Предисловие редакторов перевода

Книга Де Альфаро, Фубини, Фурлана и Росетти 《Токи в физике адронов» подводит итог почти десятилетним усилиям физиков в попытках описать взаимодействие адронов.

В основе нынешких успехов теории сильных взаимодействий по существу лежат следующие два важных результата:

установление аналитических свойств амплитуд перехода и в особенности постулирование представления Мандельстама;

обнаружение групп симметрий адронов.

Опираясь на эти факты, удалось достигнуть существенного прогресса в описании взаимодействия адронов при очень высоких энергиях (теория полюсов Редже) и при низких (пороговых) энергиях (алгебра токов, феноменологические лагранжианы). Комбинированное применение указанных свойств привело к открытию ряда так называемых «правил сумм», самое знаменитое из которых — соотношение Адлера — Вейсбергера.

Формально, если судить по названию, книга Де Альфаро и др. посвящена взаимодействию адронов при низких энергиях. Действительно, боль* шая ее часть так или иначе связана с методом алгебры токов. В отличие от области высоких энергий, где могут встретиться любые неожиданности, область низких энергий связана с ограниченным кругом явлений и, по-види- мому, может быть полностью описана путем введения нескольких эмпириче* ских констант. Кроме того, здесь накоплен богатый экспериментальный материал. Естественно, что на эту тему существует огромное число исследо^ вании, разбросанных по журнальным статьям. Последним обстоятельством было стимулировано появление ряда монографий [1——5], посвященных алгебре токов. Предлагаемая читателям книга — первый исчерпывающий отчет о достижениях метода алгебры токов. От предшествующих монографий на эту тему ее отличает законченность и ясность изложения и, что особенно ценно, стремление установить связь между различными методами и подходами.

Вместе с тем книга посвящена не только методу алгебры токов. За исключением некоторых отдельных вопросов (мультипериферическая модель, разрезы в плоскости комплексного момента и т. п.), в книге отражены все самые существенные достижения физики элементарных частиц последних лет, т. е. по существу она представляет собой монографию о современной физике элементарных частиц.

По своей структуре книга Де Альфаро и др. естественным образом рас^ падается на 3 части. Первая часть — вводная (гл. 1, 2), занимающая примерно четверть всего объема, знакомит читателя с аналитической теорией S-матрицы (полюса Редже) и с основами электромагнитных и слабых взаимодействий адронов.

Далее следует центральная часть, посвященная собственно алгебре токов (гл. 3—8, занимающие примерно половину книги). Помимо классических результатов алгебры токов (низкоэнергетические теоремы, правила сумм, вытекающие из свойств аналитичности амплитуд перехода, гл. 3, 4), здесь излагаются метод феноменологических лагранжианов, нелинейные реализа-

ции киральной симметрии, теория спонтанного нарушения симметрии и т. п. (гл. 5). В последующих главах описан другой способ получения правил сумм — прямым насыщением одновременных коммутаторов (гл. 6). Обстоятельно исследуется вопрос о роли выбора системы отсчета при выводе правил сумм (гл. 7). В отдельной главе (8) подробно анализируется вывод правил сумм в системе бесконечно большого импульса.

Наконец, последние 3 главы (почти треть книги) посвящены наиболее обещающим достижениям физики последних лет. Гл. 9 вводит читателя в проблематику дуальных моделей, претендующих на корректное, хотя й приближенное, описание сильных взаимодействий при всех энергиях. Это направление, породившее большие надежды и обширную литературу, продолжает развиваться и поныне. В последних двух главах излагаются новейшие результаты, выходящие за пределы «классической» алгебры токов. В гл. 10 рассмотрены алгебраические свойства дивергенций токов, масштабные преобразования и т. д., а также результаты, касающиеся взаимодействия лептонов с адронами при высоких энергиях (скейлинг Бьёркена, партонная модель). Интерпретация этих результатов в рамках алгебры токов (алгебра токов на световом конусе, билокальные операторы и т. п.) дается в гл. 11.

За время, прошедшее с момента написания книги, был выполнен ряд важных исследований как в области теории, так и в области эксперимента, которые, естественно, не могли войти в книгу.

Из теоретических результатов прежде всего следует отметить успехи, связанные с изучением неабелевых калибровочных полей. Выяснилось, что в рамках этих теорий можно построить весьма изящную объединенную модель слабых и электромагнитных взаимодействий, которая оказывается ренор- мируемой [6—7]. Эта модель существенно опирается на описанное в гл. 5 явление спонтанного нарушения симметрии. Слабые и электромагнитные взаимодействия выступают здесь как разные проявления некоего единого взаимодействия, подобно тому как электрические и магнитные поля есть разные проявления единого электромагнитного поля. На таком пути открывается заманчивая возможность «объединить» не только слабые и электромагнитные, но и сильные взаимодействия [8——11]. Далее, в неабелевых калибровочных теориях был обнаружен феномен так называемой «асимптотической свободы» [12, 13]. Если в электродинамике ренормированный заряд конечен только в случае бесконечного затравочного заряда, то в неабелевых калибровочных теориях конечному ренормированному заряду соответствует нулевой затравочный, т. е. асимптотически, на малых расстояниях, частицы ведут себя как невзаимодействующие, Весьма возможно, что этот неожиданный результат окажется существенным элементом будущих теоретических построений.

Наконец, следует упомянуть о проблеме «токовых» (current) и «структурных» (constituent) кварков. Уже в самое последнее время была разрешена одна из трудностей «наивной» кварковой модели, в которой нуклон состоит из 3-х кварков, пион из кварка и антикварка и т. д. Эта модель неплохо описывает статические характеристики частиц (массы, магнитные моменты), однако попытки описать в ее рамках взаимодействие движущихся частиц, например распады частиц, терпели неудачу. В то же время токи, фигурирующие в постулированной Гелл-Манном алгебре, также были построены из свободных кварковых полей. Как это ни удивительно, долго не замечали, что последние не могут быть полями структурных кварков «наивной» модели: отождествление полей ведет к отсутствию аномальных магнитных моментов у нуклонов, равенству ~GA/GV = б/3 и т. д. Надлежащий учет этого обстоятельства позволил получить удов л етв орител ьное описание распадов целого ряда резонансов (см, обзор [14]). Можно только сожалеть, что это важное наблюдение было сделано слишком поздно и не попало в книгу.

В области эксперимента прежде всего отметим неожиданный рост (почти на 10%) полных и упругих сечений рр-расссяния в интервале энергий 12 ГэВ《Ms《53 ГэВ [15, 16]. Этот факт еще не нашел убедительного объяснения. Возможно, он сигнализирует о том, что мы приблизились к границе качественно новой области физики элементарных частиц. На встречных протонных пучкдх в ЦЕРН'е обнаружили еще одно любопытное явление — аномально большое число пионов с большим поперечным импульсом (夕丄 > >2 ГэВ/c)! вылетающих перпендикулярно направлению стал кив ающихся пучков [17]. По-видимому, его следует рассматривать как свидетельство присутствия в нуклоне каких-то точечных объектов, именуемых обычно партонами.

Далее были открыты так называемые «нейтральные токи» (слабое взаимодействие, например, лептонов и адронов без передачи адронам электрического заряда [18, 19]). Заметим, что существование нейтральных токов предсказывается объединенными моделями слабых и электромагнитных взаимодействий. Хотя это открытие еще не доказывает справедливости предложенных до сих пор моделей, оно служит веским аргументом в их пользу.

За последние 2—3 года была получена более полная информация о процессах электро- и нейтринорождения на нуклонах. Эксперимент в целом подтверждает наличие скейлинга в этих процессах и пока не противоречит предсказаниям кварк-партонной модели. Вместе с тем все больше данных свидетельствуют против гипотезы, что партоны есть «голые» нуклоны, пионы и т. д. В частности, измеренная недавно средняя множественность частиц, рождающихся при столкновении электронов с нуклонами, не обнаруживает существенной зависимости от gs (q —— 4-импульс виртуального фотона), что противоречит этой гипотезе [20].

'С ростом энергий встречных электрон-позитронных пучков появились данные о взаимодействии с адронами виртуальных фотонов с большим времениподобным импульсом- Сюрпризом явилось поведение полного сечения процесса е+ 十 е~ -> адроны. Ожидалось, что это сечение будет убывать как 1/$(М^ ——полная энергия реакции в системе центра масс), а между тем оно оказалось постоянным начиная с У$ %3 ГэВ и до |^5 = 5 ГэВ [21, 22]. Поскольку природа партонов еще не выяснена, представляется преждевременным утверждать, что этот факт противоречит скейлингу, обнаруженному в процессах электророждения.

Другой интересный факт ——рост с увеличением s доли энергии, приходящейся на нейтральные частицы в реакции е+ + адроны («энергетический кризис»)——также ждет своего объяснения. Будем надеяться, что ведущиеся в настоящее время и планируемые в ближайшем будущем эксперименты помогут разобраться в сути этих явлений.

В книге приведена обширная, хотя и не полная, библиография. При переводе были добавлены ссылки на исследования советских авторов, не вошедшие в основной список литературы, а также ссылки на исследования, опубликованные после выхода книги в свет; предпочтение отдавалось работам обзорного характера, в которых можно найти и более подробную библиографию.

Перевод книги выполнен Ю. П. Щербиным (Введение, гл, 1, 2, 10), А. Н. Васильевым (гл. 3—7) и В. А. Франке (гл. 8, 9 и 11).

Июнь 1974 г,Ю. В. Новожилову

П. В. Прохоров

Литература

Ne'e man У., Algebraic Theory of Particle Physics, New York, 1967,

Renner B., Current Algebras and Their Applications, Oxford, 1968.

Адлер C・,Дашен P., Алгебры токов и их применение в физике частиц, изд-во «Мир», 1970.

Бернстейн Дж., Элементарные частицы и их токи, изд-во《Мир», 1970.

Сакураи Дж., Токи и мезоны, М., 1972.

Weinberg 5., Phys. Rev. Letters, 19, 1264 (196 7)； 27, 1688 (1971).

Salam 4” в книге Elementary Particle Theory, ed. N. Svartholm, Stockholm, 1968*

Прохоров 〃・ B・,Письма в ЖЭТФ, 16, 561 (1972); доклад на семинаре «Кварки и партоны», М., 1974.

Patt J., Salam 4., Phys. Rev., D8, 1240 (1973).

Georgi Я., Glashow S., Phys. Rev. Letters, 32, 438 (1974).

Glashow S・，Доклад на семинаре «Кварки и партоны», М., 1974.

Gross Р., Wilczek /., Phys. Rev. Letters. 30, 1343 (1973); Phys. Rev., D8, 3633 (1973).

Politzer 瓦，Phys. Rev. Letters, 30, 1346 (1973).

14・ Weyers J., Constituent Quarks and Current Quarks, preprint TH 1743-GERN, 1973

Amaldi U. et 風・，Phys. Letters, B43, 231 (1973); B44, 112 (1973).

Amendolia S・ et al., Phys. Letters, B44, 119 (1973).

Banner et al., Phys. Letters, B44, 537 (1973)..

Hasert E et aZ., Phys. Letters, B46, 121, 138 (1973).

Benvenuti Л. et 靈Z・,Phys. Rev. Letters, 32, 800 (1974).

Garbincius P. et al., Phys. Rev. Letters, 32, 328 (1974)..

Litke A. et @Z・，Phys. Rev. Letters, 30, 1189 (1973).

Tarnopolsky G. " al., Phys. Rev. Letters, 32, 432 (1974).

Предисловие авторов

Мы полностью понимали (и еще лучше поняли в процессе работы), как рискованно сейчас писать книгу об элементарных частицах. В этой передовой области изысканий очень быстро меняются точки зрения и модели. Но в то же- время мы считаем, что за двадцать лет исследований, и особенно за последние лет десять, уже накоплен ряд идей и результатов, которые можно рассматривать как твердо установленные. В своей книге мы и попытались изложить некоторые из этих результатов, в частности относящиеся к адронным токам и их алгебраическим свойствам.

В такой ситуации крайне легко допустить ошибки по меньшей мере двоякого рода: а) опустить какие-нибудь важные идеи или факты, которые выпали из нашего поля зрения, и б) включить такие вопросы, которые окажутся несущественными или устаревшими к моменту опубликования.

Что касается таких ошибок, то мы можем только надеяться на снисхождение наших читателей, а также на понимание со стороны тех, кто сам способствовал развитию данной области науки.

Как правило, в книге приводятся сведения, которыми мы располагали к концу 1970 г. Глава 11 — явное исключение из этого правила: мы не устояли здесь перед соблазном представить новые результаты по физике светового- конуса, что позволило прояснить ряд затронутых проблем.

При написании книги нам очень помогли многочисленные друзья. Многие разделы были переписаны с учетом полезных советов и критических замечаний С. Адлера, Р. Дашена, Р. Джакива, Г. Венециано и：С. Вейнберга. Мы признательны за плодотворные обсуждения Д. Амати, С. Францинетти, Р. Гатто, Г. Сегре, М- Верде, Д. Валеке, В. Вайскопфу, Г. Вику, Б. Зумино. Мы хотели бы выразить благодарность Р. Броуеру, Г. Денардо и Д. Врэ* за прочтение части рукописи и полезные советы.

Мы признательны за сердечность и гостеприимство многим научным учреждениям и ученым. В частности, приносим благодарность профессорам А. Саламу и П. Будини из Международного центра теоретической физики в Триесте. Фурлан благодарит профессора С. Кейзена из Института высших исследований в Принстоне и профессора факультета физики Мичиганского ртиверситета И. Томозаву, Фубини — профессоров Дж. Прентки, В. Тир- ринга и Б. Зумино из теоретического отдела ЦЕРНа, Де Альфаро — профессора факультета естественных наук Парижского университета VI Р. Вин Мо.

Наконец, мы выражаем свою глубокую благодарность М. Гелл-Манну. Его критические замечания и разъяснения позволили нам значительно лучше понять предмет, для развития которого он так много сделал.

Неоценимую техническую помощь нам оказали Ф. Поркведду из туринского филиала Итальянского национального института ядерной физики и С, Стабиле из Триестского университета; благодарим также Н. Кремон за перепечатку рукописи.

Введение

Экспериментаторы обнаруживают частицы по их взаимодействию с какой-то измерительной аппаратурой, и поэтому при изучении и описании субъядерных частиц можно взять за основу виды их взаимодействий. В конце концов все фундаментальные характеристики частицы так или иначе связаны с ее взаимодействием. Например, масса, заряд и магнитный момент характеризуют ее взаимодействие с гравитационным и электромагнитным полями.

Если взглянуть на развитие наших знаний о различных типах взаимодействий с исторической точки зрения, то мы увидим, что до важных открытий в области ядерной физики люди очень хорошо объясняли известные им явления на основе двух фундамент ал ьны х полей, гравитационного и электромагнитного. Из-за своей специфики зти два фундаментальных взаимодействия господствовали в разных областях научных исследований. Астрономия полностью базировалась на гравитационных силах, а для объяснения микроскопических свойств атомов, молекул и твердых тел достаточно было электромагнитных сил. Задача (не всегда простая) заключалась в отыскании соответствующих приближенных схем для решения трудных, но четко поставленных проблем многих тея. Такая ситуация, которая показалась бы идеальной теоретику семидесятых годов, не казалась достаточно простой ученым того времени, которым пришлось предпринять много изящных, хотя и не совсем успешных попыток объединить электромагнетизм и гравитацию в《единую» теорию поля.

С появлением ядерной физики положение радикально изменилось, так как стало ясно, что необходимы два новых типа взаимодействия:

слабые взаимодействия^ ответственные за бета-распад; слабые взаимодействия потребовали введения нового рода частиц—нейтрино;

сильные взаимодействия^ необходимые для объяснения сильной связи нуклонов в ядрах х).

Физика элементарных частиц в основном подтверждает результаты, полученные при изучении ядер. Здесь играют роль следующие три взаимодействия (в порядке убывания силы): сильные^ электромагнитные и слабые. Гравитация же при современном уровне эксперимента, по-видимому, не играет какой-либо роли, поскольку мала соответствующая константа связи.

Фундаментальное различие трех типов взаимодействия приводит к етоль же фундаментальному разбиению частиц на две группы:

Лептоны^ для которых возможны только слабое и электромагнитное взаимодействия. Это пары (е, ve) и (卩,*口) и фотон. Нейтрино занимают особое положение, будучи единственными частицами, которые в з аимо действ уют только слабо.

Адроны, а именно частицы р, п, л, р и т. д., для которых основным является сильное взаимодействие. Очень мало населенному миру

Такую связь можно считать сильной по сравнению, например, со связью электронов в атомах,'

лептонов соответствует громадное число стабильных или нестабильных адронов. Для спектра адронов, по-видимому, даже нет верхней границы; как и в ядерной физике, здесь подчас трудно провести различие- между весьма короткоживущими изобарами и непрерывным спектром.

Таким образом, мы видим, что важнейшие свойства элементарных частиц в значительной мере определяются тем, как они взаимодействуют. Это, в конце концов, не так и удивительно для области, где существенны крайне рел ятивистские эффекты и где рождение и уничтожение частиц — самое обычное явление. Конечно, в очень сложном мире адронов мы оказываемся в гораздо менее выгодном положении, нем в более простом мире лептонов. Однако не исключено, что проблемы, связанные с лептонами, например проблема существования мюона, взаимодействующего так же, как электрон, но имеющего гораздо большую массу, потребуют более радикального изменения наших теоретических предетавлений.

Одно из самых важных достижений в исследовании элементарных частиц ——открытие внутренних симметрий, которые играют очень важную роль при классификации частиц по мультиплетам и при отыскании соотношений между их массами, магнитными моментами и константами связи. Эти симметрии, вообще говоря, нельзя считать точными, ибо лишь некоторые члены лагранжиана инвариантны по отношению к соответствующим преобразованиям. Эмпирическое правило таково: чем слабее взаимодействие, тем уж» его симметрия.

Мы начнем с того, что рассмотрим «симметричный» мир, а затем будем постепенно вводить различные члены, нарушающие симметрию. Всем хорошо известен замечательный успех группы S力(3) при объединении в мультиплеты частиц с различными зарядами и гиперзарядами. Однако расщеплени» экспериментально установленных массовых уровней весьма велико, порядка 100 МэВ, и отсюда делается вывод о том, что часть сильных взаимодействий должна быть ответственна за нарушение 5 U(З)-симметрии. Тем самым мы разбиваем сильные взаимодействия иа сверхсильную часть, инвариантную относительно 5U(З)-преобразований, и умеренно сильную часть, которая нарушает эту инвариантность. Но, кроме того, было высказано предположение, что умеренно сильная часть лагранжиана, будучи неинвариантной, имеет простые свойства преобразований по отношению к SU(3). На этой основе были выведены массовые формулы, которые очень хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Самая важная подгруппа группы SU(3) — группа SU(2), действующая в изотопическом спиновом пространстве; 5U(2)-инвариантность приводит в физике частиц к хорошо известной «зарядовой независимости^, которая играет важную роль в ядерной физике. Сильные взаимодействия SC7(2)- инвариантны; расщепление масс в изотопических мультиплетах — порядка нескольких мегаэлектронвольт, его объясняют нарушением 5U(2)-симмет- рии, об ус л ов л енным наличием эл ектр омагнитных взаимодействий.

Слабые взаимодействия ответственны за дальнейшее нарушение законов симметрии. Следует помнить, что слабый лагранжиан вызывает несохранени» странности и ведет к нарушению одного из наиболее почитаемых законов симметрии ——закона сохранения четности.

Наконец, в связи с недавним открытием нарушения СР-симметрии приходится вводить новый класс сверхслабых взаимодействий.

Этим наши знания исчерпываются. Вполне возможно, что:

Часть симметрий, остающихся точными (например, ТСР-инва- риантность), может быть нарушена еще более слабым видом взаимодействий.

Изложим теперь подробнее современные взгляды на различные типы взаимодействий.

Хотя электромагнитные взаимодействия не единственные в микрофизике, они тем не менее играют фундаментальную роль. Теория электронов (или мюонов) и фотонов — единственный случай, когда понятия квантовой теории поля оказываются вполне адекватными. Правда, математические трудности очень велики, но практически можно рассчитать любое явление с любой степенью точности и согласие с экспериментом весьма внушительное (до 10-10!). Изучение электромагнитных взаимодействий адронов затрудняется наличием сильных взаимодействий. Однако строгое сохранение электромагнитного тока приводит к крайне важным точным результатам, не зависящим от детального вида сильных взаимодействий. Во-первых, сохранение тока придает точный физический смысл понятию универсальности. В самом деле, мы можем исходить, например, из лагранжиана, в котором《голые» заряды е+, л+ и протона одинаковы. Сохранение тока гарантирует совпадение ренор- мировочных эффектов в этих трех случаях, так что физические заряды трех частиц также одинаковы. Более того, закон сохранения тока позволяет нам доказывать точные теоремы, связывающие сечения рассеяния низкоэнергетических 《мягких» фотонов с наблюдаемыми параметрами, такими, как заряды или магнитные моменты адронов.

Электромагнитная теория часто служит моделью для теорий и слабых и сильных взаимодействий. Современные теории слабых взаимодействий обнаруживают большое сходство с квантовой электродинамикой. Мы увидим, что при рассмотрении слабых взаимодействий часто появляются такие понятия, как сохранение заряда, универсальность и тождества Уорда. В развитии же теории сильных взаимодействий играли и играют важную роль такие понятия, как векторная доминантность или поля Янга — Миллса, тоже навеянные электродинамикой.

Отметим, наконец, что все экспериментальные данные в физике элементарных частиц базируются практически на известных нам свойствах электромагнитных взаимодействий. Это наводит на мысль, что электромагнитный ток и аналогичные ему слабый и гравитационный токи — единственные действительно наблюдаемые операторы.

Введение слабых токов для описания слабых взаимодействий имело далеко идущие последствия. Значительный прогресс, достигнутый в понимании природы и свойств слабых взаимодействий, представляет собой одно из самых поразительных достижений в изучении субъядерных частиц. Причин для этого две. Во-первых, малая величина константы связи позволяет нам рассматривать слабые взаимодействия только в низшем порядке теории возмущений. Во-вторых, существуют частицы, например лептоны, которые не обладают сильными взаимодействиями. Следовательно, эффекты слабых взаимодействий можно выделить, если рассматривать либо чисто лептонные процессы (такие, как 卩一 f е~ + ▼& + vj, либо полулептонные процессы (такие, как nr-> 卩一 + v^, тг->р + е~ + wj, в которых влияние недостаточно известных нам сильных взаимодействий может быть учтено введением точно определенных феноменологических параметров.

Окончательная картина слабых взаимодействий замечательно проста и очень похожа на электродинамику. Перечислим кратко ее главные особенности.

Слабое взаимодействие есть взаимодействие типа ток ——ток. В электродинамике также имеются токи (взаимодействующие посредством электромагнитного поля). Есть и фундаментальное различие: фотон с нулевой мае-

сой покоя приводит к дальнодействующему электромагнитному взаимодействию ток ——ток, тогда как взаимодействие слабых токов практически точечное. Можно формально восстановить сходство между двумя типами связи, постулировав существование промежуточного бозона с большой массой, который служил бы посредником в слабых взаимодействиях. Было высказано предположение, что различие в массах электромагнитного и слабого промежуточных бозонов каким-то образом связано с разными радиусами действия двух взаимодействии.

Токи характеризуются внутренними квантовыми числами, такими, как заряд или гиперзаряд, и, будучи когерентной суперпозицией вектора и аксиального вектора, приводят к сильному (в некоторых случаях к максимальному) несохранению четности. И эти токи аналогично электромагнитным токам обладают крайне важными свойствами частичного сохранения.

Что касается явной формы слабых токов, то из-за наличия сильных взаимодействий адронный случай резко отличается от лептонного. В самом деле, мы хорошо знаем, как лептонные токи выражаются через лептонные моля. Здесь имеет место суперпозиция (с одинаковыми коэффициентами) векторного и аксиального токов, а также сохранение лептонного числа наряду с электрон-мюодной универсальностью.

Случай же адронных слабых токов до сих пор еще весьма не ясен, хотя здесь и наблюдается большой прогресс (особенно в последнее время). Первые успехи в изучении адронных токов были достигнуты при изучении законов сохранения таких токов и алгебраических свойств соответствующих зарядов. Действительно, все слабые токи подчиняются приближенным законам сохранения, причем точность, с которой выполняются эти законы, сильно зависит от типа тока (позднее данный вопрос будет рассмотрев подробнее). Как и в электромагнитном случае, сохранение тока придает физическую определенность понятию универсального слабого взаимодействия. В частности, в случае сохраняющих странность слабых векторных токов, когда нарушение симметрии имеет чисто электромагнитное происхождение, экспериментальные подтверждения универсальности выглядят весьма убедительно. Очень важное развитие теорий, связанное с введением угла Кабиббо, привело к тому, ито понятие универсальности было распространено и ыа странные векторные токи.

Из закона сохранения тока прямо следует, что соответствующий заряд (т. е. интеграл по всему пространству от временной компоненты тока) является константой движения. Поэтому единственные не равные нулю матричные элементы такого заряда ——это матричные элементы между состояниями с равными массами. Данное простое обстоятельство лежит в основе важного соотношения между законом сохранения тока и симметриями. Поскольку коммутатор двух констант движения есть тоже константа движения, набор сохраняющихся зарядов, характеризующих внутренние квантовые числа типа электрического заряда или гиперзаряда (таковыми и являются слабые заряды), допускает объединение в мультиплеты состояний с разными квантовыми числами, но одинаковыми массами. Структура мультиплетов соответствует симметрии, которая однозначно определяется коммутаторной алгеброй данных зарядов. Далее, для почти сохраняющихся зарядов имеются главные матричные элементы (скажем, порядка 1) между состояниями с почти одинаковыми массами (т. е. принадлежащими одному и тому же приближенному мультиплету) и матричные элементы, исчезающие при выполнении закона сохранения, которые берутся между состояниями с сильно различаю- щиммсл массами (т. е. состояниями, в пределе точной симметрии или точного закона сохранения принадлежащими разным представлениям).

Итак, коль скоро слабые заряды почти сохраняются и характеризуются квантовыми числами, в природе должны существовать приближенные мультиплеты, содержащие частицы с разными зарядами и гиперзарядами. Посколь-

ку зто действительно имеет место, можно сказать, что природа выбирает слабые заряды 口 качестве генераторов внутренней симметрии.

Существующие в природе приближенные мультиплеты объединяют в себе- частицы с одинаковыми спинами и одинаковой четностью, и их легко отождествить с SU(З)-мультиплетами. Генераторы группы SU(3) представляют собой скалярные операторы положительной четности, и поэтому их следует отождествить со слабыми векторными зарядами. Окончательный вывод таков: слабые векторные заряды обладают всеми свойствами алгебры Ли группы SU(3)・

Тогда возникает проблема аксиальных зарядов, которые являются скалярными операторами с отрицательной четностью. Опираясь на кварковую модель, Гелл-Манн высказал предположение, что векторный и аксиальный заряды удовлетворяют алгебре SU(3) ® SU(3).

Если попытаться распространить все сказанное выше на аксиальные заряды, то мы придем к выводу, что должны существовать более широкие мультиплеты, содержащие частицы с одинаковыми спинами, но разными четностями. Существование же таких более широких структур отнюдь не подтверждается имеющимися данными о спектре элементарных частиц. В конце концов было установлено, что частичное сохранение аксиальных токов связано с существованием псевдоскалярной частицы малой массы г), пиона. Аксиальные заряды вызывают переходы преимущественно между состояниями, различающимися на нечетное число пионов* Таким образом, ввиду малой массы пиона можно говорить о группах состояний обеих четностей с близкими энергиями. Итак, из частичного сохранения аксиального тока не следует, что должны существовать более широкие мультиплеты; из него- следуют лишь некоторые выводы об испускании и поглощении мягких пионов с малым 4-импульсом. Такое «аномальное» поведение аксиальных токов прямо связано со спонтанным нарушением симметрии (так называемый «механизм Голдстоуна — Намбу»). Точнее говоря, аксиальный ток строго сохранялся бы в мире, в котором масса пиона была бы равной нулю. Тогда можно- было бы доказать важные общие теоремы об испускании и поглощении пионов с нулевым 4-импульсом. Прямой и общий метод теоретического исследования мягких ционов основан на использовании феноменологических лагранжианов и нелинейных реализаций киральной симметрии. Имеется, конечно, близкая аналогия между теоремами о мягких пионах и хорошо известными теоремами о мягких фотонах, существование которых связано с точным сохранением электромагнитного тока.

На следующей стадии развития теории адронных токов более важное значение приобретают конкретные предположения о структуре сильно взаимодействующих частиц.

Напомним, что в лептонном случае токи можно в явном виде выразить через поля (е — ve)瓜(卩—vu). Было бы очень желательно иметь возможность и адронные токи выражать через некоторые фундаментальные поля. Модель кварковых триплетов дает простейшую форму таких токов, но необходимо подчеркнуть, что даже если бы мы абсолютно не сомневались в кварковой модели, положение с адронными токами существенно отличалось бы от положения с лептонными. В самом деле, присутствие сильных взаимодействий, основные свойства которых в лучшем случае известны лишь частично, не позволяет сколько-нибудь уверенно вычислять матричные элементы токов между адронными состояниями.

В такой ситуации был найден благоразумный выход ——выделить те свойства кварковой модели, которые слабо зависят от неизвестных деталей сильного взаимодействия. В качестве первого шага в данном направлении

J) В физике элементарных частиц массовая шкала задается по существу массой нуклона.

нужно было постулировать на основании кварковой модели определенный вид одновременных коммутаторов для (непроинтегрированных) временных компонент токов. Эти коммутаторы определяются каноническими коммутационными соотношениями для кваркового поля и поэтому совершенно не зависят от вида лагранжиана взаимодействия; их форму можно также постулировать, исходя из вида зарядовых коммутаторов и тех или иных разумных предположений об их не слишком сингулярном поведении при совпадении аргументов.

Поскольку зарядовые плотности не являются приближенными константами движения, эти коммутаторы вряд ли дадут столь же простые результаты, как и в (случае зарядов. Рассматривая одночастичные матричные элементы зарядовых плотностей в пределе бесконечно большого импульса, можно получить большой набор дисперсионных правил сумм. Эти правила сумм могут рассматриваться как естественное обобщение на элементарные частицы соотношения Томаса ——Рейхе ——Куна. Аналогия станет еще более очевидной, если мы вспомним, что старое правило сумм базировалось на фундаментальном коммутаторе квантовой механики [р,夕];новые же дисперсионные правила сумм опираются на коммутаторы между токами, которые считаются «наблюдаемыми» в теории частиц. Дисперсионные правила сумм дают общие соотношения между различными видами экспериментальных данных, а также позволяют выводить интересные соотношения между массами и константами связи различных частиц.

Новейшие приложения, основанные на изучении коммутаторов на световом конусе, более существенным образом опираются на конкретную форму кварковой модели. Развитие этого направления было стимулировано главным образом результатами опытов по глубоко-неупругому рассеянию электронов. Метод светового конуса дает возможность весьма просто интерпретировать важное свойство масштабной инвариантности, экспериментально уже обнаруженное. Коммутаторы на световом конусе приводят к новому обобщению понятия тока ——введению так называемых «билокальных операторов», которые в кварковой модели представляют собой билинейные формы кварковых полей, взятых в разных точках. Масштабно-инвариантные структурные функции, с помощью которых выражаются все экспериментальные данные инклюзивного лептон-адронного рассеяния, даются одночастичными матричными элементами билокальных операторов. Таким образом, мы видим, что наблюдаемы не только локальные токи, но и билокальные операторы. Это наводит на мысль рассмотреть на световом конусе алгебру билокальных операторов, которая оказывается замкнутой. Изучение такой «обобщенной алгебры»— дело будущего.

Простую интерпретацию глубоко неупругого рассеяния, полностью эквивалентную использованию алгебры на световом конусе, дает так называемая партонная модель. В этой модели глубоко-неупругое рассеяние представляется в виде суммы элементарных взаимодействий с точечными составными частями нуклона — партонами, совпадающими в нашей конкретной интерпретации с кварками. В самом деле, равенство нулю сечения глубоконеупругого рассеяния за счет обмена продольным фотоном убедительно свидетельствует о том, что спин партонов равен Ч^.

Конечно, в свете всего сказанного складывается весьма парадоксальная ситуация: во многих отношениях дело обстоит так, как будто кварки существуют, но четких доказательств существования кварков все еще нет. Оставим зту проблему для будущего исследования и перейдем к теории сильных взаимодействий.

Если взглянуть на спектр известных адронов, то, естественно, впечатление простоты не возникает. Начав с легчайших частиц с небольшими спинами (типа л-, р-мезона и нуклона), мы обнаруживаем все возрастающее число уровней с растущими массайи и спинами. Верхняя граница спектра в настоя-

щее время определяется только экспериментальными возможностями в отношении энергии и разрешения. Несмотря на то что обнаружено много красивых закономерностей, а некоторые теоретические схемы имели во многих случаях частичный успех, мы еще очень далеки от построения единой схемы, позволяющей объяснить и классифицировать адронные состояния. Ввиду сложного характера спектра естественно предположить, по аналогии с ядер- ной физикой, что все адроны ——составные объекты, построенные из нескольких фундаментальных частиц. Мы уже видели, что наиболее многообещающей из таких моделей была модель, основанная на триплетах кварков. Она оказалась очень полезной для предварительной интерпретации низколежа- щих адронных состояний и для разработки алгебры токов. Но очень трудно сказать, будут ли когда-нибудь преодолены трудности реальной кварковой модели. Не говоря уже об отсутствии каких-либо экспериментальных доказательств существования самих кварков, такие их особенности, как дробный заряд, дробное барионное число и, возможно, неправильная связь спина со статистикой, составляют серьезную проблему для будущих исследований.

Весьма разумная руководящая идея при изучении сильных взаимодействий ——не полагаться на какую-нибудь конкретную модель, а постараться вывести из общей лагранжевой схемы те свойства, которые должны быть у любой приемлемой модели. Такая логика привела к S'-матричному подходу, игравшему центральную роль в физике сильных взаимодействий. Было установлено, что различные общие требования типа ре лятиви стек ой инвариантности, принципа перестановки, унитарности и аналитичности очень сильно ограничивают возможный выбор 5-матрицы; результатом явились весьма плодотворные феноменологические исследования, позволившие выявить много разных закономерностей в экспериментальных данных. Один из самых важных результатов такого подхода ——теория полюсов Редже, которая одновременно дает общую схему классификации элементарных частиц и позволяет делать общие теоретические выводы о рассеянии при высоких энергиях на основании низкоэнергетических параметров, полученных при изучении резонансов.

Из теории Редже выросло новое перспективное направление исследований, основанное на сверхсходимости и дуальности. В частности, у дуальной резонансной модели, предложенной Венециано, много шансов стать отправной точкой для новых важных теоретических разработок в физике семидесятых годов.

Замечательный, хотя и не полный, успех теории S-матрицы вызвал к жизни гораздо более общий и претендующий на большее подход, именуемый «бутстрапом». Он основан на том соображении, что физические параметры адронной физики можно полностью определить, если найти самосогласованное решение всех условий аналитичности, унитарности и перекрестной симметрии. С такой точки зрения ни одну частицу не следует считать более фундаментальной, чем любая другая, и каждую из них можно принять за начальную точку при отыскании самосогласованного решения («ядерная демократия»).

На первый взгляд может показаться удивительным, что простые требования общей самосогласованности могут обладать столь громадной предсказательной силой. Но те, кто работают в области сильных взаимодействий, знают, что обеспечить выполнение хотя бы части указанных выше условий очень трудно, так что даже разные приближенные схемы проще всего различать по тому, какое из общих требований нарушено.

Может показаться, что кварковый и бутстрапный подходы взаимно исключают друг друга. В принципе зто, конечно, верно. Но практически необходимо помнить, что мы пока весьма далеки от того, чтобы достаточно полно объяснить поведение адронов. Поэтому на данном уровне частичный бутстрап и составная модель на основе кварков, которых никто еше не видел, 2 — 01263

вполне могут не очень сильно различаться по духу и по результатам. И то и другое приближение содержит долю истины, и весьма вероятно, что будущая адекватная теория элементарных частиц объединит в себе оба аспекта»

* * *

Наша книга посвящена изложению некоторых важных результатовг полученных в физике элементарных частиц. Особый упор делается на электромагнитные и слабые взаимодействия и на фундаментальные проблемы изучения матричных элементов адронных токов. Но поскольку для исследования слабых адронных токов нужно детально знать сильные взаимодействия, две главы посвящены обзору тех разделов физики сильных взаимодействий, которые особенно важны для нашей темы. Остановимся несколько подробнее на содержании книги.

В гл. 1 дается обзор некоторых последних достижений теории 5-матрицы. Мы не ставили себе целью дать полное изложение физики сильных взаимодействий, а ограничились лишь теми вопросами, которые имеют прямое отношение к алгебре токов.

В гл. 2 рассматриваются токи, встречающиеся при анализе слабых и электромагнитных взаимодействий, их общие и феноменологические свойства. Эта глава подготавливает нас к основному вопросу — применению алгебры токов. Существует несколько методов для получения требуемых результатов. Например:

По аналогии с электродинамикой мы можем исходить из обобщенных тождеств Уорда. Тогда мы сразу получаем низкоэнергетические теоремы о мягких пионах (гл. 3). В сочетании с предположениями об аналитических свойствах и асимптотическом поведении соответствующих амплитуд тождества Уорда дают широкий класс дисперсионных правил сумм (гл. 4). Главное преимущество такого метода (по крайней мере для неискушенного теоретика) ——его явная релятивистская инвариантность. Так, например, он очень хорошо сочетается с методами теории S-матрицы, что дает возможность распространить аналитический подход на амплитуды, соответствующие слабым и электромагнитным токам.

Весьма общий и многое проясняющий подход базируется на использовании феноменологических лагранжианов (гл. 5). Введение нелинейных реализаций киральной симметрии позволяет последовательно и самым общим образом получать амплитуды, содержащие любое число мягких пионов. Это делается в рамках лагранжева метода путем учета вклада только от диаграмм типа деревьев.

Самый прямой путь использования алгебры токов ——это, пользуясь свойством полноты, выводить правила сумм из матричных элементов коммутаторов между физическими состояниями. Такой метод вполне аналогичен методу, которым пользуются в нерелятивистской квантовой механике. На первый взгляд он кажется простым и надежным. Но, к сожалению, это не так в силу двух обстоятельств, связанных с существенно релятивистским характером нашей задачи: а) форма правил сумм зависит от системы отсчета, в которой мы работаем, и б) имеются вклады от несвязных и полунесвязных диаграмм, пренебречь которыми в общем случае нельзя. При переходе к другой системе отсчета меняется соотношение различных вкладов в правила сумм. Таким образом, метод прямого насыщения матричных элементов коммутатора (гл. 6—8) оказывается поистине сложным искусством, требующим большого умения.

В гл. 6 будет показано, что наличие однопионного вклада прямо связано со свойствами мягких пионов. Выбрав в качестве системы отсчета покоящуюся или почти покоящуюся систему, можно прямо вычислить искомые низкоэнергетические пределы, а также надежно оценить поправки, обусловленные ненулевой массой пиона. 1

Гл. 7 будет посвящена общему исследованию связи между одновременными коммутаторами и группой Лоренца. Это необходимо, чтобы глубже понять физический смысл зависимости правил суммы otJ системы отсчета.

Гл* 8 посвящена тщательному изучению системы отсчета с бесконечно большим импульсом. Предел р -> 8 позволяет нам сразу же получить, исходя из одновременных коммутаторов, дисперсионные правила сумм с фиксированными массами (типа тех, о которых говорилось в*гл. 4). Большое преимущество данного метода заключается в том, что*алгебраические аспекты самих правил сумм и схем их насыщения проявляются в нем явным и четким образом.

Переход к пределу бесконечно большого импульса используется теперь не только в алгебре токов, но и в общей теории поля, в диаграммах Фейнмана и в партонных моделях. Это один из самых мощных методов использования неявной лоренцевской инвариантности, присущей задачам физики элементарных частиц.

Окидывая мысленным взором последние достижения алгебры токов, мы видим, что все три подхода имеют свои преимущества и все они выдвигают на первый план разные стороны проблемы. Это позволит читателю избрать ту процедуру, которая ему больше по вкусу или больше подходит для его конкретных нужд.

Наконец, последние три главы содержат обзор совсем недавних достижений как в теории сильных взаимодействий, так и в алгебре токов. В гл. 9 мы остановимся на новом подходе, основанном на идее дуальности» Это 'изящное новое направление может в будущем привести к существенным успехам в теории адронов.

Гл. 10 посвящена обзору самых последних методов и идей, связанных с адронными токами. Упоминаются, в частности, новая трактовка масштабного преобразования, основанная на использовании тензора энергии —— импульса, и красивые новейшие результаты по глубоко-неупругому электронному рассеянию.

И наконец, гл. 11 посвящена новому методу, который получил существенное развитие в первой половине 1971 г. и основан на использовании коммутаторов на световом конусе. Это обеспечивает единую трактовку многих вопросов, уже рассматривавшихся в главах 8 и 10, и, по нашему мнению, открывает широкие возможности для дальнейшего продвижения вперед.

Обозначения и определения

2. Специальные символы

Перечислим использующиеся в этой книге специальные символы, объясняя их значение.

* «комплексно-сопряженный»;

十 «эрмитово-сопряженный»;

〜«ведет себя подобно» (в асимптотических соотношениях, например sin 芯〜 金),

«имеет величину порядка» (в грубых равенствах, например, 冗 ~ 1),

«имеет те же трансформационные свойства, как» (в теоретикогрупповых с оотноше ния х);

q «приблизительно равно» (например, G ^ 10-в т^);

ос «пропорционально»;

+ «от... до» (например, а = 1 + 2);

二 в дисперсионных соотношениях означает, что равенство сохраняется после выполнения необходимого числа вычитаний;

+ э. с. «плюс эрмитово-сопряженный оператор»;

+ перекр. чл. «плюс перекрестный член»;

limBbSpR«предел в смысле Бьёркена».

Обычно мы используем первые буквы греческого алфавита

а, 8, у,…

для обозначения индексов внутренней симметрии.

Греческие буквы

М, V, р,...]

обычно используются для индексов, связанных с преобразованием Лоренца. Латинские буквы

厶 7? Zc, . . *

обычно служат пространственными индексами.

Метрика и связаннее с ней определения

Контравариантные компоненты 4-вектора, как обычно, будут иметь индексы сверху:

忆w=(胃О, X1, X2,公)=(詳 x).

Ковариантные компоненты 4-вектора характеризуются нижними индексами：

/1=gй”讲=(力一X),

причем наш метрический тензор определен следующим образом:

goo =(, gkh = —^ (厶=，，2,3);

g“v = ° при 卩声 v;

g"v = g“v, g； = %.

Оператор градиента записывается так:

尹三設= (£，—▽)，

TV» таким образом,

尹&=醬 +▽A=儿4".

Здесь V есть, очевидно, оператор градиента в трехмерном эвклидовом пространстве:

Оператор Лапласа обозначается так:

А =厶2 = ▽"，

а оператор Даламбера определен в таком виде:

口三尹火=备一&•

3・ Основные тензоры и матрицы

Стандартные матрицы Паули, действующие в спиновом пространстве, выглядят так:

причем а； = —аг.

Полностью антисимметричный тензор (Риччи — Леви — Чивиты) %阪 в трехмерном эвклидовом пространстве определяется посредством условия

причем “23 = —1.

В четырехмерном пространстве Минковского полностью антисимметричный тензор определен так:

^Oijh = £tjk， т. е.

£()123 = 1，

причем е"23 ——丄

Матрицы Дирака у*1 = (у0, у) мы выбираем в следующем виде:

产=(；—Y=(」；)•

Очевидно, что

7。十=?0，产十=一干；

{?% у”} = yRyv + yvy = 2g吗

'Y“ =(Y°MYo, —Y)・

Матрица у6, которую мн будем писать с индексом внизу или наверху, определена так:

Ms 三 Y5 =外。<产1>2?3= I \ .

при этом

T5 十=?5.

Далее, мн вводим четырехмерные матрицы о, определенные таким образом:

о О

О о

и, как обычно, вводим антисимметричные матрицы。乩丫， определенные следующим образом:

03 =目力?"，Mvl =EmY/b -YvYu)；

в силу определения имеем

а. |Матрлцы^внутренней симметрии

Для обозначения внутренних степеней свободы Мы используем как верхние, так и нижние индексы.

Матрицы Паули, действующие в изоспиновом пространстве, обозначаются так: та s та (а = 1, 2, 3). Вводятся также матрицы

+士 = ；(q 土%)■

Явный вид матриц та такой же, как и матриц вг.

Полностью антисимметричный тензор в изоспиновом пространстве обозначается так: eaPv = eaftv и определяется посредством условия е123 = 1.

Восемь матриц Гелл-Манна для группы 5*^(3) обозначены, как обычно, через Ха 三 入а. Их явная форма такова:

1 0\ о о , 0]0/ О 1\ 0 0, о о/

Они удовлетворяютОни удовлетворяютправилам коммутации

Они удовлетворяют

Они удовлетворяют

[产,九力=2炉咻炉，

{九a, %₽} = 46a₽ + 2da₽vV.

Коэффициенты /ай? полностью ан тисимметричны по всем трем индексам, в то время как ©аву полностью си мметричны. Следующие компоненты козф-

фициентов /а BY И da BY ОТЛИЧНЫ ОТ НУЛЯ：

/123—

/147= 一 /1Б6 = /246 = /257 = /з45 =—『367 = £ ,

/458 — /678 — "*2-，

^118 = ^228 = &338 = — ^888 =丿§ ,

厶&8 = d558 = d668 = d778 = 2 Pg »

^146 = ^157 = — ^247 = ^256 = &344 = &355 = — ©386 = &377 = £

4・ Обозначения для токов и зарядов

Повсюду в этой книге и в особенности в гл. 2 мы постоянно будем иметь дело с разными видами токов и соответствующими им зарядами. Перечислим основные обозначения для них.

Токи:

务2 = » + /" 出=帯一燈曲Z&a l^ j"=卩"—4“ = J(AS=0) + /(AS=AQ) 片北2)=J%务2 = » + /" 出=帯一燈曲Z&a l^ j"=卩"—4“ = J(AS=0) + /(AS=AQ) 片北2)=J%полный слабый ток;лептонный слабый ток;лептонный слабый векторный ток; лептонный слабый аксиальный ток;лептонные векторные 5С7(2)-токи; I лептонные аксиальные 5С7(2)-токи;полный слабый ток;лептонный слабый ток;лептонный слабый векторный ток; лептонный слабый аксиальный ток;лептонные векторные 5С7(2)-токи; I лептонные аксиальные 5С7(2)-токи;адронный адронный адронный адронный ность;адронный адронный адронный адронный ность;слабый слабый слабый слабыйслабый слабый слабый слабыйток;векторный ток;аксиальный ток；ток, сохраняющий стран-ток;векторный ток;аксиальный ток；ток, сохраняющий стран-

务2 = » + /" 出=帯一燈

曲

Z&a l^ j"=卩"—4“ = J(AS=0) + /(AS=AQ) 片

北2)=J%

务2 = » + /" 出=帯一燈

曲

Z&a l^ j"=卩"—4“ = J(AS=0) + /(AS=AQ) 片

北2)=J%

полный слабый ток;

лептонный слабый ток;

лептонный слабый векторный ток; лептонный слабый аксиальный ток;

лептонные векторные 5С7(2)-токи; I лептонные аксиальные 5С7(2)-токи;

полный слабый ток;

лептонный слабый ток;

лептонный слабый векторный ток; лептонный слабый аксиальный ток;

лептонные векторные 5С7(2)-токи; I лептонные аксиальные 5С7(2)-токи;

адронный адронный адронный адронный ность;

адронный адронный адронный адронный ность;

слабый слабый слабый слабый

слабый слабый слабый слабый

ток;

векторный ток;

аксиальный ток；

ток, сохраняющий стран-

ток;

векторный ток;

аксиальный ток；

ток, сохраняющий стран-

J%s=aq)= J* адронный слабый ток, меняющий странность;

Р? адронные векторные 5С7(3)-токи;

4^ адронные аксиальные 5С7(3)-токи;

/а адронный SU(3) ® 5С7(3)-ток (т. е. обозначение /а справедливо как для V?， так и ДЛЯ /2)； I

九 ток вообще;

j^i.3 электромагнитный ток.

Заряды!

e+=，Z。⑺ d%,Z/. = (E+)‘，e3 = ^"[厶+, LJ

% = J J。(土)置，二及=(工义 я3 = 4 [%, Н_],

Qv=^ lK^)dsx, QT=j%(z)耽 (a = l,2,3，

Q" = J 卩式^) ©%,丨 Q" = j ЛЛ (z)以^ (a = l, 2,8).

Подчеркнем еще раз, что индексы внутренней симметрии могут писаться сверху или снизу, поэтому Qa = Q&, % 三 卩乩& и т. д.

При написании зарядов, действующих как операторы сдвига, мы используем на равных правах три обозначения, например:

Q^+ = Qv Qv — (Q^+^Qb) и т・ д.

Основные уравнения и нормировочные условия

При избранной нами метрике падающая волна выглядит так:

£&* = £一请』三 ©Kkx-叫(0.1)

а рассеянная так:

戶“=产%1 = g-{(kx-«i)e(0.2)

Тогда трансляционная инвариантность некоторого локального оператора А (胃)выражается следующим образом1):,

А ⑺=eiPxA (0) е- £Рн,(0.3)

где Ри ——оператор полного 4-импульса.

Уравнение Клейна —— Гордона для свободных полей записывается так» (□ + /п2) ф (аг) = 0(0.4)

или, в импульсном пространстве, (加2 — р2) ф = 0..(0.5)

Если ф —— взаимодействующее поле, то в уравнение добавляется источник % ®:

(□ + 疗)屮 3) = X ⑺(0.6)

или, в импульсном пространстве,

(加2 — р2)屮=%.(0.7)

Уравнение Дирака для спинора и, описывающего частицу, выглядит так: (р — т)и(р) = 0 (р = у^ц),(0.8)

и(р) (р —т) = 0 (〃 =讲們.(0.9)

Для спинора р, описывающего античастицу, уравнение Дирака имеет вид (2 + ® 1；(р) = 0,(0.10)

V (р) (р + т) = 0.(0.11)

Мы избираем ковариантную нормировку для физических состояний с данным импульсом р:

〈р, а|р\ аЛ) — 2Е (2л)3 63 (р —р*) 6аа»；(0.12)

здесь индексом а обозначены все остальные квантовые числа, необходимые для описания состояния. По ходу изложения будет ясно, что под ними подразумевается.

Избранная нормировка приводит к следующим нормировочным соотношениям для спиноров:

［以(р) “(р) = 2加，

I i?(p)i4(p) = 2EВ」"

：)Полный оператор 4-импул^са мы будем иногда обозначать символом П^, чтобы не спутать его с некоторыми кинематическими переменными.

(0.14)(0.14)И

(0.14)

(0.14)

3 m⑶(p) "⑴(p)=e+吗

S

2 V^ (р) V^ (р) = р — тп.

(0.15)

(0.16)

J 又р”(р)= —2?п,

I "(Р)и (夕)=—2Е.

Поэтому суммирование по поляризациям для частиц со спином 丄厶 дает

Ковариантная нормировка (0.12) приводит к следующему соотношению полноты：

』IР〉⑺=J WSF =蟲 J 修6(p2—^)6 (p。).(0.17)

Вероятности перехода, постоянные распада и эффективные сечения

Вероятность перехода в единице 4-объема из начального состояния" | г〉 в конечное состояние | /〉равна

际=(22 电(Pi~P^\{f\T\i〉Е(0.18)

где Т есть «ковариантная Т-матр口口а».

Для процесса распада вероятность перехода йГу； в единицу времени для определенного конечного состояния равна

孤〃=等耽，(0.19)

где pt —— плотность распадающихся состояний, a d_ZV『 —— число конечных состояний. При нашем условии нормировки (0.12) имеем

Pt = 2当.(0.20)

Число допустимых состояний для частицы с импульсом, заключенным в пределах от р до р + d^p, равно й3р/[(2л)3 2Е]. Поэтому, если в конечном состоянии |/) имеется п частиц (| /) = | р1? . . ., рп )), то

眈尸后必器7=3后需・©21)

6=1J=1

(0.22)(0.22)Для постоянной распада Г (г -> /) получаем из уравнений (0.19) —(0.21)

(0.22)

(0.22)

на двена двеI7=1

на две

на две

(0.23)(0.23)В особенно интересном случае распада покоящейся частицы а частицы бис легко получить из (0.22), что

(0.23)

(0.23)

где I q I — фиксированный импульс каждой из конечных частиц

|/q I{ [m%—(ть+тс)2] ?^—(mb —mRZ] } х/а

а матричный элемент Т вычисляется при значениях ръ =(笈ь，q)，Рс = =(豆С, -q).

Очевидно, что если частицы обладают спином, то в вышеприведенных формулах по др аз умев ается усреднение по спину состояния а с суммированием по спинам конечного состояния.

Для процесса столкновения

% ^。1 + 〃2/ J

эффективное сечение определяется так:

da & + а2 f 力=賞 dNf,(0.25)

где J» — плотность потока падающих частиц, равная

厶=PiPz%(0.26)

a pt 一 плотность падающих частиц [формула (0.20)]迈 и — относительная скорость. Тогда для эффективного сечения получается следующее выражение:

do (% 十做 f" /):」2噹旣篇~~?〃 12n芻.(。.27)

В случае реакции две частицы — в две, a1 + 42 f 瓦 + 少 2* введем для частиц кинематические переменные, показанные на фиг. 0.1, и положим, как обычно, £ =(Pi + ^)3 ——квадрат полной энергии в системе

центра масс дв ухj^n ад ающих частиц. В этой системе мы положим

bf = Pi ==—驰； & = р2 = 一Q2'(0.28)

Относительная^скорость частиц ах и^а в системе центра^масс равна

Из выражения (0.27) теперь легко вывести общее выражение для дифференциального эффективного сечения реакции две частицы — в две в системе центра масс:

券=為鬪ISA(。・3。)

В формуле (0.30) положим, как обычно, (f \ Т \ I) Т (s, t),(0.31)

где £ — квадрат передаваемого 4-импульса:

'£ = (Р2—Р1)2.(0.32)

В формулах (0.27)?迈(0.30) по-прежнему предполагается надлежащее суммирование и усреднение по спинам.

需=鳥曰7("评・(0.33)Кроме того, если все частицы имеют одинаковые массыt то<Й ：16口 s(s —4m2) |7(S")I •(0.34)Инвариантная амплитуда рассеяния Т (“ 力)для скалярных частиц следую-щим образом разлагается по парциальным волнамиТ (s, i) = 8л j^- 2 ⑵ +1)产 sin 3吊(cos 6),(0.35)и, таким образом,7(“ ^ — Sn^sf^),(0.36)где, как обычно,/ ⑼=^ 2 ⑵ + !)/" sin &Р (cos 6)и患=1/⑵自(0.37)(0.38)Сдвиги фаз вблизи порога даются соотношением 拆〜/z+%,(0.39)需=鳥曰7("评・(0.33)Кроме того, если все частицы имеют одинаковые массыt то<Й ：16口 s(s —4m2) |7(S")I •(0.34)Инвариантная амплитуда рассеяния Т (“ 力)для скалярных частиц следую-щим образом разлагается по парциальным волнамиТ (s, i) = 8л j^- 2 ⑵ +1)产 sin 3吊(cos 6),(0.35)и, таким образом,7(“ ^ — Sn^sf^),(0.36)где, как обычно,/ ⑼=^ 2 ⑵ + !)/" sin &Р (cos 6)и患=1/⑵自(0.37)(0.38)Сдвиги фаз вблизи порога даются соотношением 拆〜/z+%,(0.39)В случае упругого рассеяния (| к^ | — | к/ |) из выражения (0.30) сразу получаемВ случае упругого рассеяния (| к^ | — | к/ |) из выражения (0.30) сразу получаем

需=鳥曰7("评・

(0.33)

Кроме того, если все частицы имеют одинаковые массыt то

<Й ：16口 s(s —4m2) |7(S")I •

(0.34)

Инвариантная амплитуда рассеяния Т (“ 力)для скалярных частиц следую-

щим образом разлагается по парциальным волнами

Т (s, i) = 8л j^- 2 ⑵ +1)产 sin 3吊(cos 6),

(0.35)

и, таким образом,

7(“ ^ — Sn^sf^),

(0.36)

где, как обычно,

/ ⑼=^ 2 ⑵ + !)/" sin &Р (cos 6)

и

患=1/⑵自

(0.37)

(0.38)

Сдвиги фаз вблизи порога даются соотношением 拆〜/z+%,

(0.39)

需=鳥曰7("评・

(0.33)

Кроме того, если все частицы имеют одинаковые массыt то

<Й ：16口 s(s —4m2) |7(S")I •

(0.34)

Инвариантная амплитуда рассеяния Т (“ 力)для скалярных частиц следую-

щим образом разлагается по парциальным волнами

Т (s, i) = 8л j^- 2 ⑵ +1)产 sin 3吊(cos 6),

(0.35)

и, таким образом,

7(“ ^ — Sn^sf^),

(0.36)

где, как обычно,

/ ⑼=^ 2 ⑵ + !)/" sin &Р (cos 6)

и

患=1/⑵自

(0.37)

(0.38)

Сдвиги фаз вблизи порога даются соотношением 拆〜/z+%,

(0.39)

В случае упругого рассеяния (| к^ | — | к/ |) из выражения (0.30) сразу получаем

В случае упругого рассеяния (| к^ | — | к/ |) из выражения (0.30) сразу получаем

где а/ — длина рассеяния.

Поэтому из формулы (0.35) явствует, что амплитуда Т на пороге связана с длиной рассеяния s-волны следующим образом:

?порог = 8л (小岳+工加9 a0-；工(0.40)

В силу свойства унитарности ковариантная Т-матрица удовлетворяет соотношению (| i) 一 бесспиновое состояние):

Im(i|T,|i) = 4 (2я)4 2 64 3 — Рпромежут) (i I г+1 промежут) (промежут | Г | i), промежут

(0.虱)

где подразумевается суммирование по дискретным индексам и интегрирование по каждому промежуточному состоянию р/ с мерой(Рр^/[2Е^ (2л)3]* В то же время из равенства (0.27) [пользуясь формулой (0.29)] получаем для полного сечения

аполн =若务 X》(R — MK/I^IOI2-(0.42)

Сравнение формул (0.41) и (0-42) дает оптическую теорему

\I值7 (龜 0) — 2&；рТ Ополн.(0.43)

В лабораторной системе соотношение (0.43) выглядит так:

Im Т(5, 0) = 21 ^лаб I ^^полн,(0.44)

где т — масса мишени, а^лаб 一 импульс падающей частицы.

1. Введение в теорию сильных взаимодействий

Введение

Наша книга посвящена главным образом слабым адронным токам и алгебре токов. Поэтому может показаться странным, что она начинается с главы о сильных взаимодействиях. И в самом деле, физику сильных взаимодействий можно, по крайней мере формально, считать совершенно независимой областью исследований, чего нельзя сказать о слабых взаимодействиях сильно взаимодействующих систем. Если встать на менее формальную точку зрения, то, конечно, следует признать, что слабые и электромагнитные взаимодействия относятся к самым удобным средствам исследования сильно в з аимо действующих систем. Это такие эксперимент ал ьны е средства, которые не возмущают систему, тогда как сильно взаимодействующая «экспериментальная аппаратура» ставит более сложные проблемы.

Попытки развить замкнутую теорию сильных взаимодействий основаны на поисках 5-матрицы, которая удовлетворяла бы ряду важных требований, таких, как требования унитарности, максимальной аналитичности и перекрестной симметрии. По своему статусу это временная теория, о точных решениях в ней не может быть и речи, и одной из ее целей является выяснение того, в какой мере важны различные требования. Так что «теория 5-матрицы 1956» совершенно отлична от издания 1962 г.т а оно в свою очередь отличается от теории 5-матрицы выпуска 1970 г.

В этой части книги мы постараемся так изложить предмет, чтобы ему не грозило слишком быстрое старение. Особый упор мы будем делать на те сведения и результаты, которые важны для алгебры токов и для новейшего развития теории сильных взаимодействий (гл. 9).

Если не считать некоторых важных исключений, то в основном усилия в теории S-матрмцы затрачиваются на анализ двухчастичных процессов, т. е. на изучение ковариантных амплитуд, описывающих процессы с четырьмя внешними линиями. Для простоты по большей части рассматривается случай бесспиновых частиц. В § 11 мы отметим то новое и характерное, что вносится ненулевым спином.

Рассмотрим процесс, в котором участвуют четыре асимптотически свободные частицы с импульсами р工,..•, р& 口 массами р? = М\. Трансляционная инвариантность требует, чтобы выполнялось равенство

4

Временная компонента р^ каждого вектора может быть выбрана как положительной, так и отрицательной, что будет соответствовать падающей или рассеянной частице. Каждому такому набору с определенными знаками, согласующемуся с законом сохранения энергии, априори соответствует свой физический процесс (конечно, число независимых процессов снижают общие свойства симметрии амплитуды, такие, как СРТ-ипвариантность). Если массы удовлетворяют обычным условиям стабильности г), то возможны три

г) Т. е. ни одна частица не может распасться на три остальные.

варианта, описывающие различные процессы рассеяния, а именно〔)：

А-\~В —>- С+D, A+D-^B + C, a+c^b+dj

Возможность такой группировки частиц по различным парам (каналам) характерна для релятивистской теории и будет играть главную роль только там, где важное значение приобретает релятивистский подход (при энергиях порядка масс частиц). В ядерной физике указанная возможность играет обычно небольшую роль, ибо там разность между р0 и 一р0 равна примерно 2МЯдро» т. е. весьма велика в масштабе энергетических уровней. Следовательно, новым фундаментальным положением физики элементарных частиц является положение о том, что одна амплитуда описывает одновременно различные процессы и поэтому должна удовлетворять всем требованиям (таким, как требование унитарности), предъявляемым к подобным процессам (принцип перестановки) ). Невозможно, конечно, перейти от одного канала к другому, пройдя непрерывный ряд физических процессов, так как области кинематических переменных, где различные процессы являются физическими, не перекрываются друг с другом. Поэтому нам приходится прибегнуть к методу аналитического продолжения. Возможность применения этого метода очевидна для фейнмановских амплитуд в теории возмущений. В этом случае для любой амплитуды в явном виде уст анавл ив ается зависимость от кинематических переменных и аналитическое продолжение, не вызывая затруднений, производится автоматически.

В теории сильных взаимодействий для того, чтобы придать смысл принципу перестановки, необходимо решить задачу аналитического продолжения из одного канала в другой. Полной теории, основанной на общих аксиомах теории поля, не существует, поэтому очень помогает метод теории возмущений. Имеется, однако, ряд положений, относительно которых среди физиков достигнуто общее согласие. Самое важное положение о сингулярностях амплитуды гласит, что каждая сингулярность связана с определенным динамическим процессом и ее положение есть функция масс промежуточных (и внешних) состояний, участвующих в этом процессе. В качестве первого примера рассмотрим процесс с N внешними линиями; если в данном канале, характеризующемся начальными импульсами р「. •.,歹尸,где (Pi + • • • + Pl* =«» существует промежуточное одночастичное состояние массы М, то такой вклад приводит в амплитуде к полюсной сингулярности вида 吊 (рп . . ., р/ 尸2(Pr+i，. . г Pn)/(s —М2). Таким образом, полюса по каждой переменной связаны с одночастичными обменами.

Конечно, существуют более сложные многочастичные промежуточные состояния с непрерывным спектром масс, которые ведут к более сложным сингулярностям, в общем случае точкам ветвления и разрезам. Принцип максимальной ан ал итичности (иногда называемый принципом максимальной аналитичности первого рода) уст анав л ив ает, что нет других сингулярностей (как, например, сингул я Юностей, зависящих только от внешних масс) или что они могут быть тривиально факторизованы путем соответствующего определения амплитуд )..

В дальнейшем при анализе примера четырехчастичной амплитуды нам станет понятно все значение этого принципа, которое, оказывается, больше, нежели можно было бы ожидать.

§ 2・ Двухчастичная задача, общие замечания

Здесь мы остановимся на общих свойствах амплитуды, связывающей две падающие и две рассеянные скалярные частицы.

Сначала введем ряд кинематических величин и понятий. Рассматривается процесс рассеяния, изображенный на фиг. 1.1, где д» и р方 ——переносимые

частицами 4-импульсы, связанные законом сохранения импульса Pi + Oi = = Р2 + %• Мы введем инвариантные переменные (переменные Мандель- стама)

S = 81 + 01)2,

^ =(Р1 — Рг)2>(£4)

s = (pi — %)2.

Каждая из них представляет собой квадрат энергии соответствующей реакции в системе центра масс; переменная s связана с реакцией А -^ В ->•

-> С + 2); переменная t — с реакцией 4 + Z) -> 5 + С и переменная s — с реакцией 4 + С->3 +。. В дальнейшем мы будем говорить «канал s», «канал 看» и т. д., имея в виду в случае канала 邑 что р】,д】относятся к линиям падающих частиц, а р2, ^3 — к линиям рассеянных (pi0 > 0, qiQ > 0); в случае канала t величины рг и —р2 относятся к падающим, а величины ^2 и ——。1 —. к рассеянным частицам (/j10 >■ 0, р2о V 0, 02。> 0, ^10 V 0) и т. д.

Эти три переменные не являются независимыми:

s + t'+&=pF + p： + g：+ 吟(1.2)

При наличии такого соотношения удобно ввести треугольную систему координат на плоскости, в которой все переменные равноправны (используется то обстоятельство, что в равностороннем треугольнике алгебраическая сумма расстояний от некоторой точки до трех его сторон есть постоянная величина).

Посмотрим, какими будут 眩таком представлении области, соответствующие трем физически допустимым реакциям. Предположим на время, что падающие и рассеянные частицы- имеют одну и ту же массу т. Это упростит кинематику без потери общности для поставленной нами цели.

Для s-канальной реакции импульсы могут быть параметризованы следующим образом:

Р1 = (со, к), Ра = (со, к'),“ 幻

弘=(з, -к),矗=(з, —к'),〈丄冋

где I к I = I kz I = Л;炉=依 + т2.

Введем угол рассеяния для s-канала

e^仇=霁。(1.4)

Тогда инвариантные переменные s,力 s выражаются следующим образом：£ = 4 (胪 + ?п2)三(2(о)2,

看=—2胪(1 — cos “)，(1.5)

s = —2胪(1 + cos 0fi).

Чтобы для s-канала реакция была физически возможной, должны выполняться условия А：2 > 0 и —1 & cos 6S ^ + 1. Следовательно, s》4m2? ——4乃2 W 力 & 0, —4/с2 &£ & 0・ В этом случае 力 и £ играют роль переданных импульсов для s-канала. То же самое можно сказать о каждом канале. Таким образом, мы видим, что в] плоскости (龜 力 s) физически допустимые области

для всех трех процессов разные и не пересек аются (исключением является случай, когда внешние частицы имеют нулевую массу). Физические области показаны на фиг. 1.2, где изображена мандельстамовская плоскость (s, £, s).

Мы уже говорили во введении о принципе перестановки как о краеугольном камне сегодняшних попыток построить релятивистскую теорию рассеяния частиц. Начнем с определения амплитуды рассеяния. Введем 5-матрицу в канале £：

〈02, Ра 丨 S I д” 歹工〉=S(i)《2) +十»(2冗)气4(p1 +如一卫2 - 02)〈2|? I 1〉.

(1.6)

При нашем условии нормировки, (рг | pQ = 2Е (2л)363 伯工—р3), амплитуда рассеяния (2 | Z | 1) есть лоренц;-口耳вариантная функция и, следовательно, функция инвариантных переменных для случая скалярных частиц, т・ е. мы имеем

<2 I Г I 1) = Z(5, ^ 5). (1.7)

Далее, принцип перестановки есть утверждение об амплитуде Т(£, £, s). Он гласит, что физическое рассеяние в трех разных каналах в соответствующих им допустимых областях плоскости Мандельстама описывается одной и той же аналитической функцией Т (§, t, s). Такое утверждение имеет смысл лишь тогда, когда существует метод аналитического продолжения функции Т (я,詳 s) из физической области одного канала в физическую область других каналов. Именно здесь возникает вопрос об аналитических свойствах амплитуды рассеяния. Становится нонятной та важная роль, которую играют аналитические свойства амплитуды в области релятивистского рассеяния, где принципиальное значение имеет наличие трех разных физических процессов ,тесно связанных между собой.

В § 5 мы остановимся поподробнее на вопросе об аналитических свойствах амплитуды. Здесь же только отметим, что результатов, полученных из аксиом современной квантовой теории поля, пока недостаточно для обоснования принципа перестановки и приходится прибегать к моделям, главным образом к теории возмущений. Укажем также, что введенный ранее набор переменных Мандельстама 5, 3 s является наиболее подходящим для простого выражения аналитических свойств.

Другое крайне важное требование к амплитуде, легко выражаемое в том же наборе переменных,——это требование перекрестной симметрии, которое

есть следствие принципа перестановки для случая, когда имеются два одинаковых канала. Предположим, что в рассмотренном выше примере частицы В и D одинаковы. Тогда, если при фиксированном t поменять местами s и % то амплитуда не должна измениться, т. е.

Т (s, £, s) = Т (s,力，s).(1.8)

Равенство такого типа называют перекрестной симметрией.

В высшей степени важное представление амплитуды рассеяния дается разложением ее по собственным состояниям полного углового момента J, который в нашем случае (скалярные частицы) совпадает с орбитальным угловым моментом. В такое разложение входит угол рассеяния в системе центра масс, и поэтому надо рассматривать конкретный канал.

Взяв 5-канал, имеем

7(“ cos0s)=-8n/F 3 (2Z + l)/z (s) Pi (cos0fi),(1.9)

причем в случае равных масс частиц для cos 03 может быть получено следующее выражение в переменных Мандельстама [использованы формулы (1.5)]:

cos 63 =cos 63 =-W '-W '(1.10)(1.10)

cos 63 =

cos 63 =

-W '

-W '

(1.10)

(1.10)

Ясно, что разложение по парциальным волнам устраняет возможность равноправной трактовки трех различных каналов, описываемых, согласно закону перестановки, одной амплитудой. Но зато благодаря сохранению полного углового момента в процессе взаимодействия все те свойства, которые «диагональны» в представлении углового момента, очень просто выражаются в этом представлении. Мы имеем в виду, например, унитарность или вклад отчетливо выраженного резонанса.

В той части нашей книги, где рассматриваются сильные взаимодействия, взаимосвязь между свойствами, которые легче всего формулируются с помощью парциальных волн, и свойствами, которые проще выражаются посредством переменных Мандельстама (перекрестная симметрия и аналитичность), будет иметь первостепенное значение.

§ 3・ Унитарностъ

Унитарность ——фундаментальное свойство амплитуды рассеяния. Из унитарности 5-матрицы, S* = 5-1, мы можем получить для Т-матрицы, введенной уравнением (1.6), следующее условие:

北"17|力*一〈/|7旧} = (2寸』"0 —p")〈/1穴|以力|71»(1.n)

Инвариантность по отношению к отражению времени дает соотношение I)

(1|Г|/> = (f\T]i),(1.12)

так что уравнение (1.11) принимает вид

Im{f\T\i)^^2n)^8^Pi-pn) (/\Т^\п) (п|Т|г).(1.13)

п

Мы имеем дело со скаляриыми частицами, в противном случае уравнение (1.12) читается так: 口 | Т ⑺=〈/ | Т | X〉，где | Г),]干〉一обращенные во времени состояния, в общем случае не совпадающие с первоначальными. [Равенство (1.12) имеет место лишь при инвариантности теории относительно отражения пространства — времени (если частицы бесспиновые). Формула (1.12) получается также, если помимо Т-инвариантности учесть и релятивистскую инвариантность. См. [578]. — Прим, ред.]

3-01263

В то же время имеются следующие выражения для дифференциального упругого и полного сечений рассеяния:

而石；1〈/； % ^|^| Ч Pi, ?i)|2,(1」分

S=1^2#(PLPn)m|T|3；九弘〉|2,(1.15)

где к ——импульс падающей частицы в системе центра масс.

Используя соотношение (1.13) для случая, когда начальное и конечное состояния одинаковы, получаем оптическую теорему

吁帚…17 A(1-16)

которая связывает полное сечение рассеяния с мнимой частью амплитуды упругого рассеяния вперед.

Уравнение (1.13) накладывает на амплитуду ограничение, имеющее огромное значение. Оно связывает различные амплитуды при одной и той же энергии. Действительно, справа стоят все амплитуды рождения, совместимые с законом сохранения энергии. Ниже порога рождения уравнение (1.13) представляет собой нелинейное соотношение для амплитуды («упругая унитарность»).

Соотношение упругой унитарности принимает особенно простой вид для парциальных волн. Так как для рассеяния скалярных частиц орбитальный угловой момент является хорошим квантовым числом, соотношение унитарности распадается на нелинейные тождества для каждой парциальной волны. Рассмотрим соотношение упругой унитарности более детально. Если мы находимся ниже порога рождения, то уравнение (1.13) принимает вид

Im Т (s, cos仇2)= ^^"^7 J "%? (s, cos 013) T* (s, cos 023),(1.17)

где мы используем переменные 5-канал а в системе центра масс, к есть импул ьс частицы, cos 012 ——косинус угла рассеяния и интегрирование производится по всем направлениям промежуточного трехмерного импульса к3.

Теперь разложим амплитуду по парциальным волнам:

7 (s, cos 012) = 8л ]/^ 3 (2Z +1)力(s) Pi (cos 012).(1.18)

2=0

Если подставить это разложение в уравнение (1.17), то получится соотношение упругой унитарности для парциальной волны:

Imh ⑹=А： I 力(с) I2,(1.19>

которое выполняется, если парциальная амплитуда имеет вид

力($) = ■!認网 sin M(s),(1.20>

где 6七(£)— вещественная фаза. Принимая во внимание полную унитарность в неупругой области, получаем ограничение на фазу (теперь комплексную)

Im 6( (s)》0.(1.21)

Подчеркнем еще раз то обстоятельство, что унитарность принимает особенно простую форму при разложении по парциальным волнам благодаря диагональности амплитуды рассеяния в представлении углового момента. Свойства же аналитичности, как мы увидим, не выражаются столь просто в представлении углового момента; но они довольно легко формулируются при использовании переменных Мандельстама s, £ и s. Широко распространено

мнение, что такая взаимосвязь между аналитичностью и унитарностью (т. е. то, что их нельзя одновременно представить в простом виде) уже указы- вает на сложность релятивистской динамики элементарных частиц.

Сразу же становится ясно, что свойство унитарности оказывает глубокое влияние на аналитические свойства амплитуды рассеяния в переменных Ман- дельстама. Из уравнения (1.13) мы видим, что мнимая часть амплитуды не равна нулю, когда допустимы те промежуточные состояния, в которых сохраняется энергия. При рассмотрении, например, таких двухчастичных процессов, как пион-пионное рассеяние, зто означает, что амплитуда Т (爲 i) имеет ненулевую мнимую часть, когда s больше некоторой величины (в нашем случае s = 4m^; это наименьшая энергия, допустимая для промежуточного состояния). Далее, при рассмотрении Т (s, t) как аналитической функции комплексной переменной s при фиксированном t условие унитарности приводит к тому, что Т (s, 9 должна иметь ряд точек ветвления на вещественной оси переменной s с разрезами вдоль вещественной оси. Действительно, если допустить, что в комплексной s-плоскости существует область, в которой Т (s,力)есть вещественная функция переменной 芻 то соотношение Im Т (“ 力 抬 ^= 0 на части вещественной оси означает наличие точек ветвления на вещественной оси.

Влияние, оказываемое условием унитарности на аналитические свойства амплитуды, будет иметь чрезвычайно важное значение. Как мы увидим, ввиду отсутствия законченных результатов в аксиоматической теории поля нам придется встать на путь постулирования аналитических свойств с учетом унитарности и принципа перестановки. Это означает, что у нас будут огра- ничения на аналитические свойства, обусловленные унитарностью во всех трех каналах двухчастичной реакции.

Сингулярности амплитуды, вызванные наличием промежуточных состояний в соотношении унитарности [уравнение (1.13)], обычно называются динамическими сингулярностями. Предполагается, что инвариантная амплитуда Т (s, t) имеет только те сингулярности (по всем переменным), которые требуются условием унитарности (принцип максимальной аналитичности); таким образом исключаются все другие возможные сингулярности (так называемые кинематические сингулярности).

И наконец, мн хотели бы упомянуть об одном интересном применении унитарности в сочетании с принципом перестановки. Имеется в виду обобщенная оптическая теорема для так называемых инклюзивных реакций.

Инклюзивиой называют такую реакцию, в которой только одна из появляющихся в конечном состоянии частиц действительно наблюдается. Символически это можно записать тас

4 + _В f С + все остальное.

Если теперь формально применить принцип перестановки, то получим А+В+С^все остальное.

Это означает, что сечение инклюзивной реакции можно р ас см атрив ать как полное сечение трехчастичной реакции, начальное состояние которой содержит падающие частицы Л, В, С

Недавно, развивая эту точку зрения, Мюллер [310] предложил обобщенную оптическую теорему для инклюзивных реакций в следующем виде:

^А+В->С+всв остальное] ― Im 7 (4 В С —>Л4 + + С).

Формула Мюллера основана на недоказанных сильных предположениях об аналитическом продолжении амплитуды. Но она дает нам в руки прекрасную возможность феноменологически связать сумму по части конечных состояний с мнимой частью амплитуды рассеяния для процесса с шестью

внешними линиями. Поскольку в настоящее время существуют модели для описания такой амплитуды (как, например, мультиреджионная или дуальная резонансная модель), на основании вышеупомянутой обобщенной оптической теоремы можно было бы сделать интересные выводы относительно спектра рождающихся частиц.

1・ Теорема о конечном состоянии

Наша книга в основном посвящена таким смешанным задачам, в которых электромагнитные и слабые явления рассматриваются только в внизшем порядке теории возмущений. При обсуждении подобных задач мы иногда встречаемся с амплитудами реакций, в которых единственно возможные конечные состояния отличны от начальных (ср., например, фоторождение пионов). Поэтому стоило бы упомянуть о так называемой теореме о конечном состоянии, относящейся именно к такой ситуации. В этом случае соотношение унитарности принимает вид

(1.22)(1.22)Im⑺7⑴=4 (2吩2》3 -%)⑴口 7'〉</'⑺%

(1.22)

(1.22)

Г

где〈f I 7 I /'〉一 амплитуда упругого перехода f f /.

(1.23)(1.23)Переходя к разложению по угловому моменту, имеем<r\T\i)^ 8л 匕 Д (2Z +1) gz ⑻ Pl (cos 0),〈/1 “ 力=8л 仁 玄(2Z +1)外(s) A (cos 0).

(1.23)

(1.23)

Из равенства (1.22) мы получаем связь между парциальными волнами 力(s) и g?(S)：

Imgi (s) = kfl(s)gt(s),(1.24)

где 府一импульс конечного состояния в системе центра масс.

Следовательно, функция g( (s) должна иметь вид

gi(s) = 7?i(s)濟叱

где Ri(£)— вещественная функция, 6г (s) — фаза функции 九 伍).Итак, фаза парциальной амплитуды реакции должна совпадать с фазой рассеяния в конечном состоянии. Физически такое положение имеет место в двух важных случаях. Во-первых, если канал г соответствует системе со слабым или электромагнитным взаимодействием, то вероятностью перехода опять в тот же канал можно полностью пренебречь (как в классическом примере фоторождения пионов). Во-вторых, канал % может быть виртуальным, т. е. находиться ниже порога (это может случиться при аналитическом продолжении;

пример — процесс N 十 N f 冗 十 冗 ниже порога, s V 4m%).

§ 4・ Некоторые свойства разложения

飽。парциальным волнам

Здесь на примере одного простого и интересного случая мы продемон- стрируем все важное значение утверждения об отсутствии кинематических сингулярностей у инвариантной амплитуды, описывающей рассеяние двух скалярных частиц (в формализме разложения по парциальным волнам). Рассмотрим процесс рассеяния, кинематика которого изображена на фиг. 1.1, и предположим, что у всех частиц разные массы. Сосредоточим внимание

на разложении по парциальным волнам в канале *); поэтому введем переменную cos 0Н где 0г ——угол рассеяния в канале & т. е. угол между трехмерными импульсами р1 и —弘 в системе центра масс частиц с импульсами 网 и ——рн В инвариантных переменных Мандельстама получаем следующее выражение для cos 0f ):

(Р斗e

-厶丿 — PQ

~ (尸2_(&)2片/2 (Q2-(Q炉尸/2=@2户2 @)1/2，(1.25)

где

?5=五(p1 + Р2)中 Qu = 2 (%+效储

M = (Pi — P2)R = @ 一 01M,

■v = PQ = z(s—s), t = Д2,

几=%一毕м, 或 = Qu一竿 M，

"" = йЯт(L26)

户=^"(?：+ ?：)一｝力一£(p：一&)2,

0 = ^@ +磅一^一营(允一©2,

。=—(PA) (QA) = £ (р：—淄(代 _ 办

Отметим, что в случае разных масс выражение (1.25) оказывается очень сложным и содержит нежелательные сингулярности. Именно, из-за наличия квадратных корней в уравнении (1.25) появляются особенности по переменной t там, где амплитуда, согласно принципу максимальной аналитичности, не имеет особенностей. Следовательно, в разложении амплитуды в канале i по парциальным волнам

7(力 cos 0() = 8n/? 2 (22+4)&(力9((；0S")(1.27)

корневые сингулярности полиномов Лежандра Рг (cos 0е) должны компенсироваться сингулярностями парциальной волны g((方).Ввиду этого представляется целесообразным слегка переопределить разложение по парциальным волнам, чтобы с самого начала избежать появления нежелательных сингулярностей.

Вместо разложения по полиномам Лежандра (1.27) мы осуществим разложение по парциальным волнам с помощью полиномов 仔工(р2, q2, pq), определенных так:

鸣(р2, q2, pq) = |pHq"i(cos»). (1.28)

Никаких оснований для того, чтобы предпочесть один канал другому, нет. Необходимо только выбрать какой-то конкретный канал. Мы выбрали Z-канал потому, что это позволит записать формулы (1.25) и (1.26) в таком виде, который пригодится нам в дальнейшем.

Здесь q и р — импульсы падающей и рассеянной частиц в системе центра масс ^-канала. Простые вычисления показывают, что г)

^=-P\ q2=—0.

Таким образом, полиномы 卧 ％ являются функциями величин р и qa и скалярного произведения pq = 一 ；(1V + 子)，口, следовательно, мы избегаем корневых сингулярностей, имеющихся в обычном разложении (1.27). Теперь можно разложить амплитуду таким образом:

т (力，cos 0t) = 8n/i 2 (2Z +1)歹⑴呪(p2, q2, pq), (1.29) и, конечно,

g© = |p『|qF 歹⑴•(1-30)

Отсутствие кинематических сингулярностей в полной амплитуде означает, что функция 3 «) регулярна при q& = 0 или р2 = 0. Согласно формуле (1.30), имеем 2)

—при 1р|->°，,, о..

”)To(|qf) при |q|->0.)

Таким образом, пороговые выражения для парциальных волн во входном и выходном каналах мы получили на основании кинематических соображений; обычно же их получают «динамическим» методом, исходя из порогового поведения функций Бесселя. На этом примере видна сила принципа максимальной аналитичности. Наши рассу?кдения могут быть продолжены, ибо скалярное произведение pq также имеет кинематический полюс при 方=0 (только в случае разных масс), которого не должно быть в амплитуде. Полюс отсутствует, если при 沙=0 парциальная амплитуда Si (^) (I > 0) ведет себя как М при ^ -> 0 [с точки зрения теории полюсов Редже такой способ удовлетворять требованиям следовало бы назвать «уклонением» (evasion), см. § 9]. Это условие крайне нефизично. Другой возможный выход ——потребовать взаимного гашения различных волн при 力=0. Мы рассмотрим этот вопрос в § 9 в свете теории полюсов Редже; там такое гашение приводит к появлению так называемых дочерних траекторий.

§ 5・ Аналитические свойства амплитуды рассеяния

Из сказанного выше ясно, почему аналитические свойства амплитуды представляют большой интерес. Их исследование можно начать с общих аксиом квантовой теории поля; тогда мы получим определенные результаты в виде ограниченного числа дисперсионных соотношений для некоторых амплитуд рассеяния, функций распространения и для некоторых формфакторов. Хотя эти результаты и очень важны, для наших целей их недостаточно. Поэтому нам приходится прибегнуть к помощи теоретико-полевых моделей, таких, как разложение по теории возмущений, а также к нерелятивистской потенциальной теории.

Здесь мы ограничимся тем, что перечислим общепринятые положения. Сначала возьмем простейший случай полюсов по какой-нибудь одной переменной. Амплитуда Т (龜 方)имеет полюс, скажем, по переменной 晶[когда

4-векторы Рц и @財 определенные формулой (1.26), обладают тем свойством, что их отличные от нуля компоненты в системе центра масс Z-канала и есть трехмерные векторы р и q: Рм- = (0, р), 3 = (0, q).

существует стабильная частица с квантовыми числами того канала, для которого £ соответствует энергии в системе центра масс. Полюс расположен в точке s = М (М ——масса частицы). Зависимость вычета от других переменных определяется угловым моментом частицы J. Вычет в полюсе может быть представлен в виде произведения двух ренормированных констант взаимодействия частицы с начальным и конечным состояниями.

Обосновать такое свойство амплитуды можно с помощью фейнмановской теории возмущений или теории потенциального рассеяния, в которых связанные состояния описываются полюсом при энергии Е — Еь, где Еь — энергия связи.

Сингулярности амплитуды по одной переменной не исчерниваются отдельными полюсами. Когда речь шла об условии унитарности, мы уже выяснили, что должны присутствовать также разрезы. Очевидно, например, что если подставить в правую часть уравнения! (1.17) полюсной вклад Т (龜 t) = 1/(力2 — t), то это приведет к появлению у Im Т (龜 t) разреза по i при фиксированном s и, конечно, разреза у Т (芻 力)при фиксированном t для вещественных s > 4加久

В общем случае, используя унитарность в ^-канале при фиксированном /, мы приходим к выводу о том, что на части вещественной оси должен существовать разрез, идущий от s0 隔一наименьшая возможная масса промежуточного состояния) до оо. Должен существовать также другой разрез, идущий от — оо до некоторого значения 丄)闻,так как мы можем использовать соотношение унитарности при фиксированном t в 5-канале с учетом соотношения

_ 4

£ +方+S= 3咽，

В согласии со сказанным выше предположим, что амплитуда Т (s,力) лри фиксированном вещественном t [по крайней мере при значениях 力 лежащих в некоторой области, скажем внутри эллипса Лемана 2)] есть веществен- иая аналитическая функция переменной s:

(1.32)(1.32)7* (% t) = T (^,，

(1.32)

(1.32)

с полюсами и разрезами на вещественной оси* Тогда для Т (s, i) можно написать дисперсионное соотношение )

?(s, t)三；jds'$0?(s, t)三；jds'$0Im T储力)Im T储力)+比，喫/+比，喫/

?(s, t)三；jds'

$0

?(s, t)三；jds'

$0

Im T储力)

Im T储力)

+比，喫/

+比，喫/

(1.33)(1.33)SI

(1.33)

(1.33)

T-s nJ

Здесь A3 (s, E) и Л- (s,方)一абсорбционные части амплитуды в s- и ^-каналах. Как обычно, (при вещественных s)

(1-34)(1-34)Im T (s,力)=lim ImT (s+ is,力)=击[T (s + 30) — T (s — iO),

(1-34)

(1-34)

и, конечно,

4§ (s, E)= Im T (s, E), s >• £q,

Л-(龜 0 = —Im T (s,力)，s <5P

Равенство (1.33) представляет собой дисперсионное соотношение при фиксированном /. Символ = указывает на то, что мы написали его, пренебрегая возможностью плохого асимптотического поведения амплитуды на бесконечности. Это означает, что равенство (1.33) есть скорее утверждение об аналитических свойствах по s при фиксированном t и что мы должны заменить его дисперсионным соотношением с надлежащими вычитаниями в соответствии с поведением амплитуды на бесконечности. Итак, пусть N — наименьшее положительное целое число, для которого

lim s-NT(s, 0 = 0.(1.35)

Применим теперь теорему Коши к функции s~NT (龜 X), имеющей полюс порядка N при s = 0. Тогда уравнение (1.33) перепишется так:

т(S") = £ CnS" + * f 曲'弋.(1.36)

П=0— oo

Чтобы написать дисперсионное соотношение в виде (1.36), нужно знать коэффициенты %.

В то же время, если условие (1.35) выполняется при отрицательных значениях 7V\ N = —М, то мы имеем

Ms, i)=4 j 忆(口), (1.37)

и из регулярности Т (芻方)при s = 0 следуют условия сверхсходимости

J dssnIm Т(5, 0 = 0» " = 0, 1, ..., М —1. (1.38)

Разумеется, такого рода рассуждения можно повторить для любого канала, и мы получим дисперсионные соотношения при фиксированном “ t или s. Особое значение имеют дисперсионные соотношения для упругого рассеяния вперед, когда мнимые части под интегралом могут быть выражены через полные сечения [формула (1.16)].

Полученные дисперсионные соотношения дают решение задачи об аналитическом продолжении при условии постоянства какой-либо переменной £, t или £. Мы еще не можемчпереходить от одного физического канала к другому. Здесь нам на помощь приходит принцип максимальной аналитичности, т. е. предположение о том, что амплитуда по всем переменным имеет только те сингулярности, которые следуют из рассмотренных выше соображений. Это утверждение содержится в представлении для двухчастичной амплитуды^ предложенном Мандельстамом [1]:

L '冗2 ) ) (x — s)(y — t)十冗2 ))伝—Q(y—W)十%力。 力品

『i. dx dyp肅(％ у) 』!(£ — »(? —s) SO部

Интегрирование по каждой переменной ведется в пределах той части положительной вещественной оси, которая лежит правее порога соответствующего канала }

Кроме тех случаев, конечно, когда имеются аномальные пороги. Вкладом изолированных лолюсов мы опять пренебрегаем. (Относительно аномальных порогов см* [580]. — Прим, ред.)

Поскольку у нас остается в силе определение (1.34), мы не считаем, что формула (1.39) справедлива именно в таком виде, в каком она написана. Ее следует понимать как краткую запись утверждения об аналитических свойствах амплитуды по двум переменным, а не как утверждение об асимптотическом поведении спектральных функций р〃.

В теории потенциального рассеяния формула вида (1.39) может быть строго доказана для широкого класса потенциалов при условии конечного числа вычитаний (благодаря иерелятивистскому характеру модели в формуле имеется только один двойной интеграл). Но мы не можем полностью принять этот результат. Как мы увидим позже (гл. 9), у нас достаточно оснований полагать, что асимптотическое поведение амплитуды в релятивистской теории совершенно отлично от такового в потенциальной теории рассеяния. Так что мы будем рассматривать представление Мандельстама как «хранилище» аналитических свойств амплитуды.

Дисперсионные соотношения при фиксированном t следуют очевидным образом из представления (1.39). Уравнение (1.33) легко получается, если положить

S' ''冗 J У У—£ ■冗 J

<0 ?。 (1.40)

toSO

Наше отношение к использованию представления Мандельстама можно выразить следующим образом: все представления, полученные из формулы (1.39) путем фиксирования одной из переменных Мандельстама s, t и sr мы считаем справедливыми (после проведения конечного числа вычитаний); те же выражения, для вывода которых требуются асимптотики других типов (т. е. асимптотики при фиксации других переменных, отличных от s, t и s), как, например, дисперсионные соотношения для парциальных волн, мы считаем гораздо менее надежными.

Мы видели, что соотношение унитарности «диагонально» для парциальных волн. Аналитические же свойства отдельной парциальной волны очень сложны. Действительно, в предыдущем параграфе мы видели, как сложно выражается величина cos 也 через мандельстамовские переменные, по крайней мере в случае неравных масс. Аналитические свойства, простые в переменных s, s и ^, обычно превращаются в сложные при переходе к парциальным волнам. Кроме того, эти аналитические свойства неустойчивы по отношению к разности масс. В самом деле, переходя от случая равных масс рассеивающихся часТйц к случаю со слегка различными массами, мы сталкиваемся с большими изменениями в расположении сингулярностей парциальных амплитуд. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев какую-нибудь парциальную волну с учетом представления Мандельстама:

力(s)=厶二，尸(T (s, cos es) Pz (cos e3) d cos 0S.(1.41)

16л у s (

Получаются такие интегралы:

n

df duf Q (cos &)dcos 仇

“ x — sJ yT (s, COS 0S)'

t -1(1.42)

Легко видеть, что простые сингулярности полной амплитуды, например отдельные полюса по переменной 力 приводят к сложным точкам ветвления у парциальной амплитуды и что локализация сингулярностей функции 九(s) в комплексной ^-плоскости в сильной степени зависит от внешних масс. Это обычное проявление того обстоятельства, что унитарность и аналитичность не могут быть просто выражены в каком-нибудь одном представлении для амплитуды. С таким же положением мы столкнемся в следующем параграфе, посвященном полюсам Редже, а именно: простая аналитическая структура амплитуды с необходимостью приводит к весьма сложной структуре уровней (т. е. частиц) по угловому моменту.

Наконец, отметим, что для описания асимптотического поведения парциальной амплитуды мы не располагаем столь же приемлемой моделью г), как модель полюсов Редже для описания асимптотического поведения полной амплитуды при фиксированном s, s или t. Например, в теории потенциального рассеяния парциальные волны асимптотически стремятся к своему борнов- скому значению, тогда как в модели Венециано (гл. 9) дисперсионные соотношения для h(£)с конечным числом вычитаний вообще невозможны.

Заканчивая наш краткий обзор аналитических свойств амплитуды по переменным Мандельстама, подчеркиваем, что для выяснения этих свойств в общем случае и упругих и неупругих реакций требуется гораздо более детальный анализ с неизбежным применением более сложного математического аппарата.

Одним из главных источников информации являются фейнмановские амплитуды, которые могут быть найдены методом теории возмущений в рамках ренормируемой теории поля. Хотя многие из теоретиков, изучающих 5-матрицу, относятся обычно с подозрением к выводам теоретико-полевых моделей? соответствующая информация об аналитических свойствах пока еще извлекается из амплитуд, найденных методом теории возмущений. Этот вопрос очень важен, но он выходит за рамки нашей книги. Отсылаем читателя к книге Идена, Ландсхофа, Олива и Полкинхорна (311J.

§ б. Аналитичность второго рода

Выше мы говорили об аналитических свойствах амплитуды. Как подчеркивалось, чтобы установить дисперсионные соотношения типа уравнения (1.33) или представление Мандельстама, необходима информация об асимптотическом поведении амплитуды. Но наша амплитуда — функция двух переменных, а общая проблема асимптотического поведения по двум переменным совершенно не изучена. Мы имеем отдельные успехи в рамках более скромной программы, когда асимптотика изучается при условии, что некоторая функция переменных Мандельстама £,力 s остается постоянной. Нам очень хотелось бы знать асимптотику в особенно интересных случаях большого s и фиксированного t или большого s и фиксированного s〃 (фиксированный ненулевой угол).

Ответ получен в единственном случае фиксированного переданного импульса 2). Даже если доказательство этого результата, полученного знаменитой теорией полюсов Редже, и не безупречно, все же оно, как полагает большинство работающих в данной области, достаточно надежно.

Ниже мы будем исходить из специальной формы теории Редже, предложенной Хури [2], в которой она особенно удобна для изучения аналитической структуры релятивистской задачи.

工)Если не считать даваемого соотношением унитарности ограничения в физической области: I 力(s) I < ”无[формула (1；20)].

Или любой другой мандельстамовской переменной.

Конкретизируем задачу. Мы рассматриваем рассеяние пиона на скалярной мишенй с изоспином 丄厶(это мог бы быть и нуклон, если усреднить по поляризациям!). Введем обычную кинематику, представленную на фиг. 1.3, где 4t —— импульсы пиона, ар» —— импульсы скалярной мишени с / = г/2； а

и р ——начальный и конечный изоспиновые индексы пиона. Выделим зависимость от изоспина следующим образом：

严(s,i) = 6М1(S") +4 陋 俨］厶(s,力(1.43)

В согласии с перекрестными свойствами амплитуды Т^ амплитуда 7\ есть четная функция относительно перестановки 鱼 —g2 или s s, a T2 — нечетная.

Амплитуды Ti удовлетворяют следующим дисперсионным соотношениям лри фиксированном t:

Tt(s,外士吃 J ds，"(У +* ((1.44)

(m+m/2(m+%)2$

笃(s,t)±^ Jds'装i 或'苛*.(1.45)

(m+m—2(m+mn)2

Конечно, в выражениях (1.44) и (1.45) в общем случае необходимы вычитания и, как и раньше, символ 三 означает, что эти выражения справедливы только при условии выполнения необходимого при данном t числа вычитаний.

Теперь разложим правые части равенств (1.44) и (1.45) в ряды по степеням S И S：

A(s,g w明 (力)岸+矜，(1.46)

T2(s,t)= S a2n(i)(^-sn),(1.47)

71=0

где коэффициенты %几 даются формулами

仰(«)=== Г ds 竺3i 曲工哪^sJL(1.48)

(т+тл)»(m+版冗)2

a2 («) = — Г ds Ла^f魂加4f' 〃.(1.49)

(т+тл)2(т+тя)2

Выражения (1.46) и (1.47) правильно описывают перекрестные свойства амплитуд 7\ и 厶・ Выражения (1.48) и (1.49) сохраняют символ =, означающий теперь, что они определяют коэффициенты & (Е) лишь при п^ N, где N ——число вычитаний в формулах (1.44) и (1.45).

Существенный шаг далее состоит в определении двух функций:

W(z") = g j 曲当為攵，(1-50)

(m+mn)2

«2(2,0 = 4 J 曲樂斗.(1.51>

(m+mj

Эти функции позволяют получить коэффициенты ain (t) при п^ N, т. е- когда интегралы (1.50) и (1.51) несомненно сходятся. Функции 仰 (z, t) могут быть в принципе аналитически продолжены влево от прямой Re z = N. Практическая потребность в таком продолжении связана с выводом правил сумм при конечной энергии (гл. 9).

Не исключено, что продолжение «^ (么,t) «интерполирует» также и остальные коэффициенты 〃％ ⑴,при п <2 N. Такое предположение (подтверждаемое моделью потенциального рассеяния или теорией возмущений) называется гипотезой о максимальной аналитичности второго рода. Скажем несколько СЛОВ об ЭТОМ 1).

Если предположить, что независимо от числа вычитаний ^^ необходимых в формулах (1.44) и (1.45), функции 〃工(z, £) дают все коэффициенты 〃G (力),也 = 0, 1, 2} . . ., то мы приходим к заключению, что величинами Im Ti(5,力)，найденными путем аналитического продолжения функций 〃2 (z, %), полностью определяется вся амплитуда. Это напоминает случай, когда отсутствуют вычитания; различие здесь не в физической стороне дела, а в более сложном математическом выводе полного соотношения между мнимой и вещественной частями амплитуды. Таким образом, мы видим, что отсутствие прямой связи между Im Гг (s} Z) и Re Гf (s,力)обусловлено не сходимостью или расходимостью интегральных представлений (1.50) и (1.51), а новым физическим содержанием этой задачи. Предположим, например, что к амплитуде добавляется контактный член, который не влияет на мнимую часть. Очевидно, что такой вклад нарушил бы максимальную аналитичность второго рода, не изменив при этом сходимости интегралов в формулах (1.50) и (1.51). Другим примером мог бы служить обмен «элементарной» частицей со спином，в ^-канале, что видоизменило бы коэффициенты ain при п & J.

Поскольку структура 5-матрицы, к сожалению, до конца не известна, ми располагаем максимумом свободы при постулировании максимальной аналитичности. Крайнее толкование этого принципа состоит в том, что мы представляем разложения (1.46) и (1.47) в виде

л= 3收兀⑴£+▼),

"二 8(1.52)

/?2=.$8%g)3-翁，

где, конечно,仪；孔(Е) = 0,也=—1,——2, —3, . . ., и требуем, чтобы функции 〃》(么,t) давали все коэффициенты 〃》 даже при отрицательных значениях п. Тогда получаем

% (~п, 0 = 0, n = 1, 2, 3, . . . .(1.53)

Как мы увидим ниже, из уравнений (1.53) вытекают так называемые правила сумм при конечной энергии. Эти уравнения показывают, что на мнимую часть амплитуды, позволяющую вычислить всю амплитуду, накладывается бесконечное множество условий.

См. работу [3]. Первые идеи в этом направлении восходят к Иги [4].

Прежде чем идти дальше, остановимся на вопросе об однозначности интерполирующих функций. Очевидно, что если a (z) есть интерполирующая функция, то, например, функция

a (z) + sin utz

также будет обеспечивать правильную интерполяцию. Отметим, однако, плохое асимптотическое поведение sin яг в комплексной z-плоскости. Критерием для выбора «хорошей» интерполирующей функции является ее пригодность для вьписления интеграла в z-плоскости, что требует соответствующего асимптотического поведения при больших | z ]. Теорема Карлсона [5] гарантирует, что в области | arg z | v х/2л существует однозначная интерполирующая функция с хорошим асимптотическим поведением при больших I z ). Теорема состоит в следующем.

Пусть / (z) есть аналитическая функция в области | arg z | <q 1/2л. Пусть lim sup 15|-1 In I/(I г I e*明 VВ sin <p, 8 V 冗(1.54)

I Z |f oo

И

/ (тг) = 0, n =2, 3,.

Тогда / (г) = 0.

Таким образом, если мы нашли функцию / (z), удовлетворяющую условию (1.54) и интерполирующую набор коэффициентов /п, то такая интерполяция единственна. Действительно, предположим, что мы нашли другую интерполирующую функцию 广(么),удовлетворяющую тем же условиям. В силу вышеупомянутой теоремы разность / (么) —— f (么)тождественно равна нулю.

Но, как легко видеть из выражений (1.50) и (1.51), интерполирующие функции 〃i (么,£) и а? (%，方)являются карлсоновскими, т. е. удовлетворяют условиям (1.54), и поэтому обеспечивают интерполяцию, однозначно определяемую требованием «наилучшего», асимптотического поведения.

Проиллюстрируем сказанное на следующем конкретном примере:

Т (s) = (1 — /・(1.55)

Эта функция имеет разрез, начинающийся при s = 1; скачок на разрезе дается выражением

Im 7 (s)=击 lim {Т (s + 速)一7($ — ге)} = Im 7 (s + Ю)=

=-sin да(5-1)a8(£ - 1).(1.56)

Можно написать, что

T(s)±^ j用?曲'・(1-57)

Символ = означает, что если а > 0 и 7V ——1 v&vW(N положительное и целое), то сначала необходимо выполнить N вычитаний.

Теперь определим функцию a (z):

a(z) = ^j"^^ds.(1.58)

Она задана этим интегралом при Re z > а. Подставив выражение для Im Т (s) и вычислив интеграл, получим

sin ла Г(а+1)Г(г—а) _ F(z—a)« Кб

° ⑷r(z+l) — r(-a)r(z+D *卩沏

Функция a (z) обеспечивает интерполяцию коэффициентов степенного разложения 7(s)= £ 〃ns". Действительно, коэффициент ап дается сле- дующей биномиальной формулой:

ап = ( — ^п Г(?г+1/г(а—п+1) *а.6°)

откуда видно, что при z = п выражение (1.59) совпадает с (1.60). Фактическое значение параметра а не существенно, им определяется лишь область сходимости интегрального представления (1.58) для функции a (z)・

Отметим, что при больших |z | функция (1.59) асимптотически ведет себя совершенно иначе, нежели выражение (1.60) при простой замене п наг. Этот пример показывает, что функция (1.58) — это та единственная интерполяционная функция, которая выделяется теоремой Карлсона. Функция Т (s) обладает свойством максимальной аналитичности второго рода, так как независимо от числа вычитаний a (z) дает все коэффициенты степенного разложения. Более того, здесь этот принцип применим в полном объемег поскольку в формуле (1.59) функция Г(2 + 1) в знаменателе обеспечивает равенство нулю величин 〃 (—тг). Поэтому функция Т (з) удовлетворяет принципу максимальной аналитичности в его крайней форме.

Приведем пример, когда этот принцип нарушается. Рассмотрим функцию

『(s) = Т (s) + с.(1.61>

Поскольку Im Tf = Im Т, инте рпол и рующая функция будет та же. Но коэффициенты а% разложения функции Тг (з) в ряд теперь таковы:

* = % + %,(1-62)

и, очевидно, а (么)не воспроизводит а；.

Полюса 仅 асимптотическое поведение

Общие аналитические свойства величин @工(么,Е) по переменной 石 [формулы (1.50) и (1.51)] однозначно определяются, если точно известны Ti (s,力).К сожалению, мы не знаем этих функций, а поэтому аналитические свойства приходится устанавливать, пользуясь моделями (потенциального рассеяния или разложения по теории возмущений).

Не пытаясь рассматривать эту проблему в общем виде, возьмем простейший случай, когда у функции а» (么,Е) имеются полюса, которые имеют очень важное значение как для классификации частиц, так и для изучения асимптотического поведения амплитуд.

|（丄63》|（丄63》Предположим, что имеется интерполирующая функция &(2,力 с простым полюсом в точке 么：

|（丄63》

|（丄63》

Коэффициенты ап даются формулой

(1.64)

и степенное разложение амплитуды (мы пренебрегаем перекрестной симметрией) таково:

Выражение (1.65) показывает, что амплитуда Т (в,力 имеет полюса при значениях 力，удовлетворяющих уравнениям； а (%) = 0, а (幻=1, а 优?)=

Согласно физической интерпретации полюсов амплитуды, в 丁канале имеются частицы, квадраты масс которых равны ^0,左 и т. д. Конечно, если величины Х(),匕,.• . комплексны, то тогда следует говорить о резонансах и Im ti связана с шириной резонансного состояния.

На вопросе о спине этих состояний мы остановимся позже. Сначала посмотрим, как связаны эти полюса с асимптотическим поведением амплитуды при фиксированном t и ] s | т оо. Дело в том, что полюса интерполирующей

г-плоскость

О Q О Э

0/23

Фиг. 1,4

функции 〃£ (羽 £), лежащие в плоскости Хури, важны не только в их связи с частицами. Ими определяется также асимптотическое поведение амплитуд при больших s и фиксированных t. Первым этот вопрос выяснил Редже [6, 7], используя в представлении углового момента преобразование Ватсона — Зоммерфельда [156, 157].

Начнем с разложений (1.46) и (1.47). Воспользовавшись существованием интерполирующих функций, определенных формулами (1.50) и (1.51)^ можно представить эти разложения в интегральной форме:

北(з)=4{(一旷 +(一芬} dz,(1.66)

V

4(s,力三J^?{( — s)Z —(_旷}&(1.67)

при таких 力,что полюса не попадают в неотрицательные целочисленные точки. Путь интегрирования у в плоскости 么 показан на фиг. 1.4.

Но из теории потенциального рассеяния известно, что при больших Re z мы имеем a? (z,力)〜(ch 三)一”,где 三 ——вещественное положительное число (зависящее от %), и что а» (z) равны нулю при | Im z | т оо и фиксированном Rez. Тогда при s и s, лежащих внутри радиуса сходимости ряда (4・46), и при условии, что 〃工(z) имеют в качестве сингулярностей только простые полюса, представления (1.66) и (1.67) могут быть преобразованы к виду:

,-T]+ioo

北(屮)=^ J &^_[( —s> + ( —*] +

一刀一屯8

+ "2"^^1( -s 卢歩+( 一У 叫，(L68)

—T)4-ioo

北(S,t)="P J汲改齡[(-S)z-(—评]+

+ я 3 Ih^m [(-^(t)-(-^(i)].(1・69)

Функциями ан (£), a2f (方) определяется положение полюсов Л)(么？力) и 〃2 (么,t) правее прямой Re z = —Т), 0 vn V 1・ Мы предполагаем, что их число конечно.

Теперь можно заняться вопросом об асимптотическом поведении амплитуд при больших s. Асимптотика уравнений (1.68) и (1.69) определяется в основном теми полюсами 仪式力)，a2(i), которые имеют наибольшую вещественную часть [мы предполагаем, что, как и в случае потенциального рассеяния, такие полюса существуют; это соответствует гипотезе о справедливости дисперсионных соотношений (при фиксированном 力 с конечным числом вычитаний].

Из выражений (1.68) и (1.69) находим поведение амплитуды при высоких энергиях оо, s н lim (s + ie)]:

з(s, 3工高霜豆{1 +小吟")产叫 [(1.70) T^,t)〜既麗'〃 {-1 + e-'m*)}s%«). (1-71)

Конечно, последовательность полюсов в области Re 么》0 соответствует последовательности членов асимптотического разложения амплитуд. Следовательно, мы пришли к тому, что было уже сформулировано вначале: траектории % (力 связывают две фундаментальные характеристики теории элементарных частиц: спектр частиц и поведение амплитуды при высоких энергиях.

Сделаем несколько замечаний об асимптотических разложениях (1.70) и (1.71).

Во-первых, мы видим, что симметрия амплитуд относительно перестановки s з выражается в наличии сигнатурного множителя (± 1 + е-。"") (причина, по которой он назван сигнатурным, станет понятной в следующем разделе).

Во-вторых, амплитуда комплексна:

Re *,2Re *,2〜a左謐言"必2⑴S%.") $-8 зира]*〜a左謐言"必2⑴S%.") $-8 зира]*ImT],2 〜一呻 1, 2(£)1，2”)ImT],2 〜一呻 1, 2(£)1，2”)(1.72)(1.72)

Re *,2

Re *,2

〜a左謐言"必2⑴S%.") $-8 зира]*

〜a左謐言"必2⑴S%.") $-8 зира]*

ImT],2 〜一呻 1, 2(£)1，2”)

ImT],2 〜一呻 1, 2(£)1，2”)

(1.72)

(1.72)

Из-за наличия величины sin лах в знаменателе вещественная часть амплитуды 7\ имеет полюс, когда трактория проходит через целые значения, т. е. при &1 (%) = тг, где п четное. Сигнатурный множитель предотвращает появление полюса при нечетном п. Для нечетной амплитуды Т? справедливо обратное утверждение. Эти полюса воспроизводят сингулярности амплитуд, фигурирующие в уравнении (1.65) при неотрицательных п. Чтобы разобрать случай отрицательных целых п、нужно распространить принцип максимальной аналитичности второго рода на область Re 么 V 0・

Допустим теперь существование максимальной аналитичности второго рода во всей z-плоскости. Как было установлено ранее, из этого следует, что 〃е (—也，力=0 при тг = 1, 2, 3, » .・• Предположив затем, что единственными сингулярностями функций a( (z) на конечном расстоянии являются простые полюса '), можно сдвинуть контур интегрирования в формулах (1.68) и (1.69) на сколько угодно влево. Формулы останутся прежними, с той разницей, что значения п теперь не ограничены единичным отрезком и суммирование должно вестись по всем полюсам, лежащим правее Re 么=——т]. Если не учитывать аналитичность второго рода, то в разложение амплитуды

1) Мы понимаем, что вполне могут присутствовать и более сложные сингулярности; это лишь упрощенный вариант общего случая.

добавилась бы сумма членов типа

п

S (一1尸/( 一 m)[(一S)f士(一寸mj, га<11<„+1.

<m=I，

Мы видим, что одно из следствий аналитичности второго рода состоит в том, что в асимптотическом разложении амплитуд не появляется фиксированных целых отрицательных степеней. Таким образом, все члены в асимптотическом разложении происходят от движущихся траекторий. Из этого также следует, что, когда траектория пересекает отрицательные целые значения, вычет должен быть равным нулю.

Условия а (—n, Е) = 0, исключающие из асимптотики] степени с фиксированными показателями, представляют большой интерес. При любом фиксированном значении t в плоскости z существует область Re 2 > Re а «) {а (0 — главная траектория], в которой интегралы [формулы (1,50) и (1.51)] для интерполирующих функций сходятся. Теперь вычислим & (z, ») следующим образом：

a (z,方)

8。$05А

$0工SA«о1$0工SA«о1(1-73)(1-73)

$0工SA

«о1

$0工SA

«о1

(1-73)

(1-73)

Здесь $а ——энергия, при которой амплитуда хорошо описывается асимптотическим разложением. В выражении (1.73) необходимо суммировать по вкладам всех полюсов аг (力)независимо от их положения.

Легко выполняемое аналитическое продолжение по z позволяет рассматривать представление (1.73) при отрицательных целых значениях аргумента. Условия а (——п — 1, t) =0 теперь выглядят так:

；j sM (s”) ds =》也⑴ /)+〃+!，〃 = 0,l,2,....(1.74)

Эти соотношения называются правилами сумм при конечной энергии (ПСКЭ) [8——13, 334, 572]. Подробнее мы рассмотрим их в гл. 9.

Обратимся снова к нашему примеру из § 6,

? (s) = (1 - s)a.(1.74，)

Функция a (z) давалась выражением (1,59):

,、 Г (z—а)

。(z)=T(一露整心.(1.75)

Полюса функции a (z) определяются полюсами функции F (么一а)； следовательно, у нас имеется последовательность полюсов Редже в точках z = а^-= =а — ^, ^ =0, 1,2, . . . ^Если вклад первого полюса а0 = а подставить в формулу (1.66) (степенями s в этом примере пренебрегаем!), то для главного члена асимптотики при больших s мы получим правильный ответ

7(s)〜J)"(1.76)

[ср. с формулой (1.75)]. Заметим, что условие а (—п) = 0, тг = 1, 2, 3, •… также выполняется, в чем нетрудно убедиться, воспользовавшись выражением (1.59). Кроме того, когда полюс движется и проходит через отрицательные целые значения, вычет его, очевидно, равен нулю в соответствии с ранее сказанным.

