ПРЕДИСЛОВИЕ к РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Конструктивная теория квантовых полей представляет собой важный и быстро развивающийся раздел математической физики. Хотя изучению конструктивными методами поддаются лишь простейшие одномерные и двумерные модели, получаемые при этом выводы полезны и поучительны при сопоставлении их с общими выводами аксиоматической теории квантовых полей.

В последние годы большое внимание специалистов привлекло внедрение в конструктивную теорию эвклидовых методов, связанных с переходом к мнимому времени. При этом задача построения бозонного квантового поля может быть переформулирована как задача построения марковского обобщенного случайного поля и к исследованию задач математической физики могут быть привлечены методы теории вероятностей. Здесь на новом уровне вскрывается известная взаимосвязь идей теории квантовых полей и статистической физики. Возникающие возможности взаимодействия различных областей науки представляются многообещающими.

Предлагаемая читателю книга дает подробное введение в методы и результаты эвклидовой теории поля. Автор сумел сделать книгу интересной и доступной как для физиков, так и для математиков. Нужные автору сведения из аксиоматической теории сообщаются по ходу дела. [Для более подробного ознакомления с этими идеями и с историей исследования этих проблем, в которые внесли важный вклад советские специалисты, можно рекомендовать читателю монографии: Н. Н. Боголюбов и Д・ В. Ширков «Введение в теорию квантованных полей», 2-е изд. («Наука», 1973), и Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов и И. Т. Тодоров «Основы аксиоматического подхода к квантовой теории поля» (《Наука》，1969).] У читателя предполагается довольно хорошее владение методами функционального анализа. Необходимые сведения из теории

случайных процессов приводятся в самой книгеЛ хотя и в довольно краткой форме.

Публикуемая в русском переводе книга Б. Саймона, видного американского ученого, внесшего существенный вклад в развитие эвклидовой теории квантовых полей, представляет интерес для специалистов многих научных направлений.

Н. Я. Боголюбов

Посвящается Эду Нелсону, который объяснил мне, сколь неестественно воспринимать теорию вероятностей как что-то неестественное.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эти заметки написаны на основе одного курса лекций, прочитанного на Семинаре по теоретической физике ETH/EPF в Цюрихе весной 1973 года. Для меня большая радость поблагодарить многих людей, помогавших мне в моей работе:

Клауса Хеппа, пригласившего меня в ЕТН для чтения лекций,

Жана Ласку (Эколь Политекник, Париж), Пола Урбана (Шлад- минг), Даниэля Кастле (CNRS, Марсель), Андрэ Лихнеровича (Коллеж де Франс), Р. Жерара (Страсбург) и Джона Льюиса (Институт высших исследований, Дублин), предоставивших мне возможность выступить с рядом лекций по данной тематике; эти «генеральные репетиции» позволили опробовать различные формы представления материала,

Давида Рюэля и Вальтера Тирринга, убедивших меня в своевременности подобного доведенного до последнего дня изложения,

Джеймса Глимма, Артура Джаффе, Эда Нелсона и Артура Уайтмэна за все, чему они научили меня,

Франческо Гуэрру и Лона Розена за удовольствие совместной работы с ними и за разрешение использовать материал из наших еще не завершенных статей,

мисс Р. Хинтерман, напечатавшую основную часть первого варианта рукописи (7^2 глав). Это было сделано в течение 10 недель, ужасных для нас обоих!

миссис Дж. Эндерсон и миссис К. Джоунс, напечатавших остальную часть первого варианта, и миссис X. Моррис, подготовившую окончательный вариант машинописного текста.

Артура Уайтмэна за энтузиазм по поводу опубликования этих заметок (и за его энтузиазм вообще!),

Гейла Филиона и Джона Хэннона за их ценные редакторские советы и за терпение, с которым они ждали рукопись, когда автор ее задерживал,

Лона Розена за тщательную проверку заключительной корректуры,

ЕТН, фонд Слоуна, UASFOSR (контракт F44620-71-C-0108) и USNSF (Grant GP 39048) за финансовую поддержку в период подготовки рукописи

и Марту Саймон; эти 10 недель оказались достаточно ужасными и для нее.

Барри Саймон

ВВЕДЕНИЕ

Цель этих заметок ——ввести читателя в круг «эвклидовых» идей квантовой теории поля и развить в деталях один из подходов—— метод «корреляционных неравенств», в приложении к простейшей модели теории поля с взаимодействием — Р (<р)2-бозонного поля в двумерном пространстве-времени. Мы упорно старались сделать эти заметкя доступными нетривиальным подмножествам как общины математиков, так и общины физиков. Мы уделили главное внимание вероятностной эвклидовой стратегии (применительно к Р (ф)2), а не гамильтоновой стратегии, развитой Глиммом и Джаффе и доминировавшей в период с 1964 по 1971 год. Эта гамильтонова стратегия сыграла свою важную роль в формировании эвклидовой стратегии. Ясное изложение гамильтоновой стратегии читатель может найти в статьях [70, 71].

Мы хотим с самого начала подчеркнуть, что эти заметки в некотором смысле односторонни. Метод корреляционных неравенств длн модели Р (<р)2 — далеко не единственный из методов статистической механики, применимых к эвклидовым полям, отнюдь нет， существует много других мощных методов, таких, как, например, техника разложений Глимма, Джаффе и Спенсера (обсуждаемая в самых общих чертах в гл. X).

И аналогии со статистической механикой ——это далеко не всё, что имеется в эвклидовой модели Р (<р)2. И эвклидов подход не охватывает всех результатов относительно модели Р (ср2); так, до сих пор еще нет вывода на эвклидовом языке локального фоковского свойства Глимма ——Джаффе. И поле Р (ср2) — это еще Не вся конструктивная теория поля, отнюдь нет,—— уже получены существенные результаты, касающиеся более сложных моделей У2г Фз и ср：; впереди очерчиваются перспективы к овладению методами исследования сверхперенормируемых расходимостей и началу изучения перенормируемых теорий. И конструктивная кванто-

вая теория поля — еще не вся строгая квантовая теория поля: немало разумного и в «классической» аксиоматической теории поля, а также в строгой теории перенормировок на уровне рядов фейнмановских диаграмм. И наконец, строгая квантовая теория поля ——это еще не вся квантовая теория поля: нужно помнить две вещи: во-первых, что теория поля — это живой инструмент в руках многих специалистов по высоким энергиям и их интуиция может оказаться ценной и при строгом подходе, а во-вторых, что наша конечная цель ——понимание физики квантовых полей.

Несмотря на эти предупреждения, мы считаем, что конструктивная эвклидова квантовая теория поля, развившаяся за последние несколько лет, — это глубочайшее из того, что дала конструктивная программа до сих пор, а метод корреляционных уравнений —это с педагогической точки зрения простейший среди методов, развитых для реализации эвклидова подхода. Конструктивная эвклидова теория поля представляет собой захватывающее зрелище синтеза многих направлений: в ней соединились идеи фейнмановской теории функциональных интегралов и результаты, полученные при формальном развитии этой теории в конце пятидесятых годов, с конструктивной программой, начатой Джаффе, Глиммом и Нелсоном и продолженной Джаффе, Глиммом, Розеном и Сигалом; как подчеркнул Симанзик, эта теория является синтезом эвклидовой теории поля Накано и Швингера с теорией функциональных интегралов Фейнмана ——Винера при мнимом времени; наконец, на самом глубоком уровне она представляет собой соединение квантовой теории поля (на сегодня, по крайней мере теории скалярного бозонного поля) с теорией марковских процессов; эта взаимосвязь позволяет вложить теорию бозонных полей в классическую статистическую механику.

Последние две взаимосвязи угрожают сделать квантовую теорию поля ветвью теории вероятностей, и это должно волновать как физиков, так и математиков. Использование вероятностных методов в квантовой теории (в качестве технического средства, а не только на уровне интерпретации) имеет славную историю. Его родоначальниками были Кац, который понял, что интеграл Винера можно применить в квантовой механике в ее фейнмановской формулировке, и Сигал, который обратил внимание на взаимосвязь между гауссовскими процессами и прост-

ранством Фока и, по аналогии, на предположительную взаимосвязь между негауссовскими процессами и взаимодействующими квантовыми полями. В первые годы существования конструктивной теории поля (1964 —1970) эти вероятностные идеи играли большую роль в ее развитии, однако группа специалистов в этой области, среди которых я был одним- из самых шумных, потратила много усилий, чтобы полностью элиминировать использование теории вероятностей. Частично я исходил при этом из того довольно типичного для специалистов по функциональному анализу подозрения, что теория вероятностей ——это просто раздел функционального анализа со странной терминологией, цель которой сбить с толку всякого, кто не позаботился стать членом клуба вероятностников. В некотором смысле такое мнение справедливо: всякое утверждение в теории вероятностей допускает перевод на язык функционального анализа. Но при зтом как-то пропускается главное. Как и структура любого другого иностранного языка, структура теории вероятностей основана на своих индивидуальных, естественных для нее схемах мышления, и порождаемый зтим языком специфический образ мышления играет в ней критическую роль; говоря более прозаически, некоторые в высшей степени естественные конструкции теории вероятностей выглядят придуманными ad hoc и неестественными, если интерпретировать их как конструкции функционального анализа. Я признаю ошибочность моих прежних взглядов, и зти заметки демонстрируют обычные экцессы новообращенного: например, в ряде мест, вместо использования некоторых аналитических средств, таких, как 7Ух-оценки, я предпочел воспользоваться более вероятностными, хотя и более изысканными соображениями. Без сомнения, читатель быстро заметит, что я говорю «по-вероятностнически» с заметным функционально-аналитическим акцентом; читая лекции в Цюрихе, я не мог отделаться от ощущения, что говорю не на литературном языке теории вероятностей, а лишь на ее швейцарском диалекте.

Далее мы коротко изложим предысторию эвклидова и стат- механического подходов—период, когда были заложены основы современных исследований. Ссылки на эти современные работы имеются в тексте, а с историей развития конструктивной теории поля

в период, предшествовавший введению чисто эвклидовой техники, читатель может ознакомиться по работам [70, 71].

Учитывая досадные особенности фейнмановского пропагатора (卩；一Р；——卩：——卩；——т® —iO) -1, естественно рассмотреть формальное аналитическое продолжение рядов теории возмущений в область, где р^ V 0. Впервые это было предложено Дайсоном в его знаменитой работе (примерно 1950 года) по квантовой электродинамике; дальнейшее развитие эта идея получила в работах Вика. В качестве примера полезности такого продолжения упомянем первоначальное доказательство Вейнберга его теоремы о сходимости интегралов Фейнмана.

Новое направление развитию этих идей было придано Швингером и Накано (незадолго до 1960 года), которые предложили переформулировать операторную теорию поля в терминах полей в эвклидовой области и построили свободные эвклидовы поляках объекты в пространстве Фока. Симанзик оказался первым» кто понял всю глубину такой точки зрения, а также пользу от интерпретации возникающих при этом полей как обобщенных случайных процессов. Весной 1971 года Нелсон внес в программу Симанзика два важнейших дополнения. Во-первых, он открыл способ восстановления поля в области Минковского по эвклидову полю, обладающему некоторыми определенными свойствами. До этого оставалось неясным, как после выполнения программы Симанзика построения эвклидовых полей можно будет получить поле в физической области. (Как мы увидим ниже, Остервальдер и Шрадер предложили позднее другой путь для восстановления физического поля.) Во-вторых, и это более важно, он установил непосредственную связь между программой Симанзика и программой конструктивной теории поля, развивавшейся Глиммом, Джаффе и другими.

Если учесть, что большинство специалистов по теории поля узнали о работе Нелсона в августе -1971 года, то, может быть^ покажется удивительным, что ее влияние на теорию поля по настоящему сказалось лишь через шесть месяцев, после появления в начале 1972 года замечательной заметки Гуэрры о сходимости удельной энергии. Шесть месяцев могут и не показаться большим сроком, однако нужно иметь в виду, что как только эвклидовы методы были восприняты, они имели взрывное действие: в течение

шести месяцев с момента появления заметки Гузрры с помощью эвклидовых методов были получены простое доказательство точных оценок Глимма ——Джаффе (на основе непосредственного развития идей Гуэрры), первое доказательство аксиом Уайтмэна для класса Р (<р)2-полей (Глимм и СпенСер) и доказательство сходимости решеточной аппроксимации и вытекающих отсюда корреляционных неравенств (Гуэрра, Розен и Саймон). В дальнейшие шесть месяцев Нелсон доказал свою теорему о монотонности, Глимм и Джаффе использовали эвклидовы методы для завершения доказательства полуограниченности в обрезанной (<р4)3-модели и для доказательства существования одночастичных состояний в некоторых Р (д))2-моделях, Остервальдер и Шрадер предложили свои аксиомы, Ньюмэн доказал сходимость эвклидовых мер при малых константах связи, Даймок показал, что ряды Фейнмана для функций Швингера являются асимптотическими, Гриффитс и Саймон построили классическую изинговскую аппроксимацию, а Спенсер начал реализацию своей программы по исследованию моделей с сильным внешним полем. (Говоря о сроках, мы называем здесь моменты устного анонсирования работы; темп был столь захватывающ, что препринты часто запаздывали.)

По моему мнению, воздействие идей Нелсона было очень глубоким. С чисто технической точки зрения, его достижением является построение функционального пространства без обрезаний, доказательство и использование ковариантности в этом пространстве и тем самым получение способа доказательства лоренц- инвариантности, а не только лоренц-ковариантности в конструктивной теории поля.

Следует подчеркнуть, что ввиду большой силы методов, развитых Глиммом и Джаффе в 1971 году, функциональное пространство с обрезанием было важно в связи с упрощениями в системе понятий и обозначений, а не в связи с техническими изменениями; основное техническое достижение Нелсона связано с ковариантностью и инвариантностью. Однако я думаю, что рассматривать «марковскую революцию» лишь как чисто техническую ——значит упускать главное. Работы Нелсона и Симанзика полностью изменили все наше представление о конструктивной теории поля в том смысле, что изменилось наше представление о том, какие объекты надо рассматривать и что нужно стараться доказать, для того

чтобы вывести физические результаты. Как выразился один из моих коллег, «перемены столь глубоки, что скоро мы сможем, пожалуй, говорить, что функции Уайтмэна ——это аналитические продолжения функций Швингера на точки Уайтмэна!»

Введение идей статистической механики в конструктивную теорию поля происходит на трех уровнях. Первый уровень включает в себя аналогии между теорией поля и системами статистической механики как системами с бесконечным числом степеней

свободы; эту взаимосвязь особенно подчеркивал Хааг. На этом первом уровне ближайшим аналогом теории поля являются системы квантовой статистической механики. Взаимосвязь со статисти

ческой механикой на этом уровне использовалась в конструктив

ной теории поля с самых первых дней ее развития; она была неявной основой для многих идей и результатов Глимма ——Джаффе и Сигала, связанных с понятием С*-алгебры. По существу на'этой же аналогии основана работа Остервальдера и Шрадера о сходимо

сти удельной энергии в «TV-модели».

Гораздо глубже аналогия между формальной формулой Гелл-

манна —Лоу

т (д i, ..., №)=т (д i, ..., №)={О 17 [exp (t g <^? ® d%) ф (企° ... ф (企几)]I 0}〈0]7 [ехр(Х [能® d%] I 0〉

т (д i, ..., №)=

т (д i, ..., №)=

и формулой для кор ре л яцио ины х функций решетчатых систем

2 °i ... onexp( — ₽Я (о))

О；=±1

(0*1 ...(?〃〉=— .

2 ехр( — рН(о))

%=土£

Йона-эвкли-Йона-эвкли-Эта аналогия была впервые отмечена Фрадкиным и

Йона-

эвкли-

Йона-

эвкли-

Лазинио, но лишь Симанзик обнаружил, что при переходе в

дову область возникает модель классической статистической механики. Гуэрра, Розен и Саймон, воспользовавшись тем новым импульсом, который придал программе Симанзика Нелсон, развили эту теорию дальше, перенеся часть аппарата строгой статистической механики в конструктивную теорию поля. Вслед за ними и частично отталкиваясь от их работ, Глимм, Джаффе и Спенсер [73] развили эту аналогию еще дальше.

Третий, заключительный уровень аналогии включает в себя взаимосвязь между ферромагнетиками Изинга и бозонными лагранжевыми теориями поля. В отношении аппроксимации систем

статистической механики моделями теории поля эта идея восходит еще к работе Гинзбурга ——Ландау начала 50-х годов; она была основой приложения глубоких результатов теории поля к статистической механике: на ней базируются результаты Горькова, Мартина —Швингера, а также применение Уилсоном метода ренорм- группы. Идея двигаться в обратном направлении и воспользоваться в квантовой теории поля хорошо развитой техникой теории моделей Изинга принадлежит Гуэрре, Розену и Саймону, которые обнаружили, что, хотя возможности провести на строгом уровне аппроксимацию дискретных моделей Изинга при помощи континуальных систем не велики, аппроксимация теории поля с помощью дискретных моделей Изинга может быть проведена строго, по крайней мере в двумерном случае.

Нам хочется еще сказать кое-что о роли упрощений в конструктивной теории поля. Некоторая часть нашей общины придерживается мнения, которое было резюмировано в статье [731: «...преждевременное внимание к простоте и элегантности деталей может отвлечь силы от центральных задач и тем самым задержать прогресс и даже воспрепятствовать ему». Мое мнение состоит в том, что для дела прогресса лучше всего следовать тезису, приписываемому Гильберту: «Вы действительно понимаете теорему лишь тогда, когда считаете ее доказательство тривиальным». Я думаю, Что это особенно верно в применении к столь сложному объекту, как конструктивная теория поля, программа построения которой основана на изучении последовательности моделей все большей сложности. Что заведомо кажется преждевременным——так это решать вопрос о том, какие методы «допускают обобщение на случай более сингулярных взаимодействий», прежде чем эти более сингулярные взаимодействия не будут полностью изучены. Короче говоря, ключ к прогрессу——понимание. Во всяком случае, читатель должен быть осведомлен о разнообразии стилей и методологических подходов в данной области.

Мы хотим подчеркнуть, что эти заметки представляют собой запись лекций ——в наши намерения ве входило создать завершенное отшлифованное произведение. Для области науки, находящейся в состоянии постоянного изменения, как это было с конструк-

тивной квантовой теорией поля в 1973 году, последнее представляется почти невозможным. Результаты, которые были получены или стали известны лишь во время чтения моих лекций, вставлялись в первое подходящее место, хотя бы их наиболее естественное место было уже позади.

Сложность материала и количество утверждений, проверка которых предоставлена читателю, весьма различны в разных частях книги, однако по возможности я старался следовать известному сонету сельского проповедника: «Сперва ны говорите, что вы собираетесь сказать, потом говорите, потом говорите, что вы сказали».

Наконец, краткий обзор содержания книги. Глава I содержит обсуждение теории гауссовских случайных процессов с точки зрения специалиста по теории поля. Одной из основных причин, почему я поместил это обсуждение н начале книги, было желание сразу настроить все изложение на вероятностный лад. Главы II и IV посвящены изложению общего эвклидова формализма на двух различных уровнях, а в главе III рассматривается свободное эвклидово поле. Главы V и VI содержат «классические» результаты по теории Р (ф)2-поля, изложенные, однако, с эвклидовой точки зрения. Глава VII представляет собой интермедию технического характера; к сожалению, в некоторых местах она является слишком сложной. Эти сложные разделы главы основаны на предварительном варианте статьи [911 (которая готовится к печа^ н翌丄)；я надеюсь, что окончательный вариант этой статьи буде1 более удобочитаемым. Главы VIII и IX — кульминация этих заметок; в них показывается, как техника моделей Изинга применима для изучения Р (ф)2-моделей; там же содержится и доказательство аксиом Уайтмэна для модели (<р4 ——卩屮"，卩》0. Заключительная десятая глава предназначена служить введением в самые важные из последних достижений теории поля.

Сейчас вышел препринт; см. список литературы.——Прим. ред.

Глава Z

ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ,

Q-ПРОСТРАНСТВО

И ПРОСТРАНСТВО ФОКА

Изучение свободного релятивистского квантового поля естественно подводит к попытке одновременного приведения к диагональному виду полей в нулевой момент времени, которые представляют собой семейство (неограниченных) коммутирующих наблюдаемых. Хотя эта идея в неявном виде присутствовала в некоторых из самых первых работ по квантовой теории поля (см. исторические замечания в сборнике [711), лишь в пятидесятых годах Фридрихе [50] и Сигал [158] столкнулись при строгом рассмотрении этой диагонализации с трудностями, связанными с теорией меры. В серии статей [159—162] Сигал разработал теорию с этой точки зрения и особенно подчеркнул связь с различными идеями теории вероятностей.

Указанное одновременное приведение к диагональному виду пол ей в нулевой момент времени, реализованных в виде функций на измеримом пространстве, обычно называемом ^-пространством, играло важную роль с первых же дней существования конструктивной квантовой теории поля (см.} например, [131, 62, 147, 168]. Эти работы основаны на идеологии, согласно которой пространство Фока является основным объектом, а ^-пространство — производным. Однако возможна и противоположная точка зрения, и в соответствии с нашим желанием подчеркнуть вероятностные идеи, мы выберем ее в качестве отправной точки в § 1.1, 2. В § 1.3 мы говорим о связи этого подхода, основанного на понятии ^-пространства, с понятием пространства Фока. Оставшаяся часть главы посвящена дальнейшему изложению теории ^-пространства.

Параграф L1 содержит большое число теоретико-вероятностных терминов (отметим, что термин «полное^ семейство случайных величин не является стандартным). Термин «произведение Вика случайных величин» заимствован, конечно, из теории поля, хотя в литературе по теории вероятностей это понятие должно встречаться под другим названием. Заметим также, что объект, называемый нами «случайным процессом^, часто называют «случайным полем», а термин «процесса применяется лишь в специаль- 2 Б. Саймон

ном частном случае. Наконец, мы всегда используем слово «случайный^, хотя в теоретико-вероятностной литературе одинаково употребительны слова «случайный» и «стохаотический».

Гауссовские случайные величины

Вероятностным пространством называется тройка (М, S, ц), где М — это множество «точек», 2 ——некоторая ст-алгебра подмножеств М, а [л ~ (положительная) мера на 2, нормированная таким образом, что 卩(М) = 1. Можно превратить Е в кольцо, если определить «сумму» двух множеств Л,用 £ 2 как их симметрическую разность Л △ В = (А、В) U (£ \ Л), а «произведение» — как пересечение 4 n 用. Семейство 少旧= = {4£2 I ц (Л) = 0} является идеалом этого кольца, и меру ц можно «перенести^ на факторкольцо 2/2 旧(элементы которого называются измеримыми множествами по модулю 0).

Два вероятностных пространства (7И, S, ц) и (М\ 2\ р/> называются изоморфными, если существует изоморфизм колец 2/2旧 и 2'/2付，,переводящий меру ц в меру р/. Отметим, что в определении этого изоморфизма ни слова не говорится о соответствии между точками М и М'. Это отражает тот факт, что в развиваемой теории точки множества М не играют существенной роли; основными ее объектами являются элементы факторкольца S/J^, т. е. измеримые множества по модулю 0, называемые обычно событиями.

Случайная величина ——это измеримая функция /, отображающая М в множество действительных чисел R (где в качестве измеримых множеств рассматриваются борелевские множества). Интеграл j f d卩 называется математическим ожиданием / х).

Случайная величина / индуцирует меру цу на R:

切(R)=n(尸验1), (Li) которая называется распределением вероятностей 力 а (ненормированное) преобразование Фурье этой меры

су (i) = j е式* d同⑺=j exp (itf(m)) d卩 (L2) R M

называется характеристической функцией /. Характеристическая функция случайной величины / —— это замечательный объект. Прежде всего можно непосредственно охарактеризовать те функции, которые представляют собой характеристические функции случайных величин.

Мы будем обозначать его Ехр (/) [от expectation (ожидание).— Ре5.], с тем чтобы отличать от ехр (/) — /•

Теорема 1.1 (теорема Бохнера). Функция с (из R в С) является характеристической функцией случайной величины тогда и только тогда, когда она обладает следующими свойствами^ (а) с ⑼=1；

(b) функция 力一> с(£) непрерывна^

(e) для всех ｛〃｝之1 из R m е｝忆丄 из е

Sz^c (ti -切 > 0.(1.3)

Замечания, 1. Требование непрерывности можно ослабить: непрерывность вытекает из измеримости и условия (L3). Мы включили это требование для того, чтобы аналогия с теоремой Минлоса (см. ниже) была бы по возможности полнее.

Доказательство теоремы Бохнера можно найти во многих местах, например в [145Ь].

Вторым приятным свойством характеристических функций является возможность выразить через них моменты случайной величины /; п-м моментом / называется

j /п^н= j xndiif(x),(1.4)

если этот интеграл абсолютно сходится. Ясно, что / имеет моменты всех порядков тогда и только тогда, когда с』——функция класса С： и в этом случае*

\rd^-iT(^)ncf\^.(1.5>

м

Пусть два вероятностных пространства (М, S, р,) и (АГ, 2\ 卩) изоморфны и 7: 2/0让+ 2'/<7忆 —соответствующий изоморфизм колец. Будем говорить, что случайная величина f на Мг соответствует при этом изоморфизме случайной величине / на М тогда и только тогда, когда

7(尸岡)=(产尸网

для всех борелевских множеств Qu R.

Замечание. Если быть более точными» то в соответствии с той ролью, которую играют в нашей теории события, следовало бы определить случайную величину как отображение F о-алгебры борелевских множеств 箔 вещественной прямой R в 2/<7цг такое, что

^(U Qn)= U Р(Йп), если Qnn^m=0 (п^=т)； n=in==sl

歹(R) = M; F(0) = 0;

P (Q П Q?)=歹(％) П 歹(QJ・

Для всякой измеримой функции из М в R отображение F 三/」 определяет случайную величину в этом смысле. В ряде случаев (например, в модели 2 следующего параграфа) каждое F возникает таким способом, и в некоем интуитивном смысле F всегда «почти» порождается некоторым /. Но мы не будем обращать внимание на эти тонкости и будем действовать так, как если бы каждое F действительно порождалось некоторым /. В таком виде наши доказательства будут выглядеть более естественными, хотя, чтобы быть совсем точными, мы должны были бы переводить их на «F-язык».

Одним из основных объектов этого параграфа являются гауссовские случайные величины.

Определение• Гауссовской случайной величиной (г. с. в.) со средним значением 0 называется случайная величина /, характеристическая функция которой имеет вид

с『(%) = ехр ( — 或В ； 〃》0・(1.6)

В дальнейшем мы будем опускать слова «со средним значением 0». Константа 1/2 в (L6) выбрана ради того, чтобы

а= j Z2dp(1.7)

(в соответствии с (1.5)). Константа а называется дисперсией /. Заметимт что плотность распределения вероятностей г. с. в. также является гауссовой функцией:

[6(化)〃(а = 0), п 8、

d阳 3) = ( (2яа)-1/2 exp (———a-1z2j dx (a〉0).

Разлагая (1.6) в степенной ряд и используя (1.5), легко получить значения всех моментов г. с. в. с дисперсией а:

j /2П+1 йц = О,(1.9а)

j/2nd“ =善制品"，兀=0, К ••••(L9b)

Оставшаяся часть этого параграфа посвящена изложению некоторых важных понятий — сначала для произвольных случайных величин, а затем, подробнее, для г. с. в.

Пусть /и • ••，/п — случайные величины. Их совместное распределение вероятностей &卩儿…，脑 на Rn определяется соотношением

即〃，.…加(Q)=%(仇 8 • • • 8 /")"倒)，

где отображение /х ® . . . ® /п: Л/ -^ Rn задается формулой (/i ® . . . ® /п) (т) = (Л (т), . . /п (т)),

а их совместная характеристическая функция ——соотношением

n

• • > 方n) н J exp « % tjf^ d(x.M3=1

О пределенue. Набор случайных величин %, . . ., /п называется совместно гауссовским^ если совместная характеристическая функция этого набора имеет вид

с%,％ (〃，••、，力п) = exp (2 2j 〃订屮j)， (LIO)

где {<Zfj}" j=i ——(симметричная) вещественная положительно определенная матрица.

Отсюда сразу получаем аналог формул (1.7) и (1.8):

町=j iif］加(Lil)

матрица а = {〃订} называется матрицей ковариаций набора {/仆. Если она обратима и {匕订} — ее обратная, то

加戸/『QBrRdeta)—"? ехр (-| 士 仇*也力^.(1.12)

Таким образом, матрица, входящая в выражения для dp,——это обратная матрица ковариаций.

Замечания» 1. Нетрудно показать, что набор случайных величин /х, . . ., /п является совместно гауссовским тогда и только п

тогда, когда』сс% представляет собой г. с. в. при всех i =1

(%,…，an) € Rn・

Хотя нам не потребуются гауссовские случайные величины с ненулевыми средними, они могут появиться при дальнейшем развитии теории. Поэтому мы приведем здесь их определение: случайная величина / называется г. с. в. со средним m и дисперсией а, если ее характеристическая функция имеет вид

% (%) бхр (—讶〃力2 + zmt)・

Конечно, формула (1.7) для а уже несправедлива; теперь

а = j /2 ЙЦ — ( J / d“)2.

Аналогично /1? . . ., /п имеют совместное гауссовское распределение с произвольными средними, если

e",…£ «) = eкр (- "I 2 仰#右 + г 2 力吗)，

Используя разложение в ряд выражения (1.10) и аналог формулы (1.5), легко получить следующее непосредственное обобщение соотношений (L9).

Лредложение Т.2 ((теорема Вика). Если (не обязательно различные) случайные величины 厶,...,/2п являются совместно гауссовскими^ то

“一/n即=W ⑴九〉一• ^fi^n\ (1.13) где {fifj) = j fifj d|i, а суммирование проводится no всем (2n)!/2nn! способам разбиения чисел 1, . . ., 2п на п различных (неупорядочен- «м)忆叩(J, (九 /п)-

Обратимся теперь к понятиям степени Вика и произведения Вика случайных величин. Мы будем иметь дело с фиксированной случайной величиной /; пусть 《•〉означает интеграл по мере 卩 (математическое ожидание).

Формальные степенные ряды по / — это ряды, при обращении с которыми мы (а) не заботимся об их сходимости, (Ь) не считаем совпадающими два ряда, совпадающие при подстановке вместо величины / ее значений (т. е. f и 产 различны как формальные степенные ряды, даже если /三 1). Для формальных степенных рядов полагают

备(2 anfn) = 2(〃+1)0"+产

n=0 n=0

Определение. Пусть / ——случайная величина с конечными моментами. Тогда :/п: , " = 0, 1, . . ., определяется по индукции при помощи соотношений

:/° : = 1, (1.14а) 专:jn：=几：产±, n — 1, 2, ..., (L14b)

(：/n：)— 0, n — 1, 2, ... . (L14c) Выражение :/n: называется n-u степенью Вика случайной величины /. Заметим, что степени Вика зависят как от /, так и от меры |1. Так, например,

:产：=/ —〈/〉，

:/2:=产一2〈/〉/ 一〈产〉+ 2〈”.

Наиболее простой способ изучения свойств степеней Вика основан на использовании формальной производящей функции

:ехр(а/):=』an：fn：/%!・(1.15)

П=0

В соответствии с (1.14b) имеем

靑:exp(af): =а:ехр (а/):,

а в соответствии с (1.14а, с)

<:ехр (а/): > = 1.

Поэтому

:ехр (а/): = ехр (а/)/ (ехр (а/) >.(1.16)

Соотношение (1.16) выполняется в смысле равенства формальных степенных рядов по а.

Если / — г. с. в., то соотношение (1.16) особенно полезно, так как в этом случае формальные степенные ряды сходятся (например, в L1 (М, d|i)) и

(ехр (а/)) = ехр [у а2 </2) J.(1.17)

Равенство (1.17) может быть получено из (L8) непосредственным вычислением; его можно также получить, воспользовавшись тем замечанием, что (1.17) выполняется, в силу (1.6), при а = it (力 вещественное), и далее применить аналитическое продолжение; это равенство можно также вывести из (1.9). Таким образом, для г. с. в. с дисперсией 〈产〉

:ехр(а/): —ехр ^а/ —у а2^)j .(1.18а)

Перемножив ряды для ехр (а/) и ехр ( — — а2〈产〉)串 мы получим, что

产二2而』?产则(-1〈产>户(I/8b)

m=：0

Обратно,

ехр(а/)= :ехр(а/):ехр (4а2^)，(1.19a)

и, следовательно,

[у]

尸=』而餐严叫(4■〈产〉广•(L19b)

Замечания. 1. Подчеркнем, что соотношения (1.17) — (1.19) справедливы лишь для случая г. с. в.

Если 〈产〉= 1, то :/п: = Яп(/), где Нп есть n-й полином Эрмита. Это следует из (1.18а) и того факта, что функция ехр ( &胃 ——"I* 0t2) является производящей функцией полиномов Эрмита.

Если на (М, S) заданы две меры р, и v и / есть г. с. в. относительно кая^дой из них, то можно поставить вопрос о связи между :/п:ц и :产：寸.Из (1.18а) вытекает, что

:ехр(а/):ц = :ехр(а/)%ехр偿[〈产爲一〈产〉“]),(1.20а)

так что

置

:产2 ”„詔=砌严2丁 (6一〈产)口产(1.20b)

m«=0

Формулы(1.9), (1.13), (1.18), (1.20) известны под общимназва- нием теоремы Вика.

Формулу (1.18а) можно использовать для вычисления математических ожиданий произведений степеней Вика. Мы проделаем вычисления лишь для случая произведения двух степеней; в случае большего числа сомножителей вычисления проводятся аналогичным методом. В § 1.5 мы воспользуемся формулой для произведения четырех степеней Вика.

Теорема 工・3・ Пусть f и g — г. с. в. Тогда

〈:六：8叫〉=6啲献〈坦尸・(L21)

Доказательство.

:exp (a/)::exp (0g): = exp (a/ 十 0g) exp ( — ^ [a 俨 + 俨依2力)=

=:exp (a/ + Qg): exp (ap </g)).

Поэтому

<：exp (a/): :exp (pg):) = exp (ap </g)).

Формула (1.21) следует теперь из разложения экспоненты в ряд. ■

Замечание^ Формула (1.21) установлена лишь для г. с. в. Более того, если / —— случайная величина, для которой (/) = 0 и〈:尸：:/m :〉= 0 при п ^= т, то f есть г. с. в. Для доказательства можно использовать тот факт, что равенство (/ :/":〉= 0 позволяет выразить </n+1) через :/п:, а это в свою очередь позволяет индуктивно вычислить :/n+1:.

Рассмотрим теперь несколько случайных величин 厶,...,/互. Произведение Вика : /；' . . . f^\ определяется рекуррентно по % 三忆工 + ..・ + %左 формулами

丿…限=1,

〈:尸...#:〉= О (〃，0),

Непосредственно из этого определения индукцией по % выводится биномиальная теорема'

тг

乂切 + Bg 产= 2(；)俨严"严 gf：(1.22)

Аналогичная теорема справедлива для случая нескольких слагаемых {мультиномиальная теорема).

Предостережение! Некоторые алгебраические соотношения не сохраняются при переходе к : : . Например, //一工=/°, но если g = /」и〈/〉=〈g〉= 0, то 0 = :/g:，：戸:=1.

Следствие 1.4. (а) Если /工,...,九 u g】,...,gm — г. с. в. и п =^ т^ то'

(•А • * • /п* *^i • • • gm：〉= 0.(1.23а〉

(Ь) Если 九,.・.,% - г. е. в. и (力,力〉=6订, то

(:尸…您:：/*-♦华:〉=6%%…6Vl』/ …nJ (L23b> Доказательство. Это следует из мультиномиальной теоремы и теоремы 1.3. ■

Определение^ Пусть (М, W,卩)——вероятностное измеримое пространство и V — (вещественное) векторное пространство. Случайным процессом, индексированным элементами из V, называется отображение ср из V в пространстве случайных величин на М， такое, что (почти всюду)

ср (г; + гр) — Ф (f) + ф (力) для всех v, w Е V,

ср (аи) = а(р (р)для всех а С R, и С ТЛ

Замечания. 1. Часто V является топологическим векторным пространством. Тогда дополнительно требуют непрерывности ф при наделении пространства случайных величин топологией сходимости по мере или (при соответствующем ограничении области значений отображения ф) Лр-топологией.

Во многих приложениях V представляет собой векторное пространство функций на Rn, например Со° (Rn) или 乎(Rn)

1145, гл. V]. Тогда можно представлять себе ф как «случайную обобщенную функцию» и формально записывать ф (/)= =j 中 3) / (化)

Термин «случайный процесс» в теоретико-вероятностной литературе понимается обычно в более узком смысле, а именно так называют функции t q(t) на R, значениями которых являются случайные величины. Полагая ф (/) = ]/ (力)g (i) di, мы видим, что зто действительно частный случай нашего определения. В такой терминологии то, что мы называем случайным процессом, называют «случайным полем» (или «обобщенным случайным процессом»). Однако использовать (по крайней мере здесь) такую терминологию в квантовой теории поля представляется нецелесообразным. Ниже мы будем применять термин «эвклидово поле» в ситуациях, когда, согласно нашему определению, следовало бы говорить «эвклидов процесс».

«Случайные процессы» часто называют «стохастическими процессами».

Onj?ede^e«^e. Семейство случайных величин {/а}а е /, заданных на вероятностном пространстве (М, W,卩)называется полным, если W/?眛亠 зто минимальная о-алгебра, относительно которой измеримы все /а (иными словами, если совокупность классов эквивалентности из >1*5 множеств {总[Q] | а £ /, Q и R, Q — борелевское множество} не содержится ни в каком собственном о-подкольце кольца £/夕眛).

〃七*ма 工・5・ Пусть {/а}а£ / — семейство случайных величин на <М5 S, ц). Пусть ^ = {F (/%,•••,九，卜歹 € 步(Rn),出 C 今・ Следующие утверждения эквивалентны:

семейство {/а }а 6 полное

множество 21, рассматриваемое как подмножество пространства I/? (М, @м), плотно е этом пространстве^

алгебра фон Неймана 2Г, порожденная семейством 如, трактуемым как семейство операторов умножения^ совпадает e 厶СО (m,即).

Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве импликации (1) => (2), которую будем использовать в дальнейшем. Доказательства остальных утверждений стандартны (хотя и несколько громоздки). Мы покажем, что (1) => (3) и (3) => (2). Предположим, что семейство {/&}“€『 полно. Пусть S ——семейство операторов проектирования в 应".Всякий такой оператор есть снова оператор умножения на функцию, так что S есть подмножество алгебры S/Ju. Легко видеть, что 5 — ее подалгебра и что каждая функция 九 измерима относительно S. С ледо вательно,

S совпадает с S/J^ и ?[ff есть алгебра всех операторов умножения.

Для доказательства импликации (3) => (2) заметим, что множество функций 双(1) содержит 額"(1), так как алгебра 額" является сильным замыканием 雹.Следовательно, Ш (1) содержит L°°, которое плотно в L2. ■

Замечание. Здесь и далее под пространствами 1^ и ^ мы всегда будем понимать пространства комплексноэначных функций. Для пространств вещественнозначных функций мы будем использовать обозначения Lr и 孑r・

Дадим предварительное описание второго основного объекта параграфа.

Определение. Случайный процесс, индексированный элементами из V, называется гауссовским случайным процессом^ индексированным элементами из V, тогда и только тогда, когда

семейство {<р (и) | и € 毋 полно;

каждая случайная величина 屮(и) является г. с. в.

Замечание. Так как V ——векторное пространство, то из (Ь) следует, что любой набор случайных величин ф (и。, . . ., ф (рп) является совместно гауссовским.

Если задан гауссовский случайный процесс, то отображение г, w >"*• (ф (г)屮(з)) является неотрицательно определенной билинейной формой на V. Как обычно, мы можем рассмотреть фактор- пространство по {у I (ф (и)2〉= 0} и пополнить его до гильбертова пространства 觇 .Нетрудно понять (на основе развиваемой ниже теории!), что без какого-либо ограничения общности можно с самого начала считать, что V — это гильбертово пространство.

Определение. Пусть SS — вещественное гильбертово пространство. Гауссовский случайный процесс^ индексированный элементами 捌,——это случайный процесс, индексированный элементами 舟,такой, что

семейство {屮(и) ] ^ € 舟} полно;

каждая случайная величина 屮(и) является г. с. в.;

(ф (и) ф (w?)) = у (г, w、, где (•, ♦〉一 скалярное произведение b .捌.

Замечания. 1. Множитель у в условии (с) несколько неестествен. Мы ввели его ради того, чтобы при изучении в § 1.3 связи наших объектов с пространством Фока мы могли написать, что <р (и) = ^-^ (4* (и) + Л (г)). Если отбросить множитель _^ в последней формуле, то можно также не писать — в условии (с).

Мы предпочитаем тем не менее следовать в этом вопросе традициям физической литературы, хотя многие авторы (см. [90, 1351) не пишут т

Нужно отметить, что фраза «гауссовский случайный процесс, индексированный элементами 瘓》，в случае когда 掷 —— гильбертово пространство, означает больше, чем в случае, когда 礎—просто линейное пространство. В § 1.6 мы будем иметь дело с двумя гауссовскими процессами, индексированными векторным пространством М. Тогда мы будем пользоваться термином гауссовский случайный процесс с произвольной ковариацией.

Докажем теперь в оправдание предыдущего определения теорему единственности.

Т еорема 工・6・ Пусть Si ——вещественное гильбертово пространство, Пусть ср u q)z — гауссовские процессы^ индексированные элементами ей?, на еероятностных измерима пространствах (М^ W, |1) м (М\ W', |1‘)соответственно. Существует изоморфизм этих еероятностных пространств, при котором ср (у) переходит 6 М (и) для каждого и《酰.

Доказательство. Наше доказательство — не самое короткое из возможных; оно имеет функционально-аналитический, а не вероятностный привкус, однако в процессе этого доказательства вводятся некоторые полезные для дальнейшего объекты. Обозначим через Г (屈)пространство Л2 (М, d|i), и пусть Гп (М)—— замкнутое подпространство, порожденное множеством {:q)(f^ . . • ф (/„): |/г €<^}・

Из следствия 1.4 (а) вытекает, что Гп (裁)J_ Гт (屈)при п^ т. Кроме того, для любого / € 曲 ряд 2 ^/ :Ф (/)"： сходится в Z2 (М, d|i) к :е‘軍⑺：• Это проверяется непосредственным вычислением для фиксированной случайной величины ф (/). Следовательно, прямая сумма ㊉ Гп (<й?) содержит все величины :е诉⑴：, л=0

а значит, и все е*軍(分・ В частности, для всех W € 步(Rn) и всех 3 • • • , Лг С 曲

尸(屮 6),…，Ф(/п)) = (2л)"П/2 J 户⑴声岬卄《)(1.24)

лежит в ф Гп (國)• Но, согласно лемме 1.5, такие случайные п=0

величины образуют плотное в Г (兆)множество, поэтому

门国?)=由 1\ (畋.(1.25)

n=0

Пусть ЗЛ ——алгебра фон Неймана, порожденная операторами умножения на функции (1.24). Из доказательства леммы 1.5 следует, что кольцо ^13 изоморфно кольцу операторов проектирования алгебры Ж.

Определим теперь отображение U: Г (сЯ?) f F' (ей?) по формуле U [:(р (Д) . . . ф (%):] = :^г (/О . . . фЛ (/п): . В силу следствия 1.4, U — однозначно определенный унитарный оператор, а в силу отношения (1.25) и аналогичного соотношения со штрихами он определен на всём Л2 (М, d^ и отображает его на всё L2 (М*, dp/). Так как exp (i(p (/)) задается сходящимся рядом, то

и (exp iq> (/)) U-1 == exp (亚‘⑺) и, стало быть,

и (尸(屮(А),..., Ф (/”)))и-1 = F 6(D ..., <р'仇))

для всех 歹 £ 步(Rn). Следовательно, U 驮U-1 = ЭД1\ так что U ( ) U" задает изоморфизм между S/Ju и S7Jц*. Ясно, что этот изоморфизм переводит ф (/) в ф* (/). ■

Замечание. Доказанная теорема представляет собой частный случай теоремы Колмогорова о том, что вероятностное пространство определяется заданием согласованной системы совместных распределений вероятностей (см. [15, 1441).

До сих пор мы еще не доказали существование гауссовского случайного процесса, индексированного элементами 觇. Мы сделаем это в начале следующего параграфа, а пока просто предположим его существование. Введем некоторые обозначения:

— случайный процесс;

Q認一соответствующее ему вероятностное пространство;

&卩о,灾—соответствующая ему мера;

Г (兆)—пространство L2 (Q^, ф0,齢)；

默飴—— алгебра фон Неймана операторов £°° (Q齢, ф0,鑑)， действующих на Г (捌)；

Гп (М)——подпространство в Г (сЯ?), порожденное множеством {:9(%)...ф仇):}.

Замечания, 1. Конечно, нет канонического способа выбора пространства Q^] в следующем параграфе мы рассмотрим различные «модели» для Q.

Когда мы будем иметь дело с фиксированным пространством 礎,индекс 战 будет обычно опускаться.

Мы закончим этот раздел изучением некоторых соотношений между операциями в 廊迈 в F (ей?).

Предложение J.7. Пусть 兆—&6г ㊉加2* Тогда

(a) Q% = Q旣* х Q%2；

(b)"卩0,金=d%,税* ® d%, ^>2；

(c)屮死> (/i㊉％)=屮死> J厶)+屮威(％)；(1-26)

(d) r^^r^i)®?^^,

(e)脏死> =泯死&窥能>2；

(f) Гп (网=ф rm (撈])® rn_m(^2).

Замечание. Соотношение (а) означает, что если Q^^ и Q^^ — какие-то модели ^-пространств, ассоциированных с 熱工 и 麺2, то Qt^i X Q%2 может служить моделью (^-пространства для 盛； а именно, нужно наделить его мерой, определенной формулой (Ь), и рассмотреть процесс, определенный формулой (с).

Доказательство. Определим процесс ф^> формулой (1.26) на произведении Q%[ X Q龄2 с мерой, заданной соотношением (Ь). Совместное распределение вероятностей для 屮^^ (%) и 屮^^ (/2) представляет собой произведение гауссовских распределений вероятностей, и, следовательно, эти величины являются совместно гауссовскими; поэтому их сумма есть г. с. в. Далее,

(屮扇？(厶㊉/2)屮扇？ fei㊉g2)〉=歹(3 g力扇%+讶(%,g2〉夠p так как

仰班(九)中能|2 3)〉=(中殓(九)〉〈中能>2 3)>= 0 и, аналогично,

<Ф<^?г (/г) Ф^! (^1)> °- «

IIредложение J.S. Пусть 落—некоторое (замкнутое) подпространство вещественного гильбертова пространства ей?. Тогда существует естественное вложение Н пространства Г (後)в Г (擱), такое, что

*屮弘(/)=屮死> (/) Н для всех / € Ж;

отображение а:淤弘 f 脏剧,определенное равенством а (F (ф^ (/г)) = F (ср^л (/()), является гомоморфным вложением 默弘 6 脏剧；6 частности^ а переводит положшпелъные (ограниченные) случайные величины на Q% 6 положительные случайные величины на Q 死

Доказательство. Запишем 战=吼 * 酸丄 и положим Н (j)= ==/ ® 1 в соответствии с идентификацией Г (膨)=Г (疡)® ® r (酸丄).■

Л итератора к § 1.1

Об общих вопросах теории вероятностей: Брейман [15], Феллер [42].

О гауссовских процессах: Гельфанд и Виленкин [54], Хида [98].

О произведениях Вика (с несколько другой точки зрения): Каяньелло [17], Даймок и Глимм [27], Сигал [166, 167], Вик [201].

§ L2. Модели Q-пространств

В этом параграфе мы фиксируем вещественное гильбертово пространство 屈 и рассмотрим некоторые конкретные реализации измеримого пространства Q霏,на котором можно задать гауссовский случайный процесс, индексированный элементами 觇'

Медель 1 (бесконечное произведение). Пусть {е冷}工】—базис пространства 觇.Пусть Q =义 1R U {°°}J — произведение бесконечного числа одноточечных компактификаций вещественной прямой R. Это компактное хаусдорфово пространство. Пусть d|i0 ——мера на Q, являющаяся бесконечным произведением мер п」/2 ехр (——化；匕)dxn. Более явно, для любой функции 尸(化卜...,化冷) из C (Q), зависящей лишь от конечного числа координат, положим

"尸)=冗一闻2 j p (窃，...，n鹿)exp ( - 2 ^? ) @%

Функционал I (•) корректно определен и линеен, и | 2 (尸)]& & II 尸 Поо. По теореме Стоуна — Вейерштрасса множество функций F указанного вида плотно в С (Q), поэтому I (•) продолжается на С (0) и определяет меру d|i0 на Q. Пусть 屮(еп)——оператор умножения на 吃・ Функция хп, отображающая ^ в R J {°°}? на самом деле почти всюду конечна, поэтому ее можно трактовать как случайную величину, при этом ср (еп) € L? (Q, d|i0) и семейство случайных величин {ф (en)}^=i, очевидно, полно. Пусть f £ 觇 и / = 3an^n — разложение Фурье. Непосредственные вычисле-

ОО

ния показывают, что ряд 』апФ (^п) сходится в La (Q, dp,0); сумму этого ряда, определенную почти всюду, обозначим через Ф (/). Легко показать, что ср (/) — г. с. в. (скажем, вычислив ее

моменты) и что (ср (/) ср (g)〉=歹〈/, g〉・ Следовательно, (Q, d卩0, ср)

представляет собой модель гауссовского случайного процесса, индексированного элементами 那.

Замечания. 1. Подпространство ^ R пространства Q является измеримым подмножеством |л0-меры 1. Поэтому в качестве Q можно

также взятьтакже взять不R,不R,и это во многих отношениях более естественно.

также взять

также взять

不R,

不R,

Присоединение бесконечностей дает возможность «задешево» доказать счетную аддитивность dp,。(конечно, дешевизна достигается за счет ссылки на технику функционального анализа). Разумеется, можно дать и непосредственное доказательство счетной аддитивности (см., например, Гельфанд и Виленкин [54], Глимм и Джаффе 171]).

Введенная выше конструкция применима также, когда 觇 не является сепарабельным; следовательно, имеет место

Теорема 工・9・ Для всякого (вещественного) гильбертова пространства S8 существует гауссовский процесс, индексырованный его элементами.

Введенная выше модель для Q, конечно, зависит от выбора базиса. Это является как достоинством (см., скажем, § 1.6), так и недостатком (модель «неестественна»).

Модель 2 (спектральная модель). Раз уже доказано существование какой-то модели для Q瓢、мы можем построить алгебру Ж^), как это делалось в доказательстве теоремы L6. В отличие от Q% алгебра У貝礎 уже является каноническим объектом в том смысле, что теорема L6 устанавливает естественный изоморфизм между алгебрами Ж, ассоциированными с разным образом выбранными Q. Пусть Qspec — спектр Гельфанда коммутативной банаховой алгебры ЗЛ^ и Л С ТО^- Тогда Ехр (Я) определяет положительный линейный функционал на Ж^ 三 С (。即^), а потому и меру "n 0, spec нaq8晔，

Замечания. 1. Для проведенного выше построения Q$pec нужно предварительно построить какую-нибудь модель пространства Q、 чтобы получить затем алгебру Ж^). Если использовать пространство Фока (см. § 1.3), этого можно избежать (см., например, [184]).

Единственное преимущество 2spec состоит в его «каноничности». Оно зависит лишь от <й? и не зависит ни от каких дополни- тельных структур.

Модель 2 у (предложена В. Фарисом). Имеется другая «каноническая» модель для Q, почти такая же глупая, как и модель 2.

А именно, в качестве Q возьмем несчетное произведение пространств R U {8}，п0 одному для каждого / € 超.Пусть 屮(/)——это оператор умножения на nJ). В качестве меры 卩 возьмем меру, ограничение которой на функции от 勺］,...,Xfn есть гауссова мера с матрицей ковариаций 区〈3 力〉. Можно было бы брать по одному экземпляру R U {°°} для каждого единичного вектора пространства 務.

Модель 3 (产(R71) или ^ (Rn)). Существует общая теория «цилиндрических мер» в пространстве #' (Rn) — пространстве обобщенных функций умеренного роста. Эта теория применима также и к 炒'(Rn), как и вообще к любому пространству, сопряженному к ядерному. Рассмотрим эту теорию для случая пространства #'. Цилиндрическим множеством в 皆'называется множество обобщенных функций (распределений) 7, таких, что (7 (/1), • • •, 7 仇))€ Q, где 储..-,/^ — это 乃 фиксированных элементов пространства £, a Q — фиксированное борелевское множество в Rft, задающие цилиндр. Цилиндрическая мера — это мера 卩 на а-алгебре, порожденной цилиндрическими множествами, причем дополнительно требуется, чтобы 卩(#') = 1. По построению, каждая функция / С ^ определяет измеримую функцию 中(/) на夕：

Ф (/) (Т) = Т (/),

и семейство {ф (/)丨 / € 疔} полно. Если /п -> / слабо, то ф (/п)-> -> 屮(/) поточечно. Поэтому по теореме о мажорированной сходимости j exp (Х(р (/n)) d|x-> j exp (力屮(/)) djx. Этим доказано утверждение о необходимости из следующего красивого обобщения теоремы Бохнера.

Теорема I.1O (теорема Минлоса). Пусть с ——функция на 孑(R71). Для того чтобы существовала цилиндрическая мера dp, на ^' (Rn), такая, что

С (/) = j exp (即(/)) dp,, (1-27) необходимо и достаточно^ чтобы были выполнены следующие уело- вия:

с (0) = 1;

отображение / -> с (/) непрерывно 6 сильной топологии;

для любых /и • . 爲 С 步〃 Zi,・• С С,

Конечно, оператор ф (/) не является (всюду) линейным по /, однако он линеен почти всюду, так как ф (X/ + |ig)——九屮(/)——卩屮(g) представляет собой, как легко видеть, г. с. в. с дисперсией 0 1

3 б. Саймон

Равенством (1.27) устанавливается взаимно однозначное соответствие между цилиндрическими мерами и функциями с (•), удовлетворяющими условиям (а) —(с).

Доказательство теоремы Минлоса можно найти в [13, 43, 129, 197]; по поводу ее обобщений см. [83].

Предположим теперь, что В (/，g) — неотрицательно определенная квадратичная форма на £, которая слабо непрерывна (в этом случае она автоматически оказывается непрерывной по норме по совокупностц переменных). Положим с (/)= =ехр(—^B(f, /) j. Тогда выполнены предположения теоремы Минлоса, которая гарантирует существование меры @卩 на #'• Каждая из функций 屮(/) является г. с. в., так как

j ехр ("<р «)) d^. = c ⑴)=exp ( — ^•冏(/,力)，

и у В (/, /) — дисперсия этой величины. На эту ситуацию можно посмотреть и с противоположной точки зрения. Если 屈 ——гильбертово пространство, а 皆 непрерывно и линейно вложено в SB как плотное подмножество, то скалярное произведение в 战、будучи ограниченным на 忆 дает полуопределенную форму на 此 поэтому 孑'может быть использовано в качестве модели для ^^.

Замечания. 1. Эта модель имеет следующее практическое преимущество: для всякой «голой» частицы массы т0 свободное эвклидово поле массы т0 (см. гл. III) можно реализовать как гауссовский процесс с 产 (R2) в качестве ^-пространства. Это означает, что мы можем реализовать все эти процессы на одном и том же ^-пространстве. Так как соответствующие меры не являются абсолютно непрерывными друг относительно друга, этот факт априори может не иметь места для другой модели ^-пространства. Кроме того, для 孑'справедлива теорема Минлоса, благодаря которой мы можем часто реализовывать на £' и негауссовские меры.

Для гауссовских процессов теорему Минлоса можно доказать непосредственно (см., например, Глимм и Джаффе [71]).

Модель 4 (пространство траектории). Имеются некоторые специальные ситуации, когда зафиксировано подпространство 務1 и и 超，так что за Q能 можно принять пространство траекторий в Q胱з т. е. функций из R в Q^^ этот подход обсуждается далее в гл. IV.

Мы хотим подчеркнуть, что до настоящего времени специфика элементов того или иного Q-иространства не играла сколько-

нибудь заметной роли; все вышеперечисленные модели оказываются одинаково пригодными. Фактически всё, что нужно,—— это чтобы существовала хоть какая-нибудь модель.

Литература н § 1.2

Модель 1: Сигал [158], Рид и Саймон [145Ы，

Модель 2: Розен [147], Саймон и Хёзг-Крон [184].

Модель 3: Гельфанд и Виленкин [54], Глимм и Джаффе [71].

§ L3. Пространство Фока

В этом параграфе мы хотим кратко изложить понятия, относящиеся к пространству Фока, в их наиболее привычной форме и показать «эквивалентность» этих понятий понятиям теории гауссовских процессов. Мы надеемся, что связь между принятым здесь изложением и обычной теорией свободного квантованного поля будет ясной читателю, знакомому с этой теорией (если нет; см. [145, § Х.7]). Пусть 觇—вещественное гильбертово пространство и 觇с — его комплексификация, т. е. 觇^ = 吊？ ㊉围f в смысле вещественных пространств, а комплексная структура на 战с задается равенством 方仲,屮)=(—屮,屮)・ Пусть

炉 о(拂) = C,(L28a)

炉暮(舟)=(Я?с ®s . - - ® s曲с (п раз), (1.28Ь) где через ®s обозначается симметризированное тензорное произведение (см. [145, § IL4]), и

炉(物=由 ег (网(I.28c)

n=0

—пополненная прямая сумма, а 炉歹(掷)——непополненная прямая сумма пространств ^п. Пространство 行(质)называется пространством Фока над 礎,а элементы пространства 行f(務) называются конечночастичными векторами. Пусть / € 膨 н 屮 W € 炉r (ей?); положим по определению

4* (/)屮=М^П б»】(/ ® 2)，(1.29а)

где Sn+i — это оператор симметризации. Подчеркнем, что в формуле (1.29а), а также в следующих ниже формулах (1.29b, с), / принадлежит 物，а не務е：

4 0) = (炉⑺门炉F哪)，(I.29b)

屮(f)=病(4* (f) + 4 (/))-(L29c)

Всякий вектор из 炉f (樹)представляет собой аналитический вектор ([145, § Х.6]) для любого 屮(/), поэтому операторы <р (/) являют-

3*

ся существенно самосопряженными на 疹干(務)и коммутируют в сильном смысле (т. е. их резольвенты коммутируют). Следовательно, они порождают абелеву алгебру фон Неймана 班.Пусть через Q()обозначен вектор (1, 0, . , ., О, . . .) € ^ (務)・ Этот вектор Qo является циклическим для 歌.Соответствие Д н-> к—► (Qo, /©о) определяет положительный линейный функционал на 赦 и, значит, меру на о (ЗЛ) — гельфандовом спектре алгебры 歌.Для каждого 子 £ 務 оператор ф (/) задает случайную величину на о (Ш1) относительно этой меры, и вычисления показывают, что

〈％, е2(д = ехр ( — ｝||川闕)•

Поэтому из теоремы единственности 1.6 следует

Теорема Г.11. Пространство ^ (<^) унитарно эквивалентно пространству Г (務).Эквивалентность осуществляется оператором D, таким, что

DQ。= 1；

Рф (力。」=屮兆(/)；

⑹ D^n = Гп.

Замечания. 1. В дальнейшем мы будем использовать обозначения Г, Гп, ГР вместо ①,炉п,炉尸.Мы также будем опускать оператор 《D», рассматривая его как тождественный оператор.

Легко показать, что в терминах Л и Л*

:$(/)”： =2-”/2 2 (二)厶*(严4 ⑺“Т(1.30)

где, конечно, g) = 加(工加)!* Проще всего это доказать, если заметить, что для ：ф (/)п: как при определении (1.18), так и при определении (1.30) выполняется соотношение

中(/):中(力П：=:中(，产У +^<Ф (/)2〉：中(/产1： •(1-31)

Константа n〈屮(/)2) в (1.31) получается из канонических коммутационных соотношений. (Заметьте, что (ф (/产〉= у〈力 /).)

При отображении D вектор /т ® . . . ® /п переходит в вектор (叫」/2 (/2)n :屮(А) . . . ф (九)：.

Существует другой способ для описания связи между вещественным гильбертовым пространством S3 и его комплексифика- цией 樹с・ А именно,務с можно наделить оператором комплексного сопряжения С (т. е. оператором С, который антиунитарен и таков, что С2=1), таким, что 跑 =｛屮 £ S8C | C^ =屮｝. Этот оператор определяется равенством С (屮工，屮2)—(屮工，一《2)・ Ввиду этого

вещественное гильбертово пространство «эквивалентно» комплексному гильбертову пространству с фиксированным оператором комплексного сопряжения. Такой подход часто используется при изучении пространства Фока и оказывается особенно полезным при рассмотрении канонических коммутационных соотношений (см., например, [И, 162, 163, 171]). В дальнейшем, когда нам потребуется сослаться на такое представление пространства Фока, мы будем пользоваться термином «комплексный вариант пространства Фока».

Литература к § Z.3

Бонгаартс [И], Кук [25], Глимм и Джаффе [70], Рид и Саймон [145, § Х.7], Сигал [162], Саймон и Хёэг-Крон [184].

§ 1.4. Операторы вторичного квантования

Пусть S3 ——вещественное гильбертово пространство и (Q魏盟 ^Но,^ 屮鲍)——гауссовский процесс, индексированный элементами из 務.Пусть Л ——сжимающий оператор на ей?, т. е, линейный оператор нормы, не большей 1. Тогда существует единственный сжимающий оператор Г (Д) на Г (超)，такой, что

г ⑷：ф (/1) . . . Ф (/")：=:屮 И/1) . . • ф ⑷п)：・(1.32)

Действительно, из мультиномиальной теоремы легко следует, что оператор Г (Д) корректно определен равенством (1.32) на Гп (舟), а непосредственные вычисления с использованием (1.23) показывают, что И Г (Д) [ Гп (ей?) II ^ Н Д 11n. Поэтому оператор Г (Д), определяемый формулой (1.32) лишь на Г斤(舟),можно продолжить по непрерывности на всё Г (舟),причем продолжение будет сжимающим оператором*

Замечания. 1. На языке пространства Фока оператор Г (Д) записывается так: Г (4) } Гп (盘)(=Г (Д) | 战❶ ®s . . . ®s 務@ = =Д ® . . . ® Д (п раз).

Ясно, что Г (АВ) = Г (Л) Г (В), Г (1) = 1.

Связь между Г и физическим вторичным квантованием мы обсудим ниже. Это не одно и то же\

Если Д: 務1-> 務2 —— сжимающий оператор, то с помощью формулы (1.32) можно определить оператор Г (Л): F (盘工)

Г啰? 2)・

Первое замечательное свойство оператора Г (Д) состоит в следующем.

Теорема 1.12» Для любого сжимающего оператора Д оператор Г (Л) сохраняет положительностъ, т. е. если функция

/ € Г (捌)^ 7? (Q鲍，d|i0 鲍)положительна, то и функция Г (Д) / положительна.

Замечания, 1. Условие «функция f положительна» означает, что / не является нулевой функцией и почти всюду неотрицательна. Если же функция / почти всюду больше нуля, то мы будем говорить, что она строго положительна.

Предостережение! Если пользоваться комплексным вариантом пространства Фока, то операторы Д:战 f 战,соответствующие операторам Д: <Я?с f сй?с, коммутируют с С. Если Д не коммутирует с С, то утверждение теоремы 1.12 о положительности перестает быть верным.

Эта теорема впервые явно была сформулирована Глиммом и Джаффе [63], хотя основная идея содержалась в ранней работе Сигала и существенно использовалась Нелсоном [131]. Мы дадим два доказательства этого важного факта. Первое взято из статьи [184]. Второе принадлежит Саймону [180]; оно предзнаменует ту роль, которую сыграет положительность в гл. IV.

Предварительный этап доказательства. Если функция g W С Г (加)положительна, то (1, Г (Д) g) = (Г (Д*) 1, g) = (1, g) > > 0 и, следовательно, Г (Д) g не является нулевой функцией. Поэтому достаточно показать, что функция Г (Д) g неотрицательна почти всюду.

Первое доказательство. Из (1.32) следуета что

Г (Д) [:ехр (а(р (/)):] = :ехр (а(р (//)):$(1.33а)

а из (1.18а) — что

Г (Л) ехр (а屮(/)) = exp (а(р(//)) exp}心(/, (1 — Д*Д) /}. (L33b) Поэтому для любой функции 歹 € 皆(Rn) и любых 九• •Дг € 费 Г⑷[歹(Ф (/)…，屮(/n))】=

=(2л)-п/2 j ? (fb ..., tn) Г (Л) [ei2t^ 6"加=

= (2л)-п/2 j F{t^ ..., ^) е*У >"A*A""产拜⑷》dnt.

(L34)

(Здесь и далее мы пользуемся следующими нормировками:

F «],…，%) = (28)-"/2 j e-卽产，歹的，…，叫)也

для прямого преобразования Фурье и

声色厶)= (2n)f/2 J e+记‘产沼分)02

для обратного.) Так как квадратичная форма, отвечающая оператору 1 — Л *Л, оказывается при ее ограничении на подпространстве {£ £/力} положительно полуопределенной, то функция

Н (玄，…，％) = exp ( — ^- ^titj {fi, (1 — A* A) fp j

имеет своим преобразованием Фурье гауссовскую функцию или (в случае когда форма только полуопределена) предел гауссовских функций. Поэтому если F положительна, то функция G = =(巨В)「будучи сверткой двух положительных функций, также положительна. Значит, Г (Я) [F (屮(/J,..屮(/n))]》0 при F ^ 0. Поэтому нам достаточно показать, что всякая положительная функция g С Г (曲)является пределом таких 尸.Но всякая функция g есть предел функций, зависящих лишь от конечного числа различных ф (/) (ибо если {勺}——ортонормированный базис для 刃?，то {:(р (et)ni . . . ф (%)% :} — базис для Г (務))，а значит, и предел функций вида F (ср (/J, • ••,①(ЛО),「не F С 杼.Если функция g положительна и Fn (<р (Д),...,屮(%，) f g, то 破 I 歹卩 I (. •・)-> g. Наконец, «сглаживая углы» у | 歹卩 j, мы можем аппроксимировать g функциями Gr (ср (Д), . . ., ф (fk )), такими, Тто G"》0 и G" с ・ “

Второе доказательство. Построим сначала новое гильбертово пространство, содержащее 礎.Положим

{

Лпприп>0,

IприП = О,(1.35)

(Л*),п|прип<0.

Пусть / (п) — произвольная функция, отображающая Z в SSt отличная от нуля лишь для конечного числа значений % Мы утверждаем, что

2(/ («), A (n — m) / (т)) > 0.(1.36)

n,m^Z

Предельный переход показывает, что достаточно доказать (1.36) лишь в случае || Д Ц < 1. Определим функции Д и / на отрезке 10, 2л] формулами

/(%) = W %⑺叫п

沁)=阿-"22/(川"п

Тогда в соответствии с обычной теорией рядов Фурье

2л

e (/(九)，4("一б)/(б))=J 必(沁)，N(f)7(t)).

n, mо

Поэтому для установления неравенства (1.36) достаточно показать, что оператор А (/) положительно определен. Так как || 4 || = =И А* II V 1, то оператор А(X) может быть вычислен с помощью геометрической прогрессии:

А «) = (1 — 4е”)т + (1— 4%一"厂1 -1 =

=(1 — A*e~it)~i(l — А*А) (1 — 4е")т > 0,

чем и доказано (1.36). При пополнении по скалярному произведению (1.36) возникает гильбертово пространство 變，причем для каждого m подпространство (務，m) пространства 變 естественно изоморфно (/一 (/； m) = f8nm С 歌).

Построим теперь гауссовские процессы над S8 и над 變. По предложению 1.8 для любого F С ТО^ и любого m существует естественный элемент am (_F) С ТО^ (такой, что ат (/①^⑺)= =J①麓"))；в частности, ат сохраняет положительность, Поэтому если функции F, G ^ ТО^ положительны, то

j 出(月)a。(G)咖0,第)0.(1.37a)

Отображение am естественно продолжается на Г (册),и, в силу (1.23b),

j а1(：Ф (/)п：)>0 (:屮(g)n：) М,常=(：Ф (/)п： г (Л) :<р (g)n:〉. (1.37b) Ввиду (1.37), если функции F, G ^ ЗЛ^ положительны, то

(F, Г (Л) G)^0. ■

Замечания. 1. Другие доказательства можно найти в работах Нелсона [135], Рида и Саймона [145, § Х.6], Сигала 1168].

Из формулы (1.34) и следующих за ней рассуждений легко вытекает явная формула для Г (с), с W 1, на пространстве Г (R) (которое в соответствии с моделью 1 естественно изоморфно пространству (R,冗一13-"2彰))：

(Г (с)力(久)=j Кс (久，у) / (у) dy,

кс (ж, у) = л-"2(1 — с2)т/2 ехр [ —(у —сд;)2/(1—с)].(1.38)

Эта формула называется формулой Мелера. Доказательство принадлежит Саймону и Хёэг-Крону [184], другие доказательства имеются у Дуба [30], Глимма и Джаффе 170], Хилле [99].

Без сомнения, наше второе доказательство должно казаться сейчас несколько загадочным. Оно основано на тесной связи между свойством отображения Г (Л) сохранять положительность и возможностью построить цепь Маркова с оператором А в качестве оператора перехода. В гл. IV мы подробно рассмотрим непрерывный аналог этой ситуации.

Оператор Г (Д) не только сохраняет положительность. Для него выполняется также равенство Г (Д) 1 = 1 — Г (Л)* 1. Такие операторы обладают специальными свойствами.

Определение. Ограниченный оператор Т в пространстве А2 (М\ d卩)[здесь (М\ 卩)一 вероятностное измеримое пространство] называется дважды марковским тогда и только тогда, когда

Г/ ^ 0 при / > 0;

71 = ТМ = 1.

Теореме^ 2.13. Всякий дважды марковский оператор (а частности, всякий oneратор Г (Д)) является сжимающим на каждом, пространстве Ар (Мч dp,), т. е. для всех / Е L2 П Lp

!1 行 lb W II 川 1Р

(так что 7 можно распространить по непрерывности на всё £°).

Нам понадобится следующая лемма, представляющая и самостоятельный интерес.

Ze**Q 7・？4・ Если 7 сохраняет положительность., то (поточечно почти всюду)

⑵ I W ?⑺(I-39>

для всех / € £2 (М, dp,).

Доказательство. Предположим сначала, что функция / вещественнозначна. Тогда I / I ± /》0 и, следовательно, 7 | / | 士 土 Tf >0, поэтому (L39) выполнено. Пусть теперь функция / произвольна. Заметим сначала, что | / (况)| = sup [Re (ei0/ (^))], ^eQ —— множество рациональных чисел. Как мы только что видели, для каждого такого 0 имеет место оценка

Re [е« (Г/) (ж)] = Г (Re [叫])⑺&Т (| 升)⑺

для почти всех /• Поскольку Q счетно, (1.39) также выполнено для почти всех х. ■

Доказательство теоремы 1.13» Пусть / ^ L1 (М, d卩)П L2 (М, dp,) и / ^ 0. Тогда Tf ^ 0,龙 поэтому

[| ту 111=〈1, ту〉=〈Г4,/〉= (1,/) - п/Нр

Для произвольной функции / € £i Г1 £2 используем лемму:

I! У/ Ik ^ I! г I /1 Ik = II ! / I !k = I! / h

так что оператор Т сжимающ на 厶'・ Положительность 7 эквивалентна тому, что (/, 7g〉》0 для положительных /, g € Ь2. Поэтому если оператор Т положителен, то и 7* положителен, и, значит»

откуда по двойственности

II П II ОО <11/11=0.

Доказываемая теорема следует теперь из интерполяционной теоремы Рисса—Торина (см. [145, § 1X4). ■

Следствие J.15. Если Л ——сжимающий оператор на вещественном гильбертовом пространстве 捌,то Г (Л) — сжимающий оператор на каждом пространстве 厶◎ (М, d卩).

Определение, Пусть 觇—вещественное гильбертово пространство и Л — (не обязательно ограниченный) линейный оператор на 翅(с областью определения D (4)). Определим следующим образом новый оператор йГ (Л). Пусть Dn (Л) = D (Л) ®.

♦ •・® D(A) (непополненное тензорное произведение) иГ1n (礎) и D (йГ (Л)) — ф Dn (4) (непополненная прямая сумма); тогда 我=0

^Г (Л) t гп (<й?) = Л 0 / 0 . . . 0 7 + . . . + i ® . . . ® ® л.

(1.40)

Оператор dF (4) называется вторичным квантованием оператора Л.

Замечание. Если 觇=D (R, d乃)皿 4 — оператор умножения на s (Zc), то ЙГ (4) — это тот оператор, который обычно записывается как J о (к) а* (к) а (к) dk (см., например, [10, 70, 145]).

Примеры. 1. Оператор dF (1) = N называется оператором числа частиц. На пространстве Гп (妳)его действие совпадает с умножением на п.

Оператор ©Г (0) есть проекция на й0 = 1 в L2 (Q^, d")・ В терминах гауссовских процессов

(尤(0") (q) = (j / ⑺却о (д')) 1.

Пусть А порождает сжимающую полугруппу на(Я?. Тогда замыкание dF ⑷ порождает сжимающую полугруппу на 丄2 (Q龄，d卩)(фактически на всех Lp《旣、d卩)，p V 8)и

е-^г(л)= г(е-и)в(L41)

Это выполняется, в частности, если А ——положительный самосопряженный оператор на 兆.

Пусть Л — кососимметричный оператор (А* = —4), так что группа е'А — это группа унитарных преобразований. Тогда оператор dF (4)* также кососимметричен и 饪江(闽=Г (е/А).

Замечания. 1. Свойство положительности Г (•) особенно важно в связи с соотношением (1.41).

Типичный пример оператора типа 3 ——это оператор энергии обычного релятивистского свободного поля (см. гл. П). Оператор момента Р не вписывается в эту схему, так как он не коммутирует с обычным комплексным сопряжением. Однако этому условию удовлетворяет оператор ZP, так что этот оператор служит примером оператора типа 4.

В этом параграфе мы хотим обсудить еще одно свойство оператора F⑷.

Определение. Будем говорить, что оператор Т на L2 (М, d卩) усиливает положителъностъ, если функция Tf строго положительна всегда, когда функция / положительна, или, что эквивалентно, если (/, Tg) > 0 при положительных /, g.

Пример, Тождественный оператор на 厶？ (М, d卩)не усиливает положительности, а оператор f ^ (^ f d重)1 — усиливает.

Теорема 1.16. Если А —строго сжимающий оператор^ т. е. И Л И < 1, то оператор Г (4) усиливает положительность.

Замечания. 1. Эта теорема принадлежит Саймону [177]; она является, однако, лишь небольшим усилением результата Глимма и Джаффе [63], которые： доказали (в частном случае), что для любых положительных /, g величина (/, Г (А)п g) > 0 при некотором п.

Имеется другое доказательство этой теоремы, принадлежащее Слоуну [185].

Пример оператора Л = 1 показывает, что заключение теоремы может быть неверно, если || 4 || = 1.

Доказательство* Предположим сначала, что А 工 е『 где В ——самосопряженный оператор. Тогда оператор В положителен и, более того, В》(—In || Л ||) 1. Пусть /, g — положительные функции и 户(z) = (/, e~zdr^ g). Функция F аналитична в правой полуплоскости и не равна тождественно нулю, так как

Um F(O = (Ar(O)g) = (f,l)(l,g)>O.

Поэтому F имеет дискретное множество нулей. В частности,. F (%) > 0 при некотором tQ £ (0, 1). Следовательно, (Г (е 2 ) /, Г (е~2/оВ) g) > 0. Положим % =「(”'*)力 gi = Г (е~/") g.

Поскольку (%, g。> 0, то произведение Rgj не равно тождественно нулю, значит, функция Л 三 min 仇，史)также не равна тожде-

ственно нулю. Так как оператор Г (ехр ((% — 1) Б)) сохраняет положительность, то

(/, r(e-B)g) = (/1,貝抑-吗玄)》

》(九 门询一1*) g。》(瓦)无)=

= W(e +j*)无 ||2>0.

Таким образом, оператор Г (А) усиливает положительность.

Теперь предположим, что оператор Л самосопряжен, и пусть Q ——оператор проектирования на его нулевое пространство- Тогда Л = (/ + у С) (1 — О- По теореме 1.12 оператор Г (1 — Q) сохраняет положительность, а в соответствии с разобранным выше частным случаем оператор Г (Л + у 0 усиливает положительность; поэтому и оператор Г (Л) усиливает положительность.

Пусть Л, наконец,— произвольный оператор с нормой || Л || < < 1. Тогда он допускает полярное разложение А — U ^ \ А \^ где U ——ортогональный оператор, а | 4 | — самосопряженный оператор, причем || | 4 | || = || 幺 || V 丄 Поэтому {/, Г (Л) g〉= —(Г (方*)力 Г (I Л I) g〉> 0, ибо Г (U*) сохраняет положительность, а Г (I Л I) ее усиливает. ■

§ 1.5. Оценки гиперсжимаемости

Следующий результат трижды принадлежит Нелсону. Сначала он получил и применил самые первые теоремы такого типа [131] (они были развиты далее Глиммом [61]; см. также [168, 184]), затем он выделил и доказал самый сильный возможный результат [135], который и приведен ниже; наконец, он предложил и более простое доказательство (несколько ослабленного результата; см. теорему 1.17').

Теорема JTJ7 (Нелсон). Пусть 捌工 м 捌2 — еещестеенные гильбертовы пространства и А:觇、f 捌2 ——сжимающий оператор. Пусть, далее, числа р, q £ (1, оо), р М д, таковы^ что

II 厶 II & (р — »/2/(q — 1*2.(1.42)

Тогда Г (4) — сжимающий оператор из 厶& (。注, ©卩0羽) 6 厶Q (Q品》2,"阿，死*2)，7n.伍

II Г (Л)屮 \\q & II 屮 ||р для всех 2 £ ZA (1.43)

Замечания. 1. Этот результат ——наилучший возможный в том смысле, что если оператор Л не удовлетворяет условию (1.42), то оператор Г (Л) не является даже ограниченным оператором из 厶「в /X

Пространство 厶Q гораздо уже, чем Лр, поэтому оценка (1.43) гораздо сильнее, чем утверждение о сжимаемости, содержащееся в следствии (1.15). По этой причине оценкам (L43) было присвоено в статье [184] название оценок «гиперсжимаемости»; теперь это название стало общеупотребительным.

Запишем А в виде В \\ А ||, где || ^ || = 1. Тогда Г (4)= = Г (В) Г (И А II). Поскольку оператор Г (В) является сжимающим оператором из L? в 厶、нам достаточно рассмотреть случай А = =const. Поэтому будем предполагать далее, что 4 =厂；в этом случае Г (А) = e~tN.

Вместо того чтобы доказывать оценки (1.42, 43), мы установим немного более слабый результат, а именно покажем, что для любых р, g £ (1, оо) найдется число 7卩心,такое, что оператор e^N является сжимающим оператором из 厶◎ в А7 при t》Tp,q・ Для развития нашей теории этого более слабого результата вполне достаточно. Тем не менее всюду далее мы будем пользоваться наилучшим возможным результатом (1.42); использование более слабого результата, который доказывается ниже, сказалось бы только в увеличении констант в различных оценках.

Приводимое ниже доказательство следует работе Нелсона [135].

Лемма I•18^ Пусть 閉——сепарабельное гильбертово пространство м 2 £ Гп (礎)• Тогда 屮 £ /Л (Q解,d卩о)，〃 孔Р〃 этом 11^1|4<2п||1|)||2. '(1.44)

Замечание, Вскоре мы обобщим и усилим этот результат (см. теорему 1.22).

Доказательство. Выберем ортогональный базис {&} в 礎, такой, что 〈е“ е,〉= 26 小 Пусть 屮=2 ：Ф (囱)... ...Ф (%п)： , где коэффициенты а”…2n симметричны по своим индексам. Такое представление возможно, так как векторы {:屮(&J . . . Ф (^in)： I " & % & • — & »п} образуют базис пространства Гп (礎j. Далее,

(:屮(%) • • • T (&n)：：屮(ё〃)• ■ • T(5)：〉=号 8з九⑴6%夕乳⑺， где En ——это группа перестановок п символов. Поэтому

〈丨屮口〉=士 а*a；〈:屮(也)…屮®П)：：屮(两)•..学(e%):)=

=S (2a?a“G)) = 〃！2|aj2.

ПёEn iг

Пусть Ап ——число способов разбить 4п символов %匸...,гп, /1)• • г /п» 倉1, • • •, Еп，厶，• • •, ％п на (неупорядоченные) пары

так, чтобы никакие два символа Z, никакие два символа / и т. д. не входили бы в одну пару. Тогда среднее значение

(：ф (錫)...ф (е%)::屮(е^ . . .: :(р (е 財)...::(р (%)...:〉

есть сумма из Ап слагаемых, каждое из которых в свою очередь является произведением символов Кронекера 6. Таким образом, 〈I 屮 |4) представляет собой сумму Ап слагаемых, каждое из которых имеет вид 』а為卩备餌登典”乂，где р, g, г, s, t, и — некоторые подмножества индексов. В силу неравенства Шварца,

3 I a^qr I I ^rtu |&

& S I agsu I I 吋乂 I (2 I apqr 产)‘2 (£ I OCpst『)"& rp

& 3 I artu I (3 I aqru I2) /2(S I aps"2)"(』I apq"2)拉& r,…，〃qpp, q

<(3 |ap^|2)1/2---( S I art” 产产.

@, q, rr,力〃

Поэтому

〈I 中 X 4n ( 2 I %了)2《母〈1中 12〉.

Очевидно, что Ап меньше, чем число способов разбить 4п объектов на и пар без дополнительных ограничений. Это последнее число равно (4п)!/(2п)! 22п; значит,

饰a击0：)⑺《击24n22y也

так что

|1ФН：<2^П||*..

Замечание. Оценку (1.44) можно получить также с помощью «техники численных оценок» 】)(см. Глимм и Джаффе [70], Саймон [182]).

Лемма I.19. При 2 & р & 4

II 叫|р&22№2叫 2 也.

Доказательство. В силу неравенства Гёльдера,

II叫ьa№忆5|1明产5，

поэтому утверждение леммы следует непосредственно из леммы 1.18. ■

В оригинале «number estimate techniques».— Прим. ped.

Лемма 1.20. Пусть 2 V р & 4. Если 苏？ 一 еещественное сепарабельное гильбертово пространство м с > 42Р"1-1, то

盯©屮 l|p《d-4-2B)TW2.(L45>

Доказательство. Пусть 屮=£ фп, где *фп ^ Гп (^). Тогдап=0

||Г(С)ф||Р<2 饪(с)必 ||pW0 ||门0 屮п||2(4>2рт)у n=0n=0

< S (4*了№底П叫12 S (4-2E广・ n=0n=0

〃©麻麻a JT・2Z・ _B предположениях предыдущей леммы

肛⑹屮 Up&IMh(1-46)

Доказательство. В соответствии с неравенством (1.45) мы имеем И Г (с)屮 ||р & d || 屮 Иг при всех 屮 €「(筋)для любого 酰. Положим 廊 =成 ® 膨，и пусть $ = 2 <Э 2 € Г (爵)・ Тогда Г (с) Q = (Г (с) *ф) ® (Г (с) *ф); поэтому, согласно (1.45),

II「⑹屮他《 dII屮吟

или же И Г (с) *ф ||р & d"2 и 屮 ||2. Повторяя эту процедуру, находим, что

l|F(c)Wllp&d^||wk для всех п. ■

Теорема JTJ7'・ Дл晶 любых р, q (Р & 0, р > 1, q V 8》 существует число с (р, q), такое, что при 0 ^ с < с (р, д) оператор Г (с) представляет собой сжимающий оператор из Lp в /Л. Далее, если q ^ р при фиксированном р, то с @, g) 1.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай 2 & р V q V 8》 g(p. В этом случае требуемый результат следует из интерполяции между тем, что е"： £? -> Л2+е,причем / -> 0 при е | 0, и тем, что е~ш:厶 8 _> 乙8 Если pVqV2nq(p, то нужно применить интерполяционную теорему к отображениям 厶？ f L2+£ и L1 -> 厶1.

Пусть теперь числа р и g произвольны. Выберем числа zn, п Е Z, такие, что ап « р V q《 叫,где

J 2n+1 при тг》О,а” ——а而尸 при п^О.

Так как оператор e-TN переводит L2 в 厶'при соответствующих Т и, кроме того, переводит £°° в £°°, то мы находим при помощи интер* поляционной теоремы, что е-т* £口几今 £а^+1 (n》0). По двои-

ственности это имеет место для всех п. Значит, оператор ехр (—Т (т —冷)N) переводит 厶“几 в Z/m и тем более 厶◎ в /Л ■

Основные приложения теоремы 1.17 излагаются в гл. V. Сейчас мы заметим только, что имеет место следующая

Теорема 2・22・ ％ (曲)и f]厶◎ (Q務，©阿).Точнее, если i|)Е

€ ㊉ гп (畋，mo

n=0

II ^ Up < (P - l)m/2 II ^ Ik(1-47)

при всех p>2.

Доказательство. Пусть с = (p —— l)-1^. Тогда оператор Г (с) представляет собой сжимающий оператор из 厶？ в 厶&. Пусть rj —

=F (с)"屮 € ㊉ ％ (加)・ Тогда

n=0

H屮心=II Г⑹n Up W II刀k W c-叫屮|卜.■

Замечания• 1. Таким образом, константу 2 в лемме 1.18 можно заменить на ]Л3. Дальше эту константу улучшить нельзя (в общем случае такая неулучшаемая константа равна (р ——I)1/2). Действительно, если И 屮 ||р《М II 屮 ||2 при всех 巾 £ Гп, то, рассуждая так же, как в леммах 1.18—1.21, найдем, что || Г (с1) *ф ||р ^ 《II 屮 Iki и если бы было с V (р — 1)1/2, то это противоречило бы утверждению о том, что теорему 1.17 нельзя улучшить.

Поскольку для константы Ап, фигурирующей в доказатель- ■стве леммы 1.18, выполнено соотношение Ап = (：Ф (^i)n^ 4), то

аП《(献)2 (J紛吗

Пользуясь тем, что теорема 1.17 не улучшаема, находим, чтоlim (4/(献У)% = 9.

Таким образом, пространство Фока пригодно для комбинаторных вычислений!

Замечание при корректуре. Недавно Л. Гросс [85] дал новое и элегантное доказательство наилучшей оценки (1.42). Он также рассмотрел инфинитезимальную форму утверждения о гиперсжимаемости. Точнее, оценки (1.42, 43) эквивалентны оценке

J IWFln|2|dno = z^m-Re〈H(l)W，Wp〉+ ||W||*n||W||p, где 屮р = (sgnp) I 屮『~丄・ В частности, при р = 2 имеем

j I 屮产 in I 屮 I 4io W 他，dr ⑷2〉+ II 2 信 In II 2 ||2,

откуда следует, что, хотя Q (dF (4)) может не лежать в £「ни при каком р > 2, он лежит в пространстве Орлича L2 In L. Фейсснер 140] получил оценки гиперсжимаемости для старших производных.

Литература 笈 § Z.4, 5

Гросс [85], Нелсон [135].

Взаимная абсолютная непрерывность гауссовских процессов

В этом параграфе мы хотим рассмотреть следующие три связанные друг с другом проблемы:

Пусть заданы вещественное гильбертово пространство 掷 и линейный оператор А в нем. Когда существует унитарный оператор U в F (掷)，такой, что

и(р (/) и」=ф (Л/) для всех / £ 掷？

Пусть так же, как и в случае (1), задан оператор А, Когда существует функция F £ Г (掷),такая, что всякая случайная величина ф (/) является г. с. в. относительно меры | F |2 d卩(, с дисперсией, равной — || Af ||2 вместо 讶 II / IE?

Пусть заданы два гауссовских случайных процесса с произвольными ковариациями, индексированные элементами одного и того же гильбертова пространства 礎.Когда эти процессы могут быть реализованы с помощью двух абсолютно непрерывных друг относительно друга мер на одном и том же измеримом пространстве?

Вопросы (1) и (2) представляют собой в сущности активную и пассивную форму одной и той же проблемы. Предположим, что пространство 掷 полно относительно каждой из норм, задаваемой ковариацией из проблемы (3); нетрудно видеть, что проблема (2) эквивалентна проблеме (3)——достаточно взять одну из этих ковариаций в качестве новой нормы. Имея это в виду, мы рассмотрим вторую проблему, предполагая дополнительно, что оператор А ограничен и имеет ограниченный обратный.

На самом деле эти проблемы являются частными случаями более общей проблемы теории канонических коммутационных соотношений, связанной с возможностью осуществления преобразовании Боголюбова или симплексических преобразований. Она была решена Шэйлом [171], который опирался на более частные результаты Фридрихса [50], Гординга и Уайтмэна [52] и Сигала [159, 160]. А именно, Шэйл весьма легко свел наиболее общую проблему к проблеме (1) и решил ее. В нашем дальнейшем изложе- 4 Б. Саймон

нии мы следуем в основном доказательству Шэйла, используя также некоторые упрощения, принадлежащие Клейну [115].

Так как во второй проблеме фигурирует лишь оператор В = =Л*Л, можно предположить с самого начала, что оператор Л положителен и самосопряжен. Основной результат состоит в следующем.

Теорема 2・23 (Шэйл [171]). Пусть А — ограниченный оператор 6 вещественном гильбертовом пространстве 觇、имеющий ограниченный обратный. Гауссовский процесс, индексированный элементами из 掬,с ковариацией 妥|| Af ||2 тогда и только тогда реализуем на Q駝 при помощи меры dw, такой, что меры dv ц d卩津况》 абсолютно непрерывны друг относительно друга^ когда оператор Л — 1 является операторов Гильберта — Шмидта. Более того, если оператор Л — 1 является оператором Гильберта — Шмидта. то dv = G ©卩密^», ede G £ L@ (Q, d*。) при некотором p > 4 и G~i £ Lq (Q, 0卩0)при некотором g > L

Замечания. 1. Шэйл рассматривал произвольный оператор А и требовал, чтобы оператор 4*4 — 1 был оператором Гильберта —Шмидта. Так как А* А — 1 = (| Л | + 1)(|4 | — 1) и one* ратор I Л I + 1 обратим, это эквивалентно требованию, чтобы оператор | Л | — 1 был оператором Гильберта ——Шмидта.

Операторы Гильберта —— Шмидта рассматриваются в книге [145, § VL6].

Доказательство. 1. Предположим сначала, что оператор А ——1 является оператором Гильберта —— Шмидта. Тогда существуют базис ｛е^｝農t пространства 礎 и набор чисел ｛入几｝農t, такие, что Леп = %пеп. Существующее по предположению число с = 三 max (||/ ||,||Л」II) обладает тем свойством, что с」& 九办 & с; кроме того,

2 (統 一 1)2 V 8.(1.48)

п

Рассмотрим модель Q-пространства, в которой Q есть бесконечное произведение вещественных прямых R с мерами л-1/2 ехр (―力^) dxn и ф (е几)представляет собой оператор умножения на 重r. Формально v является произведением мер д-^^ х X ехр (—%/办 小,где 卩冷= V. Поэтому положим

/(/,卩)=卩"4 ехр (——(卩一1)/) •(L49)

Возьмем 耳=口 / (&, W)・ Нам, конечно, нужно будет доказать сходимость этого произведения в £2.

Имеет место следующий общий результат.

Лемма 7・24 (Сигал [159]). Пусть {%}&] — независимые случайные величины (тп. е. такие случайные величины^ что совместное распределение вероятностей любой конечной совокупности 厶 является произведением соответствующих распределений). Пред

положим. что ft > 0, /j € 厶2 (М, dp,), И Л ||2 = 1 Ц II ft lip < 8

при некотором p>2. Положим F\ = [J /加 Тогда существует

функция F £ 厶％ така蒔,что \\ Fj — F ||2 f О при j f 8.

Доказательство леммы. Пусть j &k. Тогда

1阳一歹麓=j1n 力(n A-1)I2 d"=

=jn#(n#—2 n 力+i)dfx =i=I i=^4-ii=^4-l

=2 - 2 U И 力 1卜(1.50)

Мы использовали здесь положительность, независимость и норми- рованность случайных величин 力.Согласно неравенству Гёль- дера,

норму в пространстве !Л (Q,④卩。).Для доказательства оценки, (1.52) заметим, что интеграл

j exp (—}[p(@ —1) + 2]公)&£

сходится только при р (卩 —— 1) + 2 > 0 и в этом случае

\\f^n, Hn)||p = Hn [1+*(% —1)] 2" = g(卩П)”(L53a)

где

g(@)=―•(1.53b)

1 +五(林一1)

Выберем р =不姦戸 tогд» 2 = ? (1 -(-^)2) >p( 1-^)> > р (1 — р,), и поэтому интеграл сходится. Далее, функция g из формулы (1.53) представляет собой функцию класса С°° от ц в интервале (с-2, с2), причем g (1) = 1, gr (1) = 0. Поэтому по теореме Тейлора

g (① < 1 + 2w (р, - I)2 & exp (2pr)(p, - I)2),(1.54)

где

П = &P)t sup、g" (m).

C-3<|l<c3

Теперь неравенство (1.52) следует из неравенств (1.53) и (1.54).

