЖМ, Багров KE, Бордовицын В.A. — Вести. МГУ Физ., астрой., 1972. Т. 19. С. 248.
Никитин ММ, Эпп В.Я. — ЖТФ, 1976. Т. 46. С. 2386*
Никитин ММ, Федосов Н.И.—來Т①，1977. Т. 47. С. 2478.
Моисеев МК, Никитин М.М., Федосов Н.И. — Изв. вузов.①кзнка, 1978. N 4. С. 14.
Bagrov KG., Khalilov О., Sokolov A. A. and Ternov I. M. —Anil. Phys., 1973. V. 30. P. 1.
Багров В.Г., Соколов А.А., Тернов И.М. и ф. — Изв. вузов. Физика, 1974. N 1. С. 49.
Багров В.Г., Гитман Д.М., Соколов А.А. и ф.——ЖТФ, 1975. Т. 20. С. 1226.
Фейнман Р17., Лейтон Р.Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т. 2.—— М.: Мир, 1967.
К главе 7
Тер-Микаэлян М.Л. Электромагнитные процессы в веществе при высоких энергиях. —Ереван, Изд-во АН Арм.ССР, 1969.
Гарибян Г.М., Ян Ши. Рентгеновское переходное излучение.——Ереван, Изд-во АНАрм. ССР, 1983.
Линдхард К ^УФН, 1965. Т. 99. С 249.
Gemmel D.S. — Rev. Mod. Phys., 1974. V. 46. P. 129.
Туликов A.①.—УФН, 1965. T. 87. С. 5 8 5.
Окороков В.В. — Письма в ЖЭТФ, 1965. Т. 2. С. 175.
Окороков В.В. —ЯФ, 1965. Т. 2. С. 1009.
Datz S. and Moak C.D. — in: Treatise on Heavy-Ion Science. / Ed*: D.A.Broniley. NY: Plenum, 1985.
Кумахов M.A., Ширмер Л Атомные столкновения в кристаллах.——М.: Атомиздат, 1980.
Оцуки К-Х Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами.——М.: Мир, 1985.
Калашников Н.П. Когерентные взаимодействия быстрых заряженных частиц в монокристаллах. — М.: Атомиздат, 1981.
Барышевский В.Г. Каналирование, реакции и излучение при высоких энергиях в кристаллах.——Минск: Изд. Белорусского ун-та, 1982.
Воробьев С.А. Каналирование электронных пучков.——М.: Атомиздат, 1984.
Kimball J. С., Сие № — Phys. Rep., 1985. V. 125. Р. 69.
Кумахов МЛ. Излучение каналированных частиц в кристаллах.——М.: Энерго- атомиздат, 1986.
Базылев В. А., Жеваго Н.К. Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних полях. — М•: Наука, 1987.
Потылицын АЛ. Поляризованные фотонные пучки высокой энергии.——М.: Энергоатомиздат, 1987.
Carrigan R.A, Jr. and Ellison J.A., Eds. Relativistic channeling. — NY: Plenum, 1987.
Kumakhov M.A., Komarov F.F. Radiation from charged particles in solids.——NY: AIP, 1989.
Байер B.H., Катков B.M., Страховенко B.M. Электромагнитные процессы при
высокой энергии в ориентированных монокристаллах.——Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1989.
Излучение ультрарелятивистских электронов в ориентированных толстых кристаллах. Тем. вып. под ред. Потылицына А.П.——Изв. вузов. Физика, 1991. V. 34. N6.
Ахиезер А.И., Шульга Н.①.Электродинамика высоких энергий в веществе.—— М.: Наука, 1993.
Рябов В.А. Эффект каналирования.——М.: Энергоатомиздат, 1994.
Поляризационное тормозное излучение.——М•: Наука, 1996.
Rullhusen J?, Artru X and Dhez P Novel radiation sources using relativistic electrons.——Singapore: World Scientific, 1998.
Поляризационное излучение в конденсированных средах. — Тем. вып. под ред. Потылицына А.П. Изв. вузов. Физика, 2001. Т. 44. N 3.
Байер В.Н., Катков В.М., Фадин В. С Излучение релятивистских электронов.— М.: Атомиздат, 1973.
Болотовский КМ —Труды ①HAHJ982. Т. 140. С. 1982
Франк И.М. Излучение Вавилова-Черенкова. Вопросы теории. — М.: Наука, 1988.
Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика.——М•: Наука, 1993.
Никитин М.М., Эпп В.Я. Ондуляторное излучение.——М.: Энергоатомиздат, 1988.
Synchrotron Radiation Theory and Its Development. Ed. Bordovitsyn V.A.——Singapore: World Scientific, 1999.
Kumakhov МЛ.——Phys. Lett. A, 1976. V. 57. P. 17.
Lasukov V.V., Pivovarov Yu.L., Kostareva O.G. — Phys. Status Solidi (b), 1982. V. 109. P. 761.
5. Olsen H., Kunashenko Ik? — Phys. Rev. A, 1997. V. 56. P. 527.
Yamamura Y., Othsuki Y.H. — Phys. Rev., 1981. V. B24. P. 3430.
Yamamura Y., Othsuki Y.H. —Nucl. Instr. Meth., 1984. V. B2. P. 108.
