Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый русский перевод лекций Лорана Шварца— одного из крупнейших современных математиков — посвящен получению основных уравнений теории поля методом обобщенных функций. Лоран Шварц является одним из создателей теории обобщенных функций, которая возникла в связи с задачами физики и находит в ней все более широкое применение.
Обобщенные функции по существу использовались еще в работах Хевисайда и Дирака, хотя предложенный ими аппарат был далек от строгого математического обоснования. Следует отметить, что первые строгие математические исследования по обобщенным функциям принадлежат С. Л. Соболеву (см. его работы в ДАН СССР и в Машем, сборнике).
Математическое обоснование применяемого в физике аппарата имеет принципиальное значение, так как зачастую нуждаются в обосновании сами построения, возникающие в современной теоретической физике. Например, весьма актуален вопрос о внутренней непротиворечивости электродинамики, возникший в связи с использованием теории возмущений, и этот вопрос еще не получил своего разрешения.
Рассматривая задачу построения матрицы рассеяния при помощи явно сформулированных физических условий — причинности, релятивистской инвариантности и унитарности,—мы получаем возможность обосновать вычислительный процесс в рамках теории возмущений без обращения к псевдонаглядным ренормировочным представлениям. Вычитание бесконечностей при этом выступает как составной элемент процедуры получения конечных выражений из произведений некоторого числа несобственных сингулярных функций. Рассмотрение этой процедуры облегчается, как известно, использованием аппарата теории обобщенных функций.
В настоящих лекциях Лоран Шварц не рассматривает взаимодействия полей, при описании которого как
раз и проявляются вышеупомянутые трудности. Все изложение проводится для единственной свободной частицы. Тем не менее книга представляет значительный интерес, и ее ценность состоит в следующем. Во-первых, в книге вводятся как раз те классы обобщенных функций, которые используются в аппарате теории кван-тованных полей. Поэтому можно надеяться на дальнейшее развитие идей, которые здесь излагаются. Во-вторых, четкое и корректное в математическом смысле построение позволяет получить строгий вывод уравнения Дирака на основе предположений самого общего характера. В-третьих, проводимая на основе обобщенных функций классификация элементарных частиц и данные автором определения этих частиц, несомненно, полезны, так что можно надеяться на распространение описываемых методов на случай взаимодействия.
Кроме того, книга полезна в чисто математическом отношении, так как является прекрасным введением в теорию обобщенных функций для лиц, занимающихся проблемами теоретической физики. В процессе изложения автор не приводит доказательства всех теорем, а иногда отсылает читателя к оригинальной литературе и учебникам. В этом отношении можно рекомендовать серию книг И. М・ Гельфанда, Г. Е. Шилова и Н. Я. Виленкина „Обобщенные функциии (вып. 1—5), которая содержит все последние достижения в этой области.
Встречающиеся иногда повторения нельзя рассматривать как недостаток книги. Введение различных классов обобщенных функций по единой схеме представляется полезным для понимания математической теории обобщенных функций и уяснения приложений, используемых в физике.
Следует указать, что оригинал книги Шварца представляет собой запись лекций автора, прочитанных в Калифорнийском университете в 1961 году. Эта запись содержит большое количество опечаток и неточностей, которые были исправлены в процессе подготовки русского издания; при этом последовательность изложения нисколько не изменена.
В заключение выражаю надежду, что предлагаемая книга будет с пользой прочитана специалистами и студентами, «@4 математиками, так и физиками.
".Н. Боголюбов
Глава 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Введение
Квантовая механика занимается описанием движения частиц. Вся информация, необходимая для полного описания движения некоторой частицы, содержится в ее волновой функции ф(х, у, z, /), являющейся комплексной функцией координат (х, у» ^) ^ R3 (R3 — трехмерное евклидово пространство) и времени Л В нерелятивистской квантовой механике величина |ф(х» у, z, £)「 представляет собой плотность вероятности положения частицы. Вероятность того, что частица находится в произвольный момент вре,- мени t в некоторой области AuR* определяется выражением /// I屮(％，У，z, t)^/dxdydz.
Заметим, что функция 屮 при любом / должна быть функцией с интегрируемым квадратом модуля; предположим, кроме того, что /J7小北у, z； t)\2dxdydz~l для к
любого /• Если мы определим скалярное произведение волновых функций с помощью интеграла '
/// 屮 1(х，У，N, £)屮 2(%，У，z； f) dx dy dz* R3
то функция 屮 будет принадлежать гильбертову пространству для любого t・
В нерелятивистской квантовой механике 屮 удовлетворяет волновому уравнению Шредингера:
где 方一постоянная Планка, деленная на 2ic, а Н — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве £2 функций нА R3 с интегрируемым квадратом модуля. Из
уравнения Шредингера следует, что скалярное произведение двух волновых функций остается постоянным во времени. В случае свободной частицы имеем
где /п — масса частицы, а А — оператор Лапласа.
В релятивистской квантовой механике пространство и время неразделимы, поэтому нельзя говорить, что 屮 есть функция четырех переменных, если не выбрана лоренцова система координат. Для одновременного рассмотрения времени и пространства вводится четырехмерное аффинное пространство &, и функция 屮 определяется на 旦.Определение аффинного пространства будет дано позднее.
Определение. Частицей 能 называется гильбертово пространство функций, определенных на f4.
Определение. Движением 屮 называется элемент 影 е нормой И 屮 ||非=1.
Пусть o—произйольное преобразование Лоренца* в f4 и »—группа Лоренца. При преобразовании о функция 屮 переходит в функцию 叫.
Определение. Если для любого o£G имеем
屮€飾今叫€飾，
ПаФк = 1Н|1да-
то частица 翫 называется мировой частицей. Короче говоря, мировая частица — это частица, которая не изменяется при лоренцевых преобразованиях.
Определение. Мировая частица 翫 называется эле- ме凡тар凡о也,если 翫 не содержит подпространств, которые переходят в себя при всех преобразованиях ^CG, т. е. когда пространство 影 минимальнох).
Позднее мы покажем, что пространство 翫 зависит от параметра /и0^- 0 и некоторого параметра, который может принимать два значения: »-р и „ —и. Последний интерпретируется как заряд частицы, а/п0 — как масса покоя частицы.
В теории представлений групп такие пространства называются неприводимыми.—Прим. ред.
Определение. Мезоном называется скалярная элементарная частица (ей соответствует скалярная волновая функция 屮).
Для системы двух частиц гильбертово пространство определяется теми же самыми аксиомами, что и выше; однако его элементы теперь являются функциями на произведении 七4 X 营4・ В этой книге мы будем рассматривать только случай одной свободной частицы.
Ради общности мы будем считать, что наше гильбертово пространство есть пространство обобщенных функций.
Поэтому мы начнем с краткого введения в теорию обобщенных функций.
Элементы теории обобщенных функций
Пусть R" означает rt-мерное евклидово пространство, и пусть /(R") (или просто 给一пространство всех комплексных функций ср, определенных в Йл, имеющих производные всех порядков и обращающихся тождественно в нуль вне некоторой ограниченной области в RK Функции <р будем называть основными функциями. Заметим, что & (R71) — линейное пространство.
Введем топологию в пространство 阻
Определение. Последовательность основных функций (сру(х)) стремится к нулю в <® (обозначается 屮/^>。)， если все функции еру (х) обращаются в нуль вне одной и той же ограниченной области в R" н если функции сру(х) вместе со своими производными любого порядка равномерно сходятся к нулю.
Определение. Обобщенной функцией Г называется непрерывный линейный функционал на пространстве 35, т. е. правило, согласно которому каждому элементу ср£/ ставится в соответствие комплексное число (Т, ср), такое, что
(7,(4窗 + 3中2)>= 4(7, %〉+ /(7,中2〉
и сходимость 屮)不+0 влечет за собой сходимость
Пусть 勿(R“)(или просто 毋)обозначает пространство обобщенных функций на Rn.
Пример. Пусть / — локально интегрируемая функция в Rn/). Тогда равенство
〈力屮〉=//(%)屮()dx= f f(x)<f(x)dx (*)
определяет обобщенную функцию. Здесь 4 — ограниченная область в R", вне которой ср обращается в нуль (носитель ср). ；Таким образом, каждая локально интегрируемая функция однозначно определяет обобщенную функцию, за： данную равенством (*). Очевидно, что Д и /2 определяют одну и ту же обобщенную функцию тогда и только тогда, когда /] = /2 почти всюду. Рассматривая соответствующие классы. Лебега (т, е. отождествляя функции, которые равны между собой почти всюду), мы заключаем, что классы локально интегрируемых функций образуют подпространство пространства обобщенных функций.'.
Другими важными примерами обобщенных функций являются дельта-функция Дирака, определенная соотношениями
G，ср) = ср (0)
или
〈％，?)=?(«)•
ъ диполь С> определенный равенством
《，?) = —^(О).'
Определение. Производная обобщенной функ^ ции Т определяется формулой
9, 6=一①吟.
Из этой формулы следует, что
(7(叫 8(-J)w 外
(备‘中〉=-(7, 备〉，
{DPT,中〉= (—1)3〈7,。勺〉，
где р обозначает набор из л целых чисел р = т» ..., рл)(1p1=Р1+ ••• +р" и "=(备)•••(說)"•
Таким образом, любая обобщенная функция имеет производные всех порядков.
Пример. Рассмотрим функцию Хевисайда У(х),. определяемую равенством
х > 0, х < 0.х > 0, х < 0.
х > 0, х < 0.
х > 0, х < 0.
Имеем
〈У- ср)=—〈匕屮'〉=—/ И (х) срА (х) dx =
—8
ОО
=—/ срл (х) dx == ср (0) = (8, ср), о
Поэтому Г = 8.
Определение. Пусть / — непрерывная функция и пусть
4= {х： /(х)吩 0).
Замыкание А множества Л называется носителем функции /.
Определение. Пусть Q — открытое множество в R" и пусть Т£ 勿.Мы говорим, что обобщенная функция Т равна нулю в Q, если (Т,(р〉= 0 для всех 屮&讶， носители которых содержатся в 2.
Например, 3 = 0 в R —⑼.
Теорема. Пусть крытых подмножеств в каждом ЙР Тогда ТТеорема. Пусть крытых подмножеств в каждом ЙР Тогда Т-nJR о^8 =-nJR о^8 =некоторая система。加• предположим, что 7 = 0 и&・некоторая система。加• предположим, что 7 = 0 и&・
Теорема. Пусть крытых подмножеств в каждом ЙР Тогда Т
Теорема. Пусть крытых подмножеств в каждом ЙР Тогда Т
-n
JR о
^8 =
-n
JR о
^8 =
некоторая система。加• предположим, что 7 = 0 и&・
некоторая система。加• предположим, что 7 = 0 и&・
Доказательство. Мы должны показать, что (Т, ср) = О для любой функции「£/, носитель которой содержится в и% Пусть Л—носитель некоторого f.
Так как множество Л компактно и покрыто системой (2J, существует конечное подпокрытие ]Q%},论=1, 2, ..., n. Пусть {屮Q, fe = 1, 2,・・・,n,—бесконечно дифференцируемое разбиение единицы в А, соответствующее покрытию JS/ft|, т. е. для 々=1, 2, ..., п выполняются следующие условия:
h€^(R“)；
носитель 屮走 содержится в Q%;
£ 屮论=1 на Л.
Тогда
(7, <р) = (?,a屮胛〉=?]〈7,屮碑)=0.
Следствие: Для каждой обобщенной функции Т существует 8 точности одно максимальное открытое подмножество пространства R", в котором эта, функция равна нулю.
Доказательство. Рассмотрим все &, в которых 7= 0. Тогда (J。， представляет собой требуемое множество.
Определение. Носителем обобщенной функции Г называется дополнение в R" к максимальному открытому подмножеству Q, в котором 7 = 0・
Введем теперь топологию в пространство обобщенных функций 炒〈Так как 炒'一линейное пространство, то достаточно определить сходимость к нулю.
Определение. Слабая сходимость: пусть {Tj}— произвольная последовательность в Будем говорить, что Ту сходится к нулю в смысле обобщенных функций» или Ту—>0 в 炒-если 〈7戸 ср)—>0 для каждой основной функции中w团.
Понятие сильной сходимости включает требование типа равномерности; соответствующее определение будет дано позже, когда оно потребуется.
Теорема. Дифференцирование является непрерывной операцией в $', т. е・ Т^тО в В' влечет за собой Т；—>Ов 炒'・
(Из слабой сходимости обобщенных функций следует слабая сходимость их производных.)
Доказательство.
〈7；,(р〉= —〈Ту《〉—о для любой функции 中£ 炒.
Замечание. Многие последовательности, расходящиеся в обычном смысле, становятся сходящимися в смысле введенной здесь слабой топологии. Ряд, сходящийся в смысле обобщенных функций, можно дифференцировать почленно, т. е. если Т = £Т『, то 7’ = ?Ту.
Теорема: Пусть 力f 0 почти всюду; пусть, далее, |/丿| 式 g, 2》е g — фиксированная положительная локально интегрируемая функция. Тогда /у->0 в смысле обобщенных функций.
Доказательство. Утверждение следует из теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла.
Примеры. Тригономвтрический ряд 工。力е2n泳# сходится й смысле обобщенных функций тогда и только тогда, когда |а*|《АЕ“* где Л — константа, а — некоторое цело^ положительное число. Таким образом, многие тригонометрические ряды становятся сходящимися в смысле обсбщеннытК функций. Чтобы убедиться в достаточности приведенного выше условия, рассмотрим ряд
一 (2确з•
Этот ряд сходится равномерно, такЭтот ряд сходится равномерно, таккаккак丨%丨 / j 麻 1H 2 &丨%丨 / j 麻 1H 2 &значит, он сходится и взначит, он сходится и всмысле обобщен*смысле обобщен*
Этот ряд сходится равномерно, так
Этот ряд сходится равномерно, так
как
как
丨%丨 / j 麻 1H 2 &
丨%丨 / j 麻 1H 2 &
значит, он сходится и в
значит, он сходится и в
смысле обобщен*
смысле обобщен*
ных функций. Дифференцируя этот ряд почленно <х 十 2 раз, получаем исходный ряд, который, следовательно, сходится в смысае обобщенных функций.
Ряд 2 е跳続* в обычном смысле расходится. Однако А= —со
в смысле обобщенных функций он сходится к обобщен- 8
НОЙ функции 2 3(* — &)：
ОО
Дифференцируя почленно, убеждаемся, что £ (2冗i尼)濟我筑# — co
ОО
СХОДИТСЯ К 2 $(Х—尼)：•
Лн —8
У М У у У
—II-I-h-1-
•—2—10 12
§ 3. Аффинные пространства. Преобразования Лоренца
В предыдущем параграфе мы определили пространство 炒'(R") обобщенных функций на евклидовом пространстве R"・ Аналогично можно определить пространство ЗУ В) обобщенных функций на n-мерном векторном - пространстве Ел. Однако в физическом пространстве не существует выделенного начала отсчета, поэтому здесь у нас нет исходного векторного пространства. По этой причине мы вводим понятие аффинного пространства.
Определение； Аффинным прост, ранс твоя называется множество Е и связанное с ним векторное пространство Е. Связь между Е к Е определяется отображением Е)<Е в f, которое переводит пару элементов а, b нз Е в вектор ab из Е, причем вМпо力няются следующие два условия..
Соотношение Шаля. Если а,瓦 с — любые три элемента из Е, то abA-bcA-ca — O,
Пусть о—фиксированный элемент из £. Отображение а->оа устанавливает взаимно однозначное соответствие между Е к 庆
Следует отметить, что соотношение (1) можно обобщить более чем на три элемента. Кроме того, тройка элементов а, а, а, согласно (1), дает За@ = 0, или qq = 0. а тройка а, а> Ь дает а方 + 方《 = 0.
По очевидным причинам весьма удобно обозначение
ab = b — а.
Таким образом, операция .вычитания задает отображение пары at b пз Е на вектор ab из £\ удов летв ор яющее приведенным условиям. Если а — данный элемент из Е, а х — данный элемент из Е, то существует единственный элемент 方£Е, такой, что а~\~х = Ь, причем последнее
эквивалентно равенству х — Ь — а.
Определение. Пусть Е и 尸—два аффинных пространства. Отображение
о : EfF
называется аффинным оператором, переводящим Е в Р9 если существует связанный с ним линейный оператор
а ： Е -> F. такой, что
об ■— аа = о (方—д).
Заметим, что линейный оператор а однозначно определяется оператором о. Далее, произведение двух аффинных операторов является аффинным оператором, и обратимые аффинные операторы образуют группу.
Пример. Оператор сдвига 〃：*->% + % — аффинный оператор» переводящий аффинное пространство Е в себя. Связанный с ним линейный оператор сдвига
является единичным оператором
（6 + 玄）一（а + 〃）=方一а.
Обратно, каждый аффинный оператор является единичным, если связанный с ним линейный оператор представляет собой оператор сдвига.
Пусть Е — векторное пространство над полем действительных чисел и пусть на Е определена квадратичная форма &五Мы предположим, что форма Gl 方 билинейна, симметрична [т. е. (х | у) = (у | х)] и невырожденна (не существует отличного от нуля элемента, ортогонального ко всему пространству).
Пусть с】,е?, ..®п — ортонормированный базис в Е, т. е. (е^|е》= 0 для /# / и (ez\ё^—± 1. Любое конечномерное векторное пространство, в котором задана невырожденная квадратичная форма, имеет бесконечное числа ортонормированных базисов. Однако число базисных элементов е, таких, что (е|е)=1, и число базисных элемен-
тов % таких, что (е[е) = —1, не зависит от конкретного выбора базиса.
Определение. Сигнатурой n-мерного векторного пространства по отношению к данной квадратичной форме (хIу) называется пара целых чисел (р, д), где p~^~q = nt р — число элементов ортонормированного базиса е, таких» что (е|е)=1, a g — число элементов ортонормированного базиса % таких, что (е|е) = —1.
Определения. Четырех мерным векторным пространством Лоренца называется векторное пространство с квадратичной формой, которое имеет сигнатуру (3,1). Соответствующий ортонормированный базис мы обозначим е。©2, ®з, е0, где (々]力)=1 при Z = 1, 2, 3 н (% | %) = — 1.
Четырехмерным аффинным пространством Лоренца называется такое аффинное пространство J для
которого соответствующее векторное пространство 旦 имеет сигнатуру (3,1).
Под галилеевой, системой отсчета мы понимаем выделенную начальную точку 0 в Е4 и выделенный орто- нормированный базис ер е2, 63, е0 в & (выделенная система координат).
Каждая мировая точка имеет четыре координаты хр *2，尤з，x^ — ct (три пространственных и одну временною).
Определение: Преобразованием Лоренца а называется аффинный обратимый оператор в лоренцевом аффинном пространстве, сохраняющий его лоренцеву структуру; это значит, что связанный с ним линейный оператор сохраняет квадратичную форму
("|оу)=(%|У)・
Преобразования Лоренца образуют группу. Группа G, содержащая все преобразования Лоренца а, называется неоднородной группой Лоренца, тогда как группа G, образованная соответствующими линейными операторами ^, называется однородной группой Лоренц1a.
Пример. Сдвиги являются преобразованиями Лоренца.
Теперь можно определить пространство ⑦'(Е) обобщенных функций на аффинном пространстве £ просто с помощью выбора начальной точки в Е: этот выбор превращает Е в векторное пространство (изоморфное Е) и позволяет определить обобщенные функции на £, исходя из уже имеющегося определения обобщенных функций на векторном пространстве Е. Легко видеть, что построенное таким образом пространство обобщенных функций не зависит от выбора начала координат. В общем случае можно определить пространство 必'(V) обобщенных функций (или потоков) на любом многообразии V класса С001) (частным случаем которого является аффинное пространство).
】)Определение многообразия класса С°° см.» например, в книге Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, М., ИЛ, 1956. — Прим. ред.
§ 4. Мировые скалярные частицы
Теперь мы уточним определения скалярной частицы и мировой частицы.
Определение. Скалярной частицей в мире Е4 называется множество 能，удовлетворяющее следующим постулатам.
(1)飾 есть векторное подпространство пространства 勿(当)，
能 снабжено структурой гильбертова пространства, т. е. в ^? существует линейно-антилинейная форма (屮i ［屮?)* (линейная по 屮］и антилинейная по ф2), которая является эрмитовой, положительно определенной и такой, что 能 полно по норме || 屮 ||* = (屮 | 屮)^・
Каноническое вложение 黝 в 炒'непрерывно, т. е.
屮j->0 B能今屮/->0 в砂.
Мы увидим, что 能 представляет заряженные частицы. Если обобщенные функции в Е4 принимают только действительные значения, то 齢 описывает нейтральные частицы.
Определение. Движением частицы называется элемент 屮£ 能，такой, что ||屮
Мировая частица одинаково наблюдается различными наблюдателями. Наблюдатель производит свои наблюдения в некоторой системе отсчета, так что частица 能 рассматривается им как некоторое пространство обобщенных функций, определенных в R* а не в Е# Если все наблюдатели наблюдают 能 как одно и то же пространство обобщенных функций, определенных в R4, то 能 является мировой частицей. Более точное определение можно дать, если описать действие оператора a£G на обобщенные функции.
Преобразование Лоренца a^G действует не только в Е4, но также в любой другой структуре, определенной над Е4. Если ср(х), х^ЕА,——комплексная функция на Е4, то преобразование 中一> оу определяется равенством
吋(ах) = ? (Х), X £ £4»
или, что то же самое,
叫（у）=<р（°ту）， у €^4-
Из того, что а G — линейный оператор, следует
Теорема.屮£ 生（EQ 今 и（р £ 生（£*4）.
Из определения а<р следует
Т е о р е м а. срл -> 0 =^ асрд -> 0.
Таким образом, о осуществляет автоморфизм 35.
Действие оператора а на обобщенные функции определяется равенством
〈〃，吋〉=〈т\ d •
или, что то же самое,
（。7\ 屮）=（7,。7中）=（% 中（。у））.
Теорема. Оператор а действует на обобщенные функции линейно и непрерывно.
Доказательство. Линейность:
（0 （a£ +a272），中）=<a/1 +。272，L’*u
=〃1〈7\, Gp〉4~a2〈T2，Gp〉=
=%<a1，中〉+ 的<"2，律=^力0方 + 的0厶，中〉.
Непрерывность. Если Гл—>0, то для любой функции 屮£炒имеем L】cpC炒и
〈"/«'中〉=〈7"，Lp〉f о；
следовательно, аТл -> 0.
Легко показать, что последовательное применение операторов о к t в 砂 равносильно оператору та в 勿. Отсюда следует, что а является автоморфизмом 炒'・
Если задано аффинное пространство Е и положительная мера в f, инвариантная относительно сдвигов, то тем самым однозначно определена мера в Е. Тогда любая локально интегрируемая функция / в Е определяет обобщенную функцию
〈厶「〉= / /（%）▼（%）"%•
Если задана квадратичная форма над Ё, то ей соответствуют ортонормированный базис и определенным образом нормированная мера Хаара. Ввиду того что любой оператор а О сохраняет квадратичную форму, он сохраняет также и выбранную меру Хаара. Следовательно, а сохраняет установленное с помощью этой меры соответствие между обычными локально интегрируемыми функциями и обобщенными функциями.
Если заданы скалярная частица 能и炒，(Е0 и любой оператор o£G, мы можем построить пространство о薮 как совокупность всех 叮屮 для 屮 6 能. Определив в 仃能 скалярное произведение
(0屮11。屮2)。宓=(帽屮2)*，
получим, что о能一также гильбертово пространство.
Определение. Скалярная частица 薮 называется мировой, если для всех а^ G справедливы соотношения:
0能=能；
||оф||^ = ЦфНзс Для любого 屮 £ 匏.
Следовательно,能 является мировой частицей тогда и только тогда, когда любой оператор а^ G является унитарным оператором, отображающим. ^? на 薮.
Скалярные и векторные частицы в произвольном мире
Определение. Миром V называется многообразие класса С°° конечного числа измерений п. Группу G, элементы которой действуют в мире V, назовем структурной группой мира.
Определение. Скалярной частицей 8 мире V называется множество 能,удовлетворяющее следующим постулатам:
(1)能一векторное подпространство пространства 炒'(V) обобщенных функций» определенных в мире V;
(2)幽 снабжено гильбертовой структурой;
фу—>0 в 能今屮->0 в 勿(V).
Определение. Скалярная частица 飾 в мире У называется универсальной относительно G, если для всех операторов a^G справедливы соотношения:
(1) 0能=能；
⑵阿 1&=11 屮II* Для всех 屮 £ 匏.
Отметим, что ранее данное определение мировой частицы совпадает с определением частицы, универсальной относительно группы Лоренца.
Пример. Для одной скалярной частицы можно взять в качестве мира V аффинное лоренцево пространство 旦 с заданной лоренцевой квадратичной формой и в качестве структурной группы соответствующую группу Лоренца.
Пример. Для двух частиц можно взять V — EA\ £屮 Структурной группой G вновь будет группа Лоренца, действующая на 旦 X Е《по следующему закону: для (Х, у) £ £4 х £*4 н o£G
(%, у)т 0(%, у) = 9%, ay).
Для изучения таких частиц, как электрон, протон и т. д. мы должны ввести понятие векторных обобщенных функций. Пусть 尸——конечномерное векторное пространство над С1).
Определение. Обобщенной функцией, 亢 определенной в мире V 玄 принимающей значения из F, называется непрерывное линейное отображение Г : 9f〈7\ 屮〉 пространства 炒(V) в 尸.
Пространство 炒'(V;尸)обобщенных функций, определенных в мире V и принимающих значения из 方,пространство ^ («^ (V);尸)непрерывных линейных отображений 炒(V) в F, а также тензорное произведение 勿(V)® 声 пространств 炒'(V) и 尸 тождественны между собой:
力(h声)=£(炒(V);直=勿(7)®声.
9 С обозначает поле комплексные чисел.,— Прим. ред.
Пример. Пусть V = R" — аффинное пространство с мерой Лебега. Если /(х) — локально интегрируемая функция, определенная в R" н принимающая значения из 尸，то функции / соответствует обобщенная функция ?~>(Л т) = J7(x)<p(x)rfx.
обобщенную равенствомобобщенную равенствомс тензорнымс тензорнымЕсли S^^f (V) и /£ 尸，то векторную функцию Sf ^35f (V;声)можно определить (S亢 @) =〈S, <р)Л
обобщенную равенством
обобщенную равенством
с тензорным
с тензорным
Если 声 имеет базис/1，/2* • • •» /л»то обобщенную функцию 7£勿(忙尸) в видеЕсли 声 имеет базис/1，/2* • • •» /л»то обобщенную функцию 7£勿(忙尸) в видеможно записатьможно записать不=7方十72五+…+7/，不=7方十72五+…+7/，Обобщенная функция Sf отождествляется произведением S ® / ^ ^ (V) ® F.
Если 声 имеет базис
/1，/2* • • •» /л»
то обобщенную функцию 7£勿(忙尸) в виде
Если 声 имеет базис
/1，/2* • • •» /л»
то обобщенную функцию 7£勿(忙尸) в виде
можно записать
можно записать
不=7方十72五+…+7/，
不=7方十72五+…+7/，
где Тр 丁2，•…，T/iW纫'(У)・ Таким образом, для 屮£炒(Q имеем
〈亢6 = 5 (Л-中/
Определение. F-векторной частицей в маре V называется множество 飾 и 纫，(匕百， удовлетворяющее постулатам, сформулированным в определении скалярной частицы в мире 亿 если заменить в них пространство 勿(V) пространством 3)r (V; F), и> кроме того, следующим дополнительным постулатам.*
Каждый оператор о£О действует не только на V, но и на F, так что хgV =фoxgV и /£尸今。/£尸・
Если о определяет тождественную операцию как в V, так н в 頁 то о — единичный оператор группы О,
Таким образом, группа G действует эффективно) на произведении V® F, но необязательно на V или F в отдельности.
Пример. Для электрона G представляет собой собственную спинорную группу, V = & и 尸一двумерное векторное пространство над С. Существует отображение G 3 о -> о。， где оо принадлежит собственной неоднородной группе Лоренца, такое, что каждому элементу лоренцевой группы соответствуют два элемента группы G и действие каждого а на любой элемент & такое же, как действие соответствующего оператора о0, заданного этим отображением. Существует также отображение 0ft группы G в некоторое множество унимодулярных операторов в F, при котором бесконечное число элементов группы О переходит в один и тот же оператор в F, и действие любого оператора о на произвольный элемент из пространства F такое же, как действие соответствующего оператора т, заданного этим отображением.
Определение. Действие оператора а на Г £ 纫'(U) ® 戶 определяется равенством
。妤,(?))=〈# 唠，
или эквивалентным равенством
(О否y〉=。(<亢 Li6)= 0((充 (p (ox))).
Определение. Универсальная ^-векторная частица в мире V определяется точно так же, как мировая скалярная частица в мире V.
§ 6・ Слабая и сильная сходимость
Определение. Пусть f—топологическое векторное пространство. Множество ЛсЕ называется выпуклым, если для любых х, у ^ Л элементы 。％十(1—а) у,
0《。《1，также принадлежат А Множество Е называется локально выпуклым пространством, если его топология может быть определена базой, состоящей из выпуклых множествJ).
Пусть Е — локально выпуклое топологическое векторное пространство, и пусть Е‘一дуальное к нему пространство непрерывных линейных форм на Е. Определим слабую и сильную сходимость в Ef.
Определение. Последовательность {е；}иЕ，слабо сходится к нулю (е；-> 0 слабо), если (е} e〉f 0 для любого е^Е. Скалярное произведение определяется здесь естественным образом, как значение функционала е； на элементе е.
Сильная сходимость требует некоторой равномерности на ограниченных подмножествах пространства Е.
Определение. Подмножество Л из Е называется ограниченным, если его можно отобразить в любую окрестность нуля подобным преобразованием с ненулевым коэффициентом подобия. Например, если Е — банахово пространство, то подмножество из Е ограничено в том случае, когда его можно отобразить внутрь любой сферы при помощи сжатия с ненулевым коэффициентом.
Определение. Последовательность {е；}иЕ，сильно сходится к нулю (е；-> 0 сильно), если 《)，■〉一>() для любого е£Е, и эта сходимость равномерна на любом ограниченном подмножестве из Е*
Вернемся теперь к пространствам 炒(V*) и 勿(V). Пространство 炒(V) — это пространство основных функций, определенных в мире V. Если К — компактное подмножество из V, то пусть 纫《(У) обозначает пространство основных функций, Носители которых содержатся в К・ В 纫к(У) можно ввести норму
ll?lim= Slip |»<р(%)|,
х £ К
I) Базой топологического пространства называется такой набор открытых множеств» что любое открытое множество получается объединением некоторого числа элементов из этого набора. —Прим, ред.
где DP обозначает дифференцирование, определенное в § 2. Как и ранее, определим сходимость к нулю последовательности 回} в 3iK (V), потребовав, чтобы для всех 加 выполнялось соотношение ||(р„||т—^*0.
Элемент Т из 炒，(V) представляет собой линейную форму на ^(V*), непрерывную на любом SK (V*). Последовательность [Tj}c:3^f (V) слабо сходится к нулю (T」f О слабо), если 〈力，ф)->0 для любой функции ср^^(V). Эта последовательность сходится к нулю сильно (7/-> 0 сильно), если 〈丁户 §〉f 0 для любой функции ср t： ^ (V) и эта сходимость равномерна на ограниченных подмножествах 炒«(С) для любого К.
Приведем без доказательства следующую важную теорему.
Теорема. Пространство 砂(V; F) обобщенных функций, определенных на V и принимающих значения из пространства F, является локально выпуклым топологическим векторным пространством, которое полно 8 сильной топологии.
Далее нашей основной задачей будет отыскание всех подпространств 第 пространства 炒х(匕 尸)，таких, что 翫 может быть снабжено структурой гильбертова пространства, так что сходимость в 勖 влечет за собой сходи* мость в &，(Н F).
Глава 2
МНОЖЕСТВО 6 МИРОВЫХ ЧАСТИЦИ ЕГО СТРУКТУРА
§ 1・ Пространство 瘫
Пусть Е — полное локально выпуклое топологическое векторное пространство. В изучаемом случае Е является пространством 纫'(V; F). Пусть g обозначает множество пар ｛第,(•••I ••・)*｝， состоящих из линейного подпространства ^ пространства Е и скалярного произведения в 第 н удовлетворяющих следующим условиям:
^ является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения (•・・ | •・・)*；
вложение ^ в Е непрерывно, т. е. сходимость в &в влечет за собой сходимость в Е・
В множестве & мы можем определить следующие операции:
Умножение на неотрицательный скаляр 入》0; множество 入^ определяется формулой
人能=。,人能=。,х>0,.入0.х>0,.入0.
人能=。,
人能=。,
х>0,.
入0.
х>0,.
入0.
ЕслнТ &酰 ％ЕслнТ &酰 ％следовательно,следовательно,70對,то小非=挥附厶.70對,то小非=挥附厶.
ЕслнТ &酰 ％
ЕслнТ &酰 ％
следовательно,
следовательно,
70對,то小非=挥附厶.
70對,то小非=挥附厶.
Сложение. Множество 酰* 十 ^2 определяется
формулой
^1 + ^2=｛т：т=т1+т2. 7\w第 1，?；€第川
Норма в 第1 +對2 задается равенством
П7点+配=3h7原，十设2%
где нижняя грань берется по всем разложениям Т в сумму А+П； Л€^г %R 翫蟹
(^Порядок. Частичное упорядочение определяется в g соотношением
第I《幽2，если 第iU 幽2 норма в 鲍 1 не меньше нормы в 幽2・
Топология. Будет показано, что g представляет собой замкнутый выпуклый конус в топологическом векторном пространстве, которое мы построим.
Определение. Антиядром 厶 называется антили- нейное непрерывное отображение дуального пространства Е в Е [т. е. Е，上• Е, £ непрерывно и 厶(入e') = XZ(e')j. Антиядро L называется положительным, если〈е- £(е，)〉》0 для всех er ^ Ef.
Произведение, устанавливающее дуальность пространств Е и Е\ определяется выражением
〈〃，/〉= £‘(/) (значение 〃 на /) для /£Е, ег ^Ег.
Пример. Пусть Е = С" (л-мерное комплексное векторное пространство), тогда Е‘ = Сл. В этом случае антиядро является положительно определенной эрмитовой матрицей L:
厶• (*»1 > • • • • ?«) f" (%，•••，%)， где
%=光阖
и
〈Е,词==8%+…+ Е/“ =不乙痴?.
Каждому 第 WQ соответствует ядро !) J"*°‘J, где J—естественное вложение 第-> £*, ‘J — сопряженное отображение Ef ~^^вг 〃 2鸵一канонический антиизоморфизм 第'f 第.
Доказательство. Покажем сначала, что данному 第 соответствует положительное антиядро £. Пусть е‘ ^七'・ Так как ег — непрерывный линейный функционал на £ и вложение 第 в Е непрерывно, отсюда следует, что 〃一 непрерывный линейный функционал на 第.По теореме Рисса о линейных функционалах в гильбертовом пространстве существует однозначно определенный элемент из 影， который мы обозначим Ае‘，такой, что
〈%也〉=(也1厶0歌 九e影，ef^E\ (1)
Очевидно, что отображение £:£"'-> 能иЕ, определенное соотношением (1), антилинейно. Для того чтобы доказать, что 厶 непрерывно, предположим, что e；f 0 в Е‘(в смысле сильной топологии), т. е. 〈е；,也〉一>0 для любого h^E, равномерно по Л на ограниченных подмножествах из Е. Из непрерывности вложения 第 в Е следует, что ограниченные подмножества из 第 ограничены в Е.
Следовательно,(е；，九〉=(九1 丄ё；)*~*оравномерно на единичной сфере в 第.Поэтому *е#*-> 0 и £ непрерывно. Наконец, полагая в (1)也三厶/', получаем
(九厶:)=仏门厶e%;弘广£尸.⑵
и если 鼠=广，tо
〈乙厶ё)=(L叫L吟艷》0, U е e一
что доказывает положительность £・
Теперь мы должны показать, что данному положительному антиядру £ соответствует элемент 幽 из 以 Пусть
第0 =厶曰={厶〃：ef^Ef}.
Если требуемое 旣 существует, то должно иметь место включение 能^и 能，Согласно равенству (2), определим
Знак。一 знак композиции, —Прим* рс&
в 第° скалярное произведение
(" I ")%=(厶6‘ 1 丄/‘)韜=〈广，丄〃)，(3)
где 〃， 。£第0 и 〃 = Le〈 v — Lf. Докажем теперь для 第о следующие утверждения. •
Скалярное произведение ("I®)*。определяется формулой (3) однозначно, т. е. не зависит от выбора е‘ и 尸， таких» что u = Lef и v~Lf. Это немедленно следует из (3), если заметить, что (〃|в)* =0, когда либо w； либо о равно нулю.
Форма (〃 j®)鸵° положительно определена. Так как £ положительно, имеем
(и ( 〃)期=〈〃，厶吟>0, 〃 £幽о・
Если 〈е‘，厶е'〉= 0, то, согласно неравенству Шварца,
КГ，Le、\《6 Lf，W Le，V = Q
для всех /，£Е'・ Поэтому 厶е' = 〃 = 0 и (w | w)^ = О тогда и только тогда, когда 〃 = 0・
Топология в 幽о сильнее, чем топология в £, т. е. вложение 旣q в Е непрерывно. Для этого достаточно показать, что единичная сфера в 影°, {Le J〈е‘，Le)《l}, является ограниченным подмножеством множества Е. Из неравенства Шварца
КГ，^)|<(Г，Lf^{e\ Le'Sh<{f. ДГ)71
следует, что множество {〈/',厶е):〈е‘，〃е'〉《1, е'£Е} ограничено в С для любого 尸 gE‘， или что единичная сфера в 鸵^ слабо ограничена в Е. Используя теперь теорему Макки, которая утверждает, что подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства сильно ограничено тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено» получаем, что единичная сфера в 匏^ ограничена в Е.
Итак, - мы показали, что S^Q = LEr — предгильбертово пространство, вложение которого в пространство Е непрерывно. Мы. ожидаем получить нужное пространство 翫、 соответствующее £, пополняя ^0. Поэтому необходимо доказать следующее»
Если существует 第，соответствующее антиядру 厶 такое, что выполняется равенство (1), то 第° плотно в 直£• Пусть элемент 也£第 таков, что (九|厶6‘)窕=0 для всех е'£Е'・ Тогда (h\Le/)^ = {e\ А) = 0 для всех ef^E\ и по теореме Хана — Банаха 也=0. Таким образом, элемент из 第，ортогональный к любому элементу из 第°, является нулевым и, следовательно,節。плотно в 眈,
Пополнение ^0 множества ^?0 может быть вложено в Е, Рассмотрим (непрерывное) вложение
J:苏％-> Е
и его однозначно определенное расширение
7： ^°f Е(=向.
Мы должны показать, что J по-прежнему является вложением. Пусть h《 翫q и пусть h — Jh^E. Мы утверждаем, что для любого е'£ 总'справедливо равенство
G，方)=〈同")無.(4)
Если 九£ 幽о，то h = h — Lf\ и равенство (4) просто сводится к определению (3) скалярного произведения в 幽°. Рассмотрим теперь последовательность {也JuW综，такую, что h「h・ Тогда
(б',也Y〉= (% I L吟肥
Переходя к пределу и используя непрерывность скалярного произведения в 彫°, а также непрерывность линейной формы 〃，получаем равенство (4). Предположим теперь; что 力=厶=0・ Тогда в силу (4)(也 |厶吟而 =0 для всех •Ае'£ 幽о，и, поскольку 幽()плотно в ^0, имеем А=0； Поэтому операция 7 взаимно однозначна.
(Ш) Наконец, положим ^ = J^Q и перенесем гильбертову структуру из ^0 в 幽.Мы должны показать, что 幽一гильбертово пространство, соответствующее антиядру L. Если kg酰、то существует некоторое 九£黝& «такое, что Jh = h^k, и равенство (4) дает
y a) = 0，区)=(% [ Ler)^=(论 j 厶ё‘)*,
откуда следует, что £ является антиядром» соответствующим 能.
Приведем теперь другое построение гильбертова пространства 幽，соответствующего данному положительному антиядру L. Это будет построение ”сверху*, в отличие от приведенного в доказательстве предыдущей теоремы построения „снизу**.
Теорема. 〃ус/и审 厶 ——положительное антиядро. Элемент h^E принадлежит гильбертову пространству 第，соответствующему антиядру 厶 тогда 〃 только тогда, когда
(5)(5)■sup< оо,
(5)
(5)
«'€£'〈е', Ze'〉/?
и если это условие выполнено, то.
- sup 《'，九)1.窕一薄，〈ё•
Доказательство. Если 也£毙,то, используя (1) и неравенство Шварца, получаем
I〈* Л)| = 1(й|必)宓I《® й)^ • (W R噥= =1向&任/吟%
для всех er^Ef.
Обратно, предположим, что справедливо условие (5), и рассмотрим отображение
£*->〈〃，也〉.
Легко убедиться в том, что это отображение является антилинейным функционалом на 直％* который непрерывен, так как он ограничен на единичном шаре из 即仆 Поэтому его можно продолжить до непрерывного антилинейного функционала на пополнении 幽 пространства 虞练.Следовательно, по теореме Рисса, существует элемент 也 £ 能, такой, что
Lef-^{ef,九)=(论 I 厶或)* =〈或，a)
для всех "££< По теореме . Хана — Банаха.九=々£舒・
§ 2・ Структура 电 и£+(Е- Е)
Пусть ^(Е\ Е) обозначает множество непрерывных линейных отображений из Е‘ в Е,夕(Е‘，Е)——множество непрерывных антилинейных отображений, или антиядер, из Ef з Е, п ^+ (Е\ Е) — множество положительных антиядер. В предыдущем параграфе было показано, что существует взаимно однозначное соответствие между © и 夕+ (£Л Е),金 ^ 夕+ (Е- Е)・ Упоминалось также, что как в 飙 так и в 夕+ (Е‘，Е) можно определить естественную структуру (сложение, умножение на скаляр и т. д.). В этом параграфе будет дано более точное определение структуры 号 и 夕+(Е‘，£), а также установлено соответствие между ними.
Определение. Определим в 夕十(七‘,Е) следующие понятия.
Отношение порядка:厶i «厶》 ©слн 厶？—厶i》0, т. е. если 厶？—— 厶i ——положительное антиядро.
Умножение на неотрицательный скаляр 入： (Х£)(е,) = £(Хе,).
Сложением (厶］+L2)鼠=厶鼠+4鼠
Соответственно определим в $ следующие понятия.
Отношение порядка:能】《第2，если 能^и能？ и норма в 能］не меньше нормы в 能力 II也 11%〕》『也ll%・
) Умножение на неотрицательный скаляр л. Пространству 能 и неотрицательному числу 入 соответствует пространство
с нормой
Н 川 ljw=pY II 川 l*・
(3‘)Сложение: пространствам (飴「能J соответствует пространство*«
直% + 直%=(后 也£e,九=九1 + 也2，&£或%，也2e或%} с нормой
II' II +5^2=3"肉脸+隐脸.
Следует отметить, что (1) и (1‘)в самом деле определяют отношения порядка, так как
из 認 1《 能2 и 能2《 第 1 следует, что 第〔=飴?；
из £］《乙2 и 乙2《厶1 следует, что Lj = Л2.
Первое тривиально вытекает из того, что в гильбертовом пространстве скалярное произведение однозначно определяется нормой. Второе предположение означает по определению, что '
〈匕& 一厶)吟〉0,
〈匕(厶一厶)吟〉0, или
〈人 厶吟=〈丸厶2鼠〉，*£斤.
Используя формулу
4〈e', "，〉=〈鼠十广，厶g + /，)〉一〈鼠一尸，乙(鼠一广))+ +，＜鼠 +，/，/.a + /广)〉一，〈6，一，广，厶g一，广)〉，
заключаем, что
〈匕 厶广〉=〈鼠，L^fr} Для любых е‘，/'££', откуда по теореме Хана — Банаха вытекает, что
厶广=厶广，广ё斤.
Следует отметить также, что из требования
II 川I 殿》I因I 非2 в определении отношения 勘】& 飴2 следует, что сходимость в пространстве 第］влечет за собой сходимость в пространстве 懿2・
Установим теперь соответствие между структурами & и妄+&, Е)・
Теорема, (а) Если 旣、соответствует антиядру £р а 第2 соответствует антиядру 厶2， то 旣\《觊, то23cL а только тогда, когда /^《厶.
Если 能 соответствует антиядру L, то 入留 соответствует 入厶(入 ＞0)・
Если 第I соответствует антиядру Lp а 能2 соответствует антиядру £2, /по 能］+ 談2 соответствует а］+ l2，
Доказательство.,
(а) Предположим сначала, что 能】《留》Тогда 厶鼠e能iu能2
3 Л. Шварц
〃，乙g〉%=|&叫配）
〉必叫険〉［工方患"，/'ё¥； выбирая // = е/, получаем
〈以，“〉％》《'，厶2 , C，L^
ИЛИ
g L/№>@ L@屮,
ИЛИ
,<% （厶2 -厶 1）"〉》。,
ИЛИ
厶1 《厶2.
Обратно, предположим, что 厶《&• Тогда для любого элемента h^E имеем
」（山，九〉丨 〉丨（ё'，九）丨 ё, “，〉% / e, l^ ,
Отсюда следует, что 能】и留2，и если h0 旣》то
II川I网1好
Утверждение следует непосредственно из выбора нормы в 入影：
II川"=VT sup=sup•
Прежде всего следует оговорить, чтб мы понимаем под гильбертовым пространством 酰、+ 酰^ Множество 第［-j-能2 состоит из всех элементов Л из £*, которые можно записать в виде 九=九］十也2，r^e 九〔€ 能】 И &€飴2・ Еслн 留 if］能 2= {°}，ТО норму В 需1+ 飾2 можно определить формулой
1固友］+%*= I同点］=I同I観，
где 也=也［+也2 ——единственное представление Л в требуе* мом виде. Если, однако, ^2 П ^2 ^ {^Ь то любой элемент А £ 留I + 鸵*2 имеет бесконечное число представлений, поскольку нулевой элемент бесконечным числом спо*
собов можно представить в виде а — а, где
Q £ &81 П S64*
Поэтому мы определяем норму равенством
"'" ^€、+訳^2= Ef（［@嗑,十Ц勾图J
где нижняя грань берется по всем возможным представлениям '
也=% +也2，也1€齢1，九2E能2，
Нужно показать, что это выражение действительно задает норму, т. е. что ее можно определить скалярным произведением в 能i +能2，причем 留i +留2 полно и топология пространства 留i+ 留2 сильнее, чем топология пространства Е. Так как это довольно утомительная процедура, мы построим гильбертово пространство 留［+留? другим способом.
Пусть 能 1 ㊉ 能2 обозначает абстрактную （прямую） гильбертову сумму пространств 能】и 廃％ Элементом 盛\ 宙能2 является пара （&, Л2）, где %£第1 н 也2^ 能2・ Сложение и умножение на скаляр определяются соотношениями
（Ар 也2）+ 31，走2）= （& + %‘ &十走2），人（也1，也2）=（入&，入也2）；
скалярное произведение в 留】㊉留？ онре威льется соотношением
（（也1，也2）I（自，尼2）k'［曲呢=（也1 I自）閥十（九2 I在2）非2.
Заметим, что ^\^留1㊉{0} и 源2Q（0}㊉第2。 отобразим абстрактное гильбертово пространство 直％ ㊉留2 в пространство Е:
（也и也Jf & +也2£Е・
Пусть 7j = {（Лр 九2）:也［+也2= {0}}——нулевое пространство этого отображения.^. Очевидно, что 刁 замкнуто в прямой сумме 能 I ф 能2・ Следовательно, факторпространство 羽\$留2加 стандартным образом превращается в гильбертово пространство, которое отождествляется с ортогональным дополнением к笃в 能】㊉留?•
Рассмотрим теперь отображения 旣、8 &в, —>Е
Отображение 能【㊉ 艷21rl -> Е является вложением, образ которого — пространство 步％ 十 銘?• Мы можем перенести структуру гильбертова пространства из 鸵^㊉鸵夕刁 на 能1 ㊉能2； сразу же видно, что факторнорма на 能I ㊉能?/* — это норма, определенная выше в ^\十 飾2 с помощью нижней грани. Этим построением доказано, что пространство 鸵\；留？ является гильбертовым пространством, содержащимся в £, топология которого сильнее, чем топология пространства Е.
Нам нужно еще показать, что 辭1 +匏？ соответствует антиядру а1+ L2. Пусть l=L1十L2 и пусть 必— гильбертово пространство, соответствующее антиядру £. Мы должны показать, что
2c = §£ 1 + 昌в 公
Так как 厶》厶】и 厶》厶?，отсюда следует, что 贫 п 酰、 и 統 п 酰> а значит, и 経：□能丄能2・ Кроме того, 必0=［必 〃ёЕ］
содержится ^ 能i +能2， так как Lef = L^L^9
Таким образом, получаем
济口能id飴2П必0，
где е^0 — плотное подмножество множества 舐、
Так как и 济，и 鸵\ 十能？ — полные гильбертовы пространства, достаточно показать, что норма в ^^% равна норме в 酰、+ 能2・ Пусть h = Le‘ = £传’ -j-厶2鼠=也^ + A2, где % =厶1«‘£ 能］и h? = L^央証* Имеем
<〃，£2‘〉=(e- L伍‘〉+<鼠，玛г〉 или
Ml崑=I也嗫1电嗫,》II九嗫,+呢.
Для того чтобы показать, что в этой формуле имеет место равенство, достаточно показать, что элемент (&, Л2)
прямой суммы 能］㊉能2 ортогонален нулевому пространству 刀，потому что в этом случае при переходе от 第1 ㊉飾2 к 留1 +能2 норма не уменьшается. Если （лр 砧£ 刁，то имеем ,
（也/办1）窕1 + （也2 I初呢=
=（L0|川骰+ （厶2鼠I敢）呢=
=〈鼠，打1〉+（鼠，打2〉=
=（*, w1 + rt2）~ （5，＞ 0〉= 0，
Замечание. Если 觐、《酰、то существует единственное гильбертово пространство 旣》такое, что 影1 +能2 n 齢，Это следует из того, что L2 = L — Lt является положительным антиядром.
Определение. Антиядра 厶 i и Л2 называются дизъюнктнымиt если единственное антиядро» которое не больше каждого из антиядер 厶】и £2, есть нуль, т. е. из 厶《厶 и厶《厶2 следует, что厶 =6.
Аналогично, гильбертовы пространства 旣、и 翅？ называются дизъюнктными, если из неравенств
’能《能1 и齢《齢2
следует, что 留={0}.
Теорема. ^вх fl S^2— {^}血。2。@ 〃 только тогда, когда 巌】"酰,дизъюнктны （в смысле данного выше определения）.
Доказательство. Если 飾［П 留?=⑼.то отсюда немедленно следует, что 源i и &!% дизъюнктны. Обратно, если 能I и &!% дизъюнктны, то 酰、П 能2 = {0}. В самом деле, предположим противное, т. е. что
能］n能2 =妳.
Пусть норма в 疏 задается формулой
I固度=血観+制証，
Эта норма больше, чем норма в каждом из пространств 飴】 и 留2・ Используя это, легко показать, что 必一полное гильбертово пространство, топология которого сильнее*
чем топология пространства Е, и что 必《酰\、酰& 言％. Поэтому 必= {0}・
Следствие. 留〔П 直％ =1。} тогда и только тогда, когда соответствующие антиядра 厶〔« £2 дизъюнктны.
Данное выше определение дизъюнктности можно распространить на случай более чем двух антиядер или гильбертовых пространств, причем будут справедливы результаты, аналогичные доказанным выше.
В дополнение к уже введенной структуре в пространствах § и 夕+ (Е- £) можно определить топологии в этих пространствах. Топология в ^ довольно неинтересна. Однако мы определим два типа сходимости в 夕十(Е‘，Е).
Определение. Сходимость последовательности антиядер
(}и£+(Е，, £)
к некоторому антиядру L называется
поточечной сходимостью, если L^ ->Lef для всех/£尸；
ограниченной сходимостью, если 匕歩‘ fLd для всех е'££Л и эта сходимость равномерна на ограниченных подмножествах пространства Е‘.
Следует заметить, что 夕+ (Е< Е) является замкнутым подмножеством множества 夕(£Л 5) относительно обеих определенных выше сходимостей.
Далее, это множество является выпуклым конусом. В самом деле, это конус с вершиной в начале координат, так как tL — положительное антиядро, если f》0 и 厶 положительно; этот конус — выпуклый, так как при любом f, 0《f《l, в предположении, что антиядра £г и Z^ положительны, /厶〔 + (1—/) Л2 представляет собой положительное антиядро. Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Существует взаимно однозначное соот- бедствие между пространством 经 我 замкнутым выпуклым конусом 8 топологическом векторном пространстве. Этот конус &е содержит векторных 'подпространств» кроме нулевого.
Последнее утверждение этой теоремы выражает тот факт, что отношение 酰、《 能？ действительно является отношением порядка, а не только частичной упорядоченности.
Перейдем теперь к следующему вопросу. Если дана система {^} элементов пространства Е, то каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы эта система была полной ортонормированной системой некоторого гильбертова пространства 第 £ &?
Отметим сначала, что элемент е£Е определяет следующие отображения:
линейный функционал на Е‘：
/ЕЕ'；
антилинейный функционал на Е‘： /'-〈TV。，/'ЕЕ'；
эрмитову форму на Е‘ X ^：
СЛ g，)f〈广,e〉〈g'，е〉；
отображение Е1 в Е, обозначаемое через ее:
Юе.
Легко показать, что ее является положительным антиядром. Соответствующим гильбертовым пространством является 第={入е:入£С} с нормой ||入е|| = |入| и скалярным произведением (入е|卩е)=入卩.
Теорема. Для того чтобы данное множество {々}*/ элементов пространства Е было гильбертовым базисом, т. е. полной ортонормированной. * стемой гильбертова пространства 能 £ &, необхо* димо « достаточно, чтобы
ряд антиядер ^eiei был поточечно сходящимся ала чтобы конечные частичные суммы этого ряда были поточечно ограниченными,
множество {^i]i^I было линейно независимо 6 гильбертовом смысле, т, е. если {勺卜金/ — любое
множество комплексных чисел、таких, что 工&卩< < оо, и если 2 ctei = 0，то 勺=0 для всех 2 £ /.
Доказательство. Допустим, что 同,& — гильбертов базис в 能£& и L—соответствующее антиядро. Тогда для любого f^Er имеем
2虫"' =2虫〈广, ё> = 2^z(厶广同非=厶广,
так что 斗后сходится в смысле поточечной сходимости.：
Далее, так как ｛е山修一гильбертов базис, то отсюда1 немедленно следует, что он линейно независим в гильбертовом смысле.
Обратно, допуская, что выполняются условия (1) и (2), покажем, что 同忆一гильбертов базис некоторого 旣《&• Прежде всего заметим, что условие (1) означает, что для любого f ^Ег частичные суммы ряда 工® /'〉G сильно ограничены в Е, и для любых 广 н / из 斤 частичные суммы ряда Х〈е“ /'〉〈G，g'〉ограничены.
Полагая f = gf и используя элементарные свойства рядов с неотрицательными членами, заключаем, что 幫丿〈"〉|2<8, f'^E'.
Попытаемся теперь построить гильбертово пространство 繳彳 Рассмотрим гильбертово пространство /2, элементами которого являются наборы ｛巧｝曰 комплексных чисел, таких, что ^\хА2 <оо, и пусть 4 обозначает подмножество пространства № элементы которого имеют лишь конечное число координат, отличных от нуля. Существует естественное отображение из « в Et определяемое формулой
Для того чтобы показать, что это отображение непрерывно, достаточно показать, что образ единичной сферы ограничен
или, по теореме Макки, что он слабо ограничен. Это следует из неравенства Шварца. Пусть {^}^; £^ и £|х尸《L Тогда для любого f ^Ег имеем
(百修生广)]=J不吃〈ё”广〉I<
《佯闯2)"伊I〈犷〉户广c ®*广〉耳%< 8.
Расширим теперь описанное выше отображение на пополнение % которое можно отождествить с /2
Р~>Епри помощи формулы{叫h-*倉
Используя предположение (2) о линейной независимости в гильбертовом смысле, можно показать, что это отображение является вложением. Пусть 飾一образ этого вложения со структурой, перенесенной из 0, Множество {eJZ€/ является образом канонического базиса из Р и, следовательно, гильбертовым базисом для 能.
Следствие. Если L—положительное антиядро, то 厶 можно бесконечным числом способов представить в виде 厶=7°网’
Скалярные частицы
Вернемся теперь к изучению скалярных частиц в мире 匕 Напомним, что мир является многообразием класса С°° размерности п и что скалярная частица представляет собой гильбертово пространство 能，непрерывно вложенное в пространство обобщенных функций 必'(V), определенных на мире V. Локально выпуклое топологическое векторное пространство 勿(V) дуально пространству 讶(V) бесконечно дифференцируемых функций на V с компактными носителями. Элемент Т пространства 皆'(V) является обобщенной функцией, значение которой на элементе ср пространства 孕(V) обозначается через〈7\ 吟；皆(И) — рефлексивное пространство [это означает, что дуальное
пространство к пространству 3^f (V) совпадает с пространством 2 (У)]. Пространства S (V) и ^7 (V) имеют сильную дуальную топологию по отношению друг к другу. Применим теперь результаты последних двух параграфов к случаю, когда Е = 2'(У) и 呼=皆(卜).
Для того чтобы определить в З^7 (V) гильбертово пространство, мы должны найти антиядро А: ^ (V) —> ^ (V)- Мы начнем с отыскания непрерывных линейных отображений из 2(V) в ЗЬ1 (11^), где V и W — два многообразия класса С°° (наприм*ер, два евклидовых пространства). Пусть у — общая точка многообразия У, а % — общая точка многообразия W. Для удобства можно обозначить 2(У) через 皆歹 а 2’(吋)через 2；. Пусть (W X V) или 2〔 у обозначает пространство обобщенных функций на произведении 吋 X Р (обобщенные функции двух переменных).
Теорема о ядрах. Топологическое векторное пространство 夕貝必(V)； 2'(W)) непрерывных линейных отображений из 2(V) е 2’(聆)с топологией ограниченной сходимости канонически изоморфно топологическому векторному пространству ^(U^XV).
■ Доказательство. Пусть К — данный элемент пространства ^r (W X Ю- Он определяет непрерывное линейное отображение р->К街 из 2(Р) в 勿渺)по формуле
〈К5 w〉=〈K,吻®и〉，血6讶W), (1)
где w ® & =吻(％) & (у). Прежде всего мы должны убедиться в том, что Kv ^ ЗБ1 (11^). Очевидно, что К&—линейный функционал от w. Если 0 в .2(吋)，то 吻80->6 b 2(吋义丿)，и так как К6^‘(犷хp)，то
〈К&, w〉=〈К, w ® &〉-> 0.
Нужно также показать, что V —>/С^—непрерывное линейное отображение. Линейность этого отображения очевидна. Если ^—>0 в 2(У), то, как легко видеть,〈Ks 吻〉->0 для любой функции w£2(l^), и эта сходимость равномерна, когда 吻 остается ограниченной в В (吋)・
Для большей ясности перепишем этот результат, используя обозначения By, ЗЬ^ 讶:，у, и приведем пример М3 теории интегральных уравнений, откуда эти обозначен
ния заимствованы. Пусть Кх, у С ^, у—данная обобщенная функция двух переменных % и у. Она определяет непрерывное линейное отображение из /у в 2；:
V (У)-> к*,屮(у) = (№)(*), и(у)£0у, где (№)(%)€ 丞определяется формулой
〈(“)(％)，《(%)〉=〈к*, у，例*)0 (У)〉， 硏х)€ 夕*.
Пример. Пусть Vy и Wх — два евклидовых пространства, снабженных мерой Лебега, и пусть К (%, у) — локально интегрируемая функция, определенная на произведении КХУ. Тогда К (%, У) 6 2：, у — обобщенная функция двух переменных х и у. Пусть
G,▼〉=/ 7tp
—значение обобщенной функции Т на основной функции у.
Обобщенная функция К (х, у) определяет непрерывное линейное отображение из 2y в В；:
К ： & (У) -> (“)(％)，© 6 %，
где (Kv)(x)£Z； определяется в соответствии с нашей формулой следующим равенством:
〈К, wg)&〉= //К(х, у)w(%)&(у)d%dy =
=J[JК(乜 y)u(y)dy]w(#)dx = ==〈Ks 吟
в котором мы использовали теорему Фубини. Таким образом,
(К • “)(*)= / к(х, y)v(y)dy.
Вторая часть теоремы о ядрах утверждает, что любое непрерывное линейное отображение из 節(V) в 2,(犷) однозначно определяет обобщенную функцию, заданную на произведении 吋 X V. Доказательство этого утверждения значительно более сложно и будет опущено. Вместо
этого мы обратимся к доказательству эквивалентности топологий изоморфных пространств ^(^у, 2；) и 2；, у. В этих двух пространствах существует естественная топология. Рассмотрим сначала в пространстве 3^Xi у сильную топологию (равномерную сходимость на ограниченных подмножествах 35Xt у). В пространстве ^(^у,讶;)мы имеем ограниченную сходимость и поточечную сходимость. Пусть 9ь(%，2；)—топологическое векторное пространство, полученное из векторного пространства £(%, /；) при введении топологииг ограниченной сходимости» В топологическом векторном пространстве 乡)(讶》皆；)последовательность непрерывных линейных отображений из ②у в 2； сходится к нулю в смысле ограниченной сходимости, если последовательность образов любого элемента из 氢 сходится к нулю в 2； и эта сходимость равномерна на ограниченных подмножествах пространства 卫г Мы докажем только, что сходимость в 2%, у, влечет за собой сходимость в 夕ь (讶у, 2；). Пусть {К/}——последовательность в 2；,屮 такая, что ^->0 сильно, т. е.〈0, у(%, у))->0 для любой функции ср(х, У)€2& у, и эта сходимость равномерна на ограниченных подмножествах пространства 皆#, у Нужно показать, что при фиксированном 皆(У)£^у имеем〈К*, w)->0 для любого w(x)62# и что эта сходимость равномерна, когда w(%) пробегает ограниченные подмножества из 讶По определению
〈К产，w〉=〈0(x, у), w(%)&(y)〉f О,
причем сходимость равномерна, когда w(%) остается ограниченным, так как в этом случае остается ограниченным w (%) & (У)* Доказательство обратного утверждения мы вновь опускаем.
Замечание. Из теоремы Банаха — Штейнгауза следует, что любая слабо сходящаяся последовательность в 2’ сходится сильно.
Теперь, когда мы установили, что пространство £ь (2 (6； 2'(Р)) непрерывных линейных отображений из 2 (У) в 纟'(V) совпадает с пространством 2’(УХУ) обобщенных функций двух переменных, легко получить
пространство 夕+(2(V)；砂(V)) положительных антиядер из 筋 ”)в 勿仍 и пространство £ гильбертовых пространств 幽 с непрерывным вложением в 毋(V). Обобщенная функция двух переменных К#, у £ 皆‘ (V Х[У) определяет непрерывное линейное отображение из 皆(V) в 或(У):
Поскольку мы хотим получить антилинейное отображение, мы должны вместо этого взять отображение
где &——комплексно сопряженная функция скалярной функции v ^ 35 (V). Положительность этого антиядра естественно определить следующим образом.
Определение. Антиядро v->Kvt определенное обобщенной функцией KXi у^^ (V X V), называется положительным, если
〈к*”，?(-v)®7w)>°
для любой функции Ф ^ ^ (V).
Согласно нашей основной теореме, соотношение между положительным f-антиядром £ и соответствующим гильбертовым пространством 幽 зиписывается в виде
〈也，鼠)=(川£吟能
для любого элемента 也£齢 и любого е'£Е・ В нашем случае связь между положительным антиядром К из ^(У) в 办(У) и соответствующим гильбертовым пространством 幽 имеет внд
〈7,中)=(71代)範⑵
для любой обобщенной функции 7£辭匚勿'(Р) и любой функции ср ^ ^ (V). Если мы положим в предыдущей формуле 7 = К屮，то получим
〈К屮，(р〉=〈К, <р® D〉= (/IK屮)窕(3)
для любых сриф, принадлежащих пространству 2(V).
Замечание. Не совершая ошибки, можно поставить черту над Т в формуле (2). Пространство 對 не инвариантно относительно комплексного сопряжения. Пространство %' = {Т: Т£ 酰?} представляет ту же самую частицу, что и 旣、но с противоположным зарядом.
Определение положительности антиядра, заданного с помощью К*, у, берется из теории интегральных уравнений. Пусть %(%, у) — непрерывная функция, определенная на произведении VXV. Ядро К (х, у) называется положительным, если для любого множества элементов {хр х2,・♦., xz) в /-мерном пространстве V и любого множества комплексных чисел {zp z2, ..., zj выполняется следующее неравенство:
,/1 К#, x^zt 习>0.
Можно показать, что определение положительности антиядра, заданного при помощи К*, у £ 勿'(VXV), совпадает с приведенным выше определением в случае, когда KXt у — непрерывная функция К (х, у) двух переменных % и у.
Мы объединим окончательные результаты этого параграфа в следующей теореме.
Теор ема. Пусть V — многообразие класса Сго. Пространство £ гильбертовых пространств 窮 с непрерывным вложением 8 勿'(V) канонически изоморфно подпространству пространства ^ (V'XV')» состоящему из таких обобщенных функций К#, у двух переменных, что
〈к,屮€)6>0
для любой функции 屮 £ 勿(V)・ Связь такого антиядра К с соответствующим пространством 窮 дается формулой
〈7，9〉= (7脸)歌76齢，/0 2)，
где обобщенная функция К(р £ 昌в и 引(V) определяется выражением
(к.屮〉=(к，屮8吟，屮е2(丿).
Тензорные произведения
Чтобы обобщить результаты предыдущего параграфа на векторные частицы, нужно ввести понятие тензорного произведения. Мы приведем только основное определение и основные свойства без доказательств.
Пусть Е я 尸—два векторных пространства. Для наших целей нет необходимости давать полное определение тензорного произведения. Тензорным произведением пространств Е и 尸 мн назовем новое векторное пространство Е®尸 с заданным каноническим билинейным отображением из Е X 尸 в Е® 尸：
Отметим, что Е®尸 не является образом декартова произведения Е X 尸 при этом отображении. Однако Е®Р порождается элементами вида е® f, т. е. любой элемент х нз Е ® 尸 можно записать следующим образом:
>>>>
% =外区）/1 + e2 区（%+ • • ' + 分区）/飢
Сформулируем теперь некоторые свойства.
Если Ё и F имеют конечные размерности соответственно m и л, то размерность пространства Е® 尸 равна mn.
Если {с,} и {Л} являются базисами соответственно пространств Е и 尸，то {々®/>} есть базис пространства Е® F, т. е. любой элемент % из В® F может быть единственным образом записан в виде
* =工勺自®力.
Если 尸一конечномерное пространство с базисом {/J, то каждый элемент x^E®F можно единственным образом записать в виде
х = 2^®/у - ERE
Если О — любое векторное пространство над нолем скаляров С, то <7 ^ G ® С. В этом случае изоморфизмом
является отображение, ^->^®!, так как {1}—базис векторного пространства С над С. '
Допустим теперь, что Е и F — топологические векторные пространства. Мы хотим определить топологию в Е® 尸.Вообще говоря, в f ® F имеется несколько различных топологий. Однако если 尸—конечномерно, то существует единственная топология, определенная в £ ® 尸一 топология покоординатной сходимости: пусть {/у}, /= 1л,—базис пространства 尸. Любой элемент х ^ E®F может быть записан в виде
Последовательность {%«} сходится в Е® 尸 к нулю,}
если £，計0 для всех /. Эта топология не зависит от базиса в 尸.Все „хорошие11 свойства пространства Е сохраняются также и в Е 艺尸. Если Е локально выпукло, рефлексивно или полно, тоЕ® 尸 соответственно локально выпукло, рефлексивно или полно.
Пусть О — данное векторное пространство. Если R: Е义尸->0 — заданное билинейное отображение, то существует единственное линейное отображение ихЕ® F—>0» такое, что
ра,亦=0(7® 为
для любых (х, у) £Е X 尸.Наоборот, если 辽：七艺尸一>0— данное линейное отображение, то существует единственное билинейное отображение R: ЕХ 尸->0, такое, что справедливо указанное выше соотношение:
J (в
E®F~^G
Если задано 〃，то 0 определяется приведенной выше формулой. Если задано 0, то указанная формула определяет и
на элементах вида х®у, а так как любой элемент пространства Е ®Р можно представить в виде конечной линейной комбинации элементов такого вида, то тем самым и определяется на Е® F. Этот важный результат показывает, что основное назначение тензорного произведения состоит в линеаризации билинейных отображений: любое билинейное отображение R: EXFfO может быть заменено линейным отображением и : Е® F ->G, Если £ и 尸— топологические векторные пространства, и пространство 尸 конечномерно, то отображение и непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно 0・
Предположим, что Е и 尸一топологические векторные пространства, причем 尸 конечномерно. Тогда имеем
(£® 尸尸，
т. е. пространство, дуальное к 七吨尸.канонически изоморфно и топологически эквивалентно тензорному произведению пространств, дуальных к Е н 尸.
Топология понимается здесь в смысле сильной дуальной топологии. Любой элемент z^E ® F можно записать в виде
Z 卞 C/Q ® 力，
а любой элемент zz ^ (В ® F)f — в виде .
Дуальное произведение〈z, z'〉задается формулой
(z, 2)=方3；(分，U〉〈/尸 /〉
ееля 面} и {^} -базисы пространств соответственно Е н 尸，а {е；}, {/]} — соответствующие дуальные базисы, го
z =工 %。% * /3»z‘ =工 с；& ® /р
4 Л. Шварц
〈2，2‘〉=工 %%.
Здесь использовано соотношение Кронекера〈е尸吟=3(广 Предположим, что Е и 尸一топологические векторные пространства я что пространство 尸 конечномерно. Тогда
乡,©;尸)q呼艺尸，
где £&(E;尸)一пространство всех непрерывных линейных отображений нз Е в 尸 с топологией ограниченной сходимости. В частности,
夕(Е; С)弋 £' ® С Е'・
Любой элемент er ® f определяет непрерывно линейное отображение из Ев/:
〈工 *〉/ х^Е.
Если z =工 4% ® fi — элемент из Е' ® 尸，то он определяет отображение
2а〈乜 е".
Подобным же образом можно определить тензорные произведения более чем двух векторных пространств, обладающие теми же самыми свойствами. Для того чтобы ввести топологию в Е ® F ®Gt нужно предположить, что два из этих трех пространств конечномерны. Далее,
Е 区 F 总 G f^ E®(F ® G)七(E ® 尸)® G・
Если Ей" конечномерны, то
£(£®尸；0®Н)^^(Е; О)艺尸艺"；
если, кроме того, О также конечномерно, то
.^(Е ® F\ G ®Н)^ Er ®G ®Fr ® Н ^Er ® Fr ^G ® Н»
Векторные частицы
Пусть 尸一конечномерное векторное пространство.
В этом параграфе мы попытаемся найти все F-векторные частицы, т. е. все гильбертовы пространства 能,непре-
рывно вложенные в пространство 35r (V; F) F-векторных обобщенных функций, определенных в мире И. Мы будем следовать тому же плану, что и в случае скалярных частиц, используя результаты предыдущего параграфа о тензорном произведении.
Локально выпуклое топологическое векторное пространство Е определяется в данном случае так:
e =纱(匕百=纟式团⑺；玄*期⑺⑭卞.
Любой элемент пространства f имеет вид 2j ci^if me П£ 勿(V) — скалярные обобщенные функции и 力 £Е Значение этой обобщенной функции на элементе 中6己(10 равно
Xq①，戒€点
В соответствии со свойствами тензорного произведений* дуальное к Е пространство Ef определяется выражением
e，= 2 (V) & 声 Q /(匕 声)，
имеет видимеет видт. е. Ег — пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на 匕 принимающих значения в дуальном к 尸 пространстве声.Пусть 而一 базис пространства 尸，а {/；}—соответствующий дуаЛЬный базис пространства 尸.Элемент 屮 пространства £'
имеет вид
имеет вид
$=x 平/，
где Pj£ 炒(V) — скалярные основные функций, а элемент Т пространства Е имеет вид
т=2т/,
где T^3)f (V) — скалярные обобщенные функции. Значение обобщенной функции 7 на основной функции ср равно
〈充 5> = 2〈7" %〉•+ -
Здесь мы использовали соотношение Кронекера〈/* /；〉=8,/・
Для того чтобы определить пространство g гильбертовых пространств 飾 с непрерывным вложением в Е‘, мы должны найти канонически изоморфное пространство 歹+ （Е‘； Е） положительных антиядер из £? в Е. Прежде Всего найдем пространство 夕八尸；Е） непрерывных линейных отображений из Ег в Е. Используя теорему о ядрах и свойства тензорного произведения, получаем
Z（万；E）q夕КВ®尸；劣％ F、*
»^ft（^； 35,）®F®F^35,（yxV）®F®P-Элемент ЛГ^пространства 夕层己；£） выражается через эле-менты базиса ｛力｝ пространства F при помощи равенства
где （K/j）—квадратная матрица скалярных обобщенных функций двух переменных. Значением К на элементе ?==5?Л пространства Е，=缈 艺卜 является элемент
Кг пространства E = %'^F, определяемый равенством 廿$=才野五£纱伟尸， где
t尸咨-2.
Таким образом, элементы^пространства 夕ь（Е; Е） вза* имно однозначно соответствуют квадратным матрицам скалярных обобщенных функций двух переменных.
Теперь из линейного отображения 平一＞ К •平 нам нужно получить антилинейное отображение. В случае скалярных частиц это делалось при помощи замены @fK・* так как 屮£B（U） — скалярная функция, для которой имеет смысл комплексно сопряженная к ней функция ср. Однако в случае векторных частиц элемент 平£В（匕尸）имеет bh" ；=上%方，где /e й, и комплексное сопряжение не имеет смысла. Для того чтобы обойти эту трудность, введем понятие антипространства.
Определение. Пусть 尸一топологическое векторное пространство над полем С комплексных чисел. 4咒・ типространством 尸 пространства 尸 называется любое топологическое векторное пространство, антиизоморф- ное и топологически эквивалентное пространству 尸. Это значит, что существует операция надчеркивания /->/, переводящая 尸 в 尸 н представляющая собой взаимно однозначное взаимно непрерывное отображение, такое, что для любого 入 £ С имеем
и
f 1 +『2 f /1 + /2 = /1 + Л-
Антипространство 尸 пространства 尸 единственно с точностью до изоморфизма. Не существует никаких преимуществ, связанных с использованием какой-нибудь конкретной реализации пространства 尸.Мы приведем несколько примеров таких реализаций.
Пусть 尸一данное топологическое векторное пространство. Антипространство 尸 совпадает с 尸 как с множеством, имеет ту же самую топологию, тот же самый закон сложения, однако операция умножения на скаляр у них различна:
（入/）戸=（入/）尸 для любого 入 £С и f^F.
Операция надчеркивания в этом случае является тождественным преобразованием.
Пусть »— дуальное пространство к данному топологическому векторному пространству О. Антипространство G' пространства G' является антидуальным к пространству О, т. е. пространством непрерывных антилинейных функционалов на О. Если g'£0‘ и ^ задает линейный функционал g，：gf〈g‘，g〉， то gr задает антили- нейный функционал gz ：gf〈g‘，g〉 для любого g£O・
В пространствах £2, 炒 или 皆'существует внутреннее сопряжение. Соответствующие антипространства совпадают с исходными пространствами, а операция
надчеркивания является обычным комплексным сопряжением:
/£ 務屮f %<р£氢
J " 7W 里
Пусть 酰—гильбертово пространство. Дуальное пространство 齢‘ является реализацией антипространства 飾.Если 也 £ 飾，то 也 £齢‘，=飾，причем （Й,々）= =（用力）非 Для любого 々£ 匏.Заметим, что
3，左〉=（用入用）託=入（出力）%=入〈九少〉，
так что入也=又力.
Приведем некоторые свойства антипространств:
） E®F^E®F с соответствием
工q内®力££&戸- 2^i 8齐g后夂»戸;
（b）声*尸.
Вернемся теперь к задаче нахождения непрерывных антилинейных отображений из E' = B（V;尸）в Е = = B'（V;尸）・ После введения понятия антипространства эта задача становится простой, если заметить, что отображе* ние нз Е‘ в Е антилинейно тогда и только тогда, когда соответствующее, отображение нз 斤 в Е линейно. Таким образом, 夕ь（£‘； Е）田夕ь（Е‘； Е）・ Используя свойства антипространств, получаем:
月。您（廿）（8）尸忆且仍（8）戸q炒（7）（8）戸*②（h戸）,
В терминах базиса ｛力｝ в пространстве 尸 и соответствующих базисов в пространствах Fr и Fr имеем:
если .
单=W р/ £ £ = В （匕尸），％ £ В （Ю.
ТО
中=2我/沁月=多（匕戸），电€互历=/（y）.
Используя вновь теорему о ядрах и свойства тензорных произведений, получаем
夕八营；6）#夕6（讶®戸；沙艺尸）^
q£d（B； 3^f）®F® F ^3ir（V XV）® ^®^>
и, окончательно, пространство 夕ь（Е‘； £） непрерывных антилинейных отображений из 6’ в Е определяется выражением
区（£，E）^^（VXV）®F®F,
Теперь нам осталось найти подпространство 夕十（Е‘； Е） пространства 夕式尸； h，состоящее из положительных элементов.
Определение. Антиядро ср->Кср в 夕^（Е'; £）, определяемое обобщенной функцией
芯,y£B'WXQ®尸眩戸，
называется суперположительным, если
'〈К, ср ® Ф）> О
для любой функции <р€В（У；尸'）• Переходя к базису {/J в пространстве 尸，получаем
?=2?Л к=》к〃厶&“ 勺犬涉exV）
〈к,中® 3〉=N {Kij, % ® S’〉> о.
Таким образом, понятие суперположительности представляет собой комбинацию понятий положительности для матриц и для ядер.
Мы можем теперь сформулировать основной результат этого параграфа в следующей теореме.
Теорема. Пространство g гильбертовых про, странств 飾，непрерывно вложенных в В'（丿；尸）. канонически изоморфно подпространству прострац^
cmea B'（UX U）（8）尸® 尸，состоящему из обобщенных функций К, определенных 尤а У X U 〃 принимающих значения в F 脸 F, таких, 4mo
〈К, ф ® ?） > О
для любой функции 平£讶（匕尸'）.Связь между обобщенной функцией К и соответствующим пространством 阮* дается формулой
〈7, р〉= （7阳研範
для любой обобщенной функции 7£飾€：讶，（匕尸）и любой функции q）EB（V;尸'）• Элемент Кр пространства 訟 определяется формулой
<кб屮〉=〈к,屮艺诵，屮е в （Н尸）.
Положив 7 = К屮，получим
〈к,中0中）=（2你0宓，.屮u麥（匕 尸）.
Эти формулы в точности соответствуют формулам, полученным для скалярных частиц. Для удобства мы представим здесь сводку формул, выраженных в терминах базиса ｛川"：
p =工中/e用=В（匕尸'）「%6В（4
7 =》TJt £ E =孙（匕尸），Л ё 涉（V）,
〈7'中〉=2〈7；'唠，
K = gKM侈方£涉u侈V）侈尸®瓦
石=不司力£涉（口尸），
S尸亨必电€纱（V）,
〈К, <р® 6 =》〈К〃，<р, ® фу）.
§ 6・ Отношения порядка в векторных пространствах и положительность антиядер
Пусть Е — векторное пространство над полем вещественных чисел R. Мы хотим определить отношение порядка 》в пространстве Е, совместимое с векторной структурой пространства Е. Это означает, что отношение порядка должно быть инвариантно относительно сдвигов и положительных преобразований подобия, так что
'+ 宀 宀 +•>
. 宀 ％ — а>У — а ДЛЯ всех q£E,
入％》入удля всех 入〉0.
Для того чтобы определить отношение порядка в £, достаточно определить множество „положительных* элементов {% : %》0}, так как в этом случае можно положить ^>уф=ф^—У>°-
Напомним, что множество РиЕ называется выпуклым 附。* нусом, если
；，у€г=Ф^+у€г.
今入для всех 入 > 0.
Легко убедиться в справедливости следующей теоремы.
\ Теорема. Множество выпуклых конусов РиЕ. таких, что ГП(一Г)= {0}, взаимно однозначно соот* ветствует множеству отношений порядка, совме* стимых с векторной структурой пространства Е. Это соответствие задается выражением
х〉У4=фх —УЕВ .
Отношение порядка замкнуто 0 тогда и только тогда, когда замкнут соответствующий конус Г.
Условие Г П (— Г) = {0} означает, что если х^Г, —х^Г, то х = 0.
) Отношение порядка замкнуто, если из 例》у и xk->x следует, что *》у (т. е. если можно переходить к пределу под знаком неравенства). — Прим. реО・
Отношение порядка в аффинном пространстве естественным образом определяется отношением порядка в соот* ＞ ветствующем векторном пространстве:为》у 仁今 ％—у £ Р.
Замкнутый выпуклый конус Г при определенных условиях задает дуальное отношение порядка в дуальном к Е пространстве £': элемент е'^Е' положителен, если 〈〃,е$》0 для всех е^Г. Пусть
1V = {©'：〈匕 е〉＞ ° для всех е £ Г}.
Очевидно, что 1V является выпуклым конусом, который слабо замкнут. По теореме Макки конус Г7 сильно замкнут и поэтому является замкнутым выпуклым конусом. Следовательно, 1V определяет отношение порядка в Е‘， если выполняется условие Г? П (—Р') = {0}・ Для того чтобы найти соответствующее условие для Г, нужно ввести понятие полярных множеств.
Определение. Пусть 4и£・ Полярное множество, или поляра, i^uf' множества Л определяется формулой
А?= (ег \ ег ^Е\ 〈8, е〉＞ —1 для всех е ^ Л}.
Заметим, что поляра любого множества всегда выпукла и слабо замкнута; кроме того, (Л1 U А^ = Л? П ^2. Если Л — выпуклый конус, то условие 〈е‘，е〉》—1 для всех е£4 влечет за собой〈〃，е〉》0 для всех е^А. Таким образом, для .нашего выпуклого конуса Г имеем『亍=Г°.
Теорема. Условие Г°П(—Г°)= {0} выполняется тогда и только тогда» когда пространство, натянутое на Г, плотно в Е.
Мы докажем только, что если пространство, натянутое на Г, плотно в Е, то Г° П (—Г°)= {0}. Допустим, что 鼠 €Г°П(—Г°). Тогда ©' одновременно неотрицательно и неположительно на Г и, следовательно, равно нулю на Г. Так как е‘ 一непрерывный линейный функционал на £ и пространство, натянутое на Г, плотно в Е, то 〃 на £ равно нулю. Отсюда е' = 0.
Следствие. Если пространство, натянутое на Г, плотно в Е, то Г° определяет, дуальное отношение порядка 8 Е'・
Так как Г — замкнутый выпуклый конус, то Г°° = Г. Следовательно, отношение порядка в £ можно определить через отношение порядка в Ег: элемент е£Е положителен тогда и только тогда, когда〈〃，扌 >° для всех 從 ^Г0.
В дальнейшем мы предположим, что Г—замкнутый выпуклый конус в Е, такой, что ГП(—Г)= {0} и пространство, натянутое на Г, плотно в Е・ Таким образом, Г определяет отношение порядка в £, а Г° определяет дуальное отношение порядка в £"•
Вернемся теперь к комплексным векторным пространствам. Пусть Е — векторное пространство над полем комплексных чисел С. Мы будем считать, что Е является комплеКсификацией векторного пространства 耳 над полем вещественных чисел, т. е.
E=EQ^iEQ=^[x + ty : х, У^Е^,
так что Е — прямая сумма пространств Е° и Шо. Если задано пространство Е и вещественное подпространство Е°иЕ, то существует операция надчеркивания z-^z (комплексное сопряжение), определенная в £* и обладающая свойством z = z. Эта операция является каноническим антиизоморфизмом, т. е. антилинейным взаимно непрерывным взаимно однозначным отображением из Е на 民
Подпространство &)состоит из всех самосопряженных элементов пространства Е, т. е. E^={z \ z^E, z = z}. Любой элемент z££ может быть единственным образом записан в виде
—z+工 I / 2—』
где 2吉 2 и ^^ 2. принадлежат % Таким образом, структура операции надчеркивания в F определяет вещественное подпространство Fo (и в свою очередь определяется этим подпространством).
Дуальное к Е пространство Е‘ также имеет структуру операции надчеркивания. В самом деле, соотношение
ИЛИ
〈z- %〉=〈z〈 〃〉，zf^Е, и£Е,
определяет z‘： элемент z‘ пространства Е‘ веществен, если он самосопряжен, т. е. если он принимает вещест* венные значения на /. Вещественное подпространство пространства £' (состоящее из вещественных элементов) кднонически изоморфно (вещественному) дуальному к 皖 пространству % Итак,
e，=稣+稣
Пусть Г — конус положительных элементов пространства £0, т. е. Г — замкнутый выпуклый конус в £0, такой, что ГП(—Г)= {0}, и (вещественное) пространство, наКг・ нутое на Г, плотно в Ео. Тогда TuEj определяется формулой
T = g:勿£稣，〈z- z〉》0 для всех ?£Р},
и элемент пространства Е' положителен, если он принимает положительные значения на положительных элементах пространства %
Применим эти результаты к пространствам, которые мы изучаем. Рассмотрим сначала пространства 夕 и 渉. Сопряженная к Г обобщенная функция 7 определяется соотношением.
〈7,中〉=〈?‘ ?)•
Определение. Обобщенная функция 丁^夕‘ называется вещественной, если (Г,平〉вещественно для любой вещественной функции 平 £В. Обобщенная функция Т называется положительной, если (Т,屮〉>0 для любой положительной функции 平 £ 2・_
Рассмотрим теперь пространство F® F, где 尸一ко» нечномерное векторное пространство. Структура операции надчеркивания в F®F определяется так: образом элемента 》cj华或£尸⑭尸 при надчеркивании является элемент 2^>Л®^- Таким образом
F^F^3£p^F = P^F»
Переходя к базису {//} в 尸，убеждаемся, что сопряженным к элементу 2 cijfi ®/;С 尸 ® 尸 является элемент 》看力® 力.Этот элемент инвариантен по отношению к операции надчеркивания, т. е..
cl]fl 吩力=X cijfi ®/у = 2 cjlfi ® //
тогда и только Фогда, когда ^； = с^. Таким образом, самосопряженные элементы представляются эрмитовыми матрицами.
Определение. Элемент пространства F®F называется вещественным, если для любого базиса пространства 尸 он представим эрмитовой матрицей.
Можно дать следующее эквивалентное определение: элемент пространства 尸®戸 веществен, если он является линейной комбинацией квадратов с вещественными коэффициентами, т. е. если он имеет вид 2 ^v ® ^ с вещественными Xv.
В самом деле, пусть
2 с”力 ®5=Sxx® i,.
где Xv вещественны и
g$ =工d虱力，
Тогда
Q/ -审A4簿沙
откуда следует, что с^ = с*. Если же с^ = сто теорема о приведении эрмитовой формы к диагональному виду обеспечивает существование требуемого представления.
Определение. Элемент пространства 尸®戸 называется положительным, если для любого базиса пространства 尸 он представим положительно определенной эрмитовой- матрицей. Или, что то же самое, элемент пространства F ®F положителен, если он представим в виде линейной комбинации квадратов с положительными коэффициентами.
Возможно и другое эквивалентное определение положительности. Элемент Л = 2 с J” ®g^F®F-определяет
эрмитову форму на 尸 X 尸 по следующему правилу:
4а，")=工分〈"丁九〉〈", g)
Эта форма является положительной эрмитовой формой тогда и только тогда, когда положителен элемент 工С/侈/
Приведенное выше определение положительного элемента устанавливает отношение порядка в пространстве F®F, так как такое отношение существует для эрмитовых матриц. Наконец, мы имеем следующее определение положительных элементов в дуальном к F ®F пространстве 尸尸.
Определение. Элемент пространства 尸'®F' по- л&жателен. если он принимает положительные значения на всех положительных элементах пространства F 脸 F、
Обсудим теперь понятие положительности для антиядер, определяемых элементами KXi у £ 勿(V X 丿)® 尸® 戶 Возможны два определения положительности, прйчем оба представляются вполне естественными.
Определение. Антиядро, определенное элементом
K^r(yXV)®F®P, называется
положительным, если для любого 中 W 炒 ОО имеем〈К, ? ® ?) ^ 0 в естественном порядке пространства F®F (здесь〈К, ^®^^^ ® F)>
суперположительным, если для любого 屮 £ 炒(V;尸') имеем〈К,屮(g 屮〉》0 в С (здесь〈К,屮® 6 W С)・
В предыдущем параграфе мы потребовали, чтобы антиядро К, соответствующее гильбертову пространству ^с^ (У; F), было суперположительным (там, однако, мы называли К просто положительным). Может показаться странным, что и определении суперположительности не участвует естественное отношение порядка в пространстве 尸®尸..
В терминах базиса {/J пространства 尸 элемент К G 炒'(U X Q ® 尸凶尸 записывается в виде К = =£ Kijfi ® /；, где К” £ 涉 UX Р), а элемент 屮 W 炒(丿；尸') задается выражением 屮=》匕力，где «£ 炒(V). Теперь данные выше определения можно сформулировать так:
К положительно, если для любой функции у W 炒(丿) матрица
(〈к〃，?®?))
является эрмитовой и положительно определенной;
К суперположительно» если для любого набора функций
справедливо соотношение
工依力К ® ?;)》。в С・
Легко видеть, что суперположительность влечет за собо建 положительность. Однако эти понятия, по-види- мому, не эквивалентны, и хотелось бы получить противоречащий пример 1). До сих пор понятия отношения порядка
I) Эти понятия действительно не эквивалентны. Простейший пример положительного ядра, которое не является суперположительным, можно построить следующим образом. Пусть пространство 尸 двумерно. Тогда антиядро К задается матрицей второго порядка с элементами из ^z (У X V). Пусть % н fz — ортогональные функции из L2 (У), нормы которых равны 1. Тогда ядро
2?1 ® ?2?I ® ?l + ?2 ® ?22?1 ® ?2?I ® ?l + ?2 ® ?2К=|| ?1 ® ?1 + ?2 ® ?2
2?1 ® ?2
?I ® ?l + ?2 ® ?2
2?1 ® ?2
?I ® ?l + ?2 ® ?2
II 2?2 ®Е
дает требуемый пример, ция из 乡(V), то〈К, <р ® ?)=дает требуемый пример, ция из 乡(V), то〈К, <р ® ?)=В самом деле, если § — любая функ-
дает требуемый пример, ция из 乡(V), то
〈К, <р ® ?)=
дает требуемый пример, ция из 乡(V), то
〈К, <р ® ?)=
[a卩+|6卩2员 II
iab \а^^-\Ь^ Г
в векторном пространстве и (простой) положительности антиядер не использовались, однако позднее они нам понадобятся. Будет показано, что для некоторых антиядер введенные выше два понятия положительности эквивалентны. -
где а=〈▼卜▼〉, 6 =〈9装?〉. Так как эта матрица положительно определена, ядро К является положительным. С ^руго工 стороны, если взять в качестве 屮 вектор-функцию (%, —§2)，то несложный подсчет показывает, что〈& 屮® 0 = —— 2, Поэтому ядро К не является суперположительным. —〃рам. ред.
Глава 3
МИРОВЫЕ ЧАСТИЦЫ И ИНВАРИАНТНОСТЬОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ. УПРОЩЕНИЕ ПО ЯДРУ
Тензорные произведения обобщенных функций
Пусть X и У — многообразия класса С°°» и пусть & и 炒у — пространства основных функций, определенных соответственно на X и У. Для любых функций 我(х) W 炒# и и(у)£>^у функция 我(无)и(у) бесконечно дифференцируема по х и у и носитель функции 我(尤)и(у) компактен, так как декартово произведение компактных множеств компактно. Таким образом, 〃(工)и(у) является элементом 炒占 у пространства основных функций, определенных на ХХК Следовательно,
Кроме того, можно Показать, что 3ix®3^y является плот* ным собственным подмножеством пространства 炒#, у.
Тот же результат справедлив для пространств обобщен*- ных функций: 3)х®3^у является собственным плотным подмножеством пространства 勢 1, у. Мы не будем здесь этого доказывать. Мы покажем только, что тензорное произведение двух обобщенных функций, принадлежащих 炒〔к 然, определяет элемент, принадлежащий 炒；>
Теорема: Если Sx W 炒;и Ту ^ 炒;，то существует единственная обобщенная функция Sx® Ту ^ ^х»у* такая,凡то
〈S*® 才у, 〃(无)(go(N)〉=〈S*, и(х)) (Ту, и (у)〉
для всех 我(尤)€炒彳，о(У)СВу・ -
Доказательство. Единственность. Допустим, что существуют две различные обобщенные функции
5 Л. Шварц
Uv /€ 苏,у，такие, что
〈4 u(x)®v^ = {Sx, и{х^{Ту, v(y)〉，
〈。2, «W®®(y)) = (5x. 〃(x)〉Gy，v(y)〉・
Очевидно, что тогда U^ и U2 совпадают на &(gi 炒у. Но так как 3ix®3^y плотно в 炒#, у и дуальные произведения непрерывны, значения % и U2 совпадают на всем ^Хэ у. Таким образом, U、= U^
Существование. Для любой функции 屮(尤，у) W ^Х( у мы хотим выяснить, имеет ли смысл выражение
(Sx®Ty, ^(х, у)〉.
Для всякого фиксированного значения х имеем ср (х, у) ^ ^у, и 〈7у‘ (р(х, у)〉 является функцией от х, которая, очевидно, имеет компактный носитель. Можно показать, что эта функция от 无 бесконечно дифференцируема по %・ Следовательно,
(7屮 )?(%，y)〉ё炒广
Теперь можно вычислить
〈S#,《Г* 屮(无，У)〉〉；
таким образом, для любой функции 中 W 炒局 у мы получаем некоторое число.
Положим, по определению,
〈S*@7y, cp(x, y)〉=〈S*,〈Г” 屮(х, у)〉〉.
Эта формула задает непрерывный линейный функционал на ^х> у, но здесь мы не будем доказывать его непрерывность. Если теперь
中(％, y) = u(x)v(y), где 〃(％)£»*, v(y)£2y, то мы имеем
(Т'у u(x)®v(y)) = u(x)(ry, v(y)〉W2*,
и применение оператора Sx дает
(Sx®ry. «(х) ® V (у)} == (Sx, (Гу, и (х) ® V (у)))===〈S*, «(X)) (Гу, V (у)).
f /. Тензорные произведения обобщенных функций 67
Тем самым доказательство существования закончено. Можно было определить S#@ 7y другим способом:
〈S*眩 G，?（Х. у）〉=〈7у,〈S*,屮（％, у）〉〉，
но в силу единственности эти определения эквивалентны, т. е.
〈％〈s*，?（Х, y）》=〈S*,〈％ ср（х, у》
Та же самая теорема справедлива для векторных обобщенных функций в случае, когда пространство значений одной из этих функций конечномерно.
Теорема. Если даны обобщенные функции 屈w勿（x；窃，刃W纱（У；存
и хотя бы одно аз пространств Е,尸 конечномерно^ то существует одна и только одна обобщенная функция
g<8>亢£勿（Хй）У;备）再
такая, что
底 ® Ту. «（Х） ® W （у）〉= （sx, «（X）） ® （Ту, V （у）〉.
Доказательство. Единственность доказывается так же, как и раньше.
Существование. Если £ и F конечномерны, то существование доказывается просто. В самом деле, пусть
s#W2%®e* 7\ € 筋у 艺1 尸；
тогда, очевидно, Sx®Ty можно определить как элемент пространства 炒〔艺炒;® Е® 尸.Из предыдущей теоремы мы знаем, что З^х® З^уС： З^х, у» поэтому
Таким образом, тензорное произведение SX®T опреде- лено в 毋（XX 匕 Е ®F） благодаря каноническому изоморфизму этого пространства и пространства炒;,у®Е0Г.
Допустим теперь, что Е конечномерно, а пространство 声一не обязательно конечномерно. Тогда 瓦 艺々 определяется равенством
фх®Ту, ?（х, У）〉= Е，咸,?（Х, у）〉〉.
Для фиксированного у имеем （Sx.屮（尤，y）〉WE， и так как Е конечномерно, то 〈耳，屮（无，у）） ^у ® ^ Далее, Ту£ 沙（У;尸），т. е. Ту определяет отображение 纱》fF и, следовательно, отображение 3^y®E->F ®Е. Поэтому мы можем определить（加庇,中a，y）》G音傢百
Таким образом, Sx®Ty можно определить отображением у）->〈Ту, 〈S*, у）〉〉，которое линейно и непрерывно.
Замечания. Если F и F оба бесконечномерны, то тензорное произведение S® Г нельзя определить таким образом.
Носитель тензорного произведения S®T является декартовым произведением Л X В носителя А обобщенной
функции S и носителя В обобщенной функции Г.
Это тензорное произведение непрерывно, т. е. если о ->Л0 и Т-> То, то . S ® Г-> So ® Го. Доказательство мы опускаем.
3^T=^St®Tj>e^®f^3^T=^St®Tj>e^®f^Выбрав базис ©上£ 宓,力€ 尸，можно записать тензорное произведение обобщенных функций S =》sZ к 7= £ 7，/ в виде
3^T=^St®Tj>e^®f^
3^T=^St®Tj>e^®f^
Свертка
Пусть V 一 многообразие, на котором задан внутренний закон композиции (х, у)->ху, т. е. отображение из И X И в V. Допустим также, что этот закон композиции бесконечно дифференцируем. Тогда в пространстве обобщенных функций 0"V), определенных на V, можно определить закон композиции, называемый сверткой.
Определение. Если S н 7 — две обобщенные функ・ ции из ^z (V), то их свертка S * Т ^ ^z (V) опреде^ ляется равенством
〈S*7, <?) = (S5®T4. <p(En)〉
ДЛЯ §W 受(U)・
Замечание. Свертка существует не всегда. Мы скоро обсудим условия, при которых она действительно сущест* вует.
Функция 屮(Е 刁)—бесконечно дифференцируемая функция переменных (Е,刁)W ^ X V\ Однако множество {(Е,叫：也 принадлежит носителю функции <р в И}, являющееся носителем функции y(bj) в У X ^, не компактно (за исключением случая, когда §曰0), поэтому пока еще нельзя определить свертку написанным выше равенством.
Пример. Пусть U = R — вещественная прямая, и пусть законом композиции является сложение. Если (р(х0)=^ О, то ф(? + ^)¥=0 для Е + п = #(р т. е. диагональ$-J-tq = х0 принадлежит носителю функции у(Е+刁)в R X R. Таким образом, этот носитель не может быть компактным (за исключением случая, когда(р = 0).
Для того чтобы определить свертку, необходимо распространить определение величины〈7\ 吟 на некоторые случаи, когда Т — обобщенная функция, а ср — бесконечно дифференцируемая функция с некомпактным носителем.
Теор ем а. Пусть Т — обобщенная функция с носителем А а ср — бесконечно дифференцируемая функция^ носителем В. Если пересечение Л П ^ ко^пак^^о* то можно определить (Г( <р), :
Доказательство. Возьмем функцию а^^(У), такую, что а = 1 в окрестности множества 4 П В. Тогда (Т, а(р) имеет смысл, так как а(р является основной функцией. Нужно показать, что результат. не зависит от выбора а. Допустим, что 0 — другая функция, обладающая тем же свойством, что и а. Тогда а —р = 0 в окрестности пересечения Д П^. и носитель функции (а — 0)屮 содержится в дополнении к ЛП^. Из определения носителя обобщенной функции Т следует, что 〈7, (а ——0)屮〉=0・ Следовательно» можно положить
(7，中)=〈7，a办
и это значение не зависит от выбора а.
Определение. Пусть заданы обобщенные функции S,「€勿(卜)с носителями соответственно Д, Ви!Л Говорят, что носители Л и В допускают свертку, если пересечение множества Л X 5 (носителя тензорного произведения S®T) с носителем функции у(Е刀)в И X ^ компактно для любой функции 屮 £ 炒(И).
Определение. Если Е и 尸一локально компактные топологические пространства, то отображение Е f F называется собственным, когда выполняется любое из еле* дующих эквивалентных условий.
Прообраз любого компактного множества компактен.
Образ любого замкнутого множества замкнут, и про* образ любой точки компактен.
Если Е h 尸 компактифицированы добавлением бесконечно удаленной точки (компактное расширение Александрова), то расширенное отображение, при котором оо переводится в оо, нёпрерывно.
Дадим теперь другое определение двух носителей, допускающих свертку. Это определение эквивалентно сформулированному выше.
Определение. Пусть множества Л и В являются носителями двух обобщенных функций. Мы говорим, что Я и В допускают свертку, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий.
Для любого компактного множества К и 丿 множество (4 X 6) П ((Е,叫：軌 С К} компактно.
Отображение (Е,刀)一> Е% рассматриваемое только на множестве Л * В, является собственным.
Пример.
〈％*%，屮〉=〈(％)£<8)(ВД), ?($■<])) = =(@Л，<色%，中制)〉〉= =〈(BJ，平(出» = Y(a6).
Таким образом, %*“ = %勿
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Если имеются две сходящиеся последовательности обобщенных функций
SfS。，Т->Т0.
причем
носители всех обобщенных функций S содержатся 8 одном 我 том же компактном множестве Л, а носители всех 7 содержатся в одном 我 том же множестве В,
множества А и В допускают ceeptnicyt то
S * 7 —> Sq * TQt
носитель функции So * То содержатся 6 множестве
ЛВ =囱：(")W 5 X В}.
Пусть V — группа Ли с групповой операцией — произведением: (Е, п)-> 沖
Определение. Внутренняя свертка трех об об- щенных функций R, S, T^3^f (V) определяется равенством
(/? * S * Г, ^ = (^05^® Т^ 屮(也。〉
дляФe炒(p).
Определение. Носители Д, В, С трех обобщенных функций R S, 丁^炒气丿)допускают внутреннюю свертку, если отображение (Е,刁，0->2稱，рассматриваемое на ЛХ^ХС, является собственным.
Возможны и другие эквивалентные определения.
Т еорема. Пусть R, S, Т ^S6r (V) имеют носителями множества А, В и С. Если《刀)( = Е (哨)и Я, В и С допускают внутреннюю свертку, то
(R * S) * Т = R * (S * Т) = R * S * 7\
Доказательства мы- не приводим.
Теорема. Пусть е — единичный элемент группы Ли V. Тогда
Ъе^Т =^Т * 脑=Т・
Доказательство.
@*7,中〉=(儿)8 吩 % 中帥)=
=〈％〈(》，中 &!»〉=
=(％，？(也))=3,中⑺)•
Теорема. Пусть ЛаГ — левый сдвиг, определен ный элементом а ^ V, обобщенной функции T^£Sf (V) на группе Ли V. Тогда
3*7 = AJ.
Аналогично для правого сдвига R& справедливо равенство
Т *> = R/・
Доказательство.
{АаТ,中〉н〈7, Л.а^) — {Т^, ?(ат))) =
=〈(％)Е €> Л)，屮(⑴〉=
=& * 7, Ср).
Теорема. Пусть V ——векторное пространство {сложение в нем, разумеется, коммутативно). Операция свертки обобщенных функций S, Т ^ ^r (V) коммутативна.
Доказательство.
〈Sg®% 中a + n)〉=〈S111glА，中(7] + 汾=
=(5Ч； 〈"，1P (刀 + 汾)=〈臭，0Т 中(刀 + 力)=3 u(7毋Sq,中(7]十汾=6(8)5彳，中g十7])〉.
Теорема. Пусть R — вещественная прямая. Тогда для обобщенной функции 7《炒，(R) имеем
У * Т = Т * У =： 7V.
Доказательство.
〈6'*7, ср) = (8^ ® Tv ср(Е+т])〉=
=〈7\,〈费，中g+哂))=
= 6’一'(О + ^п—〈％ 中'(叫〉=
=—〈7’ *〉=〈7‘ 中〉.
Аналогично
〈7* У, ср) = (7,/, ср).
Справедливы также следующие равенства:
5⑺ * Т = Т(т)；
Dpb^T = DpT,■
где Dp — дифференциальный оператор порядка р с постоянными коэффициентами. В случае более чем одного измерения имеем
А5 * Т = А7\
где А — оператор Лапласа или Даламбера.
Теорема. Для S, Т£ 炒'(R) имеем
(S * T)f = S，* Т = S * 7v.
Доказательство.
(S * T)f = У * (S * 7)==
=(У * S) * Т = S，* 7・ Аналогично
(S*7y = (S*T)*# =
=S * (7 * #) = S * 7v.
Следовательно, для обобщенных функций S, Т ^3ir (V), где V — векторное пространство над полем вещественных чисел размерности не меньше 2, имеем
02 /с т、 02s т dS дТ
дх ду( *)— дхду * — ~дх * ду =
。 0叮
0*ду0*ду胃3 *
0*ду
0*ду
Теорема. Пусть Т £汾(V) 〃 а £ 您(V) заданы на векторном пространстве V с мерой Лебега d%・ Если носитель обобщенной функции Т 迎 носитель функции а допускают свертку，то положим
Г а = *)•
Тогда 0 — бесконечно дифференцируемая функция, определяемая равенством
В(%) =〈7/, а(х — £)〉・
Доказательство.
Для любого 屮€節 имеем
(7*a, с?)=(7\®a(叫▼g+ 明=
=(Л> J а(刁)中(Е + 刁)d哈==⑺ J а (x — ^) ф (х) dx)=
—(^® ?(x)* а (尤一？〉= / 屮(尤)〈％ а (%—E)〉dX =
=J Ф (x) р (х) dx = (p,办
Таким образом,卩(尤) =〈7\, а(х — £)〉・
Согласно предыдущей теореме.
Так как функция а бесконечно дифференцируема, 0(优)= = T*a(m) также является обычной функцией» и, следовательно, р (х) — бесконечно дифференцируема.
Теорема. Пусть V = Е — векторное простран- ство с мерой Лебега^ Если / и g — локально интегрируемые функции на Е и носители функций fug допускают свертку, то
f*g = h, где
Л(х) = J/(£)g(尤一分 dt.
причем Л(х) локально аншеграруема и определяется этим равенством для почти всех х.
Доказательство.
U *g' ?) = (А®^. 1P6十峪〉=
=///g^⑺中6+刁)成画.
Делая замену переменных E = f,刁=% — t (при этом якобиан равен 1) и применяя теорему Фубини, получаем
(J * g* 中〉=/ / / (f) g (х — f)中(x) dx dt =
=/ cp (x) dx J f(t)g(x — t)dt.
Пусть
九(*) = J f(t)g(x — t)dt; тогда
(/ * g, ?)=〈儿办
Теорема. В группе Ли V свертка S * Т имеет смысл (т. е・ носители допускают свертку), если хотя бы одна аз обобщенных функций S и Т имеет компактный носитель.
Доказательство. Нужно показать, что отображение (Е, 7])->$т] является собственным для Е£4 刁£氏 Допустим, что S имеет компактный носитель Л и Г имеет носитель В. Пусть 您一компактное подмножество множества V. Множество
"=传，刀)：Е е 4 可 е В, Е^ € 砂｝ является ограниченным, так как Е содержится в компактном множестве Д, а элемент 7]=厂'(河 для EW4 切£您 также ограничен. Следовательно, Н компактно, и поэтому отображение является собственным.
Замечание, Аналогично, свертка R * S *Т имеет смысл, если две из этих трех обобщенных функций имеют компактный носитель.
Пример. Рассмотрим свертку У * 8’ * 1，где Y— функция Хевисайда:
_(о. х<0.л = (1, *>0・
Носителями функций У, 5’ и 1 являются соответственно [О, оо], {0} и /?• Отображение (Е, % U)->Е+刀+ С не является собственным, и поэтому внутренняя свертка не допустима. Однако выражения (У * 8‘) * 1 и У * (8, * 1) имеют смысл каждое в отдельности, хотя они и не равны по величине, т. е. свертка в этом случае не ассоциативна:
(У * #) * 1 = 8*1 = 1,
Y *(5‘* 1) = К * 0 = 0.
§ 3. Инвариантность относительно группы сдвигов
В этом параграфе мы попытаемся найти гильбертовы пространства 酰、которые остаются инвариантными относительно данной группы и, в частности, относительно группы сдвигов.
Пусть G — группа топологических алгебраических автоморфизмов локально выпуклого топологического векторного пространства Е. Как и ранее, *0 обозначает пространство гильбертовых Пространств 黝 с непрерывным вложением в Е, а 夕+(£*'; £) — замкнутый выпуклый конус положительных антиядер из Ег в Е. Мы видели, что
Элемент о£О определяет переход из <^£吕 в гильбертово пространство о匏 £g следующим образом:
0 :胱 f6旨6 = [gЛ ： Л £ 胱、、
где。能* имеет гильбертову структуру, перенесенную из 旣: 9fl\6粉.驼= (h\h)的.
Так как о действует на Е, этот оператор действует и на дуальном пространстве £'• В самом деле,
и автоморфизм ef -> aez на Ef задается выражением 〈％〈/〉=〈％ е/〉，/се 〃£#・
Следовательно, а действует также и на 夕(Е‘； £*). В самом деле.
М • W = о (£ J), с£ 斤，£ С 夕(斤；Е)
и автоморфизм £->а£ множества 夕（Е‘； Е） определяется выражением вида
"丿=。（厶9一 1/'）），产 WE, Lwg&; E）.
Очевидно, что если антиядро L положительно, то антиядро 。厶 также положительно. Используя перенос структуры, нетрудно доказать следующую теорему.
Теорема. Если гильбертово пространство 幽 £ ^ соответствует антиядру £££+（£'; Е）, то пространство ь第 соответствует антиядру о! для любого оператора 吒 О.
Таким образом, если 能= ь<^ для всех о ^ О, то £ = а£ для всех о^ О, и для того чтобы найти гильберт товы пространства 或,инвариантные относительно группы О, можно искать антиядра 厶，инвариантные относительно группы G.
Обратимся теперь к случаю векторйых частиц. Пусть G — группа автоморфизмов а, которые действуют на мире V и на конечномерном векторном пространстве 尸.В этом случае оператор а действует также и на 節'（V） и, следовательно, он действует на S€ a 3ir （V）® F.
С другой стороны, так как оператор а действует на V, он действует также на V X V （<з（^, w） = （а^, ow）） и на ЗЬГ（У X V）»- а так как о действует на 尸，он действует также на 尸 9/ =。/）. Следовательно, о действует на антиядра KXt у £ 節'（卩 >< V） ® 尸® 尸.В терминах базиса ｛力｝ пространства 尸 имеем ^= 2 К』® Л, где к“€節‘（丿 X V）, и
оК = £gKiff t 区 Gf j,где a^zy — обобщенная функция, определяемая формулой〈★〃，<р（х, у）〉=〈К“，ф （ох, оу）〉.
Используя опять перенос структуры, можно показать, что если гильбертово пространство 幽 и В'（吩（gi 尸 соответствует антиядру К £ 炒'（У X V） ® F® F, то 。第 соответствует 0K для любого оператора о £ О, и вместо того чтобы искать пространства 飴，инвариантные отно
сительно группы G, можно искать суперположительные антиядра К, инвариантные относительно G.
Будем теперь искать антиядра
K*,y€"(UXQ®F ®Л
инвариантные относительно группы сдвигов на мире V. Пусть, в частности, V — аффинное пространство 旦(или £). Тогда группа сдвигов G изоморфна векторному пространству 旦(или Е), связанному с аффинным пространством f4 (или £). Мы предполагаем, что элемент группы G действует на Е как аффинный оператор и что он действует на конечномерном векторном пространстве 尸 как единичный оператор.
Допустим сначала, что мы имеем функцию К (х, у). Для того чтобы ^(x, у) была инвариантна относительно любого сдвига, должно выполняться равенство
К (х — а, у — а) = К (尤,у) для всех а.
В частности, если положить а равным у, то
K{xt у) = К(х — у, 0) = "(尤一у),
где Н — функция одной переменной х — у. Итак, в этом случае, для того чтобы получить функцию К, инвариантную относительно сдвигов, мы можем взять функцию Н одной переменной и подставить в качестве аргумента х — у.
Обобщим теперь этот способ на случай, когда KXi у — обобщенная функция, определенная на Е X Е. Рассмотрим изоморфизм класса С°°
->->—'“ А
определенный формулой (х, У)<~>(х, а), где м = х —
у = х — а. С помощью переноса структуры этот изоморфизм определяет взаимно однозначное соответствие между обобщенными функциями
К*，у£"(£ХЕ) — "*/€&'(ЕХ^，
определенное соотношениями
〈"*誼屮(%，%))=〈к彳,y, ф(X,%二})),屮€物(耳去)，{KXt y.中(*丿)〉=("彳方?(х,%-2))，中€ 節(£ f).
Для удобства мы используем следующее обозначение: если задано KXt v, то " > = к а если задано Н то Кг " —►• Для того чтобы описать те обобщенные функции Н, которым соответствуют инвариантные относительно сдвигов функции К, рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:
EXE > EX 声
Сдвиг 口父 Ij
помощи a 4f
EXE ► E X E
*,y)=(4京丹奇g力)=(n言«)
Эта диаграмма порождает коммутативную диаграмму для обобщенных функций, определенных на соответствующих пространствах:
<зК ► t"
где a — оператор сдвига, действующий на две переменные х и у функции К, а t — соответствующий оператор сдвига, действующий только на первую переменную х функции Н. Таким образом, вместо того чтобы искать обобщенные функции К ^Sf (Е У^ E)®F ® F t инвариантные относительно всех сдвигов, действующих на две переменные, мы должны найти функции H^3^f(EXE)®F®Ft инвариантные относительно всех сдвигов, действующих только на первую переменную.
Воспользовавшись теперь теоремой о ядрах:
毋(ex专)弋纟,(至(£)；步声))=»(ё；涉(专))，
МЫ видим, что
3^f (E XE)® F ® F ^ 35f (E;砂(E)® F ® 尸).
Таким образом, H > является обобщенной функцией, определенной на £, принимающей значения в бесконечно*
мерном локально выпуклом топологическом векторном пространстве 炉=涉(£)® 尸艺)尸，и мы должны искать такие Н, которые инвариантны относительно всех сдвигов, действующих только на Е. Мы будем рассматривать Н&% как элемент пространства 涉(Е,炉).
Выберем в Е меру Лебега dx. Ответ на наш вопрос заключен в следующей теореме.
Теорема. Всякая обобщенная функция 7"€您，(启，炉)， инвариантная относительно всех сдвигов, действующих на Е, является константой, т. е. Т= 1х®Х где\^^ (или T=dx ®Т).
До казательство. Пусть а ^ <® (Е)——бесконечно дифференцируемая функция, такая, что /a(%)d% = l. Тогда для любой функции 屮 € 空(Е) имеем
〈7*а, <р) = (7'е®а(т]); 丫(叶7))〉=
= /а(哈對〈％ срС十7])〉=
=/ а (?]) dv]〈7\,中(/)〉=〈？，<р).
Здесь мы воспользовались инвариантностью Т относительно сдвигов. Таким образом, Т * а = Т. Согласно теореме, приведенной в предыдущем параграфе, Т является бесконечно дифференцируемой функцией, и из инвариантности Т относительно всех сдвигов следует, что Т — константа.
В рассматриваемом случае если Н -> инвариантно относительно всех сдвигов, действующих на х ^ £, то
Н > =/или " ^ = dx
где
Н% £ 炉=節 ‘ (Е) ®F®F.
Мы показали, что антиядра К#, y^^f (Е X Е) ® 尸® 戸, инвариантные относительно группы сдвигов, действующей в пространств^ EXE, взаимно однозначно соответствуют Обобщенным функциям Н> £ 砂(Е) ® 尸冬 尸,опредеденнцм
на Е н принимающим, значения в 尸® 尸.Если задана обобщенная функция ">, то соответствующая инвариантная
функция К задается формулой
■*，у *, *-уж- уж- у
} имеем} имеемт. е. для любой функции 屮 £ 砂(Е X Е)
} имеем
} имеем
-唠=-唠=〈К*, у,屮（尤，у）〉=〈1*® "款?（х, х
-唠=
-唠=
—〈”■> > / 屮(”* % ■ 〃) d%〉= / dx〈"■>, ф(X, X — 〃)〉.
(При вычислении (">, ср(х, х — 〃)〉 переменная х считается фиксированной.)
Найдем теперь условия на функцию Н>, которые соответствуют положительности или суперположительности KXt у. Напомним, что обобщенная функция ^д. у называется положительной, если
длявиедлявие〈кХ, у,中(尤)。又历〉》0 B F®F
для
вие
для
вие
любой функции <р€ 砂(£)• Для функции Н-^ЭТО усло- принимает вид
〈"詛 J*(р(х)(р(х—%)d,》0 в 尸®戸
длядлялюбой функции ?£ 您(Е). Для того чтобы исключить
для
для
из рассмотрения аффинное пространство Е, мы можем выбрать в Е начальную точку, и тогда (если вспомнить, что существует взаимно однозначное соответствие между Е и Е) условие положительности примет вид
〈"才，J ? (х) ^ (J — «) dx^ > 0 в 尸® 戸
в этом неравенствев этом неравенстведля любой функции ^^3i(奇.Интеграл
в этом неравенстве
в этом неравенстве
означал бы свертку, если бы вместо х — и стояло и — х Введем обозначения
4 (*)=ф (—■«).¥(х)=7(—#)；
в Л. Щ“ри
тогда условие на Ht соответствующее положительности для ^, имеет вид
（"，中*中）＞0 b F®F
для любой функции 屮£炒（七）.Аналогично условие на Н, соответствующее суперположительности для К, принимает вид
屮 * 孑）＞ 0 в е
для любой функции 屮 £ 炒（Е;尸'）•
Результаты настоящего параграфа объединены в следующей теореме.
Теорема. Пусть Е — （конечномерное） аффинное пространство « F — конечномерное векторное про* странство. Гильбертовы пространства 辭 и &，（Е; F） или соответствующие суперположительные антиядра К』，у £ 炒'（£ X Е）＜8＞尸＜8＞尸，инвариантные относительно 2рул也从 сдвигов, действующей аффинно на Е и 加о・ ждественно на 尸，взаимно однозначно соответствуют обобщенным функциям Н^ ^ SBf（E） ® F® F суперположительного типа. Условие положительности функции Н имеет вид
＜上Л ср * 9）^ 0 8 FKF для любой 力y^s〃"中£炒（七）， а условие суперположительности имеет вид
（"，中*3）》0 b е для любой функции 屮£炒（表 尸）.
Вышеприведенные определения положительности в 勿（О 艺尸 艺＞ 尸 являются естественными обобщениями понятия положительности функций в смысле Бохнера.
Определение. Функция /, определенная в /-мерном векторном пространстве Е, называется положительной 8 смысле Бохнера 】），если для любого множества элементов {%]xj из f и любого множества комплекс-
Обычно такие функции называют положительно определенными. —Прим, ред.
ных чисел {z“ ・・・,^} справедливо неравенство 为/(上一勺)嗝》0.
В том случае, когда скалярное антиядро KXt у задается непрерывной функцией К(%, у), мы видели, что классическое определение положительности совпадает с определением положительности антиядер (^, ф®ср)^О, срС^)*
Аналогично в данном случае, если / — непрерывная функция, то условие положительности 8 смысле Бохнера эквивалентно условию
///(* —у)屮(х)#(У)dxdy^Q ИЛИ.
J /(«) t/« J ср (х) ср (х —我)dx〉О
для любой функции 中 €&. Заметим, что если обобщенная функция ">€£)'(£) <g)尸 g)尸 является обычной непрерывной функцией "(%), то "—_> = "(% ——у), и мы можем обобщить понятие положительности в смысле Бохнера на пространство <®z (£*) ® F ® F. К сожалению, здесь возможны два определения.
Определение. Обобщенная функция "£皆，(£)® ®F ®F называется
положительной 8 смысле Бохнера, или Б~поло~ жительной» если
〈"，у* у〉》0 в F 0F
для любой функции ср ^ ^ (£),
суперположительной. 8 смысле Бохнера, или Б-суперположительной, если
("，屮*屮)》0 b е
для любой функции 屮 £炒底尸/).
Мы обсудим вопрос об эквивалентности этих двух определений в одном из последующих параграфов (см. § 5 этой главы).
Преобразования Фурье
Пусть f—конечномерное вещественное векторное пространство с мерой Лебега dx. Преобразование Фурье 炉/ функции /(习，^W 宫,определяется равенством!)
炉/ = g而=/ e一玩，,金/(奇涼(1)
где р принадлежит дуальному к Е пространству £' и (х, р) является дуальным произведением. В пространстве Е можно выбрать базис «卜 е2,・・・,еп таким образом, чтобы мера Лебега равнялась dxx dx2 ... 4%门.Вектор % =工％曾, определяется своими координатами {xj, а вектор р=£常 определяется координатами {pj. В этом случае равенство (1) принимает вид 炉/ = g (仍，02Рл) =
=/е '""""'"* …+%%)/(*i，%2,…，x„)dxidx2.t. &勺・
Если в Е задано скалярное произведение 曲血 то преобразование Фурье можно определить формулой ,
7(у) = / e~2l^^f(X)dx.
Однако мы будем придерживаться определения, выраженного равенством (1).
В пашей литературе принято другое определение преобразования Фурье:
/ = //良%(寿我
поэтому преобразование Фурье обобщенных функций определяется равенством
〈犷7, ¥〉= 2力(Т, “D
В своих лекциях Лоран Шварц придерживается обозначений, принятых в его книге: Schwartz L., Th6oHe des distributions, t. 1, 2, Hermann, Paris, 1950—1951. — Прим, ne рев.
Если /£ L1, то интеграл (1) существует и функция g(p) непрерывна и ограничена; в самом деле,
|^(р)|< 11/111-
Если 芋f = g и функция Xjf интегрируема для всякого /= 1, 2, ...» п. то существуют непрерывные и ограни- ценные производные причем
炉(-2代")=務.
Если / быстро убывает на бесконечности, т. е. если для любого полинома Р произведение Pf интегрируемо, то все производные g существуют и ограничены.
Проинтегрируем равенство (1) по частям. Получим
♦. • d/ X♦. • d/ Xg (р) ~~ /dX]・♦• dx у—I dxj+i
♦. • d/ X
♦. • d/ X
X {[二^力亠£58 -
J — 2titp.吗 Jj
Допустим, что / € 厶】и что первые производные 盘- непрерывны и интегрируемы; тогда, как легко видеть, / должна стремиться к нулю на бесконечности. Следовательно, '
2t«p jg (£) = / е-2 玩才，扌掛1 dx ⑵
и функция pjg(p) непрерывна и ограничена.
Если / бесконечно дифференцируема и все ее производные принадлежат 厶* то произведение g на любой полином остается непрерывным и ограниченным.
Определение. Пространством 夕(奇 называется пространство всех бесконечно дифференцируемых функций. у которых все производные быстро убывают на бесконечности, т. е. для произвольных полиномов Р н Q
произведение ^(X)Q(^"]/ существует и ограничено^ или (эквивалентно) Q(^~)P(%) / существует а 。2尸@・ качено.
Легко доказать следующую теорему.
Теорема.
中w夕而今炉р£夕(瓦
Распространим теперь понятие преобразования Фурье на обобщенные функции. Прежде всего заметим, что если мера Лебега задана в f, то она тем самым задана и в Е〈 потому что если в пространстве Е выбрать базис так, чтобы по отношению к нему заданная мера Лебега равнялась dxx dx2 dxn, то дуальный базис в Ef определит меру Лебега dpx dp2 dpn.
Для /€厶匕 屮€讶卩(七‘)рассмотрим дуальное произве- дение 平 на Фурье-образ g(p) функции /:
(g，平)=〈炉/*?) = /? (P)dp J б»/ 片/ (x) Jx =
=J/(寿族Ji玩亩篇而d；=(九屮), где
屮=/ 0-2玩5,叫(p) dp =芋.
Таким образом, имеем
守3 ?> = </.炉»
Ввиду этого можно попытаться определить преобразование Фурье обобщенных функций следующим равенством:
〈夕7, ?) = (Т, $哈,
где уе 炒卩，7€ 纫J Хотелось бы, чтобы 炉中е 恥，но, к сожалению, 炉屮圧 炒*, за исключением случая ср^О.
В этот момент на помощь приходит пространство 夕(£). Топология в 夕 определяется следующим образом.
Определение. /у->0 в смысле пространства 夕， ес”н P(x)Q (詛力 равномерно сходится к нулю для произвольных полиномов Р и Q.Пространство 夕'(£) непрерывных линейных функционалов над 夕(Е) называется пространством обобщен- ных функций медленного роста. Заметим, чтов而u夕庐)Определение. /у->0 в смысле пространства 夕， ес”н P(x)Q (詛力 равномерно сходится к нулю для произвольных полиномов Р и Q.Пространство 夕'(£) непрерывных линейных функционалов над 夕(Е) называется пространством обобщен- ных функций медленного роста. Заметим, чтов而u夕庐)力->0 b炒合力->о в夕,力->0 b炒合力->о в夕,так что всякий непрерывный линейный функционал над 夕 является непрерывным линейным функционалом над Таким образом, существует непрерывное линейное отображение пространства 夕(Е) на подпространство пространства 炒，(£)• В действительности это отображение является вложением, так как 讶(Е) плотно в 斤(В). Сформулируем без доказательства следующую теорему.Теорема. Пространство 炒(Е) всюду плотно 6斤(春.Примеры.(1)屮(％)="产€ 夕(R), где R — множество вещественных чисел.Любая локально интегрируемая и измеримая функ-так что всякий непрерывный линейный функционал над 夕 является непрерывным линейным функционалом над Таким образом, существует непрерывное линейное отображение пространства 夕(Е) на подпространство пространства 炒，(£)• В действительности это отображение является вложением, так как 讶(Е) плотно в 斤(В). Сформулируем без доказательства следующую теорему.Теорема. Пространство 炒(Е) всюду плотно 6斤(春.Примеры.(1)屮(％)="产€ 夕(R), где R — множество вещественных чисел.Любая локально интегрируемая и измеримая функ-такая, чтотакая, чтонома Р(х),нома Р(х),|/(х)|《Р(х)|/(х)|《Р(х)является обобщеннойявляется обобщеннойдля некоторого полифункцией медленногодля некоторого полифункцией медленногороста.(3) ех не является обобщенной роста.роста.(3) ех не является обобщенной роста.функцией медленногофункцией медленногоДоказательство. ВозьмемДоказательство. Возьмем屮(％) = е—У*2 十* тогда屮(％) = е—У*2 十* тогда
Определение. /у->0 в смысле пространства 夕， ес”н P(x)Q (詛力 равномерно сходится к нулю для произвольных полиномов Р и Q.
Пространство 夕'(£) непрерывных линейных функционалов над 夕(Е) называется пространством обобщен- ных функций медленного роста. Заметим, что
в而u夕庐)
Определение. /у->0 в смысле пространства 夕， ес”н P(x)Q (詛力 равномерно сходится к нулю для произвольных полиномов Р и Q.
Пространство 夕'(£) непрерывных линейных функционалов над 夕(Е) называется пространством обобщен- ных функций медленного роста. Заметим, что
в而u夕庐)
力->0 b炒合力->о в夕,
力->0 b炒合力->о в夕,
так что всякий непрерывный линейный функционал над 夕 является непрерывным линейным функционалом над Таким образом, существует непрерывное линейное отображение пространства 夕(Е) на подпространство пространства 炒，(£)• В действительности это отображение является вложением, так как 讶(Е) плотно в 斤(В). Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Пространство 炒(Е) всюду плотно 6斤(春.
Примеры.
(1)屮(％)="产€ 夕(R), где R — множество вещественных чисел.
Любая локально интегрируемая и измеримая функ-
так что всякий непрерывный линейный функционал над 夕 является непрерывным линейным функционалом над Таким образом, существует непрерывное линейное отображение пространства 夕(Е) на подпространство пространства 炒，(£)• В действительности это отображение является вложением, так как 讶(Е) плотно в 斤(В). Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Пространство 炒(Е) всюду плотно 6斤(春.
Примеры.
(1)屮(％)="产€ 夕(R), где R — множество вещественных чисел.
Любая локально интегрируемая и измеримая функ-
такая, что
такая, что
нома Р(х),
нома Р(х),
|/(х)|《Р(х)
|/(х)|《Р(х)
является обобщенной
является обобщенной
для некоторого полифункцией медленного
для некоторого полифункцией медленного
роста.
(3) ех не является обобщенной роста.
роста.
(3) ех не является обобщенной роста.
функцией медленного
функцией медленного
Доказательство. Возьмем
Доказательство. Возьмем
屮(％) = е—У*2 十* тогда
屮(％) = е—У*2 十* тогда
0, <?〉=/e*0一y炉+1 dxf
а этот интеграл расходится,
Определение. Преобразование Фурье 炉7 обобщенной функции Г £ 夕％ определяется равенством
〈炉Г, 6 =〈Г，У» 「恥屮€丝.
Так как , £ 夕卩今呂飞 £ 夕*, то преобразование Фурье существует для всех Т£夕六 Если ср—＞0 в 夕卩，то 炉中一＞ 6 B犷* и
〈炉7\ ср) = (Г,炉中〉f О, так что ^Т — непрерывный линейный функционал » #Tw 死.
Замечание. Если обобщенная функция Г совпадает с обычной функцией /£厶＜ то Т ——обобщенная функция медленного роста, и определенное выше преобразование Фурье функции Г совпадает с преобразованием Фурье функции /, определенным формулой (1):
炉т = ¥7・
Приведем теперь некоторые основные свойства преобразований Фурье обобщенных функций медленного роста； доказательство многих из этих свойств мы опускаем.
(1)炉3=1.
Доказательство.、
((У*8,勺〉=@ 炉g〉=G，/ g-2加 5,叫⑺ d；)==/中(P)dp =〈l，?)■
⑵炉育=2伝円
и аналогично для полиномов Р имеем
炉P (割6=Р⑵叩).
Формула обращения. Если преобразование 亨 определить заменой I на ——/в определении 炉,то справедливы следующие соотношения:
V = ?U О今 U =夕旷.(Если одна из обобщенных функций U или V является обобщенной функцией медленного роста, то и другая будет функцией медленного роста и формула обращения имеет смысл.)
(4)炉3= 1,
(5)炉 1 =夕"1 = 8.
⑹炉(一2沐勺)=券
и аналогично для полиномов Р имеем
炉Р (- 2G) =外言)3.
Замечание. Пусть g =炉/ для /£ /Л Тогда функция g непрерывна и ограничена, но не обязательно интегрируема. В этом случае обратное преобразование Фурье }/* с，＞《《《
/(%)= I 屮式,p、g(p)dp не существует 8 классическом смысле, однако 8 смысле обобщенных функций обратное преобразование Фурье всегда существует.
/£厶2仁今炉/£厶2 (здесь функции из А2 рассматриваются как обобщенные функции).
||^/||Л2=||/||д2.'
Если /, g££2 и F — ^/, 0=炉目，то
/ f(x)g(x)dx = fF(p)O(j)) dp,
т. е.炉 является унитарным оператором.
Если 「£ 夕，и Т имеет компактный носитель, то У(р)= (Гх, е-2，п(х‘р)〉 является бесконечно дифференцируемой функцией от р и V (р) — ^Т,
Доказательств о. Доказательство дифференци^ руемос/пи обсуждалось в параграфе о тензорном произведении (см. § 1, гл. III). Далее, имеем
(炉Г,中)=(7\ 炉$ =
=(7\, / e-2无金，屛面而〉=
=＜7*眩中而,e-2阮立^)=
=/ 中(p) "Р〈7*e-2"“，尸＞〉=〈V, ср).
Если разрешить переменной р принимать комплексные значения, то У(р) будет голоморфной функцией.
Если S, 7£ 夕'，Г имеет компактный носитель (так что свертка S *Т имеет смысл) и U =，*£ V =(^Tt то произведение UV имеет смысл, UV ^^Л и UV = =炉(S * Т). Таким образом, преобразование Фурье переводит свертку в произведение, а произведение—в свертку.
§ 5・ Теорема Бохнера
Теорема Бохнера для скалярных обобщенных функций. Обобщенная функция Т на Еа является положительно определенной тогда и только тогда, когда Т — обобщенная функция медленного роста « ее преобразование Фурье является положительной мерой степенного роста !).
Напомним, что обобщенная функция Т называется положительно определенной» если (Л 屮衆ср〉》0 для любой функции 中 g炒 底).
Определение. Пусть М — упорядоченное векторное пространство. Мы говорим, что обобщенная функ-
пня Т £ 沙(Е) ®М является Б-положительной, если (Т, ср*ср)——положительный элемент пространства М для любой функции 屮£2(Е»・
Теорема Бохнера для векторных обобщенных функций. Пусть М—конечномерное векторное
пространство. Обобщенная функция t ^^ (£„) ®М является ^-положительной тогда « только тогда, когда Т—обобщенная функция медленного роста «
Доказательство теоремы Бохнера можно иайти в книге JI. Шварца (Schwartz L., Thfeorie des distributions, т. 2, p. 132), или в книге И. М. Гельфанда и Н. Я. Виленкина, Обобщенные функции, вып. 4, Фнзматгиз, М.) 1961, гл. 2, § 3•— Прим. “3.
ее преобразование Фурье ^"Т^^(Ef^ ®М является положительной мерой степенного роста.
Доказательство. Необходимость. Докажем сначала, что Т является обобщенной функцией медленного роста. Пусть Г—замкнутый выпуклый конус, определяющий порядок в 危，1V ——дуальный конус в Л1‘. Обобщенная функция Г, принимающая значения в пространстве М, является непрерывным линейным отображением 炒(£„)->/И; любой элемент ^^^ определяет отображение МтС・ Таким образом, отображение Т с последующим отобра- жением /п‘ является скалярной обобщенной функцией U о ?1)：
〈/。尤 cp)= U(〈亢平》
Так как обобщенная функция Т является Б-положитель- ной, имеем
(加。г，中*中)=加(〈7\中*中))》0
для любой функции f£9(^) и любого вектора wz^Гх. Следовательно, для любого вектора 加'£ 1V выражение 加'。丁 является положительно определенной скалярной обобщенной функцией. По теореме Бохнера для скалярных обобщенных функций, т‘。Г является обобщенной функцией медленного роста. Так как конечные линейные комбинации обобщенных функций медленного роста являются также обобщенными функциями медленного роста » так как пространство Mf порождается векторами из дуального конуса F— то выражение 。丁 является обобщенной функцией медленного роста для любого вектора ^‘ £ 府'•
I) Знак о —знак композиции двух отображений (или суперпозиции двух функций) (У о ^) • (х) = / (g {х) )^Прим. перев.
Отсюда следует, что Т — обобщенная функция медленного роста.
Чтобы доказать, что 步=炉丁 является положительной мерой степенного роста, заметим прежде всего, что при любом шг £ 1 композиция
м。2=紋。炉亍=炉(Wo T)
является теореме Так какявляется теореме Так какположительной мерой степенного роста, согласно Бохнера для скалярных обобщенных функций.положительной мерой степенного роста, согласно Бохнера для скалярных обобщенных функций.пространство М порождается то /п'。» — мера степенного роста дляпространство М порождается то /п'。» — мера степенного роста для/' £ 启'・ Следовательно, j является мерой/' £ 启'・ Следовательно, j является меройвекторами из Г, любого вектора степенного роста.векторами из Г, любого вектора степенного роста.Для того чтобы доказать, что мера 步 положительна,Для того чтобы доказать, что мера 步 положительна,нужно показать, что функции 屮》0 снужно показать, что функции 屮》0 с加屮〉€гдля всякой непрерывной加屮〉€гдля всякой непрерывнойкомпактнымкомпактнымпоказать, что 詁(市，吟)>0 для zn'W 1V. Но так как композиция скалярная мера, топоказать, что 詁(市，吟)>0 для zn'W 1V. Но так как композиция скалярная мера, тоносителем. Достаточноносителем. Достаточнопроизвольного вектора 加'о 步一положительнаяпроизвольного вектора 加'о 步一положительная
является теореме Так как
является теореме Так как
положительной мерой степенного роста, согласно Бохнера для скалярных обобщенных функций.
положительной мерой степенного роста, согласно Бохнера для скалярных обобщенных функций.
пространство М порождается то /п'。» — мера степенного роста для
пространство М порождается то /п'。» — мера степенного роста для
/' £ 启'・ Следовательно, j является мерой
/' £ 启'・ Следовательно, j является мерой
векторами из Г, любого вектора степенного роста.
векторами из Г, любого вектора степенного роста.
Для того чтобы доказать, что мера 步 положительна,
Для того чтобы доказать, что мера 步 положительна,
нужно показать, что функции 屮》0 с
нужно показать, что функции 屮》0 с
加屮〉€гдля всякой непрерывной
加屮〉€гдля всякой непрерывной
компактным
компактным
показать, что 詁(市，吟)>0 для zn'W 1V. Но так как композиция скалярная мера, то
показать, что 詁(市，吟)>0 для zn'W 1V. Но так как композиция скалярная мера, то
носителем. Достаточно
носителем. Достаточно
произвольного вектора 加'о 步一положительная
произвольного вектора 加'о 步一положительная
紋（g,吟）=〈献。3,屮〉по-
Достаточность, является пределом в 夕 где функции % можно следующие условия:Достаточность, является пределом в 夕 где функции % можно следующие условия:Любая функция 屮 £ 夕(左)，屮 >0,последовательности функций 〃丫屮，выбрать так, чтобы выполнялись
Достаточность, является пределом в 夕 где функции % можно следующие условия:
Достаточность, является пределом в 夕 где функции % можно следующие условия:
Это неравенство справедливо для любой функции 屮 £ 夕(Е')・ 屮)0. Положим 屮=中g，屮€ 夕.Тогда
o<xi，叫〉=<炉7，吗〉=〈7，炉(屮中)〉=〈7,炉”炉屮〉.
Но 炉屮 может быть любой функцией G из пространства 夕(Е/ и тогда 夕屮=百.Следовательно, для любой функции 0 ^(^ имеет место неравенство
(Г, 6 * 6)0 в пространстве Ж.
Исследуем теперь Б-суперположительность.
стве N,стве N,Лемма 1. Пусть 屮 ——непрерывная функция с компактным носителем, принимающая значения в конечномерном упорядоченном векторном простлан-
стве N,
стве N,
такая,电加о @》0. Тогда 屮 можно равно-
мерно аппроксимировать конечными суммами вида
векторы 8 про- неотрицательные носителем^векторы 8 про- неотрицательные носителем^£ &《，где 屮》— неотрицательные странстве М Q az — непрерывные скалярные функции с компактным
векторы 8 про- неотрицательные носителем^
векторы 8 про- неотрицательные носителем^
Доказательство. Пусть ф имеет носитель К. Выберем любое £》0. Так как носитель К компактен, а 屮—— непрерывная функция, существует конечное открытое покрытие {Qj} носителя К, такое, что колебание функции ф на каждом из множеств Q» не превосходит е. Пусть {叫一разбиение единицы на К, отвечающее покрытию {QJ. Пусть ф/ является значением функции @ в произвольной точке множества Q『 Имеем W》0, кроме того,
III—2 a向|= J X 俞一£ a面* 工 ％е = е.
Лемма 2. Если 步 является положительной мерой на Е[, принимающей значения в конечномерном упорядоченном векторном пространстве М, то &, $〉》
>0, какова бы ни была непрерывная функция 屮 с компактным носителем, принимающая положительные значения 8 Л1‘ （с смысле дуального отношения порядка）.
Доказательство. В силу леммы 1 любая данная функция ^^^（ЕЛ ® М\ такая, что 屮 >0, может быть равномерно аппроксимирована конечными суммами вида W 加;％，「恥 叫》0 （в Mf）t %〉0 м % — непрерывные скалярные функции с компактным носителем. Имеем
W мa)=》〈〈步，а〉加:〉》0,
так как
庇 ％〉>0 в пространстве М и
加;》0 в дуальном пространстве М\
Пусть 尸一конечномерное векторное пространство.
Теорема. Если 步一положительная мера еще* пенного роста hq Е_ принимающая значения 6 про* странстве F ®г,加。ее преобразование Фурье 7= =歹1 является Б-суперположительной обобщенной функцией.
В этом утверждении 2 положительна в смысле „естественного41 отношения порядка в F®F.
Доказательство. Рассмотрим любую функцию 平€夕（司）^）尸（尸一пространство дуальное к 尸）.Тогда
£
屮验屮》° в ^ ® ^Z' По лемме 2, а также в силу того,
что ср является пределом вчто ср является пределом вфункций из *0脸卞\функций из *0脸卞\夕（Е；） последовательности夕（Е；） последовательностиимеемимеем
что ср является пределом в
что ср является пределом в
функций из *0脸卞\
функций из *0脸卞\
夕（Е；） последовательности
夕（Е；） последовательности
имеем
имеем
Тогда
±＞ с 氏
。《＜步，中®＞平〉=〈炉7, ф0ф) =
=(Л 炉(中&叫〉=〈7，夕н炉吟=
W =(7\ 9*6),
где 0 =炉ср может быть любым элементом пространства犷庐；鸿声.
Следствие. Для любой обобщенной функции T^3^f (Fn)® F® F следующие деа свойства эквивалентны:
Т является Б-положительной\
Т являете® Б-суперположительной.
§ 6. Свойства „упрощенного** ядра
Подытожим коротко наши предыдущие рассмотрения. Мы имели дело с многообразием класса С°°, так называемым миром V, и конечномерным векторным пространством 尸 над полем комплексных чисел С. Мы занимались определением F-частиц в мире V. Каждая частица является гильбертовым пространством 能 и炒'(V)区)尸 (вложение непрерывно). Движение частицы определяется в этом сЛучае обобщенной функцией 屮 £ 能，такой, что «屮|^=1.
Мы видели, что
существует взаимно однозначное соответствие между F-частицами 能 и положительными .антиядрами, т. е. непрерывными положительными анти линейными отображениями
Это соответствие сохраняет алгебраическую структур) и отношение порядка.
Положительным антиядрам взаимно однозначно соответствуют суперположительные обобщенные функции К*, у £ 炒'(丿⑰修砲尸⑰尸(尸—пространство, комплексно сопряженное к пространству 再,т. е. такие обобщенные функции KXt что
〈к*, у，中(*)О 殴〉》о，
какова бы ни была функция f (Ю ®
Если задана обобщенная функция KXt у, то соответствующее ей антиядро К определяется формулой
依.屮，屮〉=〈К, ф(^)®?(^)>
для любых % 屮£2(V)®>尸'；здесь ср—элемент, jcomh- лексно сопряженный к 屮 в смысле сопряжения 尸 f 尸，или точнее, в смысле транспонированного сопряжения F' fFL Опять-таки это соответствие сохраняет различные алгеб* раические операции и отношение порядка.
Если, кроме того, нам дана структурная группа G, действующая соответствующим образом на мире V и на пространстве ?, то гильбертово пространство S& является G-инвариантным, если обобщенная функция KXt у G-инвариантна.
Мы ограничились затем частным случаем, когда V — Еп, где ^л — n-мерное аффинное пространство, а 0=直 является группой сдвигов на Е^, действующей тождественно в пространстве Е
Мы рассматривали отображение
当X£/f与х嘉，（%，y） f（也办
где и = х — у, и образ &^ обобщенной функции Кх у при этом отображении. Обратно, если задана обобщенная функция
".,才6纱(gxE)吩齐吩克
то можно определить Кх у при помощи равенства Кf
X, у X, х-у
Если обобщенная функция К*, у инвариантна относительно сдвигов
(%, у)->(% + % У+ ^),«£与，
то 必才 должна быть инвариантной относительно сдвигов
(х, “)f (% + а, а).
Из инвариантности следует, что Нх-> — 1Л® Я^, где 1* — единичная функция переменной % (т. е. функция, тождественно равная 1 на EJ и Н->^ ^z(E^®F®F.
Суперположительность обобщенной функции KXt у эквивалентна Б-суперположительности обобщенной функции "^. Но мы видели, что это эквивалентно Б-положитель- ности.
Это в свою очередь означает, что Н^ является обобщенной функцией медленного роста и ее преобразование Фурье является положительной мерой 卩 степенного роста со значениями в пространстве F®F. Обратно, любой такой мере соответствует Б-положительная обобщенная функция "才.
Замечание. Пусть К.— антиядро, соответствующее частице 統.Тогда
кp = h *屮,屮e炒(吃冶尸.
Доказательство. Для любой функции 屮 £ 爹(E“)(g> 尸' имеем
(К^ 中〉=〈心,y，中(X)®中(y))=)
=〈К“ 屮(x)Q(y)〉=〈l毋"才，？ (x)Q(x—否 =/屮(%)d%<"詣 ?(% 一力)= =〈("*中)(%)，屮(*)〉，
что и требовалось доказать.
7 Швяви
Заметим, что " * ср ——свертка обобщенной функции, определенной на векторном пространстве, с обобщенной функцией, определенной на аффинном пространстве, связанном с этим векторным пространством. Пусть Е — аффинное пространство, Е — связанное с ним векторное пространство, S* — обобщенная функция на Е, Т-* — обобщенная функция на £ (причем по крайней мере одна из них имеет компактный носитель).
Тогда общее определение свертки S#* 丁扌 задается выражением
(5ж * rt* ?(х)) — (5£® г^ 屮《+ 希〉・
Таким образом, S^ 籌 Т% — обобщенная функция на аффинном пространстве Е・ Имеем также:
В последнем члене для определения свертки 屮 * 屮 необходим выбор начала координат, так как 屮 задана в аффинном пространстве. Заметим, что выбор начала координат необходимо сделать также для того, чтобы перенести понятие преобразования Фурье обобщенных функций на аффинное пространство.
Прежде чем сформулировать следующую теорему, отметим, что если £ — полное локально выпуклое топологическое векторное пространство, то утверждение《旣иЕ соответствует антиядру 厶》означает, что L задается при помощи следующей композиции отображений:
где SB fE—каноническое вложение, E'f 苏” 一транспонированное к нему отображение и 胱〔f 眈—канонический антиизоморфизм гильбертовых пространств.
В дальнейшем нам встретится случай, когда 艷иЕ、иЕ、 причем все вложения непрерывны. В частности, пространству <^ будет соответствовать антиядро £): Ei f Е】， а также антиядро 丄：E'f Е. Для того чтобы различать эти два случая, антиядро /^ мы будем называть ^-антиядром, а антиядро 厶 ——£-антиядром.、
Теорема. Пусть £, Е】—два полных локально выпуклых пространства» 应]UE, 〃 топология в Е^ сильнее, чем топология, индуцированная топологией пространства Е. Пусть 胱иЕ — гильбертово пространство с более "сильной топологией, чем топология, индуцированная из Е,厶一соответствующее && Е~антиядро.
Тогда для того чтобы имело место непрерывное вложение «^иЕ】， необходимо и достаточно, чтобы 厶 можно было разложить в композицию отображений4：
炉 fE；_>EifE, ⑴
где Ei ->£ — естественное вложение^ £‘ f Е； — транспонированное /с нему отображение, Ei-^^i — непрерывное антилинейное отображение 厶「Если L можно разложить таким образом, то 厶】является Е^анти^ ядром, соответствующим пространству 統иЕ、
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Допустим теперь, что рывно. Тогда можно 旣—> £1 обозначает Е； —3 鸵1означаетк этому вложению.Допустим теперь, что рывно. Тогда можно 旣—> £1 обозначает Е； —3 鸵1означаетк этому вложению.
Допустим теперь, что рывно. Тогда можно 旣—> £1 обозначает Е； —3 鸵1означает
к этому вложению.
Допустим теперь, что рывно. Тогда можно 旣—> £1 обозначает Е； —3 鸵1означает
к этому вложению.
где %-> £, E]f Е — естественные вложения, E'f <^‘, Е -> £ соответствующие транспонированные отображения и 的 f 旣—канонический антиизоморфизм пространства
胱 и дуального к нему гильбертова пространства 眈、・
^с^р причем вложение непре- считать, что пунктирная стрелка естественное вложение 雖 в % отображение, транспонированное а 厶厂 определяется композицией
отображений:
e1 …"■-> ^? -> ^? —> Е1.
Разложение (1) следует из коммутативности диаграммы (2) (т. е. из того, что при движении слева направо по любому возможному пути, указанному стрелками, получается один и тот же результат). Обратно, предположим, что имеет место разложение (1). Тогда /антиядру соответствует гильбертово пространство 能iu£\ с непрерывным вложением и £j можно разложить следующим образом:
% -> ^? 1 -> ^? 1 -> 匕.
Отсюда следует, что диаграмма (2), в которой 旣 нужно заменить на 旣(коммутативна. Следовательно,對】 является гильбертовым пространством, непрерывно вложенным в Е н соответствующим ^-антиядру £. Но в силу взаимно однозначного соответствия между Е-антиядрами и гильбертовыми пространствами, непрерывно вложенными в 耳 имеем.
影1 =飴
Следовательно, мы получаем опять коммутативную диаграмму (2).
Эта теорема упрощает наши поиски частиц 彫匚 и步(Е) ®F. Частице 胱 соответствует отображение k屮=" *屮：
屮 £ 炒(Е)®^ f /7 ” 6 沙(E) ®F.
Но H является обобщенной функцией медленного роста и, следовательно, "參屮 не только определяет отображение из /(E)®尸'в 炒(Е)®尸，но также определяет отображение из Sr(E)®Ff в 夕'(E)g)尸.Таким образом, отображение Я* <р можно разложить следующим образом:
2(Е世声f 夕(Е冶声 f 紀g®^f 3)r(E)®F.
Согласно доказанной выше .теореме, если Зв и 汾 В、协 F (вложение непрерывно), то 鸵1и夕(£)区)尸 (вложение непрерывно).
Следовательно, наша задача сводится теперь к отыска* Нию частиц в пространстве 夕(£)®户.
§ 7. Гильбертово пространство 舐* для скалярных частиц
Случай скалярных частиц выделяется тем, что F==C・ В силу теоремы Бохнера мы можем теперь рассматривать положительные меры 卩 степенного роста на Е‘ вместо Б-положительнйх обобщенных функций 胱《汾 9、Если на Е‘ задана такая мера 卩,то можно ввести пространство £2 относительно меры 卩.Каждый элемент / пространства 厶;является классом [^измеримых функций / на Е< совпадающих почти всюду в смысле меры р и таких, что
Jll/(p|p^(p)<+°o-
Скалярное произведение в 厶;определяется равенством (力 g)4=/ /?6，
где / и g — любые представители классов соответственно / И /.&
Мы можем связать с пространством 厶之 пространство & обобщенных функций, определенных на 声，вида f^, где f ； (заметим, что / — локально интегрируемая функция относительно меры 步).
Обобщенная функция /卩 определяется равенством (介，?)=//? d^,中 е 勢(瓦
Мы видим, что /卩 определяет новую меру, одинаковую для всех / из одного и того же класса /. Положим
(/(4gm$=//?卽.
Это скалярное произведение превращает А： в гильбертово пространство; А± непрерывно рложено в 步(Ег),
Теорема. Если 甘一положительная мера степенного роста на Ef, mo пространство А； непрерывно вложено 6 夕(Е')・
Доказательство.
Для <р£В, /££； имеем
］〈#'叫=1/"印］《(/⑺2睁)" (/1中卩叫/-
Так как мера 卩 имеет степенной рост, любое множество, ограниченное в 夕，ограничено в пространстве А；. Если 中 i 夕，то существует последовательность функций 屮/ из- пространства В, - сходящаяся к ср в смысле топологии пространства 夕 и поэтому ограниченная в 夕.Это означает, что приведенное выше неравенство остается справедливым для любой функции <р, принадлежащей 夕，и когда ср пробегает ограниченное множество из ^, а / — единичную сферу в 2；, величина |〈加 屮〉| остается ограниченной. Это доказывает теорему.
Пространство Л^. можно рассматривать как пополнение векторного пространства обобщенных функций вида /р,, где / пробегает пространство ^, по норме
Н/Па2=/\/^.
Здесь мы имеем в виду конкретное пополнение в 夕.
С другой стороны, частица 金 является пополнением в 受'(Е) пространства элементов вида Н^^. где 屮 пробегает пространство ^, по норме
［因*叫*=(/1炉鹏炉.
Это означает, что пространство А； является преобразо^ ванием Фурье гильбертова пространства 豳：
Глава 4
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ИНВАРИАНТНОСТЬОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
Элементарные частицы
Пусть V — En и пусть 尸一конечномерное векторное пространство над полем С. Структурная группа G дей-
ствует на 当 и наствует на 当 и на声.Допустим, что О удовлетворяет сле-
ствует на 当 и на
ствует на 当 и на
дующим условиям (кроме условий, данных в определении структурной группы):
О содержит всю группу сдвигов, т. е. для любого сдвига ^^Еп существует элемент g+£O, такой, что дей・~ ствие элемента на Еп является сдвигом а и действует тождественно на 亢
Любой оператор о £ G сохраняет меру Лебега на £犷 Это эквивалентно утверждению, что любой оператор о на 七鼻 задается матрицей с определителем ± 1.
Пусть 瓦 и G — подмножество элементов группы G, действующих как сдвиги на £鼻 и как единичные операторы на 尸；О0 является нормальным делителем группы G.
Для того чтобы понять, как а действует на обобщенную функцию К*, у，мы используем обычную „замену +->
переменных0 〃 = х — у и напишем
KXt У = Я >
Мы уже показали, что если обобщенная функция KXty инвариантна при преобразовании .
(х, y)f о(х, y) =(GX, ”)
(причем о действует тождественно на 占 для ° £ Go. то обобщенная функция 勺 > инвариантна при
преобразовании
(х, 〃)一> (ох, а).
Следовательно, Н +=1,®//>; заметим, что оСОпТО*・ X, И Л UJ и
дественно действует на Любой оператор 仃^。дей
ствует, с одной стороны, на 尸，с другой стороны,——на Еп по закону х->ох и на Еп по закону х-> ах.
Операция о определяется следующим образом: если
3 м£Е也 таковы, что Е ——w = x， то
@ X =成一0刀.
Это определение не зависит от выбора Е,刀^七公 В самом деле, пусть ?，刀‘ —другие элементы Ent такие, что разность
также равна х. Тогда .
или
Обозначим через % сдвиг х->х — а в Еп, Мы видим, что
W = "』，"=〜啞
то существуетто существуетНо так* как О0 ——нормальный делитель,
то существует
то существует
'；следовательно, для'；следовательно, дляэлемент РС^л* такой что о% =、ь такого В имеем
'；следовательно, для
'；следовательно, для
og =、0е =花一南 时=t/刀=0刀一g
и
十一6/ =成一叫,
что и доказывает справедливость нашего замечания.
Оператор о £ G действует также на пространстве Еп X 邑 по закону
(Е，叫 f (成，5)
и на пространстве Еп X Еп по закону
(Е,力)-> (оЕ, а х).
Далее, так как а сохраняет меру Лебега на Еп, этот оператор сохраняет константы (рассматриваемые как обобщенные функции) и, следовательно, преобразует 1х®/7-> в \x®gH^. Инвариантность обобщенной функции KXty относительно оператора о эквивалентна инвариантности Н>
относительно о (действующего на 尸 и на fn). В действительности мы можем заменить инвариантность обобщенной функции "> относительно группы О инвариантностью этой
обобщенной функции относительно факторгруппы О/О0, потому что Go действует тождественно как на 宜так и на F. •
Например, если G—неоднородная группа Лоренца и О0 — группа сдвигов, то G/Go является однородной группой Лоренца.
Мы хотим найти свойства инвариантности преобразования Фурье 卩=炉". Действие оператора а ^ G на р. определяется его действием, с одной стороны, на 声 и, с другой стороны, на Е； как контраградиентного оператора к оператору
Каждая F-частица на Еп соответствует положительной мере степенного роста 卩 на Е；, принимающей значения в пространстве 尸® 尸 н инвариантной относительно факторгруппы G/Go (или группы О).
Возвратимся вновь к общему случаю» когда заданы мир V, комплексное векторное пространство 尸 и струк-
турная группа G. Пусть гильбертово пространство 雖 является G-инвариантной F-частицей
飴u/气Q®克
или, другими словами, универсальной F-частицей (или еще G — F-частицей).
Определение. Универсальная А частица 毙 называется элементарной, если любое О-инвариантное гильбертово пространство 毙】«爵(т・ е. такое, что 宓&匚影 и норма-в 毙 не меньше нормы в 豁卩 имеет вид 入飴, где 0《入《1.
■ Теорема. Следующие три свойстеа универсальной частицы 爵 эквивалентны:
(а) 毙一элементарная частика.
(б)毙 не имеет замкнутых G-инвариантных линейных подпространств, за исключением {0} 〃 самого 爵，
(в) -если G-инвариантное гильбертово пространство 朋卜 непрерывно вложенное s 炒，(Р)®尸， содержатся 8 勃，то 爵]=辭 〃 нормы 6 酰 迎 能 1 пропорциональны.
Условие (б) можно перефразировать следующим образом: представление группы G в гильбертовом пространстве ^ (т. е. в группе унитарных операторов пространства 步分 неприводимо.
Справедливость соотношений (а)今(6) и (в)今(а) проверяется тривиально.
Мы докажем, что из (б) следует (а) и из (а) следует (в).
(6)今(а). Пусть гильбертово пространство 酰、《旣、 鸵\*{6}, является G-инвариантным. Пространству 毙】 соответствует (однозначно) антиядро Zi : 豁【f 毙卜 Пусть 2 — канонический антиизоморфизм 鲍'f 施.Для х £ 鲍 положим %'=厶 Jx. Для ^£豁1 получаем
(УI %)空=(У 12х‘)宠=〈У，%'〉= (У I А%')*/ Положим •
Ах ^=а]a *.
-Тогда
(У|х% = (у|А*К,，х£%，у€ 毙г
Так как всякий оператор о £ О действует унитарно и на 毙 и на 豁г то
(у I °4х)*,=(。力 |4尤)即=(「ly I х)* ==u丨°X)宓=日|4。*)範j
Таким образом, оператор Л коммутирует с G. Следовательно, любое спектральное подпространство оператора А инвариантно относительно группы G; заметим, что А — ограниченный оператор, действующий в 酰、и 4》0, так как
(Ах I х)* ~— (4х I Xx)^j0*
Йо, согласно (6), не существует нетривиального замкнутого подпространства пространства 験，которое было бы О-инвариантным.
Поэтому оператор А должен иметь только одно спектральное подпространство — само пространство 爵.Значит, существует число 入 £С, такое, что
Ах =入 х
для любого вектора % £ 幽 и
(у|х)*=Д(у|х)蹈.
Возьмем 力 пу£ 爵1； тогда число
又=(у1уК；(у1у&
должно быть положительным; следовательно, 眛"*1=7^牍口约
(а)今(в). Допустим, что 毙】и爵—другое G-инвариантное гильбертово пространство с непрерывным вложением в В' (У) ® F. Тогда естественное вложение пространства 豌\ в пространство 幽 должно быть непре-
рывным, согласно теореме о замкнутом графике} Это означает, что существует константа М <+8, такая, что для любого элемента х £ 蕤】справедливо неравенство
Определим новое гильбертово пространство 毙？ следующим образом: 能2 совпадает с 影】как множество, а норма в 験2 определяется равенством
=也П"Н*/
Тогда 欧2《能；в самом деле,影2U 能 и 1|Х11非《 《11x11^2 для х£ 飾2・ Согласно (а),影？ совпадает с 眼 как множество и существует константа 入》0, такая, что для любого элемента х £ 蕤 имеем
口 X 口呢= М|х"**
Следовательно, 影]=眼 и
что и требовалось доказать.
Вернемся к частному случаю, когда V = Enn G удовлетворяет условиям, приведенным в начале этого параграфа. Тот факт, что 飾 является элементарной частицей, можно выразить по-разному.
В терминах антиядра К, соответствующего пространству 旣、
•Если К】《К — другое положительное О-инва- риантное антиядро, то К]=^К для некоторого
В терминах обобщенной функции ">・
Если "1—другая Б-положительная (или Б-супер- положительная) G-инвариантная обобщенная функция и "1《"в смысле положительности по Бохнеру, то "] = X//.
0 По поводу этой теоремы см., например, книгу Данфорда Н. и Шварца Дж. Т.» Линейные операторы, ч. I, М., ИЛ, 1962, стр. 7Q. — Прим. ред.
В терминах меры 卩.
Если 卩］—другая положительная О-инвариантная мера степенного роста и 因 Wa，то р.1=Х(х.
Совокупность всех F-частиц образует замкнутый выпуклый конус. Набор G-инвариантных частиц образует подконус. Элементарные частицы являются крайними образующими этого подконуса 】)・
2. Носители экстремальных мер
Рассмотрим случай, когда многообразие V представляет собой n-мерное аффинное пространство Еп над полем вещественных чисел (F, как обычно, является конечномерным векторным пространством над полем комплексных чисел). Мы будем рассматривать группу G, действующую на Е„ как аффинная группа и на F как линейная группа, обладающую следующими свойствами:
все элементы группы G сохраняют меру Лебега в пространстве Е„, т. е. для любого оператора из G как оператора, действующего на пространстве Еп9 справедливо равенство det= ± 1;
группа G содержит все сдвиги, т. е. для любого сдвига а£Е也 существует элемент g^^G, который дей- ствует как сдвиг а на пространстве ЕЛ и тождественно на F.
Пусть Go — подмножество группы G, состоящее из всех элементов, которые действуют как сдвиги на Еп и как единичные операторы на 尸；О0 является нормальным делителем.
Мы ищем G-инвариантные гильбертовы пространства 幽u勿(Е也)®尸，непрерывно вложенные в 办(瓦冶尸; это эквивалентно отысканию всех мер 卩 степенного роста
Образующая выпуклого замкнутого конуса называется крайней, если ее направляющий вектор * нельзя представить в виде 京十京,где х{ п х2 принадлежат конусу и ие пропорциональны %. По поводу общего понятия крайней точки выпуклого множества см., например, книгу Данфорда Н. и Шварца Дж. Т・，Линейные операторы, ч. I, М.> ИЛ, 1962, гл. V, § 8 — Прим. реХ
на £*[, принимающих значения в пространстве 尸® 尸，Положительных и G-инвариантных. Если мы хотим найти элементарные частицы, то нам необходимо, чтобы пространство 能 была экстремальным, т. е. чтобы для любого другого G-инвариантного пространства 直％, непрерывно вложенного в 繇，было справедливо равенство
能1 =爵
и нормы в этих пространствах были пропорциональны; или, эквивалентно, если 訟1《繇 и 豁】О-инвариантно, то 酰 \ = &В
с пропорциональной нормой. Наконец, условие на меру 卩 означает, что эта мера является экстремальной, т. е. если Pi — Другая G-инвариантная положительная мера степенного роста, такая, что 向《粒，то 内 пропорциональна 卩〔)•
Приведем теперь необходимое условие экстремальности меры.
Определение. Пусть О—группа, действующая на топологическом пространстве. G-орбитой называется множество всех образов одной и той же точки пространства под -действием группы О.
Теорема. Пусть 卩—мера, определенная в локально компактном пространстве X со счетной базой открытых множеств、и пусть значения меры 步 лежат 6 конечномерном упорядоченном векторном пространства 炉.Если 卩 положительна. О-инва~ риан^тна (или О/О^-инвариантна) и экстремальна среди всех мер с теми же свойствами, то носитель меры 卩 является замыканием одной 〃з Q-op6utn.
Замечания. В интересующем нас случае X = Е；, 炉=尸®尸 и О/О0 действует в пространстве 旦 как однородная группа Лоренца. Орбиты в этом случае являются гиперболоидами, так как группа Лоренца сохраняет квадратичную форму
Р2 =内+网+撼一p^.
Такие меры обычно называются крайними (см. предыдущее примечание).—Прим* ред.
Таким образом, мы знаем, что носитель экстремальной меры Обязательно является одним из гиперболоидов). Это дает нам существенное ограничение, налагаемое на носители экстремальных мер; нахождение таких мер теперь не представляет трудности. В действительности мы покажем, что на каждом гиперболоиде существует только одна с точностью до константы инвариантная мера.
Заметим, что мы по необходимости должны рассматривать замыкание орбиты, так как носитель всегда замкнут. Существуют, однако, и не замкнутые G-орбиты. Например, верхняя часть поверхности светового конуса без вершины (начала) является такой О-орбитой. Замыканием этой орбиты является верхняя часть конуса с присоединенной вершиной, и она может быть носителем меры. Однако бывают меры* сосредоточенные на конусе без вершины в следующем смысле.
Определение. Мы говорим, что мера сосредоточена на некотором подмножестве, если дополнение к этому, подмножеству имеет меру нуль.
В нашем примере мера, носителем которой является конус с вершиной» сосредоточена на конусе без вершины всякий раз, когда мера вершины равна нулю.
Более сильным, чем приведенная выше теорема, было бы утверждение о том, что экстремальная мера сосредоточена на одной из G-орбит. Однако такое утверждение сделать нельзя. . -
Прежде всего понятие сосредоточенности не носит однозначного характера. Например, мера Лебега на прямой линии сосредоточена на дополнении к любому счетному подмножеству. Кроме того, теорема была бы неверна,, если бы мы утверждали, что мера всегда сосредоточена на одной из орбит; это показывает следующий пример. Пусть X — окружность, a G—группа вращений» порождаемая поворотом на угол, несоизмеримый с к. Любая орбита является плотным счетным множеством, и единственной мерой, инвариантной относительно группы G, является мера Лебега на окружности, так как если мера инвариантна относительно некоторой группы, то она инвариантна также
относительно замыкания этой группы, которым в данном случае является группа всех вращений. Таким образом, в данном случае не существует инвариантной меры, сосредоточенной на G-орбите!).
Доказательство теоремы. Достаточно предположить, что X является носителем меры 卩* поскольку если 卩 инвариантна, то ее носитель также инвариантен. Мы должны доказать, что существует одна орбита, плотная в X. Возьмем некоторую точку а^Х, и пусть V — открытая окрестность точки а. Возьмем насыщение 0 окрестности V, т. е. объединение образов окрестности V под действием всех элементов группы G. Множество V открыто и имеет положительную меру, поскольку всякое непустое открытое множество имеет положительную меру (в противном случае носитель меры 卩 не был бы равен X). Дополнение к V имеет меру нуль; иначе мы могли бы умножить меру 卩 на характеристическую функцию множества V и получить положительную G-инвариантную меру, не превосходящую (i и не пропорциональную 匹 Таким образом, V содержит почти все множество X. Точка а имеет счетную фундаментальную систему окрестностей Vn. Каждое множество Vn содержит почти все множество X. Тогда f) Vn также содержит почти все множество X. Другими словами, й ^ П ^я для почти всех Ь^Х,
Если Ь^ П Vn, то b^Vn для всех я; таким образом, орбита b элемента b пересекает все 嗫，т. е. Ь пересекает все окрестности точки а.
Следовательно, а принадлежит Ь (замыканию орбиты Ь) для почти всех Ь. Возьмем счетное множество ｛。在｝, плот-
I) Это утверждение справедливо только для регулярных мер (т. е. таких мер 卩,что для любого множества Л имеем 卩(Л)= =inf 卩(G) = sup 卩(尸),где нижняя грань берется по всем открытым множествам G z? Л, а верхняя грань ——по всем замкнутым FuN). Нерегулярные инвариантные меры, сосредоточенные на G-орбите, в данном случае существуют. Например, мера, определенная следующим образом: м (Л) равно числу точек G-орбиты, лежащих в 4 Отметим, что меры, о которых идет речь в теореме Бохнера, всегда регулярны. — Прим, ред.
ное в X. При любом фиксированном А име^м а^£Ь для почти всех 瓦 Так как множество {/} счетно, то отсюда следует, что а£Ь при любом А для почти всех Ь. Следовательно, b = X для почти всех Ь《Х*
Мезоны
Мы собираемся теперь применить предыдущие результаты к теории мезонов. В этом случае У = £4 и 尸==С; группа G действует тождественно на F и как собствен^ ная неоднородная группа Лоренца на пространстве £4.
Напомним, что неоднородная группа Лоренца имеет четыре связные компоненты. То же самое справедливо для однородной группы Лоренца 2, которая состоит из следующих четырех связных множеств:
преобразования, сохраняющие направление времени, с определителем, равным-^ 1;
преобразования, сохраняющие направление времени, с определителем, равным — 1;.
(i‘)преобразования, которые обращают направление времени, с определителем, равным +1.
(2‘)преобразования, которые обращают направление времени, с определителем, равным — 1.
Так как 2 является факторгруппой неоднородной группы Лоренца по коммутативному нормальному делителю, состоящему из сдвигов, то связные компоненты неоднородной группы Лоренца являются прообразами связных компонент группы 8. Мы берем в качестве группы G прообраз множества (1). (Это множество образует группу, которая называется собственной однородной группой Лоренца^) Заметим, что множество (1) является единственной связной компонентой группы 8, которая сама является группой; это — связная компонента единицы.
Чтб означает сохранение или обращение направления времени, можно объяснить с помощью светового конуса. Пусть ось времени направлена вверх.
Световой конус отображается на себя любым оператором а^ 8< Имеются две возможности:
а отображает верхнюю часть светового конуса на верхнюю, а нижнюю часть — на нндоадр. В этом случае
8 Л. Щварц
говорят, что оператор о сохраняет направление времени.
а отображает верхнюю часть светового конуса на нижнюю, а нижнюю часть — на верхнюю. В этом случае говорят, что оператор а обращает направление времени.
Вопрос о том, сохраняется ли направление времени, можно решить, выбирая некоторую систему координат и представляя оператор g при помощи матрицы. Тогда преобразованная временная компонента примет вид .
*0 = %产1 +С02*2 +С03*3 +С00%0，
где коэффициент с® всегда отличен от нуля. Если с00 > 0, то а сохраняет направление времени, если %)< 0, то а обращает направление времени.
Выбор группы О чрезвычайно важен, так как он определяет, с какими элементарными частицами мы имеем дело. С математической точки зрения здесь имеется много возможностей, однако существуют физические соображения в пользу выбора неоднородной собственной группы Лоренца. Прежде всего физически оправдано задание ориентации пространства и направления времени, по крайней мере, локально. Это делает естественным выбор собственной неоднородной группы Лоренца вместо полной неоднородной. Далее, если бы мы взяли в качестве О полную группу Лоренца (или только ее часть, состоящую из прообразов преобразований типа (1) и (2，)), то мы получили бы заряженные частицы с неопределенным зарядом, т. е. частицы, имеющие с некоторой вероятностью тот или иной заряд.
Однако это не дает еще достаточных оснований для выбора собственной неоднородной группы Лоренца. Заметим, что это не та группа, которая используется в специальной теории относительности, где не задана основная единица длины. В пространстве Е《нам задана не одна фиксированная квадратичная форма, а целое семейство пропорциональных квадратичных форм. Поэтому казалось 6н, что правильно выбранная группа должна включать в себя все растяжения (в дополнение к собственной группе Лоренца). Если бы это было так, то элементарные частицы были бы совсем другими. Существовали бы типы частиц, у которых масса не фиксирована, а вероятностно распре*
делена (т. е. известна лишь вероятность того, что при измерении массы получится результат в заданных пределах).
Оказывается, что физика микромира дает нам основания для исключения растяжений. Физические частицы, такие, как электрон или протон, в действительности не имеют всех возможных масс, и не все длины волн обнаружены в атомных спектрах элементов. Но если в мире существуют привилегированные массы или длины, мы должны выбрать в качестве группы собственную неоднородную группу Лоренца.
Пусть Go ——группа сдвигов. Факторгруппа G/Go действует на Е^, и каждая орбита содержится в одном из гиперболоидов
/?2 = @, а = const,
так как величина р2 инвариантна относительно группы G/Go. Имеется три типа гиперболоидов
однополостный;.
двуполостный;
световой конус.
О/О0-орбита содержится в одном из этих гиперболоидов, но не обязательно совпадает с ним.
Однако любая орбита, лежащая на гиперболоиде типа (1), т. е. однополостном (или связном) гиперболоиде, обязательно совпадает с самим гиперболоидом. В самом деле, возьмем любую точку а этого гиперболоида; выбирая подходящую систему координат, мы можем считать, что эта точка имеет координаты (ар 0, 0, а。). Если взята любая другая точка b = (b「й2, Ь§, й0), то существует пространственное вращение р, которое отображает ее в точку вида (К, 0, 0,历)・ Hq в этом случае существует вещественное число 0, такое, что
% =从ch 8 +历sh氏的к从§h 8 +瓦ch 0.
Обозначим это преобразование через 办；мы видим, что 0那 отображает й на а, и очевидно, что w £ G/Go.
Таким же образом можно показать, что существуют два типа орбит на гиперболоиде (2): верхняя ветвь гиперболоида (2) и нижняя ветвь гиперболоида (2).
С другой стороны, если бы группа 0 содержала преобразования, не сохраняющие направление времени (например, если бы G была полной группой Лоренца), то на гиперболоиде (2) лежала бы только одна орбита, ибо обе ветви вместе были бы одной орбитой. Для светового конуса (3) существуют три типа орбит: верхняя часть без вершины, нижняя часть без вершины и сама вершина.
Прежде всего изучим гильбертово пространство, соответствующее простейшему типу орбит ——вершине светового конуса. Все положительные меры степенного роста, сосредоточенные в вершине и экстремальные, пропорциональны 8-функции:
卩=с8, с〉0・
Пропорциональные гильбертовы пространства определяют одну и ту же частицу, т. е. частица является классом пропорциональных гильбертовых пространств или целой образующей замкнутого выпуклого конуса. Поэтому мы можем положить у = 8, поскольку все другие меры пропорциональны этой. Функция 〃=1 является Фурье- образом меры у. Пространство L； в данном случае можно отождествить с пространством всех констант* Пространство A： = F% —пространство всех обобщенных функций вида /8 с произвольной константой / (т. е. /££；) и со скалярным произведением
(/8值8)/* = /公
Обратное преобразование Фурье этого пространства дает нам пространство 飾，которое в данном случае состоит из постоянных функций. Скалярное произведение в 第 задается формулой
(啡)非==砾
Физическая интерпретация этого пространства 窮 не вполне ясна. Мы будем называть его мезонным вакуумом.
§ 4・ Лоренц-инвариантные скалярные обобщенные функции.
Для отыскания положительных мер степенного роста, имеющих носители на заданной орбите и экстремальных, мы используем некоторые результаты П. Д, Метэ. Метэ нашел общий вид обобщенных функций, инвариантных относительно однородной расширенной группы Лоренца 8.
Первая теорема Метэ. Отображение /(и)-> f/(О?) пространства непрерывных функций, определенных &q RL 8 пространство непрерывных функций, определенных на Е《и инвариантных относительно 2, можно единственным образом продолжить до линейного топологического изоморфизма Т誤 fT^ из 砂(Ri) в D'(E；— {0}). Образ пространства 勿(R】) при этом отображении состоит из обобщенных функций, определенных на Е；—{0} и инвариантных относительно группы й.
Замечания. Здесь мы не будем приводить доказательство существования указанного отображения. Единственность следует из того, что функции, непрерывные на R* плотны в 勿(R【)・
Эта теорема определяет понятие прообраза обобщен*с*
ной функции при отображении р->р2 из £；—{()} в R】：％—прообраз обобщенной функции 北. Легко найти носитель любой обобщенной функции 7^2： он является прообразом носителя обобщенной функции 兀 при отображении pf/・
Пример. На множестве Е；—{0} можно определить обобщенную функцию 6炉【).Носителем В加 является поверхность светового конуса, за исключением вершины.
Эта теорема является частным случаем более общей теоремы, которая утверждает, что если бесконечно
1) Определение обобщенной функции % приведено в книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, Обобщенные функции, вып. 1, изд. 2, М・,1961.— 〃尸4*・ ped・
дифференцируемое отображение из одного многообразия V в другое W является отображением постоянного ранга, то всегда можно определить прообраз обобщенной функции на W; этот прообраз является обобщенной функцией на У.
Вторая теорема Мет9. Любая обобщенная функция 6 自一{0}, инвариантная относительно группы 8, имеет вид %, где Ти Sz (R1) (т. е. изоморфизм, указанный в первой теореме, отображает ^z (Rz) на все пространство инвариантных обобщенных функций, определенных на £；—{0}).
Замечания. Если мы рассмотрим все пространство Е； вместо пространства自一⑼，ТО эта теорема несправедлива.
Для данной обобщенной функции Та эта теорема не позволяет утверждать, что ей обязательно соответствует обобщенная функция 丁加 во всем пространстве Е；. Более того, даже если такое соответствие существует, мы не можем найти никаким определенным способом все лоренц- инвариантные обобщенные функции на Е) Например, нельзя получить этим путем ни одной лоренц-инвариант- ной обобщенной функции с носителем в начале координат. Вот почему мы рассматриваем не все £^, а только дополнительное к началу координат множество Е；—{0}.
Теперь мы хотим найти обобщенные функции на Е；—{0}, инвариантные относительно собственной однородной группы Лоренца 2+ (вместо расширенной однородной группы Лоренца 8).
Прежде всего мы должны сформулировать частный улучай первой теоремы Метэ и усиленную, форму второй теоремы Метэ. Пусть й+ — открытое множество, получаемое выбрасыванием из 食 нижней части светового конуса вместе с вершиной.
Теорема. Отображение /(w)->/(p2) пространства непрерывных функций на R1 8 пространство непрерывных функций на Е《，рассматриваемых
6 4. Лоренц-инвариантные скалярные обобщенные функции 119 только 从q 2+ 〃 инвариантных относительно 8, может быть единственным образом продолжено до линейного топологического изоморфизма Та -► Т^ из 至'(R】)8 0/&+)・ Образ пространства ^(R1) при атом отображении содержит все обобщенные функции на 2+, инвариантные относительно со6+ ственной однородной группы Лоренца. .
Замечания. В этом частном случае мы объединили утверждения, разделенные в случае пространства 这;一{0} на две части (первая и вторая теоремы Метэ). Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим. Справедливы также соответствующие теоремы, в которых вместо 2+ берется 2„ — открытое множество, получаемое вычитанием из 宫 верхней части светового конуса вместе с вершиной.
Заметим, что 2+ и Q~ инвариантны относительно собственной однородной группы Лоренца.
Теорема. Пусть Т—обобщенная функция, определенная на Е；—{0} а инвариантная огпносителъно собственной однородной группы Лоренца 2^. Тогда 8 2+ обобщенная функция Т является прообразом 巾 обобщенной функции 片 на R1, q 8 Q_ — прообразом 7^ обобщенной функции Тй на R1, причем функции Т； и TZ совпадают 8 области w > 0 8 R1.
Обратное утверждение. Если даны две обобщенные функции 存，7IT на прямой R* которые совпадают при w > 0, то их прообразы 炉我小 совпадаю^ на 2+ П 2- “ пара(Т&, 丁不)определяет。6。6・ щенную' функцию на Е；—{0}, инвариантную относительно собственной однородной группы Лоренца 2f.
Доказательство теоремы. Пусть 7—любая обобщенная функция на £；—{0}, инвариантная относительно 2^; Г определяет обобщенную функцию на Q十，
которая также инвариантна относительно 除 Согласно частному случаю второй теоремы Метэ, обобщенная функция Т на 2+ является прообразом 耳 обобщенной функции ?« на RL Аналогично 7 определяет обобщенную функцию на Q_, инвариантную относительно 8$. Поэтому Т является прообразом 7/ на обобщенной функции 77 на RL В области 2+ П 2- прообразы 7* н 石 должны совпадать. Так как 2+ П 2- является прообразом области W > 0 в R* то обобщенные функции 7^ и 77 должны совпадать при w > 0 в R1.
Доказательство обратного утверждения. Возьмем две произвольные обобщенные функции Т^ и Т] совпадающие при и > 0 в R1. Согласно первой теореме Метэ (частный случай),倉 определяет обобщенную функцию Тр2 на Q+， инвариантную относительно 见工.Подобным же образом Т； определяет обобщенную функцию Tj на 2_» инвариантную относительно 见?. Так как 笈 н 兀 совпадают при w > 0 в R* то их прообразы 7^ и 7^ совпадают на 2+ П 2- (прообразе области w > 0). Таким образом,(巾，小)определяют обобщенную функцию на 自~~ {0} =2+ U Q- инвариантную относительно группы 2 j.
Мы видим, что нахождение всех обобщенных функций на Е；— {0}, инвариантных относительно собственной однородной группы Лоренца, эквивалентно нахождению всех пар обобщенных функций на R1, которые совпадают при w > 0.
§ 5. Описание всех мезонов
Рассмотрим однополостный гиперболоид (1). Он определяется уравнением р2 = ^2, где 总 2 — положительная константа. Мы ищем меру с носителем на гиперболоиде (1), инвариантную относительно собственной однородной группы Лоренца. Согласно результатам, вытекающим из теорем Метэ, она определяется двумя обобщенными функциями 巾，丁不,являющимися прообразами двух обобщенных
функций Ти» Тй， которые совпадают при 我 >0 в RL Согласно сделанному выше замечанию, носители обобщенных функций 7^" и Tf состоят из одной точки А2 в RL Таким образом, мы получаем две меры Т，7v с носителями в точке 总2, совпадающие при w > 0 и, следовательно, на всей вещественной прямой. 厂
Изоморфизмы, фигурирующие в теоремах Метэ, сохраняют порядок в пространстве обобщенных функций, поэтому, чтобы получить меру на Е—｛0｝, мы должны взять меру на R1. Единственной с точностью до постоянного множителя положительной мерой с носителем в точке 论2 является обобщенная функция В詠-加.Окончательно мера на 商一｛0｝ определяется двумя обобщенными функциями Метэ 8P2—胪，％_胪，а так как они совпадают, то достаточно только одной обобщенной функции Bpz_胪 для определения нашей положительной меры на自一｛0｝， Так как носитель этой меры является гиперболоидом (1), не содержащим начало координат, то существует только одна инвариантная обобщенная функция в пространстве 自， для которой гиперболоид (1) является носителем. Эта обобщенная функция определяется двумя обобщенными функциями
30f 2 на 自一｛0) и 0 на 身一份：加=论2), которые определены на открытых множествах и совпадают на их пересечении, причем Е； является объединением этих открытых множеств. Таким образом, мы определили в пространстве Е； обобщенную функцию, которую мы будем обозначать просто через %_胪.
Из теоремы, доказанной Метэ, следует, что изоморфизм Ти -> Гр! сохраняет также степенной порядок роста. Таким образом, обобщенная функция, инвариантная относительно собственной или полной группы Лоренца, яр л :ется обобщенной функцией степенного роста тогда и только тогда, когда соответствующая обобщенная функция (или пара обобщенных, функций) на прямой линии является обобщенной функцией степенного роста. Поэтому
Bp3_ft2—обобщенная функция степенного роста, так как 迎一"一обобщенная функция степенного роста.
Итак, мы знаем теперь, что существует единственная с точностью до постоянного множителя положительная мера, а именно 5р»—论？ в пространстве 弓，с носителем на гиперболоиде (1), инвариантная относительйо собстйенной однородной группы Лорен1й* Эта мера экстремальна, потому что она единственна с точностью до постоянного множителя. Взяв соответствующий класс гильбертовых пространств, мы увидим, что лйбой однополостный гиперболоид определяет одну и только одну частицу.
Эти частицы физически не приемлемы, если принять постулат о положительной определенности энергии.
Рассмотрим теперь двуполостный гиперболоид (2). В этом случае существуют две орбиты: нижняя ветвь и верхняя ветвь. По тем же соображениям, что и ранее, находим, что любая обобщенная функция, инвариантная относительно собственной группы Лоренца и имеющая носителем верхнюю ветвь гиперболоида (2), определяется в смысле Метэ двумя обобщенными функциями
6炉+胪，0.
Аналогично любая обобщенная функция, инвариантная относительно собственной группы Лоренца и имеющая носителем нижнюю ветвь, определяется парой функций
0，6炉+胪，
В силу сохранения порядка роста при соответствии в смысле Метэ эти обобщенные функции имеют степенной рост. Таким образом, каждая ветвь двуполостного гиперболоида (2) определяет частицу, т. е. мы получаем частицй, зависящие от параметра ft2 > 0 и знака ±, причем считают, . что минус соответствует верхней ветви, а плюс — нижней.
Такие частицы изучаются в физике. Физики полагают
Где /п0 называется массой покоя частицы, с — скорость света, h~ постоянная Планка, Параметр ± соответ* твует* заояд^ частицы. •
Для нулевой массы, т. е. когда ft2==0, задача несколько усложняется. Верхняя часть поверхности светового конуса без вершины является одной из орбит. Аналогично, нижняя часть без вершины является другой орбитой. Мера * на Е；— {0} с носителем в верхней части конуса задается обобщенными функциями Метэ
% 0.
Мы хотим теперь распространить эту меру на Е；. Носитель этой продолженной меры, если он существует, является поверхностью верхней части светового конуса включая вершину. Продолжение этой меры на Е； существует только в том случае, когда мера любого компактного множества, содержащего начало координат, конечна.
Оказывается, что мера может быть конечной в том и только в том случае, когда размерность пространства не меньше трех. Так как в нашем случае размерность равна четырем, то рассматриваемую меру можно продолжить на 耳 Однако это можно сделать бесконечным числом способов, так как можно добавить в вершине меру Дирака 8, умноженную на любую константу. Заметим, что если д =± 2, то не существует частицы нулевой массы.
Меру р можно единственным способом продолжить на Е；, если мы условимся считать/ что начало координат {0} имеет нулевую меру.. Это продолжение определяется формулой ”
р （平）=J ? d^>
где интеграл берется по 务:——{0}; здесь 中一любая непрерывная на 司 функция с компактным носителем. К этой мере можно добавить меру Дирака, умноженную на произвольную константу. Однако, если мы. потребуем, чтобы； мера была экстремальной, мы увидим, что вершина долт_ жна иметь нулевую меру, так как
入5《步-Р入6
и, следовательно, мера 产十入& не экстремальна при 入 > 0.
Аналогично может быть продолжена на 户:мера с носителем в нижней части конуса.
Подводя итог, подчеркнем, что существуют три типа частиц:
особая частица — вакууму
частицы, определяемые уравнением 加=々2,部〉о；
частицы, определяемые уравнением р2 =—— 月2, 月2》о, и знаком ±.
Частицы (3) физически приемлемы. Заметим, что эти частицы могут иметь любую положительную массу. Однако до сих пор известны только мезоны, массы которых принадлежат дискретному множеству положительных чисел. Следовательно, либо требуется дополнительный принцип отбора масс, либо следует ожидать, что будет открыто все большее число мезонов с произвольными массами.
§ 6. Описание пространства 留 в случае мезона
Рассмотрим теперь более детально пространство 能“，±. Это гильбертово пространство представляет частицу с массой покоя 龍。и зарядом + или ——• Мы рассматривали гиперболоид в 耳 определяемый уравнением
加+切2 = 0,
где
Верхняя и нижняя ветви отвечают соответственно отрицательному и положительному зарядам. На каждой ветви этого гиперболоида существует единственная с точностью до постоянного множителя положительная лоренц-инва- риантная мера. Например, на положительной ветви мера' определяется по теореме Метэ прообразом пары обобщен* ных функций ‘
(0,近+з)
на R* т. е. парой
(0, 3户+3).
Эту меру можно записать в классических обозначениях в виде■
р = У(一网)3(加 + 球)，
где У — функция Хевисайда.
Если мы выберем начало координат в J то имеет смысл преобразование Фурье 炉窮 пространства 直伙 炉窮 представляет собой гильбертово пространство 抬 обобщенных функций на f4 вида /*, где / ——квадратично интегрируемая функция по отношению к мере “
Скалярное произведение в А： записывается в виде
(介1g?)f%=//?"p•
Обобщенная функция H^ffr (f4) задается выражениемh =京*，
и соответствующее антиядро К определяется формулойКх, у = Н>.
Метэ вычислил некоторые прообразы Фурье, которые можно использовать при нахождении явного выражения для "|)・ Введем обобщенную функцию .
2处鹿^（*）=菱3（加+客）=
=р. V.=р. V./»оС 兀/»оС 兀N、件簪昨书7^N、件簪昨书7^У«) +У«) +
=р. V.
=р. V.
/»оС 兀
/»оС 兀
N、件簪昨书
7^
N、件簪昨书
7^
У«) +
У«) +
2m℃ кg幣")2m℃ кg幣")У(%2),У(%2),
2m℃ кg幣")
2m℃ кg幣")
У(%2),
У(%2),
А
где p. v.—главное значение в смысле Коши, N】一функция Неймана, К】——функция Кельвина. .
По определению главного значения, обобщенная функция р. V. /, где /—приведенное выше выражение в
】)Преобразование Фурье функций вида 书尸+/ вычислены также в книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, Обобщенные функции, вып. 1, изд. 2)М., 1961. — При“ ред»
квадратных скобках, задается формулой (р. V./. <p) = lim f .fqdx,
где ср — основная функция.
Точно так же
厶(2к~^Е)厶(2к~^Е)=抬（％。）=抬（％。）m “兀m “兀y(一吟 + 3(*2),y(一吟 + 3(*2),гдегде（Ро）=（Ро）=1，Ро>О.夕о V °1，Ро>О.夕о V °2klA2nm恥团(£)g (e(Po)5 (p2 +，3 ))=
厶(2к~^Е)
厶(2к~^Е)
=抬（％。）
=抬（％。）
m “兀
m “兀
y(一吟 + 3(*2),
y(一吟 + 3(*2),
где
где
（Ро）=
（Ро）=
1，Ро>О.
夕о V °
1，Ро>О.
夕о V °
и 丿i — функция Бесселя. Тогда можно доказать, что "т。, + = 2也点m“似*)，
где
Д+ = А'ТА
2*
и нечетную сим- заменяют черту 3(*) = <?(—*)•и нечетную сим- заменяют черту 3(*) = <?(—*)•Преобразования Фурье сохраняют четную метрию относительно начала координат и (комплексное сопряжение) на тильду:
и нечетную сим- заменяют черту 3(*) = <?(—*)•
и нечетную сим- заменяют черту 3(*) = <?(—*)•
Далее, функция 占/十葭『川 четна, и так как эта функция вещественна, то она инварианта по отношению к операции тильда. Поэтому А' является четной обобщенной функцией, инвариантной относительно комплексного сопряжения, т. е. вещественной. Аналогично получаем, что ZA — нечетная чисто мнимая обобщенная функция.
Все элементы 屮£ 留 оказываются обычными функциями; напротив, Н ——обобщенная функция. Любой элемент 屮 £ 認 удовлетворяет дифференциальному уравнению Клейна ——Гордона 】)•
.口中费一屮三=°。
1) Здесь □—дифференциальный оператор Даламбера:
,—Прим, ред.
Это уравнение выводится с помощью преобразования Фурье
где /р — мера с носителем на гиперболоиде
碌2
畸产~аг畸产~аг尸Н 庐"=0.
畸产~аг
畸产~аг
Эта мера аннулируется при умножении на
（加+^-）（/似=°.
Обратное преобразование Фурье этого уравнения дает уравнение Клейна — Гордона. Поскольку мы получили оператор Даламбера с помощью преобразования Фурье, его следует понимать в смысле обобщенных функций; поэтому функция 屮 не имеет, вообще говоря, вторых производных в обычном смысле. ■
Гильбертово пространство 留 состоит не из всех решений уравнения Клейна — Гордона. Во-первых, существуют решения, не являющиеся обобщенными функциями степенного роста и поэтому не принадлежащие 留.
Далее, рассмотрим произвольное решение уравнения Клейна ——Гордона, имеющее степенной рост. Преобразование Фурье этого решения имеет носитель на объединении двух ветвей двуполостного гиперболоида. Только в специальных случаях носителем является одна ветвь, поэтому не все решения уравнения Клейна — Гордона степенного роста принадлежат 留.Существует, кроме того, еще дополнительное ограничение на Фурье-образы элементов пространства 幽：они должны быть мерой вида f^t где функция / квадратично интегрируема по отношению к р.
Г лава 5
ВЕКТОРНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫИ ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Векторные частицы
Пусть ^ =七4，а 尸一конечномерное векторное пространство над полем комплексных чисел С. Пусть структурная группа G удовлетворяет следующим условиям.
G действует на f4 как неоднородная собственная группа Лоренца, т. е. задано представление группы G в аффинной группе пространства J образом которого является неоднородная собственная группа Лоренца.
Для любого сдвига ^С 宜 существует элемент g> 6 G, который действует как сдвиг а на аффинном пространстве 旦 и тождественно на 尸.
Заметим, что в силу условия (1) группа О сохраняет меру Лебега.
Рассмотрим элементарную частицу 留u2'(V； F). Говоря, что G действует на 尸，мы подразумеваем, что в пространстве 尸 задано линейное представление группы G. Обычно говорят, что обобщенная функция 丁€ 涉(匕尸)принимает значения в подпространстве 尸i пространства 尸，если для любой функции §CB(V) имеем
〈方 6 "「
Теорема, Пусть 酰—элементарная Р^астица. Сделаем два следующих предположения.
Не существует подпространства Fo пространства 尸，尸о#尸，такого, что все элементы ф ^ ^? принимают значения в Fo.
Представление группы G в пространстве 尸 приводимо.
Тогда существует линейное подпространство 尸〔 пространства 尸，О-инвариантное и обладающее следующими свойствами.
Существует изометрия пространства 影 на p^-части^у 留。，где 尸0=尸/尸Г
Факторпредставление группы G 6 尸° неприводимо.
Доказательство. Пусть 尸〔является G-инвариантным собственным подпространством пространства F. Пусть 能I — подпространство всех элементов 屮 £ 幽， принимающих значения в 尸］; 窮〔——замкнутое линейное подпространство пространства 矗?. Так как пространство 尸! G-инвариантно,直％ также G-инвариантно. Частица 窮 является элементарной, поэтому либо 幽】=第， либо 飾1 = {0}. Но, согласно (I), равенство 駝］=窮 не выполняется. Следовательно,直％ = {0}.
Пусть тс—каноническая проекция пространства 尸 на 尸。=尸/尸「Каждая обобщенная функция Q со значениями в 尸 канонически определяет обобщенную функцию ф со значениями в 尸。по формуле
@, p)=П(〈中，Y》，屮e炒(и).
Для ogG, ，€ 尸。положим
°/=(°/)':
правая часть равенства не зависит от выбора /£/, так как 尸I инвариантно относительно о. Пусть 認。一множество всех обобщенных функций ф- для 屮，принадлежащих пространству 窮.Разумеется,窮°и0'(匕尸°) и в ^?° действует группа G. Если ф = 0, то 屮 принимает значения в 尸］и, следовательно,屮=0, так как 幽］ = {()}. Поэтому отображение ф—>ф из ^ на 窮。взаимно однозначно.
Можно перенести структуру гильбертова пространства из 窮 в 窮о. Если представление группы G в 户。приводимо, мы можем продолжать таким же образом и применять предыдущие соображения к 严 вместо 尸* Так как размерность пространства F конечна, этот процесс приведет после конечного числа шагов к пространству 尸°, обладающему свойством (б).
Эта теорема показывает, что можно ограничиться элементарными F-частицами,, для которых представление
9 Л. Шварц
структурной группы G в 尸 неприводимо. Точнее, теорема показывает, что если это условие не выполняется, то изучаемую F-частицу можно рассматривать как ^-частицу, где 尸。一некоторое векторное пространство, на котором группа G неприводима. Следует, однако, отметить, что в общем случае не существует способа канонического определения пространства 严*
Мы предположили, что для любого сдвига a ^f4 существует элемент g> структурной группы G, действую
щий как сдвиг а на f4 и тождественно на F. Следующая теорема показывает, что это верно в широком классе случаев (примером этого является случай электрона, для которого G — собственная спинорная группа).
Теорема. Пусть 尸 ——конечномерное векторное пространство над полем комплексных чисел С а О ——топологическая группа, действующая неприводимо ма 尸. Пусть G действует на 尸 непрерывно^ е. отображение
(g, %)£G X 尸—g*£E
непрерывно. Пусть Go — подгруппа группы G, обла~ дающая следующими свойствами
Go — коммутативная группа, являющаяся нор^ мальным делителем группы G;
единственным характером группы Go, инвариантным относительно связной компоненты единицы группы G, является характер х=^*
Тогда О0 действует тождественно на 尸.
Замечания. Элементы a^G действуют на. Go как внутренние автоморфизмы
goCGof 喏0。7e60。
Действие оператора о на характеры нормального делителя Go определяется с помощью переноса структуры, т. е. если х—характер подгруппы Go, то о*—новый характер подгруппы Go, определяемый равенством
。x(*0。7)=х(品),So 6 00-
Покажем, что для электрона условия теоремы выполняются. В этом случае G ——собственная спинорная группа, двукратно накрывающая собственную неоднородную группу Лоренца* Образом группы G в аффинной группе пространства 旦 является собственная неоднородная группа Лоренца, причем любой элемент группы Лоренца является образом двух различных элементов группы G. Подгруппой Go в этом случае является связная компонента единицы прообраза в G группы сдвигов.
Для того чтобы проверить для электрона условие (1), заметим сначала, что группа сдвигов коммутативна и является нормальным делителем в собственной неоднородной группе Лоренца. Прообраз нормального делителя также является нормальным делителем. Кроме того, если подгруппа является нормальным делителем, то тем же свойством обладает связная компонента единицы. Следовательно. Go — нормальный делитель группы G. С другой стороны, подгруппа Go коммутативна, так как она изоморфна группе сдвигов.
Чтобы проверить второе условие для электрона, мы должны сначала доказать, что единственным характером группы сдвигов 旦，инвариантным относительно собственной неоднородной группы Лоренца» является характер X三 1・ Дуальное пространство Е< канонически изоморфно пространству характеров на 巨冬 Собственная неоднородная группа Лоренца связна. Ее действие на Е4 с помощью внутренних автоморфизмов совпадает с обычным действием собственной однородной группы Лоренца. Поэтому она действует на характеры так, как собственная однородная группа Лоренца действует обыкновенно на, дуальном пространстве Нам нужно только найти те точки пространства 虞，которые являются лоренц-инвариантными.
Но такой точкой является лишь начало координат» а начало координат определяет характер х 三 L Отсюда следуетt что условие (2) выполняется для электрона, ибо подгруппа Go изоморфна группе сдвигов, и элементы o£G действуют на Go так же, как элементы собственной неоднородной группы Лоренца • действуют на £4.
Доказательство теоремы. Для любого конечномерного комплексного представления абелевой группы существует по крайней мере один собственный вектор, общий для всех операторов представления, поэтому для Qq существует собственный вектор /:
любого элемента ^0 £ Go,
где ^(g^—комплексная функция от ^*0 £ Go.
Так как представление группы G непрерывно, скаляр x(g°) определяет непрерывную функцию на О0, которая является характером, поскольку
X ^!)= X (go) X (g)
Таким образом, для любого собственного вектора / мы получаем соответствующий характер %. Несколько собственных векторов могут соответствовать одному и тому же характеру %• Пусть 尸无и 尸 ——максимальное подпространство, образованное собственными векторами, такое, что Go действует на 尸* как умножение на характер Х・ Пусть ｛尸J — набор таких подпространств 尸炉 где х пробегает множество характеров подгруппы 仇. Число таких подпространств 尸» конечно. В самом деле, достаточно показать, что для любой минимальной линейно зависимой системы векторов (эта система конечна, поскольку пространство F конечномерно), каждый из которых отвечает своему характеру, эти характеры тождественны между собой. ,
Пусть
，^2* * • •» е卜
—минимальная линейно зависимая система векторов, каждый из которых соответствует своему характеру 力.Любая система 力——1 векторов 力 линейно независима, и мы имеем
入传1+入2%+ • • • +入成比=0
для некоторого набора ненулевых комплексных чисел (XJ. Применяя операцию ^0 ^ Go, получаем
Xi (S"o)\ei 4" Хг (Sq) ^2е2 + … +厶3))入仰=°・
Если бы числа 七(帥)не все совпадали, можно было бы скомбинировать эти два равенства и получить в результате зависимость между меньшим количеством векторов. Но это невозможно. Следовательно, характеры
Xv Хг» • • -» Х&
принимают одно и ТО же значение на g°, и, так как это верно для любого g0, эти характеры тождественны.
Любой1 оператор а £ G действует на F и на Go. Так как О0——нормальный делитель группы G, то о оставляет инвариантным действие Go на 户.Следовательно, оператор и должен оставлять инвариантной совокупность подпространств ｛尸J (но соответствующие характеры 七 могут при этом переставляться). Если элемент группы О остается в связной компоненте единицы и действует непрерывно на этом конечном множестве характеров 七，то он не может переставить их и оставляет все 七 инвариантными.
Но мы предположили, что единственный характер в подгруппе, инвариантный относительно связной компоненты единицы,——это характер X 三 L Поэтому существует только одно максимальное подпространство 尸卜 такое, что группа О действует на 尸】как умножение на характер /р и этот характер 七 должен быть равен 1. Поэтому группа Q оставляет пространство 尸】инвариантным.
Так как представление группы О в 尸 неприводимо, то 尸］=尸,и, следовательно, G。 действует на 尸 тождественно, что и требовалось доказать.
§ 2・ Описание всех векторных частиц
Сформулируем более точно нашу задачу. Нам заданы многообразие V = £4, конечномерное векторное пространство 尸 над С и группа Ли G, удовлетворяющая следующим условиям:
О сохраняет меру Лебега на 七炉 т. е. любой оператор и £ G имеет определитель ± 1 как оператор
на旦；
для любого сдвига в аффинном пространстве 旦 существует по крайней мере один элемент группы G, который действует как этот сдвиг на 区 и тождественно на F.
Мы ищем экстремальные О-инвариантные гильбертовы пространства 能 и砂(旦；尸)с непрерывным вложением в 砂(七4；尸).Как мы видели, это эквивалентно отысканию положительной G-инвариантной экстремальной меры 卩 степенного роста в Е； со значениями в пространстве F®F.
Мы нашли необходимое условие экстремальности меры 卩, которое заключается в том, что носитель меры 卩 должен лежать в замыкании одной из G-орбит. В случае мезона мы взяли в качестве О собственную неоднородную группу Лоренца и положили F = С. Мы описали положительные G-инвариантные экстремальные скалярные меры 卩 степенного роста.
Те меры, которые соответствуют физически приемлемым частицам, имеют носителями одну из ветвей двупо- лрстного гиперболоида (или одну из ветвей конуса в случае нулевой массы), и, таким образом, носители зависят от параметров /и0 и ±. Векторная мера * также будет зависеть от параметров %, 土 и некоторых других. Мы пока： жем, что для векторных частиц (когда G является собственной спинорной группой), если оставаться на двуполостном гиперболоиде (т. е. % 力 0), то мера 卩 должна иметь вид 卩=財卩，где 卩——найденная для мезона мера, а М —бесконечно дифференцируемая медленно растущая на бесконечности G-инвариантная экстремальная функция на гиперболоиде, принимающая значения в пространстве 尸 凶 尸.
Пусть IF — многообразие класса С°°, а О — группа Ли, действующая на 取.Предположим, что (g, x)-*gx——отображение класса С°° из G X ^ на 取・ Мы покажем, что любая G-орбита является многообразием в некотором локальном смысле, который мы сейчас уточним. Позднее нам понадобится предположение о том, что рассматриваемые G-орбиты являются замкнутыми многообразиями.
Рассмотрим отображение Sf so, где s^G, 。£取, sa ^ U^. Это отображение принадлежит классу。8, % сле- довательно, определено касательное отображение X ->Ха\ где X — касательный вектор в точке s группы О, а Ха— касательный вектор в точке sa многообразия 取.В частности, если X—элемент алгебры Ли ® (т. е. касательного пространства к рассматриваемой группе в единице), то X。一 касательный вектор в самой точке а. Таким образом, мы видим, что любой элемент алгебры Ли ® определяет посредством этого отображейия векторное поле на IF (где а пробегает все многообразие IF).
Стало быть, мы имеем линейное отображение из алгебры Ли ® в векторное пространство всех векторных полей на
Для данной точки 。£取 область ■ значений отображения s—>sa является в точности орбитой точки а.
Пусть 耽,Ш?‘一два многообразия класса С°°, й—отображение класса С^ из 2)? в 犯‘，ta—касательное отображение. Для любой точки nt многообразия 耽 сужение отображения ta на касательное пространство 7(/п) к 2R в точке ш является линейным отображением из 7 (/п) в касательное пространство 厂(紋)к многообразию М в точке ш! = и (т). Размерность образа пространства Т (т) при этом отображении называется рангом отображения а в точке m
Применим это определение к 2W=G, ^Sif=W и к отображению sf sa, когда точка 〃£取 фиксирована.
Теорема. Отображение s~>sa является отобра~ жением постоянного ранга.
Доказательство. .Любая точка s0£G определяет левый сдвиг на G, который является изоморфизмом группы О на себя. Следовательно, касательное отображение, соответствующее такому сдвигу, является в каждой точке линейным изоморфизмом (на) соответствующих касательных про-1 странств. В частности, отображение
представляет собой линейный изоморфизм алгебры Ли ® на касательное пространство группы G в точке s「Любой элемент X в касательном пространстве к О в точке ,50 может быть записан в виде
где К — элемент алгебры Ли. Так как G действует на многообразии 取 как группа, мы можем написать
(s°y) а = 50 (у а)
для s0, У £ О・ Дифференцируя это равенство, получаем, что этот ассоциативный закон выполняется также и для касательных векторов
(SoE) 〃 === §о (У〃)•
Таким образом, имеем
Xq = (§旷)Q = So (Кй).
Ранг отображения s->sa в точке 50 равен размерности векторного подпространства 4。= [Ха : X принадлежит касательному пространству к G в точке s°}= {50(Ка): К £ ⑤}.
Размерность подпространства
Ae={Ya:Y^®}
равна рангу отображения Sf s〃 в точке s = e (е — еди-,. ничный элемент группы О). Пространство До получается из Ае с помощью отображения ^0 (касательного отображения, соответствующего преобразованию 50 :取 ~>W). Так как 50—автоморфизм многообразия UZ, то ^0 определяет линейные изоморфизмы (на) касательных пространств. Следовательно,
dim 4。= dim 4.
Множество Оа элементов s£G, таких, что s〃=a (точка a^W фиксирована), является подгруппой группы О и называется стабилизатором (или стационарной подгруппой) точки а.
Пусть точка a^W фиксирована, и пусть р — ранг отображения Sf so. Касательное отображение 支 f 文а, рассматриваемое на касательном пространстве к О в произ-
вольной точке 50, является, как показано выше, линейным отображением ранга р. Возьмем в качестве $0 точку е—единичный элемент группы О. Согласно классической теореме об отображении постоянного ранга, существует окрестность & точки е в G, такая, что множество {sa : s £ &} само является многообразием класса С00 размерности р. Более того, О@ П & — также многообразие, размерность которого равн^ разности между размерностями группы О и орбиты. Стабилизатор Ga представляет собой многообразие как локально, так и в целом. В самом деле, так как Qa — замкнутая группа, такая, что ее пересечение с окрестностью единичного элемента является многообразием, то легко видеть, что Ga — группа Ли, а следова-； тельно, и многообразие. ,
Касательное векторное пространство к пересечению О@П & в точке е, которое является алгеброй Ли &@ стабилизатора О@, представляет собой множество всех * векторов X, для которых Ха — ^.
Любая точка орбиты обладает окрестностью 8 самой орбите, которая является многообразием класса С°°. Но может случиться, что орбита бесконечное число раз проходит вблизи точки а, каждый раз все ближе и ближе, таким образом, что пересечение любой достаточно малой окрестности точки а в многообразии 取 с орбитой всегда имеет бесконечное число компонент. В этом случае орбита не может быть подмногообразием многообразия W.
Для того чтобы избежать такой неприятности, мы будем предполагать, что орбита является замкнутым подмногообразием многообразия W. Тогда размерность этого подмногообразия равна постоянной р, потому что оно является объединением не более чем счетного числа многообразий размерности р, а, согласно теореме Бэра, объединение счетного числа многообразий размерности р также имеет размерности р. Когда G — группа Лоренца или спинорная группа, а 取=風 рассматриваемые орбиты будут настоящими гиперболоидами; световой конус исключается, так как, согласно нашему предположению, орбиты должны быть замкнутыми.
Чтобы получить дальнейшие результаты, используем теорему о неявных функциях. Рассмотрим трансверсальное
10 Л. Шварц
многообразие £, проходящее через единичный элемент е£О, т. е. многообразие класса С°°, касательное пространство к которому дополнительно к касательному пространству стабилизатора G@・
(Два векторных подпространства называются дополнительными, если любой вектор пространства представим единственным образом в виде суммы двух векторов, принадлежащих этим подпространствам })
Это трансверсальное многообразие £ определяется выбором подпространства в ®, дополнительного к ®а. Мы можем ограничить наши рассмотрения многообразием £, поскольку точка a^W инвариантна относительно всех S £ °@・ Все пересечение орбиты с окрестностью точки а можно получить, рассматривая действие на q только операторов $££•
Пусть Q — орбита точки а; рассмотрим уравнение
y = sx, х, y£Q, s££・
Рассматривая у как функцию от s, мы видим, что матрица Якоби функции у по отношению к s (в допустимых локальных координатах для s вблизи е и для х, у вблизи q в 2) является не чем иным как матрицей касательного отображения (в базисе, определенном этими локальными координатами). Для s = e, х = а это касательное отображение является изоморфизмом касательного пространства к £ в точке е на касательное пространство к 2 в точке Q. Поэтому якобиан не может быть равен нулю. Ввиду этого мы можем применить следующий результат.
Теорема о неявной функции. Существуют окрестность X точки а 8 орбите Q и окрестность £' точки е 8 многообразии Е, такие, что для всех х£ЛЛ УС*' уравнение
y = sx
имеет единственное решение s££‘. Это решение можно записать в виде s = S(x, у), где S — функция класса С°° яа X’ X X’ со значениями 8 £'• Более того.
в силу непрерывности операции (s, x)f sx существуют окрестность X" точки а и окрестность £" точки s, где Х"и*‘， такие, что для х£Х", s££" мы имеем sx £ X'. (Мы можем пойти еще дальше и найти окрестность Х^иХ" точки а и окрестность So точки е, такие, что для х £ XQ, 5 £ So выполняется соотношение $7%£*".)
Теорема. Пусть Т — обобщенная функция на многообразии 2 со значениями в пространстве F ® F. Если Т С-инвариантна} то Т — бесконечно дифференцируемая функция.
Замечания. В этом утверждении пространство F® F можно заменить любым' конечномерным векторным пространством.
Напомним, что имеют в виду, когда говорят, что 7 — функция класса С°° на 2. Возьмем любое открытое под- множес^о U многообразия Q, в котором заданы локальные координаты. По определению эти координаты задают бесконечно дифференцируемый гомеоморфизм подмножества U на открытое подмножество Uf пространства R° (р — размерность многообразия 2). Следовательно, сужение Т Па U определяет обобщенную функцию 7V в Ur (по-прежнему .принимающую значения в пространстве 尸 ® 尸).Эта обобщенная функция Тг на U' должна быть функцией класса С°° на U'. Иначе говоря, если мы выберем в RjMepy Лебега dx, то найдется функции/(х) класса и на U', принимающая значения в F ® F и такая, что
〈玄 <Р〉= / f(x)^(x)dx
для любой функции <р£ 爹(R。) с носителем в Uf. Описанное свойство обобщенной функции Т не зависит ни от выбора подмножества U и локальных координат на U* ни от меры Лебега dx.
Доказательство теоремы. Пусть Ф ——представление группы G в пространстве F®F. Из инвариантности 10*
обобщенной функции Т следует, что
〈亢 <р) = ф (s)〈亢? (s %)〉，屮 е 飭(2).
■ Мы должны доказать, что для любой точки q£Q обобщенная функция 宁 бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки а. Мы можем считать, что эта окрестность совпадает с окрестностью "о, которую мы выбрали в теореме о неявной функции. Пусть ср £ 5 (XJ, а £^ (Eq). Положим ds = dsx ds? ... dSp, где s, — канонические координаты на So. Если
тото/ a (s) ds = 1,
то
то
〈7\ 屮〉=/ а (s) ds①(5)(Г,屮(sx)).
По определению тензорного произведения обобщенных функций имеем
(Г,中〉=〈优(s) Ф(5)® Тх, ср(£北)〉=
=〈7*, ^а(5)Ф(5)ср(5Л：)^).
Для вычисления интеграла достаточно рассмотреть только те значения х, в которых подинтегральная функция отлична от нуля, т. е. множество
{х : sx принадлежит носителю функции ср,s принадлежит носителю функции а}.
Но носитель функции ср содержится в X。， а носитель функции а содержится в So. Полагая sx = y, находим, что достаточно рассматривать х в множестве
{x = s-iy : у£Хо, «Csob
По теореме о неявной функции это множество содержится в X", так что достаточно рассмотреть х £ X"; для х«Х" подинтегральное выражение равно нулю. Используем выражение s = S(x, у) для перехода от переменной s к новой переменной у (при фиксированном х). Мы должны проверить, что области интегрирования правильно
определены как в старых, так и в новых переменных, и что замена переменных определяет изоморфизм между этими областями с отличным от нуля якобианом. Отображение у -> s = S (尤，у) при фиксированном х £ X" является отображением из Xf в £'• Так как это отображение обращается с помощью равенства
y = sx,
образом X’ является открытое подмножество окрестности £'. Таким образом, это отображение определяет гомеоморфизм класса С°° из X’ в открытое подмножество окрестности
Теперь мы должны показать, что образ окрестности Xf покрывает всю область интегрирования по переменной s, т. е. мы должны показать, что носитель функции tx(s) содержится в образе окрестности Х'・ Если s принадлежит носителю функции tx (s), то 5 £ So. Но х £ X", следовательно, sk£X‘, а это означает, что образ окрестности X1 при отображении s = S(x, у) при фиксированном х£Х" покрывает 综，а значит, и носитель функции a (s). Замена переменных приводит к равенству
(7,屮〉=
=〈7*, Ja(S(x, у))①(S(x, y))?(y)|det^(x> у)卜y〉= =/屮(y)dy〈7*，a(S(x, y))®(S(x, у))|det芻(％, у)».
Далее, произведение
a(S(x，У))①(S(x, y)^det翁(х, у)| является бесконечно дифференцируемой функцией переменной у в Следовательно,
t(y) =〈7\, a(S(x, у))①(S(x, y))|det 需(х, y)|>
.—также бесконечно дифференцируемая функция переменной у. Мы получаем
〈7, * = / cp(y)t(y)dy =《，/
следовательно, Т = т — бесконечно дифференцируемая функция переменной у.
Применим эту теорему к нашей задаче. Рассмотрим в многообразии Q О-орбиту, которая является гиперболоидом, и меру 产 с носителем Q, которая определяет обобщенную функцию на Q. По доказанной теореме, р. — бесконечно дифференцируемая функция на Q. Тот же самый результат справедлив для скалярной меры 步，т. е. она является бесконечно дифференцируемой функцией.
Из инвариантности меры * следует, что она не обращается в нуль, так как в противном случае она была бы равна нулю тождественно. Поэтому мы можем определить отношение 产 |* = 2И, которое должно быть бесконечно дифференцируемой функцией на Q. Таким образом, мы получаем, что 卩 можно записать в виде
^ = M^t
где М — бесконечно дифференцируемая функция. Более
того.того.2И инвариантна относительно группы О, так как标
того.
того.
преобразуется под действием оператора o£G в другую обобщенную функцию, которая определяет ту же самую меру. Таким образом, Ж должна переходить в другую функцию, которая почти всюду (в смысле меры *) равна ->->->
функции но так как М непрерывна, то М должна всюду совпадать с преобразованной функцией. Если р положительна, то н 附 должна быть положительной почти всюду (в смысле меры 产)，а так как она непрерывна, то она всюду положительна.
Таким образом, наша задача свелась к отысканию на гиперболоиде Q бесконечно дифференцируемой функции 2И, принимающей значения в пространстве F 0F、которая была бы G-инвариантной, положительной, экстремальной и имела степенной порядок роста на бесконечности. Возьмем точку Мы уже знаем, что М (о) — положительный ОЛ-инвариантный элемент множества 尸 艺尸.Обратно,
если положить М (о) равным любому положительному Оа-инвариантному элементу множества 尸区 尸，то можно однозначным образом восстановить бесконечно дифференцируемую функцию М на Q, которая принимает значения в 尸区尸，является О-инвариантной, положительной, экстремальной и имеет степенной рост на бесконечности. Эта функция определяется формулой
Ж (р) = ь 而(о),
где р = ао; М (р) не зависит от выбора о, так как если имеется другой элемент У, переводящий точку а в точку р, то он должен иметь вид # =(37, где 7 ^ Оа, а отсюда следует, что ++>
(а) =(а) = аМ (а)
в силу того, что элемент М (а) инвариантен относительно подгруппы Оа. Покажем теперь, что М (р) — бесконечно дифференцируемая функция. Будем считать, что окрестность Na точки а в Q достаточно мала для того, чтобы можно было применить теорему о неявной функции. В этом случае можно взять в качестве о элемент 5 (о, р), где S определяется теоремой о неявной функции. Таким образом, ■
病(p) = S(a, р) М (о),
а так как S (а, р) является функцией класса С°°, мн видим, что Ж (р) — функция класса С°° в окрестности Na точки а. Если мы возьмем теперь любую точку Ь, то существует элемент ас, такой, что b = а0о. Множество
Nb = ｛。或：p e Nj
является окрестностью точки Ь, Так как любую точку PEN。можно записать в виде р = оа, где a = S(a, р), то отсюда следует, что любую точку q gNb можно записать в виде
C = %S(@ p)a = %S(a, 0丁切)党
тогда для q£Nb имеем
肃(q) = %S®,唄д)лГ(а).
Поэтому М (q) является функцией класса С°° в окрестности N^. Мы доказали тем самым, что М является бесконечно дифференцируемой функцией на всем множестве 2.
Нам осталось доказать, что определенная таким образом функция М имеет степенной рост на бесконечности. Предположим сначала, что О — собственная однородная группа Лоренца. Рассмотрим систему координат в пространстве f4, в которой точка а имеет вид о = (0, 0. 0, qJ. В равенстве
М (р) = аМ (о), р = аа,
действие оператора а па М (о) определяется с помощью представления Ф группы G. Поэтому для большей ясности лучше писать
Ж (р) = Ф (а) Ж (о)» р = аа.
Выберем какую-нибудь норму в пространстве F眩F. Тогда
Н病(p)m11 ①(。州 II而(矶，p = m
Теперь достаточно показать, что ||Ф (а)|| медленно возрастает по отношению к р, где р = аа. Допустим, что р имеет вид
Р =(Р], 0, 0, о。)，
и рассмотрим преобразования Лоренца (0), зависящие от параметра 0, на плоскости Р первой пространственной оси и оси времени
.(Pi = gch8 + %sh9,(Po = ^1sh6 + ^och 6.
% = a^sh 仇 Pq — a。ch 8.% = a^sh 仇 Pq — a。ch 8.Так как за исходную точку принята точка (0, 0, 0,旬), мы получаем
% = a^sh 仇 Pq — a。ch 8.
% = a^sh 仇 Pq — a。ch 8.
Следовательно»
凸~蔓a0,
р0~蔓%沸，
и поэтому для некоторой постоянной С] имеем PKlogC^lpll.
Пусть теперь р — произвольная точка гиперболоида. Мы можем перейти от точки а к точке р при помощи двух последовательных преобразований Лоренца. Пусть т — пространственное вращение (которое принадлежит стабилизатору Ga точки а), переводящее р в плоскость Р; положим рл = тр. Пусть (6) — описанное выше преобразование в плоскости Р, переводящее а в р'. Имеем:
о = т*1 - (9)'
И||Ф^)Н<||Ф(х-1)||||Ф((9))11--
Но пространственные вращения образуют компактную* группу линейных операторов в пространстве F达F、поэтому все нх нормы ограничены некоторой фиксированной константой. Тогда для некоторой константы С2
■ '1|ф(«)11<с2цф((9))||.
Согласно общей теореме о представлении любой однопараметрической группы в нормированном пространстве^ которая утверждает, что норма оператора представления ограничена некоторой экспонентой от параметра, справедлива следующая оценка:■
II①((力)11《眇1叫
где k — некоторое число. Так как |8|《log&||p1|, то можно записать
II①(8)川《Сз“。% см小=С4II川产.
Используя еще раз тот факт, чта пространственные вращения образуют компактную группу, получаем оценку
||р1|《С511Pli и, наконец, для некоторой константы С$ находим
1|Ф((9))11<Сб11РНА.
откуда следует, что ||Ф(о)|| имеет степенной рост, а значит, тем же свойством обладает и мера 2И.
Если G—любая группа, образ которой в линейной группе пространства Е^ является собственной однородной группой Лоренца, то однопараметрическую группу (8) в этом образе можно „поднятьа в группу G. Для этого достаточно „поднять^ соответствующий инфинитезимальный оператор, и он породит в G однопараметрическую группу, имеющую (8) своей проекцией. Таким образом, доказательство степенного роста функции 2И, приведенное выше, остается справедливым и для группы G.
Тем самым мы показали, что все G-инвариантные гильбертовы пространства 窮 и 毋(旦；尸)(с непрерывным вложением), связанные с орбитой 2, т. е. с параметрами %>0 н ±, взаимно однозначно соответствуют положительным ва-инвариантным элементам 附(а) £ 尸区尸 для фиксированной точки о £ 2. Кроме того, гильбертово пространство 齢 экстремально тогда и только тогда, когда соответствующий элемент М (о) экстремален.
Применим теперь теорию ядер. Положительный О@-нн- вариантный элемент пространства F喲F является положительным вд-инвариантным антиядром для 尸，т. е. положительным антилинейным отображением 尸'f 尸，которое <7а-инвариантно. Нахождение этого антиядра эквивалентно нахождению Оа-инвариантного подпространства 尸“и 尸, снабженного эрмитовой структурой. Это подпространство экстремально тогда и только тогда, когда соответствующий элемент пространства F®F экстремален.
Методы отыскания всех Оа-инвариантных неприводимых подпространств Fa пространства 尸 известны. Допустим, что найдено такое подпространство 尸《; мы должны, если это возможно, наделить Fa Оа-инвариантной эрмитовой структурой. Пусть Га ——образ Ga в линейной группе подпространства Fa. Заметим, что
Га = Gfl/Gp
где О】一подгруппа группы Од, которая действует тождественно на подпространстве Fa. Наша задача состоит в том, чтобы выбрать Га-инвариантную эрмитову структуру на 尸公 Необходимое и достаточное условие для существования такой структуры заключается в том, чтобы группа Га была относительно компактнойх). Для того чтобы доказать это, предположим сначала, что Гд оставляет инвариантной эрмитову форму над 尸°. Тогда Га должна содержаться в унитарной группе, соответствующей этой эрмитовой структуре.
Так как унитарная группа компактна, то группа Гд относительно компактна. Обратно, если Гд относительно компактна, мы можем выбрать на Fa любую эрмитову форму и, усреднив ее по мере Хаара подгруппы Га, получить Гд-инвариантную эрмитову форму. Эта Гд-инва- риантная эрмитова форма единственна с точностью до постоянного множителя.
Итак, мы нашли все возможные решения нашей задачи, соответствующие данной орбите Q. Повторим кратко этот процесс. Мы отыскиваем в пространстве 户 все возможные Од-инвариантные и Оа-неприводимые подпространства Fa. Для любого такого 户“，если образ Га группы Ga в линейной группе подпространства Fa относительно компактен, существует единственная с точностью до постоянного множителя эрмитова форма, которая является Оа-инвариантной и определяет векторную частицу. Если же образ Гд не является относительно компактным, это значит, что мы не нашли никакой частицы.
В качестве примера предположим, что G — собственная неоднородная группа Лоренца, V — Е^ и F — любое конечномерное векторное пространство. Пусть 2 — любая ветвь двуполостного гиперболоида (но не конуса) в £：• Выберем точку а £ Q и систему координат такую, что в ней точка а имеет координаты (0, 0, 0, а。). Стабилизатор Ga является просто ортогональной группой в трехмерной пространственно-подобной плоскости, определяемой тремя пространственными осями выбранной координатной системы. Известно, что пространство F вполне приво-
Множество Г называется относительно компактным, если его замыкание Г компактно. — Прим.内@・
димо 1). Любому неприводимому подпространству пространства 尸 соответствует Л'-частица, поскольку ортогональная группа компактна. Если в этих неприводимых подпространствах представления группы Ga не эквивалентны, то такое разложение пространства 尸 на неприводимые компоненты единственно. Но некоторые представления могут оказаться эквивалентными, и в этом случае мы имеем бесконечное число возможных неприводимых подпространств. Каждое из них определяет 尸-частицу. Мы не будем здесь касаться вопроса, определяют ли одну и ту же частицу два эквивалентных неприводимых представления. Мы ищем только 尸-частнцы для одного данного представления. Наша задача отыскания всех 尸-частнц решена теперь для случая, когда О — собственная неоднородная группа Лоренца, и легко видеть, что подобным же обра- вом эта проблема решается, когда , О — собственная спинорная группа.
Совершенно иная задача возникает, если рассматривать однополостный гиперболоид. Если на этом гиперболоиде задана точка а, то выберем систему координат так, чтобы координаты точки а имели вид (а「0, 0, 0). Стабилизатор Ga является группой Лоренца по отношению к двум последним пространственным и временнбй координатам. Мы должны проверить, имеет ли пространство 尸 неприводимые компоненты 尸《, на которых Ga действует компактно (т. е. образ стабилизатора Оа в линейной группе подпространства Fa является компактной группой). Например, может случиться, что Од тождественно действует на 尸“・ Это как раз происходит в случае мезона, когда F = C и вся группа G тождественно действует на С (и, конечно, Ga также тождественно действует на С). Оказывается, что, исходя из однополостного гиперболоида, мы можем получить только такие Л'-частицы, для которых Ga действует тождественно на 尸“，поскольку единственная компактная факторгруппа группы Лоренца — это группа, состоящая из одной единицы.
1) Пространство называется вполне приводимым (относительно некоторой совокупности операторов), если всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение.— Прим. ред.
Пространство Fa в случае т = 0
В случае /п = 0 гиперболоид заменяется световым конусом. Для любой точки а светового конуса (исключая вер： шину) стабилизатор Ga является группой Лоренца касательной плоскости, которая изоморфна группе вращений и сдвигов в двумерной евклидовой плоскости. Эта группа имеет компактную факторгруппу — ортогональную группу двумерной плоскости. Таким образом, для некоторых представлений можно получить инвариантную функцию М (о), а для других ——нельзя. Например, для фотона и нейтрино этого нельзя сделать. В физике известно, что фотоны и нейтрино нельзя представить гильбертовыми пространствами функций, но можно представить неотделимыми предгильбертовыми полными пространствами (см. ниже § 5). В таком пространстве движение задается классом 屮 функций* Эквивалентных в смысле так называемой калибровочной инвариантности.
Полное описание преобразования Фурье гильбертова пространства для векторных частиц
Мы сначала опишем функциональное пространство, а потом покажем, что оно является преобразованием Фурье гильбертова пространства 鸵\ Пусть а — заданная точка на одной из ветвей Q двуполостного гиперболоида. Нам задана скалярная мера 世 с носителем 2 и функция М (р), определенная на 2. Для любой данной точки p£Q величина 附(р) представляет собой положительный элемент пространства 尸区尸，т. е. положительное антилинейное отображение (положительное антиядро):
FfFpUF,
где подпространство 尸.имеет Ор-инвариантнук> эрмитову структуру, является Ор-неприводимым и соответствует антиядру М (р) по теореме об антиядрах. Так как
М (р) = аМ (а)
для любого оператора о, такого, что р = аа, то Fp =(sFa для любого такого 5 где о尸《 означает действие оператора о на Fa в представлении группы G в пространстве 尸.
Квадратичная форма на Fp под действием оператора о переходит в квадратичную форму на подпространстве 尸公 Таким образом, для любой точки р £ Q мы получаем подпространство 尸「и尸，которое зависит от р и в котором задана положительно определенная эрмитова форма, также зависящая от р.
Определение. Пространством £2(。，甘，尸卩，尸)называется пространство, которое состоит из классов эквивалентных функций / (т. е. совпадающих почти всюду в смысле меры у), заданных на 2, принимающих значения в F и обладающих следующими свойствами:
для любого рС。имеем /(р)€ 尸卩；
как вектор-функция / является р-измеримой;
||/(Р)||р квадратично [л-интегрируема.
Обозначим эрмитову форму в Fp символом ( , )р и положим
п7(р)Ир=(7.为丸产ip.
Введем в Z?(Q, р,尸卩，尸)скалярное произведение
(/. g) = /(/5)，g(Р)%办⑺，/，gе加(Q，p，尸尸尸)♦
Соответствующая норма определяется выражением
仃必=(/||/(р||；*(Р)у.
Лемма. Если / является S -> Р-функцией, удовле^ творяющей условиям (1) и (2) приведенного выше определения, то неотрицательная функция ^f (р)^р ^-измерима.
Фиксируем о ^ Q. Существует окрестность 2Л точки а в 2, такая, что для р ^ 2Д можно рассмотреть функцию S (о, р) переменной р, принимающую значения в G и определенную по теореме о неявной функции; S(a, р) является бесконечно дифференцируемой функцией &-> G・ Имеем ||/(p)||p = ||sT(a, р)/(р)к р€&・
Если /(р)世-нзмернма как функция Q。“尸,то функция ST(& Р)/(Р) р-измерима как функция。“->尸 и как
функция Q“f 尸а・ Отсюда следует справедливость леммы* поскольку норма измеримой векторной функции (принимающей значения в конечномерном пространстве) измерима и измеримость является локальным свойством.
Теорема. L2(2,甘，尸卩，尸)一гильбертово про* странство.
Нам нужно показать лишь полноту этого пространства. Пусть ｛力｝ — последовательность Коши элементов пространства /?(Q, а，Fpt 尸).Можно найти подпоследователь* ность ｛/%｝ (а= 1, 2,・・・)，такую, что
“I几+「加К 2r.
Положим,
Если мы докажем, что ряд 2 Sa сходится в £2(Q,世，尸户 F) к элементу g этого пространства, то / =旦十/阴 будет пределом последовательности 伉｝.
Ряд
£ / k«(p)llp^(p)
сходится. Из свойств скалярных функций вытекает, что существует множество NuQ меры нуль, такое, что ряд
2 Н^(р)11р a = 1
сходится, если р^М
ОО
Но отсюда вытекает, что для p^^ ряд 工 ga (р) сходится в 尸р； пусть g(p) — его сумма. Для p£N положим g (р) = 0. Ряд 2 ga сходится почти всюду (в смысле меры р) к классу функций, эквивалентных g (который мы также обозначим через g). Так как ga — измеримые функции нз Q в 尸，то по теореме Егорова то же верно для g. Согласно лемме, норма ||g(P)||p в этом случае измерима;
применяя классический результат для неотр и цате ль ных функций, находим, что
"g（砒却（Р））%《£（/1也（砒<w）y.
Отсюда следует, что g удовлетворяет условиям （1）, （2）, （3） определения. Теорема доказана.
Определение. Пространством Л2（2,卩，尸尸，F） называется пространство всех мер 加 на 丸，где /££2（а,因尸「，F）. Пространство Л2（2,因尸「，尸）снабжено нормой
Пусть 爹（Q,尸p，尸）一пространство функций（p:Qf 尸 со следующими свойствами:
для любого p£Q имеем（p（p）£Fp;
ср как функция Qf 尸 является функцией класса С°° с компактным носителем.
Теорема. 爹（Q,尸「，户）является плотным под пре- странством пространства L2（2, у,尸「，尸）. Аналогично множество {<рр.: <р ^ <2? （й, Fp, F）} является плотным подпространством пространства Л2（2,卩,尸「, F）.
Доказательство. Любая функция
% % 尸）
является пределом „срезанных** функций, т. е. функций, равных / на некотором компактном подмножестве множества Q и нулю на дополнении к этому подмножеству （можно взять возрастающую последовательность таких компактных подмножеств, исчерпывающую й）. Поэтому достаточно доказать, что любая функция /^L2 с компактным носителем является пределом функций из 爹（Q, р.» Fp,尸）.
В действительности достаточно доказать, что для любой точки 〃 £ Q существует окрестность, такая, что любая функция с компактным носителем, содержащимся в этой окрестности, является пределом функций из 爹（Q,卩，尸р,尸）.Если это доказано, то любой компактный носитель можно покрыть конечным числом таких окрестно-
стей, и из разложения единицы немедленно вытекает, что любая функция с компактным носителем, принадлежащая £?, является пределом функций из 2 (2,步，尸尹，尸). Далее, если задана точка а £9, то можно выбрать открытую окрестность Q@ в соответствии с теоремой о неявной функции так, что для любой функции / на Q@ можно рассмотреть функцию g(p) = S~i(a, р)/(р). Таким образом, в множестве Йа мы снова приходим к фиксированному гильбертову пространству 尸@ с фиксированной нормой|| • |]fl. Однако известно, что функции-
屮£2(%尸а)
плотны в гильбертовом пространстве £2(。伞,卩，尸@).
Следовательно, функции 屮(p) = S(a, р)屮(р) плотны в L2 (2,因 尸р,尸). Кроме того, 屮 является функцией класса С°°, поскольку 屮 н S принадлежат этому классу, и имеет компактный носитель, так как этим свойством обладает 屮.Теорема доказана.
Пространство 翫 является пополнением пространства всех элементов вида ”*屮，где 屮 £ 2 (EQ(3尸- по норме
Мы можем также взять 屮 £ 夕(EQgi 尸'• Преобразованием Фурье (см. стр. 90) тогда будет
炉("* ср) = Л1 卩屮，
где 屮=旨飞 и ^Н= М^. Так как 工二夕年 то из определения преобразования Фурье обобщенных функций следует, что
]1" *中曦=〈"*?炉炉中)=〈炉(" *屮)，炉中〉=
=(Л1^ф,工〉=/加诃m
Но М (р) определяет антилинейное отображение
历(p):尸f尸p，
задаваемое равенством.
历(P)g = M(P)g，
И Л. Шварц
так что.
附诃=(历(р) • ф(р)) р.
Положим
/ (р)=历(р)ф (р) для р € Q.
Мы видим, что / (р) ^ Fp для любой точки pfQ. Если вместо произвольной функции <р £ 夕 взять функцию 「С夕怎冶尸，такую, что ее преобразованием Фурье является функция 屮^炒⑶冶尸二 то мы получим функцию /р, где / — бесконечно дифференцируемая функция Qf 尸 с компактным носителем, принимающая значения в пространстве 尸/ следовательно, /^ ^Л2(2,步，尸尸，尸). Норма функции /|л в 炉第 определяется равенством
11介*b豳=11"*屮11能， поэтому
Il/Р•咚宓=/ 附(Р)诃 ％(Р)=
=/(历(P)V(P))q(P)dp(P)・ s
Но это последнее выражение имеет вид〈/, £«'〉，и из того, что〈/, £〃〉= ^Le^^ где 第】一гильбертово пространство, соответствующее антиядру Lt следует, что интеграл
/(历(/>№(р))《(р) dp(p)
равен норме функции / в пространстве L2 (2,卩，尸尸 F). Отсюда мы заключаем, что
旷闵修窕=/ 11/(Р)11；*(Р)；
таким образом, доказана
Теорема. Если f{p)^a4l(р)ф (р)дляф ^ <25(£4)® F\ 磔> /(p)fZ(Q, 尸)и
Пространство
{f{p^-f{p^^t(р)$(р)，屮€炒(К№尸}
является плотным подпространством пространства 炉幽 по норме Л2. Если теперь показать, что это подпространство совпадает с пространством
{/(р)н：/(Р)н€А2. “Р)€炒(Q, fp,尸)},
которое плотно в Л2 = Л2 (2,步，Fpt 尸)，то мы получим, что 炉第=А?, так как 茄跑 будет тогда конкретным пополнением (т. е. пополнением, вложенным в Л2) плотного подпространства пространства Л2. Для того чтобы доказать совпадение этих двух множеств, мы докажем следующую лемму.
Лемма. Какова бы ни была функция / £ 炒(Q, Fp,尸)， существует функция gf 炒(Q»&尸'・ такая, что
/(p) = %(p)g(p)
для любого р £ Q.
Доказательств о леммы. Пусть а—любая точка пространства 2. Выберем базис в пространстве 严
{&1，・・・・е论，gi・・・—gi}« такой, что
{历⑷分，历(a)%}
является базисом пространства 尸@・ Тогда
является базисом пространства Fp для любого p^S. Можно записать
k
/(Р)= У /'(Р)历(P)Q・
Компоненты 户(р) функции / (р) являются функциями класса С°° на 2 с компактными носителями. Полагая
g(p)==E/'S)a 尸€乌，
убеждаемся в справедливости пеммн.
Если теперь g — бесконечно дифференцируемая функция на 2 с компактным носителем (принимающая значения в пространстве 尸)，то легко видеть, что на 2 существует функция ^^3i {E^®Fr, такая, что 屮(p) = g (力 для любого р £Q* Вместе с леммой это доказывает, что какова бы ни была функция
/e炒&,尸"尸)，
существует такая функция 屮 £ 炒(Е；)艺尸'，что /(р) = = о^(р)@(р) для любого p£Q・ Тем самым доказана
Теорема. 炉翫 совпадает (как гильбертово пространство') с пространством Л2 (2,因 尸尸，尸).
§ 4・ Электрон
Дадим краткое описание случая электрона. В этом случае F = С2, а О представляет собой накрывающую группу собственной неоднородной группы Лоренца. Можно показать, что существует изоморфизм класса С°° двукратно накрывающей группы для собственной однородной группы Лоренца (т. е. собственной спинорной группы) на уни- модулярную группу в С2 0- Двум элементам группы спиноров, имеющим одну и ту же проекцию в группе Лоренца, соответствуют два преобразования в С2, которые отличаются только знаком. Образ группы О в аффинной группе пространства Л4 представляет собой собственную неоднородную группу Лоренца. Прообраз подгруппы сдвигов имеет две связные компоненты. Одна из этих связных компонент, содержащая единицу, действует в пространстве 尸 тождественно, другая действует как оператор умножения на ——1. Таким образом, группа G действует не эффективно в пространстве Е《,ибо два элемента, имеющие одну и ту же проекцию в собственной неоднородной группе Лоренца, - дают на Е4 один и тот же оператор;
Этот изоморфизм подробно описан в книге Гельфанда И. М., М и н л о с а Р. А. и Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, М., 1958, ч. 2, гл. I, § 1. — Прим, ред.
кроме того, G действует не эффективно и в пространстве 尸， поскольку сдвигам соответствуют тождественные преобразования. Тем не менее G действует эффективно на произведении £*4 X 尸 1）.
Возьмем точку а на гиперболоиде в Е；, соответствующем массе т, и рассмотрим лоренцеву координатную систему, в которой пространственные компоненты точки а равны нулю. Тогда стабилизатором точки а в группе Лоренца будет ортогональная группа в трехмерном подпространстве, определяемом пространственными координатными осями; Ga является накрывающей группой этой ортогональной группы; группа Ga компактна, и пространство 尸 Оа-неприводимо. Поэтому на 尸 существует единственная с точностью до постоянного множителя Ол-инва- риантная эрмитова форма, так что можно, как и выше, построить пространства Fp и получить две компоненты 屮户 преобразования Фурье которых имеют вид
炉Ф； — //^» 1，2;
мы напоминаем, что
Ф = （фр 屮2），/ = （/1 *『2）。
Далее, можно доказать, что существует единственный （с точностью до постоянного множителя） однородный G-инвариантный дифференциальный оператор D первого порядка с постоянными коэффициентами, принадлежащими 夕（尸；尸）.В нашей системе координат можно написать）
D = 0卩d世.
Аналогично существует единственный （с точностью до постоянного множителя） однородный О-инвариантный линейный дифференциальный оператор D первого порядка с постоянными коэффициентами, принадлежащими 夕（戸；F）.
9 См. примечание редактора на стр. 23. — Прим. ред.
Рассмотрим произведения DD и DD. Их можно нормировать так,. чтобы для волновых функций F-частиц выполнялось соотношение
DD = JDDJ = □ = щ?»
где /—канонический антиизоморфизм 尸一＞尸，a J:尸一＞尸一 обратный к нему антиизоморфизм.
Если 屮一волновая функция некоторой F-части цы, то Оф является волновой функцией F-частицы （т. е. античастицы）. Точно так же, если 屮 описывает F-частицу, то Dtp описывает Г»частицу. Введем в рассмотрение пару
（中,士分）,
которая представляет собой обобщенную функцию со значениями в прямой сумме 尸㊉尸，и определим оператор （D, О） следующим образом:
О方）（屮1，屮2）= （方屮2' D屮1）・
Тогда мы получим соотношение
（A "）（屮,^ 0Ф j = m （ф. ^d中），
известное под названием уравнения Дирака.
Если мы интересуемся только представлениями собственной неоднородной группы Лоренца, то достаточно взять F=C2, и пространство 尸 „лучше**» чем 尸㊉尸，так как оно проще. Заметим, что пространство F@F неприводимо относительно расширенной спинорной группы, а относительно собственной спинорной группы оно распадается на два неприводимых подпространства.
Однако, если мы хотим получить дифференциальное уравнение в частных производных, в котором участвуют допускающие внутреннее определение операторы D и Д и использовать представления накрывающей группы для расширенной неоднородной группы Лоренца, то мы должны ВЗ肝ь вместо 尸 пространство 尸㊉尸.
§ 5・ Векторные частицы с нулевой массой
Для фотона и нейтрино миром является аффинное пространство Л4, а пространством F — соответствующее век- горное пространство Е4. Допустим, что мы определили функцию М (х), выбрав значение М (а) для некоторой точки а светового конуса. Но в этом случае М обращается в бесконечность в вершине и выражение М卩 не интегрируемо. Таким образом, М^ не является мерой, и для фотонов и нейтрино не существует гильбертова пространства. Вместо этого можно поступить следующим образом. Рассмотрим гильбертово пространство для малой массы 加 * 0, затем перейдем к пределу при /п f 0, и возьмем то, что получится, в качестве пространства для нулевой массы.
Опишем кратко частицы малой массы 加次 0 со спином 1, а затем устремим 加 к нулю.
Для незаряженных частиц V = Е4 и F =Е* Описание фотона получается при m —> 0. Рассмотрим соответствующий случай для заряженных частиц, т. е. комплексифи- цируем 尸；тогда 尸=旦 + 回.
Для данной точки а на гиперболоиде выберем лорен- цеву систему координат, в которой а = (0, 0, 0, а0). Стабилизатор точки а является ортогональной группой на трехмерной пространственно-подобной гиперплоскости Р, проходящей через начало координат 0 перпендикулярно вектору а. Существуют два независимых подпространства, инвариантных относительно этого стабилизатора:
одномерное подпространство Q, натянутое на вектор а;
пространственно-подобная гиперплоскость Р.
Рассмотрим сначала случай, когда 尸a = Q + »Q. Тогда пространство Fx для любого х одномерно, а частицы соответствуют мезонам. Устремляя m к нулю, получаем, что для любого х * 0 пространство 尸# остается одномерным, а частица соответствует мезону нулевой массы.
Рассмотрим теперь случай, когда 尸食=尸 + £尸・ Пространство Fx для любого х является касательным пространством к гиперболоиду в точке х и имеет размерность 3・ В пространстве F фиксирована квадратичная форма»
являющаяся расширением лоренцевой формы, заданной на f4. Квадратичная форма на 尸 порождает квадратичную форму в пространстве 尸#, положительно определенную, поскольку на пространственно-подобном подпространстве лоренцева квадратичная форма всегда положительно определена. Пусть /«f 0. При этом гиперболоид переходит в конус. Для любой точки х 声 0 пространство 尸# является касательной к конусу трехмерной гиперплоскостью, а квадратичная форма на 尸# является вырожденной с сигнатурой (2, 0), поскольку она обращается в нуль на образующей конуса. Полученное в результате пространство не является гильбертовым, потому что норма для ненулевого элемента / может обратиться в нуль. В самом деле, если значение вектор-функции /(х) в каждой точке % пропорционально вектору х, то норма функции /(х) равна нулю. Возьмем теперь обратное преобразование Фурье этого пространства. Оно является предгильбертовым пространством, неотделимым и полным. Так как это пространство неотделимо, то наша норма является на самом деле полунормой. Движение такой частицы определяется классом эквивалентности из соответствующего фактор- пространства, т. е. бесконечным числом элементов, эквивалентных относительно полунормы. Тот факт, что ф-функции, эквивалентные относительно этой полунормы, описывают одно и то же движение, называется принципом калибровочной инвариантности.
Глава 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.СЛУЧАЙ СКАЛЯРНЫХ ЧАСТИЦ
Оператор эволюции
Пусть р = (ро，д) (где ^ = (^р q公 先)一совокупность пространственных координат)——переменный вектор пространства Е；, a Q — нижняя ветвь двуполостного гиперболоида 尸+加2 = 0.
Напомним, каким образом для обобщенных функций Т, определенных на 2, делается замена переменных
q = q； и = р^= q1 — pg.
Выше мы установили справедливость равенства
G (р2), ф (р)〉= / Т (р2)平(р) dp, так что мы можем использовать обычные правила замены переменных. Вычислим якобиан
0(弘 0) _
—2% 2% 2g2 2叁
0100
0010 = — 2%
0001
2 1 pQ 1d" dg — dp。dq
Таким образом, и
/ т (р2)屮(Р)dp
так как | р0| = ^2 — и и р^ < 0.
.Вернемся теперь к случаю скалярных частиц; пусть 能一такая частица..
Если 屮б%, то преобразованием Фурье этой функции будет
屮==屮==/(9)因
где 卩一единичная плотность, сосредоточенная на S, т. е.
1), = 8(р2 + /п2)Г(—р0),
где К (—/у。)一функция Хевисайда, соответствующая нижней части пространства Е：. Тогда
〈0, 6= //(д)М“ + М)У(—Ро)¥(д, —VV —〃)х
так что мы можем сказать, что на 2 функция 屮 задается следующим выражением:
Y " 2 y炉+加2
Предложение 1. /7усть x = (xQt у)—набор четырех переменных пространства 区 и пусть 夕IX夕;)—множество обобщенных функций от х0 со значениями в 炒;.
По определению, 窮и宏(，(找). В самом деле» имеем:
齢и鼠(*),
где &*.(夕;)一множество бесконечно дифференцируемых функций от х。，принимающих значения в 斤;.
До казательство. В соответствии с общим методом достаточно доказать справедливость этого утверждения для функций ср вида ф = а(х())0(у), где а (х0) ^0 и р(у) = ^(у). Имеем:
〈屮，а (Xq) 0 (у)〉=〈屮，^"*^^ (а (%о)В(У))〉==〈。’芋(а (%о)0(У))〉•
Обозначим через 夕у преобразование Фурье, действующее только на три пространственных переменных. Тогда 〈屮，а(*о)Р(У)〉=
=J<^у (? (У)) (?)/(?) ^y-ft m2 / а W e-2i^i^ dx0.
Пусть 屮/(У) — обобщенная функция от переменной у, зависящая от параметра х0 и равная ф(х0, у). Из равенства
&。(у)，р(у)〉= JFy (Р(y))(g)/(g) ^^^^-對=
"=〈二"黑/" 戸，(凯# мы получаем, что
e-2w鹏PG十曲"此。=/⑷戸k •
Тогда
Следовательно,
|Ш\^А«)|< 以 m产E)I |/(g)l・
Таким образом, преобразование Фурье (夕；屮*°(У)) (д) принадлежит 夕；и отображение
*о-* (%$(у))(д)
является бесконечно дифференцируемой функцией со значениями в 夕;.Поэтому
屮Х产Fq"此。 €以。(夕'(y))，
что и требовалось доказать.
Следствие.
屮*= % *怎(e-2cM 哂而)，
где 屮° — значение обобщенной функции 屮*° при хо = О, а 祭@ означает, что свертка действует только на пространственно-подобные переменные д,玄4玄,что то же самое, у.
Доказательство. Рассмотрим опять предыдущее выражение
Vq2+m2
(京也(у)№)=/日)-
=(夕у屮о (у)) е-2dM
Применяя оператор 夕^ к обеим частям этого равенства, получаем
屮％ (У)=屮。(У) % 歹(е "к)，
что и требовалось доказать.
Замечания. Для того чтобы однозначно определить общее решение уравнения Клейна — Гордона
(□ — М)屮=0, требуются два дополнительных условия: начальные значения волновой функции и ее производной по времени
屮(0, У)，設(О, У).
У нас же движение 屮 полностью восстанавливается по известному значению 屮(0, у). Мы вновь приходим к тому, что движения представляют собой весьма частный случай общего решения уравнения Клейна ——Гордона (ср. гл. 4, § 6)・
Определение. Оператор
戸（e-2tm 了户+疝）号
восстанавливающий 屮 по 屮(0, у), называется оператором эволюции.
Пространство 豳()представления Гейзенберга
Пусть 豳о ——совокупность начальных значений 屮° (у) движений 屮.Тогда из следствия предложения 1 мы заключаем, что формула
屮(*о, y)fK(y)устанавливает взаимно однозначное соответствие между 豳и 豳° (так как из 屮° (у)三 0 вытекает, что ф(х0> у)=0).
§ 2. Пространство 兆° представления Гейзенберга 165
С другой стороны, из самого предложения 1 следует, что齢0 и夕(у).
Предложение 2. Гильбертова структура в пространстве 豳°, перенесенная 〃з 蕤 с помощью соответствия W(x(),y)f^o(y), определяет 6 蕤° более сильную топологию, чем топология, индуцированная пространством 必.
Доказательство. Достаточно выписать определения этих двух топологий.
Определение пространства "$・ Говорят, что обобщенная функция Т (у) на R3 принадлежит пространству Hs, где s — любое вещественное число, если
Т (у) является обобщенной функцией степенного роста,
f (у)——квадратично суммируемая функция относительно меры (l + lqOdq.
Норма в пространстве Hs определяется равенством
11Txs =/ 疗⑷ |2(1 +切 2)S"
Предложение 3. Пространство 齢° совпадает с "%. (Это, в частности, означает, что нормы этих пространств эквивалентны, т. е. существуют два фиксированных положительных числа А и В, таких, что для любой функции 屮° £ 鸵\)имеем
8 II屮oil"% W 11%11瞅《＜ ИФоИнУг*)
Доказательство. Условие 屮 ° £ 豳 ° эквивалентно условию
.№11 疏 ＜ + 8，
а это в свою очередь означает, что
/瓜(0)卩2vV + m對＜ + 8 _
(ср. доказательство предложения 2) и 屮° является обобщенной функцией степенного роста. Таким образом, условие %£窮0 эквивалентно условию %£〃％・
Тогда эквивалентность обеих норм очевидна, так как
II屮。嗑。=2 //⑷12 M产F获眼•
Итак, пространство 齢 является множеством решений уравнения Клейна — Гордона, удовлетворяющих следующим условиям:
частоты этих решений отрицательны;
начальное значение 屮° принадлежит "%;
Ф(х0. у) €&%(/).
3. Плотности вероятности координат и скоростей
Предыдущее выражение для квадрата нормы ||%||^) позволяет написать следующую коммутативную диаграмму:
If 小声
屮0 € 眈0 <2ГГ- 4 * 屮0 € 厶2 ”0’
(%*)一 где
4=歹(限i^qr^).
В самом деле,
II4-oUo = I /2 沙声К Фо(9)1= 1№咻必
(炉，разумеется, представляет собой унитарный оператор), следовательно, оператор свертки UQ # унитарен.
Определим оператор U%* как произведение следующих изоморфизмов:
窮心f乡^亠> 厶2.
Так как эти изоморфизмы унитарны, оператор Uq тоже унитарен.
Определение. Назовем вероятностью нахождения частицы с движением 屮 в момент времени %。в области Л^
6 3. Плотности вероятности координат и скоростей 167
следующее выражение:
Предложение 4. Оператор иХй # является оператором свертки с функцией
%。=歹(/2 ^д2+ 紋 e+2/小 吟而).
Следствие предложения 1 дает
心ф g+2tMо У『+ 硏
с другой стороны» из предыдущей диаграммы и определения и*。следует, что
_4
炉(％ * %)=/2 Vr/5 % 匂)=
4
=|/^ у q^^ tn2 5* (g) g+2tsp0?+制
что и требовалось доказать.
Предложение 5. (Закон сохранения ча сти ц.) Величина Рф(R3, xj не зависит от х。.
В самом деле,
рф (R* %。)= JI %, * 屮力"У = /1 "U糸 F dy = R» R8
=/ 2 К 炉 + 叫 &(g) |2 dq = 口屮。j . ' Ra
Замечания. 1. Функция £/尤(у) выражается через функции Кельвина и поэтому очень быстро убывает на бесконечности. Таким образом, Р屮(4%о) зависит главным образом от значений функции 屮 вблизи Я, но не только от значений на самом множестве 4
Функция U& определяется из физических соображений неоднозначно: выражение в круглых скобках можно умножить на е〃(〔0 1), где 2 — любая вещественная измеримая функция. Если мы потребуем, чтобы выполнялось дополнительное условие: комплексное сопряжение ф-> ф переводит частицу с параметрами (% —) в частицу
168 Гл. 6. Определение физ. понятий. Скалярные частицы с параметрами (/п,+), то и тогда функция /(|q|) не определяется однозначно; она может принимать любые значения вида ^к, где 力——целое число.
Определение. Назовем вероятностью того, что частица с движением 几 имеет в момент времени х0 скорость д, заключенную в области Л(=Ез , выражение 歹鼠а，砌=/ I Q (g) Г 2党阡萨dq.
Следовательно,
歹#(4, %0)= / I е-22*у^Ггё?@0(д)12 2 Mq2 十枕2 dq =
=f
J 2 Mg2 + м A
Отсюда вытекает, что
歹$(N, л:。)не зависит от х0 (скорость постоянна);
一 歹$(Z, л;。) зависит только от значений функции /(,) в
Г лава 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.СЛУЧАЙ ВЕКТОРНЫХ ЧАСТИЦ
Постановка задачи
Так же, как и в случае скалярных частиц, мы получаем, что
1)Движение 屮 е式。(男(百)на самом деле принадлежит пространству %(匐(齐))；
九）2 y戸+m2九）2 y戸+m2My) = FgMy) = Fg2)炉yj (У) = / 匂)е-2，м MG ур=
九）
2 y戸+m2
九）
2 y戸+m2
My) = Fg
My) = Fg
где /(,) обладает следующими свойствами:
(I)九)出
> da
I) /(g)部言肃 является 的-нзме
価 J疗⑷"；^Д^<+8.
Напомним, что совокупность таких функций, снабженную гильбертовой структурой, определяемой нормой
疗『=/II/⑷情力(办
где
即(g) = ~黑° ,卜力 2/^2+球
мы обозначаем символом £2(壮卩，R^ ｛尸/夕尸)；здесь R3 появилось вместо Q в результате замены переменных.
Л. Шварц
Таким образом, величина ||/||2 возникает как непрерывная сумма норм, каждая из которых берется в своем пространстве 尸тогда как в случае скалярных частиц величина ||/||2 подсчитывалась только в одном пространстве. Поэтому определения 歹$(4啕 и Р屮(4 х0) нельзя непосредственно распространить на рассматриваемый случай.
Вторая трудность заключается в том, что пространство 翅° в этом случае уже не является инвариантным относительно операторов а^ О; в самом деле,
。%=(吗)，
где Л — гиперплоскость, которая получается из гиперпло* скости хо = О под действием оператора а£ О; таким образом,
где 齢° — множество всех начальных значений движений. Сечение, которое дает коммутативную диаграмму, зависит от а:
СечениеСечение屮。屮。Сечение Л:
Сечение
Сечение
屮。
屮。
в痂.0
(0以
(гиперплоскость 九 проходит через начало координат в пространстве 尸，так как сдвиги группы G действуют тождественно на 尸).
Следовательно, для того чтобы в рассматриваемом случае для наших операторов были справедливы те же формулы, что и в случае скалярных частиц, необходимо вычислять норму функции /(g) в одном и том же простран-
стве Fw, не зависящем от g и инвариантном относительно любого оператора а£О. Для этого нужно, чтобы векторный аналог преобразования 夕(U°) был оператором вида
'4 炉(么)句)=]/^m02 +加2匕
где / (^) -> V/ (g) — унитарное отображение пространства
厶2(因R3, ｛尸川尸)в厶2(因R3,片/
Вместо одного оператора V можно рассматривать набор операторов V, £ 9 (尸夕 F^), q £ R3, связанный с V pa- венством (yf)(q) — Vg(J(q))- Операторы Vq обладают следующими свойствами:
% — унитарный оператор из Fq на 尸咽
(П) диаграмма
коммутативна.
Отсюда вытекает, что пространство Fw инвариантно относительно оператора а, унитарно действующего в Fw.
Из этой диаграммы легко определить У?, если бы мы могли определить оператор а (а, р), принадлежащий группе О и действующий на 尸，такой, что
выбор оператора а зависит только от точек а и р - множества 2 (и не зависит, например, от гиперплоскости
° (П) “Q, р)Л1(@) = Л1(р);
(Ш) а (а, р) — всюду регулярная (т. е. аналитическая) функция переменной р и с (а, л)= 1 (1—единичный оператор).
Если такой оператор о построен, то Vq определяется при помощи следующей коммутативной диаграммы:
Каноническое вложениеКаноническое вложениеКаноническое вложениеКаноническое вложение尸附⑺-^ Fq
Каноническое вложение
Каноническое вложение
Каноническое вложение
Каноническое вложение
II
0(a, P)匕？
尸—M^—>Fa —
где о(0, р) — оператор, контраградиентный к а (а, р).
2. Построение оператора а (а, р) в случае, когда 0/4 является группой Лоренца или ее накрывающей группой
В этом случае известно, что О/О0, как множество операторов в £*；, содержит только один элемент такой, что
%р переводит точку а в точку р;
аа)р оставляет инвариантной двумерную плоскость, проходящую через точки 6, @ и р;
%“ действует тождественно в плоскости, которая лоренц-ортогональна к плоскости (0, а, р).
Возьмем теперь в качестве о (а, р) оператор в про-, странстве 尸，который соответствует элементу % 卩，согласно определению действия группы С/С。 в 尸.Это соответствие аналитическое; поэтому для доказательства аналитичности отображения р—>о(а, р) достаточно доказать аналитичность отображения'
Р f %,"，
Напомним, что вектор р £Е； можно записать в виде Р = (Р> 夕)，где g£R3, или р= Po% + q・ Пусть а и р— два элемента орбиты Q, а у — любой элемент пространства Е：・
Так как а — времени-подобный вектор (в самом деле, он принадлежит Q), то в качестве eQ можно взять века тор |4|
Теперь доказательство состоит в применении о.» к вектору у и в проверке того, что координаты этого вектора преобразуются аналитически. Оператор а_» переводит единичный вектор, пропорциональный а, в единичный вектор, пропорциональный р:
где '
卩=向=m/^ 一/
Следовательно,
chg=仔； sh ср — -L^-.
Отсюда вытекает, что в базисе 卜 записывается матрицей(ch中sh叫=丄(p \shcp ch" —工卜才 так что7)1方丨1Теперь разложим вектор у на из которых лежит в плоскости ( 'скости(0, ^ 凸-} а ПРУ® —%, —^― ) оператор ь»1 Ро / ->две компоненты, одна0, а, р), т. е. в пж>二 в ортогональной к нейОтсюда вытекает, что в базисе 卜 записывается матрицей(ch中sh叫=丄(p \shcp ch" —工卜才 так что7)1方丨1Теперь разложим вектор у на из которых лежит в плоскости ( 'скости(0, ^ 凸-} а ПРУ® —%, —^― ) оператор ь»1 Ро / ->две компоненты, одна0, а, р), т. е. в пж>二 в ортогональной к ней
Отсюда вытекает, что в базисе 卜 записывается матрицей
(ch中sh叫=丄(p \shcp ch" —工卜才 так что
7)1方丨1
Теперь разложим вектор у на из которых лежит в плоскости ( 'скости(0, ^ 凸-} а ПРУ® —
%, —^― ) оператор ь»
1 Ро / ->
две компоненты, одна
0, а, р), т. е. в пж>二 в ортогональной к ней
Отсюда вытекает, что в базисе 卜 записывается матрицей
(ch中sh叫=丄(p \shcp ch" —工卜才 так что
7)1方丨1
Теперь разложим вектор у на из которых лежит в плоскости ( 'скости(0, ^ 凸-} а ПРУ® —
%, —^― ) оператор ь»
1 Ро / ->
две компоненты, одна
0, а, р), т. е. в пж>二 в ортогональной к ней
плоскостиплоскости
плоскости
плоскости
Вычислим О»у. а»р
По определению а_», вторая скобка остается инвариантной. Используя приведенные выше формулы для 。产g и о訂％, получаем .
о諡 у=м — (у I %)р。％—и 丨％) g+(у 丨幻 ％ +
+ (У 丨夕)-j^ ?J + У + (У I %) % — (У I 夕)j^ I =
=j+[S鬲后一目+6而传+志（岑一 1川.
Для доказательства аналитичности преобразования такого вида достаточно проверить, что выражение
не имеет особенности при д = 0*
Вспомним, что Ро = М I办+ М , так что
济&而fjj;济&而fjj;
济&而fjj;
济&而fjj;
для I о I f ° получаем
言传一卜志^言传一卜志^1 |理12 n4丿一办2 ，1 |理12 n4丿一办2 ，
言传一卜志^
言传一卜志^
1 |理1
2 n4丿一办2 ，
1 |理1
2 n4丿一办2 ，
3. Построение некоторых операторов и плотностей вероятности
Из сказанного в начале § 1 вытекает, что, вводя сбо- значение
Хо (д) = У 2+ m2 j。向，
мы получаем следующее:
Хо(д) является ^-измеримой;
б) хо(д)Е%；
(«0 /11爲(研:對 < + 8.
R«
Поэтому
笈句)"2(對,R3, ｛尸儿，尸)
что в точности эквивалентно соотношению
/(g) б йа用 R3, ｛尸儿,尸)， где
h" 2了02十球
Положим теперь
炉(4)日)=m2 Ud+加2匕
где оператор V определяется набором операторов Vq, удовлетворяющих коммутативной диаграмме, приведенной на стр. 171.
Так как оператор а (а, р) аналитичен, он измерим; следовательно, о*】(@, р) определяет оператор V^, аналитический по ^ и унитарно отображающий Fp на 尸@; преобразование
Xo(，)f丿及句)
из 乙2(對\ К, ｛尸 jq,尸)на /?®д, r3,尸/ унитарно.
Теперь мы получаем искомое обобщение формул для скалярных частиц, заменяя 麻⑷ на V ф0(9)-
Фурье-образ оператора эволюции задается формулой
плотность вероятности скорости частицы принимает вид
а плотность вероятности нахождения частицы в области & определяется выражением•
А°
где
芋 и*。=芋 и。《芋 и*。=芋 и。《+21пх^оЧ^+21пх^оЧ^4 =/2 VV+ 加24 =/2 VV+ 加2е+21к x(V^Tm^ у.е+21к x(V^Tm^ у.
芋 и*。=芋 и。《
芋 и*。=芋 и。《
+21пх^оЧ^
+21пх^оЧ^
4
=/2 VV+ 加2
4
=/2 VV+ 加2
е+21к x(V^Tm^ у.
е+21к x(V^Tm^ у.
Найдем выражение для оператора энергии, или гамильтониана, Н.
По определению, оператор Гамильтона является Фурье- прообразом величины
р0 = мд2十加2：
В самом деле, применяя обратное преобразование Фурье к обеим частям равенства
получаемТак какполучаемТак какp0@ =m尸+九2加
получаем
Так как
получаем
Так как
炉А) *屮=炉(Mg2 +加2 ) *屮.
炉Po = i "^^ з (%0)，
то в результате находим уравнение
力备•屮=牙(乙2 +加2 )神.
Отсюда для гамильтониана Н получается выражение
§ 4. Переход к более общим группам
До сих пор (кроме § 1, гл. 7) от группы О требовалось только, чтобы она была группой Ли, обладающей коммутативным нормальным делителем О0, таким, что O/G0
является однородной группой Лоренца У или ее накрывающей группой. Поэтому желательно распространить результаты § 1 этой главы на следующий несколько более общий случай. Пусть G = 2 X А, где Л — произвольная группа Ли. Пусть Ф-1 (1)——ядро представления группы G в 2(尸；尸).Обозначим через Г факторгруппу О/Ф- (1). В наших рассмотрениях участвует, по существу, только эта факторгруппа Г и, в частности, отсутствуют сдвиги.
Так как группа 2 не имеет ни одного нетривиального нормального делителя, проекцией тг« ［Ф-1 (1)］ ядра ①-'(1) на 8 является либо сама £, либо единичный элемент е.
Рассмотрим отдельно два случая.
佻［①-】(1)］ = 2.
В этом случае группа 2 тривиально действует в пространстве 尸,а так как Fp является образом Fa при преобразовании, переводящем ав р, то Fp совпадает с Fa.
Тогда можно считать, что 尸=尸@ н пространство 尸 неприводимо, так как Fa неприводимо относительно стабилизатора точки а, который в нашем случае совпадает со всей группой Г.
Это.показывает, что в данном случае справедливы те же самые формулы, что и в случае скалярных частиц.
&№一1)］一.
В этом случае группа 2 эффективно действует в пространстве 尸，и
к3 (Г) = н (О/Ф*1 (1))=恥(2)/伙［①т (1)］响Г = 2/1 =也
Пусть ^—ядро гомоморфизма Г—->2; ядро N является нормальным делителем, и по теореме Леви ——Мальцева существует подгруппа £' группы Г (которая не обязательно является нормальным делителем), такая, что
r = &XN (полупрямое произведение).
Согласно той же теореме, 2’ н 2 имеют одну и ту же алгебру Ли, откуда вытекают две возможности.
2х = 8.
Можно показать, что необходимым и достаточным условием существования плотности вероятности для координат частицы является равенство
Г = 2х X ^ ' (прямое произведение).
2х—однородная спинорная группа группы 2.
В этом случае можно доказать, что необходимым и достаточным условием существования плотности вероятности координат частицы является равенство
F = (&XN)/t (знак X означает прямое произведение), где т — подгруппа группы 2/X^, состоящая из двух элементов (е, е) и (е< £). Здесь е — единичный элемент ядра ^, а и е‘一два элемента в £', соответствующие единичному элементу в 2 при канонической проекции 2’ на ?・ Из этого условия вытекает, что 8х и ^ коммутируют.
Следовательно, эта коммутативность необходима в обоих случаях (а) и (б). Это справедливо и в том случае, когда ядро ^ конечно.
Достаточность приведенных условий тривиальна.
Структурная четность частиц
Пусть О—структурная группа рассматриваемой 尸 стицы — является подгруппой неоднородной группы Лоренца, сохраняющей направление времени, но не обязательно сохраняющей пространственную ориентацию. Пусть Q ——ветвь гиперболоида, соответствующая этой частице; обозначим через Оа стабилизатор точки а ^ 2. Он является максимальной компактной подгруппой группы О, т. е. полной ортогональной группой подпространства Е3, ортогонального к а. Тогда подпространство 尸@ пространства F является неприводимой компонентой представления группы Ол в А
Пусть s — оператор симметрии относительно начала координат в пространстве F3. Тогда
s£G@; s2 = 1 и s принадлежит центру группы С@;
Од определяет (с точностью до постоянного множителя) положительно определенную квадратичную форму в пространстве 尸@, для которой Ga является ортогональной группой.
Из (1) и (II) следует (согласно лемме Шура), что опе- ратор s в 尸“ является скалярным оператором, квадрат которого равен Г. Таким образом, s^-^^ или —1 во всем пространстве 尸公 По определению, этот знак называется четностью частицы. Разумеется (в силу непрерывности), этот знак не зависит от выбранной точки а на 2.
Рассмотрим теперь вместо группы О, с которой нам приходилось иметь дело- до сих пор, ее накрывающую группу, которую обозначим также через О. * Тогда новая подгруппа Од будет накрывающей прежней группы Оа. Таким образом, в новой группе Qa существует один или несколько различных операторов, действующих в пространстве Е3 как s. Но они не принадлежат центру группы Оа, поэтому понятие четности теряет смысл. С таким положением мы встречаемся в случае электрона.
Напомним, что все изложенное относится только к случаю отсутствия взаимодействия.
5 7 7 9141820235 7 7 91418202326263241475057656569768490951011031031091132626324147505765656976849095101103103109113
5 7 7 914182023
5 7 7 914182023
2626324147505765656976849095101103103109113
2626324147505765656976849095101103103109113
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию Глава /. Постановка задачи
Введение
Элементы теории обобщенных функций ....
Аффинные пространства. Преобразования Лоренца
Мировые скалярные частицы\
Скалярные и векторные частицы в произвольном мире
Слабая и сильная сходимость
Глава 2. Множество Q мировых частиц и его структура S § L Пространство §
Структура g и £十（£', £） § 3. Скалярные частицы § 4. Тензорные произведения § 5. Векторные частицы § 6. Отношения порядка в векторных пространствах и положительность антиядер
Глав а 3. Мировые частицы и инвариантность относительно сдвигов. Упрощение по ядру • ： . . • § 1. Тензорные произведения обобщенных функций § 2. Свертка § 3. Инвариантность относительно группы сдвигов § 4. Преобразования Фурье § 5. Теорема Бохнера
Свойства упрощенного* ядра § 7. Гильбертово пространство 蜜 для скалярных частиц
Глава 4. Элементарные частицы и инвариантность относительно вращений
Элементарные частицы § 2. Носители экстремальных мер § 3. Мезоны
172024282833«мм ^ ^ W ^ ет ет7275767811 11 11 и «1 11 11 11 I 11 I 11 I 11 11 *1 11 11 11172024282833«мм ^ ^ W ^ ет ет7275767811 11 11 и «1 11 11 11 I 11 I 11 I 11 11 *1 11 11 11
172024282833«мм ^ ^ W ^ ет ет72757678
11 11 11 и «1 11 11 11 I 11 I 11 I 11 11 *1 11 11 11
172024282833«мм ^ ^ W ^ ет ет72757678
11 11 11 и «1 11 11 11 I 11 I 11 I 11 11 *1 11 11 11
Лоренц-ннвариантные скалярные обобщенные функции
Описание всех мезонов
Описание пространства да в случае мезона * .
Гл а в а 5. Векторные элементарные частицы и их свойства § 1. Векторные частицы § 2. Описание всех векторных частиц § 3. Полное описание преобразования Фурье гильбертова пространства для векторных частиц
Электрой
Векторные частицы с нулевой массой ....
Глава 6. Определение некоторых физических понятий. Случай скалярных частиц § 1. Оператор эволюции § 2. Пространство 兆q представления Гейзенберга § 3「Плотности вероятности координат и скоростей
Глав а 7. Определение некоторых физических понятий. Случай векторных частиц § 1. Постановка задачи
2. Построение оператора и(а,р) в случае, когда
G/Go является группой Лоренца или ее накрывающей группой
Построение некоторых операторов и плотностей вероятности
Переход к более общим группам
Структурная четность частиц
Лоран Шварц
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ К ИЗУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХЧАСТИЦ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор Н. И. Плужникова Художественный редактор Е. Я. Шаповалов
Художник Я. Л. Литвишко Технический редактор А. В. Грушин
Корректор Н. “♦ Казарина
Сдано в производство 21/Х-1963 г.Подписано к печати 7/Ш-1964 г.
Бумага 84хЮ8*/з2*2,9 бум. л., 9,4 печ. л. Уч.-изд. л. 7,5. Изд. № 1/2Ж23.
Цена 53 к. Зак. 1783. (Тем. план 1964 г. изд-ва „ИЛ* пор. № 26)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р»
♦Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой«Главполнграфпрома» Государственного комитета Совета Министров СССРпо печати. Измайловский проспект, 29.,
I) Говорят, что группа G действует эффективно на пространстве Л, если каждому элементу группы, отличному от
В пространстве положительных антиядер очевидным образом определяются сложение и умножение на скаляр. Кроме того^ задается отношение порядка:
4《厶2，есля(г, 厶仰'〉《〈6，厶片〉им всеx er^е\
Докажем теперь следующий важный результат.
(I) 4e学(商)；
(П)0《％《1;
(III) % — 1 f 0 равномерно вместе со всеми произ* водными на любом компактном множестве.
Так как функции %屮 непрерывны и имеют компактный носитель, а ^= ^Т — положительная мера, то〈/ 夂屮〉》 >0 в пространстве М. Переходя к пределу (что возможно^ так как 卩 имеет степенной рост), получаем
Notes taken at the lectures ofLAURENT SCHWARTZ
APPLICATION OF DISTRIBUTIONS
TO THE STUDY OF ELEMENTARY PARTICLESIN RELATIVISTIC QUANTUM MECHANICS
DEPARTMENT OF MATHEMATICSUNIVERSITY OF CALIFORNIA
March 1961
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА „МАТЕМАТИКА*-
ЛОРАН ШВАРЦ
ПРИМЕНЕНИЕОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙК ИЗУЧЕНИЮЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦВ РЕЛЯТИВИСТСКОЙКВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Перевод с английскогоИ. Б. АЛЕКСАНДРОВАиА. Н. СТАРОСТИНА
Под редакциейА. А. КИРИЛЛОВА
С предисловиемН. Н. Боголюбова
ИЗДАТЕЛЬСТВО《МНР»附俨2耳6 а 1964
Настоящая квига является переводом лекций Л. Шварца, в которых кратко, в доступной форме излагаются основы теории обобщенных функций применительно к квантовой механике.
Эта теория, с помощью которой за последние годы был революционизирован ряд отраслей математического анализа, уже нашла и в ближайшее время, безусловно, найдет новые важные приложения в механике и физике.
Книга Л. Шварца представляет интерес как для математиков, механиков и физиков-теоретиков, так и для инженеров-исследователей, применяющих аппарат математики и физики, а также для студентов старших курсов указанных специальностей.
Редакция литературы 理。математическим наукам