Учитывая условие (L48) и то, что с-1 V 九71V % находим, что

Е (^-1)2 = S(1+ 除)2 (1 一統)2/艙& nn

^(l + c)2c4 2(l-Xn)2<oo.(1.55)

В соответствии с леммой 1.24 и оценками (1.52), (1.55) бес

G = I 尸 12 HdV = g 即・ и каждая координатная с дисперсией Хп относи-G = I 尸 12 HdV = g 即・ и каждая координатная с дисперсией Хп относи-конечное произведение п /(%卩汝)сходится в I? (Q, d卩о) к неко

G = I 尸 12 HdV = g 即・ и каждая координатная с дисперсией Хп относи-

G = I 尸 12 HdV = g 即・ и каждая координатная с дисперсией Хп относи-

77eitxn dv = lim f eitxn IЦ / (^ь Hi)『©卩=i->oo JI‘2=1eitxn dv = lim f eitxn IЦ / (^ь Hi)『©卩=i->oo JI‘2=1торой функции F и И F ||2 = 1. Пусть Мера V является вероятностной мерой, функция 况几 представляет собой г. с. в. нельно меры v. Действительно,

7

7

eitxn dv = lim f eitxn IЦ / (^ь Hi)『©卩=i->oo JI

‘2=1

eitxn dv = lim f eitxn IЦ / (^ь Hi)『©卩=i->oo JI

‘2=1

= exp ( — } A■河.

Снова по лемме 1.24 F £ 厶@ при некотором р > 2, поэтому и G £ £° при некотором ^ > 1. Но, в силу равноправности мер 世 и V, положив dp, = Я dv, мы видим, что функция Н также лежит в £° при некотором g > 1. Так как Н = G *, то доказательство достаточности закончено.

Поскольку мы не будем пользоваться утверждением о необходимости, мы не даем его полного доказательства. Оно может быть найдено в работе Шэйла [171] или в других работах, указанных выше.

Однако, чтобы показать, в чем дело, рассмотрим случай 幺=2・ На произведении (R U {°°})8 мы можем рассмотреть два бесконечных произведения:卩=U 冗-工"exp (—ж„) dxn и v =

н H(2in)T/2exp (―^胃，彰仆 Тогда вероятность

\ 吟/〃у

Рг。师{4 + W&N} = ^= 1 一 е—吗

\ е~у2у dy О

Аналогично, дз

Pro% {况? + 况;&N} = 1 — e 2 .

Выберем Дп так, чтобы е 2 =?Г* Тогда

Probv{х1п + х|п+1 ^Дп;孤=1, 2,…} = [[ (1—га-1) —О

и в то же время

00

Prob^^in + ^n+iC^n； п = 1, 2, .. } = П (1 — и-2)>0,

так что мера р не является абсолютно непрерывной относительно меры V. ■

Литература к § Z.6

Березин [9]? Клейн [115], Сигал [158, 159], Шэйл [171].

АКСИОМЫ. I

В этой главе мн рассмотрим три системы аксиом теории релятивистских скалярных квантованных полей: аксиомы теории поля Гординга ——Уайтмэна [207], эти же аксиомы, сформулированные в терминах вакуумных средних [203], и аксиомы Остервальдера — Шрадера для «функций Грина» в эвклидовой области (или, как мы их будем называть, функций Швингера} [143].

К сожалению, ситуация с аксиомами Остервальдера ——Шрадера несколько осложнилась ввиду наличия ошибки в их первоначальной работе [143]丄).Вопросы, связанные с эквивалентностью первых двух систем аксиом, и многие разделы возникающей на их основе теории изложены в монографиях Йоста [1101 и Стритера и Уайтмэна [189], поэтому мы намереваемся быть совсем краткими лри обсуждении соответствующих аспектов теории (§ ПЛ, часть § П.З). Наше изложение недавних результатов Остервальдера —— Шрадера (§ Н.2—4) следует в основном их статьям [140, 143] с некоторыми упрощениями в технических деталях и обозначениях.

Аксиомы Гординга —— Уайтмэна включают в себя лишь самые фундаментальные требования (если не отвергать вообще теорию поля, то можно было бы сомневаться разве лишь в том, выполняется ли в релятивистской квантовой механике аксиома об умеренном росте). Кажется поэтому удивительным, насколько богатой оказывается получающаяся в результате структура, а также насколько трудным является построение моделей (эти два факта не являются невзаимосвязанными ). В § IL5 мы опишем «тривиальную», но тем не менее важнейшую модель —— свободное поле.

Здесь уместно сказать несколько слов о роли аксиом в квантовой теории поля, тем более что цели «аксиоматиков» время от времени подвергаются (несправедливой!) критике. Аксиомы представляют собой не что иное, как главный каркас квантовой теории поля и, в частности, конструктивной теории поля. Первым этапом конструктивной теории поля должна быть проверка аксиом ——но это только первый этап, после которого можно ставить действительно интересные вопросы, касающиеся тех или иных моделей.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями теории обобщенных функций (распределений) и их преобразований Фурье — на уровне книг [189, гл. 2] или [145, § V.3, IX.1].

Эта ошибка полностью исправлена в части II работы [143].— Прим, перев.

Мы рассмотрим только случай одного нейтрального (эрмитова) бозонного скалярного поля. Результаты этой главы распространяются и на случай произвольных спинов и статистик (разумеется, с обычной взаимосвязью между ними!). Мы работаем с двумерным пространством-временем, но не используем никакой специфики двумерности, которая могла бы помешать обобщению на случай других размерностей. Кроме того, многое в этой главе допускает обобщение на случай пространств основных функций, отличных от /• Джаффе [108] построил «классическую» теорию для пространства основных функций, таких, что построенные над этим npocTpaqcTBOM обобщенные функции могут иметь скорость роста в р-пространстве порядка ехр (| р |В) при некотором Р < 1 (а не полиномиальный рост, как обычно). Константинеску и Тальхай- мер [23, 24] на основе работ Джаффе и Остервальдера ——Шрадера распространили схему аксиом OS на случай полей Джаффе. В дальнейшем развитии теории такие обобщения, вероятно, понадобятся для изучения неперенормируемых взаимодействий, а если можно доверять точно решаемым моделям, то и для некоторых перенормируемых взаимодействий [195].

Применение эвклидовых методов в теории поля имеет длинную историю. Впервые они возникли, как и многое другое в теории поля, на уровне теории возмущений (см. Дайсон [33], Вик [201], Вейнберг [200]). Аналитическое продолжение вакуумных средних в область, содержащую эвклидову область, было рассмотрено впервые Уайтмэном [203] и Холлом и Уайтмзном [93], но эвклидовы области ими специально выделены не были. Эвклидову теорию поля впервые рассмотрели Швингер [157] и Накано [211], а первым, кто подчеркнул значение чисто эвклидова подхода к теории поля, и особенно к ее моделям, был Симанзик [192—194]. Последний развил также многие из идей, специфических для этой теории. Однако плодотворность эвклидова подхода выявилась в полной мере лишь в результате работ Нелсона [132, 134, 135], в которых он объединил идеи Симанзика с техникой конструктивной теории поля, а также разработал новые идеи и новую технику. Мы обратимся к этим идеям в гл. III ——V. Наконец, выделив часть идей Симанзика ——Нелсона, Остервальдер и Шрадер [143] доказали теоремы, связывающие теорию полей Минковского и теорию средних значений в эвклидовой области.

Из педагогических соображений мы помещаем аксиомы Остервальдера — Шрадера перед аксиомами Нелсона (см. гл. IV), хотя исторический порядок другой. Мы хотим подчеркнуть, что многие из рассуждений § II.4 принадлежат Нелсону [134] и что принципиальная важность эвклидова подхода, приведшая Остервальдера и Шрадера к их аксиомам, была понята благодаря работам Нелсона и Симанзика.

§ IL1. Аксиомы Гординга — Уайтмэна и теорема реконструкции Уайтмэна

Квантовая теория поля, описывающая одно эрмитово скалярное поле, должна обладать следующими основными свойствами:

(GW1) (Гильбертово пространство.) Задано гильбертово пространство 盘 с отмеченным единичным вектором Q, который называется вакуумом,

(GW2) (Поля, умеренный рост.) Заданы всюду плотное подпространство £)()и 曲 и для каждой функции / £ 步(R2) оператор 屮(/) с областью определения Do, причем

для всех 屮口 屮金 € 力 о соответствие / f (屮口 屮(/)屮之)определяет обобщенную функцию умеренного роста;

если / — вещественная функция, то оператор 屮(/) является симметрияным, т. ё. 仲D 中(/)屮2) — (中(/) ^,屮2) 彻w scex 电， 5 С 4；

подпространство Do инвариантно относительно операторов 屮(/), т. е. если 屯 £ Do, то и Ц)(f) ^ ^ Do;

вектор й € Ло; пространство DQ (алгебраически) порождается множеством ｛屮(/i) • • •屮(％) R I /и • • •，九 £ 严(R2), n = =1, 2, . • -

(GW3) (Ковариантность.) Задано унитарное представление (a, A) i U (а, Л) собственной группы Пуанкаре 卧［, такоеу что

подпространство Do инвариантно относительно операторов ^ (а, Л), тп. е. если 屮】£ Do, то и U (а, Л)必 £ Do;

U (а, A) R = £2 при всех (а, Л) £ 秒£;

вектор U (а, Л)屮(力)U (а, А)"=屮(An + а), т. е. для всех / £ 乎(R2) и ^ ^ Dq

U (а, Л) ф (/) U (а, Л) -1 ^ = ^ (f (а, Л)) % (ILla) где

九a(n) =/(A」Q-a))・(ИЛЬ)

(GW4) (Спектр.) Совместный спектр инфинитезимальных генераторов группы U (а, 1) лежит 6 переднем световом конусе.

(GW5) (Локальность, или микропричинность.) Если функции / u g имеют пространственноподобные носители^ то

［屮(/)屮(g)—屮(g)屮(/)］屮1 =。(П.2)

для всех 州 1 С ^0-

(GW6) (Единственность вакуума.) Всякий бемпор 6 務,инвариантный относительно каждого оператора U (а, 1) (а £ R2), кратен Q.

Замечания. 1. Предположения (GW1——6) называются аксиомами Гординга — Уайтмэна.

Мы расчленили и сгруппировали аксиомы так, как это сделано в [110, 189], с тем чтобы получить соответствие с естественным расчленением аксиом Уайтмана для вакуумных средних. В частности, цикличность вакуума спрятана в аксиоме (GW2).

Используемые нами релятивистские обозначения можно найти в книге [189, гл. 1]. В частности, мы будем пользоваться скалярным произведением Минковского для преобразования Фурье и определять энергию Н и момент Р формулой

U (а, 1) = ехр 旧(Ш —%»)],(11.3)

где а =(力 а). (Конечно, в случае размерности два все наши пространственные векторы одномерны.) Мы будем систематически обозначать через 况 вектор из R2 и через 况 его (одномерную) пространственную часть. Соотношение (II.3) мы будем также записывать в виде

U (а, 1) = exp (Zs・P).(II.4)

Предположение (GW3a) следует 以з (GW2d) и (GW3b, с). Пусть теперь п ^ 0 и %,・.•，爲 £ 乎(R2). В соответствии с аксиомой (GW2) мы можем определить функционал

Гп(3 ..爲)-^，^^^^ 仇)a).(П.5)

Ясно, что функционал Жп полилинеен по /» и, в силу (GW2a), раздельно непрерывен (т. е. непрерывен по каждой переменной в отдельности). Отсюда следует, что он непрерывен и по совокупности переменных и что существует обобщенная функция

勿"(/ 1，. .况П)=(R,屮(勺)...<p (/J R)(II.6)

из (R2n), такая, что

^^П (/1， • •/п) =，‘1 (*^1) • • • /п (况п) ^^*П (*^1 ? • • •, &)歩%丄• • •

Функции ｛勿汝｝ называются функциями Уайтмэна или вакуумными средними. Их поведение описывает

Теорема 11,1. Функции Уайтмэна^ построенные по теории, подчиняющейся аксиомам Гординга — Уайтмэна^ обладают следующими свойствами:

(W1) (Умеренный рост.) При всех п обобщенная функция 勿几(况и . . ., %几) представляет собой элемент пространства 夕g), вещественный 6 том смысле^ что

部；(力=勿П仔)，где 1勺，• ..，况П)=而П，•..，%i), (П.7) при всех / £ 孑(R2n). Кроме того. Жо =1.

(W2) (Ковариантность.) Функции W汝 пуанкаре-инвариант- ны, т. е.

>\ (/)=勿”仇,A)；Q

при всех (& А) £ 秒|, где

/(а,Л);п (况 и • •・，/г) = / (А I (况J,а),-.*, А 1 (况几 а))・

(W3) (Положительная определенность.) Для функций / £ £ 孑(Rfe) a g £ 步(R“)пусть функция / ® g € 步(r'*“)определяется формулой

(/ ® g)(况1，■ • •?况月+2)= / (况1，• • Г 况月)g (况月+i，• • • I 况月'-H)，

а функция / £ 步(R，一 формулой (IL7). Тогда если /0 £ С, /1c С 步(R2), • •fhe^ (R2ft),加。

2物Z+m伉<8>Лп)》0・

n, m=0

(W4) (Спектр.) При всех n > 0 существует обобщенная функция Мп £(У (R2n-2) с носителем в {(рп . . ., рп^ | рг Е %}, где 卩十一замкнутый передний световой конусу, такая^ чтс]

加发(况J,…，/几)=

n-1

=J ”汝(Pi,…，Рпт)ехр (i 2 Pi^i+i — ^i)) ^~2р. (II.8)

(W5) (Локальность.) Для всех п и / = 1, .. ., n — i

勿^ n (*^1? • - * 7 况 j, *^J-bl J , • • J 况 П.)=勿^ n(2'1，♦…,况 j+1，"，•♦•，况 7l),

(П.9) если (勺一/升02 Vo.

(W6) (Групповое свойство.) Если вектор а пространственно- подобен и 1&，《？г—1, то

lim 勿发(胃力•..,",况升1+ 入口，...，比言+ Mz) = ]

X-*oo

=勿J (/,•••,勺)勿n-£(味I,…，£n).(П. 10)

Замечания. 1. Равенства (II.8)——(11.10) нужно понимать в смысле обобщенных функций. Равенство (IL8) можно, конечно,, переписать, используя замену переменной и последующее преобразование Фурье.

Грубо говоря, (Wl) q (GW2), (W2)冃(GW3), (W3) о 0 (GW1), (W4) о (GW4), (W5) о (GW5), (W6) о (GW6). Точнее, (W1-4)台(GW1—4),(W1-5) о (GW1-5),

(W1-4, 6) о (GW1-4, 6), (W1—6) о (GW1—6). Имеются и другие эквивалентные между собой подмножества аксиом.

Мы не будем приводить детального доказательства этой теоремы, поскольку его можно найти в книгах [110, 189]. Отметим только, что условия (Wl), (W2) и (W5) являются простыми переформулировками. Условие (W3) утверждает, что вектор

2 Фп (/n) R имеет неотрицательную норму, где 屮几(/) Q опреде- п=0

ляется при помощи следующей процедуры. Пользуясь теоремой о ядре, легко показать, что отображение 九，• •・，九 f 屮(Л) • ♦ • ...Ф (fn) Q является полилинейной раздельно непрерывной векторнозначной функцией, поэтому (снова!), согласно теореме о ядре, можно определить обобщенную векторнозначную функцию фп (/,♦••,况 п) ◎•

Интуитивной подосновой условия (W4) является формальное равенство

ЖП (内，…，无几)=(R, (р (0) eip'(x2-xi)(p ⑼ 一 .6回(组71)中(0) Q), которое вытекает из другого формального равенства

屮(况)=е+"Р・«)(0) e~ip'x.

Полное доказательство технически сложнее (см. также [145, § IX.8]).

Наконец условие (W6) можно доказать так. Предположим сначала, что оператор р представляет собой оператор умножения на /с в L2 (R, dk/Y部 + т2). Тогда по лемме Римана—Лебега ехр (—如)f 0 слабо при A1foо. Отсюда легко следует, что для пространственноподобных а оператор ^汉唳卩 сходится в слабой топологии к оператору Q — проектору на пространство векторов, инвариантных относительно преобразований U (а, 1). Поэтому если Q = (Q, •) Q, то

Ит (% ⑺ Q, U (觞，1) <pn_j (g) Q)=勿；(/)勿皿• (g).

Аналогично тому, как это сделано в замечании 3, можно доказать и групповое свойство для времениподобных направлений. Этот факт привлек гораздо меньше внимания, частично потому, что скорость убывания по времениподобным направлениям обычно гораздо медленнее, чем по пространственноподобным.

Узловым пунктом этого параграфа является следующая

Теорема II.2 (теорема реконструкции Уайтмэна). Пусть задано семейство функций ｛勿几｝農о, для которых выполнены условия (W1—6). Существует и (по существу) единственна теория,

подчиняющаяся аксиомам (GW1—6), для которой функции 勿汝 являются функциями Уайтмэна,

Замечания. 1. Снова мы не даем доказательства, ограничиваясь изложением основных идей, сходных с идеями, лежащими в основе конструкции ГНС (Гельфанда ——Наймарка ——Сигала) в теории С*-алгебр. Пусть 8 ——семейство всех последовательностей /о, • •/п, • • У которых 九 € 孑(R2ft) и 九=0 для всех доста

точно больших к. Используя условие (W3), можно наделить векторное пространство 6 скалярным произведением и затем при помощи факторизации и пополнения получить гильбертово пространство 盘.В качестве DQ нужно взять образ в 鸵 тех элементов из 8, для которых fk (况н •..,况丸)=gt (况t) . . . gft (况Q; операторы 屮(/) определяются на Do очевидным образом.

За исключением утверждения об эквивалентности условий (W6) и (GW6), зта теорема была доказана Уайтмэном [203]. Связь группового свойства и единственности вакуума была впервые подчеркнута Хеппом и др. [97].

Некоторые подмножества совокупности условий (W1—6) эквивалентны соответствующим подмножествам совокупности условий (GW1—6) (см. замечание 2 после теоремы IL1).

Литература к § 11,1

Аксиомы Уайтмэна и теорема Уайтмэна: Йост [110], Стритер и Уаитмэн [189], Уайтмэн и Гординг [207].

Релятивистская инвариантность: Барут и Уайтмэн 17], Макки [127], Вигнер [208].

Обобщенные функции и их преобразования Фурье: Гельфанд и Шилов [53], Рид и Саймон [145, гл. V, IX], Л. Шварц [156], Иосида [210].

§ II.2. Теория преобразования Лапласа.

Техническая интерлюдия

К сожалению, детали построения теории Остервальдера —— Шрадера связаны с использованием некоторых весьма технических результатов из теории преобразования Лапласа. Основы этой теории изложены во многих учебниках [110, 145, 156, 189], но в § IL4 потребуются весьма специальные результаты. При первом чтении лучше всего, вероятно, пропустить доказательства, останавливаясь лишь на формулировках, для того чтобы ознакомиться с обозначениями. Сначала мы обсудим преобразование Лапласа в общей ситуации.

Определение^ Пусть С ——выпуклый конус в R". Двойственный к нему конус определяется формулой

О = {& £ R" I 乃•况》0 при всех % £ С}.

ТеоремаИ^З. Пусть Т — обобщенная функция из(У‘ (Rn), шакая^ что носитель ее преобразования Фурье лежит е конусе С, двойственный к которому имеет непустую внутренность (С'У*. Пусть 夕 ——труба 6 Сп, задаваемая формулой

夕={z £ (Г I Im z £ (С>"}・

Тогда существует аналитическая в 夕 функция F, обладающая следующими свойствами'：

(а)(а)(ILlla)норма нормы(ILlla)норма нормы|F(z)|<C(l + |Z|fe)[l + (dist(z, а夕))5]

(а)

(а)

(ILlla)

норма нормы

(ILlla)

норма нормы

для Fдля F(11.12)(11.12)при некоторых C,阮 т. Здесь dist (z, w) — это эвклидова в Cn ^ R2n. Константы С,兑 т зависят лишь от этой и констант^ ограничивающих Т;

для F

для F

(11.12)

(11.12)

(Ь) функция Т представляет собой граничное значение 8 том смысле^ что при всех а £ (С)* а / £ 皆(Rn)

lim j f (况)歹(况 + 祖a) dnx = T (/).

Эта теорема сильнее той, которая приводится обычно в учебниках по аксиоматической теории [ПО, 189]. В такой форме она принадлежит Бро, Эпстейну й Глазеру [16] (см. также [145, § IX.3]). Доказательство, предложенное этими авторами, очень просто и элегантно. Утверждение очевидно, когда функция t непрерывна, ограничена полиномом и имеет носитель в С, так как F тогда можно определить с помощью преобразования Лапласа:

(ПЛЗа)(ПЛЗа)F (z) = (2冗)-"/2 j exp (反-к) f (к) dnk.

(ПЛЗа)

(ПЛЗа)

где интеграл абсолютно непрерывен, ибо Im z・& > 0 при k W & z £ 夕.Аналитичность F следует из существования комплексной производной у правой части. Оценка (11.11) устанавливается без труда, равно как и равенство (11.12). Предположим теперь, что Р (/))——это дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами и что 7 = ? (D) Q, где Q — непрерывная ограниченная полиномом функция с носителем в конусе С. Тогда наше утверждение снова получается из формулы

F (z) = (2л) "n/2 Р( —iz) f exp (iz-k) Q (к) dnk. (II.13b)

Теорема вытекает поэтому из Следующей леммы.

Лемма 11,4 (лемма Бро — Эпстейна — Глазера). Если S — обобщенная функция с носителем s выпуклом конусе С17 то существуют непрерывная полиномиально ограниченная функция С с носителем 6 С' и дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами Р (£>), такие, что S = Р (D) G.

Набросок доказательства. Выберем координаты у^ . . ., уп так, чтобы «октант» {у^ ...,少孔)| у^ > 0} лежал внутри (C#)int. Положим

Ат (г/р уп) = В (у г) ... G Ом)疗• . . Уп/(т1)п,

где 0 (力)равно 0 при ^ < 0 и равно 1 при 力 > 0. Ясно, что Ат является функцией класса Ст^ с носителем в С'. Далее, в смысле обобщенных функций

Если S имеет порядок 乃，то, как нетрудно показать, функция G = S * Ak+2 и оператор Р (£>)=⑦囱工... ^Уп^+3 удовлетворяют всем условиям леммы. ■

Замечание. Для дальнейшего отметим, что лемма IL4 (а стало быть, и теорема IL3) допускает распространение на случай обобщенных функций со значениями в фиксированном банаховом пространстве.

Рассмотрим теперь следующую обратную задачу: когда функция 歹(или, более общим образом, обобщенная функция), заданная на трубе 夕 или на каком-то ее подмножестве, является преобразованием Лапласа, т. е. может быть представлена в виде (11.13)? Будем рассматривать тот частный случай, когда С есть полуось [0, оо) в R. В дальнейших приложениях мы будем проводить сглаживание по пространственным переменным и тем самым сводить общий случай к этому частному случаю или его многомерному аналогу. Положим поэтому

R? = {% £ IT I 々 > 0, > 0).

и обозначим через 步(R?) подмножество функций из 孑(Rn) с носителями, лежащими строго внутри R?, наделенное индуцированной топологией. Пусть 孑(R?)——зто множество функций на R?, которые являются функциями класса С°° на R，, все производные которых можно непрерывно продолжить на R? и для которых

II 花叨В/ II оо V 8

для всех мультииндексов а, р. Эти нормы определяют некоторую топологию в 孑(R?)・ По теореме Уитни о продолжении (см.,

например, [103, 188]) всякая функция / £ 孑(R?) представляет собой ограничение на R，некоторой функции / £ 孑(Rn), поэтому /R，)можно рассматривать как факторпространство

孑(頁可=孑(Rn)/{/ £ 步(Rn) I / = 0 на 丽，

и по теореме об открытом отображении указанная выше топология на 孑(R*) совпадает с фактортопологней. Поэтому обобщенные функции Т £$ (R?)，естественным образом распространяются на 孑(Rw). Мы будем пользоваться одной и той же буквой для обозначения функции Т и ее распространения на 孑(Rn). Тем самым пространство 严(R?)' естественно отождествляется с такими обобщенными функциями Т ：#' (Rn)? для которых supp Т и R，. Наконец, мы будем использовать без дополнительных комментариев обозначения вида 产(R± X R).

Определение, Функция F (%) на RJ называется преобразованием Лапласа тогда и только тогда, когда существует обобщенная функция Т & S (R，)'，такая, что

歹(с) = j е-4? Т (у) d^y.(II. 13с)

喳

Замечание. Легко видеть, что при любом фиксированном

「.y С产(丽.

Следующая теорема дает стандартную характеризацию преобразований Лапласа.

Теорема 工工.5. Если F — преобразование Лапласа обобщен ной функции Т, mo F представляет собой ограничение 儿а {z £ Cn I % = Im z С R% Re z = 0} некоторой функции F (z), аналитической s трубе .夕={z С С71 | z = Im z С R^} 〃 такойr что

I 歹(z) I &с (1 + [min (Im 4)]力 d +1 z I)m(II.Hb)

для некоторых & k и m, зависящих лишь от нормы и константг ограничивающих обобщенную функцию Т・ Далее, обобщенная функция Т может быть восстановлена по F, так как ее преобразование п

Фурье (2冗户不 является граничным значением функции F (z) 6 смысле (11.12). Обратно, если задана функция F на R?, которая, допускает продолжение s трубу 夕,удовлетворяющее оценке (ILllb), то F является преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции Т С 严(R?)二 При зтом

\T(f)\^C\\fW(н.14)

для всех / £ 孑(R^), где || ・|| —— зто норма^ зависящая лишь от констант Л, zn, входящих в (II.11b).

Первая половина этой теоремы представляет собой просто переформулировку теоремы II.3. Доказательство второй половины можно найти в книгах [156, 189, 145, § IX.3]. Оценка (11.14) не выписана там явно, однако неявно она следует из проведенного там доказательства.

Мы хотим теперь исследовать некоторые общие свойства преобразований Лапласа, рассматриваемых как обобщенные функции.

Иредложение II.6, Пусть F — преобразование Лапласа обобщенной функции Т. Тогда F определяет некоторый элемент из 步(R?)，При этом для любого 苏 £ 孑(R：)

F(h) = Т @), (П.15а)

无(")= [j “历⑷"化]I R?* (II.15b)

Доказательство. Пусть h £ 孑(R?) и у £ R：. Разлагая h в ряд Тейлора по i-й переменной в точке (у^ ...,勿т，0,勿+н .・.,yQ、 мы видим, что

I 厶(у) I & sup II Dah II- уТ

при всех т. Поэтому по заданным т, к можно подобрать норму III *||| на 孑(Rn), такую, что

丨无匂)丨 W IM III (min 川严(1 +1“)』 (11.16) для всех h £ 严(R|). Из (IL11) и (IL16) следует, что интеграл j 歹(У)无(У)印У сходится и определяет тем самым обобщенную функцию. Для доказательства соотношений (11.15) заметим, что они, очевидно, выполняются, если Т является (обычной) функцией из /(RR) (по теореме Фубини), и что подпространство 孑(R?) секвенциально плотно в ^(R^)7 в слабой топологии. Далее, если Тп слабо сходится к Т, то, как нетрудно показать, соответствующие преобразования Лапласа сходятся поточечно с равномерной оценкой типа (IL11), а значит, сходятся и слабо. ■

Предл ожение ИЛ. Соответствие 无 f 几 задаваемое соотношением (II.15b), является непрерывным отображением пространства 严(R?) в пространство 孑(R，) с плотным образом 〃 нулевым ядром.

Доказательство. Непрерывность доказывается совсем просто? а тривиальность ядра следует из того, что преобразование Фурье А может быть получено из Л с помощью аналитического продол-

жения и вычисления граничного значения. Если образ не всюду плотен, то найдется ненулевая обобщенная функция Т £ #(R^)\ такая, что Т (无)=0 для всех 瓦 Пусть F — ее преобразование Лапласа. Тогда, в силу (II.15a), F является нулем как обобщенная функция (а значит, и как обычная функция). Но тогда и Т является нулем, так как ее преобразованием Фурье служит граничное значение аналитического продолжения функции F. ■

Теорема ГГ.5. Пусть Т — обобщенная функция на ^(R^), такаячто для некоторой нормы на 孑(R，)

I r(fe) I ^11 fell(11.17)

для всех h £ 严(R?). Тогда Т является преобразованием Лапласа.

Доказательство. Для всех g £ 孑(R，) вида g =行 положим S (g) = Т (无)• Тогда в соответствии с (11.17) функция S непрерывна, и, согласно предложению II.7, она определена на плотном множестве. Значит, функцию S можно продолжить до функции из 孑(R?)'. Пусть F —— ее преобразование Лапласа. В силу предложения II.6,

F (h) = S (%)=? (无)

для всех 儿 £ 乎(R?)・ Таким образом, Т представляет собой преобразование Лапласа. ■

Замечание. Конечно, оценку типа оценки (IL17) проверять очень трудно. Например, норма || А \\м может быть мала, даже если это не так для нормы || h ||оо«

В теории преобразования Лапласа многих переменных имеется один естественный вопрос, который занимает центральное место в проблеме обратного перехода от эвклидовой области к области Минковского. Этот вопрос можно сформулировать так. Пусть известно, что обобщенная функция является преобразованием Лапласа по каждой переменной в отдельности. Является ли она преобразованием Лапласа по совокупности переменных? Точнее, пусть W £ 孑(R?)'，и Для любого 力 и любых /г ...,厶—d 力十口 ... ♦К W 留(R+) обобщенная функция

g f 歹(/1 о ... ® /т ® g ® /;+1 ® • •.吩九)

представляет собой преобразование Лапласа. Является ли сама обобщенная функция F преобразованием Лапласа? В первоначальной статье Остервальдера и Шрадера [143] было дано ошибочное доказательство того, что ответ на этот вопрос положителен. Однако на самом деле ответ на этот вопрос отрицателен, что вытекает из следующего примера Шрадера.

5 Б. Саймон

Пример. Пусть F (勺，胃?)^ exp (—%拦2) £ 孑(R) Ясно, что получаемая интегрированием по х2 функция

『尸(/, g) / (g)源2

представляет собой преобразование Лапласа. Но функция F не может быть преобразованием Лапласа по совокупности переменных. Действительно, будь она таковым, она имела бы аналитическое продолжение в R：义 R2, которое полиномиально ограничено на бесконечности (теорема II.5). Но аналитическое продолжение F, равное ехр (+幺必2)， 「Re xt = Im z“ не является полиномиально ограниченным, если, например, z» = | z» | ехр (ш/6).

На самом деле существуют два препятствия для доказательства того, что F является преобразованием Лапласа по совокупности переменных. Одно из них связано с тем фактом, что F может не иметь необходимого аналитического продолжения в область {z£(7|% = Imz£ R?}・ Это препятствие может быть обойдено в случае теории поля путем использования дополнительной структуры, которой обладает функция F (см. краткое обсуждение ниже, а также работы [60, 140]). Вторую трудность — неограниченность, проявляющуюся в примере Шрадера,— по-видимому, нельзя преодолеть без изменения аксиом, приведенных в [143].

Литература к § 11,2

«Классическая теория»: Л. Шварц [156], Стритер и Уайтмэн [189].

§ IL3. Функции Швингера и их свойства (аксиомы Остервальдера ——Шрадера)

Первой задачей этого параграфа является «аналитическое продолжение» обобщенных функций Жп на некоторую большую область в С2П. Мы будем следовать в этом вопросе «классической аксиоматической теории поля» [ПО, 189]. Сначала мы воспользуемся теорией преобразования Лапласа и условием (W4), с тем чтобы получить аналитические функции в 夕九 ——трубе будущего, затем ——условием лоренц-ковариантности (W2), чтобы продолжить их в 夕尸七——расширенную трубу будущего, и, наконец,—— условием локальности (W5), чтобы продолжить их в 夕月‘" —— симметризованную расширенную 丄)трубу будущего.

Рассмотрим точки (%, . . ., “) £ С2п, у которых каждый из векторов z» имеет вещественную пространственную компоненту и чисто мнимую временную. Спрашивается, какие из этих точек лежат в 夕胪？ Оказывается, что все такие точки с попарно раз-

В оригинале permuted extended. Отсюда индекс р. е.— Прим. ред.

личными zt лежат в 夕fj©・ Чтобы убедиться в этом, нужно лишь проследить известную трехэтапную процедуру построения трубы 夕月°. Ограничения аналитических функций Жп на это множество несовпадающих эвклидовых точек будем называть функциями Швингера. В этом параграфе мы докажем, что функции Швингера обладают некоторой совокупностью свойств (OS1—5), а в следующем параграфе покажем, что этих свойств достаточно для реконструкции теории Гординга —— Уайтмэна по функциям Швингера.

Прежде всего мы (следуя Уайтмэну (203]) применим к функциям 勿孔 метод преобразования Лапласа. Из условия (W4) и того, что произведение световых конусов является самодвойственным конусом, следует, что функция 勿几{х1ч ...,北孔)является граничным значением некоторой функции Wn (々，...,陽)，аналитической в области 夕孔={(zq ...,蜀)I Im (^_).1 —勾)£ 卩十，j = — 1, . . ^ n —— 1} — трубе будущего. В силу условия (W2), Wn представляет собой функцию лишь от разностей 电 — 衍，• • • ..纟几 —— z^-i и, кроме того, для всех преобразований Л, принадлежащих собственной группе Лоренца L^,

Wn (Az1?..八2沱)=心(zp . . ., z) (H.18)

Пусть через £十(С) обозначено семейство комплексных преобразований Лоренца с детерминантом 1, т. е. комплексных преобразований пространства С2Т таких, что Az・Az = z・z 三若一z：. Пусть 夕F‘ = U A ^n^ — расширенная труба будущего (здесь А леи(с)

действует в Сп как оператор Л ® . . . ® Л (п раз)). Имеет место следующий фундаментальный факт.

Лемма II.9 (лемма Баргманна — Холла — Уайтмэна). Если функция Wn аналитична в ^Гп 比 удовлетворяет условию (11.18) при А С 厶工,m® эта функция допускает аналитическое продолжение 8 夕『% удовлетворяющее условию (11.18) npw всех А £ £十(С).

Замечания. 1. Доказательство можно найти в книге [189, гл. 2].

По определению всякая точка z £ •歹先t может быть представлена в виде z н Лш, где w £ 夕几 и A £ 厶十(С). Естественно поэтому попытаться положить Wn (z) = Wn (勿)・ Ключевым пунктом является доказательство корректности этого определения (т. е. того, что если z = А‘疗，то и Wn (”) = Wn (ip)). Оказывается, что такая согласованность зависит решающим образом от аналитичности функции ИЛ

В то время как труба 夕门 по определению не содержит вещественных точек, труба 夕产 их содержит. Точки пересечения 夕步 q А ^п называются точками Поста; фундаментальная лемма Йоста утверждает, что (^15 . . ., %п) является точкой Йоста тогда

5*

и только тогда, когда для любого набора неотрицательных чисел 入и • • м 九пт, такого, что』％» > О,

® 脑⑵-外+1))2 < О,(П.19)

где квадрат берется в смысле скалярного произведения Минковского. Множество точек Йоста открыто. На этом открытом множестве функция Уайтмзна Жп является пределом в смысле обобщенных функций последовательности аналитических функций, которые поточечно сходятся в «самом хорошем» смысле (локально равномерно). Поэтому функция 歹п, ограниченная на область точек Йоста, является вещественной аналитической функцией, равной Wn, Кроме того, в каждой точке Йоста все разности пространственноподобны, поэтому для любой перестановки 冗 £ 2n ^*п (北1，♦ •化n) = ^\ (^л(1)1 * • ч ^П(П)) ^*п,л (化 1，• • -1 化n)，

(11.20)

в силу условия (W5).

Определим, наконец, симметризованную расширенную трубу будущего 夕月❷.а именно, для всякого 冗 £ Еп пусть 夕^^ будет расширенной трубой будущего по переменным (л：я(1>, . . ., л：п(п>). Тогда положим

^'е'^ и 夕廿m(11.21)

л£2п

Аналитическое продолжение функции Wn в трубу 夕『t задает аналитическое продолжение функции WntSt в трубу 夕肾^・ Далее, согласно формуле (11.20) (и ее аналитическому продолжению х)), функции Жп>п и Wn^ согласованы на множестве 夕肾;П 夕幫匕 поэтому можно однозначно определить функцию Wn на трубе 夕 £•& (другими словами, функцию Wn можно продолжить на всю трубу 夕玖&). Вычисляя разными способами граничные значения, мы можем восстановить все обобщенные функции 勿…по функциям Wn.

В трубе ,УР-е- есть одно особенно интересное подмножество.

Определение^ Точка (纟口 . . ., zn) из С2п называется эвклидовой. если каждое z» имеет чисто мнимую временную компоненту и чисто вещественную пространственную компоненту.

В дальнейшем мы будем параметризовать эвклидовы точки пространства С2п с помощью векторов (化】,s】;...;хп, sn) £ R2n, так чтобы 芍 =(iSj,化力；будем писать также, что 女 =(勺，s»・

i) При 汽 > 2 множество 夕署:f) R2n несвязно, так что это продолжение требует применения теоремы об острие клина.

Множество эвклидовых точек, для которых 肉一勿=# ° при i ^ j, будем называть внедиагональнойх) эвклидовой областью и обозначать через ^п.

Лемма 11^10 ^ Внедиагональная эвклидова область gn содержится 8 трубе 夕

Доказательство. Положим^； = у» —力/「勿一山 |. Множество векторов, ортогональных хотя бы одному вектору е^, состоит из не более чем п (п — 1)/2 гиперплоскостей коразмерности 1, поэтому существует единичный вектор Z, такой, что 2・е^ =# 0 при всех г, у. Переставим индексы 1, . . ., п так, чтобы было ё*уп{п)> > ^'^л(п-1)> • • • > £*Уги1)・ Мы утверждаем, что соответствующий вектор(Z], . • ., zn) лежит в трубе 夕^^・ Действительно, совместные повороты по каждой из переменных у», принадлежащие 厶十(С), и поворот, переводящий вектор ё в (0, 1), переводят (Z], * .Zn) В 夕'％ат* ■

Ниже нам потребуется немного более сильное утверждение, чем то, которое дает доказательство последней леммы.

Лемма 11,11. Для каждого п существует константа с>0, такая, что для всякого у =(力,•・ ” Ул) £ *п существует единичный вектор ёу £ R2, удовлетворяющий условию

I询•(弘一山)I》с I妖一力丨при всех i =# j.

В частности^ существует перестановка 冗 £ Sn, такая) что

. min еу •仇(用)一源⑴))С min I仍一力[. Л, . .п-1

Доказательство. Нам достаточно показать, что для любого набора из п (п — 1)/2 единичных векторов {ец}^г<^п существует вектор С, такой, что | £・е^ |》с для всех 厶 /. Действительно, тогда мы можем положить е^ =肉一力/| 力一力 |. Далее, сфера $2 компактна. Определим функцию / на(52)«(«-<)/2 формулой / ({е订}iwywQ = sup (min | 纟・e订 |). Ясно, что функция / непре- рывна и строго положительна, поскольку из того, что min | ё ・е订 | = =0, следует, что вектор ё лежит на одной из w (п — 1)/2 гиперплоскостей. Поэтому / имеет минимальное значение % причем это значение с > 0. ■

Определение^ Ограничение функции Wn на внедиагональную эвклидову область называется п-точечиой функцией Швингера. Трактуя эту функцию как функцию от у, мы будем обозначать ее через S^.

В оригинале non-coincident.——Прим. ред.

Замечания. 1. Иногда у нас будет возникать возможность определить естественным образом функции Швингера и на диагоналях. Мы будем тогда использовать для только что введенной функции термин внедиагональная') функция Швингера,

Из-за наличия у по ря доченно сти среди чисел Im z» в определении 夕孔,функции Sn часто трактуют как аналитическое продолжение функций Грина (хронологически упорядоченных вакуумных средних). Конечно, эти функции являются также аналитическими продолжениями (неупорядоченных) функций Уайтмэна.

Для описания свойств функций S^ мы введем два пространства основных функций. Обозначим через сУ^(К2п) семейство функций из /(R?71), которые обращаются в нуль (вместе со всеми производными) на каждой гиперплоскости щ — у§ = 0. Пространство ^^(Н?71) является замкнутым подпространством пространства ^(R271), и мы наделим его индуцированной топологией; элементы двойственного пространства будем называть обобщенными функциями над сУ^(К2п). Далее, через 严+ (R2n) обозначим множество функций из сУ^(К2п), носители которых лежат в области {(/, S1；.・・；為 S沱)I 0 V $1 V . . <

Замечание. По теореме Хана — Банаха всякую обобщенную функцию над 孑#(R2ns можно продолжить до обобщенной функции над ^ (R2n), но (обычные) функции из 明t(R2n)' могут быть более сингулярны, чем функции из 皆(R2n)\ Например, функция I 勿一у? Г? определяет обобщенную функцию над %= (R4) по формуле / н-> у / (у】，у?) \ У1 — У2.「％%, так как по теореме Тейлора "(弘，旳)I { sup II0a川-I 力一冢 I2 Для всех / e

|a[S2

€ 孑耍(R4). Однако, хотя эта обобщенная функция продолжается на / (R4), ни одно из ее продолжений не задается обычной функцией. По существу функции из 皆(R2n)z ——это функции, которые могут иметь, самое худшее, полиномиальные особенности на диагоналях. Когда мы будем говорить ниже, что (обычная) функция F лежит в 皆# (R2n)\ мы будем подразумевать под этим, что интеграл j F (%, . . ., z/n) / (%, . . ., у^ 产% абсолютно сходится для всех / £ 皆片(R2n) и определяет непрерывный (линейный) функционал.

Теорема 11»12» {Внедиагональные) функции Швингера, построенные по любой скалярной теории Уайтмэна^ удовлетворяют следующим условиям:

(OS1) (Умеренный рост.) При каждом п функция S^ (у、, . • ., у^ определяет элемент из 步# (R2n)\ причем SQ = 1. Функции Sn

обладают следующим свойством вещественности'.

О) = Sn (所Г，(П.22а)

где

(9/)(/, $1； 化п，^n) ~ / (北1‘ Sj.； • • •» ^n> s?J (IL22b)

и где сопряжение g определяете^ формулой (II.7).

(0S2) (Ковариантность.) Каждая функция 5n эвклидово инвариантна^ т. е.

Sr (/) = Sn (/(а,л)；п)

при всех (а, Л) Е Е^, где Е； — собственная эвклидова группа и где /(«,л);п (%,・• •，少九)=/ (А」(％ — *•••, А" (Уп — а))・

[Заметим, что отображение / f /(а)д)；п переводит 孑不(R2n) 6 себя Л

(0S3) (Положительная определенность.) Пусть /0 £ С, /\ £ € 皆十(IT), •…九 £ 皆十(R2n). Тогда

2& An)》。，

zde 0 определяется соотношением (IL22b), а сопряжение — соотношением (II.7). [Заметим^ что если fn ^ ^^ (R2n), /酬£ 孑十田加)， то (吼 &Л„)е 办(Rze+砌).]

(0S4) (Симметрия.) Sn (г/л(1), .. ., г/п(п)) = 5n (г/ь ..., у n) для всех л g Sn.

(0S5) (Групповое свойство.) Для всех функций /£ 孑于(R")n n с『(R") w g £ 乎# (R2m) n c『(R如)

lim Sn+m (/ ® 7\g) = Sn (/) Sm (g),

где

Ttg (“1，Sj.； • • *> “m, S7n) = g (化 1，$1 力；* - *；化тп, ^m 力)* (【L23)

[Заметим, что / ® 7tg £ 严声(R2g砌)при всех достаточно больших %」

Замечания. 1. Остервальдер и Шрадер формулировали групповое свойство несколько иначе.

Многие из этих свойств были уже известны ранее. Свойство (OS4) специально отмечено Постом [110]. Остервальдер и Шрадер первыми подчеркнули роль свойства (OS3) и сформулировали совокупность свойств (OS1—5).

Совокупность свойств (OS1—5) называют аксиомами Остервальдера —Шрад ера.

Доказательство. (0S1) Согласно теореме II.3, для Wn (z) имеет место оценка

I % ⑵ &。(1 +1 Z |，1 十 diSt (z, а夕п)-『(п.24)

fl трубе будущего при некоторых D^ к ^ т. По лемме 11.11 существует константа с, такая, что для каждого у С 宮几 найдутся перестановка л С Sn и вектор ё £ S?, такие, что

min {Ула+и-уа^-е^с [min | 玖一处 | ]• 2=1, . .., п-13 j

Пользуясь инвариантностью Sn относительно поворотов и перестановок (см. доказательства свойств (OS2) и (OS4)), находим, что

IISn (у) К。(1 十IУ 产)[1 + с『min\yt-y}\-m].(11.25)

Пусть теперь / С 乎手(R2n). По теореме Тэйлора

|/3 I Wsup на川|8〔办一处『，

и поэтому для всех к, 2

1〃У)К lll〃||xmin®Ly#(l + W|尸， (11.26)

где HI |||fej — это некоторая норма в 彩;.Из неравенств (11.25) и (11.26) следует, что интеграл j Sn (у) / (у) dy сходится при всех / С 乎丰(R2n) и определяет непрерывный функционал.

(OS2) Так как функционал S (/) определяется сходящимся интегралом, то это свойство следует из поточечной инвариантности самой функции S. Эта инвариантность в свою очередь непосредственно вытекает из леммы II.9 (леммы Баргманна — Холла — Уайтмэна).

(OS3) Из теоремы о ядре для векторнозначных функций (см. замечание 3 после теоремы II.1) следует возможность трактовать фп (况工,• • г Nn) Q как обобщенную векторнозначную функцию. Ее преобразование Фурье по переменным 勺，g —况工，•… 况孔一 —Nn一工 имеет носитель, лежащий в произведении световых конусов; поэтому, согласно векторному аналогу теоремы П.З, она является граничным значением некоторой векторнозначной функции, аналитической в соответствующей трубе будущего. (Заметим, ито, поскольку равенство (IL18) не имеет в данном случае места, мы не можем продолжить эту функцию в расширенную трубу будущего.) В частности, пусть 况工,...,/п ——фиксированные пространственные векторы, а 尢,...,tn > 0; тогда можно естественным образом определить вектор

е-〃н(р (勺，0)е-±2H(р(&, 0) ... e~tnH^ (^n, 0)Q(IL27)

как значение этой векторнозначной аналитической функции в соответствующей точке. Мы утверждаем теперь, что справедливо равенство

(e~tnH(p(xn^ 0) ... e~flH(p (хь 0) Q, ^~inuH^(^n+t9 0) • • • e^tn+mH х

X 屮(％тг+т, °) Q) = S兀+m (片1，^1» • • • 5 ^n+mi ^n+m),(11.28)

где 力=0, % = 士 勾(f — 2, . .w), Sj = 2 %j (i = n +1,.

...,n + 771).

Это легко доказывается обычным аналитическим продолжением векторов назад в область Минковского. Из соотношения (11.28) и из существования векторов вида (11.27), непрерывных по 况 и ио 力 легко следует, что утверждение (OS3) представляет собой утверждение о положительности нормы некоторого вектора.

(OS4) Также как и для свойства (OS2), достаточно установить это свойство в поточечном смысле. Последнее же вытекает из соотношения (11.28).

(OS5) В соответствии с (IL28) это свойство является непосредственным следствием того, что lim e~tH 屮=(Q,屮)Q для всех

(ф £ 觇.■

Замечания. 1. Из предложения IL6 и определения функций Wn (z) следует, что теорема 11.12 остается верной, если условие (OS1) заменить таким более сильным условием:

(OS1‘) При всех п функция S^ (%,...,沙兀)определяет элемент из 此^ (R2n)\ такой, что для всех 无 С 步(RRD)

I Sn (无仇一弘УП - %i)) I W II ^11,

где II *|| — некоторая норма на 乎(R2(n-i)^ 〃无—преобразование Лапласа функции h. Кроме того,内。=1 и функции S^ удовлетворяют соотношениям (11.22).

Мы будем обозначать совокупность свойств (OS1‘) и (OS2—5} через (OS'l—5).

Теорема реконструкции Остервальдера—Шрадера

После появления препринта первоначальной работы Остервальдера и Шрадера [143] казалось, что все замечательно и (OS)=> => (W). К сожалению, приблизительно через шесть месяцев в последней лемме этого препринта была обнаружена техническая ошибка, и в работе [140] Остервальдер обсудил возможные пути ее исправления1). С чисто аксиоматической точки зрения лучше

，)См. подстрочное примечание на стр. 54.— Прим, перев.

всего заметить, что система аксиом (OST—5) эквивалентна системе аксиом (W1—6).

Теорема 11.13 (теорема реконструкции Остервальдера — Шрадера). Набор функций^ удовлетворяющий аксиомам (OS'l——5), представляет собой набор функций Швингера для некоторой (по существу единственной) теории Уайтмэна.

Замечания, 1. Априори в аксиомах (OS'l—5) предполагается только, что S孔一обобщенные функции на 步力.Апостериори оказывается, что они являются обыкновенными функциями и даже вещественно-аналитическими функциями на ^п.

Эквивалентны и некоторые подмножества совокупности условий (OS'l—5) и (GW1—6), см. [143]. Мы отметим лишь, что (0S4—4) о (GW1-5).

Воистину удивительно, что спектральное условие получается «задаром». Мы начнем доказательство с разъяснения этого факта.

Доказательство. Обозначим через 6斗 пространство конечных последовательностей функций /0 £ С, 九 € 乎斗(R2), ... ...,/п £ 乎斗(R?71). Всякую конечную последовательность можно превратить дописыванием нулей справа в бесконечную, тогда 6十 с покомпонентным сложением превращается в векторное пространство. Пусть /, g С 8斗；положим

(f,.g)+= 3 ^п+т (6/п ® gm)・

Согласно (OS3), билинейная форма (,)+ задает неотрицательно определенное скалярное произведение. Обычным образом с помощью факторизации и пополнения можно построить гильбертово пространство 加(которое оказывается «физическим» гильбертовым пространством). Обозначим через Q класс эквивалентности элемента (1, 0, 0, . . .) € &+•

Перейдем теперь к основной идее. Спектральное условие будет следовать из положительной определенности, трансляционной ковариантности и умеренности роста. Умеренность роста играет здесь следующую роль: условие Н》0 эквивалентно тому, что оператор е~ш является сжимающим при всех %》0, и если бы оператор Н не был положителен, то операторы е~ш росли бы экспоненциально по if в противоречие с условием умеренного роста. Точнее, определим оператор Tt:内十一> 8斗 при 方》О формулой (11.23), т. е. формулой

(Ttf)n (勺，近；• • • J/氾，s几)=/n (/1，近一公； nП，£n一*)•

При любых /, g С 8斗 функция t -> (/. Ttg)^ непрерывна, так как Sn (•) является обобщенной функцией. Фиксируем / С 8+

и полагаем

歹 «) = (/, 〃/)+•

Поскольку Sn (•) является обобщенной функцией умеренного роста, то

I F (О I ^ С (1 + 严)(11.29)

при соответствующих С и m. С другой стороны, согласно неравенству Шварца,

歹«) = (/, Ttf)+^(f,加/2 (/, &力；/2；(П.30)

мы воспользовались здесь свойством симметрии

(九北g)+= (А/, g)+,(П.31)

которое следует из условия (OS2). Итерируя (11.30) и используя (11.29), находим, что

In F ⑴ W (1 — 2-n) In (/, /)+ + 2T In F (2% W

& (I _ 2-n) In (/,力+ + 2-n ln [C (1 + 2酬 W)].

Переходя к пределу при n оо, мы видим, что

Р (0 ^ (А /)+•(Н.32)

Отсюда следует, что оператор Т± переводит векторы нулевой нормы И «|1+ в такие же векторы, и поэтому его можно «спустить» на факторпространство пространства 6十 по таким векторам. Далее, оператор Tt может быть продолжен по непрерывности на всё пространство 那，и в соответствии с (IL32)

II Т^ II & II 屮 II для всех 屮 £ ей?.

Ясно, что при Е, s》0 произведение TtTs = Tt+s. Так как оператор Tt сильно непрерывен и самосопряжен, то

时=e宀(11.33)

где оператор Н самосопряжен, и

Я>0.(IL34)

Далее, HQ = Q. Таким образом, оператор Н является физическим гамильтонианом, и, в силу лоренц-инвариантности, из неравенства (11.34) следует спектральное условие.

Зафиксируем функции 厶，• . ., /n_j С 皆(R). Рассмотрим обобщенную функцию (ни переменным 吟 над пространством 乎(RJ): Т (口工，• • ч ^п -15 /1? • ♦ -，/п-1) ~

=，S» (0, 0; %, "1； % + 如，〃1 + и2; . . .; 2勿，2〃i) X

X /1(У1) • • • /п-1 (圻г-1) dn-ly.

Согласно условию (OS1‘) и теореме II.8, функция Т представляет собой преобразование Лапласа некоторой функции Fn (%, • - -, %т；力)• Используя теорему о ядре, можно заменить функции fi на б-функции; тем самым мы определим обобщенные функции Мп на 步(R+ X Rn-1), такие, что

^п (^1» S]； •••；胃九，^п) ~

п-1

=j "а(Р1,…，р»т)ехр ( 2 办 Q+l —Zj))沪f р,(11.35)

где zk = (iShi Xk). Здесь интегрирование по пространственным переменным интерпретируется как преобразование Фурье, в то время как интегрирование по временным переменным интерпретируется с помощью функций из пространства 严(R+).

Теперь мы можем определить функции Уайтмэна и проверить условия (W1—6). Положим

勿а (/, ..., 2а) = j М (р1; . .., pn-i) exp (i 2 Pi (^j+1 — 3)) /Ip,

(11.36)

где (^, • . ., %九)£ R2W и где все интегрирования интерпретируются как преобразования Фурье.

(W1) Это условие выполнено по построению. Условие вещественности следует из условия вещественности (11.22).

(W2) Трансляционная инвариантность очевидна ввиду (11.36).

Далее, следуя Нелсону [134], введем инфинитезимальный оператор группы эвклидовых вращений:

Так как функция Sn инвариантна относительно вращений, то YSn = 0. Запишем переменную р» в виде р» = (Е», р»); используя (11.35), находим, что

YSn^=-i j (XMQ £5戸j+LApm力， где

Так как ядра преобразований Лапласа и Фурье обязаны быть нулевыми, то ХМп = 0, чем и показана лоренц-инвариантность функции Мп.

(W3) Функция Мп по построению имеет носитель в области {(Е1，Р1； . . .; Еат，Рат) I Е1》о,...,斗-1》0}. Отсюда и из лоренц-инвариантности следует, что ее носитель лежит в произведении световых конусов.

(W4) Покажем, что 勿纟几(/ ® /) > 0- Доказательство более общего утверждения проводится аналогично. Предположим сначала, что функция / имеет специальный вид g^ (况工).• 、 gn (况九)X X 瓦(％ — 左)• • • Лп-1 (九 — 九т)，「пе функции hi таковы, что их преобразование Фурье, ограниченное на область {Е \Е 0}, является преобразованием Лапласа, т. е.応} (£*》0) = /・ Тогда £з (IL35) и (11.36) вытекает, что

勿2九(7 ® /) = §2九両 ® s),

где w (% . . ., у& = g 畐)...g (жп)力国—s2) . . . pn_1(sn_1 — sn). Поэтому ^an (7 ® /) > о для функций введенного выше специального вида. Аналогичное рассуждение применимо и к линейным комбинациям функций / такого вида. Но, согласно предложению IL7, такие линейные комбинации всюду плотны в 乎(R2n). Поэтому из непрерывности 勿？九 следует, что 勿金九(/ ® /)》° для всех /《步(Rn).

(W5) Тот факт, что локальность следует из условий (W1——4) :и симметрии Wn, представляет собой теорему Йоста [НО]. Используя аналитическое продолжение, находим, что симметрия функции Sn влечет за собой симметрию функции Жп, а следовательно, и локальность.

(W6) Теперь мы можем отождествить 務 с физическим гильбертовым пространством, а оператор Н — с га миль тонна ном. Согласно условию (OS5),

Ите-Шф = (ф, Q) Q для всюду плотного множества векторов if, поэтому только для вектора Q имеет место равенство HQ = 0. ■

Замена условия (OS1) на условие (OS1) была очень существенна для вывода утверждения о том, что функция Т (и1т ... ..., 〃几一工 力,..., /„_!) является преобразованием Лапласа по переменным 〃. Весьма важно понять, сколь далеко можно продвинуться, пользуясь лишь условием (OS1) или каким-нибудь ■его усилением, так как кажется почти немыслимым проверить условие (OSV) без явного априорного построения функций 勿 (это мы и будем делать в гл. VIII); поэтому, используя аксиомы Остервальдера — Шрадера в конструктивной теории (это использование не имеет большого значения в двумерном случае, но может

оказаться полезным в более высоких размерностях), нужно исходить из совокупности аксиом (OS1—5).

Из конструкции ехр (—sH) ясно, что если провести сглаживание по переменным 〃工，...,〃计工，• . ., ипто по переменной Ui функция Т имеет аналитическое продолжение в область Re s > 0 (а именно, это продолжение имеет вид ехр( —игЯ)!)* Можно даже доказать оценки, показывающие, что после сглаживания по переменным 乂口 . . ., 乂”工,乂词口 . . ип_ функция Т является преобразованием Лапласа по переменной 〃》. Но, как мы уже отмечали в § II.2, такое преобразование Лапласа отдельно по каждой переменной может не быть преобразованием Лапласа по совокупности переменных. Фактически преобразование Лапласа по совокупности переменных будет аналитично в области {〃 I I arg ut I V 汽/2}, в то время как преобразование Лапласа ио каждой переменной ——аналитично в области {〃 | |』arg 〃t | <л/2} и, быть может, нигде более. Однако функция Т —— зто не просто преобразование Лапласа по отдельным переменным, так как в соответствии с условием (OS1) функция Тп (乂口 ..., 〃沱一工；{厶}) связана с функцией Т2П (® ..., 血沱т； • • •)• Как отмечено Глазером [60] и Остервальдером [140], пользуясь этим, область аналитичности функции Тп можно увеличить. Рассуждая по индукции и применяя функции Т4П, Т8а, . . ., можно показать, что функция Тп все-таки может быть продолжена аналитически в область {〃 I I arg 〃力 | V л/2} (см. [60, 140]).

Поэтому для доказательства того, что условия (OS1——5) влекут за собой условия (W1——6), нужны только оценки роста этого аналитического продолжения при arg и^ —> п/2・ Маловероятно, что такие оценки можно получить, исходя лишь из условий (OS1—5), однако условие (OS1) может быть дополнено какой-либо оценкой роста функций Тп при п —> оо, с тем чтобы из этой новой системы условий уже следовала система условий (W1—6). Хотя такая новая система условий (OS") уже не будет эквивалентна системе условий (W1—6), из нее будет следовать эта вторая с истема условий, и она окажется «естественной» для конструктивных доказательств (см. [140]).

Лишерашура к § 工Г.3, 4

Остервальдер и Шрадер [143].

Свободные и обобщенные свободные поля

Сейчас мы хотим построить класс «физически тривиальных» моделей, удовлетворяющих всем аксиомам (GW). Основная идея «лагранжевой теории поля» и, в частности, конструктивной теории поля состоит в том, что более интересные модели можно пол учить путем соответствующего возмущения этих тривиальных моделей.

Начнем с изучения структуры функции 勿？(汽,У)= =〈С, ср (汽)屮(у) С〉. В силу трансляционной инвариантности, 勿2 (汽,У) представляет собой фактически функцию лишь от у —爲 которую обозначим через △+• Эта функция Д+ должна обладать следующими свойствами:

А+ (Аа) = Д+ (汽)при всех А£ 1Д;(II.37а)

носитель функции А+ лежит в V+;(II .37b)

J/ (胃)А+ (у —况)/ (у) dxdy》0 при всех / С 步(R2); (II.37с) Д+ (花)=А+ (—%), если вектор х пространственнододобен.

(lT.37d)

Если, кроме того,

〈Q,屮⑺◎〉= 0,(11.38)

то

lim Л+ (入胃)=0, если вектор х пространственноподобен. (П.37е)

Свойства (П.37а——е) являются следствиями соответственно лоренц- ковариантности, спектральности, положительной определенности, локальности и группового свойства.

Замечания, 1. В силу трансляционной инвариантности, среднее значение (Q,屮(化)А〉является константой, поэтому выполнения условия (IL38) можно всегда добиться заменой 屮(胃)на ф (汽)——e.

Априори утверждения (11.37а, d, е) являются утверждениями об обобщенных функциях, но так как в утверждениях (d) и (е) используются лишь пространственноподобные векторы, а функция Д+ аналитична в области таких векторов (в силу условий (11.37а, Ь) и результатов § IL3), то равенства (II.37d, е) справедливы также в поточечном смысле.

Легко описать все обобщенные функции, обладающие свойствами (11.37).

Теорема 11.14 (представление Кэллена — Лемана). Всякая обобщенная функция^ удовлетворяющая условиям (П.37а——с, е), может быть представлена в виде

a+(汽)= j A+(况；тя2) dp (?я2),(n.39)

m2>0

где

А+З，也2) = 2т (2л)т ( —^——ехр (IE (р^ rr^t — ip^V (П.40а) J Е(Р,硝

е (p,戍)=]/"|p产 +7n2(II.40b)

и zde p — полиномиально ограниченная (полож ителъная) мера.

Замечания. 1. Условие (IL37d) автоматически следует из остальных условий (IL37).

Нормировка в (11.40а) выбрана так, чтебы

鼻ZG、t\ 硝—品•△+(—京—t- 7И2)|t=0 = i6 (J), (II.40c) другими словами, чтобы

〈Q ,[屮亩 0) ф ", 0) — ф 亩 0)中(7, 0)] Q〉= 26 ^ —订

в случае, когда P (庐)=6 (症 —— m：).

Этот результат был получен примерно в одно и то же время (〜1950 г.) несколькими авторами.

Подробное доказательство можно найти в книге Рида и Саймона [145, § IX.8]. Основная его идея заключается в том, что, согласно теореме Бохнера (теор. L1), распространенной на случай обобщенных функций, из неравенства (II.37с) следует, что обобщенная функция А+ является мерой, поэтому в соответствии с условиями (II.37а, Ь) достаточно изучить лоренц-инвариантные меры с носителями в У+.

В двумерном случае точка тп — 0 является особой; нужно, чтобы индуцируемый мерой р вес точки 0 был нулевым и чтобы функция (р [0, а] In а) была ограничена при а 10. В случае большего числа измерений эта аномалия отсутствует. Мы будем рассматривать только такие ситуации, когда мера р сосредоточена на луче [т, +оо), где тп > 0.

Существует класс полей, для которых функции ^п некоторым способом «определяются» по функции 勿？• Для описания таких полей мы введем удобную сокращенную форму записи, предложенную Каяньелло [17]. Пусть [ху]——некоторая заданная обобщенная функция двух переменных; тогда символ [^ . . . хп] определяется соотношениями

[^ . . . хп] = 0, если п нечетно,

[^ . . . дМ =』出用J …E/j J(11.41)

где суммирование ведется по всем (2w!)/2nwl перестановкам ^ . . . %/1 . . . /п чисел {1, . . ., 2孔}, таким, что h < . . . < jn и h < 7i， • • ч V in- Имеет место

Теорема 11.15. Пусть функция Д+ удовлетворяет условиям (11.37), и пусть [ху] = △+ (у — %). Предположим^ что

勿九(况口 .九)=[勺...nJ(11.42)

Тогда функции 勿九 удовлетворяют всем аксиомам Уайтмэна (W1-6).

Замечание. Мы не будем приводить подробного доказательства этой теоремы. Из всех аксиом Уайтмэна не вполне очевидна лишь аксиома (W3) (положительная определенность). Один из путей ее доказательства состоит в конструировании полей ф при помощи гауссовских процессов, что мы и сделаем ниже.

Поле, ассоциированное с функциями Уайтмзна 勿九,задаваемыми формулой (11.42), называется обобщенным свободным полем (такие поля были введены Гринбергом [75]). В случае когда р (т2) = 6 (т2 — mJ), это поле называется свободным полем с массой (или массы) т0. Далее мы ограничимся свободными полями.

Естественно поставить вопрос о функциях Швингера свободного поля массы т0. Покажем, что

^^•d2k (П.43)

Замечания. 1. Скалярное произведение в экспоненте формулы (11.43) понимается как эвклидово скалярное произведение.

2. Имеет место явное соотношение 3名(ж) = (2л)«К。(га。 | ж |), где К° — ассоциированная функция Бесселя, связанная с функцией Ганкеля формулой KQ (z) = %加反；° (反).

Для доказательства того, что функция Швингера для свободного поля массы т0 имеет указанный вид, отметим сначала следующее основное соотношение:

f /8 , ле-а|5| .тт //ч 戸 dp=―а—， (IL44)

справедливое при а > 0 и вещественных s. Соотношение (11.44) будет появляться всякий раз, когда будет идти речь о связи полей в эвклидовой области и в области Минковского (см. § III.2). В физике эта формула знаменита как формула, связывающая «старомодную теорию возмущений» с явно ковариантной теорией возмущений Фейнмана 110]. Выводится формула (11.44), конечно, с помощью элементарного контурного интегрирования. Из формул (11.44) и (11.43) следует, в частности, что

S2@ 8=0;嘀=(4⑴Т 提干弓时=卽\@ = 0,z；喷.

J V加2十呜

Таким образом, функции S? и 歹纟 совпадают в точках ^ = 0 => #. Так как функция S? является вещественно-аналитической, то в соответствии с равенством (11.43) она согласуется с аналитическим продолжением функции 勿\ в расширенную трубу будущего. Для функции S2 этим исчерпывается вся эвклидова область. Имея аналитическое продолжение для функции 勿"легко полу- 6 в. Саймом

чить его и для функций *科、заданных формулой (П.42). А именно имеет место

Теорема 11.16. Пусть [ху] = S^ (а — у；用)，где функция 5, задана формулой (IL43). Тогда функции

^п(В1，…・，Уп) = ^У1 • • • Bn】(11.45)

являются функциями Швингера свободного поля с массой тп0.

Доказательство ・ Ясно, что равенство (IL42) аналитически продолжается в переднюю трубу. Так как функция 53, задаваемая формулой (11.43), совпадает в этой области с функцией W2. то функция 5П, задаваемая формулой (11.45), совпадает там с функцией %. Поскольку функция 5П, заданная соотношением (11.45), инвариантиа относительно вращений и перестановок, то она согласуется с функцией Швингера во всей области 卷п・.

Замечание. Обычная (необобщенная) функция 52, определенная формулой (IL43), интегрируема в точке у = 0・ Поэтому функции Швингера Sn (заданные формулой (IL45)) можно продолжить — как обобщенные функции — на диагонали, т. е. продолжить с^ (R2n) на 步(R")・

Формула (11.41), конечно, формально совпадает с формулой (1.13), поэтому естественно попытаться интерпретировать функции ^п, заданные формулами (IL40—42), и функции Sn, заданные формулами (11.43, 45), в терминах гауссовских случайных процессов. Мы применим эту идею (на основе которой построены аксиомы (OS)) к функциям 5П в § IIL1. Теперь же рассмотрим случай функций 沙入 Рассчитывать на возможность интерпретировать поля ф (/), 了 £ 步(R?) как случайные величины нельзя, так как они не коммутируют друг с другом. Однако условия локальности и положительности (GW3, 5) позволяют рассчитывать на существование такого представления для полей, взятых в нулевой момент времени. И действительно, справедлива

Теорема 11.17. Пусть FmQ — гильбертово пространство всех вещественных обобщенных функций / «а прямой R, преобразования Фурье / которых являются обычными функциями^ имеющими конечные нормы

忆停(11.46)

Пусть, далее^ 肘一псевдодифференциалъный оператор на 歹皿緑 задаваемый формулой

N=( —А +嘀"2,(II.47a)

т, е. для / € 夕(R)

И/ = 3® 犷，(И.47b)

где

р (Zc) = р/с2 + 加：(П.47с)

(тогда 卩 представляет собой замыкание оператора^ определенного на #), Положим 炉=F (Fm0), и пусть q)0( •) — это гауссовский случайный процесс, индексированный элементами из Fm^ Q^ — это функция из Г {Fm^, тождественно равная единице^ и

Яо = dF 3).(IL48)

Наконец положим при / € 孑(R2)

(р«)= j £电*(厶)e-^^dt^(IL49а)

где

厶 Q) = / «,办(n.49b)

Тогда пространство 炉 можно отождествитъ с физическим гильбертовым пространством свободного поля массы тп0 так, что <р будет полем Уайтмэна^ вектор Qo — вакуумом^ а оператор Но — гамильтонианом.

Замечание. Нормировка в (11.46) выбрана так, чтобы y||/||F= f/(z)A+Q —у, 0; wi^) / (у) dx dy для всех /€尸・(П.46,)

Доказательство. Из формулы (П.44) следует, что

(/, e®g)F = 2 J f(x)S2(x — y,力；m^g^dxdy, (11.50) я поэтому

®о. Фо (/) г (е“")Фо (g) Йо) = $2 (/ ® % g ® 60).(11.51)

Аналитическое продолжение и взятие граничных значений приводят к равенству

(%, <₽о (/)小顷如(幻 ％)=歹2 (/ ® &; g ® 60).(П.52)

Поэтому из (П.50) следует, что (Qo,①(/)屮(g) Q。)=勿？(Л g) при всех f, g £ 留(R2). Из (П.42) и (1.13) вытекает теперь, что функции 喻° согласуются с вакуумными средними (Q0J <р (厶)... * • • ф (/п) %)• ■

Замечание. Это доказательство выглядит более естественным на языке комплексного варианта пространства Фока, описанного в § 1.3 (см., например, [207], [145, § Х.7]).

Литература к § IIЛ

Бонгаартс [И], Глимм и Джаффе [70, 71], Рид и Саймон [145, § Х.7], Гординг и Уайтмэн 1207].

Глава III

СВОБОДНОЕ ЭВКЛИДОВО ПОЛЕ

В этой главе мы рассмотрим свободное поле, описываемое функциями Швингера вида (11.43—45). Возможность отыскать «эвклидово поле», для которого соответствующие средние совпадали бы с функциями Швингера, не является автоматическим следствием системы аксиом предыдущей главы. В следующей главе мы вернемся к вопросу о том, какие свойства полей Уайтмана влекут за собой существование эвклидовых полей. Здесь же мы будем опираться на свойство положительности, выделенное впервые Симанзиком [192—194], который использовал его для построения свободного эвклидова поля. В § IV.3 мы увидим, что это свойство положительности является следствием теоремы 1.12 и формулы (П.47), но в этой главе мы выведем его непосредственно.

В частности, Симанзик заметил, что эвклидовы поля в разных точках должны коммутировать. Формально это легко понять. Действительно, из локальности следует, что 1(р (х, 0), ср (у, 0)]= =0, так как эвклидовы поля при нулевом мнимом времени должны совпадать с полями Минковского при нулевом времени. Но любые две точки эвклидовой области можно при помощи эвклидова движения привести к нулевому (мнимому) времени.

Впервые всю силу подхода Симанзика понял Нелсон [132, 134, 135]. Он показал, как можно использовать технику конструктивной теории поля для развития предложенной Симанзиком программы. В частности, он указал на существенность марковского свойства свободного поля (см. § III.3)——свойства, которое было также отмечено Симанзиком, хотя и в неопубликованном докладе [192]. Нелсон указал также на важность трактовки эвклидовых полей как функциональных интегралов; эту идею мы рассматриваем в § IIL2. Кроме того, в заметке Нелсона [132], содержались в неявной форме некоторые Ьр-оценки, которые будут играть роль в гл. V и далее. Обсуждение этих оценок, следующее работе Гузрры, Розена и Саймона 190], проводится в § IIL4, 5.

§ Ш.1. За пределами аксиом Остервальдера—Шрадера

Чтобы точнее понять, что нужно для построения свободного эвклидова поля, рассмотрим свойства функции 52 для свободного доля в одномерном пространстве-времени. В общем случае раз-

мерности d мы имеем

5

{А* х

(HU)

Поэтому при d = 1

= £е-тз.(HIZ

Это вытекает из (IIL1) и (IL44). Функция 5а имеет три различных свойства положительности:

функция 52 является преобразованием Лапласа положительной меры на [О, оо);

функция 52 всюду положительна;

функция 52 положительно определена, т. е. ее преобразование Фурье является положительной мерой (это следует из представления (IIL1)).

Свойство (А) представляет собой непосредственное следствие (ОЗ)-положительности, другими словами, функция S* является аналитическим продолжением положительно определенной функции ^а, носитель преобразования Фурье 殄纟 которой имеет нужные свойства. Свойство (В) связано с некоторыми идеями, к которым мн обратимся в гл. VIII. Свойство (С), как мы увидим, фундаментально для теории поля: если мы хотим, чтобы 5а (х, у) 三 三 (% — у) совпадало со средним значением Ехр (ср (х) ср (у)), то необходимо, чтобы Ехр (ср (/)2) = J / (х) 52 (力一В) / 匂)d%dy》 》0 для всех вещественнозначных /.

Замечания. 1. Для функции 52 свойство (С) следует из (OS)- положительности (ввиду теоремы 11.14 и формулы (IL44)), но в общем случае (т. е. для 5П) для полей требуется иная, чем (OS)- положительность. Однако, поскольку для свободного поля функции Sn задаются соотношением (IL45), нужное условие положительности для Sn следует из условия положительности функции S* Поэтому для свободного поля (О8)-положительность обеспечивает возможность построения поля.

Мы хотим подчеркнуть (см. пример в § IV.4), что в общем случае аксиомы (OS) не влекут за собой существование полевой структуры, и поэтому в общей теории структуры, развиваемые в этой главе, лежат за пределами действия системы аксиом (OS).

Действительный прогресс в построении квантовых полей с помощью эвклидовых методов связан с дополнительными структурами эвклидовых полей, в частности с их марковским свойством, а не только с системой аксиом (OS). Важность аксиом (OS") в конструктивной теории поля состоит в том, что они дают простой путь перехода к аксиомам Уайтмэна, особенно в тех случаях,

когда функции Швингера исследовать легче, чем меры соответствующих марковских полей. Правда, в двумерном случае есть и другие пути, которые дают даже больше (см. [72J и гл. VIII этой книги).

Свойство (С) положительной определенности и формула (IL45) наводят на мысль о построении гауссовского случайного процесса.

Определение^ Пусть ^m ——гильбертово пространство таких вещественных обобщенных функций / из 斤(R2)\ преобразования Фурье которых являются обычными функциями и норма которых

Wf^^^i^d^k (Ш.З) конечна.

Определение» Свободное эвклидово поле——это гауссовский случайный процесс, индексированный элементами из ^m. Иногда пространство Г (^m) мы будем обозначать через ”，а соответствующее пространство Q — через QN.

Чтобы не смешивать эвклидово поле <р (・)и соответствующее поле Минковского в нулевой момент времени, мы будем обозначать последнее через 屮^ (•).

Оправданием этого построения служит

Теорема III.1. Пусть Sn (々,...,хп)— естественное продолжение функций Швингера на диагональные точки. Тогда для 就也 % (R2)

J “Щ, ^ф (/1) • • • ф (/п) = §п (/1 ® • • • ® /п)«

Доказательство. Это следует из равенства 52 (/ ® g) Иу (/, g)Ni а также из формул (IL45) и (L13)..

Для дальнейшего использования отметим, что скалярное произведение в Nm может быть записано в виде

</, g〉N = 2〈力(一А + m2)-々〉戸. (III.4)

Поэтому, хотя ядро 52 (力—У)，определяющее скалярное произведение, нелокально (т. е. скалярное произведение 〈/, g〉может быть отличным от нуля, даже если функции fug имеют непересе- кающиеся носители), оно является обратным к локальному объекту. Этот факт имеет важные следствия (см. теорему III.9). Из формулы (III.4) видно также, что ^ — это классическое пространство Соболева [145, 188J.

На пространстве QN естественным образом действует полная эвклидова группа (т. е. группа, порожденная переносами, поворотами и отражениями в R2). А именно, пусть 卩一какое-нибудь эвклидово преобразование; определим оператор u (Р) на Nm

формулой

(и (₽) /) W = / (₽'М-(III.5а)

Оператор u (Р) ортогонален, поэтому оператор

г (и (Р))三 и (Р)(1П.5Ь)

представляет собой унитарный* оператор на ”. Он индуцирует автоморфизм алгебры 派户 и тем самым отображение Т^ пространства Qn в себя (мы рассматриваем модель 2 для ^-пространства), такое, что (U (р) F) (q) = F (Г^). Возможность реализации отображение Т日 как поточечного отображения зависит от рассматриваемой модели (хотя такая реализация возможна и для модели 3), но во всякой модели оператор U (0) индуцируется атвоморфизмом кольца S/J^. Более того, так как оператор U (§) унитарен, то

卩(％ [Л])=卩(Л)

для любого измеримого множества Л. Наконец,

^ (Р) Ф (/) ^ (Г) = Ф (/»₽-*),(Ш.ба)

или, эквивалентно,

9(/)』=9(/。6)・(Ш.6ь)

Кроме того, если 他 | d С R2} — группа сдвигов и и (瓦) мы обозначим через и(〃)，то, согласно лемме Римана — Лебега, w-lim м(〃)= 0. Поэтому

w-lim Г (м(〃))= Г (0) = (1, •) 1, а-> 8

т. е. имеет место

Предложение ШЛГ. Семейство сохраняющих меру преобразований {7\ I а € R2} является эргодическим^ т. е. единствен^ ными событиями, инвариантными относительно всех преобразований 7\, являются тривиальные события [Q] и [0].

Замечание. В соответствии с теоремой Минлоса в качестве ^-пространства для пространства “ может быть взято пространство 歹(R?), в этом случае Ф (/) Г = Г (/). Изучению носителя меры свободного поля (т. е. изучению множеств М с(^* (R2) с 卩(М) = 1 или с 卩(М) = 0) посвящены недавние работы Кэннона [19], Колеллы и Ланфорда [22], Рида и Розена [212]. Эти авторы опирались частично на результаты Гросса [831, Минлоса 1129] и Умемуры [198], касающиеся абстрактных гауссовских процессов.

Литература к § II 1.1

Нелсон [135], Симанзик [194].

§ Ш.2« Свободное эвклидово поле как функциональный интеграл

Мы хотим теперь установить связь между физическим гильбертовым пространством 炉 свободного поля в пространстве Минковского и гильбертовым пространством” свободного эвклидова поля. В этом параграфе мы фиксируем массу «голой» частицы т.

На первый взгляд может показаться, что 炉=/°, так как гильбертовым пространством, построенным в теореме реконструкции Остервальдера — Шрадера, является пространство ”. Это не так, и проще всего убедиться в этом, если заметить, что «временные сдвиги» 7\, используемые в теореме реконструкции, образуют полугруппу самосопряженных операторов 7\ = ехр (—/Яо) (t ^ 0) в 尹,в то время как временные сдвиги 0力 введенные в предыдущем параграфе, образуют группу унитарных операторов в Мы покажем, что ^ можно естественным образом считать подпространством в так что

e-^H^EUtE\^,(III.7)

где Е ——это оператор проектирования на пространство 炉,рассматриваемое как подпространство пространства

Чтобы установить связь между пространствами 炉 и “、мы установим сначала связь между соответствующими индексирующими пространствами F и ^, а затем перейдем к рассмотрению самих гауссовских процессов. Докажем прежде всего

IIредложение 工工工.2. Пусть / £ 歹 м о — фиксированное число. Тогда обобщенная функция /а/, задаваемая формулой

0。/) (z, S)= / (£ 3(S — о),(III.8)

принадлежит ^ и || /а/ ||N = || / ||р・

Доказательство. Ясно, что (/а/)Л (р, р) = (2л) -V2/ (р) ехр(—iap). Воспользовавшись формулой (11.44) для взятия интеграла по р в выражении

巾小р _ц^4，

J a J р2+р2+^2

мы получим, ЧТО II /а/ \\N = || / ||F..

Изучим теперь свойства отображений Ja.

О пределение» Пусть еа — оператор проектирования в пространстве ^ на Ran

Предложение ТХТ.З.

]^]^ ― 1р； /а/сг e<j；(III.9)

"(切 О =九+t；(III.Ю)

/$/( = exp (— I i — о I p,),(П1.11)

где |л —— псевдодифференциалъный оператор (11.47);

Если 仃工》仃雪》то

^"£。2£" =%絕0"(III.12)

Доказательство. Утверждение (а) означает, что j。представляет собой изометрическое преобразование. Утверждение (Ь) следует из определений. Утверждение (с) является следствием соотношения (IL44). Наконец, утверждение (d) следует из утверждения (с), так как

g—(аг—^s)l*g—(<ji—а^ц = ^-(о1-аз)ц

и поэтому в соответствии с (IIL11)

花 3%2 器 2%1 =花 3%r

Умножая слева на /% и справа на j& и пользуясь формулой (Ш.9), мы получаем утверждение (d)..

Для некоторых построений технического характера нам потребуется ряд свойств проекторов еа и их образов. Пусть через б[а, ь] обозначен оператор проектирования на подпространства функций из ^ с носителями в области {(х, s) | а & s & 匕}・

Предложение 工工工4

Образ Ran еа совпадает с множеством функций из N с носителями в гиперплоскости, {(х, s) | s = и}.

Пусть г обозначает отражение относительно гиперплоскости s = 0・ Тогда и (г) действует на Ran е0 поточечно инвариантным образом；

Образ Ran 気必切 является минимальным замкнутым подмножеством пространства ^, содержащим множество

{Ran eg I а V и V 匕}；

пусть а&Ь&и&с&2 Тогда

〃а, b]^e[Ct а] = £[% b网с, d]；(IIL13)

отображение о н-► уа сильно непрерывно.

Доказательство, (а) Пусть функция / £ 夕(R雪),имеет носитель

в гиперплоскости {(х, s) | s = а}. Тогда / (х, s) = 2 gm (力)X m=0

X6(m,(s ——о) для соответствующим образом выбранных функций gm и числа п. Но интеграл, определяющий || / ||方，сходится по переменной р лишь при п = 0.

Это утверждение следует из утверждения (а).

Нетрудно видеть, что множество функций {/ € С^ (R2) I supp / и {(х, s) I а V s V 匕}} всюду плотно в Ran б[а> Ь]； поэтому нам достаточно показать, что любая такая функция является предельной точкой множества URan во. Поль-

зуясь теоремой о мажорированной сходимости, легко получить,

что для.любой такой функции / последовательность

хЗ (s ——g) сходится в N при п-> оо к /.

Это следует из (с) и предложения Ш.З (d).

Согласно предложению Ш.З (а, Ь), /а = и(а)/0..

В дальнейшем мы будем опускать символ /0 и отождествлять пространство F с подпространством ;0F пространства М Тогда оператор у*: ^ -> F совпадает с проектором е0.

Применим теперь зти понятия к нашему гауссовскому случайному процессу.

О пределен 观е・

•^а — Г (Jo)：乡—> ЛГу

Ед = Г (ea); Е[а, ь] = F (©[% &1)*

Теорема ITJT.5.

^ w W ф^ w W ф普几=1； jq = E『(Ш9)

^ w W ф

^ w W ф

U"c = J<m・(ШЛО')

JUt = Г (е-1^» ^) = e-l ^ I ^о.(Ш.1Г)

Пусть S(a)ь] —это о-алгебра, порожденная случайными

величинами {<р (/) | / g Ran 久仪，ь] }・ Тогда множество W〔％ ь]-мзж- римых функций, лежащих е пространстве L2 (М,己卩),совпадает с Ran 月口 ь]. Кроме того^ W【％ ь] представляет собой минимальную а-алгебру. относительно которой измерима каждая из функций A W Ran Еа при всех о € [а, Ы.

(Примитивное марковское свойство.) Пусть а & Ь & и & & с & & Тогда

Е[а, Ь]ЕдЕ(с, d] = Е[а, Ь]^[с, d].(Ш・13‘)

Отображение а ь^ /а сильно непрерывно»

Доказательство. Если не считать утверждения (d), для доказательства которого нужна приводима я ниже теорема IIL8, теорема III.5 представляет собой непосредственную переформулировку предложений Ш.З, 4..

Мы можем теперь сформулировать основную теорему, которая представляет свободное эвклидово поле как некоторого рода функциональный интеграл над свободным полем Минковсксго. Эта идея будет развита в гл. IV и V, а точный результат, формулируемый ниже, будет обобщен в § III.5.

Теорема JJJ.6 (ФКН-формула для свободного поля). Пусть /иэлементы из F и Go, • • ., G^ — ограниченные изме-

римые функции на Rn. Пусть, далее заданы числа *, . . ., tk^ Q. Тогда

(%, G/fHoGf ...广出唬％)= J 飙,nG：。…磅，(Ш.14а) 2@e s0 произвольно^ а

S尸 So+勺力，(Ш.14Ь)

GJ^G}^F(f^,<pB(/n)),(111.14с)

G?= ОДфСЛ ® 6,.), .... <р(/п ® 瓦))=几尸手.(III.14d)

Доказательство. Пусть через <оо обозначен вектор 1 в ”. В силу (Ш.1Г),

(%, 6證-厶н。…G?%) = (g, G孔..G^®J，

где

^ = Js,G^J^f

В соответствии с основным утверждением о вложениях, даваемым предложением 1.8,

乙 GFJ： = ESGSES, и поэтому

(%, G^e-nHoG斑°) = (g, (EQ EQ ... (E^E^ <oo). (III.15)

Рассмотрим правую часть этой формулы. Справа от каждого оператора Es. стоит вектор из Ran 笈口户8), а слева — вектор из Ran 笈《一8, sp* Поэтому, в силу примитивного марковского свойства, все операторы можно опустить! В результате получаем соотношение (111.14)..

Замечания. 1. Буквы ФКН соответствуют именам Фейнмана, Каца и Нелсона. Формула (III.14) называется ФКН-формулой.

В случае одномерного пространства-времени аналог формулы (III.14) выглядит так:

®о, Go ⑷ Ен • • • 6丸(g) Q。)=

=J 印。Go (g (s。))... Gk(q (sQ).(III.16)

Это в точности формула Фейнмана——Каца. Впервые Фейнман [44—46] «формально» применил такие формулы к операторам е"н. Кац [111, 112] заметил, что, используя случайный процесс Орнштейна ——Уленбека, можно придать этой формуле вполне строгий смысл. (Доказательство Каца сильно отличается от нашего ——теория гауссовских процессов играет в нем гораздо мень-

шую роль; основным орудием доказательства служит формула Мелера (1.38).) В свою очередь теория случайного процесса Орнштейна ——Уленбека представляет собой развитие фундаментальной работы Винера [202] по функциональному интегрированию.

Главное достижение Нелсона состоит не только в применении формализма функционального интегрирования к полям Минковского, но и в открытии явной эвклидовой инвариантности этих функциональных интегралов. Этот факт мы будем использовать, начиная с гл. V; особенно существенным он окажется в гл. VI.

Полагая 分($) = <р (/ & 65), можно рассматривать пространство Qn как пространство путей, т. е. отображений из R в Q『

Л итератора н § 111,2

«Классическая» теория функциональных интегралов: Бэббит [6], Камерон [18], Гельфанд и Яглом [55], Кац [112], Нелсон [130].

Теория свободного эвклидова поля: Гуэрра, Розен и Сай* мои [90], Нелсон [132].

§ Ш.З* Условные математические ожидания и марковское свойство

Мы дадим сейчас, следуя Симанзику [192] и Нелсону [135], другое доказательство формулы (Ш.13‘). Что важнее, мы при этом получим значительное ее обобщение, которое будет потом неоднократно использоваться* Это обобщение удобно сформулировать в терминах условных вероятностей, поэтому мы и начнем с обсуждения этого понятия теории вероятностей.

Теорема, ШЛ^ Пусть (М, 5,(1) — вероятностное измеримое пространство и 2/ — некоторая а-подалгебра алгебры Е. Пусть / W £卜(М, dpi). Тогда существует единственная функция (/ I W'), такая, что

) функция (/ I Е‘) является ^-измеримой;

) J g (/ I Е‘)d卩=j fgd^, для всех функций g € ^r (М, р,), являющихся Ег-измеримыми.

Доказательство единственности. Пусть имеются два кандидата 无I и 无2 на роль функции (/ | Е‘). Тогда в соответствии с (2) j (无工 —— 无2)g@卩 = 0 для любой 2'-измеримой функции g и, в частности, для любой ограниченной функции F от разности 月一Л2. Пусть Fn (%) = %x(-n,n)・ Тогда, полагая 九=自一Л2, при всех п

имеем ，无尸п (无)=0. Из теоремы о монотонной сходимости следует, что j Л12d卩=0, откуда fe = 0 (почти всюду)..

Первое доказательство существования (Дуб [31]). Рассмотрим ограничение 卩 f Е‘ меры 卩 на Е'・ Для любого / £ Е‘ положим V/ (4) = j fdfi. По теореме о мажорированной сходимости Vy определяет некоторую конечную (не обязательно положительную) меру dvy, абсолютно непрерывную относительно меры 卩卜 X'. Поэтому по теореме Радона — Никодима @v/ = (/ | S') d (р, [ Sz) для некоторой функции (/ | 2*) из L1 (М, Sz, d(pi | 2')). По определению функция (/ I Е‘) удовлетворяет условию (1), и она удовлетворяет условию (2) для функций g вида у& при некотором 4 € 2\ Но такие функции порождают всё пространство L^ (М,卩 I Е), поэтому условие (2) выполнено и в общем случае. В

Второе даказательство существования. Обозначим через L&； подпространство Е'-измеримых функций пространства L2, и пусть Ее* ——проектор на зто подпространство. Так как 1 € L&, то 右工，1 = 1. Далее, если / ^ 0, то и £工，/》0, ибо функция Е^ / принадлежит Л^, а поэтому и ее отрицательная часть g принадлежит L^, но

0>(Я,/) = (Еу g, /) = (g,班，/) = (g, g)》0, откуда g = 0. Поэтому в соответствии с теоремой 1.13 оператор 后工，можно продолжить до сжимающего оператора на L1 (М, dpi). Поскольку £2 плотно в L1, то L^ плотно в 右工，[L1]. Поэтому любая функция / W Е^ [L1] представляет собой поточечный предел функций из L^ и поэтому является 5 ^измеримой. В результате мы получаем, что наш кандидат Е» (/) на роль функции (/ | 2‘) удовлетворяет условию (1). Далее, условие (2) выполнено, если / С L2 и g g £翁・ Переходя к пределу^ мы видим$ что условие (2) выполнено и в общем случае..

Замечания. 1. Доказательство Дуба имеет то преимущество, что позволяет определить естественным образом (/ | Е‘) в случае / > 0, даже если функция / не интегрируема.

Из второго доказательства видно, что оператор (・| Е) является сжимающим на каждом из пространств ".

Функция (/]£') называется условным математическим ожиданием функции / относительно заданной а-алгебры Е‘.

Как и многие другие понятия теории вероятностей, условное математическое ожидание можно непосредственно определить в чисто функционально-аналитических терминах, однако с точки

зрения функционального анализа такое определение не кажется особенно многообещающим. В самом деле, почему нужно выделять проекторы на специальные пространства L&?

Чтобы понять происхождение термина «условное математическое ожидание» и интуитивный смысл этого понятия, предположим, что множества /工,・..,Ап не пересекаются и в объединении дают всё М, а Е，——это а-алгебра (с 2П элементами), порожденная множествами Лц .・.,Ап. Всякая 5^измеримая функция имеет вид У с»Хд.・ Пусть В — некоторое измеримое множество.

Тогда легко показать, что

(ХВ|2，)=21ег(5)ХА., (Ш.17а) где

Q (5) = (П1.17Ь)

Таким образом, значение функции (Xв | Sz) в точке р W Z± совпадает с интуитивным образом понимаемым «условным ожиданием» того, что произойдет событие В при условии, что известно, что уже произошло событие Л ^. Это означает, что мы можем представлять себе функцию (%в I 2*) для произвольной а-алгебры 2, как некоторого рода обозначение для вероятности того, что произойдет событие В, если известно, какие из событий а-алгебры 2’ уже произошли.

Ниже, следуя второму доказательству, мы вместо (• | S') будем писать 笈工，(•). Иногда будем использовать и более краткое обозначение £"，(•)• Если алгебра 2，обозначена, скажем, через Ед, то будем писать Е^ (•)■

В случае гауссовского процесса легко описать условные математические ожидания относительно различных а-алгебр.

Теорема 111,8. Пусть 別—вещественное гильбертово пространство, 曲'и 魔一его замкнутое подпространство up — ортогональный проектор на 魔'• Пусть, далее, 2’ 一 это а~алгебра измеримых множеств пространства Q跡 порожденная семейством случайных величин ｛<р (/) | / € 切'｝，Тогда

欧・=Г(р). (IIL18)

Доказательство. Пусть ｛勺｝之1 ——ортонормированный базис пространства 魔'・ Тогда всякая функция F £ Ran Г (р) является пределом конечных линейных комбинаций функций вида: :Ф (e!)ni . . • ср (em)nm：, т. е. пределом полиномов от <р(/)・ Поэтому всякая функция F С Ran Г (р) лежит в L^. Далее, если / С S3'、 то и :ехр г(р (/): лежит в Ran Г (р), как это видно из представления

:ехр i(p (/): в виде ряда. Поэтому Ran Г (р) содержит все функции вида G (<р (%), •・・，<р 仇))при G W * (Rn), %,・・•，/п W Ran р. Так же, как при доказательстве леммы 1.5, выводим отсюда, что £% лежит в Ran Г (р). Следовательно, Ran Г (р) = £&, т. е.

Е*= Г (р)..

Мы можем теперь сформулировать фундаментальное марковское свойство свободного поля.

Определение^ В дальнейшем Л —— открытое или замкнутое множество в R2; N& — замыкание множества обобщенных функций из 2V с носителями в А; е五 —— ортогональный проектор на N^ Г (ед)=臥； Еа ——это а-алгебра, порожденная величинами {<P(/)|/CNa}・

Замечания. 1. Согласно теореме IIL8, проектор 欧 совпадает с условным математическим ожиданием относительно а-алгебры 2л.

Для многих открытых множеств, например кругов или квадратов, Na = N& так что большинство результатов может быть сформулировано в терминах замкнутых множеств.

Пусть множество А — замкнуто. Тогда, в силу определения носителя, Na =「] {Na，f А и A', Az открыто}, поэтому 2厶= =П Ед* (действительно, из того, что 以=s-lim 以，，следует, что Еа = s-lim 臥，,и потому Еа = П Еа‘)・ Таким образом, наше определение согласуется с определением, которое могло бы быть дано в духе подхода к теории квантовых полей с позиций теории С*-алгебр [3, 92].

Теорема, 口 1・9 (марковское свойство). Пусть А и В — замкнутые множества е R2, причем 241nt Q ^ = 0, Тогда .

EaEqaE & = ЕаЕ ь・(III.19)

Для произвольной ^^-измеримой функции F условное математическое ожидание ЕА (力)является ^д^измеримой функцией,

Для произвольной Е в-измеримой функции F

Еа (尸)=^д (或・(П1.20)

Замечания. 1. Утверждение (IIL19) является сильным обоб, щением утверждения (Ш.13‘). Действительно, если b V о, то, очевидно, Ед.盯 仃]=/% 仆 поскольку &] и N(^ ОК и поэтому в соответствии с (III.19)

Е[% Ь]ЕдЕ[с, d] = Е[% Ь]&-8, д]ЕоЕ[с, d]=

=Да, &]S(-oo, а]Е[с, d] = Е[а, b]&c, rf]>

Причина, по которой эта теорема получила свое название, такова. Рассмотрим соответствующий одномерный результат.

Он утверждает в частности, что если функция F является Sfo, 8厂 измеримой, то функция E(_g, о】F будет 20-измеримой. Интерпретируя вещественную прямую как время, беря в качестве F индикатор х в при В и S[o, оо)и используя интуитивный смысл условного математического ожидания, мы видим, что вероятность некоторого будущего события В при условии, что известно всё прошлое (2(一8, о】), зависит от прошлого только через настоящее (Ёо). Но это и есть обычное марковское свойство для «процессов», поэтому теорема IIL9 представляет собой обобщение идеи Маркова с одномерного на многомерный случай.

Как и во многих других ситуациях, связанных со свободным полем, основой доказательства является некоторое утверждение о гильбертовом пространстве индексов N.

Обобщения этой теоремы имеются в работе [90, § 11.1].

Мы выбрали множества А и В замкнутыми исключительно ради удобства. Можно сформулировать соответствующие результаты и для произвольных измеримых множеств.

Как мы сейчас увидим, доказательство критическим образом зависит от того факта, что, хотя скалярное произведение в N нелокально, его ядро является обратным к локальному оператору.

Лемма 111^10 (предмарковское свойство). Пусть А и В — замкнутые множества^ причем 厶‘皿 П 5 = 0・ Тогда

⑴еАедАе в = еАе в.(Ш・24)

Если / W %в，то eAf £ Nqa,

Доказательство. Так как еАе&А = 的4f то равенство (III.21) эквивалентно равенству

^дАе В — еАе ВЛ(III.217)

которое очевидным образом совпадает с утверждением (ii). Для доказательства утверждения (ii) нам нужно установить, что обобщенная функция eAf имеет носитель в дА, Так как множество Л замкнуто, то носитель функции eAf лежит в Л, поэтому достаточно показать, что

J (^/)(X)g (力"=04(III.22)

если g (х) — функция класса С00 с носителем в Аы. (Интеграл в формуле (III.22)——это просто обычная формальная запись для обобщенных функций.) Учитывая (III.4), имеем

“а厶 g〉a = (еА/, (—А + иг2) g〉n =

=〈力 J ( — A + 硝 g〉N =

=仔，(一A + 硝 g〉N =

=* G g〉工2 = 0$

чем и доказано соотношение (III.22). Второе равенство справедливо в силу того, что всякий проектор является самосопряженным оператором, а третье ——в силу того, что функция (—А + иг2) g имеет носитель в Лыг, поскольку оператор (—Л + иг?) локален. »х)

Доказательство теоремы. Применяя операцию вторичного квантования к равенству (III.21), получаем равенство (IIL19). Так как EaEqa = Eqa, мы видим, что утверждения (ii) и (iii) также справедливы. s

Иногда мы будем пользоваться марковским свойством в несколько иной 巾орме.

Следствие 111,11. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества, и пусть множество С разделяет А и В в том смысле, что существуют замкнутые множества D и Е, такие, что С = 8D = 8Е и ZuD, В и Е (см. рис. IIL1). Тогда

ЕаЕсЕв^ЕаЕв,(П1.23)

еАесе в = еАе в.(HL24)

D

〃JЕ

Рис. ТИЛ. Ситуация следствия III.11.

Доказательство. Так как Z и Q, то eAeD = eDeA = 〃 и, аналогично, еЕе в = ев* Поэтому

еаеее в П &.吃%6邮 B =.

(по теореме

=%01)6№ b = =едев* ■

Литература н § I1I.3

«Классическая» теория марковских процессов: Дынкин [32], Ито и Маккин [104].

Марковское свойство свободного поля: Гуэрра, Розен и Саймон 190], Нелсон [135], Симанзик [192].

Треугольником мы обозначаем конец доказательства вспомогательного утверждения, содержащегося внутри основного утверждения.— Прим, ред.

7 Б Саймов

§ Ш.4. Произведения проекторов в пространствах Соболева

В § III.5 и VIL1 нам понадобится для технических целей информация о произведении е^ ед2 двух проекторов в пространстве N в случае, когда А^П А? = 0. В сущности, это один из вопросов теории пространства Соболева 齋_「 Для моделей свободного поля в нулевой момент времени соответствующим пространством является пространство ^_1/2; сначала произведение GA】ел2 изучалось специалистами по теории поля именно в этом случае [141, 175]. Наше изложение следует § IIL1 статьи Гуэрры, Розена и Саймона [90]. Одна из идей этой статьи основана на идее, первоначально примененной Остервальдером и Шрадером [141] для случая 战一工出

Для многих целей достаточно следующего простого результата, неявно содержащегося в работе Нелсона [132].

Теорема 111Л2» Пусть Лх и Л2 — выпуклые множества е R2 и ед.——проекторы е пространстве N на подпространства ^лi• Тогда

II е^ eAi II & exp (—md (Лп Л2)),(П1.25)

где т — это масса, входящая е определение нормы е пространстве N、a d (Ан Л2) — расстояние между Ах и Л2.

Доказательство. Предположим сначала, что множества Лг и Л2 ограничены. Тогда, в силу компактности, найдутся точки х Лх 近 У W Л2, такие, что d (х, у) = d (Лх, Л2). Пусть nt и я2 — гиперплоскости, проходящие через точки н н у и ортогональные прямолинейному отрезку ху. Элементарные геометрические соображения показывают, что плоскости л； разделяют множества Л1 и Л2, поэтому, согласно марковскому свойству (в форме, даваемой следствие м 111.11),

^Л1^Лг = ^Л1^Я1^Я2^Л2 и поэтому

ЦеЛ1 еЛ2|| <||%% II-(1П.26)

В силу симметрии относительно поворотов, можно считать, что отрезок ху имеет временное направление, а в этом случае, в силу формул (III.9—11),

еЯ1еЯ2 =稲 е-*А,厶加拇， откуда

11ад21КП^|1 = ^™.(Ш .27)

Соотношение (III.25) очевидным образом следует из соотношений (Ш.26) и (Ш.27).

Пусть теперь Лх и Л2 произвольны и Af\ Л^Г)——их пересечения с шаром радиуса г (с центром в нуле). Так как множества А；г)и А；г> ограничены и

s-lim

то утверждение для общего случая следует из соответствующего утверждения для случая ограниченных множеств..

Замечания. 1. Оценка (Ш.25) неулучшаема, так как в качестве А】，Л2 можно взять параллельные плоскости.

Для некоторых областей оценку (III.25) можно улучшить; зто так, например, если область Aj ограничена, а расстояние d (Л1? Л2) велико (см. теорему III.15 ниже).

Главные следствия из теоремы III.12 могут быть установлены и для случая произвольных областей.

Определение. Положим е (d)ssup {|| е^ ед21|}, где верхняя грань берется по всем замкнутым множествам Лх и Л2, таким, что @ (А】，А2)戸 d.

Теорема III.13. (а) При малых d

е (@)《1 — const @;(III.28)

(Ь) при больших d

е 0) & const 办々-叫(Ш.29)

Замечания, 1. Утверждение (а) принадлежит И. Стейну (но опубликовано); в выводе утверждения (Ь) мы следуем идеям Остервальдера — Шрадера [141], примененным ими в несколько иной ситуации. Оба эти результата приведены в явной форме в работе [90].

Глядя на теорему III.12, можно подумать, что е (@) = e~md. Однако это не так. Гуэрра, Розен и Саймон [90] построили пример, показывающий, что е (@)戸 2e~md при больших d・ Ими высказана гипотеза, что е (@)〜 2е-7nd ПрИ больших d.

Доказательство утверждения (а). Пусть % ——функция из С； (R2), равная 0 при | 况 | 戸 1 и такая, что j у Q) cP况=1. Положим 力(况)=Z~2% (况//). При заданных множествах А】,Ла рассмотрим функцию / (%), равную 1 при d (况，А» & 可@ 三

(Л15 Л2), равную —1 при d (х, Л2) ^ у d и равную нулю в остальных точках. Положим g = /*%d/3・ Тогда g — функция класса С°°. Эта функция равна 1 на Aj и ——1 на Л2, причем || g Ц^ =

7*

—1 и И grad g ||g W const &-* где константа не зависит от А^ и Л2. Пусть 務+1 — это замыкание пространства 乎 по норме II / 11+1 IIV / II Ь + т2 И / \^2. Тогда оператор умножения на функцию g в пространстве 筋+i ограничен константой const (II g ||оо + II grad g ||g). По двойственности (N двойственно 施мы имеем

||g*N & const (1 + d-1) I⑺Im(III.30)

Пусть теперь 力 无 £ Лг, причем / £ Na「h £ Ng Тогда

IK 一无除=H g (/ + 期帙 W c (1 + d-1) Wf + h 帙

в соответствии с (Ш.30), и поэтому

-2 (Л份0等备£(1⑺氏+ 11/"尚，

откуда и следует оценка

2

“ 6厶我厶2 " & 1 — c« + dT)_] • А

Для доказательства утверждения (Ь) нам потребуется

Лемма 111.14^ Пусть (M, dx) — пространство с мерой и а (х, у)——^ядро^ на М X М, такое,, что

а 三[卜UP j I @ 3 沙)I *?/)卜up j I а (伤 у) | 彰)]*2 V 8. (III.31)

Тогда отображение А: / -> ) а (、у) / (у) @У является ограниченным линейным оператором на пространстве L2 (М, @况), причем II N II & а.

Доказательство. Согласно неравенству Шварца,

\Af(x) |2^(sup[ j I а (я：, у) I dy^ ) j \а(х, у) 11 / (у) ^dy, и поэтому

j I闺⑺阳尤&炉J I / (у) ^dy. а

Доказательство утверждения (Ь). Пусть d =dist (Л1? Л2)戸 1. Как и в доказательстве утверждения (а), мы можем с помощью сверток построить такие функции ^ (力=1, 2) класса С°°, что 頂三 1 на А? и 頂(况)=0 при dist (况，А») > ? , а нормы || D吗 Ц^ не зависят от d. Пусть 厶 £ %а/ положим g? = р.-1//, где р,— =]Л — А + иг2. Тогда g； = р,-1 &卩g” Пусть А = 卩口工世一20pl. Имеем 〈/i,『2〉N 一 〈g，4g2〉厶2/тут 9П\

поэтому нам достаточно показать, что норма оператора А как оператора в пространстве L2 удовлетворяет оценке

(Ш.ЗЗ) Несложными преобразованиями (с учетом равенства ^С2 = 0) получаем, что

А =厂1 (AG — 2v •(▽*))旷2 (AQ — 2 (▽*>▽)旷‘• (П1.34) Таким образом, для доказательства оценки (Ш.ЗЗ) достаточно установить оценку вида

II П^'Ч I|《产2产 и 咄|8 II 小 Ik,(III.35)

где v]i и y]2 "" операторы умножения, у которых расстояние между носителями равно d > 1. Но оператор р.~2 имеет ядро к (х, у), причем

1^(%, у)|^&(ж-г/)-1/2е-™1ж-«1.(Ш.36)

Поэтому оценка (Ш.35), а стало быть, и оценка (IIL38), следуют из оценки (IIL36) и леммы III.14..

Для ограниченных областей и больших значений d оценку (IIL29) можно улучшить.

Теорема 111.15> Фиксируем число Q. Существуют константы % К, такие, что

МеАеА2||&с(т@)Те-叫(П1.37)

если только d — dist (Л19 Л2)》А и diam (AJ《а.

Доказательство. В силу сделанных геометрических предположений, существуют концентрические окружности Сг и С2 с радиусами а и @ — 2a соответственно, такие, что Лх лежит внутри С1? а Л2 — вне С2. Используя предмарковское свойство, находим, что

II ^Л1^Л2 II & |1 ^С1^Сг ||*

Норму И ес^с% И можно вычислить в явном виде, воспользовавшись частичным волновым разложением (максимум дают s-волны). В результате приходим к оценке const In (d ——2a) -^-^^-^^ из которой и следует оценка (Ш.37)..

Наконец, нам потребуется следующая

Теорема, JZJ.16. Пусть ^ и Л2 — замкнутые непересекаю- щиеся области, причем d (Лх, Л2) > 0. Предположим, что область Лг ограничена. Тогда

оператор е^ ед2 является оператором Гильберта — Шмидта;

оператор а = е^л^м обладает следом, и если а/ = X/, где 入，0, то f £ Nqkv

Доказательство. (а) Как и в доказательстве теоремы IIL13 (Ь), нам достаточно показать, что оператор 刀工卩一^刀？ является оператором Гильберта — Шмидта в L2, если % и 刀必 ——функции класса С°°, такие, что dist (supp 刀口 supp 刀必)> 0 и носитель supp i^ ограничен. Но это следует из оценки (IIL36).

Согласно утверждению (а), оператор а имеет след. Далее, в силу предмарковского свойства, «厶步厶？ = ^ЭЛ1 «а?， и поэтому Ran а и Ran еаЛ1 =■

§ Ш.5. Хр-оценки и асимптотическая независимость далеких областей

В этом параграфе мы скомбинируем оценки предыдущего параграфа с оценками гиперсжимаемости § 1.5 и получим некоторые оценки для норм в пространствах £& (Qn, ©No)* Эти оценки сыграют важную роль в § V.3 при построении гамильтониана взаимодействия с пространственным обрезанием.

Эти оценки важны также для некоторых построений, связанных с предельным переходом к бесконечному объему. В квантовой теории поля значения поля в различных точках являются взаимосвя- эанными. Легче всего это увидеть, применяя коммутативный эвклидов подход. Две случайные величины называются независимыми, если их совместное распределение вероятностей есть произведение их индивидуальных распределений вероятностей. В частности, если величины /ng независимы, то Exp (fg) = Exp (/) X X Exp (g). Для свободного эвклидова поля (屮(花)屮(у» = = 5纟(胃 —— у) 声 0 = 〈屮(胃)〉〈屮(у)), что означает, что значения поля в различных точках не являются независимыми. Тот факт, что 52 (z) экспоненциально стремится к нулю при 2foо, наводит на мысль, что в некотором смысле значения полей 屮(胃) и Ф (у) становятся экспоненциально независимыми при | х ——у | f f оо.

Первый результат такого типа (экспоненциальное убывание взаимосвязи для далеких областей) был установлен для полей в нулевой момент времени Глиммом и Джаффе при изучении предельного поведения поля в бесконечном объеме [64]. Их результат был сформулирован в терминах ядра оператора, связывающего поле ср {х) с семейством «полей Ньютона—Вигнера» 屮n.w*(%), которые независимы в разных точках. Затем Саймон [175] и Остервальдер и Шрадер [141] получили аналогичные результаты (снова для полей в нулевой момент времени) в терминах норм проекторов £八1 «厶2 (действующих, правда, в пространстве 战_*Q、Гуэрра, Розен и Саймон [90] предложили следующее понятие асимптоти-

ческой независимости. Если 耳 и G ——независимые случайные величины, то || FG ||i W II 耳 Hi II G |卜，в то время как для произвольных случайных величин неравенство || FG |卜 ^ \\ ^2 \\ || G ||2— лучшее, на что можно надеяться. Поэтому утверждение типа II FG |h W II 耳 lip II G ||g, где p, q близки к единице, является утверждением о том, что величины F, G почти независимы. Таким образом, приводимые ниже оценки выражают асимптотическую независимость далеких областей.

Полезно иметь в виду одну переформулировку теоремы 1.17, вытекающую из неравенства Гёльдера и того факта, что равенство р」+ ‘J = 1 эквивалентно равенству (р — 1) (, — 1) = 1.

Теорема 1.17Л. Пусть 礎一вещественное гильбертово пространство 〃力：刑 f 腑一сжимающий оператор. Предположим^ что заданы числа р и q, такие^ что

(р _ 1)(? _ 1)> II л II2.

Тогда

丨 J 歹(г) (Г ⑷ G) (г) “ 丨 & II 尸 ||q II G lip. (III.38) Из этой теоремы и теоремы IIL12 следует

Теорема III>17. Пусть Ах и Л2 — выпуклее множества e R2, и пусть Смучайна兄 величина F Неизмерима, а случайна咒 величина G ^^-измерима. Пусть, наконец, числа р и q таковы^ что (р — 1) (, — 1)》ехр (—2nd (А】，Л2)). Тогда

II FG |L "llpHG%(Ш.39а)

Более общим образом, если{рг_1 —— 1) (qr-1 —— 1)》

》ехр (—2md (人工，Л2)) и р, ^ > г, то

\\FG\\r^\\F\\p ||G j|g.(Ш.39Ь)

Замечали兄.1. Так как Ед^измеримость случайной величины F влечет за собой Sд^измеримость случайной величины 尸°\ т0 оценка (IIL39b) вытекает из оценки (III.39а), если заменить F на 尸 и G на G。

2. В частности, при d = d (А1т A?) f оо, числа р, ' в фор. муле (Ш.39а) могут быть взяты экспоненциально близкими к 1-

Заметим в заключение, что теоремы IIL13, 15 можно использовать в сочетании со следующим результатом.

Теорема _ГТ_Т•工8. Пусть А1т Л2 — лепересекаюи^иес兄 замкнутые области в В2 и а = \\ еЛ1 ед2 ||2. Тогда

11% Hr & II F ||р II G ||q,(111.40а)

если р》A q г и

(Р — г)(0 — г)》(III.40b)

В качестве довольно простого приложения этих оценок отметим такой факт.

Теорема II 1.19. Формула Фейнмана — Каца (III.14) справедлива, если предполагать лишь полиномиальную ограниченность функций Gp

Доказательство. С одной стороны, по неравенству Гёльдера правая часть формулы (Ш.14а) ограничена произведением £Р-норм функций G» (р V 8). С другой стороны, в силу того, что оператор e-tH° является сжимающим на любом пространстве Lp, левая часть ограничена произведением 2/р-норм функций Gf (〃 V оо). Поскольку фр (/) с С D (Qf), а ср (g) G П 乙@ (Qn)，то, в силу р < 8р V 8

полиномиальной ограниченности G, можно выбрать последовательность ограниченных функций Gn, таких, что G" (фр (/1), • • ., &F "a G (<Pf (/1), . . ., <Pf (/fe)) В каждом из пространств Lp (QQ, и G^® (gj, . . .,$ (g/f G (<p (九)，…，屮(/Q) в каждом из пространств £? (Qn)・

Поэтому из выполнения соотношений (IIL14) для ограниченных функций следует их выполнение и для полиномиально ограниченных функций..

Литература к § 111.4^ 5

Гуэрра, Розен и Саймон [90].

Глава IV

АКСИОМЫ. II

Из построений предыдущей главы видно, что, во-первых, подход к моделям теории поля с точки зрения полей в эвклгидовой области является более плодотворным, чем подход с точки зрения эвклидовых функций Грина, и, во-вторых, что можно надеяться на наличие связи между соответствующими моделями и теорией марковских процессов. Фактически наше изложение связей между эвклидовыми марковскими полями и полями Уайтмэна во многом параллельно известным результатам о связи марковских процессов с теорией полугрупп операторов, сохраняющих положительность [32|. В § IV.1, 2 излагается содержание исходных работ Нелсона [132, 134], посвященных построению полей Уайзмэна по эвклидовым полям, а § IV.3 содержит некоторые более частные результаты Саймона [180] в обратном направлении. Наконец, в § IV.4 приведен пример Саймона [180] одномерной модели теории поля, удовлетворяющей всем (ОУУ)-аксиомам, для которой не существует соответствующего поля в эвклидовой области.

Тот вариант теории Нелсона, который мы обсуждаем в § IV.1, 2, применим лишь к таким моделям, для которых сглаженные значения поля в нулевой момент времени существуют как самосопряженные операторы, и поэтому применим лишь к двумерным и трехмерным моделям с взаимодействием (по крайней мере таково общепринятое сейчас мнение, основанное на теории возмущений). Нелсон [134] предложил также другой вариант теории, применимый и к четырехмерному случаю. Распространение результатов § IV.3 на эту более общую ситуацию, рассмотренную Нелсоном, представляется интересной, но трудной проблемой.

В отличие от ситуации, имеющей место для схем аксиом гл. II, мы не умеем пока переносить аксиоматические схемы настоящей главы на случай спинов более старших порядков. В частности, важный вопрос о распространении идей эвклидовой марковской теории поля на случай релятивистских локальных фермионных полей остается пока открытым.

§ IV. 1. Аксиомы Нелсона

В этом параграфе мы изложим аксиомы Нелсона, описываю щие, согласно его терминологии, эвклидовы поля над 加_工(R2). Сначала напомним два определения технического характера.

Определение. Обозначим через ей?_】(R2) пространство Соболева всех вещественных обобщенных функций, для которых 卄忙尸j |f(©|2(/+l尸倒V8.

Таким образом, в наших предыдущих обозначениях 觇_、工 N「

Определение. Пусть /п и / — случайные величины на некотором вероятностном пространстве. Будем говорить, что 九 схо- дитс凡 к f по мере (и писать /п 4 /) тогда и только тогда, когда для любого 6 > 0

lim n {叫I 九(胃)一/ (况)I > 5} = 0.

Замечания. 1. Так как 卩{胃 | | / —九 | (胃)> 5} & 5-& X X II / — /п Hf, то сходимость в Lp влечет за собой сходимость по мере (в случае пространства £°° требуется другое, хотя тоже простое, доказательство).

Переходя к подпоследовательности, мы можем считать, что Н {ж I I / (ж) — /„. (ж) I > 2"} & 2』;значит, /п. (ж) f / (ж) всюду, кроме множества меры нуль. Поэтому сходимость по мере является промежуточной между Лр-сходимостью и поточечной сходимостью почти всюду (для подпоследовательностей).

Мы наложим на эвклидовы поля следующие пять условий (N1-5).

(N1) (Поля.) Заданы вероятностное измеримое пространство (М, 2, у,) zz случайный процесс 屮(•), индексированный элементами пространства 独_] (R2), такие, что

семейство случайных величин {(р (/) | / Е <^-i} 兄64兄епс兄 ПОЛНЫМ]

если fn + fs 加-и то 屮(/n) M 屮(/)・

(N2) (Ковариантность.) Задано представление полной эвклидовой группы Е2 {включающей 6 себ兄 отражений при помощи cozpu从兄母iqu% меру преобразований Т § пространства М, причем

при всех 〃，и С L°° (Л/, dp,) функция 卩 н-> ^ и (у о Т^ d\k измерима;

ф (/) о 7р = ф (/ о р) @4兄 всех，С сй?т； 0 С 笈2・

Замечания, 1. Мы будем обозначать через U^ унитарное представление группы Е2 в пространстве L2 (М, йц), индуцированное представлением %, т. е.

(//)(间-/ (7帚询・

Стандартная теорема теории представлений локально компактных групп утверждает, что отображение р н-> U§ сильно непрерывно.

Мы будем обозначать через R гиперплоскость {〈％, 0〉} в R2, а через Ut — унитарные операторы, соответствующие сдвигам в направлении, ортогональном этой гиперплоскости. Через р будет обозначаться отражение относительно этой плоскости.

Мы увидим, что инвариантность относительно отражений играет важную роль (см. теорему IV.1). Кажется, что, в силу этого обстоятельства, теории Нелсона могут быть ассоциированы лишь с теориями Уайтмэна, которые обладают раздельной Ри ^инвариантностью. Это действительно верно и на самом деле неявно содержится в условии (N1)! В самом деле, согласно (N1), функции Швингера должны быть вещественны (возьмем в качестве функций S” (/1( . . ., /п) функции J ср (“). . . <р (；п) &“!)， а отсюда уже следует Т-инвариантность. Этот факт отмечается и более подробно обсуждается в статье Саймона [180].

Предположение о «цикличности» (Nia) было введено Нелсоном неявно: он отметил, что такой «цикличности» всегда можно достичь уменьшением сг-алгебры Е.

Нелсон налагал на представление Т требование непрерывности по мере. В силу сделанного выше замечания 1, это требование излишне.

В связи с тем, что среднее Ехр (屮(х)) (которое является константой согласно условию (N2)) может быть отлично от нуля, возникают некоторые трудности, так как пространство ^8 содержит некоторые функции, не лежащие в Е* а случайная величина по определению должна быть конечной (почти всюду). Допуская вольность речи, мы будем все-таки называть 屮(/) случайным полем над 抑.工,если существуют число с и случайное поле 屮 над 舞 Ехр 仲(/)) = 0, такие, что

屮(力=2 (/) + с J / 彰•

Это выражение нужно считать имеющим смысл, только когда / €^_г П L工.Чтобы избавить себя от этой неприятности, мы предположим до конца этой главы, что Ехр (屮(х)) = 0. При проводимом ниже обсуждении условия (N'6bj следовало бы вообще вместо ф (х) рассматривать 屮(胃)一 Ехр (屮(х)).

Для любого замкнутого множества А и R® через 2 а обозначим а-алгебру, порожденную случайными величинами {ср (/) I supp / и А}, пусть далее через 笈厶 обозначено условное математическое ожидание (• | Ед). Наконец, положим 厶入 = = {/ Е 上2 (7И, ©卩)I функция / является WA-измернмой} и для сокращения записи введем обозначения ей? = Lr, Eq = Er (где R ——гиперплоскость, выделенная в замечании 2), Et = £(pkr)]~ =UtE/.

(N3) (Марковское свойство.) 〃儿兄 любого замкнутого множества А и IV и любой ，й^ЧХ -измеримой функции F

Eh仍)=屬a仍).

Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, нам нужно развить некоторую теорию, связанную с аксиомами (N1—3).

Теорема IV，1, Предположим^ что выполнены аксиомы (N1 — 3), и положим Pt = EQUtEQ [礎.Тогда семейство {Pt | 力》0} представляет собой сильно непрерывную полугруппу самосопряженных сжимающих операторов. При этом Р_£ — Р^ так что

Pt = еТМН(IV.l)

@4兄 некоторого тложителъного самосопр兄：нсенноео оператора Н.

Замечание. То что марковские процессы тесно связаны с полугруппами (которые являются самосопряженными, если процесс инвариантен относительно обращения времени), это хорошо известный факт теории марковских процессов, там он обычно фигурирует под названием «уравнения Чэпмена —— Колмогорова» (см., например, Феллер 142], стр. 399, 455, Дынкин [32, § 2.1]).

Доказательство. (1) Сильная непрерывность отображения %f Р» следует из сильной непрерывности отображения Ef Ut.

Так как оператор Ut унитарен, то

尸扌=Е№Е° = Ру.(IV.2)

Поскольку отражение р относительно гиперплоскости R оставляет каждый элемент множества {/ €(f^T I supp / и R} инвариантным (см. предложение III.4 (а)), то оператор Up оставляет поточечно инвариантным образ Ran 笈。и поэтому

Up% = Ее/ =矶・

Таким образом,

P-t = EoUpUUEg - EQUtE0 = Pf(IV.3)

Согласно формуле Et = UtEQU^t, имеем

UtEs 工 Et+sUh(IV.4)

а согласно марковскому свойству (N3),

EtEuE§ = E_tE(_g, o]EoE[o,十8)笈5 =

=瓦闽_8, g闽0,+8)e8 = EtEs(IV.5)

при t^ s^Q. Отсюда следует, что

PtP& -尸宀(IV.6)

при 力 s》0. Действительно, в этом случае, пользуясь (IV.4) и (1V.5), находим, что

Р tPs = ^qUiEqU sEq = EqU ^E ^iEqE &U sEq =

=E0UtE.tEsUsE0 = E0UtUsE0 =尸什

Ясно, что Po — 1 и И Pt И W 1; поэтому Pt имеет вид (IV.1).B

Теперь мы можем сформулировать аксиому (N4). Напомним сначала, что если / £ / (h), то / & 6。€ 鸵т (см. предложение III.2). Случайная величина ср (/ ® 6) является 2н-измеримой, и умножение на нее представляет собой самосопряженный оператор(р0 (/) на 翅・ Пусть через 龙(屮° (/)) обозначена область определения соответствующей квадратичной формы [145, § VIII.6].

) (Регулярность по Нелсону.) Существуют норма ||| • ||| на пространстве 严(R) и целое число %, такие, что для ecexf € 严(R)

)а(<ро (/))=)0(/2)；

)|ф0(/)|^(Я + 1/|||/|||.(IV.7)

5) (Эргодичность.) Операторы Tt действуют эргодтно на (М, 2, ц), т. е. элементами кольца 工13m инвариантными при действии операторов 7\, являются лишь М и 0.

Замечания. 1. Условия (N1——5) называются аксиомами Нелсона или, подробнее, аксиомами Нелсона для эвклидовых полей над

Неравенство (IV.7) отличается от аксиомы самого Нелсона (А) тем, что мы используем |(р0 (/) | вместо 土屮0 (/). Оказывается, что в одном из пунктов рассуждений Нелсона требуется именно такое более сильное предположение 】).

Аксиома (N1) содержит в себе не только локальную коммутативность (ибо коммутирующие эвклидовы поля порождают симметричные функции Швингера), но также и условие положительности функций Sn, отличное от условия (ОЭ)-положительно- сти, а именно

Ехр (尸(屮(А), . . ., <р 仇)))> 0(1V.8)

для любых /1} . . ., /п € 那т и любой ограниченной измеримой положительной функции F на Rn.

Условие (IV.8) называется условием положителъности Нелсона —— Симанзика ((NS)-yслозем положителъности).

Теорема IV.1 и аксиомы (N4, 5) используют некоторое выделенное направление, но благодаря эвклидовой инвариантности

Я хочу поблагодарить профессора Нелсона за обс>-ждение это вопроса.

все направления остаются тем не менее равноправными. Если выбрать иное направление, то получаются новое гильбертово пространство SS1 и новый гамильтониан Н\ но соответствующий поворот Uq будет осуществлять унитарную эквивалентность (私 Я,9。) и (播，％ a).

В дальнейшем нам понадобится слегка модифицированная система аксиом (№1—6). При этом аксиомы (№1, 4, 5) будут совпадать с (N1, 4, 5); аксиомы (N'2, 3) будут существенно слабее аксиом (N2, 3); наконец будет введена аксиома (N'6), являющаяся дополнительным техническим предположением. С эстетической точки зрения аксиомы (N) выглядят более естественными, чем аксиомы (N‘)，но аксиомы (N‘) можно непосредственно《перенести» в пространство Минковского. В аксиомах (N‘) выбирается некоторое специальное «временное» направление.

(№2) Существует представление группы^ порожденной сдвигами пространства-времени и отражениями относительно временных гиперплоскостей, удовлетворяющее всем условиям (N2). Далее^ для любых функций %,..・,九 € CW (R2), у которых

supp 力 и {(х, s) I Sz V s V *+工3 где sr< ... < 5n+1,

Exp (I 屮(A)・••屮仇)I) V 8,(IV.9)

и для всех достаточно малых поворотов 0

Ехр (ф (Л) . . . Ф (%)) = Ехр (<р 仇。6)・・• <р (/п。6))・ (IV.10)

Замечания. 1. В высших размерностях пространственные повороты, оставляющие инвариантным выделенное «временное» направление, должны рассматриваться наряду со сдвигами и отражениями относительно временных гиперплоскостей.

Имеет место следующее простое

Предложение. IV>2> Аксиома (N'2) следует из аксиом (N1-4).

Набросок доказательства. В силу ковариантности относительно вращений, нам нужно лишь показать конечность математического ожидания (IV.9). Заметим прежде всего, что для любых различных 左,・•% и %,・・ г 九 и # (R)

Ехр (I <р (Д 3 6“ ・・• <р 仇 0 6%) I) < 8・(IV.11)

Действительно, в силу коммутативности, мы можем считать, что 片 V • . • V 加.Полагая wt =力十工一力 и пользуясь марковским свойством, легко показать, что неравенство (IV.11) эквивалентно неравенству

(1, I 屮о (Л) I е-"叫屮 0 仇)I …e-"n-，H I(p0 (九)|l)<oo,

которое следует из аксиомы (N.4)工).Утверждение (IV.9) следует из суперпозиции неравенств (IV.11). в

Следующий частный случай утверждения аксиомы (N3) —— это все, что нам было нужно при доказательстве теоремы IV.1.

(N'3) Если 炉у从斤“и兄 F азл兄етс兄 2及，^измеримой, то

订(尸)=Et⑺.

Наконец, нам потребуются некоторые дополнительные условия регулярности. Покажем сначала, что имеет место

IL*еОложенме IV.3. Из аксиомы (N5) следует, что вс咒киИ вектор пространства 鸵, инвариантный относительно оператора с"% кратен 1.

Доказательство. Пусть р и 鸵 и е~ш^ =取 Тогда и EQUtE^ = =《.Так как || UtE^ || ^ || -ф || и оператор EQ является проектором, то UtE^ = 屮 и Е^ = @. Значит, U^ =屮,а, следовательно, 屮 = cl в силу эргодичности. в

Одна из частей нашего дополнительного условия регулярности выглядит так:

(N'6a) (Массовая щель, или щель массы.) «Я } {1}丄》加。при. некотором 加屯 > 0.

В соответствии с аксиомой (N4), функция (ф0 (/) 1, £仪左屮° (g) 1) аналитична в полуплоскости Re z > 0, и при Re z ~> 0 она ведет себя, как (Re z) -г ). Теперь, воспользовавшись теорией преобразования Лапласа и представлением Кэллена —— Лемана, находим, что

Ехр (ср (/)屮(g)) = J &Р (増 $2 (/, g；硝，(IV.12)

где $2 (•；加2)——зто функция Швингера свободного поля, а мера dp полиномиально ограничена ). Положим по определению

Z-1 = j dp (硝.(IV.13)

Величина Z называется перенормировкой взаимодействия (если интеграл расходится, мы полагаем Z = 0).

(N'6b) (Конечность перенормировки взаимодействия.) Величина z m о.

Т) Именно в этом месте статьи [134] оказывается недостаточным более слабый вариант оценки (IV.7).

Замечания, 1. Подчеркнем, что аксиома (N'6) не играет никакой роли в основной теореме реконструкции, однако она окажется полезной в § IV.3.

С другой стороны, общепринятым является мнение, что если можно построить поле Уайтмэна в нулевой момент времени так, чтобы имел а место оценка (IV.7), то Z 0.

Отмстим, что имеется вариант аксиом Нелсона [1341, применимый к моделям, для которых Z = 0.

Иллюстрацией применения аксиомы (N'6) служит следующее

Предложение IV.4. Если дополнить аксиомы (N1—5) аксиомой (N'6), то для всех / с(5^_т функция ф (/) принадлежит /? (М, dji). а отображение q>: J^_t -> L2 (М, &卩)непрерывно

Доказательство. С учетом (IV.12) и (IIL1) имеем, в силу (Nz6),

Ехр (<р ⑺ 2) = (2л)-2 j dp (硝 j I/(A) p (胪 + 7ra2)T 典&

&(2n)-2ZTmin(l,恤)『⑺3・.

Мотивирующим примером поля, удовлетворяющего всем аксиомам Нелсона, является, конечно, свободное поле.

Теорема 工У・5. Свободное эвклидово поле подчиняется аксиомам (N4—6) с I = 1 в аксиоме (N4).

Доказательство. Мы уже установили справедливость аксиом (N4—3, 5, 6). Аксиому (N4) докажем в форме

I ф0 (/) I < с (Яо + 1) li / Hf.(IV.14

Чтобы установить неравенство, мы воспользуемся следующей леммой.

Лемма IV.6 (лемма Сигала). Если операторы А и В само сопряжены и оператор е~в^е-Ае~в/2 ограничен, то оператор А + В ограничен снизу и

Н g-(4+e)||^|| е-В/2е~Ае~В/2 (

Доказательство. Положим с = || е-^1^е-Ае-в/2 乜.Тогда 修一厶 & & се*®, поэтому, в силу операторной монотонности функции In ([145, задача VIII.51] или Лёвнер [126]), —Л ^ In с + В, те. А + В ^ —In с. а

Возвращаясь к доказательству оценки (IV.14), рассмотрим оператор e-Ho/2e|cpo(Z)(g-Ho/2, Поскольку оператор ©"轴冷 является гипережимающим, а случайная величина el屮о(『" принадлежит Lp

(ибо случайная величина (р0 (/) является гауссовской), то 工) II е-Но/2е|фо(/)|е-Но/2ц & exp (с И / ||f). Значит, % — I 中о (/) I ^ 》一с II / UW по лемме Сигала. Ввиду однородности отсюда следует (IV.14). а

Замечания. 1. Формулу (IV.14) можно получить также с помощью численных оценок [70]. Во многих отношениях такое доказательство «элементарнее». Но мы не рассматривали такие оценки и поэтому предпочли приведенное выше доказательство, в котором используется гиперсжимаемость.

Лемма Сигала впервые появилась в статье [165]. Она имеет отношение к неравенству Голдена —— Томпсона (см. 1124] и указанную там литературу).

Литература к § IF./

Нелсон [134J.

§ IV. 2・ Теорема реконструкции Нелсона

Предположим, что выполнены аксиомы (N1—5). Пусть / W W # (R3). По функции / можно построить отображение R в 步(R), задаваемое формулой £-> 力,где 力(n) — / (n, Z), которае является непрерывным полиномиально убывающим отображением. Поэтому для любого вектора 屮 С Z)(Н^2) в соответствии с аксиомой (N4) отображение t f (巾，eiHf(p0 (ft) e-诅*屮)также является непрерывным и полиномиально убывающим* Определим квадратичную форму 0 (/) на пространстве 超 с областью определения D (Н"?) равенством

+ °О

0(/)= [ e^oiftje-^dt.(IV.15)

Мы можем теперь сформулировать основной результат этого параграфа (и всей главы).

Теорема IV^ (теорема реконструкции Нелсона [134]). Всякое эвклидово поле^ у до влетеоряю щее аксиомам (N1—5), ассоциировано с (по существу единственным)(С^)-полем. Точнее говоря^ 屈 представляет собой физическое гильбертово пространство^ оператор 0 (/), определенный формулой (IV.15), является оператором поля^ вектор 1 —— вакуумом, а оператор Н есть гамильтониан.

丄)Оператор еГн°^ является ограниченным оператором, действующим из £2 в £Р при некотором р, а оператор умножения /^""——ограниченным оператором, действующим из £◎ в £2, в силу неравенства Гёльдера.

8 Б. Саймон

Замечание. При доказательстве будут использованы лишь аксиомы (№1—5).

Наше доказательство мы начнем с изложения некоторых красивых общих построений, принадлежащих Нелсону [133]; сходные идеи (в несколько более слабой форме и не в систематизированном виде) были высказаны Глиммом и Джаффе 163, 65].

Пусть А ——положительный самосопряженный оператор. Определим шкалу пространств {<й?ь}^ен следующим образом. При к》0 положим 爲丸=D (4財2)с нормой || 屮 |底=|| (Л + 1)切2 屮 ||, а при к <Z0 положим 或丸 равным пополнению пространства 拠 по норме

II 屮 К = || (4 +1 产屮 ||・(IV.16)

Легко видеть, что 疑在 и:掬七 при А： > Z и что пространства 办f* s 規 т естественным образом двойственны друг к другу относительно операции

(屮，屮)= ((Л + 及/2 中，(Л + 1)-й/2 T)^),

■ф £翅女,屮£疯_女・ Здесь мы пользуемся тем фактом, что оператор (4 + 1)а/2 определяет изометрию пространств ^； и S8i-a. Положим 規д = П礎？t и наделим зто пространство топологией Фреше, порождаемой полунормами ||・||比.Конечно, пространство S8^ совпадает с пространством С°° (Л). Пусть через X (掬也，瘓七)обозначено пространство всех ограниченных отображений мз <й?比 в 质 g и: через II |1ь. в — норма в нем.

Если & > 0, то пространство X (捌也,觇_Q естественно ассоциировано с пространством всех квадратичных форм b на 费、 для которых @ (&) = S8k и

I b (<р, 2)丨 & const И 屮 h II 屮"，(IV.17a)

или, что эквивалентно в случае, если b — симметричная форма^

士b & const (4 + l)ft.(IV.17b)

Так как 4 £ /(质比+纟，屈Q Для всеx 4，то при в е£ 娜^ 拂i) оператор

(Ad А) В ^ (Л, В] = АВ — BA(IV.18)

является элементом пространства X (<й?比+纟，礎？一2)・ Мы будем писать (допуская некоторую неточность в обозначениях), что (Ad А) В ^Х (麻к,礎 в) тогда и только тогда, когда (АВ — В А)屮 £ £ 曲 в при всех ip М 曲比+2 и

II (Ad Л) В^ ||g & const II 屮 ||h.

Имеет место

Лемма 工0・8. Если операторы В и (Ad А) В лежат 6 X ((й?й,捌3 то 5 £ % (苏?计2,掷计2)u

II В ||ft+2( z+2&||5||x + ||(Ad4)5h 入

Доказательство. Пусть 屮 £ 留也+2・ По предположению В (Л + 1)屮 £ 翔厶 и, кроме того, (Л + 1) _В$ — _В (/ + 1)屮= =(Ad А) В1^ ^S8в； значит, (/ + 1) 5屮 £ 驰г, т. е. Вф £ 犯“* Далее,

II 列 11计2=11 И + 1) В^ ||г ^\\В(А +1)^ 山 + И (Ad 4)碗 IhC & II В ||fe, г II (Л +1)屮 h + ||.(Ad4)5h"|Wlh& & (II 5 II…+ II (Ad/) 5 II…)II 屮 |匾2・■

Применяя индукцию^ очевидно» получим из леммы IV.8 следующий результат.

Лемма IV.9» Если операторы В, (Ad А) В, (Ad Л)2 В, . . • ...£ £ (拠?и 礎 в)尸ри некоторых &,厶 то оператор В переводит пространство 觇^ е себя. Более точно, для любимо а найдутся числа ^, п и С (зависящие лишь от 依 Z), такие、что

II 砚 h&C(E II (Ad 4)5 IC) II 叫辰 (IV.19>

J=0

Доказательство теоремы IV.7. Возьмем А — Н. Тогда неравенство (IV.7) запишется в виде | 屮о (/)丨 £ £ (超+小 捌一儿 при этом

IlToWlh. -/^111/Ilk(IV.20>

Так как оператор 6血力 унитарен ва каждом пространстве 捌在才 то из (IV.20) следует, что

II 6(/) Hi,-г< J III 川I闽(IV.21>

Из (IV.20) вытекает также, что || eiHt^)0 仇)e~iHt ||г, _|> О,

J±oo

и поэтому j 备(е*н“9о (厶)giiHt)威=0, где интеграл лежит в £

(^8i^ S8Следовательно,

(Ad Н)0(/)= е (风/)； итерируя эту формулу, мн получим, что

(Ad H)k [0 (/)] = © (产於/)•(IV.22>

В силу соотношений (IV.21) и (IV.22) и леммы IV.9, оператор 6 (/) переводит пространство Si^ в себя, и X (拠力 <й?8)-нормы оператора 6 (/) совпадают со шварцевскими нормами функции /. Так как

8*

£2 三1 £掷8, то мы можем построить функции Уайтмэна. Тем самым доказана аксиома (W1), а аксиома (W3) выполнена по лостроению. Априори мы имеем лишь слабое спектральное условие Н》0,——но это позволяет получить функции 勿几 как аналитическое продолжение функций Ехр (ср (%) . . . ф (/п)), поэтому лоренц-ковариантность можно доказать так же, как и в теореме реконструкции Остервальдера ——Шрадера (с использованием диф- ференциалышх уравнений). Поэтому выполнена аксиома (W2), а из нее и из положительности оператора Н следует аксиома (W4). Аксиома (W5) вытекает из симметричности внедиагональных функций Швингера, а аксиома (W6)——из предложения IV.3..

Замечание. Ссылка на теорему Остервальдера ——Шрадера при выводе аксиом (W3—5) не соответствует историческому порядку развития вопроса.

Литература 嚣 § IV.2

Нелсон [133, 134].

§ IV.3. Когда поле Гордин га—У ай тмэна обладает ассоциированным с ним эвклидовым полем?

В этом параграфе мы введем набор аксиом (S1—5), эквивалентный набору аксиом (N'l——6). Теорема эквивалентности (утверждающая в существенном, что (S => (N')) является вариантом одного из результатов работы Саймона [180]. Однако так же, как и теорема Нелсона IV.1, являющаяся главным эвеном в теореме реконструкции Нелсона, приводимая ниже теорема IV.11, по существу, дословно заимствована из теории марковских процессов.

Выполнены аксиомы Гординга — Уайтмэна, Через 0 (/) обозначается соответствующее GW-no^e.

Для каждой функции / £ с5P (R) задан самосопряженный оператор(р0 (/) на пространстве^. Существуют число I и норма III ・ III на пространстве 步(R), такие, что выполнено соотношение (IV.7). Кроме тоео,

подпространство D (Н"") является опарой4) квадратичной ^ормы, соответствующей самосопряженному оператору(р0 (/);

справедлива формула (IV.15), связывающая поле 0 и оператор (р0.

Алгебра фон Неймана 欢,порожденная операторами {屮。(/)}, абелева^ а ее вакуум Q является циклическим вектором.

Опорой (в оригинале core (сердцевина)) квадратичной формы называется область, с которой форма единственным образом продолжается до замк- яутой.——Прим, перев,

(S4)〃“ любых двух положительных элементов F, G алгебры 9Л (网2, e-tHGa)》O при всех 古》0. |(IV.23)

Гамильтониан Н имеет щель массы, u Z #= 0.

Замечания. 1. Требование (S2a) введено из эстетических соображений, так как в этом случае ф0 определяется более «фундаментальным» объектом 0. Аксиома (N'6) используется в доказательстве импликации (N‘)今(S) лишь для (S2a) и (S5).

Из аксиом (GW4) (локальность) и (S2) «почти следует» равенство “о (/)(р0 (g) — Фо (g) Фо (/)1 屮=Одля векторов 屮,лежащих в носителях квадратичных форм(р0 (/) и ф0 (g)・ Мы хотим напомнить, что даже этого недостаточно для того, чтобы априори заключить, что алгебра ЗЛ является абелевой (см. [145, § VIIL5]).

Так как условия (S2, 5) по существу чисто технические, то тот факт, что (S)今似％ показывает, что основные условия, нужные для того, чтобы можно было построить эвклидово поле по GW-полю,— это условия (S3, 4). Условие (S3) является решающим для доказательства марковского свойства, a (S4)——решающим для доказательства самого существования эвклидова поля.

Так как полугруппа 6一田 эргодична, то из условий (S1) и (S4) следует, что (WO, e~tHGQ) > 0 для всех ^ > 0 в соответствии с теоремой Саймона [177] (см. § 1.4).

Поскольку мера р может быть выражена в терминах представления Кэллена — Лемана для функции 物%, то величина Z может быть выражена в терминах 0.

Теорема IV.10, ((№)今(S)). Поле Гординга — УайтмэнаТ построенное (методом, развитым в теореме ZF.7) по эвклидову полю^ удовлетворяющему аксиомам (N'l—6), удовлетворяет условиям (S1—5).

Доказательство. Выполнение условия (S1) представляет собой содержание теоремы реконструкции Нелсона. Чтобы получить условие (S2), нам нужно доказать лишь, что пространство D (Н‘) содержит опору квадратичной формы, соответствующей оператору (р0 (力.Мы покажем, что О (?) содержит опору) оператора ф0 (/), откуда следует утверждение относительно опоры квадратичной формы. Согласно аксиоме (N，6) и предложению IV.4, функция ф0 (/) лежит в Z2 (М, dpi), поэтому стандартное рассуждение показывает, что пространство L00 (М, Er, @卩)является опорой оператора ф0 (/). Пусть W £ ZZ° (М, 2R, dpi). Тогда

лри Ef 0 имеем UtF -> F в Z (М, d(x), и поэтому(р0 ⑺ UtF -> f Фо (/) Р ^ 1^ (М, Er2, &卩)(это следует из теоремы о мажорированной сходимости 'J и того факта, что || UtF |\ = || 下 口8). Но тогда e-mF -> _F в 疯，а значит, и(р0 (/)味诅^ -^ Фо (/) ^ в ^ • Поэтому U e-tHL°° представляет собой опору оператора (р0 (/),

чем и доказано условие (S2).

Условие (S3) выполнено по построению. Условие (S5) совпадает с (N'6). Для вывода условия (S4) будем трактовать пространство 物 как подпространство пространства La (М, d(x). Тогда

(FQ, е-^GQ)=(笈毋，UtE0G) = (К U,G)=

=j _F (m) G(р_^т) dp. (m)》0,

так как функции F vl G о ^_t неотрицательны. ■

Прежде чем доказать, что (S)今(N) мы построим эвклидово ^-пространство» как пространство траекторий в ^-пространстве поля Минковского.

Теорема IV,11. Пусть выполнены условия (S1—4). Тогда существует вероятностное измеримое пространство (Af,工,卩) и на пространстве М при каждом £ £ К существует случайное поле <р (•; £), индексированное элементами из 步(R), такие, что для всех 左,...,tn ^ 0, всех ",.… fk W 华(R) u всех измеримых ограниченных функций W。, Fn на

®, F^e~tlHF^ ... e-tnHF^Q} = j 4財”..园"，(IV.24a) zde s0 произвольно^ s» —= 右,

?Р = Ps (Фо (A)，• • Фо 伍))(IV.24b)

и

学=Pj 3 仇；Sj), . . .,(P (九；Sj)).(IV.24C)

Замечание, Эта теорема и приведенное ниже доказательство принадлежат Саймону [180]. Однако по существу эта теорема является выражением того факта, что полугруппа операторов, сохраняющих положительность, порождает марковский процесс (см. Дынкин [32, § III.2]). Для упрощения доказательства счетной аддитивности меры 卩 мы воспользуемся искусственным приемом, предложенным Нелсоном [130].

Нам понадобятся сначала две общие леммы.

Лемма IV.12- Пусть X и Y — компактные хаусдорфовы пространства и А: С (X) -> С (У) — линейный оператор, сохраняющий пол ож ителъностъ, такощ что 41 = 1. Пусть v ——

вероятностная мера 儿。У. Тогда существует единственная вероятностная мера п 儿。X X У, такая, что

j 〃£)g(У)dn = j И/)(У)g 匂)dv (IV.25) для всех f € С (X), g £ С (У).

Доказательство. Единственность меры п очевидным образом следует из того факта, что множество функций {/ (х) g (у)} является тотальным в С (X X У), согласно теореме Стоуна — Вейер- штрасса. Пусть 淤十，】(У) — множество вероятностных мер на У. Тогда оператор 4* переводит 3Jt+, х (У) в 阶十,工(X), так как при 卩 £ 泯+, 1 (У) интеграл |/ d (Л*|л) = j 4fdiл》0 для положительных /, в силу того что оператор Л сохраняет положительность, и j d (Л*ц) = j (Л1) &卩=f dp. = 1, ибо Al = 1. Пусть Цу = А*6у для каждого у £ У. Тогда функция у f 阿 непрерывна в «-слабой топологии, поскольку j / dp^ =

X

=j (Л/) dby = (Af) (у). Пусть h ^ С (X X У). Тогда функция Л определяет равномерно непрерывное отображение Y ^ С (X), а именно отображение у f %, где % (х) = А (%, у). Рассмотрим оператор L: С (X X У) -> С (У), задаваемый формулой

[厶 ®]®=“屈師，(IV.26a)

и определим 2 (无)£ С формулой

2 (无)=j 厶 ® dv.(IV.26b)

У

Функционал I определяет меру 刀 на X X У. Далее, если h (х, у)= =/ (%) g (у), то % = g (у)/, поэтому L (А) (у) = g (у) j f d 阿= =g匂)(4力(办значит,

Z (帝)=J И/) (У) g(У)加，

т. е. мера п удовлетворяет условию (IV.25). ■

Лемма IV»13. Пусть заданы компактные хаусдорфовы пространства Z], •.・，Z^, и пусть At： С (Z° -> С (Zi+1), г = 1, 2,... ..-, к —— 1,— линейные операторы^ сохраняющие положительность и удовлетворяющие условию 4] = 1. Пусть далее 九一 вероятностная мера на Zh, Тогда существует единственная вероятностная мера 卩儿a Z] X ・.・ X 2女, такая, что

У 厶 ®)…•九⑸)如=j [/i? • • ч fh\A。九，(IV.27a) zj …xz^zk

где

[/1? • • Ч 九 1а (2к) = (fk (^k-lfk-l * • •力2 (/s-^l/l)* • *)1 (2h)* (IV.27Ь)

Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Случай 友=2 разобран в предыдущей лемме. Предположим, что наш результат справедлив для к ——1. Тогда можно найти меру v на Z2 X X Zk, такую, что

j /2 •••/"” = j [/2, •• г 加а&%•

Далее, по лемме IV.12 мы можем найти меру 卩 на Z】 X У, такую, что j /工％ &卩=j (/%) % &w・ Тем самым существование меры 卩 доказано. Единственность доказывается так же, как и в лемме IV.12..

Доказательство теоремы IV.11. Пусть Q = о (2Л)——спектр Гельфанда алгебры 泯.Определим меру 曲 на Q равенством f 才 &% = (й, Лй). Тогда наше физическое гильбертово пространство 盘 естественно изоморфно пространству L2 (Q, d%), а алгебра 阶 изоморфна пространству L°° (Q,曲)(ибо 泯一максимальная абелева алгебра). [Заметим, что по построению алгебра ЗЛ изоморфна также С (Q). Поэтому каждая ограниченная измеримая функция на Q совпадает почти всюду с некоторой непрерывной на Q функцией. Этот факт иллюстрирует то, насколько «дикой» является топология в Q.] Согласно условию (S4), оператор е~ш сохраняет по ложител ьность, и так как НО. = 0, то e~~tH 1 = 1. Поэтому по теореме 1.13 оператор е~ш переводит пространство L°° в себя и тем самым определяет сохраняющий положительность оператор Л: С (Q)f С(Q).

Теперь для каждого £ £ R рассмотрим экземпляр Qt пространства Q с мерой dkt на нем, являющейся экземпляром меры d九 Для всех s & £ определим оператор A (s, £): С (QJf С (Q% с помощью оператора /力_§ и соответствующих отождествлений. Для любого набора 厶之• • • W% обозначим через &卩玄，.…，% меру на Q〃 X ... X Q±紋 полученную в результате применения леммы IV.13 к поеледовательности операторов / » =/ (^+1,力) и мере &九电 = dX. Наконец положим

М = х ^,

и если W £ С (М) —функция, зависящая лишь от 山工,.・.,g^, то положим

刀(歹)=j 歹(也，…，%)d%... “(IV.28)

Формула (IV.28) корректно определяет ограниченный линейный функционал на всюду плотном подмножестве пространства С (Л/) (согласно теореме Стоуна ——Вейерштрасса), и этот функционал по непрерывности может быть продолжен до функционала на всем С (М). Так как L (1) = || 厶 || = 1, то L дает бэровскую меру 卩 на М.

Оператор ф0 (/) определяет случайную величину Фу (夕)на Q， и мы зададим случайную величину ф (/, %) на М формулой

Ф (/； X) ({*})=①『®.(IV.29)

Формулы (IV.24) проверяются непосредственно. ■

Пользуясь условием (S5), мы построим теперь случайный процесс §(•) на (М, Е,卩)，индексированный элементами пространства 协т (й2), и такой, что 中(/ 8 6。=中(/;力

Теорема IV.14 ((S 今(№))• Всякому квантовому полюг удовлетворяющему требованиям (S1—5), соответствует по существу единственное эвклидово поле^ удовлетворяющее аксиомам (N'i—6), такое, что это квантовое поле связано с эвклидовым полем операцией реконструкции Нелсона,

Замечание. Если в условии (S2) взять / = 1, то, используя одну идею Фрёлиха [51], вместо аксиомы (№2) можно доказать аксиому (N2) (см. § VL5).

Доказательство. Пусть S?(・,•) —— это функция Швингера поля 6. Пользуясь аналитическим продолжением представления Кэллена — Лемана, находим, что

s賢(/, g) = j $2 (/, g; m2) dp (m2).

Как и в предложении IV.4, мы можем вывести из условия (S5), что

s%/,/)《const ll/心.(IV.30)

В соответствии с (IV.24)

пп

Ехр([3 ф (A； t^) = sY(^fi^(IV.31)

i=li=l1

Поскольку такие суммы всюду плотны в 盘 _工(см. предложение III.4 (с)), из (IV.30) и (IV.31) следует существование ограниченного отображения ф из 删_、в L2(M, dp,), такого, что ф (/® 6() = =ф (/;力).Убедимся, что для случайного процесса <р выполнены аксиомы (№)•

Аксиома (N'l)m(Nl) выполнена по построению, так как семейство {ф (/;协} полно, а Л2-сходимость сильнее сходимости по мере. Для доказательства аксиомы (№2) заметим, что пространственные сдвиги действуют в каждом из пространств Q”

а потому и в пространстве М, Временные сдвиги задаются формулой (Tj) ({'$}) = / ({д$т})，а отражения относительно гиперплоскости Е = 0 — формулой (Тр/) ({，$}) = / ({，т})・ Инвариантность меры 卩 относительно этих преобразований следует из построения 卩(в случае преобразования 7P нужно воспользоваться самосопряженностью оператора е~由).Оценка (IV.9) вытекает из условия (S2) (т. е. из (IV.7)), как и при доказательстве предложения IV.2. Равенство (IV.10) следует из инвариантности функций Швингера относительно поворотов.

Перейдем теперь к аксиоме (N'3). Рассматривая пространство (R? и 厶2 (Л/, @卩)как пространство функций от {<р (・;0)} и обозначая через Ео проектор на 超，мы видим, что, в силу формул (1V.24),

EQUtEQ = e~\^H. (IV.32)

В соответствии с полугрупповым свойством при 力 s》О

EqU [EqU sEq = EqU iU8Eq^

или, поскольку Е@1Ц = UtE^

UtE_tEQE8U8 = UtE^EsU8.

В силу унитарности операторов Ut и U$, мы имеем при is》。

E,tE0Es - ЕуЕ“(IV.33)

Используя суперпозиции и сдвиги формулы (IV.33), получаем аксиому (N'3).

Далее, из равенства (IV.32) следует, что гамильтониан, построенный в теореме IV.1, совпадает в точности с оператором Н, поэтому (S2)今(№4)三(N4) и (S5)=>(N'6). Докажем, наконец, аксиому эргодичности (N'5)=(N5). Пусть функция F 6 £ I?(八夕,@卩) являете兄 Eg, ь厂измеримой, где а и 6 конечны, и (1, F) = 0. Тогда lim (及 UtF) = 0, так как при | % | > 匕一а мн можем, пользуясь марковским свойством, записать (F, UtF) в виде (%, ехр 1(— \ t \ + b — а) Н] G2) при соответствующим образом выбранных @力 таких, что (R, G0 = 0. Но поскольку такие функции F всюду плотны в пространстве функций, ортогональных к 1, мы видим, что lim (F, Ut F) = 0 при (F, 1) = 0, чем и доказана эргодичность. ■

Ли тература 抬 § I Г.5

Саймон [180].

§ IV.4. Один контрпример

Мы можем представить соотношения между различными системами аксиом в виде схемы

(GW)o(W)m(S)

(ОУ)с(№)

Естественно поставить вопрос: имеют ли место импликации (OS')今(N‘)или, что эквивалентно, (W)今(S)? Конечно, ответ на этот вопрос отрицателен, так как аксиомы (S) и (N'j включают в себя сильные условия регулярности. Например, существуют обобщенные свободные поля, для которых Z = О, так что не выполнена аксиома (№6); кроме того, есть серьезные доводы в пользу того, что в размерности четыре и более пространство 曲一工 не пригодно для описания взаимодействующих полей. Нас, однако, на самом деле интересует следующий вопрос: существуют ли причины, помимо чисто технических, в силу которых не имеет места импликация (OS') => (N')? Таких причин, оказывается, две,. Во-первых, существуют поля Уайтмэна, для которых не имеет места аксиома (S3), например обобщенные свободные поля (см. [139]). Во-вторых, можно поставить вопрос о том, может ли не иметь места импликация (W)今(S4). В больших размерностях ответ заведомо положителен, но, так как у нас совсем немного примеров полей с взаимодействием в размерностях два и выше, желательно обзавестись одномерным контрпримером. В частности, мы хотим показать, что из (ОЗ)-положительности не следует положительность Нелсона ——Симанзика ((NS)-noaoHcn- тельность).

Приводимый ниже пример в явном виде указан Саймоном [180], однако по существу он представляет собой лишь выражение того факта из теории марковских процессов, что всякий дифференциальный оператор, являющийся порождающим оператором марковского процесса, есть оператор второго порядка.

Пусть £?==_/? (R, dg), и пусть g — оператор умножения на q пр — оператор i'dld*. Положим

h="+ 状 + 产=备一聂+ g2.(iv.34a)

Оператор Н унитарно эквивалентен (относительно преобразования Фурье) оператору Я — р2 + ?2 + ^4, поэтому, изучая Я, мы можем многое узнать об операторе Н. Это можно сделать с помощью методов гл. V или с помощью иных методов (исчерпывающее исследование оператора Н читатель найдет в работах [107

172]). В частности, оператор Н является существенно самосопряженным на пространстве 步，у него чисто дискретный спектр, и он имеет невырожденное минимальное собственное значение 历,причем соответствующая собственная функция строго положительна. Положим

苴=Н — Е.(IV.34b)

Оператор Н существенно самосопряжен на 乎 и положителен^ причем существует единственный вектор Q, такой, что Яй = 0. Далее, вектор Q лежит в 步,м функция 0 положительно определена. В частности, функция Q (д) строго положительна при q С (—6工,8。для некоторого 6工 > 0.

Если взять q ⑴=^Ht^-mt в качестве нашего «поля Уайтмана», взять Q в качестве вакуума и 行 в качестве гамильтониана, то полученное поле удовлетворяет всем одномерным аксиомам Уайтмэна и всем аксиомам (OS). Однако (МЗ)-положительность не имеет места:

Теорема IV^15> Пусть оператор Н задан формулой (IV.34) 〃 R ——его собственный вектор с наименьшим собственным числом. Существуют Е > 0 и положительны^ функции 戶,G, такие, что g e-^GQ) V 0.

Доказательство. Пусть 屮 三 g&Q, и пусть 屮(％ t) = (©-何屮)匂)“ Тогда функция 屮(g, t) — это функция класса С°° на R X (0, оо) с непрерывным граничным значением 屮(g, 0)=屮(g), причем 屮(分力 удовлетворяет дифференциальному уравнению

一 _竺=_ 0L I。2汴dt 一 dd困2十4屮.

В частности,

屮(0, Е = 0) = о,"^~屮(0,方=0)= -4! Q (0) < 0.

В силу непрерывности,屮(0,力)V 0 при достаточно малых Е, поэтому при некотором малом tQ и при всех q € (——62, 62) мы имеем гр (q, %) V 0 для некоторого 62- Положим 6 = min (5】，62), и пусть функция F положительна и имеет носитель в (——6, 6). Тогда j 仍R) (g)屮(q,幻 dq V 0. Полагая G = q* мы видим, что (FQ, е-to目G&) = е~%Е J (耳°)(0)屮(。，力)dgV。. ■

Замечания. 1. Вероятно, полезно обсудить связь положительности Остервальдера ——Шрадера с аксиомами Нелсона. Так как из аксиом Нелсона следуют аксиомы Уайтмэна, то из них следует также и (О8)-положительность. Точнее, (О8)^положительность

следует из (NS)-noaoHCHTeabHOCTH, марковского свойства и инвариантности относительно отражений. Например, (формальная) (ОЗ)-положительность (S?(力，力；力，一力》0) выводится следующим образом: Ехр (<р (寫，一力)ф (瑞 力))=(в силу марковского свойства) Ехр (1£0(р (力，Е)} [£оф (% —力)])=(в силу инвариантности относительно отражений) Ехр ([£0(р (力，力)]2)》(в силу (NS)-nojio- жительности) 0.

Предыдущее замечание показывает, что если задано эвклидово лгарковское поле, то (ОЗ)-положительность (и соответствующая связь с полями Минковского) разрушается из-за нелокально- сти во временном направлении (но не в пространственном направлении). Поэтому, например, ультрафиолетовое обрезание, включающее сглаживание только в пространственном направлении, не нарушает (ОЭ)-положительности, а включающее сглаживание во временном направлении, нарушает ее.

Предыдущие замечания дают также ответ на следующий вопрос. Газ в классической статистической физике, очевидно, определяет эвклидово ковариантное поле, обладающее свойством (МЗ)-положительности. Определяет ли такое поле какое-нибудь «нелокальное» поле в пространстве Минковского? Оказывается, нет, потому что нелокальность во времени, присущая классическому газу, нарушает (ОЗ)-положительность, которая необходима для существования полей Минковского.

Литература н § IV,4

Саймон [180].

Глава F

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

И ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ

До сих пор мы описывали общие конструкции и тривиальные модели. Теперь мы приступаем к серьезной задаче построения нетривиальных моделей. Мы попытаемся построить такие модели с помощью локальных возмущений свободного поля ——следуя тем самым освященной традицией методике лагранжевой теории поля [10]. Именно в зтом месте возникают знаменитые бесконечности квантовой теории поля. Существует естественная иерархия моделей теории поля, которым присвоены символические обозначения: Р (ф)2, У?, (<р4)з，声з，(<Р4)4- Каждая следующая модель содержит больше бесконечностей, чем предыдущая; Уайтмэн [204} предложил рассматривать эти модели последовательно ——для изучения каждой бесконечности в ее простейшей форме. В частности, в модели Р (ф)2 (двойка обозначает здесь двумерность пространства-времени) есть только «объемная расходимость в бесконечном объеме», и нет «ультрафиолетовой расходимости». Идеология конструктивного подхода выдвинула с самого начала следующую задачу: научиться контролировать объемную расходимость в бесконечном объеме для моделей Р (ф)2, с тем чтобы в дальнейшем зта расходимость не создавала бы дополнительных трудностей в более сложных моделях. Эта задача успешно решается, и оставшаяся часть данных лекций посвящена обсуждению результатов в этом частном направлении.

Мы ограничимся без дальнейших комментариев случаем моделей Р (ф)2 (см., однако, сказанное во введении).

Много усилий было затрачено и на изучение более сложных моделей, и в этом достигнуты некоторые успехи. В качестве введения к соответствующей литературе можно рекомендовать работы Глимма и Джаффе [70, 71] и Хеппа [96]. По поводу недавних результатов о модели (<р4)3 см. работу Глимма и Джаффе [69]; там имеются и дальнейшие ссылки.

В этом месте происходит естественная бифуркация точки зрения. Можно придерживаться освященного традицией подхода нерелятивистской квантовой механики, основанного на добавлении к гамильтониану некоторого возмущения и получении нового вакуума в виде собственной функции с минимальным собственным значением. Это — гамильтонова стратегия. С другой стороны.

можно следовать подходу, основанному на интуиции, созданной теорией интегралов Фейнмана и общей теорией мультипликативных функционалов от марковских процессов, и в соответствии с этим возмущать меру, задающую эвклидово поле, мультипликативными множителями. Это — эвклидова стратегия. Мы уже видели, что эвклидова мера содержит в себе (в качестве производных объектов) средние в нулевой момент времени и гамильтонову полугруппу. Это означает, что указанные две процедуры введения возмущения в основных чертах схожи.

В период между 1964 и 1971 г. эти стратегии развивались как две независимые программы. В серии своих статей Глимм и Джаффе [62—65] развивали гамильтонову стратегию и, получив внушительное количество информации о гамильтонианах с пространственным обрезанием, использовали ее для изучения свойств, моделей в пределе бесконечного объема. Практически каждый из результатов § V.3, 4, касающихся модели (ф4)2 с пространственным обрезанием, был доказан впервые Глиммом и Джаффе (более подробные ссылки, и в частности ссылки на работы, в которых изучаются более общие Р (ф)2-модели, можно найти в. указанных параграфах).

С другой стороны, Симанзик [192——194] был сторонником эвклидовой стратегии. Его результаты о полях с взаимодействием не были значительны, но он выделил много важных свойств свободных марковских полей, а для модели (ф4)2 он доказал первое неравенство Гриффитса, найдя тем самым ценное указание на связь между теорией поля и моделью Изинга. И наконец, он почти в полном одиночестве отстаивал и пропагандировал программу, которая, как показало время, была верной х).

Ситуация драматически изменилась с появлением работы Нелсона [132], в которой были кратко обрисованы фундаментальные взаимосвязи между этими двумя стратегиями. Эту связь мы называем формулой Фейнмана — Каца — Нелсона (ФКН-формулои) Мы уже видели, как она применяется в случае свободного поля (см. (III.14)) и при асимптотическом подходе (см. (IV.24), а также теорему IV.1). Мы докажем ее на конструктивном уровне в § V3 (см. также § V.5).

Главный вывод из ФКН-формулы состоит по существу в том, что гамильтонова и эвклидова стратегии ——это две стороны одной и той же единой теории и, в частности, что всякий результат,, полученный с использованием одной стратегии, допускает пере- изложение в терминах другой стратегии. Однако две эти стратегии влекут за собой разные способы понимания фундаментальных проблем теории и требуют разной техники. Мы выбираем в каче-

1) Нужно отметить, что в своих работах 1971—1972 гг. Глимм и Джаффе постепенно приближались к цельному «почти эвклидову» подходу.

©тве основной эвклидову стратегию; наше доказательство ФКН- формулы в § V.3 представляет собой, в сущности, построение обрезанного гамильтониана как «трансфер-матрицы». Наш гамильтониан будет по построению самосопряженным и полуограничен- ннм; для того чтобы вернуться к известным результатам Глимма —— Джаффе [62] и Нелсона [131], нам нужно будет показать, что построенный таким способом оператор совпадает с обычным гамильтонианом, обрезанным по пространству (такой обрезанный гамильтониан определен в § V.1).

Параграф V.5 содержит ряд результатов о пространственно обрезанном гамильтониане, которыми мы не будем пользоваться далее в этой книге, но которые показались нам достойными упоминания. Мы приводим, в частности, другое доказательство ФКН- формулы, которое исходит из гамильтонова подхода и задает обрезанное эвклидово поле как функциона льный интеграл. Во всяком случае этот параграф может быть опущен при первом чтении.

Наконец отметим, что некоторые конструкции, естественно возникающие при гамильтоновом подходе ——среди них надо бы делить конструкции Генэна ——Сигала [86, 164], Кэннона —— Джаффе [20],— не будут здесь рассмотрены, так как их можно обойти, используя эвклидов подход. Однако они ведут к более глубокому пониманию существа дела; в статье [70] читатель найдет методически продуманное обсуждение этих вопросов.

§ V.1 Основные стратегии

Прежде чем обсуждать гамильтонианы с пространственным юбрезанием и эвклидовы теории, мы остановимся на вопросе о степенях Вика свободного поля.

Избранный нами метод изложения следует подходу, развитому в § 1.1, а не более «классическому» подходу, использующему перестановки операторов рождения и уничтожения (в духе § 1.3).

Итак, пусть задан гауссовский случайный процесс ф, индексированный элементами вещественного гильбертова пространства ей?, которое содержит в качестве всюду плотного непрерывно вложенного в него подпространства пространство 孑r (Rn). Согласно теореме о ядре, билинейная форма /, g f 玄(/, g〉樹 порождает обобщенную функцию S (/, у) на пространстве 孑r (R2n)по формуле

s(/<g) g) = 4"〈f, g〉駝. (V.1)

Наша непосредственная цель — определить при некоторых определенных условиях новое (негауссовское) случайное поле :①融： над пространством 孑r (Rn). Хотя это и не является абсолютно необходимым, мы будем предполагать, что функция S (力，у) локально интегрируема.

Для того чтобы понять, откуда возникают степени Вика, рассмотрим случай, когда функция S (怎 у) имеет вид G (/ ——у) и непрерывна при 第 #= у, м попробуем определить (р2 как случайное поле. Естественный подход состоит в следующем. Выберем какую-нибудь функцию Л Е #R (Rn). Тогда при каждом 力 формула

<Ph(2；) = j ф (у) h (х — у) dy ^<f (h (х — •))(V.2)

определяет случайную величину, и мы можем построить (гауссовское) случайное поле:

g f j <Р”(Z)g ⑶ dx,

которое слуя;ит хорошим приближением для поля <р, если функция Л близка к 6-функции. Так как(рд (/) есть случайная величина, то мы можем определить случайное поле 屮力(х) и попробовать определить(р2 (力)как предел(р| (х) при 无 f 8. Нетрудно видеть, что такой подход неосуществим, если lim G (力)=оо; на это указы

вает тот факт, что формально

Ехр (<р2 (g)) = j g2® G (0) dx+

Это и есть первый пример бесконечностей в квантовой теории поля (где lim S? (/) = оо, lim 勿2 (出，0) = 8 в случае, когда размерность пространства-времени два или более). Теория перенормировок —это общая методика, позволяющая избавиться от этих бесконечностей. Предположим, что мы примирились с невозможностью определить поле (р2. Однако можно все же попытаться определить аналогичный полю (р2 объект, разрешив вводить поправки, которые являются полиномами меньшей степени по <р. Другими словами, мы ставим следующим образом видоизмененный вопрос: существуют ли зависящие от Л константы с (Л) и d (Л), такие, что, несмотря на то, что величина фд (g) не имеет предела при Л, стремящемся к 6-функции, величина

喊一e (无)屮h+ d (无)

имеет предел, когда 九 стремится к 6-функции в некотором соответствующим образом определенном смысле? Так как 屮玄 не имеет предела, мы должны быть готовы к тому, что с (Л), &⑺ f оо нри 九 f 6; таким образом, предельный объект можно представлять себе в виде

(р2 —■ ООф + оо.

В зтом месте становится существенной гауссовость случайной величины фд, поскольку, в соответствии с теоремой 1.3, для 9 Б. Саймон

г. с. в. при всех с (Л)? d (Л)

II J g (х) ：<р& (х)2： ©4.2 W [I j g(x)[唠(х)—С (八)屮& (%) + ©(/«)] dx %2,

в силу неравенства Бесселя. Поэтому если можно каким-то способом определить перенормированную степень как случайный процесс со значениями в L2, то в этом же смысле можно определить и lim :(р д.:

Мы попытаемся теперь определить :(р (/)7n: . Согласно формуле (1.23), имеет место формальное равенство:

Ехр(:<р (/) . . . <р Rm): : ср (у)т:) = т! П 5(4, у).

Этим равенством мотивируется следующее

Определение^ Пусть 務 一 вещественное гильбертово пространство, содержащее в качестве непрерывно вложенного в него всюду плотного подпространства пространство 孑r (Rn). Предположим, что обобщенная функция S (芻 у), заданная равенством (V.1), локально интегрируема. Будем говорить, что случайный процесс :屮融： существует тогда и только тогда, когда для всех функций &, . . ., Лт, g £ 步r (Rn) существует интеграл

[IЛ (®) ...h (力加 g 仅)I И I s (勺・,у) I dmnxdny

и при соответствующем выборе нормы |||・||| на пространстве 乎

Ю ⑷…做码竺仅)JJS(4, у) dmnxdny |^С II 儿 II駝...II hm Н駝 W g |||.

Тогда :屮融(g): определяется как единственная случайная величина из Гт (ей?), удовлетворяющая соотношению

(:(р (Ai) ... ф (fem): :<Pm U):)= ^! j [И 似司 S®, y)^g(y) dxdy.

(V.3)

Если отображение g f :屮融(g): из(^ в Гт (務)можно продолжить на более широкое, чем 步，пространство основных функций X, то мы скажем, что процесс :<рт: существует на Х・

Предложение У.7. Достаточным условием существования поля :(pw: является существование интеграла \ g (/) g 匂)S (^, y)mX

Xdxdy и выполнение для некоторой нормы |||・||| на 05r оценки

丨 j g ⑺ g (у) S 3, у)т dxdy I W const ||| g |||.(V.4)

Доказательство• Для произвольных /15 /2 W 步(R^") положим

(Z1)/й)т — J f (*^1? • * •)/m) /2 (%,*•♦, Z/m) JJ S (%j, Uj) “ nxd "j/・

Тогда, согласно неравенству Шварца,

I〈fl, f?)m |^(/i? Zl)m2 (/2, /2〉衿.

Далее,〈色• •・无例 hx . . .hm )^2 = || 每 ||施..• || hm |隰.Беря /1 = ^1 • * ■无m 口 /2 (%" Уm) -g(д1) 5 匂2 -协)'• * • • • 8 G/m — %), ПОЛУЧИМ

I j g (У) I[九 3j) S (Xj, y) ^Xd^-y IW

^(ПП^11<^) [ j g{x)g(y)S{x, y)mdxdy^'2 . и (V.5)

Замечание, Для аккуратного доказательства неравенства (V.5) следовало бы сначала применить сглаживание с помощью свертки и провести доказательство в этом случае, а затем перейти к пределу-

Если интеграл (V.4) сходится, то

II :叫(g)：脸邀产m! J g® d(!/)S(H, y)mdxdy,

и поэтому существование интеграла (V.4), по существу, также необходимо *) для существования :屮切(/):. Теперь мы можем пояснить, откуда возникает требование двумерности пространства- времени. Для свободного поля в d-мерном пространстве-времени 邑всмае,*

I — 1口 [ n — у 1в случае d = 2

при/ ——у -> 0. Следовательно, в случае d = 2 функция (S? (%, у))7™ имеет очень слабую (интегрируемую) особенность при х = у, поэтому мы можем определить поле :屮切：.При d > 2 и m》4 интеграл (V.4) расходится. В этом случае :屮加：нельзя определить как случайное поле в эвклидовом пространстве-времени; здесь нужно

пользоваться более сложными перенормировками, нелинейными по g. Поскольку

^2^^y,Q) = S2^Q;y,Q),

то аналогичные рассмотрения применимы и к случаю произведений Вика для полей Минковского в нулевой момент времени.

Подытожим сказанное выше для случая свободных полей.

Теорема Т・2・ Пусть фиксировано m > 0, w пусть 屮 一 двумерное свободное эвклидово поле с массой т, а фк — соответствующее поле Минковского в нулевой момент времени. Тогда

каково бы ни было ?г,:屮"：существует как случайный процесс на пространстве ZA+& (R2) при любом & £ (0, 1]. Более того, для всякого такого е и всякого р》2

П：ФП (g)： b W (Р —1)"/2 II g 山+e.(V.6a)

Каково бы ни было % :屮£: существует как случайный процесс на пространстве L1+8 (R) при любом е € (0, 1]; Более того, для всякого такого е и р 2

II 哪(g)： h&c (р—1产/2 II g ||1+e.(V.6b)

Замечания. 1. Константа с в формулах (V.6) зависит только от е и ?г и не зависит от р и g.

2： Предположения на функцию g можно, конечно, ослабить, особенно в пункте (а), где в качестве g можно брать, например, функции вида h ® б0, где h 卫 Z?+£ (R) (в соответствии с пунктом (Ь) и теорией вложений, развитой в § IIL2).

Доказательство. Мы рассмотрим пункт (а) теоремы; пункт (Ь) рассматривается аналогично. Из теоремы 1.22 и того факта, что по определению :屮"(g): £ Гп (腑),следует, что нам достаточно доказать (V.6a) для случая р = 2. В соответствии с доказательством предложения V.1 это будет сделано, если мы покажем, что

I j 1^2(ж, У； mz)]ng(x)g(y) dxdy^c' ||g||i+E-(V.7)

Вместо того чтобы доказывать неравенство (V.7), рассматривая поведение функции $2 в х-пространстве (см., например, Розен [147], Гуэрра, Розен и Саймон [89]), мы будем следовать Сигалу [168] и воспользуемся Ьр-оценками в р-пространстве. (В своем первоначальном доказательстве Глимм и Д;каффе также использовали методы р-простраиства, но для g £ L2.) Имеем

J 啰2 (х, у; щ2)]" g(£)g (у) dz dy =

=(2л) -2(n-1J j I j (^ + ... + *n) I2 JI -Ц^ • (V.8)

Так как g £ Е"% то | g 产 £ Ар(по теореме Хаусдорфа—Юнга [145, § IX.4]) при некотором р V оо・ Поскольку / (") = (к2 + + 疗尸 £ П ^(R2)， то свертка / с | g |2 лежит в Q Z9, в силу неравенства Юнга ([145, § IX.4]). Поэтому, согласно неравенству Гёльдера, J (| g | 2 * / * ... * /) fd^k <； оо. Но (V.8) имеет в точности тот же вид. ■

Наконец, мы хотим связать проведенное выше построение с идеей определять :(рт : как предел :屮":.Мы сформулируем эту связь в весьма общих терминах.

О пределе ние» Скажем, что гауссовский случайный процесс, индексированный элементами из 乎r (R^), является процессов типа С тогда и только тогда, когда

гдеЕхр (<р (/)2) = ^\a(k)[f(k)^ ddk,(V.9a)

|а(")]0С(1+/)т/2(V.9b)

Замечание. Поля 屮 и 屮尸(рассмотренные в теореме V.2) являются полями типа С при соответствующим образом выбранных С.

Теорема Р・3・ Пусть 屮 ——гауссовский процесс типа С, индексированный элементами из 孑(R“), 乂力乂 一 семейство функций из 步(R% таких, что

|履(")| & (2乳)id" при всех к;

版(")=(2冗)-"/2 при |"|vx.

Тогда для всех mug€ 厶& (Rd) при р £ (1, 21 существуют число Q? зависящее от т, р, d и С (но не зависящее в остальном от <р), и е > 0, такие^ что

II :严 ®：-:暇(g)： II踹Q)W0L||g||p,(V.lOa)

где

Ч>«(£)= J 战(纪一У)屮(и) dy.(V.lOb)

Доказательство. Прямое вычисление показывает, что

II :产(g):-:吸(g): 1修=

=m! 2~m(2n)d(1-m」"(2明ua (府)1l _ 2M/2展出)产屛面w

(28 严 f)cm j ^(2^)|2П(1+^Г'/2 A^ ХОТЯ бы одноjx=i

из |fe-|>x

WzngDCW^aE J 1^(^+... +кт)I2 П (1 + ^Ydli А^

w[ J (l + A?)-^2A]1/r||g||p

при некотором г > 1 (это устанавливается так же, как и при доказательстве теоремы V.2)..

Замечание. Проведя более детальный анализ в 况-пространстве, Розен [147] показал, что множитель 乂-& в формуле (V.10) можно при р = 2, d = 2 заменить на 乂一工历(In x)(m-i)/2.

Теперь мы в состоянии описать эвклидову стратегию построения полей со взаимодействием. Зафиксируем полином Р (X). Будем называть его полуограниченным тогда и только тогда, когда inf Р (X)〉——оо, т. е. тогда и только тогда, когда он имеет вид X£R

Р (X) = 〃2nХ2"十...+ а0 с а2п > 0. Если Р (0) — 0, т. е. если 〃о = 0, то будем называть полином Р нормализованным.

Формально поле с взаимодействием Р живет на том же самом измеримом пространстве, но задается мерой

ехр (一,：尸仰(/))：d2/)d卩o

dv = -——T.(V.ll)

j exp ( 一 J :P (<p (/)): cAr) &阿

R2

Формула (V.ll) отвечает интуиции, развитой в самых разных областях; в ее пользу говорят:

Теория мультипликативных функционалов от марковских процессов (изложение классической теории см. в [32, § 9.1]; изложение с точки зрения теории поля —— в [90, 132, 136, 137]). Основная идея заключается в том, что поле ф на (Q, 5, vg), где

加g = exp( —U (g)) d^l j ехр( —t； (g)) @阿,(V.12a)

U (g) = j g (%)：尸(ф (况))：d証，(V.12b)

обладает марковским свойством (см. ниже предложение V.4). Для того чтобы мера v была формально трансляционно инвариантна, мы должны положить g = 4.

ФКН-формула, построенная исходя из гамильтоновой теории (см. § V.5),

Формальное продолжение формулы Германна — Лоу в эвклидову область (см. введение).

При dw 声 dp,。выражение (V.11) можно рассматривать лишь как формальное, так как единственная вероятностная мера, эвклидово инвариантная и абсолютно непрерывная относительно меры 卩о，——зто сама мера 卩° (ввиду эргодичности действия группы эвклидовых сдвигов). Это наводит на мысль попытаться построить вначале меры dvg для соответствующим образом выбранных функций g и затем перейти к пределу при gfl; такой предельный переход не требует абсолютной непрерывности предельной меры. Для нормировки меры dvg нам нужна конечность интеграла j exp (——U (g)) dji0. Формальные соображения подсказывают^ Q

что это возможно, лишь если Р имеет степень 1 или 2 (в этом случае гауссовский характер меры dpi0 может привести к сходимости этого интеграла), либо же если полином Р полуограничен, а функция g неотрицательна. В дальнейшем через Р будет всегда обозначаться полуограниченный полином.

Так как случайная величина :Р (屮(％)): не ограничена снизу, то доказательство того, что j exp (—U (g))即。V oo для сколько- нибудь широкого класса функций g (скажем, для g = %л ——индикаторов ограниченных областей Л) нетривиально; оно будет основной темой следующего параграфа. Считая эти результаты следующего параграфа уже установленными, дадим

Определение. Эвклидово поле Р (屮% с пространственным обрезанием g — это свободное поле, заданное мерой (V.12). В случае g = %а (индикатор области Л) мы будем называть это поле полем Р (ф)2 & объеме Л и писать %”八.

Далее в гл. VIII мы обсудим возможность замены меры d^Q на меру с иными «граничными условиями». Тогда мы будем называть только что определенное поле полем со свободными граничными условиями и обрезанием g.

Таким образом, в эвклидовой стратегии задача построения поля Р (<р)2 в бесконечном объеме разбивается на два этапа:

построение меры dug；

предельный переход при gf 4，нужный для построения нового поля.

Часть (А) этой задачи решается в § V.2. Соответствующая задача для полей (<р4)3 и т. д. все еще не решена 丄).Имеются убе-

1) Недавно анонсированный результат Фельдмана изменил эту ситуацию для ПОЛЯ (ф4)з.

дительные формальные соображения, показывающие, что решение задачи (А) для какого-нибудь класса таких более сложных полей позволило бы с помощью методов гл. VIII, IX решить также и задачу (В), по крайней мере для достаточно широкого подкласса полей этого класса.

Задачу (В) можно интерпретировать в нескольких разных смыслах.

Локальная Ьр-сходимость при некотором р〉1. Запишем, что dvA — /а@卩о・ Пусть А‘ ——фиксированный ограниченный объем и /(£)= ^а，(/л) —— условное ожидание относительно свободного поля. В соответствии со сказанным выше предел /а при Af оо существовать не может, однако функция 状)может сходиться в Lp (Q, @卩0)при каждом фиксированном ограниченном А'. Такой сходимости можно ожидать ввиду наличия локального фо- ковского свойства ——результат Глимма и Джаффе [64], пол ученный ими в рамках гамильтоновой стратегии. Однако наличие такой сходимости доказано лишь для явно разрешимых линейных и квадратичных моделей (которые приводят к «тривиальным» полям).

Локальная А1-сходимость. Это та же сходимость, что и в п.(1), но при р = 1. Она была установлена Ньюмэном [137] для малых констант в за имодействия, но лишь для последовательностей прямоугольных областей А (см. гл. X).

Сходимость характеристических функций типа Минлоса. Положим Са (/) = j exp (i(p (/)) @\?а для вещественнозначных функций / £ С『(R，. Нужно доказать, что функции Сд сходятся к некоторой функции Соо, удовлетворяющей предположениям теоремы Минлоса. Это было проделано Фрёлихом [51] для малых констант взаимодействия и (при граничных условиях гл. VII) для Р (X) — =Q ——rX, где Q ——четный полином (см. гл. VIII и X).

Сходимость функций Швингера (или внедиагональных функций Швингера) 5а仇，• •.，九)=J 中(九)• ••中(九)杀人 при %, . . ,, fn ^ С『.Она была установлена Глиммом и Джаффе [72] для слабых взаимодействий (см. гл. X), Нелсоном [90, 136| (при граничных условиях гл. VIII) для Р (X) = Q (X)—— 卩X с четным Q (см. гл. VIII) и Спенсером [187] для Р (X) = Q (X)— —卩7? (X) при четном Q, нечетном R и большом 卩(см. гл. X).

Замечания. 1. Логическая взаимосвязь между способами сходимости (1) — (4) такова:

(4)<=(1)=>(2)=>(3).

Способы сходимости (3) и (4) тесно связаны между собой, однако ни способ (4) не влечет за собой способ (3) (это связано с вопросом о единственности решения проблемы моментов), ни способ (3) не влечет за собой (4) (из-за неограниченности 屮(/)).

На этом мы закончим общее описание эвклидовой стратегии. Приведем теперь один точный результат (принимая пока без доказательства, что величина ехр (— U (g)) интегрируема).

IIредложение F.4* Мера dvgобладает, марковским свойством, т. е. если Е%)(•) — это оператор математическое。ожидания относительно (у-алгебры 2д, то

欧)(』)=Е飯①)(V.13)

для любой ^^^/с^змеримой функции Л.

Доказательство. Запишем g = gi + g» где gx = g%A. Мы утверждаем, что для любой функции Л указанного вида

國⑷=威)(Ae-^j/E^ (广电)).(V.14)

В соответствии с марковским свойством оператора 后£)правая часть формулы (V.14) является И^д-измеримой функцией, поэтому равенство (V.13) следует из равенства (V.14). Докажем равенство (V.14). Пусть В —— ограниченная ^A-измеримая функция. Тогда по определению оператора Ед*

j В^ (Л)石华(е-"侬)е-и%)卽° =

=j 8磴⑷i)飙=

=)BAe~u^ d[i0 (так как vg = const е_ U(~s)d^ =

-j 瓦-“g"礫(4е-%))dn01

чем и доказано (V.14). ■

Пространственно-обрезанные «функции Швингера» выражаются теперь в следующем виде:

\ 4ioe-U(g\p(/) 屮(七力

\ d阿产⑻•

Ввиду наличия гиббсовского множителя e-u(g), эта формула выглядит в точности так же, как и формула для корреляционных функций классической статистической физики. Аналогия между статистической физикой и квантовой теорией поля была уже давно

отмечена в работах Фрадкина [49] и Йона-Лазинио [109]. Но лишь Симанзик [194] впервые подчеркнул, что при переходе в эвклидову область получается нечто родственное статистической физике и что этот переход дает возможность попытаться применять методику перехода к бесконечному объему, развитую в статистической физике, для изучения предела функций Sg при gf 4. Аналогия со статистической физикой была развита для конструктивной эвклидовой теории поля в статье Гуэрры, Розена и Саймона [90]. После появления препринта их статьи она была разработана далее в работе Глимма, Джаффе и Спенсера 173].

Во всяком случае, оставшаяся часть этой книги будет иметь ярко выраженный уклон в сторону статистической физики в отношении выбора круга вопросов и терминологии. Он проявится, начиная с § V.3, посвященного интерпретации основных объектов гамильтоновой стратегии как «трансфер-матрицы».

Мы хотим подчеркнуть тот факт (к которому будем часто возвращаться и далее), что имеется существенная разница между статистической физикой теории поля и обычной статистической физикой, например статистической физикой спиновых систем. В последнем случае интеграл j • dp,0 заменяется суммой по всем спинам. В свободной спиновой системе случайные величины, связанные с непересекающимися областями, некоррелированы; корреляции возникают исключительно в результате введения взаимодействия. В теории поля, как мы уже видели, непересекающиеся области не являются ц0-независимыми； с другой стороны, в теории поля взаимодействие не связывает само по себе непересекающиеся области, а лишь возмущает основное взаимодействие свободного поля. Это различие станет особенно понятным при рассмотрении в гл. VIII решетчатых аппроксимаций полей.

Наше описание гамильтоновой стратегии будет значительно более кратким, поскольку мы будем следовать далее эвклидовой стратегии. Более подробное изложение можно найти в работе Глимма и Джаффе [70]. Однако читателю следует внимательно прочесть этот раздел настоящего параграфа для того, чтобы ознакомиться с вводимыми здесь обозначениями.

Пусть HQ —— гамильтониан свободного поля 屮正 на пространстве 买二 Г (Fm^). Пусть g £ Z?+e (R). Положим % (g) = jg(况)X X :Р &f (况))：d况，Согласно теореме V.2, Hj (g) C f~) Lp (Q, dp,0).

p<oo

Нетрудно простроить всюду плотное подпространство в каком- нибудь пространстве U (г〉2), которое было бы опорой для оператора Н】(g), рассматриваемого как оператор умножения в пространстве L2, и при этом такое, чтобы пересечение D (Е。) П

f| D (Hj) также было опорой как оператора HQl так и оператора %• Теперь мы можем описать два основных этапа в гамильтоновой стратегии.

Положим

я ® = % + % (g).(V.15)

Нужно показать, что оператор Н (g) полуограничен и существенно самосопряжен на D (Яо) П D (%) для соответствующего класса функций g, включающего в себя по крайней мере функции g вида g = Хв (%г ——индикатор отрезка [— 〃2, 〃2]).

Положим

Е (g) = inf spec (Я (g)).(V.16)

Нужно показать, что оператор Н (g) имеет собственную функцию % с собственным значением Е (g)・ После этого обычно вводят

貪(g) = 〃(g) — E(g),(V.17a)

так чтобы

方(g)% = 0,(V.17b)

и нормируют функцию Qg так, чтобы выполнялись условия

II ^ II = 1,(V.18a)

〈Qg, Q°〉＞0・(V.18b)

(Здесь надовоспользоваться тем важнымобстоятельством, что

вектор Qgникогданебывает ортогональнымквекторуQo и по

этому выполнения условия (V.18b) можно достичь за счет выбора фазы.)

Вопрос о полуограниченности в проблеме (А) был решен Глим- мом [61], частично на основе заметки Нелсона [131], который рассматривал иные виды обрезаний. Самосопряженность в случае Р (X) = Х& была доказана Глиммом и Джаффе [62, 63], по крайней мере для случая положительных функций g € Cj・ Для произвольного Р соответствующий результат был получен Розеном [147]. Независимо от Розена и в то же самое время Сигал [165] построил самосопряженный оператор Н (g) вида Е。十 Hi (g), и лишь чуть позже [168] он показал, что этот оператор является существенно самосопряженным на D (Н。)П D (Hj). Проблема (В) была решена в работе Глимма и Джаффе [63]. (Более полные ссылки на иные методы доказательства приведены в § V.3,4.)

В § V.3 мы опишем решение задач (А) и (В), поскольку объекты Н (g) и Qg представляют собой технически полезные конструкции и в эвклидовой стратегии. Мы потребуем, чтобы функция g лежала в !?+& П L1 и была положительна, хотя с помощью оценок раздела VI.1 можно перенести все результаты и на случай функций g £ L1+e + L2, если только полином Р нормализован

и g》° (см. 189]). В основном нас будет интересовать случай g = =Xi； в этом случае вместо Н (g), Е (g), Qg мы будем писать Н“ &, С-

Вопрос о предельном переходе к бесконечному объему в рамках гамильтоновой стратегии нас не занимает, и поэтому мы обрисуем его лишь самым кратким образом. Нужно построить некоторую С*-алгебру 班 и % (乡)такую, что автоморфизм A i e"J(g)‘/e-iH(g)t переводит ее в себя. Затем идут следующие этапы.

Пусть 6%)——автоморфизм, определяемый формулой

Нужно доказать существование предела lim 曾)(4)三 0： (4) при фиксированных 4 и 九

Пусть ①](•) — это состояние

<0/ (Л) = (£2/, Л£2/)

на 班. Нужно доказать, что у состояния ①,существует *-слабый предел ①8・ Этот предел ①竺 используется затем для построения нового представления алгебры 观,в котором предел Р°° оказывается унитарным в соответствии с конструкцией Гельфанда —— Наймарка — Сигала (см., например, [204]). Проблема (С) по существу сводится к проблеме (А). В этом состоит содержание теоремы Сигала [164], основанной частично на интуитивных соображениях Генэна [86] (см. также Глимм и Джаффе [62, 70]). Проблема (D) в рамках гамильтоновой стратегии до сих пор не решена; в некоторых частных случаях она была решена с помощью перевода на язык гамильтоновой стратегии соответствующих эвклидовых результатов (см. гл. VIII).

Литература 抬 § УЛ

Виковы степени свободных полей: Даймок и Глимм [27], Глимм и Джаффе [70], Джаффе [105], Сигал [4 66, 167], Саймон и Хёэг- Крон [184], Уайтмэн и Гординг [207],

Z/P-свойства операторов U (g) и Hi (g): Глимм [61|, Нелсон [131], Розен [147].

Эвклидова стратегия: Нелсон [132].

Гамильтонова стратегия: Глимм и Джаффе 170].

§ V.2. ZP-свойства экспоненты взаимодействия

В этом параграфе мы покажем, что ехр (— U (g)) £ £& (Qn，©No) для широкого класса функций g (и всех р 之 оо). Сначала мы рассмотрим случай Р (X) = Х2П, а затем и случай, когда в полиноме есть члены малых порядков.

Ьр-оценки для экспоненты взаимодействия были впервые получены в рамках гамильтонова подхода Нелсоном [131] (эти результаты были усилены Глиммом [61]). В начале 1971 г. Нелсон [132] и Гуэрра (не опубликовано) обнаружили, что метод Нелсона пригоден также для исследования экспоненты взаимодействия в эвклидовой стратегии. Ниже мы следуем первоначальным идеям Нелсона. (Ссылки на литературу о других методах изучения ехр (— Uа) помещены в конце этого параграфа.) Мы используем тот факт, что в соответствии с ФКН-формулой доказательство полуограниченности оператора Hi автоматически дает нужные оценки для ехр (—С7Л).

Основным техническим результатом для поля (ф2п)2 является следующая

Лемма F.5. Пусть функция g £ ^1 П Ь1+е (R2) при некотором е > 0, w пусть g》0. Зафиксируем п и положим

У 三 J； (g) = j g(£)：(р2n(£)： СРХ.

Тогда при некоторых а〉0 比 b (константа а не зависит от g, а константа Ь, вообще говоря, зависит)

M4\V(q)^-b(\aK)^e-^(V.19)

для всех достаточно больших К {насколько больших, это зависит 师g)・

Замечания, 1. Оценка (V.19) показывает, что величина V принимает большие отрицательные значения лишь на множестве очень малой меры. Такой результат связан очевидным образом с утверждением о том, что e~v £ Lp. На самом деле оценка (V.19) много сильнее, чем включение e~v £ Lp, так как из нее следует, например, что ехр (-— Vm) £ !Л для всех нечетных т.

Более тонкие вычисления (Розен [147]) показывают, что число а в (V.19) можно выбрать сколь угодно близким к 1/2?г.

Доказательство. Пусть функция 无 £ # (R?) такова, что А (к) = (2л)-1 при I fc I ^ 1',宫(к) = 0 при |к|》2и0 忘石忘 《(2Л)"1. Полояшм 做(胃)=m力(况乂), так что 履(左)=A (左/m). Пусть поле срх определяется равенством (V.10), и пусть

Р" = j g (?):屮記(2)： &%•

Тогда, согласно теоремам V.3 и 1.22,

MP-Eza(P-i)nL(v.2o)

при некотором Ср зависящем от g, и некотором подходящем е. В силу соотношений (1.18)

2п

:孤(工产：=2 Qm(M工)%眈7(V.21)

m=0

где 勿=Exp (屮乂 (第)2户2, a 优m — некоторые константы, причем 2п

优2n > 0. Положим Q (X)工 3 优mX". Тогда многочлен Q ограни

чен снизу, т. е. inf Q (у) = —Ь > —оо. Согласно (V.21), уек

:<Рк (尤产=c^Q(<f)x (ж)/си)> ~Ьс^

(это неравенство трактуется как неравенство для функции, определенной на ^-пространстве). Так как числа ск не зависят от 第， а функция g неотрицательна и принадлежит L1, то

匕》一Mg|li〈wg)>・(v.22)

Далее,

иМ此)2)= ] 1/的|2倂+标尸办兀а

W(2jt)-2 j (胪 + 7n2尸戌月&刀]口 X

I A W2K

для всех достаточно больших х. Поэтому

Ун(7)> -1G (In %Г> 1 -С2 (In xf(V.23)

для всех достаточно больших х, всех д и соответствующим образом выбранной константы С2, зависящей от g.

Мы утверждаем, что неравенство (V.19) следует из неравенств (V.20) и (V.23). Действительно, если У ⑷ V — С2 (In х)п, то I (% —卩)(д) I》1 в соответствии с неравенством (V.23), так что

"。也 I m9) 0 一 G (in %广} а м。也 I |(卩一叭)(g) |)1} 0

^^V-V^d^WV-V^^C^p-i^n-^, (V.24)

согласно (V.20). Выберем теперь р зависящим от х, а именно ПОЛОЖИМ Р = Х®/Зп. Тогда (р — 1)ПР & Рпр & xenp/3n & 乂ер/з. Ясно, что если х достаточно велико, то С? & 乂呐獨.Поэтому при достаточно больших х выражение (V.24) оценивается величиной 乂-ер/з & е-Р = ехр (—хе/3п). Полагая х — к, а = в/3/z и b = С2, получаем неравенство (V.19). ■

По некоторым причинам технического характера нам потребуются в дальнейшем обобщения леммы V.5 в различных направ-

лениях: во-первых, мы хотим иметь дело с более общими процессами типа & а во-вторых, мы хотим допустить и члены меньшего порядка и выяснить, как будут вести себя наши оценки, когда коэффициенты при этих членах становятся очень большими отрицательными числами.

Лемма V.6. Пусть ф — гауссовский случайный процесс типа С, и пусть заданы функция g2n (х) ^0 и функции Н* . . ., Н%п_^ Пусть далее

gr (第)-Hr 3) g2n (第)

U

爲三 sup II gr lli+e, r=l,…，2n

4 M「I g2“(x) + sup f g2n (x){\HT{x)\ + lfnl2n''r dx I. L•r=i, . .., 2nl1 J」

Пуст» наконец,

2n

U =》(J gr3)：屮'(比)：&%) .(V.25)

T = 0

Тогда найдется натуральное число тп, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

х》(％ 4- 2严，(V.26)

справедлива оценка

阿也 U (д) & —。(4 + D (In 尤严 &ef а,(V.27)

где т, а и а зависят лишь от константы С и не зависят от g2n и Нд • . •, 〃2卩-工，а также от выбора процесса типа С.

Доказательство. Будем в точности следовать доказательству леммы V.5. Оценка (V.20) переписывается в виде

lU-tMW А(Р-1)”е,(V.20)

где константа С； зависит лишь от типа процесса ср. Вместо (V.22) воспользуемся тем, что

^ > -bD2 ® (с)?产，(V.227

если х > 1. Действительно, элементарное вычисление показывает, что X2n + %Х§》一I 孤 产冲т. Сумму S & @):脾(с): можно переписать как сумму слагаемых вида (п^п—!))^^ (х)—— — аг, тНт (第)(с乂)m (pg*-m)(%), каждое из которых ограничено снизу величиной

-const Н*/'2пт+т)⑷ 2шп/(2пт+т)》_Const^r+l『歐2©旣

поскольку т /(2п — г + т) V 1, чем и доказано (V.22'). Значит, допустима константа С2 const (D2 + 1), и поэтому оценка (V.27) справедлива при достаточно больших х.

Теперь нам надо лишь посмотреть, насколько велика должна быть величина х в различных оценках, фигурировавших в доказательстве леммы V.5. Для справедливости неравенства〈％〉W W°ln х достат очно, скажем, чтобы, 乂 >2, а для справедливости неравенства (V.23) нужно, чтобы у С2 (In х)2 ^ 1. Так как С2》const, то это выполнено при х》const. Нам также надо, чтобы выполнялись неравенства р = 乂£/зп >2 и 乂一^" ^ е. Оба вти неравенства имеют место, если х больше некоторой константы. Наконец нам нужно, чтобы х》С竺 = const D^E. Таким образом, все необходимые требования, предъявляемые к х, выполнены, если имеет место оценка (V.26) при соответствующим образом выбранном т. ■

Из двух последних лемм вытекают три важных следствия.

Теорема F.7. Пусть 夕 一 фиксированный полуограниченный полином. Тогда

если g》0, g^L1 f|L1+e(R2), то

eхр ( - \ g (尤)：p (<Р (工))：42无)g n 加(<?N,飙.N)；(V.28a)

' Jp<oo

если g》0, g^L1 f]L1+e (R), mo

exp ( — ( g(x) :P g 设))"第)€ П L?(Qf,加,f)・(V.28b) \ JP<OO

Замечание. Более общим образом, если U задано формулой (V.25), то f е~^и 如。V оо.

Доказательство. Пусть / — некоторая функция на вероятностном пространстве (М, £, ц) и т?(第)=卩｛g I / (g)》第｝. Пусть далее F — ограниченная положительная неубывающая функция класса С1 на R. Тогда

+ оо

[歹(/(g))d^ =，尸⑺ dm, (интеграл Стильтьеса)—

=一耳(一 oе) + ,吗(%)Ff (第)dx.

В частности, по теореме о монотонной сходимости

(V.29)(V.29)§6"*d卩=]exm -f (^) dx,

(V.29)

(V.29)

причем обе части этого равенства обращаются в бесконечность одновременно. Если функция — / такова, что

卩⑷一〃g)》c(ln х)"}^е-к° при м?%h то

J £—"°)卽&£с(е弘0严 +Jе梵ехр (— ea^c^^n) d^ < оо.

c(ln мо)П

Этим формулы (V.28) доказаны при р = 1. Но

Нехр( —0)Нр = ||ехр( —р。)俨..

Теорема F.S. Пусть Р — полуограниченный полином степени 2п, и пусть U = j g (%) :Р (ф (ж)): d2x, zde g £ 2?+е f] L1 (R2), или U = j g (ж): :P (<pF (%)): dx, zde g C 工"fl L1 (R) (g》0). Тогда

In [|| exp (- AU (g)) IIJ《以(In 入尸(V.30)

при достаточно больших %・

((exp( -%?7) ||1^еХе+ J 戸eXр (一网*)'/")曲:.((exp( -%?7) ||1^еХе+ J 戸eXр (一网*)'/")曲:.Доказательство. Как и при доказательстве теоремы V.7 и леммы V.6, мы находим, что при некотором с > 0

((exp( -%?7) ||1^еХе+ J 戸eXр (一网*)'/")曲:.

((exp( -%?7) ||1^еХе+ J 戸eXр (一网*)'/")曲:.

(V.31)

Из соображений подобия ясно, что нам достаточно доказать неравенство

ln[J ехр (kx-e2xi/n)甸《纵(In %)".(V.32)

о

Пусть d九=max [lx ——~ 濟*"п]. Тогда интеграл, стоящий под знаком логарифма, очевидно оценивается сверху величиной ехр (厶)j ехр ^ — у ехр (汲1尸))dx. и поэтому оценка (V.32) о

следует из оценки

源 & 入(In 入)п при больших 入， которая, в свою очередь, следует из оценки

秋《(1口入户 при больших а，(V.33)

где ^^ — то значение 芷,на котором достигается максимум. Но при больших 入；как легко видеть,入芷—ехр (2W/n) & 0, если 10 Б. Саймон

第》(In 入)n, откуда и следует справедливость неравенства (V.33). Тем самым доказано неравенство (V.32), а значит, и (V.30). ■

Теорема ^.9. Пусть функция g〃 число л фиксированы,我 пусть

2n- 1

U(Q1, • • 02г,т)= j g(x)[:屮2n (х)： + 2 务：屮'(尤)：]医尤

(или же U задается аналогичным выражением, но с заменой ср на 屮尸 и d貶 на 出г). Тогда при всех а1т ...,优2"-i

In II exp (— и (Qi, . . ., 02"Т)) Н*С歹⑷"n F (а)]п,(V.34a

где

2n-1

歹(0) = 2十 2 I 12n/—.(V.34b)

Доказательство. По лемме V.6 найдутся константы q, с?, такие, что

阿{о| %⑺ & — q歹(«) (in x)n}^e-x<z,

как только х》(&歹(优))叱 Поэтому, как и в предыдущем доказательстве,

)ехр ( — %) d阿&ехр 伍毋(a) (In (с/ (优)))п) +

+ J * exp [ — exp (а (花/白耳(优))n)] dx9 о

Произведя замену переменных у 工(花/qb (优))(a/2)i/n, получаем с учетом оценки (V.32), что последний интеграл оценивается величиной exp (const F (优)[In F (a)]n)..

Мы хотим установить еще один заключительный факт, касающийся экспоненты взаимодействия. Помимо всего прочего, этот факт показывает, что многие(2№°Ценки моткно непосредственно извлечь из Ор-оценок.

ПредложениеV.10» Пусть V g Л2 (QF, 卽。),причем

exp (— V) С С £° (Qf‘ ^Moif)- Тогда

exp (—[丿严曲)6「1 £0 (Qn, ^Mo, n) и

t

||exp(-J/SV ds 川務 qn 产11 exP( — 卅)必@ •(V-35)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай V е ^°°； общее утверждение следует отсюда с помощью простого предельного перехода. Согласно неравенству Гёльдера,

IIехр ( — Т П 力〃п^) IL^II【II exp (—力办/nQ II"/"=

= ||exp( —fV)||L),

так как exp (— tJsV) = Js (exp (—ZV)), а оператор Js задает ^-изометрию на положительных функциях. Теперь остается лишь перейти к пределу при п оо. ■

Литература к § V.2

Первые публикации об оценках экспоненты: Глимм [61], Нелсон [131].

Другие доказательства: Даймок и Глимм [27], Федербуш [39], Глимм и Джаффе [68].

Зависимость от константы взаимодействия: Гуэрра, Розен и Саймон [88—90].

§ V.3. Построение и идентификация трансфер-матрицы

Пусть g 6 О** (R) П £1 (R)； g》0・ При любых 优，匕 6 R обозначим через g ® [а, Ь] функцию g 侬)冗皿 再，(/). Для всякого полинома Р мы можем построить величину

° (g <Э [a, Q)=[，近 j dxg(x) :Р (ф (瑞力))：]

и в соответствии с теоремой V.7 меру

а — exp ( — U (g(g)也 取))dRo 4 - exp (-17 (g® [a, b])) йцо •

В этом и следующих параграфах мы будем изучать зависимость меры cJvg^a^j от чисел а и Ь. Соответствующая проблема статистической физики ——изучение поведения системы в зависимости от изменения объема по одному направлению 一 решается при помощи трансфер-матриц (см., например, [125]). В этом и следующем параграфах мы построим аналог трансфер-матрицы и получим соотношения, которые очень напоминают соответствующие соотношения в формализме трансфер-матриц для спиновых систем. Мы увидим, что трансфер-матрица по существу совпадает с оператором ехр (——(b —优))Н (g)); тем самым мы установим связь эвклидовой теории с гамильтоновой.

Наше построение трансфер-матрицы следует статье Гуэрры, Розена и Саймона [90]; оно основано на построениях Нелсона, использованных в теореме IV.1.

Теорема F.11. Пусть а и Ъ фиксированы и 冗必 ь> = =ехр (—U (g ® [优,b])) £ С £Р (Qn，&Мо)・ Положим

р<оо

Pia,b) = JlFta,^ /а(V.36)

{априори оператор P(aj 切 представляет собой отображение из пространства U Lp (Qp, dyio) в пространство 2?(^尸,^卩/ = 炉).

Р>2

Тогда

⑴ Р(а, Ъ) ~ Р(% Ь-а)三夕(Ь —优).

Оператор Р (£) представляет собой ограниченный оператор^ переводящий пространство 乡 6 себя] при этом (Нелсон [132])

II 戶(力W U ехр (— и (g(» [0,订))卜⑺，(V.37)

д(£) = 2/(1-е-吗；(V.38)

-здесь т — это масса свободного поля,

Операторы Р (/) образуют сильно непрерывную полугруппу самосопряженных операторов.

Оператор Р (£) является ограниченным оператором, пере- ходящим пространство L2 (。尸)6 пространство Ls (0尸),если s V V s (力三 1 + e2n^・ Для любых таких s и t найдется число г, такое, что

II尸⑴ \L8^\\p^ Ik

для всех полиномов взаимодействия и всех функций g.

Доказательство. (i) Это утверждение следует из трансляционной инвариантности эвклидова поля.

Пусть /, g ^ L°° (Qf, dji0). Тогда J。/, J(g€L°° (QN, d^0), И поэтому (Ai) (Jo/) F(0, n € П bP (<?№ ^o)- Далее,

”8

〈g, P (t) f〉=，( J fg) (J of) ^(0, t) &世0&

《II ^(o.n llg(b H (j虑)(Л)/)卜⑴《

忘 II ^(0, n llg(f)II Jtg Нг IIJ0/ II2&

<11 Ло. ь\\яа>\\ёМ1\\2,(V.39)

где функция q (/) задана формулой (V.38), а г (/) = (1 一 q (Z尸尸. Первое из этих неравенств представляет собой неравенство Гёль-

дера. Второе неравенство следует из теоремы III.17, поскольку (2『⑴ 一 I)2 = (1 - 2g "尸)2 - e-2叫

так что выполняется условие (111.19). Неравенство (V.37) вытекает из неравенства *(V.39).

Доказательство этого утверждения в основном имитирует доказательство теоремы IV.1. Пусть Ur ——отражение относительно гиперплоскости 力= 0. Тогда UrJa = и UrF(at 力 Ur = =bL瓦Поэтому

尸(力)* =(/步行，"0)* = J：ьg,卩t =

—J*U*Fт, o)U『Jt = JqF(T, o)Jt = P (%),

т. e. оператор P(±) самосопряжен. Далее,

P (力)P (s) = J*+&P(t+s, 8) J8^*^(st 0) J0 =

=方+/(i+s, s)^e^(s, oJ0 =

=Jt+sP(f+s, oJo = P (力十 S)；

здесь мы воспользовались тем, что, в силу марковского свойства, можно опустить оператор Е& во второй строке.

Учитывая сильную непрерывность функции t ^ Ut (сдвиги по времени), нетрудно доказать, что функция 力 f (g, Р (0 /) непрерывна, если f, g If° (0尸)・ Так как, ввиду оценки (V.37), операторы Р (i) равномерно ограничены на любом отрезке [а, Ь] и и (0, оо), то функция Р (i) сильно непрерывна на (0, оо). Чтобы доказать сильную непрерывность в нуле, мы заметим, что, согласно полугрупповому свойству, Р ⑦=Р (〃2)2》0 и поэтому Р (а/) = Р (£)а для любого а, а, значит, при а < 1

\\P(al)^\\P(t)\\a.(V.40)

Следовательно, функция Р (i) равномерно ограничена на отрезке [0, 1], откуда и вытекает сильная непрерывность в нуле.

Для любого числа р будем обозначать через р1 число (1「р-1) "• Функция s (0 обладает тем свойством, что (s (i)' 一 1)= =6一2n^. Поэтому если s V s (办， то существует число г, удовлетворяющее неравенствам 1 < г < 2, г</, такое, что (6厂* — 1) (2厂1 — 1) = е~2叫 Поэтому в соответствии с теоремой III.17

IMgJ。川WII 川2 11gg

при всех / g L2 (Qp), g ^L^ (Qf)・ Значит,

(g, p (0 /) ^ II ^ (0, 0 ||r^ Ilf ll2||g||^

т. e. оператор P (/) является ограниченным оператором, переводящим пространство L2 в пространство ZA ■

Из этой теоремы следует, что Р (£) = ехр (——Ш) для некоторого оператора Н. Мы можем следующим образом идентифицировать этот оператор.

Теорема，/2・ Пусть g》0, g £ Z? f] Л1+е, и пусть оператор Н (g) задан формулой (V.12). Тогда

Оператор Н (g) существенно самосопряжен на С^(Н^.

Оператор Н (g) ограничен снизу, 〃 именно справедливы такие оценки:

Оценка Нелсона: для всех t

—К (g) & (tq "))т In〈％, exp (—Ш (q (0 g) fi0〉，

(V.41) где функция q ⑴ определяется формулой (V.38)；

НГС-оценка:

-Е®《千ln||exp( — 2%(g)/7n)卜實幫(V.42)

Трансфер-матрица 尸⑶ из теоремы V.10 имеет вид

Р ⑺=ехр (~Ш (g))・(V.43)

Замечания. 1. Результат о полуограниченности оператора Н (g) принадлежит Глимму [61], который опирался на идеи заметки Нелсона [131]. Это доказательство было значительно упрощено Сигалом [165, 168]. Отсюда название «НГС-оценка». Ссылки на другие доказательства полуограниченности можно найти в конце предыдущего параграфа. В работе Саймона [182] имеется «аннотированная библиография» по этому вопросу.

Оценка Нелсона неявно содержится в его работе [132]; правда, мы несколько улучшили константы, воспользовавшись результатами другой его статьи [135].

В работе [88] изложен вывод оценки Нелсона, не использующий эвклидовы методы. Применив ту же идею, Гуэрра, Розен и Саймон [89] построили оценку аналогичного типа, в которую вместо функции q (力)входит функция

ql (0 = 1 + (m£尸(4hi 3).(V.389

Эта оценка имеет то преимущество, что функция д' (£) принимает значения, сколь угодно близкие к единице, в то время как, согласно формуле (V.38), д (0 больше 2.

Существенная самосопряженность оператора H(g) на подпространстве D (Яо) f] D (〃j (для более узкого класса функций g) доказана в работе Глимма и Джаффе [62] для случая Р (X)= =X4 и в работе Розена] [147] для случая произвольного Р. Результат о том, что подпространство С°° (Н^ является опорой оператора Я (g), также принадлежит Розену [148].

К настоящему времени существует много разнообразных доказательств самосопряженности (см. ссылки в конце этого параграфа или в [182]). Мы воспроизводим здесь доказательство, данное Гуэррой, Розеном и Саймоном [90], но по существу оно представляет собой лишь перенос доказательств Розена [147] и Сигала [168] на случай эвклидова ^-пространства. При этом мы пользуемся одним приемом, предложенным Семёновым [170]. Доказательство того, что С°° (Яо) есть опора оператора Н (g), взято из работы Саймона [176].

Ясно, что НГС-оценка является следствием оценок гиперсжимаемости. Обратно, если в НГС-оценке заменить оператор Яо на оператор N, то мы получим оценку

-ES + QW^lnLVginLb

из которой вытекает оценка гиперсжимаемости. Действительно, если положить V =——In | / |т то из НГС-оценки следует, что

〈人 Л7〉一〈/, (In |/〔/)〉》一 Ц/ll； Е ||/||2,

что совпадает с инфинитезимальной формой наилучшей оценки гиперсжимаемости, найденной Гроссом [85] (см. замечание в конце § 1.5).

Доказательство• (а, с) Пусть Н — порождающий оператор полугруппы Р (£), так что Р (£) = е」ш, и пусть 3) = е~н 広円. В соответствии со спектральной теоремой множество ЗЬ служит опорой оператора Н. Нашей ближайшей целью будет доказательство равенства

€一诅呪=e-tHQu— J ^e~{t~^Hye-sH^ u ^5(V.44)

0

для всех 〃 6 U £0, где V = Hi (g). Эта формула известна как 卩〉2

формула Дюамеля. Мы воспользуемся ею для доказательства того, что имеет место включение 纟? и (О (Яо) П D (V), и того, что Н ^ = =% + Кt

Пусть Vt = Jtv eD (Qn), так что F ⑹讣=exp (― j Vsds). о

Тогда

&。,力= 1—，％s,tjsds(V.45)

о

для всех точек пространства QN. Один из способов доказать это равенство основан на том замечании, что оно выполняется при

V £ 厶8 (что следует из разложения экспоненты в ряд); общий случай сводится к этому путем аппроксимации функции V ограниченными функциями 7П. Согласно формуле (V.45),

JtF<э, tyJqU—J^J^и — j J*F(S1 力)几(丿：叭)/o〃曲；о

мы воспользовались здесь марковским свойством для того, чтобы вставить в зту формулу оператор Es = JsJf. Но J* Vs = У J* (как операторы), что и доказывает формулу (V.44)・

Пусть теперь и ^ 3) а\^ LP ｛& соответствии с и. (iv) теоремы Р>2

V.11). Тогда и ^D (V) (так как Р Е 门 厶，)и, в силу сильной непре-

Р<8

рывности функции e-sHo на каждом 厶'и функции е~^ на L2,

Отсюда и из формулы (V.44) вытекает, что

；I) u-\-Vu£'

при 力一> 0, и потому и D (〃о)и —Яом = —Ни + Vu. Это показывает, что Е ｝炒=(Яо 十 Q ｝炒，так что Н =互(?).

Наконец, пусть м £ 炒.Тогда e~tH^ и £。°° (%) при всех £ > 0, причем е~шш -> u, HGe~tH^u -> Нои и Ve~m^u -> Vu при i -> 0. Поэтому пространство С°° (%) является носителем для Н.

(Ь) Согласно оценке (V.37),

II iEg) I忘 II exp (— U (g g> [0"]))卜〃尸

^[ j exp( - q(t)U (g 0 [0,订))九,行屈"=

=[j (/Д))ехр( —U (g(t)g ® [0,订))JoQod阿,勺"虱"=

=偽，exp (-1" (g («) g)).Q。〉"吗

оценка Нелсона получается теперь логарифмированием.

Согласно предложению V.10)

in \\e~tH^\\ K^ln||exp(-U(g(t)g®[0,"))||w

In II exp ( — % ⑴ Нг (g)) Цр

Так как lim tq (/) = 2/m, отсюда следует НГС-оценка. ■ GO

Замечание. Пользуясь тем, что оператор е^'Но гиперсжимающ (равно как и оператор e~tH^ см. теорему V.ll (iv)), можно с помощью предельного перехода распространить формулу Дюамеля на все функции и《

Следствие V.13 (зависимость Е (g) от константы взаимодействия). Пусть g С U П 厶"'(R), g ^ 0, и Р -полуограничен- ный полином степени 2п. Тогда

([89]) при больших 九

—Е 仇g) С СХ (In Qn;

([184]) если полином Р нормализован (тп. е. Р (0) — 0)г то при малых 九

—Е (Ag) &

Доказательство. Оценка (а) следует из оценки (V.42) и теоремы V.8. Для доказательства оценки (Ь) заметим, что если полином Р — нормализован, то j Hi (g) dp0 = (Qo, Hi Qo) = 0, и поэтому из соотношения

t

I j加©_IT) 1 = ] j加j dt j (产叫或辰 00

t1

^| J dfio J df [/2(e4l)]^ll/2ц2II^ +1 ll2

о0

вытекает, что

IJ ехр (—ХЯ* (g)) II & 2 + const 炉.

Отсюда и из оценки (V.42) следует утверждение (Ь)..

Замечания. 1. В статье [184] доказано, что теория возмущений Рзлея ——Шрёдингера является асимптотической при 入 | 0.

Результаты о комплекснозначной константе взаимодействия можно найти в работах [151, 173, 174, 184].

Известно [184], что величина —Е (Ag) растет быстрее, чем const X при X -> оо, и имеются указания [8] на то, что она ведет себя при 入一> 8 как 九(In 入尸.

В соответствии с построением трансфер-матрицы (см. формулы (V.36), (V.43)) мы имеем следующую формулу типа формулы Фейнмана — Каца:

〈3 exp(T〃(g))%〉= j JMexp( —U(gg)[0,订))(/%)加•(V.46) Qn

Правую часть этой формулы можно переписать в более поучительной формуле как

J /1 (3 «)}) ехр (— [ % ({<p* (s)}) ds^ /2({<Рх (0)})即0, Qnо

где мы трактуем функции на QF как функции от полей ф (化)и где мы обозначили ф(2, s) через $貝(s). В частности, справедлива такая формула (которой мы уже пользовались при выводе оценки Нелсона):

Следствие V.14.

S, ехр(—«Я(g))Q0}= j d[ioexp( —Z7 (g ® [0, «])).

Имеет место более общий результат.

Теорема F.15 (ФКН-формула для поля со взаимодействием). Пусть /1т . . ., /左 С 尸，〃 пусть Go, . . ., Gn — измеримые функции на R', причем | Gj (л:) | ^ С (1 и- \ х g при некоторых С, N 〃 всех /. Пусть далее функция g С 厶'Г) Ь1+е (R), g》0, 〃 числа 九….，in > 0. Тогда

&, 6犷口聯…ef%泣)=

=j G；。... G》exp (—。(g <g> [s0, sn])) d[i0, (V.47)

где число s0 произвольно, sj = Sj_j + tj,

H = Ho + H】(g),

Gf = G((Pr (厶)(pF (fk))f

G? = Gj (cp (/i ® 6S^.), • - •, Ф (/fe ® %)) = Js/T.

Доказательство. Предположим сначала, что функции Go, , . » Gn ограничены. Так как

e ‘产='(Sy Sj.)=几Afg1,sj)%, то, используя равенство

JSGJ* = Es (оператор умножения на JSG) Es, мы видим, что левая часть формулы (V.47) имеет вид

(1，G；°/%t)%G?.-%t，/%1).

Пользуясь марковским свойством, мы можем опустить все операторы проектирования Е. Тем самым формула (V.47) доказана для случая ограниченных функций.

В случае произвольных полиноми ально ограниченных функций Gj мы можем подобрать такие ограниченные функции G^ m, что II Gj — Gj,m II (1 + I n |)-N-1 b f 0 при nf 8. Тогда G?m f Gp в каждом пространстве 厶° (QQ (p V 8)по теореме о мажорированной сходимости, так что правая часть соотношения (V.47) сходится при тп -> оо. Аналогично, Gf m -> Gf в каждом пространстве Lp (0尸)，поэтому, ввиду свойства гиперсжимаемости оператора e~tH (теорема V.ll, (iv)), сходится и левая часть..

Замечание. Все вышесказанное справедливо в более общем случае, когда Gf £ П D (Qf) и G? = Jsfi^, а не только тогда, когда 徹 является функцией лишь конечного числа полей.

Литература к § V.3

Общие идеи теории трансфер-матриц: Гуэрра, Розен и Саймон [90], Нелсои [132].

Первоначальные доказательства самосопряженности: Глимм и Джаффе [62], Розен [147].

Доказательства самосопряженности, основанные на гиперсжимаемости: Фарис [36, 37], Сигал [168], Семёнов [170], Саймон и Хёэг-Крон [184].

Другие доказательства самосопряженности: Гидас [56], Глимм и Джаффе [68, 71], Конради [116], Массон и Мак-Клэри [128], Розен [1481.

§ V.4. Вакуумы для трансфер-матрицы Н(д)

В статистической физике трансфер-матрица используется для исследования предельного перехода к бесконечному объему в одном направлении. В этом параграфе мы хотим применить ту же идею для исследования эвклидовой меры ©旷目⑭口力卜 при а, й -> оо. Основным средством для этого, в дополнение к технике предыдущего параграфа, будет факт существования единственного собственного вектора Qg оператора Н (g) с минимальным собственным значением, или, что то же самое, собственного вектора оператора ехр (—tH (g)) с максимальным собственным значением — в прямой аналогии с ситуацией в статистической физике.

Такой пространственно-обрезанный вакуум является естественным объектом изучения также с точки зрения гамильтоновой стратегии; именно в рамках этого подхода Глимм и Джаффе [63] впервые доказали его существование и единственность. Мы хотим подчеркнуть, что, хотя величины Е (g) и Q@ фигурируют у нас как «производные» объекты, нам представляется, что их исследование имеет значительный самостоятельный интерес.

В качестве предвзрительного этапа при доказательстве существования и единственности Qg нам понадобится следующая

Теорема F.16. Оператор ехр (—tH (g)) усиливает положительность при всех 力 > 0.

Замечание. Эта теорема и ее доказательство принадлежит Саймону [177], однако она является лишь незначительным усилением одного результата Глимма и Джаффе [63] (см. также [84, 169]).

Доказательство. Пусть функции /, Л € Г (F) и положительны. Так как оператор е-tH。= Г (е~|ц) усиливает положительность (теорема 1.16), то (/, e~tHoh) > 0, а значит, и J (丿力(几无)卽。> 0. Отсюда следует, что функция (JJ) (Jo^) почти всюду неотрицательна и не является тождественным нулем. Далее, функция F(Qi f) = exp (-U (g ® (0,力力 строго положительна почти всюду, так как функция U (g ® (0,力))принадлежит L2 и потому почти всюду конечна. Таким образом, j F(o,t)(乙丿)(丿()无)©No > 0, т. е. </, e'^h} >0. ■

Теорема 卩 J7 (Глимм и Джаффе [63]). Существует строго положительный вектор Qg g такой, что

ехр (—应(g)) Qg = ехр (ТЕ (g)) Cg(V.48)

(tuu, эквивалентно^ H (g) Qg = E (g) Qg) J При этом такой вектор Qg единствен (с точностью до постоянного множителя).

Замечания 1. Существование вектора Qg следует из более сильных результатов Глимма и Джаффе [63] о том, что оператор Н (g) имеет чисто дискретный спектр в интервале [Е (g), Е (g) + тп). В нашем доказательстве более слабой теоремы существования мы следуем работе Гросса [84].

Доказательство единственности Глимма —— Джаффе [63] основано на эргодичности полугруппы ехр (——tH (g)). Использование более сильного результата (теоремы V.16) об усилении положительности упрощает доказательство единственности.

Доказательство. 1. Так как оператор Н (g) сохраняет вещественность, мы можем считать все собственные векторы вещественнозначными. Предположим, что Я (g)屮 = 笈(g)屮.Тогда Н (g)丨屮 1 = =后(g)丨屮h ибо

(I 屮 I，етН I 叫)》(屮，e-tH45)= ,|e-tЯ|| |1中1f， в Iсилу того, что оператор e*fH сохраняет полонштельность. Поэтому^ е~ш I 2 I = II б-*" II 丨屮 L

Теперь мы утверждаем, что из того, что 屮关 0 и 〃(g)屮= = Е (g)屮， следует, что функция 屮 строго положительна или строго отрицать ша почти всюду. Действительно, либо | 屮 | + 屮， либо I 屮］—屮 не есть тождественный нуль, и потому одна из этих функций положительна. Следовательно, согласно теореме V.16, одна из двух функций е~ш (屮一卜 |屮 |) или ©тн(| 屮 । —屮)строго положительна. Но (согласно п. 1) функция e~tH (土 屮 + I 屮 I) = —£-庞(土 屮 + I 屮 I), откуда вытекает, что одна из функций I WI + 屮 или I 屮］—屮 строго положительна, т. е. что почти всюду О > 0 или же 0 Vo.

В соответствии с п. 2, если е-*н屮？ = е~旭屮》для X = 1，2, то (屮и 屮2)* 0, что означает невырожденность собственного значения Е. Этим доказаны единственность и строгая положительность собственного вектора. Нам осталось доказать существование.

Для всякого конечного разбиения а = {5工,...,Sk} пространства Qf обозначим через Ра оператор проектирования на подпространство {S а/ %sj, т. е. положим

P^=^^(^\f4- (V49)

Ясно, что 尸а сохраняет положительность и что s-lim Ра = 1 (если разбиения а упорядочены по измельчению), а поскольку оператор Ра сохраняет положительность и Ра1 = 1, то этот оператор является сжимающим на всех пространствах £р.

Положим Л = ехр (—Е (g))・ и /& = Р^Р^ Очевидно, s-lim Ла = / и lim |J Аа |J = |］ Л ||. Оператор Ла положителен и усиливает положительность, и при некоторых р > 2 и с > 0 справедлива оценка \\ Аа f \\ р ^ с \\ f ||2. Эти утверждения следуют соответственно из п. 4 доказательства теоремы V.16 и теоремы V.ll (iv).

Оператор Ла оставляет инвариантным пространство Ran Рат и, кроме того, Ла } Кег Ра 0. Поэтому || Аа || является собственным числом оператора Ла, а, согласно п. 1—3, соответствующий собственный вектор 屮&》0. Если нормировать вектор 屮0c так, чтобы |］屮& 1Ь = 1, то II 屮位 ||р W const при всех а (согласно п. 5).

Ввиду слабой компактности единичного шара в пространстве 尹，мы можем найти некоторую подсеть (屮^} сети {屮а}, такую, что 屮в ~> 屮 слабо. Ясно, что А^ = -w-limyl ^^ = =w- lim 4 в屮 в = "4 II 屮，поэтому нам достаточно показать только, что 屮，0.

Так как 卩 > 2, т(М = || % Ik 忘 II 屮а II? II 屮а Ир-0 при некотором 9 £ (0, 1), откуда в соответствии с п. 6 вытекает, что || 屮& Hi 戸

^ const > 0. Следовательно,

(屮，Qo) = lim (屮“，Qo) = lim Игра ||i>0

и, значит,屮，0..

В качестве непосредственного следствия этой последней теоремы мы получаем возможность контролировать поведение ехр (—U (g ® [а, Ь])) при а, Ь оо.

Теорема VЛ8. Пусть g g А1 П 厶工+^ (R), g ^ 0. Тогда

И ехр ( —?7 (g ® [0, «])) ||Li= —Е (g).(V.50a)

Эквивалентно^

lim y In (Qo, e~山⑷％〉=—E (g).(V.50b)

Замечание. Формула (V.50b) была впервые отмечена Глиммом и Джаффе [65].

Доказательство. Согласно неравенству Шварца,

е—応(叫〈Qo, Qg〉|2=*%, е-〃2・H(g)QQ2|w||eT2H(g)&『 =

=〈Q°, e-^W0)^|| ^^)||.

Так как (Qo, Qg〉> 0, то мы можем прологарифмировать это неравенство, поделить на £ и получить (V.50)..

Теорема V»19 (формула Геллманна — Лоу с обрезанием). Фиксируем функцию g £ " f] "+£ (R), g ^ 0. Пусть Я (g)= = H(g)-E (g).$

Пуапъ^ 8a几ее 1 %, • • -, /办；G(), • . ., G^; Gf, G/； So, • •s^, 左，...,tn — me же величин% что и в теореме V.15. Тогда

lim f G* .. . G^ dv 呦-т, n = (Qg, G 沁庙 GfG^%). (V.51)

В частности^

Hm j ф (/о ® 6s°) .. . <p(/re ® ^Sn) dvg^T. T]=

= (Qg, <Pf 仇)e-±力...<pF(3)Qg).(V.52)

Доказательство. Согласно ФКН-формуле (теорема V.15), допредельное выражение в левой части формулы (V.51) равно N/D, где

0=(%, е-2TH(g)Q)(V.53a)

N = (Q°, e-(T+so)H(3)G『...^e-(r-^)H®Q0).(V.53b)

Умножая N и D на e+2『E(g), мьг можем заменить Н (g) на Н (g) в (V.53a) и в (V.53b). Теперь из известных результатов функционального анализа (см., например, [145, теор. VIII.5 (d)])

s-lim ехр (— Z^(g))Q0 = (Qg, Qo) Qg,(V.54)

так что

lim%)2.

8

В соответствии с оценками гиперсжимаемости (теорема V.11 (iv)) сходимость в формуле (V.54) имеет место во всех пространствах 7/ (р V оо), и поэтому

lim Ne2TE^ = (Qg, Q0)2 x (правая часть формулы (V.51)).. 8

Замечание. Эта теорема, как и теорема V.15, распространяется на случай произвольных функций GJ ^ ^у 1/ (。尸，@卩0), если

Р<8

П饯тература к § V.4

Существование и единственность вектора Qg, первоначальные доказательства: Глимм и Джаффе [63], Розен [147].

Существование и единственность, дополнительное обсуждение: Фарис [35], Гросс [84], Сигал [169], Саймон и Хёэг- Крон [184].

§ V.5. Некоторые дополнительные результаты

В этом параграфе собраны некоторые факты относительно* оператора Н (g); часть их приведена без доказательств. Мы не будем использовать их в этой книге, хотя тем не менее они представляются нам полезными. Во всяком случае, читатель может пропустить этот параграф.

Прежде всего мы хотим объяснить, как вывести ФКН-формулу с гамильтоновой точки зрения. Наше изложение следует данному Нелсоном [130] выводу ФК-формулы для нерелятивистских систем (см. также [1, 41, 42, 142, 186]). Сначала нужно интерпретировать свободное эвклидово поле как функциональный интеграл так, как это сделано в § III.2. Предположим теперь, что с помощью таких-то неэвклидовых соображений нам удалось доказать, что оператор Я (g) = Но + 反工(g) является существенно самосопряженным. Тогда если V 三 %, то, согласно формуле произведений Троттера,

ехр (— tH (g)) = lim [ехр (— tHQln) exp (— tV/njY1,

Теперь мы можем, например, написать

(Qo, ехр( —tff ®)&) = Нт(%,斤皿/%7叫呼％)=

=Нт j 飙,n exp ( _± 2 Vjt/n)=

；=0

=j М’/ехр ( — j 匕ds)],

0

где Vs = J$P； мы воспользовались здесь формулами (IIL14). Аналогично можно вывести полную ФКН-формулу.

Далее мы упомянем некоторые оценки Розена [1481, оказывающиеся иногда полезными.

Теорема V»20 (оценки высших порядков). Пусть g С ^1 П f] /Л+£ (R). Тогда для любого / найдется константа с (зависящая cm g и /), такая, что

N^c(H(g) + iy.(V.55)

Кроме того^ для любого е > 0 найдется / (зависящее только от е) и с (зависящее out g и е), такие, что

ЯГЕ^С(Я (g) + l)<(V.56)

Замечания. 1. Доказательства этой теоремы см. у Розена [148]. Краткое изложение основных методов, используемых в этом доказательстве, можно найти у Саймона [1821.

При Р (X) = X* 强 в = 1 в формуле (V.56) можно положить / = 2. Этот результат Глимма — Джаффе [621 интересен потому, что из него следует равенство D (Я) = D (Яо) f] D (Ят), показывающее, что оператор Н является самосопряженным на D (Яо) Q f] D (〃i), а не только существенно самосопряженным. Остается открытым вопрос о том, справедлива ли такая оценка для произвольных Р; указанием на то, что это действительно может иметь место, служит выполнение аналогичных оценок в одномерных теориях [107, 172].

Приложения этих и подобных оценок можно найти в работах Хёэг-Крона [100], Розена [148, 149], а также в теореме V.22 ниже.

Наконец мы резюмируем известные факты о спектральных свойствах оператора Н (g). Прежде всего утверждение о том, что Е (g) является собственным значением, можно усилить:

Теорема V.21 (Глимм и Джаффе [63]). Оператор Н (g) имеет чисто дискретный спектр в интервале [£ (g), £ (g) + тп0).

В частности^ точка Е (g) является изолированной точкой спектра 。(Я (g))・

По поводу доказательства см. Глимм и Джаффе [63] и Розен [147].

Имеет также место следующая

Теорема Р・22 ([100, ИЗ]). Если g — функция класса С2 u g, g', g" € " П Ь2, то аа.с. (Я (g)) = [Е (g)十 тп0,оо).

Из других интересных остающихся открытыми вопросов мы отметим лишь два: это вопрос о доказательстве того, что ◎sing (Я (g)) =0, и вопрос об исследовании собственных значений, лежащих в интервале [Е (g) + 加。,оо) (см., однако, работу Саймона [213]).

Литература к § F.5

Формула Фейнмана — Каца ——Нелсона с гамильтоновой точки зрения: Альбеверио и Хёэг-Крон [1], Фельдман [41], Нелсон [132], Остервальдер и Шрадер [142], Спенсер [186].

Оценки высших порядков: Розен [148, 1491, Саймон [182].

Спектральные свойства: Глимм и Джаффе [63, 70], Хёэг- Крон [100], Като и Мугибаяси [113], Розен [147, 150], Сигал [169], Саймон [182], Саймон и Хёэг-Крон [184]*

§ V.6. Модель Хёэг-Крона

В этом параграфе ми рассмотрим, следуя Хёэг-Крону [101], взаимодействия вида не :Р (ср): , а :ехр аф： . Такая модель гораздо проще, чем Р ((р)2, вследствие того, что :ехр а(р: формально равно (ехр омр) [ехр (—^ 炉〈瞰〉)](см. [1.18а]), и потому интеграл Р = j g(2):ехр аф (%): dx положителен; в результате отпадают трудности, связанные в случае Р (<р)2 c доказательством включения ехр (—У) £ 八 £Р (см. § V.2), — здесь автоматически

Р<8

ехр (—У) £ £8. Из-за того, что ехр (—V) £ L°°, нам не нужна также теорема о гиперсжимаемости. Кроме того, :ехр а(р: формально представляет собой степенной ряд

2апфп> где <zn = } а" ехр ( — ^ а2〈炉〉)》о,

(если а》0), в то время как :Р (<р): представляет собой формально ряд2Ьп(рп, причем возможно, что некоторые Ьп V 0. Это будет иметь важные следствия, когда ми станем применять ГКС-неравенства к моделям теории поля (см. § VIIL3)； наличие указанного свой-

11 Б. Саймон

ства делает эти неравенства более мощным и легче применимым орудием, чем в случае моделей Р ((р)2.

Из-за того что она столь проста, модель Хёэг-Крона имеет особый педагогический интерес. Однако есть серьезные формальные соображения, указывающие на то, что взаимодействие Хёэг- Крона является чисто отталкивающим, в частности в этих моделях не происходит спонтанного нарушения симметрии (и, вероятно, в них также не бывает связанных состояний). Поэтому Р ((р)2- взаимодействие представляет собой «лабораторию» по математическому изучению некоторых физически интересных свойств полей, которые в модели Хёэг-Крона отсутствуют.

Тот факт, что мы можем определить обрезанное Р (ф)2-взаимодействие без ультрафиолетовых перенормировок, является след-

g (%) g (у)勿 2 (%, 彰 &勿 По

этому в случае Р (ф)2-взаимодействия особенность функции 勿2 (瑞 0) при [ % [ f 0 типа (In [ х |)2 ничуть не хуже, чем особенность типа ——In I % ]・ С другой стороны, формально

|| jg ⑺：ехр а<р (а): &г『=j g К) g (У) ехр (а2 (ф (х)屮(у)〉)dx dy, (V.57) в соответствии с доказательством теоремы 1.3. Таким образом, тот факт, что (ф (х) q> fy)〉имеет в точности л о га рифмическу к> особенность, является критическим, а значение константы с в формуле 勿 2 (%, °) ~ — с In I % I важно для определения допустимых значений а. С исследования этой асимптотики мы и начнем. Заметим еще, что в случае числа измерений 3 или более 歹2 (瑞 0) ~ 丨力丨邙(В > 0), поэтому :ехр а(р: -модель содержит, начиная с размерности 3, весьма сильную ультрафиолетовую расходимость.

Предложение Р.23. Пусть функция F (%) определяется равенством 52 (^，у) = F (]胃 一 у |), или, эквивалентно,勿纟(。，况； 0, у)=歹(I % — у I). Тогда

функция F вещественно-аналитична на (0, оо), положительна и монотонно убывает]

I 歹(％) ] & 2 ехр (—тп I х I) при больших ] х |;

функция F (х) + (2л)_1 In I х| ограничена при | х | f 0.

Замечание. Оценку (Ь) можно улучшить. Истинное поведение функции имеет вид с [ х |-1/2е'~т( х|; мы использовали эту более точную оценку в § IIL4.

Доказательство, (а) Аналитичность следует из вещественной аналитичности функции S? во внедиагональной части эвклидовой

области. В силу марковского свойства, если функция / вещественна, сферически симметрична и имеет носитель в шаре радиуса е, если [ w [ > 2е и если / х — это сдвиг функции / (т. е. /х (у)= =/ (у _ R)), ТО

j 82(%, у) fw Wf (У) dxdy = i^, 6-(7呐喇，(v.58)

где функция 屮 = /*ф (/) ортогональна к вектору Qo. Поэтому левая часть формулы (V.58) положительна и монотонно убывает. Переходя к пределу при /->6, мы получаем, что и функция S^ обладает нужными свойствами.

Пусть функция / та же, что и в п. (а). Тогда

歹(“一2е) ( j/(^)dx^^ j 82(%, у)%(%)/(у) dxdy&C产似吁z吟

в соответствии с равенством (V.58).

функция S2 определяет обобщенную функцию умеренного роста. Поэтому

^书)必位,0)= j [_e・^T]匿•Н島=

J(谬十m2)2 am

Так как функции (А:2 + тп2) "2 и 论(论^ + тп2) -2 лежат в I? (R2), то функция (%・▽) S? является функцией класса С1. В частности, поскольку

m2 f d2"

一 2л2 J ("2 十 m2)2 — 石'，

TO

Г^歹(Г)=一击十。(Г)，

откуда следует, что

歹(尸)=~-^- + ограниченная функция (при малых г)..

Теперь мы можем доказать теорему существования.

Теорема V・24・ (а) Пусть a V]A4冗 ％g £ Е，П ^2 (R2))g》°・ Тогда величина J g (%) :exp a(p (x): d^x является положительным вектором из пространства Z2 (Qn) & следующих двух смыслах:

⑴ Ряд 2 7? J ^ ⑶：(р” 3)： &2± сходится к некоторому LYeKmopy;

(ii) если (无х) — семейство функций^ такое же, как и в теореме V.3, а величины <р乂 заданы формулой (V.10), то

j g (х) :ехр aq?x ⑺:d2x

сходится с А® при 乂 一> 8 k тому же самому вектору. Здесь величина :ехр aq)x (t): определяется формулой (L18a).

Далее, нормы || g (t) :ехр а(р (t): d®% || равномерно ограничены на каждом отрезке [/4л + е, У4л —— е].

(Ь) Пусть а V р2л zz g £ Z? Q L2 (R), g》0. Тогда интеграл j g (%) :ехр а(рк (t) dx определяет некоторую положительную функцию из А® (0斤)в том ме смысле, как и в приведенных выше пунктах (i), (ii).

Доказательство. Мы докажем утверждение (а). Доказательство утверждения (Ь) аналогично. Прежде всего мы утверждаем, что если а2 V 4л, то

j g 位)g 仅)exp (CAS1? (с, у)) dx dy < оо, (V.59) с оценкой, равномерной по а £ [——/4л + % /4л ——е]. Действительно,

j g (z) g 仅)ехр 々邑)dx dy^C01| g 值，

1Х-У|>1

и в то же время

j g (^) g (У) exp (а252) dx dy^Cv j g (x) g(у) | x—y |-а2/2яdx dy |X-y|^l|x-yl^l

в соответствии с предыдущим предложением.

Положим S*(2, у) = <фх(2)фх (у) >. Тогда

J g(2)g (у) ехр (Sx (х — у)) dx dy&

< j g{x)g{y)e^S(x — y')dxdy. (V.60)

Это неравенство следует из неравенства f g(X)g (У) (& (х — у))" dx dy =

= j1?(自+…+з卩百*争

< j g (x) g(У)S(x — у)" dx dy. (V.61)

Используя теперь (рх-аналог формулы (V.57), который имеет содержательный смысл, поскольку 屮乂 (е)——зто случайная величина, находим, что

sup ||Kx||l2<oo,

где

口*= ,g(%) ：ехрa(pK(z): dx.

Пусть, далее, Рп —— оператор проектирования на подпространство Гп (7V). Тогда PnVH =穿 f g Q):暇(％)： d%, причем

II PnV% lb & Cn при всех x,

где W Cn V 8, и по теореме V.3 последовательность PnVH сходится при к-> 8. Из взаимной ортогональности векторов PnVH следует, что Ух также сходятся к некоторому вектору V из L2. Так как Ух ^ 0, то и 卩 * 0, и ясно, что

了=21油(办叭)；

П Xf ОО поэтому ряд

卩=』等)g(“)：屮"(“)：&“(V・62)

СХОДИТСЯ В Z? (Qn)・.

Замечания. 1, Мы показали, что Ух -> У в L2 (Qn)・ Поскольку 几，Г>0 и

I ехр a — ехр b ] & | b — q | (ехр a + ехр &),(V.63)

В —解 I & |/ — g |(|/ I 十 |游 I),(V.64a)

ТО

II ехр (—%) - ехр (-V)卜2 & 2 II 叭一卩 ||炉，

(V.64b)

L2

так что ехр (—V^ —> ехр (—7). Но так как ехр (—V^ ограничено в пространстве Z°°, то из неравенства Гёльдера следует, что ехр (—7Х) f ехр (—7) в каждом из пространств U при р V 8.

Мы рассматриваем тот факт, что у льтр афио лето вые расходимости в эвклидовой области менее «суровы» (a V ]Л4л вместо а <； ]Л2л), как важный признак того, что предпочтительнее изучать зти расходимости при помощи звклидовых методов.

Теперь мы можем дать следующее

Определение» Пусть а0 < ]Л4л и v — некоторая конечная мера на отрезке [—a0, a0L Мы будем называть марковским полем обрезанной модели Хёзг-Крона с обрезанием g € Ьх Q L- (R2)

и весом V свободное поле в Q -пространстве, заданное мерой

ехр( —U (g))dw/ j exp(r-U(g))飙， (V.65a) где

[7 (g) = j dv G) ( J g 位)：exp a(p 位)：d^x).(V.65b)

Как и в случае поля Р ((р)2, мы можем построить трансфер- матрицу и доказать единственность основного состояния. Фактически доказательство зтого факта даже проще, чем в случае Р (ф)3, поскольку е~и £ 2/°, и потому мы можем обойтись без оценок гиперсжимаемости. Если a。V М2л, т. е. потенциал в нулевой момент времени лежит в Z2 (Of), то мы можем воспроизвести доказательство теоремы V.12 (с некоторыми видоизменениями, так как V принадлежит Z2, но, возможно, не принадлежит Zp прй р > 2; с другой стороны, оператор е~*н является сжимающим на каждом пространстве 1Л)・ Суммируя сказанное, имеем следующую теорему.

Теорема VЛ5^ Для любой функции g £ Z1 Q Z2 (R) в модели Хёэг~Крона существует оператор Н (g)》0 на пространстве，尹， такой, что ехр (—tH (g)) представляет собой сжимающий оператор на каждом пространстве /Л (Qf)，причем

(Q。,歹о (^F(fo)) ехр (— tH (g))招(屮f(/D) Q°)=

=j djio% (ф (% 8 60)) Л(Ф (A 8 &)) exp (— 〃 (g 8 [0,力)). Если к тому же a。V М2л, то оператор Н (g) является существенно самосопряженным на С『(Яо) П。(Q 〃 совпадает там с оператором % + V (g), где

V (g) = j dv (a) J g (.r):expa(pF Q): dx.

Во всех случаях справедлива ФКН-формула е форме (V.47), а также формула Гелманна — Лоу и формулы для трансфер-матрицы типа формул (V.50—52).

Литература м § F.6

Хёэг-Крон [101].

Глава VI

СИММЕТРИЯ НЕЛСОНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Из ФКН-формулы видно, что эвклидово поле представляет собой функциональный интеграл над полем Минковского в нулевой момент времени. Этот функциональный интеграл очевидным образом эвклидово ковариантен. В частности, из инвариантности относительно поворотов на л/2 следует

Теорема F/.1 (симметрия Нелсона).

〈％, e~lHi^ =〈％, e~lRtQ^.(VI.1)

Доказательство. В соответствии с ФКН-формулой нам нужно показать лишь, что

j dp,oexp — j ds j dz :Р (屮(%, £)):)=

О Т/2

В "2

=j dp，oехр ( — j ds j dx :P (屮(胃，£))：卜

о -(/2

Это равенство непосредственно вытекает из инвариантности меры dp,。относительно эвклидовых движений и из ковариантности поля 中■■

На первый взгляд формула (VI. 1) представляется поразительной, хотя, если понять, что это есть просто одно из проявлений лоренц-инвариантности, она перестает казаться столь загадочной. Что, пожалуй, достойно большего удивления ——это размах открываемых ею возможностей. Одна из причин для этого состоит в следующем： задача о предельном поведении оператора 〃z при Z -> оо является априори весьма сложной; в то же время задача о предельном поведении оператора e~tA при % 8 сравнительно проста. Но формула (VI.1) как раз и дает связь между этими двумя задачами!

Симметрия Нелсона впервые появилась (в неявной форме!) в работе Нелсона [132], где она применялась для упрощения вывода линейной нижней границы Глимма — Джаффе. А в первый

раз вся сила этого свойства была достойно оценена Гуэррой [87]. Дальнейшие приложения были получены на пути, открытом Гуэррой в работах Гуэрры, Розена и Саймона [88, 89].

§ VI. 1. Линейная нижняя граница Глимма — Джаффе if теорема Гуэрры

Пусть Р —— ненулевой полуограниченный полином, о котором также будет предполагаться, что он нормализован (т. е. Р (0) = 0). Пусть 历z ——это нижняя граница оператора Яо + "工(％【)； положим

а? = — Е】к(VL2)

Иногда нам будет нужно рассматривать энергию Е( (%) основного состояния гамильтониана Яо + ХЯ/ (%z) =Hi (X), тогда положим а； (X) = — Ei (X)/Z.

Наша первая цель состоит в том, чтобы воспроизвести доказательство Нелсона [132] утверждения о линейной нижней границе Глимма -^ Джаффе [64]: az《const ——и установить (следуя работе [881) теорему Гуэрры 1871 о существовании и строгой положительности предела lim az.

Теорема 卩 JT・2・ (а) Функция а； строго положительна и огра^ шчена сверху^ а именно при всех t

a,(九)4 一的⑴尸豆(g(t)曾，(VI.3)

где функция q ⑴ задается формулой (V.38).

b) Функция а； монотонно возрастает 孔。I. В частностич существует предел lim а?, поэтому мы можем евестпи

aoo (X) = lim a； (X).(VI.4)

Доказательство. (а) В силу оценки Нелсона (V.41),

—ег (九)w (tq ⑴尸 In (Qo, exp (- Шг 的(才))%〉= =(勿《))т E〈5, exp (— lHt (Xg «))) Qo) w w一(匆(才)尸 lEt (qif)^

На втором шаге мы воспользовались симметрией Нелсона, а на последнем — равенством || ехр (—Z") || — ехр (~tE).

Для доказательства положительности функции аг нам нужно установить, что Ei ＜； 0. Так как полином Р нормализован, то (Qo, HiQ0) = 0, поэтому в соответствии с вариационным неравенством Ei & 0, причем равенство имеет место, лишь если Н^ = 0・ Но легко видеть, что это не так, и, следовательно, Ez V 0・

(Ь) Пусть 卩——вероятностная мера на полупрямой [0, 8). Из неравенства- Гёльдера следует, что для всех а, О V а V 1,

J 力电卩 & II 公 jja~l II 1 ||(1-а)~1 = ( j £~卩)•

Оо

Отсюда вытекает, что для любого самосопряженного положительного оператора А, любого единичного вектора 屮 и любого числа а, О V а V 1,

3, 4a屮〉《纯a^)a

(по спектральной теореме). Поэтому (Qo, e~faHiQ0)^(Q0, е"修QJ^ В силу симметрии Нелсона,

僞,е-叫&)《&, етн©°)а.

Прологарифмировав это неравенство, разделив на 力 перейдя к пределу при 力一＞ 8 и воспользовавшись теоремой V.18, получим

—Eia & — аЕи откуда afa & az. В силу произвольности I и произвольности a £ (0, 1), отсюда следует, что а； монотонно возрастает..

Замечание. Имеет место также оценка [89]

а,(入)& -園'«))」Et С?" (О X),(VI.3》

где функция д' задается формулой (V.38'). Эта оценка использовалась Гуэррой, Розеном и Саймоном [89] для доказательства того, что lim a^ (入)/炉 существует и задается со о т ветствующей о

диаграммой Фейнмана.

Из оценки (VI.3) и следствия V.13 можно вывести

Следствие FJ.3.(a) а» (А) &сМ при всех X;

аоо (X) & const 入(In X)n при больших A;汽=-^ deg P;

aoo (A)——выпуклая функция от X;

а», (%) & 入(a»» (g)/|x) при всех 入 & 卩・

Доказательство. Из следствия V.13 вытекают утверждение (а) для малых 入 и утверждение (Ь); отсюда следует, что (а) справедливо для всех X. Для доказательства утверждения (с) достаточно показать, что выпукла каждая функция Eig、это вытекает из того факта, что Ei (X) — нижняя грань семейства линейных функций:

i\(a)= inf [州/中)+九仲，/ (左)2].

!件[1=3 3ec°°(н0)

Утверждение (d) следует из утверждения (с)..

Можно поставить вопрос о поведении величины Е (g) для функций g более общего вида. На этот счет имеется

Теорема VI.4 (улучшенная нижняя линейная граница [89]). Для всех g € Ь1 р L1+£ (R), g》0, справедливо неравенство

—Е (g) & j a” (g 位))dx.(VI.5)

В частности^

—^(GWconst j g2dx;

—E (g)^ const j gi+£dz для всех e, 0<e^1;

если g《1, mo —笈(g) & ( j gdz) as.

Доказательство. Предположим сначала, что g ——функция вида

т

g (%) = XjiYSi，%),

где Хх, . . ., Xm ^ 0 и ах <；...<； ат. В этом случае можно воспользоваться усиленной симметрией Нелсона:

т

Q, 6-国幻％〉= (%, П [ехр( —& —а—)""入/&〉• (VI.6a) г=1

Эта формула получается, если записать обе части этого равенства в эвклидовом Q-иространстве с помощью ФКН-формулы. Имеем

п

(Qo, ехр (— tH(g))О0)<ехр (—》小一а—)&&)) =

п

=ехр (方 2 (〃j — а—)%.(入D)W

i=l

n

&exp ,[ 2 («i —«г-i)aoo(^)])=

= exp [方 J ccg (g (2))d可；

на предпоследнем шаге мы воспользовались неравенством а£ & “8. Согласно теореме V.18, отсюда следует неравенство (VL5) в случае функции g указанного специального вида. Несложными аппроксимационными рассуждениями [89] можно теперь доказать формулу (VL5) для произвольных g. Утверждения (а), (Ь) и (с) вытекают из утверждений (а), (Ь) и (d) следствия VL3..

Замечание, Требование, чтобы g £ L1, наложено лишь для того, чтобы Е (g) > ——8. Поэтому оценка (VL5) наводит на мысль, что можно доказать существенную самосопряженность гамильтониана для всех g g L2 + £п+% Это сделано в [89].

В качестве обобщения теоремы Гуэрры мы приведем без доказательства один результат из работы [89].

Теорема VI95» Пусть {g^} — последовательность функций, а 1п — последовательности интервалов^ такие, что

I 4 —8；

supp g“ и 乙；

О W gn & с для некоторого с равномерно по п;

■[■^■р j |gn(z) —1 |d±f о при п->оо.

Тогда

Um( — E(gn)/\ Zn|) = aoo.

В следующем параграфе нам будет нужен тот факт, что а/ не есть константа, поэтому мы установим

Предложение 卩工・6 [88]. При %-> 0 величина а^ = О (Z). В частности у а/ не есть константа.

Доказательство. В силу оценки Нелсона и симметрии Нелсона, а± & (tlq (Z))"1 ln(Q0, exp (—lHt (g (力))Qo>-

Так как полином P нормализован, то (Qo, Ht (g (9) Йо) = 0, следовательно, по теореме Тейлора, при всех I € (0, 1)

KQg ехр (— lHt(q(t))) Qo) — 11 <Z2 sup hi〈НД),

Поэтому In (Qo, exp (~-lHt (q (力)))Qo〉& c^ и a】& c2Z при /<1..

JL итератор a м § FT.l

Нижняя линейная граница Глимма — Джаффе: Глимм и Джаффе [64, 68], Нелсон [132], Саймон [175].

Сходимость последовательности Е (gn)/| 1п |: Гуэрра [87], Гуэрра, Розен и Саймон [88, 89], Остервальдер и Шрадер [141].

VI.2. % и п<ю

В этом параграфе мы будем изучать поправочный член к линейной асимптотике —a^Z функции 刃^:

% = %(W — а») = —Ei — a/(VL6b)

и вакуумное перекрытие:

修三一(gg。，Q^)IL(VI.7)

Величина рг представляет собой поверхностную энергию. Следующие интуитивные соображения [184] позволяют ожидать, что функция r)z отделена от нуля положительной константой. Если бы области [n, n + 1] не взаимодействовали в случае гамильтониана Hq, то при целом Z вакуум ◎? был бы произведением I функций, каждая вида 盘工,но от различных ортогональных координат. Так как взаимодействие с ростом расстояния экспоненциально стремится к нулю, то Qz ведет себя «почти» как произведение при 2-> оо. Отсюда следует, что естественно ожидать, что 刀,〜const.

Положим

刀=lim sup i)z, 刀=lim inf 刀卜1f ОО—1f ОО

Теорема VI^. Верхний предел 刀 V 8, т. е. функция 叫 ограничена при больших значениях Z; иными словами^ || ◎? ||工 2 戸 с^с^ при некоторых q, &•

Доказательство. Как следует из доказательства утверждения (iv) теоремы V.11, найдется число Т, такое, что для всех Z оператор ехр (—TH、является ограниченным оператором, действующим из I? в /Л и

II ехр( —7Яг) ||2,4^11 ехр ( —и(_〃2, z/2)®(o, т]) ||r(VI.8)

при некотором г. В соответствии с ФКН-формулой (следствие V.14)

II ехр ( —и(_〃2, z/2)®[o, т]) ||г = <^о, exp (— THt (г)) Qo)1/r W ^ехр(Пг-1аг (г))& ^exp(71Zr"1a00 (г));

поэтому из (VI.8) следует, что

]]ехр (-7%)]匕4 & ехр (4)(VL9)

при некотором с. Так как E,V0, то

IIQ, ||0хр (—呜)I] Q I% = И exp ( — %) ® ||良 w门旧力12 =尹.

Но, в силу неравенства Гёльдера,

1 = 11^ 收 II ^ II* II Q,喧/з&|| Qz 俨 ехр 得4), следовательно,

II ® Ik > exp (—24), т. e. 1]г ^ 4c..

Замечание. Установленная нами оценка функции 1), вытекает также из неравенства

II 2 Hi)ехр (-(屮,%屮〉)，если |! е ||2 = 1,

и из линейной нижней границы. Это неравенство для || 屮 ％, принадлежащее Саймону [181], следует из инфинитезимальной формы гиперсжимающих оценок (Гросс [85]).

Из вышеприведенного доказательства и из оценки «8 (九)=

=。(九2) легко получить

Следствие VI8 刀(九)=。(X2).

Доказательство. Прослеживая предыдущее доказательство, видим, что 1] г (九)式《「々Таз (г九)при надлежащих 7 и г..

Кроме того, справедлива такая

Теорема VL9 (соотношение Гуэрры [87]). При всех t и I

₽/ АЗ — @8)—巾・(VI. 10)

Доказательство. Ясно, что

=1|「十由r||2》д「+山9〉2 ==e-叫 ||Q/| 彳.

Логарифмируя, находим

—lEt》一tEi 一 /т]г,

откуда, деля на Z и используя определения величин а и 0, получаем неравенство (VL10)..

Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать следующий результат.

Теорема VI.1O [88]. (а) Функция pf строго отрицательна и ограничена снизу, а именно

巾》一1] при всех £•(VL11)

Функция р( является монотонно убывающей функцией от 力 так что существует

卩8 = lim 阮(VL12)

Величина р^ (九)=О (Z2) при 九心 0.

Доказательство, (а) Выбрав подпоследовательность значений 厶 такую, что !]/->!], видим, что неравенство (VI.И) следует из соотношения Гуэрры (VL10). Так как 1] & i], то функция 卩力

ограничена снизу. Согласно предложению VL6, 也 V 0 при малых 厶 поэтому тот факт, что 卩力 строго отрицательна, следует из утверя^дения .

По теореме V.18:

-Ez+a + E, = lim = ln 徐《 二£%〉=

力〈Qo, с ” 'QQ

=hm 丁 In=

к 1〈％,广依°〉

=:吧;In 2j：；評(где w = e-修闻)&

^limsup—】n

Поэтому

—Ee+a —■ (Z + a) a<» & —E± — Za(», откуда

Pz+a w限

Так как 2 V 口 一 произвольные положительные числа, то функция pj монотонно убывает.

Поскольку 0 & —Poo & т], это утверждение вытекает из следствия VI.8..

Следствие VI.11 (феномен Ван Хова).

円> 0.

В частности} lim (Qb Qo} = 0 u w-lim Q【=0.

Доказательство. Согласно формуле (VL11),

л > -poo,(VI. 13)

а так как функция 卩力 строго отрицательна и убывает, то —рм > 0. Поэтому 〈Q,, Q。〉& ехр (-4^) при больших I и, значит, 〈Q,, QQfO. Так как 〈Qj, Q。〉= || Q, ||工，то {F, Qz} ^ 0 при всех F £ £°°, а в силу того, что £°° всюду плотно в L2, и при всех 歹W D・■

Замечание, Утверждение о том, что w-lim Qz — 0, представляет собой гипотезу ван Хова [199] относящуюся к общей теории поля. Гуэрра [87] доказал, что || Qz ||х ^ 0 и тем самым что w-lim Qi = 0. Результат о более сильном экспоненциальном убывании принадлежит Гуэрре, Розену и Саймону [88].

Гуэрра, Розен и Саймон высказали общую гипотезу (неопубликованную), что lim г)г существует и равен —р^. В силу нера

венства (VI.13), это эквивалентно неравенству ——08》т]. В общем случае вопрос остается открытым, но для малых значений константы связи гипотеза верна — это результат Ньюмэна [137], базирующийся на одном результате Глимма, Джаффе и Спенсера [72], обсуждаемом нами в гл. X. Для всякого I положим

心=inf 0 (后井片)，(VI.14).

т. е. М, — это щель массы оператора 反" Положим далее М = =lim inf Mi， Результат Глимма, Джаффе и Спенсера состоит в том, что 7И (九)> 0 при малых 九 и, кроме того, (М (九)一mJ -> О при 入一> 0.

Теорема V 1.12 (соотношение Ньюмэна [137]).

(昵—切力)式(仙一询D + In [1 + exp (g — tMj)]. (VL15> Доказательство.

〈％, Q^e-1^^^, 6々修&〉=〈％, e~tHiQ^^久〈Qo, Q^e-^ + e-^e^i.

Деля на exp (аоой) и логарифмируя, получаем (VI.15)..

Теорема V 1.13 [137]. Если у\< М, то ^ = ц = ~ 08。

В частности, при малых значениях константы взаимодействия lim г] г существует и равен —р^.

Доказательство. Пусть £ > 0 таково, что (1 + £)刀 V М= Положим в (VI.15) Z = (1 + £)九 Тогда при /, Z -> оо

Иш sup ехр (l^i —力М,Жехр (t (1 + е)刀一ЕМ) f 0. (VL16}

Выберем теперь подпоследовательность значений t такую, что г]/(1+е)—> 1]. В силу соотношения Ньюмэна и соотношения (VL16),

poo (1 + е)—刀式 ％ — Л (1 + £)，

откуда 卩8 式 —1]. Так как 08》——!]》—1], то искомое равенство доказано..

Литература к § VI.2

Гуэрра, Розен, Саймон [88], Ньюмэн [1371.

§ VI.3・ ср- и л-оценки Глимма—Джаффе

Наша главная задача заключается в получении некоторых основных оценок Глимма—Джаффе [65, 671 видз

±Л ^ с (Яг + 1),(VI. 17)

где оператор А имеет вид ф (/) или [反"ф (/)], а с — константа, не зависящая от Z. Значение оценок такого вида состоит в том, что поскольку с не зависит от 厶 то можно ожидать, что оценка (VI.17) останется справедливой и после предельного перехода при Z-> оо. (Вопрос об изучении(p-оценок при таком предельном переходе изложен в рамках гамильтонова подхода в работах Брателли [14] и Глимма и Джаффе [65], а в рамках эвклидова подхода в § VI.5, VIL5 и в особенности в § VIII.6.) Основным средством для получения этих оценок является

Лемма V工・14・ Пусть Р u Q — фиксированные полиномы, причем полином Q полуограничен или же deg Q V deg Р. Пусть далее Hi = HQ + J :尸(屮千(％)): dx, и для любой функции / с носи- 2

телем в некотором интервале длины 1 и одновременно 6 интервале (—Z/2, Z/2) пусть Н^ = Hi + j / (力:Q (⑶尸(力)：dx (при этом если deg Q》deg P* то дополнительно потребуем-, чтобы /》0). Наконец положим

〜Z/2，/2

Н{ (%) = % + % j :P(q)*⑺:姦 十 九 j 7(%)：Q(9f位)):da,-Z/2T/2

wde / ——это сдвиг функции /, имеющий носитель s интервале (-1/2, 1/2). Пусть %,龙，4一 энергии соответствующих основных состояний. Тогда

„

—Е/《一А + (-а8 —08)—事掰(М.(VI. 18а)

Ло

где величины а^ и §8 построены по Р и KQ ~ 2/(1 — б~т);

если к тому же полином Q линеен или полуограничен (и а нелинейном случае / ^ 0), то

"屍& — £*, + (—otoo — poo)—2^"^ (2^o) — "2^" ^o (2筛)・(VI. 18b)

Доказательство. Пусть supp / и [а, Ь], где 〃2 V 口 V b V 〃2 и Ь — а = i. Пусть ?х — это вложение 炉 в ” с постоянной пространственной координатой х, т. е. образ Jx при повороте на угол л/2. Тогда, в силу ФКН-формулы и марковского

свойства,

〈Qj, ехр (— tH{) Qq) = J djio尸i&尸з =

=〈尸i, EaF2EbFs)出=

=(尤居，(證尸2厶)方尸3〉①&

WII 用凡 IIL2II 篇尸3 必 II JWbHop, (VI. 19) где

居=exp ( — j ds j dx :P (ф (n, s)):), о -力2

F2 = exp ^ — ^ ds ^ dx[ :P (<p (n, s)): +/(n) :Q(屮(芻 s))：]), О а (J/2

尸з = exp ( — j ds j dx:P(^ (n, s)):). 0 b

Пусть теперь Kx ——это образ F工 при отражении относительно плоскости х = а. Тогда, снова в силу марковского свойства, j 尸 1KdNo =(爲几 J2Fi}^ = \\JtFi ||l2,

поэтому, в силу трансляционной инвариантности.

1| 方居山=儲，e~tH^^^^(VI.20a)

Аналогично,

II %尸3 卜2 =〈僞，e-q-2b%户/2.(VI.20b)

Пользуясь гиперсжимаемостыо и следуя выводу оценки Нелсона (см. доказательство теоремы V.ll (ii) и соотношение (V.37)), находим, что

]為&JЬ1[op&( j 酬。如0, n) / ~

=(Qo, exp ( —^Я1 (Xo)) Qo)1/X°.(VI.20c)

В силу соотношений (VI.19, 20) и теоремы V.18 (надлежащим образом распространенной на случай оператора н{),

— Е\&^Ej+2a ^瓦-2b К"'' О (VI.21)

Так как —agZ ^^ Ej ^^ —асе% — 0о°, то

%—^ Ei+2a—^ Ej-2b& —@8(2 — (2十2〃)一 ~ (Z — 2b)) —0g =

=—doo — poo*(VI.22)

12 Б. Саймон

Оценка (VL18a) следует теперь из неравенства (VL21). Для доказательства оценки (VI.18b) заметим, что

爲(筛)="I* [区(2厶°) + ^|•H《(2九o)]》皆£\ (2%о)闘(2Х0), так что

一Е?К—^ 局(2筛)一^石^(2筛).(VI.23)

Оценка (VI. 18b) вытекает из оценок (VI.18а) и (VI.23)..

Замечания. 1. Оценки (VL18) являются незначительным усилением первоначальных оценок Глимма — Джаффе [65]. В этой их форме они принадлежат Саймону [181], но основная идея взята из работы [88].

Вместо того чтобы явно воспользоваться симметрией Нелсона, мы использовали здесь повороты более обычных вложений J； на угол 冗/2. Мы могли бы с тем же успехом следовать статье [88J и дважды воспользоваться симметрией Нелсона и ФКН-формулой вместо явного использования марковского свойства [тогда формула (VI.20a) совпала бы с оценкой Нелсона, а не была бы лишь ее аналогом. Однако для получения ф-оценок существенно именно марковское свойство, а не симметрия Нелсона. В [88] симметрия Нелсона была необходима лишь из-за того, что марковское свойство авторами явно не использовалось.

Основную идею этого доказательства можно изложить на более абстрактном уровне [181]. Пусть 匕，V2, V3 — операторы умножения на функции от полей в нулевой момент времени, носители которых лежат соответственно в интервалах (—8, а], [а, bl и [Ь, +°°)- Тогда

一项 品 +匕+ %+匕)W 2^(%+匕)一

-^" E("。+ %)-三 E (HQ + aV2)T

где а = 2/[1 — ехр (—тп (Ь — а))], а Уг (соотв. V3) есть сумма оператора V1 и его отражения относительно точки х = а (соотв. х = Ь).

Теорема VI.15 [65]. Пусть Q — полином, такой^ что deg Q V deg 尸,и пусть Hi — перенормированный гамильтониан^ Hz, построенный по Р, и А (р) — это величина (1/九о) а(ю для взаимодействия 尸 + ^qQ- Тогда для всякой функции / W С『(R) с supp / и [—п, т\ и [—Z/2, 〃2] (тп, п — натуральные числа} имеет место неравенство

—Q(/)W#e + ( — а°° — §8)(孔 + 加)+ J А (/ (^)) dx, (VI.24^

где

Q (/) = j / 3) -Q (ф 3))： dx.

Замечания, 1. Так как —Q (—/) = Q (/), то из (VI.24) еле- дует, что ±Q (/) ^Ht + с (/), где константа с (/) не зависит от Z.

Если мы, например, потребуем, чтобы || / И» ^ М, то из (VL24) легко вывести, что ±Q (/)式方,十 q (| supp / | 十 1), где с工 зависит только от М, а | supp / | ——длина наименьшего интервала, содержащего supp /. Это и есть первоначальная формулировка Глимма ——Джаффе [65].

Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы VL4, 1/2

можно показать, что —；明(九°)式 j 4 (了⑺)dx. Теорема

вытекает теперь из неравенства (VL18a), если воспользоваться разбиенией отрезка [—п, т] на га + m единичных отрезков и оценкой

-А^Н + А~Е(Н + А)~А^

&(Н — Е (Я)) + (Е (Я) -Е(Н + а)). и (VL25)

Теорема V工.16 (ф-оценка Глимма—Джаффе [65]). Пусть Р ——полуограниченный полином и Hi — соответствующий гамильтониан. Тогда существует константа с (не зависящая от Z), такая, что для всех функций h на R, обладающих следующими двумя свойствами:

supp h и (некоторый единичный интервал) и [— Z/2, Z/2];

II h ||!t 三 j I h (Л) I2 (依 + 疗尸 dk V oo, имеет место оценка

±^(K)^c\\h IL (Яг + 1).(VI.26a)

В частности, для всех функций h g L1, таких, что supp h и и [—〃2, 2/2] (условие, чтобы носитель содержался в интервале длины 1, при этом необязательно),

士 9仇)其「1 h®(左 +1).(VL26b)

Доказательство. Пусть функция h удовлетворяет условиям (i) (ii). Тогда, согласно оценке Нелсона,

〜11/2

Eq (2九°) Kq In j d|i0 exp ( — q j ds j d/ <p (n, s) %(/)) =

0-1/2

= ^з||^ ® X(o, i)脸.

При этом, как легко видеть, || ^ ® Х(о, i> Un 式 ％ II 九 11т， и поэтому при некотором d0 и всех 力,удовлетворяющих условию (i) и таких, что || 无 ||_工 ~ 1, мы имеем

-欧 & —Ei + d()

в соответствии с неравенством (VI.18b). С помощью оценки (VL25) отсюда выводится, что для всех таких h

士 <р®《瓦+ 4&с(瓦+ 1),(VL27)

где с = max (1, d0). Применяя оценку (VL27) к fe/|| h ||一工 при произвольной функции 无=0= 0, мы получим (VL26a).

Для доказательства неравенства (VI.26b) заметим прежде всего, что так как ц"1 = (Л2 + тп?)—1 лежит в L2, то и преобразование Фурье р"1 лежит в L2. Поэтому

СII 九 11т = QII 犷| 串 h ||2&3 II LII2II h Ih =c‘ II h Цр

Это доказывает формулу (VI.26b) в случае, когда носитель функции h содержится в каком-нибудь единичном интервале.

Если носитель функции h лежит в интервале [—2/2, Z/2], то мы можем представить h в виде fe = 2 无m, гДв Лт имеет носитель в интервале и [— (2/2)十 тп — 1, — (Z/2) + т], и поскольку 士屮仇m)式 d H 无m 111 (Hl + 1), формула (VI.26b) доказана..

Замечания. 1. Оценки, содержащиеся в VL15 и VI.16, принадлежат Глимму и Джаффе [65], правда, у них вместо ядра 啰 + 疗尸 в оценке (VL26a) фигурирует ядро (Л2 + т2)-1^-5 при некотором е V 1/2. Многие результаты Глимма и Джаффе были заново доказаны в работе Гуэрры, Розена и Саймона [88] с использованием симметрии Нелсона, однако их методов не хватало для доказательства оценки (VI.26b) [вместо этого они получили оценку 土屮(无)式 с \\\ h ||| (Hi + 1) для некоторой соответствующим образом выбранной 步-нормы ||||||. Следуя в основ

ном их доказательству и пользуясь дополнительно оценкой Нелсона и еще один раз симметрией Нелсона мы получили результат Глимма ——Джаффе в полном объеме. Результат, содержащий II h ||li, потребуется нам для одного иэ приложений ф-оценок (§ VL5).

Спенсер [186] получил «локальные ^-оценки», которые сильнее оценки (VI.26а).

Немного видоизменив приведенное выше доказательство, можно показать, что для любого £ > 0 существует число d, зависящее лишь от 8, такое, что в предположениях, сделанных в связи

с неравенством (VI.26b),

±Ф 仇)& II h ||工(£山 + d)・(VL26b‘)

Фрёлих [51] указал другие варианты(p-оценок. А именно если носитель функции / лежит в интервале [—Z/2, 2/2], то

±Ф(/)^Яг + С1 + с21Н/1112,(VI.28)

где HI / И]3 = ，(1 + х2) I / (a:) I2 dx. Действительно, из (VL18b), оценки И h ||т & || 无 |]工2 и данного выше доказательства следует, что

士屮(fe) ^Ht + C1 + c^h ||Ь(VL29)

для всех h с носителем в каком-либо единичном интервале, лежащем внутри интервала (—〃2, Z/2). Пусть нам задана функция /. Представим ее в виде

где hn имеет носитель в интервале [и, п + 1]. Применяя неравенство (VI.29) к функциям hn и учитывая оценку

金JI % I曲《Q "I川，

мы получаем (VI・28)・

В качестве приложения изложенных выше методов можно доказать следующий факт.

Теорема F 1^17. Для любого п существует норма ]|] |||п ш пространстве 步(R2), такая^ что

I勿，仇，...，九)I三I縞，①(抗•.•①伉)Q，〉I 《

式山厶 Ilin • • • lll/n Ilin,

где 也(/) = j 饋修屮尸(厶)「勺 dt для всех /1? . . ., /п € <^ (R2) с supp 力 и {〈/ Е〉I I 化丨 W 〃2}.

Обратимся теперь к л-оценкам. Для определения функционала л нам надо сначала получить несколько простых «/^-оценок». Мы будем пользоваться языком гауссовских процессов. Пусть

(VI.30)(VI.30)抑 =Г (R) и ф (X) —«поле» на 觇、Положим Р 仇)=X [dr (入)，ф (X)]

(VI.30)

(VI.30)

на Fp (R). В соответствии с соотношением (1.31)

Ф (X) :q)(X)n: = :q)(X)n+1: +у nX2 :q)(Х-р"1:.

и поэтому

—гр(Х-) ：<р(Л.)п: = :q)(X)n+1:—专齡:屮(九尸:;

значит,

-а(2 = <₽3)-м 為,-а(2 = <₽3)-м 為,(VI.31a)(VI.31a)

-а(2 = <₽3)-м 為,

-а(2 = <₽3)-м 為,

(VI.31a)

(VI.31a)

где

為:瞰Q）:=”:广（卄,為:瞰Q）:=”:广（卄,(VI.31b)(VI.31b)так что, =тшр*1так что, =тшр*166в силу определения операции : :, §屮⑴(X)). В частности, б/б(р (1) мы обозначим через d/dq).в силу определения операции : :, §屮⑴(X)). В частности, б/б(р (1) мы обозначим через d/dq).УЗ)=УЗ)=Поскольку И :q)n: ||2 =献/2" и〈:屮"::屮2〉= 0 при " * иг, тоПоскольку И :q)n: ||2 =献/2" и〈:屮"::屮2〉= 0 при " * иг, то

為:瞰Q）:=”:广（卄,

為:瞰Q）:=”:广（卄,

(VI.31b)

(VI.31b)

так что, =тшр*1

так что, =тшр*1

6

6

в силу определения операции : :, §屮⑴

(X)). В частности, б/б(р (1) мы обозначим через d/dq).

в силу определения операции : :, §屮⑴

(X)). В частности, б/б(р (1) мы обозначим через d/dq).

УЗ)=

УЗ)=

Поскольку И :q)n: ||2 =献/2" и〈:屮"::屮2〉= 0 при " * иг, то

Поскольку И :q)n: ||2 =献/2" и〈:屮"::屮2〉= 0 при " * иг, то

崎3 时晒『=|| 3吗:什：『= п—0n=0

т1 т

=2质1^=2II产[2女心]『• n—0n=0

Отсюда следует, что

n=4(詣)* 债)，(VL32a)

и так как

(备)=(Ф + ^Р)* = Ф — гр =—备+ 2屮，(VI. 33)

то

“=-4■崇+ <« 备= ^，+屮 2-4】；"L32b)

мы воспользовались здесь равенством

[p （九），Ф （九）]=一次2,[p （九），Ф （九）]=一次2,(VL34)(VL34)

[p （九），Ф （九）]=一次2,

[p （九），Ф （九）]=一次2,

(VL34)

(VL34)

которое следует из соотношения (VI.31а). Из соотношений (VI.32) и (VI.34) вытекает также, что

力 Р (Л)]= 一屮(X).(VI.35)

Наконец, нам будет нужна

Лемма VI.18, При всех 屮 € % (R) функция е» ①(總屮 С D (N) и выполняется соотношение

ei^Ne~^ = 7V-p(X) +jX2.(VI.36)

Доказательство. Тот факт, что “镇①⑴屮 £ Г (R), получается непосредственным вычислением с использованием соотношений (VI.32). Положим

F 3) = e^^N е~^^.

Тогда (снова применяя всё к векторам 屮 £ %) находим, что

Fr (X) = e^^i [q> (1), N] e~i①(統=—«抑(Qp (1) «-近(％

尸'(入)=—e^^i [ф (1), р(1)] 抑0)= 1.

Отсюда следует, что

歹 е)=尸(0) +入歹'(0)+^М. ■

Теперь мы в состоянии построить операцию р для произвольного гауссовского процесса. Пусть 觇—вещественное гильбертово пространство и/ ^сЯ?. Тогда(^ — [/] Ф [/]丄,так что F (認)= =Г ([/]) ® Г ([/]丄)，и мы определим р на Г (諭)，положив р (/)= =р (力® 1. Если (о: SB f 靓一самосопряженный оператор, определенный на всюду плотном подмножестве, то при f £ D (со) положим

冗①(/) = Р («/).

Имеет место

Предложение Ш9・ В обозначениях предыдущего абзаца

=方國(叫 q)(/)],(VI.37)

网(/),叫g)l =—〈哂 g〉，(VI.38)

力[йГ (co), nw (g)]=—屮((o2g) (при g £ О (哨)，(VI.39) 施(力 dr (co) е~^ = йГ (co) — л© (f) + у (со/, /). (VI.40)

Доказательство. Если оператор. (о обладает полным набором собственных векторов, так что

^Г((о)= 2 йгйГ(Л) И Г (^)-0 Г (R),г=1i=sl

то этот результат следует из формул (VL28, 34—36). Так как всякий оператор (о представляет собой предел таких операторов в смысле норм резольвент, то результат справедлив и в общем случае..

В частности, для свободного поля массы m положим "⑺三 Р (К —A + m2 /);

тогда формулы (VI.37) — (VI.40) принимают вид

n (/) = 〃％,$(/)],

(VI.37)

m⑺，屮(g)i =—力j g⑺/⑺dx.

(VI.38)

j [Xo, n (g)]=—屮((一A 十次2) g),

(VL3T)

е^Нйе~^ = Яо - л (/) + у И / lib-

(VL40z)

Теперь уже легко может быть доказана

Теорема V 1.20 (л-оценки Глимма — Джаффе [67]). Для любого в за имоде йствия и для любого I

士 n色)忘必+ ^11回辰(VI.41)

士 П⑶忘;沙版(%+ 1),(VI.42)

〃修，＜₽(/)] = 〃(/)•(VI.43)

Доказательство. Так как оператор Нг — Яо коммутирует с ф, то равенство (VI.43) следует из (VI.37'). В силу (VL40'),

0W е师必e-W)=血一 n⑺+_| II /係.

Неравенство (VL41) получается отсюда, если положить / = ±й? а неравенство (VI.42), — если положить / = 士 ]/2%/|| h g .

Замечания^ 1. Конечно, оператор dld^ — это просто обычный оператор уничтожения, р ——оператор момента, а соотношения (VI.28—33) 一 это стандартные результаты о гармоническом осцилляторе, выраженные в терминах гауссовских процессов.

Для читателя, привыкшего к гармонияескому осциллятору в пространстве Л2 (R,曲:)，мы отметим, что р не есть i^d/d^, так как мы имеем дело с пространством Л2 (R, л-1/^-»：2 &), и потому р = е屮2/2 -1 ^ е-屮2/24- Д + г(р, как в (VL31).

С помощью леммы IV.8 выводится

Лемма 卩工・2工・ Пусть 加在—шкала пространств, ассоциированная с некоторым оператором Л ^ 0, как и в лемме IV.8. Если оператор В ^ X (屈+工，加т) симметричен и [力，3] С

С纟(超1，超Т), то

讲 & (II в hiT + II [Л,石]IU,T)2 (Л + I)2,

I I & (II 石 ll+1,-l + II U，石]匾T)(力 + 1).

Доказательство. В силу леммы 1V.8, В ^ X (超+з,期+i), значит, по интерполяции (см. [145, § IX.4]) В ^Х (加2, ^)； в силу симметричности, В ^ X (加，加т)，так что В2 ^ X (超+2，费4 откуда получается оценка для BL Оценка для | В | вытекает из операторной монотонности квадратного корня (см. [145, § IX.4]) и из оценки для .

Из леммы VL21 и л- и(p-оценок следует

Теорема V 工・22・ Пусть Р — фиксированный полином^, и h С?0, supp h С [—〃2, 2/2]. Тогда существует константа С, не зависящая от I и k, такая, что

Ф 仅)2 忘 С2 (II й I心 + II й 応)2 М + 1)2, (VI.44) I ф (Л) I С (II й I血 + II h |匕)(玄 + 1). (VI.45)

Замечание. В соответствии с оценками Спенсера [168] оценки (VI.44, 45) остаются справедливыми при замене

(%+ 1)2 и (Яг + 1) на (Яг + 1) и (田+ 1严.

Оценку (VL45) можно доказать и другим методом, получив ее при этом в более сильной форме, а именно верна такая

Теорема F JT・22・b・ Пусть % — функция из Со° (R) с носителем е некотором интервале длины 1, содержащемся в интервале 1/2, 2/2】. Тогда

|ф(й) I ^е||Л||г(Я/+ 1).

石 частности^ для всех % С Of (R) с носителем в интервале [Т/2, 〃2】

I Ф (й) I С с II Й Ны (瓦 + 1).

Доказательство. Нужно просто повторить доказательство теоремы VI.16, воспользовавшись следующей оценкой для Е (Но — I ср (%) I) (вытекающей из НГС-оценки):

—Е (% — I 屮伍)]& q In J) ехр (+“ I Ф 仅)I)伝《га и, кроме того, неравенством

ехр I 屮(%) I & ехр (ср (%)) + ехр (—ср (%))•■

Замечание, Так как Яо —(р2 (Л)》0 при % С 皆(R) (или даже при более общих Л), тем ?ке методом можно показать, что

Ф2 (й)<е |||й III (Яг + 1),

если supp 万 и [—〃2, 〃2]. Подробности можно найти в работе Саймона [181].

На сегодня известны следующие главные приложения(р-оценок:

(Глимм и Джаффе [65]; см. также Глимм, Джаффе и Спенсер [721.) Равномерная по I умеренность роста функций Уайт- мэна; см. теорему VL17. Используя аналогичные идеи, можно получить оценки для функций Швингера, полезные для предельного перехода к бесконечному объему (см. [90] и § VIIL5, 6).

(Глимм и Джаффе [65]; см. также Нелсон [133].) Самосопряженность полей Уайтмэна в бесконечном объеме сглаженных по пространству и (времени Минковского). Соответствующую общую теорему мы приведем в следующем параграфе, а ее приложение к случаю предельного бесконечного объема — в § VIII.6.

(Нелсон [133].) Существование функций Грина в бесконечном объеме. У нас не будет повода вернуться к этому вопросу в дальнейшем.

. (Фрёлих [51].) Некоторые очень полезные оценки в эвклидовой области. Мы обсудим их в § VL5 и будем систематически применять в § VIIL5, 6.

Литература к § VI,3

Глимм и Джаффе [65, 67], Гуэрра, Розен и Саймон [88], Саймон [181].

§ VI.4. Теорема Нелсона о коммутаторах

В своей первоначальной статье [65], посвященной ср-оценкам, Глимм и Джаффе показали, что из этих оценок с помощью некоторой техники коммутирования можно получить самосопряженность сглаженных операторов поля в бесконечном объеме. Мы приведем сейчас общую теорему Нелсона [133], которая усиливает теорему Глимма ——Джаффе. Это позволит нам использовать чр-оценки в бесконечном объеме для доказательства существенной самосопряженности полей Уайтмзна| на пространстве С°° (Н) {см. § VIII.6).

Теорема V 1>23 [133]. Пусть 曲在一шкала пространств, построенная по некоторому оператору 力》0 (ель леммы IV.8, 9). Пусть далее 5cz (威+「觇4 причем [Л, В] ^ X (施+工，办?т), 〃 оператор В симметричен. Тогда он существенно самосопряжен на любом носителе оператора 力.

Доказательство (Фарис и Лавайн 138J). В соответствии с рассуждениями, использованными в лемме VL21,

В аХ (<^?+2, ^), т. е. 0(8) = {屮 £сЯ?+/8х|)Е 礎} п 0(4) и

II 8屮 II & % И /屮 И для всех 屮 С Q (4)・(VL46)

Ввиду этого для любой опоры 炒 оператора Л имеем 8 } & = =В t D (А), так что нам достаточно установить существенную самосопряженность оператора^ на!)⑷.Пусть с = \\1А, В] ||+工 _工; мы покажем, что оператор (В [ D (А) 土 гс)* имеет нулевое ядро, откуда и будет следовать, что оператор 3 }Q (4) существенно самосопряжен (см. [145, теор. VHL3]). Действительно, пусть др £ D ((3 f D (А))*) и 屮=/т屮 £ D (А). Тогда

I Im (<р, 5*屮)広^ I i(q), B*^) — i 仍*屮，ф) | =

=芽卩出口,Aq)) -г (Аф, 8屮)1《 《^|1叫l：i = ^ (中,中)，

Поэтому Im (<p, (±5* + 力c)屮)》(c/2) (q>,屮)，и из равенства (3海 干力с)屮 =0 следует, что (屮，А~^) = 0, т. е. следует, что ф — 0..

Замечание. Фарис и Лавайн [38] дали красивое приложение этой теоремы к операторам Шрёдингера (см. [145, § Х.5]) и также развили интересные связанные с этим интуитивные соображения.

§ VI. 5. Оценки Фрёлиха

Очень удобные переформулировки приведенных выше оценок в эвклидовых терминах дал Фрёлих [51]. Основная идея, лежащая за его построениями, состоит в том, что если некоторая модель удовлетворяет системам аксиом гл. IV, то оценка из аксиомы (N4) (С Z = 1)

±Фо (/) ^ (Я + 1)(VL47)

формально эквивалентна неравенству

j dp, ехр (±<р (/ ® %“">)) & ?.(VI.48)

Действительно, если для Я ± q)0 (/) можно доказать ФКН-фор- мулу (что никак не может быть легкой задачей ввиду неограниченности операторов 屮。(/), хотя эта формула наверняка формально верна), то из (VI.47) следует (VL48). И обратно, если известно, что гамильтониан Н ± 屮。(/) имеет положительное основное состояние (что также формально верно), то из оценки (VL48) следует, что Н ± 屮。(/) > —1.

Один из результатов, которые можно доказать, состоит в следующем:

Теорема FГ.24. Пусть величины Я, ср,屮。удовлетворяют всем аксиомам Нелсона. Предполож им, что при f ^ F

±5 (Л ^ (Я + q),(VI.49a)

I Фо ⑺丨《(反 + /)•(VL49b)

Тогда

[咖 ехр (±(р(/ ® 渝，办))忘 е叫(VI.50а)

j 咖 exp ^ j I Ф (/ ® 6S) I 曲)^ес^.(VI.50b)

о

И обратно, если поле ф удовлетворяет всем аксиомам Нелсона^ кроме аксиомы (N4), и для некоторой функции f W F выполнены соотношения (VI.50), то выполнена также и соотношения (VI.49).

Доказательство. Предположим сначала, что функция F ограничена .Тогда, следуя любому из наших общих доказательств ФКН-формулы (в § V.3 — на основе марковского свойства и формулы Дюамеля, или в § V.5 — на основе формулы произведения Троттера), находим, что

(Q, «t(h-f(①№)))◎〉= j @nexp ( + ( ^(<p (/ ® 6S)) @s) • (VL51) о

В частности, согласно неравенству Шварца,

j d|i ехр (j (ф (/ ® 6S))) ds^e-^11-^^.(VI.52)

о

И обратно,

—£ (Я — F (фо (/))) = lim ~ In『咖。卜хр j歹(q> (/ ® 5§))拠).(VI.53)

Действительно, так как оператор «」н — дважды марковский на физическом гильбертовом пространстве Л2 (Q, 20, @卩),то он является ограниченным на Л°°, и то же самое можно сказать об операторе ехр (——£ (Я —— 歹)),поскольку функция F ограничена. Так как подпространство ехр (—t (〃 一 F)) [Z°°] служит носителем для оператора Н — F, то существует множество £°°-巾унк- ций, являющееся носителем оператора Н ——F. Поэтому для любого заданного £ > 0 мы можем указать функцию 屮 С ^°°, такую, что

In〈屮，ехр (—£ (Я — F))屮〉》一с + (—Е (Я —歹)+ £)九

Поскольку ◎》II 屮 |島 I 屮 I (поточечно), то

〈虱 e-@-F)a〉》n 叫諸〈|屮|, e-«H-F)m|〉》|w*〈w，e-«H-F 师〉,

lim inf } Inlim inf } Inтак что

lim inf } In

lim inf } In

^(Ф (/ ® 5J)欣))> —£ (Я —F) + e.

В силу произвольности £ и возможности использовать неравенство (VI.52) для оценки верхнего предела, мы получаем соотношение (VL53).

耳几（胃）=I耳几（胃）=IПредположим теперь, что выполнены условия (VI.49). Пусть функция Fn задана формулой

耳几（胃）=I

耳几（胃）=I

х при I / 広％

О в остальных точках.

Тогда

I 厶5 (/)) К I фо (/) К (я + %),

поэтому, согласно неравенству (VI.52),

j йц ехр ( j I Fn (ф (/ ® 6s))!I ds) We".О

Устремляя п к бесконечности и применяя теорему о монотонной сходимости, приходим к оценке (VI.50b).

Учитывая (VI.49b), легко показать, что Н 土 屮。(/)= —s-lim (Я 士 Fn (q)0 (/)). Пользуясь соотношениями (VL52),

(VL50b) и теоремой о мажорироваиной сходимости, получаем оценку (VI.50а).

И обратно, используя соотношение (VI.53) вместо (VI.52), можно показать, что из оценок (VI.50) следует оценка (VI.49).

Замечание. Эта теорема имеет важные с аксиоматической точки зрения следствия. Во-первых, она означает, что аксиому (N4) можно заменить на (более сильное) «чисто эвклидово» утверждение (VI.50b), не связанное с конструкцией теоремы IV.1. И что более важно, из нее следует, что если заменить условие (S2) на условие

1<₽о (/) I < III / III (Я + 1),

то мера @因 построенная в § IV.3, оказывается эвклидово ковариантной. Действительно, из (несколько обобщенного) соотношения (VI.50а) вытекает равномерная оценка для (внедиагональных или общих) функций Швингера, поэтому общие функции Швингера представляют собой предел внедиагональных функций

Швингера. Значит, ковариантность внедиагональных функций Швингера влечет за собой ковариантность общих функций Швингера. Так как (ехр (±(р (/))〉V оо, то ряд £(<р (/)п>

п=0 п'

сходится к (ехр (taq> (/))) при малых a W R, и функция (ехр (taq> (/))) аналитична в нуле. Поэтому из инвариантности диагональных функций Швингера следует инвариантность среднего 〈ехр (iaq> (/))), т. е. меры dp,.

Все вышесказанное зависит лишь от инвариантности марковского поля относительно временных сдвигов, а не от инвариантности относительно вращений: поэтому сказанное остается справедливым в модели lim dwg^jt,力 ассоциированной с Р (ф)2- моделью. В этом случае выполнены соотношения (VI.49), поэтому справедлива

Теорема F 1.25 (экспоненциальные оценки Фрёлиха [51]). Пусть Р — фиксированный полуограниченный полином. Тогда для всех I

Для любых функций / € Cq° r (R) найдется число с (/), такое, что

J ехр (ф (/ ® х<о, о)) dvt, 8《ехр (fc (/)),(VI.54а)

j ехр j I ф (/ ® 6S) I 曲)d”, 8&ехр (tc (/)),(VI.54b)

о

где dvztoo — это мера, задаваемая соотношением

加 =lim eхр (一U 旧 g)( 一 九力)仙 厶 00 jf 8 нормировочный коэффициент '

Для всякой функции / € C^r (R2) существует число d (/), такое, что

j ехр (ф (/)) dvtoo & ехр (d (/)).(VI.55)

Для каждого е существует число с (е), такое, что

，ехр (屮(％) dvz>00 & ехр (с (е) || % ||Li),(VI.56)

если функция % £ С资 r (R2) удовлетворяет условиям (i) supp h и и [—〃2, 〃2] X R, (ii) j I 万(爲 £) I dr & £“ при всех t.

Доказательство* Как и в доказательстве теоремы VL4, £dw,“exp(j 屮(g$(8)3$) @s))&exp ( j E (自t — wo(g$))ds)・

Поэтому утверждения (а) и (Ь) следуют из теоремы VI. 15》 а утверждение (с)——из теоремы VI.16 в форме (VL26b‘) (см. замечание 3 после теоремы VL16)..

Для применения теоремы Минлоса нам нужны оценки для

j 俨屮(力一区屮(g)] @屮，где /, g£ c^r (R2). Так как

I exp (to—ti/)|^| j eil A|^|i/ —zl,

TO

I j 停喲一e抑(◎) dv|^||q)(/) —q)(g)||Li^ j (<₽(/) —Ф (g))? dv.

Так что нам достаточно иметь оценки для функции 5纟(力 g)，равномерные по 2.

Теорема V 1^6 (32-оценки Фрёлиха [51]). Пусть Р — фиксированный полином. Тогда при всех Z

существует 夕(^)-норма (ме зависящая от Z), такая, что для всех f, g € 夕(R2) с supp 力 g и [—力2, Z/2] X R

1^)(/, g) I ^|||/ HI HI g|||,(VL57>

где

S0 (/，g) = J Ф (/) Ф (g) Eg,(VL58a>

S@ (自® 自，й2® 6z) = ((pF (/zt) Qz, 吃屮尸(历2)«»;(VL58b>

существует 夕 ^Rj-норма (не зависящая от Z), такая, что* для всех /, g С 步(R) с supp 力 g и [—Z/2, Z/2] u всех /, s

I S^ (/ ® 60, g ® 6$) I ^ II / II II g II (VL59>

S^(f®^g®^-S^{f®^ g®60)|^||/||||g||p-s|. (VI.60)

Доказательство* (а) Пусть \\\h ||| = || A ||工工 +sup jdx | A (x, £)|- Тогда, в силу теоремы VI.25 (с), из того, что ||| А ||| V 1, следует, что

j ехр (土中(A))加厶8 《 С.

Поскольку z2 & ехр ⑺ + ехр (—%), то

S© (居 А) & 2С, и по однородности

S0® %)& 2c |||й III2.

Так как

50(/, g)^{t，/У 酸(g, g)'/2,

в силу (NS)-пoлoжитeльнocти, то соотношение (VL57) получается «ренормализацией» нормы (|| 111.

(Ь) Обратившись к доказательству леммы VL21, мы видим, что

1|ф(/)Н+з,+1；(0^11/11(VI.61a)

дая соответствующей нормы в пространстве Шварца; здесь II ф (/) ||+з> +1；(Z)— это норма оператора ф, рассматриваемого как ■отображение из ей??? в ^В^ где 捌§)—— шкала пространств, построенная по оператору 貪厶 Следовательно,

II (瓦 +1)1/2 0(/)(% +1)72 |,^!|/l|,(vi.61b)

так что

$(猫，w(力e-由即(g)0)| +

+1 (歸，①(/) Hie~tS^ (g)储)|^||/||||g||.(VI.62)

Положим F (办=S0 (f ® 6/, g ® 60); соотношение (VI.62) означает, что

№(川十医国川IgH，

откуда и следуют соотношения (VI.59, 60)..

Наконец, нам понадобится еще один общий результат Фрёлиха {51]. Этот результат зависит от эвклидовой инвариантности, поэтому в оценках двух последних теорем нужно перейти к пределу при 2т 8 (что будет легко сделать!).

Теорема V 1.57 (Фрёлих [51]). Пусть <р ——индексированный элементами пространства /r (R2) случайный процесс, обладающий свойством эвклидовой ковариантности. Предположим^ что

для всех £〉0 существует константа с (е), такая, что

(VI.63)(VI.63)IIIIII〈exp (土屮 ®)〉《exp (с (e) И h Hi),если j I h (z, t) I dx ^ 8"1 при всех 力；

(VI.63)

(VI.63)

III

III

для некоторой подходящей /r (R)-儿0卩也儿 |||

I <Ф (/ ® 初屮(g «8» 初〉I《口 ^ [\Li[\h2 也 HI f W UI g JU;(c) 1(Ф (/ ® 无£)) Ф (g ® fe2))— <ф (/ ® 砧 T(g ® 伝)〉IW、W|也 M也山 W/lllWg||||s|,где 纾)(%) = hr (t — s).Тогда(1) для некоторой последовательности hn (%)-> b (£)I <Ф (/ ® 初屮(g «8» 初〉I《口 ^ [\Li[\h2 也 HI f W UI g JU;(c) 1(Ф (/ ® 无£)) Ф (g ® fe2))— <ф (/ ® 砧 T(g ® 伝)〉IW、W|也 M也山 W/lllWg||||s|,где 纾)(%) = hr (t — s).Тогда(1) для некоторой последовательности hn (%)-> b (£)[(VL64)[(VL64)(VI.65)(VI.65)пределпредел

I <Ф (/ ® 初屮(g «8» 初〉I《口 ^ [\Li[\h2 也 HI f W UI g JU;

(c) 1(Ф (/ ® 无£)) Ф (g ® fe2))— <ф (/ ® 砧 T(g ® 伝)〉IW

、W|也 M也山 W/lllWg||||s|,

где 纾)(%) = hr (t — s).

Тогда

(1) для некоторой последовательности hn (%)-> b (£)

I <Ф (/ ® 初屮(g «8» 初〉I《口 ^ [\Li[\h2 也 HI f W UI g JU;

(c) 1(Ф (/ ® 无£)) Ф (g ® fe2))— <ф (/ ® 砧 T(g ® 伝)〉IW

、W|也 M也山 W/lllWg||||s|,

где 纾)(%) = hr (t — s).

Тогда

(1) для некоторой последовательности hn (%)-> b (£)

[(VL64)

[(VL64)

(VI.65)

(VI.65)

предел

предел

厶2 - lim q> (/ ® hn) = Фо ⑺

существует для всех функций / £ 孑r (R2);

функция ехр (а(р0 (/)) интегрируема для всех / €^r (R), а€ С;

предел lim (ехр (а(р (/ ® %))〉= (ехр (а(р0 (/))〉для всех ПТ8

/ е % (R), а е с；

если ф (/ ® 6J — это сдвиг (р0 (/), то выполнены соотношения (VL59) и (VI.60).

Доказательство. Пусть

hn (<) = (2п/л)1/2 ехр (—2叱2).

Тогда hn (力)-> 6 (i) и 无几т =歸 * /2n. Согласно неравенству (VI.65)* |([ср(/ ®/гп) —ф(/ ® /гп-1)] ф(/ ® М>|^

& j % ⑻ I ([ф (/ ® ^п) —ф(/ ® 威))1 ф(/ ® 力т)〉I 曲& &[j|s%⑸欣]|卄們小世"|/旧=

=2r/2 [J I s 俨。(s) ds] UI /Г (I hn |U у hm "I,

откуда сразу следуют утверждения (1) и (4).

Для доказательства утверждений (2) и (3) нам достаточно показать, что (ехр (ag (f ® Ап))) равномерно ограничено при вещественных значениях а. Действительно, так как

|产一叫《设一g||*+叫(VI.66)

ДЛЯ 瑞 у € R，ТО

|<ехр (а(р (/ ® 无п)) —ехр (а(р (/ ® 左т))〉|《

<2||ф(/ ®/in) —<р(/ ® hm) ||La sup (ехр (2a<p (/ ® 717t))〉,

откуда следует ——при наличии указанной равномерной ограниченности ——справедливость утверждений (3) и .(2) для вещественных а. Но поскольку | (ехр а(р0 (/)〉|《 (ехр (Re а) ф0 (/)〉; то утверждение (2) верно для всех а, а тогда утверждение (3) вытекает из теоремы Витали.

Докажем равномерную ограниченность. В силу эвклидовой ковариантности, (ехр а(р (/ g 无几)〉=(ехр а(р (hn ® /)). Положим gn =編㊁ /. Тогда sup j I gn (z, 0 [ & ^ II / ||oo J An (%) dx《 &% где с не зависит от n, поэтому из (VL63) следует, что sup (ехр (аф (/ ® %))〉V8・■

Литература 體 § 厂工.5

Фрёлих {511.

13 Б. Саймон

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДИРИХЛЕ

В статистической механике при изучении ряда моделей, таких, как модель Изинга, важную роль играет умелое использование граничных условий различных типов [80, 154, 47]. Поэтому не удивительно, что похожая ситуация возникает и в модели Р (ф)2, в особенности если к этой модели применяются методы статистической механики. В данной главе мы подробно рассмотрим один из типов граничных условий, а именно граничные условия Дирихле. Можно рассматривать и более общие типы граничных условий (см. [90], где это сделано для одномерного случая, и [9Ц —— для случая модели Р (ф)2), и, как мы думаем, такие граничные условия в конечном счете будут играть определенную роль в конструктивной квантовой теории поля. Поскольку в последующих главах используются лишь свободные граничные условия или граничные условия Дирихле, мы ограничимся изучением лишь таких граничных условий (см., однако, § Х.З).

Один из наиболее естественных вопросов, связанных с граничными условиями, состоит в придании точного смысла утверждению о том, что две модели теории поля в действительности представляют собой одну и ту же модель, но с «различными граничными условиями». Для моделей невзаимодействующего поля со свободными граничными условиями и граничными условиями Дирихле этот вопрос решается теоремой VIL2. Для моделей со взаимодействием наиболее естественный ответ на этот вопрос сводится к ссылке на аналог уравнения равновесия Добрушина [281 и Лан- форда —— Рюэля [117]. Один вариант этого уравнения, относящийся к модели Р (ф)2, рассматривается в § VII статьи [90], и мы рекомендуем эту статью читателю, интересующемуся дальнейшими деталями (см. также § Х.4).

Пусть А и IV ——открытая область. Невзаимодействующее поле со свободными граничными условиями определяется как гауссовский случайный процесс, индексированный элементами пространства ТУд, другими словами, процесс с ковариацией

(ф (/), ф (g)>CBO6 =(/,( — А + W2)'1 g>^ (VII.1) где оператор —Д действует в бесконечном объеме и /, g £ Ад・ Невзаимодействующее иоле с граничными условиями Дирихле

тоже является гауссовским случайным процессом, но уже с ковариацией

仰(/)①(g)〉D；A =〈f, (—Аа +孤2)Tg〉， (VIL2) где — Ад— оператор в пространстве D (Л) с граничными условиями Дирихле (определяемый в § VII.1).

Граничные условия Дирихле особенно естественны по следующим соображениям:

В определенном смысле, который уточняется в § VII.2, они являются минимальными среди всех граничных условий.

В соответствии с равенством (VII.1), свободные граничные условия получаются при помощи сужения меры р,0 на Ха； таким образом, проводится интегрирование по внешним переменным* Граничные же условия Дирихле соответствуют тому, что значения переменных вне Л полагаются равными 0. Это становится совсем ясным, если рассматривать решетчатую аппроксимацию (см. § VIII.1,2).

Поле, отвечающее свободным граничным условиям, обладает ковариационной матрицей, получаемой из ковариационной матрицы свободного поля при помощи сужения ее на N卜、В смысле, уточняемом при построении решетчатой аппроксимации (см. § VIII.2), поле с граничными условиями Дирихле обладает обратной ковариационной матрицей, которая получается из соответствующей матрицы для свободного поля при помощи сужения ее на %△• Ясно, что для произвольных случайных величин обратная ковариационная матрица представляет ограниченный интерес, однако, ввиду равенства (142), она чрезвычайно важна в случае гауссовских случайных величин.

Используя для ^-пространства модель 3, мы в случае поля без взаимодействия полагаем Q = С『(А)， как для свободных граничных условии, так и для граничных условий Дирихле. Тогда ф (/) будет фиксированной случайной величиной, однако у нас возникнут две меры: й[л0(д и dp^, л —— и, следовательно, два варианта понятия викова упорядочения, которые связаны между собой соотношением (1.20). Это означает, что, рассматривая взаимодействие ехр (—j а ：? (ф (况，s))： d况 曲)，мы должны решить, каким вариантом викова упорядочения : : мы будем пользоваться. Таким образом, даже взяв в качестве невозмущенной меры d^f 人， мы можем получить два состояния со взаимодействием: состояние Дирихле^ или дирихле-соетояние^ где символ : : относится к мере d[i° д, либо полудирихле-состояние, где символ : : относится к мере "коа，Оба состояния важны для приложений, и поэтому мы рассматриваем как те, так и другие: в § VII.2,4 обсуждаются Дирихле-, а в § VII.3,4—6 — полудирихле-состояния.

Роль, которую играют граничные условия Дирихле в связи с неравенствами ГКШ, была выяснена впервые Нелсоном [136], указавшим на важность подобных моделей. Впоследствии широкое изучение моделей с граничными условиями Дирихле было проведено Гуэррой, Розеном и Саймоном [90, 91].

§ VII. 1. Поле Дирихле без взаимодействия

Ми начнем с изучения функции Грина для граничных условий Дирихле.

Определение. Пусть А и IV — открытое множество. Через —Дл обозначается расширение по Фридрихсу [145, § Х.З] оператора в У? (Л, d2x) с областью определения С『(Л), действующего по формуле / f —Д/. Функция Грина для граничных условий Дирихле в области Л определяется как ядро 6д (z, у) обобщенной функции

/, gf(力(一Аa + 加2尸8止2三^〈力 g〉-i, a. (VII.3) Через Go (寫,у) мы будем обозначать ядро оператора (—Д + тп2) -1.

Теорема VZJJ. Пусть «а — проекция (в N) на N&, и пусть

Ра = 1 — Cr2\a,(VII.4)

т. е. ра — проекция на ортогональное дополнение « Nr含、а• Тогда

С, g〉T,A =〈рдЛ PAg〉k(VII.5)

для любых функций 力 g W Со° (Л). В частности, пополнение Cf (Л) 6 норме И ||т,а содержит ^л.

Доказательство. Предположим вначале, что g имеет специальный вид

g = (—А 十 症)无=(_Аа + 疗)h; he СТ (Л). (VIL6)

Тогда, поскольку функция (1 — рд)/ имеет носитель в R2 \ Л, скалярное произведение ((1 ——рд) /,无〉工2 = 0. Следовательно,

<f, g〉T,A = 2〈力 h)L2 = 2{pAf,九〉工2 =

—(Рл/j (一 A + ^) ^n = (/j PaS)n =

=〈PA力 PAg)N-

Этим равенство (VIL5) доказано для того случая, когда g является функцией специального вида (VII.6). Пусть через N^ обозначено пополнение пространства L2 (Л) по норме || ||-i,a・ В соответствии с определением расширения по Фридрихсу множество <—Аа + 症)1Со°] плотйо в N% значит, доказав равенство (VIL5)

для функций g вида (VIL6), мы тем самым докажем его и для всех элементов пространства N? и, в частности, для g W С『(А).

В силу соотношения (VIL5), || ||т,а《II ll^ на подпространство Со° (А), поэтому пополнение этого подпространства по норме II ||т,а, очевидно, содержит его же пополнение по норме || ||N. Но поскольку множество А открыто, то для любой заданной функции / € %а с компактным носителем свертка / * /, где у — функция с достаточно малым носителем, также имеет носитель в А. Поэтому легко доказать, что Na является пополнением пространства Со3 (А) по норме || ||N..

Определение» Пусть А и R^ —— открытое множество. Марковское поле (без взаимодействия) в А со свободными граничными условиями ——это гауссовский случайный процесс с индексирующим пространством Na и ковариацией '/2 (/, /)^. Марковское поле (без взаимодействия) с граничными условиями Дирихле — это гауссовский процесс с индексирующим пространством ^л И ковариацией V2 II / II2-1, л = </, (—Ал + т2)-1 /).

Имеются два различных способа представить себе связь между этими двумя моделями. Прежде всего есть «активная» интерпретация, когда мы (используя модель 3 для Q-пространства) определяем две различные гауссовские меры ф0 } 2а и dp,^A на пространстве С^ (А)'・ В этом случае оба поля задаются одними и теми же координатными функциями ф (/) — (/, •〉на С『(А)'. Кроме того, существует еще «пассивная» интерпретация, когда мы ограничиваемся одной фиксированной мерой d|i0 卜 2Л и полагаем

屮D, А (力三① W)- (VII.7)

Пара объектов {ср, djx0} является моделью поля со сободными граничными условиями, а пара {фв, л? d^Q} — моделью поля с граничными условиями Дирихле. Обычно мы, будем использовать «активную» интерпретацию, однако (особенно в § VII.2) у нас будет возможность применить и «пассивную» интерпретацик> (что будет каждый раз специально оговариваться).

Между мерами djx0 и "卩^八 имеется прямая связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема VZT.3 ([90]). Пусть Л/ — компактное подмножество множества Л. Тогда меры 阿卜 Ха，辽卩^ а [工人‘ абсолютно непрерывным друг относительно друга и

d (曲 л Г 年)=Fd (阿上风，) (VII.8) 2@e F — гауссовская плотность, являющаяся 2 о а ^-измеримой функцией лежащей в некотором пространстве Lp (Q, 〃卩。)(р > 1).

Замечание^ Равенство (VII.8), очевидно, выражает тот факт, что мера [л?а отличается от меры 网 卜》а только на «граничный член».

Доказательство. Будем трактовать пространство Na，как гильбертово пространство. Поле со свободными граничными условиями представляет собой, очевидно, естественный гауссовский случайный процесс, индексированный элементами пространства N心 в то время как мера [Л^а ТЕа，определяет другой гауссовский случайный процесс, с ковариацией

f 一 伉 рл/〉三(/, Af〉，

где Л = %夕八勿 f Na，・ Таким образом, оператор 1 — Л как оператор в ^л* равен % — %夕八％ = %级2、八％・ По теореме III.13 (I 1 — Л (I < 1, а по теореме III.16 оператор 1—4 является ядерным. Следовательно, оператор Л обратим, и, кроме того, по теореме 1.23 меры 虑 а } 2л* и )л0 卜 2Л* взаимно абсолютно непрерывны, причем производная Радона ——Никодима принадлежит пространству Е?. Как вытекает из доказательства теоремы 1.23

& (欣 а 卜 2л*) = Pd (|л0 上 Еа",

где F == П 増2 ехр [— (% — 1) ф (/п)21, а числа р,п и /п опре- П=1

делены соотношением Afn = [Л"1^. В формулу для F входят только те /п, для которых (лп =/= 1. Но поскольку 1 ——幺= = 必七1<2、八6八'，то, в силу теоремы III.16, из условия [1几 *( следует, что /п £ Nqa^ т. е. следует, что функция F является 2 ^/-измеримой..

Отметим также, что имеет место такая

Теорема VГГ.З. Поле с граничными условиями Дирихле является марковским полем, т. е. если А' и А — замкнутое множество и F — любая И^^^измеримая функция^ то

ERA ⑺=e歆4 ⑺, (VII.9)

zOe £D, л — условное математическое ожидание относительно меры d虑△・

Доказательство. Как и в случае свободного поля, это следует из того факта, что оператор —ДЛ + 〃” 一 локальный оператор. .

Рассмотрим область Л； = [—Z/2, Z/2] X R. Пусть через dp,^ t обозначена мера, отвечающая полю Дирихле в этой области. Ясно, что такая модель является инвариантной относительно в ре-

менных сдвигов, поэтому здесь должен существовать оператор Н^ 厶 действующий в некотором подходящем «относящемся к нулевому моменту времени» гильбертовом пространстве, который играет роль трансфер-матрицы для этой модели. Нетрудно выписать оператор Я^, в явном виде. Прежде всего отметим следующую лемму.

Лемма VТТЛ» Пусть fcn = л (п 4- 1)/Z и

'N (&)Т/2$Е “况，и = 1, 3, 5,..

И (^n)'1/2 cos кпх, п = 0, 2, 4, ..., (VILlOb)

卩(踪)=解 + m2)"2 = (Q 就 Т m+ 1)产 + 济产 分. (viI.lOc) Тогда

或忘,讣у, s)=⑷尸』相(办相(У) eTil*>.(VII.ll)

71=0

Доказательство. Пусть g € С『(Л/), и пусть

4g(京 $)=⑷尸 2 舟百)J dydsf^亩 e-^->^. (VII. 12) n=0

Легко показать, что функция Ag принадлежит классу С°° и экспоненциально убывает при | £ | -> 8 на прямых а = 土〃2. Далее*

(—А + m2) Ag = g.

Следовательно, Ag €。(—ЛЛ) и, значит, Ag = (—Дд + тп2)-xg.

Равенство (V.ll) вытекает теперь из равенства (VII.12)..

Теорема VII.5 [90]. Пусть 国S —зто гильбертово пространство Г 亿),и пусть

叫匠) = (2Z)T/2 £ £)而 д“，(VII.13)

n—0

E?,z = dT(/^D，(VIL 14а)

где вектор 碍【определяется равенством

^о, «еп = ц (кп) en.(VII.14b)

(Здесь {/}^=0 — это ортогональный базис пространства % " ?п совпадает с 屮(％)•) Отобразим пространство 战 6 гильбертово пространство^ отвечающее полю Дирихле 6 Л；, положив

JsP^{t^，■■■,^(fn)) = F(4>(f1®ds), ...,<p(/n®6s)). (VII. 15)

Оператор Js является изометрическим оператором, для которого Ran 几=£2 (Q, S{(x, s) I %£R}, “No, z) “

J*Jt=e~u~s'Ho，i.(VH.16)

Доказательство. В соответствии с леммой VII.4

(Qo,増(万 eТj叫,С増 @)Qj =麗区 t; у, s), и потому доказываемый результат получается с помощью очевидной модификации наших рассуждений из § IIL2.

Ниже важную роль будут играть модели с граничными условиями Дирихле в объеме Лгхт = 1—Z/2, Z/2] X [—Г/2Т 772]. Выполнение условий Дирихле на прямых 况=±2/2 обеспечивается здесь использованием трансфер-матрицы Дирихле 反^,・ Для того чтобы добиться выполнения этих условий при t Q —士 772, мы воспользуемся следующим интуитивным соображением. Переход от dp,^ гхГ к 即明 вхт соответствует обращению в нуль полей в области Лг\Лгхг. Если мы интересуемся только полями в области Л；ХГт то, в силу марковского свойства, для этого достаточно обращения в нуль полей 屮(х, ±772). [Другими словами, ВаРа^а = 6а (( ——^ал) ^а」 Таким образом, исходя из зтих интуитивных предпосылок, мы получили бы, что

dp^ ехт= (нормирующий множитесь) (/т/24) (^-т/24) d曲 г,

где 屮一некоторое произведение 6-функций. Ключевым моментом, позволяющим сделать эти интуитивные соображения строгими, служит замечание о том, что, хотя яр и не «настоящий» вектор, е^^1^ является таковым! Это легче сначала понять в одномерном случае.

Теорема V JJ.6 [90]. Будем рассматривать пространство (R, д-1^-?2^) как пространство Г (R) = 灰" положим при 8 > 0

屮£ (况)=(1 — е-2£)Т/2 ехр [ — g-2£g2/([ — g-e)]. (VII.17)

Пусть 〃卩@ — это мера, отвечающая одномерному свободному ^эвклидовуъ полю g (力)массы m = 1, м пусть через "卩^ обозначена мера, отвечающая соответствующему полю Дирихле 6 [〃i，优％]• Тогда для каждого е > 0 и каждой S[ai+e> а2-гуизмеримой функ

ции м

(VIL18)(VIL18)“ a D _ !(/%+£we)(/02-e屮8)u 4(0

(VIL18)

(VIL18)

№\ (%+&)(% — *)仙*

Замечания. 1. Формула (VII.17) получается из формулы (1.38), если положить там с — е~е и f (у)=冗"25 (у). Поэтому, на интуитивном уровне, равенство (VIL18) вытекает из равенства

j (J%5) (J/B)辽“No = ) (Ea^eJafi) (Ea^^Ja28) W d^iQ,

в силу марковского свойства и следующего соотношения,

Eai+EJai6 = Jai+E(e~eH8).

2. Поскольку для гауссовской меры 卩(),фигурирующей в (VII.18), интеграл j 冗弘^ (у) dji0 (у) = 1 и поскольку оператор е-еН° сохраняет "-норму на множество положительных функций, то следует ожидать, что

I业⑺如0(%)=1,

что и подтверждается явным вычислением.

Доказательство. Пусть Яо = dF (1). Тогда, либо с помощью явных вычислений, либо используя полугрупповое свойство для ядра Кс (怎 у) в формуле (1.38) (означающего, что Kcd (胃，у) = =^ dz Кс (怎 z) Kd (z, у)), мы получаем, что

e~aH^s —屮 £+а・(VII.19)

Для того чтобы установить равенство (VIL18), нам достаточно рассмотреть случай и — q (s) q (Z) (仰 + £ V 匕 V s <2 削一£), поскольку обе части этого равенства определяют гауссовские меры. Следовательно, ввиду равенства J*Jt = ехр (——|/ ——$ | Яо), нам надо лишь доказать, что при 力《$ выражение

совпадает с функцией Грина для поля Дирихле в интервале [旬，&2】・ Согласно равенству (VIL19), правая часть в (VIL20) не зависит от е, и, таким образом, функцию /\ (力 s), симметризованную по переменным s и 力 можно рассматривать просто как функцию F (s, %), определенную при &工 V 芻 ％ V а2. Поскольку И 夕屮£ ||2 -> 0 при £ J 0, то можно показать, что F (方，s) -> 0, когда s либо t стремятся к 仰 либо к «2. Кроме того, используя (VII.20) и соотношение коммутации

1Н0, lHQr g]] = g,

легко показать, что

(一爲十‘)尸伍 s) = 6(s -/)

(см. 190] и § II.6). Следовательно, функция F является функцией Грина для поля Дирихле, а значит, справедливо равенство (VII.18). ■

Теорема VIIЛ [91L Пусть Н^^ 厶即,0п，・・• определяются так же, как и s теореме VII.5, и пусть функция 2g определяется равенством (VIL17). Тогда

для каждого е > 0 произведение

%({，п})= Г1 恥岬 а(，п)(VIL21)

71=0

сходится в каждом из пространств 厶33 (Qf, d卩。，尸」),p V 8；

для любой Sixtai+e. а^~^-изм^римой функции и D §(%+е%)(7-6%)” “, г

для любых & и а

ехр (— аНо, с) % = %+。・(VIL22b)

Доказательство. (1) Как можно показать с помощью прямого

вычисления, \也(％) dx = 1. Далее, П II 2gMs)|| оо < оо, Jп=1 п

поскольку 2 味呢仪%)& 2 е"71 V 8. Следовательно, по лемме 1.24 произведение []屮；4勺)сходится в L2 и, значит,[[屮名飙在結 сходится в £?• Ограниченность в L°° плюс сходимость в L влекут за собой сходимость в каждом из пространств Lp (р V 8).

Нам достаточно рассмотреть функции вида и = ф (ж, 5)х X Ф (у,峭 или, что эквивалентно, вида м = gn (£) qm ($)• Для этого случая равенство (VII.22а) получается комбинированием теорем VIL6 и VIL5.

Это утверждение вытекает из равенства VIL19. ■

§ VIL2. Теория обусловленности, состояния Дирихле и предел «оо

Мы начнем с подробного изучения общей теории, построенной Гуэррой, Розеном и Саймоном 190] и «окрещенной» ими «теорией обусловленности» х). Мотивировку такого названия читатель может найти в их работе. Основным является следующее

Определение• Пусть фх и(р2 — два гауссовских случайных процесса, индексированных элементами одного и того же векторного пространства 卩，и пусть соответственно 3工(/, g) и S? (/, g)—

их ковариации. Мы будем говорить, что процесс (рх обусловлен процессом(р2 тогда и только тогда, когда

凡伉/) 0凡(力力(VII.23)

для всех / € У・

В том случае, когда выполнено соотношение (VIL23), можно указать естественную реализацию процесса(рх на ^-пространстве для процесса(р2 с той же вероятностной мерой. Мы хотим предупредить, что эта естественная реализация связана как раз с ^пассивной» интерпретацией, в связи с чем нам придется переключиться с «активной» интерпретации, которая использовалась в предыдущем параграфе, на «пассивную». Пусть выполнено соотношение (VII.23); мы можем пополнить пространство V по норме §2 (•，О"? и реализовать(р2 как «естественный» гауссовский случайный процесс над этим новым гильбертовым пространством 觇, Поскольку

0 a邑(/,力 認，(VII.24)

можно указать единственный положительный симметрический оператор А, такой, что

邑(Л /)=⑷，//)妝

В соответствии с неравенством (VII.24) очевидно, что / & 1. Рассмотрим теперь гауссовский случайный процесс / —口2(力/)・ Ясно, что его ковариация (//, /g)/ = Sj. (/, g) и, таким образом, процесс 屮2 (/ •) служит моделью для процесса(рх. Начиная с этого места, мы будем писать ф вместо(р2 и Фа вместо(р「

Определение. Если функция U С Г (曲)называется взаимодействием, то функцию Г (A) U мы будем называть обусловленным взаимодействием^ Вместо обозначения Г (A) U будем использовать обозначение U^,

Причина такого названия простая. Если U = 2： :口7^^»：, то U^ = 21 : ФП^ (力力)：=2：：口％ (力)：(в соответствии с определением (1.32)). Следовательно, если ф и (рА — процессы, индексированные элементами пространства #* (Rn)4 и U = =j g ⑵：p(ф ⑺)：Л, то

Uw^= j g{x}\P(^A (х)):^.(VIL25)

Теперь пора сделать одно замечание о символе : : в соотношении (VI 1.25). В «пассивной» интерпретации процесса 口厶 как случайной функции на Q/ виково упорядочение в (VIL25) представляет собой виково упорядочение случайных величин по отношению к мере dp.Oi 魂.Однако если перейти к активной интерпрета-

ции и определить 屮厶 как поле 屮 по отношению к новой мере d^Qt А, то можно было бы написать, что

。⑷=J g（,）:戶（屮（2））： AdrXj（vn.25'）

и здесь используется упорядочение по отношению к мере йц0）А. Например, если С7 = ：ф （/）2: , то

。⑷=Фа 厅 一〈<Ра （/У〉= Фа （/）2- $а （/,力 при пассивной интерпретации и

^（A）= <P（f）2-J<P（/）2^o,a

при активной интерпретации.

Имеется один чрезвычайно полезный способ задания обусловленной модели. Пусть 5 = М1 —Л2, так что II f II 就 =II /邦2 + + И Bf II2, и пусть 费а— пополнение пространства 抑 по норме

II/IIa^IM/II

（после факторизации по множеству векторов яулевой Л-нормы）, а 抑 в ——аналогичный объект, построенный по || *|[ в. Пусть далее 掬—觇а@ 觇 в・ Тогда пространство S6 естественно реализуется как подпространство в 抑 （при помощи соответствия / — （/，/） € С 屈）.Вейлу предложений 1.7 и 1.8, мы можем реализовать ^^ как Qa X Qb, положить

""。，認="No,a ® 卽。，b

и реализовать процессы ф, фл и ф в одновременно на Q魂.Если еА ——проекция пространства 曲 на 战а，т。для любого g С 初, мы имеем | 口魂（g） dp.o в =屮（％g）・ Следовательно, для любого

/5

屮（/） М,в（0в） = Фа U）, и вообще

J U（0А，q в） Фо, в（0 в） = и ⑷（0А）・（VIL26）

Qb

Чтобы это увидеть, заметим, что <р （/）=屮厶（/） + 口 в （/） （если все процессы реализованы на Q鹼 это не так при реализации 0А = 口（/ •） на Q^） и фд не зависит от ф в, так что

:屮⑺"：=2 （嚷）：<ра （/г：:硅е（/）：；

7П=0

таким образом, используя равенство j d^o, в :口 в(/)在：= бй0, можно получить соотношение (VIL26).

Для того чтобы применить формулу (VII.26), отметим сле- дугощий факт.

Лемма VII.8. (а) Для каждой функции / ^ Lp (7И, dp.), где 卩(Л7) = 1,

山对&J|/F加(VIL27)

(Неравенство Йенсена.) Для любой функции /, у которой j ехр / йц < 8,

ехр ^ f ^ ^ ^ ехр / dp,.(VIL28)

Доказательство, (а) По неравенству Гёльдера

I j /制& J1/1 如=||/忆《||川Ь||1m，

в силу чего и выполнено неравенство (VIL27).

Предположим вначале, что функция / неотрицательна и ограничена. Тогда при любом 也,в силу утверждения (а),

(，/&“『&,产卽，

откуда при помощи суммирования мы получаем (VIL28). В соответствии с теоремой о монотонной сходимости мы можем на самом деле рассматривать здесь любую функцию / ^ 0, даже если она не ограничена. Предположим теперь, что / ^ —с при некотором с. Тогда / + с》0, следовательно, (VII.28) выполняется для функции / + с, а значит, и для функции /. Наконец, используя теорему о монотонной сходимости, мы можем избавиться и от ограничения /》一с. ■

Комбинируя формулу (VII.26) и лемму VIL8, мы видим, что имеет место

Теорема VII.9 (теорема сравнения по обусловленности). В пассивной интерпретации, когда U⑷ задано равенством (VII.25), справедливы оценки

]|质屮仙,魂&)|ue即。,金，(U.29)

j ехр( -U⑷)咖仇魂0 j exp( 一[7)如仇羽，(VIL30)

В активной интерпретации, когда U® заЗано равенством (VII.25Z)> справедливы оценки

，I и^ 产 “,А & J и『仙,薮，(VII.29')

j ехр( —t/(A))d^0; д^ j ехр( —C/Jdjxo,^- (VII.30z)

Доказательство. Докажем, например, оценку (VII.30):

J ехР(-=

=j йцо (?А)dpo(?в) ехр ( — j и(qA, дв)@阿(0в))&

С j 加(0А)j 飙(0B)e-u«A，哈.・

В качестве заключительного результата в развиваемой здесь общей теории приведем следующую теорему.

Теорема V 11.10 (теорема сходимости по обусловленности). Если операторы А, Ап, n = 1, 2, . . ., удовлетворяют условиям 0&4之1, 0&%£1, м если А = s-lim Ап, то

lim ( dp0, <Э5? ехр [-U(An\ = ( йц0, <^ ехр (— U{An}), (VII.31)

巴 J 加,醐屮/ (/i) • • • <PAn (銹)ехр [- 0⑷]=

=J “，醐屮厶仇)• • • <PA(An)exp( —U⑷)(VIL32)

для любого взаимодействия U, такого, что U, ехр (—U) С С П £" (Q駝ч М,魂)•

Р<00

Доказательство. Поскольку /Jf// в пространстве 拠，то 屮ап (/) — 口а (/) в пространстве Г (協)и, следовательно, в каждом из пространств Z/(Q魂，йц0)魂)(р V °0) (ввиду неравенства (1.47)). Поэтому нам достаточно показать, что ехр (——С7(Ап>) т ехр (—С7(А)) в IP (Q魂,d^o,齣)(р V оо). Но из неравенства

\е-х-е~у\^\х-у\(УП.ЗЗа)

вытекает, что

|| е-и(Ап)_ е「и⑷ ||р ^ ||。⑷)_。⑷必 ц «-и®)十《-。⑷ ||r, (VIL33b)

где g" + r« = p-1. Поскольку /也 / / и поскольку ио теореме VII.9 функции (J^An\ U^, ехр (—方(厶叫 и ехр (—〃(▲)) равномерно

ограничены в пространствах £Л (р V оо), то мы получаем, что U(4n)-> и(4)в Л2. Из о гр аниченности функций и^Ап^ в Лр и Л2-сходи- мости вытекает Лг-сходимость (2V「Vp)瓜,следовательно, сходимость в ТА Таким образом, е-и(Ап)-> 吕一。(4)в каждом из пространств £?. ■

Теперь мы можем определить состояние Дирихле в области Л. Возвратимся снова к активному представлению, при котором Р^а Рассматривается как новая мера, а Ф (/) ^ та же самая функция, что и в случае поля со свободными граничными условиями. Символ : : л будет обозначать виково упорядочение по отношению к d|x&, л*

Определение.

Ug(g)= j g (х) :Р (ф (а：)): л^5 где Р ——нормализованный полиномг

(VII.34a)

U兄 л/ = и?(7л，) для каждого А\ (VH.34b) 小 ％，•(VII.34c)

=4 н^л/н2.=4 н^л/н2.Замечание. В определении (VII.34а) мы не накладываем требования, что supp g и А, допуская произвольные функции g. Однако мы полагаем <р (土) = 0 почти всюду по отношению к мере &曲 л в том случае, если х ^ Л, и, таким образом, существенным здесь оказывается только сужение g ^ Л. Поэтому для произ-

=4 н^л/н2.

=4 н^л/н2.

UR, A，= U* если А и А'.UR, A，= U* если А и А'.(VII.34d>(VII.34d>вольной функции / интеграл j 屮(/)2 dfx° л Например,

UR, A，= U* если А и А'.

UR, A，= U* если А и А'.

(VII.34d>

(VII.34d>

Пос коль ку модель с граничными условиями Дирихле является обусловленной (|| / Ц-i, л ^ II / IIn)， то применимы оценки (VH.29', 30'), и мы видим, что для функции g Е Л1 Q L1+e (и, в частности, для t/父，а，, когда А' ограничено, или для С7дг когда Л ограничено)

^(^), ехр(—坎(g))£ П 炉(Q"a，Ф?.л)-

Поэтому мы можем ввести следующее

Определение. Модель Р (ф) 2 с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Л определяется как тройка (ф, Qn^ d唠，где

被= ехр( —1/°) &財,厶/ J ехр (—鸣 d* л, (VII.35)

а функции Швингера, отвечающие граничным условиям Дирихле, определяются по формуле

^(/1, ...,./„)= J <р(Л)…屮伉)м•(VII.36)

Более общо, мы можем рассматривать S? Л, и S£ ^, заменив Ug на Ug,A，или на 吸(g).''

Замечание. Мы можем теперь пояснить, что мы понимаем под утверждением о том, что граничные условия Дирихле являются ч<ми нима л ьными». Пусть ——Д в —' произвольное расширение оператора —А 卜 С； (Л). Тогда если выполнено условие полуограниченности ——Ав>?п2, то из общей теоремы (см., например, Като [214, стр. 413—416 х)]) вытекает, что

(—Ал + 疗)т < (—А в + т2)-.

Таким образом имеет место соотношение обусловленности, которое обеспечивает нам выполнение неравенства

f ехр (—。幻 d* Л< j ехр( —。贤))印俨.

Определение, Давление ад при граничных условиях Дирихле определяется для каждого ограниченного открытого множества Л- формулой

ал =_j4rln J d闱 с exp (—鸣.(VII.37)

Определение. Давление ад при свободных граничных условиях определяется для каждого ограниченного открытого Л формулой

ал =т4т】п j 飙 ехр( —О»

(VII.38)

Мы будем использовать также обозначения

z£m J d財 А exp (一眼)，

(VIL39)

Za 三 \ dp.oехр( —С7Л)-

(VII.40)

Реальные возможности, открываемые теорией обусловленности, показывает следующая

Теорема V 11.11 [90]. (а) Для любого Л выполнено неравенство ад W ад.

Если Р — нормализоеанный полином, то ад》0.

Если Р — нормализованный полином, то для любых А и А' справедливо неравенство Zg 忘 ZR.

Для любых непересекающихся открытых множеств Л1? Л2 имеет место формула Za1(ja2 = Z兄Z%.

Если множества А】,...,Лп о Л не пересекаются, то Za》[]Z无.

Доказательство. (а) Поскольку 卩又忘 1, это утверждение вытекает из общей теоремы сравнения по обусловленности.

Согласно неравенству Йенсена (лемма VII.8Ь), если Р — нормализованный полином, то Z*》ехр (—— j U^ &卩?, а) = 1.

Как следует из теории обусловленности, того факта, что еЛ 忘玖，и равенства (VII.34d),

Z?〉j ехр (— Ug, a，) d唸 а н z£ •

Мы можем реализовать пространство Л2 (& U А2) как прямую сумму: /Л (Ац U Л2) = 7?(入О ㊉ I? (Л2), и считать —A t 窗(& U Л2) = —А 卜窗(％)㊉一А 卜窗(％)・ Следовательно, —Aai(ja2 ~ —АЛ!㊉—Ал2, тан что 品山& =绍丄㊉ ㊉6卷，т. e.

[Gd (^,0 если у€Ан

G智“a”(瑞 у)=，先2(瑞 у), если х, i/€A2,

.0в остальных случаях,

:叫 “HdWU&h:叫 “HdWU&hпри / € А1, при /gа2,при / € А1, при /gа2,冲龍(/)： d, a1:<p2/)：d, Л2冲龍(/)： d, a1:<p2/)：d, Л2Позтому d^ А2& = &闹 А ® d財,Л2 и

:叫 “HdWU&h

:叫 “HdWU&h

при / € А1, при /gа2,

при / € А1, при /gа2,

冲龍(/)： d, a1

:<p2/)：d, Л2

冲龍(/)： d, a1

:<p2/)：d, Л2

так, что URu% = U兀 + 〃几，откуда и следует утверждение (d).

Это утверждение вытекает из утверждений (с) и (d). ■

Пусть g, t = &_"2, z/2]x[-t/2, f/2] и а?£ определено аналогичным образом. В § VL1 мы показали, что существует lim az)t — =аоо (поскольку давление az)± монотонно no Z и & то вместо повторного предела, который рассматривался в § VI.1, а именно lim (lim aZj f), можно написать двойной предел). Справедлива ?f ОО i->oo также следующая теорема.

Теорема V 11.12 [90]. Пусть Р— нормализованнъш полином. Тогда

функция 及a? f супераддитивна по Z (соотв. по 方)при каждом фиксированном 方(соотв. Z);

существует lim а? z = а^ и а^ W а©

14 Б. Саймон

Доказательство, (а) Поскольку мы можем записать А^+®, t как объединение непересекающихся (с точностью до части границы) областей, полученных сдвигами из Лй( f и А&,力 то

откуда вытекает свойство супераддитивности.

(Ь) Поскольку давление af, f ограничено сверху и снизу (ввиду теоремы VII.И (а, Ь) и того, что a%, f & «(»), это утверждение следует из утверждения (а) и общей теории субаддитивных (полуаддитивных) функций (см” например, Като [214, стр. 41]). ■

Впоследствии, в § VII.4, мы еще возвратимся к рассмотрению естественнд возникающих здесь вопросов, таких, как доказательство равенства а^ = а^ и сходимости функционалов ад (соотв. аЛ) к а» для областей Л более общего вида.

Литература к § KTTJ,否

Гуэрра, Розен, Саймон [90, 91j.

§ VII.3. Состояния полудирихле и их трансфер-матрицы

Пусть Л — открытое ограниченное множество. Для произвольного компакта А' и А мы можем определить не только величину 冗)а，，но также и величину 厶，=j :Р (tp (х)): d?瑞 где л

символ : : означает виково упорядочение по отношению к dp.o (мы снова возвращаемся к активной интерпретации). Поскольку мера d (ро* л t 2л0 абсолютно непрерывна относительно меры d 3。}』；，)и обе их взаимные производные Радона 一 Никодима принадлежат Лр, то

П 厶p(Qn, Еа，，加)=П D(Qn,班，d崛 J ”8P<OOU，

так что U&r exp {~U^ 6 Q £" (Qn，Sas ^Цо.л)- Натаей целью будет доказательство того, что это остается верным при А' т Л, что позволит нам тогда построить меру 丄) dw?"= =exp (—t/д) d虛a/Z严.Мы будем следовать изложению Гуэр- ры, Розена и Саймона [90]. Первый шаг, который нам необходимо сделать, состоит в том, чтобы, используя (1.20), переписать :Р (ф (х)): в терминах степеней ：屮酬(工)：口，а・ При этом естественно возникает разность функций Грина Go и 燄,и мы начнем наше доказательство с предварительного изучения этой разности.

1) Ниже индекс HD — от Half-Dirichlet («полудирихле»).—Прим, ред.

Поскольку для функций / С Со (Л)

(VIL41)(VIL41)(—АЛ4-т2) j Сд(ж, у) f (у) dy = f (х),

(VIL41)

(VIL41)

то функция б£ (х, у) удовлетворяет уравнению в обобщенных функциях ( —Ajc + tr2) Сд(х, у) = 5 (а—у); таким образом, 燄 является функцией класса С°° вне гиперплоскости х — у — 0 (в силу теоремы об эллиптической регулярности1)). Формально функция j Сл(£ У)/ (у) dy обращается в нуль на границе 8А, поэтому формально Сд (х, у) -> 0, когда х -> 8А. Мы приходим к следующему определению.

Определение. Назовем открытую область Л нормальной, если для каждого у £ Л функция Сд (х, у) -> 0, когда х -> 5Л или х -> оо (если область Л неограничена).

Известно, что внутренность любой жордановой кривой нормальна.

Определение. При 土*у

6GA (z, У)= %(Z, у) — G^ (ж, у).

Л-®©(d)Л-®©(d)Теорема V 11.13. Пусть Л — нормальная область. Тогда (а) предел 3aGa (х) = lim 6GA (土，У) существует для всех ос

Л-®©(d)

Л-®©(d)

G* (怎沙)》0 при всех 土 抬 у;

5@а (土, У)》° 也Р〃 всех 土, у; для всех а £ А

0&5Ga(r)Wsup Go (х — у).(VIL42)

уеал

В частности, если d = dist (х, dА) < 1, /по

О^бСд(х)^ — 2л In d +const,(VII.43)

где константа не зависит от Л, а при больших d

О & 5GA (胃)W С ехр (—md);(VII.44)

(е) если А' п А — также нормальная область, то BG% (х) & & 5GA (%)也р〃 всех а С А.

Доказательство. Отметим вначале тот общий факт, что если функция / непрерывна на замкнутом ограниченном множестве S, причем (—А + 疗)/ = 0 на и /0 (соотв. / & 0) на S,

то / является субгармонической (соотв. супергармонической)

j) См., например, статью Кона и Ниренберга «Некоэрцитивные краевые задачи» в сборнике «Псевдодифференциальные операторы» (《Мир》，1967).—— Прим, перев.

функцией и потому принимает свое максимальное (соотв. минимальное) значение на 9S.

Поскольку (——Ар + 加?)6G (%, у) = 0 при всех х1 то 6GA(R, •) (как функция от •) принадлежит классу С°° при всех х в соответствии с теоремой об эллиптической регулярности. Поэтому существует, в частности, и рассматриваемый в этом пункте предел lim 6GA (а, у).

Зафиксируем у. На основании утверждения (а) 然(伤 у) f f 8, когда 土 f у, так что (—Ад + ?п2) 6^(%, у) = 0 на открытом множестве S = {% | 6空(片,у) V 0}・ Следовательно, минимум функции G?(・，y) Т S достигается на 6S. Но G^ обращается в нуль на dS. поскольку условие х £dS означает, что либо х дА (и, значит, Ga (瑞 У) = 0 ввиду предположения о нормальности), либо функция G? одновременно отрицательна и неотрицательна в некоторой окрестности точки х.

Это утверждение выводится с помощью таких же рассуждений, как и утверждение (Ь), если заметить, что 6GA (片，у)= =% (% — у) >0 при х £ 9А.

Поскольку 5GA положительно и (—А宏 + ^2) 5GA (片,у)= =0, то функция 5G (•, у) принимает свое максимальное значение при х С ©А, причем в той точке, где 8^G (翁 у) = б。(％ — у). Следовательно, 6GA (у, у) 三 5GA (у) & sup Go (x — у). Так как х£0Л

функция G()(•) монотонно зависит от | • |, то sup Go (土 一 у)= У60Л

=Gq (dist (x, ЗА)). Что касается явных оценок, то они вытекают из предложения V.23.

Зафиксируем у. Тогда разность 5GA (土，У)— ббл* (土，у) представляет собой функцию / (х) на Л, удовлетворяющую уравнению —А/ + ^2/ = 0. Кроме того, если % •£ 6А, то / (а)= = GR (х, у)》0金(согласно утверждению (Ь)). Следуя доказательству утверждения (Ь), можно получить, что 6GA — 6Ga，》0 при всех % м, в частности, при х = у. ■

На основании формулы (L20b) мы можем написать

:屮7*(“)：= S 仇之*(-6Ga⑺У：уМ®：”А,(VII.45)

j—0

подразумевая при этом, что равенство (VIL45) выполняется после сглаживания с весом g £ Сj (Л). Учитывая оценку (VIL43), введем следующее

Определение. Назовем множество А и R? логарифмически нормальным, если оно нормально, открыто и ограничено и при

всех р V 8

In (dist (х, 6А)) 6 Lp (Л, &2%)・

Справедлива

Теорема V 11,14 [90]. Для любого логарифмически нормального множества А и любого полинома Р

^Л, ехр( —С7л)€ п D(Qn, d財 а)，

ede СТл = J :尸(ф (х)): d2x (символ : ： означает виково упорядоче- л

ние по отношению к йц0).

Доказательство. Используя равенство (VII.45), мы можем написать

Ua= j О2т[：ф2га(а：)：О,л+ 3 修(N)：中'(7)5,а]&2芻

Лj=0

где I 办(x) I & const (1 + In [d (%, 6А)))・ Положим

2m~l

^A= j。2m [：<₽2m(%)：+』Hj (%) ：q? (%)：]医％.

Лj=o

Тогда 行a, exp (—欧)6 Q Lp (Q, с?ц0), в силу логарифмической p<oo

нормальности Л и теорем V.2 и V.7. В соответствии с теоремой сравнения

II 〃А II L@(Q, d就А)& II °А 11 EQ.dMo)； аналогичная оценка справедлива и для ехр (—СТд). ■

Теперь мы можем ввести определение полудирихле-состояния.

ОпределениеМодель Р (ф)2 с половинными граничными условиями Дирихле 6 логарифмически нормальной области А, определяется как тройка (ф, Qn&, dv^D), где

越D = exp(—〃)&財小/ j ехр( —UQd吟a，(VH.46)

а функции Швингера^ отвечающие половинным граничным условиям Дирихле、определяются формулой

S?D (/1,/п)= j Ф(/1) ••• Ф (屮П)dvHD. (VII.47)

Замечания. 1. Возможность определить полудирихле-состояние в значительной степени зависит от того обстоятельства, что фу!гк- ция б? Для свободного поля имеет только логарифмическую особенность. В размерностях три и более аналогов полудирихле- состояния, по-видимому, не существует.

2. На первый взгляд, полудирихле-состояния выглядят неестественными, однако они полезны по следующим соображениям. Когда А' возрастает, та часть интеграла U^„ которая отвечает Л, т. е. U^ а’， изменяется. Но для U^ это неверно. Это обстоятельство имеет важное значение при применении так называемых ГКШ-неравенств (см. § VII.5), кроме того, значительно упрощает теорию трансфер-матрицы для полудирихле-состояний по сравнению с теорией трансфер-матрицы для дирихле-состояний.

Зафиксируем некоторое Z, и пусть SB — гильбертово пространство, введенное в теореме VII.5. Положим

卩严=J :Р (咽(z)):dz,(VII.48)

-f/2

где символ : : означает виково упорядочение по отношению к 卩 °; другими словами,:尸(ф? (х)): определяется формулой (VIL45) для области (-Z/2, 〃2) X R [или, если следовать общей процедуре § V.1, при помощи Ехр (ср (х)屮(у))=歹2 (土 一 У，0)]. Повторяя доказательство теоремы VIL14, мы видим, что и V严 И ехр (-Р严)лежат в 门 9 (Q“，&阿)，если 施реализовано как Z2 (Q%，©Мо)・ Поэтому, применяя конструкцию § V.3, получаем следующую теорему.

Теорема К 11.15, Трансфер-машрица полудирихле-сосшояния 反严=砒产严

является существенно самосопряженным и ограниченным снизу оператором на С00 (Н&, ,)•

Обозначим через Е™ энергию ее основного состояния, а через R^d — само основное состояние. Как нетрудно догадаться, Н™ — это трансфер-матрица, определяемая равенством

育严=h严一后严.

Определение. Пусть

Z严三"-以啾А，

就D三击1n Z严，

а через Z既 и а™ обозначены те же объекты для области Л = =I-〃2, 〃2] X [Т/2, /2).

Теорема, V 11.16 [90]. Зафиксируем полином Р и число 2. Имеют место следующие утверждения:

limaF?= -Е严〃；

при всех * & • . • & 丘〃力 £ С『(Т/2, 〃2) г—0, ..., п, lim S^? (/о ® 6%, • • г fn ® ^sn)―

=偿严，喟的产Н严…e-包Н严瞠仇)r严),

zde /2 ==*—Sj _^.

Этот результат довольно просто получается при помощи тех же методов, что и в § V.4, если учесть, что справедливо

Предложен we VII>17. Для каждого е > 0 существует положительный вектор Yg, лежащий s некотором пространстве £' (р > 2), такойчто

zK* = (?e, e-(t~2^^/^ е-а-2е)н& 诈)，(VII.49)

где T]fi определено равенством (VII.21);

*5^? (/о ® 5%, . . ., /п ® §8П)=

=但，户-加严Ye) (Ye, 6-%自严明仇)…吧(九)Jn+，窮%), (VII.50)

2©e tQ ~ ^ T — £ + s()m 力п+т = E T f & — s^・

Доказательство. Пусть т)е задано равенством (VII.21). В первую очередь мы докажем, что существует предел

у8 = L2-lim ехр (—(£ — 6)反严)т)й.(VII.51)

Для этого зафиксируем 8 и положим & = ехр (— (е — 6) Я®п)т]б. Тогда, согласно формуле Фейнмана ——Каца и формуле (VII.22а),

(«в, &，) = (%, ехр [(— 2е + 6 4- 6r) ff?D] т]е-)=

= (%, ехр[( —2e + 6 + g破?]电，)jW%xi,e»%% где

a,6，= J (j^dt.

-е+б*

В соответствии с соотношением (VI 1.22) скалярное произведение (Пб： ехр [( —2е + 6 + б7) 〃? J ЛбО = (%, %) не зависит от б, а, в силу теоремы VIL14, существует lim \ &卩?2义[一& 叮廿一“田"♦ Следовательно, lim (х§, 必，)существует, когда 5, 6х -> 0, неза-

6, о

висимо друг от друга, так что lim || х§ ——乂》|| ^2 = 0, т. е. х6

6, удовлетворяет критерию Коши, что и означает, что выполнено соотношение (VII.51). По определению,

ехр (— аН产)Y& = ye+a,(VIL52)

и поскольку ехр (―仙严)обладает свойствами гиперсжимаемости (это устанавливается с помощью тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы V.10), то уе £ 加 при некотором Р > 2.

Равенства (VIL49) и (VII.50) легко следуют теперь из равенств (VII.22, 51) и того факта, что ехр (— %, у) f ехр ( —，，о) в П £*Qn，&或 2Х[—е, е]) при 6, 6' f 0. ■

”8

Литература « § VII.3

Гуэрра, Розен и Саймон [90].

§ VIL4. а* = а? = a=D

В этом параграфе мы докажем два результата из работы Гуэр- ры, Розена и Саймона [91], утверждающие, что ccg = a^> и что lim a严 = ccg. Мы докажем вначале второй результат, поскольку это несколько проще технически. Наибольшие технические трудности связаны с различными виковыми упорядочениями. Мы будем использовать слова «фиксированное взаимодействие, отвечающее викову ...-упорядочению»т говоря о выражении

2n- 1

卩=j g2n (?) [：ф2п(к):十 2 Er (?)：$" (?)：]医支(VIL53) т=0

(или его гамильтоновом аналоге), где %, g2n удовлетворяют условиям леммы V.6. Таким образом, величина V меняется при изменении смысла викова упорядочения. Сам термин «виково ц0-упорядочение» не требует пояснений, и мы используем термины «пространственное L-упорядочение», «временное Z-упорядочение» и «пространственно-временное Е, Z-упорядочение» для обозначения соответственно виковых упорядочений по отношению

К a曲[一〃2, 〃2]XR, &N^ RX[ — T/2,T/2] И d|i^ [-Z/2, Z/2]X[-T/2,T/2J-

Лемма V11-18» Пусть g2n — функция с носителем в [—〃2, 2/2], и пусть через Vl обозначено фиксированное в заимодействие с пространственным р ^упорядочением (L ^ Z). Пусть далее через 卩 обозначено взаимодействие^ отвечающее викову ц^упорядочению. Тогда

%吧Е（% +乙）=Е（仇十Ю-%吧Е（% +乙）=Е（仇十Ю-(VIL54)(VIL54)Доказательство. Пусть а，，ТДоказательство. Пусть а，，Т.Т/2У In j &咸 z ехр (—J Js九ds)..Т/2У In j &咸 z ехр (—J Js九ds).—Т/2Тогда, в силу теоремы о сравнении по обусловленности (теорема VII.9), функция а，，т монотонно возрастает по переменной Л,—Т/2Тогда, в силу теоремы о сравнении по обусловленности (теорема VII.9), функция а，，т монотонно возрастает по переменной Л,а, в силу теоремы о сходимости по обусловленности (теорема VII. 10)га, в силу теоремы о сходимости по обусловленности (теорема VII. 10)гlimно,limно,、Т/2аг, г =々8, т 三予 In ) &卩0 ехр (一 J J$P &£)• Следователь-—Т/2as т = sup аь т. Применяя теперь формулу ФКН и рас-、Т/2аг, г =々8, т 三予 In ) &卩0 ехр (一 J J$P &£)• Следователь-—Т/2as т = sup аь т. Применяя теперь формулу ФКН и рас-

%吧Е（% +乙）=Е（仇十Ю-

%吧Е（% +乙）=Е（仇十Ю-

(VIL54)

(VIL54)

Доказательство. Пусть а，，Т

Доказательство. Пусть а，，Т

.Т/2

У In j &咸 z ехр (—J Js九ds).

.Т/2

У In j &咸 z ехр (—J Js九ds).

—Т/2

Тогда, в силу теоремы о сравнении по обусловленности (теорема VII.9), функция а，，т монотонно возрастает по переменной Л,

—Т/2

Тогда, в силу теоремы о сравнении по обусловленности (теорема VII.9), функция а，，т монотонно возрастает по переменной Л,

а, в силу теоремы о сходимости по обусловленности (теорема VII. 10)г

а, в силу теоремы о сходимости по обусловленности (теорема VII. 10)г

lim

но,

lim

но,

、Т/2

аг, г =々8, т 三予 In ) &卩0 ехр (一 J J$P &£)• Следователь-

—Т/2

as т = sup аь т. Применяя теперь формулу ФКН и рас-

、Т/2

аг, г =々8, т 三予 In ) &卩0 ехр (一 J J$P &£)• Следователь-

—Т/2

as т = sup аь т. Применяя теперь формулу ФКН и рас-

суждения, содержащиеся в доказательстве теоремы VL2(b), мож

но показать, что

—Е (Нр, l + 卩工)=sup а^5『,

монотонно возра-=sup sup aL> т =монотонно возра-=sup sup aL> т =—Е (% + О) = sup aL, Таким образом, величина —Е (础,L 十 VL) стает и ее предел равен sup sup aL г =—Е (Но + V). ■

монотонно возра-

=sup sup aL> т =

монотонно возра-

=sup sup aL> т =

Лемма F 11.19» Пусть V —— фиксированное взаимодействие г/2

вида J :Р (屮)：姦,отвечающее викову ^^упорядочению.

Т/2

Тогда (см・ рис. VIL1)

Т/2

lim -— Inlim -— IneXр (- J (几卩)曲"闹8,产一矶区十卩)■(VIL55>

lim -— In

lim -— In

-Т/2-Т/2

-Т/2

-Т/2

Доказательство. Положим Е=Е (Яо+7) и El=E (Я? L+V^ Т/2*

при L>l+i. Пусть 坛，т=^In ( jexp(—卜JsPQtfc) фо, L,T), —Т/2

где взаимодействие VL получается из V при помощи пространственного L-упорядочения, а через Ът обозначено выражение, стоящее под знаком предела в левой части соотношения (VII.55). Согласно (слегка модифицированному) утверждению (а) теоремы VII.16, lim 匕厶，т = ―七乙，а, в силу леммы VII.18 и рассуждений, применяемых в ходе ее доказательств, lim (—笈匕)=—E.

В силу теорем о сравнении и о сходимости по обусловленности, sup bLi т = Ът. Мы утверждаем, что

lim inf bT > -Е・(VII.56)

Для данного е найдем такое 厶，что | Еь ——笈 | & е/2, и такое Т。, что 丨匕丁，乙 + £工 I & е/2 при Т > Го- Тогда для Т > То

Ьт > %, г》一Е — £,

откуда и вытекает (VII.56).

Для произвольных 力 Т найдем такое 卩九 г, что временное Z-упорядочение величины JtVt г совпадает с и0-упорядочением '1/2

величины JtV, Таким образом,匕，т = J :尸九 г (屮⑴)：dx, где -f/2

у и величиной С ехр (—m0 (Т — | t |))у и величиной С ехр (—m0 (Т — | t |))Р九 т — это полином с таким же главным членом, как и Р, и с членами низшего порядка, ограниченными величиной —In (Г — | t |严7n при 0 & } Т — I 力 I &

у и величиной С ехр (—m0 (Т — | t |))

у и величиной С ехр (—m0 (Т — | t |))

при у Г — I ^ I > у (в соответствии с теоремой VII.13). Поэтому

Т/2

匕=；In j eXp ( 一 J :九匕,T： d, T威)d叫,8,Tа

-Т/2

Т/2

&}lnjexp (- J :九%,T："。或)d阿《

Т/2

&$ J(一"(％+%, т))由；

-Т/2

первое неравенство выводится из теоремы о сходимости по обусловленности, а второе ——из соображений, подобных тем, которые использовались при доказательстве теоремы VI.4.

Исходя из оценки теоремы V.9 и включающей (—In (7 — | 方 |))2П оценки для коэффициентов, низшего порядка, мы получаем нера-

венство

Т/2 + 1/2Т/2

(j 十 j)(— Е (Hq -\-Vtt т)) dt^ const,

— T/2-T/2-1/2

где константа не зависит от Г. Ввиду выпуклости —Е (Яо + 〃2

一〃2 на Р и一〃2 на Р и:P((p(%)):姦)как функции от коэффициентов многочле-

一〃2 на Р и

一〃2 на Р и

включающей С ехр (—mQ (Т — | t |)) оценки для коэф-

фициентов низшего порядка, мы имеем

一后(％ + 匕，т) & 一后(Яо + V) + Сх ехр (―恤(Т ~ \ t I)) при всех 厶 7\ для которых — Т — I 方 I > 讶・ Следовательно,

Т/2

J 一 Е {Hq + %, т) d力& 一 ТЕ (Hq + 卩)十 const -Т/2 и, таким образом,

lim sup Ьт & -Е (Но + Q..

Теорема F 11.20 (Гуэрра,(Розен и Саймон [91]). Пусть Р — фиксированный полином. Тогда

lim (lim а 丹*) = а»,, 1-> 8 t-> 8*

zde а» — удельная энергия на единицу объема для свободных ара- ничных условий.

Доказательство. Согласно теореме VII.16, нам достаточно доказать, что

1汕(一ё严〃)=^.(VII.57)

Далее, ввиду нелсоновой симметрии (см. рис. VIL1),

Т/2 Ч2HD

jd 用,8*ехр(— j ( J :P((p(x, 0) ： ц0^ж) d^ = (Q0, е~гНг %>,

-T/2 -Z/2

поэтому,* в силу леммы VIL19,

ИтIn(а()е "т a。〉= cq三一E^l.(VII.58)

И э равенства (VIL58) и оценки Z-1 In (Qo, ехр (~1Н™) Qo) & Е ^D ВИДНО, ЧТО ДЛЯ любого 2 V 8

liminf (~^D/r)>ab

так что

lim inf (—后严〃)》аоо・

Теперь заметим, что существует линейная верхняя оценка вида —笈严 & С J + С2. Она получается, если мы перепишем 卩严 в терминах пространственно /-упорядоченных выражений и применим теорему о сравнении по обусловленности. Поэтому, подражая доказательству теоремы VI.7 (которое основано только на линейной нижней оценке и на свойстве гиперсжимаемости), мы найдем, что при всех 2 > 4

— ；ln〈Q。, Q严у.

Следовательно, для каждого Т

一靑 1п&, е-тн严％〉》—砂D// — C/Z

так что, в силу (VII.58), при всех Т

lim sup (— Е 严〃)^ат + 67T.

Устремляя Tf 8，получаем соотношение (VIL57)..

Обратимся теперь к доказательству равенства аЕ = ccg. Влияние викова упорядочения является здесь сильнее, чем в предыдущем доказательстве, однако, в силу теоремы о сравнении по обусловленности, некоторые неравенства доказывать легче. Применяя конструкцию § V.3, мы получаем такую теорему.

Теорема 卩 Л・22・ Отвечающий граничным условиям Дирихле гамильтониан

〃？ = Н% + Р?,(VII.59)

где

呼=j :尸纳(%))：D,E 呢(VIL60)

~l/2

является существенно самосопряженным оператором на С°° (#?, г).

Через 碎 мы будем обозначать энергию его основного состояния, а через Q? — само основное состояние. Положим

育 D “D "D

Теорема V 11.22. lim а乙=—后？/2 = sup а? Р

Доказательство. На основании теоремы о сравнении по обусловленности

t/2

就 1《*ln J d區 z, 8 exp (- j/s (唱0)'

—1/2

так что lim sup a? t V sup a? t & —E^L Далее, поступая, как 38*i

и при доказательстве теоремы VII.16 (а), мы получаем, что

lim±ln J d^ l texp(-『厶(呼)盛)=一研.(VIL61)

Вся проблема состоит теперь в том, что взаимодействие в a? f подвергнуто как пространственному, так и временному викову упорядочению, а не одному только пространственному упорядочению. Мы обозначим это взаимодействие через。孜丁 и определим 6〃圾「соотношением

t/2

u厶=J人(唱曲+ 5。k.(VIL62)

-t/2

Тогда, в силу неравенства Шварца для интегралов по мере D

e~vi xta^Of £，имеем

b "-%一6喂丁仙,3《等111 j e-u%o + gln j e-u-26ud阿.

Следовательно, ввиду равенства (VII.61),

—E?^-|-liminfa°t + -^-limsup-^- In j е~им~ьим d^tit t,

и потому, для того чтобы установить утверждение теоремы, достаточно показать, что

lim sup-1 In j е-г^*-2вг°МИо, j,t< -^P-(VII.63)

Для вывода оценки (VI 1.63) мы вначале применяем теорему сравнения по обусловленности, с тем чтобы заменить меру 卩。，匕，力 на меру Ro,厶 8 , а затем ——соображения, идентичные тем, которые содержатся во второй части доказательства леммы VIL19. ■

Замечание. Изложенное вьппе доказательство близко к рассуждениям, использованным Фишером и Лебовицем [47] в их исследовании независимости давления классического газа от граничных условий.

Лемма 01T・23・ Зафиксируем P и l, и пусть

〃22/2

Ut = j ds j dx :P(Ф(X, s))：8,t,D,

-t/2—2/2

где виково упорядочение проведено по отношению ко временному направлению. Тогда

出 ^ In J @財 8, t ехр ( — 瓦)=一 Е (Яо + Р),(VII.64)

〃2

где У = j :Р (ф (х)): dx упорядочено по отношению к мере 卩。. —2/2

Доказательство. При Е》Z положим t/2〃2

瓦，Т= ^ ds j dx :Р (ф (^, s))："t,D, — t/2—2/2

&,T = £ln J d唱L“exp(—%T),

"2

Et = E ^Ho,l+ j ：Р(Ф(Х, s)): L.oo.D^ )."1/2

Тогда на основании теорем о сравнении и о сходимости по обусловленности С± = sup С[, р В силу теоремы VII.18, а также рассуждений, применяемых в ходе ее доказательства, ——Е (ff0+ + V) = sup (——玄l). Наконец, по существу повторяя доказательство предыдущей теоремы, можно полагать, что sup CLt ± =

=—现・，Следовательно,

sup Ct = -Е (母 + Q・(VII.65)

Но, как следует из общей теории обусловленности, функция С\ супераддитивна, так что sup С± = Иш С；..

t*

Теорема V 11^24 (Гуэрра, Розен и Саймон [91]). а?= ctg.

Доказательство. В силу теоремы VII.22, нам достаточно доказать, что

lim ( — £?//) = ««,.(VIL66)

Ввиду симметрии Нелсона (см. рис. VII.1!),

j d闹 8“eXр(一区)=偽，e~lHt Qo),

и, так же, как и в доказательстве теоремы VII.20,

lim inf (-研〃)》a8, или a^^aTO,

а в соответствии с общей теорией обусловленности aS & a^. ■

В качестве одного из применений теоремы VII.24 и теории обусловленности можно получить следующее усиление теоремы VI.5.

Теорема F 11.25 (Гуэрра, Розен и Саймон [91]). Пусть g^ — последовательность неотрицательных функций и /п — последовательность интервалов^ такиеу что

⑴I乙I f 8；

0 & gn Q) & С при всех х ^ /п, где С — некоторая кон-

станта^ не зависящая от п;

приприприпри(屮)卩:[j Ign —1 рл:-> 0

при

при

при

при

(iv) i^j- j g^dcf 0

R7r

Тогда lim (-E (gn)/\ In |) = аж.

Доказательство см. в [91].

Укажем еще одно применение.

О пределение. Для данных q € (0, ос) и А и R? обозначим через N： (Л) (соотв. Na (Л)) число квадратов со стороной Q с центрами в узлах решетки Z2a = {(nxa, n2a) | nx, n2 C Z}, которые пересекаются (с соотв. содержатся в) Л. Если Лп ——последовательность областей, такая, что

I Лп I оо,

Na (An)/7VJ (An) -> 1 при каждом фиксированном q, то мы будем говорить, что Лп -> оо в смысле Ван Хова.

Т во рема V 工工.26. Если Лп -> оо ^ смысле Ван Хова, то lim a^n = lim аЛп = ctg. tlf 871f 8

Доказательство. Подражая доказательству теоремы VI.4, находим, что адп & а»,, а из теоремы VII.11(a) получаем, что а?几 0 ^ адп. Далее, по теореме VII.11(e)

ZT 》(ZK 产⑷，

так что при любом а

】iminfa?»>aK，

откуда следует, что lim inf а?》а? = а®..

Литература к § 0工工・4

Гуэрра, Розен и Саймон [91].

§ VIL5. ф-оценки для полудирихле-состояний

В этом параграфе мы хотим обсудить (p-оценки для полудирихле-состояний. Основная идея состоит в том, чтобы трактовать их, следуя формулировке Фрёлиха (см. § VI.5), и использовать некоторые следствия неравенств ГКШ из следующей главы. В случае модели (<р4)2 (или в более общем случае полиномов вида Р (X)= аХ《+ ЬХ2 — jxX) можно доказать оценки Фрёлиха и для дирихле-состояний, однако мы не будем приводить здесь детали доказательства: ф-оценки для дирихле-состояний удается изучить лишь после того, как развита теория трансфер-матрицы для таких состояний. Для полудирихле-состояний можно дать также «марковское» доказательство(p-оценок, если воспользоваться методами статьи [181].

Для ограниченной области А и функции g с носителем в Л мы определим порождающие функции Швингера^, отвечающие свободным граничным условиям и половинным граничным условиям Дирихле, при помощи формул

c“(g)= J e^e-u^d^lZA,CfD(g)=]热3)厂以a叫,a/Z?d.

При применении теоремы Минлоса нас в первую очередь интересует поведение функции Са (g) при вещественнозначных g Е С^ r (R2), однако при работе с оценками Фрёлиха наиболее естественно рассматривать выражения вида 0A (士£g), для таких же g.

В § VIII.3, 5 мы докажем следующее

Предложение. Для любого полинома Р вида Q (X) 一 цХ, где 卩》0, a Q — четный полином^ м для любых функций /「... ../п ^ 0 класса С『

S^d С】,...,/п) ^ 0 при всех ограниченных А;

5™ 仇，• • •> /п) < S& 仇，| • • ♦, /п) при всех ограничен- лых А;

(с)欧D 仇，...，％) К S$D 仇，.，％) npu всех ограниченных Л, Л\ таких, что Л и А'.

С помощью этого предложения может быть доказана следующая теорема.

Теорема V 11^27 (экспоненциальные оценки Фрёлиха для полудирихле-состояний 151]). Пусть Р ——фиксированный полу- ограниченный полином м все множества Л, естречающиеся ниже； ограничены. Тогда

для каждой функции f CC^r(R) существует константа с (/), такая, что

j ехр 仲(/ ® %(о, 0)] dv产Кехр (с (/)i), (VII.67a)

j exp ( j I Ф (/ ® 6S) I ds ) dvAD^exp (c (f) Z) (VIL67b)

при всех Л n supp / (константа с (/) не зависит от Л);

для каждой функции / С С『(R2) существует такая константа d (/), что

|С泸⑺ Wexp(d(/))(VII.68)

при всех Л n supp /;

для каждого е > 0 существует константа с (е), такая, что

I 徹° (明《ехр (с (е)|| h И j)(VII.69)

при всех A£C^r(R2), для которых suppAuA u j |厶(①，£)|х X dx^E^ при всех £•

Доказательство. Прежде всего заметим, что оценки Фрёлиха (VI.54——56) легко распространяются на случай функций, являющихся абсолютными значениям^ функций класса С『.При зтом если 厶,...,/п — вещественные функции, то

5ad(Л,九)&欧口(|川，]3|),

в силу утверждения (а) сформулированного выше предложения. Поэтому

C™(if)^C^(-i\f\).(VII.70)

Поскольку для комплексных функций /

I 戏⑺ WJ I ехр ”⑺)|йи = СГ(-Ф (Im f))^cr (-i|/|), (VII.71)

15 Б. Саймон

то оценки (VII.67a)? (VII.68) и (VII.69) вытекают соответственно из (VI.54а), (VI.55) и (VI 1.56) и из следующей оценки, основанной на утверждениях (Ь) и (с) сформулированного выше предложения: если Л и [—〃2, 1/2] X [—£/2, £/2], то

e产（一订"）e产（一订"）盘C既(-"升)(в силу утверждения (с)Ж

e产（一订"）

e产（一订"）

<limG^(-i|/|) (в силу утверждения (с)Ж

KlimCixt (―力"I) (в силу утверждения (Ь))・

Для того чтобы установить оценку (VIL67b), мы вначале воспользуемся замечанием, приведенным после теоремы VI.22b, и докажем, что

j ехр ( j(р2 (/ ® 6s)"”, 8^ехр (с (/) ОО

Затем, как и выше, заметим, что для вещественных функций /

ооооJ ехр ( J ф2 (/ ® 6S) ds) dv™< J exp ( J(p2 (/ ® 6S) ds) dp, 8,

о

о

о

о

так что неравенство (VII.67b) следует из неравенства

j ехр ( j I ф (/ ® 6S) I ds)dv%睡 J exp ( j (<p (/ ® 6S)2 + l)dsj dv™..

о0'

Из теорем VIL27 и VL24 вытекает

Теорема V工工・28* Зафиксируем полином Р. Тогда для любой функции / С С『м всех 厶 таких, что supp / и [—〃2, 〃2],

±¥(/h/川办(百严+1)■

Теореми V 11.29 (52-оценки Фрёлиха для полудирихле-состояний [51]). Пусть Р ——фиксированный полином. Тогда при всех ограниченных Л

существует такая норма ||| \\\ в пространстве 乎(R?), что для всех функций ftg^^ (R2) с носителями в Л

I 战％(/, g) Kill/III Illg III；(VII.72)

существует такая норма |[ || в пространстве 乎(R), что для всех функций /, g, для которых supp (/ ® 5§) и Л, supp (g ® б£) и Л,

I隈*(/®6s, g®6f)!<[|/|| ||g||.(VII.73)

Кроме того, если S^? = Иш 甥％才 т0

для некоторой подходящим образом выбранной нормы || ||' е 斤(R) и всех J-, g с носителями e I—〃2, 〃2]

Is界(/ 8 自，g g g — S門(/ 8 6s, g 8 6S)|<

V|/-s|||/『||g『. (VII.74)

Доказательство. Используя предложение, сформулированное на стр. 224——225 (также, как и при доказательстве теоремы VII.27), находим, что

15?л(/, g)*S賜(1/1，|g|) (в силу утверждения (а))<

Klim 战％xf (|/|, |g|) при соответствующих Z, t

(в силу утверждения (с)Ж

<^(1/1» kl) (в силу утверждения (Ь)).

Таким образом, оценки пунктов (а) и (Ь) нашей теоремы вытекают из аналогичных им оценок (VI.57) и (VI.59) для свободных граничных условий.

Чтобы доказать оценку пункта (с), мы заметим прежде всего, что для выражений

ИЯо, ^(f)] = p(ho,if)

И

i [р [ho, if),喈(/)]= J |/(叫2 ^

-Z/2

имеют место л-оценки с половинными граничными условиями Дирихле, поскольку функции 盘〉вида (VII. 10) порождают ортогональный базис {卩几(А)% 盘> (2/Z)} в Z2 (—Z/2, Z/2). Таким образом, как и в доказательстве теоремы VI.20, приходим к оценке 土 订砒，<p(/)y/U/k2(^D+l),

и (VII.74) получается с помощью повторения доказательства оценки (VI.60). ■

Литература к § VII.5

Фрёлих [51], Саймон [181].

§ VII. 6» Полудирихле-состояния для модели Хёэг-Крона

Мы хотим сейчас вкратце описать те оценки, которые обеспечат нам как возможность определить полудирихле-состояния в модели Хёэг-Крона, так и возможность доказать, что соответствующие функции Швингера не обращаются тождественно в нуль.

Согласно формуле (1.20), если : : —это виково р,0-упорядоче- ние, то

:ехр а(р: = ехр (—a25GA (况))：ехр а(р:п( д. (VII.75)

Поэтому имеет место

ТeopeMd V 11.30. Пусть v —конечная мера с носителем е [—а0, а0], где а。<厂4冗.Для ограниченных Л положим

Ua= j dv (а) j dx : exp а(р (况):.(VIL76)

Л

Тогда

Ua^L2(QNa.加断)；

exp (— 〃) £ L°° @а，d% A) •

Доказательство. Так как 5Ga (况)> 0 (в силу теоремы VII.13), то из равенства (VIL75) следует, что

j dx :ехра(р (х): = j g (х) :expa(p (x):DtAdx. л

где 0 V g 盘 1. Поэтому на основании теоремы о сравнении по обусловленности и теоремы V.24 Ua С ^2 (Qna , @М? Л). Поскольку Uа》0, отсюда следует (Ь)・■

Замечание. Этот результат впервые появился (в несколько другой форме) в работе Альбеверио и Хёэг-Крона [2].

Определение. Мера на Q^ для модели Хёэг-Крона. с весом v и половинными граничными условиями Дирихле в области Л, задается формулой

冲泸=ехр (— СТд)如g J J ехр (— Ua) d隔公.

Функции Швингера, отвечающие модели Хёэг-Крона^ определяются по формуле

S严("，…，/n)= j 中(储 …(P(/n)^D.

Предложение V 11^31, Пусть j^ . . ., /п — ненулевые функции класса С彳,для которых supp /； и Л. Тогда е модели Хёэг- Крона

*^л°(/1? • • ч /п, /п» • • •» /1) > 0.

Доказательство. Прямое вычисление показывает, что

中（九户…屮仇）2 d唸а > 0,

так что 1ф (/х) • •.屮(/п)]2 — положительная (отличная от нуля почти всюду) функция. Поскольку 〃 £ £2, то 以 V 00 почти всюду, так что функция ехр (——Оа) строго положительна. ■

Литература 州 § VIIM

Альбеверио и Хёзг-Крон [2].

Глава VIII

РЕШЕТОЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

Мы переходим теперь к изучению пределов «обрезанных» функций Швингера при неограниченном возрастании объема. Поскольку имеется аналогия между статистической механикой и эвклидовой теорией поля, естественно возникает вопрос о том, какие методы применяются в статистической механике для изучения пределов корреляционных функций при неограниченном возрастании объема. Таких методов три [154].

Метод трансфер-матрицы. Этот метод применим лишь к одномерным системам или, во всяком случае, лишь для исследования предельного перехода только в одном направлении. Мы уже видели в § V.4, как этот метод переносится на модели Р (ф)2； в частности, этот метод полностью решает проблему для одномерных моделей (ангармонических осцилляторов).

Высокотемпературные и низкоплотностные разложения. Аналогом высокой температуры является малая константа связи, а аналогом низкой плотности — большой линейный член в полиноме Р (т. е. Q (X) 一 “X при больших 卩).Идеи Глимма — Спенсера и Глимма — Джаффе — Спенсера, к которым мы обратимся в гл. X, можно рассматривать как перенесение методов разложений статистической механики на случай модели Р (<р)2.

Корреляционные неравенства. Для весьма специального класса систем, которые в определенном смысле являются «ферромагнитными», существует эффективный метод изучения предельного перехода при неограниченно растущем объеме без ограничения на температуру (на константу связи). Предметом настоящей главы служит аналог такого метода для модели Р (<р)2.

Корреляционные неравенства установлены в основном для таких спиновых систем, в которых связь между спинами в гиббсовском множителе е—н имеет вид Н = Н。+ .2 a^Sj, где Яо — некоторая сумма функций, зависящих от значений индивидуальных спинов, aa；j ^ 0 (допускаются также некоторые слагаемые вида fljjA, s问賜 и т. д.). Каким образом мы можем формально установить, будут ли меры dvg иметь именно] такой вид? Согласно равенству (1.12), а*。представляется в виде следующего формального

выражения:

加=n ехр [ - (ж,(一а + 峭У)以如 n dg*/Z,X,吒R2定R2

где (х, (—А + zu®) у) — это «ядро» оператора —А + тп2. Поэтому формально мы можем написать

dvg= Ц ехр [ — (ж, ( —Л + ш2)1/) qxqy] 口 e~'p^'g<^ dqx/Z. x, y£R2x£R2

Здесь связь между значениями «спинов» q возникает только из-за присутствия оператора ——А. В определенном смысле оператор —А имеет ядро, К (х, у), которое обращается в +°° при х = у и в ——оо для бесконечно малых значений х — у. Это высказывание можно сделать точным, используя аппроксимации оператора ——Д, например

一 А/⑺n[/⑶一 А/⑺n[/⑶

一 А/⑺n[/⑶

一 А/⑺n[/⑶

Таким образом, мы видим, что формально мера dvg напоминает распределение Гиббса для некоторой модели ферромагнетика.

Для придания смысла приведенным выше формальным рассмотрениям полезно дискретизировать поле <р (х), заменив х ^ R2 дискретной решеткой ① £ Z26 = {(^б, п26) | п», n2 £ Z}. Оператор —Д в ковариационной матрице заменится тогда своей конечноразностной аппроксимацией. Это и есть решеточная аппроксимация, введенная Гуэррой, Розеном и Саймоном [90]. В работе [136] Нелсон указал на то обстоятельство, что решеточные аппроксимации в действительности являются специальными типами моделей Изинга с взаимодействием ближайших соседей. Таким образом, мораль этой главы состоит в том, что модели Р (ф)2 (по крайней мере для четных полиномов Р (X)) являются пределами ферромагнетиков Изинга. Соответствующие теоремы сходимости являются предметом § VIIL1, 2. Затем мы переходим к алфавитному блюду корреляционных неравенств — доказываем неравенства ГКШ- и ФКЖ-типов. Оставшаяся часть главы посвящена некоторым применениям этих неравенств. Их дальнейшие приложения можно найти в следующей главе.

§ VIII. 1. Определение и сходимость решеточной аппроксимации

Введем норму в Z2, полагая | (孔工,^2)I ™ I wi I + I ^2 Ь и определим решетку £б равенством Z^ = {孔5 | п ^ Z2}. Обозначим через —Аб ограниченный оператор в пространстве Z2 (Лб) (пространстве квадратично суммируемых последовательностей, индек-

сированных элементами из £6), определяемый формулой

( — 4/)56) = 6-2 [4/(砌一3 /("6)]. (VIILl)

\n—nf\~l

Определение^ Решеточной аппроксимацией с шагом 6 называется гауссовский случайный процесс фе (тг) (индексированный конечными последовательностями злементов из Z2) с ковариацией

Ехр 限⑺ Фе (吟)=б'2 (-Аб + 济尸. (VIII.2)

Основанием для введения нормирующей константы 6-2 в (VIII.2) служит то, что естественной нормой в 厶(上6)является 2 ^2 I / (w6) |2 (f [ I / I2 ^ при 6 f 0), и поэтому для того, чтобы надлежащим образом аппроксимировать 6-функции, мы должны сглаживать не векторы %, где

% (権)=6nm(VHL3)

а векторы 6-1еп.

Для вычисления ядра оператора (—А^ + т2)"1 можно воспользоваться теорией рядов Фурье. Оператор —А^ + т?^ представляет собой оператор свертки, и поэтому диагонализируется в представлении Фурье. Следовательно, с точностью до константы (―翫 + 疗尸一оператором свертки с обратным преобразованием Фурье от функции, равной единице, деленной на преобразование Фурье функции F (п) — 460n — £ ^nn*- Полагая

СП№ 三 6一2( — Д -}~ ^Jnn)(VIIL4a)

имеем такое явное выражение для матричных элементов Спп^

С"»，= (2л)-2 J е泣 s-"')6116 a)-2 d2k,(VIII.4b)

где

[= J(VIII.4c)

61А1]^л/6; 1А2|<л/6

И

Вб ("У = 6-2 [4 — 2 cos (自6) — 2 cos (&26)] + 苏.(VIII.5)

ОпределениеДля функций g Е С『(R2) мы полагаем ¥6(g)= 2 62g (兀6)中6餡)，

neza

。6 (g) = 2 62:Р (Фа (n)-): g (nfi),

n£Z2

c 〃 厶、、屮6 *1)…<P6 (з)%H), 6

3 g, 6 (九1，• • *)九r) ~~- U£g)'

i e 6 Wo, 6

Замечание. Поскольку фб (北) 一 настоящая случайная величина, то нет проблем, связанных с определением викова полинома :Р (фа (п)): , и сумма Ug (g) оказывается ограниченной снизу, вследствие чего легко определить, что такое Sg, §.

Перед тем, как перейти к основной теореме о сходимостиг полезно доказать одно свойство матрицы С и ее подматриц.

Определение. Для данного множества Л ci R2 положим

Л6 = ЛП£б,

Alxt = Z6\Afi,

А廿t = {就 g Аб I mb £ Л6, если I n—m\ — 1},

©& = &\八聲={тгб Е 八6 I ^6 £ А『‘ хотя бы для одного т7

такого, что I п — т | = 1}т

&AW = {геб С AfiXt I т?г6 £ Лб хотя бы для одного т,

такого, что I п — т | = 1}.

Определение^ Для данной матрицы М над£б (ее элементы мы будем записывать как Мпт) обозначим через МЛ матрицу над Аб, получаемую в результате ограничения матрицы М на &• Мы будем говорить, что матрица К над Лб сосредоточена на дА& в том и только в том случае, когда из соотношения Ктп 声 О следует, что оба вектора mb и тгб лежат в ОА»

Поскольку случайные величины фе образуют гауссовский случайный процесс, особую важность приобретает матрица (СЛ)-1. В соответствии с формулой (1.12) если {%6, . . ., 〃/} = А^, то J 尸(亚(小)，...，＜р6 (nft)) dpo, 6 = (2л)-й/2 [det (Сл)]-1/2 х

X j F(^, g)exp(—} $ (吟蔬产力，d%・

Teoj^eMCb VIII.l. Имеет место равенство (Сл)-1 = (C-1)Aj— 一Вал, z@e Зал ——некоторая матрица с неотрицательными элементами, сосредоточенная на ^Afi.

Доказательство. Запишем матрицы С и С-1 в виде, соответствующем разложению £б = Аб U А^^:

В 0R2\AВ 0R2\A），），

В 0R2\A

В 0R2\A

），

），

Исходя из явного выражения для матрицы С-1 : С-1 = =62 (—& + т^)ч мы заключаем, что С^ 片 0, только если \ п — п | = 0 или 1, и что С^ V 0, если \п — п! | = 1. В частности, матрица Е отрицательна (т, е. является матрицей с неположительными элементами). Далее из равенств

CAD + BE* = i,cae+bf=oвытекает, что

(°А 尸= D — EFfE* = (СТ)А—后六1岁・

Так как Е~ m = 0, если \ п — т | > 1, то матрица EF -^* сосредоточена на ^Лб. Поскольку матрица Е отрицательна, для доказательства положительности матрицы В нам достаточно теперь показать, что матрица F-1 положительна. Поскольку F ——строго лоложительно определенная матрица, у которой внедиагональные элементы неположительны, этот факт следует из приводимой ниже леммы. ■

Лемма FIII.2 (теорема Стилтьеса — Островского [219, 220]). Если F ——строго положительно определенная матрица с неположительными элементами вне диагонали^ то у обратной матрицы, RT бее элементы неотрицательны^

Доказательство. [90], По условию леммы F》cl, где с>0. Напишем равенство F = О + В, где D ——диагональная матрица, а В ——матрица, у которой отличны от нуля только внедиагональные элементы. Тогда и D》cl, м, следовательно, матрица F (X)= =О + 九5 =九歹丄(1 ——九)О обратима и положительно определена при X Е Ю, 1]. Ясно, что матричная функция F (九)」аналитична в окрестности отрезка [0, 1]. Далее, при малых 九

F 3尸=(О + 九5)т = 3 V^( - ВА)п, (VIIL6) 71=0

и потому каждый элемент этой матрицы разлагается в ряд Тейлора с неотрицательными коэффициентами. Известно, что у такой аналитической функции ближайшая к началу координат особенность расположена на вещественной положительной полуоси. Поскольку функция F~i аналитична вблизи отрезка [0, 1], то у ряда (VIIL6) радиус сходимости больше 1, поэтому матрица F (九)-т имеет неотрицательные матричные элементы при 九=1. ■

Таким образом, если F — функция на пространстве R\ где 九=# (Лб), то

j 尸({屮6 (^)}тел6) М, 6=j F (?m) dv (办

где

dv = (2л)-m/2 (det Сл)- /2 exp(-』qmqm> {С^} dnq.

m, т^Л6

Учитывая теорему VIIL1, можно написать

3 gm0m，(CA)mir = (4+济廿)』嗚一 m, m'm£Afi

—2 Qm(lmf—2 Bmm^qmqm^

и, следовательно, мера dv отвечает некоторой модели Изинга с непрерывными гауссовскими спинами, с взаимодействием ближайших соседей для внутренних спинов и с внешним полем, создаваемым граничными спинами. Это представление, а также общие свойства моделей Изинга обсуждаются в § VIII.3, 4.

Теперь мы займемся доказательством теоремы о сходимости функций $6, g при 6 —> 0. Легче всего сделать это так: реализовать случайный процесс (р6 (•) на пространстве Qn и затем доказать сходимость величин <p^ (g) к величинам <р (g) в Lp (Qn, @Щ)(мы переходим тем самым к пассивной интерпретации процесса (pfi), В связи с этим введем следующее

Определение. Обозначим через /п,业)функцию из пространства ^, однозначно определяемую равенством

Л J e~iftn，6|i (&)/2л|лб (&), если |^]^л;/6, —(0в остальных случаях.

Тогда

Ехр (ф (/п, 6) <р (/то,й)) = (2л)"2 j е诺・(*m”N6 (舟-2 ©2汽

и мы можем реализовать гауссовский процесс 屮§ (тг) на QNf положив (р6 (п) = ф

Лемма F III.3. (а) При 6fo

n6 (к) fn出)

с каждой точке k С R2.

(b) Если I & I & 冗/6, то

^(砂"《门笈n仲)".(VIIL7)

Доказательство. Утверждение (а) следует из (VIII.5) и того факта, что Иш ^с~2 (1 ——cos ж)=丄/纟.Утверждение (b) очевидным х-»-0

образом вытекает из оценки

Для того чтобы доказать оценку (VIIL8), рассмотрим функцию 歹(у) = 1 — cos у — (2/冗2)川 на интервале [0, л]. Имеем F (0)= =歹(л) = F1 (0) = 0 и 尸(0) > 0. Следовательно, F (у) > О для малых у. Если F обращается где-нибудь в нуль в интервале (0, л), то по теореме Ролля Ff обратится в нуль дважды в (0,冗), а значит (ввиду того, что F' (0) = 0), и вторая производная F,f (у) обратится в нуль дважды в (0,冗).Но Fn (у) = cos у — 2/л2 обращается в нуль только один раз в [0, л], и поэтому F ^ 0 на [0,冗]. в

Замечание. Поскольку при у = ±冗 в (VIIL8) имеет место равенство, константа 2/л2 в (VIII.8) является максимальной допустимой и, значит, множитель л/2 в (VIIL7)——минимальным допустимым.

Лемма VIII.4. (а) Обозначим через %б (Е) индикаторную функцию куба {论 I I 〃» I & л/6}. Тогда в каждом из пространств Е* (R，，р > 1, имеет место сходимость 因(论尸 ％6 的—卩(fc)~2 при 6 —> 0.

(b) Пусть g £ C『(R，. Положим

焉的=(士* g (硝e-认•叫融(码.(VIII.9)

®=Z2

Тогда g6 —5 s каждом из пространств I/ (Ra), 2&pV8・

Доказательство.J (а) Это утверждение следует из леммы VI.3 и теоремы о мажорированной сходимости в случае /? < оо и получается простым отдельным рассуждением в частном случае р = 8.

Достаточно показать, что sup || go || «)< оо и что g6fg в пространстве £2. Предположим, что g имеет носитель, содержащийся в квадрате со стороной длины L. Тогда

I底 ||B《||g||8 3)T62[«/6) + 2]2,

И поэтому sup II g6 II 8 V 8.

Далее заметим, что в соответствии с теорией рядов Фурье и теоремой Планшереля

j I /б (初2 図=Е I g (哂产 у - I] g 情2 = ||| 吆.

Кроме того, нетрудно показать, что для любой функции / £ g5P (R2) j 而is伯)醫:f j g(a)/3)d切=J ?(用7Wdzk,

так что ?6 -> £ в смысле слабой сходимости в L2a а поэтому (ввиду того что И g§ Н -> 1( g j|) — и по норме в L2. ■

Теорема VIII»5 ([90]). Пусть реализация гауссовского процесса определена равенством(рб (тг) = ф (%, б). Тогда для любой функции g £ С『(R2)

а) (рб (g) -> ср (g) при 6 -> 0 с каждом мз пространств

77 (On,姒))，р V 8；

(Ь)。6 (g)f U (g) при 6 -> 0 в каждом из пространств

Lp (Qn, @卩力，Р V 8；

6~°6(幻 f е~°(幻 при 6 —> 0 с каждом мз пространств Lp (Qn,飙)，Р V 8, если g》О；

если -g ^ 0 и h^ . - ., fen £ С^^ то

Sg, б (无и • • •,无л) f Mg @i，^п) при 6 —> 0.

Доказательство. (а) Имеем

伙(g)—屮(g) I 臣 Q尸 j I ^^ —體 J： 3 - 0,

ПОСКОЛЬКУ функции g6 (COOTB.卩6(E)-1 Хб) СХОДЯТСЯ к g (соотв. к 卩-т) в пространстве ££ Так как каждая случайная величина 屮6 (g) £ Г/ (TV), то, в силу теоремы 1.22, сходимость в L2 влечет за собой сходимость в Lp (р < оо).

Подобно тому как это сделано при доказательстве утверждения (а), мы с помощью леммы IV.4 и неравенств Юнга и Гёль- дера доказываем, что

Г 纟6 的+ …+及71) g (^1+ • • - + ^n)2 ,2n, n

J卩6 (豆 .二卩6 图) 【面)…卩(%)f .

Поскольку II 宀一e-u \\p《|| % — U ll9 II e~u + eS jjr для соответствующим образом подобранных чисел р, q и г, то нам достаточно показать, что sup || е~иб |j < оо. Такая равномерная оценка получается повторением рассуждений, содержащихся в доказательстве теоремы V.7, с использованием оценок лемм VIII.3 (Ь) и VIII.4 (Ь).

Это утверждение вытекает из утверждений (а)——(с). ■ Литература к § VIII,!

Гуэрра, Розен и Саймон [90].

§ VIIL2. Решеточная аппроксимация для граничных условий Дирихле

В этом параграфе мы хотим описать решеточную аппроксимацию для случая граничных условий Дирихле и доказать ее сходимость, Что более важно, мы покажем, что в модели с граничными

условиями Дирихле обратная ковариационная матрица представляет собой в точности матрицу (С-1)Л, а не (С-1)л ——В^л, и, таким образом, в соответствующей модели Изинга не будет добавочного взаимодействия с граничными спинами.

Для доказательства теоремы о сходимости оказывается полезным работать в рамках пассивной интерпретации, когда мера &Мо, 6 фиксирована и используются различные поля ф^, б・

Определение^ Пусть № — пространство вещественных последовательностей, нумеруемых точками решетки £& удовлетворяющих условию

II 川假=2 Cnn>f (n) / (п1) < ОО.

Для заданного Л мы определим оператор 6八§ как проекцию в пространстве “6 на множество последовательностей с носителем в Ла и положим р_д = 1 —— e^ext. Пусть, наконец,

叫,6(及)=屮6 (РАбСп),(VIII. 10)

где еп ——вектор, определенный соотношением (VIII.3).

Предложение VIII.6.

2 «п (т) ет при пЕЛб, Рк^п = < m£8A^t

.0при п £ A£t.

Замечание. Это означает, что последовательность едехг (еп) сосредоточена на ЗЛ^; в этом и состоит марковское свойство решеточного поля.

Доказательство. Случай, когда n С А/* является легким^ поэтому мы ограничимся рассмотрением случая п € Л^. Мы просто повторим доказательство леммы ШЛО. Пусть Е С A®xt \3A®xt. Тогда

(^й, Рлб^п)/2(Ьб)= 62(( —A6 + ??z2)eft, Р&а% = =У (рлб (— Аб + 叫 ％, £必= = (%,端陷L6)= 0,

поскольку в соответствии с определением HA*t функция (—Аб + 7^2) е互 имеет носитель, содержащийся в Л^. Следовательно, «поправка» еп ——рл^п обладает носителем, лежащим в A^xtf и обращается в нуль на Л^Х^Л^1, т. е. сосредоточена на @ (A®xt).a Введем теперь матрицу Сл*D на Лб, положив

(СЛ，口卜,пг =〈叫,6 ⑺叫,§ (")〉= (РЛ^П^ ^Пх) "б・

Теорема VIИЛ. (С^)~1 = (С-1^.

Доказательство. Нам надо показать, что при п, п1 £ Лб

2 (宀71m (С%，= 6加，，(VIII.Ha)

или

2 (^n, pA^m)N^mnf(VIILllb)

В (VIII.11b) мы можем распространить суммирование на все т С £б， так как РА^т = 0, если т R А^. Положим 卩厶屯 е^ = =еп—2pv+an (“) Тогда левая часть равенства (Vlll.llb} k£時е принимает вид

2 l^nm 2 仪几(/с) C&m] (С ^mnf = бяп/ 2 &几(例 ^An* = бпп，》 啮e5feedA^xtA®纯就

поскольку 離飞 Аб, a " 0 Лб. ■

В качестве результата мы получаем, что при переходе к моде* ли Изинга, в которой

©叫 仆=(2:n)-m/2 [jet (С"£)Л]1/2 x

X exp ( — (4十 mW)』成十 』q^qn) dmq* п£Лл ]n-n4=l

я, *'£/ граничные условия Дирихле приводят к гауссовской модели без дополнительного взаимодействия с граничными спинами.

Перейдем теперь к доказательству сходимости для граничных условий Дирихле. Следующий пример [90] показывает, что на область Л необходимо наложить некоторые условия.

Пример. Пусть А工—единичный круг и Л2 = 八工\{(花,冗/)}. Тогда (Л2)б = (At)6 при любом 6, но функции Грина G&, отвечающие граничным условиям Дирихле, не совпадают друг с другом (так как существуют обобщенные функции Т из N, сосредоточенные в области Л1\Л2). Таким образом, решеточная аппроксимация не может сходиться одновременно для обеих областей At и Л2.

Итак, нам необходимо ввести некоторые ограничения на область Л, обеспечивающую сходимость в случае граничных условий Дирихле.

Определение» Открытая область Л называется регулярной в том и только в том случае, когда подпространство Cq°(R2\A) плотно в Nr2\a в топологии пространства N.

В предыдущем примере Л2 не является регулярной областью, однако область Ах регулярна, в силу следующего предложения.

Предложение FIII.8. Каждая выпуклая открытая область регулярна.

Доказательство. Поскольку можно применять пространственные сдвиги, мы можем считать, что 0 £ А. Тогда при любом 九 > 1 множество {Ку | у & А} содержится в некотором открытом подмножестве множества R2\A. Если Т £ Л\ то, как нетрудно увидеть, обобщенные функции Т^ определяемые формулой Т^ (у)= = Т (九」у), сходятся к 夕 в пространстве ^. Таким образом, нам достаточно показать, что каждая обобщенная функция Г из 7VR2\a с носителем в некотором открытом множестве, лежащем в R2\A, может быть аппроксимирована функциями из C~(R2\A). Это легко делается с помощью операций свертки и умножения. ■

Важность условия регулярности показывает следующая

〃емма VIII^9SЗафиксируем регулярную облаешь Л. Пусть с 二 恤2\厶 ——проектор в N^ р = i — е = р^ и пусть 命 ——проектор на подпространство ^ натянутое на {/n)fi | n £ A|xt}, а р® = ■— 1 — £б・ То?8а

s-lim рб = р.(VIIL12)

Доказательство. Для данной функции g £ С『(R2) положим官6 ⑺=&』g (геб) 6 (ж)п

за

[—Aeg]6 (х) = 62 3 (б-2 [4g (пб) — 2g (及‘6)])", б(2)・

п|п*—п|=1

Тогда, в силу леммы VIII.4 при 6 —> 0

g6~> g，(VIIL13a)

—As gd— —Ag(VIIL13b)

в топологии пространства N.

Предположим теперь, что g € C~(R2\A). Тогда, ввиду неравенства Бесселя и соотношения (VII1.13а),

II Pdg — g II & II gG — g II— 0.,

и, значит, P6g-> g для g ^C^ (R2\A). Поэтому, согласно условию регулярности,

Psgf g Для всех g С Ran р・ (VIIL14)

Пусть теперь g 七 N; предположим, что p^gf / слабо. Докажем, что тогда / = pg. Покажем вначале, что функция / имеет

носитель в IV'A. Для этого рассмотрим 无 £ С『(Л). В силу соотношения (VIII.13),

j 无(力)f (力)dx = ((— A + m^) h, f)N =

= lim(( —翫+硝価，f)N =

= lim(( —叁 + 歩)屬，Pbg) = O・

Последнее равенство вытекает из того факта, что для достаточно малых 6 носитель функции (——Аб + т?г2)无6 содержится в Лб. Итак, / С Ran р, и, ввиду соотношения (VIIL14), для произвольного

(瓦力=(尸瓦 /) = lim (Ph, ?6g) = lim (夕6夕瓦 g) = (Ph, g).

Следовательно, f — Pg.

Приведенные выше рассуждения означают, что в слабой топологии каждая предельная точка для Pbg имеет вид Pg; таким образом, вследствие компактности шаров в слабой топологии P^g f Pg слабо. Но тогда

II Pbg — Pg II2 =〈g,' Ag〉+〈g, Pg〉—〈Pg, Ag〉—

—〈Ag, Pg〉fO・ ■

Теорема VIII.10. Пусть g £ C『(R2), и пусть

(VIII. 15a)(VIII.15b)(VIII. 15a)(VIII.15b)魄,6(g)= 3 ? (геб)Фл,6(ге)>

(VIII. 15a)

(VIII.15b)

(VIII. 15a)

(VIII.15b)

n£Z2

u*6(g)= Mg(M):p(^,g5)):

Предположим^ что Л — регулярная область. Тогда при 6 | О в каждом из пространств £@ (Q^，@卩о), р V 8,

(а) Фл, 6 (g)-> 圖(g)；

(Ь)破,6(g)f 嘛)；

(с) если g》0, то е ”厶小值)е и^8\

Замечания, 1. Виково упорядочение в (VIIL15b) представляет собой р,0-упорядочение, но поскольку мы проводим рассуждения в рамках пассивной интерпретации, то i/R, 6 (g) является полным взаимодействием, отвечающим граничным условиям Дирихле, т, е.

016(g=门A)玖(g).

2. Если множество Л компактно и g = 1 на Л, то

Ul 6 (g) = 2 -Р (咽 6 ⑺)：三 ^Л, 6, (VIII. 16)

поскольку фд( 6 (〃) н ° при тгб R Л.

16 В. Саймон

Доказательство. Так как по теореме VI.5 (рб (g) -> <р (g) в Z? (Qn，©No) и п0 лемме VIIL9 P^f Р сильно, то

II г (Р6) <р6 (g) - Г (Р) <р (g) II & II Г (Р6) II ||<р6 (g) - <р (g) II +

+ II г (Р - Рб) Ф (g) II f О, откуда 噁 § (g) =「(А) Фе (g) f 魄(g)・ Поскольку 噁 ° ⑻， (p5 (g) W「1 (N), то сходимость в 厶2 влечет за собой Лр-сходимость. Аналогично показывается, что Е/д, б (g)-> 欧(g).

Как обычно, если уже известно, что имеет место утверждение (Ь), то для доказательства утверждения (с) нам достаточно установить, что sup И ехр (—Ua, a) lip V оо. Но в силу теоремы о сравнении по обусловленности,；

II ехр (—С/% (g)) ||р & И ехр (—/ (g)) I%, поэтому требуемая оценка вытекает из рассуждений, примененных при доказательстве теоремы VIIL5.

Следствие VIII.11. Для любых \, . . ., hn ^ С^ положим.

S?*б®, ..hn) = J 嗽,6(^i) • • • Фд(6(无几)е А。&阿/2兄6, где

^a 6= j ёТu儿6飙.

Тогда для любой регулярной области Л

lim Sr* § (^1 ? • • •» ^n) = Sa (^i, • • •)八几)•

Для функций Швингера, соответствующих половинным условиям Дирихле, также можно непосредственно доказать теорему сходимости [90], однако проще получить следующий результат^ которого достаточно для дальнейших приложений.

Положим и^ (Л, А，)= 2 Q (就 6 (〃爲где Q определяется равенством Q (屮台(n)) =: Р ((рб (п)): (здесь используется викова |л0-упорядочение). Положим далее

S科\/； 6 (%•••, ^п) - j 中区 6 (加)，…中之 6("几)X

Xexp( —U萨d(a, Л7)) йцо/^лм# б> где

Z父；0д/,б= J ©щехр [ —U詁d(a, Л*)].

Следствие VIII.1H. Пусть Л — открытое ограниченное регулярное множество^ и пусть Лп — любая последовательность множеств, такая, что Лп и A^+i，Лп и Лп+1, (J Лп = Л. Тогда

lim (limS£%；6)=匿2

зг->8 6 $ 0

Доказательство. Достаточно показать, что lim 裁%; б = 8学%,

联‘欠1^ —функции Швингера, ассоциированные с ехр(— Uлп)^р.® л. Но это соотношение получается из теоремы VIII.10 с помощью повторного викова упорядочения (поскольку Лп и Л, то существуют равномерные границы для констант, возникающих при повторном упорядочении). ■

Литсра тура к § VIII.2

Гуэрра, Розен и Саймон [90].

§ VIII.3. Неравенства ГКШ

Неравенства ГКШ (Гриффитса — Келли — Шерыана) представляют собой элегантный метод исследования, развитый для изучения модели Изинга. Первоначальная идея и лежащие в ее основе интуитивные соображения принадлежат Гриффитсу [76, 77], который доказал эти неравенства для некоторых наборов спиновых переменных в случае попарного взаимодействия спинов х/2< Общий результат, относящийся к случаю спина %，был получен Келли и Шерманом [114]. Различные обобщения, а также другие более простые доказательства были предложены целым рядом авторов, среди которых заслуживают особого выделения Гриффитс [79] и Жинибр [57, 58].

Наше изложение основано на общем подходе, развитом Жиниб- ром [58], с работой которого мы рекомендуем читателю ознакомиться.

Этот параграф мы начнем с изложения интуитивных соображений Гриффитса, относящихся к первоначальным вариантам неравенств, затем опишем некоторый общий класс моделей типа модели Изинга, докажем неравенства для этих моделей и потом воспользуемся техникой, развитой в § VIIL1,2, для того чтобы перенести эти неравенства на случай модели Р (屮)?.

Конечная модель Изинга классического типа задается набором «спинов» Qi，. . ., ап, каждый из которых принимает значения ±1; таким образом, пространством состояний системы служит множество {—1, 1 }п. Распределение вероятностей определяется тем 16*

условием, что вероятность отдельной конфигурации 5 =近，... ..оп — sn задается при помощи некоторой произвольной матрицы {flu} соотношением

Prob (仇=*) — Z-1exp (2 的/肉)， (VIII. 17)

где

Z= 2 exp(2 ansis])-(VIII. 18)

%=±1 i<j

Например, двухточечная корреляционная функция 〈仃冋〉三 =Ехр(0^00 находится по формуле

〈og〉= ZT 3 ogexp (2 “打。@)・(VIII. 19)

о.=±1i<J

Если все 口订》0, то мы будем говорить, что наша система является ферромагнитной. Исходя из (VIIL17), мы видим, что в этом случае спины имеют тенденцию располагаться параллельно, и, таким образом, этот случай описывает некоторую модель магнетика. Поэтому естественно ожидать, что

(aftaz)》0, если все а^》0. (VIIL20)

Аналогичным образом естественно ожидать, что если какой-нибудь из элементов а^ возрастает, то и степень упорядоченности спинов возрастает, т. е.

Y—Bg〉》0, если все а订》0.(VIIL21a)

Однако, в силу (VIII.19) и (VIIL20), это означает, что

〈sqoRj〉一〈以⑴〉〈o《j〉》0, если все а订》0. (VIIL21b)

Неравенства (VIIL20) и (VIIL21) служат простыми примерами соответственно первого и второго неравенств Гриффитса.

Ферромагнетики общего типа, которые мы получаем, применяя методы § VIIL1T2, обладают непрерывными «спинами», поэтому мы введем следующее

Определение^ Моделью Изинга общего типа называется мера dp, на Rn вида

d|x = ZT ехр ( ~ 2 仇严乩了) ^vi (^1)・• • @%п (^«), (VIII.22)

где Z -— нормирующая константа,包一экспоненциально ограниченные меры и & — строго положительно определенная вещественная матрица. Если ЪИ ^ 0 при Z */, то мы будем говорить, что данная мера соответствует ферромагнетику общего типа. Если каждая из мер v； четная четной, то мы скажем, что распределения отдельных спинов являются четными. Наконец, если d立=

=ехр (卩卢D dvn где v； четны и 卩》》0, то мы будем говорить, что мера й|л соответствует ферромагнетику общего вида с четными распределениями отдельных спинов в положителъном магнитном поле, или, для краткости, четному ферромагнетику.

Замечание, Мера (VIIL19) соответствует ферромагнетику общего типа. Поскольку 请=1, мы можем написать

i<jг评 j

где а行 симметричны, а с выбрано так, чтобы обеспечить положительную определенность матрицы 6.

Связь всего этого с моделью Р (明 состоит, конечно, в следующем.

Теорема FIII.13. Если Р (X) = Q (X) — rX, где полином Q четен и число 卩》0, то для любого ограниченного открытого множества Л и любого 6 > 0 мера

Z—%—%(g> d (阿.б 卜 Sa, 6)=dv

соответствует четному ферромагнетику. Здесь За, 6 — з/no а-ал- гебра, порожденная случайными величинами {屮§ (п) | 九 £ &}• Этот результат остается справедливым и е том случае, если свободные граничные условия заменить граничными условиями Дирихле или половинными условиями Дирихле.

Доказательство. Пусть тп = # (Л6). Мы имеем

dv^Z■1 ехр(—』(СЛ)п, п* 9п9п-) П ①勿兀)， 叫從педб

где

% (%) = ехр (|ig (哂 ％) exp (― :Q (%): g (就))，

и, таким образом, в соответствии с теоремой VIII.1 (для свободных граничных условий) или теоремой VIIL7 (для граничных условий Дирихле и половинных условий Дирихле) мера dv имеет вид (VIII.22). ■

Для наших моделей неравенства ГКШ принимают следующий ВИД：

Теорема VIII.14 (неравенства ГКШ для ферромагнетиков общего типа). Пусть 卩 соответствует четному ферромагнетику, и пусть qn = ^1Тогда

(первое неравенство ГКШ) j qn d(x (д)》0;

(второе неравенство ГКШ)] j qn+m й(л > ( j d 如)(j д7ndlл ).

Замечания. 1. В такой общей форме эти неравенства были впервые установлены Гуэр рой, Розеном и Саймоном [90], которые опирались на общий анализ неравенств Гриффитса, проведенный Жинибром [581. Нелсон [136] показал позднее, что, используя другой факт из работы Жинибра, можно доказать более сильную теорему VIII.14А (см. ниже).

Мораль приводимого ниже доказательства теоремы VIIL14A состоит в следующем. Обычный ряд теории возмущений в теории поля, полученный при разложении показателя в ехр (——:Р (ф):), расходится [106]. Однако ряд, полученный при разложении ехр (——』匕订比才况”，т. е. внедиагональной части меры, отвечающей свободным граничным условиям, сходится. Такое разложение лежит также в основе ысокотемпературных разложений Глимма —Джаффе — Спенсера [72].

Мы не будем нигде в явной форме применять эту более сильную теорему VIII. 14А (и даже ее вариант, формулируемый в терминах модели Р (ф)2), однако мы полагаем, что оценки такого рода могут оказаться полезными. Нелсон [136] нашел интересные приложения теоремы VIII.14А к фешеточным моделям.

Очевидно, что теорема VIII.14 вытекает из такого более сильного утверждения.

Теорема VIII.14A (Жинибр [58]). Пусть мера 卽 coomeemcm- вуетчетному ферромагнетикуи пустьF^ ...,尸几；G^ • • ., G^ — полиномиально ограниченные функции^ отображающие R в R, причем каждая из функций 歹力 G才 удовлетворяет одному из следующих двух условий^

F — нечетная функция (F (况)=—F (—х)), монотонно возрастающая на R;

F — положителъная четная (F (况)= 尸(—比)) функция., монотонно возрастающая на [0, оо).

Тогда

J Л(91) ••• ^п(9п)^>0;

J凡(弘)•••尸"(弘)伍(弘)…叁(g〃)卽》

》J n^i(置)d卩,П Gt(7i) d"•

Доказательство. Рассмотрим сперва четную меру dv на R. Пусть Д, - . ., /п — нечетные монотонно возрастающие функции на R. Мы утверждаем, что тогда при любом fc

Ап

/=，П(力(2)+力(汾)П ^i ^—it (у^ dv(^)dv (у) >°• (vni.23)

Для того чтобы доказать это, мы прежде всего воспользуемся нечетностью функций 力 и четностью меры v и напишем

ап

/=[1 + ( —l)nj J Ц [力(尤)十力(У)] И【厶(2)—力(y)]dv(2)dv(y)十

У>0

kn

+ J II [力(z) —力(у)] U 仇位)一力(y)ldv(2)dv(y). гс>0i=fe+l

В силу симметрии между х и у,

/ = (1+(一 1)") {[1 + (-1)-] /1 + [1 + (- 1卉厶}, где

аn

Л= JИ 伉(2)+ 厶(у)] П 力(?)一力(仍]dv(2)dv@),

н》0, У>0 W=1『々+1

kn

A= J U [力(2)-h(y)l П l^ ^) + ft(y)]dv(x)dv(y). k>0, 1/^0 i=l£=々 + 1

Но А и 丄？ неотрицательны, поскольку, ввиду нечетности,力(0)= — 0, и потому из свойства монотонности и условия 况,у》0 вытекает, что 力(况)+ fi (у)》0; из той же монотонности следует, что fi(X)+ fi (у)》0, если 比》у. Таким образом, оценка (VIII.23) доказана.

Предположим теперь, что g — четная положительная монотонно возрастающая на [0, +'оо) функция. Тогда существует монотонно возрастающая нечетная функция /, такая, что

g (*) = с + / (力户

(где с = g (0)》0)・ Имеем

g (*)十 g 匂)=2c + % (/ (*)+ / 仅))2 + % (/ (*)+ / @)汽

g ⑺ 一 g &) = (/(*)+/ &)) (/(*)—/&))•

Следовательно, справедливость оценки (VIII.23) в том случае, когда каждая из функций 厶 удовлетворяет условию (i), влечет за собой справедливость оценки (VIII.23), и в том случае, когда каждая из функций 力 удовлетворяет либо условию (i), либо условию (ii).

Пусть теперь 尸^ . . ., Fm — функции на Rn вида 尸± (х)= =九(乃)/in (хп), где каждая функция 加 удовлетворяет либо условию (i)z либо условию (ii). Тогда для любого к и любых

четных мер ©”厶...,dvn

Ап

J П 因(“)+ Fi(y)\ п 因 З)—尸j (у)] dv (ж) dv ® >0, (VIII.24) j=l)=计1

где dv —杀 1 . . . dvn. При /г = 2 оценка (VIII.24) получается из (VIIL23) при помощи формулы

/31) g (* 2)土 /仇)g 匂2)=方(八勺)+ 〃力))(g (* 2)士 g 匂2)) +

+ W" (/ (比 1) - /(g1)) (g (比2)千 g (g2)) •

Для произвольного п оценка (VIIL24) доказывается индукцией с помощью той же самой формулы.

Пусть теперь мера ^р, соответствует четному ферромагнетику. Тогда мы можем написать

@N = exp( -2仇产涉j) eхр (2眼勺)(/)・，・杀几(无几)，

где dvf — четная мера (мы ввели ехр (—&卢分 в d — vf). Далее, положим F (х) = Ц 尸j (勺)，G (х) = [J 伉(勺)• Мы утверждаем, что

，(尸(允)+ F (у))如⑺ d[i (у) = 2〈歹〉》0, (VIII.25a)

J (歹(允)-尸(力)(G (z)-Ge))也(2)却(g)=

=2 [〈尸G〉-〈歹〉〈G〉] >0.(VIII.25b)

Докажем равенство(VIII.25а). Доказательство равенства

(VIII.25b) проводится аналогично. Пусть

尸(％, П) == J (尸(允)+ 尸(у)) ехр ( — % Z bi}(Ж^ + yty^ x

Xexp(n 金 山⑴十川))！！a"(%1149例). ггг

Тогда, как легко видеть, функция 尸 аналитична в некоторой окрестности множества {(А,刀)| 0 & * & * 刀 W С}, ибо форма 2 &卢扌 + %2 bj产卢j строго положительно определена при каж

дом Л 6 Ю, 1]. Разложение этой функции в степенной ряд в окрест-

ности точки * =卩=0 имеет вид

2J$4•(歹(2)+少8))(』(一仇"3%十y也)广><

m, ki^=j

x (』(/十勿)Hi )* 杀1(3).. . d% (yn),

и каждый коэффициент Тейлора здесь положителен, в силу неравенства (VIII.24) и того факта, что 仇丁 & 0 при Z 市/. Таким образом, ближайшая к точке * = “ = 0 особенность функции F расположена на осях 入 > 0,刀 > 0, и наш ряд Тейлора сходится при 九=刀=1. Поскольку каждый коэффициент Тейлора положителен, F (1, 1)》0・■

В итоге мы приходим к следующей теореме.

Теорема К 111,15 ([90]). Пусть Р (X) = Q (X)—卩X, где 卩》0,. a Q — четный полином, и пусть g g L1 Q L1+e (R2), g》0・ Пусть, далееЛ d”g — мер电 соответствующая пространственно обрезанной^ модели Р (屮)2, и пусть (•) = j *dvg. Тогда

(ф (&)...屮(％)〉》0 для всех 无^ . . •，无孔 С N,自》0;

(9 & j . ..屮(％+m)〉》〈中(砧.• ■ 9饱)〉〈中生+工)，一 ...Ф (历几+т)〉для всех 九и ・..,hn^.m g N,历t ) 0.

Этот же результат сохраняет силу, если dvg заменить нн dv^ или dv™.

Доказательство. Используя, если надо, аппроксимации, мы можем считать, что 医,g £ С『.Тогда, в силу теоремы VIII.5 (или следствий VlILll,12 для dvD, dvHD), нам достаточно доказать неравенства (а) и (Ь) только в том случае, когда ф (无)заменена на (рб (fe), a dvg — на Z~%-%(g)d卩g Но в этом случае мы имеем дело лишь с конечными наборами функций q^ (п), и наши неравенства выполняются ввиду теорем VIII.13, 14. ■

Замечания. 1. Поскольку (ф (无J . . . ф (fen) )q_mx = =(―1尸(ф (无J . . . ф (“)〉q+nx, то для 卩《0 также имеют место оба неравенства, а именно

(-1Г(Ф(М Ф(М>>0,

(- 1广+7n [(ф (瓦)...屮(九篁+m)〉-〈中(®).•.屮(无71)〉X

X (ф (%+，) • . .中(%?i+m)〉]》0.

2. Поясним, почему в полиноме Р допустим член ——^Х, но недопустим член —卩#. В одномерном случае неравенства ГКШ можно доказать для не упорядоченного по Вику взаимодействия q4 —— 仪3,3 + 仪2g2 ——ад, где а1? а^》0. Действительно, так же.

как и в нашем доказательстве теоремы VIII.14, мы можем разложить функцию ехр (—比& — у&) ехр [а§ (а;3 + №)] в ряд по степеням 铀・ Так как в размерности два :q)3 (х): = q)3 (х) — 8(р (х), то нельзя добиться того, чтобы в случае эффективно неупорядоченного полинома оба коэффициента, q^ и а1( были положительными,, если только а3 声 0. Другими словами, а3 :(pg (и):十旬屮^ (п) = =〃з屮8 (九)+ 匕1 (6)屮6 (п), и если а3 > 0г то при малых 6 коэффициент & (6) < 0.

Литератора к § VIII,3

Неравенства ГКШ: Первоначальные доказательства и обобщения: Жинибр [57, 58], Гриффитс [76—78], Келли и Шерман [114].

Обзорные статьи: Жинибр [59]$ Гриффитс [80® 81].

Случай теории поля: Гуэрра^ Розен и Саймон [901Л Лефф [123] (случай свободного поля).

.§ VIII.4. Неравенства ФКЖ

В 1960 г. Харрис [94] доказал корреляционные неравенства .для одной «модели просачивания», не вызывавшие особого интереса в литературе по статистической механике до тех пор, пока Фор- т'юэн, Кастелин и Жинибр [481 не нашли обобщение неравенства Харриса, приведшее к новым корреляционным неравенствам для ферромагнетика Изинга. Большая эффективность этих новых неравенств, названных неравенствами ФКЖ, была продемонстрирована в ряде работ Лебовица с соавторами [118——120].

В общей форме неравенства ФКЖ были установлены в терминах конечных дистрибутивных решеток (решеток в смысле теории упорядоченных множеств). Эти неравенства были распространены Гуэррой, Розеном и Саймоном [90] на случай ферромагнетика общего типа с помощью аппроксимации интегралов по Rn конечными суммами Римана и с использованием общих неравенств ФКЖ для этих конечных сумм. Затем Картье [21] заметил, что неравенства ФКЖ для непрерывного случая можно доказать, ло существу повторяя первоначальное доказательство Фортюэна — Кастелина — Жинибра. Прежде всего приведем доказательство Картье.

Теорема V工工工 J6 (общие неравенства ФКЖ в непрерывном случае). Пусть множество Rn упорядочено следующим образом: 比 > У тогда и только тогда^ когда 力》》у^ (力=1, • • •, п), так что Rn представляет собой решетку с операциями х \J у (верхняя грань элементов х и у) и х /\ у (нижняя грань элементов х и у),

задаваемыми равенствами

(n V у)I = max (g,%)，：

(® A 办=min (勺，弘).

Пусть далее 加力...,dvn — зто экспоненциально ограниченные меры на R, и пусть U — строго положительная функция на Rn, убывающая на бесконечности так же, как и гауссовская функция, и удоелетворяющая неравенству

и 8 八 У) и 8 V У)》и ⑺ и (办 (VIIL26) Положим

djx == U (比 1，• • •,比л) dwi (”i) • • * ^^n (^7i) и

(/) = j / dp./j 卽.

Тогда для любых двух функций /, g на Rn, которые полиномиально ограничены и монотонно возрастают (т. е. /(比)》/(у), %儿〃 比 А У)，имеет место неравенство

鱼〉》⑺〈g〉・(VIII.27)

Замечание. Гауссовское убывание на бесконечности не является существенным ограничением; все, что нам нужно, это — сходимость интегралов по мере @卩・

Доказательство [21]. Проведем индукцию по п. Если п = 1, то условие Фортюэна ——Кастелина ——Жинибра (VIII.26) становится бессодержательным (поскольку один из элементов х \J у, х [\ у совпадает с 比,а другой — с у). Поэтому мы можем в этом случае ввести U в ^г. Для того чтобы доказать неравенство (VIII.27), нам нужно показать лишь, что

，(/ 3) — / ®) (g (冷—g (У))也⑺却(У)> 0. (VI11.28) Для доказательства неравенства (VIIL28) в рассматриваемом одномерном случае достаточно заметить, что подынтегральная функция здесь всегда положительна, так как при 比 > у оба сомножителя / (х) — / (у) и g (比) 一 g (у) неотрицательны, а при х <2 У оба они неположительны (поскольку и /, и g являются монотонными функциями).

Зафиксируем теперь число п и предположим, что теорема доказана в (п — 1)-мерном случае. Запишем элемент а; ^ Rn в виде пары (р, s), где s W R, Р € Rn_1. Оценка (VIII.27), как и ранее, следует из неравенства (VIII.28). Напишем J 寸⑺一7 (// (*) - g (/卽(*)% @)=

=j В (% %) d”n ⑻ “Wn ⑴, (VIII.29a)

где

Р(S, £) = j [〃Р, S)— 〃д,力[g (Р, s) — g (д,切 х

П-1

X и (р, s) и (д, f) JJ d% (р。dv； (%). (VIII.29b)

2=1

Очевидно, нам достаточно доказать, что 0 (s, £)》0 при всех s и 厶 а поскольку 0 (s, £) = 0 (力 s), мы можем, не теряя общности, предположить, что s & %. Введем функции

п-1

歹(S)= j / (Р，s) и (р, s) JJ dvt (р,),

1

G (s) =，g (р, s) U (р, s) Ц dv£ 3),

н (s) = j / (P, s) g (p, s)U (p, s) JJ d% (Pi),

2=1

П- 1

Z(s)= j U (p, s) JJdvi(pi).

Имеем

Z(£)Z (力 p(£,力=Z(£)Z (力[Я (S) Z ⑴ +

+ Z(s)H ⑴一歹(s) G (Z) —尸⑴ G(£)]=

=Z (s)2 [Z ⑴ H ⑴一耳 G) G (川 +

+ Z «)2 [Z ⑶ H ⑸一F (s) G (s)] +

+ [Z ⑶ F ⑴一Z ⑴ F ⑻HZ (s) G ⑴一 Z ⑴ G (s)L и неравенство (VIIL28) будет установлено, если нам удастся доказать, что

Z (Z) Я (/) — F (z) G «)》0 при всех t (VIIL30) и*

Z (§) F (t) — Z ⑴尸(s)》0 при всех s《九(VIIL31)

Оценка (VIIL30) легко следует из предположения индукции.

п-1

Действительно, если ввести меру d^t (р) — U (р, Z) JJ dv^ (j)i) и среднее <• )f =]・~卩±/]©卩打 то неравенство (VIII.30) эквивалентно неравенству

Z (炉[〈/g〉± —〈厶〉&〉]》0, (VIII.30z)

где 厶(р) = / (р, %)• Но функция 厶(р) монотонна по р, поскольку монотонна функция / (р, ±), и

и (р /\ q, t) и {р У q, t) ^ и (р, t) и (?,力，

так как (р, %) Л (?, О —(Р Л 0，9 и аналогичное равенство имеет место для операции V • Следовательно, выполняется неравенство (VIII.26) и неравенство (VIIL30') вытекает из предположения индукции.

При доказательстве оценки (VIIL31) условие (VIII.26) используется более тонким образом. Пусть

g工(Р) = U 3 力2 (Р, §)•

Мы утверждаем, что (поскольку 土》s) функция g工(•) монотонно возрастает. Действительно, пусть q > р, и пусть х = (g, s), у = (р,力，так что 胃 V У =(0，2)，％ Л У =(Р，s) и потому, в силу неравенства (VIIL26),

U (р, s) U (д,力》U (р") U @ s),или, что эквивалентно,gi (g)》gi (?)•

Так как функция /$ (•) монотонна на Rn" и] функция Us (•) удовлетворяет условию (VIIL26), то, согласно предположению индукции,

F (s) Z «) = (J% (?) U* (?) Пdv0 (j g】⑷ Us (д)Ц包)&

< (J ^s (?) IP%) (j /s (g) gi (?) Us (g) Ц d%)=

=Z ⑻ Ji (g) Ut (?) Ц d%

Поскольку /s (•)久厶(•) вследствие монотонности функции 力 то последний интеграл ограничен функцией F (^), т. е.

F⑸Z⑴《 Z⑶F (小

что и приводит к (VIIL31)..

Замечание, Теорему VIIL16, относящуюся к непрерывному случаю, можно использовать для того, чтобы доказать первоначальный вариант теоремы Фортюэна — Кастелина — Жинибра 冃 том случае, когда рассматривается конечная решетка {—1, 1}п (для чего следует положить d” ・(％) = 6 (х — 1) + б (^ + 1)), а затем, применяя методы теории решеток, и в общем случае, для произвольной дистрибутивной решетки.

Имея в виду применить теорему VIIL16 к ферромагнетикам, отметим следующее утверждение.

Теорема VШ»17. Всякую меру dp,, соответствующую ферромагнетику общего типа, можно записать в виде

d* (х) = U (х) dvj (勺)...dvn (xn), где функция U удовлетворяет условию (VIIL26).

Замечания. 1. Подчеркнем то, что мера d* не обязательно является четной, иными словами, что меры dvi не обязательно являются четными.

Эту теорему полезно сравнить с теоремой VIIL14A. Теорема VIII.17 не требует четности мер dvi и допускает произвольные монотонные функции (не обязательно произведения), в то время как в теореме VIII.14А требуется, чтобы меры М были четными и чтобы функция была произведением, хотя это произведение и может включать функции, монотонные только на [0, оо].

Доказательство* U (х) = ехр (—— 2，订胃£%/)• Тогда условие (VIII.26) эквивалентно неравенству

3 Ьц[(ж Л y)t (х V у)} + (ж V y)i(x /\y)j — xixj — yiyj]^0. (VIII.32) г. J

В левую часть этого неравенства ненулевой вклад вносят только такие пары i, /, для которых / > у» и х； V ^ (или наоборот)» так что эта левая часть равна

2 S 6"(%旳 + g力 -XfXj - 9窗力=

=2 ?仇丁(g - 50(力一芍)W 0, поскольку bu & 0 при % # j (а если хг > уь но х； V У〃 то i ^= j). в

Таким образом, мы приходим к следующей теореме.

Теорема V 111,18 (Гуэрра, Розен и Саймон [90]). Зафиксируем произвольный полуограниченный полином Р・ Пусть через 〈•〉 обозначено среднее по мере, отвечающей свободным граничные условиям, условиям Дирихле или половинным условиям Дирихле при пространственном обрезании с помощью функций g £ £' f| L1+8. Пусть, далее, фиксированы тг 辽九^ •… hn W N; 恒 > 0. Пустъ^ наконец, F и G ——полиномиально ограниченные функции на Rn, которые монотонно возрастают при возрастании каждой отдельной координаты. Тогда

〈尸(<р (%% ...,屮(暁))G (屮(砧，...，屮(幌))〉》〈p〉(G〉.

Доказательство. Если h^ hi при m оо, где 屬询 £ С『, 无!的》о, то 尸т〉= р ^ (历严)))~> F поточечно. Далее, ввиду уело- п

вия полиномиальной ограниченности,尸冲》^ С (1 + 2 Ф (无!m))2)N.

2=1

Так как 屮（feim,）——последовательность Коши в Lp, то, переходя к подпоследовательностям, мы можем обеспечить выполнение

неравенства 2 3 II Ф （九'"'）一屮（М吗+■） ||加№ V 8・ Отсюда полу- i=l j=l

чается равномерная оценка для норм функций 尸（吗）в пространстве L3, и, следовательно, F^^ 2 F. Таким образом, нам остается доказать лишь, что （VIII.32） выполнено для функции 瓦 £ С『. Аналогичным образом мы можем предположить, что и функция g £ Со°. В соответствии с результатами § VIIL1, 2, относящимися к сходимости при 6 -> 0, нам достаточно установить, что 〈尸（фв （瓦））G （<рв （自））〉6》〈p %（G%. Но（р6 （蜀）= 为瓦（九6） X X（рй （n） — монотонная функция значений （屮^ （汽）]孔 С Аб｝，где А = U supp hi U supp g, поэтому и F （屮台（汽））является монотонной функцией значений ｛屮台（汽）[孔 £ А^｝. Теперь корреляционные неравенства вытекают из теорем VIIL16, 17. в

Замечание. Как и всякие неравенства, неравенства ФКЖ и ГКШ остаются справедливыми и при предельном переходе при неограниченном возрастании объема （конечно, при условии соответствующего обоснования этого предельного перехода）.

Литература к，VIII.4：

Классические неравенства ФКЖ: Картье [21], Фортюэн, Касте- лин и Жинибр [48], Холли [102]-

Неравенство ФКЖ для модели Р （（р）2: Гуэрра, Розен и Саймон [90].

§ VIII.5. Теорема Нелсона о сходимости

В этом параграфе мы докажем существование предела при неограниченном возрастании объема для состоянии, соответствующих половинным граничным условиям Дирихле в модели Р（（р）2, где Р （X） = Q （X）——*Х и Q ——четный полином. Поскольку модель, для которой ^ < 0, тривиально связана с моделью, для которой 卩 >0, посредством ковариантного преобразования 屮一——tp, мы всегда будем предполагать, что 卩》0.

Ключевая идея состоит в том, чтобы （следуя Нелсону [136]） доказать при помощи решеточной аппроксимации и неравенств. ГКШ монотонность по А функций S父° （/, . . ., хп）. Отправляясь от этого основного результата о сходимости, мы можем доказать сходимость как функций Уайтмэна VK™ （следуя рассуждениям, содержавшимся в первоначальном варианте работы [72]）, так и порождающих функций Швингера С™ （/） （следуя рассуждениям,.

принадлежащим Фрёлиху). Исследование этих объектов, значительно более сложных, чем функции Швингера, основано на использовании (p-оценок Глимма — Джаффе и следующей фундаментальной теоремы о сходимости из теории аналитических функций (см. Титчмарш [196] или Рид и Саймон [145а, § 1.6]).

Предложение FII 1.19 (теорема Витали о сходимости). Пусть Dg — связанное открытое подмножество пространства С\ и пусть {fm}m=i — семейство аналитических функций HaD, такоех что

(а) для любого компакта С и О

Sup (Sup I /т (z) I) < oo,_

m z£C u либо

(Ы) существует множество S и _D, обладающее тем свой- ^ствому что если функция / аналитична на D и ограничение / } S = = 0, то / ^ 0, и такое, что при всех х ^ S существует предел

lim tm(2), либо

(Ь2) для некоторого х ^ D и всех мулыпииндексов а производные (£>а/т) (^) сходятся при тп -> оо.

Тогда функции /т равномерно на компактных подмножествах множества D сходятся к некоторой аналитической функции 九

Основная теорема о монотонности звучит так.

Теорема FIII.2O (Нелсон [136]). Пусть Р (X)= =Q (X)—— 卩X, где Q ——четный полином и 卩》,0. Предположим^ что А и А‘ ——регулярные ограниченные открытые множества 〃 А и А'. Тогда

StD (瓦无71)WS*(九，^n)

при всех 色,..& £ С『(/?2)； hi》0.

Доказательство. Выберем какое-нибудь возрастающее семейство {Л^} подмножеств области А- такое, что А/ и A', U Л^ = = А' и для Ат 三 Ат 口 Л выполняется включение Лт и Л (например, положим Am = {а С А | d (а, @А)》1/т} U U {%€ Л^\Л I d (瑞 dA'j》1/т}). В соответствии со следствием VIII.12 нам нужно лишь доказать, что

ST?Am, 6 (瓦，…，跳)*? a/, 6 (比，…•

Поскольку 无工,...,hn》0, нам достаточно установить неравенство

S攵％* 6 限，…，8kn)^s^ Л^, e 限，…，6阮)(VIIL33)

при h，.…％ £ As，Так как левая часть этого неравенства обращается в нуль, если какое-либо %» & А§, а правая часть всегда положительна (согласно первому неравенству ГКШ), можно ограничиться рассмотрением случая, когда А:工，.…& С Лб.

Основная идея доказательства неравенства (VIII.33) заключена в том факте, что переход от 5父八，§ к 5™Л, б может быть реализован при помощи добавления новых связей ферромагнитного типа между переменными %. Точнее,

Sm = S£Arn, 6 (6々" • . 6配)=

=j % …xkn exp (— 2(СТ)тш'伤仔乳‘)X

п, лхел6

X ］］ е~"①》©n/Za, дт( 6 =

我］…♦ 2%几exp ( ™^^ (C ‘)案紋胃r化乳'

п, пх€Лб

-2(С-1)пп> хпхп.) П е~ '-р^'- dx/ZA-

последнее равенство следует из того, что интеграл по переменным 、а сокращается из-за наличия нормирующего множителя Z. Функция 5m имеет такой же вид, как и 5加,за исключением того, что сумма

УСпп^п^ заменяется на 2 ^пп^п^п^

п, п^Л^ или n, n*£A^\Agп, п*€Л§

другими словами, к этой сумме добавляется 3• Таким

п£Лб，n,£Ag\A6

образом, при 0 & 九 & 1 мы полагаем ь仏)=

=j(吗瑞:眼需掳鸞叫eхР ［一』(C-^^Z,.

«ЕЛб;

Поскольку матрица С1 имеет отрицательные внедиагональные элементы, то (С*1)^* & 0 при п £ А»汽，£ А'\Аб・ С помощью явных вычислений и второго неравенства ГКШ мы получаем, что

=2( С ')»гп，［(磔1 ^kn^n^n^K

碇仆；п*елб\лб

(中fl］ • • • '^kn)^(第71第紀〉九］》° •

17 Б. Саймон

Здесь через 〈〉九 обозначено среднее значение, вычисленное для ферромагнетика с числом спинов, равным числу точек в &, с распределением отдельного спина ехр [―:尸(力)：]и взаимодействием, описываемым га мил ьто ниа ном

』.-(1 -九) 2(g1)Пп9 ^п^п,-

%乳'gА8碎仆

п#еЛ^\Л6

Следовательно, 歹⑴》W (0), т. е. выполнено неравенство (VIII.33). в

Замечания, 1. Ясно, в каком месте приведенное выше доказательство зависит от выбора в качестве граничных условий условий Дирихле в d卩^ D: при свободных граничных условиях, переходя от Л к Л\ мы должны вначале ликвидировать граничное взаимодействие спинов в Л, а затем ввести взаимодействие, отвечающее А'; на первом шаге (устранение взаимодействия) S убывает, а на втором — возрастает.

С другой стороны, виково упорядочение в С7Л удобно, поскольку оно приводит к распределению отдельного спина, не зависящему от Л. В состоянии, соответствующем граничным условиям Дирихле, при переходе от А к А' мы вводим связь между граничными спинами в Л6 и %\А§ и должны также менять и виково упорядочение. Можно показать, что если deg Q = 4, то это изменение викова упорядочения все еще увеличивает S, так что S* & S* [90], однако если deg Q》6, то это уже не так.

Для исследования предела при Л -> оо нам необходима верхняя оценка функций S严.Поскольку (p-оценки при свободных граничных условиях позволяют оценить функции 5八,мы сможем оценить функции S严，воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема FTLT・22([90])・ 5 условиях теоремы VIIL20

S文D (自，•「无Л)w5\ (自.，无r)

для любой регулярной области Л и любых 瓦,• • •,无门 С С2° (R2)^ такихчто supp 无£ и Л.

Доказательство. Перейдем к решеточной аппроксимации. Если U (g) фиксировано, то переход от d卩° к d卩^ д может быть реализован устранением из d*。члена В§&, описывающего связь граничных спинов. Как и в предыдущей теореме, из неравенств ГКШ вытекает, что Sa уменьшается при удалении члена 5。八,поскольку соответствующая матрица имеет положительные элементы. в

Теорема FIII.22. Пусть Р (X) = Q (X) — *Х, где 卩》0, a Q — четный полином. Тогда при всех 瓦,...,暁 С Cf (R2)

существует предел

JmS^D (儿，...，无卩)三5打(瓦，…，无九)，

a@e Af оо означает предел по отношению к сети ограниченных регулярных областей^ упорядоченных по включению.

Замечания. 1. Как правило, мы будем опускать индекс HD и писать 5оо. Когда нам надо будет выделить явно зависимость от Р, мы будем писать (勺,..^n； Р).

Если deg Q = 4, то аналогичный результат справедлив

И ДЛЯ од.

Первое и второе неравенства ГКШ немедленно обобщаются на случай функций Sg.

Свойства предельных функций 5ТО мы обсудим в следующем параграфе.

Доказательство• Благодаря свойству полилинейности функций 5д° достаточно, очевидно, рассмотреть случай, когда функции hi^Q неотрицательны, ограничены и имеют компактные носители (без всяких предположений о гладкости). В силу соображений, связанных с предельным переходом, функция S^。(％, . , ., fen) в такой ситуации монотонна по А, и нам нужна лишь верхняя оценка для нее. Если А и (—〃2, Z/2) х (—7, 7), то

S廿(九DWlimS既т (初(гю теореме VIII.20)^

Т-*оо

&S产6(自)(по теореме YIIL21) &

&S严° 依・..，g)卜口^ g= £ 九 j (согласно 1-му неравенству ГКШ)《 《献 j dvt exp (ф (g)) (согласно 1-му неравенству ГКШ)^ ^const (согласно оценке Фрёлиха). в

Напомним теперь, что функционал С父° задается формулой

С™ (/)= j ехр 丽(/)] dv严.(VIII.34)

Хотя в определении (VI 11.34) первоначально предполагалось, что функция / вещественнозначна, оно сохраняет смысл, в случае если множество А ограничено для любых / £ С^ (R2) (и даже для / е ь~тр(R2)).

Теорема F 111^3 (Фрёлих [51]). ЕслиР (X) = Q (X)—卩X, е@е "》0, a Q — четный полином, то для любого / W Cf (R2) суще-

17*

ствует предел

gimC攵° (/) = Coo (/),

u z f Coo (z/) является целой функцией.

Доказательство. Зафиксируем /. Тогда С严(z/) является целой функцией от z при каждом Л и, в силу теоремы VIII.22, ее коэффициенты Тейлора в точке z = 0 сходятся при Л ~> оо; таким образом, нам нужна лишь равномерная оценка на компактах в комплексной плоскости z (поскольку мьт сможем тогда применить теорему Витали). Но

I 徹d(z/)|&C严(Re(z/))&

^ CaD (I Re (z/) I) (согласно 1-му неравенству Г Kill) &

W CaD (1211 /1) (согласно 1-му неравенству ГКШ) & &W(|z|) (согласно оценкам Фрёлиха),

где F не зависит от Л. На последнем шаге мы, как и в предыдущей теореме, должны перейти к модели со свободными граничными условиями в (—Z/2, Z/2) х R. и

Начиная с этого места, мы будем пользоваться оценками Фрёлиха и (p-оценками для полудирихле-состоянии, рассмотренными в § VIII.5; эти оценки вытекают из аналогичных оценок для свободных граничных условий и неравенств ГКШ.

Используя одну идею, предложенную Глиммом и Спенсером, ,а также нашу конструкцию трансфер-матрицы для полудирихле- состояний, можно доказать в завершение общий результат о сходимости обобщенных функций Уайтмэна, отвечающих половинным условиям Дирихле. Эти функции определяются по формуле

加z (勺，%;…；第小%) = (0, ф (勺)e^tl}Hl ф (胃2)…中(第几)%)•

(VIII. 35)

Теорема V 111^24. При Zf oo обобщенные функции Уайтмэна сходятся как функционалы на С『(R) ® 步(R) ® . . . ®(^ (R). При этом предельная обобщенная функция 勿％ (勺乙； … .；富^ %) W . € 杼(К*71),辽 функция Sg является аналитическим продолжением функции 歹8 в следующем точном смысле. При %, • • •,爲 С Cf (R) будем трактовать

^^* (^1» • • • » ^п-1)、/i (勺)• • • /л (富7l) 4旷8(3, 0；胃2，G； • • • ?富n，^n—I)dnX

как л об общенну ю функцию из 步(Rn_1)\ Тогда W является граничг- ным значением функции S (q, •..,工门一工),аналитической в области

Im Q > 0, и если т；=左力 где 斗 > О, то

S (q, • ♦ •, ^п—1) ^^，/1 (*^1) • * * fи (^n) Sоо (勺，0; #2, §1； * …；“п, ^n-i) d 関*

Доказательство (мы следуем предварительному варианту находящейся в печати статьи [72]丄)).В соответствии с леммой IV.9 (p-оценки для пол удирихле-состояний влекут за собой равномерные оценки для 犷I как для обобщенных функций (см. теорему VI.17), и поэтому для доказательства сходимости на пространстве Со° ®(/ ® . . . нам достаточно установить ее лишь для основных функций вида 九(富J /Ап】(幻，/2 (胃2)• . • 〃m『N%), где /15 ... ...,/п £ Со° и Нт — зто m-й полином Эрмита (ибо множество таких основных функций тотально). Положим

江万HD

勿2(q,%T) = (Q"，中(/i)e (%)…中(/氾)QD;

это определяет нам (опять благодаря(p-оценке!) функцию, аналитическую в области М = {т I Im тг > 0} и равномерно (по Z) ограниченную на компактных подмножествах. Далее, согласно теореме VIL16, Wi (2,, . . ., isn) совпадает с функцией Швингера Sz (月и . . ., sn). Так как функции Швингера сходятся при /~> оо, в силу теоремы VIII.22, то и функции Wi (工口 ...,七孔)сходятся в каждой точке т С М. (Замечание. В действительности здесь либо нужен чуть более сильный вариант теоремы Витали, применимый в случае сходимости обобщенных функций, либо необходимо вернуться к теореме VJIL22 и заметить, что функция. Wi монотонна по Z в точке ($近,..lsn), если /п . . /п 0.)

Таким образом, функции Wi имеют предел на М и W (力近,.•.

...,isn) = Sa (七小.・.,tn). В результате все, что нам осталось,— это доказать, что 歹 имеет граничные значения в смысле обобщенных функций и что зти граничные значения являются пределами функций 歹 I，Тот факт, что 歹 имеет граничное значение в смысле обобщенных функций, вытекает из равномерных оценок для Wi

п-1

вида Wi (тг) W С [J [1 + (Im q)-], так что остается одна схо

димость.

Функции WI (т1? . . ., 1；^) полиномиально ограничены при ]t] I, . . ., I тп I -> оо при условии, что min | Im т； |》с > 0. Поэтому по интегральной теореме Коши интеграл

j 0^ ("i + 月1,…，，Z/l + 左")"?h1 (力1) • • • hтП (力71)山1 . . . d?n 三

M Gg(5f,...,坛)

не зависит от sv . . ., sn g Rn при условии, что £» > 0,且 используя тот факт, что 勿 / является граничным значением функции W^ мы получаем

国(1,1) = ^г (А®Ят1® ... ®Нтп).

Таким образом, достаточно доказать сходимость величин 6% (1, . . ., 1), а это вытекает из равномерной сходимости функций Wi на компактах и равномерных оценок для Wi на бесконечности..

Литература 乳 § VIII.5

Фрёлих [51], Нелсон [136].

§ VIII.6. Свойства модели в бесконечном объеме

Перейдем к изучению свойств нашей модели в бесконечном объеме, т. е. к изучению свойств функционалов S»» (无工,..,,hn), У ОО (/1，. ./п) И Соо (/).

Теорема VIII.25. (а) Функционалы S^ удовлетворяют всем аксиомам OS, за возможным исключением аксиомы регулярности (OS5).

(Ь) Функционалы,歹豐 удовлетворяют всем аксиомам (W), за возможным исключением аксиомы, регулярности (W6).

Доказательство. (а) Аксиома (OS1) вытекает из явного вида оценок для функционала Соо (»/) (см. (VIL69)) и из общей оценки

1$8(加，…，21 《献 G„(z 斗 Ji/).

На самом деле у функций Sg нет никаких (ие L1-) сингулярностей при совпадающих аргументах, ввиду чего можно пользоваться значительно более слабыми нормами, чем обычные нормы в пространстве 乱

Перейдем к аксиоме (OS2). Пусть Т ——эвклидово преобразование. Тогда

^(^оТ,...,hn). (VIIL36)

Если {Лп}——это произвольное возрастающее семейство областей с U'\注=R2, то 5дп -> 5о,. Фиксируем одно из таких семейств.

п

Тогда семейство Т-'А几 обладает тем же свойством, и, следовательно, 5т-1Лп f Sg. Таким образом, равенство (VIIL36) влечет за собой эвклидову ковариантность.

Аксиома (OS3) очевидным образом выполнена при Л = =(一〃2, 〃2) X (—7, Т), а следовательно, и в пределе при I, Т f

-> оо. Аксиома (OS4) также выполняется для любой области Л, а значит, и в пределе при Л оо.

Аксиома (W1) выполняется по построению (по существу, в силу равномерных еТ"'-оценок для 炒"？). Аксиома (W2) следует из аксиомы (OS2) на основании общих рассуждений, проведенных Нелсоном; при этом функции S являются аналитическими продолжениями функций 沥.Аксиома (W3) выполняется при любом Z, равно как и та часть аксиомы (W4), которая относится к условию 8 ^ 0; следовательно, это же справедливо и в пределе. Аксиома (W4) вытекает из соотношения 〃^ 0 н аксиомы (W2). Наконец, аксиома (W5) следует из аксиомы (OS4)..

В нашей ситуации применима также теорема Минлоса:

Теорема VIII.26. Функционал Cg (/) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.10. В частности, на 夕'(R2) существует такая мера dvg, что

Соо (/) = J ехр (i(p (/)) dvoo.

Доказательство. Равенство Cg (0) = 1 и положительная определенность функционала Соо вытекают из аналогичных свойств функционалов Сд. Для доказательства непрерывности отображения / »—* С о, (/) заметим, что, в силу 52-оценок Фрёлиха (теорема VI.26(a)), в некоторой подходящим образом выбранной 夕(R2)- норме

1Sg (九/)|0小/吓， и поэтому

I Cg (/)- Cg (g) & $8 (/ — g，/ — g)"V I卄 一 g W

(в силу выкладок, предшествующих теореме VL26). Таким образом, функционал Соо продолжается с пространства С； до непрерывного функционала на <3P..

Замечание, В силу эвклидовой инвариантности функционала Со, и утверждения теоремы Минлоса о единственности, мера dwg эвклидово инвариантна.

Итак, мы знаем, что меры dv™ (которые мы будем обозначать просто через ©旷八)сходятся к dwg в том смысле, что сходятся их характеристические функции. С учетом равномерных экспоненциальных оценок теоремы VI.25 можно утверждать гораздо большее.

Теорема FTTT-37. Пусть /1?...,爲 €步(R2), и пусть F — функция 咒优 R", допускающая при некоторых ап . . ., an, С оценку

I F (3 ・・•，九)丨 & С ch (优由).・• ch (优&)・(VIIL37)

Тогда при Л -> оо (в смысле, указанном в формулировке теоремы VIIL22)

J 尸仰(/1), • - Ф (九))Ma f j 尸(<Р (Л), . . Ф (/“))&V8.(vm.38) Доказательство. Пусть 少 € 步(Rn)- Тогда

j Р (<p(/l), • . - , ф (/n))dVA =

=(2л)-"/2 j 户 ^, ...,хп)СЛ (勺厶 + ... + Xnf^ Л,

так что соотношение (VIII.38) вытекает из теоремы VIII.28 и теоремы о мажорированной сходимости. Для заданной функции F, удовлетворяющей неравенству (VIII.37), мы всегда можем найти последовательность функций Fm € / (Rn), для которой

|(仆—储(3 ...,爆)I W ^ch ((«j + 1)幻...ch ((% 十 1)厶), так что (как при конечном, так и при бесконечном Л)

I j (歹т —歹)加川总之 J ch ((«! + !)<₽(/!)) .. . ch ((an 4 1) <p (/n)) dvA.

Поэтому соотношение (VIII.38) в общей ситуации вытекает из сходимости при 尸 € 严 м оценок теоремы VI.25, перенесенных на случай полудирихле-состояний в § VIL5..

Замечание. Используя более сильную оценку 屮？ W〃j + 1 (см. замечание после теоремы VI.22В), можно при достаточно малых а» заменить функции ch (优月力)на функции ехр (生片).

Из теоремы VI 11.27 непосредственно вытекает такое

Следствие VIIL28 (неравенства ФКЖ в бесколечном объеме). Если /15 . . Л1c 孑(К?)，fi》G, a F и G — это полиномиально ограниченные монотонные функции на Rn, wo

J 尸(屮(/1)，•••,<₽ (/„)) G (屮(Л), . . <p 伉))小& >

> f 尸仰(А),(Лг))拆8 } G (屮(/i), . . (P (/„))厶8.

Доказательство. Это вытекает из теорем VI1L18 и VIII.27..

Замечание. Как мы уже отмечали, в силу теоремы VIII.22, на случай бесконечного объема переносятся таким же образом и неравенства ГК1П.

То обстоятельство, что мы получили функции Уайтмэна для бесконечного объема, доказав сходимость соответствующих функций для конечных объемов, а не обращаясь непосредственно к систе-

ме аксиом для предельных функций, весьма существенно, поскольку7 это позволяет нам перенести на случай бесконечного объема ф-оценки, л-оценки и канонические коммутационные соотношения. Прежде всего нам нужна следующая теорема технического характера.

Теорема VIII»29> Пусть через 0^ обозначено поле в пространстве Минковского с обрезанием вне объема %, соответствующее половинным граничным условиям Дирихле'.

®i (,г, /) = exp (itH^0) (р (%) ехр (— itH^0),

а 0 — соответствующее предельное {при неограниченном возрастании объема) поле Уайтмэна в физическом гильбертовом пространстве, Для /15 • . •，力2 c 孑(R2) 'положим

屯(九.…九)=仇仇)•・. * (九)d,

中仇，•，厶)=8仇)-.0仇)Q,

где Q —— вакуумный вектор в бесконечном объеме. Пусть 缈 —— линейная оболочка векторов {屮(九，...,/,))}. Тогда

(а) множество 炒 и С°° (Н) служит опорой для каждого из операторов Г;

(Ь)炒 и С°° (0/) при всех /;

(яр/ (1), H^i (2)) f (叩(1), Нп^ (2)) при If g для любого п и любых ^i (/1т ...» /А.) ^ 屯(1) и 切(g» • • gQ е 如(2)；

(d)(也⑴，勿(/)如(2) f (屮⑴，叫(2)) при 8，

Доказательство, (а) Действие оператора 戸‘ на вектор 屮(/1，• • •，力J сводится просто к сдвигу функций 力，и, следовательно,

Я^СЛ, ...,/n)=-i 3 ^{fi, dtjh(VIII.39a)

Таким образом,屮 £ С°° (Я). Далее множество 炒 левоинвариацтн» относительно действий оператора е®. Отсюда следует, согласно одной общей теореме Нелсона (см. Рид и Саймон [145], теор. VIII.11), что 炒 является опорой для оператора Н. Аналогичное рас- суядение, принадлежащее Брателли [14] и Чернову, показываетт что это применимо и в случае оператора Нп,

Это утверждение является прямым следствием аксиом Гординга — Уайтмэна.

(с, d) Эти утверждения вытекают из сходимости функций Уайтмэна и равенства (VIII.39а)..

Теорема VIII.30. Пусть функции 屮〃屯 определены так же. как и 笈 предыдущей теореме. Тогда

для любых / £ 步(R) u i £ R существует предел

Ит (屯⑴，9г (/, /)屮⑵)三 F (/, /; 1, 2);

если рассмотреть квадратичную форму 0 (/, t) на S), определяемую соотношением 歹(『，％; 1, 2)=你(1), 0 (/,，)屮(2)), то при подходящим образом выбранной 熒норме || •“ эта квадратичная форма 0 допускает оценку

±0 (/, ^)^||/|| (Я + 1);

на множествах 炒 и Q (Н) имеет место представление 9 (/, 0 = е*加8 (/, 0) ©т叫 〃 на этих же множествах 0 (/)= =j 8 (力,E)或；

для всякой функции / С 乎(R2) оператор 0 (/) является существенно самосопряженным на любом множестве, служащем опорой для Н, и в члскости на 炒.

Доказательство, (а, с). Пусть Fi (/,讣 1, 2)=(切 ⑴，0/ (/,力 X X 切(2)). Тогда при любом h £ Cf (R) интеграл j 无(£) X X 尸j (Л 讣 1, 2) dt сходится (по теореме VIII.29). Далее, величина 1^(/,力；1,2)|^||(^ + 1)-V2 0z(/,力)(& + 1)т/2Mx

X (屯")，(团 +1)屯(1))(^ (2),(也 +1)屯(2)) равномерно ограничена, так как норму в правой части можно оценить с помощью (p-оценки, а прочие сомножества сходятся в силу утверждения (с) предыдущей теоремы. Но

备办(/"； 1, 2)="("电⑴，仇亿 t)电(2)) 一 (电(2),仇(/, i)"电⑵)], что может быть записано как сумма членов вида Ft (/, /; Г, 2‘), и, следовательно, производная dF/бй равномерно ограничена. Поэтому функция Fi (/, /; 1, 2) равностепенно непрерывна по 九 В силу простых соображений компактности и уже установленной сходимости интеграла j h (力 Fi (/,力；1, 2) d厶 отсюда и следуют утверждения (а) и (с).

Как мы уже знаем из ф-оценки,

土(切(1), *(/，力屯⑴W U川他⑴，(%+ 1)也⑴)；

поэтому, согласно теореме VIII.30 (с) и утверждению (а) настоящей теоремы, это же неравенство справедливо и в пределе при Z -> оо.

Утверждение (Ь) получается теперь, если в этом рассуждении п

屮е (1) заменить на』^i (/)•

(d) Это утверждение вытекает из утверждения (с) и теоремы VI.23..

Теорема VIII^31. Пусть 屮 и 如 такие же、как в теореме VIIL30. Тогда

утверждения (а — с) теоремы VIII.31 остаются справедливыми^ если 0Z (/, £) заменить на л, (/, Е) = i Шь М (Л £)1；

л (/, Е) = НЯ, 0 (/,切；

при любом / £ * оператор 0 (/, /) существенно самосопряжен на любом множестве, которое служит опорой для Н, и в частности на 炒.

Доказательство. Утверждение (а) выводится так же, как и в предыдущей теореме, с заменой ф-оценки на л-оценку. Утверждение (Ъ) справедливо при конечных 厶 а следовательно, и в пределе, если учесть теорему VIII.29. Утверждение (с) вытекает из утверждения (Ь),(p-оценки в бесконечном объеме и теоремы VI.23,.

Доказательство нашей следующей теоремы (точнее ее утверждения (Ь)) опирается на более сильные 7VX-1 ос-оценки Спенсера [186], которые мы здесь не будем доказывать.

Теорема VII 1.32. (а) Оператор 0 (/; 0) является ограниченным отображением пространства <^8^.^ 笈 麺+н а оператор л (g; 0) — ограниченным отображением пространства J4?+1 в 舟-n где 战 I шкала пространств, ассоциированная с Н.

Для любого 屮 £(й?+з = D (Я3/2)

i (屮，e (g, 0) 0 (/, 0)]屮)=(屮，屮)，⑺ g ⑺ dx,

где 仲,冗8叩)определяется «а основе того^ что л0 представляет отображение из 办#+з в <й#+1.

Доказательство. (а) Это утверждение вытекает из л- и(p-оценок и леммы IV.8.

Согласно оценкам Спенсера, операторы ф и л ограничены как отображения из J4?+1/2 в(^..1/2 и, следовательно, оператор ф ограничен также как отображение из 办#5/2 в 迎3/2，причем оценка для его нормы равномерна по I. При фиксированных 叩,(1) и 屮,(2) положим

Pl (A g；力，s, щ 1, 2) = (\рг(1), eiHiQt (/, 0) е1зНщ (g, 0) е讪日电(2)).

В силу предыдуащх оценок, функция Ft равностепенно непрерывна по 力 у, 〃, и так же, как при доказательстве теоремы VIII,30,

мы делаем вывод, что (屮？(1), Е", 0) 0/ (g, 0)]屮七(2)) сходится к (屮(1), |л (/, 0), 9 (g, 0)1 屮(2)) при % -> оо. Отсюда легко следует утверждение (Ь)..

Теорема VIII.33^ Мера dvg удовлетворяет условиям теоремы VI.27. В частности*,

для соответствующим образом выбранной последовательности hn (t) -> 6 (i) и любой функции / С ^r (R) существует lim Cg (/ ® 帆)=像(/);

функционал C^ (•), трактуемый как функционал на пространстве 孑(R), удовлетворяет условиям теоремы Минлоса, так что на пространстве ^ (R)' существует мера dv^, такая, что

С^ (/) = j ехр 口屮(/)] dw0;(VIII.39b)

для любой функции / С 步r (R) величина ехр (ф (/)) С

С С 27(孑(R) d吧))；

Р<ОО

существуют разновременные средние Уайтмэна, другими словами поля в нулевой момент времени можно определить на некотором (априори не обязательно плотном) подпространстве физического гильбертова пространства таким образом, чтобы Q € £ С°° (屮(/ ® 60)) и чтобы

(Q Фо (Л) • • • Фо (/п) °) = km Sn (厶慘 ％,…，九慘 ％) (VIII.40) m~>o©

для соответствующим образом выбранной последователъноапи ^т ~8；

вектор Q является аналитическим вектором для всех(р0 (/), /dR)・

Доказательство. Условия (VI.63——65) выполняются, в силу теорем VII.27 и VII.29. Утверждения (1) — (3) непосредственно следуют из теоремы VI.27. Реализуем физическое гильбертово пространство в соответствии с конструкцией Остервальдера —— Шрадера из § П.4. Пусть hn ——это функция с носителем в (0, 1/汽), 汽=1, 2, . . причем /гп -> 6 таким образом, что S? (/ ® 月几, g ^ hn)~^ 52 (/ ® 6, g ® 6) при /, g С 步(В) (такую последовательность функций hn можно, например, получить, сдвигая функции 月几,используемые в теореме VI.27, и обрезая их «хвосты»). Нетрудно доказать, что (в (ОЗ)-обозначениях) существует предел lim [屮(％ ® /Ms))<p (% О 无* (s + M )…屮(厶 ® % (s + T) ) J

в физическом гильбертовом пространстве (здесь [...]——класс эквивалентности Остервальдера — Шрадера). Полагая этот предел равным ф (Д ® 6) . . . ф (/т ® 6) Q, мы видим, что простран-

ство L2 (歹(R), d硼)реализуется как подпространство физического гильбертова пространства. Оператор ф (/ ® 6) очевидным образом определяется на линейной оболочке векторов ф (Д ® 6)...

...Ф (/п ® 6) Q. Отсюда легко следуют равенство (VII 1.40) и утверждение (5)..

Для того чтобы развивать дальше теорию, относящуюся к полям в нулевой момент времени, необходимо доказать фундаментальное свойство их цикличности.

On ределение > Если L2 (步，(R), dv^) как подпространство физического гильбертова пространства (в соответствии с конструкцией теоремы VIII.33) совпадает со всем гильбертовым пространством, то мн будем говорить, что поля в нулевой момент времени являются циклическими.

Представляется правдоподобным, что для всех предельных (при неограниченном возрастании объем а) полудирихле-состояний поля в нулевой момент времени являются циклическими. Это, однако, не доказано пока ни для одного из этих состояний.

Предостережение. В 1973 г. появились два препринта, содержавшие, как утверждалось, доказательства цикличности вакуума в некоторых моделях Р ((р)2 со свободными граничными условиями; в обоих случаях эти утверждения были изъяты авторами до публикации. Этот результат также объявлен доказанным в статье [73] на основании одного из упомянутых неверных доказательств. В настоящее время (февраль 1974 г.) этот вопрос все еще остается открытым.

Мы хотели бы закончить этот параграф кратким обсуждением тех свойств модели, которые имеют место, если доказана цикличность полей в нулевой момент времени.

Теорема VIII.34. Если поля в нулевой момент времени являются циклическими, то

оператор ^一土五 переводит конус положительных функций е пространстве L2 (<У (R)- dv^) е себя (т. е. сохраняет положительность);

пространство L2 (/，(R2), dwg) может быть построено при помощи функциональных интегралов над L2 (孑，(R), dv^) (笈 соответствии с конструкцией § VL3);

6 пространстве Л2 (步，(R2), dwg) справедливо марковское свойство для полупространству т. е. если Л = {(瑞 s) | а% + bs >с} при некотором % то

发:(/) = e號(/)

для всякого И-измеримого множества А.

Доказательство. В соответствии с конструкцией Остервальдера —Шрадера

(Фо (/1)"Q, еТН(ро (/2)mQ)= j &V8屮(А ® б0)п<р 仇 ® б;)т, поэтому, в силу того что вакуумный вектор Q является целым,

(产o(%)q, ётн户o"2)Q)= j拆86抑仇®®+〃瞋 так что

〈歹i(伙(厶))Q, е-m/(伙(gj))Q〉=J 赤8歹i(屮(％ ® 60)) F2 (<p (g； ® 6t)), (VIII.41)

откуда непосредственно вытекают утверждения (а) и (Ь). Марковское свойство имеет место для областей Л = {(%, s) | s ^ с}, а значит, ввиду эвклидовой инвариантности меры dw, и для произвольных полупространств..

Замечания. 1. Утверждение (Ь) последней теоремы названо Глиммом и Джаффе [71] утверждением о «существовании представления Шрёдингера». Они отмечают его эстетическую привлекательность.

2. Заметим, что, обратно, утверждение (с) влечет за собой цикличность вакуума.

Мы не рассматривали полевые уравнения для дирихле-состояний в бесконечном объеме. Этот вопрос обсуждается (в различных постановках!) в работах Альбеверио и Хёэг-Крона [2] и Шрадера [155].

Литература к § VIII.6

Фрёлих [51].

§ VIII.7. Приложения к исследованию первого возбужденного состояния

Мы хотим в этом параграфе описать одно применение неравенств ФКЖ, найденное Саймоном [178]. Саймон в значительной степени следовал рассуждениям Лебовица [1181, относящимся к модели Изинга. Хотя результат будет установлен здесь для полудирихле- состояний в модели Р ((р)2, где Р (X) = Q (X) — jxX, a Q 一 четный полином, то же самое доказательство проходит и в случае, когда имеется произвольная модель теории поля, для которой справедливы неравенства ФКЖ и которая инвариантна относительно временных трансляций. В частности, аналогичный результат справедлив для моделей Р ((р)2 с пространственно-обрезанным

гамильтонианом (и половинными граничными условиями Дирихле или свободными граничными условиями), а также — при малых значениях константы связи ——для модели в бесконечном объеме со свободными граничными условиями, построенной Глиммом, Джаффе и Спенсером [72] (здесь необходимо воспользоваться теоремой Ньюмэна [137] о локальной ^-сходимости, для того чтобы установить неравенства ФКЖ для состояний в бесконечном объеме. Глимм, Джаффе и Спенсер [72] с помощью совершенно иного (не связанного с корреляционными неравенствами) метода доказали результат, позволяющий сделать те же самые (и даже гораздо более сильные!) выводы, что и теорема VIII.35, для построенных ими состояний при малых значениях константы связи.

Теорема VIII.35 (Саймон [178]). Пусть 尸⑺=Q (力)一 ——jiX, где Q ——четный полином, и пусть через〈,〉,〃〃 Q обозначены со о тветственно физическое среднее^ физический гамильтониан и физический вакуум (《физический» означает ^относящийся к предельному полудирихле-состоянию при неограниченном возрастании объемам). Тогда существует такое тотальное множество векторов {■ф}, что для любого 屮 из этого множества можно указать числа 近，• • •，屍 6 R 〃 функции 九，…九 и /r (R) так, чтобы выполнялись неравенства

0《仲，e-宙中>一绅，Q〉2《

^各[〈中(加 Q，0.«+%+咿中(力)Q〉—〈Q,中(%)Q〉〈Q, <p(/;)Q)].

' (VIII.42)

Замечания, 1. Специальный вид полинома Р используется лишь в связи с необходимостью знать факт существования состояния в бесконечном объеме. В частности, для любого полуограни- ченного полинома Р мы будем иметь оценку (VIII.42), если только мы сможем исследовать предельное состояние в бесконечном объеме столь полно, чтобы знать, что для него удовлетворяются неравенства ФКЖ.

Как мы увидим ниже, смысл неравенства (VIIL42) заключен в том, что величина (屮,e~tHip) — (Q, ip)2 определяет расстояние от начала координат до ближайшей справа от него точки, принадлежащей носителю спектральной меры dpt屮 элемента ip, а слагаемые в правой части (VIII.42) определяют аналогичные расстояния для мер "卩①力冶.Таким образом, из неравенства (VIIL42) следует, что ближайшая к нулю точка спектра о (〃}| {Q}丄)оценивается через ближайшие к нулю точки для мер ©卩屮(力屮.

Доказательство. Для / £ с^ (R2) или для / = g ㊁ 5$, где g € € 孑(R), введем случайные величины р (/) и о (/) на нашем эвкли-

e（X）=e（X）=довом (^-пространстве, определяемые следующим образом. Пусть / при I/区1,

e（X）=

e（X）=

sgn X при I х|^1.

Положим

0⑺=e (屮(/)),р(/)= 4(1 + о(/)).

Случайные величины р и а являются теоретико-полевыми аналогами чисел заполнения частиц в решетчатом газе и спинов. Далее для функций 九，...，/〃 указанного выше типа положим

Р (/1? • • •, /п) = II Р (/г)

И

2(九…,Лг)= Sp8).

Мы утверждаем, что функционалы

"川，中(力)，中(厶)-D(Л)

и

Р (А, . . .,/n), 2 (/1，. ./„), w (Л，...,/„) - P (Л，. . .,/„)

монотонно зависят от 屮(厶).Монотонность функционалов (1) вытекает из того факта, что С (宓)м а — С (х) являются монотонными функциями от х. Монотонность первых двух функционалов (2) очевидна, а для того чтобы убедиться в монотонности функционала S ——р, достаточно записать, что

S(/b — fn)-~P(fi^ • • •> /п)^ S Р(Л)+ Р (/г) [1— П Р(Л)Ь

3#£方卢£

и заметить, что 0 & р & 1.

Для продолжения доказательства нам понадобится следующая

Лемма (Лебовиц [118]). Пусть %,厂2，6工，G2, %, 〃金一случайные величины, каждая пара из которых положителъно корре- лирована (тп. е.(歹⑨)》(修〉(G>〉и тп. 0) причем H» = Ft — %. Тогда

О &〈G«2〉一(％〉(仇〉&〈储歹 2〉一(％〉〈％〉•

Доказательство. Сложим почленно неравенства

3血2〉一〈储)〈％〉三〈内(/ 一 G2)) 一(%〉(% 一 G上 ^ 0

и

(HG&〉一(&〉(G?}=《％ — GJ G2)—(尸1 一 G*、G?〉》0・■

Пусть /1Т . . ., /п; go • . ., gm》0・ В силу доказанной леммы， неравенств ФКЖ и монотонности функционалов р, S и S ™ р, имеет место неравенство

(РаРв〉一(Ра〉〈Р в〉& 色公 в) (SA> (SB>,(VIII.43)

где Ра — Р (/1 ? • • • j /п)» Рв ^2 Р (gi，• •・，gm)近工・ Д*? Н。

n n

<SASB) —(SA)〈Wb〉=2 2 ［〈P (%) P (gj)〉一〈P (%)〉〈P (gj)〉］=

2=1 ； = i n m

=} 2 2 ［〈° (A) ° (gj)〉一〈。(厶)〉〈。(gj)〉］・(VIII.44)

2=1 *1

Снова, применяя лемму и неравенства ФКЖ, получаем, что

e (力)0 (g，)〉- ① (力)>е ®)〉《(中(力)<f 也力〉-

-(<₽ (力)〉〈屮(g/)〉•(VIII.45)

На основании оценок (VIII.43——45) мы заключаем, что

(рАрВ> —(РА)(Рв> &

02 3 ［〈中(")中信幻)〉「〈中(m)〉〈中信g』)〉］■ 1—1 ；=1

Пусть /lt . . /п > 0. Взяв

рд = р (/1 ® 5$" • • •, /п ® SSn) И pB = p(/i®6_t_sl, •••j/n® 6_f_Sn), придем к неравенству (VIII.42). Тотальность множества векторов ［р (/х ® 6S1, . . ., /п ® 6Sn)］ доказывается очень просто, если воспользоваться соотношением lim Ха (Х^/)=屮(/)..

ОО

Наиболее важным следствием последней теоремы является то обстоятельство, что на вопросы, касающиеся невырожденности вакуумного вектора, можно дать ответ в терминах двухточечной групповой функции»

Теорема VII 1.36 (Саймон ［178］). Пусть 吗(х, у)= =〈屮⑺屮(У)〉一 (ф ⑷〉〈屮(у)〉• Тогда

функция 5J (х, у) зависит только от \х — у |, вещественноаналитична вне прямой х ——у = 0, монотонно убывает и неотрицательна;

вакуумный вектор является невырожденным 6 том и только том случае, если 5^ (0, у) -> 0 при у -> оо;

вакуумный вектор невырожден, а спектр оператора Н не имеет точек 6 интервале (0, тп) тогда и только тогда, когда для любого w > 0

exp((zn—£)|y|)S： (0, y)f О

при у f ОО.

18 Б. Саймон

Доказательство, (а) Это утверждение доказывается так же, как и в случае свободных граничных условий (см. предложение V・ 23(a)).

Если вакуум является невырожденным, то для любой положительной функции / с носителем в R X (0, °°)

〈[〃 e-由仃]〉一〈用，Q〉2fo при tfoo.

Но это означает, что

j (W)(尤)/ (g) S：(尤一у) &尤 dy f 0.

Так как функция S^ монотонно убывает и положительна, а функция / положительна, то 5J f 0. Обратно, если SJ -> 0, то для любых фиксированных /17 ...,/〃 и $丄,...,sn правая часть оценки (VIII.42) стремится к нулю при t f оо, и поэтому на тотальном множестве векторов 屮 выполняется соотношение 0 W〈屮，e~tH^}—— —(屮,$2〉2fo Если бы вакуумный вектор был вырожден, то мы могли бы найти вектор т|, ортогональный вектору й, такой, что Ну] = 0, и вектор 屮 из нашего тотального множества, не ортогональный к % Тогда мы получили бы, что〈屮，е~ш^) —〈屮，◎户》 》(屮，г) )2 при всех t в противоречии с основным соотношением 〈屮，е—н屮〉—(2, Q〉2 fo.

Это доказывается аналогично утверждению (Ъ)..

Второе интересное следствие представляет собой следующая

Теорема VIII,37 [178]. Если Р — четный полином, то первое возбужденное состояние для полудирихле-модели 6 бесконечном объеме является нечетным^ т, е. переходит 6 противоположное по знаку состояние при преобразовании симметрии 屮 i* —ф. В частности^ если спектр гамильтониана Н не имеет точек 6 интервале (0, т) и нулевое собственное значение невырождено^ то

zn= inf Гlim Г — ~ In f f(x)f(y) S^ (x,方；у, 0) dxdyll .

疋£(R)Lj°°LJ'JJ

Доказательство. Это уст ан авл и в ается так же, как утверждения (Ъ) и (с) предыдущей теоремы..

Замечание. Для системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, симметричным по отношению к преобразованию gf —g, первое возбужденное состояние всегда нечетно, поскольку соответствующая волновая функция имеет единственную узловую точку 丄). Это, однако, необязательно справедливо, если имеется более чем одна степень свободы; см,, например, статью Саймона [178]т где приведен пример системы, у которой первое возбужденное состояние четно, а число степеней свободы равно трем.

Другое приложение теоремы VIII.35 касается упрощения теории рассеяния Хаага —Рюэля [95]; это приложение рассмотрено в работе [178].

Литература « § VIII.7

Саймон [178].

§ VIII.8. Модель Хёэг-Крона

Как показали Альбеверио и Хёэг-Крон [2], модель, которую мы обсуждали в § V.6 и VII.6, особенно удобно изучать при помощи метода корреляционных неравенств. Формальные основания для этого очень просты. Ввиду соотношения

:ехр ф (х): = ехр ф (х)/(ехр 屮(х)}, мы имеем формально

:expq)(x): = 3 Cnq)(х)п,п=0

где Сп 0, и потому (формально)

〈屮(у) :ехр 屮(у):)—〈屮(у)) (:ехр 屮(у):) > 0.

Таким образом,

备〈叭У)е“*：〉&0・

Это позволяет предположить, что в модели Хёэг-Крона функции Швингера, отвечающие свободным граничным условиям, монотонно убывают при расширении области. Поскольку же функции Швингера, соответствующие половинным условиям Дирихле, по-прежнему монотонно возрастают, мы получаем существенную информацию о предельном переходе при неограниченном возрастании объема.

На протяжении этого параграфа мы считаем фиксированной некоторую конечную четную меру dv с носителем, лежащим в отрезке [—а0, а0], где а0 < 4/]Zn. При фиксированных 6 и Л положим

%= 2 ( j dv (а) :ехрафа (w): j 62.

пб£Л

Основным результатом о сходимости решеточной аппроксимации в модели Хёэг-Крона является следующая

Теорема VIII.38 (Альбеверио и Хёэг-Крон [2]). Зафиксируем ограниченную область Л и меру dv, как указано выше^ с tz0 V

18*

V4/|/"л. Тогда при 6 J О

Va f* V 三 j dv (a) ( j :exp a(p (x): dx )A

6 nространстве £' a exp (—Ve) f exp (—P)

g каждом аз пространств £» (p V оо).

Доказательство. Положим 卩6 = 2 卩即‘，гДе

吗m>= £ б? jdv(a)器:増(ТП)：.паел

Тогда ГТ0 + 卩砌 ПрИ б I о, в силу теоремы VIII.5, и поэтому для того, чтобы доказать, что V^ f V в L2, нам достаточно дока

зать равномерную по 6 сходимость ряда 3 卩評'・ Поскольку Р”〉 ?п==0

взаимно ортогональны при различных т^ для этого в свою очередь достаточно установить оценку || 7^ ||2^^т? где 』Ст<8. Но

|1彩叫产《(jdv(a)R £ 崎:哺⑺：|D&пб£Л

0("З»Х崙)』3巾:哂⑺:卜

^( J dv(^^.m{ 3 64($6(切学6(儿‘)片=

=(EQ))?儒向 3 6噺(…，)， пбел

где

G6 (n—n) = (2л)-2 J 声・S7)6卩萨(乃)d2k

Далее,

I S amanf («I —n) |<(3 I «mI2)1/2 (3 I «П |2)1/2 S I га) I»

так что (для достаточно малых ё)

2弟階(…К(22弟階(…К(2пбЕЛп*66ЛпбЕЛп*66Л喚人喚人62) 3 з2第 ® 《 vol {/ I dist (/，A) & 4} & nfiez262) 3 з2第 ® 《 vol {/ I dist (/，A) & 4} & nfiez2< 3〜®； n6£Z2< 3〜®； n6£Z2

2弟階(…К(2

2弟階(…К(2

пбЕЛп*66Л

пбЕЛп*66Л

喚人

喚人

62) 3 з2第 ® 《 vol {/ I dist (/，A) & 4} & nfiez2

62) 3 з2第 ® 《 vol {/ I dist (/，A) & 4} & nfiez2

< 3〜®； n6£Z2

< 3〜®； n6£Z2

здесь мы использовали тот факт, что G6 (тг)》0 (в соответствии с неравенствами ГКШ). Далее,

2 3冶殍他）=金卜.J（士心5好）u鳥

n6EZ266n22沁‘

=(211)2也-2. J • . . J 6 (后十...+"m) 11fl6 (k%W 66jT

(по лемме VHL3)《傍户(击『吁纟X

n时

6 б'

<(^)2mJ Со^ГЛ.

Таким образом, || 匕的]| ； & где

e0吉(号•户 jGoRi，

И

工 Cm = 0 j (ехp[(争)%3)]-1) d2^.

Так как Go (宓)f 0 экспоненциально, то рассматриваемый интеграл заведомо сходится на бесконечности. Его особенность при а = 0 имеет вид | х |-久 где 0 =(ла0/2)2 (2л)-1. Условие 0 & 2 эквивалентно условию а： V 16/п. Это доказывает, что 卩6fp в /Л Сходимость экспоненциалов доказывается обычным образом (см. замечание 1 после теоремы V.24)..

В качестве непосредственного следствия из сходимости решеточной аппроксимации мы получаем следующую теорему.

Теорема VIII.39 [2]. (а) Для модели Хёэг-Крона с пространственным обрезанием и четной весовой мерой dv, носитель которой лежит е интервале [ —а0, а0], где а0 V 4/]Лп, справедливы неравенства ГКШ а ФКЖ.

Если 自，...,hn ^ 0, то значения функций Швингера Sa (%i，. . ., 7%) 6 любой из таких моделей Хёэг-Крона монотонно убывают при расширении области Л.

Доказательство. (а) Это утверждение доказывается так же, как и в случае модели Р (ф)2.

Нам нужно доказать лишь, что в решеточной аппроксимации значения 5л, 6 (бП1,...,谷冗加)монотонно убывают при расширении области Л. Итак, пусть Л и А'. Имеем

-2 y您(砌

Sai в (6щ, 6nm) =_y у®б(а))'(VHL46)

\ edvA

Обозначим через F (0) функцию, полученную заменой множителя ехр (— 2 . . .) в (VIII.46) на ехр (—0 2 • • •),近 через〈 •〉§ —

А，\ЛЛ* \Л

соответствующее среднее значение. Тогда

卷=一 2[〈5(%)…中6 5m) 了 ($6 ⑺))В—〈П 学6 (吟”%].

пбел^лj

Но

v6(n)= 2 [ J 器〈ехр(а(Рб ⑺)〉Tdv(a)]$6 ⑺m,

и, таким образом, @F7aB & 0, чем и доказано утверждение (Ь). В этом рассуждении мы воспользовались четностью меры dv, для того чтобы свести сумму по zn к сумме по четным т..

Теорема VIII,40 ⑵.Пусть 5厶一функции Швингера для модели Хёэг-Крона с четной весовой мерой dv, сосредоточенной в интервале [—а0, а01, где а0 V 4/|Л冗.Тогда 5厶 f Sg》0 при A f* оо 〃 при этом

St» (/i，/i? • • .?九，/п) ^ 0, если 九，• •/几 *0；

функция Sg является функцией Швингера для некоторой модели поля Уайтмэна, удовлетворяющей всем аксиомам Уайтмэна;

соответствующее поле Уайтмэна имеет щель 6 энергетическом спектре величины., ме меньшей чем mQ (где mQ — голая масса).

Доказательство, (i) Это утверждение вытекает из аналогичного свойства функций S^D^ а также выполненных при Л* гэ Л оценок S^d & S^P & 5八，，из которых следует, что S严 & Sg.

За исключением аксиомы единственности вакуума, которая доказывается там же, как утверждение (iii), доказательство утверждения (ii) аналогично соответствующему доказательству

для полудирихле-состояния в модели Р (ф)2 (с тем отличием, что нам не нужно здесь никакой верхней оценки, поскольку 5Л убывает при расширении области Л и является положительной функцией).

С учетом неравенств ФКЖ, нам, как и в § VIIT.7, достаточно доказать лишь, что S； f 0 экспоненциально. Но поскольку dw — четная мера, то S] = 0, м поэтому S；= S? и 52, ：С ^2, своб， а эта величина стремится к нулю с экспоненциальной скоростью..

Замечание. Большая часть результатов § VIII.6 переносится и на рассматриваемый случай.

Все предыдущие результаты заимствованы из работы [2]. Следующая теорема является новой:

Теорема VIII.42• Пусть dv — четная мера с носителем 6 [—а。，а。], где а0 V 4”п, и пусть т (九)一щель 6 энергетическом спектре для модели 6 бесконечном объеме со взаимодействием 九 j @w (а) :ехр а(р: , /п. е. /п (X) = inf [Spec Н (九)| {С}丄].Тогда lim zn (入) = m^, где mQ — голая масса.

МО

Доказательство. Пусть через А, обозначена полоса [——2/2, 2/2] X X R. Тогда, поскольку, в силу неравенств ФКЖ, щель в спектре определяется функцией 52 и справедливы неравенства

ссвоб、* 、qHD D2,8 2, Az?

то 喈(入)^ /п (?v) ^ zn严(九).Так как 呜(X) = mQ, то lim inf m (入)》/?^, a так как zn严(九)m黑 при мон 加氏 m() при 2 f 8, то lim sup /n (入)& mQ..

Модифицируя рассуждения Даймока [26], относящиеся к модели Р (ф)2, можно доказать, что в модели Хёэг-Крона теория возмущений (по 九)является в низших порядках асимптотической. Важную роль при этом играет следующее

Предложение VIII,43. Пусть dv — четная мера с носителем 6 I—а。，а0]? и пусть Р〃 = j d2x j dw (а) :exp а(р (х):. Тогда л

для любой ограниченной области А величина Vi ^ L^ (QN, dp,0) при всех р < 1 + 4m/(Zq.

Доказательство. Пусть 小⑴= j d2x j dv (a) :exp ac屮(x):. Тогда по теореме V.24 旷⑼ € 厶气 если с < У"4n/a0. Но, в силу соотношения (1.33а), Г (с"1) V^} — V, и поэтому по теореме 1-17 V £ 2/, если Ур — 1 < 4л/а0..

Заметим, однако, что поскольку V ^ Lp при некоторых р V 8,

то в некоторых конечных порядках теории возмущений возникают

функции Швингера будут при (для некоторого конечного Л),функции Швингера будут при (для некоторого конечного Л),бесконечности; другими словами, А = 0 функциями лишь класса С

функции Швингера будут при (для некоторого конечного Л),

функции Швингера будут при (для некоторого конечного Л),

но не класса С°°. Это отмечалось уже в работе [101].

Литература 開 § VIII.8

Альбеверио и Хёэг-Крон [2].

Глава IX

КЛАССИЧЕСКАЯ ИЗИНГОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

В ходе изучения модели ферромагнетизма Изинга в статистической механике развит обширный и элегантный аппарат исследования. Одна из групп полученных здесь результатов применима к общим моделям с четными распределениями отдельных спинов, т. е. к моделям, названным нами в предыдущей главе ферромагнетиками общего типа. Эти результаты, как правило, распространяются и на ферромагнитные системы с соответствующим образом выбранным многочастичным взаимодействием. Хотя мы не использовали эти многочастичные взаимодействия в наших построениях, относящихся к теории поля, мы увидим ниже, что возможность рассматривать многочастичные взаимодействия связана некоторым образом с возможностью рассматривать произвольные распределения отдельных спинов. Эта первая группа результатов включает в себя неравенства ГКШ и ФКЖ; основное применение решеточной аппроксимации связано с перенесением этих результатов на соответствующие модели Р (ф)2.

Вторая группа результатов получена прямыми методами и только для моделей ферромагнетика со спином г/2 и парным взаимодействием, которые были названы в предыдущей главе классическими ферромагнетиками. Эти результаты включают в себя так называемые неравенства ГХШ (Гриффитса — Хёрста — Шермана) и теорему Ли —— Янга. Наша цель в этой главе заключается в том, чтобы показать, каким образом модели 尸(ф)2, где 尸(X) = аХ4 + + ЬХ2, можно аппроксимировать классическими ферромагнетиками (такая аппроксимация предложена Саймоном и Гриффитсом [183]). Эта аппроксимация, рассматриваемая в § IX.1, позволит нам доказать затем теорему Ли —— Янга (§ IX.3) и неравенства ГХШ (§ IX.2) для модели (ф4)2. Наиболее важное следствие этих результатов состоит в доказательстве последней аксиомы Уайтмана для полудирихле-состояний в модели Р ((р)2, где Р (X)= =аХ" + ЬХ2 — (м 声 0).

Отметим также, что Спенсер [187] нашел важные применения теоремы Ли — Янга, которые становятся особенно интересными в сочетании с техникой разложения Глимма, Джаффе и Спенсера [72].

§ IX. 1. Основы метода и улучшенная теорема

Муавра — Лапласа

Мы уже видели, каким образом модели Р (ф)2 с пространственным обрезанием аппроксимируются ферромагнетиками общего типа в том случае, когда Р ——четный полином. Мы хотим теперь исследовать вопрос о том, какие ферромагнетики общего типа могут быть в свою очередь аппроксимированы классическими ферромагнетиками. То, чего мы хотим добиться, включает в себя общую программу Гриффитса [79] и, по всей видимости, лучше всего может быть понято на примере ферромагнетиков со спином 1. Предположим, что неравенства ГКШ доказаны лишь для ферромагнетиков со спином % (исторически дело приблизительно так и обстояло на одном из этапов развития теории), и мы желаем доказать их для ферромагнетиков со спином 1 и с парным взаимодействием. Другими словами, мы знаем, что

(04户)》(0勺〈产〉，(IX.1)

если о" = П S и

〈/(0)〉= 2 / В) ехр (Wago，/ 2 ехр (2例咒旧)， %=±1%=±1

где atj ^ 0, и хотим доказать тот же самый результат для случая, когда

(/ (о)) = 2 / (о) ехр (2аг；-а;а；)/ 2 ехр (2仰声戸». (IX.2) Oj=±2, 0%=±2, О

Чтобы добиться этого, мы, следуя Гриффитсу [79], рассмотрим ферромагнетик с двумя значениями спина * = 土 1 и значением парного потенциала а = г/2 In 2. В такой модели распределение для величины о = $丄 + 玩 имеет вид

prob (о = + 2) = 1 • e+ag/N = ]/2/^,

prob (о = —2) = ]/2/N,

prob (о = 0) = 2 ・e-a\“N = У 2/N, где N —— нормирующий множитель. Другими словами, распределение величины о совпадает с распределением отдельного единичного спина. Математическое ожидание по распределению (IX.2) можно записать в виде

"(6)〉=

=2 ,®1 + $i2)СXp [亡 а力，(龜1 + =2)(*〃+”2)+ 2 В1112”/i2]/z, 亡土1

(IX.3)

так что математическое ожидание функций на фазовом пространстве ферромагнитной системы из п единичных спинов выражается в терминах системы 2п спинов 1/2, которая также является ферромагнитной, поскольку I% In 2 > 0. Так как корреляционные неравенства вида (IX.1) полилинейны, равенство средних (IX.2) и (IX.3) влечет за собой неравенства ГКШ для системы единичных спинов, в предположении, что мы уже доказали их для системы половинных спинов. Теперь становится ясным общий план наших действий: Для того чтобы перенести результаты, полученные для систем половинных спинов с парным ферромагнитным взаимодействием, на системы с парным ферромагнитным взаимодействием. но с более сложным распределением отдельного спина, мъь должны, представить распределения отдельных спинов 6 этих моделях как распределение суммарного спина е некотором ферромагнетике с первым взаимодействием со спином 1/2.

С точки зрения наших моделей теории поля мы интересуемся пределами дискретных распределений при уменьшении масштаба, с тем чтобы получить в результате непрерывное распределение спина. Поскольку мы хотим аппроксимировать некоторые интегралы, нам потребуются равномерные оценки сверху, которые позволили бы применить теорему о мажорированной сходимости. Введем следующие определения, заимствованные из статьи Саймона и Гриффитса [183].

Определение^ Моделью парного ферромагнетика называется положительная мера w на множестве целых чисел вида ——^, —2V + 2,・.2V, задаваемая формулой

R(N)= ZT 2 ехр[ —Я(х)],(IX.4)

$[=±1, ♦ . . , 8П=±1

где

Z= 2 ехр [ — Я (s)](IX.5)

и

反⑻=一 2 a用»)0，(IX.6)

Определение» Моделью парного феррома гнет и на с шагом 6 называется такая функция F на R, для которой можно указать целое число N и распределение вероятностей спина парного ферромагнетика w (ц), ц = —N, —2V + 2, .2V — 2, TV, такие, что

歹（s）=歹（s）=C0(NN, 6(s)) при — 6(N 十 l)Wsv6(N + ”,

歹（s）=

歹（s）=

0в остальных случаях；

где Nn, 6 ($) — единственная функция, обладающая следующими свойствами: Nn, 6 (s) — N —— это четное целое число, и

6 (Nn, 6 (s) — 4)&s V 6 (卩№, 6 (s) + !)•

ОпределениеЛ Функция 耳 на R называется предельным распределением ферромагнетика (п. р. ф.) в том и только том случае, если существует последовательность моделей парного ферромагнетика Fn (%) с шагом 6几,такая, что

бп f О,

Fn (%) f F (%) при каждом 胃；

при некоторых a, Da > 0 и всех п и х

丨厶 3) 1 & Да ехр (-а ]胃 I2).(IX.7)

Верхнюю грань значений а, допустимых в неравенстве (IX.7), мы назовем порядком п. р. /

Замечания, 1. Наше определение несколько отличается от того, которое приведено в статье [183], где требуется убывание на бесконечности более слабое, чем в (IX.7). Впоследствии мы наложим также более сильное, чем в [183], ограничение на взаимодействие спинов.

Ньюмэн [138] рассмотрел более общее понятие, чем п. р. ф. Если имеет место (IX.6), то

exp[ — H(s)]=[IX『4OvXgl.

i<7

Ньюмэн построил аппроксимацию четной незнакоопределенной меры V на R с помощью незнакоопределенных мер указанного выше вида, но с коэффициентами Х»『, удовлетворяющими условию —l&XtjWl. Такой аппроксимации достаточно для теоремы Ли ——Янга, но недостаточно для ГХШ-неравенств. Если v — четная мера и j ехр (а№) dv (s) V 8 при всех а > 0, то, как показал Ньюмэн, меру V можно аппроксимировать с помощью введенных им обобщенных «незнакоопределенных мер типа Изинга» тогда и только тогда, когда 耳(z) = j ехр (zs) dv (s)声 0 при Im z 声 0.

Таким образом, мы заинтересованы в том, чтобы найти такие четные полиномы Р, для которых ехр (——Р) dx является п. р. ф. Рассмотрим вначале случай deg Р = 2. Одна из прописных истин теории вероятностей состоит в том, что гауссовские распределения принадлежат к числу наиболее часто встречающихся распределений. А именно, суммы независимых случайных величин после соответствующей нормировки обнаруживают тенденцию к сближению с гауссовскими случайными величинами. В частности, если X» ——одинаково распределенные независимые случайные величины с нулевым средним и конечной

дисперсией, то распределение случайной величины X】+ • •.

• • . +Xn/n^2 сходится к гауссовскому (центральная предельная теорема). Частным случаем является первоначальная предельная теорема Муавра — Лапласа:

(：)~Смехр (-击(?n-^N)2)

при Nf оо. Это утверждение может быть использовано как основа для доказательства того, что ехр (—as?) является п. р. ф. (см. ниже); надо лишь положить。仃 = 0.

В случае deg Р = 4 мы имеем следующую теорему.

Теорема IXЛ [(Саймон и Гриффитс [183]). При любых a > 0 и b £ R функция ехр (—as& — 加纟)есть n. p. ф. порядка oo.

Доказательство. Изменяя масштабы, мы можем свести всё к случаю a = %計 Положим

Hn(S],…，Sn)=(6N-3/2__^nt)(』sj2,(ix.8a)

1=1

6^ = NT%(IX.8b)

C“ = exp (—О”)，(IX.8c)

0n = (N + 1) m 2 + % In 1(N + l)/№] - % In 2n・(IX.8d)

Мы утверждаем, что при таком выборе НN, 6双 口。“ в пределе при N f оо возникает функция ехр (—%2s，一 bs2). Поскольку Ьдт/2 + 丄/山"V 0 при достаточно больших ^, то этот предел будет п. ф. р.

Прежде чем приступить к доказательству, обсудим основную идею, связанную с рассматриваемой аппроксимацией. Для выписанного выше гамильтониана

w(Н)= I %+卩 ехрw(Н)= I %+卩 ехр22（击曲一旷映2）（击曲一旷映2）

w(Н)= I %+卩 ехр

w(Н)= I %+卩 ехр

2

2

（击曲一旷映2）

（击曲一旷映2）

Используя то, что In N! ~ N In ^, мы видим, что

In D (м)〜С% — N% 告)+ 鳥 М _ 旷 3/2 如 2,

где

h (x) = % 1(1 + x) In (1 + x) + (1 - %) In (1- x)]. (IX.9)

Поскольку 出 ~ s6" = s№% to 卩/N 〜s/N1^. и, таким образом, x, фигурирующее в (IX.9), мало. Но при малых х

h (х) = -^х2 + -^xi + О (хв).

Главный член 工厶胃？ приводит к знаменитому выражению ехр (—i/zNp2), фигурирующему в предельной теореме Муавра — Лапласа. Используя введенный в (IX.8а) выбор НN1 мы можем сократить 1лавный член 汕2N. Член

"О%Т4)Т =綻

остается, в то время как следующий член

NO((s/M")6) = O(Ai/2)

в пределе обращается в нуль. Таким образом, если ц 〜sN»{ то при N f 8

In山(卩)〜 e分一告代一加2.

При аккуратном доказательстве требуется перейти к высшим (по сравнению с TV In 7V) порядкам в асимптотическом разложении для In TV! Положим

/ (п) == П In П + у In (п + 1) — П -|- у In (2л).

Мы примем на веру, что

sup |lnn! —f(n)|<oo n=0, 1,2,...

lim [In n\~f(n)] =0.

Доказательство можно найти, например, в [42, стр. 67].

Таким образом, если положить

G(N,n)=%一NA (卩/N) -；1h (1-方十 箱一 _т1а(1+^+4)' (1хло)

嶋2 +卩）嶋2 +卩）—G(N,卩)< oo,—G(N,卩)< oo,где h (%) введено в (IX.9), a DN — в (IX.8b), то

嶋2 +卩）

嶋2 +卩）

—G(N,卩)< oo,

—G(N,卩)< oo,

(a‘) sup

N=l, 2,.

K=-N, —N+2,…，N

(Ь，) 士史卜 nQ(，J_G(Ni) =0

I mN|W1 -8【一，4一

для каждого фиксированного е > 0.

I Nn ® — 心幻 I < 2,(无⑺一}%2 — R 优4)/%5fo пPи 胃->0,I Nn ® — 心幻 I < 2,(无⑺一}%2 — R 优4)/%5fo пPи 胃->0,Зафиксируем s и положим FN (s) = wN (p,N (s)) в соответствии с выбором НN, б^ и Cn в (IX.8). Учитывая равенство (Ь‘)и соотношения

I Nn ® — 心幻 I < 2,(无⑺一}%2 — R 优4)/%5fo пPи 胃->0,

I Nn ® — 心幻 I < 2,(无⑺一}%2 — R 优4)/%5fo пPи 胃->0,

мы получаем, что

In FN (s) f〔А? f —加2.

Далее, в силу оценки (а‘) и оценки

一h (х)^ 一 q优2 一 夜况4，—1工优&1,

вытекающей из разложения Тейлора

无⑶=2 (2孔(2北一I))-1 х2п

(которое сходится при | 况 | & 1), мы находим, что

In 厶(s)— Kn (s), где

^(^^linfl-^+Aj+Ainfl + M^ + lj

при I S I v (jV + 1)/%3/4 и Kn = —ОО при I S I > (2V + 1)/7V3/4. Несложное рассуждение (см. [183]) показывает теперь, что

sup KN ($)&2 In 2 +； In (128s4 + 4),

откуда

((256№ + 8)"2 exp (I b I $2)при | s | & 2

n's)胃(256s& + 8)i/2exp(W|s2 —^(|s| —2)4)при |s|》2.

Это и дает равномерные оценки, позволяющие заключить, что функция ехр (—I/】？ Z — fe№) есть п. р. ф..

Перейдем теперь к 'случаю deg Р = 6. К настоящему времени имеется только отрицательный результат [183], утверждающий, что функция ехр (——Р) не является и. р. ф. для произвольных полиномов Р шестой степени. Приводимые ниже примеры i) очевидным образом связаны с примерами из [183], однако выбранный здесь метод изложения, как нам кажется, в большей степени проясняет причины несуществования классической аппроксимации в свете интуитивных соображений, высказанных в § IX.5.

Нам потребуется следующий результат из § IX.3.

Предложение IX.2. Если v является п. р.力, то все нули функции

F (г) — j 优$ dv (s)

расположены на оси Re z =0.

По поводу дальнейшего обсуждения этого вопроса см. конец § IX.2.

Отметим, далее,

Пре дложе w ие JTX.3. Пусть Р — четный полу ограниченный полином. Предположим^ что существует окрестность ^ точки, z=0, такая, что для некоторой иоследовательноспш вещественных чисел a f 8 ки одна из функций

Fa (z) = j £・aP(s)e+az$ 加

ие имеет нулей 6 ^. Тогда полином Р имеет единственный минимум1

Доказательство. Поскольку функция F& (г) аналитична и не обращается в нуль в области ^, то, сужая ^ до круга с центром в точке 0, мы можем определить аналитическую в N функцию

&(2)=几6产“.

Если z вещественно и {“(z)}齡一точки абсолютного минимума для Р (s) — zs (как правило, N (z) = 1!), то при a f 8

% (z) f ехр (—Р ® (z)) + z”(z))・

Кроме того, при любом г ^ ^ справедлива оценка ] Ga (г) | 忘 & Ga (Re z), т. e. функции Ga равномерно ограничены в области М Отсюда следует, что предельная функция аналитична в N.

Допустим теперь, что полином Р имеет неёдинственный минимум, т. е. что N (0)》2. Пусть через s+ (соотв. s_) обозначено наибольшее (соотв. наименьшее) из чисел, минимизирующих полином Р. Легко увидеть, что если z вещественно, мало и отлично от нуля, ТО ^(2)= 1, И ЧТО S (z) f s卜(соотв. к s_) при Z I 0 (соотв. при z f 0). Следовательно, поскольку Р* (s土) — 0, то

G°° (z) ^乌00 ⑼ т s+e~Р(н)(соотв. s^e~p^)

при 2 I 0 (соотв. z f 0). Так как P (沁)=P (s_), но 斗=# s_, то функция Goo оказывается недифференцируемой при г = 0. Но G аналитична в точке z = 0. Полученное противоречие означает, что _Р имеет единственный минимум..

Пример. Пусть Q (s)=卡(§ 十 ”2(§ — £户十 @ 便 一 ％«). Для любого a > 0 функция ехр (—aQ (s)) не может служить п. р. ф. ни при каких достаточно больших а. Действительно, если бы это было не так, то, в силу предложения IX.2, функция

ba(z)= f e~^Q.^e+^ ds

не обращалась бы в нуль ни при каком z с Re z > 0. Согласно предложению IX.3, отсюда следовало бьг, что Q (s)——sz имеет единственный минимум при всех z > 0. Но график полинома Q (s) имеет вид, изображенный на рис. IX.1, так что существует, как это показано на рисунке, прямая с двойным касанием. Ясно, что полипом Q (s)——“s имеет неединственный минимум. Таким образом, e~a(Q)s не является п. р. ф. ни при каких достаточно больших

Подытожим ситуацию. Комбинируя теорему IX.1 и решеточную аппроксимацию, мы получаем, что модели Р (屮)？, где Р (X) = аХ‘ + ЬХ?, аппроксимируемы классическими моделями Изинга. Есть соображения в пользу того, что при deg 尸=6 такая аппроксимация не всегда возможна х).

Замечание. Если допустить многочастичные взаимодействия ферромагнитного типа, то мы можем аппроксимировать любое из распределений вида ехр (-Р (s)) ds (где Р — четный полином) ферромагнетиками со спином /2. Например, взяв Р (X) = X% мы можем сократить слагаемое х4, возникающее в разложении функции h (%), только со слагаемым (12Л^)Т (工 龜产 в гамильтониане НN (и затем положить 6 = jV-5/6). Разумеется, слагаемое (』％)" отвечает некоторому четырехчастичному взаимодействию.

Литература 篦 § IX.1

Саймон и Гриффитс [183].

§ IX.2. Неравенства ГХШ, неравенства Лебовица и их применения

В этом параграфе мы хотим доказать ряд неравенств для классических моделей типа модели Изинга, распространить их на модель (ф4)2 при помощи методов § IX.1 и затем обсудить их применения. Одна группа наших неравенств ——это неравенства ГХШТ доказанные первоначально Гриффитсом, Хёрстом и Шерманом [82]. В течение ряда лет эти неравенства не поддавались никаким попыткам дать простое их доказательство, однако недавно Лебовиц [221]т используя один искусный прием Перкуса [222], нашел простой способ вывода неравенств ГХШ, а также целого ряда других родственных неравенств.

В качестве приготовления рассмотрим четный ферромагнетик над некоторым произвольным множеством индексов Л. Другими словами, для каждого г £ Л задана мера

dvt = ехр (卩》第。dvf>

где (.if ^ 0 и dvt ——четная мера, а также строго положительно определенная матрица {Ь订}脑龙а, где Ьц ^ 0 при % =# j. Для любого конечного множества К и А положим

Z(K)=jexp (— $ 仇*卢011dlM第>i,j£K i£K

Предположим, что &, К2 и К^ — попарно не пересекающиеся множества и что b仃=0, если г и / принадлежат разным множествам К. Тогда

Z (& и ^2 и 芻)Z (/) = Z (& и М) Z (爲 и Кз)，(IX.11) поскольку Z (畐 U %) = Z (&) Z (К」)・ Мы утверждаем, что в общем случае имеет место оценка

Z (К】U 区2 U &з) Z (K^/Z (К】U 区力 Z (^2 U &з) > 丄(IX.12)

Действительно, производная по Ь^ от логарифма левой части этой оценки равна 2 厶泌丿改川区川％，или 2 l{xiXj)KtUKtUKt — —(^Pk.ukJ, или же 2 [ з卢j〉&ик2ик* —〈&2j〉к,ик」соот- ветственно тому, i € К^ / € А"3, или X € 左工，/ €《2，или же i С《2, j € Кз・ Все эти производные положительны, в силу неравенств ГКШ, и поэтому неравенство (IX.12) вытекает из неравенства (IX.11). Нами доказана тем самым следующая

Лемма 1Х»4» Для любого четного ферромагнетика и любых конечных множеств Л1Т и А

Z (AJ Z (Л2) К Z (A】U Л2) Z (А】А Л2). (IX.13)

В дальнейшем мы ограничимся классическими ферромагнетиками, т. е. наложим условие dv = 6 (% + 1) + 6 (% ——1), так что

Z(K)=2 ехр (— 2 bijGiGj + 2 hps)

(Ji=±l, г£Кi扌$j

(oA)K = Z (^-*)2(1] 0‘)ехр( —方如0@ + 2%0)

%=±1,%к г£Аi^jj

Мы будем иногда писать Z (К, b, h) и {аА)к, > 九,если желательно будет выделить явно переменные Ь” и 无力

Следуя Жинибру [58] и Перкусу [222], введем дублирующую систему спинов {龍}诧区，независимую от системы спинов о и распределенную таким же образом. Другими словами, рассмотрим систему спинов, для которой математические ожидания (обозначаемые через Ехр), задаются формулой

Ехр (/ (о, s))=

= Z(K)-22/ (о, s) ехр [ — 2. bi} (diGj + szsj) + 2 hj (о； + «；)•

%==±1,久=±1i^jj

Прием, введенный Перкусом [222], состоит в том, что вводятся новые переменные

Qi=0(" - 00,力=豆(%+s)，

так что

Ехр (g (力 g)) = Z (К戶 2 g (力 0)exp (— 2 £ b^q^ X ", QfP}坤/

义 exp ( — 2 22 ^/j)»

где {力 q I P) означает, что сумма берется по всем t и q, удовлетворяющим условию Перку саг для каждого i либо 幻=0 и 力=土1, либо 力=0 и g = ±1. Систему спинов {g, %} мы назовем системой Перкуса.

Для данного 4 и К обозначим через Р ⑷ вероятность того, что множество тех i, для которых 力 = 0, совпадает с А. Очевидно, что

р (Л) == Z (Ку fe, hy2 2ехр ( — 2 £ 仇)(仇力 + 方必)+ 2 2 毎力,=

%=±1,讫4计 5j

口==±1, i^A

= Z(K, b, K)^Z(A, 2仇 0)Z(K\A, 2仇 2无).(IX.14)

Полагая, как обычно, iA — Q ^, qA = [] g», мы получаем, что i£Ai£A

Exp (tAqB) = £ P (C) {qB)c, 26, о ^А)к\с, 2Ь, (IX.15) сик

Мы видим, таким образом, в чем преимущества систем Перкуса: хотя они и не факторизуются, однако они представляются через суммы факторизующихся систем. Заметим также, что возможность записать систему Изинга как систему Перкуса зависит как от того, что и принимает лишь два значения ±1, так и от того, что мы допускаем лишь парные взаимодействия, ибо s^, s力 sk + с^о/у左 не есть сумма функций, зависящих только от переменных t, и функций, зависящих только от переменных q.

Последнее, что понадобится нам для доказательства неравенств ГХШ и неравенств Лебовица,— это следующая

Лемма 1Х,5 (общие неравенства ФКЖ в дискретной форме). Пусть К 一 конечное множество и Р — строго положительная функция на множестве 2K (множестве всех подмножеств К), удовлетворяющая условию 2 夕(厶)=1- Допустим, что

Р (A U 笈)Р (4 Г] jB)》Р (Л) Р (5) при всех А, В и К, и положим

Ехр(/)= 2/⑷Р⑷.

AUK

Назовем функцию / монотонно возрастающей^ если / (4)》/ (5) при Лой. Тогда

Ехр (/g) > Ехр (/) Ехр (g),

если fug — монотонно возрастающие функции.

Доказательство. Будем рассматривать множество 2K как множество {——1, 1}к, занумеровав элементы множества К числами 1, 2, . . ., I К I и поставив каждому 4 и К в соответствие з^А\ где /!')= —1 (соотв. 1), если i ^ А (соотв. X £ Л). Наше утверждение вытекает теперь из теоремы VIII.16, если положить U (胃(風)= =Р (Л) и dw = 6 (ж + 1) -р б (х — 1)..

Теорема 1X^6 (Лебовиц [221]). В любой системе Перкуса

Ехр (?Л^В)^： Ехр (qA) Ехр (дв);

Ехр (qAtB) & Ехр (产)Ехр (总)，

если 自》0 и bt] ^ 0 (t ^： у).

Замечание. Конечно, в силу обычных неравенств ГКШ для систем спинов и и s, Ехр (抬庐)員:Ехр (抬)Ехр (庐)ц Ехр (出)》0. В дополнение к этому в соответствии с неравенствами ГКШ и формулой (IX.15) Ехр (д&) > 0, даже если некоторые йг < 0. В частности, Ехр (仇д『)= ^乞[〈50/〉——〈6〉〈о"] >0. Это неравенство (которое следует также из неравенств ФКЖ) получено Перкусом, и именно попытки осмыслить этот результат и привели его к открытию формулы (IX.15).

Доказательство. Пусть /А (C)^={qA )с)2&, 0, Sa (С) = {tA)K^Ct 2b, 2”・ В силу обычных неравенств ГКШ» /А является монотонно возрастающей, a gA ——монотонно убывающей функций от С и

fAUB(C)>jA(C)fB(Cl

Далее, в силу леммы IX.4 и соотношения (IX.14),

Р(А [J В) Р (А [] В) ^Р (А) Р (В).

Поэтому, используя лемму IX.5, мы можем написать, что

Ехр (兴严)=2 尸(С) Зив (С) ^ 2 尸(С) 3 (С) /в (С) >

СикСик

^( 2 尸(С) 3(C)) ( 2 р(с)/в(с)) = сиксик

= eXp (产)Ехр (严).

Поскольку функция ——gA также монотонно возрастает, то аналогичным образом получается и неравенство (Ь)..

Следствие 1ХЛ, (а) (Неравенства ГХШ [82].) Для любой модели Изинга со спином 1/2, с парным ферромагкитным взаимодействием и неотрицательным магнитным полем справедливо неравенство

(а^оЛ) + 2 〈0芝〉(а；) 〈о&〉— 〈с^〉 〈о>о&〉一

—〈”〉〈SoQ —〈％〉〈5”〉& 0.

(Ъ) (Неравенство Лебовица [221].) Для любой модели Изинга со спином 1/2，с парным ферромагнитным взаимодействием и нулевым магнитным полем

{а^^^г) &〈5”〉〈о左S〉+〈50冗〉〈”力〉+〈5力〉(OjQfe).

Замечания. 1. Эти неравенства легче всего понять, если воспользоваться функциями Урселла [154]

Ql

〃2(立，乙)=^^― Un (ехр(2/ггог))]|д.=0.

Неравенства ГКШ означают, что u1? и2 ^ 0 при ht》0, неравенство ГХШ ——что 〃з & 0 при hi ^ 0, и неравенство Лебовица —• что 乂& & 0 при hi = 0.

На первый взгляд удивительно, что 乂工,u2 ^ 0, а и3 ^ 0. Но это легко понять, если привлечь понятия физики магнетизма. Намагниченность т (К) = ^ 〈о»〉/К является положительной (что вытекает из неравенства и工》0), монотонно возрастающей (и2》0)

и вогнутой (〃з & 0) (а не выпуклой) функцией от 无 при 无 > 0 (см. рис. IX.2).

喇

Ньюмэн (не опубликовано) заметил, что из условий 比3 电，无2,无з) W 0 при 自》0 л а 血，无2,无з) — 0 при 色=0 вытекает, что dujdh& & 0 при 无；=0, а это не что иное, как неравенство Лебовица.

Доказательство, (а) 4 [Ехр (必，找丸)一Ехр (比幻)Ехр (〃)]=

=〈О；。/。丸〉+ 〈О；и/〉 〈О丸〉—(агад) (а；> — (а；аА) 〈о*〉一

一 2 Qm〉〈以〉+ 2〈立〉3j〉У

так что утверждение (а) вытекает иэ утверждения (Ъ) предыдущей теоремы.

(Ь)8 [(柒力勿力〉一句也"〈勿力〉I =(d0内丸s〉+〈0"了〉〈以0"一

—〈。尸丸〉〈。步％〉一 6内2〉〈urQ — 2〈50J〉(а^а/) (поскольку магнитное поле равно нулю, то (а£) = 0), и поэтому утверждение (Ь) снова вытекает из утверждения (Ъ) предыдущей теоремы..

Мы подготовлены теперь к тому, чтобы реализовать программу, намеченную в § IX.1.

Теорема IX.8 (неравенства ГХШ [183] и Лебовица [73] для моделей ((р4)2 квантовой теории поля). Пусть Q (X)=仪％‘ 十办*2 (а〉0), и пусть через 〈 •〉обозначено математическое ожидание для состояния, соответствующего пространственно-обрезанному гамильтониану модели Q (<р)2 一 林屮 со свободными граничными условиями, граничными условиями Дирихле или половинными условиями Дирихлелибо же е предельном состоянии, отвечающем бесконечному объему^ которое построено в § VIII.Ь (а также е § ХЛ). Тогда выполняются следующие неравенства (понимаемые в смысле обобщенных функции):

при 林 > О

〈屮(/)屮(у) ф (z) ) + 2 (ф (/)〉@ (у)) (ф (z)〉— (ф (/)屮(у)〉〈屮(2)〉—

—〈屮⑺屮(2)〉3 ①)〉一〈9 ®〉〈屮(у) ф(2)> ^ О, (1ХЛ6)

при 林=О

<ф ⑺ ф (в) <Р(2)<Р (必)〉一(Ф (工)Ф (р)〉(<Р ⑵屮(加)〉一

-(中3)中(Z)〉〈屮(5)①(必)〉一〈中⑺中(辑)〉〈①(y)中(Z))《 0.

(IX.17)

Доказательство. Используя построения из доказательства теоремы VIII.15, мы можем ограничиться тем, чтобы установить эти неравенства в том случае, когда величины ф (х) и т. д. заменены на 屮6(孔)・ Тем самым нам достаточно доказать эти неравенства для ферромагнетика общего типа, для которого dv£ = =ехр (——ад:4 ——&^2) dx, В силу теоремы IX.1, такие ферромагнетики можно аппроксимировать (в достаточно сильном смысле сходимости интегралов от математических ожиданий) ферромагнетиками со спином г/2 и с парным взаимодействием, т. е.

《卩бп, ^n(£【)• • •林67p n^(£»)〉п Т"⑸，s»,ftft

так что на pассматриваемый случай переносятся все полилинейные неравенства..

Применения установленных неравенств основаны на том факте, что в них входят функции Урселла. Обозначим через (•〉а，出 математическое ожидание для модели Q (X)——jxX со взаимодействием в области А и положим

“3 (/, g,无)=〈屮(/)屮(g)屮仇)〉+ 2 (<p (无)〉(<p (/) > (<р (g)〉—

-〈中(/) > <<Р (g)中伊)〉一〈中(g) >(Ф (/) <p (%)〉-

—(q> (也)〉(屮(g) ф (/) >. Тогда имеем

4d3a* (ц.)

Рц-〃з(Ха, %а, Ха) = —^—,(IX.18а)

"3 网，％А, /)=謳⑷(/))л. U，(IX. 18b)

“3(%А, /, g) = ^K<P(/)<P(g)〉A, IX —〈屮(/)〉А, IX〈①(g)〉A,小 (IX. 18с)

Примером применения неравенств ГХШ служит следующая

Теорема IX.9 [183], При любых фиксированных а и b в предельном состоянии с половинными граничными условиями Дирихле для модели :g屮* + &(p2 —— n①：

величина т (ц) скачка массы (иг. е. inf о (Н | {Q}丄))монотонно возрастает с ростом | 卩 |；

^намагниченность^ М (pi) = (ф (х)} является вогнутой функцией при 出 > 0 м, е частности, непрерывна по ц в этой области.

Доказательство• (i) По теореме VIII.37 при любом р,0

m(No)=— inf lim A {In [(ф (/<) ф (/))ц0 — (<р (/))^0]}.

%М /^0 tf 8 г

В соответствии с формулой (IX.18с) и неравенством ГХШ разность 〈屮(％)屮(/)〉山0 — <Ф (/) )ц0 монотонно возрастает с ростом No в области Ji。^ 0. Поскольку иг (—р,) — иг (ц), отсюда следует утверждение (1).

Зафиксируем функцию f ^ N, / ^ 0, удовлетворяющую условию j / 彦/ = 1. Тогда Иш 〈屮(/)〉八，山=М (р,). Следовательно, в силу неравенства (IX. 18b), функция М (р,) является вогнутой в области р, > 0т поскольку она представляет собой предел вогнутых функций. Но всякая вогнутая функция непрерывна. и

Что касается применений неравенства Лебовица, то здесь мы имеем следующую теорему.

Теорема IX.10 [73]. Для каждого вектора 屮 мз физического гильбертова пространства 物 е модели 夕(屮卜 положим

/ (屮)=inf (supp 加“)，

где 州丄=州一(Q,屮)Q и где через dpi* обозначается спектральная мера элемента 屮 относительно гамильтониана Н. Пусть, далее^

мП= inf "(中(九)…(p(/QQ).

九…，％e"°(r)

Тогда М^》2717\ е любой модели^ соответствующей полиному Р (X) = «X4 + bXZ

Доказательство. Прежде всего нетрудно показать, что

М —lim y-ln [〈2, ©тн屮〉一〈屮，Q)2].

В силу неравенства Лебовица,

〈屮(％)屮(gf) <р ⑺屮(g)〉一 <<p (厶)屮(gt)〉〈①(/)①(g)〉&

0〈中(力)中(/)〉(中(g,)中(g)〉+

+〈屮(/t) <p (g)〉〈①(gt) <p (/)〉,

так что (поскольку〈Q, <р (/) Q〉= 0)

-М 3 ⑺屮(g) Q) & —2 min (М (屮(/) Q), M ® (g) Q)),

откуда и следует неравенство М2》2Л/「 .

Мы укажем ниже одно применение этой теоремы к состояниям с малым значением константы связи в модели (q))|. А в заключение данного параграфа приведем теорему, получающуюся в итоге совместного применения теоремы IX.10 и наших предыдущих результатов об ангармонических осцилляторах.

Теорема IX.11. Пусть Ет ({а；}) —это т-е собственное значение гамильтониана Н е модели Р2 + 2。弘'・ Тогда

в области, где。也=0 при нечетных n и ах > 0, разность Е2 —— Е] является монотонно возрастающей функцией переменных Oj；

разность Е^ (а《,а2, аг) — Е± (а《,а2,仪丄)монотонно возрастает в области а】》0;

е3 («4, a2)-e2(a4，a2)> e2 (a4，a2)- El (a4，%)九P" всех。4 > 0.

Замечание, Детали доказательства мы предоставляем читателю; при выводе утверждения (i) используются неравенства ГКШ и тот факт, что Q] имеет единственную узловую точку, при выводе утверячдения (ii)——неравенства ГХШ и ФКЖ, а при выводе (iii) — теорема IX.10 и тот факт, что Q2 имеет ровцо две узловые точки.

Замечание. Спенсер (не опубликовано) заметил связь неравенства Лебови1；а с вопросом о том, какие из моделей Р (屮卜 обладают классической аппроксимацией Изинга. Он показал, что в чистой модели :中2士 при п > 2 в низшем порядке теории возмущений 〃』> 0. Поскольку неравенство Лебовица гласит, что 乂〃 & 0, эти модели заведомо не могут быть аппроксимированы классическими моделями Изинга (по крайней мере при малых значениях константы связи).

Литература м § IX.2

Классическая теория: Гриффитс, Хёрст и Шерман [82], Лебо- виц [221], Перкус [222].

Квантовая теория поля: Глимм, Джаффе и Спенсер [73], Саймон и Гриффитс |183].

§ IX.3. Теорема Ли—Янга

Следующая теорема принадлежит Ли и Янгу [122].

Теорема IX.12 (теорема Ли — Янга об окружности). Пусть {Х^}1^<^п — заданные вещественные числа^ и пусть Р (二•・д) =2(,ЦХ7.^) Z：W+D ... z：/2@ 步).

6=±1,…，'=±1 i<7

(IX.19) Тогда

если ~1 V X订 <1и Х^=# 0 привсех t, / и|Zj|^1,•・・

■* • •, I2П-1 J & 1, I 纟言 I V^1, тоР #： О；

если 0 之 Х^ & 1м длякаждогоz；либо|zf|< 1,либо

4= 1, /по Р * 0.

Замечания. 1. Ниже будет разъяснена связь этого результата о моделью Изинга,

Полином Р обладает следующим свойством симметрии:

Р(Z” ...，z”) = Z1 …ZnP(Z才，，z^),(IX.20)

ъытекающим иэ возможности замены значений а^ = ±1 на противоположные значения о^ = 千1 (симметрия относительно обращения спина). Применяя утверждение (а), мы получаем, что при I zx I ^ 1, . . ., I zn_i丨》1, I 2n I > 1 полином P * 0. В частности, полином Q (z) = Р (z, . . ., z) отличен от нуля при 丨 z I =0= 1, т. е. его нули расположены на единичной окружности, чем и объясняется название теоремы.

Имеется по меньшей мере четыре доказательства основного результата (а): первоначальное доказательство Ли и Янга (см., например, [154]), неопубликованное доказательство Шермана, доказательство Асано [4, 5] и доказательство Ньюмэна [138]. Мы изложим ниже доказательства Шермана и Асано.

Доказательство импликации (а) => (Ь). Пусть Рт——полином, лол ученный из Р заменой X 订 на Х^ (1 一 w1). Без ограничения общности мы можем предположить, что | 分 |, . . ., \ zk | < 1, z丸+1 — z比+2 = • ♦ • = z言=1. Тогда полином Рm (纟工,z丸,1, ...,1) неимеет нулей при |zf | <； 1(t =1, . . ., fc) и

，ш (^i) • •z丸，1, • • •, 1)~Р (“и* • • т z丸，I, I) равно

мерно на компактах. Поскольку Р (1, . . ., 1) > 0, то полином Р (纟工,...,гй, 1 , . . ., 1) не обращается в нуль тождественно, и поэтому полином Р (无，.•・，砾，1, . . ., 1) отличен от нуля при I Zf I < 1, в силу приводимого ниже предложения IX.13..

Предложение IX.13 (теорема Гурвица). Пусть D — связная открытая область е Сп, и пусть {fm}m=i,2,… — последователь-

ноешь функций, аналитических и не обращающихся в нуль е D. Предположим, что fm^ f равномерно на компактных подмножествах области Л. Тогда либо функция / представляет собой тож~ дественный нуль, либо она нигде на D не обращается е нуль.

Доказательство. Это утверждение является простым следствием принципа аргумента, который утверждает, что число нулей аналитической функции g одного комплексного переменного

внутри круга у равно (2лО~1Ф ^ (z)/g (2) dz..

Первое доказательство теоремы IX.12 (Шерман). Проведем индукцию по п. При п = 1 мы имеем Р (z) = 1 + z, и утверждение теоремы очевидным образом выполнено. Предположим, что теорема верна для п 一 1. Введем функции

Л ，%产Xl.^i^n-1Л ，%产Xl.^i^n-1Р+ ⑵，Zn_]) =2]

Л ，%产X

l.^i^n-1

Л ，%产X

l.^i^n-1

Uj^土 1, 2=1, ...,九一 f

XXg X沮/2(吋)g X沮/2(吋)

X

X

g X沮/2(吋)

g X沮/2(吋)

Q(Z1, •••/”)= sn XJ凸X

О^±1» i=l, n-1 l^i<7^n-1

X il z*5+t),

так что

P(2i, • • ■)2n) = P一(Z], .. •, z^t) + ^n^+ (z“ •・•，z^t),(IX.2la)

n-1

P-(^1» . -., 2n_i) = ( {J X$n‘)Q (X；nz” .・・，X±_I, nZn-i)・(lX*21b)

Кроме того, согласно (IX.20),

尸+(4, • •2n-j) = Zf ... zn^P^(Z| , •.ZnT)・ (IX.21c)

Пусть c = min | X»n |_1 > 1. Тогда, в силу предположения индукции и равенства (1Х.21Ъ), Р_#= 0 при | z； | < с2 (г = 1,..

п — 1). Поэтому функция / (z) = Р+ (z)/P_ (2) аналитична в окрестности множества 0= {z | | z^ |, . • ., | 纟“工 | & 1}. Следовательно, по принципу максимума

max I / (z) I = max | / (z)

^ds

где А = {z I I / I = . . • = I zn_! I = 1}. Но в силу (IX.21с), если z W 0$ и, значит, z尹 = z*, то

так что I / (z) I = 1. Отсюда вытекает, что | / (z) I & 1 при z^ D.

Поскольку

P(Z]j ” • ♦, 2n) = P- (21? • • ■» ^n-l) (1 + Z/(Z» •.・，2n-1)),

мы видим, что P =0： 0 при z ^ D^ | zn | V 1. ■

Мы докажем Р =0： 0 при семейство 贽 .•, е紋 обла-Мы докажем Р =0： 0 при семейство 贽 .•, е紋 обла-Второе доказательство теоремы IX.12 (Асано), несколько более слабый результат, а именно что \ Zi I < 1, t — 1, . . .т п. Для этого рассмотрим всевозможных полиномов Q от переменных /“，. дающих следующими двумя свойствами：

Мы докажем Р =0： 0 при семейство 贽 .•, е紋 обла-

Мы докажем Р =0： 0 при семейство 贽 .•, е紋 обла-

по каждой из переменных Q представляет полином первой

степени, т. е.

6 = ±1,…，%=±1月

полином Q =0： 0 при | ^ | < 1, j = 1, . . ., fc. Очевидно, нам надо показать, что полином Р вида (IX.19) принадлежит семейству 诙.Мы отметим два «свойства наследственности» семейства одно из этих свойств тривиально, а другое ——весьма глубоко.

Если полиномы Р、Q & 4 зависят от разных переменных, то PQ W 庚.

Второе свойство связано с понятием стягдвания в смысле Асано. Если Р ——полином из W, зависящий от переменных /, у и 仇}3, то мы можем записать его в виде

Р (芻 у, z) = A (z) + В (z) х + С (z) y + D (z) ху.

Стягивание полинома Р е смысле Асано по переменным /, у —— это полином

Pg z) = A (z)-^D(z) w.

Если полином P W 淡,то и каждое его стягивание в смысле Асано Р € 淡.

Ясно, что полином Р удовлетворяет условию (i), поэтому нам нужно лишь доказать, что он удовлетворяет также условию (ii). Пусть фиксированы | z； | < 1. Мы должны показать, что полином Р 3 z) не имеет корней внутри единичного круга. Поскольку

Р W /, полином Р (/,力,z) не имеет корней внутри единичного круга, и, следовательно, произведение этих корней A (z)/0 (z) по модулю не меньше 1. Но равенство Р (tr, z) = 0 означает, что w = —Л (z)ZD (z) и, таким образом, Р Л.

Допустим теперь, что полином Р имеет вид (IX.19), и рассмотрим его стягивание в смысле Асано по переменным zn_1? za. Тогда Р также имеет вид (IX.19), если положить

X _| X»j, если 7^и —2,х3 nтХ：п,если j = n — i.

Поэтому мы можем построить полином Р вида (IX.19) следующим образом. Для каждой пары t, у (1 ^ t =^= у ^ п) введем переменные z〃 и при всех г < у положим

Qtj(Zij,圖= 2X*喝式甯g+D=

0,)=+1,02=±1

= Х±」П + Х寺(z订・ + zjt) + z〃Zj”]・

Мы утверждаем, что Q仃 £ *, на время отложив доказательство этого факта. Тогда, в силу свойства (a), Q = [J Q订 W 浚.Далее, г<7

в силу свойства (Ь), полином, полученный из Q с помощью таких поеледовательных стягивании: по совокупности переменных {2ii}S=2 с переходом к переменной 行；затем по совокупности переменных ‘Z2t}i扌2 с переходом к переменной z2 и т. д., — также принадлежит семейству 院.Но этот полином в точности совпадает с Р, в силу нашего предыдущего замечания о стягиваниях полиномов вида (IX.19).

Итак, нам осталось лишь доказать, что полином

Р (爲 у) = 1 +а (х + у) + ху

приналежит семейству 也，если 一1 V а V 1・ Пусть

(IX.22)

Тогда Р (/, у) = 0 в том и только том случае, если у = /(/). Таким образом, достаточно доказать, что | / (/) |》；1 при \ х \ <i. Но / есть дробно-линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя [если | 力 | = 1, то / (/)= = —(1 + ^)/(1 + а/)* и, значит, | / (力)| = 1] по крайней мере одну из точек внутри единичного круга (х =——а) в точку, лежащую вне этого круга (/ (—а) = оо). Но тогда / переводит всю внутренность единичного круга в его внешность. .

Замечания 1. Доказательство Асано особенно полезно, поскольку оно переносится на более общие случаи, что позволяет

получить теорему об окружности для моделей Гейзенберга [4, 5, 191] и теоремы о нулях для других областей [153].

Для того чтобы понять структуру этих доказательств, полезно воспроизвести их на языке моделей магнетизма, описываемых моделями Изинга, на чем мы сейчас коротко и остановимся. Мы полагаем X订 ~ ехр (—。订)и 勺 =ехр (无J. На языке моделей магнетизма основу доказательства Шермана составляет

рис.『Х.З. Стягивание в смысле Асано в системе из трех спинов.

(а) Нестянутая система, (б) Стянутая система.

тот факт, что «замораживание» спина со значением +1 влечет за собой усиление внешних полей (期 f 期 + @也)・ Стягивания в смысле Асано соответствуют тому, что некоторые спины «принуждают» быть параллельными. Таким образом, в доказательстве Асано система из п спинов рассматривается как система из n (n—1) спинов, в которой некоторые группы спинов обязаны быть параллельными (см. рис. IX.3).

Для того чтобы перенести теорему Ли ——Янга на случай модели (ф4)2, нам надо переформулировать теорему IX.12.

Лредложение 1ХЛ4. Пусть q订 >0, м пусть

(f (s)) = J exp ( 2。订dOj) / (^/(нормирующий множитель} Gl=±l, .., Gn=*±l г<7

Пусть^ далее,展》0 u n F(M)=〈expg $ 瓦sj〉.

Тогда F (pi)力 0, если Re^ > 0.

Доказательство. Пусть zt = ехр (2卩瓦).Тогда

尸(卩)=constS UmxpQw・)[[z；"2 =

=Const (Zj … 2n尸友P仍力 zn) =

=const (z— •. Zyji/zP (zf1, .. .^Zn1) (в силу симметрии относительно обращения спина)耍

*0 (по теореме IX.12). ■

Теперь мы можем доказать следующую теорему.

Теорема IX.15 (теорема Ли — Янга для модели (ср4)2 квантовой теории поля). Пусть Q (X) = аХ' + бХ? (а > 0), и пустк через 〈 •〉обозначено математическое ожидание для модели, отвечающей пространственно-обрезанному взаимодействию Q (ср)2 с& свободными граничными условиями^ с граничными условиями Дирихле или с половинными условиями Дирихле, либо же для модели в бесконечном объеме. Пусть, далее, /》0 и

Р(Н)=〈ехр 世①(/)〉•

Тогда F (世)力 0, если Re 卩 > 0.

Доказательство. Для случая бесконечного объема утверждение теоремы вытекает из равенства 歹(0) = 1, из утверждения этой же теоремы, относящегося к случаю конечного объема, и теоремы Гурвица (предл. IX.13). Далее утверждение, относящееся к случаю конечного объема, в силу предложения 1X44, вьшол- няется в классическом приближении Изинга, поэтому ——ввиду теоремы Гурвица и теоремы IX.1 — оно выполнено в решеточном приближении и, наконец, — снова в силу теоремы Гурвица — и в пределе при 6| 0. в

Наши применения теоремы Ли ——Янга строятся по образцу классических применений, данных в статье Янга и Ли [209] и r обстоятельной работе Лебовица и Пенроуза [121]. Большинство из этих применении будет изложено в § IX.4, 5. А пока мы отметим следующую теорему.

Теорема IX.16 ([183]; по образцу статьи [209]). Пусть END 研⑺，Е叫м) м а8(м) —соответственно значения энергии основного состояния для гамильтонианов H^t г, Н^ъ Н計? 一 со свободными граничными условиями, граничными условиями Дирихле^ половинными граничными условиями Дирихле — и давление в бесконечном объеме в модели а(р4 + ^ф2 —世①.Тогда

все четыре функции вещественно аналитичны при 世 > О и ф икс ированн wx а и Ъ и обладают аналитическими продолжениями в область Re 世 > 0;

при любом 世 с Re 世 > 0 имеют место соотношения lim (—历z (|x)/Z) = «оо (卩)и т. @・；

при любом 世 с Re |л > 0

2m -щ- 1Q j ехр ^ — j :аср4 + Ьф2 —pep: j d|x0 =(|л) (IX.23)

(и аналогичные соотношения верны для давлений при условиях Дирихле или половинных условиях Дирихле), причем сходимость к пределу равномерна на компактах в области {卩]Re 卩 > 0}.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующее обобщение теоремы Витали о сходимости (предложения VIII.19).

Лредложение IX,17 (теорема «1п (ехр (Витали))»). ПустьD связное открытое подмножество пространства Сп, и пусть {/m}^=i — семейство функций, аналитических в D и таких, что

(а) для каждого компакта Си。 выполнено соотношение sup (sup Re fm (z)) < oo, u либо m z £ C

(bl) можно указать множество S и _D, обладающее тем свойством, что если функция / аналитична з области D и f \ S = 0, то / = 0, и такое, что при всех 宓 € S существует lim fm (^), либо

(Ъ2) для некоторого х ^D и всех мультииндексов а производные (Da/m)(宓)сходятся при т -> оо.

Тогда функции fm сходятся к некоторой аналитической в D функции / равномерно на компактных подмножествах области D.

Доказательство. Пусть gm (z) = ехр (/m (z)). Поскольку I g7nl = exp (Re /m), функции g7n удовлетворяют условиям теоремы Витали и потому сходятся к некоторой аналитической в области D функции g. Поскольку ни одна из функций gm не обращается в нуль на Z) и g не есть тождественный нуль (ибо из сходимости /т (宓)-> а вытекает, что gm (宓) f У 牛 0), то, в силу теоремы Гурвица, функция g нигде не обращается в нуль на D. Далее для любого лежащего в области D контура С, вдоль которого постоянны какие-нибудь п — 1 координат, мы имеем Q (g/ (z)/gm (z)dz = —0, а так как зто выполняется и в пределе, то отсюда следует, лто функция g имеет аналитический логарифм, который является равномерным на компактах из D пределом функций /т..

Доказательство теоремы 1ХЛ6. В качестве типичных частей доказательства мы приведем здесь вывод утверждений (i) и (iii) для аоо (|л). Пусть через /д (卩)обозначена функция из левой части равенства (IX.23). По теореме Ли ——Янга функцию /а (卩)можно аналитически продолжить в односвязную область {卩 | Re 卩 > 0}, ибо интеграл j ехр [—UA (卩)1 djx0 аналитичен и не обращается в нуль в этой области. Далее ад (世)->аоо (世)при вещественных 世 и Re ал (н) = I л I-1 ln I j ехр (—UA (н)) &№ I &

& I A I』In f I ехр (—Ua (卩))I dfi0 = aA (Re p,).

Таким образом, при 0 V Q V b

sup sup Re aA(|i)^sup sup ал (ц)^

Л а< ц<&Л aVRVb

《sup max ад (ц) (в силу выпуклости функции «а (卩)по 卩) V

Л ц=а, &

< оо (поскольку аЛ (а) и а^ (Ь) сходятся).

Поэтому теорема «1п (ехр (Витали))» обеспечивает сходимость ад (卩)при всех |л с Re ц > 0 и аналитичность предельной функции, .

Литература н § 1X^3

Классическая теория: Асано [4, 5], Ли и Янг [122], Ньюмэн 1138], Рюэль [153, 154], Судзуки [190], Судзуки и Фишер [191].

Применения классической теории: Лебовиц и Пенроуз [121]t Янг и Ли [209].

Классическая теория. Обзоры: Гриффитс [81], Рюэль [154]. Теория поля: Ньюмэн [138], Саймон и Гриффитс [183].

§ IX.4. Последняя аксиома Уайтмэна

Пусть полином Р (X) = оХ" + ЬХ宮 ——цХ. В предыдущей главе мы построили и изучили свойства предельного полудирихле- состояния в бесконечном объеме для модели Р (ф)2 с таким полиномом Р и показали, что ассоциированные с этим состоянием функции Швингера служат аналитическим продолжением функций Уайтмэна для некоторой модели квантового поля, удовлетворяющей всем аксиомам Уайтмэна, за возможным исключением аксиомы единственности вакуума (W6). Мы покажем сейчас, что при 卩力 0 выполняется и эта последняя аксиома. В нашем изложении, использующем теорему Ли ——Янга, мы следуем работе Саймона [179], которая в свою очередь базируется на идеях Лебо- вица и Пенроуза [121].

Исходя из «картины Голдстоуна» [205, 206], следует ожидать, что в рассматриваемых моделях имеется массовая щель. Как мы надеемся, совсем скоро должно быть получено доказательство этого факта, основанное на теореме Ли — Янга, одном новом соображении Лебовица и Пенроуза [218], идеях Спенсера [187], которые мы обсудим в § Х.2, и надлежащем исследовании граничных условий [91]. Здесь же мы ограничимся тем, что докажем более слабое свойство единственности вакуума.

В силу теоремы VIII.36, нам достаточно показать, что SJ (0, у)-> 0 при оо. Мы докажем это соотношение, вос- 20 Б. Саймон

пользовавшись тем обстоятельством, что

矗"=击J品…Q,ygdy，ЛхЛ矗"=击J品…Q,ygdy，ЛхЛ(IX.24)(IX.24)

矗"=击J品…Q,ygdy，

ЛхЛ

矗"=击J品…Q,ygdy，

ЛхЛ

(IX.24)

(IX.24)

/0^,d2a^Ddp.2 f ,d卩2/0^,d2a^Ddp.2 f ,d卩2приприГ -> ОО.Г -> ОО.

/0^,d2a^D

dp.2 f ,d卩2

/0^,d2a^D

dp.2 f ,d卩2

при

при

Г -> ОО.

Г -> ОО.

и что функции ад сходятся к функции «8 в достаточно сильном смысле, так что их производные также сходятся. Теорема Ли —— Янга используется при этом весьма тонким и изящным способом (открытым Лебовицем и Пенроузом [121]), а именно она косвенно обеспечивает сходимость функций ад при комплексных А (в соответствии с рассуждениями Янга и Ли [209]), откуда в свою очередь следует ограниченность производных.

Теорема IX.18. (Саймон [179]). Пусть полином Р (X)= =аХ& + ЬХ?——|лХ, где 世，0 и а > 0. Тогда поле Уайтмэна, отвечающее предельному полудирихле-состоянию з бесконечное объеме, имеет единственный вакуумный вектор.

Доказательств о. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда, в силу теоремы VIIL36, функция SJ (0, у) при? у-> оо, монотонно убывая, стремится к некоторой положительной константе с. Поэтому, обозначая через (•〉8 среднее значение в предельном полудирихле-состоянии и через %д — индикаторную функцию области А, мы можем написать оценку

<Ф (Хл) Ф (Хл)>оо - (ф (Хл)>^ > с I Л р. (IX.25)

Используя теорему IX.16 и формулу (IX.24), мы докажем нижег что

(Ф (左,f)2〉8— 仰 8, f)〉£ & 龄％(IX.26)

При больших I и t неравенства (IX.26) и (IX.25), очевидно, противоречат друг другу, и это означает, что функция S* (0, у) должна стремиться к нулю.

Итак, нам осталось доказать неравенство (IX.26). Пусть иерез (•〉l,t обозначено среднее значение в полудирихле-состоянииг соответствующем прямоугольнику со сторонами Е и Т. Поскольку, в силу равенства (IX.24),

d2aHD

〈①(%Z. О% t —仰 & t)〉£ t&lt —鳥匚，(IX.26)

мы уже близки к оценке (IX.26). Нам надо лишь «отделить» индексы Z и ^ в %гл от индексов Z и ^ в ( 〉？,广 Так как 世 * 0, то, ввиду свойства ковариантности по отношению к замене 世 f —卩， мы можем предполагать в дальнейшем, что 世 > 0. По теореме IX.16

Покажем вначале, что

d2ctHD

〈①(Xl. £)2〉l, 8 —〈① Ou, t))L, oo^ —^― Lt.(IX.27)

Если бы оценка (IX.27) не имела места, то мы могли бы найти е, 厶，力 и У7。такие, что при всех Т ^ TQ выполнялось бы неравенство

d2&HD

〈①(Xl, t)%, т0 —<Ф 施,t)>l, T0^[eHd年]儿 (IX.28)

Пусть через ( 〉е,%ь обозначено среднее значение в полудирихле- состоянии в прямоугольнике [—厶/2,厶/2] X [а, Ь]. Мы можем предположить, что TQ настолько велико, что при —а, b》Т° выполняется оценка

1<Ф(X" O)L：To —<Ф 0U,牙戍,a, ь |& 厶把/2・

Поэтому, в силу (IX.28) и свойства монотонности средних 〈①(Х)2)ь,а,ь по переменным а и b (теорема VIII.20), при —а, Ь> 》方/2 и 7》У7。имеет место оценка

<Ф (注,£)%, а, b —仰(在,t))L,[a, Ь^[-^~еНJj^—]厶勿

или, что эквивалентно ввиду свойства ковариантности относительно сдвигов,

<Ф(XL； с, с+0%, Т* —〈屮(XL；с,c+t)>b, т*>[у €Нd縛 ]Lt,

причем последняя оценка справедлива, когда с》——Т'/2 + + (Го — 9/2 и ，+ £ W 772 — (0。一 £)/2, т. е. когда (см. рис. 1Х.4(а)) после совмещения (при помощи сдвига) срединной заштрихованной части основной конфигурации с интервалом (с, с + 0 концевые точки основной конфигурации лежат в интервале (—772,『/2)). Разбивая прямоугольник со сторонами L и То + (тг — 1) t на п прямоугольников %, • . ., R几 размера Е X % и два крайних прямоугольника размера L х 工厶(То — 力 (рис. IX.4(6)), мы видим, что

Пг лd2ct

2 1<Ф(Хвг)2)ь, Тп — <ф(Хвг))1., Тп] > [ у 8 Н訪亠]厶加，(IX.29)

2=1

где 7几=То + (也—1) t. Поскольку, в силу второго неравенства ГКШ, S?》0, то сумма в левой части оценки (IX.29) меньше, чем

d20cЕ Т

<Ф(Хьхтп)2)ь, тп — <Ф (%£хтп )〉" тп = LTn ―赤厶•

Таким образом,

厶？"6・(1Х30)

Поделив обе части на п и устремив п к бесконечности】 мы получим противоречие, откуда и следует оценка (IX.27).

9片、>二129片、>二12

9

片

、>二12

9

片

、>二12

⑷(b)

Рис. 1X4 (а) Основная конфигурация, (б) Увеличенная конфигурация.

В точности тем же способом, каким мы только что вывели неравенство (IX.27) из неравенства (1Х.26/), можно вывести неравенство (IX.26) из неравенства (IX.27). .

Литература 抬 § 1Х»4

Саймон [179],

§ IX.5. Нарушение симметрии» Общие факты

Одно из самых интересных явлений в квантовой теории поля —— это так называемое «спонтанное нарушение симметрии», а также более общее явление динамической неустойчивости. Это точный аналог возникновения многофазных систем в статистической механике (что, как правило, сопровождается фазовыми переходами). В этом параграфе мы вначале опишем очень кратко общую ситуацию, а затем обсудим применение классической аппроксимации Изинга к определению типа фазового перехода, происходящего в модели Р (ф)2- Несколько дополнительных замечаний о динамической неустойчивости будет сделано в § Х.4, 5.

Для обсуждения понятия динамической неустойчивости [205] нужно ввести определение состояния в бесконечном объеме, соот-

ветствующего данному полиному взаимодействия Р・ Попытки ответить на этот вопрос в имманентных терминах мы обсудим в § Х.4. Сейчас же мы будем придерживаться следующего определения, использующего обрезание. Зафиксируем голую массу тп. Состояниями (в бесконечном объеме), соответствующими полиному взаимодействия Р, мы будем называть такие состояния, которые получаются предельным переходом из состояний, соответствующих пространственно-обрезанному взаимодействию со свободными граничными условиями, граничными условиями Дирихле, половинными условиями Дирихле, условиями Неймана или периодическими граничными условиями (см. § Х.З), а также «выделением одновакуумных компонент» таких состояний. Под состоянием мы понимаем здесь меру 卩 на пространстве Cf (R2)\ получаемую как предел мер |лд в том смысле, что

j ехр (i(p (/)) dfu f j ехр (阿(/)) dp..

Следует сказать несколько слов о том, что мы понимаем под «выделением одновакуумных компонент» состояния. Состояние)л имеет единственный вакуумный вектор в том и только том случае, когда пространственные сдвиги действуют эргодически на С^ (Л》、Если состояние 怜 не эргодично, то, используя теорию Шоке [154], его можно единственным образом представить в некотором довольно слабом смысле как центр тяжести меры, сосредоточенной на множестве эргодических состоянии. Состояния, принадлежащие носителю этой меры, и являются «выделенными одновакуумными компонентами». Конечно, в общем случае нельзя точно описать этот носитель. В случае модели Р (ф)2 естественная гипотеза состоит в том, что если состояние 世 не эргодично, то оно является линейной комбинацией двух эргодических мер.

Априори эти «одновакуумные компоненты» необязательно являются эвклидово инвариантными, хотя, как утверждают Доб- рушин и Минлос [29], эта инвариантность имеет место, если мера 卩 обладает марковским свойством и достаточно регулярна. В теории полей Уайтмэна имеется аналог этого результата, полученный Борхерсом [12] (см. также [14]).

Определение. Полином Р (более точно следовало бы говорить о паре, состоящей из полинома и голой массы) называется динамически неустойчивым^ если существует более чем одно состояние в бесконечном объеме, отвечающее Р. Или, что эквивалентно, полином Р не является динамически неустойчивым в том и только том случае, когда состояния, полученные предельным переходом с различными граничными условиями, совпадают и имеют единственный вакуум.

Различными авторами (см. [29, 73, 1831) в той или иной степени обсуждалась следующая

Гипотеза .Пусть PQ = X’ + ЬХ{ где коэффициент 6 может быть положителъным, отрицательным или нулем, и пусть через Q九，卩 обозначен полином 九尸。一^Х- Тогда существует такое Ло > 0, что динамически неустойчивы лишь те полиномы Q%*, у которых |л = 0 и % > Ло. Далее, если 卩 = 0 и 九 > Ло, то семейство состояний^ соответствующих полиному Q九,卩,имеет вид "世十 + (1 — ^)и_| 0 & 力& 1}, где 世土 一 два эргодических состояния, связанных между собой соотношениями

j歹(中(力))dg = j歹(一中(A)) d卩-。

В дополнение к этому,

,ф (/)布+ = М+ 仇)(j / 〃)，8庇 M+ (X) > 0.

Наконец^ эти выводы не зависят от того^ какое определение состояния принятог приведенное ли выше определение, связанное с граничными условями; определение ли, основанное на вариационном принципе [90]; или же определение^ связанное с так называемым уравнением ДЛР (Добрушина — Ланфорда — Рюэля) в любой из двух его предложенных формулировок [29, 901.

Замечания 1. Эта гипотеза весьма претенциозна. Аналогичная ей гипотеза в статистической механике не доказана полностью даже для двумерной модели Изинга, для которой удается проверить почти всё.4)

Хотя в существующей литературе пока нет подробного доказательства ,кажется возможным, используя методы Глимма, Джаффе и Спенсера 172—74], показать, что в случае, когда Л и I |л I достаточно малы, существует единственное состояние, соответствующее (в определенном выше смысле) полиному。脑卩.

Добрушин и Минлос [291 анонсировали следующий результат: при их определении состояния (^-нелсоновское состояние») для достаточно малых А и | 世 | существует только одно состояние, а при fi = 0 и X > Лп где Лг достаточно велико,——более чем одно состояние, отвечающее полиному Q^r.

Сформулированная выше гипотеза позволяет дать объяснение термину «спонтанно нарушенная симметрия». Если 世=0, то Q (X) = Q (——X). Таким образом, модели со взаимодействием в конечном объеме, скажем с граничными половинными условиями Дирихле, ковариантны при замене ф (х) i—► —ф (х), другими словами, соответствующее состояние инвариантно относительно пре

!) См. появившуюся недавно работу: A. Messager, S. Miracle-Sole, Equilibrium states of two-dimensional Ising model in the two-phase region, Comm. Math. Phys,, 40 (1975), 187—196.— Прим, перев.

образования /(£С『)|~*——/• Это, очевидно, остается справедливым и в пределе при неограниченном возрастании объема. Однако, если мы теперь перейдем ——для того чтобы получить модель поля с «хорошими» физическими свойствами ——к одновакуумным компонентам, мы потеряем это свойство симметрии.

Явление спонтанного нарушения симметрии представляется важным не только ввиду его《внутреннего» — математического интереса, но также и ввиду того, что оно (в гораздо более сложной форме) входит как элемент в некоторые предложенные физические теории, объясняющие те или иные эффекты, связанные с элементарными частицами* В частности, оно появляется в теории «частично сохраняющихся аксиальных токов» г) (теории PGAG, включающей в себя теорию распадения «киральной SU(2)-симметрии») и в унифицированной теории Вейнберга слабых и электромагнитных явлений (нарушенная симметрия связывает здесь слабые и электромагнитные взаимодействия).

По некоторым причинам, в которые мы не хотим здесь входить, автор этих строк склонен полагать, что сформулированная выше гипотеза остается справедливой и в том случае, если Ро заменить на произвольный положительный четный полином. Это находится в противоречии с представлениями, основанными на «традиционной мудрости» ) (где игнорируется виково упорядочение), поэтому мы думаем, что найдутся эксперты, которые склонны считать, что многообразие значений 1 и |л, для которых полином Р динамически неустойчив, более сложно, чем (Ло, оо) X X {0}. Однако, как мы надеемся, все эксперты будут согласны с этой гипотезой для случая, когда deg Р° = 4.

При 世=0 и 九=А。(эти значения параметров носят название критической точки}, по-видимому, имеется единственный вакуумный вектор, но отсутствует скачок массы. Поскольку эта модель скорее всего не имеет состояний с массой 0 (такие состояния не могли бы быть связаны с вакуумом посредством степенного в за имодействия, поскольку S?——обобщенная функция умеренного роста), она представляет собой пример модели теории поля, не имеющей интерпретации в терминах частиц [73].

Попытаемся описать те причины, по которым можно ожидать спонтанного нарушения симметрии, вначале с гамильтоновой точки зрения, а затем и с точки зрения статистической механики. Рассмотрим нашу модель теории поля в гамильтоновой интерпретации в ящике со стороной I и периодическими граничными условиями. Тогда взаимодействие V является функцией элементарных пространственных гармоник: 匕=匕仇，鱼，.• .). Примерная ожидаемая форма потенциала взаимодействия изображена на

рис. IX.5, где используется координата д。= < 屮(花)d花；из-за наличия викова упорядочения имеются бесконечные отрицательные «ямы». Интуитивно ясно, что пока 九 мало, вакуум не может «свалиться» ни в одну из ям, поскольку его энергии недостаточно

Рис. /Х.5. Примерная форма потенциала взаимодействия У в направле

нии 0Q.

для того, чтобы преодолеть квантовомеханическое рассеяние. При ^ > Ло вакуум становится нестабильным и сваливается в одну из ям, и в зависимости от того, в какую из ям он попадаетг 〈‘о〉~ М (А)乙 Симметричное состояние является средним двух чистых вакуумных состояний.

В решеточной аппроксимации, когда шаг решетки достаточно мал (так что константы Вика достаточно велики), «потенциальный член» :Р (фв (п)): + 啮：ф| (п): всегда имеет вид 仪璃 + 6聯, где & < 0. Таким образом, ехр (— :^6: + тп；:瑜:) обладает ярко выраженными максимумами в точках 士q» Модель, соответствующая решеточной аппроксимации, выглядит поэтому очень похожей на классическую модель Изинга с взаимодействием ближайших соседей, в которой имеется фазовый переход. На основе этой картины можно предположить, что очень большая диагональная часть в градиентном члене нужна там только затем, чтобы частично сократиться с недиагональными членами, и не вносит вклада в член, связанный со взаимодействием.

Нелсон [136] воспользовался корреляционными неравенствами и существованием фазового перехода в классической модели Изинга для доказательства того, что некоторые из решеточных моделей Р ((р)2 обладают фазовыми переходами в пределе при

неограниченном возрастании объема, если шаг решетки 6 сохраняется фиксированным. При фиксированном Р его методы не дают информации о случае предельного перехода при 6 | 0.

Перейдем теперь к обсуждению того, что же дает применение развитой в гл. VIII и IX техники, связанной с классической аппроксимацией Изинга, к вопросу о нарушении симметрии. Если наша гипотеза верна, то динамически нестабильные полиномы можно выделить, установив, в каком случае предельное полудирихле-состояние обладает единственным вакуумным вектором^ Здесь имеется следующая

Теорема IX.19 [179, 183]. Зафиксируем полином Р (X)= =аХ& + 6Х% @ > 0. Тогда приводимые ниже четыре утверждения связаны между собой следующими импликациями: (а)=> (Ь) и> <=> (с)今(d).

В предельном полудирихле-состоянии, соответствующем полиному взаимодействия Р^ имеется массовая щель. т. е. для оператора Н нуль является простым собственным значением^ и у этого оператора нет никаких точек спектра 6 интервале (0, т) при- некотором тп > 0.

Давление о^ (卩)для взаимодействия Р — |хХ дифференцируемо при |х = 0.

«Яамагниченносты М (|х)= 〈屮(0)〉^?卩片 6 полудирихле- состоянии непрерывна при 卩=0.

Предельное полудирихле-состояние обладает единственным вакуумом.

Замечания, 1. Естественно ожидать, что всюду, за исключением критической точки, свойства (а) и (Ь) выполнены или не выполнены одновременно. Таким образом, эта теорема наводит на мысль, что непрерывность функции М (卩)является чувствительным критерием динамической неустойчивости. На языке статистической механики это означает, что неустойчивость (фазовый переход) есть явление первого рода и что поле ср является параметром дальнего порядка.

2. В ходе доказательства эквивалентности (Ь)<=>(с) мы установим два факта, представляющих самостоятельный интерес,, а именно соотношения

常=m(卩)при 卩*0(ix.31>

И

110120史)二."8.(°)= Rm M (卩).(IX.32)

Ю 0卩|i J. 0

Доказательство. (а) => (Ь). Идея доказательства заимствована из статьи [118]. Предположим, что массовая щель в нашем состоя-

нии, отвечающем полиному Р, имеет величину т. Пусть а £ Z2, %<х ——индикаторная функция единичного квадрата с центром в точке а и I а I = max (| а丄 |, | а2 |). В соответствии с формализмом трансфер-матрицыу

〈屮(ха) Ф (%в)〉8,о ^ ехр [—т (|а - BI — 1)]〈<р(Х0)2)оо,о,

где 〈・〉人,乩一среднее значение в полудирихле-состоянии, соответствующем взаимодействию Р (X)——|1Х в объеме Л. В силу оценок Фрёлиха С = ехр (т (<р (木尸乂,。)V оо. Вследствие монотонности функции $2,а,11 noj Л имеет место неравенство

〈屮(Ха) Ф %)〉А, 0&Се-向а-岡.

Используя неравенства ГХШ, получаем, что при 卩 > О

<Ф (*а) Ф (%6)〉А, ц—(Ф (Х&)〉А,卩(Ф (Хр)〉А,济《Се-7nl"BL(IX.33)

В силу симметрии 卩一——卩,оценка (IX.33) имеет место при любых |1.

Далее, в силу той же симметрии, da泸 /djx = 0 при 卩=0・ Кроме того, для любых ц и для А = U Ла:

-ф2- = Е [ 2 〈屮(％а)屮(ХЗ)>Л. Н —<ф (Ха)>Л, Ц <ф(ХЗ>Л, ”」С

а, 6Н

^-^Ту 2 Се-"Ча-уС 2 e-m|al = 〃v8 а,能Ia£Z2

{где 4t (/) — число элементов множества /). Поэтому из равенстваaA(Q-aA(0) = “-^^+j j 警猷那

О о

и выпуклости функции ад (•) вытекает оценка

0^аЛ(|1) — аА(0)^^ D^.

Устремляя Л к бесконечности, мы заключаем, что произодная dajd卩 в точке 卩 = 0 существует (и равна нулю).

(Ь) <=> (с). Докажем прежде всего, что при ц > 0 производная daoo/d|i = М (|1). По теореме IX.16

:〈屮(Xa)〉a,屮

dN Afg Ф Af8 |A| ^VAA//a,m

С одной стороны, имеем〈屮(％a)〉a# &〈屮(Ха)〉8m = М (林)| Л|, в силу теоремы Нелсона о монотонности. Для того чтобы установить противоположное неравенство, мы выберем тот специальный способ устремления Л к бесконечности, для которого, как мы знаем,

ад -> а» а именно возьмем Л = Z X ^ и положим вначале £ -> оо, а уже затем Z -> оо. Покажем, что при % -> 8

lim inf у (<р(Xixt)hxt, цХ<Р(Xzxi)hxoo, а (IX.34а) Аналогичные рассуждения позволяют показать, что при Z -> оо liminfT((p(xixi))zxoo, ц>(Ф(Xixi)>oo, И = М(卩).(1Х.34Ь) Для того чтобы доказать оценку (IX.34а), заметим, что, в силу результатов, полученных с помощью трансфер^матрицы,

Ит (ф(Xzxi)>zxt, ц = (Ф(Х?х1))?хоо,中

поэтому можно выбрать Т так, чтобы при t> Т (Ф(Xzxi)hxt,认》(①(X/xi)hxoo,认一£•

В силу ковариантности относительно трансляций и теоремы Нелсона о монотонности,

仰(Xzx(a, a+l]))?xt,济》仰(Xzxl))zxoo,济―£

при условии, что —力2 ^ а + 1/2 — 772 и 力2》@ + 1/2 + 272) 7/2 I 7/2

-7/2 -1/21/27/2力 2。胃2

Рис, /Х.6. К рассуждениям, связанным со сравнением интервалов.

(см. рис. IX.6). Таким образом, используя первое неравенство ГКШ, мы находим, что

у (Ф(Х?, D〉zxt, u^y (Ф (左，t-T+i)>!xf,济>j[仰(Xz+i))—同・ Полагая %-> 8 и затем е | 0, мы получаем оценку (1Х.34а). На основании оценок (IX.34) мы заключаем что

lim inf к (<р (хл))л,〃(卩)，

откуда и следует формула (IX.31).

Теперь докажем равенство (IX.32). Заметим, что при 110 Vo

Soo (阿)一&8 (0)= J М (р,) dpi,(IX.35)

о

где (в силу теоремы IX.16) функция М (р,) аналитична и, следовательно, непрерывна в интервале (0,也°). Далее вследствие второго

неравенства ГКШ функция М (|л) монотонно убывает по ц, и поэтому существует предел

lim М (卩)三 М (0 +).(IX.36)

Исходя из неравенств (IX.35, 36), мы заключаем, что

£8(№)—*吗(0). 一 м(0 +).(1Х.37а)

NМО

Аналогичным образом можно показать, что

a8@);，8.(n—m(о—).(1Х.37Ь)

Следовательно, функция а^ дифференцируема при 卩=0 в том и только том случае, когда М (0 j) = Af (0—). Поскольку (снова в силу неравенств ГКШ) М (0—) V М (0)之 М (0+), то М (0十)= =М (0—) тогда и только тогда, когда функция М непрерывна при |л = 0.

(с)今(d). Предположим, что свойство (d) не имеет места. Тогда по теореме VIII.36 lim 5三，同=о (а) = с > 0. Но Sggo = S2,(л=о по симметрии. Поэтому, в силу второго неравенства ГКШ, при всех卩》О

lim inf S2, ц.⑺

Kf 8

Но по теореме IX.18, если 卩 > 0, то

hm [52)乩⑺—М (Ц)2] = 0.

Отсюда следует, что при 卩 > 0

М (卩)2》С・

Поскольку М (|1) ^ 0 при(1》0 (в силу первого неравенства ГКШ), то М (|i) > ]Лс при |1 > б, и потому

М (0 +) > /с.

Аналогично М (0—) & ——Y % и мы вмдим, что и свойство (с) не имеет места..

Литература к § IX.5

Общие факты: Глимм, Джаффе и Спенсер [73], Саймон и Гриффитс [183], Уайтмэн [205, 206],

Теорема IX.19: Саймон [179], Саймон и Гриффитс [183].

Глава X

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И МЕТОДЫ. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах мы изложили общие принципы эвклидовой теории применительно к модели Р (屮"и подробно описали способ построения предельных объектов при неограниченном возрастании объема, основанной на корреляционных неравенствах и теореме Ли ——Янга. В этой заключительной главе мы хотим рассказать о двух других подходах к построению этих предельных объектов (§ Х.1, 2, 5), а также о некоторых общих фактах, касающихся граничных условий и определения равновесного состояния (§ Х.З, 4).

Мы не будем пытаться дать исчерпывающий обзор, а намерены лишь главным образом обратить внимание читателя на некоторые дальнейшие и плодотворные идеи, дополняющие методы гл. VIII и IX. Для основной части э^ого материала было бы трудно сделать большее, чем дать краткие сведения без технических деталей, поскольку едва ли можно представить себе лучшее изложение метода высокотемпературных разложений со всеми техническими деталями, чем в [74], а также поскольку имеется лишь анонс результатов Добрушина и Минлоса х). Все методы, которые здесь обсуждаются, являются аналогами методов статистической механики, хотя техническая сторона дела здесь значительно более сложна ввиду непрерывного характера эвклидовых полей и их неограниченности.

В § Х.1, 2 мы обсуждаем метод разложений Глимма ——Джаффе —— Спенсера [72, 187]. Для сравнения мы отметим, что в случае моделей Изинга есть три типа разложений:

Разложения Кёрквуда ——Зальцбурга^ или высокотемпературные разложения [154]. В статистической механике это разложение приводит к сходящейся процедуре приближений для построения предельного состояния в бесконечном объеме при высокой температуре. Из этой сходящейся процедуры приближений можно вывести единственность фазы при высоких, температурах, а также получить и гораздо более подробную информацию. Аналогом высокой температуры в модели Р (屮？) служит малая константа связи, или, что то же самое, большая голая масса. Разложение Глимма — Джаффе — Спенсера — это также некоторая итера-

1〉К настоящему времени (февраль 1974 г.).

тивная сходящаяся процедура, обеспечивающая детальную информацию, включающую в себя некоторые результаты о единственности фазы. Мы обсудим это в § Х.1.

Разложения по степеням активности^ или разложения Майера [121, 154]. В классической модели Изинга давление и корреляционные функции зависят только от § и z = ©Bn. При зтом имеются разложения в ряды по степеням z, сходящиеся в окрестности точки z = 0, которые поставляют много информации о состоянии. К несчастью, наличие этих рядов основано на дискретности спинов, и, таким образом, они не имеют прямого аналога в модели Р ((р)2. Спенсер [187] нашел методы построения преобразований, переводящих модели с большими значениями 卩 в модели с большими значениями ?п0. Мы обсудим этот результат в § Х.2.

Низкотемпературные, или контурные разложения [80, 154, 215, 217]. В двумерной модели Изинга можно проводить контуры вокруг спинов +1, отделяющие их от спинов —1. Некоторую (ограниченную) информацию, относящуюся к низкотемпературной области, можно получить, рассматривая модель Изинга как《газ» взаимодействующих контуров. Низкая температура для модели Изинга в определенном смысле является тем же самым, что и высокая температура для контуров, поэтому для контуров могут быть использованы уравнения Кёрквуда — Зальцбурга. Низкотемпературные (т. е. отвечающие большой константе связи) разложения для модели Р (ф)2 вплоть до настоящего времени в литературе не встречались, однако можно предположить, что некоторые из результатов, анонсированных в [29], должны базироваться на чем-то близком к низкотемпературным разложениям.

Если объединить вместе области, где справедливы различные разложения для Р ((р)2 (включая предполагаемое низкотемпературное разложение), то получится область, состоящая из всех точек, достаточно удаленных от критической точки. В зтой области методы, основанные на разложениях, вообще говоря, дают более детальную информацию, чем корреляционные методы, однако многие результаты, относящиеся к монотонности, отнюдь не кажутся сразу доступными для методов, связанных с разложениями, даже в области их применимости. В большинстве случаев эти два метода взаимно дополняют друг друга.

В § Х.З, 4 обсуждаются некоторые дополнительные результаты Гуэрры, Розена и Саймона [90, 911; в § Х.З вводятся граничные условия нескольких типов, отличные от условий Дирихле и свободных граничных условий, которыми мы так много занимались до сих пор; в § 4 вводятся некоторые новые понятия, в том числе понятие равновесных состояний, которое играет важную* роль в работе Добрушина и Минлоса [29].

В § Х.5 мы обсудим ряд идей, по всей видимости являющихся основными в работе Добрушина и Минлоса. К сожалению, анонс. [29] не содержит явных указаний о методах доказательства.

§ ХЛ. Высокотемпературные разложения

Вот первый из основных результатов Глимма, Джаффе и Спенсера [72]:

Теорема Х.1. Зафиксируем произвольный полуограниченный полином Р и голую массу 飞.Пусть dpx0 — мера, соответствующая свободному полю массы т0. Для каждого 九 £CcRe%>0u любой ограниченной области Л положим

Sa, Мз, ...,%“)= j Ф (勺)…屮(z“) e-入и。) йц0/ J e-入“闵d阿， (X.la>

(Х.1Ь>(Х.1Ь>U (Л) = j sP (ф (%)): d2^.

(Х.1Ь>

(Х.1Ь>

Л

Тогда существуют С > 0 % М > 0, такие, что

при А —> 8(6 том смысле^ что любой круг лежит в Лп при достаточно больших п) функции Sa》равномерно ограниченье и сходятся как обобщенные функции от 爲 если Re % > 0, | % I & С；

для вещественного %, удовлетворяющего условиям 0 之九忘 & С, предельные обобщенные функции 5оо,х являются функциями Швингера для некоторой модели поля Уайтмэна^ и отвечающие им функции Уайтмэна удовлетворяют всем аксиомам Уайтмэна1；

для каждого %, удовлетворяющего условиям^ сформулирован- ншс 6 % (2),

I Sg,九(f 8 ga)-Ss, x (f) Sg, x (g) &C九 ge-M叫 (x.2> e°e ga(4， •・•, g) = g (花丄—a,・・・電磔一a);

при этом если С взять достаточно малым^ то можно выбрать М как угодно близким к т0.

Замечания. 1. Результаты, относящиеся к вещественной константе связи, содержатся в [72]; результаты, относящиеся к комплексному случаю, появились в работе [74].

Оценка (Х.2) означает, конечно, что в рассматриваемой модели имеется массовая щель.

В работе [72] аксиомы Уайтмэна проверяются, исходя иа аксиом Остервальдера ——Шрадера, однако их легче проверить, доказав сходимость функций Уайтмэна, как мы это сделали в гл. VIII (и как зто было сделано в предварительном варианте статьи [72]).

Первыми примерами моделей Р (屮)整,для которых были доказаны аксиомы Уайтмэна, явились именно модели с малыми константами связи (это было сделано в предварительном варианте части статьи [72], опубликованном как препринт Глимма и Спенсера, изданный Нью-йоркским университетом).

Из утверждения (1) и теоремы Витали непосредственно вытекает следующее

Следствие Х.2. Обобщенные функции Sg,九 аналитичны •6 области {九 | Re % > 0, | % | V С}・

Из сформулированных результатов и проведенного Даймоком детального анализа производных от S^x по 九 вытекает такое следствие:

Следствие Х・3 (Даймок [26]). Ряды Фейнмана теории возмущений для Sg,九 являются асимптотическими при X | 0.

Из этих же результатов с помощью детального анализа локальных £х-норм для состояний, соответствующих свободным граничным условиям, Ньюмэн получил следующее

Следствие Х.4 (Ньюмэн [137]). Пусть 九一вещественное положительное достаточно малое число. Тогда, если последователь- ностъ прямоугольников Л —> оо, то ограничения мер й|Лл,х = =ехр (—九U (Л)) й(л0/j ехр (—%U (Л)) dpi0 на а-алгебру 2д0 сходятся в смысле L1, т. е. &卩八}工八。=代°)йц0, где 於)сходится в L'-норме при А—> 8. 6 частности^ меры, соответствующие ■эвклидовым полям 6 бесконечном объеме, локально абсолютно непрерывны относительно меры dpi0.

Замечания. 1. Следствия Х.З и Х.4 названы «следствиями», .лишь поскольку их вывод частично основан на теореме Х.1. Каждое из них требует для своего доказательства серьезной дополнительной техники и дополнительных идей.

Непрерывность функций Sg,九 при 九 J 0 установлена в статье [72].

Вторым основным результатом Глимма, Джаффе и Спенсера [72] является следующая теорема.

Теорема Х.5. Пусть 0 V % V & и пусть Q — вакуумный вектор^ Я ——гамильтониан и ей?——гильбертово пространство для модели теории поля Уайтмэна, построенной 6 теореме Х.1. Пусть далее Е? — спектральный проектор оператора Я на отрезок [0, у]. Зафиксируем числа тг, е > 0. Тогда существует константа Сет, такая, что при 九 V С£}П и у ^ (тг + 1) mQe про-

странство Еу^ порождается векторами

a, %8(力)й, ё疋%е (九)6 仇)a, • . .,找电冉 d) • - 8 (3) а

(те. е, линейная комбинация этих векторов всюду плотна в 豆丫捋), ?de 九, …•，九 C 皆(R) (операторы 6 (•) суть операторы поля в нулевой момент времени), ^ g R.

Замечание, В статье 172] этот результат для случая n > 1 приведен с операторным множителем etH перед £v0 仇)Q, но, согласно одному замечанию, сделанному в работе [73], этот множитель не является необходимым.

Поскольку теорема Х.5 выглядит скорее как утверждение технического характера, и поскольку ее основные следствия требуют небольших дополнительных построений, мы приведем эти следствия с довольно подробными доказательствами.

Следствие Х.64 [72]. Зафиксируем е>0. Существует такая константа Со, что при О V 入 & Сд оператор массы 6 бесконечном объеме М — ^Н2 — Р2 имеет единственное собственное значение m (九)в интервале (0, 2т0 ——е). Двумерная группа Лоренца действует неприводимо на собственном подпространстве (4 Е ^ I М^ = m (九)屮}. При 九(0 собственное значение m (九)—>

-> 7П0.

Дока за тельство. Пусть через т (X) обозначена нижняя грань inf {о (Я }◎》}• Тогда, согласно утверждению (4) теоремы Х・£ lim inf т (%) ^ 师。. Выберем теперь произвольную функцию 九 у= 0,九》0, h ^ С^ (R). Для любого е > 0 мы можем найти такое 力 что

S2,』o 伊 ® М>52,х=о 3 ®^) ехр[ —(тео — е)^]. (Х.З) Ввиду непрерывности функций S牆 при достаточно малых % мы имеем оценку

$2,九(八 <8)瓦)一§2,入(无)2 > $2, X■(历 <8)%) ехр [ — (то — 2e) t}. (X.4)

так что lim sup m (九)《 m0. Следовательно, lim m (%) = mQ.

Далее, согласно теореме Х.5, мы можем найти такое Со, что при k <ZCQ подпространство Е、或 порождается векторами Q и Еу(р (无)Q, если у & 2mo — & Уменьшая, если нужно, Со, мы можем добиться того, чтобы выполнялось условие т (%) < у. Пусть

2 伍)=% ①(无)a — (Q ф (无)й) Q (Х.5)

Тогда векторы-ф (Д) порождают подпространство 现 [◎丄].Поскольку Е、[йх]耍{0} (ввиду условия m (%) V у), мы можем найти такую положительную (почти всюду) функцию 九°, для которой 21 Б. Саймон

■ф (%)声 0. Так как оператор момента коммутирует с оператором энергии, подпространство E?Q丄 левоинвариантно относительно пространственных сдвигов. Мы утверждаем, что вектор 屮(无°) является циклическим вектором в подпространстве Е^1 для этих пространственных сдвигов. Действительно, для любой данной функции g 6 С『(R) имеем

W (g * 无о) = J g (у) (。_脚 Зо)) dy,

и функции вида {g * 无°} плотны в 严(R). Следовательно, на основании стандартной теоремы из теории представлений групп, спектр оператора момента в подпространстве £\Q丄 простой. Так как Еу [◎丄] * {0} и совместный спектр операторов энергии и момента является лоренц-инвариантным множеством, отсюда следует, что М имеет единственное собственное значение, меньшее чем у, и что соответствующее представление группы Лоренца неприводимо..

Следствие Х.6В [73]. При малых % в модели (q)4)2 не существует двухчастичных сз兄зашш汽 coczn。兄aizR; точнее^ существует такое С^что при 0 V % V С\ е интервале (т 伍)，2zn (X)) нет точек спектра оператора массы.

Замечания, 1. В работе [73] имеется набросок доказательства того, что в моделях ((р6 ——(р4)2 имеются связанные состояния при малых X (т. е. что в интервале (zn (X), 2т (X)) имеются точки спектра оператора М)^ Такое наличие связанных состояний при малых X является специфической особенностью одномерного пространства.

2. В силу общих свойств моделей теории поля Уайтмэна (теория рассеяния Хаага ——Рюэля [95]), полуинтервал [2m (X), 4-8) входит в спектр оператора М.

Доказательство. Поскольку наша модель обладает симметрией 屮——(р, пространства (й?неч (соотв.,翅口配)，порожденные векторами {屮(4Х)・..屮(无n) Q | п нечетно} (соотв. чётно), ортогональны др уг другу и левоинвариантны относительно действия полной группы Пуанкаре. Подберем числа е < т0 и Сх так, чтобы при 九 V С\ пространство %翻 порождалось векторами Q, {瓦8 (无)Q} и {etnE^ (无J 0 (无2)◎}, где у = 3% — е, (Такое С* существует на основании теоремы Х.5.) Уменьшая, если нужно, константу С1? мы можем считать, что т (X) V (3% — е)/2. Пространство Е、瓢2 порождается векторами {£\8 (无)；◎}, на которых в соответствии с рассуждениями, приведенными при доказательстве следствия Х.6, спектр оператора момента является простым. Поэтому 7И2 f £^翅Heq =加(X)2. С другой стороны,

по теореме IX.10 оператор Н } {◎} U {后т°（&）8 （无2） Q} имеет спектр, содержащийся во множестве {0} Q [2т （X）, оо）. Ввиду свойства лоренц-инвариантности, оператор М f Е’^е также имеет спектр, содержащийся в {0} U [2т （X）, оо）..

Подробные доказательства теорем Х.1 и Х.5 можно найти в статье [72|;' доказательство теоремы Х.1 с ясно изложенными выкладками содержится также в статье [74]. Сделаем несколько замечаний по поводу этого последнего доказательства, которые можно рассматривать как введение в его общую структуру.

Авторы используют свойство масштабной ковариантности, для того чтобы заметить, что функции Швингера зависят только от отношения X/wq. Точнее, если

S（£（,♦♦♦,支п；九；m：; А） = j 恥（n（） • • * 中（况n） e~"“a &卩7no/Z, то для каждого a > 0 имеет место равенство

S （х^ ..., xn; a2^; a2nio； A） = S （a/,・.・，a%n;储 ^, aA）, （X.6）

вытекающие из свойства симметрии для свободного поля

§2（况一U； №用）= S2（a@ — g）; т^. （Х.7> Действительно, пусть через 屮（х; т0） обозначено свободное поле массы тп^; тогда из соотношения （Х.7） видно, что величина ср （ах； zn*） описывает поле ср （况；а2/Пд）.

Затем используется некоторая аппроксимационная процедура, которая приводит к нарушению масштабной ковариантности. Но если при помощи этой процедуры доказать сходимость функций Швингера со свободными граничными условиями при 九 V С。 0 /п^ > Mq, то можно, используя сказанное в п. 1, доказать сходимость и в случае, когда А V （Со/М^） 用 при некотором фиксированном значении голой массы т0.

Пусть через L обозначено множество единичных отрезков, соединяющих ближайшие между собой точки целочисленной решетки Z2, и пусть через &щ丄 обозначено свободное поле массы mQ при допо л нит елъных граничных условиях Дирихле на L. Для такого свободного поля существование предела при неограниченном возрастании объема и экспоненциальное ослабление корреляций тривиальны, поскольку различные квадраты не связаны друг с другом.

Ключевая идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что если т0 достаточно велико, то меры &卩如工（с добавленным упорядоченным по Вику р,0-взаимодействием） и dp,0 отличаются не слишком сильно. Это доказывается последовательным переходом на отрезках из 厶 от граничных условий Дирихле к свободным граничным условиям.

Процедура перехода от одной ковариационной матрицы, Со, к другой, Cv с меньшим числом отрезков, на которых задано граничное условие Дирихле, состоит в том, что вводятся (промежуточные ковариационные матрицы Са = аС0 + (1 —■ а) Сх и выписывается соотношение

1

j歹⑺函S一J尸⑷%= Jda言[J尸(9)函%}(x.8)

О

где производная (d/da) f F (q) &q% вычисляется с использованием равенства

^[J^(?)M=4J[j也卧前磊)尸旅电

(X.9)

В качестве примера к равенству (Х.9) заметим, что

詣 j 屮(/)屮(g)歯％ =言 j %(2, у) / (z) g (у) dx dy =

=^ j醬(瑞y)际(爲④仰⑺中(g)] d尤dy •

Айалогичные вычисления можно провести в случае, когда F —— произвольный полином, а затем с помощью предельного перехода распространить результат на случай функции F более общего вида.

Основная часть доказательства состоит в оценивании членов, которые входят в разность f F d卩° — j 尸 dp,OfL, при помощи многократного использования равенств (Х.8) и (Х-9). Голая масса т^ входит в оценки убывания для ковариационных матриц Cq(N, У)・

Литература н § ХЛ

Глимм, Джаффе и Спенсер [72—74].

Дополнительные результаты для малых значений константы связи: Даймок [26], Ньюмэн [137], Шрадер [155].

§ Х.2. Разложения по степеням активности

Спенсер [187] исследовал модели вида ХР (X) + "Хп при больших значениях 卩 в предположении, что п нечетно и меньше, чем степень многочлена Р. Его основным результатом является

Теорема Х・7・ Зафиксируем голую массу тп。, полу ограниченный полином Р и нечетное число n V deg Р. Далее для фиксированных L и Т обозначим через SL}T (胃工,...,£孔)функции Швингера для

модели Р (乂) + 卩乂熊 а прямоугольнике размера L х Т с периодическими граничными условиями (состп。兄乂оя с периодическими граничными условиями вводятся ниже е § Х.З). Тогда существует такое Z) < оо, что

) функции SLtT равномерно ограничены и при L、Т f 8 сходятся к пределам как обобщенные функции от х, если 卩 >刀；

) предельные функции Sg,从 при 卩 V 力 являются функциями Швингера для некоторой модели квантового 足。弱兄,удовлетворяющей всем аксиомам Уайтмгна\

) 8弱兄 каждого 卩 > D существует такое т (ц) > 0, что гамильтониан этого поля Уайтмэна не имеет точек спектра е интервале (0, т (卩))；

) если мы выделим константу связи X как множитель перед Р, то при 卩 > Z) функции Швингера и давление будут вещественно- аналитическими функциями пары переменных 卩 и 入.

Замечания. 1. Используя результаты гл. IX, одну идею Лебовица —Пенроуза [121] и вариационный принцип для давления (см. § Х.З), Спенсер [187] доказал, что давление а(ю (X, ц) для модели 入屮& + piq)является аналитической функцией двух переменных в некоторой окрестности области {(X, ц) | X > 0, Re 卩V0}・

Подробное доказательство теоремы Х-7 см. в статье [187]. Мы обсудим здесь его главную идею для случая (X)匸 ^ Х& —

Основное свойство ковариантности, использованное Спенсером, состоит в том, что периодическое состояние остается инвариантным, если мы заменим 屮(х) на ф (х) + С и в то же время заменим Р (屮⑶)на 户(屮 Q) + С) + Cm^ (ж), где 广=Р 十卩Хп. Дополнительное слагаемое Ст^ возникает из-за того, что эффективная связь спинов описывается полиномом Р (X) +-g-7njX2; это можно увидеть, переходя к решеточной аппроксимации.

Пусть Q = A +^zn：X2. Для Р =^Х& —у ?njXa имеем

Q (X) = —• X4 + цХ и

Q (X — М/з)=扌 Х& — М/зхз + ^М"Х2 - |^/з =

=(»一|?/3)2X2+昇2以2 瞑弘 4/3.(Х.10)

Константу -^ р4/з можно опустить, не меняя функций Швингера.

Согласно равенству (Х.10), модель с большим р эквивалента модели с формально положительным полиномом, к которому

добавлен квадратичный член, становящийся большим при 世 f 8. Квадратичный член может быть включен в формальный массовый член (при этом доказывается необходимая ковариантность в решеточной аппроксимации, см. [8, 90, 187]), так что фактически мы имеем дело с большой голой массой, для чего можно использовать методы § Х.1.

Литература 霜 § Х.2

Спенсер [187].

§ Х.З. Другие граничные условия

В гл. VII мы подробно обсудили случай граничных условий Дирихле. Как мы уже убедились в предыдущем параграфе, столь же естественно возникают и другие граничные условия. Особую важность приобретают теоремы, связывающие между собой различные граничные условия, как, например, теорема VII.24 о том, что а^ = ctg. Это объясняется тем, что обычно теоремы об объектах, связанных с бесконечным объемом, доказывают, используя наиболее удобные граничные условия, после чего часто бывает нужно сопоставить разные факты, относящиеся к бесконечному объему, доказанные для разных граничных условий.

Определение. Зафиксируем 厶 н 7. Пусть через С| (L X Г) обозначено пространство функций на (—£/2,厶⑵ X (—772, 7/2), периодических вместе со своими производными до второго порядка включительно. Зададим оператор —Ар с областью определения С| (厶 х 7) в пространстве Л2 (厶 х Г) равенством — А₽/ = =——А/. Он является существенно самосопряженным и положительным. Гауссовский процесс, индексированный элементами пространства £2(£ 义 丁)，с ковариацией (—Ар + /п^)，называется свободным полем массы т с периодическими граничными условиями на L X Т. Для заданного полинома Q мы определим давление при периодических граничных условиях как

就,т = -^-1п, d^o, ь, т ехр (— Up (厶 х7)), (X.lla) где

Ор (厶 ХГ)= J :Q 仰(£))：pJ2瑞(X.llb)

Ext а через : :P обозначено виково упорядочение по отношению к мере ^Ц0, L, т・

Определение^ Зафиксируем в R2 область Л с гладкой границей. Пусть через D^ обозначено множество функций на Л к л ас-

са С1 с производными, непрерывными вплоть до границы, и через ——An ——самосопряженный оператор, который получается из квадратичной формы на Dn, задаваемой равенством q (/, g)= =J V/V g^, с помощью операции замыкания формы и перехода к ассоциированному оператору. Гауссовский процесс, индексированный элементами пространства L2 (Л), с ковариацией (—An + 確2)т называется свободным полем массы т с граничными условиями Неймана на Л. Для заданного полинома Q определим давление при граничных условиях Неймана формулой

猊,т = "|' д j' In j &磺 л ехр [ — Un (Л)]т(Х.12а)

где

Un(A)= , :Q (屮(n)：n威芻(X.12b)

л

и где через : :n обозначено виково упорядочение по отношению к мере &党 &

Замечание. Нужно доказывать конечность выражений (Х.11) и (Х.12), для чего можно использовать методы гл. V в сочетании с некоторыми дополнительными оценками на соответствующее функции Грина. Эти оценки в свою очередь могут быть получены с помощью так называемого метода образов (см. [91]).

Основным результатом работы [911 является следующая теорема.

Теорема Х・8.⑴ Существует lim а% = 述.

L,T-*oo

Существует lim а^т = 编・

Ct oo a00a8.

Так же, как мы делали в этой главе раньше, ограничимся здесь несколькими замечаниями об идее доказательства, отсылая читателя за подробностями к оригинальной статье [91].

Прежде всего можно доказать некоторые соотношения типа положительной определенности, связывающие между собой различные функции Грина, а затем применить теорию обусловленности. Находим (следуя Робинсону [146],) что

ал^ал^ал,(Х.13а)

а%т&а^хр&а^хт,(Х.13Ь)

|а1 u а2|圖зw1人1遽 + 小2| 或2(儿 П a2=(^).(x.13c)

Из (Х.13с) выводится линейная нижняя оценка (!), а также тот факт, что а^,т сходится к а^. Поскольку мы уже знаем, что

“В《&8 н ctg & а», то для того, чтобы вывести равенство а» = — а», нам достаточно показать, что а» & а^. После того, как это будет установлено, неравенства (Х.13Ь) повлекут за собой сходимость сс^хр к пределу, равному ctg. Таким образом, для завершения доказательства всей теоремы нам надо только доказать оценку 公《dg. Ввиду (ХЛЗс), достаточно показать, что а*т имеет верхний предел, не превосходящий ctg.

Теперь доказывается (с использованием неравенства Гёльдера и выпуклости ад по константе связи X), что достаточно установить лишь оценку lim sup ал W где — давление при граничных условиях Неймана в квадрате (——£/2, £/2) X X (——L/2, £/2), но для взаимодействия, включенного только в квадрате (一〃2, 〃2) X (一〃2, 〃2), где I ~ L —М" и упорядоченного по Вику по отношению к мере ц0*

Наконец устанавливается тот факт, что ограничение меры d碍工 на квадрат (—2/2, 〃2) X (—2/2, 〃2) абсолютно непрерывно по отношению к мере &卩。и, далее, что производная Радона ——Никодима принадлежит каждому из пространств £& (р ＜： оо), причем ее Ьр-нормы дают пренебрежимо малый вклад в 0, когда мы используем неравенство Гёльдера.^ Отсюда вытекает, что lim sup at W

Имеются также некоторые результаты о независимости состояния в бесконечном объеме от граничных условий. Например, в работе [91] доказано, что если в модели 九屮& с граничными условиями Дирихле имеется массовая щель, то для достаточно больших у. (т. е. там, где теорема Спенсера гарантирует существование периодических состояний) периодическое состояние и состояние Дирихле для модели 九屮& —— 卩屮 совпадают между собой. По-видимому, некоторые результаты о независимости от граничных условий можно доказать, используя высокотемпературные разложения Глимма — Джаффе — Спенсера.

J[итератора 踹 § Х・3

Гузрра, Розен и Саймон [90, 91].

§ Х.4. Равновесные состояния и вариационные принципы

Результаты этого параграфа заимствованы из работ [90, 91]. Они связаны с попытками применить к модели Р ((р)2 подход, опирающийся на ДЛР-уравнения и вариационный принцип Гиббса статистической механики [152, 28, 117, 154].

Определение. Состоянием называется система согласованных вероятностных мер на каждой о-алтебре Ед (где Л ——ограни-

ченное подмножество в R2), порожденной множеством случайных величин {ф (/) I supp / и Л}. Состояние называется состоянием умеренного роста в том и только в том случае, когда мера d (м f Ед) абсолютно непрерывна по отношению к мере d(No f £厶)и при некоторых р > 1, С, а > 0, т| < 1 имеют место соотношения

d(N 卜 2л) = /а & (Но 卜 2л) (Х・14а) и

In II /л Цр^С ехр (ad (Л)п),(Х.14Ь)

где d (Л) — диаметр множества Л.

Замечание. Естественно ожидать, что для состояний в бесконечном объеме в модели Р (ф)2

In П/лНр ^Ad(xy,(х.14с>

что сильнее, чем (Х.14Ь). Однако пока еще не доказано даже, что /д принадлежит Z" при каком-нибудь р > 1.

Определение. Энтропия состояния {/а} в области Л определяется формулой

Sa (/) = — j /л In /л^Но-

Теорема Х・9 [90]. Для всякого трансляционно инвариантного состоянш умеренного роста / предел

s(f) = lim|A|TSA(/)(Х.15)

существует и неотрицателен. Этот предел s (/) называется- плотностью энтропии для /.

Теорема Х.1О [90, 91]. Зафиксируем полином взаимодействия. Р、Для произвольного трансляционно инвариантного состояния / положим

p(A 尸)=击 J /a ( j :尸(中(尤))：02)即0 (X.16)

Л

(правая часть не зависит от Л). Справедливы следующие утверждения:

(Вариационное неравенство Гиббса.) Для каждого состоя- am兄 умеренного роста /

s (/) - Р (/, P)&ag(P)・(Х.17)

(Вариационное равенство Гиббса.)

sup[s⑺一р(/, Р)] = а«> (尸)・(Х.18)

Замечания. 1. Имеется гипотеза о том, что состояния в бесконечном объеме для модели Р (屮)2 являются состояниями умерен-

НОГО роста, ЧТО ДЛЯ ЭТИХ СОСТОЯНИЙ S (/) — р (/,尸)=Ctoo (Р) и, кроме того, что все трансляционно инвариантные состояния умеренного роста, для которых s (/) — р (/, Р) = ctg (Р), ассоциированы с Р некоторым естественным образом (например, при помощи ДЛ P-у р авнений).

Некоторое представление о смысле соотношений (Х.17, 18) можно получить при рассмотрении модели Р (屮)工. Для данного полинома Q обозначим через /q соответствующее ему состояние в бесконечном объеме, через Qq ——основное состояние для Н° + + :Q (д): и через %——энергию этого основного состояния. Явное вычисление (см. [90]) показывает, что

$ (/q) = —〈Qq, Н0Qq ),Р (/q, Р) =〈Qq, ：Р： Qq〉,ctoo (P) = —Ер,

Таким образом, неравенство (Х.17) приводит к неравенству 〈Qq, (/+ :Р:) 9Р)>£,

т. е,, зариационнъьй принцип Гиббса являете兄 эвклидовым вариантом принципа Рэлея ——Ритца,

Мы хотим теперь совсем коротко остановиться на ДЛР-урав- нениях, которые детально обсуждаются в работах [90, 91, 29, 511. Зафиксируем голую массу т^ подином взаимодействия Р и ограниченную область А. Пусть А и А', и пусть через d^ обозначено состояние с обрезанным взаимодействием и со свободными граничными условиями в А'. Пусть, далее, 2д — это о-алгебра, порожденная совокупностью случайных величин {屮(/) | supp / и <=2л}- Рассмотрим сужение мер吼 d^ на Ел-

d（卩a，t，a）= e 0弋歌）dh0,d（卩a，t，a）= e 0弋歌）dh0,(Х.19)(Х.19)Теорема Х.11,

d（卩a，t，a）= e 0弋歌）dh0,

d（卩a，t，a）= e 0弋歌）dh0,

(Х.19)

(Х.19)

где функция 屮欲)измерима относительно G-алгебры，@厶・

Доказательство. Поскольку имеет место равенство d^A，= =6一"人'zU d^o, то, согласно определению условного математического ожидания,

где Ее ——условное математическое ожидание относительно меры*0. Ногде Ее ——условное математическое ожидание относительно меры*0. Ноd(fU，Г 2a)=礎(宀z前)加,

где Ее ——условное математическое ожидание относительно меры

*0. Но

где Ее ——условное математическое ожидание относительно меры

*0. Но

威)(e-UA，z*) = e-必威)(z3 exp (— О (A' \ A)))==e-玄蹴(Z” exp (—。(A' \ A)))

(последнее равенство справедливо в силу марковского свойства)..

Определение^ Будем говорить, что данное состояние удов летваряет ДЛР-уравнейиям в том и только в том случае, если

мера &n(a), ассоциированная с Л, абсолютно непрерывна по отношению к мере dp.o 卜，а, т. е. &н(а)/дйр,0;

伊)"=宀"",(x.19')

где функция Арад измерима относительно а-алгебры £@厶.

ДЛР-уравнения получили свое название благодаря работам [28, 117]. Они придают независимый от обрезаний смысл утверждению о том, что данная модель теории поля ассоциирована с полиномом взаимодействия Р. Формально следует ожидать, что равенство (Х.19) справедливо для состояний, являющихся пределами мер d^A，. И действительно, имеет место следующая теорема.

Теорема XJ2 [51]. Состояния, построенные при малых значениях константы связи и для свободных граничных условий (см. следствие Х.4), удовлетворяют АЛ P-у равнениям.

Имеются различные эквивалентные варианты ДЛР-уравне- ний, представляющие определенный интерес.

Теоре*痂 Х»13 [90]. Локально абсолютно непрерывное относи- телъно 亚已卩庆 从。состояние удовлетворяет ДЛ P-у равнениям (Х.19‘) в том м только в том случае, если его условные математические ожидания Еа удовлетворяют соотношениям

晶a(a)=礎(46-%)/礎(e-%)(Х.20)

для всякой ограниченной области Л и любого множества Л, измеримого относительно о-алгебры 2д.

Определение. Мера р, на £ (R2)' называется ^-квазиинва- риантной в том и только в том случае, если для каждой функции / £ / (R2) мера &卩(•+/), задаваемая равенством

J F(T)d^(Tt) = ^ F (Т - f) d^ (Т), абсолютно непрерывна относительно меры ц.

Теорема Х.Х4 [51]. Мера ц, локально абсолютно непрерывная относительно меры ц0, удовлетворяет ДЛ P-у равнениям тогда. и только тогда, когда она ^-квазиинвариантна и ее производные Радона — Никодима имеют вид

'七f(^‘)=ехр [ — T^ — ^ + mDfy^^f, ( — Д + ^)/) —

-Q (仞 h (X.21a)

<?(〃•)= J [:尸仰(2)+ f(2))： - :P (g(尤))：]d2方.(X.21b)

Замечание. Фрёлих [51] связал формулировку (Х.21) с существованием так называемых «эвклидовых сопряженных моментов».

Литература к § Х・4

Фрёлих [51], Гузрра, Розен и Саймон [90, 91].

§ Х.5. Работа Добрушина—Минлоса

Добрушин и Минлос анонсировали ряд интересных результатов, базирующихся на следующем определении.

Определение» Зафиксируем голую массу mQ и полином Р. Мера 卩 на 步(R2) называется Р-нелсоновской в том и только в том случае, когда

мера 世 удовлетворяет ДЛР-уравнениям;

для любого целого п и каждой функции / £ 步(R2) момент J ф (/)п ф существует и непрерывно зависит от /;

мера pi эвклидово инвариантна.

В работе [29] анонсированы следующие три результата:

Теорема^ X J5. Для любого Р существует Р-нелсоновское состояние, эргодичное относительно пространстввнно-временних трансляций.

Замечание. Из того, каким способом формулируются некоторые дальнейшие уточнения этого результата, совершенно ясно, что Добрушин и Минлос вводят некоторую топологию, в которой множество Р-нелсоновских состояний представляет собой выпуклый компакт, а фактически даже симплекс Шоке.

Теорема X.工 6・ Для любого фиксированного полу ограниченного полинома Р существует такая константа СР, что при О V 入 V Ср существует единственное Р-нелсоновское состояние.

Замечание. В работе 190] построены «ложные» (не умеренного роста) решения ДЛР-уравнений для свободного поля. Аналогичные состояния должны существовать и для малых 九 в модели Р (ф)2. Они не могут быть Р-нелсоновскими, поскольку не обладают свойством эвклидовой ковариантности.

Теорема Х.17» Пусть Р — четный полуограниченный полином. Тогда существует константа Dp、такая, что при 入 >Ор существуют по крайней мере два экстремалъных Р~нелсоновских состояния.

Замечание. Предположительно, являются такие состояния ji*, =—N— (ф (0)) > 0, так что имеет распадающейся симметрии.

Литература 開 § Х・5

Добрушин и Минлос [29]

этими двумя состояниями для которых м+ (ф (0)— место ситуация спонтанно

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Альбеверио, Хёэг-Крон (S. Albeverio, R. Hoe^i-Krohn)

Uniqueness of the physical vacuum and the Wightman functions in the infinite volume limit for some non-polynomial interactions, Comm. Math. Phys., 30 (1973), 171—200.

The Wightman axioms and the mass gap for strong interactions of exponential type in two dimensional space-time, J. Funct. Anal., 16 (1974), 39—82.

Араки (H. Araki)

Local quantum theory. I, в сб.《Local quantum theory», ed. R. Jost. Academic Press, New York, 1969, 65—96.

Асано (T. Asano)

Lee-Yang theorem and the Griffiths inequality for the anisotropic Heisenberg ferromagnet, Phys. Rev. Lett., 24 (1970), 1409—1414.

Theorems on the partition functions of Heisenberg ferromagnets, J. Phys. Soc. Japan, 29 (1970), 350—359.

Бэббит (D. Babbitt)

The Wiener integral and perturbation theory of the Schrodinger operator, Bull. Amer. Math. Soc., 70 (1964), 254—259.

Барут, Уайтмэн (A. О. Barut, A. S. Wightman)

Relativistic invariance and quantum mechanics, Nuovo Cimento Suppl., 14 (1959), 81—94.

Баумел (R. Baumel)

Princeton Univ. Thesis.

Березин Ф. A.

Метод вторичного квантования, «Наука», М., 1964.

Бьёркен, Дрелл (J. Bjorken, S. Drell)

[10. Relativistic quantum fields, McGraw-Hill, New York, 1965.

Бонгаартс (P・ J. M. Bongaarts)

UI] Linear fields according to I. E. Segal, 6 сб. «Mathematics of contemporary physics», Academic Press, New York, 1972, 187—208.

Борхере (H. Borchers)

On the structure of the algebra of field observables, Nuovo Cimento# 24 (1962), 214—236.

Бурбаки (N. Bourbaki)

Integration, гл. IX, Hermann, Paris, 1969.

Брателли (О. Bratelli)

Conservation of estimates in quantum field theory, Comm, Pure Appl. Math., 25 (1972), 759—779.

Брейман (L, Breiman)

Probability, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1968.

Бро, Эпстейн, Глазер (J. Bros, H. Epstein, V. Glaser)

On the connection between analyticity and Lorentz covariance of Wightman functions, Comm. Math. Phys., 6 (4 967), 77—100.

Каяньелло (E. Caianiello)

Combinatorics and renormalization in quantum field theory, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1973.

Камерон (R. Cameron)

The Ilstow and Feynman integrals, J. Math. Anal., 10 (1962/63), 287—361.

Кэннон (J. Cannon)

Continuous sample paths in quantum field theory. Comm. Math. Phys., 35 (1974), 215—234.

Кэннон, Джаффе (J. Cannon, A. Jaffe)

Lorentz covariance of the (q)4)2 quantum field theory, Comm. Math. Phys., 17 (1970), 261-321.

Картье (P. Cartier)

Les inegalites correlationnells, S^minaire Bourbaki, 1973—74, Leet* Notes, in Math., 431，Springer-Verlag, 1974.

Колелла, Ланфорд (P. Colella, О. E. Lanford, III)

Sample field behavior for the free Markov random fi虱d, e сб. «Constructive Quantum Field Theory», ed. G. Velo and A. S. Wightman> Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 44—70.

Константинеску, Тальхаймер (F. Constant!nescu, W. Thalheimer)

Euclidean Green's functions for Jaffe fields. Comm. Math. Phys., 38 (1974), 299-316.

Fourier-Laplace transforms of ultradistributions and boundary values of analytic functions, Univ, of Frankfurt, Preprint, 1974,

Кук (J. M. Cook)

The mathematics of second quantization, Trans. Amer. Math. Soc.r 74 (1953), 222—245.

Даймок (J. Dimock)

Asymptotic perturbation expansions in the P ((p)2 quantum fi虱d theory, Comm. Math. Phys., 35 (1974), 347—372.

Даймок, Глимм (J. Dimock, J. Glimm)

Measures on Schwartz distribution space ans applications to P (屮)目 field theories, Adv. Math., 12 (1974), 58—83.

Добрушив P. Л.

[28]£Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием, Функц. анализ и его прилож., 2 (1968), № 4, 31—43.

Добрушин Р・ Л., Р・ А. Минлос

Построение одномерного квантового поля с помощью непрерывного марковского поля, Функц. анализ и его прилож., 7 (1973), № 4, 89-90.

Дуб (J, Doob)

The Brownian movement and stochastic equations, Ann. Math., 43 (1942), 351-36 9.

Stochastic processes, Wiley, New York, 1953. [Русский перевод： Дж. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.]

Дынкин Е・ Б.

Марковские процессы. Физматгиз, М., 1963.

Дайсон (F. Dyson)

The S-matrix in quantum electrodynamics, Phys. RevM 75 (1949), 1736—1755.

Эпстейн (H« Epstein)

Some analytic properties of scattering amplitudes in quantum field theory, 6 сб. «Axiomatic Field Theory», ed. M. Chretien and S. Deser, Gordon and Breach, New York, 1966, 1—134.

Фарис (W. Faris)

Invariant cones and the uniqueness of the ground state for fermion systems, J. Math. Phys., 13 (1972), 1285—1297.

Quadratic forms and essential self-adjointness, Helv. Phys. Acta, 45 (1972), 1074—1088.

Essential self-adjointness of operators in ordered Hilbert spaces, Comm. Math. Phys., 30 (1973), 23—34.

Фарис, Лавайн (W. Faris, R・ Lavine)

Commutators' and self-adjointness of Hamiltonian operators, Comm Math. Phys., 35 (19 74), 39—48.

Федербуш (P・ Federbush)

] A partially alternative derivation of a result of Nelson, J. Math. Phys., 10 (1969), 50—52.

] A convergent expansion for the resolvent of :0:计工，J. Math. Phys., 12 (1971), 2050—2051.

Фейсснер (G. Feissner)

Hypercon tractive somigroups and Sobolev's inequality, Cornell Univ. Thesis, 1973.

Фельдман (J. Feldman)

A relativistic Feynman-Kac formula, Nucl. Phys., B52 (1973), 608-614.

Феллер (W. Feller)

An introduction to probability theory and its applications, vol. 1, 3rd ed., Wiley, 1968. [Русский перевод 2-го изд.: В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1,《Мир», М., 1967.]

Ферннк (X. Fernique)

Processus lineaires, processus generalises. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 17 (1967), 1-92.

Фейнман (R. Р. Feynman)

The principle of least action in quantum mechanics, Princeton Univ. Thesis, 1942.

Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Mod. Phys., 20 (1948), 367—387. [Русский перевод: P. Фейнман^ Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике, в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, М., 1954]

Фейнман, Хибс (R. Р. Feynman, A. R. Hibbs)

Quantum mechanics and path integrals, McGraw-Hill, New York, 1965. [Русский перевод: R. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», М., 1968.]

Фшцер, Лебовиц (М. Fisher, J. L. Lebowitz)

Asymptotic free energy of a system with periodic boundary conditions, Comm. Math. Phys., 19 (1970), 251—272.

Фортюэн, Кастелин, Жинибр (C・ Fortuin, P. Kastelyn, J. Ginibre)

Correlation inequalities on some partially ordered setsB Comnu Math. Phys., 22 (1971), 89—103.

Фрадкин (E. S. Fradkin)

Application of functional methods in quantum field theory and quantum statistics. I. Divergence free field theories with local nonlinear interaction, Nucl. Phys., 49 (1963), 624—640.

Фридрихе (К. Friedrichs)

Mathematical aspects of the quantum theory of fields, Interscience, New York, 1953.

Фрёлих (J. Frohlich)

Schwinger functions and their generating functionals. I, Helv. Phys. Acta, 47 (1974), 265; II, Adv. Math., в печати.

Гординг, Уайтмэн (L・ Garding, A. S. Wightman)

Representation of the commutation relations, Proc. Nat. Acad. Sci., 40 (1954), 622—626.

Гельфанд И. M., F. E・ Шилов

Обобщенные функции, вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, М., 1959.

Гельфанд И. Мм Н» Я・ Виленкин

Обобщенные функции, вып. 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, Физматгиз, М・，1961.

Гельфанд И. М., А. М. Яглом

Интегрирование в ф ункци она льных пространствах и его применение в квантовой физике, УМН, 11 (1956), № 1, 77—114.

Гидас (V. Gid as)

Properties of the (:(p4:)1+1 interaction Hamiltonian, J. Math. Phys.» 15 @974), 861—866.

1/2 22 Б. Саймон

Жинибр (J. Ginibre)

Simple proof and generalization of Griffiths' second inequality, Phys. Rev. Lett., 23 (1969), 828—830.

General formulation of Griffiths1 inequality, Comm. Math. Phys., 16 (1970), 310-328.

Correlation inequalities in statistical mechanics, в сб. «Mathematical Aspects of Statistical Mechanics», AMS Publ., 1972, 27—45.

Глазер (V. Glaser)

On the equivalence of the Euclidean and Wightman formulation of field theory, Comm. Math. Phys., 37 (1974), 257—272.

Глимм (J. Glimm)

Boson fields with non-linear self-interaction in two dimensions. Comm. Math. Phys., 8 (1968), 12—25.

Глимм, Джаффе (J. Glimm, A. Jaffe)

The X (q)4)2 quantum field theory without cutoffs. I, Phys. Rev., 176 (1968), 1945-1951.

The X (ф4)3 quantum field theory without cutoffs. II. The field operators and the approximate vacuum, Ann. Math., 91 (1970), 362— 401.

The X (ф4)2 quantum field theory without cutoffs. III. The physical vacuum, Acta Math., 125 (1970), 203—261.

The X (联丿2 quantum field theory without cutoffs. IV. Perturbations of the Hamiltonian, J. Math. Phys., 13 (1972), 1568—1584.

Singular perturbations of self-adjoint operators, Comm. Pure Appl. Math., 22 (1969), 401—414.

Energy-momentum spectrum and vacuum expectation values in quantum field theory.■ I, J. Math. Phys., 11 (1970), 3335—3338.

Positivity and self-adjointness of the P (屮)纟 Hamiltonian, Comm. Math. Phys., 22 (1971), 253一258.

Positivity of the (ф4)з Hamiltonian, Fortschr. der Physik, 21 (1973), 327—376.

Quantum field models, в сб. «Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Les Houches, 1970», ed. C. DeWitt and R. Stora, Gordon and Breach, New York, 1971, 1—108.

Boson quantum field models, 6 сб. «Mathematics of Contemporary Physics», ed. R. Streater, Academic Press, New York, 1972, 77—144.

Глимм, Джаффе, Спенсер (J. Glimm, A. Jaffe, T, Spencer)

The Wightman axioms and particle structure in the P (q))2 quantum field model, Ann. Math., 100 (1974), 585—632.

The particle structure of the weakly coupled model and other applications of high temperature expansions. I. Physics of quantum field models, 6 сб. «Constructive quantum field theory», ed, G. Velo and A. S. Wightman, Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 133—198.

The particle structure... II. The cluster expansions, тамже^ 199—242.

Гринберг (О. W. Greenberg)

Generalized free fields and models of local field theory, Ann. Phys., 16 (1961), 158—176.

Гриффитс (R. B. Griffiths)

Correlation in Ising ferromagnets. I, J. Math. Phys., 8 (1967), 478— 483.

Correlation... П, там же, 484—489.

Correlation... Ill, Comm. Math. Phys., 6 (1967), 121—127.

Rigorous results for Ising ferromagnets of arbitrary spin, J. Math^ Phys., 10 (1969), 1559—1565.

Phase transitions, e сб. «Statistical Mechanics and Quantum Field. Theory, Les Houches, 1970», ed. C. DeWitt and R. Stora, Gordon and Breach, New York, 1971-

Rigorous results and theorems, s сб. «Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1. Exact Results», ed. C. Domb and M. S. Green, Academic Press, New York, 7—109.

Гриффитс, Херст, Шерман (R・ В. Griffiths, C. Hurst, S. Sbennan)

Concavity of magnetization of an Ising ferromagnet in a positive external field, J. Math. Phys., 11 (1970), 790—795.

Гросс (L. Gross)

Abstract Wiener spaces, Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat. Prob., Univ, of Calif. Press, Berkeley, 1968.

Existence and uniqueness of physical ground states, J. Funct. Anal.* 10 (1972), 52—109.

Logarithmic Sobolev inequalities, Am. J. Math., 98 (1976), № 1.

Геиэн (M. Guenin)

On the interaction picture, Comm. Math. Phys., 3 (1966), 120—132.

Гуэрра (F. Guerra)

Uniqueness of the vacuum energy density and van Hove phenomena in the infinite volume limit for two dimensional self-adjoint Bos» fields, Phys. Rev. Lett., 28 (1972), 1213.

Гуэи*9? Розен, Саймон (F. Guerra, L. Rosen, B. Simon)

Nelson's symmetry and the infinite volume behavior of the vacuum in P ((p)2, Comm. Math. Phys., 27 (1972), 10—22.

The vacuum energy for ? (q))2. Infinite volume limit and coupling constant behavior, Comm. Math. Phys., 29 (1973), 233—247.

The ? ((p)2 Euclidean quantum field theory as classical statistical mechanics. I, II, Ann. Math., 101 (19 75), ill—189; 191—259.

Boundary conditions for the P ((p)2 Euclidean quantum field theory, Princeton Univ. Preprint, 1975.

Хааг (R・ Haag)

Quantum field theory, в сб. «Mathematics of Contemporary Physics», ed. R. F. Streater, Academic Press, London, 1972.

Холл, Уайтман (D. Hall, A. S. Wightman)

A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum field theory, Mat. Fys. Medd. Dansk. Vid. Selsk., 31 (1959), 5, 1-41.

Харрис (T. E. Harris)

A lower bound for the critical probability in a certain percolation process, Proc. Camb. Phil. Soc., 59 (i960), 13—20.

Хепп (K. Hepp)

On the connection between Wightman and LSZ quantum field theory» в сб. «Axiomatic Field Theory», ed. M. Chretien and S. Deser, Gordon and Breach, New York, 1966, 135—246.

Th^orie de la renormalization, Springer-Verlag, Heidelberg, 1969. [Русский перевод: К. Хепп, Теория перенормировок, «Наука», М., 1974.]

Хепп, Йост, Рювль, Стейнман (К. Hepp, R. Jost, D. Ruelle, О. Steinman)

Necessary condition on Wightman functions, Helv, Phys. Acta> 34 (1961), 542-544.

Хида (T・ Hida)

Stationary stochastic processes, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1970.

Хилле (E, Hille)

A class of reciprocal functions, Ann. Math., 27 (1926), 427—464.

Хёэг-Крон (R・ Hoegh-Krohn)

On the spectrum of the space cutoff :P (ф): Hamiltonian in two spacetime dimensions, Comm. Math. Phys., 21 (1971), 256—260.

A general class of quantum fields without cutoffs in two space-time dimensions. Comm. Math. Phys., 21 (1971), 244—255.

Холли (R. Holley)

Remarks on FKG inequalities, Comm. Math. Phys., 36 (1974), 227-232.

Хёрмандер (L・ Hormander)

On the division of distributions by polynomials, Arkiv. Mat., 3 (1958), 555.

Ито, Маккин (К. Ito, H. P. McKean, Jr.)

Diffusion processes and their sample paths, Springer-Verlag, Heidelberg, 1965. [Русский перевод： К. Ито, Г. Маккин, Диффузионные процессы и их траектории, «Мир», М., 1968.]

Джаффе (А« Jaffe)

Wick polynomials at a fixed time, J. Math. Phys., 7 (1966), 1251— 1255.

Divergence of perturbation theory for bosons, Comm. Math. Phys., 1 (1965), 127-149.

Dynamics of a cutoff Хф4 field theory, Princeton Univ. Thesis, 1965 .(не опубликовано).

High energy behavior in quantum field theory, strictly localizable fields, Phys. Rev., 158 (1967), 14 54.

Яона-Лазинио (G・ Jona-Lasinio)

Relativistic field theory with symmetry-breaking solution, Nuovo Cimento, 34 (1964), 1790—1795.

Пост (R. Jost)

The general theory of quantized fields, Am. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1965. [Русский перевод: P. Йост, Общая теория квантованных полей,《Мир», М., 1967.]

Кац (М. Кас)

On some connections between probability theory and differential and integral equations, Proc. 2nt* Berkeley Symp. Math. Stat. Prob.» Univ, of Calif Press, 1951, 189—215. [Русский перевод: М.Кац,

О некоторых связях между теорией вероятностей и дифференциальными интегральными уравнениями, Математика, 1:2 (1957), 95— 124.]

Probability and related topics in the physical sciences, Interscience, New York, 1959. [Русский перевод: M. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, «Мир», М., 1965.]

Като, Мугибаяси (Y. Kato, N. Mugibayashi)

[ИЗ] Asymptotic fields in model fild theories. I, Progr. Theor. Phys., 45 (1971), 628—639.

Келли, Шерман (D. Kelly, S, Sherman)

General Griffiths' inequalities on correlations in Ising ferromagnets, J. Math. Phys., 9 (1968), 466—484.

Клейн (A. Klein)

Quadratic expressions in a free boson field, Trans. Amer. Math* Soc., 1S1 (1973), 439—456.

Конради (J. Konrady)

Almost positive perturbations of positive self-adjoint operators. Comm. Math. Phys., 22 (1971), 295—300.

Ланфорд, Рюэль (О. Landfcvd, D・ Ruelle)

Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics, Comm. Math. Phys., 13 (1969), 194—215.

Лебовиц (J. L* Lebowitz)

Bounds on the correlations and analyticity properties of ferromagnetic Ising spin systems, Comm. Math. Phys., 28 (1972), 313—321.

Лебовиц, Монроу (J・ L, Lebowitz, J. Monroe)

Inequalities for higher order Ising spins and for continuous fluids, Comm. Math. Phys., 28 (1972), 301—311.

Лебовиц, Мартин-Лёф (J. Lt Lebowitz. A, Martin-Lof)

On the uniqueness of the equilibrium state for Ising spin systems, Comm. Math. Phys., 25*(1972), 276—282.

Лебовиц, Пенроуз (J. L. Lebowitz, 0. Penrose)

Analytic and clustering properties of thermodynamic functions for classical lattice and continuum systems. Comm. Math. Phys., 11 (1968), 99-124.

Ли, Янг (T. D. Lee, C. N・ Yang)

Statistical theory of equations of state and phase transitions. II, Lattice gas and Ising model, Phys. Rev., 87 (1952), 410—419.

Лефф (H. Leff)

Correlation inequalities for coupled oscillators, J・ Math. Phys.» 12 (1971), 569—578.

Ленард (A. Lenard)

Generalizations of the Golden-Thompson inequality, Tr (e%*)》 > Tr (eA+B), Ind. Math. J„ 21 (1971), 457—467.

Либ (Е. Lieb)

Models in statistical mechanics, в сб. «Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Les Houches, 1970», ed. C. DeWitt and R. Stora, Gordon and Breach, New York, 1971.

Лёвнер (К. Lowner)

Uber monotone matrix funktionen, Math. Z.t 38 (1934), 177—12В»

Макки (G. W. Mackey)

Group representations in Hilbert space, приложение к книге [162]* [Русский перевод: Дж. Макки, Представления групп в гильберто" вом пространстве, Приложение к русскому переводу книги [162.1

Массой, Мак-Клэри (D. Masson, К. McClary)

On the self-ad jointness of the (g (况)联)2 Hamiltonian, Comm. Math. Phys., 21 (1971), 71-74.

Миилос P. A.

Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры, Труды Моск, матем. общ., 8 (1959), 497—518.

Нелсон (Е. Nelson)

Feynaman integrals and the Schrodinger equations, J. Math. Phys. 5 (1964), 332—343.

A quartic interaction in two dimensions, s c6. «Mathematical Theory of Elementary Particles», ed. R. Goodman and I. Segal, M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1966, 69—73.

Quantum fields and Markoff fields, s c6. «Partial Differential Equations», ed. D. Spencer, Symp. in Pure Math., vol. 23, A.M.S. Publications, 1973, 413—420.

Time-ordered operator products of sharp time quadratic forms, J. Funct. Anal., 11 (1972), 211—219.

Construction of quantum fields from Markoff fields, J. Funct. Anal., 12 (1973), 97-112.

The free Markoff field, J. Funct. Anal., 12 (1973), 211—227.

Probability theory and Euclidean field theory, e сб. «Constructive Quantum Field Theory», ed. G. Velo and A. S. Wightman, Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 94—124.

Ньюмэн (C. Newman)

The construction of stationary two-dimensional Markoff fields with an application to quantum field theory, J. Funct. Anal., 14 (1973), 44-61.

Zeros of the partition function for generalized Ising systems, Comm, Pure Appl. Math., 27 (1974), 143—159.

О'Кэролл, Оттерсон (M. O'Caroll, Р. Otterson)

Some aspects of Markov and Euclidean field theories, Comm. Math Phys., 37 (1974), 143-159.

Остервальдер (К. Osterwalder)

Euclidean Green's functions and Wightman distributions, s c6. «Constructive quantum field theory», ed. G. Velo and A. S. Wightman ,Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 71—93.

Остервальдер, Шрадер (К. Osterwalder, R. Schrader)

On the uniqueness.of the energy density in the infinite volume limit for quantum field "models, H^v. Phys. Acta, 45 (1972), 7 46—754.

Euclidean Fermi fields and a Feynman-Kac formula for bosonfermion models, Helv. Phys. Acta, 46 (1973), 277—301.

Axioms for Euclidean Green's functions. I, II, Comm. Math. Phys., 31 (1973), 83-112; 42 (1975), 281-305.

РидХ(М. Reed)

Functional analysis and probability theory, s сб. «Constructive quantum field theory», ed. G. Velo and A. S. Wightman, Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 2—43.

Рид, Саймон (M. Reed, В. Simon)

,b] Methods of modern mathematical physics, vol. 1. Functional analysis; vol. П. Fourier analysis, self-adjointness, Academic Press, New York, 1972; 1974. [В издательстве «Мир» готовится русский перевод.]

Робинсон (D. Robinson)

The thermodynamic pressure in quantum statistical mechanics, Leet. Notes in Physics, 9, Springer-Verlag, 1971.

Розен (L. Rosen)

A 九ф2n field theory without cutoffs, Comm. Math. Phys., 16 (1970), 157—183.

А (ф2л)2 field theory: higher order estimates, Comm. Pure Appl. Math., 24 (1971), 417—457.

The (屮2n% quantum field theory: Lorentz covariance, J. Math. Anal. Appl., 38, (1972), 276—311.

Renormalization of the Hilbert space in the mass shift model, J. Math. Phys., 13 (1972), 918—927.

Розен, Саймон (L. Rosen, B. Simon)

The (屮2n)2 field Hamiltonian with complex coupling constant, Trans. Amer. Math. Soc., 165 (1972), 365—379.

Рюэль (D. Ruelle)

A variational formulation of equilibrium statistical mechanics and the Gibbs phase rule. Comm. Math. Phys., 5 (1967), 324—329.

] Extension of theJLee-Yang circle theorem, Phys. Rev. Lett., 26 (1971), 303—304.

] Some remarks on the location of zeroes of the partition function for lattice systems, Comm. Math. Phys., 31 (1973), 265—277.

Statistical mechanics. Rigorous results, Benjamin, New York, 1969. [Русский перевод: Д. Рюэль, Статистическая механика. Строгие результаты, «Мир», М., 1971.]

Шрадер (R・ Schrader)

Normal operator products and field equations in P (屮)窖 models. Free Univ. Berlin Preprint, 1973.

Шва1Щ Л. (L・ Schwartz)

Theorie des distributions, Hermann, Paris, 1954.

Швингер (J. Schwinger)

On the Euclidean structure of relativistic field theory. Proc. Nat. Acad. Sci., 44 (1958), 956—965.

Сигал (I. Segal)

Tensor algebras over Hilbert spaces. I, Trans. Amer. Math. Soc., 81 (1956), 106-134.

Foundations of the theory of dynamical systems of infinitely many degrees of freedom. I, Mat. Fys. Medd. Dansk. Vid. Selsk., 31 (1959), № 12.

Foundations... П, Can. J. Math., 13 (1961), 1—18.

Mathematical characterization of the physical vacuum for a linear Bose Einstein field, Ill. J. Math., 6 (1962), 500—523.

Mathematical problems of relativistic physics, Amer. Math. Soc. PubL, Providence, R.I., 1963. [Русский перевод: И. Снгал, Математические проблемы релятивистской физики, М.,《Мир», 1968.]

Representation of canonical commutation relations, s c6. «Applications of Mathematics to Problems in Theoretical Physics», ed. F. Lu- gat, Gordon and Breach, New York, 1969.

Notes towards the construction of non-linear relativistic quantum fields. I. The Hamiltonian in two space-time dimensions as the generator of a C*-automorphism group, Proc. Nat. Acad., 57 (1967), 1178-1183.

Notes… Ш. Properties of the C*-dynamics for a certain class of interactions, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 1390—1395.

Non-linear functions of weak processes. I, J. Funct. Anal., 4 (1969), 404—451.

Non-linear... П, там же, 6 (1970), 29—75.

Construction of non-linear local quantum processes. I, Ann. Math., 92 (1970), 462-481-1

Construction... П, Invent. Math., 14 (1971), 211—241.

Семёнов Ю. A.

О теореме Ли — Троттера в пространствах £р, препринт, Киев, 1972.

Шэйл (D. Shale)

Linear symmetries of the free boson field, Trans. Amer. Math. Soc., 103 (1962), 149—167.

Саймон (В. Simon)

Coupling constant analyticity for the oscillator, Ann. Phys., 58 (1970), 76—136.

Borel summability of the ground state energy in spatially cutoff (屮4%，Phys. Rev. Lett., 25 (1970), 1583—1585.

Determination of eigenvalues by divergent series, Adv. Math., 7 (1971), 240—253.

On the Glimm-Jaffe linear lower Bound in P (<p)2 field theories, J. Funct. Anal., 10 (1972), 251—258.

Essential self-adjointness of Schrodinger operators with positive potentials, Math. Ann., 201 (1973), 211—220..

Ergodic semigroups of positivity preserving self-adjoint operators, J. Funct. Anal., 12 (1973), 335—339.

Correlation inequalities and the mass gap in P (ф). I. Domination by the two point function, Comm. Math. Phys., 31 (1973), 127—136.

Correlation... II. Uniqueness of the vacuum for a class of strongly coupled theories, Ann. Math., 101 (1975), 260—267.

Positivity of the Hamiltonian semigroup and the construction of Euclidean region fields, Helv. Phys. Acta, 46 (1974) ,686—696.

The Glimm-Jaffe ф-bound. A Markov proof, 6 c6. «Constructive Quantum Field Theory》，ed. G. Velo and A. S. Wightman, Leet. Notes in Physics, 25, Springer-Verlag, 1973, 125—131.

Studying spatially cutoff (q)2n) Hamiltonians, в c6. «Statistical Mechanics and Field Theory», ed. R. N. Sen and C. Weil, Wiley, New York, 1972, 197-244.

Саймон, Гриффитс (В. Simon, R. Griffiths)

The (屮％ field theory as a classical Ising model, Comm. Math. Phys., 33 (1973), 145—164.

Саймон, Хёэг-Кронл(В. Simon, R. Hoegh-Krohn)

Hypercontractive semigroups and two-dimensional self-coupled Bose fields, J. Funct. AnaL, 9 (1972), 121—180.

Слоун (A. Sloan)

A non perturbative approach to non degeneracy of ground states in quantum field theory. Polaron models, J. Funct. Anal., 16 (1974), 161—191.

Спенсер (T. Spencer)

Perturbations of the P (屮)2 quantum field Hamiltonian, J. Math. Phys., 14 (1973), 823—828.

The mass gap for the P (屮)2 quantum field model with a strong exter* nal field, Comm. Math. Phys., 39 (1974), 63—76.

Стейн (E. Stein)

Singular integrals and differentiability properties of functions Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1970. [Русский перевод: И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, «Мир», М., 1973.]

Стритер, Уайтмэн (R. Streater, A. S. Wightman»

Р.С.Т., spin, statistics and all that, Benjamin, New York, 1964. [Русский перевод: P. Стритер, А. Вайтмаи, PCT, спин, статистика и всё такое, «Наука», М., 1966.]

Судзуки (М. Suzuki)

Theorems on the Ising model with general spin and phase transitions, J. Math. Phys., 9 (1968), 2064—2068.

Судзуки, Фишер (M・ Suzuki, M. Fisher)

Zeros of the partition function for the Heisenberg, ferroelectric and general Ising models, J. Math. Phys., 12 (1971), 235—246.

Симанзик (К. Symanzik)

A modified model of Euclidean quantum field theory, New York Univ. Report (не опубликовано), 1964.

Euclidean quantum field theory. I. Equations for a scaler model, J. Math. Phys., 7 (1966), 510—525.

Euclidean quantum field theory, § сб. «Local Quantum Theory», ed. R. Jost, Academic Press, New York, 1969, 152—226.

Тарский (J. Tarski)

Quantum field theory models with derivative couplings and isotopic spin, DESY Preprint, 1972.

Титчмарш (E. C. Titchmarsh)

The theory of functions, 2nd ed., Oxford Univ. Press, 1939. [Русский перевод： E. Титчмарш, Теория функций, ГИТТЛ, М., 1951.]

Умемура (Y. Umemura)

Measures on infinite dimensional vector spaces, PubL R.I.MS, Kyoto Univ., Al (1965), 1—47.

23 Б. Саймон

Carriers of continuous measures in Hilbertian norm, Publ. R.I.M.S., Kyoto Univ., Ai (1965), 49—54.

Ван Xos (L. van Hove)

Les difficult6s de divergences pour un modele particular de champ quantifie, Physica, 18 (1952), 145—159.

Вейнберг (S. Weinberg)

High energy behavior in quantum field theory, Phys. Rev., 118 (I960), 838-849.

Вик (G・ C. Wick)

Properties of Bethe-Salpeter wave functions, Phys. Rev., 96 (1954), 1124—1134.

Винер (N. Wiener)

Differential space, J. Math. Phys. (M.I.T.), 2 (1923), 131—174.

Уайтман (A. S・ Wightman)

Quantum field theory in therms of vacuum expectation values, Phys. Rev., 101 (1956), 860—866.

Introduction to some aspects of the relativistic dynamics of quantized fields, g c6.《High Energy Electromagnetic Interactions and Field Theory》，ed. M. Levy, Gordon and Breach, New York, 1967, 171— 292. [Русский перевод: А. Вайтман, Проблемы в релятивистской динамике квантовых полей, «Наука», М.» 1968.]

What is the point of the so-called «Axiomatic field theory», Phys. Today, 22 (1969), 53—58.

Constructive quantum field theory. Introduction to the problems, 6 сб. «Fundamental Interactions in Physics and Astrophysics», ed. B. Kursunoglu et aZ., Plenum, 1973, 1—81.

Уайтмэн, Гординг (A. S. Wightman, L. Garding)

Fields as operator-valued distributions in quantum field theory, Ark. fur Physik, 28 (1965), 129-184.

Вигнер (E. Wigner)

Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz groups, Ann. Math., 40 (1939), 149—204.

Ннг, Ли (C. N・ Yang, T. D. Lee)

Statistical theory of equations of state and phase transitions. I. Theory of condensation, Phys. Rev., 87 (1952), 404—409.

Иосида (K・ Yosida)

Functional analysis, Springer-Verlag, 1965. [Русский перевод: К. Иосида, Функциональный анализ, «Мир», М., 1967.]

Накано (Т. Nakano)

Quantum field theory in terms of Euclidean parameters, Progr. Theor. Phys., 21 (1959), 241—259.

Рид, Розен (M・ Reed, L. Rosen)

Global properties of the free Markov measure. Comm. Math. Phys” 36 (1974), 123—136.

Саймон (В. Simon)

Continuum embedded eigenvalues in a spatially cutoff P (屮％ field theory, Proc. Amer. Math. Soc., 35 (1972), 223—226.

Като (Т. Kato)

Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966. [Русский перевод: T. Като, Теория возмущений линейных операторов, «Мир», М., 1972.]

Минлос Р. А., Я. Г. Синай

Явление «разделения фаз» при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. I. Матем. сб., 73 (1967), № 3, 375—%48; II. Труды Моск, матем. общ., 19 (1968), 113—178.

Галлавотти, Миракль-Соле (G. Gallavotti, S. Miracle-Sole)

Equilibrium states of the Ising model in the two phase region, Phys. Rev., B5 (1972), 2555—2559.

Славны (J. Slawny)

Analyticity and uniqueness for spin 专 classical ferromagnetic lattice systems at low temperatures, Comm. Math. Phys., 34 (1973), 271— 296.

Лебовиц, Пенроуз (J. L. I^bowitz, 0. Penrose)

Decay of correlations, Phys. Rev. Lett., 31 (1973), 749—752.

Островский (A. Ostrowski)

Determinanten mit iiberwiegender Hauptdiagonale und die absolute Konvergenz von linearen Iterationsprozessen, Comm. Helv. Math., 30 (1936), 175—210.

Стилтьес (T. J. Stiltjes)

Sur les racines de Г equation Xn = 0, Acta Math., 9 (1887), 385—400.

Лебовиц (J. L. Lebowitz)

GHS and other inequalities, Comm. Math. Phys., 35 (1974), 87—92.

Перкус (J. Percus)

Correlation inequalities for Ising spin lattices, Comm. Math. Phys.* 40 (1975), 283-308.

Альбеверио (S. Albeverio) 161, 228, 229, 270, 275, 280, 334

Араки (Н. Araki) 334

.Асано (Т. Asano) 298, 300—302, 305, 334

Ъаргманн (V. Bargmann) 67, 72

Барут (А. О. Barut) 60, 334

Баумел (R. Baumel) 334

Березин Ф. А. 53, 334

Боголюбов Н. Н. 5, 6, 49

Бонгаартс (Р. J. М, Bongaarts) 37, 83, 334

Борхерс (Н. Borchers) 309, 334

Брателли (О. Bratelli) 176, 265, 335

Брейман (L. Breiman) 31, 335

Бро (Bros J.) 61, 335

Бурбаки (N. Bourbaki) 334

Бьёркен (J. Bjorken) 334

Бэббит (D. Babbitt) 92, 334

Ван Хов (L. van Hove) 174, 223, 346

Вейнберг (S. Weinberg) 12, 55, 311, 346

Вигнер (Е. Wigner) 60, 346

Вик (G. С. Wick) 12, 31, 55, 346

Виленкин Н. Я. 31, 32，35, 337

Вннер (N. Wiener) 10, 92, 346

Галлавотти (G. Gallavotti) 347

Гельфанд И. М. 31, 32, 35, 60, 92, 140, 337

Генэн (М. Guenin) 128, 140, 339

Гидас (V. Gidas) 155, 337

Гинзбург В. Л. 14

Гильберт (D. Hilbert) 15

Глазер (V. Glaser) 61, 78, 335, 338

Глимм (J. Glimm) 7, 9, 10,12—14, 31,

34, 35, 37, 38, 40, 43, 44, 46, 83, 102, 114, 126, 127, 128, 132, 136, 138-141, 147, 150, 155, 156,

158—161, 167, 171, 175, 176, 178— 180, 186, 230, 246, 256, 260, 270, 271, 281, 297, 310, 316, 317, 319, 320, 324, 335, 338

Гординг (L. G虹ding) 49, 54, 60, 83, 140, 337, 346

Горьков Л. П. 14

Гринберг (О. W. Greenberg) 81, 338

Грнффитс (R. В. Griffiths) 13, 127, 243, 246, 250, 281—283, 285, 289, 290, 297, 305, 316, 338, 345

Гросс (L. Gross) 48, 49, 87, 151, 156

Гуэрра (F： Guerra) 7, 12—15, 84, 92, 97—99, 103, 104, 132, 138, 141, 147, 148, 150, 151, 155, 167, 168, 171, 174, 175, 180, 186, 196, 202, 210, 216, 219, 222—224, 231, 237, 243, 246, 250, 254, 255, 318, 328, 332, 339

Даймок (J. Dimock) 13, 31, 140, 147, 279, 320, 324, 335

Дайсон (F. Dyson) 12, 55, 336

Джаффе (A. Jaffe) 7, 9, 10, 12—14, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 43, 46, 55, 83, 102, 114, 126—128, 132, 136, 138-140, 147, 150, 155, 156, 158160, 161, 16 7, 171, 175, 176, 178— 180, 186, 230, 246, 256, 270, 271, 281, 297, 300, 316, 34 7, 319, 320, 324, 335, 338, 340

Джоунс (С. Jones) 7

Добрушин Р. Л. 194, 309, 310, 317— 319, 332, 333, 335, 336

Дрелл (S. Drell) 334

Дуб (J. Doob) 40, 93, 336

Дынкин Е. Б. 97, 108, 118, 336

Жерар (R. Gerard) 7

Жинибр (J. Ginibre) 243, 246, 250, 251, 253, 255, 291, 337, 338

Иосида (К. Yosida) 60, 346

Ито (К. Ito) 97, 340

Йона-Лазинио (G. Jona-Lasinio) 14, 138, 340

Пост (R. Jost) 54, 60, 71, 77, 340

Камерон (R. Cameron) 92, 335

Картье (Р. Cartier) 250, 255, 335

Кастелин (Р. Kastelyn) 250, 251, 253,

255, 337

Кастл ер (D. Kastler) 7

Като (Y. Kato) 4 6 4, 210, 341, 34 7

Кац (М. Кас) 10, 91, 92, 161, 340

Каяньелло (Е. Caianiello) 31, 80, 335

Келли (D. Kelly) 243, 250, 341

Клейн (A. Klein) 50, 53, 341

Колелла (Р. Colella) 87, 335

Конради (J. Konrady) 155, 341

Константинеску (F. Constantinescu) 55, 335

Кук (J. М. Cook) 37, 335

Кэллен (Kallen) 111, 117, 121

Кэннон (Cannon J.) 87, 128, 335

Лавайн (R. Lavine) 187, 336

Ландау Л. Д. 14

Ланфорд (О. Е. Lanford, III) 87, 194, 310, 335, 341

Ласку (J. Lascoux) 7

Лебовиц (J. L. Lebowitz) 221, 250, 270, 272, 290, 292, 297 303, 305, 306, 337, 341, 347

Леман (Lehmann) 111, 117, 121

Ленард (A. Lenard) 341

Лефф (H. Leff) 250, 341

Лёвнер (К. Lowner) 112, 342

Ли (Т. D. Lee) 298, 303, 305, 306, 341, 346

Либ (Е. Lieb) 342

Лихнерович (A. Lichnerowicz) 7

Логунов А. А. 5

Льюис (J. Lewis) 7

Макки (G. W. Mackey) 60, 342

Маккин (Н. Р. McKean, Jr.) 97, 340

Мак-Клэри (К. McClary) 155, 342

Марков А. А. 96

Мартин (Martin) 14—15

Мартин-Лёф (A. Martin-Lof) 341

Массон (D. Masson) 155, 342

Мелер (Mehler) 92

Минлос Р. А. 87, 136, 263, 310, 317—319, 332, 333, 336, 34 2, 34 7

Миракль-Соле (S. Miracle-Sole) 347

Монроу (J. Monroe) 341

Моррис (Н. Morris) 7

Мугибаяси (Mugibayashi) 161, 341

Наймарк М・ А. 60, 140

Накано (Т. Nakano) 10, 12, 55, 346 Нелсон (Е. Nelson) 7, 10—14, 38, 40, 44, 45, 49, 55, 76, 84, 87, 91, 92, 97, 98, 105, 107, 109, 113, 114, 116, 118, 127,128,136,139—141,147,

150,155,159,161,167,168,

186,196,231,246,255,256,

265,312,342

Ньюмэн (С. Newman) 13, 136, 175, 271, 284, 294, 298, 305, 320, 324, 342

О'Кзролл (М. О5Caroil) 342

Орнштейн (Ornstein) 91, 92

Остервальдер (К. Osterwalder) 12— 14, 54, 55, 65, 71, 73, 78, 98, 99, 103, 161, 171, 342

Островский (A. Ostrowski) 347

Оттерсон (Р. Otterson) 342

Пенроуз (О. Penrose) 303, 305, 306» 34(, 347

Перкус (J. Percus) 290—292, 297t.

347

Рид (М. Reed) 35, 3 7, 40, 60, 80, 83т 87, 256, 265, 343, 346

Робинсон (D. Robinson) 327, 342 Розен (L. Rosen) 7, 8, 10, 13—15, 35, 84, 87, 92, 97, 98, 403, 104, 132 134, 138-141, 147, 148, 150, 151, 155, 159—161, 168, 169, 171, 174, 180, 186, 196, 202, 210, 216, 219, 222—224, 231, 237, 243, 246, 250, 254, 255, 318, 328, 332, 339, 343* 346

Рюэль (D. Ruelle) 7, 194, 275, 305 310, 322, 340, 343

Саймон (В. Simon) 6, 8, 13—15, 35, 37, 38, 40, 43, 46, 60, 80, 83, 84, 92, 97-99, 103—105, 107, 116— 118, 122, 123, 125, 132, 138, 140,. 147, 148, 150, 151, 155, 156, 159— 161, 168, 169, 171, 173—175, 178, 180, 186, 196, 202, 210, 216, 219, 222—224, 227, 231, 237, 243, 246, 250, 254—256, 265, 270, 271, 273— 275, 281, 283, 285, 289, 297, 305,

308, 316, 318, 328, 332, 339, 343—346

Саймон М. (М. Simon) 8

Семёнов Ю. А- 151, 155, 344

Сигал (I. Segal) 10, 14, 17, 31 т 35, 37, 38, 40, 49, 51, 53, 60, 128, 132, 139, 140, 150, 151, 155, 159, 161, 343

Симанзик (К. Symanzik) 10—14, 55, 84, 87, 92, 97, 127, 138, 345

Синаи Я. Н. 347

Славны (J. Slawny) 347

Слоун (A. Sloan) 43, 345

Спенсер (Т. Spencer) 9, 13, 14, 136, 138, 161, 175, 180, 185, 186, 230, 246, 260, 267, 297, 305, 271, 281, 310, 316-320, 324-326, 338, 345

Стейн (Е. Stein) 99, 345

Стейнман (О. Steinman) 340

Стилтьес (Т. J. Stiltjes) 347 Стритер (R. Streater) 54, 60, 66, 345

Судзуки (М. Suzuki) 305, 345

Тальхаймер (W. Thalheimer) 55, 335

Тарский (J. Tarski) 345

Тирринг (W. Thirring) 7

Титчмарш (Е. С. Titchmarsh) 256,

345

Тодоров И. Т. 5

Троттер (Trotter) 159, 188

Уайтмэн (A. S. Wightman) 7, 12, 13, 16, 49, 54, 55, 60, 66, 67, 72, 83, 105, 107, 126, 440, 316, 334, 337, 339, 345, 346

Уилсон (Wilson) 15

Уленбек (К. Uhlenbeck) 91, 92

Умемура (Umemura Y.) 87, 345

Урбан (Р. Urban) 7

Фарис (W. Faris) 155, 159, 187, 336

Федер буш (Р. Federbush) 147, 336

Фейнман (R. Feynman) 10—12, 81,

161, 337

Фейсснер (G. Feissner) 49, 336

Феллер (W. Feller) 31, 108, 336

Фельдман (J. Feldman) 135, 161, 336

Ферник (X. Fernique) 336

Филион (D. Fili on) 7

Фишер (М. Fisher) 221, 305, 337, 345

Фок В. А. 10

Фортюэн (С. Fortuin) 250, 251, 253, 255, 337

Фрадкин (Е. S. Fradkin) 14, 337

Фрёлих (J. Frohlich) 121, 136, 181, 186, 187, 192, 224, 227, 256, 259, 262, 270, 332, 337

Фридрихе (К. Friedrichs) 17, 49, 337

Хааг (R. Haag) 14, 275, 322, 339

Харрис (Т. Е. Harris) 250, 339

Хепп (К. Нерр) 7, 60, 12 6, 339, 340

Хёрмандер (L. Hormander) 340

Хёрст (С. Hurst) 281, 290, 297, 339

Хёэг-Крон (R. Hoegh-Krohn) 35, 37, 40, 140, 155, 159-161, 166, 228, 229, 270, 275, 280

Хибс (A. R. Hibbs) 337

Хида (Т. Hida) 31, 340

Хилле (Е. Hille) 40, 340

Хинтерман (R. Hintermann) 7

Холл (D. Hall) 55, 72, 339

Холли (R. Holley) 255, 340

Хэннон (J. Hannon) 7

Чернов 265

Шварц Л. (L. Schwartz) 60, 66, 343

Швингер (J. Schwinger) 10—15, 55, 343

Шерман (S. Sherman) 243, 250, 281, 290, 297—299, 302, 339, 341

Шилов Г. Е. 60, 337

Ширков Д. В. 5

Шоке (G. Choquet) 309

Шрадер (R. Schrader) 12—14, 54, 55, 65, 71, 73, 78, 98, 99, 103, 161, 171, 2 70, 324, 342, 343

Шэйл (D. Shale) 49, 50, 53, 344

Эндерсон (G. Anderson) 7

Эпстейн (Н. Epstein) 61, 335, 336

Яглом А. М. 92, 337

Янг (С. N. Yang) 298, 303, 305, 306,

341, 346

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

аксиомы Гординга ——Уайтмэна 56

—Нелсона 105, 109

—Остервальдера — Шрадера 71 асимптотическая независимость 102

биномиальная теорема 25

вакуум физический 271

вакуумное перекрытие 172

вакуумные средние 57

вариационное неравенство Гиббса 329

—равенство Гиббса 329 вероятностное пространство 18 виково упорядочение 216 внедиагональная функция Швингера

70

— эвклидова область 69

вторичное квантование 42

высокотемпературные разложения 317

гамильтонова стратегия 126 гауссовская случайная величина 20 гауссовский случайный процесс 27 ———,индексированный элемен

тами из 的 27

———с произвольной ковариацией 28

граничные условия Дирихле 194, 197

половинные 213

— —свободные 194, 197

динамически неустойчивый полином 309

дирихле-состояние 195

дисперсия 20

ДЛ Р-уравнения 310, 331

измеримые множества по модулю 0 18

изоморфность вероятностных пространств 18

картина Голдстоуна 305

квазиинвариантная мера 331

классический ферромагнетик 291

комплексное преобразование Лоренца 67

комплексный вариант 37

конечночастичный вектор 35

конструкция ГНС 60

контурные разложения 318

критическая точка 311

лемма Баргманна — Холла ——Уайтмэна 67

— Бро — Эпстейна — Глазера 62

—Сигала 112

линейная нижняя граница Глиьша — Джаффе 168

логарифмически нормальное множество 212

давление при граничных условиях Неймана 327

————Дирихле 208

—периодических граничных условиях 326

— —свободных граничных условиях 208

дважды марковский оператор 44

двойственный конус 61

марковское поле обрезанной модели

——с граничными условиями Дирихле 197 Хёэг-Крона 165

——со свободными граничными условиями 197

—свойство 95, 108

массовая щель 111

математическос ожидание 18

——условное 93

матрица ковариаций 24

——обратная 21

модель бесконечного произведения 31

— Изинга общего типа 244

—парного ферромагнетика 283

———с шагом 6 283

— с граничными условиями Дирихле в ограниченной области 207

—一 половинными граничными условиями Дирихле в логарифмически нормальной области 213

— — пространством траекторий 34

—спектральная 32

—Хёэг-Крона 464

момент 19

монотонное возрастание 292

мультиномиальная теорема 25

намагниченность 293

НГС-оценка 150

независимость случайных величин 102

неравенства ГХШ 293

———для моделей （屮《％ квантовой теории поля 294

———ферромагнетиков общего типа 245

—①КЖ 250

——в бесконечном объеме 264

——дискретной форме 292

неравенство Лебовица 293

———для моделей квантовой теории поля 294

несовпадающие эвклидовы точки 67

нижняя линейная граница улучшенная 170

низкотемпературные разложения 318

нормализованный полином 134

нормальная область 241

——усиливающий положительность 43

—числа частиц 42

опора квадратичной формы 116

— симметрического оператора 117

оценка Нелсона 150

оценки высших порядков 160

— гиперсжпмаемости 44

п.р.ф. 284

перенормировка взаимодействия 111

плотность энтропии 329

поле Ньютона ——Вигнера 102

——со свободными граничными условиями и обрезанием 135

—циклическое в нулевой момент времени 269

—Р （（р）2 в объеме А 135

полином динамически неустойчивый 309

——нормализованный 134

——полуограниченный 434

полное семейство случайных величин 26

полудирихле-состояние 195

полуограниченный полином 434

порождающие функции Швингера 24

порядок п.р.ф. 284

предельное распределение ферромагнетика 284

предмарковское свойство 96

представление Кэллена — Лемана 79

преобразования Лапласа 63

пример Шрадера 66

примитивное марковское свойство 90

произведение Вика 25

пространственно-обрезанный вакуум 155

пространство Фока 35

— ——，комплексный вариант 37

процесс типа С 133

область логарифмически нормальная 212

—нормальная 211

—регулярная 239

обобщенное свободное поле 81

обратная матрица ковариаций 21

обусловленное взаимодействие 203

обусловленность 203

одновакуумные компоненты 309

оператор дважды марковский 41

—строго сжимающий 43

разложения высокотемпературные 317

—— Кёрквуда ——Зальцбурга 317

—контурные 318

—Майера 318

—низкотемпературные 318

—по степеням активности 318

распределение вероятностей 18

——совместное 20

расширенная труба будущего 67

регулярная область 239

регулярность по Нелсону 109

решеточная аппроксимация 232

свободное поле массы т 81

——一一一с граничными условиями Неймана 327

—-—— —— —— ——периодическими граничными условиями 326

—эвклидово поле 86

свободные граничные условия 194,197

симметризованная расширенная труба будущего 68

симметрия Нелсона 167

——усиленная 170

система Перкуса 291

случайная величина 18

——гауссовская 20

случайный процесс, индексированный элементами из 7 25

событие 18

совместная характеристич еская функция 21

совместно гауссовский набор случайных величин 21

совместное распределение вероятностей 20

соотношение Гуэрры 173

сосредоточена (о матрице) 233

состояние 328

—Дирихле 195

— соответствующее полиному взаимодействия Р 309

—умеренного роста 329

спектральная модель 32

спонтанно нарушенная симметрия ЗЮ, 311

степень Вика 22

стремление к бесконечности в смысле

Ван Хова 223

строгая положительность 38

строго сжимающий оператор 43

стягивание в смысле Асано 300

существует (о случайном процессе) 130

сходимость по мере 106

теорема биноминальная 25

— Бохнера 19

—Вика 22, 24

—Витали о сходимости 256

—Гурвица 298

—Гуэрры 168

—Ли — Янга для моделей ((р4)2 303

—Ли 一 Янга об окружности 298

—Минлоса 33

—мультиномиальная 25

—Нелсона 44

——о коммутаторах 186

———сходимости 258—259

—о монотонности 256

— реконструкции Нелсона 113

— —Остервальдера — Шрадера 74

——Уайтмэна 59

—сходимости по обусловленности 206

—«1п (ехр (Витали))»

теория обусловленности 202

-РСАС 311

техника численных оценок 46

точка Йоста 67

—эвклидова 68

трансфер-матрица 147

труба будущего 67

——расширенная 67

———симметризованная 68

улучшенная нижняя линейная граница 170

уравнения ДЛР 310, 331

усиленная симметрия Нелсона 170 усиливающий положительность оператор 43

условие Перкуса 291

——положительности Нелсона ——Симанзика 109

условное математическое ожидание 93

феномен Ван Хова 174

ферромагнетик классический 291

—общего типа 244

一 четный 245

ферромагнитная система 244

физический вакуум 271

физическое гельбертово пространства

74

ФКН-формула 127

—для поля со взаимодействием 154

——свободного поля 90

формальный степенной ряд 22

формула Геллманна ——Лоу с обрезанием 158

—Дюамеля 151

—Мелера 40

—Фейнмана — Каца 91

— Фейнмана ——Каца ——Нелсона 127

функции Уайтмэна 57

—Урселла 293

—Швингера 67

——внедиагональные 70

——отвечающие граничным условиям Дирихле 208

———половинным граничным условиям Дирихле 213

——порождающие 224

——n-точечные 69

характеристическая функция 18

——совместная 21

циклические в нулевой момент времени поля 269

цилиндрическая мера 33

цилиндрическое множество 33

—стратегия 127

—точка 68

эвклидово поле 26

——свободное 86

над ^?т (RD 105

——Р (屮)2 с пространственным обрезанием 435

экспоненциальные оценки Фрёлиха 190

— —— —— для полудирихле-состояний 225

энтропия 329

четные распределения отдельных спииов 244

четный ферромагнетик 245

щель массы 111

-эвклидова область внедиагональная 69

п-точечная функция Швингера 69

(Мв)-условие положительности 109

Р-нелсоновская мера 332

^2-оценки Фрёлиха 191

——для полудирихле-состояний

226

п-оценки Глима — Джаффе 184

qp-оценка Глима — Джаффе 179

5 7 95 7 917^м^эт^ 细17^м^эт^ 细Глава //・ Аксиомы. IГлава //・ Аксиомы. I5454§ II.1. Аксиомы Гординга —— Уайтмэна и теорема реконструкции Уайтмэна § П.2. Теория преобразования Лапласа. Техническая интерлюдия § П.З. Функции Швингера и их свойства (аксиомы Остервальдера —Шрадера) § П.4. Теорема реконструкции Остервальдера — Шрадера$ II.5. Свободаые и обобщенные свободаые поля ...§ II.1. Аксиомы Гординга —— Уайтмэна и теорема реконструкции Уайтмэна § П.2. Теория преобразования Лапласа. Техническая интерлюдия § П.З. Функции Швингера и их свойства (аксиомы Остервальдера —Шрадера) § П.4. Теорема реконструкции Остервальдера — Шрадера$ II.5. Свободаые и обобщенные свободаые поля ...56566060Глава III. Свободное эвклидово полеГлава III. Свободное эвклидово поле667378弘667378弘

5 7 9

5 7 9

17^м^эт^ 细

17^м^эт^ 细

Глава //・ Аксиомы. I

Глава //・ Аксиомы. I

54

54

§ II.1. Аксиомы Гординга —— Уайтмэна и теорема реконструкции Уайтмэна

§ П.2. Теория преобразования Лапласа. Техническая интерлюдия

§ П.З. Функции Швингера и их свойства (аксиомы Остервальдера —Шрадера)

§ П.4. Теорема реконструкции Остервальдера — Шрадера

$ II.5. Свободаые и обобщенные свободаые поля ...

§ II.1. Аксиомы Гординга —— Уайтмэна и теорема реконструкции Уайтмэна

§ П.2. Теория преобразования Лапласа. Техническая интерлюдия

§ П.З. Функции Швингера и их свойства (аксиомы Остервальдера —Шрадера)

§ П.4. Теорема реконструкции Остервальдера — Шрадера

$ II.5. Свободаые и обобщенные свободаые поля ...

56

56

60

60

Глава III. Свободное эвклидово поле

Глава III. Свободное эвклидово поле

667378弘

667378弘

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию

Предисловие

Введение

Глава /. Гауссовские случайные процессы, Q-пространство и пространство Фока

Гауссовские случайные величины

Модели ^-пространств

Пространство Фока

Операторы вторичного квантования

Оценки гиперсжимаемости

Взаимная абсолютная непрерывность гауссовских процессов

弘88929802弘88929802

弘88929802

弘88929802

§ IIL1. За пределами аксиом Остервальдера ——Шрадера § П1.2. Свободное эвклидово поле как функциональный интеграл

§ П1.3. Условные математические ожидания и марковское свойство

§ III.4. Произведения проекторов в пространствах Соболева

§ Ш,5. £Р-оценки и асимптотическая независимость далеких областей

Глава IV, Аксиомы. II

§ IV. 1. Аксиомы Нелсона

050513050513§ IV.2. Теорема реконструкции Нелсона

050513

050513

16231623§ IV.3. Когда поле Гординга—Уайтмэна обладает ассоциированным с ним эвклидовым полем? ...

1623

1623

§ IV.4. Один контрпример

Глава V. Взаимодействия и трансфер-матрицы

2840475559611 1 1 4J 1 12840475559611 1 1 4J 1 1§ V.I. Основные стратегии

284047555961

1 1 1 4J 1 1

284047555961

1 1 1 4J 1 1

§ V.2. Z^-свойства экспоненты взаимодействия ....

§ V.3. Построение и идентификация трансфер-матрицы

§ V.4. Вакуумы для трансфер-матрицы 2Z(g)

§ V.5. Некоторые дополнительные результаты

§ V.6. Модель Хёэг-Крона

Глава Р/・ Симметрия Нелсона и ее приложения

2-з4-5-VIVIVIVI2-з4-5-VIVIVIVI816 6 7 4 667788 9 9816 6 7 4 667788 9 9§ VI.1. Линейная нижняя граница Глимма—Джаффе и теорема Гуэрры % м П8 <р- и л-оценки Глимма— Джаффе Теорема Нелсона о коммутаторах Оценки Фрёлиха

2-з4-5-

VIVIVIVI

2-з4-5-

VIVIVIVI

816 6 7 4 6

67788 9 9

816 6 7 4 6

67788 9 9

Глава VIL Граничные условия Дирпхле

§ VII.1. Поле Дирихле без взаимодействия

2 0 6 4 720212122222 0 6 4 72021212222§ VII.2. Теория обусловленности, состояния Дирихле и предел а®

2 0 6 4 7

2021212222

2 0 6 4 7

2021212222

§ VII.3. Состояния полудирихле и их трансфер-матрицы

§ VII.4. к = а?=理口

§ VIL5. (р-оценки для полудирихле-состояний ...

Глава VIIL Решеточная аппроксимация и ее примененияГлава VIIL Решеточная аппроксимация и ее применения§ VII.6. Полудирихле-состояния для модели Хёэг-Крона

Глава VIIL Решеточная аппроксимация и ее применения

Глава VIIL Решеточная аппроксимация и ее применения

о 1 7 3 0 52 о 5皆 3 34556 772 2 22222 22о 1 7 3 0 52 о 5皆 3 34556 772 2 22222 22§ VIII.1. Определение и сходимость решеточной аппроксимации

о 1 7 3 0 52 о 5

皆 3 34556 77

2 2 22222 22

о 1 7 3 0 52 о 5

皆 3 34556 77

2 2 22222 22

§ VIII.2. Решеточная аппроксимация для граничных условий Дирихле

§ VIII.3. Неравенства ГКШ

§ VIIL4. Неравенства ФКЖ

§ VIII.5. Теорема Нелсона о сходимости .......

§ VIII.6. Свойства модели в бесконечном объеме ...

§ VIII.7. Приложения к исследованию первого возбужденного состояния

§ VIII.8. Модель Хёэг-Крона

1 2 08588 8 99002 2 22331 2 08588 8 99002 2 2233Глава /Х・ Классическая изинговская аппроксимация и ее примеиеиия

1 2 0858

8 8 9900

2 2 2233

1 2 0858

8 8 9900

2 2 2233

§ IX.1. Основы метода и улучшенная теорема Муавра—— Лапласа

§ IX.2. Неравенства ГХШ, неравенства Лебовица и их применения

§ IX.3. Теорема Ли—Янга

§ IX.4. Последняя аксиома Уайтмэна

IX.5. Нарушение симметрии. Общие факты

Глава X. Дополнительные результаты и методы. Краткое введение

§ Х.1. Высокотемпературные разложения

§ Х.2. Разложения по степеням активности

§ Х.З. Другие граничные условия

§ Х.4. Равновесные состояния и вариационные принципы

§ Х.5. Работа Добрушина—Минлоса

Список литературы

Именной указатель

17WMM^^ ^^^3 33333 33317WMM^^ ^^^3 33333 333Предметный указатель

17WMM^^ ^^^

3 33333 333

17WMM^^ ^^^

3 33333 333

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер,, д. 2, издательство《Мир».

Б. Саймон

МОДЕЛЬ Р($)2

ЭВКЛИДОВОЙ

КВАНТОВОЙ

ТЕОРИИ ПОЛЯ

Редактор В. И. Авербух

Художник А. Д. Смеляков

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Н. Б. Панфилова

Корректоры И. П. Максимова, И. С. Соколова

Сдано в набор 26/Ш 1976 г. Подписано к печати 20/VIII 1976 г.

Бумага № 2 60х9(Н〃б=11,25 бум* л. 22,5 печ. л.

Уч.-изд. л. 20,42. Изд. № 1/8573. Цена 1 р. 58 к. Зак. 01258

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер.» 2

Ордена Трудового Красного Знамени Московская

типография № 7 «Искра революции» Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

Москва, К-1, Трехпрудный пер.» 9

li / (工П, Hn) Нр < exp(Т] Qu” — I)2);(1.52)

числа т] 0 P зависят от константы с, для которой с」&А7t &с (или с~2 ^ fxn ^ с2). В формуле (1.52) ||・|卜 представляет собой

4*

i) Это место изложено, пожалуй, слишком кратко. Для доказательства

1) Мы делаем оговорку «по существу», так как интеграл может быть-

щимся.

1) По-английски 《partial conserved axial currents». Отсюда сокращение 《РСАС»・一Прим, перез.

Б.САЙМОН

МОДЕЛЬ Р（（р）2 ЭВКЛИДОВОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

PRINCETON SERIES IN PHYSICS EDITED BY ARTHUR S. WIGHTMAN AND JOHN J. HOPFIELD

THE P®2 EUCLIDIAN (QUANTUM) FIELD THEORY

by BARRY SIMON

Associate Professor

of Mathematics and Physics

at Princeton University

PRINCETON UNIVERSITY PRESS PRINCETON NEW JERSEY 1974

Б.САИМОН

МОДЕЛЬ Р(ф)2 ЭВКЛИДОВОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Перевод с английского Ю. М・ СУХОВА И С. Б. ШЛОСМАНА

Под редакцией Р・ Л. ДОБРУШИНА С предисловием Н. Н. Боголюбова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1976

УДК 519.55+530•伍5

Автор книги, профессор Принстонского университета Барри Саймон, широко известен исследованиями по теории рассеяния и квантовой теории поля. В книге впервые в мировой монографической литературе представлено новое направление в конструктивной теории квантовых полей, основанное на использовании аппарата случайных марковских полей. Автору удалось значительно упростить очень сложные доказательства ранее известных результатов и получить новые. Книга написаиа ясно, четко, сжато, с большой заботой о читателе.

Книга предназначена для широкого круга математиков, специализирующихся в математической физике, функциональном анализе, теории вероятностей, и физиков, интересующихся математическими основаниями квантовой теории поля.

Редакция литературы по математическим наукам

20203-027 27 jg© 1974 by Princeton University Press

041(01)-76© Перевод на русский язык, «Мир», 1976