Bloom S.D., Berman B.L., Hamilton D.C. et al. — Nucl. Inst. Meth., 1982. V. 194. P. 229.
Вяткин Е.Г., Пивоваров Ю.Л. — Изв. вузов.①口знка, 1983. N 8. С. 78.
Вяткин Е.Г., Пивоваров Ю.Л. —Изв. вузов. Физика, 1985. N 8. С. 83.
Вяткин Е.Г., Пивоваров Ю.Л.——Изв. вузов. Физика, 1986. N 11. С. 63.
Vyatkin E.G., Pivovarov lu.L., Vbrobiev S4 — Nucl. Instr. Meth.B, 1986. V. 17. P. 30.
^atkin E.G., Pivovarov Yu.L., Vorobiev S4 — Phys. Lett. A, 1987. V. 127. P. 197.
^atkin E.G., Pivovarov Yu.L., Vorobiev S4 —Nucl. Phys. B, 1987. V. 284. P. 509.
Воробьев C.A., Вяткин Е.Г., Пивоваров Ю.Л., Потылицын А.П., Хакбердыев И. ^ЖЭТФ, 1988. Т. 94* С. 38.
Dolgikh V.A., ^atkin КG., Vorobiev S.A. —Nucl. Phys. В, 1990. V. 338. P. 1—14.
Байер В.Н., Катков КМ, Страховенко В.М. — ДАН СССР, 1979. Т. 246. N 6. С. 1347.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М. —ЯФ, 1981. Т. 33. N 5. С. 1284.
Адищев Ю.Н., Внуков И.Е., Воробьев С4 и ф. — ДАН СССР, 1983. Т. 268. N 4. С. 841.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М. — ДАН СССР, 1983. Т. 268. N 6. С.1365.
Блажевич С.В., Гришин В.К., Громов А.М. и ф. — Препринт ИЯИ, 1997. Г 0939/97. С 21.
Buschhortn G., Kotthaus R., Kufner Ж et al. —Nucl.Instr, and Meth. A, 1994. V. 346. P. 578.
Rzhepka AZ, Buschhorn G., Diedrich E et al. — Phys. Rev., 1995. V. 52. P. 771.
Ohtsuki Y.H., Nitta H., Matsuda T. Nucl. Instr. Meth. B, 1996. V. 119. P. 343.
ArtruX. —Nucl. Instr. Meth. B, 1990. V. 48. P. 278.
Kononets Ik 匕 Ryabov V.A. —Nucl. Instr. Meth. B, 1990. V. B48. P. 269.
Кононец Ю.В., Тупицын И. C.——Письма в ЖЗТ①，1994« Т. 59. С. 491.
Filimonov Tw.M, Pivovarov Yn.L. —Proc. Intern. Synip. on Radiation ofRelativistic Electrons in Periodical Structures. Tomsk, 1993. C. 248.
Филимонов Ю.М., Пивоваров Ю.Л., Воробьев C.A. —ЯФ, 1988. Т. 47. С. 894.
Fomin S.P., Jejcic A., Kasilov KZ et al. —Nucl. Instr. Meth. B, 1997. V. 129. P. 29.
Kovalenko G.D., Kolesnikov L. Ya. and Rubashkin A.L. — in: Coherent Radiation Sourses, eds. A. W. Saenz and H. Uber all. Berlin: Springer-Ver lag.- 1985. P. 33.
Saenz А. Ж and Uber all H.——in: Coherent Radiation Sourses,eds. A.W. Saenz and H. liberal 1. Berlin: Springer-Verlag.- 1985. P. 5.
Cue N. and Kimball J C. —Phys. Lett. A, 1987. V. 124. P. 191.
Kunashenko Ik?, Pivovarov Yu.L. 一 Nucl. Instr. Meth.B., 1996. V. 114. P. 237.
Kunashenko Tw.P, Pivovarov Yu.L.——Nucl. Instr. Meth.B., 1996. V. 115. P. 390.
Амосов К.Ю., Внуков И.Е., Калинин К Я. и ф. — Письма в ЖЭТФ, 1992. Т. 55. С 587.
Андреяшкин М.Ю., Забаев В.Н., Кунашенко ЮЛ., Пивоваров Ю.Л. — Изв. РАН, Сер. Физ., 1995. Т. 59. N 5. С. 203：
Andersen J U., Bonderup Е., LaegsgaardК ——in: Coherent Radiation Sourses, eds. A.W. Saenz and H. liberal 1. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 32.
Olsen H4 — Phys. Rev. D., 1996. V. 33. P 203 3.
Любошиц В.Л. —ЯФ, 1987. T. 45. С. 1099.
Кунашенко Ю.П., Пивоваров Ю.Л. —ЯФ, 1990. Т. 51. С. 627.
Кунашенко Ю.П., Пивоваров Ю.Л.——Изв. Акад. Наук. Сер. Физ., 1993. Т. 57. N LC. 156.
Mrowczynski S. — Phys. Rev. D., 1987. V. 33. P. 1520.
Кунашенко ЮЛ., Пивоваров Ю.Л. — В. сб.: Проблемы применения эффектов каналирования частиц кристаллами в физике высоких энергий.——К①ВЗ, Протвино, 1991. С. 100.
