Глава 2

Кварки

2」• Внутренние симметрии

Разбиение всех и^естных адронов на мультиплеты, по-видимому, отражает существование более глуб<жой внутренней симметрви, В наиболее простой и конкретной форме это предположение выражается гипотезой о том, чтс адроны состоит из более фундаментальных частиц - кв叩ков, существованию которых отвечает наличие некоторой симметрии,

Существование кварков косвенно подтверждают эксперименты, в которых структура адронов исследуется 叩川 помода слабых и электромагнитных взаимодействий» Ре^льтаты этих экспериментов согласуются с предположением, что адроны участвуют в них ав как единое це* лое, а как объекты, состоящие иэ кварков* Существование кварков подгв^ждает и открытие мезонов, образсАшшых тяжелыми кварками» С другой стороны, несмотря на имеющиеся более или менее правдоподобные соображения^ отсутствует объяснение нвнаблюдаемости мэо лироваиннх, не входящих в состав адр(жов наарков.

Внутренняя симметрия проявляется в разбиении известных частиц на семейства (мультиплеты). Частицы* лрииадлежаише к одному мультиплету, имеют одинаковые или почти одинаковые массы. Каждый *мультиплет реализует некоторое неприводимое представление рассмат- рияаемой группы внутренней симметрии. Выбор этой группы определяется мультиплетами, образсваннымм известными из опыта частицами. При отсутствии точного равенства масс даст叫 образующих мульти* плет» говорят о приближенной симметрии» В физике адрояов часто рао сматрмаались симметрии /, В » Q, обладакмшш разным уровнем точности. Сведения о них содержатся в табл. 2,1, Соответствующие заряды саязаны соотвошением二

У ■ В + S.

где гияерзаряд У есть

Таблиц 2Л.ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ АДРОНОВ

Символ Кмитоев число

Группа сим» Взаимодействия,Взаимодействия.

метриксохраняющие сим»нарушающие

метриюсимметрию

/изоспин

SU(2)сильноеэпектромвгнит*

ное, слабое

$стремнсоть

U⑴ситмое.слабое

электромагнитное

Вбарионный

заряд

(/⑴вое-

Qзаряд

U⑴вое-

1 в Изоспкн. Наномвим стандартные сведения об иэоатине. Эксте- ^ментальные данные позволяют сгрушпфовать нуклоны и т^мезоны в следующие мультиплеты:

(2.3)(2.3)

(2.3)

(2.3)

гдв ” — н酬трац 0 - протон» а поли、宀 к% связаны с полями наблюдаемых ^мезонои соотношениями "工 тг” 七 Qg.

тицы, принадлежащие к каждому из мультиялетов, имеют почтв одинаковые массы, а неболыиие массовые расщепления можно считать электро магнитны ми поправками,

В пренебрежении элект^омагяигныкм поправкшии состояния систем из нуклонов и пионов ниеармантаы относительно матричных прео^а・

■ зсжаний группы изоспияа S U(2):

N— N + 6N,8N ^ Тз厶МN— N + 6N,8N ^ Тз厶Мк —疗+ ^Я, 电=Т终厶IF,к —疗+ ^Я, 电=Т终厶IF,

N— N + 6N,8N ^ Тз厶М

N— N + 6N,8N ^ Тз厶М

к —疗+ ^Я, 电=Т终厶IF,

к —疗+ ^Я, 电=Т终厶IF,

г№ з^ - инфииитезимальные действительные параметры преобразо- наний, а компоненты иэоспина ｛佃亡 1. 2, 3) - генераторы S 1/(2), подчиняющиеся ком мутаииони ым соотношениим

[〃，〃] =为吟/у.(2.5)

Дублет нуклонов о^азует базис даумерного представлевияп, в котором матрицы 21a являйся матрицами Паули та размерноств 2x2:

室/ = (； ；｝ Т2 = (；力，тз = (； _：)， 1(2©

Триилет тмезонов образует башз 3-мерного неприводимого представ- левия：

(厶)外％ ■ Т8“>丐，или 加 и® х(2.7)♦

Представление 3 является выделенным, поскольку，его размерность совпадает с числом генераторов / а . матричное представление которых обрезуется при помощи структурных констант &, участвующих в

коммутационных соотношениях (2.5). Такое пре^тшленне называю^' присоединенным яределмлет^м^ Остмьаые неприводимые предотаЫ^ 』евия грунны S U⑵ известны из те®ии углового момента. Их воэм晔 ные размеряоотн равны 2/ + 1 (/ - 0,1/2> I)ЗЛ…♦喻

Преобразования, относящиеся к присоединенному предстаЬлеа^^ могут &иъ также представлены в следующем виде： если , (j ■ h?｝

3 используем символ п для oGoisuiitfl -мерного имрейодимого**,森. представлеии向 группы или n-марного вмсторного лространстаа» на котором 童 реализовано представление группы.屮鶯；

ЛреоСфазуется как 2, та.

2е М ■ 一^*(%)产/,(2.8)

то ДЛЯ % (а • 1, 2. 8). преобразующегося как 3t имеем

Л, - (х* 厶』)■打J(%)附，欢值 У X"")・(2,9)

Эквившнтвость (2$) и (2,7) дсжазывается следуюлщм вычислением：

， f %(х%)(210)

2. Калибровочные -группы. Квантсюые числа В, S, Q относятся к одномерным представлевиям взаимно коммутирующих групп преоб- р&эовшщй, изоморфных унитарн曲 группе резмерности единица U(l)・ Преобразсвания этих групп состоит в умножении волновой функции частицы на соответствующий фазовый миожитель：

В： ф т『‘必也 з - бариоивое число ф»

S：妙 т ©т 吟％S - странность,屮，

где а. в, у _ щхжзвольные д^ствнтельные числа.

3; Более общие внутранние сишотрш SU(r^. В более общем случае. частицы можно классифицировать па мультиплет ши, соответствующим представлениим группы SlZ(n)f изоморфной группе комплексных унитарных матриц V размерности пхп специального вида (det IZ- hlZ^lZ- 1). Условие det U ■ 1 выдаляет саязную подгруппу более широкой группы матрщ. Требсжание lZ*tZ « 1 обеспечивает со- хршние вцмфовки состовний прн преобразованиях группы.

Комплексная матрица размер耳оот贝 м х % вообще гсжора, содар- *мт 2M действительных параметров. Требование U’U = 1 фиксирует М из них; еше одно условие добавляет равенство detU 二 1< Таким о^тзом, остается 几？ 一 1 произвольных паршиётров. Соответственно

S U(n) имеет M — 1 независимых генераторов £^» для которых спра

(212)(212)ведливы коммутационные соотношевия

(212)

(212)

Инфинитезимальный элемент группы дается ныражением

(213)

где % ■ иифинитезимальные действительные параметры. Генераторы % могут быть ныканы эрмитовыми^ а структурные константы fa^y —действительными и полностью ннтисимметричными по индаксши а, В. у» Нетривиальное неприводимое представление наинкзшей размер* ности (фунламе нтальное представление) по опре^ленню имеет размер* ность и. Всегда существует присоединенное представление с размер* ностью, равной числу генераторов, для которого (Ц)&у . >/а₽у. Возможные резмериости других неприводимых тфедставпешЙ зависят от л.

Унитарная сиимэтрия. Приближенные симметрии, связшныв с сохранением нзоспина и гиперзаряда, могут быть обобщены до так называемой "унитарной симметрии'1 f базирующейся на группе SU(3)・ Но эта симметрия является приближенней даже для сильных взаимо действий» ОтправнсЛ точкМ для такого обобщения служит возможность сгруппировать адроны в мультиплеты более широкие» «ем изотопические. Например, можно выделить октет барионов со спином 1/2 (№ок・ тет), декаплет барионов со спином &/2 (Д~ декаплет), октет мезонов, со спином 0 (тг-октет)и октет мезонов со епшюм 1 (р-октеЛ, Эта класси]叫 кация показана на рис. 1.1 и 2 J (в вида графиков в плоовхли у ■，

Заметш> что бариош z aK^Mgo* образуют независимые му0* типлеты, а мезойы и ннтимеэоны входят в один мультиплет. Выбор S U(3) б качестве группы симметрии обусловлен тем, что 8 к 18 явм- ются ее неприводимыми представлениями, причем 8 является присос^ ненным представлением.审

Нарушение унитарной симметрии сильных взаимодействий щхмм» ется в значительных массовых расивплееиях внутри мультиплетов .jS Рел>Мани и Окубо, исходя из предположевия о тем, что вэаимодвй( вив, нарушающее унитарную симметриюг преобразуется под действ S U(3) как гиперзаряд 匕 получили следующую масбсвую форму即：豆

М(加，п}^а^ bY-《27(/ + 1) ■扌产 + 扌(к - т)У]

R

где а, Ь, с * эмпирические константы, а (т, п) относятся к определенному неприводимому представлению: например (1,1) соответствует 8 г а (0,3) - 10 (разд. 2N). Эта формула достаточно хорошо описывает массовые расщепления внутри мультиплете». Исторически она в большей степени способствовала становлению идев унитарной симметрии.

Естественно предположить» что может реализсжаться и фундаментальное гфедставлеиие 3. Это предположение прмводит к квцжов& гипотезе. Главным мотивом является* конечно* уменьшение числа фундаментальных частиц. Вместе с тем кв叩ковах гипотеза естест* венным образом объясняет у потешавшееся различие бщжонного и мезон* ного спектров по отношению к античаствцам (разд« 2 3). Причина на* рушевия унитарной симметрии также находит простое и коакретное объяснение как следствие различия масс ра^ых сортан кварков.

Представления SV ⑶[18]

Фундшентальное представиениа» Груииа SV (3) имеет 8 генераторов % (а8). подчиняющихся коммутационным соот

ношениям

ЕЛ(2-15)

г№ /仪“ ■ действительные полностью антисимметричные по иидек* сши 叫 М у КОНС1ШТЫ. @ундамеитал>ным представлением является предстивление 3, геиерато^ня которого записываются в виде

厶 м 执(а = 18),(2Л6)

где 入《 — эрмитовы матрицы разм^ности 3 х 3. Эти матрицы действуют на базисные векторы вида

Инфинитезимальное преобразование группы имеет вид

х1 =Sxf

(2Л8)

「眼气(& м 1一 • • . 8) - инфинитермальные д^птаггельные парбмет- ры преобразования. Явный вид матриц 入.удовлетворяющих соотношз

Твблиц* 2&

СВОЙСТВА MAEU%

】■纺а В 8y

&■“｝』-|—%в

…如内

ару

4»

(антиеимматричные)

(симметричные)

1

1/2

-1/2

1/2

267

247

367

1/2

878

1/2

-1/2

377

-1/2

448

-1/(2\/3)

7/(2^

7/欣商

W%y

88в

7//

■ 1，"

ниям (2」5), приведен в табл. 2«2. По построению первые три матрицы имеют вид 2/а> 2/э* Последняя - диагональная, коммутирующая с изосннном матрица % отождествляется с Матрицы 入 являются обобщением известных матртц Паули и носят название "матрицы Гв№ Манна”.

Структурные коастанты ( ° 旷 могут быть явно вычислены комму* тацие& ма-пжц % ♦ Результаты приведены в табл；23； онн справеAjmsbl, разумеется, для любого представления группы. Остальные свойства матрщ, приведенные в табл. 2.3, справедливы только для фундаментального представления.

Заметим, что приведенные в табл. 2.2 матрицы Л4 и % являются метртцамй типа матрщ Паули и могут быть отнесены к некоторому “спину" (U-сшшу). То же сяраведлшо и для матрщ X. и 入> (Рхпин), Недостающая третья матрица в каждом из наб^)ов о^шцгется линейной комбинацией Лэ и Ла* Таким образом, исходный набор генераторов может быть заменен даумя другими эквивалентными наборами (табл. 2.4),

Схемы Юнга. Взяв прямые произведения4 на себя некоторое ко яичество раз, немедленно получим представления высших размерно * стой 3x3, 3 х 3 * 3 м т»д・ Но эти представлёния щжводамы.

Для того чтобы разложить эти представления н& йещмводимые, необходимо разбить пространство, соответствующее данному прямо* му проязве дению, на инвариантные иеп^жво^мые подиространства» Тогда представления, индуцируемые фундаментальным предстанлешн ем на этих по/цфострацствах t будут неприводимыми представленияш!. Пусть *;.・.i 一 тензор, преобразующийся каК проязведенне

• Ci - Он может быть разбит на тензоры, принадлежащие к различным классам снммвлфи» по отношению к перестановкам индексов i у • • ♦, i R ; По одре眼лению тензор, принадлежащий к векоторо» Му классу симмет^жи, может быть получен из произведения *^ - • • при помощи следующего предписания:

Взять п ицдакота и симметриэовать по ним. Эта опералм> скмво也чески изображиется сле^ющкм о^азом:

” "Инвариантной" оэнм“г, что пространство переходит в себя под дай> I станем преобразований группы; "неприводимое" означ№г что пространство ：не содержит инвариантных подпространств ммьшей размерности.

Таблица 24 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НАБОРЫ ГЕНЕРАТОРОВ 6〃⑶

I"1，人2,入3，入4,*5入3，入7,入8 .（■4/^y ）

2 <пин） 2）入1，X” Рз> к *§，

где

「『]♦ ；“] n! клеток заиолияются выбранными индексами.

Вмтьа24 гц из остальных индакссв и оел^ет^зсеать по

I I […J I ла клетсж заиолгаются выданными инд^сшии.

вуПстаторять эту операцию до тех пор, пока не будут исполисжа- ны все индексы* Пооле этого составить такую таблицу （схему Ibna）：

I」1门「%клеток

—二一1」п 2клеток

-U“клеток（%》％• •》唳）.

ЭВЭВ「мм2

ЭВ

ЭВ

Набора целых чисел |.外,)• * •，外&J (федставляют всевозможные разбиевия я на сумму целых чисел:

л а石+...+办，W扬…w冷).0.19)

г} Наконец* шшшме^изовать но етдадьности и незавквммвшй дассы ■ каждом столбце^

КаждЛ кляур емейл №писар*тефкэ|1ет c^ryrnim* шее сшАштрюц. Следомвежю. число классов равно ч»с^ кожных разбиений п на сушу далл чисел. Тензоры, щшаддежатае к данному классу сшшзрш^ ымут рв> мтъея тошо выбором индексов, лоьзтшх в клетки схемы 1№га. №Лр№ №Й порадок п^юстаювок (айкала в стршх. потом в сто血削)являеггся cj№ станем соглаш0юа<.В этом «цучае индексы в столбцах схемы Юнга антисимштричиы до (кгшшешю ж лерестаншкам. но ицдаксы в стро ка» симмбтрич№.Ф№1дШеншо к нереокиовкам тогда и только тог- да, когда шрвставляемы'е индексы-не антисимметрии ются с индексами доугой стрежи. HaniWep, следующие тензор ве не зависит:

А эти тензоры незиеисимы:

Центральная теорем% которую мы приводки без дотазательства, гласит:

Тензоры, принадлежвшие определенному классу еммметрви» образуют инвариантное непрт(водимое простравство. Поэтому представление группы, индуцированное в этом пространстве фундамеитальным пре дстиелениекц неприеодимо.

С помощью выделения классов симметрии генерируются все возможные непртшодимые представления,

3： Неприводимые представления. Поскольку индекс тензора может принимать только три знаиешя i 二 1,% 3, столбец схемы Юнга содер* *кт ие более трех клеток» Столбец Й описывает тензор нулево го ранга и соотАбтс^увт одиомерцому трмвмальному (т£ • идвЕфиант- ному относительно ПреО^аЭованиА группы) представлению. Так& столбец можно отстать, если он является частью схемы с несколыси，

ми столбцами» поскольку

ТТЛТТЛт十т十мм

ТТЛ

ТТЛ

т

十

т

十

м

м

Поэтому иетриеиальнав схема Юнга обшего вида для 5 U (3) может содержать не более двух строк:

&冋二辰时闻…间=件……△Q21)

Следовательно, неприводимое прщртшлеяяв полностью характеризуется заданием нары цешх чисел (т. т>)・ Вместо парк антисимметричных видосов (% &) удобно ввести новый надекс，入：

/西4/西4..6川亠...6川亠.&22J&22J

/西4

/西4

..6川亠.

..6川亠.

&22J

&22J

Этот тензор симметричен по индексам 1 j〕.. ♦ ；m}' х h； • ♦ • ij ♦ Не・ трудно убедиться t что

3傑才=0.QN3)

Таким о^азом, не все компоненты тензора } независимы.

Число иезависимых компонент танзора риено размерности D(m,汴)неприводимого предстиеления (т, п).

Вычислим размерность D(加，外).Пусть среди индексе® I 八♦ . ♦ ；л} 1 есдречаатся ь〔 раз. 2 - % раз и 3 - ff з раз. Число различных комб№№идля 匕…43 равно

(224)(224)Ре = число упорядоченных

(224)

(224)

перес?ановок [е，外，力101 + " +03 ax m)，

Каждая перестановка |Gua”oJ сс?> 0 фиксируется выбором двух' точек на следующей таблице ((т+ способами)*

"2 卜[4 I .二

Любая перестановка {%.и» а31 (при аа * 0. * Перее ) фиксирует*' ся выбором только oMoi точки (m+ 1)способами。Тогда для 々имеои

厶=(圖 + (7卜扣 + D" + 2)，(2.25)

Полное число перестановок независимых' групп иядвкссю (j ,. < / I H{i$ …• Уравняю ^Л^ ядкладавает 口$几 т условий. Поэтому D(恤 п}^ Рт?п -, ；иж

6 ■ Хп + 1)(桃 + 1)(п + m + 2).(2.26)

Представлецця (加〉nJ и (п, mJ имеют одинаковую размерность и н»> зываются сопряженными：

(叫 ■ (% ж).(2.27)：

Прядставление 仇,п) является самосмряженныы с рау^р^ть»

Комповвяты генераторов J для неприводимого прядставлех (F 用 могтт быть н^даяы из закона npeo6pasmasa

魄:•* =(%：…咬*)(④「…幻竭二力⑵28)

где Sq определено в (2」8〃 Такмм о^тзом, верхний #кд^ пр^обт разуешь 皿 шжккб, % ^ожлмжл мл —入％ .

Для подаятия индексов мсполь^ется полностью антнсямметрнч- ный тензор е :

山工g%用,（4励・4耳）,

гда 4/上 преобразуется как 弓**. В табл. 2s. приведены &ёкот^» г неприводимые представлеюш в порядке возрастания равмпрвосПг； Пбл. 2Л иллюстрирует правила раэ^евия проддаедения 1федст・|М ний на сумму неприводимых представлений.

Таблица 2厶 НЕП^ВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 54/(3)

1

3

(L0)

3

6

(2.0)

6

田

(1.1)

田

(М)

10

сш

(3,0)

Я

га

(L2)

15

В

廿

(0,4)

日

1

1 1 1

(4,0)

IT

+

(1.3)

24

1 1

(3,1)

Я

Q.2)

27-27

—L

1

(m, л)屮，冷Схема

i

Танэор

Mi j 2,3)

内

备二惟胃

2.3. Кворкмм модель [19]

L Кварки как базовый тртгет. Мы предполагаем, что котлюнелы вектора х. для фундаментального представления 3 соответствуют частицам, называемым кварками. Компоненты сопряженного представ- левяя 3 соогветстщгют шгиквартсам^. Тогда все представления выо ших размерностей могут рассматриваться как соответствующие частицам, состоящим из кварков и (иля) антиква^жов*

С чиста группояой точки зрения для SU(3) требуется представ ле* ние 3. так как 3 генерируется при помощи 3 х 3 = § + 8 (табл, 2£)・

Таблица 2Л. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕЙСТАВПЕНИЙ

#3*3=口*口 =d * Ш =3♦6

句 3x3 Н日 х □二日 + eh=1 + 8

8)6x3= П~1 х □=日口 + [口 1+ 10

г)зхзхз =(3 + б)хз*1 + а+ в + ю

д『а х 8 = ЦЗ х ^1 *-1 + 8 + 8+10 + 10 + 27

"Ш^слъ нумерованных блоков собрать во всевозможных сочетанинх, ио сохраняй в получаюц^хсл т・5мцах антисиммггрию во(1.Э) «ж (1‘, 3*).

“Наном1MM. ^го дм SU (3} предстаалмия 8 и $ н・ ООМДЖТ (• отлична от S U(2& * ■ м『мммлвитны).

Представляется желательным, однако, ввестишгтичастицы независимо. Поэтому кварки и ватиквгфки относятся к 3 w 3 соответствевдю,昧 им приписывается равный по величине и противоположный по знаку барионный заряд В, являющийся генератором коммутирующей cS〃(3) группы 1/(1), Кваркам приписывается барионный заряд В = 1/3> а антиквар* кам В « — L/3. Таким образом, представление 3, тедерируемое в 3x3. не соответствует антиква(жам, посколысу имеет В = 2/3・(Под действием преобразований толмо из S U<3) оно, разумеется, преобразуется как автикварк.)

Ес ля принимать кварки всерьез, то необходимо описывать их взаи- мо^йвтвиа* Но независима от того, считать дм кварки реальными объектами иля чисто математическими конструкциями, квантовые числа обряэов&нных ими частиц определяются только теоретияо-гигиповы- ми сообрзжевиями.

В соответствии а принятой терминологией кв^ки обозначаются буквами u, d, s (от английскюс слов пеерхний,,| лнижнийл й "странный"). Кварки различаются сбоями "ароматам%"・ Аналогично антиянарки обо- -знэтаюгся через 花 Z #• В лвном виде «Меем

(2.30)

Таким оС^азом, «^сварку соответствует столбец

и т』.Определим также-изоспин и гиперзаряд У：

(2・3】)(2・3】)4 = 9% (а = 1, 2, 3), У = мл/1

(2・3】)

(2・3】)

Две из этих матрицу «менио I, и Y, диапжльны в квартовом базиое:

1/21/207/2007/200\/1/3沙仆0\/1/3沙仆1/3 о1/3 ооо-2/3,оо-2/3,(232)(232)

1/2

1/2

07/2

0

07/2

0

0\/1/3

沙仆

0\/1/3

沙仆

1/3 о

1/3 о

оо

-2/3,

оо

-2/3,

(232)

(232)

Матрицы квадрата изоснина, а также странвости S и электрического

Таблиц 2.7.КВАНТСВЫЕ ЧИСЛА КВАРКОВ

КваркиКваркиАнтикмрки

Кварки

Кварки

d

""лй 1111 s.1 1 т""лй 1111 s.1 1 т2/31/32/31/3

""лй 1111 s.

1 1 т

""лй 1111 s.

1 1 т

2/3

1/3

2/3

1/3

5 1/31/31/3so о т5 1/31/31/3so о т7/3Т/3 Т/З7/3Т/3 Т/З

5 1/31/31/3

so о т

5 1/31/31/3

so о т

7/3Т/3 Т/З

7/3Т/3 Т/З

d^na Q, тоже диагональны:

/3/4 О О

«/+1)・*+・* + у = о 3/4°

S^Y-ВS^Y-В03/4

S^Y-В

S^Y-В

⑵期⑵期I о о , I 0 -1/ 2/3 ，О

⑵期

⑵期

。■厶+ *У= от/зо I

\оот/з丿

Из (228) можно видеть, что Гэ и У для аи^ккварков и кварков различаются знаком. Следовательно^ развичфотся знаком также S и Q. Но 1(/ + 1) для кварк № и антикварков одинаков* Квантовые числа кварсов и антикварков приведены в табл. 2,7,

2・ Кбаркх как схтавпякедив частицы. Непртводимое представление п) реализуется на пространстее тензоре® 疝二%1 ■ нвэави* мые коммовенты которых соответствуют овредоленным частицам. Все» го тадой мультиплет содержит п) частиц, состоящих из квасов и (шм) антикэарков. Каждому мультиплету приписывается 鹏門仙也皿 заряд, одинаковый для всех входящих в него частиц. При этом кв^жо вый и антикв叩коем員 состав мультиплета определен однозначно.

Таблт# 2R. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ИНДЕКСАМ SU(3) И КВАРКАМИ

Каждый нижний индекс j :

n»f6a i -

H

В 二 1/3

[(23)1 津)]

либо" i -

CD "⑺ g] L砌

3 = -2/3

КаЖЛЫЙ ИрКМИЙ ХН0ВКС j:

либо j =

n

[(23)1 [№)'

- -1/3

либо j.

(31)1« 的

b и 2/3

l（^）l Lu〉

” символы (^я} и Др, определены в (234)•

iiгде 入 действует йак；1 7mгде 入 действует йак；1 7m,собственными значениями А являются,собственными значениями А являютсяВ тензоре #“♦'♦% согласно (229). каждый нижний индекс от- носится к кварку, или к антисимметризовшшой паре антикварков. Такое же правило сп; аведлкво для верхнего индекса, во кварк и внти- кварк меняются ролями. Состояние, образуемое прк том или ином выборе, обладает ощ)еделенным бартонным заркдом. Возникающие во> можносм иллюстр^фует табл« 2 <8,

i

i

где 入 действует йак；1 7m

где 入 действует йак；1 7m

,собственными значениями А являются

,собственными значениями А являются

В применении к кнарковой модели теорема утверждает, что при образовании кварками и антикварками связанных содтояний их 7 к У (а следовательно, заряд и странность) аддитивны.

Весовые диаграммы. Строение мультиплета удобно изобразить

на графике, на осях которого обложены 厶 к У. Такой график наэывек етсл G6C060* диаграммой неприводимого представления. Весовые диаграммы для кваркового 3 и антикв арков аг о ^представлений изображены на рис, 22.

Построение весовой диаграммы, соответствующей данному представлению 力).производится путем фиксирования узлов (ив обязательно различных) решетки в плоскости g , у. Положение этих у> лов находится следующим образом. Рассмотрим векторы ，х2, х3, жжашие в плоскости У, g (рис< 2.3). Тогда точка, соответствую， шая компоненте ♦ •♦阮 > задается вектором 体,

一仇 + … + x.- ). Мз рксунка ви/що, что возможные узлы образуют ре- шетку типа алмазной.

Поскольку одаому узлу может соответствовать несколько компо нент тензора, каждая занятый узел характеризуется некоторым вырождением. Чтобы получить правильную величину вырождения* важно учесть, что перестановка верхних или нижних индексов между собой не приводит к различающимся компонентам. Кроме того, для исключе-

РИС, 22 Весовые диаграммы для 3 у §・

РИСи 2■& Решетка, на которой строятся весовые дивграммь|н

ния дипних кадпонеит необходимо использовать условие（2.23）, Мы не будаш приводить общих правил, а рассмотрим несколько важных для физики примеров.

Поскольку вид весовой диаграммы определяется только свойства- мм S и《3）, симметрий, связвнная с барионным зврадом, в не проявляется .'Иначе говоря, мультиплетам с различием барионным зарл・ дем отвечает одаа и та же весовая диаграмма, если они относятся к одаому неприводимому представлению X LJ（3）, Варконный заряд опреде- ляет только кварковый состав частиц, входиших в мультиплет.

Поскольку адроны с дробным барионным зарядом никогда не наб» ЛЮ дались, будем рассматривать только мультиплеты с 叫叫 5 и цред- положимр что мультиплеты р отвечаюшие дробным Bf существ овать не могут. Заметим, что в рамках рассматриваемой модели это предаоло ^ениеникакке обосновано. Согласно такому критерию, допустимыми являются только те мультиплеты, для которых число клеток схемы • Юнга далится на 3 （поскольку о/ща клетка соответствует одному квар- ку）・ Как видно из табл. 2^, такими мультиплетами являются 8,10,1% » и т-Дч что находится в согласии с экспериментальными данными.

РНС. 2114V Весомые диаграммы для а, Кн №

Весовые датаграммы для 8.18 и 18 п^жведевы на 晔 2АДля представлений 18 и 1? узлы диаграмм невырождены. Дкя представления 8

ны в виде (х；+#；)^^1 (к；・艺/々 Посколы^ под дейсгБиембВ⑶ они 1фе- о^азуются как岫 + 曲 川城■也 соотвегогвенно, ясно, 4ro(xJ -х^?яв- ляется кзосииглетом а 伊；+ *)/"офа?уег юофшлет и考.

4L Состав :аАроное. Рессмотрим теперь возможный квефковый с<х> тав мультиплетов 8, 18 и 18.В соответствмв с табл. 2力 мулиткплет 8 может иметь В，8 иля В •土 ЪЕсля В = 8, то каждый член мулытн плата состоит из кваряа и аптмкв&ркн (рис. 2瓦 <0・ В мул>типлет ахо* дат как частицы, так и античастицы< Диаграмма 般с. Е в отвосит. ся как так нкр-оетету>

Диаграмма для мультиплета 8 с Н = 1 приведена ип рис. 2Лг % < где скобки обозначают, на6P.

(ud) = u(l) d(2) - “(2) d(l),(2・34)

а индексы 1 и 2 нтносятся к разным кваркам. Тшсим образом/ и(1). d(1)9 s (1)1 и (м(2), 4(2), $ (2)} - даа независимых вектора, ип кото*

КваркиКварки4747РИСи 2& Кварковый состав 8 и idРИСи 2& Кварковый состав 8 и id

Кварки

Кварки

47

47

РИСи 2& Кварковый состав 8 и id

РИСи 2& Кварковый состав 8 и id

рые дйствует SU(3). З^шд В = -I относится к мультиплету соответствующих античастиц. Таким о<^>аэом. №чжтет и №<*тет рассмат- рившотся независимо.

Мультаиет 10 旷 В ■ 1 пойэан ва рис・ 2・瓦《. Это А•畔аплет; мультиплет 10 с В - -1 относится к Д^дакаплету.

^ообив говоря, могут существовать мулм^плеты 18 cB ・ 8 (gg前),В - "(q丁亨于к В ■ -2 (ЙГ????), где g обо^ауает кв^ж. Такие состояаия тзнваются " экзотическими1'; среда адронов с н* большой массой они. шммдимому, не наблюдаются.

2Л.Цмт

Модель НВ8ВВИСИМЫХ кварков1*. Описана ан выше кваряован модель является чисто алгебраической. Она представляет собой не более чем реализацию симмегрив St(3), к которое тривиальным спо» с°бом добавлен бцжонный заряд. Для того чтобы обсуждать массы адронов и их взаимод^ствия, мы должны наполнить модель динами* ческмм содержащем, т^. построить тео^сю в пространстве-времени. При этом> дотествешю^ не базразлично, считать ли кварки реально существующими обьедтами или нет.

1)Общие сведения можно йайти в работе [ 19]»

20,20,(235)(235)РастиреилоА (но по-прежнему неданамической) моделью является кварковая модель 5 U(8)・ В этой модели каждому кварку приписывается спин 1/2, которому соответствует группа[SУ(2)1ар.п. Группа [Sl/(3Hflewx [SU(2>] “卜 вкладывается в более широкую группу симметрии SU(帆 Расширен!^ базис образован секстетом кнаркоя： lu(t), d(f )■ s(t )■ WI). d(| s () )} • Среда неприводамых представлений группы SU(8) имеется предстшиение 35сВ = 0 (из 8x8=1 + И). Предстннленне 35 можно рассматрнеатъ как объеданение токтета со сшшом 0 и нонета, образованного октетом р и синглетом ь • В число представлений SU(6) входит также 66 с 8 ■ L объединяющее №нонет спина \、R я А・днкаолет спниа 3々： 6 х 6 х 6 = 56+70 + 70 +

20,

20,

(235)

(235)

B子手

Здесь под цифрами, обозначающими предстннления, приведены соответ* ствуюшие схемы Юнга, Очевидно, что представление М полностью симметрично отноовтельно перестановки спинов и ароматов кварков

Но симметрия SU(6) по*разному затрагивает спиновый и орбитальный моменты. Жесткое разбиение момента импульса на спиновую и орбитальную компоненты возможно только в нерелятиы^стских моде* г лях н ае может быть осуществлено лоренц-ннваришияым о^аэом, Непосредот^ециым релятивистским обобщением S U(g) могла бы служить более широк ни групп% содермашня SU(6) и группу Пуанкаре. Поскольку внутренния симметрии сочеталась бы в этом случае с про странствииXремеипо買 сньшетрней, такое расширение могло бы иметь нетривиальное данамическое содержниие. Все попытки 口pow женин по этому пути окончились неудачей. Более того, имеются теоремы о невозможности такого нетривиального вложения $(7(6). Несмотря на 9To. тот факт, что SU(6) прннильно предсказывает сушестеова- ние мультиплета мезонов 8 и мультиплета барионов 56, может оказаться не случайным. Возможно, этот с^чэй можно рассматривать как некоторую аппроксимацию нерелятнеистского предела более правильной релятиыютсОй теории.

С феномввологичвской точки зрения кварковую модель можно наполнить динамическим содержанием, предполагая^ что кварки явли* ются реально существующими частицами, на которые действует некоторый эффектившлй потен呐ал. Похожая ситуация встречается, на-

吨имзд щм раосмотроши: движения нуклонов вблизи поверхности я^а. Такая модель наэывввтся моделью незавнснмых “арао.В этой мо» дели квЕфКи занимают определенные одночастичше состояния, описы- 产вемые волновой функцией и обладающий определенной энергией. Массы I адронов явлнются функциями ?аергий занятых орбиталей и масс ква|> ков. Набхюдземов нарушение унитарной симметрии можно приписать тому, что масса ^-кварка отличвется от массы и* и ^кварков. При этом формула Гел>Маниа - Окубо наполняется конкретным содержа нием.

Поскольку каврки обладают спином 1& естественно предаоложить, что они являются фермионами 小 следовательа。，подчиняются принципу Паули. Это означает* что полнил волновая функция адрона должни быть ннтисимметрична по отношению к одаовремеипой переотшювке аром^ тся, спилов и положений диух кварков, Есля принять предположение (см. (2«35)), что волновая фуакция бариона симметрична по спиновым и ароматовым индексам, то она должна быть антисимметричной по ош>» шению к перестановке прбаталей. Таким образом, три кварка, входа* щие в бартов, дслж血 занимать разные орбитали, причем только один из них занимает низшую $_-орбаталь (иначе возникнет вырождение)« С 硼гой стпроны-, вычисления магнитщлх моментов в модмя неэнни- симых кварков согласуются с эксяершоентом только в том случае, ео ля все три кварка находятся на S-орбитали. Таким о^аэом» вознакает парадоксальная сптуация.

Парадокс еще более обостряется при рассмотрении зартдсвого диуса адронов. В мезонах кварк и антикварт оба могут находиться в S •состоянии и действительно находится в нем, поскольку такое состоя* ние обладает наименьшей энергией. Поскольку зарядовый радиус мезо- Hg и бартонов практически оданаков, вое три кварка в бариовв должны были бы находагься в S •состоящие

Существует, ксжечно, возможность избавиться от этого парадокса при помощи утверждений о полной бессмыслеипости S U(8) иля модмя независимых кбарков, но на таком пути нельзв рассчжывать на его разрешение, Вместо этого можно сиять парадокс, возникающий в S U(8卜мо» дели независимых кварков, постулировнн наличие дополнительаого вырождения, которое ранее не учитывалось* Квантовое число, относяше- еся к этой ношЛ симметрии, получило название “цвет". Есля предположить, что при заданных спиле и аромате кварк может находаться в состояниях с разами цветами, то три кварка могут находиться в одина* ковом состоянии, есля они имеют разные цвета. Поиптио, что потребу-

ется кик минимум 1?и цветовые степени свободы.Ниже будет показано, что удобно предположить сушестоованке только трех цветов.

ивэтная группа S U (3) [201 Есля существуют только три цвета, можно постулировать простое правило, жжлючающее возможность появления кварка в свободном состоянии： наблюдаемыми JUg^g только 6acw8iw&8 сО0«№ы. Есть надежда на то» что это правило может быть обосновано в ремках калибровочной теории, расематривающей кетовые степеип свободы, - в квантовой хромоданамике»

Предположим, следовател(зно, что существуют три 1щета, и что пртроде инваркантна относительно преобразований, затрагивающих №ет»Это означает^ что на четном пространстве реалязуется новая группа симметрии S U(3), которая обозначается [S U(3庵]"Кв叩кв теперь преобразуются кнк где

ароматовнй нндекс: i - 1, 2, 3 (или v, & кетовой ипдйкс: 1,2,3 (или красный, желтый, зеленый). (2,36) Эти ивдексы затрагиваются соответствемво группами [5l/(3)]fla¥or и [5У(3)]с"о](|г. Антикварк 瓦忆(фэо^)азувтся как qS.

Ненаблюдаемость на опыте частиц с дробшлм барионным зарядом гарантируется правилом, согласно которому любое физическое сосполние л^лл^л цветным стлжж.Цз этого правила неме* леиво следует, что число кварков в барисше должно быть кратво 3, поскольку каждому кварку соответствует клетка схемы Юнга для {SU(3))cq]qk . (Заметим, что это требование не зависит от числа рао сматриваемых ароматов.)

Поскольку цветовому синглету отвечает схема Юнга (2,20), три кварка в бариояе должны образовывать полностью антисимметричное по щютовнм индексам состояние. Тогда в соответотвип с принципом Пауля это состояние симметрично относительно перестановок всех осталмых индексов. Подобным же образом шестиквартовый баркон (дейтрон) состоит из даух сетевых синглетов. Состояние мезона, об- разованмого кварком и антикварком, преобразуется под действием

• [SU(3)J15 как

33

(237)(237)2 Г"彻=2 4s «м лсТ

(237)

(237)

В качестве иллюстрации выипшем волновую функцию протона в нерелятивистской,моделя независимых кварков. Для этого необходамо

ипести подхо皿шие обозначения. Для икоорданатп кварка введем ком «ективное обозначеипе

z = {小 i,龜 г} (коорданаты)»(2.30)

где в скобках находятся (слева направо) нщетовые, ароматовнв. с叫но выв и пространственные координаты. Коорданаты трех кварков обозна* ^шются 无%з с соответствующими индексами 泞,i, s мг. Ква& товые числа, х^актеризуюйше отдельный кварк, обозначим

А = {N, S 4 (квиптовые числа),(2.39)

гдв в скобках хщет^ аромат, слип и момент. Волновип функция квЕф- ка записывается в внде

ФЛг) = C^n)Fky)X^)Rf(ry(2.40)

Под действием преобразований группы внутренних сю心咻倒Й л и i прв- ©陋зуются как нижние индексы по отношению к S U(3) (подобно индек

сам в a s преобразуется как индекс SU(2), Множителя в (2.40) выбраны следующим образом：

”)f,(5-орбиталь).Комиовенты 6汽，以，X ь удобно чить их следующим о^)аэом:С「= @，F,…口, Fig(2.41)записать в вида столбца, и обозна-"Т =(；)，(2.42)”Т；)・”)f,(5-орбиталь).Комиовенты 6汽，以，X ь удобно чить их следующим о^)аэом:С「= @，F,…口, Fig(2.41)записать в вида столбца, и обозна-"Т =(；)，(2.42)”Т；)・

”)f,(5-орбиталь).

Комиовенты 6汽，以，X ь удобно чить их следующим о^)аэом:

С「= @，F,…口, Fig

(2.41)

записать в вида столбца, и обозна-

"Т =(；)，

(2.42)

”Т；)・

”)f,(5-орбиталь).

Комиовенты 6汽，以，X ь удобно чить их следующим о^)аэом:

С「= @，F,…口, Fig

(2.41)

записать в вида столбца, и обозна-

"Т =(；)，

(2.42)

”Т；)・

Ароматовые и спиновые компонадты можно обозначить совместно:

(2.43)

(2-44)(2-44)?⑴■"* 皿“d«) итл.,'R(1)・R(，J . мт л.

(2-44)

(2-44)

Иэ пршщ!ша Паули следует, что полнан волнован фуыкщш прото* яат (1, ЗХполнхтыо антисимметрична по отношению к перестук»- кам индексов 1.2 3. Пмтоыу 屮(1, 2t 3} получается щггисиммвтриза* №вй линейной комбанщщи члене» твпа 屮入(1).屮入(2).屮*(3). вид которой диктуетоя уиптарной симметрией и спином. Вводя тре&в^не, чтобы 屮(1,2, 3) явмлд цветошм синглетом, получаем

屮(1，2, 3)・}&簿加1故(2嵐3) Я(1)ед/г(3)Ф(1, 2, 3), (245)

me %з - перестановка индексов 1, 2. 3. а 5р - ее четность. Аро матовочзпипобая волиодая функция Ф (1> 2, 3) должна быть симметричной по индексам 1> 2> 3 и выбарается в виде

3(1，2, 3)=¥Р心勺(DM⑵/⑶一*⑵心⑶1(2.46)

Выбор является еданственным: чтобы протон входил в мультиплет 8» Ф (1.2, 3) должна быть антисимметрична по одн喻 и - d-паре по груп- не [SU(3»u“. Сшшы кварков должны в сумме 睜ать сюш Полнак симметризация автоматически делает протон членом мульти» плета 56 группы S Этот факт является следствием принципа Пв- улк и того обстоятельства, что кварки занимают одну и ту же ор&паль^ Выпис%геая явно вое члетал в (2.48), получаем

(247)(247)3(1, 2, 3) = 2«tHTd| + 2«]44T + 2d〔勺勺

(247)

(247)

где шцфа^меваетса, что координаты в каждом из чденов стоят в одном и том же порядке 2, 3.

!

В качестве дагого примера приведем выражение для волъкюой функции 諸 в той же модели:

J(*(1)勺(2)一乙⑴叫(2)).(2.48)

I 2S. Эмктромагнитныв м слабы* взаммоивйствмя адронов

'Если предположить, что адровы состоят из кварков, то электро*

магнитные и слабые взаимодействия адро№ж До届вы описываться в

； терминах электромагнитных м слабых вэвямодёЯствиб кварков. Это оэ- начабт> что фундаментальными электромагнитными и сла^ми токами авляютов квартовые фоки. Следовательнозмктров и нейтртшо

г могут пвидатьг, кв^км внут[»с адрона посредством соответственно ； электромагнитных и слабых взаимодайс^ий с ищи. Экспертменталь- j ныв данные по рессеянию алнктрожш и аейтршюда нуклонах действи- только согласуются с такой картиной и твы самым авляются косвенным подтверждением сушеотвоваяия квасов как диняиических объектов. Однако^ поскольку никто не знает достоверных'сдоообов описешия кварковой динамики* интерпретация экспериментальных данных основана на «штуитивных модельных соображениях и поэтому является скорее правдоподобной, чем убедительной.

1.Эпвктромагнмтныа взаимюдвйствия.В кваркcnoR модели адро- нсщ предполагается, что электромагнитные взаимодействив агонов сяоДЛТСя к электромагнитным взаимодайствивм кварков. Поэтому плотность лагранжиана электромагнитного взаимодяйствив записыва- Еввлде_

①二=-еЛ^)[/д(х) + “(х)1'(2.49)

гда 4H你)-максвеллсвское поле» е *эа[жд электрота (^/4тЛс : 1/137).

Q(«) - о&ганый дираковский тюк 5Ктроя<ж и м»оиов. Для кварково го электромагиитвого тока имеем

」м(') ■ 4，fT(X)Q彻(х),2 sn、

где по цветовому индексу п щюиэтдагся сутфовшие от ] до 3» а &厂 зарядная матрица кварков (233). Поскольку фотоны взаимодействуют непосредствеиио с кварками« имеется возможность обнаружить кварки в адюнеа сдалав "ректгеновскиК ашмж адрота'1. Похожая мето дика, использующая в качестве "пробников” неКтрзш, примеивлась для изучения распределении атомов по импульсам в жидком гелии п(ж сверхиижих температурах [ 21).

Раоомотрим инклюзивное электроя-прогонное рассеяние

е+рт е + Х,(2.51)

где X - провзвольная совокупность частиц. Матричный элемент для этого процесса получается нз 中ейнмивовск曲 дааграммы рис. 26. Потерю энергии электроном в лабортторцой системе обозначим через V)а 4*нмпульс, переносимый фотоном* через 九.Инвариантная масса фотона отрицательна： q? < 0, Для v имеем лореш^инварнйвтыое выр% жение

= P・qfM、(2.52)

где Р - 4-импульс протона, М — масса протона, В нашем рассмотрении наиболее интерасная кинематическая область отвечает так называемо» му пределу глубоконеупругого раосеяиия:

У— 8,

一『Т8,

-『/2М^ (фиксирсжано)(2.53)

0 s攵占1).

РИС. 23・ Южематмка глубоко неупругого электрон -протонного рассеяния, £■=(收 + 也产，弓二(Р’ + М。) ^, v^ E - E * в лабораторной системе, v « P • q/M. Матричный элемент = (2тт)464(В^Предел глубоко меупругого рас-

сеяния： ута, — g2fg,“ ■ g”2Mv фиксировано (0《 工《1).

Матричный элемент процесса в соответс^ии с рис. 2；6 определяется формул曲

A =［五(k)(・7”丛)限)］个^(卄4俨八(2.54)

гда/ц^ /й(0), а для электронной и протонной волновых функций ис* Поль杀тел ковартантнив нормировка, в которой на е珊ницу объема приходатся Е,/т частап. Для дифференциального сечеивя рассеяния в лабораторной системе имеем

dqdE'JHdqdE'JH4a2M2 E'启4a2M2 E'启(2-55)(2-55)

dqdE'JH

dqdE'JH

4a2M2 E'启

4a2M2 E'启

(2-55)

(2-55)

где a = ег,/4тгйс, dQ - элемент, телесного угла, в который вылетает электрон. Тензор ［。В определяется усреднением по спину эл^строна:

产.尹尸产.尹尸(2.56)(2.56)农'+ Ее 6 衣 + m©2mr ' 2m«

产.尹尸

产.尹尸

(2.56)

(2.56)

：^^［犬*0+ как停 + g"6g - %'心))・

Информация о структуре адрона целиком содержится в тй<зоре

м (2")3 ?(Р卩а|Х>(Х|厶仍- Р - q)・(2.57)

Из лоренц-инвариайтности и калибровочной кивариантностК следует, что % в ныражается через деа лq»eнц>иывариантных формф餌тора % 叫：

% =-"…喇+醫"金喲k j阴。

(2.58)

Если 步仪 в известен, то % и W2 определяются «ыраженипми

В пределе гj^боконеупругого рассеяния

W1 = f#1 +手 &,

(2.60)

После некоторых алгебраических прео^>аэований для 那峥ференциальнА го оеденив рассеяния в лабораторной системе (2«55) получаем выра> жение

do 一 46a2 £ dq2 dp 寸五do 一 46a2 £ dq2 dp 寸五С*十工唳吗｝С*十工唳吗｝(20)(20)

do 一 46a2 £ dq2 dp 寸五

do 一 46a2 £ dq2 dp 寸五

С*十工唳吗｝

С*十工唳吗｝

(20)

(20)

где 8 - углл рассеяния в лабораторной системе. В выражении (261) пренебрегается массой электрона. Нал^алвв существенные ре^льта* ты авали за ^сперимеиталышх дакшох [ 22] состоят в том» что 屮# « @屮2 обладает сквйляцговнми свойствами: .в пределе глубоко неупругого рассеянии vffa является функцией только от Ниже при- водятоя аргументы а пользу того, что эти ре^льтаты ожачают, что протон состоит из точечных объектов спина 工力,которые локально взаимодействуют с фотонами,

Партонная модель. Поскольку неизвестно, каким образом сос* тояння }р> и |Х> описываютоя в терминах квартовых полей, входя* 山駐 в ток /а. вычислить Wa^ из первых пртнцилов. невозможно. Мы рассмотрим интуитивную модель для вычмсненив % предложенную Феййманом, - "партонную модель" [23, 24].

Предположим, что протон состоят из частиц, находящихся в свя・ данном состовнии и локально взаимодействующих с фотоном. Тогда протон может сушест^ояать в промежуточном виртуальном состояиия, которое можно описать в терминах овободных состояний этих частиц. Время жизни виртуального состояния о^ттно пропорционально раз» ности энергий виртуального состояния и протона. При переходе в систему отсчета,^ которой протон движется произнольно быстро, время жизни виртуального состояние становится и>за релятипистского замедления времени произвольно большим. Так ня система отсчета Юзается системой бесконечною импулъса и рассматривается кая некоторый предел последовательности систем отсчета» В такой системе отсчета фотон, соударяясь с протоном, ^увидит11 совокупность сво* бодрых заряжеиных частиц, которые Фейнман назвал партонами ДПо

скольку партош определены в системе бесконечного нмпудьс% ояи не обхзательно имеют смысл в системе покоя протона.) Считается, что фотон поглощается одним из партонов. Время поглощения по порядку величины равно обратной чертам фотона, которая к(жтроли円ется экспр^м- мвнтально выб(^ш % В жспЁрим^гге v можно сделать в цжщипе как угодно большим, а 咿мя поглощвшя 尸 соотвегсгвапю прсжзволыю малым. Но это время тоже увеличивается при переходе в систему бесконечного импульса, и не очевидно, может ли партон жить настолько долго, чтобы поглотить фотон» Более детальные простые рассуждение, в которые мы не будем вдаваться, показывают, что время жизни партона много больше времени поглощения фотона» есля выполяены условие (2.53) для глубоконеуп^гогО рассеяние к Q.

В рамяах изложенеой картины можно вычислять 厶 ° следующим образом. Матричный элемент <Х| /自 | описывает поглощение фо тоип ипртоном. ПредположиМ| что характерное Время поглощения мало, и I I можно описывать в терминах свободных пар* тонных состояний.В произведеиия <Р ；/а| ХхХ| /^| р> фотон сначала поглощается, апотЬм испускается вновь. Предположим, что оба процесса происходят с участием одаюго и того же партона» (Если бы в процессах испускания и поглощение учаетвоваля два парто ип, то корреляция между их импульсами должна была бы быть такой« что один из них имел дв стожновенни чраэеычайна большой импульс, что кажется крайне маловероктным.) Таким о^)аэом> каждый 口叩тон вносят свой вклад в ° в отдельности, как 9To схематически показано ип рис. 2.7.

В системе бесконечного импульса можно пренебречь всеми мае* сами. В дальнейшем будем считать иартеш безмассовыми дараковс* кими частицами, воляоные функции котсфнх ковариантно нормирока- ны на 2р0 частиц в единице объема,. Тог да вклад одвого партона в Wa ° записываетоя в виде

% ■(2斤2 2

=Q2 j丛(p‘ - p - q) ^T(yafy^

=Q"(p・q + %2)(2раРе + q/f + GPa - ga#q・p* Q^)

РИС^ 2・7・ Один и тот же партон поглощает и испускает фотон. Другие партоны не участвуют б процессах.

где р" - 4-импульс партона, a Q - заряд партсша в единицах е・ Поло- жим теперь

Ра^У^ (0》玄 1).(2.63)

Это означает, что мы пренебрегаем всеми поперечными импульсами партонов, и все партоны диижутся в направлении движения протона. Тогда, используя (260)* получаем вклак одаого партона в % и 屮公

峪=冲2/2Ж(2 ")

Предаоложим, что протон содержит f.(y)dy партонов типа i на интервал dy • Тогда

%2 = 2 ( dy£(y)必2.(2.65)

Спрашивается, какова нормировка /^ (у) ? По нашему ссгтшенюо в еда- НИЧНОМ объеме партонное состояние имеет 2P° партонов, а протон- ное состояние имеет 尸°/М протонов. Следовательно! для одаого про тона число партонов типа f на интервале dy равно 伞 ①).умюженнсму на /代雨=2«у：

(2-66)(2-66)М» dy = ^Myf^y) dy.

(2-66)

(2-66)

Из (263) следует, что ni (у) удовлетворяет условию

Е( dyyMy) = 1.(2.67)

Используя нормироканные партонные распределения, перепишем(2・64) в виде

'(2.68)

Мы видам, что vW2 обладает требуемыми скейлинговыми свойствами. Если бы ш иоюльэовали тшртсны спина 0, то подучили б:』"〕=0 (при том же W・ Сле^жательно, модель с партонами спина 1。согласуется с экспериментальшами данными, и мы отождествляем партоны с кварками и №гик8^жями. Экспертменты показывают, что п.(х)力一炉 _ к <Следовательно, число партонов бесконечно. Таким образом, протон» каким его "вкдат" фотон высокой анергии, состоит из трех кв^жов и бесксшечного Рморя,г кварк・антикварковнх пар.

3； Свидэтепьство в пользу существования цвета；Наиболее 〃岡・ мое подтверждение того, что кварки обладают цветом, появляется при измерении полного сечения электрон-познтронной апннгм«ищ<м в экспериментах на встречных пучках. Результаты принято представлять в виде отношения оечений

* афонн(2.69)

е е т 从

Зависимость ff от Е, где Е -энергия в системе центра инертщи стал* киваютихся частиц (вплоть до 35,8 ГэВ), наведена на рис. 2.8 [25, 261. Заметим, что в рассматриваемое сечение дают вклад и ко» вечные состовния, включающие тяжелые лептоны, например 尹工二 поскольку оим распадаются на а/фоны. Конечные состояния /е - и 『厂 не рассматриваются.

Обсудим в общих чертах интерпретацию экспериментальных данных. Реакция происходат преимущественяо путем аннигиляции исходного состояния в одан виртуальный фотон, который переходит в ко» нечное состовиие с образовниием лептой анти ле птонных и квярк-анти- кварковых пар (посколвку только кварки и лептоны непосредс^®енно

-Q ; *」二'/ 匕，:^^ -■ гт^ч- -'■$* .м^'^р^ 1? Fr'/uhto

<^з£э af озсрг ЛХООФ0&С %」冃 й§лй sc&zn &с -х£&& лнамозяъя ФХ з^орх- -КОЁ08&С ФХ Д63SXC8 шпи0ЖИИМО9ЖПО RdowMO.NMSMeo^oиWAHd зоьп 9Z C&S.OU .имдито £ 6$хы.ихо «зх^&. tsi ^^ <M13d X s yu« SXX3 л^^г lv+b<Txofta т —а +“м・мнштюн。6N их^

Таблица 2-9. ОТНОШЕНИЕ R

С цветомС цветом13 т13 т

С цветом

С цветом

13 т

13 т

взаимодействуют с фотоном). Полное сечение (если не учитывать 冲 эонаас祖 и взаимодействие в конечном состояющ) нроцор卿жаао сумме квадрате» электричеокни зщшдов кварков м лептОнов> пороги рождения котефых ниже рассматриваем^ знергш столкновения .Ъоэ- мо*ные резонансные структуры известны» и ия вклад может быть л [ж неоСко дим ости вычтен из сечения. Псхжолысу порти разделены достаточно большим? энергетическими интерталами! сечение в этих ннтервалах выходит на плато. Прт этом взаимодействие в конечном состоваим можно с хорошей точностью считать не зависяищми от энергии. Суммы квадратов зарядов для различных плато с учетом и без учета цвета приведены в табл. 2瓦

Сравнеипе теоретических и экспертментадьных значений для плато (叫・ 2«8) указаввет на необходамость учете цвета. В большом и^ тервале энергий s порога ЬЬ (<жозо 9 Г制 до 35,0 ГэВ новые по吟 ги отсутствуют. Следовательно^ нижняя граница значений массы но вых кварков и лептонов составляет 18 ГэВ/с111.

廿 В настспщэе время (начеяо 1964 г.) пороги не обнаружены вплоть ди энергии 43 ГэВ.~ "рмм.еерв，.

Если конечное адронное состояние действительно образовано парой кварк-антикварк, то угловое распределение адронов должно "помнитьисходное угловое распределение кварка и антикварка. В действительности так и пр<жсходит, и появляются пкварковые струи11 [ 27]. Если, как мы полагаем, цветовая симметрия представляет собой ка- либровочную симметрию, ответственную за сильные взаимодействия, то кварки могут испускать калибровочные бозоны (глюоны) с появлением в кояеинон состоянии трех или более различимых адронных。聊总 (глюоны не обладают электромагнитным взаимодействием). Это явление также наблюдалось экспериментально [28].

4L Слабые. взаимодействия [冲L Кркткая информация о современных представлениях о слабых взаимодействиях содержится в плотности лагранжиана взаимод^ствия

= g心(工)。"(m)+ /:式#)] + 3рмит. conp(2.70)

где - слабый ток кварков, а/°А(х) . слаСий ток лептовов. Ниже мы для краткости опускаем индекс wk . Эта слабы® ттш связаны с массивным заряженным векторным полем (*). Хотя №-мезоны и не обнаружены экспериментально^ полезно преддоложить» qto они существуют11 .

Слабые токи имеют 刖〃

广=臼汽1一券-+ 口尸(1 -券)"，

厂=口7a(1 -券)叨 cos 0 + 伊,汽1 - y5)w] sin 仇Q'l)

тде e н v ■ дираковские полевыё операторм электроав и электронного нейтрино^ац и у ■ мюона и мюонного нейтрино. Угол 8 называется углом КаМббо» его экспериментальное значение е а 1/4.

Матрица (1 - %) при д^ствии ав дираковский спинор вы^ляет компоненту с левой киральностью. Для безмассовой дираковской частнцы или массивной дираковской частицы с бо&шим импульсом это означает, что частица имеет отрицателы^ю спиральность (т，е. направление вектора снииа противоположно направлению вектора имлул>са). Зм метим, что для любого дираковского спинора 屮

步Y(1 -百屮=巾(1 +脸，“屮=1(1 -%)仃f2 та

” См. примечание на с?р. 22. — Примлп^ее,

РИС, 29. Слабые вершины.

:•,-、■史.；，';е'-.笠 vt А，.-'х.'мш#'-'1® в*'聲■*

Таким образом, в слаСые токи входят только левые спиноры. Этим токам соответствуют четыре фу в даментальны е фейнмавовские вершины (рис. 2Л). Распаду ц ""-мезоав соответствует диаграмма Фейнмана, прмведанная ав рис, 2

Поско&ку в ниэкоэнергетических процессах ff-мезон переносит малый KMnywo. его пропагатором можно считать 嗝2 . тогда легко получить следующее ооотношение между константой связи g и най・ деннМ экспе{щментально фермиевской конставтой G:

g2/“ 二 G/居

G = LOI x I0-J “T,

где % - масса протоав.

РИС. 210. Распад ц~ .

(2.73)

РИС. 2,11. Адронные рмпадм.

Слабые распады адронов можно получить t используя кварковые аерщины на рис, 2Д 6 к $ . Структура этих аершин немедленно по» воляет устшлить в низшш ш^од^ non^q^ ]8书 аслующие правила g бора для распада мрсжов (которые были обн^уженн эксперимент алшо):

Изменение странности адронов в растда не может по абсолют* ной неличине превосходить та AS = 8, ± I •

. Если в конечном состоянии имеются лептоны, a AS » ± то изменение электрического заряда афонов равно изменению их страв- ности,= ±1.

в- При изменении странности адронов изменение изоспнва равно е У2> т,е, I А / I 1/2. (Но это правило нарушается электрсмагпит* ным в займе действием и в действительности справедливо лишь с точностью а ~ 1

Несколько диаграмм Фейнмана для респадов адронов пршедено на Рис. 2Д1. Зшитриховавные участки обозначают сильны»йзаимод^$- ствия.

Найомним. что кварки “, d обрезу ют изодублет, as- иэосинглет, Вектораня часть кваркового тока может быть записава в виде

Ywgcos 驱 J)yaK ；)(" = & cos 8(办气+g),(2.74)

где /* =(4 + £/2 )/^- повышающий Оператор для изоспина. Формула (2,74) представляет в сжатом виде "гипотезу сохранения векторного тока" (СВТ) Фейнмава и Гел^Маниа (с учетом угла Кабиббо в соот- еетствпи с требованиями эксперимента). Поскольку в сильных взаим». действиях иэоспин сохраняется при подртавовке Р® м@жду адрошплми состояниями, констаига w g сильными взаимодействиями не перенормируется. С другой стороны, конставта связи в аксиалык^ части тока чувствительна^ к сильным взаимодействиям {экспериментально определенный миожитель для нуклонного состояния равен 1>25)>

Из предадущегО изложения видно, что включение в теорию квар* ков упорядочило структуру слабых взаимодействий. Легко выводятся йрадила отбора, а эффекты слабых взаимодействий отделены от эф* фектов сильных взаимодействий.

По авалогии со случаем электромагннтаых взаимодействий мож* но изучать структуру адронов при помощи глубоконеупругого рессея* шя иейтрино на нуклонах, используя партонную модель. В этом случае анализ более сложен, чем в электромагнитном случав, поскольку калибровочная инвариантность отсутствует, а нейтртно и автвнейтри- но обладают определенными (и различными) спиральностями< Мн не будем рассматривать этот случий»Имеюишеся экспериментальные данные^ согласуютоя с предсказаниями прост^ партонной модели [38].

2.0. ^арм

Чармкрованный каврк. Глэшоу, Илиопулос и Майами (ГИМ) [31 ] предположили, что в дополнение к кваркам d, s существует еще один кварковый аромат, который опи назвали "иарм” (очЕфование) и обозначили С. Основанием служило желание избавить старую теорию от некоторых нежелательных эффектов шеших порядков, напри* . мер нарушений правил отборе AS 咒 A Q = AS, ненаблюдаемых распадов типа К° ц+ + цм с появлением эффахтиеного нейтрального тока. Предположение ГИМ получило блистательное независимое подгаержде- ние. когдн было открыто семейств。〃屮・В схеме ГИМ возникает замечательное однозначное соответствие между кварками и лептонами.

Экспериментально распад К0 ц+ + не о&1аджен； его относите льнав ширина меньше 18T.. В теории с тремя ароматами кварков этому распаду соответствует расходящаяся фейнмавояская диаграмма рис. 2」2, имеющая порядок g".

Хотя теория может быть с делава перенормируемой, ее ля добавить дополните льны е поля (например модель Вайнберга — Салама),

для качественного рассмотрения мы ограничимся излагаем曲 моделью, но введем параметр обрезания А. Выбрав пропагатор W-бозова в виде A叩伏)=戸*5卜"/)，(2.75)

и предполагая, что интеграл по * сходится благодЕфя эффектам силы ных взаимодействий, путем простого подсчета степеней подучаем £А，〜GaA2, Чтобы у по минтая относительная ширтша распада К0 ц+ + ц— быаа в пределах экспериментальных ограничений, нео^ ходим п^аметр срезания А《3 ГэВ, а это значение кажется недо пуотимо малым. В。всяком случае динамический механизм подав ле* ния распада является, пбвндимому, более приемлемым способом со* гласояания теорнн.с экспериментом, чем введение импульса。眼за・ анн, которое лииш оерекосмт объясиение на явления^ лежащие вне модели.

Предяоложение ГИМ состоит в том, что необходимо ввести новый кварк с，который имеет такие свойства относительно слабых взаимодействий, что диаграмма рис. 2 J2 стаяовцтся равной нулю в пределе равных масс кварков. Требуемые свойства кварка 匕 иллюстрирует рис. 2J3.

В реальном мире, где унитарная симметрия не является точной, кварк должен иметь массу, отличную от масси ^чсварков. Па

видимому, счсварк имеет массу, отличную от масс d, бмсварков, н разность масс с -и делает под^ленив диаграммы {же. ”3 неполным. Что&л вычислить истшщую сксфость распада К° м+ + 厂,неб ходимо использовать различные теоретические соо^>ажении. Чтобы придать реальный смысл массам кварков» необходима модель связи

РИС- 2Л2 Матричный элемент низшего пормк» Для ненл^людавшегося расми да к° ц++

РИС- 2.13. Введение чар мированного кв^ка с.

кварков в адроне. Чтобы проводить осмысленные вычисления в высших поридках* необходима не ренормируе мая теория слабых взаимодействий, Но в качестве грубой оо^нки можво предаоложить, что определенная некоторым эффективным путем разность масс с играет роль и叩аметра о^езаинв Л. Тогда эксяериментальное ограничение, при* веденное выше, устававливает для этой разности масс уровень < 3 Г9В/с2.

Три аромата u, d, s аведевы для реализации груины [Stf(3)]fIavor Добналение еще одного аромата означает переход к расширений группе IS U(4)l fjavorа Степень ношения новой уиятарнсй симметрии будет даже болыне. чем для [St/(3)]f]avw При переходе от St/(2) к SU⑶ появилось вовое квинтовое число -「иперз^яА У. Теперь при переходе к S U(4) добавляется новое квантовое число чврм (С)・ Пре* полагается, что тах же, как и У, С - аддитивное квантовое число, сохраняющееся при сильных взаямодействиях. Чармиртааняому кварку по определению нриписывается цари С=1, а кварки uts имеют С = 0.

Предполагается также, что чармировнвный кварк имеет я^ же три цветовые степени свободы, что и кварки dt s

Остальные кыштовые числа чармирванного счсварка можно получить, раосмогрвв соответствующие вершины на рис. 2 J3;

Спин: s ■ 1./2. Сохраненве углового момента*

Иэоснии: 7 > 0. Существует только один с 咏варк.

Зэ!яд: Q н 2戶.Сохраеение заряда.

Вам0HB06 число： В - 1/3, Сохраненве барионного заряда.

Странность: S =—】・ Выполнение правил отбора AS и = AS • Гиперзаряд: У 三 S — 2/3,

Следовательно, справедлива обобщенная формула

Q == 7з ++ С・(2.76)

2.Семейство //屮.В 1974 г* две экспериментальные группы, воэ* гладляемые Тингом и Рихтером, независимо открыли J 力[32]. Эта частица замечательна тем. что, хотя ее масса (3,1 ГэВ/с2) более чем в три раза превосходит массу протона, ее время жиэпи в тысячу раз больше, дем у обычных адронов (полная ширина 67 кЖ), По словам Тинга, пзто вое равно, что найти дврааню, жители которой живут по десяэъ тысяч лет" " • После открытия было открыто еще несколько частиц из того же оемейства:屮(3684),屮(3959),屮(4159),屮(4496), Вое опи 一 мезоны со снииом ]. 79 и отрицательными четностью и

Очетностыо.

В настоящее бремя установлю, что эти частицы— состояния ^чар- мония1\ Т£. связанные состояния 不с;- основное состояние qap*

мошы. Сем曲ство J；& можно описать, используя нерелятнвистсяую модель независимых кварков и считая потенциал вэаимодействия сс 血верным (на больших расЕюяанях -尸е@), а массу счсвпрка приближенно равной половине масал / 加，т©. 1,5 ГэВ^3 (в этом суве не* релятивистский анзац апр^卿).Предналагаетсаt что состояния 屮 с8gl哂 чем у ]尿 массой, являются радиальными возбуждениями нарМйшя. Нерелятивистскан модель предсказывает также существовав ние орбитальных возбуждений, и опи были обнаружены эксперименталг^ но. Были также открыты чармпрованные мезоны и барионы, Т£・ состоя* ния типа (с 2) и (сш£). Нео&гано малая ширтна не имеет пока цол> ного объясиЬнияа Пмъидкмому, зш обусловлена ритмическим эффектом.

За открытием семейства / 屮 последовало новое открытие — было обнаружено новое оемейства векторных мезонов (семействоV), аач* нающееся с меюш 9 ГаВ/с” тем самым появился новый кваркошй аромат Ь [33].

В настоящее время существует богатая спектроскопии тяжелых кваркониев, изучению которых посвящено много работ [ 84]. Мы не имеем возможности обсуждать эту тему подробно. Отметим лишь, что

” 7% S .С £” частное сообщение.

успешное описание спектроскопии тяжелых квврени® в кв^жовой модели является еще одним доказательством существования кварсов,

3; Соответствие между кварками и лэптонами, С учетом чар№ рованног。ква畔а слабый ток кварков в (2.81) принимает вид

Ja = (Jcos? sin 0)¥气1 -券)"

+ (J cos 5- %)e.(2:7)

Очевидно, чт° пара кварков (d, s), которые были ваедавя так, нужные квантсщые числа сохраняются при сильных взаимодействиях, участвует в слабых взпимодвйствинх в виде линейн曲 ком^нации 3, $6% получений при вращении на угол Кабиббо：

8s 8 疝 Q/q(2.78)

0 cos 叭丿X

В тиминах (%g s§) кварковый и лентбнный сдабые теки етайовхтся разительно похожими:

Г • Ml -力"+ MYa(l - %)“：⑵79)

После открытия т и 匕 сходство восстштвливвется добавлением т-нейтрино v#, и с啕варка. (Подробное обсуждение см. в гл. 6・)Волее полное понимание сходства между кв^фковым и лептонным токами в настоящее время отсутствует. Трудно удержаться от предположения, что лептонше и кварсовне проматы являются проявлениями более глубокого едаасеа, и те частицы, которые сейчас кажутся нам зле・ меитарными, могут оказаться состоящими из чегото еще более зле* ментарного.

Максвелловское поле: 0(1) -калибровочная теория

ЗЛ, Глобальная м локальная калибровочная кн*арнантность

МШФвелловское (электром вглитное) прле взаимодействует только с оохраяжшщмися токами полей матприи. Зто свойства может быть подучено из "калибровочного принципа", а именно мектроматитное вэпимодейотние возжкает при расяпирении "глобальной калибровочной ИНВ^ИаНТНОСТИ^ ДО "лакещЬНОЙ К^жбрОВСЧКО佚 ИИЕфИАЯТНОСТИ*1.

Чтобы проиллюетрпровать калибровочный 聊шця^рассмлри^ ко泾 Плексшое скеиифное nQjm 中(х)，платность клас^ческаго &аграажи> на которого^ в отсутстпие электромагнитных взпимодействий им& ет вид

%за), а”а))=乙еь” - «о.%за), а”а))=乙еь” - «о.(31)(31)

%за), а”а))=乙еь” - «о.

%за), а”а))=乙еь” - «о.

(31)

(31)

Очевидно, что плотность ьлагранжиана £0 иина^аитна относительно постоянных фазовых сдвигов $(工)：

(32)(32)еа）т и，（х）,

(32)

(32)

где а - произвольное действительное .число. Преобразсв^ие(3.2) называется "тобадьннм кагабровачным иреобразовавием，а теория обладает цл обильной катабровачной ииварипитностью относительно щзеобразований гфупп t/(l). Согласно теореме Нетер (см. [3$|), по > /е Ф имеет сохраняющийся ток：

(3.3)(3.3)广工 const, ф*д^ф, 九广=0

(3.3)

(3.3)

Рассмотрим теперь локальное котабровочное преобразование

(34)(34)#&)- и(х).(х), 0“)餐 еТа"),

(34)

(34)

1)Впоследстмм теория должна быть про квантована, Дла олредаленнос- ” будем рассматривать классическую теорию, указывая, ще это возможно, нвюторью простые свойства и для кмнтоюй теории.

где <х(х) - произвольная действительная функ^я координат. Тогда калибровочные преобразования в раз^чных тачках пространства^вре* мени стниовятся независимыми, Отметим, что @“(毛)под дейстпием глобальных калибровочных преобразований преобразуется как $ (х). Но под дейстнием локальных калибровочных преобразований возникает допрлвительный члеж

*еа)т u(r)a”u)+ еа)»иа).(зз)

Таким образом, плотность £“中，尹$) не ююариантна относительно локального кадибровачного 口向 Газования.

Для того чтобы сделать теорию локально кцлибровачно-инввриант - нойг достаточно заменить 8выражением, преобразующимся как Ф(х), Введем векторное поле Л^(х) (калибровочное" поле), которое преобразуется под пейстпием локального калибровочного преобразования (3.4) оледуюшим образом：

人气х) т А^х) +(3,6)

где е - дейстнитедьное чирло, фиксируюшев шкалу 才》(父)口。отношению к § (才).Тогда "ковенантная производная"

吟")■+ 回4р)]6(х)0,7)

будет преобреэовываться так же, кая 叭土)：

⑦“⑴】* - 0a»o%a)F0.8)

Лагрннжинн£(ф. Duq). в котором обычные прсжзводпне 8^中 замена ны на ксяариактные производные В 卜，очевидным образом нвварнан- тен относительно локальных калибровочных преобразований. Но он 8呻жит4口(к) в качестне внешнего поля. Для того чтобы этот лаг- ранжисш опиш^л замкнутую дшамическ^ю систему, необходимо добавить к нему .член* квадратичный по ”4". Требования инва- ршштностк относительно ло^ддьных к^бровочных преобразований и лоренц-инввриантности фиксируют его единствепиым образом: ов должен быть пропорционален 尸 , где

尸w⑺■-8工气工)(3.9)

называется тезром напряженности прля. Таким образом, мы прихо-

дим к инв^иантной относительно локальных калибровочных преобразо- вшШХ плотности .лагранжиава замкнутой динамической системы:

* = 一+尸％ + 縊(厶 0”).(3.10)

Множитель -1/4 в первом члене вводится в соответствии с принятым сослашенмем，Глобальная £? (1)-ннвариавтность, расширенная до локальной, преаратиласъ в "калибровочную” инвариантность. В рамках стандартной теория прля продалаяная процедура единственна. Классические уравнения движения, следующие из (3.10), являются уравнениями Маясвелла для скалярной электродинамики：

(3.11) (DO*」TV/冲；

здесь

巾"0,(М)

где последнее уравнение выводится с учетом уравнений движения и № тисимметркчности F ” Таким образом, мы чнывадин заяоны электромагнетизма.

Хотя симметрия и 5川刁а расшарена, дополнительные сохраняющиеся токи не возникают. Испрльзуя теорему Нбт②можно прийти к вьь воду, что наиболее общим пидом сохраняющееся тока является (#) длюс.цл® аяда ［尸^(#»(*)〕, где /(х) произврльная ©ункцк& Калибровочный принцип .лишь определяет вид взаимодействия .калибра ВОЧНОТЧ) TIQH员 с пецшми материи.

Переписывая формулы для калибровочных преобразований(3,4) и {&6) в виде

rq@&(x) - произврльная действительная функция^ мы видим, что заряд е (с точностью до постоянного множителя) действует как генератор калибровочной группы U (1)« В nqj воначальной системе пр лей, обладавшей только глобальной калиброво<шоХ инв^иавтностью, заряд частицы далжед быть равен е ноюду в щюстраяств备времени. На в абоб-

щенвой системе в каждой Ефостравстэенно-временной точке заряд может иметь одно из двух значений + е, поскольку знак з( х) не фикси- ровав, Каяое бы соглашение не было прпиято, физическое содержание теории останется неизменным благодаря наличию калибровочного поля.

В общем сдочае имеется набор полей материи {屮i (к).. &..

(как бозонных, так и фермионных), преобразующихся по предстацл^ию (обычно приводимому) ГруППЫ У(1卜 ГеЗбрЗТОрОМ Группы и(1) яаляется в этом случае диагональная матрица п х п, собственные значения кото рой Q 1, • • 一 殳门 представляют собой заряды прлей материи ф2 ^^п < Глобальное калибровочное преобразование записывается в виде

Mi /е-02Mi /е-02о оо оMl0Фп!Ml0Фп!(3・14)(3・14)

Mi /е-02

Mi /е-02

о о

о о

Ml

0

Фп!

Ml

0

Фп!

(3・14)

(3・14)

где з- произвольная действительная конотавта. Перепишем (3.14) в более компактной матричной форме：

Плотвость лагравжиава £ ° (屮,Н 口 9) тфещюлагаегс幺 инв^иантаой ото- с^тельно преобразования (ЗЛ5)» ^тобы раашфкть ешшгршо до 恥каль ной, необходим。заменить Н ” на

=[*+ iQA^x^x).(3・16)

Плотность лагранжиана обобщенной системы имеет такой же вид, как (3J0).

Поскольку преобразования (3.15) относятоя к группе U (1), оии не накладавают ограничений на величины з却ядов Q 卄 …,Таким образом, остается без объяснения тот факт, что зврзды всех наблюда. емых в эксперимент ах частиц рфагны некоторому ЗфЯДУ (квантование заряда)，Возможное объясяение состоит в том, что электромагнитная группа UQ} является подгруппой холшакяшо^ группы симметрии СФ В этом случае матрица и является периодической функцией со, и заряд квантовав [36]、

Плотность лагранжиана полей материн может иметь другие+иа卜 сймметрии, которые не являются калибровочными, например сим* метрии； генераторами которых являются лептонный и барионный заряды.

Эти симметрии коммутируют с электромагнитной группой U(l) л остаются глобальными симметриями

Может показаться, что теория предсказывает безмассовооть фотона, как это следует из таких аргументов. Уравнение движания для калибровочного поля в лоренцевой калибровке Эрд^ 0 имеет вид О^Л Р = ; Й, Предположим, что для основного СОСТОЯНИЯ 1> системы Ф « 0, как этого требует кали^ювочная 喳》碍》антноогь (полеф не является калц&ровочно-инв^иантным, и можно ожидать, что основное соо тояние едпнствеино). Тогда низко лежащие моды калибровочного поля удовлетворяют уравнению а2Л ^ = 0, которое имеет решения в пи де цлоских волн с воляовым вектором = 0. Этим модем в квантовой теории соответствует безмассовне фотоны. Чтобы глючить в рассмотрение 产，применим твори% возмущений, исшцльзуя разложание- по степеням е. В результате получится схема, онисывающая азакмо? действия в термпиах испускниях и поглощения безмассовых фотонов. Такой схемой является кваэтовая электродинамика, преАСказниян которой экспериментально проверен с 'фезвычайно высокой точностью. Таким образом, может показаться, что безмасссвостъ фсгпжа являет, ся прямым следствием теории； в чеютности ее калибровочной шеари- антностн.

