ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Четыре года прошло со времени выхода первого издания этой книги на английском языке. За этот период физика трехчастичных систем развивалась даже более быстрыми темпами, чем в предшествующие годы. В центре интересов оказались ее приложения к атомной и ядерной физике, а также к физике мезонов. В настоящее время предметом интенсивных исследований стала скорее динамика систем, состоящих не из элементарных, а из составных частиц. При этом имеется надежда на то, что как только динамическое поведение системы из трех составных частиц с внутренними степенями свободы будет достаточно хорошо понято, можно будет достичь и лучшего понимания взаимодействия между элементарными частицами.

Переводчик этой книги В. И. Кукулин добавил к ней два дополнения. С его эрудицией и пониманием физики трехчастичных систем он мог бы сам написать хорошую книгу аналогичного содержания. Причина, по которой оп не сделал этого, как всегда проста — у активных физиков слишком мало свободного времени.

Развитие трехчастичной физики базируется на математических уравнениях, сформулированных советским физиком и математиком Л. Д. Фаддеевым в 1960 г. Поэтому появление русского перевода этой книги особенно уместно, ибо книгу можно рассматривать как символ нашей признательности Л. Д. Фаддееву за его вклад в эту важную область.

Английский оригинал настоящей книги был хорошо принят теми физиками, которые нуждались в доступно написанном введении во вдохновляющую область трехчастичной физики. Я искренне надеюсь, что это новое и более полное издание на русском языке так же хорошо послужит и советским читателям.

Проф. Эрих Шмид

Декабрь 1978 г,

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

Одной из самых известных проблем классической физики была задача трех тел, т. е. нахождение решения ньютоновских уравнений движения для трех взаимодействующих тел. Аналогичная задача существует и в современной квантовой механике, а именно — задача об описании движения трех взаимодействующих атомных или субатомных частиц на основе строгих интегральных уравнений. С тех пор как Л. Д. Фаддеев в 1960 г. опубликовал первую работу по этой проблеме: «Теория рассеяния для системы трех частиц»*), было выполнено большое число исследований, результаты которых большей частью можно найти лишь в оригинальных статьях и обзорах.

Настоящая книга возникла на основе курса лекций, прочитанных авторами в летнем семестре 1972 г. Нам хотелось бы, чтобы исследователь, пожелавший ознакомиться с квантовой задачей трех тел, не был вьшуж^ен продираться сквозь лес обзорных статей и оригинальной литературы. С этой целью курс лекций был тщательно обработан и расширен до настоящего объема.

Мы не ставили перед собой цель охватить эту область целиком. Например, известны различные формулировки абстрактной теории, причем любая из них могла бы с равным успехом служить математической основой теории, изложенной в настоящей книге. Тем не менее подходы С. Вейнберга, Л. Розенберга, Дж. Нобла, Р. Ньютона, Р. Шугара и Р. Блапкенбекле-

♦) Уместно напомнить, что впервые корректные интегральные уравнения для описания квантовомеханической системы трех частиц в частном случае потенциалов нулевого радиуса опубликовали Г. В. Скорняков и К. А. Тер-Мартиросян в 1956 г. Однако Фаддееву удалось не только сформулировать основные уравнения в общем виде, но в дать полное математическое исследование проблемы.— (Прим, перев.)

ра, а также П. А. Казаке и К. Р. Грейдера были опущены, тогда как подход Фаддеева использован очень широко. Взамен, основное вппманле уделено различным методам перехода от абстрактных операторных уравнений к их численным решениям и к вычислению величин, допускающих сравнение с экспериментом.

Мы надеемся, что эта книга сделает физику трехчастичных систем гораздо болос доступной для интересующихся этой проблематикой. Мы также надеемся, что книга поможет экспериментаторам лучше попять, как вычпеля ются теоретические зпачеппя.

Мы благодарны доктору Дж. Швагсру и доктору Ф. Соре за внимательное чтение рукоштси и миссис К. Штиллер за со перепечатку. Мы также благодарны авторам оригинальных статей за разрешение воспроизвести их рисунки.

Эрих Шмид Хорст Цигельман

Институт теоретической физики Тюбингенского университета.

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ

Кваптовомоханпческая задача трех тел имеет дело с движением трех частиц под влиянием потенциала взаимодействия. Ее фундаментом является уравнение Шредингера для трех частиц с

i - 1”I ж I

где z?(i, к)——двухчастпчньн! потенциал; трохчастичный потенцггал：i；)匕(厶 /, “) iai3Kc допустим, но используется очень редко.

В еггомной и ядер!гой физике, а также в физике элементарных частиц имеется большое количество состояний и процессов, для которых требуется трохчастичное рассмотрение. Вот некоторые примеры:

рассеяние электронов на водороде,

ядра 3Н и 3Не,

пуклоп-дейтронное рассеяние,

фоторасщепление 3立 и 3Не,

рассеяние мезонов на дейтронах,

рассеяние мезона па пуклопе, когда последний трактуется как мезоп-нуклошюе связанное состояние,

抵)миогочастичпые системы, которые приближенно могут трактоваться как трехчастичпые, например рассеяние дейтронов на 4Не с развалом дейтрона, а также рассеяние протона на ИВ с превращением в три а-частицы.

Специфические трудности возникают, когда реакция приводит к коночному состоянию с тремя свободными

*) Трехчастичным называется потенциал, который обращается в пуль, когда хотя бы одна из частиц уходит на бесконечность.—{Прим., персе.)

частицами, например, как в случае протон-дейтроиного рассеяния с энергией, превышающей 2,22 МэВ в системе центра масс

Такие процессы делают проблему трех тел особенно интересной. Трехчастичная система в состоянии рассеяния все еще достаточно проста, чтобы допускать точное решение, но она уже является и достаточно сложной, поскольку имеет каналы перестройки и развала, отличные от упругого рассеяния.

Обсудим теперь трудности изучения трехчастичного развала и разберемся в экспериментальной ситуации.

Эксперименты по рассеянию с развалом

на три частицы

Три частицы, которые участвуют в реакции, имеют 3X3 = 9 степеней свободы в конфигурационном пространстве. Реакция может быть описана и в импульсном пространстве, где мы также имеем девять степеней свободы. В асимптотической области импульсы жестко фиксированы, т. е. измеримы для каждого одиночного события.

В так называемом полном опыте определяются все девять импульсов. Трудности возникают здесь из-за большого количества данных, которые должны быть измерены одновременно, и из-за малого числа событий, приходящихся па каждую комбинацию данных.

Рассмотрим реакцию

р + d —> р + р + и.

Четыре из девяти компонент импульсов конечного состояния определяются начальным состоянием через законы сохранения энергии и импульса. Сохранение импульса означает, что сумма импульсов вылетающих частиц в лабораторной системе должна быть равна импульсу налетающего протона. Сохранение энергии означает,

что сумма кинетических энергий вылетающих частиц должна быть равна кинетической энергии налетающего протона минус энергия связи дейтрона. В обозначениях рис. 1 это означает

i—3丄i=3 ”

В результате остается 9 ——4 = 5 подлежащих измерению компонент импульсов вылетающих частиц.

Рис. 1. Изобрая;енпе трехчастичной реакции развала.

Пучок

Детектор /х частиц 5 /〉

Нишень

Де/лвкториистии 4

Рис. 2. Схема эксперимента.

Можпо поступить следующим образом: регистрировать две вылетающие частицы, оставляя третью незарегистрированной. Каждый счетчик определяет три параметра (рис. 2), а имеппо, энергию и направление импульса одного из вылетающих нуклонов. Два счетчика вместе

Рис. 3. Кинематически допустимая кривая в трехчастичной реакции развала.

измеряют шесть параметров. Один из них лишний, так что данные не независимы. Они должны удовлетворять некоторому кинематическому условию. Если для фиксированного расположения счетчиков отложить все события на (/, ^4)-диаграмме, то теоретически они будут лежать па определенной кривой, изображенной на рис. 3.

На практике используются сцинтилляционные счетчики с конечной апертурой и конечным разрешением по энергиям, а также многоканальные анализаторы. Плотность пятен является мерой числа зарегистрированных событий. Когда с помощью сложной техники совпадений удается подавить фон, вдоль кинематической кривой появляется полоса (рис. 4). Ее ширина обусловлена копеч-

Рис. 4. Результаты эксперимента на совпадение (Брюкмап с сотр. [1]).

ным разрешением экспериментальной установки. При изменении расположения обоих счетчиков картина будет меняться. На графике обычно откладывается интенсивность полосы вдоль кинематической кривой в зависимости от параметра кривой (рис. 5). Углы 0з и 仇 могут быть выбраны так, чтобы выявить интересные детали

процесса рассеяния, как, например, в случае, когда две частицы имеют очень малую относительную скорость.

Описанный эксперимент называется полным, поскольку он дает максимальную информацию (за исключением

f р + р т п 52*5 42， 2£3°f р + р т п 52*5 42， 2£3°

f р + р т п 52*5 42， 2£3°

f р + р т п 52*5 42， 2£3°

'/. 7.7" 22 22 Z, 7，%“％

Рис. 5. Сечение трехчастичного развала отложено в зависимости от параметра кривой S (Брюкман с сотр. [1]).

сведений о поляризации). Его трудно выполнить, так как скорость счета очень низка. В большинстве актов рассеяния выходящие частицы минуют один или оба счетчика. Те же редкие события, когда оба счетчика срабатывают в совпадении, распределяются по всей кинематической кривой. Поэтому статистика получается очень плохая. Ранние эксперименты всегда были неполными из-за того, что разумная интенсивность достигалась лишь путем измерения меньше чем 5 параметров. Например, использовали только один протонный счетчик и получали сечение, которое представляло собой интеграл от всего дифференциального поперечного сечения по неизмерен- иым параметрам.

Трудности теории

Перед тем как перейти к обсуждению трудностей задачи трех тел, сначала полезно спросить, почему так проста задача двух тел.

Рассеяние двух элементарных частиц. В начальном состоянии волновой пакет, описывающий налетающую частицу, движется навстречу волне, которая описывает мишень в лабораторной системе. В системе центра масс волновой пакет движется по направлению к началу координат, где происходит взаимодействие (рис. 6). На

чальное или граничное условия являются по существу временными условиями. Можно, однако, перейти к пределу, когда энергия волнового пакета является точно фиксированной, и таким образом отделить временную зависимость. Граничное условие становится тогда не

Рис. 6. Рассеяние двух частиц зависящим от времени, в системе центра масс. С некоторыми усилиями этот переход можно сделать математически строго [2]. Получающиеся результаты являются вполне убедительными.

Решение, описывающее рассеяние, состоит из плоской волны отвечающей падающему потоку и потоку пе- рассеянных частиц плюс сферическая волна /(О',(р)е镣'/г, которая описывает поток рассеянных частиц. Когда спины не учитываются, амплитуда /(令，ф) не зависит от азимутального угла ф, и сферическая волна имеет вид /(令)ег"г/г. Частицы испускаются во всевозможных направлениях (令)или (О, ф), что для короткодействующих потенциалов легко можно описать суперпозицией малого числа парциальных волн. Благодаря сохранению энергии относительный импульс к ——одинаковый по всем направ

лениям.

Рассеяние составных частиц без развала. В отличие от случая а) продукты реакции могут отличаться от исходных частиц, например:

п + а

п+ z

d.+ t

Но и в этом случае решение, отвечающее рассеянию, имеет асимптотическую форму, типичную для задачи двух тел. Оно состоит из плоской волны и выходящих сферических волн

屮(оо) = ф (1) е屈厶 + ф (1) / (齿，w) . 4- 1

+ ф ⑵ g (02,①2)-~•

2

ККРис. 7. Трохчастичпая реакция с распадом па три свободные частицы.Рис. 7. Трохчастичпая реакция с распадом па три свободные частицы.Но теперь имеются две сферические волны, соответствующие двум возможностям распада, и каждый член умножается на функцию ф (i), которая описывает внутреннее движепио фрагментов. При учете спина частиц нужно скомбинировать спин и орбитальный момент таким образом, чтобы получить парциальные волны с данным полным моментом. Граничное условие при этом все еще имеет простую, не зависящую от времени форму; и для короткодействующих потенциалов взаимодействия достаточно небольшого числа парциальных волн для описания процесса распада во всех направлениях. Из-за различия в энергиях внутреннего движения относительные импульсы каналов распада к\ и 械 вообще говоря, различны, но составляют небольшой набор дискретных чисел.

К

К

Рис. 7. Трохчастичпая реакция с распадом па три свободные частицы.

Рис. 7. Трохчастичпая реакция с распадом па три свободные частицы.

Трехчастичный развал. В отличие от случая б), мы сталкиваемся здесь с проблемой бесконечного большого числа каналов распада. Рассмотрим, например, частицы 2 и 3 в качестве одной из подсистем конечного состояния, как показано па рис. 7. Эта подсистема теперь уже

не находится в одном из своих связанных состояний, как это было в случае б), а занимает одно из двухчастичных состояний рассеяния, образующих континуум. Этот континуум характеризуется, в частности, относительным импульсом к, который может принимать непрерывный ряд значений и служит в качестве непрерывного индекса ка- 2 Э. Шмид и X. Цигельман

нала (напомним обсуждение вопроса о степенях свободы; определенное распределение энергии между тремя свободными частицами являлось одной степенью свободы). Вторая проблема — это размер области, в которой происходит реакция. В то время как в случае б) эта область была конечной или даже для ядерных сил очень малой, здесь она становится бесконечно большой, как можно усмотреть из следующего рассуждения.

Рассеяние может происходить в три этапа. На первом этапе образуется подсистема 2, 3 в возбужденном состоянии (рис. 8а). Несколько позднее это возбужденное состояние распадается (рис. 86), п одна из частиц, скажем,

Рис. 8a. Первый этап реакции Рис. 86. Второй Рис. 8в. Третий развала: образование двух- этап: распад этап: перерас- частичного возбужденного со- возбужденного сеяние, стояния.состояния.

частица 2 испускается по направлению к частице 1. Затем частица 2 подхватывает частицу 1 (рис. 8в), и рассеивается еще раз. Этот процесс называется «перерас- сеянисм». Он показывает, что взаимодействие, которое формирует конечное состояние, не сосредоточено в малой области около центра масс, а может происходить где угодно в трехмерном пространстве.

Указанные две трудности, т. е. континуум каналов и бесконечность объема, в котором происходит реакция, порождают и третью. Не существует больше простого способа постулировать пе зависящее от времени граничное условие. В сомнительных случаях нужно вернуться к физическому зависящему от времени граничному условию, и убедиться, что налагаемое не зависящее от времени условие с ним согласуется. Трудность в нахождении пе зависящего от времени граничного условия мож-

но легко понять, если задать следующий вопрос: если две из трех частиц удаляются от общего центра масс, а третья частица приближается к нему, то состоянию каких волн это соответствует — сходящихся или расходящихся? Фактически и здесь тоже можно сконструировать состояние с расходящимися волнами (например, путем использования «К-гармоник» или волновых пакетов (см. гл. 8)) или же посредством разложения волновой функции па компоненты (см. гл. 3). Но это уже не так легко сделать, как в двухчастичном случае.

Значение задачи трех тел для ядерной физики

Чем л;о так интересна задача трех тел для ядерткиг физики? Все еще не решенной проблемой ядерной физп кп и вообще физики элементарных частиц в целом является проблема сильных взаимодействий. Эксперимент!.! дают только энергии св>гзп и поперечные сечепия. Затем с помощью уравнения Шредингера паходят феноменологические потенциалы, которые образуют основу теоретической ядерной физики. Есть надежда, что па более позд нем этапе эти потенциалы также удастся получить из фундаментальной теории.

Для определештя феноменологического потенциала ш1 - обходимо установить связь между данными измерений и взаимодействием. Другими словами, необходимо р* шпть уравнение Шредингера. Для двух нуклонов сделать это относительно легко. Одпако данные по двум нуклонам не содержат достаточной информации. Помимо этого, па практике по всякие двухну1；лонныо эксперименты могут быть выполнены; примером может служить нейтроп- нейтронное рассеяние. Для того чтобы получить сколько- нибудь надежный нуклон-нуклонный потенциал, нужно, по меньшей мере, учесть данные для трех нуклонов в дополнение к двухнуклонным данным; следующие детали представляют особый интерес.

Нейтрон-нейтронное взаимодействие. Это взаимодействие необходимо для проверки зарядовой симметрии и изоспиновой инвариантности ядерных сил. Оно содержится в данных по тритону, в поперечном сечении упругого п — d-рассеяния, и более чувствительным образом в некоторых данных по реакции п — d-развала. В послед- 2*

ней реакции можно так расположить счетчики и выбрать такие энергии Ез и Е^, чтобы измерялись события, в которых относительный импульс двух нейтронов очень мал. При этом нейтроны взаимодействуют в течение долгого времени («взаимодействие в конечном состоянии»), что будет проявляться в величине поперечного сечеиия рассеяния.

Поведение ядерных сил вне массовой поверхности. В двухчастичном рассеянии энергия сохраняется, если для ее измерения как до, так и после процесса рассеяния имеются в распоряжении достаточно большие интервалы времени. После того как частицы окажутся вне области взаимодействия, допустимые значения их импульсов будут ограничены условием сохранения энергии. Все возможные события располагаются на гиперсфере пространства импульсов, которая называется энергетической поверхностью. Такие процессы называются «событиями на массовой поверхности».

Если же двухчастичную систему можно рассматривать как изолированную только в течение короткого интервала времени △力,а вне этого интервала система взаимодействует со своим окружением, то строгое сохранение энергии больше не имеет места из-за принципа неопределенности. Процессы рассеяния, которые происходят в течение интервала △力 и нарушают закон сохранения энергии, имеют ненулевую вероятность. Такие процессы называются «процессами вне массовой поверхности» или виртуальными ). Такого рода механизм типичен для трехчастичного рассеяния, где рассеяние в двухчастичной системе искажается присутствием третьей частицы (рис. 9). Когда две частицы взаимодействуют в трехчастичном процессе, их конечное состояние не обязательно имеет ту же самую энергию, что и начальное, поскольку обычно это конечное состояние существует лишь в течение очень короткого промежутка времени, предшествующего разрушению двухчастичного состояния воздействием третьей частицы. Виртуальные эффекты, как и соотношение неопределенностей, хорошо описываются уравнением Шредингера. Однако в двухчастичном рассеянии виртуальным эффектам обычно не уделяется

никакого внимания, поскольку здесь предполагается, что потенциал взаимодействия задан. В этом случае уравнение Шредингера определяет на массовой поверхности, так

и внемассовую амплитуду. Но как только мы перейдем к обратной задаче рассеяния, т. е. к нахождению потенциала, описывающего данные по рассеянию, то сразу же станет ясно, что амплитуда двухчастичного рассеяния на массовой поверхности не содержит достаточной информации для однозначного определения потенциала взаимодействия ). Существует бесконечное коли

ка к амплитуду рассеянияка к амплитуду рассеянияРис. 9. Трехчастичное многократное рассеяние. Энергии подсистемы (1, 2) в промежуточном состоянии (kp к2) и в начальном состоянии(к!,ка)не обязаны быть равными, т. е. К /2%十左2 / 2m2声左；/2加1十 十磴/270.Рис. 9. Трехчастичное многократное рассеяние. Энергии подсистемы (1, 2) в промежуточном состоянии (kp к2) и в начальном состоянии(к!,ка)не обязаны быть равными, т. е. К /2%十左2 / 2m2声左；/2加1十 十磴/270.чество потенциалов, которые дают амплитуды двухчастичного рассеяния одинаковые на массовой поверхности, ио различающиеся вне ее. При этом говорят, что такие потенциалы имеют различные «внемассовые» свойства.

ка к амплитуду рассеяния

ка к амплитуду рассеяния

Рис. 9. Трехчастичное многократное рассеяние. Энергии подсистемы (1, 2) в промежуточном состоянии (kp к2) и в начальном состоянии(к!,ка)не обязаны быть равными, т. е. К /2%十左2 / 2m2声左；/2加1十 十磴/270.

Рис. 9. Трехчастичное многократное рассеяние. Энергии подсистемы (1, 2) в промежуточном состоянии (kp к2) и в начальном состоянии(к!,ка)не обязаны быть равными, т. е. К /2%十左2 / 2m2声左；/2加1十 十磴/270.

В задаче трех частиц свойства потенциала взаимодействия вне массовой поверхности играют важную роль, вследствие чего трехчастичные данные важны для регпе- ния обратной задачи рассеяния. Некоторая информация уже содержится в трехчастичньтх данных по энергиям связи и в процессах рассеяния с двухчастичной фрагментацией, как, например, в упругом п — d-рассеяпии. Исчерпывающая же информация присутствует лишь в полных результатах по развалу. Брейшоу [128], однако, показал, что эксперименты по развалу должны быть исключительно точными, чтобы обеспечить эту информацию.

Глава 2

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКИ

В этой главе мы сначала рассмотрим рассеяние двух частиц на основе общего формализма. Затем мы покажем, какие результаты можно перенести на трехчастпч- ное рассеяние и где возникают трудности.

Задача двух тел

Гамильтониан. Гамильтониан для двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала у, имеет вид

к? к2

hr = 7^- + —|- и(2.1)

где ki, кг — импульсы, a mi, m2 — массы частиц.

Для трансляциошю инвариантного потенциала движение центра масс можно отделить путем введения импульса центра масс к и относительного импульса р

к = к】+ к2,(2.2)

p =(2.3)

儿22

hr — X-：———-—(- —Н р,(2.4)

2 (mi 十加2) I 2卩 I/

где приведенная масса

ц = тп\т^ (wi + m2).(2.5)

Вследствие трапсляцпопиой ипварпаптпостп движение центра масс является свободным и описывается собственным состоянием оператора импульса. Это движение не представляет интереса. Поэтому мы ограничимся рассмотрением гамильтониана относительного движения:

无=*十z;三期十и. (2.6)

Граничное условие для состояний рассеяния.

Рассеяние двух частиц описывается зависящим от времени уравнением Шредингера (мы используем систему единиц с % = 1)

碎歌)e)=硼仪(力 (2.7)

Верхний значок (+) указывает, что система представляет собой состояние, экспериментально приготовленное перед рассеянием и постепенно рассеивающееся с течением времени. Значок (—) относился бы к экспериментально непроверяемой ситуации, в которой коллимированный пучок получается после рассеяния. Индекс а обозна- qacT все свойства начального состояния.

Реиюпиом уравнения (2.7) является

北+)(%) =6一加也+), (2.8)

где q)V"‘ 一 нс зависящий от времени волновой пакет.

Начальное или граничное условие может быть словесно выражено так: состояние рассеяния W (力) должно получаться из волнового пакета, который является свободным в бесконечно далеком прошлом и свойства которого характеризуются индексом а; слово свободный означает, что амплитуда обращается в нуль в области взаимодействия, где о=й=0.

Математически это условие формулируется следующим образом. Вводится реперный волновой пакет, который имеет форму фа при 方=0 и для которого зависимость от времени оиисывается свободным гамильтонианом 瓦，

Фа«)=еТ% (2.9)

Налагается требование, чтобы волновой пакет 屮廿)совпадал со свободным пакетом фа в пределе бесконечно далекого прошлого. Поскольку с течением времени волновые пакеты расплываются, было бы бессмысленным требовать поточечного совпадения двух функций. Вместо этого потребуем, чтобы норма ) разности обращалась

в нуль,

Km ] L廿)一 L。’ ф/| = 0.(2.10)

Такой предел нормы называется сильным пределом. В дальнейшем мы будем обозначать его как «s-lim». Наше словесное требование имеет тот недостаток, что волновой пакет, ограниченный стенами лаборатории в конечный момент времени, становится довольно-таки размытым образованием в бесконечно удаленном прошлом (если только его образование не включено в используемый формализм). Отмеченная трудность преодолевается путем использования свободного реперного волнового пакета ф0, который также ограничен стенами лаборатории при 力=0.

Нужно отметить, что наше словесное требование подразумевает определенное ограничение на радиус действия потенциала. Математически это ограничение выражается тем фактом, что предел (2.10) существует не для всякого потенциала [3]. Уравнение (2.10) можно также записать в виде

咄+)=s-Jim Л-{Мфа^й(+)фа, (2.11) где предел имеет смысл сильного (норма разности левой и правой частей уравнения обращается в нуль). Уравнение (2.11) определяет так называемый оператор Мёллера 6+).

Оператор Мёллера. Если подействовать оператором Мёллера Q(+) на свободное состояние, то получится состояние рассеяния 词').Согласно уравнению (2.11) этот оператор имеет вид

Q(士) = s-Jim eihte-ihnt.(2.12)

Мы включили сюда определение мёллеровского оператора Q(_). Этот оператор дает состояние рассеяния 曲)«), которое переходит в свободное состояние фа(^) при 方―+оо. Хотя состояния 屮了 (%) не могут быть приготовлены экспериментально, они необходимы для строгого описания измерения (поскольку именно их «видят» счетчики) .

Из определения （2.12） следует, что для любого конечного времени т соотношение

s. lim 产‘+%一访。（4）=a（土）=产0（士）6-т。т（2.13）

также справедливо. Путем дифференцирования получаем

0 =史券-=評Т（九Q⑴一 6士九）6一访。Т

и находим перестановочное соотношение

万6士）= Q（士吻 О.（2.14）

Область определения оператора Мёллера ——гильбертово пространство свободных состояний, или, более точно, пространство квадратично интегрируемых свободных состояний. Эту область, однако, можно расширить путем включения состояний с жестко фиксированным импульсом. Для этого следует выполнить над волновыми пакетами процедуру предельного перехода к фиксированной энергии. Такое обобщение приводит к некоторым концептуальным трудностям, поскольку волновой пакет теперь становится бесконечно большим, так что взаимодействие присутствует всегда. Соответственно этому и математическая трактовка становится трудной. Нас не должно вводить в заблуждение то обстоятельство, что действие оператора Мёллера на ненормируемое состояние с виду нс приводит к проблемам сходимости. Указанное обобщение оправдано работой Фаддеева [4], который показал, что для большого класса потенциалов получаются правильные результаты. Таким образом, можно использовать собственные состояния импульса |р〉вместо волновых пакетов фа и применять к ним волновые операторы й（±）. Таким путем мы получаем состояния рассеяния |р〉（±）, где |р）（+） соответствуют обсуждавшимся во введении состояниям, которые содержат плоскую волну плюс расходящиеся сферические волны. Состояния рассеяния |р〉（±） имеют определенную энергию Е, точно так же как свободные состояния |р） имеют определенную энергию р212ц. Эти две энергии совпадают, что можно показать.

используя «перестановочное соотношение» (2.14)

ЛI p〉(土)=九Q(士)I p) = Q(土九 I p> =

= Q"%p〉= gip〉")・⑵ i5)

Мы теперь можем в общем смысле установить, что операторы Мёллера отображают собственное и несобственное свободное гильбертово пространство ) на соответствующие состояния рассеяния гамильтониана Л. Связанные состояния пе затрагиваются этим отображением; они не принадлежат к области значений мёллеровских операторов. По этой причине операторы Мёллера не унитарны, ио лишь изометричны. Эрмитово сопряженные операторы Q(土)3 действуя на состояния рассеяния, дают обратное отображение. Если ими подействовать па связанные состояния \^н} гамильтониана Д, то получится пуль. Это можно увидеть из равенства

〈Q(土"屮n IР〉=〈屮n I й(±)р> =〈屮兀 I р>(±) = 0.

Выражение справа равно нулю, так как | 屮“〉и |р)(±)— это собственные состояния Д с разными энергиями. Следовательно, выражение слева тоже равно пулю, а так как состояпия [р〉образуют полный пабор, то мы имеем

Предел по времени в равенстве (2.12) можно заменить на предел Эйлера

Q(土) = s- lim /5九"=

о(2.16)

= s-lim± 8 f e±6ieiMe~ihatdt.

Это было показано Яухом [5] при допущении, что сильный предел по времсттп для левой части существует.

Процедуру эйлеровского предельного перехода можно попять, применяя ее к обычной функции /«), стремящейся к /со для tT— оо. Легко видеть, что

О

I ^e?idt — 1

и что конечные временные интервалы не дают вклада

в интеграл

о

lim f £产/(%).

5 -8

Вклад же от бесконечно далеких времен равен как раз /а, в чем мо;кпо убедиться с помощью подстановки

Когда е стремится к пулю, /(%/е) стремится: к 厶 и может быть вынесена за знак интеграла.

Введение предела Эйлера ——то место, где время исчезает из нашей двухчастичной теории. В следующем разделе мы увидим, что посредством этой процедуры получается не зависящее от времени интегральное уравнение, которое включает в себя точно такое же граничное условие, как уже обсужденное рапсе во Введении.

Уравнение для резольвенты и уравнение Липпма- на — Швингера. Выражение (2.16) для оператора Мёллера в том виде, как оно написано, не очень полезно, поскольку мы не можем выполнить интегрирование *). Но так как мы можем подействовать операторами

Мёллера на плоские волны, то можно паписать о

I p〉(±)- lim 土Ef 0I p〉(±)- lim 土Ef 08 ］成科%加e-Ef1p〉, 干00

I p〉(±)- lim 土

Ef 0

I p〉(±)- lim 土

Ef 0

О

干8干8=lim 土=lim 土

干8

干8

=lim 土

=lim 土

=lim 土氾(Е 土迎一％)т I p>.(2.17)

Мы установили важное соотношение между решениями I р)(±), отвечающими рассеянию, и резольвентой, или функцией Грина,

g(z)三(z —А)—.(2.18)

Соотношение

I р〉(上)=lim ± ieg (Е 土 ie) | p〉(2.19)

8-^0

задает переход от теории, зависящей от времени, к не зависящей от времени теории.

Из равенства z — z' = g-i(z) — g~l (zz) мы получаем при умножении на g(z)g(z') первое резольвентное уравнение

g(z') — g(z) = (z — z，)g(z)g(z),(2.20a)

g(z，) 一 g(z) = (z — z，)g(z，)g(z).(2.206)

Определяя свободную резольвенту

go(z)三(z —无о)-*(2.21)

и используя соотношение

D =无—％ = g「(Z)— gT (z), мы получаем при умножении па g(z)go(z) второе резольвентное уравнение

g(z) = go(z) + go(z)z?g(z),(2.22а)

g(z)== g0(z) +g(z)vgQ(z).(2.226)

Теперь используем это операторное тождество для вывода интегрального уравнения для состояний рассеяния,

исходя из (2.19)

I р〉(土) = lim 土 Ze (g° (E 土 is) + g° (K 士 ie) vg (E 士 ie)) | p>. go

(2.23)

Используя теперь соотношение

土 论go (石 土相)I p〉= 士况(е 土氾一自)7 Ip〉= |p)

(2.24)

для первого члена уравнения (2.23) и соотношение (2.19) для второго члена, мы получаем

|р〉(士) = |p〉+ go(K±ZO)u|p〉(±).(2.25)

Это п есть уравнение Липпмаиа — Швингера для состоянии рассеяния |р)(±). Предел по 8, который необходимо взять в go(E + ie), указан с помощью обозначения Е + iO. В г-продставлоппи в конфигурационном пространство [6] этот продол приводит к равенству

〈r I 痂(后士 力0)1 吟二_詐 exp (土 :省胃工二口)(2.26) Свободная резольвента go(E) имеет разрез вдоль вещественной положительной ^-полуоси. Предел по 8 указывает, на каком берегу разреза мы должны находиться, чтобы удовлетворить граничному условию. Знак ( + ) соответствует физическому граничному условию (см. стр. 23).

Если написать уравнение Липпмана — Швингера в конфигурационном пространстве )

〈г I Р>(+) = У 丨 Р〉一 j ©г'差炉港1；? ”(С〈门 P>(+\

(2.27)

то видно, что первый член справа есть плоская волна, а второй член (для больших значений г)——это выходящая сферическая волна. Итак, физическое зависящее от

времени граничное условие привело к интегральному уравнению, которое включает не зависящее от времени граничное условие, уже описанное во Введении.

Теперь нам нужно выяснить, является ли ядро нашего интегрального уравнения компактным оператором [7]. Если ядро компактно, то можно применить теорию Фредгольма и все стандартные методы решения, которые будут обсуждаться в главе 4. Простейший способ узнать что-либо о компактности — это исследовать, является ли норма Шмидта конечной, что дает достаточное условие. Порма Шмидта некоторого оператора К (г, г') определяется так:

II к Ils = [Sp (К+；0『2 = IN М/Г I К (r,吟什” (2.28)

В нашем интегральном уравнении (2.27) ядро есть

к (г,・)=一恭 охр"卷呷尸 I) p (J)(2.29)

C Z = К + %£.

Квадрат нормы Шмидта дается равенством

И К * =吗(dr d J ехр(—21m 嘆)| …I) ®『)产= 4л J JI r — rT

=^ j dR exp(—2 丄胪2 匕L_gL『dJ| y (.) |2 _

=(25。)

Очевидно, эта порма Шмидта может быть конечной лишь в том случае, если, во-первых, интеграл от квадрата абсолютной величины потенциала существует (это исключает кулоновский потенциал и потенциалы с твердой сердцевиной) и, во-вторых, если мнимая часть величины J2|iz не равна нулю (что как раз исключает область энергий рассеяния, которой мы интересуемся). Тот факт, что норма Шмидта расходится в пределе е->0, тесно связан с тем обстоятельством, что мы вышли за рамкп гильбертова пространства квадратично интегрируемых функций 厶2 (ср. со стр. 25). Но, как уже было установлено ранее, конечность нормы Шмидта является достаточным, но не необходимым условием компактности. Лав-

лейс [8] смог показать, что ядро нашего интегрального уравнения компактно в банаховом пространстве G непрерывных ограниченных функций с непрерывными ограниченными производными, несмотря на расходимость нормы Шмидта. Это дает ответ на вопрос, имеет ли уравнение Липпмаиа — Швингера единственное решение. Для компактных операторов справедлива альтернатива Фредгольма: неоднородное интегральное уравнение с компактным ядром либо имеет единственное решение для любого неоднородного члена, в то время как соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение (тождественно равное нулю), либо однородное интегральное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное решение, тогда как неоднородное уравнение либо не имеет решений вовсе, либо это решение не единственно.

Покажем теперь, что в нашем случае выполняется первая альтернатива. Рассмотрим однородное уравпенпе, соответствующее уравнению (2.27):

\^ = gO(E + iO)v\^.(2.31)

Если бы существовало решение | 屮〉для положительных энергий /? > 0, то оно должно было бы удовлетворять уравнению Шредингера. Последнее утверждение легко проверяется путем умножения уравнения (2.31) слева на go1(E 4- iO). Будучи решением уравнения Шредингера, 慘〉должна была бы сохранять вероятность, что невозможно, поскольку эта функция содержит лишь расходящиеся волны (ср. с замечаниями, сделанными после (2.27)). Поэтому однородное уравнение не имеет решений *) для Е > 0, а решение неоднородного уравнения (2.27) единственно.

Как мы увидим в задаче трех тел в этом месте возникает трудность.

Чтобы завершить обсуждение уравнения Липпмана — Швингера (2.25), выпишем его представление в импульсном пространстве:

<k 11)〉(上)=〈к I р〉+(Е 士 i£ 一^)『dk^k^lk^^]^. •(2.32)

*) При E V D решения возможны и представляют собой связанные состояния.

В этом представлении ядро имеет форму

К (к, к) =(Е 土把—^)'1〈к 冋 к，〉. (2.33)

Для е->0 ядро имеет полюс на действительной оси, который приводит к расходимости нормы Шмидта. Очевидно, такая сингулярность является довольно безвредной, так как Лавлейсу [8] удалось показать, что ядро тем не менее компактно.

В качестве другого примера сингулярного оператора рассмотрим единичный оператор, который также выглядит безобидным,

<рН|р，> = б(р-р，). (2.34)

Он не имеет конечной нормы Шмидта, так как интеграл от квадрата б-функции расходится. Однако, в отличие от (2.33), сингулярность здесь достаточно сильная, чтобы сделать этот оператор некомпактным; этот факт будет иметь весьма неприятные последствия в задаче трех тел.

S-матрица. 5-матрица является связующим звеном между решениями, отвечающими рассеянию, и измеряемыми данными.

Рассмотрим состояние рассеяния 屮申(%), которое эволюционировало, в соответствии с (2.8), от свободного волнового пакета фа (%), и найдем вероятность того, что в пределе Z-> 4-оо вгр^"^) содержится другой свободный волновой пакет фь(力)• Точно так же, как фо(0 описывает начальную ситуацию, фь(方)описывает конечную ситуацию, т. е. продукты реакции в той конфигурации, которая отбирается путем определенного расположения счетчиков.

Таким образом, мы ищем матричный элемент (точнее, его квадрат модуля):

5^ =里〈6b(力屮产(2)〉，

(2.35)

ИЛИ

(2.36)

или

5"=1血g%5也1限)〉.

(2.37)

Используя (2.11) и (2.12), получаем

&а=〈》-)фь|6+)фа〉，(2.38)

или

凡。=〈岫一)|屮中〉,(2.39)

ИЛИ

Sba = ®Qf Q(+)"(2.40)

Вводя собственные функции импульса вместо волновых пакетов, получаем

Sp，p = <y |Q ㈠十 с(+)|р〉・(2.41)

Следовательно, 5-матрица является импульсным представлением 5-оператора

S = Q(-)+q(+).(2.42)

Чтобы выполнить предельные переходы, содержащиеся в 5-матрице, вернемся к равенству (2.36), которое для фиксированной энергии имеет вид

Sp，p = lim /(E，-E)t〈у I р〉(+).(2.43)

Ради общности примем, что две энергии являются разными:

Е' = *，Е = ^.⑵ 44)

Мы можем выразить состояние рассеяния |р)(+) с помощью резольвенты согласно (2.19) и получить.

Sp，p = limlimi&ei{E，~E)t^\g(E + i^\ p>.(2.45)

Резольвента удовлетворяет интегральному уравнению, которое очень сходно с уравнением Липпмана — Швингера (ср. уравнения (2.22а) и (2.25)). Поэтому в импульсном представлении она имеет полюсы (ср. с (2.32)). Извлечем эти полюсы из матричного элемента и выполним предельный переход.

3 & Шмид и X. Цигельман

Подставив уравнение (2.22) для резольвенты в форме (б) в форму (а), получим

g(z) = go(2)+ go(2)Pgo(2)+ ^0(2)vg (z) Vgo(z)=

=go(z) + go(z) |> + Dg(z)l；］go(z)三

曰 go(z) + go(z)"z)go(z).曰 go(z) + go(z)"z)go(z).(2.46)(2.46)

曰 go(z) + go(z)"z)go(z).

曰 go(z) + go(z)"z)go(z).

(2.46)

(2.46)

Таким образом, резольвента оказывается связанной с некоторым оператором 力(z), который менее сингулярен, чем g(z):

力（2）三 I； + Vg（Z）V.力（2）三 I； + Vg（Z）V.(2.47)(2.47)

力（2）三 I； + Vg（Z）V.

力（2）三 I； + Vg（Z）V.

(2.47)

(2.47)

Кинематические сингулярности g(z) теперь выделяются явно,

〈p'|g(z)|p〉=〈p'|g(z)|p〉=6(р'-р) z — р2/2 卩6(р'-р) z — р2/2 卩<У I 力(z) I р>(z — p，2/2p.)(z — р2/2р.)<У I 力(z) I р>(z — p，2/2p.)(z — р2/2р.)(2.48)(2.48)

〈p'|g(z)|p〉=

〈p'|g(z)|p〉=

6(р'-р) z — р2/2 卩

6(р'-р) z — р2/2 卩

<У I 力(z) I р>

(z — p，2/2p.)(z — р2/2р.)

<У I 力(z) I р>

(z — p，2/2p.)(z — р2/2р.)

(2.48)

(2.48)

Введем этот результат при z = Е + 电 Е =卢/2卩 в выражение (2.45) для «^-матрицы и получим

S…窮…｛吗宀吟喇S…窮…｛吗宀吟喇е I 力（Е+施）I р〉.е I 力（Е+施）I р〉.

S…窮…｛吗宀吟喇

S…窮…｛吗宀吟喇

е I 力（Е+施）I р〉.

е I 力（Е+施）I р〉.

(2.49)

/st/st(2.50)(2.50)Во втором члене пределы можно вычислить, используя символическое соотношение )

/st

/st

(2.50)

(2.50)

lim lim— = 2加В (со). ±тоо “о ①一比

Окончательно получаем

Spp = 5 ①丿一р) — 2mB {р^/^ — рМ2 卩)〈р［力(Е 十力0) I р〉・

(2.51)

Т-матрица. Сингулярности резольвенты привели к двум б-функциям в 5-матрице. Одна из них описывает «отсутствие рассеяния», так как в ней р' = р. (Из-за бесконечной протяженности плоской волны бесконечно много частиц проходит мимо рассеивающего центра без отклонения.) Вторая S-функция означает сохранение энергии. Вся информация о процессе рассеяния содержится в Т-матрице. Она дает дифференциальное сечение через соотношение

爵=(2吋 * I〈pW (К + Ю)| р> |2.(2.52)

Состояние |р) определяет энергию и направление пучка; |р'〉соответствует направлению, в котором помещается счетчик.

Из-за сохранения энергии мы имеем, конечно,

^ = ^=及(2・53)

Но следует указать, что равенство (2.47) определяет также и 2'-матрицу вне массовой поверхности, для которой

Однако не существует никаких двухчастичных экспериментальных данных, которые были бы связаны с Т- матрицей вне массовой поверхности; в трехчастичном рассеянии (см. Цведение и гл. 3) ситуация иная.

Поскольку поперечное сечение прямо связано с Т- матрицей, было бы желательно иметь интегральное уравнение для самой Т. Вводя (2.46) во второе резольвентное уравнение (2.22а), получим

g(z) = go (z) + g0(z)力(z) go(z)=

=go(z) + go(z)Dgo(z) + go(z”go(z)〃z)go(z), (2.55) или

力(z) = I； + Dgo(z)力(z).(2.56a)

Используя теперь равенство (2.226) вместо (2.22а), получим

力(z)= и +力(z)go(z)〃(2.566)

В соответствующем пространстве эти уравнения являются интегральными уравнениями для Г-матрицы. Все интегральные уравнения этой главы (т. е. (2.22), (2.25) и (2.56)) имеют одно и то же ядро

K(z) = go(z",

или соответственпо

к'(Z*)=叫(z).

соотношениясоотношения(2.57a) ⑵576)(2.57a) ⑵576)Приведем теперь некоторые полезные для Т-матрицы.

соотношения

соотношения

(2.57a) ⑵576)

(2.57a) ⑵576)

Сравнение (2.56) с (2.47) дает

go(z)力(z) = g(z)〃

力(z)go(z) = Dg(z).

Легко также проверить, что

力(z) = (l_"go(z))7q(2.58а)

力(z) =v(l-g0(z)p)-i,(2.586)

(1 — go(z”)7 = 1+go(z)力(z),(2.59a)

(1 —bgo(z))-i = l + *z)go(z).(2.596)

Соотношение унитарности. Для эрмитова потенциала имеет место закон сохранения потока вероятности. Как следствие этого «^-матрица должна быть унитарной:

= 1 (2.60)

С помощью равенства (2.51) можно вывести следствия этого соотношения для Т-матрици. Мы хотим, однако, использовать другой способ [9], который пригоден также и для задачи трех тел.

Из равенства (2.56а) легко вывести следующее соотношение (умножив на 力t(z) справа и на v~l слева):

力 t(z) = go(z). (2.61)

Как указывалось в связи с уравнением (2.26), go(z) имеет разрез вдоль положительной полуоси энергии. Согласно (2.61) Г4 и, следовательно, t имеют тот же самый разрез. Соотношение унитарности и скачок t на разрезе эквивалентны друг другу.

Запишем теперь равенство (2.61) для z = К + 氾 t~^E + ie) = i;T-go(B + 迎)，(2.62a)

и для z = E—i&

力 7(K-也)=u7—gQ(E—2,⑵626)

а затем получим скачок путем вычитания и умножения на t(E + is), t(E——ге) слева и справа соответственно

力т (笈 + ге)—f1 (E—i&) = —go (В + ie) + g°(B—况)， t(E-ie}-t(E-\-i&) = t(E-}-ie) {-go(^+ie) +

+go(E—九)}力(К—ie). (2.63)

Используя первое резольвентное уравнение, преобразуем разность в фигурных скобках к виду

—go(E + 加)+ go(E—加)=2论go (笈 + Ze) go (К—迎)= =2加［(В—瓦)2 + 叨-1. (2.64) С помощью соотношения

пб (力)=lim e (力 2 + e2)-1(2.65)

e-»o

получим в пределе 6fo соотношение унитарности t(E-iQ)-t(E + i0) = 2mt {Е + i0) 6 (E-h0) t (E-iQ), или (ср. с (2.47))

t(E + iO)—戸(E + 2)=—2欣力(E+2) 5 (E —自)#(K+iO)

(2.66)

В импульсном представлении получим для рассеяния вперед

Im〈p|"E + %0)|p〉=

=一n J dp〃8 (石-夕〃2/2卩)I〈p I 方(后 + 沁)I p〃〉I =

=一叩卩 J 犷 I〈p I 方(В + ZO) I p〃〉I2;(2.67)

IpI = Ip'I = 了2喝 т. e.

Im〈p I 力(£ + 2) I p〉= — (Тполн- (2.68) 16Л屮

Это и есть хорошо известная оптическая теорема [10], связывающая мнимую часть амплитуды рассеяния на нулевой угол с полным поперечным сечением.

Задача трех тел

Гамильтониан. Если не рассматривать трехчасшч- пые потенциалы, то гамильтониан для трех частиц с массами mi,恤,тз имеет вид

论2论2论2

Н'=京 + 戏 +减 + % + ”2 + %.(2.69)

Здесь использовано следующее обозначение для двухчастичных потенциалов о (% к):

。1 = р(2, 3), & = р(3, 1),禽=ь(2, 1). ⑵70)

Мы будем применять такого рода обозначения для различных двухчастичных величин довольно часто.

Теперь нам нужно отделить движение центра масс и ввести координаты Якоби. Декартовы пространственные координаты обозначаем Г1,立 и Гз. Координаты Якоби, в которых частицы, скажем, 2 и 3 появляются явно как некоторая подсистема, обозначим через 自】，力，г. Преобразование имеет вид

自1 = r2 一r3,自1 = r2 一r3,F +咽% + %F +咽% + %% =-% =-(2.71)(2.71)

自1 = r2 一r3,

自1 = r2 一r3,

F +咽% + %

F +咽% + %

% =-

% =-

(2.71)

(2.71)

Соответствующее преобразование для импульсных переменных будет таким:

т3 ，

(2.72)(2.72)(% + 吗з)勺一％ (к? + k3) 1丁加 2 十 7"з

(2.72)

(2.72)

k = kx + k2 + k3.

Координата pi, канонически сопряженная 畐，есть импульс частицы 2 в системе центра масс частиц 2 и 3,

a qi, канонически сопряженная 巾，есть импульс частицы 1 в системе центра масс всех трех частиц.

Координаты Якоби с индексами 2 и 3, где явно появляются подсистемы (1,3) и (1,2), получаются при соответствующей замене индексов в преобразованиях (2.71) и (2.72).

В координатах Якоби оператор Гамильтона имеет вид

h，= 2(%+；2+%) +羲十就 +上产 ⑵73) где приведенные массы

峻 3М _ %(人 + %)

卩1 一 血2 Н-加3 '1 mx + m2 + m3

Благодаря трансляционной инвариантности двухчастичных потенциалов движение общего центра масс становится собственным состоянием импульса, которое нас не интересует. Поэтому мы отбросим его и запишем (а == 1, 2 или 3):

22§8

" =条+翳+ e 三瓦+ e %⑵75)

Двухчастичные подсистемы в трехчастичном пространстве. Двухчастичные подсистемы играют важную роль в задаче трех частиц. Мы уже выбрали координаты Якоби с учетом этого обстоятельства и теперь введем так называемые гамильтонианы каналов ha

瓦=佘+羲+ %•Q・76)

Асимптотические состояния с двумя частицами в связанном состоянии, как это имеет место, например, в упругом рассеянии, являются собственными состояниями такого 九а, и именно отсюда произошло название «гамильтониан канала». Для полного гамильтониана мы имеем

Н =九а + Уа(2.77)

с_

Ра = У-%= 2 yv(2.78)

Удобно обозначить развальный канал (все частицы свободные) индексом а = 0. С определением

(2.79)(2.79)соотношения (2.76) — (2.78) также и для а = 0. Наряду введем резольвенты каналовсоотношения (2.76) — (2.78) также и для а = 0. Наряду введем резольвенты каналовстановятся справедливыми с гамильтонианами каналовстановятся справедливыми с гамильтонианами каналовga(Z)=(Z-瓦)-1.ga(Z)=(Z-瓦)-1.(2.80)(2.80)00三0

(2.79)

(2.79)

соотношения (2.76) — (2.78) также и для а = 0. Наряду введем резольвенты каналов

соотношения (2.76) — (2.78) также и для а = 0. Наряду введем резольвенты каналов

становятся справедливыми с гамильтонианами каналов

становятся справедливыми с гамильтонианами каналов

ga(Z)=(Z-瓦)-1.

ga(Z)=(Z-瓦)-1.

(2.80)

(2.80)

Для обозначений операторов примем следующее соглашение. Все операторы, которые действуют в трехчастичном гильбертовом пространстве, но содержат только одно двухчастичное взаимодействие (как 九а, °а, ga) или же никакого взаимодействия (как h^ Vq, gj будут обозначаться малыми буквами. Их матричные элементы можно выразить через матричные элементы двухчастичных операторов в двухчастичном пространстве. В тех случаях, когда их можно спутать с двухчастичными операторами в двухчастичном пространстве, эти последние будут отмечаться крышечкой (Д)- Например:

〈Ра, Ча I ^а I Paj Ча^ == 6(Qa—Qa) <Ра | ^а | ₽а>*(2.81)

Истинно трехчастичные операторы (подобно Н, V,匕) обозначаются заглавными буквами.

Матричные элементы указанных выше резольвент ка^ налов имеют вид

<Раг Ча | ga (z) I Pai Qa〉=

『Ga-qa)〈Pa ga(z —Pa' (2.82a)

Эти матричные элементы связаны с матричными элементами двухчастичных резольвент (2.18). Резольвента ga имеет индекс канала, так как в разных каналах могут действовать разные потенциалы va. Отметим, что б-функ- ция получается из-за того, что ga содержит только взаимодействие в подсистеме а, а частица а является свободной. Аргументом у ga является энергия подсистемы а, которая получается при вычитании кинетической энергии

частицы а из трехчастичной энергии z. Для go имеем

Рассеяние в подсистеме а описывается Т-матрицей (ср. с равенством (2.47))

力<X(Z)^1 % + D(xga(z)%.(2.83)

По аналогии с уравнениями (2.56) и (2.58) имеем

力oc(z) = Ра + Dago(Z)力а(Z),

(2.84a)

ИЛИ

方 a(z) = Va + 力 a(z)go(z)%；

(2.846)

и

ta = (1 —%go(Z)『ba,

(2.85a)

или

ta = Da(l —g0(Z)%)T.

(2.856)

Матричные элементы приобретают вид

〈Ра，Чара (?) | Р；, Ча> =

=§(Ча — q<x)〈Ра I *а(Z —磋/2M仪)| Ра〉・ (2.83)

Оператор /а будет нужен, например, чтобы описать трох- частичное рассеяние как многократное двухчастично^. Графическим представлением /

формулы (2.86) является

рис. 10.2

Граничные условия и

операторы Мёллера. Обсужде- §

ние граничных условий и мёл- Рис 垃 Трехчастичный про. леровских операторов, пр иве- цесс с рассеянием в двух- денное в предыдущих разделах частичной подсистеме.

1.2 и 1.3 для случая двухчас

тичного рассеяния, может быть без затруднений обобщено на трехчастичное рассеяние.

Временная эволюция трехчастичного волнового пакета дается выражением

屮或⑴=宀叫以，(2.87)

тогда как реперные волновые пакеты эволюционируют согласно соотношению

Фат (力)=е ° ° Фат-(2.88)

Волновой пакет фате описывает свободное движение частицы а (а = 1, 2, 3) по отношению к двум другим частицам, которые находятся в m-м связанном состоянии. Для а == 0 мы имеем волновой пакет фо с тремя свободными частицами, который, однако, не очень употребителен в качестве начального состояния (за исключением олисапия газа).

Граничное условие формулируется аналогично случаю двух частиц. Потребуем, чтобы норма разности 屮(思 0)— —Фат (力)исчезала в отдаленном прошлом:

Ит I, e~iHt^ - e~ihat^m | = 0.(2.89)

Это приводит к следующему представлению состонни立 рассеяния:

成Й = S-Jig 或叫一‘'"%Гп 三魏0Фат,⑵90)

и к такому определению мёллеровских операторов:

0济=s- lim, а = 0, 1, 2, 3,(2.91)

力~干8

где мы включили предел 力f+ ©о, который важен для построения 5-матрицы.

Несмотря на формальную аналогию, не следует упускать из виду, что трактовка задачи трех тел является гораздо более трудной. Это можно увидеть уже из того факта, что для каждого разбиения а нужен отдельный оператор Мёллера. Самостоятельной проблемой является уже доказательство того, что мёллеровские операторы существуют [11], а также доказательство того, что их можно применять к ненормируемым состояниям с определенной энергией [12]. Таковыми являются состояния канала с двухчастичной фрагментацией

где

ha I фа)н^ Еатп|Фат〉，

и состояния канала с тремя свободными частицами

|фо〉= |q«, Ра〉= |qa〉|pa〉，(2.93)

где

无о I Фо〉~ I吃12Ма 十 р"2|1а) I фо〉・

В равенстве (2.93) индекс а произволен и указывает лишь одну из трех возможных систем координат Якоби. Область определения мёллеровских операторов (2.91)—— это пространство состояний канала. Областью их значений является пространство состояний рассеяния

丨嶋Ь=С济 |Фат〉・(2.94)

Перестановочное соотношение

Н聪° = Q尹％, a - 0, 1, 2, 3,(2.95)

справедливо также и в трехчастпчном случае по аналогии с соотношением (2.14). Это следует из того, что состояния рассеяния имеют ту же энергию, что и свободные начальные и конечные состояния, несмотря на то, что все эти состояния являются собственными состояниями разных гамильтонианов.

Можно показать [13], что состояния рассеяния, которые принадлежат к разным начальным (или разным конечным) состояниям, ортогональны друг другу

〈屮^^ I 屮秣)〉~ ^ap^mn^ (q(x — q「)(2.96)

(для свободных состояний канала это справедливо лишь при a = §!). Как и в двухчастичном случае, существуют также и эрмитово сопряженные операторы Мёллера ◎(+)*. Они действуют обратным образом, т. е. при действии на состояния рассеяния дают свободные состояния канала (если индексы каналов одинаковы)

Q(士计怖曾〉= Зав1Фвп〉・(2.97)

При действии на трехчастичные связанные состояния они дают нуль

聪》N 代〉=0.(2.98)

Заметим, что в двухчастичном случае (см. стр. 26) состояния, аннулируемые эрмитово сопряженным оператором Мёллера, и состояния, не аннулируемые им, разделены по энергии (EV0 и Е > 0). Для трехчастичного случая это уже не так (ср. с равенством (2.97) для а #= р: Q济* I 屮秣)〉=0 для Е > 0).

Уравнение для резольвенты и уравнение Липп- мана — Швингера. Попытаемся теперь установить связь между зависящей и не зависящей от времени теориями.

Для трехчастичного рассеяния также возможен переход от предела по времени к пределу Эйлера (ср. с (2.16)). Интегрирование по времени приводит по аналогии с (2.19) к соотношению

I 屮霖〉=Нт 士 把G (E ± 迎)I фат〉》 (2.99)

где G(z) полная резольвента трехчастичной системы

G(z)三(z-a)-L(2.100)

Используя резольвенту канала (2.80), можно выписать два резольвентных уравнения

G(z) =ga(z) +ga(z)%G(z),(2.101а)

и

G(Z)= ga(Z)+ G(Z)%ga(Z),(2.1016)

которые легко проверяются с помощью тождества

Pa = gU(z)-GT(z).(2.102)

Уравнение Липпмана — Швингера для состояния рассеяния получается при подстановке резольвентного уравнения (2.101а) в (2.99)

I ^!£〉= Нт 士 ze 跳(Е ± ze)十

十 ga (后士 况)PaG (E 士 迎))I фат〉.(2.103)

Так как свободное состояние канала |фат) есть собственное состояние 瓦 с энергией Е, то мы имеем

lim 士 沱ga (后 士 力£)I Фат〉= | фа?〉 (2.104) e->o

Используя этот результат и соотношение (2.99) для преобразования второго члена соотношения (2.103), получим

I 屮阖〉=|фат〉+ ga(E ± X0)％1中索〉• (2.105)

В отличие от задачи двух тел (см. замечания к уравнению (2.31)), решение уравнения Липпмана — Швингера теперь определяется неоднозначно, так как однородное уравнение

№〉= ga(E + 2)%|“〉 (2.106)

имеет решения для энергий в области рассеяния. Последнее обстоятельство можно усмотреть, если в равенстве (2.103) выбрать другое состояние канала | фрп), ^ #= а. Тогда получим [14]

lim 土 iega (后 士 施)丨 Фр«> = °, (2.107) е->о

так как состояние 兩门〉не является собственным состоянием 瓦；произведение ga^£n) остается конечным для £-> 0 и, следовательно, выражение (2.107) обращается в нуль. Мы получаем, таким образом, уравнение

К}> = ga (Е 士 沁)PaM記〉. (2.108)

Это уравнение показывает, что однородное уравнение, следующее из неоднородного уравнения Липпмана — Швингера (2.105), имеет в качестве нетривиальных решений состояния рассеяния 卜屮儘)〉других каналов с §，а.