Kimball J С., Cue N. —Phys. Rev. Lett, 1986. V. 57. P. 1935.
Испирян К.A. w ф. —ЯФ, 1988. T. 47. С. 968.
Pivovarov Yu.L., Kunashenko Yu.P., Endo L, Isshiki Z —Nucl. Instr. Meth. B., 1998. V 145. N 1-2. P. 80.
HolvikE., Olsen H.A. — Phys. Rev. D., 1987. V. 35. P. 2124.
Sandnes G.L, Olsen H.A. — Phys. Rev. A., 1993. V. 48. P. 3 725.
Меледин Г.В. w ф. — Письма в ЖЭТФ., 1971. Т. 13. С. 98.
Алексеев Г.Д. и ф. —ЯФ, 1984. Т. 40. N 1(7). С. 139.
Endo I.——in: Proc. Sec. Intern. Symp. RREPS-95 (September 1995, Tomsk), Cambridge International Science Publishing, 1996. P. 1.
Baur G., Bertulani С.Л.——Nucl. Phys. A, 1989. V. 505. P. 835.
Мильштейн А.И., Страховенко B.M. —ЖЭТФ, 1993. Т. 103. С. 15 84.
Aste 4, Henchken К” Trautmann D and Baur G. — Phys. Rev. A., 1994. V. 50.
P. 3980.
Agger C.K., Sorensen A.H. — Phys. Rev.A, 1997. V. 55. P. 402.
Vane C.R., Datz S., Dittner F. et.al. — Phys. Rev. Lett., 1992. V. 69. P. 1911.
Belcacem A., GouldH., Feinberg G. et.al. —Phys. Rev. Lett., 1993. V. 71. P. 1514.
Krause H.F. et al. — Phys. Rev. Lett., 1998. V. 80. P. 1190.
Испирян К.А., Испирян RK.——ЯФ, 1994. T. 57. С. 1914.
Kunashenko Yu.R, Pivovarov Yu.L. —Nucl. Instr. Meth. B., 1996. V 119. P. 137.
Кунашенко ЮЛ., Пивоваров Ю.Л. — Изв. вузов. Физика, 1998. N 4. С. 75.
Bertulani С4 and Baur G.——hep-ph/9711273v2, 13 Nov. 1997.
in Periodicin Periodicin Periodicin PeriodicProc. 1st Intern. Symp. on Radiation from Relativistic Electrons Structures (RREPS-1993). Tomsk: 1993.
in Periodic
in Periodic
in Periodic
in Periodic
Proc. 2nd Intern. Symp. on Radiation from Relativistic Electrons Structures (RREPS-1995). Cambridge InterScience Publishing: 1996.
Proc. 3rd Intern. Symp. on Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures (RREPS4 997). Nucl. Instr. Meth. B, 1998. V. 145. N 1-2.
Proc. 4th Intern. Symp. on Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures (RREPS4 999). Nucl. Instr. Meth.B, 2001. V. 173. N 1—2.
Proc. 5th Intern. Symp. on Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures (RREPS-2001). Nucl. Instr. Meth. B., 2002 (to be published).
Okazaki Y., Andreyashkin AZ, Chouffanie K., Endo I., Hamatsu A, linima AZ, Kojima H., Kunashenko Tw.P, Masuyama AZ, Ohnishi T., Okuno H., Pivovarov Yu.L., Takahashi Z, Takashima Y ——Phys. Lett. A, 2000. V. 271. P. 110.
Endo L, Okazaki Y, Kunashenko lk£, Pivovarov Yu.L. — Nucl. Instr. Meth. B, 2001. V. 179. P. 343.
Pivovarov Yu.L., Kunashenko Yu.R, Vorobiev S.A. —Radiati on Effects, 1986. V. 100. P.28.
Tarasov А. И — J1NR Rapid Comm., Dubna, 1993. V. 4[61]・93. R 64.
Pivovarov Yu.L., Geissel K, Filimonov Ik AZ, Krivosheev O.E., Scheidenberger C Nucl. Instr. Meth.B, 1996. V. 119. P. 137.
Pivovarov Yu.L. —Nucl. Instr. Meth. В, 199 8. V. 145. N 1—2. P. 96.
Azuma Z, Ito f, Komaki K., Yamazaki Y. — Phys. Rev. Lett., 1999. V. 83. P. 528.
К главе 8
Тернов И.М., Михайлин В.В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент.—— М.: Энергоатомиздат, 1986.
Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.——М.: Наука, 1983.
Владимирский В.В. —ЖЭТФ, 1948. Т. 18. С. 392.
Schwinger J ——Phys. Rev., 1949. V. 70. P. 1912.
НикишовА.И., РитусВ.И. ^ЖЭТФ, 1964. Т. 46. С. 776; 1768.
Ритус В.К 一 Тр.①ИАН СССР, 1979. Т. 111. С. 5.
Соколов А.А. 一 ДАН СССР, 1949. Т. 67. С. 1013.
Соколов А.А., Тернов И.М. 一來ЗТ①,1953. Т. 25. С. 698.
Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. —М., Наука, 1989.