Условия л (—п) = 0 наводят на мысль о том, что можно переопределить- амплитуду так, чтобы устранить нули при отрицательных целых значениях» Это обычно делают так:

a(z)= T^%， MS

где функция a (z), вообще говоря, не равна нулю при z = —п.

(1.78>(1.78>Вычет § (Е) функции а (么)в полюсе при z = а (» связан с аналогичным ему вычетом (f) формулой

(1.78>

(1.78>

Нет оснований считать, что вычет 0 (%) равен нулю в окрестностях точек а (力)=—тг； функция §(£)обычно предполагается гладкой в зтих областях^ Для нашего примера [формула (1.75)]

^(z) =^(z) =Г (z—a)Г (z—a)

^(z) =

^(z) =

Г (z—a)

Г (z—a)

и полюс в точке 么 = а имеет ненулевой вычет 1/Г (п), если а = ——п.

Полюса Редже

В предыдущем параграфе мы отметили роль полюсов Хури в асимптотика амплитуды при фиксировэнных t и больших s. Вернемся теперь к формуле (1.65):

9)= В«)e藹三.(丄79方

п—О

Мы замечаем, что когда а (方)проходит через неотрицательные целые значения, амплитуда имеет полюс, который соответствует частице или резонансу. Спин рассматриваемого состояния определяется вычетом соответствующего полюса. В самом деле, при фиксированном t функция cos 9廿 линейна в переменных Мандельстама & s или v [формула (1.25)]:

cos仇cos仇v + —伊2)1/2 (@2户2v + —伊2)1/2 (@2户2彳（3 -S）+彳（冷2//2 （@2尸向彳（3 -S）+彳（冷2//2 （@2尸向(1.80>(1.80>

cos仇

cos仇

v + —

伊2)1/2 (@2户2

v + —

伊2)1/2 (@2户2

彳（3 -S）+彳（冷2//2 （@2尸向

彳（3 -S）+彳（冷2//2 （@2尸向

(1.80>

(1.80>

где величиныгде величиныии

где величины

где величины

и

и

.=^（疋+"）_*!力一亲（"一医）2

@ = ^ （q：+碓）一$ 方一土 （0:一磅产

зависят только от 力 и внешних масс.

Поэтому функция 产(или 5П) может быть разложена по полиномам Лежандра P,(cos8f), Z & 汽.Тем самым мы приходим к заключению, ято^ полюс а (力)=0 соответствует по крайней мере одной частице со спином J = 0 в канале 力 полюс а (幻=1 соответствует по крайней мере дублету частиц J = 0, J = 4 с одинаковыми массами и т. д. Такое вырождение уровг

ней является, конечно, следствием нашего разложения в степенные ряды по переменной 爲 т, е., вообще говоря, следствием того., что мы используем s, £ и s как основные переменные.

Вырождение можно устранить простым способом — ввести новые полюса по z и соответствующим образом скомбинировать их вычеты. Возьмем», например, интерполирующую функцию

(，丿a«) —z 十 a (f) — 1 —z，

которая приводит к амплитуде

7($，9=卩。⑶ 3 ^r+RG) ia・82)

n=0n c

Полюса низшего порядка дают вклад

EoG) ] Во«"+В1«) a (才)' a (i) —1

и, подбирая Po и 0工 так, чтобы выполнялось соотношение 卩。(&) s + 0工(力，= = cos 6г [где a &) = 1], получаем один уровень J = 4, соответствующий 《массе» 力—

Можно и дальше устранять спиновое вырождение полюсов таким «ручным» методом. Но лучше всего с самого начала вместо степенных рядов (1.46) или (1.47) использовать другое разложение для амплитуды. Это, собственно, и есть метод Редже [6, 7]. Чтобы избежать спинового вырождения, следует исходить из разложения по парциальным волнам в i-канале:

7 (s, £) = 8л]/"^ J (2Z +1)居 &) Pi (cos 0t)(1.84)

г=о

и искать непосредственно интерполирующую функцию F (厶 力)парциальной амплитуды Fi «). Впервые это было сделано в потенциальной теории рассеяния- В рамках теории 5-матрицы можно прибегнуть к методу, аналогичному методу предыдущего параграфа. В простом случае, когда в дисперсионных соотношениях при фиксированном t нет левого разреза, т. е. когда справедлива формула

t^ ^-^\^，：^7^^(L85)

«о

интерполирующая функция F (Z,方)получается просто заменой〔)卞г на Qi (cos 0f) в формулах (1.50) и (1.51), что аналогично методу, использовавшемуся для определения a (z,方).Это приводит нас к формуле Грибова —— Фруассара [14, 15] для интерполирующей функции

歹(厶 f) =矗 j ds Im T (s, 0 QMcos et).(1.86>

У so

Случай дисперсионных соотношений при фиксированном 九 имеющих как правый, так и левый разрезы, несколько сложнее и детально обсужг даться не будет ). Этот общий случай практически совпадает с тем, что мьь имеем в потенциальной теории в i-канале при наличии обменных дотенццаг лов, когда четные и нечетные волны интерполируются раздельно.

Величина Q% — функция Лежандра второго рода*

Интерполяция (1.86) и ее обобщение на случай обменных сил удовлетворяют условиям теоремы Карлсона. Их связь с интерполяционной функцией Хури дается следующей теоремой.

Если для набора Fi имеется единственная интерполяционная функция F (2), которая является мероморфной функцией в полуплоскости Re 2 > 〉——i/言,с конечным числом полюсов в точках Z = a” Re а? > —г/2, и при I Z I т оо (в правой полуплоскости) мы имеем 歹(Z)〜р2 已一陪,где 自一 вещественное и положительное число, то существует единственная интерполяционная функция а (么)для набора %, которая мероморфна в полуплоскости Re z > —1/2, н а (么)〜(ch 三)々 при Re z -> оо в этой полуплоскости. Полюса a (z) будут даваться тем же набором а” что и полюса 尸(Z), с дополнительными, в общем случае, полюсами в точках af — 1, аг — 2, * • а；——％ —% V Re (% ——3 & V2*

Справедлива также обратная теорема, т. е. условие теоремы и ее заключение можно поменять местами. Можно также сказать, что полюса функции F (2) будут даваться тем же набором а% что и у функции а (г), с дополнительными полюсами в точках ai — 1, a； — 2, . . ., a； —— n при условии —】/? V < Re (a； — тг) & ^%. Полюса в плоскости I (Редже) в точках а； — /с, получающиеся из полюса в плоскости 么(Хури), называют обычно дочерними полюсами, тогда как полюса в z-плоскости в тоннах af — А, получающиеся из полюса в плоскости Редже, называются сателлитами. Два приведенных выше утверждения о положении полюсов не противоречат друг другу; из них не следует также, что число полюсов в областях Re 么 > ——х/2 и Re I > —‘厶 должно быть одинаковым.

Преимущество полюсов Редже перед полюсами Хури состоит в том, что различные полюса соответствуют состояниям с определенным спином. Рассмотрим амплитуду, имеющую один полюс Редже:

/屮)=湍写，a")

и подставим это выражение в формулу (1.84). Получаем

?(S, £) = 8п " В (£) £ ⑵+ 1)嘅鍔"•(1.88)

Полюс появляется в амплитуде при значении t =力,таком, что a (力)= =厶 и, следовательно, имеется связанное состояние или резонанс. Вычет теперь пропорционален Р? (cos 8力)，т. е. это состояние имеет угловой момент I (нет вырождения по угловому моменту). В то же время разложение (1.88) менее удобно для изучения аналитических свойств по s, так как соотношение (1.80), связывающее s и cos 8力 довольно громоздко, а функции Лежандра второго рода Qi сложнее степенных функций. Таким образом, мы приходим к выводу, что метод Редже больше подходит для рассмотрения одночастичных свойств и, конечно, всех тех свойств амплитуды, которые «диагональные по собственным состояниям углового момента, т. е. таких, как унитарность ,и факторизация. Представление же углового момента не вполне нас устраивает ввиду сложности аналитических свойств [формула (1.80)] функции cos * по переменным з,友 “ тогда как разложение Хури весьма удобно для изучения аналитичности. Это навело на мысль, что спиновое вырождение полюсов Хури имеет какой-то физический смысл, по крайней мере для частиц с массами, близкими к нулю (точнее говоря, для траекторий при £ = 0), и нто сложная взаимосвязь между аналитичностью и унитарностью могла бы быть ответственной за сложную структуру спектра элементарных частиц.

Как мы видели, траектория Редже a (力 характеризуется одним значением углового момента I в каждой точке пересечения a (Е) = 2. Мы же хотим несколько большего ——одной частицы для каждого пересечения» Чтобы обе-

спечить это, воспользуемся свойством унитарности. Предположим, что при некоторой энергии t = М2 существует только одночастичное состояние I М] J,入〉со спином J (X ——поляризационный индекс), которое может давать вклад в соотношение унитарности (1.13) для амплитуды двухчастичного процесса / т 3 (方-канал, частицы скалярные):

Im (В; —pi, ?2口|纟；心，—?2> = л6 (i —M2) 2〈8； —Pi, ?2|/|M; J,九〉X

J,九⑺/；公，一02〉.(1.89)

Благодаря тому что унитарность диагональна в представлении углового момента, для J-й парциалыюй волны получаем

小)=崇号，390)

причем вычет RAB факторизуется: Нлв = gAgB, где g^ = 〈М; J | 7 | / ； I = J}^ ^ gB = (В; 2 = J I 7+ I М; J). Следовательно, в точках пересечения a (ij) = J реджевский вычет 日厶修(订)также факторизуется: ^АВ (才」)= =Ра (力j) Р в (tj) Для любого начального и конечного состояний % и 方.Это было бы невозможно, если бы существовали еще и другие частицы с тем же угловым моментом и той же массой.

Таким образом, проще всего предположить, что траектория Редже, интерполирующая не вырожденные по массам частицы, имеет факторизующийся вычет: Вав (力)=6а «) § в (/). Мы приходим к заключению, что траектория Редже с факторизующимися вычетами интерполирует единственное семейство не вырожденных по массам частиц.

Важное значение имеет связанное с этим понятие сигнатуры. Амплитуда процесса 4 f 5 и, следовательно, вычет Rab — g^gm инвариантны при замене q】 — —— ^2, Pi —— 卩2・ Для констант взаимодействия имеются две возможности: gA (分，qj = ±^л (—%, —%), gp(Pi，P2) = ±gp (—Pz，—Pi)， причем знаки здесь коррелированы. Знак констант взаимодействия зависит исключительно от той частицы, обмен которой происходит; этот знак мы и припишем траектории. Это дополнительное кваптовое число траектории называется сигнатурой. Траекториями с положительной сигнатурой интерполируются только частицы с четным спином; траекториями же с отрицательной сигнатурой интерполируются частицы с нечетным спином, так как, например, вершина, подчиняющаяся равенству g (史，qj =g (—%， —％)， не может дать вклада в нечетные парциальные волны.

На данном этапе при исследовании асимптотического поведения амплитуды можно не учитывать перекрестную симметрию. Представим графически (фиг. 1.5) вклады «^канала (/) и s-канала (II) в дисперсионные соотношения при фиксированном /. Асимптотическое поведение вкладов I п II при фиксированном t можно изобразить на диаграмме как обмен полюсом Редже в канале t (фиг. 1.6). Асимптотически вклады / иг // ведут себя как выражение

瓦就 ае , 。2 訥 С ,sin ла ' 丿十 sin ла < ''

В соответствии с сигнатурой траектории это выражение дает в амплитуду вклад вида

罂翳(±1 +产吁%(1.91)

где верхний знак соответствует траекториям с положительной сигнатурой,

а нижний —— траекториям с отрицательной сигнатурой.

Отметим, что вопрос о траекториях

Фиг. 1.6Фиг. 1.6с положительной и отрицательной сигнатурой существует и в теории потенциального рассеяния [16]. Действительно, если наряду с обычными потен^ циалами учитывать и обменные, то эффективные потенциалы для парциальных волн с четными и нечетными I будут неодинаковыми и придется использовать две разные интерполирующие функции. Траектории, соответствующие фикциям с четным Z, характеризуются положительной сигнатурой

Фиг. 1.6

Фиг. 1.6

и не вносят сингулярности в полную амплитуду при приближении к нечетным целым значениям; для траекторий же функций, которые интерполируют нечетные парциальные волны, верно обратное.

6 9・ Дочерние траектории })

Может возникнуть вопрос: какой подход удобнее — Хури или Редже? Как мы уже отмечали, на этот вопрос нет простого ответа, потому что с точки зрения унитарности и возможности простого описания уровней лучше представление Редже, а при исследовании аналитичности удобнее представление Хури. В этом параграфе мы хотим показать, каким образом отсутствие простых аналитических свойств в подходе Редже приводит к сложной структуре реджевских траекторий.

Напомним, как функция cos 0土 выражается через инвариантные переменные в случае неравных масс [формулы (1.25) и (1.26)]:

eos0 (q J —(Р@)(PQ)-(PQ(Qu)

'/Р M「A /Q 仆 1/2一 @2尸/2 (02尸/2 — [p2—(p唄l/2[Q2—3)2『/2 —

\p и/ \Q и/

=…(1.92)

(p2尸/2传2尸/2，\/

где 〃以=A"/1 }^? I есть единичный вектор в направлении Ар,,

户ц = Рн — (Ри) 乂中 电=Сц — (Qu) %，

v = PQ = ^(s一» a= ^3 一 卩；)(g一吟=一(PA)(QA), И

户=^(h + 陶—¥ 一备(p: 一 pм

@ =/(0：+ 若)—$ z -吃(* -0沪

См. работы [17—20, 63, 64]. Краткое изложение основных идей и обширный список литературы можно найти в работах Толлера [21] и Домокоша [22]. См» также монографию Коллинза и Сквайрса [23].

Как уже отмечалось в § 4, в общем случае cos 0± содержит нежелательные сингулярности по переменным Мандельстама. Чтобы ликвидировать корневые точки ветвления, мы вводили с помощью уравнения (1.28) поли- ломы 仔丄(р2, q2, pq), которые представляют собой скалярные функции векторов 户卩 и @卩.Но при этом не полностью устраняются нежелательные свойства. Рассмотрим выражение для скалярного произведения г)

pq= —卜+g). (1-93)

При а фиксированном и не равном нулю (случай фиксированных разных масс) выражение (1.93) имеет чисто кинематический полюс при £ = 0, который, согласно сказанному в § 4, необходимо исключить из амплитуды. Следствия из этого требования в рамках теории полюсов Редже мы и хотим проанализировать в данном параграфе.

Правда, нам могут возразить, что точка 力 = 0 в случае неравных масс не играет выделенной роли, и выразить удивление, что речь идет об аналитичности именно в этой точке- Вопрос этот важен, так как его решение открывает путь к применению теоретико-групповых методов. Рассмотрим выражение для pq:

pq = —[(PQ) — (Pu) (Qu)]・ (1.94)

Если Аи -> 0, а векторы P и Q фиксированы, то предельное значение произведения pq будет функцией единичного вектора и^ =厶同(厶*尸/2, т. е. оно сохраняет информацию о том направлении, по которому мы достигли значения 厶以 = 0. Отметим, что, когда А^ уменьшается до нуля при фиксированных 「и и Qr，обязательно должны изменяться массы внешних частиц. В частности, значению 厶卩=0 соответствуют попарно равные массы.

Итак, мы видим, что pq при А^ = 0 не удовлетворяет требованию независимости от направления иц, вдоль которого А^ -> 0. Мы же хотим, чтобы полная амплитуда обладала таким свойством независимости [24] (по крайней мере, если в теории нет частиц с нулевой массой, что обычно имеет место в теории сильных взаимодействий). Это требование подсказано релятивистским разложением амплитуды по теории возмущений. Отметим, что указанное свойство выходит за рамки принципа максимальной аналитичности, так как если Р^ и Q^ фиксированы, то при переходе Ац1fo меняются также 必 массы. ,

Причина, по которой произведение pq оказывается в этом отношении плохой переменной, проста. Трехмерное скалярное произведение определено в системе центра масс ^-канала, т. е. в той системе, в которой А^ имеет только временную компоненту. Если А^ остается фиксированным, то мы классифицируем состояния в t-канале по их трансформационным свойствам относительно преобразований, поворачивающих векторы Р и Q, но не меняющих Дц* Если А卩 времениподобно, то группа таких преобразований есть группа вращений О (3), которая является вигнеровской малой группой группы Пуанкаре. Если Ац = 0, то малая группа расширяется и превращается в однородную группу Лоренца, тогда как переменная pq всегда связана с группой *0 (3). Требование большей (лоренцевой) симметрии амплитуды при Ди = О трудно выразить, пользуясь переменной pq, которая, однако, удобна для выражения унитарности и приводит к простой структуре спектра частиц.

Общим требованием независимости амплитуды от ии при Ди -> 0 или ■эквивалентным ему требованием аналитичности при ± = 0 и постоянных неравных друг другу массах обусловлена сложная структура траекторий Редже. Мы будем исходить из второго требования. Требование однозначности

八 *) Как указано в § 4, в системе центра масс f-канала 而 и 仆 имеют вид Ри = (0, р), Q" = (0, q).

амплитуды при А^ = 0 ведет к совершенно аналогичному рассмотрению, лишь со слегка измененной терминологией.

Вернемся к выражению (1.93) и покажем, что исключение из амплитуды полюсов при 力=0, имеющихся в этом выражении для pq при фиксирован- ном а 抬 0, накладывает на реджевские траектории ряд ограничений (в рамках теории полюсов Редже).

Предположим, что мы уже устранили корневые сингулярности в выра* жении для cos 0П выполнив разложение по парциальным волнам и《реджи- зацию», с помощью функций，砂口(力(pq)・ Рассмотрим теперь амплитуду Т (s,力；пусть ее асимптотическое поведение при больших s и фиксированных 士 определяется вкладом главного полюса Редже:

T(“力人二5⑴孙以⑴8q).(1.95)

Асимптотическое разложение правой части соотношения (1.95) при больших V дает )

T(s,力 广 K0G) [> + *1学+ *2 (" 十贵)十…].(1.96)

Сразу же видно, что все степени, кроме высшей, содержат полюса при £ = 0. Существует несколько способов лечения этого «недуга». Проще всего было бы допустить, что при 力=0 вычет функции р (力)стремится к нулю так, что может скомпенсировать любую степень 力-"・ В этом случае при 方=0 амплитуда и траектория «расцепляются». Такое поведение траектории может быть названо «уклонением» (evasion) [20]. Если разные траектории Редже- никак не связаны друг с другом при 力 = 0, то уклонение —— единственный путь сохранить аналитичность при ^ — 0. Другой способ, при котором не нарушается связь траекторий с амплитудой, заключается в построении семейства траекторий 窗也(方)，n — 1, 2, 3, . . ., «дочерних» по отношению- к основной траектории а (力.Эти траектории таковы, что при 方=0 мы имеем ап (0) = а (0) —— п. Наличие дочерних траекторий позволяет путем комбинирования вычетов исключить полюсные сингулярности, вносимые каждой отдельной траекторией. Покажем, как это делается, исключив полюс в коэффициенте при л?ат у основной и первой дочерней траекторий.

Асимптотическое поведение амплитуды дается формулой

7(s, /) = ^р(Z) [va + va-1 -^ + О(va-2)J + К'^' (Z) [va* + О(v«i-!)]. (1.97>

Если при 方 = 0 у нас 石(0) — а (0) —— 1, то коэффициент при v®"1 будет конечным при £ = 0 при условии, что сумма К^ (£) &/力 十 К%，(力)конечна при t ^ 0. Легко видеть, что такие рассуждения могут быть повторены с учетом следующих дочерних траекторий. В принципе нам потребуется бесконечно большое число дочерних траекторий )? поскольку бесконечна число членов в асимптотическом разложении функции 卧口⑺(pq).

Итак, вопрос об ограничении на амплитуду рассеяния при 士 = 0 можно рассматривать двумя совершенно эквивалентными способами. Именно, можно сказать, что в случае рассеяния частиц неравных масс переменная pq имеет полюс при 方=0, присутствие которого нежелательно в амплитуде. Но можно также сказать, что при Аи —> 0 и при фи к сир ов анных 4-векторах Рц и Qj величина pq имеет предел, зависящий от направления, по которому

Др, стремится к нулю, а это тоже неподходящее для амплитуды свойство. В результате оказывается, что во всех случаях, кроме случая уклонения, когда траектория не связана с амплитудой при 4=0, одной траектории- Редже, как это, казалось бы, следовало из унитарности, недостаточно, и приходится ввести дочерние траектории, которые при £ = 0 отстоят от основной траектории на целые числа.

Отметим, что любая суперпозиция полюсов Хури обладает правильными- аналитическими свойствами и, кроме того, она, очевидно, не зависит от единичного вектора 卫同 при Au f 0. Можно было бы спросить, не существует лег какой-нибудь особенно простой комбинации полюсов Хури, относя слово «простая» к структуре уровней, описывающих частицы, или к структуре- траектории. Во-первых, мы требуем минимально возможного вырождения траекторий, совместимого с имеющимися ограничениями. Во-вторых, вспомним, что малая группа таких преобразований, которые оставляют А^ инвариантным, совпадает с полной группой Лоренца при Аи = 0. Следовательно, можно ожидать, что при А同 =0 будет очень плодотворен теоретико-групповой подход. Конечно, если величина Ди времениподобна, то этот вектор сам по себе нарушает симметрию, оставляя только обычную О (З)-симметрию; тем не менее теоретико-групповой подход очень помогает при кл ассификации уровней [см. формулы Домокоша для траекторий (1.98) и (1.135)].

Рассмотрим семейство растущих равноудаленных траекторий, отстоящих друг от друга на целые числа. Точкам пересечения этих траекторий с прямыми J п, где п —— целое число, отвечают определенные уровни. Частицы с одной и той же массой будут группироваться в спиновые мультиплеты следующим образом: J = 0; J = 6, 1; / = 0，1, 2; ... . Такое объединение- спинов совпадает с тем, которое содержится в представлениях группы Лоренца, даваемых неприводимыми симметричными тензорами, например скалярами, 4-векторами, симметричными тензорами второго ранга с нулевым следом и т. д.

Напомним, что представления группы Лоренцах) можно классифицировать по собственным значениям двух операторов Казимира 尸 = =V2 (J — К2) и G = JK* В рассматриваемом нами случае бесспиновых частиц следует (по соображениям четности) ввести только представления,, соответствующие G — 0. Если положить К = Ж, то формально появляется группа О (4), группа вращений в четырехмерном пространстве. Ее неприводимые унитарные представления будут порождать неприводимые конечномерные представления группы Лоренца, которые будут уже неунитарными? поскольку эрмитовым операторам В соответствуют неэрмитовы операторы К. Представления группы О (4), соответствующие G = 0, содержат по одному разу каждое представление группы О (3) с 0 ^ Z ^ 7V 2). Базисными функциями этих представлений служат присоединенные полиномы Гегенбауэра, ортогональные на трехмерной сфере. Таким образом, мы пришли к разложению амплитуды при А法=0 по полиномам Гегенбауэра ), зависящим от четырехмерного «угла» (PQ)/| Р | | ^ |, а не по полиномам Лежандра с аргументом cos 0(. По аналогии с полюсами Редже и в комплексной плоскости индекса четырехмерного представления N могут быть полюса (индекс как уже говорилось, соответствует максимальному угловому моменту, содержащемуся в представлении). Мы будем называть их полюсами Толлера. Полюс Толлера а^ содержит все полюса Редже вида ап = аг — w (последовательность обрывается при ап = 0, если аг — N? где N — целое число).

Одиночный полюс Толлера, должным образом факторизованный, гаран-

1) Читатель найдет краткое введение в теорию группы Лоренца в приложении IIL-

тирует, что сопутствующие ему дочерние траектории представляют одиночные уровни. Теория Толлера обеспечивает выполнение всех ограничений при £ = 0 с использованием минимального числа уровней. Полюс Толлера ■соответствует, конечно, определенному набору полюсов Хури, и наоборот. Отсюда следует, что одиночный полюс Хури хотя и удовлетворяет всем требованиям, не наипростейпшм образом описывает уровни.

Наконец, отметим, что дочерние траектории, отстоящие друг от друга при ^ = 0 на целые числа, появляются и при рассмотрении релятивистского уравнения Бете — Солпитера

Использование неунитарных представлений группы Лоренца наводит на мысль, что могут возникнуть трудности с индефинитной метрикой, т. е. могут появиться《духовые» уровни. Это существенно при времениподобном t, когда траектория проходит через целые значения. Посмотрим, как ведут себя дочерние траектории вблизи 力=0 и при пересечении целых значений.

Этот вопрос крайне важен, так как он прямо связан со спектром частиц. Простые теоретико-групповые соображения мало могут помочь: при A科学=0 справедлива О (З)-симметрия и любая отдельно взятая траектория Редже оказывается приемлемой. Но имеющиеся ограничения не исчерпываются только требованиями аналитичности, поскольку все сказанное выше справедливо и для производных амплитуды по 九 Конечно, все возможные ограничения, полученные из условий аналитичности и независимости от uu, выполняются для одного полюса Хури или для одного полюса Толлера. Оба требования ведут к появлению бесконечного семейства траекторий Редже, отстоящих друг от друга на целые числа. Хотя связь не всегда именно такая, траектории всегда взаимосвязаны. Связь эта была установлена Домокошем И8], а позднее Бронзаном, Джонсом и Куо [25] на основании уравнения Вете ——Солпитера или из соображений аналитичности. Домокош получил разложение

otn (i) = % (0) — ?г + {&i + &21ао (°)—词[ао (°)—冷+ 1]}才 +。(力2)・(1.98)

Эта формула относится к бозонным траекториям. Общая структура траекторий вблизи £ = 0 такова. Положение всех дочерних траекторий при £ = 0 определяется, как мы видели, положением главной траектории. Чтобы найти лервую производную каждой траектории в точке ^ — 0, нужно знать производные главной траектории, первой дочерней и т. д.

Несколько слов о сигнатуре. Если мы приписываем какую-то сигнатуру главной траектории, то дочерние траектории должны иметь чередующиеся сигнатуры.

На этом мы покончим с вопросом о поведении дочерних траекторий вблизи, t = 0 и перейдем к вопросу о физических уровнях, т. е. о сопоставляемых частицам пересечениях траекторий с прямыми J = п, где п —— целые числа. Рассмотрим семейство равноудаленных растущих траекторий, соответствующих одному полюсу Толлера. В общем случае мн обнаружим следующие пересечения iro мере увеличения квадрата массы £:

/ = 0; J = 0, J = !_; J = 0, J = 1, J = 2, • . • •

Конечно, эти пересечения происходят при отличных от нуля и все увеличивающихся значениях £ (частицы имеют ненулевую массу и траектории -имеют конечную производную). Поэтому лоренцевская симметрия не может -быть точной, так как она точна только при X = 0. Но ее можно принять при- -ближенно для классификации уровней.

Самый нижний уровень, J = 0, соответствует скаляру, т. е. одномерному представлению - группы Лоренца. Два следующих пересечения параллельных траекторий при одном и том же более высоком значении & J = 0 (И / = 1, соответствуют векторному представлению группы Лоренца. После- ,дующие пересечения, / = 0,/=1, 1 = 2, соответствуют девятимерному

представлению группы Лоренца, связанному е симметричным тензором, имеющим нулевой след, и т. д.

Рассмотрим подробнее, например, второй уровень, J = 0, 1. Мы видим, что частица с / = 1 обязательно сопровождается частицей с J = 0. Понять, почему это так, нетрудно (это далеко не новая проблема). Состояние частицы со спином 1 имеет три компоненты, соответственно возможным поляризациям. 'Суммирование по поляризациям для частицы со спином 1 дает

£ 喫齊=一 gg + 茎L,(1.99a)

мли*

2 嚟齊=—guv +給.(1.996)

Член с А^Ау в формулах (1.99) присутствует в силу того, что имеются только три поляризации, а не четыре, как было бы, если справа стояло бы просто 一 gp1V. Разница между формулами (1.99а) и (1,996) вне массовой поверхности очевидна. В формуле (1.99а) частица вне массовой поверхности сохраняет только спин 1, а в формуле (1.996) вне массовой поверхности имеется вклад и состояния с / = 0.

В обоих случаях наличие члена с Д^Ау приводит к неприятностям. В случае (1.99а) это уже рассматривавшиеся в данном параграфе трудности, связанные с пределом Ац1f 0; в случае (1.996) (формула типична для фейнмановских диаграмм) амплитуды растут слишком быстро с ростом Ди, что делает теорию перенормируемой.

Можно было бы ввести частицу, описываемую 4-вектором и содержащую и/ = 1и/ = 0, с вычетом пропагатора — guv> Но тогда возникнет новая трудность. Пусть такая частица-4-вектор образуется из двух начальных и переходит в две конечные скалярные частицы. Амплитуда процесса А такова:

& g м[ 6 Ip a丿 \Q д/ * * м2 J

Мы видим, что здесь имеются вклады от S- и P-волн. Но понятно также, что эффективная константа взаимодействия S-волны g$ ——мнимая, gs = =ig (РА) = ig/a (тп； — mg), а Р-волны — вещественная. [Напомним, что /РА『/2/QA\i/21

(РА丿 и (За丿 —мнимые величины.]

И это не случайно. Суть дела в том, что мы оперируем неунитарными пр едет авл ениями группы Лоренца. Их можно рассматривать как состояния в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой. Таким образом, избегая одних трудностей, мы сталкиваемся с другими.

Такие же трудности должны встретиться при подходах, основанных на четырехмерной симметрии (т. е. использующих неунитарные представления группы Лоренца). Но мы не можем рассмотреть этот вопрос во всей ■общности, пока у нас нет явного продолжения от значения 力=0 (где ограничения ставят перед нами саму проблему) до значений J, при которых обнаруживаются частицы. Разумеется, все эти связанные с метрикой и духовыми состояниями трудности исчезают, если траектории изгибаются при времениподобных f и не пересекаются с прямой J = £

С этими проблемами мы еще встретимся в гл. 9, где речь будет идти о представлении Венециано.

§ 10. Сингулярности в плоскости углового момента

Траектории Редже и вообще разложение по комплексным угловым моментам используются столь широко для феноменологического описания рассеяния при высоких энергиях, что даже поверхностное изложение этой

теории заслуживало бы главы, если не книги. Читатель извинит нас, если мы не возьмемся за такую задачу, поскольку она выходит за рамка настоящего обзора; к тому же имеются прекрасные пособия по этому вопросу. Здесь мы хотим только напомнить некоторые общие положения о диффрак- ционном рассеянии, а также свойства сингулярностей амплитуды в плоскости комплексного углового момента.

Хорошо известно [23], что поведение амплитуды при больших энергиях определяется вкладом так называемой особенности Померанчука аР, характеризуемой квантовыми числами вакуума. Относительно этой особенности лучше всего установлено то, что практически аР t= 1 при 力 口 0. Этот результат означает постоянство полного сечения рассеяния при высоких энергиях. Наклон (da.pldt)t==Q известен плохо, и, по-видимому, он весьма мал.

Вид траектории Померанчука еще не совсем ясен, и с этим связан ряд: теоретических проблем. Если при 力=0 мы имеем а? = 1,. то это будет предельно допустимым значением с точки зрения ограничения Фруассара [26—— 28, 100], следующего из условия унитарности (см. далее в данном параграфе). Мы также увидим вскоре, что если траектория пересекает 2 = 1 при J = 0, то должен существовать разрез. Кроме того, роль траектории Померанчука при использовании правил сумм при конечной энергик и в дуальных резонансных моделях (гл. 9) отлична от роли других траекторий Редже,

Самые успешные применения теории Редже связаны с р-траекторией, ар (力)，характеризующейся изоспином 1 и отрицательной сигнатурой. Ее* существование твердо установлено, в частности, в результате анализа данных о пион-нуклонном рассеянии с перезарядкой. При t — 0 величина а「(0) равна примерно 0,5 и наклон траектории, по-видимому, порядка 1 ГэВ-2. Теория перезарядки при высоких энергиях является лучшим подтверждением существования траекторий Редже. При изучении правил сумм в случае конечной энергии (при их насыщении) р-траектория также находит интересные применения; например, она хорошо воспроизводится при учете лишь, изобар в прямом канале (гл. 9).

Основное ограничение на траектории и сингулярности накладывается теоремой Фруассара, утверждающей, что Im Т (龜 0)《s In2 s при st 8. Действительно, из этой теоремы следует, что при £ = 0 не может быть траекторий, проходящих выше единицы [т. е. с а (0) >1].

Особенности в комплексной Z-плоскости не огр аничив аютс я, конечно, из о л ир ов анными полюсами. В принципе должны встречаться и более сложные сингулярности.

Выясним сначала вопрос о наличии неподвижных (т. е. не зависящие от 方)полюсов в амплитуде сильных взаимодействий. На первый взгляд неподвижный полюс представляется простейшим объектом. В самом деле, уже- борновское приближение дает фиксированный полюс по комплексному угловому моменту. Правда, при переходе к более высоким приближениям фиксированный борновский полюс превращается в движущуюся траекторию. Общий анализ, основанный на соотношении унитарности для парциальных волн с комплексными значениями углового момента ')， показывает, что- в амплитуде недопустимы неподвижные полюса. Конечно, этот результат неприменим к таким (упомянутым в § 3) сметанным задачам, в которых некоторые физические эффекты рассматриваются только в низшем борнов- ском приближении. Тогда унитарность нарушена с самого начала и неподвижные полюса вполне могут присутствовать. Мы обнаружим их в амплитудах, изучаемых в алгебре токов; там они играют важную роль.

Устранив, таким образом, неподвижные полюса из теории сильных взаимодействий с помощью соотношения унитарности, прибегнем к нему снова,, чтобы показать необходимость существования более сложных, чем движу-

щиеся полюса, сингулярностей, т. е. разрезов [29, 30]. Воспользуемся условием упругой унитарности [формула (1,17)] в асимптотической области ^энергии велики):

Im Т (s, %) = ,8冗庐 $ \ d〃dt2Ts 厶)7*(s, tj К 网,%,力)，

Kg t2j /) = 8( —£ —考一步 + 2/也 + 2友方+2场)x(1/°°)

X (一公 - ％ — * + 2勿公 + 2M + 2硝一丄勺

好 вычислим мнимую часть амплитуды, которую будем считать обусловленной одним полюсом Редже

T(s, t) = c{t)s^.(1.101)

Таким образом, получаем (а вещественно)

ImT(s,/)=蒜 J阳弦|С⑼2 s啲)+a阈-IR (厶，5力 (1.102)

Мы видим, что эта формула] содержит непрерывный вклад степеней ^a(h)+a(«2)-ie Наличие этого множителя означает существование разреза в плоскости углового момента. Наивысшим показателем степени определяется положение точки ветвления. В случае растущих траекторий показатель степени принимает максимальное (в области интегрирования) значение при ±i = % = 1/赤 Тогда положение точки ветвления определяется формулой 九=2а (i/諸)一1. Такие же разрезы обнаружены у диаграмм теории возмущений Фейнмана. Особенности существуют, правда, только у непланарных диаграмм, а у простейших планарных диаграмм их нет.

Отметим, что разрез доходит до полюса при а = 1. Кроме того, ограничение Фруассара совпадает с требованием, чтобы вклад от полюса в асимптотику амплитуды рассеяния вперед был по крайней мере того же порядка, что и вклад от разреза. Это не удивительно, поскольку ограничение Фруассара, как и разрез, можно вывести эвристически из условия унитарности. Рассмотрим оптическую теорему:

Im 7 (s, 0) = 2左"|/"s Оцолн:= 2左 У^s (Oynp + S)

=譌^言)da|7(s,肝+2厶内明，(1.103)

откуда получаем неравенство

о

Im?(s, °)》焉合 J 源|?(s,肝=费6 J 必|?(s,肝.(1.104)

Делая затем грубое предположение о независимости формы дифрак- о

ционного пика от энергии, Т (负方)=严/ (力)при условии f dt | / (/) |2 ＜； oo, сразу же получаем Re а《1, что почти (с точностью до логарифмического множителя) совпадает с оценкой Фруассара.

6 1 丄. Частицы с® спином

В этом параграфе мы укажем, в основном на конкретных примерах, на то новое, что появляется при анализе рассеяния частиц, обладающих спином. Во-первых, в случае частиц со спином приходится вводить несколько инвариантных амплитуд, соответствующих разным поляризационным состояниям частиц. Мы не собираемся рассматривать общую проблему определеиия амплитуд. Метод спиральных состояний, предложенный Якобом

и Виком [31], позволяет, кроме всего прочего, определять число необходимых амплитуд и описывать, вообще говоря, процессы с любыми спинами. В приложении II мы рассмотрим также один метод определения инвариантных амплитуд, который хотя и не является таким общим, как метод спиральных амплитуд, оказывается тем не менее весьма полезным.

Во-вторых, для амплитуд, описывающих процессы со спином, становится сложнее взаимосвязь между аналитичностью и унитарностью.

Все сказанное в предыдущих параграфах о скалярных частицах при* менимо, конечно, без каких-либо изменений к амплитудам, усредненным по поляризациям. Но в случае частиц со спином появляются две новые группы явлений:

Поскольку набор инвариантов, используемых при исследовании аналитических свойств, и набор инвариантов, удобных для формулировки унитарности, неодинаковы, несколько иным оказывается и асимптотическое поведение амплитуд с простыми аналитическими свойствами. Асимптотика имеет теперь вид [16] Л г (s, %) ~ s“⑴где а (£) 一 траектория Редже скалярной теории, a N* —— положительные целые числа, зависящие от ампли- туды"). В связи с этим можно получить сверхсходящиеся правила сумм [32, 33] в тех областях, где для бесспинового случая сходимость отсутствовала бы.

Особенности поведения при ^ = 0, с которыми мы уже встречались в скалярном случае (дочерние траектории), становятся более сложными. Теперь, чтобы обеспечить «хорошие» аналитические свойства, приходится объединять больше траекторий, в том числе и дублеты по. четности.

Анализ проблемы спина в полном объеме представлял бы большой интерес. Но общая теория инвариантов [105] довольно трудна, и пока еще пег теории, применимой во всех случаях. Поэтому мы ограничимся тем, что проиллюстрируем основные вопросы, связанные с учетом спина, на простых примерах.

Пион-нуклонное рассеяние и сверхсходимость

Рассмотрим процесс рассеяния, кинематика которого изображена на фиг. 1.7. Разложим амплитуду рассеяния Т на инвариантные амплитуды следующим образом:

7 =元 Sa) Ы(V,力)+ (yQ) В (v,切 u SO, (1.105>.

где A (v,力)и В (v, f) —— инвариантные амплитуды, не имеющие кинемати- ческих сингулярностей. Напомним дисперсионные соотношения для этих амплитуд при фиксированном t:

Г (1-Ю6>

Вклад от нуклонного полюса включен в мнимую часть:

Im В (s, /) = ng„N8(V — V в) + Im В (v, 0НепЕ-

Приведенные амплитуды крайне удобны для исследования аналитичности по переменным Мандельстама. Условие же унитарности и разложение по парциальным волнам для амплитуд Л и В оказываются довольно сложны- ми из-за наличия спина. Если мы хотим оставаться в рамках одночастичных

Об асимптотическом поведении спиральных амплитуд см., иапример, в работах. [101—104].

уровней и, следовательно, хотим иметь простые траектории Редже, то необходимо провести реджизацию, т. е. аналитически продолжить разложения амплитуд по парциальным волнам. В качестве образца для реджизации при наличии спина мы используем случай скалярных частиц. Поэтому сначала нужно найти такие амплитуды, которые были бы столь же удобными для реджизации, как и амплитуды скалярных частиц. Нам нужны амплитуды, удовлетворяющие следующему требованию: если разложить их в ряд по* полиномам Лежандра от аргумента cos 0t, Ф =』屮」⑴ Pj (cos 仇)，то вклад,

состояния с полным значением спина J должен содержаться только в коэффициенте q)j (方)при полиноме Лежандра с индексом J. В случае произвольной амплитуды рассеяния частиц со спином это не имеет места. Как только- такой специальный набор амплитуд найден, мы можем провести реджизацию точно так же, как и в скалярном случае. Конечно, появятся и некоторые отличия от скалярного случая. На них мы и хотим остановиться.

Способ построения инвариантных амплитуд требуемого сорта (мы будем называть их скаляроподобными или производными амплитудами) излагается в приложении II. В случае л — TV-рассеяния, который мы сейчас рассматриваем, инварианты, пригодные для разложения 'по парциальным волнам- в канале t, даются следующей формулой:

т = ©1 + Yu 兆① 2・(1-Ю7>

Здесь символом 讲 обозначена производная но Р = %(Pi + Р2)，взятая, при условии постоянства нуклонной массы (т. е. фиксированы РА и Р2). Как показано в приложении II, то обстоятельство, что в этой формуле свертываются только векторы 丫必 и 6丸 относящиеся к одному и тому же состоянию N ——N (напомним, что мы работаем в канале N + %->：冗、+ л), означает, что в разложении по полиномам Лежандра

屯(V, 0= 3 (2J+l)*j(力匕(cos»)(1.108>

J=0

парциальная волна 屮订(才)содержит в /-канале только вклады состояний с определенным значением J полного углового момента.

Нетрудно вывести соотношение 2) между ①” Ф2 и амплитудами Л,衣 [формула (IL44)]:

2，

~^(1.109>

Введем здесь, кстати, другой набор амплитуд, который потребуется нам"в гл. 9,. Положим

? = 4' +万[(№)«?)(УА)ЬЗ',

где [...]А означает полную антисимметризацию по Q, Р, Д. Амплитуды 4\ Вг связаны с введенными ранее следующим образом:

/‘=4-(* 一哦)тпy5 = фь 石£=(}/一啮)1 В = ^t - ml ^ ^ ^^ •

Чтобы найти траекторию, содержащую частицы с невырожденными значениями углового момента, необходимо реджизовать ①】(v, Z) и Ф2 (v, Z). Интерполирующие функции в плоскости комплексного углового момента (p§R)(Z, /) находятся тем ясе методом, что и в скалярном случае. Очевидно, что точки пересечения любой отдельной траектории с прямыми Z = п, где п ——целое число, соответствуют для данных амплитуд определенным значениям углового момента. Рассмотрим вклад от полюсного члена

哽(厶£)=謐3・(1Л1°)

Подставляя функцию (1.110) в разложение (1.108), видим, что каждое пересечение соответствует одному значению «Л Действительно, мы получаем

叱(V,t)=也a)S(2/+1)畸粤.

Нетрудно также убедиться в том, что условие унитарности просто выражается через производные амплитуд; следовательно, и свойства факторизации легко выражаются с их помощью-

Аналогично тому как это было сделано в § 6——8, введем разложение Хури и найдем связь между ним и разложением Редже. Разложение Хури для амплитуд Л (v, /) и В (v, %) получим, представив их в виде степенных 3)ядов по переменной v 丄)：

(1.111)(1.111)厶(V, i)= S Qn«)吟n=0

(1.111)

(1.111)

3(V, i)= 2 bn(i)vn.

.n=0

Конечно, если принять во внимание изоспиновую симметрию в ^-канале, то будут присутствовать только четные или нечетные степени переменной в соответствии с видом амплитуды и ее изотопическими состояниями: J = 0 или / = 1.

Интерполирующие функции в ^-плоскости Хури даются формулами

(1.112)(1.112),八 If, Im Л(V, 0

(1.112)

(1.112)

八 1 г л Im 8 &方)

Ьz力)=^)加―^^.

Простейшими сингулярностями в плоскости z являются простые полюса Хури, которые, однако, приводят к довольно сложной структуре частиц, уто происходит, как мы увидим, по двум причинам: первая —— это, как и в случае скалярных амплитуд, сложное соотношение между траекториями Редже и Хури.; вторая ——наличие спина, еще более усложняющее связь между траекториями Редже и Хури.

Чтобы получить разложение Хури для производных амплитуд, начинают, как и в скалярном случае, с разложения Редже, а затем определяют интерполирующие функции Хури ①巨(г, 土). Это делается с помощью приведенной в § 8 теоремы, связывающей зти две интерполирующие функции.

Теперь можно установить интересную взаимосвязь между интерполирующими функциями Хури a (z, i), b (z, t) и функциями 恥(z,力.Эта связь

Такое разложение, несомненно, возможно в соответствующей области переменно宜 就；в общем случае веобходимьх еще разложения по степеням s м s в отдельности.

сразу же вытекает из соотношений (1.109):

a(z, i) = <Pi(z,力)+7/炉匕喷 zq)2(z, t),(1.113)

b (z, %) = (z + 1)屮2 (z + 1, Z).

Отметим сдвиг на единицу в z-плоскости для & (z,方)по сравнению с 屮 2 (z,力・ Таким образом, последовательность полюсов Ху ри и их сателлитов, начинающихся в точке z = а (%) для а (z, Z) и в точке z = а (力)一1 для b (z, %), будет соответствовать одному полюсу Редже при Z = а (力 в амплитудах ф^ (2, Z) и q?聲(Z, /). Первым следствием из этого оказывается то, что асимптотическое поведение амплитуд Л (v, f) и В (v, /) при больших v и фиксированных t будет даваться формулами ')

A(V, 9 ~e产⑴，

B(v, Z)~c2aoet⑴i(LK4)

В общем случае произвольного спина картина не изменится и мы будем получать амплитуды, ведущие себя асимптотически как va, va-1, va~a и т. д. Это обстоятельство оказалось полезным при исследовании сверхсходящихся правил сумм. Действительно, даже в случае нелинейных траекторий и при наличии траекторий со значениями a «), большими —1, сверхсходящиеся правила сумм могут быть установлены для соответствующих амплитуд с переворотом спина.

Отметим, что такое асимптотическое поведение амплитуд для процессов со спином молено установить эвристически путем рассуждений, подобных приводившимся в § 10, где говорилось об ограничении Фруассара. В работе [101] такая асимптотика была выведена из общих принципов теории поля.

Рассмотрим, наконец, вопрос, который имеет отношение и к алгебре токов. Из соотношения

Ь (z, £) = (z + 1)(р2 (z + 1, t)(1.115)

видно, что если b (——1,办 #= 0, то амплитуда q)2 (z,力)имеет неподвижный полюс при z = 0. В силу же сказанного в § 10 существование такого неподвижного полюса в амплитудах сильных взаимодействий исключено. Поэтому должно выполняться соотношение & (——1,力)=0. Этого не требуется для некоторых амплитуд, изучаемых в алгебре токов; в гл. 4 мы увидим, что для них величина & (—1) не равна нулю.

В заключение можно сказать, что в данном случае происходит обмен теми ясе траекториями, что и в скалярном случае (например, в лл-рассея- нии). Легко сообразить, что учет ограничений при 力=0 (рассеяние вперед) не ведет к чему-либо новому. Аналитичность при £ = 0, так же как и в скалярном случае, требует существования бесконечного числа дочерних траекторий* Нечто новое появится при учете этих ограничений в процессе ред- жизации для перекрестного s-канала, где спин полуцелый. Но там ситуация меняется полностью. Прежде чем перейти к этому случаю, остановимся несколько подробнее на свойстве сверхсходимости, воспользовавшись для этого примером рл-рассеяния.

рл-рассеяние и сверхсходимость

Рассмотрим процесс рл-рассеяния, кинематика которого изображена на фиг. 1.8; %, еа ——векторы поляризации частиц р. Принимая во внимание условия (&工9工)=(^202)= 0 и инвариантность по отношению к обращению

В Отметим, что во второй из формул (1.114) поввляется"любопытный 'множитель a («). Это обстоятельство будет использовано при насыщении правил сумм при конечной энергии (гл* 9). 5-01263

времени, можно следующим образом разложить амплитуду рассеяния на четыре инвариантные амплитуды:

「= (%Р) (%Р) А(V, /) + [®Р)⑸Q)+(£©(%「)] В(V, Z)十

十 ®Q)⑶Q) С(V, о + (匕玩)D (v,办 (1.116)

Амплитуды А^ В, С, D не имеют кинематических сингулярностей и удобны для исследования аналитических свойств. Их можно разложить в ряды по переменной v и определить, как обычно, интерполирующие амплитуды

Хури a (z, С» • • • . В то же время необходимо ввести подходящие для ред- жизации инварианты, для которых просты разложение по парциальным волнам и соотношение унитарности:

Т = @m2寸？"*

+ <?V®3 (v, 0 + g^i (v, 0-(1-117)

В формуле (1.117) введены обозначения

什РА)

@ —гтте 严_!卜Q a丿丽幽Т‘д

й дифференцирование производится при постоянных массах [см. приложение II, равенство (IL29) и последующие].

В данном случае производные амплитуды также обладают тем свойством, что в их разложении по полиномам Лежандра коэффициент при каждом полиноме Pj (cos 6±) содержит вклад тех и только тех состояний, которые имеют полный угловой момент J в it-канале (р 十 р -> п + п).

■ Связь между двумя наборами инвариантов устанавливается путем несложных вычислений (необходима осторожность при вычислении второй производной па Q^ так как d/dQ^ и /世寸 не коммутируют):

4恥5R_ 32Ф1 丄(0 ^Ф1 I 妆 2

C = s2 需+ 2s 得 +計噜+ 2З 時+ 包， (1-Н8) 0=①4+3噜，.

Как и раньше, соотношение унитарности простым образом записывается через производные инвариантные функции, а последние можно соответствующим образом редясизовать. Одиночная реджевская траектория, связанная с этими инвариантами, будет давать пересечения, соответствующие вполне определенным спинам. Факторизация также, при этом формулируется просто. Затем аналогично скалярному случаю вводятся интерполирующие амплитуды Хури(рг (z, Z). Связь между двумя наборами интерполирующих амплитуд находится путем подстановки разложений поа степеням v в равенства (1.118):

a (z,办=(z + 2) (z + 1) % (z + 2, О, b(z, 0 = -j—^—(z + l)z<h(z + l, t) +

+ 丁二一(z + l)Vi (z4-l, i) + (z + l)q)2r(z+l, t), R一吗

c(z, t)=(彳2—侬)fz(z—l)g(z, t)H•―^^zg/K)+([ 119)

+ -Z$2(Z, «) + ф4 (Z,力)，

彳一叫

d(z,力)=伙02 0+t~^~z<pi(z, t).

丁 F

Отметим сдвиг на две единицы в z-плоскости у а (夠力)по сравнению с фх (z, 0 и сдвиг на одну единицу у 6 (z, £)・ Для физических амплитуд при больших V и фиксированных t отсюда получаются следующие асимптотические формулы, обусловленные наличием в производных амплитудах полюса Редже при 2 = с:

Л(V, %) —，№«)-"В(Н±)〜qW⑴ Т,

C(v, t)~W),(1.120)

• D(v,办〜с&р°他—：

Кроме того, отсутствие неподвиясных полюсов в производных амплитудах сильных взаимодействий 例(z, Z) означает, что

а (-2, 0 = а (-1,。= b (-1, 0 = 0.(1.121)

Конечно, при учете перекрестной симметрии для состояний с определенной симметрией некоторые из этих равенств могут оказаться тривиальными.* Например, в интересном случае обмена р-траекторибй с изоспином 1 в ^-канале сохраняется только соотношение а (—1, %) = 0i Если вспомнить определение а (z,力)и асимптотическое поведение Л (v,力)при больших V, то мы получим сверхсходящееся, правило1 сумм:

j 向4-(V, t) dv = 0 при ' a「車)< 1.(1.122)

Общие вопросы, затрагивающие это и сходные правила сумм (в част* ности, вопрос о том, при каких значениях t удобнее их исрользов^ть, а также о возможности их «насыщения» изобарами), будут* рассмотрены в, гл. 9. Здесь мы только покажем первый случай успешного применения правил сумм [3?] при £ = 0, введя в качестве промежуточных состояний легчайшие, дающие ненулевой вклад изобары л1 и (6. Используя фёдоцен-од^огцчб^^

взаимодействия

£рлл н ?рлл®а₽7рц, (^) Л° (/) 0“Л?(力)，

«^шрл = gapjcEMP。“1屈? 3) ^pPj (%)冗"(％), получаем из (1.122) соотношение

4g^лл — ^*р^шрл-(1.123)

Чтобы проверить зту формулу, подставим полученное значение ^иря в выражение для ширины распада ш -> Зл, даваемое моделью Гелл-Манна, Шарпа и Вагнера [34]:

V 公、Qk、_ 4 ^РЛЛ ^®РЛ (тШ—Зтп〃)42 3,56

](8 — ЗЛ) _ 彳-矿-吗々喈..

Взяв значение г) д^л：п/4冗 ^ 2,4, получаем

Г (ш -> Зл) ^ 8 МэВ, тогда как экспериментальное значение

рэксп ^ш f Зл) л； 11 МэВ.

Таким образом, соотношение (1.123) выполняется довольно точно.

Конспирация в пион-нуклонном рассеянии и траектории Редже в случае полуцелого спина 2)

Исследуем теперь, исходя из дисперсионных соотношений при фикси* рованном s или 龜 свойства амплитуды пион-нуклонного рассеяния и ее асимптотическое поведение при больших t. Эта асимптотика будет иметь вид 网** причем теперь траектория a (s) интерполирует частицы с полуце- 口нмд спинами. Поставленная задача сильно отличается от соответствующей задачи в случае бесспиновых частиц. К тому же различие гораздо больше, чем для упомянутого ранее разложения по парциальным волнам в канале JV + ЛГ -> л -f- л, которое не могло привести к новым результатам для траектории благодаря наличию в конечном состоянии псевдоскалярных пионов»

Начнем с разбиения на инвариантные амплитуды. Введем вектор

К =凸+ %匸厶+ 02，

причем № = s = W2. Разложим амплитуду следующим образом:

Р=(1+幣)电(s, t) + (l-粤)*2(s, »(1.124)

Связь между новыми амплитудами 屮口 屮2 и обычными амплитудами [формула (1.105)] дается равенствами

4 H电+电+帶仲1 一%)，

2(1.125)

笈=可(电一电2),

г) Соответствующее ширине порядка 125 МэВ.

а) Ограничения на амалитуды рассеяния со спином при t = 0 и их следствия относительно полюсов Редже впервые былц рассмотрены Голдбергером, Грисару, Мак-Дауэллом и Вонгом [35], Грибовым, Окупил и Померанчуком [36], Волковым и Грибовым [37]. Подробно вопрос излагается в работе Лидера [20] и в соответствующих разделах книг広 Коллинза и Скваирса [23].

и обратными им

(1.126)(1.126)(1.127)(1.127)(1.128)(1.128)屮1 =告[/ +}(W —mQ^],屮2 =皆[蜀—g~ (次+加N)区]，

(1.126)

(1.126)

(1.127)

(1.127)

(1.128)

(1.128)

Разложим эти амплитуды по парциальным волнам в s-канале:

5® 力=左(W) S [Л(5)Р>+1/2 (COS 05) - /J (s) Р}-1/2 (cos es)],

J==l/2

w2(S, 0 = %2 (w)3 /⑻丐-1 厶(COS 仇)一行(S)Pj+Щ (COS 网)], J=l/2

где

左()一(W 十加N)2 一 7n，

m八8nW2

%2 ”)= (W —mN” 二 77^，

—J-PJ+1/2(COS0s)j,—J-PJ+1/2(COS0s)j,/J — парциальная волна с полным спином J = 2 + 丄厶(Z — орбитальный угловой момент л ——^системы), a/"j соответствует значению J = Z ——^2 *)• Обратные формулы для парциальных волн таковы:

—J-PJ+1/2(COS0s)j,

—J-PJ+1/2(COS0s)j,

/j(s)=-y j dcos 0S [芻 Pj_i/2 (cos es)

(1.129)

贵尸А/虱cosR)].贵尸А/虱cosR)].行(S) = 4" j d COS& [弟Pj+1/з (cos 0S)

贵尸А/虱cosR)].

贵尸А/虱cosR)].

Посмотрим, как эти парциальные волны ведут себя в окрестности точ- ки Ж = 0. Парциальная волна 疔 一 это функция переменной s с корневой точкой ветвления при s = 0 (кинематическая особенность), или, другими словами, это регулярная функция переменной W при W = 0. Амплитуды Z и В не имеют точек ветвления такого типа, они регулярны при s = 0, Отсюда следует некоторое условие для парциальных амплитуд 疔(s). Действительно, из соотношения (1.126) видно, что

.6(%)=5(一例・(Ы30)

В то ясе время из равенств (1.128) следует, что

Xi (Ю = ха (-Ю.(1-131)

Поэтому, подставляя все эти соотношения в формулу (1.129), получаем симметрию Мак-Дауэлла [38]:

方(W)=一行(一叩).(1-132)

В частности, при s = 0 (т. е. при Ж = 0) имеем

办(0,力一％ (0,力)0,(1.133)

行(0)+万(0)=0.

Подчеркнем аналогию между данным случаем и случаем^ скалярных частиц (ограничения для парциальных волн при 才= 0, § 4). Там мы видели, что, вообще говоря, существование одиночной не равной нулю парциальной

Более распространеяное обозначение /^ связано с нашим т睥：

抒Н力士 （2 =丿千%）"

волны запрещено [не зависящая от других парциальная волна 乡^ (?) должна убывать при 力=0 как #] и все волны должны взаимно уничтожаться, чтобы не было полюса при ^ = 0. В данном случае невозможно устремить к нулю некоторую парциальную волну /J (0), не устремив к нулю соответствующую ей волну /7 (0).

Такая свнзь[сразу же сказывается при реджизации амплитуды. Введя интерполирующие функции для парциальных волн, напишем представление Ватсона 一 Зоммерфельда для амплитуд：

5‘(S,z)=击打(次)j -^^{/+(/, W)P#/2( -COS")+

+ /-(J, Ю ^J-1/2 (—COS 0s)},Q.

I Г dj(1.134)

我⑶»=一击漑(巾)j T^r {广(J，W)Pj*其一cos&)+

+ 尸(J, W) Pj+i/2(-cos0s)},

где 尸(/, W)——интерполирующие функции для 疔(И7), а путь интегрирования у состоит из обходимых по часовой стрелке окружностей с центрами в точках / — i/纟, 3/2, 5厶，• - ■ •

Симметрия Мак-Дауэлла, очевидно, должна распространяться и на интерполирующие функции. Рассмотрим полюсной вклад

/+(/,W)=/+(/,W)=6+W)j_&+(w)6+W)j_&+(w)

/+(/,W)=

/+(/,W)=

6+W)j_&+(w)

6+W)j_&+(w)

/-(/, Ю=/-(/, Ю=Р-(Юj—&_(%)・Р-(Юj—&_(%)・

/-(/, Ю=

/-(/, Ю=

Р-(Ю

j—&_(%)・

Р-(Ю

j—&_(%)・

В силу симметрии Мак-Дауэлла должно вьшолняться равенство а+ (W)— = а~ (W) и, в частности, равенство а+ (0) = а~ (0) [конечно, и р+ (0)= =Р~ (0)]. Таким образом, мы приходим к выводу, что при нулевой массе четные траектории совпадают с нечетными т). Этот результат напоминает нам о дочерних траекториях. Тогда мы пришли к спиновым мультиплетам, и все они имели одинаковую натуральную четность; теперь же мы обнаружили дублеты по четности. В рассматриваемом случае дочерние траектории, конечно, тоже необходимы из тех же самых соображений аналитичности, что и в скалярном случае. Рассмотрение траекторий, соответствующих частицам полуцелого спина, приводит к дополнительному удвоению.

Домокош [22] получил следующую формулу для траектории в окрестности s = 0, которая интерполирует частицы с J = Z + ‘厶 при положительных W и частицы с J == Z 一 丄厶 при отрицательных И7：

脸(W) = a()(0) -n斗仪[a0(0) 一也+ ^]屮+

+ {瓦+a2[%(0)-m，+ }]+ь2 [№(0)-也+ 扌]}%2+・...(1,135)

Вывод этой формулы такой же, как и формулы (1.98) для траекторий с целым спином. В рассматриваемом нами особенно простом случае полу- целого спина изящная симметрия W ->——W позволяет просто получить основной результат о дублетах по четности. Совершенно четко обнаруживается тесная связь *с трактовкой дочерних траекторий в скалярном случае. Требование, чтобы амплитуды Л и 5 не имели кинематических сингуляр-

Т) Напомним, что парциальная волна fj имеет четность Р = (—£)」+'", а волна fj имеет четность Р = (—l)J-1^a, так что состояния, соответствующие пересечениям траектории ^.Редже а+ (Й0 = J, а_ (仍=J, характеризуются противоположными четностями. *

ностей при W = 0, в сочетании с формулами (1.125) приводит к соотношению 6 (0, /)—加2 (0, 0 = 0.

Тот же результат можно получить, перейдя к пределу % -> 0 вне массовой поверхности. Это можно сделать, когда пионы являются виртуальными и продолжение по пионной массе производится до значения тп = mN. Действительно, при К^ — 0 имеем д； = р； н ,： = р：. В этом случае в разложении амплитуды [формула (1.124)]

7 =屯 + «2 + -^- (W —办)，

предельное значение вектора K^/W зависит от пути перехода к пределу К^ -> 0. Поэтому требование, чтобы амплитуда Т имела определенный предел при К^ -> 0, снова содержит в качестве необходимого условия соотношение 屮工(0, t) = р2 (0,力・

Итак, существенно новой чертой траекторий Редже, обусловленной наличием спина, является удвоение по четности, продемонстрированное на данном примере. Данный вывод никоим образом не ограничен только полуцелыми траекториями, в этом случае его лишь легче получить. Чтобы доказать удвоение траекторий в общем случае, необходимо рассмотреть канал, в котором и падающие и рассеянные частицы обладают спином; в случае бозонных траекторий для получения удвоения достаточно рассмотреть спиновую структуру рассеяния в таком канале и потребовать аналитичности по t от асимптотики амплитуды при больших v.

Удвоение траекторий можно объяснить и с точки зрения теории групп. Известно, что представления группы Лоренца характеризуются значениями двух операторов: F = % (尸一К2) и G = JK (приложение III). Мы уже видели, какое значение имеют конечномерные представления с G = 0, когда речь шла о дочерних траекториях. Тогда оператор G принимал только нулевые значения, так как это псевдоскалярный оператор и невозможно построить представления с G 声 0 для состояния с двумя скалярными частицами- Теперь, при наличии спина, появляется возможность построить представления с @，0. Поскольку G — псевдоскалярный оператор, в этих представлениях содержатся дублеты по четности. Самый известный пример такого рода ——представление, даваемое} антисимметричным тензором 下卩", которое содержит дублеты] по четности в виде векторов 必=尸°" и Hk = -=工厶爲加‘,причем последний есть аксиальный вектор. При собственных преобразованиях Лоренца комбинации Н + £Е и Н — %Е преобразуются раздельно, а преобразования четности меняют их местами. Аналогично для дираковского спинора и комбинации (1 + 丫卜)м и (1 — 丫^) и преобразуются независимо при собственных преобразованиях Лоренца, но при изменении четности переходят друг в друга.

Поэтому становится понятным, что в основе явления «конспирации» {удвоения траекторий) лежат те же теоретико-групповые причины, что и в обнове феномена дочерних траекторий. Правда, выше говорилось, что представления с (? ^ 0 возможны только при наличии спина. Необходимы же они лишь в случае полуцелого спина, поскольку все представления с полуцелым спином имеют G =/； 0 и удвоение по четности, а в случае целого спина они не нужны, так как для траектории с целым спином не требуется обязательного наличия партнера с противоположной ^четностью. Но тогда амплитуды процесса в направлении вперед не должныТбыть асимптотически не зависимыми, что должно приводить к обнаружимым следствиям для определенных процессов. Такое положение обычно называют «уклонением», имея в виду уклонение от ограничений.

С более формальной, чисто групповой точки зрения при К^ = 0 амплитуда для процесса со спином должна раскладываться по базисным функциям неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца [или по

неприводимым конечномерным унитарным представлениям группы SU (2) 0 ® SU (2), после выполнения поворота Вика]. Эти представления классифицируются по наивысшему возможному спину N и наинизшему спину М (операторы Казимира F к G легко выразить через N и М). При разложении амплитуды, описывающей переход частиц со спинами Д и /2 в частицы со спинами /з и /4, величина N в случае целого спина принимает все значения от О до оо, а 7И пробегает значения от 0 до min 仇 + 八，7з + 7 J (в случае полу* целого спина разложения должны начинаться с х/2)- Это объясняется тем, что при К^ = 0 две частицы со спинами 力 и /2 не могут перейти в состояние, низший спин которого больше, чем /工 + /纟・ Поэтому при анализе процесса л + N -> л + N должно выполняться условие М = % [формула Домо- коша (1.135) относится фактически к этому случаю], тогда как, например, при анализе процесса р + л f р + л требуются представления с 7И = О к М = 1. Далее, все представления с ЛГ > 0 содержат дублеты по четности. Разложение только по функциям с 7И = 0 (в случае целого спина) не является достаточно общим и в конце концов приводит обычно к соотношениям между амплитудами, т. е. к следствиям, которые можно экспериментально наблюдать. При реджизации необходимо интерполировать дискретные значения ^J сохраняя М постоянным, и, следовательно, при s = 0 полюса Редисе должны группироваться в мультиплеты в соответствии со значением М у интерполируемых четырехмерных парциальных волн (полюса Толлера). А что же будет с уровнями, описывающими частицы? Допустим, что у нас имеются линейные параллельные траектории. Полюс Толлера с определенным значением М при пересечении с целыми значениями 川。 приводит к частицам со спином J, М & J ^, NG^ и с обеими четностями для каждого спина (кроме случая М = 0). Напомним, что представления, о которых здесь идет речь, неунитарны, а поэтому при использовании теоретикогрупповых формулировок для описания частиц могут появляться духовые состояния с мнимыми константами взаимодействия.

Приложение 工.Проектирующий оператор в случае частиц с любым спином

В данном приложении мы рассмотрим вопрос о проектирующих операторах в спиновом пространстве частицы. Формулы, которые мы при этом выведем, очень помогут нам при вычислениях с изобарами любого спина. Излагаемый метод анализа принадлежит в основном С. Вейнбергу [39]工).

Частицу со спином I и определенным импульсом Ди (А2 = zn?) молено представлять себе как вектор в (2Z + 1)-мерном векторном пространстве Wi- Пусть I Дц, а) (а = 0, 1, • . ., 2Z + 1) есть полный набор векторов в этом пространстве. Введем «проектирующий оператор для состояния со спином Z И импульсом М»：

卧(М) = 3 I А%, а)〈厶卩，a I*(L1)

Ввиду того что масса т постоянна и не равна нулю, для описания лоренц- инвариантного поведения частицы можно выбрать любое лоренцево представление (приложение III), содержащее спин Z, при соответствующих дополнительных условиях. В случае целых I мы выберем представление симметричными тензорами с 7И = 0 и ^ = Z, т. е. представление 0厶厶 寸力 при дополнительных условиях

А"屮шнз …門=°，(L2)

啖из= °・(L3)

Уравнение (L3) гарантирует, что мы действительно имеем дело с неприводимым представлением (V^, V2Z) однородной группы Лоренца. Из уравне-

См. также [40—42].

ния (1.2) следует, что фИщ,2е„И1 преобразуется по неприводимому представлению группы вращений размерности 22 + 1 в системе центра масс.

В случае же полуцелого спина / = Z + 丄/誓 мы возьмем дираковский спинор %м眠…叫,полностью симметричный по всем I четырехмерньгм индексам и удовлетворяющий уравнениям

(YA一m)海卅广.",=0・(•)

Это соответствует выделению состояния с требуемой спин-четностью из представления группы Лоренца

[传,о)㊉(о, 4)] ® (4Z> 4z) >

в котором М = 1厶・ Из (1.4) также получаем

%?…L6(L5)

A"%明…因=°。(L6)

В силу определения (1.1) проектирующий оператор будет тензором ранга 22 в случае целого спина и матрицей в ^-пространстве, имеющей 21 тензорных индексов, в случае полуцелого спина. Мы обозначим его символом 觴二

Проектирующий оператор будет удовлетворять всем условиям, содержащимся в определении ①眼卩纟…々 или %必阿…叫.Он будет полностью симметричным и иметь нулевой след раздельно по всем верхним и нижним индексам и будет удовлетворять уравнению

a" 产雾.•寻=/0虱宏二.£ = 0(1.7)

и, кроме того, в случае полуцелого спина

¥ 吋哨二；：=产哨二* = 0,(1.8)

(Yа一m)卧KF’=稣二当(YА一m)=°。(L9)

Такой проектор представляет собой сложный тензор. Гораздо проще иметь дело с «сокращенным» проектором, у которого верхние и нижние индексы свернуты с помощью фиксированных векторов к» и 碓

卧(儿 *)=左看 ... %尸:;二.玄吗(1.10)

Первоначальный проектор можно получить из него путем дифференцирования:

卧^二扌=普新t毋("，左')■(e)

Сокращенный проектор удобнее, так как при практическом его использовании в расчетах с изобарами все индексы свертываются с внешними векторам% кроме разве что некоторого числа индексов, прямо связанных с тензорами поляризации, если внешние частицы обладают спином.

Построим же сокращенный проектор. Сначала мы построим его в системе, где частица покоится, т. е, при Ди = (тп, ООО). В такой системе только пространственные компоненты проектора будут отличными от нуля и мы будем иметь дело с оператором

叫…叫

1ЛП|,..п^ ，

где индексы 加厶 修(г = 1, . . ., Z) пробегают^ значения от 1 до 3. Тогда

叫加，加‘)=П(к, к') = %-.. /ЦП*；二考％• k'nl, (1.12)

где к, к' — пространственные компоненты "以,А] в системе покоя. Оператор П (к, к') представляет собой скаляр в случае целого спина и матрицу в пространстве действия a-матриц в случае полуцелого спина, так как в силу уравнения (1.9) в системе покоя сохраняются только верхние компоненты

спинора.

Вычислив П (к, к'), мы найдем и ковариантный оператор, который сводится к П (к, к') в системе покоя. Тем самым сокращенный проектирующий оператор 加他 kf) будет полностью определен.

В случае целого спина I оператор П представляет собой скаляр, зависящий только от к и к', и однородную функцию степени I по обеим переменным. Поэтому можно написать

П (k, k，) = 4%〃HzQ),

(1.13)

где

а кк' с = соз8 = к , 加= |к|.廿= |к[

(1.14)

и Не — полином степени 2. В таком случае условие равенства следа нулю выглядит так (свертываются два индекса, которые становятся свободными

после дифференцирования):

备击"(к，k') = A^WH® =。.备击"(к，k') = A^WH® =。.(1.15)(1.15)

备击"(к，k') = A^WH® =。.

备击"(к，k') = A^WH® =。.

(1.15)

(1.15)

В полярных координатах имеем

小=4•務 k+^~^i=T 爲Eh

^обозначение -^-(1 —忆制^^二—^ пригодится позже^ "и уравнение (1.15) принимает вид

□(Z + D + /d 一成)^] 口⑺=0，(1/7)

т. е. оператор Ki (%) должен быть пропорциональным полиному Лежандра степени 2:

Hz (%) = с£±д)・(1.18)

Вычислим теперь нормировочный множитель, пользуясь следующим основным свойством всех проектирующих операторов:

沙2 =卧，(1.19)

唠二：欣；4 =唠二.^.(1.20)

Уравнение (1,20) можно представить в виде

壶爲 …譌严(k‘，k)證…謠^(k, kgH.(k，, k，). (1.21) Если вспомнить, что

A® 伸(k)]2 = 2哪k) A(h)<p (k) + 2 [V<ft)<P 3)产(1.22)

и учесть условие равенства нулю следа, то уравнения (1.21) и (1,22) дают (3 х 2 -*)•・• [(2Z +1) 22 -加)□?；(*) = 2i ("У 仆(1).(1.23)

При интегрировании по х вклад операторов L2 равен^нулю и мы получаем

(2С+分！ f Hl(x)dx = 2l (?1)22^(1). ；(1.24)

Таким об разом J

nm“)=(27,讶I 円(力・(1-25)

В случае полуцелого спина J = Z + % оператор П{(к, к') представляет собой матрицу в о-пространстве, инвариантную относительно вращений и однородную функцию степени I по переменным к и кг. Поэтому он должен иметь вид

П (к, к') = klkaAi (cos 0) + ik X к'・。衣т"15?т (gqs 0),(1.26)

где Ai и В^ — полиномы степени I и Z — 1. Условие (1.8) в системе покоя выглядит так：

МС；二％.* = 0.(1-27)

Из уравнения (1.27) получаем

”詣П(к, Ю = 0.(1.28)

Отсюда путем некоторых преобразований мы приходим к формулам

Ва8)=-击畠4S),(1.29)

At(z) = ciPi (а).(1.30)

Нормировочную постоянную с? можно вычислить так же, как и в предыдущем случае, но только теперь придется вычислять след по внешним спиновым индексам и потребуются некоторые алгебраические операции с матрицами а. В итоге получим

4(")=忐掷产M*(L31)

и, следовательно,

П(к，к，)= WW [(г +1)-г ^1 <-] kW^ ^-(L32)

Учитывая свойства полиномов Лежандра, перепишем уравнение (1.32) в виде

п(к, /)=醫*[冃+№)- 喈生w (叨.(1.33)

Выраж! релятивисте ны векторы

ения (1.33) и (1.25) можно сразу же обобщить так, чтобы получить ；кий сокращенный проектирующий оператор 杯(к, %. Нам нуж-

龙=场一管a,

F，= * 一券 aa・34)

и оператор

吗丄,(L35)

которые в

системе покоя имеют вид

А = (0, к),启三(0, к'),(1.36)

&《3U37)

Если теперь в случае целого спина I ввести оператор

卧3，硝=齿端■в(dвг)对肉‘，(L38)

а в случае полуцелого спина J = Z 十 工厶 ——оператор

砂的硝=告綜[Р* (嗇看)一

一一(m)"必)呼2|秤® 円(1.39)

|加||公]、 1% II %'[丿」2m 1 1 I'

то, как нетрудно убедиться, при Л^ = (т, 0) оба оператора будут переходить в П (кт к'). Следовательно, это и будут искомые сокращенные проектирующие операторы.

Точно так же можно найти сокращенные проектирующие операторы, соответствующие представлению с М = 0 однородной группы Лоренца. Но в этом случае условия типа (1.7) не накладываются.

В заключение отметим, что тензоры поляризаций, удовлетворяющие уравнениям (L2) и (1.6), становятся, вообще говоря, сингулярными при Д2 т 0. Рассмотрим, например, случай векторного поля фц = £乩屋厶3c. Уравнение (L2) дает Д^8Ц = 0, а в системе центра масс Ди = ((Д2)х/г? 0). Следовательно, вектор поляризации в системе центра масс, обозначаемый через 8И, обладает свойством 80 — 0. Далее, выберем, например, е^ = (0001) и произведем преобразование Лоренца в направлении z, так что частица приобретет энергию Е и импульс pz. Получим вектор &臨=(—pj\ A |, 0, 0, E/\ A |), который имеет особенность в пределе Д2 -> 0 при постоянном pz. В этом проявляется то обстоятельство, что при А^т 0 уравнение (1.2) теряет смысл, так же как и система центра масс. В случае А^т 0 предельное значение тензора уже не может удовлетворять соотношению (L2), Это имеет прямое отношение к тому, что говорилось о дочерних полюсах Редже в гл. 1.

При^ожение 11^ ]Цетод on ределения инвариантны^ амплитуд

для процесса, рассеяния 2 ->2 в случае частиц с любым спином

Ниже мы изложим метод определения инвариантных амплитуд в случае частиц со спином [43, 44]. Хотя он и не обладает всей общностью формализма спиральности, он дает некоторые преимущества: простые перекрестные соот

ношения, простое определение полного спина и прямую связь с инвариантными амплитудами, пол ученными на основе теории возмущений. Он представляет собой обобщение метода вычислений с изобарами на основе сокращенного проектирующего оператора, изложенного в приложении I.

Рассмотрим процесс типа 2 -> 2 с обычной кинематикой (фиг, II.1), На схеме е1, 81 —— тензоры поляризации начальных, а е2, 82 — конечных

состояний, не обязательно поперечные по отношению к импульсам (это даст нам возможность использовать формализм такого рода для описания процессов, рассматриваемых в алгебре токов). Введем, как обычно [формулы (1.26)1,

<2 =y(弘 + 鱼)，?1 + ?1 = ?2 + ?2>

Л = Й —91 = Р1—Р2, _'

£=А2, s = (pi + s)2, S=(p! —g2)2, 1_(ПЛ

v=(P0 = T(s —s),

几=几一粤底，

@"=q"一唱m，

(2:)(P A)1/2(Q a)1/2(2:)(P A)1/2(Q a)1/2COS 0fCOS 0f(PQ)(/2尸/2 (02尸/2(PQ)(/2尸/2 (02尸/2.0 叶丁.0 叶丁и косинус угла рассеяния в ?-канале в системе центра масс, как и раньше [формула (1.25)] %

(2:)

(P A)1/2(Q a)1/2

(2:)

(P A)1/2(Q a)1/2

COS 0f

COS 0f

(PQ)

(/2尸/2 (02尸/2

(PQ)

(/2尸/2 (02尸/2

.0 叶丁

.0 叶丁

(PQ)-(?u)(Q“)(PQ)-(?u)(Q“)=九⑴+叩⑴.(II.2)=九⑴+叩⑴.(II.2)[仍2一化以)2f/2 [Q2_(Q*『/2 一(力广/2(/2尸厶

(PQ)-(?u)(Q“)

(PQ)-(?u)(Q“)

=九⑴+叩⑴.(II.2)

=九⑴+叩⑴.(II.2)

Все переменные, относящиеся к верхним частицам q* и ^2, мы будем обозначать буквой ", а переменные нижних частиц рх, р2 ——буквой Z. Связь между наборами м и Z вытекает из закона сохранения полного углового момента в ^-канале и закона сохранения импульса А =伪工—р"=兹一鱼・

Чтобы выделить вклад состояния с угловым моментом J (i-канал) в различные амплитуды, рассмотрим поведение последних при вращениях в системе центра масс (т. е. при таких преобразованиях, при которых А остается постоянным). Обозначим через Ru оператор вращения кинематических переменных набора и (характеризующийся углами Эйлера 屮“),а через 以七一 оператор вращения переменных набора I (характеризующийся углами q)3 Полная инвариантность амплитуды по отношению к вращению требует лнвариантности относительно операции R (q>, q>) = Ru (屮)R^ (屮),равной произведению одинаковых вращений обеих групп переменных и и Z.

Введем новую, более широкую группу преобразований

Е (фи,也)=% (Фи)员 3), (П.З)

где вращения переменных и и Z независимы (<ptt，<рг).

Очевидно, что, хотя матрица рассеяния и инвариантна относительно операции типа R (<р, <р), при раздельных вращениях 7?1t (屮轉)или £? ((рг) только верхних переменных или только нцжних переменных она инвариантна лишь в случае, если верхнее (или нижнее) состояние является скаляром относительно вращений. Кроме того, амплитуда, соответствующая данному J

1) Символам ^1 * * ' ^nJ мы обозначаем определитель порядка п, элемент fj которого равен (@力『),скалярному произведению векторов % и %・

в 2-канале, при операции Ru или 7?( преобразуется, очевидно, по (2J + 1)- мерному представлению..

Проще всего пояснить это на таком примере, когда оба набора и и I состоят из бессхшновых частиц. Вклад промежуточного состояния спина J таков:

2 丫7*隗)Y"^-^~「「(cos®).(п.4)

Если теперь принять во внимание то обстоятельство, что верхние или нижние линии могут переносить спин, то нетрудно дать общий рецепт наиболее удобного объединения импульсов и поляризаций с целью получения инвариантных множителей х). В самом деле, если объединить переменные и и Z так, чтобы получить множители, учитывающие полную зависимость от поляризации и инвариантные относительно операций Е^ и Rh взятых по отдельности, то коэффициент при произведении этих множителей в разложении амплитуды рассеяния будет обладать тем свойством, что вклад в него спина J при операции Ru или Ri преобразуется по /-представлению. Такая факторизация достигается раздельным использованием величин типа и или типа Z.

Но чтобы получить правильное число инвариантов, нужно к величинам 4，&, %, % добавить еще и градиент d/dQ^ а к величинам q, &2т р^, р2 — градиент д/дР^. Очевидно, что эти градиенты следует вычислять при постоянном А, так что существует только один независимый градиент для состояния и и один для состояния I (т. е. 61ap工=д!др^ 81 dq* = dldq^. Это очень напоминает производные от полиномов Лежандра, появляющиеся в хорошо известном спиральном разложении.

Итак, мы можем написать разложение амплитуды в виде

.?=工 ^Кп,(П.5)

где &器｝ — скалярные комбинации тензоров поляризации е (и матриц у, если нужно) с импульсами и градиентами набора и, а а^ ——скаляры, образованные из величин набора I. Величина Fmn — лоренц-инвариантная функция импульсов. В разных конкретных случаях в силу симметрии, например сохранения четности или инвариантности по отношению к обращению времени, а также в силу дополнит ельных условий число независимых амплитуд может еще сократиться.

Наконец, с учетом сказанного выше можно сделать вывод, что для состояния, характеризуемого полным угловым моментом J, функции F ведут себя, как и в бесспиновом случае, а именно при одном вращении Ru или Ri они преобразуются по представлению с индексом J, Поэтому вклад спина J в Fmn имеет вид

■F^ R, cos 仇)=Pj (go$8。用^⑴.(1L6)

В результате в общем случае получается разложение, аналогичное разложению в бесспиновой задаче,

Fmn 传 cos 仇)=3 (2/十 1) Pj(COS0)鹿⑴，：(11.7)

где величины /您 (力)содержат вклады от промежуточных состояний с полным спином J в ^-канале. Связь между спином и разложением по полиномам Лежандра та же, что и в скалярном случае.

Существование разных функций 襦^ при данном значении J связано, конечно, с тем, что полный момент J можно разными способами получить из спина и орбитального момента,-

Мы ограничиваемся случаем целого спина у промежутр^ного состояния. Случай полуцелого спина рассматривается в работе [45].

Важной особенностью нашего метода является то, что все амплитуды 尸mn (力，gos 80 не имеют кинематических сингулярностей по cos 0±, т. е. по переменной v (при постоянных £ и массах р|,涼).Больше того, единственные сингулярности по этой переменной, как и в скалярном случае, связаны с нарушением сходимости разложения по,полиномам Лежандра, а это динамический эффект, не зависящий от спина частиц.

Амплитуды Fmn можно назвать «скаляроподобными амплитудами», потому что они выражают такую же связь между полным угловым моментом и полиномами Лежандра, как и в случае скалярных частиц; их можно также назвать «производными» амплитудами.

Посмотрим теперь, что мы получим, подействовав оператором градиента д/дР^ на скалярную функцию 尸瓦 cosO^p* 而.Во-первых, величина А и, следовательно, величина t должны оставаться постоянными. Величины же 尸2 и РА изменяются под действием оператора градиента, а поскольку

P2 = 4"(P： + P：)-4"f, (П.8)

РА = £(р：-р：), (П.9)

«массы» р； и р； не остаются постоянными при вычислении градиента. В принципе в этом нет ничего плохого; действительно, если рассматриваемая амплитуда связана с алгеброй токов и ее внешние линии являются《пробными» токами с переменными массами, то такая операция может быть достаточно просто выполнена и оказаться очень полезной.

Hq если мы имеем дело с амплитудами сильных взаимодействий и не хотим делать гипотез о продолжении амплитуд за массовую поверхность, то мы должны применять оператор градиента при постоянных £ и массах р：, р：・ В таком случае, когда мы пишем dF = (dF/dP^ dP 1n дифференциалы бЛРц должны подчиняться условиям Д^йРц = 0 и РЫР^ = 0. При дифференцировании эти условия обеспечивают постоянство масс р： и р：, а также 厶 Обозначим такое дифференцирование символом д/дР^.

Мы имеем

где-

/цл> = gp/v 十 Trv и

THV = (РА)2^Р2А2【РА^Ау + 厶2尸户@ — (РА) (РЦА^ 十 AgPv)], или также

件尸A、г \v Р А丿

Уравнение (II.10) гарантирует инвариантность 732, А2 и (尸А), вательно, и р®, р；, ^ при операции дифференцирования d/dP^t

Можно также представить градиент д/дР^ в виде

詣=[(РА)?—Р2A2『i

где

(IL10)(11.11)(П.12)(П.1Г)а следо-(11.13)(П.14)(IL10)(11.11)(П.12)(П.1Г)а следо-(11.13)(П.14)Wa = eaapvPaA^-^—.

(IL10)

(11.11)

(П.12)

(П.1Г)

а следо-

(11.13)

(П.14)

(IL10)

(11.11)

(П.12)

(П.1Г)

а следо-

(11.13)

(П.14)

Уравнение (И. 13) интересно в связи с вопросом о физическом смысле вектора WG. В системе центра масс j-канала, в которой 厶从=(，厶 0), имеем

W=»px 斎，(П.15)

где р — импульс в системе центра масс. Следовательно, вектор W пропорционален относительному орбитальному угловому моменту частиц с импульсами рт ир2，

Подчеркнем еще раз, что можно использовать либо оператор градиента типа《вне массовой поверхности» (ограничений нет, только f не затрагивается дифференцированием), либо оператор (11.10) типа《на массовой поверхности». Первый больше подходит для амплитуд алгебры токов, так как он меняет «массы», а второй ——для сильных взаимодействий. Они, конечно, полностью эквивалентны во многих важных приложениях, таких, как исследование аналитических свойств и асимптотического поведения амплитуд по переменной v.

Чтобы пояснить эти условия, рассмотрим простой случай, когда «внизу» (О имеются частицы со спинами 0 и 1, а《вверху» (и)——частицы со спином 0. Достаточно построить только ^-инварианты. Если принять во внимание, что для частицы со спином 1, импульсом pi и вектором поляризации q выполняются условия

(£山工)=0 и, следовательно, (е工А) = —2 (^Р),(П.16)

то независимы следующие инварианты 工)：

af> = ®P),

*)=但姦)，(n.17)

где W^ ——вектор, определенный формулой (П.14). Интересно посмотреть, во что превращаются эти «взаимодействия» в системе центра масс, в которой W^ дается уравнением (11.15) и Р = (0, р), если две частицы с импульсами Pi и р2 имеют равные массы. Мы имеем

а?= — ер,

(П.18) р!/ 士

吗)=-MV,

и эти величины можно к л ассифициров ат ь как «продольное», «магнитное» и «электрическое» взаимодействия.

Интересно также отметить, что, если наша векторная частица — фотон, то совершенно естественным образом может быть введена градиентная инвариантность. В самом деле, (£工仍 и 玩(@/@尸「) градиентно-инвариантны по построению, так что градиентная инвариантность сводится лишь к требованию равенства нулю коэффициента при af* Это соответствует требованию отсутствия продольных переходов.

Исчерпывающий анализ общих свойств представленного набора инвариантов можно найти в работе Ребби [45]. Здесь мы применим его метод к некоторым случаям, которые представят для нас особый интерес в дальнейшем.

Скалярно-векторное рассеяние (вне массовой поверхности)

Предположим, что линии ^工？ g2 изображают 4-векторы токов, а линии Pl Р2 соответствуют скалярным (или обе псевдоскалярным) объектам. Очевидно, что анализ, аналогичный проведенному выше, после учета условий поперечности для векторов поляризации и учета ограничений, следующих из инвариантности по отношению к отражению времени, даст нам разложение амплитуды для рл-рассеяния.

Напишем

(11.19)(11.19)Т =绛唠Та，

(11.19)

(11.19)

где Т ——интересующая нас амплитуда» Поскольку линии р1? р2 относятся к скалярным состояниям, инварианты «стороны Z» сведутся к единице. На «стороне и» можно построить тензоры второго ранга из Q^, А^, g^y н d/dQ^ (при дифференцировании мы не фиксируем массы). Можно взять 0х в таком виде:

%、=価F 圈=以爲, 隈=人爲，%、=価F 圈=以爲, 隈=人爲，д дд дY^ = aiA>HY 聞=A|xAv9Y^ = aiA>HY 聞=A|xAv9隈=q卜訪, 隈=%粉 Tgv= QjQy, 或;=M&, T|W = ?|1V»隈=q卜訪, 隈=%粉 Tgv= QjQy, 或;=M&, T|W = ?|1V»(11.20)(11.20)

%、=価F 圈=以爲, 隈=人爲，

%、=価F 圈=以爲, 隈=人爲，

д д

д д

Y^ = aiA>H

Y 聞=A|xAv9

Y^ = aiA>H

Y 聞=A|xAv9

隈=q卜訪, 隈=%粉 Tgv= QjQy, 或;=M&, T|W = ?|1V»

隈=q卜訪, 隈=%粉 Tgv= QjQy, 或;=M&, T|W = ?|1V»

(11.20)

(11.20)

el тогда для ^卩寸 можно написать

纵干=Оцу尸+ £餾^Gj +纵干=Оцу尸+ £餾^Gj +5巨嶼.5巨嶼.(П.21)(П.21)

纵干=Оцу尸+ £餾^Gj +

纵干=Оцу尸+ £餾^Gj +

5

巨嶼.

5

巨嶼.

(П.21)

(П.21)

Инвариантные амплитуды 尸,Сг и Н月 представляют собой «скаляроподобные» амплитуда, и их разложение по парциальным волнам дается формулами

尸(％ 力* р?)= £ (гу+^рлсовв*)^^ 或,р?),

(IL22)(IL22)G"",就,Р?) = £ (2/ +1) Pj (cos 也)G屮(t,就,需,

(IL22)

(IL22)

Hi (v, t,疗,p?)= 2 (2J +1)円(cos 0t)即(£,或，p>

Теперь применим градиентные операторы, введенные в формулах (11.20) и (11.21), Вспоминая соотношения (II.8) и (II.9), имеем

гдегде矗=0亜+気斎+几备,矗=0亜+気斎+几备,(11.23)(11.23)死一睨「町'而■一磁一丽死一睨「町'而■一磁一丽(11.24)(11.24)

где

где

矗=0亜+気斎+几备,

矗=0亜+気斎+几备,

(11.23)

(11.23)

死一睨「町'而■一磁一丽

死一睨「町'而■一磁一丽

(11.24)

(11.24)

—производные по «массам». Используя выражение (П.23) вместе с определениями (11.20) и (11.21), приходим к разложению

T^v = /Рц1P V + B*Q 11P v + B^P |i^v + 笈必』v + B&P цА v +

(11.25)(11.25)+。止出AV+叁Qgv +gm内+ C4AjtAv+Cgguv,

(11.25)

(11.25)

гдегдеЛЛ82产82产В,В,瓦=瓦=¥尸 呢 比8V十@v /#」dGz¥尸 呢 比8V十@v /#」dGz瓦=瓦=& =& =а=а=G=G=比加¥尸 卽dv d^F@2尸比加¥尸 卽dv d^F@2尸dv， I招I @G&^(Gi + G^ + H.,dv， I招I @G&^(Gi + G^ + H.,艰艰(П.26>(П.26>& =& =卽死丁死@2 尸！ @/卽死丁死@2 尸！ @/卜总,卜总,q =q =点=点=@从死飞 dpi d"2十* 亲+&•@从死飞 dpi d"2十* 亲+&•(仇 H~ G&) + %,(仇 H~ G&) + %,Как явствует из построения, амплитуды А, 6订 С； не содержат кинематических сингулярностей по v при фиксированном 力.Они удовлетворяюг (не говоря о вычитаниях) дисперсионным соотношениям по переменной v при фиксированном t. Их разложения по парциальным волнам следуют из уравнений (11.22). Если мы хотим использовать изобарную модель с угловым моментом I в ^-канале, то достаточно положитьКак явствует из построения, амплитуды А, 6订 С； не содержат кинематических сингулярностей по v при фиксированном 力.Они удовлетворяюг (не говоря о вычитаниях) дисперсионным соотношениям по переменной v при фиксированном t. Их разложения по парциальным волнам следуют из уравнений (11.22). Если мы хотим использовать изобарную модель с угловым моментом I в ^-канале, то достаточно положить

где

где

Л

Л

82产

82产

В,

В,

瓦=

瓦=

¥尸 呢 比8V十@v /#」dGz

¥尸 呢 比8V十@v /#」dGz

瓦=

瓦=

& =

& =

а=

а=

G=

G=

比加

¥尸 卽dv d^F

@2尸

比加

¥尸 卽dv d^F

@2尸

dv， I招

I @G&

^(Gi + G^ + H.,

dv， I招

I @G&

^(Gi + G^ + H.,

艰

艰

(П.26>

(П.26>

& =

& =

卽死丁死@2 尸！ @/

卽死丁死@2 尸！ @/

卜总,

卜总,

q =

q =

点=

点=

@从死飞 dpi d"2十* 亲+&•

@从死飞 dpi d"2十* 亲+&•

(仇 H~ G&) + %,

(仇 H~ G&) + %,

Как явствует из построения, амплитуды А, 6订 С； не содержат кинематических сингулярностей по v при фиксированном 力.Они удовлетворяюг (не говоря о вычитаниях) дисперсионным соотношениям по переменной v при фиксированном t. Их разложения по парциальным волнам следуют из уравнений (11.22). Если мы хотим использовать изобарную модель с угловым моментом I в ^-канале, то достаточно положить

Как явствует из построения, амплитуды А, 6订 С； не содержат кинематических сингулярностей по v при фиксированном 力.Они удовлетворяюг (не говоря о вычитаниях) дисперсионным соотношениям по переменной v при фиксированном t. Их разложения по парциальным волнам следуют из уравнений (11.22). Если мы хотим использовать изобарную модель с угловым моментом I в ^-канале, то достаточно положить

(П.27》(П.27》Imь⑺= /gb (力一力)必，ImG" = gfg3G —幻必,Im Я^ = MB & —切 6〃,

(П.27》

(П.27》

Где /, gi и hi играют роль констант взаимодействия изобары g J = Z и мае сой т = Vh с векторными частицами, a g — константа взаимодействия： со скалярными частицами.

Мы замечаем, что скаляроПодобные амплитуды F, G», Hi не вполне физические. Действительно, из выражений (11.26) видно, что W и G» содержат- неизвестную аддитивную величину. Можно добавить к F любую величину вида а + W, где а и & ——постоянные, и произвольную постоянную к каждой из не меняя физической ситуации.

Это обстоятельство имеет важное значение. Выясним его физическуто основу. Полином первого порядка по v является также полиномом первого порядка по cos 0f. Поэтому в амплитуде F мы можем, очевидно, по своему усмотрению модифицировать вклады с/ = 0и/ = 1в i-канале, не меняя физической стороны дела. Это означает, что вклады с J = 0, 1 в 7^ не имеюг физического смысла. Почему? Это сразу же становится ясно, если провести расчет с изобарами, выписать вершинные функции и использовать метод, сокращенного проектирующего оператора из приложения I. Обозначим через L относительный угловой момент в канале i для частиц д* и ^2； тогда, амплитуда F будет соответствовать переходу с 厶=J — 2. Следовательно,, значения J = 0 и J — 1 в амплитуде F будут соответствовать отрицательным Л, т. е. отвечать переходам, лишенным смысла.

То же самое можно сказать об амплитудах G% для которых L = J — 1, так что J = 0 отвечает переходу, не имеющему физического смысла.

Наблюдаемые амплитуды Л,笈订 С» относятся к амплитудам «типа теории возмущений».

Скалярно-векторное рассеяние (на массовой поверхности)

В качестве второго примера рассмотрим случай, когда линии ^工,g2 относятся к векторным частицам, а обе линии рх, р2 соответствуют псевдоскалярным частицам (рл-рассеяние). В этом случае должны выполняться дополнительные условия

■ (е1?1) = (е2^2)= О,

(11.28)'(11.28)'®А) = 2 (%Q), (82A)=-2(820.

(11.28)'

(11.28)'

Кроме того, желательно, чтобы градиент вычислялся при постоянных массах. Мы для этого введем тензор /gv [формула (11.11)]. Тогда разложение- типа (11.21) будет выглядеть так х):

'吃=(3^ 3^+^^ ^1)恥 + ^^V 屮 2 + Qy ^ii 屮 3+Q&w+g2 屮 5, (口 .29) где•

а — r|XV @魂=而.

В случае рл-рассеяния в силу инвариантности по отношению к отражению времени мы требуем полной симметрии при перестановках 史

-效，Pl—Pz，%82 И ПОЗTОМУ ①2 = %，

После применения градиентных операторов2) мы приходим к разложению

Т = (е/) (%Р) / + (^Р) (е20 当 + ®Q)⑸。)邑 +

+ (si0 (е20 С + ®%) D. (П.ЗО) где (штрих, очевидно, означает дифференцирование по v)

4=叫，

n U PKXQ Д/ » ,A2+2(2А，., 吊一 /QS I •尸S + 仇，

U Q)(厶Q丿

(A Q)+/Q р\

о \Д Р 尸 IQ Д/ “ 1 A2+2QA , 1,

当/QA)中，|我 + "，

U Q)U Q丿

J/Q A\2S +•/Q A\25+(IL3今

U Q)U Q)

J*)Y：)巾(T)+(房).

UU <?/

0=%*； +中5・

U Q)

1) Мы используем симметризованное выражение

антисимметризованная часть дает комбинацию остальных инвариантов, и поэтому в ней нет необходимости.

При вьртислении второй производной необходима осторожность, так как 3/3^ и 7UV не коммутируют.■

Разложение скаляроподобных амплитуд фг по парциальным волнам и здесь имеет вид](П.22), причем коэффициенты при Pj (cos 80 в этом разложении содержат вклады только тех состояний, которые в t-канале имеют полный угловой момент J・

Мы видим, что(рх определяется с точностью до аддитивной величины Ui +。2”，а(р2, ф3 —— с точностью до аддЕггивной постоянной; 5- и Р-волны величины 屮工 近 5-волны величин (р2, <р3 не имеют физического смысла.

Два скаляра — в два вектора

В качестве следующего примера исследуем случай, когда линии q工,pj представляют скалярные частицы, а линии 乌纟,р^ —— векторные; е1n 名貝 一 соответствующие векторы поляризации. В таком случае

ии(11.32)(IL33)(11.32)(IL33)(е%)=(叨 J — О

и

и

(11.32)

(IL33)

(11.32)

(IL33)

(必)=-2 (eQ), (еД) = 2 (еР).

Мы уже говорили о выборе инвариантов для обеих《сторон» [«верхней» и «нижней» в данном случае, формулы (IL17)]. Разложим теперь амплитуду Г следующим образом：

?=卜啬)卜备)"+(吶а备)仅+g*)(吟係+

+ (eQ) (еР) Я4- {eWu)(&Wl)S,(11.34)

где^11 = 8ца₽уРаД₽ У^ ,где^11 = 8ца₽уРаД₽ У^ ,(11.35)(11.35)

где

^11 = 8ца₽уРаД₽ У^ ,

где

^11 = 8ца₽уРаД₽ У^ ,

(11.35)

(11.35)

Мы воспользуемся методом исследования «вне массовой поверхности», когда на операторы градиента не накладывается каких-либо ограничений. Отметим, что амплитуды F, G” Н в канале £ содержат вклад от состояний с натуральной четностью, тогда как амплитуда S содержит вклад от состояний с ненатуральной четностью, которые теперь могут присутствовать.

Разложение 尸,G% Я, S по парциальным волнам выполняется, как и в формулах (11,22), при соблюдении обычной для скаляроподобных амплитуд связи между коэффициентом при Pj (cos 8±) и состояниями с данными J.

Чтобы вычислить производные в формуле (IL34), введем следующие обозначения:

(11.36)(11.36)死а 一@比丁因』，а ааdRu 一剧 即，

(11.36)

(11.36)

丽=丽十丽，6 _ 86

丽=确一两.

После несложных преобразований приходим к разложению

7=4 (еР)(80 + 々(eQ) (eQ) + 马(еР) (еР) + С (eQ) (еР) + D (ее), (11.37)

гдегде

где

где

Т-А嚼+© ：）筹，

)俏+(П.38))俏+(П.38)3，=（含-謚）警+芻-з）需-К 3+倡：）］需，瓦П（*т7）寥+譬+3）雾十［伯:）Y凯需，

)俏+(П.38)

)俏+(П.38)

报4幅十^lu加 纵4 G& 卽U Ф； 7 十I阪十0同

+ （畫一謚）G2+〃+（pQ）雾十

+［（*） +隹 Q^P^^^

0=黑+ ［必2一（也3）嗡+（^）费

Отметим, нто, как и раньше, к каждой амплитуде F, G” S можно добавить константу, не меняя при этом физической стороны процесса. Это означает, что 5-волны в указанных амплитудах не имеют физического смысла. Как легко видеть, в случае амплитуд 尸 и G» это связано с тем, что для того* чтобы получить значение J = 0, для падающих или рассеянных частиц в канале t необходимо было бы иметь значение орбитального углового момента, равное —1 (точка, не имеющая физического смысла). В случае же амплитуды S точка J = 0 оказывается лишенной физического смысла, ввиду сохранения четности. Действительно, в силу закона [сохранения четности нельзя связывать состояние Jp = 0" с системой, состоящей из скаляра и вектора. Подставляя, наконец, (РА) = (QA) = 0 (равные массы), получаем

А =七 — о , 队>2 W 加2 ‘

Bi=(Bi=(ag \ dF dGjp2. ДЗД福Г卽口 I dv ' dv dv2，д , d \ dF , dG2 325隔十8山丿如十加 "如2 '/[*a2a2ag \ dF dGjp2. ДЗД福Г卽口 I dv ' dv dv2，д , d \ dF , dG2 325隔十8山丿如十加 "如2 '/[*a2a2死u死E ~死u 8闷死E бЦи^Hu 8闷死u死E ~死u 8闷死E бЦи^Hu 8闷"+("+(a aa a竭竭+ （證一謚）G + H + v署+ （vt + Q2W-乃 。=警+次黑+'（Q2戸—衿舞.+ （證一謚）G + H + v署+ （vt + Q2W-乃 。=警+次黑+'（Q2戸—衿舞.纵"^7纵"^7(11.39) )Gi +(11.39) )Gi +

Bi=(

Bi=(

ag \ dF dGjp2. ДЗД

福Г卽口 I dv ' dv dv2，

д , d \ dF , dG2 325

隔十8山丿如十加 "如2 '

/[*a2a2

ag \ dF dGjp2. ДЗД

福Г卽口 I dv ' dv dv2，

д , d \ dF , dG2 325

隔十8山丿如十加 "如2 '

/[*a2a2

死u死E ~死u 8闷死E бЦи^Hu 8闷

死u死E ~死u 8闷死E бЦи^Hu 8闷

"+(

"+(

a a

a a

竭

竭

+ （證一謚）G + H + v署+ （vt + Q2W-乃 。=警+次黑+'（Q2戸—衿舞.

+ （證一謚）G + H + v署+ （vt + Q2W-乃 。=警+次黑+'（Q2戸—衿舞.

纵

"^7

纵

"^7

(11.39) )Gi +

(11.39) )Gi +

Для изучения сверхсходящихся соотношений может оказаться удобной амплитуда вида

0'=V4+0=2中+ь + 发2p2加♦(11.40)

Пион-нуклонное рассеяние

В качестве последнего примера рассмотрим вкратце случай л^рас- сеяния. Пусть 卩小卩窑 соответствуют нуклонам, а %, ?? — пионам. В качестве инвариантов, связанных с нуклонами, можно выбрать

а<1> = 1,

a(2f %含=名：尸电卅毋《叩。(11.41)

в соответствии с формулой (11.13)..

Запишем физическую амплитуду л TV-рассеяния так:

Т=и (р2) ( ф! + X^v~- ф2) "(Р，・

Выполнив дифференцирование, получим,

(П.42)(11.43)(11.44)(П.42)(11.43)(11.44)7 =行伪2)[4 + (?0)3] и(p1), где

(П.42)

(11.43)

(11.44)

(П.42)

(11.43)

(11.44)

Мы видим, что к 屮2 можно добавить константу без каких-либо физических последствий; S-волна амплитуды(р2 не имеет физического смысла (J = 0 — бессмысленное значение). ”

Приложение III. Однородная группа Лоренца

' Здесь мы кратко напомним необходимые в данной главе элементарные введения об однородной группе Лоренца.

Начнем с трехмерной группы вращений О (3), которая является подгруппой группы Лоренца. Ее алгебра Ли определяется коммутационными соотношениями для генераторов (операторов углового момента)

，，川=2或尸，(IIL1)

где 或=(―1尸，尸 ——четность последовательности (滋)относительно последовательности (1 2 3).

Оператор Казимира J2 = (J1)2 + (戸产 + (尸尸 коммутирует с генераторами. Конечномерпые унитарные неприводимые представления этой алгебры характеризуются собственными значениями оператора Казимира J2 = =J(J + 1)? где ]——целое или полуцелое. Они соответствуют неприводимым унитарным представлениям группы SU (2) (унитарных, унимодулярных матриц 2 х 2), а для описания представлений О (3) необходимы только целые значения у. Действительно, хорошо известная реализация алгебры (IIL1) дается представлением генераторов в виде бесконечномерных матриц:

J' = Zjh3^p\ [р*/] = —№",(1П.2)

действующих в гильбертовом пространстве функций 屮(х). Такая реализация приводит только к целым значениям у.

Непрерывная однородная группа Лоренца представляет собой шестипараметрическую группу, образованную генераторами J\ К”； /г — генераторы группы вращений О (3), их алгебра дается уравнением (IIL1). Генераторы лоренцева поворота Кг соответствуют поворотам на инфинитезимальный мнимый ytoji в плоскости (胃\ ZX)z которая ортогональна плоскости двух других пространственных координат, т. е. они представляют собой генераторы бесконечно малых преобразований Лоренца. Перестановочные соотношения для них таковы:

и* 川=2或J*(Ш.З)

[/, K^ = i^Kk,(1ПЗ)

【К* K"=-Z或尸.(Ш.З")

В соотношении (III.3') выражается то обстоятельство, что К —— вектор. Перейдем к явно ковариантным обозначениям, введя антисимметричный

тензор М^, так что Мг‘ =—或丿*, М'° = К* т, е.

■Vf

- К£

—№

一箇

/ Ki

0

—J3

J2

犷=

=1 K2

J3

0

—尸

-J2

J1

0

Теперь совокупность равенств (III.3) выглядит следующим образом： [2* Л/勺=i{g^Mvo + g^M^ 一 g^Mvp -夕р〃2}.(III.4)

Злак《минус» в уравнении (Ш.З? имеет глубокий смысл. Он связан с тем, что группа Лоренца некомпактна, т. е. интеграл по инвариантной мере, взятый по всему групповому многообразию, расходится. Поясним это. Четырехмерная группа вращений О (4)——это шестипараметрическая группа, параметры которой — вещественные углы вращения, и алгебра ее генераторов отличается от алгебры группы Лоренца «только» знаком в последней формуле (Ш.3")・ Очевидно, что О (4)——компактная группа, связанная с вещественными поворотами. Группу Лоренца можно формально получить, ^сли ввести три мнимых угла (соответственно преобразованиям Лоренца по трем координатным осям); но тогда при интегрировании по углам вместо пределов ——1 и +1 кое-где появятся пределы 1 и оо, что, как уже указывалось, приведет к расходимости интеграла по инвариантной мере.

Если положить

К-Ж,(III.5)

то алгебра Лоренца формально станет идентичной алгебре группы О (4):[J* J}\^i^Jk,

и* В}\ =力曜5*,(III.6)

【加，B}] = ie^Jk.

Это, конечно, не означает, что прикосновением волшебной палочки мы некомпактную группу превратим в компактную группу。(4). Компактная группа имеет унитарные конечномерные представления (и поэтому генераторы ее представляются эрмитовыми конечномерными матрицами), а некомпактная не может иметь унитарных конечномерных Представлений- Если не заботиться об унитарностиt то благодаря соотношению (III.5)т любое представление группы О (4) дает нам представление генераторов группы Лоренца. Проблема в следующем: представим ли генератор В или К унитарными эрмитовыми матрицами? В случае конечномерных унитарных йредставлений группы О (4), которые мы исследуем, оператор В, конечно, эрмитов и, следовательно, оператор К антиэрмитов. Поэтому мы и приходим к неунитарным представлениям группы Лоренца.

Рассмотрим алгебру (IIL6). Нетрудно убедиться, что два вектора M1=4(J + B),

4

Mg =彳(J — В)

образуют две назависимые алгебры группы SU (2):

【財，м^ = 1^м^.

[Л/t M^ = i^M},(III.8)

【呢:此]=0.

Отметим, что, хотя векторы М】и М2 преобразуются независимо при преобразованиях Лоренца, оператор четности переставляет М】и М2, что видно из векторного характера величины В и аксиально-векторного характера величины J.

Величины М： и М： инвариантны относительно непрерывных преобразований Лоренца, и их собственными значениями можно характеризовать представления группы Лоренца.

Замечая, что алгебра (IIL6) изоморфна алгебре (III.8) группы SU ⑵® ® SU (2), получаем классификацию неприводимых конечномерных представлений алгебры (III.6) по собственным значениям операторов Казимира М： =/1(/1 + 1), М； = % О? + 1)，где уг и /2 —- Целые и полуцелые положительные числа. Следовательно, мы будем сопоставлять конечномерным неприводимым представлениям группы Лоренца пару целых или полуцелых* чисел (厶,/2). Такие представления неунитарны; это явствует из того, что генераторы В представляются эрмитовыми матрицами (В = М^ ——М2), а генераторы К — нет. Операция четности, однако, не может быть описана в этих представлениях (если /工 не равно 厶).Чтобы включить также и пространственную инверсию, необходимо использовать суперпозицию двух представлений 仇，/2):

(А，/2) ® 仇,Л), (Ш・9)

Наконец, вопрос о том, какие представления группы вращений содержатся в одном таком представлении, легко решить, если вспомнить, что

J =М] +М2. (ШЛО)

Согласно теореме о сложении двух угловых моментов, значения углового момента меняются от М = | 九一 爲 | до % = “ 十 %• Каждое представление группы SU (2) появляется один раз (дважды в представлениях (III.9) вследствие удвоения четности). Единственные представления, содержащие значения углового момента с одной четностью, отвечают М = О, или j； = у2. Угловые моменты, содержащиеся в таких представлениях, все имеют натуральную или ненатуральную четности. Такие представления, для которых N наверняка целые, могут быть получены из хорошо известного представления

屈呻=力叩以一力叩％ [р^ xv] = ig^v. (IIL11>

Определим, наконец^ инварианты

尸=М：十 М： = 4"(/ + В2) = ^ (J2 — К2),

G = i(M：-M：) = iJB = JK.(III.12)

Операторы 尸 и G могут быть представлены в явно ковариантной форме;

4(П1.13>

Инварианты F и G следующим образом выражаются через N и М:

F = ^[N(N + 2) + m(m/4〉

G = ZM (N + 1).

ПредставлениюУ(П1.11) соответствуют значения G = 0 и в силу уравнения (IIL14) также М = 0. Базисные функции этих представлений выражаются через полиномы Гегенбауэра [18].

Слабые и электромагнитные токи

$ & Введение

Данная глава посвящена предварительному исследованию вопрос» о роли токов в физике элементарных частиц.

Мы займемся проблемой конструирования подходящего лагранжиана^ для слабых и электромагнитных взаимодействий, а также кратко остано-- вимся на их общих свойствах, правилах отбора и т. д.

Окончательная картина, которая вырисовывается в результате такого- исследования, оказывается простой и приятной, коль скоро мы отрекаемсяг. по крайней мере в лептонном случае, от более глубокого понимания теории- Тогда нам приходится признать, что в квантовой электродинамике достигнуто мирное сосуществование теории с ее расходимостями, а в области слабых взаимодействий теоретику доступен только низший порядок теории^ возмущений. Точно так же мы не будем затрагивать и вопрос о том, что мюон ——это, по-видимому, тяжелый электрон, а промежуточный бозон, (предполагаемый переносчик слабого взаимодействия), по-видимому, отсутствует. Поскольку же при работе в низшем порядке по электромагнитной и слабой константам связи эти проблемы удается оставить в стороне, много, интересного может быть выяснено об адронном аспекте рассматриваемых, явлений. Это именно та область, где начиная с 1960 г. наблюдается действие тельный прогресс, и этому вопросу в основном и посвящена вся наша книга (и, в частности, данная глава).

Токи и заряды при лагранжевом методе

Много ценных идей, важных для дальнейшего, может дать анализ теоретико-полевых моделей. Поэтому мы кратко напомним некоторые положения лагранжева метода и с самого начала установим ряд фундаменталь^- ных соотношений для токов и их дивергенций.

(2Л>(2Л>Допустим, что система описывается лагранжевой плотностью X, которая представляет собой функцдю набора {ср} независимых полей 屮尸(七)и набор企 {5й(р} их первых производных

(2Л>

(2Л>

X =胃（｛中｝，｛a1cр｝）。

Тогда поля(рг (力)удовлетворяют уравнениям движения Эйлера — Лагранжа

* д%"回屮Г (矶* д%"回屮Г (矶az帆（重）az帆（重）(2.2>(2.2>

* д%

"回屮Г (矶

* д%

"回屮Г (矶

az帆（重）

az帆（重）

(2.2>

(2.2>

Канонически-сопряженные [импульсы определим обычным образом*

(2.3>(2.3>п"）=缶，

(2.3>

(2.3>

и, наконец, предположим, что выполняются канонические коммутационные ^соотношения г)

[фг(X, /), % (у, 2)] = 0,

[фг(X,力)，ns (у, ^)] = f6„63(x —у),(2.4)

[Пг (х,方)，ПДу, /)] =0.