Одпако приведенные выше аргументы териют силу, если неприменима теория возмушенмй； Так происходит, очевидио,если для низшего со стопин "。分，т.е. в ситуащш со "ашташнм нзуманкем симметрии11. В этом случае фотон приобретает массу (более подробное обсуждение проводится в разд. 3.3). *

Ааже если в низшем состоянии ”0, применимость теории воэ^щ& ний не может быть обоснована математииешш, и в принципе фотов может иметь масс^ [37卜 В самом деле, фотон приобретает массу в мо* дели Швингера [ 381 一 кввнтовой электродинамике в одном пространственном юмереани. Можно почти строго показать [ 39), что в квантовой электродинамике фотон остается безмассовым, если заряд электрона меньше некоторого >фигическво, и приобретает массу при 耳яде, большем критическсго. Критическое значание з叩яда неизвестно* но есть

1)Термж "состомие" здесь имеет двоякий сшсл и относится как к кпао снческому рвшмию. т»к и к состопнию в квантованной теории-

药 В квантованной теории условие приобретает вид <<р> / 0,гдв< ф> - вакуумное ожиданме у.

основания полагать, что оно больше заряда электрсжа. Таким образом, безмассовость фотона в квантовой электродинамике является не следствием какого-то принципа теорни, а слдцстЕшем щ)едиоложения о справедливости обычной теории возмущений.

Спмтаним Mtpyi глобальной капибрмошой инвариантиостм： голдстоуновскол мола

Симметрия системы считается "спонтанно нарутаниоЦЕ, еоли ос- ноенв состоание системы неинв^иантно относительно преобразований, отвечающих этой симметрии» Такая ситуация ни в коей мпре не является экзотической, напротив, она о^чна для макромира* Напри- мпр, в фЕфрбМагветикв сшонтанно нарушена симметрии по отношению к 叩шцениям, а в бесконечной кристаллической решетке сшонтавно нарушена трансляционная симметрия1^

Мы рассмотрим здесь спонташюе н^фушеиие глобальной калибровочной сшметрш в релятивистской творни паля. В качестве простого примера обратимся отять к расдаотрйшю комплексного смачного поля, плотность лагренживна которого определена в (Xl)f в отсутствие электромагнитных азанмодейстний. К-ласс^ческий гамнльтонини системы имеет вид

Н = / а3х[7г*тг + V。』+ 叭6*川(3.17)

где dp/d'・ Решением уравнений движения, отвечающим навниз- шей энергии, является ф() = Фо = const, где(р0 таково, что 歹(伞*伞) имеет в точке 伞=% минимум^ Такое решеанег очевидно, минимизирует Н и действительно является решанием уравнений движения, по скольку для полейне заш<сящик от времени, Н %ююрционала( дейст-

ивю. Если % / 0, решение явно неинвЕфивнтно относительно фазовых сдвигов, поэтому глобальная калибровочная инвариа&гность стон таено вкушена* Следовательно, осшоаяое состоание бесконечно вырождено в соотаетстани с тем, что фаза % произвольна»

Для определенности расоиотрим потенщш

尸 + const.(3.1s)

DB кристалл и чей кой решетке остаетси только инвариантность па отношению к трансляциям, кратным базисным векторам решетки. 一 Прим, перев.

66

6

6

РИС. ЗЛ. Пстмциапьный член ng различном выборе параметров: а ■入 < 6

М>0； 入>0. 2>д； в-入>0 屮< и.

Мы ffi/рали ноли»係1 четвертой стежви, поокмы^ те（尹я воэиущений поХв соответствуп]шей квантовой теории прля является перенормируемой* Ураниеше движения принимает ^ид

（D2 + 标）0 = -2А^*^\（3」9）

Для зободного паля Х= 0f ца > 0. В этом случве классические возбук ” дения над основным состоянием [федставляот ообсй плосжие волны с волновыми векторемисоотвегсгвушщче одначастичвым возбуж

дениям 6 массой у в квантовой теории.

Если 入 < 0, теория 恥 сушествует. поскольку гамильтовиан не ог- решчжсвизу. Пот^^тлГ арнх0приведивврис. ЗЛ.%

Может лсжазаться, лго система имеет метастабцльное состояние при Ф*Ф - 0. Это состояние действительно существовало бы в квантовой механик, во не в квантовой теории для» В последнем случае скорость расшада такого начального состояния в бесконечном объеме беассиеч- ва, поскольку скпростъ рассада, отнесенная к единице объема, кове% ва".

° 自 реальных мосмолошческих модмях характерное время туиналыюго перехода, обозначенного стрелкой на {же. 3J. % оказывается большим, чем время жизни Воепекчой' [172-]. поюму ут.жмте авторе имеет нюлько' Формальный характер. - Прим перов.

Если 入 > 0, то имеются два случая:从么 > 0 л и。< 0. @орма пот№ циала Г для этих двух случаев изображена на рна ЗЛ, би в соответственно. Если у “ > 0, то в оонравом состоянии f 0, и спонтанное н^футевие симметрии отсутствует。Если и2 < 0, то ф / 0, и это именно тот (адчай, который мн хотим исследовать.

Для удобства перепишем (3.18) в виде

у(гф)ме’е -加2)2,他 / 0).(3.20)

Основному состоянию отвечает 余=学彳,или

0“)=依'％,(3.21)

гдв а0 - произвольное действительное чноло。

Низколежащие возбуждения квантовой теории могут быть получе-. нн непосредственно из визколежшцих жласо^еских мо* Пуоть

ОЗ)=[现 + 刀⑴ JeX?(3.22)

Тем семым комплексные поля ф(я) и 审•(#) земеняются действительными полямиг|(л) и а(х)* Выпишем плотность лагранжиана, выраженную через г|(н) и а(м>：

g =叫 ％т? - А (2^о -⑴У 十他 + 疗 3气 ％а.(3 23)

Предполагая( что п мало, и оиус^я члешл шше окфого 吋ядка по % получаем

g * [a% %学-4人加2口2] + 82 0% %a + 0(不).(3.24)

Члевы в квадратных скобках опишвают свободные, скалярные частицы массы 2 屮&СледуюЕций щен опиаявает свободные безмассовые

скалярш^е частицы. Опушенные цлевы овиснвшот взаимодействия между упомянутыми частицами, Класогасжие мода изображены ав рис. 32 где приведена зависимость Р от Req> и 1m Овв^а прямая связь между уолоЕшем ，0 и присутствием безмассовой моды.

В квантовой теории каждому % в (Х21) соответствует возможное вакуумное состояние. Амплитуды п^ехода ме*7 вакуумами с различными завчевиями а。в пределе бесконечного объема обращаются в нуль.

Утверждение, >тго фонтанное нярушение непр^ывной глобальной симметрии привадвт к ноявл加冷 безмассово黄 бессжнавоЁ .цасти- цы「，известно как теорема Голдстоуна [ 40], а безмассовая частица

РИС- &2・ Классические мо^ы для скалярного пола с нарушающим симметрий потенциалом.

называется еоА@етоуко&“мм 6озоно#_ Спонгышо вару^ашая симметрия, конечно, остается симметрией системы. Но эта симметрия прояв- ” ляется не в инвариантности оснонного состояния относштрльно преобразований ^ой симметрии, а в йоадлении СгалдстиуновсксА моду" (с^ществовшши грлдстоуновокого бозона).

Примерами галдстоуновоких возбуждений в нертлятиавстской теории многих тед являются сливовые волнн в ферромагнетике, фшоны в криотадическом твердом теле и в жидком г^лни.

33 Спонтанное нарутеиме локальной капмбромчиой инвариант* ности: хмггсовскан мола

При споитавном нарушения локальной симметрии сущватвование этой симметрии также проявляется не в инвариантности относительно ее основного состояния. Но в этом случае не поящяется голдотоуноа* ский бозсм. Вместо этого калибровочное В9ле становится массивным. Говорят, что симметрия проявляется в возникновении "хиггсовояой моды".

Расшслрим скаяяр^ао здакэроданами^, где потавцмал определен

формулой (工 20)：

(3-25)(3-25)毋(*) ■ Т"”》+ (О^Г(ймф) - К$*$),

(3-25)

(3-25)

Лагранжиан инв^иантав отнсмжтельно ловдльвых калибровочных 1ф& образований：

A^x^A^)-i-a^)t

(3-26)(3-26)e⑺Т厂2做工)，

(3-26)

(3-26)

ф^)^^ф^1

-где з件)-произвольная действительная функция. Локальная кдлибро- вечная симметрия спонтанно нарушава, поскольку ф0 у 0, Пс(ле 中(х), внзнваюшее нарушавие симметрии, называется "полем Хиггса".

В кяноничваКом формализме переменными являются:

IZojuIZojuА*А*Каноничебки сопряженные величиныя -(加夕)*Каноничебки сопряженные величиныя -(加夕)*(3-27)(3-27)

IZoju

IZoju

А*

А*

Каноничебки сопряженные величины

я -(加夕)*

Каноничебки сопряженные величины

я -(加夕)*

(3-27)

(3-27)

(3.20)(3・29)(3.30)(3.20)(3・29)(3.30)

(3.20)

(3・29)

(3.30)

(3.20)

(3・29)

(3.30)

Посколыд кавоничесжи сопряженный /о импульс тождественно р^^ нулю, / о не является независимой компонавтой, а может быть выражена через остальные компонавты при помощи уравнаниЙ движения.

Вне дем электрическое п^ле Е и магнитное поле В；:

E丘=卢，

или

Е = -dA/dt - VA°t В = V X А.

Гамцльтониав приводится к виду

Н = / d3*g(B・B + ЕЕ) + 同 2 + jd0|2 + у]

При выводе ныраження (3*30) испрльзован^ уравнения движения и оту-

щен интеграл по поверхности /d 打 V ・(Е /。)Гамильтониан (3.30) явно калибровочно-инвариантен, но еще содержит Вид результирующего выражения для Я, в котором Л° выражено через другие компоненты, зависит от исшрльзуемой калибровки. Численное значение Н, разу, меется, калибровачна4швариантно.

Из (3,30) очевидно, что решение с наннизпгеЙ зн②гнеХ имеет вид

4气工)=0,

0(上)=(3•31)

Чтобы изучить классические моды вблизи этого ретени% удобно ио- ирльзовать "унитарную калибровку", в которой поле ф х ) действительно, а его фаза компенсируется .локальными калибровочными преобразованиями. Это всегда возможно, поскольку $ удовлетворяет дифферен- циЕ|льному уравнению второго порядан и его фаза имеет вепрерывные прсжзводныа Таким образом» в унитарной калибровке всегда можно зв-

низть

е(х) = Р") (действительная).(3.32)

Уравнения движения принимают вид

("+ UA*% + «Л> = 2Ар(^ -后).(3・33)

Поскольку 也 ％ 2 имеем

即4 气х) = 0 если + 0.(3.34)

Положим

0(彳)=Фо + mX)，(3.35)

“ будем Считать q (*)к / н(#)малыми величинами. Лнвеаризованные уравнения движения принимают вид

+ 2廿仇2)〃= 0电0),八g

仃+心^为=0.(5.允)

В квантовой теории первое уравнение есть уравнение движения чеютицы

со сшивом 1 и массой у2^ф0 , а второе - чеютицы со спином 0 и массой 2б@о. Беэмассовой чеютицы нет。Исходные поля / У 中，隼* заменены на Л1, /% 福 ° (уолопие дцЛ^= 0 исключает компоненту спина 0 у А). Можно сказать, что калибровочная симметрии превращает несостоявшийся голдстоуновски й бозон в продольнуш компоненту возникающего массивного поля» Если мы использовали не уйитарную, а кахуп1-пибуЛ>' другуш калибровку? результирушщий отектр оказался бы таким же, но выражения были бы менее наглядны. Способ, которым фотон приобретает массу, называется нхиггсовским механизмом" [41].

Реальным физическим номером осу山ветвления хиггоовского ханизма является св^хпроводимость. Лагрнвжиаи теории инвариантен относительно локальных фазовых сдвигов прля электрона, но основное состояние сверхпро водника неиввариаотно отноштельыо этих сдвигов из-за конденсации ^перовежих пар электронов. Поэтому фотон приобретает массу ниутри сверхпроводника. В лвотности, ниешнее магнитное т?ле проникает в сверхпроводник на .конечную глубину, пропорциональную обратной массе фотона (эффект Мейсснера)* Феноменологи- чешш явление конденсации описывается введением Параметра порядка ，(у), как ого делается в теории Гинзбурга - .Ландау [4Й. В таком подходе выражение(Х25) цлужит феноменологическим лагранжианом.

Спонтаниое нарушение симметрии без фундаментального хиггсов* ского nQJiflj как это имеет место в сверхпроводниках, иногда называют лдинамическим нар^иением симметрки，Такая термнвология подразумевает, что обычное нарушение симметрии происходит при участии хиг- гсфских полей. Отметим, что концепция нпрушення симметрии арн помощи механизма Хьггса обязана своей попул^ностъю не лучшему согласию с эксшеримент ещьными данными, чем при испальзсдаании друшх возможных механизмов, а простоте теоретической реализации^.

3・4. Решения с коночной энергией

Для решения оконечной энергией каждое из положительно сшре- доенных олагаемых в「амильтонмаве (3.30) должно быть конечно. В частности, мы должны потребовать, чтобы ковариавтная производная

1)В частности. хнггсоаски й механизм сохрвияет перенормируемостъ калибровочной теории электрослвбых веаммодейстмй. — Прим^ лервв.

(3.37)(3.37)достаточно быстро убывала на беоконечности:

(3.37)

(3.37)

Вдоль .любого инфиштеэимального сегмеига дуги dx на спфужности очень большого радиуса R его дшшв равна Rd% где 46 - ин^нитези- малыюе угловое смещение, Из (3.37) имеем, оледоветчльно^ й ф 2 Я-1^Таким образом, классическое решение с ковечной ^ергиеК должно удовлетворять граничному условию

(3.38)(3.38)@也RG)—>0.

(3.38)

(3.38)

Это условие означает, что асимптотически калибровочное нзе скор- радировано со зс&шрным с очень высокой ^чностыо. Утобн это уни- деть, заметим, что из конечности гамяьташшя следует, :что кэлибро- ВД'шое и скадпрное поля удовлетворяют следующим условиям:

(3,39)(3,39)Jd%(B・B + E・E)V 吗 /d%y(6*6) vs.

(3,39)

(3,39)

Первое из этих условий означает, что асшмптотически F 卜"~ 0( х з).

*. следовательво, Л ^ш + 0( х-1)-Таким образом.

(3-40)(3-40)(3-41)(3-41)< Ю -^^ {чистая млибровка) +。(工“)，

(3-40)

(3-40)

(3-41)

(3-41)

Второе условие означает, что

6(*)二》6产*)+ 0(「).

Подставим теперь найденные условия в уравневия движения, которые могут быть записаны в виде

%F« = -2е Im(^*DV).(3.42)

Из(Х40)получаем, что 九…一 0(*-»>; такую же асимптотику долж- на иметь и прав可^сгь. Из(Х40) и(X4I) неодим

D*—二》f8M疝 + a) + О(』т),(343)

Следовательно.

Im(^*D*^) —♦ 6о'а"(еа + а) + 0(*т).(3・44)

На основании изложенного можно 俶』о 3 щжйти к выводу, что D у 伞 'убывает., как * _1-; но, согласно (3.37), она у№нает брлее быстро - как * 3 Это означает, что даже то слагаемое в.4* которое ке является чистой калибровкой и убывает как х должно 曲ть асимптоти- че(жи скоррелировано со окЕшрыым лрлем, В разд. 5.3 мы увидим, что в неабелевых калибровочных теориях эта .корреляция приводит к появ- .левию магнитных монопрлей.

Однако бвдо бы ншерно считать, что внимание, которое мн удели， ли обсуждению решений с конечной энергией, обусловлено тем, что решения с бесконечной энергией 恥 важны для физики. Нкиример, в «лао сичесжом случае плоская волна обладает бесконечной энергией, во в' квантовом ожкжой вадне отвечает сдючастичное состоявме с конечной энергией. Важность классических решений с конечной энергией состоит в том, что они описывают новый тип состояний теории, обладающих нетривиальной внутренней структурой, - солитоны. Случаю ксиечной энергии отвечает состояние такого типа с ншшюшей энергией, прачем движение центра масс отсутствует.

3・5. Квантование ментхого потока

Рассмотрим статическое клшхэяесжое решение с конешо^зне^гиеН Мы во^тщ можем положить А о = & На гфоогранственной бесжонечносги граничные условия (3.38) и (339) привимают вид

(3-45)(3-45)А(х)> - Va(x), их е

(3-45)

(3-45)

欢х)二-О/Е.

Обозначим а(х) и ф( к), взятыеg фикофованнойзфужности С большого радиуса R. черта а(0) и ф(6) состветстгащо (вн ^мкорованнойокружности остается .лишь зависимость ст угла 8. 0 W 8 W 2“)・ Поскрль- ку ф(е)удсвлетворяет дафференцюльжму урашеяию, § дцлжно быть непрерывным в пространстве* Поэтому

4>(2ir) а 6(0),(3.46)

откуда следует

а(2») - а(0) = 2m (л = 0, 士 1, ±2, ...).(3.47)

Полный магвитный поток через окружность С дается формулой

Ф = 0 dS-B = ^.ds-A,(3.48)

где dS - элемент поверхности, натянутой на С, а & - элемент дуги окружности С. Используя (3•璃)и (147), находвм

ф =~ S = °，±1，±2,(3.49)

Мы получили условие квашюваяия магнитнсго потока, с необходамосгыо возникающее для решения с конечной энергий；

В случае трех лростртаственных измер^иА необходимо положить п= 0, ниаче магвитные силовые ливни не уйдут на бесконечность и условие конечности энергии (3.37) будет варуюено.'Но для двух прост- ртаственных измерений п может принимать рлюбые ц^лочнсленвые значения (магнитное поле дадимо бЫ1ъ п^шащюфл^шым соогвжявуюцей плоскости). Решение в двумерном случае может расшатриввгься как трехмерное решевие, не зависящее от координаты % и обладшощее вечной энергией на единицу длины вдаль оои z •

Рассмотрим тенерь двумерную задачу в цлсокости м,夕.Положим а{6) = nQ + В(6). где В(2тт) - ₽ (Й) = 0. Очевидно, чтар(6)- непрерывная функция, которую можно устранить кадибровоцинм преобризовв- нием. Следовательно, можво выбрать калибровку, в которой

Ф•械而 ®{чнотая кадибровка).(3.50)

Замет鹏 что А неодвозначво. но интеграл / ds-А спределен одао^ач- но. Для любого я магвитное прле асимптотически обращается в нуль, поскольку асимптотика & является чистой калибровкой д цуме-， рует различные "калибровочные красен"» которые не могут быть * лучены о Дин из /фугого ненрерывным калибровочным ереобразованием.

Это значит, что магнитны А поток, щкдаизываюший конечную область цжхжостк к； у, может дать о себе знать на бесконечности.

Этот факт лежит в основе эффекта Бша-А^юноеа [ 43], а им» но при рассеянии электронов на внтроницаемом цилиц叩％ в котором со* сроцэточены силовые линш мапошкто поля, результат зависит от маг- bwthwo 股дя вбутрк 1ЩЛИНДР& котя электрон не прохом через обдасгь, в которой оно «хм^юдоточено. Причина состоит в том, что фаза волновой функфш электрона имеет угловую завио1мость, сксфрадированную с отличным от нуля чисто калибровочным вакторным потенциалом вне цилиндра. Фаза з^исит только от поляого мзгйитшуго потока внутри цхлиндра и, оледовательнО| является кадибровочно-нивариантной.

Условие квантовтаия магнитного потока (3.40) обусловлено эеерге- тнческими соображениями. Всегда можно выбрать начальное состояние, не удовлетворвющёе этому условию, но тогда будут индуцированы поверхностные токи, и разультируюпщЙ магнитный поток будет удовлетворять условию. {3.49卜 Несбходвмо также заметить, :чтр условие (3.40) применимо только при цилиядричесжо負 Г8метрам и неспршедливо, например, для магнитного hquh, вм(фожевн<го й тор 144].

В классической ^лектродвнамике, <мшсыё&ющей поведение заряжен» ных частиц, тензор F uv полностью опрад^ля^т сжойстна системы. Зна- вие потенциала А и не является необходамым, псокрльку Лц определен только с точностью до калибровочных преобразований, остталяющих 尸 а мнвфиантиым. Как мн видели, в квантоеой теории, в которой па ля зеряж^шых частиц аенопредотвенно 8язаны с векторным потенциа* лом 4 匕 ситуация ниая - тензор 尸卩"не определяет полностью сжоЙСТ' ва системы. Хотя н«1рерывные кадибровочиме йреобразования А? по Прежнему не праводят к каким-либо физическим эффектвм, такие эффекты генереруютоя разрывными калибровочными преоб- разовшиями, принадлежащими к различным калибровочным классам, нешотря на то что 尸叫 инвериантен отнттелню этих преобразова- вий» -Следоветельно, для полного описания системы необходимо задать f nv и фикофовать какойтлибо калибровочный класс.

3.6. Солитонные решения： вихревые трубки

Солитотаое решевие - это классическое рашение с конечной энер， тк叫 плотшють звергим которого конечна в с^аниченной области про- аграбргйв. В трехмерном случае могут сущеотвовать только такие со-

литоны! которые соответствуют о^иаю магнитнсго шпака» вькфожек- ного в трубку, тонологнческм ^швапентную т"у [44]. В двумерном случае (когда решение не заш<онт от координаты z) солитонами явл» ются "видовые трубки" 一 конфигурации, в которых магнитный поток заключен в трубку конечного радиуса, причем киггсовЬсое поле $ имеет нормальное значение % вне трубки, но задает до нуля по мерт ДЕЖближениях ее оси. Такие вкзфж^е трубки экспериментально ваблю* щоюь в сн^хпроводниках, где концы вюфевых трубок находятся на поверкиости сверхпроводника^ [45].

Введем нацлосжоотиу цнлМЩ[шческие ксординаты (г t 0) и рао

шистрим* используя кулоновскую калибровку ▽♦八■ 0. статические решваия уравнений движения, удовлетворяющие граничным уоловиям (XS0). Статические уравнения движения запишем в виде

(351

(V - №А)“ и 2Хф(ф*ф - е『)

где мы положили Л °- (L Так как нас интересуют ряюения, обладающие цилиндричешсой симметрией, прложим

Магнитное поле определяется формулой

В ■ У х А ■ g 泳4(М(3.53)

Положим теперь

где штрих обозначает 〃мфференвкрование по г, Тогда (3.51) запишется в виде

° В творим сверхпроводимости они известны под названием пабрмкосовские нити" {171]. — Прим,力叩ев,

F" - у - 2eVF = 0,р" + § - р 一 ”а(р2 - фо2) = ft.

(3.55)

с п)авичными уоловиими

Фо*

(3.56)

Из уолсюия Квантоввния магнитного потока следует

2力 | dr г B(r} = ?—,

(3：57)

или F(o). 1 № 勿，0. Вблизи г ■ 0 решение июет следующее асимптотики:

尸——*1~0(户),

6► constant,

(3.50)

В олучае г -> « мы можем прложить в (3»55) р - <р0 и получить следующие еижмптстики:

F(r)> const.戸冷 ехр(-々еФоО, 1.

A ⑺-*工+5L)，

(3.59)

в(г)

О”

Существовавме решения может быть доказано при помощи в«риа- циовного принципа. Для статических решений действие прогк^иионалыю

РИС, && Магнитное поле в к хи「「8вское поле р в вихревой трубке как функции расстояния г ст оси трубки в перпендикулярной трубке лпоскости^

жергии, взятой с обратным знаком:

(3-60)(3-60)

(3-60)

(3-60)

с гранитными условивми

(3.61)(3.61)式0) = 1, 式8) = Q, pt®) R 0, Mb) ^ 8

(3.61)

(3.61)

Посколы^ каждый мен в (ХбО) иестрицат^лш, Ё имеет минимум по отношению к изменениям 尸 кЗ^ц®餌4 F и р, мшшмизпр^юше 8,

являются решениями, обладающими при заданном я наименьшей эд^> гие負 и удовлетворяющие граничным урловиям，Качественно шдаедвше рев1Ш1ий можно понять, рассмотрев (ХбЦ). Чтобы минимизировать величина {F^ 分 должна как можно сильнее сгладать 尸.(р *)а 一 как

можво сильнее сгладить р, а №р 2 - стать как можно меньше. По- означает, что при Оьлших F величина р должна умевь*

шзтьоя и наоборот. Используя эти факты вместе с (Х58) и«3.59). мо*\ но одадать впросак поведения F w р (рис, 33), агражаюш^юцбагвежые особенности визфевой трубки.

Пр сведенное рзоомотрение можно считать классическим пределом в gyqae. когда магнитный поток очень велик» Пооледоватольная юнга- товая трактовка эффекта в настоящее время отсутствует.

Поля Янга^Миллса: неабелевы налибровочные теории

Ввопное замечание

Взаимодействие, осуществляемое при помощи максвелловских полей, оставляет свободу в выборе этака зпряда в различных прост- рдственно叩ем^<ннх точках- Поля Янга - Миллса играют анвлогиу ную роль по отношевдю к зарядам» свяэюным с более сложными сим* метриями. Они были введены Яагом и Миллсом [ 10] при рассмотрении «зомкна* Мотивировка этих авторов имеет следующий вил：

^Сохранение иэолюпическою смна ааяомшяичёски означает инаа- р^антостъ scex езанмодействий gocini©“令мо вращений е изояопи- песком пространся^е^ Это означает, яию, если пренебречь электромаг Н1МЖЫМК «занмодейсяшилмк (а именно лиж случай мы будем росс риеМь), ориентация 8©тора изолоническощ спина w& имеет значения

физику Тем самым различие между протонам * нейтроном cwmo^ емяюх чисто услоаным^ Лриклям однако, мю, у^мжобме* чию называв протоном, ачяо - нейтроном s хекмороб яючк^ /рипрам* -tвремени, мы “力脳。&№弘 права еыбора 6 остальных пространси1ввнно-

Такая точка зрения, п^вид^мому, несо^меаяима р локально не- арией полей, хекм餚м основой принлтх физических теорий ..

В настоящее врам1 считаете网.что “зоспни не является калибровочной симметрией и не может ею быть, поскольку в природе Он не является точной симметрией. Но идея Янга и Миллоа, иопользовниная для других внутренних симметрий, привела к по就влевию современных калибровочных теорий взаимодействий. Соотаетотвующие внутраняие симметрии сиязааы с группами Ли.

Трупам Пм1>

Структурные константы. наших целей достаточно принять определение, согласно которому ”т@ 血 представляет собой .

“Общие сведения □ группах Ли можно найти в работе〔46工

непрерывную группу, генерируемую алгеброй Ам； алге8а Ли - прост, ранство, Оазис которого состэвляют “ генераторов {0 = 1 , . ° * подчиняющихся комм у тациовиым отношениям

[丄@, L.] = iC^L.(4.1)

Здесь подразумевается оуммироеание по повторяющимся индексам^ Действительные числа С：^ называются структурными константами, Задавие структурных констант полностью огфаделяет алгебру Ли- Элемент соответотвуюгцей группы G имеет вид »

U =(4.2)

где 3g - произвольные действительные числа'.

Выбор зтачений структурных констант яводнозтачен, так как они изменяются при линейных преобразованиях генераторов, не меняющих группу. Но некоторые свойства остаются инвариантными. Во-первых, из следует

*(4 3)

Во-вторых, из тождеств^ Якоби для коммутаторов

[[厶，丄力，LJ + U4,丄J Lj + [[丄s LJ 厶]■。(4.4)

немедленно следует тождество

+，%以 + С2■ 0,(43)

которое мы также будем дзывать тождеством Якоби.

Если все стгуктурные ковотш{тн равны нулю, g является абелевой группой - прямым произведением “ групп 〃0).

Если не все структурные ксжстшты равны нулю, G является не&бе贬 вай группой* Неабелевой группой наименьшей размерности является группа SU{2)* для которой n = 3.

Мы Млолзуем опрэдапенио группы ли, достаточное для фассматри- ааомых приложений. Математики используют более общее определение груп- пы ли - для них это ивлрерывнан группа, допускающая анвпитичбскую параметризацию.

Если после некоторого линейного преобразования i 厶爲 I (если оно необходимо) множество индексов удается разбить на два подмЕюжест* ва так» что 工 0, когда а и Ь лрчнадлежэт к разлнчвым подмш> жествам* алгебра'Ли распадается на две коммутирующие подалгебры. В 9Tm случае G является прямым произведением двух независимых групп Ли. Неабелвта группа Ли, не допускающая таюнх» разбеевия, называется прослой^ (Заметим* что группа U( 1) не рассматривается.) Для простой группы любые два генератсфа могут быть связаны Друг с футом цепочкой коммутаторов. Группа, являкицаяся прямым произведением простых групп Ли, называется лолупростой.

Матричное представление. 〔Запишем генераторы в матричном виде, реализовав тем самым матричное представление G- Чтобы избе жать ненужных усложнений, ®дем рассматривать только матрицы с конечным числом кшпонеит1! Если набор генераторов {L & } удовлет- ворает соотношеш«ям (4.1)» то таким же свойством обладает набор эртштово-сопряженных генераторов fL ： h Следователь^, конечномерные матрицы генераторов хз набсфа 1 I всегда можно выбрать эрмитовыми. Тогда групповые элементы шляются конечными унитарными матрицами.

Точное 1фЦцставдениеа ншашзшей раэ^ртооги называется фукдамен- жсмьхмж яредславлекием. Остальные представления конструируются составлением прямых произведении этого щ)адставлевия с самим со- бойЧПример такого построения для группы $«3) рассмотрен в разд. 2・2・

Всегда существует одно иеприводимсе представление (не обяза- твльею точшю), которое полностью определяется заданием структур- ных констант, а именка присаейенеккав проставление. Его размерность равна “ (числу генераторов), & матричные элементы задаются формулой (LMTCb.<4.6)

“Тем самым из рассмотрении исключается группа Лор*叭 поскольку ев умиТарныв представления бесконечюмарнь1t -а конечномерные представлю лил н0униторныт что противоречит (42).

? Точ«м называется предотавгмнкв. №я «порога различным «ммемпм группн отвечают различные операторы, действующие а пространства пршь отатыйк.- Прим,

Эта утверждение спреев дли вс тапъкб для одаоэначных предетевкенх..— Прим, лере#.

Это построение играет центральную роль при рассмстрении янг-мил- rocbckoO калибровочной теории. Чтобы показать, что матрицы с зле- меитвми {46} действительно образуй предстйв^ние, вычислим коммутатор

[Lo , L^^ C^a^tnl ^>b)nd{丄6)E(La)«4

(4-7)(4-7)二 Yd += СМ + 网以

(4-7)

(4-7)

=С?ь<Х (по тождеству Якоби”

Простая алгебра Ли может быть сделана метркчес№м пространством задавием скалярного произведения генераторов La к g必W厶)Adj.时 =(4 8)

Тензор g^b является, очевидно, симметричным. Норма La положительно определена {т・е・且^口 > 0), поскольку ц эрмитов. Следоантель- но, лние|Щым преобразованием генераторов матрице g«&. может быть диагонализована^ а все ее собственные значения сделаны ртаными еднвице:

点 gab =(4.9)

Вводя новые структурные конствиты ：

。必 w ^abSnCf(4-10)

можно показать, используя тождество HkoW, что С . полностью ан・ тисимметричны по шдаксам а. Ьг с. Используя (4-9), получаем

Следовательно, константы (^ полностью антисимметрнанн по индексам а, Ъд с - Ниже мы будем всюду писать СаЬс вместо С：。・

・ Для любого представления 用川^0皆 груипы Ли равенства (4,8) и (49) можно обобщить следующим образом:

T"L/ь) = Кб必(для простой группы Ли),(412)

гда К зависит ст представления, но не зависит от а ^Доказательство основано на равеаютве {4.11). Заметим прежде всего, что Тензор Тг & 儿)всегда может быть диагонализован при подходящем выборе

генераторов i q |» так что

м)О：(4;13)

Нам осталось только показать, что Ка не зависит от а, Для этого определим

乙=Тг{［丄。，％］厶} = Тг(丄丄“J - Тг(£Л£а£с),(4.14)

Очевидно, что 乜^ полностью антисимметричны по индексам а, &, с. Используя последсюательно (4.1) и (4・13), получаем

^ =汇如 Тг(厶厶)=(М(4.15)

(суммщ)ование по с не проиэводитоя). Меняя местами индексы Ъ я получаем

心=(4」6)

(суммирование по b не производится). Поскольку d .^ = . d^b> Cab^ Y^b. сравяивая {4.15) и (4.1 б), получаем

если〔 &. L.J《0. Поскольку рассматривается простая группа, любые два гевератора могут быть связаны цепочкой коммутаторсш.

Следовательно, все & равны друг другу, и равеаство (4J2) доказано.

Заметим, наконец, что эрмитовы матрицы {| могут быть

представлены в виде

Л ■ TQ,(4.18)

где { Т/ — набор действительных шггисимметричных матриц, для

которых коммугащтные соотношения, имеют вид

(419)(419)(4.20)(4.20)Е，В】=-СМс・

(419)

(419)

(4.20)

(4.20)

Присоедавенное представлевие определяется формулой

(Та^Ьс =

Унитарные матрицы элементов группы принимают следующий вид:

(421)(421)U = е-•弋j/T 二 e-w.

(421)

(421)

Топологические свойства.，В матртчном представлении G параметризуется набором {з 1. Для того чтобы между групповым элементом g и некоторым фиксированным набором 匕 ]существовав ло взаимно-однозтачшю соответотвие, множество зтачещсй I I долж* но быть соответствующим образом определено. Множество возможных зтачениЙ I 汽} образует «рртп&вое мяоюобразне & Группа называется компаюшой^ если ее групповое многообразие является компакт- йым множеством. Групш называется одиоселэнойг если любой замк* нутый коптур та групповом многоо^жэии может №1ть непрерывно де- формировая в точку. В противном случае группа является мноъосмэнойл

ОдаоЙ алгебре Ли может соответствовать несколько групп . Ли. Ннеример, SU{2) и 0(3) являются разными группами, но генерируются 。朋。貞 и той же адге^юИ Ли« Ро^чне между этими группами состоит в том, что SU⑵ одиосвяэна, а 0(3) даусиязю.

Среда всех групп Ли, генерируемых заданной алгеброй Ли, имеет* ся только одна одиосвязная;。睜 называется накры&ающе^ группой. Так, S3{2} является вакрывающе^ грунаой по отношению к “3)・

Чтобы проиллюстрирмать сказанное выше, рассмотрим группы SU(2) и 0(3) более подробно. Эти группы являются единственными группами, генераруемыми алгеброй Ли со структурными копстшгга- ми %，-力 с ； обе ови являются компактными. Хорошо кзнест叫 что 0(3) довускает только представления, отвечающие целому угловому моменту, в то врамя как представления Я/(2) могут соответство* аять как целому, так и полуцелому момеитамп Различие возникает иЭ-за разной топологии групповых многообразий

Мы можем характеризовать нращевиб вектором, направленным вдоль оси вращения и равным по модулю углу поворота. Объем〕 за- мет£юмыА концэм вектора, опредаляет групповое многообразие. В частности, для 0(3) это объем сферы радиуса w, тцжчем точки» расположенные g разных конфх одного диаметра, отождествляются. Последнее требование возникает потому, что вращения на углы t-n- вокруг одной и той же оси эквивалентны. Все замкнутые контры на групповом! многообразии можно разбить на два класса: замкнутые контуры g с^>а и ее диамётры"・ Первые могут быть стянуты в

“ Под "диаметрами* нмеютсп а виду контуры на сфере, начальнью и конечные точки которых лежат на противоположн ых концах диаьютроа сферы. — Прям, лерм

точку при не прерывно 兑 деформации, вторые — нет. Следовательно, группа 0(3) является двусвязной.

Группа SU⑵ генерируется фундаментальным представлением алгебры Ли, т,е> матрицами размерности 2x2. Выпишем общую фор* мулу для элемента группы SU (2)：

(422)(422)U = у“. ь/2 =坛 + jb，о, bo ■ cos 8/2,

(422)

(422)

b B n sin 8/2.

(4.23)(4.23)Следовательно, параметризация группы осуществляется четырьмя числами б。. Ь, подчиняюцщмися соотношению

(4.23)

(4.23)

2廿=】

Поэтому многообразие SU(2) является поверхностью четырехмерной сферы единичного радиуса.力о многообразие, очевидао, одаосвязно.

Различие между SU{2) и 0(3) может быть продемонстрировано на простом эксперименте. Прикрепим стрелку указателя к потолку м к полу при помощи резиновых лент, как показано на рис. 4.1,G. При повороте стрелки на угол 21r ленты переплетаются так, что это перепле* текие не мо^ет быть .устранено прт помощи непрерывной деформации лент (рис. 4-1,0* Однако после вращекия ирелки на угол 4гт эту операцию произвести удается (рис. 4D На рис. 4・2 Показано, как это сделать.

Этот эксперимент показывает, что вращввие на 2тг изменяет поло жекие стрелки относительно окружающих ее предметов (лент), несмотря на то что ориентация самой стрелки не изменяется. Только враще- кие на угол 4тт оставляет всю систему инвариантной. Группа SU{2) различает пошфоты на нулевой угол и ив угол 2тг, в то время как 0(3) идантнфииирует их, игнорируя резкиоаые ленты. Более cipore, SUQ) содержит центр - подгруппу, состоящую из двух элементов {±1), коммутирующую со всеми элемёнтими группы- Группа 0(3) является фактор-группой SUR) га/ Za： 0(3) = SU^/Z?".

В качестве другого тфимера рассмотрим группу и⑴.Поскольку ее элементы имеют вид ^Qt многообразием U⑴ является окружность единичного радиуса, которан предстляет собой комгактное миожест-

” Тсмм^ S0(3) = SU{2yZ,. - Прям 〃审ев.

РНС・ 4.1. Укаэеталь, пдаешенныйна четырех лентах: в-е=0； В： уквэегвпь повар- нут вокруг вертикальной оси на угол 6 = 2и： перехлесты рвзиновык лонг нельзя устроить непрерывной их деформацией； • ■ указатель помрнуг ке угол 8 * 4м ситуация теперь топологически эквиеапвнтиа опучшо а (см. рио. 42).

РИС. 42. Как устрвлнть перехлесты резиновых лент на рно. 4-1>

во。Но это ьшсгоображ не является односвязным. Существует бесконечный набор классов зимкяутнх путей вдоль этой окружности, отли- щнощихся чнслом bztkob BR"b вее. Пути с различным числен витков не могут быть непрерышю Деформированы друг в други. Накрывающая группа, разумеется, одаосвяэнв, но не шляется кмшактнМ, 口а скольку ее многообразие - интервал на дейсткительвой оси.

4・ Общие замечания. Мы ограничились обсуждением свойств конечномерных унитарных матриц. Некоторые из рассмотренных свЫ1ств являются более общими. Например, антисимметрия С^, следующая из (4.11), имеет место для любой компактной полупростой группу Ли. Полупростой группой Ли называется группа, алгебра Ли которой не содержит абелевых подалгебр» Теорема Картана утверждает, что группа Ли является полупростой в том и только том случае, если det || d 0, где матрица gab определена формулой (4-8)- Отсюда следует, что для полупростой группы Ли матриЦи %卜 может быть диагонадизована, и ев собственные значения равны+1 или в зависимости от выбора - Если группа компактна, те вое собственные значения могут быть сделаны раюыми +1, откуда сразу следует

Как будет видно из дальнейшего изложения, необходимыми и достаточными условиями для построения калибровочной теории полей Янга — Миллса являются полная антисимметрияи ^выволне

нке тождества Якоби.加о означает, что расематриваемая групна Ли должна быть компактной по л у просто б группой, структурные константы которой удовлетворяют тождеству Якоби, Тожество Якоби выполняется автоматически только для алгебр Лил образованных конечными матрицами; для бесконечномеряых матриц оно может не выполняться.

Лостроение теории попей Янга - Миппса

Глобальная калибровочная инвариантность. Поля Янга - Миллса появляются при расширении глобальных калибровочных симметрий до локальных. Мы начнем с овисания глобально калибровочно- инвариантных систем.

Матричное представлевие элемента группы Ли U получвется при обобщекии выражения для элемента группы。⑴ Мы ^дем по- прежнему называть соотаетствующее преобртзовешие калибровочным {оно действует is простршютве* размерность которого определяется выбором представления). Если матричные элементы и не зависят от пространстаенно-временных координат, то и назыенатв глобальным калибровочным приобразованием. Если же такая зависимость есть, то и называется локальным калибровочным преобразованием.

Глобально калибровочно-инвариантная система полей (именуемых полями материи) образована, вообще говоря, полями, имеющими несколько компонент, для которых будет использоваться коллективное обозначение 屮仅).Компоненты группируются в мультиплеты, преобразующиеся по ощюму из неприводимых представлений группы Ли G. Вообще говоря, эти неприводвмые представления различны для разных мультиплетов.

Мультиплет может содержать бозонные или фермионные поля, н。 не может содержать и те и другие, поскольку бозонпые и фермионные попа подчиняются ^злюшым коммутационным соотношение (коммутации и антикоммутации соответственно) и не могут преобразовываться друг через друга1*.

Плотность лаграв*кана обозначим ^。卄佇).d"+{x))・ Тогда глобальная калибровочная инвариантность означает, что

光o(U屮，》UW)=疆(w，а中)，(4.24)

Из лорекц-инварнантности теории выгшт следующие следствиям

а. Фермионные поля 屮(спита 1/2) являются комплексными дара- ковскими спинорными полями. Канонически сопряженное 屮 поле есть i屮т.е. ф появляется в в комбинаиии i屮'j・

6・ Бозонные поля р могут быть как действительны ми, так и комп- %екекыми・ Канонинзски сопряженным ф является поле ф*, т・е・ Q появляется в £ ° в комбинации

Вместо двух независимых компонент комплексного бозовиого поля ф и ф* можно рассматривать пару действительных полей - действительную-и мнимую части поля §・ Соответственно элемент группы преобразований G может быть записан как в комплексной, так и в действительной форме. В качестве примера раосмотрим комплексное бозонное поле, ереобразующееся по n-мерному неприводимому представлению G. В этом случае присутствуют 2п независимых полей, котерые

Чтобы включить бозоннью и.фермионные поля в один мультиплет^ необходимо расширить класс допустимых преобразований(см・，нвлрмыер.

ТООТООГ1ММ4

ТОО

ТОО

можно представить деумм столбцами!

«25)

«岡

здась з — элемент адгобры Ли:

» ■ 8 丄

И27)

где з@ - действительные 1шфиш«тезимальныв п^аметры* a L — эрмитовы матрицы раэйеряостм 仆％ ямякшеоя генератсфамк G в рассматриваемотл гфещтилёаю1； J обозначает матрицу, тра^оло. вированную по стншешДО к

С другой сторсжы. можно рассматривать в качестве нзавмм мш полей действительную н мнимую части 明

(428)

где Л и Р - п-компонентныв действительяые поля. Используя (4.26), легко находам, что пац де%сп«№М кк^ияятъзимвхьвсго тйб第в04* ного прбо(^)азов8лия лив преобразуются следующим образом!

4т / + 44,&4 ■ -g(® _ *4 + J (« + з7)乱

В т В + ЗВ,SB п

1

2

(4-29)

2

Попишем (4*29) в терммнвх 2№кшпсшнгного дейстнельнотю поля: фв(в)

Фт@ + а, 4 ■ у*,

/ Im L4 Re 厶Д ,„ е

{■Re 厶 1m&J lEmZuCn).

(4.30)

Поля Янга-Ммллое； неебмоаы капмброючмы» тюрми

TSU j ПРИМЕРЫ $а(2ЦЛО1ЬТИППЕТОВ

ГенераторыLa *

(a = 1怎3) ПР№Ш№№жО0 的амй*2**ю* представление иредотнлеми.

Замечания ттдК°,К*мдмА алвмвмт столбца -

(а » 1.2.3) комплексные дира»ю»сккй опикор с « комп- дайствитвльныв шсла Есмыми компонентами

Для иллюстрации ютог как преобразуются различные поля( вхо. дяаде в lUEGCTb лагранжиана, рассмет[»1М в качестве группы g группу иэослмна SF(2) и ыыберем следукчциЛ мультиплетный состав полей матер№： 屮= {к,ЕМ凡工卦(4.31)

Трансформационные свойств этих полей приведены в табл. 4.1. Сво> бедная «лотаость 題граижиаиа, обладающая глобальной калябрсиючной еммметрие貞夕 запишется в виде

(4.32)(4.32)^а(*, а”屮)=制屮我"磊+乙га噴

(4.32)

(4.32)

+ 制М - m)N + 决 М - МЦ.

2. Локальная капибровочнап инвариантность. Рассмотрим локальное калибровочное преобразование

(4.33)(4.33)屮(х)-(/⑺中⑺，

(4.33)

(4.33)

ат(*)-* u®卄屮a) + 口笺⑴搜沁

Поскольку 尹〃а)《о. 3~⑶ преобразуется не так, как Т, что разрушает калибровочную инвариантность £°. Чтобы пшшть* как сократить нежелательный член 屮* достаточно расо^отреть инфинитезимальное локальное калибровочное преобразование

6 屮(X) = 一j3a)屮«%

眼T(项u-加⑺/屮⑴-电%(*)]♦(*%(4*)

где 3住)—элемент алгебры Ли. Определим ковариантную производЕую формулой

+ igA^x)^)t(4_35)

где ~ элемент алгебры Ли;

^x)^Aa^x)La.(4.36)

В (4.35) появились .V кали而овочных полей 4 口⑴(а 注 1,…，N)» на・ зываемнх полями Янга 一 Миллса. Под действием вафинитезнмальных локальных калибровочных преобразований ковариантная производнак преобразуется следующим образом:

ih屮f [/ +心精R+ &4叨(屮+ 6屮).(4.37)

Заметим, что 6屮=-i^ не коммутирует с 4丛 + §4以,поскольку и з м А" + 64M являются элеиентши алгебры Лк. Вариация под Аей* ствием локального калибровочного преобразования дается формулой ^°Я*)= Тз!)产屮-首｛&4"-，％+ “®, /用卜. (4.38) Чтобы D% преобразствдалось как f, необходимо потребовать сокра* Щ0НИЯ второго слагаемого в (4.38), а именно должно иметь вид 必气n) = ； 8%(外~帀必，Л卡叨.(4.39)

матриц и используя (4А2)Лматриц и используя (4А2)ЛУмножая обе части на L , вычисляя следы получаем°

матриц и используя (4А2)Л

матриц и используя (4А2)Л

‘4也)=；"稣⑴ + C^b(x)Ac^‘4也)=；"稣⑴ + C^b(x)Ac^(4.40)(4.40)

‘4也)=；"稣⑴ + C^b(x)Ac^

‘4也)=；"稣⑴ + C^b(x)Ac^

(4.40)

(4.40)

где использована антисимметричность СаЪс. Таким образом, замена обычной производной на ковариантную (4.35) делает £° инвариант- н。血 относительно локальных калиброванных лреобразовавийс

Чтобы рассматривать поля Лд ц в качестве динамических объектов» необходимо добавить к плотность свободного лагракжиана этих полей, которая должна быть квадратична по пронзводным ■ по простравственно*времеЕШым координатам，а также лоренц*инвари- аятна и калибровочно-инвариантна. По аналогии с максвелловским полем можно попробовать Ш1ределить тензор напряженностей jUda V - ^Аа и, но он сложным образом преобразуется под действием калибровочных преобразований (см. (4-40)). Мы ищем тензор ва- пряженностей, преобразующийся по неприводимому предстаялению которое полностью определяется заданием структурных констант С"с • Следовательно, нам 却心。использовать присоединенное пред- стввленив. Указанные требования приводят к формуле

Fa^)»d^Aa^> — 3&*а)一 gCabcAb»\xMx). (Д.41) Соответствующий элемент алгебры Ли 尸*“ =尸@ ^Ьа дается выражением

' &幺产(х) + ig[A^x).力弋х»(4.42)

Ишюлыэуя (4.42) и тождество Якоб% можно показать, что при инфинитезимальном калибровочном преобразовании

尸X出尸一r).

Используя (4.6) и антисимметрию С0 6cli мы адим, что Cabc = -i{Lb}ac Поэтому

帆73山),K吗(4,44)

а это Доказывает, что f^v иреобрезуетея по присоединенному представлению.

Мы показали, что для того,.чтобы получить формулы (4ЛЗ), необходимо использонать тождество Якоби и антисимметрию %死， Глэшоу и Гелл-Манн [ 47] показали, что их использование необходимо также при доказательстве обратного утверждения, т.&・ что из (4・43) следует (4.42). Таким образом, выражение (4.42) однозначно опреде* ляеt尸叫

Выберем теперь плотность свободного лагранжиана калибровоч* ных полей в виде кялибровочно-инвариантного выражения -乂及"”尸。必卄 (табл. 4.2). Множитель 乂 пишется в соответствии с общепртшятым соглашением.

Таблица ЛОКАЛЬНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Ин(|мнитезимапьн ые преобрвэования

№,(х) = 7巾*)(l.%»"),

6屮(х) -屮(jf)

Конечные преобразования

Ffr)T UtxyF^xyU^Xx)

Полная локально калибровочно-ннвариаятная плотность лагран,- жиана имеет вид

S 二 Т月+ 疆(屮,(4.45)

Это плотность лагранжиана янг-миллоовокой теории1*. Для построения (4Л5) необходимы и достаточны следующие условия:

выполнение тождества Якоби,

полная антисимметрия структурных констант Сд6с .

” Но не эйнштейновской теории гравитации, в которой используются не векторные, в тензорные калибровочньл поля. Причина состоит в том, что груша Лоренца нвпяется группой лространственно-временн ых преобразоеа- ни九 твк 50 мндвкс генератора групп» гшляетря также пространственней времени ьм.

Второе условн? означает, что рассмотрение должно производиться для компактной полупростой группы Ли G {разд. 4.2)・ Первое условие автоматически выполняется для конечномерных матриц, но может не выполняться для беско неч номерных матриц*

Единственными произвольными параметрами, испольэовашо^ш в определении (4・41), являются g и нормировочные множители» устанавливающие соотношение между наборами СаЬс , отвосящимися к различным простым группам, содержащимся в G. Произвольность с . для простой группы гарантируется условием (4.12)・ Параметр g назы・ вается калибровочной константой связи^t Он фиксирует относительную шкалу калибровочных полей и полей материи. Для простой группы G его можно устранить переопределением калибровочных полей:

入广口〉■ gAJ(x>(4.46)

Если группа G не простая, то для каждой простой подгруппы и для каждой группы (/(1) появляется своя независимая константа связи. Вообще говоря, не все эти константы связи удается "спрятать" изменением шкалы полей. В дальнейшем мн будем предполагать, что группа G простая (и не является группой (/(])); соответствующие обобщения проводятся тривиально.

仆仆Полные выражения для конечных калибровочных преобразований легко могут быть получены из выражений для инфинитезимальных праобразований. Они приведены в табл. 4・2・ Заметим, что Q 尸〃 и пропорционально еле叫 Tr(F^pv F。戸卜 который, очевиддо» калибровочно-инвариантен, Чисто калибровочная часть дается фс^улс^

仆

仆

工"(к) =и(х)д^и~\х) (чистая калибровка),(4.47)

комбинацию 許 41T — кон*комбинацию 許 41T — кон*являющейся обобщ|3нием выражения для 8“з в случае калибровочной группы UilY Легко показать, что подстановка (4.47) в тензор напряженностей 尸""дает 尸""=0. Матрица и(х) не обязательно получается из U(x) = 1 путем непрерывного преобразования. Как и в случае группы U(1), это приводит к возникновению различных калибровочных классов.

комбинацию 許 41T — кон*

комбинацию 許 41T — кон*

” Параметр g часто назыазют зарядом, е стаитой связи, — "рм”. л ер аз.

105105Р^оР^о(4.50)(4.50)

105

105

Р^

о

Р^

о

(4.50)

(4.50)

Чтобы выразить (4<47) через з = ilnU, заметим, что инфинитезимальный сдеиг приводит к следующему сдвигу ' dU ■ еY“+d④-е-з =[必 е-ара(т dtuX叫(4.48)

Используя (4Л8) аместз с (4.47), получаем

/气X)=df ©."“幻口％仔)(чистая ка^бровка). (4.49)

4Л. Свойства попей Янг# 一 №пяса

Электрическое и магнитное поля. Определим электрическое Е 专 и магнитное В = BaLa поля, являющиеся элементами алгебры Ли, при помощи антисимметричного тензора (б-вектора)严" следующим образом:

или

в* =屮^科,N =-評В* (при & = 1,2,3).(4.51)

В терминах А" = (4°, А) получаем

饋=Л4。- Й°А*+ igGC, А0],

в* = ^А"—产£)-城£, А/(4-S2)

(fc, I, m - циклические индексы卜 Эти матрицы не являютcfi тлибоэо* но-инвариаитными. Они унитарно преобразуются под действием преобразования U <см・ табд- 4、2卜 Можно ваписать

4 u ▼ X 儿 + ^gCabc^b * Ac-

” НспСльэуетса известная формул“■ е' 4Зе".

Заметим, что

▼ • В« = £с必У ■ (Аб х AJ,(4.54)

откудв следует, что может с^ществовйъ ненулевая плотность магнитного заряда* Полный_магнитныЙ заряд ситределяетоя поверхностным интегралом, взятым на пространственной бесконечности, и существуют решения спвдаалъного вида (монопольные решения)» для которых, как будет показало в гл. 5, №лныб магнитный заряд отличен от нуля.

. Дуальный тензор. । Определим тензор, дуальный №. следующим образом:

(4%) тензор，*у антйсимметр!чен по ц, v:

3 2 1в Е Е Qо ^=3 2 1в Е Е Qо ^=

3 2 1

в Е Е Q

о ^

=

3 2 1

в Е Е Q

о ^

=

ii

i

i

Он получается из F"» взаимно 咬 перестановкой комподенТ1 Е иВ> Из 尸 J" и f^v мджпо построить лорен1иинварианты:

+冃〜=KBe Вв - Еа ■ EJ (скаляр),

^а^а^ = -Eq ♦ В4 (псевдоскаляр).( • '

В абелевом случ^з отсутствие магнитного тока гарантируется тож-

a 3产^ 匸 $, которое не имеет динамического содержания, а следует непосредственно из опредвляшя 尸不 — 8^4". В неабе- левом случае,(4.55) g тождество Якоби, можно тижаэнь, что

咽"+机优*卜0,

»%厂 gC^A屉 F尸二 Q.(4.58)

Можно также переписать (4.58) в вяДе

о% м о.(4.59)

где

0^= Йд+ ig^A^, ](4.60)

-ковариантная производная в присоединенном представлении^

калибровочная группа как группа по путям.《В прмсут№ вии полеО Янга - Миллса в каждой точке простраяств&«ремени су・ шествует независимый выбор 'ориентации системы координат в пространстве внутренних 呻азяных полей матем». Изменение ориента< ции локалмой системы отсчета при п^входе от точки м к точке x + dx скоррелировано с калибровочным (феобраа^анием Для системы полей ьштертш локальная ориентация системы отсчета в пространстве внутренних переменных безразлична, т・е. ¥(司 локально физически нвоишчимо от U(*)¥(x}・ Локальные калибровочные преобра* зования 4a(м}накже ие. изменяют свойств системы.

；В отсутстние внутренних симметрий ¥(#} - одно дейстоитель- аое поле. Утаерждэтю, что т(х> не меняется при переходе от х к x + dx, тогда означает просто, что Afp3pT(x> = 0・ 反■ б住"▼(明—комплексное поле, связанное с 1/( ^.калибровочным полем, так что физа не имеет физические шысла, то ва физическш Уровне строгости ¥(м) постоянно вдольесли 厶廿\^(х) | * Ohj№ 厶ja" + i 評a (x)]У(х) = о. в этом случае можно говефить о пираллель* н他 иереносе 屮伏} вдоль (от х до я + 厶),и мы можем пераформу* лировать это условие в терминах и( калибровочного поля：

忆6蛉)“ dx/产 + <M%r)mx)工 0-(4.61)

В случае полей Янга - Миллса мы пршммаем это за определение на ралл^лъийю переноса, причем /"(%)二 4。"(x)La ♦ "отьная система координат во внутреиием пространстае определяется матрицей, прад< ставляющеО элемит алгебры Ли 4“(案}, т«е. полями 人^“伊} при фикси* рованных геиереторах %

Прещголожим, что 屮⑷ параллелыго переносится вдоль пути Р, котпрыб параметризуется параметром s, 0《s $ 1。Тогда в каждой точке х, лежащей на пути Р,

# 竺 + igA^Ws) = 0,(4-62)

「де ¥也)=¥(#($}), 4“(s}三 4^(x(s 儿 Решение уревнения (4*62} имеет вид

屮⑴.Г «p(7g『击'(dx*/")4G'))]屮(°),(4.63)

где Т - оператор упорядочения вдоль пути р, который расставляет матрицы /(6 ) в порядке возрастания s в каждом члене разложения экспоненты. Таким образом, с каждым направлением Р шязана ма^рад П⑺不味必"⑴)(4 64)

котора^ является зависящим от избренкого пути представлением эле- мента С. Конкретное предотавдеиие фикспрует” выбором определен- н：го представледия для генираторов ( в элементе алгебры Ли 4 ⑻ 0 J (号％ • Значение Q(f^ состоит в том, что Q(p)ос^цесав- ” ка喻х&з щ>еобразовани6*"唄)аде皿 пуш а

*(^) = П(Л*(^(4 65)

где 囂°, к〕"- начальная и конечная точки пути р； х(0| * м , *[} = х в

向 Догнием кащйрсеочнсго преобразования U(x) Q(工} преобразуется следуювдм образом:

Q'⑺=實修)0(f)[/7(%).(4-66)

откуда следует, что для замкнутого, пути С TrQ(C) калибровочно- инварийнтная величина..

1tMe^皿皿4»8州：Пусть，価卜 U(*N(X)・ По определению q'(P}

屮秋"(%，(4.67)

U(Xi)O(P)屮(死)=6(狞〃«о)屮(№), Ug)Q(P)=硏尸)實喲(так *ак произвольно».

Следовательно,

Для инфинитезимальногоДля инфинитезимальногоUg)fi(P)UT&) = £У(Р)・

Для инфинитезимального

Для инфинитезимального

замкнутого контура площ&ди dx%/

ин*ин*Дтаз^лъс^ох Перенумеруем стороеы прямоугольника при по- :мопда индекса п = 1, 2, 3, 4, как показано ка 吟 43 偉ж любш

ин*

ин*

РИС. 43» Инфинитезимальный пространственно-временной прямо угольник^

финитезимальном перемещении dx вдоль оси м с точностью до члене® второго порядка имеем

а((h) = 1 - ig业m力气工)-如2 <1Хmg/气分工也).

心也⑴.心也⑴.Введем эбозаечение

心也⑴.

心也⑴.

/грань л

Пользуясь групповыми свойствами Q, получаем

dy) =n1。#3(14 = 1 - ig(入 1 + 人2 + 入3 + 人4)

-g^AjAj +入1入？ +勺入4 +入2入3 +入2入4 +入3入4 + |(Л12 +人22十人32 +人力1

Комбинируя интегралы вдоль параллельных граней, получаем •

入)+入з = (J — j fd) dz*A»(z)

=d^— I dz%(z) = d…4()

§2[Л1Л2=-g2 dx*4 dyf工气Л\х)1

Следовательно,

n(dx dy) = 1 - ig dx 产 dy

Если Q(P) кзвестна для любого пути 巳 то &(*) определяется дифференцированием по крайним точкам путип Клаосическая калибро； вочная теория может быть полностью сформумрована в терминах Q(P} [48]. Но каноническое квантование базируется на квантовании

”先,*к”先,*к

”先,*к

”先,*к

Полн Янге — Миллса： неабелевы калибровочные теория111

Аа^(х)г которое проводится в гл, 8, Если Q(C) известна для любого замкнутого контура С, то имеется вея физическая информация о классическом калибровочном поле (примем излишняя информация отсутствует) [49].

Чтобы проиллюстрировать практическое использование Q(P), пока- жем, что лю5ал пространственно-временнал компонента Лац(х) может быяъ сведена к кулю посредством непрерывного локального колмбро. «очного преобразования^ Если пространственная компонента равна ну- лю, то соответствующая ка^бровка 4(口(才)называется аксиальной, Ecjw равна нулю Временаая компонента, то говорят о временной ка. либровке. Предположим, что Мы хотим сделать А。° =0。 Пусть р ■ прямолинейный путь в пространстве-времени с начальной точкой % = (0, х) и конечной точкой х = (f, х)- Рассмотрим

П(Р*) = Т «ф卜ig I 曲№(「，x}).(4,69)

Очевидно, что Q(P*)二 I при % = #。. Если 4c °(м) еще не рнано нулю, то проводим непрерывное локальное калибровочное преобразошшие W=[。旧)尸；U(x“ = QPQL 二 1.(4,70}

Тогда, как это следует из (4.66),

П(8) т и(х)а(Рл)и~\х0)=『但网(己)=1,(4 71)

откуда слёдует А^(х) = 0,

4Л・ Канонический формализм

Уравнения движения.1 Рассмотрим классическую плотность лагранжиана

+— /л)也(4.72)

где ф - набор комплексных бозонных полейт 也-набор фермионных полей, ат— массовая матрица с постоянными компонентами- Поля преобразуются по определенным неприводимым представлениям ка- либровочной группы Go "лен с бозонным самодействием калибрсжоч- но-инвариантен：

(4*73)

Чтобы проквантованиая теория ^длз перенормируемой,卩仲)должен быть полиномом по ф и ф* степени не выше 4a Из тех же соображений самодейотвие фермионда не рассматривается. Все взаимодействия, кроме К(ф), переносятся калибровочным и полями 编"，связанными с полямн р 用屮 только через ковариантные производные Орф м D”屮• В дальнейшем в этой главе рассматривается классическая теория; ее квантование будет рассмотрено в последующих главах.

Поля ф, фв могут быть заменены эквивалентным набором полей Re q>, 1шф. Единственный случай, не описываемый лагранжианом (4.72), — случай М действительных полей 屮преобразующихся по присоединенному предстнилению. Соответствующая плотность свободного лагранжиана % D”9a D^a может быть при необходимости добавлена к (4/72). Мы ие рассматриваем также взаимодействия типа Юкавы общего вида 石,屮*, -где индексы it ；, k обозначают компоненты полей. Разрешенные комбинации k зависят от группы G и от представлений, по которым преобразуются соответствующие поля, Эти юкавские связи могут давать вклад в массу фермионов, как это показано в

Отметим, что £ может быть инвариантна относительно глобальных преобразований более широкой группы, чем G, но локально ка・ либровочно-инаариантна только относительно G. Рассмотрим, напри> мер, G = SU(2); предположим, что имеются бозонные триплет {*，七，9?} и ^к^ к2^ и примем

V м q(r2 + 62 + 色2)+ b(K^K, + &*心)， 力。выражение инвариантно относительно независимых преобразований Ф и К группы §U (2)・ Поэтому группа глобальной симметрии есть SU(2) х SU(2), но калибровочной симметрией является только группа SU(2) одновременных преобразований 中 w К,

Независимые полевые переменные и их канонически сопряженные партнеры для системы полей, описываемых плотностью лагранжиана (4,72), приведены в табл_ 4。3・ Уравнения движения имеют вид

=-善，(以0”广=~，("4)

оф

- т}ф = 0,i(%@)片 + тф = 0,(4・75)

电(476)

Поля Яке — Миллса: нмбелввы цалиброолчные творим”,

Таб2 4 ПОЛЯ и КАНОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

nene

Каноннч»еки сопряишнай мпидмна

Кмибровочны* ПОЛЯ g

1 0(Р-0)

洋Ошлрныа ноля

Спинорные лолл

ГД6,《 ” 一 ток полей материи：

°(4.77)

=-ig^dvL^ g2Ab^{Lar s^L^}.

Tok 厶^ кнлибровочноинввриантен, но не сохраняется. С другой сто- Р^н, /」+ sCabcAb^Fc^v сахравяется,曲 не является калибровоч- ноинвнриантным.

Уравнение (4.70) можно переписать в виде

или

где определено в (4.00) и

广7厶.(4.80)

Сконцентрируем наше внимание на изучении калибровочных полей, поскольку поведение полей материи нам знакомо, если не считать возможного спонтанного нарушения симметрии благодара 卩仆)，которое будет рассмотрено отделыго.

Перепишем (4 Л в) в аекторяоб ферме：

▼'局 + gC血(4

* * В"祟 + g&M4缎 + a# B# f/g

где 三。w в, определены в (4・53)・ Выписанные уравнения являются обобщением уравнений Максаелла, но их нельзя записать так, чтобы в них содержались только и 0а,

Уравнение (4.81), являющееся обобщением закона Гаусса, не содержит Л4a °/dt・ Поэтому его можно использовать, чтобы выразить Ла 0 через остальные псля. О возможности проведения тако А процедуры говорит тот факт, что аеличина, канонически сопряженная А” °, тождественно равна нулю (табл. 4.3)< Это также очевидао из того, что 4 ° всегда может быть саедено к нулю при помощи непрерывного калибровочного преобразования (раза. 4・4)・ Если наложить начальное кал^ровочное условие, то (4.81) будет ограничением на возможные начальные значения 4 °, так что калибровочное условие будет учиты- ваться динамиков Перепишем (4・8]), выделив зависимость от 4〃 :

V2Afl° + m^°+^ = "^^)4 g&玩(V а)A\ (4.83) где

Mg м 2?C血儿 ' V + g'CamnCnlbAm ♦ А/,

Nb；gC畋仆 勺(4.84)

Еоли в некоторый момент времени фиксируется кулоновская калибров, ка V * Afl = то условие

+ МоЬА^ + 乂 = 0(4,85)

обеспечивает выполнение равенства “ V . А« )/8, = 0, так что куло- новокая калибровка остается спрааеАлив。伝 для любых моментов времени, Для группы (/(1) аналогом (4・85) является уравнение V24° = общие решения которого приводят к появлению кулоновского потенциал ла взаимодействия. Для расематрнваемого случая это уравнение связано с (4・82), поскольку Мд» и Na зависят от Аа ・力а зависимость сильно усложняет рессмотрение, и в нветоящее время общее решение клаосических уравнений движения неизвестно.

2。Гамипьтониан. Плотность гамильтониана может быть получена стандартным способом: К = рд‘ ■ £, где q — независимая полевая переменная, ар- переменная, канонически сопряженнан д：

'1'■■■---、-,，,'1'■■■---、-,，,気=+(% ♦ В。- Eg • Ел) - Eff ■ Ад + тт(^ 4- dj，(4 弘)

'1'■■■---、-,，,

'1'■■■---、-,，,

一(力”)‘(%，)+ V0)+ q ♦ D + m6卜 +時Y04。屮。

Второе слагаемое можно переписать в виде

-& • А = Е@ ・(Е@ + VAfl° + gC血МП

=& + ▽国39 -(4.87)

СледуЮщае слагаемое может быть записано в виде 庵 + п*ф* - (Q”)*(%,)-万(疗* - igA掩)

+ 1г*(тг + 屯. (D,)(4.80)

Следовательно,

気工 *(Ва ♦ В。+ Е。♦ Efl)+ 万•疗 + (D^)* ♦ (D$)

+ V。)+ ；С a ' D + m“@ + X,(4.89)

где

Используя (4,81) и (4.77), нвходнм, что в (4.90) сокращаются все ела- гаемне, кроме первого. Таким образом,

X = ▼ ♦(4.91)

и при категрировшши по всему пространству это слагаемое можно опустить. Следовательно, для полного гамильтонианв (полной энергии) имеем ■

№ ； (В。♦儿 + Е. ♦ Ея)+ 戸"+ (D“ ♦ (DQ

+ У(ф) + J ё a . D + m6卜］("92)

Независимыми полевыми переменными являются калибровочные поля Afl с каноничеекк сопряженными мм величинами Ea t а В выражает-

ся через А° соотношением (4.53). Всякая зависимость от 炉 исчезла. Гамильтсшман, очевидно, инвармаетен отаосительяо локальных калибровочных прео^аэ(冷ани丸 Если наложить полную калибровку, так что для каждого а независимыми остаются только два из трех ш> лей Ад, то результирующее выражение для Н будет зависеть 快 вида наложенной кали^овки.

Квавтовашв，к 屮 осуществляется наложением обычных коммутационных или аатикоммутациоаных соотношений и обсуждаться здвбь не будет. Но квантование 4^" затруднено необходимостью введения калибровки и，будет рассмотрено в гл_ 8.

Заметим, наконец, что для доказательства пуаек^е-инвариант< ности квантованной теории необходимо построить при помощи поле, вых oseparopoB бесконечномерные унитарные представления г^ппы Пуанкаря. Группа Пуанкаре является груинок Ли> алгебра Лй которой генерируется десятью генераторами: энергии, импульса, момента импульса м лорянцввых бустов. Частичное Доказательство да^о Швингером [50]. Пшшое ряш仆мне задачи, учитывающее всю саецифику не- абелевых долей, s янстоящее время отсутствует. В частности, возник。 дм новые пробшш, связанные с представ лениями опефвторов углото* го ммента, которые требуют более детального рассмотрения [51].

，筛ирущение симметрии

Малал группа. Спонтанное нарушение симметрии в сущеотву ющих моделях означает, что некоторые поля со спином 0 (хиггсовские поля) имеют иену левые вакуумные средние. Как это пронсходаг, цвди* кем эввисит от вида 卩(力[^едполагаетсчто поля с болмшши сшшв* ми имеют нулевые вакуумные средние, поскольку в протмнисм случае была бы опонтанно нврушена лорен*кнвариаетность, что, очшшю, противсфечит имеющимся этспериментальным данным. Как уже говорилось в гл. 3, реализация спонтанного яарушбния оммвтрж с исашг зовшшшл хигтсовоинх полей удобна с мате^тической точки зрения, во нв самом деле хиггсовские поля могут оказаться чисто феноме- нолотмчесжими объектами. В этом разделе мы рассмотрим прсДкему спонтаннот'о нарушения симметрии на классическом уровне, отклады， вал обсуждение квантовых пемтрнвок до гл, 10.

ЕЬедем для хмггсовсм» полей коллектаЕгое обознвчение ф и поедпо-

ложим, что V (f) имеет наинизший минимум при g 彳 р, причем потен- циал в этой точке равен нулю:

У(р) ■ 0,

Н(р) = 0,(4.93)

ПР) > 0-

Спонтаеное нарушение симметрии происходит при р 0< В этом случае вакуумная полевая конфигурация (решение с наименьшей знерги* е*) имеет вид

- 0.(4N)

Легко видеть, что (4.94) действительно удовлетворяет уравнениям дакжешся и имеет наименьшую возможиую энергию-

Как и в случае симметрии Uзначение р не является едннст- вевньы, поскольку U(*)p эквивалентно р. Но в отличие от абелева случаи U(I) Be все и(х)р независимы дауг от друга. Поясним сказанное на Примере.

Рассмотрим с • SU(2) и > (呼 с?» 中 преобразующийся по присоеднненноыу представлению. Пусть

叭.)"人($J +出+好一『产.

Пусть р ■(Р[* р?, рэ) 一 произвольный 3-вектор, удовлетворяющий урлоиию р： + Р； + Р； = а % та р является трехмерным аектороМ) кряед которого описывает сферу радиуса а ♦ Следовательно, Up ■ р для любого вращения сферы относительно р. Направим ось q вдоль р. Тбгда наиболее общее преобразование врахцзни% остаелякицее р инв^иаятиым> есть exp (-isLJp =,р, или L&p = 0. Таким образом, вшсуумное решение инвариантно относительно преобразований ид подгруппы U(1) группы SU(2). генератором которой нвляется В этом случае говорят, что симметрия S и(2) спонтанно нарушена до симме> рии 1/(1).

Возврящахсь к рассмотрению общего случая, подчертсием, что р является к^станто負,(т.е* все компоненты р не зависят от #)• Это возможно благодаря тому, что 卩(р) не имеет явной зависимости от х. Вместе с тем значение р. ве является единственным, поскольку 如 где и - глобальное калибровочное преобразование, хвквалеитно р・ Множество всех элементов и кз G, оставляющих р инвариантным» об-

разует подгруппу G. Поскольку р j 0 по прядноложению, эта подгруппа не освпада&г с G, а является собственной подгруппой Наибольшая подгруппа Й, останляющая р иниариантным, называется малой группой по отношению к Алгебра Ли малой группы генирируется уменьшенным набором {Q I гад即атсфов алгебры Ли Gl % }：

J(4.95)

При инфиннтезимальнсм 务еобразованки из И

6р =■ 0.(4.%)

Поскольку набор {з^ ] произволен, имеем

Qp ■ G0.吟

Годорят, что симметрия G сповтаяно нарушена до 乩

ЭлеМааты G разбивак>гся на классы эквивалентвости - подмножества G, образовавкые при участии элементов подгруппы 乩 а имеж

% 儿, г般q Н—подмножестто {Viu\vieG, ме#. Независимыми аекторами 戸 Up являются р. С[Р. С#, • • •, где С.叫 Н，Мвожество таких подмножеств, обозначаемое G/ft вообще говсфя, не является группой. Оно является группой тмда и только тогда, когдд Н является нормально подгруппой G (т・е・ U& ■ &U)，В этом олучае н авзывается факторгруппой, и справедлав закон умно »енвя {^Н)(иаЮ - 阳.

Генератпры G, не вошедшие в вабор " J по опредеявнию не могут сделать р равным нулю, поэтому мы можем разделить I Lal на деа непересекающихся подмножества:

{LJ = {J,

^р/6 " ■ 1,К),(4-98)

0 (а ■ 1,.…N- К).

Выбор {L.} и {/&} зависит от калибровки р и» сявдовательно, Неоднозначен, но количество генераторов в каждом иэ подмножеств калиб- ровочно- инваравнтно» Поскольку

30 > 1Щх)1а1Г\х^ 收川 0.(4.99)

Геаераторы {■ 1,…，К) генерируют Группу в том и только в том случае, если {/а 1 является нормальш)Й подалгеброй.

Чтобы продвинуться дальше, удобно использовать для генераторов действительные антисшметричные матрицы, виеденные в (4.18):

4 = TJ " = 1,…，X),

ta = -йв (а= 1, ...,N-X).(4.100)

Допустим также, что р имеет R действительных компонент, так что соответствующее векторное пространство — действительное цюсгран- ство размерности Скалярные промзиеДания в этом вектс^нюм гфост- ранстве будем обозначать следующим образом:

(4.101)(4.101)а 魂)■ Е £ 启а&. Л"1 Е・1

(4.101)

(4.101)

Лейстнительная симметриадая матрица( T^ р, Т,р) имеет положительные собственные значения. Следовательно, 7： р " К) - не* зависимые векторы,на которые натянуто Я-мерное подпространство исходного Я-мерного иектсфног。пространства. Необходимым уолони- ем того, 4To группа Я не пуста, является, следовательно, неравенство

Я - К > 0.

Мы будем называть К・мерное подпространство, натянутое на векторы 7\Р (i r 1, • • • К)・ юл^стоуповским проси^аястаомг а его дшюлиение 曲мефВостм R - к - хиксовским пространством.

Дяя любого иектора 中 в исходаом пространстве и кошакпюА группа G всегда существует калибровочное преобразование такое, что %中 ортогонально годцетоуноескому пространству;

(7> %外=0 (/=1,…，К).(4.103)

Преобразование UQ соответствует по(И1ряделению выбору упая#”о6 калибровки. Существование UQ может &ять доказано следующим образом [52],

Зададим р и р н рассмотрим ото^ахениб G нвдейсткстеллую ось, определенное соотношением

Поскольку G компактна, значення f (у) образуют действительное ком-. пантное множества Следовательно, f (и) имеет экстрямумы^ Пусть f {U。)— зкстремум. Малая вариация и в окрестности и。дает 歹+-/(%) = 0.

Но'любое юмевеиие группового элемента U может быть записано в вщв левого произведения на 碑упД групповой элемент. Поэтому можно написать

&U ■ з,Т№，

где мд прсжзволыш. Следоватвлыго,

О - fif = (р, шаТа1/оф) = ш；(р, Т^иоф)=-吗(7>, %♦)・

Ввиду произвольности ф имеем (〃р, U^) = 0.

Приведенный результат спряиедлив для любой точки простразср- вавремеии. Если 中(*) является решением уравнений деижевия, то 伞 должно быть непрерывно в простраютее-вр^ени. Следовательно, существует непрерывный по х алмвнт группы такой,-что %{х)Р ⑶ реализует унитарную кялиС^овку:

项(4.103)

必、，代、голдстоувовское пространство, к・меряое,

呎 JPl) \^(лг)/ хиггсовское пространство, (7? _ К)чиерное,

М・хш»м Хиггса. В унитарной калибровке вакуумное ре- шениа уравнений дшмем имеет вид

$«)"■©，(4.104)

4&г) ■ 0-

Рвшвнии# обладающие знергяе% близкой к вакуумной, имеют вид

#(*){+%}(4.105)

4《)малое f

где к q(х) и Аа^) малы, поскольку энергия является непрерывным фужциоя&лш л и

В первш порядав по л и имеем

1(咖)，(4.106)

/Л--^(ГвРтЗДАЛ

Введш следующие ттрицы (апоследствии они окажутся массовыми матрицами):

(〜(〜голдстоуновское пространство, хйггсовское пространство,

(〜

(〜

голдстоуновское пространство,

хйггсовское пространство.