Тернов И.М. В сб.: История и методология естественных наук.——М.: Изд-во Моск, ун-та, 1985. С. 3.
1L Соколов А.А., Тернов И.М. ДАН СССР, 1963. Т. 153. С. 1052.
Тернов И.М., Багров В.Г., Бордовицын В.А., Дорофеев О. Ф. — ЖЭТФ, 1968. Т. 55. С. 2273.
&@?шшбН〃. 一 ЖЭТ①,195里工 26. С. 19.
Sokolov A. A., TernovLM. Synchrotron Radiation.——Berlin: Akademie-Verlag, 1968.
Тернов И.М. К развитию теории движения быстрых элементарных частиц с учетом эффектов излучения. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.——М., 1954.
Соколов А.А., Клепиков Н.П., Тернов И.М. — ЖЭТФ, Т. 23. С. 632 (1952).
Schwinger J. — Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1954. V. 40. P. 132.
Корчуганов B.H., Кулипанов Г.Н., Мезенцев H.A. и ф. Препринт ИЯФ СО АН СССР, N 77—83, — Новосибирск, 1977.
Боголюбов КК, Тябликов СЕ — Изв. АН УССР, 1946. Т. 5. С. 10.
Sands М — Phys. Rev., 1955. V. 97. Р. 470.
Королев Ф.А., Ершов АТ. 一 ДАН СССР, 1960. Т. 134. С. 314.
Тернов И.М. Исследования по квантовой теории светящегося электрона. Дисс. ...докт. физ.-мат. наук — М., 1961.
Соколов А.А., Тернов И.М. —Изв. вузов. Физика, 1967. N 10. С. 66.
Соколов А.А., Борисов А.В., Гальцов Д.В., Жуковский В. Ч.——Изв. вузов. Физика, 1974. N 12. С. 5.
ТерновИ.М. ^ЭЧАЯ, 1986. Т. 17. С. 884.
Соколов А.А., Тернов И.М. —ЖЭТФ, 1956. Т. 31. С. 473.
Соколов А.А., Тернов И.М., Багров В.Г., Рзаев Р.А. В сб.: Синхротронное излучение. —М.: Наука, 1966. С. 72.
Липунов Б.М Астрофизика нейтронных звезд.——М.: Наука, 1987.
Соколов А.А., Жуковский В. Ч., Никитина Н. С.——Вести. Моск, ун-та. Физика, астрон., 1974. N 5. С. 548.
Mitrofanov LG.——Space Sci. Rev., 1995. V. 74. P. 417.
Кельнер С.П., Котов Ю.Д. — Письма ЖЭТФ, 1985. Т. 41. С. 200.
Hameury J.M., LasotaJ.P., Bonazzola S., Heyvaerts J. —Astrophys. J., 1985. V. 293. P. 56.“
Usov V.V. — Mon. Notices Roy. Astron. Soc., 1994. V. 267. P. 103 5.
Dar /., De Rigula Л.——E-print astro-ph/0105094.
Соколов А.А., Борисов А.В., Жуковский В. 4.——Изв. вузов. Физика, 1975. N 12. С. 51.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —М.: Наука, 1971.
ShklovskyLS. — Astrophys. J., 1970. V. 159. P. L77.
Долгинов A.3., Гнедин Ю.Н., Силантьев Н.А. Распространение и поляризация излучения в космической среде.——М.: Наука, 1979.
White D. 一 Phys. Rev. D, 1974. V. 9. P. 868.
Тернов И.М., Халилов B.P., Родионов B.H. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем.——М.: Изд-во Моск, ун-та, 1982.
Байер В.К, Катков В.М., Страховенко В.М. — ЖЭТФ, 1990. Т. 98. С. 1173.
Багров В.Г., Дорофеев О. Ф. — Весты. Моск, ун-та. Физика, астрон., 1966. N 2. С. 87.
Тернов И.М., Багров В.Г., Дорофеев О.①.—Изв. вузов.①口знка, 1968. N 10. С. 63.
Багров В.Г., Дорофеев О.Ф., Каргин Ю.Н., Копытов Г.Ф., Разина Г.К. Численный анализ спектрального распределения синхротронного излучения.——Ред. журн. Изв. вузов.①口зика. Томск, 1987. Деп. в ВИНИТИ 12.11.87. N 8002-В87.
Тернов И.М., Жуковский К Ч., Борисов А.В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле . — М•: Изд-во Моск, ун-та, 1989.
Sokolov А.А., Ternov I.M., Borisov А. И, ZhukovsHi V.Ch. —Phys. Lett. A, 1974. V. 49. P. 9; А.А. Соколов, И.М. Тернов, А.В. Борисов, В. X Жуковский. — Изв. вузов.①изика, 1975. N 4. С. 65.
Michel FG — Rev Mod. Phys., 1982. V. 54. P. 1.
Тернов И.М. Введение в физику спина релятивистских частиц.——М.: Изд-во Моск, ун-та, 1997.
Froissart М, Stora R. —Nucl. lustrum. Methods, 1960. V. 7. P. 297.
Тернов И.М., Багров В.Г., Жуковский В. Ч.——Вести. Моск, ун-та* Физика, астрон., 1966. N 1. С. 30.