Понятие тока естественным образом появляется в рамках лагранжева метода лри рассмотрении локальных инфинитезимальных калибровочных преобразований полей(р「(况).Введем набор независимых бесконечно малых функций 况,еа (况)и определим калибровочное преобразование полей

•фг (ж) -> Фг W = фг (^) — iea (ж) ^? ({ф}),(2.5)

где производится суммирование по индексу а. Такое преобразование приводит к вариации лагранжевой плотности

6胃=器阿+ 品(2.6)

Подставив в формулу (2.6) явное выражение для 6(рг, с учетом уравнений .движения (2.2), получим выражение

6* 一 总f 拜(®"卢a ⑷ + " ⑺。"{ T 点^ 碎({叫)} • (2.7)

Такая форма выражения для 6W наводит на мысль, что можно ввести набор «токов»:

尤⑺=一病严(®).(26)

Тогда выражение (2.7) может быть переписано так:

6胃=推(纪)严盟(纪)+ ea 3)/涼⑶.(2.9)

■ Следовательно, ток можно ввести также в виде

尤 3)=—学一.(2.10)

""/ea (喇

Тогда для его 4-дивергенции получим

а呻⑺=霖у・(2.11)

Формула (2.11) особенно удобна: она позволяет сразу вычислять дивергенцию токов, коль скоро известно 5胃,без какого-либо дальнейшего использования уравнений движения.

Из формулы (2.9) следует фундаментальная теорема (теорема Нётер):

• если лагранжиан инвариантен по отношению к совокупности к а ли б р ов очных преобразований с постоянными параметрами (т. е. е& не зависит от 况),то с каждым еа связан ток, дивергенция которого равна нулю:

■尹涼 3) = 0.(2.12)

Из уравнения (2.12) следует, что обобщенные «заряды»

(2a= j joW^(2.13)

：не зависят от времени. Поэтому их собственные значения — хорошие квантовые числа системы. В самом деле, если ток удовлетворяет обычным тре-

Для простоты мы говорим о полях так, как если бы они были бозонными полями. Если имеются также фермионные поля, т.о канонические коммутаторы заменяются кано- нническими антикоммутаторами и в ходе дальнейших рассуждений ничто не меняется.

бованиям на бесконечности, то

等=2 吗鲁=j #2 0书+ Vja) = j d32济洋位)，(2.14)

и, таким образом, с учетом уравнения непрерывности (2.12) имеем

零"(2.15)

Ток, удовлетворяющий уравнению непрерывности (2.12), будем называть [сохраняющимся.

Наиболее интересные случаи, которые и будут нами рассмотрены, относятся к линейным инфинитезимальным калибровочным преобразованиям, е. к преобразованиям вида

⑵(纪)-* 叫(2)= %(m)一i%(二)爲% (纪)，(2.16)

где 2% ——константы и производится суммирование по индексу s. В этом случае выражение (2.8) для тока записывается так:

抬(2)=一"悪 £ /点~^% (叫(247)

а соответствующий заряд имеет вид

Ь⑴=—i缁 j Пг(х) % ⑺ d3x.(2.18)

Согласно теореме Нетер, оператор заряда не зависит от времени, если 及一 сохраняющийся ток.

Формула (2.18), в которой заряд ① в явном виде выражается через поля и канонически сопряженные импульсы, вместе с каноническими коммутационными соотношениями (2.4) дает возможность вычислить

GG), %(х,川=_爲％区 0-(2.19)

Это — очень важное коммутационное соотношение, так как оно показывает, что & (X)есть генератор инфинитезимального калибровочного преобразования (2.16) с постоянными £&. Если рассматривать поля фг (况)как операторы в гильбертовом пространстве, то это преобразование требует введения унитарного оператора

U = exp (ieaGa)?(2.20)

где оператор G" эрмитов, если Еа (как мы и будем считать)——вещественно. Тогда

屮；(况)=exp (zeaGa)(pr (^) exp( — reaGa) = % (力)+ iea [Ga,屮尸⑶]+。(e2). (2.21)

Из преобразований (2.16) и инфинитезимальных преобразований (2.21) <с постоянными еа следует, что

[Ga, dQ)]=—2*%(况)・(2.22)

■Сравнение с (2.19) показывает, что мы можем отождествить генератор Ga, соответствующий бесконечно малому калибровочному преобразованию при постоянных ea I), с эарядом Q01 (0 [формула (2.18)].

В случае калибровочных преобразований, зависящих от х, корректным обобщением оператора (2.20) является оператор U = exp [iG (右)],который дает

[G (е), фг ®1 = —еа (土)瑤％® ・

Тогда из локальных коммутационных соотношений

(7о (х, £), Фг (У, 0]=—^<ps (х, i)63 (х—у)

мы видим, что в качестве G(8)можно взять

G(8)= ( % (土)冷⑺ d3x.

При рассмотрении нескольких инфинитезимальных преобразований,, не зависящих от 力,фундаментальную роль играют коммутаторы между генераторами, т. е. между зарядами 0a 〃)・ Используя явный вид зарядов- (2,18) и канонические] коммутационные правила (2.4), легко получить

[Qa G), Q° ⑼=一力(2雜-to J Hr ⑺ G Q)网. (2.23>

Величина в правой части равенства (2.23) обнаруживает замечательное- сходство с зарядом [формула (2.18)], но приводится к нему только в том. случае, если константы 2^, содержащиеся в калибровочных преобразовав ниях (2.16), удовлетворяют соотношению

尚爲一爲肩=e記爲，(2.24>

где С^° — произвольные константы. Если соотношение (2,24) вьшолняетсяг то равенство (2.23) имеет вид

*G(t), Q%)]=%BQV(£),(2.25》

е. заряды Qa образуют замкнутую алгебру Ли х).

Важно уяснить себе, что в этом случае константы %* можно рассматривать как rs-элементы матрицы £“ в TV-мерном пространстве [г, 5 = 1, . . ., где N ——число независимых полей, на которые действует калибровочное преобразование (2.16)]:

l^(La)rs.(2.26》

В таких обозначениях соотношение (2.24) имеет вид

[17,乙В]=嘴U,(2.27>

выражая то обстоятельство, что матрицы £& являются представлением размерности N для генераторов алгебры Ли (2.25). Пользуясь обозначением (2.26), можем переписать калибровочное преобразование (2.16), для постоянных еа в более компактной форме

фг (况)f фг (力)=exp (―tEaZa) фг ⑺.(2.28)j

Все сказанное нами относительно формулы (2.24) имеет очень важное значение. Мы показали, что инвариантность лагранжиана отновительно калибр ровочных преобразований, связанных с группой унитарных симметрий^ позволяет ввести набор сохраняющихся зарядов, которые являются гене* раторами алгебры Ли этой группы.

§ 2・ Лептонные токи

Мы отводим целый параграф лептонным токам по двум причинам. Во-первых, лептонные токи с их специфическими свойствами идеально подходят для роли пробных тел при изучении электромагнитных и слабых взаимодействий адронов. Другими словами, если пренебречь высшими, порядками по электромагнитной и слабой константам связи, то лептонные- токи действуют как внешние поля, которые удобно использовать для изучения адронной вершины, и действительно, долгое время теория слабых взаимодействий была теорией полулептонных процессов, подобных p-распаду 2).

工) При этом постоянные С；° уже не могут быть произвольными — они должны удовлетворять коммутационным соотношениям, аналогичным (2.25), следующим из тожде* ства Якоби для — Прим. ред.

Хотя первые намеки на несохранение четности были получены из нелептошых распадов, таких, как К 2m

Таким образом, сначала нужно изучить простейший из участвующих во взаимодействии токов,

Во-вторых, поскольку лептоны можно рассматривать как «голые» ■барионы, мы можем попытаться отделить те свойства, которые фундаментальны и остаются неизменными при включении сильных взаимодействий, от тех свойств, которые при этом изменяются. В частности, можно задаться вопросом, существуют ли универсальные характеристики лептонов и барионов, которые сохранялись бы в любой более или менее реальной теории.

Электромагнитный лагранжиан и свойства инвариантности

Мы начнем с электромагнитного лептонного тока, скажем электронного тгока. Как хорошо известно, электромагнитный ток естественным образом вводится в выражении для взаимодействия заряженной частицы с фотонами. Обычный способ построения такого выражения основан на градиентной инвариантности фотонного поля 淡貝(х). Она состоит в том, что физические следствия теории не изменятся, если вместо 诙貝(ж) взять 诙貝(х) + 5це (/)・ •Следовательно, если мы имеем лагранжиан, то правило таково: электромагнитное взаимодействие вводится заменой 3以一> 0觊干 Ze 淡貝(七)для каждой заряженной частицы.

В частности, в случае свободного электрона, описываемого лагранжевой плотностью

"® =4■可(办护一m)中+九e"(2.29)

подстановка 3腼 f @从 ——le^^ вводит взаимодействие 工)

^эл.-и =师丫设屮淡"=ej^.(2.30)

Указанное правило можно назвать «минимальным» с точки зрения требований простоты 2).

Нам хотелось бы особенно подчеркнуть то обстоятельство, что дивергенция тока 7М = ЗУи屮 равна нулю:

尹九(方) = 0・(2.31)

Из уравнения непрерывности (2.31) вытекает закон сохранения оператора -электрического заряда 3)

Q= j d旣％(X,小(2.32)

-а именно

挙=0，(2.33)

◎ели, конечно, /м удовлетворяет обычным требованиям на бесконечности.

Мы принимаем е = + (4л/137)'/2・

а) Пользуясь, например, неоднозначностью в определении первоначальной плотно

Уравнение (2.31) мы будем называть «законом сохранения электромагнитного тока». В нашем примере условие (2.31) прямо следует из уравнений движения для 屮，屮：

研切ц, + m干=6方?卩*"(2.3分

В полной аналогии со случаем классической электродинамики, где уравнение- непрерывности является следствием уравнений Максвелла для Е и Н. Полезно, однако, вывести его независимым и более общим методом, основываясь на свойствах инвариантности теории.

Применим общие рассуждения., проведенные в § 1, п. 1, к простому случаю фермиона, описываемого лагранжевой плотностью (2.29). Лагранжиан &, очевидно, инвариантен относительно калибровочных преобразований с постоянным параметром с:屮一> exp (.—ie)屮，屮 f exp (is)屮，а при e,. зависящем от z, находим

=切以屮(力(2.35)

и, следовательно, соответствующий ток есть

九(£)= W(£)Y評(к), причем 护九(£)= 0・(2.36》

Таким образом, ток, связанный с 淡出 в электромагнитном взаимодейст^ вии (2.30), тождествен току, порожденному локальными фазовыми преобразованиями. Кроме того, отсюда следует, что замена д^ -> д^ — Хе淡丛 гарантирует инвариантность полного лагранжиана £。+ ^Эл.-м при одновременном преобразовании

2 ⑺ f exp [ — iee ⑺]屮(ат),

锵 З)+* )

Нужно иметь в виду, однако, что возможность определения (сохраняющегося) тока посредством калибровочных преобразований не зависит от существования векторной частицы, взаимодействующей с этим током и обладающей нужными трансформационными свойствами. В самом деле, существование сохраняющегося тока есть проявление инвариантности лагранжиана, а взаимодействие с физической частицей ——это дополнительное свойство, которое может привести к следствиям динамического характера, таким, как низкоэнергетические теоремы для физических амплитуд. К этому вопросу мы еще вернемся.

Полный лептонный лагранжиан

Теперь рассмотрим все лептоны и их полный лагранжиан. В настоящее время известно 4 лептона: р,-, е~, vg, ve, а также соответствующие анти-

частицы |л+, е+,屮出,

Полный лагранжиан, который можно написать с учетом электромагнитных и слабых взаимодействий, имеет вид )

£ = £> + %эл.-м + %сла6,

% = 4'｛口 8°—人)N + £ (i Y@ —乙)e 十加 Y @4 + 脸丫 dv^ + э.с,,(2.38)

^эл.-м = е ｛му 屮 + еу^е｝院久，

где массы нейтрино положены равными нулю. Что же касается слабых, взаимодействий, то, исходя из имеющейся экспериментальной информации»

мы приходим к следующей структуре для ^СЛаб：

^слаб = 一證点(0)产(今(2.39).

Здесь “ (к) — так называемый слабый лептонный ток, который определяется следующим образом:

沙(ж) =7 (н) Y* (1 — 丫5) Ve ⑺ + 彳⑺■/ « —們 Vp.⑶=点 кт — %с = 1у~^А- (2.40)

Различные члены лагранжйана 5?слаб описывают, кроме ^-распада (卩一 -> ©- + и® + ”％“+-> е+ + ve + vg), также индуцируемые слабым взаимодействием процессы рассеяния р," + ve е~ + vu, е~ + 婚伫一> е~ 十 ve и т. д. (с той же самой константой связи).

Ниже мы рассмотрим по отдельности те свойства полного эффективного лагранжиана (2.38), которые имеют прямое отношение к поставленным- нами целям.

а. Сохранение лептонных чисел

Лагранжиан (2.38), очевидно, инвариантен относительно двух неза^ висимых калибровочных преобразований с постоянными параметрами:

(吋)eхр( 一江)(2.41) I Vu (x) Jn ' I ® J I Ve ⑶ J L ve (x) J、 ，

{叫)exp(-ze) { e(：)J .(2.42)

Применяя аппарат, развитый в § 1, п. 1 для общего локального преобразования, можно показать, что из этих свойств инвариантности лагранжиана Z следует существование двух сохраняющихся векторных токов:

7严=口 у屮 + %Yx/Vu(2.43)

我)=М*е + vLvxve.(2.44)

Соответствующие сохраняющиеся заряды — это так называемые мюонные и электронные числа

Q®= [ ЛИQ)d30 = Nu- + N (%『+ %彳)，

；"(2・45>

Q9 = J Г^(^^х = Ус- + ^е-^+^.

Поэтому лептонам можно приписать два хороших квантовых числа д("),严： для е", ve,

+ ~ нуль в иных случаях; для с для ц", v^,

. ~ нуль в иных случаях. ДЛЯ Р，+, Mx,"

Важно уяснить себе ту «кинематическую» роль, которую играют введенные выше заряды ири классификации частиц. Конечно, сохранение мюонного и электронного зарядов приводит к выполнению правил отбора Ад(^)= =А严=0, которые, в частности, запрещают переход 卩 f е + R что могло бы быть легко осуществлено введением в лагранжиан взаимодействия типа Паули feauvp,F^v..

С・卩—е-универсалъность

Мюон и электрон удивительно (и загадочно) сходны во всех отношениях, зсроме массы, и это выражено в самом лагражиане (2.38), так как по построению он инвариантен при замене ')

N —4

(2.47)

加n一 ?»е.

В частности, мюон и электрон входят в лагранжиан слабого взаимодей- «ствия абсолютно симметрично и характеризуются одной и той же константой «вязи. Благодаря этому однозначно определяется, например, теоретическое отношение вероятностей распадов 冗貝？/11^, которое дается простой формулой {66, стр. 469; 69, стр. 271]

(0,965) ^1,23-10-4.(0,965) ^1,23-10-4.(2.48)(2.48)[(fCfeyJ =加^ (m^—ff^)2 [阮二iEJ 一福* (吗:一叫1)2

(0,965) ^1,23-10-4.

(0,965) ^1,23-10-4.

(2.48)

(2.48)

Множитель 0,965 связан с электромагнитными поправками. Эксперимен- Т'альнбе же значение [6 7] равно (1,247 土 0,028) «10-4. Аналогичным образом 渺一е-универсальность подтверждается вычислениями гиромагнитного отношения мюона и электрона, основанными на обычном выражении для взаимодействия электрон-позитронного и фотонного полей.

«• Специфические свойства лагранжиана слабых взаимодействий

Теперь кратко остановимся на специфических свойствах лагранжиана ^слаб [формулы (2.39) и (2.40)L Ограничения, свойственные локальной -связи (2_39) (например, ее несоответствие с требованиями унитарности при высоких энергиях), хорошо известны. Столь же хорошо известна и гипотеза о существовании промежуточного бозона). Нашей же задачей является исследование слабой вершины адрона, и в этом случае вполне допустимо предположение о точечной структуре лептонных токов, коль скоро высшими порядками по слабым взаимодействиям в дальнейшем мы всегда будем пренебрегать,

Константу связи G можно найти путем анализа распада 卩-f е~ + Ч- vg + ve. После учета радиационных поправок [68] получаем [69, стр. 230] 咿『=需「一备(炉一学)](249)

•и, взяв [0]

{^}эксп^ (2,1983 + 0,0008)• 10-6 с,.(2.50)

■находим

G = (1,4350 士 0,0011)-10-49 эрг -см3.(2.51)

В естественных единицах (й = с = 1)

G ^ 10-6^,(2.5Г)

причем 驱n — масса ,нуклона.

Далее, лагранжиан ^СЛаб не инвариантен относительно пространственной инверсии. При этом нарушение четности максимально в том смысле, что у* н у*?5 входят в ZcjiaO с одинаковым весом. Но если взглянуть с другой точки зрения, то можно сразу же отметить интересную особенность: поскольку лептонный ток имеет вид lyK (1 — уб) v, (I = 卩,е), нейтрино всегда появ-

ляются в комбинации vL (л：) =工/分(1 —— у5) v (%). На этом основана «двухкомпонентная» теория нейтрино, которая утверждает, что полный лагранжиан зависи! только от vL ⑺ = % (1 — yj v ⑺ (т. e. у51VL = —vL), а не от 、R (工)=% (1 + Vs) V(Z).

Поэтому нейтрино оказывается левовинтовой частицей, а антинейтрино —— правовинтовой ')• Подчеркнем, что, строго говоря, это относится лишь к нейтрино с нулевыми массами, поскольку только тогда X будет инвариаытом относительно подстановки и (к) f—丫卢(％) (75~инваРиантность) • Данное требование инвариантности позволяет нам также исключить и возмо?кную в принципе связь нейтрино с электромагиитным полем: в самом деле, взаимодействие va^^yF^ меняет свой знак при замене и f —y6v.

Сама по себе теория двухкомпонентного нейтрино еще не приводит к чистой V ■ А-связи, поскольку с этой теорией совместима и S ——Р-ком- бинация / (%) (1 ——у5) V； (%) (Z = у, е). Но если потребовать дополнитсльно, чтобы другие лептоны, по крайней мере в слабых взаимодействиях, также описывались комбинацией 2七 Q) = (1 — yj I (力， то S — P-комбинация будет исключена, ибо в этом случае

% 口 + Тб) (1 — Ys) *匕=О, тогда как.

% (1 + Тв) Y* (1 — Ys) vz = 2也(1 — Ys) Vz.

Заметим, что полный лагранжиан не инвариантен относительно замены Z—> —y6i из-за массовых членов. Таким образом, например, левая поляризация электрона не будет полной, а <ап) = —и!с.

Слабые лептонные токи

Проведенный нами анализ свойств лептонного лагранжиана позволил ввести с о хр ан яющиеся лептонные токи (2.43) и (2.44) (плюс, естественпо, электромагнитный ток). Но это не те токи, которые используются при описании слабого взаимодействия лептонов [формула (2.40)], и нам нужно сейчас выяснить, при каких условиях ток Z* (%) может сохраняться, а лагранжиан——обнаруживать признаки дополнительной, хотя бы и приближенной, симметрии.'

С этой целью удобно ввести формализм, подобный изоспицовому, определив полные электронные и мюонные спиноры:

5"⑺=(f；l)卜’ (2・52)

Пользуясь стандартными матрицами Паули та, лептонный лагранжиан можно переписать в виде (электромагнитную часть мы будем опускать)

?= / [4■(乎^a瞰)+З.e.)—恤部岑

Z=|i, е

一券 2T%(lf )a 叫骨” (1一暇)4联')『•(2.53)

т) Доказательство этого хорoino известно, и мы приведем его для полноты изложения. Уравнение движения для свободного нейтрино имеет вид

T卩(Р"/e)"L三(Y0一Y口)"l=0， n = j^.•(I)

В то же время равенство 丫轟屮工=—vb и уравнение (I) можно переписать в виде

—YoYnY5vL = vIj.(II)

гт/(ГП О \/тт.

Поскольку ясе в нашем представлении 丫0丫11丫5=(八 I , из уравнения (II) следует, что

(on) Vjt,= — vb.(III).

Сохраняющиеся лептонные токи, определенные формулами (2.43) и (2.44), 卅=可％0"(2『，е),(2.54)

являются скалярами в изоспиновом лептонном пространстве, которое мы только что ввели. Лептонные же токи, используемые при описании слабых взаимодействий, т. е, векторные токи

陳=2可%产吸)(2.55>

и аксиальные токи

阪=2州％W±0')(2.56).

ведут себя как члены регулярного представленйя лептонной изоспиновой группы i)・

Такие токи в обобщенном виде

'_4(2・57>

2%= £ 0'%Y5 ^声邮"

не сохраняются. Дело в том, что массовый член и часть лагранжиана (2.53) г описывающая слабое взаимодействие, выделяют определенные направления в лептонном изоспиновом пространстве. Это значит, что лагранжиан (2.53) не инвариантен при четных и нечетных преобразованиях, которые переставляют лептоны и порождаются зарядами

Q^ =』[审％^产哦)d3"，

!(2.58)

<22=2 J 可’%Y5}镉0%3?

в соответствии с известными законами преобразования

叩')^ехр(迎aQ^^^exp (-也aQ$) = exp (—毘а^в) wg(2.59)

0‘)f exp МЧ) T(!)exp(-jea^) = exp(-j8aA т叫§) #支(2.59'),

Поэтому заряды Q^ и Q玄 постоянны только в пределе при те = 0,驱丛=О и G = 6 Иными словами, токи /у% и 2胃常 лишь «частично сохраняются» в том смысле, что их расходимости пропорциональны те, т% или G.

Частичное сохранение слабых лептонных токов можно проиллюстрировать на примере распадов л: т е”, л: f p,v, которые запрещены, если положить me, mu равными нулю. В самом деле, в низшем порядке по G амплитуда распада дается соотношением

М(п—>2 +W ：ос G〈Z” 也10〉〈01尸|冗〉64(Рл — Pi — Pg), (2.60} где J)——адронный ток 2). Из соображений инвариантности можно написать

81J” п〉=紂池=t/л (Pz + р^.(2.61)

£) Такое представление обычно называют присоединенным (см., например, [580]).— HpuMi pe9i

2) Как будет показано далее в книге, эффективный латранясмав для лептонвых рас- падоЬ адронов имеет ток-токовую структуру 2儿小

Мы видим, что интересующий нас матричный элемент пропорционален (М \Dt (0) I 0〉，где

0(") = @『⑺=列冷(")-公族(")•(2.62)

Тогда из уравнения Дирака следует, что

<Zv； I Dt (0)| 0) ос ше.(2.63)

Это означает, что в пределе при 皿=0 переход запрещен, т. е. 2 = 0. Поскольку такое свойство сохранения в данном случае равнозначно 75-инвариантности, Z f ——y5Z, соотношение (2.63) говорит, что в силу закона сохранения углового момента пион не может' распадаться на левовинтовой лептон и правовинтовое нейтрино v^

Поэтому результат (2.63) можно рассматривать как очень простое проявление приближенной киральной симметрии лептонов.

Алгебра слабых лептонных зарядов

Посмотрим теперь, каковы важнейшие свойства токов и зарядов, определенных выражениями (2.57) и (2.58). Сначала заметам, что левые лептонные заряды, фигурирующие в слабых взаимодействиях,

<Й=4"(。^ —Q笛，(2.64)

подчиняются SU (2)-алгебре:

口弘力 <2i(i)] = teapv(2L(Z)(2.65)

(£аВу — антисимметричный тензор Леви-Чивиты). При переходе к сферическим компонентам Q充=Q£ 士 ZQW коммутационные соотношения приобретают вид

呼 Q£TQ^(2.66)

[Q^, QH = ±Q匕

Заметим, что нейтральная величина

у нас появляется автоматически, хотя ее и не было в гамильтониане слабого взаимодействия (отсутствие слабых нейтральных токов). Иначе говоря, константа связи в члене 旦2^九2沪 равна нулю.

Более того, и это очень важно, данная алгебраическая структура не зависит от инвариантности лагранжиана X относительно преобразований, порон<даемых зарядами QZ. Действительно, заряды Q^ подчиняются коммутационным соотношениям (2.65) независимо то того, сохраняются опи или нет.

Кроме левых зарядов, использованных при построении слабого гамильтониана, представляет интерес ввести и правые заряды

<2S=|(^v + <2a).必 67)

Это соответствует возможности рассматривать отдельно векторные и аксиально-векторные величины. Тогда

该，Ql] = i^Ql,

[<2r » <2я1 = ^®«&v<2h,(2,68)

[QZQ%1 = O・

Следовательно, заряды QE, Qr подчиняются алгебре двух коммутйрующих SU (2)-групп, т. е. SU (2) ® SU (2)-алгебре.

Полная алгебра эквивалентна следующей системе коммутационных соотношений х):

iQv, <2vl = tSaPv^V?

[Qv, Q^] = i^Q^(2.69)

[Qai ^lj = ^aPv^'

Может показаться, что все изложенное, хотя и правильно, носит несколько формальный характер, так как приведенные результаты немедленно следуют из явного вида лептонного лагранжиана, но читателю следует иметь их в виду как корректные посылки для дальнейших обобщений.

Адронные токи 伙 кварковая модель

L Взаимодействие адронов и лептонов

Теория, изложенная в предыдущем параграфе, вводит в круг проблем, касающихся только лептонов: это, во-первых, случай квантовой электродинамики, рассматриваемой как теория фотонов и электронов (и мюонов), а во-вторых, слабые взаимодействия с участием нейтрино (например, ц-распад).

В то же время в первой главе книги были изложены элементы феноменологического описания чисто адронных взаимодействий, основанного на дисперсионной теории и теории полюсов Редже.

Это естественным образом подводит нас к главной проблеме настоящей книги ——к исследованию взаимодействия между адронами и лептонами. Как будет показано позднее, это взаимодействие хорошо описывается эффективным лагранжианом типа ток X ток

Zb3= — pg Jц2“ + з. с.,(2.70)

где J^ ——адронный ток, причем априорц не исключается, что взаимодействие осуществляется промежуточным бозоном. Масса такого бозона, по-видимому, велика (все экспериментальные данные указывают на это). Пока мы имеем дело с малыми передаваемыми импульсами, эффекты, связанные с промежуточным бозоном, неощутимы, а поправками высоких порядков, которые должны быть значительными на малых расстояниях, можно пренебречь.

Конечно, при исследовании взаимодействия между адронами и лептонами мы не будем подходить одинаково к тем и другим. Это объясняется тем; что лептоны участвуют только в электромагнитных и слабых взаимодействиях, которые с точностью до нескольких процентов определяются членами низшего порядка теории возмущений. Таким образом, электронное, мюонное и нейтринное поля в первом приближении можно рассматривать

J) При проверке простых одновременных коммутаторов типа (2.68) можно пользоваться следующей формулой: из выражения для канонического антикоммутатора

{破(X, Of 屮6 (У，0} = 6г. »63(х—У) сразу ясе получаем

j d®d3y [屮十(芻 t) Гтаф (х, 0» 屮*仇 0 ГЧ₽1р (у, /)1 =

«у J d3叫％) g Г/] {А т₽} + {Г,『“产，М)2(叫

где Г—любая дираковская матрица.-

как свободные поля, и их матричные элементы вычисляются элементарно. Поэтому (если забыть о проблеме поправок более высокого порядка) часть нашей задачи, связанная с лептонами, практически решена, ибо в предыдущих параграфах даются точные выражения для лептонных токов.

Вся задача сводится к адронным токам. Даже если бы мы могли выразить их через фундаментальные поля, например в кварковой модели, рассматриваемой в следующем пункте, это не очень много дало бы нам, так как структура кваркового поля совершенно отлична от структуры свободных полей.

Но недавно было выяснено (и в этом важнейшее достин<ение алгебры токов), что такие явления молено адекватно описать, исходя из общих свойств токов, независимо от того, как эти токи выражаются через поля. Поскольку понятие тока тесно связано со свойствами инвариантности теории, мы отведем несколько следующих разделов кварковой модели, которая позволяет исследовать свойства симметрии сильных взаимодействий и, кроме тот。， просто и ярко проиллюстрировать способ явного построения адронных токов.

2・ Кварковая модель

Симметрия SU (3) как симметрия сильных взаимодействий

Поскольку нам предстоит теперь ввести адронные токи, напомним сначала некоторые основные свойства сильных взаимодействий. Прежде всего, сильные взаимодействия сохраняют изоспин /, его третью компоненту /3 и гиперзаряд У, барионное число В, а следовательно, и странность S, Поэтому мы можем классифицировать адронные состояния, приписывая им эти квантовые числа. Зарядовая независимость позволяет использовать изоспин как индекс неприводимого представления группы SU (2); тогда частицы с разными зарядами объединяются вместе как одинаковые с точки зрения сильных взаимодействий.

Далее, сильные взаимодействия обнаруживают приближенную симметрию, выражающуюся в возможности сгруппировать вместе частицы с разной странностью. Хотя частицы, которые мы хотим объединить, довольно сильно различаются по массе, некоторые приближенные следствия такой симметрии проявляются весьма недвусмысленно. Это наводит на мысль о разделении сильных взаимодействий на «сверхсильные» ц «умеренно сильные». Сверхсильные взаимодействия были бы инвариантными относительно преобразований, порождаемых внутренней группой симметрии, которая шире, чем изоспиновая группа SU (2), а умеренно сильные взаимодействия были бы ответственны за нарушение этой симметрии.

Поскольку мы имеем два аддитивных квантовых числа /3 и У, нам нужна группа ранга 2. В этом смысле наиболее подходящей оказалась группа SU (3), которая в настоящее время и рассматривается обычно как приближенная группа симметрии сильных взаимодействий. ,

При классификации адронов по представлениям группы SU (3) в один SU (З)-супермультиплет объединяются SU (2)-мультиплеты, отличающиеся значениями гиперзаряда. Например, пионы помещаются в тот же самый псевдоскалярный октет, что и Я, Я, тр Векторые мезоны р, Я*, <о, <р заполняют другой октет и связанный с ним синглет. Барионы с квантовыми числами Jp = 1/2 + хорошо размещаются в октетном представлении, которое содержит нуклон и А-, S-, Е-гипероны, тогда как адроны с Jp = 3/2t, т. е. N*, У*, Е* и принадлежат 10-мерному представлению (декаплету). Такая классификация хорошо подтверждается экспериментом. Для состояний с большими массами имеются указания на существование мезонных нонетов (октет и связанный с.ним синглет) с квантовыми числами Jp = =1% 2+ и октета барионов 1%~. Для этих состояний общая картина еще

не совсем яснаг но есть все основания думать, что SU (З)-классификация не сказала своего последнего слова.

В приложении I мы приводим сведения о группе SU (3), которые потребуются при чтении книги 工).

Кеарки )

Успех SU (З)-симметрии в объяснении и описании внутренних свойств элементарных частиц заставил многих физиков задуматься: не существуют ли частицы, соответствующие простейшему представлению этой группы (триплету) з)?

Все высшие представления группы SU (3) можно получить путем разложения прямого произведения определенного числа триплетов. Отсюда сама собой напрашивается мысль о составной модели элементарных частиц, базирующейся на фундаментальном триплете частиц со спином г/2 и с дробными зарядами, т. е. на кварках. Конечно, здесь мы имеем тесную аналогию с ядерной физикой, где успех группы SU (2) связан с тем, что ядра можно рассматривать как составные частицы, построенные из чданов фундаментального дублета р, «.

Конкретнее, все известные нам барионы (подобно нуклону, 33-резонансу и т. д.) должны быть сконструированы из трех кварков, а все известные мезоны должны составляться из пар кварк — антикварк.

В известном смысле кварковая модель — это современный вариант модели Сакаты [75], в которой фундаментальными частицами были протон, нейтрон и Л-гиперон. Итак, вводятся три фундаментальных кварка gr, q^ 9? со спином г/2 и с квантовыми числами, приведенными ниже в таблице ).

Кваркgiq?Q3

Барионное число В

Гиперзаряд У

Изоспин /

Третья компонента изоспина /3

Заряд Q

Система кварк ——антикварк (qq) имеет нулевое барионное число и должна соответствовать мезонам; их относят к ^^З^синглетам и октетам,

лоскольку.

(弦)今 3 ㊁ 3* = 1 ф 8.

Барионы же должны быть составлены из трех кварков, и, следовательно, они принадлежат представлениям 1Т 8 или 10 группы SU (3):

(9四)今 3 <8)3®3 = 1®8®8® 10.

Частицы, которые имеют квантовые числа, не согласующиеся с приведенной выше классификацией (они соответствовали бы комбинации более чем трех кварков), называются «экзотическими». До настоящего времени нет каких-либо ясных экспериментальных данных о их существовании (если не считать, конечно, ядерных изобар).

Даже краткий перечень успехов кварковой модели в систематике барионных и мезонных состояний явно выходит за рамки нашей книги. Мы будем пользоваться кварковой схемой как простейшим SU (З)-представдением и как моделью при построении особенно простых выражений для адронных токов.

SU (3) -токи и заряды.

Введем кварковое поле q как трехкомпонентный вектор группы SU (3), каждая компонента которого является, конечно, обычным четырехкомпонентным спинором группы Лоренца. Лагранжиан записывается в виде

£ = £о + ^вз,“(2.71)

где % — лагранжиан свободных кварков:

我=^[0(冠-")0+ 3.&].(2.72)

В выражении (2.72) величину М следует рассматривать как массовую матрицу в трехмерном пространстве с элементами М^ = mfiiK (если структура рассматриваемого члена в кварковом пространстве специально не определена, то всегда будет подразумеваться наличие единичного оператора).

Пользуясь аппаратом, развитым в § 1, п. 1, нетрудно убедиться, что свободный лагранжиан инвариантен относительно калибровочного преоб

разования 1-го рода g т exp (—ie) g,(2.73)

связанного с сохраняющимся током

匕1 =加国・'(2.74)

Таким образом, преобразование (2.73) порождается зарядом

Qb = j 匕⑺ Hr =熊 一 t，(2.75)

который не зцвисит от времени, что гарантирует сохранение кваркового (или барионного) числа. Кварковое поле преобразуется так:

q (к) f exp (i&QB) 0 (%) exp ( — ieQB) = exp (— ie) g (%),(2.76)

откуда следуют коммутационные соотношения

[Qe，柒(x)l = —6 Q)・(2.77)

Если массы всех кварков одинаковы, то член Z。инвариантен также относительно общего калибровочного SU (З)-преобразования:

gt т ехр ( —Х%^ 俨)勿=(1 一 记3^九“)加 9к + °(£а£а‘)，(2.78)

где 入° — матрицы Гелл-Манна (приложение I). В этом случае имеется восемь сохраняющихся векторных токов:'

.建(上)=^-而 14 yg，(2・79)

尹盃g) = 0.

Генераторами преобразования (2.78), определенными соотношением

exp (ieaQa) qk exp (— isaQa) = exp ( — геа^■九°) g^,(2.80)

являются восемь не зависящих от времени скалярных зарядов

Q。= j d^xV^ (%) = J @3也十⑺ I 九a§ (办(2.81)

Поэтому в соответствии с общими методами § 1, п. 1 мы имеем

bi(2)1 ==-(4 Ха)ы 史(z).(2.82)

Используя точное выражение для зарядов (2.81), можно сразу же убедиться в справедливости соотношения (2.82), если принять также во внимание канонические антикоммутационные соотношения для кварковых полей:

{幻(X, f), q} (У, 0} = {或(х, t), g貿у, 0} = 0,

• /也貿х"), g,(y, %)} = 6“6з(х —у).')

Группа калибровочных SU (З)-преобразований, конечно, не является абелевой. Коммутационные соотношения для Q& легко можно установить, исходя из выражения (2.81), приведенных выше соотношений (2.83) и коммутационных соотношений для Х-матриц:

[Ха, k₽] = 2z/a₽vr.(2.84)

Как и следовало ожидать, мы получаем

[Qa, Q^ = ifaBvQ\(2.85)

т・ е. заряды Qa удовлетворяют алгебре SU (3).

Если массы кварков неодинаковы, то массовый член в свободном лагранжиане нарушает симметрию. Вариация лагранжиана при калибровочном преобразовании (2.78) дается выражением

‘ ；，б^о = ^ W + ea3uV^ (х).[(2.86)

Явнйя форма [токов V^ (х) остается прежней:

―V^{x) = q{x)^^q{x)\(2.87)

но они теперь не сохраняются, так как их расходимости отличны от нуля:

.加：噌万⑺[此戸a]g(z).(2.88)

Используя равенство M^h = ттг^^, перепишем уравнение (2.88) следующим образом:

./吸(z) =运(忆一砧 传九)拙.(2.89)

В уравнении (2.89) находит выражение то обстоятельство, что несохранение токов ——прямое следствие различия кварков по массам.

Итак, в данном случае плотность лагранжиана не инвариантна относительно калибровочного SU (З)-преобразования (2.78), т. е. рассматриваемая система не обладает точной SU (З)-симметрией. Но такие преобразования позволяют нам определить восемь векторных SU (З)-токов (2.87) и соответствующие заряды

Q” (/) = J ~3犷卩导@") = J 炉犷炉(х, Е) у ^q (х, /).(2.90)

Отметим, что, хотя эти заряды не являются более константами движения, коммутационные соотношения при равных временах

[Q%),q0(力=加做飞)(2.91)

не зависят от присутствия в лагранжиане члена, нарушающего симметрию. Другими словами, алгебра SU (3), порождаемая зарядами Qa (Е), имеет место независимо от сохранения зарядов и справедливости уравнения непрерывности для токов.

До сих пор мы рассматривали токи и заряды для свободных нолей. Но существует много видов взаимодействий, которые не изменяют предыдущих результатов. К ним относится «глюонное» взаимодействие, которое описывается лагранжианом

%э= -g 眾位)hgQ)G*/),(2.92)

где Gm (х) — скалярное относительно группы SU (3) поле. Поскольку 2口$ не содержит связей с производными, выражение для токов остается прежним, но лагранжиан Нв§ инвариантен относительно группы преобразований (2.78), а поэтому не изменяются и дивергенции токов.

е. Аксиальные токи и заряды

Перейдем теперь к аксиальным токам. В рамках кварковой модели

они трактуются совершенно аналогично векторным токам.

Рассмотрим действие на кварковое поле преобразования

д(2)f д' (z) = exp (— iea-l 九々5) q (z),(2.93>

которое порождается восемью не сохраняющими четность генераторами Q”")， определяющил!ися соотношением

exp (teaQa) q{x) exp (—论№) = exp (— zea у 九"у, q (z).(2.94)

Как следствие,

口a, %(» = 一 传九工 Y5g 位).(2.95)

Применяя стандартную процедуру к лагранжиану (2*72), мы находим выражения для восьми аксиальных токов:

К(Z)=7 ⑺也禽 4 产 0(2)(2.96)

и связанных с вими «аксиальных» зарядов:

0° ⑴==j d%4不(X, /)= j d3xqi (x, /)壮 ^ %* 9 (x, «)•(2.97)

Нетрудно убедиться, что при таком определении зарядов уравнение (2.96) действительно ььшолняется.

Токи (2.96) не сохраняются, и их дивергенции таковы:

a"£ (a.)=iq(x) ^М, 4•九*}也9 (z) = i 质(2)(皿+叫)信呼)小5gA ⑺..(2.98>

Неинвариантность лагранжиана относительно преобразований (2.93) связана исключительно с присутствием массового члена. Аксиальные токи (2.96) «охранялись бы только в пределе нулевой массы кварков.

Подчеркиваем, что, будучи псевдоскалярными величинами, аксиальные заряды Qa не порождают замкнутой алгебры. Коммутационные соотношения для аксиальных зарядов, которые могут быть выведены из их явных выражений, таковы:

口 а«),@%)] = %МВ),(2.99)

где Qy «)——операторы «векторных» зарядов, введенных ранее [формула (2.90)]. Если же мы рассмотрим расширенную систему коммутаторов, взяв как аксиальные, так и векторные заряды, то будем иметь:

1<2a(0- <2₽(0] = ^<2?(0,

[<Г() 0%)】=炉期0(力，(2.100)

[У⑴，0В(力=%依依)，

т« е. ^ и(2а вместе порождают замкнутую алгебру.

.Алгебра, определяющаяся коммутационными соотношениями (2.100), изоморфна алгебре SU (3) 0 SU (3). В самом деле, если ввести для кварковых полей киральные преобразования

(2.101)(2.101)(2402)(2402)g f exp (抬aQZ) g exp (— геа<2?) = exp ( — iea ^”. j) g,g->exp *£aQ^) g exp (—毘aQ^) = exp (— i% 】W~V)弘

(2.101)

(2.101)

(2402)

(2402)

. где 色 班 Q由一генераторы вида

Q弘力)=4 {Q*(0- ?° ⑴} = j d3±gt (z)当 Ц^ g (z),Q^ (0= 4 {Qa ⑴ + Qa ⑴} = j dzgt ⑺岑 ±^ q (Z),

получаем две системы две взаимно коммуткт-получаем две системы две взаимно коммуткт-(2.403)(2.403)то с учетом коммутационных соотношений (2.100) карильных генераторов (2.102), которые образуют рующие SU (З)-алгебры:

получаем две системы две взаимно коммуткт-

получаем две системы две взаимно коммуткт-

(2.403)

(2.403)

[Ql, Ql] = ifa^Ql,[Qr9 ^11 = ifa^QR,

[Ql, Q21 = 0・

Таким образом, киральные заряды подчиняются алгебре SU (3) ® SU (3). О системе коммутационных соотношений (2.100) также обычно говорят как об. алгебре SC7 (3) & SU (3).

..宀 Киральные токи, связанные с киральными преобразованиями (2Л01), такова

_；(2.104)

捲 u (%) =7 (箝 Yu 斗也 J g (z).

У них такая же.(1 ± у5) структура, как и у слабых лептонных токов, рассмотренных в § 2, п. За. К этому- мы вскоре вернемся.

Отметим, наконец, очень важную особенность кварковой модели: восемь векторных операторов (2.87) и. восемь аксиальных токов (2.96) преобра-

зуются в рамках группы SU (3) как компоненты тензорного оператора, принадлежащего представлению 8, т. е.

[Q° ⑴，叫(X,切=%ВМ(X, 0.

м(2.1U5)

G⑴，建(х")] =办肮父(х,/).

Соотношения (2.105) легко проверить, подставив в них выражения для зарядов и токов.

Далее, если мы рассмотрим полную группу SU (3) ® SU (3), то система 16 векторных и аксиальных токов преобразуется по представлению (8,1)㊉(1,8) этой группы. Это значит, что кроме соотношений (2.105) вьшолняются также следующие коммутационные соотношения:

[Q“(f)，哗(х,力=ZfaBy/\(X, Е),2 106)

⑦⑴，或(х")] = %вМ；(х,力’

d・ Дивергенции токов и их трансформационные свойства

Пользуясь выражениями для токов и зарядов, найденными на основе кварковой модели, мы вывели одновременные коммутаторы этих величин. Как уже подчеркивалось, такие коммутационные соотношения справедливы независимо от того, является ли ток сохраняющейся величиной, и7 следовательно, независимо от конкретного вида гамильтониана (или лагранжиана). Это весьма важное обстоятельство.

Но физическая картина становится более полной, когда известны свой- ■ства полного или частичного сохранения зарядов. Поэтому мы проанализируем трансформационные свойства гамильтониана кварковой модели и дивергенций токов относительно преобразований группы SU (^) ® SU (3).

Лз выражения для лагранжевой плотности (2.72) находим гамильтониан

加=一玄十空眾+(2.107)

Гамильтониан 加 разделен здесь на две части: одна из них, а именно gyV q, очевидно, инвариантна относительно преобразований SU (3) ® SU (3), другая же, вообще говоря, нарушает симметрии SU (3) ® SU (3), SU (3), SU (2) ® SU (2), а если мы рассматриваем и электромагнетизм, то и SU (2)- симметрию I).

Легче всего это показать, если ввести соответствующие базисные векторы для группы SU (3) 0 SU (3), т. е.欣=V2 (1 干 yj @・ Тогда

Пи7 =5lW4l +SrY闯 r,(2.108)

и мы видим, что эта величина есть скаляр группы SU (3) ® SU (3). В то же время

QMq = qLMqR + qRMqL(2.109)

(матрица М не действует в дираковском пространстве), и поэтому qMq при SU (3) ® SU (З)-преобразованиях есть тензорный оператор, принадлежащий представлению (3*, 3) ф (3, 3*). Такими же трансформационными свойствами обладают и билинейные комбинации g九&д, 9九仪丫5g.

Для дальнейшего обобщения полезно переписать 痴 в более удобной форме. Прежде всего, следуя Гелл-Манну [77], мы объединяем описание SU (3) ® SU (З)-токов и токов, пропорциональных оператору числа квар-

工)Ход рассуждении здесь и далее не изменится, если к 施 добавить член взаимодействия, подобный qk^qG^, как это и имеет место в «глюонной» модели.

ков, введением девятой 3 X 3-матрицы

(2.110>

Девять матриц Ха (а = 0, . - ., 8) подчиняются следующим правилам二 ",的=2炉咖炉，,

{犷，九 B} = 2daBT%v,(2.Ш}

7r (九a#) = 2&B，

причем коэффициент /а6? равен нулю, если хотя бы один из индексов а, §, у равен нулю, и дается выражением (2.84) для остальных возможных комбинаций (а, §, у); матрица @аву имеет дополнительные не равные нулю матрич* ные элементы, когда один из индексов нуль, а два других одниаковы doaa =

В таких обозначениях массовую матрицу М можно переписать в виде-

/лц 0 0 \

(0 m2 0 ]=3九。+ 為户 + "然，(2.112)

\ 0 0 mJ

где

分=3 k (码+7n2十忆)， b 6

e3 =；(人一次 2),(2.113)

‘8 = 2 /§ (^ + 恤一2m3).

ll оэтому часть <^?z = qMq гамильтониана, нарушающую симметрию SU (3) ®* ® 5С7(3), можно переписать как

曲，=cQu° + c8u3 + 内炉，(2.114)

где

£(忆)=g(力入％(忆) (a = 0, ...» 8).(2.115)

Выражение (2.114) показывает, каковы трансформационные свойства гамильтониана 战'при SU (З)-преобразоваыиях; SU (3)——структура гамильтониана 瞅 является простейшей из тех, что обеспечивают сохранение гиперзаряда и третьей компоненты изоспина.

Теперь мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении дивергенции векторных и аксиальных токов, которые были определены формулами (2.88} и (2.98)

加⑺三严理(a) = Z?(z)[M, -|r]g(x),(2.116а>

Da (x) ^ d^A^ (x) = iq (a) { M, ^九a}g (办(2.1166>

В кварковой модели явные выражения для дивергенций токов (2.116а)г (2.1166) выводятся очень просто. Но, имея в виду дальнейшие обобщения, мы выведем сейчас формулу, не зависящую от модельных представлений. Начнем с соотношения

孑=j £>а ⑺ ©з# = i[H, (?a] = i j [務(x, t) Q** (01 d% (2.117>

и его локальной формы [79]

货(z) = X [礎(x, Z), Qa (г)1 = i 國'(X, f), У ⑼.(2.118}

Конечно, в кварковой модели явное выражение 觇，должно воспроизводить предыдущие выражения (2.116а, б) для Da и DJ Подставив ^Л из (2.114) в уравнение (2.118) и использовав фундаментальные коммутационные и анти- коммутационные соотношения для различных величин, получим

炉 @) = (Са/азв + С8/а8₽)成 S),(2.119а)

加(£)= (Со^оар + C3d3aft + c8d8aP)沙(z),(2.1196)

где мы определили 9 новых псевдоскалярных операторов

Ра (z) = iq (а:) %°~5g (忆)・(2.120)

Пользуясь формулами (2.112), нетрудно убедиться, что равенства (2.116а,б) и (2.119а, б) совпадают.

Имея явное выражение для дивергенции, мы можем проанализировать свойства сохранения токов. Из этих свойств следуют важные экспериментальные заключения, если отождествить (как это будет сделано в следующей главе) кварковые токи с теми токами, которые участвуют в слабых и электромагнитных взаимодействиях. С этой точки зрения мы и хотим обсудить более детально свойства различных кварковых токов.

Начнем с изоспиновых векторных токов

%+三唱+加纟=加J+g=Zy词2,

которые являются партнерами изовекторного тока Уц по SU (2)-изоспино- вому триплету. Если пренебречь электромагнитными поправками, то изо- векторные токи сохраняются, поскольку

/吗+ = 2(2 -卅2)通2，(2.122)

и в этом пределе мы должны иметь т* == т^ ибо для кварков q^ 7а предполагается только электромагнитное (малое) расщепление масс. При дальнейшем рассмотрении в большинстве случаев мы будем пренебрегать электромагнитными эффектами и считать, что изовекторные векторные токи сохраняются.

Для У-спиновых векторных токов

?Х У\ + i% = gypW =弘丫闯3,(2.123)

имеем

評卩：* = t (g — s)加 0з,(2.124)

т* е. их дивергенции пропорциональны массовому расщеплению между изоспиновым дублетом и изоспиновым синглетом в кварковом триплете： это расщепление вызывается умеренно сильным взаимодействием, нарушающим SU (З)-симметрию сильных взаимодействий. Таким образом, в пределе точной SU (З)-симметрии (т. е. в пределе точной инвариантности кваркового лагранжиана по отношению к SU (З)-п'реобразованиям) странные токи (2.123) также сохранялись бы точно. Но мы не можем пренебречь нарушением <5С7(3)-симметрии и поэтому получаем, что степень несохранения странных векторных токов зависит от отношения члена, нарушающего SU ^-симметрию, к SU (З)-инвариантному члену или, скажем, от отношения (?П1 — т^Цгп^ + ?Пз). Если, как это обычно и делается, считать массу кварков очень большой, то должно как-то проявляться частичное сохранение странных векторных токов. В этом и состоит суть так называемой гипотезы ЧСВТ, которая действительно утверждает сохранение У-спиновых токов в пределе точной SU (З)-симметрйи для сильно взаимодействующих частиц.

В заключение рассмотрим аксиально-векторные точки

(2.125)(2.125)41 = ^17^75^2?^4ц =分?貝?5?3，

(2.125)

(2.125)

Как уже упоминалось, даже в модели свободных кварков они были бы сохраняющимися только в пределе нулевой массы кварков, поскольку

/&+ ="飞 + 现2)?3,12

护/：+ = t(%+忆)泡3."

Тем не менее в тех процессах, в которых масса кварков не играет важной роли, аксиальные токи должны, вероятно, обнаруживать подобие частичного сохранения. Иначе говоря, по крайней мере при высоких энергиях аксиальные токи также должны вести себя как сохраняющиеся токи. Как будет показано в § 6, хотя этот вывод кварковой модели качественно верен, он дает неверные количественные оценки. Мы увидим, что на самом деле частичное сохранение аксиальных токов связано с малостью массы псевдоскалярных мезонов.

Вернемся к общему выражению для дивергенций векторного и аксиального токов. При записи уравнения (2.119) мы ввели девять скалярных операторов:

ua(x) = q (х) Aag (х)(a = 0, . .. t 8),(2.127)

и девять псевдоскалярных:.

va (х) = iq (х) kay5g (х) (a = 0, . .., 8),(2.128)

Каждый из этих наборов преобразуется при SU (3) ® SU (З)-преобразо- ваниях по представлению (3*, 3) ㊉(3, 3*) (конечно, каждый набор содержит SU (З)-синглет плюс SU (З)-октет).

можно выразить следующими coot-B，二储8.(2429)можно выразить следующими coot-B，二储8.(2429)Их трансформационные свойства ношениями:

можно выразить следующими coot-

B，二储8.(2429)

можно выразить следующими coot-

B，二储8.(2429)

[Qa,的=订呐炉，) [Q°, V3] = ifa^v\ I @\ /]=也呐歩，J [Qa> У₽] = — tda^U^ J

Интересно, что, поскольку значения из оспин а или гиперзаряда, равные 2, не содержатся в ua, гЛ-мультиплетах, некоторые полезные «экзотические» коммутаторы обращаются в нуль. Например,

[Q‘\ Dl^\ = [Q% 叫=...=0. (2.130)

В заключение заметим следующее. Поскольку, вообще говоря, мы не будем учитывать электромагнитные эффекты, мы должны считать равными массы двух кварков, входящих в изодублет ⑺工=т2)^ Поэтому с3 = 0 и гамильтониан (2.114), нарушающий SU (3) ® SU (З)-симметрию, приводится к виду

瞅=cou° + 的吟 (2Л31)

т, е. S3* преобразуется как комбинация SU (З)-скаляра и восьмой компоненты октета. Это соответствует простейшему выбору, который гарантирует коммутацию(Я? с QI Q* Q3 и ^8 (сохранение изоспина и гиперзаряда). Таким образом, имеем

卽Т^ = 0 при a = 1, 2, 3, 8, 0, (2.132}

тогда как при а = 4, 5, 6, 7 дивергенции пропорциональны нарушающему SU (З)-симметрию параметру с8, т. а разности тг — ms. Что же касается дивергенций аксиальных токов, то здесь

方з,2,з,(2.ГЗЗ)

и поэтому для точной SU (2) ® SU (2)-симметрии необходимо условие J2co + & = ()• Это условие выполняется при ^i = ^20・ Даже не говоря

о равенстве нулю масс фермионов (специфическое требование, следующее- из кварковой модели), интересно отметить [79], что если достаточно точной симметрией микромира является симметрия SU (2) ® 5С7 (2), то отношение с8/с0 не должно слишком сильно отличаться от значения —)/ 2. Если же принять во внимание только успехи SU (З)-классификации, то следует предположить, что с8/с0《 1.

3. Электромагнитные и слабые взаимодействия

в рамках кварковой модели

Рассмотрим теперь вопрос о том, как, оставаясь в мире лептонов и кварков, описать электромагнитные и слабые адронные взаимодействия, используя различные токи, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с электромагнитных взаимодействий. Введем их в модель свободных кварков, исходя из принципа минимального электромагнитного взаимодействия. Для этого нужно произвести следующую подстановку в лагранжиане свободных кварков:

乙一 %十步^(炉+ 合然)晓(2.134)

Подстановка (2.134) необходима потому, что принцип минимального взаимодействия означает замену @卩一> 8卩 + ie(不 /卩 для каждой частицы, несущей заряд 勺切；в кварковом случае мы имеем

e^^-Y^^\qh)^e^\qk}.(2.135>

При подстановке (2.134) в лагранжиане свободных кварков появляется лагранжиан электромагнитного взаимодействия

抬“.』= —е*"-м ⑴晓"⑺，(2.136).

где

於"⑷=^g⑷T"冲十含炉"⑺匸唸⑷+扌啤⑺.(2.137), Электромагнитный кварковый ток следующим образом выражается через введенные ранее кварковые токи:

% = 4W^%3g,(2.138)

У：=含 吸=京 q、》%(2-139}

т. е. он составлен из их изовекторной и изоскалярной частей. Электромагнитный ток (2.137) сохраняется точно. Так и должно быть, поскольку 入^,九8T будучи диа гон ал ьными одновременно с массовым оператором М, приводят к сохранению как 建，так Уц.

Теперь кратко остановимся на вопросе о возможной структуре слабых взаимодействий в кварковой модели^ Во-первых, отметим, что в мире, сконструированном нами из лептонов и кварков, слабые распады адронов будут

обусловлены переходами

% к:必十 Z + vi(2Л40)

для процессов без изменения странности и переходами

@з 0 必 + % + 中1(2.141)

для процессов с AS = AQ.

Так, например, Р-распад нейтрона (который имеет кварковую структуру п = @1,292)обусловлен переходом одного из кварков ^2

02—gi + e- + 3e,(2.142)

тогда как кварк q* и другой кварк ^纟 оказываются просто наблюдателями. Точно так же л+ (= ^з^-распад 冗+f 卩+ 十 vg объясняется аннигиляцией /и % в卩+血в屮

Чтобы описать этот вид слабого перехода, вспомним, во-первых, что в чисто лептонном случае слабые взаимодействия очень хорошо описываются лагранжианом

e貶^糸心沙，(2.143)

У 2

где L есть V ——Л-лептонный ток [формула (2.40)1.

Но в предыдущем разделе мы видели, что, исходя из лагранжиана свободных кварков, можно сконструировать кварковые токи

邛⑺=a (z) Yu (! — 丫5)4 九％ (z) — W (土)一坐(z)，(2.144)

которые имеют такую же V ——Л-структуру, как и /ц, и определяются точно таким же путем.

Это наводит на мысль, что в мире лептонов и кварков слабые подулеп- тонпые взаимодействия должны описываться лагранжианом, имеющим вид произведения кваркового тока (2.144) на лептонный ток:

2сла6 у=" J芻"十3. с.(2Л45)

Здесь Gf — соответствующая «голая)> константа связи.

Тем самым устанавливается глубокая связь между свойствами симметрии адронных систем и характером их взаимодействия с лептонными парами: для классификации адронных состояний и при конструирование электромагнитных и слабых лагранжианов используется один и тот же набор токов и зарядов. Э о позволяет дать альтернативное определение операторов симметрии сильных взаимодействий [SU i^ ® SU (З)-генера- торов! как слабых зарядов, матричные элементы которых можно измерять в слабых и электромагнитных процессах.

Индекс а в формуле (2.145) следует определять в соответствии с тем конкретным процессом, который мы хотим описать лагранжианом (2.145). Поэтому для распадов с сохранением странности мы должны взять

^fr0)=-翼 J『* + 3. с.,(2.146)

тогда как для странных распадов соответствующий лагранжиан должен иметь вид

2讎計Q)=-名力+»+3.-(2.147)

V 2

Полулептонные слабые взаимодействия в принципе можно описывать^ ло крайней мере в кварковой модели, двумя изоспиновыми векторными

токами V1 ^, двумя V-спиновыми векторными токами『； и их аксиальными партнерами, которые были введены в предыдущем разделе. Что касается //-спиновых токов, завершающих все возможные варианты токов в рамках схемы SU (3) ® SU (3), то они должны вызывать переходы с изменением странности и AQ = 0. Поскольку такие переходы экспериментально никогда не наблюдались, будем считать, что для этих токов константы связи равны нулю.

а. Универсальность электромагнитного взаимодействия

Фундаментальным свойством как электромагнитных, так и слабых взаимодействий является их универсальность. В электромагнитном случае универсальность означает, что для всех заряженных частиц константа связи с фотонным полем одна и та же, причем электрический заряд ——универсальная константа как для лептонов, так и для адронов. Это означает, что если в лагранжевой схеме для каждой заряженной частицы вводится одна и та же голая константа связи е0> то включение сильных взаимодействий не приводит к ее перенормировке.

Как нетрудно сообразить, универсальность есть простое следствие сохранения электромагнитного тока. Мы уже видели, что при калибровочном преобразовании 1-го рода каждого заряженного поля

•ф т exp (—ге) 2(2.148)

лагранжева плотность остается без изменения и тем самым определяется сохраняющийся ток

挺二而= b =' (2/49)

который и является электромагнитным током, фигурирующим в лагранжиане взаимодействия, построенном исходя из принципа минимального эл ектромагнитного вз аимодействия:.

X^-e^j^.(2.150)

Генераторфазовогопреобразования (2.148), определенныйсоотноше-

пием，

ехр (如0)少 exp (—ieQ) =exp (—ie)屮，(2.151)

как ужеговорилось, вточности равен оператору электрическогозаряда

0 =，办勾。(2),(2.152)

который не зависит от времени.

Так как Q = 0, заряд Q разрешает переходы только между физическими состояниями, имеющими одинаковый 4-импульс. В самом деле, если Я есть полный гамильтониан, то, учитывая соотношение.

0 = "Н, Q],(2.153)

мы будем иметь

.о = <ра I [Я, Q\ |Р1) = (S2 - Е^ <ра I <? 1а>.；(2.154)

Таким образом, Е* = Е? при 〈Р2 丨 Q 丨 Pi〉# 0； кроме того, ^P^\Q \Pi^ ^ #0 только при pi = р2, так как из определения заряда следует:

^Рз 丨 Q 丨卩工〉=j d3/〈p2 I 7o Q) I Pi)=

=(2л)3 <^2 I Jo (0) I 网〉68 (p2 — pj (2.155)

При интегрировании в соотношении (2.155) было использовано свойство трансляционной инвариантности

О (х) = exp (iPx)。(0) exp (—/Рх),(2456)

где Рй — оператор 4-импульса,

После такого педагогического《резюме» установим факт «универсальности» или, точнее, отсутствие перенормировки заряда при включении сильных взаимодействий. Напомним, что заряд е физического состояния | р〉, уничтожаемого заряженным полем 屮，определяется как ')

S'丨 I Р〉= 1(2л)32£63 (р 一 р)] %(2Л57>

причем Eq — зто затравочный заряд, введенный в лагранжиан взаимодействия (2.150). Таким образом, среднее значение оператора заряда в состоянии I р) в точности равно отношению г физического заряда с к голому заряду /：

S' IQIР〉= [(2п)з 2563(p-pz)]r,(2 4 59)

Напомним, наконец, что из соотношения (2.151) следует коммутационное соотношение

【Q,屮(х)]=—屮(办(2.160)

Возьмем теперь матричные элементы правой и левой частей соотношения (2.160) между вакуумом и физическим состоянием |р> и подставим в коммутатор полную систему промежуточных физических состояний:

W《O]Q1^)① iWlp)一2(0|屮1也)⑴ |Q| ?)=—(0|2|Р〉.(2.161) nn

Поскольку оператор Q допускает переходы только между состояниями с одинаковыми 4-импульсами, а заряд вакуума равен нулю, в левой части равенства (2.161) остаются только те состояния, которые имеют тот же самый импульс и ту же массу, что и состояние | р >• Если нет состояний, вырожденных по массе и имеющих одинаковые с | р) квантовые числа [как зто и имеет место в действительности, когда в сумме по полному набору состояний пренебрегают фотонами )], то соотношение (2.161) приводится просто к равенству

-!т^^■⑼ 5р'〉〈р16р〉=-〈°15р〉・(2<62)

Интегрируя по промежуточному импульсу р‘ с учетом соотношения

(2.155)г

получаем

备① 1 % 1 р〉81 叫 р> =⑼ W W •

(2.163)

Следовательно,

S 1 /о 丨 Р〉= 2Е

(2.164>

и

犷 1 Q 1 p〉= (2n)32/3 (p - р，)，

(2.165>

т. е.

Г = 1 ИЛИ 6 = ©0

(2.166)

и заряд не ренормируется эффектами сильных взаимодействий.

х) Множитель (2л)3 2£б8 (р — р') появляется в связи с принятой нами ковариантной нормировкой физических состояний:

” I р〉= (2л)»2Еб» (р — р')・(2・158>

Если бы в сумме по полному набору состояний мы приняли во внимание также и фотоны, то появилось бы бесконечно большое число вкладов, вырожденных по массе. Они-то и ответственны за перенормировку затравочного заряда при учете электромагнитных взаимодействий ')•

6. Универсальность слабого взаимодействия

В идеальном случае, когда слабые токи строго сохраняются, рассуждения, аналогичные проведенным в предыдущем разделе» привели бы нас к заключению, что затравочная константа связи слабого взаимодействия в лагранжиане должна быть равна физической константе связи.

По аналогии с выражением (2.159) напишем для матричного элемента слабого заряда QT4 Т = /士，V±, U± между некоторыми физическими состояниями I а〉и I а'〉выражение

d I QT I 〃〉= 17>а (2л)3 2笈炉仇 一 р/ г,(2.167)

где Т/а — матричный элемент нарушающего SU (З)-симметрию оператора Т между состояниями а и аг (в том представлении, к которому принадлежат состояния а и а7), а г — ренормировочное отношение

г = ^(2.168)

«физической» константы связи слабого взаимодействия к «голой». Поскольку QT не зависит от времени, величина г равна единице.

Чтобы доказать это в явном виде, вернемся к кварковой модели и рассмотрим коммутационное соотношение [формула (2.82)]

(QT,汨=一7订"(2.169)

Взяв в обеих частях равенства (2.169) матричные элементы между вакуумом и кварковым состоянием | д；), подставив в коммутатор полный набор промежуточных состояний и воспользовавшись тем, что QT не зависит от времени, после простых выкладок получим

是у SJ /о I ⑺〈01 et I ®〉= ?〃 ① I 幻 I q〉•

Таким образом,

(/|尚分)=2e/^

и

価 I QTI 分〉=Ti} (2牙 2司承(р,_p/).(2.170)

Поэтому

В рассматриваемой модели каждый адрон построен из кварков и слабый распад адрона — это на самом деле слабый распад одного из кварков, тогда

Это соответствует хорошо известному факту, что ренормировочпая константа фотонной волновой функции Z3 отлична от единицы, тогда как в соответствии с тождеством Уорда — Такахаши отношение %% констант, ренормирующих вершину и пропагатор заряженной частицы (например, протона), равно единице. Если исходить из лагранжиана голых частиц %*фу評*世，т。эффект сильных взаимодействий ведет к перенормировке опе- раторов_ 屮 согласно равенству 屮 = Z；%屮r, и, следовательно, находим е^^,^ = =qZ?屮ry評r“u= eZ]屮氏丫以屮r“u. Величина Z〔 一 это так называемая вершинная ренормировочная константа, а ₽ =(厶/裔)① —ренормированный заряд. Тогда равенство е = ©о эквивалентно равенству Zj = Z2. Заметим, что величина ^^ не была ренормирова- на в соответствии с тем, что мы ограничиваемся низшим порядком по электромагнитному взаимодействию. При учете высших порядков следует таюке проводить и перенормировку *ц：*ц = Z；"/f R е = Z?2%・

как остальные кварки выступают в роли наблюдателей. Поскольку же сохраняющиеся токи не ренормируются, каждый сохраняющийся ток взаимодействует одинаково со всеми адронными вершинами.

Таким образом, для всех слабых полулептонных распадов адронов с AS = 0 должна быть одна и та же физическая константа связи G") (если не считать малых отклонений, связанных с пренебрежением электромагнитными поправками).

В случае странных токов, которые сохраняются только частично, эффекты перенормировки могут быть разными в разных конкретных случаях. Но поскольку степень несохранения определяется только умеренно сильными взаимодействиями, эффект перенормировки не должен быть слишком значительным. Таким образом, измеренные константы связи должны быть почти одинаковыми для разных процессов.

Что же касается аксиальных токов, то, поскольку (по крайней мере в кварковой модели) их частичное сохранение должно обнаруживаться лишь при очень высоких энергиях, в этом случае возможны довольно значительные эффекты перенормировки. К более детальному анализу вопроса о частичном сохранении аксиальных токов мы вернемся в § 6.

仇 Феноменология

В свете сказанного для описания слабого взаимодействия между кварками и лептонами (без учета чисто нелептонных распадов) соблазнительно взять лагранжиан в виде

Zcna6= - ^!, g 卅一(令有 JjZ"+ 令亍/广2" + 3， C.).(2.171)

Ток

兄"/『“ — /『к(2.172)

выражается через кварковые поля формулами (2.121), (2.123) и (2.125), и, как уже говорилось, оператор имеет V —— 4-структуру. Трансформационные свойства оператора /и таковы, что все правила отбора, характеризующие реальные полулептонные процессы, выполняются.

Мы подошли к последнему пункту своего исследования, а именно к важным феноменологическим соотношениям между G,戈3 缙\ Они позволят нам представить лагранжиан слабых взаимодействий в окончательной простой форме.

Рассмотрим сначала Р-распад нейтрона. Поскольку передаваемый импульс практически равен нулю, измеряемый матричный элемент равен

(р |G(J)J『|n> = GGpYu (1 — Га?5)ил,(2.173)

где [69* стр. 254; 80]

G° ВG^ = (1,4173 ± 0,0034)/。力 эрг-см3(2.174)

га* 肃= 1,22 士 0,02.(2.175)

Сравнивая исходный лагранжиан

Л =Y" (1 一 ?5)支尸(2.176)

с физическим матричным элементом (2.173), мы видим, что отклонение Yu (1 — гАу6) от чистого V — Л-варианта вполне естественно было бы интер-

претировать как эффект перенормировки, вызванный сильными взаимодействиями. Точно так же константа 6(八,характеризующая лептонные распады с сохранением странности AS = 0, вовсе не обязана совпадать с константой G, характеризующей чисто лептонные слабые взаимодействия.

Но из экспериментальных данных следует, что

雙戸• к 1,2%.

Это впечатляющий результат.

Чтобы объяснить его, нужно вспомнить, как мы объясняли ранее равенство наблюдаемых зарядов протона и позитрона. Именно, поскольку электромагнитный ток сохраняется, заряды не ренормируются, а зто приводит к предположепию об универсальности взаимодействия, устанавливающему равенство затравочных зарядов.

Хочется думать, что аналогичный принцип лежит и в основе приближенного равенства G и G"). Поэтому мы предположим, что слабые взаимодействия универсальны хотя бы в той мере, в какой это касается векторной части. Количественно это значит, что G = 络)，и лагранжиан можно переписать в очень простой форме с одной константой связи в виде множителя ') (переходы, изменяющие странность, мы пока игнорируем):

*слаб = —1/ 9 {心"“ + WiYu (，— 丫5)02* + а. с.]}.(2.177)

Тогда сильные взаимодействия ренормируют аксиально-векторную часть, но равенство G = GJ)= G(" не нарушается вследствие сохранения тока 卩 Z = 71Тц,^2*

Конечно, первым недостатком рассматриваемой теории оказывается то, что ток У( не сохраняется при учете злектромагпитных (и слабых) эффектов. Ими можно объяснить отклонение от полной универсальности на 1——2%. Чтобы найти по экспериментально определенным временам жизыи «голые» (теперь уже относительно электромагнитных взаимодействий) константы G и Gp, нужно оценить радиационные поправки в 卩- и Р-распадах ). Окончательный результат таков:

I竺卄2%.

и это расхождение невозможно объяснить электромагнитными эффектами.

?・ Угол Кабиббо

С гораздо более серьезными трудностями мы встречаемся при попытке обобщить принцип универсальности па переходы с изменением странности. Проще всего было бы предположить, что токи J；* и J：* входят в лагранжиан с одинаковыми константами связн, т. е. что полный лагранжиан взаимодействия имеет вид

*слаб = — 1 - {厶 Z" + [(?1Тй (1 — 丫5),2 + 7iTu (1 — 丫5)03)2“ + з・ &]}•(2.178)

Но это резко противоречит экспериментальным данным, из которых следует, что константа связи тока J；+ с лептонами составляет только Vjo

Согласно кварковой модели, которой мьт здесь придерживаемся, закономерности реальных процессов всегда выражаются в свойствах кваркового лагранжиана.

соответствующей константы связи для J『').В принципе возможна сильная перенормировка (90%!), так как из-за нарушения SU (З)-симметрии ток J：* не является более сохраняющимся* Но, согласно теореме Адемолло — Гатто [56] (см. § 6), эффекты перенормировки должны быть вторичного порядка по членам, нарушающим SU (З)-симметрию.

Поэтому более привлекательной оказывается трактовка инвариантности, предложенная Гелл-Манном, Леви [81] и Кабиббо [82], при которой сохраняется разумная интерпретация принципа универсальности и в то же время дается объяснение различия констант G^\ G^ и G.

Важно четко себе представить, что с лептонным током 厶 надо сравнивать не изоспиновый ток J『，a SU (З)-ток, являющийся смесью I- и У-спи- новых компонент, именно: J^ = a (cos "f + sin 9J『). Другими словами, полный слабый адронный ток J^, можно рассматривать как вектор в плоскости AQ = 1, который имеет отличные от нуля проекции на.ось /+ (AS =0), и на ось Р+ (AS = 1) (фиг. 2.1).

При этом именно полную длину адронного вектора, т. е. а, мы и должны сравнивать с силой лептонной части. Фактически, в пределе точной SU (З)-симметрии параметр смешивания компонент с AS = 0 и AS = 1 произволен, а направление вектора легко изменить путем SU (З)-преобра- зования.

Тогда, согласно Кабиббо [82], требование универсальности приводит к равенству

а2 = 1, т. е. мы приходим к новой форме полного адронного тока 儿= cos9J『 + sin 8J：+.(2.179)

Как уже отмечалось, в пределе точной SU (З)-симметрии направление вектора J^ несущественно, и нетрудно убедиться, что ток (2.179) может быть получен из J；* обычным вращением на угол (—20) вокруг седьмой оси: 九=ехр (— 2/0^7)J^ exp (2/0^7)

Фактически в любой теории, где SU (З)-нарушающие члены не введены в явном виде, нет способа определения угла Кабиббо 0. Дело в том, что угол определяется только при условии, что направление вектора /+ в пространстве SU (3) фиксировано. Единственная возможность отличить направление /+ от V+ или от какой-либо их линейной комбинации основана па том, что при нарушении симметрии SU (3) ток 匕+ остается сохраняющимся,

■а ток V；* — нет. Таким образом, чтобы построить теорию, позволяющую фиксировать угол 0, следует связать слабые взаимодействия с теми взаимодействиями, которые нарушают SU (З)-симметрию адронов.

Другими словами, если обратиться к кварковой модели, SU (З)-нару- шение выделяет набор кварков

тогда как слабые взаимодействия выделяют набор

(弘，％ cos 6 十 0з sin 0), — % sin 6 + 方 cos 6.

Поэтому, возвращаясь к взаимодействию адронов с лептонами, мы заключаем, что требование универсальности теперь равносильно условию для затравочных констант связи

(2.180)(2.180)Gg)= Gcose,

(2.180)

(2.180)

G『)= Gsin 0,

где угол 0 одинаков как для векторных, так и для аксиальных переходов (согласно полной V — Л-структуре тока).

Определение угла 0, так же как и более глубокое обоснование выбора тока в виде (2.179), будет проведено позже. Оказывается, что угол 0 достаточно мал (0 л；0,25) и позволяет объяснить как подавление процессов ■с AS = AQ, так и малые отклонения от универсальности в переходах с А£ = =0, о которых шла речь в конце предыдущего раздела.

# 4・ Алгебра зарядов и токов

Мы подошли к ключевому вопросу в теории слабых взаимодействий. В самом деле, мы начинаем понимать, что токи, введенные в рамках кварковой модели, обнаруживают алгебраические свойства, носящие более общий характер и лежащие в основе новой теории ——алгебры токов.

Суть дела в том, чтобы прямо постулировать эти коммутационные соотношения для токов и зарядов [78]. Одна из целей нашей книги ——показать, что многие простые и важные результаты можно получить из коммутационных соотношений, не обращаясь к какой-либо динамической модели. Прежде чем перейти к анализу различных коммутаторов, наметим основные вехи. Самыми фундаментальными мы считаем коммутационные соотношения между зарядами. Они вытекают из одной только гипотезы, что заряды, содержащиеся в лагранжиане слабых взаимодействий, есть генераторы алгебры SU (3) ® SU (3). Мы увидим, что эти коммутационные соотношения полностью обеспечивают модельно-независимое определение неренормирован- ных констант связи, а поэтому и универсальности. Комбинируя же коммутационные соотношения с условием полноты, нетрудно объяснить взаимосвязь между сохранением заряда и отсутствием перенормировки. В случае частично сохраняющихся токов можно выделить эффекты перенормировки в особенно простой форме, из которой и следует фундаментальная теорема Адемолло — Гатто.

Очень важным результатом, следующим из алгебры зарядов, является то обстоятельство, что, последовательно проводя аналогию между адронными и лептонными токами, мы почти автоматически приходим к токам вида (2.179).

Коммутационные соотношения зарядовых плотностей прямо следуют из зарядовых коммутационных соотношений и простейшего предположения о локальности. Они также в значительной мере модельно-независимы.

Если набраться смелости, то можно было бы на основе кварковой модели вывести и другие коммутационные отношения, в которые входили бы и прост-

ранственные компоненты токов. Такие соотношения обоснованы гораздо хуже и сильно связаны со спецификой кварковой модели. Почти все результаты, излагаемые в нашей книге, не опираются на такие менее надежные коммутаторы.

Зарядовые коммутаторы и универсальность

Кварковая модель позволила нам установить одно обстоятельство фундаментального значения, а именно что заряды, входящие в лагранжиан слабого взаимодействия, суть генераторы алгебры SU (3) ® SU (3). Допустим, что это справедливо и в общей теории, т. е. 16 зарядов Q% Q% определенные формулами ①=j ЛГ^(X), 8 = jd3^ Л^ (х), додчиняются коммутационным соотношениям следующего типа:

«2% Q^iM\

[Qa, Q^\^iM\ (2.181) 逆@ =仇鼠)、

Мы будем рассматривать токи как абстрактные операторы с определенными общими характеристиками и свойствами (такими, например, как квантовые числа, которые они несут, свойства сохранения или частичного сохранения и T# д.), не выраженные в явном виде через фундаментальные поля.

Если токи не сохраняются (общий случай), то соответствующие им заряды зависят от времени и коммутаторы таких зарядов следует рассматривать как одновременные. Неявная ковариантность этой формулировки очень важна и будет предметом исследования во многих разделах этой книги.

Начав с коммутационных соотношений (2.181), мы можем трактовать принцип универсальности модельно-независимым образом. Универсальность означает, что для всех слабых токов 及(=% или Лц) затравочные константы связи G{?> с любым адронным состоянием одинаковы г). Напомним, что наблюдаемые слабые заряды —— это не заряды 干,а величины вида

ea=6华0\ (2.182)

Как уже говорилось в разделе о кварковой модели, данное соотношение Следует из того, что в лагранжиане взаимодействия кварковый ток /^ умножается на соответствующую затравочную константу связн G俨).

Таким образом, рассматривая надлежащие коммутационные соотношения между величинами Са, мы можем определить универсальные «голые» константы связи, причем метод определения абсолютно не связан ни с лагранжевым формализмом, ни с тем, как ток J^ выражается через поля.

Рассмотрим, например, коммутатор двух сопряженных зарядов Ст+ и С" (Т = 亿 〃)；сразу же видно, что

[С「+, С, = 2(Gp))2Q；. (2.183)

Поскольку заряд QI диагоналей (строго сохраняется), вычисляя среднее значение обеих частей равенства (2.183) для некоторого физического состояния, получаем в правой части (2.183) величину 2 (G户)* умноженную на собственное значение Q孑 в этом состоянии. В то же время, пользуясь свойством полноты, можно представить левую часть в виде суммы произведений наблюдаемых матричных элементов. Таким образом, соотношение (2.183) позволяет

определить G『)полностью модельно-независимым способом, коль скоро мы считаем, что справедливы фундаментальные коммутационные соотношения, которым удовлетворяют рецормированные заряды Q&. В то же время соотношение (2.183) дает, по крайней мере в принципе, возможность прямого- определения голых констант связи G『)・ Универсальность означает теперь, что вычисленное значение GJT) не зависит от того адронного состояния, которое мы выбираем при вычислении средних значений правой и левой частей соотношения (2.183).

Конкретизируя индекс Т, мы должны получить в согласии со сказанным ранее о принципе универсальности, что

G^ = G cos 0,

G『)= GsinO,(2.184>

G俨=0,

и фактически здесь появляется только одна новая константа — угол Кабиббо.

В частном случае сохраняющихся токов, например изоспиновых (в пре- небрея^ении электромагнитными поправками), из соотношения (2.183) следует отсутствие перенормировок, связанных с сильным взаимодействием. Действительно, рассмотрим среднее значение коммутатора

■ [С", CI'] = 2(G^)Z Q3,(2.185>

к примеру, для протонных состояний с импульсами р и р‘.

Вводя в левую часть (2.185) полную систему физических промежуточных состояний, имеем

3(pz| CI+\i)(i\ с1~\р}-^{р>\ CI~]i){i\ С】+1 р〉= [2Е(2л)3 63 (р—р，)]闽)2.

(2.186)

Из предположения о сохранении тока Р『получаем, что заряды QT+, а следовательно, и заряды С/+ разрешают переходы только между частицами, принадлежащими одному изоспиновому мультиплету.

В первой сумме единственным разрешенным п ромеж уточным состоянием сказывается нейтрон, тогда как во второй сумме нет ни одного допустимого состояния. С учетом определения [ср. с формулой (2.157)]

伪 I с"丨 м) = (2л)3 2Е63 (р —pn) Gw(2.187)

несложные выкладки показывают, что соотношение (2.186) эквивалентно равенству

(G'I)2 = (g9)2.(2Л88)

Равенство (2.188) означает, что если ток % сохраняется, то физически наблюдаемая константа связи G(t) равна голой константе G” определяющейся формулой (2.183). Естественно, что эта копстаита G^ совпадает с константой, фигурирующей в члене лагранжиана слабого взаимодействия, содержащем ток %.

Разумеется, заряды Са мы ввели только из педагогических соображений, Можно начать непосредственно с коммутационных соотношений

[QI+, QT ] = 2(23(2.189)

и использовать то важное обстоятельство, что одночастичный матричный элемент

s ]I 叫= [(2л)3 2Е63 (р - Рп)]戸(2.190).

(2.191)(2.191)ло определению связан с ренормировочным множителем 戸=FT・1

(2.191)

(2.191)

Далее мы всегда будем иметь дело только с ренормированными зарядами ①.

Другим примером применения алгебры зарядов может служить доказательство отсутствия дополнител ьной перенормировки электрического заряда при включении сильных взаимодействий. Вычислим матричные элементы обеих частей коммутатора между состояниями л- и л°:

G, q"] = q，+.(2.192)

-С учетом определений

祖。IQ" I 吟=М2|(2п)з 2矶3 (p。一 p_)]戸，

(n-z I (J31 л-) = - [(2л)3 2£68 (p* — p)] r3,(2.193)

(或 I Q3 ] nu) = 0, r3 = 6m/"，

-простые * шыкладки позволяют привести соотношение (2.192) к равенству г3 = —1, т. е. е『三一с = —с。.(2.194)

Отсутствие перенормировки, связанной с сильными взаимодействиями, показано без какого-либо явного введения полей.

о. Теорема Адемолло — Гатто

В самом общем случае нам приходится иметь дело с токами, которые не сохраняются в точном смысле этого слова, даже если они и обнаруживают некое частичное сохранение. Таким образом, ренормировочный множитель 产 должен, отличаться от единицы.

Как было уже показано, сохранение токов прямо связано со свойствами симметрии лагранжиана, тогда как степень несохранения определяется членом, нарушающим симметрию.

Таким образом, для данного калибровочного преобразования удобно переписать лагранжиан в следующем виде:

£ = 〃 + /&,(2.195)

где Zo ——часть, обладающая рассматриваемой симметрией, / £^ — член, нарушающий симметрию, и / —— параметр, определяющий силу нарушающего симметрию взаимодействия, т_ е. степень несохранения соответствующего тока, поскольку матричные элементы дивергенции тока пропорциональны /. Например, в рамках кварковой модели, рассмотрев калибровочное преобразование, связанное со странным векторным током, получим, что параметр / пропорционален разности (тпт ——тп3) масс кварков, прииадлежащих изоспиновому дублету и синглету.

В предельном случае сохраняющихся токов (/ = 0) соответствующие заряды связывают только состояния, принадлежащие одному и тому же мультиплету. Этим и объясняется на самом деле отсутствие эффектов перенормировки. В реальном случае мы можем классифицировать частицы по представлениям некоторой группы [SU (2), SU (3) и SU (3) ® SU (3)], но это не значит, что физические состояния действительно образуют базис определенных представлений этих групп. Поскольку соответствующая симметрия более или менее нарушена, физические состояния содержат примеси 'бесконечного числа чистых состояний, образующих базис различных представлений рассматриваемых групп. Однако в примеси доминирует одно из состояний, по которому мы и классифицируем частицу,— именно то един- ■Ственное, которое остается в предельном случае / = 0.

Вводя в коммутаторы зарядов полную систему физических промежуточных состояний, получаем в соответствующей сумме бесконечное число вкладов. Но если токи частично сохраняются, то среди бесконечного числа вкладов будет один, доминирующий в сумме. Это и есть тот фундаментальный член суммы, который остается в предельном случае точной симметрии. Остальные члены носят характер малых поправок к главному члену, возникающих из-за нарушения симметрии.

Переходя к количественному исследованию вопроса, введем для матричных элементов зарядов такое представление, которое будет удобно при опи- санип тех из них, что исчезают в пределе точной симметрии.

Начнем с тождества

[Qa, Я] = г j d3xDa (z),(2.196)

где Н ——полный гамильтониан. Взяв в обеих частях тождества (2.196) матричные элементы между двумя физическими состояниями (которые являются собственными векторами оператора Н!), тотчас же получаем требуемое представление

<i|<2a|«> = i，:Е； (2л)36s(Pa-Pb).(2.197)

Если в пределе точной симметрии состояния | Ъ) и | a) не принадлежат одному представлению, то из равенства (2.197) сразу следует, что

{b\Qa\a) = O(f),(2.198)

так как матричный элемент Q& в этом случае определяется только членом Z^ из формулы (2.195). Если же \ Ь) и | а〉в пределе точной симметрии принадлежат одному и тому же представлению, то уравнение (2.197) формально остается в силе, но оно бесполезно: в этом случае разность Еа — Еь также фактически равна О (/), поскольку из соотношения (2.195) следует, что

Я = Яо 4- fHB.(2.199)

Теперь легко можно показать, что ренормировочная константа гт для несо- храпяющихся токов /二 отличается от своего предельного значения в случае точной симметрии только поправками второго порядка по /. В этом и состоит суть теоремы Адемолло ——Гатто 】)，которая утверждает, что

产=1 +0(产).(2.200)

Чтобы доказать соотношение (2.200), рассмотрим наиболее интересный для нас случай векторных токов, не сохраняющих странность. Начнем с коммутатора для двух У-спиновых зарядов противоположного знака:

IQ"* g = Q3 + ^QY.(2.201)

Для примера возьмем в обеих частях равенства (2.201) матричные элементы между состояниями л+ с импульсами pj и р2:

(Л+ (р2) I\QV+, eV'l I Jt+ (A)) = (2л)3 2En^ (p2 -P1).(2.202)

Вставим полную систему промежуточных физических состояний и выберем среди вкладов основной, соответствующий ^-состоянию, единственному, которое дает в сумму отличный от нуля вклад и принадлежит тому же муль-

В орпгинальной работе Адемолло и Гатто [56] равенство (2.200) было выведено только па основе теории групп в предположении определенных трансформационных свойств гамильтониана А® (Нв — F). Простой же вывод, изложенный нами, принадлежит Фубипи и Фурлану [83]. См. также [84, 85].

типлету, что и пион. Пользуясь определением

〈屈(р) 10% т+(Р» = (2n)3 (4Е*Ек)%63 (р,_p)rL, (2.203> преобразуем (2.202) к следующему виду:

忌“)2 2品(2л)3 63 (Pi —p2) + S (〈Р21 Q”+1 ») (n I Q〕P0 —

一⑸ IQ% IП)(ПI Q%「Pl〉) = 2隔(2翁 63 (Pl p2). (2.204}

Выражая матричные элементы, исчезающие в пределе точной симметрии, по формуле (2.197) и вспоминая, что Dv = О (/), из уравнения (2.204) немедленно получаем

(〃”…(办(2.205}

Коммутационное соотношение (2.201) позволяет очень просто установить, что физическая константа связи Gr отличается от затравочной G} только ренормализационными эффектами, которые квадратично зависят от параметра /, характеризующего нарушение симметрии.

Очевидно, что ценность данного результата зависит от величины параметра /. Если он мал, то должно выполняться равенство GmaG^・ Если же параметр достаточно велик, то соотношение (2.200) остается в силе, но из него не следует никаких практических выводов. При этом различные гипотезы о квазисохранении, т. е. о частичном сохранении токов, будут иметь смысл только при условии малости параметра, характеризующего нарушение симметрии. Лишь тогда можно гарантировать приближенную универсальность констант связи, наблюдаемую в действительности.

б^ Универсальность в формулировке Гелл-Манна

Введение одновременных коммутационных соотношений для векторных и аксиальных зарядов позволило дать совершенно общее определение затравочных констант связи. Кроме того, мы нашли общий рецепт вычисления ренормировочных множителей ——путем исследования явных выражений для членов, исчезающих в пределе точной симметрии.

Мы покажем сейчас, как путем таких же рассуждений можно обосновать общую структуру адронного слабого тока (2.179). Для зтого воспользуемся общим определением универсальности для слабых взаимодействий.

Рассмотрим лептонные заряды V — А (левые заряды):

Z+ = 4" j 办叫⑺=} J d3_r {d (1 — 丫5)Ve+ .. .},

L-= “+)*,(2.206)

£3 = g J d31r¥з)= _|_ J d3x{e+ (1 —y5)e+

Напомним читателю, что эти операторы удовлетворяют алгебре SU (2) (§ 2, п. 3, а):

[L\ L-] = 2L3,(2. 207)

忆3, L±] = 土厶士.

По аналогии с (2.206) введем теперь слабые адронные заряды: 万=；^阻几(办(2.208)

灯=(少汽

Где Уц —— иолйы近 адронный слабый ток, общий вид которого таков:

人=0(卩f 一風+) + b(pr一ЛГ).(2.209)

Согласно Гелл-Манну [70, 78, 86], универсальность слабых взаимодействий обеспечивается, если потребовать, чтобы адронные заряды удовлетворяли тем же коммутационным соотношениям группы SU (2), что и лептонные заряды:

[Я\ Я"] = 2Н3,

Ц7\ Н±1 = ±Н士.(2.211)

Из соотношения (2.210), пользуясь одновременными коммутаторами группы SU (3) 0 SU (3), находим в явном виде Я3:

尸=I а Е $(Q3_&)+ 怜『｝ [(Q3_3)+ /3 (Q8 一0)] 一

_ £ 曲*(Qg_ ОС — т ^b^-Qv\

тогда как из соотношения (2.211) получаем

I а у + I b 卩=*(2.212)

т. е・ а = cos 0, & = sin 0t так что снова

4 = cos 0J『+ sin 0 丿仁(2.213)

Гелл-Манн и Нееман [87] доказали также, что если слабые заряды вида (2.213) удовлетворяют алгебре SU(2), то отсюда следует справедливость алгебры SU (3) 0 SU (3) для полного набора зарядов Q, Q®.

Отметим, что мы не выделяем особо часть V или Л, но сразу выбираем взаимодействие типа У ——Л и получаем автоматически общий угол 9. Вообще говоря, можно было бы начать с такого выражения для 7И：

4 = а#『—0а4『 + Ь「噌一以4r..(2.214)

Тогда требование, чтобы соответствующие векторный и аксиальный заряды подчинялись, как в случае лептонных токов, алгебре SU (2) ® SU (2), приводит к равенствам

«a =а% b4 = by,

丨 ау Е + I 5 = 1,- (2.215)

бу = 0А.(2.216)

Универсальность векторных и аксиально-векторных констант связи относится к неренорьшрованнмм вепичинам, которые однозначно определяются при изложенном подходе. Но практически для определения 0 по экспериментальным данным нужно точно знать, каковы аффекты перенормировки. В принципе их можно вычислить способом, схематически изложенным в предыдущем разделе. Этот вопрос мы оставим до гл. 8.

2・ Коммутаторы токов и зарядов

В рамках кварковой модели было в явной форме доказано, что векторные и аксиальные кварковые токи преобразуются в пространстве SU (3) как члены регулярного представления 】)：

[Q"(Z),卩2 (х, 01 — г7аЗ?^и (х,小(2 217)

a⑴，羅(X,方)]=%8闻(X, f).,

Кроме того, при классификации на основе группы SU (3) 0 SU (3) зти 16 токов преобразуются по регулярному представлению (1, 8)㊉(8, 1).

工)См. Первое примечание н& стр. 98 .— Прим. ред.

Это значит, что в дополнение к соотношениям (2.217) иы также имеем соотношения

守《),啤(X,力=5в用(X"),21

【@飞)，4"х,/)] = %еМ(х,力('

Мы примем соотношения (2.247) и (2.218) как выражающие еще одно фундаментальное свойство слабых адронных токов [781. Подчеркнем, что предположение о справедливости соотношений (2.217) и (2.218)——это простейшее предположение, совместимое с коммутационными соотношениями для скалярных и псевдоскалярных зарядов. Таким образом, исходя из требования простоты, мы принимаем гипотезу, что независимо от своего явного' вида адронные слабые токи преобразуются по представлению (,1 8) ф ㊉(8, 1) группы SU (3) 0 SU (3) (алгебре которой подчиняются заряды Q" и Q"). Как будет видно из дальнейшего, мы можем в какой-то мере проверить правильность этих предположений и, по-видимому, соотношения (2.217) и (2.218) имеют весьма солидное обоснование.

При исследовании многих проблем методами，алгебры токов часто требуется знать более общие коммутаторы, чем только что установленные, а именно коммутаторы самих компонент токов.

Начнем с коммутатора зарядовых плотностей. Разумеется, мы всегда имеем в виду одновременные коммутаторы, поэтому из требования локальности (равенство нулю коммутатора, когда токовые координаты х и у разделены пространственно-подобным интервалом) вытекает перестановочное соотношение для зарядовых плотностей

【若(х, 0 哪(у, 01 = 0耶⑶ 63 (х - у) + 成。⑺备》(х—у)十...(2.219}

с конечным числом производных функции Дирака).

Сформулируем гипотезу минимальности: коммутаторы токовых компонент содержат минимальное число градиентов функции Дирака, совместимое с другими наложенными условиями ). Не вступая в противоречие с этой гипотезой, постулируем, что коммутатор [ V^, Vf] не содержит градиентных членов, т. е. в правой части равенства (2.219) имеется лишь первый член. Тогда операторы *6 (н) фиксируются требованием, чтобы после интегрирования уравнения (2.219) по всему пространству мы получили коммутатор

[Qa ⑴，W (У, 01 =炉аВ簿(У, 0,(2.220)

откуда

a^(x) = ifa^ W-(2.221〉

Таким образом, мы постулируем, что для коммутатора (2.219) в общем случае справедливо соотношение

К (х, /), Vg (у,力=i/gF8 (х, 0 63 (х—у),(2.222)

которое эквивалентно предположению, что зарядовые плотности векторного тока порождают локальную алгебру SU (3) в каждой точке пространства.

Поскольку в кварковой модели известно, как токи выражаются через кварковые поля, можно вычислить коммутатор двух зарядовых плотностей.

Простые выкладки, основанные на несложной формуле

@ (х) ГА% (х),寸(у) ГА% (у) 1 =

= }д±(х)([Г, Г] {Г, △} + {「，Г} [Г, АВ])д(х)6з(х—у), (2.223)

показывают, что кварковая модель согласуется с предположением (2.222).

Коммутационные соотношения, содержащие зарядовые плотности аксиальных токов, выводятся по обычному правилу:

[А, Н —4

[Л, Л]-> 匕

Таким образом, эти 16 зарядовых плотностей порождают локальную* алгебру SU (3) 0 SU (3) в каждой точке пространства:

[叫(х, f), И (У,切=炉啲叫@, /)63(х-у),

卜弘х, t),屁(у,切=炉哈* (х, Z) 63 (x — y),(2.224)

[複(x, 0, 4 (У, /)] = %BvW(x, t)63(x—y).

Ток-токовые коммутаторы

Перейдем теперь к коммутаторам, в которые входят пространственные компоненты токов, т. е. рассмотрим коммутаторы типа [/0,九]и [;fe, 川 Их вид установлен не слишком надежно, а результат кварковой модели для этого случая несколько сомнителен. Полноты ради мы все же укажем, к каким выводам можно прийти на основании кварковой модели, если исходить из правила (2.223).

Коммутатор для временной и пространственной компоненты векторных токов оказывается равным

[叫(х, 0,吸(у, 01 = 7аРТП(х, i) S3 (х—у).(2.225)

Для коммутаторов чисто пространственных компонент конечный результат гораздо сложнее:

[V?(x, t), W(y, i)] = {ifafS^kl^O(X, 0 +

+4 i8^y0Gkiq + id^y0GM 年炉g}举(X— у), (2.226) где, как обычно,

0(u =十网,yJ

Мы видим, что коммутаторы разных пространственных компонент токов, порождают новую разновидность объектов, т. е. пространственные компоненты кварковых токов не образуют замкнутой алгебры, как это имеет место для временных компонент. Отметим, однако, что в частном случае, когда рассматриваются коммутаторы одинаковых пространственных компонент разных токов, соотношение (2.226) сводится к очень простому результату

н (х,爲 陵(у, Z)] = tja^l (х, i) 63 (х — у).(2.227)

Для коммутаторов, содержащих пространственные компоненты аксиальных токов, получаются аналогичные выражения.

В действительности приведенный выше способ вычисления коммутационных соотношений для плотностей тока слишком примитивен, и, как мн сейчас увидим, против некоторых из указанных результатов имеются серьезные возражения*

В самом деле, возьмем случай электромагнитного тока, для которого из соотношения (2.225) прямо следует

l/^-M (х, 0,护修(у, /)1= 0.(2.228)

Как показал Швингер [88], результат (2.228) противоречит физическому требованию, чтобы энергия была положительной, и поэтому должен быть соответствующим образом изменен. Действительно, из уравнения (2.228) следует

[咨т(х,力▽部・*(у, t)] = o,(2.229)

так что, используя уравнение непрерывности, в пределе х = у находим [^л-м (х, /), 8°/沪二м(х, /)] = 0.(2.230)

Вычислив вакуумное среднее обеих частей равенства (2.230) и подставив полный набор промежуточных состояний, получим

S^n|<0|/^-M|n)|2 = 0.(2.231)

Поскольку для физических промежуточных состояний мы имеем Еп >0, условие (2.231) требует равенства (0 | /®л'м- ] п ) = 0 для всех | п ) что, как можно показать, приводит к равенству j計•”.⑺=。в операторном смысле.

Таким образом, уравнение (2.228) не согласуется с требованием положительности энергии и метрики. О причинах такой несогласованности можно догадаться, если вернуться к вычислению, проведенному в рамках кварковой модели. Применив канонические антикоммутаторы, находим

[穹т (х), Т，-м (у)]=》(X_ у) а(х) Yh? (у) —7.(у) YS (х)}.(2.232)

Из соотношения (2.232) видно, что равенство нулю правой части при х = у оказывается следствием взаимного уничтожения двух величин, которые, возможно, плохо определены при х f у. Это значит, что в кварковой модели (и в любой другой модели, где токи даются билинейными операторными выражениями) коммутаторы токовых плотностей могут обладать сингулярностями высокого порядка. Для вычисления таких коммутаторов необходим предельный переход, который, однако, может оказаться весьма произвольным, т. е. конечный результат может зависеть от конкретного пути перехода к пределу.

Простой способ определить сингулярное произведение полевых операторов в одной и той же точке ——принять в общем случае

Гц(X, Z) = limg_ (х -暮7 2)?』九% 卜 +告2,方).(2.233)

Тогда в первой части коммутационных соотношений (2.232) появляются дополнительные градиентные члены и, как нетрудно показать, их явный вид таков:

6関=出炉(х―^е) {丫0丫“4•犷，YoYvTX₽}?(x + 4®)T®VS3(x—У)+

(2.234) 十 члены высшего порядка по е.

Чтобы получить представление о структуре градиентных членов в пределе при 名一> 0, нужно исследовать их матричные элементы в рамках данной модели. Например, в случае свободных фермионов оказывается х), что

81 [/沪-м(х)，债 т(у)]|0〉~*%53(х — у).(2.235)

См., например, [89].

В случае же квантовой электродинамики, когда коэффициент при градиентном члене в низшем порядке теории возмущений представляет собой расходящийся интеграл, связанный с поляризацией вакуума, он обращается в нуль *) в результате согласованной регул я ризации (метод Паули 一 Вил- ларса), так что мы опять приходим к соотношению (2.228).

Мы не будем далее углубляться в данный частный вопрос. Очевидно, что коммутационные соотношения, содержащие пространственные компоненты и связанные с ними градиентные члены, сильно зависят от выбранной модели, а коммутаторы кварковой модели оказываются далеко не простейшими. Поэтому в следующем разделе мы изложим простую и удобную модель, которая дает «минимальный» набор коммутаторов токовых плотностей.

Коммутаторы алгебры полей

В рамках любой конкретной теоретико-полевой модели коммутационные соотношения между токами выводятся из тех или иных канонических коммутационных соотношений для полевых операторов. Например, в кварковой модели коммутаторы алгебры токов следуют из формул для токов, выраженных через кварковые поля, и из канонического антикоммутационного соотношения

{眾(X, t), qt (у, t)} = Yo®63(x —у).

Успехом алгебры токов подсказан новый подход, при котором токи рассматриваются как фундаментальные координаты, т. е. как канонические переменные.

Поскольку токи —— векторные величины, крайне интересно было бы принять их за независимые векторные поля и исходя из этого написать канонические коммутационные соотношения сразу для токов.

Идентификация может быть проведена на основе тождества

抬(*)= °<а)吧(胃)， (2.236) где фц (胃) 一 массивное векторное поле с теми же квантовыми числами, что и ток в левой части равенства (2.236) [Jp = 4干，а — индекс группы SU (3)]. Теперь уже нет никаких неоднозначностей в определении тока как локального оператора.

Тождество (2.236)——это теоретико-пол ев ой вариант так называемой модели векторной доминантности, которая подробнее будет изложена в § 7. Вывод тождества (2.236) в рамках лагранжева метода, его точный смысл и присущие ему ограничения будут во всех подробностях рассмотрены в гл. 5; здесь же мы ограничимся тем, что изложим главную идею и результаты данного подхода.

Учитывая, что данная модель, по-видимому, оказывается особенно успешной применительно к SU (2)-векторным (сохраняющимся) токам, начнем с этого случая. Тогда 屮^ (а = 1，2, 3) соответствует перенормированному полю р-мезона, рассматриваемого как стабильная частица с квантовыми числами Jp = 1~, IG — 1+.

В канонической теории поля предполагается, что пространственные компоненты p-поля являются независимыми переменными, коммутирующими при равных временах:

[ф? (х, 0» 唠(У,力=0・ (2.237)

Тогда тождество (2.236) сразу же приводит к подобному же соотношению для коммутатора чисто пространственных токовых компонент [У? (х), 時(У)] = 0. Далее нам. необходимо убедиться, что коммутаторы [7^,嚟J,

Т) См., например, [90]» • .

9-01263

[F®, VP] сохраняют стандартный вид и в то же время определяют швингеров- ские члены. Это требует некоторых усилий, так как оператор <р^ не является независимой переменной и должен быть выражен через 臂 и канонические импульсы Пй = dW/8峻.

Таким образом, кое-что нам придется сказать и об R. Подробные выкладки, которые мы отложим до гл. 5, приводят к следующей минимальной форме токовых коммутаторов:

1%(х), W (0)1 = &削吗(0) б3 (х), 2 (2.238) [Vo (х),噸(0)]=俯呐吗(0) S3 (x) + 观日名 8瞪 J), (2.239)

[嚟(x), W(0)]=0・ (2.240)

Кроме уравнения (2.240), другим замечательным отличием от кварковой модели оказывается то, что градиентный член в соотношении (2.239) есть конечное с-число. Это приводит к значительным упрощениям, поскольку, как будет видно из дальнейшего, с-числовые швингеровские члены могут быть явно выделены с самого начала и они оказываются несущественными почти во всех приложениях (одно из исключений ——вычисление вакуумного среднего). Иначе обстоит дело, когда у нас ^-числовые, т. е. операторные, швингеровские члены. Итак, в нашем распоряжении по меньшей мере одна модель, где ситуация особенно проста, и, хотя почти все наши результаты будут носить более общий характер, для ясности мы часто будем апеллировать к алгебре полей.

Обобщение уравнений (2.238) — (2.240) на другие токи, возможно, потребует некоторых усилий мысли, поскольку аксиальные SU (2)-токи и странные токи обоих типов не сохраняются и должны иметь также продольные компоненты, пропорциональные 8M<р.

Мы воспользуемся идеей Ли, Вейнберга и Зумино [91] работать с такой лагран?кевой схемой, где все токи сохраняются и где выполняются обобщенные тождества

联唠， (2.241)

4；=咻， (2.242)

причем с — затравочная константа, одинаковая для обоих токов.

Затем, как мы уже делали, предположим, что все результаты относительно токовых коммутаторов остаются Справедливыми и в реальной ситуации независимо то того, сохраняются или не сохраняются токи.

В итоге оказывается, что одновременные коммутаторы плотностей токов имеют вид (а, р = 1, . . 8)

[W (х), yg (0)1 = [Л? (х), Al (0)] = %6网(0) S3 (х),(2.243)

修(х),曜(0)] =[厶弘х), Л? (0)] = ifa^ (0) S3 (x) + i 4- SaPa(63 (x), (2.244) Wk (X),吸(0)]=[羅(x),册(0)] = 0.(2.245)

Кроме того,

[Vo (х), Al (0)] = ifa^ (0) 63 (х),(2.246)

[p罂(X),4"(0)]=[解(X), H (0)]=炉叫建(0) S3(X),(2.247)

[羅(X),限(0)]=0.(2.248)

В соотношении (2.244) величина 7no — это затравочная масса, одинаковая для всех векторных частиц модели. В связи с этим еще раз отметим, что одновременные коммутационные соотношения дают возможность определить

величину с^!т^. Наконец, можем заметить, что в смешанных коммутаторах [VQi Л J = [Л 0,匕][соотношения (2.247)] нет швингеровских членов.

Наш предварительный анализ можно резюмировать следующим образом: при рассмотрении локальных коммутаторов, содержащих пространственные компоненты токов, в теории появляется сильная зависимость от модели. Поэтому крайне желательно найти строгие критерии, которые позволили бы сделать выбор между различными теоретико-полевыми моделями, такими, например, как кварковая модель и алгебра полей. Правда, существуют правила сумм х), выражающие коэффициент производных от S3 (х) через интегралы по сечениям (например, по сечениям процесса в+в_ ->-.адроны), но никаких определенных оснований для выбора той или иной модели пока еще нет ).

Сохраняющиеся 跳 частично сохраняющиеся векторные токи

На основе кварковой модели мы установили, что существуют одновременные коммутаторы токов с простой алгебраической структурой. Кроме того, мы пришли к выводу, что при больших импульсах все токи должны быть асимптотически сохраняющимися, поскольку несохранение связано с наличием массовых членов. Но как показывает более тщательный анализ сохранения токов, в поведении различных токов наблюдаются резкие расхождения. Электромагнитные токи сохраняются точно; изоспиновые токи сохраняются, если отсутствует электромагнитное взаимодействие. Сохранение же странных векторных токов имеет место, когда выключены умеренно сильные взаимодействия. Наконец, мы увидим, что частичное сохранение аксиальных токов тесно связано с малостью массы псевдоскалярных бозонов (таких, как л-мезон). Эти различия обязательно следует учитывать при детальном анализе матричных элементов токов между адронными состояниями.

В данном параграфе мы проанализируем следствия частичного сохранения токов в процессах с одной лептонной парой (или одним реальным фотоном), которые характеризуются матричными элементами типа <5 | 7^ \ А Чтобы описать электрон-протонное рассеяние, электророждение и т. д., следует положить 几=濯弋 \ А ) — \ р),|6〉=|卩〉или | _В〉=

=I рл), . . . . Аналогично, чтобы описать слабые процессы, нужно положить 7И = J^6; это соответствует описанию p-распада, распада пиона, рождения пиона в нейтринных реакциях и т. д. Процессы с более чем одной лептонной парой описываются матричными элементами упорядоченного по времени произведения нескольких токовых операторов. При исследовании таких процессов (в следующей главе) мы будем в основном опираться на алгебру токов и на свойства их частичного сохранения.

Электромагнитные токи

Сначала кратко остановимся на некоторых хорошо известных свойствах матричных элементов электромагнитного тока. Детальное изучение электромагнитных свойств адронов выходит за рамки нашей книги. Но некоторые следствия точного сохранения тока

尹 j"M = 0,(2.249)

например отсутствие перенормировки заряда и низкоэнергетические теоремы, могут служить весьма полезными ориентирами при интерпретации аналогичных результатов, вытекающих из алгебры токов.

См. гл. 6 и работу [89].

Рассмотрим конкретный пример ——фоторождение заряженных пионов: Y + РТ" к + л*-(2>250)

(кинематические переменные представлены на фиг. 2.2).

Покажем, что уравнение непрерывности (2.249) в сочетании с некоторыми простыми следствиями из аналитических свойств 5-матричных элементов приводит к двум фундаментальным результатам:

пионный заряд точно равен изовекторному заряду нуклона (универсальность) 1);

справедлива теорема Кролла ——Рудермана [93]. Фундаментальные переменные процесса таковы:

S =(Р1 十 ©2,

；=(Р2 — 砌 2,(2.251)

t = (g — Л)3.

Поскольку масса фотона равна нулю, справедливо следующее соотношение: (£ —唠)+ (s — т^ + (書一门确)=0.(2.252)

Физическую амплитуду фоторождения

T = е2吋中 где ей一вектор поляризации фотона и 矗= i〈P2, g 丨濯* 旧〉，(2.253)

можно выразить через полный набор инвариантов:

£"?" =值[Y5 (yё)4 + Y5 (*)(Yё)8 + * (尸e) C +禽(Y向(尸ё)0+ + ?5(76)e + Y5(Y© (我)尸]〃(2.254)

В выражении (2.254)

4=2(p1+〃2)(2.255)

и инвариантные функции А、В, & D, Е 迈 F зависят от переменных s, s, ?, связанных соотношением (2.252); кроме того, поскольку мы имеем дело с реальным фотоном, 映=部=0.(2.256)

Сохранение тока, налагая условие

F^-0,.(2.257)

приводит к соотношениям (Pk)C + (qk)E = 0,(2.258)

А + (Рк) О + g份 W = 0,(2.259)

Излагаемое далее доказательство универсальности принадлежит Домби [94].

гдегде(P%) = ^[(S一用)一(5 一 啮)],

где

где

(?fc) = |(^-O.(2.260)

Посмотрим теперь, что произойдет с уравнениями (2.258) и (2.259) в точке £ = "g, g =呜，(2.261)

力=W^n；， т. e. при

(Pk) = (*) = 0.(2.262)

s>{rnn^m^.s>{rnn^m^.У—У—Точка, определяющаяся равенствами (2.261), вообще говоря, находится вне физической области процесса фоторождения

s>{rnn^m^.

s>{rnn^m^.

У—

У—

но ее можно достичь путем аналитического продолжения. Из структуры уравнений (2.258), (2.259) и (2.262), казалось бы, можно заключить, что благодаря наличию коэффициентов (夕及)и (qk) уравнение (2.258) выполняется автоматически, а иэ уравнения (2.259) следует равенство Л нулю. Но это неверно, так как амплитуды имеют сингулярности полюсного типа:

протонный полюс при S =唠，

нейтронный полюс при s = т„,|

пионный полюс при t = /Ид.

Инвариантные функции имеют

в этих полюсах следующие вычеты:

Протон

Нейтрон

Пион

Л

0

0

0

В

盟+/

尸? +施

0

С

D

2Я

—2F32mp

2"

—2歹步2/Пп

0

0

(]/汲吶)(2.263)

Е

務

2/

F

-明12mp

Р2/2тп

0

Здесь мы использовали следующее определение соответствующих вершинных функций:

М|/廿*也〉=正{也(理 +或一蔡(p1 + p2)"}"，(N=P,叫 (2.264)

(泣 I 濯f I 足)=3 + P2)u /,(2.265)

(^^+ I p〉=»M2 gnwUnYsUp；(2.266)

F* 且 ％ — дираковские формфакторы, нормированные согласно равенствам

^1 (0) = вр, eF^ (0) — еп,(2.267)

修(0)=%，芻(0) = 3,,(2.268)

(2.269)(2.269)и 尸兀 ——электромагнитный формфактор пиона, eF л (0) — ^л+;

(2.269)

(2.269)

ер, еп и ел+ — физические заряды протона, нейтрона и пиона г), а %「и 否忆 —— аномальные магнитные моменты протона и нейтрона (в единицах е/2тп); g^N — физическая пион-нуклонная константа связи (g^K4n а 14,5).

Вычислив левую часть равенства (2.258) в пределе, когда s, s и t стремятся к значениям (2.261), находим соотношение между вычетами полюсов функций С и Е:

S,一 6几=6户，(2.270)

откуда следует, что физический заряд л + точно равен изовекторному нуклонному заряду.

Из уравнения (2.259) в том же пределе получаем, что амплитуда Л конечна и дается формулой

A(s = ml，7=^, t=m^)=—鳴謂(瑰一球). (2.271)

Формулой (2.271) амплитуда А (тпЗ т^ m紛 точно выражается через аномальный магнитный момент нуклона и физическую пион-нуклонную константу связи ghN・ Как уже указывалось, для физических частиц кинематическая конфигурация (2.261) лежит вне физической области процесса фоторождения. Но соотношение (2.271) можно использовать в рамках дисперсионной теории, взяв, например, точку (2.261) в качестве удобной точки для проведения вычитаний,

В идеализированном случае нулевой пионной массы (который вскоре станет для нас привычным!) точка (2.261) будет соответствовать порогу фоторождения, а уравнение (2.271) будет выражением низкоэнергетической теоремы. Нетрудно сообразить, что (при тл = 0) уравнение (2.271) эквивалентно теореме Кролла — Рудермана [93], согласно которой для полной физической амплитуды фоторождения

Т = е^Т^(2.272)

должно выполняться предельное соотношение

lim Т =—У 2 gjtNe (^в)-(2.273)

Соотношение (2.273) проще всего вывести из равенства (2.271), если взять прежде всего случай рассеяния вперед (д = А, /Ь = р? = Р)皿 затем соответствующую калибровку (ре) = 0, выполняющуюся при £0 — 0 и р — 0. Тогда уравнение (2.254) приводится к виду

€% = 4川一^-8卜5Y屮叫(2.274)

При этом нужно воспользоваться следующим тождеством, справедливым в случае рассеяния вперед:

丽5 (T力)T曲=-意丽5T卢+許丽5 (沖)m，(2.275)

где

V = pk(2.276)

Теперь учтем, что при v -> 0 должно выполняться [формула (2.263)] соотношение

*=-耍券｛(瓦一理)+(施一f》｝ + °").(2-277)

i) Поскольку все сказанное относится к любой группе адронов, мы ради общности вводим для нейтронного заряда особый символ е几(хотя 6n = 01).