(4.107)

Используя определения (4.107), запишем линеиризсюанные уравнения дмжения в виде

Ь% +(M>EL 0 (г = 1,.. •, R - К), 可J + (WML °(%" = 0) « = 1,К),(4Л00)

= 0N-K).

Уравиени窗(4.100) описывают массивные хиггсовские бозоны, массив* иые векторные бозоны и безмассовне иекторные бозоны (твбл. 4.4)。 Везмвооспме векторные бозоны — калибровочные шт* связанные с яегарушешюА симметрией

Чйсло массивных векторных бозонов совпадает с числом голдстоу- невских боэонов, появившихся бы в отсутствие калибровочного взаи* модейогма. Пэсмлмсу такое взаимодействие присутствует, голд-

Т^Пицв j МЕХАНИЗМ ХИГГСА

Симметрия G спонтанно нарушена до У.

N _ число генераторов G, К — число генераторов 我—размерность действительного представления G>

ПепеЧисло попей

% (хнггоовокое масоивиое) А ■ к

4 J (кяливржчное массихо#) к

也50 К・*51Х MDMOWTя - кВс»го 2N + R也50 К・*51Х MDMOWTя - кВс»го 2N + R4&" (мпи^Ьечиое беэмассовое) № ■ к

也50 К・*51Х MDMOWT

я - к

Вс»го 2N + R

也50 К・*51Х MDMOWT

я - к

Вс»го 2N + R

стоуновскнх бозонов нет - их "поглотилип массивные векторные 6о зоны.

Если поле ф комплексна к мы не хотим записывать его через цек- ствительные компоненты, то массовая матрица векторных мезонов может быть гфедставлена в виде

倘虱=^Jp"* / Р.(4.109)

Примеры, Проиллюстрируем тесретикогруппотые аспиты спсипан- ного нарушения симметрии на двух примерах.

Рассмотрим сначала G ■ 0(力，Ф я !<₽,, • • • > фп1 (фундамаггаль- ное представление) и

he)=a[(e12 +線")一抒.

Мы можем выбрать р ■ {0,・.•. О, « }・ Очевидно, R = О 仞■ 1). Группа О{”)имеет % 一1) генераторов, а О(п ~ 1) имеет U (и -- 2)

генераторов. Следовательно,

число безмаосовых векто^ых бозонов =- 1)(п - 2),

число массивных векторных бозонов 工}力(仙 一 1) - }(刁 一 1)(« - 2)

число хиггсовских бозонов равно еданицв.

В качестве второго примера рассмотрим G = SU{2), /V-З. Пуслъ скалярные поля 中 включают действительный триплет тт и комплексный Дубдаг К：

Выберем

У = м行]2 + "2? + 也2 -公产 + 入'(KJS + К^К2 - b2)：

Тогда

Генераторы представлены матрицами

где /« - матрицы 3 х 3 в г^дасоединенном препьавлеюш, а т^ - NaipM- цы 2 х 2 Паули. Таким образом,

—t.itl^iB—t.itl^iB

—t.itl^iB

—t.itl^iB

Рассмотрим случай Ь * 0 и случай 6=0.

Если “0, то К。《Q. В зтом случае генеретора. унич-гожаю- ВДго р, нет, поскольку ни одна % не уничтожает 勺.Докажем это. Предположим обратное, т,е” например, что т^Х = 0. Тогда 」［丁1 戸/К。- 0 или LjK。■ т2т3^о' "о 〜力=_)2弋・ Отсюда К。■ 6 (противорачие). Следовательно, в этом случае симметрия полностью нарушени. те Я пуста, поэтому 1) безмассовых векторных бозонов нет, 2) имеются тр< массивных ректорных бозове： 3) имеются три хиггоовсю(х бозона (действительное и комплексное поля).

ЕслиЬ то Н ■。⑴•

Топологичесние решения

5-1. Солитоны

Как уже говорилось в гл.З, классическое солитонное решение (сб* литон) - это реш^зие классических уравняй движения, для которого плотность энергии отлична от нуля только в конечной области прострен- ства, а следовательно, полная энергия конечна. Квантование приводит к появлению ссютвеггствующето квантового солитона. В этой главе рвс- сматриваются в основном на классическом уровне солитоны в тео(>ш полей Янга - Диллса.

Тзологииеское решение имеется только при наличии вакуумного вырождения (один из вырожденных вакуумов является физическим). Та пологическое солитонное решение на прострвнстнвнной бесконечности совпадает с вакуумным решением, топологически отличным от решения, отвечающая физичеокому вакууму. Именно это топологическое различие обеспечивает устойчивость солитона. Существуют также и нетополо- гические солитонные решения, асимптотжЫ! которых является физический вакуум [ 53 ]. Такие решения здесь не рассматриваются.

Сожгонные решения могут быть как статическими, так и занися-' щимн от времени. Статическим является солитон, для которого временная завдсимость 俏%) может быть устранена непрерывным калибровочным преобразованием. Такое определение зквивал&ггно утверждению, что эволюция 以仕(冗)но ^емени офедвляегся только чистЫ) калибров^, т.е.

Д f + df) = Л f) + - /ds(xj) -0,

или

б

где 3任)-произвольная непрерывная функция. Чтобы доказать указанную эквивалентвость^ заметим, что калибровочным преобразованием г (к) решение уравнения (0.2) может быты сделано не зависяиим от времени, где з(н) удовлетворяет уравнению

产研工)=i«[而卜)，4气x)].(5.3)

(5-4)(5-4)Решение уравнения (5.3) имеет нид 矶х) к П(7>%)ПТ(Р),

(5-4)

(5-4)

где Q (Р) определяется формулой (4.04), а путь Р начинается в^ и кон- чдется в %. Иэ (5.4) после интегрировадия по временной кюрдинате можно найти з(#)・ Хота з&) зависит от выбора пути Р» временная зависимость з (я) не зависит от пути, поскольку концевые точки Р фиксировав ны. Прмзвол в выборе пути Р связни с калибровочной неоднозначностью ”(％) при не зависящих от времени калибровочных пре唸)аз<ваниях・ Ка- либровку, б которой статическое решение не зависит от времени, мы будем называть ^ишикичеокой.

Статическое решение, обладающее конечной энергией, - это либо вакуумное решение, либо статический солитон. Теория чистого янг-мил- лсовского поля (без учета полей матерш) обладает следующим сво九 отвом [54]:

Ояаючеаки^ рвшеяил в теории чистого яолл Янга - Миллса суще- сш^юя только длл теории е четрвхмерпом праспрапст^е, Доказжлъ^о. В (п + 1)-мврном пространстве Минковского про- странотненновремсщной ни деке обозначим через “ = 0,1,..., % а пространственный индекс через АРассмотрим статические ре-

шеиия с конечной энергией, отличные от вакуумных. Выпишем канонический тензор энергии-импульса:

-f宀」+犷名呻50).

Он кали^овсчьо-инвериантен и, следовательно, не зависит от ^а. В дальнейшем нвм понадобятся следующие величины:

产=^F^ + +F0F3

…F『FF・

Конечвость энергии решения означает, что

/d%(上 g。尸；仪寸)<8,

откуда следует условие

"" 0(广"2一)(£> 0),

где 戸三 S^ = 1 *j .Покажем, что для статическсгЪ решения Fa "° = 0.

В статической калибровке 旷А& = 0. Тогда из (4.22) следует

丁。二 /4。+

Уравнение даижения (4.78) записывается в виде

Следовательно,

^F^ - (%A°)M + tg(A^AkFkQ - 4T°4) = 0,

Tr J d叮｛年 A + ig[Ak, 4]｝冲=0,

Tr f= 0,

Поскольку 尸J° 尸丿° = I，I’ неотрицательно, из последнего равен* ства следует 尸° "°尸 = 0. Следоветельно, в отатичеокой калибровке Е » =色 = 0. Поскольку под действием калибровочных преобразови- ний^4° 一 〃尸〃01/一1 можно сделать вывод, что .^0 дяясгапмесксго решения в любой калкбро史е. Рассмотрим теппрь

乙* = 0 > dofl°*+dX = 0,

力(У”) ・叫一1前8吟

Для статических решений второе слагаемое в лоследаей строчке равно нулю. Поэтому

0 = 1 ^х^(хк^) = J d^e\・

Используя равенство 九 =叫, получаем

J d"R(2 -冷，°/?。- *(4 一 и)^*^] = 0.

Как было показию выше,尸 J° , 0. Следовательно,

(4 - л) 3xFjF3 = 0.

Отсюда следует, что 尸^ ‘‘ = 0 при п ^ 4. ■

Если n = 4f то статическое решение ур^нений движения для чисто го поля Янга - Миллса может быть построено в явном виде. Примером такого решения является нистантсш, который рассматривается в разд. 52・ При п / 4 статические солитоны могут возникнуть только при учете взнимодейстния с полями матпрни. Примером может служить монополь в пространотве трех измер^иЙ. Монопольное решение рассматрив^тся в разд. 53 Квантование еслитонного решения требует правильного уче* та возможных перемещений солитона как целого, что является сложной задачей [ 55]. Мы не будем обсуждать этот вопрос.、

5.2. Инстантон

Топологический зере。. Кан показа。выше, теория чистого я н г-мил лсовского поАя допуск евт существование статических солитон-

， ных решений только в четырехмпрном евклидовом простретстве. Мы построим пример такого решения 一 нистаитонное решение. Оно характе- 犧 ризуется ''топологическим злряаом", отличным от вакуумного. Может / возникнуть в(шрос: почему нас' интересует явл^зие, имеющее место f только в четырехмпрном ежлидовом пространстве? Ответ сослмт в том, g что, как будет показйю в гл. 7д квантовая тбс^ия пож в чшырех产вом 金 прострйютве Минковского жвивалентна классической теории поля в четы- & рехмерном евклидовом пространстве, Г^именшие №ст&нго<шого решэ-

ния для анализа физических явлений обсуждается 8 гл. 8.

В этом разделе мы рассмотрим случай G ■ St/(2). Вектор в евкли- р довом 4-п(юстрй1Стве обозначима^ (u = I, 2, 3f 4). В этом случае верх- ° ние и нижние индексы не различаются. Можно рассматривать 犷 либо как пространственные компоненты вектпрн в пятимерном прсстравстве : Минковского с метрикой (I, I, - I, -- I), либо как 4-вектор в

； обычном 4-прострнистве Минковсжсго свршенн^ компжатой, продол- j ж^зной аа миимую соь: ж® - ■ j外.Топологический заряд равен 卜 g ■名(d」Tra，&,・(5.5)

Покажем прежде всего, что подынтеграявное выражение является

4-дивергенцией:

Х^^е^Г^А^А^ ^g^AsA J・（5.6）

Домзшлелылво^

Последнее слагаемое не дает жлада в отает^ шсжохьку № сикметр№ но под, Имеем

=£吋”Тг®（АИ»4） ~- ^аАМ^

Дни последних члена равны между собой и. равны левой части. Поэтому

ei0[&AM4卜Тг（ЗЛ）

Оконедтедьно подучаем

，П f」е^ап Тг（ММ4 + ^А^А^.

Заметим, что щэиведашое доказательогво афаведкю） как для ждид> ва ^пространства, так и для ^пространства Миниовскто. Используя （5.6）, можно написать

"彳）也%肝・彳Jd&『，（5.7）

「де dS^ 彳 элемит трехмерной сферической гиперповеринссти S3, радиус которой R стремится к бесконечности.

Наложим теперь условие конечности энергвд:

->。（广3）.户+ 恻2,

где U w SU ⑵，Пусть

М 鼻 W^1.(5 9)

Тогда 4"* ■ (i / g)/・ Подставка в (5.6) и (&7> дает

,(5.10)

q=而l dS，£…F(A"以)

Чтобы выполнить дагетрщмдаание по поверхности, пара聞рдам 53 ip^ мя углами $2，83 . СЬответотЕ^кмцие единичные векгсфы (4-векторы) обозначим 窮,窘,6； (а =4), причем•

Для единичного вектора, перпендикулярного NS屮 имеем

人疗=】，(5-12；

Используя (5・12), можно написать dS^ :е лу^5 ; следовательно.

dSQ県卜S 2瓦喇喇*

咼咼

咼

咼

dS&* 的 n”№)dS&* 的 n”№)=柒］dS評 П(*2М),=柒］dS評 П(*2М),гдеm■"=1, 2, 3).гдеm■"=1, 2, 3).(5ЛЗ)(5ЛЗ)

dS&* 的 n”№)

dS&* 的 n”№)

=柒］dS評 П(*2М),

=柒］dS評 П(*2М),

где

m■"=1, 2, 3).

где

m■"=1, 2, 3).

(5ЛЗ)

(5ЛЗ)

Следовательно,Следовательно,хк^шки-\хк^шки-\dSM Tr(M&*),dSM Tr(M&*),(514)

Следовательно,

Следовательно,

хк^шки-\

хк^шки-\

dSM Tr(M&*),

dSM Tr(M&*),

Очевидно, ? = 0 при У = I и ?^ _ 9 при 犬一 ■入匕

Понажем теперь что g инв^ишстен относзтгельно не^ерыгных калибровочных преобразований.

Доказателъстбо, Любое инфинитезимальное изменение U может быть представлено в виде

ити(1 一加)，

L т(1 + 加)

где 3= щд (x)La - произвольный инфинитезимальныЙ элемент алге^ы Ли. Таким образом,

SU = -iU^t 6UT =加{Г*

&Z&Zd$M* Tr(ka«A±)d$M* Tr(ka«A±)dSW Тх[(М)心* 十 *(ЬА「* + М"(ЬА*)]dSW Тх[(М)心* 十 *(ЬА「* + М"(ЬА*)]5А* = «(U/t/T)匸传U)(/t/T) + Udk(SU^) = iU(/g)ir】,

&Z

&Z

d$M* Tr(ka«A±)

d$M* Tr(ka«A±)

dSW Тх[(М)心* 十 *(ЬА「* + М"(ЬА*)]

dSW Тх[(М)心* 十 *(ЬА「* + М"(ЬА*)]

dSe" ТН(иа'ит)(и»ит)17(е^)^'1]

批 dS胪 Ti[(f Ur)(〃ur)a}

-^к Tt^d^u1)^^ + ©ит)(/»и-】)<4

Первый член исчезнет, поскольку S з неограниченна, а второй - нз-за присутствия Следовательно, 6g = 0. ■

Из приведеавого доказательства нельзя сделать вывод о том, что ” 0, поскольку U разбивается на классы эквивалентностиf которые

? нальз% связать непрерывным калибровочным прео^азованием. Это может быть продемонстрирован。следующим о®азом.

Для % w S $ U ⑻ осуществляет ото^ажение S& на групповое мио , гообразие Su(2)・ Эти отображ^шя раавдаются на гомотопические классы, характеризуемые степенью отображения 叫 Значение п равно числу раз, которое групповое много。师азие S з накрывает прсстра!ствеаную S3. Предстй1ителем n-го класса является

” U(x)=值(工)丁 (и = 0, ±1, ±2,-・，)，

写Г\/(5.15)

I Для каждси'о класса значение g является инвари^том и обозиачае'гся 京 7 . Легко показать, что

£(5.16)

笈 Необходимо, следовательно, вычислить только %:

А'А*)'(5.17)

A* =温%.

Чтобы вычислить %, заметим, что интегрирование пронэводитея по значениям х, принадлежащим S з. Переход от однсго эначедни % к доуго- му на сфере эквивалентен вращению S * л результат тйюго вращения всегда можно компенсировать некоторым непрерывным изменением % а оно не меняет д. При непрерывном изменении подынтегральное выра- 海、 жение в (5.17) изменяется на полную 4-дивергенцию д^, Следсвате^ w но, можно взять подынтегральное выражение в некоторой точке % а В его изменение равно полной дивергенции (5 片口，которая после интегри- Ж рования не дает вклада. Поэтому для вычисления достаточно вычис- Т лить интеграл при некотором фиксированнома затемуцюжитьрезуль-

» тат 晔 объем S * равный 2л2. Удобнее всего выдать точку =1, >х = 0. В окрестности этой точки можно ввести 3-мерную декартову сис-

>тему координат с осями х , х х^ , лежащими на S"» н взять §. = к.

£2, 3). Тогда в внбранн翁 точке имеем

Следовительно, А* ■吋 откуда следует

01 = (2"》(疯:'/"тr(丿~т") 1.

Таким образом, возможные значения тсйюлогическсго зярада для ювс- сического янг-миллсовского решения с конечной энергией имеют вид

拆=% S=o, ±1, ±2, •・・)・(5.18)

2» Явное р^штш (57]. Перейдем к построению явного решения при « = 1. Пусть % - %, к используем сокращенное обспначение

户=产"尸乂屮 FF п *"尸W Заметим, что 产=戸.Выпишем выражения для плотности лагранжиана и евклидова действия:

S=-，d&Tr 产."⑭)

Искомое решение реализует экстремум S. Рассмотрим неравенство j^xTrtFi^^O,

или

](^(尸±“円之0.

Знаку плюс соответствует Тг 尸，尸〉0, а знаку минус Тг F*F <0- Получавм

jd^TrF^&ljd^TrF-F ,

или

(5.20)(5.20)Ss Ч /打П户户

(5.20)

(5.20)

Знаку равенстви отвечает случай F = ± F. Соответственно 尸 называют сатдуальным ^ангисамодуальным). Поскольку экстремуму S соответствует F = ±Ft любое самодуальное (антиснмодуалыюе)尸’отвечает мскз4ому решению. Кнстантонному решению отвечает само дуальное 尸 с g = 1. Его вклад в евклидово действие

SinManUn =-8 戸//.(5.21)

Рассмотрим

% = (Т，О (М = 1, 2, 3, 4),

(5-22)(5-22)"=(工 Т), 勿"=®『J- %) 厶".m小紋" =%w

(5-22)

(5-22)

Заметим, что т” является самодуальвым. Используя введенные обо значения, можно написать

(х г)(х Е 二户，

U = ?・

(5-23)

и

А^*«ве=

Для решения с конечной энергией с q 二 1 положим

(5-24)(5-24)/(0) а 0 (регулярное в г = 0),

(5-24)

(5-24)

/(8) — 1 (конечная энергия, g 二 1).

Для того чтобы (5・24) стало искомым решением, остается выбрать /, так, чтобы F^v =尸从".Из (5.24) получаем

入用屮…卜一唄（"„皿,

(5-25)

广二岭)

%0(T3工人*S 一

(526)

Таким образом, решение 尸口丫 является самодуаладым, если второе слагаемое равно нулю：

"安，。.

(5-27)

Решвдие общего вида, удовлетворяющее граничным условием, записывается в виде

(5-28)

где р - произвольный параметр. Следовательно, имеем

з

gS +。2K

(5.29) 「

Это напряженность поля инстантода при g ± L Ивстантоп с g м *•】называется антиинотаитоном; он получается из (6.29) заменой т наТ , где з""

专=т»

* F；

(5.30)

Физический смысл инстантона обсуждается в гл. 8.

5・3. Монополь

1. Топологическая устойжеость. Солитонных решений в теории

чистого я н г-милл сов ского поля в случае трех пространственных коор.

динат не существует. Для их появления необходимо включить в рассмотрение поля материи, 'Рассмотрим пример такого реш^иа. Пусть G - произвольная простая группа, а 中 ~ скаляртые поля материи

Ф(X)={而办修硕■ ■ ■},

с^азующие (вообще говоря, приводимое) представление G. Используя действительное представление, запишем полную энергию в виде

« = [ d%®(B.・ в. * 鳥.瓦 +

J(5.31)

Пусть НШ1 низший минимум，依} реализуется при §(#} g р (欠卜

V(p) = 0, М(р) = О, ИР) > °-(5.32)

Условия конечности энергии решения имеют вид

A 产⑺h一扣3+5f，(5.33)

D“(x)=O(产工

3} 3 二 p(x) +°(<a).

Во втором условии первое'слагвемое в Лр является чисто карм6ров(ж・ н<Л®орм叫 а интерес представляет второе слагаемое 0(г

、 Начнем с рвосмотрения следствий последнего условия. Как указано в разд. 4.6； р(х) не является единственным. Различные р можно получить из соотношения р = t/同 р0, где р0 ~ константа, удовлетворяю» щая условиям (5.32卜 а 勿%) принадлежит подмножеству G/R 停-малая груша по отношению к р ; максималЫ1ая подгруппа G, оставляющая pi инв^шантным), Справедливо и о^атное утз^^Аениб： любое р(*) можно записать в виде。伊}%. Поскольку р«} - экачвиие 中(《} в точке ± на S” (обычиая сфера с радиусом г - «), функция р(斤)осуществляет отображение S * наС/比

p(x):S3-*G/H.(5.34)

Тождествеаному отображевию отне^ж^г по определению физичесжхй ва・ куум. Топологическое решение существует только в том случае, когда существует нетривиальное ото^>ажение# Его топология отлична от топологии физического вакуума, и это делает солитон устойчивым.

Отображение {5.34) распадается на гомотопические классы, образующие группу , а именно вп^ую гс^ютоличео^ю группу С/“，котсрая обозначатся тг?(С/幻.В общем случае n-я гомотопическая группа пп(Х) - это группа неэквивалентных отображений S"，X・ Если тг?{6/а)= 0 (т.е. включает только тождественное отображенне и его н^р^ьвные деформации), то топологических солитонов не существует, Перечислим некоторые общие свойства % (G/H) [58):

а) Для одиосвизно賈 группы С

%(<?/Я) ■ 0.(5.35)

① Если С = С/С, где С - односвязнан группа с конечномерным центром (т.е. подгруппой, коммутирующей со всеми элементами а С - подгруппа центра С, то

S(G/H) = С

Рассмотрим некоторые примеры, и л л юстрир ующи е зти свойства, предполагай, что Н не пуста.

Пример 1: G = §0(2).

Для представлений с полуцелым спином Н = U⑴，в 但)=0.

Для предстанлений g целым спином Н 匸〃⑴，％ (幻=Z (множество всех иелнх чисел).

"/«мер 2： e = SU ⑶.

Для триплетного представления Н = SU(2), %佇)匸 0.

Для октетног。предстааления р можео4 &лъ представлено в шде бео следовой матрицы Зх 3- Если ее собственные значения отличны одно от другого, то 山=6/⑴ х 〃⑴，,(")м Z + Z. Если два собственных значения р совпадают, то Н= п 工 Z.

川”*岸 3：G = SU(2) xU"), В = U(l)： %C/“)- 0.

Это означает, что в модели Вайнберга - Салама топологические решения отсутствуют. Более подробно мы обсудим этот факт в гл. 6.

Квантование потока [59]. Предположим , что ir2(G/ff) = 0. Tg・ да -топол огическое решение может существовать, и второе условие в (6・33) налагает граничные условий на S2 c точностью до 0(厂?)：

Dip(X)■ 8力(x) + 履4%x)L“(x) = 0.(537)

Член 0(「-|) в 4« " должен сократиться с таким же членом в /р; таким образом, 4。" и р становятся связанными между собо兑.В частности, ео ли р / con st, то юзшкает кулоновский потенциал. Поскапь^ рассмат冲 ваются статические решемия, это не может быть электричесюда потен- пиал. Следовательно, возникает магнитный потенииал, что соответствует магнитному монополю.

Условие (5.37) всегда может Зть выполнено, если потении ал Р(д) таков, что все наннмзшие минимумы можно связать непрерывным ка・ либровочным нреобразовакием< Мы бу нем рассматривать именно этот случай.

Рассмотрим окружность 仇尸 1, 2, 3) на S ? с диаметрами, равны' ми диаметру сферы, нормали к которым обозначим х* (рис. 5.1). Пусть △ С & — конечная дага на окружности Q с концевыми точками у и г. Из (5.37) следует что при переходе от у к г с точностыо до члакв порадка

(5.38)(5.38)产 p(z) претерпевает параллельный перанос 0(z) = n(^Ck)p(y)t O(AG) = Гехр(收[c 击・ А&)}

(5.38)

(5.38)

где d& - элемент дуги на S'. С другой стороны, р (%) может быть по* лучено из р(у) вращением на некоторый угол Де вокруг ж, , которое ге- нери^егся линейной ком^нахшей генераторов f L из G. Поскольку эти вращения образуют абелеву группу, всегда можно выбрать {厶仪}

так, что

(S・39)・(S・39)・.[n(iCA)f П(ЛС/>] = о.

(S・39)・

(S・39)・

「即 ЛСА и ЛС^ - две дуги на С^ Оедевэтелла символ опврщш Г в (5.30) можно опустить. Таким сказом.

(5.40)(5.40)ДО(&) = «Ф，8 J ds . А)■ exp (Т(А&),1), АП(О) = ^8 [q & ・ а) ” 吋(T(A&2)g2),

(5.40)

(5.40)

ДП(Сз) = expg [с ■ * АДП(Сз) = expg [с ■ * Аexp (Т(А8з)尸).exp (Т(А8з)尸).

ДП(Сз) = expg [с ■ * А

ДП(Сз) = expg [с ■ * А

exp (Т(А8з)尸).

exp (Т(А8з)尸).

Все эти вращения можно (х^щебгвить, не меняя ори^таций oc^t х г х , Е^наприм叩 вн®ав замкнутый контур OPQ на(»c. 5.1. Поэтому кри неизменном наборе { % ] можно построить §』так, что

(5Л1)(5Л1)[S* 户]=夕 С，2, 3, г циклические племенные).

(5Л1)

(5Л1)

Поскольку собственные значения Я* целые или полуцелые,углы А% ооределены только по mod (4тг). Это отражает тот факт, Что вращение на 4тгв любом “учае остааляег систему неизменной» о чем у Же шла речь в ра5ад. 4.2.

Пусть теперь A Q - полная окружность с диаметром, равным диаметру сферы, 6左=2е

(5.42)(5.42)0(G) = exp(收，^ ds . А)= exp (~2wi，无).

(5.42)

(5.42)

Отфеделим матрицу потока фА :

(5-43)(5-43)ФА = ф ds - А, Ф* я —Ф*.

(5-43)

(5-43)

9To относится к потоку V х А, дивергенция которого равна нулю, но, во» обще говоря, не к потоку В . Собственные значения ф* определены с точностью до 4тт/е. Из (5.41) и (5.42) получаем

养 Ф3 (L 2> 3 - циклические индексы). (5.44)

разом; это эквивалентноразом; это эквивалентноСоотношение (5.44) является обобщением условия квантования псгпжа в случае U(])(3.49). Предполагается> что | % } выдано специашяымоб-

разом; это эквивалентно

разом; это эквивалентно

угв^)ждению, что (5.42) сщяведливо в калибров-

ке, в которой А伊)не имеет сингуляртостей на S2,

Для существоввиия нетривишнсго решения (5抬 необмздамо, чтобы G включало SU(2). Выберем ( % } так, что первые трт генератора

являются генераторами SU(2):

(5«)(5«){LJ*{%，%，а，4)g=4,，一.，N),

(5«)

(5«)

[L], LJ = il^ (1, 2, 3 - циклические переменные).

Выбор {% I зависят, разумеется, от ориентации координатных осей ；,；,"・ При вращениях и отражениях системы координат Ф4 и / 件■2, 3) должны преобразовываться как З-вжгорн, Таким образом,

имеем 3*вжгорвое уравнение,

<Ь ・А=厶，伙■ 1,2,3).<Ь ・А=厶，伙■ 1,2,3).(5.46)(5.46)

<Ь ・А=厶，伙■ 1,2,3).

<Ь ・А=厶，伙■ 1,2,3).

(5.46)

(5.46)

Заметим, что * у L& - индене внутренней симметрии, который служит одиоеремеиио пространственным индексом 3・нектора. Таким образом, внутренняя и пространствееивя симметрии связаны между собой. При， чина этого явления в том, что параллельный перенос р 9KHMвалентен вращению.

Граничные условии. Выбрав L« = % тА, перепишем (5.46) в анде

(5.47)(5.47)-^ ①丿 ％ 鼻"^ £ 击'^ = т* (А = If 2, 3),

(5.47)

(5.47)

откуда следует

f ®/・-f 3 曲・儿=脇依=1,2, 3; a = 1,2, 3). (5.48) ，7Г，7Г Jc

Мы видим, что 4。* (* = 1, 2, 3; а = 1, 2, 3) должен быть псевдотензором с асимптотикой на пространственной бесконечности типа 厂:

(5.49)(5.49)(5.50)(5.50)4广=0 (а = 4, 5,・._N), 4&=gZE^+O(尸 ％

(5.49)

(5.49)

(5.50)

(5.50)

где g・ определяется подставовкой (5・49) в (5.48): ggf = 1 (НО модулю 2)・

Ск^ав gg‘ = - 2 к алибровочно-экаивалентны тривиальному случаю g'g = 0, а случаи = ±1 калибровочно-эквивалентны между собой. Следоватальноf граничные условии на N" имеют вид [ 59]

А/8 "7^* ~ £“' р + О(г-2) [к = 1, 2, 3; а = 1, 2, 3).(5.51)

Условие (5.51) описывает единственное возможное псферичесюьсиммет- ручное” топологическое солитонвое решение (т.е. решение, для которого А не имеет сищ'улярности на $')♦

Заметим, что g — калибровочная константа связи (или ^,звpяд,, калибровочного псГля). Заряд неприводимого мультиплета <р равен е = &(5.52)

где к — наименьшее положительное собственное значение матрицы нератора С. Напримерт для фундаментального представлй!ия е = g для

0(3), е м g/2 для SU(2) и е = g/3 gaSU⑶.

Рассмотрим теперь граничное условие на р(寞).Подставляя (5.51) в (5.37), получаем

ds ■ (Vp + j г J р)二 U，(5.53)

где L и (丄 1，丄 2，厶з }> a ds - инфинитезимальный элемент даги на S « Записывав ds = п х г(/0 и используя обозначения, вве〃енвые в рис, 5.2,

РИС. 5>2 Огфеделение обозначений а уравнении (5.54)“РИС. 5>2 Огфеделение обозначений а уравнении (5.54)“

РИС. 5>2 Огфеделение обозначений а уравнении (5.54)“

РИС. 5>2 Огфеделение обозначений а уравнении (5.54)“

после простых преобразований получаем

SS(5,54)(5,54)

S

S

(5,54)

(5,54)

Для представления, в котором п ♦ L даагонально и имеет собсгвиь ное значение 入,решение имеет над р = р@ J 入* Поскольку р должно быть непрерывным на S1, А должно быть цам^л. Огскда следует, что теологическое решение может существовать только в том сду^, если р фи- надлежит к представлению St/(2)' (подгруппы С) с целым спиеюм. Рассмотрим простейший случай присоединенного предстааления. Тогда р- триплег полей (а = 2,凯и (5.53) принимает вид

1»655)

Решением (5.55) является

pg) =(5.56)

r^e Ро - любая константа, для которой удовлетворяется (5・32). Суммн・ ру% выпишем граничные условия для сферически-сямметричного топологического солитонного решения：

Aak{X^ieeki^ 匈⑴二%(5.57)

Можно показать, что магнитное поле имеет асимптотику

也*(*)= £ 丁，(5.58)

в то ^>вмя как элвктрическое ноне спадает как 产.

Явное решение (60 ]- Покажем, что 風эсзюе решение действительно существует. Выберем С 匸 5(/(3) и рассмотрим триплет хиггсовских лол^й Фо (%). В соответствии с Хиггсовским механизмом (разд. 4.6) должны появиться один без массовый векторный бозон ： два массивных аек- торннх бозона и один массивный хиггсовсжий бозон.

Для искомого статичесжого решения положим Аа° -

4*(*) = - £叫马％(г),

炉(5.59)

，式 X)=;pg 0，

с граничными условиями

F(0) = 0,F⑺=1.(5 时)

4(0) = 0,刀(8)= 1.

где Fun Дол^ны стремиться 'к нулю при г « (это вытекает из регулярности решения). Выпишем электрическое и магнитное Гюля:

Е°* = 0,

В/ =；寻网1 - F) + ；卜… 学)一(5.61)

Полная энергия выражается в виде

Все слагаемые в подынтегральном выражении положительно определены, н ни F = 0, пк F = 1 не соответствует наинизшему минимуму &. Существование рушения вытекает теперь из вариационного принципа, Явный численный расчет для У~(р4 показывает, что масса таюлошчейкого

солитона (по порядку величины) определяется выражением

(5.63)

где ту - масса векторного бозона.

Из <5 £2) легко видеть, что для чистого янг-миллсовского поля 何-0) минимуму 卷 отвечает 尸 * 1, что приводит к негфиемлемой сингулярности решения (5- 59) при г = 0. Именно поэтому хиггсовские поля необходимы ддя реадизаиии статического солитонного решения.

Физические лопя. Граничные условия (5・57) справедливы только в специально выбранной - кулоновской ・ калибровке (можно пров叩ить, что @卜4«' к 0). В этой калибровке большинство полей не являются зическими. В частности, трудно усмотреть присутствие только одного 8змассово「о в狄торного поля и понять, какая именно комбинация 4A *

к унитар-к унитар-©му отвечает. Чтобы выявить физические поля, надо перейти

к унитар-

к унитар-

кмеет только одну, от-кмеет только одну, от-ной калибровке, в которой по определеиию 中&) лячную от нуля компоненту:

кмеет только одну, от-

кмеет только одну, от-

кулоновская калибровка:кулоновская калибровка:

кулоновская калибровка:

кулоновская калибровка:

/0\(5.64)

унитарная кали®овка:&(『)—* Po|Oj ・

В кулоновской кали①овхе ось, вдоль которой направлено ^(х) во внутреннем пространстве (т .е. ось в трехмерном пространстве, определяющая диагональный оператор %), совпадает с радиус-вектором г в обычном пространстве. В унитарной калибровке направление 编依)не зависит от т. Чтобы перейти от кулоноаской калиброши к унитарной, произведем в каждой точке простраясгва калибровочное 叩е・ образование, переводящее г в ха :

(5.65)(5.65)[6 f U@ j

(5.65)

(5.65)

£ [/ =厂暇 e"L

где 0, ф — азимутальный и полярный углы, определяющие ориентацию г в трехмерном простр明стве. Очевидш, что указанное преобразование плохо определено на отрицательной полуоси z, поскольку вектор

Г нужно преобразовать в противоположно направленный (-f ), а такое преобразование неоднозначно. Следовательно, в унитарной калмЪровке 4 “ не определен на отрицательной полуоси z. Условие квантования потока (5.44) в этой калибровке несправедливо.

Тензор безмассового векторного поля В"" должен быть проекцией F ру на хиггсовское пространство (см. разд. 4.6):

Это соотношение калибро вочно-инвариантно, поскольку под действием инфинитезимальных калибровочвых преобразований

= £а^^

6фа = ^аЬ^ъФс,

% таким'образом,

6(fZ%j =廿点&“ + fZ@c) = 0.

Следовательно,尸产必 имеет одинаковый вид в кулововской и унитарной калибровках, что позволяет найти удобный способ его вычисления. Нас интересует только асимптотика:

麻'~3 - 一Г.

Зёметнм, что^выражение(5.67) хорошо определено всюду Ra S', несмотря на то что И4 не определен на отрицательной полуоси z. Ок°н・ чательно имеем (в унитарвой калибровке):

Вg(безмассовое калибровочное поле),

,► Ро,J(хиггсовское поле).

Остальные два поля — массивные и, следоват&льно, экспоненниально спадают при г

Вдали от источника В - поле магнитного монополя с зарядом расноложениого в точке г = 0, Поэтому решеиие называется монопольным. Отметим, однако, .что решение насингул叩но в точке「= 0.

Выпишем для сравнения векторный тютешдал и кщпэтгное поле ди- раковского монополя [61] с осью ощгулзфносги вдоль отршэгельнсй полуоси /:

Ad = 8'弃^，4 = “(5 69)

где s' таково, что 2g 7 равно целому 'числу 佟-заряд электрона). В прямоугольной сиотеме координат компоненты А^ имеют вид

r + zr

Аэ = 0.

В полярных координатах имеем

-8 r sin 8

Магнитное поле определяется выражением

Вг н 务 + 1й05(х)5(у)5(1 - Z)・(5 72)

Зто вырнжавие аналогична выражению ,5.68), но с той разницей, что (552) справбдлнво везде (включая точку г = 0), кроме струны. В случае монополя Дирака, где построение не основано на полной теории, ось сингулярности яаляется необходимым артефактом. В нашем слу- чве ось сингулярности в действительности отсутствует, поскольку она не пояаляется в В, а в А может &4ть устранена калибровочным преобразованием.

До сих пор магнитный монополь не абнаружав экспериментально. Возможная причина состоит в том, что масоа моноп。』％ еслн он существует, настолько велика, что он не может рождаться на со- временвых ускорителях.

Спин из изослина [62)・ MonqnoAb может захватить бозон с ”мзо・ спином” 1/2, т.е. бозонный 5(/(2)-дублет. В результате возникнет

топологическое решение с собственным угловым моментом 力/2, несмотря на то,что дираковские поля в рассмотрении не учитываются. Монопол!) превращает изоспин в спин. Это явление возможно только в квантовой творт.

Сущвотво явления состсжт в том, что матрицы потока i«/2ir)久 传=1, 2, 3) в соответствия с(5.44) являются матрицами генераторов про стран отвенны х вращений. Поэтому их следует учитывать при。叩仇 делении полного орбитального момента системы, собственные значения которого становятся полуиелыми, если присутствуют поля с изо- санном 1/2.

В качестве примера рассмотрим G = ЗУ (2) и примем, что мультиплет полей матприи состоит из триплета хиггсовских полей © и дублета К:

—> 0.(£73)

Матрицы потока можно представить в ииде

言 ％ = % = (；*；, (*=1,2,3),(5.74)

где С* - матрицы 3x3 в присоедннеявом представлении калибровочной группы. Мы будем,рассматревать эти матрицы в качестве матрш дополиительного орбитального момента системы, который нужно до- бадать к “прмальдому” орбитальному моменту, принимающему только иелошзлажне значения. Заметим, что калибровочное поле не дает вклада в ''нормальный7' орбитальный момент. В квантовой теории необ- ходамо положить 會俨)=р + п 佟)м заменить 力付)и X(г) квантовшныма полнми в предстанлении Шредингера:

"“'=? V^ [е»"(р) + 丁用『/(р)1

W = S 冠(е“ ％(p) +，F%(p)],('")

где。f кэовектор, а Ь (p) и e(p) - изосииноры. Диагональная ком- nosewra дополнительного углового момента записынаетз в 餌腼

$3 = S(я(р)> Сзй(р)) + Е 卜⑺ ~ ь\р) - Cf(p) ^ с(р)],

где

Второе слагаемое в(5.76) имеет полу целые собственные зявчения. П ричиной того, что в ор^талыш" момент необходимо включать §3, является пуанквре-инв^иаятность тегфии и необходимость фиксации калибровки в квантовой теории [58]. Гольдхабер [83] привел Аргументы в пользу того, что машзшиш с полуившм спином по^иииются статистике

К рассмотрвииому явлению близко появлеиие у безмассового дйра- ковокого поля в гфисутсгвии монополя состояний С 6уММО1Ш0М ЧИСЛОМ 1/2 [64L Более простое рассмотрение в одном измереиии (где топологический солнтон называют "кинкомп) может быть применено к изучению Понтиеров и R{mbok*t к тшявл^ию в полиацетилейе состояний с электронным числом 1/2 [651

Модель Вайнберга—Салама

8 J. Покя материи

Идея о том, что электромагаитяые и слабые взаимодействия мо гут №ть объединены ■ хшвр(юочно& теории, базирующейся на группе SU (2)х U (1), была выдаинута Глэшоу. Проблема г^^)ации масс час- тип без разруш^тя калибрсшочной ин^риаатности была позднее решена Вайнбергом и Саламом, жшолъз^аюшсми механизм спонтанного нарушения симметрю?)・ Вюшцщшя модель, иэтестная как модель B^H6q> га - Салвма, оказалась» как было показано т，Хофтом,呻енормнру* мой квантовопол^ой 丁砌注戒[67]. Включеиие в модель квц>ков было проведено в работе Г лэиюу. Йлиопулоса и Майаии [ 68 ]. Модель получила воео&цее figsHarote, после того квк некоттфне ее щюдосаэшшя (гфежде всего существование нейтральных токов) была подт呷ждеш ЭКСПГфИМЖГОМ.

Иден, яа которых базируется модель Вайнберга - Салал» обсужу лнсь в гл. 1, а основные экспф(мапвшые данные о слабых н злв№1ро> м&гиитных взаимодействиях 厶 в гл, 2. Ниже мы снова рассмотрим некоторые из упомянутых вопросов в яесколько иной форме.

Ншюмним гфежде всего определв1ше киралыюсти - собственнсмго эявченияу5. Собственное= 1 соответогвувгчозюв,

а 1 - левой:

где Я, Ь - дираковские спиноры, каждый из которых имеет только две незаяисимые компсженты. Спиноры Я и L могут &лть получ^ы из исходного четыреоско мпоя ёитного дираксюского спинора 屮 с использованием следующих проекций：

工=*(i -力)“£ ■+ 力｝(')

” История вопроса и ссыпки на литературу содержатся в Нобелевских лекциях Глэшоу, Вайнберга и Салама [бб ].

! Для дальнейших приложений важно замежт что

力V = zj + Яу*я.(63)

Уравнаош Дирака для массишюй частицы с Импульсом 产-(Е, р) может быть записано в виде

(« ■ Р + 6足用=Е*, Е ■ (р? + m2)1^.(6.4)

Используя тождество а = 丫5bx тот факт, что 丫§ 兑 о коммутируют, можно п^еписагь уравнение (8.4) в виде

о R —" bl，

P P(6.5)

При m« В ураюени”(В,® ^сцепляются：

Следователе, для безмассовых дираковских чнсшц к>ц)альность совпадает со овиральностью? а для античастии юфальность противоположна спиральности. (По определению аитичаотииа имеет такую же кираль- ，ность, как и частин^ но противоположиую по знаку сипфальность из-эа измевения знака в (6.4)).

Плотность лагревжиана электромагвитного взвимодействия дается выражением

где Q - зарядовая матица, /==々У” Плотность лагранжиана слабого вэаимодейстиия, относящаяся к измениюшим заряд токам, может быть записана в виде

①+ к 供 к f Z(Wm + WmR, (6.6) где ? J 一 поля векторных бозонов, переносяиих взаимодействие, причем

Складывая (6Л) и (6.8}, получаем

少е + gch в £卜伍 ^ + % £) + MQ]l + А”題0g

В использованной здесь форме заиисж предполагается, что базовые фермионные поля ・ это левы^ или правые компоненты дараковских 4-спиноров, а не сами эти ”шшсф&. Пре/щолагается также, что Лц может быть включено в яекоторый муАтиплет вместе с У J

Чтобы проиллюстрировать мультиплетную структуру полей матерей и необходимость введевия опонтанного внушения О№1метрииг рассмотрим едннотеенныИ лептонный дублет, состоящий яэ электрона и электронного нейтрино:

НеЙтриио предполагается безмаесоным, поэтому 々 <теут<Мует( Гфед- полагается, что теория кн唧иантна относительно преобразований из группы St/(2), причем L преобразуется по St/(2) как дублет, а Я - как синглет.,.

Отаядщтный массовый шн в лагряажкае ве может бшъ 般叩疇н ткым отаоонтельво St/(2), поскольку он прситорционал^ 恥■ 十 RL. Явно иа^шать даже в малой огопени симметрию S〃(姝 кепзя, пооколь- :ку эта симметрви рассматртюаетсд как калибровочнвя1 Таким о(^аэом^ в данной теорав масса элект|юва может возникать только за счет(жон- телного внушения SU(2). Для реализации Ьионтаниого варушения сам- )метрии удобно ввести дублет хиггсовских полей

(6.12)

где индексы относятся к элек^жческому з叩貝ду, и записать массовый член в виде

L(6ЛЗ)

где — синглет no SU(2) и дираковский сжмнор. Таюш сказом, вы- ражнике (6.13) лортш1Н1нвариантно и тержж бвюпеш» преобразований группы SU② Если у имеет нулевое вакуумное среднее^ то для шэколежшцих возбуждений (6.13} неотличимо от осиного мао

сового члена, Расписывая (6.1乳 бопее но®обвс, имеем

少吟（九乙）（：:} + &（九%）（*少吟（九乙）（：:} + &（九%）（*(&14)(&14)

少吟（九乙）（：:} + &（九%）（*

少吟（九乙）（：:} + &（九%）（*

(&14)

(&14)

Перные два слагаемых в (614) могут быть о^жи)ы в нуль кали^ю- вочным преобрвзованием (уиит叩ная калибровка). Последний чла< при- водит к появлеиию массы у электрона( если для вакуумного состоя- 咻足 То * °・ Массовый член для нейтрино отсутст吋ет.

Если нужно, чтобы нейтрино имело массу, то можно использовать сопряженный !цублет хиггсовских полей：

女工雑，(6-15)

(:力+%(%…饵(6Д6)(:力+%(%…饵(6Д6)который также 叩еобрвзуется как дублет по 5(/(2), и прибавить к (6.13) член, гфonoptиональный

(:力+%(%…饵(6Д6)

(:力+%(%…饵(6Д6)

Последние два слагаемых в (6.16} раввы нулю в у нитяной к^шбровке,

ЕГлервый член дает массу аейтрино.

Плотность лагранжиана полей материи выбирается в виде

g + Й^ЯЛ(дф)*- (а.) - К,*,) - — (£州 +〉

(6.17)

Ffiepg 入-действительные положительные 口叩аметрн,齡-физическая масса электрояв.

Калибровочные поп*

Калибровочная симметрия SU(2)х 0(1). Плотность лагрнажиана (6.17)инвгфиантна относительно глобальных 叩еобраэований из группы S〃(2 卜 генераторы которой в произвольном случае обозвачил t, а для фундам^тального представления т/2л Глобальные кали^ювочные пре-

образования имеют шщ

(6-18)

В дополнение к S U (З^нвармантноста плотаость лагранжиана(6.17) *нв叩мантна относительно незаиисимьи фазовых сдиигов Ь и Я：

Rfe7@R

Прео^)азоваиия (6Л9) образуют группу U(1) х(/(1). Мы можем отождествить генератор одной из ннх с генератором лептонного числа N и назвать второй генератор генератором слабого гишфзаряда с@：

RiTiR 佐=т, N =力(6.20)

(/q = V = 0).

Свойства “ обычвые, а % удотлетнс^яет соотношению

Q ■ Гз + 4(62)

где Q - электр|ческий заряд в долях величины электрическсго заряда электро ин. Существует уверенность, что симметрия (/(1), зазанная 0 лшггонным числом^ не является локальной калибровочной снммшрией, посколькуХз эксп^)иментальных данных следует, что она не нарушена. Если бы эта симметр|я была калиброночной, появилось &4 безмассовое калибровочное поле, связанное с лептонным числом, а оно никогда не наблюдалось.

Чтобы ввести калибровочную симметрию S〃(2) х 0(1), свяжем с каждым иэ ганераторов кали^)оночное поле (табл. 6.1). Локально ка- ли^)оночно-инв^)иантная плотность лагранжиана записывается н виде

(6.22)(6.22)£ =・}(GW • G»» + H^J + Zip 厶 + W^

(6.22)

(6.22)

Ковариантная произнодная 0以 определяется формулой

где & и g，— дае незаяисжмые калибровочные ксшстанты связи.

Наложим требование существования вдивствениого безмассоного нейтрального кади80Holшво поля - электромагнитного поля 評，свя- заяисто с зарядом е。，где Q определено'в (6.21). В о&цем случае является лизейной комбинацией полей W “ м 1F "♦ Следдаательно,

= Z»cos ew + 4*sin

-Z%in A“cos・6w・()

Ра^)ешав эту систему относительно № и 况 получаем

%»8S % + 恥Agin

Z»a -%质加ew +吗A8S M⑹乃)

где 8窜-угол Вайнбела, снободный'параметр, который долж^ определяться из эксперимента.

При заданном 6窜 т ребодание, чтобы 4" было заектромагнитшям полем, приводит к связи между g и П^епишем (6.23) в виде 0“=31+总(w产" + w2*72)

++ g% cos 产(6.26)

+ «鲜з cosSin 伊

Потребовав, чтобы коэффициент при 川 равен eQ, получим усжжие . g" sin 9卅 + g'd cos ew = «4 + d),(6.27)

где -e - 3即耽 электрона ^J4rrft<? 1/137). Следовательно, имеем с = g sin 加.£ cos 加，(6 28)

или

『/g = tan

e = gg'/(g2 + 尸产.(6.29)

Таблица 8.1. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В МОДЕЛИ ВАРБЕРГА - САЛАМА

Группа

Генераторы Калибровочные попя

Тензоры напряженности

Ковариштнвя 口роизнощшя переписывается в виде

■ / + №(W”i + 场(6.30)

где нейтральная з^щц^ая матрица Q' определена выражением

Q'=厶tan1(6・3.1)

Чтобы рассматривать ногфос о массах калибровочных поле% удобно п第ейтм к унитарной калибровке, в которой

(6・32)(6・32)-С)

(6・32)

(6・32)

где р - дейстинтвльное поле &. Можно записать

(6・33)(6・33)О” ■{” + MXWJ - iW^)T+ + Х%А + iW^ + 场％]

(6・33)

(6・33)

，破(W产・i%a)p

收

2 cos 加

■ Следовательно, кинетический член для хиггоовских частии в плотности ла^анжиана принимает вид

(D”»3g) - +舒>[(w产乱" + %师浦+ -(D”»3g) - +舒>[(w产乱" + %师浦+ -(6,34)(6,34)

(D”»3g) - +舒>[(w产乱" + %师浦+ -

(D”»3g) - +舒>[(w产乱" + %师浦+ -

(6,34)

(6,34)

Земетим, что в (6.34) отсутствует /», поскольку заряженная компонента ф исключена в (6・32). Следонвтельно, - безмассовбв поле, как и требовалось. В 呻минах полей, взятых в уннтаной калибровке, для плотности лагранжиана имеем

£ . --KG • G + Н ・ Н) + +尸М W『+ %? +

(6.35)

& ОВмчиа ■•сто р • (ВЛ» 旅шут М 倔 46УЯВТ пист> просто рь g бы избежать пмшкмх множителей 低

где испольэовавы очевидные олфаще^ные обозначения. Массы

Р -Ро Даются форму.Р -Ро Даются форму.加7，加斤 полей『土匕 Z» и хиггоовсиих полей »

Р -Ро Даются форму.

Р -Ро Даются форму.

加z/加* n 1/cos M(6・36)

Основным побуждеиием для построения калибровочной теории, в которой все массы генерируютси спонтанным внушением симметрии, является желание получить в^)енормкруемук> квантовую теорию поля,

Опрэдепение констшт. КоногЕнга Ферш афедвли ферулой

Подставляя / из (6.36) в (6.37), получаем

加炉■'(6.38)

Следовательно0,

Ро3 ■ 27/7

П4 ГэВ：(6.39)

Подставляя (6.26) в(6.37), получаем

(6-40)(6-40)2Mo ata? # J

(6-40)

(6-40)

吗.叫 МB/e‘•

Угол Вайнберга измерен эксп^тимеитально [ 69 ]а｝：

Л? ■ 0218 ± 0.020.0.4

Исиользуя значение (6.41), получаем5

* 80 ГзВ/см?'

* 90 ГэВ./сМ® . '84

^Дпя аакуумног。среднего хиггсовотого топя часто приводжгея значмнв■ 247 ГэВ,

分 Современно.(ан*р> 1984「♦) значение ein2 6寸 о；23- - Прим

刃 См. примеуанмо на стр, 22. - Прим, л«рж

В заимодействие электрона с хштсовским поадм виомально слабое:

(6.43)(6.43)R・3.S6x«T"

(6.43)

(6.43)

Ра

Масса хигтсоБСКого мезсада не определена и зависит от неитаесушого безразмерного п^)еметра 入.

Взвимоцейсгвия Перепишем плотнооть лагрявжиана (6.35) в у нитяной калиброже в виде

£ = £v + % + £н + $ + ^£ = £v + % + £н + $ + ^(6.44)(6.44)

£ = £v + % + £н + $ + ^

£ = £v + % + £н + $ + ^

(6.44)

(6.44)

здесь первые три члена отвечают ''свободам” лагранженым плотноо тям аект叩ных, фермй^оих и хштсовских полей соответственно:

先=4(G G + H Н) + im^fWj2 + %2)+，加/г?；

备工“乙+ R"з(6.45)

*н * М^ - mjp (1 + 言)，

где 寸-действительное хиггсовское поле в унитарно由 калибровке, в которой^ имеет иид (6.32), а

р(х) = ро+ 向.@46)

Члены £・ м £_ являются аиотностями лагранжианов взаимодейстиия, причем £' включает электромагиитные и слабые токи, а £~ …взаимо- дейстиие хнггчюаосих now或 со всеми остальными полями:

*二加自Wj + 用今 + m^~ (i + ^；) + 加(绚^，("47)

・乳吗切食+ %*)办+以"0 +以%3,(6.48)

где

k =沁7*.

Зявнтем еще раз плотаость "свободного" лагранжквма для калибро* Точных полей：

£v = T(G ♦ G + H ♦ H) + 专 m叭W『+ %2)+ 4徹/汁 (6.50)

Чтобы эаписить в^ажение (6.50) в более по®ббном виде, введем сбоз- начеиия

И * В尸二(А х В)^ х 5)“，@51)

(Л х В) • (С X D) - (Л X Й)^С X 0卜,.

Тьда

+imw?(W12 +

где F J определяется формулой (6.24). Члены порядка g и <й ойюнва» ют вэаимоАейсгвия калибровочных поле先 вдэиикаюше из-за неябеле* вости келибровочной группы. Заметим, что 2й не взаимад^отвует с 4", как и должно быть для нейтральнсто поля.

З^яжеииые поля 学丁，%? йм^йя й электромагнитные взявмо- д^ствия. Часть плотности лагранжиана (6.52), соответотеующая ^там ззшмз^ипт^, гложет &№> вписана в иид&

纱 ^eW^W^v + 4(5 х 心》叫-"х

где 尹"w ¥ 4" ■ /%J. Вводяпш, обладакшце Офедекнам эарццсм:

旷 к 2T- iW2)r(6")

n叩епишем (6.53) в виде

■則俨 HF" -'компл/сопр, )4(6*55)

Второе слагаемое описнвает магнитные моменты и электрический

квадрупольный момент [70]. В общем случае член иида

£J? ■ Тек*^ 卩/""碍мнодит к появлевию магнитного дипольного момента

血 электрического ква^ф^-польного момента

卜叩 &2-Т=-静一 .(6.56)

где s - вестор спина, р - статическая плотпооть электрического заряда в состоянии с % = L Поскольку к = 1, g-фантор F-бозонв равет 2.

Сложная структура выражения (6.55) служит простой цели： пр 一 добавлении (6・5金 к кинетичеосому члену для ноля F получается плотность лагравжнана дл冃 теории з^)яж^тного ввкто^шого поля：

Т[@ х W0? + (д х W“2] + 會調 ■ T(D х ИУ ・(О х IF) - W^WT^,;

、&3、ОФцак тмрия

Массовые члены, Что&л разбить все кварки и лептоны на три поколения (как говорилось в гл, 1), необходимо модифихшровать вы- раж^ше(6Л2Х Во-п^вых, иеобходимо расширить определения R и L, чтобы включить нее кв叩им и,лептоны：

(6.57)(6.57)£'а {tw^Lal (a = 1, 2, 3), К 二{k, 9ra) (a = 1, 2, 3)・

(6.57)

(6.57)

где символы определяй в табл. 6.2, Во-вторых, необходимо модифи・ цировать массовые члены так, чтобы иметь возможность придавать чао тиием произвольные массы. Клшшем локально камСровочнсншфсант- пую плотность лаграйжнваа：

а = Т(С G+H Н) + U9L + А 平 *+ 3" (“)(6 58)

Ма<Хж№ыЦ член разбивается в свою очередь на сумму лептошюго и кваряов<гр вкладов：

(6.59)

ТЛШцв 82 КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

Частицы

<4

毋

Q Q，血 28 (®и

&% • V*)

Лептоны /₽Д 伍、/唱

11

1

22

2

К

\J \“J \^/

!二 2 2

1 "2

-1+ 2 sin2

1

00

кварки 加、 你\ /e

1 ■ 1

24

22

6

5 1产

姦

匕丿

同Vl/闻

2 ~2

6

~ j-1 + - sin* У

2

00

3

3 W

加7/м

00

3

T沁。

1

Хиггсов-〃 \

*1

22

2

11 - 2

ПОПА1 I

U/

2 ~2

2

0 -1

Символы L и ft относятся к лешм и правым ммпинпм атмтстшмх Тмь- да над символами обоснует обобщенные кабиббоеские смешкмяв сослшмя, 8 — угся Вайнберга 科加 6 • 1/4); эпактрнческий заряд равен eQ(Q 号 $ +*j； кейтрапьный заряд ршн eQ*(Q- = с<ш jj小卜 3

лёптоииый массовый член определяется формулой

+ КОМПА. СОТр.+ КОМПА. СОТр.(6.60)

+ КОМПА. СОТр.

+ КОМПА. СОТр.

где %р - массовая матрснв с произвольными комплексными постояв- ными злемевтами. В унитано" калибровке, в которой 伞 определяется

ф(Ч)муж>" (6 J2), имеем

上工， 2 代 口l 川mL次］+ комил. coup.

(6砲

Произвольная комплексная мяф«ца может быть приведена к диагональной форме с неотрицательными действителмыми диагональными элементами. Следовательно, существуют несингул^ные матрицы Я и В,

такие, что

АтВ~г 二 Df

(6&)

где D - дн^ональная матрица с неотрицательными диагональными элементами. Чтобы доказать высказанное ут呻жденне，заметим, что матрида 输/ иэрмитовы, а их собственные значения неотрипа-

тельны. Следовш'елъно, существуют несингулярные матрицы А и В, такие, что^

AmmtA'~l =炉,WftiB'1 =山

(6.63)

Реш^ия уравневий(6.63) имеют вид

(6.64)

Таким образом, необходимо произвести независимые линейные 口реофаэовакмС правых и левых компонент

дмонализуюнше кассовую матршу:

(6.66)

где те, Шу, ит — произвольные действительные и сотри нательные пара. ZfjrpbL Заметим, что преобразования (6.65) смешивсист лептоны,【【рн・ надлежащие различным поколениям. Такие же преобразования должны ^ытьт рлзумоется, произведены и в кинетическом члене т,е. в членах9尺)в (6.58). В результате изменяющий заряд ток

преобразуется сяеду^шим образом:

(6.67)(6.67)

(6.67)

(6.67)

Токи, lie менакшме заряда, кнв^иаигныопюсительно иреобразованн贡 (f>.65)r поскольку они имеют вид 乙丫卩乙 + 齐у14 A.

Символ” e, u, т в (6・66) и (6.67) обозначают собственные зиаао

массовой матрицы, поскольку она ди атональна в рассматриваемом Представлении- Следр^^сльно, для физических нейтрино имеем

(6.68)

Но поскольку [[Нй грино не имеет массы, преобразование (6.68) н до左 ствителыюсти ничего не меняет. Поэтому тильды над v м в』。冃。立 части (6.68) можно опустить. В модели Вайнберга - Салама с безмасзвнмн нейтрино смешивание физических лептонов разных поколений отсутствует. Так, иагфнмер, запрещен распад 口 ~ g + у.

Рассмотрим теперь массы кварков. Кварки, обозначенные иорез 州 方衣 н табл. 6・2, должны взаимодействовать с хиггсовским дубле- том ф и сопряженным дублетом Q соответственно. При этом массовый член инвариантен от[[0<Я1Тельно преобразований слабого гиперзаряда：

^-к = ±伍 £ “RS + V %* +^-к = ±伍 £ “RS + V %* +(6.69)(6.69)

^-к = ±伍 £ “RS + V %* +

^-к = ±伍 £ “RS + V %* +

(6.69)

(6.69)

+ К0М1[Л. со пр.

где Ф определено в (6.15)，а М к М - произвольные постоянные комплексные матрицы. Предполагается суммирование по цветам для каждого аромата кварков. В унитарной калибровке имеем

3噥3噥(6.70)(6.70)+ компл. coup.МатрмЗ М и М диагонализуитгся преобразованиями+ компл. coup.МатрмЗ М и М диагонализуитгся преобразованиями(6-71)(6-71)alamb-1^ о8田汇=0alamb-1^ о8田汇=00 0 \f 0卜0 mJ 00Ес 0 О mr0 0 \f 0卜0 mJ 00Ес 0 О mr(6-72)(6-72)

3噥

3噥

(6.70)

(6.70)

+ компл. coup.

МатрмЗ М и М диагонализуитгся преобразованиями

+ компл. coup.

МатрмЗ М и М диагонализуитгся преобразованиями

(6-71)

(6-71)

alamb-1^ о

8田汇=0

alamb-1^ о

8田汇=0

0 0 \

f 0卜

0 mJ 00

Ес 0 О mr

0 0 \

f 0卜

0 mJ 00

Ес 0 О mr

(6-72)

(6-72)

(6.73)(6.73)где диагональные элементы — произвольные действительные неотрицательные параметры. Следовательно, имеем

(6.73)

(6.73)

00 g

где 9 обозначает четырехкомпонентный дираковский с пн нор кварка, а % - его массовый параметр, и суммирование производится по всем iff ест и кварковым ароматам и, d, s, с, 6, f (плюс суммирование по цветам для каждого аромата)、Эти кварковые состояния отвечают собственным значениям массовой матрицы.

Прео^азованкн (6.7[), примененные к кинетической части плотности лагранжиана, оставляют инвариантной ту ее часть, которая отяо* сится к электромагнитным и не&грщьным токвм, и п^фофт к

^щш^ заряд 向ку вида^щш^ заряд 向ку вида(674)

^щш^ заряд 向ку вида

^щш^ заряд 向ку вида

где символы, обозначакдае кварки, относятся к собственным значениям массовой матрицы, а С - матриц 3x3:

C = 4BrT,(6-75)

обладающая следующими свойствами:

С*С= 1,

Met Ср = 1.(6.76)

Поскольку по предположению кварки заперты в адронах благодаря их сильным взаимодействиям, смысл понятия массы кварка йе вполне очевиден. Мы рассмотрим этот вопрос при обсуждении квантовой хро・ модинаммки в

2、Угол Кабиббо. Чтобы проанализировать роль матрипы С в (6.74), опустим сначала кварки Ь и t в (6.74), так что

厶疝 в @ f)L%C(：Jj(6.77)

Тогда наиболее общий вид матрицы 2 х 2 С есть

С * (； 1) х [матрица 兆⑵],(6.78)

Первый сомножитель можно опустить, так как его мо^шо устранить переопределением фаз и и с. Наиболее общий вид матриц 5(/(2) отвечает вращению^ характе ризуем ом у углами Эйлера ст, р, у：

c /m/2 /0力/2『沦1/2(6.79)

Первый и последний сомножители также можно устранить переопределением фаз <d, s ) % (% с} соответственно. Следовательно, можно выбрать С = F / 2 . Полагая 8=0/2, имеем

С = cose sinQ(6.80)

где й — произвольный угол, который должен определяться иэ экспери- мента. Это угол Кабиббо^ рассмотренный в гл. [; его экатеримЕяталь- Н06 значение

(6.81)

Поскольку матрица С действительна, плотность лагранжиана также остается действителъной и инвариантной относительно обращения времени. Из теоремы СРТ следует, что плотность лагранжиана инваоиант- на и относительно СР-п реобразований.

& Матрица Кобаяши — Маскава. Наиболее общий вид матрицы С размерности 3x3 получен Кобанши и Маскава [7[ ]. Из (С.7С) следует, что при соответствующем преобразовании фаз кварковых полей С сводится к матрице Sl/(3). Следовательно, С - сумма произведений мап рипвидаматрицы Гелл-Манна,

Причем 入]乂入§ выбраны даагональными. Следовательно, имеется 8 сво бодных параметров％

Мы можем записать С в вийе

С = d* е'А% Ue'K吋 еС = d* е'А% Ue'K吋 е"8例'"8例'(6,82)(6,82)

С = d* е'А% Ue'K吋 е

С = d* е'А% Ue'K吋 е

"8例'

"8例'

(6,82)

(6,82)

где U - матрица SU(3}, имеющая только 4 свободных параметра, кото ран поэтому может быть образована с участием любых чотнрвх генераторов, кроме 入§ и Л8- В качестве этих генераторов удобно выбрать матрицы 匕，入2，入s，Заметим, что 入?，Х5 и Л7 генерируют группу вра・ щони见 поскольку [入2,入$ ] = »入7、Следовательно, матрипа U может быть построена из трех ортогональных матриц с тремя Произвольными параметрами и одной унитарной матрипы с детермицантом; [ с одним произвольным параметром:

С =,(6.83)

где

_ #т$/з о0=0е"00_ #т$/з о0=0е"00с = cos 仇、$j w sin 仇(f - 1, 2, 3).с = cos 仇、$j w sin 仇(f - 1, 2, 3).(6,84)с? $з , (6.85)(6,84)с? $з , (6.85)

_ #т$/з о

0=0е"

00

_ #т$/з о

0=0е"

00

с = cos 仇、$j w sin 仇(f - 1, 2, 3).

с = cos 仇、$j w sin 仇(f - 1, 2, 3).

(6,84)

с? $з , (6.85)

(6,84)

с? $з , (6.85)

Общий фазовый сдвиг е /3 н (6.84) может быть устранен переопре* делением кварковых полей. Следовательно,

В литературе встречаются внра^енкл длй С, в которых (с , s?) заме・ нен° на (%, ±$з) н наоборот, а В заменено на Имеются 3 произвола нзх угла 外，％，%, причем 久-уел Кабкббо、Присутствует произ- вольная фаза 5, из-за которой плотность лагранжиана комплексна. Сле- довательно, ненулевое значение & означает нарушение симметрии относи- тельно обращения времени； Из теоремы СРТ следует, что нарушается я СР*пварнаит1К)сть". Эксперим ентально определены только следующие параметры [72]:,

同=6 9737 + 0.0025,

卜同=0.219 ± 0.003.( 7)

。параметрах % s 3 нистоворно ничего ле известно, если не считать ограничений полученных при комбинировании экспериментальных данных и теоретических гипотез [ 73

Сведения о модели Вайнберга — Салама приведены в не требующей комментариев таб^. G、3,「&е выпишпа полна夕 плоти ость ла]фапжиан：з в этой модели.

Сопи тоны. В модели Вайнберга — Салама стати чеекы^ топот” 「иисские солитоны〔маутствуют. Калибровочной группой является ipyiuiu

D Из наблюдаемого нарушений СР в распаде К° трудно получить ограниче- нк❷ величины 5, поскольку В понеппется только § смешивающих ароматы ком- понелтах. включающих тнжепые кварки с х «. В распад К° дают вклад только виртуальный тяжелые к&аркк、Таким образом, из наблюдаемой малоВ величи- ны нарушения СР не обязательно следует малость

Таблица 6.3- ПЛОТНОСТЬ ЛАГРАНЖИАНА В МОДЕЛИ ВАЙНБЕРГА 亠 САЛАМА

望■，v + % + 4 (Выражение Svir £卩 приведено в (6・5О) и (6-52)；

Zm a ^W 十眾VF + 亀＜V + &Л» + %H

«w = &[® X W.)，(W2 x W3) + (Э X WJ ■ (Ws X W|) + (a X Wj) ■ (W, X WJ]

/9 + —Я— z . К°1cos %/9 + —Я— z . К°1cos %%F - %(峪-J产+恥厶书+"

/9 + —Я— z . К°1cos %

/9 + —Я— z . К°1cos %

G = SU(2)x U(】)，элементы которой имеют вид

Малой группой является 口 =[0(])]&爪,элементы которой имеют вид

лея, & = е」绚=妝 з+编，

Очевидно, что Н не является нормальной подгруппой группы С. Левый класс по отношению к Н для фиксированных з н ” есть

g“ = {eT3绚|-в V 6V8}.

Параметризуя 1 углами Эйлера a t 瓦 у

и используя соотношение с @ Q - получаем

gg&一 0Pg*.

Воспользовавшись тем, что v —0 и v + 0 яаляются независимыми параметрами, запишей. совокупность левых классов в виде

gH =仁*。1-8 v 夕 V 叫，

G/H = {eT

Поскольку G/R имеет топологию 5U(2), получаем % (G/，)= 0.

Но существуют квазиклассические нетопологические солитонные решения4 Некоторые из них имеют вид тора в той части пространства, в которой хнггсовское поле вытеснено полем 2-бозона, Они 值ли наз- вваы "ворТихонами"; соглвсно оценке, их масса равна примерно 3000 ГэВ/с2 {441.

64 Замечания

Экспериментальные подтверждения модели Вайнберга - Салама относились до сих яор к знергням, много меньшим теоратических предсказаний для масс калибровочных бозонов. При этих энергиях электро- слабые взаимодействия неотличимы от контактных ток-токовых взаимодействий- В этой области гфоверена структура заряженных нейтраль* ннх токов и измерен угол Вайнберга. Но остаются непроверенными два важных аспекта теории:

])существовавие бозонов К и Z с массой, предсказываемой теорией4 ;,

существование хиггсовского бозона, заданным о^азом взаимо действующего с остальными полями.

“ См. примечание не стр. 224 - Прим, пае.

Если калибровочные бозоны 1F и Z не существуют или если они имеют массы, -отличные от предсказываемых в модели, то калибровочную koiшелпию придется пересматривать, В частности, Бьеркен [ 74] и Хунг и Сакураи-[ 75] показали, что существуй альтернативы калибровочной теории, позволяющие воспроизвести имеющиеся эксперимен- тальнне данные.

Интереснан возможность состоит в том, что в модели Вайнберга— Салама неправильно вь的ана калибровочная группа, так что кали^мюоч- ные бозоны являются в дейст в ительност и связанными состояниями как лептоны и кварки. Источник взаимодействия, приводящего к о®азова・ нию зткх связанных состояний, неизвестен； возможно, это более рлу- бокая калибровочная симметрия. Здесь возможна параллель с теорией снкьных взаимодействий. Много лег назад, когда еше ничего не было ' известно о кварках, Сакураи [76 ] предположил, что * сильные взаимодействия обусловлены калибровочной $и(2)・симметрней изоспина и и(1)-симметрией барионного заряда, причем калибровочные бозоны отождествлялись с р * з .Теория Сакураи сголквулась с трудностями при попытке приписать частицам массу, не ра^ушая неренсфквфуемость, поскольку механизм Хиггса не был тогда известен.

Если бы Сакураи знал о механизме Хиггса, он построил бы перенормируемую теорию, хотя и с большим количеством произвольных па・ раметров, Могли бы возникнуть приложения к адронной феноменологии (поскольку в теории с сильной сад^ью достоверные вычисления ив сам(ж дрле невозможны). Как и феноменология эта феноменология оцнсмвала 6У практически любые данные и прекратила существование горько тогда, когда люди понерили бы в кв却ци. Возможно ли, что роль 『н Z похожа на ро/ь р м з? Кот^)етный ще唧ий такого случая тред： ложен Абботтом и Фархи [77].

Что касается механизма Хиггса, то пока нет никаких экспериментальных свидетельств 丹 пользу существования злементарного хиггсоВ' скоро ноля. Единственный пример подобной физической ситуации дает теория сверх 口 ровс ди мост и「ннзбурга — Ландау, в которой роль хиг- гс-онекого мезона играет параметр порядка, возникающий при применении з(м?「о рода приближения среднего поля к конденсату купцовских пар. Возможно, что хип совское поле в модели Вайнберга — Салама имеет аналогичную природу. С эстетической точки зрения принлека-' тельной возможностью является замена хигтсовского мезоив на нечто более фундаментальное с соответствующим уменьшением числа свободных параметров.

Метод интегралов по траекториям

7,1о Нерелптнвистская квантовая механика

Фейнмановский метод интегралов по трвекториям (функциональных интегралов) [ 70] является одним из способов формулировки кванто вой теории. Он эквивалентен более изаестному методу каноническо го кв антов ан нк, но гораздо более удобен для изученкя калибровочных -георий. Рассмотрим сначала метод интегралов по траекториям в при* мененки к верелятивистской квантовой механике с одной степенью свободы, а затем перейдем к очевидным обобтеннкм.

При каноническом киантованки мн используем операторы на гильбертовом пространстве 稀 к относящиеся соответственно к ко ординате и сопряженному с ней импульсу и подчиняющиеся коммутационным соотношениям1*

[Pop, 9ор] = F(7」)

Собственные функции операторов ?“ ц %「 обозначаются \ р>

二 pip),

и нормируются следующим образом：

〈Me〉=⑺二 1,

»W〉= 2ттй8(рг'- p')t j 旣二 I,(7.3)

Анка мика с “с те мн полностью задается амплитудой перехода, описывающей временную заолюцию системы：

(q"#q丿〉.%exp七化‘ 一「用叩]卜)，(7.4)

11 В этой главе А / 1.

где 冃 —не зависящий от времени оператор Гамильтона. Состояние S', t "> можно рассматривать как собственное состояние гейэенбер*' говского оператора q“（f） с собственным значением q，：

Временнав зависимость состояния 匕'，f определяется тогда уравнением

心力=g}（7、6）

Цель метода интегралов по траекториям состоит в том, чтобы писать амплитуды в терминах классического гамильтоннииа 月伪 g） без о^ашеннк к операторам и состояниям в гильбертовом пространст- ве・

Раз侬временной интервал «■ — £‘）на N равщах честей и перейдем впоследствии к пределу Пусть

АЗ （产 Т'）/М（7.7）

е = Al/力、

Для амплитуды перехода имеем

（6%」）=⑺「g?川М⑺0-在％）叫,）（7.0）

=J d%一.S川7日“1（1 -迎/）加Т）…（如1（1 一迎%泞）

Типичный множитвль в подынтегральном выражении перепишем в виде

仇 1（1 - 辽%）%） = I 黑依总）（内］（1 -抬%>）也），（7、9）

% определим классический гамильтониан 冃（仇 q） соотношением

■（幽出3 办gЛо）

Определение （7JO） обеспечиввет обычное соответствие между кванто в曲 и классически механикой в случае, если гамильтониан Н（仇 q） не содержит перекрестных проп^едешЛ ? к q. В противном случае необходимо пооигеести в НОр нормальное упорядочение, чтобы все

?op находились слева от ^op- Используя опредеи1еиие (7.10)?op находились слева от ^op- Используя опредеи1еиие (7.10)позу-позу-Следовательно,Следовательно,гдегдечаем出(1 —£儿p)1%)чаем出(1 —£儿p)1%)默出piXmE)口 -注№。1,砲)] 盟龈⑷一加叫1 -花片内，“)).2万方默出piXmE)口 -注№。1,砲)] 盟龈⑷一加叫1 -花片内，“)).2万方dq^T dpN7dq^T dpN72尸力2尸力拒 л^Oл =1拒 л^Oл =1”=i”=i(7-11)(7-11)(7.12)(7.12)

?op находились слева от ^op- Используя опредеи1еиие (7.10)

?op находились слева от ^op- Используя опредеи1еиие (7.10)

позу-

позу-

Следовательно,

Следовательно,

где

где

чаем

出(1 —£儿p)1%)

чаем

出(1 —£儿p)1%)

默出piXmE)口 -注№。1,砲)] 盟龈⑷一加叫1 -花片内，“)).

2万方

默出piXmE)口 -注№。1,砲)] 盟龈⑷一加叫1 -花片内，“)).

2万方

dq^T dpN7

dq^T dpN7

2尸力

2尸力

拒 л^Oл =1

拒 л^Oл =1

”=i

”=i

(7-11)

(7-11)

(7.12)

(7.12)

(7向

Теперь сделаем решающий шаг; для »roro заметим» что в формуле (7д2) множитель (1 - НН) можно н действительности заменнть на ехр(- д£Н).Эта замена возможна потому, что по предположению выражениеимеет конечный предел при N + з если взять

N чисел zpt,BJ гп таких, что су шествует предел Lim А/ 2 z^, то1

(7,14)(7,14)Lim П (1 + 犯=Lim П =е*、

(7,14)

(7,14)

N-*8 л=1 \ Z/ Nf0 И-1

Справедливость формулы (7,14》можно проверить, разлагай р ряд по степеням Преимущество замены множителя (1 ■ j$〃)на ехр(т*，) состоит в том,что после такМ заметь акпдатуда перехода (7.12)ныражаегся через интегралы от унитарных алшлитуд：

” Того факте, что(1 —itH) и eip(— “玄)совпадают в первом порядке по е( недостаточно для проведения замены множите лев в (7/2)・ Было бы не・ правильно№ налример> заменить(1 — <еЯ)на (Т +託斤广.