ШабадА.Е. 一 Тр.①ИАН СССР, 1988. Т. 192. С. 5.
Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В. Ч., Борисов А.В. Калибровочные поля. ——М.: Изд-во Моск, ун-та, 1986.
Скалозуб В.В. —ЭЧАЯ, 1985. Т. 16. С. 1005.
Schwinger J —Phys. Rev., 1948. V. 73. P. 416.
Gupta N.D.S. —Nature, 1949. V. 163. P. 686.
LattInger JM ——Phys. Rev., 1948. V. 74. P. 893.
Ритус В.И. 一 ЖЭТФ, 1969. T. 57. C. 2176.
Ритус В.И. 一 Tp. ФИАН СССР, 1986. T. 168. C. 141.
Байер B.H., Катков B.M., Страховенко KM —ЯФ, 1976. Т. 24. С. 379.
Борисов А.В., Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Эминов П.А.——УФН, 1997. Т. 167. С. 241.'
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М. Электромагнитные процессы при высокой энергии в ориентированных монокристаллах.——Новосибирск: Наука, 1989.
Вшивцев А.С., Жуковский В. Ч., Клименко К.Г., Магницкий Б.В. ——ЭЧАЯ, 1998. Т. 29. С. 1259.'
Khalilov О. Electrons in Strong Electromagnetic Fields: an Advanced Classical and Quantum Treatment. — Amsterdam: Gordon and Breach, 1996.
Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч, Эминов П.А., Борисов А.В. Эффекты внешнего поля и среды в неабелевой калибровочной теории.——М.: Физический 巾百丁 МГУ 2001.
К главе 9
Alfien Я. andHerlofson Ж — Phys. Rev., 1993. V. 78. P. 616.
Ball L., Kirk J G.——Preprint Astron Dep. Univ, of Sydney No.lOA R95-29, 1995.
Баушев A.H. Астрон. ж., 2001 (отправлено в печать).
Баушев А.Н., Бисноватый-Коган ЕС. —Астрон. журн., 1999. Т. 76. С. 283.
Begelman М, Blandford Rees М — Rev. Mod. Phys, 1984. V. 56. P. 255.
Бейтман Г., Эрдеи А. Трансцендентные функции высоких порядков.——М.: Наука, 1973.
Берестетский В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский ЛЛ. Релятивистская квантовая теория. Часть 1. — М.: Наука, 1968.
Бисноватый-Коган Г.С.——Астрон. ж., 1970. Т. 47. С. 813.
Бисноватый-Коган ЕС. — Астрон. ж., 1973. Т. 50. С. 902.
Бисноватый-Коган ЕС. Равновесие и устойчивость звезд и звездных систем. Докторская диссертация.——М.: ИКИ, 1977
Бисноватый-Коган ЕС. — Письма в Астрон. ж., 1978. Т. 4. С. 130.
Bisnovatyi-Kogan G.S. —Rivista Nuovo Cimento, 1979. V. 2. N. 1.
Бисноватый-Коган Г.С. Физические проблемы теории звездной эволюции.—— М.: Наука, 1989.
Bisnovatyi-Kogan G.S. — Cosmoparticle Physics. Proc. «COSMION-94», Eds. M.Yu.Klilopov et al, Editions Frontiers, 1996. C. 333.
Bisnovatyi-Kogan G.S. and Blinnikov 8/. — Astrophys. Space Sci., 1972. V. 19. P. 93.”
Bisnovatyi-Коган Г. С., Блинников С.И. — Письма в Астрой, журн., 1976. V. 2. Р. 191. ”
Bisnovatyi-Kogan G.S. and Blinnikov SJ.——Astron. Ap., 1977. V. 59. P. 111.
Bisnovatyi-Kogan G.S., Illarionov A.F, Slysh V.I.——Proc. School Plasma Astrophys. ESA SP-311, 1990. P. 289.
Бисноватый-Коган Г.С., Комберг Б.В.——Астрой, цирк., 1973. N. 784. С. 721.
Бисноватый-Коган Г.С., Комберг Б.В. —Астрой, журн., 1974. Т. 51. С. 3 73.
Бисноватый-Коган Г.С., Комберг Б.В., Фридман А.М. — Астрой, ж., Т. 46. С. 465.
Bisnovatyi-Kogan G.S., Lovelace R. V.L. — Astron. Ар., 1995. V. 296. P. L17.
Bisnovatyn-Kogan G.S. and Ruzmaikin A.A.——Astrophys. Space Sci., 1974. V. 28. P. 45.”
Bisnovatyi-Kogan G.S. and Ruzmaikin A.A.——Astrophys. Space Sci., 1976. V. 42. P.401. ”
Bisnovatyi-Kogan G.S. andSilich S.A.——Rev. Mod. Phys., 1995. V. 67. P. 661.
Бисноватый-Коган Г.С., Сюняев P.A.——Астрой, журн., 1971. Т. 48. С. 881.
Бисноватый-Коган Г.С., Фридман А.М. —Астрой, журн., 1969. Т. 46. С. 721.
Бисноватый-Коган ЕС., Шорохов О.В. — Астрой, журн., 2000. Т. 77. С. 703.