Уравнение (2.271) вместе с формулами (2.272), (2.274) и (2.277) дает немедленно соотношение

lim Т =—n /?5 (间 “，(2.278)

т. е. искомую теорему Кролла ——Рудермана (2.273), поскольку у0Т5(Ye) = (ае)-

2. Слабые векторные токи

В изящной схеме, предложенной Гелл-Манном и Кабиббо, слабые векторные токи адронов отождествляются с 7- и У-спиновыми токами ит следо- вателыю, как и соответствующие SU (З)-генераторьт, обладают некоторыми фундаментальными свойствами сохранения или частичного сохранения. Нам кажется целесообразным в данном разделе более обстоятельно изложить те практические результаты, касающиеся матричных элементов полулептонных распадов, которые оказываются следствием этих свойств.

а. Токи, сохраняющие странность

Начнем с распадов, сохраняющих странность. Вспомним, в частности, что установленные путем анализа p-распада трансформационные свойства тока /w = Уи ——Л ц (как члена изовекторного триплета), а также приближенное равенство (векторных) констант р- и р.-распада привели к гипотезе сохранения векторного тока (СВТ) [95——97]. Как хорошо известно, эта гипотеза состоит в том, что векторную часть адронного тока, ответственную за p-распад, принимают равной

•%=卩?，(2.279)

и, следовательно, если пренебречь электромагнитными эффектами, то

济限=0.(2.280)

В силу теоремы об отсутствии перенормировки это уравнение позволяет нам сформулировать предположение об универсальности затравочных величин (относительно сильных взаимодействий) в виде утверждения о равенстве наблюдаемых векторных констант связи. Конечно, это не относится к аксиально-векторной части, поскольку ток /；+ не сохраняется, что делает возможным его перенормировку, при которой затравочная V ——Л-структура заменяется экспериментально наблюдаемым отношением ренормированных констант 尸& — Ga/Gv 足 1,2.

Из гипотезы СВТ вытекает много важных следствий, допускающих прямую проверку. Так, при любом передаваемом импульсе матричный элемент слабого векторного тока можно выразить через матричный элемент электромагнитного тока, причем их отношение равно просто коэффициенту Клеб- ша — Гордана. Напомним некоторые следствия из гипотезы СВТ.

Слабый магнетизм

В данном случае лучше всего исходить из самого общего выражения для электромагнитной вершины нуклона. Поскольку

уэл.-м 一 уизовект + уизоскалq 28,)

можно написать выражение

51濯т |р» = В {ъ4 储 + 歹*)十费％q 4筋 + Flx^u^ (2.282)

в котором нуклонная вершина разложена по дираковским формфакторам 尸 1, F2* Формфакторы для протонного и нейтронного состояний таковы:

務,2 =貝成2 +比2),

,ZU^Ziz — WY, 2).

Тогда, используя условия нормировки 芻(0) = 1，F? (0) — 0,務(0) =乃р« ^ 1,79, F2 (0) = кп^ ——1,91 (аномальные магнитные моменты), получаем, что

严(0) =尸？(0) = 1,

姆(0) = кр + кп^-0,12,(2.284)

尸2 (0) = % — %^ 3,70.

Обратимся теперь к векторной части') матричного элемента, ответственного за р-распад,

M^GcosQ (еЧ IZ1110) (р IV^I га).(2.285)

Положим2)

31%*m〉=元 { YM扌⑺+就■*T用(力} 2].(2.286)

Поскольку Рц+ и 理一члены одного и того же изотриплета, матричные элементы (2<282) и (2.286) связаны между собой изоспиновым вращением, так что

理 2(d) =尸工2(力(2.287)

В частности, при g* = 0 мы снова получаем теорему об отсутствии перенормировки:

尸扌(0) = 1,(2.28S)

а также новое условие

Л (0) = % — кп* 3,70.(2.289)

В равенстве (2.289) выражается факт существования слабого магнетизма, на что впервые указал Гелл-Манн [111]. Поскольку передаваемый импульс при p-распаде нейтрона мал, равенство (2.289) можно проверить по данным о p-распаде ядер. В соответствии с остроумным предложением Гелл-Манна [111] в ряде лабораторий была проведена такая проверка путем сравнения распадов ядер 12N, 12В и 12С* в основное состояние ядра 12С с р+-, р_- и у- переходами. Экспериментальные данные полностью согласуются с гипотезой СВТ 3).

Пионный р-распад

Из свойств инвариантности следует, что [распад л+ -> л° + e+ + ve определяется только матричным элементом (л° | Pj | л+}. Имеем

〈愁 I к I 值〉=3 + P2)u尸(е2)/2.(2.290)

Рассуждая так же, как и ранее, выражение (2.290) можно связать с электромагнитной пионной вершиной

〈砧啜 |%〉= 3 + Р2)М“(д2).(2.291)

Чисто векторный переход можно проанализировать, рассмотрев ядервые ферми- переходы, например 14О + ^N + е+ + ve.

含)Член, пропорциональный @必,не может существовать, поскольку ток сохраняется- Впрочем, это следует уже из симметрии относительно обращевия времени и зарядовой симметрии.

з)Относительно литературы по данному вопросу см. [66, стр. 445].

Тогда

F+ (д?) = Fn (g2)(2.292)

и можно вычислить вероятность процесса (д2 ^ 0). Теоретическое значение (при cos 0^1)

-霏+三嘴『HOS.lOf(2.293)

согласуется с экспериментальным ') (1,03 土 0,07) -10"8.

Бета-распад 2-гиперона

Рассмотрим, наконец, процесс £ + -> А + с+ + w®. Поскольку

<Л I 卩『I 2+〉=〈А I 耳 I 2。〉= WaO^T 嘗“工，(2.294)

при g g 0 векторная часть не дает вклада, что опять-таки согласуется с экспериментом.

Итак, можно заключить, что, по крайней мере при малых д, экспериментальная проверка изоспиновой структуры адронных токов подтверждает справедливость гипотезы СВТ.

Определение угла Кабиббо путем анализа распадов, сохраняющих странность

Мн еще не затрагивали вопрос об определении параметра cos 0, введение которого диктуется как эффектами подавления распадов, подчиняющихся правилу AS = А@, так и малыми отклонениями от равенства G = G^\ следующего из утверждения об универсальности. Поскольку при таком анализе нам предстоит выявить весьма тонкие эффекты, мы должны учитывать электромагнитные поправки.

При наличии эл ектромагнитных взаимодействий векторные токи 喝土 нельзя более считать сохраняющимися, и наряду с хорошо известными следствиями этого (например, появление электромагнитной разности масс частиц, входивших первоначально в один мультиплет) теперь возможны и эффекты перенормировки. Таким образом, вид вершин (2.286) и (2.290) будет более сложным: будут отличными от нуля члены с g^, a F^ 2 будут отличаться от электромагнитных формфакторов членами порядка е2.

Итак, чтобы проверить универсальность и найти cos 6, необходимо учесть электромагнитные поправки порядка е2. Это не так просто, ибо на самом деле необходимо вычислить множество радиационных поправок к р-расттаду, чтобы найти по экспериментальному значению времени жизни «голую» (теперь уже относительно электромагнитных взаимодействий) величину GQ = Geos 0.

К сожаленшо, в случае p-распада результат вычисления оказывается расходящимся2). В первых приближенных вычислениях нуклон трактовался как голый фермион и использовалась процедура обрезания. Что касается векторной части, то вычисления, проведенные недавно на основе алгебры токов, практически подтверждают этот результат. Поправки же, связанные с аксиально-векторной частью, в значительной степени модельно-зависимы, и теоретическая картина еще не совсем ясна.

Т) Оба численные значения взяты из работы [69, стр. 266].

Величину G можно точно найти путем анализа ^-распада, поскольку в этом случае электромагнитные поправки конечны [формула (2.49)]. Литературу и подробное обсуждение этого и рассматриваемых далее вопросов межво найти, например, в работе [106].

Взяв конкретную модель [99], исходя из данных о скорости распада ядра 14О, получаем

缥=cos а = /爲鹫蹤6 = 0,9778 土 0,0018,(2.295)

т. е.

sin 0 = 0,2095 土 0,0086.(2.296)

б. Токи, не сохраняющие странность

Перейдем теперь к полулептонным распадам с изменением странности. Их векторная часть описывается У-спиновым током Р：\ который не сохраняется, причем его дивергенция ——того же порядка величины, что и нарушение SU (З)-симметрии. Поэтому мы не можем рассуждать так, как в предыдущем разделе: V-спиновые векторные заряды будут теперь ренор- мироваться и Ё-спиновая токовая вершина адронов будет отличаться от соответствующей электромагнитной вершины. Чтобы сделать какие-либо теоретические выводы, теперь нужна некоторая информация (или гипотезы, заменяющие такую информацию) о характере нарушения SU (З)-симметрии. Например, уже из изложенного нами доказательства теоремы Адемолло — Гатто видно, как можно вычислить отклонение (во втором порядке) ренормировочного множителя от единицы, если заданы матричные элементы дивергенции d^Vv^

Кз-распад

Рассмотрим в качестве простой иллюстрации случай ЛГ^-распада К -> f л + Z + V,. Матричный элемент такого перехода имеет вид

"=G sin 8〈闻 I 叫 0〉〈№ I 卩广 I K+〉，(2.297)

где из соображений инвариантпости берется только векторная часть адронного тока. Самое общее выражение для адронной вершины

〈л。I 限 I К+〉=負｛(Рк + р“)ц /+(?) + (Рк - Рк)и /-◎)｝，

^=｛Рк — Р^

содержит два вещественных формфактора: /十(g*) и /_ (g2). Из этого выражения легко получить следующую формулу:

芯 I 尹卩『I к+〉=方｛^-^) /+ d)-力_ d)｝,(2.299)

откуда видно, что в любом случае формфактор /一 должен быть того же порядка, что и члены, нарушающие SU (З)-симметрию (такие, вапример, как т^—т我 и 8"Р* ). Поэтому е пределе точной SU (^-симметрии мы имеем /_ (q2) = 0, и SU (З)-поворот приводит к равенству /+ (^2) = F^ (g2). Итак, в пределе точной SU (З)-симметрии снова получаем гкл = /+ (0) =

(0) = 1.

Реальная физическая ситуация соответствует парушенной SU (З)-сим- метрии, и, следовательно, нужно вычислять оба формфактора /土 (g2).

Бзяв случай распада К f 冗 + с + w®, в котором вклад формфактора /_, вероятно, пренебрежимо мал, попытаемся найти по измеренной вероятности распада угол Кабиббо. Предполагая, что зависимость /+ от д* определяется 7^*-мезонным обменом 】),и используя экспериментальное зна-

чение вероятности распада Кг^ получаем

/+ (0) sin 0 = 0,21 土 0,0L (2.300)

Если в разности /+ (0)—— 1 пренебречь поправками второго порядка, то, исходя из равенства (2.300), можно найти угол Кабиббо (который в данном контексте является «голой» величиной). При таком условии и проводил свои первоначальные вычисления Кабиббо [82], но для окончательной проверки теории, очевидно, необходимо оценить /+ (0) количественно.

Весьма убедительные рассуждения, основанные на формализме алгебры токов, развитом в гл. 8, приводят к заключению, что /+ (0) + 1 и, первый расчет [84] дал /+ (0) а 0,96 (гл. 8, § 5, п. 2) в согласии с теоремой Адемол- ло ——Гатто* При таком значении /+ (0) имеем

sin 0 ^0,22. (2.301)

Правда, другой расчет [98] предсказывает значительно большие поправки, а именно /+ (0) 0,85, так что в вопросе о формфакторе /+ (0) пока нет полной ясности. Но согласие между результатами (2.301) и (2.296) можно считать весьма обнадеживающим.

Л"г2-распад

Независимый метод определения угла 0 основан на распадах, индуцируемых одним только аксиально-векторным током. Более обстоятельному исследованию свойств аксиальных токов мы посвятим следующие разделы, -а здесь затронем лишь некоторые моменты, связанные с определением угла Кабиббо. Рассмотрим процессы К+-> 卩+ + v^, л+-> 卩+ + v^, матричные элементы которых таковы:

岭=G {:露}⑴+% I I 0〉〈01 & |2(2.302)

В силу свойств инвариантности получаем

(01 /『”〉= %$ 1/2 三 ％口 需，(2.303)

^\A^\K^=^iqKvifK,(2.304)

где /л, /氏 ——феноменологические параметры. Тогда из отношения

Г (К f |xv) — siM 8 / 左 \2 (разовое пространство^,? QCE

F (冗 f p/v) — cos2 0 I /^》/ (фазовое пространство)я' ' 丿

находим

(2.306)(2.306)备 tg 8^0,27.

(2.306)

(2.306)

sin 0 = 0,2655 士 0,0006.sin 0 = 0,2655 士 0,0006.(2.307)(2.307)В пределе точной SU (З)-симметрии отношение /衣//早 равно единице, и если пренебречь поправками к этому предельному значению [хотя они представляют собой величины первого порядка по нарушению SU (З)-сим- метрии], то получим

sin 0 = 0,2655 士 0,0006.

sin 0 = 0,2655 士 0,0006.

(2.307)

(2.307)

Очевидно, что при /к//л} > 1 результат будет еще ближе к значению (2.301), полученному путем анализа мезонных векторных распадов, и тем самым будет подтверждена гипотеза универсальности.

Но такая оценка отношения fK/f^ все еще отсутствует. Если исходить из универсальности, то, исключив 0 из уравнений (2.300) и (2.306), в хорошем приближении получим

(2.308)(2.308)^■/Ж^1,28'

(2.308)

(2.308)

Полулептонные распады гиперонов

В заключение скажем несколько слов об описании полулептонных распадов гиперонов (например, S -> TV + ^ + vz) в рамках теории Кабиббо.

Корректный анализ показывает, что структура матричных элементов токов Уц, /卩,взятых между барионными состояниями, очень сложна: каждая вершина содержит теперь три формфактора и только в пределе точной SU (З)-симметрии они могут быть связаны SU (З)-вращением с соответствующими изоспиновыми формфактдрами (в частности, часть их, например, те, что умножаются на д^ и 乙凶“，в этом пределе обращается в нуль).

Поскольку теоретически члены, нарушающие SU (З)-симметрию, еще не рассчитаны, при вычислении матричных элементов мы вынуждены ограничиваться предельным случаем точной SU (З)-симметрии. (Именно так и поступил Кабиббо [82], когда выдвинул свою гипотезу.) Далее, пренебрегая зависимостью от д^ (что, по-видимому, вполне допустимо при рассматриваемых значениях д?), получаем окончательно следующее простое выражение:

(bB I 兄 I 瓦)="2 固師aYu (1 -f?5)-喝"Y"Y5] %,

где F -\~ D =尸4 ^ 1,2, и поэтому единственный свободный параметр— величина а = Dl(F + 力).

Оптимальная подгонка к экспериментальным данным по гиперонным распадам дает

а 弋;0,66,(2.309)

откуда для 6 получаются значения, лишь качественно согласующиеся со значениями, которые приводились в предыдущих разделах 】)•

Из нашего краткого обзора можно сделать заключение, что в грубых чертах экспериментальные данные подтверждают теорию Кабиббо в том смысле, что все способы экспериментального определения угла 0 обнаруживают обнадеживающую тенденцию к согласию. Но для окончательной проверки гипотезы универсальности нужно уметь точно рассчитывать радиационные поправки, а также члены, нарушающие SU (З)-симметрию. Можно думать, что более глубокое исследование механизма нарушения симметрии SU (3) [и ^Z7 (3) ® 5Z7 (3)] позволит нам окончательно подтвердить теорию.

§ 6・ Аксиальные токи

Теперь рассмотрим общие свойства аксиальных токов. Начнем, как обычно, с токов, сохраняющих странность. В рамках кварковой модели уже было показано, что для адронных аксиальных токов «голая» константа связи с лептонами такая же, как и для векторных токов. Фактическое же отклонение физической константы связи от значения, предписываемого универсальностью, можно интерпретировать как эффект сильных взаимодействий. В самом деле, Адлер [57] и Вейсбергер [58] показали, что отклонение отно- тления, га = (G^/Gy)? ^(1,2产 от единицы можно строго вычислить как результат перенормировки в виде интеграла по сечениям процессов сильного взаимодействия ).

В то же время мы видели, что в рамках кварковой модели точное сохранение аксиального тока требует равенства нулю масс кварков. Отсюда можно заключить, что сохранение аксиального тока, по крайней мере в такой форме, в какой его принято себе представлять, по-видимому, чуждо природе. Если

Авторы работы [99] приводят следующий результат: а а 0,66, sin 0Г 之 0/9, sin 0А а 0,28, где 0V и 0А — своего рода «перенормированные» углы, введенные, чтобы учесть эффекты, нарушающие SU ⑶-сммме叮шю.

фундаментальной частицей считать нуклон, то, очевидно, тоже ничто не изменится, поскольку приближение 2тn f 0 нельзя считать о皐毁 хорошим, по крайней мере в области явлений, где фигурируют частицы с массой, измеряющейся в гигаэлектронвольтах.

Мы увидим, что механизм и, конечно же, физические следствия частичного сохранения аксиальных токов носят совершенно иной характер и тесно связаны с малостью пионной массы. Это фундаментальное положение впервые четко сформулировал Намбу [107—110].

Придерживаясь такой точки зрения, рассмотрим сначала фундаментальный матричный элемент тока между вакуумным и однопионпым состояНИЯМИ

{01/^n8〉= 2九0/阉"，(2.310)

который ответствен за распады л -^ ц. + vw и л е + ve- Здесь q^ ——пион- ный 4-импульс, а /я ——константа пионного распада, экспериментальное значение которой таково 】)：

倉口^ 0,68%.(2.311)

Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (2.310) и введем обозначение

"4^ =酢(2.312)

Тогда

(0|Оа|л₽)-6ар/л^.(2.313)

Таким образом, для того чтобы аксиальный ток строго сохранялся, следует приравнять нулю либо /я, либо m„. Первый вариант означал бы, что точная киральная инвариантность приводит к правилу отбора, запрещающему пионный распад. Второй вариант, /Пд = 0, означает, что аксиальный ток строго сохраняется только в пределе нулевой пионной массы. Природа, по-видимому, предпочитает второй вариант.

Чтобы исследовать данный вопрос более обстоятельно, рассмотрим матричный элемент аксиального тока между нуклонными состояниями. В силу хорошо известных свойств инвариантности (в том числе зарядовой симметрии и симметрии относительно отражения времени) можем написать

5 3) I 隔 n (Pl)>=五 3)仇仇⑺ + 9松(户)]?5 41皿 3),(2.314)

где

姒=(?2 一”)以(2.315)

и величина G* (q?) нормирована так, что

G工(0) = гл ^ 1,2.(2.316)

Матричный элемент дивергенции дается выражением

(Р21 оа I Pi) = iu (/>2)YsУ T«u(Р!)Gd (^)(2.317)

при

Gd ⑺=2m& 啰)+ 阳？啰)・(2.318)

Посмотрим снова, при каких условиях строго сохраняется аксиальный ток, т. е. выполняется равенство GD = 0. Пример моделей, подобных кварковой, и аналогия с лептонными токами подсказывают, что для этого должны

одновременно выполняться равенства

工(d)=0,(2.319)

т. е. одновременно должны равняться пулю масса нуклона и «псевдоскалярный» член токового матричного элемента. Поскольку эти условия не соответствуют физической реальности, мы потребуем, чтобы сохранение аксиального тока обеспечивалось взаимным уничтожением членов с G】 瓜 G2, т. е. равенством

2mNGi (^2)72^2(72) ~ ^.(2.320)

Правда, если положить в формуле (2.320) qf2 = 0, то, казалось бы, мы опять приходим к равенству 6^ (0) = 0, которое противоречит опыту. Но это кажущееся противоречие, поскольку С2 (^2) имеет полюс при ф=^ 0, связанный с наличием безмассовой частицы (т. е. пиона!), так что lim g^ (?2) =7^ 0-

Как будет показано в следующем разделе, это приводит к хорошо известной формуле Голдбергера — Треймана [112].

Наконец, так как дивергенции аксиальных токов представляют собой операторы, изменяющие пространственную четность, интересно выяснить^ какие условия накладывает эффект сохранения аксиального тока на матричные элементы Лц между состояниями противоположной четности.

В частности, мы рассмотрим «дублет по четности», состоящий из нуклона TV (J? = V2+) и нуклонной изобары TV7 (Jp =九一)：

〈TV'(卩2)Mnl^ (Pl)〉= ^ (取){w〃l (产)+ %曲*〃2 (С) + %Нз (№)} ~ 俨〃 (Pi).

(2.321) Матричный элемент дивергенции дается выражением

“3)尸严3》=iHD^)u{p^^u{p^,(2.322)

где

/ 峭=(М -询 Н、(力 + @2%(冷(2.323)

Снова проанализируем условия сохранения аксиального тока, приводящие к равенству Н^ (^2) = 0. Это равенство обеспечивается, например, при одновременном выполнении двух условий:

т‘ = т^

〃з (炉)=0,(2.324)

т. е. при наличии вырожденного дублета по четности в отсутствие члена с Я3. Но и в данном случае природа, по-видимому, не склонна к такому простому варианту SU (2) ® SU (2)-симметрии. Существование дублетов по четности^ члены которых имеют приблизительно равные массы, отнюдь не следует из тех эксперимент ал ьных данных о низколежащих резонансах, которые имеются в настоящее время.

Следовательно, равенство HD (^2) = 0 обеспечивается взаимным уничтожением членов (mf — m) Hr (q?) и д2Я3 (g?) в выражении (2.323). Как и прежде, чтобы величина 〃】(0) не обращалась в нуль в пределе при д2 0, у функции % (д?) должен быть полюс, связанный с «безмассовым» пионом.

Идеализированный случай пиона нулевой массы

а. Соотношение Голдбергера — Треймана

Мы показали, что один из возможных механизмов сохранения аксиального тока существенно связан с точным равенством нулю массы пиона. Остановимся теперь подробнее на теории Намбу [107—110], справедливой в идеа-

лизированном случае тпя = 0, и рассмотрим некоторые результаты, наиболее важные с физической точки зрения.

Сначала выведем кратчайшим путем знаменитую формулу Голдбер- гера ——Треймана. Рассмотрим уравнение (2.320) в пределе при 夕2 f 0:

Gt (0)^-^- lim 噬?(狞(2.325)

Предел в правой части равенства (2.325) зависит от сингулярностей функции % (д%) в точке ?2 = 0. Единственная сингулярность в этой точке обусловлена тем, что масса пиона равна нулю.

с точки зрения диспер-соответствующий обменугINa1А%Pt Р&Фиг. 2.3с точки зрения диспер-соответствующий обменугINa1А%Pt Р&Фиг. 2.3Если мы рассмотрим вершину〈汽纟丨 /； I 呼〉 сионньтх соотношений, то пол учим, что вклад в нее, пионом (пулевой массы!) (фиг. 2.3), равен

с точки зрения диспер-соответствующий обмену

г

I

Na1А%

Pt Р&

Фиг. 2.3

с точки зрения диспер-соответствующий обмену

г

I

Na1А%

Pt Р&

Фиг. 2.3

—^7ц/л2^лЛгШ2У5-2- ^а^1 一声,так что он содержится только в % (д2), причем城2匂2)后=梏纟.(2.326)

это единственный вклад полюсного типа при а* = 0, из уравнения (2.325) немедленно следует

Gi (0)=纟嗽(°).(2.327)

Вспоминая, что G【(0)=厂厶,получаем соотношение Голдбергера — Треймана〔) %(0) = ^^.(2.328)

Формула (2,328)——это вполне определенное соотношение, связывающее константу пионного распада /л с отпошением гл аксиальной и векторной констант связи слабого взаимодействия и с пион-нуклонной константой связи gnw Это точное соотношение для такого мира, где пион имеет нулевую массу. Поскольку в реальном физическом мире пионная масса мала по сравнению с массами других адронов, мы вполне можем считать формулу (2.328) приближенным соотношением для физических величин. Другими словами, чтобы из соотношения (2.328) найти зависимость между физическими константами, следует в принципе указать способ аналитического продолжения величин /л, g“N, га 口。пионной массе от нуля до ее действительного значения. Проще всего считать эти величины гладкими функциями пионной массы: тогда соотношение (2.328) можно прямо сравнивать с экспериментальными данными. Если подставить в правую часть соотношения (2.328) экспериментальные значения (гА ^ 1,22,隙^14% * 14,5), то мы получим ，启(0) = 0,61тпя.(2.329)

Этот результат удивителен, так как он отличается от соответствующего экспериментального значения (2.311) приблизительно на 11%.

6・ Дублеты по четности

Рассмотрим теперь подробнее следствия сохранения аксиального тока в случае дублета по четности, который уже рассматривался в § 6 [формула (2.321) и далее].

В пределе при g2fo получаем

(тп - тп‘) Н^ (0) = lim 豊В式冷(2.330)

Как и ранее, единственным вкладом в правой части равенства (2.330) будет пионный полюс, что приводит к соотношению

(加—加')Н, (°) = 2/jtgNNy，(2.331)

где gNNF определяется соотношением

^NN^^ ^NN/n^^z^0C^7V1Pa Н~ Э. С.(2.332)

Соотношение (2.331), конечно, аналогично формуле Голдбергера ——Трей- мана. Единственное важное различие, связанное с присутствием частицы противоположной четности, состоит в том, что вместо суммы масс теперь фигурирует их разность. Это значит, что константа связи для взаимодействия пионов с дублетами по четности должна быть весьма малой.

Рассмотрим, как и в электромагнитном случае, более сильный предельный переход，貝一> 0 (а не просто ф 0). При этом мы вынуждены положить т ~ mf = 0 и, перейдя к пределу, будем иметь строгое правило отбора

Snn л = 0»(2.333)

Отметим, что при переходе в формуле Голдбергера ——Треймана к пределу при g@ f 0 необходима осторожность, поскольку при этом спинорный матричный элемент м?5M = (cq) обращается в нуль. Как станет ясно из дальнейшего, соотношение Голдбергера — Треймана есть тождество между членами первого порядка 孔。

в. Условие согласованности Адлера [115]

Исследуем в общем случае следствия из сохранения тока в пределе при

Рассмотрим величину.

Т^ф\А^\а^,(2.334)

где I 6) и ] а) — произвольные адронные состояния. Сохранение тока означает, что

^ = 0,(2.335)

причем

电=(Pb — Ра)ц.・

Выделим в уравнении (2.335) вклад полюса, обусловленного нулевой массой пиона:

{T^-i-^^b^-O),(2.336)

где §皿_ь ——матричный элемент (61 ла) перехода, индуцируемого сильным взаимодействием, и представим Ги в виде

源={7m +爲.(2.337)

Из полученных ранее соотношений следует, что“

乡 Па->Ь =亡严几.(2.338)

Теперь рассмотрим случай q^ -> 0. Для простоты сначала допустим, что Т@ регулярно при ?^f 0. Это предположение выполняется не всегда; усложнения, обусловленные дополнительными сингулярностями, будут указаны позже. Из соотношения (2.338) можно заключить следующее:

В нулевом порядке по，炫 мы имеем

乡 ла~>Ь = 0・(2.339)

Очевидно, что это обобщенное правило отбора (2.333) для дублета по четности. Отметим, что равенство (2.339) привЬдит к интересным физическим следствиям только для s-переходов. Таким образом, в этом пределе они запрещены. В случае переходов с большими I равенство (2.339) тривиальным образом выполняется благодаря наличию соответствующих кинематических факторов.

В линейном приближении по g出 из равенства (2.338) вытекает теоретическое соотношение между амплитудой пионного р-перехода и амплитудой слабого взаимодействия.

Простейшим примером является, конечно, соотношение Голдбергера —— Треймана, которое в данном случае имеет вид

f 晟NN = 2g呐厶仃" =0喧[Y必1g2) + 0e2 d)] ?5%,(2.340)

причем из G豐 эффект пионного полюса уже вычтен. В линейном приближе- ыии по 窥 член с б2 пренебрежимо мал и правая часть равенства (2.340) равна 2тnG^ (0) oq, т. е. мы опять приходим к хорошо известному результату.

г. Применение к пион-нуклонному рассеянию

Возвращаясь к случаю s-переходов, рассмотрим амплитуду Ти [формула (2.334)], когда | а) — нуклонное состояние, а в состоянии ] Ъ) мы имеем нуклон И ПИОН (с ИЗОСПИНОМ Р).

Тогда равенство (2.338) дает

优=*严5叱曾，AI圈3 =击号几.(2.341)

Если положить здесь q^ = 0, то очевидно, что правая часть равенства (2.341) обратится в нуль. Но на самом деле 7kL дает сингулярный вклад в пределе при 9kL f 0, как это показано на фиг. 2.4.

Взяв для простоты случай рассеяния вперед, можем путем простых выкладок убедиться, что (v = qp)

const—const—у.у.(2.342)(2.342)

const—

const—

у.

у.

(2.342)

(2.342)

Кроме аналогичной перекрестной диаграммы, в пределе при 勺以=0 нет какого-либо другого сингулярного вклада в Т^ и поэтому мы должны иметь

lim，煞(v,力)=7賜(0； 0)=0.-(2.343)

虱f°.

Равенство (2.343) снова оказывается точным. К сожалению, в нем фигурируют лишь нефизические величины и преобразовать его в (приближенное) соотношение для физических величин сложнее, чем в случае формулы Голд- 10-01263

бергвра ——Треймана. Это объясняется тем, что в процессе рассеяния мы имеем много величин, которые могут меняться при экстраполяции по пион- ной массе. Таким образом, результат экстраполяции по массе будет в той или иной мере зависеть от того, какая переменная остаемся у нас фиксированной при экстраполяции. Вопрос о корректном проведении экстраполяции в соотношениях типа (2.343) будет обстоятельно рассмотрен в гл. 6.

Попытаемся, однаког извлечь из равенства (2.343) некоторые выводы Элементарным путем- Если разложить Т?^ в ряд по изоспиновым амплитудам,

T翳=电乩++扌［*一們广,T翳=电乩++扌［*一們广,(2.344)(2.344)

T翳=电乩++扌［*一們广,

T翳=电乩++扌［*一們广,

(2.344)

(2.344)

то соотношение (2.343) оказывается эквивалентным следующим условиям:

Т- (0, 0) = 0,(2.345〉

Т^ (0, 0) = 0.(2.346)

Соотношение (2.345) для Т~ (антисимметричной в изотопических индексах части амплитуды) тривиально из-за требований, налагаемых на Т~ перекрестной симметрией. Что касается равенства (2.346), то заметим, что в пределе при 011fo может остаться только s-волна и мы имеем

7+(0, 0) = 8nmNa+ -^ mN (^! + 2а3),(2.347)

где а* ——длина рассеяния s-волны, со отв етств ующая изоспину 0 в ^-канале, а ах и а3 — s-волновые длины рассеяния в s-канале с изоспинами 1/2 и 3/2. Таким образом, условие (2.346) означает, что в идеализированном случае безмассового пиона должно выполняться равенство

做=—2^3*(2.348)

Попробуем сравнить результат (2.348), считая, что он справедлив для физических пионов, с экспериментальными значениями величин ^ и а3 [117]

а8ксп =(о,171 ±0,005)

嚐сп= 一(0,088 土 0,004) От-1.(2'349)

Расхождение между экспериментальными значениями 仪工 и —2as оказывается равным 〜4 %: согласие впечатляющее. Это еще больше укрепляет надежду на то, что идеализированный мир безмассовых пионов на самом деле не слишком далек от физической реальности.

Результат (2.343) есть «условие согласованности», установленное Адлером. На самом деле Адлер [116] ввел в соотношение (2.343) классическое разбиение амплитуды пион-нуклонного рассеяния

т 感=й2(л₽а+ум% щ.(2.350)

Из равенства (2.343) имеем

4敗(0, 0)=— lim V3Poe (v, /)(2.351)

(заметим, что в направлении вперед yg = 21m舟、Таким образом, амплитуда 工。& (0, 0) полностью определяется только теми вкладами в 3。®, которые сингулярны в пределе при д^ -> 0. Эти вклады соответствуют нуклонным борновским членам (фиг. 2.5). Действительно,

嗚^-或風叫器+黑)(2.352)

н, танвм образом,

8阿(Vj i) ^ХГ7 — 6&昭舐—•(2.353)

Тогда из равенства (2.351) получаем

父(0, 0) = 0,(2.354)

4+(0,0)=事.(2.355)

Соотношение (2.354) снова тривиально в силу (нечетной) перекрестной симметрии амплитуды 4一, а равенство (2.355) должно быть точным тождеством, справедливым в случае нулевой массы пионов.

Фиг. 2.5

В заключение сравним теорию безмассовых фотонов с теорией безмассо- вых пионов. Аналогия между этими двумя теориями очень интересна. Мы, в сущности, рассматривали закон строгого сохранения тока

gu?q = 0(2.356)

в пределе при дц-> 0. Оказывается, что в пиоыыом случае, как и в случае электромагнитных процессов, равенство (2.356) не выполняется тривиальным образом; в этом пределе отличны от нуля только полюсные вклады в Т^у соответствующие одночастичным диаграммам. Во всех матричных элементах аксиального тока при 乌纟=0 появляется пионный полюс, который дает физический пионный матричный элемент. Кроме него, могут появиться и другие одноадронные полюса, и тогда придется очень тщательно вычислять предел, что связано с более общей проблемой экстраполяционной процедуры, о которой речь пойдет в гл. 6.

Обобщение на случай физических пионов: гипотеза ЧСАТ

Аксиальные токи обнаруживают своего рода «частичное сохранение», связанное с малостью пионной массы. Такое частичное сохранение будет, например, обеспечено, если допустить, что дивергенции аксиальных токов (которые должны тождественно равняться нулю в пределе тя f 0) пропорциональны в операторном смысле пионной массе в некоторой положительной степени. В этом и заключается основная идея гипотезы «частичного сохранения аксиальных токов» (ЧСАТ).

Чтобы выяснить смысл частичного сохранения аксиального тока, мы сначала покажем, что формулу Голдбергера —— Тревмана (2.328) можно вывести путем чисто дисперсионного анализа аксиальных формфакторов, который, однако, должен быть дополнен соответствующим пр.едположением об отсутствии вычитаний. Напомним, что фундаментальную величину гА можно представить двояко:

『4 = 6, (0)「

7=^Г%(о), где

Gd (g2) = 2吗 G,(g2)+ 門2(q2).(2.358)

Важно то, что в дисперсионном соотношении для Gr пионный полюс не появляется, а в соотношении для Gq он, очевидно, имеется. Таким ебра-

40*

зом, при вычислении гА естественно предположить, что для Gd справедливо дисперсионное соотношение без вычитаний. Это требование в высшей степени нетривиально, так как оно означает полное взаимное уничтожение членов 2mNGi и 炉G^ при 炉-> 8. Безусловно, зто связано с предположением, что асимптотически (при больших д') ток сохраняется.

Дисперсионное соотношение для Go (??) в отсутствие вычитаний имеет вид /(方=驾空+占r吗空工 (2.359) 9тл

причем первый член в правой части ——это вклад пионного полюса, а дисперсионный интеграл — вклад более высоких состояний. В пределе при @纟=О находим'

\ ^^.(2.36。)

Мы видим, что соотношение Голдбергера ——Треймана должно приближенно выполняться для физических пионов, если в правиле сумм (2.360) преобладает пионный вклад.

Посмотрим, каков физический смысл того, что в дисперсионном соотношении (2.359) мы пренебрегаем вкладами более высокого порядка по массе. На первый взгляд в пределе при /п^ -> 0 полюс должен стремиться к тон- не g暫=Q и поэтому полюсная доминантность должнй приводить к точному результату. Но btq не так, поскольку вычет полюса тоже пропорционален т® и зависимость от 啮 исчезает, как можно видеть из правила сумм (2.360). Дело здесь в том, что мы рассматриваем не произвольный псевдоскалярный оператор, а дивергенцию аксиального тока*

Из соотношения (2.313)

(0|Ра|лР) = 6аР/я^(2.361)

мы видим, что матричный элемент дивергенции аксиального тока между вакуумным и однонуклонным состояниями пропорционаленФундамен

тальное предположение Намбу [107] состоит в том, что все матричные элементы дивергенции Da пропорциональны 啮.Если это так, то оператор pD также пропорционален 呜 и, таким образом, поправочный член в соотношении (2.360) обращается в нуль при win -> 0. Очевидно, что предположение Намбу выполняется, если дивергенция О® в операторном смысле пропорциональна 嗚.

Самый простой и самый обычный способ обеспечить такую пропорциональность состоит в том, чтобы принять вслед за Гелл-Манном и Леви [81], Что дивергенция аксиального тока _О& является хорошим интерполирующим полем для пиона:

D^^C^.(2.362)

Предполагая, что пионное поле (ра нормировано надлежащим образом, т. е. что

(0|фа|л^==6аР,(2.363)

и вычисляя матричные элементы правой и левой частей равенства (2.362) между вакуумом и однопионным состоянием, с учетом соотношения (2-361) без труда получаем

■C=mlfnj

-откуда-—...

-■D”⑺=т計冗咪⑺.(2.364)

Такой закон прямой пропорциональности проверен в рамках нескольких теоретико-полевых моделей, подобных a-модели Гелл-Манна и Леви [81], о которой будет сказано в гл. 5. В этом случае утверждение прямой пропорциональности оказывается более определенным, так как(ра становится здесь каноническим пионным полем, удовлетворяющим, например, одновременному перестановочному соотношению [(ра, фР] = 0.

Совершенно эквивалентным образом соотношение Голдбергера — Трей- мана можно вывести непосредственно из равенства (2.364), взяв матричные элементы обеих его частей между однонуклонными состояниями. При этом появляется константа связи gnN вне поверхности масс:

3 |ФК| А)=胃世簣辰Y5M际(2.365)

Соотношение Голдбергера ——Треймана можно получить только в предположении, что gnN (0) не слишком сильно отличается от g打川(?п„). Следовательно, определение (2.364) должно быть дополнено предположением о гладкости, что в действительности и составляет суть дела.

Конечно, все другие результаты, полученные в идеализированном случае тЛ = 0, можно было бы получить путем дисперсионного анализа в предположении о пионной доминантности. Но это значительно сложнее, поскольку вектор 0ц, фигурирует также и в других инвариантах [например, (р + ,)? = =si], и, таким образом, мы вынуждены иметь дело с дисперсионным анализом в случае более чем одной переменной.

Этот вопрос, связанный, очевидно, с вопросом о корректной экстраполяции при g@f 0, более обстоятельно будет рассмотрен в гл. 3, 6 и 7.

а. ЧСАТ при налтии электромагнитных взаимодействий

Выше мы не учитывали электромагнитные взаимодействия. Нетрудно указать, как нужно изменить соотношение ЧСАТ

8Zf = Z)a 士筋匕5『(2.366)

при наличии электромагнитных взаимодействий, если мы имеем дело с заряженными полями. Такое преобразование соответствует требованию градиентной инв ар иантности

5ц,ф? f (电干 ie^^ ^^,(2.367)

где / @ — фотонное поле, а индекс ± указывает знак заряда, который уничтожается полем 屮，Таким образом, в случае заряженных пионов, когда электромагнитные взаимодействия учитываются вплоть до первого порядка по е, вместо равенства (2.366) имеем

(尹千 ie淡")A^ = /2 f„m^.(2.368)

Как показал Адлер [115], соотношение (2.368) можно также обосновать, исходя из теории поля.

В рассматриваемом приближении по е для нейтральной компоненты мы по-прежнему имеем

尹咻=%呜照：(2.369)

При учете электромагнитного взаимодействия в соотношении (2.369) могут добавиться только члены порядка е^, поскольку в силу инвариантности при зарядовом сопряжении электромагнитное поле должно появляться дважды:

Cqpoc-1 =(ро) C/Q = — *口・(2.370)

Кроме того, поле </и должно фигурировать здесь в градиентно-инвариантной и сохранякщей четность форме; Таким образом, в простейшую градиентно-

инвариантную форму будет дважды входить тензор

居1V =电历*—“圈i・(2.371)

Фактически же ввиду нечетности л° мы, кроме тензора 尸… вводим дуальный ему тензор

几=小产.(2：372)

Поэтому должно выполняться соотношение

尹叫=嗚"中。+ CF"v兄 "(2.373)

Таким образом, при наличии электромагнитных взаимодействий аксиальный ток может не сохраняться даже в пределе нулевой пионной массы.

Чтобы фиксировать константу С, мы, как предложил Адлер [111], рассмотрим распад л° —> 2у в пределе мягких пионов. При этом мы воспользуемся гипотезой ЧСАТ, основанной на соотношении (2.373) и на предположеыии о гладкости амплитуды в интервале от ^2 = 0 до，暫==啮.

Введем амплитуду

М" = 8(瓦)，Т №)1^10),(2.374)

которую с учетом требований статистики Бозе, а также лоренцевой и градиентной инв ариантности можно записать в вида

加ц =(41 + ^2)М, (6!^^1^) 4, + [(%1砌(卩£他2 (自-后2)) +

+ (自为)(Na网"2)-(卷21)(卩/网局)]/2,(2.375)

где"(abed) означает £卩^^専〃以匕%口@“ и т. 口・,a Ai — инвариантные функции, зависящие от

9% =(自 + fc2)2 = 2 屈自阳=僧=0).(2.376)

Из соотношений (2.374) и (2,375) вытекает равенство

(Т1Т2 I 尹/^ I 0〉= X (左1 + 左2)"加 ^=切2 ®eg瓦左2)(4 —力2)・(2.377)

Здесь важно отметить наличие общего множителя ?2, который, как мы вскоре увидим, препятствует определению скорости распада л° -> 2у через другие величины (в противоположпость тому, что мы имели в случае соотношения Голдбергера — Треймана).

Из равенства (2.373) выводим

<V1?2 Рm^(0) = 8c (g女儿卷)+ m""(%Y2 |фo)0) =

=8С (电电自卷)+W各(%好闷F„ (办(2.378)

где символом Fn (g2) обозначена константа распада л° -> 2у, определенная вне поверхности масс. Точно она определяется (в случае физических пионов) соотношеыием

缶y2丨兀。〉= (%%自左2)厶，(2.379)

откуда следует выражение для вероятности распада л° -> 2у в единицу времени

е("。+2Y)=黑芻.(2.380)

Как и в тех приложениях ЧСАТ, которые были рассмотрены в предыдущих разделах, в конце концов нас будет интересовать предельный переход ,2 f 0 при условии, что выполняется предположение о гладкости. В действительности, поскольку [как зто следует из формулы (2.376)] равенство д2 = 0 означает, что 加工 и к2 пропорциональны друг другу, инвариант

(81e2fc1fc2) должен обращаться в нуль при переходе к точному пределу. Таким образом, нам приходится ограничиться низшим порядком по д?, в котором равенство (2.378) дает

(丫仆21 尹£ 10)〜(е^ВД [8С+加尸“ (0)].(2.381)

В правой части равенства (2.381) мы имеем в принципе величину О (д') при q2 f 0. Из соотношения же (2.377) следует, что левая часть имеет порядок 力①)(формфакторы Л1|2 регулярны при ?2 = 0, так как теперь тп紀，0): 汕Y21 /蜀 0)=(卧2自&)。(炉)=。(办(2.382)

Поэтому в пределе при 02 fo мы должны иметь

С=-4/Л(0)-(2.383)

Этот результат показывает также, что если бы мы не пользовались модифицированным соотношением 4GAT (2.373) (с С #= 0), то пришли бы к неприятному выводу о равенстве нулю константы связи процесса л° —> 2? [314, 315】.

Если вернуться теперь к операторному условию ЧСАТ, то проввдеиный выше анализ показывает, что в случае нейтральных полей модифицирован- ное уравнение ЧСАТ должно выглядеть так:

д^А^ = mljn^-±.fnFnF^\ (2-384)

Детальный анализ теоретцко-полевых аспектов, а также некоторых следствий из уравнения (2.384) можно найти в статьях Адлера [118], Белла и Джакива [3161 и других авторов ). Подчеркнем, что хорошей основой для исследования распада л° -> 2у и процедуры экстраполяции к нулевому значению пионной массы могут служить тождества Уорда 2) для трехточечной Функции Tg= § d吃囱 exp " (&z + 论理)]<0 | T (君山•⑺ j｝」M ® 厶强°))। 0). При анализе рассмотренной выше проблемы методом теории возмущений в рамках простых теоретико-полевых моделей, например a-модели или спинорной электродинамики (в частности, в связи с интерпретацией треугольной диаграммы фиг. 2.6), возникает ряд тонких вопросов. Здесь мы заметим лишь, что в рамках упомянутых выше моделей величину С можно оценить, только исходя из простой треугольной диаграммы фиг. 2.6. Это дает следующий результат:

扭％ = —*2[Q2 信)_Q2(_》], (2.385)

где Q (/3)——заряд адрона, который фигурирует в треугольной петле и соответствует изотопической компоненте f?. В рамках ренормируемых теоретикополевых моделей [118] было показало, что этот результат, полученный в низшем порядке по сильным взаимодействиям, носит более общий характер.

В случав протонов и нейтронов формулы (2.385) и (2.380) дают

丁1 (л° т 2у) % 9,7 эВ,(2.386)

что вполне сравнимо с экспериментальным значением

т-1 (ло_>2т) = (7,7 士 0,9) эВ.(2.387)

Кварковая же модель дает амплитуду, которая в 3 раза меньше экспериментально наблюдаемой.

3・ Обобщение на случай странных аксиальных токов

Общий анализ, проведенный для изоспиновых аксиальных векторных токов, может быть распространен и иа случай странных аксиальных токов г) /；. Имеется только одно очень важное различие, которое могло бы быть решающим с практической точки зрения: роль, которую в случае изоспиновых токов играет пион, в случае странных аксиальных токов принимает на себя странный псевдоскалярный К-мезон. В пределе точной SU (З)-сим- метрии К~ и л-мезоны имеют одинаковые массы, и, таким образом, все, что справедливо для пионов, в полной мере относится и к каонам. К сожалению, в реальном мире каонная масса приблизительно в 3 раза больше пионной.

Различные результаты, основанные на малости пионных масс, могут быть преобразованы в аналогичные результаты, справедливые при тк -> 0. Но практически они значительно менее ценны. Ясно, что длина пути экстраполяции, необходимая для сравнения с экспериментальными данными выводов, сделанных в пределе нулевой каонной массы, теперь велика и многие поправки, которые в пионном случае можно без всякого ущерба игнорировать, теперь могут оказаться весьма существенными.

Не упуская из виду, что последующие результаты могут быть весьма грубыми, мы все же хотим упомянуть о некоторых обобщениях результатов предыдущего обсуждения на случай странного аксиального тока.

Во-первых, определим матричный элемент, относящийся к слабому лептонному распаду каона:

lfi\A^\K^ = ifKq^,(2.388)

где /к —— константа каонного распада, a q^ —— каонный 4-импульс. Из равенства (2.388) следует, что

(0|77~用)=他/小(2.389)

Тогда обобщенное соотношение пропорциональности Гелл-Манна и Леви имеет вид

严(х) = тпк}к^к+ (^),(2.390)

причем каонное поле нормировано надлежащим образом:

〈0|(рК+|К+〉= 1・(2.392)

Аналог соотношения Голдбергера ——Треймана в случае странных токов теперь легко находится, например, вз выражения для матричного элемента (2~| 4「同=区:{YuGi (炉)+ 必电 d)} ^Un,(2.392)

где

Gt(0) = r^(2-393)

теми же методами, что и в случае нестранных токов. Из выражения (2.392) получаем для матричного элемента дивергенции

&-\Dv~\n) = iG^nu^sUn,(2.394)

Первое обобщение такого рода можно найти уже в работе [107].

где

(2.395)(2.395)GDn d)=(血工+mn) G, d)+阳2 啰)

(2.395)

(2.395)

и, поскольку мы рассматриваем физические каоны,

男一"(0)=(吃+侬)膜飞男一"(0)=(吃+侬)膜飞(2.396)(2.396)

男一"(0)=(吃+侬)膜飞

男一"(0)=(吃+侬)膜飞

(2.396)

(2.396)

следовательно, функция G2 регулярна при g% = 0. Если теперь допустить, например, что G»n удовлетворяет дисперсионному соотношению без вычитаний, и предположить, что каонный полюс доминирует по крайней мере при д" = 0, то получаем аналог соотношения Голдбергера ——Треймана

(2.397)

Соотношение (2.397) становится точным, если уравнение (2.390) справедливо в пределе нулевой каонной массы.

宀N仪n宀N仪nСоотношение (2.397) можно сравнить с соотношением Голдбергера — Треймана для случая заряженных пионов

宀N仪n

宀N仪n

(2.398)

В пределе строгой 5U^(З)-симметрии мы должны получить /к/我)= 1, и, таким образом,

g£KN 理 Ng£KN 理 N(2.399)

g£KN 理 N

g£KN 理 N

Это соотношение означает, что отношение FID для слабых переходов равыо аналогичному отношению для сильных взаимодействий.

7. Доминантность векторных мезонов 4)

Первоначально векторные мезоны (Jp = 1~) были введены, чтобы можно было объяснить некоторые динамические эффекты в нуклонных электромагнитных формфакторах, а также распространить законы сохранения и универсальности, которым подчиняются слабые и электромагнитные векторные токи, на случай сильных взаимодействий. Связь динамического аспекта доминантности векторных мезонов с универсальностью легко показать следующим образом.

Для определенности рассмотрим самый общий случай взаимодействия изовекторной частицы р с частицей «с». Матричный элемент 7раа можно выразить через различные инварианты, в число которых входят спиновые матрицы внешней частицы «с», вектор поляризации р-мезона ец и импульсы

4

P = E(Pi + P2),』Pz —Ph

где pi и ра — импульсы входящей и выходящей частицы «а».

В нулевом порядке по 左炫(импульс частицы р) можно написать

Tpg=—2gpa (夕£)产 + (нлены высшего порядка по “)，(2.400)

где t —— изоспиновые матрицы частицы «а», а а —— изоспиновый индекс р-мезона.

х) Более подробное исследование данного вопроса и соответствующую литературу читатель может найти у Сакураи [65, 199].

Мы хотим показать, что из гипотезы о р-доминантности в электромагнитных формфакторах сразу же следует р-универсальность, т. е. константа связи gpa (фигурирующая в первых членах степенного разложения по 论卩) фактически не зависит от мишени. Для этого рассмотрим матричный элемент изовекторного тока

《& I 邛 13 =户[2P^Ge (胪)+ ・・・],(2.401)

где в явном виде представлен только электрический формфактор, связанный с членом нулевого порядка в разложении по токовому 4-импульсу 儿同.При Аа = 0 формфактор Ge (А2) связан с полным изовекторным зарядом, и поэтому

Ge (0) = 1.(2.402)

Далее введем связь р-частицы с изовекторным током:

(0|^|ра) = 6аР/р8ц.(2.403)

Теперь сделаем очень важное допущение, что для формфактора G^ (А:2) может быть написано дисперсионное соотношение без вычитаний. Выделив явно р-мезонный полюс, получим

叁(胪)=若齡+ J零曙•(2・404)

При 胪 = 0 это^соотношение имеет вид

‘=崙+)号3出2)。(2-405)

Исходя из гипотезы о доминирующей роли p-вклада в соотношении (2.405) получаем

gpa = -^・(2.406)

Этот результат показывает, что константа взаимодействия g^ которая оказывается функцией переменных т。и /», действительно универсальна.

То обстоятельство, что соотношение (2.406) следует из p-до мин антности при 胪=0, указывает на то, что должна существовать общая схема, в которой р-универсальность становится строгой в пределе равной нулю массы р-мезона. Примером могут служить так называемые поля Янга — Миллса, которые вводятся для построения лагранжевых плотностей, инвариантных относительно обобщенных (зависящих от координат) изоспиновых вращений.

Аналогично рецепту для получения минимального электромагнитного взаимодействия в случае любого заряженного поля

九屮⑵ f (电 + i%*Ai) W©(2.407)

рецепт для построения универсального взаимодействия р-мезона с любой частицейимеет вид

%Wa f (5|Х 4~ ^YpPixt)屮@・(2.408)

Подробно такой подход будет изложен в гл. 5. Здесь же мы, исходя из фундаментальной пропорциональности между током и полем, возникающей в рамках янг-миллсовского формализма, т. е. из соотношения

照(n) = Yp 侬啖(吟(2.409)

тде 屮^ ——ренормированное p-поле:

(0|嘅m” =九6%(2.410)

просто приведем некоторые соображения/ убеждающие, что строгая универсальность имеет место в пределе｝加彳 f 0., Сравнивая] (2.409), с (2.403), ви-

ДИМ, ЧТО

/р = УрП1р.(2.411)

В то же время равенство (2.409) означает, что спектральная функция g (А, пропорциональна mp. Таким образом, соотношение (2.405) приводится к виду

( = Ypg.a+J 嘗g (胪)•(2.412)

При mp-> 0 дисперсионный интеграл стремится к нулю, а первыё член принимает конечное значение. Таким образом, ми видим, что при 用=0 строго выполняется соотношение у нив ер с а л ьно сти

^ра = 7~*(2.413)

Yp

Аналогия [с ЧСАТ абсолютно ясна. В случае ЧСАТ аксиальная дивергенция 5М® = Da стремится к нулю, когда пионная масса m^ f 0. Это приводит к строгой пионной доминантности для формфакторов, связанных с D при Л2 = 0- В данном же случае сам векторный ток VJJ стремится к нулю при Wp -^- 0. Это дает в качестве первого результата строгую р-универсаль- ность.

Разумеется, из указанной аналогии не следует, что мы должны забыть о существенном физическом различии двух подходов. Теоремы, основанные на методе мягких пионов, требуют экстраполяции по массе в интервале шириной 喧,довольно узком по энергетической шкале элементарных частиц. Таким образом, результаты, пцлученные в пределе мягких пионов, в общем должны довольно хорошо согласоваться с экспериментом (что действительно наблюдается). Теория же мягких р-мезонов требует экстраполяции в интервале шириной /Пр а 30 т^. Поэтому модель р-доминантности может дать только порядок соответствующих физических величин.

Для полноты скажем еще несколько слов об обобщении всего изложенного на случай аксиальных токов, в частности о доминантности аксиальных векторных мезонов 1+ в аксиальных формфакторах. Рассматривая для простоты случай внешних нуклонов, имеем

《N г I -^ц I -^1) = w2 (^iYhYs 4" “Y5GJ 彳 1tttMн(2.414)

“ =(P2 —P"

т*ак что матричный элемент дивергенции равен

(n2 I 方a I m〉=近2Y5 4*9〃60 (胪)，(2.415)

где,

Gd 储)=2mG1 (*2) + 胪鱼(胪).

В этом случае возникает полюсный вклад как от пиона, так и от 幺厂 мезона. Таким образом, нам следует рассмотреть связь ^j-MesoH —нуклон:

TAiNN =g4屮"Y5Y从 -2 廿"8科(2.416)

(в низшем порядке по "必)；здесь &貝一вектор поляризации Л^мезона. Определим далее

《0|或| 蜀= /*Ав.(2.417)

С учетом этих определений вычеты полюсов легко вычисляются; результаты приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.7

Вклады л- и N 丄-мезона в формфакторы

Формфакторы

Gi

Ga

gd

Вклад л-мезона

0

2^л^л

Вклад Л^-мезона

gANfA

喝 8ANfA

0

Ранее уже говорилось, каким образом можно прийти к соотношению Голдбергера — Треймана, допустив для GD справедливость дисперсионного соотношения без вычитаний, в котором при 42 = 0 преобладает пиоыный вклад. Дисперсионное же соотношение без вычитаний для G工 с преобладающим при "2=0 вкладом Лх-мезона дает нам равенство

IgANfA — ｝或 -IgANfA — ｝或 -以，以，(2.418)(2.418)

IgANfA — ｝或 -

IgANfA — ｝或 -

以，

以，

(2.418)

(2.418)

т・ е. аналог соотношения (2.406). Естественно, что в данном случае из-за квазисохраняющегося характера аксиального тока универсальность оказывается только частичной.

Интересно, что из предположения о существовании дисперсионных соотношений без вычитаний одновременно для G】(А2) и Gq (А2) следует^соот- ношение сверхсходимости»

J p2(^yd^ = 09 〔(2.419)

где р2 ——спектральная "функция для G2(A2)-

Подставив в левую часть соотношения (2.419) полюсные члены для ли Л^мезонов, получим равенство

SnNfn；£^ :/Ag«AN =。,SnNfn；£^ :/Ag«AN =。,(2.420)(2.420)

SnNfn；£^ :/Ag«AN =。,

SnNfn；£^ :/Ag«AN =。,

(2.420)

(2.420)

которое в сочетании с равенством (2.418) вновь приводит к соотношению Голдбергера — Треймана.

Приложен we I

Некоторые сведения о группе 8U (3)

В данном приложении мы изложим основные сведения о группе 'SU(3) и ее алгебре Ли. Наше изложение, вне сомнения, будет неполным, причем внимание, уделяемое тем или иным вопросам, не всегда будет соответствовать тому, насколько они существенны в основном тексте. Нашей целью было дать читателю не полный обзор математической теории, а нечто вроде руководства, которое можно было бы озаглавить: «Сделай сам то, что нужно для физических приложений группы SU (3)»・

. Группа SU (3) и ее алгебра Ли

Группой SU(3) называется группа унитарных унимодулярных преобразований в трехмерном комплексном пространстве. Это 8-параметрическая группа, так как на 18 действительных параметров комплексной матрицы размерности 3x3 девять условий накладывает унитарность и одно — унимодулярность.

Наиболее общий вид SU (З)-преобразования U таков:

С7 = № (1.1)

{суммирование по сс от 1 до 8), где еа — вещественные параметры (которые можно интерпретировать как обобщенные углы). Восемь линейно независимых операторов La эрмитовы (поскольку U — унитарное преобразование) и имеют след, равный нулю (поскольку U — унимодулярное преобразование). Они являются генераторами инфинитезимальных преобразований группы SU (3), так как преобразования, близкие к тождественному, выражаются формулой

U=(l + ieaLa) (1.2)

с бесконечно малыми еа. Структура группы полностью определяется по инфинитезимальным преобразованиям т). Величины £仪 обычно называют SU (3)- генераторами.

Очевидно 2), что из восьми генераторов £" существуют два (и только два) оператора, которые одновременно диагональны. Отсюда следует, что SU (3) — группа ранга два.

Перестановочными соотношениями между операторами La определяется замкнутая алгебра. Действительно, поскольку коммутатор двух эрмитовых операторов, след которых равен нулю, есть антиэрмитов оператор со следом, равным нулю, его можно представить в виде линейной комбинации (с чисто мнимыми коэффициентами) самих La. Таким образом,

[*,加] = %pQ (1.3)

(по у производится суммирование).

Вещественные коэффициенты /аб7 оказываются полностью антисимметричными по всем трем индексам а, Р и v. Очевидно, что их значения зависят ют конкретного выбора восьми генераторов 上仪 в качестве линейно независимых эрмитовых операторов, след которых равен нулю. Наиболее широко используется выбор /a6v, введенный Гелл-Манном [147, 78L Он вытекает из вида операторов La в низшем по размерности нетривиальном представлении. Ясно, что это трехмерное представление [фундаментальное представление). и выбор Гелл-Манна для 乙。Таков:

r = ±r,(1.4)

где

(1-5)(1-5)

(1-5)

(1-5)

В действительности алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локальиого изоморфизма..

Если считать, что 厶"一это эрмитовы матрицы 3X3, след которых равен нулю, т. е. взять низшее нетривиальное представление операторов La.

Поскольку для %06 коммутационные соотношения имеют вид

时，的=2炉期猖

(1.6>

получаем отсюда

/aP7 = 4-Sp ([Aa,冲]炉).

(I.7>

Это соотношение демонстрирует полностью антисимметричный

характер

коэффициентов fa^ по всем трем индексам и фиксирует

/123 = 4,

/147 = — /156 = /24в ~ /257 = /з4 5 = — /зв7 =京，

(L8》

/&58 = /б78 — -2~，

причем все остальные коэффициенты /а67 равны нулю.

Заметим, что матрицы 九盘 строятся в строгой аналогии с матрицами Паули 2 х 2. Для матриц Ха в дополнение к коммутационным соотношениям (1.6) можно также написать антикоммутационные соотношения вида

{Г,九B} = c6ae + 2da阿炉.(1.9)

Поскольку

Sp (1аХе) = 26аР,(1.ю>

имеем

C=g,(1.11)

d哂= $Sp({H,廖}炉).(I.12>

Последнее соотношение показывает, что действительные коэффициенты daer полностью симметричны по всем индексам и равны

^118 = ©228 = @338 = 一 ^888 =斤万，

(1.13》(1.13》^448 = ©558 = ^668 = &778 =—万匸冃，

(1.13》

(1.13》

厶46 = @157 = — @247 = ^256 = ^344 = ^355 = 一 厶66 = @377 = ~^ * Остальные коэффициенты daBv равны нулю.

2・ Представления группы 8U (3)

Базисными векторами фундаментального представления являются, очевидно, три ортонормированных вектора | &〉с компонентами 匾=仰 | /〉= =6fA (3 在=1, 2, 3). Нетрудно сообразить, что в двумерном подпространстве, образованном векторами | 内〉и | е^〉，матрицы Л1, %? и Л3 действуют подобно трем матрицам Паули т1, т2, т3 и, следовательно, векторы |%〉 и I е2) можно рассматривать как две компоненты изоспинового дублета, а вектор | е§) должен быть изоспиновым синглетом.

Таким образом, первым аддитивным квантовым числом, введенным в SU (З)-схему, является собственное значение третьей компоненты изоспина /3, отождествляемой с L3. Второе аддитивное квантовое число, связанноеt очевидно, с собственными значениями оператора ЕЗ в дальнейшем будет отождествлено с гиперзарядом У.

В трехмерном пространстве, образуемом векторами | ег), | е2) и Sb произвольный вектор | g〉представляется своими «контравариантными ком-

ионентами» д'=〈修 | д〉，преобразующимися при SU (З)-вращениях по закону

qf = UM,(1.14)

где, как обычно, производится суммирование по повторяющимся индексам, a G — элементы унитарных унимодулярных матриц (3 X 3).

Существует, однако, и другое, неэквивалентное данному, SU (З)-пред- ставление размерности 3. Дело в том, что произвольный вектор J q > можно представить также и его «ковариантными компонентами» 外=寸*, которые преобразуются по закону

g± f 4 = uf% = (炉負％.(L15)

Такое представление неэквивалентно предшествующему, поскольку не существует матриц R размерности 3x3, обеспечивающих соотношение

RUR-，- U*

для любой унитарной унимодулярной (3 X 3)-матрицы U г).

Если U имеет вид (L1), то

0=宀3(1.16)

Тогда независимое и неэквивалентное представление SU (З)-генераторов определяется набором матриц )

音三 T*= 一4■严：(1.17)

Действительно, £仪 удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям (L3), что и La:

[La, I?] = ifa^.(1.18)

В дальнейшем мы будем называть два неэквивалентных трехмерных представления, которые мы ввели, представлением 3 (фундаментальным представлением} и представлением 3* (сопряженном ему представлением}•

Теперь скажем несколько слов о других возможных SU (З)-представле- нинх. Существует, очевидно, тривиальное одномерное представление, в котором каждый генератор равен нулю. Другие, нетривиальные неприводимые представления могут быть найдены следующим образом.

Начав с д； и 矿，мы можем сконструировать тензоры с m контравариант- ными (верхними) индексами и п ковариантными (нижними) индексами:

齊二？=/•••翔史「..％.(1.19)

Они преобразуются по закону

瓚二？=吟.• •吟(炉就…(0党元:二:.(1.20>

工)Это не относится к группе SU (2), где U* = t2J7t2, что сразу же видно из структуры произвольной унитарной унимодулярной матрицы в двумерном пространстве

U= / a + R ? + ^6\

—I—y +诂а—步丿

с вещественнЕШИ а, Р, v，6 и а2 + Р2 + v2 + б2 = 4・

Если рассматривать д' как компоненты базисных векторов, то элементы тензора 映：二:既 составляют базис (3m х Зп)-мерного представления SU (3). Это представление приводимо, поскольку тензоры 6} и e^ft (так же, как и e^ft) инвариантны относительно SU (З)-преобразований 丄).Таким образом, любое допустимое неприводимое представление группы SU (3) имеет в качестве базиса элементы тензоров Т紀二:務匕 полностью симметричные как по верхним, так и по нижним индексам:

. .йв..{...fer.. ,he.. .}/Т с%、

^{..Лг.Ли...}心.・.}(L21)

и имеющие нулевой след (при свертке любого верхнего с одним из нижних индексов):

6加：：生：：］=0.(1.22)

Поскольку тензор с т снимет ри чными верхними индексами йен симметричными нижними индексами имеет

扌(m+1)(m + 2) (〃 +1)(九 + 2)

независимых компонент, а условие равенства нулю следов тензора накладывает еще

-i-m；(w + l)n(n+l)

соотношений между этими компонентами, допустимые размерности неприводимых представлений группы SU (3) таковы:

D(mt n) = -i-(7?г +1) (тг +1) (m -|- тг -|- 2)>(1.23)

Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать неприводимое представление группы SU (3), необходимы два числа ?п и п, а именно число фундаментальных и число сопряженных триплетов, которые требуются для построения такого представления. Будем обозначать его символом (тп.тг). Тогда представление (n.m) соответствует представлению, сопряженному (т.п). Представления типа (тп.ш) оказываются самосопряженными, и их размерности равны просто

О (т. тп) = (тп +1)3.(1.24)

На практике SU (З)-представление (т.п) удобно характеризовать схемой Юнга. Такая схема состоит из клеток, расположенных в двух рядах: в первом ряду тп + 孔 клеток, во втором ——п. Таким образом,

(/и. л)(/и. л)12т + п12т + п1 21 2(1.25)(1.25)

(/и. л)

(/и. л)

1

2

т + п

1

2

т + п

1 2

1 2

(1.25)

(1.25)

Очевидно, что в случае представлений типа (тп.О) второй ряд отсутствует. Представлению (п./п), сопряженному относительно представления (т.п), соответствует схема, дополняющая предыдущую до трехстрочной схемы, в каждой строке которой (ш + п) клеток (причем порядок строк в дополнительной схеме должен быть изменен на обратный, чтобы она имела надлежащую форму SU (З)-схемы Юнга).

1) Тензор 6； вследствие унитарности, а &“也一вследствие унимодулярности преобразований.■

Ниже приводятся чаще всего используемые SU (З)-представления и соответствующие схемы Юнга:

「Т I I = (3.0) - 10,「Т I I = (3.0) - 10,□ = (1-0J = 3,日=(0.1) = 3*,□ = (1-0J = 3,日=(0.1) = 3*,ГТ~| =(20)= 6；I I = (°・2) = 6*;ГТ~| =(20)= 6；I I = (°・2) = 6*;(.261)(.261)(0.3) = 10*,(0.3) = 10*,、=(2.2) = 27.、=(2.2) = 27.

「Т I I = (3.0) - 10,

「Т I I = (3.0) - 10,

□ = (1-0J = 3,

日=(0.1) = 3*,

□ = (1-0J = 3,

日=(0.1) = 3*,

ГТ~| =(20)= 6；

I I = (°・2) = 6*;

ГТ~| =(20)= 6；

I I = (°・2) = 6*;

(.261)

(.261)

(0.3) = 10*,

(0.3) = 10*,

、=(2.2) = 27.

、=(2.2) = 27.

Отметим, что схемы Юнга имеют конкретный смысл, так как они воспроизводят свойства симметрии соответствующих тензоров. Но по этому вопросу мы не будем вдаваться в детали.

〃・ Весовые диаграммы

Выражение (1.4) для SU (З)-генераторов в фундаментальном представлении 3 [или (1.0)] показывает, что Z3 и Z8 ——это операторы, которые диаго- нализуются одновременно. Мы можем рассматривать их собственные значения как компоненты вектора в двумерном пространстве (весовом пространстве). Если ввести обозначение

Н 三(修=/Л, % = £8),(1.27)

то имеем для базисных векторов фундаментального представления

Н|е,〉= М>|е》(1.28)

где Ь(г, — веса, равные

h(1，=(4> 赤)；h⑵=(-4"，從)；h、(O,-含).(1.28，)

Компоненты весов суть квантовые числа, служащие для идентификации базисных векторов, и данное неприводимое SU (З)-представление обычно характеризуют его весовой диаграммой, изображая в плоскости (Яг — £з, Hz = L8) вес, связанный с каждым базисным вектором.

Выражения (L28‘) сразу же позволяют нам начертить весовую диаграмму фундаментального представления 3 (фиг. 1.1, а). Три веса имеют одинаковую длину, и каждый вес можно получить из других поворотом иа 2冗/3 вокруг начала.

Для сопряженного представления 3* из (1.17) имеем

hе(%=z3：±v,% =毋=_4■炉)，(1-29)

тогда уравнение для собственных значений

Н|%〉= &2)|е0(1.30)

дает решения

h⑴二一h“(L30)

причем h°)——вес (1.28) представления 3. Весовая диаграмма представления 3* (фиг. 1.1, б) получается из диаграммы представления 3 просто путем ii-01263

отражения стрелок относительно начала. То же самое справедливо, очевидно, и для любой пары (т.п) и (п.т) сопряженных представлений.

Для физических приложений вместо оператора £8 ЛуЧШе ввести эквивалентный ему оператор

(1.31)

который будет отождествляться с оператором гиперзаряда. Как уже указывалось, £3 принимается за /3——третью компоненту изоспина.

УмУм一施一施厶厶

Ум

Ум

一施

一施

厶

厶

Таким образом, мы будем классифицировать состояния по собственным значениям операторов /3 = L3 и У = (2/У3) L8, а не по собственным значениям L3 и £8, так что весовые диаграммы будут, как правило, вычерчиваться в плоскости (/3, У). При этом, однако, диаграммы теряют свою симметричную форму (которая удобна и к тому же отвечает существу дела). Чтобы сохранить симметричную структуру двумерных (/3, У) диаграмм, мы будем пользоваться разными масштабами по осям /3 и У. На фиг. 1.2 показаны весовые диаграммы представлений 3 и 3* в такой (/а, У)-плоскости.

Весовые диаграммы для SU (З)-представлений более высокого порядка могут быть получены путем прямого сложения т весов представления 3 с 也 весами представления 3*; в результате мы получим весовую диаграмму приводимого (3?n X Зп)-мерного представления. Разложение ее может быть проведено в соответствии с рассмотренной уже процедурой приведения тензоров. Но это не всегда оказывается простой задачей. Поэтому здесь мы ограничимся тем, что приведем без доказательства основные свойства весовых диаграмм высших SU (З)-представлений.

Начнем с того, что в плоскости (/3, У) введем три фундаментальных

векторавектора』a，0),』a，0),v =v =11,1),,1),(1.32)(1.32)и =и =-4，i).-4，i).

вектора

вектора

』a，0),

』a，0),

v =

v =

1

1

,1),

,1),

(1.32)

(1.32)

и =

и =

-4，i).

-4，i).

Будем теперь изображать веса в плоскости (/3, У) просто точками, соответствующими концам весовых векторов. Почти очевидно (см. весовые диа-

составленпую из правильныхсоставленпую из правильных

составленпую из правильных

составленпую из правильных

Фиг. 1.3

граммы представлений 3 и 3*), что в самом общем виде SU (З)-весовая диа

грамма будет представлять собой решетку, треугольников 丄)и полученную трансляцией трех векторов (фиг. 1.3). Для SU (3)- весовых диаграмм справедливы следующие теоремы ):

Каждая весовая диаграмма имеет три оси симметрии — прямые линии, проходящие через начало и ортогональные трём векторам i, v и и.

Точки, составляющие весовую диаграмму,——это все те точки решетки, которые лежат либо внутри, либо на границе выпуклого шестиугольника, построенного с учетом упомянутой выше симметрии, причем его вершины являются точками решетки. Центр шестиугольника всегда соответствует точке (0, 0), которая может принадлежать, а может и не принадлежать решетке. Шестиугольник может перейти в треугольник в том случае, когда три противоположные грани превращаются в точки, лежащие на трех осях симметрии.

Точке на границе соответствует единственное состояние, т. е. она простая. При удалении от границы во внутреннюю область гексагональных структур крат-

ность весов возрастает шаг за шагом нафиг【&

единицу до тех пор, пока не будет достиг-*

нута треугольная структура (и это последний шаг с возрастанием кратности); внутри треугольника кратность точек остается неизменной. Некоторые примеры, иллюстрирующие сказанное, приведены на фиг. 1.4.

1) Напомним, что у нас разный масштаб по осям /3 и У.

4・ Представлению (т,п) соответствуют m + 1 точек на верхней гори* зонтальной грани и по n + 1 на двух смежных гранях (и, следовательно, на нижней горизонтальной грани). Например, на фиг. 1.4 изображены весовые диаграммы представлений (2.2) и (4.1), размерности которых равны 27 и 35.

Нетрудно видеть, что весовую диаграмму представления (п.т)^ сопряженного с (加.孔),можно получить путем отражения весовой диаграммы представления (т.п) относительно начала. Поэтому весовые диаграммы самосопряженных представлений имеют правильную гексагональную структуру [действительно, самосопряженные представления имеют вид (т.т)].

В заключение раздела скажем несколько слов об использовании SU (З)-представлений в физических приложениях. Мы видели, что представление (т.п) получается в результате композиции т представлений 3 и п представлений 3*. Поэтому наивысший вес представления (т.п) (соответствующий наивысшему значению 13 и наивысшему возможному при этом значению У) имеет компоненты

厶=个(皿+叫y = ^(?и 一也).(1.33)

ооДалее, допустимые значения У базисных состояний неприводимого представления всегда различаются па целые числа (см.- напрнмер, представления 3 и 3*). Отсюда следует, что единственными представлениями, имеющими базис состояний с целым гиперзарядом, оказываются представления (т.п), для которых

о

о

-2—•m — п = 0 (mod 3).(1.34)

< —^—\~^~——J;~1~才 а Неприводимые представления наинизших к 一倉- -吻 2 " 7 /厶 размерностей, обладающие этим свойством, °таковы: тривиальное представление (0.0);

Фиг. 1.5представление (1.1), т. е. SU (З)-октет, явля

ющийся регулярным1) представлением группы SU(3)h наиболее важным для физических приложений; представление (3.0), соответствующее декаплету, и сопряженное с ним представление (0.3) и т. д. Все физические частицы имеют целые гиперзаряды. Поэтому именно выписанные выше представления используются при классификации известных физических частиц (и резонансов) в рамках схемы SU (3).

Для полноты на фиг. 1.5 показаны весовые диаграммы, соответствующие представлениям 8 (а) и 10 (6). В случае фиг. 1.5, а центр диаграммы оказывается дважды вырожденным весом нулевой длины.

Произведение представлений

Прямое произведение двух неприводимых SU (З)-представлений тоже представление группы SU (3), которое, однако, приводимо. Разлагая его по неприводимым представлениям, мы получаем ряд Клебша ——Гордана для

прямого произведения двух представлений:

(恤.巾)® (⑵.孔2)= 3 ® ^mn(W-W),(1.35)

где стп — кратность представления (т.п).

Существует много методов определения ряда Клебша ——Гордана для прямого произведения любой пары неприводимых представлений. Основной метод заключается в том, что берут прямое произведение соответствующих SU (З)-тензоров и разлагают его по неприводимым тензорам (§ 2). Однако не во всех случаях эта процедура элементарна. Можно использовать простой метод схем Юнга, который автоматически воспроизводит упомянутую выше процедуру приведения тензорных произведений.

а. Ряд Клебша — Гордана^ метод схем Юнга

Чтобы, получить ряд Клебша ——Гордана для произведения (^.^) ® ® (тп2.и2), начнем с соответствующих схем Юнга. Фиксируем одну из схем. К ней нужно присоединять все клетки другой всеми возможными способами, совместимыми со следующими требованиями:

Клетки диаграммы второй (умножаемой) схемы должны присоединяться к фиксированной строка за строкой, начиная с первой (верхней) строки.

Подучающаяся схема снова должна быть схемой Юнга. Это значит, что число клеток в любой строке не должно возрастать при переходе от этой строки к нижним.

Две клетки из одной строки никогда не должны оказываться в одном столбце.

Напишем во второй схеме индекс а в каждой клетке первой строки и индекс Ъ в каждой клетке второй строки. Взяв все схемы, построенные по изложенным правилам, будем выписывать по порядку индексы в строках справа налево, начиная с первой строки. Тогда допустимы только такие схемы Юнга, для которых в любой момент число выписанных индексов а больше числа выписанных индексов Ъ или равно ему.

Максимально допустимое число строк в получающихся схемах равно трем, причем в окончательных схемах должны быть отброшены все столбцы с тремя клетками.

Проиллюстрируем теперь метод, вычислив ряд Клебша ——Гордана для прямого произведения двух представлений 8.

Переходя к схемам Юнга, имеем

(1.1)® (1.1)(1.1)® (1.1)=(2.2)© (3.0)㊉(0.3)㊉(1.1)㊉(1.1) + (0.0)=* 27 ф 10 ф 10* ® 8 ф 8 © 1.=(2.2)© (3.0)㊉(0.3)㊉(1.1)㊉(1.1) + (0.0)=* 27 ф 10 ф 10* ® 8 ф 8 © 1.(1.36)(1.36)

(1.1)® (1.1)

(1.1)® (1.1)

=(2.2)© (3.0)㊉(0.3)㊉(1.1)㊉(1.1) + (0.0)=

* 27 ф 10 ф 10* ® 8 ф 8 © 1.

=(2.2)© (3.0)㊉(0.3)㊉(1.1)㊉(1.1) + (0.0)=

* 27 ф 10 ф 10* ® 8 ф 8 © 1.

(1.36)

(1.36)

В заключение раздела напомним некоторые чаще всего используемые ряды Клебша — Гордана：

3 0 3* = 1 ф 8,

3®3==3*®6,

3 (Э з (Э з = I ㊉ 8 ㊉：8 ㊉ 10,8：О 8= I ㊉ 8 ㊉ 8 ㊉ 10 ㊉ 10* ㊉ 27,@37)

8® 10 = 8® 10 ф 27 ® 35,

10 ® 10* =1 ф 8 ф 27 ® 64.

Модифицированная форма алгебры S U (3)

В дополнение к эрмитовым SU (3)-генераторам Л®, определенным в § 1 и удовлетворяющим алгебре Ли группы SU (3) в форме, данной Гелл- Манном [формулы (L3) и (1.8)], удобно ввести《реальные» генераторы, физическая интерпретация которых более прозрачна.

Введем такие «реальные» генераторы, как следующие комбинации эрмитовых генераторов:

乃=D 土力，

V± = L4±iL5,

C7± = 〃> 上必7,(1.38)

厶=风

/3

Кроме того, введем сокращенное обозначение

Н =(厶，У)(1-39)

аналогично формуле (L27),

Генераторы (1.38) определены в полной аналогии с теми генераторами, которые удовлетворяют стандартной форме SU (З)-алгебры, введенной Рака [1481. Они отличаются от последних только своей нормировкой, которую выбирают обьгано в соответствии с (1.38), имея в виду физические приложения.

Мы приведем здесь полный перечень перестановочных соотношений для реальных генераторов (1.38), которые часто используются в вычислениях: [h,尸]=土汉士，i = (l, 0),

【H,尸]=±v伊，v=(4, 1),

[H,0±] = 土u0士，u=(一；,l),

[尸，门=2厶，

[尸，广]=2匕， V3 = 4(^ + -f-r)，(1-40)

IU\ eП = 2%,% =等(一厶+等У),

[Г, V+] = U\ [V-, Г] = и~,

[尸，0+]=尸，[U-, 7-] = 7-,

[V\ U~] = r, [U+, V-] = r.

Коммутаторы, не включенные в данный список, равны нулю.

Векторы i, V и и, введенные ранее в п. 2ат играют роль корней алгебры SU (3). На фиг. 1.6 они изображены в плоскости (/3, У) (с обычным выбором масштабов, принятым в случае весовых диаграмм). Можно заметить, что диаграмма фиг. 1.6 совпадает с весовой диаграммой регулярного представления, как уже говорилось в примечании в конце п. 2, а.У,

Из определения (1.40) SU (З)-алгебры

замечаем, что она содержит три SU ⑵-^%《丿 。修川

подалгебры, которые мы будем назы-\/

ватв В /-спиновой алгеброй:\ /

[尸，尸 1 = 2%，[厶"±] = 土户；(L41) -**^а^m).w

F-спиновой алгеброй:/ \

[片，片]=2%，[%/±] = 土片(L42)/\

и С^-спиновой алгеброй:"ъ 一“

[。*, U-] = 2%, [%0±] = 土厅.(I. 43)

В этих соотношениях Рз и U^~ комбина-* '

ции диагональных генераторов /3 и У, определенные формулами (1.40). Для любой из этих подалгебр существует другая комбинация /§ и У, играющая роль скалярного оператора подалгебры. Для /-спиновой алгебры таковым является генератор У, поскольку

[%，У] = 0 (а = +, —, 3).(1.44)

Если отождествить / с генераторами изоспиновой группы и У — с оператором гиперзаряда, то мы получим хорошо известный результат： состояния, относящиеся к одному и тому же изоспиновому мультиплету, имеют одинаковый гиперзаряд.

В этом отношении особенно интересна С7-спиновая алгебра, так как для нее скалярный оператор равен

Q = I3+-^Y,(1.45)

т. е. оператору электрического заряда (в единицах е). Поскольку

lUa9 Q] =0 (а = +, —, 3),(1.46)

то состояния, относящиеся к одному и тому же СУ-спиновому мультиплету, имеют одинаковый электрический заряд.

Наконец, V-спиновым скаляром является оператор

QlA-",(1-47)

который не имеет непосредственного физического смысла. Но из соотношения 〔％, Q" = 0 (а = +, —，3)(L48)

следует, что состояния, относящиеся к одному и тому же У-спиновому мультиплету, имеют одинаковое собственное значение Qy. Таким образом, переходы между состояниями внутри V-спинового мультиплета подчиняются правилу отбора AQy = 0, т. е. Д73 = % АУ. Отсюда видно, что слабые переходы, не сохраняющие странность и удовлетворяющие классическому правилу AS = А(2，происходят внутри V-спиновых мультиплетов ).

т) Такая терминология была введензГЛипкином [151].

Из сказанного ранее о SU (2)-подалгебрах алгебры SU (3) следует, что генераторы /土, V士, U± действуют на базисные состояния SU (З)-представле- ния как операторы сдвига. Если обратиться к весовым диаграммам в плоскости (73, У), то мы увидим, что генераторы /士 связывают состояния, смещенные на 土i, а генераторы V士，U± связывают состояния, смещенные на 土 v R 士 и. Другими словами, генераторы /± вызывают переходы между состояниями с Д73 = 土 1 и ДУ = 0; V± связывают состояния с Д/3 = ±^1^ △?= —±£ (т. е. с Д5 = Д0, и, наконец, U± связывают состояния с А73 =■ =干工厶,АУ = 士 1 (т. е. с Aq = 0).

Если начать с некоторого произвольно выбранного состояния данного представления, то путем многократного применения. операторов сдвига в надлежащей последовательности можно построить все базисные векторы такого представления.

Классификация базисных состояний

Мы уже видели, что в общем случае для неприводимого представления типично наличие кратных весов. При этом для полной характеристики базисных состояний оказывается недостаточно квантовых чисел /3 и У. Мы должны добавить новое квантовое число, чтобы устранить вырождение состояний.

Поскольку оператор Р = % (/+/- + /~/+) + /： коммутирует как с /3, так и с У, мы можем выбрать в качестве полного набора квантовых чисел, необходимых для полной характеристики базисных состояний данного представления, набор 72, 73, У. Таким образом, произвольное базисное состояние данного представления будем обозначать символом | /, /3, Y). Например, в случае октета его центр является точкой кратности два. Вырождение устраняется ,если в качестве базисных векторов, соответствующих этой точкет выбрать векторы | 1, 0, 0 > и | 0, 0, 0 >.

Описанная процедура дает классификацию базисных состояний в соответствии с их трансформационными свойствами относительно преобразований изоспиновой подгруппы SU (2), содержащейся в группе SU (3). Такой выбор подсказывается, очевидно, физическими соображениями, ибо для сильных взаимодействий I ——хорошее квантовое число.

Формально классификации базисных состояний в соответствии с их трансформационными свойствами относительно преобразований любой из подгрупп SU (2), содержащихся в группе SU (3), вполне равноправны. Таким образом, мы с тем же успехом могли бы классифицировать базисные состояния по их V-спиновым характеристикам как ] V, V3> Qv > или по их ^/-спиновым характеристикам как | U, U3l Q >. Отметим, что эти два варианта неэквивалентны. В самом деле, выбор несуществен только для состояний с простыми весами. В случае же кратного веса к каждому V- (или U-) спиновому собственному состоянию, принадлежащему данному весу, будет примешано состояние с определенным 7-спином.

Выбор фаз

Рассмотренные ранее классификации базисных состояний по их /-, V- и £7-спиновым характеристикам сразу же позволяют определить матричные элементы операторов сдвига в SU (2)-подпространстве группы SU (3).

Приняв обычное соглашение о фазах (Кондон и Шортли [152, 153]), мы имеем для состояний, ирмнадлетц^нх определенному /-мультиплету,

尸 |/,厶，У)=4-[(/+/з)(/±/з + 1)11/а|Л 厶±丄，У〉・ (1・49>

Отметим, что из формулы (1.49) следует равенство

声4 I 7,厶，у) = (一 1)"胃 7,-厶，у>. (1.50)

Относительные фазы внутри V-спинового мультиплета выберем, следуя Де Сварту [154], точно таким же образом:

v±\v,%，Q力 = e千%)e土瞑+1)4|匕%士(,Qy).(1.51)

Чтобы фиксировать относительные фазы двух наборов состояний | 7, 7S, Y〉 и 丨 V, V3, Qv), начнем с того, что, вообще говоря, мы имеем

v±\l,厶，У〉=》а±(/, Г,厶，У)|г,厶土皆，У±£〉•(1.52)

Тогда относительные фазы для всех состояний неприводимого представления можно полностью определить, как это принято у Де Сварта, исходя из требования, чтобы коэффициенты а± (7, /\ 73, У) всегда были вещественными и неотрицательными.

При таком выборе фаз операторы сдвига в ^/-спиновом пространстве даются следующим выражением:

厅u,03, Q)= 土[。千4)0士。3+1)产I0，q±(, Q)，(1.53)

где символ 士 означает, что знак теперь нельзя выбрать произвольно и он определяется коммутационными соотношениями

U+ = [/-,尸],

〃-=[У-, /+].

Из соотношений (1.54) следует, что, подействовав оператором сдвига U± на данное состояние | /, /3, У), мн получим

厅 |/, Л, У) =2 ^(7, Г,厶，У)|г, 73 + 4- У±1〉，(1-55)

где в противоположность тому, что имело место для аналогичного соотношения (1.52), знак Ь± определяется SU (З)-алгеброй.

В заключение приведем принятое Де Свартом фазовое соотношение между собственными состояниями данного SU (З)-представления (т.п) и собственными состояниями сопряженного ему представления (п.т);

|(m.冷；7,厶，у)* = (-1卢+b/2)m制；7, 一厶，一У). (1.56)

В случае самосопряженного представления, подобного регулярному представлению 8, соотношение (1.65) требует, чтобы выполнялось равенство

& 厶，y〉* = ( — £)Q|/, —厶，-У),(1.57)

где, очевидно, Q = /§ + (У/2) имеет смысл заряда, когда мы работаем с физическими состояниями.

Матричные элементы операторов сдвига между собственными состояниями спина

В дальнейшем наше внимание будет сконцентрировано на наиболее интересной с практической точки зрения классификации состояний, основанной на /-спиновом формализме. Ненулевые матричные элементы операторов сдвига /士 между базисными состояниями ] 7, /3, У〉данного неприводимого представления группы SU (3) в этом случае даются непосредственна выражением (1.49).

Отличные от нуля матричные элементы операторов сдвига V士, {7± между базисными состояниями ]/, Z3, У), очевидно, равны коэффициентам о^^ b土 в формулах (1.52) и (1.55). Их легко вычислить для каждого представления, пользуясь коммутационными соотношениями (1.40) для операторов сдвига.

В качестве примера рассмотрим случай представления 8. На фиг. 1.7 показана его весовая диаграмма, где в простых обозначениях указана также изоспиновая структура соответствующих собственных состояний. Возьмем теперь коммутационное соотношение

[V+, /+] = 0(1.58)

и применим его к состоянию | 龙〉• В силу соотношений (L49), (1.51) и (1.52) получим

尸尸I改)=/+ (研I公+磁I s))=就了引M

и

V4+[d'_) = V^d'„) = [t+).

Далее из равенства (1.52) получаем условие нормировки

(若)2+(a力2=2.

Тогда из коммутационного соотношения (L58) следует, что

8叫心三成=/ 4-

Точно таким же образом можно легко найти все другие интересующие нас матричные элементы оператора 卩士. В целях практического использования их численные значения приведены на фиг. L8, 6・

Фиг* L7Фиг. 1.8 Не равные нулю матричные элементы

операторов сдвига /± (л),卩土 ⑹ и。土(s丿 для представления 8. Штриховые линии соответствуют связям изосинглета.

Коль скоро матричные элементы операторов 7±, V± известны, коммутационным соотношением (1.54) фиксируются и матричные элементы генераторов U±・ Таким образом, имеем, например,

и* I «+) = [7-, V+] “+〉= — VV-|i+)=-/2『闯=—I d+〉.

Полный набор матричных элементов U± для представления 8 изображен на фиг. 1.8, 6.

Путем аналогичных рассуждений можно вычислить матричные элементы , операторов сдвига для любого интересующего нас представления. На фиг. 1.9 изображен случай представления 10, который

интересен с практической точки эрения.

Коэффициенты Клебша — Гордана группы SU⑶

Рассмотрим еще раз разложение Клебша —— Гордана для прямого произведения двух неприводимых представлений:

(rni.n^ ® (m2.n2)= 3 ㊉ °ma 侬•叫 (L59) m, n

Следуя Де Сварту [154], обозначим состояния представления (冷公加) размерности ^ символом q"; в этом сокращенном обозначении символом 因

Фиг. 1.9Фиг. 1.9представлены все квантовые числа, необходимые, чтобы характеризовать данное представление, а символом vf —— квантовые числа, необходимые,

Фиг. 1.9

Фиг. 1.9

чтобы характеризовать состояние в данном представлении, а именно V/

обозначает набор (/, /3, У)ь Далее обозначим символом 屮(隰卅％y) вектор, являющийся элементом базисов неприводимых представлений в правой части разложения Клебша — Гордана (1.59). Здесь индекс у служит для того, чтобы различать представления, появляющиеся в разложении К дебита ——Гордана с кратностью, большей, чем единица.

Пространство проиэведений, размерность которого, очевидно, равна №亦2, можно рассматривать двумя экв ив ал еитиыми способами: как обра

зованное NKz ортонормированными векторами 中*屮肾 и как образованное набором всех ^1^2 векторов 屮(隰丄隰雪^丫). Эти два разных набора ортонормиро- ванных векторов, очевидно, должны быть связаны унитарным преобразованием

ВеличиныВеличины/Р1卩2tЧ|у /卩小2卩у\

Величины

Величины

(1.60)(1.60)叫V卜WQvzJ%喈

(1.60)

(1.60)

HiM-aHv v4v2 vHiM-aHv v4v2 v哨喲，哨喲，"山2回V"山2回V(1.61)(1.61)VI, V2

HiM-aHv v4v2 v

HiM-aHv v4v2 v

哨喲，

哨喲，

"山2回

V

"山2回

V

(1.61)

(1.61)

есть коэффициенты Клебша — Гордана группы SU (3).

Отметим, что, поскольку v^ = (/, /3,幻力 а 73 и У -- аддитивные квантовые числа, индекс v в коэффициенте Клебша — Гордана (黑冷)следует читать как v = (I, 1и 十 /2в, У2 + У2). Важнейшие свойства коэффициентов Клебша — Гордана группы SU (3) изложены в работе Де Сварта [154], к оторый первым подробно исследовал их, а также вычислил эти коэффициенты для многих вариантов разложения Клебша — Гордана.

&• Теорема Вигнера — Эккарта для группы SU (3)

Теорема Вигнера — Эккарта — это очень важная теорема о матричных элементах неприводимого тензорного оператора между баэисными состояниями двух неприводимых представлений. Согласно этой теореме, в случае

группы SU (3) выполняется соотношениех)

也3,匕I巡I因,”〉=3 他II ”2II闯V・ (1.62) * \V1V2V3 /

Величины〈卩з||7曜 ||固〉丫 называются приведенными матричными элементами и зависят только от представлений 卩外 卩2, Мз, а не от внутренних квантовых чисел vn v2 и v3. Таким образом, равенство (1.62) означает, что, если представления 囱,卩2 н Из фиксированы, то для определения всех матричных элементов (ц3? Vз| 喈 |山，"О достаточно у чисел.

На практике же достаточно знать только один приведенный матричный элемент во всех случаях, кроме случая, когда рассматриваются матричные элементы типа (8v3 | Гу2 | 8v2), поскольку представление 8 два раза встречается в разложении прямого произведения 8 ® 8. Итак, только в этом случае нужно знать два приведенных матричных элемента, которые обычно называют матричными элементами типа F и типа D. Они связаны с антисим- метризованным и симметризованным октетами, появляющимися при разложении произведения 8 0 8.

Регулярное представление, соотношение между «физическими» и «нейтральными» базисными состояниями

В предыдущих разделах мы ввели два разных набора SU (З)-генераторов: эрмитов набор L®, удовлетворяющий алгебре Ли группы SU (3) в формулировке Гелл-Манна (L3) и (L8), и «реальные^ генераторы, для которых справедлива модифицированная стандартная форма алгебры (1.40).

В данной книге в зависимости от ситуации мы будем использовать оба этих набора. Выбор Гелл-Манна удобен при записи коммутационных соотношений в наиболее компактном виде. Другой выбор обычно более предпочтителен, когда имеем дело с матричными элементами генераторов между физическими состояниями; дело в том, что их собственные значения определяются действием операторов сдвига на базисные состояния того представления, которому соответствуют физические состояния.

Но когда мы имеем дело с октетами (представление 8 ——регулярное представ ление группы SU (3)), матричные элементы эрмитовых генераторов также известны, ибо они равны структурным константам 炉仪口，Действительно, обозначив базисные состояния ) для такого представления символом I п”〉(а = 1,・• .，8), нетрудно убедиться, что

L^(^\La\^=-if^. (1.63)

Тогда действие генератора L® на базисное состояние | 冗口〉дается следующим выражением:

厶а I лВ) = Z^B I 炉〉=if а的 I m*〉・ (1-64)

Мы можем назвать «нейтральными» те состояния | ла ), которые являются базисными состояниями эрмитова представления. Полезно иметь соотношение между этими нейтральными состояниями и базисными состояниями 《реального» представления SU (З)-генераторов. Изобразим этот последний набор состояний так, как показано на схеме фиг, 1.10. Ее структура напоминает классификацию по изоспиновым состояниям, и в соответствии с этим такие состояния будем называть «физическими».

Из физических соображений логично отождествить состояние ] л3〉 с состоянием | ^0):

I 振〉=I %〉.(1.65)

Учитывая формулу (1.64) и обычное соотношение (1.38) между эрмитовыми

Фиг. 1.10、

и реальными генераторами, путем последовательного применения операторов сдвига к этому состоянию легко получаем требуемые связи:

I第=—金1内十2仔)，

I J〉=寸^ I M — Е?〉，

1办)=一*丨m+叫，

\(1-66)

1婚=一口1城+e7〉，

14〉= 一 7^ I城一Х冗7)，

|d :〉=/|健—沅5〉，

I 5)= I Л8).

В качестве примера рассмотрим действие оператора /+ = /?+ »厶纟 на состояние (1.65). Формула (1.64) дает

/+ |л3)=(厶 1 + iL2) I л3) = (i/i3T—/23V)I nV〉= — I м + id〉.

В то же время

尸I幻=m2 I靖 и, следовательно,

|*〉=一/|m+沆2>■

Все другие соотношения (1.66) могут быть получены аналогичным образом.

Отметим, что соотношения (1.66), выражающие физические состояния через нейтральные состояния, показывают справедливость фазового условия (1.56), введенного Де Свартом для сопряженных представлений. Как уже отмечалось, оно дает следующее соотношение для самосопряженных представлений:

|/,厶，y〉* = ( — l)Q|/,—厶，一У〉・(L67)

Кроме того, если отождествить синглет | 5)с т)-мезоном, а триплет | t)— с пионным триплетом, то, как нетрудно видеть, соотношения (1.66) выражают

то обстоятельство, что л-мезоны нечетны относительно G-отражения, а п-ме- зон четен.

Оператор G-четности определяется как

G = Ce 吟(1.68)

где С ——оператор зарядового сопряжения. Как мы уже знаем [формула (1.50)],

决叫|Z,/3, Y) = (-l)I+l3|7, -/з, П-(1.69)

Таким образом, простое определение

С|ла) = |ла)*(1.70)

для нейтральных (бесспиновых) состояний немедленно приводит к равенствам

G ] л+) = —I л+ ), G I т| > = ] т] }и т. д. ■

Отметим, наконец, еще одно обстоятельство. Определение (1.66) «сферического» базиса для представления 8 означает, что применение теоремы Вигнера ——Эккарта в случае группы SU (3) требует некоторой осторожности^ если мы имеем дело с матричными элементами операторов, преобразующихся как реальные SU (З)-генераторы, а обкладками являются физические состояния. Теорема Вигнера — Эккарта фактически относится к тензорным операторам, преобразующимся как базис. Операторы, к которым она применима, преобразуются следующим образом:

"〜千金e千贪叫

T寺〜一合0±，(1.71)

73 ~ 厶，

舞〜哼"У.

Но в случае матричных элементов вида (8, vf | Т$, |8, v^〉 теорему Вигнера —— Эккарта легко сформулировать в виде соотношения между нейтральными базисными состояниями и операторами Т£, преобразующимися как эрмитовы генераторы £а. Действительно, если

出Л/авЕ(1.72)

то нетрудно доказать, что

.(na\T^\^} = if^F+da^D,(1.73)

где ^ар7 — симметричные константы, численные значения которых даются формулами (1.13). Величины 尸 и D с точностью до коэффициентов нормировки совпадают с двумя приведенными матричными элементами теоремы Вигнера —Эккарта.

Тождества Уорда и низкоэнергетические пределы

§ Z. Введение

О лептон-адронных взаимодействиях, осуществляющихся через посредство слабых и электромагнитных токов, вкратце можно сказать следующее.

С одной стороны, в пределах возможной в настоящее время точности хорошо известна не только общая форма лептонных токов, но и их матричные элементы между физическими состояниями, поскольку лептонные поля, очевидно, можно рассматривать как свободные.

С другой стороны, кварковая модель дает очень простые выражения для адронных токов, но эти выражения позволяют установить лишь общие закономерности, такие, как одновременные коммутационные соотношения или частичное сохранение. Для полного же динамического расчета матричных элементов токов потребуется еще существенный прогресс в физике сильных взаимодействий.

В подобной ситуации проще всего поступить так: ввести феноменологическое взаимодействие адронных токов 度 с внешним неквантованным полем W^. описывающим все лептонные эффекты,

旣(％) = -6惻(％) = -J^.旣(％) = -6惻(％) = -J^.(3.1)(3.1)

旣(％) = -6惻(％) = -J^.

旣(％) = -6惻(％) = -J^.

(3.1)

(3.1)

Практически поле Wa берется пропорциональным матричному элементу лептонного тока, причем каждому процессу соответствует своя константа связи. (Неквантованным поле Wa берется потому» что мы работаем в низшем нетривиальном порядке по слабому и электромагнитному взаимодействиям.)

Полную S-матрицу, являющуюся, конечно, функционалом поля Ж, можно записать в следующем виде:

[S = S0T exp [ - F j a^£ Q) W^(x)^ =

= S°{1—Z jd&工履⑺岷&) +

+y(-i)2j j 谦“阳昵⑺巾鹼)7(J总)就(У))+ •••},(3.2)

где So есть S-матрица сильных взаимодействий. Предполагается, что сильные взаимодействия учитываются точно, а порядок по W^ в написанном выше разложении соответствует числу лептонных пар (или же реальных или виртуальных фотонов), участвующих в данном физическом процессе.

В простейшем случае, когда в процессе участвует всего лишь одна лептонная пара, мы должны исследовать матричные элементы одного адронного тока:

(3.3)(3.3)(■®OUC |/|1 14п〉・

(3.3)

(3.3)

В частности, в предыдущей главе были выведены некоторые условия, которым должны удовлетворять матричные элементы (3.3) в случае полного (@”±=0) или частичного^(5^7ц = Da) сохранения тока.

Для процессов высшего порядка по W^ нужно знать матричные элементы большего числа токов, такие, как

»。朮17(收("""力)14力.(3.4)

Целью данной главы является вывод условий, налагаемых на подобные амплитуды. Как мы увидим, основную роль при этом будет играть алгебра токов; в частности, с ее помощью можно вывести тождества «Уорда — Такахаши», которые связывают между собой амплитуды, содержащие п + 1 и п токов или их дивергенций (п》1). Эти тождества представляют собой обобщение хорошо известного соотношения между электронной вершиной и пропагатором в квантовой электродинамике.

Тождество Уорда

Рассмотрим фурье-образ величины (3.4):

T^ = i j d^x exp G")〈Bout 17 (4 ⑺或(0))1 4n〉.(3.5)

Пусть q nk — импульсы, связанные первый с J§, а второй с J^. Тогда

Ра + к = р в + q.(3.6)

Если свернуть тензор 71V乩 с gv и проинтегрировать по частями, то, помймо члена с дивергенцией, появится дополнительное слагаемое, обусловленное наличием хронологической упорядоченности г). (Поверхностными вкладами на бесконечности пренебрегаем：.)

Итак, полное выражение, получающееся после свертывания с 7V, таково: 炉呎卩=J [^ехр(^)] (51 Т (川(片)躅(0))| Л)曲/ =；

=—J d\r exp (力翌)(В IT (D^ (н)邛(0)) I /〉一

—j @&н exp (Ху) 6 (%) (5 I [片(片)，J^ (0)] IЛ).(3.7)

Из этого соотношения видно, что одновременные коммутаторы могут служить ценным источником информации: переход от низшего к высшим порядкам (по W) в общем случае требует постулирования коммутационных соотношений для токов или каких-либо других эквивалентных предположений в дополнение к свойствам сохранения или частичного сохранения.

Если в качестве начального шага обратиться к простейшей кварковой модели, то , можно использовать простые одновременные коммутационные соотношения, приведенные в предыдущей главе, а именно:

[外(х),為(у)] = if^Jl (х) 63 (х —у),(3.8)

[4(х), ЛШ = Ч^Л^)^ (х-у).(3.9)

Тогда мы получим тождество

qvT^=U^-if^{B\^\A),(3.10)

где

〃『=_ja&?exp(m)〈5|T(£>B(2)"(0))|4〉. О：(3.11)

Равенство (3.10) — это в некотором смысле обобщение полученного Уордом [122] в электродинамике соотношения между вершиной и пропагатором, и мы будем называть его тождеством Уорда.

Напомним, что7个з壬阿i面屮也叫呈0^十号⑼当⑺.

Равенство (3.10) можно взять за отправную точку для вывода основных результатов алгебры токов: при некоторых добавочных динамических предположениях иэ него можно вывести низкоэнергетические теоремы и правила ■сумм, т. е.'два типичных результата алгебры токов.

Тождество Уорда (3.10) носит совершенно общий характер, но наш вывод несколько сомнителен, поскольку опирается на конкретную модель. Действительно, в то время как в правильности коммутатора (3.8) нет оснований сомневаться, нельзя сказать того же о коммутаторе (3.9), т. е. [Jo, J]. Имеются убедительные доводы, которые мы уже излагали в гл. 2 и к которым мы еще вернемся, в пользу добавочных градиентных членов вида 5pav63 (х — у)+•--, из-за наличия которых коммутатор [几，刀 становится модельно-зависимым. Следовательно, при 卩 = 0 равенство (ЗЛО) останется верным, а при 卩 = к (=1, 2, 3) появятся дополнительные члены типа qk (В | S帆 | Л ) + .... Присутствие последних будет, конечно, нарушать ковариантность результата.

Ответ на эту загадку простой, но только с физической, а не с математической точки зрения. Дело в том, что фурье-образ хронологического произведения

T^ — i j /а exp (iqx) (В [ T (J§ ⑺ J瓮0)) | Л)

не является, вообще говоря, ковариантной величиной и его не следует отождествлять с лоренцевым тензором. Причина проста: ковариантность хронологического произведения связана с локальностью коммутатора [Jo,丿队] (т. a [Jo, J^ (х)] <х 63 (х)), а член Vb^x) вносит《малую» нелокальность.

Таким образом, для восстановления ковариантности к ZV(4 нужно добавить дополнительные слагаеьше 以炉 связанные с градиентными членами в коммутаторе токов. Но при выводе тождества Уорда для полной ковариантной амплитуды Zv^ + ©丫貝 в равенстве (3.10) появятся еще два члена, а именно gvCv^ и градиентная добавка 5阿 jgQ). Обычно предполагается, что эти члены взаимно уничтожаются, так что тождество Уорда принимает •свою исходную простую форму.

Существуют формальные доказательства такого взаимного уничтожения г). Другая возможность состоит в замене предположений относительно коммутаторов более изящной, хотя и физически эквивалентной, формулировкой, основанной на обобщенном определении токов в рамках вариационного метода [120]. Поскольку эти вопросы будут подробно обсуждаться в дальнейшем (см., в частности, гл. 7), мы ограничимся здесь проверкой взаимного уничтожения на одном простом примере, который к тому же может .проиллюстрировать связь между 71VMi и физическими процессами*

Калибровочная инвариантность и швингеровские члены (пример)

Рассмотрим процесс

Y (А) + л + (Pi) f л°(Р2)]+ е+ (%) + ve (%),(3.12)

который в случае реального фотона у (乃纟=0) описывается двумя диаграммами фиг. 3.1, т. е, амплитудой М%:

е^^е^Ч^М^.(3.13)

Амплитуда М^ соответствует^вкладу в М^ диаграммы i фиг. 3.1.

D Смм напржмер, [121]. 12—01263

Имеем

丛加屮=矍 В(?1) Гии@)5。|Л-|п+, 丫〉三豈F(弘)1> @)6К», (3.14) 世呪2)=藹丁(出犷甯Ю? I> @)5。I 挣 I ©•(3.15)

Здесь Ги — слабая вершина (e+ve), a J^ = V^ ~ А^

Калибровочная инвариантность требует равенства

抬必=0,(3.16)

откуда, используя явное выражение (3.15), получаем

公加尹=一合加9 =一 咎》(g,)"" @)依。|存(Л+),

ИЛИ

无％ =—〈叫 J%B>.(3.17)

Это и есть условие, налагаемое калибровочной инвариантностью

Фиг» 3.1

на (л° I J^ |n*Y)= SKg・ Применяя редукционную формулу к фотону, можно получить более детальное выражение для £卩％・ Это даст (/厶——электро- магвитиое поле)

Kg = — Z J 办忆 exp (―加工)□ (л° I Г (J【4k (н)) I л+)=

=T j d'N exp (T砌 m。IT (J门产* (工))I 寸 + % 三 T^ + Cg, (3.18)

где С^\ с S4 (z) есть контактный член, возникающий в результате применения оператора 口 к Z-произведению и содержащий одновременные коммутаторы [/眛,/01 и [7ц,扰()]•

После свертывания

終Kg = — j 〃气exp(一ib)6 Go)他IB；, Jo1 M(初In*> + 饋，以-

=—(л° IJ^ I л+) + градиентные члеиы + A:XC^.(3・19)

Сравнение c (347) приводит к взаимному уничтожению：!

左入%% + градиентные члены = 0.(3.20)

Конечно, чтобы вычислить С^% и градиентные члены, нужно знать зависимость J卄 от c/九； последняя, вообще говоря, определяется моделью.

Рассмотренный пример подводит к следующему обобщению: Т-произве- дение токов обычно не соответствует физическим амплитудам, поскольку

имеются добавочные контактные члены [так называемые Г-члены 1)], но в тождестве Уорда Г-члсны взаимно уничтожаются с градиентными 耳口5 нами. Предполагается, что это верно для любого тока, векторного или аксиального, везазисимо от его свойств сохранения (гипотеза Фейнмана [158]),

Поскольку все приложения в этой и следующих4главах (вдзкоэнерг^тц- ческие теоремы и правила сумм) основаны на тождестве Уорда (3.10), а не на полной форме ковариантной амплитуды, мы будем далее пренебрегать швингеровскими и Г-членами. Допустимость этого подтверждается тем, что все результаты можно получить путем прямого насыщеция «безобидных» коммутаторов, подобных 1Q, Q], 10, j^] и [/0, %].

Ситуация особенно упрощается в таких моделях, как алгебра полей, в которых швингеровские и Г-члены оказываются с-числами. Ковариаитные

амплитуды для двух или более токов можно легко определить вычитанием так называемой несвязной части. Действительно, если Г-члей Cv^ есть с- число, то мы имеем

<B|CwM) = (Z?|^(0|Cw|0).(3.21)

Выделим теперь несвязный вклад {В \ А) Т：*, соответствующий диаграмме, в которой состояние | Л > = | 5) распространяется свободно, как показано на фиг. 32

Следовательно, величина

% = %-壊例4〉=

三 i J d&£ exp (iqx) \{B\T (J§ (z) J® ⑼)| Л>—

一〈81 厶〉〈017 (Л ⑺邛(0))| 0)](3.22)

коварианты а, а тождество' Уорда для KviL имеет требуемую форму (3.10). Это показывает, между прочим, что таким путем мы всегда можем устранить швингеровские и аналогичные им члены в алгебре полей; единственный способ обнаружить их заключается в измерении величины г

Tv2 = i j d4x exp (勿2)(0 I T (Jv (н) Jц (0)) I 0).

D В английской литературе употребляется термин «seagull», поскольку соответст

вующая такому члену диаграммавующая такому члену диаграмманапоминает чайку. При переводенапоминает чайку. При переводе

вующая такому члену диаграмма

вующая такому члену диаграмма

напоминает чайку. При переводе

напоминает чайку. При переводе

принято обозначение 《f-член», поскольку прописная буква греческого алфавита Г (ипсилон) также напоминает чайку, г Крим. ред.

6 2・ Низкоэнергетические пределы в электродинамике

Простейшие следствия тождества Уорда (3.10) получаются при рассмотрении сохраняющихся токов. В этом случае слагаемое с дивергенцией 。陽 в правой части (ЗЛО) обращается в нуль, что приводит к существенным упрощениям при использовании тождества Уорда.

Самая интересная модель с сохраняющимся током — это, конечно, электродинамика. Для амплитуды комптоновского рассеяния Т^ тождество Уорда (3.10) принимает простой вид

廿 7® = 0,(3.23)

где k^ ——импульс одного из фотонов. Независимо от явной формы 7\卩 читатель легко узнает в уравнении (3.23) требование инвариантности теории

Фиг. 3.3

относительно калибровочного преобразования e^f Ец, + 九及卩(е^ ——вектор поляризации фотона).

Комптоновская амплитуда рассеяния Т^ц в случае кинематики, показанной на фиг. 3.3, будет иметь вид

n" =i j d紡 exp (/2")(?21T (了学* (/)翠Т (0))( 由)，(3.24)

если не обращать внимания на швингеровские члены и предположить кова" риантность хронологического произведения в формуле (3*24).

1・ Комптоновское рассеяние на бесспиновых частицах

Начнем со случая упругого рассеяния реальных фотонов на бесскиновой мишени. В качестве трех независимых импульсов процесса мы возьмем Л2 и

Р=}(Р1 + Рг)・(3.25)

Введем инвариантные переменные:

V = Р自，％ = (% — k^ = -2瓦/(3.26)

Амплитуда Т для рассматриваемого процесса представляется следующим образом:

Т = ^^Т^.(3.27)

Ковариантную амплитуду 7\以 можно выразить через четыре инвариантные ямплитуды, являющиеся функциями инвариантных переменных v и f:

7*jx = 4gvu + BPVP队 + С (РvAgy. + Рix^iv) + %1小2眛・(3.28)

В равенстве (3.28) мы учли инвариантность относительно обращения времен# (которая требует равенства коэффициентов приРцА:1У и 戶丫左纟出) 必 поперечность фотонов (团伍 = 0, i = 1, 2), но не учитывали еще требова-

ния калибровочной инвариантности. Таким образом, четыре инвариантные амплитуды А, В, С п D нельзя считать независимыми. Но они очень удобны тем, что не имеют кинематических особенностей (во всяком случае, в теории возмущений). Соотношения между ними, вытекающие из калибровочной инвариантности, немедленно получаются из тождества Уорда

(3.29)

которое эквивалентно двум уравнениям

Л + vC—2 切=0,

(3.30)

vB — ^■才С = 0.

(3.31)

Эти соотношения (и аналогичные им равенства для других процессов) весьма удобны для вывода низкоэнергетических теорем. Для этого нужно

лишь перейти к пределу при А:# и Е* (т. a w и 力),стремящихся к нулю. Тогда в уравнениях (3.30) и (3.31) останутся лишь сингулярные в этом пределе вклады в амплитуды _S, С 网 D. Амплитуды имеют полюса, соответствующие борновским графикам фиг. 3.4, расположенные в точках

??12—£^^2 力—2v = 0,(3.32)

№—£ = 2 力 + 2P = 0,(3.33)

где т — масса мишени. Устремляя 健 и Е? к нулю, мы как раз попадаем на эти особенности. Вычеты в полюсах легко находятся (табл. 3.1).