Прт непосредственном переходе к пределу “ •♦ х (или Af ~ 0) будем считать, что значения 1• • • ■~ J являются после

довательными значениями некоторых функций g(t) и »(，)，которые мо гут быть и раз[№вными. Поэтому используем обозначения

G У п

外二虱浦，(7Л6)

Pn = P&“),

и запишем

NTр*

dtf()О»)

Следовательно, амплитуду перехода можно переписать в виде

卜Dg)(Dp) ехр^ ] df[向-Н(р, q)],(?晚

В формуле (7.18] интегрирование осуществляется по всем траекториям в импульс8ом пространстве，(t)H всем траекториям в координатном пространстве g(f) ва временном интервале от，，до tпри фиксированных значениях координат в точках ，' н t Элементы объема в пространстве траекторий имеют вид:

Фр)= П dq&), (Dp) = ПО・19)

Формула (7.18) немедленно обобщается на случай нескольких измерений：

= JlI(D%)(Dpa)exp^( dr〉％京「，(P,G

(7.24)

Фейамановскаи формула для амплитуды перехода получается из (7.18) при специальном выборе классического гамильтониана

№〃д)・^+V(办(72)

В этом случае можно проидаести явное интегрирование по импульсу

I (Dp) exp ~ j - H)=辰" exp -彳 df L® @), (7.22)

где - классический лагранжиан:

“q，i)=夕疗-义办(7.23)

Подставляя (722) в (7,18), получаем фейнмановскую формулу для ам> Плитуды перехода

⑷ *#，f) = N j (Dq) exp ~ j df L(q, 〃)・(7 24)

В (724) % - нормировочный множитель (обычно рвсходяшийся в пределе N -* в), не влияющий на физические результаты, поскольку ов сокра* итается в матричных элементах вмдасд", О| g',「>/<gT「|g：f">. Поэтому фактически достаточно определить (0g) с точностью до носто я иного (возможно, бесконечного) множителя.

Если предположить» что гамильтониан имеет вид (7^1), то можно показать, что

(6 门Т@р®％р&)11Т，「)

=N ] (Dq)k(h).・・ q&)] exp ~ ( df L(q,办

(7-25)

Наметим доказательство для случая 〃 = 2宀 >

e尸190P (八用即⑷叮',Г)

Аля того дтЬбн получить нужный результат, о^тамеь м с е©8 丁е&-

-Я-Я(7.28)(7.28)(7-29)(7-29)(730)(730)

-Я

-Я

(7.28)

(7.28)

(7-29)

(7-29)

(730)

(730)

но прои жести тс же преобразсдааыия, что и при переводе от формулы (7.8) к формуле (724).。

Фейнмановские формулы (724) н (7.25) в действит ельност и справедливы для более общего случав, чем (721). Они справедливы для классического лагранжиана вида

(7.26)(7.26)L(g・ d) = ! 2 4aAaB(q)aa + E 九- v(g).

(7.26)

(7.26)

если 4(q) не зависит от q. (Здесь предполагается, что 4 -действительна носингулярнад матрица.) Дли доказательства высказанного у-гвер- жденин определим прежде всего канонический импульс：

(7.27)

Используя матричв^ю запись

перепишем классический гамильтониан в виде

Следовательно, для амплитуды перехода (7.18) имеем

⑷,*7,，'〉= N [ П d% 旭 exp ~ ( dt

・一；（d4一万）+ （瓦刀+ （4 i）一匕

(Dp) exp R d«pj - Н)

士 П (Dp) exp ~ Q)3 -")]'

=П j (Ор) «Р ~(Аг)[-； (А 从7广)+ (力 〃)+ (瓦 q}-V

=const. П ]ехр - (дГ) ^(d4办 + (瓦/=const. П ]ехр - (дГ) ^(d4办 + (瓦/一屮一屮(det 4 厂"2(det 4 厂"2=const.=const.同同dtL(g, j)dtL(g, j)H(deJ)FH(deJ)F

=const. П ]ехр - (дГ) ^(d4办 + (瓦/

=const. П ]ехр - (дГ) ^(d4办 + (瓦/

一屮

一屮

(det 4 厂"2

(det 4 厂"2

=const.

=const.

同

同

dtL(g, j)

dtL(g, j)

H(deJ)F

H(deJ)F

Если 4(g) не зависит от g, последний множитель является константой, которая может быть вклкх^ав обцмй нормировочный множитель . ■

Если матрица 4(g) в (728) зависит от д, фейнмановскан формула требует модификации* Запишем

П((1е»И)-1^ = ехр —；21n(det4) .П.31)

В пределе At - 8

2Т"0)卜&(732)

поскольку прямоугольник единично兑 площада с основанием 出 имеет высоту 6(0). Таким о^тзом,

IJ(del4)7/2^^呻 ~fi(o)[ drln(detH)l.(7.33)

Следовательно,

(歹，d?\O = ^| (Dg)exp^，df L(g,切(歹，d?\O = ^| (Dg)exp^，df L(g,切6(0) 1л det6(0) 1л det(734)(734)

(歹，d?\O = ^| (Dg)exp^，df L(g,切

(歹，d?\O = ^| (Dg)exp^，df L(g,切

6(0) 1л det

6(0) 1л det

(734)

(734)

Необходимость учета сингули рн<го члена, пропорционального 5(0), мо жет быть подтверждена на примере тесани массивных вектсфных бозонов [79].

если матраца 卩 в (728) сингуля [вда. Матрица 4«卩」стнаовится сиигулярМ при нали*

чии координаты# временной производная которой не входит в лагрна* жина • В этом случае необходимо вернуться к гамильтоновой записи СМ。)，

72 Квантован теории поли

Обобщение фейнмановской формулы ла квантовую теорию поля очевидно; необходимо перейти к рассмотрению систем с бесконечным числом степеней свободы (координат). Проиллюстрируем пто обобщение на примере бозонного полв ♦ Обобщение на случай нескольких бозонных полей очевидно, С^чай фермионных, полей будет рассмогрен отдельно.

При каноническом квантовании координатами являются Шредингеров с кие полевые операторы 中叩(叫 где пространственная переменная х служит непрерывным индексом для координат* Собственные состояния 90P(х) обозначим через |(р> ：

ФоР(х)|ф) = 0(х)|0),(7.35)

где у(х) - числовая функция 4 Амплитуда перехода определяется равенством

3厶 &办，"〉=(02|eTSi)"历血*(7.36)

где Н°р ・ не зависяший от нременн гамильтониан системы,【&сть классическая плотность лагранжиана равна

£(上)・出毎")，旷0(无))，(7.37)

где £(#) — квадратичная функция от 6У$(х) с ко^ффициент<1мит не зави- сяшими от Фейнмановская формула имеет вид

(。2 ,包1枷，厶)=N( (D^) exp ^ d〃£(#)、(7.38)

где

все простренство

и наложены условнк

力伍,也)加(X),以mа)0如(")•(工40)

Функцион；Етьное интегрирование J (D<p) может быть определено,今ели сначала считать х 门《окрегно方 лфеменней, л затем при лолучс/пте окси-

чательвото выражения nepekr* к фиэгюскому йепрерывно^ преде^. Другой способ состоит в том, чтобы пом№пиь систему в ботю^ а конечный тфостранстеецно^рвмешгой объем и интегрировать везави* симо по каждой дискретн闌 фурье^ашгоненте ф» а зате*вер^тк к предав бесконечного Кьема・ Имеем т&кже

（力，屮％（同）…金"玄）|如"»

(741)(741)■ U,阿№6）…*（M呻^/小⑨⑺,

(741)

(741)

Дсжаэйтвлылво формулы (7.41)акалогкчно джажшстяу Фэрь9&{7 盟.

Амплитуда перехода может быть определевным обраэ&м йн&литц* чески продолжена к комплексным временам. 4то<Ь и^пшть му во нож叫рассмскптм собстеенвые состояния | н > гамщьтошшм «©р и пртцщоложим! что существует ^j^a^&ew^ закуумше состоя* яме с нулевоЯ g呻旧姦：

(7.42)(7.42),Н>) = £» (Е“*0>,

(7.42)

(7.42)

Тогда можно записать

（力,41标/1） = （42卜хР卜器伍一（力,41标/1） = （42卜хР卜器伍一

（力,41标/1） = （42卜хР卜器伍一

（力,41标/1） = （42卜хР卜器伍一

亿43)

где也(Е) = ? &加洞如)8(Е &>где也(Е) = ? &加洞如)8(Е &>(74)(74)

где

也(Е) = ? &加洞如)8(Е &>

где

也(Е) = ? &加洞如)8(Е &>

(74)

(74)

^^^^* Что амплитуда перехода может быть продолжена в нижнюю

У кость' 2 т и например

(745)(745)52,一-1创，0)= [ dE з(e)eгМ (r > 0)

(745)

(745)

После вычисления интеграла в правой части выражение для действи* тельных времен воостанавливается при аналитическом продолжении т на положительную мнимую полуось»

田ереходи к пределу l » получаем

(02 ,Тт| 如，0)(加 10X501)= ^о[фг№о*[^-(7.46)

「照 Т0[ф] - <ф| 0 > - волновая функция основного состояния системы. Комбюшруя формулы (?46) и (7.30), получаем

屮olOJ^o'Iaj = N(D0)exp - dr Jd3x X(x, -ir)j (7.47)

где граничные условия имеют вид

0(х" = Z&)= @2(х), е(х, г ==小00・(7.48)

Фейнмавовския формула(7.30) неприменима в том вк叫 в котором она выписан^ когда имеются поля с тождественно равными нулю сопряженными им импульсами. Именно так обстоит 験恥 в калибро支

вочных теориях, квантование которых рассматривается в гл. 0. Здесь R мы заметим лишь, что фе№манжжая фсфмула плрежнему будет справедлива, если к £(х) добавить член,т1 фиксирующий калибровку". В этом случае применимы общие метода, обсуждаемые в этой главе.

工 3 • Внешние источники

Включению взаимодействия, с^стйиы g внешним источником соответствует добевденве к к%聆妒唸瀛 плотности хагранжМйиа члена ,(%)/ (я), где J- qxsi通Л^ная функция. Как будет ш<дно из далшей-

шего» это удобный математический прием.

В присутствии внешвего источника амплжгуда перехода й№№Т вид

(02, М如，2j ■ N ( 3")，Лс[^а)卜 4<x)j(x)] (7,49)

Матричные элементы уноря叩ценных по времени проижедевий полей получаются из (7Л9) функциональным дифф即енцированием по внешнему

источнику:

_g{@2 "2© 〃)/；}

〃(内)・.・ <5/(%)(7 50)

=Ь) " L ("Ж。仪力)exp ~ / 也及⑺ + ф(х)/(х)1

Выражение в прав曲 чвсти(7.50) сводится к (7・41), если положить

Предположим» что плотность лагравжиана можно разбить на сумму невозмушенпой лагранжевой плотности и слагаемого, описывающего возмущение：

£Q) = %(х) +)・(7.51)

Заметим, что £' расс^трнвается кнк функфш от «®. хотя» вообще говоря, может появляться и зависимость от производцых 中仅).Можно записать

=卜中北&哪詣)нГ仍两/壮网.)

+ ea)J(x)].(7.52)

Ряд теории возмущений получается разложением первого экспоненциального множителя по степеням £* • ^тй* Метод будет npC^eMOHc^pi^ ро&аы в разд. 7.7 при выводе правил 00加ай^ для тёо兩 ф*-

Важное приложение метода интегралов по 舛аект<^)иям - вычио ление амплитуды перехода вакуум - вакуум в присутствии внешнего источника. Если 9Tа амплитуда и^естяа, то определена и вся дина* мвда огстшш. Другими словами, 6勿 динамическал информа^лл мо・ 笫用вакуума на произвольный

Прежде всего определим амплитуду перехода вакуум - вакуум и рассмотрим ее соответствие с гриновскими функциями системы. В Прясутствии внешнего источника гамильтониан системы изменяется：

вместо Нор имеем

(ZS3)(ZS3)%可№丿⑺%⑴,

(ZS3)

(ZS3)

「顕 ％р回-гейэенберговсжН m^srop. в J(kJ - числгаа* функция, вид которой сршзволея у зтшм требоваш обращения в нуль пряз…

«У

Уоловмв (754} обесжюае? ншсзддеш системы в вакл^жм состоя* нии njM % - * ・.Отклик вакуума на источник опмсываетол шплпу-

< 0+|厂>/ s амплитуда вероятности того, что система вудет н®со-

она находилась в состояшк ] 0 $ iqn %

(7Л5) Из унитарности слвкет. что эта амплитуда дероитвости имеет вид 俨旷％ "хр*Е4р.5б)

Перейдвм к прпдртвалешио взшмодвХстаия Для оператораЯ^р.Пр» *0 0 для состояния емотвмы кмеем

丁川Т现灯:七小丁川Т现灯:七小(7-57)(7-57)

丁川Т现灯:七小

丁川Т现灯:七小

(7-57)

(7-57)

где времвмбй .этблюще# 8[р«) управляет Н” . CnBpmBEMi* %*) - гейзеКергеюпА оператор систеьад в отсутотаие виешних источников» С др^Л ст<^юны, состояние системы пря % . & которое перейдет в I 0> 旧х。.имеет вид

1°+)/ = Т 呻^] &〃$«) 0),1°+)/ = Т 呻^] &〃$«) 0),(7-58)(7-58)

1°+)/ = Т 呻^] &〃$«) 0),

1°+)/ = Т 呻^] &〃$«) 0),

(7-58)

(7-58)

Слм^Иешо,

(7-39)(7-39)(7.60)(7.60)(7.61)(7.61)(0+ГЪ-^Г W "二 de %喇

(7-39)

(7-39)

(7.60)

(7.60)

(7.61)

(7.61)

■仲小№ I 卜Г J(x)% W

ВИ0Ю 亦 то

LM*» …&aj

粵⑷，…"J ■ (Oir^fn)…％&№} g N I)

-грцкпга^ ^ввдн жтем^ мртс^? Ф^лыв шжывшог дшами- ку сиотемм% я^утствмв внешних мсщвмкб. № соотношения (7.68) поучаем разжнкшие

(0+旷))- Z(3 jd%…d4厶4(九...，工内卩(外)••丿(xj

(7.62)

Г雕 *1. Ь^вдавн0№* «m<G*|■ дроизводкщА функщю-

^Й*(Л? определовн&я а 口朋,мвлжемл прогаводашим функ- АН лозных фужимй Грав：

制〃 ■*◎"』卜*「奴成"“「"”""“ '"

где G/кр •…*а) k > 1)・ смэше я*точвчяые функция Грина, т«е・ сумма вже зязшх хаграмм Фейжаиа с пштшшм ашям*, окш№-

G-64)G-64)вшошмяся в точках *〃••・,$. Чтобы джазать это утеерждение^ заммкм.、№* (л >1) — су)ша пронзоедений евязаых функций Гри- 0A %帆注叫 >М^ю можно отЯмп мвдуюом образом. Пусть 叫 &Р (.… 良 qj Ьшнсывает разложение цвиюго чиш п сяедукщаго вида：

G-64)

G-64)

Я = (Г) + 2^2 + 切3 + …•

Можно записать

练(х».・>х”)= 2 2尸[g()・-g()j[G2(・)-G2(・)j ・・.

s)множителей о】 множителе

(7.65)

Скобки в формуле (7.65) содержат всего п точе^ которые нужно каким* то образом привести во взаимного дно эн ачное соответствие с %，••— «я» Символ Р обозначает определенную перестановку

*lf •♦♦./• Число таких перестановок равно

Gd о^! : • J((li)«2!严，寸(7.66)

При подстанике (7$5) в (762) каждое слагаемое в сумме Sp дает одинаковый вклад а ответ при иятегрирования пох ,.. ,# х , Поэтому"

(0+|0)

[/dtr G式xMG)『 Ud4* My G£m,力八聚"(力产

367)

Двс^нан сумма в (7.67) такая же, как и при независимом суммирова- нмм но каждому из о,. Следовательно,

啲厂金詞灯色乌怨『名表[©$

* j d，x d*y G^x, y)j(x) J(y)j . • •

= ехрД (^ ^ 卜力…d£ GG …,W&D ■■• J&). ■

■ .(7.68)

Покажем тене^> что амплитуда перехода вакуум - вакуум может быть представлена в виде интеграла по траекториям, Пдя простоты включим источник Ляшь на большом, но конечном временном интервале：

J(x) = 0 для |x(J > 7 (Тт в).(7.69)

Рассмот照м «амплитуду перехода от момента времени ' 1 до включения источника а момента времени t, после его выключения:

02，“ 体

=卜“)3储(@2,m@, T*，巾'，一》(@',-t1@1,幻

01 < -Г, /г > Г). (7.70)

Амплитуды, ве зависящие от источнияа, вычисляются немедленно. На- №мер.

(7-71)(7-71)(^2-(г1^, Г)=卜2卜хр[-；(и - Т)%]М

(7-71)

(7-71)

=S (@加洞@) ехр[-± «2 - Т)Е„

丁工 9加x02).

Тдаим образом, аналитически продолжив времена

Q72)

получим

(7.73)(7.73)^1Ф^

(7.73)

(7.73)

三(0+S)外-三(0+S)外-=05=05

三(0+S)外-

三(0+S)外-

=05

=05

или

(о+ГЬ = to(о+ГЬ = to(@2,厶161，成 ~(^№№Г"(@2,厶161，成 ~(^№№Г"(7-74)(7-74)

(о+ГЬ = to

(о+ГЬ = to

(@2,厶161，成 ~(^№№Г"

(@2,厶161，成 ~(^№№Г"

(7-74)

(7-74)

Используя (7.49), можно выразись правую часть в виде фуакциойалЬно- го интеграла по поднм в детырехме(том евклидовом простр^стае. За

метим* что граничные условия не играют роля* поскольку правая часть формулы (7.74) не зависит от<р2(х) и ф^х).

7/. Евклнямо 4<простри»ство

Евклидово ^пространство получается из пространства Минковско го вращением по часе© ей строже действительной оси в компл^ссной плоскости х0 до отрщательной мнимой полуоси^ как это паказшю на ряс. 7.1. Точка в евклидером пространстве обозначается 生；она связана с соотеетствующей точкой х 二 併夕в пространстве Минковского соотнодпениямн

在=(Х,/)，

х4 = (дайствительное),(7-75)

也=t出也，

СоотеетствукчшД евклидов импульс определен так, что А产$ в А°『. Уожхме пврежда опредмаво так, что для ыхжой ваш падожигелшм зва- чомм % отвечают положительные значения 尸 Соответственно мы 叩ап&м ось М прЕВ часовой стрелки до положительной мни* мой полуоси (ряс, 7.1). Следовательно, имеем

% ■ (к,

& = (действительное), 頂 3%«"б)

Jm x0Jm x0плоскость x°плоскость x°Пмскость kПмскость k^ЕШИДОН npoerptwcTBO^ЕШИДОН npoerptwcTBOЕВКЛИДОВО 口 рострзкстмЕВКЛИДОВО 口 рострзкстмПространство МИНКОВСКОГОПространство МИНКОВСКОГО

Jm x0

Jm x0

плоскость x°

плоскость x°

Пмскость k

Пмскость k

^ЕШИДОН npoerptwcTBO

^ЕШИДОН npoerptwcTBO

ЕВКЛИДОВО 口 рострзкстм

ЕВКЛИДОВО 口 рострзкстм

Пространство МИНКОВСКОГО

Пространство МИНКОВСКОГО

бИС. 7Л. Как ооуцастшпъ актти^еом» продолжщеи# из пространств* Миикжкого . мклиноао прострмтао.

Заметим, что Ь - А%° ■/ ・ # переходи в %“ - к。％, но ЦЖ眦田 преобразсжании f (А1) можно замашть 忘〕на■仆** + *「名・

П印exon к евклидову !фоогранству означает рассмотреше эволюции системы в мнимом времени. ТейсшЛ образом, в принте мы должны решать уравнения движения t в кот^зых время х° заменен^ на

е где 丸 -№<1стшсгельцыЙ т^ршетр. Лореш^иивариантноСть плотности лагранжиана в пространстве Минковского переходит в ия* вариантность относительно О产решений в евклидовом пространств®. Уравнения движения определяют, как продолжать полк в евклидово пространства

ДОствительное сяаляраое доле определенное в пространстве Минковского, п^юходат в действительное скалярное поле $(*&), шва* риантное относительно

Массивное векторное поле 4%) с действительными комнонеита- ми переходит в евклидсжо вектс^ное поле 4%&) с действительны ми компонентами смласво правилу

(7-77)(7-77)A气)T4气力(上 =1,2,3), 4°(X) -м4(喲.

(7-77)

(7-77)

Заметим, что 4° переходит в 4 со знаком^ противоположным знаку *°,посколысу 4° должна преобрезсюываться как d例。.Дополнительное условие d/口 « 0 пвреходнт в

Л лк евклидовых векторов различий между верхними и нижними нидак* сами пе существует.

Для калибрсдаочного полк ответ зависит от способа, изданного для устранения нефижческих степеней свободы, связанных с каляб* рсжочной иивариантностыо. Посколысу эти степени овоСюды не имеют физического смысла, соо^)ажения ковариантности в этом случае не помогают. В коварцмнсй калиС^свке применим закон (7.77). В веко вариантной калибровке закон (7.77) можно использсжать в качестве фсфмалького прео^азовааии, хотя 9To и пе необходамо.

Енндидсю фуакфЮнальныЙ интеграл для ашктуды перетодв варум- вакуум имеет вид.

^)+|0_)у 科映 ^ W[JJ = N j (D@) exp^-| {Se(@] -(J, @>e}).

где

阻匍■ [ d^E^E)= TS(4I

7(7.79)

(J, 4兄=I d4^ J(砲№(电1

В такой ф(фме функциональный интеграл фсфмально зквивалентан функции распределенни классической чвтырехмериой сиотемы с температурой Л.

Евклидова формулировка оч皿 полезна в тех случаях, когда желЕь> тельно узнать, какие тре^ктории вносят основной вклад в амплитуду лерехбда. ©уакциональный ннтесфал в пространстве Минковского 8吋 отшдает каждой траектории фазсжый множитель» причем классической траектории ответавт 前 стацион^щой базы. В евклидовой форму* лировке с каждой траекторией связан множитель больцмшктского ти* па, причем на классической траектСфии -достигается минимум евклкдо* ва дайствна. Вклад соседних траектсфей подавляетск (а ив осциллиру* ет, как в пространстве Минковского).

Для диаграммного разложета амплитуды перехода вакуум - вакуум евклкдово предписание обеспечнапет правильное й в фейнмановских протагаторах(см・(7.99) и (7.100)),

Вычксление интегралов по траекториям

Функциональные интеградл гауссова типа могут быть вычислены по обобщенной формуле для о&лчвых г电ссовых интегралов. Пусть Q(x) 一 квадратичная фсфма по одаМ переменной：

(7-80)(7-80)Q(x)= -— + ^0(Х

(7-80)

(7-80)

(7-S1)(782)(7-S1)(782)где 的=開

(7-S1)

(782)

(7-S1)

(782)

Хорошо известно> что

]/i=(守呷儲

Зтот рез/льтвт немедленно обобщается ди квадратично# формы Q(w) отп переменных |uv 勺•….，％｝：

qoo =扬,几)一(仇")，

где 6 - гькомпонентный вектор

'(7.83) с постоянныьш хомпойент^мн, 4 - сим*'(7.83) с постоянныьш хомпойент^мн, 4 - сим*метричнак неошгулкрная матрица к х % л

'(7.83) с постоянныьш хомпойент^мн, 4 - сим*

'(7.83) с постоянныьш хомпойент^мн, 4 - сим*

(4 ")■ e配3

Запишем также

°® ■ те，“达)+ м® -働,A(u_

Тогда

]①〃)「Q® = (det 4尸/2 бр х仇4一｝), 0)u)■(2力尸a必「..(1% det4 = П at

(% - собственные значения матрицы Л).

(7.84)(7.84)(7.85)(7.85)(7,86)(7,86)Для действительного полк .(#) опредадим квафатичную фсфму 0 中上

(7.84)

(7.84)

(7.85)

(7.85)

(7,86)

(7,86)

。阳=Кб А$) ■ (bf

「取 4 - самосопряженный несингулярный оператор и

9“ Л J ^ ФМф2(х^

Квадратичную форму 0[ф] МОЖно переписать в виде

Фо = 4rb.

Тогда

(D0)「5句=斤(det 4)7々 “P *(瓦 4f)

(W)(W):(7.88):(7.88)(7.89)(7.89)(7-90)(7-90)Элемент объема 的)с точностью до мультипликативной константы uir-

(W)

(W)

:(7.88)

:(7.88)

(7.89)

(7.89)

(7-90)

(7-90)

ридедяетоя как 中.(*)> а щмжзвольвая к<жстанта (возможно» беско- нечвая) учитывается в нормировочном множителе М Г^ЖНМммЫй^чОМ^

а壘*理м i^i9№^»^肌 J ] для оюбо暝g скаляр-

но№ Ьоля и гфОлйй^С^Й^ем тот фшт, что фейнмановский пропагатор нвляетея ма彼нфом* обрэтиым Мкиитческому с^перакфу" в плотности

Плотнеть лагранжиана имеет вид

階^9°***^川中.^И #3 -

(7-92)(7-92)+ «г).Исполь^я+ «г).Исполь^я^о[Й н Т 卜工 «*№, .+ m2>40).

(7-92)

(7-92)

+ «г).Исполь^я

+ «г).Исполь^я

:话* d*xE $[x灰-或2 +吟取耳

Кшсвтмкаиш оц^^омярлются уратор (—通 ф*寸(?務).麻小《^

ирj號好1 n* g) Up I I^J - i !(1Ъ：Б e(**(词｝

Н爾(D曲"*4-d93)

Й(ЛЛда2(*.ЛМ-(*. *)(7.M)

(7.95)

едучаем

е^| ^о[Л-*Ш>*#^^(7.96)

i叩］Н击a，(-口? + м尸外+蚂佈i#俩w "腕噂，

Оператчф (- о| + M)" №Вв всего жхуюдиттьр мкшуленм пространстве:「.

(-□в2 + ^f^ =(一口2 + /T J 鶴中d ”嗔坛).

«|р*уЕАХ^-Ы/(Ы.(7.9^

г加 厶戶—фейимановскай прзштор. ооределввшй равенством

&*啕、т］繇^^.(7.99)

Пре вснврашеюск в прострвистео Мияксвского воэ^к&ет хфивычнш формула

^х)~］^1^^Тй(I 冷d血)

авидю% чт(х ешслядова фс^уфом* соответстаувт сташартному

■нбс^ конура интегрирования по %

Собственные значения + m 勺 равны+ 族2 卜 Свдрватешо^

Вмдао, что dot4 является расходашейад величиной. Однак% поскольку в П*>01) пет зависимости от J, вклад от det4 в (7М) можно устранить ссютаетствующим выбором вормировочного множителя М Т^Кмм образом, поучаем

= 1 d**E d*yE- УеМ(Уе)

2；(7.102)

=~2 卜^ ^У^^) АН* -加(力

Сравнение с формулой (7.63) показывает, что единственной неисчезающей связной функцией Грина в теорни снободаого поля является фейн- 届喻 пропагатор

：(7/03)

7.7. Диаграммы Фейимма

Проиллюстрируем иомензе джрамм Фейнмана в функцмжальн^ формализме ва примере теории Аф4- Плотность лагранжиана в присутствии внешнего источника имеет вид

(7104)(7105)(7104)(7105)ад =氏g)+馭s⑴)+ egg гда

(7104)

(7105)

(7104)

(7105)

g(x) = ； %°а)8 ^(Х) - - т2ф2(х)г

Используя (7.74) и (7*52), запишем

ехр * №[/]=ехр * №[/]=• exp " WJJ],• exp " WJJ],(7.106)(7.106)

ехр * №[/]=

ехр * №[/]=

• exp " WJJ],

• exp " WJJ],

(7.106)

(7.106)

гда IF0c J] овредален в (7.102). Обычное феЙнмансвокое диаграммное разложение для функций Грияа возникает при разложении экспоненты в (7406) по степеням •

Можно показать, не используя какого*либо явного выраженвя для £* (ф), чтожлассический прекел (формально опредвлнемыЙ как 口叫дал 啦 力:欣0) %о而eidt由^траёсмотренню только "ревесных диаграмм". Рассмотрим ироизволиую связную диаграмму Фейнмана и йЪдбжйм

(7,107)(7,107)V = число веришн,

(7,107)

(7,107)

J = число внутренних линий, Е =. число внешних линий.

Каждая внутренняя линия несет 4-импульс, по которцу производится интегрирование. Каждая вершина накладывает одао условие сохранения 4-импульса. Имеется также усл^ие сохранения 4-нмпульса для ссвокупности всех внешних линий. Таким образом, полнев число не*

зависимых 4*имнудьс8 равно

1 = 1- V+lt(7.108)

т.е. равно числу звмкнутых петвль на диаграмме. Диаграмма лропор* цисжальна некоторой степени 九 в котодю дают вклад внутренние ли-* ним и вершины. Вклад от внешних линай можно не учитывать, пос кол» ку в матричных элементах S *матрищя они замешютск волновыми функциями.

В соответствии с (7.106) вершииа* связавнвя с дает множи* тель 力т. Каждая внутренняя линия дает множитель 必尸.который возникает щш удалении даух множителей JG в величине 力т (/, А~) в 年[J ] при дифференцировании 6 /5 (/厶)・ Следовательно, вклад ампу・ тированных связдых диаграмм в "万)肌 J] прозрцисжален 川一匕 а вклад в ff[ J ] пропорционален

紋・* =祖(7109)

Посжольку №[J] - производящий функционал для святых функций Гркн% / -петлевая дяаграмма для ампутированной связной функции Грияа пропсфциоавльна ft*. Древесным даяграммам отвечает / 工 0, поэтому в к даосическом пре да ле дают вклад только эти диаграммы. Квантовые поправки можно классифицир^ать по степеням 方 и, следовательно, по числу петель.

Выведам правила ©ейнмана, вид которых зависит от конкретного выбора £* • Перенншем уравнение (7.106) в более подробном вида：

exp W[刀

-卜斗]乱明阑7辰卜"办，2券泌(吓

(7.110) Заметим, что

*(х) л

(7-111)(7-111)證-6(一)，

(7-111)

(7-111)

鳩］4 口比…由咪一办

Чтобы провести явное разложение в (7.110), удобно ввести следующие

обоэшения:

ЛИНИЯ：X s 1 洗 г

конец лмшш「。、 ¥

*(7-112)

терминал： (X)至(к^^/^^^

вершина： •■ 二一 Е)・

В качестве примера запишем

0-0 = /(*)警4 /⑺.(7.113)

Используя введенные обозначения* имеем

exp W[J] в {«ф j d*z(X)j ■ |ехр j 也 心 g(?一?)}

■工 5 "TS [ (<b=)(dy)(dz)[(X) ■ W

盡о H制 JL 勺％」(7414)

2(?一式-2(盯)，

「№ j@){dy)(dz) обозначает интегртфсвание по всем ^ у, х в подынтегральном выражения* Неравные нулю слагаемые в сумме (7.114)小 ладают следующими свойствами:

Терминал должен найти 4 конца линий и соединить их, сфсфми- рсвав вершину.

Конец линии не обязателыю должен быть присоединен к терминалу, (В этом случае конец линки является свободным и ему соответ1- ствует множитель J (х).)

З.Еслн оба конца линии присоединены к одаому терминалу, результатом является бескоиечнак константа, которая устраняется па ренормироакой массы. Поэтому мы ®№м игнорировать такого рода поправки.

В соответствии со сказанным каждый терминал должен нейти 4 различные линии и соедцнить их концы, сформировав вершнну. ©§А№ мановская диаграмма — это чертеж, связывающий терминалы и ли-

юш в соответствии с рассматриваемым не исчезающим слагаемым в (7.114). Поскольку по ктрдинатам. связанным с терминалами и концами линий, производится интегрирование, мум различным слагаемым в сумме (7.114) может соотавтствсвать одна диаграмма ©ейн- мава. Таким образом, сумма (7.114) является суммой диаграмм Фей屮 мана, взятых с соответствующими весами, a (i /К^[ J ] ~ вмешен* ной суммой связных диаграмм Фейнмана.

Терминал мо*ет выбрать один из даух концов линии. Соответст^ нуюшие 廖а члене в (7М4) равны по аеличиие.След№ательно№ множитель 1/2 в ( о—о ) может быть опушен, это соотавт- ствует тому, что для диаграммы Фейнмана расположение концов дан. ной линии не играет рели .Чтобы включить в рассмотрение это правил запишем

叫师卜£e為/…用小片。)…(。/)].

(7.115)

При этом пршимдется, что присоединение к терминалу офого из кон* линии не отличается от присоединения к нему адугого конца. Ин* тегрирование провзводится после того, как сфефмированы все верши* ны. Интегрирование ведется по координатам всех вершки и свободных кежцов внешних линий.

Ниже будем рассматривать только саезш^е дкагрв№*ы • Пусть N -чжТло членон в (7.115). соответствующих диаграммам фейвмаца один шестой структуры» имеющим твврцшн и п линий (внешних и виут* ранних). Вес таких Жаграмм равен N/你！ п !)• (По ооглашению мио*в« тель l/陋！ п !) в (7J15) не включается в определение диаграмш) Определим симме1Лрийное число [ 88] связной диаграммы s:

N

Тогда

рде суммирование производится по всем святым диаграммам G» ■ Рассмотрим связную Еювакуумную деаграм4y(т.е, /wpmqr, имеющую но крайней мере дае внешние линии) с тавршниами ил линиями (внешними и внутрениимн). Каждой ттерестанбке швершки соотввтст-

Диаграмма Сиимггрийное число

464666

46

46

6

6

0,

6

PMG 72 Примеры симм9три№ых чисел для диаграмм ФеАнм・・• таории л*.

вует сиредаданное слагаемое в (7 Л 15)t поскольку вершина полностью определнется своим положением на линии, связывающей внешние ков> цы диаграммы, Переетниснка вершина этой линии соответствует изменению действия терминала в (7.115), прияодящего к образованию

вершкв и соответствекво приводит к возникисвению нового слагаемого. Следовательно, N содержит множитель m!. Перестансвке даух линий отвечает снре明ленное слагаемое в (7Л5)» если эти дае линии не явлаются внутренними линиями, присоединенными к одинм и тем же аершинам каждым нз своих концов. Такие внутренние линии нашва* ются 11 эквивалентными11. Следовательно, число различных перестановок линий равно*/(%! А2| ...), где Л2 > . •. * число различ* ных эквивалентных линий. Таким образом, N = n!m!/(A J А/ • • симметричнее число связной невакуумйоЙ диаграммы р авно

I

$ = П (砌.(7.118)

Симметричное число вакуумной диаграммы нельзя найти в общем виде^ оно находнтск для каждого конкретного случаи отдельно1*. Некоторые симметрийные числа приведены на рис. 7«2.

ZB. Боэмм и *ермимм|» петли

Рассмотрим свободное скалярное комплексное поле, вэаимодей* ствуюшее с внешним хсточнияом Q(x)» режддюшим пары частица - античастица:

£(х)=久0气” 一 т2ф*ф +

=+ (a 一 *)*] +*跳加"42 + (П一病)疗1

(7、U9)

гда

n Рассмотрим, например, член

m雨9:0)…9户

Существует только один способ такого сое диная ил концов пиинй^ чтобы полу* чилась вакуумная диаграмма, а имшно кек на пятой диаграмме рис. Л2. Следовательно! симметричное число рамо 2!4f = 4в.

Любая святая даагршма ФеЯямвда такой теории состоит из едщт вениой петли, на которую помечется ирсж^ольное количество в&р-

Прсжзводяший функфюнал 网01 может быть вычислен 8 замкну* той форме следующим о^аэом: для классйчеосого дайстеия имеем

嵬4]，力，a]=Tj『х専约е） ■帆（加，46）+ （也，4^）｝

где

& =尸(-Пе? + тз - fj)

Следсвательно^

(7-122)

仪*МП卜"⑴由①甸叩打出也，ft]

(7.123)

/Ыаграммное резложение возюжает при разложении (7J22) по степе* ням Введам обозтаяекия

iAf ■ (-Пв? + *)7,

3岡» = Ар(х - у), за» F*-#师工 Tr f = I ^x^lf^

(7.124)

Тогда можно запноАть

Выбирая N = detfifi A fi)t п&Лучяем

Разлагая в (7J26) по ст^еяям Q* находим

|w[O]=玄=Т0АрП)”

，S - J 4th •…冷』аХя - *柒 Мh^ 川”片断% ^)]-

г质厶/ •…％ — едклидавы ксмфдинаты. Разложение (7J27) п(жа呀 вает. что существует единственная связная даат^амма n-го nqm^(at состояшан из одеюЙ петли с 力 вершинами на ней м симметрайным q心 ломп.

Если поле починяется статистике Ферми, а не Бозе, то каждой замшу той петли появится Аополяитшш 貴 множитель - В остальном правила ФеЙнмвяа rte измеаяются. Поскольку в рассмат- 叩еаемом примере все связдые диаграммы являются одаопетлевыми, они npvso изменяют свой знак, а с ними и №[ Jb Чтобы воспрои^ео ти правила Фейнмана» необходимо нересшредвлить 电унк車овальны員 интеграл так, чтобы выражение (7.123) перешло в 卜D,1)(0备)《ф；瓦仇；力，П] ■ det А(7.128)

В данном конкретном .примере использование статистики Ферми, конечно, не налиется физическ» обоснованным й оПШавится полем "духб” и используется тошю в качестве формального иястрдмента при квня* тстаяни кали如свочных иолев). Оснсвтаа цель обоуждеиня приведенного примере - повснить способ введении в теорию физических фермиов- йЫх полей в методе Функционального нитегрирования, изложению которого пскэяшен следуют^ рездел.

7.9. Ф«|ММ<МНЫв ПОЛЯ

При каноническом квантсиании фермионные поли 屮/ (叫 屮；仪) по^шшются коммутационным соотношеиням

(7129)(7129)｛叨G),栋.(У)底.加 =統3(х - y), ｛叨(，)，栋(У))*』0.

(7129)

(7129)

Из коммутационных соотношенеб(7J29) следуетгчто в формальном классическом пределе ft 0,屮,⑴ и 屮[(#) являются не обычными числам* а нятикоммутируФшми「числаш* Чтобы расиицмть

цмменмсмлъ метода, функционального интегрирс^ания на фермион> ный случай, необходимо определить функциональны貴 интеграл по аатикоммутирующим г-числам.

С этой флью примем точку ^>енияр согласно кот(ф(^ квавтсюан теория полностью определяется заданием правил ©еЙкмава.Т戰 фермионная петля отличается от бозонной юлыо тем, что с зам* кцутой фермнокноб Дотлей связан дополнительный мвожвтель - 1. Мы вапишем функциональны貴 интеграл для производящего функцмона» ла так, что это требсваиие будет выполнено.

Рассмотрим свободное спинорное ноле, взаимод^ствующее с внешним источником Q(x), рождающим ф^)ми№аииферлиснн№ пары: 约)0 步 ' 3 - mX* + @*0・(7.130)

Соответствующее Зствке имеет влд

j&х %(*) = Т j 昨専田口上=Ж[(А + 值 ®)L (7-131) где

* ■ Oy • a — !W)T.

Все святые дааграммы Фебнмаяа» кнк и § 1федыдушем примере, явлн- Ютра одноцетленымн. Прфила ФеАнмана корректно воскрои^едутся для прензводяшего $ункци8ала №[ Q] вида exp-W[O] ■ " (D屮)(0步)№Р^ (趴(*т + С)*)](7.133)

Что&д понять, как осуществляется интегрирсюание в (7.133), рассмот* ртм сначала два антикоммутирующих г-числя % м % . опредеданвые соотпошеаними

Проиотолымяфункция от %,力2 имеет вид /(%, “2)н С)+ С|^+ ^»Ь + 6%彳?1\ /(7.135)

где С. 一 коминассные числа. Операция иинтегрированиям определена правилами [

din ■ 0,■ О,

где пре皿олагаетса. «то 面、к 而 幺 ннтнкоммутнруют между собой и с 电 • Определим тнкже

卜НА н F2 卜%，（7」37）

откуда следавт

j d疗（п ■脸 a j S/e）・（7Д38）

Интегрируя согласно кюедеяньм 叩咏喲 функцию （7.岡，получаем

j d^i /（41 41） = Ci + Cm,

「（7:139）

I <1中 I dihf（ih，jh）■ Q・

В частности* для дюбснв числя 4 имеем

J d^J dihimm = J dqzj &н（1 + 从DE» ■ A・ （7.140）

Донные выше опремлеюш можно обозлить на случай произвольного числа антикоммутирующих с -чисел ｛叫 I:

，，吩М。,疗Н0，g旬

<й^ ■ & d〃E = 1 - （суммировшше не промзводатся）.

Все 曲,антикоммутируют между собой и со асемн 力・ Разделим t % Г на Д₽а №»ресекаю1шася множества 1$｝貿 f j& $ ♦ （Звездочка

обозначает различие между даумя множествами, а не комплексное со- прижение.) Рассмотрим квадратичную форму

% = У ^Аар11р ■紋4%(7.142)

где А. 一 снммет^чнан матрица, элементами которой авляются чио ла. Подходащим линейным преобразованием матрицу X можно привеста к диагональному виду:

Х= £и%,(7.143)

где 4a 一 собстаеннуе значения матрицы 4. Из (7.141) следует

ех = I + X + ^^ + ■ ~ + ~}Г,(7.144)

J(Dif)(D4*)e^ = |(D4XD1}*)^1

где

6) = П d%,3*) = П 时」

(7.145)

Знаки этих величин зависит от порядка сомножителе. Чтобы по^чтъ один член в разложении нео&садимо выдать но одному слагаемо- му из всех п сомножителей X и перемножить их. Посколшу »：2 ■ ■ ■ Q, все сжэемле Должны отличаться друг от друга. Следовательно, единстееано возможный-результат имеет вид П 40 r)* % Поскольку существует п ! возможности выбора, получаем °

* М川д4"/%.(7.146)

Следтаате^но, (с точностью до знака)

J (D4)(D4*)e<-4t* = ft 4„ = det 4.(7.147)

Эту формулу можно рассматривать как новое отредвление детертлшанта В более общем сдучае положим

Q(小紋)="*4" - 6%* - 6%(7.140)

где 4 ■ несингулярная симметртсчная матрица, элемиты которой - числа» а 6 и Ь・■ №компоншггные векторы, компонентами которых являются антикоммутмруюнме с-числа. Перепишем (7*148) в виде 侬小 “*) =(П* - По*и(4 -力。)-Ь*А~1Ь,

Чо =(7.149)

Тогда из (7.130) и (7,147) получим (с точностью до знака) j (Eh7)(D7j*)e5n・Y)н e^b'A 'bdetA.(7.150)

Тврь очевидно, что ддя получения формулы (7.133) необходимо лишь заменить спинзраме поля 屮(*) и 可夕，антикоммугкруюшми с-чнсламв. рассматривна сначала х как дискретный индекс, а затем переходя к непрерывному предвлу.

Для свободаого спинорного поля, взаимод^ствуюшего с внешни* мн источниками, рождающими частицы по одаой, положим

£(х) ■乡8 — т)Ф + J屮 +，(7.151)

где 丿仲)и J5x) - четыр^скомшжентые натикоммутирующие с-чмо ла. ПршзводкшиЙ функционал 丁［J. J%* генерирующий снизные да^греммы Фейнмана с вдевшими линиям% иринммает вид

=Jf j (Dw)(D孰 exp长［仲,*一%) + (J，屮)+ (八，*)1}

-№ е*т(м〃 det *т.(7.152)

При использовании формулы (7,152) несущественно, являкнгся ли /*и / антакоммутируюшимл или обычными с-чис1ами^так как /*и J входят в виде Произведения» В самом дале» окончательный результат может быть получен и с использованием более обычных методе®； ио нофэование антикоммупфующих смоет может показаться не самым коротким путем к ответу. Но преимушество этого метода состоит в том, что бозонные и фермионные поля в методе интегралов по траекториям входят равноирявно. Это обстоятельство полезно при рассмотрении взаимодействия фермионных и бозоншх полей*

Глава 8*

Квантование налибровочных полей

Каноническое кмнтммп

При квантов ашш калибршочных полей возник ают специфические проблема, саязавные с наличием инвариантности отаосительно кымб- ровочвых преобразсюаний» Чтобы напомнить, как эти проблеш возика, ют, рассмотртм сначала каноническое квантсюанме свободнсго максвеь ловского поля, классическая плотность лагранжиана которого имеет вид

2(х) = 一+戸^ = )(В - В - К ■ К)/

В ■ ▼个 А(8.1)

Независимыми 呻емеанымх при каноническом квантовании являются 4口(*}. рассматриваете в качестве координат, и их производные по времени Л^(х), Изменение ари калибровочных преобразованиях "・оставляет плотность лагранжиана £(*) мнва[»антн<й,

В соответствии с 1фавиламк каноническсто квантования пео&со. дамо сначала записать теорию в гамиьтововЫК 小орме. а звтем наложить каноаические коммутащюнные соотношения для координат и сопряженных им ммпульсве. Замечая* что£(х) не зависит от 4°但% мл ； видим, что сстряженный Л °(х) импульс тождоствеиио равен нулю, Сле* довательно, 4。«) на явлиетоя независимой координатой и может быть выражена через другие коордагаты при полоши классическсго урав- связи

Ту.

Простейшему возможному вн&^у соответствует 4© ■ 0 (привядлваясь тем самым к определешюв'лорвнцевой системе отсчета), Ц классически т@орш возшкпет усжжпе Э( V • ▲}/“ - “ которое в квантованной теорш ограничивает гильбертово пространство состояний теорйи« После того как^ш положили 4° - 0, £(я) инвариантна относительпо

более ограниченного класса неполных калибровочных преобразовав ний^.^Л,-? w, где w- не зависящая от времени функция, Класси* ческий гамильтщшащ который также инвариантен относительно нетто* ных калибровочных преобразований, имеет вид

H = i/d^tE E + (Vx АП(8.2)

Независи№1ми переменными яцляются поли Afx), рассматриваемые в качестве коордашт, и сопряженные им импульсы - Ё(х)« При кванта ваши налагается коммутационное соотношение при равных временах 比心),Л*^)^ =映£(■ - у).； (8.3)

Однако иэ-за инвариантности относительно неполных калибровочных преобразований пе все комповенты А соответствуют данамическим сте- пеаям свободы, Что№ полностью определить теорию, необходима явно жключить нефизические степени свободы.

Неполная калибровочная шш ари антность мЬжет №ть выражена соотношением

因,У ♦ Е] ■ 0.(8.4)

другими словаъш, V •:£ явлиется динамическим инвартантом, Соот- ветс^веаяо продолжая компонента Е “ не является динамической 口俣 ременной, а полностью определиется начальными и граничными условиями, При этом продольная компопента Д4| также полностью опреде- дена, поскольку справедлив。соотношение.

котсфое непосредственно следует из 8А例 i[Ht А] « Следователыю истинными динамическими переменными являются только А丄 “ Е丄.Их коммутационные соотношения являются поперечными проекциями из ходного коммутационного соотношения (8.8):

lEA^A^yy^^i^-y),(8.6)

ГДО

喫(X= J器声s[% -制.(8.7)

Гамильтониан переписывается в виде

// = ；№国丄.% + "><а丄円+ ^以均.均.&8)

Последний член в (&8) - с^ислсдаая константа, не имеюшая физического смысла.

Преобразшания, отвечающие неполной калмбровочн曲 инв^)иант* ностк, А •» А ■ ▼ з затрагивают только продольную компоненту А” Н, следовательно, изменяют лишь точку отсчета дли полной энергии* Таким о^азом, для простоты можно положить А м 匸 0. Вое состонния системы 印дут тогда удонлетворить доделайтельному услс»ию7 • @ 口 0> накладывающему ограничение на гильбертово прострниство теораж

Чтобы продемонстрировать сказанное более формальным образом, рассмотрим состовние в гильбертовом простриистве 屮[А]* Тсгда для сию- риторе Шредаагера Е 停｝ имеем

(&野(&野"吁歸

(&野

(&野

Как следует из соотношения (8.4),出 и ▼• Е могут 仅iTb одновременно диагонализшаны. СледоватеЛьно, собственная 屯унк^я Н +【А] может 向ть выбрани и собствеаной функцией V ■ Е:

V • Е(хМА] = р(х)Ш1(8」0)

где р(х) - лроизволшая функция.

Под действием неполных калибровочных преобразований ^1 [А] заменяется на 屮[4 - V з]. кото^ю можно выразить в виде1*

'В (в.11) довольно беспечно опущены поверхностные интегралы. Для максвелловской теории это оправдано из-за отсутствия топологического заряда ・<О полях Янга — Миллса см. разд.в. 6.)

Далее, любое А<*) можно записать в виде А侥卜 А丄侈)一V вд(х)в Та. ким образом, продольная компонента А является чисто калибровочной, В отсутствие внешнего магнитного потока все чисто калибровочные компоненты могут &лть устраяены непрерывным преобразованием. Поэтому, используя соотношения(8.16) и (8.11), для любого А всегда можно получить

WA]*『2[aJ(8.12)

где

d3«A)营”№<1力噥瓚d3«A)营”№<1力噥瓚

d3«A)营”№<1力噥瓚

d3«A)营”№<1力噥瓚

Волновая функция 屮[а丄]является 8ботвеан成 функцией нового га- мильтсншнна

*н 1‘* =；]出(£ J + « X А丄产 + g j 出 d3y ^^j,

которой отличается от Я только к(жстанто% равней энергии прот> вольною статического распределения зарядов. В физическом гиль- бертодом пространстве, в котором определена ^Гд^ ]. соотношение (0.10) превращается в дополнительное условие

▼ • E(x)KAj ■ 0,(8.15)

котсфое явлиется квантовым вариантом звконв Гаусса, Тнкие же ре- ^льтаты можно получить, если наложить кулоновскую калибровку V • А = 0 в классической теории до квантования. Проведенное обсуждение понсниет, что означает наложеане калибровки в квантовой теории.

П родемоистрировать лоренц-инв^иантвость теоряи трудно в ку* лоновской калибровке и легче в ков即мантн曲 квли^ювке* например в л^енцеео玄 калибровке 心&" = 0. Но для того чтобы изменить калибровку, необходимо вернуться к классически теоран и проделать все заново. Воо&пе пжефя, различным калибровкам сюответствуют резличные гильбертовы пространства тео^ос* По этой принта кано

ническое квантование неудобно в том отношении, что в^геории явно фигурирует калибровочное условие.

Для неабелевых теорий каноническое квантование является гора> до более сложным [ 50, 82]. Например, аналогом закона Гаусса явля* ется нелинейное уравненпе связ<

У • Е. + 沁仙■ & = 0,(8,16)

решение которого не разделяет Е'а иАо еш поперечные и продолще компоненты. Таким образом, кулоновская калибровка в этом случае не является естёствеиаой. Усилия, предпринятые с целью квантования теорш в кулоновской калибровке, привели к поввлеиию кдаодно^ач- ностей [ 83 пртчнной во^шкновения которых является наличпе топологического заряда [84], Из всех обычно исполь^гемых линейных калибровок ии одна не кажется "естественной" • Попытки нийти пес- тественную" калибровку, базируясь на точных ршиеннях уравнения (8.16)t к успеху не привели [85]« Обшая проблема состсйт в том, как квантовать гамильтонсжы системы оо связями, и Дираком был пред» ложен ооожпл^юпмЙ обшиб формализм [ 8в, 87 ]« Этот формализм был применен к квантованию неабелевых калибровочных теорий [88屮.но проблема отысканнн удоМой вычислительной схемы оста* ется нерешенной, В настовшее эреь)я ннилучшим методов..квантования является > почшдимому> метод Фаддеева — Попова квантования теорти с использсюанием функционального интеграла; этот метод мы рассмотртм ниже2*.

Для неабелевых теорий последнее равенство в (8.11) нес口 равед» ливо, опять*?аки 心за наличия топологического заряда, приводшпего к появлению "б-мкрот", которые обсуждаются ниже.

0.2. Фуикцм«нмы1Ый интеграл в гамипьтмошЛ форме

Функциональный ннтеграл в гамильтоноя成 форме, приведенный для простейшего случая в (7J8), непосредственно водаикает пра капо* ническом квантсшаиии И в принщше не содержит новой информации.

” Канонический формализм дин гамильтоновых систем с ферьн - бозе* связями получен в работе Н72]. — Прим,ред,

& В релятивистских ковариалтных калибровках метод Дирака н«привле- имм, и необходимо использовать более общие методы, развитые эа послвдаие годы в работах [ 173]. - Прнм. ре#.

Но гамнльтонсжа запись функционального интеграла позволяет устра* шиь нефизическне отепли свободы наиболее естественным обртэж« Проиллюстрируем это утаврждение на примера свободней максвеллов- d теории.

Классмчеокий гамильтшшан имеет вид

Н-| d%&[E - К + (V х А)2] + Е • VA0}-&П)

Независимыми координатами являются А(х) и Л°(л); импульсом, канонически сопряжеаным A(x)t авляется - Е(х)> лМпульс, каионически со пряжешьй Л°(х)> отсутстщет. Таким обрЗм^ 4°(х) ав является давампео- 口оеремемй.01ф^м<м]Л t > оротекошж

Аф(х, 0|А,力=А(х)|А, °,(&18)

авалогичным соотжниению (7 Л). Амплитуда перехода имеет вид

体м 斤

为 + ； (V X А)2 + к •伶 +VA^j, (8J9)

где Л°/ А, Е - функции отх иГ, а интеграл/^d** берется по всему пространству от момента времени 11 即 момента времени 厶，для ко* торых поставлены граничные услсжни

(8.20)(8.20)(&21)(&21)А(х, 3 н А】"), А(х, t^ = Аз(х)>

(8.20)

(8.20)

(&21)

(&21)

-Функциональное нитегрирежанпе по Л° трывкалыю：

(DA0) г，Л(Г • ЕМ。"《[V . Е].

Изфсфмул»! (8^1) следует, что продолжая компонента Е ратаааулю.

Таким образ0Mt f(DE) можпо заменить на f(Mx)( а (Е • dA^t) - на (Е丄.&仆個)(пзкольку fd3*E「ЭАП -0)：

(А2.印仆，G) = X J (DA||)(DA±)(DEX)

•呻北 d^Ej + TexAn + E.^]

■ “ (DADOMQ exp^ f W - (V x A丄4

(8.22)

Поскольку подынтегральное выражение не зависит рт Ан , результат интегрирования по Ап можно включить в нормировочный миожитель М Это оэначвет, что продольные комитенты А?開 А〕не являютон фи* эическимм. поскольку они влияют только на нормировку амплитуды перехода, Нефизичность продольных компонент 货 А1 следует из калибровочной инвариантности теории, так кнк А“ изменяется произвольным образом п(ж калибровочных преобразовшшях«Таким об- раэом. мы полностью воспроизвел результаты каяонического квантования в кулоновской калибрсвке. но гораздо более простым способом*

Заметим» что нмражение (8«22) имеет фейнмановскую форму：

体才闻A山厶)■斤(DAQ expt J壮e丄0 筒】…再

Jtot результат можно также получить, исключив в кулоновской калибр ровке нефизические степей свободы» Нефиэичеосие поля можно бо* лее общим спсюобом определить как такие поля, которые могут &ггь устршюнм калибровочным преобрезсюанием. Поскольку физичеоснв результаты должны &лть калибровочно-иавариантными ( следует ожидать, что фейнмаяовская формула будет сприведлива во всех случаях, когда нефмзическнв степени свобода устраая»гся наложением подходящего калибровочного условнк.

8 $ ФвМмапомкий функцм4напьмый интегрш!

метод Фаддваве - Попава

Из рассмотренного примера следует, что фейнмаяовская форму* ла для функционального интеграла справедлива, ecjw фиксирована калибршша. Фвдовев и Пот показали, кнк можно провести кваято* ванне [ 891.

Чтобы показать, почему (жазываетея нвприменммой исходная фейнмаясюская формула, и как исправить положею1в. рассмотрим снова мнксвелловскую теорию. Для действия этой теории имеем

ад = -|| & 片线 у ■ Т / 出8”= ^A^AV

= |Jd4x А^Х/ ・尹尹乂，@24)

Н用誤?儿9"公7"认.

где А» - фурьечсомпонента 4产".Кинетический оператор (壮”？-加收) ие имеет обратного, поскольку его собственные качения, cooiwxt- вушшиё'ообстаойиим ^утпмям *v, ранцы щглю« Следовательно» про- пагатор нё су шествует. Одна из способов исправить положение - вм южить услсяие 仆，"• 8 (лоренцева киибровка). при котором сов№ нвнные фушсции 戶 曲 влияют на физику.

Чтобы взгл^ть на проблему с дагой стороны, зшетим. что $[д]ка- жбровочноинвсфиантно^ и следовательно, не зависят от полей, которые можно устранить калибровочным преобраэсюанием. Если нилючить такие поля в фейнмантеский функциональный нитеграл, то появится бво конечный мпожитвль, пропорциональный объему. Этот множитель может Зть включен в нормировочный толысо в том случае, если поля хорошо Офедалеш, а дм этого цеобкодамо ^юаз^в&зъ wv6ga^>

Необходимость фиксировать калибровку в皿а также из того, что> *债 нзвесто. фушсции Грана теории каш^жочно-завйсимы. Следов^

".Два жожмтеля % имеют аргументы & *」.》ю 乙偿)* 右-同.лое- к°«*У /津 Мйствительно,

тельно. пскн не фиксирована калибровка, производящий функционал И1/] определен неоднознвчно.

Калибровочное преобразование

содержит в качестве параметров функции (х). для которых мы бу- цем использотать коллективное обозвачение g Каля^овочные поля 4“(#) = 4? (х) изменяются согласно соотношениям

4 — А；

4“= 04/7+；□%□〕(8.25)

Фиксация калибровки означает, что на 吋 налагается некоторое уело вне, которое напвается калибровочным условием. Перечислим не» которые часто используемые калибровочные условия:

лореццева калибровка:%А』=О,

кулоновская калибровка: ▼・儿■ & нксКалЬнан калибровка:(8・26)

временная (гамильтонова) калк^овка：= 0.

В общем случае калибровочное условнв можно записать в виде 力a = 0 (a = 1,@,叨

「颱 f0 - ото^аженке пространства функций 4? (*) в себя. Допустимы такие 4 для которых уравншже (8*27) выполш&тся для каждого

Поскольку наложенвв калибровочного условия устрнияет все не* фижческнв степени свободы, при 呻)входе от функционального интеграла в гамильтоновой форме к фейнмановской формулировке труд» ностев не возникает. С учетом калибровочного условия амплитуда переходи в фейнмановской формулировке имеет вид

82,硝I，О)=斤£ (DA)宀沙 J} П 戋力川，(8.28)

Где

SzJAl-^d^^tx), а?[Л] - якобиан, определенный соотношеннвм |(ОАШЛ]П«[ЛА]=1.(8.29)

На практике можно установить, работает иля нет данное конкре^ нов калибровочное условие, проверяяt существует ли оператор, статный кинетическому оперитору. При нсследованни амплитуды нврехода

；2| Ау, £ [> нвт необходимости указывать, какие компоненты 4 явлиются физическими^ поскольку кали^овочиое условна делает это автоматически; нефизические степени свободы дают вклад только в нормирсюку амплитуды перехода.

ФаддеФ и Попев указали упо№^ способ вычисляю! якобиана 9 f 丹]・ Одно из достоинств их методн - возможность обобщения калибровочного условна. Вместо требования fa А = Q можно потребсБАть. что&а 4 имело лю^ги функциональную форму, но п[даписать кажд(或 функциональной форме ощ)е де ленный вес. В результате метод становится чрезвычайно гибким. Ниже мы следуем рассмотрению Фадеета и Попова,

Предположим, ито£ обладает следующим свойством: для любо го 4 вСегдн ниходится тиков калибровоччов преобразование з”то

М^= °-(8.30)

Таким образом приданном А набор 1 厶｝ характеризует калибровсящов преобразсеание При изменения к Щх) описывает орбиту на многообразии калибровочной группы. Объем этой орбиты обозначается чеоеэ 1/Д^[Л]：

A/[A]|(D«)e[^-] = l.(8.31)

где。3)=几小必。(* 1t

Очевидно» Ду[Л] коибровочнсмшв^иантвн:

М4]*А/П1・.(#33)

Резу лиат интегрирования обеих частей равенства (831) ПО 4 мМЯР представить в виде

仃8吟"(04"卜m)4必州旧广1,@Л4)

откуда,следует, чтоА^Л] щхщффюя^аш лкобитау 9 (Ah.：.

Втобы вычисАгаь %[ 4、примем, что “ (х) ободадайет WMW

ЕЮвжачеяиефуия^ии7яЛ.*яшвх:

£(х)т 切⑻.(8.35)

/%МП1Т「dMf)"3)

рывнов ъштртщм 8и^ 純向『i (y)i строкам которой отаечавт йв*ог (А, х), а столбцам - юдексы (Ь, у).

Если Л уцрвлетв^ее шиИ^овачному условию, то условие f . 6 в ривенстее (83® мани быть ^шюВёно услсяпем ш . 8, и можно 三 писать

修[А]*■薇偌｝ т 乂即aifflUK/rTO 厶厶= Q).@37j

Равенство (8Л7> «фвдаляёт Дг[ Л • J для произвольных Л \ «жольку попредам(мпм1тд, *п<шо 中80^фМ1фс«ать 協 4 «««暉粤^* прео^аэовше岐&мр«аю <84观 АДЛ* ]« АДЛ].$кШай«нслггь фуш&оа»п«й дв*^ьш№ я ^В ^П» нужно лишь 8阻碱Е ияфи- нктеэпмимле ЖЙбрй^З 1фвобрвэомш!н 4.

T**crag831) можпо обобщил» в еле却кздсй форме

Л/И1| (D衿 П а(Лла - gQ * 1,(8.38)

гда 1<01 ■ (й&ф 叩(ЖЗвольнЫх ЗшёЦЯЙ. Таким образом,厶 переспре* деляется так> что калибровочное условие принимает вид л «,

По(照讨*& вв зависит от 4 А/[4] остается инвариантным. Умно» жим теперь обе части (838) на произвольный функционал

* * н п^Шт&грир^ем по всем % ♦ В результате полупим более

обвй 邂而

(«■»)

Исполвд^ >то тождество, можао аыве绅 для амплитуды перехода бодав рйачйр^стаеление.旧编厚."腼 состоит в том. чтобы 侬№ стамть (8』的 вемодифицировшшый ®е№мановский функциадальный Интегры, а затом П8таритьсд выделить бесконечный объемный множитель, шмемюшийся при интегрировании во иефкзическим полям*

Нвднмгё фс^мулы

|(Dm)G[M"]- '(8.40)

Изменим Предок интегриромний f(D^) и f(Dco). Поскольку (D^)t S[ 4] х А『[，]кшибрсвочно-инвариантны, ик мокно заменить на (ИЛ з), S[4 叫 н А,[4阴 соответственно.Нав^о пе照第вную 冷ггмрфсвшя Азоб^ш^м опять 4 • Тогда получим

US，М- f%聯广 ОМ i*】G网修同(8.41)

Заметим, что выделено интегр>фован№ f (Ds), соответствующее инте^ риромякп по полям, которые могут быть устранены калибровочными 1фКбряэоацк1уии・ Включая воэшош^ю № жтеффсвши ю«- стаиту# ■ 1nBже ковстантуг вожкапцуютфиютгегрфсв80MM J(Dg)G[^], вМполучаем

储2, $Мс» - к СQQWWIg]?風 М40®

Для 口рододищего функционала W[j ] функций Грина в кали^)овке 0имеем

(&43)(&43)(8.44)(8.44)/М刀■斤 / (DA) d$W(J・/)G[4] A/[AI

(&43)

(&43)

(8.44)

(8.44)

S⑷.卜х

(J, A) = / <Лг」дц(х)«4』(х).

Инте^рованда fd” bfS [A ] и (7л 4) овределено при п叩входе в еэ> клидово пространство и возвращении в пространство Минковскотю. Поскольку мы знаем, что прт тиком переходе выполняется правильное f к-предписание, мы не воегда 6wm о6о^ача1ъ это явно, но всегда ^гдемНмее в виду.

О-4«Свобо0Юв мшсаемовскм пом

Действпе имеет

初 Т説 4а* rf •(8М)

Удобно разбить 前 на поперечную и прзал典仲 комювенш 色 чепярех- мервом пространстве):

«・Хг・0)*(8.46)

Операторы проектировшмя на пмеречное и npdgMoe сосфсшбия ке ютннд

葡Н"一警，

Как матр<цы с индексами 林.v к меткой <Ч", проекторы обладают слещюшкми свойствами:

N・F「 FJ = Fl, 尸丁 + 几■ 1,坛，Fl。，(8.48)

Хт а 尸丁丸 Nl = PlA В матричной записи можво записать

Т®П),(8.49)

где

Лоренцвва калибровка« Выберем f тик,что

拉伏)■次n(舟，(&51)

где 4* - фурк>еясомпонента 4儿 Конкратный вес. приписываемы貝 fA, зависит от выборе фуняционала G. Вычислим сначалаДДл]« Пусть Л удовлетворяет усл<»вию * ♦ N . О» Выпишем вариации д и/w fA при кнфшштезимальпом каж^овочном преобразовании:

Следотате^нод (亂厂*Следотате^нод (亂厂*(&53)(&53)«7 一火施(8.52)

Следотате^нод (亂厂*

Следотате^нод (亂厂*

(&53)

(&53)

Мы видим, что А,[4] расходится, но ве энвнсит от 4 • Следмательно, (Ж может feirb включен в нормировку М Тогда

е^e 力=x J（DA）d必）.№/匕［执］е^e 力=x J（DA）d必）.№/匕［执］(8.54)(8.54)

е^e 力=x J（DA）d必）.№/匕［执］

е^e 力=x J（DA）d必）.№/匕［执］

(8.54)

(8.54)

У вас остается овобода в выборе G-

Рассмотрим сначала G[fl = 6[f ]. Это соответствует калибровке

Лоренца или калибровке Лакд^・ Имеем

农加■ 0 6("為■ 0 5(k、1L).(8.55)

®то®да следует * ♦ & ■ 0, а это равенство выполняется только при 乙 м 0. Следжателмво,

е^71 = К J (DAT) ^^л^.(8 56)

На самом деле $[4八■ S(A】・ Но ес期 мы ог[шничив№№я лишь пространства 彳九 то опбретсф К является несингулярным, поскольку соботееанымм фуняциями К. отвечающими нулевым собственным 3№> ченням, являются только продольные тюля. Легко видеть, что ".表尸小)，，(8.57)

в том смысле, что

质7 =后出.(858)

Теперь можно выполнить фушцрювальное интегрирование в (665) и получить

■ N ( (DAt) Y (Ат,КАт) + /(7,孤>)

J、2/(8.59)

Поскольку h процорцконален PTr 了「можно заменить на ] • Пола, гая нормировочную константу ришкА единице, получаем хорошо известный результат

^-j^萨力* ^心厶⑺一力丿式力,^-j^萨力* ^心厶⑺一力丿式力,(8,60)(8,60)

^-j^萨力* ^心厶⑺一力丿式力,

^-j^萨力* ^心厶⑺一力丿式力,

(8,60)

(8,60)

Слагаемое и в знаменателе шжвляется йэ шфеделения 伉 京т 为 как евклидова функцисшальвого ннтегрцла.，

Рассмотрим 喩ее следующий выбор:

G[R] = exp j 卄(物尸"呻* j *(報"尸，(8.61)

где Л — дейс твите льный параметр. Стандартным значениям отвечают калибровки

А = 1 (фейнмановская калибрсдака).

Л = 0 (калибрсюка Ландз)..(8砌

В калибровке Ландау мы вопрошаемся к уже рвосмот^еш^му случаю Gf/] = ®[/]> Имеем тепе!й>

(8.63)(8.63)(8.64)(8.64)严⑺■ X j(DA) е^ “Т(А M) + g, А)], где '

(8.63)

(8.63)

(8.64)

(8.64)

一卜”□2 - (1 - 3"",

а соответствующий фурье-образ имеет вид

(8.65)

炉卜t//)$^Fl"G“

Легко сф(верить> что

(8.66)(8.66)(£т尸"匸｝ №(t) + APl^)]

(8.66)

(8.66)

=击卜一"6寳]

Тщсим образом,

[ dG厶⑴-力"夕)，

吟)H J 務 *7； gU酷；]

Как хорошо известно, член, пропорциональный 眇V. нв дает вклада в дашграммн ©ейнмана. если мнксвелловское поле взаимодействует с ссхраняюшмся током, Тнким образом, калибровка Лоренца с раэ> личными значениями 入 физически ^свишентвы.

Тот фнкт> что 1>у преобразуется под действием орвобраэований Лоренца как тензор, еше ив означает, что теория лоренцмшв叩иант・ ая. 口оокбльку D^v нв авляется физической величиной. Чтобы дсж& эать лоренц-инв ариантность теория. неЫ5ходимо дсжазать хорешн(申 вариантнбсхгь S «матрицы. Для случая^ свободибго поля $-матрица есть 倉户％) где 宀 вектор поляртзафШ свободного фотона. Лоренц-ив- в^иантн8T4 этсЛ S-матрицы связана с тем, что Ф«жт叩в ивка

торой системе отсчета имеет ввде^ - (0..丄Таким образом, явная иавараннтность выражения (8 £7) - не более чем формальное оботоя* тельство^ компоненты 〃 к % ее дают вклада при получении фи№ qeoux результатов»

.КУлонсеосая калибровка. Выберем f иС следующим о^аэом：

(8.68) G[*] ■ СР 立 出「■ A(x)E

Тогда

(8-69)(8-69)A/И]…斗*F

(8-69)

(8-69)

骐 зависит от 4 м. слвдовательвог может нв учитываться. Таким об睁 эом?

*?■ “ 3) ехр『価+ j』)+ *№"碎(&70)

Чтобы представить выражение ^ 70) в ковариантной форме, запишем

(8.71)(8.71)"-(0, к).

(8.71)

(8.71)

Тогда

门刀■ к J (DH) exp i[T(4 冗不 + (7,否]

где

(8.72)(8.72)(8.73)(8.73)冗w .公gi.(8.74)

(8.72)

(8.72)

(8.73)

(8.73)

Чтобы найти оператор, обратный & , запишем (Хс-У^С^+С2Л*"Г + Сз$»/+ C4*M+ J"卜(8Л5)

Rs .(几fidRs .(几fid鼻*f（1+岑）竽T门…乎鼻*f（1+岑）竽T门…乎上［宀甫宀一心…屮昔,上［宀甫宀一心…屮昔,(8.76)(8.76)и определим коэффициента С. из условнн (KK~^V 父严炉・ В результате получим

Rs .(几fid

Rs .(几fid

鼻*f（1+岑）竽T门…乎

鼻*f（1+岑）竽T门…乎

上［宀甫宀一心…屮昔,

上［宀甫宀一心…屮昔,

(8.76)

(8.76)

те пропагатор фотона в ^лааовс^ кам^хекз В ксмкнеятах имеш

(8.77)(8.77)

(8.77)

(8.77)

Га«м8

Окдмателыый реэудмат имеет нид

叫]尸号(7,注7>(8.78)

Дж случая Ai- 0».ч^^G(/]^6[/L имеем

ид*ид*(8.79)

ид*

ид*

где % -фу^м^^ бе • Периый q岬 содержит только 丸,посАолы 灯 Д^ rtv 1фопорцжад«№ Ft (М 貝 авамгшвн последам слагаемому в фс^фле (9*14). Мы вхмй. уто сист^ш описывается а наибоаве адвк・ вагах физкчес19K тер>щах：即м шслкцении впешнего тсжн / и только гкт^ешав его к<ии<1(шента3^ возмущает систему. Продольная компо* веЕ J” cobcw не взнимодайствуаг с системой, а / ° - только сдви* гаетточку отсчета полной энергии системы；

. №вМ9Нн& и мсМтная калибровк% Временную 0 и аксиалг ную &з = Q шмбровк^ шжно рассматривать единым ©Срезом, поскольку 5(Л] опреднавпо как интеграл пр евклядову пространству, а поды№* теральное выражение инвариантна относительно вращений в этом Лфойрштве. Рамгаа ме^ду этими калибровками поюляется при воэ- в^^энки в 1фостренстао Минковского, в котором определены физи-

Определяя шслидош величины соотношениями

(8.81)(8.81)Р» - & 2

(8.81)

(8.81)

А，(А, 1А^ имеем

(8.82)(8.82)

(8.82)

(8.82)

呼 для простоты ш^щевы тильды# отвечающие ф?я*<^зам，3 лбжим ода из компонент 4卜 равной нулю：

Ооташые комн^енты обозначим &(> - 1启汽 2*7"№

I (DA) мр[КА> К4) + (ЛЛ)]> ?

Q8}・Q8}・j-^£Ai(P)8i(p)tj-^£Ai(P)8i(p)t当”当”где

Q8}・

Q8}・

j-^£Ai(P)8i(p)t

j-^£Ai(P)8i(p)t

当”

当”

%■ У&- PiP卜

Шлчйслвнме фуняциональносо инга^влв 旧隔0^我 喲悪жвЕ0&1м

I уЗшешм, птер1 ■ I Р|? + 片.Усборне A4 <i^j^^ тюшх^п

& «шмвр(高су. Отраж^ием этого 据та cede*滨$|碱kog 絵嘰沁

:専《М ・飢ода吟кия мы ув聊向*f 啊编^中而崛减方 фмзическиере^льтаты*♦♦>?€：：•/『；：％、

Теперь необходимо в выражшиях (846) бов^ш0ьле^оа & Цкн стрннство №шковекого. гдн мо*по вьнмвли^^ЧЙ^Й?» эамеодц：； штеречшое (по отношению к HJ кбигозты J竈血並иш вшшопй^г

Если 照ссматрнее^Р* кня мммую 9BW(唯о>・меем pa f —恤 т% (е о+хг ■

и следовательно,师所 / ] во временной калаброМю лоду<аем

鼠叩》"爲』《眩倒W」：俱⑺

Физический смысл рмеют “лысо те компонентЛ± 曲 для кот^ф：

Если мы будем рассматривать.^ качестве мнимой энергии не。戸 а другую компоненту, скажем % , то

% т 应 (£ т 0+),

Pln*1， p2 = *21 p4 =后，

и для 帆 J ] в аксиальной калибровке Л3 - 0 получим

(8.88)

Физический смысл снова имеет только зависимость от J】.

8.5- Чистые поля Янга - Мил пса

Поля Янга — Миллса более сложны, чем м аксаелловсйое поле из*за аелинейности тензора

尼"=ЭМ/ 一 8么」-g/c4”J.(8.89)

Более сложный вид имеет и плотность лагранжиана:

备⑴=ТЕ"%” ад + XG),(8.90)

где■

Слагаемое £Q(*) вносит в действие такой же вред, как и в с^чве макс- ведлэвсжого тюля:

50[А] = d攵疆⑴=g ^х A^tg^ - ^Aav. (8.92)

К сожалению, иэ*эа присутствии второго слагаемого £〔｛#) фушцисщль-

ный интеграл становится негауссовым и» следовательно, не может бьпъ вычислен до конца.

Используя далее равенство (7占2)» получаем

(8,93)(8,93)产、^ J (DX) t^+i^Gi}A\ ДДЛ] .呷‘m%6志)卜”

(8,93)

(8,93)

где

J 户“刀=X j^ (DX) e^H^ZAj^^j 以用倡块)

:, Фиксация кали^ювкй проифвнена в ff0[jL a W[J ] может быть полу- 登 чвд из %[J ] рачложениед!! в ряд тесфии возк^щшсй по стшщям g. U Такая процедура д&лека от оптимальной по даум причинам. Во-первых, 用 теряется след важнейший, симметрии теории, поскольку ни £卄 ни £. :襄 не является по отдельности калиТ^хжочнсмшвариантными. Воеторых.

(

аря таком подходе т^дно обсуждать непертурбативные явления, та- кме. как инстантоны % возможно, коцфайнмент-квгфкш. Несмотря на это, соотношение (8.93) полезно по крайней мере в тесфии воэму- шений^логда есть основания верить в его справедливость.

В некоторых задачах, в которых обычная теория воэмушеяий» очевидно, вепримекша^ более 口увлекательным способом является з разложение S[A] в окреетности некоторого классического реше- 籍.шй и построение новой тборин возмущений в квшжкдаосическом 展 приближения [ 90]. Мы не будем обоуждать этот вопрос.

芳 Несмотря на то. что S А1 имеет w же вид, что и в максвел- 項 люской теории, нелинейная природа калибровочных преобразсжаний 逐 может привести к тоод, что Д^[л] и^следовательно> Wo{J] будут иметь совершенно другую форму, чем в абалевом случае. Вообще f гсвори. как мы увидим, возникают фиктивные гг духовые поляг1. Осталь- иую чвсть этого раздела мы посвяпсм вычислению 济°[ J 工 но опус-

I тим вывод правил Фейнмана,

М 1, Аксиальная калиброоквж Выберем 〃А=空,Для инфинитеш- 三 мольного калибрсжочного преобразования з полей, удовлетворяющих

условно 〃 4 =р. имеем

(&%)(&%)/.4* - J @3%

(&%)

(&%)

Сяедвагелшо, 3£А з=「3$)и А,[4] не зависит от Л и может быть включен в в(ф№Шровочный множитель. По этой причине каноническое квантование полей Янга - Миллса наиболее простым образом осуше-. ствляется в аксиальной калибровке [ 91» 174*], гдв соответствие меж* ду фейнмановским интегралом по трвекториям и каноническим квантов авмем Может бЫ1ъ установлено неносредственио [ 92].