Бисноватый-Коган Г.С., Шорохов О.В. — Астрой, журн., 2001. Т. 78. С. 370.
Bolton J.G., Stanley G, Slee В. —Nature, 1949. V. 164. P. 101.
Bridle A.H., Perley R.A. —Ann. Rev. Astron. Ap., 1984. V. 22. P. 319.
Бронштейн И.Н., Семендяев K.A. Справочник по математике ——М.: ГИТТЛ, 1953.
Вашакидзе МА —Астрой, цирк., 1954. N. 147. С. 11.
Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. —Услехи физ. наук., 1961. Т. 73. С. 701.
Weiler К., SramekR.A. — Ann. Rev. Astron. Ap., 1988. V. 26. P. 295.
Voges 取,Pietsch Ж, Reppin C Trwiper J., Kendziorra E., StaubertR. —Astrophys. J., 1982. V. 263. P. 803.
Гетманцев В.В. — Докл. Акад, наук СССР, 1952. Т. 83. С. 557.
8. Гинзбург В.Л. — Докл. Акад, наук СССР, 1951. Т. 76. С. 3 77.
Гинзбург В.Л.——Успехи физ. наук, 1953. Т. 51. С. 343.
Гинзбург В.Л. Пульсары (теоретическое моделирование). — М.: ФИАН (Пре™ принт ФИАН No 52).
Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика, (дополнительные главы).— М.: Наука, 1988.
Ginzburg V.L. Early Years of Radio Astronomy. Ed. W. Sullivan. — Cambride: Cambridge Univ. Press, 1984. P. 289.
Гинзбург В.Л. (Ред.)Астрофизика космических лучей.——М.: Наука, 1990.
Гинзбург В.Л., Сыроватский С.И.——Услехи Физ. Наук., 1965. Т. 87. С. 65.
Ginzburg V.L., Syrovatsfy S.I. — Ann. Rev. Astron. Ap., 1969. V. 7. P. 375.
ГинзбургВ.Л., Сазонов В.Н., Сыроватский С.И.——Успехи физ. н^к, 1968. Т. 94. С. 63.'
Gnedin Yu.N., SyunyaevR.A.——Astron. Astrophys., 1973. V. 25. P. 23 3.
Gold T. —Nature, 1968. V. 218. P. 731.
Goldreich P., Julian W. — Astrophys. J., 1969. V. 157. P. 869.
Гордон И.М. — Докл. акад, наук СССР, 1954. Т. 94. С. 813.
Gunn J, Ostriker J ——Astrophys. J., 1971. V. 165. P. 523.
Домбровский В.A. — Докл. Акад. Наук СССР, 1954. Т. 94. С. 1021.
EilekJ.A. and Hughes Р.Е. Astrophys. Jets, ed. P.E. Hughes ——Cambridge: Cambridge University Press, 1990. P. 428.
Железняков В.В. Радиоизлучение Солнца и планет.——М.: Наука, 1964.
Железняков В.В. Электромагнитные волны в космической плазме. Возникновение и распространение. — М.: Наука, 1977.
Железняков В.В. Излучение в астрофизической плазме.——М.: Лнус-К., 1997.
Zheleznyakov V.V., Suvorov К И ——Astrophys. Space Sci. 1972. V. 15. P. 24.
GiacconiR., GursfyH., PaoliniF.R., RossiB.B. — Phys. Rev. Let., 1962. V. 9. P. 439.
ЗельдовичЯ.Б., Новиков И.Д. Теория гравитации и эволюция звезд.——М.: Наука, 1971.
Имтенник В.С., Надежин Д.К.——Итоги науки и техники. Астрономия, 1982. Т. 21. С. 63.
Имшенник В. С., Надежин Д.К. ——Услехи физ. наук, 1988. Т. 156. С. 561.
Кадомцев Б.Б.——Вопросы теории плазмы, 1963. Т. 2. С. 132.
Кардашев Н.С.——Астрой, ж., 1962. Т. 39. С. 393.
Кардашев, Н.С. — Астрой, ж., 1964. Т. 41. С. 807.
Kellerman К/ Galactic and Extra-Galactic Radio Astronomy. — Springer-Verlag, 1974.
KendziorraK, KretschmarP., PanH.C., KunzM, etal. —Astron. Ap., 1994. V. 291. P.L31.
Kesteven M.J., Caswell J.L. —Astron. Ap., 1987. V. 183. P. 118.
Kiepenheuer К.O. —Phys. Rev., 1950. V. 79. P. 738.
Кондратенко A.H. Плазменные волноводы.——M.: Атомиздат, 1976.
Kreykenbohm I., Kretschmar P., Wilms J, et al. —Astron. Ap., 1998. V. 341. P. 141.
Cusumano G., Q/ Salvo T., Orlandini M, Piraino S, Robba N, Santangelo A.—— Astron. Ap., 1998. V. 338. P. L79.
Lamb F.K., Pethick C.J., Pines D. — Astrophys. J., 1973. V. 184. P. 271.
Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая Физика.——М.: Наука, 1964.
Ландау Л.Д., Лифшиц КМ Теория поля.——М.: Наука, 1988.
Lynden-BellD. —Nature, 1969. V. 223. Р. 690.
Липунов КМ Астрофизика нейтронных звезд.——М.: Наука, 1987.
Longair MS High energy astrohysics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1981.
Lorrimer D.R., Nicastro L., Lyne A. G. et al. —Astrophys. J., 1995. V. 439. P. 933.
LovelaceR.V.E. — Nature, 1976. V. 262. Р. 649.
Лозинская Т.А. Сверхновые и звездный ветер. Взаимодействие с Галактическим газом. 一 М.: Наука, 1986.
Manchester R.N., Taylor J.H. Pulsars.——San Francisco: W.H.Freenian and Co., 1977.
Manchester R.N., Lyne A.G., D}Amico N. et al. — Month. Not. RAS, 1996. V. 279. P. 1235.
Mathewson D.S, Ford V.L., Dopita M.A., Tuohy I.R., Mills В. K, Turtle A. J. —Astrophys. J. Suppl, 1984. V. 55. P. 189.
Meisenheimer K., RoserH.-J, Hi/tner P.R., YatesMG., Longair M.S., ChiniR., Perley R.A. —Astron. Ap., 1989. V. 219. P. 63.
mmo90 Mihara Z, Makishima K., Ohashi T. et al. —Nature, 1990. V. 346. P. 250.
McCray R.A., Shull JM, Boynton P.E., et al. —Astrophys. J., 1982. V. 262. P. 301.
Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр.——М.: Наука, 1986.
8. Orlandini М, et al. — Astron. Ар., 199 8. V. 332. P. 121.
Пахолъчик А. Радиоастрофизика.——М.: Мир, 1973.
Pacini F ——Nature, 1967. V. 216. P. 567.
Radhakrishnan V., Cocke D. J. —Astrophys. Lett., 1969. V. 3. P. 225.
Romanova M.M. and Lovelace R. V.E. — Astron. Ap., 1992. V. 262. P. 26.
Roser H.-J., Conway R.G., Meisenheimer K. —Astron. Ap., 1996. V. 314. P. 414.
Ruderman M.A., SutherlandP.G. —Astrophys. J., 1975. V. 196. P. 51.
dal Fiume D., Frontera F, Masetti N., Orlandini M, Palazzi E., del Sordo S, Santangelo A., Segreto A., Oosterbroek T., Parmar A. N. Proceedings of the fifth Compton Symposium. Melville ——NY: American Institute of Physics (AIP). Ed. by Mark L. McConnell and James M. Ryan AIP Conference Proceedings, 2000. V. 510. P. 183.
Santangelo 4, Segreto A., Giarrusso S. et al. — Astrophys. J. Lett., 1999. V. 523. P. L85“
ScMOtelburg M- Meisenheimer K., Roser H.-J. —Astron Ap., 1988. V. 202. P. L23.
Seward ED. — Astrophys. J. Suppl., 1990. V. 73. P. 781.
99“ Slysh V.L — Nature, 1963电 V. 199. P. 682“
Staveley-Smith L. et al. —Nature, 1993. V. 366. P. 136.
SturrockP.A. —Astrophys. J., 1971. V. 164. P. 529.
Sunyaev R.A., TitarchukL. G.——Astron. Ap., 1980. V. 86. P. 121.
Suvorov E.匕* Chugunov Yu. И ——Astrophys. Space Sci., 1973. V. 23. P. 189.
Taylor J H., Manchester R. Ж, Lyne A. G. —Astrophys. J. SuppL, 1993. V. 88. P. 529.
Thomson D.J. et al. —Nature, 1992. V. 359. P. 615.
Thomson D.J et #. — Astrophys. J., 1993. V. 415. P. L13.
Trumper J., Pietsch Ж, Reppin C., Voges Ж, Staubert R., Kendziorra К ——Astrophys. J., 1978. V. 219. RL105.
Trumper J, Kahabka P., О gelman H., Pietsch Ж, Voges Ж — Astrophys. J., 1986. V.300.P.L63.
Tueller J., Cline T.L., Teegarden B.J. et al. —Astrophys. J., 1984. V. 279. P. 177.
ПО. White Ж Е, Swank J. Н„ Holt S. S. — Astrophys. J., 1983. V. 270. P. 711.
Fedorenko И ——Proceedings of the 7th. I.A.P. Meeting. Ed. J. Roland, H. Sol, G. Pelletier; Cambridge: Cambridge University Press, 1992. P. 1.
Fiero J et al. — Astrophys. J., 1993. V. 413. P. L27.
hea93 Hartman R. et al. — Astrophys. J., 1993. V. 407. P. L41.
Heindl W.A., Coburn W, Gruber D.E., et al. —Astrophys. J. Lett., 1999. V. 521.
P. L49.
Hewish A., Bell S.J., Pilkington, ScottP.F. — Collines Nature, 1968. V. 217. P. 709.
Hiltner 取4 ^Astrophys. J., 1959. V 130. P 340.
Hughes O. — Astrophys. J., 1991. V. 383. P. 280.
Черепащук A.M. Каталог тесных двойных систем на поздних стадиях звапю- ЦИИ. — М.；М『У 1988.
Shakura N./., Syunyaev R.R. — Astron. Ар., 1973. V. 24. P. 3 3 7.
Шварцман В. Ф.——Астрой, ж., 1971. Т. 48. С. 43 8.
Шварцман В. Ф. — Астрой, ж., 1971. Т. 48. С. 479.
Chevalier R.A. — Astrophys. J., 1982. V. 258. P. 790.
Шеффер E.K., Копаева И.Ф., Аверинцев М.Б., и др. — Астрон.ж., 1992. Т. 69. С. 82.
Шкловский И.С. —Астрой, ж., 1953. Т. 30. С. 15.
Шкловский И.С.——Докл. Акад. Наук СССР, 1953. Т. 90. С. 983.
Шкловский И.С. Радиоастрономия.——М•: ГИТТЛ, 1955.
Шкловский И. С. — Астрой, ж., 1962. Т. 39. С. 209.
К приложению
Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —М.: Наука, 1971.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. II.——М.: Наука, 1974.
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функции, ч. I.——М.: ИЛ, 1949.
Разина Г.К. Методы вычислений интегралов и сумм, встречающихся в классической теории излучения
Деп. в ВИНИТИ 1980. N. 4656-80.
электрона радиус орбиты сжимается до минимальной величины порядка ро, при
чем это образование является устойчивым, так как магнитное поле не производит работы и электрон-позитронный вакуум является стабильным (см. [151], с. 91).
величину 0”
9Мы не затрагиваем здесь вопросы сложной функциональной зависимости аномального магнитного момента электрона от напряженности магнитного поля и номера энергетического уровня (см. [55]), полагая, что ца = const и уравнение Дирака-Паули, из которого вытекает спиновое уравнение БМТ, остается справедливым при g》L
I 欢sm一。)+
Угловое распределение нетрудно получить, пользуясь равенством
Radiation Theory of Relativistic Particles
Editor 匕4 Bordovitsyn
Moscow, Fizmatlit, 2002
A broad frame of topics, concerned with radiation of relativistic particles (synchrotron and undulator radiation, spin light, radiation in short magnets and crystals, cosmic radio emission) is discussed. Radiation of relativistic particles at the low energy levels, and in superstrong magnetic fields, coherent production of electron-positron pairs and hard 7™rays by particles channeled in crystals is considered. Attention is drawn to fundamental principles of classical and quantum theory of radiation and to physics of the polarized relativistic particles.
The book can be useful for scientists and postgraduate students.
Contents
Chapter 1. Classical Theory of Synchrotron Radiation. Bagrov KG, Bordovitsyn EJ.
Chapter 2. Spin Properties of Relativistic Particles Bordovitsyn V.A.
Chapter 3. Quantum Theory of Relativistic Particle Radiation Bagrov KG
Chapter 4. Relativistic Radiation of Inherent Magnetic Moment (Spin Light).
Bordovitsyn 匕4
Chapter 5. Undulator Radiation. Epp V.Ya.
Chapter 6. Radiation in Spacial Electrodynamical Systems. Bagrov EG., Epp匕以
Chapter 7. Radiation of Relativistic Particles and Pair Production in Crystals. Pivovarov Yu.L.
Chapter 8. Synchrotron Radiation and Similar Processes in a Strong Magnetic Field. Borisov J. E, Dorofeev O.K, Zhukovskii К Ch.
Chapter 9. Synchrotron Radiation in Astrophysics. Bisnovatyi-Kogan G.S., Shorokhov О. И
УДК 530.1:539.12Б14ББК 22.31УДК 530.1:539.12Б14ББК 22.31上#三上#三Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 01-02-300213
УДК 530.1:539.12
Б14
ББК 22.31
УДК 530.1:539.12
Б14
ББК 22.31
上#三
上#三
Авторы: В.Г. Багров, Г.С. Бисноватый-Коган, В.А. Бордовицын, А.В. Борисов, О.Ф. Дорофеев, В.Ч. Жуковский, Ю.Л. Пивоваров, О.В. Шорохов, В.Я. Эпп
Теория излучения релятивистских частиц. / Под ред. В.А. Бордовицы- на. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 576 с. - ISBN 5-9221-0258-3.
Рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с излучением релятивистских частиц (синхротронное излучение, ондуляторное излучение, излучение электронов в коротких магнитах и в кристаллах, космическое радиоизлучение). Обсуждается излучение релятивистских электронов в предельных случаях низких энергетических уровней и сверхсильных магнитных полей, жесткое гамма-излучение релятивистских частиц в условиях каналирования и процессы когерентного рождения свободных и связанных электрон-позитронных пар в кристаллах. Большое внимание уделяется принципиальным вопросам классической и квантовой теории релятивистского излучения и физики поляризованных релятивистских частиц.
Для научных работников, преподавателей вузов и аспирантов физических специальностей.
Научное издание
БАГРОВ Владислав Гаврилович, БИСНOBA ТЫЙ-КОГА Н Геннадий Семенович^ Б ОРДОВИЦЫН Владимир А лександрович^ БОРИСОВ Анатолий Викторович, ДОРОФЕЕВ Олег Федорович^ ЖУКОВСКИЙ Владимир Чеславович, ПИВОВАРОВ Юрий Леонидович^ ШОРОХОВ Олег Викторович, ЭПП Владимир Яковлевич