Таблица 3.Z

Амплитуда

Вычет в полосе m2 — в = 0

Вычет в полосе m2 —7= 0

0

0

—4

—4

—2

+2

—1

—i

В пределе при Л2 -> ^ -> 0 соотношение (3.31) оказывается тривиальным тождеством, а соотношение (3.30) дает низкоэнергетическую теорему:

lim Л(V, /) = Л (0, 0) = 2.(3.34)

Это точная формула, которая дает пороговое значение амплитуды Л (v,力" Низкоэнергетической теореме (3.34) нетрудно придать более привычный вид «предела Тирринга» [1231, согласно которому классическая амплитуда комптоновского рассеяния на пороге дается для любой мишени соотношением

?£р = ~ ~ (吻电)*(3・35>

Для упрощения доказательства этого утверждения выберем калибровку* при которой

芻=或=0,(3.36)

и брейтовскую систему отсчета

Р = 0・(3.37)

В случае рассеяния вперед она совпадает с лабораторной системой р〔= =р2 = 0. Тогда амплитуда (3.27) приобретает простой вид

Т ^е21А (%%) + D (&也)(£&)“(3.38)

В пределе при A^f A2fo слагаемое с _D дает вклад порядка О (“队)； пользуясь формулой (3.34), получаем

lim 7 = - 2决(2声2)。(3.39)

А1» Aa~*0

Остается учесть связь между ковариантной амплитудой Т и классической амплитудой:

Т^ = ^Е^Е^-1/гТ.(3.40)

Ясно, что соотношения (3.35) и (3.39) эквивалентны.

Перечислим основные моменты нашего вывода:

сначала вводятся калибровочпо-иеинвариантные амплитуды, свободные от кинематических особенностей;

затем с помощью тождества Уорда находятся соотиошепия между этими амплитудами;

на последнем этапе осуществляется переход к пределу нулевых 4-импульсов фотонов.

В заключение отметим, что, хотя наш вывод был проделан для бесспи- нового случая, предел Тирринга справедлив для любой мишени. Действительно, сл учай мишени со спином всегда можно свести к бесспиновому случаю надлежащим усреднением по поляризации. Усредненная амплитуда может быть записана в виде (32.7), и все предыдущие построения сохраняют силу.

Но в то ясе время бесспиповый случай не позволяет нам увидеть пизко- энергетические теоремы во всей их общности. Лоу [124], а такн;е 1елл-Манн и Голдбергер [125] показали, что в разложении амплитуды в ряд по степеням частоты о)члены не только нулевого, но и первого порядка по со однозначно фиксируются требованием калибровочной инвариантности. О членах первого порядка, отсутствующих в бесспииовом случае г), будет сказано в следующем разделе.

Комптоновское рассеяние при ешзких энергиях на мишенях с произвольным спином 2)

Рассмотрим физическую амплитуду Т^т для упругого рассеяния фотона на мишени со спином S, нормированную, как в работе Лоу [124]; пусть к — импульс падающего фотона в лабораторной системе отсчета, к'——импульс уходящего фотона, тип/ ——значения третьей компоненты спина мишени в начальном и конечном состояниях, М — масса мишени. Используя после-

дователыю требование калибровочной ипвариантности, можно найти Тт^т

с точностью до членов первого порядка по(о.

В кулоиовской калибровке е0 = £： = 0 имеем:

)!i -^i-^^^m'm —)!i -^i-^^^m'm —Тт，т =( — 1)2$ (豆；1 ) { (l^T

)!i -^i-^^^m'm —

)!i -^i-^^^m'm —

一与[2卩—('号0 )"/」3®X£)s?„,„1 +

鑄[Ek' (e‘ X k) — e'k (e x k')] Sm^ +

+ i 机部％『t(e， k，) * 伯 * k)】Sms } +。(d), (3.41) где co — энергия фотона,

(О = I k 丨 ~ 丨 k‘ I,

N ——магнитный момент мишени, a S ——спиновая матрица, элементы котороё имеют следующий вид:

ТL « 5, / S 1 S\

Sk = M6( —()Sf. _ m .(3.42)

\ m т nif

В последней формуле матрица Iесть 3/-символ Вигнера. Матрица S

нормирована так, что S==o в случае спина

Соотношение (3.41)^получено в работе Санто [126] !).

В частном случае комптоновского рассеяния вперед соотношение (3.41) существенно упрощается2):

{Т紋？п}впсрсд = ( — I)?' { 2s十不 ~^~ £‘£6m，m +

+ i [/；/)『 <H-(^1)1/2 备Т © X 8)Smm } +。(哨.(3.43)

В очень важном случае мишени со спином г/2 формула (3.41) совпадает с результатом Гелл-Манна, Голдбергера и Лоу

Т= -■5?" +殆(2"一爲)3(8'*8)0一幣[e1侬 xk) 一ё%(ехк,)]0 +

(3.44)(3.44)(3.45)(3.45)+ ~- [(£' X к') x (e x к)]。+。侬2),

(3.44)

(3.44)

(3.45)

(3.45)

из которого следует соотношение

^вперед ^-^ —帝-Е8‘ — 2心九2 侬 X £)O .

В этом соотношении член нулевого порядка по со воспроизводит ранее полученный предел Тирринга, а член первого порядка, соответствующий процессам с переворотом спина, связан с аномальным магнитным моментом мишени 九=кте!2М. Следовательно, комптоновское рассеяние при очень низких энергиях в принципе может дать информацию о магнитных моментах. К сожалению, прямая экспериментальная проверка равенства (3.45) затруднительна. Существует, однако, косвенный метод проверки этого равенства (и аналогичных низкоэнергетических теорем), состоящий в замене их правилами сумм* Для комптоновского рассеяния это было сделано Дреллом,

В работе Сайто можно также найти и нилкоэнерготичоскне тесрзмн белее высокого порядка по о>, в которые входят различные электромагнитные мультиполи.

Хирном и Герасимовым. К такой замене мы часто будем прибегать в тех случаях, когда соответствующая низкоэнергетическая теорема не допускает прямой экспериментальной проверки*

Правило сумм Дрелла — Хирна — Герасимова [128, 129, 532J

Для мишени со спином Va комптоновская амплитуда рассеяния вперед может быть выражена через две скалярные инвариантные функции, зависящие от 3窖(3 =方=芻 есть энергия фотона в лабораторной системе):

Г (<о) = /t (<о2) ев7 + ^А (й>2) (г • X г) о.(3.46)

Тогда низкоэнергетическая теорема (3.45) дает

力(0)=一令三一辔，(3・47)

%(0)=—2 戸三一謂 礎.(3.48>

Данные соотношения можно проанализировать, хотя бы в принципе, преобразовав их в правила сумм. Для этого нужно написать дисперсионное- соотношение для интересующей нас величины, что, однако, не всегда дает практически приемлемые результаты.

Покажем, например, что низкоэнергетическая теорема (3.47) запрещает использовать для функции Д (со2) дисперсионное соотношение без вычитаний. Действительно, если предположить, что

似硝=^j嶋弟(3.49} О

то совместное использование оптической теоремы

Im 九(硝=80110nH ®)(3.50>

и соотношения (3.47) приведет к абсурдному результату

/1 (°)三一方=j J Опили(з)(3・51) о

Это значит, что в дисперсионном соотношении для /工 необходимо по крайней мере одно вычитание. Далее, теория полюсов Редже дает

Duqjih 3) ^7^ <0曲。)一1 •(3.52>

Поскольку обмен полюсом Померанчука [аР (0) ^ 1] разрешен, необходимо, по-видимому, более чем одно вычитание.

В то же время чисто реджевское поведение функции /а (со2)

/2 ®2) / 6)以0)一 2(3.53}

допускает для нее дисперсионное соотношение без вычитаний ')• Итак, если мы напишем

/2 (硝=丄 f 吗，ds%,(3.54>

J”' 丿 JI J to 2 — CO2 ' 0■

1)Предположение об отсутствии вычитаний в дисперсионном соотношении для /2 впервые было высказано Гелл-Манном, Голдбергером и Тирриигом [130] в 1954 г.! Наша амплитуда /2, определенная так, как это делается в работе Дрелла и Хирна [128], отличается от амплитуды ГМГТ лишь множителем (о： о)/?х = /™г\

то низкоэнергетический предел (3.48) примет следующий вид:

—需磋=jlm%(s2)穿.(3.55>

О

Далее, из оптической теоремы имеем

Im /2 (со2) = у [аА (ю) — Стр (со)],(3.56>

где Ор (со) и о& (со) — полные сечения поглощения фотонов, поляризованных по кругу, со спином, параллельным и антипараллельным спину мишени^ со — энергия фотона в лабораторной системе.

Объединяя (3.55) и (3.56), получаем окончательную форму правила сумм Дрелла — Хирна — Герасимова

j 9P ⑹—j (3)]等=翁后，(3.57>

выражающего аномальный магнитный момент мишени kT через интеграл от сечений поглощения поляризованных фотонов. Его справедливость зависит от сходимости дисперсионного соотношения без вычитаний (3.54), которое является единственным недоказанным, хотя и очень правдоподобным предположением, сделанным при выводе (3.57). Сравнение соотношения (3.57〉 с экспериментальными данными позволяет заключит^, что это предположение почти наверняка соответствует действительности. Дрелл и Хирн очень- тщательно проанализировали экспериментальные данные по фоторожденито в частном случае протонной мишени. В этом случае правая часть соотношения (3.57)оказывается равной

等碇>п205 мк6.(3.58>

Для интеграла в левой части, который не так-то легко вычислить, приведем данные Дрелла и Хирна. Первая оценка, использованная при получение 33-реэонанса в рамках изобарной модели, дает для левой части приблизительно 200 мкб, что весьма удовлетворительно. Учет же в^гсокоэнергетиче- ской области до 1 ГэВ дает, по-видимому, добавку порядка 70 мкб. Таким образом, для достижения полного согласия нужно тщательно учесть данные^ соответствующие более высоким энергиям (>1 ГэВ).

f 3・ Пион^пуклонпое рассеяние при низких энергиях^

В электродинамике тождество Уорда дает превосходный метод выведения теорем о мягких фотонах, как мы это видели на примере предыдущего- раздела. Точно так же в случае двух аксиальных изовекторных токов из тождества Уорда (3.10) вытекают фундаментальные теоремы о рассеянии мягких пионов на адронных мишенях. В ходе изложения читатель заметит, что- случай мягких пионов во многом отличается от случая мягких фотонов. Тем не менее очень велико и сходство, поскольку в обоих случаях выполняется тождество Уорда и масса пиона мала по сравнению с массами всех других адронов.

Рассмотрим амплитуду «упругого рассеяния вперед» изоспиновога аксиального тока на нуклоне с импульсом ^(фиг. 3.5). Она имеет следующий вид:'

?膿=/ J d^ exp (iqz)〈p IT (建⑺舒(0)) I p).(3.59>

Чтобы найти низкоэнергетический предел, рассмотрим идеальный случай безмассовых пионов, когда аксиальные токи сохраняются. В этом случае тождество Уорда (3.10) упрощается:

9吋筮=_^у (р I % (0)| р).(3.60)

Здесь У^——сохраняющийся изовекторный ток：

<р|ун|р>=й ® YW (р)7 Tv = Pu^-(3.61)

Свертывая равенство (3.60) с ?眛 и вводя, как обычно, кинематическую переменную

V =(Р7),(3.62)

подучаем

д/v鑑=｝們 明 V.(3.63)

Из этого соотношения мы можем теперь вывести «теорему о мягких пио- вах» точно таким же способом, как и в предыдущем разделе. Устремим ди

к нулю и выделим те члены в Т^^，которые имеют особенности при 0^ = 0 и потому дают не исчезающие в пределе при q^f 0 вклады в левую часть соотношения (3.63).

В принципе, имеются два таких вклада: один —— соответствующий двойному полюсу безмассового пиона (фиг. 3.6), а другой ——соответствующий

прямой (а) и перекрестной (б) диаграммам с промежуточным нуклоном (фиг. 3.7).

Выражение для пионного вклада таково:

(3.64)(3.64)/тВа】0v%i г т|3а

(3.64)

(3.64)

fl vu/n =^J^ /л/ лЛг»

где величина т賜=т联 d = о, V) определяется как вычет в полюсе при q? = 0 и, следовательно, представляет собой амплитуду рассеяния сильно взаимодействующих безмассовых пионов на нуклонах. С учетом выражения (3.64) находим пионный вклад в левую часть соотношения (3.63):

｛g旳嘲｝“ = f廳d=0, v).｛g旳嘲｝“ = f廳d=0, v).(3.65)(3.65)

｛g旳嘲｝“ = f廳d=0, v).

｛g旳嘲｝“ = f廳d=0, v).

(3.65)

(3.65)

Для вычисления нуклонных диаграмм фиг. 3.7 воспользуемся упрощенным выражением для нуклонной вершины:

〈МI 1М = Г/'YvYbU у тР.(3.66)

Внимательный читатель заметит, что мы не включили в (3.66) псевдоскалярный формфактор Gp (g2), который мэжет ввести опасный полюс в случае без- массового пиона. Дело в том, что мы уже выделили двойной пионный полюс.

а полюса первого порядка, соответствующие диаграммам фиг. 3.8, взаимно уничтожаются (это верно, конечно, и для перекрестных диаграмм).

Таким образом, нуклонный вклад в левую часть (3.63) имеет вид

｛严gV?^｝N =吟产卜—^限》(3.67)

兴—M 4

Равенство (3.63) теперь можно переписать следующим образом:

-/安盟d = 0, v)十後-j一匕-1 ｛［明俨］V -遡卽｝十。(Mv) =Z g4 — v2

=｝［俨,叫屮.(3.68)

Это соотношение весьма удобно для вызода теорем о мягких пионах для пион- нуклонной амплитуды рассеяния 7 д®, что достигается устремлением ?口 к нулю. Однако нуклонный вклад порождает следующую проблему: его значение при д^ = 0 зависит от того, каким именно образом q^ стремится к нулю. Если строго придерживаться теории безмассовых пионов, то в уравнении (3.68) мы должны всюду положить ,2 = 0 н лишь затем перейти к пределу при V -> 0; это дает

иm 现%/=°' " =三与 I ［明廿］.(3.69)

v-0 v/л /

Используя обычное изоспиновое разложение］

7隘=7+6器+ ?w［明巧，(3.70)

получаем следующие низкоэнергетические пределы:

7+(0,0) = 0,(3.71)

Lm=』一,(3.72)

v-0 v/л

«праводливые для мира с безмасеовыми пионами.

Равенство (3.71) есть условие согласованности Адлера [115, 116], о котором уже говорилось в гл. 2, § 6. Мы видели, что данные о эх^рассеянии вблизи порога хорошо согласуются с соотношением (3.71).

В действительности для сравнения низкоэнергетическах пределов (3.71> и (3.72) с пороговыми экспериментальными данными нужнб чтобы пион- нуклонная амплитуда рассеяния Т?% была определена вне «поверхности масс» как функция обеих переменных д? и v. Таким образом, при наивном, прямом сравнении молчаливо предполагается, что функция Z旣(产 v) является гладкой в области, окружающей точку (0, 0), для которой справедливы низкоэнергетические пределы, и точку (腸，тп mQ, к которой относятся экспериментальные данные.

Эвристический способ решения проблемы, правильность которого будет полностью подтверждена в гл. 6, таков: принимается, что равенство (3.68) пригодно для определения не только普% ①=0, V), но и 7'蛛(炉,V)в той области, где обе переменные д^'и v являются малыми (по рбычной шкале： адронных масс). Итак, при малых gu напишем

嗑(m v) = 4[TР,廿]芸一登：-¥ 4•｛陋們 v_d6邱｝+。也2). (3.73>

Из этого соотношения можно найти величину 7^ вблизи физического порога процесса, т. е. в точке

Поскольку нуклонный вклад в этой точке обращается в нуль 】)，мы приходим к простому выражению

｛?榦｝п。р。г = 4 [明廿 1 2^ +。(")•(3.75》

Учитывая изоспиновое разложение (3.70), получаем два соотношения:

｛爲N｝uoi)or =。(б±),《3»76》

｛霍(喻]•(3.77>

Отметим, что равенство (3.76) согласуется с равенством (3.71) для безмас- сового пиона, а соотношение (3.77), выведенное Томозавой [131] и независимо от него Вейнбергом [132], совершенно отличается от равенства (3.72% справедливого в случае строго безмассовых пионов.

Важно уяснить себе, что тот же самый результат (3.75) можно получить, если, переходя к пределу при g^ f 0 в выражении для д^7^? сначала принять физически обоснованное условие q = 0, а затем положить д0 = тп О (в системе покоя нуклона, если мы хотим оставаться вблизи порога). В этом проявляется различие между случаями строго безмассовой частицы и частицы малой массы. Во втором случае мы должны иметь в виду, что частица имеет массу, даже переходя к пределу при ^口 f 0. Так мы и будем всюду поступать в данной главе.

Сравнение с экспериментом

Чтобы сравнить теоретические пороговые соотношения с экспериментальными данными, выразим пороговые значения амплитуд через s-волновые длины рассеяния. При нашей нормировке амплитуд имеем

Тцорог == 8зт (w^n + 加几)@±,(3.78》

工)Это следует из законов, сохранения углового момента и четности.

где а+ и а" — длины рассеяния s-волн, соответствующих обмену в ^канале язоспинами 0 и 1. Связь с длинами рассеяния ах и а3, соответствующими изо・ спинам % и 9/2 в s-канале, дается соотношениями

а* =耳(仰 + 2@з)，

_ ](3.79)

a"=可(仰一备)•

Условие согласованности Адлера принимает теперь следующий вид：

«! + 2а3 О,

w из соотношения Вейнберга — Томозавы (3.77) следует г)

(3.81)(3.81)а4—а8« 驚「-4- а 0,25 т^.

(3.81)

(3.81)

Итак, теория мягких пионов дает

(3.82)(3.82)а4 ^ 0,166 Шя,

(3.82)

(3.82)

@3^ — 0,083 тп 訖

Экспериментальные же значения [117J таковы:

(3.83)(3.83)就коп 二(0>171 士 о,ОО5)呜\

(3.83)

(3.83)

аГп = -(0,088 士 0,004) m?・

Таким образом, выводы теории мягких пионов, если их правильно интерпре* тировать, очень хорошо согласуются с экпериментальными данными о л^рас- веянии.

Рассеяние мягких пионов на произвольной мишени

Методом, изложенным в предыдущем разделе, можно вычислить и s-волновые длины рассеяния мягких пионов на произвольной мишени.

Правая часть тождества Уорда (3.60) (подразумевается усреднение но спину мишени) в общем случае имеет следующий вид:

-%Bav〈РI 咒 W = —处“％窗=2 国疗笃Р“,(3.84)

где Тг и t ——операторы изоспина мишеии и пиона. Тогда выделеиие пион- ного полюса дает следующий низкоэнергетический предел:

嗎*一意g切■)"(3.85)

<1читая зту формулу справедливой вблизи порога» получаем (М ——масса мишени) -

(Тят) порог 7^— tTyWnAf .(3.86)

Далее, при заданном полном изоспине 7 системы пион — мишень имеем

2tTr = (t + Tr)2-T^-t2 = Z(/4-l)-/T (% + 1)-2・

Вводя ^-волновую длину рассеяния af, через которую выражается пороговое значение ГяТ при заданном полном изоспине /,

{^Й^иорог = 8л (Л/ + 加几)0n

переписываем соотношение (3.86) в окончательном виде:

a/=-L (14-^)-1[/(/ + l)-7r(/r + l)-2j,(3.87)

где

厶=磷-(3・88)

есть некоторая универсальная длина, не зависящая от типа мишепи. Соотношение (3.87) в общем виде впервые вывел Вейнберг [1321. В принципе оно дает s-волновые длины рассеяния мягких пионов на любой мигиепи, кроме пиона.

Численно величина L оказывается равной

L ^ 0,088 切『，(3.89)

если взять экспериментальное значение /я л? 0,68 тя, и

L = Lcr« 0,109 тГ,(3.90>

если взять значение /л из соотношения Голдбергера ——Треймапа, которое должно быть точным в пределе безмассового пиона. Это говорит о неоднозначности, возникающей, когда низкоэнергетические теоремы понимаются как непосредстьепно приложимые к покояшимся физическим пионам. Более того, к соотношению (3.86) вообще следует относиться с известной осторожностью: например, оно дает нулевые длины рассеяния для любой изоскаляр- ной мишени, с чем, конечно, трудно согласиться. Таким образом, интерпретация соотноигеиия (3.86) как приближенно справедливого для физических пионов должна быть дополнена некоторой аккуратной процедурой экстраполяции, позволяющей перейти от не4 изической точки v = ^2 = 0 [в которой равенство (3.85) точно выполняется] к физической точке. Такая экстраполяция (гл. 6) в некоторых случаях, по-видимому, может вносить значительные поправки.

Теоремы о мягких пионах и правила сумм

Другой возможный способ проверки теорем о мягких пионах ——преобразовать их в правила сумм так, как мы уже делали при выводе правила сумм Дрелла — Хирна —— Герасимова для случая комптоновского рассеяния на нуклонах (§ 2, п. 3). Здесь важно, чтобы для соответствующей функции можно было написать дисперсионное соотношение без вычитаний.

В данном случае асимптотика амплитуд 7+(y) и 7一(屮) легко находится, если, как обычно, предположить, что асимптотическое поведение амплитуд nN рассеяния определяется обменом полюсами Редже, Для Т* разрешен обмен полюсом Померанчука, тогда как для Т~ главный вклад дает обмен р-мезонным полюсом. Следовательно (мы рассматриваем рассеяние вперед!), Т+(V)/const 屮"р⑹ 笈 const v,

…,(3.91)

T~ (v) const W p3)Q const *V“2.

Кроме того, функция Т+ (屮)четна относительно замены v f —v, а функция T~ (v) нечетна. Последнее обстоятельство вместе с асимптотическими свойствами (3.91) позволяет нам написать дисперсионное соотношение без вычитаний для Т~ (v)/v, чего нельзя сделать, конечно, для Т+. Итак, для имеем

r-(v) . "^碌Nr-(v) . "^碌NIIVoIIVo"2一v2"2一v2(3.92>(3.92>

r-(v) . "^碌N

r-(v) . "^碌N

II

Vo

II

Vo

"2一v2

"2一v2

(3.92>

(3.92>

Здесь выделен нуклонный борновский член; v0 ——порог реакции nN. При пороговом значении v, используя информацию, содержащуюся в низкоэнергетической теореме (3.77), получаем

1 一:g 統)" m 方 一^"1*1 一:g 統)" m 方 一^"1*I ( dv粤鸟n Jm 一 /碌加备叫尸nI ( dv粤鸟n Jm 一 /碌加备叫尸n}0 (心}0 (心(3.93}(3.93}

1 一:g 統

)" m 方 一^"1*

1 一:g 統

)" m 方 一^"1*

I ( dv粤鸟n Jm 一 /碌加备

叫尸n

I ( dv粤鸟n Jm 一 /碌加备

叫尸n

}0 (心

}0 (心

(3.93}

(3.93}

Поскольку равепство (3.93) справедливо лишь с точностью до поправок порядка 0(〃/^), можно написать

(3.94)(3.94)(3・95>(3・95>±=叁 + ^ 5 袋 bn 广(v) +。(砲.

(3.94)

(3.94)

(3・95>

(3・95>

， mg

Используя соотношение Голдбергера — Треймана

扭=7^-，

справедливое с той же точностью, получаем следующее красивое правило сумм для аксиально-векторной реиормировочной константы гЛ = GA/GV: 疗=’十黯 i 翳ImT-(v) + 0g).(3.96)

Я mnmN

Воспользуемся теперь оптической теоремой

Im Т-(V)= 2左(V)/7/^^полн(V),(3.97)

где

左 С) = 3(V2—"晶 m^S а；,(3.98)

а величина пйолн следующим образом выражается через физические полные сечения:”

^полп = ~2 (片滥1 — ^полн) ♦(3 • 99>

С учетом соотношений (3.97)——(3.99) приводим равенство (3.96) к окончательному виду:

92ОО

г證=I +》耳；("~ [^полн (v)—成濫5 (w)]+。(呜)•(3.100)

gnN乳 J 3

Я A

Здесь с точностью до поправок порядка О (?Пп) параметр слабого взаимодействия гА выражается через полные сечения лАГ-рассеяния, определяющиеся сильными взаимодействиями.

Правило сумм (3.100) есть знаменитое соотношение Адлера ——Вейсбер- гера [57, 58, 133, 134]. С его помощью легко вычислить гА по хорошо известным полным сечениям рассеяния заряженных пионов на протонах. Адлер и Вейсбергер провели тщательные расчеты. Первый получил

гА ^ 324,а второй(3.101)'

7 比 1,16.

Расхождение между этими двумя значениями объясняется различием в методах, которыми тот и другой вычисляли поправки г) порядка。(m„).

х) Подробнее об этом говорится в гл. 8・

Вспоминая экспериментальное значение

г^сп=： 1,22 ±0.02, заключаем, что согласие впечатляющее!

Скажем еще несколько слов о первоначальной форме низкоэнергетического предела (3.72), справедливого для строго безмассовых пионов. Его также можно переписать в виде правила сумм Адлера — Вейсбергера, Делается это просто- Рассмотрим дисперсионное соотношение (3.92) в идеальном случае безмассового пиона. В правой части равенства (3.92) можно •опустить нуклонный борновский член, так как он пропорционален m^； при V = 0 имеем

Y j 普 1тТ-(『0, v).(ЗЛ02)

Используя соотношение Голдбергера ——Треймана и оптическую теорему, из (3.102) получаем

疗=1 + 醤 ^ j ^ ｛笳(炉=°' V)口富н d = 0, v)｝，(3.103)

Vo

что в точности совпадает с правилом сумм Адлера — Вейсбергера в его первоначальной форме. Соотношения (3.103) и (3.100) полностью эквивалентны, если предположить, что Оцолн — гладкая функция переменной д3.

② 4・ Теорема о 陋兄2抬〃％ пионах для распада рт2冗二

Возьмем теперь другой пример, а именно распад р f лл, где имеются два безмассовых пиона, участвующих в сильном взаимодействии. Мы рассмотрим амплитуду

崂У = Z j d號exp財工)〈0\T(屋(ж) Л^(0)) |pv(р)),(3.104)

соответствующую диаграмме фиг. 3.9, и применим к ней тождество (3.10).

Поскольку мы считаем пион безмассовым, аксиальный ток сохраняется и мы имеем

q，vT^^ 一断аб <0| 吧 I ру (р)〉，(3.105)

где 理——вектор-изовекторный ток. Пользуясь определением

(0 [^н! Р'(Р)〉= /*%6бу,(3.106)

где £口 一 вектор поляризации р-мезона, подчиненный дополнительному условию

Р>*ея = 0(3.107)

То*еестеа Уор8а у 儿из龙oa^gpaemiwec龙ие преНеми£93 [обеспечивающему совместность соотношения (3.106) с условием сохранения тока 吧】，имеем

门呻=炉卢庐。呢'(3.108)

Повторное свертывание с q^ дает

q^T^/=isaPv(Eq)fp.(3.109)

Выполним теперь предельный переход ,]—篆 +0, удерживая лишь члены первого порядка4), порождаемые вкладами пионных полюсов в Т^. С учетом соотношения

紋 @) № (g) I pv (р))=泥仅％V q 一 亦且阿仙(3.110)

получаем теорему о мягких пионах：

/р = 2/л^рЯл.(3.111)

Прежде чем перейти к анализу следствий из соотношения (3.111), выразим /р через более привычные величины. Для этого воспользуемся предположением о р-универсальности (гл. 2, § 7), согласно которому

力=(3.112)

орЛЛ

Подстановка выражения (3.112) в равенство (3.111) приводит к соотношению

?ряя — 2у2 >(3.113)

которое впервые вывели Каварабаяши и Сузуки [135] и независимо от них Фаязуддин и Риазуддин [136].

Константе связи g0nn^ вычисленной из этого равенства, соответствует ширина распада р т 2冗,равная 115 МэВ, тогда как экспериментальное значение этой ширины равно ~100 МэВ ). Согласие довольно удивительное, поскольку оно явно лучше, чем можно было в принципе ожидать. Действительно, для вычисления ширины распада р -> 2л необходима физическая константа связи ^рлЯ (тп^, тп^, тп^), а наш способ дает §0ЛЛ (w^, 0, 0); далее, если учесть наличие общей б-функции 6& (р ——q ——丁) (которая всегда подразумевалась), то наш предел требует, чтобы обращалась в нуль и величина лгр. Заметим, что зто как раз то условие, при котором предположение о р- доминантностй становится точным.

Любопытно отметить, что формулу (3.113) можно вывести, исходя из тех же самых предположений (коммутационные соотношения алгебры токов, переход к мягким пионам и р-доминантность) при анализе другого процесса —пион-нуклонного рассеяния. Напомним сначала результат теории мягких пионов:

｛二心击・(3.114)

Если мы теперь вычислим Т~ в предположении, что основной вклад дает обмен р-мезоном (фиг. 3.10), пользуясь определением (3.110) для вершины рлл и соотношением

m( —P)N(P‘)|pv〉= — gpNN^S') Y"U(P)研^炉 (3.115)

для вершины p^^, то легко получим

7 (V)м {Т (\?)}р = ZwgpmggNN тгг •(3.116)

Предположение о р-универсальности (g^N = ^рлл) с учетом соотношения (3.114) приводит к соотношению КСФР (3.113).

N一~NLN

P' P

Фиг- 3.10

Правда, и такой вывод соотношения (3.113) по меньшей мере столь же сомнителен, как и предыдущий. Но это соотношение играет важную роль, и вопрос о его обосновании остается открытым.

6 5・ Общий случай процессов с одним мягким пионом во внешнем поле

В данном параграфе мы остановимся на низкоэнергетических теоремах для процессов с рождением одного мягкого пиона. Мы будем рассматривать идеальный случай безмассовых пионов и сохраняющихся аксиальных токов. Общий метод получения низкоэнергетических пределов аналогичен использовавшемуся ранее.

Установим сначала общий вид предела мягких пионов для амплитуды рождения одного пиона. Рассмотрим случай, когда в результате воздействия произвольного внешнего «поля» А на адронную мишень, находящуюся в состоянии 4, рождается один мягкий пион, а мишень переходит в состояние В. Начнем с определения амплитуды:

Г =Z j d!^x exp (iqx) {В [ Т (Л^(л:)Л(0)) Л).(3,117)

Свертывая 霍 с 产 и учитывая равенство ^М^ = (), имеем

q^-T^= — j d4^ exp (iqx) (В | [Ло (х)^ А (0川 4〉6(g).(3.118)

Мы будем переходить к пределу при 夕产 0, полагая сначала q = 0，а затем д0 -> 0. *При таком способе предельного перехода правая часть равенства (3.118) является просто матричным элементом коммутатора аксиального заряда Q@)(0) с《полем» А (0), так что это равенство принимает следующий вид:—

lim 严7；= 一也1[0, a](3.119) q=0, qq-*0

Безмассовый пион дает следующий вклад в левую часть равенства (3.119):

{T^ifn^Ta,(3.120)

где ?& — амплитуда рождения мягкого пиона для процесса

(Л) +Л + 3 +№.

Поэтому равенство (3.119) можно переписать иначе:

^7" (92- 0, V = 0) = (51 [^и, Л] 14) + Ит {严鑑},(3.121)

q=0, д0->0

где Т^ — амплитуда, содержащая всевозможные сингулярные при 0p, = 0 вклады в 7* кроме собственно пионного.

Равенство (ЗЛ21) и есть то общее соотношение, которое мы хотели получить; оно содержит «в зародыше» все однопионные низкоэнергетические теоремы. В следующих разделах мы применим соотношение (3.121) для решения ряда очень интересных конкретных задач.

1・ Фоторождение одного пиона на нуклонах

В частном случае, когда |3〉三|「2〉и | Л) = | р^) — нуклонные состояния, а А ——электромагнитный ток /®л'"м? соотношение (3.121) принимает следующий вид:

/n {*(YPi f p2n")}%=0 =记"3?(卩21 川 I Pi) + Hm /7爲.(3.122)

Здесь 爲——амплитуда фоторождения безмассового пиона с нулевой энергией и проекцией изоспина а;

容="曲 */5旧).(3.123)

Правая часть равенства (3.122) записана с учетом коммутационного соотношения

【@а,居л.-М] = ^аз№，(3-124>

вытекающего из общих предположений алгебры токов.

Как и в случае лТУ-рассеяния, нуклонный вклад зависит от пути перехода к пределу при q»f 0; кроме того, дело осложняется наличием нескольких скалярных инвариантных функций. Полное решение этой проблемы будет дано в гл. 6, а здесь мы ограничимся лишь кратким интуитивным выводом результатов, справедливых вблизи порога фоторождения физических ПИОНОВ I).

Мы возьмем в качестве независимых импульсов

0, ^ = 4(й + ^)> 左= Pz + q —Р1 = А + 0,■(3.125)

、а в качестве инвариантных переменных

V = qP ~ кР,力=(д —倉汽 7, fc2 = 0.(3.126)

При осуществлении предельного перехода мы должны положить сначала q = 0, а затем устремить к нулю qQ [формула (3.121)]. При этом

WM0oPofO, g2=喫/& f 0,

±=-d—2Aqf 0・(J」27)

Далее, для удобства выберем брейтовскую систему отсчета Р = 0 (в частном случае фоторождения безмассовых пионов она совпадает с лабораторной системой). Тогда нуклон не дает вклада, что сразуже следует иэ законов сохранения углового момента и четности. Таким образом, мы получаем, еще один вариант вывода Кролла ——Рудермана [93]. Но еще лучше поступить иначе и получить, так же как и в случае лТУ-рассеяния, первый член в разложении по V нечетных амплитуд. В брейтовской системе имеем следующую

кинематику:q = O,vg°F‘кинематику:q = O,vg°F‘Р — 0, к = А,М = О,即=%=常Р — 0, к = А,М = О,即=%=常广=备小，[/ =备Р九+壓，(3.128)广=备小，[/ =备Р九+壓，(3.128)

кинематику:

q = O,

v

g°F‘

кинематику:

q = O,

v

g°F‘

Р — 0, к = А,

М = О,即=%=常

Р — 0, к = А,

М = О,即=%=常

广=备小，

[/ =备Р九+壓，(3.128)

广=备小，

[/ =备Р九+壓，(3.128)

Ag = o, 土 炉=一方 fO.

Амплитуду Tv Удобно свернуть с 4-вектором поляризации фотона ev> удовлетворяющим условию (论£)= 0. Очевидно, что единственными подходящими ковариантными структурами будут тогда у^ (уе) и у§ (Ре).

После несложных выкладок, основанных на формулах (3.128), для нуклонного полюсного вклада в g^EwT^v получаем

lim qu&啷尸卅 丫5 (Ре)(总 + баз).(3.129)

虱-04nN

Подставив это выражение в формулу (3.122) и прибегнув к обычному разложению (нуклонные спиноры подразумеваются)

〈R I 父 I Pi〉^1?vTA Ю + A vY5G2 (01|^(3.130)

окончательно имеем*

/я^гУ ^ 一 ^ 2?5 (у8)y 1TО\ T3]-

- V5 (р£)鳥g2 (9 4 [е,貞 + 誌 ?5 (pg)(a + 623)- (3.131)

Слагаемое c G2 (%) в этом выражении требуетЪсторожйости, поскольку в пределе безмассовых пионов

G 上)〜2,受电〜2五警〜 您警共.(3.132)

4'丿一fg2 "2/崎、/

Этот вклад в точности соответствует обмену безмассовым пионом в ^-канале (как хорошо известно, его учет важен в связи с калибровочной инвариантностью).

Далее мы введем следующее инвариантное разложение:

£父=丫5 5)齊 + 丫5 (Ре)髯，(3.133)

а также в изоспинов ом пространстве

森=■![",闻中 + 必37甲 + t/叱 Z = 1, 2.(3.134)

И ^наконец, вспомним требование калибровочной инвариантности

^7*^ = 0, которое принимает следующий вид:

(3.135)(3.135)7a — У 7a

(3.135)

(3.135)

Отметим, что в антисимметричном случае требование калибровочной

(3.136)(3.136)анвариантности вьшолняется автоматически, поскольку при учете соотношения Голдбергера ——Треймана

(3.136)

(3.136)

2mN —4m% g2 —2欣w —2 A'

В симметричном же случае калибровочную инвариантность можно использовать для того, чтобы выразить 7；+'°)через Т^у 0) = rA/2mNfn:

Т；+, о)Т；+, о)4n^%力14n^%力1(3.137)(3.137)

Т；+, о)

Т；+, о)

4n^%力1

4n^%力1

(3.137)

(3.137)

Отсюда видно, что 7^* 0)-> 0 при v->0, как и должно быть по соображениям перекрестной симметрии. Но если мы хотим воспользоваться низко- знергетической теоремой для получения содержательной информации о физической амплитуде, то мы можем считать соотношение (3.137) верным вблизи физического порогаf) vnOpOr mNmn, что дает

/71(+» 0)《・ 1 /порог/71(+» 0)《・ 1 /порог(3.138)(3.138)

/71(+» 0)《

・ 1 /порог

/71(+» 0)《

・ 1 /порог

(3.138)

(3.138)

Выбирая для удобства калибровку (Ре) = 0, получаем для амплитуды фоторождения вблизи порога

8vZ« = Y5(V8)Та.(3.139)

Ведухцие члены в разложении по степеням тл (точнее, по степеням v и 炉) имеют следующий вид (с учетом соотношения Голдбергера ——Треймана в последних равенствах):

Т-）力Т-）力7〜窗?~7〜窗?~gл^2mNgл^2mN7(+, 0) 〜 m"A 〜 小冗 gW7(+, 0) 〜 m"A 〜 小冗 gW(3.140)(3.140)

Т-）力

Т-）力

7〜窗?~

7〜窗?~

gл^2mN

gл^2mN

7(+, 0) 〜 m"A 〜 小冗 gW

7(+, 0) 〜 m"A 〜 小冗 gW

(3.140)

(3.140)

Эти равенства представляют собой модификацию теоремы Кролла — Рудермана [формула (2.278)] применительно к случаю физических пионов.

Вводя амплитуды заряженных пионов

Т(ур-> тш+) = ]^(7㈠+ 7%,

7 (叩 т рл-) = /2 (?■)- 7?,'

из (3.140) получаем, например, для отношения do(Jt")/da (jt+) простой результат

:тм+『)2。(3.142)

do (冗+)—

тогда как экспериментальное значение составляет 1,265 士 0,075 (теорема Кролла —— Рудермана дает 7? = 1).

Что касается сечений, напомним, что в системе центра масс

= а /_)2|T(jt+)产. (3.143)

I I q IdQ .J порог 4冗 \ mN + 汛冗丿丨 ' 川' J

Теорема Кролла — Рудермана в пределе строго безмассового пиона дает

｛関=4г-Й-«23мкб-ср-1,(3.144)

I [ q IdQJ порог 4л 2m**' 丿

|k| do(n+)][q ] dQ / порог|k| do(n+)][q ] dQ / порогчто значительно больше экспериментального значения 15,6 ± 0,5 мкб*ср-1. Пользуясь же формулой (3.140), находим (взяв для /п экспериментальное значение 〜0,68 тп^):

|k| do(n+)]

[q ] dQ / порог

|k| do(n+)]

[q ] dQ / порог

含匕詳д)W (I-為)乜12,5 мкб.еРт.

(3.145)

В низшем порядке по тп не существует различия между обычвым порогом и порогом в брейтовской системе.

Расхождение между двумя результатами указывает на то, что в данном случае экстраполяция теоремы о мягких пионах в физическую область вносит ошибку порядка 15—20% (в амплитуде), так что необходим более точный учет поправок.

Низкоэнергетические теоремы и правила сумм для фоторождения

При анализе лЛГ-рассеяния в § 4 было указано, что от теории длин рассеяния для мягких пионов удобно перейти к дисперсионным соотношениям при фиксированном 看(и фиксированных массах), получив таким образом правило сумм Адлера ——Вейсбергера, связывающее параметр слабого взаимодействия гА с интегралом от амплитуд сильного взаимодействия.

Мы хотим поступить таким же образом с низкоэнергетическими теоремами для фоторождения. Задача несколько осложняется наличием большего числа инвариантов, и мы приведем лишь основные моменты доказательства и конечные результаты. Прежде всего мы должны выразить входящую в формулу (3.139) амплитуду Т через М^ . . ., М4 — инварианты Чу, Голдбергера, Лоу и Намбу [137] (для этих инвариантов справедливы дисперсионные соотношения без вычитаний), а затем сравнить низкоэнергетические предельные соотношения с соответствующими величинами, выраженными через дисперсионные интегралы. Пренебрегая поправками порядка пионной массы, находим

^^^а識(1 + 卢'力-詣出 Im屁+，” (v),(3.146)

Vo

R"(v。)—f^，(3447)

где v0«mnmN, a N，电—аномальные магнитные моменты нуклона4) (^аксл 3,70； А^ксл ^ ——0,12). Подстановка низкоэнергетической теоремы (3.140) в соотношение (3.146) дает

卢*讐j争mW产⑺'(3.148)

VO

庐^祟『争mM°(v),(3.149)

VQ

тогда как равенство (3.147) оказывается эквивалентным соотношению Голдбергера ——Треймана. В формулах (3.148) и (3,149) электромагнитные параметры 〃У，$)изящно выражены через интегралы от амплитуд фоторождения [138] (правда, эти формулы строго выполняются лишь в пределе безмассового пиона, но мы будем пренебрегать эффектами экстраполяции).

Что касается вычисления дисперсиопных интегралов, то ситуация здесь сложнее, чем в случае правила сумм Адлера —— Вейсбергера, куда входят хорошо известные сечения лА^-рассеяния. Проще всего вычислить эти интегралы, предположив [138], что основной вклад в Im М^~^ °)дают два первых резонанса, т. е. Naa (1236) (дающий основной вклад в 归匕 но не дающий никакого вклада в ks) и N13 (1515) (который дает небольшие вклады 近 в 左旷 и в к8). В результате получается

• %у ^ 3,80, 庐 —0,18.

Согласие с экспериментальными значениями обнадеживающее, если принять во внимание грубость рассмотренного приближения.

Определение 密匕‘ см. в гл； 2, § 5, п. 2.— Прим. ped.

Ki3-распад

Теперь выведем соотношение между константой распада К-мезона на лептонную пару и формфакторами его полулептонного распада на лептонную пару и пион.

Матричные элементы, описывающие адронную часть процесса, имеют вид (fi\A^-\K^p)) = iPllfK(3.150)

для К(2 -распада, связанного с аксиальным током, и 5。(0)*；|女+(项=負[(什Р)门+(2)十3 一物九(切，2 = (p —0)2(3.151)

для Ki3 -распада, описываемого векторным током,

В пределе нулевой массы рождающегося пиона зависимость между /* и /土 нетрудно найти из общего соотношения (3,121), рассмотрев частный случай, когда: 1) Л есть векторный ток 吋一，2) индекс а равен трем (что соответствует рождению л°-мезона), 3) состояния | Л ) и | 5 ) — это 宜+-мезон и вакуум.

Поскольку в пределе при' gu —> 0 мы имеем только пионный полюсный вклад в Т^ соотношение (3.121) принимает следующий вид:

{%〈仙1р仁|长+〉}%=0 =(0|[0,p广]闵)=一4"(0|4广1户〉.(3.152) Последнее равенство вытекает из коммутационных соотношений алгебры токов.

Из равенства (3.152) с учетом определений (3.150) и (3.151) получаем

+(3.153)

/л

Это равенство можно переписать в более изящной форме, заметив, что использованная нами константа /я связана с распадом нейтрального пиона, тогда как для заряженного пиона константой распада будет ')

/л+ = —М2 /д.

Следовательно, мы можем записать равенство (3.145) более симметрично:

/+ (^к) + /- (^к) = ~^"/+ (^к) + /- (^к) = ~^"(3.154)(3.154)

/+ (^к) + /- (^к) = ~^"

/+ (^к) + /- (^к) = ~^"

(3.154)

(3.154)

Это простое соотношение впервые вывели Каллан и Трейман [139], а также Матур, Окубо и Пандит [140]. К сожалению, его нелегко проверить. Дело в том, что разрешенные физические значения t лежат в интервале от нуля {в пренебрежении лептонными массами) до (mk —矶几汽 так что формфакторы, входящие в равенство (3.154), берутся при нефизическом значении t; кроме того, наблюдаемые формфакторы соответствуют физическому значению ^ = /Пл» а в равенстве (3.154) они берутся при q2 — о.

Следовательно, чтобы придать равенству (3.154) физический смысл, в принципе необходима экстраполяция по двум переменным g暫 и t. Но если считать, что такая экстраполяция допустима, то можно попытаться сравнить равенство (3.154) с экспериментом. Для этого можно, как это обычно делается при анализе экспериментальных данных 2), предположить, что формфакторы /土 линейно зависят от t:

/±(2) = /±(0) • (3.155)

Знак минус объясняется принятым соотношением фаз физических состоянии [см. приложение относительно группы SU (3) в гл. 2].

Подставляя выражение (3.155) в равенство (ЗЛ54), получаем з аме чате льные соотношения

貝0)(1 +"奇卜(不编-1) 一奇喊，(3156)

связывающие три независимых параметра 自(0),九 + и 九_, измеряемых в Х^-рас- паде. Экспериментально параметры 自 и 九-определяются только в 夂旧-распаде I), а 九+ можно измерить как в А?ц,3-, так и в ЛГез-распаде. Что касается первого процесса, то, хотя разные способы определения ^ и Л+ (один — по спектру и поляризации ji-мезона, другой ——по отношению Г^Ге^ дают, по-видимому, разные значения для этих параметров, их все же можн согласовать [141]:

W (0) = -0,85 土 0,20.

底=0,045 士 0,012,九_ = 0(3.157)

Комбинация же 区以丁 и Л^ез-измерений дает для 九+ значение [141]

心=0,034 土 0,06,

что соответствует наилучшему значению £

(0) = -0,65 士 0,20 при 九-=0・(3.158)

Если мы подбавим в (3.156) приведенные выше экспериментальные значения величины /冗+у а величину /к//л+/+ (0) возьмем равной 1,27 и 1,24 ), то получим два значения

Е (0) ^ -0,32,(3.159)

и

Е(0)冗—0,21.(3.160)

Первое из них нужно сравнивать с (3.157), а второе — с (3.158). Расхождение неприятное, если считать, что приближение «мягкихг'лионов хорошо соответствует действительности. Но предыдущие результаты показывают, что для достижения полного согласия между экспериментом и выводами теории мягких пионов нужно, по-видимому, внести больпше поправки (~ 60%) на конечную массу пиона. Разуемеется^ возможны и другие причины, например отклонения от линейной зависимости формфакторов. К данному вопросу ми вернемся в гл. 10, § 2, п. 4.

Кг4-распад

Точно так же, как было выведено соотношение (3.154), Каллан и Трей- ман [139] вывели соотношение между формфакторами 区值・ и ЛГ^-распадов.

Правда, в данном случае из-за наличия двух пионов в конечном состоянии необходима особая аккуратность при переходе к пределу мягких пионов, и на первый взгляд может даже показаться, что такой^переход дает

Формфактор /_ практически не дает вклада в амплитуду 爲3叩&团叩我 вследствие малости массы электрона. .

противоречивые результаты. Но, как мы увидим, это неверно, если соблюдать величайшую осторожность при интерпретации получаемых соотношений.

Для определенности будем говорить о распаде ЛГ+-мезона, ибо только для него в настоящее время имеются экспериментальные данные. Соответствующий адронный матричный элемент таков:

тт¥=к®, ”S)|J：-|K+(P)〉，(3.161)

где

J厂Н厂厂一然二(3.162)

Векторное слагаемое не дает заметного вклада (соответствующая парциальная ширина — порядка 10-3 [69, стр. 497]). Поэтому мы пренебрежем им и напишем просто

i^ = 5a @),叫敢)I 厶厂 I К* (P)〉・(3.163)

Что касается изоспина, то конечное двухпионное состояние может быть либо изосинглетом, либо изотриплетом, поскольку и А^~ и К+ — изодублеты. Поэтому матричный элемент (3.163) разлагается следующим образом:

1Т^ = 6ар [(外十02)戸1 + (% 一饭爲邑 + 3一gi - 02)YS8] +

+ ieap3 K?1 + 02)v T. + (% — &)v % +(P — % — 02)v 北]•(3.164)

Здесь Sj и Ti ——инвариантные формфакторы, удовлетворяющие следующим требованиям симметрии:

Sf(%, 02)= (—£)"+'Si@, %),(3.165)

(i = l, 2, 3)

Ti{q^ q^{-itTi (fe 必)(ЗЛ66)

(следствие статистики Бозе).

Найдем теперь соотношение между этими формфакторами и формфакторами А? ^-распада:

5° (g) I 吧一 I к* (Р)〉=仇【3+〉/+ ⑴十(р—办 /-(0.(3.167)

удовлетворяющими, как было показано, соотношению Каллана ——Треймана —Матура — Окубо — Пандита (КТМОП):

/+(加给+/-m畳)=(3.168)

Исходной точкой вывода опять является общее условие (3.121), где в качестве I А ) и I 5) берутся состояния лб и К+, а в качестве Л — странный аксиальный ток Л^ ~- В пределе при % f 0 получаем (в скобки заключен индекс мягкого пиона)

ifnT^ = (пВ@)|逆，4~11К+ (р)〉+ lim 也也嘰},(3.169)

где

T^=i J 也exp (切口) 5B@) I Т (4篁工)厶厂(0)) IГ (?)〉•(3.170)

Входяпщй в первое слагаемое правой части (3.169) коммутатор можно записать следующим образом:

Юа, Л：-]= 一子必%一一皆做一%)味. (3.171)

Отсюда

〈d@)|&a, А^~]\К^^ = А + В,(3.172)

причем первое слагаемое

л =-4 баз 即 I %- I К+〉= 一 £ баз® (ЛО | 了厂 | К+}

непосредственно выражается через матричный элемент К^-распада (3.167), тогда как второе слагаемое

3 三一十 &1一 电 2)(d I 畤- IK+〉=

=等(6з— 恥2)(% + i6p2)y=-〈口+1 V^-\K^=

=-g- (Sai^pi + 6a2S|32 + »£a03)j京〈n+ I I K+〉

можно получить из того же самого матричного элемента путем SU (З)-по- ворота

(л+1 vy- IК+) = -/2 (по IV^- I К+).(3.173)

Итак, имеем окончательно:

(”(效)I逐，4厂]| К+⑺〉=一等(/В + %阳)〈П。@) Ip广IQ⑺〉=

=—^ (бар + ^еар3) ^_ [(/? + 72)v /+ +(P —效)*/」・(3.174)

Допустим- на время (как сделали Каллан и Трейман [139]), что можно пренебречь； .последним членом в формуле (3.169). Тогда, пользуясь соотношениями (3.164) и (3.174), легко получить

83@ = 0,效)=?3з = 0,效)=^-[/+(3 - 02)2) + 九(g一我)2)1 (3.175)

и168 2

&(% = 0，02)-S2(公=0, 02)= 7式办=0, 02)- 72(% = 0，02)=

=-^- /+ ((Р —窕)2)・(3.176)

Равенства (3.175) и (3.176) и есть искомые соотношения, связывающие между собой формфакторы К%- и ЛГгз-распадов (вне поверхности масс).

Рассмотрим сначала распад

(3.177)(3.178)(3.179)(3.180)(3.177)(3.178)(3.179)(3.180)К+^^ + ^ + l+ + vz и возьмем,. как *обычно,

(3.177)

(3.178)

(3.179)

(3.180)

(3.177)

(3.178)

(3.179)

(3.180)

^v°—~一 к6 + 我)v 尸?° + (内一g/v ь2°+(p-6-ю2°].

Из определения (3.164) следует

F?° = m^Si.

Поэтому равенства (3,175) и (3.176) ведут к соотношениям 网咖 @ = о, ^2)=^-(/+ + /-),

."¥@ = 0, 02)— 尸旷(0，=。，02)=守/+,

полученным ранее Калланом и Трейманом [139]. К сожалению, их невозможно проверить из-за отсутствия экспериментальных данных о распаде (3.177).

Перейдем теперь к распаду

К+ + " + 匸 + Z+ + Vb(3.181)

Здесь важно то, какой из двух пионов мы будем считать мягким. Действительно, определив

iTV = -^ [(?+ + ?_)v Ff~ + (q+-q-)v П- + (p-q+~q-)v П~ ] (3.182) и учитывая, что

?厂= 一^"[7^ + 7¥ + m?产一代‘)],(3.183)

имеем

Pt =—加笈[5力(分，g_) — M (q+,，-)]•(3.184)

Итак, в пределе при д+-> 0 соотношения (ЗЛ75) и (3.176) принимают следующий вид:

网+)- =用),(3.185)

炉- = 0・(3.185)

Если же, считая мягким л_-мезон, мы возьмем

現广三- 4■力[(?¥+ t^)-i(7产一理)]=

= j k* + 分)V/ * + @ -9+)v尸г+ +(P -9- -0+)/^+],(3.186) о получим

Fi+=-mK [S (g_, ") + Tt (g_, %)].(3.187)

С учетом соотношений (3.175) и (3.176) при g_-> 0 получаем низкоэнергетические пределы

典7+一咒7+=一警/+,(3.188)

网-)+=一弊(/++心.(3/88，)

На первый взгляд может показаться, что из соотношений (3.185) и (3.188) следует равенство /+ ^ /_ = 0, по крайней мере при одновременном стремлении 夕十 м д. к нулю, и тогда наше сравнение лишено всякого интереса. Но, взглянув на требования перекрестной симметрии (3.165) и (3.166), замечаем, что

时一 = Ff+,ь才-=一f以+.(3.189)

Следовательно, равенства (3.185) и (3.188) вполне могут быть совместными без каких-либо ограничений на /+. Далее, если предположить, что формфакторы Flt 2 являются гладкими функциями g工 и ^2, то приходим к соотношению

Ip广1f下厂g^d长卜(3.190)

допускающему, как мы увидим позднее, экспериментальную проверку.

Значительно большие затруднения вызывают результаты, касающиеся 耳з, поскольку соотношения (3.彳85') и (3.188') в действительности несовместны с предположением о гладкости % Именно это обстоятельство обеску-

ражило' Каллана и Треймана, так как быстрое изменение формфакторок весьма затруднило бы физическую интерпретацию предыдущих результатов^ Каллан и Трейман [139] попытались объяснить быстрое измеиение Fg наличием гипотетического сильного взаимодействия в s-состоянии двух конечных пионов, проявляющегося в области экстраполяции переменных ^1(2^ В действительности же, как показал Вейнберг [142], это кажущееся противоречие объясняется гораздо проще: оно возникает из-за того, что пренебрегают последним членом в соотношевии (3.169). Действительно, в пределе при ^ -> 0 существует добавочный полюс, порождаемый промежуточным К-мевоном на линии странного тока, как показано на фиг. 3.11.

Как нетрудно убедиться, учет этой диаграммы изменяет изложенные выше- рассуждения только в том, что касается F3, поскольку

{?rtk = i^"〈仙(比)K+ (一左)I 蜀I К+ (项吧(3.191}

В рамках рассматриваемой схемы «одного мягкого пиона» вычисление этой величины оказывается весьма тонким делом. Но действительно важно лишь- то, что предыдущие результаты для 厶 и F2 не изменяются при учете последнего члена в соотношении (3.169).

Матричный элемент

価8(我)г(一%)1綻|г(砂三殲(3.192У

можно вычислить обычным образом, переходя к низкоэнергетическому пределу для л₽ (g^f 0)・ Правда, тогда мы придем к пределу двух мягких пионов и результат опять будет зависеть от порядка выполнения предельных переходов. Чтобы справиться с этой трудностью, нужно быть очень, аккуратным и удерживать все члены до первого порядка по 直，2.

Чтобы вычислить Тца в соотношении (3.192), введем

^ = i J也exp (电2)体+ (一明7 (或⑺粧(0)) Iк+⑵)

и еще раз воспользуемся основной формулой (3.121), которая дает 勿债g ( - /С) I g 蜀]I (P)〉=

= iePav 停+ (— A) I % I K+ (p)〉= -1 说аз (P-晞，(3.193)

поскольку теперь в пределе при g2fo нет других полюсных вкладов. Подставляя в (3.191), имеем

也"嘘}К - 4脚37c(3.194)

Поскольку мы собираемся переходить к низкоэнергетическому пределу по обоим пионам, их следует трактовать как равноправные и учитывать слагаемое, аналогичное (3.194), которое возникнет, если мы перейдем сначала к пределу при ^ -> 0 и затем при g。f 0. Таким образом, член»

отброшенный в формуле (3.169), оказывается равным

或a3""或a3""i fK p g1~-兆)

或a3""

或a3""

2 /л Р(% +，2)

Поэтому он дает вклад лишь в амплитуду Г3, для которой получаем

44（弘，92）£高 本办（福）十九（砥"44（弘，92）£高 本办（福）十九（砥"1к P(% —02)2 焉 P(%+，2)1к P(% —02)2 焉 P(%+，2)

4

4（弘，92）£高 本办（福）十九（砥"

4

4（弘，92）£高 本办（福）十九（砥"

1к P(% —02)

2 焉 P(%+，2)

1к P(% —02)

2 焉 P(%+，2)

(3.195)(3.195)/к 「4 _ 9 P（91 -兔）"]方算1_P例十扇t」.

(3.195)

(3.195)

Последнее равенство получено с учетом соотношения КТМОП (3.168).

Формула (3.195) показывает, что, как и предполагали Каллан и Трей- ман, Тз, а следовательно, и F3 являются быстро меняющимися функциями 4工 и @2・ Но это не имеет ничего общего с сильнбем лл-взаимодействием в s-co- стоянии. Вспоминая соотношение (3.187), имеем

^7=—тк[$з(д_, д+)十？з(О-, 9+)],(3.196)

и, так как в силу соотношения КТМОП

$з(0т %)'泰-，(3497)

получаем окончательно

"一爸['-鏡工力•(3Л98)

Отсюда“

附+)@,知=0) = 0(3.199)

в соответствии с результатом Каллана и Треймана и

^V+) (^_ = 0,分)=—2гпк~^~ •(3.200)

Поскольку добавочное слагаемое (3.191) не дает вклада в /\ и F2 (а также в F^)^ в предыдущих соотношениях можно прямо положить 彰 равным нулю г получить теоретическое выражение для формфакторов Л^и-распада в (нефизической) точке g工=‘2 = 0. Из (3.180) имеем

尸黑=凜五(3.201)

в силу соотношения КТМОП и

万:。。)=F殳),(3.202)

(3.203)(3.203)поскольку F®° = 0 вследствие перекрестной симметрии, а из (3.185) и (3.188) получаем

(3.203)

(3.203)

Последние соотношения лучше всего подходят для сравнения с экспериментальными данными. Дело в том, что формфактор F§ входит в выражение для ширины ^ц-распада с кинематическим коэффициентом, пропорциональным массе лептона, и потому дает пренебрежимо малый вклад. Экспериментальную информацию об этом формфакторе получить очень трудно.

Единственная возможность сравнить равенства (3.203) с экспериментом —— кто предположить, что 尸^ и 尸？ 一 постоянные. В самом деле, поскольку

Ft = Л (* 或，們 pg” pgj,

равенства (3.203) относятся к

Fi (0, 0,脸 0, 0),

т. е. каждая переменная имеет нефизическое значение. Поэтому не очень ясно, как именно следует проводить экстраполяцию, необходимую для физической интерпретации результатов. Проще всего предположить, что Fr и F2 аппроксимируются постоянными, во всяком случае в области экстраполяции. Это, очевидно, приемлемо лишь в отсутствие какого-либо сильного лл-взаимодействия в состоянии J = / = 0 в области энергий двух пионов (4т^&§2л《 7,5 т^)・ Если окажется, что предположение о постоянстве F^ F2 согласуется с экспериментом, то это будет подтверждением сделанного независимо Вейнбергом [132] вывода о малости длин лл-рассеяния> Его приближенные оценки

Oq^-^L ^ 0,20m；?,а2 ^ —^厶 а—0,06тп計

меньше любых полученных ранее.

Итак, допустим, что соотношение (3.203) относится к физическим значениям Fb2- Для проверки его рассмотрим процесс

К+ т 冗+ + 冗一 + е+ + ve.

При постоянных 尸 1 и 下2 вероятность распада дается выражением [69, стр. 496]

Г (К+ т п^п-е^ = sin2 9 [1,59 (F^ + 0,31 便32Mo%-工・(3.204)

Используя (3.203), имеем

Г (К^) « sin 0 [-^- /+ (т^ • 1,9 ■ 103 L.(3.205)

Для прикидки возьмем, за неименением лучшего, /+ (/»%) ^ /+ (0) « 1, что соответствует пределу точной SU(3)-симметрии. Тогда

Г (К^)。1,6-103 с-1,

а экспериментальное значение [69, стр. 496] таково:

Г (К說)(2,9 士 0,6) ЛО3 с-1.

Далее, из соотношения (3.203) следует, что

囲=1・(3.206)

Экспериментальное же значение [69, стр. 496] левой части равенства (усредненное по пионному спектру) таково:

|等〉| = 0,9 ±0,2.；(3.207)

Результат недвусмысленно свидетельствует в пользу сделанных предположений.

До сих пор мы все время говорили о распаде К+・мезона, поскольку экспериментальные данные имеются лишь для этого распада. Для полноты изложения приведем ай алогичные теоретические данные для распада К°-ме- зона. Рассмотрев процесс

К° т яг + л° + 2 + + 州2,

получим (обозначения самоочевидны):

招一。)=0, F^= V2*/+(唯),(3.208)

Г-о -*p(g—-go)

3 号1^ pQ-+go)・

В заключение параграфа отметим, что при исследовании К^-раслада мы приходим в конечном итоге к такой конфигурации, когда оба пиона считаются мягкими. Поэтому представляется целесообразным разработать метод» при котором оба пиона трактовались бы одинаковым образом. Впервые это сделал Вейнберг [142] именно для описания А^ ^-распада. При таком подходе в качестве исходной точки берется хронологическое произведение трех аксиальных токов (два из них соответствуют мягким пионам, а третий —лептонной паре). Преимущество метода в том, что становится более прозрачным переход к низкоэнергетическому пределу. Недостатком же является значительное усложнение выкладок. Метод Вейнберга мы кратко изложим в следующем параграфе.

Два мягких пиона во внешнем поле

Как уже говорилось, при изучении Л"м-распада в рамках алгебры токов было бы желательным иметь метод, при котором два мягких пиона рассматривались бы симметрично. В равной степени это относится, например, к распаду К т 2冗(последовательный подход, опирающийся на алгебру токов и переход к пределу мягких пионов, требует симметричной трактовки обоих мягких пионов).

Мы изложим ниже общий метод, пригодный для анализа процессов с двумя мягкими пионами во внешнем «поле» Л Q). Это будет по существу прямое обобщение метода, изложенного в § 5.

Рассмотрим величину

7糧=i jd^xd^y exp (iq2x) exp (iq^y) {В | T (/R Q) 4； (y) A (0)) | A ), (3.209) где, как обычно, /§ н 厶^ —— аксиальные токи с квантовыми числами пиона, а I Л ) и I В ) — адронные состояния-

Свертывая обычным образом, получаем выражение

代亥瓚=£м(&_/г + ±ЦВ| Л₽а + Лкр I А),(3.210)

явно симметричное относительно перестановки (a, gj — (0, ^2). В равенстве (3.210) использованы следующие обозначения:

Гц = ijd緬 exp [i (直 + 02)第]〈笈丨 7 (卩匕(重)Л (0))丨 A ),(3.211)

где 7ц ——сохраняющийся изовекторный ток; А°В в интересующем нас случае qt = q2 = 0 есть

Лар=-[ёа(0), ◎(()), Л(0)]].(3.212)

Переходя в формуле (3.210) к пределу при 夕口 02 fo и выделяя два пионных полюса, находим

7眦=*伊1a昵十A邮|4〉+$ lim e^(q2-q^Tl-

^j Л4/冗 gi, 52-* 0

-4- lim {况笈驾詣(3.213)

где, как обычно, Т^а —— амплитуда процесса с двумя мягкими пионами ■ (А) + / -> 3 十 № + л"(3.214)

а 7$^ в пределе при g。02 fo содержит все возможные полюсные вклады, кроме собственно пионных.

Соотношение (3.213) — это основная формула, которой мы будем пользоваться в любой задаче с двумя симметрично трактуемыми мягкими пио-

нами. Как уже отмечалось, она пригодна и для анализа Ка-распада. В данном случае ввиду специфики кинематики необходимо соблюдать особую осторожность при переходе к пределу и удерживать все члены вплоть до первого порядка по 0н ,2・ Это должно быть ясно из сказанного в предыдущем параграфе. Подробные вычисления мы приводить не будем, поскольку результаты в точности совпадают с полученными ранее.

Одно из специальных приложений соотношения (3.213) будет рассмотрено в § 7, п. 2,6 при анализе распада К т 2л.

§ 7・ Нелептонные распады гиперонов х)

Наш анализ слабых взаимодействий ограничивался лептон-лептонными и адрон-лептонными процессами. Но возможны, конечно, и странные распады адронов на адроны, и еще неизвестно, имеем ли мы право обобщить на этот случай представление о ток-токовой структуре гамильтониана <^слаб слабого взаимодействия. Было бы весьма заманчиво ввести единый слабый ток

秋口 =九十 J、(3.215)

равный сумме лептонного тока 1^ [формула (2.40)] и адронного тока

J^ = cos 0J# + sin е%+(3.216)

[формула (2.213)], и постулировать следующее простое выражение для плот* ности гамильтониана слабого взаимодействия:

礎如6 =善稣".(3.217)

В выражении (3.217) появляется новое слагаемое ,

盘歌产=提{% J"},(3.218)

соответствующее, как предполагается в рамках данной схемы, нелептонным слабым процессам. Ясно, что анализ этого слагаемого будет значительно сложнее, ибо оно нелинейно по адронному току.

Опытные данные 2) по нелептонным распадам адронов довольно определенно свидетельствуют:

об отсутствии распадов с АУ = 0 и АУ = 2;

о практически полном отсутствии распадов с А/ = 3/2;

о почти всеобщей справедливости правил отбора АУ = 1 и Д/ = V2.

Но нелептонный слабый гамильтониан (3.218) преобразуется по приводимому представлению группы SU (3):

掷蹤尸~1㊉88㊉27.

Скалярная часть, очевидно, ответственна лишь за нелептонные слабые взаимодействия с сохранением странности, для которых нет экспериментальных данных, так что оставим ее пока в стороне.

Мы будем рассматривать лишь не сохраняющую странность часть гамильтониана 錮貶^^' и писать просто

掷HeaenT = _^cosesine({J『，片+} + {J：+, /_}).(3.219)

V 2

Гамильтониан (й?нелепт! содержит октет и 27-плет. Практически полное отсутствие переходов с А/ = 3/з говорит о существовании какого-то динамического механизма (за который ответственны сильные взаимодействия?),

приводящего к относительному усилению вклада октетного слагаемого по сравнению с 27-плетом. Далее, нелептонные слабые распады характеризуются, по-видимому, константой связи порядка G!^2^ а не G”2 sin 0 cos 0, так что подобное усиление необходимо также и для того, чтобы скомпенсировать подавляющий множитель sin 0 cos 0, который неизбежно появляется в формуле (3.219), если исходить из п р ед по л ожения, что все слабые процессы описываются простейшим универсальным гамильтонианом (3.217).

Эти вопросы пока не имеют удовлетворительного теоретического решения, и саму структуру гамильтониана нелептонного слабого взаимодействия еще можно считать спорной. *■

Здесь мы хотим лишь схематически показать, каким образом слабый гамильтониан (3.219) в сочетании с алгеброй токов и гипотезой ЧСАТ позволяет добиться простой параметризации нелептонных распадов адронов и воспроизвести некоторые закономерности, связанные с правилом А/ = V2.

Нелептонные распады гиперонов

Сначала кратко остановимся на нелептонных распадах гиперонов. Из общих соображений можно сказать, что амплитуда перехода

у _> у，+ 冗

должна иметь следующую структуру:

i (У/ I 協сп^ \ Y) =uf (А + 丫5区)％

где Л соответствует, очевидно, не сохраняющему четность распаду в s-coctoh- ние, а В —— сохраняющему четность распаду в р-состояние.

Поскольку мы собираемся переходить к пределу мягких пионов (4-импульс рождающегося пиона。口 f 0), ясно, что простейшие результаты получаются из меняющей четность части взаимодействия 刷^ет. несохр, рассмотрением которой мы в дальнейшем и ограничимся. Для полноты изложения напомним определения

或'".9即=-y^sin 2"{4：+,%-} + {4/，畔-}) + 3. c.,(3.221)

礎ее嘖亦^п 28 (H+, %_} + {/；+, ^_}) + э. с. (3.222)

Теперь мы можем применить к амплитуде

鑑=Z J d气 exp (皿)〈尸 I T (碑⑺网16T. неоохр (0)) I 冷 (3.223)

общую теорему о мягких пионах (3.121), которая в данном случае выглядит так:

仇75…弋Ут y,十砌%7 =(『1逆,^Чет.несОХР](у)+ 1血 g 吸.(3.224)

Разберемся сначала с возможными полюсными вкладами в последнем члене. Как и раньше, такие вклады могут возникать из диаграмм типа тех, которые показаны на фиг. 3.12. Например, из диаграммы 〃 имеем (пренебрегая 14—01263

на время изоспиновой зависимостью):.

{qM^a〉丁^ г令岁(1期气(ту — mG _；爲•(3.225)

Мы воспользовались следующими определениями:

(У71(й?чет- несохр-| У)=旬 2諸丫5〃・

Таким образом, предел конечен, но по порядку величины равен нарушению- SU (З)-симметрии, на что ясно указывает множитель т『—т^. Как обычног мы будем пренебрегать им. Отметим также, что предел при 夕口 + 0 требует равенства 加引，= 卅口, если только мы не отказываемся от закона сохранения 4-импульса р = р' + д. Поэтому выражения, подобные (3.225), в действительности будут давать вклад лишь в низкоэнергетические теоремы более- высокого порядка (по ^ц).

■ Если сравнить данное приложение низкоэнергетической теории с рассмотренными ранее (nTV-рассеяние или фоторождение пионов), то из сказанного выше явствует, что экстраполяция низкоэнергетических соотношений в физическую область потребует теперь поправок не только на массу пиона, но и на нарушение SU (З)-симметрии. Таким образом, здесь мы сталкиваемся со значительно более сложной проблемой.

Чтобы вывести низкоэнергетические соотношения из равенства (3.224),. нам нужно теперь вычислить одновременной коммутатор в его правой части. Это легко сделать, использовав коммутационные соотношения алгебры токов [равенства (2.218)1 и выражение (3.221) для гамильтониана(^чет.несохрв В итоге матричные элементы [Q&, ^чет. несохр] будут сведены к матричным элементам 觇^，сохр. Для различных конкретных нелептонных распадов, гиперонов мы получим из (3.224) следующие результаты 丄)：

/л4 (W+ -> р吟=-〈р I [0,制呐.несохр” £+〉= }〈р J ^чет. сохр । 工+〉，

%/ (Л f ПЛ°)= 一伊 I @,矣期 exp” а〉= ^•⑺ I 礎X С°ХР I Л),.

%厶(日° f Лл°) = -<Л| [С3, ^^ет. несохр】| 出=_^_ 仆]^чет. сохр । 日)

У2 扬幺(S- f ПП-) = -(n|[QJ, <^,ет- HecoxpJ S-) = /2 (r| Ж>ет・ coxp I w。〉，

/2 fnA (Л f p丁)= 一〈p I @,曲нет. несохр] | 八〉=_ ⑺ | 礎нет. сохр〔修，©.226} /2 /ЯЛ (В- f Лп-) = —〈А I 口扌，礎чет. несохр] । 日-〉=〈八 । 礎чет. сохр । 日)

/2/яЛ (S+ f ПЛ+) =⑴ I @,泓5 несохр】J £+〉_

=〈尸 I 變нет. coxp I £+〉- ME ⑴ I ^^ет. сохр । £。〉.

Здесь семь амплитуд выражаются через четыре скалярные вершипы; следовательно, имеем три уравнения связи:

/ (A f рлг) + /2Л (Л /ш°) = 0,(3.227)

Л (S--> Ал-) - /24 (3° т Ап。)= 0,(3.228)

4 (W-f шг-) + Л (S + -> пл+) = /2Л (W + f рп。).(3.229)

т) Формулы взяты из статьи Бладмана [143], в которой дается превосходный обзор по вопросу всех нелептонных слабых процессов.

Два первых соотношения замечательно хорошо согласуются с правилом Д/ — 4/2. Это очевидно: мы рассматриваем только s-волновую часть амплитуд распадов, так ЧТО (Лл I S84^- несохр | g ) и (ТУл | 能 нет.несохр j А〉 выражаются теперь через (Л | 施“ет. corp | g) и (2V | 觇с°хр ] Л ), откуда ясно, что мы имеем дело лишь с переходами, для которых А/ = '/纟.

Что касается соотношения (3.229), то его можно сравнить с соотношением, следующим из правила Д/ =以纟,

л (2--> мл-) — / (W + f ?ш+) = /24 (W + f рп°). (3.230)

Различие лишь в знаке перед / (Е + т пл+). Поскольку оно ненаблюдаемо,, в настоящее время невозможно сделать выбор между соотношениями (3.229) и (3.230).

В литературе довольно много внимания уделяется вычислениям р-волн и более детальным моделям для 咏слаб, но эти вопросы выходят за рамки нашей книги.

Нелептонные распады К-мезонов【)

Напомним сначала феноменологию нелептонных распадов Л"-мезонов, Главной особенностью таких распадов является существование (приближенного) правила отбора А/ = х/2, и поэтому интересно выяснить, способна ли алгебра токов его предсказать. Этот вопрос будет рассмотрен в следующих разделах.

Приведем теперь основные данные о распадах Кт 2冗 и Л"-^ Зл 2).

〃.Распад К f 2п

В силу требований статистики Бозе конечные пионы должны находиться в четном изоспинов ом состоянии: разрешены лишь значения / = 0 и / = 2. Но если справедливо правило А/ = V2, то состояние с / = 2 исключается, вследствие чего распад К+ ^ л+л° оказывается запрещенным. Найденное экспериментально отношение

Г(К+тл+л。)〜1福二 л+k)Q "too"

слишком велико, чтобы распад К+ -> л+л° можно было приписать электромагнитному взаимодействию. Действительно, тогда отношение (3.231) было бы порядка (а/л)2 ^ (1/500)2. Величина же этого отношения, представленная в формуле (3.231), свидетельствует, по-видимому, о присутствии (подавленных) переходов с А/ = 3/2. Далее, правило △/ = % дает

Г (К% -> л+л~)

F^F击硒'=2，(3.232)

что в общем согласуется с экспериментом (хотя присутствие малой примеси： переходов с △/ = 3/2 не исключается).

Как мы увидим, алгебра токов (плюс теория мягких пионов) правильно предсказывает основные закономерности распада К т~ 2л, соответствующие правилу А/ = V2, но не позволяет количественно вычислить отношение (3.231).

х) В нашей элементарной трактовке мы будем полностью пренебрегать очень Важиной проблемой СР-несохраиепия в распаде К 2л.

纟)Более подробные данные, как экспериментальные, так и теоретические, о распадах К-мезонов можно найти в работе [69]. В со экспериментальные значения,, которые- мы приводим, взяты из этой работы.

6 Распад К f 3冗

В этом случае, если исходить из правила Д/ = %, то единственным разрешенным состоянием трех конечных пионов будет состояние с / = 4 工). Самое общее выражение для изовекторной амплитуды А, описывающей все распады К f Зл, должно иметь следующий вид:

(3.233)(3.233)A (A, s2, S3)=』(1^2)"з/ (%, $2； S3),ЦИКЛ

(3.233)

(3.233)

где сумма берется по всем циклическим перестановкам индексов 1, 2, 3, а л?——изоспиновые волновые функции пионов. В соответствии с требованиями статистики Бозе функция / симметрична относительно перестановки первых двух аргументов:

/ ®, Sj； %) ~ / ($/, ”；昵).(3.234)

Кинематические переменные 龜 определены следующим образом:

St = (рк — Рп1^»(3.235)

Из (3.233) находим амплитуды различных распадов К -> Зя:

(3.236)(3.236)А (К+ -^ л+л+，л-) = у=- [/ (s_, s+; s；)+ /(«_, 4; s+)], 厶(К+те%о'л+)=吉〃so, s；; $+),

(3.236)

(3.236)

A (K土 -> 冗+冗~冗°) = —/(£_&; s0),

/(芻f ：1%。/吗=一倉{/(s°,s；;s；)+/(s。，s；; s；) + /(s；,s；; s。)}.

Из (3.236)(3.237)(3.238)Из (3.236)(3.237)(3.238)Отсюда можно найти вероятности различных распадов. В действительности мы должны сравнивать не сами вероятности Г, а их приведенные значения Г* (отношения вероятностей Г к соответствующим фазовым объемам), так как разности масс пионов и каонов нельзя считать пренебрежимо малыми по сравнению с характерными энергиями распадов К f Зя. имеем

Из (3.236)

(3.237)

(3.238)

Из (3.236)

(3.237)

(3.238)

Г* (Я^-> л+л~л°) r* (K+f 冗+冗0冗0)=2, Г* (К^->ЗлО)/

Поскольку энергии, выделяющиеся в распадах К f Зл, малы, для

амплитуд Л обычно используется линейное приближение:

(3.239)(3.239)

(3.239)

(3.239)

(3.240)(3.241)(3.240)(3.241)

(3.240)

(3.241)

(3.240)

(3.241)

где

%三与(£1 +幽+ 53) - ^л +言m玄.

В данном приближении имеем соотношение

|图2=必口一育(S3—%)],

из которого следует линейный по энергии пионный спектр (что подтверждается экспериментально).

т) Для ^распадов заряженных К-мезонов отсутствие состояния с Z = 0 очевидно, а для нейтральных ^-мезонов это следует из СР-инвариалтности.

При данной параметризации можно найти соотношения между значениями а и наклонами <т, а именно:

Из (3.242) следует:

а (+ Н) = 2а (0 0 +),(3.242)

а (0 0 0) = }/| а (+ - 0),

о (0 0 +) = -2а (+ Н——),(3.243)

а (Н——0) = а (0 0 +).(3.244)

4 (К+ -> тгЕ+лг) — &

Г* (К+-^л+лОл°)

Г* (殴— Зя。)3 ■(3.245》

Г* (К£ f л+л-л°) — 2 •

В действительности можно показать, что соотношения (3.245), как и любое из предыдущих для величин, относящихся к распаду одного и того же каона, являются всего лишь следствиями изовекторного характера (/ = 1) конечного состояния пионов, которое не запрещено и слабым гамильтонианом с правилом отбора Д/ = 3/2. Соотношения же (3.237), (3.238) и (3.244) весьма чувствительны к нарушению правила А/ = Н* Предсказания первого типа согласуются с экспериментом очень хорошо. Что касается проверки правила А/ = 工厶,то экспериментальные данные

таковы:

嘗需)"，7。±。，。8,(3.237，)，

Г*(К jm+n+”-)—r*(K+f #”S。— °，95 ±0,05,(3.238 >

g (+ — 0) = —0,24 ± 0,02,(з 244，)

0 (0 0 +)= 一0,25 土 0,02.

Согласие нельзя назвать замечательным; в частности, значение (3.237'} свидетельствует, по-видимому, о присутствии небольшой, но вполпо заметной примеси переходов с AZ = 3/2.

Наш краткий обзор феноменологических закономерностей распадов К -> 2冗 и К f 3冗 мы закончим выводом, что современные экспериментальные данные определенно подтверждают правило А/ = V2, хотя и указывают на присутствие примеси порядка нескольких процентов амплитуд с Д/ = 3/2.

Перейдем теперь к анализу распадов 宜 f 2冗 и К -> 3冗 методами алгебры токов в пределе мягких пионов. Мы увидим, что с помощью алгебры токов можно объяснить характерное для этих распадов фундаментальное правило Д/ =工厶*

Распад К Зл и распад К 2л

В этом разделе мьт рассмотрим распад К -> Зл, а в следующем — распад К -> 2л. Такой порядок объясняется двумя соображениями.

Во-первых, кинематика распада К т 3冗 такова, что можно переходить- к низкоэнергетическому пределу только для одного из трех пионов и потому можно воспользоваться более простым методом § 5. Прямое же применение- основной формулы (3.121) дает нам соотношение между амплитудами распадов К -> Зл и К -> 2л, причем амплитуда последнего будет реальной физической амплитудой. Как следствие этого из справедливости правила А/ =丄/寥 для распада 宜一> 2冗 вытекает его справедливость и для распада К f Злг во всяком случае в пределе одного мягкого пиона.

Во-вторых, при распаде К -^ Зл конечная энергия пионов мала, так что приближение мягких пионов представляется особенно логичным. Переходя в амплитуде распада К-^ Зл к низкоэнергетическому пределу по одному из пионов, мы получим ее значения в трех точках на плоскости Далица, соответствующих нулевой энергии трех пионов. Эти три точки лежат, конечно, вне физической области и даже довольно далеко от нее. Поэтому нам, как обычно, необходим некоторый метод аналитического продолжения, чтобы перейти от низкоэнергетических пределов к физической области. Но в данном случае мы имеем дело с трехчастичным распадом и экспериментально наблюдаемый трехпионный спектр свидетельствует о (приблизительно) линейном характере зависимости амплитуды Л Зл от энергий пионов с простой параметризацией (3.239).

Приступая к вычислениям, прежде всего напомним, что в распад К f 3冗 дает вклад лишь сохраняющая четность часть <^出°匸 с°хр гамильтониана слабого взаимодействия, Воспользуемся теперь соотношением (3.121) применительно к частному случаю, когда

Л = (й^ет. 8ХР, I 8〉= I ® 冗2〉,丨 /〉= I К.) и

7 = 1吗〈％, “2,吟 I 鸵"сохр1^)'(3.246)

Здесь а и 力一изоспиновые индексы. В данном конкретном примере мы решили выбрать мягким пион 3, так что система 冗1冗2 оказывается в чисто синглетном (/ = 0) состоянии (для распада К+ f 2л° + л+ пион л3 есть л+ и т. д.). Поскольку в правой части равенства (3.121) полюсные члены отсутствуют, оно принимает следующий вид:

lim〈％&呜 I 成俨ет. СОХР 禺〉=_ 亠 @用2 I @, ^чет. сохР] । &.(3.247)

q3fo/л

С учетом предполагаемой структуры сй?тет*сохр и (^чет- несохр [формулы 3.221) и (3.222)] немедленно получаем

[@а,務师 СОХР] = — ®а,鸵X несохр].(3.248)

Далее, поскольку состояние | ^^2 > является изосинглетом (/ — 0), имеем Q" I 冗仰2〉= 0(3.249)

и

Q“|&〉=(»|&,(3.249)

что позволяет привести равенство (3.247) к окончательному виду

lim {Я1Л2Л« I 翅 W. сохр 禺〉=靑(等)"仰⑸ I £产• мхр I К».(3.250)

Это и есть искомое соотношение, гарантирующее, во всяком случае в рассмотренном пределе, справедливость правила А/ = х/2 для распада К -> Зл при условии, что оно справедливо для распада К -> 2л.

Допустим, что данное условие выполняется1); тогда можно сделать количественные выводы относительно распада К f Зл. Напишем

5网 I 礎4e" exp | К)=房g吗)(伊к),(3.251)

где В = (J) есть изоспиновый шпурион (в предположении, что Д/ = 1/^ ^чет. несохр ведет себя подобно компоненте изотопического дублета с изоспином —i/J, at л К — изоспиновые волновые функции, а Ъ — величина,

Этот вопрос будет рассмотрен в следующем разделе.

определяющаяся экспериментальным значением вероятности распада К^- 2л: Ь^\А(К^ ~^я+ + п')\^2,9Л0^ тп.(3.252)

Далее,

II К〉=負好(тА) К,(3.253)

причем А определяется соотношением (3.233).

Пользуясь введенными величинами, перепишем соотношение (3.250):

₽+ (tAs) К =备(％叫)р+ (тК) л3.(3.254)

Здесь

As = lim А,

так что аргументы функции As таковы:

$з = m■艮，s^ = S2 = и^л, % =百加轰 + 守加机(3.2о5)

Это и есть та (не принадлежащая физической области) точка, для которой мы получаем теоретический результат. Как уже говорилось, окончательное сравнение с экспериментальными данными оказывается возможным благодаря линейной параметризаций (3.239). Итак, подставив функцию

念图_So)]念图_So)](3.256)(3.256)/5, sj； Sh) = a[l

念图_So)]

念图_So)]

(3.256)

(3.256)

93 соотношение (3.254), находим

仅口仅口2о (т^—т^)2о (т^—т^)3呜3呜山+鼻叫=。，山+鼻叫=。，(3.257)(3.257)

仅口

仅口

2о (т^—т^)

2о (т^—т^)

3呜

3呜

山+鼻叫=。，

山+鼻叫=。，

(3.257)

(3.257)

откуда

аа&&6%6%〜Г 0,70-10-6~ { 0,78-10-6〜Г 0,70-10-6~ { 0,78-10-6(3.258)(3.258)

а

а

&

&

6%

6%

〜Г 0,70-10-6

~ { 0,78-10-6

〜Г 0,70-10-6

~ { 0,78-10-6

(3.258)

(3.258)

в зависимости от того, какое из значений /л (экспериментальное или соответствующее соотношению Голдбергера — Треймана) мы возьмем, и

。=-3 「夫 2 ^-0,26.。=-3 「夫 2 ^-0,26.(3.259)(3.259)

。=-3 「夫 2 ^-0,26.

。=-3 「夫 2 ^-0,26.

(3.259)

(3.259)

Если мы обратимся теперь к различным вариантам распада К f Зп, то получим следующие теоретические результаты:

贪Q(十+ -)=

=一/4"(000)=a=詣(3.260)

И

О (+ — 0) = О (0 о +) = —2о (+ н——)=о 圮-0,26. (3.261)

В этих равенствах выражается правило А/ = ^2 для распада К -> Зл, выведенное с помощью алгебры токов из правила А/ =工/纟 для распада К -> 2л, а кроме того, здесь мы имеем конкретный количественный результат.

Мы уже видели в § 7, п. 2, что экспериментальные данные хорошо согласуются с правилом А/ = %・

Для проверки же количественного вывода из алгебры токов совместно с приближением мягких пионов можно сравнить результаты (3.258) и (3.259) с экспериментальными значениями

I а (Ч—— 0) I = "нс口 =(о,82 士 0,03)-IO"6,(3.258')

а (Н—— 0) = оэксп = —0,24 士 0,02.(3.259')

Итак, еще одно предсказание алгебры токов оказывается очень хорошим. Прежде чем заключить, что данный подход правилен, мы должны рассмотреть еще один вопрос. Дело в том, что у нас не было симметрии в подходе к трем пионам, поскольку мы переходили к низкоэнергетическому пределу лишь по одному из них. Возникает вопрос: что произойдет, если для перехода к пределу мы выберем другой пион? Ответ очевиден: предсказания алгебры токов для амплитуд будут разными в зависимости от того, который из трех пионов считается мягким. Но эти предсказания непротиворечива взаимосвязаны линейной параметризацией (3.256).

Поясним это простым примером. Рассмотрим распад

К。f 冗+ + лг + л°

и предположим, что вместо л° мягким берется заряженный пион, например лг. Тогда амплитуда Л (^л+, 5Л-; ло) выражается через амплитуду распада

K+f 冗+ + л0,,

(3.262>(3.262>который запрещен, если справедливо правило А/ = V^. Таким образомlim 4 (Sjx+j £Л一； £门0)0.

(3.262>

(3.262>

Но теперь предсказание относится к другой точке, а именно:

(3.263〉(3.263〉£ I ■ ■ - Sr+ /^л, 配三 Sk = ТЛ-к, S3 ^= Sro = ТИл» £0 =百m殳+百^,л.

(3.263〉

(3.263〉

(3.264>(3.264>С учетом обычной параметризации из равенства (3.262) получаем 叭+一。)口+卡中］=。， откуда

(3.264>

(3.264>

оказы-оказы-о(+-0)=- ^^2 «-0,26, что совпадает с полученным ранее результатом.

оказы-

оказы-

Итак, для распада К ^- Зл низкоэнергетическое приближение

вается вполне самосогласованным. Еще раз подчеркнем, что в данном случае мы столкнулись с очень благоприятной ситуацией, поскольку известное экспериментально трехпионное распределение дает надежную основу для процедуры экстраполяции, без которой невозможно окончательное сравнение низкоэнергетических теоретических выводов с экспериментальными данными.

Распад К f 2n

В случае распада К т 2л подход, основанный на переходе к однопион- ному низкоэнергетическому пределу, неприменим. Действительно, мы получим разные результаты в зависимости от того, который из двух пионов будем

считать мягким, а требование совместности этих результатов (в предположении, что сравнение допустимо) будет означать, что

А (К —> 2п) = О, т. е. приведет к весьма обескураживающему заключению.

Однако низкоэнергетическое приближение по одному из пионов, очевидно, и не может быть корректным для распада К f 2л, поскольку кинематика реального процесса требует равенства (с точностью до знака) 3-импульсов рождающихся пионов, так что, желая быть последовательными, мы должны считать мягкими оба пиона. Тогда в силу закона сохранения энергии-импульса- приходится считать мягким и каон, так что все выводы будут относиться к точке, очень далекой от физической области. Но это лучшее из того, что- мы можем сделать в данный момент.

При анализе распада К -^ 2я мы воспользуемся результатами для общего случая двух мягких пионов, рассмотренного в § 6. В нашем случае-

Л = дачет< несохр, |В)==|0), \A) = \Ki) и

7触->?§"= lim (л«(91) л₽ (д2) | <^?чет- несохр | Kt (р)).(3.265》

Мы собираемся переходить к низкоэнергетическому пределу, положив. сначала qj = —q2 = 0, а затем устремив к нулю %。и ?%. Тогда

лaЭ= 一 口"，[^3, ^^5^з勺=-々a,[炉，^Нет. несохр]^ (3.266)

Последнее равенство получено с учетом явного вида 超跪尸[формулы (3.218), (3.221) и (3.222)], Воспользуемся теперь соотношением (3.213). Последние два члена не дают вклада, если переход к низкоэнергетическому пределу выполняется одновременно для обоих пионов, т. е. сначала полагается gio = ‘а。 = д(), а затем g0 f 0. Это почти очевидно для слагаемого, содержащего 7工？ поскольку оно явно соответствует рождению в ^-состоянии, тогда как при распаде К -> 2冗 конечные пионы должны находиться в ^-состоянии. Чтобы показать это, заметим, что амплитуда

* = i J 謂 exp [i @ + 02)"]⑼？爆(")通呐.нес。хр (Q)) |":⑺)(3.267)

допускает простую параметризацию

(3.268>(3.268>приписы-(3.269).(3.270).приписы-(3.269).(3.270).型=(% + %)уД

(3.268>

(3.268>

приписы-

(3.269).

(3.270).

приписы-

(3.269).

(3.270).

вследствие закона сохранения энергии-импульса p =鱼+典

(шпурионной ЛИНИИ, соответствующей 苏?q" несохр, импульс не вается). Чтобы определить Л, вычислим свертку

(弘 + 92)"彌三也 + 我)2 4 三(必0 + 02。)2 л =

= _〈O|[QT,鸵*• uecoxp]|&.

Отсюда следует

@一弘)"邛三唸一證4 善〈0 I G，施5НMP] |金.

Этот результат показывает, что, вообще говоря, второе слагаемое в правой части равенства (3.213) зависит от способа перехода к пределу при.

%，%и f 0・ Но в нашем случае, если мы хотим сохранить симметрию между Двумя пионами, мы вынуждены, как уже говорилось, положить g】。—д201 что ведет к исчезновению вклада (3.270). Как показано в работе Бушия и Мейера [145], то же самое происходит и с последним членом в правой части равенства (3.213).

Итак, из (3.213) получаем окончательно:

lim k @) m @) I 觇"exp I" ⑺)=

=一崇〈01 {[QB, lQa,兆gHecoxp]] +

+ [Qa, [Q°,岳Г* несохр» | 忆(？)〉.(3.271)

Двойные коммутаторы в формуле (3.271) преобразуются подобно <f^4eT* несо^Р, поскольку Q& н QB — изоспиновые генераторы; вклад даже при наличии слагаемого с / = 3/2 дает лишь часть с^^ет.нссохр с / =〔厶，поскольку матричные элементы в формуле (3.271) берутся между каонами и вакуумом. Поэтому правило А/ = х/2 в пределе мягких пионов оказывается точным. Это и есть самый важный результат, который можно вывести для распада К -> 2冗 на основе алгебры токов и предела мягких пионов-

Количественные данные о ширине этого распада можно получить, только сделав какие-либо предположения о явном виде 惻閣嚣"* и мы не намерены рассматривать этот вопрос.

В заключение еще раз подчеркнем, что правило Д/ = 1/2 оказывается строгим лишь для нефизической точки, в которой не только пионы, но и каон имеют нулевые массы. В данном случае у нас нет достаточно обоснованного метода для перехода от низкоэнергетических соотношений к выводам для физической амплитуды* Поэтому в принципе нельзя исключить наличие в последней вкладов с Д/ = 3/2.

6 8・ Проблема распада 刀一> Зп

Очень хорошие результаты, полученные для распада К -> Зл, наводят на мысль применить тот же метод мягких пионов и алгебры токов при изучении процесса т] f Зл. К сожалению, результат оказывается плачевным и до сих пор еще не нашел объяснения.

Покажем, что происходит. G экспериментальной точки зрения процессы Т)f Зп и К -^ Зл очень сходны и трехпионный спектр в г]-распаде согласуется с параметризацией типа той, которая для распада 左一> 3冗 дается соотношением (3.239). Амплитуда процесса

Я -> л+ + л" + л°

хорошо описывается эмпирической формулой [146]

А(^ л+л-л°)=询[1 — % ■S^L](3.272)

(обозначения такие ясе, как в случае распада К-> Зл; не считая очевидной -замены К -> Т)), где

% = —0,19 ± 0,02»(3.273

Удивительно, что экспериментальные данные превосходно согласуются с равенством

и产一加2 _*& Q—0,20,(3.274)

которое можно написать по аналогии с соотношением (3.259) для распада К -> Зл. Но зто равенство всего лишь игра чисел, оно не имеет никакого теоретического обоснования.

При распаде т] -> Зл четность сохраняется, а G-четность — нет, и поэтому ■обычно считается, что процесс протекает благодаря электромагнитному взаимодействию второго порядка:

/ (П —心冗-廿)=(л+л-л° I <^皿*(°)I 刀〉，(3.275)

где

國эл.-м ⑼=е2 J ^^^)? о廿-м ⑺潔-M(0)),(3.276)

а 勿乩”(方)一фотонный пропагатор. Следовательно, мы можем попытаться применить обычный однопионный метод (§ 5) и, таким образом, связать низкоэнергетический предел амплитуды 刀一> 3冗 с матричным элементом известного коммутатора. Переходя к низкознергетическому пределу по п°, из основной формулы (3.121) получаем

Л (п -> л+л- (л0)) =<л+л-1 [^3, ^0Л-И]|п)= о, (3.277)

/Л

поскольку

【0,九"М]=о(3.278)

в соответствии с коммутационными соотношениями алгебры токов.

Итак, в низкоэнергетическом пределе по л° амплитуда распада т] f Зл должна обращаться в нуль. Этот результат полностью противоречит эмпирической параметризации (3.272), которая дает

л (т]л+л-(Д0)) = аn (1—0融 ^严"加2 m吗)^2,8аm , (3.279)

Непонятно, почему метод, очень хорошо применимый к распаду Kf Зп, оказывается совершенно несостоятельным в случае распада г] f Зл. Этот вопрос остается самой крупной нерешенной проблемой в данном подходе.

4. Алгебра токов и дисперсионные правила сумм

6 1. Введение

В предыдущей главе мы видели, каким образом из соотношений типа тождества Уорда выводятся низкоэнергетические теоремы. Теперь мы переходим к изучению правил сумм, которые получаются из тех же тождеств Уорда при некоторых предположениях относительно аналитических свойств и асимптотического поведения рассматриваемых амплитуд. Мы начнем с элементарного вывода правил сумм, основанного на ряде довольно жестких ограничений. Позднее, в § 8, мы избавимся от ненужных предположений и рассмотрим всю проблему с более общей точки зрения.

Идея состоит в том, чтобы объединить информацию, содержащуюся в тождествах Уорда, с информацией об аналитических свойствах инвариантных амплитуд, входящих в разложение следующего тензора:

墻(比，Р2； 91, 〃) = Z j 複 exp 3%)〈?2\T (追(“)指(0))1 P0 (4.1) 0；——произвольный векторный или аксиальный ток). Здесь Т — оператор хронологического упорядочения. Как уже отмечалось в гл. 3, § 1, правая часть равенства (4.1) нё всегда является ковариантным тензором 嚅^ и мы прежде всего должны переопределить ее так, чтобы она стала ковариантной. На этом вопросе мы подробнее остановимся в гл. 7, а пока начнем с выражения (4.1), как если бы оно давало ковариантный тензор, и все следствия, которые мы собираемся вывести, будут правильными, если для T§f взять корректное ковариантное выражение из гл. 7.

Можно считать, что амплитуда (4Л) описывает процесс, показанный схематически на фиг. 4.1. Адронные состояния I Pi〉и，] р?〉предполагаются бесспиновыми (или же усредненными по спину) и имеющими одинаковые массы 1) и четности; индексы токов а н 0 связаны с группой внутренней симметрии [как правило, это индексы группы SU (3)].

В принципе амплитуду Т幫 можно измерить, наблюдая процессы типа рл + л -> л + 6一 + ¥貝 + ¥®, но в настоящее время об этом не может быть и речи. В действительности нас интересует не сама амплитуда Т^ а абсорб- тивные части входящих в ее разложение инвариантных амплитуд, которые в случае рассеяния вперед (%=0) имеют более прямой физический смысл. Абсорбтивные амплитуды ——основной объект изучения в данной главе, и все окончательные результаты выражаются через эти величины.

Тензор второго ранга 7§： можно разложить на инвариантные амплитуды:

瑞=^аР^ + 硏飞巴 + В^р^ + В^А止V +

+ 3佇/A + С产QWv + e!0tQA +燈a必+發А八+С俨guv, (4.2)

!) Это условие накладывается только для упрощения кинематики.

где Р = % (Pi + г", Q = % @ + д) А =网一#2 = % — % н 拼=力. Амплитуды, входящие в это разложение, являются функциями & q；, g® и

V = (Р。)=(尸鱼)=(PqJ・

Исходя из определения (4.1), нетрудно убедиться в справедливости тождества

7臨(02? ?2； %，Р1) = ?6片(—01，Pz；—夕2? Pl)・(4・3)

Для упрощения гахшси обозначим через。工？ всю систему кинематических

переменных & g?, g； в следующем порядке:

012 =(力抒或)，(4.4)

а через Q2T — ту же систему с переставленными индексами 1 и 2:

^21 м 色以 9»(44)

Согласно тождеству (4.3), инвариантные амплитуды, входящие в разложение (4.2), удовлетворяют следующим перекрестным соотношениям:

4眦(％ Q£2)= *B( — V, QG，

B^a{v, Q^= -В^ (-V, Q2l),

в好(V,Q12)= 3殁(一V, Q21)，(4.5)

Ci*(v, 9i2)= C^( — v, Q21), i = 1, 4, 5, C号(V, Q12)=-若°( - V, 02。.

2・ Тождества Уорда

Выведем теперь несколько равенств типа тождества Уорда, из которых в свою очередь будут следовать довольно интересные соотношения между инвариантными амплитудами.

Как и в гл. 3, § 1, свернем Т^ с 嘱 Пользуясь коммутационными соотношениями кварковой модели

[7о (х, 0),范⑼]=办“у相(0) 63 (х),(4.6)

получаем обобщенное тождество Уорда

成Z^ = u7 —炉眦八卩2| 加(0)|р。，(4.7)

в котором

^=-J"2exp (%22)(?21T(加⑺并(0))1加.(4.8)

Мы ограничимся случаем, когда оба тока в формуле (4.1) одновременно либо векторные, либо аксиальные, так что j^~V^ есть векторный ток，); далее для простоты допустим, что ток V сохраняется, и потому можно просто положить

伪2 丨叫 I Pi〉= Si + 厶)的 G).(4.9)

Тогда соотношение (4.7) принимает следующий вид:

ЧгТ^и^-^^Р^^.(4.10>

Присутствие с-числовых швингеровских членов в правой части равенства 4-6) не отражается на конечном результате; действительно, амплитуду 7職 на самом деле следовало бы определять, вычитая ез правой части (4.1) вакуумное среднее того же коммутатора, как это уже говорилось в гл. 2, § 4, п. 2g

В то же время мы можем вывести еще одно тождество Уорда, вычислив.

точно так же величину ,了臨.Оно имеет следующий вид:

优，堂=卩俨一2ifpayPvFv (0,(4.11>

где

卩俨=J d^x exp (- iqlX) (p21T(7₽ (0) Da (x)) | P1).(4.12)

Соотношение (4.11) можно вывести из (4.10), пользуясь формулами (4.5) и равенством

P士"(鱼，92)= -"；в(-92,-内).(4.13)

Наконец, таким же способом получим тождество

廿或7^ =呼阻_2用7肥、口⑴十S叫(4.14>

в котором величины

W^^i j d^x exp (i^2^) <Рг Iy (^₽ (^) ^a (0)))Pi}» (4.15)

S^i J d3x exp (- fq2x) (p21 [;1 (x, 0), If (0)] |P1)(4.16)

обладают следующими перекрестными свойствами:

呼做(v,Q,2)=万耶(一%021),(4.17)

S^{Q^ = S^{Q^.(4.18)

Напомним, что написанное выше перекрестное соотношение для 評以 выведено в предположении, что ток /\ =卩二 сохраняется; в противном случае оно неверно.

Другие тождества Уорда получаются из U^ и V^:

近。『=屮啓 + S叫(4.19)

或个=*强+ S吗(4.20)

Из тождеств (4.10), (4.11), (4.14), (4.19) и (4.20) следуют весьма интересные соотношения ме?кду рассматриваемыми инвариантными амплитудами. Прежде всего введем по апалогии с (4.2) инвариантное разлозкение

Поскольку начальное и конечное адронные состояния предполагаются бесспино- выми состояниями с одинаковой четностью, матричный элемент аксиального тока, аналогичный элементу (4.9), обращается в нуль. Поэтому тот случай, когда один из токов в формуле (4.1) векторный, а другой — аксиальный, может быть рассмотрен точно так же.

для амплитуд U^" и 卩俨：

0俨=0产 几 + U^ + 0ftt А口，(4,21 >

噌=理%+從@+例a.(4.22>

Входящие сюда инвариантные амплитуды удовлетворяют следующим перекрестным соотношениям:

d“e, qq=—若p(-v, QG,

矶°(V, QQ =吟°(-V，<?2必(4・23>

喈^,012)=一卩囂(一%<?21).

Полученные ранее тождества Уорда можно теперь переписать в виде системы соотношений:

v4₽a + {Qq^ Б^ + (Ag2) В^ = U^ - 2i]^ («),&2»)

V矶а + @2)С?а + (△%)或а + С^ =少凱(4.24〃)

V3券 + @2)ф +。电)或а + ^爲"=成а,(4.24”)

V不a + ①弘)研a + 0g)B^ =?恥-2if^(t),(4.25’)

VB” + (Qgi)普° + (A?1)徹а + 爲а =曬°,(4.25〃)

vB^ + (Qgi) C^ + (Agi) C^ - 4 cfа = V^,' (4.25”)

唄4昵 + v [(Qg B^ + @2) 3肥 + 2 0公)庚a + 2 (а?2)成> +

+ (Qgi) (q02)國"+ (Qjl)(А02)eg" + (А仇)(q02)或"+

+ (Ml) (Ag) с 俨 + (弘比)倉=叩敗 _ 21^^ © + 萨，(4.26).

Vu？ + (Qgi) u^ + (△公)0肥=w眼 + s叫(4.27)

”曾十(Qs)嗯"+附2)嘴"=wm+S%.(4.28)

Читатель заметит, что равенства (4.25) и (4.28) можно получить, первоо- из (4.24), а второе из (4.27), с помощью перекрестных соотношепий (4.5),. (4.17), (4.18) и (4.23).

Правила сумм

Теперь мы хотим показать, каким образом из полученных результатов вместе с некоторыми добавочными предположениями можно вывести правила сумм дисперсионного типа.

Мы начнем с наиболее элементарного вывода [46]. Позднее, в § 8, мы ослабим налагаемые ограничения (правда, в ущерб простоте!).

Итак, допустим на время, что любая из введенных ранее инвариантных амплитуд (Л, В^ С“ U” У” W) удовлетворяет дисперсионному соотношению без вычитаний по переменной v при фиксированных 力 q：, д；; иначе говоря, для каждой из амплитуд справедливо представление типа

^(V,(?12) = ±J^(V,(?12) = ±J加，弊(V工Q由 支=

^(V,(?12) = ±J

^(V,(?12) = ±J

V -V-ZEл J V -v+ ге

л J L V —v — геv +v — 2g J

Абсорбтивные инвариантные амплитуды с^а^ &^а, ср", 〃?“, и?", 3。" определяются разложениями следующих тензоров [эти разложения аналогичны разложениям (4.2), (4.21) и (4.22)]:

離=4 (2л)4 2 6& (Р2 + 02 — Р“)〈Р21 井 I«) («I Уд IР»,(4.30)

п

U^® = yi (2л)4 2 6&(Р2 十 02 — Ртг) (Р2 Pe[n)(n|7^| Pl)»(4.31)

谎a = _ _| z(2吋 2 6& (P2 + 效 一 P“)〈P2 I 轟 I 冷⑺。"I А). (4.3У) n

/" = ^(2口)4 2 в4(P2 + ?2 —^n) <P2 I ^P I «) (« I ^a I Pl)- (4.32) n

Эти тензоры имеют вполне определенные носители по переменной v, так что абсорбтивные амплитуды определены при значениях v, превышающих некоторое подходящее vs. Значения абсорбтивных амплитуд в области ——оо V V w & —vs находятся из определений:

@В“(》Qi2)= —@"°(—v, Qzi), 应“W Qi^ = b^(-v, QG， 碳“(R Ql2)= —6曾(一vj ^21)r С!**(V» Qiz)= —源°( — v,j Q2O， c2a (v> <?12)= c3 ^ ( — vj <?21)， 4a(v, q,2)=-或b(-% QM&33)

С?"(V, ©2)= —^5P (―V, Q21), 源yV，Q12)=贺В ( 一 也0加，

"旣(v, Q12)=一成0(一》021)， 乂纟“(招 QQnu^"—% Q21)， /“"，Q12)=—状气一夕，Q21)・

Определения эти таковы, что интегралы, подобные входящему в правую, часть равенства (4.29), автоматически удовлетворяют перекрестным соотношениям (4.5) и (4.23). G учетом равенств (4.33) представления типа (4.29)

можно переписать следующим образом:

产(% QQ=3 jw[-

。昵(hQ12) Vх—V—»£

1 产° В, (?21) 1

* v' + v—ie 」'

（4.34）

B?O5(V,<?12)=4 J dV，D v0

碍О5 "，Q12) и 一 V -讫

喏B", Q24)]

V^ + V — 18 J *

（4.35）

B3 (% Qi2)—支 f [

硬У% Q,2) v* — v—Zb

,娥(％ Q2O] v/十寸—ie」'

(4.36)

Ci (v, Qi2)—冗 j dv [-

C?a”, Q12) v* — v—is

霖第］a，4,5），

(4.37)

。既（V, Ql2）= ；,

dv[

cg“"，＜?12）

▼一V一记

c記(％ (?21)]

■v'-j-v—记」'

(4.38)

〃” (v, Q，2)T j vo

dv[

碍"В，Q12)

■v'—v—is

V* +V—18 J，

г = 1, 3,

(4.39)

〃纟a(V, Qi2)= W , v0

d叫

滤Yv', Q12) vf — v — ie

[虑S”，Q21)]

1 v^V —18 J，

(4.40)

^₽a(v, Q，2)=3 j

v0

dv [•

必阿(匕Qi2)_ v‘一v — z&

[宀 V,Q21)L

「v' + v—ie J *

(4.41)

Остальные амплитуды можно легко найти по написанным выше, пользуясь все теми же перекрестными соотношениями. Если написанные выше выражения для амплитуд подставить в тождества Уорда (4.24) — (4.28), то получим аналогичные (хотя и не идентичные) соотношения между абсорб- тивными амплитудами. В качестве примера рассмотрим соотношение (4.24'): 1 沁[ygBa(v，,。设)+ 9血)骋 a”，Q]2)+ (Ag2)或仪 ”，Q^) — 碎^ (% Q]》]丨 v0

+ 工 j dv，「叫% Q20 + (Qg2)*B(V,勺)一m無)片b (唄，q21) 一 炉 S, Q21)]= v0

=-2炉^严(力(4.42)

Отсюда получаем

4J^[^]+4J^[2^]+

v0v0

+ £ wd" (% Qi2)+ (Qm)力纟“(V, Ql2)+ (A&)龙“ (”，QQ — uf"(R Ql2)] +

+ "-vaa^ (—",QzD + (Q^2)5?'( - V，^21)-(A02)5职(-"q21)- 一/В(一％q21)]= -2次。户(力(4.43)

Поскольку величина if^^ (0 вещественна), зто соотношение дает

屮戒“(V, Q12)+ (Q02)^“(V, Q12)+。。2)龙“ (M Q12)— 口?“ (乂 Q12)=。，(4.44)

屮戸(V, Q21) + (Qg) Ь^ (v, Q20 — (А&) ь^ (v, Q21) — 弟", Q21) = 0.(4.45)

Мы получаем два отдельных равенства вследствие того, что два выражения в квадратных скобках в формуле (4.43) имеют разные носители по переменной V. Равенство (4.44) подобно равенству (4.24') (отсутствует слагаемое с формфактором), и его можно получить формально, просто взяв мнимую часть (4.24*) в области v > v0. Равенство (4.45) получается аналогичным образом из равенства (4.25') после замены Q?i f Qu 值兀瓜，что эквивалентно, вычислением мнимой части равенства (4.24') при v V ——vQ.

Отсутствие в соотношениях (4.44) и (4.45) слагаемого с формфактором (который не зависит от v) означает, что должно существовать различие в асимптотическом поведении при больших v между вещественной и мнимой частями амплитуд. Это важное обстоятельство подробно анализируется в следующем разделе.

Из равенства (4.43) с учетом тождеств (4.44) и (4.45) можно вывести очень важное правило сумм. Действительно, преобразуя тождество

4 J ^[^v^]+v J W р^^・]=-2办а尸(О(4.46)

[соответствующее вещественным частям равенства (4.43)] с учетом (4.44) и (4.45), имеем

；f dv [。卽(v, Q12)— “ap(V, <?21)]三 V f dv”a(V, QQ = 2炉脆尸(力 (4.47)

VO-8

Это весьма общее правило сумм впервые было выведено Фубини [46J и независимо от него Дашеном и Гелл-Манном [47, 48].

Рассмотрев для простоты адронную мишень с изоспином % и ограничившись случаем аксиальных SU (2)-токов, можно, как обычно, определить

/°а = 4+б0а+4-^т, Та](4.48)

严(力)=歹⑴^/(4.49)

Здесь F (力) — электрический формфактор мишени, т. е.

办碎严(0 = 4 [Тр, Та]歹 G).(4.50》

Тогда общее правило сумм (4.47) принимает следующий вид:

-^-jdw(v, i, ^, ^) = F(i).(4.51》

vo

Это правило сумм было выведено в предположении о справедливости дисперсионных соотношений без вычитаний для Л Р% 3§“, &?“ и U^ [формула (4.34) и далее]. Точно так же, предполагая, что дисперсионные соотношения без вычитаний справедливы для всех амплитуд, можно получить, остальные правила сумм:

十8

4 J或"(V, <?i2)dv = 0 i = l, 2, 3, 4,(4.52)，

~ J礎“(V, Qe)dv= —S°a(QQ,(4.53)，

4 J碎“(％ 0加壶=-S，QQ,(4.54}

W jV。呢(v, QQdv=—S阿(QQ.(4.55)

Не все из них независимы. В качестве исходных можно взять соотношения (4.47) и (4.52) при i = 1, 3, а также (4.53) и (4.55); тогда остальные правила сумм будут следствиями перекрестных соотношений (4.33).

§ 4. Асимптотическое поведение амплитуд слабого взаимодеИствил

Справедливость полученных правил сумм зависит, разумеется, от асимп* тотического поведения абсорбтивных амплитуд, которое еще предстоит выяс* нить. В этой связи прежде всего отметим, что из соотношений (4.24)— (4.28) следуют равенства

/"=吃(n％瘠+偽1学)，

3

沪=h X/碎a+工(闻啜十k[.v^)\ '

14=2

3

瞰=告(n%噂"一小)，(4.56)

1=2

3

嚟^鼻㈢入硏"6"),

3

S Yt穹“+ 2 (PiKfa+p^fa)=如a,ii=2

в которых различные коэффициенты не зависят от v. Если теперь предположить, что при больпшх V

｛с% 碱：з，v|a3，出阿｝ q-： const/(V),(4.57)

то получим

a0azconst 丄(：),g8V3

6^ / const丿,),(4.58)

｛口优少?"｝ / const 上兽-

Поэтому ясно, что из правил сумм (4.52) —— (4.55) и (4.47) последнее имеет больше всего шансов быть справедливым.

Если для абсорбтивных амплитуд предположить реджевское поведение с ведущей траекторией a (/), то можно написать

｛齊气 噌％, %%,祁眦｝*—constVa^\

妆俨，〃fa, p^｝ ,—_, const ~а«)Т ,(4.59)

a8az/ const W)-2.