Лормцэм .калибровка: яухи Фаддеева ^Попова k Влб^)ем ?а Л = =书號・ 才献吆 что Эцлинфинитезимальное калибровоч* ное преобразование 优 дает

=■州)Л/

Следовательно,

Л/Ml - detQ 九口2 + о/a.Л/Ml - detQ 九口2 + о/a.(8加)(8加)

Л/Ml - detQ 九口2 + о/a.

Л/Ml - detQ 九口2 + о/a.

(8加)

(8加)

Поскольку ДДл] зависит от 4. его нельзя включить в нормировочный множитель. В дальнейшем удобно представить возникший детер- минанткак фужцнональшй интеграл по штижоммутирующим с-число вым полям (см. разд. 7*9):

(8.98)(8.98)娱川■卜W)(D“)⑷卜 J d*x S?iG),

(8.98)

(8.98)

J(Q = ”⑺[厶口2 + gC^A^fx^^

гд& q* и q - независимые скалярные поля, подчиняющиеся статистике Ферми правила антикоммутации и интегрирования для которых приведены в р J41]. Они казюаются духами Фаддеева - Подова.

Выбирая

W…хр目“]…閏W…хр目“]…閏d*3/)2d*3/)2(8.99)(8.99)

W…хр目“]…閏

W…хр目“]…閏

d*3/)2

d*3/)2

(8.99)

(8.99)

получаем

е『也刀=j (DTf)(D^)(D# ехрр|^л(Жвй + 乙“从丿)

1(8Л01)田'=阳 + W gCeMri：% TJ^Ma^1(8Л01)田'=阳 + W gCeMri：% TJ^Ma^где

1(8Л01)

田'=阳 + W gCeMri：% TJ^Ma^

1(8Л01)

田'=阳 + W gCeMri：% TJ^Ma^

а & определен в (8.91)> Таким образом, теория содержит калябровоч- 口не поля и безмассовые спинорные духовые поля, с которыми калиб* ровочяые поля взаимодействуют минималыдям образом. Поскольку физическая необходимость рассмотрения источников духовых полей отсутствует, в диаграммах Фейнмана они появляются только в замкнутых петлях Р

вЛ. е-мнр и инстантон

Открытие 9-мира, Положим вначалел^ (х) = 0. В щюдотаЕивнии, в котором hi ре ди нге ровскпй оператор 4。仅)диагоналей, обозначим волновую функцию системы Т [ А] и введем сопряженный импульс - R。(х) с помощью соотношения

(8.102)(8.102)出气…小.

(8.102)

(8.102)

ЯЯГамильтониан имеет вид

Я

Я

(8.103)

где

Be ■ У х 4х 儿・(8,104)

Используя уравнение движения 认吸例=i [Н, А。]. приходим к опе- раториому равенству

^ = -^(8-105)

Говоря на классическом ззыке. существует неполное калябровочное

Преобраз(®ание Агде

g(8Д06)

U(D = exp[-®(x)LJ

и со (х) не зависит от времени. Для инфинитвзимальныхизмене

ние Ад имеет вид

На квантовтеханическом языке неполная калибрсвсчная инвариантность ныражается в том, что

[D ^,Н] = 0т(8Д08)

D • Е。■ ▼ • Е。+ gCJb ・吼・

Следовательно, собственная функция 屮[А] гамильтоннака Н может быть одновременно и собственной функхщей оператора D . Q . Чтобы избежать не却*ннх усложнений, выберем собственное значение D - Еа равным нулю, налагая тем самым на гильбертово пространст* so системы дополяительное условие

D Ee(x)V[A] х 0.

Уравнение (8-109) является обобшеннем закона Гаусса и эквияалентно наложению кулоновской калибровки：

D ・ ％ = У ♦ % ■ 0・(8Д10)

Рассмотрим непрерывные калибровочные прео^азсжания стремящиеся к константе на пространственной бесконечности11 ・ Эта константа всегда может быть превращена в единицу умножением на об- ей величину (такое преобразование в группе всегда существу. ет)・ Рассмотрим, следовательно, непрерывные калибровочные преобразования* удовлетворяющие условию

Мы можем рассматрияать Ug) как непрерывное кхгображенае обычного трехмерного пространства на калибровочную группу G. Приведенное услоние отождествляет пространственную бесконечность с одной точкой, определяя тем самым топологию пространства как топологию Замерной сферы S3» Следовательно, мы должны рассматрияать на прерывные отображения £ з , g . Теорема Бстга [ ОД гласит:

Любое непрерывное(мо6ражз*х8 S3 «а простую tp^n^ Ли G *о・ эти Ат непрерывно деформировано 6 отображение »а подг^упп^ SU(2)

Следовательно, для янг^миллсоаской теории с простой калибровочной группой G достаточно рассмотреть отображение S 3Ts U(2)・ По- сжолму ^ftкгooбpaэ^e $U(2) имеет топологию S з (см, (4.22)), рассмо^ рим непрерывные отображения , Как указывалось в разд. 5«2. эти отображения разеваются на гомотопические классы» характеризуемые топологическим ин&ариннтом п — числом раз, которым накрывается пространственная S3 групповым миогообрмзием S 3.В.качестве представителя аго класса выберем

4(x) = wcor s л ±2

贝Х)=г叩g耳；屮及(#01哈，

‘中貝 наших целей достаточно рассмотреть случай U -> const • Можно даже 《 исключить возможность любых других случаев, поместив систему а большой, н® конечный ящик и ншюжна определеннее граничные условия на А, К«к обыч» 上 ио. прйдлолагаатсл» что граничные условия. наложенные на боп&ших расстояниях. не влияют м локальные явления.

где р — цроизволыюе число^а та /2 {а - 1,2, 3) - reHCparqu подгруп- ш S U{2) группы G. К классу 0 относятся калибровочные преобраэо- вания, которые могут быть- непрерывным образом трансформированы в тождествеияое・ Произвольный элемент класса 1 содержит элемент класса умноженный на v(x). Общий злемши класса n + m есть произведение элемента класса п на элемент класса 恤.

Пусть А подвергается инфинатези мальном у калибровочному пре- образотанию. Тогда вариацй МА] имеет вид

Е“&。- d\ WflD - К Ф[А].Е“&。- d\ WflD - К Ф[А].屮[А + М]-屮[А]二— d3x(-V^ + gC^Ae)，ЕвФ[А} gJ(8.113)

Е“&。- d\ WflD - К Ф[А].

Е“&。- d\ WflD - К Ф[А].

Для калибровочных преобразований класса 0 первый член рйвен нулю, поскольку % стремится к конс-ган-ге на пространственной бесконеч* ности. Таким озазон, D - Еа есть геаератор калибровочных преобразований класса 0»относительно которых, согласно {8」08% волнован фуакция dAj инва^антна •屮[А] не обязательно инвариантна относительно калибровочных прео^азований нз класса п / 0 но, но- сколь^ гамильтониан локально калибровочно-инв ариантен f все собственные функции, оггвечаюшие заданному собс-гвенному значению энергии, могут быть определены с точностью до постояеного сдвига фазы, причем сдвиг фазы должен быть одинаковым для всех собственных функций:

屮[AJ ^ ей^Р[А]. (л = 0, ±1, ±2..・.)，(8.114)

гдв Ап есть А^гфео^аэованнов действием кдлибрсвочного лрео^яэо» вания из аг о класса. Типичнее преобразование имее-г вид

(8.115)

^дем обозначать 屮^А]^дем обозначать 屮^А]Волновую функцию вакуумного сосггояеня

^дем обозначать 屮^А]

^дем обозначать 屮^А]

называется "8-вакуумом”,называется "8-вакуумом”,Вакуумное состояние с давкым в

называется "8-вакуумом”,

называется "8-вакуумом”,

Гильбертово пространство -гшрии разбивается на оек-горы, нумеру, емне непрерывным параметром в. Каждой такой сектор содержит состояния, построенные над соответствующем 6-вакуумом. Эти “6-миры" не сосбшаюггся друг с другом благодаря некоторым правилам суперот- бора, Т£・ связь между ними мо*ет подвиться только для калибровое-

нонеинвариантных взаимодвйс-гвий, В каждом 9・мире вакуумное состояние единственно-

Если е , то из (8.114) следует, что вакуумное состояние комплексно, г & нарушена инвариантность относительно обращения времени, Из СРГ-теоремы следует, что нарушается и СР-инв^жантность 21. Из формул (8,112) мы видим, что при прос-гранственной инверсии 一 [ь{*)]т и> следовательно, п -> -п . Отсюда следует, что Tfi ае облада- .❷不 определенной четностью при 0 4 0< Следовательно^ различные Замиры физически неэквивалентаы.

Назовем кали^)овочные преобразования класса 0 "малыми" калибровочными преобразованиями〉а прео^)^эования класса 士 1-"6qa>- шими" калибровочными преобразования ми > Тогда 屮 $ инвариантна о* HOCHTej^BO малых калибровочных преобразований/а род 犀負ртв^ем больших калибровочных преобразований приобретает фазовые множ№ тели е ± в'・ Чтобы получить общее представление о том外как может выглядеть 屮6, рассмотрим функфоналы 必[Л] от А, ''(ххредоточеш&ю"на 4t в следующем сгшсле: малые калибровошые преббразжаяия оставл№г & инвариантными, а под действием больших кали^Яочных гфеобраэсеаний Хп переходит в ♦ Функционалы хп подобны волновым функциям, соередотсченным в страстности овредвленного минимума пертода- ческого потенциала в квантовой механике, Интуитннно 屮$ можно

*:представить себе в виде

*% [А]勺①.(8L6)

К поскольку в (8Л16) непосредственно реализовано свойство (8.J14). Ео- * ли бы мы решали вариационную звдачу, волиоввк функция (8.115) могла бы служить хорошей пробнЫ! волиовой функдаей^ нр может не существовать таких хп , чтобы формула (8.118) была точней. В тнкой нн-гуитивне^ картине предполагается, что стру^ТУра^. формируется квантовшеханическом туннелярованием и е-вакуумы имеют раз-

Напомним, что s квантовой механйке при обращении а рамени х ->

Нарушение СР-мнвариантности в б-мира непсорвдсгмнно переходит s нарушение СР-инвариаитности а раальном мира еследотше разного иэмененин ситуации* прасходащего при включении взаимодействии калибровочных по лей с фермисиами (разд, 12 sL

личные энергии* В действительности так и происходит> а ^уннелывай механизм, как будвт рассмотрено ниже, обесяючюается инстантонами.

2・ Инстантон как т^ннэ льнов .решение. «Поместим систему в больше ящик объема к. Амплитуда переходе зв евклидово время Т равна (А［「仃⑶)^^ J* (DA) е'З,(8417)

гдв для простоты опущея фиксирующий калибровку миожитель 0(/］勺［4］丿 гдв fda = V - : Ао • Евклидово действие есть

$е［А］=5，d% 笈Л(8Л18)

Функциональный интеграл берется по всем траекторним А。伊，彳 J та» ким, что

АМТ⑵.AR),(&Н9)

-172) ■ А/(х)・

Г^сть А' есть некоторое Ао> а А・■ некоторое.Ар причем А* и А* - чистые калибровки> относящиеся соответственно к классам 0 и 1:

АЗ =0,

i(8.120)

Ая(х) =-v(x)Vv-l(x)f

где и(兆)звдается формулой (0.112). При Т - к траектория, соединяю- шая А' и А", асть инстантон. Чтобы доказать это^наломним инстан* тонные решения (534) и (5J0)> которые можно записать в вида

a»，叫喻乐手(…)

$(8Л21)

гдв р — произвольный параметр. Чтобы носпрсжзвасти избранную нами калибровку, необходимо проделать в (0421) такое преобразсжание» чтобы получить 4" = 0. Этого можно добиться калибровочным преоб-

£.**弄？J”.："'-:*. ”；-',,,-i ?乜*;'-*-*、，匸；'3я'”'£.**弄？J”.："'-:*. ”；-',,,-i ?乜*;'-*-*、，匸；'3я'”'разеванием

£.**弄？J”.："'-:*. ”；-',,,-i ?乜*;'-*-*、，匸；'3я'”'

£.**弄？J”.："'-:*. ”；-',,,-i ?乜*;'-*-*、，匸；'3я'”'

Ug х4) = -гp(户标产收炉，片)，

Заметим, что

Следовательно,.

U(x,从)一T仪x)

—> 1.

Таким образом, в калибровке Л4 - О имеем

(8.122)(8.122)(8.123)(8.123)(8.124)(8.124)Jx,川=“Р В 5?曲]b« %)

(8.122)

(8.122)

(8.123)

(8.123)

(8.124)

(8.124)

1g …j(а 125)

g

Нераы面 член в (0.125) стремится к нулю при 丨 | - g. Следовательно»

g(8Л26)

Соотношения (0 J25) показывают» что нистантоны осушествляют в евклидовом времени иятерполяцию между двумя полевыми конфигурация。 м% отличающимися нн большее калибровочное 口реобразсюание. В этом смысле инстантон асть 11 туннельное рашениег, [ 941п -

"Битар и Ченг(95] дали описание туннелирования в пространства Мн* кошжого.

Энерпш 0-вакуума Е$ определяется соотношением

=例 еТ。)

=斤 j (dA)(dA)，(DA)^/[AH] e・$必冲4Al(&】2"

где |*{4A，)обозначавт функциональное интегрирование по не завися- шим от времени функциям А г(«)- Энергия £fl может быть приближенно вычислена в предположении, что доминирующий вклад в фуакциональ* ный вдтеграл дает разреженный гтинстантанный газг, [ 95].

3; 0-дайствиэ, Мы можем произвести в гильбертовом пространстве преобраэсюанив. устраняющее фазовый множитель 戸& в (8.114), При этом все волновые фуакции становятся калибровочно-инвариантными даже относительно больших калибровочных преобразований. Это похоже на то. что производилось в максвелловском случае для обеспечения V ・ Е = 8. Различие состоит в том, что в максвелловском случае преобразованный гамильтониан с точностью до константы совпадал с исходным, а в неабелевом случае гамильтониан су- шеспмко иэмеинется. Нннболее удобный способ осуществить это преоброзМввие 一 проделать его с функциональными интегралами. Мы получим тогда преобразованное действие, которое ®дем надавать действием'1.

Чтобы провести 晔обходимые преобразования, напомним определение топологического заряда в {5.5) и(5.7):

小j =名]也Е Tr(%7L呑[d*电4⑷'(8您)

Напомним читателю, что А ■ А。％ /2 и не делавтся различия между верхние и нижниъш индексами. Нап^мер, Л^_ компоненты А, а & ■ компо- венггы V ・ Напомним также (разд, 5^)> что [л ] инвариантен относительно непрерывных калибровочных преобразовнний и

衽= L(8-129)

В последующем обсуждении мы воспользуемся некоторыми удобными граничными условиями в прострннстве, а именно такими^ чгго интегра-

лы по некоторой поверхности равны нулю, т,е, периодическими граничными условиями. При этом предполагается, что такая процедура не влияет на правильность ответа {см. примечание на стр, 227). Таким образом, запишем

Рассмотрим шредингеровский оператор

МА】三鼻卜％%(А).(8.131)

Непосредетвенвое вычисление показывает, что МА1 инвариантен ртна сительно инф ините эим а льных калибровочных преобразований с пара- метром со :

N[A + 6А]=-悬 I d\ V Tr[A x 5A + isA x A] = 0,〈&132)

Следовательно, оператор MA] инвариантен олюсителыю малых калибровочных преобразований：

N[^ = МА],(8.133)

Под дейсгвием больших калибровочных преобразсюаний /V [ А] м^яется на 土 1. Это можно показать следующим образом. Любое большое калибровочное преобразование можно заменить малым калибровочным преобразованием, относительно которого МА] инвариантен, и порледуюшим нреобразовавнем и(х). Тогда из соотношений (8.126} слезет

[ 5 学浦=Х[А1] _ мA。J.(8-134)

С другой стороны, из формул (8.129) и (8.128) получаем

•¥;二：: —жж•¥;二：: —жжГ d必込(8.135)

•¥;二：: —жж

•¥;二：: —жж

.Следовательно, используя соотношение {8.133), имеем

MAJ = MAJ+ k(&136)

Мы можем теперь приступить к выполнению главной задачи, Оп* ре де лим новые волновые функции Ф[А] следующим образом:

Ф[А]立 еТвлтА]屮[aj(8.137)

Очевидно, что ЗА] калибровочно^инвариантны, в том числе о-гноси- тельно больших калибровочных преобразований, Преобразованное 0-состояние обозначим Ф9. в термш^х Ве фс^мула для Е&{8・127) принимает вид

е"Е*г = N j (dA')(dA“)j (ПЛ)Ф9*[Ан] /'国"•可0/А](8-138)

гдв новое действие действие") рнвно

5Е[А, e]-SE[A] + ^[AL(8-139)

С этого момента ход рассуждений очевиден. В пространогве Минков^ скоро для действии имеем1*

$[А, 0] = S[A] - eq[AJ・(8-140)

Заметим, ч-го дрполнительный член не нзменнет урнвнвний даижения» поскольку он представляет собой 4«дивергенцию. В максвелловскЫ< теораи такого члена не возиикеет> поскольку q(A]受 0.

п Функцию распре деления1* 0-мира обозначим ：

Z. * N 卜DA}宀从《、(8.141)

Средний топологический зарад 0-мира равен

⑷ н(8.142)

” Пои преобразовании g[A] иэ веклидоея пространства в пространство Минковского, необходимо учвоть, что 儿丫尸户-戸口"冷(поскольку 尸戸尸坤= =一 4B ♦ Е н 4В ♦ dAZ%&), а множитель сокращает множитель t а

N По еналогин с известным лредстааленнем для статистической суммы е методе функцИсиального ннтегриранения (см., например, [тб]}.* ^Р*м-

Мы можем рассматривать 0 как лагранжев множитель, фиксирующий средний топологический заряд 0-мира. Можно провести аналогию с химическим потенциалом в статистической механике, который является лагранжевым множите^ем^ фиксирующим средний по ансамблю ба・ донный заряд.

Перенормировки

Перен<фмирмка з<фпда

Рассмотрению вопросов теории пер^ормировокf которым посвящена эта слава, мы предпошлем вычисление 一 перенормировку заряда в квинтовой электродинамике в низшем порядке по константе связи.

Полному пропагатору фотона во втором порядке по неперенорми- ровннному заряду % отвечают фейнмнновсане диаграммы рис. 9.1° , которые приводят к выражению вида

咻及)=铝+請出哪)翳(9」)

где П^у (*} - тензор вакуумной прляризации» Калибрсвочная швЕ^иант- нссть теории накладывает условке Л^ (Л) = 8. Следовательно, fl 叫*} имеет вкд

Пе*(Л) = e^(g^ - к^Щк2).(9.2)

Из фейнмнновоких диаграмм низшего порядка получаем 可…佬中』k』)，(9.3)

где т— физическая масса электрона- Выражение {9.3} квадратично расходится и не имеет вкда (9-2), Как обсуждается в разд. 9.3 г чтсЛя ио

-ГТН (8), имеющую требуемый вид(9.2}. При этом остается томоли

i^ W =

+

РИС, 0tЛ Фотонный пропагатор во втором порядке.

^Правила Фейнмана ом. в книге [ 1), т. 2, приложение В.

гарифмическая расходимость:

n(1)=一心m事 + (:(1),

(9・4)

где Л — импульс обрезнния, с — некоторая кодстанта, зжисяшая от ж> пользуемого зоссба обрезания, С (С) - коневая функция [97,98»

C(R)=亲 J dx x(l - x) In 1 - *(1 - x)

夕

(95)

Функция C仕 9} действительна ниже шфога рождения элалрон-позитрон- ной пары, т.е. при < 4m%

Иопильзуя(9.2}, получаем

dr(k2) = 1 + 廿陪)

(члены, зависящие от калибровки

(96)

Перенормировка заряда состоит в вычитании.логарифмической расходимости в d'( Аа)и соо-^ветствующем переопредвл^ши заряда.

Введвм конечную функцию П：

取Н. 1)* 氏1)。R(『)=С(Н) - С&2>,(9.7)

Где М - произвольное число (точка нормировки}. Тогда

*(Н) = 口 + %2口(1)] + ejftg『).(9 8)

Пусть

ZJ2)= 1 + е02П(м2).(9-9)

С рассмнтрицаемой точностью по е можно записать

#(1) н Z(M2)[1 + 廿z(吟取尸,典(9.10)

Перенормировка заряда ссушестчляется отождествлением физического ЗЕфяда с комбинацией

Лм2) = e02Z(Ma).

(9.11)

Исаользуя обозначение «= е3,/4^, перепишем (9Л1) в Еаде

Для физически интересной величины %丁{产)имеем

»о^(*2)=。储)口 + 4ла(д2)П(Л2, м2)].(9」3)

£танд£фтное сражение для пяретормированного пропагатора dc (А3) получается пре выборе точки нормировки ц - 0:

4(1)= 1 + 4 万 Л*?,。)，(9,14)'

где а - зкадериментально наблюдвемая постоянная тонкой стр^рсгуры а 重 1/137.(915)

Физическое содержание теории не зависит, разумеется, от выбора точки нормировки. Различным а{М) соответствуют эквивалентные физичесжие константы связи. Мо функция а{м。), которую называют "бегущей константой связи11, содержит важную физическую информа- 1щм>. Чтобы рассмотреть этот аспрос, заметам, 7ro прниая часть уравнения {9.1® в действительности не зависит от ц и, согласно сифвАелз нию (9,7), П{*3 *') = 0. Тогда, полагаяпорледонатчльно ц3 = А3 и ц2 = 0, получвем

а*2) * а4*2)・(9.16)

Таким 仰азом, эффекты вакуумной поляризации можно рассматривать с двух точек зрения. Можно либо сказать, что эти эффекты； модифицируют пропагатор фотона, либо 一 что они приводят к появлению зависимости конотанты связи от импудьса. Важно иметь в ниду, ЧТ。К 抬) к ad, {* 2)一 азнимозамвняемые понятия,

Нани прение вычислевия в низшем поряже по <х 1^жводаг к выражению

dr 4(】-х) In ] - Х(Г ■『)%].dr 4(】-х) In ] - Х(Г ■『)%].(9.17)(9.17)亠1 +巴f

dr 4(】-х) In ] - Х(Г ■『)%].

dr 4(】-х) In ] - Х(Г ■『)%].

(9.17)

(9.17)

При больших [Аа/т 31 имеем

(9/8)(9/8)111 jfc2

(9/8)

(9/8)

福У5；1n款(出/病1»1)，

Поскольку теория асзмущений очевидным образом неспрннедлнна при аЬ |Н / 勿斗 4VL соотношение (9.18) имеет смысл только при

(9」9)(9」9)1« |М/М « е叫

(9」9)

(9」9)

Электрсстатическая потенциальная знерпш взвкмодейстния двух единичных пробных зярядов (измеренных» в долях зяряда электрона) равна

Н…儒卢伴LН咼三m…Н…儒卢伴LН咼三m…(9・20)(9・20)Можно также зависать нме'咼， где

Н…儒卢伴LН咼三m…

Н…儒卢伴LН咼三m…

(9・20)

(9・20)

(9-21)(9-21)Р(г) ■ J ^5 е“" 4m(-k2).Р(г) ■ J ^5 е“" 4m(-k2).(9・22)(9・22)Таким 吟тзом, 4ча(~к3)/е ^фурье-образ плотности зпряда вокруг "голого э^мща %, помещенного в вакуум，- "формфактор заряда", (жязаниый с пол^)иза1щей вакуума»

(9-21)

(9-21)

Р(г) ■ J ^5 е“" 4m(-k2).

Р(г) ■ J ^5 е“" 4m(-k2).

(9・22)

(9・22)

Дадим качжгвеннов описание плотиооти заряда, индуцированной HQ岬изациеК вакуум* На больших раостаямиях от nwx> з^яда наблюдается перенормированный поскольку

^)^7' (93)

7ro следует из равенотва а(0) ^ а. На расстояниях, сушимых скомь тоновской длиной bqxbu электрона \/т, наблюдается эффективный заряд, больший^ адм неренормированный^ Это следует из того, <гго а「к3) возрастает с ростом к3. Твким обрезом, эффект поляризации вакуума соотонт в экранировании голого з^шда^ ® щья^шем прстик- новешш в облако зяряда экранирование ствнонится все меиее эффектив- ным, и наблюдаемый зяряд все больше приближается по величине к голому зяряду. На расстоавиях …е 7叫/拒 и меньше кЕртина становится

неопределенной, поскольку здесь теория возмущонн口 неприменима. Используя теорию возмушеанй, мы не можем выясанть, является ли пдай згряд бесконечным (как можно предположить, анализи^я результаты теории возмущений) или конечным. На этот вопрос возможно и существует формальный математический ответ в рамках квинтовой электрода наммкв, но это не имеет значения для физики, поскольку задолго до того, как будут достигнуты расстояния 入 宀外/ % появл^отся необходимость учета других взаимодействий, не учитываемых в квинтовой электродинамике,

В квантовой хромодинамике функцией, аналогичной а{-кЕ), является ”ь*баю解ал функция к2. Таким образом】 эффективная константа связи стремится к нулю в пределе к2 - явление, известное под названием 11 асимптотическая свобода1', В этом случае поляризация вакуума не экранирует, а "нитиэкранирует" голый заряд.

Более детально перенормировки рассматриваются в следующем разделе, Читатели, не интере(^юшиеоя техническими деталями, могут продолжить чтение с разд, 9.3.

9-2- Перенормировки в квантовой эпектродиншлике

В этом разделе дается сжатое описание перенормировок в кв актовой электродинамике еа всех порядках〔). Наша ц^ль состоит в том, чтобы показать, как обобщить вычисления, приеденные в пр^ыфШ6M разделе во втором порядке, на случай более высоких порядков; мы хотим также проиллюстрировать сложные и тонкие проблемы, неизбежно асзннкшошие при .любой с^)ьезноА попытке осуществить перенормировку в квантовой теории поля,

Расходимости диаграмм Фейнмана. Для любой диаграммы @ейнмнва положим： п - число вершин, ~ число внешних электрон* ных линкй, Ei _ число внутренних электронных линий, 〃 - число внешних фотонных лини先 耳 _ ；число внутренних фотонных лианй. Справедливы соотношения

'(9.24)

^иоло незанисимых 4-импульсов-н^три диаграммы раюю

° Излагаемы" здесь метод принадлежит Дайсону и Уорду [ggL

N・ 4 + A - 5 - 1)или, и<Я1ользуя соотношения (9.24).

(9.25)(9.25)N =妳 一 Ее - Ре) + 1.

(9.25)

(9.25)

Выражение, отвечаюшее заданной диаграмме, можно схематичеом представить в нкде

Диаграмма 〜J 所戸(9.26)

Интаграл (9.26) в общем случае расходится и стак^ится к<жв<ным только при введении импульса обрезавияЛ, котсрой затем уст^цшется к бесконечности. Перенормировка представляет собой гфоде^у, с new* щью которой производится вычитание ооогевгствуш^счлшю из жтег- рала [9 ・羽).чтобы результат стал коне^шм в £фе/щле А • ■, н нычита* емые члеты "прячутся,* в перенормировку масш и заряда.

Назовем примитивно расходящейся о^трамлюИ такуюрасходап^юся дааграмму,кот<фни отннонктся сходящейся при {АЗрезаШш одаой из внутренних линий (т-е> когда по одной из переменных интагрировшше не произноднтся)^ Любая расходящаяся диаграмма мохет быть оведе- W иак Еримнтюно расходящейся 般ограмме разрезанием достеггочиого g числа внутреиниых линийХправедлнвость этого утверждения очевидна, 京 поскольку если разрезаны все внутренние линии, то диаграмма являет* 庶 з сходящейся.

£ Наивная оценка ст^енк расходимости d примитивно расхода - 第 meg диаграммы получается подсчетом соответствующих степ^ей 4.

J d = 4N-2B-马(9.27)

工 Дейстнительная степень расходимости диаграммы может быть м卸卜 ? ше d・ Ионрльзуя соотнош^ия (9.24) и (9.25). прлучаем

$ d ■ 4(9,28)

g Заметим, что d не зависит ст 由 л убывает с возрастанием числа внеш- 章 них линий. Имапю это обстоятельство и далает 哼械 п蜕)едор呻уемой.

Ж ° Отмель рвсхадимости интеграл., н* тяющегося примитивно 夔:расходящимсн, не может быть получена простым подсчетом стелена А. Напри- ，应 мер, интеграл / akdp k^p ^логарифмичмки расходится, • подсчет степеней 縻 Дает степень расходимости d * Т.

Существует конечное число типов примитивно расходящихся диаграмм. Их классификация по числу /^ и £tf в каждой диаграмме приведена в табл. 9.1. Можно выделить 3 типа пртмитавно разходжихся диа^ рами：

])смыюовязная элекгрояная собственно-энергетическая (СЭ). диатрем%

сильносвязнеш фотонная собстаашо-энерге'тмчеасая диаграмма.

оцьносшязная вершинная диаграмма.

Термин ,(сильносвязиый,( тождеств®! тергдану "одючастичноне- 呼оод^ыйК Он относится к связным /жраммам, катере нельзя разбить 朋 две неовязшшые чести разрезаяием одной внутренней линии.

Достаточно рассмотреть только невакуумше диаграмм Для каждой такой диаграммы определим скелетную диаграмму, которая адлу- чаетоя удалением всех собственноЭнергетичеасих и вершинных пафа-

Таблица 9.L ПРИМИТИВНО РАСХОДЯЦИЕСЯ ДИАГРАММЫ

ЗамечанияЗамечанияЭакуумнап диаграмма. (Можно не рассматривать).

Замечания

Замечания

Электронная собственноэнергети* ческая диаграмма. На первый вэе* расходится линейно, не самом цте - лопфифмически.

Вершина. Ло「ари@мичаскаи расходимость.

Фотонная собственно-энергетическая диаграмма. На нарвый взгляд квадратичная расходимость; а дойствитепь. ности из-за калибровочной инвариакт- ности логарифмическая расходимость.

Сокращается с диаграммой с противоположно направленным нлектроном (теорема Фарри). (Можно не рассматривать.)

Сумма 41 диаграмм, отвечающих пе- растановкам внешних линий, Явппвт- ся еще болве сходящейся, чем кажет* ся на первый взглзд. пе-за калибровом, ной инаернентности.

рок в нсходно員 диаграмме. Скелетная диаграмма может быть сходящейся и расходящейся. Еоли скелетная диаграмма расходится, она должна быть примитивно расходящейся диаграмм^.

Чтобы доказать последнее утверждение, предположим, что сп|фвед- ливо обратное. Тогда разрезанием некоторого числа внутренних .линий диаграмма может быть разбита на компоненты (возможно несвязанные).

яся дааг-яся дааг-одна из которых примитивно расяодися- Г^мгпено расх

яся дааг-

яся дааг-

рамма должна быть либо собственно-эдюргетической, либо вершинной диаграммой (табл* 9Л)< Но такие части диаграммы удалены по 1федпо

■/；： ложению- (Противоречие.)

Для произвольной связной невакуумной дааграмш можно щюделать f медующую щюцедуру:

I а. Пострскть скелетную диаграмму, отвечающую данной диаграмме, ж 6. Ерли скелетная диаграмма сходитоя« необходимость доведения

ани員 отсутствует. Дшграмма пер^ормщ96Tts обратней подстоев- кой перенормировтшых СЗ и вершинных диаграмм.

в. ：Еоли скелетная диаграмма расходегоя. то это либо СЭ, либо вершинная диаграмма. В этом случае задача сводится к перенормировке СЭ 我 вершинных диаграмм.

Иэ проведенного рассмотр^ия следует, что для перенорьшровш диаграммы общего вида л-го порядка достаточна прсязвести перенор- . мировку СЭ и вершинной диаграмм в порядку меньшем или равном m ■ Тшдам образом, перенормировка осуществляется порядок за порядком во теории возмущений*

При ренормировке СЭ диаграмм могут возншщуть трудности, связанные с но^иожнМ неоднозначностью устранения внутренних вставок, возникающей в случае пояцления Еерекрывающихоя расходимоо тей", иллюстрируемых на рис. 9.2. Проблема состоит в том, что хотя

案 РИС- 92 ПВракрывающиесй расходимости.

wwГмвв

w

w

скелетная- диагршша.апредблена едкштвенннм образом, способ воо становления шщравок * ней. не является единственным и появляется опасность двойнс^о G吋处 Кан мы увидам, тождество Уорда-Такахаши устраняет проблему для электрошшх СЭ диаграмм. Аналогичный метод может быть применен для анализа фотонных СЭ диаграмм.

Существует Й альтернативная схема перенормировок - метод БПХ [100], в котором пшштмв омдетыых диаграмм не исаольэуется. Мы не будем обсуждать этот, метода

Введем следуюище. Обозначения:

S，{»} - точный тфошПЕ» электрона с импульсом pr D*v (Л)- точный пропагатор фотста с-импульсогдЛ, Грр)_ ючнаи вершинная функция с онущешшми внеипдамм линиями, в которой р - импульс входящего-гммпудьс выходящего электрона*

Z Вершмн赤巾Пдажим

T戸(p")4京王 a0).(9.29)

Диаграммы для 仆.ярмАвдея* н@ рис^ 95, а, а соответетвующие скелетные диаграммы -г шрис. 6. Б этом случае проблема дерек^- вающихся раошдшостей не возникает. Сумма всех скелетных дааграмм, обозначаемая Л^>』ога^<фшдески расходится.

АА++++d 心（AP。尸d 心（AP。尸+++ 0(咱+ 0(咱AiAi++O(eg)O(eg)

А

А

+

+

+

+

d 心（AP。尸

d 心（AP。尸

+

+

+ 0(咱

+ 0(咱

Ai

Ai

+

+

O(eg)

O(eg)

РКС. 9・& Вершинные диаграммы ( ef н скелетные вершинные диаграммы(»・

Чтобы получить Лц из Л* , заменим вое свободные пропагаторы и голые ве^жины в диаграммах для Л* на соответствующие тачные про・ пагаторы и вершины. Этой операции соответствует равенство

А-（Р，Р'）二 A；[S', D2f, h； *，，】，（9.30）

где Л* рассматривается как ©ункцмонал от пропагаторов и вершинных функций, зависящий также как от параметра отмадра項 голого зеряда е % и 4-импульсов входящего и выходящего электронов р и В этом смысле дигреммам рис, 9,3, 6 отвечает Л* [S, %冃， eg . p'b где S я 口^卩一свободные пропагаторы.

Функционал Л* логарифмически расходится, т.е, зависит как от параметра от импульса обрезания Л и расходится Rax4n ДщдаЛ-* а. Полная вершинная функция Л^ расходится гораздо сильнее 心за расходимостей, шюсадмых вставками в скелетную диаграмму.

. Эгектронный пропагатор- Точный электронный протагатор может бйть получен при известной「卩 с помощью ТоМдесЛъв Уорда - Такаяаш [ 101] °

[S'（力「I = S0M]t +（p-%）吁〃（户,％）（9.31）

Правая часть （9,31） в действительности не зависит от р0, но для определенности мы выберем pQ равным 4*импульсу электрона на массовой оболочке» Перенормировка масоь" состоит в требования выполнения ршенства

F仇旷、СЗо - Е）,（9・32）

где физическая масса электрона, а С — констана, зависящая от способа обрезания,,

Фотонный пропагатор. Свободный фотонный прслагетхф равен

/"（七）=-% - （1 - 人）閉表，（9 33）

где 入 一 параметр, фиксирующий калибровку. Рассматривая 0^ как матрицу в простршгстве Минковского（ перепишем формулу （9,3④ в мат-

тождестно получено также в работе [ ^75]. — Прим. .

рМЧНО0

0(*) = -»t住)+ 人&0］表，(9.34)

где「丁 и Pl - поп^жчлй и гфодольшй проаскфы, веденные в (8.46).

Для тачного фотонного пропагатора в матричных оОозвачениях имеем

ДУ(七)=+ iD(^iTl(k)^)+ ・・・(9・35)

口+ H(k)D(k)r*

где j% _ ижзор вакуумной л^лфизаш те・ сумма всех одеочастич・ но-неприводик№ фогошх СЭ" дшграмм с спущенными гаешнюл ,jmbw ями,力“аграмМное разложение для П^ приведено на рис» 94

Из калибровочной инвариантности (сохранения тока) следует

МП小七)=0・(9.36)

Поэтому Пуу имеет вид “

%出)Н(恥m-牝凡用叱巧.(9.37)

Согласно подсчету соответствую 呻х стшеней кмнухьсов, скелетная диаграмма для (Л)квадратично расходится П(Ла) - имеет только логариф血ческра расходимость, поскольку квадрат импульса вьшесеа в множитель. В матричных обозначениях выражение (9<37) имеет вид

П(*) = ₽T(*XoZ*Zn(*2).(9-381

РИС, 9.4 Тензор вакуумной полнризеции.

1> Методы № обеспечивающий калибровочную инвариантность при аычиоле- w«%v , Обсуадаются в разд. 93.

Подставляя выражение (9.38) в фсфмулу (9.35), получаем

紋⑹=-Р [г^Щй 曰外 + АР甸.(9.39)

Воост图авливая индексы» имеем

小电一(…曾少g +請，(9.40)

где

叩，仇2)『二必口 一廿r依)工(9砌

Это кадибровочно-инвариш!тная функция. Второй член в (9,48) зависит от калибровки ане дает вклада в физические величины.

Чтобы рассмотреть перекрывающиеся расходимости, введем вото- могательную функцию 小(£ )：

%出尸击u叫炉)『342)

Используя формулу (9*40), получаем

%(七)=2凡 十 忆 Tg,(9 43)

где

4玲=%产击取口窖)1(9.44)

Что&э! восстшювить D： по %, используем формулу

8g宀("…件).(9 45)

Диаграммное разложение для 九 приведено на рис, 9 為 * Перекрывающиеся расходимости отсутствуют. Скелетное разложение для Г получается при ^дадении из диаграмм не лсяько собств^но-энергети- нескмх и вершинных д иаграмм, но и диаграмм 屮口. Соответствующее разложение, обозначаемое 7 *, приведено на рнс, 9.5$ 6. Пример, пояс-

няющий удаление 叩从,приведен на рис. 9.6 】)• Тенерь мы можем запи* сать

"g=广5,D/,元，%; eе 円(9.46)

Функционал логарифмически расходится»

можно получить из диаграмм :

0 +①+①

+ ®+ ®+ ® +。哺

можно получить 片з диаграмм ：

О+®+<Н 時)

РИС. 9Л・ а — диаграммы дпн воломотвпьной функции Т( N2)： й тд *а)=

не； П( * а). Кребтнк обознвчает дифференцирование по анашмему им-

пульсу 丄 к о。соглашению при соединяете л только к верхним частям замкнутых поталь； б — скелетное разложение Т(А’). обозначвеклЛВ Т*(М)(диаграм- мкдпа%Т：｛М))・

Мультипликативные преобразования. Диаграммы^ определяющие Л *, - четного порядка, а диаграмма порядка 2〃 содержит раэлич*

Внешний импульс Л можно провести мереэ диаграмму реэлииными способами, что приводит к неоднозначности • опредапонии скелетного раз力оже» ния. Такая трудность вотречмтол ■ диаграммах ДЛ# 8держшцих по крайней мер.З замкнутые впвктронные петли* следовательно« нмокмцих ъминмвпь- ный порядок е у, Обсркмни，этой Проблемы н способ ее решмнн см« ・ рабо- те[Ю].

РИС. 9尿 Иллюстрации устрвмемкя всттк • т (* * 卜

нне степени 以，S, %。и 加 < Схематически это можно записать в виде

m一 eрm(5炉回产Г(9.47)

Под действием преобразований

где а н & - произвольные чнсла$А；〃 преобразуется следующим об- разом：

厶.(9.49)

Таким образом,

叫Dе

Для функционала Т* диаграмма порядка 2п имеет структуру

П» * ^2HSZH+r(Dafif-^ry)^+^2i^^^(9.51)

где о …叫юе .чнсцо, к которому добавляется 1 при каждом дифферен- цировапии по электронной ,линиил и 0 — по фотонной линии* Под лейст? тем преобразовнний (9Л8) с учетом 2<Ар 2£%'/& 丁蟲 преобразу*

注

ется следующим образом:

存 …％.（9 52）

Следовательно,

2此；* 左白

Перенормировка, Нам находимо яерен^мяровать функщш S'，D：p и rVJ удовлетворяющие следующим связы!кым функционала ным уравнениям:

&（Р, Р'）=力 + A；[S\ D温,Г,; * р, р]

%（*） в 銀.+ ik^S^ Dj I；,％

[У{р）]т = B'S。）]" + （P -Po）“q（P,Po）,（9・54）

[D^k^r1 = dxkRWJxk）.

Уравнения {9.54} имеют расходящиеся решеннзь поскольку функциона* лыЛ* （「,「'） и 7*（ Аа） расходятся. Но так как их рвоходимость является логарифмическоЙj для получения ксжечного ответа достаточно произвести одно вычитание.

Используя для осфеделенинх выше функционалов сокращенные . обозначении А* （р ,р*） и Т*（ка）, определим конечные функционалы уравнениями »

乙8，Р'） = a；（p，p'）-[a；（阿,p0）又5，（9.55）

彳仔）■ L（左2）-г"）

где н - произвольная инв^зиантная масса фотова, а ро - MMiyjt>c электрона на массовой оболочке, р^ = m '♦ Раведство^ * 加 поваляет пе-

»Дл冃 простоты вычитание в Q производится не массовой оболочке р°, В дейстантапьности вычитание можно произподить при любых импульсах, причем соответствующие инвариантные масоы будут служить произвольнымн точками нормировкн в дополнение к 入

ренести_/0 направо и заменить на m, Таким образом.

[А »(ро, Ро)1о・е ■ L%*,0 56)

где L - ряд по степеням eg с логарифмически расходящимися коэффи- циентами. То же справедливо для 7 *(ц~

：Опредеши теШрь7п^ейормированвые фунюдаи St %, %, % как решешц функциональных у^вншй, по^ченнш при замене в урав~ нениях (9.54)Л* и 7.J н&( и Тц соответственно и замене ” соот- ветствущим значением е 而

Г»(Р，Р‘"打* 乙氏 ％ Е ；務 р, pl

%(七)-叫+恤賞*m M；菖円

国(P)[或%)『+ (P * p^^ P。)，偉.57)

広們『=(&*¥”(*・

Фиксируем ш>рм«фовку S услошем

[?(^)]-1 =^-т.(9.58)

Тогда

[&Р)]7 = $ ~ m * (р 一 ％*&»(Р，Ро),О・59)

(9.60)(9.60)(9&)(9&)м выполняется условие

(9.60)

(9.60)

(9&)

(9&)

Нормировка D такова, что 说2方(公)]依i

Покажем теперь, что перенормированные величины пропорциональны неп£^)енррмированным. Заметим, что % можно пареписать в анде

；=力 * А；—厶匕■ (1 一 L)(力 + р—£ Л；；=力 * А；—厶匕■ (1 一 L)(力 + р—£ Л；О・62)О・62)

；=力 * А；—厶匕■ (1 一 L)(力 + р—£ Л；

；=力 * А；—厶匕■ (1 一 L)(力 + р—£ Л；

О・62)

О・62)

(9&)(9&)где

(9&)

(9&)

Z，■ Т — L・

Таким сказом, внчнт&ше эквивалентно изменению шкдлы. Подобным образом имеем

. z］叫+今恤尸E立，弘；居. z］叫+今恤尸E立，弘；居(9&)(9&)

. z］叫+今恤尸E立，弘；居

. z］叫+今恤尸E立，弘；居

(9&)

(9&)

(9.65)(9.65)(9砌(9砌где

(9.65)

(9.65)

(9砌

(9砌

Z=l~2『(l)・

Используя свойства (9.50) и (9,53). получаем

/*=%+« Z& Z》as，^R； $р,р],

Z丨4// J

Таким образом, система ураш^ий (9,М) мо*ет ^аты^мведевакши^ (9,54) заменой

(9-67)(9-67)几=方「m,

(9-67)

(9-67)

ZD”,

Последнее равенство ознавдет пперенормировку заряда" Р,.

^Необходимо подчеркнуть, что перанормировочнм схемабазируетсн на т8P呐 возмущений 为 чт。Z “ 2 т допшы ршхмепрюятъся как степенны» W* g а0 с 晔ходтИммсл кояффициеитами. Если ограничиться разложением да некоторого конечного порядка, хек это делается на практике, тд х Z м Z*4 g ходятс% хотя в рессметриваомом порядке ZZ т = 1. «фммьж* рассмотрение приводит к выводу, что。《Z& 1 И, ВОЗМОЖНО, Z тО прнАт 3 [1021,

Предпрлагается, что п^енорм>фованные величины конечны, поскольку они удовлетворяют конечным урапнейиям (9,57), Чтобы показать, 'по это деКогнит^льно тьк, необходимо показать, что система {9.57) имеет конечные ранения при включенном взаимодействии. Это означает! что подстановка пвренормировшшых вставок в першюрмировянную сжвлвтнук дмагрвмму должна приводить к сходящемуся интегрэлу- Справедл1фйоть этого утверждения доказала Вайнбергом [ 303],

■・3・ Кслмврмочисл инвариантность и масса фотона

Как мы установили, кмибровсчная инвариантность (в)фвиеиме тока) требует, чтобы тенз叩 вакуумной поляризации Пру имел вид 儿"(七)=一仆心)口(炉).；068)

Это приводит к пропагатбру фотон% калибробочно-инвариЕЕитн^ часть которого умеет вид

,~ 八” 产》丁丿必[i + н«2}]・(9.69)

Полюс при А 3 = 0 соответствует безмассовому фотону. Сдвиг 9T8。по Is. juoca может 隹iTb достигнут только в том случае, если П( А3) имеет дадюс в точке £2 = 9, который не может 口0唧丁匕饭 по теории возм*ие- § МИЙ. Таким образом, в тесфии возмущений безмассовость фотона явля* * ется автомвтическим следствием калибровочной инвариантности； поэто & МУ необзюдимооъ перен(фмировки мвош фасада отсутствует-

Но простое вычнолвиие П^ в низшем порядке по константе свя* зи п(жводит К выражению, отличному от (9,68), Вместо этого обнаруживается, «то 'ведущая расходимость % кв апатична и проп^нвюналь- ва g 叫 Это зн ачит, что при таком простом вычиал^ши мы пцлучнм

^^ = ^?Я(^Г(9.7。)

где R{h 2)- квалрэтичнс расходшцийс»' маисовый член.

Источник этой т^дности - нарушение сбсранашя т(жа иэ-зв а<нгу лярной природы вьфажения для тока

广⑷■后弘力"(》,.(9.71)

котков вд印*лт произведение поля 屮(#) л кшкжически сотрюшшого

пр ля 屮 *{ х ) в одной проотрш1ствеш1о-временной точке. Существует несколько путей улучшить вычисление»

В первом методе, мэвеств^ как "метод раздвижки точек11 [ 104], лереопреде л я ется выражение для тока：

—"2

j«x) = lim ie0a + *£)y***« -扣)exp ie dy%^») . (9.72}

Экспоненциальны貝 множитель в выражении (9*72) необходим для калибрстаочиой инвариантнооти. Этот мнаки項льдабтнемсчезашийаклад даже в пределе 吁 0 м исправляет положение^

Волее простой метод состоит в том, что исходнсш выражение для n^v (А) разлагают в ряд Тейлора в окрестности 4а 0 и вычитают достаточное число ведущих членов, пока выражение ав принимает желашЛ вид. На практике достаточно одного^вычнтания. Такуи процедуру можно оправдать следующим образом. Нарушение кали^)овочной инвариант。 ности, повидамому, происходит для деНст^тельноЙ части «а не для мнимой части； поскольку последняя описывает ав виртузл^ные, а реальные процессы. Таким ®раэом, калибровочная инвариантность может быть восстановлена вычитанием полинома по А, не имйощегр мнимой части. Практический рецепт состоит в том, что % (А) заменяют раЗ- востьЮ Пцу (А)- TTpv (0). Можно заметить, что квцфатично-расходящаяся констакта (О) может быть уничтожена контрчлбном вида CF戸％ в цлстнооти лагранжиана. Таким образом, дело сводится к изменению шкалы (рескейлингу)尸"匕 Но эта процедура носит чисто формальный характер и не имеет брлее глубоюго обосшовавия.

Нарушение кгикибровачнМ инвефкантносск мсжот происходать даже для фейнмыювских диаграмм конечного порядка, например для рассея* ния фета на свете в низшем порядке. В этом случае суммирование 4! диаграмм, отвечающих всем возможным лерестниовкам импульсов фо- товов, приводив к сходящемуся интегралу (хотя каждой отдельной диаграмме отвечвет логарифмически расходящиеся инт^гр恥).Но этот ин- тегроя не является кцлибровочно-Ш1вариш1тны м, и необходимо ериме- нять описанные ваше методы.

84 Ренормамзациоинм группа

Групповая инвариантность. Перенормировка з缚яда в квм товой электродинамике выражается соотношениями

(9.73)(9.73)%=冠以“ ^便）=才分%

(9.73)

(9.73)

справедлишми для произвольной точки нормировки (точки вычитания) М* При изменении ц изменяется Z, но не D*v и е：, Следовательно, при изменении ц Duv * са(ц3) умножаются на некоторый множитель. Операции изменения т?ш Нор^ровхи образуют, очевидно, мультипликативную группу - так нашваемую "ренормцлизациошую группу".

Заметим, что не п^)енормированныв функции зависят от {仇％ %, А}, а перенормированные фушори зависят ст {р, т, a(ua)>ui, где p внешние импульсы, А - импульс обрезавия, д - точка нормировки, а。- и а - "роляя" и бегущая константы связи соответственно：

2(的" /屮)/4#(9)4)

Эксзерим^т№но найдшн^я постоянная кжкой структура равна

a 片 a(0)^ 1/137.(9.75)

Мн штдим, что в п^юн^фмпроваивых функциях исходная занисимость от % м А заменяется зависимостью от a(d) и и.

Пер ецормнровочны Й множитель Z бе^^^юя и не зависит ст ннш- НИХ импульсов：

z=z^^a^-(9・％)

Калибровочно-ивнариантные части пропагаторов можно записать в виде

2525

25

25

где d，к d — безразмерные скалярные функции;где d，к d — безразмерные скалярные функции;"小方/."小方/.(9・78)(9・78)d =d =Согласно (9.61), имеемСогласно (9.61), имеем(9・79)(9・79)

где d，к d — безразмерные скалярные функции;

где d，к d — безразмерные скалярные функции;

"小方/.

"小方/.

(9・78)

(9・78)

d =

d =

Согласно (9.61), имеем

Согласно (9.61), имеем

(9・79)

(9・79)

Восстшювим все аргум^ты в соотношениях (9.73):

史м史м«(“)* j Z«(“)* j Z(9・80)(9・80)

史

м

史

м

«(“)* j Z

«(“)* j Z

(9・80)

(9・80)

Предйояйг&етс», что а。зависит ст яЛ/Л； таким образом, что соотношения (9,80) справедливы в пределеИмеем

“（*）《%,$ “）） = а。崎,箝）“（*）《%,$ “）） = а。崎,箝）(98】)(98】)

“（*）《%,$ “）） = а。崎,箝）

“（*）《%,$ “）） = а。崎,箝）

(98】)

(98】)

откуда вкдво, что левая часть не зависит ст ца и является поэтому ре- нормгрупповым инвариантом. Свойство инвариантности легко выразить и в другой форме： .

叫4%,泉心2）卜。（吟d& ^,仪吟）叫4%,泉心2）卜。（吟d& ^,仪吟）(9・82)(9・82)

叫4%,泉心2）卜。（吟d& ^,仪吟）

叫4%,泉心2）卜。（吟d& ^,仪吟）

(9・82)

(9・82)

где ц и V — две произвольные точки нормировки»

2 Бегущая констмта связи. Стандартному перенормировавно му пропаютору dc отвечает выбор точки нормировки ц= О:

аа鷗6）"偿,m。鷗6）"偿,m。

а

а

鷗6）"偿,m。

鷗6）"偿,m。

(9&)(9&)Нормировка такова, что 统а) -

(9&)

(9&)

Поскольку правая часть (9ЛЗ) в действительности не зависит от % для любых ц можно записать

(9・85)(9・85)

(9・85)

(9・85)

Полагая 厶纟=А? л используя соотношение (ЭЛ 9), получаем

(9*)

唄公)=а(“2) d唄公)=а(“2) dИспользуя соотношение (9.86). уравнение (9*85) можно переписать как функциональное уравнение для бегущей констапты связи:

唄公)=а(“2) d

唄公)=а(“2) d

(9・87)

Но это уравнение само по себе бессод^>жательно« Чтобы увидеть это, Ыз1б^)ем норшровечную точку н虱 а) так, что

a(阿2)(9.88)

Поскольку а о имеет размерность квдфата массы, должно иметь место соотношение вида

加(Q)= гт^/ф(а).(9.89)

С учетом (9.89) уравнение (9*87) принимает вид

а(1) =d侮。(幻,eg), 1).(9・90)

Уравнение (9,90) не накладывает никаких огрниичений на функционал ную зависимость а( А *). Несмотря на это, уравнение (9,87) служит удобной отправной точкой для дальней1иего рассмотрения, в ходе которого можно прлуодть информацию об асимптотическом поведении а (А)

Мы апдим, что в (9.66) вычитаемый член 7?(М) должен стремиться к нулю в пределе 户-»Аг-* «, т・е・ в этом пределе вычит&ше отсутствуй ет. Следовательно> в пределе цэ -*« восстmianливается затравочная

константа связи % ：

仪标)下才佝.(9.91)

Символ модуля для ц3 отражает предпрдожение об стсутствди члпест・ венной сингулярности а (吟 при ц3 =

Функции Гелл-Манна — Лоу [105]. Жжется правдоподобным, что если как внеш вне импульш, так и точна нормировки становятся большими по сравневию с масоой электрона, то массой электрона в переноршрованном пропагаторе можно пренебречь* Соответственно предположим, что существует предал

Ц停都吁哈"))，(9.92)

f(l,a(—))7./

Это утверждение было проверыю до порядка а3 в теории возмущений% Заметим, что мы не можем положить 8 в функции dc(炉/历％ а 卜 поскольку точка нормировки 从=8, итрлужит в качестве множителя, устниавливающего шк恥у импульсов.,

В рассматрииаемом пределе тождество (9.87) становится функциональным уравнением, имеющим нетривиальное содержание： 。(玲 н 吁乎(£，"))，，(9.93)

(X/m21,心/E21)./

Выбирая опять ц = ц0( а) (9,88) и (9,89)), получаем

(占机公，1卜喂e⑷)м**・(9.94)

Эго означает, что при А3 »т? функциональный вид а( А9) ппрестает завмоть ст значения посто&нной атакой структуры, которая-в этом чне только задает шкалу.

Формулу (9.94) можно испрльзоватъ для обобщения вычисления

п Это явно показано в работе [106].

а( А 2) в низшем порядке. Из (9.18) имеем

а(七2)3"川丿 '，(9.95)

Члены в скобках могут быть переписаны в виде 尸(式а)¥/加2), ерли мспальзовать соотношение

0(а) =е・з 刁汽(9.96)

Таким образом, формула (9.95) соглвоуется с (9,94) в рассматриваемом порядке. Поскольку у』ев 0(a) додж ев быть функцией только ст

Ф(а) А2,/т 2, его разложение по степеням а должно иметь вид

端£ш台)丁『外g；..

Следовательно, для А3 т3 имеем

、加 /J3" m ”1\3"小3

(9勿)

Таким образом, не производя дальнейших вычислений, можно утверждать, что суммировение "главных логприфмовг1 приводит к формуле'〉

一豆1n牙一豆1n牙(9.98)(9.98)

一豆1n牙

一豆1n牙

(9.98)

(9.98)

1JПолюс при A 2/m2 H езф(3：к/а) называется "пеяюсом Пвндау", Лмдау был обеспокоен патологичностью теории, в котсфой появпйется твкой 口加咖 【107】，В настоящее время эта формула предстилпет интерес только с точки зрения рравнония с аналогичной формулой а квантовой хромодинамике, в кото, рой в ани・теле вмасто минусе понвлпется плюс (асиыптотическм свобода).

а“)= Q(y)fа“)= Q(y)fСформулируем теперь более эффективный способ получения анформа- цми из уравнения (9,93), Вочюрвых, перепишем его в виде

а“)= Q(y)f

а“)= Q(y)f

(9.99)

Дифференцируя обе части равенства по х при фиксировшшом 九 и полагая затем у = х, получаем

(9.100)(9.100)х》а)=6(а(х)),

(9.100)

(9.100)

где функция

(9.101)

называется функцией Гацл-Мавна - Лоу (ГЛ), Решоше ур^нения (9.10Q) имеет вид

* 产dz

Разложение p( z) в ряд Тейлора по z макет &ть па^чеио в тесали воэ* мущевий. Для квантовой злектродмвамикв результат имеет следующий вид:

做z)= ^(l+±z + .J.(9.103)

Первый член легко получить из формулы (9,18)< Равенство (9.98) может быть непосфедств^но прлучено из уравнение (9 102), если хспользо вать перный член разложения p(z) в ряд Тейлора м гфнаять > = m3 , что может быть оправдано в заданном порядке по z,

Стабильные точки. Параметризуем точку нормировки соотношением

М =削2 + d (-8 V I V 8),(9.104)

Ее % - заданная точка отсчета. Бегущая констепта связи становится функцией от t. Тогда (9.102) принимает вид

(9.105)(9.105)Интеграл (9,105) должен расходиться в пределе 111 - 8, Это означает, что в пределе 旧 ~ а сф) либо расходится^ либо стремится к определенному предельному значению, отвечающему нулю функции ГЛ В (а). Ниже ая印мзируется вторая возможность.

(9.105)

(9.105)

Конечное значение а, при котором в(а) = 0, называется сваб^лъ- мй точкой^ Стабильння точка называется ультрафиолетовоЙ (УФ) или внфракрасной(ИК) в зависимости от тога, является,ли ?(а) убывающей (I)или возрастающей (，) функцией в окрестности нуля：

Стабильная точка: р(а0)= “

УФ ста仇львая точка： р(аЦ в окрестнрсти q = %,(9,106)

ИК стабильная то^ка: §(&}* в окрестное^ a J % .

Некоторые примеры отабильных точек приведены на рис. 9.7, Причина избранной термвнологии - предельные соотношения q “)—УФ стабильная точка,

Е 、(9.107)

乞a (f) —л ° ИК стабцльная точка.

t 9 8

WЧитателю. предлагается проаерить эти соотношепия, используя рис. 9,7

芸 и формулу (9J05卜 На рис, 9,7 стрелками указаво направление измене- § ния aft) при t т а для заданного начального зивчеаня а(0), 亭 На рис. 9,7, а паказепа предполагавмая зависямость В( а) в кван・ товоЙ электродинамике» Единственное надежно устепвл^иое свойст- 箏 во - наличие ИК стабильной точки при a = 0, в окрестности которой 烹 применима обычная теория возмущений. Пос>щльку a(Q ав стремится “ к этой точке при t ^* «, нельзя надеяться получить в рамках теории возмущений информацию о правильной асимптотике a(tПростая экстраполяция результатов теорви возмущений приводит к асимптотике a(f) - 8, Другая возможность состоит в том, что в (а) имеет еще один нуль при а = ctq, а。* 0, где а0 - УФ стабильная точка. В этом

3， случае a( J) - а。, и aD является затравочной постоянной тонкой отрук- } туры. Таким образом, если квантовав электродинамика является конеч- 裳 ной теорией, а0 должна быть корнем функ^и ГЛ. Но этот корень пока 岁 не обн^»ужен, Адл叩[108] показал, что еоли такой корень существует, то он не может быть корней конечного порядка. Другие авторы [ 109]

X' приводят прт'умеаты в пользу того, что этого корня не существует.

6

РИС. 9・7・ Примеры функций ГЛ： ■- для теории без асимптотической свободы, б-для асиьттотичвски свободной туии.

На рис. 9.7, б пртведена возможная зависимость р(а) для асимптотически свободной теории, такой, как квантовая хромодинамика* Такая функция ГЛ характеризуется наличием УФ стабильной тачки при и = 0. В этому олучае теория возмущений применима в пределе f - отвечающему области, характертой для глубосо неупругого рассеяния электронов [ЦО]. Но теория возмущений перестает быть справедлиасй прт г * .а, что отвечает пределу больших расстояний, на котормх предпо- ложитольно осуществляется конфайнмент kb^ikob.

Ураменив Каплма — Симвнчика

Практическое осущест^ленйе перенормировки в перетормируемой теории паля (т.а уотановлеюю соотношений между неперенормьфсваяда-

мк к перенормированным» вел^инами) всегда является оложвоА зада* чей. Но если эти соотношения известны, мсжно ввести бегунью каютан- ту связи и функцию ГЛ, не обршцаясь х деталям перенормировачной процедуры. КаХлан и Симанчик [ 111]осущестечли эту идею на практике1 * ■ Рассмотрим перенормируем у ю теорию с единственной безразмерной затравочной константой связи а0. Связиав п-точечная ф^шхш Грина 'Сп связана с перенормированной функцией соотношением

G；(p; А, %) = 2畔,or, G£p； “ а),

(9-108)

где Z - положительная константа, р обозначает все внешние импульсы, Л — импульс обрезания, “ — точка нормировки* В общем случае Z » умножается на другие перенормировочные множит&м. кап^ые мы дщ qxx> тоти опустим. Мы положили все массы равными нулю； это означает, что рассматртвается асимптотичебкая область, в которой все импульсы велики； а шкала импульсов задается точкой нормироани ц -

Перенормированная констента связи а зависит от А, и и а。. Поскольку а безразмерна, справедлива формула

а * а (务 а, •(9.109)

При А - 8 a предположительно стамжигся функцией только от и , т.е бегущей константой связи а(ц). Чтобы полностью определить соотношение (9.108), нужно выбрать 即рументы различных функций и предпс- .ложить, что 咁 А г 8 qа имеют конечные пределы, а С： , Z , а。 могут расходиться.

Заменяя, что правая часть (9Л 08) не должна зшсеть от и, зэтишж

G〃(p;%a) = 0.

(9.110)

D Исторически введению уравнения Квллака — Симанчика предшествовало рассмотрение нарушения формальной конформной инвариантности а теории возмущений. В дополнение к работе [ш] см, также [lid.

Выполняя дифф^енцнрованиеf получаем

(9・1Н)

где частные ироизасдные по каждому 叩гументу берутся прт фиксированных остальных ергументах* Определим две безразмерные функщ«и p什：

мм(9.112)(9.112)

м

м

(9.112)

(9.112)

где р{а{н)) - функция ГЛ, ау(ц)называется аномальной размерностью (она отличается знаком от аномцльной размерности, возанкающей в случае замены Z на Z -】户).Подчеркнем^ что р должна бнть выражена через а (м )♦ Используя введенные определения, перепишем урав- неане (9.111) в анде

*^ + ?9)^ +*^ + ?9)^ +6(Р； R, «О = 66(Р； R, «О = 6(9.113)(9.113)

*^ + ?9)^ +

*^ + ?9)^ +

6(Р； R, «О = 6

6(Р； R, «О = 6

(9.113)

(9.113)

Это ураднение Кмлана - Смманчика (КС).

Рассмотрим теперь бвзразм^ное отношение функций Грина F, такое, что множители Z в нем сокращаются. Тогда F инаариантно относительно преобразстаний р^ормдлизациоиной группы. Простым пртмером является

F但］=G®?产，а) \м' / ^«(м; м, «)

для некоторого фиксирсшанаого Здесь Gn (ц; ц , а) означает G£p;»,a}, в когорт все внешние импульсы рввны, а их ин- вариавтная масса равна ца. Легко видеть, что в этом случае уравнение

ОДп* простоты . «гем раздело • kmctw у симой переменней вместо ислсльзуется 从・ это не отражаетсв 冃8 константа связи, но изменяет В(а)вдмреэа. 、

喰'

工

Пареномировки

КС принимает вид

［嗚+日⑷卦信)。.(9.115)

Точку нормировки ц и бегущую константу а удобно параметризовать следующим образом:

a(0 m吋⑴)，

где % - некоторая фиксированная точка отсчета. Твда Инв^жапность F означает, что

沙係,喲)=6(9.117)

Выполняя вифференщфование, получаем

卜止+ ^力f(2,力=0.

\ Эд at дa/ \д /(＞」/3)

Сравнение с ураниеанем (9.115) дает уравнение

甯 Г (а ⑴)，(9.119)

齐

решение которого имеет вид

演 侬二

学

Поскольку 尸 не знвисит от，，имеем

户儀'*）hF闖唄。）（9.121）

Положим「匸 认)「а полежим все внешниеимг^льшршньш (син- МаяпюА массоИ 叫 с)). Тмда имеем

1

尸0,。a)) N F

(9,122)

Правая часть в действительности является константой: и может быть нормирована на 1, Таким образом,

(9.123)(9.123)尸(1, а«)) = 1.

(9.123)

(9.123)

Уравнение (9.123) может испальзоваться для определения а (г %

Соотношение {9.121) тривиально переписывается в ни де

(?-К4)(?-К4)

(?-К4)

(?-К4)

Полагая р ■ * и⑴/МО) и переобозначая А через р , имеем f儒,甸-F(俞,叫Полагая р ■ * и⑴/МО) и переобозначая А через р , имеем f儒,甸-F(俞,叫(9.125)(9.125)Это показывает, что изменение всех внешних иывульсов на общий множитель эквивалентно изменению .константы связи.Для функции Грина % результат изменения тачки нормировки описывается урзрением КС (9.113), которое мы перепишем в видеЭто показывает, что изменение всех внешних иывульсов на общий множитель эквивалентно изменению .константы связи.Для функции Грина % результат изменения тачки нормировки описывается урзрением КС (9.113), которое мы перепишем в виде

Полагая р ■ * и⑴/МО) и переобозначая А через р , имеем f儒,甸-F(俞,叫

Полагая р ■ * и⑴/МО) и переобозначая А через р , имеем f儒,甸-F(俞,叫

(9.125)

(9.125)

Это показывает, что изменение всех внешних иывульсов на общий множитель эквивалентно изменению .константы связи.

Для функции Грина % результат изменения тачки нормировки описывается урзрением КС (9.113), которое мы перепишем в виде

Это показывает, что изменение всех внешних иывульсов на общий множитель эквивалентно изменению .константы связи.

Для функции Грина % результат изменения тачки нормировки описывается урзрением КС (9.113), которое мы перепишем в виде

Gg＞； м(Г), а«))Gg＞； м(Г), а«))(9.126)(9.126)

Gg＞； м(Г), а«))

Gg＞； м(Г), а«))

(9.126)

(9.126)

rfley(t) = y(u(t)). Уравнение (9Л28) может быть получено, если заметить, что, рассматривая м и а как фушщии от С, имеем

(9.127)

Решение уравнения (9Л26) имеет вид

(9.128)(9.128)GMP；步(儿 а(0) = е-^ G4P； м(0)"(0)).

(9.128)

(9.128)

Заменим теперь р на е 例

G£e力;м«), q«))匸 e—Q⑴ G£<p;儿(0), а(0»

Левая часть может быть переписана в анде

G虱』р; е%(0), а(0).

Заметим, что все ергументы； имеющие размерность массы, приобрели общий множитель 八・ Если сама G〃 имеет размерность (масса)4, то

G"e力;е%(0), а(0)) = * G^p；必(0),。(0)).(9.130)

(HbhomhhMj что по предположению Gn не содержит исходаых перамет- ров размерюсти масоы)* Приравнивая правые части (9.129) и (9Л30), получаем

G《加 м(0), а(0)) = У+Т)G£p； м(о), «(г)).(9.131)

Соотношение (9.131) (федставляет собМ обо&цекие соопкяпения (9.125). Заметим, .что общий множитель отличен от ожидаемого из авализа размерностей множителя е Мн содержит множитель ❷号(汴/出 у( г)] (отсюда надавив "аномальная размерность °). Последний асзникает бл ягода-、 ря тому, что сдвиг шкалы изменяет точку нормирсюки и G# не инвариантна относительно этой операции.

Пример: беэмассовця теория 屮'

Что^ проиллюстрировать вычисление функции ГЛ с иопрльэсюани- ем уравнения (9.112), проделаем это вычисление для беэмассоасй теории Плотность лагренжиена имеет вид

^) = 严。-ао04.(9,132)

В плотности лагранжиана (9.132) нет параметра размерности массы и, следовательно, нет исходаой массоасА шкалы. Перенормнрованныit за** ряд определяется четырехточечиой функцией Грина, которая во втором порядке определяется диаграммами Фейнмана на рте. 9.8:

А, % = Та。+

+」3 + Рз) + 4Рз + 0)工' '3)

РИС.丸8・ Диаграммы Фейнмма для 4-точечной функции Грина в теории 6・РИС.丸8・ Диаграммы Фейнмма для 4-точечной функции Грина в теории 6・

РИС.丸8・ Диаграммы Фейнмма для 4-точечной функции Грина в теории 6・

РИС.丸8・ Диаграммы Фейнмма для 4-точечной функции Грина в теории 6・

Яр)=Яр)=俏 + ie)[(k + р)2 + й]俏 + ie)[(k + р)2 + й]где множитель 1/2 во втором слагаемом имеет сжмметрийное 1фоисхож・ дение, а

Яр)=

Яр)=

俏 + ie)[(k + р)2 + й]

俏 + ie)[(k + р)2 + й]

(9.134)

Интеграл (9Л34) логерифмически расходится (при вычиолении интеграла нужно перейти в евклидово импульсное пространство и ввести импульс обртзания Л).Выпрлияя эти вычисления и возвращаясь в ерост- ршютво Минковского, получаем

i Л2

Используя {9・ 135). находим

(9.136)(9.136)G；(p; А, а。)= Та。+ ™^ (in，+ lh ^- + In }} $ = -3 + p2 尸 +f% Г = Г% + РЗ 尸 + 辽，

(9.136)

(9.136)

“ =—(Рз + Р1)2 + 店.

Перенормированная константа связи а определяется соотношением

(9.137)(9.137)а(} °。) n Q®； А, а。),

(9.137)

(9.137)

где ергумент н в G* означает, что Р^ = pl ^= pf = - ^2^ (Заметим, что перенормировка осуществляется в евклидовой точке.) Используя формулу (9.136), получаемгде ергумент н в G* означает, что Р^ = pl ^= pf = - ^2^ (Заметим, что перенормировка осуществляется в евклидовой точке.) Используя формулу (9.136), получаемМ 、3* Л2М 、3* Л2(9.138)(9.138)откуда с помощью (9.112) находим функцию ГЛоткуда с помощью (9.112) находим функцию ГЛ69)69)(9.139)(9.139)Поскольку правая часть в {9.139) положительно определена, теория не является асимптотически свободной. Мы можем получить выражение для бегущей константы сяяэи а (и), жшользухПоскольку правая часть в {9.139) положительно определена, теория не является асимптотически свободной. Мы можем получить выражение для бегущей константы сяяэи а (и), жшользух广旦广旦(9.140)(9.140)откуда получаемa®) a(Ro) 32M До2откуда получаемa®) a(Ro) 32M До2(9.141)(9.141)Сравнивая с формулой {9.138). получаем ожидаемый результатСравнивая с формулой {9.138). получаем ожидаемый результатlim а(Л) - %.lim а(Л) - %.(9.142)(9.142)Перенормировочный множитель Z равенПеренормировочный множитель Z равен

где ергумент н в G* означает, что Р^ = pl ^= pf = - ^2^ (Заметим, что перенормировка осуществляется в евклидовой точке.) Используя формулу (9.136), получаем

где ергумент н в G* означает, что Р^ = pl ^= pf = - ^2^ (Заметим, что перенормировка осуществляется в евклидовой точке.) Используя формулу (9.136), получаем

М 、3* Л2

М 、3* Л2

(9.138)

(9.138)

откуда с помощью (9.112) находим функцию ГЛ

откуда с помощью (9.112) находим функцию ГЛ

69)

69)

(9.139)

(9.139)

Поскольку правая часть в {9.139) положительно определена, теория не является асимптотически свободной. Мы можем получить выражение для бегущей константы сяяэи а (и), жшользух

Поскольку правая часть в {9.139) положительно определена, теория не является асимптотически свободной. Мы можем получить выражение для бегущей константы сяяэи а (и), жшользух

广旦

广旦

(9.140)

(9.140)

откуда получаем

a®) a(Ro) 32M До2

откуда получаем

a®) a(Ro) 32M До2

(9.141)

(9.141)

Сравнивая с формулой {9.138). получаем ожидаемый результат

Сравнивая с формулой {9.138). получаем ожидаемый результат

lim а(Л) - %.

lim а(Л) - %.

(9.142)

(9.142)

Перенормировочный множитель Z равен

Перенормировочный множитель Z равен

Из уравнения(9.112) палучаем

心)=-备 а®)・(9.144)

В рассматриваемом порядке G： может быть записана в виде

(9.145)(9.145)「•с；т 11 Л Лг ( Лг . Л2\

(9.145)

(9.145)

卜 Gj 1 = — + ~~2 1о — + In — + In —.

郁 32"41 s г u /

Подставляя 1/оо из (9.141) и полагая ц 0 8a Л, находим

陷『=^^^^^ + }0^(9.146)

Перенормировочный множитель Z в этом порядке отсутстнует, поскольку Z = 1 + О (a

Метод эффективного потенциала

ЮЛ. Спонтанное нарушение симметрии

В этой главе мы рассматриваем п^енормировки в (фмсутствии Фонтанного нарушения симметрии. Чтобы 叩 азу иметь (фавцльнуш перспективу, необходимо отметать, лгго концепция споптанного нарушения симметрии является пока чисто теоретической и не имеет никакой связи с экспершентом. Ннарнмер, вакуумное средаее хиггсовского поля не является нанофедствшшо наблюдаемой величиной. Его значение может быть получено лишь при с^авв^ши с экспериментальными данными резу・ льтатов, лолученвых в рамках определенной теоретической модели. Не сущаствует эксп附мента, по резулыгагам которого можно будет сказать, асзникяет ли масса Нагодерб "механическим массовым цланам1* или вследствие спонтанного нерущения осмметрии.

У читателя может возникнуть вофос - зачем вообще нужна такая ^концепция? Причина ее популярности состоит в том, что, как мы уже видали на еримере модели Вайнберга — Салама* она позвалиет построить п^енс^мируемую тасрию масо<аных вектсфных 6o3OHg в которой можно <фоиэасдить практические вычислеиши Таким образом, нам следует разобраться в пфенормировке теории со спонтанным нарушением симметрии, что удобнее всего осуществить с использованием эффектна- ного потенциала.

Чтобы познакомиться с методом, рассмотрим сличала математический (фимер самодействующего скалерного поля. В физической модели необходимо включить взаимодействие с другими полями, например с кашброасчвымк полями» Мы обсудим 叩остоА иример такой модели» но полного обсужд^яя перенормировки в реалистической теории проасдить не будем [113],

16.2. Эффективно# лейстам [1141

Рассмотрим действительное скальное прле с плотностью 56rp浄 жнана

Классическому значению вакуумного поля отвечает минимум р° потенциала Н▼卜 но вакуумное среднее < §> квантованного ноля не обязательно равно pQ и определяется выражением

砌-lim砌-lim仍 1<М>>(go)仍 1<М>>(go)(10-2)(10-2)

砌-lim

砌-lim

仍 1<М>>(go)

仍 1<М>>(go)

(10-2)

(10-2)

где использованы обозначения разд, 7.3.

(10 3)(10 3)Навомним схфед^ление производящего функционала №(Jlh： е®^ WR］ ■ Л^ (D6) ехр : (S® + 亿仰， 5^］ = J dtr £(工)，(J, ф) = f Л4х^х)ф(х).

(10 3)

(10 3)

В дальнейшем мы будем зхравяоъА/ 1 в производящем функционале, но положим 力==с м 1 во всех остальных формулах. Разлагая по степеням 寅，мы получим ра^ложаше по числу замюугых петель в дияраимах 相皿 мана, Ерли восстановить все 力 к с, но оставить неизменным выражение (10.1) для £(х), то легко видеть, что 方с а ° -едннствеаный безразмерный параметр теории* Таким о^азом, разложение по петлям фактически является разложением по степеням ftcaOf осуществляющем суммирование бесконечной (кшокупности диаграмм Фейнмана.

Вакуумное среднее иоле в ирисутстани внешнего источника равно

'a 俨|0)- ад--'a 俨|0)- ад--(10・4)(10・4)

'a 俨|0)- ад--

'a 俨|0)- ад--

(10・4)

(10・4)

Вакуумное среднее < $> есть предел ◎. (*) при J ~ 0, где фс занио<т от внешнего источника J. Зададимся вопросом: какой Источник J нужно включить, чтобы получить заданное фс ? Чтобы ответить на этот вот- рос, переформулируем задачу так, что амеето J независимой переменной станет 中.