В задаче двух тел однородное уравнение также имело нетривиальные решения, но лишь при дискретных энергиях связи, где не происходит никакого рассеяния. В трехчастичной же задаче однородное уравнение имеет нетривиальные решения (помимо соответствующих трехчастичным энергиям связи) в континууме, который охватывает область энергий рассеяния.

Это свойство уравнения Липпмана ——Швингера в трехчастичном случае тесно связано с проекционными свойствами эрмитово сопряженных мёллеровских операторов (2.97) [9].

Чтобы получить единственные решения уравнения Липпмана — Швингера, нужно ввести дополнительные

условия, которые отберут из множества решений тб, которые удовлетворяют физическому граничному условию или заменяющему его равенству (2.99). Глёкле [15] показал, что единственные решения имеет такая система уравнений ):

I 屮黒〉=| Фат> + ga (Е + %。)几 I "爲〉，(2.109а) 丨屮黒〉=gf, (£ + Ю) Vp I <b, (2.1096)

丨屮Si〉=gY(E + EO)%“Si〉. (2.109b)

В дополнение к уравнению Липпмана — Швингера Глёкле потребовал, чтобы в каналах §, 丫 были только расходящиеся волны п никаких сходящихся волн (эти последние могли бы присутствовать согласно уравнению (2.108), если ограничиться уравнением (2.109а)). Вводя подходящие приближения, Глёкле сумел преобразовать систему уравнений (2.109а) — (2.109в) в систему интегральных уравнений с конечной нормой Шмидта.

В изначальном виде ни ядро уравнения (2.105), ни ядра уравнений (2.109а) — (2.109в) не имеют конечной нормы Шмидта. Эти ядра также не являются компактными [7], так что стандартные методы теории интегральных уравнений здесь использованы быть не могут. Ядром уравнения Липпмана — Швингера является 及⑵=ga(Z)Pa.(2.110)

Используя (2.22а), получаем

Ka(z) = go(z)l\ + go(z”aga(z)%.(2.111)

Дельта-функции, появляющиеся из-за двухчастичных потенциалов в первом члене, вызывают расходимость нормы Шмидта (см. замечание к (2.34)):

,,,/3\-1

<kik2k31 队(z)几 I k；k；k；〉~ (z —耳禧/2皿丿 X

X 2 6 (qv - q；)〈Ру I 篇 I p；〉・(2.112)

В правой части соотношения (2.112) 6-функция, отвечающая движению общего центра масс, уже опущена. Графическое представление (рис. 11) оператора goV показывает, что он имеет несвязные части. В каждом члене

Рис. 11. Графическое представление ядра трехчастичного уравнения Липпмана — Швингера.

взаимодействуют только две частицы, тогда как третья движется свободно, что свидетельствует о наличии 6- функции в импульсном пространстве. Поэтому при поиске полезных интегральных уравнений надо стараться избегать появления несвязных частей в ядрах.

Глава 3

УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА

Уравнения Фаддеева для Т -матрицы

После того как Фаддеев в 1960 г. показал [16], что уравнение Липпмана — Швингера (2.105) не имеет единственного решения, он изучил свойства оператора

7(z) = V+VG(z)V.(3.1)

Этот оператор, хотя и является формальным аналогом двухчастичного 7-оператора (см. (2.47)), но не связан с сечением рассеяния столь непосредственно как в двухчастичном случае. По аналогии с (2.46) имеем

G(z) = go(z) + go(z)7(z)go(z).(3.2)

Оператор 7(z) менее сингулярен, чем резольвента G(z), так как в нем отщеплены сингулярные операторы go(z). Как и в двухчастичном случае (2.56), у нас есть уравнения

T(z)=卩+ Ugo(z)7(z),(3.3а)

T(z) = P+7(z)go(z)匕(3.36)

Эти интегральные уравнения для 7-оператора имеют тот же недостаток, что и уравнение Липпмана — Швингера (2.105), а также резольвентные уравнения (2.101), поскольку все они имеют те же ядра.

Фаддеев пришел к новому уравнению с помощью следующего приема ): он расщепил уравнение (3.3а) на три уравнения (в дальнейшем z-зависимость операторов опускается)

北=办+ 办 gof.(3.4)

Поскольку V = i?i -J- y2 + 禽，то Т-оператор есть сумма трех новых операторов ":

7 =方 + 笃 + 7з・(3.5)

Этим расщеплением выражение (3.3а) развертывается в систему уравнений для компонент Т*. В матричной форме

Пока мы ничего не выиграли. Уравнение (3.6) все еще имеет некомпактное ядро и то же самое имеет место для всех уравнений, которые получаются из него при итерациях. Расщепление, однако, дает частное решение, приводящее к менее сингулярному ядру. Перенесем в первой строке матричного уравнения (3.6) член (^igo^i) налево

— Sgofi = S + 1丿跳(丁2 + ?з) •(3.7)

Умножение на (1 — ^欧尸 слева дает

% =力 + 力igoS + ?з),(3.8)

где использован оператор (см. (2.85а))

力 1 = (1-sg0)7次.(3.9)

Если строки 2 и 3 преобразовать тем же образом, то получится матричное уравнение

Это уравнение называется уравнением Фаддеева для 7-матрицы. Его иногда пишут так:

7\ (z)=力(z) + S Fi； (z) g° (z)乌(z),5=1

или, в матричном обозначении, 歹(z) =t(z) +亥尸(z)歹(z)

с

^f(z)三 Rj(z)go(z) = (1—鲍)&(z)go(z).

Вместо потенциалов v{ новые уравнения (3.10) содержат двухчастичные 7-матрицн 勿,которые теперь уже пони- маются как операторы в трехчастичном пространстве

4 в* Шмид и Х・ Кигельман

5050гл. з. уравнения Фаддеева

50

50

(см. (2.86)). Величины 力 входят в уравнение Фаддеева вне массовой поверхности из-за энергетического сдвига z — qi /2Mi и из-за того, что вычисление произведения операторов 力goTj подразумевает интеграцию по всем возможным промежуточным состояниям

|Р；>|<> С

圻Z圻Z„2„2一迎声血，„2„2一迎声血，

圻Z

圻Z

„2„2

一迎声血，

„2„2

一迎声血，

Мы имеем здесь математическую формулировку отмеченного во Введении явления, состоящего в том, что в трехчастичную амплитуду входят двухчастичные амплитуды рассеяния вне энергетической поверхности, откуда следует, что данные трехчастичного рассеяния содержат больше информации, чем одни только двухчастичные данные.

Поскольку операторы ^ действуют только в подсистеме г, ядро уравнения (3.10) все еще содержит 6-функции

(3.11)(3.11)

(3.11)

(3.11)

Следовательно, это ядро не имеет конечной нормы Шмидта. Тем не менее уравнение (3.10) удобнее, чем уравнения (3.3) и (3.6). Уже в его первой итерации опасные 6-функции устраняются (интегрированием):

Ai^o (% + %)、 +卜招0 (% +幻+Ai^o (% + %)、 +卜招0 (% +幻+

Ai^o (% + %)、 +卜招0 (% +幻+

Ai^o (% + %)、 +卜招0 (% +幻+

/Мо (% + %)/Мо (% + %)W3Mo (% + 幻W3Mo (% + 幻々go% 、

/Мо (% + %)

/Мо (% + %)

W3

Mo (% + 幻

W3

Mo (% + 幻

% Uo k2 .(3.12)

%go& + *2)/\^3/

Теперь у нас остались операторные произведения tig^ только ci#：/, так что интегральное ядро содержит лишь члены, в которых все три частицы связаны друг с другом. Рис. 12 дает графическое представление члена тако-

Рис. 12. ГрафическоеРис. 12. Графическоепредставление типичного члена итерированного фаддеевского ядра.представление типичного члена итерированного фаддеевского ядра.физических энергий.физических энергий.ti^go^t^z), i#=/,ti^go^t^z), i#=/,(3.13)(3.13)

Рис. 12. Графическое

Рис. 12. Графическое

представление типичного члена итерированного фаддеевского ядра.

представление типичного члена итерированного фаддеевского ядра.

физических энергий.

физических энергий.

ti^go^t^z), i#=/,

ti^go^t^z), i#=/,

(3.13)

(3.13)

го типа; сравним его с графическим представлением ядра Липпмана — Швингера (рис. 11).

Норма Шмидта ядра итерированных уравнений Фаддеева (3.12) существует, если потенциалы спадают до

статочно быстро и если Im z * 0. Это выглядит довольно обнадеживающим, но мы все еще не достигли цели. Необходимо исследовать два вопроса.

Норма Шмидта итерирован-

ного ядра не существует для 1ш Z = 0 И Re Z ^>Emin (「Де 豆min низший энергетиче>ский уровень подсистем), и поэтому неясно, является ли ядро компактным для

Фаддеевские уравнения были выведены из уравнения «с изъяном» (3.6), которое не имеет единственного решения для Im z = 0. Неясно поэтому, имеют ли

уравнения (3.10) или (3.12) единственные решения.

Главная часть работы Фаддеева [17] связана с этими

двумя вопросами.

Норма Шмидта для произведения вида

расходится при Im z->0 и Rez>E^iin，поскольку как Г-матрицы, так и свободный пропагатор сингулярны (последний только для Re z > 0, см. (2.82) и (5.28)). Вторая итерация приводит к операторным произведениям вида

友(z)go(z)力,(z)go(z)踪(z),力吸力 у ^к. (3.14) Эти выражения снова менее сингулярны, чем выражения (3.13), так как интегрирования по промежуточным состояниям имеют тенденцию сглаживать сингулярности, а в (3.14) дополнительные интегрирования имеются. После четвертой итерации, которая приводит к ядру Х|, остающиеся сингулярности становятся столь же безвредными, как и в задаче двух тел (ср. с. объяснением после формулы (2.33)). Фаддеев смог показать [18], что пятая степень ЖJ ядра уравнения (3.10) является компактным

оператором в подходящем банаховом пространстве для вещественных энергии, превышающих 上min*

Отсюда следует, что ядро 密尸 неитерированного уравнения Фаддеева имеет, несмотря на 6-функции и несмотря на сингулярности 力 и go на вещественной энергетической оси, некоторые важные свойства, известные для компактных операторов:

Справедлива альтернатива Фредгольма [18] (см. также стр. 30).

Ядро имеет только дискретный спектр 小

£f2V =小2V.(3.15)

Резольвента 死(儿)=(% —筋尸 существует [19] и является мероморфной функцией параметра X.

Так как однородная часть (3.10) имеет в качестве своих решений только трехчастичные связанные состояния [18], то из п. а) следует, что (3.10) при энергиях в области рассеяния имеет единственные решения. А из п. в) следует, что для практического решения нашей задачи не нужно начинать с четвертой итерации, а можно рассматривать прямо исходное уравнение. В принципе это решает нашу трехчастичную задачу. Некоторые трудности возникают с заряженными частицами из-за даль- нодействующего характера кулоновских сил, но и здесь достигнут прогресс [20].

Чтобы «почувствовать» уравнения Фаддеева, запишем для уравнения (3.10), ряд Неймана, получающийся последовательными итерациями,

(3.16)(3.16)歹(z) = S 徵^ (z) t (z).

(3.16)

(3.16)

W=0

Здесь мы не касаемся вопроса о сходимости. В графическом представлении мы получаем, например, для Т\

Благодаря специфической форме фаддеевского ядра друг за другом следуют только /-матрицы разных подсистем (ср. также (3.12) и рис. 12). Графики нужно читать по следующим правилам: прямые линии представляют свободные состояния (собственные состояния гамильтониана 厩).Операторы go в явном виде не появляются, так как при действии па свободные состояния они дают только числовые множители. Для перехода от графического представления к операторному необходимо лишь иметь в виду, что за каждым взаимодействием идет свободный пропагатор и что нужно ввести свободный пропагатор go. Примем, что последовательность времен упорядочена справа налево; таким образом, начальное состояние находится с правой стороны графика, а конечное —с левой.

Смысл уравнений Фаддеева теперь можно усмотреть из графического представления отвечающего им ряда Неймана. Эти уравнения описывают процесс трехчастичного рассеяния как многократное двухчастичное рассеяние, где индивидуальные двухчастичные события могут быть на массовой поверхности или вне ее. Описание трехчастичного рассеяния как многократного двухчастичного было введено Ватсоном [21] еще в 1953 г.

Мы хотим теперь сравнить графическое представление уравнения (3.17) с графическим представлением уравнения Липпмана — Швингера, чтобы еще раз продемонстрировать некомпактность ядра уравнения (3.3) и чтобы дополнительно прояснить роль двухчастичных 2-матриц в уравнениях Фаддеева. Потенциалы, появляющиеся в (3.3), будут изображаться волнистыми линиями

Мы еще раз видим, что означает выражение «несвязное ядро»: в каждом члене второй суммы одна частица не взаимодействует; ее состояние не изменяется, что в интеграле по промежуточным состояниям выражается 6-функцией. Та же ситуация имеет место и после одной

поскольку третья сумма содержит члены с i = /. С первого взгляда не видно, что расщепление Т на Ti, Т2 и Тз дает какие-либо преимущества. В графическом представлении уравнение (3.4) имеет вид

(3.20)(3.20)Но последовательные итерации дают частичный рядНо последовательные итерации дают частичный ряд

(3.20)

(3.20)

Но последовательные итерации дают частичный ряд

Но последовательные итерации дают частичный ряд

мы име-(3.22)мы име-(3.22)

мы име-

(3.22)

мы име-

(3.22)

который можно просуммировать. Согласно (3.9) ем разложение

力z内2

или, в графическом представлении,

Суммируя различные частичные ряды (3.21) с помощью этого выражения, получаем ряд Неймана для уравнений Фаддеева, т. е. (3.17). Так как в (3.21) показано лишь несколько графиков, необходимо некоторое воображение, чтобы проверить этот результат с помощью нашего рисунка; легко, однако, видеть, каким образом возникают первые два графика в правой части (3.17).

Очевидно, что ряд (3.21) становится при частичном суммировании менее расходящимся, так как ряд (3.23), который может расходиться, заменяется двухчастичной 7-матрицей. Частичное суммирование ряда Неймана и привело Фаддеева к расщеплению трехчастичной 7-матрицы на компоненты Л. Как мы видели, такое расщепление приводит после одной итерации к интегральному уравнению со связным ядром.

Перейдем теперь к выводу других форм уравнений Фаддеева. Согласно равенству (3.2) резольвента G(z) может быть вычислена, если 7-оператор известен. Однако можно написать уравнения Фаддеева непосредственно для резольвенты или, более точно, для отдельных компонент, получаемых при расщеплении этой резольвенты. При заданной резольвенте G(z) решение задачи рассеяния также известно согласно (2.99). И в этом случае возможно найти уравнения Фаддеева, которые могут непосредственно дать решение для рассеяния. Из этого решения задачи рассеяния можно выделить элементы S- матрицы, в особенности для физически интересных амплитуд переходов. Для этих последних также имеются свои собственные уравнения Фаддеева.

Уравнения Фаддеева для резольвенты

Введем теперь расщепление 7-операторов согласно равенству (3.5) в формулу (3.2) для резольвенты:

G (z) = g° (z) +2 g0 (z)兀(z) g。(z).(3.24)

Определив компоненты G《z) равенством

G,(z) =go(z)T,(z)go(z),(3.25)

получим для резольвенты

G^^g.^-^^Giiz).(3.26)

г=1

Интегральные уравнения для компонент G《(z) получаются путем подстановки уравнений Фаддеева (3.10) в равенство (3.25):

з

Gt = g也go + go 2 /沼口这0・(3.27)

Распространив (2.46) на трехча-стпчное пространство, получим

go 力 go = gi—go,(3.28)

и вместе с (3.25) соотношение (3.27) даст уравнение

Ge(z) = gi (z) — g()(z) + a】g° (z) Гц (z) Gj(z). (3.29)

Это и есть уравнения Фаддеева для резольвенты [14]. Снова в ядре появляется типичный фаддеевский оператор Fij(z) и все, что было сказано об этом ядре на стр. 51, остается справедливым и здесь.

Уравнения Фаддеева для волновых функций рассеяния

Для состояний рассеяния, согласно (2.99), имеем

I 酰2〉=吧J 土 把G (E 土 記)I фат〉•(3.30)

Использовав расщепление (3.26) для резольвенты, получим

I 噁2〉= ?弋士 加go (Е + is) I фат〉+

3

+ lim 士沌工 G*(E 土 is) I Оат〉♦(3.31)

е+О i=l

С определениями

I 脸Q = Ит ± 注gi(E 土 is) I фат〉， i = 0, 1, 2, 3, i(3.32a)

и

I 唸й* =巴 ± ^(Е ± 邑)I ©am〉，％ = 1, 2, 3, (3.326)

получим следующее расщепление состояний рассеяния на компоненты:

I屮潔〉=1端》+宫|幅勿 (з・зз)

Подставим теперь уравнения Фаддеева (3.29) в равенство (3.326) и найдем

I 屮瀉〉t = иm ± is ®(e + 龙)一氤(豆士 ге) +

+ 士 go (Е ± 用)Fij (E 土 ie) Gj (E 土 is)! | фащ) •(3.34)

Использовав определения (3.32) еще раз, найдем

I騎й〉2 = 1 *熱〉-I脸»十

+N g。 (后土沌)％ (后士沌)I屮霖% (3.35)

Предельный переход, содержащийся в определении (3.32а), можно выполнить. Для a #= 0 (когда во входном канале есть связанная пара) получим

I Xjam> ― 6以 I фат〉，^ ~ 0г lt 2, 3^(3.36)

(ср. с замечанием после равенства (2.107)). Для a = 0 (состояние рассеяния получается из свободного состояния |Фо〉)имеем

卩im ± 氾g° (Е ± ге)|ф0> = |ф0>, i = 0, I必士)〉=戸。

° lim ± iegi (E ± ге) | ф0> = fi(±)| ф0> ,i#=0,

.8-^0

(3.37) где Qi±} — двухчастичный оператор Мёллера в трехчастичном пространстве (ср. уравнения (2.11) и (2.17)).

С использованием соотношений (3.36) и (3.37) уравнения Фаддеева (3.35) для состояний рассеяния [14] принимают вид:

5858гл. з. уравнения Фаддеева

58

58

при наличии во входном канале связанной пары, а =# О

I 屮鑑〉i = 3必 I Фат〉+ ^g0(E± 2)%(后 ± 2) I 屮處〉j,

|嶋?〉=总1嶋〉"(3.38)

г—1

при трех свободных частицах во входном канале, а = О

з

I 吟》= IФ声〉+ 2 go (后 ± 2) FiME ± Ю) I 喏〜，

3

I戈士)〉=也〉十g」吟》.(3.39)

Величина |ф空〉определяется как (ср. с равенством (3.37))

|ф(±)> = Ц±)|ф0>-|ф0>

и представляет сферическую волну (расходящуюся или соответственно сходящуюся).

S-матрнца

В качестве 5-матрицы мы определим амплитуду, получающуюся в том случае, если мы позволим свободному СОСТОЯНИЮ е~гЛа< | фат〉или ©Т'叫 Фо〉 эволюционировать в состояния рассеяния e~iHt | 屮黒〉или 叫戈+)〉 соответственно и проанализируем состояния рассеяния в том случае, когда свободными состояниями являются е』М|Фбп〉 ИЛИ f |ф。〉 в пределе 力f оо,

Sl^am (qj； qa) = Jim <e-ih^n | 6-疋绅七％〉(3.40a) (a, 0，0, рассеяние с перестройкой),

So,am依总Pa； 4a)=吧〈小"咻/小田屮以〉(3.406)

(a 吸 0, развал), и

^0,0 (q«，Pa； qa, Pa)=吧〈ef Фо I e-iHt^}> (3.40b) (свободно-свободное рассеяние).

С помощью (2.90) и (2.91) находим

^₽п,ап (qj； Ча) —〈6|3n I Q『)十 Q申 I Фат〉(3.41а)

(а, § 用 0),

S°,am «а，Р；； Ч«) = <Фо I 嶋一)十。申 I Фат> (3.416) (а #= 0) и

So,о(Ча, Ра； Ча, Ра) ―〈Фо | ^о)' ^о+^ 1 ФоХ (3.41в) В отличие от двухчастичного случая (2.42), в трехчастичном случае мы имеем 4X4 матрицу операторов

5昵=q鼠)七，.(3.42)

Матричные элементы этого набора операторов, взятые между состояниями каналов |©am〉или |ф0), образуют 5-матрицу.

Состояния канала /фы) не образуют полного набора, поскольку т обозначает связанное состояние подсистемы (2, 3), а континуум этой подсистемы отсутствует, и аналогично для |02n) и |фз〉・ Только состояния |ф0> образуют полный набор функций. С другой стороны, набор функций, образованных всеми состояниями каналов |фо), 1aт〉，1ф2п) и |фз> содержит неортогональные функции и является переполненным.

Из равенства (3.41) с помощью (2.94) получаем

^^п,ат(Чр； Qa) ~〈屮$n)丨碗處〉(3.43а)

(a, P #=0),

So,am (q<x. Pa； 4a)=〈也)| 屮镖〉 (3.436) (a=/=0) и

*^o,o(4a, Pa； Qa, Pa)=〈也)| 屮七+'〉・(3.43в)

Здесь мы могли бы остановиться, так как мы можем рассматривать состояния рассеяния, которые получаются из соотношений (3.38) и (3.39). Но мы хотим выделить из

5-матрицы 6-функции и вывести уравнения Фаддеева для остающихся амплитуд перехода. Мы могли бы действовать, как и в двухчастичном случае (см. (2.39)— (2.51)), но при этом необходимо знать такую форму операторов перехода, которая допускает отделение кинематических сингулярностей резольвенты (аналогично равенству (2.48)). Не зная этого, будем поступать следующим образом. Рассмотрим сначала только рассеяние с перестройкой.

Подставим резольвентное уравнение (2.1016) в уравнение (2.99):

I "Фат/* — I Фат〉+ G (Еат ± 2) Vа | Фат〉・(3.44)

Из него находим

I 屮蝮〉=I А|)Ц> + (G (%т + 2) — G (Еат — 力。))％ | Фат〉・

(3.45)

Разность резольвент вычисляется тем же самым образом, что и в соотношениях (2.64) и (2.65),

G(Eam + i0)-G(Kam-2) = ~2л18 (Еат-Н).(3.46)

Используя (3.43), (3.45) и (3.46), для 5-матрицы находим

*^Pn,am(4Р； ча)=〈私？ 1 W^4〉一

-2加〈屮(^ I 6 (Еат -Я)7а|фат>. (3.47)

Состояния рассеяния | 屮煜〉и | 屮^?〉ортогональны при a * В, поскольку они являются собственными состояниями одного и того же гамильтониана с разными граничными условиями (см. равенство (2.96)). Поскольку, очевидно,

“fc? I 6 (Earn — Е) = 6 (Earn — E^ <4^ I,

то мы получаем

$В%ат &В； Ча)=

~ 5 (q。一 Ча) 6pa6mn — 2冗力6 (%1n — E向)e&n)I % I фат〉 (%0，0).(3.48a)

Обращаясь далее к случаю развала, можно повторить аналогичным образом наш вывод и получить

So,ости (qa, Ра； Ча)=

=：2itf6 (Ессм (a W 0).

л2 q。

<2 Р

2"а2%

〈K』Dal©aG (3.486)

Результат для свободно-свободного рассеяния будет таким:

So,o (q；, Ра； qa, Ра) = 6 (q； — qa) 6 (р； — ра)—

一2市6 (急 + 爲-誇不-*■)〈中『)1У1Фо>- (3.48В)

Теперь 5-матрица имеет ту же самую форму, что и в соотношении (2.51). Та часть процесса рассеяния, где «ничего не происходит», отщепляется. Остаток описывает переходы в системе с помощью матрицы переходов

E$n?am(Чр> Ча) ~〈屮%п)| У<х | Фат〉 (3.49а)

и с помощью соответствующих матриц из (3.486) и (3.48в).

По аналогии с равенством (3.45) мы могли бы записать уравнение для (ipp^ | и получили бы выражение для 5昵 с другой матрицей перехода

Е爾7am (q。； Ча) = <фрп | / | 並麻〉•(3.496)

Резюмируя, можно записать

^^п,ат (q§； q<x) = 8 (q§ — Qa) ^pa^mn —

(3.50а)(3.50а)—2ni6 (Eam — E^n) E战)a?n (q§； 4a)5

(3.50а)

(3.50а)

So,am(Ча» Pa； Qa)=

=-2nZ6 （后加一急-京=-2nZ6 （后加一急-京Е法爆(Ча» Ра； Ча),Е法爆(Ча» Ра； Ча),(3.506)(3.506)

=-2nZ6 （后加一急-京

=-2nZ6 （后加一急-京

Е法爆(Ча» Ра； Ча),

Е法爆(Ча» Ра； Ча),

(3.506)

(3.506)

一2冗外灰嚷+在一痂二丽一2冗外灰嚷+在一痂二丽

一2冗外灰嚷+在一痂二丽

一2冗外灰嚷+在一痂二丽

•^0,0(Ча, Ра； Ца, Ра) = 3 (qa — Ча)^ (Ра 一 Ра) 一

E瀋'(qa. Pa； Qa» Pa)・ (3.50b)

Лавлейс показал [22], что две матрицы перехода К陆) и /?^ отличаются только вне массовой поверхности, так что две возможности (土)в (3.50) эквивалентны.

Уравнения Фаддеева для операторов перехода

Мы хотим рассмотреть матрицы перехода Е磕)как представления операторов перехода в пространстве состояний канала |фа). Используя соотношение (3.44), состояния рассеяния в (3.49) можно выразить с помощью состояний канала:

Е^ат 〈Фбп I % + /G (Еат + Ю) Va I Фаш〉,'

風以=〈Ф。W + UG (%п + 2) % I Фат〉， (3.51a) 砒=@卜…魇+栾+屮卜。〉

и

那?,ат =〈ФВ也 1% + % G (后断 + »0) % I Фат〉，

甩2n = <Фо Va + VG (盡 + 乐■ + 沁)兀 фат〉，(3.516)

^о7о = <Фо 卩 + ус + -^ + 2)V ф0>.

В качестве операторов перехода для а,卩=0, 1, 2, 3 ) определим операторы

U^^^V^ + V^G^Va(3.52а)

и

U^ (z)三几 + V^G (z)几・(3.526)

Заметим, что для 5-матрицы мы должны взять предел (в обоих случаях), когда z приближается к вещественной оси энергий из верхней полуплоскости.

В S- л /?-матрицах областью значений индексов является число различных каналов (считая развальный канал за один канал), тогда как для оператора перехода

индексы обозначают различные разбиения 0, 1, 2, 3. Может случиться, что для определенной подсистемы не существует вовсе связанных состояний. В этом случае соответствующее значение а или 卩 не появляется среди индексов каналов. Однако это значение появляется как индекс операторных матриц в соотношениях (3.52). Соответствующие операторы даже дают вклад в рассеяние в других каналах из-за связи всех операторов через уравнения Фаддеева (ср. с соотношением (3.56)).

Уравнения Фаддеева для операторов перехода U^ (z) выводятся следующим образом. В соотношении (3.52а) мы используем определение (2.78) для 兀：

и^ - Гр + ^Р 2 ^6(3.53)

и подставляем резольвентное уравнение (2.1016):

U^^V^ + V^ 仇 + GV6g&) ve (3.54)

C

gm = g%

(ср. с равенствами (2.83) и (2.84a)). В результате мы получаем

成整=^ + " £ (1 十 G %) g。％ •(3.55)

С определением (3.52a) это дает

__ з

嗨)=晖 + £ W 鼠力6 = Рв + £ U(^g0F6a. (3.56) 6/a6=0

Таким образом, мы снова получаем систему, аналогичную уравнениям Фаддеева. Фаддеевское ядро уравнения (3.10) расширяется на одну строку и один столбец

(а, р = 0, 1, 2, 3 и 用三 0).

Вовсе не очевидно, что в нашем уравнении для U&a мы получим фаддеевское ядро. Например, для 卩=а можно вывести следующее уравнение:

U^=Va + umg^a.(3.58)

Это уравнение имеет ядро Липпмана — Швингера и, следовательно, обладает всеми недостатками, уже обсуждавшимися на стр. 44—46. Очевидно, что важно вывести связанные уравнения и этим учесть, что состояния каналов перекрываются и что переходы между разными каналами происходят в течение времени взаимодействия [9].

Аналогично можно получить уравнения Фаддеева для операторов U^i

_ з

公Z)=几 十 £ /*。成3(3.59)

6=0

Уравнения (3.56) и (3.59) были введены Лавлейсом [8]. В сравнении с уравнениями (3.10), (3.29), (3.38) и (3.39) они имеют небольшой дефект, поскольку содержат и двухчастичные Г-матрицы и потенциалы. Этот недостаток можно исправить небольшой модификацией операторов перехода [23]. Введем операторы

%а =(1- 6₽а) gU + U威)=(1 一 6Ра) gp1 + U^. (3.60)

Эти операторы на массовой поверхности приводят к той же самой S-матрице, что и операторы U^^ и они удовлетворяют уравнениям

з

。昵=(1~ 6肥)g「+ £ F^g0U&a (3.61а) 6=0

и

。昵=(1 一 Spa) g「+ S U^g.F^ (3.616)

(% В = 0, 1, 2, 3) •

Уравнения Фаддеева (3.56), (3.59) и (3.61) связывают друг с другом не все операторы перехода. Мы покажем это на примере уравнения (3.61); другие уравнения можно рассмотреть аналогичным образом. Уравнение (3.61а) распадается на различные типы уравнений, именно, на:

систему уравнений для операторов перехода с перестройкой (рассеянием с перестройкой называется процесс рассеяния, в котором образуется связанное состояние, состоящее из частиц, отличающихся от образующих начальное связанное состояние)

t^ia = (1 — da) ^о1 + 力2g°U2a + 力sgoAa,

U2a = (1 — 82a) g「十力留。la + /go。За?(3-62)

Sa = (1 — 5за) g J 十 1母17ia + Gg^U2a

(a = 1, 2, 3);

систему уравнений для операторов, описывающих развал:

Ula = go 1十 ^2^0^20 + ^3^0^30?

и2a = g「+ "igoUlo + 々goUso,(3.63)

Sa = g 丁+ ^o^lo + Gg。％。；

уравнения, связывающие операторы для развала и для перестройки:

Uoi = g J 十 ^iSqU 11 + i^oU21 + t3g0U31J

u02 = g?+ 力g。12 + W^ + %融u32,(3.64)

003=8()1+"igo013 十 ^2^0^ 23 + " 3g0° 83；

уравнение, которое связывает оператор для свободно-свободных переходов с операторами для развала:

Uqq =力 igoSo + 方 2目0“0 + 力 3go〃3O・(3.65)

Уравнения (3.62) для a = 1, 2 или 3 являются замкнутыми системами интегральных уравнений, и то же справедливо для системы (3.63). Существенным является следующее обстоятельство. Если интегральные уравнения* (3.62) для рассеяния с перестройкой уже решены, то уже нет никакой необходимости решать интегральные уравнения для развала, ибо, согласно (3.64), амплитуды для развала при этом можно найти из известных амплитуд простым интегрированием, т. е. без решения интегрального уравнения. Амплитуды переходов из трехча- 5 э. Шмид и X. Цнгельмаы

стичного континуума в трехчастичный континуум получаются из амплитуд развала снова с помощью интегрирования (ом. (3.65)). Тем самым амплитуды перестройки уже содержат полную информацию о трехчастичном рассеянии. Однако они должны быть известны полностью, а не только на массовой поверхности. В (3.64) и (3.65) амплитуды входят вне массовой поверхности, поскольку для промежуточных состояний, которые вводятся для вычисления операторных произведений, энергия не сохраняется.

Имеется формальная аналогия между (3.62) и уравнением Липпмана — Швингера [24]. Чтобы показать это, перепишем уравнение (3.62):

。昵=(1 — бра) g「+ X (1 — б₽б) ^о^о^о^ва,. (3.66)

и обозначим неоднородный член с помощью матричного

элемента оператора «потенциала» V,

(V)Pa = (1 - 6Pa) go1, a,B= 1,2,3.(3.67)

Введем также «пропагатор» Go：

(G°)0a === 50ago®go, a, ^ = 1, 2, 3,(3.68)

и «Г-матрицу» T

(T)₽a = “a, a, P = 1, 2, 3.(3.69)

Тогда уравнение (3.66) принимает вид

Т = V + VGoT(3.70)

в полной аналогии с (2.56). Написанное уравнение, однако, является матричным относительно индексов разбиения а, В = 1, 2, 3, что выражает тот факт, что теперь мы имеем многоканальную проблему. С первого взгляда уравнение (3.70) представляется не более чем формальным трюком. А то, что Go ассоциируется с ^p, а go-1 с V, даже сбивает с толку. Но если вспомнить, что матрица переходов получается путем взятия матричных элементов от Uна по состояниям каналов, и выписать для z = Еат -J-

〈Фр/ (V) 0alФат〉=== (1 — 6₽а) ^Ф₽п | -^ат—力о[Фат〉3=5

==(1 — 5昵)〈фр” I % |фат〉,(3,71)

то мы увидим связь между V и взаимодействием. Позднее мы используем уравнение (3.70), чтобы сформулировать задачу трех тел как эффективную задачу двух тел, а именно, как задачу взаимодействия частицы со связанным состоянием пары частиц. Тогда станет ясно, почему взаимодействие в подсистеме должно присутствовать в пропагаторе Go. Формулировка (3.70) имеет большое эвристическое значение: алгебраические манипуляции можно выполнять по аналогии с задачей двух частиц. Можно поинтересоваться, например, матричным оператором, соответствующим двухчастичной резольвенте. По аналогии с (2.46) он должен иметь вид

G = G0 + G0TG0.(3.72)

Используя определения (3.68) и (3.69), мы находим

(G)0a = g0@a% + l^Gba)go・(3.73)

По аналогии с уравнением (2.22) существует «резольвентное» уравнение

G = Go+GoVG.(3.74)

Подставляя (3.73) и вводя сокращение

Л/pa = 6昵％ + Ур^Ра,(3.75)

получаем

Мра = 6ра^а + 方*о £ ^va-(3.76)

Это уравнение было использовано Фаддеевым для исследования резольвенты G [25]. Через М^а резольвента G записывается в виде

G = go + goE%ago・(3.77)

Р. a

Соотношение унитарности

Дальнейшим применением уравнений Фаддеева в форме (3.70) является вывод соотношения унитарности для операторов перехода 4a [24]. Действуя по аналогии с главой 2, раздел 1.7, влияние разных каналов следует учитывать отдельно.

Из (3.70) легко вывести следующий аналог соотношения (2.61):

T-i(z) = y-i(z)_Go(z).(3.78)

Обратный оператор для «потенциала» V при а,卩=1,2,3 есть

(V-I(z))°a= (l/2 — *a)go(z),(3.79)

что можно проверить умножением с использованием определения (3.67). Этот обратный оператор в нашем случае зависит от энергии. Для скачка Т на вещественной оси энергии получаем поэтому, в отличие от (2.63),

Т (Е + Хе) — Т (Е — is)===

=-Т(Е + %) {V-i (К + 也)-VT (Е-加)-

-Go(E + %) +Go(E—氾)}Т(Е—相).(3.80)

С помощью соотношений (3.68) и (3.79) выражению в фигурных скобках можно придать вид

(% — бра) Ago — 6раД (go 力ago) == %Ago — 6°aAga,

a, ^ = 1, 2, 3,(3.81)

где А означает скачок, а во второй строке было использовано равенство (2.46) в трехчастичпом пространстве. Скачок gi тогда будет (с(р. с (2.64) и (2.65))

Ag? = lim (g? {Е + i8)—金(Е —氾))=—2位6 (Е — %>),

7 = 0, 1, 2, 3.(3.82)

Скачок Agi с т * 0 содержит вклад как от связанных состояний подсистем, так и от трехчастичного континуума. Их можно разделить следующим образом:

6 (E-hv) = ^ Avn (Е) + (1 + g° (Е + 2) % (Е + Ю)) X

X До (Е)(1 + 力(К 一 Ю) g. (Е 一 /0)), (3.83)

где

Д?п (Е) = I qQ I 心也〉6 ( Е - 2М 屛г)〈也笃 I〈 Qy I

и

Ao (Е) = I qQ IPQ 6 (к — 2^ 一 "^)〈Py I Sy

Это расщепление можно проверить, если подействовать 6(Е —也О на представление единичной матрицы:

И — S J "q 丫 I wYП)I 4?Х4? I(屮YП I +

+ f dp J dq 丫 Ipv>(+) I qvXqv Kpv 产，(3.84)

используя

I pv>(+)i qQ =丿^ 用 gy (訂 + 载 + 迎} pQ I qQ =

=i + g°保 + 就+ 2)为儀+就+ 2)m〉|qQ

(3.85)

(ср. с (2.17) и (2.46)). Подставляя (3.82), (3.83) в соотношение (3.80) и возвращаясь к явным обозначениям, получим для а, ^ = 1, 2, 3

U^{E^i^-U^E~iO) =

=一2就[》2 U^ (Е + iO) Д?п (Е) Uva (Е - Ю) + ly=l n

+ £ U^ (К + Ю)(1 + g° (E + 2) % (E + 力0)) x

X До (^)(1 + 0 (E — ZO) g° (E 一 iO)) /а (E - iO) 一

—S 力丫(E + Ao (К) “а (E — %0)|.(3.86)

Y,6=l丿

Если использовать соотношения

(1 + 力ygo) Uya = Uqa 一 byago * а * 0,

%y (1 + g(A) =/о — 6即8]\б¥=0,(3.87)

3

2 ^ба = 2CZ00) а，О, e=i

которые легко проверить с помощью (3.61), то уравнение (3.86) сводится к

。昵(В + %。)— UBa (Е — Ю)=

=一 2欣 £ У /у (Е + Ю) %п (К) /а (К — 2) + 1y=1 n

+ 几0 (E + 2) До (E) “а (К -吼，а, В = 1, 2, 3.

(3.88)

Это и есть соотношение унитарности для трехчастичных операторов перехода U^a. Оптическая теорема получается, если ограничиться рассеянием вперед и положить 卩=а. Используя проекционные свойства ДТп, находим

〈Фат \иаа(Е + Ю) ■— Uаа (后一％。)I Фат〉=

=—2л^ ｛工 j dq,〈фат \U ат (Е + %。)I фуп〉X

Хб Е-Хб Е-(Ф^п I /а (К —力0) I《ат〉+(Ф^п I /а (К —力0) I《ат〉+

Хб Е-

Хб Е-

(Ф^п I /а (К —力0) I《ат〉+

(Ф^п I /а (К —力0) I《ат〉+

Xb к —Xb к —+ j dqi®〈Фат I Uao (К + i0)| q1｝ р> X

Xb к —

Xb к —

<qi, Р1|^оа(^-^)1Фат>. (3.89)

Поскольку

^п\и1а(Е- Ю) |фат> =〈©ат|〃Т(Е + Ю) |фТ„>* (3.90)

(ср. с (3.52)), то (3.89) принимает вид

1т (фат \Uaa(E + Ю) I фат〉=1т (фат \Uaa(E + Ю) I фат〉=X I Ф^п〉卩 + j dq^dpib(Е — ^^ —誤)XX I Ф^п〉卩 + j dq^dpib(Е — ^^ —誤)X

1т (фат \Uaa(E + Ю) I фат〉=

1т (фат \Uaa(E + Ю) I фат〉=

X I Ф^п〉卩 + j dq^dpib(Е — ^^ —誤)X

X I Ф^п〉卩 + j dq^dpib(Е — ^^ —誤)X

X |〈фат I Uao (E + Ю) | q“ P1> 卩｝.(3.91)

Это и есть оптическая теорема для трехчастичного рассеяния. Она связывает полное поперечное сечение (т. е. сумму упругого сечения, сечения развала и сечения с перестройкой) с амплитудой упругого рассеяния вперед

Im〈фатп I Uaa (Е + /0) | фатп〉

«а16л3Л7.«а16л3Л7.22Оуп + Оразв}・22Оуп + Оразв}・(3.92)(3.92)а па п

«а16л3Л7.

«а16л3Л7.

22Оуп + Оразв}・

22Оуп + Оразв}・

(3.92)

(3.92)

а п

а п

Глава 4

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА*)

В этой главе мы хотим исследовать, как можно практически решить уравнения Фаддеева. Для этого сначала перейдем от абстрактных операторных уравнений к интегральным уравнениям. Затем изучим некоторые методы теории интегральных уравнений и посмотрим, могут ли они быть применены к уравнениям Фаддеева.

Разложение уравнений Фаддеева по парциальным волнам

Интегральные уравнения получаются из фаддеевских уравнений для операторов 21, G“。昵，〃оа или для векторов состояния I 屮ап〉才 выбором какого-либо пространства представлений. В пространстве импульсов |ра, qa) интегральные уравнения будут шестимерными. Так как полный угловой момент L и его z-компонента М сохраняются, то имеет смысл выбрать такое представление, чтобы его векторы были собственными состояниями L и М. При этом интегральные уравнения становятся четырехмерными. Однако они еще слишком сложны для численных расчетов. Хотя других сохраняющихся величин нет, размерность можно еще понизить ценой перехода к более связанным уравнениям.

С этой целью мы используем пространство состояний, которые характеризуются полным угловым моментом Е, его z-компонентой М, угловым моментом 2a подсистемы а, угловым моментом 九а частицы а и абсолютными значениями импульсов />а, 9а [26, 27]. Имеются три пространства такого рода в зависимости от того, которая из подсистем выбрана:

11〉= I LMlCiPiqi〉,

I Y〉= ' I1I〉— I乙"为大2Р.202〉，(4.1)

I I"〉—、厶人зРз0з〉・

♦) См, также Дополвение 1,— (Прим, перев.)

С первого взгляда предпочтительный выбор определенной подсистемы кажется неоправданным, так как все три частицы следует рассматривать на равной основе [28]. Но поскольку наши операторы 力а, 4а во всяком случае берутся в определенных подсистемах, то подобаый выбор может даже дать некоторое преимущество. Теперь уже наши интегральные уравнения всего лишь двумерные, поскольку остались только две непрерывные переменные ра и ” Однако число связанных уравнений становится бесконечно большим, так как существует бесконечно большое число способов, с помощью которых данный угловой момент L можно разложить на сумму угловых моментов L и 九а.

Тем не менее имеет смысл поступать следующим образом. Для короткодействующих потенциалов взаимодействие будет эффективно только для небольшого числа угловых моментов, и поэтому бесконечную систему уравнений можно с хорошей точностью аппроксимировать конечном системой. Теперь мы собираемся сделать парциально-волновое разложение для уравнений Фаддеева (3.61).

Прежде всего мы должны найти преобразование между состояниями (4.1) и состояниями |ра, qa). Базис, который диагонализирует энергии, угловые моменты и z-компоненты угловых моментов для определенного набора координат Якоби, получается с помощью унитарного преобразования вида

ЬсАа卩а, Ра%оЛ〉= J &^а^Хаца(7<х) > 1^ (?а) JPa, Ча>-

(4.2)

Функции Уxu, Ут — это хорошо известные сферические гармоники. Интегрирование проводится по направлениям векторов qa и ра. Квантовые числа 林出 ma суть z-компоненты угловых моментов 九a, 2a. Второе унитарное преобразование приводит к базису, фигурирующему в формуле (4.1), с определенным полным угловым моментом

I 厶妝"а入aPa，a> =工〈九а^а^а矶a I LMy | 0a入a卩a，Pa"a^a〉・

(4.3)

Матричные элементы ()d\x,m\LM')——это хорошо известные коэффициенты Клебша — Гордана,

Из нормировки импульсных состояний I pa, q«) следует 〈О ="“『' "к”)- (4.4)

В новом представлении двухчастичная T-матрица (2.86) имеет вид (для 丫 = I; аналогично будет для у = II, III) 〈/№&)?〉=

(4.5)

Величина ^.^представляет вклад 厶-й парциальной волны в Т-матрицу ii

〈P1I 左(z — ^^) I Pi〉= 2 RA + 1)尸厶(P1，P1)?13 义

X (z — pj. (4.6)

Свободная резольвента go(z), также появляющаяся в уравнениях Фаддеева, становится (для у = I и аналогично для y = II, III)

"|g°(z)|，〉= U|r〉"|g°(z)|，〉= U|r〉(4-7)(4-7)

"|g°(z)|，〉= U|r〉

"|g°(z)|，〉= U|r〉

(4-7)

(4-7)

Представление операторов, подобных。昵，力，имеет простой вид лишь в том случае, если в качестве представления взять пространство, относящееся к той же подсистеме, что и оператор, как это будет для (р| Z7₽a|cc) и 〈丫卜丫|丫‘〉. С другой стороны, уравнения Фаддеева связывают все возможные подсистемы. Нам необходимо использовать поэтому все три пространства (4.1) и уметь переходить от одного к другому. Для такого перехода нам нужно найти интеграл перекрывания〈，|а〉. Расчет такого интеграла является довольно сложным, поскольку он включает восьмикратное интегрирование J dqadpadq^dp^ и четырехкратное суммирование S(ga, та,林旳 тп₽) произведений коэффициентов Клебша ——Гордана и сфериче-

ских гармоник. Результат, который мы приводим из работы Бальяна и Брезина [27] соответственно, является громоздким

〈0’ I а〉= / g, т2, у) Bll，6mm，X

* m (p不/乐+ *2/2/ -得/2% 一成/24fa) Х限昆^

X 4仗~Т~, -г-5 2,在，九В，%а，入а]・(4・8) \ ?Р ^/

Угловые моменты одной системы координат Якоби не определяют однозначно смешивание угловых моментов в другой системе координат Якоби. Дополнительно нужно еще знать абсолютные значения импульсов. Эта зависимость переменных одного набора от переменных другого набора в основном и выражена функцией 4§七,содержащей ту часть отмеченного выше суммирования, которую нельзя провести явно в общем случае. Мы можем, однако, принять, что функция /уа является известной. Во многих практических приложениях (см. главу 6, разд. 1 и гл. 7, разд. 3) предполагается, что взаимодействие эффективно только для нулевого углового момента относительного движения, что сильно упрощает дело.

У нас есть теперь все необходимое, чтобы вылисать уравнения Фаддеева в новом представлении. Сначала возьмем матричные элементы уравнения (3.61а) в соответствии с «естественным» представлением для。昵：

〈61%а|а'〉= (1 — 5ва)〈6|а‘〈61%а|а'〉= (1 — 5ва)〈6|а‘+ 爲⑺ WMa，〉.(4.9)+ 爲⑺ WMa，〉.(4.9)++

〈61%а|а'〉= (1 — 5ва)〈6|а‘

〈61%а|а'〉= (1 — 5ва)〈6|а‘

+ 爲⑺ WMa，〉.(4.9)

+ 爲⑺ WMa，〉.(4.9)

+

+

Произведение операторов в правой части вычисляется путем введения полного набора состояний (丫 = I, II или III)

*|Y〉〈Y| =』・(4.10)

(丫)

(Заметим, что 丫 как индекс состояния обозначает все переменные, появляющиеся в (4.1).)

Используя (4.7), получим

Чтобы получить матрицу перехода 力 в ее естественном представлении, используем разложение (4.10) еще раз:

<PHv=l <М/></1^(4.12)

(?)

Уравнения Фаддеева наконец приобретают вид

〈В I /а I а，〉= (1 — *а)〈В I а，〉(z ■—尚一譜 j +

+"2*出绊心(4.13)

讨6(>) (V)% —约

Два из четырех интегрирований могут быть выполнены с помощью б-функций, содержащихся в матрице перехода (4.5) и в перекрывании (4.8). При данном полном угловом моменте перекрывание〈卩|父〉связывает бесконечно много угловых моментов подсистем. Уравнение (4.13), таким образом, становится бесконечной системой связанных интегральных уравнений в двух измерениях для матричных элементов &|%3〉. Энергия z и состояние а' входят в качестве параметров. Предельный переход z-^E + i0 играет существенную роль при выборе контура интегрирования в окрестности сингулярностей.

Бесконечная система уравнений (4.13) становится конечной, если принять, что лишь конечное число парциальных волн дает вклад в разложение (4.6), что оправдано для короткодействующих потенциалов. Число уравнений зависит от полного углового момента L и от максимального углового момента /о, для которого взаимодействие еще эффективно. В литературе [27, 29] имеются несколько различающиеся оценки этого числа, что может служить указателем степени сложности связи угловых моментов в системе трех частиц.

До сих пор мы имели дело с различающимися бесспи- новыми частицами. Учет спина в принципе не создает

непреодолимых затруднений. Лишь связь угловых моментов становится гораздо более громоздкой и увеличивается число уравнений. Принцип Паули учитывается путем использования только симметричных или антисимметричных состояний для представления операторов [30, 31]. Для одинаковых частиц уравнения Фаддеева менее сложны, поскольку одинаковые частицы означают одинаковые каналы, что уменьшает число связанных уравнений.

Нужно отметить, что фаддеевские уравнения могут быть также преобразованы в систему интегро-дифференциальных уравнений в конфигурационном пространстве [32]. Также и в этом цредставлении они были с успехом решены для задачи о связанном состоянии трех нуклонов [33]. В большинстве прпложеиий, однако, используется импульсное представление (как в (4.13)).

Некоторые понятия теории интегральных уравнений

Фаддеевские уравнения в импульсном представлении являются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода

/ =九 + К/.(4.14а)

Формально их можно решить путем введения резольвенты )

R = (1 — К)-—> / = Rh.

Чтобы обсудить методы решения, рассмотрим для простоты одномерное уравнение этого типа

ь

/ (力)=也⑺ + J К (%, у) / ®) dy. (4.146) а

Обобщение на уравнения Фаддеева, представляющие собой системы двумерных интегральных уравнений, можно сделать без затруднений. Более детальное обсуждение методов, приводимых ниже, можно найти в двух работах Вейнберга [7,34] и в учебниках по интегральным уравнениям [35].

Решение итерациями. Если Kf мало по сравнению с h, то решением (4.14 а) в нулевом порядке будет

При последующих итерациях оно становится таким:

/ = 2 К%(4.15)

Резольвента будет иметь вид

Е = £(4.16)

2 = 0

Этот ряд, называемый рядом Неймана, сходится тогда и только тогда (для произвольного 九)，когда все собственные значения r]v ядра К

■^'屮 V — t]v 屮 v,(4.17a)

имеют абсолютные значения меньше единицы

hv| <1.(4.176)

Вырожденное ядро. Если ядро имеет форму

КЗ, У) = 03)叫У),(4.18)

то интегральное уравнение (4.14 б) можно легко решить, поскольку ^-зависимость подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла, который при этом становится константой с,

/⑺=九⑺+ e屮⑺.(4.19)

Для этой константы мы имеем равенство ъьь

с=\^{У)!仅)d^ = J 屮(У)% ®)或/ + с J 中 @)6 仅)dy, aaa

и получаем ь f Ф (у) Л (у) dy

——-——.(4.20)

— J Ф (^) ф (у) dy

Разложение компактного ядра по вырожденным ядрам. Простой метод решения в случае б） наводит на мысль разложить невырожденное ядро по вырожденным ядрам. Действительно, для каждого компактного ядра можно найти ряд из вырожденных ядер, аппроксимирующих исходное ядро таким образом, чтобы норма разности стала произвольно малой. Для полной ортогональ-

мы имееммы имеемной системы （фи 0（pv）3 j 屮眛（力）Tv （力）©% = Sgv

мы имеем

мы имеем

К （工，У）= У ацуфц （#） Tv（У）（4.21）

H,V=1

с

“jiv == j j К （力，у） фц （工）cpv（У）d# ^У•（4.22）

а а

Если разложение （4.21） подставить в интегральное уравнение （4.146）, то получим

/ （*）二后（力）+ ea（1V%①u（"）伍.23）

|X,V=1

с бесконечным количеством констант cv. Эти константы определяются уравнением

с» = J 9； @） /仅）©В = J 鼠 ®" （У） dy + аа

соR

+ и巨1 *% J Фк 仅）фц 仅）姒 （4.24）

представляющим собой набор линейных уравнений

СО夕

Е （^«v — ^kv） % = J срк 仅）无（У）dj/・ （4.25）

В практических вычислениях разложение （4.21） нужно оборвать после конечного числа членов:

及（力, У） = XЦ⑺屮:（力 + KN （力，办（4.26） %v=l

Остаток KN(x, у) либо отбрасывается, либо приближенно учитывается методом Шмидта.

Метод Шмидта [36]. При использовании разложения (4.26) интегральное уравнение (4,146) приобретает вид

^_ ь

/(/) = % 3) + 工 а^фц (力)+『Kn (力，У) / (у) dy.

口,V=1a

(4-27)

От исходного ядра достаточно отщепить только конечное число членов "眛丫屮林①丫， чтобы достичь сходимости ряда Неймана для остатка KN(x, z/). Это получается потому, что для компактных ядер в крайнем случае имеется не более .конечного числа собственных значений, пе удовлетворяющих условию (4.17 б).

Резольвенту Rn остаточного ядра KN(x, у) поэтому можно вычислить с помощью ряда

Rn=S K*N・(4.28)

t=0

Имея резольвенту Rn> уравнение (4.27) можно привести к виду, аналогичному (4.23),

/⑺—Ъ!(力)十^J a卩-%屮口(*)，

WR N m и) h(u) dy,(4*29)

b

中口(力)=J En (力，У)фц(ZZ)dy.

А как уже было показано (см. (4.23) — (4.25)), такие уравнения можно решать алгебраическими методами.

Падё-аппроксимация. Не сходящийся ряд Неймана становится сходящимся, если ядро умножить на комплексный параметр X, удовлетворяющий условию

|^|<|Пт1х|<1.(4.30)

Тогда ряд определяет некоторую функцию

/ G) = £ 仇К)% =九 + 入К/ (簿，(4.31)

г=0

которая аналитична в области, заданной условием (4.30). Вне этой области функция /6) все еще определяется коэффициентами К%, но ее уже нельзя вычислить через ее ряд Тейлора (4.31), так как она мероморфна с полюсами в точках Х{ = т]?1. Решение интегрального уравнения (4.14)

/ = /(1)(4.32)

можно найти, однако, с помощью конструкции, которая является рациональной функцией 入.Этот метод, названный по имени французского математика Падё [37, 38j, будет изучен более детально в главе 7.

Тесно связанным с методом Падё является метод моментов [39] *). Итерирование (в общем случае не сходящееся) уравнения (4.14) дает систему функций

/v=.Sx%,；(4.33)

г=0

из которых конструируется приближенное решение

仍(4.34)

v=0

Затем требуют, чтобы это приближенное решение удовлетворяло интегральному уравнению (4.14) в пространстве, натянутом на функции /v,

NN

2 «V (九,九)=(厶出 + X 匹 (九，M J(4.35)

v=o夕=0

Это ——система линейных уравнений, определяющая коэффициенты а” Набор функций /v не обязательно должен быть полным. Итерации дают как раз те функции, которые являются подходящими. Также нет необходимости начинать итерации с неоднородного члена Д. В качестве начальной точки можно выбрать, например, решение не-

*) См. также монографию [Д1.1].— (Прим, перев}

6 Э. Шмид и X. Цнгельман

которой родственной задачи или приближенное решение, полученное другим методом.

Численное интегрирование. Наконец, мы хотим отметить метод, который выглядит наиболее очевидным. Если использовать правило интегрирования с узлами у, и весами 仍，то уравнение (4.146) приобретает вид

N

〃力)=% 3) + S д・К (力，②)/ 例)+ остаток. (4.36) 5=i

Пренебрегая остатком и полагая #=%, получаем систему линейных уравнений

N

N (3炉一以/ (力,力))/ (力)=%例)，(4.37)

определяющую /(#) в узловых точках. Полная функция в этом случае дается равенством (4.36).

Применение к уравнениям Фаддеева

Теперь исследуем, какие из приведенных выше методов годятся для решения фаддеевских уравнений.

Метод а), например, можно исключить, если трехчастичная система имеет связанное состояние. В этом случае однородное уравнение (4.17а) имеет решение при энергии связанного состояния с собственным значением П = 1. При энергиях выше энергии связи мы даже имеем |п| >1； это означает, что нельзя ожидать сходимости ряда Неймана (см. уравнение (4.176)). Мы получим сходимость лишь при очень высоких энергиях (кроме случая потенциалов с твердой сердцевиной) ), поскольку ядро при этом становится все менее и менее эффективным [40].

Метод б) также можно исключить. Как видно из соотношений (4.5) и (4.8), ни один из матричных элементов

«|"|Т〉или〈0*〉не факторизуется

〈＜闻1〉*%(『)©), (4.38а) (m^^/(^^(^), (4.386)

и поэтому ^-зависимость в уравнении (4.13) нельзя вынести за знак интеграла.

Прямое применение методов в) и г) является непрактичным, так как нельзя найти ряды из вырожденных ядер, аппроксимирующие ядро Фаддеева достаточно хорошо. Причина та, что фаддеевское ядро четырехмерно и имеет различные сингулярности, возникающие от операторов 拆 и go.

Метод д) можно применять непосредственно, поскольку (см. гл. 7) решения уравнений Фаддеева можно аппроксимировать с произвольной точностью рациональными функциями (ср. с утверждением и. в) на стр. 52).

Метод е) был применен к уравнениям Фаддеева непосредственно лишь однажды. Причина та, что мощность компьютеров исчерпывается довольно быстро (см. гл. 6). Если по каждому измерению использовать по 30 узлов интегрирования, то получим двумерную сетку из JV=900 точек. Матрица, которую следует обратить согласно уравнению (4.37), имеет размерность N\N = 900 X 900 в простейшем случае тождественных бесспиновых частиц с взаимодействием лишь в s-волне.

Успешные вычисления в ранний период трехчастичной теории были сделаны с помощью комбинации методов в) и е), а позднее — с помощью комбинирования г) и е). В этих вычислениях метод в) или г) применялся не к полному уравнению Фаддеева, а лишь к уравнениям, описывающим подсистемы. Ядра этих уравнений аппроксимировать намного проще. Качество приближения также легче исследовать в подсистеме, чем в полной трехчастичной системе [8]. Однако на этом пути уравнения Фаддеева не сводятся к алгебраическому уравнению типа (4.25). Уравнения все еще остаются интегральными, но уже одномерными и поддающимися решению методом (е).

Комбинация методов в) и е) соответствует введению сепарабельных потенциалов [41], которые будут обсуждаться в следующей главе.

6*

Глава 5

СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Сепарабельные потенциалы в задаче двух тел

Рассмотрим снова уравнение (2.56) для двухчастичной Z-матрицы в двухчастичном пространстве

力(z) = р + vgQ(z)t(z),

или в явном виде

"I "Z)I р〉= <у I u I р〉+，dp〃 工匕包 р：〉<；：! f(z)I р 2.

z ~ 2рг

(5.1)

Ядро этого интегрального уравнения

К^-^^(5 ⑵

вырождено, если потенциал имеет вид

〈“小〃〉= ^(Р')#(Р〃).(5.3)

Такой потенциал называется сепарабельным. Интегральное уравнение (5.1) с таким потенциалом решается так же легко, как и уравнение (4.19). Перед тем, как это показать, введем для сепарабельного потенциала операторное обозначение

^ = ^|Х><Х|.(54)

Отсюда видно, что сепарабельный потенциал — это проекционный оператор. В конфигурационном пространстве он имеет вид

<HySlr，> = МН%〉〈％М〉=砍(г)%*(г')・(5.5)

Таким образом, сепарабельный потенциал нелокален ).

Для сепарабельного потенциала уравнение (5.1) в операторной форме приобретает вид

力=九 I %〉〈％ I + 九 I xXxl go 力(5・6)

Его можно решить сразу. Умножим па 〈％|go слева, 〈x|go% =入〈x|go|x〉〈xl + Mxlgoh〉〈xlg 诡(5.7)

и получим

(5.8)(5.8)

(5.8)

(5.8)

Подставляя в уравнение (5.6), находим

力(z)=入 I %〉〈％ + 下i -二I、“,

厶一〈％lgo(z)l%>

илиили力(z) = 1х>г(г)<х|,力(z) = 1х>г(г)<х|,(5.9)(5.9)

или

или

力(z) = 1х>г(г)<х|,

力(z) = 1х>г(г)<х|,

(5.9)

(5.9)

гдегдеG)' I 力(z) I Р〉=G)' I 力(z) I Р〉=X(Pf) X* (Р)X(Pf) X* (Р)印〃 U器^印〃 U器^(5.10)(5.10)

где

где

G)' I 力(z) I Р〉=

G)' I 力(z) I Р〉=

X(Pf) X* (Р)

X(Pf) X* (Р)

印〃 U器^

印〃 U器^

(5.10)

(5.10)

t(z)=(入-i —〈x|go(z)|x〉)".

Таким образом Т-матрица для сепарабельного потенциала сама сепарабельна. Это свойство Z-матрицы важно для решения уравнений Фаддеева. Как мы увидим, размерность этих уравнений уменьшается с двух до одной, если двухчастичная Т-матрхща сепарабельна. В импульсном представлении ' Т-матрица в согласии с равенством (5.9) будет иметь вид

Теперь мы хотим выяснить, при каких условиях сепарабельный потенциал (5.4) имеет связанное состояние с энергией 豆日). С этой целью рассмотрим левую

собственную функцию ядра уравнения (5.1)

〈屮1 =〈叫若0(评).(5.11)

Это уравнение эквивалентно шредингеровскому, что можно проверить путем умножения на g?1 (£в) справа. С сепарабельным потенциалом (5.4) найдем, что

〈屮1 =九〈中1力〈х闻(加).(5.12)

Собственное решение пропорционально (%|go(^B)

SI =N〈x|go&).(5.13)

Множитель N получается из условия нормировки

^-2 = </1^(^)1%>.(5.14)

В дальнейшем будем предполагать, что состояние |%〉 нормировано так, что N = 1. Решение уравнения (5.12) существует не при всякой энергии £в. Умножив (5.12) на I%〉справа, получим

〈2|%〉=入〈中仇〉〈%1賓(砧)1%〉，(5.15)

и так как〈屮|%〉=汽〈X|go(^B) |х) #=0, то V】 =〈％|go(EB)|x〉，и так как〈屮|%〉=汽〈X|go(^B) |х) #=0, то V】 =〈％|go(EB)|x〉，ИЛИИЛИV1V1Р后в一公/2卩・Р后в一公/2卩・(5.16а)(5.166)(5.16а)(5.166)

и так как〈屮|%〉=汽〈X|go(^B) |х) #=0, то V】 =〈％|go(EB)|x〉，

и так как〈屮|%〉=汽〈X|go(^B) |х) #=0, то V】 =〈％|go(EB)|x〉，

ИЛИ

ИЛИ

V1

V1

Р后в一公/2卩・

Р后в一公/2卩・

(5.16а)

(5.166)

(5.16а)

(5.166)

Это равенство связывает энергию £в с интенсивностью взаимодействия X. Если связанное состояние с Е^ V О существует, то 九 обязана быть отрицательной, поскольку подынтегральная функция в (5.166) отрицательна. Это очевидно, ибо потенциал является притягивающим только для 九 V 0. Но даже при 入 V 0 мы не всегда получим связанное состояние. Поскольку J^b V 0, параметр X должен удовлетворять неравенству

入т > — f dp 丄— (^-1)min* (5.17)

Рассмотрим теперь еще раз Т-матрицу для сепарабельного потенциала. И допустим, что потенциал имеет связанное состояние, т. е. параметр X получается из со-

отношения (5.16) с _£в V 0. Тогда из

(5.9)

найдем

力（z）=

I力GI

<Xl ^0(^В) —^о(z)l»・

(5.18)

Используя что 7-матрица стояния Ев

резольвентное уравнение имеет полюс при энергии

(2.20), видим, связанного со

^ (z)=

I X> <% I

(z — ”)〈％ I 見(£B) g° (z) I x> •

(5.19)

Вычет можно выразить через волновую функцию связанного состояния. Из соотношений (5.13), (5.14) и уравнения Шредингера g”(Е®) | 屮〉=d ]屮〉 получим

Res ⑴=u|W〉〈wW.(5.20)

Для частного случая сепарабельного потенциала мы проверили, таким образом, общее правило, что двухчастичная 7-матрица имеет полюсы при энергиях, равных энергиям связанных состояний и что вычеты факторизуются. Для обобщения нашего результата разложим ядро уравнения (5.1) по биортогональной системе его собственных функций (ср. с методом в) на стр. 79). В качестве набора функций <р возьмем правые собственные функции

K(z) |%(z)〉= ugo(z) |(pv(z)> =小(z) 13V(z)〉，(5.21) а в качестве набора ср возьмем левые собственные функции

〈％(z) |K(z) = <(Pv(z) |pgo(z) == t]v(z)〈(Pv(z) |. (5.22) Можно легко показать, что соответствующие собственные значения в обоих случаях равны друг другу и что

〈恥(z) 1tp“(z)〉6gv,(5.23)

и выполняется равенство

|<pv(z)) = v|(pv(z*)).(5.24)

Тогда из (4.21) и (4.22) получаем разложение

к(Z)= vgQ (z) = £ 小(Z)I % (z)〉〈％ (z) |.(5.25)

v=x

Умножая (5.25) на gU(z) справа, получим для потенциала следующее разложение:

и = 3 nv (г) 1(z)〉〈恥(z) I go1 (z),(5.26)

V=1

которое можно упростить с помощью равенств (5.22) и (5.24) следующим образом:

昨 £ lQv(z)〉〈6v(z*)|・(5.27)

Используя так называемый «идеальный выбор» базисных функций (равенства (5.21) и (5.22)), решение уравнения (4.25) можно выписать явно, и тогда Т-матрица примет вид

•(5.28)

Мы видим, что в общем случае /-матрица имеет полюсы при всех энергиях zp, для которых собственное значение T]v(z) становится равным единице

T]v(zp) = 1.(5.29)

Для Im У Zp > 0 энергии zp — это энергии связанных состояний, а функции 9v(zp)—соответствующие нормируемые волновые функции (поскольку уравнение (5.22) будет совпадать с сопряженным уравнением Шредингера, когда T]v(zP) = 1). Кроме того, мы можем видеть, что вычет, вообще говоря, факторизуется и что полюсный член в 7-матрице доминирует в окрестности полюса,

力О30)

В окрестности полюса Т-матрица приближенно является сепарабельной, а поскольку сепарабельная 7-матрица соответствует сепарабельному потенциалу, то можно утверждать, что вблизи связанного состояния любой потенциал действует подобно сепарабельному. То же самое верно и для окрестности резонансного полюса (zp комплексно) и для окрестности полюса так называемого антисвязанного состояния (zp V 0). Эти полюсы распо-

ложены на так называемом нефизическом листе, Im У Zp V V 0. Несмотря на эпитет «нефизические», эти полюсы могут сильно влиять на процесс рассеяния в тех случаях, когда они близки к оси положительных энергий. При низкой энергии полюсы дают главный вклад в рассеяние двух нуклонов. Для триплетного рассеяния — это полюс дейтронного связанного состояния при энергии —2,22 МэВ, а для синглетного рассеяния — это полюс антисвязанного состояния при — 0,067 МэВ. Поэтому такое взаимодействие хорошо аппроксимируется сепарабельным потенциалом. Это справедливо и в том случае, если «истинный» потенциал является локальным. Но, во всяком случае, истинный потенциал неизвестен. Мы знаем лишь данные по рассеянию и энергиям связи и можем утверждать, что все потенциалы, описывающие эти данные, в равной мере хороши. При этом «истинный» потенциал также может быть и сепарабельным или же

WH-Q cauHghaQ ззньз營ои'ониоиWH-Q cauHghaQ ззньз營ои'ониоиРис. 13. Сравнение рассчитанных п — р полных поперечных сечений с экспериментальными данными (Ямагучи [41]).Рис. 13. Сравнение рассчитанных п — р полных поперечных сечений с экспериментальными данными (Ямагучи [41]).

WH-Q cauHghaQ ззньз營ои'ониои

WH-Q cauHghaQ ззньз營ои'ониои

Рис. 13. Сравнение рассчитанных п — р полных поперечных сечений с экспериментальными данными (Ямагучи [41]).

Рис. 13. Сравнение рассчитанных п — р полных поперечных сечений с экспериментальными данными (Ямагучи [41]).

суммой сепарабельных членов. Только для больших расстояний имеются теоретические аргументы (однопион- ный обмен), говорящие, что потенциал должен быть локален. Локальный потенциал имеет то преимущество, что он действует во многих состояниях с разными угловыми

моментами, тогда как один сепарабельный член действует лишь в одном состоянии, что не очень реалистично.

Впервые сепарабельный нейтрон-протонный потенциал был предложен Ямагучи [41]. Форм-фактор этого потенциала

%(Р)=(卢 + 俨)Г (5.31)

Радиальный параметр 卩 и константа связи X подгоняются под данные при низких энергиях; используется два значения 入：одно для синглетного состояния и одно для триплетного. Как показано на рис. 13, нейтрон-протонное сечение рассеяния для 5-волны воспроизводится очень хорошо вплоть до 14 МэВ (лаб.). Более реалистичны потенциалы, учитывающие также данные по рассеянию при

Рис. 14. Сравнение вычисленных 仪 п — р фазовых сдвигов с экспериментальными значениями. Сплошная кривая представляет результат расчета с двухчленным потенциалом Чрепиншека с сотр. [42], тогда как штриховая соответствует результату для одночленного потенциала Ямагучи.

более высоких энергиях. Эти потенциалы содержат несколько сепарабельных членов и описывают также эффекты, обусловленные кулоновским, тензорным взаимодействием и отталкивающей сердцевиной [42]. Рис. 14 демонстрирует, насколько хорошо такой потенциал описывает нейтрон-протонный "So фазовый сдвиг вплоть до 460 МэВ (лаб.).

В дальнейшем мы увидим, как решаются уравнения Фаддеева для сепарабельного потенциала. Здесь следует указать, что в 1962 г. Митра [43] использовал преимущества сепарабельных потенциалов для решения шре- дингеровского уравнения.

Решение уравнений Фаддеева с сепарабельными потенциалами

Двухчастичный Т-оператор в трехчастичном пространстве, входящий в уравнения Фаддеева (3.61а), (3.616), для сепарабельного потенциала приобретает вид

% (z) = I 冷〉т? (z — ^^)〈冷 I- (5.32)

Это уравнение обобщает результат (5.9) на трехчастичную систему. Индекс 丫 указывает подсистему, в которой действуют форм-факторы. Поскольку функция тт зависит от энергии подсистемы, az — это общая энергия трехчастичной системы, то мы должны вычесть кинетическую энергию свободной частицы. С правой стороны равенства (5.32) в качестве множителя стоит единичный оператор в функциональном пространстве частицы % который явно не выписан.

Рассеяние с перестройкой. Рассмотрим S-матрицу для рассеяния с перестройкой. Из равенств (3.50а), (3.51), (3.52) и (3.60) имеем )

Sea (q。； Ча) = 6 (qp — Ча) 6₽а —

-2加6 (Еа — Ер)〈Фв I “а (Е + Ю)| фа>, (5.33)

где

|Фт>= |q,佈 Т〉・(5.34)

Для сепарабельного потенциала с форм-фактором, нормированным должным образом, мы имеем, согласно (5.13),

Ит> = ^о(^)1Хт>1Чт>(5・35)

c % =理 + 就/2MV.

Здесь оператор go(z) действует в трехчастичном пространстве, в отличие от go в (5.13). Следовательно, аргумент оператора go есть сумма энергии подсистемы и энергии свободной частицы. Комбинируя соотношения (5.33) — (5.35), мы видим, что для получения ^-матрицы нам нужно только представление матричного оператора

Xea(z) =〈X6|go(z)%a(z)go(z) Ixa〉 (5.36)

в импульсном пространстве |q〉|qa). Уравнение для оператора (5.36) вытекает из уравнений Фаддеева (3.61а) и равенства (5.32):

〈％В I g。Bago I %a〉= О — 6pa) <%p I g()I %a> +

3

+ 2 (1 — 6pv) <xp I g. I XV> Tv <xv |go^vago [ Xa>- (5.37)

Уравнение (3.61а) было умножено на (,%₽ I ^о и на g%〉 слева и справа соответственно. Используя сокращенную запись (5.36) и

Zpa(Z)= (1 —бва)〈左 |g0(Z)|加〉，(5.38)

приводим уравнение (5.37) к виду

Хва (z) = Zpa (z) +2 Z胧(z) “(Z —蟲)Xya (z). (5.39)

После умножения на <qp | и | qa> соответственно слева и справа и после введения промежуточных состояний уравнение (5.39) превращается в интегральное уравнение для матричных элементов оператора Х^. Поскольку этот оператор по своему определению (5.36) уже берется между состояниями подсистемы, то полученное интегральное уравнение лишь трехмерное и становится одномерным после разложения по парциальным волнам.

Чтобы проиллюстрировать смысл уравнения (5.39), сравним его с уравнениями (2.56а, б) для двухчастичного Т-оператора

力(z)『^ +咆⑶力(z).(5.40)

Мы видим, что уравнение (5.39) описывает задачу трех тел как эффективную двухтельную задачу ). Степени свободы данной подсистемы заинтегрированы, и поэтому подсистема рассматривается как одна частица (в различных каналах). Если забыть про индексы каналов, то мы можем сравнить Х^ с двухчастичным Т-оператором, a Z^a — с эффективным двухчастичным потенциалом. Как мы увидим в этой же главе позднее (раздел? 2.4), этот потенциал становится комплексным для энергий выше порога развала. Для комплексного потенциала поток вероятности не сохраняется. Частицы исчезают из двухчастичной системы и появляются в канале развала.

Оператор тт в уравнении (5.39) соответствует свободному двухчастичному пропагатору go в (5.40) . Он описывает свободное движение частицы 丫 относительно связанной подсистемы 7. Это соответствие можно сделать более ясным. В импульсном представлении мы имеем для системы двух частиц

〈q 丨百(z)丨q'〉= • (5.41)

Свободный пропагатор go имеет полюс при энергии относительного движения двух частиц. То же справедливо для т7. Согласно равенствам (5.9) и (5.19) можно написать

(5.42)(5.42)<qv|rv (z - ^/2MV) I q；> =

(5.42)

(5.42)

一(z 一 呼 一 叫/2%)〈小 I % (用)?o(Z 一*/2%) /小〉

«Пропагатор» тт также имеет полюс, если энергия ) z — Еу будет равна энергии относительного движения данной подсистемы и свободной частицы.

22 Развал на три частицы. Чтобы найти амплитуды развала, нам не нужно решать другое интегральное уравнение. Согласно (3.64)

U°a = Z —• hQ 4~ £ 力YgoUpa，(5.43)

мы можем вычислить их из амплитуд для перестройки. Для 5-матрицы нам нужны в этом случае матричные элементы

〈Qi, Pl I t^oa I Фа〉—

=〈q「Pl I ^oago I Xa> I q^> = <411 ^oa| q^ I > • (5・44) Для оператора XOa из уравнения (5.43) находим

Xoa =〈Pl 丨 UOag。I %a〉—

3

=〈Pl I %a〉+ £〈Pi I %?〉％〈Xy I g"?ago I Xa〉=

3

=X〈Pi I %Q TyXya. (5.45)

Здесь мы использовали то обстоятельство, что на энергетической поверхности 〈q】，Pi |%a〉lq<x〉= 0- Таким образом, уравнение (5.43) снова привело к операторам перестройки (5.36).

И в этом случае результат (5.45) для амплитуды развала можно понять в рамках эффективной духчастичной реакции. Нужно лишь увидеть, что операторы перестройки входят в уравнение (5.45) вне массовой поверхности, т. е. в виде представления <qT | X7a | qa), где |qT| может принимать континуум значений. В начальном состоянии мы имеем

e =關+基，

ИЛИ

|qa| = M2Ma(E-磚.(5.46)

В конечном состоянии у нас есть три свободных частицы и энергия Е становится равной

Е=4 +必 (547)

Полная энергия Е будет сохраняться для произвольного импульса qT в интервале

0<|qvK/^M-(5.48)

Для импульсов qT, удовлетворяющих на энергетической поверхности условию

丄* 一 丄磅也Y十Ш^ 一厶a十2/，амплитуда (qT|X-ra|qa) является амплитудой вероятно-сти образования перестроенного конечного состояния.Для импульсов qT из интервала (5.48) амплитуда(qT|XTa|qa) будет амплитудой вероятности образованияконечного состояния подсистемы 丫 в состоянии с поло-жительной энергией р^/2^ и частицы 7 в состоянии симпульсом |q). В определении Хта оператор “а былумножен слева на go(4+%0) |,%т〉|4т〉・ Это состояниеесть состояние канала, если qr удовлетворяет условию

Е = Е^ + 行/2%

на энергетической поверхности. Если взять qT из интервала (5.48), то состояние go (Е + Ю) | %т) | qT) уже больше не является состоянием канала. Оно описывает состояния подсистемы с положительной энергией

Р；/2 卩 т = Е — g2/2Afv.

Поскольку нас интересуют не состояния подсистемы у с частными значениями положительной энергии, а распад на три свободные частицы, то оператор Хта умножается в (5.45) на〈Р1|%т〉Тт・ Этот множитель описывает распад подсистемы. Главная информация о развале, однако, содержится в операторе Х^.

Одинаковые частицы. Для одинаковых частиц каналы перестройки становятся неразличимыми и по этой причине число уравнений в системе (5.39) уменьшается. Было бы неверно, однако, положить X” =Х12 = =Х13. Упругая амплитуда Хц не равна амплитуде не- рестройки Х12, так как отвечающие им процессы рассеяния совершенно различны. Этот факт можно увидеть уже из ряда Неймана уравнения (5.39): для X” первый член равен нулю, тогда как для Х12 он равен〈％i|go|%2〉・ Невозможно лишь различить результаты упругого рас-

сеяния и рассеяния с перестройкой. Мы достигли бы своей цели, однако, если бы могли вычислить сумму упругого рассеяния и рассеяния с перестройкой.

До сих пор индексы каналов обозначали различные каналы и различные координатные системы. Для рассеяния с перестройкой у нас было точно три канала, поскольку мы считали, что частицы являются бесспиновы- ми и что для каждой пары частиц имеется одно связанное состояние. Если же частицы одинаковы, то эти три канала становятся неразличимыми и индекс канала обозначает только координатную систему. Все форм-факторы |%т〉теперь одинаковы. Однако нам все еще нужен индекс % чтобы указывать, к какой подсистеме относится форм-фактор.

Рассмотрим эффективный потенциал 2昵,определяемый равенством (5.38). Недиагональные элементы такие, как

Z12 = <Xi|go|X2>(5.49)

И

Z13 =〈加係1%3〉

отличаются только заменой переменных (2 — 3). Эти матричные элементы одинаковы и будут обозначаться через Z:

Z 三 Z^a, 0 ^^ а.(5.50)

Диагональные элементы от Zpa равны нулю.

Для операторов перехода Х₽а ситуация аналогичная. У нас есть только диагональные элементы вида

XD 三 Хаа(5.51а)

и недиагональные элементы

Xn 曰 Хва, Р * а.(5.516)

Из уравнения (5.39) мы получаем два различных уравнения для неизвестных амплитуд XD и Xn,

Xd = 2ZtXn,(5.52а)

Xn = Z + ZtXd + ZtXn.(5.526)

Складывая умноженное на двойку уравнение (5.526) и уравнение (5.52а), находим для величины

X^XD + 2Xn(5.53а)

следующее уравнение:

X = 2Z + 2ZtX.(5.536)

Величина X является единственной амплитудой (в операторной форме), которая одна определяет S-матрицу для рассеяния одинаковых бесспиновых частиц в случае одного двухчастичного связанного состояния [8]. Амплитуда перестройки Xn входит с множителем 2 в соответствии с тем, что для упругого рассеяния имеется лишь одна возможность 0 = а, тогда как для рассеяния с перестройкой существуют две возможности а.

Операторы в уравнениях (5.53а) и (5.536) действуют в пространстве относительного движения связанного состояния и свободной частицы. В импульсном представлении получаем интегральное уравнение

<q|X(^ + /e)|q'> = 2<q|Z(£+/8)|q'> +

+ 2]dq〃〈q|Z(E + i£)|q〃〉《E~H£—£) X

X〈q〃 |Х(Е +迎)“〉.(5.54)

При mi =加2 =恨=加 приведенные массы, согласно соотношению (2.74), примут вид

卩=£, % =等7%.(5.55)

Для вычисления «потенциала» Z следует вспомнить определения (5.38) и (5.50). Согласно этим определениям «потенциал» ——это матричный элемент от свободной трехчастичпой резольвенты go между форм-факторами, действующими в разных каналах,

〈q|Z|q) =〈q|〈Xi|go|%2〉|q'〉・(5.56)

Этот матричный элемент вычисляется путем введения промежуточных состояний | qf, Pt〉〈q“ pj,

〈q I Z 〃〉= J dqidq；dPi&P； X

乂 G卜狂丨q】，Pi〉〈q】，Pi I q；，p；〉〈q；，p；丨&〉| q'〉 传 亦

где

<q 丨〈左 I Pi, q» = 6 (q — q{) %： (Pi) •(5.58)

7 Э. Шмид и X. Цигельмаи

Начиная с этого места, мы можем опускать индекс канала в форм-факторах, поскольку все форм-факторы одни и те же. Тот факт, что они действуют в различных подсистемах, уже учитывается выбором координат. Перекрытие <qi, Pi I q；, p；〉тогда принимает вид

<qi> Pi I q；，₽2> =6 (Qi - q； (q；，p；)) s(pi 一 p； (q；，p；))=

=§ & + p； + 4~ q；) § (pi + 4~ p； — ~г q；) • (5・59)

Требуемое здесь преобразование координат легко можно вывести из преобразований (2.72). В уравнении (5.57) можно выполнить интегрирование по б-функциям, и «потенциал» тогда примет вид

〈q I Z (Е + i8)| q'〉^〈q I Z (Е + i8)| q'〉^七十讫一笳七十讫一笳(q + q')2_g'22m — 2m(q + q')2_g'22m — 2m.(5.60).(5.60)

〈q I Z (Е + i8)| q'〉^

〈q I Z (Е + i8)| q'〉^

七十讫一笳

七十讫一笳

(q + q')2_g'2

2m — 2m

(q + q')2_g'2

2m — 2m

.(5.60)

.(5.60)

Полезно проиллюстрировать вычисление выражений, подобных (5.56), графическим представлением [23] таким, как на рис. 15. На нем одиночная линия обозначает соб

ственное состояние им

пульса частицы, двойной линией обозначено собственное состояние импульса движения центра масс связанного состояния подсистемы, полукруг обозначает форм-фактор; про-

Рис. 15. Графическое представле- межуточное состояние, СО- ние «потенциала» в уравнении стоящее из трех свобод- (5・54).ных частиц, умножается

на свободный пропагатор go- При небольшом навыке результат (5.60) можно написать, исходя прямо из графика.

Неизвестная амплитуда зависит от семи переменных, а именно, от q, q‘ и Е. Причем q — это переменная интегрирования, в то время как q' и Е входят в интегральное уравнение только как параметры. Для S-матрицы необходима только амплитуда 〈q|X(E + 20)|q'〉 на массовой поверхности для процессов перестройки и упругого раз

сеяния (см. (5.33)) или наполовину вне массовой поверхности для развала (см. (5.45)). Поэтому мы можем положить q' равным относительному импульсу в начальном состоянии и получить

月=雪+屛. (5.61)

В сферических координатах q,仇 ф, выбранных таким образом, чтобы 仆=0 совпадало с направлением q', интегральное уравнение становится двумерным, так как угол <р не появляется. После разложения по парциальным волнам получаются одномерные уравнения

Xl (g,匕 Е + 比)=2Zl (g,鼠，E + 迎)+

+ J dq^KL (°, q", E + 比)Xl (/； M E 十込)，(5.62) b

c

KL (q,八 E + U)= 8M"Zl @ g〃，E + ⑻工伍 + 邑一需} Квантовое число L обозначает полный угловой момент трехчастичной системы. Благодаря сохранению углового момента уравнения с разными L не связаны друг с другом.

Проекции X и Z на парциальные волны имеют вид

1

Zl (g, g[, Е -\-1ъ) =-~ ^ dcos^Pl (cos®) Z (q, q，, Е + ie), 7(5.63a)

i

Xl(7,九石 + 沱)=} J d cos®尸厶(cos仆)X (q, q', E 十氾). т(5.636)

Функции Pl (cos 仆) являются полиномами Лежандра.

^Решения X уравнения (5.54) получаются из решений Xl уравнения (5.62) путем суммирования

X (q, q- Е + 氾)二 2 3 + 1) PjJcos^) XL (?,小 £' + ie). 二=0

В (5.62) необходимо теперь выполнить предельный переход по е, который, как мы знаем, содержит граничное условие. Как будет видно в следующем разделе, существуют полюсы, которые будут приближаться к действительной оси, когда е стремится к нулю. Влияние этих полюсов можно представить символической формулой

Иm -L-=Р工干加5 (力).(5.65)

Эта формула заменяет интеграл от полюсного члена на интеграл в смысле главного значения, к которому добавляется (вычитается) половина вычета в полюсе. Знак перед вычетом определяется граничным условием.

Численное решение уравнений Фаддеева с сепарабельными потенциалами. Теперь мы подготовлены к решению уравнения Фаддеева (5.62) с помощью метода е) главы 4, раздела 2. Однако следует быть осторожным, поскольку ядро может иметь сингулярности. Они могут возникать от двухчастичного пропагатора т, а также от «потенциала» Z.

Сингулярности пропагатора т. Согласно равенству (5.42) мы имеем

Т:(e + 注一"I" • %)〜(石 + 比一"I•祟一峻),(5.66) где _£в V 0 — это энергия двухчастичного связанного состояния. Для Е > Ев и 8 ->-0 получаем полюс при

* = !_加(e一讲).(5.67)

Этот полюс будет присутствовать при любом процессе рассеяния, так как

Е = 3吧 4m + Ев》£в

(ср. с (5.61)). Лишь при расчете связанного состояния можно положить Е V Ев, и полюс пропадает.

Сингулярности «потенциала» Z. Свободная резольвента go, появляющаяся в «потенциале» Z, становится сингулярной выше порога трехчастичного развала, поскольку становится возможным свободное движение всех

трех частиц. Поэтому в пределе 8->0 функция Z для определенных значений импульсов q, д' имеет полюсы

Z(q,q，,E +氾)〜(E+ie-^ — ^-^cose)=

=診e +能-cos?t (5.68)

С

—mе — J —广

У = •

qq

Проектирование на парциальные волны приводит к выражению

Zl(0,KX +况)-7 含竺р(5・69)

где х = cos ^. Используя соотношение (5.65), находим

р 11•

ZL{q, /, ^+Ю)—у PjP；?： —沆 J。匂一©尸匕位)©# 三

三 Ql (办(5.70)

При интегрировании в смысле главного значения полюс превращается в логарифмическую сингулярность, появляющуюся при у = ± 1； для этих значений у полюс совпадает с концом промежутка интегрирования. Функция Лежандра второго рода @(у) имеет разрез при —1 V U V < + 1, связанный с граничным условием. Чтобы удовлетворить граничному условию, необходимо взять соответствующие значения функции Ql(^) (определенной равенством (5.70)) на разрезе.

Логарифмические сингулярности, как уже было сказано, появляются при у = ±1. Для переменных q, д' это означает

тЕ — М 士^ q^ _■!?'' = 0.(5.71)

Функция Zl(。，д', Е + Ю) появляется как в ядре уравнения (5.62), так и в неоднородном члене. В неоднородном члене переменная q находится вне массовой поверхности, а д，—на массовой поверхности (ср. с (5.61)). Условие

не может быть выполнено, поскольку с учетом (5.61) левая часть условия (5.71) становится

тЕ 一 (о + 扌夕)—тЕ + тЕ^ ^ —(0 + "^ ?') + шЕВ <0, (5.72) что всегда меньше нуля, так как энергия Е° отрицательна. Следовательно, сингулярность появиться не может.

Другая ситуация будет для ядра. Здесь как q, так и q〃 一 вне массовой поверхности, ибо q〃 есть переменная интегрирования. Условие (5.71) выполняется для

0 = ± 伶 g" ± "|/"mE ■- ^ g" ).(5.73)

Рис. 16. Положение сингулярностей ядра уравнения (5.62).Рис. 16. Положение сингулярностей ядра уравнения (5.62).Логарифмические сингулярности расположены на кривых q(g〃)，которые описываются равенством (5.73) (рис. 16). Функция Zl комплексна

Рис. 16. Положение сингулярностей ядра уравнения (5.62).

Рис. 16. Положение сингулярностей ядра уравнения (5.62).

между двумя эллиптическими дугами (см. рис. 16). Это как раз та область, в которой 6-функция уравнения (5.70) дает вклад, Рис. 16 показывает также положение полюса, который появляется от двухчастичного пропагатора т и который уже обсуждался в п. а).

Таким образом, мы видим, что трехчастичная задача становится все более и более

сложной по мере того, как мы переходим от изучения связанных состояний к задаче рассеяния с перестройкой и далее к изучению развала, поскольку число сингулярностей увеличивается. Аналогичная ситуация будет и в том случае, если нам приходится решать уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве. При этом

затруднения возрастают из-за того, что граничное условие становится все более и более сложным. Приводимая ниже таблица дает схематическое представление об этом.

Вопросительный знак указывает на особую сложность написания граничного условия с учетом развала; такое ус-

ловие нельзя написать в краткой форме (ср. с гл. 8, раздел 3).

Обратимся теперь к интегрированию уравнения Фаддеева. Можно ли найти сетку узлов интегрирования, обеспечивающую необходимую точность численного интегрирования, несмотря на сингулярности, показанные на рис. 16? Полюс эффективного двухчастичного пропагатора не причиняет большого беспокойства, поскольку его положение фиксировано. Его можно исключить некоторым преобразованием [44] или он может быть просто проинтегрирован [45, 46]. Трудности, однако, возникают от полюсов функции 7ь, так как эти полюсы меняют свое положение в зависимости от переменной q.

Уравнения Фаддеева в импульсном пространстве

уравнении Шредингера л ко1ь|)игураци- онном пространстве

Связанные состояния EVE в

Нет сингулярностей

屮（8）~>0

Чистое упругое рассеяние

Ев<^<0

Полюс эффективного двухчастичного про^ пагатора

屮（8）=产“ +

十/⑼产"?

Рассеяние с развалом Е>0

Дополнительные полюсы трехчастичного пропагатора

?

В принципе интегрирование можно было бы выполнить путем выбора новой сетки узлов интегрирования для каждого значения q. Имеются квадратурные сетки, позволяющие учесть сингулярности [47], но мы не можем их использовать, так как метод е) требует, чтобы мы имели дело с одной сеткой узлов. В противном случае мы не получим систему N уравнений для N неизвестных значений функции Xl； у нас будет неизвестных больше, чем уравнений.

Имеются два способа обойти это затруднение: во-первых, мы можем скомбинировать численное и аналитическое интегрирование и таким путем использовать наше знание аналитических свинств подынтегральной функции

[48—52]. Во-вторых, можно использовать теорему Коши и сдвинуть контур интегрирования в комплексную плоскость.

Сначала рассмотрим второй метод. Он был введен Хе- зерингтоном и Шиком [53] и позднее был использован Амадо [54], а также Кахиллом и Слоаном [55]. Интересные модификации метода были сделаны Эбенхоем [56] и Авишаи [57]. Сам метод состоит из трех шагов.

Выполняется аналитическое продолжение интегрального уравнения на комплексные импульсы.

Интегральное уравнение решается для таких комплексных импульсов, которые достаточно удалены от сингулярностей.

Решение для вещественных импульсов получается с помощью одной итерации уравнения (5.62), исходя из решения для комплексных импульсов.

Обсудим эти три шага более детально.

Если в нашем интегральном уравнении (5.62) сделать подстановку q = ре-гф, то решения будут также определены для комплексных импульсов (мы опускаем в наших обозначениях зависимость от『 且 Е),

Xl (PL抑)=2Zl (PL询)+ f dq"% @一诲,g〃) XL (力 ° (5.74)

Путь интегрирования в (5.74) —все еще положительная вещественная полуось q〃. Чтобы получить интегральное

уравнение, позволяющее определить функцию Хь(ре"^) без знания XL(gv) на вещественной положительной полуоси, мы сдвигаем контур интегрирования от С к Cf (рис. 17). Это означает, что мы интегрируем вдоль направления р'"-" от нуля до бесконечности при фиксиро-

ванном значении (р. Согласно теореме Коши это возможно в том случае, если дуга В не дает вклада в интеграл и если подынтегральная функция аналитична в плоскости ССГВ. Эти два условия выполнены, ибо, как можно видеть из соотношения (5.73), ядро не имеет сингулярностей в области СС'В, и, кроме того, Брейшоу смог показать [58], что решение 冗(р-") аналитично при условии

(Р < arctg У- ЗЕВ/(Е-ЕВ).

Таким образом, получаем интегральное уравнение Xl^) = 2Zl^) +

十 6一" J d^KL (pe-师，p〃e~抑)Xl (p^T”).(5.75)

о

Численное решение интегрального уравнения (5.75) пе представляет никаких трудностей, так как все функции «хорошо ведут себя» вдоль контура О'.

Теорема Коши используется второй раз, чтобы найти связь между решением для комплексных импульсов и решением для вещественных импульсов. В уравнении (5.62) переменную q берут вещественной и смотрят, можно ли сдвинуть контур интегрирования от С к О' (вдоль О' решение известно). Прежде чем выполнить предельный переход по 8, рассмотрим сингулярности и разрезы в комплексной『'-плоскости. Положение разрезов дается неравенствами —1 V у V +1 (см. равенство (5.71)). В переменных q, q〃 это означает

q2 + g〃2 _|_ qqf,y—mE—iE = 0(5.76)

с \у\ < 1.

Здесь имеются три различных случая:

а) 0 & q W、'тЕ (рис. 18).

Контур О проходит ниже сингулярностей и ниже разреза. При этом ничто не мешает нам сдвинуть контур интегрирования в нижнюю комплексную полуплоскость (контур О'). Тогда получаем

Xl ⑷=22L(g) + 6-" J dp〃/(g, p"й")x^ (pу 诲)*

Следующий случай ——немного более сложный.

В)、тЕ W q W N4mЕВ (рис. 19).

Сингулярность, которая в случае (а) находилась в третьем квадранте, теперь сдвинулась в четвертый кван- дрант и не позволяет непосредственно сдвинуть контур

Рис. 18. Контур интегрирования в уравнении (5.77). Сингулярности указаны кружками, а разрезы — жирными линиями (Р. Кахилл и Я. Слоан [55]).

интегрирования в Сг. Сначала мы должны проинтегрировать вдоль старого контура С, потом обойти вокруг сингулярности в точке Р и затем вернуться к точке Q. Вблизи Р мы проходим через разрез (см. рисунок) вниз на

Рис. 19. Контур интегрирования в уравнении (5.78). Штриховая линия указывает контур интегрирования на втором листе. Сингулярности указаны кружками, а разрезы — жирными линиями (Р. Кахилл и Я. Слоан [55]).

второй риманов лист. Начиная от Q и двигаясь по контуру С\ мы снова выходим на первый риманов лист в точке Я. За счет ухода на второй лист мы достигаем того,

что подынтегральная функция аналитична между С и С. На разрезе в интеграл от 0 до (? вносит вклад лишь скачок, а сингулярность в Р исключается. Таким образом, в этом случае мы имеем

XL(7)= 2Zl (q)+『dq"KL(q, q,f)XL(qff)-\-

О—pfQ

+ e-诲 J dp'&(0, pZ-诲)Xl (p〃e-%. (5.78) 0

Амплитуда XL(q) между 0 и P дается уравнением (5.77), поскольку |0Р| W УтЕ/3.

И, наконец, последний случай.

Y)9 ＞、4тЕ]3.

Контур интегрирования можно снова сдвинуть прямо от С к С", так как сингулярности функции Zb сместились с вещественной оси в комплексную плоскость. Уравнение (5.77) снова справедливо.

Из решения нашего интегрального уравнения для комплексных значений импульса q, которое достаточно легко получить, можно, таким образом, найти решение для всех вещественных значений q.

Определенный недостаток описываемого метода заключается в том, что должно быть известно аналитическое поведение ядра и решения в плоскости импульсов. Для обсуждаемого интегрального уравнения никаких трудностей не возникает. Но имеются более сложные уравнения (например, уравнения Альта — Грассбергера — Сандхаса, см. гл. 6), где такую дополнительную информацию вряд ли можно получить.

Для таких уравнений более подходящим оказывается другой метод [48]. В этом методе интегрирование выполняется вдоль вещественной оси q. Важным обстоятельством является то, что решение XL(g) есть непрерыв* нал функция, которую можно аппроксимировать интерполяционным полиномом

где Hi — полином вида

u(f)

修(g)=雪，旦® =乐. (5.80) £[(公-务)

Подставляя (5.79) в интегральное уравнение (5.62), получим для q =仇

Xl (%)=2zL(%)十2 Xl (力)『歯"Kl (外,q〃)/ (g. (5.81) j=i о

И вместо решения сингулярного интегрального уравнения нам нужно лишь вычислить сингулярные интегралы

00

厶> =jdg〃KL (外，g〃)Hj(g〃)，(5.82)

О

(это много проще), что приводит к матричному уравнению

Xl (%)=2Zl (分)+ 2 厶/L(分).(5.83)

Результаты для трех одинаковых частиц.

Связанные состояния. Согласно Фаддееву (см. стр. 52) все решения однородного фаддеевского уравнения соответствуют связанным состояниям. Покажем, что эти решения удовлетворяют также уравнению Шредингера, хотя это и очевидно. Начнем с однородного варианта уравнения Фаддеева (3.35)

lu〉i= £go(z)%(z)lWX・ (5.84)

Используя соотношение (2.57а) (в трехчастичном пространстве!), найдем

l2〉i =gz(z)力 £ I屮〉厶(5.85)

ИЛИ

g『(Z)I ^>г = (z — hQ — s) I 屮〉2 = S N I 屮〉力(5.86)

3

Беря сумму по i и учитывая, что | 屮〉=N| 屮％, получаем г—1

уравнение Шредингера

^z — h0 —工以)I 屮〉=0.(5.87)

Для сепарабельного потенциала и одинаковых частиц однородный вариант уравнения (3.35) соответствует однородному варианту уравнения (5.62). Мы найдем связанные состояния, если сможем определить энергии, для которых однородное уравнение

имеет решение. Если интегральное уравнение аппроксимируется матричным уравнением (как, например, (4.37) или (5.83)), то нужно найти нули определителя. Результаты такого расчета [59] представлены на рис. 20. В этом расчете изучалась трехбозонная система с сепарабельным потенциалом Ямагучи в зависимости от изменения параметра длины р. Константа связи 九 была выбрана таким образом, что-

Рис. 20. Трехчастичная энергия связи (сплошная линия — основное состояние, штриховая —возбужденное состояние) как функция обратного радиуса потенциала § (Р. Амадо с сотр. [59]) *).Рис. 20. Трехчастичная энергия связи (сплошная линия — основное состояние, штриховая —возбужденное состояние) как функция обратного радиуса потенциала § (Р. Амадо с сотр. [59]) *).бы двухчастичная энергия связи все время была равна |£"в| = 1,5 (в системе единиц % = 2m = 1). Поскольку трехчастичное связанное состояние является более компактным по сравнению с двухчастичным связанным состоянием, то его энергия связи чувствительна к радиусу действия потенциала. Это особенно справедливо для основного состояния. В отличие от трехнуклонной системы,

Рис. 20. Трехчастичная энергия связи (сплошная линия — основное состояние, штриховая —возбужденное состояние) как функция обратного радиуса потенциала § (Р. Амадо с сотр. [59]) *).

Рис. 20. Трехчастичная энергия связи (сплошная линия — основное состояние, штриховая —возбужденное состояние) как функция обратного радиуса потенциала § (Р. Амадо с сотр. [59]) *).

*) Следует отметить, что возбужденное состояние в рассматриваемой модели имеет рыхлую кластерную структуру, сильно отличающуюся от компактной структуры основного состояния. Благодаря этому обстоятельству зависимость энергии возбужденного состояния от параметра р, как показали более аккуратные расчеты [Д1.4] будет иной, чем это изображено на рис. 20.— (Прим, перев.)

трехбозонная система, рассматриваемая здесь, имеет также и возбужденное состояние. Для фермионов и более реалистических потенциалов, зависящих от спина (раздел 5.2.7), это состояние исчезает.

Состояния рассеяния. Расчеты рассеяния для трехбозонной системы были выполнены при помощи

Рис. 21а. Решение Xo(g, д', Е) уравнения (5.62) для нулевого полного момента; Е = 3g/2/4m + Ев= 1 в системе единиц: Н~2т = =1, Ев = —1,5. Сплошная линия представляет действительную часть Хо, штриховая — мнимую часть (Ф. Соре и X. Цигельман [48]).

Рис. 216. Разности решений, найденных с деформацией контура и без нее. Сплошная линия представляет действительную часть, штриховая — мнимую часть. Вертикальная шкала растянута в 50 раз по сравнению с рис. 21а.

обоих методов раздела 2.4. Рис. 21а и 216 показывают результаты численного решения уравнения (5.83) выше порога развала, а также разность между этим решением и решением, найденным с помощью метода деформации

контура. Согласие довольно хорошее (1—2%). Оптическая теорема дает другую проверку точности такого расчета (см. соотношение (3.92)). Поскольку полный момент сохраняется, разность между полным сечением и упругим сечением должна быть равна сечению развала для каждой парциальной волны в отдельности. Сечение развала дается шестимерным интегралом, стоящим в правой части (3.91). В то время как два интегрирования делаются тривиально, четыре остальных интегрирования должны выполняться численно [60]. Трехмерный интеграл для сечения упругого рассеяния при разложении по парциальным волнам берется тривиально. Результаты такого теста представлены для Е = 5 в приводимой ниже таблице.

L

LL

°полн"аупр

E аразв

EE

ОцОЛН—Oynp

E "разв

O.,2O9O

0,2082

4

0,0324

0,0318

0,0172

0,0199

5

0,00648

0,00642

0,4014

0,4023

6

0.001409

0,001409

0,1428

0,1427

7

0,000295

0,000294

Х「= Xl(『,『,£；) = —Х「= Xl(『,『,£；) = —(5.88)(5.88)2ig‘ • находим *)2ig‘ • находим *)На рис. 22 изображены действительные части фазовых сдвигов в упругом канале. Эти фазовые сдвиги связаны с амплитудой XL(qf, д', Е) на массовой поверхности формулой

Х「= Xl(『,『,£；) = —

Х「= Xl(『,『,£；) = —

(5.88)

(5.88)

2ig‘ • находим *)

2ig‘ • находим *)

Разрешая ее относительно tg(Re 6L),

(5.89)

Удивительно, что фазы с четными значениями L положительны, а с нечетными — отрицательны. Как было показа-

n + D -> n7 + D7n + D -> n7 + D7Рис. 22. Действительные части фазовых сдвигов в зависимости от полной энергии в системе центра масс (в единицах: 无=2т = 1, £в = —1,5) для различных полных угловых моментов (Р. Амадо с сотр. [59];①.Соре и X. Цигельман [63]).Рис. 22. Действительные части фазовых сдвигов в зависимости от полной энергии в системе центра масс (в единицах: 无=2т = 1, £в = —1,5) для различных полных угловых моментов (Р. Амадо с сотр. [59];①.Соре и X. Цигельман [63]).

n + D -> n7 + D7

n + D -> n7 + D7

Рис. 22. Действительные части фазовых сдвигов в зависимости от полной энергии в системе центра масс (в единицах: 无=2т = 1, £в = —1,5) для различных полных угловых моментов (Р. Амадо с сотр. [59];①.Соре и X. Цигельман [63]).

Рис. 22. Действительные части фазовых сдвигов в зависимости от полной энергии в системе центра масс (в единицах: 无=2т = 1, £в = —1,5) для различных полных угловых моментов (Р. Амадо с сотр. [59];①.Соре и X. Цигельман [63]).

но Амадо [61], этот факт связан с тем, что в трехчастичной системе сепарабельное взаимодействие эквивалентно

обменному механизму.

Рассмотрим две частицы (рис. 23) п и D ), и пусть частица D может распадаться на две частицы типа п,

D 甘 п + п.

Тогда реакцию

Рис. 23. Обменный механизмв модели с сепарабельным по-тенциалом.

рис. 15; линия с импульсом (—q—q‘)соответствует обмениваемой частице). Допустив такой механизм, Амадо [61], используя теоретико-полевые методы [62], вывел интегральное уравнение (5.536), не обращаясь к уравнениям Фаддеева. Эффективный потенциал ZL в уравнении (5.62), будучи обменным, с необходимостью является притягивающим для четных L и отталкивающим для нечетных. Это и объясняет знак фаз. Штриховые линии на рис. 22 представляют более старые результаты Амадо [59].

Более точные расчеты показали, что кривая 6о не имеет каспа на пороге развала [63]. Это согласуется с предсказанием Дельвеса [64] о том, что малое фазовое пространство, доступное для развала при Е = 0, допускает скачок только второй производной.

Интересно также отметить, что фазовый сдвиг, соответствующий L = 0, начинается от 2л п стремится к нулю при Е->- оо. Рассматриваемая нами трехчастичная система имеет два связанных состояния (ср. с рис. 20). Поэтому кривая 6о согласуется с теоремой Левинсона [65], которая утверждает, что число связанных состояний (с данным угловым моментом L) nL равно

3厶(0) — 6「(оо)

九 l ———•(5.90)

Рис. 24. Импульсная конфигурация с малым относительным импульсом в одной подсистеме.Рис. 24. Импульсная конфигурация с малым относительным импульсом в одной подсистеме.Модель Ватсона. Для экспериментаторов обращение к задаче трех тел обусловлено тем обстоятельством, что некоторые двухнуклонные данные довольно легко можно получить в трехчастичном эксперименте, тогда как в двухчастичном эксперименте их измерить трудно или невозможно. Например, трудно работать с частицами очень малых энергий и вследствие этого измерение длины рассеяния в двухчастичной системе связано с неопределенностью, обусловленной экстраполяцией. Или, поскольку не

Рис. 24. Импульсная конфигурация с малым относительным импульсом в одной подсистеме.

Рис. 24. Импульсная конфигурация с малым относительным импульсом в одной подсистеме.

существует нейтронных мпшспей, п——n-данпые пе могут быть измерены прямо.

В трехчастичном ;ке эксперименте эти измерения не представляют никакой проблемы. Когда три частицы вылетают из области реакции, они могут иметь, например, импульсное распределение, подобное тому, что показано на рис. 24. Частицы 2 и 3 движутся почти параллельно с одной и той же скоростью и имеют относительный импульс

Pi = } (к2 — кз),

близкий к нулю. Тем не меиее эти две частицы легко зарегистрировать, поскольку их импульсы достаточно 8 Э. Шмид и X. Цигельмац

велики. Кроме того, обе частицы могут быть нейтронами. Таким образом, нам становятся доступными данные при очень низких энергиях, а также нейтрон-нейтрон- ные данные. Трудность в данном случае заключается в теоретической интерпретации такого эксперимента, т. е. в извлечении нужных данных из измеренных дифференциальных сечений.

До того как стали доступны уравнения Фаддеева, а также их решения для рассеяния с развалом, использовалась модель Ватсона [66], предназначенная главным образом для рассмотрения состояний с малым относительным импульсом р. Согласно этой модели коночное

Рис. 25. Двухступенчатый механизм развала.Рис. 25. Двухступенчатый механизм развала.СКСК

Рис. 25. Двухступенчатый механизм развала.

Рис. 25. Двухступенчатый механизм развала.

СК

СК

состояние, состоящее из трех свободных частиц, получается в два этапа (рис. 25). На первом этапе формируется трехчастичное компаунд-состояние (процесс образования) .На втором этапе частицы разлетаются пз области реакции, но из-за малого относительного импульса (что предполагается) частицы взаимодействуют еще в течение долгого времени. Такое взаимодействие называется взаимодействием в конечном состоянии. На этом втором этапе на трехчастичную амплитуду налагается сильно зависящая от импульса двухчастичная амплитуда. Импульсная зависимость трехчастичной амплитуды при этом считается относительно слабой или даже пре- небрежимой. Тогда амплитуда развала записывается в виде

“а = const • %, (5.91) где Y обозначает пару, участвующую во взаимодействии в конечном состоянии (р〕^ 0). Модель Ватсона можно

рассмотреть с помощью теории Фаддеева, которая дает точное выражение для этой амплитуды (ср. с уравнением (3.64))：

(5.92)(5.92)з

(5.92)

(5.92)

Uoa = go I + » ^v^o^va*

Y=1

Во-первых, имеются три амплитуды, которые, складываясь когерентно, дают точное выражение, которое может исказить зависимость (5.91) от 力力 во-вторых, амплитуда образования U\“ (или Хта в сепарабельном случае) имеет настолько сильную зависимость от импульса (см.

Рис. 26. Сечение трехчастичного развала, деленное на множитель, зависящий от фазового пространства, для трех одинаковых бозонов. Энергия и углы в лабораторной системе таковы: ЕЛаб=79,5; 0з = 15°, 04 = 23： (обозначения такие же, как на рис. 2, если налетающей частицей является связанное состояние двух бозонов; единицы: Й = 2m = 1, Е^ =—1,5). Штриховая линия — модель Ватсона; штрихпунктирпая — точное вычисление с учетом лишь ведущего члена в сумме (5.92); сплошная — точное вычисление с учетом всех членов в сумме (5.92). Пики нормированы на одну и ту же высоту (Ф. Соре и X. Цигельман [63]).Рис. 26. Сечение трехчастичного развала, деленное на множитель, зависящий от фазового пространства, для трех одинаковых бозонов. Энергия и углы в лабораторной системе таковы: ЕЛаб=79,5; 0з = 15°, 04 = 23： (обозначения такие же, как на рис. 2, если налетающей частицей является связанное состояние двух бозонов; единицы: Й = 2m = 1, Е^ =—1,5). Штриховая линия — модель Ватсона; штрихпунктирпая — точное вычисление с учетом лишь ведущего члена в сумме (5.92); сплошная — точное вычисление с учетом всех членов в сумме (5.92). Пики нормированы на одну и ту же высоту (Ф. Соре и X. Цигельман [63]).

Рис. 26. Сечение трехчастичного развала, деленное на множитель, зависящий от фазового пространства, для трех одинаковых бозонов. Энергия и углы в лабораторной системе таковы: ЕЛаб=79,5; 0з = 15°, 04 = 23： (обозначения такие же, как на рис. 2, если налетающей частицей является связанное состояние двух бозонов; единицы: Й = 2m = 1, Е^ =—1,5). Штриховая линия — модель Ватсона; штрихпунктирпая — точное вычисление с учетом лишь ведущего члена в сумме (5.92); сплошная — точное вычисление с учетом всех членов в сумме (5.92). Пики нормированы на одну и ту же высоту (Ф. Соре и X. Цигельман [63]).

Рис. 26. Сечение трехчастичного развала, деленное на множитель, зависящий от фазового пространства, для трех одинаковых бозонов. Энергия и углы в лабораторной системе таковы: ЕЛаб=79,5; 0з = 15°, 04 = 23： (обозначения такие же, как на рис. 2, если налетающей частицей является связанное состояние двух бозонов; единицы: Й = 2m = 1, Е^ =—1,5). Штриховая линия — модель Ватсона; штрихпунктирпая — точное вычисление с учетом лишь ведущего члена в сумме (5.92); сплошная — точное вычисление с учетом всех членов в сумме (5.92). Пики нормированы на одну и ту же высоту (Ф. Соре и X. Цигельман [63]).

рис. 21а), что приближение (5.91) становится сомнительным. Однако в случае реальных нуклонов два эффекта, оказывается, действуют в противоположных направлениях (см. раздел 2.7 и ссылку [56]), так что модель Ватсона не так уж плоха для анализа экспериментов. Ее применимости помогает также наличие в 8*

двухнуклонной синглетной Т-матрице полюса, очень близкого к порогу, что приводит при малых относительных импульсах к очень резкой зависимости от импульса. Рис. 26 демонстрирует сравнение модели Ватсона с теорией Фаддеева для трех одинаковых бозонов [63]. Дифференциальное сечение отложено здесь в зависимости от относительного импульса пары в конечном состоянии (в качестве параметра кинематической кривой; ср. с рис. 3). Штриховая линия показывает результаты для модели Ватсона (приближение (5.91)), штрих-пунк- тириая линия соответствует расчету лишь с ведущим членом в сумме (5.92), а сплошная кривая отвечает точному фаддеевскому расчету (5.92). В обсуждаемом случае различие между результатами, найденными с помощью теории Ватсона и теории Фаддеева, довольно значительное.

Результаты для трехнуклонной системы. Спиновая зависимость ядерных сил в простейшем приближении описывается двучленным потенциалом Ямагучи?

1

2 31整〉〈左1,(5.93)

6=0

что приводит к двучленной сепарабельной 7-матрице

方=2 I左〉口〈左 1・(5.94)

г—О

Форм-факторы 左 действуют на спиновые состояния таким образом, чтобы первый член действовал только в синглетном состоянии (i = 0), а второй — только в триплетном (i = 1). Зарядовая зависимость ядерных сил может быть учтена путем добавления в сумму третьего члена [55]. Форм-факторы при этом могли бы действовать и на изоспиновые состояния. При использовании Т-матрицы (5.94) уравнения Фаддеева (3.62) приобретают вид, аналогичный (5.39) и после антисимметризации приобретают форму

1

х^= Z?i + N 啃彌X%.(5.95)

j—о

Значок S сверху указывает на одно из двух возможных значений полного спина: S = 1/2 или S = 3/2, а индек-

сы 力 / указывают перестановки между различными спиновыми состояниями подсистем.

В дублетном случае (S = 1/2) имеются два связанных уравнения, поскольку при образовании состояния с 5 = 1/2 спины трех нуклонов могут быть связаны двумя разными способами. В квартетном случае (S = 3/2) имеется только одно уравнение, поскольку S = 3/2 можно получить лишь одним способом (все три спина параллельны). Сложение спинов можно выразить спиновым множителем 倘 Этот множитель [8, 54, 55] равен / 1/2— 3/2\

П〔/2 = (—3/21/2n3/2_ L (5・96)

Для дублетной длины п ——d-рассеяния 歩改 и для энергии

£\Ш

-我1

-7-7-8-8-9-9P^ucmu倒価J"勿勿7卄心&龙勿Wпотенциалы Л

-7

-7

-8

-8

-9

-9

+ ЛеВинжер [69]

Энспвринентальные 丿 ^^^арст 7957 [70]

Еннь/е 5 we 1371 〃〃

一勿一勿一〃一〃Юна^ский и потинииа» (Юна^ский и потинииа» (Сепарабельнь/епотенциалыСепарабельнь/епотенциалы-72-72十Тьон /W十Тьон /W

一勿

一勿

一〃

一〃

Юна^ский и потинииа» (

Юна^ский и потинииа» (

Сепарабельнь/епотенциалы

Сепарабельнь/епотенциалы

-72

-72

十

Тьон /W

十

Тьон /W

~5 -〃 -J -2~5 -〃 -J -2jIII

~5 -〃 -J -2

~5 -〃 -J -2

012^4-

4々/

Рис. 27. Экспериментальные и теоретические результаты для энергии связи тритона, отложенные в сопоставлении с дублетной длиной рассеяния («график Филлипса»).

связи тритона Ет согласие между результатами решения уравнения (5.95) и экспериментальными данными получить трудно. Рис. 27 показывает ситуацию на

сегодняшний день). Тритон оказывается связанным слишком сильно, что обусловлено игнорированием тензорных и отталкивающих сил (хотя второе связанное состояние, отмеченное в разделе 2.5, исчезает). На вычислениях с локальными потенциалами игнорирование отталкивания, вероятно, сказывается даже более сильно. Это может быть обусловлено тем обстоятельством, что s-фазы при высоких энергиях значительно лучше описываются сепарабельными, чем локальными потенциалами, хотя все параметры потенциалов подгоняются лишь по данным при низких энергиях. Потенциалы, являющиеся более реалистическими по отношению к двухнуклонным данным, дают лучшие трехчастичные результаты, однако и здесь согласие не идеальное.

Квартетная длина п — d-рассеяния а3/2, с другой стороны, хорошо согласуется с экспериментом. В квартетном случае (все спины параллельны) принцип Паули не позволяет частицам подходить близко друг к другу, и, следовательно, детали потенциала являются менее важными. Из уравнения (5.95) с двухчленным сепарабельным потенциалом Ямагучи [73] получаем а3/2 = =6,32 ф; экспериментальное значение [71] составляет (6,35 ± 0,02) ф.

На фоне неудовлетворительных результатов для дублетного случая удивительно обнаружить, насколько хорошим становится согласие между теорией и экспериментом для трехчастичного развала даже при простом выборе потенциала в виде (5.93). Частично это может быть обусловлено преобладающим влиянием полюса ан- тисвязанного состояния в двухчастичной синглетной 7-матрнце при Е = —0,067 МэВ, за счет чего даже использование модели Ватсона приводит здесь к хорошим результатам.

В этом контексте интересно отметить, что Амадо [77] нашел преобразование уравнений Фаддеева, под-

крепляющее модель Ватсона, т. е. соотношение (5.91). Амплитуда развала, как мы знаем, дается соотношением

з

(5.97)(5.97)Uоа =』力丫goUya + Z — Ло.

(5.97)

(5.97)

Y=1

Как уже указывалось, можно было подозревать, что когерентное наложение трех амплитуд могло бы разрушить типичное ватсоновское поведение одной отдельно взятой амплитуды. Однако вычитание из уравнения (5.97) уравнения (3.61а) для амплитуд перестройки

。阻=£ 力ygoUya + (1 — 6ра)(Z —瓦)，(5.98)

卄В

дает

U()a — Upa -—力pgoUpa + бра (^ —无0),

плп

%а = ( 1 + 方吧0)0₽а + 6肥(Z -瓦).(5.99)

Согласно (2.84в) имеем

h = (1 + hgo) S,

или

1 + %乳=方即計.(5.100)

Подставляя это уравнение в (5.99), получаем

Uoa =力酬 J。f5a + S|3a(Z —瓦).(5.101)

Именно это уравнение и является очень похожим на модель Ватсона, т. е. на равенство (5.91). Амплитуда развала “а прямо пропорциональна двухчастичной Т-мат- рице без всяких дополнительных членов, как в (5.97); член 6₽a(z ——/io) на энергетической поверхности пропадает. Во всех тех конфигурациях, которые до сих пор исследовались как экспериментально, так и теоретически, амплитуда образования^.1?/ра из (5.101), по-види- мому, слабо зависела от импульсов по сравнению с 力仙 и поэтому аппроксимация

(5.102)(5.102)%a = Const • %

(5.102)

(5.102)

представляется оправданной. Для решения уравнения (5.95) это вполне ясно показал Эбенхой [56]. Он использовал нейтрон-нейтронный потенциал, отвечающий п — n-длине рассеяния—16 ф, и проанализировал свои точные теоретические результаты на основе модели Ватсона, т. е. па основе равенства (5.91), как если бы это были экспериментальные данные. При различных кинематических условиях он нашел для п ― n-длины рассеяния значения между 15,4 ф и 16,4 ф. Это означает, что при анализе экспериментальных данных с помощью модели Ватсона ошибка получается меньшей чем ±0,5 ф, т. е. меньше экспериментальной ошибки. Тем не менее эксперименты по развалу анализируются теперь на основе точных трехчастичных вычислений. Таким путем Зайтниц с сотрудниками [78] определил, что п — п- длина рассеяния равна [79]

ааа= (16,1 ±0,9) ф. (5.103)

Эта величина представляет интерес для теории ядерных сил. Ее значение, найденное Зайтницом с сотрудниками, подкрепляет гипотезу о зарядовой симметрии. Согласно этой гипотезе силы в п — п- п в р — p-системах должны быть одинаковые, за вычетом кулоновских эффектов. Действительно, различие между длиной р — р-рас- сеяния

%р= -7,76 ф (5.104)

и длиной п ——п-рассеяния (5.103) почти полностью можно объяснить кулоновскими эффектами. Модельные вычисления, в которых кулоновские силы «выключены», дают длину рассеяния для незаряженных частиц [80]

а =-17,2 ф. (5.105)

Уравнение (5.95) описывает также реакцию развала p + d—>2р + п в тех кинематических областях, где кулоновское взаимодействие, не включенное в потенциал (5.93), играет лишь второстепенную роль. На рис. 28 показаны экспериментальные результаты Брюкмана с сотрудниками [1] вместе с теоретической кривой, полученной Эбенхойем [56]. На нем отложено дифференциальное сечение в зависимости от параметра кинематической кривой S (см. рис. 3). Согласие очень

О

&070 ВО 90100110

勿 2"，/4〃与,%〃

Рис. 28. Сечение процесса трехчастичного развала в зависимости от параметра кривой S; см. рис. 2 и 3 (В. Эбенхой [56]).

^ 力 8 厅 4 2 1rsJCF 点名 飞W 宙F

20

10

<J, ffO 90 1ZO 150180

Угол 夕 граЗисах 8 ц.м. система

Рис. 29. Поляризация пейтронов в упругом канале п ——d-реакции (П. Долешалл [83]; экспериментальные данные получены Дж.

Фейвре с сотр.).

хорошее ). Видно, что теория описывает эксперимент также и при больших относительных импульсах, где модель Ватсона не работает.

Одной из причин хорошего согласия между теорией и экспериментом является тот факт, что входящая с большим весом квартетная амплитуда, не чувствительная к деталям потенциала, заметно преобладает над дублетной амплитудой. Но как только эти две амплитуды разделены, достичь хорошего согласия становится сложнее, и для получения надежных результатов необходимо учитывать больше деталей нуклон-нуклонного потенциала. На рис. 29 результаты поляризационного эксперимента сравниваются с решением уравнения (5.95). Теоретическая кривая [83] рассчитана с сепарабельным потенциалом, который является несколько более сложным, чем потенциал (5.93). В дополнение к взаимодействию в 5-состоянии учитывалось взаимодействие в Р-состоянии, а также связь 3sl —■з/＞「состояний.

Глава 6

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА С ЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ )

Прямое решение уравнений Фаддеева

с локальным потенциалом

С помощью прямого использования метода (е) (стр. 82) уравнения Фаддеева с локальным потенциалом были решены лишь однажды [84] и то лишь для трехбозонного связанного состояния и при некоторых упрощающих предположениях. Допускалось, что локальный потенциал

MP —Р')= ^^l + ^PtO-P^^p,^)(6.1)

1=0

действует только в s-волне, т. е. все члены в сумме (6.1), кроме первого, отбрасывались:

р(р —рл)« Ро(р, /).(6.2)

Если бы мы еще предположили, что ь° факторизуется,

^(р, /) ^ 妆(р)х(р'),(6.3)

то мы вернулись бы обратно к сепарабельному приближению предыдущей главы. Из расчетов Осборна [84] можно увидеть, что «небольшое различие» между потенциалами (6.2) и (6.3) приводит к неприятным усложнениям практических вычислений. Поэтому этот способ прямого решения уравнений Фаддеева с локальными потенциалами в дальнейшем не был использован для исследования состояний рассеяния.

Как было отмечено ранее, уравнения Фаддеева с локальным потенциалом после разложения по угловым моментам представляют собой бесконечную систему зацепляющихся двумерных интегральных уравнений.

Для одинаковых частиц при допущении (6.2) они расцепляются. Осборн получил волновую функцию связанного состояния, решив (однородное) интегральное уравнение вида 8g'+g'"+gg'

F0(q,Q) = ^dqf J К"(分Q;鼠,Q”°(Q，)(6.4) o g*+g'*-gg'

с ядром

/(g,Q;g',Q') =

л?mz — Q'2

Рис. 30. Область и сетка интегрирования в уравнении (6.4).Рис. 30. Область и сетка интегрирования в уравнении (6.4).Аппроксимация этого двумерного интеграла суммой требует довольно большого времени на ЭВМ. Вторая проблема возникает из-за переменных пределов при интегрировании по Q', что обусловлено 6-функциями в уравнении (4.8). Рис. 30 показывает область двумерного интегрирования вместе с соответствующей двумерной сеткой *). Из-за особой формы области интегрирования будет «работать» лишь некоторая доля тех узлов, которые были введены для интегрирования на поэтому такая аппроксимация довольно плоха. Осборн разрешил эту трудность, приближая подынтегральную

Рис. 30. Область и сетка интегрирования в уравнении (6.4).

Рис. 30. Область и сетка интегрирования в уравнении (6.4).

функцию с помощью интерполяционного полинома (по переменной Q'), построенного по всем узлам. Этот полином затем интегрировался аналитически для каждого значения д'.

Интегральное уравнение, таким образом, аппроксимируется довольно точно матричным уравнением для значений волновой функции в узлах сетки. Осборн использовал семь точек по д^-координате и 15 точек по

координате Q', что дает матрицу 105 X 105. Энергии, в которых детерминант матричного уравнения обращается в нуль, суть трехчастичные энергии связи, конечно, при условии, что эти энергии лежат ниже двухчастичной энергии связи. Волновые функции находят тогда из соответствующих собственных векторов. На рис. 31

О

88-%2 -% -Z,〃 -2,4 -2,8 -3,2 -恥-紡-4,4 Константа связи юкавского потенциалы-%2 -% -Z,〃 -2,4 -2,8 -3,2 -恥-紡-4,4 Константа связи юкавского потенциалыNBA nn2daHmsNBA nn2daHmsРис. 31. Квадратный корень из энергии связи трехбозонной системы (единицы: Л=т = 1) отложен в зависимости от юкавской константы связи (Т. Осборн [84]).

8

8

-%2 -% -Z,〃 -2,4 -2,8 -3,2 -恥-紡-4,4 Константа связи юкавского потенциалы

-%2 -% -Z,〃 -2,4 -2,8 -3,2 -恥-紡-4,4 Константа связи юкавского потенциалы

NBA nn2daHms

NBA nn2daHms

показаны результаты для юкавского потенциала V(г)= =g • exp (—0,633 г) /г.

Трехчастпчное связанное состояние появляется уже для значений константы связи —0,8 A g А—1,1, которые слишком малы, чтобы связать двухчастичную систему. Как только появляется двухчастичное связанное состояние (g& —1,1), возникает и второе трехчастичпое связанное состояние. При g= —2,5, согласно интерпретации Осборна, появляется и третье трехчастичное связанное состояние. В то же самое время происходит и нечто странное. Основное и первое возбужденные состояния становятся очень чувствительны к малым изменениям констант связи. Такое поведение возникает, как

было показано в более поздних вычислениях [85—87J, из-за неустойчивости матричной аппроксимации и вызвано ошибками интегрирования. Дельвес [88], изучая такие матричные аппроксимации, обнаружил, что вблизи точки первой неустойчивости низшее собственное значение теряет смысл, а его роль берет на себя второе собственное значение.

Если уравнение

Л Xj =兀x#(6.5)

определяет точные собственные значения 兀，а уравнение

Лх,=^Х{(6.6)

дает собственные значения 斯，которые искажены из-за ошибки интегрирования, то до момента, когда появляется неустойчивость, собственные значения 入才 более или менее близки к точным собственным значениям в их естественном порядке,

Ai м 儿， t = 0, 1, 2, ...(6.7)

После того, как появляется первая неустойчивость, самое низкое собственное значение 九о не имеет уже ничего общего с точным спектром. Его существование целиком обязано ошибкам интегрирования. Но если пренебречь Zo и положить

九,^ Xi+i, 2 = 0, 1, 2, ...,(6.8)

то спектр уравнения (6.6) все еще может быть разумным приближением.

Тот же самый эффект можно увидеть на рпс. 31. Как показывают результаты более тщательных расчетов (штриховая линия), первое возбужденное состояние берет на себя роль основного состояния, а второе возбужденное состояние становится первым возбужденным. Эта интерпретация также подтверждается поведением волновой функции. В расчете Осборна волновая функция первого возбужденного состояния имеет два узла для g > — 2,5 п только один узел для g V —2,5.

Мы видим, что прямое решение уравнений Фаддеева затруднительно даже для трехбозонного связанного состояния и при упрощающих предположениях. Тем не ме-

нее Ким с сотр. [85], используя новую технику интегрирования, смог решить уравнения Фаддеева с реалистическими потенциалами в задаче на связанные состояния ).

Другая возможность решать уравнения Фаддеева с локальным потенциалом — это использовать метод разложения [89—91], описанный в предыдущей главе (см. равенство (5.27)). Этот метод приводит к зацепляющейся системе одномерных интегральных уравнений. В общем случае при разложении локального потенциала на N независимых сепарабельных членов получится N интегральных уравнений. Если использовать правило интегрирования с сеткой из п узлов, то на ЭВМ необходимо обратить матрицу размерности (n\N). Также и в этом случае предел производительности ЭВМ исчерпывается очень быстро.

С этой точки зрения становится интересным процесс рассечения, предложенный Эрхардом Шмидтом (см. гл. 4, раздел 2). Его использование приводит к малому числу связанных интегральных уравнений, тогда как более тонкие детали потенциала содержатся в быстро сходящемся ряде Неймана.

Метод Шмидта (вейнберговский метод квазичастиц)

Процедура рассечения Шмидта [36] впервые была использована для задач рассеяния Вейнбергом [34] в 1963 г. Начиная с Вейнберга, этот метод обычно называют методом квазичастиц, так как Вейнберг назвал все двухчастичные связанные состояния и резонансы, препятствующие сходимости ряда Неймана (см. гл. 4, раздел 2, а), квазичастицами. Примем далее, что имеется только одна квазичастица, а именно — двухчастичное связанное состояние. Согласно главе 4 (раздел 2) обобщение на случай многих квазичастиц также возможно и не представляет особых трудностей.

Рассмотрим уравнение для двухчастичной Г-матрицы и изучим его решение на основе разложения в ряд Неймана. Согласно (4.17а), (4.176) ряд Неймана сходится, если все собственные значения ядра имеют абсолютную величину, меньшую единицы. Для левых собственных функций ) ядра имеем

〈5(z) |K(z) = <q?v(z) |pg0(z)=小(z)〈％(z) |. (6.,9) Собственные функции и собственные значения зависят от энергии z, которая, вообще говоря, является комплексной. В практических применениях мы ограничиваемся следующими значениями z:

z = Е для Е V 0(6.10а)

и

z — Е -]-i& для Е > 0,(6.106)

где Е —— энергия двухчастичной системы. Когда энергия z берется из области, заданной условиями (6.10), собственные функции будут нормируемыми. В пределе, когда £->0, это будет уже не так, но все утверждения, касающиеся собственных значений, остаются справедливыми также и в этом пределе.

Физический смысл собственных значений r)v легко понять. Умножив (6.9) справа на [r)v(z)go(-z)]~1, найдем

〈(Pv(2)|"T]vT(Z)= <(Pv(Z)I (z —砧，

или

<cpv(z) I (加 + DnL(z)) = Z〈％(z) I•(6.11)

Теперь видим, что собственные функции〈％ | уравнения (6.9) суть решения присоединенного уравнения Шредингера (6.11) с энергией z и потенциалом р%1 (z); при этом как энергия, так и потенциал могут быть действительными или комплексными. Величина n>(z) играет роль константы связи, при которой уравнение Шредин-

гера с необходимостью имеет нормируемое решение при (действительной или комплексной) энергии z.

На рис. 32 представлено поведение первых четырех собственных значений 小⑶ для потенциала Хюльтена:

(6.12)(6.12)/ 、2

(6.12)

(6.12)

в случае s-волны. Аргумент z удовлетворяет условиям (6.10 а, б) и условию —оо < i? < 4-оо. Стрелки на кривых указывают направление, в котором энергия растет.

Рис. 32. Первые четыре s-волновых собственных значения r)v(^ + i0) для потенциала Хюлыена (6.12).Рис. 32. Первые четыре s-волновых собственных значения r)v(^ + i0) для потенциала Хюлыена (6.12).

Рис. 32. Первые четыре s-волновых собственных значения r)v(^ + i0) для потенциала Хюлыена (6.12).

Рис. 32. Первые четыре s-волновых собственных значения r)v(^ + i0) для потенциала Хюлыена (6.12).

Преобразование уравнения (6.9) к форме (6.11) позволяет дать качественную интерпретацию этих кривых. Когда энергия Е становится равной энергии связанного состояния Ев, первое собственное значение 巾 становится равным единице, и уравнение (6.11) превращается в уравнение Шредингера для связанного состояния с исходным потенциалом и. При Е V Е13 собственное значение т)1 должно быть меньше единицы, поскольку для того, чтобы получить связанное состояние при энергии Е V В* модифицированный потенциал ит)?"' должен быть более сильным. При Ef ——оо все собственные значения стремятся к нулю, так как бесконечно большая энергия связи означает взаимодействие бесконечно большой интенсивности.

С другой стороны, для ^в V 笈 < 0 мы находим Л1 > 1; поскольку нам нужна меньшая энергия связи, 9 Э. Шмид в X. Цигельман

то и интенсивность взаимодействия будет меньше. Наш потенциал (6.12) имеет только одно связанное состояние, так что высшие собственные значения не достигают значения т] == 1. Для Е > 0 собственные значения не могут быть действительными, поскольку ядро становится комплексным. Поэтому кривые t)v(z) сходят с вещественной оси. При 后一>十8 все они должны возвращаться к началу координат.

В данном случае ряд Неймана не сходится в энергетическом интервале

EB&EW Е",

так как здесь | 川(后 + 加)| А 1. Чтобы получить сходимость, мы хотим теперь отщепить сеперабельное ядро таким образом, чтобы все собственные значения остаточного ядра лежали внутри единичного круга. Как сразу же видно из (5.27), этого можно добиться путем вычитания сепарабельного потенциала

V8(z) = |q)i(2)><q)i(z*) I(6.13)

из исходного потенциала. Такое рассечение исключает собственное значение тр, в то время как все другие собственные значения не меняются. Разумеется, отщепление потенциала (6.13) — не единственная возможность. Любое вычитание сепарабельного потенциала

vr = v —Vs = у —^|%><х|(6.14)

приводит к сходящемуся ряду Неймана для остаточного ядра

K，(z) = i/go(z) = (и — №)go(z)=

=^o(z) —X|%><x|go(z), (6.15) если все собственные значения п； этого ядра имеют абсолютные величины меньшие единицы,

〈屮V (z) 1 区'(z)=小(z)〈 <Pv (z) I，

Впрочем, в общем случае проверить выполнение условия (6.16) не так легко, как в случае «идеального выбора» (6.13).

Допустим теперь, что условие (6.16) выполнено для расщепления (6.14) и решим уравнение (2.56а) для двухчастичной 「-матрицы*)

t = vr-\-九|%〉〈х| (1 + go力)+ "'go力.(6.17)

Перенося последний член в правой части налево и умножая слева на (1 — i/go) т = 1+ 力'go (ср. с равенством (2.596)), найдем

t = f+ (1 + 力‘go) IX〉入〈% 1(1 + g。力)•(6・18)

Мы ввели здесь Т-матрицу для остаточного взаимодействия I/ вида

У= (1_Р^О)-1Г\(6.19)

Предполагая теперь, что tr известна, уравнение (6.18) можно решить. Для этого умножим его на〈％ | go слева и добавим〈％ ] с обеих сторон:

<xl (1 + go力)=〈xl (1 + М) +

+〈％|go(l + 力怎)1%〉№1 (1 + 费力)，(6.20)

что дает для неизвестного состояния 〈x|(l+go力)соотношение

〈川(1 + go%) = 1一九7工 U Jg。)|%〉，(6,21)

Подставляя (6.21) в (6.18), окончательно получаем

力(z) = Y(z) + |%(z)〉t(z)〈Q(z*) I， (6.22) где〜

lx(z)>= (l + *(z)go(z))|%〉(6.23)

И

Mz)=仕T 一〈％|go(z) [£ + yz)哉(Z)]伙〉)7 =

=(九т —〈X[go(z) |%(z)〉)т. (6.24) Таким образом, 7-матрицу можно записать в виде суммы сепарабельной 7-матрицы и несепарабельного остатка.

*) Допускаем для простоты, что потенциал v имеет только одно связанное состояние и что форм-факторы % не зависят от энергии z. Такую зависимость, однако, без труда можно Учесть, 9*

Отметим аналогию между полученным результатом и формулой (5.9) для чисто сепарабельного потенциала. Для ь=№, т. е. при z/=0, имеем 力'=0 и (6.22) переходит в (5.9).

Мы допустили, что матрица t'(z) известна. Ее можно найти из ряда Неймана

*(z) = S (/g()(z))v%(6.25)

V—О поскольку, согласно нашему предположению, все собственные значения ядра p'go по абсолютной величине меньше единицы.

Исходя из выражения (6.22), можно вывести необходимое условие, которому должен удовлетворять сепарабельный потенциал. Мы знаем, что Т-матрица имеет полюс при энергии связанного состояния (мы предполагаем здесь, что имеется всего одно связанное состояние). Этот полюс должен полностью содержаться в сепарабельной части Т-матрицы, т. е. в члене |%〉«х|, так как при наличии полюса в У ряд Неймана для У сходиться не будет. По этой причине необходимо постулировать, что при z = Ев знаменатель функции t(z) обращается в нуль. Таким образом, получается следующее соотношение для константы связи 入.(по аналогии с (5.16а), (5.166)):

A-1 = g恒。(叫(1 +У(麼*。(评))1力.(6.26)

Это соотношение становится более ясным, если рассчитать связанное состояние для нашего потенциала методом квазичастиц. Как уже обсуждалось выше (ср. с уравнением (5.11)), волновая функция связанного состояния удовлетворяет уравнению

〈叫=〈咽喈。(胪).(6.27)

При использовании расщепления (6.14) находим 〈叫=M^〉G|go(EB) +®|z/g°(EB).

Перенося второй член в правой части налево и умножая справа на (1 —"依尸=1 + 力'go (см. (2.596)), получаем

(w1 = MWx〉("g。(叫 Q + *(%痂(%)・(628)

С точностью до нормировочной постоянной N волновая функция связанного состояния имеет вид

〈屮I =砍%你(齊(1+*(或)费(齊)=n代保(齊).

(6.29)

Метод квазичастиц не работает, если не выполняется условие

а I 公耍 0,(6.30)

в противном случае〈屮|(4 — vfgQ(E3)) обратилось бы в нуль и оператор (1 — pzgo(^B))-1 не существовал бы.

С помощью (6.29) условие (6.26) для константы связи 入 можно записать в виде

厂=〈屮 I Х>,(6.31)

если форм-фактор % нормирован так, что нормировочная постоянная N равна единице. В практических вычислениях можно учесть только небольшое число членов ряда Неймана (6.25). В нулевом приближении 力’比 0, и, как уже указывалось, мы получаем сепарабельное приближение (5.9). В первом приближении из (6.22)— (6.25) находим

a + %(z))iy〉〈y恒(z*W + l) 吆 L —0|g°(z)(，+ &(z))|x〉•(6.32)

Скадрон и Вейнберг [92] использовали различные аппроксимации, чтобы найти такое значение константы связи g потенциала Юкавы

и (г) = g~^~,(6.33)

для которого длина рассеяния обращается в бесконечность (при этом значении g в двухчастичной системе имеется связанное состояние с нулевой энергией).

Если использовать так называемое борновское приближение

"z) « у,(6.34)

Не обращая внимания на то, что ряд Неймана не сходится, то мы получили бы

g = 8.(6.35)

Нулевое приближение в равенствах (6.22) — (6.25), т. е. У«0, дает (для форм-фактора, использованного Ска- дроном и Вейнбергом)

g=—2,...(6.36)

В первом приближении, при использовании (6.32) с тем же самым форм-фактором константа g будет

g = _ 1,765...,(6.37)

тогда как точное значение

g = _ 1,6798...(6.38)

Как видим, первое приближение (иногда называемое квазиборновским приближением) дает довольно хороший результат там, где борновское приближение совершенно неприменимо.

Метод квазичастиц в задаче трех тел

Уравнения Альта — Грассбергера — Сандхаса. Упрощение уравнений Фаддеева, полученное нами для сепарабельного потенциала в главе 5, было обязано двум причинам. Во-первых, Т-матрица

гт = 1Хт> тт<Хт1(6.39)

являлась проекционным оператором и можно было вывести простые уравнения для оператора goU&ag0> взятого в обкладках состояний, на которые мы проектируем,

Х°а =〈XolgoUfagol 加〉，(6.40)

и, во-вторых, операторы Х₽а уже содержали в себе достаточно информации, чтобы определить 5-матрицу.

Аналогичным образом, применяя метод квазичастиц к уравнениям Фаддеева, мы должны попытаться сделать так, чтобы не вычислять «слишком много». При таком подходе у нас есть T-матрица, напоминающая оператор

даже в случае локального потенциала, т. е.)

%(Z)= I %?(纟)〉Т?(Z)〈 ％?(Z*) I + tf(Z)=片(Z)+ %(Z)・ (6.41)

Мы не требуем теперь вычисления полных операторов 。昵，а ограничиваемся лишь нахождением операторов

<qp I Х©а (Еа + 2) I qa〉= <Фр | %а (% + 泊)| Фа〉， (6.42)а, § = 1, 2, 3,

которые только и необходимы для расчета 5-матрицы. Обобщая равенство (6.29) на трехчастичное пространство, для функций каналовфа, фр (а, ^ = 1, 2, 3) можно записать:

1фа> = go (%) (1 + 厶(Ba) g。(殴))| Xa> | qa> =

=go (Ba) %a(Ea)〉I QaX(6.43)

Таким образом, даже в рассматриваемом случае локального потенциала операторы Хва приобретают вид, аналогичный соотношению (5.36),

4a(Z) =〈B(Z*) |go(Z)%a(Z)g°(Z)几(Z)〉，(6.44)

a" = 1, 2, 3.

Мы снова представили важные для нас операторы перехода Хра в виде матричных элементов операторов goU^ago между состояниями, являющимися проекционными состояниями Т-матрицы.

Для вывода интегрального уравнения для операторов ХРа необходимо теперь позаботиться о добавках 力;，которые как раз и выражают тот факт, что мы имеем дело с йесепарабельным потенциалом.

Используем далее аналогию, отмеченную на стр. 66, между уравнением для двухчастичной Т-матрицы и уравнегнннми Фаддеева для операторов U^a.

Определив величины (с а, 0 = 1, 2, 3)

(G())6a = 5肥8(/*0，, (G0)卩а = Bpago "阳0,(6.45)

мы вводим в уравнения Фаддеева (3.70) расщепление (6.41)

Т = V + VG^T + VG；T.

Теперь перенесем последний член в правой части этого уравнения налево и умножим на (1 — VGq)-1. С определением

Г = (1 一 VG0TV,；(6.46)

находим

т = Г + Г G託.(6.47)

Возвращаясь обратно к нашим явным обозначениям с индексами разбиений, для а, ^ = 1, 2, 3 находим

U^a — U£ UPy^o I % Y〉工丫〈 Xy I go/a， (6.48)

где и^а определяется равенством

%а = (Т')ва・

Уравнение (6.48) соответствует уравнениям Фаддеева для сепарабельного потенциала, за исключением того, что появляется оператор U^ который содержит несепарабельную часть потенциала. Чтобы получить уравнение для нужных нам операторов (6.44), остается лишь взять матричные элементы от уравнения (6.48) между состояниями &(z *) |go(z) ngo(z)£(z)〉，

3

X§a(z) = X§a(z) + 工 Xw(Z)Ty (z)Xya(z), (6.49)

где

X%a(Z)=〈痂(z*) I go (z) 4a (z) go(Z)I Xa (z)〉，a, 0 = 1,2,3.

Система уравнений (6.49) для операторов перехода и есть АГС-уравнения (Альт, Грассбергер, Сандхас [23]). Таким образом, фаддеевские уравнения свелись к систе-

ме более простых уравнений, так же как и в случае сепарабельного потенциала. Наша задача теперь ——вычислить операторы Х^а или U^a = (Т^)ра> Из определения (6.46) и после умножения на (1 - VG；) слева, находим уравнение

Г = v + VG；T, (6.50а) являющееся уравнением Фаддеева вида

О/ =(1- бра) g/ + S (1- 6₽v) %gQ；a (6.506) которое, по всей видимости, так же трудно решить, как и исходное уравнение (3.62). Однако нам и не требуется его решать! Суть метода квазичастиц и заключается в том, что достаточно лишь итеративного приближения для операторов, представляющих несепарабельный остаток потенциала,

U^a = (1 - 6pa) g；1 + S 力；+… (6.51)

V¥=a.P

Операторы, описывающие развал, получаются аналогичным образом, как и для случая чисто сепарабельного потенциала. Уравнение (3.70) справедливо также и для а, 0 = 0, 1, 2, 3; в этом случае оно представляет уравнение не (3.62), а (3.61а). То же справедливо и для (6.48). Беря матричные элементы от этого уравнения между состояниями <ра| и go(z)|%a(z)〉и полагая 卩=0, находим аналог соотношения (3.64), которое связывает операторы для развала Х()а с операторами для перестройки Хра・

Применение метода квазичастиц к уравнению для трехчастичной резольвенты. Эффективные двухчастичные уравнения, выведенные в последнем разделе с помощью метода квазичастиц из уравнений Фаддеева, можно получить также и без использования фаддеевской теории [93]. При выводе нам не приходилось использовать свойство компактности фаддеевского ядра, поскольку уравнения Фаддеева (6.50а), (6.506) решались с помощью итераций. Поэтому становится понятно, что метод квазичастиц можно использовать также и для интеграль-

ных уравнений (подобных, например, уравнению для резольвенты) ,не имеющих компактного ядра.

В предыдущем разделе стало ясно, что сложность фад- деевского уравнения обусловлена тем обстоятельством, что это уравнение дает полный набор операторов перехода £7Ра. А так как для построения 5-матрицы нужны только матричные элементы этих операторов между двухчастичными связанными состояниями, то становится возможным получить более простые уравнения. Прежде чем приступить к выводу квазичастичных уравнений для резольвенты, нужно определить, какие же матричные элементы нам в действительности нужны.

Согласно равенству (2.99) состояния рассеяния получаются с помощью резольвенты посредством 8-предела. Из функции рассеяния мы находим «S-матрицу переходом к пределу по времени согласно (3.40 а)——(3.40 в). Комбинируя эти два уравнения, находим

5做(q^； Ча)=

=lim lim e'(E『Ea)t 旭 & । #" g (% 十迎)| 屮力 | qa>- (6.52) tf ao 2fo

В дальнейшем окажется важным, что соотношение (6.52) остается справедливым, если двухчастичные связанные состояния 也 заменить на состояния 入 1%〉[93] при условии, что

九т =〈屮丫 I %Q.(6.53)

Состояние 入i|%t〉тогда будет содержать связанное состояние 怖т〉с амплитудой 1 плюс компонента |q)T) двухчастичного континуума (как и выше, мы допускаем, что в каждой подсистеме имеется только по одному связанному состоянию)

储 1%〉=1屮Y〉+ 1<Р1)-(6.54)

Волновая функция связанного состояния не обязательно должна быть известной. В 5-матрицу входит только величина перекрывания (6.53) s(3a (q^； qa)=

=lim lim e*(E『Ea)%入<q j |〈％ | G (E 十迎)| %a> | qa> 九勿 t->ao 8fo

(6.55)

Для развала аналогично находим

Soa (q(x, Pa； Qa)=

=lim limet->oo e-*o=lim limet->oo e-*o»£ Fa, Pa|G(Ea + 力£)| Xa〉14a> 入a，»£ Fa, Pa|G(Ea + 力£)| Xa〉14a> 入a，

=lim limet->oo e-*o

=lim limet->oo e-*o

»£ Fa, Pa|G(Ea + 力£)| Xa〉14a> 入a，

»£ Fa, Pa|G(Ea + 力£)| Xa〉14a> 入a，

(6.56)

Причина полученного упрощения заключается в том, что компонента |q)T) состояния 储|%» отвечающая континууму, не «выживает» в процессе предельного перехода в соотношениях (6.55) и (6.56). Эта компонента |(рт) не дает полюса, который необходим, чтобы получить вклад в S-матрицу (ср. с (2.48) — (2.50)).

Теперь мы покажем, что применение метода квазичастиц к уравнению для резольвенты (2.101а) дает в точности матричные элементы вида

31G(2)1/〉， (6.57)

необходимые для вычисления (6.55). Расщепим данный двухчастичный потенциал 岭 на сепарабельную часть % и несепгцрабельный остаток

% = и? + % =入у I %Y〉〈%? I +。丫・(6.58)

Сепарабельный потенциал должен удовлетворять условию (6.53), а остаток % должен быть достаточно слабым, чтобы его можно было трактовать по теории возмущений. Каков точный смысл выражения «достаточно слабый», будет видно в процессе последующего вывода. Для трех частиц мы имеем потенциал

333

卩=% % = % % + W % =片 +『，(6.59) 7=1У=1У=1

который теперь вставляем в резольвентное уравнение (2.101а):

G(z) = go(z) +go(z)『G(z) +g()(z)『G(z), (6.60)

или

(l-go(z)『)G(z) =go(z) +go(z)MG(z). (6.61)

Допустим, что обратный оператор от (1 — goP') можно вычислить с помощью соответствующего ряда Неймана (l-go(z)『)T=£ (g°(z)『)L(6.62)

г=0

Тогда после умножения (6.61) слева на (1 — goV7)-1 находим

G(z) = G<z) + G，(z)pSG(z), (6.03) где

G，(z) = (l-go(z)『尸g°(z).(6.64a)

Для остатка резольвенты G' путем алгебраических преобразований находим

侈一加一『)7 = c(z) = go(z) + go(z)『C(z), (6.646) или

a (z) = gp (z) + й (z) р@ (Z),(6.64b)

где

gj (z) = (z —自一6з)т.(6.64г)

Мы также имеем

G'(z)= £g°(z)(『go(z))\(6.64д)

И

gj (z) = 2 go(Z)(加go (z)>.(6.64e)

В ядре уравнения (6.63), в отличие от исходного резольвентного уравнения, явно появляется только сепарабельный потенциал 7s. Остаточный потенциал V7 содержится в резольвенте G'. Возьмем теперь матричные элементы от (6.63) между состояниями〈注］и %〉：

〈%s|G|%a〉=

3

=<ХР IG' I Ха〉+ W〈" I ° I %丫〉м <Zv IG 期〉.(6.65)

Матричные :элементы (Х₽1 ^1%«> все еще являются операторами по отношению к состояниям <qp | и | qa>.

Ядро уравнения (6.65) не компактно из-за 6-функций, содержащихся в операторе〈Xs|Gl%a〉・ Это можно увидеть из ряда Неймана для (6.64в):

g，= gp + £ gs [(『—w) g/.(6.66)

1=1

После взятия матричных элементов между состояниями

<q₽,小| и I %р, qp> это уравнение дает

<qp, Х₽ I G‘ (z) I %в，q；3〉= <qp, %в | gj (z) | %в，qp> +

+ 3 <qp, %p I ^ (z) [(^ — V^ (z)]^ I xp, q₽>. (6.67) i=l

Оператор g° (z) действует только в подсистеме (см. (6.64г)). Поэтому находим

<qp? XP I G‘(z) I Xp, qp> = 6(q3 — &)〈％b | £《z -謊)你〉+

+ 2 <qp, Xp I gh (z)[(『一加)g'p (z)『I Xp, qp>. (6.68)

В бесконечной сумме нет никаких 6-функций, которые могли бы скомпенсировать 6-функцию в первом члене правой части, так как оператор(Р‘ ——fp) действует в той области трехчастичного пространства, которая не затрагивается gp.

Несмотря на. описанную трудность, из (6.65) можно получить интегральное уравнение с компактным ядром. Нужно лишь перенести член, содержащий 6-функцию, в левую часть уравнения (ср. с преобразованием, которое привело нас к (3.7)!):

(标 1 — <%Р I gB I Х₽>)标〈％В I G I %а〉= <ХР I G'| Ха〉+

3

+ 2〈X"G'— §0高 IxQ 入丫〈xjG| %а〉・(6.69)

Эта процедура успешна по двум причинам. Во-первых, обратный оператор от

入計一〈%B|gB(z)|%B〉= A「(z)(6.70)

легко вычисляется:

®| A(z)|q» =冃, М 二嶋/寸 Т(671) 入В —〈出 I g0 (z -扁/2mВ) I 期〉

Во-вторых, действие этого некомпактного оператора на компактное ядро уравнения (6.69) снова приводит к компактному ядру. Умножая теперь (6.69) на АДа, получаем

入В〈加 I G I %а〉九а = А₽ <Х₽ I G“Xa〉入а 十

3

+ 2 Д₽ <Хр IG' — 6pvgp I 不〉Xv <%v I GI Ха〉K・(6.72) v=i

Из этого уравнения с компактным ядром можно вычислить матричные элементы Хр <Чря %р| G | %а, qa> ^а, которые мы ищем. Между этим уравнением и уравнением для двухчастичной резольвенты (2.22а) существует тесная связь, которая делается явной, если перейти к уравнению для следующей величины:

笳〈能 I G I %а〉入a + ббсЛа.(6.73)

S-матрица для рассеяния с перестройкой может быть столь же успешно найдена и из величины (6.73), поскольку при выполнении предельных переходов в (6.55) постоянный член исчезает. Добавляя 6раЛа к обеим сторонам равенства (6.72), после короткого вычисления находим 际〈Хв I G (z) ] %а〉入a + бВсЛа = ^paA₽(Z)+

3

+ £ М (Z) <XP I G‘(Z)- 6Pvgp(Z)I 加〉{M〈％丫\G(Z)|%a〉入 a +

+ 6yJa}・ (6・74) Вводя определения )

(G(z) )ва =九В〈%б| G(z) |%а〉九а + SpaXa,

(Gu(z))昵=6раАр(2),(6.75)

(V(Z)为& = <ХР I 夕⑶一63а4 ⑶ I 心 (6・75) (а,卩=1, 2, 3),

найдем

G(x) = Go(z) + Go(z)V(z)G(n). (6.76)

Это и есть АГС-уравнение для резольвенты [93], которое является эффективным двухчастичным уравнением. Не только все входящие в него операторы действуют в двухчастичном пространстве (что важно для его численного решения!), но оно имеет ту же математическую форму, что и (2.22а). Это последнее обстоятельство представляет большую эвристическую ценность, поскольку можно просто перенести сюда рассуждения раздела 1.5 главы 2, которые позволяют нам выполнить предельные переходы в S-матриде. По аналогии с (2.46) определим Т-оператор

T(z) = V(z) + V(z)G(z) V(z) (6.77) и с помощью (6.76) найдем

G(z) =Go(z) + Go(z)T(z)Go(z). (6.78)

Поскольку, как указано выше, постоянный член, входящий в (6.73), не вносит вклада в S-матрицу, то можно написать

Ma (q§； qJ =

=lim lim e^^^iz <qp | (G (% + 沱))м [ Ча>, (6・79)

или, используя (6.78),

S呢 &； Ча) = lim lim e叫-%% @ |(G0(£a + ie))3a|qa> + (too 8fo

+ Ит lim /㈢一％)% & ।(G0TG0)Pa | qa>. (6.80) tfoo EfO

Чтобы выполнить предельные переходы, необходимо исследовать полюсное поведение G0(z). Аналогия подсказывает нам искать полюс в точке

* в

z-或=e-(6。8()

Из уравнений (6.75) и (6.71) находим

〈QB I (Go(Z))0a I Ча> =

=3阻6 (qs — q(z)卜計 一〈%0 I gB (z —諧 J I %B〉| • (6.82)

Используя теперь (6.53) и соотношение (6.29) 〈51 =〈 Хв1?式硝，

для двухчастичного связанного состояния, которое было выведено в последнем разделе методом квазичастиц, находим

(6.83)(6.83)〈q^ I (Go(Z))0a I Ча> =

(6.83)

(6.83)

=6阻6 (qp- qa) <Х₽ 储(黑)一gb (z

и с помощью (2.20а) окончательно получаем

<qp I (Go (z))Ba I qa> = 6呢6 (qp — qa) x

(6.84)(6.84)* {Q -^^ — ^p) <x₽l^₽ (礎?A Q

(6.84)

(6.84)

Как и ожидалось, здесь имеется полюс z =碗 +?в ]2М§. Теперь можно использовать равенство (2.50), чтобы выполнить предельные переходы в (6.80), после чего получаем

5阻 @； Ча)=靦6 (qp — qa)—

-2欣6 (砚 一 ％) <q₽ |(T (Еа + 力0))呢 |qa>. (6・85)

Поскольку 5-матрица непосредственно находится через матричные элементы Т, нет надобности сначала вычислять матрицу G из уравнения (6.76) и затем переходить к оператору Т с помощью (6.77). Матрицу Т можно найти непосредственно. Из (6.76) и (6.77) по аналогии с соотношением (2.56а) получаем

T(z) = V(z) + V(z)Go(z)T(z). (6.86)

Возникает вопрос, можно ли таким же образом найти амплитуду развала. Для построения 5-матрицы (6.56) нам необходим оператор G|,%a〉，тогда как уравнение (6.76) может дать только операторную матрицу〈小|G|x<x〉. Тем не менее эта матрица содержит достаточно информации для нахождения оператора G|%a〉. С этой целью мы используем выражение (6.63), которое можно записать в виде

G=工块(I 加〉儿〈后 IG + 6')(6.87)

Y=1

Умножая справа на | %а)А,а, нацдем ) з

G I Ха> 九а = X G[ % Y〉(入Y〈%丫 I G I %а> % + ^vaZa)=

3

=^Gf\^> (G)va-(6.88)

V=1

Мы хотим и далее придерживаться наших символических обозначений для операторных матриц и определим векторы (a = 1, 2, 3)

(刨z))a 三 g『l (z) G (z) I %a〉九а(6.89а)

и

^(z^g-1^^^^.(6.896)

Уравнение (6.88) теперь запишется в виде

go 腸=goSSG.(6.90)

Множитель go был отщеплен с учетом предельного перехода, который должен быть выполнен в уравнении (6.56). Используя (6.78), можно записать:

go 腸=g0S®{l + GoT}Go =go$Go,(6.91)

где по определению

£(z)三褰(z) +&(z)%(z)T(z).

В этом выражении оператор Т входит вне массовой поверхности, а произведение SJGoT вычисляется путем введения промежуточных состояний |qT)(qT| с последующим интегрированием по всем имлульсам qT. Если выражение (6.91) подставить в (6.56), то полюсное поведение go и Go позволяет выполнить предельные переходы, и тогда для 5-матрицы находим

Soa (qp, Рр； qa) ~ — 2欣3 (録 + ^Г — Ea) X

x <qp, Pp 1 ($ (Ea 4- i0))a I qa>. (6.92)

Таким образом, стало возможным свести общую задачу трех тел к эффективной задаче двух тел (см. (6.86)). Эффективный потенциал V(z), определяемый заданными двухчастичными потенциалами (см. (6.64а) — (6.64е) и (6.75)), описывает взаимодействие между частицей и квазичастицей (которая представляет собой пару частиц в определенном состоянии, задаваемом принятым формфактором). «Пропагатор» Go (z) описывает свободное относительное движение частицы и квазичастицы, а взятая на массовой поверхности Т-матрица T(z) описывает рассеяние (упругое или с перестройкой) этих двух «частиц». До сих пор в наших результатах не было ничего удивительного, поскольку фактически у нас была задача двухчастичного рассеяния, хотя одна из частиц была составной. Интересно, однако, то, что даже реакция развала, являющаяся настоящей задачей трех тел, также может быть рассмотрена как эффективная задача двух тел. Чтобы сделать это более ясным, введем графическое представление наших операторов [23]. Здесь уместно воспроизвести аргументацию, относящуюся к рис. 15 на стр. 98.

Движение свободной частицы в состоянии с определенным импульсом будем изображать простой линией —, а движение центра масс связанного состояния ——двойной линией =. Форм-фактор изобразим полукругом, |%)-> -> D (〈％| -> о), а остаточный потенциал г/ изобразим волнистой линией |. Падающая волна будет стоять справа, так же как и в уравнениях. Таким образом, мы получаем для эффективного потенциала (равенство (6.75)) с § 喚 а графическое представление, приведенное на

рис. 33. Если G' вычисляется с помощью своего ряда Неймана, то приходим к рис. 34. Первый график в правой части рис. 34 иллюстрирует обменный процесс в сепарабельной модели (рис. 15), тогда как следующие графики представляют собой поправки, которые следует добавить,

Рис. 33. Графическое представление эффективного потенциала в равенстве (6.75).

чтобы учесть несепарабельный остаток г/ нашего потенциала.

Оператор $, из которого получаются матричные элементы «S-матрицы, описывающей развал, представлен на

Рис. 34. Графическое представление эффективного потенциала в равенстве (6.75) с оператором G', разложенным в ряд Неймана (см. соотношение (6.64д)).

рис. 35, где 5В, соответствующий (6.896) и (6.64д), показан на рис. 36. На массовой поверхности первый график для эффективного взаимодействия 5В должен обращаться в нуль, так как он описывает развал без взаимодействия. Поэтому приходим к графическому представлению 宅, показанному на рис. 37.

Это графическое представление подсказывает следующую интерпретацию. В сепарабельной модели (график (а)) сначала получается двухчастичное состояние с положительной энергией (отмечено звездочкой), которое 10*

затем распадается. Этот механизм делает ясным вывод, что развал действительно можно трактовать как эффективный двухчастичный процесс. Нам необходима лишь эффективная Т-матрица Т вне массовой поверхности из

Рис. 35. Графическое представление оператора развала (6.91).

Рис. 36. Графическое представление «потенциала» SB, даваемого (6.896).

(6.86). Квазичастичная модель дает поправки (6), (в), (г) и т. д. Кроме того, существует совершенно отличный процесс (графики (7), (2)и т. д.), в котором одна из связанных частиц не принимает участия во взаимодействии,

Рис. 37. Графическое представление оператора развала (6.91), полученное посредством комбинации рис. 35 и 36.

за исключением взаимодействия со своим партнером в связанном состоянии. Развал вызывается остаточным взаимодействием падающей свободной частицы с одной из частиц связанного состояния. Такой процесс связан с «моделью спектатора» («spectator model»), т. е. «наблю-

дателя», которая уже много лет используется для описания развала при высоких энергиях. В настоящем описании модель спектатора следует из строгой теории и конкурирует с моделью взаимодействия в конечном состоянии (графики (а), (б), (в) и т. д.).

Остается показать, при каких условиях остаточные резольвенты G' и gp могут быть найдены с помощью быстро сходящихся рядов. Другого, способа их вычисления не существует, поскольку точное решение определяющих их интегральных уравнений (6.64б), (6.64в) было бы таким же трудным, как и точное решение исходного уравнения для резольвенты G: в обоих случаях ядра не компактны.

Остаточную резольвенту G' можно вычислить с помощью итераций, если операторная норма ядра уравнения (6.64 6) меньше единицы:

llgo(z)『l| VI.(6.93)

Вейнберг [7] нашел для этой нормы оценку

з ||g°(z)P」v£”(％(6.94)

Y=1

где функция 3(z) представляет собой верхнюю границу нормы Шмидта (2.28) оператора g0^Vt

llio (z — Е) “Is & % (z),(6.95a)

для всех E > 0.

Норма (6.94) не может быть связана с нормой Шмидта для ядер подсистем, взятых лишь при одной энергии. При данной трехчастичной энергии z взаимодействие в подсистеме происходит при всех энергиях % удовлетворяющих условию — оо V Ef W Rez. Для действительных z N 0 норма Шмидта из (6.95а) не существует (ср. с (2.30)). Соотношение (6.95 а) тогда можно заменить на условие

I 巾(z — Е) I & Оу (z).(6.956)

Здесь т]у ——наибольшее собственное значение остаточного ядра g0(z — E)vy (op. с (6.16)). Согласно оценке (6.94) ряд Неймана для G' не обязательно сходится, если сходится ряд Неймана для g^. Для того чтобы удовлетворить условию (6.93), может оказаться необходимым отще-

пить в соотношении (6.58) более чем один сепарабельный член даже тогда, когда имеется всего одно двухчастичное связанное состояние. При наличии нескольких связанных состояний в каждой подсистеме мы, очевидно, должны использовать несколько сепарабельных членов.

При введении большего числа членов сепарабельного потенциала общая форма уравнений не меняется. Растет лишь количество матричных элементов

脑GMG(z)出〉九"， (6.96) и соответственно больше будет связанных уравнений. Условия (6.53) принимают вид

"入蕾=Yg1加》 (6.97)

Это означает, что все форм-факторы, которым не отвечают связанные состояния, должны быть ортогональны к связанным состояниям. Матричные элементы (6.96), содержащие такие форм-факторы, не дают прямого вклада в ту часть 5-матрицы, которая отвечает перестройке, точно так же как не дают прямого вклада компоненты |фт), стоящие в (6.54) и отвечающие континууму. Однако эти компоненты через их связь в интегральном уравнении оказывают влияние на те матричные элементы, которые обязательно дают вклад в S-матрицу. Матричные элементы (6.96) с форм-фактором, отвечающим континууму, дают прямой вклад в развальную часть «S-матрицы. При условии (6.97) соотношения (6.76)——(6.93) можно обобщить так, чтобы они стали справедливыми для произвольного числа форм-факторов. Индексы § следует при этом заменить на пару индексов (0, г), где i означает г-й форм-фактор подсистемы §. Это обобщение включает в себя определенный метод сепарабельного [разложения, поскольку мы можем ввести такое количество форм-факторов, какое необходимо, чтобы выполнилось условие

llgo『ll < 1. (6.98)

Остаточным потенциалом У7 тогда можно вовсе пренебречь. Однако на практике из-за ограничений в производительности компьютера желательно иметь небольшое число сепарабельных членов и учитывать более тонкие детали потенциала с помощью первых членов ряда Неймана.

Практические вычисления с помощью квазича- стичного метода. Ниже мы рассмотрим применение метода квазичастиц к системе из трех одинаковых бозонов. В качестве взаимодействия выберем потенциал Юкавы

(г) = g

ИЛИ

V (р,= (6.99)

2 叫(р_р，)2+咼''

Затем нам необходим сепарабельный потенциал, который приводит к остаточному потенциалу У7 (см. (6.58)), достаточно слабому, чтобы его можно было в хорошем приближении учесть с помощью нескольких первых членов ряда Неймана (6.64 д). Альт, Грассбергер и Сандхас [94] выбрали с этой целью потенциал Ямагучи (5.31). Параметры этого потенциала Ямагучи были подогнаны к двухчастичной энергии связи и к длине рассеяния юкавского потенциала. (6.99) с 卩=1. В эффективном потенциале V (см. (6.75)) все члены ряда Неймана для G', имеющие порядок по V’ выше первого, были отброшены. Это приближение называется «первым квазиборновским приближением» (1. КБП). В численном расчете, по всей видимости, очень трудно учесть члены более высокого порядка по У7, так как произведения операторов вида go(P'go)* становятся интегралами высокой кратности.

Для одинаковых частиц, согласно разделу 2.3 главы 5 и равейству (6.75), эффективный потенциал приобретает вид

p = раа + 2%#a = <X11 e 一 g； |壮〉+ 2〈% 1 0| 抬〉.

(6.100)

Остаточные резольвенты в 1. КБП (см. (6.64 д), (6.64 е)) з

С£ 14go(6.101а)

И 處 go + go^go.(6.1016)

Вводя эти величины в (6.100), находим

V = 2 ｛〈*21 “ I Xi> + <Хг| g"；g。I 抬〉+〈％21 g。齿go I %i〉+

+ <Xa| g卢3go I Xi> +<Xil g風go I Xi>b (6.102)

Рис. 38. Квадратный корень из энергии связи для системы трех бозонов (в единицах 龙=тп = 1) в зависимости от юкавской константы связи. Штриховая линия — нулевое квазиборновское приближение; сплошная — первое квазиборновское приближение; индекс а относится к основному состоянию, индекс 6 — к первому возбужденному; сплошная линия в указывает двухчастичное основное состояние (Е. Альт с сотр. [94]).

Рис. 39. Графики зависимости g ctg 60 от энергии в системе центра масс для юкавской константы связи g = —2,373 в нулевом и первом квазиборновском приближениях по сравнению с результатом Тьона (Е. Альт с сотр. [94]) в

Рис. 40. Дифференциальное сечение упругого рассеяния при 炉=0,06 (единицы: 九=тп = 1) для юкавской константы связи g=—2,373 в нулевом и первом квазиборновских приближениях (Е. Альт с сотр. [94]).Рис. 40. Дифференциальное сечение упругого рассеяния при 炉=0,06 (единицы: 九=тп = 1) для юкавской константы связи g=—2,373 в нулевом и первом квазиборновских приближениях (Е. Альт с сотр. [94]).

Рис. 40. Дифференциальное сечение упругого рассеяния при 炉=0,06 (единицы: 九=тп = 1) для юкавской константы связи g=—2,373 в нулевом и первом квазиборновских приближениях (Е. Альт с сотр. [94]).

Рис. 40. Дифференциальное сечение упругого рассеяния при 炉=0,06 (единицы: 九=тп = 1) для юкавской константы связи g=—2,373 в нулевом и первом квазиборновских приближениях (Е. Альт с сотр. [94]).

Первый член представляет собой чисто сепарабельное взаимодействие (z/ = 0); назовем его нулевым квазибор- новским приближением (0. КБП). Важность несепарабельной части потенциала можно, таким образом, прове

рить, сравнивая результаты, полученные в нулевом и

первом квазиборновских приближениях. Такое сравнение показано на рис. 38 для трехчастичных энергий связи.

Разница между двумя приближениями не очень велика для основного состояния. Положение совершенно меняется для возбужденного состояния и для случая упругого рассеяния (рис. 39). Как можно увидеть из рис. 39, различие между О.КБП и 1.КБП очень велико, и лишь 1.КБП согласуется с решением фаддеевских уравнений, найденных Тьоном [95]. Это последнее решение было получено с помощью падё- приближения, которое будет обсуждаться ниже в главе 7. Различие дифференциальных сечений для О.КБП и 1.КБП (рис. 40) вполне заметно. Так как сепарабельное приближение соответствует обменному процессу (см. стр. 112), то 0. КБП дает отчетливый мак-

симум главным образом в направлении назад, между тем как 1.КБП имеет также сильный максимум и в направлении вперед. Выше порога развала в 1. КБП по сравнению с 0. КБП возникают дополнительные усложнения, обязанные появлению сингулярного оператора 必о [96]. Также и в этом случае результаты указывают на довольно большое отличие 1. КБП от 0. КБП (рис. 41 и 42). Дифференциальные сечения развала пока не были рассчитаны. Здесь можно ожидать некоторой информации, касающейся конкурирующих процессов взаимодей™

ствия в конечном состоянии и модели спектатора.

Рис. 41. Действительная часть фазового сдвига 3「в зависимости от полной энергии Е (единицы: h = пг — i). Штриховая кривая — нулевое квазиборновское приближение, сплошная линия — первое квазиборновское приближение (X. Цигельман [96]).

Рис. 42. Энергетическая зависимость полного сечения развала аь (единицы:九=тп = 1). Штриховая кривая — нулевое квазиборновское приближение, сплошная линия — первое квазиборновское приближение (X. Цигельман [96]),

Глава 7

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА С ПОМОЩЬЮ ПАДЁ-ПРИБЛИЖЕНИЯ

Метод падё-приближения

Рассмотрим функцию /(z), аналитическую в окрестности z = 0. Ряд Тейлора

/(z)=*z£(7.1)

1V=0

сходится внутри круга, охватывающего точку z = 0 и проходящего через ближайшую к этой точке сингулярность /(z).

Вне этого круга функция /(z) не может быть вычислена посредством своего ряда Тейлора, хотя она однозначно и определяется коэффициентами /v.

Падё-аппроксимация дает возможность приближенно продолжить функцию /(z) в область вне круга сходимости, используя информацию, содержащуюся в конечном числе коэффициентов /v.

Функция /(z) при этом аппроксимируется рациональной функцией вида

р (Z)> 尸vzV

"z) /炉皿]⑶=畀=2y --'.(7.2)

V—о

так, чтобы N -\- M низших производных от /(z) и от [М М] -аппроксиманта совпадали в точке z = 0. Это условие приводит к системе линейных уравнений для коэффициентов PMt v и Qn, *. Решение этой системы по правилу Крамера дает паде-аппроксиманты, выраженные через определители (см. (7.3), где /v ^ 0 для v < 0).

Аппроксимант [2V, М] использует информацию, содержащую в коэффициентах ряда Тейлора до порядка N-\-M включительно. Преимущество указанного подхода заклю-

чается в том, что он позволяет аппроксимировать сингулярности и разрезы функции /(z) нулями Qn(z)

fM-N+1 fM-N+2 …/м+1

/[N,M】(z)=/[N,M】(z)=Ли£ 力-N”7=NЛи£ 力-N”7=N/м+1••- /м+N/м+1••- /м+Nмм/м-N+l Aaf-N+2 …/м+1/м-N+l Aaf-N+2 …/м+1(7.3)(7.3)

/[N,M】(z)=

/[N,M】(z)=

Ли

£ 力-N”7=N

Ли

£ 力-N”7=N

/м+1••- /м+N

/м+1••- /м+N

м

м

/м-N+l Aaf-N+2 …/м+1

/м-N+l Aaf-N+2 …/м+1

(7.3)

(7.3)

/м/м+1 …/м-^

zNzN-1 …1

Для TV = М = ( находим

"Л (z)=厶z = "1 +.(7.

Z 1

Рассмотрим [1, 1 ] -аппроксимант для функции

/ (z) = X ZV 一卜=1.v=o

Тогда

产口(z) = (1 — z)T.

В этом простом примере первый падё-аппроксимант точно воспроизводит ряд Тейлора. Для

/ (z) = In (1 4- Z)— — 2 (— l)v*v=l

имеем и

/о == 0,九=1?『2 = —%

у[1>1] (2)=

z

Первый падё-ашгрокоимант дает лучшее приближение внутри круга сходимости \z\ V 1, чем три первых члена тейлоровского ряда и даже довольно хорошее приближение вне этого круга, что можно усмотреть из следующей таблицы.

Z

Ряд Тейлора до v=2

Падё-аппроксимант

*，%)

Точные значения ln(l+z)

1

0,5

0,67

О“69

2

1,00

1,10

Падё-приближение и интегральные уравнения

Здесь мы хотим применить технику падё-приближения для решения интегральных уравнений путем использования информации, содержащейся в соответствующих рядах Неймана (4.16) даже тогда, когда эти ряды не сходятся. Чтобы сделать это, нам нужно связать решение нашего интегрального уравнения (4.14)

/ =九+及/(7.5)

с некоторой аналитической функцией. Мы получим такую функцию, введя комплексный параметр X,

〃%)=九 + 入口 (%).(7.6)

Решение / зависит, таким образом, от комплексного параметра 入(мы опускаем в наших обозначениях зависимость от переменных интегрирования). Согласно теории интегральных уравнений [7, 22, 35, 97] оно является мероморфной функцией %. Пока ядро 及 компактно, сингулярности могут иметь предельную точку только на бесконечности. В окрестности начала 九=0 функция /(%) аналитична и может быть вычислена посредством своего ряда Тейлора

/ (X) = S 入哝吹.(7.7)

v=o

При 九=1 ряд Тейлора будет совпадать с рядом Неймана уравнения (7.5), и мы видим, что ряд Неймана не сходится, если /(X) имеет сингулярность внутри единичного круга |%| & 1.

Сингулярности /(入)связаны с собственными значениями (4.17а) ядра соотношением

% = П『・(7-8)

В двухчастичном случае величины %v суть константы связи, приводящие к нормируемым решениям уравнения Шредингера при заданных энергиях (см. стр. 128). Ряд Неймана не сходится при некоторых интересующих нас энергиях, а именно, в окрестности связанных и антисвя- занных состояний и вблизи резонансов (ср. с (5.28)). Однако при этих энергиях для нахождения решения нашего интегрального уравнения можно использовать падё-приближение. В частном случае вырожденного ядра ранга N [2V, N] -аппроксимант приводит к точному решению, так как это решение будет рациональной функция порядка N. Таким образом, сходимость падё-приб- лижений становится весьма вероятной, поскольку каждое компактное ядро можно аппроксимировать рядом вырожденных ядер. Тем не менее на многие вопросы, касающиеся сходимости, пока нельзя дать ответа. Например, до сих пор нет возможности доказать равномерную сходимость, так как предельные положения полюсов аппрок- симантов неизвестны; [N, М] -аппроксимант имеет N полюсов, обязанных нулям знаменателя Qn, и не все они должны быть связаны с полюсами истинного решения.

Падё-приближение и уравнения Фаддеева

Запишем уравнения Фаддеева (3.10) в виде

歹(％) =t + UfF^G),(7.9)

где мы ввели, согласно предыдущему разделу 2, комплексный параметр 九.Решение 力(X) является мероморфной функцией % (см. стр. 52), и поэтому аналитическое продолжение к точке 入=1 можно сделать посредством падё-приближения.

Трудность метода заключается в вычислении матричных элементов от операторов 力go%... gotn. Эти матричные элементы являются интегралами высокой кратности, а подынтегральные функции могут стать сингулярными из-за полюсов go и 勿(см. стр. 51). Тем не менее вычисления оказываются намного проще, чем прямое решение

-04

4〃 43 %2 % Z,〃 2,4 qZ,M3G

〃 Z 〃 2

Рпс. 43. Падё-аппроксиманты различных порядков для g ctg 60(Дж. Тьон [95]).

угол 6弓及？Z力3Г /次/勿7£% 7."

Рис. 44. Экспериментальное и теоретическое дифференциальные сечепия упругого нейтрон-дейтронного рассеяния (В. Клоэ и

Дж, Тьон [98]),

сингулярных многомерных уравнений Фаддеева. Более того, падё-аппроксиманты сходятся очень быстро, как можно увидеть из рис. 43. В указанном примере вычислялось упругое рассеяние частицы на двухчастичном связанном состоянии [95]; см. также рис. 39. Аппроксиман- ты [4, 4] и [5, 5] дают почти совпадающие результаты.

Рис. 45. Экспериментальные и теоретические дифференциальные сечения реакции развала п 十 d —>■ 2п + p; схема эксперимента такая же, как на рис. 2 в работе В. Клоэ и Дж. Тьона [82]. Сплошная кривая соответствует результатам для локального потенциала I—III, а штриховая линия — для локального потенциала I—IV из работы [76]. Экспериментальные значения, так же как и результаты для различных сепарабельных моделей, взяты из работы [81].

Аппроксиманты [7, I] и [2, 2] приводят к ложным резонансам, возникающим благодаря сингулярностям, отмеченным выше и не имеющим отношения к истинному решению. В большинстве расчетов этого рода учитывалось лишь двухчастичное взаимодействие с Z = 0 с целью уменьшить машинное время. Только в одном вычислении было учтено взаимодействие с Z = 2.

Рис. 44 показывает дифференциальное сечение нейт- рон-дейтронного рассеяния при энергии 14,1 МэВ (лаб.). Это вычисление было проделано с зависящим от спина локальным потенциалом, включающим также и отталкивание [98]. Согласие с экспериментом очень хорошее. В особенности приличным является согласие в направлении вперед. В этой области расчеты с сепарабельным потенциалом дают дифференциальное сечение, заниженное на 25%. На рис. 44 можно также видеть, насколько велик вклад квартетного канала, что уже было отмечено на стр. 122.

С тем же потенциалом [82] было также рассчитано дифференциальное сечение развала. Разница между этим результатом и результатом Кахилла с сотрудниками [81], найденным с сепарабельным потенциалом, мала. Форма экспериментального сечения воспроизводится довольно хорошо (рис. 45). Однако по абсолютной величине теоретические кривые идут на 50% выше.

Н Э. Шмидт и X. Цигельмав

Глава 8

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Приближенное решение уравнения Шредингера можно найти также и с помощью вариационных методов. Для связанных состояний эти методы, по-видимому, более эффективны, чем интегральные уравнения, ибо довольно точные результаты расчета энергии связи трития с реалистическими потенциалами известны уже давно. Вариационные методы были также с успехом применены к упругому и к многоканальному рассеянию. Эти методы были предложены и для трехчастичного развала, однако до сих пор никаких впечатляющих результатов получено не было. Судя по полученным результатам, можно думать, что метод интегральных уравнений неоправданно сложен для задач с простыми граничными условиями, как это имеет место при расчете связанных состояний, в то время как для реакций развала применение вариационных методов сталкивается с трудностями, обусловленными сложными граничными условиями.

В этой главе мы обсудим вариационные методы для связанных состояний, для упругого рассеяния и для рассеяния с перестройкой, а также для реакции развала. В конце мы изложим перспективный вариационный метод для решения уравнений Фаддеева.

Вариационные методы для связанных состояний

Здесь имеются в основном два метода: вариационный принцип Релея — Ритца для основного состояния и принцип Хиллерааса для дискретного спектра.

Граничное условие для задачи на связанные состояния является очень простым. Требуется лишь, чтобы волновая функция была нормируемой; это означает, что она должна достаточно быстро убывать при больших расстояниях между частицами.

Вариационный принцип Ритца утверждает, что математическое ожидание от гамильтонова оператора Я с

произвольной нормированной волновой функцией |屮〉

есть верхняя граница Eq для энергии основного

HUH Е0

&）《瓦）=

〈明HI2>我1屮〉

состоя-

(8.1)

Это утверждение легко проверить путем разложения I ф) по нормированным собственным состояниям Н:

I 屮〉=4v I 屮V〉•(8.2)

(v)

Условие нормировки имеет вид

$1М = 1，(8・3)

(V)

и математическое ожидание от гамильтониана становится равным

〈屮 J 81 屮〉=£ I Ov F 品》£ I "v『笈о = %(8.4)

(v)(v)

Принцип Ритца особенно подходит для вариации по нелинейным параметрам. Используя интуицию и физические соображения, можно выбрать такую пробную функцию, которая содержит небольшое число эффективных нелинейных параметров таких, например, как ширину и константу асимптотического убывания двухчастичных корреляционных функций. Затем с такой пробдой функцией вычисляется значение математического ожидания от гамильтониана, и параметры варьируются либо вручную, либо с помощью программы поиска до достижения наименьшего значения ожидания в пространстве параметров. Для энергии связи трития с зависящим ог спина экспоненциальным потенциалом необходимо, например, шесть параметров, чтобы получить значение энергии связи, отличающейся меньше чем па 0,2 МэВ от точного значения, равного примерно 7,9 МэВ [99].

Как можно видеть из соотношения (8.4), принцип Ритца можно применить и для возбужденных состояний в том случае, когда имеется возможность сконструировать пробные функции, ортогональные всем собственным функциям нижележащих состояний. Практически это Н*

возможно лишь тогда, когда возбужденное состояние отличается хорошими квантовыми числами от всех нижележащих состояний.

Нижнюю границу Е° величины 瓦 можно вычислить по формуле Темпла [100]. Эта формула, в дополнение к величине ожидания гамильтониана, содержит ожидание от квадрата гамильтониана и энергию Ei первого возбужденного состояния. В сокращенном виде (опуская нормированную пробную функцию ф) ее можно записать так:

〈"2〉一 / <Я>

<Н> 一 Е]

Эту формулу также легко проверить, используя разложение (8.2) и условие (8.3).

Энергия первого возбужденного состояния Е\ (с теми же квантовыми числами, что и для основного состояния!) известна обычно совсем не так хорошо, как энергия основного состояния. Однако неравенство (8.5) остается справедливым и в том случае, когда вместо £i используется ее оценка, которая меньше 石卜 но больше〈〃〉. Если континуум начинается от Е\, как это имеет место для тритона, то указанная оценка Е\ нам не нужна, поскольку энергию связи дейтрона, определяющую упругий порог, найти относительно просто.

Формула Темпла дает паилучшую нижнюю границу, которую можно получить из〈〃〉，〈#〉и Е[. Это можно увидеть из следующего рассуждения.

Допустим, что для данного гамильтониана Н и определенной пробной функции ф мы имеем неравенства

斗V品V〈"〉<已.

Предположим далее, что имеется формула

g = g(E|—2〉)， дающая лучшую пижшою границу, чем формула Темпла, т. е.

Eq V g W Eq.

Новая формула должна давать нижние границы для основных состояний всех операторов Гамильтона U и всех пробных функций V. Сконструируем теперь оператор U, имеющий в качестве своих собственных значений для

будут 〃о и "1. В качестве пробнойбудут 〃о и "1. В качестве пробной=]/1 -e2比0 + e"1,.2 二/—°=]/1 -e2比0 + e"1,.2 二/—°основного и первого возбужденного состояний энергии Eq и £ь Соответствующими нормироваппыми собственными функциями функции возьмем

будут 〃о и "1. В качестве пробной

будут 〃о и "1. В качестве пробной

=]/1 -e2比0 + e"1

,.2 二/—°

=]/1 -e2比0 + e"1

,.2 二/—°

V

一 _n

Для такой пробной функции можно показать, что

G|U1"〉=(屮1"1屮〉 и

(у I U2 I "〉=〈屮1"21w〉；

это означает, что

g(石1,(屮I牙"〉，〈2|а2件〉)=g(右1,〈#01》 3炉W〉).

В результате для энергии основного состояния оператора U мы получаем ту же нижнюю границу g, что и для энергии основного состояния оператора Н, хотя энергия основного состояния оператора U строго совпадает с нижней границей Eq, найденной согласно Темплу. Это противоречит нашему предположению, что g есть «улучшенная» нижняя граница. Тем не менее нижняя граница по Темплу является обычно очень плохой по сравнению с верхней границей Релея ——Ритца. На практике обычно получается отношение 100:1 для расстояний от границ до истинного собственного значения, в особенности для потенциалов с твердой сердцевиной. По этой причине Дельвес и Хеннел [68], выполнившие наиболее точные на сегодняшний день расчеты энергии связи трития ), не уделяли много внимания нижним границам. Вместо этого они изучали детали сходимости для верхней границы и экстраполировали результаты к бесконечному числу параметров.

Систематическая вариация параметров наиболее проста, если пробная функция зависит от параметров линейным образом. В этом случае можно использовать метод Хиллерааса, который идентичен с диагонализацией гамильтониана в ограниченном гильбертовом пространстве.

Возьмем пространство базисных функций

第t 三{%},тг = 0, 1, ..., N,

состоящее из нормируемых, линейно независимых функций 屮…Для системы фермионов, например, можно было бы использовать слетеровские детерминанты, составленные из осцилляторных функций. Пробную функцию запишем в виде

N

I 屮〉=』Cn I 5〉•(8.6)

п=0

Коэффициенты с“ суть линейные вариационные параметры. Они находятся из уравнения на собственные значения

W (Н — АВ)тпса = 0, m = 0, 1,, N, (8.7)

п=о

где Нтп есть матрица 〈屮,“|〃卜|%〉， а Втп — матрица 〈必 №〉. Из (8.7) видно, что метод Хиллерааса — это и есть диагонализация гамильтониана в функциональном пространстве 箔“ Мы получаем в результате собственные значения А《и собственные векторы с< 三{с<о,... ..Сш}. Низшее собственное значение Ао строго совпадает с верхней границей Е°, которая получилась бы на основе принципа Ритца с пробной функцией (8.6):

Ао =瓦.(8.8а)

Состояние

|^0>= 2 %“| 办〉(8.86)

будет оптимальным основным состоянием в смысле принципа Ритца.

Для принципа Хиллерааса, как можно показать в общем виде, выполняются неравенства

Л > 瓦， (8.9)

это означает, что все собственные значения уравнения (8.7) являются верхними границами соответствующих собственных значений гамильтониана; в этом отношении принцип Хиллерааса превосходит принцип Ритца. Состояния

|К〉= N &浦办〉 (8.10) п —0

в определенном смысле являются приближенными для собственных функций уравнения Шредингера. Мерой качества такой аппроксимации является величина перекрытия состояний (8.10) с истинными собственными состояниями. Для дискретной части спектра Н величина перекрытия стремится к единице, когда пространство базисных функций расширяется до полного гильбертова пространства.

В непрерывной части спектра собственные значения А{ и собственные функции не имеют отношения к делу; однако уравнение (8.9) остается справедливым в том смысле, что все собственные значения суть верхние границы для упругого порога, а состояния |%〉дают ортогональный набор волновых пакетов с возрастающим значением средней энергии.

В принципе Хиллерааса можно, конечно, использовать также и нелинейные параметры, вводя такие параметры в каждую базисную функцию |以〉разложения (8.6). При этом задача на собственные значения решается для каждого набора нелинейных параметров для нахождения наинизшего значения верхних границ.

Дельвес и Хеннел [68] использовали этот метод для вычисления энергии связи трития для очень сложных реалистических потенциалов, подобных потенциалу Хамады —Джонстона. Такие потенциалы включают зависящий от спина центральный потенциал с кором, тензорный и спин-орбитальный потенциалы, а также квадратичный спин-орбитальный потенциал. Эти авторы использовали до 70 линейных параметров и экстраполировали энергию

связи к ее истинному значению, которое для потенциала Хамады — Джонстона оказалось равным 6,5 土 0,2 МэВ. Использование таких сложных потенциалов все еще немыслимо в рамках, подобных расчету Осборна *) (см. гл. 6). Преимуществом вариационного расчета и является то, что необходимо вычислить лишь матричные элементы〈屮т|〃一 Е|屮”〉.При этом интегрирование можно выполнить с помощью очень точных квадратурных формул [88], дающих от 6 до 8 верных десятичных знаков при использовании всего 12 узлов по каждому измерению. Численное же решение уравнения на собственные значения не представляет никаких проблем (за исключением численной устойчивости (см. гл. 6, разд. 1)).

Вариационные методы для упругого и многоканального рассеяния

Вариационные методы для состояний рассеяния также характеризуются ограничением функционального пространства, используемого для построения приближенного решения уравнения Шредингера. Будем называть наши (ограниченные) функциональные пространства «гильбертовыми» пространствами даже в том случае, когда имеются «несобственные» гильбертовы состояния, т. е. ненормируемые функции; хотя такая терминология не вполне верна, она принята в литературе. Состояния рассеяния всегда имеют асимптотически не исчезающие компоненты, описывающие систему до и после рассеяния. Допустим, что они нам известны с точностью до некоторого комплексного множителя. Для волновой функции рассеяния задаем анзац следующего вида

^ = 2 «5 (фгХг) + 2 аЛг(8.11)

Первая сумма включает все открытые каналы, в которых система описывается связанной парой и частицей, дви-

♦) Сейчас это утверждение авторов не соответствует действительности, поскольку уже сделан целый ряд расчетов трехчастйч-^ ных ядер на основе уравнений Фаддеева с использованием полностью реалистических NN-потенциалов. (См. литературу, добавь денную при переводе.) — ("рмлс перев^

жущимися относительно друг друга. При этом функция связанного состояния 屯 считается известной, а функция относительного движения %{ варьируется свободно. Оператор S обозначает симметризацию для бозонов и антисимметризацию для фермионов. Вторая сумма включает в себя набор квадратично интегрируемых волновых функций трехчастичной системы 瓦，имеющих правильную симметрию. Их называют искажающими функциями, и они используются для того, чтобы подправить первую сумму, которая удовлетворяет уравнению Шредингера лишь асимптотически. Параметры а； варьируются. В нашем анзаце учитываются только каналы с двухчастичной фрагментацией; это означает, что мы либо находимся ниже порога развала, либо пренебрегаем этим каналом.

Мы хотим ввести надлежащее разложение по парциальным волнам, и поэтому с самого начала должны сформулировать апзац (8.11) несколько аккуратнее. Функции канала будем снабжать набором квантовых чисел

с = {a, Z, тп,固，卩2, Ti, т2}. (8.12)

Индекс а означает все внутренние квантовые числа в канале с для двух партнеров, участвующих в реакции, включая их спин и изоспин; % и zn ——это орбитальный момент относительного движения и его z-компонепта; 卩1 и 卩2 — это z-компопенты двух стгипов, а 口，& — третьи компоненты двух изоспинов. Функции канала с этими индексами образуют базисный набор, из которого с помощью суммирования с коэффициентами Клебша — Гордана можно перейти к функциям каналов с данным спином (изоспином) канала и данным полным угловым моментом. Таким путем получаем неприводимое представление для конечных вариационных уравнений; это означает, что уравнения расцеплены максимально возможным образом. Здесь, однако, пе стоит останавливаться на деталях такого расцепления, и поэтому мы оставим базис, задаваемый квантовыми числами (8.12).

Функция канала 屮。т. е. одип из членов первой суммы (8.11), запишется в виде

业=5仇加(%)}, (8.13)

где функция относительного движения %с(%) теперь является радиальной функцией. Функция Хс называется поверхностной функцией и имеет вид

入с ~ Em (仇,' фс) Лё1 屮Паме 屮2, ац,гя. (8.14)

Функции (pi и(р2 описывают внутреннее движение партнеров, участвующих в реакции, включая спин и изоспин; одна из ф, скажем 屮2, описывает только спин и изоспин, поскольку один из партнеров — единичный нуклон. Координаты т]с, "с и фс являются полярными координатами относительного расстояния партнеров реакции в канале с. Функции канала должны быть асимптотически ортогональными, что выражается условием

JS ｛娟 S仇，｝办=%，.(8.15)

Интеграл, включающий сумму по спиновым и изоспино- вым компонентам, берется по всем координатам, кроме Пс или т]/, которые, как предполагается, фиксированы и велики. Можно сказать также, что область интегрирования представляет собой большую поверхность, проходящую через все каналы.

Для каждого канала с гамильтониан можно разложить на внутреннюю часть Я<, с и часть, отвечающую относительному движению, Нг, с

Н=%с + %с.(8.16)

Функция внутреннего движения 屮 1,ащг является собственной функцией гамильтониана Hit с с собственным значением 及,e

№,с —反,с) <pi,aum = 0-

Как отмочено выше, функция ф2,ац>т. описывает спин- изоспиновое состояние. Полная энергия системы Е есть сумма

К = &с + £с,(8.17)

где 8С ——асимптотическое значение кинетической энергии в канале с и называется энергией канала.

Для больших расстояний т]с уравнение Шредингера для функции относительного движения х«(Лс) можно

записать так:

1Z(3 1)

2Мс \ с?Пс 廳

+ 吸ул Хс 01с) = ес/с (小)•(8.18)

Здесь мы сделали допущение о наличии кулоновского потенциала Укул. Если он отсутствует, то приходим к некоторым хорошо известным упрощениям. Величины с и I связаны друг с другом через уравнение (8.12), а Мс — приведенная масса партнеров реакции.

Решения (8.18) представляют собой регулярную и нерегулярную кулоновские функции 力 и g, или сходящиеся и расходящиеся кулоновские волпы. Кулоновские функции имеют слрдующую аспмптотпчоскую форму:

К1%2~ /л + ^ — [3 In (2夕с%)),

«с% — } М + & —卩 In (2乳％))

备=К2Mcec,

& = arg 门2+1 十i0),

(8.19a)

(8.196)

(8.20)

(8.21)

P

2*讃%

(8.22)

где Zce и Z〔e — электрические заряды партнеров реакции в канале с. Сходящиеся и расходящиеся волны имеют асимптотики

/~册./1\

g【~~叁Пс + -у /л —+ р In 2乳％)

(8.23а)

gz +%/「-> 1/ —^ exp i (十 qcy\c^- Zn + 柒一[3 In 2%%) •

(8.236)

Мы обсудпли здесь наиболее общий случай функций канала, включающего два фрагмента с тремя элементарными частицами. В качестве примера мы хотим указать

теперь те упрощения, которые получаются для нейтрон- дейтронной системы. Здесь имеется только одно двухчастичное связанное состояние, а именно ——дейтрон со спином 1 и изоспипом 0. Нейтрон имеет спин 1/2 и изоспин 1/2. В неприводимом представлении имеется, прежде всего, два сорта каналов: дублетные каналы, где спин свободного нейтрона антипараллелен спину дейтрона, и квартетные каналы, где спин свободного нейтрона параллелен спину дейтрона. Все разнообразие каналов в каждом случае дается возможными значениями угловых моментов и направлениями спина в канале.

Теперь можно переписать наш анзац (8.11) с использованием точных определений и получить разложение

屮=》S{九以с(%)} + £а^%・ (8.24) с j

Континуальное варьирование функции относительного движения %с и варьирование по линейным параметрам а} в вариационном принципе, излагаемом ниже, приводят к системе интегро-дифференциальных уравнений, которую надо решать совместно с системой линейных уравнений. Такая система уравнений решается на практике либо итерациями, либо посредством аппроксимации интегро- дифференциальных уравнений линейными уравнениями. В любом случае континуально варьируемый параметр Хс(т]с) заменяется конечным набором значений дискретной функции. Можно с самого начала перейти надлежащим образом к дискретным параметрам, разлагая функцию 左(％) на асимптотические решения 力(％) и 班(％) и сумму квадратично-интегрируемых функций от %• Квадратично-интегрируемые члены такого разложения после умножения на поверхностные функции %с и (анти-) симметризации можно добавить во вторую сумму (8.24). Затем необходимо выбрать граничное условие, и мы хотим выбрать его таким образом, чтобы можно было избегать» использования комплексных функций настолько, насколько это возможно.

Решение задачи рассеяния асимптотически представляет собой суперпозицию функций канала. Амплитуды определяются свойствами системы в том объеме, где происходит реакция, и граничными условиями. Для п каналов можно постулировать п различных граничных уело-

впй, ибо в принципе падающий поток можно свободно выбирать в различных каналах. Физически разумно было бы потребовать, чтобы падающий поток был равен единице в одном из каналов и нулю — во всех других каналах. Но такое граничное условие влсиет за собой комплексные функции отпосительпого движения. Легче найти пабор линейно независимых решений с действительными функциями относительного движения и получить физическое решение путем их суперпозиции. Действительные функции относительного движения получаются с помощью условия, чтобы в i-м канале регулярная кулоновская функция имела амплитуду, равную единице, а все другие регулярные кулоновские функции имели пулевые амплитуды. Для п каналов, когда i пробегает значения от 1 до п, мы получаем п различных граничных условий этого типа. Для i-ro граничного условия имеем, таким образом, следующий апзац

nN

叫(Е, г) = Fi^i, г) + 2 矶G・(е；, г) + . N а 也(г)j = lj=n+l

(8.25) с

% ®, г) = S {%%(%胃)},(8.26a)

%• (е;, г) = S {入川 + (幻％•尸т]т gt (幻％•)} • (8.266)

Индексы 力，j и Z снова связаны посредством равенства (8.12), где i и / обозначают индекс канала с. Без обрезающего множителя функция G)была бы сингулярной при т)3 = 0. Мы ввели поэтому множитель (1+ (^tIj)-^1)-1» понимая конечно, что его можно заменить на практике на любую похожую функцию. Вторая сумма в (8.25) содержит члены, описывающие искажение, а также квад- ратично-интегрируемые компоненты функций канала, т. е. функции, представляющие собой (анти-) симметризован- ные произведения поверхностных функций и квадратич- по-интегрируемых функций относительного движения.

Как было отмечено в начале этого раздела, вариационные методы для состояний рассеяния характеризуются ограничением функционального пространства, используемого для построения приближенного решения уравнения Шредппгера. Теперь же мы можем ясно уви-

деть, что представляет собой наше ограниченное функциональное пространство. Прежде всего мы имеем конечное пространство квадратично-интегрируемых функций %⑴=｛碍)｝.(8.27)

В дополпенип к этому имеются нонормируемые асимптотические рошепия G), которые умножаются на вариационные параметры, тогда как функции Ft имеют фиксированные параметры и не варьируются. Таким образом, вариация ограничена следующим пространством:

鑑⑵=｛瓜2)｝三｛%•,%£)｝.(8.28)

Здесь введены новые обозначения 九?)，которые позволяют записать варпацпонныо уравнения в сокращенном виде. При использовании новых обозначений анзац (8.25) примет вид

明(石，г) = Fl(8i, r) + 2 aivh^ (r).(8.29)

V=1

Здесь уместно поставить вопрос, как определить параметры. Мы хотим использовать свободу, предоставляемую линейными параметрами а^, чтобы получить «наилучше е» приближение к точному решению уравнения Шредингера.

Решение шредингеровского уравнения в ограниченном пространстве вместо полного означает, что вектор (Я —历)I 中〉имеет нулевые компоненты в пространстве 雍(2). Таким образом, мы получаем набор линейных уравнений, который представляет собой часть вариационного принципа Кона — Хюльтена [101, 102]

N

2 ^ \Н-Е |九俨〉&v= —〈砂 \H-E\Fi｝. (8.30) V=1

Это уравнение, однако, приводит к ложным резопапсам двух разных типов [103—105]. Первый возникает от канальных компонент в пространстве (8.27). Это — типичные ложные резонансы Кона. Второй тип обусловлен искажающими функциями. Эти резонансы появляются выше порога первого канала, не учтенного в нашем анзаце (например, вроде канала развала), и они остались бы даже и в том случае, если бы мы применили подход с интегро-дифференциальными уравнениями [106, 107].

Формально ложные резонансы появляются из-за нулей детерминанта матрицы коэффициентов. Более внимательное рассмотрение показывает, что подобные ложные резонансы обусловлены особым методом минимизации невя&ки, выбранным в уравнении (8.30). Используя апзац в ограниченном пространстве, строго удовлетворить уравнению Шредингера (Я — Е) | 4f} = 0 невозможно. Вместо нуля в правой стороне будет некоторая невязка 6, которую каким-то способом нужно минимизировать. Мы потребовали, чтобы эта невязка имела нулевые компоненты в пространстве 鑑⑵ и никакие компоненты вне 非⑵ не учитывались. Оказывается, что ложные резонансы обусловлены как раз этими последними компонентами. Таким образом, если мы не хотим иметь дело с ложными резонансами, то нужно изменить способ минимизации невязки.

Мы хотим теперь рассмотреть компоненты невязки (Я — Е) I Tf) вне пространства 箔(2) и введем поэтому пространство немного большее чем 箔⑵：

箔(3) =同叫三⑹，碾)，зР}.

Дополнительные функции Зр могут быть как нормируемыми, так и ненормируемыми. Их особенности несущественны, пока они являются линейно независимыми от функций 力V и не обращаются в нуль в той области конфигурационного пространства, где функции 无林 спадают до нуля. Мы хотим далее оставить анзац (8.29) неизменным, но вместо 非⑵ выполнять минимизацию невязки в 雍(з). Мы не можем больше требовать, чтобы компоненты невязки обращались в нуль в 匏⑶,так как это означало бы, что условий имеется больше чем степеней свободы. Но можно потребовать, чтобы сумма квадратов компонент (Я — Е) 14f} в 箔⑶ становилась минимальной. Такое условие по методу наименьших квадратов приводит к уравнению

А'-Аа^АЧ; (8.31) здесь А — прямоугольная матрица ^\Н-^}\ а- вектор-столбец 〃仅,где v — индекс вектора; b — вектор- стол6ец —〈硏)|"一司/〉， где 卩一индекс вектора; а 4* — матрица эрмитово сопря?кенная Л. Если функции

(0р выбраны хотя бы мало-мальски разумно, уравнение (8.31) больше не приводит к ложным резонансам ). Как было ранее установлено, выбор этих функций некритичен. В одноканальном тестовом расчете [103] единственная функция (01 == Fi оказывается уже достаточно хорошей для подавления ложных резонансов первого рода. В трехбозопной системе ложные резонансы второго рода довольно хорошо подавляются путем выбора (о, равной константе или равной полной гауссовой функции большого радиуса [107].

Фазы, рассчитанные с помощью (8.31), больше не могут проходить через л/2 (по модулю л), так как гауссова трансформанта матрицы А^А положительно (полу-) определенная. И фазы, прежде чем достичь значения л/2, будут иметь резкий излом и будут продолжаться дальше сдвинутыми на л. Если бы мы выбрали граничное условие, фиксирующее амплитуды функций G* вместо 凡，то то же самое произошло бы при нулевом значении фазы (по модулю л), а не при л/2. Лучший способ избежать такого поведения ——сделать амплитуды как 歹" так и Gi свободными и решать уравнения на собственные значения вместо линейного уравнения (8.31). В этом случае условие наименьших квадратов удовлетворяется путем отыскания собственных решений с наименьшими собственными значениями [104, 105]. Но поскольку решать линейные уравнения на практике несколько легче, чем уравнения на собственные значения, то обычно оставляют уравнение (8.31) и игнорируют странное поведение фаз вблизи л/2.

Уравнение (8.31) представляет собой систему линейных уравнений для каждого значения i от 1 до п. Решения всех уравнений образуют матрицу а^. Информация о сечениях рассеяния содержится в квадратной части ai} (г, 7=1, ..., п) этой матрицы. С помощью так на-

зываемой поправки Като эту матрицу а” можно улучшить [109]. Для этого изучим выражение

〈*|〃 —Е|К〉—〈К|Н —М 屮：〉，(8.32)

где 屮；—истинное решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее i-му граничному условию, тогда как Tj — приближенное решение, удовлетворяющее /-му граничному условию. Теперь в качестве приближенного решения подставим разложение (8.25) с коэффициентами определяемыми из (8.31). Вместо истинного решения 屮7 также подставим разложение (8.25) с истинными коэффициентами а^ (/ == 1, ..., п, а вторая сумма в (8.25) пе относится к долу). Используя далее следующие соотношения, которые легко проверяются с помощью определений (8.26а), (8.266):

(Fi\H-E\Fk')~{Fk\II-E\%〉= 0,

(8.33a)

{Fi\II-E\Ghy-{Gh\H-E\修〉-LAb汴，

(8.336)

{Р{\Н - Е\^}У - {h^}\H - E\F^ = 0,

(8.33в)

{Gi\H-E\ 碍)〉一〈忌D1 H — E1 %〉= 0,

(8.33г)

находим

《唱 I " 一 后 I 屮)〉一〈匕 I н 一 EI 屮:〉% fei-ab).

(8.34)

Введем разность Wi между истинным и приближенным решением

吗=电一呼，

и, учтя, что (Н — Е) I ¥i> = 0, найдем тождество Като, х/2(^ -応)=〈呼 I " 一 Е I 筠〉一〈忆 I " 一 笈 I 也〉.

(8.35)

Второй член в правой части будет второго порядка по W" которая предполагается малой. Если этот член отбросить, то получится уравнение, определяющее новые амплитуды а订，

柒=- 2〈屮"五一引七〉.(8.36)

12 э. Шмид и X. Цигельман

Это уравнение часто называют формулой поправки Като. Амплитуды 。订 обычно дают значительно лучшее приближение, чем амплитуды а”. Поправка Като, однако, может компенсировать лишь отсутствующие канальные компоненты во второй сумме (8.25), но не отсутствующие члены, описывающие искажения.

Теперь нужно выполнить переход от нашего граничного условия, которое было математически удобным, к физическому граничному условию. Для этого решения 呼(с коэффициентами а^ вместо а”) складываются таким образом, чтобы кулоновские функции (8.19а), (8.196) стали сходящимися и расходящимися волнами, а сходящиеся волны имели бы нулевой поток во всех каналах, кроме одного. Эта процедура дает хорошо известную формулу, связывающую S-матрицу с матрицей реакции а订

S=[l + i(aQ][l — i (届)尸. (8.37)

За ее выводом мы отсылаем читателя к учебникам по квантовой механике [6].

Здесь нужно отметить, что если для двухчастичных связанных состояний, входящих в функции канала, используются приближения, то возникают определенные трудности. В этом случае не будет никакой сходимости по отношению к увеличению числа искажающих членов [110] ). Функции, описывающие искажения, будут «стремиться» подправить также и функции внутреннего движения в каналах. Однако, будучи квадратично интегрируемыми, они оказывают влияние лишь в конечной области. Рассогласование появляется на краю этой области, и это рассогласование всегда можно сильнейшим образом изменять добавлением новых искажающих функций.

Вариационные методы для многоканального рассеяния с учетом трехчастичного развала

Для того чтобы учесть реакцию развала, необходимо расширить функциональное пространство 鑑“)путем включения функций, асимптотически описывающих три свободные частицы и удовлетворяющих определенным граничным условиям ).

При достаточно низких энергиях, где сечение развала мало, представляется разумным вовсе пренебречь развалом и использовать метод, описанный в предыдущем разделе. Ложные резонансы второго типа, которые возникают из виртуальных состояний, образуемых искажающими функциями в той области, где канал развала не учитывается, подавляются с помощью принципа наименьших квадратов. Этот принцип, однако, не может заменить неучтенные каналы. Он может лишь сгладить нежелательные побочные эффекты, такие, например, как ложные резонансы. Поэтому необходимо исследовать, насколько большое влияние на амплитуды других функций канала оказывает пренебрежение каналом развала и к какой потере точности приводит такое пренебрежение. На рис. 46 показано сравнение вариационного результата [108] с решением АГС-уравнения (6.86) [96]. В обоих случаях были вычислены упругие фазовые сдвиги для рассеяния бозона на связанной паре бозонов. Считаем, что бозоны взаимодействуют посредством юкавских потенциалов. В вариационном расчете канал развала не учитывался, в то время как АГС-результаты включают влияние реакции развала выше порога Е = 0. Вариационный результат и первое квазиборновское приближение отличаются на 6 градусов (для L = 0). Но эта разница проявляется уже ниже порога развала, где вариационный результат дает нижнюю границу к истинному фазовому сдвигу и, вероятно, очень близок к этому последнему. Поэтому АГС-результат не противоречит вариационному результату и их сравнение в этом частном примере (потенциал Ямагучи в качестве приближения нулевого порядка) скорее может служить проверкой качества первого квазиборповского приближения.

На рис. 47 снова показана фаза для трехбозонной системы при L = 0. Однако в этом случае был использован сепарабельный потенциал Ямагучи, а штриховаяНа рис. 47 снова показана фаза для трехбозонной системы при L = 0. Однако в этом случае был использован сепарабельный потенциал Ямагучи, а штриховаяРис. 46. Сравнение вариационного результата Дас Швагера [108] для действительной части фазовых сдвигов 6匕 для трех одинаковых бозонов, взаимодействующих посредством потенциала Юкавы, с расчетом на основе метода квазичастиц (X. Цигельман [96], см. рис. 41). Штриховые кривые представляют 0.К Б П, штрих пунктирные —— 1.К Б П, а сплошные кривые — вариационные результаты.Рис. 46. Сравнение вариационного результата Дас Швагера [108] для действительной части фазовых сдвигов 6匕 для трех одинаковых бозонов, взаимодействующих посредством потенциала Юкавы, с расчетом на основе метода квазичастиц (X. Цигельман [96], см. рис. 41). Штриховые кривые представляют 0.К Б П, штрих пунктирные —— 1.К Б П, а сплошные кривые — вариационные результаты.точного фаддеевского расчета. Сплошная кривая показывает результат вариационного расчета, в котором развалом прене- брегалось [111], Видно, что и в самом деле имеется лишь небольшое отличие двух кривых выше порога развала, и разность меньше 1,5 градуса вплоть до 4,5 МэВ (в системе центра масс). Поэтому использование вариационного метода последнего раздела кажется перспективным для расчетов упругих фаз в системе трех нуклонов даже выше развального порога.

На рис. 47 снова показана фаза для трехбозонной системы при L = 0. Однако в этом случае был использован сепарабельный потенциал Ямагучи, а штриховая

На рис. 47 снова показана фаза для трехбозонной системы при L = 0. Однако в этом случае был использован сепарабельный потенциал Ямагучи, а штриховая

Рис. 46. Сравнение вариационного результата Дас Швагера [108] для действительной части фазовых сдвигов 6匕 для трех одинаковых бозонов, взаимодействующих посредством потенциала Юкавы, с расчетом на основе метода квазичастиц (X. Цигельман [96], см. рис. 41). Штриховые кривые представляют 0.К Б П, штрих пунктирные —— 1.К Б П, а сплошные кривые — вариационные результаты.

Рис. 46. Сравнение вариационного результата Дас Швагера [108] для действительной части фазовых сдвигов 6匕 для трех одинаковых бозонов, взаимодействующих посредством потенциала Юкавы, с расчетом на основе метода квазичастиц (X. Цигельман [96], см. рис. 41). Штриховые кривые представляют 0.К Б П, штрих пунктирные —— 1.К Б П, а сплошные кривые — вариационные результаты.

Вернемся теперь снова к проблеме учета реакции развала в вариационном расчете.

Во Введении уже были отмечены появляющиеся при этом трудности. Три частицы, испускаемые в реакции развала, свободны, но коррелированы друг с другом. Как мы уже видели, полная энергия может распределять

ся между тремя частицами непрерывным образом. Если, например, одна частица приобретает в четыре раза большую кинетическую энергию, чем другая, то она будет двигаться вдвое быстрее и спустя несколько наносекунд будет примерно вдвое дальше от рассеивающего центра. Поэтому приблия^енное

описание такого свободного движения плоскими волнами невозможно. При двухчастичном распаде расходящаяся сферическая волна представляет собой приближенно плоскую волну там, где в эксперименте располагается счетчик частиц; сферическая структура волны не регистрируется счетчиком. В трехчастичном же распаде корреляция частиц является важной измеримой величиной.

Рис. 47. Сравнение вариационного результата (сплошная кривая, Ф. Соре и Э. Шмид [111]) для действительпой части фазового сдвига б。в случае трех одинаковых бозонов, взаимодействующих через потенциал Ямагучи, с точным решением фаддеевского уравнения (штриховая кривая, Ф. Соре и X. Цигельман [63]). Шкала энергий начинается от порога развала, а константа связи подгоняется под энергию связи дейтрона 2,2 МэВ.

Если бы для описания свободного движения использовались плоские волны, то указанная корреляция должна была бы описываться сложной суперпозицией волн.

Вторая трудность, помимо асимптотической корреляции,— это бесконечность объема реакции. Из-за возможности перерассеяния двухчастичный потенциал взаимодействия может оказаться существенным на произвольном расстоянии от рассеивающего центра (см. рис. 8).

Третья трудность возникает из-за необходимости введения граничного условия, не зависящего от времени. Такое условие можно было бы сформулировать, если бы нам удалось описать состояния трехчастичного развала в виде чисто расходящихся волн. Чтобы проиллюстрировать указанную трудность, во Введении был поставлен вопрос, какого характера будет состояние —

расходящегося или сходящегося типа,— когда одна из частиц приближается к общему центру масс, а две другие ——удаляются от него. Построение состояний чисто расходящегося характера представляется трудным, но возможным. То, что в принципе это возможно, можно увидеть из следующего рассуждения. Введем координату р, которая описывает размер треугольника, образуемого тремя частицами. Волновая функция будет чисто расходящегося характера, если волны движутся в направлении увеличения р. Поскольку форма треугольника может изменяться, то может случиться, что одна частица приближается к общему центру масс на короткое время, т. е. в определенном интервале р. Но для р-> оо все расстояния будут беспредельно увеличиваться, и поэтому мы получим асимптотически расходящееся состояние. Таким образом, видно, что корреляция свободных частиц играет решающую роль также и в формулировке граничного условия.

Ниже мы обсудим две возможности построения трехчастичных состояний расходящегося типа. Первая возможность приводит к гиперсферическим функциям, которые называются также «гиперсферическими гармониками» или «7^-гармониками». Вторая возможность — это введение не зависящих от времени волновых пакетов, для которых положение третьей частицы заменяет временную шкалу. Система функций из К-гармоник подходит главным образом для описания внезапного распада, тогда как описание через волновые пакеты можно использовать также и для реакций развала с сильным взаимодействием в конечном состоянии.

Система вариационных уравнений не меняется при учете развала. Просто к пространству пробных функций 雍(2)добавляется набор состояний, описывающих развал. Имеются лишь некоторые сложности с поправкой Като, которые все еще находятся в процессе изучения (см. также Либер, Розенберг и Спрач [125]).

Прежде чем рассматривать две упомянутые системы функций, которые можно использовать для описания развала, мы хотим отметить два других метода, которые обходят проблемы, возникающие в асимптотической области, с помощью введения комплексных энергий [112] или комплексных координат [113]. Эти методы, имеют

некоторое сходство с методом интегрирования Хезеринг- тона и Шика, в котором сингулярности фаддеевских уравнений обходятся с помощью сдвига контура интегрирования в комплексную плоскость. И в самом деле, между сингулярностями в фаддеевских уравнениях и сложным асимптотическим поведением волновой функции выше порога развала имеется некоторая связь, которую можно ослабить введением комплексных энергий или комплексных координат.

Для всех приближенных схем желательна проверка путем сопоставления с известными точными решениями. Любопытно, что уже в 1951 г. Вильдермут [114] предложил модель, позволяющую исследовать проблему развала путем аналитического решения уравнения Шредингера. С точки зрения физического смысла эта модель не реалистична, но она полезна для проверки приближенных методов.

Гиперсферические функции. Прежде всего нам нужно ввести так называемые гиперсферические координаты; одна из них — уже упомянутая выше координата р. Переопределим теперь наши координаты Якоби без изменения обозначений:

自= (口一厶) (8・38а)

И

(门 5产 % (8.386)

Координата 自 снова по существу есть расстояние между частицами 1 и 2, а п ——口。существу расстояние между частицей 3 и центром масс частиц 1 и 2. Единственное различие между новыми и старыми координатами Якоби ——это массовый множитель, равный квадратному корню из соответствующей приведенной массы. Благодаря этому множителю выражение для кинетической энергии в новых координатах есть сумма вторых производных, умноженных на (—1/2). В старых же координатах часть вторых производных умножалась на (—1/2卩)，а часть на (—1/2М). Новые координаты Якобп называются рационализованными координатами Якоби. Как и в (2.71), имеются три разных набора этих координат в зависимости

от того, какая частица выбирается в качестве третьей. При внезапном развале ни одна из подсистем не выделена, и поэтому достаточно иметь один набор рационализованных координат Якоби.

Гиперсферические функции диагонализуют свободный трехчастичный гамильтониан 九°. В рационализованных координатах Якоби этот оператор имеет простой вид

где А — шестимерный оператор Лапласа. Гиперсферичсскпе координаты

Р =(Р, р) = (р, а,心з 屮匕，^, Фп) (8.40) теперь определяются следующими выражениями:

£ = р cos a sin 令匕 cos(p“

* = р cos a sin 令三 sin 屮三，

& = p cos a cos 提，

т]х = p sin cc sin 令 ^ cos 屮内

Пи = p sin a sin 令期 sin 屮内(8.41)

t]z = p sin a cos 令 1b

dp = P5dp "p, "p = sin2 a cos2 а da c/三 dx\, 0 W a W n/2, 0 0 & W 叫 0 W cpw W 2л, 0 W 必 W 叫 0 W 屮口 W 2л.

Их довольно легко себе уяснить. Координаты 令& и 屮三 суть вторая и третья полярные координаты вектора

1=信佻，恥)，(8.42)

и аналогично для 仆口 и 屮丁 Для обеих абсолютных величин 自 и п полярные координаты вводятся так:

Е = р cos a, т] = р sin a, 0 W a W л/2,(8.43)

где

p = V^2 + t]2.(8.44)

Взяв p в качестве длины шестимерного вектора (占，n),

мы получаем важную координату, измеряющую размер треугольника, образованного тремя частицами. Остальные координаты определяют форму треугольника и его пространственную ориентацию.

В гиперсферических координатах свободный гамильтониан принимает вид

Оператор К2 действует только на пять угловых координат. Член К2/р2 играет ту же роль, что и член L2/r2 в трехмерном разложении по угловым моментам. Поэтому оператор К2 иногда называют оператором «гиперуглового момента». Его собственные значения равны 宜(К+ 4), что аналогично собственным значениям L(L + 1) оператора L2. Но вместо одного магнитного квантового числа М теперь у нас есть четыре «магнитных» квантовых числа. Будем обозначать их совокупность одним символом q.

Собственные функции свободного гамильтониана hQ факторизуются на радиальную часть Як (р) и угловую часть Ук(р)：

屮(р) = Ек(р) П(р). (8.46)

Радиальная часть имеет следующую асимптотическую форму:

Rk (р) -> а —g^ + b —, (8.47)

которая означает, что радиальная часть состоит из сходящихся и расходящихся волн. Выбрав а = 0, из (8.46) можно получить базис для свободных трехчастичных состояний с чисто расходящимися волнами.

Форма функции Нк(р) для малых значений р неважна в вариационном расчете, поскольку она всегда исправляется добавлением квадратично-интегрируемых функций. Угловые функции Ук имеют довольно громоздкий вид [115]

У% (р)« y?u(Р)= УТ ① у* ⑹ я^ (а), (8.48)

где

硅(а)=汽段 cos1 а sin%旦+1/2А+1/2)(- cos 2а), (8.49)

№ _「2%! 4K+2 (К + 2)(Z + 入 + X + 1)! (Z+乂 + 1)!(九十 ％ + 力]"? к _ [а (22 十 2х 十 2)! (2九十 2% 十 2) !J

(8.50) и

乂 =(玄一 九)/2.(8.51)

Функции У『суть обычные сферические гармоники, а функции n尹")一полиномы Якоби. При внезапном распаде наиболее важными функциями будут функции с 2 =九=0 (и с малыми значениями К). В этом случае мы имеем

У於。。(р) = л"8/2Ск/2 (- COS 2а),(8.52)

где С*— полиномы Гегенбауэра.

Существует и другой, более систематический способ введения гиперсферических функций Ук [126]. В нем выбирается определенная алгебра операторов, коммутирующих со свободным гамильтонианом 无о, а гиперсфе- рическпе функции получаются как базис неприводимого представления этой алгебры. Выбор алгебры основывается на интуиции, которая играет ведущую роль при выборе пространства пробных функций. Остальное делается автоматически. Если генераторы поворотов в шестимерном координатном пространстве (自，刀)выбираются так, что они образуют алгебру, то в качестве пространства представления получаем гиперсферические функции, точно так же как сферические гармоники У『получаются через генераторы поворотов в трехмерном пространстве.

Для получения неприводимой формы вариационных уравнений необходимо построить собственные состояния полного углового момента и изоспина. Это делается путем умножения функций Ук на спиновые и изоспиповые векторы и последующего сложения с подходящими коэффициентами. У нас нет желания углубляться в эти подробности, а вместо этого мы предпочитаем обсудить физический смысл базпеа гиперсферическпх функций,

Каков смысл квантового числа X? Чтобы понять эту величину, используем аналогию с обычным угловым моментом. Когда частица рассеивается на потенциале V (г), то разложением решения задачи рассеяния “(г) по угловым моментам будет разложение на компоненты с различными параметрами столкновения р. На классическом языке параметр столкновения — это наименьшее расстояние, на котором частица с данным угловым моментом и данной скоростью v проходит от рассеивающего центра. В квантовой механике параметр столкновения не имеет определенного значения. Но приближенно все же можно заиисать:

р а —, (8.53)

и поэтому разложение по квантовым числам углового момента L — это разложение по параметрам столкновения. Когда потенциал У (г) является короткодействующим, а скорость р не слишком велика, в процесс рассеяния будут давать вклад лишь несколько первых членов разложения.

Квантовое число К имеет вполне аналогичный смысл. Мы могли бы назвать его трехчастичным параметром столкновения. На языке классических орбит большое значение К означает, что три частицы не могут одновременно подходить близко друг к другу. Либо все три частицы далеки друг от друга, либо, если две частицы близки, то третья далека от них. С другой стороны, если К равно нулю, то все три частицы встречаются в рассеивающем центре. Минимальное значение р связано с К точно так же, как минимальное значение г связано с L. При К = О частицы как бы выходят из рассеивающего центра. Для более высоких значений К они как бы должны разлетаться от рассеивающего центра по все более и более «запутанным орбитам». Для описания внезапного распада (со слабым взаимодействием в конечном состоянии) следует ожидать, что важными будут только функции с малыми значениями К.

В разложении волновой функции рассеяния по гиперугловому моменту отсутствуют преимущества, имеющиеся при разложении по собственным состояниям углового момента. Во-первых, сумма двухчастичных потенциалов

взаимодействия не является сферически симметричной в шестимерном координатном пространстве 传，п). Поэтому оператор К не коммутирует с гамильтонианом Я, в то время как для сферически симметричного потенциала У (г) оператор L коммутирует с Я. Разные гиперсферические состояния связаны друг с другом посредством взаимодействия. Во-вторых, и это может быть даже более важно, члены высокого порядка разложения по гиперсферическим функциям становятся мало существенными только в определенных частных случаях (внезапный распад без перерассеяния). Сумма двухчастичных потенциалов взаимодействия имеет бесконечный радиус в р-пространстве, т. е. У(р) не стремится к нулю при р -> оо. Объем «потенциальных желобков», по которым интегрируют и которые тянутся до бесконечности, достаточно мал, хотя матричные элементы〈无£)| Н ——Е\

существуют даже и тогда, когда и 无£> и Д$?)— гиперсферические функции ). Разложение сходится медленно, особенно в том случае, когда в распаде необходимо учитывать двухчастичные возбуяоденные состояния с большим временем жизни.

Чтобы проиллюстрировать понятие о трехчастичных параметрах столкновения, мы рассмотрим рассеяние трех частиц, движущихся в одномерном пространстве. В этом случае разложение по гиперсферическим функциям становится довольно простым и его физический смысл легко понять.

В качестве рационализованных координат Якоби с тп == 1 в данном случае примем

(8.54)(8.54)

(8.54)

(8.54)

где 力1,力2,力з обозначают положения трех частиц. Рис. 48 показывает область взаимодействия в двумерном (自，哨一

пространстве. В каждой заштрихованной канавке один из двухчастичных потенциалов взаимодействия отличен

от нуля. В центре же рисунка две или три пары взаимо

действий отличны от нуля. В (Е, т])-плоскости гиперсферическими координатами являются просто полярные координаты (р, а). В отличие от (8.43) угол а изменяется от нуля до 2л, поскольку как 自，так и т] оба могут принимать отрицательные значения. Гиперсфе- ричсские функции будут собственными состояниями углового момента на плоскости, т. е. они имеют вид

У,“(а) = * 吗

Рис. 48. Области взаимодействия в плоскости(3 п)・Рис. 48. Области взаимодействия в плоскости(3 п)・7九=0, ±1, ±2, ... (8.55)

Рис. 48. Области взаимодействия в плоскости

(3 п)・

Рис. 48. Области взаимодействия в плоскости

(3 п)・

,— ihQ,— ihQ—十 pl/?'—十 pl/?'(8.56)(8.56)Радиальная функция имеет асимптотическую форму

,— ihQ

,— ihQ

—

十 pl/?'

—

十 pl/?'

(8.56)

(8.56)

-1/2 (看 + 券)图 n)-1/2 (看 + 券)图 n)屮=Eq、屮=Eq、(8.57)(8.58)(8.57)(8.58)T/2哇++計十j勘+小山=现T/2哇++計十j勘+小山=现“т Ащ(Р)Ут(а)“т Ащ(Р)Ут(а)(8.59)(8.59)

-1/2 (看 + 券)图 n)

-1/2 (看 + 券)图 n)

屮=Eq、

屮=Eq、

(8.57)

(8.58)

(8.57)

(8.58)

T/2哇++計十j勘+小山=现

T/2哇++計十j勘+小山=现

“т Ащ(Р)Ут(а)

“т Ащ(Р)Ут(а)

(8.59)

(8.59)

Уравнение Шредингера для трехчастичиой системы есть

или

и означает, что движение трехчастичной системы в конфигурационном пространстве будет таким же, как движение одной частицы в (三，г])-плоскости.

Гиперсфсричсские функции «канала»

удовлетворяют свободному шредингеровскому уравнению (V = 0). Соответствующее этим функциям классическое движение представлено стрелками на рис. 49а цри а = 0 и w = 0 и на рис. 496 при а = 0 и w == +1.

При т — 0 система разлетается от центра рассеяния, где все три частицы имеют одно и то же положение (力1 =力2 =力з). При т — i система разлетается с периферии круга. Радиус этого круга является трехчастичным параметром столкновения. Возвращаясь к координатам %i, %2, %з легко усмотреть смысл этого параметра.

Состояния с последующим распадом. Потенциальные желобки рис. 48 и соответствующие желобки для

Рис. 49а. Вид классического движения, соответствующего гиперсферической функции канала (см. (8.59)) при а = 0, т = 0.Рис. 49а. Вид классического движения, соответствующего гиперсферической функции канала (см. (8.59)) при а = 0, т = 0.Рис. 496. То же, что на рис. 49а, но при а = 0, m = 1.Рис. 496. То же, что на рис. 49а, но при а = 0, m = 1.

Рис. 49а. Вид классического движения, соответствующего гиперсферической функции канала (см. (8.59)) при а = 0, т = 0.

Рис. 49а. Вид классического движения, соответствующего гиперсферической функции канала (см. (8.59)) при а = 0, т = 0.

Рис. 496. То же, что на рис. 49а, но при а = 0, m = 1.

Рис. 496. То же, что на рис. 49а, но при а = 0, m = 1.

задачи рассеяния в трехмерном пространстве не только ответственны за существование двухчастичных связанных состояний, присутствующих в упругом канале и каналах перестройки, но и приводят также к взаимодействию в конечном состоянии в канале развала. Когда компаунд- состояние внезапно распадается на три свободные частицы, можно ожидать, что потенциальные желобки не оказывают большого влияния на асимптотическое состояние для большинства углов рассеяния и энергий свободных частиц. Для хорошего описания распада будет достаточно нескольких членов разложения по гиперсферическик волнам. Если, однако, пара частиц взаимодействует на достаточно больших расстояниях от центра ——либо через образование долгоживущего двухчастичного возбужденного состояния, либо благодаря случайно полученному малому относительному импульсу,— то для хорошего описания может потребоваться очень много гиперсфери-

ческих волн. В этом случае более предпочтительно ввести другой тип трехчастичных состояний расходящегося характера, описывающих распад; их можно назвать состояниями распадающихся волновых пакетов [103, 116].

Этот второй тип состояний описывает развал как последовательный двухчастичный распад. Первоначально образуется возбужденное двухчастичное состояние вместе со свободной третьей частицей. Затем возбужденное двухчастичное состояние распадается на свободные частицы. В вариационном расчете двухчастичные состояния можно выбирать произвольно. Они могут быть волновыми пакетами, которые описывают долгоживущее резонансное состояние, или волновыми пакетами, которые довольно быстро распадаются. В этом последнем случае внезапный распад также можно описать посредством распадающихся волновых пакетов.

Здесь имеется существенное отличие от гиперсферического подхода, описанного в последнем разделе. Двухчастичные волновые пакеты обычно записываются в виде суперпозиции состояний рассеяния соответствующего двухчастичного гамильтониана. Это означает, что один из потенциальных желобков учитывается точно; это приводит к более быстрой сходимости разложения по (дискретным) каналам развала. В принципе можно было бы использовать также и состояния рассеяния свободного двухчастичного гамильтониана, но тогда новый подход означал бы лишь перегруппировку членов внутри некоторого конечного гиперсферического разложения. И, наконец, третьей альтернативой было бы построение точных асимптотических решений для полного трехчастичного гамильтониана, как это было в случае упругого канала и канала перестройки. Однако в случае развала это не легко, поскольку для нахождения этих состояний нужно было бы решить почти полную трехчастичную задачу рассеяния ). Напомним, что потенциальные же-

лобки должны рассматриваться в качестве «объема реакции» даже в области, далекой от рассеивающего центра!

Состояния распадающегося волнового пакета строятся аналогично состояниям канала, которые обсуждались в разделе 2. Здесь снова канал характеризуется индексом «с», который содержит информацию о выделенной подсистеме и об относительном движении:

с = {a, Z, т,卩 1,卩2, Ti, т2}. (8.60)

Смысл квантовых чисел Z, т, p，i,卩2, S,工2 — тот же самый что и в (8.12). Изменяется лишь смысл индекса а. Раньше этот индекс содержал информацию о типе связанных частиц, о характеристиках связанного состояния, а также о квантовых числах полного спина S〔，S2 и изоспина 71, ?2, двух фрагментов реакции. Теперь вместо функции связанного состояния Ч)1,ащ% у нас есть волновой пакет. Он описывается амплитудой суперпозиции ) D(ps nJ. Так как волновой пакет распадается, амплитуда D зависит не только от относительного импульса рс подсистемы, но также от расстояния t]c до третьей частицы. Эта зависимость от % будет обсуждена ииже. Поскольку волновой пакет образуется при % = 0, назовем функцию О", 0) просто D(рс). Тогда при т]с = 0 имеем вместо функции связанного состояния волновой пакет вида

屮i,aum 偌с) = j 少(Рс)屮(Si,卩i,笃，J,屮с,短)②” (8.61)

где &с ——относительная координата подсистемы. Внутренние свойства волнового пакета, кроме спина и изоспина, определяются еще функцией D(pc). Индекс а поэтому должен содержать информацию о ней

а = {... D...}. (8.62)

Функция q)(Si, ри, 71, Ti, Рс, &с) является регулярным решением шредингеровского уравнения для подсистемы с данным полным угловым моментом Si,卩1, данным изоспином 71, Ti и данной энергией рс/2|ЛС.Функцию кана-

ла последовательного распада теперь можно записать в виде

"Фс = J S ｛入с (• •・Рс • • •) %с (，с, Пс)｝，〃с,(8.63)

где

儿=У7 ("，Фе) n7о(压)Ф (邑，内，а, а ре,短)• (8.64)

Аналогия с соотношениями (8.13) и (8.14) теперь только внешняя. Не существует больше единственной поверхностной функции, поскольку волновой пакет распадается. Распад выражается зависимостью функции D(pc, %) от Пс； расстояние т)с до третьей частицы некоторым образом заменяет временную шкалу процесса распада. Нам необходимо сконструировать поверхностную функцию 入с(... Рс ..) для каждой компоненты。(次)屮(Si,卩i, 7\ Ti, pc, Se) • Затем каждая из этих поверхностных функций умножается на соответствующую функцию относительного движения %c(gc, t]c). Посредством (анти-) симметризации и интегрирования по рс получаем дискретное состояние канала распадающегося волнового пакета.

Из (8.63) и (8.64) видно, что зависящая от 刀。амплитуда суперпозиции О(р＜；, nJ, содержащая распад волнового пакета, имеет вид

О®, %) = °(Рс)%(9с, %)•(8.65)

Чтобы иметь асимптотическую ортогональность функций канала 叭，потребуем ортогональности разных волновых пакетов

J Di (р) Dj (р) dp — 6订.(8.66)

Асимптотическая корреляция трех частиц следует из сохранения энергии. Функция относительного движения Хс(?с, %) здесь снова кулоновская функция (или функция Бесселя) (см. (8.19) и (8.23)), но для каждой компоненты волнового пакета эта функция имеет свое значение qe. Из асимптотического сохранения энергии получаем условие

р2

况+疯=瓦(&67)

13 э. Шмид и X. Цигельман

так что кулоновская функция должна иметь волновое число, равное

虱=]/ 2МС^Е-^.(8.68)

Это условие обеспечивает также, чтобы функция канала 1рс была точной собственной функцией гамильтониана канала. В зависимости от того, какого вида кулоновскую функцию мы выбираем, функция канала 业 имеет характер сходящейся, расходящейся или стоячей волны. Нерегулярную кулоновскую функцию нужно снова умножить на обрезающий фактор. Отметим близкую аналогию между соотношением (8.65) и уравнением, описывающим временную эволюцию волнового пакета:

Р(Л t) = D{p) exp(-z^-i).(8.69)

Расстояние т]с до третьей частицы можно и в самом деле рассматривать как заменитель временной шкалы; только множители перед i и т]с имеют разную p-зависимость, что отражает тот факт, что «стрелки наших часов» движутся с разной скоростью при разных значениях р. Следует также отметить, что состояния, отвечающие распадающемуся волновому пакету, представляют собой волновые пакеты только по отношению к внутреннему движению подсистемы. В целом же они являются не нормируемыми состояниями канала. При выборе функций Dc(pc) используются интуитивные соображения. Область изменения ре определяется уравнением (8.67). Для больших значений Рс функцию О(Рс) целесообразно взять равной нулю ). Если двухчастичные резонансы оказываются существенными, распределение &(厌)выбирается узким в согласии с ожидаемым временем жизни виртуального состояния. С другой стороны, очень широкое распределение

2)с(Ре) описывает процесс внезапного распада. Непрерывное множество каналов распада сводится, таким образом, к конечному числу функций Д(рс).

Чтобы в максимальной степени избегнуть использования в вариационном расчете комплексных функций, мож- по снова ввести состояния канала

储=f S{九九(方％)} d科，(8.70a)

Gj = j S {厶(…力…)[1 + (%%•尸т『％| (qj^}dPj

(%, j =九十 1,九十 2,...,九')，(8.706)

где 兀 берется из (8.64), а волновые числа “ и % связаны посредством (8.67). Состояния Gj добавляются к пространству пробных функций 舒⑵，описанному в разделе 2, и тогда мы снова приходим к вариационному анзацу (8.29) с граничными условиями в виде стоячей волны

N

% = %十』味戏，(8.71)

где i теперь пробегает значения от 1 до " Квадратич- но-интегрируемые состояния из 鑑⑵ теперь также должны подправить распадные состояния. Эффекты же перерассеяния учитываются лишь в той области, которая захватывается квадратично-интегрируемыми поправками. Анзац (8.71) не описывает перерассеяние с большим радиусом, поскольку квадратично-интегрируемые функции имеют лишь конечный радиус, а набор состояний канала является далеко не полным. Пространство 鑑⑶ содержит, как и раньше, все функции 无俨，и дополнительно одну или несколько функций Зр. Уравнение метода наименьших квадратов, которое определяет линейные параметры а», есть снова уравнение (8.31)

А^ Аа = 4%

с определениями, аналогичными данным в разделе 2.

Волновые пакеты, распадаясь, движутся вдоль потенциальных желобков. Если они за время своего распада не попадают в другие желобки, то на асимптотике функции канала совпадают с собственными состояниями пол- 13*

ного гамильтониана, так что формула (8.36) для поправки Като остается формально правильной. Но поскольку учитывается лишь конечный набор дискретных каналов распада, то имеются открытые каналы в тех «членах второго порядка» тождества Като, которыми мы пренебрегли, и неясно поэтому, дает ли поправка Като реальное улучшение.

S-матрица находится из улучшенной или неулучшенной матрицы реакции согласно (8.37). Благодаря условию (8.66) у нас есть ортогональный базис состояний расходящегося (сходящегося) характера также и для той части S-матрицы, которая отвечает развалу.

Метод Пайпера — Шлезингера — Райта [118]. В заключение мы хотим обсудить метод, который сочетает преимущества уравнений Фаддеева с преимуществами вариационных методов. В вариационном принципе Кона и в его варианте, основанном на наименьших квадратах, пробная функция должна асимптотически удовлетворять уравнению Шредингера и подчиняться определенным граничным условиям. Для многоканального рассеяния удовлетворить этим условиям несложно, за исключением того, что получение точных функций внутреннего движения может оказаться сложным делом. В рассеянии же с развалом были необходимы дополнительные усилия, чтобы ввести граничное условие и связанные с ним асимптотические корреляции частиц. В гиперсферическом подходе мы даже отказались от требования иметь асимптотические шредингеровские решения, поскольку К-гармо- ники удовлетворяют только свободному уравнению Шредингера. Этот подход сходится лишь благодаря тому, что потенциальные желобки покрывают . очень малую долю асимптотической области. В меньшей степени то же самое относится и к подходу, основанному на волновых пакетах, поскольку состояния, отвечающие распадающемуся волновому пакету, являются собственными состояниями лишь гамильтониана канала, а не полного гамильтониана.

Поэтому особый интерес представляет тот факт, что для описания процессов рассеяния можно построить вариационные методы, в которых асимптотическое поведение пробной функции несущественно* Впервые такой метод предложил Швингер [117], имея в виду решение

уравнения Липпмана — Швингера. Пайпер, Шлезингер и Райт [118] приспособили швингеровский метод к уравнениям Фаддеева.

Сначала обсудим вариационный принцип Швингера, а затем метод Пайпера — Шлезингера — Райта (ПШР). Особое внимание уделим вопросу о том, как появляется свобода в выборе пробной функции и нужно ли для этого чем-либо пожертвовать. В вариационных методах, описанных в предыдущих разделах, важная информация о задаче рассеяния, как, например, полная энергия и граничное условие, содержалась в асимптотическом поведении пробной функции. В обсуждаемом же здесь методе эта информация должна входить некоторым иным путем, и мы хотим исследовать, как именно.

В этом разделе мы будем следовать рассмотрению, данному Грассбергером, Альтом и Сандхасом [119], где эффективным способом выводится несколько вариационных методов из одного фундаментального уравнения. Фундаментальное уравнение получается следующим образом. Допустим, что нас интересует оператор Л (или матричные элементы от Л), для которого мы знаем обратный оператор Л_,. Очевидно, справедливо следующее уравнение:

Л = 2А-АА-}А. (8.72)

Это уравнение имеет то замечательное свойство, что когда Л в его правой части (но не Л-1!) изменяется на 6Л, приращение его левой части будет порядка (6А)2. Поэтому в качестве вариационного принципа можно записать

[Л] = 24-/%-1川， (8.73)

где Л1 — пробный оператор, а [Л] — вариационное приближение для А. Наше утверждение теперь можно проверить, взяв 4’ = 4 十 6Л. Если можно найти такой пробный оператор /', для которого левая часть (8.73) становится стационарной для всех вариаций 5/, мы имеем А* = [Л] = А. На практике «все вариации» следует заменить на конечное число вариаций. В большинстве случаев пробный оператор является линейной суперпозицией некоторых операторов, а коэффициенты варьируются. Соотношение (8.73) тогда используется в два этапа. Сначала берем производные по определенным параметрам

от [4] и, приравнивая эти производные нулю, получаем систему линейных уравнений. Эта система уравнений определяет параметры. Затем, снова используя (8.73), находим поправку, аналогичную поправке Като. Когда величина А* со значениями параметров, определенных из системы уравнений на первом этапе, подставляется в (8.73), то оператор [4] будет, вообще говоря, лучшим приближением к А, чем

В качестве альтернативы к (8.73) можно также использовать формулу

[<^>]=[<^>]="〉〈不〉(А^^А^'"〉〈不〉(А^^А^'(8.74)(8.74)

[<^>]=

[<^>]=

"〉〈不〉(А^^А^'

"〉〈不〉(А^^А^'

(8.74)

(8.74)

Угловые скобки показывают, что вместо абстрактных операторов следует подставлять матричные элементы. Вариационный принцип (8.74) имеет то преимущество, что в него не входит нормировка /'. Однако для трехчастичного рассеяния соотношение (8.74) еще не было использовано.

Чтобы увидеть, как может быть использован принцип (8.73), рассмотрим сначала двухчастичное или потенциальное рассеяние. В качестве оператора 4 возьмем Т- матрицу 力(z), определенную уравнением (2.56а). Используя (2.61), можно найти обратный оператор t~l (z), и тогда (8.73) можно записать как

[力=2 产一尸(L-go)礼(8.75)

Это и есть вариационный принцип Швингера в формулировке Шварца [120]. Для S-матрицы, согласно (2.51), нам необходимы матричные элементы〈р[〃Р〉・ Используя теперь соотношения

方(e + 2)@ =小〉(+), 〈m*豆十2)=〈m(f，B’"

которые следуют из (2.25) и (2.58), мы получаем принцип Швингера в его первоначальной формулировке кp' I 方[ p〉]=〈p' I I 屮产〉+〈"「 II p〉一

一〈屮『)I。I ^+)> +〈"「I vg.v I ""〉•(8.77)

Здесь I 屮尸‘〉и〈屮『)1 — пробные функции для решений, отвечающих рассеянию: |р)(+) и "|(一). Из (8.77) видно,

что для короткодействующего потенциала р асимптотическое поведение функций 屮声 становится несущественным. Вместо этого вариационный принцип содержит функции Грина go(z). Однако представление свободной функции Грина содержит асимптотические решения уравнения Шредингера. Граничное условие учитывается предписанием того, каким образом комплексный аргумент go(z) приближается к вещественной оси.

В рассматриваемом случае потенциального рассеяния вполне понятно важное отличие вариационного принципа Кона и его варианта, основанного на наименьших квадратах, от принципа Швингера. В принципе Кона ) пробная функция является суперпозицией точных асимптотических решений, содержащих граничное условие, и квадратично-интегрируемых функций. В принципе Швингера в качестве пробной функции достаточно хорошей является уже одна только суперпозиция квадратично-интегрируемых функций. Асимптотические решения и граничное условие входят через свободную функцию Грина.

Шварц [120] на численном примере показал, что для потенциального рассеяния принцип Швингера не имеет преимуществ перед принципом Кона. Количество вычислений в обоих методах примерно то же самое, если величина 尸 1；т 尸 рассматривается в конфигурационном, а 尸go 尸——в импульсном пространствах (для того чтобы избежать двойного интегрирования). В выбранном им примере метод Кона сходится намного быстрее, но неясно, справедливо ли это в более общем случае. Из-за этого было бы интересно исследовать вопрос о том, дает ли какое-либо преимущество обобщение принципа Швингера для задачи трехчастичного рассеяния с развалом.

Впервые обобщение принципа Швингера для трех- частичиого рассеяния было предложено Пайпером, Шлезингером и Райтом [118]. Согласно Грассбергеру, Альту и Сандхасу [119], вариационный принцип ПШР можно довольно легко вывести из (8.73).

В качестве оператора Л выбираем оператор М^ из уравнения (3.75). Обратный оператор от него можно получить с помощью формализма, описанного на странц- це 66 и след. Используя (3.73)——(3.75), получим

("Т)ро = —(1 一 Зро)気 + 8p/U・(8.78)

Подставив это в вариационный принцип (8.73), найдем [М^б] = 2М\б + 22 M；pgoM% — S Мр 拓 1〃曲.(8.79) Р片оР

Матричные элементы, необходимые для вычисления S- матрицы по формуле (3.50), даются в случае рассеяния с перестройкой следующим выражением:

X林 1(хт = (1 — ^₽а)<Фрп I % I Фат〉十

+ N』<фрп I М^ I фатХ (8.80)

Vt^P б=И=сс

где были использованы (3.51а) и (3.75). Введем в это уравнение вариационное выражение (8.79) для М^ и получим

[Н债7am] = (1 — 8ва)〈Фв?г || Фат> +

+》〈％时6 I Фаш〉十》<фр« I Xv.am) +

6#а什 В

+ X W〈％В%Р I go I %u,am〉一 £〈％Bn,P I ‘P ' I %P,am〉 (8.81) P#oP

C

〈%Bn,p|= £〈gn I "yp‘(8.82a)

I %u,am〉— 6^2 W；6 I Фат〉(8.826)

в качестве пробных функций. Уравнение (8.81) и есть вариационный принцип ПШР [118]. Пробные функции варьируются. Все суммирования идут от 1 до 3. Уравнение (8.81), однако, справедливо также и для 0 = 0. В этом случае получаются матричные элементы для развала.

При 卩=0 в (8.82а) в пределе М1 -> М возникает 6-функция

〈％о,р I =》〈Фо I "yp = <Фо I (% + PG”)=

=<фо I (^Р + ур^оур + •••)•(8.83)

Поэтому мы модифицируем эту пробную функцию и запишем

< Хо,р I = Е <Фо I Мур — <ф01 %.(8.84)

Введение этой модификации в уравнение (8.81) при В = 0 дает вариационный принцип ПШР для случая развала [127].

Исследуем теперь связь между пробными функциями и волновой функцией рассеяния. Из (2.99), (2.1016), (2.104) и (3.75) при Мдв = Мов находим

I Хо,аш〉= %(屮黒一^аа | Фаш〉)・(8.85)

Потенциал va в (8.85) отсекает большую часть асимптотики функции рассеяния | 屮康〉. Вклад в асимптотической области получается только при о = а

入/да%

〈三а，"а I %а,аш〉~ % (Ea)Wam (Еа) ~Г •(8.86)

刀 а—8а

Далее, если потенциал квадратично-интегрируемый, то остаток тоже квадратично-интегрируем. Упругий канал и канал с перестройкой не приводят к каким-либо трудностям в принципе Кона, и эти каналы следует учитывать в принципе ПШР также посредством введения точных асимптотических решений. Сложная часть состояния I2镖〉, описывающая конфигурацию с тремя свободными частицами, частично подавляется в равенстве (8.85) потенциалом %. В пробной функции I %。, am〉эту часть можно аппроксимировать суперпозицией квадратично-интегрируемых функций при условии, что потенциалы являются короткодействующими. Используя (8.47) с a = 0 для асимптотического поведения трех свободных частиц, которые испускаются в реакции развала, можно для р -> оо записать

(8.87)(8.87)eihp

(8.87)

(8.87)

〈Wo, "о I Xo,am〉~ % &) ^у^,

что дает (ср. с (8.41))

/ I х j 吟(pcosa) \%am,a I Xa,am/ ~ ] dp 5—

J P

Л/200

=J d&dT](j J da sin2 a cos? a J dp 増(p cos a)= о0

Л/200

=J d%dT](j J da sin2 a cos a J d% № (力)< oo, (8.88) о0

так что вклад, возникающий от трех частиц в континууме, является квадратично-интегрируемым. Аналогичное утверждение можно сделать для пробных функций (%рп, Р | •

Поэтому асимптотические корреляции частиц и граничные условия для состояний развала не представляют никаких трудностей в принципе ПШР. Поскольку сам принцип основан на формализме Фаддеева, то физическое граничное условие трехчастичного рассеяния учитывается автоматически. Включение этого граничного условия в формализм представляет обычно главную трудность и является главной заслугой теории Фаддеева. Принцип ПШР, будучи обобщением швингеровского принципа на уравнения Фаддеева, использует преимущество последних и поэтому предпочтительнее принцица Кона. Он, т. е. принцип ПШР, сводит задачу развала к расчету матричных элементов. Единственная трудность возникает из-за сингулярной структуры свободной функции Грина в матричных элементах〈％|go|%〉・

Функции упругого канала и канала перестройки были нарочно опущены в формализме ПШР. Это дает то преимущество, что резольвенты каналов gi (z) не появляются. Грассбергер, Альт и Сандхас показали, что функции двухчастичных каналов можно легко исключить, выбирая величину

%a = d — 6pa) go 1 + £ 力Tgo/a(8.89)

в качестве оператора Л в основном уравнении (8.73). Однако в этом случае, как и ожидалось, появляются резольвенты каналов.

Пайпер, Шлезингер и Райт применили свой метод к рассеянию трех различных частиц и к рассеянию трех

одинаковых бозонов [121]. В обоих случаях использовались сепарабельные потенциалы Ямагучи и рассматривалось рассеяние только в s-волне. Была получена быстрая сходимость по отношению к числу параметров. В примере с различными частицами 40 параметров было достаточно, чтобы получить результат с точностью до 5 десятичных знаков. В примере с одинаковыми частицами для получения той же точности была необходима примерно одна треть от вышеуказанного числа параметров. Объем вычислений был достаточно малым, что делает несложным учет спина, изоспина, а также дополнительных сепарабельных членов в потенциале. Это и было сделано Пайпером [122] в расчете нуклон-дейтронной поляризации.

Для локальных потенциалов потребуется еще одно численное интегрирование, а пробные функции должны быть более гибкими. Пайпер, Шлезингер и Райт полагают, что и такой расчет также возможен на современных ЭВМ. Но здесь можно быстро достичь предела производительности, и, следовательно, принцип Кона с волновыми пакетами или гиперсферическими функциями тоже по-видимому имеет шансы на успех, в особенности для задач, подобных взаимодействию в конечном состоянии или резонансам.

Отметим, наконец, другой интересный метод, аналогичный методу ПШР. Обобщение (8.73) с использованием двух разных пробных операторов 厶 ц i2 для двухчастичной 7-матрицы

[-4] — 4； + 4； — 4；4 7；,(8.90а)

4； = d + WoG,(8.906)

4 - G,(8.90в)

привело Слоана и Бреди [122] к вариационному принципу

[订=и 十 Ugo〃 + 力2go"—力2go力1 十力2g卢go力.(8.91) Они с успехом применили этот принцип к уравнению Липпмана — Швингера для двухчастичной Г-матрпцы [123] и к уравнению (5.39) типа уравнения Липпмана — Швингера для задачи трех тел с сепарабельным потенциалом [124].

Дополнение 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ МНОГОЧАСТИЧНОГО РАССЕЯНИЯ

В этом дополнении мы дадим более детальное, чем в основном тексте, описание развитых к настоящему времени методов решения задач теории многочастичного рассеяния (уравнений типа Липшмана — Швингера и Фаддеева). Ряд этих методов лишь упомянут в основном тексте книги, а некоторые из них были развиты уже после выхода английского оригинала книги. Поскольку часть этих методов широко используется для решения практических задач теории рассеяния, а остальные представляются нам весьма перспективными, то мы сочли целесообразным дать их более подробное описание.

Все приближенные методы, используемые для решения интегральных уравнений теории рассеяния, можно несколько условно разделить на две категории (мы не рассматриваем здесь прямые методы превращения интегральных уравнений в алгебраические ——см. об этом основной текст):

А. Методы факторизации интегральных ядер или входящих в них операторов рассеяния.

Б. Итерационные методы (и методы, использующие итерации ядер, например метод моментов Воробьева [1]).

Общее представление об этих методах дано в главах 4, 6, 7 основного текста; однако наибольший интерес для практических применений представляют не эти общие сведения, а конкретные реализации каждого подхода, а также сравнение эффективности различных подходов, что и составляет основное содержание данного приложения.

А. Сепарабельные разложения операторов рассеяния

Существует много методов сепарабельного разложения потенциалов и i-операторов. Отметим среди прочих, метод квазичастиц Вейнберга (см. основной текст); под.

ход, основанный на методе Бубнова ——Галеркина [2], методы Бейтмана [3] и фурье-разложения [4], унитарно-полюсное разложение [5], метод Адхикари — Слоана [6], Ковальского — Нойеса [7] и др. Однако среди всего разнообразия подходов чаще используемыми и, вероятно, наиболее физически и математически обоснованными являются следующие методы, которые и будут рассмотрены ниже: метод Адхикари — Слоана (АС), унитарно-полюсное разложение (УПР), метод Бейтмана и в меньшей степени ——подход Ковальского — Нойеса (КН). Каждый из указанных подходов основывается на прозрачной идее и опробован в большом количестве частных случаев. Более того, указанные подходы допускают достаточно простое обобщение на системы из трех и большего числа частиц.

Унитарно-полюсное разложение (УПР).

Уиитарно-полюсное разложение, развитое Хармсом [8] и широко использованное для 32У-расчетов группой Левинжера, является особым, случаем метода квазичастиц или метода Гильберта — Шмидта, когда энергия z не является переменной, как в подходе Вейнберга, а фиксируется при каком-либо удобном значении. При этом i-матрица будет унитарной прп положительных энергиях, но само сепарабельное разложение теряет свой диагональный вид, свойственный разложению Гильберта ——Шмидта. Обычно значение энергии в УПР берется равным либо нулю, либо энергии двухчастичного связанного состояния ——Ев. При этом ядро уравнения Липпмана —— Швингера G°(—Ев) V можно симметризовать и получить ядро типа Гильберта — Шмидта

Kt = G^(- EB)VtG^(-E^

Если теперь определить систему собственных функций этого ядра (опускаем для простоты индекс Z)

Kyn = ХпХп(Д1Л)

и разложить потенциал V и само ядро по этой системе функций, то ^-матрица также будет сепарабельной (но недиагональной) в этом базисе:

N

力ПР($)=工 I Xn> Anm (s) <Xm|,(Д1-2)

где

(А 1 (s))nm —入п'бптп + <Xn I 伉(S)I %jn\

Если ограничиться одним членом в этом разложении, то получим известное унитарно-полюсное приближение (УПП), которое широко использовалось на ранних этапах SN-вычислений. Это приближение в случае, когда в данной подсистеме доминирует околопороговое связанное (или резонансное) состояние, имеет то большое достоинство, что построенная на его основе сепарабельная i-матрица имеет ту же энергию и волновую функцию связанного состояния, что и соответствующая точная 2- матрица (и аналогично для резонансного или в иртуаль- ного состояний), т. е. iynn (р, q, s) весьма удовлетворительно воспроизводит точные значения ^-матрицы вне массовой поверхности вблизи полюса s =—瓦.Однако при удалении от полюса качество приближенил быстро ухудшается. Хорошей иллюстрацией сказанного служит ) табл. 1, где приводится сравнение ^УПп с соответствующей точной i-матрицей для притягивающего потенциала Юкавы:

卩⑺=―兀exp (—juj/卩г

при следующих значениях констант:

卩=0,633 ф-1, Го = 0,9950 ф-2,

что дает Ев = 2,225 МэВ.

Особенно хорошо УПП работает в том случае, когда исходный потенциал имеет наряду с притягивающей периферией сильную отталкивающую сердцевину, подобно так называемым NN-реалистическим потенциалам (потенциал Рейда, Хамады — Джонстона и др.). В табл. 2 приводится сравнение УПП и точной 力-матрицы, рассчитанных для 】So потенциала Рейда [9] *). Хорошо видно превосходное согласие приближенных и точных ^-матриц при малых энергиях. Причем при умеренных импульсах р и к (не превосходящих 2ф-1) УПП работает для сложного потенциала Рейда лучше, чем для простого чисто притягивающего потенциала Юкавы. Причина этого такая. Для чисто притягивающих потенциалов все собственные значения 九“ (Д1.1) имеют одинаковые знаки, и

р

k

V (p.fe)

ty (Р, А；—0,1)

t (P,fe；—0,1)

ty (P,M—0,5)

£ (p,fe；—0,5)

ty5田；一3)

t(рЛ>—3)

0,003

0,003

—2,49799

—14,0242

-14,4024

-3,4755

—4,0667

-1,9775

—2,7962

0,104

0,003

-2,43296

-13,9119

-14,2520

-3,4477

-3,9934

-1,9617

—2,7298

0,953

0,003

-0,76491

-8,5849

-8,3264

-2,1275

-1,8734

-1,2105

—0,9980

0,953

0,104

—0,76443

-8,5161

—8,2747

-2,1105

—1,8685

—1,2008

—0,9970

4,665

0,003

—0,04517

-0,9751

—0,9368

—0,2417

—0,1979

-0,1375

—0,0885

4,665

0,104

—0,04518

—0,9673

-0,9310

—0,2397

—0,1975

-0,1364

-0,0885

4,665

0,385

—0,04527

—0,8792

—0,8648

—0,2179

-0,1920

-0,1240

—0,0881

4,665

0,953

—0,04576

—0,5969

-0,6372

—0,1479

—0,1692

—0,0842

—0,0861

4,665

2,092

-0,04824

—0,2546

—0,3287

—0,0631

-0,1251

-0,0359

—0,0809

4,665

4,665

—0,06194

—0,0678

-0,1476

-0,0168

-0,0930

—0,0096

—0,0797

Таблица 1

УПП для потенциалов Юкавы

Импульсы р и fe даются в 巾~'・ Юкавский потенциал в s-волне V(p,瓦)выражен в ф~2. %(「,丸；s) — t-матрица вие массовой поверхности (в 巾一?) в унитарно-полюсном приближении, s——энергия в 巾一?• £ (р,瓦；s)——«-матрица, найденная путем численного решения уравнения Липпмана — Швингера.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 0 11PHВЛ0ЖЕШ1Я 207

208

ДОПОЛНЕНИЕ 1

р

V （РЛ）

ty （р,к；о）

£ （рЛ；0）

ty（0漳;一0,5）

Е（0,丸；一0,5）

ty （P.fe；—3）

t （p,h；—3）

0,004

0,004

0,81769

-10,9533

—10,9529

-1,5391

—1,5908

-1,1588

—1,2341

0,153

0,004

0,86926

— 10,7799

-10,7642

-1,5147

-1,5561

—1,1404

—1,2031

0,567

0.004

1,12867

—8,9424

—8,8170

— 1,2566

—1,2311

—0,9460

—0,9224

0,567

0,153

1,13907

—8,8008

—8,6774

—1,2367

—1,2161

-0,9311

—0,9105

1,405

0,153

1,71159

-3,1385

-2,9299

-0,4410

—0,3945

—0,3320

-0,2597

1,405

0,567

1,73413

—2,6036

—2,4363

—0,3658

—0,3457

—0,2754

—0,2243

1,405

1,405

1,85721

—0,9285

—0,8258

—0,1305

-0,1112

—0,0982

-0,0433

6,878

0,004

1,33278

—0,6971

0,7706

0,0979

0,1038

0,0737

0,0921

6,878

0,567

1,33120

0,5991

0,6398

0,0800

0,0998

0,0602

0,0921

6,878

3,084

1,27858

—0,2374

—0,1750

—0,0334

0,0699

—0,0251

0,0988

6,878

6,878

1,01729

—0,0444

0,0294

—0,0062

0,0794

—0,0047

0,0902

Таблица 2

УПП для потенциала Рейда в состоянии 150. Смысл величин тот же, что и в табл. 1

добавление следующих членов в УПР увеличивает притяжение приближенного потенциала. В случае же взаимодействий типа NN-потенциала Рейда собственные значения Хп имеют чередующиеся знаки, так что, начиная с п = 2, последующие сепарабельные члены в значительной степени компенсируют друг друга. Именно благодаря этому обстоятельству （и доминирующему вкладу от полюсов как в триплетном, так и в синглетном каналах с Z = 0 для NN-рассеяния） УПП обеспечивает хорошую точность и для 3№задачи （энергии связи 3Н и 3Не и низкоэнергетическое nd-рассеяние） — см. ниже. Сепарабельные члены в УП-разложении, отвечающие притяжению, называются Л-членами, а члены, отвечающие отталкиванию, jR-членами. Численные расчеты, проведенные Афнаном с сотрудниками [10], а также другими исследователями, показывают, что для достижения необходимой точности в SN-задаче с потенциалом Рейда необходимо взять около четырех сепарабельных членов （2厶+2左） в каждом существенном NN-канале, так что размерность получающейся системы одномерных уравнений Фаддеева для 3№системы оказывается значительной （> 15）.

Теперь кратко опишем УП-разложение для связанных каналов, например 3s—3D при наличии тензорного взаимодействия [10]. Симметризованное ядро системы уравнений Липпмана — Швингера будет

К"，= G:" （-矶）匕r式"（一еB）=

=i |Ф7〉а№〈Ф?1， （Д1.3）

где, как обычно, состояния | фГ> суть решения однородной системы уравнений Липпмана — Швингера:

一不 к“，|Ф7〉= %п|ФТ〉 （Д1.4）

с нормировкой 2 <фГ I ©Т'〉= 6m?n<.

Тогда обрезание суммы в （Д1.3） дает 2У-членный сепарабельный потенциал

也=2 |хГ>ДГ<хГ| （Д1.5）

14 э. Шмид и X. Цигельман

с форм-факторами

侬〉= g#(—矶)| ©7〉 и обобщенной матрицей пропагатора

Ап7 = А^Вц'А^1,(Д1.6)

где 2VxMматрицы Л и 5 будут

[4】mw =〈ФТI фТ〉п [Вц']тт' = <ф^ IКЦ' I фУ? >.

Для центрального потенциала %，= 6〃，匕 матрица А“， диагональна по 2, 2‘.

Используя разложение (Д1.5), элемент полной i-матрицы для связанных каналов запишем как

々,3//;^)= 2 хГ(Р)^ <Е)^ (У),(Д1.7)

где матрица D^ (Е) = А-1 + (%|G0(5) |х) и матрица А дается выражением (Д1.6), |%〉一 матричный столбец размерности 2N формы:

I*〉

I%〉三洒〉，(Д1-8)

向〉一

а (%| — соответствующая строка.

Существенным моментом здесь является зависимость матрицы пропагатора 5, от индексов углового момента (т. е. для 3s—3/) связанных каналов получаем фактически четыре отдельные матрицы О). Это приводит к неоправданному увеличению размерности системы фаддеевских уравнений при использовании УПР в реалистической SN-задаче [10].

Если оставить в разложении потенциала (Д1.5) по одному члену в каждом элементе Р”，，то получим УПП для связанных каналов. Сравнение приближенных и точных значений i-матрицы впо массовой поверхности

£"'(Р，9； Е), рассчитанной для ММ^потенциала Рейда показывает [5], что аппроксимация ^оо так же хороша, как и для синглетного случая, тогда как аппроксимация величин 力02 и 力22 менее удовлетворительна. Аналогичное сравнение на массовой поверхности удобно сделать путем сопоставления УПР и точных фазовых сдвигов. Такое сопоставление показывает [5], что s-фаза при низких энергиях хорошо воспроизводится УПП, а при высоких (> 100 МэВ) значительно хуже (УПП-фазовый сдвиг при энергиях выше 150 МэВ не меняет знака, в отличие от точной з$т巾азы). Параметр смешивания 8 неудовлетворительно воспроизводится УП-приближением (точные и приближенные значения е имеют даже разные знаки). /)-фаза также воспроизводится но вполне удовлетворительно, хотя и лучше, чем для стандартных сепарабельных потенциалов типа Ямагучи. Тем не менее, поскольку 3N- результаты для УП-прибли?кепия довольно близки к точным, SN-задача (по крайней мере при низких энергиях) малочувствительна к точным значениям io2 и 力22, хотя общее поведение этих i-матриц, вероятно, имеет значение.

Резюмируя, можно сказать, что УПР-метод сепараби- лизации i-матрицы очень хорснп для знакопостоянных потенциалов, где достигается быстрая сходимость разложения с форм-факторами, не зависящими от энергии, и /-матрица во всех порядках является унитарной. Для реалистических же NN-потенциалов типа потенциала Рейда, УПР-метод скорее всего оправдан только в виде УПП, т. е. при использовании лишь полюсных членов в соответствующей i-матрице. Улучшение же УПП-результатов путем увеличения числа сепарабельных членов, т. е. переход от УПП к УПР представляется мало оправданным.

Метод Бейтмана.

Метод Бейтмана [3] основывается на совершенно других предпосылках, нежели УПП и УПР. Поскольку общая схема хорошо изложена в известных математических руководствах [11], мы изложим лишь применения метода к задачам теории рассеяния (мы будем следовать работам Беляева с сотрудниками [12, 13] и Харченко с сотрудниками [14]).

Фактически метод Бейтмана представляет собой метод приближенной сепарабилизации функции двух 14*

переменных

N

%N]（力,у） = E 4 （力,S"）才E 4 （Sn, у）, （Д1.9）

где

/1 （瑞 у） = F （%，力，

л3, y） = 4—2 //） - &T 衿？ *“）, （Д1.Ю）

^n-l v П-l» ^n-1）

"2, 3,...,

a Si, $2, • •., Sg, ... — некоторые точки в интервале изменения переменных хну. Согласно （Д.1.10） ЛП（5Ь у）= =4（力，S, = 0 для Z V п.

В частности, для W = 1 （одпа бейтмаповская точка） имеем

_ь Gl，y）

F 住，sj

и T. Д.

Вместо рекуррентных соотношений для функций Ап можно записать явные формулы для /“（％, у） через определители [14]

4（%, У）=歹（瑞 D）,

F3,，、歹 С】，у）

f \b（£, S］）"（2, a）

2'，力ь%, s'

"（S］, S］）" （sp $2） ' ■ ■" （s「$n-i）歹（$1，У）

b （$2, S，歹仇，$2）…F（S2, S,_1） F （S,, y）

"（sg-l，Sl） 〃（$71-1，s，2）'（S"—1，s?i-］） ^（sn~vy）

〃（z, S］） 歹（z，$2）■ ■ • F（JC, sn ^〃（£,?/）

У）二帀^D—/（"，sj … 岷,sQ ，

"（$2，$1）" （§2，％）…〃（电，§冗г）

（Sn-V 51） "（sn-U *S2）（Sn-V lSn-l）

（Д1.11）

причем для симметричной функции 歹(力,у) все функции 4(%, у) также симметричны.

Идея, стоящая за этими достаточно громоздкими формулами, очень проста: функции Ап{х, у) определяются так, чтобы приближенное (факторизованное) выражение (Д1.9) для функции F(x, у) совпадало с 歹(力,у) на семействе 2N взаимно ортогональных прямых:

力=S[, ж = S2, . . •, ^ — SN, D = S1, .. у = SN.

Действительно, вместо однократной суммы (Д1.9) разложение Бейтмана можпо записать в следующем наглядном виде:

У 3 9)= £ 卩(Р, s。D^V (sj, g),ij

где (Z)")ij= У7% t. e. 0仃 есть матричный элемент от обратной матрицы потенциала.

Таким образом, требуется хорошая поточечная аппроксимация потенциала в импульсном представлении 匕(”，q) как функции двух переменных. В данном случае это представляется, вообще говоря, излишним, поскольку для решения уравнений Фаддеева требуется хорошая сепарабельная аппроксимация не двухчастичного потенциала, а i-матрицы или даже оператора Got, что совсем не одно и то же.

Отметим, что УП-аппроксимация использует для сепарабельного разложения аналитические особенности именно 力-матрицы, а не потенциала. Поэтому сепарабельные разложения, найденные по методу Бейтмана, по-ви- димому, не будут самыми оптимальными в смысле количества сепарабельных членов, необходимых для достижения заданной точности (в разложении i-матрицы), хотя, конечно, хорошая аппроксимация потенциала достаточна для хорошей аппроксимации i-матрицы. Перейдем теперь к результатам конкретных применений метода Бейтмаиа. Наиболее полные расчеты SN-систем на основе бейтма- новских разложений потенциала были проделаны Беляевым с сотрудниками [12, 13]. Не вдаваясь в детали этих расчетов, отметим лишь, что точность бейтмановского разложения, которую в работах [12] предлагается оценивать по норме разности приближенного и точного

потенциалов

2 = f I 卩(p，q)—仆(p, q) I? p (p, q) dt 小 『Wp, q) 12 P (p, q)M

существенно зависит от выбора узловых точек s?. А поскольку сколько-нибудь строго обоснованных правил для выбора узловых точек не существует, то приходится проводить численную оптимизацию на ЭВМ нормы разности (Д1.12), что представляет собой весьма трудоемкую процедуру численной минимизации сложной функции от многих переменных (si, $2,…，Sn). Заметим, правда, что подобную процедуру для данного потенциала необходимо провести всего один раз (при заданном числе бейтманов- оких узлов N), а дальше ужо однажды найденный прп- ближенный потенциал можно использовать для многих трехчастичных расчетов.

В последующем метод Бейтмана был применен для решения еще двух классов задач теории рассеяния.

Во-первых, Беляев с сотрудниками [13] применили его для решения трехмерного уравнения Липпмана — Швингера, т. е. без разложения его на парциальные волны. При этом вместо скалярных промежуточных точек Si вводятся промежуточные векторы |{ (расположенные в плоскости рассеяния, задаваемой начальным и конечным импульсами), с помощью которых сепарабели- зируется потенциал V (р, q). Следует при этом иметь в виду, что локальный потенциал в импульсном представлении зависит только от разности аргументов (р — q) и, строго говоря, сепарабельное разложение такой функции не будет сходиться. Этот дефект, однако, относится к области больших значений импульсов р и q и практически несуществен. Подробнее об этом будет сказано ниже.

Во-вторых, Харченко с сотрудниками [14] с успехом применили этот метод для решения задачи трех, а затем и четырех частиц. В трехчастичной задаче бейтманов- скоо разложение используется для сепарабельного разложения ядра уравнения Фаддеева U (р, р'; К) (такое трехчастичное ядро получается при использовании в двухчастичной системе сепарабельных потенциалов). В четырехчастичной задаче бейтмановская сепарабилиза- ция исцользуется для разложения трехчастичной ампли-

туды вне массовой поверхности, входящей в ядра четырехчастичных уравнений (см. Дополнение 2). Поскольку такой подход является весьма перспективным для решения интегральных уравнений многочастичного рассеяния (с N > 3), приведем некоторые подробности [14].

При использовании в качестве двухчастичного взаимодействия сепарабельного потенциала

V(k, 我)= 一令g®g出)，

а（Р）=а（Р）=С g(H/4p2 + p，2 + PP%)g(M р^+Мр^+рр'н) Y + р2 + Р，2 + РР，ХС g(H/4p2 + p，2 + PP%)g(M р^+Мр^+рр'н) Y + р2 + Р，2 + РР，Хгдегдетрехчастичное уравнение для системы трех одинаковых бесспиновых частиц (для простоты рассмотрим задачу па связанные состояния) будет

а（Р）=

а（Р）=

С g(H/4p2 + p，2 + PP%)g(M р^+Мр^+рр'н) Y + р2 + Р，2 + РР，Х

С g(H/4p2 + p，2 + PP%)g(M р^+Мр^+рр'н) Y + р2 + Р，2 + РР，Х

где

где

а ядро

(Д1-13)

Затем это трехчастичное ядро сепарабилизируется согласно методу Бейтмана (Д1.9) — (Д1.10), и в результате интегральное уравнение сводится к алгебраической системе небольшой размерности. В частности, энергии связанных состояний находятся из условия обращения в нуль детерминанта полученной алгебраической системы:

гдеRmn (K)гдеRmn (K)А (К) = dot 16mn — Rmn (К) I; m, n= 1, N;

где

Rmn (K)

где

Rmn (K)

4n% f (P, K) 4n(P, S"； K) 2 j %(sin； K) J —d(/Y十 ％衣p ap

Некоторой особенностью бейтмановской процедуры здесь является то, что. приближаемое ядро зависит еще

и от полной трехчастичной энергии W = К2]М, причем при W > 0 ядро имеет неаналитическую особенность (см. основной текст). Поэтому, хотя в области WV0 метод весьма эффективен [14]—единственное отличие от стандартной процедуры заключается в появлении энергетической зависимости в бейтмановских форм-факторах 4(Р, $*； К)，一 но при положительных энергиях применимость вышеописанной процедуры может быть сомнительной.

Тем не менее процедура сепарабилизации Бейтмана была с успехом применена Савицким [15] в сложной задаче о развале 4№системы в рамках четырехчастичных интегральных уравнений Грассбергера ——Сандхаса для сепарабилизации SN-амплитуд при положительных энергиях.

Совершенно аналогичный подход был предложен в работах [4,16]. Единственное отличие этого подхода от процедуры Бейтмана заключается в том, что в качестве базиса сепарабельного разложения здесь используются не сечения самой приближаемой функции U (s“ р, К), а какая-либо полная система функций {屮“(？)}, не обязательно ортонормированная, по которой осуществляется фурье-разложение:

у(Р2 д) = £ Сп.тфп (р) срт(9) для потенциала,

叮

Uij (a m k)= ^ c像(К)嬴(p)膈 ⑺

для трехчастичного ядра;

здесь Ui}(p, р'; К)—матричное трехчастичное ядро, получаемое при сепарабельном разложении двухчастичного потенциала. В работе [4] показано, что в ряде случаев удобный базис разложения {屮“(р)} можно прямо найти среди формул теории специальных функций. В простых случаях, в частности для гауссовских двухчастичных потенциалов, оказывается достаточным взять базис из четырех функций как для двух- так и для трехчастичной системы, т. е. 4 X 4-разложение как для У(А 9), так и для U£p, р'; К) [4,16]. Это дает при ре-

тлении трохчастичпой задачи простую алгебраическую систему размерности 16 X 16, причем, в отличие от процедуры Бейтмана, не требуется отыскивать узловые точки s„, это экономит много усилий в сложных случаях. Описанный метод фурье-разложений представляется простым для реализации и весьма эффективным, однако его применимость в области положительных энергий РИ > О для разложения трехчастичного ядра (Д1.13) также может оказаться проблематичной.

Некоторые надежды на успех, однако, вселяет работа Осборпа [16], который на примере двухчастичного рассеяния показал, как можпо учесть появляющиеся сингулярности по энергии.

Метод А дхикари — Слоана [6].

Подход Адхикари ——Слоана (Adhikari — Sloan) основывается на следующих по вполне строгих, но разумных соображениях. Рассмотрим интегральное уравиепие t=V^Kt(Д1.14)

и приблизим ядро К оператором коночного ранга

Ks = £ К I ипУ dnm ^m I •(Д1.15)

n,m

При подстановке Ks вместо К в (Д1.14) находим, что в приближенное решение входят только проекции точного решения на подпространство {р} = {〈力|,〈實|,…，(yN|}, и поэтому качество приближения зависит фактически не столько непосредственно от свойств ядра, сколько от свойств решения, которое в конечном итоге также определяется ядром. В частности, ядро уравнения Липпма- на — Швингера GqV сингулярно при положительных энергиях, решение же будет гладкой функцией. Следовательно, более разумно при выборе базиса сепарабельного разложения исходить из свойств решения, а не ядра. Выбор же базиса для аппроксимации решения уравнения равнозначен выбору некоторого конечномерного пространства, в котором и рассматриваются операторы. В частности, из разложения (Д1.15) следует равенство

К，1〃”〉==: К|〃п〉， и = 1, 2, ..., N.

Таким образом, при действии приближенного оператора Ка на произвольную линейную комбинацию, составленную из векторов базиса |〃*〉，получается точно тот же результат, что и при действии точного оператора К, т. е. приближенный оператор Кя совпадает с точным в подпространстве, натянутом на векторы | ип). Если теперь допустить, что

〈Dm I 〈3m I К, 771 1, 2, . . ., N,

где векторы (wm\ пока по определены, то из (Д1.15) также следует, что для произвольной функции |〃〉(если только К\и) существует) проекция вектора 乂|〃〉на подпространство {〈山,》|} также является точной (т. е. совпадает с проекцией точной величины К|〃〉).

Иными словами, в АС-методо основной упор делается на аппроксимацию потенциалов и ядер уравнений в операторном смысле, а не в смысле поточечной аппроксимации, как в методе Бейтмана. В определенном смысле УПП-метод также основывается на свойствах решения, а не ядра. Например, вблизи полюса f-матрицы УИ-при- ближение является очень хорошим, хотя аппроксимация потенциала одним УП-сепарабельным членом является плохой (см. табл. 1 и 2).

Более того, подход Адхикари — Слоана представляется перспективным и с той точки зрения, что он обеспечивает удобный переход к проблеме трех, четырех и так далее частиц, поскольку в ядра интегральных уравнений для N частиц входят, в качестве основной части решения уравнений с меньшим числом частиц. Причем АС-подход допускает либо сепарабельное разложение только ядра, без сепарабилизации неоднородного члена, либо сепара- билизацию и того и другого (это зависит от цели аппроксимации) .Преимуществом АС-подхода является также большая гибкость при выборе базиса (см. ниже) и то, что при определенных частных выборах базиса мы можем получить другие методы аппроксимации (метод Вейнберга, Бейтмана и т. д.).

Итак, в методе Адхикари — Слоана исходят из разложения потенциала общего вида

卩 т 匕=» VI ипу Dnm (ут I,(Д1.16)

гдо (D~l')mn = {vm\u^\ п, т~ i, 2, ..., TV, а 〈力|, (Р2), . • ., 〈Dn| — второй набор функций, выбор которых подчинен первоначально лишь требованию, чтобы N X X N-матрица D~l была несингулярной. Как уже отмечалось, при этом справедливо равенство

匕 |〃“〉= Р|""〉，九=1,…，М

Выбор функций |〃п〉 (и это существенно) определяется целями аппроксимации, а не делается «универсальным образом», как например, в методе Бейтмана. Например, в ядре уравнения Липпмана — Швингера оператор V действует на произведение G°力 где 力——плавная функция импульса. Следовательно, в этом случае удобно выбрать базис так:

I М"〉== Gq I /п\

где |/„〉一 плавпая функция импульса.

При таком выборе получаем

匕=n г仇1%〉5加〈^1,(Д1.17)

n(m—1 где

{D^)nm = {vm\GQ\f^ и УДо|/п> = ^о|/„>.

Такой базис приводит к зависящему от энергии разложению для потенциала. Однако эта энергетическая зависимость может быть как раз нужной (или удобной) для сепарабельной апцроксимации i-матрицы.

Поело введения разложения (Д1.17) в уравнение Липпмана — Швингера

t=V+VGotf

находим выражение сепарабельной i-матрицы

力=£ TG.\h^ Jnm<vm\, (Д1Л8)

где

(J 1) пт ^Vm I G° J Ь/пУ и новый набор базисных функций

\htl)=\fn)-VGQ\fn).

Из (Д1.18) теперь находим

力 Go®〉= /Go|%“〉；(Д1.19)

т. е., учитывая, что ядро уравнений Фаддеева есть оператор 力Go, заключаем, что выбор разложения в виде (Д1.17) дает аппроксимацию трехчастичного интегрального ядра, которая точна в пространстве, натянутом на векторы I Ап), хотя аппроксимация (Д1.17) для потенциала в смысле поточечной аппроксимации может быть неудовлетворительной.

До сих лор выбор второго базиса〈％| никак не детализировался. Используем теперь свободу в выборе этого базиса. Адхикари и Слоан исследовали пять возможных выборов бра-векторов〈％|

\)/ \J/ \lfz- \7 \J/ (a6 伊什 R\)/ \J/ \lfz- \7 \J/ (a6 伊什 R〈％| = </т|,

\)/ \J/ \lfz- \7 \J/ (a6 伊什 R

\)/ \J/ \lfz- \7 \J/ (a6 伊什 R

〈％| =〈/m|GoR〈％x| =〈/m|G^,

(vm\ = (/m| V и заменой | wn) на |/„), 〈％ I =〈0m I 力，

где pi,…，Pn — некоторые выбранные значения импульса. Выбор (а) является самым простым и требует меньше интегрирований, чем другие варианты, однако при этом приближенный потенциал не является симметричным (как исходный) и поэтому /-матрица не удовлетворяет правильному соотношению унитарности. Тем не менее Адхикари и Слоан [6] показали, что этот простой базис очень удобен при аппроксимации ядра уравнения Липпмана ——Швингера. Выбор (б) делает /-матрицу симметричной (для действительных а вариант (в) приводит к явно эрмитовскому приближенному потенциалу, и следовательно, к /-матрице, удовлетворяющей правильному соотношению унитарности. Случай (г) дает действительный и эрмитов потенциал и наиболее употребителен. Наконец, выбор (д) является наиболее интересным, хотя и наиболее трудным для реализации, поскольку этот вариант приводит к важному свойству приближенного i-оператора:

〈〃"I 厶=〈夕m IZ, m = 1, ..., TV.

Это означает, что матричный элемент 〈p|h|p'〉совпадает с точным матричным элементом в N разных точках рт, т. е. является односторонним аналогом метода Бейтмана, но уже пе для потенциала, а прямо для ^матрицы. Если, в частности, одно из значений рт совпадает с импульсом на массовой поверхности, т. е.卩=/с, то приближенная 力-матрица будет совпадать с точной па «полувиемассовой» поверхности, когда один из импульсов лежит па, а другой вне массовой поверхности. Это дает односторонний аналог известного приближения Ковальского — Нойеса (см. ниже). Важно добавить, что указанное полезное свойство приближенной 力-матрицы дополняется соотношением (Д1.19), которое все еще справедливо.

В практических расчетах вариант (д) удобпо скомбинировать с более простыми вариантами, например (г). Это обеспечивает хорошую аппроксимацию ^-матрицы как вблизи полюса (где используется именно разложение (д)), так и вдали от него, где разложение типа (г) хорошо сходится. Причем точную 力一матрицу, необходимую для аппроксимации (д), тоже удобно вычислять через разложение типа (г), но взяв в нем больше членов. Как показывают конкретные расчеты [6], такой гибридный базис обеспечивает наиболее экономную сепарабельную аппроксимацию 力-оператора среди всех использованных методов (см. ниже).

Укажем другие частные случаи, следующие из общих формул, приведенных выше. Если в качестве |/п) в разложении (Д1.17) взять правые собственные функции I 屮“〉ядра VG0, а вместо (рп[ — левые собственные функции 〈屮М ядра GqV, т. е.

VG^) |ipn) = 1b(Е) 1“〉，

_—(Д1.20)

〈Wm|Go(E) V = 117n (笈)〈5 I，

то соотношение биортогональности

〈1pm I Gq J 屮л〉== 6mn〈4>n I G() | 屮”〉

приводит сепарабельное разложение (Д1.18) к ряду Вейнберга

力=у Q2 1必〉〈可m

Если теперь в (Д1.20) энергию Е выбрать постоянной и равной энергии связанного состояния, то получим унитарно-полюсное разложение Хармса, описанное выше. Если же в качество базисных функций | ип) в (Д1.16) взять собстпонные состояния полного гамильтониана % + 卩(как дискретного, так п пепрерывпого спектра), а в качестве (ут | взять функции

I 〈"m I V,

делающие потенциал Vs симметричным, то получим сепарабельное разложение, предложенное Эрнстом с сотр. [17]. Это разложение, хотя его и сложно получить, также обладает рядом привлекательных черт, приводя, например, к сепарабельной ^-матрице, совпадающей с точной при заданных энергиях Е\,笈2, . • •, Е^.

И, наконец, выбирая в качестве〈〃|"加〉дельта-функ- цпп, т. е.

(р\ип) = ^(Р — Рп),九=1,7V,

и делая Vs симметричным, приходим точно к разложению Бейтмана для потенциала. Детальное изучение разных вариантов (а) — (д), сделанное в работах [6] для синглетного 】So NN-потенциала Рейда, показало, что при выборе в качестве |мп〉функций типа 1/(р2 + ^2)Сп(р), где Сп(р) — ортогональные полиномы, шесть членов разложения обеспечивают высокую точность аппроксимации /-матрицы при всех изученных энергиях (О W £ V V 300 МэВ), причем путем улучшения аппроксимации вблизи нулевой энергии с помощью варианта (д), число членов можно еще уменьшить. Аналогичные результаты были найдены Адхикари и Слоаном [6] и при анализе сепарабельного разложения в связанных 3sl——3£>гкана- лах для NN-потенциала Рейда.

Резюмируя, можно сказать, что подход Адхикари — Слоана весьма эффективен для широкого круга задач, причем достоинствами метода являются гибкость базиса, его аналитический вид и возможность использовать гибридный базис, т. е. разные аппроксимации при низких и высоких энергиях. Более того, именно использование АС-метода для сепарабельной аппроксимации 力-операторов позволило недавно Афпану и Биреллу [10, 18] довести, наконец, точность 3№результатов до уровня точ-

ности, полученной на основе прямых методов решения системы двумерных уравнений Фаддеева (см. ниже). Недостатком АС-метода, в отличие от метода Бейтмана, является необходимость изобретения удобного аналитического базиса операторного разложения.

。сходимости сепарабельных разложений операторов теории, рассеяния.

В этом разделе мы кратко обсудим с несколько более строгих позиций сходимость сепарабельных разложений, основываясь в основном па работах Осборпа [19] и группы Лсвинжера [5, 20].

Из основного текста книги известно, что оператор конечного ранга может аппроксимировать (но норме) с наперед заданной точностью лишь .компактный оператор. Оператор же локального потенциала или потенциала, содержащего локальную часть, есть оператор умножения (в координатном пространстве) и, следовательно, некомпактен. Это означает, что норма Гильберта ——Шмидта (см. основной текст) разности между точным и приближенными операторами расходится, т. е.

II V —畛2 ||г.-Ш8

для всех К? где N — ранг аппроксимации.

Если же использовать операторную норму, определяемую в гильбертовом пространстве 非 как

川=inf "пт2'

где ||/Нн — обычная норма функции в гильбертовом пространстве, то и в операторной норме сходимость V^ к V невозможна, т. е. нельзя найти такую последовательность RN)(N = 1, . . оо), чтобы

lim |卜一

Все эти факты, являющиеся прямым следствием пекомпактпости оператора локального потенциала, были известны уже давно. Заслугой же Осборна было доказательство (впрочем, довольно простое) того, что и ^матрица, соответствующая локальному потенциалу, также

является некомпактным оператором, и следовательно, как н потопцттал, ис допускает сходящейся по норме сепарабельной аппроксимации, т. е.

[卜(z)—旷(z) к._щ = °0 Для всех 灯)⑶， и аналогично для операторной нормы. Ход доказательства Осборна «на пальцах» выглядит так: оператор 力(z), удовлетворяющий уранению Липпмана — Швингера

力(z) = T+UGo(z)/(z)

является суммой пскомпактпого оператора V п произве- доштя компактного оператора VGo па 力.Если допустить, что 力(z)——компактный оператор, то приходим к противоречию, поскольку компактный оператор при этом оказывается равным сумме некомпактного п компактного операторов. Значит,力(z) некомпактен. И хотя более строгое доказательство требует более длинного рассуждения, общий вывод его тот же.

После опубликования работы Осборна возникла некоторая неясность относительно самого смысла сепарабельных разложений. Разрешение парадокса было дано в работах группы Левинжера [20], а также в статье Слоана и Грея [21] и заключается в следующем. Расходимость нормы Гильберта — Шмидта для потенциала означает, что Sp (卩卩十)=J <Р I VI p，〉2 dp d^r = J [/(q)]2 0q J Q3Q oo, где q = p — p，и Q = p + p'・ и ясно, что расходимость возникает благодаря очень большим значениям Q = р + 4- р'. Поэтому если ограничиться конечными (хотя и большими) значениями Q, то норма станет конечной, а соответствующий оператор компактным. Вместе с тем также ясно, что SN-данные при низких энергиях: энергия связи трития, длины nd-рассеяния и т. д.——нечувствительны к поведению двухчастичной 力-матрицы при очень больших импульсах (это было непосредственно показано в работах [22]). Следовательно, для одной цели (например, для расчета ЗЫ-эиергий связи) сепарабельная аппроксимация Z-матрицът может быть очень хорошей, а для другой ——скажем, для изучения поведения электрического форм-фактора основного состояния 3Н при больших q? — весьма плохой. Поэтому изучение качества се-

парабельной аппроксимации само по себе имеет мало смысла как и соответствующие численные критерии, если не иметь при этом в виду какую-либо конкретную цель. Заметим, что именно это положение и лежит в основе подхода Адхикари — Слоапа.

Сравнение результатов, полученных е 3^-системе с разными сепарабельными разложениями.

В этом разделе мы сопоставим несколько результатов, получоппых для ЗМ-системы с помощью разных сепарабельных разложений одних и тех же NN-потенциалов. Поскольку это сопоставление имеет лишь иллюстративную цель, то ограничимся сравнением результатов лишь для од пой величины — энергии связи 3Н. Мы рассмотрим два хорошо исследованных случая:

центральный потепциал Мальфлие — Тьоиа (МТ) [23] (номер 5 в классификации авторов), имеющий вид суперпозиции двух юкавских потенциалов разного знака, и

реалистический NN-потенциал Рейда, где учитываются лишь два канала:〔So — синглет, и 35i — ZD\ — триплет.

Для МТ-потенциала в табл. 3 сравниваются результаты УПП, УПР (см. п. 1 настоящего Дополнения) с двумя значениями Ев найденными с помощью:

Таблица 3

Сопоставление значений Е» для потенциала

Мальфлие — Тьона (учитываются только «S'-волны)

Метод1

%, МэВ

УПР

УПП

Прямое решение уравнений Фаддеева

Теория возмущений длн ^-матрицы

7,44

7,56

7,3+0,1

7,539

а) прямого решения двумерных уравнений Фаддеева [23, 24];

в) теории возмущений для ^-матрицы [25].

Таблица наглядно иллюстрирует хорошую точность упитарно-полюсного приближения при расчете энергии 15 э. Шмид и X. Цигельман

связи и малое отличие в результатах полного разложения (УПР) и первого члена (УПП). Вообще, многочисленные расчеты группы Левинжера показали весьма высокую точность УП-аппроксимации в SN-задаче в случае центральных потенциалов с отталкивающим кором. В частности, для центрального двухчленного сепарабельного потенциала Табакина было найдено [5]

Ев (УПП)一 8,60 МэВ;

Ев (точное значение) — 8,40 МэВ;

то же заключение следует и из прямого сравнения при отрицательных энергиях точных и УПП значений ^-мат- рицы для синглетного потенциала Рейда (см. табл. 2). Для связанных же 3sl — 3Di каналов точность УПП несколько хуже, что ужо обсуждалось выше. Это подтверждается и приводимой ниже табл. 4.

Таблица 4

Сопоставление величин Е^ б, найденных с помо-щью различных сепарабельных разложений для N N-потенциала Рейда

МетодЕ^, МэВ

УПП1А-приближение1А+теория возмущений1A+1R1A+1R+теория возмущений2A-j-1 R-|- теория возмущенийУПРАС-методПрямое решение уравнения ФаддееваУПП1А-приближение1А+теория возмущений1A+1R1A+1R+теория возмущений2A-j-1 R-|- теория возмущенийУПРАС-методПрямое решение уравнения Фаддеева7,457,457,157,156,956,997,037,027,02+0,26,97+0,037,06,956,997,037,027,02+0,26,97+0,037,0

УПП

1А-приближение

1А+теория возмущений

1A+1R

1A+1R+теория возмущений

2A-j-1 R-|- теория возмущений

УПР

АС-метод

Прямое решение уравнения Фаддеева

УПП

1А-приближение

1А+теория возмущений

1A+1R

1A+1R+теория возмущений

2A-j-1 R-|- теория возмущений

УПР

АС-метод

Прямое решение уравнения Фаддеева

7,45

7,45

7,15

7,15

6,95

6,997,037,027,02+0,26,97+0,03

7,0

6,95

6,997,037,027,02+0,26,97+0,03

7,0

Из этой таблицы следует, что УПП-розультат примерно па 0,5 МэВ отклоняется от точного, а точность полного разложения (УПР) около 0,2 МэВ. Точность же метода Адхикари — Слоана (0,03 МэВ) существенно выше, хотя размерность системы уравнений, подлежащей решению в АС-методе, ниже, чем в УПП [10, 18]. Нам неизвестно никаких других расчетов ЗМ-системы, сделанных с потенциалом Рейда на основе сепарабилизации 力-матри-

цы, однако и имеющиеся данные позволяют заключить, что для реалистической ЗК-задачи АС-метод дает более экономное и точное разложение i-оператора, чем другие предложеппые подходы.

Б. Итерационные методы

Итерационные методы в целом представляются более предпочтительными для решения сложных задач теории рассеяния по сравнению с другими имеющимися методами решения. Это обусловлено как общими преимуществами итерационных процессов (см. учебники по вычислительной математике, например кпигу Бахвалова [26]), так и характерными особенностями квап говомеханичс- ской теории рассеяния. Среди этих последних отметим следующие:

итерации интегральных уравпепий теории рассеяния (Липпмапа — Швингера, Фаддеева и т. д.) соответствуют борцовскому ряду илй ряду многократного рассеяния (см. основной текст) и допускают ясную физическую интерпретацию;

хорошая сходимость подобных рядов при высоких энергиях, где часто 1—2 члена дают удобное и простое описание процесса; причем ряды теории многократного рассеяния при высоких энергиях прямо приводят к широко используемым в физике приближениям типа импульсного, Глаубера и т. д.;

итерации многомерных интегральных уравнений сводятся к расчету многократных интегралов, вычисление которых значительно проще решения многомерного интегрального уравнения.

Имеются также и другие соображения, свидетельствующие в пользу итерационных подходов. В частности, во многих случаях, особенно при средних и высоких энергиях, в процесс рассеяния дает вклад много парциальных волн, цричем в каждой волне нет ярко выраженных резонансов или околопороговых связанных состояний, управляющих процессом рассеяния (как это было в ЗК-задаче при низких энергиях). Типичным примером является интегральная теория прямых ядерных реакций типа (d, р), т. е. описание прямых ядерных процессов в рамках трехчастичной модели с использованием трех15*

частичных интегральных уравнений, где исходные двухчастичные взаимодействия нуклона с ядром близки к оптическим потенциалам или хорошо моделируются этими потенциалами, и необходимо учитывать много парциальных волн. Ясно, что сепарабельные разложения в таких задачах неэффективны. Еще одним соображением в пользу итерационных подходов служит аргумент быстроты сходимости, отмеченный в докладе Фаддеева па новосибирском симпозиуме по ядерной физике [27]. Суть дела в том, что сходимость сепарабельных разложений в лучшем случае степенная, тогда как сходимость итерационного процесса экспоненциальная [27].

Поэтому, вероятно, наилучшим способом решения сложных задач теории многочастичного рассеяния является гибридный метод, когда характерные особенности типа узких резонансов и связанных или виртуальных состояний учитываются с помощью сепарабельных членов в соответствующих амплитудах, а остаток итерируется [27]. Именно на этой идее основан метод Вейнберга и АГС (см. основной текст).

И, наконец, наиболее убедительным аргументом в пользу итеративного подхода к решению обсуждаемых проблем служит тот факт, что наиболее точные (и одновременно наиболее ранние) расчеты SN-системы с реалистическими потенциалами были сделаны именно итеративными методами [23, 24]. Более того, единственные до сих пор расчеты при средних и высоких энергиях в 3№задаче (упругое рассеяние и особенно реакция развала n + d->n + n4-p) с реалистическими NN-потенциалами сделаны также на основе итерационной техники [28, 29].

Однако итеративные методы удобны в том случае, когда итерации сходятся, а это выполняется далеко не всегда. В частности, для nd-рассеяния итерации уравнений Фаддеева начинают сходиться лишь при энергии порядка 100 МэВ [30]. Для преодоления этой трудности было предложено два метода (см. основной текст): аналитиче^ ское продолжение по константе связи с помощью падё- аппроксимантов и метод моментов Воробьева, примененный для решения уравнений Фаддеева Хармсом [31]. В настоящем разделе мы обсудим два других метода улучшения сходимости борновских рядов, которые были предложены в иоследпее время: метод ортогонального проек-

тирования и вычитательная процедура, основанная на редукции Фредгольма, развитая Сасакава ——Ковальским—Нойесом [7, 32] и исследованпая ①уд血[33].

Метод ортогонального проектирования.

Метод ортогонального проектирования в теории рассеяния, предложенный в работах [34——37], позволяет решать ряд задач собствепно теории рассеяния, а также задачи атомной и ядерной физики; в частности, техника ортогонального проектирования позволяет учитывать принцип Паули при столкновении сложных ядерных частиц, а также при расчете систем, включающих несколько составных частиц [36]. При перестройке борновских рядов на основе метода ортогонального проектирования используется хорошо известный факт ортогональности функций дискретного и непрерывного спектра эрмитова гамильтониана для любого числа частиц. Кроме того, используется другое хорошо известное положение, что норма оператора, вообще говоря, уменьшается при сужении пространства, в котором он рассматривается, в частности норма интегрального ядра уменьшается при рассмотрении интегрального уравнения в ортогональном подпространстве некоторого полного пространства.

Рассмотрим для примера уравнение Липпмана — Швингера для волновой функции рассеяния в том случае, когда при отрицательных энергиях имеется связанное состояние

5 =Фе + Go(E) ТЛ|)е, (Д1.21) где Фе — свободное решение. Точное решение этого уравнения рЕ должно быть, очевидно (для действительного потенциала V), ортогонально функции связанного состояния ро, являющейся решением соответствующего однородного уравнения.

Если теперь итерировать уравнение (Д1.21), т. е. записать бесконечный итеративный ряд для решения

屮Е=?(仇(Е)»Фе, (Д1.22) 71=0

то при низких энергиях борцовский ряд (Д1.22) будет расходиться, поскольку наибольшее собственное значение ядра G0V будет при малых энергиях больше едини-

цы. Заметим при этом, что хотя сумма ряда ортогональна к гро, но каждый член не обладает этим свойством. Разумно предположить теперь, что если перестроить бор- новский ряд (Д1.22) таким образом, чтобы каждый член ряда был ортогонален к функции связанного состояния, т. е. записать итеративный ряд в подпространстве, ортогональном 业，то сходимость ряда (Д1.22) должна существенно улучшиться. Действительно, полную функцию Грина рассматриваемой задачи можно записать, используя спектральное представление, в виде

G ⑷」-^^ + j - % (笈)+ Gc (后)，

° (Д1-23)

где два вклада Gd и Gc, отвечающие соответственно дискретной и непрерывной частям спектра, определены в ортогональных подпространствах полного пространства. Хорошо известно далее, что расходимость борновского ряда (Д1.22) при малых энергиях обусловлена по существу полюсом, имеющимся в Gd, поскольку ряд теории возмущений (Д1.22) не может воспроизвести близкий полюс в точке связанного состояния. Поэтому, если построить итеративный ряд в подпространстве, ортогональном №〉，т. е. построить ряд лишь для части (Gc) полной функции Грина, то такой ряд будет сходиться гораздо быстрее исходного и будет сходиться даже там, где исходный ряд расходится. Строгая теория, кратко изложенная ниже, подтверждает эти интуитивные соображения [34, 35].

Известно, что представления такого рода весьма широко используются в современной теарии рассеяния и помогают преодолеть во многих случаях затруднения со сходимостью рядов. Хорошим примером такого типа является 7^-матричный подход в теории рассеяния и реакций [38], который использует другое свойство точного решения уравнений Липпмана — Швингера, а именно тот факт, что точное решение дает унитарную 5-матрицу; другими словами, оператор рассеяния должен удовлетворять хорошо известному соотношению унитарности (см. основной текст и книгу [38]). Поэтому в К-матричном подходе итеративный ряд для 力-оператора перестраивают так, чтобы приближение любого порядка приводило к

унитарной амплитуде рассеяния, тогда как обычный бор- новский ряд для 力-матрицы не обладает этим свойством. В результате такой перестройки, как хорошо известно [38], сходимость приближенных амплитуд к точным значительно улучшается. На соображениях подобного рода основан также метод Сасакавы [32] перестройки борнов- ских рядов теории рассеяния (см. ниже).

Возвращаясь теперь к методу ортогонального проектирования, отметим, что стандартная проекционная техника Фешбаха мало подходит для нашей цели, поскольку по дает предписаний для нахождения операторов рассеяния в ортогональном подпространстве (заметим, что предписания типа QtQ, где Q — проектор, не годятся для указанной цели, как не годится и базис из ортогонализо- вапных плоских волн [37]). Весьма удобной техникой для построения нужных операторов оказался метод ортогоиа- лизующих псевдопотенциалов [34], заключающийся в следующем.

Пусть нам необходимо решить уравнение Шредингера с эрмитовым гамильтонианом

(Н —Е)加=0,(Д1.24а)

с дополнительным условием ортогональности

〈屮№〉= 0.(Д1.246)

Ради общности предположим, что ср — произвольный нормированный вектор. Задачу (Д1.24) нужно понимать как нахождение решения уравнения Шредингера в под,- пространстве, ортогональном |(р). Ее удобно решать путем перехода к псевдогамильтониану [34]

Я = Я + ^r, 「=1屮〉〈叫，

причем сначала следует решить задачу в полном пространстве с псевдогамильтонианом Я, а в окончательном решении действительную константу X следует устремить к бесконечности. Сепарабельный потенциал АТ (Х-> оо) будем называть ^ортогонализующим псевдопотенциалом (ОПП). Решение 电 уравнения Шредингера с псевдога- мильтониапом Н, т. е.

(Е — а) I也〉=АI(р><ф|心〉，

имеет вид

$е = Фе + С (九)G (笈)|ср〉，

где G(M =(豆一Н)т есть функция Грипа исходного гамильтониана. Копстапта

I)— 1—M(p|G(£)|(p〉，

а примесь состояния (p в решении грЕ равна

/ I ； 、 _〈⑴‘匠〉

叩一 1 _ X < ср I G (£•) I ф> •

Очевидно, в пределе 入-> 8 находим

〈屮 I We〉〈屮 I We〉и lim〈屮 I 屮е〉= 0.入18и lim〈屮 I 屮е〉= 0.入18

〈屮 I We〉

〈屮 I We〉

и lim〈屮 I 屮е〉= 0.

入18

и lim〈屮 I 屮е〉= 0.

入18

Поэтому при 入 т оо ность, т. е. Г屮е = 0 иПоэтому при 入 т оо ность, т. е. Г屮е = 0 иимеет место строгая ортогопаль-имеет место строгая ортогопаль-

Поэтому при 入 т оо ность, т. е. Г屮е = 0 и

Поэтому при 入 т оо ность, т. е. Г屮е = 0 и

имеет место строгая ортогопаль-

имеет место строгая ортогопаль-

〜 GF"®We = Фе [阪■〜 GF"®We = Фе [阪■(Д1-25)(Д1-25)

〜 GF"®

We = Фе [阪■

〜 GF"®

We = Фе [阪■

(Д1-25)

(Д1-25)

С помощью известных резольвентных тождеств легко найти функцию Грипа псевдогамильтониана И [34]

G 三 lim (豆一百)т - G - СГ (ГСГ)"1 ГС, (Д1.26) 4f 8

где оператор (ГСГ)-1 определен только в подпространстве, натянутом на векторы, входящие в Г. Если рассматривать случай так называемого собственного проектирования (в этом случае Г — проектор на собственные функции связанных состояний гамильтониана Я), то Г коммутирует с Н и проектированная функция Грина равна, как легко убедиться,

@=(1 —l')G = G(l-F)三 Gc,

е. получается путем исключения из полной функции Грина полюсов, отвечающих связанным состояниям, включенным в проектор Г. Другими словами, в спектральном разложении (Д1.23) остается часть G& Далее, поскольку функции рассеяния ортогональны функциям

связанных состояний, то, очевидно, они не изменяются при замене Н на Я (при любом М). Действительно, при этом из (Д1.25) получаем ©е =㈠力

Пусть теперь ZZ = Яо + V, тогда легко получим уравнение

G = Go + G^VG,(Д1.26а),

где

為尢=(E — Hl 狂尸=G° — G(J (FGJ尸FG°. (Д1.266)

Из уравнения (Д1.26) следует искомое модифицированное уравнение Липпмана — Швипгера для волновой функции 屮

^ = Ф + 匾恥；(Д1.27)

здесь

Ф =Ф -С0Г(Гед-1Гф,(Д1.27а)

а ф — решение уравнения (Е — %) ф= 0.

Свободный член перестроенного уравнения (Д.1.27) есть плоская волна в подпространстве, ортогональном функции (или функциям) связанного состояния. Эта «плоская» волна совсем не похожа на обычпую ортогона- лизовапную плоскую волну, поскольку она приводит к унитарной амплитуде рассеяния, т. е. включает фазовый сдвиг. Такое рассеяние, обусловленное целиком условием ортогональности, называется в литературе [39] ортогональным рассеянием, а сами функции ф называются волновыми функциями ортогонального рассеяния. Ядро перестроенного уравнения

G0V = GoP- Gol?(rGoF)-TGoV получается из исходного ядра GoV путем вычитания некоторого члена, так что ортогонализованное ядро имеет меньшую норму, чем исходное. Поэтому итерации перестроенного уравнения (Д1.27) будут сходиться гораздо быстрее, чем итерации исходного уравнения.

При строгом подходе [38] за сходимость итераций отвечает величина наибольшего по модулю собственного значения ядра (в данном случае ядра 仇卩). Можно

доказать [35, 37], что при включении в проектор Г всех связанных состояний исходного гамильтониана (и при отсутствии отрицательных собственных значений, по модулю больших единицы) борновский ряд для уравнения (Д1.27) будет сходиться, начиная с нулевой энергии. Изложенное выше наглядно иллюстрирует удобство использования ОПП для построения операторов рассеяния в ортогональных подпространствах. Действительно, при этом все построение осуществляется при конечном X, т, е. в полном пространстве, а проектированные операторы получаются в пределе оо уже в окончательных результатах.

Укажем теперь два случая, когда проектирование на собственный дискретный спектр может оказаться неэффективным:

если ядро GqV имеет большие по модулю отрицательные собственные значения, что будет при наличии в потенциале сильной отталкивающей части (например, кора), и

если в задаче нет связанных, но имеются околопо- роговые виртуальные или резонансные состояния.

В этом последнем случае перестроенный ряд при малых энергиях сходится, а в области резонанса будет расходящимся. При дальнейшем повышении энергии ряд опять будет сходящимся. Для получения хорошо сходящихся рядов в указанных случаях была разработана процедура несобственного проектирования [37], где в проектор Г включаются уже не собственные функции дискретного спектра задачи, а какие-либо подходящие функции, обеспечивающие наиболее быструю сходимость проектированного ряда. В частности, в случае (а) хорошим базисом, как известно [38], будут собственные функции зеркального гамильтониана Яо — V, а в случае (б)—— квадратично-интегрируемые функции, «похожие» на волновые функции в области резонанса [40]. Подобный метод был широко использован [41] для нахождения параметров резонансов, а также для решения других задач теории рассеяния [37, 40].

До сих пор мы обсуждали проектированные уравнения для волновой функции и резольвенты. Легко, однако, написать соответствующие уравнения для ^матрицы [37]. Это можно сделать несколькими способами. В част-

ности, проектированную 力-матрицу i можно определить через соотношение [34]

^ = -G「+ G『3G『,，(Д1.28)

где G находится из (Д1.26).

Легко показать, что при собственном проектировании на массовой поверхности t = t. Проектированная i-матри- ца удовлетворяет уравнению

i =(卩爲％1 -门[GIT】 It%】)+ 7С0Г,

и при собственном проектировании второй член превращается в — Г%* т. е. па массовой поверхности вклада не дает. Поэтому окончательно приходим к следующему уравнению:

7=T爲6「+论#,

где проектированное ядро VG0 опять меньше (по норме) исходного. Итерации этого уравнения дают несимметричные члены, если же итерировать прямо уравнение (Д1.28) с помощью (Д1.26), то получаем симметричный ряд. В частности, в нулевом приближении получаем /-матрицу чисто ортогонального рассеяния

^ = -Г(ГСоГ)-1Г,(Д1.29)

куда вообще нс входит оператор взаимодействия (а входит лишь проектор на дискретный спектр Г).

В первом приближении, как легко показать, получаем М = U _ (FGo：r)-TG/ 一 УСоГ(ГСоГ)-1 +

+ (FGoF) -TG/GoI1 (FGoF) I и тогда матричный элемент в базисе плоских волн от 九 будет

*1?；也〉=〈辰，户麻〉，

т. е. получаем борновскую амплитуду, взятую на ортого- нализоваппых волнах (папомипаем, что 0k есть «свободная» ортогонализованная волна, см. (Д1.27 а)). Численные расчеты, проделанные для ряда типичных случаев [40], показывают, что сходимость такого перестроенного

ряда будет гораздо лучше первоначального борновского ряда, причем для притягивающих потенциалов в s-волне ортогонализованный ряд сходится при всех положительных и отрицательных энергиях.

Теперь перейдем к проектированию трехчастичных уравнений. Здесь можно проектировать как на двухчастичные связанные состояния — эту процедуру удобно использовать для исключения занятых состояний в системе трех составных частиц и, в частности, для интегрального описания прямых ядерных реакций,— так и на трехчастичные связанные состояния — с целью ускорения сходимости борновского ряда для уравнений Фаддеева. При этом снова используем резольвентное тождество (Д1.26) н после стандартной редукции Фаддеева:

G =匾 + g'(l)+ @'(2)+ д(3), где

g⑴=瓦p石，

получаем проектированную систему трехчастичных уравнений

杀)=以一统+备匕伶⑺+ G^), %"加=1, 2, 3,

(Д1.30)

где Gi = (E ——Яо — Vj)-1 ——«двухчастичная» функция Грина, а все функции Грина со знаком ~ определены через соответствующие непомеченные функции Грина соотношением (Д1.26). Подчеркнем, что все проекторы Г, включенные в (Д1.30), суть трехчастичные проекторы на дискретный спектр трехчастичной системы.

В матричных обозначениях ядро системы (Д1.30) можно записать так:

К = GVA = (1-Г)@Р4= {\-y)GQfA = (1-f)^, где К ——матричное ядро исходной системы, а трехрядные матрицы G, Р, Т, G диагональны и их элементы равны G“ У/, Т" Gi соответственно. Элементы диагональной матрицы Г суть

「= G,T(FG/)-T,

Г ——/V-мерпый трехчастичный проектор, Л ——числовая эрмитова матрица

/О 1 1\

Л = 1 0 1 .

\1 1 О/

Исходя из трехчастичных уравнений для резольвент, легко обычным образом (см. основной текст) перейти к проектированной системе уравнений для волновых функции.

О сходимости проектированных уравнений можно доказать следующую теорему [37].

Если в Г включены все связанные состояния трехчастичной системы и только они, то итерационный ряд системы (Д1.30) будет сходиться при всех энергиях ниже (паинизшего) двухчастичного порога, а также и при достаточно малых энергиях выше этого порога при условии, что собственные значения ядра исходной системы уравнений Фаддеева удовлетворяют неравенству

a“ —1.

Отметим, что выше сформулированы лишь условия, при которых сходимость рядов была доказана достаточно строго. Фактически же сделанные расчеты [40] показывают, что сходимость имеет место при всех энергиях ——как положительных, так и отрицательных ——по крайней мере для исследованных частных случаев. При отсутствии связанных и наличии околопороговых виртуальных или резонансных трехчастичных состояний вся техника несобственного проектирования может быть эффективно использована и в трехчастичной системе, хотя вычисления (в отличие от случая собственного проектирования) становятся гораздо более громоздкими.

Обсудим далее кратко весьма важные и интересные особенности проекционной техники, возникающие при рассмотрении систем, включающих тождественные частицы. В этом случае было показано [40] что расходимость борцовских рядов в трехчастичиом и в многочастичном рассеянии тесно связана с принципом Паули и наличием так называемых духовых (запрещепных принципом Паули) состояний. Используем в качество модели квартетное nd-рассеяние с «-взаимодействиями в каждой пр-паре и выключенным взаимодействием между нейтронами (что

хорошо оправдано при низких энергиях, поскольку состояния с четными 2 для нейтронов с параллельными спинами запрещены принципом Паули. При этом можно ввести два канала:

физический, в котором орбитальная функция антисимметрична по перестановке 尸逐 двух тождественных нейтронов, и

духовый (т. е. физически не реализуемый), в котором орбитальная функция симметрична по 尸纥 При этом мы имеем две фаддеевские компоненты 屮!：2 (i = 1,2), связанные соотношением

w!：2 Н ± 尸 Г2屮!：2,

где индексы s и а означают симметричный и антисимметричный канал соответственно.

Для компонент 屮頂 имеем скалярное уравнение

屮盘=中⑶士氏7咼2也2， (Д1.31)

где знаки + и — относятся соответственно к s- и а-кана- лам. Теперь ясно, что если в духовом (т. е. симметричном) канале имеется связанное состояние с энергией EG, т. е. одно из собственных значений ядра G^TiPa при энергии Eg равно +1, то в физическом канале ядро — GqTJP^ имеет собственное значение —1 при этой же энергии и, следовательно, итерационный ряд при положительных энергиях для уравнения (Д1.31) в физическом канале будет расходиться. Отметим для большей ясности, что ситуация целиком аналогична потенциальному рассеянию на сильном отталкивающем потенциале V 5> 0. Хорошо известно, что борновский ряд для такой задачи будет расходиться при малых энергиях, если зеркальный гамильтониан Яо— V имеет связанные состояния. Это очевидно, поскольку в уравнении Липпмана — Швингера ядра, отвечающие прямому и зеркальному гамильтонианам, будут ±GoF, и при наличии связанных состояний в зеркальном гамильтониане некоторые собственные значения будут по абсолютной величине больше единицы. В этом случае ряд для отталкивающего потенциала будет расходиться с той же скоростью, что и для такого же притягивающего потенциала. Добавим, что взаимодействие между нейтроном и дейтроном в квартетном канале носит отталкивающий

характер, что обусловлено принципом Паули, так что аналогия с потенциальным рассеянием — почти полная.

Духовое связанное состояние в данном случае есть запрещенный принципом Паули квартетный тритон. Для NN-потенциала с параметрами, соответствующими триплетным пр-низкоэнергетическим данным (длине рассеяния и эффективному радиусу) его энергия связи оказывается около 5 МэВ по сравнению с 8,5 МэВ для реального тритона. Это духовое связанное состояние есть собственное состояние полного гамильтониана системы (и в этом смысле оно никак не отличается от физически разрешенных связанных состояний) с симметрией, запрещенной принципом Паули. И мы видели, что это запрещенное связанное состояние вызывает такую же расходимость борновского ряда, как и физически реализуемое связанное состояние ). И, как обычно, волновая функция рассеяния в физическом канале будет ортогональна духовому связанному состоянию. И более того, функция рассеяния, будучи антисимметричной относительно перестановки 尸12, будет ортогональна произвольной симметричной относительно Е? функции. Поэтому и здесь итерационный ряд для трехчастичпого рассеяния можно перестроить с помощью ортогонального проектирования и получить сходящийся от порога итеративный ряд; однако

теперь уже 屮⑴片屮⑴，т. е. хотя полная Шредингеров

ская функция 巾=屮")±屮(2)11PH проектировании на духовое состояние не меняется, но (в отличии от собственного проектирования) отдельные фаддеевские компоненты уже не ортогональны духовому состоянию. И, следовательно, найдя обычным путем проектированные функции затем необходимо еще по ним восстановить исходные компоненты 屮⑴，что делается довольно просто [40].

Окончательное выражение для амплитуды рассеяния в рассматриваемой модели имеет вид

几l -若f〈屮⑴IG/ • (- а) I阳〉+

+亲〈9⑴丨□FGJ)F I屮⑴一畐冲)〉•(Д1.32)

Здесь Кг = GQTiPl2 — ядро уравнения (Д1.31), <p(i)— функция начального состояния, а удовлетворяет проектированному уравнению, совпадающему по виду с (Д1.31)：

■⑴=9⑴-宜而化

где 屮⑴=屮⑴一GJ (Г^Г) -1Г(р(,), итерации которого сходятся в s-волне при всех энергиях. В частности, как показывают конкретные расчеты, амплитуда нулевого приближения для (Д1.32)

冗=券〈屮⑴I г(FGQT】|屮⑴〉 (Д1.33)

с Г = |Ф&〉〈％| очень хорошо (точность выше 7%) описывает s-фазы низкоэнергетического nd-рассеяния в квартетном канале, и для квартетной трехчастичной амплитуды получается простая аналитическая формула

戸=JL.〈屮⑴〔①G〉〈①G I屮⑴〉

% 9(后wG〉

где Фо ——пространственно-симметричная функция духового состояния, причем качество описания мало ухудшается, даже если вместо функции Грина Gi взять ее полюсную часть (т. е. дейтронный полюс).

Аналогичные формулы можно с успехом использовать и во многих других случаях, поскольку в них входит лишь неоднородный член уравнения и не входит ядро; в частности, во всех тех случаях рассеяния, где доминирует принцип Паули, амплитуда 月о будет хорошим приближением к истинной амплитуде (например, для низкоэнергетического dd-рассеяния в квинтетном состоянии, для п3Н(3Не)-рассеяния с ST = 01, 10, 11; для ряда задач атомной физики и т. д.).

Резюмируя наше описание метода ортогонального проектирования, можно добавить, что он не только дает эффективное средство для удобного итеративного решения интегральных уравнений многочастичного рассеяния, но и позволяет сформулировать ряд новых моделей для задач рассеяния, позволяющих заменить недостающую информацию о природе гамильтониана системы информацией о структуре связанных состояний, которую

можно извлечь из экспериментальных данных, например по электромагнитным форм-факторам и т. д. [37]. Кроме того, в отличие от ряда других используемых методов —например метода Альта—Грассбергера—Сандха- са — здесь во многих случаях сходимость ряда можно строго доказать [40], что дает хорошую математическую основу для численных расчетов.

Переходим теперь к другой группе методов, которые также позволяют получить сходящийся итеративный ряд для задач рассеяния, и основанных на редукции интегральных уравнений с сингулярным, ядром путем процедуры вычитания.

Метод Сасакавы ——Нойеса — Ковальского.

В 1963 г. Сасакава [32] предложил оригинальную процедуру перестройки уравнения Липпмана——Швингера, имеющую ясный физический смысл и позволяющую получить сходящийся итеративный ряд для волновой функции рассеяния. Идея метода Сасакавы вкратце сводится к следующему . Перепишем уравнение Липпмапа — Швингера для радиальной волновой функции рассеяния

i|)= w GqV(Д1.34 а)

где 辽一регулярное решение, w — нерегулярное (в нуле) решение и G。= —u^r^wfj'^, в виде

<ф = u Aw 4- KV^,(Д1.34 6)

где Л = —<w| V|ip) — точная амплитуда рассеяния, а К = Go + Iw}(u\ или, в г-представлении:

(r\K\rf} = —9(г‘一 г) [〃(r)s(r‘)—必⑺〃(г')];

неоднородный член уравнения (Д1.346) уже включает в себя всю асимптотическую часть полного решения исходного уравнения, и поэтому интегральный член дает вклад только в области взаимодействия. Поскольку точная амплитуда Л неизвестна, то для нее пишется итеративный ряд, использующий последующие итерации уравнения (Д1.346) для волновой функции. Таким образом, получается итеративный ряд для амплитуды рассеяния 4 Почти очевидно, что метод Сасакавы дает более быстро сходящийся итеративный ряд, чем борновский 16 э, Шмид в X. 口нгельман

для исходного уравнения; причем за счет включения асимптотики решения в неоднородный член ядро уравнения Сасакавы будет несингулярным, в отличие от ядра исходного уравнения Липпмана—Швингера. Проделанные в последующие годы расчеты подтвердили более быструю сходимость (Д1.346) по сравнению с исходным уравнением (Д1.34а).

С другой стороны, в 1965 г. одновременно и независимо друг от друга Ковальский и Нойес [7] совсем для другой цели предложили вычитательную процедуру, которая оказалась очень близкой к процедуре Сасакавы, так что весь подход теперь часто называют процедурой Сасакавы—Ковальского—Нойеса (СКН).

Собственно метод Ковальского—Нойеса предназначен для устранения известной сингулярности, связанной со свободной функцией Грина, в ядре уравнения Липпмана—Швингера в импульсном представлении. Заодно получается очень полезное представление для ^матрицы вне энергетической поверхности.

Ниже приводится редукция Ковальского—Нойеса в несколько более общем виде, чем в их оригинальном подходе. Рассмотрим уравнение Липпмана—Швингера для «полувнемассовой» i-матрицы t(p, к] к2) = t(p, к)

t (，к) = Р (〃，介)+ f dqV (〃，q) 力(q, к), (Д1.35)

где используется система единиц с й = 2т = 1 и константа 九 зависит от принятой нормировки в парциальном разложении. Введем действительную функцию Y(“, q) такую, чтобы 丫(乃,")= 1. При этом (Д1.35) можно переписать в виде

t (р, А) - V (р, А) 1 + J 歯 ^р 丫化夕)7(%〃)4-

十J附/ (〃，夕；俏力(О (Д1・36)

где

% 3 夕;奴)=[V S, a) — р (夕，向 y 3,力 ^7^2 (Д1・3ба)

—несингулярное ядро. Решение уравнения (Д1.36) можно выразить [33] через функцию Г (р, к)

力(р, 〃)= Г (р, 〃)/ 1 一 J 歯澧證 Y (〃，G Г(0,厶)，

(Д1-37) которая удовлетворяет несингулярному интегральному уравнению с ядром 4(р, «; /)

门口,论)=p(亿/С) +J dqA(p, 7；/)门0，右).(Д.1.38) Изложенная выше редукция дает ряд очевидных преимуществ при нахождении ^-матрицы. Во-первых, от уравнения Липпмана—Швингера с сингулярным ядром мы приходим к уравнению (Д1.38) с несингулярным ядром Л (р, 7； к2). Более того, как показал Кестер [42] итерации (Д1.38) сходятся для любого локального потенциала при весьма слабых ограничениях на потенциал (в отличие от итераций исходного уравнения (Д1.35)). Во- вторых, поскольку мнимая часть знаменателя в (Д1.37) с точностью до коэффициента равна числителю (при этом к2 понимается на верхнем берегу разреза, т. е. к2 ^ к2 -\- ie), то в любом приближении для Г (р, к) получаем унитарную ^-матрицу t(p, к).

Вышеприведенный вывод имеет дело с «полувнемас- совой» 力-матрицей. В уравнения многочастичного рассеяния же входят 力-матрицы целиком вне массовой поверхности. Поэтому в оригинальном подходе Ковальского—— Нойеса вместо t(p, к) вводится новая («полувнемассо- вая») действительная функция

IS, (也39)

так что на массовой поверхности /(加，к) = 1. Тогда 力- матрицу вне массовой поверхности можно записать в виде суммы сепарабельной и песспарабельпой частей: t(P, 7；/)=/(A 论)力(冗月/)/(凡 9)+砌Р,4；/)，(Д1.40) где песепарабел1>ная часть 7? обращается в пуль, если хотя бы один из импульсов р или 7 находится па массовой поверхности. Действительная функция R удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма с несингу- 16*

лярным вещественным ядром

笈(Р,Р‘；胪)=А(р,р‘；论2) + JdgA(p, q- k2)R(q,p，； /),

(Д1.41)

а функция /(p,论)удовлетворяет также несингулярному уравнению, аналогичному (Д1.38):

/3 舟=牆^ + f 歯 А (〃, g;俏 f(q,砧(Д1.42)

где ядро

Л (p, 9；/)=卜 3 q)-V (о,к) ；^] ^^. (Д1.43)

Зная f(p, к),力-матрицу на массовой поверхности легко найти из соотношения, аналогичного (Д1.37),

力（田长俏二一-一步也

1 - I 對；2 9 2 p（"，g）/ （?，"）

Сравнение выражений для А(р, q; к2) А(р, q; к2) показывает, что в оригинальном подходе Ковальского — Нойеса используется следующий выбор функции 丫(夕,小)：

Y (q,厶)Y (q,厶)—p(〃，ку—p(〃，ку

Y (q,厶)

Y (q,厶)

—p(〃，ку

—p(〃，ку

удовлетворяющий с очевидностью условию 丫(乃，к) = 1.

Отметим, что представление i-матрицы (Д1.40) весьма полезно, поскольку первый, т. е. сепарабельный член совпадает с точной «полувнемассовой» 力-матрицей, а остаток R, который, как отмечено выше, отличен от нуля, только, когда оба импульса находятся вне массовой поверхности, дает внемассовые поправки.

Теперь обсудим связь между подходом Ковальского — Нойеса и процедурой Сасакавы. Запись уравнения Липпмапа— Швингера (Д1.35) в виде (Д1.36) означает по существу перенесение сингулярности из ядра, которое становится при этом несингулярной функцией 4(р, q； к2) в неоднородный член, а это и есть прием Сасакавы, только записанный в импульсном представлении. Если теперь учесть, что в работе Сасакавы рассматривалось уравнение для радиальной волновой функции рассеяния 屮i(自 г),

а «полувнемассовая» i-матрица 力(р,乃),фигурирующая в (Д1.36), пропорциональна фурье-образу от 屯侏，г), то сходство между двумя подходами становится очевидным. В последующие годы вычитательная СКН-процедура была развита и обобщена в нескольких направлениях. Прежде всего, Остерн [43] и Сопер [44] показали, что при решении задач многоканального двухчастичного рассеяния методом Сасакавы число подлежащих решению уравнений сокращается в несколько раз по сравнению с обычным подходом. Причем Остерп применил СКН-процедуру для трактовки прямых ядерных реакций. Затем Ковальский [45] и Фуда [33] обобщили вычитательиую процедуру па задачу трех тел, причем Ковальский рассматривал двухчастичные уравнения Липпмана——Швингера, возникающие при применении ЛГС-подхода (с квазичастицами) к уравнениям Фаддеева (см. основпой текст), а Фуда применил процедуру Сасакавы непосредственно к трехчастичным уравнениям для волновой функции. Поскольку переход от одного уравнения к системе уравнений Липпмана ——Швингера представляется почти очевидным, мы изложим здесь кратко лишь обобщение, предложенное Фудой.

Рассмотрим ради простоты систему трех тождественных бесспиновых частиц в состоянии с нулевым полным моментом и s-взаимодействием между частицами. Если м(р)——двухчастичная функция связанного состояния с энергией связи Ев, то уравнение Фаддеева для рассеяния частицы на связанном состоянии 以(р) можно записать в виде

①(Р, 0)= 〃 (р) ”Р — «)/兴 +

8(д+%Т)*о(q-M”8(д+%Т)*о(q-M”日, %； s - %厂)2g(S—p2—3//2)日, %； s - %厂)2g(S—p2—3//2)①(",『)，(Д1.44)①(",『)，(Д1.44)

8(д+%Т)*

о(q-M”

8(д+%Т)*

о(q-M”

日, %； s - %厂)2g(S—p2—3//2)

日, %； s - %厂)2g(S—p2—3//2)

①(",『)，(Д1.44)

①(",『)，(Д1.44)

где р；=p‘2 + %丁2_ %产 s = e + 迎=品 + %/ + 加, t(p, g; s)——двухчастичная 力-матрица, а Е ——полная трехчастичная энергия.

При s-＞及 ^-матрица имеет полюс, отвечающий связанному состоянию 〃(р):

力(р, м$)о学综2

причем

g(p) = (Ев—〃2)〃(〃)・

Амплитуду упругого рассеяния теперь можно записать в виде [33]

8S + 】/2r尸

X3) = Ej"『2 fd"2gs2)① S', У)

0 2/仪尸

c 卩；=* + 3/也，2_3//2.

Делая затем вычитание в ядре уравнения (Д1.44) и перенося сингулярность в неоднородный член (точно так же, как зто сделано в (Д1.36)), найдсм

ф (夕,G = 〃 S) ^F^ф (夕,G = 〃 S) ^F^. "(卩)Y ("，q) X ("). 十3%庐+沁一3//2. "(卩)Y ("，q) X ("). 十3%庐+沁一3//2

ф (夕,G = 〃 S) ^F^

ф (夕,G = 〃 S) ^F^

. "(卩)Y ("，q) X ("). 十3%庐+沁一3//2

. "(卩)Y ("，q) X ("). 十3%庐+沁一3//2

(?中/鸡’尸fdp'2(?中/鸡’尸fdp'2「（屮"尸Lg-i/zq'）工「（屮"尸Lg-i/zq'）工仪仪m"，%； " 一 3/收） 2g（后一卩2一 %g2）m"，%； " 一 3/收） 2g（后一卩2一 %g2）(h-y2qr)*(h-y2qr)*"（0）丫 （，，《） g （夕2）2"（3%户 —3/前"（0）丫 （，，《） g （夕2）2"（3%户 —3/前①亿『）,①亿『）,(Д1-45)(Д1-45)

(?中/鸡’尸

fdp'2

(?中/鸡’尸

fdp'2

「（屮"尸

Lg-i/zq'）工

「（屮"尸

Lg-i/zq'）工

仪

仪

m"，%； " 一 3/收） 2g（后一卩2一 %g2）

m"，%； " 一 3/收） 2g（后一卩2一 %g2）

(h-y2qr)*

(h-y2qr)*

"（0）丫 （，，《） g （夕2）2"（3%户 —3/前

"（0）丫 （，，《） g （夕2）2"（3%户 —3/前

①亿『）,

①亿『）,

(Д1-45)

(Д1-45)

где Y(p, q)——любая гладкая функция, обладающая свойством ,(р, к) = 1. Очевидно, переход от (Д1.44) к (Д1.45) представляет собой опять процедуру Сасакавы, но уже для трехчастичной задачи. По аналогии с (Д1.37) и (Д1.38) легко показать, что искомая волновая функция Ф (р, 7)находится из соотношения

①з g) = y S, g；/)+ j у (р, ^2)^^^

°(Д1-46)

а У удовлетворяет интегральному уравнению с несингулярным (ниже трехчастичного порога) ядром:

У(Р, 9；『')=〃 S) 丫(Р, 9)3 "% ” + f d『2 [...]Y (p‘, 丁;矿‘), « о

(Д1-47)

где квадратные скобки те же, что и в (Д1.45).

Выражение для упругой амплитуды Х(к) легко найти, если подставить формулу (Д1.46) в определение Х(к), что дает окончательное выражение

X«)=Z(〃，〃)/(1 —j;^^^)，(Д1・48) где функция Z выражается через двойной интеграл от У 8 (к + %Г)2

z 他 g)=击 J ©д'?J 办'2g (?2)у (* 丁；办

(Д1.49)

Итак, в результате вычитательной процедуры мы приходим к несингулярному уравнению (Д1.47), через решение которого с помощью (Д1.48) и (Д1.49) строится амплитуда упругого трехчастичного рассеяния. Подчеркнем, что благодаря унитарности выражения (Д1.48) любое приближенное решение уравнения (Д1.47) дает ниже порога развала унитарную амплитуду X®. Из (Д1.48) получаем условие нормировки для амплитуды X(/c)

Х(〃)=-譌宀 sin5(砧

где 6(加)——s-волновой фазовый сдвиг. В случае сепара* бельной двухчастичной i-матрицы вся вычитательпая процедура значительно упрощается, как показано в работе Ковальского [45], и сводится фактически к описанной выше редукции для одномерного уравнения Липпмана —— Швингера.

Теперь кратко обсудим недостатки вычислительных процедур описанного типа. Основным недостатком подобного подхода является то, что он позволяет исключать из ядра лишь неподвижные сингулярности, связанные с полюсами двухчастичной амплитуды рассеяния, поэтому выше трехчастичного порога, где в трехчастичных интегральных ядрах появляются движущиеся сингулярности, подобный подход не приводит к цели. Отметим, что метод ортогонального проектировапия, описанный в преды дущем разделе, свободен от этого недостатка и работает

как ниже, так и выше порога развала. Другим слабым местом вычитательной процедуры является то, что для многих типов потенциалов, в частности для широко используемых сепарабельных потенциалов, итерации регуляризованных уравнений часто не сходятся, причем для указанных типов взаимодействий пока неизвестны критерии сходимости перестроенных уравнений, за исключением стандартных общих критериев.

Укажем теперь дальнейшие обобщения СНК-процедуры. Долешалл и Реваи [46] предложили схему редукции, позволяющую свести уравнение с ядром К(р, q)力(д), где весовая функция 力(q) имеет полюсы в точках ^1,夕2, •.., ，п, к уравнению с несингулярным ядром вида 厶m(p, q)t(q), где Дп(р, q) =К(Р, 9)— Кт(р, q), а ядро конечного ранга т

т

Кт(р, q) = ^ к (р, Xi) М^К (х^ 7) (Д1.50) г.5=1

с Мц = К(хь 力з). Произвольно выбранная система точек 力1, /2, . • •,力m (m^/г) должна включать полюсы 弘,…,qn весовой функции. Функция Кт(р, q) является ттг-то- чечной аппроксимацией Бейтмана (см. раздел о методе Бейтмана настоящего Дополнения) ядра К(р, q) и совпадает с точным ядром на прямых q =力，.Поэтому функция 厶m(p, q) в полюсах весовой функции 力(д) обращается в нуль, так что новое ядро 厶m(p, q)"q) свободно от указанных сингулярностей.

Наконец, в самое последнее время Карлссон [47] по аналогии с процедурой Ковальского ——Нойеса для двух частиц развил метод, позволяющий в уравнении Фаддеева для трехчастичных 力-матриц отделить многократное рассеяние на массовой поверхности от внемассовых эффектов. При этом в нулевом приближении Карлссон получил уравнение Фаддеева, включающее только операторы на массовой поверхности, а также удобную параметризацию для внемассовых эффектов. Основная идея, которой руководствовался Карлссон,— по существу та же, что у Сасакавы: использование конфигурационного пространства (а не импульсного представления, как обычно) и разделение вкладов от внутренней и внешних (асимптотических) областей. При этом вклад внешней области

прямо связап с выходом па массовую поверхность в промежуточных состояниях, а вклад от внемассовых эффектов, как можно ожидать во многих случаях, является малым.

Недавно Ковальский предложил общую классификацию подобных процедур [48], из которой описаппые выше методы следуют как некоторые частпые случаи.

Заключение

Здесь уместно еще раз кратко остановиться на общей оценке разнообразных методов, предложенных для решения интегральных уравнений многочастичной теории рас- с-еяния. Как это обычно бывает, не существует, скорее всего, единого универсального метода, превосходящего по эффективности все остальные, а каждый из предложенных методов имеет свою сферу применимости, где его использование наиболее оправдано. Сказанное, конечно, не исключает того, что один из методов может иметь гораздо более широкую область применимости, нежели другие подходы. Попытаемся поэтому, хотя бы грубо, обозначить круг задач, где применение того или другого подхода является наиболее оправданным.

Методы, основанные на сепарабельных разложениях i-матрицы (УПР, метод Бейтмана, фурье-разложепие и подход Адхикари — Слоана), по-видимому, наиболее эффективны при низких энергиях,——т. е. для расчетов связанных состояний и низкоэнергетического рассеяния. Это связано с тем обстоятельством, что сепарабельные аппроксимации наиболее точны вблизи особенностей подамплитуд, обусловленных связанными состояниями или резонансами в подсистемах. При этом метод Бейтмана более удобен в тех случаях, когда собственные значения и собственные функции соответствующих интегральных ядер очень сложно вычислить. С другой стороны, подход Адхикари ——Слоана, по-видимому, более универсален, чем УПР или метод Бейтмана, однако, за счет либо увеличения числа членов разложения, либо за счет увеличения сложности каждого члена.

Итерационные методы: суммирование борновских рядов с помощью падё-аппроксимантов, метод ортогонального проектирования, подход Сасакавы — Ковальско-

го — Нойеса и его обобщения имеют, вообще говоря, более широкую область применимости, поскольку хорошо работают как при низких, так и при высоких энергиях (за исключением собственно СКН-процедуры). Однако эта универсальность сопровождается гораздо более сложной расчетной схемой, поскольку при этом необходимо итерировать многомерные интегральные уравнения. Из-за этого обстоятельства применение итеративных методов при низких энергиях вряд ли оправдано в тех системах, где во взаимодействии доминируют связанные состояния н ярко выраженные резонансы. Напротив, при исследованиях в интегральной теории прямых ядерпых реакций, где в подсистемах необходимо учитывать много парциальных волн, итеративные методы наиболее адекватны. И, наконец, при совсем высоких (в соответствующем масштабе) энергиях хорошо работает метод прямой итерации уравнений Фаддеева, который дает важные поправки ко многим широко используемым в физике приближениям, основанным па интуитивных соображениях, например поправки к импульсному приближению или к методу Глаубера и др. [49].

Дополнение 2

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ РАССЕЯНИЯ N ЧАСТИЦ (N>3)

В этом приложении мы кратко изложим обобщения теории Фаддеева иа случай большего числа частиц, а также приведем сводку последних результатов по численному решению интегральных уравнений для четырех частиц, вместе с библиографией по указанным вопросам. Во-первых, этот материал является естественным дополнением и обобщением теории трехчастичного рассеяния, изложенной в основном тексте, а вонвторых, в последнее время проблема рассеяния в системе четырех частиц, а также различные аспекты задачи N тел привлекают внимание все большего числа исследователей, так что мы сочли полезным включить в книгу настоящее дополнеште.

А. Интегральные уравнения для четырех частиц

Хотя к настоящему времени предложен целый ряд уравнений, описывающих рассеяние в системе N частиц (часть из них перечислена в предисловии автора к книге), и в частности уравнений для четырех частиц, практически используются главным образом уравнения, предложенные Якубовским и Фаддеевым [1, 2]. Причиной этого является, на наш взгляд, два обстоятельства: во- первых, уравнения Якубовского получены путем непосредственного обобщения трехчастичных уравнений Фаддеева с использованием тех же приемов (см. ниже); а, во-вторых, для уравнений Якубовского доказана их эквивалентность уравнению Шредингера, что представляется совсем не тривиальным и выгодно отличает уравнения Фаддеева — Якубовского от многих других мпого- частичных интегральных уравнений, предложенных к настоящему времени. При изложении указанных вопросов мы будем следовать докладу Фаддеева [2], а также работам [3, 4]. Вспомним, что трехчастичные уравнения Фаддеева содержат (в ядрах) амплитуды рассеяния вне массовой поверхности для всех двухчастичных подсистем

входящих в рассматриваемую систему. Аналогично для системы четырех частиц (или вообще N частиц) правильные уравнения получаются при учете всех возможных подамплитуд, отвечающих разбиению полной системы на подсистемы из W — 1, W — 2,…，3, частиц. При этом необходимо учитывать каждую последовательность включения взаимодействия (предполагается, что в системе имеются лишь парные взаимодействия 卩灯).Скажем, процесс, начавшийся с взаимодействия частиц 1 и 2, может продолжиться тремя способами: либо частицы 3 или 4 последовательно присоединяются к выбранной паре, либо сначала начинают взаимодействовать между собой. И каждому из трех способов связи должна соответствовать своя подамплитуда.

Итак, для N = 4 полное взаимодействие V состоит из шести слагаемых:

y=匕2+匕3 +匕4+p23+卩24+%4.

И первому этапу включения взаимодействия отвечает разбиение полной Г-матрицы на шесть слагаемых:

T =%12 + 叩 13 + 力14 + 力 23 + w24 + 刃 34,

для которых совершенно аналогично трехчастичпому случаю получается следующая система уравнений:

忆 2 =方2 + 712Go (Wb + 陷 4 + 忆 3 + 忆 4 + 力34), (Д2.1)

и аналогично для W\z,忆4 и других.

Однако однократное применение фаддеевского приема ——перенесения диагональной части ядра налево и последующее обращение ее ——здесь недостаточно, ибо система (Д 2.1) еще не фредгольмовская и ее следует повторно преобразовать таким же способом, с учетом второго этапа включения вз аимодействия. Для этого удобно перейти к амплитудам Ua = Wa ——Та с а = 12, 13,…，34, которые удовлетворяют тем же уравнениям, что и Жа, по с другими свободными членами, например:

U12 = 7[2Go(Т13 + 714 + ?23 + ?24 + ?34)・(Д2.2)

Теперь в соответствии с тремя отмечеппымп возможностями подключения взаимодействия в системе сделаем

следующее разбиение:

U12 =0乎 +0婿 +0沐(Д2.3)

где

。岁=712% (Лз + AJ + Г& 化小 + UQ, (Д2.4)

0夕-з2仇(Л4h- 724)+ Tl2G^Uu + /4), (Д2.5)

Uli= T12GhT3i+T12GtiU3i,(Д2.6)

и аналогично для U^ и других.

Теперь, следуя стандартной фаддсевской технике, подставим разбиение вида (Д2.3) (и аналогичные разбиения для других операторов U^ в правые части уравнений (Д 2.4) — (Д 2.6), после чего получим, как легко подсчитать, систему из 18 уравпештй для операторов IT* и U^j (kl 声订).Причем имеется два типа опера-- торов ——с тремя и двумя верхними индексами. One- раторы первого типа отвечают выделению трехчастичных подамплитуд, а второго — пары двухчастичных. Имеются четыре группы первого типа и три второго в соответствии с числом сочетаний (з) и(2)/2. Теперь надо диагональную часть полученной системы перенести, как обычно, налево, и обратить. Однако здесь обращать надо не один оператор (точнее диагональную матрицу), а целую операторную матрицу, перепутывающую амплитуды внутри каждой группы, скажем, группы из трех амплитуд U^^ U^ и U^Z При этом в ядрах естественно возникают трехчастичпые подамплитуды Ж₽, совершенно аналогично тому, как в ядрах трехчастичных уравнений возникают двухчастичные i-матрицы 力а при обращении диагональной части трехчастичной системы. Эти трехчастичпые подамплитуды удовлетворяют трехчастичным уравнениям Фаддеева вида

Ма0 = Та^ + %仇 2 УК/(Д2.7)

где индексы а, В, у принимают три значения, например a = 12, 13, 23. Таким же образом обраще ние диагонали для 2 十 2 подамплитуды 〃号 приводит к операторам N®脑 удовлетворяющим также системе (Д2.7), но индексы а, 0, Y принимают теперь два зпачепия: 12 и 34. При

этом решение системы уравнений для Ng можно в явном виде выразить через решение задачи двух частиц. Поскольку полная система уравнений размерности 18 X 18 является весьма громоздкой, выпишем лишь два типичных уравнения системы:

U^^- 〃抬 + 〃£ + 〃得 一 TV? +

+ 力7；；% {и234 + и皆 + ^23 + U13)+

+ 力公猊{u^ + U^ + Uli +。,切+ M^G{](硅4 +

十0掇十。得十%力(Д2.8)

U得=7V；1 + N得一 T12 + N^G.(0学 +0謂)+

十"凯⑵『十0岁).(Д2.9)

Остальные 16 уравнений получаются простой заменой индексов в (Д2.8) и (Д2.9) и приведены в [3]. Из общего числа 18, 12 уравнений имеют структуру (Д2.8), а 6 уравнений — структуру (Д2.9). Ядра полученных уравнений включают 6-функции, которые, однако, исчезают после двух итераций. Якубовский [1] показал, что полученные уравнепия относятся к типу Фредгольма и имеют единственное решение.

Зная уравнения для операторов перехода J~(z), можно получить уравнения для волновой функции четырех частиц [3]. Для этого сначала нужно записать систему уравнений для компонент функции Грина 乡(z), что легко сделать, используя связь ^~(z) и 乡(z):

乡(z) =9o(z) + 乡 o(z)夕(z)乡 o(z),

а затем использовать известное общее соотношение

1P = lim ?£乡(E + ге) Ф,е->о

где Ф — асимптотическая функция, которая, например, для случая рассеяния одной частицы на трехчастичном связанном состоянии равна произведению волновой функции связанного состояния на плоскую волну по относительному движению четвертой частицы. Подробный вывод и исследование соответствующих уравнений для операторов перехода, функций Грина и волновых функций четырехчастичпой системы для разных начальных

условий: упругое рассеяние в каналах 3 -[- 1, 2 -]- 2 и реакции перестройки 2 4-2^3 + 1 дан в диссертации [4] и работе [3], где содержится подробная библиография по указанным вопросам. Мы приведем здесь только уравнения для четырех тождественных частиц без спина. В этом случае все волновые функции и операторы перехода должны быть соответствующим образом сим- метризованы, так что вместо 18 уравнений в общем случае получаем систему двух уравнений. Поскольку практически важен именно случай тождественных частиц, то приведем соответствующие уравнения.

Вместо 12 компонент T(i?'K,!) и 6 компонент Т(订，砌 здесь появляются всего две функции, соответственно ф(к, р, q) и % (к, к’，s). Здесь (к, р, q) — координаты Якоби, отвечающие «дереву» (2 4-1)+ 1, a (k, к', s)— координаты Якоби отвечающие «дереву» (2 + 2). При этом полная волновая функция есть симметричная комбинация вида

^ = 屮(к^, Чijw,i) + W X(ktj, к,,”，S订，冗i)・

Система четырехчастичпых интегральных уравнений при этом приводится к виду [3]

屮(к, р, q)=恥(к, р, q) + (z — к2Im— 3р?Ymi—绅В而-' X

X ] {Ms (к, р;犷，毋，z 一 292/3m) W (К q + q‘/3,『)+

+ A/s (к, р; %" — 3q/4,勿 + q/2; z — 2,2/3® x

XX(V,q~q72, qz)}^，(Д2.Ю)

x (к, 乂，s) = Xo (к, x, s) + (z —厶2〃九—儿2仇—s2/2〃2)-i/2 x

X J М (к, х; s/2 + (f, k‘； z — §2/2〃,) x

—s —2q，/3”)

где использованы следующие обозиачеипя:

为‘妄 к72 + q/4 + 3q74;夕'言 к' - q/6 - q72;

"s(k, p; k‘，p‘； z) = M(k, p; k', p'; z) +

+ M(k, p; — К p，； z);

Ns(k, x; k* x‘； z) = 2V(k, x; k‘，乂‘； z) + N(... —к'...) + + 2V ('...— xz...) +JV(... — k‘，一xz,...),

а функции М и N определяются следующим образом:

М (к, р; к, р・ z) = <к, р I Ml] (z) I КХ〉+

+〈к, р I Mi- (z) I К 1丿〉+ <к, р IМ% (z) I к, j/>;

N (к, х; к', 乂‘； z) = <к, 乂 I TV% (z) | к', "〉+

+〈k,x|M'；(z)|K 川〉.

При этом функции Ма и N* удовлетворяют следующим интегральным уравнениям с симметризовэнными неоднородными членами и ядрами:

Ms (к, р; к- р，； z) = (2п)з 厶(к, к/; z — 3夕2/4加)6 (р — рл) + + J (z — (〃2 + рр" + D/〃2)T%(k, р/2 + p〃；Z —3戸/4"2)X

X Ms(P + Р〃/2, р〃; к； J; z)黑з；(Д2.11)

Ns (к, х; к',片；z) = (2冗)3 仆化，к'; z — x2/m)[6 (乂 — ") +

+ 6 (乂 + ")] + 4- J (z一壮/^ -厶"2/wi)T X

X % (к, k";z — x2/m) N® k〃； к,讶；z)界，(Д2.12)

и где 力s(k, к; z)三〈к|力(z) |к) +〈k|%(z) I — к〉Уравнения (Д2.11) и (Д2.12), как и уравнение Липпмана — Швингера для двух частиц, определяет продолжение амплитуд Ms и Ns вне энергетической поверхности. Свойства симметрии этих амплитуд по импульсным переменным определяются симметрией ^матрицы 北(k, р, z). В частности, функция М3(к, р; к', р'; z) инвариантна при замене к на — к или к' па — к' и при одновременной замене р и р，на — р и — р'. Функция Ns инвариантна при инверсии любого из своих аргументов.

Вид неоднородных членов i|)0 и %0 в уравнениях (Д2.10) определяется начальными условиями. В случае рассеяния частицы на трехчастичном связанном состоя- нип 耻(к, р, q) = (2n;)35(q — q())2(k, р), где р(к, р)— фаддеевская компонента трехчастичной волновой функции связанного состояния, а %о (к, 乂, s) == 0. При рассеянии одной пары частиц в связанном состоянии на

другой связанной паре

业(к, J), q) == О а

Хо(к, х, s) = (2n)3[6(s —So) +

+ б (s + s0) ] (к2/т + x2/zn + 2%尸(們仇 + еп)1р(к)г|?(х), ев — двухчастичная энергия связи, а 屮(к)—соответствующая двухчастичная волновая функция. Дальнейшие подробности, касающиеся структуры решений написанных уравнений, можно найти в работах [3—5]. Здесь же кратко обсудим методы решения четырехчастичных уравнений. Простой взгляд на уравнения (Д2.10) показывает, что эти уравнения слишком сложны для их прямого численного решения, ибо даже после разложения по парциальным волнам, размерность уравнений оказывается слишком большой для современных ЭВМ. Поэтому был предложен ряд приближенных схем, позволяющих уменьшить размерность уравнений.

Одним из полезных методов является метод последовательной сепарабилизации интегральных ядер [4]. Так, если в качестве двухчастичного взаимодействия использовать сепарабельный потенциал, то это позволяет уменьшить, как и в задаче трех тел, размерность уравнений на единицу. В этом случае уравнения (Д2.10) сводятся к бесконечной системе двумерных интегральных уравнений, которые даже после обрезания по угловому моменту, все еще слишком сложны для прямого решения. Затем ядра этих двумерных уравнений вновь сепарабилизируются каким-либо из методов, описанных в Дополнении 1. После такой повторной сепарабилизации приходят к системе одномерных уравнений, которая решается уже непосредственно, т. е. с помощью матричного обращения.

К настоящему времени реализовано две схемы такого рода: в одном подходе для сепарабилизации интегральных ядер использован метод Бейтмана [4, 5], а в другом — метод Гильберта — Шмидта [6]. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки, уже обсуждавшиеся нами в предыдущем Дополнении. В течение 72—74 годов на основе этих подходов были сделаны первые расчеты связанных состояний и реакций ниже трехчастичного порога в системе четырех нуклонов 17 э, Шмид и X. Цигельман

[4, 6]. В этих расчетах в качестве NN-взаимодействий использовались простые сепарабельные потенциалы (типа Ямагучи), а при повторной сепарабилизации четырехчастичных ядер учитывалось 1—2 члена. В целом «физический» уровень этих исследований аналогичен первым расчетам в SN-системе 62—64 годов [7], однако математическая реализация для 4М-системы является несравненно более сложной. Несмотря на упрощенный вид используемых взаимодействий и ряд сильных приближений, полученные результаты оказались весьма обнадеживающими в нескольких отношениях. Прежде всего удалось объяснить ряд экспериментальных данных для 4№снстемы (в основном связанных с низкоэнергстиче- ским п3Н- и п3Не-рассеяпием). Во-вторых, быди выявлены интересные характерные особенности спектра 4N- системы, вероятно, не связанные непосредственно с конкретным видом парных взаимодействий. И, наконец, был накоплен ценный опыт обращения с многомерными сингулярными интегральными уравнениями. Этот опыт был весьма эффективно использован в последующих 4№ра- счетах Тьона [8] и Савицкого [9]. Тьон использовал подход Гильберта ——Шмидта, развитый Народецким с сотр. [6, 10], и рассчитал связанные 4М-оостояния и низкоэнергетическое п3Н-(и п3Не-) рассеяние с локальным NN-потенциалом, включающим сильный отталкивающий кор. Было показано, что использованный NN-потенциал Мальфлие ——Тьона хорошо воспроизводит энергию связи а-частицы и низкоэнергетические п3Н и п3Не фазовые сдвиги, кроме канала с S = Т = 0, где имеется око- лопороговое виртуальное состояние, положение которого очень чувствительно к числу учитываемых членов в сепарабельном разложении ядра. Несмотря на эти успехи, трудно ожидать, что методы такого рода окажутся эффективными при более высоких энергиях, где в интегральных ядрах появляются дополнительные сингулярности, а сходимость сепарабельных разложений заметно ухудшается. В этой области, как указывалось выше, должны хорошо работать итеративные методы, подобные методу ортогонального проектирования,宜-матричному подходу и др.

Действительно, совсем недавно -АГ-матричный метод был использован Савицким [9] для расчета сечений

сложных многочастичных процессов развала типа 3Не(р, pp)d и 3Не(р, pd)p при достаточно высоких энергиях Ер 〜35—50 МэВ, а также группой советских исследователей [11] для процессов упругого рассеяния р 3Не, р 3Н и рассеяния с перестройкой р + 3Н п + 3Не и d + (1 Р + 3Н в большом интервале энергии падающих частиц от 10 до 150 МэВ. Хотя эти работы представляют по существу первые попытки математически корректного расчета сложных многочастичных процессов с участием сильно взаимодействующих частиц, они приводят к вполне разумным результатам и намечают пути для дальнейших исследований в этой области.

Б. Интегральные уравнения для 7V частиц )

Прпведеппый способ родукцип четырехчастичных уравнений может быть пепосредствеппо обобщен для любого числа N (см. работу Якубовского [1]). Однако в общем случае подобная схема оказывается очень громоздкой, потому что в ядра А^-частичной системы входят величины, удовлетворяющие таким же уравнениям для подсистем. Более того, при самом выводе А^-частичных уравнений Якубовского необходимо использовать уравнения для N——1, N ——2 и т. д. числа частиц при обращении диагональной части системы. Мы приведем здесь другую более простую схему редукции /V-частичпых уравнений, предложенную Альтом, Грассбергом п Сандхасом (АГС) [12], следуя работе Ванзани [13]. Следует подчеркнуть, что сами уравнения АГС ничуть пе проще уравнений Якубовского.

Рассмотрим систему N частиц с гамильтонианом Я = Яо + V^ 二 +2 У^« Пусть 〃» ——разбиение N частиц на i групп (клас- теров), т, е. t-кластерпый канал. Обозначим через Vа. сумму внутренних взаимодействий между частицами каждого кластера дап- пого капала, а через у —Vа^—сумму внешних взаимодействий для капала ал Очевидно, что Р% 三卩，у% = 0,卩仪％=0, p"N = у. Далее, Vb^^ означает взаимодействия, внутренние по отношению н к каналу а» и каналу &；, а Т?；——взаимодействия, внутрешше относительно а； и виешпио относительно Ь* Легко убедиться, что

九厂Vhjni +圖:* =%+的".

Введем гамильтонианы каналов^% = % + Va, и соответствующие функции Грина G% =(z —巩,-1・ Запись 〃小 и 〃f означает, что разбиение 〃w+i содержится в 〃焉 т. е. a^+i получается в результате дальнейшего разбиения любого кластера из а» на два.

ЛГС-уравпепия пишутся для операторов перехода, определяющих амплитуду ai -> bj (смысл операторов U тот ж。, что и в основном тексте):

Ubjai = G^b.a. + VhjGG^,(Д243)

где G = {Е-Н)~\ % = 1 - 6а3.

Выра?кеиие (Д2.13) эквивалентно обычной записи:

附:-6%%% + 6声6£；.

Цель редукции ЛГС ——получить замкнутую систему уравнений со связным ядром для операторов перехода U“s между двухкластерными каналами, аналогичную системе уравнений Фаддеева для Ut§ (см. основной текст). Для этого используются лишь уравнения Липпмана ——Швингера, соответствующие всем двухкластер- пым каналам:

G -内2 + GaV^G,(Д2Л4)

которые содержат все пеобходимые грапичные условия. При этом пет необходимости использовать замкнутую систему уравнений для (N — 1) частиц, как в схеме Якубовского. Основная идея редукции состоит в том, чтобы выразить впешние взаимодействия 卩匕% входящие в (Д2.13), через внутренние относительно всех двухкластерпых каналов—0%， а затем использовать уравнения Липпмана — Швингера (Д2.14). Это, очевидно, позволит замкнуть систему уравнений для U%&. Такое расщепление 卩熊 можно сделать двумя способами.

Прямая редукция

yЬ, = е 片:，

причем &з <= с2(^2 #= &2), Ьз и 历，и сумма по зависит от выбора Ьз и &2* Далее используется тождество

4 3 吸:，

где 匕4 и ©з(сз 峻 Ьз),小4 и Ьз, сз и С2, и сумма пе зависит от &4 и т. д., пока не появится парное взаимодействие Fc^ ^:

小=2 %_Г(П2/5)

где следует учесть, что с2 =)с3 =)... =)c^_l и 匕储“ и 源 (с^ #= bf) для i = 2, 3,...,川一L Поскольку сумма (Д2.15) не зависит от

выбора последовательности вложенных разбиений &3 zd Ь4 id ... ・・・ п Ь^_l при условии, что b2 A 办з, то имеется столько различных способов расщепления Vbs, сколько существует подобных цепочек, содержащихся в Ь2- Последовательности разбиений будем в дальнейшем обозначать греческими буквами, например 0 = {Ьз п 匕4 A п ... n 6n-i}, причем 0 и б? означает, что 仇 и 办 2・ Кроме того, всегда будет предполагаться, что разбиения, обозначенные одинаковыми буквами, вложены друг в друга, т. е. что всегда a^+i и а», bi+i и bf, и /, и всегда а и 傲,В и 星,Y и с2. Таким образом, для каждого Ь2 получим столько уравнений, сколько существует цепочек 0 и Ъ^ поэтому величины и"?。？ снабжаются дополнительным индексом р. Подставляя (Д2.15) в (Д2.13) и используя уравнения Липпмана — Швингера (Д2.14), получим систему уравнений АГС для операторов перехода

u 需』(%：十嗯;®s)嬴仙十 2 VCN^CU^* (V), (Д2.16)

где сумма берется с учетом соотношений: Ci => "広+卜 仇 ф / для i = 2,・.・，W — 1.

Фактически все величины °?&；纟 с различными В совпадают, так что число уравнений в (Д2.16) больше числа неизвестных. Следует отметить, что идея редукции АГС очень похожа на идею редукции Якубовского. Так, в схеме АГС для каждого Ь2 перебираются все возможные цепочки разбиений вплоть до 6n-i, а в схеме Якубовского наоборот — к каждому 力 n—i, соответствующему одному парному взаимодействию 廿^%—/ последовательно подсоединяются взаимодействующие частицы всеми возможными способами вплоть до образования двухкластерпого канала Ь2. Ясно поэтому, что число уравнений в обеих схемах одно и то же и равно £%,， где %ь含—число способов полного расщепления капала В &2 на Ьх-ь

Последовательная редукция

“=2九吋产2 噸

©N-l®%©N-严 cn-2

пока не появится Vc^ При этом на каждом шаге используется уравнение Липпмана — Швингера

g = g% + 4j~g・

В результате такой редукции получаются уравнения Слоана ——Бензо—— Редиша [14]. Опи имеют более сложную структуру, чем (Д2.16), в частности в ядро входят произведения VCN^^GC^ ^ V^-i •… •…嚕С2> содержащие функции Грина всех каналов входящих в с2. Одпако число уравнений минимально и равно числу двухкластерных каналов [N/2].

Вернемся теперь к схеме прямой редукции АГС. Из вывода, приведенного в п. а), видно, что структура уравнений (Д2.16) но затрагивает иидекса начального канала аг, поэтому можно написать подобную систему для величин с одним индексом, например для компонент функции Грина 卩匕2G. (Подобные произведения будем называть компонентами.) Удобнее, однако, записать уравнения для величин

瓚二 VbN^bVhiG,(Д247)

喑=乙NT%2 2 亿NT% + 疗)，(Д2-18)

где опять сумма берется лишь по разбиениям, удовлетворяющим условиям 仇十 1 и с；, с»，bi для г = 2, ../V — 1.

Аналогичная, даже более простая, система уравнений получается из (Д2.18) для величин

Q&』瓚 + 九NT%，(Д2/9)

錦』％N7%" + VbN_Gb2 2 師，(Д2.20)

с учетом условий 仇十i и с；, Ci，仇 для » = 2, ..., N— 1. Ядро систем (Д2.18) и (Д2.20) полностью аналогично по структуре ядру уравнения Фаддеева для функции Грина и равно произведению диагональной матрицы, содержащей V^^^G^^ на числовую, состоящую из нулей и единиц (см. ниже). Число неизвестных в системе (Д2.20) больше числа уравнений, так как величины йр2 совпадают с компонентами полной функции Грина G

*" =(Д2-21)

так что Q с различными b% Z，W—1, но с одинаковыми Gn—i совпадают. Полная функция Грина, согласно (Д2.21), выражается через сумму различных Q

6 = 6。+ " 2 ^p^•(Д2.22)

Из (Д2.20) стандартным образом следует система уравнений для компонент волновой функции Р° 5, снова содержащая больше

уравнений, чем неизвестных. Отмеченное свойство переопределен- ности является, возможно, недостатком подобной схемы редукции по сравнению со схемой Якубовского, где полная функция Грина 口 полная волновая функция включает сумму всех компонент, входящих в систему уравнений. Ядро системы (Д2.16) или (Д2.20) по^ еле (N ——2) итераций становится связным [13], однако более де- тальные свойства его, в частности фредгольмовость, не установлены.*

Рассмотрим частные случаи. При 7V = 3 имеем Ь2 = 6n-i = Ь, поэтому система (Д2.20) после умножения на Go сводится к си-

стеме уравнений Фаддеева для компонент функции Грина G(b)= &Qb

*)= 4%% + %乙百6⑹

(здесь использовано тоя«дество G^VbGb = GbPbGo).

Заметим, что при 7V = 3 все способы редукции эквивалентны и приводят к уравнениям Фаддеева. При 7V = 4 цепочки разбиений р, 7 и т. д. сводятся к одному разйгению Ьз =匕n-i・ Система уравнений АГС, например, для операторов перехода выглядит таким образом:

瞰* = (%； + 吟;®m) 8bm + 33 几G/；部(Д2.23) где суммы включают разбиения, удовлетворяющие условиям: Ьз и и с?(С2 =/= Ь2), С2ПС3 (сз =/= Ь3). Всего имеется 18 уравнений, как и в схеме Якубовского: для каждого из четырех разбиений &2 типа [3, 1] имеется три различных разбиения Ь3, а для каждого из трех разбиений [2, 2]——два разбиения Ь3. Как указано выше, структура уравнений (см. (Д2.20)) полностью определяется числовой матрицей. Вид матрицы показывает, что уравнения первого типа связывают 4 компоненты (в уравнениях Якубовского ——7 компонент), а уравнения второго типа — 5 компонент. Система (Д2.23) использована в расчетах Савицкого [9].

Следует отметить, что мпогочастичные уравнения АГС, так же как и уравнения Якубовского, составляют иерархию, т. е. в ядро системы входят величиныVъ^^-^ъ^»которые могут быть найдены из аналогичной системы уравнений (см. (Д2.20)) для подсистем с числом частиц N—1, 2V— 2 и т. д. Уравнения АГС удобны для различных формальных преобразований, ибо в них входят лишь функции Грина 6匕纟 двухкластерных каналов, однако в практическом отношении обе рассмотренные схемы редукции — АГС и Якубовского, по-видимому, равиоценны.

ЛИТЕРАТУРА

Вгйсктапп Н・，Kluge W., Matlhdy Н., Sch&nzler L., Wick К •— Nucl. Phys., 1970, v. A 157, p. 209.

Goldberger M. L., Watson К. M. Collision Theory, Ch.3 & 5・ John Wiley & Sons. — N. Y., 1964. (См. перевод: Гольдбергер M・, Ватсон R・ Теория столкновений. — М・：ИЛ, 1964.)

Существование сильного предела в (2.10) было доказано для большого класса потенциалов, спадающих на больших расстояниях быстрее кулоновского потенциала. См. например: Cook J・ М. — J. Math, and Phys., 1957, v. 36, p. 82;

Hack M. N• — Nuovo Cim., 1958, v. 9, p. 731; 1959, v. 13, p. 231；

Kupsch J., Sandhas W. — Commun. Malli. Phys., 1966, v. 2, p. 147;

Фаддеев JI. 〃・,ссылка [4];

Kuroda S・ T. — Nuovo Cim., 1959, v. 12, p. 431; J. Math. Phys. 1962, v. 3, p. 933;

Dollard J. D.— J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 729.

Для кулоновского потенциала также было показано, что предел, аналогичный (2.11), существует (необходимо было лишь ввести небольшую модификацию для учета дальнедей* ствующего характера кулоновского взаимодействия).

Простои пример, когда этот предел не существует, дан в работе: Jauch J. М^ Zinnes I. /・一Nuovo Cim., 1959, v. 11, p・ 553.

Если h — hQ + cl (I — единичный оператор), мы получаем eiht^ihQt — eict j

и предел (2.11) не существует. Это, конечно, очевидно, поскольку потенциал cl имеет бесконечный радиус.

4・ Фаддеев Л, Д. Математические вопросы квантовой теории рао сеяния для системы из трех частиц: труды МИАН им. Стеклова, 1963, т. 69.

Jauch J・ М.— Helv. Phys. Acta, 1958, v. 31, p. 127.

См., например, книгу: Roman P. Advanced Quantum Theory: Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1965.

Относительно определения «компактных операторов» см. Weinberg S.— Phys. Rev., 1964, v. B133, p. 233.

Lovelace C・—Phys. Rev., 1964, v. B135, p. 1225; Hunziker W. — Helv. Phys. Acta, 1961, v. 34, p. 593.

Sandhas W.— Acta Physica Austriaca, 1972, Suppl. IX, 57.

Roman P., ссылка [6], гл. 4/4a.

Отметим различную нормировку плоских волн и соответствующее изменение в определении Т-матрицы.

Фаддеев Л. Д.— ДАН СССР: сер. физ., 1963, т. 7, с. 600;

Фаддеев Л. Д., ссылка [4], гл. 11;

Sandhas W. — Commun. Math. Phys., 1966, v. 3, p. 358; Hunziker W.— Helv. Phys. Acta, 1967, v. 40, p. 1052.

Фаддеев 〃• Д., ссылка [4], гл. 9. Операторы Мёллера выражаются там посредством пе зависящих от времени величин.

Ekstein II.——Phys. Rev., 1956, v. 101, p. 880;

Фаддеев Л. ссылка [4], гл. 9.

Фаддеее Л. Д.— ЖЭТФ, 1960, т. 39, с. 1459.

Glockle W.— Nucl. Phys., 1970, v. A141, p. 620.

Фаддеев Л. Д., ссылка [14].

Неоднозначность уравнения Липпмана—Швингера была также отмечена в работе: Foldy L. Z., Tobocman W.— Phys. Rev., 1957, v. 105, p. 1099.

Фаддеев Л. Д.—ДАН СССР: сер. физ., 1961, т. 6, с. 384 и ссылка [4] гл. 5—7.

Фаддеев Л. Д., см. ссылку [4]. Теоремы 7.1 и 7.2.

Yosida £・一Functional Analysis, гл. 10: Springer,— Berlin, 1966. (См. перевод: Йошида К. Функциопальнын анализ.— М・：Мир, 1970).

Фаддеев Л. Д.—В сб.: Three-Body Problem in Nuclear and Particle Physics/自 d. by J. S・ C. McKee andP. M. Rolph: North-Holland Publ. Comp.,— Amsterdam, 1970.

Watson К. M.— Phys. Rev., 1953, v. 89, p. 575.

Lovelace C— In: Strong Interactions and High Energy Physics, / Ed. by _R.G・ Moorhouse^ Oliver and Boyd.— London, 1964.

Alt E. O・,Grassberger P・,Sandhas W.— Nucl. Phys., 1967, v. B2, p. 167.

Sandhas W. cm. [9]; Alt E. O., Grassberger P., Sandhas W. Preprint 1972, Universities Bonn and Mainz.

Фаддеев 〃・,см. [4], гл. 3.

Ahmadzadeh Л., Tjon J. A.—Phys. Rev., 1965, v. B139, p. 1085. El-Baz E・,Fayard C., Lamot G. Pigeon J・一Acta Phys. Acad. Sci. Hung., 1973, v. 33, p. 243.

Balian R・,Brezin E.— Nuovo Cim., 1969, v. 61B, p. 403.

Симметричный выбор координат был сделан в работе: От- nes R. L.— Phys. Rev., 1964, v. B134, p. 4358.

В этом случае разложение по угловым моментам приводит к конечной системе трехмерных интегральных уравнений.

Osborn Т・,Noyes Н. Р.— Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, p. 215.

Malfliet 7?・ Л., Tjon J. A.— Ann. Phys., 1970, v. 61, p. 425.

Harper E. P., Kim У. £・,Tubis A.— Phys. Rev., 1970, v. C2, p. 87 7; 19 72, v. C6, p. 126.

Noyes H. P., Fiedeldey H,— In: Three Particle Scattering in Quantum Mechanics/ Ed. by J. Gillespie and J. NuttaU W. A. Be^ njamin.— N. Y・,1968.

Gignou^c G- Laverne A.— Phys. Rev. Lett., 1972, v. 29, p. 436.

Weinberg S・—Phys. Rev., 19 63, v. 131, p. 440.

Kanwal R. P. Linear Integral Equations: Academic Press.— N. Y・，1971;

Courant jR., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics： Interscience Publishers, N・ Y., 1953. (См. перевод: Курант 尸.и

Гильберт 〃・ Методы математической физики.— М.: Гостех- издат, 1954);

Smithies F. Integral Equations: Cambridge Univ. Press, 1965.

Schmidt E.— Math. Ann., 1907, v. 63, p. 433.

Pade H.— Ann. Ecole Nor., 1892, v. 9, p. 1.

The Pade Approximant in Theoretical Physics / Ed. by G. A. Baker Jr., and J・ L. GammeU Academic Press,— N. Y., 1970.

Harms E.— Phys. Lett., 1972, v. 41B, p. 26.

Фаддеев Л. Д., ссылка [4], лемма 7.2.

Yamaguchi У・—Phys. Rev., 1954, v. 95, p. 1628.

Crepinsek £., Lang C. R, Oberhummer H ・,Plessa a W・, Zingl H・ F. K・一Acta Physica Austriaca, 1975, v. 42, p. 139.

Обзор этих исследований дан в работе: Mitra A. NAdvances in Nuclear Physics, 1969, v. 3, p. 1.

Noyes H. P.— Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 538;

Kowalski K. £・一Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 798;

Sasakawa T. — Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), Suppl., 1963, v. 27, p. 1;

Coester F.— Phys. Rev., 1971, v. C3, p. 525.

Mongan T. _R・一 Nuovo Cim., 1969, v. 63B, p. 539.

6. Sloan I. 〃•——J. Comp. Phys., 1968, v. 3, p. 332.

Крылов В. 〃・,Пальцев А. А. Таблицы для численного интегрирования.— М.: Наука, 1969.

SohreFZiegelmann Н.— Phys. Lett. 1971, v. 34В, p. 579.

Atkinson 五・一Num. Math. 197 2, v. 19, p. 248.

Antes H.— Num, Math. 1972, v. 19, p. 116.

Doleschall P.— Nucl. Phys., 1972, v. A201, p. 264.

Беляев В. S・,Ефимов B・ Л., Шулъц Т・,Ткаченко Е. Г.— В сб.： Few Particle Problems in the Nuclear Interaction/Ed. by /・ Slaus et al.: North-Holland Publ. Comp. —Amsterdam, 1972.

Hetherington J・ H・,Schick L. H.— Phys. Rev., 1965, v. B137, p. 935.

Aaron A・,Amado R. D.— Phys. Rev., 1966, v. 150, p. 857.

55・ Cahill A・ T., Sloan I. H.—Nucl. Phys., 1971, v. A165, p・ 161.

Ebenhoh W.— Nucl. Phys., 1972, v. A191, p. 97.

Brayshaw D. D.— Phys. Rev., 1968, v. 176, p. 1855.

Avishai У・——Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 3232.

Aaron 7?., Amado R. DYam Y. Y.— Phys. Rev., 1964, v. B136, p・ 650.

Sohre 尸・一Thesis, University of Tubingen, 1972.

Amado R. D.— Phys. Rev., 1963, v. 132, p. 485.

Детальное изложение этого метода дано в работе: Duck I.— Advances in Nuclear Physics, 19G8, v. 1, p. 343.

Sohre F., Ziegelmann H・一 Proceedings of the Symposium on the Nuclear Three-Body Problem.— Budapest, 1971.

Delves L・ M., Phillipps A. C.— Rev. Mod. Phys., 1969, v. 41, p・ 497.

Levinson 7V・— Kgl. Danske Vidonskab. Selskab, Mat. Fys. Medd. 1949, v. 25, No. 9.

Обобщение на задачу трех тел дано в работе: Wright J・—— Phys. Rev., 1965, v. B139, p. 137.

К сожалению, в обобщенную теорему Левинсона входит информация о трехчастичных свободно-свободных переходах.

Watson К. М,— Phys. Rev., 1952, v. 88, р. 1163;

Мигдал А, 13—ЖЭТФ, 1955, т. 28, с. 3.

Maljliet А・ Л., Tjon J. Л.— Ann. Phys., 19 70, v. 61, р. 425.

Delves L. MHennell M. Z・—Nucl. Phys., 19 71, v. A168? p. 34 7.

Bhatt S・ C, Levinger J. S.t Harms E.— Phys. Lett., 1972, v. 40B, p. 23.

Hurst D., Alcock J.— Can. J. Phys., 1951, v. 29, p.. 36.

Dilg W・，Koester £.■, Nistler W.— Phys. Lett., 1971, v. 36B, p. 208.

van Oers W. T. H., Seagrave J. D.— Phys. Lett., 1967, v. 24B, p. 562.

Aaron 乩,Amado R. D・,Yam Y. У・一Phys. Rev., 1965, B140, p. 1291.

Ситенко А. Г., Харченко В. Ф.— Nucl. Phys., 1963, v. 49, p. 15.

Alt E. O.— Acta Physics Auslriaca, Suppl., 1972, v. IX, p. 139.

Malfliet A. /・,Tjon J・ Л.— Nucl. Phys., 1969, v. A127, p. 161.

Amado R・ D.— Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 1414.

Zeitnitz B・？ Maschuw /?., Shur P., Ebenhoh W. — In: Few Particle Problems in the Nuclear Interaction / Ed. by /・ Sia us, S. A. Moszkoivski, R, P, Haddock, W. T. H* van Oers： North- Holland Publ. Comp.— Amsterdam, 1972.

Аналогичный анализ (см. [81 ]), однако, дает

апп 弋 〃пр ~ = —23ф!

Heller L., Signell Р, Yoder N，R.— Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 577;

Oberhummer H., Urban P., Zingl H. F. K.— Acta Physica Austriaca, 1971, v. 33, p. 115.

Bouchez A” Desreumaux S・,Gondrand J. C, Perrin C., Perrin P., Cahill R,『一Nucl. Phys., 1972, v. A185, p. 166.

Kloet W. M., Tjon J. A. — In: Few Particle Problems in the Nuclear Interaction / Ed. by /・ Slaics, S・ A. Moszkowski^ A. P. Haddock, and W. T. H. van Oers： North-Holland Publ. Comp.— Amsterdam, 1972.

Doleschall P.— Phys. Lett., 19 7 2, v. 40B, p. 443.

Osborn T・ A.— Slac Report, 1967, № 79.

Kim У・ E・—J. Math. Phys., 1969, v. 100, p. 1491;— Phys. Lett., 1969, V. 29B, p. 441;

Tubis A., Kim Y. E.— Phys. Lett., 19 7 2, v. 38B, p. 354; — Phys. Rev., 1970, v. Cl, p. 1627; 1971, v. C4, p. 693;

Harper E. P・,Kim Y. E.. Tubis A.— Phys. Rev. 1972, v. G6, p. 1601.

llumberston J. WHall R. Z., Osborn T. A. — Phys. Lett., 1968, v. 27B, p. 195.

Afnan /・ 7?・, Tang У. C— Phys. Rev., 1968, v. 176, p. 1232, 88. Delves L. M^— Advances in Nuclear Physics, 1972, v. 5, p. 1. 89. Ball J. S・,WongD.— Phys. Rev., 1968, v. 169, p. 1362.

Fuda M. G.— Phys. Rev., 1971, v. C3, p. 485.

Harms E.— Phys. Lett., 1969, v. 30B, p. 448; — Phys. Rev., 1970, v. Cl, p. 1667;- Nucl. Phys., 1970, v. A159, p・ 545・

92> Scadron М.^ Weinberg S.— Phys. Rev., 1964, v. B133, p. 1589. 93. Grassberger P., Sandhas W.— Z. Phys., 1968, v. 217, p. 9.

Alt £• O., Grassberger P., Sandhas W.— Phys. Rev., v. DI, p. 2581.

T]on J. .4. — Phys. Rev., 1970, v. DI, p. 2109.

96・ Ziegelmann H.— Nucl. Phys., 1972, v. A192, p. 42G.

Chisholm J. S. A・,ссылка [38], гл. 5.

Kloet W. M., Tjon J・ A.— Phys. Lett., 1971, v. 37B, p. 460;

—Ann. Phys., 1973, v. 7 9, p. 407.

Tang Y. C・,Schmid E. W., Herndon /L C.— Nucl. Phys., 1965, v. 65, p. 203.

Temple G.— Proc. Roy. Soc., 1928, v. 119, p. 27 6.

Hulthen L.— Kgl. Fys. Sallskap Lund Forh., 1944, v, 14, p. 21. 102. Kohn W・—Phys. Rev., 1948, v. 74, p. 1763.

Schmid fc\ W.— Bundesininistrium fiir Bildung und Wissen- schaft, Forschungsberich К 70-32, 1970;

Schmid W. E・,Hoffmann К. Nucl. Phys., 1971, v. A175, p. 443.

Ladanyi К.— Nuovo Cinu, 19G9, v. 61A, j). 173.

Ladanyi K.^ Szondy 7・一Nuovo Cim., 1971, v. 5B, p. 70. 105. Harris F. E「Michels 〃・ 〃•一 Phys. Rev. Lett., 1969, v. 22, p. 1036.

Schmid E. W.— Acta Physica Austriaca, SuppL 1972, v. IX, p. 44.

Schmid E・ W.— Nuovo Cim., 1973, v. 18A, p. 771;

Schwager J•— Nuovo Cim., 1973, v. 18A, p. 787.

Schwager J・一Nucl. Phys. 1974, v. A221, p. 371.

Kato T.— Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 1951, v. 6, p. 394;

Schmid E. Ж., Schwager J.—Nucl. Phys., 1972, v. A180, p. 434. 110. Schwager J., Schmid E. W.— Nucl. Phys., 1973, v. A205, p. 168. 111. Sohre F-, Schmid E. W.— Z. Naturforsch., 1975, v. 30a, p. 271. 112. McDonald, NuttalJ.— Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 361. 113. Nuttal J., Cohen H. L.— Phys. Rev., 1969, v. 188, p. 1542;

McDonald F. /・,Nuttal J.— Phys. Rev., 1972, v. C6, p・ 121； Hendry J・ Z・—Nucl. Phys., 1972, v. A198, p. 391.

Wildermuth K.— Acta Physica Austriaca, 1953, v. VII, p. 299; 115. Morse P. M.. Feshbach H. Methods of Theoretical Physics: McGraw-Hill.— N. Y., 1953, гл. 12, уравнения (8.48)—(8.52).

Schmid E. W., Schwager J.— Proc, of the Symposium on the Nuclear three-Body Problem, Budapest, 1971.

Schwinger J・,см. ссылку в работе [120].

Pieper S. C., Schlessinger L., Wright J・一 Phys. Rev., 1970, v. DI, p. 1674.

Grassberger P., Alt £・ O, Sandhas W.— Preprint, Universities of Mainz and Kabul, 1970,

Schwartz C.— Phys. Rev., 1966, v. 141, p. 1468.

Pieper S. C, Wright J., Schlessinger L・一Phys. Rev., 1970, v. D2, p. 1561.

Pieper S. C— Nucl. Phys., 1972, v. A193, p. 529.

Sloan /•"・,Brady T. J.— Phys. Rev., 1972, v. C6, p. 701.

Brady T. J., Sloan I. H.— В сб<: «Few Particle Problems in the Nuclear Interactions / Ed. by I. Slaus^ S・ A. Moszkowski^

К. Р. Haddock. W. Т. II. van Oers： North-Holland Publ. Comp.— Amsterdam, 1972.

Lieber Af., Rosenberg Z., Spruch L.— Phys. Rev., 1972, v. D5, p. 1330.

Smith F. T.— Phys. Rev., 1960, v. 120, p. 1058.

Lieber M・,Rosenberg Z., Spruch L.— Phys. Rev., 1972, v. D5, p. 1347.

В этой работе авторы предложили вычитать в (8.84) также (в дополнс пие к сингулярным членам, отвечающим однократному рассеяиию) и сингулярные члены, отвечающие двукратному рассеянию.

Brayshaw D. D.— Phys. Rev. Lett., 1974, v. 32, p. 382.

Дополнительная литература

129*. Базь А. И- Демин В. Ф., Кузьмин Л. И.— ЯФ, 1966, т. 4, с. 737.

130*. Brandenburg И. A., Kim У. Е- Tubis А.— Phys. Lett., 1974, V. 4913, р. 205;— Phys. Rev., 1975, v. C12, p. 1368.

131*. Afnan /. 7?., Birrell N・ D.— Preprint Flinders Univ., 1977, Fias-R-17.

132*. Jackson A. DLande /・,Sauer P. U.— Nucl. Phys., 1970, v. A156, p. 43；

Strayer M. A・,Sauer P. U・—Nucl. Phys., 1974, v. A231, p. 1. 133*. Afnan /• R., Read J. M.— Phys. Rev., 1975, v. C12, p. 293. 134*. Nunberg P., Prosperi I)., Pace E.— Nucl. Phys., 1977, v. A285, p. 58.

135*. Демин В. Ф., Покровский Ю. ◎・,Эфрос В* Д. — Phys. Lett., 1973, v. 44В, р. 227.

136*. Nuttal J.— Phys. Rev, Lett., 1967, v. 19, p. 473；

Webb J.G.— Phys. Rev., 1969, v. 178, p. 2226.

137*. Меркурьев С. П. — ТМФ, 1972, t. 32, c. 187; — ЯФ, 1976, t. 24, c. 289;— В сб.: Proc. Int. Conf. Few-Body Problem, Potsdam, 1977.

138*. Симонов Ю. Z・,Бадалян A. M.— ЯФ, 1975, т. 21, с. 890.

139*. Симонов Ю. Л. — ЯФ, 19 7 5, т. 2 2, с. 845;— В с6・： Proc. Int.

Conf. Few-Body Problem, Potsdam, 1977.

140*. Базъ A. 〃・,Меркурьев C 〃・—ТМФ, 1976, t. 27, c. 67; — ТМФ, 1977, t. 31, c. 48.

Литература к дополнению 1

Воробьев Ю. В. Метод моментов в прикладной математике.—— М・：①изматгиз, 1958.

Ефимов В. Н.— Препринты ОИЯИ, Р-2546, Р-2890, 1966, Дубна.

Bateman Н・—Proc. Roy. Soc., 1922, v. А100, p. 441.

Кукулин В. И. — ЯФ, 1971, т. 14, с. 862;— Czechoslovak J. Phys., 1971, v. B21, p. 923.

См. обзор: Ze山〃§" J. The two- and ihrcobody problem.— In: Springer Tracts in Mod. Phys., 1974, v. 71, p・ 88. Springer.— Berlin—Heidelberg — N. Y.

Adhikari S. £•— Phys. Rev., 1974, v. CIO, p. 1623；

Sloan I. H、, Adhikari S・ К.— Nucl. Phys., 1974, v. A235, p. 352. Adhikari S・ КSloan I. H. — Nucl. Phys., 1975, v. A241, p. 429; 1975, v. A251, p. 297;— Phys. Rev., 1975, v. CH, p. 1133; 1975, v. C12, p. 1152.

Kowa I ski K, £.— Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 798; Noyes H. P.— Phys. Rev, Lett., 1965, v. 15, p. 538.

Harms 万・—Phys. Rev., 1970, v. Cl, p. 1667;— Nucl. Phys., 19 70, v. A159, p. 545.

Harms £・ Докторская диссертация, Rensselaer Polytechnic Institute, 1969; см. также обзор Левивжсра [5].

Afnan /・ A・，Birrel N. P., Preprint, The Flinders Univ., 1977, Flas-R-17.

Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.— М.—Л.: Физматгиз, 1962;

Березин 71. С., Жидков //・ 〃• Методы вычислений.—— М・： ①из- матгиз, 19(50, т. II.

Беляев В. Б., Вжеционко Е.— Препринт ОПЯИ, Р4-4144, 1968, Дубна;

Ахльадходмсаев Б. А., Беляев В * В・,Вжеционко Е.—— Препринт ИТФ-69-49, 1969, К.;

Ахмадхоdjtcaee Б. Л., Беляев В• Б_ Зубарев Л. Л.— Препринт ОИЯИ, Р4-5318.

Беляев В・ В. и др.—Препринт ОИЯИ, Е4-8819, 1975; Е4—7535, 1973; Е4-9270, 1975.、

Харченко В・ Ф., Петров Н. М^ Кузьмичев В. Е・—Препринт ИТФ-70-22, 1970, К.;— Phys. Lett., 1970, v. 32В, р. 19.

Sawicki М.— Phys. Lett., 1977, v. 68B, p. 43;— Preprint Univ. Bonn, 1977.

Osborn T・ /・—Nucl. Phys., 1973, v. A211, p. 211.

Ernst D. J, et al.— Phys. Rev., 1973, v. C8, p. 46; 1974, v. C9, p. 1780; v. C8, p. 2056.

Birrell TV. D. Докторская диссертация, Flinders Univ. 1976. 19. Osborn T. A.— J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 373; 1973, v. 14, p. 1485.

Levinger J. S.— J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 1314.

Sloan 7. H., Gray J. D.— Phys. Lett., 1973, v. 44B, p. 354.

Lavine J・ P. et al.— Phys. Rev., 1973, v. C7, p. 968;

Fuda M.— Phys. Rev., 1968, v. 166, p. 1064.

MaIjliet L. Л., Tjon I. A.— Nucl. Phys., 1969, v. A127, p. 161.

Malfliet L. А, Докторская диссертация, University of Utrecht, 1969.

.1〃以几 I. /L, Read J. М,— Phys. Rev., 1973, v. C8, p. 1294.

Бахвалов H. С. Численные методы,— M.: Наука, 1973, т. I.

Фаддеев Л. Д. Доклад на Втором проблемном симпозиуме по физике ядра, Новосибирск, 1970.—В сб.: Проблемы современной ядерной физики, М.: Наука, 1973.

Kloet W. 〃“ Tjon J. /・—Ann. Phys., 4 9 73, v. 79, p. 407; — Nucl. Phys., 1973, v. A210, p. 380;

Tjon J. /・一In: Few-Body Dynamics (Proc. VII Int. Conf, on Few-Body Problem in Nucl. and Part. Physics, Delhi, 1975— 1976),— Amst. North-Holl., 1976, p. 507.

Stolk С, Tjon J. A.— Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 985, 30. Sloan I.— Phys. Rev., 1969, v. 185, p. 1361.

Harms E.— Phys, Lett., 1972, v. 41B, p. 26.

Sasakawa T.— Progr. The or. Phys. Suppl., 1963, v. 27, p. 1.

Fuda M. G.— Nucl. Phys., 1975, v. A245, p. 461;

Whiting J., Fuda M. G.— Phys. Rev., 1975, v. Cl2, p. 320.

35. Померанцев В. Н,— ТМФ, 1976, т. 29, с. 94.35. Померанцев В. Н,— ТМФ, 1976, т. 29, с. 94.Нукулин 用.〃・,Яраснополъским В. М.——ЯФ, 19 74, т. 20, с. 883； Кукуя ин />. 〃・，Померанцев 〃• /7\— ТМФ, 1970, т. 27, с. 373.

35. Померанцев В. Н,— ТМФ, 1976, т. 29, с. 94.

35. Померанцев В. Н,— ТМФ, 1976, т. 29, с. 94.

36.37.38.39.40.36.37.38.39.40.Кукулин В. 〃・,Неудачин В. Г^ Померанцев В. 〃・一ЯФ, 1976,

36.

37.

38.

39.

40.

36.

37.

38.

39.

40.

т. 24, с. 298;—J. Phys. G, 1978, v. 4, р. 1409.

рассеяния волн и частиц.— М.: Мир, 1968.рассеяния волн и частиц.— М.: Мир, 1968.Кукулин 8. 〃., Померанцев В. Н.— Ann. Phys. (N. Y.) 1978, v. Ill, p. 330.

рассеяния волн и частиц.— М.: Мир, 1968.

рассеяния волн и частиц.— М.: Мир, 1968.

ShakE С. 7И・,Thaler _R・ М. Phys. Rev., 1973, v. C7, p. 494;ShakE С. 7И・,Thaler _R・ М. Phys. Rev., 1973, v. C7, p. 494;Ньютон P. Теория

ShakE С. 7И・,Thaler _R・ М. Phys. Rev., 1973, v. C7, p. 494;

ShakE С. 7И・,Thaler _R・ М. Phys. Rev., 1973, v. C7, p. 494;

Scheerbaum R.瓦,Shakin С. M.— Phys. Rev., 1974,v. C9, p. 116.

Померанцев В. H.——Кандидатская диссертация, МГУ, 1978; Куку л ин В."・,Померанцев В. Н.— ЯФ, 1978, т. 27, с. 1611.

Wang W. L・,Shakin С. М.— Phys. Lett., 1970, v. 32B, p. 421; Lev 4, Beres W. P.— Phys. Rev., 1976, v. C14, p. 354.

Coester F.— Phys. Rev., 1971, v. C3, p. 525.

Austern 7V・—Phys. Rev., 1969, v. 188, p. 1595.

Soper P. J. R.— Phys. Rev., 19 74, v. 10, p. 1282; см. также работу

Blasczak D・,Fuda M.— Phys. Rev., 1973, v. 8, p. 1665.

Kowalski K. L,— Nucl. Phys. 1972, v. A190, p. 645.

Doleshall P., Revai J・一J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1001.

Karlsson B. R.— Preprint CERN TH. 2281, 1977;— NucL Phys., 1978, v. A295, p. 463.

Kowalski K・ L.— Preprint: Subtraction Techniques in Three — Particle Scattering, Case Western Reserve Univ. Cleveland, 1977.

Osborn T・ A.— Ann. Phys. 1970, v. 58, p. 417;

Osborn T・ A., Kowalski K. £.— Ann. Phys., 1971, v. 68, p. 361.

Литература к дополнению 2

Якубовский О・ А.— ЯФ, 1967, т. 5, с. 1312.

Фаддеев 〃・ Д.— В с6・： Труды проблемного симпозиума по физике ядра,— Тбилиси, 1967, т. I.'

Харченко В, Ф., Кузьмичев В. Е.— Препринт ИТФ-71-99 Е, 1971, К; Харченко В. Ф., Шадчин С、— ЯФ, 1975, т, 22, с. 632.

Кузьмичев В. £・,Кандидатская диссертация, ИТФ, 1977, К・

Харченко 3. Ф., Кузъмиусп В. £・一Phys. Lett., 1972, v. 42В, p. 3 28; —ЯФ, 1973, т. 17, с. 975.

Харченко #• Ф., Левашев В. II.— Phys. Lett., 1976, v・ 60В, p. 317;

Народеикий 〃・ M.— f[(D, 1974, т. 19, с. 552.

Харченко В. Ф.—Укр. физ. журнал, 1962, т. 7, с. 573； с, 582；

Ситенко А. Г., Харченко В. Ф. — Nucl. Phys., 1963, v. 49, p. 15;

Mitra A. TV., Bhasin V. S.—Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 1265.

Tjon J. /・一Phys. Lett. 1975, v. 56B, p. 217;— Phys. Lett. 1976, v. 63B, p. 391.

См. ссылку [15] к Дополнению 1.

Народецкий И. М., Грач И. М.— ЯФ, 1973, т. 186, с. G07.

Барыгиников А. Г^ Блохинцев Л. 〃•, Народецкий И. М.— Я<1>, 1977, т. 25, с. 1167.

Alt Е. О., Grassberger Р., Sandhas W.— Preprint JINR, E4-6688, 1972, Dubna;— In: Few Particle Problem in the Nuclear Interaction,—Amsterdam, 1972, p. 299.

Vanzant V.— Lett. Nuovo Cim., 1976, v. 16, p. 1.

Sloan /・—Phys. Rev., 1972, v. C6, p. 1945;

Bencze Gy.— Nucl. Phys., 1973, v. A210, p. 568;

Redich £・ RNucl. Phys., 1974, v. A225, p. 16; 1974, v. A235, p. 82;— Phys. Rev., 1974; v. CIO, p. 1291.

Эрих Шмид и Хорст Цигельман

ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Перевод с английского

8. ". КУКУЛИНА

под редакцией Ю. 〃・ ШИРОКОВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1979

22.314Ш 73УДК 530.122.314Ш 73УДК 530.1Erich W. Schmid

22.314

Ш 73

УДК 530.1

22.314

Ш 73

УДК 530.1

Horst Ziegelmann

THE QUANTUM MECHANICAL

THREE -BODY PROBLEM

Pergamon Press

Friedr. Vieweg + Sohn

Braunschweig

Шмид Э. и Цигельман X. Проблема трех тел в квантовой механике, монография, перев. с англ. Главная редакция физико-математической литературы издательства 《Наука》,М., 1979, 272 стр.

Книга посвящена квантовой механике трехчастичных систем. Детально рассматриваются уравнения Фаддеева для Т-матрицы, резольвенты, волновой функции рассеяния и операторов перехода, служащие основным средством квантовомеханического исследования трехчастичных систем. В книгу включены также два дополнения, содержащие подробное описание и сопоставление наиболее широко используемых методов решения трехчастичных интегральных уравнений, не затронутых в основном тексте, и обобщение теории Фаддеева на случай четырех и большего числа частиц.

Рис. 49, табл. 7, библ.— 203 назв.

Эрих Шмид и Хорст Цигельман

ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

М., 1979 г., 272 стр. с илл.

Редактор В. Я. Дубнова

Технический редактор В. Я. Кондакова

Корректоры О. А. Сигал, О. М. Кривенко

ИБ № 2457

Сдано в набор 10.05.79. Подписано к печати 05.10.79. Бумага 84Х1О8%2, тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 14,28. Уч.-изд. л. 14,31. Тираж 4800 экз. Заказ № 533. Цепа книги 1 р. 70 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»

Перевод на русский язык. Наука. Главнан редакция физико-математическоЙ литературы, 1979Перевод на русский язык. Наука. Главнан редакция физико-математическоЙ литературы, 1979630()77, Новосибирск, 77, Станиславского, 25

Перевод на русский язык. Наука. Главнан редакция физико-математическоЙ литературы, 1979

Перевод на русский язык. Наука. Главнан редакция физико-математическоЙ литературы, 1979

т20402 — 155 132-79. (704020000 053(02)-79

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому переводу и

Предисловие автора к русскомуизданию 8

Предисловие авторов ..* 9

Глава 1. ВведениеИ

Эксперименты по рассеяниюс развалом па три частицы 12

Трудности теории15

Значение задачи трех тел для ядерной физики .19

Глава 2. Некоторые понятия квантовой механики .22

Задача двух тел22

Гамильтониан22

Граничное условие для состояний рассеяния ・•23

Оператор Меллера24

Уравнение для резольвенты и уравнение Липпманн —Швингера27

5-матрица ・32

Т-матрица35

Соотношение унитарности.36

Задача трех тол38

Гамильтониан38

Двухчастичные подсистемы в трехчастичном пространстве 39

Граничные условияи операторы Меллера .41

Уравнение для резольвенты и уравнение Липцма- на — Швипгера 44

Глава 3. Уравнения Фаддеева48

УравненияФаддеева для Т-матрицы 48

УравненияФаддеева для резольвенты55

УравненияФаддеева для волновыхфункций рассеяния 56

4・ 5-матрица58

УравненияФаддеева для операторовперехода62

6・ Соотношение унитарности67

Глава 4 Методы решения уравнений Фаддеева . .72

Разложение уравнений Фаддеева по парциальным волнам 72

Некоторые понятия теории интегральных уравнений •77

Применение к уравнениям Фаддеева 82

4 4 1И45 0836 3 3744 7 1 5 578 2 2 8 9306 8 8 9 9 9 9 о о 11 2 2233 3 5 5 5 5 5 6 6 6 7 89 9 1111 1 11 11 1 1 1 111 1 1 1 11 114 4 1И45 0836 3 3744 7 1 5 578 2 2 8 9306 8 8 9 9 9 9 о о 11 2 2233 3 5 5 5 5 5 6 6 6 7 89 9 1111 1 11 11 1 1 1 111 1 1 1 11 1144517 3 5о о о 11 2 222222 2 244517 3 5о о о 11 2 222222 2 2

4 4 1И45 0836 3 3744 7 1 5 578 2 2 8 9306 8 8 9 9 9 9 о о 11 2 2233 3 5 5 5 5 5 6 6 6 7 89 9 1111 1 11 11 1 1 1 111 1 1 1 11 11

4 4 1И45 0836 3 3744 7 1 5 578 2 2 8 9306 8 8 9 9 9 9 о о 11 2 2233 3 5 5 5 5 5 6 6 6 7 89 9 1111 1 11 11 1 1 1 111 1 1 1 11 11

44517 3 5

о о о 11 2 2

22222 2 2

44517 3 5

о о о 11 2 2

22222 2 2

Глава 5. Сепарабельные потенциалы

Сепарабельные потенциалы в задаче двух тел .・.

Решение уравнений Фаддеева с сепарабельными потенциалами

Рассеяние с перестройкой

Развал па три частицы

Одинаковые частицы

Численное решение уравнений Фаддеева с сепара бельными потенциалами

Результаты для трех одинаковых частиц .•

Модель Ватсона

Результаты для трехпуклонной системы ..

Глава 6. Решение уравнений Фаддеева с локальным по тенциалом

Прямое решение уравнений Фаддеева с локальным иотен циалом

Метод Шмидта (вейпберговский метод квазичастиц)

Метод квазичастиц в задаче трех тел

Уравнения Альта — Грассбергора — Сапдхаса ・

Применение метода квазичастиц к уравнению для трехчастичной резольвенты

Практические вычисления с помощью квазичастич ного метода

Глава 7. Решение уравнений Фаддеева с помощью падё приближения

Метод падё-приближения

Паде-приближение и интегральные уравнения ..

Падё-приближение и уравнения Фаддеева ..・

Глава 8. Вариационные методы

Вариационные методы для связанных состояний ..

Вариационные методы для упругого и многоканального рассеяния

Вариационные методы для многоканального рассеяния учетом трехчастичного развала

Гиперсферические функции

Состояния с последующим распадом ・ ・ ・.

Метод Пайпера — Шлезингера — Райта ...

Дополнение 1. Методы решения и приближения для ии тегральпых уравнений теории мпогочас тичного рассеяния

А. Сепарабельные разложения операторов рассеяния .

Унитарно-полюсное разложение

Метод Бейтмана

Метод Адхикари — Слоана

О сходимостп сепарабельных разложений операторов теории рассеяния

Сравнение результатов, полученных в З/У-системе разными сепарабельными разложениями .••

Б. Итерационные методы227

Метод ортогонального проектирования..•229

Метод Сасакавы ——Нойеса — Ковальского ....241

Заключение ...249

Дополнение 2. Интегральные уравнения для рассеяния N частиц (" > 3)251

Интегральные уравнения для четырех частиц..・251

Б. Интегральные уравнения для N частиц259

Литература264

Дополнительная литература 269

Литература к Дополнению 1・・・・,・・・•269

Литература к Дополнению 2271

Книга Э. Шмида п X. Цигсльмана представляет собой по существу первое в мировой лнтературс последовательное и полное изложение квантовой механики трехча- стичньтх систем. Авторам удалось систематизировать и изложить логически связанным и педагогически удачным образом обширный материал, разбросанный по многочисленным журнальным статьям и трудам различных международных конференций, к тому же часто малодоступный для читателя.

Как хорошо известно, бурное развитие этой области началось с основополагающих математических работ Л. Д. Фаддеева, опубликованных в начале 60-х годов. Поэтому изложение фаддеевской теории трехчастичпого рассеяния занимает в книге центральное место. Вместо с тем в книге подробно изложены практически эффективные методы решения фаддеевских уравнений, развитые за последующие годы многими авторами, в частности изложен метод факторизации интегральных ядер, метод квазичастиц, суммирование ряда Непмапа с помощью падё-приближения и др.

Кроме чисто теоретических вопросов, в книге систематизированы основные экспериментальные факты, касающиеся трехпуклопной системы и дап краткий обзор результатов чттсленпых расчетов для этой системы. Из основного материала кпигп несколько выпадает глава 8, посвященпая вариационным методам и содержащая главным образом оригинальные результаты авторов кштги. Более полное изложение вариационных методов и результатов, касающееся трехнуклонной системы, можно найти в прекрасном обзоре Дельвеса ).

Поскольку со времени выхода английского оригинала книги (1974 г.) было проведено много новых иссле-

дований трехчастичных систем как чисто методического, так и расчетного характера, к основному тексту добавлены два дополнения (написанных В. И. Кукулиным). Первое дополнение содержит обзор тех методов решения интегральных уравнений теории рассеяния, которые предложены пли получили значительное развитие лишь в последнее время. Во втором дополнении изложено обобщение теории Фаддеева на системы из четырех частиц и из произвольного числа частиц.

Вместе с указанными дополнениями книга Шмида и Цигельмана может служить учебным пособием для студентов п аспирантов соответствующих специальностей, а также достаточно полной монографией для специалистов по атомной и ядерной физике, желающих быстро ознакомиться с этой бурно развивающейся областью исследований или получить нужную справку. Для полноты в русском издании добавлен список литературы, содержащий в основном работы, вышедшие в последнее время.

И. Кукулии

Ю. М. Широков