Такое различие в реджевском поведении абсорбтивных амплитуд согласуется и с результатами, полученными методом производной амплитуды (гл. 1, приложение II), но там речь шла о самих амплитудах, а не об их мнимых частях. Напомним, что там мы имели дело с сильными взаимодействиями, тогда как теперь рассматриваются амплитуды второго порядка по слабому или электромагнитному взаимодействию. Как мы увидим, это приводит

15*

к существенному различию в поведении вещественных частей амплитуд. Рассмотрим, например, соотношение (4.24')-

必阿+ @2)8堂+ (△我)项"一玻、一2办a尸⑴.(4.60)

Взяв мнимую часть этого равенства и отметив, что слагаемое с формфактором при этом исчезает, заключаем, что соотношение (4.60) вполне согласуется с предположением о чисто реджевском поведении абсорбтивных амплитуд. Но это же равенство противоречит предположению о реджевском поведении вещественных частей. Действительно, если принять, что интерполирующие функции парциальных амплитуд не имеют неподвижных полюсов в плоскости комплексного углового момента, то постоянная в правой части равенства (4.60) не имеет аналога в смысле асимптотического поведения левой части. Таким образом, мы вынуждены отказаться от предположения о чисто реджевском поведении одновременно и вещественных и мнимых частей изучаемых амплитуд. Возникновение нереджевских асимптотических членов объясняется смешанным характером задачи, когда слабые и электромагнитные процессы рассматриваются в низшем порядке теории возмущений, тогда как сильные взаимодействия учитываются в принципе точно. Если выключить сильные взаимодействия, то порождаемые ими амплитуды рассеяния адронов должны обратиться в нуль; амплитуды в разложении (4.2) будут тогда сводиться к их борновскому приближению по слабому взаимодействию. Поэтому при высоких энергиях, помимо характерных для сильного взаимодействия ред- жевских полюсных членов, могут, по-видимому, оставаться и некоторые другие вклады, зависящие от структуры электромагнитного и слабого токов, причем они должны проявляться лишь в вещественных частях амплитуд. Действительно, при высоких энергиях мнимая часть целиком определяется вкладами промежуточных состояний, порождаемых сильными взаимодействиями, тогда как борновское приближение по слабому взаимодействию является там вещественным.

Итак, мы приходим к выводу, что в случае амплитуд, включающих комбинации частиц и токов, асимптотическое реджевское поведение можно предполагать только для мнимых частей [40, 44, 49].

Отметим, что общее правило сумм (4.47) справедливо при условии a (i) V 1. Отсюда ясно, что интеграл в левой части (4.51) сходится, во всяком случае (при 才 = 0, поскольку входящая в него амплитуда соответствует обмену изоспином 1 в ^-канале и для ее ведущей траектории (р-траектории) мы имеем ар (0) ^0,5. Остальные же правила сумм наверняка несправедливы， во всяком случае до тех пор, пока не исключены вклады изоспина 2 и отсутствует достоверная информация о соответствующих траекториях. Позднее, при более общем анализе, мы увидим, что даже в этом случае справедливы некоторые тождества, которые могут быть преобразованы в правила сумм при соответствующем асимптотическом поведении амплитуд. Прежде чем перейти к этому вопросу, рассмотрим некоторые проблемы, возникающие в связи с правилом сумм (4.47).

6 5. Сверхёходимо^тъ и правила сумм, следующие “а алгебры токов

Сначала отметим, что правая часть равенства (4.47)

+ 8

j dvaBa(v,力 g：,廟)=2炉Ват尸'«)(4.61)

не зависит от «масс» токов q； и д；・ Исторически именно этим обстоятельством и был обусловлен вывод сверхсходящихся правил сумм (СПС) для сильных взаимодействий [50]. Для конкретности рассмотрим случай пионной мишени

и векторных токов, принадлежащих изотопическому мультиплету с / = 1. Исследуя возможные особенности амплитуды 46a (v, J,代,員)как функции «масс» 欣(остальные кинематические переменные фиксированы), мы должны обнаружить вклад р-мезонного промежуточного состояния в виде изолированного полюса в тоике：?? = Wp по каждой иэ переменных д?. Поэтому мы должны например, иметь 工)’

Нт [т^ —先)4卽(у,/,吟？：)=力厶將(v, t, ◎(4.62)

企崂

где /將(v,力，g；) — подходящая инвариантная амплитуда, описывающая про- цесс рождения р-мезона на пионной мишени под воздействием исходного тока. Из равенства (4.61), пользуясь тем, что 理(力)не зависит от 脸 получаем

1 国端(V,也比 dv = 0.(4.63)

Фактически это равенство ——соотношение сверхсходимости для мнимой части «смешанной^) амплитуды 力將(v, t, 必)，описывающей рождение р-мезона исходным током. Мы можем затем выделить р-мезонный полюс и по переменной 吟 написав；

川m (用二 £河需(“ZE+ma黑(v, 0-(4.64)

В итоге получаем соотношение сверхсходимости для амплитуды рл-рас- сеяния[

十8

J Im4貶(v*) dv = 0,(4.65)

совпадающее с соотношением (1.122). Тем самым показано, что соотношения сверхсходимости для адронных и смешанных амплитуд можно вывести из правил сумм алгебры токов, пользуясь тем, что правые части последних не зависят от «масс» ?；, ^2- Отметим, что при данном выводе СПС конкретная струк^ тура коммутаторов алгебры токов несущественна. Важно только то, чтобы коммутаторы типа (4.6) были локальными (или почти локальными), т. е. чтобы величины

j dx exp (— ^х)〈Р21 載(х, 0), % (0)] I 夕〉

И

”"=』№% exp (-iq2x)(p2f| M (x, 0), Da (0)]) &〉

не зависели от g： и g； (или же были полиномиальными функциями этих пере- менных).

Обратное также верно: пользуясь подобными (4.63) соотношениями сверхсходимости для смешанных амплитуд и простейшими наиболее надежными коммутационными соотношениями алгебры токов' (а именно коммутаторами зарядов и токов), можно вывести общее правило сумм (4.61) из тождества Уорда (4.60).

Величина /р есть константа связи р-мезона с током:

〈01 PJEI р^^^арВц/р；

е出一вектор поляризации р-мезона*

Рассмотрим для простоты случай сохраняющихся векторных токов и начнем с такой конфигурации импульсов, для которой д； = & д； = 0. Из (4.60) имеем

v^pa= -2if^(t),(4.66)

vaBa = о.(4.67)

Отсюда следует, что 〃6а = с₽« (%) 6(V),(4.68)

т. е. в качестве промежуточных состояний в амплитуду а^а (v,力 九 0) могут давать вклад лишь частицы того же сорта, что и мишень.

В этом случае тензор 咨;，входящий в формулу (4.30), принимает следующий вид:

離=л<л(Р2)|7v|n(Р1 + ?1)><«(А十G)I 尤m(〃)〉у 8(v).(4.69)

Теперь вспомним определение (4.9):

m(р‘)I 九 m(Р)〉=(р 十 р'х 尸((Р - р')%(4.70)

Из фундаментального предположения о трансформационных свойствах токов относительно группы SU (3)

炉,羚(2)]=办0局(2)(4.71)

следует, что

尸^)= £>尸冗⑴，(4.72)

где 1Л — надлежащая SU (З)-матрица, a Fn (才)一электрический формфактор пиона, нормированный условием F^ (0) = 1. Отсюда легко находим а眦ё,九九0) = 2л上吃喈几(0 6 (v).(4,73)

Пользуясь коммутационным соотношением [L₽, La] = if^L^, получаем равенство

j а。。(V,力力 0) %?三 3 f [。眦(v,力，£, 0) — a"B(V, t, 0,力)]dv = Vo

=2力即严(以(4.74)

которое и представляет собой правило сумм (4.47) для рассматриваемой конфигурации импульсов 尤 = & 0； = 0.

Выполним теперь аналитическое продолжение 】)от Л₽а (v,九 九 0)= 口力(s, 0) до А^(V,厶 t, © = 4 (s, q；). Если предположить, что амплитуда А (% q；) как функция qf при прочих фиксированных переменных имеет полюса и разрезы, соответствующие возможным адронным промежуточным состояниям, то можно написать

4(s, ql) = A{S, 0) + g； J 局；,鶴)dd,(4.75)

где р (s, о?) — функция, содержащая вклады как дискретных, так и непрерывных (по спектру масс) адронных состояний и отличная от нуля лишь для времени подобных ^. Решающим соображением является то, что вели-

Алгебра токов и Нисперсиомные тгрази^а сумм 231 чина р (s, д2) пропорциональна амплитуде рождения адронного состояния •с массой ?2 и надлежащими квантовыми числами. Далее, предположим, что амплитуда р ® ,?) удовлетворяет сверхсходящемуся правилу сумм

j 曲 Im р (s, д' = 0 (4.76)

(конечно, имеется в виду мнимая часть в 5-канале при фиксированном д2). Интегрируя мнимую часть равенства (4.75) по v и используя предположение (4.76) совместно с равенством (4.74), получаем

；J [аВа«, /", ^)-а«₽(V, t,确，川 dv = 2炉мт严⑴. (4・77) vo

Таким образом, нам нужно только «нормировочное условием для некоторого частного значения °：, ,^, а все остальное следует из сверхсходимости. Удобно выбрать конфигурацию ^ — t-, q^ = 0 или, что эквивалентно,，丄= =0, g； = t, поскольку в этих случаях для получения правила сумм нужны лишь коммутаторы зарядов и токов.

§ 6・ Особенности формфакторов и расходимость правил сумм

Перейдем теперь к очень важной проблеме, возникающей в связи с общим правилом сумм (4.47), которое в конечном счете есть некое интегральное представление аналитической функции 尸у (力)・ Последняя, будучи формфактором, должна иметь особенности при времениподобных (т. е. положительных) значениях t. В простом случае изовекторного формфактора ближайшей особенностью должен быть р-мезонный полюс в точке t = mj. Следовательно, интеграл в левой части равенства (4.47), будучи продолженным в область положительных значений 力，при t =呜 должен обращаться в бесконечность. Каков же механизм образования этой особенности?

На первый взгляд дело в том, что продолженная функция 。6° (v, i, 唸 ^2) имеет особенность при 才=欣 из-за наличия р-мезонного вклада в ^-канале для парциальной волны с J = 1. Но более внимательный анализ показывает, что это не так. Действительно, разложение амплитуды 4Ра(V, t, ?：,或)по парциальным волнам в i-канале начинается с J = 2. В отсутствие вкладов с J = 0, 1 в амплитуде 4₽а (v,力 q：,碎)можно убедиться либо прямой проверкой, либо использовав изложенную в гл. 1 (приложение II) теорию производных инвариантов. Для данной амплитуды парциальные волны с J = 0, 1 в ^-канале вообще не имеют смысла («nonsense waves»). Таким образом, амплитуда А^ (v, t, ?：,礎)в ^-канале не может содержать вкладов таких состояний, которые порождали бы особенности формфактора 戶(£), связанного с векторным током.

•Коль скоро исключена возможность того, что особенности функции 尸丫 (%) появляются из-за особенностей функции а^а(中，力，？;， ^), остается единственный механизм, а именно расходимость интеграла в левой части равенства (4.47). Такое объяснение согласуется и с предыдущим утверждением о том, что 〃6“(V, %, 赤 磅 асимптотически ведет себя как va-2 [формула(4.59)， где a ——ведущая траектория с изоспином 1, т. е. р-траектория. Отсюда ясно, что при том значении 力°, при котором a &J = 1, интеграл должен расходиться; в то же время t0 = mp, по определению [50].

В § 8, п. 1 мы рассмотрим механизм возникновения этой расходимости с точки зрения комплексной плоскости Хури или Редже; мы увидим, что для ее появления необходимо вполне определенное соотношение между непод^ вижными и движущимися полюсами в плоскости Хури [51—54].

§ 7. Частные кинематические конфигурации импульсов; предел точной симметрии и поправки к нему

Если бы мы имели дело со случаем точной симметрии, то дивергенция тока Da обращалась бы в нуль, а вместе с ней обратились бы в нуль и амплитуды Ui, Vi 0 W. Действительно, из соотношений (4.8), (4.12) и (4.15) видно,, что амплитуды Ui nVi — это величины первого порядка по параметру нарушения симметрии, тогда как W ——величина второго порядка. Поэтому подходящим выбором значений кинематических переменных gf, ^2 и ^ можно добиться того, чтобы в некотором тождестве Уорда осталась всего лишь одна амплитуда. Соответствующее правило сумм легко насыщается, и результат оказывается прямым следствием симметрии теории. Поясним сказанное примером. Соотношение (4.24') при ?： = (%9纟)= 0 дает

必阿(V, t, Л 0) = и體(V, t, t, 0) — 2/ат严 G),(4.78>

]v”a (v,也力 0)= “曾(v, 2, t, 0).(4.79>

Таким образом, в пределе точной симметрии (^ = 0) величина «В。 может быть отличной от нуля лишь при V = 0; другими словами, промежуточными могут быть лишь те состояния, масса которых совпадает с массо& частиц мишени. Поэтому правило сумм (4.47) дает результат, соответствующий пределу точной симметрии, и, что еще важнее, оно дает метод вычисления поправок к этому результату в случае, когда симметрия оказывается нарушенной.

Перейдем теперь к некоторым конкретным примерам и выведем несколько наиболее важных правил сумм. Их количественный анализ мы оставим^ однако, до гл. 8, посвященной методу бесконечно большого импульса, который более удобен, особенно в случае мишени со спином.

Мы начнем со случая меняющих странность векторных токов при ?：= =(9102)= 0, когда справедливы соотношения (4.78) и (4.79). Итак, положим В = V+, а = У-, а в качестве мишени возьмем л Л В этом случае величина 办^户(0 = Fn 厶)является электрическим формфактором пиона, а правило сумм (4.47) принимает следующий вид:

ОО

4 J 加[аУХ^, t,力加)-崂Г W，t, 0,切=2% (t).(4.80)

VO

В этом правиле сумм удобно выделить вклады тех одночастичных состояний, которые в пределе точной 5 С7 (З)-симметрии могут иметь такую же массу, как и частицы мишени. В нашем примере таковым будет промежуточное- ЛГ°-состояние, а поэтому

0炉厂=2“6 е - Vk) /+ (0) /+ ⑴ + {аУ*К}непр,8

QB = {ak}sJ■

где vK = г/2 (тп發一тПд) обращается в нуль в пределе точной SU (3)-симметрии. Формфактор /+ (力)определен следующим образом (гл. 2, § 5, п. 2, б):

〈К。IV^ [п+) = (рл 4- рк)3/+ (0 + (Рк 一 Рл)|х /- (0»(4.82》

? = (Рк — Pit)%

Переписав (4.80) с учетом (4.79) и (4.81), получим

/+(0)/+(г)+ -^ J dv [uf ^"(V, t, 0, 0) - ^+ (v, i, 0, 01 = Pn W- (4.83)

непр

Это правило сумм 工)очень удобно для вычисления поправок, необходимых в связи с нарушением SU (З)-симметрии (собственно, для этого оно и было впервые предложено). В ппеделе точной симметрии (иг = % = 0) мы имели бы

(4.84)-(4.84)-/： (0)= 1,

(4.84)-

(4.84)-

/+ «) - F„ (0,

а поправка к этому пределу дается интегральным членом в формуле (4.83).

Отметим, что эта поправка имеет первый порядок по параметру нарушения, поскольку выражения (4.8) и (4.12) для их и / содержат только по одному оператору Dv±.

Переходя теперь к случаю ^ = i — 0, получаем другой очень важный результат. Для данной конфигурации импульсов непрерывный вклад в 仅卩十卩~ можно найти с помощью соотношения (4.26):

22a卄(V, о, 0, 0) = ^卄(V, 0, 0, 0).(4.85)

Правило сумм принимает тогда следующий вид:

£(°)+击 J[""飞,0,0,0)-"一片(%0,0,0)]患=1.(4.86).

непр

Вспоминая, что выражение (4.15) для 叩⑶。квадратично по дивергенции SU (З)-тока, заключаем, что поправки к пределу точной симметрии/| (0) = 1 имеют второй порядок по параметру нарушения SU (З)-инвариантности. Это- есть дисперсионный вариант [55] теоремы Адемолло — Гатто [56].

Для той же конфигурации импульсов можно получить еще более важный результат, рассмотрев случай двух аксиальных SU (2)-токови мишени с изоспином V2 ). Правило сумм (4.47) принимает тогда следующий вид ):

携+•!『翁"《0，°，价=1，&87>

Vo

где гА ——ренормировочное отношение аксиальной и векторной констант связи при 力=0. В частном случае нуклонной мишени соотношение (4.87> представляет собой правило сумм Адлера ——Вейсбергера [57, 58].

Рассмотрим теперь другую конфигурацию импульсов, а именно £ = 0, 9： = 9：=(鱼02)= " (мишень все та же — изодублет). Взяв индексы р, а соответствующими двум заряженным изовекторным токам, из равенства (4.47) получим довольно интересный результат [59]. С учетом обычного разложения @昵 =а+6₽а 十 % [風 та] имеем，

耳;®)十^ J a一 (R °，"，^) dv = 1.(4.88>

vo

Это равенство представляет собой фактически частный случай соотношения (4.51), в котором выделен «нуклонный» вклад 0 использовано определение

?W 困 Р〉= S + Р')胜工居((Р- Р^(4・89)

Соотношение (4.24‘)в нашем случае дает

va~ + ui)2 = 0,(4.90)

что позволяет переписать (4.88) в виде

驾(")—^f&；(v，°，"，〃)F = L (4-91)

VO

Беря производную в точке м = 0 五 используя добавочное соотношениеyb£ + ис； + с； = О,

вытекающее из равенства (4.25"), получаем

{tLo=-| j持(V，0, °，0)(&92)

Путем соответствующих выкладок абсорбтивную амплитуду 電 в данной конфигурации илшульсов можно выразить через полные сечения рао сеяния «изовекторных фотонов»; тогда соотношение (4.92) свяжет эти сечения «о средним радиусом изовекторного заряда〈г&〉= 6 {dFr (u)/tZu)u=o. В такой форме равенство (4.92) совпадает с хорошо известным правилом сумм, полученным впервые Кабиббо и Радикати [60]. Отметим, что к этому же правилу ■сумм можно прийти, отправляясь от другой конфигурации импульсов, а именно д： = д； = 0, 2 (^2) = —九

В гл. 8, посвященной методу р f оо, мы вновь вернемся к этим правилам сумм и рассмотрим случай мишеней со спином. Интересующийся читатель найдет там более подробный анализ различных вкладов в правила сумм и их численные оценки.

§ 8・ Функции, интерполирующие парциальные волны, “ тождество, алгебры токов

Выполняя обещание, данное в § 3, мы изложим в этом разделе корректный вывод правил сумм. Построения § 3 были эвристическими — предположив справедливость дисперсионных соотношений без вычитаний для всех инвариантных амплитуд в разложении (4,2), мы получили правила сумм (4.47), (4.52) — (4.55), справедливые в лучшем случае лишь тогда, когда интегралы сходятся. При подходе, который мы собираемся изложить, предположение о дисперсионных соотношениях без вычитапий заменяется некоторыми более общими предположениями относительно инвариантных амплитуд.

Главную роль будет играть предположение о том, что инвариантные амплитуды, входящие в тождества Уорда (4.24) — (4.28), удовлетворяют принципу максимальной аналитичности второго рода [61] (гл. 1, § 6). При таком условии коммутационные соотношения токов можно переписать в виде некоторых соотношений для интерполирующих функций Хури, справедливых при любых значениях масс и передаваемого импульса 力；если, кроме того, в интересующей нас точке сходятся интегралы в выражениях [типа (1.50) и (1.51)] для интерполирующих функций, то указанные соотношения преобразуются в правила сумм § 3.

В качестве исходной точки вывода напишем разложения по степеням v для всех инвариантных амплитуд, введенных в предыдущих разделах:

不个3,囲呢)=2 a俨淄屮，

二°(4.93)

^a(v,f, g；,g：)= § 陪色吟 g；)Fn=0

и т. д,. Зависимость а俨,卩槃,от кинематических переменных & 壮 и q： выписываться не будет.

Правда, подобные разложения не всегда законны, поскольку точка v = О не при всех значениях 力,q；, q； является точкой аналитичности; но их использование существенно упрощает выкладки, не отражаясь на справедливости конечных результатов 丄).

При п, превышающих некоторое Хо ), коэффициенты ag", 0後 и т. д. можно, подобно тому как это было сделано в гл. 1, § 6, выразить следующей формулой обращения:

0昵(*t,赞，gj) ”1+九0昵(*t,赞，gj) ”1+九

0昵(*t,赞，gj) ”1+九

0昵(*t,赞，gj) ”1+九

&ia (v, t, gf, ql) vi+n&ia (v, t, gf, ql) vi+n(4.94)

&ia (v, t, gf, ql) vi+n

&ia (v, t, gf, ql) vi+n

При выводе этих формул используются представления (4.29) для амплитуд; ябсорбтивные части при v > vs определяются разложением (4.30) для тензора 彊，а при V < -V- перекрестными соотношениями (4.33).,

Введем теперь интерполирующие амплитуды Хури:

(4.95)(4.95)

(4.95)

(4.95)

В соответствии с асимптотическим поведением абсорбтивных амплитуд введенные выше функции аналитичны в области Re z > 九。и при целых положительных z = п, п ^> KQ принимают значения, совпадающие с коэффициентами рядов (4.93), например a₽a (га) = a₽a.

Допустим теперь, что амплитуды удовлетворяют требованию максимальной аналитичности второго рода. Это значит, что интерполирующие функции (4.95) допускают аналитическое продолжение по меньшей мере до Re г = =0, а их значения при всех неотрицательных целых п = 0, 1, . . . также совпадают с соответствующими коэффициентами рядов (4.93).

Асимптотика любой из амплитуд при больших v (при фиксированных 9；，?2 и %) находится тогда обычным образом. Взяв в качестве примера амплитуду А^ (остальные амплитуды трактуются аналогично), напишем]

不 力"，g)=fl 磷j 矣兽(一 v)z@z. (4.96) n=Q V

При фиксированных t, ‘；，g； функция aPa (z) предполагается аналитичной в окрестностях точек z = 0，1, 2, . . -, а контур интегрирования ? состоит из небольших окружностей с центрами в этих точках, которые обходятся по часовой стрелке. Обычные рассуждения, оспованные на развороте контура

интегрирования, показывают, что асимптотика 4В® при больших v определяется крайней правой особенностью интерполирующей функции а°а (z).

Очень важным следствием оказывается то, что целые степени vn, п = =0, 1, 2, ... не могут входить в асимптотические разложения при больших V, поскольку точки z = 0, 1, 2, ♦ . • лежат справа от развернутого контура интегрирования.

Вернемся еще раз к уравнению (4.24‘)：

血肥 + Bga = _ 2 办aWk)・(4.97).

Здесь

в^ = (002)з 敦 + (Д?2)^-u^.(4.98>

Заменив амплитуды, интегралами типа (4.96), получаем

成上В?9(二匕 + ^ ( &琳"(Z七空L -2i/pavF^(0.(4.99>

Выделим теперь в левой части равенства (4.99) то слагаемое, которое- соответствует не зависящему от v выражению ——2ifBavFv (£) в правой части. Учитывая, что интеграл от 6ga (z) не может содержать постоянной, заключаем, что в левой части равенства (4.99) постоянная может появиться лишь за счет вклада 1/v в интеграле от aPa (z); вклад же этот обусловлен полюсом функции 1/sin nz в точке z = —1. Следовательно/

.卩im艺3) = 2炉肥产 ⑴.(4.100>

Остальные тождества Уорда приведут тем же путем к соотношениям Л):

階к-今=0(i=l,2,3,4),(4.101》

:礎(-1)=一5叫[(4.102)

磅( — 1)=—S 叫(4.103)

^就(一2)=-5%(4.104>

В действительности не все из них независимы. В качестве таковых можно взять (4.100) и (4.101) при Z = 1, 3, (4.102) и (4.104), а все прочие будут их следствиями при учете перекрестных соотношений (4.33).

Приведенные выше равенства получены без каких-либо предположений относительно расположения и характера различных особенностей в z-плоскости. Входящие в их левые части функции a。* (z), р?а (z) и т. д_ определены через абсорбтивные части соответствующих амплитуд интегралами типа (4.95) или их аналитическими продолжениями. Если эти интегралы сходятся при z =——1, то соотношения (4.100) — (4.103) превращаются в правила сумм (4.47), (4.52) — (4.54). Если к тому же определяющий 々昵(z) интеграл сходится и при- z = —2, то из (4.104) получим также и правила сумм (4.55).

Итак, мы видим, что тождества Уорда всегда можно переписать в виде- ряда соотношений для интерполирующих функций Хури. Ответ на вопрос, можно ли преобразовать эти соотношения в правила сумм, зависит, конечно,, от асимптотического поведения амплитуд, другими словами, от расположения особенностей в z-плоскости. Таким образом соотношения (4.100) —— (4Л04) являются более общими, чем правила сумм § 3. В тех случаях, когда прямой переход к правилу сумм невозможен, следует попытаться вычислить

1) Интерполирующие функции Хури, соответствующие w?®,》§", • » ., обозначаются через 寸⑷(z), “外(z) и т. д. .

величины &Ва (—£),々ба(—2) и т. д. каким-либо другим способом, используя то или иное аналитическое продолжение интегралов (4.95).

Есть и другой, весьма простой метод получения соотношений (4.100) — (4.104). Уравнение (4.97) связывает абсорбтивные амплитуды:

vaP®(V,力办 G)+ 閲a(v, f,况，或) = 0.(4.105)

Прямым следствием этого соотношения и определения (4.95) интерполирующих функций является равенство

а阿(z — 1)= 一後& (z),(4.106)

■справедливое во всей области, в которой функции a。" (z), 6§& (z) определены аналитическим продолжением интеграла (4.95). Далее, из (4.97) имеем 0毙(0)=-2弥叩ь(£).(4.107)

Подставляя этот результат в (4.106)» получаем

a 叫(一1) = 2 炉呢尸(e),(4.108)

что совпадает с (4.100). Остальные соотношения такого типа получаются аналогично.

Правило сумм (4.47), в которое переходит соотношение (4.108) в предположении сходимости интеграла для ja (z) (4.95) в точке z = —1, можно понимать как «высокоэнергетическую теорему» для амплитуды А^ (v,力 a：, G)：

+ 8

limv4昵(v,/, q：,脸)=—f &昵«,力 * 國)dv= — 2犷昵尸(小(4.109) Vfoo" j

—8

В то же время само соотношение (4.108) получается из низкоэнергетической теоремы для амплитуды 30:

lim砂(V,力,*呢)=-2炉脏尸() 0

что как раз и есть равенство (4.107). Если интеграл в представлении (4.95) для 0ga(z) сходится при z = 0, то соотношение (4.107) превращается в дисперсионное правило сумм:

+8

靑J碑t,吟唠等=-2炉肥俨G).(4.110)

Это правило можно, конечно, получить и из (4.47), использовав равенство (4.105).

Особенности интерполирующих функций

Главный вопрос, который нам нужно теперь выяснить, это характер и ^расположение особенностей интерполирующих функций в z-плоскости. Данный вопрос имеет первостепенное значение с точки зрения возможности перехода от полученных ранее соотношений к правилам сумм. Чтобы решить эту задачу, мы должны преобразовать наши соотношения в соответствующие соотношэния в плоскости углового момента. Действительно, в плоскости углового момента мы имеем критерии, фиксирующие положение простейших особенностей (полюса Редже), которыми определяется высокоэнергетическое поведение амплитуд. Основная идея состоит в том, чтобы установить связь между амплитудами разложения (4.2) и некоторой другой системой инвариантных амплитуд, допускающих простые разложения в ^-канале (ток + ток —> —> мишень + антимишень) на парциальные волны. Теория таких амплитуд

изложена в гл. 1, приложение П, где, в частности, подробно рассматривался и интересующий нас случай векторных или аксиальных токов и скалярной мишени (гл. 1, приложение И, § 1).

Мы рассмотрим амплитуду /В® (% 厶 0：, ,：); для остальных амплитуд рассуждения аналогичны.

Будем исходить из фундаментального соотношения (IL26) гл. 1

*“ =爲濟，(4.111>

куда входит скаляроподобная амплитуда 尸В& (v,力，:,？；), определяющаяся разложением (IL21) и соотношением (11.20), гл. 1, приложение II. Эта амплитуда очень просто разлагается по парциальным волнам в ^канале ):

^эа(V, <?12) = 2 (2/+1) Л (COS ef) F^ (Qi2),(4.112>

J=0

причем в парциальную амплитуду 川“ (QQ Д^ют вклад лишь состояния с полным угловым моментом J в системе центра масс ^-канала. Другими словами, эта амплитуда обладает точно такими же свойствами, как и амплитуда рассеяния скалярных частиц. В частности, положение полюсов Редже в плоскости комплексного углового момента, так же как и положение особенностей в плоскости Хури, определяется тогда методом, изложенным в гл. 1, § 8.

Введем теперь интерполирующие функции Хури для скаляроподоблой амплитуды 歹6&(V, 01J. Для этого разложим ее в ряд по степеням v аналогично тому, как это было сделано в (4.93):

歹做(V, QQ=玄嚟*(4.113)

n=2

и обычным образом определим интерполирующую функцию(р^а (z) как аналитическое продолжение интеграла

4-00

喊a(z)=吃 j 丸『*/唸,Rez>%, (4.114)

в котором /0а ——абсорбтивная часть F^, а 入一вещественное чцсло, определяющееся условием #а(V, Qi2)h1~8 = О(Vх).

Из (4.111) получаем

々В® (z — 2) = z (z — 1)屮昵(z).(4.115)

Если учесть соотношение (4.108), то отсюда следует, что функция 屮00s (z> имеет неподвижный полюс 2) в точке z = +1 с вычетом

а = 2 炉 бау"(£)・(4.116)

Факт существования такого полюса не имеет каких-либо прямых физических следствий, поскольку наблюдаемыми являются лишь коэффициенты фп при п ^2 [согласно формуле (4.111), наблюдаемой амплитудой является вторая производная от Л^а (v)]. Но иэ него следует, что интерполирующая функция 歹昵(/,力，区，С：) парциальных амплитуд (4.112) также имеет неподвижный полюс в точке j = 1 плоскости комплексного углового момента. Это не ведет к противоречию, поскольку наша амплитуда 尸昵(v, t, q：, ^) соответствует низшему порядку по слабому и электромагнитному взаимодействиям, и потому

工)Напомним, что Q12 = (i,比,gi).

теряют силу обычные соображения, основанные на нелинейности упругой унитарности [51—54].

Неподвижные полюса играют важную роль при решении поставленного в § 6 вопроса относительно механизма возникновения особенностей по t (соответствующих особенностям формфакторов) в левых частях правил сумм типа

4 j加小(匕力*吟=2办a产(力.(4.117)

Действительно, предположим, что функция ф₽а (z) имеет только движущиеся полюса, и покажем, что в этом случае интеграл в левой части (4.117) не может породить искомые особенности формфактора.

Рассмотрим для конкретности случай мишени с изоспином х/2 и напишем обычное разложение в изоспиновом пространстве для произвольной амплитуды:

歹眦=*产+ ^[呼，飞]歹一.(4.118)

Если высокоэнергетическое поведение амплитуды F~ определяется движущимся р-полюсом, т. е.

旷(z)=泻需，(4」19>

где Г (z, t)——функция, регулярная и не равная нулю в окрестности точек z = 1 и z = а。⑴，то при больших V

歹一(V,力)^(一v".(4.120>

、/ sin лсхр (i)

Из соотношений (4.120) и (4.111) следует, что

/昵⑺(一一^詰除 (a i)(_v)V2.(4.121)

\>-юо bill

Но такая асимптотика нас не устраивает, поскольку она не ведет к расходимости интеграла (4.117) в точке t = т^ (т. е. при ар = 1), которая соответствовала бы особенности формфактора в этой точке. Действительно, вычисленный при а «) V 1 вклад асимптотического члена (4.121) в интеграл j а~(V, Qi» dv т)

V0

ар(ар —1) j vap~2 dv= —а^р~х(4.122}

остается конечным в пределе при ар (£) —>!(£—> 咻)и не может воспроизвести особенность формфактора. Для решения проблемы нам необходим неподвижный полюс в точке z = 1 у функции 屮一(z). Положим

8一 (z,力)

(z—1) (z — ap (i))

где B~ (z, 0 — функция, регулярная и не равная нулю в окрестности точек z = 1 к z = ар (£). Из равенства (4.115) имеем

初(з)=不占。(,)矿(z + 2,f),(4.12分

ято соответствует следующей асимптотике:

4-=一 [鼻斤&(.),力)(一v产公^打.(4.125)

Важно отметить, что последнее выражение остается конечным при t —> —> как это и должно быть в соответствии с результатами § 6, где было показано, что амплитуда А~ (v, & ‘：，夕② не может содержать р-полюса в ^-канале (в ^-канале состояние с / = 1 не имеет смысла!). Конечное значение выражения (4.125) обеспечивается взаимным уничтожением двух полюсов.

Асимптотика (4.125) амплитуды Л_ (v,厶 g；, ^) в отличие от асимптотики (4.121) порождает в интеграле (4.117) нужную особенность при t = /Пр, Действительно, соответствующее (4.125) асимптотическое выражение для абсорбтивной части

片"，t,片，虚)不=*「3 (ар (i), i) v32 (4.126)

не содержит подавляющего множителя ар (力)——1 и при подстановке в (4.117) дает искомую особенность.

Положение движущихся полюсов функции а^а(%)установить нетрудно, поскольку эта функция связана соотношением (4.115) с 屮。"(z), а последняя имеет точно такие же особенности, как амплитуда рассеяния скалярных частиц. Следовательно, каждой реджевской траектории а (方)соответствует лолюс функции q)Pa (z) в точке z = а (£) и сопутствующие полюса (сателлиты) в точках z = а (力) 一 1 и т. д. (гл. 1, § 8). Согласно уравнению (4.115), особенности функции 口昵(z) получаются общим сдвигом (на две единицы влево) особенностей функции ф₽® (z).

Точно таким же образом мы можем, конечно, рассмотреть и другие амплитуды, но полагаем, что сказанного достаточно для самого требовательного из читателей.

Попробуем теперь подвести итог всему, что было сделано в этом параграфе. Прежде всего предположив аналитичность второго рода для инвариантных амплитуд и использовав тождества Уорда (4.24)——(4.28), мы получили соотношения (4.100) — (4.104) для интерполирующих функций Хури. Можно ли эти соотношения переписать в виде правил сумм или нельзя —— это зависит от асимптотического поведения абсорбтивных частей соответствующих амплитуд при высоких энергиях. Чтобы проанализировать это поведение, мы ввели так называемые скаляроподобные амплитуды (гл. 1, приложение II). Последние точно так же разлагаются по парциальным волнам в /-канале, как и амплитуды рассеяния скалярных частиц. Поэтому они весьма удобны для определения положения различных особенностей, в частности полюсов Редже в плоскости комплексного углового момента, а следовательно, и в плоскости Хури. Для передачи информации от скаляроподобных амплитуд к физическим мы имеем соотношения (11.26) гл. 1, одним из которых является (4.111); указанные соотношения немедленно переписываются в виде уравнений типа (4.115) для интерполирующих функций Хури. Последними уравнениями определяется расположение особенностей физических интерполирующих амплитуд, подобных аВ* (z), и, конечно, их асимптотическое поведение.

Некоторые из скаляроподобных амплитуд Хури должны иметь неподвижные полюса в нефизических точках [см： текст после формулы (IL27) в гл. 1]. Тогда исчезает подавляющий множитель, который имеется в реджевской асимптотике абсорбтивных амплитуд. Неподвижные полюса дают вклад только в вещественную часть физических амплитуд [формула (4.125)], тогда как мнимые части этих амплитуд имеют, как уже упоминалось в § 4, чисто реджевскую асимптотику [формула (4.126)]. Скаляроподобные амплитуды Хури могут иметь неподвижные полюса потому, что мы рассматриваем амплитуды токов, не удовлетворяющие требованию упругой унитарности.

Фиг. 4.2Фиг. 4.2только электриче-только электриче-A=曲両两马W。A=曲両两马W。(4.131)(4.131)

Фиг. 4.2

Фиг. 4.2

только электриче-

только электриче-

A=曲両两马W。

A=曲両两马W。

(4.131)

(4.131)

§ 9. Роль возможных иереджизоваииых адропов

Гипотеза максимальной аналитичности второго рода в рассматриваемой задаче имеет такой же физический смысл, как и в гл. 1, § 6, а именно она

и в данном случае запрещает присутствие вкладов элементарных частиц

в ^-канале — все частицы реджизованы. Для иллюстрации мы приведем остроумный пример теории, содержащей нереджизованные адроны [62].

Рассмотрим случай сохраняющихся изовекторных токов и предположим, что р-мезон есть нереджизованная элементарная частица. Вычислим вклад в амплитуду Г^ц диаграммы с обменом р-мезоном (фиг, 4.2), положив для простоты д； = 0. Нам понадобятся следующие матричные элементы:

(0|个|p" = 6師%8， (4.127)

(РЧЛ. -й)=-2^Ри, (4-128)

〈рт' @) IWI pv (А)〉= 一 (е'е) (А + g)v i^, (4.129) где е и ez ——векторы поляризации р-мезона. В соотношении (4.129) мы пренебрегли вкладами взаимодей-

ствия магнитного и квадрупольного типов, оставив

ский. В результате выкладок получим

{関亂=沙[2Q“％ + 3&Pv_煮(ЗД^+4 ММ + 2Q“Qv + Q小v)],

(4.130)

где

Сравнивая (4.130) с разложением (4.2), получаем следующие выражения для инвариантных амплитуд:

{B^^D^,{&}р 工 30 叱

{&}"= 一哥加"，^=~^D^(4-132)

{g}"=一哥加a, {a}p=一爲加a,

а прочие амплитуды равны нулю. Отсюда видно, что спектральные представления § 3 в данном случае неприменимы, поскольку некоторые из амплитуд имеют дополнительное вещественное слагаемое. Например,

硝a(v, t, 0,處)=2加& +

(4.133)(4.133)5职付，4 0,喲 1 7\，碍"S，G 0,谑)

(4.133)

(4.133)

7：— \ av ;

V/-V —ie1 Л J"一中 + f8

Мы покажем, что вследствие этого правило сумм (4,47) даже в обобщенной форме (4.100) не выполняется: в его правую часть добавляется неко** торое слагаемое.

Действительно, соотношение (4.25') в рассматриваемом случае сохраняющихся токов (Vga = 0) имеет следующий вид:

где

^=^В^ + ^ВТ-.(4.135)

Для абсорбтивных частей отсюда следует соотношение

v成a十加a = 0.(4.136)

Вводя интерполирующие функции Хури аРа (z) и 00* (z), определенные обычным образом:

a卽(z) = ^)孔小"(樓；°'喲，

；：в(4-137)

砰(z)V卜产號。，喲,

из (4.136) получим соотношение

а% (z — 1) = -рба (*(4.138)

аналогичное соотношению (4.106) (его можно написать из соображений перекрестной симметрии).

Вычисленный нами вклад р-мезонного промежуточного состояния не имеет никакого отношения к абсорбтивным амплитудам этой модели, поскольку мы считаем р-мезон элементарным. Следовательно, он не дает вклада в интерполирующие функции Хури, определенные интегралами (4.137), и потому функция 06* не воспроизводит первый член степенного ряда для амплитуды 3肥(V, & * g：)

歩а=$ 暧v”.(4.139)

n=0

Вместо этого

储《 = 0 昵(0)+В 叫(4.140)

где

6阿=[2依幻)+ 3(加/ 0Pg = 2%呢戸% (吗_奈k_广(4.141)

Другими словами, в данной модели из-за наличия вклада элементарной частицы амплитуда В^ (v, 0 не удовлетворяет требованию аналитичности второго рода,

В связи с этим общее соотношение алгебры токов (4.100) должно >ыть изменено. Действительно, из (4.138) и (4.140) получаем

户口7^0 叫(0)=理T吃(4.142)

Воспользовавшись теперь, как обычно, тождеством Уорда (4.134), имеем

呼三8叫(0,力)=一2m/戸(f).(4.(43)

Подставляя (4.141) и (4.143) в^ [соотношение (4.142), получаем

%做(一1) = 2ie₽avr (力)+产=

• = 2ie₽av [严 G) + %gv (用/)(；尸)]•, (4.144)

Это равенство заменяет в рассматриваемом случае общее соотношение алгебры токов (4.100). Если 仪卽(v,力，0, д；)—8 〜О (v-1"e), то его можно записать

в виде правила сумм:

^] dva₽«(v, t, 0, g：) = 2蛛儿严⑴ + 例(咻_楽麻曰一｝ (4.145) заменяющего соотношение (4.47).

Далее, если мы, пользуясь, так же как и в § 5, соотношением (4.62), выделим амплитуду смешанного процесса Vg + л —*- р + л, то в нашем: случае получим

3 j dvlm4器(％ t, O) = 2ie₽avgv.(4.146)

Итак, в нашей модели даже соотношение сверхсходимости (4.63) для смешанной амплитуды 4 需(v, ^, 0) оказывается неверным; оно заменяется соотношением (4.146), правая часть которого не равна нулю.

Нетрудно показать, что в этой модели правило сумм (4.65) для адронной амплитуды также меняет свой вид —— добавляется отличное от нуля слагаемое в его правой части; для этого достаточно вычислить соответствующий диаграмме фиг. 4.3 вклад при произвольном д： и затем выделить вычет при д： = тп^, 成=啮. “

Весьма интересно рассмотреть в нашей модели вопрос о р-мезовном полюсе формфактора F7 (%) при времениподобном t = Шр. В соотношении (4.145) этот полюс формфактора взаимно уничтожается с аналогичным полюсом дополнительного слагаемого

(吗一喲(%一t) *

Действительно, вычислим полюсный член формфактора, соответствующий диаграмме фиг. 4.4. Пользуясь определениями (4.127) и (4.128), получаем

3 М13 = 2//斗 m^~t一 + per•， (4.147) где《per.》означает регулярный при t = т^ вклад. Вспоминая определение формфактора

6|咱3 = 2%严《), (4.148) получаем

严⑴= //~^ГГ +儡《), (4.149)

где /per (0 ——функция, регулярная при t = /Пр. Подставив (4.149) в соотношение (4.145), видим, что при t =啖 правило сумм записывается следующим образом:

3 J dva₽a(V,吗，0,破)=2力即атЛег ⑺詐 (4.150)

Следовательно, в нашей модели интеграл в левой части не имеет особенности при t = /Пр. Это согласуется с тем, что теперь у нас нет вклада в 〃口仪(v, t) от обмена в if-канале р-мезоном, рассматриваемым как элементарная частица.

Все сказанное достаточно проясняет существо дела. Мы видим, что соотношение (4.100) основывается на динамическом предположении, том же самом, которое необходимо и для вывода соотношения сверхсходимости для адронных амплитуд, а именно на предположении об аналитичности второго рода инвариантных амплитуд. С точки зрения физики это означает, что при таком подходе нет элементарных адронов —— все обмениваемые в if-канале частицы должны быть реджизованы.

еноменологические лагранжианы и киральная симметрия

Введение

Как мы видели в предыдущих главах, для вывода на основе алгебры токов теорем о мягких пионах требуются следующие предположения:

\ 1) что выполняются фундаментальные коммутационные соотношения между зарядами и токами;

что в пределе нулевой массы пиона аксиальный ток точно сохраняется.

Подход, излагаемый в данной главе, основан на том, что любая лагранжева теория, удовлетворяющая этим требованиям, должна воспроизводить результаты техники мягких пионов).

Такой подход возможен благодаря тому, что правильный результат получается уже при учете диаграмм типа деревьев, т. е. беспетлевых диаграмм ). Это несколько смягчит то неприятное обстоятельство, что большинство наших лагранжианов будут в высшей степени перенормируемыми.

Хотя результаты лагранжева подхода нельзя назвать неожиданными, по крайней мере в отношении низкоэнергетических теорем, методу которым выводятся эти теоремы, оказывается новым и интересным.

Самая простая и самая известная теория, инвариантная относительно киральной группы,——это линейная а-модель [81, 164, 165]. В данной модели существование киральных мультиплетов с частицами одинаковой массы, нулевая масса нуклона, стабильность пиона и т. д.— все это оказывается «естественным» следствием киральной симметрии.

Важнейшим шагом на пути к пониманию физики мягких пионов было выяснение той важной роли, которую играет механизм «спонтанного нарушения киральной симметрии» ). Наличие кирально-неинвариантного вакуума приводит к полной перестройке теории, так что в итоге мы приходим к хорошо известным низкоэнергетическим теоремам об испускании и поглощении безмассовых пионов с нулевыми импульсами [171].

Хотя линейная a-модель дает много ценной информации, ее нельзя признать наиболее удобной для получения интересующих нас результатов. Самый простой путь, ведущий прямо к цели,—— использование нелинейных реализаций киральной симметрии (простейший пример ——нелинейная о-мо- дель). В этой новой формулировке пионное поле при киральных преобразованиях переходит в некую функцию поля. В применении к другим полям киральные преобразования перемешивают лишь члены одного и того же изо- спинового мультиплета, но с коэффициентами, опять-таки зависящими от пионного поля. Таким образом, мы естественным образом приходим к кирально-инвариантному лагранжиану в теории, в которой масса пиона равна нулю и существование киральных мультиплетов не обязательно. Тем самым нелинейные лагранжианы дают общий подход для последовательного вывода всех результатов, касающихся мягких пионов [171—178]

Лагранжев подход может быть обобщен также и для описания векторной доминантности в физических процессах [172——181]. Алгебра полей, основанная на калибровочной теории Янга-Миллса, позволяет естественным образом описать такие свойства мягких р-мезонов, как, например, универсальное р-взаимодействие [182—184, 91]. Исходя из пропорциональности тока полю, можно вывести простые коммутационные соотношения для пространственных компонент токов, о чем уже говорилось в гл. 2.

Существует много различных точек зрения на то, в какой мере приемлем и перспективен лагранжев подход. Ясно, однако, что лагранжева схема, будучи наиболее удобной для вывода теорем о мягких пионах, вместе с тем позволяет глубже понять их. В рамках этой схемы легко рассчитать излучение и поглощение нескольких мягких пионов [185]. Подобные вычисления оказались бы в высшей степени громоздкими, если их проводить обычными методами алгебры токов.

Лагранжев подход использовался также для феноменологического описания взаимодействия «жестких пионов», 4-импульс которых отличен от нуля (186] 1). Получающиеся при этом выражения обладают тем немаловажным преимуществом, что они обязательно имеют правильную асимптотику в пределе нулевого импульса. Разумеется, выводы теории жестких пионов зависят от-выбора того или иного лагранжиана. Такой выбор, который обычно делают из соображений простоты (например, не рассматривают взаимодействия, содержащие высшие производные), является, очевидно, дополнительным физическим^предположением, необходимым для выхода за рамки общей схемы алгебры токов.

Гораздо более оптимистичен подход, при котором какой-нибудь особенно простой лагранжиан рассматривается как отправная точка для некоего более глубокого анализа сильных взаимодействий. При этом надеются, что новые методы позволят выйти за рамки беспетлевых диаграмм и тем самым учесть унитарность. Различные ученые уже провели недавно ряд исследований в данном направлении. Довольно неожиданным результатом явилась необходимость модификации правил Фейнмана при наличии нескольких производных в лагранжиане взаимодействия [244, 245].

На нынешнем этапе трудно отд ать предпочтение какой-либо точке зрения. Независимо от этого мы считаем, что без лагранжева подхода наше понимание физики псевдоскалярных и векторных мезонов было бы гораздо менее удовлетворительным.

Линейная реализация киралъпоИ симметрии

1・ а-модель

Как уже говорилось, a-модель — наиболее известный пример лагранжевой теории, обладающей киральной инвариантностью. В ней используются линейные реализации киральной симметрии, подобные тем, которые рассматриваются в случае обычных симметрий, например изоспиновой.

Прежде чем переходить к детальному обсуждению, напомним читателю, что группа SU (2) ® SU (2), связанная с векторными и аксиально-векторными зарядами Qa и Q& (а = 1, 2, 3), изоморфна группе вращений в четыре хмерном пространстве О (4). Действительно, мы можем установить соответствие

Qi f

где 厶 一 обычные операторы углового момента, a At — эрмитовы генераторы 《лоренцева поворота». Они выражаются через генераторы четырехмерных вращений (ц, v = 1, . .4):

厶=一"^勺油m加(5 2)

4 =

и подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

[£«，£日】=》&аву£у，

[£«，/8]=^a^^ ?»(5.3)

[4a，4日]=Хессв?厶，

Чтобы построить обычную плотность лагранжиана, инвариантную относительно внутренней группы О (4), нам нужно классифицировать все частицы по представлениям этой группы. В частности, мы должны включить пион [соответствующий представлению Т = 1 группы внутренних вращений О (3)] в подходящее представление группы О (4). Простой и естественный путь — ввести четырехкомпонентное векторное поле, компонентами которого служили бы три изотопические компоненты пиона и добавочное скалярное поле и. Тогда коммутационные соотношения 4-вектора (л, а = л4) с зарядами Qa и Qa будут определяться его трансформационными свойствам!

[М^, mJ = — i (6词гц, —拆炉叫)，(5.4)

или с учетом (5.1) и (5.2)~

[^а?几р] = »£仪旳％,[Qa? СУ] = О,

[Qa,几В〕= 一2и5а0, 【Осс, (У]=方冗а・

Из соотношений (5.5) явствует, что поле о соответствует Р- и G-четной частице с / = 0 и J = 0. Частица о может взаимодействовать с двумя, четырьмя и т. д. пионами, с барионами и с《вакуумом», т. е.(у-поле может иметь ненулевое вакуумное среднее. Это обстоятельство, как мы увидим в следующем разделе, имеет： далеко идущие следствия. Пока лишь ясно, что отличное от нуля вакуумное среднее a-поля явилось бы нарушением киральной инвариантности: так как (л >0 всегда равно нулю (хотя бы в силу закона сохранения четности) и так как в случае точной симметрии л и а принадлежат одному и тому же неприводимому представлению, величина <а >0 тоже должна быть равной нулю.

Инвариантность относительно преобразований группы О (4) диктует следующую форму свободного лагранжиана (л, а)-полей:

笈=4"[仇方+位/户一阳炉+师.(5.6)

Мы видим, что киральная симметрия требует равенства перенормированных масс пиона и (у-мезона. Простейший кдрально-инвариантный лагранжиан взаимодействия имеет вид

£вз =告％ (Л2+ 呼.(5.7)

С точки зрения инвариантности допустимы и более высокие степени 兀2 + а2, но взаимодействие (5.7) является единственным явно ренормируе- мым. Если мы хотим рассмотреть другие поля, то и их следует классифицировать в соответствии с киральной； группой SU (2) ® SU (2). В частности, если требуется рассмотреть нуклонное поле со спином и изоспином 工/^, то его трансформационные свойства при киральных преобразованиях можно опре-

делить в тесной аналогии со свойствами нейтрино:

[Qa,屮]=^^a^j

一4(5.8)

[Qa,①]= 于%y5w，

Если ввести поля

中®工=等a 土 Y5)屮(5.9)

и заряды

Q罠l=£(0"±0)(5.10)

то эти формулы преобразуются к виду

[Qr ? Wr]= -^/中r，[Ql,屮1?] = 0,

彳(5.11)

@,中工]=0, /,恫=一告口帽

Отсюда ясно, что ^к и 巾厶 принадлежат к неприводимым представлениям (%, 0) и (0, %) группы SU ⑵ @ SU (2) [и О (4)]. Точно так же нетрудно сообразить, что (л, а)-поля преобразуются по представлению (V2, г/2) кираль- ной группы (2) & SU ⑵

Если требуется написать кирально-инвариантный лагранжиан для невзаимодействующих нуклонов, то нужно взять лишь

Zon =号而田屮+ а・с.,(5.12)

опустив массовый член, так как 屮屮 есть четвертая компонента кирального вектора, но отнюдь не киральный скаляр. Следовательно, при такой элементарной трактовке киральной симметрии нуклон ведет себя как «адронное нейтрино»——ситуация, довольно далекая от физической реальности.

Явный вид коммутатора

Ю",砒1 ="而Y5%屮)(5.13)

свидетельствует о том, что нуклонный 4-вектор есть (师丫5T屮, 蚪)，т. е. кираль- но-инвариантным обобщением обычного псевдоскалярного пион-нуклонного вз аимодействия будет

^вз Л^ = g^N^ 9 + %Y5m)屮・(5.14)

Выпишем, наконец, полностью простейший пион-нуклонный кирально* инвариантный лагранжиан:

十沛Y@屮+ 8"病(g+淋з)屮.(5.15)

Исходя из лагранжиана (5.15), можно получить явные выражения для векторного и аксиального токов. Вспоминая определение (гл. 2, § 1, п. 1) ^=2^-Мг,(5.16)

Другая возможность заключается во введении в качестве кирального партнера пиона a-частицы с изоспином 1 и Jp = 0+. В этом случае л и а принадлежали бы представлению (1, 0) ф (0, 1) группы SU (2) ф SU (2). Однако получающаяся теория, не обладая новым физическим содержанием, оказывается более сложной.

где

6aWr = 〃Qa, G],(5.17)

и используя ранее приведенные коммутационные соотношения, легко найти 建=中加告干屮+ 5 Xd")，(5.18)

4f =讶 #5 "!•叫十(0电 * 一 (%0)們.(5.19)

Оба тока сохраняются точно. Ясно, далее, что в наинизшем порядке теории возмущений перенормировка отсутствует, гА = 1, и распадная константа пиона /л, связанная с матричным элементом

(О I Лц I л^) = ^ц/л6а|з,(5.20)

в точности равна нулю.

Перечислим основные положения теории с лагранжианом (5.15) (в низшем порядке теории возмущений):

Масса пиона равна массе а-мезона.

Отсутствует прямое (алл)-взаимодействие. В самом деле, из трех 4-векторов невозможно построить О (4)-инвариант.

Масса нуклона равна нулю.

Вероятность пионного распада равна нулю.

Аксиальная «константа связи» не ренормируется, гА — i.

Нетрудно убедиться, что такие закономерности сохранятся и в высших порядках。6况乂乂。力 теории возмущений. Но это не означает, что лагранжиан (5.15) должен быть отброшен. Вскоре мы увидим, что при некоторых особенностях взаимодействия нельзя пользоваться обычной теорией возмущений»

Условие частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ)

Простейший способ нарушить киральную инвариантность ——добавить в рассмотренный лагранжиан член

£е = 〃о,(5.21)

преобразующийся как четвертая компонента О (4)-вектора (но не как скаляр).

Присутствие этого члена не меняет выражений (5Л8) и (5.19) для токов, но дивергенция аксиального тока уже не будет равняться нулю; она будет определяться знаменитым условием ЧСАТ х)

5М® = —(5.22)

Выбор нарушающего симметрию члена в виде (5.21) был сделан, помимо исторических соображений, по следующим причинам. Во-первых, мы уже привыкли брать в качестве нарушающего симметрию члена величину, преобразующуюся по простейшему представлению группы; во-вторых, линейность Хв по о позволяет применить особый математический метод, весьма полезный для дальнейшего.

Простой вид лагранжиана a-модели [выражения (5.15) и (5.21)], а также пропорциональность дивергенции аксиального тока пионному полю позволяют в явном виде вычислить коммутаторы дивергенций между собой, а также с зарядами группы SU (2) @ SU (2). Между тем для подробного исследо-

т) Условие (5.22) просто вывести обь№ым методом гл. 2, § 1, п. 1, ^оторый дает равенство @"4^ — д^£/деа, В рассматриваемом случае 6* = або = iaea [Q：, a]= ——аПдёд, откуда и следует равенство (5.22).

вания рассеяния физических пионов (гл. 6) нужно знать, как будет показано, следующие коммутаторы (далеко за рамками того, что может дать алгебра токов): [0口, D^] (так называемый a-член), [D^ Z)B] и [Da,刀⑶].

Для первого мы немедленно получаем

[Qa,仇]=—〃[Qa, Лр] = ш6арС；(5.23)

здесь присутствует лишь член с Z = 0. Далее как следствие канонических коммутационных соотношений мы имеем

[力а,瓦]=0・(5.24)

Наконец, используя тождество между сопряженным импульсом и ла, существующее в ренормируемой а-модели,

получаем (мы имеем дело с перенормированными полями):

[方a(x), ^р (у)] = а [ла (х), л₽ (у)] = ia26aP6 (х—у).(5.25)

Отсюда видно, что в такой упрощенной модели совокупность искомых ком" мутаторов принимает особенно простой вид, напоминающий структуру коммутаторов для плотностей токов, диктуемую алгеброй полей.

Головастиковый механизм

Прямым следствием включения нарушающего симметрию члена (5.21) оказывается то, что теперь отличны от нуля разность масс л — а, масса нуклона, константа распада пиона и константа (алл)-взаимодействия. Соответствующие диаграммы представлены на фиг. 5.1, где мы видим новый и важный элемент — голоеастикоеый процесс, т. е. прямой переход a -> вакуум. Такой переход оказывается возможным благодаря тому, что теперь вследствие нарушения киральной симметрии вакуумное среднее a-поля <0 I a I 0) уже не равно нулю.

Наличие в диаграмме головастика лучше всего рассматривать как указание на то, что мы неправильно пользуемся методом теории возмущений. В самом деле, разложение в ряд теории возмущений следует производить в окрестности точки устойчивого равновесия. Другими словами, мы должны потребовать, чтобы исходный лагранжиан как функция полей удовлетворял «условию равновесия» 斗g

筹=0.(5.26)

В связи с этим удобно ввести новое поле

a' = a — &,(5.27)

так чтобы получающийся лагранжиан не содержал линейных по ar членов. Теперь в разложении по теории возмущений участвует новое поле а7. Цель такого преобразования —— исключить головастики путем переопределения поля a a\ причем〈『)0 =.°・|

Итак, возьмем невозмущенную плотность лагранжиана

£ 9) = £0((7)十 £33(0) +а0(5.28)

и подставим в нее выражение (5.27). Мы получим

W' (o') = Wo (『)+ £第 9') +。'(。一 К% + 篤з)+

十｝%勿寸+3『2)+匕九『(炉+0，2)+ g^师也(5.29)

Для исключения линейного по и' члена потребуем, чтобы выполнялось соотношение

а~^Ъ + %» = °.(5.30)

Следовательно, параметр b должен удовлетворять уравнению

a=卢“1-击川)，(5.31)

важной особенностью которого является его нелинейность по параметру Ь.

Мы видим, что существуют три возможных решения Ьх (а), Ь2 (а),柒(а), стремящихся при «0 к пределам

灰(0) = 0,(5.32)

我(。)=卅，

2。)=一偿产

Кроме нормального решения 匕^ обращающегося в нуль при а —> 0 (т. е. когда нарушающий симметрию член равен нулю), имеются аномальные решения Ь2 и Ь^ не равные нулю в этом пределе.

В существовании этих добавочных решений нет ничего загадочного. Поскольку лагранжиан содержит степень поля и выше второй, уравнение дХ/до = 0 должно иметь несколько решений, соответствующих разным точкам равновесия, в окрестностях которых мы (возможно) были бы вправе пользоваться рядом теории возмущений. Разумеется, присутствие взаимодействий, содержащих более четырех п-полей, приведет к уравнениям более высокого порядка, т. е. к большему числу «аномальных» решений для Ь. Аномальные решения имеют очень важное значение и вот почему: поскольку физические эффекты нарушения киральной симметрии явным образом зависят от постоянной & [как видно из формул (5.29) и (5.32)], эффективное нарушение киральной инвариантности может иметь место даже в том случае, если в лагранжиане отсутствует нарушающий симметрию член.

О механизме такого «спонтанного нарушениям киральной симметрии будет подробно сказано в следующем разделе.

«Спонтанное» нарушение киральной симметрии

Чтобы лучше ознакомиться с явлением, названным в предыдущем разделе «спонтанным нарушением киральной симметрии», вернемся к кирально- инвариантному лагранжиану а-модели (5.15) и рассмотрим для простоты лишь его мезонную часть:

^ = 4 №靠)2 十@。)2 一炉(# +呀十十% (齡+呼.(5.34)

Поскольку нас интересует разложение в ряд теории возмущений, мы должны найти точку равновесия, соответствующую минимуму потенциальной энергии, Будем рассматривать лип как классические поля; в состоянии с минимальной энергией л и а суть константы (т. е. они не завжят от х и ?), удовлетворяющие уравнениям (曲一плотность энергии):

(5.35)(5.36)(5.37)(5.35)(5.36)(5.37)—=0- к=°

(5.35)

(5.36)

(5.37)

(5.35)

(5.36)

(5.37)

или

а [ц2 — X (л2 + а2)] = О,ла [ц2 — X (л2 + а2)] = 0.

Таким образом, появляется бесконечное число решений

л = 0,. а = 0; л2+а2 = -^-.

Если мы положим л = 0 (чтобы избежать трудностей с четностью и изоспи- новой инвариантностью), то точками равновесия будут

0 = 0, G= 士偿产0 = 0, G= 士偿产(5.38)(5.38)

0 = 0, G= 士偿产

0 = 0, G= 士偿产

(5.38)

(5.38)

Встает вопрос, в каких случаях следует брать то или иное решение. Это сводится к тому, какая точка будет точкой устойчивого равновесия. Вычислив вторую производную (при л = 0)

/舐1/舐1=炉一3入玛=炉一3入玛(5.39)(5.39)

/舐1

/舐1

=炉一3入玛

=炉一3入玛

(5.39)

(5.39)

мы видим, что если величина р.2 положительна, т. е. если неренормированная масса вещественна (как это имеет место в любом《хорошем» лагранжиане), то решение а — 0 в действительности соответствует случаю устойчивого равновесия. Это означает, что при разложении в ряд теории возмущений законно пользоваться исходным лагранжианом N (а).

где теперьгде теперьо = о'+“о = о'+“(5.40)(5.40)『（号产『（号产хь2=*хь2=*(5.41)(5.41)

где теперь

где теперь

о = о'+“

о = о'+“

(5.40)

(5.40)

『（号产

『（号产

хь2=*

хь2=*

(5.41)

(5.41)

Если же величина ц2 отрицательна, то точка о = 0 является точкой неустойчивого равновесия. В частности, если 入 отрицательно х), то а = О соответствует локальному максимуму, а ст = ± (ц2/%)1^ соответствует точкам

устойчивого равновесия. Эти два случая (卩& > 0 и 卩2 V 0) схематически представ^ лены на фиг. 5.2 (в обоих случаях Х<0).

Наш «рецепт» для такого «ненормального» лагранжиана сводится к следующее му： нужно производить разложение в ряд в окрестности тех точек, которые могут быть достигнуты за счет сдвига начала координат от сг = 0 до, например, сг = =(卩2/%)1包 вводя новую переменную『= ="—(卩 2/%)i/2・

Обратимся теперь к квантово-полевому кирально-инеариантному лагранжиану. Из приведенных (классических) рассуждений следует, что в случае лагранжиана £ (а) вида (5.15) метод теории возмущений применим лишь при р,2 > 0 (X < 0); при Y V 0 (九 V 0) нужно ввести новое поле а' = а —(炉/%)% и разлагать в ряд теории возмущений новый лагранжиан 方(а') = £ (а*) + 6J?(『)• В первом случае (разложение в окрестности (а )0 = 0) все обычные следствия киральной инвариантности, такие, как равенство масс л- и а-мезонов, равенство нулю массы нуклона и т. д., выполняются строго. Во втором случае [разложение в окрестности 《о % = ± (ц2/^)1^] имеет место ситуация, обычно именуемая «спонтанным нарушением» симметрии: хотя лагранжиан и обладает киральной сим

метрией, у него существуют решения, обладающие меныпей симметрией. Действительно, как мы сейчас убедимся, лагранжиан (5.29) описывает теорию с ненулевой массой нуклона, неодинаковыми массами л- и а-мезонов и т. д.

Итак, рассмотрим более обстоятельно следствия такого спонтанного нарушения симметрии. Как и в предыдущем разделе, введем

Мезонная часть лагранжиана [формула (5.34)] превращается в

^бозон 5) = 4〔@")2 +(а“)2] — 4~ (炉 一 ^) # 一

一4•(卩2 -3»)产十 等% (#+0,2)2+ 队0，32+产).(5.42)

Массы пиона и а-мезона оказываются разными, а именно:

/^ =炉一Х&2 = 0,

.n^ = * _ 3九产=-2饋.(5.43)

Эвристическое основалие: чтобы гамильтониан был положительным, параметр % должен быть отрицательным.

Масса пиоиа равна нулю (мы уже знаем, что это не просто случайное совпадение!). Физическая масса (r-мезона вещественна, если мы позаботились, чтобы затравочная масса 卩 была чисто мнимой. Получившийся лагранжиан содержит взаимодействия вида а7л2 и о'% причем

gsa = Sqm = 6% =(5.44)

[использовано равенство (5.46)]・ Наконец, аксиальный ток принимает вид

/f = о/况冗。一 ^)* + Ьд^(5.45)

и постоянную b можно отождествить с распадной константой пиона:

Ь = -/я.(5.46)

Прежде чем познакомиться с другими следствиями нарушения кираль- ной симметрии, отметим, что с точки зрения теории квантованных полей аномальные решеиия означают присутствие иеинвариаитного вакуума (т. е. состояния с наинизшей энергией). В самом деле, поскольку вакуумное среднее поля а есть теперь

〈0|о|0〉=偿产*0,(5.47)

из уравнений (5.5) следует соотношение

⑼[④，лр]|О)#=О,(5.48)

и иам приходится допустить, что

几 |0〉，0,(5.49)

а это исключает предположение об инвариантности вакуума относительно киральных преобразований.

Далее, имеется весьма интересная теорема Голдстоуна г), гласящая, что во всякой теории, в которой вакуум не является собственным состоянием заряда, связанного с сохраняющимся током, должны существовать безмас- совые частицы. Точнее говоря, когда имеется непрерывная группа преобразований, оставляющая лагранжиан (но не вакуум) неизменным, обязательно должны существовать безмассовые (и бесспиновые) частицы, связанные с каждым из генераторов таких преобразований.

В нашем случае качественно это можно объяснить следующим образом. Подставим в коммутатор (5.48) разложение единицы по полной системе состояний. Поскольку заряд сохраняется, в разложении появятся лишь состояния с нулевым 4-импульсом и с теми же внутренними квантовыми числами, что и у т. е.

〈。I Qa [ Л«)峻。，〈° I Qa I (Зл)а)联 0,•

Другими словами, если мы выбираем в качестве физического вакуума состояние I 0), все остальные вакуумы получаются из него просто добавлением безмассовых пионов 2).

См. обзор [169].

Разумеется, деликатным вопросом является точное определение матричного элемента заряда 〈0 ] Q& 1 乳仪〉,поскольку для частицы с нулевой массой не существует системы покоя. Возможный выход — определить заряд в конечной объеме и рассмотреть локализованные волновые пакеты.

Еще одно замечание относительно теоремы Голдстоуна может оказаться полезным. Мы рассмотрели здесь лишь частный случай этой теоремы, а сама она носит более общий характер, ибо применима не только при спонтанном нарушении симметрии, а и при нормальной симметрии. Возьмем, например, лагранжиан (5.34) в пределе 卩廟->-0: он кир а льно-инвариантен, имеются безмассовые частицы и вырожденный ваку血，но нет никаких аномальных решений.

5. Соотношение Голдбергера — Треймана

Выясним, как меняется нуклонная часть лагранжиана (5.15) при сдвиге (5.40). Имеем

£&унл =询Т 再 + gm千 9’ + 力丫5巾)屮 + bgow研，(5.50)

откуда видно, что нуклон приобретает ненулевую массу

加№ = —bgjtN = fngjtN*(5.51)

Равенство (5.51) и является хорошо известным соотношением Голдбергера — Треймана. Это следует из того, что в случае рассматриваемого нами простого лагранжиана г& = 1 даже при спонтанном нарушении симметрии. Но, как нетрудно убедиться, равенство г& = 1 уже не есть следствие киральной инвариантности, если у нас в силе механизм Голдстоуна. Соотношение же Голдбергера — Треймана остается тем не менее прежним.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Добавим к нашему лагранжиану кирально-инвариантный член

6夕=с [計壮5 } тхр (аЗ^л — л 尹о) + 斫卩-^- тхр (л х 尹зг)]・(5.52)

Это вызовет изменение аксиального тока, который получит добавку

6/"=叫僦5专5屮(/ +(72),(5.53)

тогда как векторный ток останется. неизменным.

Важно понять, что 6Z' играет разную роль в зависимости от того, имеет место механизм Голдстоуна или нет. В нормальном случае выражения (5.52) и (5.53) описывают лишь сложные добавки к пион-нуклонному взаимодействию и к току. Во втором же случае сдвиг а = a7 -j- & вызывает добавки к аксиальному току и к лагранжиану нуклон-однопионного взаимодействия. В самом деле, полный эффективный аксиальный ток оказывается равным

屮丫“丫5 -у “W (1 十 cb2) + &ЗцЛа + ...,(5.54)

откуда видно, что аксиальная константа

г& = 1 + с"(5.55)

является полностью модельно-зависимой.

В то же время новый эффективный пион-нуклонный лагранжиан есть

XnN = gnN^5^ + еЬ^у5 t^d^,(5.56)

и, используя (в низшем порядке по л) хорошо известную теорему эквивалентности т), можно ввести единый лагранжиан псевдоскалярного взаимодействия с константой связи

Gjin = g^N —戍* 碎у(5.57)

или, с учетом (5.51),

Gjin = gjtN ("+已川)=gjiN「A»(5.58)

Применив еще раз формулу (5.51), получим соотношение Голдбергера — Треймана

加絃厶=%gnN「A 二 fnG〃N・(5.59)

Теорема об эквивалентности псевдоскалярной и псевдовекторной связей [304].—— Прим. ред..

6・ Другие свойства а-модели

Лагранжиан сг-модели позволил нам прекрасно проиллюстрировать физику, стоящую за феноменом спонтанного нарушения симметрии и появлением г о л дет оун овски х бозонов, и подвел в конечном счете к хорошо известным следствиям теории сохраняющегося аксиального тока, таким, как соотношение Голдбергера ——Треймана, отсутствие массы у пионов и т. д. Поэтому законным будет вопрос, можно ли получить в рамках этой модели другие результаты, излагавшиеся ё предыдущих главах. На двух примерах мы покажем, что ответ на этот вопрос оказывается положительным.

Рассмотрим сначала пион-пионное рассеяние. Простейшие «древовидные» диаграммы (т. е. полюсные диаграммы в наинизшем порядке теории возмущений) ,следующие из лагранжиана (5.42), представлены на фиг. 5.3. Их вклад в амплитуду лл-рассеяния дается формулой

?““ = х (6а₽67в + 6а辰 + 6аб6₽т) + 2M ^1+ ^^+ ^^) . (5.60)

Разлагая амплитуду в ряд в окрестности точки s = s = £ = 0 (ционы без* массовые!), имеем

^лл ^^лл ^2" ) (6ав6уб +6收6弘 + баб^Ву) +

^лл ^

^лл ^

+ 2T (ебарбуб + «6аб6₽т + 婚av*6).(5.61)

Далее, приняв во внимание равенства (5.44) и (5.46), мы получаем 2^Ь2 = =——X崎,т. е. коэффициент в первом члене равен нулю, а коэффициент во втором члене оказывается равным 1/2/л- Таким образом, мы окончательно приходим к следующему выражению для пион-пионной амплитуды вблизи порога:

7几几=^г (5^аз6?б + 5баббр?+ ^6а?6рб),(5.62)

которое можно было бы получить в пределе нулевой массы пиона методами гл. 3.

Подобным же образом мы будем действовать и при выводе формулы для амплитуды низкоэнергетического пион-нуклонного рассеяния. Положим

Ул^ = 7工+ Tm(5-63)

где 7工 соответствует диаграммам с нуклонным полюсом (графики а и б на фиг. 5.4), a 7TH — диаграмме с сг-мезонным полюсом (график s на фиг. 5.4), причем явный вид Гц таков:

(5.64)

Поскольку мы находимся вблизи порога, очевидно, что для сравнения выводимых из кирального лагранжиана выражений с экспериментом нужна экст-

Фиг. 5.4

раполяция из точки v = 0 в точку v0 = m^rnN^ соответствующую физическому порогу. Это означает, что при вычислении 7工 следует считать v = =v0 #= 0 и д2 声 °. Тогда при 力=0 мы имеем

Л= - 2g狐6祁+囁戸脑等g %].(5.65)

Используя формулы, связывающие между собой 儿 6, /nJ, и соотношение Голдбергера ——Треймана, можно непосредственно убедиться, что опять происходит «чудесное» взаимное уничтожение Гц с частью 7工,пропорциональной 6аВ. Таким образом, мы приходим к окончательному результату 協(Teop.) = gN4■师，(5.66)

полностью совпадающему с результатом вычисления методом алгебры токов (3.75).

Теперь кратко остановимся на более близком к реальности случае, когда лагранжева плотность содержит член, нарушающий киральную симметрии, вида

Хв =аа(5.67)

(§ 2, п. 2, 3).Наличие этого члена разрешает, разумеется, появление у пиона конечной массы. Фактически мы должны учесть формулу (5.29) вместе с соот- 17—01263

ношением (5,30), определяющим b и гарантирующим разложение по теории возмущений в точке стабильности:

Ъ 紋一九")=厶(5.68)

Тогда ренормированиые массы пиона и с-мезоиа даются соотношениями

m今=n2—九* ^2 _ ^2 - 3入*(5.69)

причем, как и прежде,

b — —/л*

Следовательно, равенство (5.30) можно переписать в виде

〃 =—тУп(5.70)

в согласии с ЧСАТ, поскольку

d必^ =—。冗仪=7пЯ/лла.(5.71)

Заметим, наконец, что в этом случае мы имеем

gom = % = — ：“(5.72)

в соответствии с предложенным Адлером условием согласованности т), тогда как соотношение Голдбергера — Треймана остается неизменным (в низшем порядке теории возмущений).

Если теперь мы вычислим пион-пионное рассеяние при низких энергиях, то обнаружим, что формула (5.62) останется неизменной; разница заключается лишь в том, что соотношение между X, /л и тп^ будет даваться равенством (5.72) [а не (5.44)]. Переписав типичный знаменатель a-вклада в виде

/71^ — s = т^ 一 п^— (s —"磋)=一 2Х/^一 (s — /Мд),(5.73)

тотчас приходим к улучшенной формуле для амплитуды пион-пионного рассеяния

Тпп = "9!2 [Йар67б (5 —啮)+ баб^Ву (s —喈)+ 6а76рй (i — Wn)].(5*74)

Мы видели, что о-модель в сочетании с голдстоуновским механизмом спонтанного нарушения симметрии удовлетворительно воспроизводит результаты алгебры токов, касающиеся мягких пионов. Но это «чудо» в конце концов не так уж удивительно, поскольку подобные результаты получаются в любой модели, в которой имеет место алгебра строго сохраняющихся токов (в пределе нулевой массы пиона), как это показано в приложении I к данной главе.

Несколько удивительно то, что правильные результаты (после соответствующей перенормировки) получаются в низшем порядке теории возмущений. Причину этого мы увидим в дальнейшем. Сейчас же заметим, что в рамках о-модели правильные результаты получились после взаимного уничтожения двух больших членов. Как в случае ля-, так и в случае iiN-pac- сения постоянные члены взаимно уничтожились с вкладом а-полюсных диаграмм, оставив в окончательной формуле лишь выражения, линейные и квадратичные по пиорному импульсу. Это указывает на то, что эффективное взаимодействие носит градиентный характер. Ясно также, что если бы мы обратились к более сложным задачам, то a-модель опять дала бы правильный ответ, но только после громоздких вычислений со все больпшм числом взаимных уничтожений. Таким образом, имеет смысл поискать более простую и в то же время удовлетворительную лагранжеву теорию, которая прямо давала бы правильный ответ.

См. гл. 2, § 6, п. 1, б, где мы рассматривали аналогичный случаи взаимодействия безмассового пиона с фермионным дублетом по четности.

Первым шагом в этом направлении будет констатация того, что рассмотренная модель придает фундаментальное значение а-полю, тогда как физически важную роль йграет пион. Следовательно, целесообразно рассмотреть так называемую нелинейную a-модель, в которой а-поле уже не является независимым, но оказывается функцией пионного поля.

§ 3・ Нелинейная реализация ниралъной симметрии

• Нелинейная а-модель

В предыдущихразделахмы показали, как построитькирально-инвариант- ный лагранжиан, ассоциируя с пионом поле а. Неодинаковые массы о-мезона и пиона (в частности, нулевая масса пиона), отличная от нуля масса нуклона и другие результаты были получены как следствие того, что поле и имело ненулевое вакуумное среднее (а )0 = /я. Это «аномальный» способ реализации симметрии, ведущий к «спонтанному нарушению симметрии». Но в свете тех замечаний, которые были сделаны относительно вывода пионных длин рассеяния, удобнее было бы переформулировать теорию так, чтобы поле а было вообще исключено 丄),чтобы пион с самого начала имел массу, равную нулю, и т. д.

В таком аспекте мы и собираемся исследовать нелинейную (у-модель, реализующую киральную симметрию с участием лишь пионного поля. Сначала мы рассмотрим отдельно пионное поле, а затем обобщим модель на тот случай, когда имеются и другие поля.

Основная идея по-прежнему заключается в том, чтобы написать кираль- но-инвариантный лагранжиан с помощью 4-вектора (л, а), но о рассматривать уже как функцию пионного поля. Следовательно, мы должны написать соотношение между л и а, которое сохраняло бы инвариантность лагранжиана и было бы совместным с коммутационными соотношениями (5.5), в частности с такими:.

•[瓦，啕=一恥8。，у Гс

-.(5.75)

[Qa, 5 = ^a«

Если мы не хотим вводить производных от поля, то придем к соотношению л2 + а2 =巒.(5.76)

Теперь а-поле есть нелинейная функция пионного поля:

O = d_呀/」-g•一睿+…，(5.77)

и мы вскоре увидим, что фундаментальная константа с, появляющаяся в формулах (5.76) и (5.77), соответствует распадной константе пиона /я.

Обратимся к вопросу о лагранжиане бозонных полей. Простейший выбор, совместный с киральной инвариантностью и с условием (5,76), разумеется, таков:

我=告仇靠产+告@0汽(5.78)

Заметим, что дополнительные члены, которые можно было бы добавить к £(), обязательно должны содержать не менее двух производных, а поэтому они не изменят дальнейших выводов.

Поскольку поле о связано с л соотношением (5.77), подстановка этого разложения в лагранжиан (5.78) приведет к появлению членов взаимодей-

丄)Пока еще нет несомненных экспериментальных доказательств существования с-мезона.

ствия пионного поля:

% =年伟丸)2+*(电#)2+(5.79) Далее,

4^= cdMta—"— (6аРл2 — 2лалр) ЗцЛр + . . . РС%Па, (5.80)

откуда следует, что с = —/я. В лагранжиане (5.79) отсутствует член с пион- ной массой. Ввиду отсутствия скалярного партнера у пиона киральная инвариантность требует равенства нулю массы пиона. Второй член лагранжиана соответствует пион-пионному взаимодействию, ведущему к амплитуде рассеяния вида

Тля = £g- [Sap6?5(Р1 + р2) (Рз + ?4)+ баубрб(Р1 — Рз)(Р2 — Р&) +

+ баббру(Р1 — R)(Рз — А)]>(5.81)

в полном согласии с формулой (5.62). Такой вывод 丁冗冗 гораздо лучше, нежели вывод в § 2, поскольку здесь не требуется «чудесного» взаимного уничтожения, а единственная имеющаяся постоянная /я появляется с самого начала.

Как отмечалось ранее, в формуле (5.81) ни в коем случае нельзя пренебрегать эффектом ненулевой пионной массы. Добавим к лагранжиану кирально-неинвариантный член. Как и в § 2, п. 2, из соображений простоты берем

= м = 〃 (拄一靠2)“2.(5.82)

Используя разложение (5.77) с учетом того, что с =——/я, имеем

6Z=-c猫+器+ 詣+.(5.83)

Присутствие члена л2 означает появление у пиона ненулевой массы

啮一詣(5.84)

в полном соответствии с ЧСАТ.'

Следующий член, —т^ (л4/8/п)? добавляется к лагранжиану лл-взаимо- действия, который превращается в

?"" = -g^- [伟献)2-啮叫(5.85)

и дает улучшенную формулу Вейнберга (5.74). Но Ьклад в эту формулу нарушающего симметрию члена, очевидно, того же порядка по 4-импудьсу пиона, что и вклад основного члена. Поскольку характер нарушения симметрии целиком зависит от специфики модели, мы мо出ем быть уверены в правильности результата лишь по отношению к такой комбинации фаз рассеяния, которая не зависит от члена нарушающего симметрию. Как указано Вейнбергом [132], вблизи физического порога $ = 4/п„, £ = $ = () это имеет место при следующей комбинации длин рассеяния:

2aL5% =墨三6厶乙=爲^陪.(5.86)

Таким образом, равенство (5.86) —— единственный результат, вытекающий из существования киральной симметрии; отношение же а0/а2 может быть найдено, лишь если известен член, нарушающий симметрию. Исходя, например, из выражения (5.82) [ведущего к (5.85)]* получаем, что

(5・87)

〃о〃о£厶^°，16±，a2=~!L«-0,045 J-.£厶^°，16±，a2=~!L«-0,045 J-.(5.88)(5.88)

〃о

〃о

£厶^°，16±，a2=~!L«-0,045 J-.

£厶^°，16±，a2=~!L«-0,045 J-.

(5.88)

(5.88)

Выражения (5.88) и являются хорошо известными формулами Вейнберга [132] для длин рассеяния, первоначально выведенными в рамках алгебры tоков1)・

Киральный лоренцев поворот

Прежде чем перейти к детальному исследованию взаимодействия пионов с другими полями, мы хотим ввести фундаментальное каноническое преобразование, которое окажется ключевым для последующего рассмотрения. В излагаемом нами киральном описании мира все поля соответствуют каким-то представлениям киральной группы, в частности (л, о)-поле есть 4-вектор. Произведем теперь киральное преобразование (функция пионного поля), в результате которого пионное поле обратится в нуль, т. е. 4-вектор (л, с) превратится в (0, 0, 0, —/л). Такое преобразование представляет собой обычный четырехмерный поворот на угол

0 = arctg」".(5.89)

перемешивающий четвертую компоненту произвольного 4-вектора с продольной (т. е. параллельной вектору л) компонентой.

К чему приводит такой киральный «лоренцев поворот», мы покажем, рассмотрев сначала его в случае оператора, являющегося 4-вектором в пространстве внутренней симметрии. Нетрудно установить явную форму преобразования:

4

匕=-九*一乎=-；工"“九,(5.90)

V' = V+；(匕3t.(5.91)

В частности, из соотношения (5.91) следует, что

ул==^ + /^(5.92)

Оказывается, что в качестве фундаментальных величин весьма удобно использовать компоненты преобразованного поля. Одним из преимуществ нового вектора PR является закон его изменения под действием киральных преобразований. Из соотношения (5.90) тотчас следует равенство

@,匕1 = 0,(5.93)

так что Т； есть инвариант киральной группы, и 0仪，подобно генераторам изоспина, преобразует лишь пространственные компоненты V'. Вследствие этого киральными инвариантами оказываются трехмерные скалярные произведения V'U'・ Покажем это более детально. Исходя из простого тождества

口G上爲，(5.94)

получаем

@, %] =[бав(匕/“ + 匕0)一%з],(5.95)

При таком подходе предположению, что член, нарушающий симметрию, имеет вид (5.82), соответствует предположение, что а-член, [Qa, Z>§] = im幫^^«卩仃，содержит лишь компоненту с / = 0 [ср. с формулой (5.23)].

откуда с учетом равенства (5.92) имеем

(5.96)(5.97)(5.98)(5.96)(5.97)(5.98)Оа, П1= J— За/'" - Р2"в)三贵(6a0V'(p -卩展佈), где ф — новое поле:

(5.96)

(5.97)

(5.98)

(5.96)

(5.97)

(5.98)

Соотношение (5.96) можно переписать так:

[&, V,]=-^-(eX(p)xV,и, вводя матрицу единичного изоспина t (^п = гегат), такую, что(at)V' = "axV‘)，

приходим к простой формуле

[①，v'] = "(t x<p)aV'.(5.99)

Мы видим, что в закон преобразования нового вектора V’ входит лишь матрица единичного изоспина и фундаментальное поле ф. В дальнейшем будет показано, что равенство (5.99) легко обобщается на случай любого поля простой подстановкой в правую часть соответствующей изоспиновой матрицы.

Ковариантная производная и определение пионного поля

В качестве первого применения вышеизложенного рассмотрим случай, когда вектором 卩& является ^炫冗仪，т* е. производная пионного изовекторного поля по координате. Согласно равенству (5.91),

(^ц 冗 В)= °и^В 沙(^ц 冗 В)= °и^В 沙1/л1/л5цЛ* Л、5цЛ* Л、

(^ц 冗 В)= °и^В 沙

(^ц 冗 В)= °и^В 沙

1

/л

1

/л

5цЛ* Л、

5цЛ* Л、

j1

(5.100)(5.100)=（筛-0） 8卩五二у 3 = 乂 神绮么火屮6。

(5.100)

(5.100)

Здесь было использовано определение (5.97) и простое равенство

齿一0 =/1 +空-）t

2% I十级丿•

Формулу (5.100) можно рассматривать как определение фундаментального понятия ковариантной производной. В новом представлении все изовекторные поля (и даже, как мы увидим, вообще все поля) должны преобразовываться согласно закону (5.99). Но ни 己丛虱仪，ни 5и(ра не преобразуются по этому закону, что затрудняет построение с их помохцью киральных инвариантов. Подобно квантовой электродинамике и общей теории относительности, формула (5.100) являет нам ковариантную производную пионного поля, т. е. такой дифференциальный оператор, который, будучи применен к л, дает объект, преобразующийся согласно фундаментальному закону (5.99). В соответствии с этим положим

Ал =(/п—6 %7；二о 叫(5.101)

или, иначе,

А 9 = (1 + 炉/4 盘)т ag・(5 Л 02)

Рассмотрим теперь назревший вопрос об определении пионного поля.

Мы взяли в качестве пионного поля изовектор ла, но для этого годится и любое другое поле ла> являющееся локальной, хотя и не обязательно

линейной, функцией поля 冗仪：

(na = naF (л2).(5.103)

Дело в том, что интерполирующее поле для частицы выбирается в значительной степени произвольно (и его выбор не очень существен). Интерполирующее пОле должно быть локальным, стремиться к in- и out-полям при 力一> ±оо 0 быть нормированным, т. е. его матричный элемент между вакуумом и одночастичным состоянием должен иметь правильное значение. Тогда, как строго доказано в аксиоматической теории поля, и старое и новое поле дает одну и ту же 5-матрицу, j

Правда, функции Грина в этих двух случаях будут неодинаковыми (внешние линии не на массовой поверхности), но 5-матрицы на массовой поверхности будут совпадать. Дело в том, что 5-матричные элементы находятся из преобразованных по Фурье Г-упорядоченных произведений полей как вычеты в соответствующих полюсах по массовым переменным. Вся эта процедура применима к любому полю ла.

В случае ноля (5.103) его нормировка фиксируется условием

(0 I ла I лр ) = 6ар,(5.104)

эквивалентным (в пренебрежении петлями) условию

尸(0) = 1.(5.105)

Как указал Вейнбер, поле <р вполне подходит для роли пионного поля, поскольку оно обеспечивает рациональное соотношение между л и а:

к= 1+；2/4践 а(5.106)

i^|^・(5」07)

В свете сказанного ранее мы можем выбрать ф в качестве нового пионного поля.

Нетрудно убедиться, что при киральных преобразованиях <р меняется по закону

[④，调=力[际(1|-^)+^-].(5.108)

Формула (5.108) дает нам то, что обычно называется нелинейной реализацией симметрии SU ⑵® SU (2), и подчинение пионного поля этому условию позволяет избежать введения более или менее фиктивных частиц, подобных а. Кроме того, из нелинейности закона преобразования <р следует, что одно- пионное состояние будет преобразовываться в состояния с разными числами пионов (что возможно лишь в случае безмассовых пионов).

Нашей следующей задачей будет построение кирально-инвариантного пионного лагранжиана. Это достигается составлением трехмерных скаляров из величин, преобразующихся по закону (5.99). Единственным объектом такого рода оказывается ковариантная производная D^ [но не у, см. формулу (5.108)], определяющаяся выражением (5.102).

Простейший лагранжиан имеет вид

e" =十(%f)2=^ 口+孤缈 @m(5-109)

Если мы разложим этот лагранжиан в ряд по степеням <р, то получим

胃“=Т~ (а 词)2—孟"ф2 (^цф)24- • •(5.110)

где опять [ср. с формулой (5.79)] первый кинетический член соответствует безмассовому пиону, а второй член ведет к хорошо известному выражению для амплитуды лл-рассеяния вблизи порога.

Обобщение на другие поля

В данном разделе мы применим изложенный подход к случаю взаимодействия мягких пионов с другими полями. В качестве первого шага рассмотрим простейшее представление киральной группы, соответствующее нуклонному полю 屮.Для него мы имеем

@,屮1= — 丫5 多 ％W・(5.111)

Применим теперь к полю 屮 базисное преобразование, определенное в § 3, п. 2. В результате получим новое поле -ф'丄)：

屮，=/「(1J 屮， (5.112)

или, выражая его через ср:

屮'= ^,(5.113)

(1+叫總尸/2

Нетрудно установить трансформационные свойства а|/ относительно киральных преобразований. Коммутатор Q” и 屮‘ можно найти, исходя из фундаментальных коммутаторов для тр, я и а:

I/ 2 ' /Л / L/П (1 - 北丿 」

причем это выражение можно переписать так:

@，屮1 =(貝>< 叽工"二反)屮=(等"立*ЧA (5.115)

Представление нуклонного поля 屮'оказывается также нелинейным, и однонуклонное состояние будет преобразовываться в состояния с одним нуклоном и произвольным числом пионов. Следовательно, в согласии с изложенными в предыдущих главах результатами алгебры токов мы приходим к определенным соотношениям между процессами 7Vl -> N2 и Л\ f N2 + пл.

Равенство (5.115) свидетельствует, что новое спинорное поле 屮‘ преобразуется по тому же общему закону (5.99), который был найден для векторного поля. Но здесь, разумеется, изоспиновой матрицей является ^厶工“• Поскольку любое представление киральной группы может быть построено как тензорное произведение полей if, упомянутый закон преобразования носит, очевидно, совершенно общий характер. Обозначив через 4f любое поле, преобразующееся по определенному предетавлению киральной группы» а через Т — со отв етствующую ему изоспиновую матрицу, имеем

[Са, ТЧ=-^-(ТХф)а|Т\ (5.116)

В соотношениях (5.115) и (5.116) мы видим одну важную особенность: в них не фигурируют ^-матрицы, т. е. киральное преобразование зависит лишь от изоспиновой матрицы и пионного поля ф (力).В то же время кираль-

Равенство (5.112) проще всего получить из требования, чтобы 4-вектор (1|л|), 丽5TФ) пРео^Разовывался по законам (5.90) и (5.91).

ное преобразование существенно зависит от пространственно-временной координаты поля ①出.Это означает, что локальные комбинации полей, такие, как

布'⑺中'⑺，干⑴Y評'⑺，…，

содержащие любые ^-матрицы, автоматически оказываются кирально-инва- риантными. Из инвариантности произведения 屮‘(力)а|/ (%) мы можем заключить, что нуклон, а также все остальные частицы, кроме пиона, могут обладать конечной массой 丄).

Нелокальные же комбинации, подобные 屮'(胃)炉(у), не являются кирально-инвариантными, поскольку в законе преобразования полей а|/ (/) и 屮'(у) фигурируют пионные поля ф (%)и q ®)・

Самый простой и самый интересный вид нелокальное™ — это, конечно, нелокальность выражений, содержащих производную (d/d%出)ч|/(力).Прямая проверка показывает, что 。評，(力)не преобразуется по закону (5.115). Мы хотим ввести ковариантную производную нового типа 炒評'⑺，которая преобразовывалась бы согласно общему правилу (5.115) и позволяла бы легко строить киральные инварианты с производными. Для этого достаточно заметить, что если сначала взять производную от исходного поля 2) д^ (х)7 а затем уже применить оператор вращения, то полученное в результате этого поле

(电咽'三渝=(-1 +-^-)~1/2 (1—淋豬)％w(z) (5.117) будет преобразовываться по закону (5.115).

Связь между у貝 и &济(у/ (%)) дается формулой

"(Г)=%"+［"(1 十备)-% (1 - w5 諾)］屮，(5.118)

и в силу определений

W=H+备)+ М•券)认(5-119)

4中=(1+备尸 电9(5.120)

мы получаем наконец

电(屮'(e)) - X"(Z)=［者T (D"(p X 中)一油 ^^-］屮'•(5.(21)

Поскольку %貝 и последний член выражения (5.121)

.5 词.,

при киральных преобразованиях меняются согласно требуемому закону, мы можем взять в качестве ковариантной производной поля 屮 величину

②評'(Z)=电屮，(с) + 克Т•(屮(2)X D^tf (土))峭(z),(5.122)

которая уже пригодна для построения киральных гнвариантов, ибо она удовлетворяет условию (5.115).

Одним из оснований для выбора (в § 3, п. 2) канонического преобразования была возможность с самого начала ввести в лагранжиан член нуклонной массы вместо того, чтобы получать его за счет отличного от нуля вакуумного среднего поля о.

«Старое» кирально。преобразование (5.111) не зависит от х.

(5.123)(5.123)Формулу (5.122) также можно обобщить на случай произвольного поля; общий вид оператора ковариантной производной таков:

(5.123)

(5.123)

^ц. =。口 + 2/2 Т (① X -®цФ)»

где Т — соответствующая изоспиновая матрица.

Кирально-инвариантные лагранжианы

Дадим теперь метод построения кирально-инвариантных лагранжианов. Поскольку ф не преобразуется ковариантно, пионное поле может зходить в лагранжиан только в форме своей ковариантной производной D^ [формула (5.120)]. Так как рассмотренные киральные преобразования зависели лишь от изоспиновых матриц и поля <р, все сказанное ранее гарантирует инвариантность относительно группы SU (2) ® SU (2) любой локальной функции только переменных 屮‘，②評'，ОцЧР， инвариантной относительно изоспиновой группы SU (2).

Итак, лагранжева плотность пионов, которая должна описывать без- массовые частицы, имеет вид

% =告(5哂2,(5.124)

исследовавшийся уже в предыдущем разделе. Точно так же лагранжеву функцию для нуклона можно записать в виде

XN = i?^^7 - w^,(5.125)

т. е, с учетом (5.122)

£N = ®Y"W —儿体中一打6'y"等而(屮X 4中).(5.126)

То, что киральная инвариантность вынуждает нас вводить ковариантную производную нуклонного поля, связано с тем, что движение нуклона обязательно должно сопровождаться излучением и поглощением мягких пионов.

Разлагая последний член уравнения (5.126) в ряд по степеням пион- ного поля, в первом приближении получаем следующий лагранжиан взаимодействия:

乎JtN乎JtNа’ЪД屮'(ф х d“4P)・а’ЪД屮'(ф х d“4P)・(5.127)(5.127)

乎JtN

乎JtN

а’ЪД屮'(ф х d“4P)・

а’ЪД屮'(ф х d“4P)・

(5.127)

(5.127)

В низшем порядке теории возмущений из этого выражения вытекает выражение для s-волновой пион-нуклонной длины рассеяния, даваемое алгеброй токов:

4 mmw /f J_ \4n倉 ^л +wn \ 2 /4 mmw /f J_ \4n倉 ^л +wn \ 2 /(5.128)(5.128)

4 mmw /f J_ \

4n倉 ^л +wn \ 2 /

4 mmw /f J_ \

4n倉 ^л +wn \ 2 /

(5.128)

(5.128)

Вспоминая выражение (5.123), мы видим, что формула (5.128) носит совершенно общий характер, нужно лишь вместо【厶工 подставлять изоспи- новую матрицу, соответствующую мишени (гл. 2. § 3, п. 2).

Можно построить и более сложные лагранжианы, учитывающие пион- нуклонные взаимодействия других типов. В частности, самое простое взаимодействие, линейное по пионному полю,——это псевдовекторное взаимодей

ствие

>ад>адМлМл帀'Y汴5川力%.帀'Y汴5川力%.(5.129)(5.129)

>ад

>ад

Мл

Мл

帀'Y汴5川力%.

帀'Y汴5川力%.

(5.129)

(5.129)

Экспериментальное значение таково:

(5.130)(5.130)三 л； 0,08.

(5.130)

(5.130)

С обычной псевдоскалярной константой взаимодействия величина / связана соотношением

^л^^л^wn2mnwn2mn(5.131)(5.131)

^л^

^л^

wn2mn

wn2mn

(5.131)

(5.131)

Взаимодействие (5.129) практически дает лишь jj-волну, и, пользуясь им, можно показать, что в пределе нулевой пионной массы диаграммы с нуклоном в промежуточном состоянии не дают вклада в амплитуду вблизи порога. Действительно, диаграмма с одним промежуточным нуклоном при рассеянии вперед дает вклад

gfiN 5ТУ5 (УР + Y0 + mQ 丫妤5以

咻一(Р+д)2

兀兀(5.132)(5.132)g^N м(23/硝V — 2mNm^ + “т^/mN)孤

兀

兀

(5.132)

(5.132)

一呜-21V

в согласии с теми доводами, на основании которых мы пренебрегали вкладом однонуклонного состояния в гл. 3 (где проводились вычисления методом алгебры токов).

Осталось вывести новым методом выражение для векторного и аксиального токов. Вспоминая определение векторного тока

и разлагая его в ряд по степеням <р, получаем обычное выражение

^^^^■7^^ + ^:^^ ^^а+• • • •(5.133)

На основании этой формулы можно вывести весьма изящное общее выражение для пионного взаимодействия в ^-состоянии. Вспомним, что правило построения взаимодействия таково: нужно произвести замену

Нц f % 十"^Т (<р х Р^ф).Нц f % 十"^Т (<р х Р^ф).(5.134)(5.134)

Нц f % 十"^Т (<р х Р^ф).

Нц f % 十"^Т (<р х Р^ф).

(5.134)

(5.134)

(5.135)(5.135)В то же время мы знаем, что слабое векторное взаимодействие (по аналогии с электромагнитным) вводится путем замены

(5.135)

(5.135)

鼐f肅+江W队

где W貝 ——промежуточное векторное поле, взаимодействующее с векторным адронным током. Таким образом, мы приходим к s-волновому взаимодействию

(5436)

Наконец, рассмотрим аксиальный ток：

4"2悬©，明十力嬴@，*•4"2悬©，明十力嬴@，*•[(5.137)[(5.137)

4"2悬©，明十力嬴@，*•

4"2悬©，明十力嬴@，*•

[(5.137)

[(5.137)

Вследствие того, что коммутаторы между Q& и полями даются формулами (5.108) и (5.115), аксиальный ток обнаруживает новые интересные особенности. В частности, обычный член ip^^sVaT^7 возникает из лагранжиана взаимодействия, а не из лагранжиана свободных нуклонов. Это свидетель-

ствует о том, что у нас нет какого-либо скрытого значения 〃. Соотношение Голдбергера — Треймана продолжает выполняться и оказывается единственным соотношением между /я и другими наблюдаемыми параметрами, вытекающим из киральной симметрии.

Поскольку коммутатор аксиального заряда с ^^ линеен по пионному полю, главный член в разложении по степеням <р дается выражением [в силу формулы (5.108)]

淄吟В爲.(5・’38)

Член нулевого порядка по <р получается при учете лишь градиентного взаимодействия (5.129), из которого следует

4^ 右-蜜1 干窕y5 •! ^中'，(5.139)

=fn8jtN mN=fn8jtN mNт. е. мы имеем для (неренормированной) аксиальной распадной константы

=fn8jtN mN

=fn8jtN mN

(5.140)

Заметим, что при нелинейном подходе к киральной симметрии не требуется какое-нибудь определенное значение гА для обеспечения SU (2) ® ® SU (2)-инвариантности лагранжиана; в то же время он однозначно ведет к формуле Голдбергера ——Треймана.

Разумеется, если в формулу (5.138) подставить свободный пионный лагранжиан £口 ^ i/岂(日川汽 то в выражении для тока появится однопионный член, именио|

^=-/АФ% (5-141)

напоминая нам, что /rt ——распадная константа пиона.

Отметим, наконец, что соотношение Голдбергера ——Треймана может быть дано в самом общем виде [формально аналогичном равенству (5.136)], если записать взаимодействие одного пиона с любым полем в виде

(5.142)(5.143)(5.142)(5.143)£1 ПИОН = I怏刀典 ^Д^цФ*

(5.142)

(5.143)

(5.142)

(5.143)

Из выражения^(5.138)fследует

и с учетом выражения (5.141) мы получаем соотношение Голдбергера 一 Треймана в самом общем виде:

(5/44)(5/44)£1 пион Q —/л /出。广屮а ~ (А/мшпень (А怏)шюн・

(5/44)

(5/44)

Нелинейные реализации киральной симметрии

Подведем итоги последних разделов. Исходя из а-модели и используя фундаментальное (зависящее от полей) каноническое преобразование § 3, п. 2, мы сумели построить нелинейную реализацию киральной симметрии, согласно которой пионное поле преобразуется по формуле (5.108), т. е.

2，!屮8] =г/л [баР ('一轰^)+嗡^]，(5445)

а любое другое поле W — по формуле (5.116), т. е.

簡а, q]=$(Tx*y(5.(46)

(здесь и в дальнейшем мы опускаем штрих).

Кроме того, было показано, что для построения кирально-инвариант- ных выражений, содержащих производные, следует использовать ковариантные производные

%中=(‘十备)一‘赤屮，(5.147)

炒"4 = %V+克T(<pxD評)3，(5.148)

приводящие к кирально-инвариантным лагранжианам вида X (Р^ф,屮,炒評)・ В результате нам удалось, например, перейти от выражения без производных для взаимодействия полей л и о с нуклонами и с самими собой к градиентному нелинейному взаимодействию нового пионного поля.

Все это свидетельствует об особом характере киральной симметрии по сравнению с более обычными симметриями, подобными изоспиновой. Помимо разницы в законах преобразования (линейные и нелинейные), получающиеся следствия носят совершенно другой характер. Из изоспи- новой инвариантности следуют законы сохранения, теоремы о неренорми- руемости (зарядов) и соотношения между матричными элементами с одинаковым числом частиц. Киральная симметрия ничего не прибавляет к результатам подобного рода; но она дает информацию, обусловленную динамическим характером такой симметрии, а именно низкоэнергетические теоремы, связывающие между собой процессы, в которых участвуют разные числа мягких пионов. Как мы уже подчеркивали, все это вытекает из фундаментального преобразования (5.146), зависящего только от изоспина поля, но не от специфики данного конкретного представления группы 5CZ (2) ® ® SU (2), хотя мы и использовали такую информацию при выводе формулы (5.146).

Таким образом, весьма желательно показать (это мы и собираемся сделать в данном разделе), что найденные фундаментальные соотношения можно вывести в самом общем виде из алгебры токов^ если с самого начала предположить, что киральная симметрия реализуется нелинейно посредством безмассового пионного поля.

Рассмотрим сначала пионное поле. Предположим, что его коммутатор с аксиальными зарядами зависит лишь от пионного же поля, т. е.

i@ 加 61= -ifa^((5.149)

причем в силу изоспиновой инвариантности

/а₽ (Л) = й«р/ (Л2) + JTaJtpg (吟.'(5.150)

Мы сейчас увидим, что коммутационное соотношение алгебры токов

〔Оои Qb］ = ХЕзбуОу(5.151)

накладывает сильные ограничения на выбор функций / и g. Рассмотрим коммутатор

【［Qa'iQeb %1 = 26aBy【Qy,网］ и воспользуемся тождеством Якоби. Получим

(5.152)

@冗且 fad 9nd /bd— Sacn&—6&сЛа"

(5.153)

или* переходя к《скалярным» функциям / и g,

2(/+«2g)/z + (l-/g) = 0；

(5.154)

где f = d//d#2.

На первый взгляд кажется, что здесь слишком велика неопределенность, поскольку у нас лишь одно уравнение (5.154) для двух функций / и g и мы можем взять любое из бесконечного числа его решений. Но по двум выбранным функциям (/, g), удовлетворяющим уравнению (5.154), можно? очевидно, построить любое другое решение этого уравнения, если соответствующим образом переопределить пионное поле:

n* = n^ (л2).(5.155)

Это означает, что с точностью до тривиальной неопределенности, обусловленной инвариантностью всей теории относительно преобразования (5.155), наш выбор оказывается практически однозначным.

Проще всего, конечно, выбрать

g = 0, 2# + 1= 0, т. е.

f=^-x^\ с = /(0),(5.156)

так что для коммутатора мы имеем

Ga,明=一"廿—m产^.(5.157)

Итак, мы в самом общем виде получили закон преобразования нелинейной о-модели. Переопределяя пионное поле согласно формуле (5.106),

п=(5.158)

и используя равенство (5.108), приходим к выражениям для поля ф：

〃屮 2)——％((Т),

"(5,159)

8(噌=一“，

также удовлетворяющим уравнению (5.154). Отсюда мы заключаем, что при единственном предположении об отсутствии в формулах киральных преобразований иных полей, кроме пионного, весь анализ, проведенный выше на основе нелинейной о-модели, носит самый общий характер.

Аналогичным образом легко получить законы преобразования других полей. Прежде всего заметим, что изоспиновая инвариантность требует, чтобы каждое поле У принадлежало некоторому изоспиновому мультиплету с законом преобразования

［0Ь，出］匸74出・(5.160)

По аналогии с вышеизложенным мы предполагаем, что искомый коммутатор зависит лишь от поля 屮 и пионного поля:

iQa, W］^=uab(n) nV.(5.161)

Еще раз подчеркнем существенную разницу между законом (5.161) и прежними киральными преобразованиями. Операторы в равенстве (5.161) связаны лишь с изоспиновыми индексами 4f в отличие от преобразований, включавших либо мультиплеты по четности, либо матрицу ^&.

Теперь нетрудно показать, что алгебра токов однозначно ведет к уравнению (5.146). Прежде всего в силу изоспиноцой инвариантности можно написать

иаЬ (2 == %bc%U (л2).(5.162)

Снова используя тождество Якоби для двойного коммутатора,

［@, 3］，出］=迎血［а,剪，(5.163)

получаем дифференциальное уравнение

j?" /а&^°’ /bd= —acUbd^cdl ^abb(5.164)

где /аЬ — функция, удовлетворяющая условию (5.153). После необходимых выкладок мы приходим к единственному решению уравнения (5.164):

'и (л2) = {/ (л2) - [л2 + /2(Л2)]1/2}-1.(5.165)

В частном случае (5Л59), т. е- когда

/(哨=一/“ ((一景)，(5.166)

имеем

0(哨=_詣，(5.167)

что однозначно ведет к закону преобразования (5.146).

Разумеется, тем же методом можно вывести в самом общем виде и ковариантные производные, введенные в предыдущем разделе.

Древовидные диаграммы и асимптотика

Чтобы глубже разобраться в смысле феноменологического лагранжиана, рассмотрим методы, которыми выводились теоремы о мягких пионах.

В предыдущих разделах было показано, каким образом феноменологический лагранжиан, учитывающий алгебру токов и киральную симметрию, обеспечиваемую безмассовыми пионами, позволяет воспроизвести результаты алгебры токов в рамках обычной лагранжевой теории возмущений. В частности, точные результаты алгебры токов были получены при учете лишь деревьев^ т. е. беспетлевых диаграмм (в них не остается интегрирований по внутренним линиям после учета закона сохранения 4-импульса в каждой вершине).

Древовидные диаграммы можно охарактеризовать точнее, если каждому полю (но не лагранжиану) приписать некую константу связи и затем строить ряд теории возмущений по этому параметру. Тогда оказывается, что главный член соответствует беспетлевым диаграммам, следующий — диаграммам с одной петлей и т. д. В общем виде это доказано Калланом, Коулмэном, Вессом и Зумино [189]【). Ниже мы воспроизведем их доказательство для случая одного поля.

Имея лагранжиан 工(tp), введем оператор

е (屮，％)=击 2(чД).(5.168)

Связной диаграмме Фейнмана мы сопоставляем степень параметра X, вычисляемую так. Пусть Е — число внешних линий, 7 ——число внутренних линий, L — число петель, V — число вершин и Nk — число хвостов вершины fc. Такой диаграмме соответствует 九 в степени

у

尸=Х(А% — 2).(5.169)

fe=l,

Но

Е + 21= 3 N兑，

В См. работы [177, 190, 191]. (А также [595—600], — Прим^ ред.)

так что

Р = Е + 21 -2V.(5.170)

Поскольку число петель есть

L = I — V + &

мы, исключив F, получим

尸=豆 + 2£ - 2.(5.171)

Следовательно, для данного процесса, т. е. при фиксированном Et диаграммы без петель (Е = 0) соответствуют низшей степени Р = Е — 2； следующая степень соответствует одной петле (£ = 1) и т. д. Таким образом, деревья связаны с наинизшей степенью 九.

В предыдущем разделе мы говорили об инвариантности 5-матрицы относительно переопределения пионного поля. Это свойство точного решения; но нетрудно сообразить, что им обладает и 5-матрица, вычисленная в приближении деревьев. Действительно, ведь инвариантность имеет место при любой константе связи, поэтому она должна осуществляться в любом порядке по этой константе.

Хотя параметр 九 в формуле (5Л68) был введен как вспомогательная величина, во многих случаях он соответствует физической постоянной взаимодействия. В качестве простого примера возьмем скалярную квантовую электродинамику, где взаимодействие имеет вид

еB3 =外胃T*住+产屮*屮*2.(5.172)

Здесь Г-член, пропорциональный квадрату А^ содержит множитель е?. Точно так же в рассмотренном выше феноменологическом лагранжиане взаимодействия шюнное поле всегда появляется с множителем 1//л 】).Эта закономерность, очевидная в частном случае пион-нуклониого взаимодействия, носит совершенно общий характер, в чем можно убедиться, рассмотрев более сложные системы с участием также и мезонных или нуклонных резонансов.

Наконец, мы можем указать причину, по которой нелинейный кирально- инвариантный лагранжиан дает правильный низкоэнергетический предел уже & приближении деревьев. Дело в том, что деревья дают наинизший существенный член в разложении по степеням 1//л; алгебра же токов и гипотеза о сохранении аксиального тока дают формулы, в которых также фигурируют степени 1//П1 ибо в каждом обобщенном тождестве Уорда ) пион ассоциирован с 1//я. Это и позволяет провести их отождествление.

Появлением разложения в ряд по степеням 1//л объясняется также необходимость нелинейных реализаций киральной симметрии. Нелинейные лагранжианы автоматически ведут к таким разложениям, тогда как очень трудно (если отвлечься от весьма простых случаев) вычислить правильную амплитуду, исходя, например, из лагранжиана, подобного лагранжиану линейной о-модели.

После всего сказанного мы можем более определенно охарактеризовать лагранжев подход. Если говорить очень осторожно, то феноменологический лагранжиан (эквивалент алгебре токов плюс сохранение аксиального тока) можно считать лишь простым аппаратом для воспроизведения результатов алгебры токов и техники мягких пионов. Он представляет ценность постольку,

◎енолсена/гоаимескме 4@2р@м*〃амм и киральпая симметр ия 273 поскольку обычные вычисления, проводимые методом алгебры токов, становятся в высшей степени сложными при увеличении числа мягких пионов. С такой точки зрения лагранжев подход есть улучшенный метод мягких пионов, позволяющий в то же время избежать неопределенностей, которые возникают при экстраполяции амплитуд, вычисленных вне массовой поверхности. Следовательно, нет необходимости смотреть на феноменологический лагранжиан как на основу адекватной полевой теории сильных взаимодействий.

Более смелый и (более оптимистический) взгляд на вещи, выходящий далеко за рамки алгебры токов,——считать феноменологический лагранжиан исходным пунктом для более полной теории элементарных частиц. Но трудности, связанные с неренормируемостью (в обычном смысле) теории, пока что препятствовали какому бы то ни было прогрессу в данном направлении.

Правда, имеется возможность повысить информативность киральных лагранжианов. Можно показать, что древовидные диаграммы нелинейных лагранжианов с производными во взаимодействии (столь ценные для быстрого вычисления низкоэнергетического поведения амплитуд) плохо ведут себя при высоких энергиях. Разумеется, не исключено взаимное уничтожение вкладов разных диаграмм. Было показано следующее: если потребовать, чтобы сумма древовидных диаграмм для процесса рассеяния пионов вперед росла не быстрее, чем реальная физическая амплитуда (закон изменения последней берется, например, из теории Редже), то появляются нетривиальные алгебраические соотношения между константами связи и массами. Другими словами, хотя мы, разумеется, и не ожидаем, что древовидные диаграммы с конечным числом резонансов будут точно воспроизводить ход изменения физической амплитуды при высоких энергиях, мы требуем тем не менее, чтобы асимптотически они вели себя не хуже, чем реальная амплитуда.

Соотношения, появляющиеся в связи с этим' требованием, в точности совпадают с соотношениями, которые получаются в системе бесконечного импульса при насыщении резонансными состояниями зарядовых коммутаторов (или, иначе, при насыщении лишь резонансными состояниями обобщенных соотношений Адлера — Вейсбергера), и мы отложим их детальное исследование до гл. 8. Такие соотношения хороши тем, что их можно рассматривать как алгебраические следствия и не нужно постулировать в явном виде при конструировании кирально-инвариантного лагранжиана. Таким образом, несмотря на динамический характер киральной симметрии, получены соотношения между массами и зарядами членов киральных мультиплетов [192, 193, 162].

Векторпые поля 孤 токи

Векторные калибровочные поля

В предыдущих разделах мы не раз говорили о том, как ведут себя поля при изоспиновых и киральных преобразованиях. В частности, при бесконечно 1Mалом изоспиновоы повороте поле 屮 преобразуется так：

6屮==Z [Q6©T 中]="•% (Тбо)屮， (5.173) причем 7& — соответствующая изоспиновая матрица- В этом случае три параметра ^①口 (также и параметры аналогичного линейного кирального преобразования) берутся не зависящими от пространственно-временных координат.

Теперь мы рассмотрим более общие преобразования, когда параметры 6е)а зависят от х. Другими словами, поле 屮 Q) будет преобразовываться по-разному в разных точках, так что под действием этой расширенной 18-01263

группы комбинации, подобные а仲】(勺) + %屮2 (&) + …•, будут меняться по очень сложному закону. Ясно также, что производная д/дх^ (х) уже ве будет преобразовываться согласно формуле (5.173). Фактически мы имеем

6。評⑺=—% (Tbs)几屮(力)一i (Т5и6ш)屮(办(5.174)

Это значит, что кинетический член типа 屮/以小艸 в лагранжиане не инвариантен относительно таких преобразований. Для преодоления этой трудности мы обратимся к пионерской работе Янга и Молса [1821, в которой впервые была исследована проблема построения калибровочно-инвариантных теорий для изоспина. Ключевым моментом явлчется введение векторного поля рц с изоспином единица, преобразующегося по《закону калибровочного преобразования второго рода»:

6рв= — j (t6(o) Рц + — ^цб® = 6ш X Рц. + *%5®・(5.175)

Здесь t — соответствующая изоспиновая матрица, ^ = iepa?t ^0 — некая постоянная, смысл которой вскоре станет ясен.

Исходя из калибровочного поля ри, можно ввести коеариантную производную

纫以=火 + гуоТрц,(5.176)

преобразующуюся по закону (5.173). В самом делех),

6纫評=М評+ WoT3 (р評)=

=—2(T6s) %屮 + 淋T(bs x рц)屮 + %(Трц) (Тбш)屮=

=—X (T6s)(% +淋TpQ 屮・(5.177)

Пользуясь ковариантной производной, можно написать инвариантное выражение для плотности «свободного») лагранжиана, например:

于w=千g小切"-m)中.(5.178)

Здесь поражает аналогия с электродинамикой. Формула (5.173) аналогична калибровочному преобразованию первого рода, справедливому для всех заряженных полей. Поле р аналогично электромагнитному полю; правдат оно заряжено. Этим объясняется появление в законе преобразования (5.175) двух членов: первый учитывает наличие у p-поля изоспина, равного единице,, второй выражает то обстоятельство, что мы производим калибровочное преобразование второго рода. Наконец, ковариантная производная (5.176) напоминает хорошо известную калибровочно-инвариантную комбинацию d^ + + Хе/炉 опр ед ел яющую минимальное электромагнитное в з аимодейств и е.

Из формулы (5.176) вытекает универсальность взаимодействия поля р с частицами. Согласно выражению (5.178), взаимодействие оказывается равным

<^减=-Yo^yLTWp*,

причем уохне зависит от природы ноли 屮.Таким образом, все константы взаимодействия p-поля одинаковы,、口nn = ?Рлл = • •・Yo, а это и есть универсальность Сакураи, о которой говорилось в гл. 2, § 7.

Перейдем теперь к лагранжиану для самого p-поля. Поскольку р^ преобразуется по «аномальному» закону (5.175), необходимо ввести новое поле в вида функции поля рц, которая преобразовывалась бы согласно общему правилу (5.173). Нетрудно убедиться, что при бесконечно малых калибровочных лреобразованиях комбинация

f^v = ^Pv—^vPh — Тори X pv(5.179)

Если учесть равенство [Га, Т&]. — ieap?Tv.

меняется так:

6fgV = (6g> X fgv)*(5*180)

Очевидно, что fuv является обобщением электромагнитного тензора 尸尸 Следовательно, если мы требуем, чтобы лагранжиан был инвариантным относительно зависящих от координат калибровочных преобразований, то p-поле может входить в него только через fgv и через ковариантные про- изводвые от других полей:

(5.181)

В частности, из вида «кинетического» лагранжиана

品>=T"『v(5.182)

следует отсутствие у p-поля затравочной массы.

Простейший лагранжиан системы р- и ip-полей имеет вид

£ = £p + £w・(5.183)

К нему, конечно, можно добавить другие инвариантные члены, содержащие ковариантные производные более высокого порядка.

Простейшие лагранжиавы типа (5.178), (5.182) или (5.183) обладают «слишком большой» симметрией, чтобы описывать реальный мир. Во-первых, p-поле обязано быть безмассовым; во-вторых, и это еще важнее, векторный ток тождественно равен нулю. В самом деле, поскольку ток можно определить с помощью равенства

联衿，(5.184)

инвариантность / относительно самого общего зависящего от % преобразования означает, что 6Z = 0 и, следовательно, 建 =0. Обе трудности можно устранить, добавив в лагранжиан массовый член

夕=^妳РиР"，(5.185)

который, очевидно, не инвариантен относительно калибровочного преобразования (5.175). Используя определение (5.184), получаем в этом случае

П-^-^(5-186)

е. мы приходим наконец к изящному соотношению прямой пропорциональности между током и полем.

Таким образом, выход заключается в переходе к лагранжиану, содержащему как инвариантную относительно полной калибровочной группы часть 比工［даваемую, например, формулой (5.183)1, так и нарушающую калибровочную инвариантность второго рода часть 胃含，сохраняющую, однако, изоспин^ Вследствие этого ток (5.186) сохраняется：

尹 у^м/р^мО.(5.187)

Мы уже отмечали аналогию между пропорциональностью тока полю (5.186) и условием ЧСАТ. Как это условие представляет собой теоретико-полевой вариант пионной доминантности, ведущей, например, к соотношению Голдбергера —Треймана, так и равенство (5.186) оказывается самым прямым (при лагранжевом подходе) выражением идеи векторной доминантности матричных элементов векторных токов.

Алгебра полей

Пропорциональность тока полю используется в основном для построения простой и красивой схемы с одновременными коммутаторами, содержа- щими как временные, так и пространственные компоненты плотностей токов.

Обратимся опять к случаю векторных токов и рассмотрим систему, содержащую векторное поле рн и поле материи 屮.Предположим, что плотность лагранжиана имеет вид

£=—±f“*V + ^gp№" + Zw伸，ЗД-(5-188)

Основным моментом вывода будет изучение канонических коммутационных соотношений теории. G этой целью выберем в качестве независимых лагранжевых «координат» три пространственные компоненты р? поля р. Как мы увидим, временная компонента р® фактически не является независимой величиной в теории векторных полей.

Сопряженные р® импульсы даются формулой，)

(5.189)

а канонические коммутационные соотношения имеют обычный вид

噬(х), лР (y)] = i6ftz6a₽6(x —у).(5.190)

Из лагранжиана (5.188) следуют уравнения движения

—%1 = пг：р" —丫0fM X+(5.191)

Если ПОЛОЖИТЬ |Л = 0, то получим формулу

-dktM = mgpo + Yofoft х pft + ^,(5.192)

ИЛИ

Р°= 一靑а“_悬取 X Р J靑器，(5.193)

дающую явную зависимость р® от канонических переменных р贯,л® и других полей. Кроме того, если зависит от ри лишь через посредство ковариантной производной 今評=。評 + 勿о (Трц) 3，то

(5.194)(5.194)az巾0网 а

(5.194)

(5.194)

麻=丽睢7 "•

Таким образом, последний член в уравнении (5.193) оказывается зависящим от поля 而 и канонического импульса 8乎屮/須評；обе величины коммутируют с р® при одинаковых временах, и этот член можно не учитывать при вычислении одновременных коммутационных соотношений.

Перейдем теперь к искомым коммутаторам плотностей токов. Во-первых, любые две пространственные компоненты коммутируют, ибо они пропорциональны независимым каноническим переменным:

(5.195)(5.195)俄(Х), V?(y)] = O.

(5.195)

(5.195)

Во-вторых, коммутатор временной и пространственной компонент в силу равенств (5.186) и (5.193) и канонических коммутационных соотношений

имеет вид

[叫(X), Vk(У)] ="^- [ —"^|""成(Х)+^" Рв(X)X ла(X), р£(У)]=

=£呪肌吸 В) V(X — у) + 2 等 6а^63(Х-У).(5.196)

Наконец, нетрудно убедиться '), что

【卩算Х), W(y)] = i£a肌吗(х)33(х — у)・(5.197)

Еще одно характерное свойство алгебры полей заключается в том, что она дает однозначные выражения для всех коммутаторов, содержащих временные производные от токов 2). В частности, приведем следующий результат: 创Р£ (Х) — 队若(х), W (у)]= i6aP6fti63 (Х- у)甯 +

+ i Л 阻叩恥。W(X)噴(x) 63(X — у)十 iEa^Vl (x) &33(X—у).(5.198)

Такой подход к коммутаторам токов, основанный на использовании калибровочных полей, выгоден тем, что теперь мы имеем в своем распоряжении действительно минимальный набор коммутаторов. Этот набор не только содержит важную формулу коммутирования временных компонент, но и ведет к интересным и недвусмысленным утверждениям относительно коммутаторов пространственных компонент или их производных по времени. К таким, например, как утверждение, что швингеровский член в выражении (5-196) есть с-число.

Следующим шагом будет расширение рамок этого подхода с тем, чтобы включить в него аксиальные токи и киральные коммутаторы.

Аксиальные токи и мезоны

Необходимое нам обобщение на случай аксиальных токов, естественно, достигается введением триплета псевдовекторных частиц (описываемых полем а^) для того, чтобы построить новые тождества ток ——поле. Итак, имеется два типа зависящих от % калибровочных преобразований: бесконечно-малое изоспиновое калибровочное преобразование с параметрами 6ша (х), преобразующее поле согласно формулам

бр^бохр^-б^,(5.199)

и бесконечно-малое киральное калибровочное преобразование с параметрами 5з^(е), действующее так:

6pu= &»8 х аи,

к к I I а к(5.200)

то

Здесь мы тоже не требуем инвариантности лагранжиана относительно всей калибровочной группы; для простоты предположим лишь, что нарушающий калибровочную инвариантность член все же обладает SU (2) ® SU (2)- симметрией3). Простейший лагранжиан, обладающий этими свойствами,

Пользуясь равенством (5.194) и каноническими коммутационными соотношениями для中.

丐 Благодаря соотношению

或=—刁0時 + "р； + Vo(Po X P&)“ •

^ He уточняя пока, обеспечивается ли она безмассовым пионом или иваче.

таков:

胃=—彳 SuPv—При — VnfpuXpv + ajiX av])2 —

—4"(”炉丫一如出一％【Ри X а* — pv X аи])2 + -^-пг2(Рц+ ац). (5.201)

Пропорциональность ток —— поле тотчас же следует из соотношений

(5.202)

и SU (2) ® SU (2)-инвариантность всего лагранжиана означает, что оба тока сохраняются:

^出卩必 а = @к/%а = ().(5.203)

Чтобы установить одновременные коммутационные соотношения» нужно поступить точно так же, как и в предыдущем разделе: найти уравнения движения, исключить р® и а® и применить канонические коммутационные соотношения.

Полный набор одновременных коммутаторов, даваемый алгеброй полеЁ} оказывается таким:

Для временных компонент

(5.204)(5.204)[Vo (х),吸(у)]=[蜀(х), Л? (у)]=贬咖吗(х) ¥ (х—у), 严片(х), 4?(у)]=超а即4% (х) 2 (х —у).

(5.204)

(5.204)

Для временных и пространственных компонент

(5.205)(5.206)(5.205)(5.206)К (Х),俄(У)] = [Л? (х),或(у)] =毘期理(Х)举(X — у) ++ 墻 6aU/3(x — y),

(5.205)

(5.206)

(5.205)

(5.206)

[吟(х), Al (у)] = геаРтЛ^ (х) 63 (х —у).

Для пространственных компонент

修,W] = [第 m =修，心=0.

Приведем еще выражение для следующих коммутаторов, которое пригодится нам в дальнейшем:

①捲 ⑺一茹唸口)，г?(у)] = [МПх)-М?(х),肃(у)] =

=论啲取(X)&63 (x-У)+ i8a^M 等举(x一у) +

+»昌隔时。Н (х) У? (x) + 4, (x)建(x)] S3 (x—у).(5.207)

Набор коммутаторов алгебры полей (5.204) — (5.207) отличается прежде всего замечательной простотой. При более подробном ознакомлении обнаруживается, что равенство (5.204) воспроизводит фундаментальные коммутационные соотношения Гелл-Манна для временных компонент токов и что этот результат алгебры полей идентичен предсказанию кварковой модели. Коммутатор (5.205) для пространственных и временных компонент обладает таким ценным свойством: он дает вполне определенное значение для швинге- ровского члена, который оказывается с-числом, причем одним и тем же для коммутаторов векторных и аксиальных токов. Наконец, равенство нулю коммутаторов пространственных компонент типично для алгебры полей,

279279©ено*ено4О2ии£с并tie 儿@叩@兄常"@兄& ti кирдльндя силмеетрця

279

279

и этот результат резко отличается от того, что получается в других теоретических моделях (без калибровочных полей).

Окончательная схема, возникающая при таком рассмотрепии, проще и информативнее кварковой модели, поскольку она более детальна. Нашей целью будет обосновать тождество поле —— ток и коммутационные соотношения, исходя из лагранжиана векторных полей и свойства сохранения токов. Поэтому без лишних слов мы допускаем обобщение SU (2) ® SU (2) на SU (3) ® SU (3). Соответствующие применения алгебры полей будут рассмотрены в следующей главе*

Удовлетворительное включение векторных мезонов в схему киральной симметрии требует, разумеется, введения пиона, и приходится изучать свойства систем, содержащих р-мезоны, А j-мезоны и пионы (это по меньшей мере). Согласно правилам, с которыми мы познакомились, для рассмотрения кирально-инвариантных лагранжианов приходится вводить более сложные ковариантные производные, ведущие к нелинейным взаимодействиям. Формулы при этом становятся очень сложными, а потому мы отсылаем читателя к соответствующей литературе (159—163, 171—178, 194, 195|. Отметим лишь, что наиболее интересные результаты лагранжева подхода к проблеме векторных мезонов будут получены в этой книге обычными методами алгебры токов.

Приложение I

Мы хотим вкратце показать, что весьма простые результаты линейной о-модели, полученные в § 2, н. 4 и 5, не зависят от конкретной формы лагранжиана этой модели. Ограничимся случаем лишь л- и о-полей. Обобщение на другие поля не представляет существенных трудностей.

В самом общем виде кирально-инвариантный лагранжиан можно пред

ставить следующим образом:

<5? = F (л2 -|- о2) + члены с производными.(1.1)

Введем новое поле

и = L + 瓦(L2)

Часть Но лагранжиана, не содержащая производных, будет выглядеть так:

我=尸(А),(1.3)

А = М +(/Z 十 2(у%+".(1.4)

Разложим Zq в ряд по степеням лип. Имеем

н。 = 4 (丛)+ 2M4 (产)+ ^A, ^) + 0'"/4(b2)+ 4闷2 俨)]+

+ 4次(炉+鸣人(产)+ (n2)2 4 ⑺+…，(1.5)

где

人行)=尸(吃

4*图必，(1.6)

42岁)=4"(詳)2

Из равенства (L5) мы заключаем следующее:

Условием равновесия является равенство

2b4 (")= 0.(1.7)

Массы полей л и о даются формулами

彼± = —2Л1 ("),(1.8)

^ = —2Л1 (Ь2) 一 8b242s2).(1.9)

3) Константы взаимодействий (пял) и (gqq) таковы: ggJt = ^ООО = 2b/ 2 (")•3) Константы взаимодействий (пял) и (gqq) таковы: ggJt = ^ООО = 2b/ 2 (")•соответствуетравенству4 (Ь2) = о,(L11)именно:m« = 0, m| = — 4，gom,„ 「(LI2)о ллп л2b •соответствуетравенству4 (Ь2) = о,(L11)именно:m« = 0, m| = — 4，gom,„ 「(LI2)о ллп л2b •(1-Ю)(1-Ю)Остановимся на условии равновесия (1.7). Выбор аномального решенияОстановимся на условии равновесия (1.7). Выбор аномального решения

3) Константы взаимодействий (пял) и (gqq) таковы: ggJt = ^ООО = 2b/ 2 (")•

3) Константы взаимодействий (пял) и (gqq) таковы: ggJt = ^ООО = 2b/ 2 (")•

соответствует

равенству

4 (Ь2) = о,(L11)

именно:

m« = 0, m| = — 4，gom,

„ 「(LI2)

о ллп л2b •

соответствует

равенству

4 (Ь2) = о,(L11)

именно:

m« = 0, m| = — 4，gom,

„ 「(LI2)

о ллп л2b •

(1-Ю)

(1-Ю)

Остановимся на условии равновесия (1.7). Выбор аномального решения

Остановимся на условии равновесия (1.7). Выбор аномального решения

В качестве еще одного применения можно вычислить амплитуду лл-рас- сеяния:

7“L^3<A + M% + %66Q + g%“(^^+^^+^^). (1.13)

Tg = ^00ЛЛ (-^-丄 ^алл 十可Tg = ^00ЛЛ (-^-丄 ^алл 十可Разлагая ее в ряд по степеням s. s и t, получаем

Tg = ^00ЛЛ (-^-

丄 ^алл 十可

Tg = ^00ЛЛ (-^-

丄 ^алл 十可

^7 ) (барбуб + ЗауЗ^б + SafiSpv) +

(I.H)(I.H)(^^арбуб + ^SaftSpv + 力瓦戸舱).

(I.H)

(I.H)

С учетом равенства (L12) это выражение ведет к формуле Вейнберга. Отождествим, наконец, Ъ с постоянной пионного распада. Из формулы (1.1) для X легко вывести следующее выражение для аксиального тока:

откудаоткуда(1.15)(1.16)(1.15)(1.16)Лц = об 产0c — (@国)ла т Ъд^ + • • г

откуда

откуда

(1.15)

(1.16)

(1.15)

(1.16)

ь = —/л.

Правила сумм, следующие из одновременных коммутаторов

§ 1. Введение

В гл. 2—4 мы видели, что один из основных методов применения алгебры токов состоит в использовании так называемых обобщенных тождеств Уорда. Было показано, что с их помощью можно получить два основных результата теории: низкоэнергетические теоремы и дисперсионные правила сумм. Подчеркнем, что метод, основанный на тождествах Уорда, особенно широко применяется, поскольку он позволяет превратить лоренц-неинвариантные по своей форме одновременные коммутаторы в инвариантные тождества, так что все результаты могут быть получены в релятивистски-ковариантном виде.

В этой и следующих главах мы хотим исследовать самый, на первый взгляд, прямой метод использования одновременных коммутационных соотношений. Он состоит в рассмотрении одночастичных матричных элементов коммутационных соотношений и преобразовании их в правила сумм путем непосредственного использования условия полноты системы промежуточных состояний. В применении к хорошо известному коммутатору

[?, р]=访 (6.1)

этот метод дает знаменитое правило сумм Томаса — Рейхе — Куна т)・ Та же методика позволила получить важные правила сумм в ядерной физике.

Главная причина, по которой данный метод не нашел широкого применения в физике элементарных частиц,— это, конечно, отсутствие явной лоренц-инвариантности. Действительно, как вскоре станет ясно, матричные элементы коммутационных соотношений (например, для зарядов) между одночастичными состояниями с импульсом р дают разные правила сумм при разных значениях р. Несколько менее известное, но столь же существенное обстоятельство — то, что наибольшие вклады в правила сумм часто отличаются от тех, которые можно ожидать, если упрощенно подходить к условию полноты. Поскольку в нашей задаче имеет место релятивистский феномен рождения и уничтожения частиц в вакууме, в правилах сумм присутствуют вклады и несвязных диаграмм, пренебрежение которыми сделало бы некор- рек1нмм весь метод. .

Данная глава и две следующие (гл. 7 и 8) посвящены применению метода насыщения в физических задачах. В рамках алгебры токов этот метод позволил дать единую трактовку двух основных результатов теории: низкоэнергетических теорем для мягких пионов и дисперсионных правил сумм. Их можно рассматривать как два разных типа «правил сумм», которые получаются насыщением одновременных коммутаторов в двух разных системах отсчета. Мы воспроизведем (в иной форме) большую часть результатов, полученных в гл. 3 и 4, при таком подходе. Читателю, желающему лишь мельком ознакомиться с основными результатами алгебры токов, захочется, вероятно, целиком опустить эту альтернативную трактовку. Но при этом потерялась бы

9 Доказательство ем. в работе [212].

ясность понимания некоторых тонких и характерных особенностей релятивистской теории.

Прежде всего, как подробно говорилось в гл. 3, ковариантность метода тождеств Уорда достигается ценой ухода от ответа на ряд трудных вопросов. Если не считать некоторых крайне благоприятных случаев, то Г-произве- дение не обладает явной лоренц-инвариантностью; его можво, конечно, сделать инвариантным, добавив соответствующие члены, но тогда нарушается внутренняя простота метода тождеств Уорда, поскольку становится неясным, чтб удовлетворяет этому тождеству. Причины возникновения такой трудности будут исследованы в гл. 7.

Кроме того, в данной главе мы увидим, что в целом классе правил сумм, полученных путем насыщения одновременных коммутаторов в системе покоя, главным вкладом будет (несвязный) вклад однопионного состояния. Это приведет к новой формулировке низкоэнергетических теорем, так как если удержать только однопионный член, получатся снова результаты теории мягких пионов. Большое преимущество такого подхода состоит в том, что мы всегда будем работать с физическими пионами; дополнительные члены в правиле сумм представляют собой поправки^ обусловленные ненулевой массой пиона. Это позводие оценить величину поправок к различным мягко- пионным формулам,；.：

В то же время, как мы покажем в гл. 8, использование системы отсчета с бесконечно большим импульсом позволяет по-иному вывести дисперсионные соотношения гл. 4. И здесь метод прямого насьпцения имеет определенные преимущества: будет четко видна алгебраическая структура правил сумм и сравнительно легко будет обобщить методику на случай мишеней со спином.

Данная глава построена следующим образом. Сначала мы просто применим метод насыщениями вакуумному среднему коммутаторов алгебры полей, что даст нам правила сумм Вейнберга, а затем перейдем к сути проблемы. Мы подробно исследуем структуру суммы по полной системе состояний с точки зрения связных вкладов и используем результаты такого исследования при насыщении коммутаторов, содержащих хотя бы один аксиальный заряд, в системе покоя внешних частиц. Это позволит весьма простым способом вывести низкоэнергетические теоремы алгебры токов для физических пионов и детально проанализировать некоторые относящиеся сюда примеры.

6 2・ Вакуумные средние значения

1« Правило сумм Челлена — Лемана

Для «разминки^ рассмотрим простейший случай насыщения вакуумного среднего одновременного коммутатора и приведем несколько интересных примеров. Получающиеся при этом, правила сумм будут, разумеется, особенно изящными; данный случай значительно проще случая, когда имеются ввешпие частицы, на зато он дает меньше.интересной информации. Будущие опыты со встречными электронными пучками позволят прямо сравнить теорию с экспериментом и, в частности, определить швингеровские члены по сечениям аннигиляции. Тем не менее даже в отсутствие экспе рименталь- ных данных численный анализ правил сумм (в рамках разумных приближений) позволяет получить ряд соотношений, способствующих лучшему пониманию физики элементарных частиц.

Рассмотрим в качестве первого примера канонический коммутатор

[фр(X, 0), фа (0)]=龙76卽63 (х),(6.2)

где Z — константа перенормировки волновой функции. Возьмем вакуумное среднее коммутатора (6.2), умножим его на ехр (— iqx) и проинтегрируем

по всему пространству. Наконец, разложив результат по полному набору физических промежуточных состояний и взяв интеграл, получим правило •сумм

(2л)3 У б3 (q —Рп) Еп《0 I 屮в I 切⑴ I 0>а I 0〉一 / а — В )=九必工(6.3) n\q ——q/

Для удобства введем новую переменную интегрирования д0 так, чтобы соотношение (6.3) приняло вид

ОО0

，p(g)%dgo— j P( — q)qodqo = Z-i,(6.4)

0.-СЮ

где

бсфр (д) = (2 л)3 2 64 (д — рп) (О|фр| п)<п|фа|0) =п

(6-5)(6-5)=击 J "" ^p (力н)⑼中6 (2) ФЙ (0)[ 0).

(6-5)

(6-5)

Отметим, что ввиду скалярности полей функция p(q) лоренц-инвариантна и ее зависимость от д^ имеет вид

Р(7)= 0 (%) Р (〃)，(6.6(

где и — инвариантная переменная: м 三 ^ =広—q3. (6.7)

Ступенчатая функция 6 (?0) входит в формулу (6,6) лоренц-инвариантным образом, поскольку суммирование ведется по физическим промежуточным состояниям, а, следовательно, м > 0. Подставив соотношение (6«6) в равенство (6.4), получим правило сумм в явно инвариантной форме:

,dup (u) = Z-1J (6.8)

о

Для удобства выделим одночастичный, скажем л*мезонный} вклад. Мы имеем дело с ренормированными полями, а поэтому <0 | ф | л) = 1, и уравнение (6.8) в конце концов принимает вид

1 + j о (u) du Z-1, а — р—рл, (6«9) о

что совпадает с правилом сумм Челлена ——Лемана [213—215] для константы перенормировки Z. Ввиду положительной определенности а из формулы (6.9) следует, что если интеграл существует, то

0 V Z & 1. (6.10)

В частности, Z"1 не может обращаться в нуль. В следующем разделе мы увидим, что аналогичное условие положительности не позволяет обращаться в нуль коммутатору [у0,外

Коммутаторы токов и швингеровские члены

Обратимся теперь к задаче насыщения вакуумных средних значении коммутаторов плотностей тока. Поскольку, как нетрудно убедиться, учет симметрии при насыщении матричных элементов <0 | [/0) ;0] 10 > и

<0 I Ij, j] I 0) приводит к тривиальным результатам, сконцентрируем свое внимание на величине (0 ] I汜 产]]0 > (для простоты ограничимся случаем взовекторных токов а, § = 1, 2, 3). Здесь существен вопрос о природе швиигеровского члена. Отметим, что в случае, когда швингеровский член представляет собой с-число, вайти его можно, только вычислив вакуумное среднее коммутационных соотношений. Действительно, если взять матричный элемент между одночастичными состояниями, то с-числовой швингеровский член привел бы к несвязной части

№]([#, /ГПшвинг. член I Pi) = <Р2 I Pi^aCidfi3(X),(6.11>

которая не дает вклада в правило сумм.

Поэтому рассмотрим величину

⑼例(х, 0), УГ(0)]|0) = 5б₽а5г63 (х) (0|с|0>(6.12)

или, точнее,

j d3^exp( —tqx) (0|[V^ (x, 0), VT (0)] 10)=

=гбр«(c>0 j d3xexp(— iqx)&挙(x) = 6呢磁《<%・(6.13)

Обычным способом получаем правило сумм

2 j dqotol (g) = (с>0g“(6.14)

о

где

ga阪(g) = (2崂』S4 (g-Pn)(01 哪同 m I 躅 | 0>.(6.15)

Из соображений инвариантности имеем

^uv (?) = [а (и) guv + Ь (м) ?ц^Ь 以=产(6.16)

и правило сумм (6.14) принимает вид

j dub (u) = (с>0.(6.17)

о

Чрезвычайно важное значение имеет положительная определенность величины b (и). Действительно, из сохранения векторного тока следует т), что 严％V = о,(6.18)

или

3ub®=—眾>0・(6.20)

Таким образом, как впервые показал Швингер [88, 196], независимо от рассматриваемой нами модели величина (с )0 не может обращаться в нуль именно в силу требования положительности. Разумеется, ограниченность этой величины обусловлена асимптотическими свойствами теории.

Большое впечатление производит аналогия с- правилом сумм Челлена —— Лемана (6.8). Эту аналогию можно еще несколько расширить, так как вакуумное усреднение коммутаторов Гф, ф] и [ф, ф), подобно усреднению коммутаторов l/0, j0], [j, Н, приводит к тр^Биальным результатам; вклад могут

Сохранение тока не является необходимым условием, и такой ясе вывод можвб сделать, наиримерт в случае аксиальных токов.

дать только симметричные по изоспиновым индексам части коммутаторов {①,①1，【/о，j】・

Поскольку мы здесь имеем дело с общими свойствами швингеровских членов, может быть, полезно указать процесс, где они явно проявляются. Рассмотрим аннигиляцию электрона и позитрона в адроны. Для изовекторной части амплитуды в однофотонном приближении имеем

T(I = l) = e4n\V^0)±v(Р2)丫叨(Pi)6&(Pi 十 Pz—g),(6.21)

а полное сечение имеет вид (jne^ 0)

0(/=4) = "^ (PuxP2v + PivP2|A -"^ mg炉)X

X 2 (2л)з(0Щ|兀〉mIW10)fi4(g-Pn)=粵竺b(u).(6.22)

n

Тогда из равенства (6.17) получаем

<с)0=]氤f р(^ = 1； U)udu.(6.23)

Таким образом, в разных моделях оказывается разным асимптотическое поведение полного сечения процесса на встречных пучках е+е~ -> адроны Г89]. Если (с )J ——конечная величина, как в модели алгебры полей, то должно выполняться условие

lim гА； (/ = 1 ； u) = 0.(6.24)

В кварковой же модели, где (с )0| по-видимому, бесконечно, должно быть

lim u2a (〃 = 1; u) = const (или хуже).(6.25)

Аналогичные соотношения выполняются и для изоскалярной части.

Напомним 1), что в случае точечных частиц сечение процесса изменяется как 1/и, а это приводит к линейной расходимости интеграла в формуле (6.23). Время покажет.

Правила сумм Вейнберга

Алгебра полей может служить хорошим примером теории, где швинге- ровские члены оказываются с-числами, и поэтому полезно рассмотреть подробнее некоторые следствия такой модели. Характерной особенностью алгебры полей является равенство векторного и аксиально-векторного швингеровских членов, т. е. .

(冒纪 exp (Tqx)〈01 [嘴(x),臂(0)] | 0)=

=J ©3纪 exp (Tqx)〈01 [展(х), Л? (0)]|0) = ^qkC. (6.26)

Можно вычислить, например, а (е+е~ -> 卩+卩一)или просто провеста анализ размерностей.

В действительности же можно показать, что равеиство (0 | [Уо, УЛ] | 0}= =<0 I [Ло, Л^] I 0 ) получается при более слабых предположениях, так что условие (6.26) носит несколько более общий характер 4).

Вводя спектральные функции а и & с помощью соотношения

й«₽^'"=(2л)3 2 6(? -р”)〈о I (PR, 4b |n>(ni(K, а> I О)=, n

=бэ« [^ А) (U) ^V + b(V，А)(w) q^,[(6.27>

мы можем представить (6.26) в виде правила сумм:

j沙吟3）-弘）（閒切=0. 0

(6.28>

Это и есть так называемое первое правило сумм Вейнберга.

Далее напомним более специфическое следствие тождества [соотношение (5.207)1：

поле — ток

〈@理一0此,P力0 =〈0建一%蜀 蜀）。.

(6.29>

Из этого равенства получается правило сумм

J 〃0о（9о疆一0k矗^ = j d*（9複）一办雌'），

(6.30>

а именно второе правило сумм Вейнберга

、j [必吟(〃)一а⑷(〃)]d" = 0.

0

(6.31>

(6.32)(6.33>(6.34)(6.32)(6.33>(6.34)Перейдем теперь к вопросу о насыщении этих правил сумм. Имея дело с вакуумными обкладками, мы, очевидно, получаем то преимущество, что у нас существуют строгие правила отбора по угловому моменту и другим квантовым числам. Так, вклад в (0 | Л ц ]莉〉дают только состояния с JP = ==1+, 0", а вклад в ^ \V^ \ п) — состояния с Jp = 1~ (ввиду сохранения векторного тока не могут возникнуть 0+-члены). Мы пренебрегаем возможными вкладами многочастичных промежуточных состояний и, используем при насыщении ^ одночастичные состояния Аг (1+) и л (О-), а при насы* щении ^ ——состояния р (1_). Тогда из (6.28) получаем равенство

(6.32)

(6.33>

(6.34)

(6.32)

(6.33>

(6.34)

а из (6.31) — равенство

/р = /%,где /р и /л — величины» определяющиеся равенствами〈。I 卩艮 I Р"〉= бЗа/рбц,(0 I -4ц I 4；〉= бра/^8д.

，)Приведем вывод самого Вейнберга [92]. Рассмотрим

8n@,缉I，噸]|0)="阿《咽吸Do⑴

и применим тождество Якоби в левой части. Тогда

Q&6,碟，噱])。=《岱給 曲%达"举⑴+込財/网，靖Do,(口)

где 後? 一 твингеровсний(лен, соответствующий [Л®, А^ Если S — либо с-число, либо изоскалярный оператор, либо не содержит части с / = 1, то <[S, Q] )в = 0, откуда следует равенство (6.26).

ТогдаТогда福一吗 经破吗一需'

Тогда

Тогда

и далее, используя равенство х)

卷〜I

мы в конце концов получаем соотношение Вейнберга

ти% = 2"С・

(6・35>(6.36)(6.37)(6・35>(6.36)(6.37)Если отождествить с /^частицей ) пик в рл-спектре при 1080 МзВ》 то согласие получается замечательное.

(6・35>

(6.36)

(6.37)

(6・35>

(6.36)

(6.37)

Легко обобщить [119] метод, основанный на двух правилах сумм Вейнберга, на случай групп SU (3) 0 SU (3) и SU (3). В случае группы SU (3) окончательные результаты оказываются неудовлетворительными; обычно это объясняется нарушением второго правила сумм, т. е. соотношения (6.29). Если в векторном случае полагаться только на равенство швингеровских членов, то из соотношения

(01险，吸]10)=(01眩，吸】10)(6.38)

с учетом соотношения (6.22) между а (и) и 6 (и) следует, что

u du [а (e+歹-> / = 1) — Зи (е+е" f / = 0)] = 0.(6.39)

Отметим, что равенство (6.39) может выполняться даже в случае бесконечных швингеровских членов, есЕи только разность сечений убывает асимптотически достаточно быстро.

Равенство (6.39) интересно, конечно, тем, что его можно прямо проверить, пользуясь измереиными сечениями. Если сделать более конкретные предположения относительно насыщения и использовать состояния векторных мезонов р, со и ф, то легко получить следующее соотношение между вероятностями лептонных распадов:

7ПрГ (р f e+k) = 3 [тПшГ (со -> e+吟 + тпфГ (① f е5)]・ (6.40)

Равенство (6.40), являющееся следствием первого правила сумм Вейнберга и векторной доминантности, вероятно, вскоре будет проверено экспериментально.

§ 3・ Общая структура суммы по полной системе промежу точных состояний

Существование несвязных вкладов в сумму по полной системе промежуточных состояний

Теперь можно перейти к задаче о насыщении одновременных коммутаторов > заключенных между одночастичньши состояниями. По сравнению со случаем коммутаторов, заключенных между вакуумными обкладками, здесь появятся новые важные особенности; этот вопрос будет выяснен в данной и следующей главах. Первое, что нам нужно исследовать,——это характер возможных вкладов в сумму по полной системе промежуточных состояний.

Это равенство следует из соотношения КСФР и р-универсальности (гл. 3, § 4). Но его можно рассматривать как эмпирическое, а не теоретическое соотношение.

Прежде чем браться за эту проблему в общем виде, мы остановимся на одном очень простом примере, который показывает необходимость введения так называемых несвязных членов.

В рамках модели свободных кварков рассмотрим в явном виде хорошо известный коммутатор

®+,⑦]= 2Q3.(6.41)

При этом заряды выражаются через поля свободных кварков д?

g± = J 色氏仙叶5T±0,(6.42)

qЗ = J d%办。у t怨.(6.43)

Теперь возьмем соотношение (6.41) между однонуклонными состояниями с импульсом р и воспользуемся условием полноты системы промежуточных состояний. Поскольку мы имеем дело со свободными полями, у нас может появиться искушение взять в качестве единственного промежуточного состояния тоже свободную частицу. Но одного этого промежуточного состояния, очевидно, недостаточно. Например, если положить р = 0, то одночастичный матричный элемент от Q обращается в нуль из-за сохранения углового момента и четности, тогда как правая часть равенства (6.41), несомненно, отлична от нуля.

О причинах такого противоречия нетрудно догадаться, поскольку в уравнении Дирака для одной частицы система физических состояний становится полной только при включении в нее также состояний с отрицательной энергией. В рамках вторично-квантованной теории это означает, что пропущенный член следует связать с рождением пары. Точнее, в рамках теории свободного поля из «одночастичных матричных элементов» аксиальных зарядов отличны от нуля лишь

〈РI W± I р'〉= Йуоу5т±ы, (2л)3 fi3 (р—рО(6.44)

И

VP? I 2± 10〉=峥丫5T±" (2л)з 63 (р + р，).(6.45)

Это означает, что при насыщении необходимо использовать оба матричных элемента (6.44) и (6.45). Тогда имеем

〈Ре @ I Рг)〈Р」① I Рл) +〈Ре ◎ | АРгРз) <Р1Ргй| ① | Ра〉一

—перекр. чл. = 2 (рв | Q31 ㈢.(6.46)

Матричный элемент (6.45) появляется в виде несвязного члена при учете в (6.46) вклада от трехчастичного промежуточного состояния:

{Рв 101Plp203〉= (Рв IР，〉〈。I 01 臼尸3〉一 (Рв 丨 Р2〉〈0 I 卄 I 卩区〉(6.47)

(аналогичное выражение можно написать для матричного элемента от Q~)・

Физический смысл несвязной части выражения (6.47) поясняется диаграммой фиг. 6.1. Вылетающий нуклон рв = р〔 не участвует в процессе, который представляет собой аннигиляцию свободной частицы и античастицы в вакуум 1). В итоге правило сумм (6.46) можно записать в виде

2〈Рв IQ31 Ра〉三(2n)3 2Е63(РВ —Ра).= (W + 2Z) (2л)3 2^6®(рв-рА), (6.48)

или простоили просто2 + 2Z = 1,2 + 2Z = 1,(6.49)(6.49)

или просто

или просто

2 + 2Z = 1,

2 + 2Z = 1,

(6.49)

(6.49)

Отметим, что в случае свободного поля матричный элемент《р 丨 Q 丨 ppp》не имеет связного вклада. Вообще же говоря, это не так.

где 2 и Xz — члены, определяющиеся соотношениями (фиг. 6.2)

〈Pb|0/〉〈P‘®|Pa〉= 2E(2jx)363(Pb-pa)W,(6.50)

-(0|С| РаР"МР”Рв @ 10〉= 2Е (2л)3 6з (рв— Ра) Ez・ (6.50')

Из равенств (6.44) и (6.45) легко получаем

(6.51)(6.51)К2 — m2

(6.51)

(6.51)

v т2

”2=»

Мы видим, что (а чего иного можно было бы ожидать?) 《правило сумм» теперь насьпцено (сумма S и Sz не зависит, конечно, от Е), но относительный вес каждого вклада сильно зависит от системы отсчета (т. е. от энергии Е).

卩卩Р/=РдФиг. 6.1Р/=РдФиг. 6.1

卩

卩

Р/=Рд

Фиг. 6.1

Р/=Рд

Фиг. 6.1

В системе покоя 后=тп (р = 0) вклад дает только член Sz, соответствующий Z-диаграмме, тогда как в крайнем релятивистском пределе 总一＞ 8 остается только одночастичный член X.

На данном простом примере, где мы добились упрощения' благодаря использованию теории свободного поля, утке видны основные моменты процедуры насыщения: наличие несвязных членов и сильная зависимость веса разных вкладов от системы отсчета. Теперь нам нужен общий метод классификации и выделения различных несвязных вкладов в суммы по полной системе промежуточных состояний. Этим мы займемся в следующем разделе.

2・ Кластерное разложение

Теперь изложим методику выделения и анализа различных вкладов, возникающих при использовании полного набора промежуточных состояний. Сначала рассмотрим матричный элемент

м =〈р I 4 IР1Р2 . • . РпВ〉，(6.52)

где р, р1? . . ., рп — импульсы, соответствующие тождественным частицам, а § относится ко всем другим частицам, появляющимся в конечном состоянии. Амплитуду М можно разбить на несвязную и связную части;

М = Л/СЕНЗН + 加4睜咏,(6.53)

где

"*6cBз =〈Р|т〉〈0|*Р2 …Р/〉士〈р|р》⑼ 41A …Р励士…(6.54) Знаки плюс в выражении (6.54) появляются, если частица с импульсом р является бозоном; в фермионном случае знаки соответствуют хорошо известному правилу антисимметризации,

Используя асимптотические операторы рождения и уничтожения, выведем теперь явные выражения для связной и несвязной частей матричного элемента М (6.52). Это будет очень полезно в дальнейшем. Действительно, нам нужно использовать разложение (6.53) 'для матричных элементов типа (6.52). Эти матричные элементы входят в билинейные выражения, подобные- тем, которые возникают при разложении одновременных коммутаторов ип及 Т-произведений по полному набору состояний. Следующие ниже формульв сделают более ясным физический смысл различных членов, появляющихся в таком разложении.

Написав

(р 141 п) = (01 aout (р) Л I п>(6.55>

и переставив операторы aout и 4, получаем

(р IЛ [«) = <01 [aout (р), Л]|п) + (0|Лао^<Р)1п).(6.56>

Первое слагаемое в правой части соотношения (6.56), (0 | [«out,厶】I 冷% соответствует полностью связному вкладу в (р | Л | п). В этом нетрудна убедиться, разложив оператор А по out-операторам. Поскольку рассматривается матричный элемент коммутатора, необходимо переставлять «out (р) с некоторыми out-операторами в разложении Л. В то же время совершенно очевидно, что второе слагаемое (0 | Aaout (р) | п) в правой части соотношения (6.56) соответствует несвязному вкладу в наш матричный элемент. При этом оператор действует на состояние \ п) = | ргр2 ・..рпр > как одночастичный оператор уничтожения ) Это автоматически приводит к сумме (6.54), и знаки правильно соответствуют статистике для частиц р^.

Отметим, что степень относительной важности двух слагаемых в формуле (6.56) можно выяснить, пользуясь редукционными формулами Лемана — Симанчика — Циммермана [216].

В качестве первого примера равенства (6.56) рассмотрим матричный элемент <р2 | А |>.

Связную часть можно просто выделить в виде

3141P1〉=〈閻厶 1р,〉e +〈?2山〉〈0|4|0〉，

где

〈Pzl4|Pi〉c =〈0|[a(P2),風 I р0 =⑼[[а (Рг), Л], a*(p0]|O〉.(6.57》

В приложениях алгебры токов полноту системы промежуточных состояний обычно приходится использовать в матричных элементах вида 〈卩2 I Л 24х I р工〉• Прежде всего, конечно, нужно выделить полностью несвязную часть и определить

双21=〈Р2144 [ Pi〉c =〈。I [[а (₽2), 44], ”'(Р1)1|。〉，(6.58>

Разлагая двойной коммутатор в правой части соотношения (6.58), получаем, M2l S(Р2 I ^2^1 I Р1>с = <01 [а2> 4】〔4, atl 10) + <01Л2 [«2, Mi» 齊]]|。〉+

+(01[质，a]? d]410)干⑼[/2,磽][&,4,]10〉， (6.59》

причем знак 干 учитывает тип внешних частиц (фермионы или бозоны).

Уравнение (6.59) станет отправной точкой нашего кластерного разложения. Учитывая полноту системы промежуточных состояний, можем написать^

% =崛+闵:，(6.60),

工)Поскольку I р〉является одночастичным состоянием, нет необходимости указывать, является ли оно 1 out )- или 丨 in〉-состоянием.

где мы разбили М на вклады класса I и класса II (обозначенные через М1 и Мп):

"± =工〈。I [%, 4] I а〉〈а I [4,。；】I 口〉干 а

干』〈о I ⑷，砚]IВ〈闺 ％, 411 o>,(6.61a>

姒：：=』(01口a2,厶1,吟[出〉⑴|4|0〉+

+ 2〈0|41物〉(也][a2, 14,叫]10)■(6:6电

Для того чтобы четко представить себе смысл различных вкладов в сумму по полному набору промежуточных состояний» рассмотрим подробно случайу когда I Pi ) и I р2) — однонуклонные состояния, а Л2 и Лх — псевдоскалярные операторы с барионным числом, равным нулю (например, аксиальные заряды или дивергенции).

В этом случае мы видим следующее:

Для операторов [а2, -4J барионное число равно —1, а для операторов \А^ aj] оно равно +1・ Это означает, что барионное число состояний | а ) будет равно 1 (низшее состояние I а》будет нуклоном), а барионное число состояний I 0〉будет равно —1 (низшим состоянием I 0〉будет антинуклон).

Для операторов 4» или 【％ [Ль а+1] барионное число равно нулю, так что и состояния I Yi ), И СОСТОЯНИЯ I ,2〉, в свою очередь, будут иметь барионное число, равное нулю (низшим состоянием | т/ является пион).

Тем самым получаем, что в класс I включаются вклады промежуточных состоянии с барионным числом 士 1, а в класс II — состояния с барионным числом, равным нулю.

Равенства (6.61) можно переписать в более конкретном виде, вспоминаяг что

〈0|[«2, А^\а^ = {р2\А2\а.)с,

⑼⑷，G]|0〉=〈O|4|P#〉，(6・62>

〈0|[&, 4],旳 I %〉=〈/>21421Pm〉c.

Поэтому

М；±н』〈P2141 a)c〈&|4IpDg干2 (01幺21 PiP)(P2P1410〉，(6.63a>

^2 S <P21 л21 Р1У1)с,(ъ Mi Io)+S <o I л21 y2)<?2^И1|р1>с-(6.636).

力V2

Выражения (6.63) ясно показывают структуру и физический смысл разных вкладов в M2i-

Первый член в формуле (6.63а), 3 (РгI ^2|)с {^\А± \ pi)c, соответ- а

•ствует переходу из нуклонного состояния в промежуточное и из промежуточного в конечное нуклонное состояние. Именно этот вклад прямой диаграммы (фиг. 6.3, а) можно было бы угадать, даже упрощенно рассмат- тривая условие полноты системы промежуточных состояний. Очевидно, что низший вклад такого рода дает однонуклонное состояние.

Все остальные слагаемые в (6.63а) и (6.636) соответствуют несвязным вкладам, возникающим из-за наличия физического вакуумного состояния.

Второе слагаемое в формуле (6.63а),干 £〈0 | 厶 I PiB〉〈Р2В | 4 I 0〉， соответствует рождению из вакуума состояния ]卩歹思〉,в котором мы имеем нуклон р2 и подсистему В с барионным числом ——1, и последующей аннигиляции состояния I §Р1〉(фиг. 6.3, 6). Простейший процесс такого рода —— рождение и уничтожение ну к л он-антинукл одной пары.

В § 3, л. 1 было показано, что такой «Z-вклад» необходимо учитывать при насыщении (в модели свободных кварков) одновременного коммутатора

Наконец, первый вклад в М^ в формуле (6.636) соответствует рождению из вакуума системы ] 丫工〉с барионным числом, равным нулю, и последующему процессу Pi + Т1 -> р2 + -^а* Второе слагаемое в выражении (6.636) имеет аналогичный смысл. Эти слагаемые иллюстрируются на фиг. 6.3,仇

Низший вклад в уравнение (6.636) соответствует однопионному состоянию» Поскольку масса пиона мала, эти вклады часто будут доминировать. Мы увидим, что в предположении пионной доминантности из коммутационных соотношений, содержащих один или два аксиальных заряда, можно снова получить результаты теории мягких пионов.

$ 4・ Насыщение зарядовых коммутаторов

Операторы заряда и группа Пуанкаре

Главной темой этой и двух последующих глав является насыщение коммутационных соотношений для зарядов. Поэтому очень важно хорошо представлять себе ограничения на матричные элементы зарядов, которые вытекают из общих принципов теории, таких, как лоренц-инвариантность и трансляционная инвариантность. В этой связи мы рассмотрим некоторые свойства зарядов с точки зрения группы Пуанкаре. Основные сведения о самой группе приведены в приложении 1. Генераторами группы трансляций являются операторы энергии и импульса (Ро 三 Н, Р), а через J и К мы обозначим операторы пространственного вращения и лоренцева поворота.

Поскольку мы исходим из определения

Q" «)=，炉崂(X,力(6.64)

мы будем использовать трансформационные свойства 4-вектора /^ (х) относительно трансляций и преобразований Лоренца. Из общего соотношения

〃尸U,戌(z)]=0"及(n)(6.65)

сразу следует, что

[Р, <2а] = 0,(6.66

[Я, Qa] = — 2 J @3%%器⑺=—i J d% 尹 j；(a)三一％ J d3xDa (^).(6.67)

При выводе соотношений (6.66) и (6.67), как это принято, предполагалось, что плотности токов обращаются в нуль на бесконечно удаленной границе. Из этих соотношений сразу же следует, что заряды связывают состояния с одинаковыми. 3-импульсами, тогда как энергии (или массы) состояний одинаковы, только если заряды не зависят от времени. Действительно, рассмотрим соотношение (6.66) в применении к собственным состояниям 4-импульса:

0=〈Р&|[Р, <2<х1 I Ра) = (Рб — Ра) <Pb I Qa | Ра),(6.68)

откуда (% I Qa I Ра〉= 0, если не выполняется равенство р^ = ра. Точно так же из коммутатора с оператором энергии получаем равенство

"矶一Еа) (ръ I Qa I Ра〉= (2砌3 63 (рь — Ра)〈Р& I Оа | р〉(6.69)

Это равенство показывает, что разность энергий состояний с разной массой пропорциональна матричному элементу дивергенции и, в частности, обращается в нуль в пределе сохраняющихся токов.'

Переходя к пространственным вращениям и лоренцевым поворотам^ напомним, что

[几 7о (^)1 = — i^lmn^m dnh (ж)，(6-70

[忆，君(%)1 =-t广⑺+ X 3%一&d)%=

=ixtDa (纪)一加&¥一次(g損).(6.71}

Следовательно,

【几 QcJ = O,(6.72)

[Къ Qa] = r j d^xxtD^ (%).(6.73)

Таким образом, заряд Q^ инвариантен относительно вращений (резуль) тат очевидный) и вызывает переходы только между состояниями с одинаковым полным угловым моментом.

Мы увидим далее, что заряд не является, вообще говоря, лорепц-инва- риантным объектом. Это обстоятельство мо;кет выражаться по-разному. Проще всего сказать, что матричные элементы заряда в общем случае зависят от системы отсчета, т. е. представляют собой лоренц-кеинвариантные функции импульсов внешних частиц. Таким образом, изменение матричного элемента {рь 丨 Qa \ра} = Т (рь, р，при бесконечно малом лоренцевом повороте не равно нулю, а имеет порядок D

i器=(£>喩_?"显 十 (a一8)]7'(^，р。)=

={ръ I [Kt, <?а] I ра) « (Рь I Ра I Ра)(6-74)

(е — параметр лоренцева поворота).

При более формальном подходе можно определить заряд па пространственно-подобной плоскости о:

Qa (о) = j 曲迎产，(6.75>

причем уравнение плоскости о имеет вид

72% 十 Т = 0?(6.76)

пц ——единичный времениподобный вектор, п2 = 1, а т ——«временной» параметр. Тогда Qa будет зависеть от о, т. е. от 〃儿 и т, м обе эти зависимости связаны с отличной от нуля дивергенцией, Ua ^ 0.

Более интересные с практической точки зрения следствия для матричных элементов заряда получаются из соотношений (6.72) и (6.73), если обратиться к другим релятивистским характеристикам (помимо массы и 4-импульса) состояний частиц. К ним относятся собственные значения оператора

Wo = PJ(6.77)

(WQ / | Р I — оператор спиральности) и собственные значения «инвариантного оператора спинам:

印 2 =印;— W2= —加 2s(s + d,(6.78)

где

W = JЯ + KxP.(6.79)

Используя указанные выше определения, находим

Mo, Qa] = 0,(6.80)

[W, Qa] = t j d?x (x x P—J) Da.(6.81)

Эти соотношения показывают, что отличны от нуля только матричные элементы заряда, соответствующие переходам между состояниями с одинаковыми спиральностями (спины состояний могут быть разными). Таким образом, мы сталкиваемся с тем, что вследствие несохранения тока могут происходить переходы между состояниями с разными значениями спина и массы.

〃• Операторы заряда и четность

Полученные результаты можно резюмировать следующим образом. Если, кроме внутренних степеней свободы, состояния частицы характеризуются 3-импульсом р, спиральностью X, массой m и спином s, то заряд связывает только состояния с одинаковыми р и 入,тогда как m и 5, вообще говоря, неодинаковы:

〈Рь,入ь,恤，$ь； b\Qa\a\ sa, mai Аа, р» ос 3%%产(р& —р/ (6.82)

Если заряд сохраняется, то переходы еще более ограничиваются и оказываются возможными только между состояниями с одинаковыми т л s:

〈Pb,入Ь,加占,$b； b|Qa|〃； Sa,加。,入a. Pa〉=

=^aKb^Vb^ {Pa — P&) № (^a,入a,皿办 Pa),(6・83)

где' ^ ——нормировочный множитель.

Разумеется, если учитывать внутренние квантовые числа внешних состояний и операторов (заряд, изоспин и т. д.), то могут возникать дополнительные правила отбора. В этом смысле нетривиальную информацию можно получить из закона сохранения четности.

Прежде всего предположим, что рассматриваемые частицы имеют конечную массу, так что можно ввести систему покоя и приписать частице внутреннюю четность. Таким образом, состояния в системе покоя являются собственными состояниями оператора четности

И I 仪〉=2a I 〃〉，2a = ±1-(6.84)

Кроме того, векторный и аксиальный заряды обладают свойством

□QII = Q, П^П = -@,(6.85)

так как П2 = 1. Тогда

〈b I QI 〃〉=〈b IП Q 口 I а〉=自店а 31 QI 〃〉，

——一(6.86)

〈b|Q|a〉= —〈b]IIQri|a}=—氐& (b\Q\a).

Соотношения (6.86) показывают, что векторный заряд связывает состояния покоящихся частиц с одинаковой, а аксиальный с разной четностью:

f +1 для векторных зарядов,

5а^ь — I —1 для аксиальных зарядов.(6・87)

Ясли заряд сохраняется, то формула (6.87) оказывается абсолютно справедливой, так как тогда заряд лоренц-инвариантен. Следовательно, в этом случае векторный заряд связывает только состояния с одинаковой, а аксиальный ——только с разной четностью, независимо от характера движения частиц.

Все сказанное нами не относится к случаю нулевой массы. Так, например, сохраняющийся аксиальный заряд может иметь не равный нулю матричный злемент перехода между состояниями одной и той же частицы в пределе, когда ее масса стремится к нулю. Пример этого — матричный элемент аксиального заряда для перехода между состояниями нейтрино или безмассовых нуклонов. Рассмотрим этот последний случай: как подробно говорилось в гл. 2, сохранение аксиального тока в отсутствие безмассовых пионов означает, что mN = О, С2 = 0, а соответствующий матричный элемент имеет «ИД

(^21 ^?Е I Pi) = u^v-yfii -у ^Ui-(6.88)

Переходя к спинорам Паули, получаем .

3101Р1〉= 4 严〃需(2吩 2矶3(迎一 р,),(6.89)

где отдельно выписан множитель, нормирующий состояния. Соотношение {6.89) показывает, что матричный элемент сохраняющегося аксиального наряда между нуклонными состояниями действительно не равен нулю!

Если имеются пионы нулевой массы, обеспечивающие сохранение аксиального тока, то все сказанное выше о частицах с отличной от нуля массой оказывается в силе и нуклонный матричный элемент заряда всегда равен нулю. Полезно посмотреть, как это действительно получается в любой системе отсчета. Нужно точно учесть пионный полюс, присутствующий в С2 (£), 必 для этого удобно приписать малую разность масс внешним нуклонам х). Тогда, используя спиноры Паули, имеем

<Pz I 0al Pl) = (2л)3 б3(Р2 — Pi) Й2 -у % MY5Gl ⑴ + AoY5G2 (切 Щ =

=(2崂巾值一吟等% ［告7+电砧(瓦餐一瓦三7H , (6.90)

откуда в пределе при тг = т2 ~ 附 получаем выражение

51 ④ I А> = (2л)3 6s (ft. 一 Pi) ^" ЗР《〃—-空竺), которое равно нулю в силу соотношения Голдбергера — Треймана.

2 Случай сохраняющихся токов

Прежде чем приступить к намеченному выводу общих правил сумм из одновременнйх коммутаторов с использованием полноты системы промежуточных состояний, рассмотрим подробнее важный случай сохраняющихся токов. При этом то обстоятельство, что оператор заряда коммутирует со всеми генераторами группы Лоренца, сильно ограничивает возможные вклады

Это указывает на то, что определение заряда при наличии безмассовых бозонов ле свободно от противоречий.

в разложение по полному набору состояний. Из матричных элементов оператора Qa в действительности отличны от нуля лишь матричные элементы переходов между состояниями с одинаковыми 4-импульсом, спином и спиральностью. Следовательно, если рассматривать одночастичный матричный элемент коммутатора, в который входит хотя бы один сохраняющийся заряд, то у нас будут лишь следующие вклады:

Класс /. Вклады одночастичных состояний с той же массой и спином (и, конечно, 3-импульсом и спиральностью), что и у внешних частиц.

Класс II. Вклад матричного элемента заряда для перехода между вакуумом и безмассовым бозоном с квантовыми числами оператора заряда.

Как мн уже видели, присутствие безмассового бозона приводит к томуг что оператор заряда оказывается математически неопределенным, а поэтому сначала рассмотрим случай частично сохраняющегося тока и ненулевой массы бозона и только е конце вычислений перейдем к пределу нулевой массы. На этом весьма важном случае мы особо остановимся в конце раздела.

Вернемся к случаю, когда имеются только вклады класса I (мультиплетное насыщение), и пусть масса частиц в мультиплете не равна нулю. Тогда для того, чтобы матричные элементы Q^ не обращались в нуль, в них должны входить состояния с одинаковой четностью. В матричных же элементах。弘 состояния должны иметь разную четность. Это означает, что в отсутствие безмассовых бозонов алгебра сохраняющихся векторных и аксиальных зарядов требует существования мультиплетов частиц с одинаковой массой и спином, но с разной четностью. Это, конечно, весьма далеко от физической реальности»

В случае же нулевой массы мультиплетов можно брать матричные элементы зарядов Q& для переходов между состояниями с одинаковой четностью. В качестве примера в пределе нулевой массы нуклона можно построить, представление алгебры сохраняющихся SU (3) ® SU (З)-зарядов с помощью единственного нуклонного октета. Нетрудно сообразить, что теперь насыщение зарядовых правил сумм ведет к полному отсутствию перенормировки (гу = 7*厶 = 1). В то же время коммутационные соотношения между токами и зарядами приводят к нулевым значениям магнитных формфакторов и точному равенству между векторным и аксиальным формфакторами. Но этот привлекательный с математической точки зрения случай тоже далек от реальности, и, как выяснится в следующем разделе, частичное сохранение аксиальных зарядов опирается главным образом на наличие бозона малой массы —— пиона.

Поскольку сохранение аксиального заряда без удвоения по четности возможно только в пределе нулевой массы нуклона, интересно более обстоятельно исследовать, как достигается этот предел. Рассмотрим опять правило сумм 2 + £z = 1, которое следует из коммутационного соотношения [Q+, QT = 2Q3 (§ з, п. 1). При малой массе нуклона вклад дают и прямая и Z-диаграмма. Первый вклад равен

G(0)^i^,(6.91>

а второй

0(4 硝礬，(6.92>

так что сумма двух членов приводит к правильному результату (при 加一> 0)

Л = 1.(6.93>

Мы видим, что если рассматривать малые значения и импульса р и массы то каждое слагаемое сильно зависит от того, как берется предел, но их сумма от этого не зависит. Если сначала положить m -> 0, а потом Е f т = 0,

ТО вклад дает только прямая диаграмма. Если же предел берется в обратном порядке, получаем вклад только /^диаграммы.

Оба механизма класса /, о которых здесь говорилось, легко объяснить, исходя из модели свободных полей. В случае ненулевой массы, для того чтобы получить сохраняющийся аксиальный ток, необходимо ввести два поля 屮叮 2', соответствующие частицам одинаковой массы и разной четности. Тогда аксиальный ток

4 =讶評'+ 9・ с.(6.94).

точно сохраняется. В случае нулевой массы можно ограничиться единственным безмассовым спинорным полем if, и тогда, как нетрудно убедиться, аксиальный ток

/Ц =屮Y叶5屮(6.95》

действительно сохраняется.

Исследуем теперь подробнее случай, когда существует безмассовый бозон с теми же квантовыми числами, что и у сохраняющегося заряда. Для определенности будем конкретно иметь в виду изовекторный аксиальный заряд и его «голдстоуновский бозон» —— пион.

Уже известно, что при наличии безмассового бозона многие обычные выводы теории токов могут оказаться неверными. Например, в этом случае аксиальная константа связи нуклона может отличаться от нуля даже при； конечной массе нуклона. Действительно, рассматривая матричные элементы дивергенции аксиального тока для перехода между нуклонными состояниями

[2mGi (^2) + ^G2 (^2)] ^75 可%u[(6.96)

в пределе при g^ f 0, мы видели ранее, что 2mG、(0) (= 2тпГа) не обращается в нуль, а равно вычету 2^яNfn в пионном полюсе при q2 = 0, который имеется у функции 仇 (формула Голдбергера — Треймана).

Это, конечно, отличается- от того, что получилось бы при рассмотрении ограничений, налагаемых на матричный элемент {р | Q | р‘〉лоренц-инва- риантностью и сохранением заряда. Такое противоречие нетрудно объяснить:, дело в том, что при наличии безмассового пиона оператор заряда Q нельзя считать вполне определенным. Данное обстоятельство может поставить под сомнение результат^, полученные из сохранения аксиального тока с использованием пиона нулевой массы.

Поэтому при вычислении коммутаторов, которые содержат один или два аксиальных заряда, будем рассматривать частично сохраняющийся аксиальный заряд с ненулевой массой пиона и только в конце вычисления посмотрим, что получается при переходе к пределу нулевой массы.

Напомним определение

(0|曲№(力=如"严，(6.98).

так что

〈0 JI 冗В ⑺〉=(2窮)3。3 (q)心jj16aB.(6.97)

Если рассмотреть теперь соотношение типа

5| 逐，川|科〉=值|”|%〉，(6.99)"

то однопионныи вклад в сумму по полному набору состояний имеет вид

Sn =〈0 |са I 叫〈门叨21 4 IpOc — <Р2141Р/叽〈北810х 10〉.(6.100)，

Подставив в формулу (6.100) выражение (6.98) и перейдя к пределу нулевой массы пиона, получаем

2л = -у j/л lim [〈P2*(g〉|4 IpCc —<Pz|N |Р1*(д)〉с]・(6.101)

Допустим на мгновение, что в сумме по полному набору состояний нет никаких других вкладов (т. е. отсутствует вклад мультиплетов). Тогда из равенства (6.101) следует точная низкоэнергетическая теорема

lim [г <№/3)IЛ | 卩儿一i〈閔川 Pi^(9)>cl =4~{Pz\Aa\pQ, (6.102)

и мы снова приходим к низкоэнергетическому пределу, о котором говорилось в гл. 3.

Если же имеются и мультиплетный вклад и вклад безмассового бозона, то последний, очевидно, нарушит простоту результатов мультиплетного насыщения. Тогда будут присутствовать как ненулевые эффекты перенормировки, так и отклонения от формул Вигнера ——Эккарта для матричных элементов, даже в случае сохраняющихся зарядов. Это называют спонтанным нарушением симметрии.

Разумеется, в реальном физическом случае нет точных мультиплетов, а масса пиона не равна нулю. Общий метод насыщения позволит нам оценивать относительную величину и значение каждого вклада. Поскольку для одновременных коммутаторов, включающих аксиальные заряды, малость массы пиона играет фундаментальную роль, имеет смысл разработать метод, при котором особое внимание уделялось бы пионному вкладу.

Одновременные коммутаторы и теория ни зк о энергетических пионов

В предыдущем разделе было показано, что пионные вклады класса II лграют существенную роль в насыщении матричных элементов одновременных коммутаторов, содержащих аксиальные заряды. В такие пионные члены входят амплитуды испускания или поглощения покоящихся физических пионов. В общем случае при рассмотрении коммутатора двух операторов Л2 и Лп имеющих квантовые числа пиона, эти вклады появляются в виде 点=S2|&旧叽〈乳1牙/。〉十(0|&1冗〉〈wр21&1p九一(6 ЮЗ)

一 (рг 14 I Р^)с. (я I Л，210) -^- (01Л 41л) (лрг I 41 Pi)c・

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, если слагаемые (6.103) дают наибольший вклад в правило сумм и если остальные слагаемые можно как-то оценить, то это позволяет установить прямую связь между одновре- г менными коммутаторами и амплитудами реакций с л-мезонами.

Правда, как видно из соотношения (6.103), использование единственного одновременного коммутатора не дает, вообще говоря, сразу формулу для отдельной пионной амплитуды, а дает лишь соотношение, в которое входят четыре такие амплитуды. Чтобы получить более удобное выражение, можно попытаться подобрать комбинацию различных коммутаторов так, чтобы в получаемом при этом правиле сумм пионный вклад содержал только одну лионную амплитуду. Это выведет нас за пределы классических коммутаторов алгебры токов, но без слишком серьезных последствий.

Хитрость в том, чтобы построить такие новые операторы Л \ для которых либо один, либо оба матричных элемента <0 \ А' | л), <л \ Аг | 0 > в действительности обращались бы в нуль. Для большей определенности рассмотрим интересный с физической точки зрения случай, когда единствен- .ными операторами с квантовыми числами пиона являются аксиальные заряды. Введем операторы

匠=干+±零，

源=(0讲=0源=(0讲=0m^ 说m^ 说(6.104)

源=(0讲=0

源=(0讲=0

m^ 说

m^ 说

и

0:=乎+ $零=述-*花=届+；道(6.105)

которые обладают требуемыми свойствами. Действительно, имеем ⑺隅 0〉=〈0@|2 = 0,

(0| 先I пВ〉= 2力附就吃(2n)3 举(л),(6.106)

〈d I 魂 I 0〉= _ 2ifnm^a (2л)з 63 (л),

(О|2о |зт) = (л|^[0> = 0.(6.107)

Ясно, что после введения Ql,r или (?® в коммутатор в равенстве (6.103) остается только один из вакуум-л-мезонных матричных элементов оператора Ql, н, тогда как оба вакуум-л-мезонных матричных элемента оператора Q^ обращаются в нуль.

Выведем теперь несколько тождеств, которые будут полезны в дальнейшем. Вспоминая, что

警="а(Х, /)喝，

и вводя оператор %, такой, что

(n^ + □)力a(h) = /必礒犬m)，(6.108)

легко получить

噜=%)严⑷炉瑞(6.109)

и таким же образом [формула (6.105)]

4 (强-备位)=/(位+3鬧=% J %"⑺^ mi。) Рассматривая уравнения (6.109) и (6.110) между двумя состояниями |а〉 и I b〉，получаем

〃晶一显)例况 I а〉= /я(&|ха|а) (2л)363(рь-ра),(6.111)

•^ (晶 + m“ -e^ {eъ -■显)〈6| Q艺 I a〉=

= ^(Еа + тя-晶)(Еь —廃)ОI述Iа〉= /я(д|Ха[а〉(2翁S3(pb-pa). (6.Ш?) Отметим, наконец, что оператор %а, который определяется формулой (6.108), обладает следующим свойством:

lim @1%>a)=(6|a吗0))，

片+q2 尸 A

J(6.112)

lim <Ь|х I。〉=〈Mag)IQ), %f Tm^+q2 尸/2 где

■a (& I а^а(°))一 физическая верпшна, описывающая переход а + ла -> &. Воспользуемся теперь полученными соотношениями для вывода формул, касающихся мягких пионов. Начнем с

0三山1[我，闺е〉=侬皎"，4]1川+ 与〈选|应", 4]由>,(6.113)

где Л — оператор (например, векторный ток), матричные элементы которого (0 ] А I л > = (л I Л I 0 > обращаются в нуль. Отметим, что, поскольку Q。—— величина порядка /п^, второе слагаемое в правой части соотношения (6.113) примерно в тп раз больше первого. Для определенности будем считать, что 丨 pg〉и I />г ) — однонуклонные состояния.

Произведем теперь в коммутаторе (6.113) кластерное разложение и выделим в явном виде вклады нуклона х) и пиона, записав

С^Су-+Сл + С,.(6.114>

Нуклонный вклад с учетом соотношения записывается в виде

以=@ I Qa I р'〉⑺'⑷仍〉一① Ml р'〉〈р‘ IОI： Р0・(6.Н5>

Пионный член имеет вид

Сл 二力〈卩2廿 I 幺 I Pi〉c，(6.116)-

где пион имеет 4-импульс (mn, 0). Процесс, представляемый матричным элементом (6.116), таков: лептонная пара (представленная оператором А) взаимодействует с нуклоном р工 и образует нуклон р2 и покоящийся пион или (в обращенном времени) нуклон р2 сталкивается с неподвижной пионно^ мишенью и образует нуклон р工 и лептонную пару. Конечно, чтобы сформулировать наш результат для более реальной конфигурации, когда нуклон покоится, необходимо произвести преобразование Лоренца. Такое преобразование будет автоматически обеспечено в гл. 7, § 5, где амплитуда (6.116)- будет выражена через релятивистски-инвариантные переменные.

Рассмотрим, наконец, слагаемое С\ Используя соотношение (6.111')》 имеем

СС加, 2 h内(E2 - %)(E2+zn几一瓦;十讫)十

С

С

n^2V,几

+ imn 2 3)3n展N, л+ imn 2 3)3n展N, л63 (Pl -Pn)(p2 丨 4 I m〉〈力 I 严 I р0.(M - еn) (E1 -mЛ -еП一记)63 (Pl -Pn)(p2 丨 4 I m〉〈力 I 严 I р0.(M - еn) (E1 -mЛ -еП一记)(6.117>(6.117>

+ imn 2 3)3n展N, л

+ imn 2 3)3n展N, л

63 (Pl -Pn)(p2 丨 4 I m〉〈力 I 严 I р0.(M - еn) (E1 -mЛ -еП一记)

63 (Pl -Pn)(p2 丨 4 I m〉〈力 I 严 I р0.(M - еn) (E1 -mЛ -еП一记)

(6.117>

(6.117>

(Знак перед ге определяется тем, что пион-нуклонное состояние | /之皿仪) в равенстве (6.116) является состоянием | out).) Отметим, что сумма в С' пропорциональна тЛ. так что в пределе при тЛ -> 0 остаются только пионное и нуклонное слагаемые.

При анализе пион-нуклонного рассеяния необходимо рассматривать уже два мягких пиона. Сказанное выше относится только к случаю, когда оператор А не имеет матричных элементов между вакуумом и однопионным состоянием. Поэтому мы начнем с матричного элемента коммутатора, в котором оператор Л равен Qo:

e『5|@，尊1p,>=〈p2| ｛既0」+号曲,四十

+煮[逆，万产+今曲,济(6/18方

Как и ранее, главным слагаемым является коммутатор [QB, Q&], а доба

вочные члены исчезают при тп f 0 (напомним, что Q —— величина порядка

Напишем отдельно нуклонное и пионное слагаемые:

Со = Mn + 小几 + 源・(6.119)

Для CoN получим просто

Con = (ft I ^РI Р') </ I Qa I Pi> — перекр. чл.(6.120)

Пионный член с учетом соотношений (6.106) и (6.111) будет иметь вид

Gw = 2〈。 I 証m吟〈n*21 两 I P，>C =

=及(2方 63 g- P1)丝*04* =專~ ?榦(2翁 63 (pz — P1), (6.121)

тде Т2^ =〈Р2，л₽ I %a I pi)c — пион-нуклонная амплитуда рассеяния.

Наконец, оставшееся слагаемое можно привести к удобному виду

& = 2(2冗)6 挙(Р2 — Pi) б3 (р2 — рп)制閱 X

吋N, л

¥31#!力5|严加〉-122、

^(Е-Еп)ЧЕ+тп-Еп+1Ъ) перекрал.

Поправочный член снова имеет порядок т^ относительно главного слагаемого (6.121).

Из изложенного явствует, что обычный анализ специально подобранных коммутаторов дает четкие формулы как для пионного рассеяния, так и для рождения пионов [если взять, например, в качестве оператора А в соотношении (6.113) электромагнитный ток].

Остановимся теперь на некоторых физических следствиях из полученных выше результатов. Мы видели, что, когда мы желаем получить выражение для одной-единственной амплитуды с физическими пионами, нам приходится несколько выходить за пределы алгебры токов и рассматривать новые коммутаторы, которые в большей степени зависят от модели. В случае выражений с одним мягким пионом мы вынуждены были брать соответствующие коммутаторы, содержащие Q^ (или Q^), т. е. не только заряд, а и. его дивергенцию. В случае двух мягких пионов нам нужны не только классический коммутатор IQ, Q], но также位0, © “@凉

В обоих случаях в пределе при тя -^ 0- остаются только коммутаторы зарядов. Это не удивительно: для физического пиона точная киральная симметрия нарушается за счет не равной нулю массы пиона. Очевидно, что поправка к точному киральному результату должна зависеть от характера нарушения симметрии. Этим объясняется появление в наших выражениях высших коммутаторов, содержащих дивергенции. Имеется тесная аналогия q тем, что происходит в нарушенной симметрии SU (3): для того чтобы вывести, например, массовые формулы, необходимо знать, как нарушена симметрия SU (3), и это нарушение выражается в виде коммутационных соотношений между зарядами и дивергенциями.

Если стремиться избежать появления дополнительных, зависящих ют модели, коммутаторов, то можно, конечно, получить выражения для таких комбинаций пионных амплитуд, которые связаны только с коммутаторами зарядов. Например, в гл. 7 мы увидим, что можно непосредственно связать коммутатор [QB, Qa] с пионной амплитудой на пороге. Правда, в окончательное выражение входит слагаемое (порядка т^), соответствующее дополнительной физической амплитуде, которую весьма трудно определить экспериментально или ^оретячески.

6 5. Рассеяние пионов

Общие замечания”

Данный раздел посвящен применению изложенного выше подхода к некоторым интересным случаям низкоэнергетических пионных процессов [198, 200, 217, 218].

Наиболее изученным процессом, для которого алгебра токов дала самыб эффективные результаты, является процесс пион-нуклонного рассеяния. В этом случае нужный нам коммутатор должен быть построен из оператора типа заряда, который выделяет пионный полюс, и другого оператора с квантовыми числами пиона, но без пионного вклада. Поэтому в соответствии с анализом, проведенным в предыдущем разделе, будем рассматривать

屮=[况,窗]=@, 应В,門+ $@,於]+占曲,於].

тп

(6.123>

Таким образом, для описания на этой основе пион-нуклонного рассеяния необходимо знать четыре коммутатора, к детальному изучению которых мы и приступим.

Первый коммутатор,

[述，0"]=巫脏vQv，(6.124>

определяется SU (2) ® SU (2)-алгеброй Гелл-Манна, которую мы согласны использовать. [И наоборот^ правильные результаты анализа пион-нуклонного рассеяния вблизи порога можно рассматривать как подтверждение алгебраической структуры (6.124),]

Второй коммутатор,

@, ^а] = J 炉土 @,万а(X)]=必吗(6.125>

есть так называемый(у-член, который, как это видно после дифференцирования уравнения (6.124) по времени, безусловно, симметричен по，卩,а). Его- определение выходит за рамки алгебры токов и предполагает определенное знание свойств нарушения киральной симметрии. Единой схемой для описания алгебраической структуры нарушения симметрии являются, например, коммутационные соотношения Гелл-Манна, Оукса и Реннера [79]т вопрос； о практическом использовании которых затрагивался в конце § 5, п. 3. Предположение ЧСАТ позволяет сделать только общее заключение, что суВа имеет порядок т^・

Наконец, коммутаторы

0阻=[逆，3,(6.126).

ё昵=曲，济](6.127>

существенно зависят от модели, но в любом случае, если предположить- ЧСАТ, они имеют порядок 階.Поскольку они всегда рассматриваются, между состояниями с одинаковой энергией, имеем

〈p "昵 I p) = -〈p "机 §а](?)=-J d3方 dV(p I 呼(X)，加(/)]1p)=0(嗚)

(6.128У и, очевидно,

后做=J dsx d3x' \&(X), 5a (x')] = О (帰).(6.129>

Чтобы получить некоторое представление об их свойствах, полезно рассмотреть некоторые теоретико-полевые модели.

Например, в a-модели ЧСАТ строго выполняется в том смысле, что (ра в соотношении

加=7Пл/лфа(6.130)'

есть каноническое пионное поле. Поэтому

[加，加]=呜鮭[聯，吸1 = 0,(6.131)，

и, кроме того, а-член имеет только часть с / = 0, пропорциональную бВа. Коммутатор

冲，方＞="抬拎[明而叫(6.132)

имеет еще более специфические свойства, зависящие от вида лагранжиана взаимодействия. Поскольку в ренормируемой(у-модели величина q)₽ совпадает с каноническим импульсом 冗6, коммутатор (6.132) приводит к с-число- вой константе перенормировки:

【力В (х),亦(0)]=叫揉猊абз (х) Z^,(6.133).

которая не дает вклада в связный матричный элемент.

Очевидно, что приведенные выше коммутаторы расположены в порядке уменьшения общности ) и нам представляется неизбежной необходимость вводить явные свойства дивергенций при работе с физическими пионами. Wit * о).

Рассмотрим теперь более обстоятельно пионное слагаемое. Взяв соотношение (6.123) между нуклонными состояниями и отделив пионный вклад в сумме по полному набору состояний, находим [формула (6.121)]

J 盡矶⑼况|切〈眸|窜 Wcn^Q^^m — p”榦(Е), (6.134), где

严(£) = 5%р|严|次(6.135》

есть амплитуда пион-нуклонного рассеяния вперед для физических пионов' в состоянии покоя (q = 0, со = тя). Это не означает, что амплитуда берется вблизи порога, так как имеется еще одна свободная переменная, соответствующая движению нуклона. Другими словами, здесь рассматривается совокупность различных систем отсчета, где пион является покоящейся мишенью, а внешний нуклон ——налетающей частицей.

Для перехода к более привычной системе отсчета, скажем лабораторной^ нужно просто сравнить значения инвариантной переменной

v0 = Етп =加人④匸,Ql = ~^ Е.(6.136》

Поскольку масса пиона очень мала (jnJmN ^ 0,15), на самом деле, чтобы отойти от пороговой области, нужны нуклоны с большой энергией. Кроме того, в задачу этого раздела входит получение простых выражений для амплитуд с физическими пионами путем использования коммутационных соотношений и насыщения их несколькими промежуточными состояниями.

Например, в кварковых моделях вид "дивергенций。仪 ~ 屮口 】厶产屮 воспроизводит, очевидно, 6^а-характер a-члена, тогда как высшие коммутаторы оказываются другими. Например,

[5₽, Sa]〜％阿州.

На важную роль этого коммутатора в данном вопросе впервые указал Бьёркен [121К

Поэтому ограничимся здесь конфигурацией внешних нуклонов, которая обеспечит простейший вид поправочных членов. Другими словами, мы ищем «наилучшее» правило сумм, т. е. обеспечивающее наименьшие отклонения от предела при тп —> 0.

В рассматриваемом примере основное преимущество системы покоя нуклона р = 0 заключается в наличии строгого правила отбора по угловому моменту и четности. Поскольку с самого начала q = 0, выбрав систему покоя р = 0, мы получаем также рп = 0, так что допустимы только s-волновые возбуждения. Таким образом, только состояния с тем же угловым моментом, что и у мишени, но с противоположной четностью дают вклад в члены, соответствующие прямой и Z-диаграммам (барионные состояния ^纟-в прямую диаграмму и антибарионные состояния х/2+ в Z-диаграмму). Следовательно, в системе покоя спектр сингулярностей в s, 5-каналах оказывается крайне лростым, что позволяет выделить однопионный вклад. По этой причине в дальнейшем будем производить насыщение в системе покоя или в системе, близкой к ней. Соответственно этому пионные амплитуды будут вычисляться на пороге иди вблизи порога. В нашем частном случае выбор р = 0 позволяет предсказать пион-нуклонную амплитуду на физическом пороге v0 =

Формулы Томозавы ——Вейнберга

Перейдем прямо к деталям вычислений. Благодаря правилу отбора нуклон не дает вклада в правило сумм, а выспше вклады с учетом соотношения (6.117) можно выразить через матричные элементы виртуального лионного источника %. Тогда правило сумм принимает законченный вид

負 7聯(порог) + 3 (2寸 6з (рп)悪 X

(6.137)(6.137)П=^Л

(6.137)

(6.137)

t (En — m^ (winH-— En + is)(E^ —m^” (总以―？^n十汎兀 + 记)

тде мы ввели обозначение

〈р21 c₽os| Р0 = (2л)3 举(Р2 —Р1)2/плс₽а.(6.138)

Для последующего использования полезно разложить 7°* на две части — -симметричную и антисимметричную относительно перестановки 0 а:

71₽а = 1[т₽,俨]Т<-> + 6阿Т(+>.(6.139)

Для величины с₽а в правой части вводим определения (выделяя множители т^)

跄Bs〈p2|QV|Pi〉= }[* та]2^ (2л)3 63 (Р2 —Pi), (6.140) г〈Р21 о昵 I Pi〉=妬《г汕舱(2n)3 §з (岷―p)(6.141)

<P2p₽a|Pi>=4h₽,俨]嗚出-中吋炉仙一p) (6.142) З21E昵 I Pi〉= 6昵切統⑴(2n)3 63 (рг-й).(6.143)

Вводя, наконец, длины пион-нуклонного s-волнового рассеяния а(土% Г仕)(порог) = 8л (тп^ + zn„)水 土)，(6.144)

и, учитывая перекрестные свойства, получаем [131у 132, 219t 220]

器)…厶a+加㈠), (+箫)……器)…厶a+加㈠), (+箫)……где L — «универсальная^ длина厶=瀛*°，°9時где L — «универсальная^ длина厶=瀛*°，°9時ии6а<-> =6а<-> =呜改）呜改）2m>N2m>Nh я~ J gf(遞一d一记)'лh я~ J gf(遞一d一记)'л601)601)篙……т J謊*%•篙……т J謊*%•(6.145)(6.146)(6.147)(6.148)(6.149)(6.145)(6.146)(6.147)(6.148)(6.149)

器)…厶a+加㈠), (+箫)……

器)…厶a+加㈠), (+箫)……

где L — «универсальная^ длина

厶=瀛*°，°9時

где L — «универсальная^ длина

厶=瀛*°，°9時

и

и

6а<-> =

6а<-> =

呜改）

呜改）

2m>N

2m>N

h я~ J gf(遞一d一记)'л

h я~ J gf(遞一d一记)'л

601)

601)

篙……т J謊*%•

篙……т J謊*%•

(6.145)

(6.146)

(6.147)

(6.148)

(6.149)

(6.145)

(6.146)

(6.147)

(6.148)

(6.149)

Здесь i(土)определено через величину

#" (%) = 4 陋 口】#7 十 6吗⑺="I j d&z exp (悶土)〈P |[x₽(X), Xе (0)11 P).

(6.150)

Уравнения (6.145) и (6.146) позволяют аналитически выразить длины пион-нуклонного рассеяния через «универсальную» (не зависящую от массы мишени) величину L и поправки. Как уже отмечалось, приведенное выше представление является наиболее близким к пределу алгебры токов с простой структурой поправочных членов. В частности, в пределе при 加口 -> 0 снова получаются результаты гл. 3.

а. Поправки

Выражения (6.148) и (6.149) для 5〃士 по своей структуре совершенно аналогичны дисперсионному соотношению с вычитанием в точке д0 = ° (вычисленному в точке с。—加口), дополненному членами d士, роль которых станет ясной позднее (гл. 7, § 6).

Важно подчеркнуть основное свойство приведенного выше дисперсионного представления, которое к тому же отличает его от обычного дисперсионного соотношения с фиксированной массой.

В нашем подходе используются объекты теории слабого взаимодействия, такие, как Q& или _D“； отделяя главную особенность по 产 мы получаем пионную амплитуду в физической точке ^3 = тпд, v = v0- Но этого нельзя сделать для других вкладов. Действительно, и энергия v, и масса д^ в правиле сумм меняются с изменением д0. В частности, д? больше не закреплено в точке 呜：если V > 加》加冗,то gj〉加^ и необходимо рассматривать вершины слабого взаимодействия (р | D^ 丨 п〉(или вершины сильного взаимодействия 〈Р Г Ха I % > для пиона вне массовой поверхности) во времениподобной области q2 =(笈 一 ^п)2. Таким образом, проблема экстраполяции по масбе не устранена, а перенесена с пионного на последующие вклады, которые, однако, имеют более высокий порядок по т^, и поэтому возможные поправки влияют только на менее существенную jtacTb правила сумм. В действительности, хотя матричные элементы (р | D& 丨 п〉можно в принципе получить на основе возможных экспериментов по слабым взаимодействиям [подобных процессу распада (состояние п) -> (мишень) 4- Z)a-> (мишень) + Л+VzU, изучены они очень плохо и придется вычислять их приближенно, выражая через соответствующие пионные амплитуды..

Существенно, однако, что даже без подробного вычисления этих поправочных членов можно оценить в общих чертах степень их важности. Во-первых, можно выделить в подынтегральном выражении два типа вкладов, 右 и 匕小 в соответствии с кластерным разложением 厶 и, следовательно, будут два типа поправок: 6@工 и 6а„. Во-вторых, исходя из структуры интегралов заключаем, что каждый вклад содержит множитель 加幫确 или m/g。, где д0 ——«эффективные» значения q0 для состояний, дающих вклад. Для предварительной оценки степени важности различных членов можно вычислить этот множитель, зная массу низшей изобары. Итак:

Поправка 6〃工 будет содержать член, соответствующий прямой дна— рамме, с весом m^/(Mf — 加》产[или mn/(Mf — тп^)], где М — масса изобары V^-. Кроме того, в нее будет входить член с весом 加幫(加犬 + Мн) [или mn{lmN + ЛГ')1, где Мп — масса нуклонной изобары 1/2+, получающийся из Z-диаграммы. В частности, Мп = mN (антинуклон), и этот вклад пропорционален тп^4т^.

Поправка 5〃口 будет содержась член, пропорциональный т^у? (или 加"卩),где р ——масса более высокой пионной изобары.

Поэтому для того, чтобы выполнялись формулы для мягких пионов без поправок £), требуется, чтобы выполнялись условия:

1)-：——％衣•《丄 и —?-<!,(6.151)

2)證《丄(6.152)

Условие 2 хорошо известно, оно необходимо уже для выполнения соотношения Голдбергера ——Треймана. Условие же 1 вполне понятно в свете сказанного выше о механизмах приближенной симметрии. Его можно рассматривать как выражение того обстоятельства, что лучший способ реализации киральной симметрии—зто не мультиплетный механизм и не механизм обращения в нуль фермионной массы, а механизм с голдстоуновским бозоном.

Практически можно положить 卩 > Зт%, так что 呜7卩2V 10% и неравенство 啮/тп% ^1 будет хорошо выполняться. Это относится ко всем известным мишеням, кроме самого пиона; поэтому пион-пионное рассеяние требует отдельного рассмотрения.

И наконец, можно ожидать больших поправок, когда у мишени имеется близкий по массе партнер с противоположной четностью. Для nTV есть изобара ‘厶1 с массой 1570 МэВ, и поправка оказывается пренебрежимой (Л/‘ ——mN ^ 5тпя). В то же время в случае лS-рассеяния, где существует А* (1/2_) при 1405 МэВ (тпа，——ттг^ в 1,6 /пя), и в случае лр-рассеяния, где существует Аг и mAi — тр ^ 1,4тпл, должны быть заметные отклонения от результата алгебры токов (конечно, всякое количественное заключение зависит от величин констант связи 2)).

Чтобы дать какое-то представление о величине поправок к предсказаниям теории мягких пионов для nN-рассеяния, оставим только вклад

прямой диаграммы в 6@小 Тогда мы видим, что кажущаяся сингулярность на нижнем пределе интегрирования д。= тп должна взаимно уничтожаться с нулем функции »~> (иди »+>), которая в этой точке точно равна мнимои части физической амплитуды s-волны (обращаясь в нуль на пороге). Поэтому запишем

q @) = Vs 励㈠ Q =佃)+步, (?0),(6.153)

где k — 3-импульс в системе центра масс пиона и нуклона,

ysk = mN(ql —т^/2,(6.154)

а

Q = 7П“) =「1nl⑺}.(6.155)

I у s к J s=m几

Кроме того, в силу упругой унитарности для парциальных волн имеем * @ =矶=粤@—吟，(6.156)

где @i и 。3 — длины пион-нуклонного рассеяния в s-волне с / = 1/2, 3/2-

Подставляя выражение (6.153) в дисперсионный интеграл в уравнении (6.148), легко находим

М乙 + 警 SD + E。+寨，(6.157)

где A(~)——дисперсионный интеграл от 力т, в котором доминирует высшая часть спектра и который предполагается менее существенным из-за наличия в нем быстро убывающего множителя.

Если пренебречь членами с 〃「)и 小一厶 то равенство (6.157) можно рассматривать как условие самосогласованности; заметим, что оно представляет собой алгебраический эквивалент нелинейного интегрального уравнения, которое получается из соотношения упругой унитарности 工)・ Во всяком случае, если подставить экспериментальное значение [117](〃工 ^ 0,171/т冗， а3 & —0,088/т?гл) величины (2т?гл/3л) (〃： 一 @；), то оказывается, что эта поправка (на непрерывный спектр) к мягко-пионному результату L очень мала (5—6%).

Подобную же оценку можно произвести для симметричной части, и в результате получим

■*)= 一贷l(0+ 小+)) +扌(d + 2磅佃+ *+).(6.158)

Но из-за сложной формы членов сои 力"окончательное вычисление 加+)оказывается гораздо более трудным.

3・ Мезон-барионное рассеяние

Изложенный выше метод легко обобщить так, чтобы можно было вычислять другие амплитуды пионного рассеяния. В результате мы получим формулу для длин физического рассеяния, которая будет представлять собой формулу (3.87) для мягких пионов

仰=~L [I (/ + 1) - 1Т (/г + 1) - 2],(6.159)、

дополненную поправочными членами, вытекающими из коммутационных соотношений для дивергенций и из дисперсионного интеграла.1

Можно предложить общий подход в рамках SU (3) 8 SU (З)-симметрии, при котором восемь] аксиально-векторных зарядов сохраняются в пределе

Это — следствие сильной сходимости интеграла, которая позволяет использовать простое приближение длины рассеяния для непрерывного спектра.'

исчезающих масс псевдоскалярных мезонов. Тогда можно вывести низкоэнергетические теоремы, которые позволяют выразить амплитуды мезон-ба- рионного рассеяния на физическом пороге через заряды SU (3) 8 SU (З)-ал- гебры, a-член, выражающий свойства нарушения SU (3) ® SU (3)-симметрии, и интеграл по непрерывному спектру порядка тпмезон (а также высшие коммутаторы).

Было бы, вероятно, очень интересно тщательно проверить эти теоремы, поскольку в принципе они позволяют сделать некоторые выводы о трансформационных свойствах гамильтониана, нарушающего симметрию SU (3) ® ® SU (3). Действительно, если считать, что наша оценка интеграла по непрерывному спектру надежна и что можно пренебречь высшими коммутаторами, то сравнение теоретических выводов с экспериментальными данными позволило бы нам сделать выбор среди различных моделей, касающихся а-члена.

Мы не будем вдаваться в детали и ограничимся тем, что воспроизведем результаты вышедшей недавно работы фон Хиппеля и Кима [221, 222], посвященной подробному исследованию мезон-барионного рассеяния вблизи порога. В их работе, очень интересной в свете сказанного выше, используется, в частности, теория Гелл-Манна, Оукса и Реннера [79], в которой предполагается, что гамильтониан, нарушающий SU (3) ® SU (3)-симметрию, преобразуется как член скалярного нонета (3, 3*) ® (3*, 3). Это позволяет выразить различные <(а-члены», появляющиеся в разных процессах, через единственный неизвестный параметр, определяемый экспериментально. При вычислении поправок авторы цитируемой работы пренебрегают высшими коммутаторами d(±), а 小土)(qj аппроксимируют мнимой частью физической амплитуды в s-волне. Результаты их анализа приводятся в табл. 6.1 и 6.2.

Таблица 6.1

Длины рассеяния в s-волне (в ферми)

(Процесс)^

Экспериментальное значение

Оценка в приближений мягких мезонов

Теоретическое значение

Упругое рассеяние

(叫1/2

0,25±0,02

0,22

0,20±0,01

(nN*/?

—0,15±0,01

—0,11

—0,14±0,01

(KN)。

0,00+0,04

0,00

—0,01+0,01

(KN),

—0,29+0,02

—0,35

—0,28±0,01

(立)]

0,39+0,07

0,22

0,36+0,10

(Пе)0

1,09+0,23

0,44

0,86±0}14

—0,12+0,02

0,17

—0,13±0,04

（京V）。

—1,65+0,04

0,52

—2,45±0,18

Неупругое рассеяние

（前f吟］

—0,39±0,01

0,05

—0,49±0,07

(вблизи порога)

(jrS^XV)i

—0,50±0,07

0,01

—0,51±0,13

(ZWf nA)

0,28±0,01

0,07

0,44±0,11

(又Nfn2卜

0,90+0,01

0,07

1,21±0,11

(冗E -> KN)o

-1,50±0,38

0,01

—1,08±0,23

Из табл. 6.1 видно, что во всех случаях, кроме л TV-рассеяния (и некоторых других), «поправочные» члены необходимы для удовлетворительного согласования окончательных результатов. О к ончательный вывод таков: нам удалось добиться приемлемого, по крайней мере не случайного, согласия (в пределах 20—30%) между теорией и экспериментом т). Попутно получено

Результаты Кима и фон Хиппеля были недавно подтверждены, а в некоторых случаях улучшены, при независимом вычислении длин рассеяния упругих мезон-барионных реакций [515] с использованием того же метода.

Таблица 6.2

Различные вклады в «поправки». Члены <г3 и <rg вычислены в предположении, что 2?наруш преобразуется как элемент представлений (3, 3*) ф (3*, 3) и (1, 8)㊉(8, 1)

(Процесс)/

Перерассея- ние

оз

UR

Упругое рассеяние

(mN)%

0,02±0,01

—0,04

0,0

(叫3/2

0,01±0,01

—0,04

0,0

"о

0,02+0,01

—0,03

0,05

0,20+0,01

—0,13

0,13

（冗工）1

0,00+0,10

—0,03

0,0

go

0,45±0,14

—0,03

0,0

彼绚1

-0,23±0,04

—0,08

0,09

&)0

—2,80±0,18

—0,17

0,18

Неупругое рассеяние (вбли-

（瓦Vf位：）！

—0,27+0,07

—0,27

—0,24

зи порога)

(я2->ТУ)1

—0,32±0,13

—0,20

—0,17

(^^-> лЛ)1

0,58±0,11

—0,21

—0,18

(京NfЛё)0

1,48±0,11

—0,34

—0,29

(h2 f 天n)0

—0,85+0,23 ,

—0,24

—0,20

указание на то, что гамильтониан, нарушающий SU (3) ® SU (3), по-види- мому, принадлежит представлению (3, 3*) Ф (3*т 3), а не представлению (1, 8)㊉(8, 1).

. Пион в качестве мишени

Процесс лл-рассеяния требует отдельного рассмотрения. Большая часть поправок в форме дисперсионного интеграла происходит от состояния Jp = =0+ (а-частица), которое в этом случае дает вклад как в прямую, так и в Z-диаграмму (это ——следствие того, что и мишенью и налетающей частицей является пион).

И здесь окончательный результат зависит от многих предположений относительно высших коммутаторов и алл-вершины. Похоже, что при та > 5тп присутствие лл-резонанса с J = / = 0 практически не влияет на формулы Вейнберга для этл-рассеяния, выведенные в гл. 5 й), т. е.

〃0 = "^~, &匸^"・(6.160)

6. Рождение пионов

После общего анализа пион-нуклонного рассеяния, в ходе которого были продемонстрированы основные особенности метода, распространим все сказанное на процессы, в которых один низкоэнергетический пион рождается внешним током. Из доступных экспериментально процессов такого рода наиболее интересны электромагнитное и слабое рождение пионов на нуклонах

(%，/jx) + N1 f 冗 + “2

и слабые полулептонные распады, такие, как, например, распад К〃.

В оставшейся части данной главы мы будем рассматривать только рождение пионов, хотя уже разработано много интересных приложений алгебры токов и теории мягких пионов к слабым процессам, подобным К^ 衣之蜀

1) См., например, работы [223, 224].

нелептонным распадам гиперонов и т. д. В частности, объектом широкого исследования для теоретиков было соотношение Каллана —— Треймана, выведенное в гл. 3, и его обобщение на физические пионы. Однако наблюдается большое расхождение между предсказаниями теории мягких пионов и экспериментальными результатами, что представляет собой одну из проблем алгебры токов (наряду с 刀一＞ Зп н л。一＞ 2丫). Поскольку до сих пор нет полностью удовлетворительного ответа на этот вопрос, ми откладываем его до гл. 10.

• Электророждение пионов

Начнем с электророждения [198]. Первыми теорию мягких пионов применили к электророждению Намбу и Шраунер [НО], а более современные варианты предложены многими авторами г). Но всем этим подходам общи трудности, характерные для предсказаний, справедливых в пределе безмассовых пионов. В частности, не всегда ясно, какую точку выбрать для сравнения предсказаний алгебры токов с экспериментами; действительно, в случае пион-нуклонного рассеяния мм видели, что можно достичь разных точек физической области и практически они различаются лишь величиной «поправок». Теперь мы хотим провести аналогичный анализ электророждения.

Необходимо начать с коммутатора

盛%]三砂,(6.161)

где % ——изоспиновый векторный ток. В правой части нам требуется коммутационное соотношение, известное из алгебры токов,

[述，建]=诲吋磊.(6.162)

и «зависящий от нарушения» коммутатор

赤,%]= jd眨呼(x),建].(6.163)

В ременную компоненту коммутатора (6.163) можно получить из закона сохранения тока:

叫0°, %]=前，阳=珀故俨公，(6.164)

тогда как [Q, V] в значительной мере зависит от модели. В качестве упрощающего предположения [91, 184] можно непосредственно взять алгебру

полей и ЧСАТ, £)“ ос фа, V ос ар, что приводит к соотношению IQB, Va] = 0. Во всяком случае потребность в этих высших коммутаторах снова означает, что одной алгебры токов недостаточно для нахождения полной физической амплитуды электророждения, она определяет лишь некоторые из инвариантных функций.

Перейдем теперь к насыщению одновременного коммутатора (6.161), взятого между однонуклонными состояниями. Выделение однопиэнного члена в левой части дает

2〈о I 况 I п〉〈叫皮 КI pi＞c=/пт^,(6.165)

л

где

倉= z〈&,叫％|Р1〉с(6.166)

—амплитуда электророждения покоящегося физического пиона (q = О, з = ^л)- Положение точки физической области, где оценивается Г『,зави-

См. работы [225—228], а также цитируемую в них литературу.

сит от конфигурации импульсов внешних нуклонов. Согласно сказанному в предыдущем разделе, мы предпочитаем насыщение в системе покоя или в близкой к ней системе с тем, чтобы можно было воспользоваться правилами отбора по угловому моменту и четности. Так, выбрав систему р2 = 0, мы оказываемся вблизи порога в системе центра масс:

гт^ — /-j

Vnopor = (JP?)nopor = Mn [ 1 + 4и(“+%) J *_

J (…)(6467)

«порог - -1+^7^- >

тогда как выбор Рт = 0 соответствует лабораторной системе отсчета.

Но мы предпочитаем брейтовскую систему отсчета (нуклона):

Р = 0, рг=—Р1 = -^-А,百2 =咼，& = 0(6.168)

(напомним, что конфигурация,^соответствующая рассеянию йперед, не допускается кинематикой).

Основания для нашего выбора таковы. Прежде всего, нетрудно видеть, что если обозначить через к импульс векторного тока (Рт + 后=夕乞 + 9)， то в конфигурации q = 0 мы получим

V=蚤尸0, g2三确=昔，部=炉+力+ 2v备.(6.169)

Таким образом, удобно выбрать систему отсчета, где До = 0, что обеспечивает одинаковую зависимость величин /с2 и 夕纟 от v. Это позволит проще и быстрее оценить другие вклады в правило сумм в том смысле, что слагаемые, отличающиеся друг от друга заменой v —> ——v, будут связаны перекрестной симметрией (тогда как 胪 должно оставаться тем же).

Далее посмотрим, какие ограничения накладывает сохранение углового момента и четности на промежуточные состояния. Поскольку р2 и р^ не могут одновременно обращаться в нуль, строгое правило отбора не вьшолняется; но даже если оставлять /j-волны и более высокие волны, их вклад все же можно контролировать; он, конечно, подавлен в случае малых р； и р,. В частности, брейтовская система обладает тем свойством, что в ней правило отбора лучше всего аппроксимируется в^обонх каналах т).

Итак, наши выводы будут касаться электророждения вблизи «брейтов- ского порога», что соответствует кинематической конфигурации, в которой покоящийся пион рождается в^брейтовской системе нуклона. Инвариантные переменные таковы:

(")в порор пm几豆=加打(m方 —^-%),f=-A2=-k2, (Св порог = A2-m^.(6，170)

В частности, брейтовский порог для фоторождения фиксирует значение £ = —иг л-,

Нетрудно убедиться, что конфигурация вблизи брейтовского порога соответствует (в системе центра масс) пиону с энергией (оц.м ^ * 加兀(1 — 〃8?п"), испускаемому вдоль pn q = —р2 = р^0/(2Р2 + v0). Это показывает, что, пока мы рассматриваем не слишком большие | 力 |, скажем 丨力]忘 20 m^, отклонения от порогового значения малы и логично думать, что наши предсказания выполняются без существенных изменений на действительном пороге»

Тогда как, нащ)имер, в случае. р2 = 0 в прямом канале допускается только s-волна, а перекрестный канал содержит состояния с любым угловым моментом.

@. 06学м汇 анализ

Перейдем теперь к более подробному вычислению (в брейтовской системе нуклона) различных слагаемых в правиле сумм

fnT^ = {рг IЕ^ IР1) — з {Pz\Ql\ т) (m\V^,\ р^—перекр. чл., (6.171)

которое получено насыщением коммутатора (6.161), взятого между однонуклонными состояниями.

Основные вклады даются матричным элементом одновременного коммутатора и однонук л онным членом, и мы приведем соответствующие выражения. Для аксиально-векторной верпшны имеем

〈р I А051 — р〉= } i^^EGi («) [а—п (ал)] + n (on) GD «)},]

(рМ?|-р) = О,(6.172)

〈Р| 加|-P〉= 4■吗—)<*&«),

где n — k/||k I = А/| АI и

Gq (Z) = 27иМ?£ ⑴ + tG? (£)・(6.173)

Для векторной вершины

〈РI 啕 一 Р〉= $ ^2т^ ⑴，

,(6.174)

〈P|F|i—р〉=玄 т®йг X kG$? (t),

где мм используем формфакторы Сакса, определенные, как обычно^ в виде

G” =爲+ 尸2, Ge = K+ J靑刃2・(6.175)

Поскольку мы уже выбрали систему отсчета, проще проводить вычисления нек о в ари антным образом и различать случаи, когда индекс р = О н 从 力 0. Тогда получаются следующие результаты:

/я^Г +Ж^> (7) ok + O^m^ ^-~Gd (0 ок А [Т3,叫 (6.176)

/«Т^ —备"ГйС統(力)[о—n (on)]} [rP,們 _[_ о (m„)=

=为* r«] {2£Gi|(0 [<т— n (он)] + Gd (On(<m)} +

+ ±〈P| 曲，V%| —P〉・(6.177)

Разумеется, Г。и T не являются независимыми, так как существует калибровочное условие:

kт ^隔北 偽=公).(6.178)

Это условие автоматически вьшолняется для части, нечетной относительно замеды р "<^ а, а что касается четной части, то выражение (6.176) для То, возможно, позволит быстрее и проще вычислить ЬТ. Заметим, что, поскольку матричный элемент (р | [QB, Va] | — р) — нечетная функция величины тплт в силу перекрестной симметрии он будет давать вклад в амплитуду, симметричную относительно перестановки 0 а.

(6.179)(6.179)Примем теперь для Т следующее разложение:

(6.179)

(6.179)

Те = Лте + 3 [к (пк) — k^Jje,

где А л В — инвариантные функции, взятые, конечно, в точке

Vq = тлЕ = тя ^т^—^"土)'％ ?2 = шД,胪= т^ + £.(6-180)

Кроме того, учитывая электромагнитную природу тока (а = 3, 0), имеем обычную изоспиновую структуру

т₽ = ± [т₽, т^Г^ + б^Г^ + тРТ^.(6.181)

Сравнивая с соотношением (6.177), получаем

3。=嘉[-W& -父⑴ + 〃 争]+ 6В。，(6.182)

а используя калибровочную инвариантность и соотношение (6.176), имеем

味⑴2京味⑴2京卜 64c.卜 64c.(6.183)(6.183)

味⑴

2京

味⑴

2京

卜 64c.

卜 64c.

(6.183)

(6.183)

Точно так же для симметричной части имеем

4(+，。) = —_嘰jL 7军也+ бл<+>,(6.184)

тогда как》+，0) зависит от неизвестного члена (р | [Q% V]丨一р > и от слагаемых, соответствующих высшим состояниям в правиле сумм:

3(+，°)= оВ(+・ з + (вклад одновр. коммут.).(6.185)

И наконец, нетрудно найти компактные выражения для «поправочных» членов:

6(S 啮 J ；聲輩工，(6.186)

6Л(+*0) = 2^『：警*':吗,(6.187)

J照一呜一比)、/

S5(+,o)= 2Г^(b'2^o)_(6-188)

J%一呜一比，、 丿

где р幺% ——компоненты, соответствующие разложению (6.179) для величины рВ& = i (2л)з 2 S4 (р2 + 9—Pn) <Р2|Х₽|^> <^| Va| Pi) — перекрал. (6.189)

Получив соотношения (6.182) — (6.188), мы достигли своей цели, т. е. нашли простой способ выражения амплитуды электророждения вблизи порога через нуклонные электромагнитные и слабые аксиальные формфакторы плюс члены порядка тп и выше. Вообще можно сказать, что при таком представлении амплитуды электро рождения в нее в явном виде входят два основных вклада:； квазипотенциалъная часть, соответствующая обмену частицами ^i и л в t-канале [полюса функций 6工(力)и G2 «)], и сумма по промежуточным состояниям (в основном порядка 呜)，которую можно рассматривать как резонансную часть рассеяния плюс диаграммы секторной доминантности. Этот последний вклад в поправки возникает из полунесвязных диаграмм Л3-канала.

Хотя для определения полной амплитуды нужно знать величины 64 и 6В, ее можно приближенно оценить при малых | i [• Нетрудно видеть, что продольное и поперечное сечения в системе центра масс вблизи брейтовского

порога (при к2 =——力 даются выражениями

(6Л90)(6.191)(6.192)(6.193)(6Л90)(6.191)(6.192)(6.193)«От ос IЛ + i512 = 12ЕТт |2, doLcx]A^^]TL^. Таким образом, интерес представляет величина А + tB — 2ETf, для которой имеем

(6Л90)

(6.191)

(6.192)

(6.193)

(6Л90)

(6.191)

(6.192)

(6.193)

w-)G[(±) I £7©"任)[дЛ(_)+^(_,

? =方h宿"一爲1 2A ，

m(+, 0)_nij1M ZG^，"(±)6小+，")+ ±65(+，°)

Поскольку в этих формулах В всегда умножается на Е 】),можно пренебречь величиной toB(+，0) при малых значениях ]力], порядка нескольких т„. [Тем самым мы как бы предполагаем, что 笈)，。)一 медленно меняющаяся функция переменной & тогда как для 6(")это неверно из-за наличия л-полюса у функции С2 «)•]

6. Теоретические результаты

Как указывалось в гл. 3, § 5, 口. 1, для того чтобы результаты алгебры токов для фото- и электророждения удовлетворительно согласовались с экспериментом, нужно вычислить поправочные члены ЬТ^'%? Вычислить их не всегда легко, а главные вклады в поправку таковы: вклад s-волны непрерывного спектра, вклад ^33-резонанса (сильно подавленный при малых t) и полунесвязные вклады р и ш. Мы не будем здесь останавливаться на этих вычислениях. Они требуют различных приближений, но общее заключение состоит в том, что нельзя пренебрегать влиянием членов О(т^). Например, при не слишком больших | 力 | (W 16 喈()эти члены более высокого порядка дают 15—20% величины Т^^ но могут дать 50% величины Т^ [поскольку Gd (土) Q 2皿^/冗纟冗'/(皿^ — 土) есть быстро меняющаяся функция переменной 力.Мы приведем ниже ряд важных результатов, отсылая читателя, интересующегося более детальным обсуждением, к оригинальной литературе [231——233]. Все вычисления производились с учетом дипольного приближения для нуклонных формфакторов

G^mW (a t「2G^mW (a t「2М^=0,71 ГэВ2,М^=0,71 ГэВ2,

G^mW (a t「2

G^mW (a t「2

М^=0,71 ГэВ2,

М^=0,71 ГэВ2,

(6.194)

в предположении, что аксиальный параметр Ма меняется в пределах от 6 тл до 9тл. Кроме того, предполагалась пионная доминантность для

Со(0«2/^-^- (6-195)

а коммутатором [0% V] везде пренебрегали. Это согласуется с обобщенной моделью алгебры полей, D^ ос 冗储 V ос р, и указанное предположение влияет только на четные по изоспину амплитуды, существенные главным образом в л°-рождении. Итак, если ограничиться процессами с заряженными пионами, то получаются теоретические значения^ пре дета вленные в табл. 6.3 для фото-

】)Кроме того, функция В не сингулярна при 才= 0, в чем можно убедиться, например, воспользовавшись разложением Фубияи — Намбу — Ватагина [229, 230] или другим инвариантным разложением.

Таблица 6.3

Предсказания алгебры токов и экспериментальные данные по фоторождевию заряженных пионов вблизи порога.

Результат «без поправок» получен без введения поправки на пионную массу в амплитуде, но не в кинематических множителях

Г Iki d<J(п+)1

L]q] dQ J порог* мкб. срТ

dog dff (л+)

Эксп.

Без поправок

■Л/ А = 6m 冗 "а = 7 m死 Мд = 8%

15,6±0,5

14

15

15,4

15,6

15,8

1,265±0,075

1

1,34

рождения (力= —/Пл) и в табл. 6.4 для электророждения. В случае процесса электророждения мы включили в таблицу недавно полученный [234] экспериментальный результат, соответствующий А2 = —10,4 т^ при определенных энергиях электрона и углах вылета:

Hm IВ% = (4,9 士 0,7)• 10-31 см2.( J^.\-2.cp-i.(6.196)

q-o I Чц. м I dQ^ dE^，丿\ с / F，

Кроме того, экспериментальные данные указывают на то, что отношение продольного и поперечного сечений г = aL/aT V 1.

Таблица, 6.4

Предсказания алгебры токов к экспериментальные данные по электророждению на пороге.

Через (Q0l и (E；)l обозначены угол вылета и энергия вылетающего электрона в лабораторной системе.

lim丄

q - ° 1 q %, м

d2(r (л+)

0吟上酒& ■ 10-31 сМ2(ГэВ/с)-2.ср-1

__ ®ь (л+) г ОТ (л+)

Эксп.

4,9+0,7

<1

TWa № 6?72■冗

4,03

0,53

ma = 7加几

5,10

0,40

■Л/а = 8m 死

6,00

0,32

Л^А — 9ttIr

6,70

0,28

Даже беглый взгляд на таблицы говорит об удовлетворительном согласии между предсказаниями алгебры токов (с учетом поправок на конечную массу пиоыа) и экспериментом. Кроме того, из измеренных пионных сечений можно попытаться получить некоторую информацию о матричных элементах одновременного коммутатора. В частности, можно получить сведения о поведении аксиального формфактора Gx ⑴：приведенные выше оценки показывают, что МА 1тя (в случае дипольной параметризации), но требуются, конечно, дополнительные экспериментальные данные и более надежные теоретические вычисления.

2・ Рождение пионов в слабых взаимодействиях

Аналогичным образом можно рассмотреть процессы, в которых пион рождается аксиальными токами, подобно рождению нейтрино [235, 236]. В этом случае исходным коммутатором является, конечно,[况，厶乱 содержащий, кроме слагаемого из алгебры токов [QB, Л^], также а-члён [QB, Л«1 (пропорциональный коммутатору ——IQ£ £>&] между состояниями с одинаковой энергией) и слагаемое [06, Аа] (обращающееся, вероятно, в нуль в модели алгебры полей).

Очевидно, что этот процесс несколько сложнее простого векторного рождения, так как линия Л ц имеет теперь вклад и л-полюса. Если мы хотим четко выделить этот дополнительный пионный вклад, то удобнее вместо 厶口 рассмотреть поперечный аксиальный ток. Его можно определить следующим образом:

4 = 4+ 壷电瓦.(6/97)

так что

(О I 班 I л) = (л IВ^ 10) = 0.(6.198)

(8。——плотность тока, который соответствует оператору заряда Qg введенному для описания лД^-рассеяния.)

При вычислении [Q纟,笈品]оказывается, что в дополнение к перечисленным выше коммутаторам требуются еще члены ^ Ш, ZJ] и J [D, D]^ позволяющие одинаково подходить к аксиальному рождению пиона и пион-нуклон- ному рассеянию (с покоящимся пионом в конечном состоянии).

Подробности метода и его приложения можно найти в указанной выше литературе, и мы не будем больше останавливаться на этом вопросе.

§ 7・ Обобщение на случай движущихся пионов

* Сделаем небольшое отступление и скажем несколько слов о характере наших предсказаний. Они всегда касаются покоящегося пиона-«мишено. В принципе, изменив импульсы внешних частиц, можно получить любую конфигурацию (выбрав, например, в случае электророждения самую общую систему отсчета с произвольными р^ и р2). Но поскольку мы обычно выбираем симметричную брейтовскую систему, кинематическая конфигурация остается ограниченной.

Таким образом, для более полного описания пионных процессов необходимо обобщить изложенный выше метод на случай движущихся пионов в подходящей конфигурации импульсов внешних частиц (обычно в брей- товской системе).

Легко видеть, что требуемое обобщение достигается [237], если сопоставить пиону не оператор заряда ^а, а оператор плотности А^.

Точнее, введем оператор

*2(q)= j d'zexpl —iqx)[/g(x) + •^力S(x)] #(6.199)

такой, что

(Л| 浚^| 0) = 0,

〈01 晓£ |冗仪〉=(2л)3 63 (q — л) 1/я2(оя6₽а.(6.200)

Таким образом (в качестве примера берем случай электророждения), обычное преобразование коммутатора [扰£, %] после выделения однопион-

я ого. члена приводит к соотношению

,冗7俨(со) + (один нуклон) + .…=(Р2 丨 одновременной коммутатор | р», где Т艮：((о) — амплитуда рождения физического пиона с импульсом q в брей- товской системе внешних нуклонов.

Конечно, за это приходится платить: во-первых, нам теперь нужны коммутаторы между плотностями (подобные [Л0, Ум])? в которых могут присутствовать операторные швингеровские члены; во-вторых, у нас нет правил отбора против более высоких парциальных волн, а при работе с Ао необходимо также включать Л ^несвязный вклад.

Мы не будем приводить здесь детали этого метода, хотя читатель легко может представить себе примерный вид результата. Вообще говоря, можно выделить два главных вклада: квазипотенциалъную часть, обусловленную одновременным коммутатором и соответствующую обмену частицами в ^-канале, и сумму по промежуточным состояниям, которую можно рассматривать как резонансную часть. Различие между двумя этими частями будет выражаться наличием коэффициентов со2, q2, (о | q | при вкладах промежуточных состояний, которые напоминают, что основой нашего метода является экстраполяция результатов алгебры токов от со = | q | ~ 0 ко все более и более далеким участкам физической области.

С такой точки зрения можно сказать, что алгебра токов и статическая модель (или изобарные модели) дают два взаимно дополняющих описания пионных амплитуд. Алгебра токов довольно хорошо описывает (при низких энергиях) те парциальные волны, в которых резонансами можно пренебречь, такие, как s-волна вблизи порога. Одновременной же коммутатор (р,а-обмен в пион-нуклонном рассеянии) не существен для р-волны, в которой доминирует (3, 3)-резонанс.

Приложение J. Простые свойства неоднородной группы Лоренца

В приложении III гл. 1 напоминались некоторые элементарные свойства группы Лоренца. Теперь мы хотим дополнить сказанное рассмотрением сдвигов в пространстве и времени, генерируемых операторами

W=(Н, Р),(1.1)

где Н — гамильтониан, а Р — полный импульс.

Чтобы проще ввести эти операторы, обратимся к элементарному случаю трехмерного пространства. Генераторами группы вращений являются операторы полного углового момента с алгеброй ')

[Л J] = i^lmJm.(1.2)

Вращение, конечно, оставляет неподвижной одну точку, которую обычно берут за начало координат. Операторы J зависят от этой точки, что явствует из коммутационных соотношений между J и Р, генератором бесконечно малой пространственной трансляции х —> х + а. Имеем

[尸，р]=泥k1nlpm•(1.3)

Из уравнения (1.3) видно, и как сдвигается вектор?! и как вращается вектор Р.

Кроме того, группа трансляций коммутативна:

[Р* Р] = 0.(1.4)

Соотношения (I.2) —— (L4) образуют алгебру эвклидовой группы.

Коммутатор оператора J со скалярным оператором <р имеет, конечно, вид [J, <р] = О,(L5)

где J генерирует бесконечно малые повороты вокруг начала координат. Для обобщения на случай вращений относительно точки х нужно вспомнить, что

"В» 屮(х)1 - дк^,(1.6>

т. е. что

屮(х) = exp (—ZPx)屮(0) exp (iPx).(1.7)

С учетом элементарного соотношения

[Jл, exp ( —iPx)] =貶心‘尸 exp (TPx) получаем

Uh,屮(x)]=[九 exp (— iPx) <p (0) exp (iPx)]=

=£/um储[Pm, <p (x)] = — №Мтх1дп^ (x).(1.8)

Аналогичные формулы можно, конечно, написать для высших тензорных операторов. Например, в случае векторного оператора (тока)

[几，九(0)]=左左严九(0)(1.9)

и

Uh, J^ = i^rim (x)-i4mn^dnh (X).(1.10)

Теперь перейдем к полной неоднородной группе преобразований Лоренца

%儿=厶1V% + %1,仇 pL"v = 6\.(1.11)

Кроме операторов J и Р, теперь необходимо ввести генератор лоренцева поворота К и полный гамильтониан Н.■

Тогда группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) определяется следующими коммутационными соотношениями между десятью генераторами Р, Я, J, К:

[Л,巳]印=0,(1.12)

[Jh，厶]=迎在产7，

[Л,灯=氾产仆，(1.13)

[Kh，K【]=一》£?и"т,

[厶，pЦ =迎h17npm,

g, Pl] = igklH,(1.14)

[厶,H] = 0, 阈，4]=一见.

Как хорошо известно, унитарные операторы в гильбертовом пространстве, соответствующие преобразованию (L11), имеют полностью ковариантный вид

U (宙)=exp (г^а),(1/5)

U (厶)= ехр (w ZotgM"”) , 0&典寸=£以寸一gu”(1.16)

а операторы J и К связаны с “戸 соотношениями

厶= ^Sm?iMmn(恥尸—^ijk^k)^(L47)

風=助加。.

Набор коммутаторов (1.12)——(1.14) выражается через M^v 值 尸出 в компактном виде

[Ри, Pv] = 0,(L12‘)

[М* M^\ = i (Л/^Pgva _]_ M^g^ - Mvpgna _ M^g^),(1.13)

阳、W]= -"，3 —，好).(Llg

Снова отметим, что всякое однородное преобразование Лоренца связано с вполне определенной точкой пространства-времени, которая остается неподвижной при преобразовании и которую обычно берут за начало координат. Зависимость преобразования от этой точки явно видна из некомму- тативности М^3 и Р% а уравнение (1.14Л) опять можно рассматривать и как источник информации о трансформационных свойствах оператора М^ при трансляциях, и как утверждение о том, что оператор 戶° является 4-вектором.

В связи с этим заметим, что оператор К не коммутирует с Н. Но он является все же интегралом движения в самом общем смысле (содержит явную зависимость от времени). В самом деле, справедливы следующие представления:

%产—j 2З况(胃卩7Vo 一人7而，(148)

优j d3况7m，(1.19)

где T^v — тензор энергии —— импульса Белинфанте, определяемый при лагранжевом методе обычным образом (гл. 10, § 4, п. 2). В частности,

Ki s Мго = z0Pz — j xiT00d3x.(1-20)

Таким образом,

券=»囱 К]+醬=—Р + Р = 0.(1.21)

Чтобы выяснить, каковы общие трансформационные свойства операторов, зависящих от z, можно действовать по схеме предыдущего примера.

Если ф (х) — лоренц-скалярный оператор, то

[К“<р (0)] = 0.(1.22)

В то же время

Z [尸卩，屮(n)] = °卩屮(况)，ср (^) = exp (iPx) ср (0) exp (— iPx), (1.23) и, используя соотношение

[&, exp (iPx)]=(况°乌一勺H) exp (tPz),(1.24)

находим, что

[Kz,屮(2)] = j (g&)—々А)屮(z).

Если приходится иметь дело с 4-вектором, например с током, то выполняются следующие коммутационные соотношения:

[К1, %(£)]=—%(z)+i(z"o — £o&)/o(z),

[Kh /ь (х)] = igMj0 (ж) + i (хД — х05г) /й (ж).'

Соотношения (1.25), (1.10) и (L8) можно записать в ковариантном виде г):

【Мр(у,九⑶]=力(gpjc — gajp) + % (胃卩爲一^о^р) 7ц О (1.26)

Это соотношение представляет собой инфинитезимальную форму общего закона преобразования 产(#) = L^U (£) 7"(疗)(£)•

Далее необходимо охарактеризовать физические состояния частицы. Эта задача сводится к определению базиса в векторном пространстве, в котором действуют операторы; базис можно определить, как только задан полный набор коммутирующих операторов.

При простейшем выборе этого набора в него, очевидно, будут входить коммутирующие между собой операторы 4-импульса Р^. Кроме того, как нетрудно убедиться, оператор

尸二 ％рх(1.27)

коммутирует со всеми генераторами группы Пуанкаре, и поэтому его собственные значения можно использовать для классификации неприводимых представлений группы. Таким образом, операторам Рц можно приписать собственные значения ри и, исходя из этого, тут же классифицировать состояния в соответствии с тем, является ли 歹口 времени-подобным, пространствен- но-подобнымт свето-подобным или нулевым вектором. Первый случай относится к физическим системам с вещественной массой. В этом случае отношение р()/|ро|, характеризующее знак энергии, определено инвариантным образом, и мы будем выбирать его положительным. Таким образом, сначала классифицируем состояния по инвариантному индексу тп и по р, причем e = (p2 + 疗)1/%

Поскольку оператор М^ (и, в частности, К) не коммутирует с Я и Р, действуя на состояния, этот оператор смешивает состояния с разной энергией и импульсом (другими словами, 〈р' | К | р〉，0 при р'声 р, хотя, конечно, р'2 = р2 =加2). в случае физической частицы множество состояний с произвольным импульсом образует, как уже отмечалось, базис для представления группы Пуанкаре. Одночастичное состояние движущейся частицы можно в действительности построить путем лоренцева поворота состояния покоящейся частицы:

|р, тп〉= О(Е) |0, тп〉，(1.28)

где L — преобразование Лоренца, переводящее

оо

р^=(т, 0) в р^=(Е, р), т. е. р“ = %*「

В правильности соотношения (1.28) нетрудно убедиться, поскольку

W1p,加)=W0(厶)10, m} = u\L)L\P4\Q, m)=

о

=。(厶)Z/vpv I о, иг〉= рК| р, иг);(1.29)

мы воспользовались здесь тем, что Р^ является 4-векторным оператором, т. е,

0т (Е) P^U (£) = L%PV.‘ (1.30)

Далее напомним явный вид лоренцева поворота» например, вдоль третьей оси:

U (Z) = exp (~ ia^M^) = exp (— ЮК), 0 = (0, 0, 0),

歹mi(L31)

ch 0 = -, 0118=且》!~・

Мы знаем, что одночастичные состояния характеризуются также спином, т. е. угловым моментом частицы в ее системе покоя. Чтобы инвариантно описать спин, нам требуются операторы, которые оставляли бы неизменным импульс частицы и действовали бы только на спиновые переменные. Для частицы в состоянии покоя такими операторами, несомненно, являются

Jh. Действительно,

[J, Н] = О, [J, Р] I 0, тп ) = 0,(1.32)

поскольку мы работаем в подпространстве собственных состояний Рк.

Для движущейся частицы тот же результат достигается введением оператора

『 = U(£) JL(E).(1.33)

В частном случае лоренцева поворота вдоль третьей оси имеем

JR = exp (— Z8K) Jk exp (гвК)(L 34)

и

J；=厶 ch 0, J； = J, ch 0 土 К? sh 0.(1.35)

221

To, что J' является оператором спина в системе покоя, следует из определения (L33), так как U (上刀)一унитарный оператор, который переводит состоя- о

ние покоя с импульсом 旷=(тп> 0) в состояние с рк =阳 р). Тем не менее докажем это утверждение подробно. Во-первых, рассмотрим состояние покоя I т, 0, s, а), причем £ (s + 1)——собственное значение квадрата углового момента в системе центра масс, а и — собственное значение его третьей компоненты. Затем определим состояние с импульсом рк как

I т, р, s, о〉=少(J) J т, 0, s, о〉.(1.36)

Тогда

4 |m, Р, s, 6 = 〃。(Lp)I т, 0, s, 6 =。(Lp) Jk\m, 0, s, о〉=

—2 臨*и {L^ I т、О, S,『〉=3。3 I 叽 р, S, о'〉・(1.37)

о，о，

Таким образом, единственным результатом действия оператора J' был поворот спиновых переменных от а и а\ тогда как собственные значения Р出 остались неизменными.

Говорят, что преобразования Лоренца L%, которые не меняют рк, т. е. такие, что р^ = 7>旷歹匕 принадлежат «малой группе», связанной с рц, и тем же выражением пользуются для соответствующих унитарных преобразований U (£). Генераторами таких преобразований являются J^ Более изящный и более общий способ построения этих операторов основан на введении так называемого вектора Паули ——Любанского W^ Он определяется следующим образом: поскольку

Ри =厶/Ру,(1.38)

для бесконечно малого преобразования имеем

®iivPv = 0»(1.39)

т. е. общий вид auv таков:

気产 电啾0р"叫(1.40)

где п^ — Произвольный бесконечно малый 4-вектор. Поэтому можем написать унитарный оператор малой группы:

U (Е) = ехр (告 Za口уТИ*”) =ехр (停 i^^p^M^ =ехр (——力九仃呼“),(1.41) где

叫=4■年加гЛГЗ(1.42)

и собственное значение ро отождествлено с оператором Ра, так как мы работаем в пространстве собственных состояний импульса.

21-01263

Для компонент получаем явное выражение

% = JP,

W = J^ + KxP.”3>

Оператор W просто связан с прежним вектором J', а цменно W = 7nJ\ но его более удобная нормировка сделает возможным прямое обобщение- теории на случай частиц с нулевой массой.

Из определения (1.42) довольно легко извлечь следующие свойства. Прежде всего

P^W^ 0,(1.44>

так что снова в системе покоя р = 0 собственное значение WQ равно нулю. Мы получаем также коммутационные соотношения

[W»，Pv] = 0,

[М^,巾川=一 "％gv£ - Wvg^,

из которых следует, что оператор

(Г.46)(Г.46)

(Г.46)

(Г.46)

коммутирует со всеми генераторами группы Пуанкаре. Итак, в нашем распоряжении еще один параметр для описания неприводимых представлений.

Поскольку 屮2 ——инвариантный оператор, его собственные значения

можно вычислять, переходя в систему покоя, где в соответствии с соотношениями (L43) и (L44) имеем

(1.47)(1.47)W& м = wz J,W0.

(1.47)

(1.47)

Таким образом, W4(M фактически является оператором спина и имеет собственные значения

W^, м = — W2 = m2s (s + 1), s = 0,；,….(1.48}

В результате получаем, что неприводимое представление группы Пуанкаре с р2 > 0, jo0 > 0 характеризуется двумя индексами (тп, s), причем т характеризует массу, а £ ——спин системы. Каждое представление является бесконечномерным, и базисные состояния полностью определяются (если забыть о внутренних степенях свободы) значениями импульса р и одной из компонент РКи, например компонентой РГ。, которая пропорциональна спиральности 九(компоненте J вдоль направления движения), или компонентой вдоль фиксированной оси.

Таким образом, полный набор коммутирующих операторов составляют /Г, Р и компонента W^. Поэтому состояние с массой т, спином s, импульсом р, спиральностью 九 записывается в виде | m, s; р, ^ ) и нормируется по инвариантному правилу

G', р'； т, s|?n, s; р, Л) = (2£) (2л)3 63 (р7 — р) 6ХХ..

Обратимся, наконец, к коммутационным соотношениям для W^. Они имеют вид

[W», WM =诧з。印入Р、(1.49)

В частности, если выбрать в качестве третьей оси направление вектора р, мы получаем

» 亲恥，(1.50).

[К】，W3] = -iEW2, [%2, W3] = iEWx

[конечно, в системе покоя коммутаторы (1.50) с точностью до общего множителя тп совпадают с коммутаторами углового момента].

Соотношения (1.50) вполне подходят и для описания особого случая частиц с нулевой массой. В пределе при тп —> 0 имеем

[忆，W2] = 0,(1.51)

а другие коммутаторы не меняются. Этот последний набор коммутаторов образует алгебру эвклидовой группы в двумерном пространстве, причем 1yl* играют роль генераторов сдвига вдоль осей (1, 2), a W3 ——роль гене^ ратора вращения вокруг начала координат.

■ В заключение, исходя из коммутационных соотношений (1.50), покажем, что безмассовая частица имеет только одну поляризацию. При этом удобно ввести операторы

W±-Wr± W2,(L52)

для которых в случае безмассовых частиц имеем

[力3,呼士] = 土发力土，

(1.53) [Ж+, W^] = 0.

Операторы W± — это, конечно, операторы, понижающие и повышающие собственное значение W3 на единицу (умноженную на 笈).

Затем мы должны предположить, что спектр собственных значений спина ограничен. Обозначим через | 工)собственное состояние с наибольшим значением W3, для которого выполняется равенство

叫 I Е〉= 0.(1.54)

Тогда из равенства

<2 I [%,忆]丨 £〉= 0(1.55)

следует условие

屮-丨 £〉= 0.(1.56)

Таким образом, не существуют собственные состояния, соответствующие меньшим, нем у | £〉, значениям W^ и разрешено только одно собственное значение %з，т. е. представление является одномерным. Отметим также, что из условия p^W^ = 0 следует равенство

W3 = W° рЗ = к \ р \..

где 九一спиральность,九=Jp/1 p

Если в нисло допустимых преобразований включить также пространственные отражения, то происходит удвоение состояний, а | 2 ) и j —S > оказываются единственными возможными собственными состояниями без- массовой частицы.

Роль лоренцевой инвариантности

6 3 Введение

Важнейшим результатом предыдущей главы явилось выяснение того обстоятельства, что вес различных вкладов в токовые правила сумм зависит от состояния движения частицы-«мишени». Проблема такой зависимости от системы отсчета заслуживает общего анализа, который и будет проведен в настоящей главе.

Сначала мы выясним некоторые формальные свойства одновременных коммутаторов, исходя из лоренц-ковариантности последних. Затем (§ 3) Мы рассмотрим вопрос о зависимости правила сумм, выведенного из коммутационного тождества и связанного с упомянутыми формальными свойствами, от системы отсчета- Мы также выведем представление Лоу для фурье- образа матричного элемента хронологического произведения двух скалярных операторов и рассмотрим зависимость такого представления от системы отсчета.

Далее (§ 4) мы инвариантным образом рассмотрим структуру различных вкладов в представление Лоу (или в правило сумм), отражающую разную физическую природу «массовой» и «энергетической» сингулярностей. Такой анализ особенно полезен, поскольку он дает нам ясное представление о спектральных свойствах амплитуд в любой конкретной ситуации. Затем данный метод мы применим к исследованию правил сумм, вытекающих из коммутационных соотношений для аксиального заряда, что позволит (§ 6) в самом общем виде исследовать проблему экстраполяции, впервые затронутую в гл. 3, а именно проблему получения пионных амплитуд сильного взаимодействия на основе низкоэнергетических теорем для амплитуд слабого взаимодействия.

Всем сказанным будут исчерпаны основные вопросы, поставленные нами в связи со скалярными операторами и бесспиновыми внешними состояниями. Операторы, соответствующие высшим представлениям группы Лоренца, чрезвычайно усложняют дело. Типичные трудности, возникающие в физически интересном случае векторного и аксиального токов, представлены в приложении I.

6 2・ Лоренц^инвариантностъ “ одновременное комму та торы

Ограничения на высшие коммутаторы

7! Прежде чем приступить к выполнению намеченной программы, весьма полезно выяснить ряд формальных свойств одновременных коммутаторов, вытекающих из требования ковариантностй относительно преобразований Лоренца. Мы увидим, что из одновременного коммутационного соотношения при учете трансформационных свойств обеих его частей относительно преобразований Лоренца обычно следуют некоторые ограничения на другие одновременные коммутационные соотношения (сопутствующие условия)*

Для наших целей, разумеется, достаточно инфинитезимальной формы преобразований Лоренца, и мы будем пользоваться методом коммутировалия с генератором лоренцева поворота 及厶 определенным в гл. 6, приложении I.

В данном разделе мы остановимся на упомянутых выше формальных свойствах коммутаторов скалярных операторов. Установление сопутствуй югцих условий посредством данной процедуры в случае коммутаторов, содержащих операторы выстпей тензорной размерности (нам, разумеется, особенно интересны коммутаторы токов),——задача более сложная, и мы рассмотрим ее в приложении I.

Сопутствующие условия связаны с очень важным вопросом зависимости от выбора системы отсчета правил сумм, получаемых насыщением матричных элементов коммутационных тождеств; кроме того, они связаны с ковариантностью У-произведений.

Эта фунд амент а льн ая связь будет проанализирована в § 3, после того как мы тщательно рассмотрим зависимость от системы отсчета правил сумм и представления Лоу. Хотя на практике чаще употребляется прямое насыщение коммутационных тождеств и использование зависимости правил сумм от выбора системы отсчета, особенно1 в случае коммутаторов токов, с ирин- ципиальной стороны важнее собрать те основные свойства коммутаторов, которые являются источником всех ограничений на всевозможные физиче^ ские амплитуды.

Для конкретности рассмотрим данный метод в приложении к определенной модели.

В данном разделе мы будем рассматривать операторы скалярного (иди псевдоскалярного) поля q)a (n) (а ——индекс внутренней симметрии) и в каие- стве отправного пункта возьмем перестановочное соотношение

[фр (х, /), фа (О, Е)] = 0・ (7.1)

Выясним, какие свойства высших коммутаторов, таких, как [фР, фа], могут быть получены из соотношения (7.1) при учете лоренц-ковариантности. Для перехода в бесконечно близкую систему отсчета возьмем коммутатор обеих сторон соотношения (7.1), положив для простоты 方=0, с генера，

тором лоренцева поворота К:

[К, [ФР(х, 0), Ф^(0)]] = 0.(7.2)

После применения тождества Якоби получим

[фа(0), [К,限(х, 0)]]-[Ф₽ (х, 0), [К, Фа(0)]] = 0.(7.3)

С учетом элементарного соотношения

[К, Ф (х, 0)] = ix(p (х, 0)(7.4)

окончательно получаем

х[$6(%0),(ра(0)]-0.(7.5)

Как следствие имеем

[涵(х,0), у(0)] = ^%з(х),(7.6)

где С°а — оператор, симметричный относительно перестановки 卩 一 а [в этом можно убедиться, продифференцировав обе части равенства (7.1) по Н.

Вывод, который мы извлекаем из этого простого примера, заключается в том, что сведения относительно исходного коммутатора [叫 фа] в сочетании с лоренц-ковариантностью позволяют получить некоторую информацию о высших коммутаторах, содержащих временные производные, В частности,

мы находим ограничение на число производных от 63 (х) i), которые могут появиться в таких коммутаторах.

То же самое условие ковариантности можно наложить и на соотношение (7.5):

犷阂，[$В(х, 0),呼(о川=о,(7.7)

откуда следует

xhxl [фР (х, 0),(ра (0)] = 0, 阮 ％ = 1, 2, 3.(7.8)

В общем случае имеем

n〃办2歩几[cp₽(n1 (xf 0), <pa (0)] = 0.(7.9)

Отсюда видно, что в силу лоренц-ковариантности в коммутаторе ф с 汽-宜 производной от ср по времени содержится самое большее (几 — 1)-кратная производная от 63 (х)-фупкции:

[紋⑺(х, 0),屮а (0)] = ^₽а63(X)+

+ 或W63(x)+ ... +С吃仍…声-%з(х).(7.10)

Более определенные предположения относительно исходных коммутаторов ведут, конечно, к более строгим ограничениям. В частности, интересно рассмотреть случай, когда в соотношении

[啖(х, 0), у06 (0)] = гСра63 (х)(7.11)

величина Сра — скалярный оператор (данное свойство не следует из общих посылок и должно прямо предполагаться). Тогда, применив к соотношению (7.11) преобразование Лоренца, имеем

[К, [ф₽(х, 0), ф»(0)]]=63(х)[К, Сра] = 0,(7.12)

откуда

х((р₽ (х, 0), ср® (0)| — 0. •(7.13)

Следовательно, коммутатор 1(рВ (х, 0),屮” (0)] содержит не более чем 63 (х)- функцию, а именно

[ф₽(х, 0), ф«(0)] = £>₽а63(х)1；

И т. д.

Ковариантность хронологического произведения

Полезно было бы исследовать влияние швингеровских членов в коммутаторах на ковариантность Т-произведения двух скалярных операторов [196]. Мы уже касались этого вопроса, когда говорили о тождестве Уорда в гл. 3, § 1. Там было сказано (без доказательства) т что нековариантность 7-произведения двух токов связана с наличием швингеровских членов в их одновременных коммутаторах и что учет этого ведет к взаимному уничтожению лишних слагаемых в условии сохранения, которое, таким образом, выполняется в неизменном виде. Случай Z-произведения двух токов мы рассмотрим в приложении I (§ 5), а сейчас займемся Т-произведением двух скалярных операторов

7 (н)三 Т (ф(^)屮(0)) = 9 (?о) Ф(ж)ф(О)4-0( — /)(р(0)屮(？)=

=8(0)仰(z), Ф (0)1 + Ф (0)屮(鎊.(7.14)

Относительно градиентных членов (обычно называемых швингеровскими членами) в одновременньгх коммутаторах см. работу [90] и цитируемую в ней литературу.

(Точно так же можно взять и запаздывающее произведение R (ж)=

0 (nJ [ф (n), ф (0)], поскольку разность этих двух произведений является ковариантным объектом.) Коммутатор Т ® с генератором К преобразования Лоренца имеет вид

[К1, Т (x^^Q^iK1, ф(ж)ср(О)] + 0( —ж0) [К1, ф(0)ф(а:)] =

=Т [I {х1д° —■ х°д1) ср (ж) <р (0)] = г (х1д° — х°д1) Т (屮(%)屮(0))—

一近俗(&)[cp(z),中(0)].(7.15)

Данное выражение показывает, что Т (况)не есть скалярный оператор. Это связано с наличием дополнительного слагаемого xl6 (nJ [屮(n), ср (0)], которое не обращается в нуль, если 6 (nJ [屮(n), ср (0)] не является локальным [а именно пропорциональным 64 (n)] объектом.

Отсюда вытекает одно далеко идущее следствие: если рассмотреть фурье- образ матричного элемента Т (х) между бесспиновыми состояниями, то, вообще говоря, он не будет лоренц-инвариантной функцией скалярных переменных, которые можно построить из имеющихся импульсов.

В самом деле, рассмотрим

?(P2, Pi, Q)= Z j 必％ exp (@)〈P2 I ?(屮传 z)屮(—"|叫 3〉•

Производя инфинитезимальное преобразование Лоренца ') над тором Т, получаем (Е» = р?)

67 = *h {Q。設一仆姦 +癌訪一p2謚+

+ &含-普齧} 7(.，Pt，0-

■С учетом определения (7.16) имеем

(°。設—Q"說)？= — J 幽exp(@)(产感

х 侬丨 Т ⑺ |Р1)= — 2 J 02 exp GQz)〈Р21 [Kk, Т ⑺]山〉一

('2丽？一p^ 西+豆丽('2丽？一p^ 西+豆丽p* 訟)T =p* 訟)T =(7.16)onepa-(7.16)onepa-(7」7)(7」7)(7.18)(7.18)—i j d^x exp (iQx) 6 (ж0) xh <^p21 [Ф (у ^) ' 屮(一 ^ ")] | P> ° В то же время мы имеем соотношение

('2丽？一p^ 西+豆丽

('2丽？一p^ 西+豆丽

p* 訟)T =

p* 訟)T =

(7.16)

onepa-

(7.16)

onepa-

(7」7)

(7」7)

(7.18)

(7.18)

(7-19)(7-19)= 0z exp (@)〈A I [小，？(切 I pa.

(7-19)

(7-19)

Тогда из соотношения (7.17) явствует, что, вообще говоря, 6Т =# 0, и, следовательно, Т (р?,夕и Q) не является лоренцевым скаляром.

6 3・ Полнота системы промежуточных состояний и зависимость правил сумм от системы отсчета

Представление матричных элементов одновременного коммутатора

С одной стороны, мы видели, что, зная коммутатор [口8 (х, 0),屮“ (0)]т можно получить некоторую информацию о высших коммутаторах, таких, как 1(рР (х, 0), фа (0)1 и т. д., если использовать трансформациопные свойства коммутатора [(рр (х, 0), фа (0)1 относительно преобразований Лоренца.

С другой стороны, нам известно, что перестановочное соотношение при одинаковых временах можно преобразовать в правило сумм для физических амплитуд, если взять соответствующие матричные элементы коммутатора и воспользоваться полнотой системы промежуточных состояний. Такие правила сумм зависят от системы отсчета, поскольку от этого зависит вес различных вкладов.

Два указанных обстоятельства тесно связаны в том смысле, что зависимость правила сумм от системы отсчета есть выражение трансформационных свойств взятого коммутатора. Эту зависимость можно выявить, используя информацию о высших коммутаторах, вытекающую из перестановочных соотношений с генератором лоренцева поворота К", как это делалось в § 2.

Попробуем выяснить эту связь, используя правило сумм и метод насыщения. Начнем, как и прежде, с коммутационного соотношения для пион- ного ПОЛЯ

[фр(х, 0),；ф«(0)] = 0,(7.20)

которое служило нам отправным пунктом в § 2.

Чтобы получить общую форму правила сумм, введем преобразование Фурье матричного элемента коммутатора (7.20), взятого между скалярными одночастичными состояниями с импульсами р1Л р^:

C°a=J d3x exp (— iq2x) <^21 [ф₽ (x, 0), Фа (0)] |pi).(7-21)

Разложение по полной системе промежуточных физических состояний дает для СВ。следующее выражение:

С₽а= S (2л)3 63 (₽2 + <Ь — Pn)〈Р2 I 瞰 I 也〉m I 屮а I Р。一 п

—2 (2л)3 63 (Р2—qi — Рп)〈Р21 Фа I п> <»| Ф₽ I Р1)>(7.22)

п

где

Р1 + Ч1 = Р2 + Ч2-(7-23)

Переходя для удобства к симметричным векторам

//(7.24)

A = gi — g2 = P2 —Рз

и вводя промежуточную переменную Q。, соотношение (7.22) можно привести к виду

屮=JdQ#(Q°,Q,P, А),(7.25)

где

吧= (2“)з 2 64 (Р + (? — pn) (р21 q>₽ I n) (n I <ра I л) — ( в —& )=

=击 j 犷“ехр(3)〈Р2|[碎(*) , <₽а(_^#)]|р〉(7.26)

Если использовать оператор полного 4-импульса 口貝,то выражение (7.26) можно представить также в виде

Зависимость правил сумм от системы отсчета и контур интегрирования

Мы остановимся здесь на двух основных вопросах, связанных с лорен* девой структурой выражения (7.25) для СВ”. Поскольку 加& есть лоренц- инвариантная функция, ее зависимость от переменных Q, Р, А, разумеетсяг должна быть инвариантной. Поэтому удобно ввести скалярные переменные^ образованные из этих векторов. Введем величины

s=(「+ Q)2, s = (P — Q)2, i= А2, р| = 7П{, ql = Ui,

Р = о = ^_(哨+ 嗚)_扌& Q2』u = ^(g： + g：)_}/,(7.28>

v=(QP) = z (s—s), u= (QA) = 2(g：—或)，

и, как обычно, w, м, и； и 方 выберем в качестве независимых переменных. Поскольку при интегрировании (7.25) t остается фиксированным, в дальнейшем мы не будем его выписывать.

Для ХВ* можно написать разложение

/“(Q, Р, A) = t>(q, р a)— sB(_q, р, А),(7.29)

или в ковариантных переменных

^а(V, 〃，w) = T^(V, u, w)-ea8( - v, u, —u?)?(7.29‘》

где

的=击j d號exp(3〈P2 J中。信z) Фа卜号叫P)=

=(2л)з ⑸ I 研6& (P + Q — П) cpa IP1).(7.30).

В действительности, как мы увидим ниже,加仪 содержит дополнительную зависимость от Qo через ступенчатые функции 0 (% 士 Q。)，0 (—Р° 士 Qo)^ Отметим, что, поскольку при интегрировании значения s или s фиксируются массами промежуточных состояний (Р + Q)2 = М^ > 0, ступенчатые функции определены лоренц-инвариантным образом.

Следующий, самый важный шаг заключается в переходе к интегрированию по инвариантным переменным (7.28). Дело в том, что в соотношении (7.25) 3-импульс Q фиксирован, а по Q。проводится интегрирование, и, таким, образом, V, и и и? меняются. Именно, они меняются соответственно кривой, которая задается уравнениями

w=Qo^о—QP,

〃 = Q： — Q2,(7.31>

zpnQoAo—QA,

в которых переменные Q2, Q, P, QA, P。и Ao фиксированы. Уравнения (7.31) можно рассматривать как параметрическое задание (параметр Q。)пути интегрирования в трехмерном пространстве (v, u, ip).

Если исключить О。，то можно написать уравнение кривой в явном виде:

(7.32)(7.32)м = av2 十 &v 十 ％

(7.32)

(7.32)

w ~ hv -\- к^

где

11(PQ)2Р^(PQ)2Р^Q2,Q2,无=普，加=豈"PQ-AQ，Р0=(Р2 + п)1/2.无=普，加=豈"PQ-AQ，Р0=(Р2 + п)1/2.(7.33>(7.33>

1

1

(PQ)2Р^

(PQ)2Р^

Q2,

Q2,

无=普，加=豈"PQ-AQ，Р0=(Р2 + п)1/2.

无=普，加=豈"PQ-AQ，Р0=(Р2 + п)1/2.

(7.33>

(7.33>

Эти выражения показывают, что дисперсионный контур самого общего вида, получаемый при насыщении одновременного коммутатора, есть парабола в плоскости w = hv -\- к. Существенно, что параметры а, 6, с, Л,左 этой параболы зависят от того, в какой системе отсчета выполняется суммирование по полному набору промежуточных состояний. Каждой системе отсчета соответствует свой дисперсионный контур в переменных vr 〃，w.

rvpa 11Frvpa 11Fdvi^(V, и(V), w(V))=dvi^(V, и(V), w(V))=Выражение (7.25) для СВ& мы момсем записать, наконец, через скалярные переменные v, и, гр, вводя в явном виде зависимость от контура интегрирования:

rvpa 1

1

F

rvpa 1

1

F

dvi^(V, и(V), w(V))=

dvi^(V, и(V), w(V))=

dvdudwt^a(V, м, w) 6 (и — av2 —W—с)5(山一hv—Л),(7.34)

Поскольку параметры а, 5, с,瓦 к зависят от состояния движения внешних частиц, каждый коммутатор порождает бесконечную совокупность правил сумм соответственно бесконечному множеству значений Р и Q. Разумеется, это связано с тем, что каждому одновременному коммутатору в силу лоренц-ковариантности сопутствует бесконечный набор ограничений на высшие коммутаторы [условия (7Л0)].

Зависимость правил сумм от системы отсчета и высшие коммутаторы

Теперь у нас все готово для вывода сопутствующих правил сумм. Каноническое коммутационное соотношение (7.20), взятое между состояниями ■с одинаковыми 4-импульсами 仇—р2 — р), ведет к правилу сумм

dvZB“(V,dvZB“(V,dw dut^a (v, 乂)6 (и — av2 — &v — с) = 0?dw dut^a (v, 乂)6 (и — av2 — &v — с) = 0?(7.35)(7.35)

dvZB“(V,

dvZB“(V,

dw dut^a (v, 乂)6 (и — av2 — &v — с) = 0?

dw dut^a (v, 乂)6 (и — av2 — &v — с) = 0?

(7.35)

(7.35)

В частности, в системе покоя р = 0 имеем

j dvdut^a (v, u) 6 (и—^ + ^)=6(7.36)

Правило сумм в «близкой» системе отсчета содержит некоторую новую информацию, которую нетрудно получить дифференцированием соотношения (7.35) по в точке р = 0:

°=嗫"J M(V))=J dv (若許

=煮〃 J M (嘗)『=糸订 dvduv(霉*十q2), (7.37) •так как

/\2 j

Далее, нетрудно убедиться, что соотношение (7.37) эквивалентно насыщению в системе покоя сопутствующего условия (7.5) из § 2, u. 1：

讶〈р | [фр〈X, 0),屮а (0)11 р) = 6(7.38)

В самом деле,

0 = j d3x exp (——力qx) /〈p | [中口 (x, 0), q)a (0)] | p)=

=( d3x exp (— iqx) <p | [<p₽ (x, 0),(pa (0)] |p),(7.39)

я это есть условие того, что коммутатор [фР (х, 0), фа (0)] не содержит производных от 63 (х). Разлагая по полной системе промежуточных состояний и переходя к скалярным переменным, преобразуем уравнение (7.39) к виду

0 =言 J dg°q°t&a ①，Р)|р=о =詁 j 备 v/昵(V，w (v))=

=号 j 胃职 V 倂“(v,〃)6(〃一J + q2)；(7.40)

выполняя дифференцирование, окончательно получаем выражение

g[dvmv(霍必吃―W + q2)=0，(7.41)

совпадающее с соотношением (7.37). Аналогичные соотношения, разумеется, могут быть подучены и для высших коммутаторов.

Все изложенное выше проясняет ту фундаментальную роль, которую играет лоренц-инвариантность в изучении одновременных коммутаторов. Что касается правил сумм, то их зависимость от системы отсчета и следствия этой зависимости являются выражением тех ограничений на высшие коммутаторы, которые обусловлены трансформационными свойствами исходных перестановочных соотношений относительно бесконечно малых преобразований Лоренца.

То обстоятельство, что из матричных элементов одного-единствепного коммутатора следует бесконечный набор правил сумм, свидетельствует о том, что правила сумм алгебры токов по своей внутренней природе отличаются, например, от не релятивистских правил сумм, с которыми приходится иметь дело в ядерной физике.

Важное значение правильного выбора р уже было показано при выводе низкоэнергетических теорем для пиона, когда разложение по полной системе лромежуточных состояний производилось в системе покоя. В следующей главе мы покажем, что все правила сумм гл. 4, вытекающие из тождества Уорда и дисперсионных соотношений, могут быть последовательно выведены в системе р = оо.

Представление Лоу для запаздывающих амплитуд

Сказанное выше о зависимости правил сумм от системы отсчета относится также и к случаю запаздывающих амплитуд. Мы увидим, что представление Лоу [197] для запаздывающих амплитуд, вообще говоря, зависит от состояния движения внешних частиц.

Итак, рассмотрим величину

产(Q, Р,厶)=八 ^х exp (iQx) (p2 J R ( Ф₽ (у я：) Фа ( — 4 ^ ) ) I P1\(7-42)

где I рг) и I 卩2〉——скалярные одночастичные состояния, a R ((р₽ сра)—— запаздывающее произведение

e (叫貝)сра (一%))=8(%[砂传 2),严(一齐)].(7.43)

Если взять интеграл по х [определенный благодаря введению обычного множителя ехр (—ех0), регуляризующего интегрируемую функцию при 外=оо] и затем ввести разложение по полной системе промежуточных

состояний, то это даст

Т^^, Р, А)=-(2л)3 工 63 (Р + Q — р“)攵^■界"岑部 +n

+ 3)3 2 63(P — Q_pn)聾必=

-8

где /б06 — то же, что и в соотношении (7.26), а именно

歩a(Q，，Р, А)= * J d^exp (iQ'x) ^р2|[<Рэ 传“)，Фа( —4ж)]|л^ —

= (2л)з 2 б4 (^ + ^ —Рп) (р2|фр|п) <«|фа|Р1> —

- о т(7.45)

и

Q' = @, Q).(7.46)

Равенство (7.44) есть так называемое представление Лоу для амплитуды 716a.

В представлении (7.44) мы можем использовать скалярные переменныег построенные из Р, Q и А, т. е.

V = (QN) = Q；Po-QP,

J = Q'2Y — Q2,(7.47)

冰= (Q2) = Q；M-QA,

и тогда уравнение (зависящее от системы отсчета) дисперсионного контура таково [198]:

歩=0V‘2 + bw‘ + С,

(7.48} ” =hV + A,

где a, 6, c, fe, к — величины, даваемые формулами (7.33). Аналогичные соотношения имеют место и для переменных, построенных из Р, Q и А, для которых имеем

и = av2 + bv + с,

(7・49> и? = hv к^

с теми же самыми а, Ь, % Л, к (напомним, что Q，= Q).

Теперь мы можем выяснить, является ли Т^ инвариантной функцией величины Q, т. е. зависит ли она только от v, u, w. Если переписать пред^ ставление Лоу через инвариантные переменные, то соотношение (7.44) будет выглядеть так:

产(Q, e а)=J 鄕亿m(")，如 e))=

=J %^L 1V 瓦‘ dw/%Ba(* u'^) 6 (优一cv'2—从/ — с) 6 [w* — hV — к}. (7.50)

Следовательно, инвариантность амплитуды Т^ (Q) отнюдь не очевидна и необходимо выполнение некоторых условий, чтобы 7% (Q) была инвариантной, т. е. зависела только от инвариантных переменных v, u, w [эти три переменные, разумеется, связаны уравнением контура (7.49)].

Чтобы ввести переменные и и ^ в представление для Т₽а (Q), мы воспользуемся уравнением (7.49) и исключим из соотношения (7-50) параметры с, Л:

с — и ——av2 —

(7.51) к = w — hv.

Тогда получим

械—u = a (w'2 — v2) + b (vz — v) ~ (vf — v) [a (w‘ + w) + 用，

w/ — о = A (w，— v),

и соотношение (7.50) примет вид

7阿@ Р, А)= j -^du'dW't^(v',办，吟 X

X 6 [uf — и —a (v，2 — v2) — b (vz — v)] b[wr — w—h (vz — v)].(7.52)

Чтобы величина ТВ* (Q) была ковариантной, мы требуем, чтобы она зависела только от v, и, ь, но не от а, Ь, h. Исходя из этого требования, мы получаем три уравнения:

-^- J dvr dur dw^^ (vz, u\ и?Л)6 (^ — av，2 — &vz — с) 6 (^ — hvf—Л) = 0, 言 J dv' duf dw'Vfi^ (vr, z/, wf) 6 (uz — aw'2 —加，—,)6®'—hvr—后)=0, (7.53) 备 j dV duf duft^ (v\ u\ 歩)6也’ 一aw” 一 bv‘ — с) 6 (и/ — /rv‘ 一 к) — 0.

Здесь мы снова перешли к с = с (у, м), А = & (% и) в соответствии с уравнениями (7.51).

Условия (7.53) обеспечивают лоренц-инвариантность амплитуды Т*а (Q), жаковая тесно связана с инвариантностью 7?(碇 фа). Эта связь видна из того, кто уравнения (7.53) можно вывести из условий, требуемых для ковариантности R (ф₽(ра).•

Наконец, отметим, что для скалярных операторов зависимость представления Лоу от системы отсчета исчезает, если рассматриваются вакуумные матричные элементы, поскольку вакуум инвариантен относительно преобразований Лоренца. В самом деле, рассмотрим

т£靠= 6Мвак = » j ^хexp(i?x)〈0 I以(暇伶 ±)屮a (―昇))I °〉。(7.54)

Преобразования, аналогичные преобразованиям в случае запаздывающей амплитуды (7.42), приводят к представлению

со0.

&=\dq：齡 Т 弧千导,(7.55)

0— оо

где

九杖(g)=(2л)з 2 б4(,—рп)<о I ф₽ I 汽〉m |у| о〉=

=备 J &2exp@g")〈0 卜自(^ ?)屮"(—у^) |。〉•(7.56)

Из формулы (7.56) явствует, что t (g)——положительно определенная величина. Далее, / (,) — скаляр, и мы полагаем (u = д?)

%(4)= 8 (?о) t (и).(7.57)

Тогда равенство (7.55) дает

(7.58>(7.58>?вак= J du'詳^・

(7.58>

(7.58>

О

Соотношение (7.58) называется представлением Челлена — Лемана [90].

Мн видим, что ?вак = ?вак (，2) есть лоренцев скаляр.

Высокочастотный предел запаздывающих амплитуд

Посмотрим теперь, каков высокочастотный (Q()f 8)предел величины ?Ва (Q,尸,А) при перемещении по параболе, введенной в предыдущем разделе. Мы можем поступить следующим образом. Выражение (7.42) запишем в виде

?攸(Q) =/j成exp (耳。方)f肥⑴=± j山弾"G)备exp (小尚，(7.59) о0

где

炉阿(9= J d3z exp (— iQx) (й I [<₽₽ ( v ж)，屮"(一告 ％)]|Р»(7.60)

Интегрируя по частям и пренебрегая внеинтегральным членом, имеем

'ОО

7呢(4)= -去 7вa(0) -^ j 威expRCW /个限4).(7.61)

Если предположить, что фурье-образ

产(Qo) = "% exp (@)备弾& ⑴(7.62)

о

стремится к нулю при Q()f оо % то получим следующее асимптотическое выражение:

产(<?0),-今 f d3cexp( - ZQx) X

Q, P, Po, A，До фиксированы

X(P2I [学P (齐,0)，屮"( -^-X, 0)]|p1〉.(7.63)

, Разумеется, данная теорема в равной мере применима и к хронологически упорядоченным амплитудам, причем для любой пары тензорных операторов, взятой вместо <рВ и <ра.

Если требуется получить следующий член асимптотического разлон;е- ния (7.63), то аналогичная процедура дает

?統(4)~去 J d% eXр(-iQx)g| [賦仔 X,0) , Фа (-7х> 明 1卩〉+

+ 矗 J 炉" exp (TQx) ｛善也 I (喊(4" x,力)，吗x，力)]I • (7.64) Приведенные результаты могут быть также получены непосредственно из представления (7.44). Разложение (7.64) известно под названием теоремы Бьёркена — Джонсона — Лоу [121, 199].

Это показывает, что рассматриваемый предел является нетривиальным динамическим предположевием. Например, его справедливость опровергается в теории возмущений в том смысле, что по крайней мере в низших порядках каждый плен разложения теории возмушений по отдельности не удовлетворяет соотношению (7.63).

Ковариантная форма кластерного разложения

Из всего сказанного уже ясно, какова внутренняя причина того, что наши результаты зависят от системы отсчета, и как эта зависимость проявляется. Чтобы более четко показать роль различных вкладов в правило сумм и то, как влияет выбор системы отсчета на контур интегрирования, введем ковариантную формулировку кластерного разложения, рассмотренного в гл. 6, § 3.

С этой целью обратимся к соотношению (7.34) и к форме (7.50) представ

ления Лоу (7.44):

с₽а = JL j dv即а [V] dv,(7.65)

产(Q, р, А) = J ^7 力恥[V].(7.66>

Напоминаем, что здесь [соотношения (7.29) и (7.30)]

#a(Q, Р, Д) = тР« (С, р, А) —产|3(_0,尸，Д),(7.67)

的(Q, P, △)=亲,或纪 exp (@)〈P21 屮13 ( j^) ^a {—^X)\P^=(7.68)

=(2w)3〈& I W》(P + Q-П)屮011 &〉(7.69)

и, кроме того, в соотношениях (7,65), (7.66) мы символом [v] обозначили набор переменных (v, и,山)，связанных уравнениями (7.49), т. е.

и = av2 6v + с,

(7.70> w = hv к^

где а, Ь, с, %, А:——зависящие от системы отсчета параметры, даваемые равенствами (7.33).

Введем для матричного элемента обозначение

т₽« (ж) = (р21 Ф₽ (呉)0е ( —4"0)т〉(7・7今

и применим кластерное разложение к его связной части:

[тР® (Ж)]свЯзн = (Р2 I ф₽ (4х)屮a (—貝)丨卩力一

—<р2|Р1>(о|Фр(4^)呼(_^“)i°〉=

=(0|[[a(P2),絆(4Ж) У ( ~т^)] > a+(Pi)]|0〉・ (7.72〉

Вычислив двойной коммутатор, имеем )

[Т₽С6 (ж)]СВЯЗн = <0| [а(р2), <₽₽ (А)][屮a ( —уж) ,。+(“)] |0〉土

±〈01 [叫齐)，5*)][a(P2), Фа ( -y^] l°> +

+ (0 I <Р₽ (4Ж) [°(Р2), [<Ра ( —4^)，a+ (^)]]l°)+

+ (0|[[а(р2), фР (4Ж)]，a+ (Pi)]*Pa ( —у^) 10>'(7・73)

Затем воспользуемся трансляционной инвариантностью и применим тождества (через Пи мы обозначаем оператор 4-импульса):

Ф (初=exp (ZUn)屮(0) exp (―Ш/),(7.74)

[。(Р), Пи]== р^а (р),[师，а+ (р)] = р® (р), а (р) ехр (£Пж) = ехр [г (П -|- р) ж] а (р),(7.75)

exp (Лс) й+ (р) = а+ (р) ехр [г (П-|-р) ж].

Производя преобразование Фурье обеих частей равенства (7.73), находим [陋(ОНсвнзн =亲 j dx ехр (iQx) [т₽а (ж)]связн =

=(2吩(0| [a (pz),叫 64(Р + <?-П)[(р«, а+(Р1)] 10) 士

士(2n)3 (01 [<рР, а+ (рМ М ( — 尸 + Q + И) [а (凸)，旷]I °〉+

+ (2п)з (0|<рРб4(72-П) [а (р2), [Фа, а+(Л)]] 10) +

+ (2л)з(0|[[а(й), ФР], а+(Л)] б4 (?1-П) Ф« 10).(7.76)

Каждое из четырех слагаемых в правой части соотношения (7.76) имеет вид

Введем полную систему состояний и будем далее обозначать состояния через I Р, г), где Р ——полный З-импульс» a Z ——все остальные «внутренние» (в широком смысле) переменные. Таким образом, «масса» состояния М ⑴ есть функция внутренних переменных. НапишемВведем полную систему состояний и будем далее обозначать состояния через I Р, г), где Р ——полный З-импульс» a Z ——все остальные «внутренние» (в широком смысле) переменные. Таким образом, «масса» состояния М ⑴ есть функция внутренних переменных. Напишем宀阳 k,i〉〈"4|0〉^^宀阳 k,i〉〈"4|0〉^^(2л)3 <0 I /声佑 一 И) & 丨 0 ).(7.77)

Введем полную систему состояний и будем далее обозначать состояния через I Р, г), где Р ——полный З-импульс» a Z ——все остальные «внутренние» (в широком смысле) переменные. Таким образом, «масса» состояния М ⑴ есть функция внутренних переменных. Напишем

Введем полную систему состояний и будем далее обозначать состояния через I Р, г), где Р ——полный З-импульс» a Z ——все остальные «внутренние» (в широком смысле) переменные. Таким образом, «масса» состояния М ⑴ есть функция внутренних переменных. Напишем

宀阳 k,i〉〈"4|0〉^^

宀阳 k,i〉〈"4|0〉^^

(7.78)

и приведем это соотношение к более изящному виду.

(0)4264(^-n)41(0)=^(0iЛ2)t, 9〈力，k14|0〉8(面)6[/一"2(办(7.79)

Возвращаясь к равенству (7.76), находим

[的(Q)]CBH3H = 2<0||а (?2), фР]|Р + Q, %〉X

X G, р+QI [* а+ 3)] 10)е (А+q^ 6 КР+Q)2 — M(Z)] 士

± 3 <o I [<p₽, a+(Pi)]|Q —P,力5 Q—P| [a(P2), Фа] 10) X

X e (& — B) 6 [(Q - P)2_ “2 ⑺]+3(0|<p₽|q2, z2> X

x “2, q21 [a (P2)，2% a+ 3)]] | 0) 6 (g20) 6 © — ДР(切】+

+ W〈0"[a(Pz),屮％ a+(PM|5,公几 ％l 叫0〉8(%。) 3 [g； —川飞乙)],(7.80)

где через г, у,厶，% обозначена полная система состояний с барионным числом 1, —1 и 0 (мы считаем, что состояния 加 р2 несут барионное число 1).

Для перехода к явному виду кластерного разложения обратимся к правилу подстановки. Последнее означает, что матричные элементы

<0|[а(Р2)> Ф₽1|р + ч，0 = <Р2|фр|р + Ч> 1>связн(7.81)

〈一q —Р, W|[a(p2), ф₽1|0) = ( —q —р, 7; Рг| Ф₽|0)(7.82)

интерполируются одной и той же функцией F^ (р -\~ q, р?； %)•【В равенстве (7.82) через Z обозначено состояние, зарядово-сопряженное Состоянию Z.J Другими словами, для времениподобного вектора р + g из конуса будущего функция Fr (р + q,卩2； %) Дает матричный элемент (7.81), соответствующий in-состоянию г с импульсом р 十 g и барионным числом 1 и out-состояниям нуклона р2 и источника q)P (的)

<Рг I Ф3 I Р + q. i〉= / (р + g, ?2； 9, Го + ?о > 0. (7.83)

Точно так же матричный элемент (7.82), соответствующий out-состояниям источника 屮В(02), нуклона р2 и «антинуклона» —р — q, будет представлен функцией Fp импульса р + g из конуса прошлого:

(—q —р, Z; P2I 暇 |0〉=尸в(р + д, А； % Po + OoVO.(7.84)

На том же основании матричные элементы

<0| [[аф2), ф₽1, a+(p，)]|q, 2〉=〈₽21 <рВ I Pl； q, ^связн (7.85) И

〈一q, Z| [[а(р2), ф₽], a*(Pi)] |0〉=〈一q, %； P21 Фр|Р1)связн (7.86) представляются одной и той же функцией

?BZ 01，д； ?2)・(7.87)

Наконец,

@ % 1 屮"I 0〉=加а(0),

(7.88)

<0 I фа I Z, —q〉=加а (办

В новых обозначениях равенство (7.80) приобретает вид

Ma (ОНсвнзн = tF (0) + 君1 (0,(7.89)

где.

这a (Q)=工 /(p2, 02, 0 尸乳加 S,目 8 ((尸 + Q)2 一 m2 ⑴)0 (A + Q0 + г

十2理3, —02,力/(卩2, -g,,96((P-Q)2-MG))e(Qo-P。)， (7.90) т件(Q) = 3 聂"(Pl, 5； P2)加а (%) 6 (q； _ М (幻)0 @。) +

+ 工？叫(Pi,—效；P2)強в ( — 02)5 (q； — M2 (Z2)) 0(020)・(7.91)

Важная особенность соотношений (7.90) и (7.91) заключается в том, что величина /В (—Q, Р, Д), через которую выражается 歩а [формула (7.67)], получается из них просто заменой знака в аргументе 0-функций. Теперь мы можем привести окончательное выражение для функции 歩气 фигурирующей в формуле (7.67):

#а = ^х +帝，

где

承=У А 3,先,j)典 3, g” i) A (S_ 呪(i))十

+ ?端(Pl，-02, %)/(P2, 一%，9A6一"2(9), (7.92) 蜃=S ^₽?1(Pl)Qi；「2)九a (心)A (g； —Л/2 (4) +

+ W T叫(Pi, —02； P2)勿26( — 效)A (g； —М?闯)・(7.93)

Z2

Здесь мы ввели обозначение

Д 俨 一 "2) = 6 © 一 м2) [0 (乳)一 0 (—?/•

Отметим, что в окончательном выражении (7.92) коэффициент, скажем, при A (s ——М2) содержит: 1) «прямой вклад», соответствующий положительной энергии [9 (Qo + Ро)], и 2) «Z-вклад^, соответствующий отрицательной энергии [0 (—Qo — А)]・

Данное обстоятельство указывает на ту глубокую взаимосвязь этих вкладов (отчетливо проявляющуюся в диаграммах Фейнмана), которая должна иметь место при инвариантном подходе.

Общая структура и локализация различных вкладов в iPa видны из равенств (7.92) и (7.93). Вклады класса I (《прямые》и Z-диаграммы) происходят от пересечения параболического контура интегрирования (7.70) и (7.71) с плоскостями s = М2 (Z),s = М2 (i) и соответствуют двум парам (зависящих от системы отсчета) решений уравнений

8 = (? + 我 + 2屮=7712一套方 + 我“)+ 2^ = Л/2 (2),

_!° с(7-94)

s = o + u—2v —тп2—-^- £ + u (v) — 2v = M2 (i).

Появляющиеся в равенствах (7.90) и (7.91) 0-функции показывают, что «прямому» вкладу соответствуют пересечения

(V)d = — Р； + А [(Р + Q)2 + 必2 ⑴产一PQ,

(7.95}

(V%=P； —P°[(P-Q)2+M2 ⑴]1/B-PQ,'，

a Z-графам соответствуют пересечения

(v)z= - P? - Po [(P+Q)2 + M2 (i)l1/2 - PQ,

(vz)z = ^ + Po [(P - Q)2 + M^ (i)]1/2-PQ.( ■〉

Поэтому можно считать, что наличие вклада Z-диаграмм является следствием того, что плоскость s = const (или s — const) 2 раза пересекается с параболическим контуром интегрирования.

для V3(7.97}(7.98》(7.99》для V3(7.97}(7.98》(7.99》Точно так же вклады класса II происходят от пересечения параболы с плоскостями ux = М2 (ZJ, и2 = М2 &)• Они соответствуют (зависящим от выбора системы отсчета) решениям уравнений второго порядка

для V3

(7.97}

(7.98》

(7.99》

для V3

(7.97}

(7.98》

(7.99》

%, 2 = "(V)+ N 力士勿(V)= М2 & 2), а именно

(办=—^p<A>+a[m2@)+(q+^a)2]%—pq,

(^)1= 一^Р心о一Ро[〃2(Zi) +(Q + ^*A)] "—PQ и

(v)2=Ap0a0+p0[^(z2)+ (q-4a)2]1/2-pq,

(吟2 = ^Р心。一%[m2&)十(q一^A)2]1/2_pq.

Картина становится совершенно ясной, если обратиться к дисперсионному соотношению (7.66) для 713a по параболическому контуру (7.70). Точками пересечения дисперсионной линии с плоскостями s — const, s = const* ,；2 = const определяется положение различных особенностей. Наличие различных вкладов в правило сумм связано с тем, что амплитуда Т₽а (s, 7, ип и» имеет особенности по переменным s, s, %, u2, отвечающие-

возможным значениям масс обмениваемых состояний в соответствующих каналах. На фиг. 7.1 показаны промежуточные состояния, приводящие к вкладам типа (仍由(")d, W)z，(")z，(v)n (v^i, (v)2, ("%•

В силу того что соотношение (7.66) представляет собой дисперсионное соотношение с переменной массой^ в дисперсионный интеграл вносят вклад, как особенности по s, s (класс I), так и особенности по g：, д： (класс II).

Подчеркнем, что кластерное разложение можно сразу же распространить на тензорные амплитуды более'общего вида, такие, как］

勿尸贵J dMexp(@)(p』［/v (4Ж)，九(一异)］向，

где j” ——произвольный векторный или аксиальный ток. Такое обобщение окажется весьма полезным в дальнейшем, поскольку в случае электромагнитного тока jv тензор fv|t играет фундаментальную роль при рассмотрении процессов электророждения на адронных мишенях и е +е"-аннигиляции в адроны (гл. 8, приложение II). В частности, чрезвычайно важное значение имеют: 1) правило подстановки для ^vu, связывающее в случае электромагнитных токов электророждение с е +е"-аннигиляцией в адроны, и 2) анализ различных вкладов в fVJi. Мы, например, покажем, как в различных физических процессах с вполне заметным эффектом проявляются вклады Z-графов.

Огромное преимущество кластерного разложения связано с тем, что- все вклады в дисперсионный интеграл можно выписать в явном однозначном виде, не прибегая к сложному анализу общих аналитических свойств функции трех переменных % 办 吟 聲

Представление о спектральных свойствах функции t (v, и) в упрощенной кинематической конфигурации 贝=?；三 〃,土 = 0 дает фиг. 7.2.宮 указан*

22*

ной конфигурации вклады s-канала сосредоточены в области, определяемой неравенствами

т. е. и十21V>0,

причем второе неравенство следует из того, что и достигает максимального значения при q = 0 и р = 0.

Фиг. 7.2

Точно так же вклады s-канала сосредоточены в области

s^m2, т. е. и — 2v^0,

v2(7.101)

Наконец, «массовые» сингулярности сосредоточены в области

閥 &а《^,(7.102)

где т0 ——минимальная масса адронного состояния с соответствующими квантовыми числами.

На фиг. 7.2 проведена также парабола

ГО ГоРо

и обозначены корни уравнений (7.95), (7.96* (7*98) и (7.99), соответствующие s = пД s = пг2, и =嗚 Отметим, что парабола, конечно, несимметрична относительно замены v f ——w, и, следовательно, два корня (7.95) и аналогичные пары (7.96), (7.98) и (7.99) несимметричны, хотя t (——v,我) = ——力(v, u) при Y = 72-

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, мы сталкиваемся с астрономическим количеством правил сумм. С чисто теоретической точки зрения 卫се они представляют одинаковый интерес, поскольку все они относятся

к «наблюдаемым» физическим величинам. Но с практической точки зрения необходимо отличать «наблюдаемые» величины от измеренных величин. Таким образом, основные приложения алгебры токов достигаются выбором конкретного дисперсионного контура с целью выделения небольшого числа легко отождествимых ведущих вкладов.

Мы видели, что правила сумм в брейтовской системе отсчета (Р = 0), соответствующие симметричному контуру с максимально возможным значением параметра а в уравпении (7.33) (т. е. максимально «крутой» параболе), позволяют выделить пионный вклад класса II и дают простые выражения для амплитуд в пределе мягких пионов.

Другой крайний и очень важный случай, который мы детально рассмотрим в гл. 8, — зто случай системы бесконечно большого импульса. Такая система определяется соотношениями ；)

Ль I РIт оо, РА = PQ = 0,(7.103)

т. е.

а = 0, b = 0, с = —Q2,

(7.104)

无=0, к = —QA.

Таким образом, дисперсионный контур задается прямыми

,；=const, 虚=const,

что приводит к дисперсионному правилу сумм при фиксированной массе» о котором говорилось в гл. 1 и 4.

Эта упрощенная форма дисперсионного контура облегчит анализ различных вкладов в правило сумм. Действительно, вклады класса II и вклады Z-диаграмм класса I будут иметь место только при бесконечном значении энергии [vlt2,屮工2, ”z,眩+8； см. формулы (7.98), (7.99) и (7.96)]. Разумеется, при этом

"d,%f 士^*加2⑼.

Возможность пренебрежения этими вкладами, конечно, зависит от динамики. Во многих случаях вполне допустимо принимать их равными нулю. Этот вопрос мы рассмотрим ниже, в гл. 11.

Чтобы проиллюстрировать применение правил сумм, которые можно получить в любой системе отсчета, мы рассмотрим в следующем параграфе важные правила сумм наиболее общего вида, вытекающие из перестановочного соотношения для аксиальных зарядов.

§ 5・ Пример коммутатора аксиальных зарядов

Применим изложенный метод к весьма интересному случаю коммутатора двух аксиальных зарядов, взятого между однонуклонными состояниям^:

〈Р21 @, Са] I Pl〉= iePaT (р21 0 I р,〉.(7.105)

Наша задача — вывести из соотношения (7.105) правило сумм наиболее общего вида, с тем чтобы выявить зависимость различных вкладов от системы отсчета.

Как мы уже не раз делали, выразим матричные элементы зарядов через матричные элементы дивергенций, для чего воспользуемся соотно-

Иной предел бесконечно большого импульса (Q=@P+”，Pfoo, @и” фиксированы) предложен Сегре [567]. В этом пределе уравнение контура (3.29) становится уравнением прямой u = Eg + & в плоскости % и при фиксированном w. См. гл. 11* уравнение (11.133) и далее.

шением

[Q, Я] = 1^=г j d3t力(X),(7.106)

из которого следует равенство

81@=)d32S|方(#研*.(7.107)

Конечно, в применении к однонуклонному состоянию последнее равенство приводит к неопределенности (ибо знаменатель обращается в нуль). Поэтому прежде чем использовать равенство (7.107), удобно выделить однонуклонный вклад. Таким образом,

<Р2 I Се I Р'〉S' 10“ I PC +〈Р2 I j d^d^ (Х1)回一氤Щ 方а(Х2)I Р» 一

—перекр. чл. = щау — ^2Е (2л)3 63 (р2 — Pi), (7.108)

где 卧——оператор проектирования, исключающий однонуклонное состояние.

Выполняя интегрирование по х и вспоминая, что однонуклонный матричный элемент заряда есть

〈Р|01р'〉= (2зт)3 63(р-р，)Га2ор^*(7.109)

нетрудно получить соотношение

吟告Й * 4刁十①I严繆与^讲一(〜叨w粤=

=[#,打].[(7.110)

13десь Pu = (Н, Р) есть оператор 4-импульса.] Вводя затем фундаментальный тензор

0肥g)=(2h)3(p j 力%4 (p + g 一 尸)加曲=^ [叫俨]冰->卜)+ ^w^) ⑷，(7.111) окончательно получаем

咸备+ 2 J 繇办г 5,0) =丄(7.112)

%opor

(Множитель 2 перед интегралом связан с наличием перекрестных членов.) Поскольку w (,) фактически есть функция скалярных переменных

"= 0p = q点，

"=就=衣

равенство (7.112) можно также переписать в «инвариантной форме»

吟忠+2 j dvdu^J^^u^^ (7.114)

Данная форма правила сумм довольно ясно демонстрирует его зависимость от системы отсчета, а именно от Е. В системе покоя (р = 0) однонук- лонныи член равен нулю (что и следовало ожидать в силу сохранения четности и углового момента), а в пределе при Е f 8 0H равен г賢.Дисперсионный интеграл берется по некоторому контуру в плоскости (-v, и), зависящему -от энергии нуклона Е. Если мы изменим значение Е, то точки пересечения

параболы с прямыми s, s или u = const сдвинутся и веса различных вкладов перераспределятся.

В качестве иллюстрации напомним явный вид вклада в м/^В однонуклонной Z-диаграммы

(w^)Nz = - e 目 m 煞'р团。〉負，(7.115)

где р = (£\ ——р) есть импульс антинуклона. Вклад данного выражения в правило сумм (7.114) равен

傳疗(4%,(7.1田)

где

d ⑴=Gi (/) + 2mz ^2 (О-

В случае свободных полей d (土) = гЛ и комбинированием нуклонного «прямого» и Z-вклада можно получить (не зависящее от системы отсчета) слагаемое га-

Выделим теперь однопионный вклад. При вычислении этого вклада необходима осторожность, поскольку в рассматриваемой кинематической конфигурации ^ = и2 и совпадение вкладов 口工 и и2 приводит к формальной проблеме их разделения, которая легко решается переходом к конфигурации «почти вперед». Нам придется рассмотреть функцию w^a (-v, u1T u2) с немного различающимися аргументами их и и2, а в конце всех вычислений перейти к пределу при и2.

Однопионный вклад в wpa таков:

(認)3t =呜 /л [(Й I 万° I Pl,办3 6 (如一啮)8 (^0)+

+ {Рг» 0201D" 3〉6 他一")8 @o)]・(7.116)

(Напомним, что <0 | £>р | ^г ) = ^л/лбев*-) Вводя оператор %₽, определяемый равенством

(□ + ^)Z>₽ = mW>(7.117)

имеем

(/")“ =偌偽[5 %匕肾由 3 (% — ml) 9 (gQ 十

+ "嘿■维办)■ 6 他一嗚)9(920)] •(7.118)

Далее удобно ввести интерполирующую функцию

睞6(Р"弘，Рг, ?2)三歹昵仪，Ui, u2) = (m^ — Ui) (mJ； — г^) X

X 患，&旣 exp (3)〈◎ 18 (% 尹传“)，加(一昇)]I р〉(7.119) co следующими свойствами:

<p2 lxp|pi, ga〉=冲(v,啮，иг),

《m, g2p| Xе I Pi> =产(v, %,嗚)，(7.120)

7歌(V)= P0a(v,嗚，唸)，

где 7'据(v) есть физическая амплитуда пион-нуклонного рассеяния.

Таким образом,

(/°% =咻故/а(% м,&)[60 (弘。)十9 @о)]=

=讐尸昵(v, %, "2)[6例。-7?一患效。一側")],(7.121)

и в пределе при % =。纟=4 окончательно получаем

(俨)" =V/产農三备6(V _ V。), где мы к тому же положили v0 = тпЕ.

Итак, однопионный вклад в правило сумм (7.114) оказывается равным

Р"“ 尊^^負6(_М =

Y[军争 Т鳥『吗(7422) (Напомним, что 改)海一четная функция аргумента v.)

Мы видим, что основной пионный вклад пропорционален амплитуде пион-нуклонного рассеяния вперед, вычисленной при энергии

v0 = &мя・(7.123)

Графически v0 определяется пересечением параболы u = v2/£2 с пионной линией и = Ши (фиг. 7.3).

Второе слагаемое в выражении (7.122) (оно порядка т^) зависит от амплитуды F(V, и(V)), взятой вне массовой поверхности. Таким образом, в основанных на алгебре токов теоретических оценках рассеяния физических низкоэнергетических пионов мы сталкиваемся с трудным выбором между плохо вестным коммутатором [Z>P, D^^ который мы использовали в предыдущей /лаве, и экспериментально столь же плохо известной амплитудой слабого взаимодействия f> (v, и (v)).

Соберем, наконец, все части нашего правила сумм. Полезно ввести амплитуду

严(V, u) = i J 办土 exp (如)<^p|x₽ (4 ^) Xa ( —4 н)卜〉=

=(m^ — u)2-~- w₽a (v, u);(7.124)

тогда Tak (”о) приобретает окончательный вид

7笈細)=/ 口 +限矗f "州1i」-

-貴。< n —2" j /(*：買-S-(7/25》 mN%

Соотношение (7.125) в принципе дает определенное выражение для физической амплитуды пион-нуклонного рассеяния вперед при любой энергии. Как уже отмечалось, вблизи порога (v0 =皿几加^) нуклонный член обращается в нуль (так же как и вклады всех не вырожденных по четности резо* нансов), и в результате мы получаем формулу Томозавьг — Вейнберга» дополненную поправками порядка т^ и выше:

^ (порог.) = -^-[1 +拄啮嗚捻У 門『g-

—2m^m^f J 西h"а野尸"，"⑺),"(v) = W・亿126》

Сравнивая данный результат с формулой (6.137), мы видим, что^ последней вместо {(d/dv2) [$「> (v)/v]}v==m2vmji фигурирует коммутатор Ю, D] и иная форма интеграла по непрерывному спектру. В частности, соотношение (7.126) [или (7.125)] показывает, что в данном случае интеграл по непрерывному спектру расходится в точке v = mnmN (или v = v0). В то же время, поскольку F(V)имеет корневую точку ветвления при v — v0, в слагаемом, содержащее (@/@~2) [F (v)/v], также содержится бесконечность. Разумеется, указанные две бесконечности взаимно уничтожаются [в приложении II показано, как проще сформулировать соотношение (7.126), пользуясь только конечными, величинами].

Выражение для T(r (v0) выше порога выглядит вполне разумным, оставаясь, однако, бесполезным. Например, при не очень больших значениях v0 единственной осязаемой поправкой является нуклонный член.

Наконец, полезно обратиться к теперь уже классической конфигурации- 笈 f 8. Предел Е f g соответствует пределу v0 —> оо, и любое заключение- зависит от динамических предположений относительно асимптотического поведения физических амплитуд и формфакторов.

Так, используя модель полюсов Редже, имеем

J 窓依L^v»ei(7.127>

Vo %f ОО，

и Т(-)(v0)/v0' исчезает в пределе при vft -> оо, ибо для р-траектории ар (0) а

/ 2*

Кроме того, если взглянуть на выражение для вклада нуклонной /-диаграммы [формула (7.115')], то мы увидим, что он зависит от предела lim (1/4R2) @2 (ZE?)； в частности, обращение его в нуль является следствием^ «гладкости» оператора аксиальной дивергенции (см. следующую главу).

Если предпол ожить, что в 产一)можно пренебречь вкладами класса II и Z-вкладами класса I, то отсюда следует правило сумм Адлера —— Вейсбер- гера:

吟=1一2茫 J 亲/C(%0).(7.128>

Чтобы привести это правило сумм к общепринятому виду

吟=С+ 務皆 j Imre(v,0)穹尸， (7.129) mNmn

надо использовать соотношение Голдбергера ——Треймана /л = mNrA/gnN 犯 положить

几产-)(% 0) = ImT㈠(招 0)

[T(_) (v, 0)—амплитуда для случая безмассовых пионов].

Полезно отметить, что в пределе при тп —> 0 соотношения (7-126) д (7.128) [или (7.129)] в точности эквивалентны. В самом деле, имеем

(7.130)(7.130)lim J息(Н吧・L=/排几 т° mnmN/л

(7.130)

(7.130)

получимполучим]im ?㈠（口啪。n） 叫1fo叫17nM]im ?㈠（口啪。n） 叫1fo叫17nM需十善f箱m?c（v）.mNmn需十善f箱m?c（v）.mNmn(7.131)(7.131)Написав для [T'f (v)/v]nopor дисперсионное соотношение с фиксированными массами без вычитаний (что оправдано, так как T(_Vv ->0 при v ->- оо),

получим

получим

]im ?㈠（口啪。n） 叫1fo叫17nM

]im ?㈠（口啪。n） 叫1fo叫17nM

需十善f箱m?c（v）.mNmn

需十善f箱m?c（v）.mNmn

(7.131)

(7.131)

Приравнивая выражения (7.130) и (7.131) с учетом соотношений Голдбергера ——Треймана и ЧСАТ (при тл = 0 оба соотношения являются точными), снова приходим к соотношению (7.128) или (7」29).

§ 6. Хронологические произведения 〃 низкоэнергетические пределы

Изложенным в настоящей главе методом очень полезно вывести низкоэнергетические теоремы [198, 200], хотя это и не дает принцихшально новых результатов. Проблема, которую мы хотим исследовать, вкратце заключается в следующем. Нам часто приходится иметь дело с низкоэнергетическими теоремами для амплитуд, не относящихся непосредственно к экспериментальным данным, как это было, например, в гл. 3, где мы установили результаты такого рода для амплитуд, относящихся к безмассовым пионам. Для извлечения из упомянутых теорем информации о физических амплитудах мы собираемся использовать представление Лоу, т. е. дисперсионное соотношение вдоль параболического контура в (v, и, ^-пространстве [мы рассматриваем -случай q： = q； = % 必=% (代一0：) = °】・

Сформулируем низкоэнергетическую теорему. Мы исходим (как и в гл. 4, § 1) из ковариантной амплитуды T^S (удовлетворяющей тождествам Уорда гл. 4, § 2), соответствующей рассеянию вперед 伉=〃 =р, % =矗=力

?馭=i j d气 exp (勿土) (p\T (就⑺ 45 (0)) ] p),(7432)

где a, p — SU (2)-индексы. Таким образом, дивергенции рассматриваемых токов обладают квантовыми числами пиона, а внешние состояния являются ^нуклонными состояниями.

Рассмотрим тождество Уорда (4.14) (для рассеяния вперед). В нашем <случае оно гласит

q^T^^W^fy, u)-is^v + Spa,(7.133)

где—

Ж₽а = 5，d4H еХр ㈣力 3 7 (力В (н)力а (0))1 Р),

.а _(7.134)

5₽a = i J 唱 ехр (Tqx)〈р I [戚(х, 0),加(0)] I p).

Соотношение (7.133) (для физических пионов) является аналогом соотношения (3.63), полученного для безмассовых пионов. Но сейчас его правая часть содержит еще два слагаемых. Во-первых, появляется амплитуда W^^ связанная с ^-произведением двух дивергенций, обладающих квантовыми числами пионов. Во-вторых, присутствует последнее слагаемое SB", связанное с одновременным коммутатором, обладающим квантовыми числами скалярной частицы, которому можно придать смысл нуклон-нуклон-мезонной вершинной функции. В a-модели (гл- 5) слагаемое S^ фактически оказывается пропорциональным константе взаимодействия нуклона и (т-мезона.

Низкоэнергетическую (q乩 т 0) теорему для W^ проще всего выводить из равенства (7.133). Действительно, нет необходимости заботиться об обращении в нуль 0口0旷7§^ в 9ToMj пределе, поскольку нуклонный вклад при V —0, u f 0 имеет обращающийся в нуль знаменатель ——обстоятельство, с которым мы познакомились в гл. 3. Рассмотрим затем вклад класса II в Т§^, даваемый промежуточным пионным (физическим) состоянием в токовой линии. Данный вклад был весьма существенным в случае безмассовых пионов, который мы рассматривали в гл. 3, а сейчас (в отличие от упомянутого случая) имеет полюс при ,? = т^ и регулярен при q^ = 0. Таким образом, соответствующий член в g^gv7gg обращается в нуль в пределе при ^乩 f 0 и потому не требует особых забот.

Следовательно, можно написать

?Т^ = (/gVz嘅)N 十。(％)(7.135)

Величина(0匕0旷7§：)汽 исгко вычисляется (как в гл. 3). Используя матричный элемент

S' I А* IР〉=「а" 3) YuY5a(Р)^ 乎十。((/ — Р)J(7.136)

получаем

W^)N =吗 為曜4 個們 V j%p} R +。仇)].(7.137)

Теперь все амплитуды разобьем, как обычно:

ж₽а = 8a^w++^ [те, та] W-,l〉(7.138)

и учтем, что 8吧=S% = 56аР. Тогда из тождества Уорда (7.133) получаем при Сц f 0

杯+(% u)= —5 + O(v2),(7.139)

w一"，")一 = 1 + lim 崂.詳7吗 +0(V2).(7.140)

(Напомним, что W+ ——четная функция аргумента v, a W^ — нечетная.) Принятые в соотношении (7.140) обозначения неудовлетворительны.

В самом деле, асимптотическое разложение W^a в окрестности w = 0, и = 0 неопределенно, пока не задан контур в плоскости (v, %), вдоль которого имеет силу данное разложение. Это обстоятельство связано с тем, что из-за сингулярности нуклонного вклада на линиях v = 士^/纟》и точка v = 0, 初 = 0 не является регулярной. Разумеется, мы вольны выбирать контур

по своему усмотрению, и асимптотическое разложение соотношения (7.140｝ зависит от такого выбора. Однако подходящий контур надо выбирать с учетом того, что надлежит делать впоследствии. Итак, положение следующее. Ни для какого контура мы не можем совершить физический (экспериментальный) переход, по крайней мере в настоящее время. Таким образом, мы вьгнуж- дены проверять соотношение (7.140), оценивая его левую часть каким-либо косвенным экспериментальным! методом, т. е. используя дисперсионный подход. У нас есть представление Лоу для Т-произведений, и это представление —единственный имеющийся в нашем распоряжении инструмент. В данной кинематике представление Лоу есть дисперсионное соотношение- при фиксированном 必=0 и при % 二 v2/^2. Именно этого контура мы и будем придерживаться. Если рассматривать переменную q^ то мы получим этот контур в плоскости(V, и), положив сначала q = 0, а затем перейдя к пределу при Оо f 0 при фиксированном р. Вдоль такого параболического контура асимптотические разложения соотношений (7.139) и (7.140) дают

叩十(0, 0) = -S 三 С+,(7.141>

Ит忙竺曳_ = 1 一燈嵋=С-(7.142)

v-o,V厶炉

U=V2/E2

Е фиксировано

(обозначения С+, С" окажутся удобными в дальнейшем). Именно эти низкоэнергетические теоремы мы предполагаем использовать.

Как уже говорилось, мы не можем экспериментально совершить переход вдоль параболы (доказать это мы предлагаем в качестве упражнения тем нашим читателям, кто наделен способностями к экспериментальной физике). Остается использование представления Лоу. Мы можем использовать представление Лоу по любой из переменных 70 или v, помня, что важно лишь знать, что зафиксировано, т. е. что 忆岂 ——v2/^2 = 0.

Таким образом, мы имеем

-心国=Jw ｛嘤* + "С挣｝，(7，143)

где 如阿[v] означает 如阿(v, zz (v)), a 必眦 определено соотношением (7.111). Равенство (7.143) есть представление Лоу для 叩。& вдоль параболы и = —v2/^2. Используя данное представление Лоу, низкоэнергетические теоремы (7.141) и (7.142) можно привести к виду

「= 2 j等卄],(7-144)

О

l=2j岑中・(7.145)

о

Условие (7.145) идентично выражению, полученному в предыдущем разделе насыщением одновременного коммутатора [QB, 2а] [соотношение (7.114)]. В то же время нетрудно убедиться, что равенство (7.144) совпадает с результатом, получаемым насыщением матричного элемента (г-коммутатора @,方啞

Из сказанного в предыдущем параграфе ясно, что в точке и = тпд» V = v0 функция W^(V, и (г)) имеет двойной полюс с вычетом, пропорциональным физической пион-нуклонной амплитуде ?2^ (v0):

%脏〜闻三方评囑&)•(7/46А

Поэтому полезно ввести функции

歹版=(喝废尸［呜一 m (V)P杯叫严=(福盘尸［啮一〃⑺削肥，

*гак чтобы функция 耳曰“ была регулярной при v = v0 и выполнялось условие Нт^%] = т^&).(7.148)

V-V0

Теперь очевидно, что результат предыдущего параграфа (или гл. 6, § 5, п. 2) можно получить, написав для FB” дисперсионное соотношение <с одним вычитанием, которое связывает предсказание алгебры токов для $В& в точке V ^ zz — 0 непосредственно с экспериментальным значением 尸В” при V — v0, zz = ?Пл. По прежде чем писать такое правило сумм, следует 'Обратить внимание на асимптотическое поведение 尸В” при больших v. Поскольку асимптотически 歹〜w4H^ из справедливости дисперсионного соотношения без вычитаний (7.143) следует лишь существование для F (v) дисперсионного соотношения с двумя вычитаниями 工).

Таким образом, нам нужна некоторая дополнительная информация об асимптотическом поведении F (v). Такая информация, конечно, содержится в пределе, даваемом соотношениями (7.63) и (7.64).

Используя разложение

尸阿[V]=九声 + [V] + 彳[ТР, <]臓一 [V],

(7.149)

имеем

戸^^d+,

F~ / v2/,

(7.150)

где

九户=f &吃〈p 1 近6 (x),加(0)] 1 p〉，

4 [比們仁=毒• J ©з土①|[O₽ (x),加(o)]|公

(7.151)

Таким образом, из соотношений (7.150) видно, что для написания дисперсионного соотношения без вычитаний мы должны использовать вспомогательную функцию

F± [V] = F± [v] -(v2-v^d±,(7.152)

для которой, конечно, выполняется равенство

Im 戸==Im 歹士.(7.153)

В интересующих нас точках 屮=у。, v = 0 имеем

尸 + Wol =尸+ MI = 7b (vo)?

声[V。] = F- [v0]=制型",(7.154)

:F±[0] =0士[0]+寸/=芳+寸产.

т) Мы используем то обстоятельство, что в дисперсионном соотношении для четной & нечетной частей 渺& основной переменной является v2 [формулы (7.144) и (7.145)].

Итак, мы без опасений можем написать дисперсионное соотношение с одним вычитанием

产[喲=产[0]+修(绵11n察丫]

L О JI J '冗 J £2v 2 —峭

которое окончательно дает

dv2 Im 尸+ [*]v2 v2 — vj ，

7*N(v。) с-(Vo) у# [喏 f 询2 hnF-[叫.

Vo 一挣十 0 三 J V2 v2-vg *

В случае максимально крутой параболы (v0 = 加汽加几)

(7.155)(7.155)(7.156>(7.156>(7.156,)(7.156,)мы имееммы имеемTgn (加^皿“)Tgn (加^皿“)加师以加师以芯芯г0(/^).г0(/^).(7.157)(7.157)С" (v0 = mNm^ = 1 и соотношение (7.156') принимает вид

(7.155)

(7.155)

(7.156>

(7.156>

(7.156,)

(7.156,)

мы имеем

мы имеем

Tgn (加^皿“)

Tgn (加^皿“)

加师以

加师以

芯

芯

г0(/^).

г0(/^).

(7.157)

(7.157)

Приведенная формула дает корректную интерпретацию мягкопионной теоремы применительно к физическим пионам. Экстраполяция вдоль параболы свидетельствует, очевидно, о том, что формула, полученная в приближении мягких пионов q = 0 при 乳-> 0, справедлива и в применении к физическому л TV-рассеянию вблизи порога, так как поправки имеют порядок малости Шп по отношению к основному члену.

Соотношение (7.156') для случая максимально крутой параболы совпадает, конечно, с выражениями, полученными в гл, 6 насыщением матричного элемента коммутатора QL и Q^

Приложение 工・ Токи и ковариантпостъ

Введение

Даже в классической физике иметь дело со спином непросто. В данной главе мы рассмотрели требования ковариантности по отношению к матричным элементам коммутаторов скалярных операторов. Столь же полный анализ в случае высших тензорных операторов вряд ли возможен, так как осложнения, вызываемые спином, почти непреодолимы.

Но в принципе физическое содержание требований ковариантности остается тем же, что и в теории со скалярными операторами. Для иллюстрации осложнений, обусловленных наличием спина, мы рассмотрим ряд особо* важных случаев.

Ковариантность вакуумного среднего 22-произведения двух токов: представление Челлена — Лемана

Сказанное в § 3, возможно, убедило читателя, что зависимость от системы отсчета, например, представления Лоу [формула (7.44)] обусловлена тем^ что матричные элементы берутся между состояниями с определенным импульсом, чем неявно фиксируется система отсчета. Это, безусловно, верно в случае рассмотренных выше скалярных операторов, но в случае высших спинов дополнительной причиной зависимости от системы отсчета является тензорный характер операторов.

Это положение лучше всего можно проиллюстрировать, рассмотрев вакуумное среднее запаздывающего произведения двух токов [196, 121] (по аналогии с проведенным в § 3, п. 4 анализом для скалярных операторов). В данном случае нельзя обвинить вакуумное состояние в предпочтения какой-либо системы отсчета, й любая зависимость вакуумного среднего

от системы отсчета должна быть приписана тензорному характеру рассматриваемых операторов.

Рассмотрим

т舞=6aHv“ (?) = i j d% exp (iqx) (01R (爬(z)尤(0)) 10).(I.l>

Ряд уже знакомых преобразований приводит к представлению

ОО

為“(0)= )歯。-一 J 因。—，(L2)

О— ОО

где 为а определяется так же, как и в гл. 6, § 2, т. е.

баз如(7)= (2л)3 3 м (д-Ра)〈0]并 I 戏m I 尤 10) =(1.3)

=去 j 办立 exp (皿)〈01 /v ⑺扑(0) 10).(1.4)

Величина Zvu (f) —— это настоящий тензор второго ранга, и мы разлагаем его:

%“(『) =0 (砲[а 3) g“v + b ("') д©],(1.5)

где u' = g'2 = g『一q2.

Все это, однако, не гарантирует, что Т*“ тоже будет тензором второго ранга. Выбор вакуума в качестве внешнего состояния дает нам право ожидать, что ковариантность не теряется в связи с контуром интегрирования. Тем не менее сделать вывод о ковариантности 7寸以 на основании ковариантного выражения (1.5) для 方丫以 в общем случае невозможно; будут присутствовать дополнительные нековариантные члены, пропорциональные g^ogva Но в этом нет никакой трудности, поскольку, как мы уже не раз подчеркивали, именно тензор £屮以,а не Zvw непосредственно связан с наблюдаемыми величинами [см., например, соотношение между Ъ (и) и сечением е+е~-ан- нигиляции, равенство (6.22)].

Чтобы продемонстрировать наличие членов, зависящих от системы отсчета, напишем

0N = 0h + 母(0О - 00)，九以-guo([。6)

и, подставив равенство (L6) в соотношение (1.5), получим] из соотношения (L2)

Tvu⑷= 4(u)g“v+B(zz)电0v + %MvJ du'b(u'),(1.7)

о

где

(4 (и), В (〃)) = J ^^ (。(吟，b (优))(1.8)

о

(смешанные слагаемые, пропорциональные 九必。* + 孔屮^以,исчезают вследствие перекрестной симметрии).

Равенство (1.7) показывает, что в разложении 7VU по инвариантным амплитудам появляется зависящий от системы отсчета член, пропорциональный nunv, и нельзя считать, что

8

J 〃》Ь* = 0. о

Этот интеграл должен быть отличным от нуля вследствие положительной определенности Ъ (и) (в гл. 6, § 2 мы пришли к такому заключению в част-

ном случае сохраняющихся токов, но данный результат носит общий характер). Он равен вакуумному среднему <0 | с | 0) швингеровского члена, присутствующего в коммутаторе [/0,九][формула (6.12)].

В том случае, когда токи сохраняются, тензоры 力 1Vti и Tvu принимают вид

兀“ = 8(%)&3)(g“gv — ug“v),(1.9)

?vn = J q 匕 3‘)(gg—优g)rv) +〈° I с 10〉仆饵=

=(电乳一〃g“v) j J二a &')+(%%—g“v) <o I с I o).(i.io)

0

n. Правила сумм Вейнберга для спектральной функции и расщепление масс пионов

В принципе тема данного раздела не соответствует содержанию настоящего приложения. Но здесь излагается подходящий математический аппарат, и мы пользуемся возможностью применить его, чтобы дать альтернативную интерпретацию правил сумм Вейнберга (гл. 6, § 4, п. 3), а затем сказать несколько слов о впечатляющем вычислении разности масс л+ — —л°-мезонов.

Рассмотрим разность

67w=7%一？霸(1-11)

где

г J d^xexp (tgx) (0| T (V₽ (x) 7^ (0))- T (4? (x) Л^ (0)) 10) = 6a₽6Tvll. (1.1Г)

Из предположения о равенстве векторного и аксиального швингеровских членов (гл. 6, § 2, п. 3) вытекает ковариантность тензора 6Tvti:

6Tv“ = {g“v64 (м) + q^B (〃)},(1-12)

где, например,

64也)=j含(1.13) 0

Правила сумм Вейнберга для спектральной функции можно рассматривать как требование, чтобы из соотношения

Иш 67\r= —0闯w J dM [k(u') —尸(优)1 —

Tg"v j 加["(0一。a(01 = 0(1-14)

О

следовало равенство нулю коэффициентов и при g^J* и при а^д^/и! (Первое, очевидно, гораздо сомнительнее второго.)

.Сущность условия такова: вообще говоря, 7%и Т^ неодинаковы (в противном случае 码厶=码。,/я или 码几=0), но мы требуем, чтобы они совпадали асимптотически при больших д. Основанием для такого асимптотического требования (с точки зрения теории поля) служит то обстоятельство, что при очень больших энергиях существенны лишь затравочные величины (массы и константы взаимодействия). Но, как мы ранее отмечали, затравочные векторные и аксиальные величины равны. Иначе говоря, даже если симметрия не является точной и массы неодинаковы, в асимптотической обла-

сти этой разницей можно пренебречь. При очень больших импульсах векторный и аксиальный токи обнаруживают одинаковые свойства, что приводит к правилам сумм Вейнберга для спектральной функции.

Получив, таким образом, заново правила сумм для спектральной функции, проведем связанное с ними важное вычисление электромагнитной разности масс пионов [240].

Мы начнем с общей формулы [241, 242]

\т^ = т^ — п^а = —уТ^Г J ^qd^iq)^ (у, р),(1.15)

где бру, (7) — фотонный пропагатор, a Mvu (g, р) — разность л+- и л^-ампли- туд виртуального комптоновского рассеяния вперед 工)：

М加(内 р) = Z [ d4x exp (iqx) [(л+171* (V® (д:) 7^ (0)) | л+) — (л+ -> л0)].(1.16)

Общая структура duv такова:

d“v(g)=专(_g“v+，嘗),(1.17)

причем выбор множителя 九,как хорошо известно, не влияет на результат вследствие калибровочной инвариантности, поскольку мы требуем выполнения условия

0Мри 匂，р) = О-(1.18)

Таким образом, окончательно имеем

А力=4"添，翁麻@p)・(1-19)

Вычисление М^, (у, р), вообще говоря, является сложной динамической проблемой, рассмотрение которой мы отложим до гл. 10. Здесь же мы воспользуемся тем обстоятельством, что величину M^v (д, р) можно вычислить для случая безмассовых пионов (основание для чего мы увидим в гл. 10, § 3, п. 2), как бы ни казалось странным вычислять расщепление масс для безмассовых пионов!

Перейдем к вычислению предела lim “卄观(9，Р)・ С этой целью рассмотрим тензор

Txpvn(0, р)=力 j "% d"d纭 exp (iqz) exp (ipx) exp (— ipy) x

X《01 L (阕⑺ 4s (у)唄'(z) П (0)) — ТЦА1 ⑺風(у) П G) П (0))| 0〉. (1.20)

Обычным путем получаем следующее тождество Уордя:

Р^т^ = 一 4t j &z exp (iqz) (0 口* (吟(z) VI (0))-

一 exp (tpz) T* (发(z) 4% (0)) 10);(1.21)

при выводе мы приняли во внимание, что в случае безмассовых пионов аксиальный ток сохраняется, т. е. ^М ц = 0. В пределе мягких пионов

Ит р”я>以pvu (分 Р) = 2挣"vu(0, 0).(1.22)

Итак, используя тождество (1.21), получаем

网д川X一号賜"也)，(1.23)

где 6Tvr (?) — введенная в равенстве (L11) разность токовых пропагаторов.

т) Через Г* обозначен ковариантный оператор, заменяющий хронологическое произ« ведение Т (приложение I, п. 5).

23-01263

В пределе мягких пионов соотношение (L19) для А呜 дает

a"=一部专J票6资匂).(I.24>

Подставив сюда представление (1.13), получаем

a開^=一島专J粤Jm'{4["("')一"4(优)】+

+ 优户(优)一，("')] + ("一优)[F ("') - /("')]} "^.(1.25>

Используем теперь условие калибровочной инвариантности ^Mvv,三 三—(2//я) T&w = 0, которое дает')

/ (u) - аа (и) + " [庐(a)-/ 3)1 = 0(1.26>

И

J du [产(u) — bA (")] = 0.(I.27>

Соотношение (1.25) приобретает окончательный вид

A储=一壽■含J冬J用屮("')一叫心1. (L28»

Вышеприведенное выражение показывает, что существование конечного значения для АтпМ существенно зависит от свойства сверхсходимости,, выражаемого вторым правилом сумм Вейнберга

'j du [аУ (и) — аА (и)1 = 0.(L29>

Для явного вычисления мы используем одночастичное (р, /0 насыщение 2)； имеем

J 昌麻("')-"3')1=6(^-^)，(L3。下

где учтен результат, получающийся при насыщении резонансами соотношения (1.29), а именно /р = /!• Обычные выкладки (задачу облегчает поворот контура интегрирования qQ -> Хд/ окончательно дают

А嗚彥 In 吗.(1.31)

16л2左 咻' Л

Кроме того, используя соотношения (/「/%)? = (2mр)2 и m玄=2/Пр (гл. 6, § 3), получаем замечательно простой результат

7711t+ — m = з & ；学 & 5 МэВ,(1.32)

превосходно согласующийся с экспериментальным значением 4,7 МэВ.

Получив великолепную формулу (1.32), естественно спросить себя, нельзя ли обобщить ее на физические значения массы пиона. Поскольку для такого рассмотрения необходимы другие соображения, мы вернемся к данной проблеме в гл. 10.

Аналогичный метод можно попытаться применить к вычислению разности масс К+ — ^0-мезонов [243]. Возможность существования конечного значения снова зависит от справедливости «второго правила сумм Вейнберга» [для случая SU(3) ® SU (3)]. Кроме того, в пределе мягких каонов

Интересно отметить, что калибровочная инвариантность и дисперсионные соотношения без вычитаний дают первое соотношение Вейнберга (1.27).

См. примечание на стр. 287.—Лрил. ред.

возможны эффекты, которыми нельзя пренебречь. Если несмотря на такое различие все же провести вычисление, то результат оказывается таким:

WI% - тк0 = ^л+ 一汎%,

что противоречит эксперименту.

3・ Представление Лоу для токовых амплитуд

Рассматривая матричные элементы токов, мы познакомились с дополнительной зависимостью от системы отсчета, обусловленной векторным характером наших операторов. Этот новый эффект, равно как и прежняя зависимость, связанная с контуром интегрирования, вообще говоря, имеет место для матричных элементов между лоренц-неинвариантными состояниямег,

Чтобы пояснить этот более общий случай, исследуем величину

'倉(Q, р, A) = t j/гехр(@)〈р2|К (碎传 Z)涼(一4" к) ) |P1〉， (L33) где внешние состояния по-прежнему бесспиновые, ф —— скалярный, а /ц —— 4-векторный оператор. Обычные преобразования приводят к представлению Лоу

燈(Q, Р, А) = j 图综膿(Q‘, P, A),(1.34)

где

猾(Q，, p, $=击 j d 統 exp(Q叭P2|[> (j 工)，涼(一^ 叫 |PD・ (1.35)

Поскольку X吃 преобразуется как 4-векторная функция, мы можем использовать для нее разложение

烦(Q\ p, ^ = P^a(vf.加，吟+龜名"亿优，吟+ Q储曾(吟吟 吟，(1.36) где 力啓,з — скалярные функции [множители 9 (±Р0 士 Q；) подразумеваются]. Дело в том, что представление Лоу (1.34) содержит интеграл по Q；, так что тензорная структура 力% вообще говоря, не воспроизводится аналогичным разложением Т^. Чтобы подчеркнуть зто обстоятельство, напишем

Qh = Qu + иц (Q； — Qo),(1*37)

где nu = g^o，Комбинируя равенства (1.37), (1.36) и (1.34), получаем для 7俨 разложение

器а @, Р, А) = Р^а+^а + <?Ла+ ^ j 加々曾(V, U (М),勿(吟)，(1.38) где,

^а= J 盘V 华В, “В),叭吟).(I.39>

Таким образом, мы видим, что в дополнение к вопросу о том, будут ли 7Pos истинно скалярными функциями, возникает новая трудность из-за. наличия (зависящего от системы отсчета) слагаемого с nu. Другими словами, существование дополнительных векторов в пространстве-времени допускает более сложные нековариантные слагаемые в матричных элементах запаздывающего (или хронологического) произведения.

Отсутствие последнего слагаемого в представлении (1.38) является! дополнительным требованием (при конечном Ро)

j dv审№，и (V), w (吟)=0,(I.40)i

23^

и данное правило сумм можно связать с некоторыми ограничениями на одновременные коммутаторы. В частности, соотношение (1.40) выполняется, если одновременной коммутатор [<р^ (х, 0), /ц (0)] локален.

Итак, мы убедились, что справедливость соотношения (1.40) и, следовательно, ковариантность Т^ в равенстве (1.33) зависят от модели. Еще в § 3, п. 3 и 4 мы выяснили, что зависимость 7?-произведения от системы отсчета связана с высшими одновременными коммутаторами.

Коммутаторы токов и лоренц-ковариантность

Теперь мы постараемся дать представление о тех трудностях, которые возникают при попытке последовательно сформулировать ограничения, налагаемые на коммутаторы токов низшими коммутаторами и лоренцевой инвариантностью [201—203, 239].

Мы начнем со следующего вопроса. Какова та дополнительная информация, которую можно извлечь из требования, чтобы основное коммутационное соотношение алгебры токов

[<23 (0),舟(0)] = /門Х(0) (1-41) было справедливо в любой системе отсчета?

Для ответа на этот вопрос возьмем коммутатор обеих сторон соотношения (1.41) с генератором лоренцева поворота К,:

g, G (0),疗(О)П = if^[Kb Л(0)]. (1.42)

Далее используем тождество Якоби 丄)и перестановочные соотношения заряда и тока с генераторами лоренцевых поворотов [соотношения (6.73) и (1.25) гл. 6); получим

g (0),疔(0)] = i严* (0) 一 J d4xt [7? (0),加(x, 0)1- (1.43)

Если предположить, что заряд QB сохраняется, то соотношение (1.43) упростится:

[Q0,疔(0)]=，叫打(0). (1.44)

Именно такого соотношения мы в конце концов и ожидали. Оно означает, что если /^ преобразуется по закону (1.41), то и пространственные компоненты преобразуются по тому же закону. Данное заключение справедливо при условии, что генерирующие алгебру заряды Q^ сохраняются; в противном случае оно верно лишь при условии, что в коммутационном соотношении

170 (0),加(х, 0)]=厶邓(х) 63 (х) + 5” (х) а哥(х) + ... (1.45) нет производных от 6-функций, т. е. что второе слагаемое в правой части соотношения (L43) равно нулю.

Можно предположить, что вид коммутатора【QB, jf] вообще не зависит от того, сохраняется ли заряд, и,.следовательно, соотношение (1.44) выполняется в любом случае. Это допущение было принято нами в гл. 2 как обобщение предположений кварковой модели и модели алгебры полей.

Чтобы получить представление о свойствах перестановочных соотношений между различными компонентами векторных токов, применим требование лоренц-ковариантности к коммутатору локальных плотностей зарядов

U8(x, 0),爾(0)] 一严v#(0)63(x). (1.46)

Хотя законность применения тождества Якоби, вообще говоря, сомнительна 乜99, 204, 238], в частном случае коммутаторов проинтегрированных операторов или временных компонент никаких трудностей не обнаружено.

Как и прежде, рассмотрим коммутатор обеих частей соотношения (1.46) с генератором лоренцева поворота

[&,[第(х, 0),希(0)]]=严av [Kl}邦(0)] 2 (x).(1.47)

Левую часть соотношения (1.47) можно преобразовать, используя тождество Якоби и соотношение (1.25) гл. 6:

[&,[帝(х, 0), 7? (0)]]=-{7^(0), [Kt,第(Х,О)]] +[第(х, 0),修厶井(0川=

=m [Z/(x, 0),疔(0)] + 海5 [乔(0), j£(x, 0)]}_"帝(x, 0),疔(0)]. (1.48)

Окончательным результатом будет равенство

[第(х, 0),疔(О)] =，а,?(0)бЗ(х) +

+ dh {@ [希(0),於(X, 0)]}- @ [后(0), D^(X, 0)].(1.49)

Таким образом, коммутационные соотношения временных компонент токов с учетом требований лоренц-ковариантности дают представленное выше выражение для коммутатора временной и пространственной компонент.

Соотношения (1.49) недостаточно для того, чтобы найти ограничения, налагаемые на возможные швингеровские члены. Мы заметим лишь, что если коммутатор

[；? (0), Об (х, 0)](1.50)

не содержит швингеровских членов, то отсутствие швингеровских членов (например, в примитивной кварковой модели) или наличие очень простых швингеровских членов (таких, как в модели алгебры полей), разумеется, совместимо с соотношением (1.49) х).

Очевидно, что получаемая таким путем информация о тензорных операторах (в нашем случае о токах) быстро становится сомнительной и мы теряем ясное понимание ситуации.

Более определенные результаты можно получить, исходя из дополнительного предположения о виде перестановочных соотношений токов с компонентой Тоо канонического тензора 3).

Именно, мы принимаем следующие коммутационные соотношения [202, 203];

[?(Ю(X,力)，行(y,力)]=一 X {損 @""就3 (X 一 у) + 6(X,力)S3(X - y)}=

=—"&Д^(х)63(х_у)) + %^(х)33(х — у)},(1.51)

[То。(х, i),損(У, 0J = 一2 依笳(У")挙(х —у)—爾(у, 0 绵з (х—у)}. (I.52>

Выписанные локальные коммутационные соотношения гарантируют правильные перестановочные свойства токов с генераторами группы Пуанкаре и могут быть выведены на основе достаточно общих предположений.

При использовании вышеприведенных коммутаторов мы получаем гораздо более точные результаты, которые мы здесь приведем без доказательства, отсылая читателя к цитированным работам. С помощью коммутационных соотношений (1.51) можно показать, что если коммутатор (1.50) не содержит швингеровских членов, то из соотношения (1.46) вытекает существование единственного швингеровского члена в коммутаторах вре- меннбй и пространственных компонент токов:

/(X, 0),疔(0)]=严W (0) б3 (X _у) + 砒(х) ”2 (х).(1.53)

Необходимость швингеровских членов в коммутаторе [;0,；用],отмеченная в гл. 2> § 4, п. 21, не является следствием одной лишь лоренц-ковариантности, а вытекает и» требования положительной определенности метрики.

Относительно определения канонического тензора см. гл. 10, § 4, п. 2.

Точно так же с помощью соотношения (1.52) ми можем показать существование не более чем одного швингеровского члена в коммутаторе пространственных компонент токов между собой:

[俅(х, 0),臨(0))=S旣(Х)63(Х)+ Т旣(х)兆з(а(L54)

Величина 3纟靠(x) произвольна, но этого нельзя сказать о嗚(х)： величины Т旣(х) и五旣(х) взаимосвязаны. Действительно, если мы возьмем коммутатор обеих частей соотношения (1.53) с генератором лоренцева поворота Kt и рискнем использовать тождество Якоби, то получим

評3 [抹(х, О),雀(о)]}= -"&, к旣(初 ”§з(X),(1.55)

где мы, как обычно, предположили, что слагаемое Ме[ОВ(х, 0), /? (0)] равно нулю. После подстановки (1.54) соотношение (L55) принимает вид

(济Т 飓(х))ао = О,(1.56)

Т臨(х) = "&,五旣(х)].(1.57)

Равенство (1.57) показывает, что при сделанных нами предположениях швин- геровский член в коммутаторе [/m, /ft] полностью определяется лоренцев- скими трансформационными свойствами швингеровского члена в коммутаторе [/0, j^j. В частности, коммутатор [/т, ]^ не может содержать швингеровского члена, если его не содержит коммутатор [у0, /&] или если 7?課—— либо не зависящий от / лоренцев скаляр, либо с-число. Отметим, что в алгебре полей, где имеет место последний случай, тождество [/也,力]=0 согласуется с приведенньЕми требованиями.

Исследование этого вопроса можно было бы продолжить. Но мы полагаем, что нам именно здесь следует остановиться. Отметим лишь, что канс- лический тензор начинает играть заметную роль в физике элементарных частиц. Другие признаки этой тенденции можно обнаружить в последней главе настоящей книги. Еще не время делать предсказания о его роли, и мы воздержимся от дальнейших комментариев.

Ковариантность хронологического произведения двух токов 陋 швингеровские члены 丄)

Наличие швингеровских членов в коммутаторах (1.53) и (1.54) нарушает ковариантность Т-произведения двух токов

7叩(х)三 Т (А, 3)兄(0)) = 0 (%)九⑺启(0) + 6(-&)九(0) jv(%). (1.58)

Действительно, взяв коммутатор Tvu (х) с генератором лоренцева поворота К厶 получим

[К〃 Tvn 8)] = е 3。)[Kh 九位)九(0)1+e(—/)[К,,九(о)九(х)] =

=Z (g% — %o&) 7\卩⑺ + bj^vn ⑺一以,в ⑸)[九(胃)，九(0)](1.59)

{оператор Li определяет лореицевы тензорные свойства 7VA (胃))•

Таким образом, из-за того, что дополнительное слагаемое ——гх/6 (х0) X X [九(х),九(0)1 отлично от нуля (если коммутатор [/v (х, 0),九(0)] содержит швингеровские члены), ТVUt (х) оказывается, вообще говоря, нековариантным объектом. Вследствие этого величина

% (р2, Pi, Q) = % J dMexp GQx)〈Р2\Т(7v (у х) ；и( —уж)) I Pi〉(L60)

Библиографию по вопросу б взаимном уничтожении контактного члена с градиентным и о ковариантности Г-произведения можно найти в работах [158,121, 201, 205——211].

яе является тензором второго ранга (состояния ] р^) бесспиновые) и, например, его разложение по инвариантным амплитудам, использованное нами в гл. 4 [формула (4.2)], некорректно.

Следующий шаг таков: добавим к Tvu (х) формально некоторый оператор -с тем, чтобы получить ковариантный тензор второго ранга Т，(х). Положим ?% ⑺= /(£)+У 86“，(1.6()

где pvu ——оператор (вообще говоря, нековариантный), подлежащий опреде- .лению. Наше требование ковариантности Т^^ (х)

[К, Т显(z)) = Z(〃a。一％吋)7九⑷+4?显(%)(1.62)

tneмедленно ведет к условию

б4 (Х) [К1, PM = ixl8(x^ [ jv (工),掃(0)1 +

+ i {gp\ + 笛龙一S1^ - gP【}"(办(L63)

Мы ограничимся тем, что найдем решение при условиях, указанных 由 приложении I, п. 4 и допускающих существование у коммутаторов I/o, j^] и [jm, /々I, связанных соотношением (L57), не более одного швинге- ровского члена. Решение можно найти следующим образом. Исходим из равенства р^。= рОи = 0, которое вместе с (1.63) дает

Pfem (工)=—五mh ⑷，(1-64)

где Rmk — оператор, определяющийся соотношением (1.53).

Теперь подставим соотношение (L64) в равенство (1.63) при v = А, р = тп:

м (%) [К‘，Rmk (х)1 = ixl8 (% [j& (х, 0),麻(0)1，(1.65)

С учетом представления (1.54) соотношение (1.65) принимает вид равенства

[К,, Итк(X)] = —%mb(1.66)

которое бесспорно, поскольку оно тождественно равенству (1.57). Следовательно, оператор pvu является решением уравнения (1.63)・

Посмотрим теперь, как выполняется условие сохранения для найденного ковариантного тензора. Введем сначала фурье-образ М^ матричного элемента 〈р^ | Т^ (%) [「工)(называемый иногда «корреляционной функцией токов») ([ Рт〉н I р2) — состояния скалярных частиц);

扭器(Р2, Р1, 02)= z j d坛exp (%%)〈P2\{T (追(x)求(0)) + У (工)p臨}IP0. (1.67)

•Свертка с g； дает

大欣離==—j d4x exp (Z&工)值 I T (D3 (ж)启(0))| р° —

-J 瘀2 exp (勿2%)〈P21 似工0)D* ⑺，近(0)1 + P臨aw (明 I P1>. (1.68) Но при 卩=0 мы имеем pvu = 0 и коммутатор [j。，％] не содержит швинге- ровских членов, тогда как при 卩=А

5 (% № (х, 0),筋(0》+ р黑严6& ⑺=

=ifayil(0)学⑺+"旣严64⑶+p器a%4⑴=讲門?⑺眾⑺(1.69) и условие сохранения для М^ оказывается простым и красивым:

或м 臨=u^-if^〈Pz I g I рз(1.70)

Напомним, что, как говорилось в гл. 3, § 1, для описания физических процессов служит Mv^ а не Гуи. Нековариантный характер тензора Zvw

связан с тем обстоятельством, что Tvu не является непосредственно наблюдаемым объектом, как мы это видели на примере гл. 3, § 1, п. 2. Слагаемое р§[* добавляемое к Z-лроизведению, можно интерпретировать, как некоторый ■контактный член (Г-член), и мы убеждаемся, что в соотношении (1.68) Г-член и швингеровские члены взаимно уничтожаются, оставляя условие сохранения для ковариантного тензора неизменным. В то же время абсорбционная часть 7\卩 обладает ковариантным характером и совпадает с абсорбционной частью М^.

Резюмируем содержание данного приложения: мы показали, насколько усложняется исследование требований лоренц-ковариантности, если скалярные операторы (с которыми мы имели дело на протяжении данной главы)- заменить токами. По-видимому, получаемая информация не очень ценна беа привлечения дальнейших теоретических гипотез. Но содержание и точная формулировка таких дополнительных идей — дело дальнейших разработок.

Приложение II. Компенсацги1 бескон ечн о сшей в соотношении (7J26)

Мы хотим так переформулировать соотношение (7.126), чтобы в нем не было бесконечности. Уже отмечалось, что данная бесконечность связана с точкой ветвления F (v) при v = v0. Эту точку ветвления нетрудно выделить, написав

歹(v) = a(v) + Z(v2 — v：)i/2b(v),|(П.1}

где а(V)и & (v) — вещественные функции，), регулярные при v = v0-

Равенство (ПЛ) показывает, что бесконечность в (d/dv^) F (v) содержится лишь в мнимой части F (v). От этой бесконечности можно избавиться, пре-

<74^^

Vq Л3

Фиг. II.l

образовав соотношение (7.126) в аналогичное, но содержащее только вещественную часть F(V). С этой целью прибавим к функции (7.126) ее комплексносопряженную:

(n°Р°Г-)=置e +拄呜心2為^Ж1『」-

…[J + j 偿兴*)],(П.2>

причем интегралы Л и 5 берутся по контуру в комплексной плоскости, показанному на фиг- IL1. Интеграл можно привести к более привычному виду, выделив корневой множитель в / (v):

f(V)= I 俨一喏)“2 I & (v) =(V2 —Vo)1/2|+&(v)= 一 (仪一喏产 |一 & (v),(II. 3)

где индексы + и ——означают, что берутся значения функций на вещественной оси на верхнем и нижнем берегу разреза.

西 方（V）А （М—崎）3/2西 方（V）А （М—崎）3/2Подставив (IL3) в равенство (II.2), для интеграла в правой части получаем

西 方（V）

А （М—崎）3/2

西 方（V）

А （М—崎）3/2

(IL0

где С —— контур интегрирования, показанный на фиг. IL2. Комплексные интеграл / по контуру С заведомо конечен. Его можно преобразовать, выпол-

©

Фиг. II.2Фиг. II.2

Фиг. II.2

Фиг. II.2