"Эффективное действие1'「［屮определяется преобразованием

(W.5)(W.5)Лежандра

(W.5)

(W.5)

Г［也］= m刀 一。, 6 J

где / сиредаляется как ф^тасчи фс из уравнения (1@4).「(审^］ называется эффективным дейстнием потому, что оно яаляется функционалом от $с (подобно тому, как действие S ［中)является функциопалом ст 中卜

Зш&шм, что

謂♦謂7⑺一小識也⑺, 时&) 岫G)J稀仙)

8W[J]ШО8W[J]ШОy研力Щт) J у帅仙)办y研力Щт) J у帅仙)办

8W[J]ШО

8W[J]ШО

y研力Щт) J у帅仙)办

y研力Щт) J у帅仙)办

Подстацляя втсфсе из этих выражений в первое, пц^чаем

(ЮЛ)

Если положить J = 0, то из трвиоляционной инвариантносш смедует, что % х const. Таким 晔азом, < §> является корнем уршненкя

ап，』djcап，』djc(18-7)(18-7)，.俏，.俏

ап，』djc

ап，』djc

(18-7)

(18-7)

，.俏

，.俏

Напомним,： что W[J ] - производящий функцианм связных функций Грина- Покажем тетерь, что Г [фс] является производшрш функцмошь лом одночастично-ншрнводимых фушщм贄 Грина.「£.,) Мэгда можно разложить по странам %:

n.j，Е ""*7 d4/ ・..d4/ 匸(工1,・• •，XnWc(*l)…•・e(』J …川J.(ЮЛ)

Псжажем, что Г^ - n-тачечная одиачастично-ишфиврдимая ^тящия Грнна, т.е. с^мма всех связных одкачастично-ншцжводюйых диаграмм Фейнмвиа с п внешними лийиямн (вивпию 哗огегвге(ы «4™яюгся)* Рассмотрим величину

(Ю・9)(Ю・9)斤 J (Dj) exp / {Г[ф] + (九•)}・

(Ю・9)

(Ю・9)

Прк & •♦ 0 основа曲 вмед в %етегрел Дает седловая тачкй ▼ ■ з ((10.8) представляет собой уравнение для седловой точки). Таким сказом,

k J (D.) ехр / {Г[ф] + (Л =斤 ехр ： {U *。•《)}・

' (ЮЛО)

6

РИС. 10Л. Вспомогсггельные диаграммы дли дошатеп^стаа того, Ота *ффем- та*ю» действие генерирует опючмт*чно-непрмводимые функции Грина. Кружка обозначены: • — некоторые q (по определению G )♦ 6 - некоторм к РГ функции Грине {по ояредепеиию W fjj.

Свшжо определяй» (10.5). (10.10) можно лерепмсать в шда

В ； М〃 N 内 j(D，)exp : {Г[.] + (J, #)}.(10.11)

В Тфеделе а -* 0 выражение в правой части есть с^мма всех древесшых диаграмм в новой тасрмн с д^явием「“]. Согласно сшредаашию (10.&Ь наршнной в одной из этих диаграмм является некоторая функция % Этот факт илшост^жруется рнс* ЮЛ, С другой стороны, W[J) по спределенню есть сумма всех спязных функций Грима хвсо/ ной тасрии, а связная функция Грина может быть разбита на одаоча^ тичионесводимые коммонавты (рис. 10.1, б}. Следовательно, Гп есть одночасгичион^риводнмая функция Грина исходаой ■

103 Эффективный потенциал

Можно также разложить Г[^с] по 学,и 餃0 производным оледующм образом!

ITG ・[d'x LUQ/)) + 找小伞)"九⑻次.仙))+ - -L (10.12)

Функции U называется эффжшшьм пот^щщжм- Эффектюшй тоютол можио получить из (10,1% еоли наложить fc <х} = р, где р - констан- тей При этом условии все члены в (10.12). 1фоме первсго, равны нулю к, следовательно.

Пр] = -RUS},(10.13}

где Q - полный простравстветноеременной объем.

Введем фурье-образы % и「力

北2)=卜纟/ "也⑺(Ю34)

发)$4(& + * - - + 发)

jd^i •・・…，/)ехр(йг「/ + ・・・ + &・

Разложение (10.吼 выраженное через 名 м ^ , имеет вид

3=e力爲••器嘅+…+及工阳•••人)

Лоложим

#伞)=р (константа),

Qp,(10.16)

где Q ■ полный простравств^пю-^еменной объем：

0 = (2万)к(0).(10 17)

Тогда

m1晦"⑵'.(10-18)

где

喜(0) ■昨(0,。,・・・，0).(10.19)

Сравнивая (10.18) и (10.13}，случаем

“s)= -££m。).。也20)

Таким образом,

(10.21)(10.21)-喇=^о)-

(10.21)

(10.21)

%|р-0

(1022)(1022)Необходимо номнитъ, что 二 определены через полв . (м). Ец* имеет место спонт^мм нарумнма симметрии, более естествошо жкаль- зовать сдвинутое поле “(г) н .(к)-砌.

(1022)

(1022)

Одначастично-нещишодамые фушорш Грина「<#, спру^ииты» ^呼 Л( *), являются лшю№шш хом&шацияш q и могут быть получены из "СДишутию*1 sapttur»fN.20>i

“s г 修))в i& 0 W 棘'“s г 修))в i& 0 W 棘'(10^3)(10^3)

“s г 修))в i& 0 W 棘'

“s г 修))в i& 0 W 棘'

(10^3)

(10^3)

зическмх вцлишш:

(10.24)(10.24)[dUS)/dp、№ » 0 уолоше ди <・>.

(10.24)

(10.24)

[сР1/(р)/#р]д№ "* 事2 (в^юкормированнм масса),

-[(^{/(/O/dVLi 0 а {пц>^>рМф0мввая мжотанта сжязи).

Вмичиныт* м а яыаютм (Жба/дами ларометрами пцюнормирован- но* темной Ьош^^у дсмжно ^тшться требование力 0, первые

два уояож! gtaG』, <гро у шляется минимумом и(р), так же как Ро шяйся мШМЯнй У {р}. Ниже мы шчмцтм явю и{р) в одно» петлюом приКмженюц

[Q4 Раможмм no JNTMM [115]

ПетмоершомшШе»[/}наодиопетлевом уроше осуществляется мнтшрфоеакмом в формуле (]0«Э) методом перевЕЦа. Ссздлстй точ-

является , = %, где % удовлетворяет уолонаю

(W-25)

За^пЦА, .ко % (м) ЯЩИК* фунхциев от х м функцисмщдом от J. При J - 0 М{军)ошомтоя решевявм кмсотсшх ураввеимА движения.

Разлагая S"] в ряд в QjqjecTHocra р°, получаем

S[，+ фо] ■ нб0] -攵 #a){8凡初/稀a)}-。

+1!办今 №2U)阳初3⑺8*日)j

+甩札6工(10.26)

где в вмкшз все члены 8лее высокого порядка- Вдедаи сфопа- гатор Д. [ф Q ], ЯЦЛЯЮКШЙСЯ функционалом ОТ % , 1фи ЕЮМОШ СПрЕШЛЕНИЯ

Тогда

凱* + 曲 н Яфо] - (/. ф) + 教@,込7伸a# + Ш> Фо)- (10.28) Зшшшем теперь

ехр ； М〃 ■ N j (Оф> «р ； {S修 + 斓 + (* < Ф^,『)}

=X / (О#) ехр； (5[，о] + *(•，於“吊小，)

=师太5两+ So, J)} •卜J g)呻言%込寸飼力)}

・(exp；S，，0629)

где «жмвол < > обозначает футо^юн^льное уфеошш с вессвсй функцией

ехр 表ll-1[^<J^)-

Множитель в фигурных сковах в (10.29) рамп ) dot i А-"$。■眩.

Таким образом,

+ Зо, J) +1n detgT【•印 + WRJ],(10•切)

где

%И = -а 加卜耳> ± $2〉(Ю.31)

Можно показать, что % выше первого порядка но 万.Для этого изменим шкалу полей, вояожив r = * Тогда

=Л"?砲闯峰峰阑….+(10.32)

Тшсим образом,

% = -ih ln[l + О⑶/2)] ~ 0(紋/2)(10.33)

На самом Пеле %~Q(* 明 поскольку из разд* 7.7 ил эааем, w>W[J]' Аовускает патлюэе разложение по церючиоленным степеням й (нецелые отепени Й не ноявляются)* Таким образом, первые дааадена в выражении (10.30) отвечают древесной аппрокомации, в вт0оА член предотав- лпет собой полную бдиояетлевую по^ав»..

理ш«% п ,о ♦ Следовательно, (% ・9o)"°SR 力拿)=^^ ■ 2*)+ 叫住)，#i(x)~0值)- Разложим теперь Sf 备)оледуюшим образом: S[*o] = S^c - *i]=S[九]- j 也 #1(*)(部21/峰6)}#7. + 0(聶^理ш«% п ,о ♦ Следовательно, (% ・9o)"°SR 力拿)=^^ ■ 2*)+ 叫住)，#i(x)~0值)- Разложим теперь Sf 备)оледуюшим образом: S[*o] = S^c - *i]=S[九]- j 也 #1(*)(部21/峰6)}#7. + 0(聶^Подстановка выражения (10.30) в опред^лшие (10.5) дает петлюэе разложение эффективного действия Г(фс ), Но спачма нужно выразить S @ ] как фунюрюндл от “ ♦ Дш'но Ш1детьг что в доевеоном прнбли-

理ш«% п ,о ♦ Следовательно, (% ・9o)"°SR 力拿)=^^ ■ 2*)+ 叫住)，#i(x)~0值)- Разложим теперь Sf 备)оледуюшим образом: S[*o] = S^c - *i]

=S[九]- j 也 #1(*)(部21/峰6)}#7. + 0(聶^

理ш«% п ,о ♦ Следовательно, (% ・9o)"°SR 力拿)=^^ ■ 2*)+ 叫住)，#i(x)~0值)- Разложим теперь Sf 备)оледуюшим образом: S[*o] = S^c - *i]

=S[九]- j 也 #1(*)(部21/峰6)}#7. + 0(聶^

(10.34)

(10-35)

где ери походе к порледнему выражошю мояользовано ооотношение (10.26). Подотамяя ()0.30} в (10.30), а последнее - в (10.5)f получаем

ПФс1и Я4Л + &с, 7) + у1п ай^-ЧфеВ + 0(冷QQ，36)

Положим 才88吁 J - 0. Тогда % 工 p и

Пр] ■ Яр] + 彳后 det(必Т[р]} + 0(紋),

где р - новотанта. С другой стороны, мм зноем, что

Пр]= -QUS),

S[p] = Л(1*хад^ = -ftv(p).

Следовательно,

"S) = 了伪)-字QT In <М5】[р]} + 0(冷.

Чтобы- шчислить второй яаен, заметим, что

In detpATSD = Тг 1п(/д7[р]}

=j -^4 Ш(Л|гД-1[р]|Л).

Следовательно,

US) = W) - ^ [譌 0T ш^д-1^ + 0(#).

(10.38)(10.38)(10.39)(10.39)(10.40)(10.40)(10-41)(10-41)ЮЛ. 0днм*тпем« эффм^мвимЯ пфтмцим

(10.38)

(10.38)

(10.39)

(10.39)

(10.40)

(10.40)

(10-41)

(10-41)

Прложим в плотности лагранжиана ) = р + tгде р - кон- стента. Тогда

J(10.42)

=-^ J d4* @厄2 + V*(^)]^i + ...,

毋『31势［寫*^毋『31势［寫*^=一[口2 + %)№"(* - У)・=一[口2 + %)№"(* - У)・(10.43)(10.43)где онущшш члв»м более выссшто порядка но ф(.Из огфедалвния Q027). ммеш

毋『31势［寫*^

毋『31势［寫*^

=一[口2 + %)№"(* - У)・

=一[口2 + %)№"(* - У)・

(10.43)

(10.43)

Следовательно,

Qi佈А-”)岗=V- V*S)，(10и44)

Подогвмяя это вырвжеткв в (10-41), получаем №)■№)+"闻履2 + 片(р)] + 0(紋)，(10.45)

где мы пер^цли в евклидово импульсное простравотас. Интеграл в (10.45) является расходящимся» Вводя импульс 晩езашя А| = Лг,находим

J丽Щ(^ +吁統卜①1 3 + А屮(]0 46)

+ 一扑。閉

Иоволзуя этот результат, пчлучаем

US) • ^<Р)++ Q(A>(1047)

где

Х"户备产回+ ^^一扛1n号](10.48)

M* ocqtotmm ЧШ. пропсфциошмьный A41nA. поскольку он не нли乐 ет на пщюжеаие мюшмума U(p).

Чтсйы выделить в 匕(р) расходящуюся и сходящуюся части, необ- тдимо ввести ноны It параметр и так, что

Тогда получ»

HSL 石 卜片一女厅 1n ^] + 第(-| + 吟｝ (10.49)

В згом выражшми перамit член расходится, а второй конечни.

ЮХ п«рморм«|ювка

1. Общая схема. Расходимость в Р,( р)должна быть устравниа ренормировкой* Чтобы можно бцло осушестнить перенсфмирсжку, расходящиеся члены должны иметь ту же форму, что и соответствующие члены в лагранжнаве» Другими словами, теория является перенсфмируемой, eq ли необходимые для устравения расходимостей контрчлены имеют тот же вид, что и члены в лагранжиаве.

. Для 0{р} общегот.е, пслйнома по р стедеав n,р}—吟

лином отепнии (и - 2), а расходящаяся часть 匕廿)-прлином степе-

: ни 2n - 4» Таким о^азом, теория является перниормируемоА при

2« ■ 4《界 или 界 W 4 Наш выбор 卩(р) удовлетворяет этому условию.

Чтобы определить контрчлвны, перепишем 口叩аметрн в £(*) в оле- дующем виде:

(10.50)

「А® 5а и &п= в теерии возмущений расходятся, a a t и т^ - конечные параметрам. Поскольку $а ц 師力 пошляются только в квантовой теории, 岁 предположим, что при разложении по петлям в низшем порядке I加〜犷~ 0(》(10.51)

、施、施约+叭+号丛.卜约+叭+号丛.卜(10.52)(10.52)，證 Запишем тенерь

、施

、施

约+叭+号丛.卜

约+叭+号丛.卜

(10.52)

(10.52)

M綻斗2•

В соотеетстауюшей клаымческой теории вакуумное значение поля равно

(10.53)(10.53)% =m1(3/々产.

(10.53)

(10.53)

Последние два члена в £{%) являются контр^лниами > Посколь-

】)Мм не укшмм перенормировку млиоес皆 функц>м, © учетом нотороВ аннетическмй член Имеет вид 1/2Z& 审脚中.Соответственна имеется конГр- мпм. обеспечивающий конечность полного пропагатора.. Диаграммы, вклад ю- торых «жрштт #тот контрчлен. относятся к авенсящМ от импульса собст- мшо-анвргетичоской части н содержат № менее двух замкнутых петоь Сле» Момтотьно, z = 1. Of ~

(10.54)(10.54)ку шш порядка Л, их просто можно прибавить к однопетлевому эффективному потшцивлу* Таким образом, имеем

(10.54)

(10.54)

U(p) * V(p) + *%(，) + 4f P ^ — p

Мы выберем ба и 5тз таким образом, чтобы сжомпен<жровяп> расходимости в 八(р)：

G За" А?

8川=8川=(10,55)

8川=

8川=

Правые части srrfx сюотношетий определены, естественно, о точностью до аддитивных, казечных в 1федалв Л ” ■严нов, во их всетда можно исключить плреопрвдол^ивм у. Таким обрезом)имеем

US) ■ У(р)+盘【LS)]2 -g+E

(10.56)

Минимум U(p) имеет место при р = <Ф>> где

(10.57)(10.57)(10.58)(10.58)0(«)) = 0・

(10.57)

(10.57)

(10.58)

(10.58)

Запишем

(S) = Ро + Pi,

「恥 Ро определено в (18.53). Переко(жефоваявя масса m и пвреж^мфо- ванная конотанта сзяэи а определяются выражениями

а ■ tr(p0 + pi).Q0・”)

Для дальнейших ссылок приведем въфажвни》для производных IX

tr ■ k + k^a^ 1口(片/炉)+ [(V^/n + 3atV*h ( * '

b ■ $ + 叫2{з 岡+ g，/y*) - g『p4/W)4 + 3},

гдек ■ А/32Mгдек ■ А/32M(10.61)(10.61)V* = aidV* = aidV*・S・V*・S・(10.62)

где

к ■ А/32M

где

к ■ А/32M

(10.61)

(10.61)

V* = aid

V* = aid

V*・S・

V*・S・

Массивный случай. Прелдоложмм» что m ^ > & Кроме тмо.

можно предарложить, что р2 « р。. Удерживая члены первого порядка no Р " Р прлучаем (полагая 方=

^ = -券g号+ °9円.(io«)

■С учетом соотношения (10.63) имеем

ffl2 = 41+^(1+b^) + °<a4(10.64)ffl2 = 41+^(1+b^) + °<a4(10.64)) м 嗚"[l -爵审 + O(a/)]，

ffl2 = 41+^(1+b^) + °<a4(10.64)

ffl2 = 41+^(1+b^) + °<a4(10.64)

(10.65)(10.66)(10.65)(10.66)

(10.65)

(10.66)

(10.65)

(10.66)

Безмассовый случай. В случае 勿 i = 0 зшревочн戒 шкаш м^с не существует и константа связи должна определяться в некоторой тфоизвольноИ точке ц. Из (10.60) находим

N)…諾(11+ 31啕.

Введем йовнК параметр ц0 рледуюшим о^аэом：

Его значения можно найти из уравнения

(10.67)(10.67)叫211

(10.67)

(10.67)

(10.68)(10.68)Определим теперь бегущую константу <жязи соотношением “S) = bS) = a+霊厄名.

(10.68)

(10.68)

Таким обраэш, параметр q равен значению бегущей константы связи в тачке р = % • Переписывая (10.60) в ниде

(10.69)(10.69). 13 ,尸

(10.69)

(10.69)

а(р)а (до)32M До

мы видим, что снова получили соотнснпение (9.141), но другим путем..

Наиболее лнтсфесшм для безмаоосюого олучая является вопрос, возможно .ли спонтанное нарушение симметрии. Иными словами, может ли <ф> быть не равным нулю ишщючительно за счет радиационных поправок? Если ответ на этот вопрос положителен, то мы имеем модель генерации динашпескоб масш, что очень интересно физически.

Из (10.60) полуявем

U'®U'®方卜*若卜e*8з)].方卜*若卜e*8з)].(10.70)(10.70)

U'®

U'®

方卜*若卜e*8з)].

方卜*若卜e*8з)].

(10.70)

(10.70)

Из (10.70) рледует, что существует значение <(р>, являющееся корнем уравнения

(10.71)

Но равенство (10.71) означает, что величина порядка Л в разложении по петлям приравнивается к величине порядка 1. Поэтому такой корень должен быть отвергнут, поскольку ршенстно (Г0.71) справедливо ние области пртменимости используемой аппроксимации»

Технически ярнчина пояаления ршенства типа (ЮЛ1) состоит в том, что два члена в (10.70) имек^т порядок а и а 3 соотаетственно и не могут сократиться одив с 即угш в то" области, в которой справедлива эта формула. Но мы можш модифицировать модель так, чтобы замшить а и аа д&уми независимыми константами связи. В этом рлу-

чае сокращение имело бы место, и происходило бы спонтанное н^уше- ние симметрии за счет радиационных поправок. Такие модели действительно существуют, и простейшим примером является "безмасссдаая" скалярная электродинамика,

10.7. Рашермал трансмутацмя

Коулмен и Е・ Вайнберг [116] показал^ что в перенпрмированноб "безмассовоЦС скалярной электродинамике скалярное поле может иметь пр嗨XOJWtg вакуумное среднее < 屮 >,несмотря на то что в классическом случае < r > = & Этот факт хфиводит к драматическим последствиям: варумное преднее <$> ншшает играть р<№ вшташю вошкш或 мшхювоб школы, и все частицы щжобретают динамические массы, пропорциональные < ф>. Таким образбм. безмассовой шщярноИ адектро- динамики на самом деле не существует. Зто явление называется "раз- мирной трансмутафв^"*

Мы дадим лишь общую схему показнтельотва Коулмена - Вайнб附 га. Плотности лагранжюна имеет вид

纟=Т戸冗у + К% - ^)Ф*][^ + iM〜]-у 9”广

(10.72) Для перенормировки амплитуды рассеяния скалфвых частиц друг на друге необходимо ввести константу сквдярнот самодейстния А , Мы немедленно избавимся от фазы ф переходом к унитярноб калибровке и не будем больше о Ней ваюмийать, поскольку в дальнейшем рассмотрении фаза не играет роли. Таким образом, будем рнботать с плотностью «играмжиана

毋=+ 2 eJjY + / %* А* -扌"，(10.73)

?е мы изменили шкалу + в I/夜 раз, чтобы облегчить сравнение с (1&1). На вектпрное прде надожим дополнительное урлоше %▲“ = &(1074)

Ву』ем рассматривать е как перенормированную константу саязи, пренебрегая контрчлеками, отаетственными за его ппренормировку. Ко* оганта же сЬязи 入° является затревочной и должна быть п^>енормч)о«

Действие теории имеет вид

S[4 Ф1 = ^ ^4^ 2 Д(О2 + ~力乂“ — J《口‘。—寸 #'] (16.75)

Прои нтегрировав в функциональна инт^рале по векторным полям, получим

®ф ^1 = х| (D4) 8[加4円expi 5(4, ф]т(16.%)

где S[p] - действие для скалярного поля. Каждая компонента векторного ноля при интегрировании дает множитель

[det(Q2 + /«^JTA _ е賦[n deHD2 + jj2)] не^ТТгШЬ + а* 产⑺

Поскольку независимых компонент три, имеем

W = ~ j 也(* S口％ + £ S') 一 ；乃 bfD2 + ~6)・(10,78)

Таким образом, эффективный потенциал для 會 в низшем порядке по 入0 имеет вид

US)若 Р* + ^J 縣皿紹 + 5(Ю.79)

Второе слагаемое отвечает сумме всех олкхгетжшх диш-рамм с внешними линиями ф t в которых векторные бозовы входят только во авут* ренних петлях. Скалярные петли рассматриваются как эффекта вышито порядка,

Палучим теперь формулу, анархичную(16.45). П^евормфованный эффективный потенциал (с тачнсстью до аддитивной константы) может быть определен из соотношения(]&56)：

US)-’伍+券卜;+m率)],屛80)

где A - б^ущая кстстанта с&аз(, взятая в точке шфмфаЕ«и ц. Несмотря на то что член порядка е * получается из одаопехлового вьпислешя, а члни порядка л - из д>евесяых диаграмм, эта члеш мяуг имен» срев- вимую величину, поскольку е и А - независимые константы вязи.

Дифф^ешрфуя соотношение (10.86% получаем

и@)= 4据 + 詣 1n 竇｝(18.81)

откуда пядучаем корень < ф> 6, удовлетворяющий уравнению

若1n笠十3

Уравнение (1&6药 справедливо в пределая ^зшеп&юсти исполкцемсго приОяЕжения. Мы можем его использовать для устршвния из выражений точки нормировки и. Шкала mqcc будет тогда задавиться вакуумным сфедиим <ф>, Подобно ьлюбому перенормированному параметру < ф> яв- .МЕсх сшободшм параметром теории. Эффективный потенциал может быть записан в виде'

USX券卜3 +喻).3)

Масса сжадярнМ чеютмщя тогда ряаяа

” -=君的咒(10.84)

Векгорюе шде обычшм образом приобретает массу t^^msM йггса):

(10.85)(10.85)e J Н穴0尸.

(10.85)

(10.85)

В поюдввнй массовой шкалы прн пер&юрмировке в случае, когда эахршмная массовая пкш отсутствовала* нет ничего необычного. Как известно, для того чтобы придать смысл непереиормировиия о б теории, необходимо ввести обрезание, Имиульс обрезания является «жрытоб шкалой ммпульоов в теории. При аереыормировке эта скрытая шкала заменяется тфоиэвошой конечной акмой в виде точки нормировки. В ^беэ- массовдй" теории мозкво ожидать, что все точки нормирсекм экв№ален- ТОы* Замечательной чертой рассматриеаемо* мсдаж является появлеюю выщ^шоК точки 唧 мировки вследствие генера^ш девамическ戒 мао： сыч Термин првзмйрнам травсмутац^я" отражает вознжжвеюю быйл^м. ■о* шфмировачиоб точки в теории, где затравочные массы отсутсгвова* ли: юлпульс о^езания перевоплощается <(,'грансмупфуетп) вфизичес^ю ма(х^.

.Согласно широко распространенному убеждению, размпрная транс- мутация имеет место в квантовое зфомодинамике с беамассош»! квф- ками. Аргумш1тация танова. "Безмассоваяи квантовая эфомодивамика должна хорошо описывать наблюдаемый ситтр масс обычных адронов, являющихся связанными сюстояниями почти безмасссдаых киарков и и d. Поскольку затравочные массы равны кулю, должна происходить размерная трансмутация»

[0・.・ НермнпмистскиЙ пример

Полезный пример размерной трансмутации в н^лятивистской квантовой механике исследи ан Торнш [117]. Рассыотрнм двумерное уравнение Шредингерн с потенциалом притяж^шя в виде 5-функции:

(10.86)(10.86)[-V2- Ао 82(х)]ф(х) = Е*(х)・

(10.86)

(10.86)

Из анализа размерностей следует, что величина Ао бе^азмернщ Таким срезом, гамильтониан не содержит исходного параметра размерности Массы. Несмотря ва это, может возникнуть связанное. состояЕФе. Рассмотрим $ (А) ■ фурье-обраэгр(ж):

(10.87)

(10.80)(10.80)Применяя преобразование Фурье к обеим частам уравнения (10.06) > 吟 лучаем

(10.80)

(10.80)

伏2 + 6)S(k) = А#(0), Й - -£.

Решение имеет вид

(10.89)

Интегрируя обе яаста соотношения (10,09) по А, плдучаем уолоние ва собстведдасе зиачени® энергии вязи В，：

5务]贵^(1090)

Интеграл в правой части расходится. Вводя обрезание при |А] ■ Л» получаем

(10.91)(10.91)1嚓哈+1)・

(10.91)

(10.91)

Таким образом, при больших Л имеем

Е = А%т#М・(10.92)

Eqjm раосматраватьЛо ^ неперенормцюванную константу связи.то мы должны потребовать, чтобы она зависела от Л так,中об& В оотава- лась конечной щад А , Стремящийоя к бесконечнсюти импульс обрезания переволлощается в продольную энергию с^язи В ■

Эи^шл связи фикоирует экергетичеакую шкалу аереиормироеан- ной сиотемы. Рассыотрнм, ншример, оостояние рассеяния

(10,93)(10,93)‘储炉值-2 +袭f^•

(10,93)

(10,93)

Интегрируя обе части равенства по А, получвем услоние

弘弘+(0)、 1 ++(0)、 1 +Ао^(0)Ао^(0)4"？ J ла 一月2十储‘4"？ J ла 一月2十储‘(10.94)(10.94)Вводя опятьВводя опять仪G)-仪G)-импульс обрезания А, находим 1пЛ2импульс обрезания А, находим 1пЛ2(10.95)(10.95)

弘

弘

+(0)、 1 +

+(0)、 1 +

Ао^(0)

Ао^(0)

4"？ J ла 一月2十储‘

4"？ J ла 一月2十储‘

(10.94)

(10.94)

Вводя опять

Вводя опять

仪G)-

仪G)-

импульс обрезания А, находим 1пЛ2

импульс обрезания А, находим 1пЛ2

(10.95)

(10.95)

Выражая Л из (10.92), получавм

(10.96)(10.96)<W(G) = Th [in 二哈"J,

(10.96)

(10.96)

Таким образом, перенормированная врлновая функция имеет ннд

®(k) = 4М &2(к _ %)_ ；[体2 . &2 + 履)Е，，； В] 1(〔°7)

а полное сечение рассеяния при энергии £ = Ло рашю

(10.98)(10.98)6m=暴[(周+m「・

(10.98)

(10.98)

Анад»з размерностей привел бы нас к выводу, что 3《。《~ Е -州,но на самом деле лривысоких зв^гиях (山£尸.

Г^ижная черта рассы атрнваем ой модели - возможность вменить физический смадл нмцульса обрезания А Рассмотрим 8・обр&珏澧 лотад- цидл как предел последовательное^ соотаетствующим образом выбран-

НЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЯМ!НЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЯМ![_У+ H“w(x).E 屮(К), где г I, и[_У+ H“w(x).E 屮(К), где г I, и(10.99)(10.99)卜入о/m2 (г V*I 0 卜 A。).卜入о/m2 (г V*I 0 卜 A。).(10.100)(10.100)В прямоугольной яме сущестеует связанное состояние с эеерт^ связиВ прямоугольной яме сущестеует связанное состояние с эеерт^ связи4В=两 е-мм (Ш у = 0.5772--.).4В=两 е-мм (Ш у = 0.5772--.).(10.101)(10.101)Чтобы поддерживать заданную ^ерию связи В при а - 0, г^бина потек* циецьноК ямы должна возрастать по законуЧтобы поддерживать заданную ^ерию связи В при а - 0, г^бина потек* циецьноК ямы должна возрастать по закону(10.102)(10.102)Таким образом, параметр Хо должен стремиться к нулк^ а глубина ямы возрастать медленнее, чем в противном о^чае энерра связи расходится, и гамильтониан не ограничен саизу. Импульс обрезвния Л н приведенном рассмотрении можно определить какТаким образом, параметр Хо должен стремиться к нулк^ а глубина ямы возрастать медленнее, чем в противном о^чае энерра связи расходится, и гамильтониан не ограничен саизу. Импульс обрезвния Л н приведенном рассмотрении можно определить какА —А —(10.103)(10.103)10.9, Применение к модени Вай1#ерга - СаламаЕсли хиггсоэсиое ноле в модели Вайнберга — Салама рассматривать как динамическое пАле, то появляются радшационные поправки к хиггсовскому потенциЕцу. Запишем хиггсювский потенциЕЦ в модели Вайнберга - -Салама в виде10.9, Применение к модени Вай1#ерга - СаламаЕсли хиггсоэсиое ноле в модели Вайнберга — Салама рассматривать как динамическое пАле, то появляются радшационные поправки к хиггсовскому потенциЕцу. Запишем хиггсювский потенциЕЦ в модели Вайнберга - -Салама в видеy® .竽d +*"+ 8叫y® .竽d +*"+ 8叫(10.104)(10.104)

НЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЯМ!

НЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЯМ!

[_У+ H“w(x).E 屮(К), где г I, и

[_У+ H“w(x).E 屮(К), где г I, и

(10.99)

(10.99)

卜入о/m2 (г V*

I 0 卜 A。).

卜入о/m2 (г V*

I 0 卜 A。).

(10.100)

(10.100)

В прямоугольной яме сущестеует связанное состояние с эеерт^ связи

В прямоугольной яме сущестеует связанное состояние с эеерт^ связи

4

В=两 е-мм (Ш у = 0.5772--.).

4

В=两 е-мм (Ш у = 0.5772--.).

(10.101)

(10.101)

Чтобы поддерживать заданную ^ерию связи В при а - 0, г^бина потек* циецьноК ямы должна возрастать по закону

Чтобы поддерживать заданную ^ерию связи В при а - 0, г^бина потек* циецьноК ямы должна возрастать по закону

(10.102)

(10.102)

Таким образом, параметр Хо должен стремиться к нулк^ а глубина ямы возрастать медленнее, чем в противном о^чае энерра связи расходится, и гамильтониан не ограничен саизу. Импульс обрезвния Л н приведенном рассмотрении можно определить как

Таким образом, параметр Хо должен стремиться к нулк^ а глубина ямы возрастать медленнее, чем в противном о^чае энерра связи расходится, и гамильтониан не ограничен саизу. Импульс обрезвния Л н приведенном рассмотрении можно определить как

А —

А —

(10.103)

(10.103)

10.9, Применение к модени Вай1#ерга - Салама

Если хиггсоэсиое ноле в модели Вайнберга — Салама рассматривать как динамическое пАле, то появляются радшационные поправки к хиггсовскому потенциЕцу. Запишем хиггсювский потенциЕЦ в модели Вайнберга - -Салама в виде

10.9, Применение к модени Вай1#ерга - Салама

Если хиггсоэсиое ноле в модели Вайнберга — Салама рассматривать как динамическое пАле, то появляются радшационные поправки к хиггсовскому потенциЕцу. Запишем хиггсювский потенциЕЦ в модели Вайнберга - -Салама в виде

y® .竽d +*"+ 8叫

y® .竽d +*"+ 8叫

(10.104)

(10.104)

пае 吗 Может быть как псложитольным, так и отрицательным. (Мн работаем в унитарной -калибровке, и поле р отличается ст пола в (6.32) множителем 他)Мн включим в рассмотрение талько однодетлевые поправки за ачет петель калибровочных векторных бозонов. Зффектив-

выи потевцигр! немедленно получается из (1&80):

u® .力+ ^ 02 +詣女《一卜相君，（10.105）

где суммирование по Р распространяется на все векторные бозоны, а именно 步+, Ж " и Z, Каждый векторный бозон благодаря хиггсовскому механизму приобретает массу

(10.106)(10.106)т；工 е：«>2.

(10.106)

(10.106)

Зто состношевие можно использовать, для того чтобы выразить кона такту саязк е?. Мы можем также переопределить ц так, чтобы устранить члены порядка р * в эффективном потенциале» Тогда палуцим

~ р2 + Крл

2m

3(10.107)

* = 64M(妙 ЗУ + 注).

Для "рсмзводннх Р(р) имеем

(10.108)(10.108)и‘е)° 疗р + 45^€ + 1n })， 〜>)н m2 + 12802G + In 4).

(10.108)

(10.108)

Если пренебрегать радшационными поправками, то необходимо ари- нять та < 0, чтобы имело место сяонтшшое нарушение симметрии. Ео ли учесть радщациовние поправки, то спонтанное нарушение о«мметрии происходит даже при т2 = 0, а маоса хитзадсжого поля ощ)еделяется обсйцжым вариантом формулы (10.84). Представим себе теперь, что та возрастает, начинав с нуля. Для достаточно мцдых положительных 加2 по-прежнему будет осуществляться слонтанное нарушатие тамметрии, хотя хиггссвская масса и уменьшается. Ерли продолжать увеличивать * то мы достигнем точки, в которой спонтанное нарушение симметрии исчезает, поскольку хиггсовская масса имеет в ней наименьшее воэлож- ное значение. Каиествемвое поведение U(p) для различных значений т3 показано на рис* 10・2・

РИСм 1。・2・ Однопетлевой эффективный потенциал в модели Вайнберга - Салама» учитывающий только замкнутые петли калибровочных бозонов. Приведены потенциалы дпл различных значений массового параметра та а потеть ель- ном члене пагранживна»

Из (IQ JQ8) находим ненулеаой корень <ф> , опре叫темый из у ранения

(10.109)

Для этого значения <$> имеем

u（s>）=

mJ н

(/”((,》= 8"州 © + In

(ЮЛЮ)

■ a扌^^'wwйaййв'畫,^墓lыи>iiiю1йм,'一 災

「ne 用口 - масоа хиггсорокого бозона. Понятно, что < 中> принимает наименьшее возможное значение при U〈< $>) >0. Следовательно, мы должны иметь Ь< ф> 2/нУ7, Отсюда возникает ограничение снизу на массу хиггсовского бозона [118рХ

Е J N 広%5 (6w4 + 巾力・(10.111)

Из (6.28) и (8。36> имеем

2 一 m0>2

(а м 1/137),

(10.112)

Ez/kw - sin 8*

Следовательно,

2而E2 v力々”】i3>

Используя значения < ф> = 247 ГзВ/с?, sg?帆= 0,22, получаем

Ен n 6,8 ГэВ./с2.

(10.114)

1)Этот результат был одновременно получан в работе [ 17б]- — Прим- "$р”.

Глава 11*

Аксиальная аномалия

Промсхожоонне аксиальной аномалии

Мы уже знаемг что для свободной дираковской частицы левое и правое хиральные состояния 丄 и А становятся независимыми в без- массовом пределе (см. (6.5))- Поскольку электромагнитное взаимодействие не связывает L с А (см. (6,3)), то можно ожидать, что такое же расцепление происходит и в случае зприжениой дираковской частицы. Эго, конечно, справедливо, если исходить из беэмассовой теорий, но если исходная тепрки - массивная, то связь между £ и Л сохраняется в безмассовом пределе во всех порядках теории возмущений [1191"・ Причина состоит в том, что даже в безмассовом пределе з&ряженнан дараковская иззхпа с заданно玄 смр0moe«ью мо жет перейш в ви”&ъное состояние с прапвеполегаой ашралыюстью, испустив реальный фотон. Этот эффект, как мы подробнее р<ссмотрам ниже, является физической причиной возшцшевения аксиальисй аномаш.

Безмассоность спинорной теорак формально отражается в инвариантности плотности лагранжиана относительно хиральных преобразований:

:削……婷).(li.t)

По теореме Нетер из хиральной инвариантности следует существование сохраняющегося аксиально-векторного тока, который обычно за・・ писывают в кали^бровочноиннариантной форме3*：

(П-2)

" Авторы работы [ 1 ig] ука^вают также, что безмассовея спинорнал з^пектродинамике является латопогнческой теорией- элементы S -матрицы боа конечны иэ-за ммассовых сингулярностей1- Чтобы устремить эти оннгупгфности, необходимо вычислить элементы S-матрицы для определенным обр^ом выбранных статистических енсамблей вырожденных состояний (а не для чистых состокиий). По，тоА причине бммассовав дире ко аская теория ecems должна рассматриваться как предел мвссиеной 190岡及

2)В овродменин токов не включены множит*!%, отвечающие нтрвнор- миромммым константам связи- Нвпомним читателю, что у = - В屮У3у3, • сказ$

f ”23 = 1 ‘ Эти определения стличаются вмаком ст используемых Адлером [1201

Используя уравнения движения для гейзенберговских полевых операг торов, можно вывести формальное операторное тождество

=(Ц.З)

m - масса, а 力-коральная плотность：

a=‘西2. (11.4；

Таким образом» можно ожидать, что j -* 0 при G. Однако это не так. Как будет показано ниже, более тщательный анализ приводит к "ниомальному11 результату

W =

где 戸口у 二4klyQR "о®，а а。- неперенормированная постоянная

тонкой структуры. (Операторы в формуле (11-5) - неперенормирован- нне полевые операторы.) Таким образом, ток /5Ц не сохраняется в без- Массоном пределе. Этот факт не противоречит теореме Нетер, посколь- ку 袋"吓戸 есть дивергенция некоторого вектора, и, следовательно, мо*“о определить новый аксиальный ток, который бы сохранялся. К сожалению, этот новый ток не явлиется калибровочнаинв^жзнтным и» следовательно, не может взаимодействовать с физическими полями. (Этот всхфос мы более пофоШо обсудим ниже). ПослещшЙ член в (11.6) есть аксиальная аномалин. Его возникновение отражает конфликт между калибровочной инвар<антностью и киралыюй инв^иаитностью.

В чем прачрна того, что формальное и "тщательное11 рассмотредия приводят к разным результатам? При обсуждении 8 гл. 9 поляризации вакуума мы узнали, что токи /ц =审у口屮 и /§" = ф/“У§屮 являются сингулярными операторами, поскольку 屮 умножается на канонически-сопряженную величину 屮* в заданной просграпстденновременной тоике. Как следствие этого некоторые формальные утверждения об этих то~ ках могут оказаться нев叩ними. Непример, при формальном использовании уравнений движения можно было бы думать, что 6廿/§» = 0; на самом деле ответом является величина типа « - Чтобы получить Праавльный ответ, теорию необходимо сделать хорошо определеаной, наложив дополнительные требования (такие> как услоане ^цПри= 0 для тензора, вакуумной поляризации). Конфликт между калибровочной мнва-

риантностью и хиральной инвариантностью возникает потому, что никаким физически приемлемым условием нельзя обеспечить одновре* менное выполнение равенств - 0 и а Аксиальная аномалия возникает в том случае, когда настаивают на калибровочной инвариантности, те требуют .Q. Опрандание такой позиции могут дать только зксп叩^ментальные данные.

Манипуляции с сингулярными операторами — вопрос очень деликатный. Для этого придуманы специальные мето吗 такие, как метод раздвижки точек, использование швинг^овского члена, члена типа ча威и, Т *-произведения. Для простоты мы не будем упоминать об их исполь- зовакш и стоощем интервг^юшегося читогадя к оба密м Адаера и Джакива ［药］・

11,2・ Троугопьная диа「.・ммв

Наиболее простое проявление ан скальной аномалии — треугольнан диаграмма:取期驱м© с замкщтой фермионнаЙ петлей, двумх векторными и одной окси альшивекторной вершинами. На ркс. 11.1 видно, что

РИС- 1,.1・ Тр«угштнме ямгршмы.

две диаграммы различаются только обозначениями внешних фотонов; и та и другая носят название "треугольная диаграмма". Адлер [ 121] и Белл и Джакив [ 122] первыми обнаружили такую аномалию, поэтому она называется также аномалией Адлера — Белла — Джаки ва.

Треугольная диаграмма появляется в различных физических тео риях. В кнашовой электродинамике это описание в наинмзшем порнд- ке рождения двух фотонов аксиальновекторным источником. В модели . Вайнб^)га — Салама она дает амплитуду низшего порядка виртуального процесса Z _ 2у, где суммируются вклады всех возможных фермионных петель, (Амплитуда соответствующего реального процесса равна ； нулю, поскольку состояние со ашном 1 не может распадаться на два ? резаных фотона [123].) В обоих случаях для треугольных диаграмм I； аозникаег одно и то же математическое выражение. Различие может 底. возникать только за счет разных констант связи, что иринодит к.отдй" 第 чию на мзЬжитель, а танже разных внешних линий.

JОпуская все койстанты ^язи и внешние линии, запишем для ,

I треуголмой диграммы

I阳，七2)u阳，七2)+ s0a^(k2t *1),(11.6)

I

J %0х(&，七2)

I(U・7)

考 Выражение (11.7) линейно расходится, во, как мы увидим ниже, сумма ' двух членов в (1L6) конечна*

Из калибровочной инвариантности следует

*1%^(*1» А) * 七2匕川&,厶)二 0-(11.8)

Формальное утверждение (11.3) засталяет ожидать, что

(*1 + &2)^мх(к], ^2)■ 2mvaP{klt 彩),(11.9)

где

30毎)=]券》伍j. / %不三作八: 一 m T

+ (自 о а =(ИЛО)

Пров^им справедливость этих утверждений.

Умножая выражение (11.7) на (勺 + к^г получаем

=［黑 4«+£二也电 六 作厂:-第0

След в (1L11) можно переписать в виде

(П.12)

После интегрирования по р" выражение (11.11〉должна дать поевдотен- аор. Таким образом, после интегрирования первые два слагаемых не дают вклада, поскольку каждое из них з^исит только от одного внешнего имц/льса, из которого нельзя сюст^ить псевдотензор. Последний член дает ненулевой вклад, и ответ совпадает с (11.9), Таким образом, в пределе 吁 0 киральная инвариантность восстал驶лхвается.

Подобным образом получаем

自%№隔'％)= i］禍TrQ + £ -加|『； М „，九力

Пусть

版⑴* Tr(h У。B-舟」e一加*力)(1L14)

Тогда

&工5修(&, &) = i j "莓 「Ba(戸 + m) 一 &(戸 + %)，(11.15)

Зто иыраисепие рнвко нулю, еслу два члена в прано% части имеют не более чем логарифмическую расходимость (в этом случае можно независимо сдвигать переменные интсгриронания). Но н действительности

эти два члена расходятся линейно. Заметим, что

(11.16)(11.16)卜P Fb式p + 0)= //p[%/p)+0"当沪 +一

(11.16)

(11.16)

где опущенные члены дак，т поверхностные интеграм, равнее нулю.

Но второй член дает отличный от нуля вклад, поскольку асимптотически

F§ ： р7. Таким образом,

(П.17)(П.17)k\%№，*2)•論(Аг - *i)A| dV^f^

(П.17)

(П.17)

Интеграл (11Д7) может быть вычислен после перехода в евклидово импульсное прострам ст но:

/ -。3廿［力映R = ia^c^ ［或E飞户/ -。3廿［力映R = ia^c^ ［或E飞户(11.18)(11.18)гдегдеia^b^^c^ I Л$Е”х(Рв)>ia^b^^c^ I Л$Е”х(Рв)>"е" d$E, РеНам понадобится только асимптотическое выражение"е" d$E, РеНам понадобится только асимптотическое выражение(11.19)(11.19)"，1a%У 久）："，1a%У 久）：屋抬蜉八“)二：―J ^c^p^ki + &)e"%6“.PL PE屋抬蜉八“)二：―J ^c^p^ki + &)e"%6“.PL PE(1L20)(1L20)Т^сим обраэш.Т^сим обраэш./ = -taE^E^E^Aj + 七 2)e气。§¥» dn/ = -taE^E^E^Aj + 七 2)e气。§¥» dn(П.21)(П.21)

/ -。3廿［力映R = ia^c^ ［或E飞户

/ -。3廿［力映R = ia^c^ ［或E飞户

(11.18)

(11.18)

где

где

ia^b^^c^ I Л$Е”х(Рв)>

ia^b^^c^ I Л$Е”х(Рв)>

"е" d$E, Ре

Нам понадобится только асимптотическое выражение

"е" d$E, Ре

Нам понадобится только асимптотическое выражение

(11.19)

(11.19)

"，1a%У 久）：

"，1a%У 久）：

屋抬蜉八“)二：―J ^c^p^ki + &)e"%6“.

PL PE

屋抬蜉八“)二：―J ^c^p^ki + &)e"%6“.

PL PE

(1L20)

(1L20)

Т^сим обраэш.

Т^сим обраэш.

/ = -taE^E^E^Aj + 七 2)e气。§¥» dn

/ = -taE^E^E^Aj + 七 2)e气。§¥» dn

(П.21)

(П.21)

Замечая, что

车车dDdDП3/时丸П3/时丸

车

车

dD

dD

П3/时丸

П3/时丸

получаем

/ = -2М%*б%е，& + 厶)е"%0“・(11.22)

Подставляя (11.22) в (11.17), оксжчателкяю получаем

(11.23)(11.24)(11.23)(11.24)七1工60（右，后）=一石了 "1以2七。0丛八

(11.23)

(11.24)

(11.23)

(11.24)

&〃® (k*2)=才玲叫~se“&〃® (k*2)=才玲叫~se“Подобным образом

&〃® (k*2)=才玲叫~se“

&〃® (k*2)=才玲叫~se“

Мн мдим, что калибровочная инвариантность нарушается.

Как и при рассмотрении вакуумной поляризации, мы можем обеспечить калибровочную инв^иантность вычитанием подходящего по линома по анешиим импульсам (разд. 9.3，Очевидно, что следующее переопределенное выражение для амплитуды：

%»(&,幻■厶削(紀坛)-^5 (^i -厶у “а(П.25)

калибровочно-инвариантно. Мы примем, что выражение (11.25) является правильным ответом для треугольной диаграммы.

Иоюльзуя выражения (11.25) и (11.9), находим

(*1 +4北小(自，毎)=(右，心)*点(11-26)

Выражшше〈11.26) не равно нулю при 加 т 0. Зт。означает, что треугольная диаграмма нарушает киральную ин вари ант ноет ь, если обеспечена калибровочная инвариантность. Последний член в (11.26) — акральная аномалия.

Заметим, что симметрична относительно перестановки анеш- них фотонных л^ний (Оозе-О4мметрня) и вномалия не зависит от т.

(11.27)(11.27)прей'прей'Треугольная диагремма зависит только от двух независимых импульсов 忆匕.Пусть

(11.27)

(11.27)

прей'

прей'

旷■&+*2尸・

арИарИИз лореиц-инвариантности и бозе«скмметрки следует, что Г

арИ

арИ

стаемма в ниде прежзведения ннв^иантной 中унмм на псевдотензор.

который может .лметь лишь одну из следующих форм:

3/%%,

2。麻У（七1

(11.28)(11.28)GcyUiyZw ■ "дХб^ЗвМ/厶", 七2自 f “…ks)*，h°。

(11.28)

(11.28)

Все возможности, кроме 口叩вой, отвергаются при наложении уелония калибровочной инвариантности

£」兀麻Н厶'容А* = &

Следовательно,

兀麻(紀 *2)= №・а»к，к岁q»虱片，(1L29)

Из тег。，что выражение (11.23) конечно, следует (если использовать (1125)), что R конечно.

Подобным образом

% 闻 ⑸ 7$心k，h飞5,上J,喲・(И.ЗО)

Таким обраэш, из (11.26) Получаем соотношение

小餡 *Л Т) = 2ms餡也2)+ 青、(11.31)

В пределе 0 функция R престает зависеть от t k22 ： 『RS，寸，号)й亲■(n.32)

Следовательно,.

兀卽也，^^3^2 Ё睜阳％2?3(11.33)

В безмассовом пределе весь вклад в ответ для тр^гольн戒 диаграмма дает аксиальная аномалия, которая прояаляется в ВКАе полюса 2 = О ("полюса аномалии"). Ниже мы дадим этому результату физическое о6ъясн№е. Земетим, что в соответствии с (1L31) "полюс аномалии" при 〃 = 0 присутствует всегда (незанисимо от т). Но он находится ниже физического порога д? = 4加？ и оереходит в физическую область ТОЛЬКО при m О,

11・3・ Радиационные поправки

Радиационные поправки второго порядка к треугольной диаграмме даются диаграммами Фейнмана на рис, 1L2. Адлер и Бардин [ 124] (см. также [125]) показали, что вклад этих диаграмм в акавдлы^ую аном^жю равен нулю. Они привели аргументы в пользу того, что поправки более высокого порядка также не дают вклада в аксиальную аномалию. Это приводит к замечательному результату-: последний член в (11.26) дает точное значение аксиальной аномалии в рамках теории возмущений.

Аргументы в пользу отсутствия аслада нысших радиационных поправок в аксиальную, аномалию ныглядэт следующим образом. Любым р& Диационнмм поправкам к треугольной диаграмме отвечает появление по крайней мере одной внутранней фотонной линии и двух новых вершин в базовой треугольной петле. Если регуляризовать фш)нный про пагатор (сохраняя тем самым киральную инвариантность ценой нарушения калибровочной инвариантности), то возникает конечный интеграл, в котором будут присутствовать по крайней мера два дополнительных электронных пропагатора на ффиионном треугольнике, обеш^цюающие сходимость. Следовательно, аномальные вклады будут отсутствовать, поскольку появится возможность сдвига переменных интегрирования. Единственаая диаграмма без на утренних фотонных линий - это база вая треугольная диаграмма; только она дает вклад в аксиальную аномалию.

РИС. 11・2・ Радиационные поправки второго порядка к треугольной диагра* ыв- Доказано, что аномаАхм этих диаграмм в окончвтепьном ответе сокращаются.

.^.—tli^frFfgt lfgia^ig»=g..^.—tli^frFfgt lfgia^ig»=g.РИС. 11,3, Поправка четвертого порядка к треугольной диаграмме: первая скелетная поправка»

.^.—tli^frFfgt lfgia^ig»=g.

.^.—tli^frFfgt lfgia^ig»=g.

Ввод важности этого вывода необходимо заметить, что поведенные аргументы нельзя считать исчерпывающими даже в рамках теории возмущений. Дело в том( что при доказательстве использовалась к备 либровочно-неинвариантная процедура обрезания. Неясно, зависит ли ответ от процедуры обрезания. Вычисления во втором порядке не могут служить решающим подтверждением, поскольку в них возникают только некоторые типы поправок, а именно собственно-энергетические и ВЕ^нииниые вотавки. Таким образом, отсутотвие вклада в аксиальную аномалию может оказаться не более чем отражанием 呻 енормируемо стн квантовой электродинамики. Чтобы действительно проверить оирЕЬ ведлиноотъ приведенных иргументов, Н8бм)димо провести вычисления в детв呼том порядке, где появляется новая скелетная диаграмма (рис. 11.3). Явные вычисления в четвертом порядке до сих 口ор не про ведены.

11Л. Аномальная раоходимость кирапьного тока

Мы можем вывести соотношение (ПЛ) из (11.26) следующим образом. Калибровочно-инвариантная амплитуда 丁色^ может быть представлена в вида матричиого элемента от н卽ере^рмированных гейзен' берговских операт^юв / J между физичесжим вакуумом и физическим авухфотонным состоянием:

(11.34)(11.34)"2北削(&,*2)* 信I,叫 &； 61/*(0)18,

(11.34)

(11.34)

где подразумевается, что т)авая часть вычисляется в низшем порщще

по • Соответственно имеем

一%2伙］+厶)产几削的,材=阳，a;毋 砸％(0)10).(u.35)

Результат (11.26) воспроизводится, е&ли принять

#%(*) = 2mb⑴ + 言"3厶心)，(U.36)

где

АЦ%(11.37)

% = %2/4s

Непфенормированная константа связи % в (11.36) заменяется пронормированной, если все операторы заменить на перенормированные. Отсутствие радиациовиых поправок к (11.26) ознамег, что соотношу н%е (И.36) является операторным тождеством, справедлишм но всех порядках теории возмущений.

Замечая, что

居巨 2“得4a"4*(11.38)

мы можш определить новый аксиально-векторный ток

5 ь为"2万，(11.39)

у довлетвор яющий услонию

8/b=2mM(1L40)

Следователь^ ноный ток /§" сохраняется в пределе m -* 0. Новый ток не является калибровочно-иннариаитным к, рлвдшателыю, не макет взшмодействовагь о физическими полями. Но соответствующий за« РЯД Q§ (интеграл движения в пределет* 0 благодаря (11.38)) является к ал^роводно4f нв^)и аиг ным：

(П-41)(П-41)

(П-41)

(П-41)

Калибровочное прео^)азование А ♦ А + V ・ х приводит к появлению по-

верхностного итггеграла, исчезгаощего на бесксиечности. Таким о^азом, з叩ян 0g может быть физической величиной, В самом деле,

【0，少(к)]= 一力收工)，(11.42)

откуда следует, что является сенатором инфишп1 езималынях ки- рчлъвдх т^еобразонаняй:

屮 Т (1 - igy$)W =少 + M[0s,以(11.43)

Заметим, кстати, Что ситуация изМейится, если 牌 заменить неабелевым полем В этом случае в соотношении (11.36)片”尸 даме* нхетсл на % 4 % 卩[126], Величина в (11.36) эам^яется выражением (5.6>. Если продолжЕгь использовать определение (11.39}, то рд не будет более инвириангннм относительно "больших" калиброно， ннх преобразований ( разд. 8<6) из-за наличия топологического з叩нпа. Физические следствия 3w。 факта обсуждгаотся в разд. 12.6.

11.6. Физическое обмен *ние акоиапьной акомвлия

Чтобы выяснить п^шчину возникновения аксиальной аномалии, рассмотрим ^йездющей процесс;

Аксиально-векторный источник — два реальных фотона* амплпудв кот^хх^ в низшем порядке отвечает тр^голвдж даасрамма.出 будем изучать "абофб^к^ю ч^сть” [127], котфая поучается п[м "разрезании4 диаграммы, к ж показано на рис, 11.4,况。означает, что рйреэав- ные электронные пропагаторы заменяются их мнимыми частями. Мнимые части пропагатора — 8 •функции, которые перемещают электроны на массой ую оболочку. Электрон, распространяющийся в направлении, обратном указажому на электронной линии стрелкой, по определенно является позитрешом. Таким образом, абсорбтиеная часть равна произведению амплитуд двух физических процессов：

D источник - 二

Ответ для траугольной диаграммы во ост ни авлив ается по известной абсорбтивной части при помода дисперрвонных соотношений ” ・. Абсорбтивнан часть определяет мнимую часть инвариантной функции

D Сведения о дисперсионных соотношаннпх и аналитических свойствах Диаграмм Фейнмана можнб найти в работах [128. 177* ].

外大"外大"

外大"

外大"

РИС 11-< Абсорбтивиая часть треугольной диаграммы получается разрееа- ниам диаграммы»

А(д‘)в (】】N9)・ При комплексных значениях аргумента

(11.44)(11.44)叫LF

(11.44)

(11.44)

плюс возможные "нычитательные члены", являющиеся полиномами по s ・ Из равенотва (1125) мы вддим, что ^» и го« имеют омако^о абссфбтнвную чаоть, которая является однозначно определенной и к» пцбровочноияв^кантно丸 Аксиальная аномалия возникает из-йа того, чт° аброрбтивная чаоть не исчезает в пределе 加一 0. В самом дел% из (П.32) мы видим, что

”45)”45)mК⑺^一打⑷).

”45)

”45)

Наша цель ■ дать физическое объяснение этому разультагу. На первый взгляд кажется, что абсорбтивнан часть исчезает в

РИС・ 116 Промежуточное виртуальное ссстовше, которое дает вклад в аб- сорбтивиую часть треугольной диаграммы. Аномалия возникает из-за того, что，безмассовом пхд* виртуальное состояше может ствъ реальным и Дать нвиулввой вклад на пороге- В системе центра масс 打"(з向.*а好* 卜

безмассовом пределе из-За хиральной инвариантвостн. При этом можно рассуждать следующим образом.

《《Прейдем в систему центра масс двух конечных фотонов. В исходном процессе аксиально^ежторный источник должен произвести пиру е*е— с полным сшивом 0, поскольку состопние со едином 1 не может распадаться на два реальных фотона [123]. В этом случае иоточник должен содержать произведение ・ Тогда и е- дмжны иметь одинаковые спирвльности и, следовательно, противоположные хиральности в безмассовом праделе. Поскольку Ryg 2 上 в безмассовом пределе процесс запрещен.

《

《

На второй стадии пара аннигилирует с образованием двух фотонов через промежуточное ни рту альное достояние; олю из таких состояний изображено на рнс. 11.5. (Другое возможное промежуточное состояние получается обращением спиральности виртуального электро

308308Гла№ 11

308

308

на, а остальные — заменой выходящего виртуального электрона входящим виртуальным позитроном 4 Переход в вершине В разраден, а в вершине А запрещен в пределе т-* «♦ Причина состоит в том, что в вершине А требуется изменение спиральности или, что то же самое, изменение киральностм в безмассовом пределе, а в электро магнитных взаимодействиях хиральность сохраняется. Для всех остальных промежуточных состояний ситуация та одна из вершин разрешена, а /фуган запрещена. Таким образом, процесс в целом запрещен.

Но мы рассказали еще не вса При т-* 0 виртуальное состояние второй стадин процесса становится реальным, поскольку в этом пределе переход + у уже не запрещен законом сохранения эн^)гни-импульса. Если электрон имее-т не рниный нулю импульс р, фотон может испус* каться только вперед, но если р 0, фотон может испускаться в любом направлении. Тжим образом, вместе с матричным элементом стремится к нулю к энергетический. зн£мена.тель» и они компенсируют пруг Друга. Ситуация не так проста, кас кажется на и孚вы兑 взгляд, и мы не должны проявлять поспешность при переходе к пределу 加今 0.

Мы оценим абсорбтйвную часть», используя следующее грубые аргументы. Матричный элемент исходного процесса (источник -• е+е—) содержит множитель 口 Матричный элемент финального процесса (e+j—f уу) при суммировании по всем возможным промежуточным состояниям равен умноженному на mфейнмановскому пропагатору виртуального электронап Перемножим эти матричные элементы и проинтегрируем по всем нал равлениям вылета одного из конечных фотонов. Таким образом, имеем

Im R(o>, m)a —j dfcos 6)(卩一汙一疗 3 > 加)，(1L46)

Im m) = 0 (<w < m),

「де 3 — энергия в системе центра масс одного из фотонов, 0 — угол в системе центра масс, под которым излучается фотон, р н 储■ 4векто» ры，определенные на рис, 11.5. Множитель 1/з? выписал из соображе- ний размерности. Этот множитель определен с точностью до констан- ты, поскольку в задаче нет /фугого параметра размерности энергии, кромет. Чтобы производить сравнение с (1].45>, заметим, что иниари- антная масса системы из двух фотонов равна

Т = 4必(П.47>

После небольших преобразований получаем

(Р -火О?—加2 = —2р . &(Р -火О?—加2 = —2р . &—2з? 1 -—2з? 1 -1/2■COS g -1/2■COS g -(1L48)(1L48)

(Р -火О?—加2 = —2р . &

(Р -火О?—加2 = —2р . &

—2з? 1 -

—2з? 1 -

1/2■

COS g -

1/2■

COS g -

(1L48)

(1L48)

Прежде чем переходить к взятию ннт^рала, посмотрим, компенсируется ли убывание матричных элементов в числителе убыванием эн^гетииеского знаменателя. Рассмотрим сначала кинематическую облкъ m/w« ] к 0 « L где превая часть сосннМюшя (1L48) принимает вид

РИС- 11・6・ Абофбтивная часл-b треугольной диаграммы- Площади под »фиаы- ш колеты при m- 0f сладоааталЬно, они стремят^ к 5(з 2) при 6

Подынтегральное выражение в (11.48} становится пршюрцнональным

(加/砌‘_ ]("0) 夕+ (加/®)2何…10 (8*).'丄

После интегрирования по углам получаем нуль. Следовательно, в этом случае компенсации не происходит； абсорбтимая q阿ь исчезает при т-* 0 для любого надпорогового значения 曲

Рассмотрам далее пороговое значение п В правой частя (11.48) получнем - 2 а зависамость от 0 исчезнет. Таким образом, л* 0 энергетический знаменатель рвоходится как т-2 и компенсирует вклад матртного элемента. Мы предполагаем, что абсорбтмвнм часть имеет максимум при порогопой энергии и расходится в безмвооовом пределе (из-за множителя к?, появляющегося из ооображемий размер* ност>0.

Подставляя (11-48} в (1L48}, получаем

Im R(叫 m)=C^-^j，П 1+；1-疗/a 中(U30)

где С - констшга. Дет альные вычисления показывают, что этот ответ Правильный [127]. На рис. 1L0 приведены графики зазисммости 】тК от со2 для различных л Можно видеть, что

Im R(叫 /я)工 Const. 6(®)(11.51)

Это соотношаше подтв^зждает (11.4$.

Поведение R можно лонегь нс точки зрании аналитичеосих свойств диаграммы. Из формулы (11.31) видим, чг。аномалии проявляется в н% личии полюсж у R при д' = 0 с фиксированным вычетом (аномальный полюс}. Этот полюс соприкасается с физической областью да > 4M только при * 0, Если m отлична от 0, полюс остается, но физическая область отодвигается от него. Присутствие полюса проявляется в этом случае косвенным образом 一 возраставиам ЬпЯ вблизи норма.

Сакращ«ни« аномалий

По аналогии с вершинной ф^паший Г"®】, ％), когорт р во смаривалась в разд. 9.2. определим аксмалыю-векторную вершину Р J (pt, pQ как сумму всех сввзных диаграмм Фейнмана (с опущенными внешни* '

мн проп^аторами}г описывающих рождение фермион*ангиферлионной пары аксмально-векторным источником. Некоторые из этих диаграмм приведены нн рис. 11,7, Особенно интересна последняя диаграмма, которая является паномальнойп б том смысле, что содержит треугольную аоддаагршму. Диаграмма лога^ифмж^ски рвоходится (даже если трвугольнан поддиаграмма конечм叫 поскольку вклад треугольной поддиаграммы лииейко растет с ростом внешних импульсов этой поддиаграммы. Рвоходимость аномальной диаграммы делает J"' неперенор- мируемой.―

Напомним, что перенормируемооть еввзанн с некоторым скейлин* говым свойством, таким, например, как (9,50) для Г ^позволяющим вычитать расходящуюся часть фейнмановской диаграммы и переоире- делять операцию как бесконечное изменение ашалн. В квантовой “弥. тродинамике скейлинговые свойства "нормаяьйой" дшгрлмл Ф^амана

РИС- 11.7、Диаграммы Фейнмвнв для акснапьно-векторпой вершнккой функции. Поолзднпя диаграмма паномапьна9, так как имеет скейпингоеыо сюйстеа* отличные от сюйств остальных диаграмм, что приводит к наяервиормируемости^

d--¥/

PHC； 11.$. Бесконечный нвеарсмормируемый вклад в рессеянии веектронв на нейтрино в модегм Варберга — Салама. Для перенорм叩уемости теории необ° ходимо хо1фащвеие аксиальных анометй при сумшровении по всевоэмож- ным тр«уг1Йъным фермионным петлАм.

оороделяются тем, что с каждой вершиной связаны две электронные аин必,одна фотонная и мноимтельТреугольная диаграммаимеет

другие скейлинговые свойства, что можно видеть из (11.36). В этой формуле первый член нормальный, а аномальному второму члену отвечает диаграмма Фейнмана, в которой две фотонные линии присоед^ н&ны н-од^бй вершине, несущей множитель е： . Но означает, что аномальные диаграммы в 展 ведут себя не так, как нормальные, и нельзя однорремеано устранить расходимости нормальных и аномальных диаграмм. Следовательно,展 расходится.

Следует Заметит瓦 что зависящая от масал часть треугольной диаграммц перенормируала обычным образом. Аномальная часть ни* граммы» ра^ушающая перенормируемость, не зависит от массы.

Расходимость J" в квантовой электродинамике не приводит ни к каким следствиям, поскольку в этой теорда Г6M не является физической величиной, Цо в модели Вайнб^га - СаламаГар шляется физической величиной и появляется, например, в диаграмме рис. Н_8, которая Дает вклад в амплитуду е - vрассеяния. Хотя 9т。диаграмма высокого порядка, она привела бы к разрушитальиой силы утверждеаню о бесконечности полного сечатя. Но нужно отсуммировать вклады всех возможных ф^мионных пет№・ Как мы ушихм ниж, щм сложении вкладов чао тиц первого псюления е, v,必 d аномальные вклада чудесным образом сэ^

РИС, 11.9. Сокращение аксиальных аномалий в виртуальном процессе Z-* 2/ в мод вен Вв№берга - Салама.РИС, 11.9. Сокращение аксиальных аномалий в виртуальном процессе Z-* 2/ в мод вен Вв№берга - Салама.

РИС, 11.9. Сокращение аксиальных аномалий в виртуальном процессе Z-* 2/ в мод вен Вв№берга - Салама.

РИС, 11.9. Сокращение аксиальных аномалий в виртуальном процессе Z-* 2/ в мод вен Вв№берга - Салама.

щаюгсЯр и остается за叫^щий от массы перенормируемый йычет. ПоолвдмЙ имеет таюй шссжий ш^ядсж по константе связи, что в 1факгиче(жих ючио лениях им можнд пренебречь-

Перенумеруем вое возможные 中ермпоны, пропускаалые через треугольную петлю, индексом п и обозначим через /\§у вклад к* 1Ko фермиона. Toi'да амплитуда виртуального процесса Z 今 уу равна

Е 2? (<2r - 編，(11.52)

где Q“ - электрический заряд, a Q%〃 и Q£n - праш^еи левые нейтраяг ные заряды n-го фермиона. Соответствующие вданто&ае числафивед»- нн в табл, 6-2- Используя соотношате (11.26), получаем

(1153)(1153)q»%“ м 2 ? Q『(Qk - QL)皿嘴

(1153)

(1153)

十鼻&以2“6“灯? Qj (以_ Ga.

Последний члён в этом равенстве соответствует вкладу аномалий и.не зависит от массы. На рис, 11出 приведены соответствующие диаграммы для чйстиц первого поколения, из которых получаем

Е Qn (QL - Qk)〃 =[0+1 + 3(-1 + i)] = 0.(11.54)

"sin

vena

Заметим, ^。вклад каждого кваркового ^юмага должен быть утроен с учетом цвет свой степени зободы. Таким образом, вклад аномалий сокращается для любого значеаня угла Вайнберга, и "а'и перенорм» руема обычным образом.

Возможные треугольные диаграммы в модели Вийнберга — Салама отвечают процессам Z - у ~ 丛 т. д, Чтобы теория была 吟 ренормируемой, аномалии в этих диаграммах должны сокращаться. В этих более общих диаграммах фермион может менагь иромат при движении по треугольной петле, так что ф^мионные пропагаторы вдоль петли могут содержать разные мвосы. Поскольку аномалии не зависят от мвос, их сокращение зависит только от квантовых чисел фермионов. Для этих процессов, в частности, условие сокращения аномалий имеет вид

Тг［（匕匕 + 匕匕 У，］ = 0.（U55）

где 乙，％ 亠 зарядовые матрицы, появляющиеся в векторных вершинах, а 4 ■ зарядовая матрица аксиального зеряца. Вместо того чтобы изучать отдельно каждый конкретный случийр сформулируам общее прави* ло для сокращения авомалиЙ.

Рассмотрим произвольную калибровочную теорию. Фермионный мультиплет обозначим огол&юм 屮.компонентамп которого шляются . дираковские спиноры. Сокраняощиеся токи, азаимаде^сгвеющие с лмбровочн&мм полями, имеют вид1

/』М（11,56）

где j （а ,】/V） ~ генераторы калибровочной группы, оредставлен

ные матрицами, действующими на 屮.Если праше и лкые номпоненты 屮 независимо преобрезуются под действием ореобрэзовенмй из кали* бровочной группы, го гжераторы t『Ае靑сгну^ЩИ® на п^вую и левую компоненты, представлены разными матринамп q . В соответ- стван с этим запишем

// = +而*La+ 力）3 + +打*4Л（1 一力）中.（11,57）

В любой треугольной диаграмме, в которой этл токи учвотвуют в трех вершках, фермионная петля должна быть илн лолностью левой, или полностью оравой, поскольку связь между прашми и л^ыми компоне»- тамм отсутствует. Если появляется кака»то лкан петля, то должна появлагься и соответствующая праваяр вцлвд которой обличается только

знаком в вершние уНу§. Таким образом, условие сокращения аномалий в калибровочной теории является выполнение для любых с, 6, с равенства

"НН,Н}#} - Td«F,个}小卜 Q. (1158)

Разумеется, в теории могут быть и другие сохраняющиеся токи (налрм。 мер, связанные сдакалибровочными глобальными симметриями), привод ашие к появлению аномалий. Но пртсутствие этих аномалий не делает теорию непаренормируемой, так же как наличие аномалий в не имеет отношения к вооросу о переаормируемости. квантовой электродинамики.

Проверим равенство (】】.58) на примере модели Вайнб叩га 亠 Салама В этом случае имеются 4 генератора % f* (А ■】,2,3) сосвсйствами

(И-59)(И-59)(11.60)(11.60)Dm』* а

(И-59)

(И-59)

(11.60)

(11.60)

Тт t0 = Тг « 0.

Напомжм, что 精■0,

й обе компоненты 耳ж)го дублета имеют одинаконое ^0- Легко орове- рить, wo как для лзго, так и для оравого представлений {шраведливы соотношения:

Тг[{",小

14{/,间=0,(1L61)

17(价2) = (J.

Единственно, что еще осталось проверит^ - значеане следа с： . Прямом вычислениам с использованием сведений из табл, 62 получаем (с учетом наличия у кварков цвета)

Тг(讣)3 = Тг(/0^)э = Т.(11.62)

Таким образом^ в модели Вийнб^га - Салама аномалии сокращаются. Достаточными условиями сокращения аномалий являются неэавн*

симосгь аномалий от масс и отсутствие радиационных поправок к ано-

малним. Таким образом, сокращение аномалий следует из имеющегося набора квантовых чисел в фермионном мультиплете.

Поскольку мультаплетнан структура всех трех поколений в модели Вайн0 叩га - Селама Спивакова, все аномел ни сокращаются для каждого поколатя. Необходимость таких сокращений является наиболее сильным теоретическим аргументом для обоснования стандартной структуры поколений. Эти соображения заставляют с большой до』嘲 уверенности пре/шолагать существование еще не открытых частиц третьего поколения, т .е. t. В общем случае требование отсутствия аномалий на- кладывает сильные ограничения на возможную структуру физической теории [129L

Принцип ттХофта

С увелич即ием числа известных кварков и лептонов естественно задаться вопросом о том, не состоят ли они из чего-то еще более элементарного. При размышлениях обычно, истюльзуют тот язык, которЗ знают. Поэтому неудивительно, что первая мысль, которая приходит в голову, - ооставить их из других фермионов, например фреонов*11?, Первая загадка, с которой стелкиваются нн этом пута, - вопрос о том, как электрон может быть таким легким, имея столь малые размеры, Предположим, что электрон является связанным состониием двух без* массошх преонов, связанных на расстоянии портдаа радауса ^л^орона, который экси^иментально ограничен сверху знач^шш а = 10-16 см. Иетуитивно можно ожидать масал более о^^Ю6. Если картина

связааного состояния качествеано правильна, должен существовать некоторый принцип, благодаря которому Мааса электрона уменьшается. В качестве такого принципа т'Хофт [ 131] продолжил киральную инвариантность и сформулировал его так：

Сосяасяал частица должна аоспроиэаодиглъ аксиальную даолшлкю cdxz фермионных cocnaJW 紡典

Йринцип кажется оченидиым. Мы знаал, что электрон должен иметь аксиальную, эхомелию, которая в соогавно й модели должна возникать на уровне частед, из которых он состоит. Но следотвия этого щ)инии- па нетривиальны, как детельно обсуждается ниже. В кратком изложении П{шнции работает следующим образом. В идеелизированном предельном случае безйасссжых преонов аномельный полюс (который независимо

О Это название предложено н работе [130]<

от масал всегда локелмзован в точце q2H 0) находится в физической области. Если преоны появляются только в связанном состоянии и нэ- наблюдаемы, аномельный полюс может появиться только при неличии связаШого состояния, которое, следовательно, должно иметь нулевую массу, Если киральная симметрия не является (шоегэино нарушенной, мы отождестанм это связанное состояане с эластроном. В этом случае н аблюдаемукгмассу электрона можно приписать тому, что преоны массиши (благодаря чему бы то мм было). Хотя этот принцип не позволяет вычислить массу эл эстрон а, он дает объяснение ее малости.

Чтобы обсудить принцип т*Хофта более детально, примем конкретную модель для преонов в надежде на то, что полученные результаты будут иметь большую общность. Допустим, что преонам отвечают дмраков- окне полявз аим од ей ст ву ющие с келибро во чными полями " с соот

ветствующими генераторами La простой калиброночной группы, скажш SU(N) • Плотность лагранжиана имеет вид

где необходимо перейти к пределу к -* 0- Модель имеет ту же структуру, что и квантовая хромодинамика (КХД). Возможные различия заключаются только в выборе келйбровочной группы и мультиплетной ф^мионвой структуры. Мы будем эксплуатировать это сходство, истюльзуя терминологию КХД,

Так же как для квирков в КХД, для преонов существует конфайн- меиг. Таким образом, должна иметь место размерная трансмутадия, благодаря которой возникает радиус конфайнмента — размер электрона Теория должна быть асимптот и чески свобсдиой, а это означает, что число ароматов преонов ограничено. Для простоты рассмотрим один аромат преонов в фундаментальном представлении SU(N), Вэтой модели есть дие некалибровочные 04MMeгрни — электро магнитння" 0(]) и кирельная 0(1), которые предполагаются ненарушен- ными1》・

В этом отношении модель отличается от КХД, где кнральная симметрия предио лагаете я спонтанно нарушенной и лоянлватся псевдоскалярный голдсгоу- иовскиЛ 6090H. который отождествляете я с пионом (резд. 12・4). Мы нв понимаем из первых принципов, почему так должно проиоходить, нв можем сказать, какие отринимения нужно нааожить ие модель преоноаг чтобы в ней не пронс- ходипо сиоитанного нарушения симметрии.

Мм отаечают сохраняющиеся токи

/" =力m也

У = 8% 屮.

⑴.64)⑴.64)к*ч*а''、вз: ?к*ч*а''、вз: ?Хотя в рассматриваемой модели эти токи не взаимодействуют с физическими полями, мы можем вообразить себе аключение связанных с нм мн источников и измерение трехтоковМ корреляционной функции

⑴.64)

⑴.64)

к*ч*а''、вз: ?

к*ч*а''、вз: ?

⑴.65)⑴.65)Са^(х,у) = i(O|7ja(x)/Hj)/^(O)fO>-

⑴.65)

⑴.65)

Эта корреляционная функция описывает вакуумные флуктуниии системы в отсутствие внешних источников. Существование аксиальной аномалии означает наличие определенных корреляций вакуумных 中』укту・ ациЙ /а( и /川 ,взятых в различных Гфостранствепю^ременшх точках^ Абсор&гивная часть % 以 содержит «ф^машпо о физических возбуждитях в системе, которые могут передавать сигнал из одной точки в другую. Таким образом,-助｛утреннее свойство преон，，

ной системы.

Мы предполагаем, что поаедение С^ ° 从 на малых расстояниях можно исследовать, изучая калибровочные взаимодействия по теории воз- мущевий и рассматривая преоны в нулевом порядке теории возМущвий как свободные частипы. Это [фещюложение совпадает с прешхлол^ием, лежащим в основе партонной модели в КХД. Поскольку о^жжние кон- файнмеата иэ первых принципов отсутствует, мы не,имеем доказательства справедливости исходного предположения. Но можно выдвинуть следующие правдоподобиые аргументы：

Благодарв асимптотической свободе преоны должны каэатьси свободными частицами перенес чнкам вэвимодейстаия4 передающим импульс, много больший шкалы конфайнмента,

Асимптотически свободная теория возмущевий в КХД привела к предсказаниям, соглесующимся с экспериментальными данями.

%A仕1，①)u声%A仕1，①)u声(1L66)(1L66)Согласно этому предположению, фурье-образ、$“ для асимптотически больших импульсов определяется обычной треугольной хмаграм* мой с преонами в фермионной петле:

%A仕1，①)u声

%A仕1，①)u声

(1L66)

(1L66)

『Re£]T8,k2Tg. Заметим, что асимтотическаа об лесть вкДЕает

точку (к】+ к?/ - Ои, следовательно, шюмальный полюс. Множитель% отвечает числу преонных "口ветоз". Предполагая, что радиационные псшравки отсутствуют, мы примем, что выражение (11.00) справедливо во всех порядках теории воэ^щшй по камбрсвошА кснстанте(шз< g •

Напомним, что выражение (11.00) порчено 吁 обеаючеюм %лу ManwBKtf симметрии У 0) ценой нарушения кирадьн曲 U(l)・ В данном Qjyqae в этан нет нео&одамоста. К щ^всй часта (1L00) мы можт ц«ба- вить полином по 匕“” не изменяя физического содержания, так что для абсорбтивнМ части

АЬ 7；蝕 в 6(g2).(Н 67)

Это рФенсшо иетриащллб поскоя^ физически сбл80rb для безмас- совых прионов в асимптотике ограничена нераненством д'》0. Точка д' = 0 лежит как в асимптотической области, так и в области конечных импульсов. Таким о^азом, поучив соотжшения (11.67) в аотмгтготео кой области, мы будем продолжать исиользовать его 口” конечных импульсах. На самом деле выражение (1L00) для амплитуды ГцЬ (жраведливо для всех %поскольку его общаи форма (11.29) диктуется соображениями симметрии.

Дальнейшие рассуждения базируются0 на двух оредположениях: а) для преонов имеет место конфайнмент, б) отсутствует спонтанное на- рушеиве хиральной симметрав. Предположение о конфайнменте означн* er. что в области конечных ампульдов пре(жы не существуют как физические состояния % следовательно, не. могут дтать вклада в 86copб> тивную часть Tqeg. Поэтому должны сущесфсватьфиэдчесжие состояния, которые дают вклад в абсорбпФную часть. Поскольку абсор&шв* ная часть отдаша от нули только при д' = 0} свкзааны$ состояния до л ж им быть безмассоными,

Эти беэмассовые состояяия не могут иметь спии 0, поскольку, если бы в модели 弘мели济 тасие часлш, то это бнжгоддст^новские

бозоны, появление которых саязанб со спонтанным нарушение曲 симметрии* Выше мы оредположили, что в нашей модели слапвннво нару- шатл симметрии нет2'.

D 5оле детвпьное обсуждение см・ в работе [132 ].

Аномальному полюсу не могут отвечать частипы со овдюм 1 или более высоким спином, поскольку такие частицы модуг взаимо^ство- вать с внешними источниками только через эффиктианое взаимодействие с произво皿нми. Соответственно их вдладв абсс^&гивдую часть на пороге равен нулю, В то же время мы знаем, что абсорбтинная часть отечна от нуля тальк。на пороге.

Остается един ст ее ан ая возможность — безмасссвое связанное со стояние со спином 1/2, которому, как мы знаш. отвемзет шкллалдай Зюс. ЗтО состояние идентифицируется с электроном.

Мн можем представить матричные элементы 产 и /5Ц, взятые между электрошшми состояниями, в виде

蜘尸=gy"(Pz,&)卄WPi，Si),

闷力Hq) =g4戏Р2,%)У网

где Mq, $) - дитшковские спиноры, a и - константы. Чтобы злек・ трон войфоизве力 аномалию (11.66), должно выполняться соотношение

4 ss М(11.69)

которое является непосредственным следствием принципа т'Хофта, В Зей р^влистической модем где нреовн имеют несколько ароматов, обобщение соотношения (11.69) саязывает характерные константы пре- онных мультиплетов и связанных состояний. Это соотношение можно исп^льзфаТь Дян выяснения, какую ароматовук1 структуру должны кМВФь гфвонные мультиплеты, чтобы воспроизводилась наблюдаем ан структура кварков и лептонов [ 133

Чтобы пояснить Пространственновраменное содержание приниипа т'Хофта, вычислим фурье-образ (11.66) и получим трехтоковую корре- язщионн^ю функцию

1 d5不■分S)，(1L70)1 d5不■分S)，(1L70)C&№(kJ)=亲 ”454(r)

1 d

5不■分S)，

(1L70)

1 d

5不■分S)，

(1L70)

1

"5 a + у).

P^X-yr

частипы:частипы:Здесь Df (p) -фейнмановский пропагатор беэмассовой

частипы:

частипы:

qZ + idqZ + idDfS) mDfS) m(ПЛ)

qZ + id

qZ + id

DfS) m

DfS) m

к''к'''---айш'к''к'''---айш'ВремяВремяСветовой конусСветовой конусРИС. 1L10. Пространственно-временная иллюстрация принципа т-Хофта. Чтобы возникали трехтоковые коррепАцииг обусвоменн』，существованием аксиаяь- ной аяомалки, должны существовать безмасоовые возбуждения, движущиеся вдоль сесггового конуов» Вблизи точки О эти возбуждения — лреоны. В точке Р за шкалой конфа№мента это бее массовые сеязенные оостоянин — электроны,/РИС. 1L10. Пространственно-временная иллюстрация принципа т-Хофта. Чтобы возникали трехтоковые коррепАцииг обусвоменн』，существованием аксиаяь- ной аяомалки, должны существовать безмасоовые возбуждения, движущиеся вдоль сесггового конуов» Вблизи точки О эти возбуждения — лреоны. В точке Р за шкалой конфа№мента это бее массовые сеязенные оостоянин — электроны,/Мнимая часть i %(р) равна нулю ане светового конусв р‘ 二 0. Следовательно, мнимая часть корреляционио兑 функции отлична от нуля толк

к''к'''---айш'

к''к'''---айш'

Время

Время

Световой конус

Световой конус

РИС. 1L10. Пространственно-временная иллюстрация принципа т-Хофта. Чтобы возникали трехтоковые коррепАцииг обусвоменн』，существованием аксиаяь- ной аяомалки, должны существовать безмасоовые возбуждения, движущиеся вдоль сесггового конуов» Вблизи точки О эти возбуждения — лреоны. В точке Р за шкалой конфа№мента это бее массовые сеязенные оостоянин — электроны,/

РИС. 1L10. Пространственно-временная иллюстрация принципа т-Хофта. Чтобы возникали трехтоковые коррепАцииг обусвоменн』，существованием аксиаяь- ной аяомалки, должны существовать безмасоовые возбуждения, движущиеся вдоль сесггового конуов» Вблизи точки О эти возбуждения — лреоны. В точке Р за шкалой конфа№мента это бее массовые сеязенные оостоянин — электроны,/

ко при х = у и х3 = 0, Это означает, что, для того чтобы воспроизвести н&йденную корреж щю, необходимо существовнние физических возбу* ждений, движущихся вдоль светового конуса. Следовательно, эти возбуждения должны быть безмассоными» Рассмотрим луч ва световом конусе (ОРна рис. 11.10). В области малых расстояний в окрестности точки О, где имеет место асимптотическая свобода, пресны являются свободными частицами. При дш(жений вдоль линии ОР от точки О мы переходим за шкалу конфаЙнмента. В этой области безмассовые воз・ бужпения должны быть связннными состояниями - электронами.

Если мы обобщим модель и придадим преонам массу, ситуация сильно усложнится и нналогии с КХД ожжется недостаточно. Усложняющее обстоятельство состоит в том, что аномальицй полюс, который по-прежнему находится в точке д' = 0, расположен вне физической области и не дает непосредственного вклада в абсорбтавную часть Т«РН Последняя отлична от нуля для всех q2 выше порога (качественное поведение показнно на рис. 11.6). Чтобы найти точную формулу, необходимы динамические выделения. В частности, местонахождение порога зависит от динамики: он может лежать рыше кинематич рского nqx>ra для свободных преонов, поскольку в окрестности кинематичео кого порога абсорбтивния часть может равняться нулю по динамическим причинам. Таким о^азом, в этом случае нет простого способа ? узнать массу электрона.Ч

Квантовая хромодинамика

Общие свойства

Плотность лагранжиана. Физические мотивы для введения цвета как квнитового числа кварков обсуждались в гл. 2, Рассмотрение калибровочной группы симметрии [S；/(3) ]со1ог пршодит к квантовой хромодинамике (КХД), которнн является в нистоящее время обще- признанной моделью сильных взаимодвйст вий.

Восемь генераторов [ SU(3)必加 В фундаментальном пред ставлю нии - матрицы Гелл-Манна / 2‘设：1,・・・，8),叩联Денные в та&ь 2.2, нормированы условием

Тг(Л. AQ = 2°2・1)

Калиброво皿ые поля, называемые "глюонными полями1', обозначаются С。" (а = I,..., 8). Мы будем использовать обозначения (г』.4)

G气冷-“g气冷，

У*х) = "G«) - dP»a)+ &[G气х), GY%)],°?②

где — — безразмерное число — неперенормированная калибровочная констннта связи.

Полями материи являются спинорные кварковые поля, для которых используется коллективное обозначение ?(%) с компсадентами gg где i = 1, 2, 3 (цветовой индекс： красный, зеленый, желтый), f = 1,…，6 (ароматовый индекс: и, d, е, s,Ь), а = 1, •・・,4 (спинорный индекс).

Спинорный индекс обычно мн будем опускать, а ииогпа будем опускать и все остальные индексы. Вместо ароматового индекса мы будем иногда использовать для кварковых полей различных ароматов стандартные обозначения % d, с, 8,厶 Ь. Существование £ -кварка не по ка, подтверждено з ксп аримент аль но1 *, но оно необходимо для того, что бы модель Вайнбарга ■ Салама злектрослабых взнимодействий была внутревде самосогласовннной. Могут существовать и другие ароматы, но они пока не открыты.

° В сосмднее еремн на ускорителе SPS поточены прздваритопыим дежw о том. что t-кварк существует и его месса 粛,之 35「эВ, — Прим.перев.

Полная лагранжева плотность КХД имеет вид

e N t?产+ 孤D - ^,

где М — не зависящая от цвета массовая матрица по ароматовым индексам, которая детально обсуждается в pan. 12.6. Теория явжвтся перенормируемой, во мы не будам приводить доказательство [ 67

Правила Фейнмана. Обычно седтается, что для кварков и глюонов имеет место конфяйнмент, т.е. в физическом секторе гильбертова простравотва цветные состояния отсутствуют. Таким образом, базис* ными состояниями для S -матрицы должны быть не кварковые или глю- оаные состояния, а синглетные по цвету состояния, относящиеся § наблюдаемым физическим адронам. Но всегда можно определить функции Грина как вакуумные средние от упорядоченного по времеин произве* Пенил кварковых и глюонных полевых операторов. Конфяйнмент просто означает, что для кварков л глюонов не существуем массовой оболочке, Таким образом, можно, по крайней мере формально $ определить диаграммное разло*евке . Фейнмана в терминах кварковых и глюонных пропагаторов и вершин.

Прсвдзводащий функционал для связных функций Грина Г[/, К] имеет вид (гл.

exp iW[Jr K] = Nf (DG) (D?) (Dg) (D^*) (D#.

r〃e W (ж)〜с-числовой векторный источник, К - антикомму тиру ющий с-числовой спинорный источник. Эффективный лагранжиан £&, в обобщенной лореииевой калибровке кмеет вид

где « - калибровочный параметр (см. (8.62)), 1M 崎—антикоммути- руюиме с -числовые поля духов,(оЬс - структурные константы SU(3), Приведенные в табл. 2.3.

Разобьам эффективную плотность лагранжиана на сумму исвобоД- ноП" плотности и плотности взаимодействия ：

% = % + ①. (12.6)

И лотность т, свободногот, лагранжиана имеет вид

% = *G/g吋2丄)

\」(12.7)

Плотность лагранжиана взвимод^ствия имеет вид

%'=磔 gn + ^uark + $ih«*,(12.8)

稣З二疯球們GJ - 8s)G加G"

—近b/spGLGJGb&Gc,,(12.9)

磔 uark =TgM»J/)G』，(12.10)

=依^鼠用小小内二(12.11)

ТТравила Фейнмана для функций Грина, которые можно получить из выражений (12.8)—(】2・11), приведены нармс. 12.1.

Что&я прсщдлюстр^фсвать возникающею при выводе пр^нн ФеЙнмэда комбинаторику, рассмотрим выражение для трехглюонной вершины, получающееся из первого члена в (12.9). Предположим, что три внешние глюонные линии несут следующие индексы:

цветовой индекс:

импульс:忆

поляризационный индекс :。

где все импульсы адляютсяпо отношению к вершине. Перевей

член в выражеши (12.9) может быть переписан в виде

gofa^c^Ga^Gb.^^

пссжолы^ f абс антмсимметричпы по индексам。, Ь, с ・ Из этой суммы мы должны отобрать множители, относящиеся к рассматриваем。員 вершине. Рассмотрим сначала случай 。 ' = а・ Тогда либо Ь = Ьt = сг лм- воЬ〈с,с'*Ь. Следовательно, получаем

TgQ%«/g"-kga6)・

отвечающих г.лучиям а'нЬ,а' = с・

Пропагатор глюонаПропагатор глюонаX 青[g Л ^]X 青[g Л ^]Пропагатор кваркаПропагатор духаПропагатор кваркаПропагатор духаТрехглюонная вершинаТрехглюонная вершина7^7 鼻7^7 鼻—g. fabc [ g** (…々и—g. fabc [ g** (…々иЧетарех- тюоннаявершинаЧетарех- тюоннаявершинаig：（小fMm"i工厂屮）ig：（小fMm"i工厂屮）

Пропагатор глюона

Пропагатор глюона

X 青[g Л ^]

X 青[g Л ^]

Пропагатор кварка

Пропагатор духа

Пропагатор кварка

Пропагатор духа

Трехглюонная вершина

Трехглюонная вершина

7^7 鼻

7^7 鼻

—g. fabc [ g** (…々и

—g. fabc [ g** (…々и

Четарех- тюонная

вершина

Четарех- тюонная

вершина

ig：（小fMm"i工厂屮）

ig：（小fMm"i工厂屮）

Кварк-цлюонная вершинаКварк-цлюонная вершина+ fnab fncd (g "gf*-g"气")]

Кварк-цлюонная вершина

Кварк-цлюонная вершина

Вершина

взаимодействия k 广 * плюсна с духом с； ~

РИС- 121 Правиле Фейнмане для КХД- Все глюонные импульсы нанравланы к вершине»

Кварк-глюонные взаимодействия. Скомбинируем матрицы Гелл- Манна следуюимм образом:

/100\Л о

л3 = о= к。，

О0丿"。-2/

О , О/(12.12)О , О/(12.12)Т12 ■ i(Aj + 1А2) = о о /о о \о о

О , О/(12.12)

О , О/(12.12)

о о

Матрицы Tj/ являются нповышакщими,т матрицами в 1Бетсв№ пространстве. Они изменяют цвет кварка j на i . Эрмитово- сопряженные матрицы т[/ 争 T/j осуществляют обратные операции. Введем также поля

4吃・G3^

В^= (?8 t

(12J3)(12J3)■ 2-"2(GJ + 心2“), у从=2-"2(G/+jGL), Z^^l-^G^^-iG^).

(12J3)

(12J3)

Тогда

£&也=一^ 耳034 + 入80k

(12.14)

一喟[亨(丁21X ++ 外2刁q + КОМПП. coup.,

откуда видно, что кварки обладают "зapяд^[ми,, двух сортов: цветным "изотопическим зарядом", являюшпмсй собственным значением Х§/ 2,

Таблица 12・1・ ЦВЕТНЫЕ ЗАРЯДЫ

Все заряды дамы в единицах g。.

。彳—цветной изатапический заряд источник пом А), 。8 — цветной гиперэарнд (источник пола 8)

QB

Кварки1 красный

2

NJ

1

2 желтый

3 зеланый

0

1

Зеряженные

X

-1

0

глюоны

у

1

2

2

夕

1

2

2

и цветным ''гиперзарядом'1 - собственным значением 入専/2・ Глюоны N У, Z также имеют такие заряды, и кварки могут менять свой цвет, испуская или поглощая один из этих глюонов {рис, 12,2). Подробная информация о цветных зарядах кварков и глюай® содержится в табл. 12.1.

Тот же цветТот же цветКелшк бедвнынзетыйКелшк бедвнынзетыйкрасный красныйжелтыйкрасный красныйжелтыйрис* 12・2・ Кварк-тюонные взанмодейстеип.рис* 12・2・ Кварк-тюонные взанмодейстеип.Любой цветЛюбой цвет

Тот же цвет

Тот же цвет

Келшк бедвнынзетый

Келшк бедвнынзетый

красный красныйжелтый

красный красныйжелтый

рис* 12・2・ Кварк-тюонные взанмодейстеип.

рис* 12・2・ Кварк-тюонные взанмодейстеип.

Любой цвет

Любой цвет

4 Самодействйе гпюонов. Прежде че^ изучать взаимодЁЙствие глк> онов в КХД, полезно рассмотреть более простой случай： 5£/(2)-калибро-

вочную теорию .с калибровочными полями G^, G^, С^ и тензором напряженностей

孔仪=d^Gav- д^ 一 ее0bcG/Gj @ =3).

Аналогами полей (12,13) являются поля

父三G3%

X#・ 2-"2(GJ+ 心2吟,

(12.15)(12.15)(12,16)(12,16)31 ~31 ~(/> X х + КОМП儿 аМф-> 1(/> X х + КОМП儿 аМф-> 117Д17Д(D х X - комцж caip-h(D х X - комцж caip-h(12.17)(12.17)33戶 + ieX* х X,戶 + ieX* х X,где 4" — дейстЕИтельное “фотонное” поле, а X" — поля заряженных векторных бозонов. Переписывая тензор налряженностей в терминах 4" и АР и используя обозначения (6.51) для 4-тензоров, получаем

(12.15)

(12.15)

(12,16)

(12,16)

31 ~

31 ~

(/> X х + КОМП儿 аМф-> 1

(/> X х + КОМП儿 аМф-> 1

1

7Д

1

7Д

(D х X - комцж caip-h

(D х X - комцж caip-h

(12.17)

(12.17)

3

3

戶 + ieX* х X,

戶 + ieX* х X,

где

(12,18)(12,18)F^~ @”，一 8么片

(12,18)

(12,18)

Таким обрязом, поле X" имеет заряд у. Плотность лагранжиана имеет

+}2[(Х* ■ К)? - (X ■ X尸(X -

Если не обращать внимания на последнее слагаемое, то это плотность лагранжиана безмассовой векторной электро ди намжи с "аномальном" магнитным моментом-

Различие между бе эм ас совой векторной э лект роди н ам икой и S£/(2|- калибровочной теоршей про兄втшетс夕 в последнем члене в (12.19), описывающем самодейстние заряженных векторных полей. Если его не

РИС- 12-3・ а - логарифмически расячищиося а канатные диаграмм』 рассеяния заряженных векторных боаоноз, обманивающихсн 4итонам1； б— четверное самодайствие. сакращающвз расходимости диаграмм на рис- а.

учитывать, теория будет инвариантна лишь по отиошении к калибровочной группе Uli). Она не будет также перенормируемой из-за логарифм% ческой расходимости скелетных диаграмм, описывающих рассеяние заряженных qacniu (рис. 12-3, с)・ Самодействие же заряженных частии приводит к появлению пеобходямого для сокращения этих расходимостей контрчлена, и теории становится перенормируемой (рис. 12.3, 6・ Это взнимодействие аналогично взнимодействию X(<p*q>)a в скалярной электродинамике; но коэффициент у*е не является независимой константой свизи из-за ограничений, связанных со спиновой структурой плотности лагранжиниа.

В плотности лагранжиана (12.19) член

爲(12.20)

не является необходимым с точки Зрения U( 1 ^инвариантности и по отношению к электро динамике представляет т,неминимальноет, взаимодействие, отвечающее появлению "аномального” магнитного момента. Если заряженные векторные поля массивны, то для полного магнитнзо момента гиромагнитное отношение g = 2 (см. (6-55))- Как показано в следующем разделе, выполнение равенства g — 2 = 0 необходимо для то го, чтобы теория массивных з却 н^енннх векторных полей имела беэ- массовый Предел. С точки Зрения SU(2)-калибровойной инвариантности член вида (12-20) появляется при минимальном калибровочном взаямо-

РИС. 124・ Структурные константы SU(3｝卜匕门 Любой тройке чисел ahct со- «динанных линией, отвзчеет нервэмаА нулю U*cna, отвечающие линиям, -значения 启匕^ при а>д> с - Значение fabc * Т"Д" легко получить, вспомнив- что fab с полностью антискмметрнчны по индексами > b ・

действии. Ему отвечает Произведение (см. (12Л7)|. Таким образом, значение g = 2 является естественным м носит кинематический характер (как и в уравнении Дирака). В самш деле, Учение g-2 нообкадн- М。для внутренней согласованности теории: при «壬 2 тензор вакуумной поляризации поля 4 расходится не логарифмически, а квадратично, нарушав тем самым пере норм ир> ем ость-

Вернемся теперь к рассмотрению КХД. В соответствии с определениями (12-13) имеются два "фотонных"【юла 4 н В, связаяные соот- ветствеанЬ с пветным изотопическим з^ядш и фетным гиперз^ядад, и три заряженвых векторных поля % У, Z . Чтобы записать глюонный цензор напряжэяностей в терминах этих новых полей, полезно иметь перед глазами полный набор структурных констант УаЬс (рис. 12.4)- Используя снова сокращенные обозначения (6-51) для 4-тензоров, полу-

чаем следукиме выражения:

^3 = д х 4 + 蜘(Г * X + 护 х У + 拉 х Z),

:>8 = d X 8・(У* X у + Z* х Z),

、4(12.21)

京丸 + 通)=D х У + * z х

養 Об + /37) = ^ х Z + 卷** х 匕

「雖 кова(даантные производные определены к>1ражениями

- 心亭约匕(12.22)

DZ=R +号 А -依停 B)Z,

из которых мы можем получить значения различных зарядов и убедиться в том> что в табл, 12.1 приведены аравильвые значения. Перепишем плотность лагранжиана КХД .(глюодинамика) в виде

当ureOCD = ТЗ』"П*р

=£jdn + ^mag. mom. + ^inr,

£kin 二 T(a X 工尸-和8 X В)2 - i[[D X 用2 + |D X У|2 + |D X Zfl

飞学- /叫Y；工+ 俏23)

4лен £.，о представляет теорию трех заряженных векторных бозонов N У, 2, взаимодействующих минимальшм 11 электромагнитным" о6ра・ зом с фотонными полями 4 и В. Член £旧§ шот снабжает каждый заряженный векторный бозон гиромагнитным отнотннием g = 2 по от ноше- нию к полям 4 HB. Остальная часть плотности лагранжиана обозпаче-

на ^iQ , м мн не будем выписывать для нее явного выражения. Она содержит азнимодействия по крайней мере трех з牵хженннх векторных бозонов в одной точке； при этом теория станонится перенормируемой.

Цветное гиромагнитное отношеяме

В этом разделе мы рассмотрим вопрос о цветном гиромагнитном отношении, упомянутый выше в свази с пруродой глкюнньгх взнимодей- ствий. Полученные результаты будут использованы в следу ищем разделе при обсуждении явления асимптотической свободы,

В качестве мжмкяного эксперимента рассмотрим введение з^яжен* ных плкхжов 吊 У, Z во внапвш греташ магнитном поде, связаннш с глюонными полями А или В. Учитывая только взаимодействие с налаженным внешним прлвм, мы сводам задачу к рассмотрению независимого взаимо* дейсшия безмасссвых з^яжешк векторных боосяюв с абелевым внеишм магнитным к<алем・ Неабелева структура КХД проявляется в том, что векторные бозоны имеют з叩яды.

Рассмотрим сначала массивную частику со спином, имеющую заряд е и массу 加 и азанмодействующую оо слабым однородным магнитным полем В . Пусть ( — средний спин, определенный как среднее значение оператора спина в системе отсчетат в которой частипа покоится, Гиромагнитное отношение g обычно определяется соотношением

石寸石* В'(12.24)

Попробуем записать это соотношение в произвольной системе отсчета^ а затем перейти к пределу при т-> 0. Если этот предел существует, то получающееся уравнение определяет g в безмасс(жом случае.

С этой целью определим 4-вектор поляризации S"：

0 (0, О (в системе покоя).(12.25)

Пусть / - 4-скороегь (центра волнового пакета, движение которого можно рассматривать классически)：

I 调 Q V)，(12.26)

где v - 3-скорость. Для любой системы отсчета 5 - и = 8, или 評=S • ▼・(12.27)

Производная по времени от (12.27), взятая в системе покоя, вместе с уравнением (12.24) дает уравнение движения для в системе покоя частииы：

好S*好S*(в системе покоя),(в системе покоя),dS еdr & 2mdS еdr & 2m(12.28)(12.28)(в системе покоя).(в системе покоя).

好S*

好S*

(в системе покоя),

(в системе покоя),

dS е

dr & 2m

dS е

dr & 2m

(12.28)

(12.28)

(в системе покоя).

(в системе покоя).

Ковариантное обобщение приведенных уравнений имеет вид [ 134]

^ = S~("0 + u«S ・ F・喇-u{% S),Q2.29)

где т - собственное время:

=(12.30)

Электромагнитный тензор 尸"^ связан с электрическим и. магнитным полами соотношениями (3.28)・ Мы используем обозначение (S • F • и}- -SQ Fa^u^m Можно подтвердить правильность ураанения (12.29), замечая, что правая часть содержит все 4-векторы, которые могут войти в это уравнение, и что (1229) сводится к (12.28) в системе покоя, где электрическое поле отсутствует. В случае однородного электромагнитного поля имеем уравнение движения

后= £1Ч・(12.31)

Подставляя (12.31) в уравнение (12.29), получаем

37 M 诟[gF^ + {«-2*(S •尸•叫.(12.32)

Заменяй т временем для фиксировавного наблюдателя с, имеем

8 е+ч戸еS2=8 е+ч戸еS2=2»气S-尸.叫,2»气S-尸.叫,(12.33)(12.33)

8 е

+ч戸

е

S2

=

8 е

+ч戸

е

S2

=

2»气S-尸.叫,

2»气S-尸.叫,

(12.33)

(12.33)

где им ^ (1, V), а £ - энергия частииы：

Е三小。心4)

В пределе 加-0 выражение (12.33) имеет хороню опр i( ：，в; ，м предел только при

g - 2 = 0.(12.35)

Это условие является, следовательно, необходимым для впряженной безмассовой частииы со снином.

В отсутстаие электрического поля пространственная компонента ураы<енин (12.32) принимает вид

вXSе-ЕS2並石вXSе-ЕS2並石кк33

в

X

Sе-ЕS2並石

в

X

Sе-ЕS2並石

к

к

3

3

Мгновенное значение спина J связано с S преобразованием Лорениа.

Можно псжаэать, что для ( справедливо уравнение движения [ 135 ]

j(12.37)

При § - 2 = 0 { и S совпадают, и получим

dS е

—= -SXB,02 36)

т.е. уравнение, описывающее спиновую прехтжю безмасссвой з^яжен- ной частииы. Из приведенного обсуждения видим, что глюоны % У, Z должны иметь гиромагнитное отношение g = 2・ Для кварков также g =: что следует из уравнения Дирака. (Рассматриваемое здесь значение g является чисто кинематическим и не учитывает радиа^маздых попр^ск-

Асимптотическая свобода

Бегущая констадта связи. Бегущая каютЕвгга связи КХД определяется перенормировке^ глюонного пропагатора11. Нав冲орм^фсван-

& Детальное обсуждениб этих вопросов содержится в гли 9.

ныЙ пошй пропагатор мжет Ьпъ записан в виде

。^)=m产.礬)丝*

+ (члены, зависящие от калибровки),

(12.39)

где Л — импульс обрезания, а

а。■ ga/^.(12.40)

Перенормированный пропагатор определяется равенством

(12-41)

где d - конечная функция, а

a人тa0

，а。•

(1242)

Мы

называем сг入 бегущей константой свази, отвечающей точке нормя・ ровни 入》. Определение Остановится однозшчным 叩и налокаши урлсжия

4(1,外)=1.

(12・43)

Иэ ^ношеанй (12.41} и (12.42} мы видим, что

(12.44)

Таким образом, левая часть яаляется ренормгрупповым иннариантои：

Q▲伟 a' = a 衅 %}

(1245)

где X и у - две прсдрлвдые точки нфвдфсвки- Полагая v2=心 吟^皿

，a人-

(12.46)

D Поскольку Л2 и Л2 — инвариантные массы евклидовых импульсов, они отрицательны, и предел 入-з надо пониметь как предел —入'吟

(12.48)(12.48)(12.49)(12.49)(12.51)(12.51)(12.52)(12.52)

(12.48)

(12.48)

(12.49)

(12.49)

(12.51)

(12.51)

(12.52)

(12.52)

Функция Гелл-Манна - Лоу (ГЛ) определяется уравнением

(12-47)

где правая часть должна быть ныражена как функция от а * с помощью соотношения (12.42}. При изменении точки нормировки Л соответствующим образом меняется и а入：

謐寸…

Правая часть уравнения (12.44} - ряд по степеням а。，начинаюпщйся с члена порядка а； . Следовательно, для разложшшя функции ГЛ по степеням о имеем

£@) = бМ + £©з + ..

Гросс и Внльчек [ 136] и Податцер [ 137] первыми заметил^ что ро < О, откуда следует

(12.50)

Эго зачает, например,, что взаимодейстие фух кварков щж одюсжюп- ном обмане стнаошггся исчезающе малым при бесконечном унеличении переданного импульса. Это явление называется "а<жмптотическо& сво- 6одя!Г • Именно существование такого явления обосновывает партопиую модель, используемую при описании глубосо неупругого элЕжтрсчмцютон- ного рассеяния.

Используя первый член разложения (12.49, из уравнения (12,48) получаем

1 1*

「厂中。（5

Это соотношение является аналогом алекфодинамичежго соотнощ^ия (9.18) в квантовой электродинамике. Различие заключается в том, что соотношение (12-51) являемся точным в пределе * - в. Исполь^я 02.46), можно записать

aJ = 1 - £皿 1пр-+ О(ал2).

6电曲м8и ^ЙТ^Й''6电曲м8и ^ЙТ^Й''Глюонная петляГлюонная петляДухаввя петляДухаввя петляКварковал петляКварковал петля

6电曲м8и ^ЙТ^Й''

6电曲м8и ^ЙТ^Й''

Глюонная петля

Глюонная петля

Духаввя петля

Духаввя петля

Кварковал петля

Кварковал петля

РИС_ 1&& Диаграммы _Фей<манаг которые дюот вклад б функцию ГЛ в низшем порядке.

Функция ГЛ может быть получена непосрадствеано из определения (12.47) вычислением фейнмановских диаграмм м» глюсншаго пропагатора [138]- Коэффициент R 0 может быть получен нз диаграмм рис. 12-5. Результат вычисления имеет вид

4停-%卜"2.53)

где число кварковых ароматов, Вклад кварков отличается в N// 2 р^З от1 множителя. (3т^"1 в квантовой электродинамике (см, (9,103))°.

Чтобы выполнялось условие R ° < 0, необходимо, чтобы вклад глюощсго самодействия доминировал, т.е. необходимо выполнение условия

Л V 】7・(12.54)

“Множитань 1/2 появляется следующим обрвэом. Чтобы нвйти вклад кварков ■%, доствточно рессмотрггь собсшнмноргетичвскую мгра* му для поля 4 с одной гкварижй петлей. Для каждого аромате из табл. 12 J мы «иднм, вклад дают два цвета и обв заряда рввны [2 Таким образом, 2 • (1/2)а 二 V2. Такой же рмультат пояучитоя. если рассмотреть В, поскольку WQ玄■ EQ% как можно видеть из табл. 12.1.

Следующий коэффициент разложения (12.49) равен [ 138]

"年(*~П)'(12.55)

Заметим, что уравнение (12,51) допускает решение

°А= 一仇历(依/Х2)，(12.56)

где Л2 — произвольный параметр, который можно определить, сравнивая предсказания КХД с экспериментальными дзпшм по с^бсжо не^лфутому э лектр он-пр от энному рассеянию. Существующие данные отвечают значениям - R от 10 до 100 ГэВ2 и согласуются с теорией 1фИЛ «0,5 ГЖ [139筏.Этому значению Л отвечает q走 а 0,3 при (一雜)=(10 ГэВ)' и Nf，6・

2 Вакуум как магнитная среда. Чтобы устниоиить наличие асимптотической свободы, достаточно вычислить ро. Вычислим ро простым методом, предложенным Нильсеном [ 140], в котором • вакуум рассматривается как магнитная среда, а р о находится при изучении отклика среды на внешнее магнитное поле. Этот метод применим для любой теорий поля и принодит к интересному выводу о том, что асимптотическая свобода является результатом сор^нования между /жамагнешзмш.Лащ^ к парамагнетизмом Паули w решающим образом зави^т ст шинов полей в рассмат(даваемой теории. В нашем изложении мы будем следовать работе Джонсона [141]..

Бегущая константа связи а - фурье-образ Цветного электростатического потенциала, действующего между двумя стати ческими зар» Нймк (изотопическими зарядами или гипарэарядами), помещенными в вакуум (см. (9.20)):

У(&)к 爵，(12.57)

где А - лространственноподобный имиульс. Следуя(12,48), запишем

“ В настоящее время принято значение Л = 100 МэВ, 一 Прим перее.

рассмотрим прадел при Л^^.Мы будем считать л импульсом обре- зшшв, 人 мЗголЫГ ммстантсЛ связи. Диэлектрическую проницаемость вакуума мох^а определи昨 выражением

“比).1川假J(12.59)

Вводя электрическую поляризуемость Р&｛喻 соотношением 〃&) = 1 + 玖(比)，(12.60)

находим из (12.62)

=伙偿 a m 必 + °(«л2)-(12.61)

Таким образом, асимптотическая свобода означает, что вакуум является средой с отрицетельной электрической поляризуемостью.

- В лорен п-инвариант ной теор*ш ди?лект[№еская и машитаая прсш* паемости удовлетворик-т соотношвдиюец =尸.Для мапбстой е^хшф вмсюти, следовательно, имеем

/伐)=d偽，а,.(12.62)

Вродя магнитную восприимчивость вакуума хд(^) соотношением 儿*廿■ 1，厶а),(12&)

находим

Хa(廿=-Ewa m 戸* 0(a/)・(12.64)

Ппрамагнётизму отвечает 0 ° < 0 (асимп^гическая свобода), а диамагнетизму

Чтобы найти Ха , вычислим сначала энергию вакуума в артсутст- ещи внесшего цветного магнитного поля, ^яззшюсо с нейтралышм г?лкь онным полем Л или В. В низшем порядке по ал все кварки и зёцшжсн- ные глюоны можно считать невзеймодайстауюпщми межф собой и учитывать только взаимодействие с внешним полем.J Неабелева арирода ‘

° Поскольку скорость света в вакууме КХД рванв [е

теории проянляется в этом случае только в тот^ что.рдюсжы несут *； ряд. В магнитную восприимчивость дат еддитм^ше шла州 квар*ш с. различными паетами и ароматами и з叩貝женя即 гшонн， ■

Для наших целей достаточно рассмотреть упрощенную систему: за* ряжениов безмассовое поле (бозонное или |фермнонное\ с э^ядом：е и спином S, взаимодействукицее со слабым однородным инеишим магнитным полем. Энергии чесгиц являются собственными значениями одночастичного гамильтониана квафат которого равен

"2 = |р -丛卩-2eS ・ В,(12.65)

где p=-：VfB=VxA - внешнее магнитное поле, а компоненты S - спиновые матрмпы, каждая из которых имеет даа собстеенных зшения ±5 (например, в случае спина 1/2 $=“2). Последний член в (12.65) необходим для того, чтобы получить ураниение дшжения

[S, Н ] = 2wS х В,

которое в случае одной частипы отвечает уравнению (12.38).

Пусть в - однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z:

^匸坦(12.67)

Два члена в (12.66) коммутируют куг с другом, причем первый имеет вид нерелятивистского гамильтониана (не возведенного в квадрат) частицы в магнитном поле. Его собственным значения^ отаецают хорошо известные уроаяи Ландау [142]:'

уровни Ландау ■ р/十 ”35 十分 但=% i, * ・・・)，(仅68)

вырождение =

где - проекадя импульса на ншфавление магнитного поля, С - пространственный объем. Каждому значению квантового числа л отвечает круговая классическая орбита частицы. Вхождение возаикает из*за того, что положение ueffrpa орбиты в плоскости, перпендикулярной по・ лю В f произвольно. Энергия частицы определяется тремя квнитоными числами Pz，

E(Pz,小 Sz) ■ Hz? + 2еВ(к + i - S^Y^.

n = 0, 1, 2,・・-(12.69)

Энергия вакуума на еданицу объема равна

窗51严^[等学孚卜 J + 2eB(n + * — ZJ： (12.70)

「де множитель (― 1) 2s учитывает связь спина и ст эти стики1 J < Магнитная восприимчивость х определяется выражением

= Т* 配(12.71)

При S > 1/2 из выражения (12.69) следует существование комплексных собственных значений энергии, отвечающих нестабильным модам, иэу- ч€янефл Нильсеном и Олесеном [ 143]. Но они ве дшот шцшда в востфиим- ЧИВОСТЬ X-

ограничения на возможные значения м 爲 таяим о®азом, чтоограничения на возможные значения м 爲 таяим о®азом, что

ограничения на возможные значения м 爲 таяим о®азом, что

ограничения на возможные значения м 爲 таяим о®азом, что

< Л.(12.72)

В пределе Л -* « и В -* 0 можно вычислить правую часть (12>70)> используя аппроксимацию Эйлера для далеких членов ряда [ 144]

£/6 + 切尸±[尸阳(12.73)

где М необходимо вцбрать настолько большим, чтобы Ш1пр9ксима1|ия бы» ла справедлива. Точное значвние N не иг{>ает роли; члены с 乃 < вли^ ют患^р 開|举^61»且九 Эго выодсвдие тздюбно щх)ведено в книге [J421 Мы ве 0уд纱1 @гр мврь згрряп». Замешу тош<5 что нещврывиая ап- пржсимацкн доп-й суммы не члияет на зшчемие х ； только второе слагаемое в (12>73) дает вклад в х- Это связано с тем фактом, что в классик ческой системе диамагнетизм невозможен [142]. Результат для плотно-

Мы будем считать вакуумную анергию точкой отсчета на шкапе энергий. Д» бозонного поля ва ку умнея энергия равна умноженной на 1/2 сумме всех одночастичных энергий Дм “ряжашого бсасммгопопямтгаъ М2 щается, поскольку заряженное поле имеет две компсншты. Дня фермионного поля вакуумная и*а.

сти вакуумной энергии имеет вид.,.

&8 = -(Т严〔3)2 - 4】Е 為 11cqЕ；(12-74)

где с — некоторое число, точное значение которого для нас неважно.

стати*стати*Для вакуумной магнитной восприимчивости х 6 случае слабого ческого внешнего магнитного поля (А2 = “В - 0> имеем

стати*

стати*

(12.75)(12.75)

(12.75)

(12.75)

3. Формула Нильсена - Юза, Сгнивая выражения (12.75) и (12.64), наводим

(12,76)(12,76)仇=-~^ [(25)2 -£-

(12,76)

(12,76)

Эта формула справедлива для беэ^ассовсго з^мжешто поля с лю№м спином S (для которого g - 2 = 0). Формула (12.76) была получена тшс- же Юзом [145] иэ других со сражений. Мы насьваал ее ферту лай Нильсена 一

Подставляя (12.76) в (12.48) и (I2,49)f можно оссрость име- нения бегущей константы связи а в М /4ir, где е - 11 электрический" заряд по отношению к электромагнитному пцлю, шзюлоСБашпек^ся щж определении м^нитной восприимчивост и. Если определить константу связи кака = г2,/4тт； а заряд е как е = 0g,Tonpi8Bywq€c在рабства (12.76) нужно умноаадть^й 1'

Член (2S)? в (12.75) представляет 台заи^ийстш<е йй^пнёгЪ"

ного поля с полем с данным спином, а член - 1/ Згаредстадляет эффект орбитального движенияf приводящего к появлению магнитного' поля, частично экрЪтруюцего исходное поле. Эта члены являются диалогами выражений, обусловленных диамагнетизма .Ланд^, и ПЕфамагаетазмод Паули в физике твердого тела, где Еооение соответстБуюших воспри- имч^всстей (для S = 1/2) равно [142]

(12.77)(12.77)#ПэйМУ 々Паули 】/3・

(12.77)

(12.77)

В рассматриваемом случае дополнительный эффект возникает из-за того, что фермионы имеют отрицательную вакуумную энергию, как

это видно из мномотеля (- ])" _ Таким о®аэом, квантован электродинамика была бы асимптотически свободной, если бы можно было ограничиться неполянм рассмотрением.

Чтобы применить формулу Нильсена - Юза к КХП, надо учесть вклады от квщжов с раашчшми цветами и ароматами и глюонов X, У, Z. Рассматривая внешнее магнитное поле,, образованное нейтральными глюонными полами (4 или В), с помощью табл, 12・1 находим

(1278)(1278)Следовательно,Следовательно,(負)кмрки=朽/6"， ^°)глюоиы ' 71/4б

(1278)

(1278)

Следовательно,

Следовательно,

(12.79)

что совпадает с (12.53).

12・4・ Пион как голдстоуновский бозон

Область ниэю4Х энергий. Постоян^ан Л**0,5 ГэВ15, связаннан с асимптотичесжой свободой, определяет поведением пределе больших импульсов (малых расстояний)

In(戸

в котором кварки и глюоны можно рассматривать как слабовзнимод^- ствующие частицы, а их взаимодействие опишвать по теории воз^ще. Ний КХД. В противоположном 口раде^шном случва &? « Л2) мы имеем- дело с низкоэнергетической адронной физикой, в которой взаимодей- ствующими частицами являются уже не кв叩ки и глюоны f а адроны, В настоящее 叩ем* мы не можем дать количесгвениую низкоэнергетичес* кую а/фонную теорию в рамках КХД. Но 'большой объем^экспертмен- тальной инфлрмации позволил выднинуть несколько чрезвычайно плодотворных идей еще задолго до появления КХД, В некоторых случаях можно провести параллель между этими результатами и ожидаемой структурой соотнетсгвукщих вьфажений в КХД что позволяет сделать рад 环)авнитель») легко 叩сверяемых утвер福цени丸 Эти утверадения проливают также свет на математическую структуру КХД. Мы имеем в ниду то, что называют ,талгеброй токов" [ 146〕. В этом разделе мы обсудим одно из

” См, примечание на с. 339. - Прим. 〃«р“・

важных положен济 этой науки — частичное сох[^ени^ акс^альцог^ то^ v ка (ЧСАТ).

Киральная симметрия： иоеали誦роаейМЫй пред曲(Массовая мат、 рица 川 в плотности лагранжиана КХД ■亩са чйс1о феноменологмдес. кой величиной, происхождение которой неизвестно. Это та же массовая матрица, что и в модели Вайнб^)га —.Салама, обсуждавшейся в гл. 6. Если мы будем считать^ что эта модель правильно описывает электро- слабые взанмодействияf то из перенормируемости те叩мл будет следовать, что М возникает благодаря ненулевым вакуумным средним хигтсов- ских полей» Но соответствующие выражения содержат свободные параметры, так что М по-прежнему является феномаюлогическим объектом. КаксжЬ бы ни было происхождение матрицы 川,ее всегда можно привести к диагональной форме, как показано в (6.71), с помощью прео^азова. ниЙ, перемешивающих ароматы1* - Таким о^азом, массовый член в плот^ ности лагрнижиана можно записать в виде

J(12.80)

Если в КХД осущесталяется, как мы будем предполагать, конфайнмент кварков, то параметры не являются наблюдаемыми величинами. Но ниже мы увидим, что методами ”ахге^н токов" эти величины можно санзать с наблюдаемыми массами адронов. Они называются ^токовыми11 ■ массами кварков, чтобы отличить их от масс кв叩ков, входящих в качестве 口叩аметров в ф еншено логические ква(жовые модели адронов.

Приближенная уыитартая, тамметрия сильных шзадмодей^т'вн^ ознц* чает иго m 亠加=也• Поскольку сохранение изоспниз - гораздо болер точная симметрия, чем ароматовая SU⑶ в целом, равенство ％ должно выполниться с большей точностью, чем равенство 加《щ я*я ■ Массы кварков % 6 к t должны быть болыие масс квпрков “，d, s, посколку в наблюдаемом спектре адронов отсутствуют даже намеки на суше- ствование SU(4) или высших ароматовых симметрий.

Если положить щ = %, т。изоспин будет сохраняться точно, В этом пределе пяр иммг одшжсдаые масая, Оданассвые масая имеют также и тг+, тг"*и тг°・ Но это не объясняет малость масая пиаш /тп = 0,14), благодаря которой ешон выделен среди адронов. Чтобы дать этому объяо

” Ыы временно не учитываем усложмэнкп, смени* с наущением СР・ин» вариантности (разд. 126).

нетие, Намбу [ 147] jf^y 048] щюдюжжл^, ^ существует предел, в котором пион является безмассовым голдст оуновским бозоном, понв. Ляющимся при спонтанном нарушении симметрии. Этот предел является, ксшечно» идеалижроваяной теоретической конструкцией. Намбу и Иона- Лазинио [149] предложили неп%енормфу&&юмод^л», в когсрой 物 даментальными полями яаляются безмассовые нуклонные поля и, еле- довнтельно, существует киральная симметрия, спонтанное нарушение которой приводит к тому, что нуклон приофатает массу и появляется безмасоовый голдотоуновский бозон, отождествляемый с пионом.

Чтобы сформулировать эти идеи на языке КХД, рассмотрим идеализированный 叩е^ел, в котором

т『т『0.(12.81)

Плотность лагранжиана, обладающая в этом 叩 еде ле ниральной симмет* риеЙ, имеет вид

м TGLGw” + ффф,(12.82)

где

Цветовой иадасс кварков мы опусквем. IIojk ан плотность лагранжиана КХД может быть записана в виде

3 П公一(叫丽+军誤并% "二⑥林.

где £$с“ содержит чл«1Ы, относящиеся к квпркам 爲…％ 6 и i. Мы 6у・ дем рассматривать как ”невозмущеяную‘, мтноегь лагранжиана. Идеализфовниному пределу кхральной симметрии отвечает невозмущенная задача.

Как мы покажем ниже, % и на самом деле малы по сравнению с массой нуклона. След(юательно, £ 八卜式 должна давать достаточно хорошее описание "обычной11 а/фоннои физики, в котором странность и Другие ароматы тяжелых кварк<ж большой роли не играют. Это прибли- едполагает осуществление размерной трансм/Тдим% поскольку отсутствуют затравочные апрамвтрн размерности маосы.

"Невозмущажая" система, описыва^ая £сЫгар ннварлавтна отно

сительно следующих глобальных групп оишетрйи：

[SU(2)]v：也

[V(l)]v：岭产认

(12,85)(12,85)[SU(2)h W-e…2 尸加

(12,85)

(12,85)

[U⑴]a： W-ef 7血

где w, e, a, p - произвольные действительные константы. Индексы V и А означают соответств^но "вектфм1Г и "蹴сиз1M>вастс|жй1 函" пишем соответствующие оохрнияющиевя векторные токи：

JJ = фу^тк 屮(Jt = 1, 2, 3) (ток изоспииа}.

(12.86)(12.86)Лх = Фг^Ф (барионный тсж), 丿上■力“У"曲(А： = 1,2,3),

(12.86)

(12.86)

j* = ФУ^УзФ-

Б прионный ток сохраняется и в nojmofi системе с плотностью лаграням^ на £. Ток изоспина сохраняется, если m ，“ Аксиальнов球т®ные токи со冲ашются только в 叩еделе юц>апьной симметрии (если не учитывать возможных аномалий, влияние которых рассматривается ниже).

Кас эти симметрии проявляются в городе? Цюжде всего (SU{2)]『и: [и。)％ непосредственно проявляются в сохранении изоспина и бприон- ного заряда соответственно. В частности, ащ)оны можно разбить на легко различимые мультиплеты.

С другой сторошя, непосредственное проявление [ 5(/(2) ]д состояло 6ы：6、оявл^шм у каждого изомультийлета Зеркального мультЙЙйета с' той же массой» но с противоположной четностью. Никаких подтв^ждений существования таких зпркальных мультиплетбв нет. (Лсутствует, нащм: мер, зеркальный мультиплет, хотя бы приблизительно близкий по массе к нуклонному иэодублету.师едпонаган, что реалшШ М»ф х^хмио ашфо- ксимхруется кир альноЙ симметрией, мы должны сделать вывод, что симметрии [ 5(/(2)]д спонтанно нпруюаш. Тогда должен существовать псендоскалярный голдстоун<деский бозс» с / = 1, котс^ЫЙ мя будем ассоциировать с "невозмущашым" ешоном. Физическому пио^ отвечает воэ- мущенаое состояние голдстоуновСкого боэша, масса котс^ого появляёг ся благоднря массам 叫 к •

Ответ ни вопрос о том, как проявляет себя [ (/(1)]人,оч«^ Щф℃Т・ Мы обсудим эту проблему ниже.

Каяова динамическая дичина того, что существование [SU(2)]A 能Ьй^/dG W пдЙйлёнйи' роДцстоуновской моды ? На этот во叩ос у нас йёт ответа； В1 нёпера1ормм1ру^ой “дрКХД” модели Намбу и Иана-Ла зинио [149] причиной спонтанного внушения симметрии является прямое нуклоя-нjtcjiонное взадмодейстш<е, заложенное в модель, - по ана・ лщ'ЧИ с .эффективным электрон-электронным взш<модействием, ответ* ствашым за образование куперовских пер в теории сверхпроводимости^ . Прямое кварк-кварковое взнимодействде исключается перенормируемо， стью КХ4 но должно существовать эффективное нзвдмодействиет тая же как в случае сверхпрово димости, где эффективное электрон-элек^ троимое взш<М9ДеЙстш<е является следствдем более фундаментального электрои-фононио!^ взаимодебстш<я- Было высказано предположение, что в таком эффективном кварк-кверковом изавмодейотвии участвуют инстантоны [150].

Каков 曲 нидинамический м^янизм крушения, спонтаююе 聊ушеше

клральноА симметрии приводит к появлению ненупавых вакуумных срад- них < uu> и < dd> , которые играют роль хараятерноА шкалы масс'а/фо- нон в киральном пределе (разминая традсмутация). Можно также приписать кваркам своего рода эффективнее мае™, которые можно вазвать 11 конституентнывд11 массами кварков. Таким о®азом, мы вддим, иго проблем аинамичесжого нпрушения тральной симмегрш не отделима 5 npeкв^жевегоконфгйн謁па.

Частичное сохранвше аксиальн(го тока (ЧСАТ>, Обозначим пи- онное состояние I , где / =- изоспиновый индекс. Опа)атор

丿 5“ может действовать кая оператор уничтожая радг,оян»Й. ^Гжадгг&" вымя числами пиона. Следовательно, с использованием этого onepaTq>a можно образовать матричный элемавт .uqjexpfl^ из пиоваогО. состояния в вакуум. Учитывая лоренп-инвариавтнбеть и сохранеы(е изоспнна, можно записать

他点(»|何=i %匕〃 e» 七(12.87)

「口€ P” - Импульс пиона, a - кокствата. Немедленно получаем 俳“乩(》|6) = %% 加/е*г.(12.88)

Это согласуется с той точной зрения, что пион является грлд^^нж!^ бозоном в киральном пределе, поскольку и階/标彳 0 с麻дует”1：4

Определим

必(12.89)

Тогда

個貧⑴”"勿e"L(12-90)

Таким о^азом, можно использовать как полевой оп^)атор, соответствующий пиону. Он составлен из кверковых операторов, что отра жаег тот фаят, что плои является саязанным состоянием. Содержание гчнатезы ЧСАТ - устниойлевдсе правдла ксоользованкя оператора 磋(“)в киральном прадеде (吟 少 0). Рассмотрим реакцию а - В + * Используя-редукпионную форм^у'〉

d，夕弋户〉=i / d*x 户 «О2 + m?) (Ь\фЦх)\а),(12.91)

где р - 4-импульс икона, мо*н。Получить сражение для амплитуды перехода, извлекав коэф^ииент при г (2п)46 (р + р& -р，：

Amp（а T 5 +六）=（m/ 一方）（36乂ё也）

Гипотеза ЧСАТ состоит в том, что амплитуда ние массовой оболочки

игфеое/яетс冗 выражением

(12.93)(12.93)樓(户)=学三巨砸眩(0淞

(12.93)

(12.93)

Переход к киральному пределу осуществляется следующим образом: сначала производится переход к пределу 加仃-0 в выражении для амплитуды вне、массовая оболочки^ а затем - переход к праделу ра ~ 0・ Таким о^азом,

叁5工九・厂^砌"打。Н圾MX

,Определим теперь константу * В КХД ни один из ток* (12.88) не взаимодействует с физическими полями. При рассмотрании злектросла- бнх взаямодейстаий J j 丛 J §从伏=1, 2) входаг в изменшацие заряд теки, взаимодействующие с JFj (а = 1,2 )• Таким сказом, коншоедпы А. 1,2 в @2,87) участвуют в матричном элтенте распада заряженного пиона (■к-* и + у*). Следовательно, константа / ^ может быть определена по известному времени жизни заряженного пиона. Приведем без вывода результат:

Скорость ⑴ т 〃 + 吟=± 启2(g cos 6尸加，mJ0 —箱:

/ (12.95)

где G - фермиевская константа, в 一 угол Кабиббо, a m Ит - физические маета пиона и мюона соответсгашо. Используя здачеяие в^е- меш жизни заряженвого. пиона {2,6 • 18") с, получаем

力■ 93 МэВ .

(12.96) Константа f 仃 называется константой распада пиона.

Распад тт° - 2y. Применим соотношение (12.94) для аяализа электромагнитного распада 茫 на два фотона. Оператор пропорвдо- нален оператору

4 =订加川-%打4(12.97)

который имеет аксиальную аномалию. Из (11.38) получавм …

где'

ТС)、®］、.S

Множитель 3 учитывает количество цветов кверков. В киральпом пре деле полагаем % f 8, так что в этом пределе отличный от нуля вклад в (12.98) дает только аксиальная аномалия.

Обозначим 4-импульсы и векторы поляризации фотонов через к fi! м %% соответственно. Согласно (12,94) и (12.98), амплитуда 忠

педа вне массовой оболочки имеют аид

二二他5%卄•月8二二他5%卄•月8"^一峭色*"^一峭色*8e1~2忆%6(12.100)8e1~2忆%6(12.100)硝仃x &1,硝仃x &1,

二二他5%卄•月8

二二他5%卄•月8

"^一峭色*

"^一峭色*

8e1~2忆%6(12.100)

8e1~2忆%6(12.100)

硝仃x &1,

硝仃x &1,

где Лекторы берутся в системе цедггра масс, и

(12.101)(12.101)*i = (/ к),*2 = ® Т)， IM = з,

(12.101)

(12.101)

Используя выражение {12.100), после стандарттлх вычислений получавм

Скорость (Lt 2у)=詣(箔)加育；(12.102)

откуда находем время жизни №:

т= (8.5 eV)"1,(12.103)

что согласуется с экспериментальным значением [152]

тэксп =[亿9 5 土 0,5 5) ЗВГ1 =(0,8 28 土 趾05 7) • 10",в с・ (12.104)

Если бы мы не знали о существдаании аномании, мы бы получили нулевой ответ для скорости распада — в киральном пределе и были бы озадачены тем, что в этом случав гипотеза ЧСАТ не работает (хотя она успешно работавт в других случаях). Такая загадка в свое врамя действительно существовала и послужила главной причиной открытия аксиальной аномалии.

Если бы мы забыли о цвете, вычиоланая скорость распада бы меньше найденной эксперима^тально в 3 раза Ноосгласже с зксп^жмш* том нельзя раопмаорквать как яаюоредет веаное подтверждение сущ& ствования цвета, поскольку мы могли бы получить еравильный ответ, используя не кверксшне, а нуклонные токи.

На амплитуду (12.100) можно етладуть и с ^refi епфоны, а им№ но рассмотрать 4-диаергениию ст треугольной диаграммы с аксиально

вектсфной вершиной. В кпральном пределе 加 =吗 8so аномалии, во^и- кающие из-за петель 以 貢％ кв^жов, в соответствии с прошлом т1 Хоф- та должны воспроизводиться безмассовыми связанными состояниями квакав, если осуществляется кв叩ковый конфайнма^т (разд, 11.7). Мы прадполджнли, что эта огравичмтельнан кмральная омметра спонтанно нарушен^ Следовательно, безмассовое связанное состояние должно отее» чать голдстоуновскому бозону распад которого на двафолиа целиком определяется аномалией. В ответ для треугольной деагракмы дают вклад также и высшие ароматы, но они не дают BKja/ja в аномалию,' которую должен воспроизводить п°, поскольку зти，кверки остак>гся массивными в киральяом пределе,. который мы рассматриваем. Эго еще один способ формально подта^)дить, что пион состоит в основном из н d/w со卿жнт лишь очень малую ^аимесь зз7 с с и т.д.

Пионный октет. Поскольку существуют веские подтверждения то- г0 факта, что в а冲онно济 физике существует приближенная унитарная симмет[шя, мы можем предположить наличие расширенной юфйлыюЙ инвариантности. В этом случае предполагается

(12.105)(12.105)ти- md = тя - 0.

(12.105)

(12.105)

Следуя той же линии рассуждений, что и в предвдуще^ раад% щмждам к выводу, что эта киральная симметрия спонтанно н^пвш 我 ножлявтся мультиплет голдстоуновских бозонов, отождествляемый с пионным окте* том. Чтобы рассмотреть этот прадед, достаточно обобщить (12.82) и (,12ЛЗ)> переопределив квфковый столбец 屮：

(12.106)

и заменить матрицы Паули 九 в (12.85) л (12.08) матртщами ГеллЛан® % (а = 1,…，8). Следовательно, мы имеем "невозмущенную” систем с глобальной группой симметрии

【$U(3)k х【SU⑶]а х I^(l)]v х Ц/(1)]А,(12.107)-

где [Sp(3)]v реализуется в ”в(хъм%тж)м пути", а [5(/(3) ]А-в паяв* лении голдстоунонекой моды.

Массовые расщепления как в пион ном октете, так и в других арома»

товых SU (3)-мультиплетах происходят из-за наличия плотности лагранжиана возмущенна

и рассчитываются с помощью "юфально济 теории возмущений” Е153}- комСиташи методов п алгебры токов"班 побобщенной ЧСАТ", Используя этот способ, можно выразить отношения масс кварков через массы пионов и каонов. Мы приведем результаты Вайнберга [154]:

2加2(万。) + 加2(К+)- m2(y)- 加2⑴+)-'

md —加2(k0) - m2(k+) + 加2(万+)

Используя наблюдаемые массовые расщепления в ароматовых St/(3)- мультиплетах как исходные данные для опенки ms，Вайнберг предлагает значения11

ms = 150 МэВ. ^d = 7,5 МзВ, 4,2 МэВ.(12.110)

12・5. Проблема U(1)

При непосредственной реализации сямметрии t/(l) все 卿оны имели бы в хиральном пределе безмассовых партнеров с противоположив четностью. В реальном мире мы ожидаем наличия скалярших» партнера пиона с массой, примерно рааной массе пиона. Поскольку таках часта* на ие наблюдалась, предполагается, что эта симметрия спонтнино нарушена. Но тогда должен существовать псевдоскалярный голдстоунсв- ский бозон с / = 0, возмущенное состояние которого должно млеть щм- мерно ту же массу, что и пион. Используя киральную тесфию воэмупе* ни% Вайнб^)г [ 155 ] получил оценку массы этой частшты:加 < у[^т« О)еди известных адронов е/кнсав^нь^ш частидами с подаоднщими квантовыми числами являются «549) и ” (98 5) * Массы обеих частиц олишком велики, для того чтобы удовлетворить критерию Вайнб^а- Кроме того, частица п (549) уже использована в пиодном октете，Про&лиад U(1)фФ^- лируется следующим образом: "где еще один голдстоуновсний бозон?"

"Другие значения предложены в работу [1551

т'Хофт разреши эту проблему, показев, что ож%ааемы1к голдстоу* новсжий бва^1 вследствие инстантонных эффектов не является физической частицей. Мы не будем проводить детального анализа проблемы, а останонимся только на некоторых ключевых моментах.

WWТ<ж j J ве сохраняется из-за шинчия в КХД акогалыюй аномалии1 > :

W

W

(12.111)

где N, - число ароматов кварков, участ^иицих в формирсвании юфаль~ кого предела {N, = 2 иля 3), и используется сокращенная запись 彳可毋*。> Но мы эиаем, что 彳♦ 9 - полная 冬див^генция (см.

(5.6)):°"

У? =%『， (12.112)

интеграл от которой, взятий по всему 叩остранству, щххк^цисналей то- пологическв^у заряду, Мы можвд определить ка/忌свочнбн^нкфиа1nt НЫЙ СОхрВДЯЮщиЙСЯ ток

(12.113)

являющийся обобщением на неабелев случай тока (11・39)・ Ген印атор симметрии [ t/(l) ]д может быть выбран в виде

(12.114)(12.114)

(12.114)

(12.114)

В абелевом случае Q§ калибровочно-инвариантен, поскольку топологи- ческий зарад отсутствует. В неабелевом аучае это не тас. hQ6 уже не является физической величиной. На самом деле нз・за наличия йнотан- TghgbQs даже не сохраняется, Чтобы показать зто, проинтегрируем @ J 5Ц по еаклядову 4-прострвдству. Результат интегрирования можно

” См> замечания в конце разд. 11,4. Вь^амаме дпй «омалми ям»тся сче- вид“м обобщением выражения для абелевого случл. №эф4м1мент в〃 /2 HB бопьш., чем в збепввом случае, причем тот же ик^гаъ пишется Зенгами ГЛ>

предстаадть в виде

(12.115)(12.115)(12.116)(12.116)I 出孚= 2^[G],

(12.115)

(12.115)

(12.116)

(12.116)

где

儿G]=龄卜％决？

—топологический заряд, являюцийся фушодоналом кддабрсвочнсго поля "・ Для G “, котсфое отвечавт одиоинстантонному решению, q[G]= 1.

Следовательно, в этом случае значения Q§ на противоположных концах евклидовой временной оси отличаются на

Д05 = 2Mq[G]・(12.117)

Это саязатю с тем фактом, что мнставтон осуществляет интерно^пию (в евклидовом времени) между конфигурациями кали^)овочаого поля, рвзличающимися на единичный топологический заряд (см. разд. 6.6), Таким о^азом, нет оснований ожидать, что симметрия [U(l)]厶 имеет физические проявла^ия. т'Хофт в своем детальном вдализе объяснил, что происходит с несостоявшимся голдстсужвским бозоном. Мы не будем рассматривать этот вопрос.

Проблема - это не матемапмесюй парадсжс, a octree вдшеяие надежд на достижение понимания. Работа т'Хофта сияла парадокс в его первоначальной формулировке, но породила новые вопросы. Например, приводит ли ^инстантониая физика” к щмемению обычных представлений в низкоэнергетической физике адронов, в частности о оюнтанном нарушении [St/(2) ]д? Вдаваться в обс^ждаше этих вофоссе - здачит ^огрузиьг ся в пучину ненадежных и прогмвс^ечишх ^гумектов。В следующем разделе мы обсудим только сравнительно хорошо понимаемый аспект инстантонной физики - вотрос о судьбе е-миров в КХД.

12.6. 0-миры В КХД

Евкпидотю дейстние. Напомним, что различают "большие" и "малые^ калибровочные прео^)азования (раэд. 8.6). Вакуумное состояние можно сделать мнв^антным бносжтав*。всех калибрсвошых прес你к зований, включая "большие", если прибавить к действию член, пропорциональный топологическому заряду |см. (8.140)). Игнорируя тяжелые

кварки с > 6 $ 厶 рассмотрим действие в просгравстве Минковского

СТ Л 1?2 + “0 - ^ 叨 阿 G],(12.118)

где 屮 определено в (12.106), а М — массовая матрица, которая более подройю обсуждается ниже. Параметр 6, который умножается на логический заряд g[G]-~ неизвестная константа, В глюодинамюсе pa3JW4- ннм 0 отвечают физически различные 0- миры. В дальнейшем мы у ни* дим, что включение в теорию кварков изменяет смысл параметра 0 как в математичеёком, так и в физическом отношении.

Мы будем работать в евклидрвом 4- 呼央т^акс^вб.Утал* wy晔 вить пареход от простравства Минковского к евклидову пространству, необходимо заменить аеличины в левом столбце табл. 12.2 соответствующими величинами о правом столбце. Отметим, что в евклидовом пространстве нет размия межф в^хними и нижними индассами. ЕЬщ* довы матрицы Дирака эрмитовы, а матрица 丫§ 一 такая же, как м в про

Таблица 12W АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ИЗ ПРОСТРАНСТВА МИНКОВСКОГО В ЕВКЛИДОВО 4-ЛРОСТРАНСТВО

Пространство Минковского

Евклидово прострзнство

Координата

(" = 1,2,3)

Импульс

尸。

Фе4

/

Pfe 土

Калибровочные полн

(GeV

Инварианты

乎

Т апологически й заряд

Матрицы Дирака

У。

ГЕ4

(пЪ • УяГ^УеГе4

0-дайствиа

стревзве Минковекого. В дальн曲цем мы будем опускать индекс £, обозначающий евклидовы величины、Евклидово дейстаде имеет вид

$е = / 不上口3’ + °(D 十 Л/)叨 + ^[^]-(12.П9)

"©ункпиа распределения'Ч из кот^юЛ мо惠но получить выражения для евклидоных квпрковых функций Грина, имеет

ZJ小职卜 N / (DG)(D@)(DW) ехр(-% - (0,⑴一(九屮)】,(12.120)

где q, n‘ — антикоммутирующие с -числоные источники и в показателе акшоненш не выписаны духавый и фиксьфующк^ калибровку члены. Мы использовали сокращенную запись g)专 f Vгде в / ・ g проиэае- свертка 日。всем имеющимся иядексам,

Аксиальная аномалия и теорема об индексах. В безмассовом пределе дейстние S& инвариантно относительно хиральных преобразований. Поскольку все величины в {12.120} классические, можно ожидать, что появится классический результат 七 =0. Между тем мы знаем, f ， что появляется аксмальнак аяомалия. В чем же причина ее появления? j 弋 Фудзиквва [ 157] показал, что причина возникновения аксиальнойшкма- & лии - хиральная неинеприантность фермионной меры

I

d# ■ (D@)(EMr).(12.121)

Чтобы увидеть это, определи полный набор спинорных собственных функций оператора р ° ：

i /6丁(*)6(1)= 6e(12.122)

где %{#)- функционал от G^ ",гккжольку оп^атор 尸 зтисжт от'полей Gq Разложим кв^ковые поля для каждого из ароматов следующим образом (ароматовы员 индекс для краткости опускаем):

巾(Х) = 2 仆内⑴，g(x) N £ ьпф^(х),(12.123)

!Мы нормируем 审 на единицу а четырехмерном евклидовом объеме

j С = 1・ Переход к бесконечному объему осуществляется при бесконечном

8 Уменьшении единив объема.

где J лл ! и t ifl ) - наборы независимых антикоммутирующих с тисел. Положим

(12.124)

где / - ароматовыЛ индекс. Под действием локальных хиральных 叩3

ф(х) Т 卩«) V 步⑻ е』за(2*2/25)

а кжгзп'ы。广 М А 〃 прёобоаэуются линейно

где Cnm-обычные числа：..

Поскольку матрица 厶 аигикоммупфуег ср,® м(№м ныбратъ состояния фч, обладающие определенной хиральностью. Для каждого # 8 существуют1 два вырожденных состояния с противопол о жн ой кирально стью. В таком "кефальи。“，представлении матрица Cnm д4Е1Гональна, } легко видеть, что

(12Л28)(12Л28)П ^ = (det С)7Ц%・ Пл

(12Л28)

(12Л28)

Для инфинитезимальной фаш а 佃} имеем

(det С)1 а(det С)1 аЛ: а(х)фп\х)у5ф„(х)Л: а(х)фп\х)у5ф„(х)(12.129)(12.129)ехp:内в工）2"（%）力内（工）.ехp:内в工）2"（%）力内（工）.

(det С)1 а

(det С)1 а

Л: а(х)фп\х)у5ф„(х)

Л: а(х)фп\х)у5ф„(х)

(12.129)

(12.129)

ехp:内в工）2"（%）力内（工）.

ехp:内в工）2"（%）力内（工）.

(12.130)(12.130)Этот результат не зависит от используемого представления. Таким об- рвзом, при локальном инфинии^зималъном киральном преобразовании

(12.130)

(12.130)

м - d* R户加,

где

A R 也[d4工 a(K)£ б/(х)у2〃(х),(12.131)

■ число кверконых ароматов. Таким образом, фермионнан мера ки* рально-неинвериантна,'

Сумма в иятеграде (12,131) Офед&л电а несдаоскачно. Мы сяфед^лим ее следующим образом:

2 ФпЧ^)Г5фп(х) - Кт 5；ф^(х)у5ф„(х),(12.132)

где Л — энергия обрезания (о®езание проиэиодится так, чтобы хиральная симметрия не нарушалась). Вычисление суммы в правей часта (12,132) несложно» но весьма утомительно. Читатель может обратиться к работе [ 158 ], а мы приведем лишь результат вычисления:

2 б'а)7#”(х) * 翁5 3 3'(12.133)

Подставляя этот результат в (12.131), получаем

А 盜丿 *“(”)*%М」34)

В отсутствие источников Z& должна быть инвфлангна относительно ло- кальшх ттралы1ЫХ прео^азовашй, поскольку интегриротание «роиэво днтоя независимым о® азом по всем ошн<фным компонентам 屮 м 审. Используя (12.134), находим, что под действием локальных инфинитеэи* мальшх киральных преобразований Z$ мекяе^са на 6Za=i|(DG)d^e

(Мх а(х) [т$“ + 2^М力“ +У ・ У ]

Следовательно, выражение в скобках должно &лъ равно 即畋 и ш получаем выражение для аксиальной аномалии (12.111),

Приведенный вывод ф印для аксиальной аномалии ве является более строгим, чем в гл, 11, поскольку мы не показали, что результат не зависит от процедуры о®езанн%. Таким обрезай, ш не смогли 叫岭 вести новых доводов в пользу того, что рщащонные погфевки не дают вклада в аксиальную аномалию (разд. 11,3).

Вернемся к выражению (12,133) и проинтегрируем обе его части по евклидову 4-пространству. В левую часть выражения, которая становится хорошо определенной величиной после введения обрезания {12.132), дают вклад только состояния с % = 0, котсфне вазывдютс” "нулевы» ми модами”. Если £^ * 0,вклады двух вырожденных состояний с противоположными хиральностями сокращаются, В правой части стоят топологический заряд, Следдвательно,

n+ = д，(12.136)

где л± - число нулевых мод с хиральностью 土 1 соответствеано (для Данного аромата) в фоновом калибровочном иоле G ", а ” топологический заряд фонового поля. Это - теорема об индексах Атьи - Зингера [158 ], для которой мы дали очень угцющешюе доказательство. На самом же деле теорема является строгой.

Если фоновое поле о/щоиистантонноё, то ? = и творала об индексах утверждает, что п+ - я_= Это означает» что для каждого кв^>к<ь &ого аромата в фоновом одиоинстантонном поле существует по 1файней мере одна нулей ан мода. т'Хофт показал [159], вдэ в дейбжг^бйости в инстантонном поле существует только одаа 邓《вая мода с положигель- ной киральностью, нормкронанная волнован функция которой имеет вид

6dm«le3) и。+ 吟-3/2〃(12,137)

「де %’ п 名"名",а 以 一 постоянный дираяовск疆济 спинор.

Кирапьный прадеп： коппалс ечииров. Переход/ к Юфальнс^ 吵 Делу отвечает переход 肘 0 в выражении для действия：

呼 Т(У ⑴ + 位 0w) + 冶况GL(12,138)

Функция распределения имеет вид

Z俨Е 利=N }dG) exp{-；Q, 3) - iOq[G])f^G,巾 H fo[G,小明=j dju exp(一з，0巾)一 硏-(可,巾力"2J39)

Изменяя переменные интегрирования и производя глобальное инфините

зимальное киральное преобразование^ имеем

1

J djuexp[-@,例0 -一 (万，巾)]

索 f

■ J Qu' exp—®', 0M) ~ 歹)一 E，炉')]Q2J40)

г g

.(12Л41)

Следователь7

扬

s

敍G, % 砲=戸 ACG，М『1，(12.142)

где, согласно (12.134),

Выражение для производящего функционала принимает вид Z$%7 用=N j (DG) ехр{-ХУ, 3) - "6 - 2a、)q[G»

Следсжатшьн^

Z訳忆制”2.145)

Выр^кение <12・\45} справедливо и в случае глобальных кца&ныхтфе- образований, поскольку при последовательных преобраэсюания соответствующие параметры киральных преобразований а складываются (это следует из групповых свойств киральных преобразований). СлвдсватеЛь но, глобальным калибровочным преобразованием ф^мжданых источников всегда можно добиться выполнения равенства 0=0: для этого достаточно выдать а = e/2^f. Такие юфв»н« тфеобразовшпм те влияют на физические величины, поскольку все функции Грина Шчисляюг- ся в прадеде выключенных источнике^- Таким образом, в теории, вк» чающей безмассовые кварки, все е-миры физически эквивалентны. В частности, теория САинв^шантни в отличие от глюоданамики с 0 # 0.

Включение в рассмотрите кварасда 殴угш ароматов не может изменить этого вывода, поскольку зм не затрагиваются кирадыофли преобразования ми. Таким образом, для “коллапса" 0-миров и восста- нсдаления С Аинвараантности достаточно иметь один безмасссшй кварк.

4. Массовая матрица кварков. Учтем теперь мвссовый член

J = 7M %(12.146)

Продзводящий функционал принимает вид

Z』％ 帝 М］ ■斤卜DG) ехр{Т(决 3) - i0q［G^UG,小司，

fM［Gr小力］，da e呼［・(步,(Q + M)W)L(矶力一(汇,W)1

(12.147) Угол e <шова можно включить в фермионный сектор теории, пр&鄧едя киральные преобразования(12.141); но теп^ь от него зависит масссжая матрица и, следовательно, все физические величины. Соотношение (12.142) заменяется соотношением

加［% П，捫=^fulG, 牙］(12.148)

гдеМл ・ преобразоввиная массовая матриж

Q2.M9)Q2.M9)М' ■ М е-^^.

Q2.M9)

Q2.M9)

Тяким образом,

叮；М]-工”持悔田，『；Л/〕(12.150)

Выбирая а = е/2^ , получаем

Z&E 帝 Л/] = 守；AfJ.(12-151)

Поскольку п〔斤'-произвольные источники, физический смысл имеет только зависимость от 8 массовой матрицы “二

^гобы параметризоееть массовую матрицу, удобно разложить 屮 на правую R и левую 厶 компоненты. Массовый член общего вида можцо записать следующим о^жзом:

- QCL,(12.152)

где^— произвольная матраца 3x3. Массовая матрица имеет вид

Л/ = А + iysB, где Я и В - эрмитовые матрицы:

=；(m + 川)，

В = ^ (嵐-Ж*).

Преобраэоданная матрица М *» очевидно, имеет такой же вид:

ar = a +什田,

где Я *, в * - эрмитошл матрицы 3x3.

Группа симметрии невозмущенной задачи [SJ/(3) х U х ^(1)]А эквивелентна группе [SU(3) х £7(1) ]£ к [SU(3) х вующей следующим образом:

(1)]уХ”и(3)ХU(Vf]Rl дейст-(1)]уХ”и(3)ХU(Vf]Rl дейст-【SU(3) х U⑴必l …70HL 【SU(3) х и⑴]^ R Т е丿…R.

(1)]уХ”и(3)ХU(Vf]Rl дейст-

(1)]уХ”и(3)ХU(Vf]Rl дейст-

(12.153)(12.153)(12.154)(12.154)(12.155)-(12.155)-(12.156)(12.156)Если на эти преобразования не налож^о никаких огршшден咽 то с их помощью можно диаго11клизовать матрапу* причем недиагональные

(12.153)

(12.153)

(12.154)

(12.154)

(12.155)-

(12.155)-

(12.156)

(12.156)

элементы 気 будут неоориштельными. В частности, такими Гфеобразжа- ниями можно устранить н 叩 ушаюцщЙ САинв^иангность член “/в мао совой матрице. Эту операцию мы проделали в гмк 6 гфи обсуж^нии мо дели Вайнберга - Салама. Теперь мн знаем, что суиестеуюг ранее не учтенные нами ограничения, возникающие вследствие

в) наличия то по л отческого заряда,

предположения о том, что симметрия [5Е7(3) ]д спонганио нарушена.

Наличие топологического з叩ада 叩иводит к появлению члена

G] в калибровочном секторе, и к преобразоэнниям вида (12.148) в фермионном секторе теории- Таким образом, теория может быть сделана САинвариантной только 叩и спедйальном выбора параметра fl к звансящих от 8 параметров массовой матрицы. Следсвательно, тецжя яаляется, вообще говоря, СР-неинанриантной_

Ограничения, возникающие из-за спонтанного крушения симмет・ рии [S//f3)]A, рассматривались Дашеном [ 160] и Нютием[ 161 ].В ки- ральком пределе вакуум вое состош^е бесконечно урождено. Вырождение параметризуется фазовым параметром & Преобразование, ц)инад- лежащее [SU(3)〕a，изменяет значение § и, следовательно, переводит одно вакуумное состояние в другое. При включении в рассмотрение возмущающего члена симметрия [SC/(3)1A явно н叩уигаегся, и# выделяется некоторое определенное значение После включения возмущения вакуум остается в состоявни с этим значением g・ Если мы выберем вакуумное состояние с неправильным значением то £щ^ нельзя будет рассматривать как малое возму1№ше, поскоаку эффект сведется к повороту в направлении оравильного вакуума. Таким образом, чтобы иметь возможность мспольэсвать KMpaj0yo тесрию всзму* щений, необходимо начать с правильного вакуумного состояния, вы・ делив его из бесконечной совокупности вырожденных вакуумных состояний.

Здесь может быть проведена аналогия с фе^юмашетяком. В отсутствие внешнего пол» вектор намагниченности может иметь произвольную ориентацию. Действие внешнего магнитного поля, даже малого, может рассматриваться как малое возмущение только в том случае, если его направление совпадает с исходным напрвалением вектора намагниченности.

0 рассматриваемой задаче условием того, что £masa можно рассматривать как малое возмущение, является запрет рожд^шя голд-

стоуновских бозонов мз вануума:

(12.157)(12.157)8及…时^ 0,

(12.157)

(12.157)

где # (А =】8) - любая частипа из н^озь^оценного пионного октета

тг, % к. Поскольку тг^ — пс ев до скалярные чвстишд, ограничение налагается только на член «у5 Я* в масссжой матрице(12-55):

付1吊七呼屮|/)=0 (k = 1,...,8).(12.158)

Это означает, что 5y довательно, матрица £Это означает, что 5y довательно, матрица £Таким образом.Таким образом.R'屮一синглет по отношению к [SJ/(3) ]А- Сле- должна быть пропсфпиональна единичной матри-

Это означает, что 5y довательно, матрица £

Это означает, что 5y довательно, матрица £

Таким образом.

Таким образом.

(12.159)

@M，W = *(a + ь53)w

и 工(4 + 沁)R + R(4 -加)L.(12H60)

У нас больше нет инвариантности относительно [ SU( 3) 1 А-прадбразова- ний, но мы можем производить [5Е7(3) ^-преобразования и гщивести матрицу 4’ к диагональному виду с собстзеиными значениями а, (f ：= 1, 2, 3). Тогда массы токовых кварков будут равны (а ； + з?卢

(/ м 1, 2, 3>

Чтобы определить з. заметим, что преобразование(12.149). переводящее о мз калибровочного сектора в фермионный, ц)иводит к появлению ф<£ювого йножителя в определителе левой компоненты М'・ Этот

Множитель равен

二 е叱 (12.161)

Могут возникать и другае фазовые множителя (например, из исходных параметров масссдаой матрицы), но мн не будем их рассматривать, поскольку их эффект сводится к изменению значения произвольного па-

раметра е. Днагоналнзуя Л * и считая з малым параметром, получаем det（A -必）=（m"一办）（加，-而）（加$ -汕）+ 0®》（12.162）

Приравнивая фазу приведенного выражения фазе с'®, получаем

g +5仅）.

（12.163）

Следовательно,

^mass = -（rn^uu + m"d + 力,心）+ %cp，（12.164）

где нарушающий САинвариадтность член в низшем порядке по е имеет вид

=匕6国，* +而N十歹y5s）»

《=（12.165）

Если одна из масс кварков равна нулю, то ранен нулю и £Ср,кшс ио»№ далось. Коэффициент { был получен на языке "доКХД” Бегом [162], а на языке хромодинамики — Балуни [ 163].

5. Нарушение СВИнвариантности s сиплых ааанмоцействиях. Член £срв （12.164） приводит к нарушению СР-инВ^магпюсти сильных азаимо- действ^й. Этого можно избежать ддумя способами:

а. Мы можем считать одну из масс кварков равной нулю. Наиболее естественно считать m = 0. Хотя существующие экспериментальные данные и допускают такую возможность,, с феноменологической точки зрения она кажется крайне "неестественной [ 164],

6 Мы уже говорили, что значение е меняется в зависимости от выбора параметров в массовой матрице М. Если состанлять М из хиг- гссдаских полей^ то угол 8 может быть изгнан из КХД в хиггсовский сектор теории с соответствующими приятными возможностями для тео・ ретиков [ 165 ]< Но до сих пор нет указаний на осуществление в природе этого механизма.

Если £Ср дается формулой （12.165）, то можно вычислять наблюдаемые физические величины, пользуясь стандартной киральной теорией возмущений. Мы упомянем некоторые результата» являющиеся точными в хиральном пределе [ 186 ].

Один из эффектов, возникающих из-за присутствия £ср,- пояале- ние САнеинвариантного члена в эффективном пион-нуклошюм взаимо действии!

&NN = g^N^rsrN) ■疗 + gi^NrN) ■ я, 一啄7(加"m")，gl66)

где 加三 * 加^ 一 массы £-частииы и нуклона соответетвенно. Приведем соотвётствующие численные значения:

IgbAwl - 13.4,

仝 0-038|fl|,(12.167)

где для вычисления《использовано соотношение (12.139).

Используя эффективное пион^нуклонное взаимодействие, можно Тайно вычислить электрический дипольный момент нейтрона D в ки・ ральном приближавши. Физическая причина состоит в следующем. Нейтрон может, в частности, аиртуально диссоциировать на протон и пион- Пространстренное разделение зарядов протона и пиона в виртуальном состоянии дает вклад в электрический дипольный момент нейтрона, поскольку сущрствует СР-нв1Нвариш1тная пион-нуклонная вершина. В хиральном пределе 珊行-0 это виртуальное состояние является до- минирующим, поскольку виртуальный пион до р&(амбина^т пжэда и 叩о тона в нейтрон находится на болыпом расстояния от пршож и эта код- фигурация дает наибольший вклад в электрический дипольный момент нейтрона. Приведем результат ссответствующего вычисления:

gvNNg；NN 1n К，gvNNg；NN 1n К，県丄

gvNNg；NN 1n К，

gvNNg；NN 1n К，

(12.168)

а численнов значение D равно

% = 5.2 х 1016 6 см・(12.169)

Сравнение с экспериментальным ограничением

|D」V* см(12.170)

йриводит к ограничению на е

I 训 V 10・9(12.171)

Литература1*

I, Bjorken /・£)”： Drell S・D. Relativistic Quantum Mechanics. — New York: McGraw4iill, 1964; Relativistic Quantum Fields. — New York：

McGraw4iillt 1965. (Имеется перевод: В砌кек Дж» Дрелл，.乩

Релятивистская квантовая теория^ В 2・х томах. - М.: Наука, 1978.}

2・ Wigner Е・Р・—Ann. Math., 1934, v・ 40, р・ 149・

3・ Streater R・F”： WighMitn 儿义 PCT, Spin and Statistics, and all that.— New York: Benjamm, 1964. (Имеется перевод: Стритер РгФ^.Вайт- 川開 AC PCT, спин, статистика и все такое.一 М。： Наука. 1966。)

Зо，аю6об У.4・, Логунов АЛ„ Тодоров 〃・Т. Основы аксиомати- чеасого подхода в квантсв<й те^ши поля- - М: Наука, 1979 ・

5・ Ra巾er D.p. et Phys。 Rev. Lett,, 1979, v. 43； p・ 1915.

6・ Hagedom E — Nuov・ Cim・, 1968, A56, p. 10 27.

Huang Kvr Weinberg S* ：- Phys- Rev. Lett-, 1970, v_ 25, p・895・

HofstadterMcAllister 匕If. - Phys. Rev” 1955. v・ 98, p. 217-

卅円！限A&nd Physik, 191% B59, S・ 101・

Ю- Yang C.Nt Mitts ；— Phys, Rev., 1954, v- 96, p、191・

11 ・ Lee T・9・,Phys, Rev・,1956, v・ 104, p. 254.

Wu C・S・ et &・：.Phys. Reve, 1957, v, 105, p< I413・

12< Feynman 兄f” GelbM^m M・—Phys. Rev・, 1958, v・ 109, p. 193・

13・ Glashow S，L — NncL Phys., 1961, v. 22, p・ 579・ ^Weinberg S・-Phys. Rev・ Lett., 1967, v・ 19, p・ 1264.

15<Salam 4. — In! Elementary Particle Theory. Ed・ N・ Svarthbolm.— Stockholm： Almquist and Wiksell, 1968<

l6.Langackffr P9 - phys. Repts” 1981, v. 72, p・ 185.

17・ Gell-Mann M” N，eman У. The Eightfold Way. — New YoHc: W.A・ Banjamin, 1964.

Звездочками отмечена литература, добаапеннан при переводе.

18・ Mi〃"吼 Symmetry Groups and Their Applications, — New York： Academic Press, 1972.

19・ Kokkedee /・/•/• The Quark Model. — New York： W・A. Benjamin, 1969. (Имеется перевод: Конкеде Я- Теория кварков. - М。： Мир, 1971.}

Greenberg O.W：r Nelson С.4. — Phym. Repts,, 1977, v・ C32 p・ 71 ・

2【・ Huang K, — In! Selected Topics in Physics, Astronomy and

Biophys沁8. Eds. A・ de Laredo, N・ Jurisic. — Dordrecht, Holland:

Reidell Publisbing Co., 1973, pp・ 175 — 213-

22・ Friedman J.〔“.Rendall H, — Ann. Rev, NucL Sei” 1972, v・ 22, p・ 2。3・

23・ Feynman R,PB - Phys. Rev. Lett., 196% v- 23. p・ 14】5・

24・ Bjorken J・D“ paschos E.4 - Phys. Rev., 196 9, v= 158, p・ 1975-

25・ Particle Data Group — Rev, Mod, Phys,, 1980^ v< 52, p, 556*

26* Mark-J Collaboration. The First Year of Mark-J, MIT Lah・ for NucL Sei. Report 107 (April 1979).

27・ Hansen C. wt a!・-Phys. Rev。 Lett., v- 35, p・ 1609.

Barber OP. 0t — Phys・ Rev. Lett，， 1979, v・ 43, p。 830・

29。M勿sch必 R.E” Riazuddi% Ruan C<P, Theory of Weak Interactions in Particle Physics, - New York, Wiley-Interscience； 1969.

3d West G % - Phys” Repts” 1975# v. C】8, p・ 263・

Glashow S・L, "iopoulos Maiani L — Phys. Rev- 1970, v・ D2； p・ 1285.

32・ Ting S.CC。— Rev・ Mod. Phys” 1977, v・ 4% p&36・

Richter 艮-Rev. Mod. Physo 1977, v, 49, p・ 251 ・

3 3・ Herb S-W. ea q，- Phys. Rev. Lett., 1977, v, 3% p・ 252・

34・ Appe[Quist 7\, Borne" R.M” Lane K・D・-Ann. Rev. NucL Part。

Scuf 1978, v. 28, p・ 387・

Deiman SnP^ Jackiw 匕* Gross D"・ Lectures in Current Algebra and Its Applications. — Princeton： Princeton University Press, 1972, p_ 101- (Имеется перевод: Трейман C・6” Джекам P” Гросс 乩 Лекции по алгебре токов. — М・:Атомиздат, 1977.}

36・ УапдС・М - Phys. Rev., 1970； v- Dl, p・ 2360.

37・37・38.39・38.39・Schwinger /. - Phys. Rev,； 1962； v. 125, p・ 397・ Schwinger J。 — Phys, RevM 196 2, vB 128, p= 2425・ Wilson K. — Phys. Rev・，H4. v・ D10, p・ 2445.

37・

37・

38.

39・

38.

39・

Guth 4,』Phys. Rev・, 1980s v・ D21. p・ 2291.

<^o Ids tone. J, — Nuqv. C；m” 1961, v, 19, p・ 154<

GoWsSne Satm A-;. Weinberg S> — Pkya, 965.

Higgs E-Phys, Rev. Lett” 1964p v・ 12. p. 132,

Епреп 尸Qrout — Phys, Rev. Lett” 1964, v. 13, p. 32L

Gumlnih G.S., Hagm &凡，Kibble — Pbys, Rev, Lett” 1964, v” 585

4 2・ Пшсбур，婚乩乩 * ЖЭТФ, 1950f т. 20； с- 1064.

43» Aharonov У・,Rohm D. ：- Phys, Rev” 1959, v, 115； p. 48 5・

44， HuongPhys. RevM 1981, v・ 23, p・ ЗЦ50-

45。Mendelsohn K> The Quest for Absolute Zero, — London： Taylor and Francis, 1977<

・ Gilmore R» Lie Groups, Ue Algebras, and Scene of Their Applications.- New York： Wiley-Interscience, 1974.

Glashow S.L>r Gell-M^nn M. — Ann. pf Phys.； 1961, v. 15, p. 437<

48・ Yazg c风 —Phys. Rev。Lett” 1974, v・ 3 3, p・ 445・，

Wu T・T“ Yang C，M - Pby” Rev,； 1975, v, D12. p・ 3845。

50> Schwinger— Phy包.R§v・, 19$2, 丫・ 127> p・ 324.

・ Christ M, Guth 4., Weinberg £, ■— NucL PhysM 1976； v. 114, p・ 61.

冃uangStump D, — Pbys・ Rev” 1977t v. D15, p・ 3 660・

2, Weinberg S, - Phys. Rev・，1973, v. D7, p J058.

53・ Lee 丁.», — Phys. Repts” 1976, v, 23, p・ 254.

Des er S. — Phys. Lett., 197 6, v, В6 4gp. 463・

Goldstone Jackins 冗.—Phys. Rev・, 1975, Dll, p・ I486.

Christ Lee 7\£K - Phys. Rev” v. D12, p. 1606.

Peiavin ХЛ, et aL ■ Phys, Lett.. 1ЭТ5, v, B59； p・85・

t'Hooft G「Phys. Rev, Lett., 1976p v. 37. p. 8・

Монастырский MJL, Переломов ЛЖ-ШоьмаЖЭТФ, 1975, т. h C・ 94・

59・ Wu T.T”. Yang CM - In： Properties of Matter Under Unusial

Conditions, eds. H.Mark, S・ Ferabach, — New York： Interscience, ｝淞 p. 349.

q — Nucl. Phys,, 1974,B7% p・ 276・

〃оля*об - Письма *ЭТФ. 1974宀 20, с, 194。

Dirac 尸- Proc. Roy. Soc” 1931, v, A133, p. 60.

jackiw Rebbi C Phye. Rev. Lett.； 1976, v. 36,Ш6.

Hasenfratz P„t t^Hooft G — Phys. Rev. Lett” 1976. v. S6, p，1119.

GoU^z6" Д, - Phys. Rev. Lett,, 1976, v・ 19, p・ 1122.

4, Jackiw R・，Rebbi C > Phys. Rev., 1976p v・ D13, p・ 3 3 98.

65・ Su PM“ Schrieff” J・R” Hegger 乩又-Phy*. Rev” [980, v« В22» p. 2099.

6. Glashow> Rev.JHod. Pbys・. 2 98a53 9.

Weinberg S.Phys” 1980, v. 5 2, p. 539・

Salam 4. — Rev. Mod. Phy，, 1980, v. 52, p. 52工

67。CHooft G NucL Phys” 197】,v. B3 3, p° 17 3; v・ B3 5, p. 167。

Qlashow S^b9 Hiopoulos /„ M@i。欣 L Phy8。Rev” 1981, v・ D3, p・ 1043.

69Liede Ross NucL Phys” 198 0, v・ Bl67, p・ 397<

Lee T^t： Yang С-У.< - Phys. Rev*, 1962,128； p, 885。

Kobayashi Me Ж^Алша K・—Progr< Theor. Phys” 1975, ve 49, p・652・

72・ Shrock “ Wang — Phys. Rev. 1978, v, 41, p・ 1692n

73・ Shrock R.E”: Tretman S.历,Wan^ L & — Phys. Rev, Lett,, 1979,

7 4・ Bjorken /・？. — pbye. Rev,； 197 9, v. D19, p・ 335・

尸・Q“： Saiwai尸 Nucl. Phys., 1978, v. B148, p.81.

Sakurai /,/< 广 Ann. Phys M 1980, v・ 11, p・ L

77・ Abbot LF”： Farhi E. ：— Phys. Lett,； 1981. v. Bl01, p. 69； Nucl.

Pbys” 1981, %547.

78・ Feynman R・P“： Hibbs 4R. Quantum Mechanics and Path Integrals.— New York: McGraw4iillt 1965. (Имеетцяперевод: Феи «ждя R, Хнбс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям, - Мир, 1968.)

7 9・丁切・*: У〃加gCM . Phys, Rev” 196 2, v- 128, p。88 5-

8 0・ Wu 厂T. - Phys. Rev” 196 2, v. 125, p- 1436.

81. Березин 0.4. Метод вторичного квадтоваиия. - M, Наука, 1965.

8 2. Schwinger /・-Phys. Rev., 196 2, v。12 5, p. 1043.

83・ Gribov 匕―NucL Phys*; 1978, v・ p.】・

84. Jackiw R,r Muzinich Rehhi C.:- Phys- He% 197& v. D17, p・ 1575.

85。Goldstone J.< jackiw 凡—Pnys, Lett” 1978, v. B74, p. 81.

8 6.P・4・& - Crinad. Joura> Phys-, 1950, v, 2, p・ 12 9； 19 51, v. 3>

87・ Hsson Ло： Regge To： Teifeitoim C・ Constrained Hamiltonian Systems — Rome: Academia Nazionale dei Lincei, 1 夂6・

88・ Christ %、Guth 4,, Weinberg E. — NqcL Phys.» 1976, y. B114, p. 6[ 8 9・尸〃曲Popov 匕Phys. Lett” 1967. v・ B2 5, p. 2 9・ 90・ Callan C.Go,： Dashen R.F., Gross &L 「Phys. Rev% 1978, v. D17$ p. 2717.

血“Fickler Phys. Rev., 1962,182L

92。C?le3n S. §Ed Symmetry, — In： Laws of Hadronic Matter. Ei

A. Z；chini, — New York： Academic Press, 1975, p. 193, 93. Bott R. . — Bull. Soc. Math, France, 1956, v. 84. p« 25L 94・ Jackie Rebbi C. Phys, Rev. Lett” 1976, v. 3 7, p. 172.

Callan C-G-, Mshen R.F” Gfoss - Pbys・ LetL, 1P76.

p 33厶

95. Bitar― Pby&. Rev” 1978, v. D17» p・ 486.

96・ Co lenten S.尸 In： The Ways of Subnuclear Physics. Ed・ A* Zich；ni・ — New York: Plenum, 1980.

97- jauch J.M”. ROhrlich R ：The Theory of Photons and Electrons* — Reading, Mass.： Addis on-Deeley, 1935.

9s. Боголюбов »出.，员tip*06 Z.3. Введение в теорию квантованных полей. -Наука； 1976.

9 9、Dyson - Phys. Rev., 1949, v. 7 5, p. 486, 17 36.

Ward JC — Roy。So% 1951, v. A64, pc

100・ Bogolubov N・M，・ Parasuik O. ：■ Acta Math., 1957$ v. 9 7, p. 227、

Hepp K・—Cwnm, Math。Phys , 1966, v. 2, p, 301

101. Ward - Phys. Rev” 19 50. v. 78, p. 1824.

Takahashi У. ■ Nuovo 1957, v. 6. p・ 730.

102・ Kd〃©力 G — Hdv. Phys* Acts, 1952, v. 25, p. 417.

103* Weinberg S. — Phys. Rev.» i960, v. 118, p. 8 38.

Schwinger - Phys* Rev., 1951,8 2. p. 664*

Johnson K. — Patricles and Field Theory。. Eds- S。Desg

K.W・ Ford - Englewood Cliffs, Prenticemall, 196s.- 105* ①F，Phys. Rev., 1954, v・ 95, p・ 1300* 106. Jost R・,Luttinger Rehn fhys. Acla, 1950, v. 2 3» p・ 2 0. 107. Lflndau L^D, — In: Niels Bohr and the Development of Physics. Ed.

W. Pauli* ■ New York: McGraw-Hi1955, (Имеется перевод: 才開©型 才О квантовой теории пзля. - В кн・： Ландау Л,Д# Сование трудов. - м.: Наука, 1989, с. 228・

.А山ег &Ь，＞ Pby$・ Rev., 1У72, v. D5t р. 3021.

Adler S.Lo Callan C J Gross D.Y., Jackjw E — Phys, Rev. 1972t 螢82.

Christ — Physe Rev” 1ЭТЯ, vQ p。

Baker Johnson K・—Pbysica, 1979, v. A96, p。 120*

Politzer 从4>・；-Phys. ReptsM 1974p v. 14» p. 1 电

Mueller — Phys, Repta,】98与 v- 73, p” 239。

Ills Callan — Phys. Rev” 1970tD2, p. 1541・

Symanx* K« ■ Ссшшц Math. РЬув*, 197, v。18» p. 227-

】】2. Coleman S.,： Jackiw E, - Ашь of Pby号p。552.

Collins J.C.j Duncan 4», Joglckar S.D., - Pby& R”.，1977,

113・Zinn*Justin：- И:尹.R。％4f D5. p. 3137; 1973,

D7, p, 1049.

1】4・ Goldstone J.t Saltan Л46 Weinberg J・；-Phys. Rev., 1962, v, 127p p, 96 5O Lusinio а — Nuovo 196 4 3 4 p。179 0。

11 & Jackiw E > Phys. RevM 1974,1686-

Co/епмш Weinberg PityW. Rev., 1973, v, D7, p. 1888.

1】7・ Thom C. Phys. RevM 1979, v< D6, p. 39.

Weinberg £ 一 Phys. Rev. Lett,, 1976p v- 36» p. 294・

Lee T.9”： Moue汕erg M, - Phys。Rev” 1%4, v・】33, p. 1549.

Adler S. ：■ In： Leclures on Hemeniary Panicles and Quantum Field Theory. Eds. S. Deser, M, Grisaru. H. Pendleton.— Cambridge： Pres% 1970.

121* Adler S.Phys. Rev” 196% v・ 177, p. 2496.

j Nogvo Cim, 196 9,A6 0. p. 4 7・

Yong L Phys， Rev・, 1950T v. 7 7, p. 242.

Ландау Л.Д. - ДАН СССР, 1948, т. 60, с. 2 07.

Hdfer Bardeen 忆4 ：- Phys. Rev” 1969, v. 182, p. 15】8：

Zee 4.-Phys. Rev. Letu, 197 2, v. 29. p・ 1198.

Roniee〃 屮.4. - Phys. Rev., 196% v. 184, p. 1848*

Dolgov Xp.f Zaharov Р.Д. ■ Nucl. PbysM 197L v- B27. p・ 525.

128* Eden /?♦/♦, Landshoff 凡匕九 OfWe DJ；f PolkMu>me /.（；・,. The Analytic SHatrix. — Cambridge, England： Cambridge University Pre%. 1966

. GrossP・477・

0. Pati J.C./SaSni A.r Strathdee J.，Phys. Lett*, 1.97.5, v・ B5 9, p・ 265，

.，‘ Hoeft G . In： Recent Developments in Gauge Tbeories. Eds. G・ t'Rgft et aL — New Yorki Plenkin Press f 1980,

132・ Irishman J.r Schwimmer 4・,FanAs To： Y^nkiehwicz _ Nucb

Phys” 1981,、

Coleman 5O； Grossman R ( в печати).

. Dmopouhs S“：Ra切 S”： Susskind L ：- NucL Phys” 1双,v・ ВГ73,

. Borgman 匕Michel L,： Telegdi Kb — Phys. Rev. Lett,, v・ 2»

, Берестецкий 瓦5” Лифшиц E*., Питаввский 才.〃.-Кванткая электродинамика, - Наука, 1976.

6・ Gross D,J.t Wii^^ek R _ Phye. Rev. Lett；, 197 3^ y. 3Q» p« 1343； Pbya. Rev., 1978, v. D8哀 3633.

Palitzer H. j Phys. Rev. Lett., 1978, v. 30» p・ 1346.

8・ Caswell Phy舎.Rev. Lett” 197 4, v. 8 8, p. 244.

Jones DRT. - NncL Phy.% 1974, ve B7* p・ 531,

9. Puras 4.j・：-Rev. Mod. Phye., 1980, v. 52, p. 199, B0・ Nielsen MK・-Am. Jours. Phys, 1981. v・ 4% p. 1171.

Johnson K； r Id： A”mptotid Realms of Physics. Eds. A. Guth, 匕 Huaag aad R.L・ Jaffe. — Cambridge: MIT 円1983.

HtWng K・ StaUetic aV Meet an i cs. — N®w York' Wiley； 1963〉eh・ (Имеется перевод： Xy俐％ К. Статистинесаая механика.-

Мир, ]966，)

М3・ Ме/бея NR* Olesen Р・:—Nucl. Phys-, 1978, v, B144, p. 376・.

Abramowitz iQo Sregwn J. A - Handbook of Matheniatiaal Functions, 工 Washington, National Bureau of Stas darts； 1964f p・ ^Юб, (ИмееТЬя период： Абрамовиц Сянган Справочник по специальным функциям. - Наука,

5. Hughes 兄-Роуэ. Lett., 198仇 v. B97, p・ 246; Nud. Phys., 1981 f V. B186, p・ 376・

Tfeiman S・& ：- In： Treiman S・B“ J託kiw R” Grass D.J.» Lectorea in Current Algebra and its Applicatione- — Princeton： Princetea University Preesr 1972,

Adler S・L, D^shen R.F” Current Algebras, — New Yorfu Benjamin, 1968<

Mombu J・—Pnys. Rev。Lett” I960, v< 4> p. 3 80.

У寫оу Гуанчжао^ —源7ГФ, 1968, та 3 9, са 78 3.

Nambu Y“ Jona^fji&inio，■ Phys. Rev.» 1961» v. 122, p. 34E；

明 124, p・ 246.

Calitz RQ・「Phya. Rev” 118. v； D17» p. 3225.

7£u«ng K.t Weldon Я.Л.,： - Phys. ftevM 1975, v・ DIL P* 257・

152・ Particle Data Group, — Rev, Mod. Phys・> 1980, v. 52» p. 1・

Pagels — Phys. Rept6・, 1975» v・ CI6, p. 219.

Weinberg S. ■ In： A FeBtschrift for LL Rabi. Ed. L. Motz.-

New York: New York Academy of Science, 1977.

155・ Lee TQ、Particle Physics and introduction to Field Thewy. — Chur. Switzerland: Hardwood Publishersp 1981, p. 584.

Weinberg S. - Phys. Rev” 1975, v・p. 3 58 3.

Fujikawa K. - Phy§・ Rev. 1979p v. 42, 1195.

Atiyah M3t；Si^gfff /・Ann. Math.» 1968» к 8 7, p. 464,

- Phy九 Rev・, 1976fc v. DU, p・ 3482.

Dashes 兄尸 Phys. Rev” 1971» v. D3» p. 1879.'

M缈心■ Phy6・ Rev. Lett” 197Vv* 26, p. 1604。

B，gPhy% RevM 1971, v. D4, p・ 3810.

16 3. Bo/uni 匕.Phys. Rev” 197 9f v, D19( 2227=

16 4. LangK&er P“； Pagels H. - Phys. Rev” 197 9» v. Di% p. 207 0,

16 5. Fe“ei 兄?・.：®йп- Phys. Rev, Lett.『197 7. ▽• 8& ?♦ 1440.

Weinberg & ；- Phys. Rev. Lett., 1978* ve 40, p・ 228・

Wilczek £・ l Rev. 1978, v. 40f p. 27g.

166* Crewther R^J^ DiVecchia P”： Veneziano <^t_Witten £ ：- Phys.

1 期9,888, p. 123.

167f Паули 3. Теория относительности. - M・：Наука, 1983.

16 8,4е*оп G. * &L ■- Phys. Lett” 1983> v. 12 2В» р- 103.

Banner М・〃威・ > Phys. Lette> 1983, v。12 2В. p. 486.

l^Unde - Pbya. Lett” 1%。, v. 92B, p・ 119.

17 0* Абрикосов 4.4. - ЖЭТФ> 166 7. T・8 2. с. 1442.

171? Огиеввцкий 3/” Мез^ческу 几-УФН, 1975. т.117, с. 637.

Славное - УфЦ, 1978, т. 124. с.価.

俐з俐 Иьювбнхойзен 〃. 一 У@Н, 1979, т. 128, с. 135,

172? FradkME.S. ：- Acta Universitatis №207, Proc. Winter School in Karpaezr1973v p。

17 3? Fradkin £・S”： Pilhniski• — Phys- Lett” 1975, v. 55B. p, 244；

Lett. Nuov。Cim” 1975, v. p・ 187.

BataNn !.&.九 P〃feo5sM GA・Pbyw. Lett” 1977; v. 69B, p・ f27,

Fradkin E.6“. Fwdkind ■ Phys. Lett., 1978, v・ 72B. p, 343.

Batalin Fradkin 一Phys- Lett.. 1983, v. 122B, p・ 157;

174f Frajikin E,S-＞：Tyitin f-F- — Phys. Rev” 1970, v・ LU, p. “8L 匕^ @”衣〃* E.C. - ЖЗТФ₽ 19 5 4, T. 26, c・ 7 51; 195 5, t・2 9, c・ 121. 176?- Письма в ЖЭТФт 197 6, т.23, с. 7 3・

177? барит Л - Дюперсионные метода в Teq*® поля； - М・：Атомизд ат, 1968.

Абсор&псмшч часть диаграммы 305

АДроны 14

Аксиально-векторный ток 294

Аггебра токов 344

Амплитуда перехода вакуум — вакуум 185

-—кааитовопопевая а фейнмановской форме 176

--нерелятиеистская 172, 173

в фейнмановской форме 173

Аномалия Адпера — Беппа — Джякива 397

—аксиальная 295,354,3 5 9

-сокращение аномалий 310

Аномальная размерность 264, 267

Аномальный магнитный момент 330

Антисамодуапьные поля 133

Ароматы кварков 18

А си мптот и ч века я свобода 22, 237, 240

Атья - Зчнгара теорема об индек・ сак 360

Барионный заряд 27

Брионы 〃

Багущая константа связи 23В. 255»

ззе

Ботта теорема 227

Вайнберга - Селама модель 146,

290

—угол 163

0-вакуум 238

Вакуумное средмап 348

Ваку^лной поп Аризации тензор 236

Вихревые трубки 85

Внешние источники 178

Г аусса закон 114

Г аил-Манна - Лоу функция 260» 337

—матрицы 33, 327

「иперзаряд 26

Г иромагнитное отношение 333

「лавное погарифмическое приближение 159

厂лешоу — Иляолулоса — Ма@знх ме・ ханхзм 65

Гпюонное поле 323

Голая константа связи 239. 285

Гопдегоуна тверема 77

厂опдстоуновская мода 75

Гопдстоуновский бозон 78

—пион как голдстоуноеский бозон 344

Гопдстоуноеское пространстве 119

Группа малая 11й

■ Пуанкаре

Г руппы Ли 90

0-Действие 231, 233

Диаграммы дрваесные 190

—одночаст и чно^неприводимкле 242

—примитивно расходящиеся 241

—сипъносвязкые 242

—скапетмые 242

— Фейнмана 190

Динамическая генерация массы 284

Ди шч акт ри чес кая проницаемость вакуума 340

Духовые пз?и Фаддеева — Попова

223, 224

Евклидово 4-простьинстес 184

Изоспии 27

Иадзтентон 127 , 225, 230

Интегралы по траекториям 169, 20ft

Иифракрасно-стабильнан точка 261

Кабмббо угол 62, 69, 164, 165

Калибровка акои&льнан 111

-временная 111

—кулоновская

-Ландау 210

—статическая 125

—унитернав 80, 119

—Фейнмана 210

Калибровочные попа 7^，151, 284.

296

—теории взаимодействий 17 абелевы 70

——нмбалевы 90

Калибровочный принцип 1?

Кмсана — Симанчнка уравнение 26% 264

Кенонический формализм 106

Каноничвское к“нтое叫❷ 202

Квантование магнитного потока &3

Кем”” хромодинамика (КХД) 50, 323

Кварки

Кварювал модель 40

Кварковые струи 62

Киральнал плотность 294

Киральногс тока аномальная расходимость 303

Киральное преобразовенне 294

Киральность 16Г 48

Кобаяшм — Маскаш матрице 185

Коваривнтмая проиаводнон 71, 157

Константа раопада лисиа 34В, 350 Конфайнмвнт кварков 2 2, 32 4,345

Ландау уровни 341

Лватонкое число 152

Лалтсиы 14

Магнитная проницаемость вакуума 340

Магнитный дипольный момент 1$в

Максвеллоеское поле 7a 124

Массовая матрице 32, 362

Материи полн 161

Меэоиы к

Микропричиинссть 12

225, 22в, 3 5 5

Моналоль 134

Иврушени« СЯмн вариантности & сильных вааимодействанх 367 в слабых взенмодойстеинх 229

Нильсена - Юза формула 343

Нулевые моды 360

Параллельный перенос пола is

Серено沖236, 261

—е квантовой электродинамике 240

-заряда 237, 262

—МВССЫ 245

Пионный октат ¥2

Поколение 18

Полюс аномалии 301

Предельная темп врагу рв 18

Преоны 316

Проблема U⑴ 353

Производящий функционал фун|щий Грима 181

Радиационные гтолрввки к аксиальной еномалил 302

Разденжки точек метод 254

Раэмариал трансмутвция 265. 267

Радукфюнкм ф^>мупа 34g

Ренормализйционнвн группа 255

Самодуапьное поле 133

Снмметрийное число сол抑ой диаграммы 193

Симметрнн ен утренняя 1，

-киральнан 346t 347

—cnaGcro гиперзаряда 19

——изоспима 19

—ртмтарнвн 30

Слабый гнпврэарнд 152

Солитоны 124t 127

Ссосраненнн аакторного токи (CBTJ гипотеза вб

Спиральность 52

Слонтенное нарушение глобальной каямбровоиноа ииеариантнсстм 75

—…локальной калибровочной инвариаитисстм 7в CMMMSPMM 18,11В, 271, 391

Стабильная точка 26T

Странность 27

Токовая массе 345

ТопОЛошчвскиА заряд 127. 132, 231, 355

Тополог ичвское решение 124

Т реугольная диаграмма 266

т*Х。竹а принцип 3伯

Упьтрафмол ето №<стабмпьнвя точке

Уорда - Т&хахаш内 тождество 244.

245

Ладдеёаа - Попова матод 211

В*мана пранипа 326

Фвйнменовскмй пропагатор 185,1в9 Фермионные полн〔％

Функции Грина •мпугиромин* 191

——связные 他1

Функциональный ият«грал 16& 206 s гактпъ-тоновой форме 206

ХигтсовсквЯ мода 78

Хиггсовскне полн 21, 116

Цвет 18. 2

Чарм 65, 6 九

Чвстичное сохранение аксиального тока (ЧСАТ) 345.349

Экзотические состояние 47

Электрический квадрупоньный момент

Эффективное действие 273

Эффективный мгронжиен КХД 324 宀 потвнцш 275

Янга - Wnttca поля 9Ot 9в, 222

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА5

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ7

ПРЕДИСЛОВИЕ . . , . •・•…...・ ° 6

Глава 1. введение10

1J. частицы и их взаимодействия

V мймад^V мймад^^Калибровочные теории взвимодействий

V мймад^

V мймад^

Глада z КваркиГлада z Кварки2J. Внутренние симметрии2J. Внутренние симметрии22 Представление22 ПредставлениеОбозначения и сокращения .......

Глада z Кварки

Глада z Кварки

2J. Внутренние симметрии

2J. Внутренние симметрии

22 Представление

22 Представление

笊верков^л модель

24 Цвет

<Эл ектромагнитн ые и слабые взаимодействия едро

нов - 53

Глава 3. Максвелловское полег и(1 )-калибровочная теория. 70 Глобальная и локальная калибровочная инвариантность70

Спонтанное нерушение гпобальиой калибровочной инвариантности: гопдстоуновскан мода'75

Т.З. Спонтанное нерутенке локальной калибровочной инвериантности: хиггсовская мода78 3.4 Решения g конечной энергией . 61

^Квантование магнитного потока63

Юолнтонные решения: вихревые трубки65

Глава 4. Поля Янга - Миппса： нвабепевы калибровочные теории . .。90

Вводное замечание 90

Группы ли

Построение теории лелей Янга - миллса . . . . Об

Свойства полей Янга - Миллса : 106

гКанонический формализм111

Спонтанное нерушение симметрии 116

Глава 5. Топологические решения 124

Солитоны 124 5・2・ Инстантон

5*3. Монополь ・・• . ：

「пава 6. Модель Вайнберга - Салама

Полн материи Калибровочные поля .

6・3. Общая теория Замечания

Глава 7. Метод интегралов по траекториям нерепнтивистская квантовая механика 7・2. вантовая теория поля

7. 8- Внешние источники . ~.

Евклидово 4-пространство

вычисление интегралов но траекториям Фейнмановский пропагатор

7Диаграммы Фейнмана

бозонные и фермионные петли•

фермионные .поля 197

Глава 8. Квантование калибровочных попей.」202 8.1. Каноническое квантование202 8.2. функциональный интеграл в гамильтоновой

форме206 фейнмановский ф^<кциональный интеграл： метод метод Фадеева 一 Попова

Свободное максвелловское поле ♦ ♦ 214.

Чистые поля Янга - Миллса222 “Мир и инстантон225

Глава Перенормировки236

Перенормировка заряда236

03427 11142*2525262s^^этэт03427 11142*2525262s^^этэтПеренормировки в квантовой электродинамике.

03427 11142*2525262s^^этэт

03427 11142*2525262s^^этэт

Калибровочная-инвариантность и Масса фотона.

Ренормализационная группа Уравнение Каллана - Симанчика

Пример:-5езмассовал теория ф4

Г лава 10. Метод эффективного потенциала•

Спонтанное нарушение симметрии.

Эффективное действие

Эффективный потенциал

10・4・ Разложение по петлим

. Однопетлевой эффективный потенциал

10・6・ Перенормировке

, Размерная тран смутацин

- Нерелятивистский пример

・ Применение к модели Вайнберга - Салама ..

Г лаве 11- Акс^апыая аномалия”

Происхождение аксиальной еномапии

・ Треугольная диаграмма・ Радиационные поправки

・ Аномаяы<ая расходимость кирапы<ого тока .. Физическое объяснение аксиапыюй аномалии. Сокращение еномапий

Принцип т'Хофта &

Г пава 12. Квантовая хромодинамика

12ЛВ О5щие свойства . . •

Цветное гиромагнитное отношение ......

Асимптотическая свобода

Пион как голдстоуновский бозсж

12・5・ Проблема

Литература

Гоо. ОРТ.

ИНС

69и5®о44623 .5 063335435869и5®о44623 .5 0633354358Нау

69и5®о44623 .5 0633354358

69и5®о44623 .5 0633354358

Уедаемый читатель

Ваши замечания о содержании книги，ее оформлении, качестве перевода и другие проаш присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1 -й Рижский 呻” 2, изд-фо **Мир”，

Непосредственное пртменекие (228) (фиводат к сладующей теореме:

а) Если генератор А даагонален для фундаментального представления 3, то он ^атонален для любого неприводамого представления.

б) Пусть с .(I н 1.2. 3) - собственные значения 入 н фундаментальном предстфлвнии. Тогда для неп!даводимого щюдсгавления (叫 д).

Кварки, лептоны и калибровочные поля

К. Хуанг

Quarks Leptons and Gauge HeUs

Kerson Huang

Professor of Physics

Massachusetts Institute of technology

Wold SdenUffc 1982

К

К.ХуангIL 6 23笈

Кварки, лептоны и калибровочные поля

Перевод с английского

А.В- Леонидова под редакцией д-ра физ.-мат. мау欢

И.М. Дремина

Москва «Мир» 1985

7

ББК 22314 t

Х98

УДК S39A2

ХЛМК

Х98 Кварки, лептоны н калвбровошые поля. Пер. с англ. — м.： Мир, 19в5.т 382 ил

Kmra юввстного жмерт^кскодо ®ши9^8]>стяк» К. Куане ^пмвяпдявл совреметным врадстжвленмям о структуре упщ и их взань«одейетвмяж> Сильные, злсктромнПгаые и слабые вашмодвйствяя частиц рассматрм»*птся единым образом в рАикШх понятий о кварка^, кэптовах к восторшх швбро» вечных нолях. Изложсяы основные ТФоретескне результаты такого н^а*^д> к указаны верешошьи проблемы.

Преднажтяа для научных .рабопшхов, врепешвателей, асскравтов я студентов старших курсов» спецналязирую щкхся в области физики частиц высоких энергий, а Также км кто явтпраеуетея мпематачаскнми хаоммм теории неабшмвых калибровочных полей и ее физическими ^шюженмяшс

ББК 2ХЙ1?5嘅ББК 2ХЙ1?5嘅х 1704 07000"75 « „ ,

ББК 2ХЙ1?

5嘅

ББК 2ХЙ1?

5嘅

Х 041 (01)-8575-8§il

Редакция литературы по физике

©by World Scientific Publishing Co Pte

Ltd.”

©перевод на русский язык, нМир'\ 1985. /

К моменту выхода в свет русского издания книги КЛуанга исп№ вдется 20 лет с тех пор, как появился термин "кварк11, ведение понятия кварков о^ячало коренной поворот в пониьшш структуры силыкезаи- модейитвующих частиц - адронов. Считавшиеся до того элемеитарш. ми, ащювы сошли с этого пс^етвого пьедестала и превратилась в о&нные составные частищ, И3лементгфвыми,т стаж считать кварки, лептоны и калибровочные поля, с помощью которлх взаимодействуют кваркиj( лептшы» та. глюоны, фот<ш и промежуточвые бозоны, Останется ли понятие элемент ар нести на этом у ровне г пока* жет будущее. Уже сейчас обсуждается вопрос о возможной внутренне структуре кварков, состоящих из прекварков, или нреояов, которые» в свою очередь, могут быть составлены из препреонов и т*д.

Однако независимо от этого можно утверждать» что в исследованной в настоящее время области энергий (и соответственно облао тв расстояний) кварки, лептоны и калибровочные поля действ иге ль* но можно считать эле мент арными в том смысле, что возможная их подструктура не сказывается при таких энергиях. Таким образом, книга К. Хуаяга посвяшена самым элементарным из известных сейчас ссставляюших аещества. Следсюательно, в ней рассматрнеаются ^амые фундамеатал^ые законы взаимодействия в фкзшее, с^жащие истоком других, менее 巾унднмш1тальных законов*

Это отвюдь не означает, что все фундаментальные заковы уже твердо установлены. Ситуация в этой области- физики весьма динамична. Понимая и описывая взаимосвязь одной группы явлений с другими, физики зачастую наталкиваются на все новые и новые проблемы, Поэтому и от книги К. Хуанга нель^ ждать академичного изложения устоявшихся повятий в стиле завершенного учебника — это скорее учебное пособие или даже эссе об основных законах, проблемах и трудностях описания взаимодействий кв^ков и лептонов. Действительно* наиболее красивый и детально разработанный раздел этой теории - еданая модель слабых и элект^омагннтных взаимодействий у резобраи здесь весьма кратко, практически без сопоставления с экспериментом. Зато в книге имеются сведения。солитонах» инстантонах, магнитных монополях, аясигишной (треугольной) аво-

малии, методе эффективного потенциала и ряде других проблем, ма> ло представленных в имеющихся в настояшее время научных монографиях. К сожалеаию, автор не обсуждает такой важный вопрос как структура мезонов с тяжелыми кварками (кварконии), а также вообще не касается проблемы удержания (конфайнмента) кварков, посколь* ку, по его словам он предпочел опустить этот неясный и нерешенный вопрос.

Значительнее место в книге отводится групповым аспектам они» сания свойств кварков и изложению математических основ теории абелевых (м аксвелловских) и неабелевых (я №миллсовских) некто? ных калибровочных полей, В частности, автор обсуждает метод функционального интегрирования, квантование калибровочных полей, проб* лбмы неренормирсеки, теоретические ооюеы квантовс^ )фомод№гамики.

В целом можно сказать, что в книге пощюбно изложены главные теоретические результаты, полученные в ароцвесе развития идеи о квартсах и-'лвптонах, обсуждены основные физические Мотиву прнеед» ше к формулировке того или иного положения, а также, где это во» можно, ариведвн нвябодее строгий математический аппарат для его описания- Поэтов читатель может почувствовать оу 咿以ну, которую 1фид^ ет ортшл®й физическск идае адекваяный кштемап^ескиК ©фашизм. Т力 им о^азом, круг читателей книги, ви/имо, не ограничится только физиками, интересующимися взаимодействием частиц высоких энергий; должное ани мание ей скажут и математики, которых волнуют проблемы су шественно нелинайной теории неабелевых калибровочных полей, находя- щиейся еейчас в стадии становления.

♦ Кш^га К.文yatira прекрасно дополняет и сиязывает воедино имею* куюся в настоящее время физическую литературу о квпрках« ленто- нах и калабрс%очных полях; вместе с тем во многих вопросах ова вплотную подводит читателя к уем зачастую сложным конкретным фи^ческны вопросам, которые детально обсуждаются в научных журналах, Поэтому по ходу изложения в ряда мест даны краткие приме- иания, поясняющие мысль автора, используемую терминологию или же облегчающие работу с журнальной литератур^ # При переводе устранены неточности и опечатки, как обнаруженные переводчиком, так и присланные автором. Автор также любого прислал предисловие к ру8Kс^у нзЩшяю кнИги и новую редакцию п. 3.4; мы пользуемся слу* чаем выразить ему свою благодарность.

ИМ Дремин

Я рад воспользоваться этой возможностью» чтобы отметить большой вклаД| кото{н玄 внесли советские ученые в теорию калибровочных полей — наилучшую кз зестных в настоящее время теорий, огшсыва* ющих фундаментальные свойства матарии.

В этой связи следует прежде всего отметить гшоверскую работу Ланд^ в квантовой электродинамике, Он открыл бегущую константу связи и был близок к открытию асимптотической свободы, Боголюбов много сделал для того, чтобы концепция неренормфовск обрела твер дую почву; он является также автором пионерских работ по использо ванию ранормализационной группы. Позднее понвилась важнвя работа Фаддеева и Попова, котор ак учит нас. как квантовать калибра очное поле» Поляков показал важность классических решений» особенно псевдочастичвого рашешш и "е*а" - неуловимого магнитного моно поляг которого мы надеемся когда*нибудь обнаружить. И, ковечно, необходимо уномящть о важных работах ©pa^nsa. Грибов% Славно ва и многих других, qkom я не упоминаю из-за недостатка места. Пр№ <ятно соэнавэтъ, что, по >фай№й мере в 屯审鸣 люди, жнеущие в разных обществах, могут иметь общие ценности и отремлъся к одной цели.

Хочу поблагодарить АВ. Леовидова за тшательвсе прочтение и перевод английского текста книги и пр оф. И.М. Дремина за редакти» рование перевода.

Keps。的 ХуаиKeps。的 ХуаиМарблхед, Массачусетс, США 8 мвя 1984 г.

Keps。的 Хуаи

Keps。的 Хуаи

Согласно современной точке зрения, основными структурными единицами мате(ши являются кварки и лептоны» взаимодействующие с обменом квантами полей Янга - Миллса (если не учитывать гравитацию), Это значит, что вид того или иного взаимодействия полностью определяется алгебраической структурсй соответствующей группы внутренней онмметрии, В част!юсти, сильные взаимодействия описываются квантовой хромодинамикой - калибровочной тео(жей, базирую* щейся на группе S U{3)・ С электрослв&дмк нзшшод^ствиими, кото-, рые описываются выве стандартной моделью Вайнберга - Салама, свя* зяиа группа SU(2)x

Настоящая книга посвящена изложению физических основ тахих теорий и их математической формулировке. Целью книги является по яснигьг как вы о^аэом математический формализм помогает понять наблюдаемые явления.

Я должен отметить, 口工。,к сожалению, не смог включить в книгу обсуждение проблем, связанных с "конф айн ментом кварков^. Недостаток понимания о&лчно приводит к пространному изложению материала. Поскольку эти вопросы в настовщее время недостаточно раз» работаны» я не отал обсуждать их'вовсе. Я надеюсь, что Marefea^ включенный в книгу, поможет читателю разобраться в текут關 литературе, посвященной этому вопр^у.

Книга адресовнна прежде всего ciy дейтам старых курсов> изучающим физику и 阻燄。мым с основвыми экспериментальвыми сведениями об элементарных частицах и основами квантовой теории поля» в частности с диаграммами Фейнмана и п^енормировками. Пред* лагаемак книга может с 守жить основой для семестрового курса по квантовой теории поля повышенного типа. В сво^ основе она является расширенным и модвр<и卿ованным вариантом куроа, которой я читал в 1978 г. в МТИ (США) ив 1979 г.в Институте фи^ки Высоких энергий в Пекине (КНР). Глава, посвященнах кварксжЫ^ модели базируется на лекциях, пр<яитанных мною в 1977 г. в Чилийском универ ситете в Сантьяго.

Хочу поблагодарить И, Сааведра за предоставленную мие возможность прочитать лекции в Чили и С. Тинга и Чан Вэнбю за приглашение

прочнтать лекции в Пекине, послужавшне основой настоящей книг% а также М. Жакоба *К. Фуа за поддержку при написании книги- Осо (ую благодарность выражаю своим коллегам по МТИ，особанно А. Гусу, Р・ Джахиву и К・ Джонсену» от которых я узнал многое из изложенного в этой кннге-

Керзон Хуан*Керзон Хуан*Марблхед, Массачусетс, США 29 июля 1%2 г.

Керзон Хуан*

Керзон Хуан*

Введение

1-1. Частицы и их взаимодействия

Обрезай #о половине ол метровой 晔og

油电 - не закончишь в через 粒%: лесом

Мысленный дкелеримевт, предложенный фввним китайским а фистомп 9 является подходащей аллегорией для того, чем физики действительно занимаются в/воих лабораториях в поисках истинных соо тавляюищх материи.

За три столетия* прошедших после возаикиовешш физики в современном смысле этого слова, мы П(жме{ню 68 раз ''отрезали по поло* вине трости", дойда до 18~16 см.Примерно на тридцатый раз (IB^cm) были обнпружены первые гранулы материи - атомы, которые сначала показались ив делимы мн. Ках изаестно, атомы оказались состоящими из электровов и ядер; ядра в сшопоэфедь можно расщепить на нуклоны, Сайчас мы находимся на стадии» когда надежно устивсвл» но суще2TB(жаиие составляющих нуклоды частиц - кварков. Существуют указания на g что этот процесс дробления будет продолжаться. Пока процесс познания д^ствительно ра^ннается в 咏рев聯аик, ук* занном февним софистом.

С 9кспе(жмввтальной точки ^ешш частифл есть детектируемые 1Гсгуспси энергии и импульса1^ будь то биллипрдные шары, фотоны или лям6〃а*гииеро叫 На каждой ступеив пошшния определенные частицы считаются "фундаментальными” в том смысле, что именно ови участвуют в элементарных актах взаимодействия в рассматрннаемой теории. С появлением новой экснерт<ментальн(^ информации мы вынуждены пересматривать свои воззрения. Необходимость такого nq)e* смэтра втекает 的 того, что мы требуем, чтобы теория в щ»шц1ше могла кодичественвд объяснить любой осуществимый экспере>®ент.

К счаотью> на каждой стадии мы действительно могиркС«нтать некоторые частицы бундам ент альны мн и не сталкнеились до поры дс

” Kddgsun Lung, in Chuang Chou, nChuangtse1r (cs. 300 B.C.), гпи 33a

Времени с необходимостью изменения своих предстивлвний. Причина Заключается в том, что, согл^Ьно квантсюой механаке, можно с хорошей точностью исключить из рассмотрения те состояния, энергия возбуждения которых много больше рассматриваемой характерной

i яергии. Например, атомное ядро при энергиях много меньше 1 МэВ 1 можно феноменологически рассматравать как точечную массу. Заме* «тельный факт состоит в том, что, хотя после ставовлешш атомной ©кэош обнаружено много новых структурных уровней материи» динамические принципы эры атомной физики в том виде, ках они сформулированы локально电 релятннистской квантовой теорией [ Ц продолжают доказывать свою применимость и на современном этапе.

Взаимод^ствия между экспериментально наблюдаемыми частицами класснфицируются по их силе на четыре типа: гранитационисе, слабое, электромагнитное и сильнее. Краткие саедекия об этих взаи- mg聯ствиях проведены в табл. 1J.

Согласно ссюременным теоретическим представлениям, слабое и электромагаитнее взаимодействия являются низкознергетическими проявлениями некоторого единого взаимодействия, а смлыюе взаимо действие обусловлено скрытым ивантным числом "цвет", которым об* ладнют квлрки, образующие нуклоны и другие сильноезаимодействую- щие частицы. Предполагается, что все эти взнимодайствия осуше&гв- ляются путем обмена Т1 минимально11 связанны мн с полями материи векторными мезонами по аналогии с хорошо крестной ситуацией в электродинамике. Мы да^е склонны предполагать, что все упоманутые взаи- модействия являются на самом деле низкознаргетическими провело* ниями одного взаимодействия мВеликого объедияения", исходная простая структура кс ррого может 曲冲 явпосредственио выявлена зкепе* риментально только при энергиях больше 18” ГэВ. К сожалению> ввиду полного отсутствия экспериментальных данных нельзя сказать ничего определенного о микроскопической структуре гравигациона0ro взаимодействия. Хотя учет гравитации и важен для окончательного "великого объединения11 всех взаимодействий, мы ничего не можем о ней рассказать в этой книге.

Теоретическая класснфакация частиц основана на предположении об ин^ариаятноств физических захонов по отношению к преобраэрва* ниям. привадлежашим к группе Пуаниаре, т-е.по отношению к преобра^ эованиям Лоренце и пространствениовременны м трансляциям. Частица, является лн она элементарной или состив日ой, определяется ках состояние каантовшшого поля, пре образующееся под действием преобразов а-

12

Введение

13

Таблица L1. ЧЕТЫРЕ ВИДА ВЗАИМОДЕЙСТ8ИЙ

Лептин廿

Адроны

в3aM4 Гравитационное Слабое Элмтромагнит- Сильное Действиеиое

'Спим

бармомн

Ен J '

мезоны

Пронвле* Небесная меха- р-радиоек-Окружающий Ядерные силы

ниеникативностьнас мир

旷2

гравитон

Кванто- V?m*' «Ша вм кар- 』 тиив месса 1 масса!,

⑺

нуклон

Статический потен* циал

ум严2

中抵4ттг

Констая* та саязй

г — ресстонние между источ* ннками,

у卡

~— м5.78х

« 1t0V 10-5 《■"■方 °

137,06

% 亠 масса протона

с — заряд электрона

10

喃# входнщкх в группу Пуанкаре, по некоторому непрнноднмому пред* ставлению. Это означает, что частица обладнет опреде левыми массой и спином^ и что наряду с ней существует античастиц той же массы и с тем же спином [ 2]. Условие мнкропрмчинноств в локальной квинтовой теории поля приводит также к связи между спином и статистикой： частицы с идлым СПИНОМ ЯВЛЯЮТСЯ бозоннми> а частицы с подуцвлш спином—

用 ^лсктрви z ~\НейтринУ

~"^

04

'ff

~5®

^ИС-九九 Спектр масс частиц»

鼻 黑吃Т11aMi1 [疝 Законы взаимодействия частиц предполагаются пуан- I каре-иивариантными； это накладывает нетривиальные ограничения на ? Допустимые локальные квантовые теории поля [ 4].

Кроме прострнаственао^ ремеияой симметрии> реали型 к)ше責ся в яуавкаремавариантвостк, существуют также внутренние симметрии, которым соответствуют преобразования состояний частиц, не за- 1рапвакм1ме пространствешю^ременных координат. Инеаришггаость взаимодействий относительно преобразований, прьнадлежаших группам впутренних симметрий, приводит к появлению новых квнитовых чисел, таких* как эластрический зефЯ4 б^шжное число, иэооош и ф-

НеполныЙ список частиц, классифицирований по их массе, спину, внутренним квантовым числвы и виду взаимодействий, в которых они участвуют, приведен на рис. 1.1.

К 1гадронамг1 относятся бозоны и фермионы, участвующие в силь* ных взаимодействшк» а к п лептонам11 фермионы^ не участвующие в них", Средн адронов выделяют г1мезоны'1 - бозоны с барионным числом 0 и “бариоим” — фермионы с барионным числомотличным от нуля# • Из всех этих частиц к сфере нашего повседневного опыта относятся электроны и нуклоны (а также фошон» не показанный на рис. 1 Л). Можно пойти несколько дальше и упомянуть нейт国нр. которые играют важную роль в генарации энергии солнца* и мккт - просто "подарок небес11 З.Все остальные частицы появляются главным обрезом в ускорителях высоких энергий.

Необходимо отметить дне важные особенности； Воперт!ых> все лептоны, повиднмому, являются точечными частицами. Согласно последним экспертментам, их радиус не превышнет 10* см [ 5]. Это особенно удивительно для т-лепгона^ который в два раза тяжелее прото- на・ В>вторых> укажем на огромное ра^8如азие адронов. Как отме- ■ тил Хагедорн [ 6], график зависимости плотности-числа состояний от массы наводит на мысль об экопоненциальном росте. Это иллюстриру* ет {лю. 1.2. Есля такая тенденция сохраняется для асимптотически больших масс, то должна существовать 1Гпредальная температура'1 W '

жиаижиаи” Все наблюдавшиеся до онх пор бозоны (кроме фотона) уш1ствуютй, онльных взаимодействиях. Исторически лептоны понучипм такое назеМ^хх。 того, что их массы были малы; но после открытия т-лептона наетаниг^геря- ло смысл.警 1

жиаи

жиаи

Z Причиной того, что все барионы йвляютоя фер^жонами, а 1 бозонами, яэлнется закон сохранения барионного числа в релят квантовой теории, согласно которому фермионные поля входят в в виде билинейных комбинаций* 敏 бозонные могут входить Лия

動"Кто ах заказывал?" — спрашивал И.Раби.

а

т2 *呜严4

% N <60 МэВ

To - 1.92 •炉 К

向№ =500 МзВ

1967 傍32 состояния)

1966 (971 состояние)

仰84 (В09 состояний)

瞅16002400 МэВ

Завионмость шона адронных состояний от массы.

рядкв 160 МэВ (2 • 1013К), выше которой нельзя нагреть никакую систему [7]. При росте более быстром, чем экспоненциальный> в статистической механике не су шествовало 垣 функции распределения. Таким образом, плотность числа адронных состоян叫 ихидимому, растет с максимальной термодинамичеоси допустимой скоростью.

Даже если не был бы обнаружен экспериментально конедны員 радиус, протона (который равен примерно 10~,3см [ 8]), огромасе число адроион делает абсурдным предположение о том, что все они，1фундамевталъ- ны"・ Ключом к пониманию внутр^него строения адронов является их мультиплетная структура (например 8 и 10 на рис, 1.1), определяемая неприводимыми представлениями группы симметрия SU(3)・ Это исходный пункт определения кварков как адронных составляющих, а имеано кваркам соответствует фундаментальнее представление группы 5tA(3). Более детальная информация о кварках и их взаимодействиях даеггся н гл. 2.

1 <2. Калибровочные теории взаимодействий

Согласно современным представлениям, вид любого взаимодействия определяется по аналогни с электромагнетизмом соответствую* /шм "калибровочным вр^щ^пом" • Напомним, что связь электромагнитного потенциала и заряжшшого поля материи 屮 Ьводитси по та* кому рецепту: член 我屮 н лагранжиане полей материя заменается на ковариитную производную (8从 + iedu)屮,где е - электртческнй заряд, отвечающий ip. До того как "включен。" взаимодействне (т*е・：

44при е = 0) лагранжиан полей материя должен быть инеариштным относительно постоянных фазовых сдвигов пола 屮,которые называются . ,г глобальны ми калибровом ни ма преобразованиями1'. Указанный рецепт означает расширение этой симметрия до "локальной калибровочной инварканпюстн", т・е・ инвариантности относительно произвольно 叶* сящих от пространственао-времешпях координат фазовых сдвигов 屮、 (сопровождаемых соответствующими калибровочными преобразоаади- ями ”)П Первоначальная гЛобальнна калибровочная инвариьштность

4

4

” Вейль [в] впервые исползоеэл термин "калибровочное прообразовал нме" в интересной, но неудачной поеытке объединить электромаЬ«йкэм и гравитацию в геометрической теории путем обобщения неинтегрируемости направления вект^а в искривленном простран ст ве-e ремени до интегр|фуемос> ти его длины (калибровки) з ресширенном пространстве» называемом калибровочным пространством. (См.также [ 167*] — Переев,

институт

Bays -г …” 4彳есмм

означает наличие сохраняющегося тока Зей матерей 产；наше пред* писание праводит к появлению взаимодайствив вида^уиЛц в полном соответстиж< с теортгей Максвелла. При обычных предположениях тео Х нож указанный pei^nr явжется единственным и называется «калибровочным п[жнщшом''.

Калибровочный принцип можно сформулировать в другом ннде. Рассмотрим систему материальных полей, котории ^начально ивва< риантна отноейтельно группы глобалы^ых калибровочных преобразовав ний 1/(1). Мы ^калибруем” эту симметрию, т«е. расширяем ее до ннаа- риантности относительно локальных калибровочшх преобразований труппы U(1). Это о^ачает, чю с каждой про(лранствеш1№временисй точкой саязыдаетоя независимая калибрежочная группа U (1). Для Су / этого необходимо внести векторное калибровочное поле, с которым кзаимодействует ток полей матирая. Констшетой взаимодействия яа< а жегся электрический заряд - генеритор группы Исходная сим* :N метрия может быть сделаяа калибровочной, только если она является точной.

0^ Мы будем использовать обобщенный калибровочный принцип» пред* V4* ложенный Янгом и Миллсом [ 10], п(тменитбльно к мяогокомпо0«№

ному полю материя. Калибровочная г^ппа в этом случае является более широкой, чем 1/(1), и ее преобразования перепутывают различные комшжентн полн материи. Соответственно вместо одаого появляется* несколько калибровочных полей - полей Янга - Миллса.取 число рав* но ииса генератс^ов калибровочной г^ппы» Такой группой для ела- бж, электромагнитных и сильных взакмодейстиий явжется SU(2) к xU(i)xSU(§)・ Что&л убедиться, что это дейстиительно так, ншбхода» мо прежде всего описать полн матерая，

Хорошо известным свойотиом слабых взаимсдайствиЯ является максимальное ннрушенне ими закона сохранения четности из>за Г-Л-струкгуры шаФюдейсгшя [11, ]2k С изменяющим зарид сектором те^ни связаны только лавые компоаекты лептов№> а ложные игра* ют довольно пассннную роль, обеспечивая массинвость. Учет слабых взаимодействий адронов может быть осуществлен в предположении, что слабые взаимоде責стиия кварков аналогичны лептонным. Таким ра^ом, для слабых взаимодвйстиий элементарными сущностями явля- ，>ртоя безмассовые состояния с опредаленшЛ хиральностью ». (Соо

I)Кнральность оераделиется как собственное значение у$ . где у$ - соответствует правому, а у§ = — 1 — левому состониикм.

но правые и левые компоненты (q#用 и (q"%, каждая из котордагот- носится к независимой частице.:но правые и левые компоненты (q#用 и (q"%, каждая из котордагот- носится к независимой частице.:См. примечание на стр. 323・—Прим серее.® Вопрос Раби на стр.14 может быть обобщвн, но по-прежнему оотвивт-См. примечание на стр. 323・—Прим серее.® Вопрос Раби на стр.14 может быть обобщвн, но по-прежнему оотвивт-cr без ответа.cr без ответа.

но правые и левые компоненты (q#用 и (q"%, каждая из котордагот- носится к независимой частице.:

но правые и левые компоненты (q#用 и (q"%, каждая из котордагот- носится к независимой частице.:

См. примечание на стр. 323・—Прим серее.

® Вопрос Раби на стр.14 может быть обобщвн, но по-прежнему оотвивт-

См. примечание на стр. 323・—Прим серее.

® Вопрос Раби на стр.14 может быть обобщвн, но по-прежнему оотвивт-

cr без ответа.

cr без ответа.

тояние с ненулевой массюй есть суперпо^ция правого и левого состояний г одинаксюыми весами.) Обьединеиая теорая электросл&бых взаямодействий, ба^руюшаяся на калибровочной группе SU(2) х х 0(1). перемешивающей различные беэмассовые киральные состояния, впервые 欣па предхс^сена Глешоу [ 13]. Однако тот фаят. что фи^ ческие частицы имеют ненулавую массу, кажется противоречащим этой симметрш{. Выход из этого тупика был найден Вайнбергом [14] и Салвыом [15]. обратившимся к идее "спонтанного аврутения симметрии'1. В выне стандартной модели Вайнберга - Салама для реализации этой 晔и вводится "хиггсовскне поля”, которые могут впоследствии оказаться феноменологическими параметреми. В этом случае в душей теории их пртщется заменить чем-то более фундаментальным, Откровенно говоря, в настоящее время нет глубокого погшмашш 口nkh. по которым вознакает масса*

Схмметр叫 которые становятся калибровочвыми* относятся к преобразованиям, затрагивающим безмасссюые кварси и лептовы определенной киральности. Среди шк различают состояния по крайней мере с шестью 1гпроматамип (сущестяование шестого промата пояа не поучило экспериментального подтверждения)? Лептонные аром а* ты (е, и), (ц, vf)> 3广),где 匕 * 广 обозначают безмасссюые пдаые нейтрино. Кварковые ароматы 伍 ％ (с, s).(乙 外 находится во взаямноодиозначном соответстяии с лептошмми. Скобки объедини- ют частицы трех поя олений, неразличимых по отношению к слабым взаимодействиям^. Кроме того, каждый квартовый аромат обладает тремя (и только трема) 4 цветами4 > в то врема кая лептовы цвета не имеют. Таким образом, элементпрвыми частицами являются:

ква(жи / (f = 1, • • • , 6) (ароматовый индекс),

*启 цп = 1. 2, 3) (цветсюой индекс), лептовы I, (/ = 1.. • •, 6) (аромат(жый индекс).

…屮…屮如如Необходимо помнить, что, нниример, q— обозначает однов

…屮

…屮

如

如

Таблица 12 ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ КВАРКОВ И ЛЕПТОНОВ

Поколаи”

Аромат /

Кварки % Цветя - Ъ 2,3

Лептоны If

I

1

2

% & G

”SU(2}

3

123

V，

SU⑶

4

%$2 Ъ

Ш

5

в

3 b2 %

тSU(2)

Во лее наглядно квпрки и лентоды предртавл^вы в табл. L2. Поо туляруется существование следующих внутренних симметрЛ:

Ц“аал S(7(3). По цветному индексу т(ж кварса каждого арома* та образуют тривлетное представлеше "цветной группы1' SU(3)・ Леп* т(ш являются цветовыми синглетами.

Слабый изоспин SU(2)・/B каждом поколении левые компоненты, верхних и нижннх частиц (например v, я ^丄)образуют дублетное пред* ставление ^группы слабого изоспина%U (2). Все правые частицы являются синглетами по S 0(2).

Слабый тпврзбрлд (7(1). Сущестяует симметрия U(l) нслабого гиперзаредн", связанная с одновременным физовым сбитом состоя- ний всех частиц. Отнооительвые фазы факсаруются выбором мслабо- го гиперзаряда'Ч

Калибровочной группой является в 9ToM случае прямое произведение определенных выше взаимно коммутирующих групп SU应)х U⑴ х

РИСь Вершины зви^оде W в кжМКровоммой теории сильных и 9л«хт- рослабых B90MMC0MCTBMlL Вмрху ■ ВЫШИНЫ оипьных вэвимояействий； nBm« n 1.2.3 (цветовой индт)» с, d ・ i,2.8 (глюонныйждекс)； s・“・

““же： аромат / иаммяетоя. Вни” — варожны алектрослЗух ювимояейст- виА： f J' н 力# ・？”6(5Н№выа индйкок > * afit2,3 (иидшф Акторных бозонон)； аамхен”： цмт н * нвмвимтоя.

к SU(3).Чтобы сделать эту группу кали如овочной. необходимо ввести 12 векторных кажбрсяочнцх тм^Я* во одному на каждый генератсф группы (табл 1.3). Соответстауюоше взаимодействия сшисыдаются сх&> матически фейнмановскими вершинами» показанными на рис. 1.3.

Калибровсквые по& в бтличйе от фотона обычно д&ладшбт btt而 действием и>за неаб^левостй соответстйуюшей группы.Необхидийо отметить* что сушестВуйт 而盯诵 точвые симметрии» М йвлйвпбибея калибровочными, например Ьвязанвые с лептонвым и бцимшым зфь дами.

Теория пока имеег серьезный дефект, а шган все частей являются безмассодыми. ЗтопУ нельзя исправить простым включ^ием в лагра^жинн осиных массовых членов, так как оии ннрущают симмет* рию SUQ) х ^(i)f которую мы пре岬л曲или точной. Кроме того, стан* дартные маоссжые члевы для векторных бозонов приводат к иенермор мируемым теориям. Выход *з этого положения заключается в том, чтобы рассматривать мессы как ре^льтат "спонтанного наущенияГ|

Тжбдшя tЛ. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОТЯ

калибровочная груш» Чмсло пвиврвт> Калибровочные полярое

■•гнал SU(3)■•гнал SU(3)Gj(。=1в) (ГЛЮОНЫ)

■•гнал SU(3)

■•гнал SU(3)

Сльвого ^осмм suqy >• “т*』М .Т. 2, 3)Сльвого ^осмм suqy >• “т*』М .Т. 2, 3)Слабого гймрмряа У⑴1，%$Слабого гймрмряа У⑴1，%$

Сльвого ^осмм suqy >• “т*』М .Т. 2, 3)

Сльвого ^осмм suqy >• “т*』М .Т. 2, 3)

Слабого гймрмряа У⑴1，%$

Слабого гймрмряа У⑴1，%$

онймир1й/Е^ 父次1) блйгодарт вЗа№йбд#1^^ to скалярным ггхип- говвотейм* Подрыло 的心Следующих гла- ве,3磁『津班節8曲而ййе； Wt* 版叡叫《州5#18衲毋можно i^i^/^tiBf^^тёориб» Й it<F№pdli кИ^я чаЬтшщ может

приЫ^^^фЕЗИФольную xomHyto й^ооу, Одкоцюменво можно естест- веш^^^м 晔та 也伸吨访电加明叫рщ0.

.；>领噁締 масс® м ю^^т^цр^^час-

崛费酿9ft般駿g96｛血ю?.惘总牌却照显噱*иа).3то приеодит к屮婀咏дем^Рй адстМ Р?^』軍Rip^lilLm 网* причине иЦ^ сд^огс» гиперзарядк не обязаМ庇。отгадает с электромагнит* ной 硏Ь.Этм вопросы детально обсуждаются в гл. в.

Цветные мультиплеты, с щфпЛ стпрсжы. откосятся к одному собствеииому качению оператора массы, носколысу правые и левые ква* МСН7Т. иметь оданшовый т^ет. Эксперимв^тиы&ю данные ука- эыуают 睥(^грутстеие спонта^ого в^уомшия 1Ц^гавой симметрш SU向 .Т^MU^RQQ犀6tH маимодЙствиЙ, бо^фуюишся на калиб-

IX)b&ho* группе S С(2) к U(l), позаоляет обмоют все известные явления и предсказывавт нодые. Наиболее важным является предсказа- М сушестаовония "нейтральных токов1'» которое Выло подтверждено эксперкмёнтально* Но кялябровсганы» вмст<фныв бозоны пока нн обнару-

жены - возможно и>за их большой массы (по предсказаниям теорш около 80 ГэВ)0*

Влагодафе специфическому устрсйстау группы 50(3} с увеличением иередаваемых импульсе» (с уменьшением расстояния) кв{фк*глюон- ная константа свяэт убывает 一 явление> известное под названием пасимптотическая свобо*. Таккм обризом, используя "щ^обвикм", передающие кваркам, входящим в адрон, большой импульс» можно де* тектирсюать внутри адроне» квазисвободные кварки. Такие экоиер№ менты действительно &лли осушаствлеш.

Следуя этой линии рассуждений* можно 山力。山 ожидать, что кварк» глюонная константа связи ивстраничешю растет в пределе ма* лых переданных импульсе» (больших расстояний).Существуют теорети- ческие указания на ти, что коистапта связи действительно растет в этом пределе * реализуется 户южфвйнмеят кварз". Это значит> что квцпеи и глюоны ие существуют в качестве свободных физических и替 тищ а появляются только как компоаешы связанных состояний (ад- ровеж), являющихся Цветовыми сииглетами, Феншиенологические мм дели, учитывающие конфайнмент квадпссю, успешно использсщались для объяснения свойств афон叫 но строгое доказательство этого явления до сих пор отоутствует.

Идея получения всех взаимодейстеий из калибровочного пршщша обладает внутренней эстетической црнтягательн остью - Кали^ювочная теорюц базирующаяся на грушш S U&) х U⑴ х S и<3> уже привела к появлению предсказаний» впоследотвим подтвержденных жсперимен- тально. Но на многие как «еоретмческив, так и зкеиериментальные вопросы ответа пока отсутствуют.

Если гшорить об эксиериментальных вопросах, то наиболее важ* ный из них - существ (юание тяжелых бозсшсж электрослебой те叩 (и в меньшей степени сушествовакие хигтсотского бозсжа). Пока эти частицы не будут о^аруже叫 теория электросла&и взаимодэ隼. ствий не может считаться оковчательно установленной,

С теоретической точки зрения загадочных вопросов горездо больше:

-Почему правые и л^ые частицы по-разному преобразуются под двйствиеы преобраэсюаний внутреаний симметрии?

-Почему пушествует взаим^юодаоммное соотеетствив между кварковыми и лептонными ароматами?：；Д

4 Калиброоочныо мкториыо бежим F и Z обмаружвнм т ускорителе SPS 受 • МЕРН» [лее!Их ММСЫ”,・，1 r»Bt *z ■ 90 Г>в.-прим- Лйрм ・龔

-Почему существует столько поколений? "Кто их. заказывал?"

一 Каксюо 8е*ж*об п(юисхождение масс частиц» или чтоеа*о川

деле происходит при спонтанном нарушении симметрии?

-Согласно какому пришщпу одни симметрии рассматриваются кая калибрсшочные (т.е. S U(3) к S 1/(2) к 0(1)). а другие — кет, как, например^ симметрии» соответствующая барионному зариду?

Ссюременные попытки ответить на некото^е из этих вопросов сводятся преимущественно к вложению известных калибра очных групп н более широкую простую калибровочную группу» оставляя неизменными все основные теоретическив представления. Эти теории, известные как теории "Великого объединения" [ 16]t действительно отвечают аа ивкоторые из поставленных вопросе»«Например, иекали- ^юеочные симметрии, такие, как симметрия t отвечаютак барионному зари ДУ, ящю нарушены. Однако на большинство вопросов ответы от* сутствуют, а другие становятся еще более загадочными, как, вапрн- мер, вопрос о спонтанном нарушении симметрии,

Тру дао удержаться от мыслиг что ответ слезет искать совсем в другом направлении: может быть, существует новая субструктура ма* терии, о которой до появления экспериментальных указаний мы ниче* го не знаем» Поэтому обсуждение таких в<шрос(ю может &пъ лишь поверхностным. Б то же время ссюременные калибровочные теории имеют много достижений, и целью вастсяшеВ книги является познана мить с ними читателя.

13 Обоэмачмия н сокращения

Во ^сех случаях, когда нет специального указания, используется система единиц, в которой 力二 с = ]. Диагональный метрический тензор в пространстве Минксжскрго имеет компоненты

gOO м fg" ■ -g22 н -g33 = 1

Контравариантный пространственно-временной 4«вектор № имеет ком・ понвнтыг обозначаемые

а соответствующий ковариаятный вектор имеет вид

/ ■（鸡 F

Часто исполь^ются следующие дафферентщальные операторы:

虑3・（М）3-4（Л

Для матриц Дираканыбрано такое представ ле аяег что матри>

ца у。дрмат08〃 а 户2. 3） антизрмитовы:

（丹，忆（丹■ 1,

（"）t ■一尸，（/尸伏■ 1,2,3）.

Эрмитова матрица у$ определяется как

Исполь^ются также обозначения

а* = （Л =2, 3）,（а» = /

откуда следует

Л =力 0.

Для стаядщупюго представления

где ноте典нутые символы обозначают матрицы 2x2: