ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая книга представляет собой превосходное введение в теорию квантования полей в окрестности ненулевых классических решений. Читатель, не знакомый с этим предметом, обойдет в сопровождении искусного наставника одну из мастерских современной физики, и если не останется в ней работать, то по крайней мере значительно расширит свой кругозор.

Собранный в книге материал, как и стиль изложения, полностью отвечают ее назначению, поэтому представляется совершенно излишним снабжать монографию какими-либо подробными примечаниями; то же самое относится и к довольно подробному списку литературы, органично связанному с содержанием книги.

Здесь же уместно подробнее осветить историю вопроса, изложенную в данной монографии слишком поверхностно. Это приводит к тому, что из поля зрения читателей полностью выпадают важные работы, знакомство с которыми представляется нам совершенно необходимым как для глубокого освоения материала, так и для правильного понимания места упоминаемых в книге исследований в современной квантовой теории поля.

Автор монографии полагает, что «за исключением важных, но предварительных работ, появившихся в предыдущие десятилетия, систематическое изучение этих вопросов началось только в середине семидесятых годов». Такой приговор предыдущим десятилетиям кажется слишком суровым. Дело в том, что отсчитывать их следует от момента рождения идеи квантования классического поля, когда выяснилось, что среди канонических преобразований бозонного поля есть выделение с-числовой составляющей, поэтому оператор бозонного поля всегда потенциально содержит классическое поле. Тогда же было обнаружено, что равенство нулю классической составляющей энергетически выгодно только для свободного поля, поэтому квантование любой реальной физической системы должно включать квантование бозонного поля в окрестности классического поля. Если это поле можно считать малым, то связанные с ним эффекты, как правило, удовлетворительно описываются в рамках стандартной теории возмуще-

G НРГД1К .'loBIII： PI•.八АКТ("'Л ПЕРЕВОДЛ

ннй, когда классическое поле в первом приближении считается равным нулю. Однако даже в квантовой электродинамике — триумфе теории возмущений — пренебрежение классическим полем приводит к инфракрасным расходимостям, и возникающие трудности удовлетворительно преодолеваются лишь после выхода за рамки теории возмущений. Хорошо известный метод Блоха—Нордсика может служить примером достаточно систематического исследования проблем, связанных с описанием квантовых эффектов в присутствии классического поля. Если классическое поле с самого начала нельзя считать малым, то возникает задача последовательного описания свойств физической системы, в которой главным эффектом является выделение классического бозонного поля. Здесь уместно заметить, что среди имен людей, размышлявших над этим вопросом, можно найти такие, как Венцель, Паули, Боголюбов, любое исследование которых обычно бывает как предварительным, так и окончательным. В частности, решение задачи о последовательном выделении заморожёнйого бозонного поля в принципе было дано в работе Боголюбова

В «предварительных», а точнее классических работах по квантованию в окрестности классических решений в первую очередь рассматривался вопрос о восстановлении свойств симметрии гамильтониана системы, утрачиваемых после прямолинейного выделения из бозонного поля классической составляющей, играющей роль внешнего поля. Именно этой цели служит предложенное Боголюбовым каноническое преобразование, в результате которого среди новых переменных фигурируют функционалы поля, играющие роль параметров группы симметрии. После перехода к новым переменным удается построить регулярную теорию возмущений, в которой с самого начала нет и речи о каких- либо «нулевых методах».

Таким образом, прогресс семидесятых годов связан не Столько с идейной стороной дела, сколько с более подробным изучением свойств классических решений и привлечением к их анализу новых для физики мощных математических методов (таких как метод обратной задачи рассеяния). Однако изучение классической части решения, каким бы интересным и сложным ни было это занятие, есть составная часть общей физической задачи, поэтому даже на этой стадии полезно помнить об общей структуре оператора поля. В «предварительных» подходах к проблеме сам формализм не позволяет забыть о ней, поэтому с этой точки зрения многие рассуждения о связи классического и вторично квантованного полей, о построении квантовых полей по классическим, о постулатах для такого поля кажутся очевидными, а порой и наивными. Пожалуй» наиболее трудная яасть теории квантования около классических полей связана с усвоением смысла групповых

переменных х). Здесь полезно иметь в виду, что после преобразования Боголюбова, например, классическое статическое решение и (%) превращается в оператор и (х —— а), где на преобразования трансляций реагирует лишь групповая переменная а ——функционал операторов поля. При этом трансляционная инвариантность связана вовсе не е тем, что и (х — а), как и и (х), — решение классических уравнений поля. Трансляционную инвариантность полной теории обеспечивает то обстоятельство, что теперь а — оператор, который в данном случае реализуется как оператор умножения и выпадает из гамильтониана системы, и при беглом взгляде его трудно отличить от переменной, имеющей смысл координаты точки на действительной оси. Канонически сопряженная а величина имеет смысл оператора полного импульса. Классическая составляющая в формализме Боголюбова не является с-числовой функцией; она не коммутирует с другими операторами поля, поскольку содержит в своем аргументе оператор. Переменная 无 в аргументе классической составляющей безразлична к преобразованиям сдвигов. Это обстоятельство полностью разрешает возможные недоумения, связанные с возможностью толкования наличия классической составляющей поля как проявления протяженности частицы. Перестановочные соотношения между оператором а —— координатой центра инерции системы и оператором полного импульса — определяют а как величину с непрерывным спектром, имеющую свойства координаты точечной частицы. То, что воспринимается как протяженность частицы, есть просто свойство некоторых состояний поля.

Заметим, что при изучении только классических свойств поля соответствующие уравнения поля формулируются в терминах переменных, безразличных к преобразованиям симметрии, в частности к преобразованиям пространства-времени. Поэтому на этой стадии аргументы классических полей можно подвергать практически любым преобразованиям, не заботясь об их физическом смысле. С этой точки зрения, например, переход ко мнимому времени обоснован ничуть не хуже, чем соответствующий стандартный переход в теории связанных состояний, поэтому при учете этого обстоятельства появление инстантонов в релятивистски ковариантных теориях в значительной мере лишается своей первоначальной таинственности.

Приведенные примеры достаточно убедительно показывают необходимость представления общей структуры теории даже при первоначальном прикосновении к ней. Библиографию работ, применяющих метод Боголюбова к разнообразным задачам тео-

1) Если^с самого начала говорить на языке функционального интегрирования, то этот вопрос формулируется как требование к структуре функционального пространства задачи.

рип поля, а также обзор более ранних работ в этой области читатель может найти в статье [2 ], в которой также приведены ссылки на исследования, устанавливающие связь между методом Боголюбова и квантованием на произвольных гиперповерхностях по Дираку. Эти работы в значительной степени проясняют геометрический смысл преобразования Боголюбова. Медленная (после выделения равномерного движения по геодезическим группового пространства) зависимость групповых переменных от времени позволяет установить аналогию между каноническими преобразованием Боголюбова и методом Боголюбова—Крылова в теории слабо нелинейных колебаний. На основе этой аналогии в работе [3 ] предложен изящный метод релятивистски-ковариантного квантования поля в окрестности классического решения в терминах гейзенберговых полей. Наконец, в работе [4 ] метод Боголюбова формулируется непосредственно в терминах операторов рождения и уничтожения бозе- и ферми-полей.

Приведенные здесь краткие замечания, призванные восстановить, насколько это возможно, истинную картину развития метода квантования вблизи классических решений, а также обратить внимание читателя на работы, не отмеченные в монографии, ни в коей мере не должны восприниматься как упрек: монография, будучи задуманной как элементарное введение в предмет, справляется с этой задачей вполне успешно и настоятельно рекомендуется как начинающему, так и более умудренному читателю, для которого она будет хорошим современным справочником.

От автора и гл. 1—6 переведены А. А. Власовым, гл. 7—11 и приложения переведены К. А. Свешниковым.

О. Л. Хрусталев

ЛИТЕРАТУРА

Боголюбов Я. Н. — УМЖ, i960, т. 2 № 2, с. 3—24; Избранные труды, т. 2.— Киев, Наукова Думка, 1970, с. 499—519.

Khrustalev О. A., Razumov А. V., Тaranov А. У. — Nucl. Phys., 1980, v. B172, p. 44.

Свешников К. Д. — ТМФ, 1983, т. 55, № 3, с. 361—384.

Тимофеевская 0. Д. — ТМФ, 1983, т. 54, № 3, с. 464—468.

ОТ АВТОРА

Всеми своими знаниями в этой области физики я обязан устному и письменному общению с тремя людьми. Ими являются профессора Сидней Коулмен, Роджер Дашен и Роман Джакив. Я им очень благодарен.

Кроме того, очень полезными были обсуждения рассматриваемых вопросов со многими физиками из разных стран. Я благодарю их всех, и хотя практически невозможно перечислить все имена, некоторые из них хотелось бы отметить особо. Это профессора И. Аффлек, Н. Крист, Б. Хасслахер, А. Неве, Р. Шанкар, Дж. Стратди, Е. К. Дж. Сударшан, К. Б. Торн, Е. Дж. Вайнберг и Е. Виттен. Я также признателен профессорам X. Р. Кришнамурти, Р. Нитянанда и С. Вадья за чтение частей рукописи и полезные замечания. Я хочу выразить благодарность миссис Радж Лакшми за помощь при чтении гранок. Вся ответственность за оставшиеся опечатки лежит целиком на авторе.

Я благодарю Институт науки Индии за предложение написать эту книгу, Центр аспирантуры Института за помощь при подготовке рукописи к печати и мистера М. С. Нагараджа за эффективную секретарскую помощь. Необходимо отметить гостеприимство Принстонского института научных исследований, Гарвардского университета и Массачусетского технологического института, предоставивших мне возможность непосредственного общения с ведущими специалистами в этой области науки.

Наконец, я признателен моей жене Индире и моим родителям за их поддержку.

ГЛАВА 1

ПРЕДИСЛОВИЕ И ВВЕДЕНИЕ

Несколько .отклоняясь от обычной практики, мы объединили предисловие с вводной главой. Мы сделали это потому, что, как нам кажется, обсуждение содержания книги ——выбор рассматриваемых вопросов, уровень изложения и другие характеристики и объяснения, обычно включаемые в предисловие,——полезнее дать параллельно с кратким обзором и оценкой этой недавно возникшей области науки.

Цель данной книги ——дать информацию о релятивистских квантовых теориях поля, начиная с классических решений соответствующих полевых уравнений. За исключением нескольких важных, но предварительных работ, появившихся в предыдущие десятилетия, систематическое изучение этих вопросов началось только в середине семидесятых годов. Первым шагом в этом направлении явилось нахождение решений все большего числа классических релятивистских нелинейных волновых уравнений. Сначала это было сделано для двумерных моделей одного скалярного поля, но вскоре классические решения (точные или с хорошим приближением) были получены для некоторых систем уравнений, включающих скалярные, векторные и дираковские поля, для большего числа измерений.

В одном случае эти классические решения являются решениями полевых уравнений в метрике Минковского, в другом они являются решениями евклидовых уравнений. В зависимости от этого меняется их роль в квантовой теории. В обоих случаях важным свойством решений является их локализованность. В частности, решения в пространстве Минковского имеют конечную энергию с локализованной нерасплывающейся плотностью энергии. В большинстве случаев они перемещаются без искажения формы с некоторой постоянной скоростью. Часто эти решения называют солитонами, и мы будем использовать этот термин. (Точнее говоря, их следовало бы называть уединенными волнами. Определение солитона накладывает более жесткие требования, которым не подчиняются многие наши решения. Различие между этими двумя терминами подробнее разъясняется в следующей главе.) Тем, что они являются равномерно движущимися

нерасплывающимися пакетами энергии, солитоны напоминают протяженные частицы, хотя они являются решениями нелинейных волновых уравнений. Элементарные частицы в природе также представляют собой локализованные пакеты энергии; кроме того, считается, что они описываются некоторой релятивистской теорией поля. Разумеется, полевая теория, описывающая элементарные частицы, является квантовой теорией, в то время как солитоны прежде всего являются решениями классических полевых уравнений. Это обстоятельство явилось предпосылкой для следующего этапа в развитии данного вопроса, на котором находилось соответствие между классическими солитонными решениями любой полевой теории и состояниями протяженных частиц в квантовом варианте этой теории. Некоторого соответствия можно было бы ожидать на основе интуитивных соображений, но построение систематического аппарата для его установления является нетривиальной задачей. Процедуры установления такого соответствия, которые могут быть названы «квантованием солитонов», были развиты с использованием различных методов независимо несколькими группами теоретиков в период 1974—1975 гг. Эти методы сводятся к обобщению на релятивистскую квантовую теорию поля хорошо известного квазиклассического разложения нерелятивистской квантовой механики. С помощью этого обобщения при квантовании флуктуаций поля в окрестности солитона было показано, что с классическим солитоном следует связывать не только квантовое состояние частицы-солитона, но и целый набор возбужденных состояний. Такие свойства квантовой частицы- солитона, как масса или формфакторы, получаются из соответствующих свойств классического солитона с помощью регулярного квазиклассического разложения. Были разобраны такие существенные технические трудности, как ультрафиолетовые перенормировки квантовых флуктуаций и проблемы нулевых мод, связанные с непрерывными группами симметрий.

Как ответвление этих исследований возникла инстантонная физика. Инстантоны — это локализованные классические решения с конечным действием евклидова варианта полевых уравнений произвольной модели. Такие решения получены в точном аналитическом виде для большого числа моделей, включая квантовую хромодинамику (КХД). На классическом уровне инстантоны не очень отличаются от статических солитонных решений не зависящих от времени полевых уравнений. В большинстве случаев инстантоны модели в D измерениях являются статическими решениями той же модели в Z) + 1 измерении. Но в отношении их влияния на соответствующую квантовополевую теорию инстантоны сильно отличаются от солитонов. Если последние приводят к протяженным частицам, то первые ведут к туннельным эффектам, которые могут существенно изменять структуру вакуумного

состояния. Вакуумное состояние является краеугольным камнем квантовой теории поля. Любые его изменения могут изменить свойства теории. Например, в двумерной абелевой модели Хиггса вакуумное туннелирование, вызванное инстантонами, приводит к удержанию зарядов —— эффекту, которого нельзя обнаружить в стандартной теории возмущений. В КХД, где энергично искали механизмы удержания кварков, надежды, что инстантоны могут приводить к удержанию, не осуществились. Но даже в этом случае инстантоны дают существенный вклад в межкварковые силы.

Два свойства, присущие как солитонам, так и инстантонам, делают их квантовые эффекты особенно интересными.

Большинство солитонов и инстантонов имеет непертурбативную природу. Это означает, что они не могут быть получены, если начинать с решений линейной части уравнений поля и рассматривать нелинейные члены по теории возмущений. Если классические решения сами по себе выходят за рамки теории возмущений, то возникающие при этом квантовые эффекты оказываются также непертурбативными. Это не единственные и не первые непертурбативные результаты, имеющиеся в теории поля, но они означают важное продвижение вперед в исследовании квантовых полей.

В типичном случае солитоны и инстантоны характеризуются некоторым топологическим индексом, связанным с их поведением на пространственной бесконечности. Для солитонов этот топологический индекс оказывается сохраняющейся величиной, которая в квантованной теории становится сохраняющимся квантовым числом, характеризующим солитонное состояние. Такое топологическое квантовое число по своему происхождению совершенно отлично от обычных нётеровских зарядов, связанных с непрерывными симметриями лагранжиана. В случае инстантонов существование ненулевого топологического индекса ведет к появлению набора вакуумных состояний, характеризуемых вакуумным углом 9. Для математиков анализ гомотопий, которые возникают при описании этого явления, тривиален, но тот факт, что такие соображения могут играть решающую роль в квантовой теории поля, представляет собой новое обстоятельство.

Большинство результатов в квантовой теории солитонов и инстантонов получено квазиклассическим В КБ-методом. Слово «квазиклассический» означает, по мнению некоторых, что результаты не вполне ква нтов оп о л ев ые. В ответ следует отметить, что результаты, полученные при учете солитонов и инстантонов, в не меньшей степени квантовомеханические, чем результаты стандартной теории возмущений. В самом деле, стандартная теория возмущений может рассматриваться как частный случай квазиклассического метода, где квантуются флуктуации около тривиального классического решения, в то время как в физике

солитонов и инстантонов то же самое проделывается в окрестности нетривиального непертурбативного классического решения. Это обстоятельство будет ясно из содержания гл. 5 и 6.

Хотя эти методы ведут к качественно новым результатам в квантовой теории поля, основные физические идеи понять достаточно легко. Большинство из них представляет собой обобщение на теорию поля идей, с которыми мы уже знакомы по нерелятивистской квантовой механике. Это весьма приятная сторона данного вопроса. Разумеется, конкретные вычисления или строгие исследования солитонных (инстантонных) эффектов могут быть сложны, но основные результаты можно оценить, не вдаваясь в технические подробности.

Сказав так много в похвалу предмета книги, мы должны также очертить его рамки. Имеются два существенных ограничения:

Квазиклассический метод, рассматривает ли он солитоны или инстантоны, требует выполнения условия слабой связи, поэтому соответствующий параметр нелинейной связи должен быть мал. Это требуется, даже если конечные результаты непертурбативны поэтому параметру, как показано в различных частях этой книги. В некоторых случаях оказывается, что квазиклассические ВКБ-резуль- таты дают правильный ответ или хорошее численное приближение, *даже если параметр связи велик; но это не может приниматься как общая черта метода.

Метод, очевидно, требует знания прежде всего ряда нетривиальных классических решений. Это означает, что для любой данной модели локализованные несингулярные решения должны: а) существовать и б) быть представимы либо в точной аналитической форме, либо по крайней мере с достаточной точностью наряду со своими свойствами стабильности.

Для ряда представляющих интерес случаев одно из этих требований или оба могут не выполняться. В частности, эти требования отчасти ограничивают применение солитонов и инстантонов к описанию адронных частиц, физические свойства которых, как сейчас принимается, описываются КХД. Рассмотрим сначала солитоны: КХД есть SU (З)-калибровочная теория, в которой калибровочные бозоны взаимодействуют с ферми-кварками. Существуют различные способы квазиклассического разложения в присутствии фермионов (гл. 9). Простейший путь ——начать с классических решений, для которых ферми-поле равно нулю. В случае КХД это сводится к нахождению решений для самодействующей системы калибровочных полей. К сожалению, доказано, что чисто калибровочная теория в (3 + 1) измерениях не может иметь солитонных решений. Другой способ — проинтегрировать по фермионным степеням свободы и получить более сложное эффективное действие для калибровочных полей. Для такого эффективного действия до сих пор не найдено ни одного

точного солитонного решения. При описании адронов единственная существенная польза солитонов получается при использовании еще одного варианта квазиклассической процедуры (гл. 9). В этом случае начинают с классических решений связанных бо- зон-фермионных уравнений поля, где термин «классический» для поля со спином 1/2 означает замену его на ^-числовую дираковскую волновую функцию. Даже здесь точные классические решения для КХД в (3 + 1) измерениях не найдены, но приближенные решения привели к некоторому прогрессу в описании адронов. Примером таких вычислений, которые часто называют моделью «мешков», является «мешок» группы SLAC [24].

Рассмотрим теперь инстантоны. Классические инстантонные решения имеются в явном аналитическом виде для системы самодействующих полей Янга——Миллса (и при расширении для КХД). Но в то время как квантовые эффекты этих инстантонов могут быть рассчитаны, выполнение условия слабого взаимодействия сопряжено с трудностями. Инстантоны КХД имеют любые размеры, т. е. они обладают масштабным параметром, который принимает любые значения от 0 до сю. Вычисление чисто инстантон- ного эффекта требует интегрирования по их размерам. Но эффективная (в перенормированном смысле) калибровочная константа связи изменяется с масштабом расстояний. Есть указания, 4tq она велика при больших масштабах расстояний. Следовательно, для больших инстантонов должна быть большая константа связи, что нарушает условие слабой связи квазиклассического метода. Несмотря на эту трудность, были предприняты смелые попытки получить с помощью инстантонов как можно больше информации из КХД, но эти результаты сомнительны из-за существования сильной связи.

Следует отметить, однако, что перечисленные трудности не означают, что квазиклассический метод неверен в пределах установленных допущений, скорее эти допущения не полностью выполняются в КХД. Для множества других теоретико-полевых моделей требуемые классические решения существуют и условие слабой связи также выполняется. В этих случаях квазиклассический метод приводит к важным непертурбативным результатам. В нашей книге описаны многочисленные примеры таких моделей. Эти примеры не являются неестественными или изощренными, специально изобретенными для данной цели; многие из них уже изучались как полезные с других точек зрения модели. Благодаря этим примерам квантовые солитонные и инстантонные эффекты расширили наше понимание сложной и многообразной структуры квантовополевых систем. Даже для КХД это дало значительное количество полезной информации, особенно о гомотопической классификации калибровочных преобразований и вакуумных состояний. Несмотря на проблемы,

обусловленные сильной связью, которые ставят под сомнение инстантонные вычисления в данной модели, эта информация, по-видимому, имеет определенную ценность.

Данные вопросы, относящиеся к релятивистской квантовой теории поля, представляют основной интерес для теории элементарных частиц. Но солитонные эффекты изучаются также в статистической механике непрерывных систем. Формальное математическое сходство (евклидовой) квантовой теории поля и статистической механики находит при этом дальнейшее применение.

Исследования, о которых говорилось выше, начались в начале семидесятых годов и в течение нескольких лет активно велись во всем мире. Как часто случалось и раньше в теории элементарных частиц, многие исследователи переключались на эту только что появившуюся тематику, и за несколько лет было получено большинство основных результатов и ограничений этого подхода. В течение последних лет число новых работ по квазиклассиче- скому методу уменьшилось, и в большинстве этих работ рассматриваются запутанные технические проблемы. Хотя писать книгу, посвященную быстро развивающейся проблеме, — рискованное предприятие, нам кажется, что настало время сделать такую попытку. Тем не менее в качестве предосторожности большая часть книги посвящена наиболее фундаментальным и проверенным выводам. Последние исследования, содержащие новый, сложный или противоречивый материал, излагаются кратко в небольших абзацах в конце соответствующих разделов.

Структура книги следующая.

Первые три главы (гл. 2, 3 и 4) посвящены классическим солитонным и инстантонным решениям. Нелинейные уравнения в частных производных составляют основной предмет прикладной математики. Мы не будем обсуждать связанные с ними общие методы и результаты, которые излагаются во многих обзорах и книгах. Хотя мы и приводим вывод большинства классических решений, особенно тех, которые недавно найдены в калибровочных теориях, СР^-моделях и т. д., мы не будем вдаваться в технические подробности, такие, как метод обратной задачи рассеяния или преобразования Бэклунда. Главная задача книги — изучение квантовых эффектов, к которым приводят эти решения. Сами классические решения следует считать заданными, хотя для полноты изложения мы посвятим им три главы. В этих главах основное внимание уделяется тем свойствам классических решений, которые важны в квантовых эффектах, рассматриваемых далее. •■ Затем в гл. 5—8 следуют методы^квантования солитонов, которые приводят к квантовым частицам-солитонам и соответствующим секторам в пространстве состояний. Сначала мы опишем квантование статического солитона, используя интуитивные соображения. Далее формализуем его с использованием техники

функционального интегрироваГния и применим для квантования периодических решений. Поскольку большинство учебников по теории поля не рассматривают методы функционального интегрирования, мы уделим место введению в эту технику, прежде чем ее использовать. Будут рассмотрены'также другие способы получения квазиклассических результатов, включая метод канонического гамильтониана. Разбираются такие технические вопросы, как перенормировки ультрафиолетовых расходимостей и работа с нулевыми модами. Эти процедуры и л люстр и руются примерами двумерных скалярных полевых теорий. В гл. 7 мы включили также недавние точные результаты по S-матрице для некоторого класса двумерных теорий. Эта тема несколько выпадает из ква- зиклассической методологии, которая доминирует в остальной части книги, но поскольку здесь существуют точные и изящно выводимые результаты в моделях, связанных с солитонами, мы не могли устоять^перед соблазном включить ее.

В гл. 9 методы функционального интегрирования и квази- классические методы распространяются на ферми-поля. Для обеспечения необходимого математического аппарата дается также сжатое введение в грассмановы алгебры. Наконец, в гл. 10 и 11 рассматриваются квантовые эффекты инстантонов. Важное явление вакуумного туннелирования обсуждается в гл. 10 сначала для простой квантовомеханической системы, затем для абелевой калибровочной теории и в заключение для системы Янга—Миллса. Инфракрасная проблема, связанная с большими инстантонами, выделена в отдельный раздел. В гл. 11 рассматривается влияние безмассовых фермионов на явление вакуумного туннелирования и его связь с U (1)-аномалией. Описано также влияние инстантонов на силы между внешними зарядами и на борелеву суммируемость ряда теории возмущений. Мы завершаем изложение сводкой других исследований со списком литературы (разд. 11.5).

По замыслу —— это текст элементарного уровня, предназначенный для начинающих исследователей, студентов, а не для специалистов по теории поля. Книга может быть также полезна физикам, работающим в других областях, которые хотели бы понять основные идеи данной области физики. Мы не претендуем на математическую строгость и полноту изложения в смысле охвата всех работ, связанных с нашей основной темой. Приводится около 350 ссылок на литературу, но, безусловно, некоторые работы могут оказаться неумышленно пропущенными. Основное внимание уделено педагогическому разбору на максимально простом уровне основных идей и методов, используемых в этой области науки. Изложение включает большое число иллюстративных примеров. Там, где возможно, мы начинаем с примеров из нерелятивистской квантовой механики. Хотя считается, что физика в таких ситуациях хорошо известна, тем не менее мы

рассматриваем их достаточно подробно с той точки зрения, которая наиболее соответствует нашим целям. Мы хотим показать, что многие понятия, лежащие в основе квазиклассического меюда теории поля, могут быть обнаружены в миниатюре в привычном контексте элементарной квантовой механики. Этому приему мы следуем как в случае солитонов, так и в случае инстантонов, проводя детальный разбор их эффектов на типичных примерах.

К тому времени, когда проводились такие исследования, квантовая теория разрабатывалась уже несколько десятилетий. Нечего и говорить, что в работах по данной теме там, где это требовалось, использовались ранее полученные результаты и методы. Поэтому в идеальном случае читатель должен хорошо знать результаты квантовополевой теории возмущений, калибровочной теории и перенормировок. Однако такая подготовка не является необходимой для понимания большей части излагаемого материала, который в целом самосогласован. Хорошая подготовка по квантовой механике и общее представление о квантовополевых методах в большинстве случаев будут достаточны. Конечно, в нескольких местах, особенно в конце книги, не удалось обойтись без более сложного материала. Он включает использование некоторых общих принципов квантовой калибровочной теории, бегущей константы связи, асимптотической свободы, токовых аномалий, принципов S-матричной теории и т. д. Соответствующие положения четко формулируются, но не выводятся. Они сами по себе являются важными предметами изучения независимо от квазиклассического метода, и попытка ввести их со всеми подробностями привела бы к серьезным отступлениям от основной темы.

Наконец, мы встретились с трудностью, связанной с отсутствием каких-либо других книг на эту тему. Насколько нам известно, во время написания данной книги не было ни одного учебника, содержащего исчерпывающее изложение данного предмета. Однако мы много почерпнули из нескольких обзорных статей, в которых рассматриваются отдельные аспекты этого вопроса. Обзор классических решений можно найти； например, в работах Скотта и др. [309], Маханькова [239], Годдарда и Олива [167], Актора [4]; по квантованию солитонов имеются работы Раджа- рамана [289], Джакива [ 192 ], Коулмена [87], Фаддеева и Коре- пина [131 ], по инстантонной физике—Коулмена [89], Марчиано и Пагелъса [246], Олива [266], Сьюто [308], Джакива [1931. Все наше изложение несет на себе влияние великолепных обзоров Коулмена. Специально рекомендуем также обзор Фаддеева и Корепина по квантовым солитонам, поскольку их подход сильно отличается от нашего и может служить хорошим дополнительным чтением.

[Ссылки на другие хорошие обзоры, не рассматривающие ква- зиклассическую тематику, но имеющие отношение к нашему обсуждению, приводятся в тексте.

ГЛАВА 2/-

КЛАССИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ И УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ

Введение

Как подчеркнуто в гл. 1, нашей главной темой является квази- классический метод во вторично квантованной релятивистской теории поля. Иначе говоря, задавшись некоторыми или всеми решениями системы классических релятивистских нелинейных уравнений поля, мы обсудим методы, с помощью которых такие решения могут быть использованы для изучения вакуума, одночастичных состояний и других свойств соответствующей квантовой теории поля. Способ получения таких классических решений нас не особенно интересует. Разработано несколько впечатляющих и сложных методов исследования решений нелинейных волновых уравнений. Эти методы, примером которых является метод обратной задачи рассеяния, сами по себе заслуживают отдельной книги. Уже имеются отличные обзоры некоторых методов, например, в книге Унзема [347 ] и в обзорной статье Скотта и др. [309 J. Мы отошли бы от основной темы данной книги, если бы попытались детально их описать. Более того, знание методов получения классических решений не является необходимым для понимания их последующего использования в квантовой теории. Мы будем считать, что классические решения уже получены.

Тем не менее для полноты изложения мы посвятим эту и следующие две главы исключительно классическим решениям. Так как плодами релятивистской квантовой теории в основном пользуется физика элементарных частиц, мы сконцентрируем внимание на тех классических решениях, которые, насколько это возможно, напоминают классические протяженные частицы. В частности, было бы хорошо найти решения, которые выглядят как порции энергии, распространяющиеся без диссипации с постоянной скоростью. Было бы еще лучше, если бы уравнения допускали столкновения нескольких таких порций энергии, после которых их первоначальные формы не изменялись бы по крайней мере асимптотически по времени. Несмотря на сложность дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных, решения с такими свойствами действительно существуют. Такие решения часто называют уединенными волнами и солитонами. Наша

первая задача — разъяснить значения этих двух терминов и установить различия между ними. Мы приведем некоторые примеры каждого типа решений. Будут описаны солитон синус- Гордона, «кинк» теории 6* монополь т'Хофта—Полякова, инстантон и другие объекты, часто встречающиеся в современной литературе. Будет дан и вывод этих решений в тех случаях, когда он достаточно краток. Мы подчеркнем те черты решений, которые важны для последующего квантования.

Хотя приведенные примеры относятся к релятивистским полевым уравнениям и особенно важны в физике частиц, они интересны и сами по себе как решения довольно сложных нелинейных дифференциальных уравнений .в частных производных. Некоторые наши рассуждения и терминология могут быть применены и к нерелятивистским системам. Поэтому мы надеемся, что содержание этих первых глав заинтересует не только физиков, изучающих элементарные частицы, но и специалистов в других областях.

Прежде чем перейти к следующему разделу, скажем несколько слов об обозначениях. В основном мы будем следовать стандартной ковариантной тензорной системе обозначений. Пространственно-временные координаты представляются вектором %к (卩=0, 1, 2, 3; %° 三 & 炉=%,炉=у, %з =z). Индексы понижаются или повышаются метрическим тензором Минковского g“v = gg，где goo = —gu = —g22 = —g33 = 1 H gg = 0 при 卩声 Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам; д】обозначает пространственно-временные производные д/дх^. Иногда мы будем иметь дело с системами с меньшим числом измерений. Например, большинство систем данной главы в двух (1 + 1) измерениях —одном пространственном и одном временном; в этом случае индекс 卩 имеет значения только 卩 = 0, 1. Если в последующих главах использование компактных ковариантных обозначений существенно, в этой главе мы применяем для пространственно-временной зависимости как явную форму записи^ так и ковариантную.

Уединенные волны и солитоны

Термины «уединенные волны» и «солитоны» относятся к определенным частным решениям нелинейных волновых уравнений. Для более полного понимания таких решений напомним некоторые свойства простейшего из релятивистских волновых уравнений, а именно уравнения

* □e = dudg = (』毋一鳥)е(х, /) = 0, (2.1) где 6 (х, /) —действительное скалярное поле в (1 + 1) измерениях, а с—скорость света. Свойства этого уравнения хорошо

известны. Оно линейно и недисперсионно. Поэтому его решения имеют два свойства, представляющие йнтерес для дальнейшего рассмотрения.

Любая действительная «хорошая» функция вида f (% 土 ct) есть решение уравнения (2.1). В частности, если мы выберем локализованную функцию /, то можем построить локализованный волновой пакет, который будет перемещаться с постоянной скоростью 土с и без искажения формы. Это, очевидно, связано с тем, что плоские волны cos (kx 土 of) и sin (kx 土 W), где со = kc, образуют полный набор решений уравнения (2.1). Любая «хорошая» локализованная функция, например / (% —ct), может быть записана в виде

f(x~ct) = ^ dk [а】优)cos (kx —財 + & 优)sin 但尤—с』)]. (2.2) Тот факт, что волновой пакет / (х —cf) движется без искажений со скоростью с, связан с тем, что все его плосковолновые компоненты имеют одну и ту же скорость = с

Поскольку волновое уравнение линейно, то, если заданы решения в виде локализованных волновых пакетов “(％—ct) н % (% + ⑺，их сумма /3 (х, /) = “(％ — ct) + /2 (^ + 〃)также является решением. При больших отрицательных временах (f f —сю) решение /3 (居 /) состоит из двух пакетов, широко разделенных и приближающихся друг к другу без существенных искажений. При конечном времени / они сталкиваются. Но после столкновения они асимптотически (при / -> сю) разделяются* на те же два пакета, сохраняя свои первоначальные формы и скорости. Для системы (2.1) это свойство выполняется также и для большего числа пакетов.

Эти два свойства, а именно 1) сохранение формы и скорости отдельного пакета и 2) асимптотическое сохранение формы и скорости нескольких пакетов даже после столкновения, очевидно, свойственны (2.1), так как эта простая система уравнений линейна и недисперсионна. Но типичные волновые уравнения во многих разделах физики гораздо сложнее: они могут содержать нелинейные члены, дисперсионные члены и несколько взаимодействующих полей с числом пространственных измерений 1, 2 или 3. Нас интересует вопрос: допускают ли такие уравнения, несмотря на их сложность по сравнению с (2.1), хотя бы некоторые решения, обладающие первым свойством, а может быть, даже вторым свойством?

Заметим, что добавление к (2.1) даже членов простейшего вида стремится нарушить эти прекрасные свойства даже в (1 + 1) измерениях. Рассмотрим, например, уравнение Клейна—Гордона в двух измерениях

(□ + 加u)e(*, 方)三(强奈一台+ 小2) ф (л, f) = 0. (2.3)

Это уравнение еще линейно, и плоские волны cos (kx ± 血)и sin (kx 土 of) образуют полный набор решений. Но теперь со2 = =々2,2 + т2 с4. Таким образом, волны разной длины распространяются с различными скоростями со (右)/々,и уравнение дисперсионно. Любой локализованный волновой пакет, имеющий при f = 0 форму J dk [а】伍)cos kx + & 但)sin kx ], с течением времени расплывается. Поэтому первое свойство отсутствует, а следовательно, отсутствует и второе свойство. Если даже отдельный пакет не может сохранить свою @орму, то не возникает и вопроса о сохранении форм нескольких пакетов после столкновения. Аналогичным образом рассмотрим добавление к (2.1) простого нелинейного члена:

h^F —名)屮(尤，/)+ У(х, /) = 0.(2.4)

Не все решения этого уравнения известны, но с помощью численных или приближенных расчетов можно убедиться, что произвольный волновой пакет будет расплываться.

Тем не менее возможно, что для некоторых уравнений, содержащих как дисперсионные, так и нелинейные члены, влияние этих членов взаимно компенсируется таким образом, что некоторые специальные решения будут обладать первым свойством. Это может происходить в случаях одного, двух, н трех пространственных измерений, и такие решения неточно называют уединенными волнами. Иногда может проявляться также и второе свойство. Эти решения называют солитонами.

Для получения более точного определения этих двух терминов необходимо количественно описать требования, которые до сих пор качественно описывались как первое и второе свойства. Такие свойства мы вывели из поведения волновых пакетов в линейных системах без диссипации типа (2.1). Эти требования надо обобщить так, чтобы включить как можно больше случаев решений, обладающих если не точно свойствами волновых пакетов (2.1), то по крайней мере существенными особенностями первого и второго свойств. К сожалению, общепринятое определение солитонов и уединенных волн отсутствует. Разные авторы предлагают свои немного различающиеся варианты. Мы дадим теперь рабочее определение, которое представляет собой компромисс между этими вариантами.

Наше определение дается в терминах плотности энергии, а не в терминах самих волновых полей, так как первая характеристика более важна для интересующих нас систем. Это означает, что мы ограничиваемся теми волновыми уравнениями (для любого набора взаимодействующих полей ф1 (х, /),今2 (х, /), ...), которые имеют соответствующую плотность энергии е (х, /), являющуюся

некоторой функцией полей 6f (х, /). Ее пространственный интеграл есть функционал Е (今$)——сохраняющаяся полная энер、 гия. Большой класс уравнений, включающий полевые уравнения физики элементарных частиц, удовлетворяет этому требованию. Так как физические системы обладают энергией, ограниченной снизу, мы можем, не теряя общнрсти, минимальное значение Е положить равным нулю. Задавшись этими рамками, мы будем использовать прилагательное «локализованное» для тех решений полевых уравнений, плотность энергии е (х, /) которых в любой конечный момент времени локализована в пространстве, т. е. конечна в некоторой ограниченной области пространства и стремится к нулю на пространственной бесконечности достаточно быстро, чтобы быть интегрируемой. Отметим, что для тех систем, для которых Е ［弘］= 0 только в том случае, если % (х, /) = О, локализованное решение, определенное выше, имеют также и сами поля, локализованные в пространстве. Например, уравнение (2.4) имеет соответствующую сохраняющуюся энергию

Е@= j 甸击(器У + 需У + (2.5)

которая минимизируется при 今(х, /) = 0. Локализованные решения этой системы, если они есть, должны асимптотически стрё- миться к 6 (х, /) = 0 при %f ±8 для любого заданного I. Производные d§/dx и d^ldt в этом пределе также должны обращаться в нуль. Напротив, уравнение

斗一e+兴=0 (2.6)

имеет соответствующую энергию

?仲］=

Здесь Е ［力］минимизируется при 6(%, /) =土1・ Это простейший пример «спонтанного нарушения симметрии» в квантовом аналоге полевых систем. Теперь локализованное решение в любой момент времени должно достигать 今=土 1 при х -> ±8.

Дав определение понятия локализации в терминах плотности энергии, определим уединенную волну как локализованное несингулярное решение любого нелинейного уравнения поля (или системы уравнений, если имеется несколько полей), плотность энергии которого, будучи локализованной, имеет пространственновременную зависимость вида

е(х, f) = E(x — uf), (2.8)

где и — некоторый вектор скорости.

Иначе говоря, плотность энергии должна двигаться без искажений с постоянной скоростью. Среди систем, имеющих соответствующую плотность энергии, это определение допускает более широкий класс решений, чем определение, данное Скоттом и др. [309 ], которое требует, чтобы сами поля имели такую пространственно-временную зависимость в виде «бегущей волны». Интересный пример заряженных уединенных волн, который обсуждается в гл. 8, содержится в (2.8), но он исключается определением Скотта и др. С другой стороны, их определение, данное непосредственно в терминах полей, в принципе может быть применено к системам, не имеющим соответствующей сохраняющейся энергии. Мы не будем рассматривать такие системы. В то же время наше определение более ограничено, чем определение Коулмена [87 ]. Он использовал термин «комок» для существенно несингулярных решений с конечной локализованной энергией независимо от того, подчиняются ли они (2.8) или нет. Пример с дублетным решением системы синус-Гордона (разд. 2.5), к сожалению, исключается (2.8), но включается Коулменом как «дрожащий комок»л Мы выбираем определение (2.8) не потому, что оно существенно лучше остальных, а потому, что оно оптимально для наших целей. Оно просто, довольно исчерпывающе и позволяет определить солитоны приемлемо простым способом.

Отметим, что (2.8) определяет уединенные волны с числом пространственных измерений от одного и выше. Далее, любое статическое (не зависящее от времени) локализованное решение автоматически является уединенной волной со скоростью и = 0. Многие уединенные волны, которые мы будем обсуждать, получаются как статические решения. Однако если для системы с релятивистской (либо галилеевой) инвариантностью известно статическое решение, то движущиеся решения тривиально получаются бу стом, т. е. переходом в движущуюся координатную систему.

Обратимся теперь к солитонам —уединенным волнам, отвечающим приведенному ниже дополнительному требованию, которое представляет собой обобщенный и более точно сформулированный вариант упомянутого выше второго свойства. Рассмотрим нелинейное уравнение (или систему уравнений). Пусть оно имеет решением уединенную волну с плотностью энергии, являющейся некоторой локализованной функцией е0 (х —uf). Рассмотрим любое другое решение этой системы, состоящее в отдаленном прошлом из N таких уединенных волн с произвольными начальными скоростями и положениями. Тогда плотность энергии е (х, /) такого решения имеет вид

£(X, /) ―> £ 8q (х — Э./ — u(/) при / —> —- СЮ. (2.9)

Заданная при / = —сю эта конфигурация будет затем эволюционировать во времени, следуя нелинейным уравнениям. Предположим, что эволюция такова, что

£ (х, /) —>- g £о (х — a j — u j + &) при / ~>■-卜 oo, (2,10) где б» — некоторые постоянные векторы. Тогда такая уединенная волна называется солитоном. Другими словами, солитонами являются те уединенные волны, профили плотностей энергии которых асимптотически (при f — 8)возвращаются к своим первоначальным формам и скоростям. Векторы & описывают возможность твердого перемещения солитонов с их первоначальных траекторий. Для солитонов такое перемещение является единственным остаточным эффектом столкновений. Очевидно, что это —замечательное свойство решений нелинейных полевых уравнений.

Все солитоны являются уединенными волнами, но обратное, очевидно, неверно. Добавочное требование (2.10), накладываемое на солнтонн* очень жестко. Поэтому лишь немногие из уравнений, допускающих уединенные волны, обладают солитонными решениями. Для нахождения решения данного нелинейного уравнения в виде уединенной волны достаточно найти любое локализованное решение, удовлетворяющее требованию (2.8). Часто это сделать трудно, но все же многие уравнения дают уединенные волны. Однако для проверки того, что некоторое решение является солитоном, необходимо найти не только это решение, но и бесконечно много зависящих от времени решений, состоящих из произвольного числа солитонов, и проверить выполнение требований (2.9) и (2.10). Таким образом, определить, что данное нелинейное волновое уравнение обладает солитонными решениями, очено трудно и еще труднее найти их в явной форме. Разработано много мощных методов решения и исследования свойств уравнений, допускающих солитоны. Это метод обратной задачи рассеяния, преобразование Бэклунда,- использование сохраняющихся величин и т. д. Но хотя эти методы дают изящные способы исследования таких систем, они не очень полезны для нахождения новых уравнений, имеющих солитоны, или для определения, обладает ли данное уравнение солитонами. Поэтому неудивительно, что найдено очень мало уравнений, допускающих солитоны. Несколько примеров содержится в обзоре Скотта и др. [309 ], причем все в пространстве с одним измерением. Из них релятивистским является только уравнение синус-Гордона. Это уравнение рассматривается в разд. 2.5 в качестве примера таких систем.

По-видимому, большинство локализованных решений, обсуждаемых в физической литературе, —уединенные волны. Ко-

нечно, нельзя исключить, что некоторые из них являются солитонами, но при отсутствии информации о всех зависящих от времени решениях доказать это с определенностью нельзя. Можно только отметить, что, так как требование (2.10) очень жестко, по всей вероятности, большинство из них являются только уединенными волнами. К счастью, методы квантования классических решений не зависят существенно от того, являются ли эти решения солитонами или уединенными волнами.

Четко определив различие между солитонами и уединенными волнами (первые являются узким подклассом последних), необходимо заметить, что в большей части литературы оно затушевывается. Уединенные волны часто называют солитонами, по- видимому, потому, что последнее название более ясно и привлекательно. Хотя названия мало значат в физике, необходимо все же различать, по крайней мере в классической теории поля, решения, удов летворя ющие требованию (2.8), и решения, удовлетворяющие, кроме того, требованиям (2.9), (2.10). В последующих главах мы тоже поддадимся популярной тенденции использовать название «солитон» для уединенных волн. Но по крайней мере в этой главе различие будет сохранено.

Некоторые уединенные волны в двух измерениях

Приведем теперь некоторые примеры уединенных волн, начиная с наипростейших. Как было отмечено выше, любое локализованное статическое (не зависящее от времени) решение является уединенной волной. Таким образом, в этом разделе мы сосредоточим внимание на статических решениях в их простейшем проявлении в случае скалярных полей в двух (одно пространственное + + одно временное) измерениях. Примеры с большим числом измерений и с более сложными полями обсуждаются в следующей главе. Рассмотрим скалярное поле 今(%, 2), динамика которого задается лоренц-инвариантной плотностью лагранжиана

о=4^)2 -^^-и^ (2・н)

здесь и далее точка и штрих обозначают дифференцирование по времени и по пространственной переменной х соответственно, а скорость света с положена равной единице. «Потенциалом» U (今) является любая неотрицательная функция от 今,достигающая минимума ——нуля при некотором значении или значениях ф. Вариационный принцип

J dxS (х, (2.12)

примененный к этому лагранжиану, приводит к волновому уравнению

□ lT，= -_g_(x,f).(2.13)

Это волновое уравнение с нелинейными членами, зависящими от выбора U (6). При изменении / уравнение сохраняет функционал полной энергии Е, определяемый выражением

Е @ = J 〃 [告(兩2 + 4 (“产 + U @)] .(2.14)

Пусть абсолютные минимумы функции U (今),являющиеся также ее нулями, достигаются в М. точках (М 为 1). Иными словами, пусть

U(6) = 0 для 6 = g⑺，i = l, ・・・，M・(2.15)

Тогда функционал энергии достигает минимума, когда поле В (х, /) постоянно в пространстве-времени и принимает любое из этих значений, т. е.

Е 2 ] = О тогда и только тогда, когда

6(%,f)=g(L "1,…，М.(2.16)

Нас интересуют статические решения, для которых уравнение (2.13) принимает вид

*'(%)三备=+ 警(分(2.17)

Уединенная волна должна иметь конечную энергию и локализованную плотность энергии. Согласно (2.15), ее поле должно приближаться при %f 土8 к одному из значений g^. Если U (今) имеет единственный минимум при j = g, то наше решение 今(%)-> f g при % f ±8. Если существует несколько вырожденных минимумов (7И > 1 в (2.15)), то 今(%) стремится к любому из значений g("')при %f —8 и к тому же или другому значению^1') при X f +8.

Удовлетворяя этим граничным условиям, решим уравнение (2.17) для 6(%). Так как (2.17) —обыкновенное дифферент циальное уравнение второго порядка, оно может быть просто решено в квадратурах для любого U 3). Но прежде чем решать его, полезно заметить, что (2.17) имеет механический аналог. Механические аналоги статических решений были указаны многими авторами (см., например, работы [81, 87, 145]). Если считать переменную х «временем», а 今一координатой точечной частицы с единичной массой, то уравнение (2.17) представляет*собой

просто второй закон Ньютона для движения частицы под действием потенциала [—U ®]. Решение ф (%) описывает движение этой частицы-аналога. Полная «энергия» движения, сохраняющаяся при изменении «времени» х, дается выражением

Г ~ *(d〃d%)2 — U(6)・ (2.18)

Граничные условия, рассмотренные выше, требуют, чтобы при х f 土8 U (6) -> 0 и d@/d% f 0. Следовательно, W — 0. Энергию W частицы-аналога не следует путать с энергией исходной системы Е, определяемой выражением (2.14). Для статического решения 今(％) энергия Е равна

E=hi^+U^]dx (2」9)

и, несомненно, дает полное «действие» движения частицы-аналога. Таким образом, наше статическое решение соответствует некоторому движению частицы с конечным действием и нулевой энергией. Наконец, умножая (2.17) на фг и интегрируя, получаем

"屮 dx=\ 瑞炉 dx, или 黄*)2 =。(执 (2.20)

Поскольку §' и U (今)обращаются в нуль при х = —сю, постоянная интегрирования равна нулю. Уравнение (2.20) представляет собой теорему вириала для частицы-аналога.

Вооружившись этой механической аналогией, рассмотрим сначала U ⑹ с единственным минимумом прнр；= %: U (我)—0. Тогда частица-аналог находится в потенциале [—U (^>) ], изображенном на рис. 1, а. Потенциал имеет максимум при 今 = % и отрицателен для всех остальных значений 虫 Граничные условия требуют, чтобы траектория с нулевой энергией начиналась и кончалась в точке 今=% в бесконечно удаленном прошлом и будущем (х = ±оо). Но достаточно взглянуть на рис. 1, а, чтобы заключить, что такое нетривиальное движение невозможно!

Если частица сдвинется с точки 力=今】в любом направлении, то назад она не возвратится. Ее кинетическая энергия уже никогда не будет нулевой, так как ее полная энергия W, равная нулю, всегда больше потенциальной энергии [—U (6) ]. Следовательно, частица никогда не сможет остановиться и повернуть назад к %. В терминах статического полевого решения ф (%) это означает, что, фиксировав граничное условие 屮 — %, d§ldx = —0 при х = —оо, его нельзя уже удовлетворить при х — +сю для нетривиального несингулярного решения. Таким образом, не решая точно уравнение (2.17) и не вдаваясь в детали поведения U (В), мы приходим к заключению, что если U 3) имеет

единственный абсолютный минимум, то статической уединенной волны не существует. Конечно, допускается тривиальное решение 6 (%) = % для всех

Далее, пусть U 仲)имеет два или более вырожденных минимумов, в которых она обращается в нуль. Рис. 1,6, на котором изображен потенциал частицы-аналога [—U 3) L соответствует случаю трех минимумов U 0) при 弘，％ и %• Согласно граничным условиям, при х = —8 частица должна покидать любую из этих точек, а при % = 8 приходить в любую из них. Теперь

Рис. 1. а — потенциал [~U(Ф)] частицы-аналога, когда U(0) имеет единственный минимум при 01； нетривиальных статических решений не существует. 6 — случай, когда U (0) имеет три различных вырожденных минимума; здесь возможно существование четырех нетривиальных решений.Рис. 1. а — потенциал [~U(Ф)] частицы-аналога, когда U(0) имеет единственный минимум при 01； нетривиальных статических решений не существует. 6 — случай, когда U (0) имеет три различных вырожденных минимума; здесь возможно существование четырех нетривиальных решений.

Рис. 1. а — потенциал [~U(Ф)] частицы-аналога, когда U(0) имеет единственный минимум при 01； нетривиальных статических решений не существует. 6 — случай, когда U (0) имеет три различных вырожденных минимума; здесь возможно существование четырех нетривиальных решений.

Рис. 1. а — потенциал [~U(Ф)] частицы-аналога, когда U(0) имеет единственный минимум при 01； нетривиальных статических решений не существует. 6 — случай, когда U (0) имеет три различных вырожденных минимума; здесь возможно существование четырех нетривиальных решений.

это возможно. Она может стартовать с вершины холма % при х = —8 и подойти к вершине холма ，？ асимптотически при %f +оо. Или же этот процесс может иметь начало в точке % а конец в точке %. Или он может идти в обратных направлениях. Для нашего случая существуют только четыре нетривиальные возможности. Например, частица не может покинуть %, перейти к «2 и далее либо вернуться к 6。либо пойти к 今^. Действительно, при % обращаются в нуль как U @), так и dUld^. Следовательно, как видно из (2.20) и (2.17), «скорость» (“)и «ускорение» (*) также обращаются в нуль. Далее

(2.21)(2.21)

(2.21)

(2.21)

Таким образом, все производные d"M/x罹 при % обращаются в нуль. Частица, покинув точку 也，может только подойти к точке % при х -> сю, где все производные движения исчезают. Она не может вернуться к % или пойти к %.

Итак, механическая аналогия помогает нам сделать следующие выводы: 1) если U («) имеет единственный абсолютный минимум, то статической уединенной волны не существует, 2) если U ($) имеет п отдельных вырожденных минимумов, то можно получить 2 (п — 1) типов решений, соединяющих при изменении х от —сю до +оо любые два соседних минимума. При этом, естественно, подразумевается, что могут существовать также тривиальные, не зависящие от Координат и времени решения.

Кроме этих общи*рассуждений, можно привести и точное решение (2.17) в квадратурах. Из (2.20) имеем

d§/dx = 土 [2U (§)屮2,(2.22)

ф (*) 一

% 一 %=士 f —(2.23)

Здесь постоянная интегрирования / есть любая точка в пространстве, где поле имеет значение 今(х0). Как следует из предыдущих рассуждений, при 尤-> ±8 ф (х) достигает любых дЬух соседних минимумов U (6), а для промежуточных значений % 6(%) лежит между этими двумя минимумами. Следовательно, U 3) обращается в нуль только при х -> ±8 и положительна при конечных х. Таким образом, подынтегральное выражение несингулярно, за исключением предельных точек при х -> оо или х0 -> -> —сю. Задавая / и 今(х0), можно в принципе получить решение 6 (х) явным образом, проинтегрировав (2.23) и обратив полученный результат. На практике сделать это аналитически возможно только для некоторых функций U (力).Заметим, что изменение х0 при фиксированном значении ф (х0) только сдвигает то же решение в х-пространстве. Это отражает трансляционную инвариантность исходного уравнения (2.13).

Проиллюстрируем этот метод на примере решения в виде «кинка» теории у [Ю1, 173, 283 ]. Плотность лагранжиана имеет форму (2.11), где

0@) = }%(户一加2 小)2;(2.24)

Здесь X и т2 — положительные константы. Уравнение Движения 三m26_卄3(2.25)

такое же, как (2.6), за исключением констант. Здесь U 3) обращается в нуль в двух вырожденных минимумах 力 = 士血/工 Поэтому .локализованные решения должны стремиться к 士血/仄 при %f ±8. Как это следует из сделанных выше выводов, статические решения могут быть Двух видов. Они могут начинаться

с 6 =—向/兄 при % = —оо и кончаться на 今=т[У~^ при % = 8 или наоборот. В частности, для статического уравнения 6" = dU/d^ =屮 _ 档6，(2.26)

используя (2.23), можно получить решение в виде е(#)-

% - % = +[厂二一段.(2.27)

一*么 幺/2(02 -絞小)、'

Рис. 2. а—схематическое изображение статического решения (2.28) в виде кинка; 6 — плотность энергии кинка; она локализована и имеет характерную ширину 1/т.

Это простой и хорошо известный интеграл. Выбирая 今(xj = 0, интегрируя по $ и обращая, получаем

6(%) = 土(向/Г) th[{tniy^) (х — /)]・(2.28)

Решение с положительным знаком изображено на рис. 2, а и называется 《кинком》； решение с отрицательным знаком называется «антикинком». Хорошо виден эффект трансляционной инвариантности, так как изменение х0 только сдвигает решение в пространстве. Другие симметрии лагранжиана прих — —х и отдельно при 6 一 一j отражены в следующих соотношениях, принимающих наиболее простой вид, если х0 положить равным нулю:

^кинк (%) = ~^^антйкинк (%) = ^антикинк (—%)•(2.29)

Плотность энергии кинка

e(*) = !@')2 + U® = 2U仲)；

используя (2.22), находим

е (х) = (m4/2X) sch4 [m (% — х0)/)/ 2 ] •(2.30)

Плотность энергии кинка показана на рис. 2, 6, где видно, что она локализована около /. Полная энергия кинка, называемая иногда классической массой кинка 7ИКЛ, дается выражением

8

мм= J dxe(x) = lp•岑

она конечна. Таким образом, кинк, а также антикинк — полноправные уединенные волны. Тем не менее они не являются солитонами. Обычно, для того чтобы убедиться, что некоторые уединенные волны не являются солитонами, т. е. что они не сохраняются при столкновениях, необходима информация о зависящих от времени решениях, включающих несколько таких волн. Но в данном примере двухкинковая конфигурация не может даже существовать с конечной энергией, а тем более рассеиваться некоторым заданным способом. Пусть первый кинк начинает движение из 6 = —m/YX при х = —сю к 6 = tnMX вправо. Если за ним движется второй кинк, то последний должен стремиться к 6 = 2mly飞 при х -> оо. Но это ведет к постоянному ненулевому значению плотности энергии при х -> сю и, следовательно, к бесконечной полной энергии. Конечно, за кинком может следовать антикинк, возвращающий поле 今(%) к значению —mW% Но здесь также численные вычисления показывают, что после столкновения кинк и антикинк не сохраняют свои формы. Следовательно, кинк есть уединенная волна, а не солитон. Он напоминает «комок» материи в том смысле, что представляет собой статический самоподдерживающийся локализованный пакет энергии. Это сходство с протяженной частицей идет дальше: так как система лоренц-инвариантна, исходя из заданного статического решения (2.28), преобразованием Лоренца можно получить решение в виде движущегося кинка. Помня, что 今一скалярное поле, достаточно только провести преобразование координат в (2.28), Это дает

. "(*, /)=病也[病(牛冷)]， (2・32)

где 1 > u > —1 —скорость. Подстановкой можно убедиться, что это решение полевого уравнения (2.25). Пространственная ширина статического кинка в смысле плотности энергии (2.30)

характеризуется величиной 1/т, тогда как соответствующая ширина движущегося кинка (2.32) есть /1 — u2/m, как и должно быть, согласно лоренцеву сокращению «комка» материи. Далее, энергия зависящего от времени решения (2.32) по (2.14) есть

e [九厂 j d"曰(九)2 +1 (构2 + U (仰)]=

JdxJdx/И4 冰/И4 冰4 九 1 一〃24 九 1 一〃24'4'/П&1/П&1加4加44 九1 -〃2 丁 4 九4 九1 -〃2 丁 4 九)х)х

Jdx

Jdx

/И4 冰

/И4 冰

4 九 1 一〃2

4 九 1 一〃2

4'

4'

/П&1

/П&1

加4

加4

4 九1 -〃2 丁 4 九

4 九1 -〃2 丁 4 九

)х

)х

х sch4х sch4X - Xq — lliX - Xq — lli)]=)]=

х sch4

х sch4

X - Xq — lli

X - Xq — lli

)]=

)]=

/и4/и42X(1 — и2)2X(1 — и2)sch4sch47П X —XQ — Ut7П X —XQ — Ut昨 /1二壮昨 /1二壮2 М，/из ]2 М，/из ]з Гз ГМклМкл(2.33)(2.33)

/и4

/и4

2X(1 — и2)

2X(1 — и2)

sch4

sch4

7П X —XQ — Ut

7П X —XQ — Ut

昨 /1二壮

昨 /1二壮

2 М，/из ]

2 М，/из ]

з Г

з Г

Мкл

Мкл

(2.33)

(2.33)

где Мпл — энергия статического кинка (2.31). Связь между (2.33) и (2.31) отражает эйнштейновское соотношение между массой и энергией частицы. Поэтому неудивительно, что в квантованном варианте теории кинку соответствует состояние частицы. Другим важным свойством решения ^>кинк (х) является его сингулярность в точке обращения в нуль параметра нелинейности X. Это свойство не может быть получено при разложении в ряд по теории возмущений, начиная с линейного уравнения. Непер- турбативность ^кинк приводит ко многим следствиям в квантовой теории. Наконец, последнее свойство решения 6Kliнк — «топологический» индекс — обсуждается немного ниже.

Очевидно, что такой же анализ можно провести для любой функции U 3) с вырожденными минимумами. Другим примером является функция U (今)=明^ (У — I)2. которая имеет три вырожденных минимума при 今=0, ±1. Отсюда следует ожидать четыре типа статических решений с граничными условиями

^=[-1, 0], [0, 1], [1, 0], [0, -1] при %=[—8, 8].

В данном случае точные статические решения уравнения (2.17) имеют вид

6 (%) = 土(1 十 е±2*)т/2.6 (%) = 土(1 十 е±2*)т/2.(2-34)(2-34)

6 (%) = 土(1 十 е±2*)т/2.

6 (%) = 土(1 十 е±2*)т/2.

(2-34)

(2-34)

Все эти решения имеют локализованную плотность энергии и конечную полную энергию. Примеры функции U («) с единственным минимумом не имеют статических уединенных волн, как это обсуждалось выше. Так, хорошо изученная полевая теория

с U (@) = %т2«2 + /АУ，которая отличается от (2.24) знаком члена 欢 не имеет локализованного статического решения, кроме, конечно, тривиального решения 今(х) = 0.

Перейдем на следующий уровень сложности, т. е. к статическим решениям систем взаимодействующих скалярных полей в двух пространственно-временных измерениях. Это приводит нас к этапу, когда общих методов получения всех локализованных статических решений данных полевых уравнений не существует. Тем не менее некоторые решения, но, конечно, не все, могут быть получены для класса таких лагранжианов [291 ] с использованием метода пробных функций.

Вначале обсуждение идет так же, как и выше, с соответствующим обобщением на случай системы взаимодействующих скалярных полей ^>г (%, £),，= 1,…，TV. Рассмотрим плотность лагранжиана

2(*, /)=e手[&)2一仲/一0(仲由，(2.35)

где U (他｝) — некоторая функция всех %, имеющая минимальное значение, равное нулю. Полевые уравнения имеют вид

□ % = —dU/d^i / = 1, ..., М(2.36)

Статические решения должны удовлетворять уравнению

# = 0U/0”(2.37)

Это уравнение также имеет механический аналог. Теперь частица- аналог движется с течением «времени» х в N измерениях с координатами % под действием потенциала [—U (%) L Требование конечности энергии решения ведет к граничным условиям 找=0 для всех / и U (60 = 0 при % f ±8. Для частицы-аналога это опять соответствует траектории с конечным действием и нулевой энергией в пространстве с ^ измерениями, начинающейся и кончающейся в некоторых минимумах U (%). Тем не менее имеются два отличия от случая одного поля.

Там не существовало решения при наличии у U (力)единственного минимума. Это обусловлено тем, что частица, после того как она оставила максимум [—U («)], имеет отрицательно определенную потенциальную энергию и ненулевую кинетическую энергию и поэтому не может остановиться и повернуть назад. Для взаимодействующих полей в случае единственного минимума U («О также верно, что в любой другой точке Димерного 今厂про- странства частица не может иметь нулевой скорости. Но несмотря на это, она может пройти по замкнутой кривой и вернуться в исход-

2 Раджараман Р.

ную точку. Возможна соответствующая нетривиальная уединенная волна. Это будет^ показано ниже на примере.

В отличие от уравнения (2.17), которое решается в квадратурах, для системы дифференциальных уравнений (2.37) не существует простого способа интегрирования. Здесь аналогия с механикой не помогает. Для заданного потенциала и граничных условий в конечных точках нелегко проинтегрировать второй закон Ньютона для движения в двух или более измерениях. Это кажется удивительным, если иметь в виду долгую историю механики и многие классические учебники по теории орбит. К сожалению, большая часть литературы посвящена «центральным потенциалам». Здесь это соответствует системам, инвариантным относительно вращения от одной точки «^ к другой. Такая симметрия при вращениях в полевом пространстве согласно терминологии физики элементарных частиц называется «внутренней» симметрией. При существовании внутренней симметрии ее можно использовать аналогично тому, как используются полярные координаты в механике центральных потенциалов. В одной из последующих глав мы рассмотрим отдельно внутреннюю симметрию и «заряженные» уединенные волны. При отсутствии такой симметрии, даже если U (%) представляет собой довольно простую полиномиальную функцию, получить все решения уравнения (2.37) в общем виде невозможно. Но можно получить некоторые решения для частных случаев, пользуясь следующей стратегией.

Разобьем задачу на две части. Сначала найдем «орбиту» частицы-аналога в ^-мepнoм пространстве, отвечающую граничным условиям. Эта орбита есть одномерная кривая и определяется N — 1 соотношениями между ^ координатами ” Если орбита известна, то движение вдоль орбиты, т. е. зависимость % (х) от %, может быть получено квадратурой, так как оно равносильно движению вдоль одномерной кривой. Конечно, трудно найти все орбиты, разрешенные данным потенциалом. Тем не менее для многих типичных форм U (%) оказывается достаточно нескольких пробных орбит. Конечно, это не так хорошо, как если бы можно было найти все орбиты для потенциала. Но во многих случаях это дает некоторые точные решения.

(2.38)(2.38)Мы поясним эту процедуру на примере двух скалярных полей 61 и «2, взаимодействие которых описывается потенциалом U (%, %). При этом частица-аналог перемещается в плоскости 他，З?}. Пусть, например, U (%, %) имеет два вырожденных минимума в точках А и Q плоскости {%, %}, как показано на рис. 3. (Обобщение на случаи большего числа минимумов или взаимодействующих полей очевидно.) Будем искать разрешенные потенциалом [—U (%, %)] орбиты для частицы-аналога. Пусть

(2.38)

(2.38)

g (%，%) = °

—уравнение орбиты. Тогда исключая х, можно связать непосредственно орбиту с U (А %). Из (2.38) имеем

dxдФ工 * 丁 加＞2 * 2

Тогда

(得y(»=(^)%/(2・39)

Фг

В

0/

Рис. 3. Типичные орбиты, соответствующие статическим локализованным решениям для случая двух взаимодействующих полей Ф1 и Ф2 и двух вырожденных минимумов потенциала U (仰，Ф2) в точках Р и Q. Орбиты типа В соответствуют, согласно терминологии разд. 24 топологическим, а орбиты типа Л — нетопологическим решениям. Орбиты типа С не описывают статические решения, но могут играть роль в случае «заряженных» решений, обсужаемых в гл. 8.

При интегрировании (2.37) получаем

}©)』］怨僚产 物+ 4; i=l, 2,(2.40)

где At — постоянные интегрирования. Подставляя уравнение (2.40) в (2.39), имеем

(需)(* 物+ 4)=(墨 y(J“d% + 4).

(2.41)

Это уравнение орбиты, связывающее g (%, %) непосредственно с U (%, %), в котором исключено %. Заметим, что эти интегралы изменяются вдоль орбиты, так как % и % в п оды нте гр а ль ных выражениях связаны соотношением (2.38). Таким образом, (2.41)— интегродифференциальное уравнение орбиты, записанное через потенциал. Ему может быть придана форма дифференциального уравнения, но общий метод решения любого из этих уравнений отсутствует. Это отражает трудности теории орбит, упомянутые выше. Тем не менее можно выбрать разумные пробные функции для орбиты (2.38), подставить их в (2.41) и попытаться удовлетворить (2.41) выбором параметров орбиты.

2*

Нахождение пробных орбит можно упростить, привлекая сделанные выше выводы. Периодические орбиты или орбиты, уходящие в бесконечность, важные для истинно механических задач, нас не интересуют, так как имеют бесконечное полное действие. Конечную величину энергии уединенной волны имеют орбиты с конечным действием и нулевой энергией, начинающиеся в минимумах Р или Q и кончающиеся в Р или Q. Пробные орбиты этого вида могут быть двух типов (рис. 3). Орбиты типа А начинаются и кончаются в одном и том же минимуме, описывая на плоскости замкнутую кривую, тогда как орбиты типа В связывают различные минимумы. Орбиты типа С, когда частица покидает, скажем, точку Р, переходит к некоторой точке R и возвращается по тому же пути к точке Р, имеют конечное действие, но не разрешены динамикой. В точке поворота /?. частица должна иметь нулевую кинетическую энергию и, следовательно, (7=0, так как ее полная энергия равна нулю. Но по предположению единственными нулями U являются точки 尸 и Q. Таким образом, орбиты типа С не связаны со статическими уединенными волнами, хотя они могут оказаться существенными для некоторых зависящих от времени «заряженных» решений, которые обсуждаются в гл. 8. Сейчас нам нужны только орбиты типов А и В (если потенциал имеет единственный минимум, то существует только тип А).

Процесс нахождения пробных орбит проще пояснить на примере. Рассмотрим простой типичный для взаимодействующих полей потенциал

U (6】，％) — }(6； — 1)2 + }川(力2)? + ；、(《2)4 + }礴闌一1) d,

(2.42)

где X, d и m2 > 0. В этот потенциал можно было бы ввести больше параметров, сохраняя его полиномиальную форму, но их всегда можно исключить изменением масштаба полей и пространственновременных координат. Эта модель типична и часто обсуждается в литературе. Она состоит из двух ^-систем, одна из которых имеет отрицательный член «2, такой же, как в (2.24), а другая —— положительный чле^ 今纟，входящий в последний член выражения (2.42). Таким образом, потенциал U (%, %) имеет два абсолютных минимума в точках {1, 0] и {—1, 0} в плоскости 他，％}• Он обращается в нуль только в этих двух точках и всюду положителен, если А〉(d — m2)2. Тогда могут существовать орбиты типов А и В. Так как потенциал имеет простую полиномиальную форму, естественно искать орбиты в форме полиномов по «• Для орбит типа В, которые должны идти из одного минимума в другой, рассмотрим семейство пробных орбит

g 他，％) = (%)" +а (他)2-1) = 0, (2.43)

где а и п — некоторые параметры, которые надо определить. Подставим (2.43) в (2.41) и проинтегрируем вдоль орбиты, начинающейся в точке (—1, 0); тогда в любой точке [%, %] орбиты имеем*

(2a«i)2 [ j d$i (/ — $i 十 磁$i))=

=(呻尸)2 0d$2(川西+ 九報+ 南2(循一1))). (2.44)

Здесь постоянные интегрирования Аг и А2 в (2.40) равны нулю, так как интегралы имеют нижними пределами (—1, 0), где 同 и «А обращаются в нуль в силу граничных условий. Исключая с помощью уравнения орбиты (2,43) «丄 вне и под интегралами, получаем после интегрирования

4a2j ]与-%(:%，l)=

=-L "附2禮г + 扌 %,2疹+2 — а (〃: 2) •(2♦45)

Теперь остается только согласовать коэффициенты при одинаковых степенях «? в обеих частях уравнения. Отсюда имеем два решения. Первое решение

/г = 2, а = (1 — 2m2)/d, X = d (d — 2m2)/(l — 2m2)

(2.46)

получается согласованием коэффициентов при 韓 и 聘 соответственно. Результирующее уравнение орбиты

“ = [(1—2 病)/d](l—g .

представляет собой уравнение полуэллипса, соединяющего два минимума U. Второе соотношение в (2,46) есть ограничение на параметры потенциала, которому необходимо удовлетворить наряду с требованием положительности U. Подставляя данную орбиту в полевые уравнения (2.37), получаем

% = 6: — 6 + 喝) 油=2病(材-例).(2.47)

Это уравнение легко интегрируется (см. также [255 ]) и дает

%(%) = th[/n(x — %o)],

% (%) = ± [(1 - 2m2)/矶1/2 Sch [m(x - A0)]-(2'8)

Таким образом, мы получили явное точное статическое решение с конечной энергией системы полевых уравнений (2.37) для потенциала (2.42).

Второе решение (2.45) имеет вид

п = 1, № = 2, X = 8d/3, а2 = (d — 3)/2d.(2.49)

Соответствующая орбита есть параболическая дуга:

% = [(d — 3)/2d，2(l—峭，

соединяющая два минимума U. Подставляя эту орбиту в (2.37), получаем

% =б2加 + 九谡 + d% (状——1) = 2% ——d [2d/(d ——3)]"?礎-]—^- d展，

(2.50)

что можно записать в стандартной форме

也= а§2— 等磺+ 2с<^,(2.51)

выбирая соответствующим образом константы。，力 и с. Интегрирование дает

‘2(*2 — 4ас)1/2 ch (Уа х) + &，(2 52)

状(*)= 1 一 [2d/(d —3)产力2(х).■ Z

Это новое точное решение в виде уединенной волны для потенциала (2.42), справедливое для другой области значений X, т2 и d, чем решение (2.48). Оба решения (2.48) и (2.52) типа В, имеют колоколообразную форму для % и форму кривой с перегибом для %, как показано на рис. 4, а. Для той же системы можно попытаться найти решение типа А, когда орбита начинается и кончается, например, в точке (—1, 0). Простейшим случаем является эллипс:

g@, %)=礎 一 р (例 + 1) @ —例)=0.(2.53)

Он удовлетворяет уравнению (2.41) при условиях

а = (1 + 4т2)/3, Р = (2 — 4/п2)/(1 + 4ща), d = (3 + 12m2)/(4 + 4/n2),

Л _ (5 -4展)(1 +4即)夕 R、

“ 一(8 +8/n3) (1 — 2/n2) •°

Эти соотношения просто получить, следуя процедуре, использованной в уравнениях (2.44), (2.45) для орбит типа В. Точные ре-

шения опять можно найти исключением одного из полей системы уравнений (2.37) с помощью уравнения орбиты (2.53). Это дает

Рис. 4.。一 статическое решение (2.48); решение (2,52) имеет тот же общий вид. но отличается в деталях; оба решения типа В; 6 — решение типа Л (2.56); это статическое нетопологическое решение; при наличии только одного скалярного поля такие решения не существуют.

Данное соотношение опять имеет стандартную форму (2.51) и при интегрировании приводит к

1 + % (х) =—7’ 广一八,(2.56)

Г (b2~4ac)1/2ch (^a x) + b''

где a,力 и с снова можно найти из сравнения (2.55) и (2.51). Другое поле % (х) находим, используя уравнение орбиты (2.53). Это решение, схематически представленное на рис. 4, 6, типа А и интересно тем, что оно «нетопологично», т. е. при % —> 土8 имеет один и тот же предел в отличие от остальных рассмотренных выше решений. Но хотя (2.56), несомненно, точное решение, его устойчивость при малых возмущениях требует отдельного обсуждения.

Поскольку у решения отсутствует ненулевой топологический индекс, предохраняющий от распада на рябь (плоские волны малой амплитуды), оно вполне может быть неустойчивым [323].

Точные решения в виде уединенных волн (2.48), (2.52) и (2.56) относятся к одному и тому же потенциалу (2.42), но к различным значениям параметров m2, d н 尢 Этот потенциал выбран просто в качестве типичного примера, использованного для пояснения метода, хорошо работающего для многих других потенциалов (см., например, [298]).

Основные недостатки рассмотренного метода следующие: 1) необходимость подгонять орбиты, а не выводить их, 2) наличие связей между параметрами потенциала, таких, как (2.46), необходимых для существования решения. Последнее ограничение возникло потому, что мы пытались строить особенно простые орбиты. Орбиты с большим числом пробных параметров, возможно, уменьшат или даже исключат связи. Наконец, обобщение этого метода на случай более двух взаимодействующих полей очевидно, хотя при этом потребуются длительные алгебраические вычисления. Вместо уравнения (2.41) появятся (N ——1) уравнений, связывающих орбиту с потенциалом.

Топологические индексы

Часто можно провести топологическую классификацию решений заданной системы уравнений. Возникновение этого понятия в физике можно проследить по ранним работам Скирма [317 ], Финкельстейна и Мизнера [138] и Финкельстейна [137]. Более современное и полное обсуждение данного вопроса можно найти в лекциях Коулмена [87 ]. Основная идея уже упоминалась в предыдущем разделе. Ее необходимо только выделить, формализовать и распространить на более сложные системы. Конкретнее говоря, можно определить топологический индекс, сохраняющийся во времени. Как и другие сохраняющиеся величиньь он играет важную роль «квантового числа» состояний частицы в соответствующей квантовой теории поля. Но он имеет совсем другое, отличное от привычных сохраняющихся величин и квантовых чисел происхождение. '

Напомним проведенное выше обсуждение скалярного поля 3 (%, /) в двух измерениях. Пусть потенциал U (屮)в (2.11) имеет дискретное (но не обязательно конечное) число вырожденных абсолютных минимумов, в которых он обращается в нуль. Этому удовлетворяют все примеры предыдущего раздела, а также система синус-Гордона следующего раздела, имеющая дискретную бесконечность вырожденных минимумов. Нас интересуют несингулярные решения с конечной энергией, частными случаями которых являются уединенные волны, и солитоны. Тогда, чтобы энер-

гия Е в (2.14) была конечной, статическое или зависящее от времени поле должно стремиться к минимуму U (小)в каждой точке пространствеиной бесконечности для любого момента 九 В одно、 мерном пространстве пространственная бесконечность состоит из двух точек % 二 ±оо. Рассмотрим, например, точку % = +оо. Пусть в некоторый заданный момент /0

^^ 笫三 6(8,幻=%， (2.57)

где % — один из минимумов U (小).Тогда с течением времени t (вперед или назад, начиная от /0) поле 小(％, /) будет меняться непрерывным образом в каждой точке %, следуя дифференциальному уравнению (2.13). В частности,小(оо, £) будет некоторой непрерывной функцией Л С другой стороны, так как энергия решения сохраняется и конечна, функция 小(оо, /) должна быть всегда одним из минимумов U (力)，образующих дискретный ряд. Она не может перескакивать от 丸 к одному из других дискретных минимумов, так как непрерывно изменяется с Л Таким образом, 6 (оо, /) должна быть постоянной 力广 Применяя те же рассуждения к точке % =——оо, получаем, что 小(——оо, /)=小？ не за' внснт от времени и является минимумом U (小),но в случае вырожденных минимумов не обязательно равна ^.

Следовательно, пространство всех несингулярных решений с конечной энергией можно разделить на секторы, характеризуемые двумя индексами, а именно не зависящими от времени значениями 6 (% = оо) и 6 (% =——оо). Эти секторы топологически не связаны в том смысле, что поля одного сектора не могут переходить непрерывным образом в поля другого, не нарушая требования конечности энергии. В частности, так как эволюция во времени является примером такого непрерывного перехода, полевая конфигурация любого сектора с течением времени остается внутри него. Естественно, при наличии одного минимума U (小) возможно только одно значение как для 小(оо), так и для 少(——оо); поэтому существует только один сектор решений.

Для пояснения рассмотрим систему (2.24) предыдущего раздела. Потенциал имеет два вырожденных минимума при 。— 」(土т/р/入).Следовательно, все несингулярные решения с конечной энергией такой системы, статические и зависящие от времени, распадаются на четыре топологических сектора. Они характеризуются парами индексов (—mWT, /и//又)，(m/j/X, —т/Ум^ (—mW鼠 ——m/j/X) и (т/^Ху ml-^K), которые отвечают значениям 3 (工三一оо),小(工=+оо)). Таким образом, кннк, антикинк и тривиальные постоянные решения 小(工)=土 ⑺/丿* являются членами четырех секторов. Полевая конфигурация, состоящая из кинка, движущегося слева навстречу антикинку, идущему

справа, принадлежит сектору (——т/У X,——罐//又).Даже если мы не можем вычислить, что произойдет после их столкновения, можно быть уверенным, что получающаяся полевая конфигурация будет всегда оставаться в секторе (—血/入，一tnl，R.

В литературе часто используется величина, называемая иногда «топологическим зарядом». Здесь ее можно определить как

Q = (/入 /т)[中(х = оо) — 6 (х = — оо)](2.58)

с соответствующим сохраняющимся током

h"=(，卜丿向眇"8&>(2.59)

где использованы ковариантные обозначения

№ у = 0, ] , 2内=[0 — J j ,

a 沁一антисимметричный тензор. Ясно, что

d^k^ = О, Q = j dx^o・*.60)

Величина Q есть просто разность двух индексов (/Х//и)小(оо) и (]/Х/т) ф (——оо). Мы упоминаем здесь топологический заряд, так как он является аналогом топологических индексов более сложных систем, таких, как калибровочные теории в четырех измерениях. Необходимо помнить, что, поскольку поле 小 есть измеримая физическая величина, для нахождения топологического сектора необходимо знать не только Q, но также 小(оо) и 小(—оо). Однако в тех случаях, когда физические величины зависят от разности значений 小，а не от абсолютной величины 小，как это имеет место во многих приложениях системы синус-Гордона, Q становится истинно топологическим индексом. Уединенным волнам с Q * 0 часто дают название «топологических». Волны с Q 工 0 — «нетопологические». Таким образом, кинк и антикинк системы (2.24) являются топологическими решениями, тогда как тривиальные решения 小(％) = 士 (m/]/X) нетопологические. Один из наших выводов последнего раздела, сформулированный с применением данной терминологии, гласит, что для одного скалярного поля в двух измерениях нетривиальные статические решения обязательно являются топологическими.

Отметим, что топологические индексы отличны от более привычных сохраняющихся величин типа энергии, импульса, заряда и т. д. Последние, как хорошо известно из классической и кван-

товой теории поля, связаны с существованием непрерывных симметрий лагранжиана, таких, как временные сдвиги, пространственные сдвиги, «внутренние группы» и т. д-. В отличие от этого топологические индексы есть граничные условия, сохраняющиеся вследствие конечности энергии, хотя во многих случаях эти индексы тесно связаны с определенного вида нарушением некоторой симметрии. Пусть лагранжиан и U 仲）инвариантны при некотором преобразовании симметрии, действующем на 小（％）. Если U 3）имеет единственный минимум в некоторой точке 小 =%, то значение % должно быть инвариантным при таком преобразовании. Но для получения нетривиальных топологических секторов нужно иметь два или более вырожденных минимумов. В таком случае при преобразовании инвариантен весь набор минимумов, а не каждый минимум в отдельности. Например, система （2.24）, имеющая четыре топологических сектора, допускает инвариантность U （6）при 6 — —小.Но два минимума системы 小 = —血/又 и ф = tnlV% в отдельности не инвариантны. Вместо этого они переходят друг в друга. Это явление имеет большое значение в квантовой теории и в статистической механике полевой системы и носит название «спонтанное нарушение симметрии». К этому явлению мы вернемся позднее, здесь же мы только рассматриваем связь нетривиальных топологических секторов с существованием нескольких вырожденных минимумов потенциала, что в свою очередь связано со спонтанным нарушением симметрии.

Обобщение развитых идей на случай N взаимодействующих полей б» （%, /） в двух измерениях очевидно. Пусть вырожденными минимумами потенциала U （小1，...,小^） являются некоторые дискретные точки P（D, ..., Р（т）в Димерном пространстве полей. При х f оо поля должны стремиться к любой из этих точек, скажем к 尸⑺，а при 工->—оо —■ к другой из этих точек 尸⑶. Эта пара точек Р^ и Р^ характеризует частный топологический сектор решений с конечной энергией. Если P（s）=尸（尸），то сектор и его решения «нетопологические». Если Р^ 关 Р（'）, то они топологические. Мы показали в последнем разделе, что статические нетопологические решения могут существовать для взаимодействующих полей в двух измерениях, хотя для одного скалярного поля они отсутствуют. Эти решения принадлежат к типу А, одно из которых в качестве примера схематически изображено на рис. 4,6.

Применительно к скалярным полям в двух измерениях понятия топологических секторов и индексов выглядят слишком тривиальными. Но при переходе к более сложным системам в гл. 3, таким, как калибровочные теории в четырех измерениях, применимы те же идеи. Это оправдывает предварительное знакомство с такими понятиями в более простом контексте.

Решения системы синус-Гордона

Статические решения, рассмотренные в разд. 2.3, являются лишь уединенными волнами, а не солитонами. Рассмотрим теперь систему, которая дает солитоны по самому строгому определению, приведенному выше. Она состоит из единственного скалярного поля 6 (%, /) в (1 + 1) измерениях, описываемого плотностью лагранжиана

Z (X, 0 = }@小)0号)+ (优4/加cos [(/芽小"]-1}.(2.61)

Эта система используется при исследовании широкого круга явлений, включающего распространение дислокаций в кристаллах, скошенных волн в мембранах, магнитного потока в джозефсонов- ских контурах, а также движение блоховских стенок в магнитных кристаллах и модели элементарных частиц в двух измерениях. Более детальные ссылки по этим применениям можно найти в обзорах Скотта и др. [309] и Бароне и др. [26 ]. Разлагая плотность лагранжиана в ряд по константе взаимодействия X, получаем

①(％ о=4 @в)俨 в) - 4 齊2+齐 у —磊 + ••••⑵ 62)

При X —> 0 это свободная система Клейна——Гордона, а член О (X) связан с взаимодействием четвертого порядка (соответствующего здесь притяжению). Но мы будем работать с полным лагранжианом (2.61) и искать классические решения, непертурбативные по 入. Уравнение поля, получаемое из (2.61), есть уравнение синус- Гордона

3 + ®з/1/ X ) sin [(]/X /т)屮]~ 0.(2.63)

Эта система своим названием обязана наличию члена с синусом и аналогией с уравнением Клейна——Гордона, что послужило поводом для веселой дискуссии. Коулмен [87] критикует это название и цитирует слова Д. Финкельстейна о системе (2.63): «Я сожалею, что когда-то назвал ее уравнением синус-Гордона. Это была наша с Джулио Рубинстейном шутка, и я никогда не использовал это название в печати. К тому времени, когда он использовал его в названии статьи, он уже был доктором философии и, следовательно, вне всякой критики». Но это историческое свидетельство может только подлить масло в огонь дискуссии, так как Рубин- стейн [297 ] в своей статье переадресовывает авторство названия М. Крускалу.■

Возвращаясь к уравнению (2.63), упростим его заменой переменных

х = тх, 彳=加厶 3 = (J 入//и) @.

Плотность лагранжиана (2.61) принимает вид

必(五什=(用/入)[扌伍$) 0喃+(COS$-1)] .(2.64)

Уравнение движения имеет вид

(2.65)(2.65)

(2.65)

(2.65)

а сохраняющаяся энергия равна

+ (1 — COS 6)+ (1 — COS 6)(2.66)(2.66)

+ (1 — COS 6)

+ (1 — COS 6)

(2.66)

(2.66)

Лагранжиан и уравнение поля имеют дискретные симметрии

3(x, /)-> 小(x,力 + 2A/n, N =一2, —1, 0, 1, 2,.

В соответствии с этими симметриями энергия Е обращается в нуль в точках абсолютного минимума

u($)=l—COS$,(2.68)

которыми являются

3(х, t) = 2Nn.(2.69)

Как следует из нашего предыдущего анализа, все конфигурации с конечной энергией, статические или зависящие от времени, могут быть подразделены на бесконечное число топологических секторов, каждый из которых характеризуется сохраняющейся парой целых индексов (Л\, %2), с о ответств у ющи х асимптотическим значениям 2"1冗 и 2N2^, достигаемым полем при стремлении х к ——оо и к +оо соответственно. Если по физическим соображениям 6 определено только по модулю 2л, как это происходит в тех случаях, когда ，трактуется как угловая переменная, то тогда имеет смысл топологический заряд

Q 三 М — М = /~ J(2.70)

Говоря, что $ определено по модулю 2л, мы считаем, что в любой пространственно-временной точке можно взять 少(х, /) с точностью 2л. В других точках « фиксировано требованием непрерывности.

Начнем со статических локализованных решений. Общие соображения показывают, что для скалярного поля в одномерном

пространстве статические решения соединяют только соседние минимумы U (，), т. е. они должны нести заряд Q = ±1. Точные решения легко получить, используя (2.23):

3 (三)3(^)

，一猊=± J р^у =± J 2si；：0/2) •(271)

Е(В)за。)

Интегрирование проводится просто и дает

$ (х) = 4 arc tg [exp (х -媪]=九。口 (х - £))(2.72а)

ИЛИ

$(X)= — 4 arc tg [exp 伍一元))]三 ^антисол (X -x0)= -%ол. (2.726)

Решение со знаком плюс (2.72а) идет от 小 = 0 к 小 = 2л (рис. 5, а), или (что эквивалентно) от 2л к 4л, от 4л к 6л и т. д. Оно соответствует Q = 1 н часто называется солитоном системы. Второе решение (2.726) имеет Q = ——1 и называется антисолитоном. Каждый из солитонов имеет энергию Мс = 8№/入，вычисляемую подстановкой (2.72) в (2.66). Решения в виде движущихся солитонов можно получить, как и раньше, преобразованием Лоренца (2.72а), т. е. заменой (х — х0) на [(х — % — 〃F)//1 — и2]. Решение (2.72а) несколько напоминает по форме рассмотренный выше «кинк», хотя в деталях они различаются.

Но мы утверждаем, что в противоположность «кинку» решение (2.72а) является истинным солитоном согласно жестким требованиям (2.9), (2.10). Аналогично решение (2.726) с Q =—1 есть истинный солитон в полном смысле этого слова. Здесь мы называем его антисолитоном частично для того, чтобы отличить от решения (2.72а) с Q = 1, а частично потому, что он связан с последним симметрией 小一--办

Эта система допускает и третий тип солитона, называемый дублетом, или бризером, который будет описан ниже. Таким образом, уравнение поля (2.65) допускает не один, а три различных типа солитонов.

Утверждение, что все эти решения действительно являются солитонами, должно основываться на рассмотрении точных зависящих от времени решений уравнений поля, включающих произвольное число таких объектов после столкновения. К счастью, для этого уравнения такие решения были в принципе получены. Начнем с решения для солитон-антисолитонного рассеяния ^са [280, 310 ] (см. также [297 ]). Это и несколько последующих решений мы не будем выводить. Они являются точными решениями,

что легко проверить подстановкой в (2.65). Так можно проверить, что функция

…= 4aEg(驚寻(2.73)

Рис. 5. а ——солитон синус-Гордона (2.72а); 6 — три профиля решения ФсА (х, /) для солитон-антисолитонного рассеяния при больших отрицательных Z, / — О и больших положительных /; при / — 0 0cA обращается р нуль; в 一 солитон- солитонное решение при / — 0.

удовлетворяет уравнению (2.65). Легко найти ее асимптотическое по времени поведение:

^са(хЛ)—-4arctg[exp(-+；^)]-

= ?еол 尸±0/2))/)，(274)

где-

А 三((1—〃2)/〃)1п〃.(2.75)

Таким образом, в отдаленном прошлом решение описывает разделенные большим расстоянием солитон и антисолитон, сближающиеся со скоростью 2〃. Аналогично можно проверить, что

工 / +A/2) \ . т / £ —A/2)

@CA (匕 0 777^0 ?сол (-~； + бантисоп ( —

(2.76) где опять рассматриваются ^сол и ^антиСол с точностью 2л. В удаленном будущем решение ^са описывает ту же солитон-антисо- литонную пару с такими же формами и скоростями. Единственное изменение в исходной конфигурации (2.74) заключается во временном сдвиге Д, который представляет собой единственный остаточный эффект столкновения солитона с антисолитоном. При сближении■ солитонов они при ? = 0 аннигилируют и поле исчезает всюду (рис. 5, б). Но при положительных значениях ? оно возникает вновь, асимптотически растет и разделяется на ту же пару, как если бы вообще не было столкновения, за исключением временного сдвига. Поскольку используются единицы, в которых с = 1, то и < 1, временной сдвиг Д отрицателен. Качественно говоря, это означает, что солитон и антйсолитон притягивают друг друга и взаимно ускоряются. Отметим, что соотношения (2.74)——(2.76) удовлетворяют общим требованиям (2.9), (2.10), предъявляемым к солитонам для специального случая столкновения солитона и антисолитона.

Существует аналогичное точное двухсолитонное решение ?се(x, 0 = 4arctgh),(2.77)

показанное на рис. 5, в. В любой момент времени f оно изменяется от ——2л до +2л при изменении х от ——оо до +оо и, следовательно, принадлежит сектору с Q = 2. Отметим, что наши общие соображения запрещали только статическим решениям принадлежать секторам с Q* 1. Зависящие от времени решения могут существовать во всех секторах. Решение (2.77) также имеет простое асимптотическое поведение при ff ±оо. Простые вычисления показывают, что аналогично ，сд решение ^сс описывает д*а солитона с Q尸 1, движущиеся при ?=——оо навстречу друг другу, а после столкновения уходящие друг от друга с теми же скоростями, но со сдвигом во времени. Строго говоря, в (2.77) два солитона отскакивают друг от друга со скоростями, равными цо модулю начальным скоростям, но противоположными по знаку.

Это случай рассеяния назад. Но если по-прежнему рассматривать поля с точностью 2л и не отличать первое решение, изменяющеся от ——2л до 0, от второго, изменяющегося от 0 до 2л, то асимптотически не существует различия между рассеянием назад и вперед.

Наконец, вследствие симметрии 屮―一手 Заа = —Зсс есть антисолитон-антисолитонное решение. Точные решения (2.74) и (2.77) указывают на то, что решения, названные нами солитоном и антисолитоном, мЬгут быть оба истинными солитонами. Но (2.74) и (2.77) соответствуют случаям столкновений только двух таких объектов. Точное определение (2.9), (2.10) требует аналогичного поведения для произвольного их числа. Мы вернемся к этому после описания решений 丸(х, /), называемых дублетами, или бризерами. Можно проверить, что

I", f) = 4arctg(2.78)

V СП (х/у 1 + V2) ,

также является решением уравнений поля. Здесь и ——параметр, несколько напоминающий и в (2.73). В самом деле, превращая действительный параметр и в ^са в мйимый и =，и, получаем (2.78), где по-прежнему 中^ ——действительная функция. Если считать, что и соответствует асимптотическим скоростям солитона и антисолитона решения ^>СА, то под дублетом (2.78) можно понимать «связанное» решение солитон-антисолитонной пары. Очевидно, дублет является периодическим решением с периодом

Т =(2л//1 + и2)/и.

Солитон и антисолитон осциллируют один относительно другого с этим периодом. Профили 3^(%，彳)для 0 > Г > ——т/4, f = 0 н 0 V ? < т/4 очень схожи с изображенными на рис. 5, б профилями Зса・ Но если в последнем случае пара С——А разделяется на произвольно большое расстояние при ?-> ±оо, то в первом случае солитоны могут разойтись только на конечное расстояние, сохраняя всегда искажение своих форм вследствие взаимного влияния и осциллируя один относительно другого. Существование такого связанного состояния качественно понятно из того факта, что пара 0cA при рассеянии испытывает отрицательный временной сдвиг (2.75), означающий существование в среднем силы притяжения. С другой стороны, отталкивание при столкновении одного солитона от другого, как это видно из асимптотического поведения Зсс，указывает на существование силы отталкивания. Соответственно связанной солитон-солитонной пары не существует. Попытка положить и = iv в ^сс приводит к комплексному, а не к действительному решению, что недопустимо для нащей

действительной скалярной полевой системы. Это понятие сил отталкивания и притяжения, заимствованное из механики частиц, является здесь в лучшем случае весьма приближенным и справедливо только для больших расстояний, но оно приводит к правильным утверждениям о существовании связанных решений С——А 丸 и об отсутствии связанных решений С—С. К понятию сил мы вернемся в гл. 3. Скажем несколько слов о статусе дублетного решения как уединенной волны. Его плотность энергии, вычисленная по формуле (2.66), не имеет пространственно-временной зависимости вида (工一〃f), требуемого рабочим определением (2.8) уединенных волн. В (2.78) решение дано в системе покоя, т. е. центр решения находится в точке 元=0 для всех ?. Движущийся дублет может быть получен из (2.78) преобразованием Лоренца. Но даже в системе покоя (2.78) дублет имеет нетривиальную зависимость от времени. Он осциллирует во времени для каждого заданного х. Этим он отличается от солитона (2.72), кинка и других решений этой главы, которые статичны в системе покоя и удовлетворяют требованию (2.8) в любой движущейся системе отсчета. Тем не менее дублет удовлетворяет основным интуитивным требованиям, предъявляемым к уединенным волнам: он имеет локализованную конечную энергию и не диссипативен. В системе покоя поле ограничено огибающей

土 4 arc tg {(1/и) sch (元/1 + г2)).

Следовательно, мы включаем его в набор уединенных волн, но этот пример показывает недостаточность простого рабочего определения (2.8) для многих интересных случаев.

Наше утверждение, что (2.72а), (2.726) и (2.78) являются не только уединенными волнами, но и солитонами, требует, чтобы существовали зависящие от времени решения с произвольным числом рассеивающихся солитонов, антисолитонов и дублетов, которые при f f+оо превращаются сами в себя. Решения ^са и fee дают часть требуемой информации. То, что такие решения существуют, было показано в работах Абловица [3] и группы Фаддеева [11, 127, 129, 362 ]. В результате проделанной работы стали известны все зависящие от времени решения уравнения синус-Гордона. Это очень впечатляющее достижение, которое стало возможным благодаря использованию метода обратной задачи рассеяния [149]. Многосолитонные решения не являются простыми выражениями, такими, как 力《 и 勺сс, записанные как функции от 6 (х, 7). Мы не приводим не только их вывод по методу обратной задачи рассеяния, но даже сами выражения. Этот метод так же, как и другие формальные и изящные свойства данного примера, такие, как использование преобразований Бэклунда?

существование бесконечного числа сохраняющихся величин и т. д., представляет самостоятельный интерес, и его обсуждение завело бы нас слишком далеко (см. начало этой главы). Однако трудно устоять перед искушением без доказательств сделать некоторые короткие и качественные замечания.

Метод обратной задачи рассеяния по существу приводит к использованию переменных действие ——угол, привычных для классической механики, описание которых можно найти в любом расширенном курсе этого предмета (см., например, [170 ]). Система синус-Гордона дает конкретный пример использования этого метода, обобщенного на бесконечное число степеней свободы. Вместо полевых переменных 0 используется набор переменных {8 (р), ——оо V " V оо； 9а，仪 =1, 2, ...; qb и ^b, b ^ 1, 2, ...}, изменяющихся в пределах 0《8《2л,——оо V 夕办 夕办 V оо, 0 « Вь « < 32лт2/Х. Это «угловые» переменные. Соответствующие сопряженные переменные «действия», которые используются вместо канонических переменных импульса л (х, 7):三(m4/X)讨(x, 7)/5/, образуют набор

{р(р), лежащий в [0, оо], 尸。，尸加 оба в [—оо, оо]и аь в [0, л/2]}.

В этих переменных можно показать, что гамильтониан системы (т. е. интеграл энергии (2.66)) имеет вид

" =_j(状+病)%(")如+?(n+雁)"2 +

+ 2[РИЛ4ЬМ，/2,⑵ 79)

где Ms — масса солитона, т. е. его статическая энергия 8т3/Х, MD (аь)——энергия дублетного решения в системе покоя. Переменная аь связана с внутренним движением дублетного решения. Напоминаем, что даже в системе покоя дублет осциллирует с периодом W. Этой степени свободы отвечают сопряженные переменные аь и рь. Задача заключается в том, чтобы найти переменные действие ——угол как функционалы от исходных переменных 力(х, ?) и л (х, ?), перейти к последним и показать, что гамильтониан действительно имеет форму (2.79). Даже в механике одной частицы переменные действие — угол могут быть точно найдены только для немногих случаев. Эта внушительная задача решается для система синус-Гордона преобразованием к линейной обратной задаче. Линейная задача аналогична (но не в точности соответствует) получению потенциала волнового уравнения Шредингера из данных по состояниям рассеяния и связанным состояниям

его решений, а не наоборот. Поэтому данный метод носит название метода обратной задачи рассеяния. Здесь мы опускаем постановку и решение обратной задачи. После получения соотношения (2.79) остальные шаги тривиальны. Заметим, что гамильтониан зависит только от переменных действия, а не от углов, как и требовалось. Поэтому он разделяется на сумму гамильтонианов свободных релятивистских частиц. Три члена в (2.79) имеют простую интерпретацию, если переменные действие ——угол выразить через первоначальные полевые переменные 小. Первый член соответствует вкладу плосковолновых решений. Вспомним, что в пределе слабого поля (малых 小) данная система становится системой Клейна——Гордона (уравнение (2.62)), поэтому она допускает плоские волны вида 小。exp [i (рх ——/р? + m2/)] с произвольной малой амплитудой б。，распространяющиеся по всему пространству. Каждая такая волна имеет энергию, пропорциональную ]/ р? + т2, что отражено в первом члене (2.79). Эта часть системы не отвечает солитонам или уединенным волнам. Второй член соответствует энергии солитонов (и антисолитонов, у которых такая же масса 7И$). Поэтому индекс а в (2.79) нумерует отдельные солитоны и антисолитоны с импульсами Ра. Наконец, индекс Ь в последнем члене нумерует дублеты с импульсами Ръ и массами MD (аь), которые в системе покоя равны их энергиям, зависящим от периода внутреннего движения. Доказательство того, что эти солитонные, антисолитонные и дублетные решения действительно являются солитонами, заключается в разделении гамильтониана на ряд членов, соответствующих свободным частицам, каждый из которых связан только либо с плоской волной, либо с солитоном (или антисолитоном), либо с дублетом.

Другим важным свойством системы является существование преобразований Бэклунда. Примененные к системе синус-Гордона [25, 224 ] эти преобразования дают способ получения N-солитонных решений из решений с меньшим числом солитонов. Более того, в данном методе требуется решать дифференциальные уравнения не второго порядка, а первого. Отметим, что уравнение синус-Гордона, записанное в координатах светового конуса о 三 三(兄 + ?)/2 н р 三(兄一?)/2, имеет вид

d262a dp — sin S= 0. (2.80)

Пусть % (о, p) — решение этого уравнения. Рассмотрим % (о, р), порожденное уравнениями преобразования Бэклунда

•(2.81а)•(2.81а)

•(2.81а)

•(2.81а)

G(d/dp)(% + %) = (l/a)sin[g(%— %)],(2.816)

где а ——действительный параметр. Взяв производную d/dp от (2.81а) и использовав (2.816), получим

3 (d'2/do dp) (% — %) = cos [g (% + %)卜in [g (% — %)]=

=万 sin % —彳 sin %. (2.82)

Поэтому если ф0 (о, р)—— решение уравнения (2.80), то и 屮】(о, р) также является его решением. Точная функция @】находится интегрированием (2.81) для заданной 屮。. Например, возьмем @о (о, р) = 0. Зто точное (несолитонное) решение уравнения синус-Гордона. Подстановка значения % в (2.81) дает

■у ”1/0。= 4•犀 0%/0р = a Sin (+ %).

Интегрирование легко проводится и приводит к решению

%(6 Р)= 4 arc tg [exp (ао + р/а)], которое в первоначальных координатах ｛元,t\ записывается в виде

$1 (五 А = 4 arc tg exp,

L\ j/1 — и2 / ]

где u = (1 — 〃2)/(1 + 〃2) Это односолитонное решение (2.72а) в системе, в которой оно движется со скоростью и. Таким образом, из несолитонного решения преобразование Бэклунда порождает односолитонное решение. Аналогичным образом можно последовательно получить многосолитонные решения. Существенная часть этого метода, опущенная нами, которая предшествует использованию (2.81), заключается в доказательстве существования преобразований Бэклунда для системы синус-Гордона и нахождении соответствующих уравнений (2.81). Другое свойство системы синус-Гордона заключается в наличии у решений бесконечного числа сохраняющихся величин. Мы вернемся к данному свойству в гл. 7. Читателей, интересующихся более полным обсуждением метода обратной задачи рассеяния, преобразований Бэклунда, сохраняющихся величин и т. д., отсылаем к обзору Скотта и др. [309].

Чтобы использовать систему синус-Гордона для пояснения квазиклассического метода в последующих главах, достаточно знать, что (2.72) и (2.78)——точные решения уравнения поля (2.65). Что это так, читатель может просто проверить подстановкой решений в (2.65). В гл. 7 мы поясним В КБ-метод для квантования зависящих от времени классических решений на примере дублетного решения (2.78). Мы выбираем дублет в основном потому, что он

является одним из немногих периодических локализованных решений релятивистской теории поля, полученных в аналитической форме. То, что решения (2.78) и (2.72) также*солитоны, в какой-то степени случайно. Благодаря этому некоторые В КБ-результаты оказываются точными и возможно построение точной S-матрицы системы (гл. 7). Но основной квазиклассический метод получения связанных квантовых состояний из классических решений, описанный в гл. 5 и 6, требует только, чтобы эти решения были уединенными волнами, т. е. локализованными недисперсионными решениями, а не обязательно солитонами в точном смысле этого слова. Возможно, это является одной из причин, по которым термин «солитон» в литературе часто распространяют и на уединенные волны, независимо от того, удовлетворяют ли они жестким требованиям (2.9) и (2.10) или нет.

МОНОПОЛИ И ПОДОБНЫЕ ИМ РЕШЕНИЯ

О многомерных решениях

В предыдущей главе мы работали в основном со скалярными полями в (1 + 1) измерениях. Теперь нас интересуют более сложные системы с большим числом измерений. Методов, пригодных для решения нелинейных уравнений, настолько недостаточно, что даже для скалярных полей заданной системы в (1 + 1) измерениях в общем случае нельзя получить все зависящие от времени решения. Система синус-Гордона является скорее исключением, чем общим правилом, и ее разрешимость обеспечивается почленным разделением гамильтониана свободных частиц в соответствующим образом выбранных переменных. Для большого числа типичных систем, подобных двумерной теории 屮纟 такой успех вне досягаемости. Конечно, если в двумерной теории ограничиться статическими в некоторой системе отсчета решениями, то в этой системе отсчета оказывается существенным только одно (пространственное) измерение и полевые уравнения превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Более того, для трансляционно инвариантных систем такие уравнения «автономны», т. е. не содержат явно независимую переменную .г, а содержат только поля и их производные по %. Обычные автономные дифференциальные уравнения второго порядка (даже системы таких уравнений) решить не трудно, что подтверждается несколькими одномерными статическими решениями, приведенными в предыдущей главе.

Но в случае двух или большего числа пространственных измерений даже статические решения подчиняются дифференциальным уравнениям в частных производных. Эти нелинейные уравнения решить труднее. Большинство реальных систем, например в физике элементарных частиц, включают нелинейно взаимодействующие скалярные, векторные и спинорные поля в (3 + 1) измерениях. Для типичных систем такого вида до сих пор нет систематического метода получения в аналитической форме даже одного нетривиального классического решения. Те немногочисленные точные решения некоторых сложных многомерных систем, кот'орые приведены I этой и следующей главах, получены лишь для специально выбранных систем с： помощью остроумных приемов, упрощающих их полевое уравнения. Конечно, нетривиальнее

решения существуют для многих других моделей, но их аналитическое получение представляет собой сложную задачу. Для таких моделей приходится удовлетворяться теми общими свойствами решений, которые удается получить, не решая полевых уравнений. Поэтому в последующих разделах мы будем уделять внимание прежде всего не самим точным решениям (если они существуют), а общим свойствам классических решений. Важным общим свойством большого класса систем является возможность введения гомотопической классификации и топологических зарядов. Другим общим и полезным результатом является теорема вириала, с которой мы и начнем.

Теорема вириала

Эта очень полезная теорема [106, 188 ] приводит в основном к отрицательному результату. Переходя от скалярных полей в (1 + 1) измерениях, рассмотренных в гл. 2, к более реальным системам, естественно начать со скалярных полей в пространствах с большим числом измерений. Теорема вириала жестко ограничивает возможность существования в таких системах нетривиальных статических уединенных волн. Из нее следует, что таких решений не существует, когда число пространственных измерений 3 или больше и когда лагранжиан имеет стандартную релятивистскую форму'

z(x, f) = 3@8)・(*8)— u(0(x, о).(3.1)

Здесь 力(х, /)=[也(х, /); £ = 1, ...» Л^] — набор N взаимодействующих полей в D пространственных и одном временном измерениях. В (3.1) подразумевается скалярное произведение д^ф на д"中,т. е. суммирование по полевым индексам Л Потенциал и@ (х, /)), как и раньше, — некоторая неотрицательная функция, обращающаяся в нуль только в точках абсолютного минимума. Статическое решение 力(х) подчиняется уравнению

屮0 =黑仪)，(3.2)

где V2 ~ лапласиан в D измерениях. Это уравнение является условием экстремума 8W = 0 функционала статической энергии

解[0]三 J d»“；v#・ V“ + U 3(x))]三吟[0] + 匕 0], (3.3)

где функционалы V\ н Р? отвечают двум членам в правой части соотношения. Заметим, что не только Wt но также и ^ и У2 неотрицательны. Пусть фг (х) — статическое решение. Рассмотрим однопараметрическое семейство конфигураций

6@)=弘(同.(3.4)

Легко проверить, что

/[弘]=吟[0川 + %[^] = M-D吟[^] + 九"% [0 J (3.5)

Так как 力】一экстремум W [ф], функционал W [力入] должен быть стационарным по отношению к вариациям 九，т. е.

(d/dK)W[^ = 0 при 入=1.(3.6)

Дифференцирование (3.5) с учетом (3.6) дает

(2 —О)匕[0]] = O%[8J(3.7)

Поскольку J/】и У? неотрицательны, для выполнения условия (3.7) при 0^3 необходимо, чтобы % [фг] = V2 ©J = 0. Это означает, что фх (х) постоянно в пространстве и является одним из нулей U [ф]. Это решение тривиально, и, таким образом, теорема запрещает нетривиальные изменяющиеся в пространстве решения. Отметим, что данный вывод справедлив только для статических решений и для лагранжиана вида (3.1). Зависящие от времени уединенные волны могут существовать для скалярных полей в (О + 1) измерениях даже при Z) ^ 3 (гл. 8). Но теорема указывает, что при поиске статических решений в реальном мире (3 + 1) измерений необходимо рассматривать модели, состоящие не только из одних скалярных долей. В разд. 3.4 исследуется такая модель, включающая скалярные и векторные поля. Но прежде полезно рассмотреть более простую модель, чтобы получить представление о некоторых важных идеях, которые потребуются в последующих разделах. Эта система состоит только из скалярных полей, но в (2 + 1) измерениях.

Нелинейная О (З)-модель: изотропный ферромагнетик

Из уравнения (3.7) следует, что при D = 2 V2 [力]]=0, т. е. решение 力】(х) для всех х есть один из нулей (которые являются также абсолютными минимумами) потенциала U(6). Если u (力) Нмеет только дискретные минимумы, то вследствие непрерывности 力(х) должно быть тем же самым минимумом U (ф) для всех х, т. е. не зависящим от х и тривиальным решением. Если U (力)имеет непрерывный ряд минимумов, то (3.7) при 0=2 допускает зависящее от х решение, при котором ф меняется непрерывно в пределах этого ряда минимумов.

Простейшим примером U (ф) с непрерывным рядом минимумов является, конечно, U (ф) = 0. Но такая модель слишком проста. Уравнение для статического решения, получаемое из лагранжиана (3.1), имеет вид

(3.8)(3.8)V* = 0..'

(3.8)

(3.8)

Несингулярными решениями этого уравнения являются только константы. Однако можно ввести незначительное на первый взгляд, но нетривиальное изменение модели, налагая ограничение 力・力=1. Данная модель носит название нелинейной О (Л/)- модели. Мы^рассмотрим случай N = 3 н найдем, что он обладает интересными решениями [30, 124, 318].

Нелинейная О (З)-модель состоит из трех действительных скалярных полей $(х, /)三仲.(х,办；а = 1, 2, 3} со связью

£ 心(х,/)三 »8=1(3.9)

для всех значений (х, /). Динамика определяется плотностью лагранжиана

- 2£(电冉)(0冲а)三4-(电8)■終0)(3・1 °)

и уравнением связи. Отметим, что 力 можно считать вектором во «внутреннем пространстве», т. е. трехмерном пространстве полей; его компоненты имеют индекс а. Такие векторы необходимо отличать от векторов в координатном прогтранстве, имеющих лоренцевы индексы, например 卩 в (З.Ю). Так, в (3.10) под скалярным произведением понимается произведение 3从力 как во внутреннем пространстве (обозначаемое точкой), так и в координатном (обозначаемое повтор я ющимися индексами “)• Мы обращаем на это особое внимание, так как ниже будем часто работать с объектами, являющимися тензорами как в координатном пространстве, так и в некотором внутреннем пространстве, и различие между ними необходимо тщательно учитывать. Отметим, наконец, -что как лагранжиан (3.10), так и связь (3.9) инвариантны при глобальных вращениях О (3) во внутреннем пространстве.

Уравнения поля получают из вариационного принципа Эйлера——Лагранжа, примененного к действию, где связь учтена введением множителя Лагранжа. Таким образом, находят экстремум выражения.

S[^] = \dx\dt[±(5Ц^)•(5^)+ х(X, f)3・0 —可.(З.И)

Отсюда получаются уравнения поля

д^ф + 九$ = (□ + 入)8 = 0.(3.12)

Множитель Лагранжа 入(х, /) исключается с помощью уравнения связи (3.9):

Рассмотрим пространство размерности 2 и ограничимся стати- ческами решениями. Тогда после подстановки (3.13) уравнения поля принимают вид

屮8一(0720)0 = 0. (3.14)

Сравним уравнение (3.14) с уравнением (3.8), получаемым в отсутствие связи. Оказывается, что в отличие от (3.8) уравнение (3.14) обладает интересными несингулярными решениями в двух измерениях. Эти решения можно разбить по гомотопическим секторам, характеризуемым топологическим индексом. Основные принципы данной классификации являются обобщением идей, развитых в гл. 2 для более простого одномерного случая.

Энергия статического решения получается просто из лагранжиана (3.10):

? = ｝卜0拯)■(0，次% 0=1, 2. (3.15)

Рассмотрим сначала решения с нулевой энергией («классический вакуум»). Ясно, что они должны удовлетворять условию доф =0 для всех х, т. е.力(X)=力⑼，где 力(°)——произвольный единичный вектор во внутреннем пространстве. Хотя вектор 力⑵ не зависит от х для решения с Е = 0, он может быть произвольно ориентированным во внутреннем пространстве, оставаясь при этом (в силу условия (3.9)) единичным. Таким образом, мы получаем вырожденное непрерывное семейство решений уравнения Е = 0, соответствующих различным направлениям вектора 力(°). Так же как для системы кинка (2.24), это случай классического «спонтанного нарушения симметрии》.В задаче с кинком симметрия была дискретна (В *~* —В), поэтому существовало два дискретных решения уравнения £ = 0, связанные этой симметрией. Здесь же мы имеем случай непрерывной симметрии О (3) и соответственно непрерывное семейство вырожденных классических минимумов, связанных друг с другом вращениями О (3) во внутреннем пространстве.

Найдем солитонные решения, т. е. решения с ненулевой, но конечной энергией Е. Из (3.15) ясно, что они должны удовлетворять следующему условию, записанному в полярных координатах (г, 0) в х-пространстве:

г II grades II->0 при г-> оо, (3.16) или

『 Шп0(х) = 8⑼， (3.17) где опять 力(°)— единичный вектор во внутреннем пространстве. Заметим, что при стремлении к бесконечности в координатном пространстве по различным направлениям вектор 力(X) должен

достигать одного и того же предела ф{0\ Иначе вектор 力 будет зависеть от угла 0 даже при г — со, и угловая компонента градиента (1/г) (дф/дд) не будет удовлетворять условию (3.16).

Поскольку 6(х) стремится к одному и тому же значению 力(°)в любой точке на бесконечности, физическая координатная плоскость 欠2 сжимается в сферическую поверхность 5^физ), т. е. плоскость а может быть отображена в сферическую поверхность, причем окружность на бесконечности перейдет при этом в северный полюс сферы. (Более точно это достигается при стереографическом отображении, см. ниже.) «Внутреннее пространство», т. е. пространство полей 丸,в силу условия £^=i 屮^ 工 1 также является сферической поверхностью единичного радиуса. Назовем ее S,bh). Тогда любая статическая конфигурация ф (х) с конечной энергией есть отображение 5<физ)в S^h).

Приведем без доказательства известный из топологии результат. Все несингулярные отображения одной сферической поверхности S? в другую §2 могут быть подразделены на гомотопические секторы. Отображения внутри одного сектора могут непрерывно переходить друг в друга, но отображения двух различных секторов не могут непрерывно переходить друг в друга. Более того, множество таких гомотопических секторов, или классов, счетно и может быть охарактеризовано набором целых положительных и отрицательных чисел и нуля. Точнее, эти гомотопические классы сами образуют группу, изоморфную группе целых чисел. Формально все это можно записать в компактном виде

冗2 (S?) = Z, (3.18)

где лп (Sm) — гомотопическая группа отображений Sn -> Sm, a Z — группа целых чисел (эти результаты и их доказательства см. в классическом учебнике [321 ]).

Мы будем использовать иногда результаты типа (3.18). Читателям, не знакомым с ними, рекомендуем рассмотреть простейший случай отображения окружностей в окружности. Пусть окружность S] (задаваемая углом 0, определяемым с точностью 2л) отображается в другую окружность S】(задаваемую Л). Отображение определяется непрерывной функцией Л (0) с точностью 2л. Рассмотрим, например, два таких отображения или функции

Ло (0) = 0 для всех 0, (3.19)

(для 0 < 0 <；

А»⑻=I f (2л-0) для л с 0< 2п, (珊。) где / — некоторый действительный параметр из интервала [0, 1 ]. Ясно, что при непрерывном уменьшении / до нуля второе отображение непрерывно перейдет в первое. Интуитивно это также понятно из рис. 6, б и в. Таким образом, два отображения принадле-

жат одному гомотопическому классу. С другой стороны, рассмотрим отображение

А】(0) = 0 для всех 0.(3.21)

66Это также непрерывное по модулю 2л отображение, так как вместе с 0 описывает полный круг и А「Но оно не переходит непрерывно в (3.19) или (3.20). Это интуитивно понятно из рис. 6, г, кото* рый нельзя деформировать в рис. 6, б или 8, не разрезая где-либо окружность Л. Причина заключается, очевидно, в том, что в (3.21) вторая окружность «наматывается» на первую один раз, а в (3.19)

6

6

Рис, 6. а — отображение одной окружности, обозначенной сплошной линией, на другую, обозначенную штриховой линией; 6 — тривиальное отображение С3.19), при котором вся первая окружность отображается в точку на второй окружности; £ — нетривиальное отображение (3.20), Как 6 так и в имеют нулевое число наматываний (Q = 0) и могут быть непрерывно деформированы друг в друга сжатием сплошной петли. Но отображение ? (3.21) нельзя деформировать в 6 или 仇 не разрезая сплошной окружности.

и (3.20) — нуль раз. Поэтому (3.21) относится к отличному от (3.19) или (3.20) гомотопическому классу. Два класса различаются значением целого числа, называемого «числом наматываний»

2я

0=亲1端面,(3・22)

0

которое равно нулю для (3.21). Легко понять, что,которое равно нулю для (3.21). Легко понять, что,(3.19), (3.20), но равно единице для наматывая вторую окружность произ

которое равно нулю для (3.21). Легко понять, что,

которое равно нулю для (3.21). Легко понять, что,

вольное число раз, можно получить счетное множество гомотопических классов. Так,

Лп (0) = «0 (3.23) является прототипом отображения класса Q — п. Отрицательные значения Q получаются при наматывании в противоположном направлении, например при замене 0 на ——0 в (3.23). Эти качественные замечания не доказывают, а скорее делают правдоподобным следующий результат:

冗 1 (SJ = Z. (3.24) Уравнение (3.18) обобщает данный результат на отображения S? f —> S2. Целым числом, характеризующим гомотопические классы

S2 —> S2, является обобщенное число наматываний, т. е. число раз, которое одна сфера «обертывает» другую.

Таким образом, возвращаясь к нашей О (3)-модели, статические конфигурации ф (х) с конечной энергией в двумерном пространстве могут быть разделены на гомотопические секторы, характеризуемые некоторыми целыми значениями Q. Отметим, что природа гомотопической классификации решений отличается здесь от рассмотренной в гл. 2 на примерах кинка и системы синус- Гордона. В этих примерах различные секторы отличались граничными значениями поля на пространственной бесконечности. В О (3)-модели роль граничных условий (3.17) сводится только к преобразованию координатного пространства к сферической поверхности 5<физ). Граничные условия (3.17) не определяют однозначно граничное значение ф(0). Хотя вектор ф^ должен принимать одно и то же значение во всех точках пространственной бесконечности, он может иметь любое «внутреннее» направление. Полевые конфигурации с различными направлениями ф^ связаны непрерывным образом О (З)-вращениями во внутреннем пространстве. Поэтому различный выбор ф^ не ведет сам по себе к различным гомотопическим секторам О (З)-модели. Возникновение секторов связано с поведением полей в пространстве, включая внутреннее пространство. Полезно записать Q в виде интеграла от полевых функций ф (х) аналогично (3.22):

Q = * J 电V0 •(电8 X 當8) ^х,(3.25)

где 卩 =1, 2 н ” = 1, 2 — индексы декартовых координат, а знаки произведения относятся к векторам внутреннего пространства. Что это выражение определяет число наматываний (иногда называемое топологическим индексом или числом), вытекает из следующих соображений.

В силу условия £аЗ^ = 1 сфера 5$вн) во внутреннем пространстве может быть описана двумя переменными 圈，自丿，например сферическими углами вместо трех декартовых координат За・ Существует хорошо известное выражение для элемента поверхности сферы, связывающее декартовы и сферические переменные:

dS^ =叁矍•簪)•(3.26)

Тогда

Q =亲\ ^аЬсФа警亲心』

=_L f о Р nd & 些 出 & Л2У 一

поскольку якобиан перехода от переменных {%】，％?} к переменным 圈，&} равен

%^自=%V爵急0元(3.28)

Подставляя (3.26) в (3.27), получаем

Q = WjdSE% = ±J dS(^,(3.29)

так как фа — единичный вектор, нормальный к поверхности. Вспоминая, что S^h) — поверхность единичной сферы площади 4л, приходим к выводу, что Q определяет число поворотов внутренней сферы при вращении координатного пространства Т?2, сжатого до S價нз).

Данная гомотопическая классификация справедлива для любой статической полевой конфигурации, для которой функционал энергии (3.15) конечен. Она не требует, чтобы поля были решениями полевого уравнения (3.14). Решения с конечной энергией образуют подмножество конфигураций с конечной энергией,и для них справедлива та же классификация. Для нахождения некоторых решений произвольно выбранного Q-сектора воспользуемся следующим остроумным приемом [30].

Начнем с тождества

J d2x [(电8 士 ％# X О#) • (%8 士 ^аФ X。，)] 22 0. (3.30)

Оно справедливо в силу того, что подынтегральное выражение есть скалярное произведение вектора в скобках на самого себя. Раскрывая его, получаем

J d2x [(电8)・@8) + 4V (8 х。#) ■ “。(8 х о#)] n

a ±2 J ^[Ё^.(^ x 0#)].

Два члена в левой части равны друг другу, так как в силу связи @@=1 и производной от нее ф- (д^ф) = 0 выполняется равенство

沁％° (8 X @#)・(8 X @#) =

=6va K68)(d#，d#) + (8，d#) (6%8)] = (d#)，@8). Поэтому

2 J 效(电0).(电0) a ±2 J d2*电#•(电0 x 0#),

ИЛИ

Это неравенство устанавливает нижнюю границу энергии любой статической конфигурации данного Q-сектора. Но статическое уравнение поля (3.14) получается из экстремума функционала статической энергии (3.15) при условии (3.9). Так как конфигурация не может при непрерывном изменении перейти из одного сектора в другой, экстремум можно искать отдельно в каждом секторе. Для заданного Q-сектора энергия минимизируется при выполнении равенства (3.31). Это в свою очередь означает выполнение равенства (3.30), что возможно тогда и только тогда, когда

电8』士％#Х@8)・(3,32)

Любая конфигурация, удовлетворяющая (3.32) наряду с (3.9), минимизирует Е в некотором Q-секторе и, следовательно, автоматически удовлетворяет условию экстремума в виде полевого уравнения (3.14). Это легко проверить. Для любой конфигурации, удовлетворяющей (3.32), имеем

V* =电 d^ф = 士电(%# X d#) = 士沁纵8) X (d#)=

=e2(加/ Xd。8) X d# =

=尢团#(6d，) 一 8例8&8)] = 8(87学)，

т. е. получаем уравнение поля. На последнем шаге использовано соотношение

0.成8 = 0 = d#.d# + 8V*，

получаемое дифференцированием уравнения связи (3.9). Любое поле, удовлетворяющее (3.32), удовлетворяет и (3.14), но обратное неверно. В принципе можно получить решения уравнения (3.14), не удовлетворяющие (3.32). Они отвечают не абсолютному экстремуму Е в соответствующем Q-секторе, а некоторым другим экстремумам Е, например локальным минимумам. Нам достаточно найти решения уравнения (3.32). Заметим, что это уравнение решить проще, чем исходное уравнение (3.14). Оно является дифференциальным уравнением первого порядка, тогда как последнее является уравнением второго порядка.

Уравнение (3.32) можно упростить специальным выбором переменных. Напомним, что разрешенные уравнением связи ф*ф = 1 значения ф образуют поверхность единичной сферы 5<ви). Спроецируем стереографически поверхность сферы на плоскость и поставим в соответствие точкам первой декартовы координаты ①工 и ①2 точек плоскости. Переменные ①】и(о2 связаны с переменными 九 соотношениями

仰=2%/(1 — %),① 2 = 2弘/(1 — %),(3.33)

где плоскость проекции выбрана параллельной плоскости 南, 屮2卜 и содержит южный полюс сферы. Полезно также построить комплексную величину

со 三 5 + 血2 = 2 (% + 冲2)/(1 — %) — 2屮/(1 — %),

где 3三曲 + 沖2・Тогда

&3 三謂= 2[(1 —%)&В + В&.%]/(1 —%)2 =

=[2/(1 - %)2] @в + 点％)•(3.34)

Но из уравнения (3.32) имеем_

&3 =干冲 @2%,。2屮=士»&%•(3.35)

Подставляя (3.35) в (3.34), получаем

&① -干td2 ①，(3.36)

что в терминах ①】и (о2 дает

(Напомним, что 打 и 不一декартовы координаты нашего исходного двумерного физического пространства, а ^ и со2 характеризуют плоскость во «внутреннем пространстве», на которую стереографически спроецирована сфера 5收.

Уравнения (3.37) представляют собой условия аналитичности Коши—Римана со как функции от z* (верхние знаки) или z (нижние знаки), где z 三％】+ ix2. Таким образом, любая аналитическая функция со (z) или (о (z*), записанная в первоначальных переменных фа и х, автоматически удовлетворяет уравнению (3.32) и, следовательно, уравнению поля. При этом функция со, аналитическая по z или по z*, не обязательно должна быть целой. Хотя разрезы запрещены однозначностью 九(％), но возможны изолированные полюсы (о (z)・ Расходимость со в полюсах не должна вызывать беспокойства, так как (о —> оо соответствует «северному полюсу» S”，「е. % = 1.

Полезно выразить Е н Q через функцию со, аналитическую по，Имеем (вывод очевиден)

?=卜氏7皆靠)3, IQI=^・ (3.38)

Образец решения для произвольного положительного Q записывается в виде

w ⑵=[伍—%)/九 F,(3.39)

3 Раджараман Р.

где п ——любое положительное целое число,入——любое действительное число, a z0 ——любое комплексное число. Так как (3.39)—— аналитическая функция, то она, будучи выраженной через 屮仪 и х, является точным статическим решением уравнений поля. При лоренцевом преобразовании решения в движущуюся систему отсчета мы получаем точное зависящее от времени решение не- расплывающейся формы. Заметим, что исходная система лоренц- инвариантна.

В (3.39) (о соответствует точке в пространстве полей, az —— точке в координатном пространстве. Ясно, что для заданного значения (о существует п корней z. Поэтому решение принадлежит сектору с Q = п. Это можно проверить подстановкой (3.39) в (3.38). Получаем

研*К-/Р74?研*К-/Р74?(3.40)(3.40)

研*К-/Р74?

研*К-/Р74?

(3.40)

(3.40)

После замены переменных

z — z0 = р^е, d2% = pd6dp(3.41)

интегрирование становится тривиальным и приводит к Q — п. Следовательно, энергия Е — 4nQ = 4лп конечна. Ясно, что для любых положительных п это точные решения, имеющие вид уединенных волн.

Постоянные X и z0 (заменяющие координаты (%'()и (%2)о) соответствуют размеру и положению солитонного решения. Тот факт, что решение существует для произвольных X и z0, a Q и £ от них не зависят, отражает масштабную и трансляционную инвариантность. Подчеркнем, что выражение Е [屮](3.15) инвариантно при х х — а и х Хх.

Модель О (3) интересна также в (1 + 1) измерениях. Было показано [237, 281 ], что модель О (3) в (1 + 1) измерениях так же, как и система синус-Гордона, характеризуется наличием бесконечного числа сохраняющихся величин и преобразований Бэклунда, генерирующих решения. (В квантовом варианте было показано, что модель асимптотически свободна, а сохраняющиеся величины не имеют аномалий [236, 286].) Наконец, с помощью бесконечного числа сохраняющихся величин была построена точная факторизуемая S-матрица [367 ]. Этот последний результат обсуждается в одной из последующих глав. Статические решения в (2 + 1) измерениях справедливы и для модели в (1 + 1) измерениях. В последней они существуют как инстантоны (гл. 4). Кр оме того, такая О (З)-модель и ее решения применяются в статистической теории изотропного ферромагнетика (разд. 3.6).

Монополь т} Хофта—Пол я ко ва

Теперь мы готовы рассмотреть статические солитонные решения в реалистическом случае (3 + 1) измерений. Из теоремы вириала разд. 3.2 следует, что одни только поля спина нуль не дают такого решения, необходимо вводить поля с высшими спинами. Поля спина % на этом этапе рассматриваться не будут. Они являются ферми-полями, «классический предел» которых требует специальной интерпретации и обсуждается в гл. 9” Поэтому мы перейдем к полям спина 1, в частности к калибровочным полям, важным для физики элементарных частиц.

Простейшим примером калибровочной теории в (3 + 1) измерениях является свободная электромагнитная система с калибровочной группой U (1). Она состоит из линейных уравнений Максвелла и просто решается. Хорошо известно, что в отличие от (1 + + 1)-мерного линейного уравнения (2.1) свободные уравнения Максвелла в (3 + 1) измерениях не имеют решений, соответствующих уединенным волнам. Любой локализованный пакет расплывается. Солитонные решения возникают при взаимодействии электромагнитного поля с заряженными скалярными полями в (2 +1) измерениях. К этому случаю мы вернемся позднее. Простейшим примером днеабелевой калибровочной группы является SU (2). Эта группа соответствует триплету калибровочных полей, известных как поля Янга—МнллЕ [315, 359]. Этот триплет образует сложную нелинейную систему, но было показано, что свободные поля Янга—Миллса в (3 + 1) измерениях также не обладают уединенными волнами [88, 107, 272 ]. Они имеют интересные сингулярные решения [360 ], но нас интересуют только несингулярные решения с конечной энергией.

Расширим систему Янга——Миллса, введя взаимодействие полей Янга—Миллса с триплетом скалярных полей, как это было сделано Джорджи и Глешоу [151 ]. В пионерских работах т'Хофта [330 ] и Полякова [283] было показано, что такая модель имеет несингулярное локализованное решение, обладающее некоторыми замечательными свойствами. Этот раздел мы посвятим обсуждению данной модели и ее статического солитонного решения. Неабелевы калибровочные теории, одним из примеров которых является эта модель, изучаются уже более двадцати лет. Хотя наше изложение достаточно полно, читателю полезно предварительно познакомиться с основеыми характеристиками этих теорий, прежде чем следовать нашему изложению. (Есть несколько хороших обзорных статей и книг, см., например, [2, 42, 132, 326].)

Модель состоит из скалярных полей У (х, /) и векторных полей Лц (х, /) в (3 + 1) измерениях. Индекс о = 1, 2, 3 есть индекс внутреннего пространства, преобразующийся по локальным (не зависящим от координат и времени) SU (2)-преобразова-

пням, определенным ниже. Для любого заданного о фа является скаляром, а /；(科 = 0, 1, 2, 3) — вектором относительно преобразований Лоренца. Плотность лагранжиана есть

①(х, 0 = 一；G；vG叩V + -I ^D^ 0V) ~4X(** 一 F^'

(3.42) Здесь «тензор поля» Gfv определяется как

G；v 三 5цЛу — 5уЛц + g^0А^Ау,“(3.43)

а «ковариантная производная» %严一как.

D^a = д^а + §еЪс^с.(3.44)

(Ковариантные производные других триплетов полей, таких, как 4； или G^v, определяются аналогично.) Действительные постоянные g,九〉0 н F являются параметрами модели. Поля /； называются калибровочными, а поля 严 в таком контексте называются полями Хиггса, так как приводят к так называемому механизму Хиггса (разд. 10.2).

Читателям, не знакомым с неабелевыми калибровочными теориями, этот лагранжиан может показаться сложным и надуманным. Тем не менее он отвечает «калибровочной инвариантности», т. е. инвариантен под действием S U (2)-преобразований в каждой точке пространства-времени. Эти преобразования определены следующим образом:

у(х, /)f [U(x, 9歳旷(х, /),(3.45)

(LX)bc^t/6jLX + (〃g) /%]de ①―％,(3.46)

где

[U(x, f)kc = [exp {—必3(x,川鼠(3.47)

—произвольный член группы SU (2) в пространственно-временной точке (х, /), записанный в матричном представлении 3X3. (Z/%c = i^abc 一 три генератора SU (2) в матричном представлении 3x3, / — единичная матрица, а 0а —групповые параметры, меняющиеся в пространстве-времени. Инвариантность лагранжиана (3.42) при калибровочных преобразованиях проверяется прямой подстановкой. Данные уравнения являются обобщением на группу SU (2) соответствующих положений электродинамики с калибровочной группой U (1).

В этом разделе мы рассмотрим некоторые классические статические решения данной системы, что представляет собой сложную задачу, если учесть, что взаимодействуют 15 нелинейных полей в (3 + 1) измерениях.

Из лагранжиана (3.42) следуют уравнения движения

D^^ = ge曲с 0V旷)严，(3.48)

D^D^a =—九(##) # + AF2y.(3.49)

Ограничимся решениями, которые а) статические и б) удовлетворяют условию А^ (х) = 0 для всех х, а. Тогда уравнения поля принимают вид

Dfiai^ =能伽 д屮)严，(3.50)

DQ 屮=一九(旷#)# +九产严，(3.51)

где i, j= 1, 2, 3 — чисто пространственные индексы.

Мы ищем решения уравнений (3.50), (3.51) с конечной энергией. Эти уравнения намного сложнее уравнений поля, рассмотренных выше, но наш подход к задаче будет таким же: мы найдем сначала решения для классического вакуума (с нулевой энергией). Это позволит определить допустимые граничные условия, которым должны удовлетворять конфигурации с конечной энергией. Затем мы проведем гомотопическую классификацию этих граничных условий. Наконец, среди конфигураций данного гомотопического сектора будем искать решения с конечной энергией. Итак, найдем нули энергии. Из лагранжиана просто найти выражение для сохраняющейся энергии системы, которое для статических решений с учетом того, что 黑=0, имеет вид

e = J拉［扌G时a" + 扌D冲。D冲a +4X3"" —严)1 •(，3，52)

Энергия достигает минимума и обращаете^ в нуль при

0^ 0^ 0^0^ 0^ 0^8 a 55 5 58 a 55 5 5Л?(х) = 0, фа (х) фа (х) = F2, D 冲а = 0,

0^ 0^ 0^

0^ 0^ 0^

8 a 5

5 5 5

8 a 5

5 5 5

что в силу (3.53) сводится к @# = 0. (Отметим, что первое условие (3.53) достаточно, но не необходимо. Существуют другие решения /；, сводящиеся к /? = 0 калибровочными преобразованиями, которые дают Е = 0. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 4. Сейчас будем считать, что /? = 0, н перейдем к условиям (3.54), (3.55) для #•)

Условия для фа схожи с условиями модели О (3) предыдущего раздела. Они образуют вырожденное непрерывное семейство решений уравнения Е = 0. Для каждого из них 力 三 們｝ имеет определенную амплитуду F, но может иметь любое не зависящее от х направление во внутреннем пространстве. Напомним, что локальная калибровочная симметрия SU (2) системы содержит в себе глобальную (не зависящую от х) симметрию SU (2), которая

в свою очередь для наших действительных скалярных полей 力 сводится к внутренней симметрии относительно вращений. Решения семейства уравнений с Е — 0 (3.53)——(3.55) связаны друг с другом такой симметрией.

Рассмотрим теперь конфигурации с ненулевой, но конечной энергией Е, Сходство с нелинейной О (З)-моделью в некоторой степени сохраняется и здесь, но теперь существуют и важные отличия. Условия конечности Е заключаются, как и раньше, в достаточно быстром стремлении полей на пространственной бесконечности к некоторой конфигурации с Е = 0. Из (3.52) видно, что эти условия на поле 力 состоят в том, что при г = | х | -> оо

(3.56)

8@fF2. (3.57)

Как и в модели О (3), амплитуда ф достигает《вакуумного》значения F, Но в отличие от модели О (3) направление вектора ф во внутреннем пространстве при стремлении к пространственной бесконечности может быть разным. Это происходит потому, что соответствующее уравнению (3.16) модели О (3) условие (3.56) требует в отличие от первого равенства нулю ковариантной производной D冲,а не обычной производной &@. Рассмотрим выражение (3.44) для ковариантной производной и выразим ее в сферических координатах ", 0,力｝ и соответствующих компонентах. 0-компонента (Q#) определяется выражением '

(D^)e = -^^-+ gUS 試 (3.58)

Для того чтобы вся эта комбинация удовлетворяла условию (3.56), нет необходимости в стремлении дфа/д& к нулю при г -> оо. Производная дфа/д& может иметь ненулевой предел при г —> оо, если 0-компонента калибровочного поля Ле входит в выражение (3,58) таким образом, что вся сумма (3.58) стремится к нулю при г —> оо. Это в свою очередь означает, что Ле убывает как 1/г. Аналогичное заключение справедливо для азимутальных компонент (grad *) и Лц. Тот факт, что некоторые компоненты А^ при г —> оо убывают лишь как 1/г, является следствием конечности Е. Подынтегральное выражение в Е содержит произведение G牙・G〃； которое тогда убывает как 1/г4 и, следовательно, интегрируемо.

Таким образом, в отличие от модели О (3) конечность Е в данном случае позволяет полям фа (х) иметь на границе пространства различные направления при условии, что Sa фафа ^ F2. Следовательно, разрешенные значения у на границе лежат на сферической поверхности радиуса F во внутреннем пространстве.

Назовем эту поверхность S”. Пространство данной модели трехмерно, поэтому ее граница есть другая сферическая поверхность S傻нз). Отсюда набор граничных условий на ф, разрешенный конечностью Е, является набором всех несингулярных отображений S俨咆—S^BH). Как мы уже видели, такие отображения разделяются на счетное бесконечное множество гомотопических классов, которые образуют группу л2 (S2) ^ 2. Полевые

Рис. 7. Профили прототипов отображений S^H3^ f S”)с п ~ 0 (а) и п = \ (6). Поверхность, обозначенная точками, соответствует 5^из\ а сплошные стрелки указывают направления соответствующих точек S§bh), 丁. е. направления изовектора 6“. Отмети и, что при вращении векторов Фа в случае 6 по штриховым стрелкам в попытке направить их, как в случае。, угол вращения будет разрываться в южном полюсе. Это наглядное изображение помогает понять, почему два отображения принадлежат различным гомотопическим секторам.

конфигурации одного сектора не могут непрерывно переходить в конфигурации другого сектора. Каждый сектор характеризуется целым числом Q, которое представляет собой топологическое число этой модели и равно числу покрытий S^BH) при однократном прохождении S 價冋.Если Q = 0, то при %т 8 поле @ либо стремится к одному и тому же значению для любого направления (рис. 7, о), либо к некоторому зависящему от угла значению, которое может быть трансформировано в не зависящее от угла. Тривиальное вакуумное решение 产(%) = 63aF принадлежит этому сектору с Q = 0. Данный случай аналогичен (3.19), (3.20) для отображений S± ^ Sv Прототип конфигурации с Q = 1 имеет вектор @(хт 8), направленный радиально наружу, т. е. параллельно координатному вектору (рис. 7, б). Ниже мы дадим точный пример решения для случая Q = 1.

Заметим, что гомотопическая классификация конфигураций данной модели с конечной энергией возникла целиком из граничных условий для полей. В этом отношении данная классификация отличается от соответствующей классификации в модели О (3) (хотя обе имеют одну' и ту же гомотопическую группу л2 (S2)) и ближе по духу классификации моделей 广 и синус-Гордона. В последних пространство одномерно и различные секторы соответствуют различным значениям поля при стремлении % к —оо или +8. Например, в решении с кинком поле 力(%) имеет разные пределы при х f =Ьоо. То же самое происходит в секторах с Q，О нашей калибровочной модели. При гт8 по различным направлениям поле @ достигает различных пределов.

Мы ограничились рассмотрением статических конфигураций с 黒(х) = 0. Решение, которое мы получим несколько ниже, также относится к этой категории. Но исходя из статического решения с 黒 (х) =0, можно получить калибровочными преобразованиями (3.45), (3.46) другие зависящие от времени решения с ненулевым значением 幽.Так как лагранжиан инвариантен при калибровочных преобразованиях, а полевые уравнен и я ж ко ва- риантны, преобразованное решение также будет решением. Оно будет иметь такую же энергию и топологический заряд, так как энергия калибровочно-инвариантна и Q, как мы увидим ниже, также. '

Представим, как и раньше, топологический индекс в виде точного функционала от поля. Топологический ток ^ц можно представить в виде [10 ]

(1/8а) %2Poe也 0嗓 @р$ь д。?。, (3&) где

3。=严/1加，21 = (§严严)"、

В силу антисимметрии e(xvpa имеем

。峭л =()• (3.60) Ясно, что сохранение тока следует из конструкции выражения для 也卩(3.59), а не из динамики, т. е. формы лагранжиана или уравнений движения. То же самое верно для тока (2.59). Это отражает отличие топологических зарядов и токов от привычных нётеровских токов и зарядов, подчеркнутое в гл. 2. Определению (3.59) соответствует сохраняющийся заряд

=-8^ j С"俨Ь泅砂0諭。誑)d3x =

=急 J d2g ©减abc$a д* д侖),(3.61)

о(физ)

s2

где I, j, k = 1, 2, 3 — пространственные индексы, a S紀吟 _ наша сфера на бесконечности координатного пространства. Для того чтобы* убедиться, что (3.61) является топологическим индексом отображения S缈з)— S”，введем для описания поверхности 5<ФИЗ) параметры (%, а2). Ими могут быть, например, полярный и азимутальный углы. Перепишем тождество (3.26) для нашего координатного пространства;

721 力20户 dХn h1 分

d s =2*

Кроме того,

浄=書*(3-62)

Тогда

=急J歯^0諭 * 篙•(3•63)

Выражение (3.63) имеет точно такую же форму, как (3.25). Для доказательства того, что Q есть топологическое число, достаточно лишь повторить соответствующие рассуждения разд. 3.3.

Объясним теперь, почему решения данной модели называются «монополями». Мы увидим, что с этими решениями можно связать магнитный монопольный заряд. Он пропорционален Q — топологическому числу, характеризующему решение.

Магнитные монополи как предмет исследования теоретиков [111, 112, 307 ] и экспериментаторов имеют долгую историю. Мы не будем в нее углубляться, а отметим лишь следующий хорошо известный факт. В традиционной электродинамике уравнения Максвелла для векторного потенциала Ли имеют вид

=(3.64)

где,

#V=@叮V — @v/u,(3.65)

$ 小时 0叩"=0(3.66)

и где /v — электрический ток. Введение магнитных зарядов и токов требует добавления магнитного тока в правую часть уравнения (3.66). В нашей неабелевой SU (2)-калибровочной теории, как можно показать, такой магнитный ток уже существует, и нет необходимости модифицировать лагранжиан (3.42) или уравнения поля (3.48), (3.49).

Мы не связывали электромагнетизм с калибровочной моделью (3.42) и лишь отметили, что теория (3.42) представляет собой обобщение на группу SU (2) U (1 )-калибровочной теории электромагнетизма. Но U (1) является подгруппой группы SU (2), поэтому электромагнитную систему можно рассматривать как часть более широкой системы (3.42). На первый взгляд можно было бы попытаться связать одно из трех калибровочных полей, скажем Лц, с электромагнитным полем. Но эта связь оказывается калибро- вочно неинвариантной, так как различные поля Лц перемешиваются при калибровочных преобразованиях (3.46). гХо山т предложил калибровочно-инвариантное определение тензора электромагнитного поля % в терминах исходных полей:

&V 三 /g2V —(l/g) eabcfD^bD^c.(3.67)

Можно проверить, что 1) это выражение калибровочно инвариантно и 2) в области, где фа = (0, 0, 1), оно принимает вид

Л gv = 5цЛу — 5уЛц-(3.68)

Второе утверждение означает, что в специальной калибровке, когда поля W имеют одно и то же направление во внутреннем пространстве, векторное поле вдоль этого направления можно рассматривать как электромагнитное поле. В общем случае вы-* ражение (3.67) определяет тензор поля. В отличие от обычной электромагнитной системы (3.64)—(3.66) тензор (3.67) имеет дуальный тензор с ненулевой дивергенцией. Небольшие преобразования позволяют получить из (3.67) выражение

4~ 沁р。小尸Р° = (l/2g) ^p^abe 吟吟加领=(4n/g)羸，(3.69)

где h鴉 —— топологический ток (3.59). Сравнивая это выражение с выражением для электрического тока (3.64), видим, что магнитным током является (1/g)也产.Магнитное поле, определяемое обычным образом как В?三 l/2e^F/A, удовлетворяет соотношению

V・B = 4n%/g).(3.70)

Следовательно, полный магнитный монопольный заряд равен m=\^x = Q/g,(3.71)

где Q — топологический заряд.

Отметим, что соотношение (3.71) похоже на условие квантования Швингера для магнитного заряда [307 ]. Однако оно не в точности такое же, да и не должно быть таким же. Последнее выво-

дится из квантовой теории, тогда как наши рассуждения были строго классическими. Условие Швингера имеет вид

m = rMq, и = 0, 1, 2, ..., ' (3.72)

где 方三/i/2n, Л——постоянная Планка,夕——электрический заряд электрона. В (3.71)方 отсутствует, a g —— константа взаимодействия в лагранжиане (3.42)—(3.44). Условие (3.71) будет совпадать с условием Швингера только в том случае, если некоторые квантово-теоретические соображения позволят считать, что электрический заряд частиц, связанных с полем «* равен q = g方.

Так как тензор 仆"в (3.67) калибровочно инвариантен по построению, то это справедливо и для 儿，и для магнитного заряда т. Читателя может смутить, что (3.69) дает ненулевую дивергенцию тензора, дуального 尸叫 тогда как выражение (3.68), к которому иногда можно привести №, есть чистый ротор и для дуального тензора дает нулевую дивергенцию. Но (3.68) следует из (3.67) только в областях, где фа имеет одинаковое направление во всех точках внутреннего пространства. Согласно нашим рассуждениям о гомотопических классах, решения #, начиная с Q =# 0, нельзя повернуть несингулярными калибровочными преобразованиями так, чтобы они имели одинаковое направление во всем пространстве, как это свойственно конфигурации с Q = 0・ Таким образом, конфигурации с Q声 0 не могут быть записаны в форме (3.68) и, следовательно, должны иметь ненулевую дуальную дивергенцию в некоторых областях, связанных с существованием ненулевого магнитного заряда.

Эти общие соображения просто пояснить на примере конфигурации с Q = 1, исследованном т'Хофтом и Поляковым. Рассмотрим для статического решения следующий анзац:

严(х) = 3込(N〃)F(r), (3.73)

• Л? (x) = ^aii(x4r)W(r\ 朗(х) = 0, (3.74) где г = I х I и 1, /, а = 1, 2, 3. Пусть F (г) и W (г) отвечают следующим граничным условиям при г ^ оо：

F(r)^F, Г (г) f 1/g几 (3.75)

Функции F (г) и W (г) должны удовлетворять уравнениям поля (3.50), (3.51). F — константа лагранжиана (3.42). В силу (3.75) анзцц удовлетворяет всем требованиям, сформулированным выше, в том числе граничным условиям (3.56), (3.57). Очевидно, что (3.73), (3.74) описывают конфигурацию с Q = 1. В (3.73) внутреннее направление 严 параллельно направлению 炉,как показано на рис. 7, б. Это — однозначное отображение 5^из) в S^n\ Оно соответствует Q = 1, что можно легко проверить, подставляя (3.73) в определение Q (3.61). Можно вычислить соответствующее

этой конфигурации магнитное поле 卅=%立抬户* при г -> оо. Поскольку 力f«a f 0 при 尸 f оо, по определению F^ (3.67) с учетом (3.73)—(3.75) получаем

В (х) —-> x/gr\ (3.76) что соответствует магнитному полюсу величины 1/g в согласии со значением Q = 1. Так как 黒=0 н все поля не зависят от времени, то Foi = 0 и электрического поля нет. Таким образом, решение имеет только магнитный заряд и не имеет электрического заряда. .

Заметим, что мы еще не решили точно уравнения поля (3.50), (3.51). Эти уравнения, как и большинство систем нелинейных уравнений в трех пространственных измерениях, решить не просто. Основную часть нашего обсуждения составил топологический анализ, основанный исключительно на граничных условиях. Замечательно, что, не решая самих уравнений, можно получить так много информации о некоторых свойствах решений. В частности, для анзаца (3.73), (3.74) мы использовали пока только специально выбранную тензорную форму и граничные условия (3.75). Для нахождения функций F (г) и W (г) нужно подставить аизац в уравнения поля. Анзац «сферически-симметричен», т. е., если не учитывать простых тензорных множителей, зависит только от радиальной переменной г. Благодаря этому упрощению дифференциальные уравнения в частных производных (3.50), (3.51) сводятся к обыкновенным диффер ен ци а ль ным уравнениям. .При подстановке (3.73), (3.74) в уравнения поля после некоторых вычислений получаем

户写肛=к (Г) (№ (г) — 1) + 环⑺ к ⑺， (3.77)

产 ^Я = 2〃(г) К%) + ХЯ (г) (~^Я ~ 户户)，(3.78) где

‘ К (г)三 1 一 grW (г), ” (г)三 grF(r). ' (3.79) Выражаясь специальным языком, это система связанных «неавтономных» дифференциальных уравнений. Хотя эта система намного проще исходных полевых уравнений, решить ее все еще не просто. Однако было показано [54, 288], что в пределе Ат 0 при фиксированных g н F уравнениям (3.77), (3.78) удовлетворяют особенно простые функции

к (г) = _項 , 〃 (г)=京笈一 1. (3.80) sh (gFr) th (gFr) 、 /

Отметим, что, хотя при 九f 0 последний член лагранжиана (3.42) обращается в нуль, он все же влияет на решение через граничные

условия (3.57) и (3.75). Для получения точного статического решения в пределе X 0, принадлежащего сектору с Q = 1 и имеющего магнитный заряд 1/g, нужно подставить функции (3.80) в анзац (3.79), (3.73) и (3.74).

В пределе X -> 0 модель наряду с простым аналитическим решением для одиночного монополя (3.80) обладает и другими прекрасными свойствами. В частности, Богомольный [54 ] вывел неравенство, связывающее энергию статической конфигурации с ее топологическим индексом, схожее с результатом (3.31) для модели О (3). При 九 = 0 для статического решения с 黒 = 0 энергия (3.52) сводится к

E=\d3x (±G?/G?-+ -ID^aO^a)=

=心工｝觴—EijhDh勺"У + j 品X ^~ EjjhG?jDh§a. (3.81)

используя тождество D^fi^ = 0, где Ga^v — дуальное поле: 占叩* = 1/2*""°@5 Это тождество следует из (3.43), (3.44) (см. вывод евклидова аналога (4.20) в гл. 4).

Рассмотрим калибровочно-инвариантный электромагнитный тензор 又 (3.67). При гт 8 для любой конфигурации с конечной энергией D^a -> 0 и ^a -> ^a/F. Тогда магнитное поле, получаемое из (3.67), асимптотически имеет следующий вид:

Вк = ~^瓦炉订 f (1/2F)坎i/G”°・

Используя его, перепишем (3.82) в виде

F § dokBk = 4nmF = 4л (Q/g) F, где m ——магнитный заряд, связанный с гомотопическим индексом Q соотношением (3.71). Тогда энергия в (3.81) записывается в виде

e = _^+ JA £ ；(G；/. 一4.庐冲)2з±^-.(3.83)

В любом заданном Q-секторе энергия достигает минимума тогда и только тогда, когда поля удовлетворяют «условию Богомольного»

G?/ = (3.84)

Очевидно, что эти результаты схожи с соотношениями (3,31), (3.32) для модели О (3). Если полевая конфигурация удовлетворяет условию Богомольного (3.84), то она минимизирует статическую энергию в соответствующем Q-секторе и, следовательно, является классическим решением в этом секторе. В частности, для Q = 1 можно проверить подстановкой в анзац (3.73), (3.74), что решение Прасада—Зоммерфельда (3.80) удовлетворяет (3.84). Следовательно, знак равенства в (3.84) означает, что монополь имеет массу 4nF/g. Заметим, что так же, как кинк в гл. 2, монополь тем тяжелее, чем меньше константа взаимодействия g.

Для Q〉1 или 九，0 аналитические решения неизвестны. Численные вычисления и некоторые высказанные т' Хофтом и Поляковым соображения указывают на то, что несингулярное (Q = 1)-решение с конечной энергией существует, даже если X =# 0. Более строгое исследование существования таких решений было проведено Тюпкиным и др. [339].

Помимо всех его других интересных свойств монопольное решение является во всяком случае решением в виде уединенной волны модели (3.42), представляющей собой довольно сложную систему взаимодействующих полей в (3 + 1) измерениях, Но нет никаких оснований считать, что это решение есть солитон в смысле строгого определения, приведенного в гл. 2.

Еще о монополях и дионах

В предыдущем разделе мы привели гомотопические соображения, ведущие к мультимонопольным секторам модели (3.42). Мы также подробно рассмотрели одномонопольное решение. Отметим, что для модели (3.42) и для ее обобщений была проведена большая работа в области монополеподобных решений. За недостатком места мы не можем обсуждать здесь ее так же подробно, как мы обсудили основное монопольное решение. Нам придется удовлетвориться общим обзором этих исследований, снабдив его некоторыми качественными замечаниями и ссылками на литературу. (Более подробное обсуждение и ссылки на литературу можно найти в обзорах [4, 245].)

Вскоре после получения одномонопольного решения модели (3.42) Джулиа и Зи [206 ] указали, что эта модель обладает также дионами, т. е. объектами с электрическим и магнитным зарядами. Напомним, что монопольное решение, описываемое анзацем (3.73), (3.74), не имеет электрического заряда. Так как А^ = 0,

а поля не зависят от времени, для электрического поля выполняется условие

Ei = ^FOi = O,

где F^v ——калибровочно-инвариантный электромагнитный тензор (3.68). Джулиа и Зи предложили решения, являющиеся статическими, но с ненулевым значением 4$. Они обобщили анзац, включив в него

=(Г) lg^

с граничным условием J (г) -> 0 при г -> 0. При этом поля 4? и фа имеют прежнюю форму (3.73), (3.74). Вместо (3.77), (3.7S) для 丿(г), Н (г) и К (『)получаются уравнения

产 d2K/dr2 = К (十一丿2 + "2 — 1),

咨心 Hd* = 2"个 + 九" [("2/g2)-产尸 2],产必jd咨=2/个.

Тогда электрический заряд записывается в виде

7= jd3x(divE) = —— рг(3.85)

о

Точные решения можно опять найти в пределе X -> 0 [54, 288 ]. Они имеют вид

K(r)=' 〃(r) = chy (

J&)= shY(詔帚-1),"

где у ——произвольная действительная постоянная. Подставляя это решение в (3.85), получаем

7 = (4n/g) sh у.(3.87)

Асимптотическое магнитное поле остается таким же, как (3.76), поэтому решение имеет магнитный заряд m = 1/g. Очевидно, что эти уравнения при 丫 = 0 сводятся к уравнениям, описывающим монополь т'Хо巾та ——Полякова. Швингер [307 ] и Цванцигер [368] доказали, что если существуют различные типы частиц, несущие магнитный и электрический заряды (mz и 仇 соответственно), то они должны подчиняться условиям

%/и)— qjmi = Nti.(3.88)

Поименяя эти условия к монополю (q = 0, m = 1/g) и диону (7 • (4冗/g) sh у, m = 1/g), получаем соотношение

(4冗/g?) sh y = N九(4冗/g?) sh y = N九(3.89)(3.89)

(4冗/g?) sh y = N九

(4冗/g?) sh y = N九

(3.89)

(3.89)

которое, вообще говоря, не выполняется, так как постоянная у решения (3.86) может быть любым действительным числом. Это, очевидно, связано с тем, что наши рассуждения были классическими., тогда как условия Швингера——Цванцигера получены из квантовых принципов и их можно применить только после квантования нашей теории (см. [191, 336]).

Монопольные и дионные решения, описанные выше, были статическими. Как было показано выше, понятие топологических монопольных секторов не ограничено только статическими решениями. Зависящие от времени периодические решения с магнитными и электрическими зарядами, для которых топологическое число может быть непосредственно связано с поведением калибровочных полей Дц, а не скалярных полей «°, были недавно рассмотрены Кристом и Джакивом [83]. Росси [294 ] связывает монопольное решение зависящим от времени калибровочным преобразованием с последовательностью инстантонов Янга——Миллса.

Тот факт, что в решениях типа (3.73), (3.74) внутренний индекс а связан с пространственными индексами Z и /, дает интересное направление исследований. Оно связано с возможностью возникновения фермионных полей полуцелых спинов из бозонных полей, а также с преобразованиями изоспина в спин. Отметим, однако, что одно только перемешивание внутренних и пространственных индексов не имеет само по себе какого-либо особенно глубокого смысла. Индекс а предназначен только для различения трех скалярных полей #. Все три поля # могут существовать в любой точке х, и нет никаких причин, препятствующих изменению соотношения между ними с изменением х. В этом случае изовектор 巾。будет меняться по направлению с изменением х. Случай, когда а остается одним и тем же для всех х, для топологически нелинейных систем является скорее исключением, а не правилом.

Но для монопольных секторов таких калибровочных теорий перемешивание спиновых и внутренних индексов имеет, по- видимому, глубокие следствия. Как показали Джакив и Ребби [195 ] и Хазенфрац и т*Хофт [183], при взаимодействии системы монополя с системой заряженных скалярных изодублетов возникает объект с полуцелым спином, хотя все начальные поля бозонные. Соответствие этого интересного результата обычной спиновой статистике изучалось Голдхабером [168 J. Вывод и обсуждение этих результатов читатель найдет в цитированных работах. По поводу нашего замечания следует отметить, что указанные следствия требуют гораздо большего, чем просто связи внутренних и пространственных индексов в решении типа (3.73), (3.74). Многие другие свойства модели ——спонтанное нарушение внутренней симметрии SU (2), тот факт, что группа SU (2) имеет ту

же структуру, что и группа вращений, а также то, что решением является магнитный монополь,——дают вклад в эти результаты. Конечно, эти результаты являются обобщением на монополи калибровочной теории SU (2) давно известного свойства точечных монополей иметь при взаимодействии с точечными зарядами аномальный угловой момент (см., например, [299]).

Анзац (3.73), (3.74), ведущий к одномонопольному решению (Q = 1), сферически-симметричен. Гут и Вайнберг [179 ] (см. также [140]) показали, что мультипольные решения нельзя получить из такого анзаца. Их необходимо искать среди функций, не обладающих сферической симметрией [93,253, 267]. Патраскиу [277 ] доказал, что для получения нетривиальных гомотопических секторов рассматриваемого вида необходимо вводить дальнодей- ствующие поля. Напомним, что. в нашем монопольном решении одно из трех калибровочных полей 4； убывает как 1/г при г -> оо по любому направлению. Более широкий вопрос о том, когда калибровочные теории имеют нетривиальные гомотопические сек、 торы, обсуждался в лекциях Коулмена [87 ] наряду с тем, как могут быть «состыкованы» решения из различных секторов-. Распространение на случай высших представлений группы 50(3) для скалярных полей (вместо триплетного векторного представления (3.42)) изучалось Шанкаром [311 ].

Распространение монополеподобных решений на высшие SU(п)-калибровочные теории рассматривалось во многих работах, в том числе [18, 77, 92, 189, 201, 243, 315]. Недавно Вайнберг [343 J описал в деталях монополи произвольных компактных простых групп Ли.

Наконец, в очень интересном исследовании обобщенных моно польных решений высших калибровочных групп Олив и др. [166, 167, 256, 2 65 ] указали на существование группы магнитного заряда, дуальной исходной калибровочной группе. По* видимому, -эти две группы взаимно симметричны. Исходная калибровочная группа дуальна дуальной группе магнитного заряда, поэтому было высказано предположение, что нётеровские и топологические заряды в этих группах меняются местами.

Надеемся, что эти ссылки на литературу вместе с детальным введением предыдущего раздела помогут интересующемуся читателю сориентироваться в растущем потоке литературы этой области физики.

Гомотопическое рассмотрение систем конденсированных сред

В разд. 3.4 мы рассмотрели решения в виде уединенных волн SU(2)-калибровочной теории в четырех измерениях. Аналогичный анализ можно провести для многих других теорий. Хотя возмож-

ность получения точных решений в аналитической форме зависит от конкретной модели, гомотопическая классификация конфигураций с конечной энергией может быть проведена для многих моделей. Такая классификация применима также в системах конденсированных сред, например в жидких кристаллах, ферромагнетиках ,жидком гелии и сверхпроводниках с линиями тока. Нетривиальные граничные условия использовались в некоторых системах конденсированных сред задолго до того, как их ввели в физике элементарных частиц и обобщили на релятивистские системы и неабелевы калибровочные теории.

Мы не будем подробно обсуждать каждую из этих моделей, так как для них справедливы принципы, использованные в предыдущих разделах. Упомянем только некоторые модели и рассмотрим гомотопическую классификацию их решений.

С этой целью приведем необходимые результаты по гомотопическим группам из книги Стинрода [321 ]:

冗в (Sr) = Z,明餌)=0 при冗几(Si) = 0 при冗в (Sr) = Z,明餌)=0 при冗几(Si) = 0 прип<т, п> 1,п<т, п> 1,(3.90а)(3.906)(3.90в)(3.90а)(3.906)(3.90в)

冗в (Sr) = Z,

明餌)=0 при

冗几(Si) = 0 при

冗в (Sr) = Z,

明餌)=0 при

冗几(Si) = 0 при

п<т, п> 1,

п<т, п> 1,

(3.90а)

(3.906)

(3.90в)

(3.90а)

(3.906)

(3.90в)

где лп (Sm) соответствует гомотопической группе отображения Sn в Sm, а 2 —— группе целых чисел, т. е. отображения Sn ~> Sn разбиваются на дискретное бесконечное множество гомотопических классов, каждый из которых характеризуется целым числом. Это справедливо для всех положительных целых п. В (3.906) и (3.90в) нуль справа означает, что группа тривиальна, т. е. в этих случаях все отображения могут быть деформированы Друг в друга. •_

Классическим примером в физике конденсированных сред, где применяются такие гомотопические соображения, является система трубок тока в сверхпроводниках второго рода. Но сначала напомним, что мы выбрали неабелеву теорию (3.42) в качестве калибровочной модели в (3 + 1) измерениях. Что было бы, если бы мы выбрали вместо нее более простую абелеву калибровочную модель? Абелев аналог (3.42) описывается лагранжианом в (О + 1) измерениях

①(X, ?)=一}1小 + g(4疗(0冲)—}m 加 2 一尸尸，(3.91)

где « (х, /)——комплексное скалярное поле, Fgv — электромагнитный тензор Fuv = dllAv ——ovXu и

02三（电一运4口） 中.02三（电一运4口） 中.(3.92)(3.92)

02三（电一运4口） 中.

02三（电一运4口） 中.

(3.92)

(3.92)

Проводя такой же анализ, как выше, можно найти, что конфигурации с нулевой энергией имеют | « (х, %) | =尸 и, следователь но；

конфигурации с конечной энергией должны удовлетворять условиям . '

131f 尸 при х-> оо, (3.93)

DQ =(。的一力弘口小)f 0 при х f оо • (3.94), Фаза комплексного поля на бесконечности не фиксируется этими граничными условиями. Так как значения фазового угла а поля 小三 I « I exp (ia) образуют окружность Sx, граничные условия отображают поверхность на пространственной бесконечности в S±. До сих пор мы не конкретизировали пространственную размерность D. Физически наиболее интересен случай 0=3, когда поверхность на бесконечности есть S2. В силу (3.90в) л2 (SJ = О, т. е. все разрешенные граничные условия имеют тот же гомотопический класс. Таким образом, для абелевой модели (3.91) при О = 3 не существует нетривиальных гомотопических секторов решений. (Это одна из причин, почему мы выбрали для обсуждения в разд. 3.4 неабелеву SU (2)-систему в трех пространственных измерениях.) Для абелевой модели то же справедливо для всех О ^ 3, так как jt^—i (5Х) = 0 при 0^3. Только для 0=2 (система с двумя пространственными и одним временным измерениями) пространственной границей является S「что ведет к нетривиальной гомотопической группе 冗】(SJ・ Это знакомая нам группа чисел наматываний. Число наматываний является сохраняющейся величиной и постоянно даже для зависящих от времени решений системы (3.91) в (2 + 1) измерениях.

Эта абелева модель в (2 + 1) измерениях была детально изучена Нильсеном и Ольсеном [262 ], работу которых можно считать предвестником монополя т*Хофта——Полякова. Нильсен и Ольсен рассматривали эту систему для моделирования двухструнной картины в физике элементарных частиц. Лагранжиан (3.91) является релятивистским динамическим аналогом процессов в статистической механике сверхпроводника второго рода, помещенного в магнитное поле (см., например, [303]). При этом комплексное скалярное поле 力 отвечает параметру порядка, а Лц ——электромагнитное поле. Свободная энергия системы есть функционал G [«, Дц], имеющий в модели Ландау——Гинзбурга при температуре Т ниже критической температуры Тс следующи访 вид:

G 中 Лц]= jdx(±|(V-feA) Bl? + } [| 力 |2 —产(丁)]2 + 體)；

(3.95) здесь В ~ у/ X А ——магнитное поле. Отметим аналогию с гамильтонианом системы (3.91) для статических (или равновесных) конфигураций с у4()= 0. Далее, если предположить инвариантность системы вдоль оси z (что приближенно справедливо для пластины сверхпроводящего материала, помещенного между пл о-

скими полюсами магнита, поле В которого； направлено вдоль оси z), то система становится существенно двумерной в плоскости ху. Требование конечности энергии здесь заменяется требованием конечности свободной энергии G. Для таких конфигураций в плоскости ху граничные условия, задаваемые (3.95), тождественны (3.93), (3.94) и имеют ту же гомотопическую группу 冗i (SJ. Существование целого числа наматываний и связано с хорошо известным условием квантования потока. Напомним, что число наматываний описывает число обходов фазой а окружности на пространственной бесконечности. Пусть окружность параметризуется 9, тогда

2л

"击j黑旭(3・96)

О

Но, согласно условиям (3.93), (3.94), при | х | = г оо

66 e)f 尸ёS(叫 4一(—〃6)(电力仲).(3.97)

Отсюда тангенциальная компонента Де при 7foо равна

4(F"a(s)= +丄案.(3.98)

Поэтому

九=+ 券 j /yde= -Ь-^ф A-dl = + 言 X (поток), (3.99) О

где (поток)——полный магнитный поток через плоскость ху. Мы видим, что требование, чтобы число наматываний и было целым, равносильно «квантованию» полного потока через плоскость 隽у、который становится при этом равным +2л/е, умноженному на целое число.

Эффект квантования потока в сверхпроводниках хорошо известен. Но может показаться странным, что мы получили его из чисто классических соображений. Объяснение здесь аналогично приведенному выше в связи с условием квантования монополя (3.72). Как подчеркнул Коулмен [87 J, (3.99) не является точным условием квантования потока в сверхпроводниках. Последнее имеет вид [303 ]

поток = 2冗孔力/2%(3.100)

где 2q ——заряд куперовской пары электронов. (Скорость света положена, как и везде, равной единице.) В (3.99) й отсутствует, а е ——константа взаимодействия для лагранжиана (3.91). Конечно, лагранжиан (3.91) допускает сохраняющийся заряд

q=ie\W*T*dx, (3.101)

но он не обязательно должен быть кратным е на классическом уровне. Только в квантовом варианте теории константа взаимодействия е и заряд куперовской пары 2, связаны соотношением 2q — ей, и (3.99) становится условием квантования (3.100).

Помимо этих общих топологических соображений хотелось бы найти точные решения в различных секторах. Для этого аналогично анзацу (3.73), (3.74) для монополя рассмотрим цилиндрический анзац

Ar — Aq = 0, Aq = А (г), « =尸(厂)厘叫 (3.102)

где использованы полярные координаты (г, 9) на плоскости (%, у). Граничные условия (3.97) принимают вид

尸⑺f尸，4⑺f山耽(3.103)

Ясно, что этот анзац ведет к числу наматываний п. Уравнения поля, получающиеся из (3.95), с учетом анзаца (3.102) сводятся к -v4- k±F ⑺)+ [(? 一 М (г)У + 九尸⑺—F矶尸⑺=о,

(3.104а)

-ЧГ^ТЧГ Iм (喇)+ d#。)一 Г)戸⑺=°-(3.1046)

Для произвольного X аналитическое решение этой системы нелинейных уравнений не известно. Но можно показать, что решения, если они существуют, экспоненциально быстро приближаются к граничным значениям (3.103). При г ~> оо в (3.1046) можно подставить F (г) = F. Это делает данное уравнение линейным и решаемым, что приводит к следующему асимптотическому поведению:

Л (г) —~►(孔/夕)+ const х exp (一eFr)]y 尸.(3.105a)

Подстановка (3.105а) в (3.104а) дает

尸(г)———> 尸 + const x exp (— у X Fr). (3.1056)

Численные расчеты подтверждают существование несингулярных решений с такими асимптотическими свойствами, причем, по- видимому, по крайней мере решение с и = 1 (единичная вихревая линия, или «трубка тока») является стабильным. Более общее и строгое исследование существования таких решений проведено Таубсом [325].

Заметим, что эти решения имеют конечный «размер» в двумерной плоскости, т. е., как следует из (3.105), Ац и ф при гоо стремятся к своим граничным «вакуумным» значениям экспоненциально быстро. Магнитное поле, получаемое подстановкой (3.105а) в (3.102) и (3.92), также спадает к нулю экспоненциально

быстро по г. Все эти экспоненты имеют характерную длину, пропорциональную 尸二 1. Конечность размера связана с тем фактом, что в отличие от О (3)-модели в разд. 3.3 или моделей Янга一Миллса и СРп, которые изучаются в следующей главе, система (3.91) масштабно не инвариантна. Существование нетривиального решения с конечным размером в секторе с и = 1 данной модели окажется очень полезным результатом,даже если не будет известна его точная аналитическая форма. Это решение используется в гл. 10 для иллюстрации квантового эффекта инстантонов.

Такие соображения применимы также к вихрям в гелии II, где также параметром порядка является скалярное поле. Эта задача в плоскости, перпендикулярной вихревой линии, существенно двумерна, так что нетривиальная гомотопическая группа Л1 (Si) классифицирует конфигурации с такими вихревыми линиями. Вихревые линии здесь представляют собой так называемые «линейные сингулярности». В то же время, так как л2 (SJ = 0, нетривиальных трехмерных секторов не существует, т. е. «точечные» сингулярности в Не II отсутствуют. В отличие от этого для изотропных ферромагнитных систем с параметром порядка — вектором намагниченности М ——граничные условия допускают различные направления единичного вектора m = М/| М |. Они образуют поверхность S2, и, так как л2 (S2) = Z, возможны точечные сингулярности. Они аналогичны монопольным решениям калибровочной теории SU (2). Но ферромагнетик не имеет «линейных сингулярностей», так как по (3.906) л± (S2) = 0. Другой интересной системой является нематический жидкий кристалл, характеризуемый вектором «директора» d при условии, что d и —d неразличимы. Поверхностью вырождения в данном случае является сфера S2, диаметрально противоположные точки которой отождествлены. Такую структуру можно назвать 鼻 三 S2/22, и можно показать, что лх (Р2) =Z?. Таким образом, линейные сингулярности могут существовать в таком жидком кристалле, но они распадаются только на два, а не на дискретное бесконечное множество гомотопических классов. Более детальное обсуждение гомотопических свойств данных систем можно найти, например, в работах [252, 337, 341].

Между приведенными выше примерами и более ранними примерами, содержащими калибровочные поля, существует важное различие. В последних примерах функционал энергии при свободной энергии включает ковариантные производные скалярных полей. При этом соответствующим выбором калибровочных полей на бесконечности можно добиться обращения в нуль ковариантных производных даже для зависящих от угла граничных условий (см., например, (3.94), (3.97)). Таким образом, для конфигураций

с конечной энергией возможны нетривиальные граничные условия. Но в жидких кристаллах, ферромагнетиках и т. п. калибровочных полей нет. Здесь мы не привели выражения для свободных энергий этих систем, которые можно найти в стандартной литературе по этим вопросам. Из данных выражений видно, что функционалы энергии включают только обыкновенные производные от полей. Они не обращаются в нуль на бесконечности достаточно быстро для нетривиальных граничных условий, и энергия таких решений расходится в пределе бесконечного объема. Конечно, реальные системы конденсированных сред имеют конечные объемы, и энергия этих конфигураций остается конечной. Поэтому они физически допустимы.

Другая возможность гомотопической классификации возникает не из граничных условий, а из внутреннего поведения полей. Мы видели это на примере модели О (3) в разд. 3.3. Там присутствие члена (grad б)? в энергии устраняло угловую зависимость граничных условий в пределе бесконечного объема, но тем не менее гомотопическая классификация, основанная на поведеНИИ е (х) при конечных х в двух пространственных измерениях, была возможна. Следует отметить, что О (3)-модель полезна также в физике твердого тела. Она представляет собой в некотором смысле предел двумерного изотропного ферромагнетика. Поле ф (х) соответствует спинам такой системы, а (3.15)——гамильтониану. Белавин и Поляков [30], получившие решения для О (3)- модели, подчеркнули, что эти решения соответствуют метаста- бильным «псевдочастицам», так как обеспечивают экстремум гамильтониана. Так как частицы имеют конечную энергию, конечная их плотность (порядка ехр (——£7/гТ)) всегда будет возбуждена при любой самой малой температуре. Именно поэтому статические солитонные решения с конечной энергией важны в статистической механике систем конденсированных сред. Для О (З)-модели в двух измерениях эти метастабильные состояния особенно важны. Хотя их плотность при малой температуре мала, каждая «псевдочастица» может иметь произвольно большой размер в силу масштабной инвариантности гамильтониана (3.15). Следовательно, они могут занимать все пространство. Далее, каждая «псевдочастица» с Q — 1 обладает спином «, который может иметь произвольное направление. Таким образом, Белавин и Поляков доказали, что для такой системы дальний порядок нарушается при любой, даже малой, температуре. '

То, что солитоны играют важную роль элементарных возбуждений в термодинамике протяженных систем, было показано качественно Крумханслом и Шриффером [222 ]. Эта идея была развита во многих работах (см. обзор [46]). Мы используем эти соображения в гл. 10, рассматривая систему инстантонов в евклидовой квантовой теории как инстантонный газ.

Солитон-солитонные взаимодействия

Закончим наше изучение классических солитонов коротким обсуждением их взаимодействий. Уже было подчеркнуто соответствие единичного солитонного решения протяженной частице. Найдем некоторое аналогичное соответствие между многосолитонным решением и системой частиц. В частности, выясним, можно ли аналогично случаю нескольких частиц хотя бы приближенно описать динамику двух или большего числа солитонов, используя потенциал взаимодействия, зависящего от расстояния между ними.

Хотя некоторые модели обладают односолитонными решениями, точные многосолитонные решения для большинства из них отсутствуют. (Противоположные примеры типа модели синус-Гордона редки.) Поэтому необходимо и полезно достичь качественного понимания систем двух или более солитонов, используя интуитивные аргументы и приближения. Так как наши уравнения поля нелинейны, суперпозиция односолитонных функций в общем случае не будет решением. Но если солитоны достаточно далеки друг от друга, их перекрытие мало. Тогда искажения каждого солитона, вызванные нелинейными эффектами вследствие присутствия других, будут также малыми. Иначе говоря, можно ожидать существование решений (независимо от того, найдем ли мы их аналитически или нет), соответствующих широко разделенным солитонам, сохраняющим, за исключением небольших искажений, свою индивидуальность. В общем случае такие решения могут не быть статическими. Можно ожидать, что каждый солитон, воздействуя на другие, не только их деформирует (поляризует), но и ускоряет. Для того чтобы удержать солитоны на месте, необходимо вводить дополнительные внешние силы.

Такую картину широко разделенных солитонов, схожую с системой широко разделённых протяженных частиц, можно реализовать в конкретной форме для специальных моделей. В качестве простого примера возьмем кинки модели 旷 (2.25). Граничные условия модели допускают конфигурации кинк —— антикинк, но точное решение такого вида неизвестно. Рассмотрим не зависящее от времени уравнение этой модели '

寸一九兴 + m2, = 0. (3.106)

Как найдено в разд. 2.3, единственными решениями этого уравнения с конечной энергией являются кинк, антикинк и тривиальные решения « = 土т//九. Уравнение не имеет решений, которые можно было бы рассматривать как широко разделенную статическую пару кинк — антикинк. Это соответствует нашему ожиданию, что кинк и антикинк взаимодействуют и не остаются статическими. Но если их удержать некоторой внешней силой, то стати-

ческое решение пары кинк ― антикинк будет существовать. Такое «удержание» можно провести следующим способом [280 ].

Рассмотрим вместо (3.106) модифицированное уравнение , 寸—冲з + 团2, = «(R){б к 一 r/2)+ 6 (x + R⑵}.(3.107)

Правую часть можно рассматривать как две внешние силы, приложенные к точкам % = 士R，2. В отличие от (3.106) уравнение (3.107) обладает решением с конечной энергией, напоминающим пару кинк ——антикинк, разделенную расстоянием R. Решение, конечно, имеет разрыв в точках х = 土R/2. Оно возникает только в том случае, если величина внешних сил a (R) выбрана соответствующим образом как функция от Р. Кинк и антикинк в этом решении искажены по сравнению с их первоначальными формами, но искажение стремится к нулю при Rf оо. Все эти свойства соответствуют нашим ожиданиям и аналогии с протяженными частицами.

Мы не будем рассматривать детали или вывод решения кинк —— антикинк (см. [289]). Уравнение (3.107) интегрируется непосредственно, при этом решение получается в эллиптических интегралах. При подстановке этого статического решения в интеграл энергии (2.19) имеем [289 ]

Е (R) = 4(2 ；з — 8，芽県 exp (- /2 mR) +

-|- члены более низкого порядка по R. (3.108)

Первый член есть масса покоя свободных кинка и антикинка. Остальные члены можно отнести к потенциальной энергии взаимодействия V (7?) пары кинк ——антикинк

и (^большие R ~ —(8 /Т 向九)exp (-/2 mR) •(3.109)

Отметим, что это взаимодействие 1) соответствует притяжению и 2) является сильным при малом значении постоянных взаимодействия Х/m2. Аналогичный потенциал притяжения можно получить таким же способом для пары солитон ——антисолитон модели синус-Гордона. Мы привели выражение для потенциала (3.109) только для больших R, так как для малых R кинк и антикинк теряют свою индивидуальность и, следовательно, V (R) перестает иметь смысл.

(Потенциал (3.109) напоминает потенциал одномезонного обмена из квантовой теории поля. Действительно, в гл. 5 при квантовании этой теории выясняется, что она имеет мезон массы J2m и кинк-кинк-мезонную вершину порядка 1//九. Если вспомнить, что две такие вершины появляются при обмене кинков мезоном, и ввести для учета требований размерности множитель т, то борновская амплитуда одномезонного обмена даст потенциал

U (R) = с (团3/九)exp (— V2 mR),

где с——безразмерная величина. Потенциал U (R) (3.109) имеет такую же форму, хотя он получен из чисто классической полевой системы. Это пример свойства, которое обсуждается в гл. 5, а именно того, что характерные черты непертурбативных солитонов в квантовой теории определяются в основном их классическими аналогиями.)

Мантон [242, 243] подошел к проблеме межсолитонных сил по-другому. Вместо того чтобы получать их из статического потенциала, он умножает массу солитона на его ускорение, получаемое в присутствии другого солитона. Ускорение находится построением решения в виде « (% — 嶋〃*), где « (%) — статическая солитонная функция. Считая ускорение а малым (разумное предположение для достаточно разделенных солитонов), он находит его значение, потребовав выполнимости уравнений поля в низшем порядке по а. Он также показывает, что для случаев, когда можно найти статический потенциал типа (3.109), соответствующая сила равна массе на ускорение солитона. Это усиливает аналогию с ньютоновскими частицами и оправдывает введение такого потенциала.

В первой из работ Мантон применил свои метод для определения силы, действующей между двумя монополями т*Хофта —— Полякова, что является более сложной задачей по сравнению со случаем кинков. В частности, он получил следующий интересный результат. Интуитивно можно ожидать, что два монополя обладают дальнодействующей силой 用个,где m ——магнитны 才 заряд каждого из них. Однако Мантон нашел, что в пределе Прасада —Зоммерфельда (X -> 0 в (3.42)) дальнодействующая сила между монополями одинакового заряда обращается в нуль, а между монополями с противоположными зарядами удваивается по сравнению с ожидаемым магнитостатическим значением. Причина заключается в том, что в пределе X ~> 0 в (3.42) скалярное поле безмассово. Обмен скалярным бозоном приводит к возникновению силы притяжения О (I//?2), компенсирующей магнитостатическое отталкивание одинаковых монополей и увеличивающей магнитостатическое притяжение монополей с противоположными зарядами. Эти соображения были развиты и обобщены О'Рейферти и др. [268 ] на монопольные решения произвольных компактных групп с хиггсовскими скалярными полями. Об изучении монополь- дионных взаимодействий см. работу Джерсака и др. [2021. Силы между рассмотренными выше вихрями абелевой хиггсовской модели получены Шапошником [3021. Радж Лакшми [2931 исследовал силу, действующую между заряженными солитонами комплексных скалярных полей.

КЛАССИЧЕСКИЕ ИНСТАНТОНИНЕ РЕШЕНИЯ

Что такое инстантон?

Термин «инстантон» относится к локализованным решениям с конечным действием классических евклидовых уравнений поля. Евклидов вариант теории или системы полевых уравнений вводится заменой метрики Минковского g“” (g。。= 1, g^ = ——6^ при i, j 干 0； при всех остальных значениях^ = 0) на евклидову метрику 6口、 Пространственно-временной координатный вектор (%")мин (卩=0, 1, 2, 3 в четырех измерениях) заменяется вектором (%")евкл (卩 = 1, 2, 3, 4). Компоненты вектора (х^)евкл действительны, но евклидова теория инвариантна относительно О (^-преобразований, а не относительно преобразований Лоренца, т. е.

4

/ уЦуЦ\ 、、/ уЦ\2

＜人 л 丿евк口 =厶 ＜人 /евкл

—— инвариант. Соответственно лоренцев тензор заменяется О (4)-тензором. Например, вместо действительного векторного поля (4口)мин берется действительное поле (Дц)евкл, причем О(4)-пре- образования оставляют (Д^Д^)евкл инвариантным. На индексы «внутреннего пространства», такие, как а в уравнении (3.10), переход к евклидовой метрике не оказывает влияния. Поскольку в евклидовой системе метрикой является 6口”， различий между верхними и нижними пространственно-временными индексами нет.

Отметим, что это не просто замена обозначений. Евклидова система — это не система Минковского, записанная в новых переменных. Например, если (%口)мин имеет четыре действительные компоненты с инвариантом (%о — х2), то (%")евкл также имеет четыре действительные компоненты, но с инвариантом (£；尤%)・ Две системы различны. Но евклидову систему можно считать аналитическим продолжением системы Минковского. Если взять действительное время / = х0 системы Минковского и продолжить его на мнимые значения, то (х4)евкл 三 it можно использовать как четвертую компоненту евклидова координатного вектора с неизменными остальными координатами хх, %?，％з・ Тогда после такого продолжения (壮犬卩爾^ будет связано с внутренним произведением Минковского соотнсшением (犬卩хи)е1нл = 一(хмдт^мин.

Аналогичное продолжение совершается для временных компонент всех четырех-векторов. Для получения евклидова действия мы аналитически продолжим действие Минковского и умножим его на (t), т. е. 5евкл = ■—，(^Мин)продолженное- МнОЖИТСЛЬ (~ —，)‘

не влияющий на классические уравнения, введен для удобства в квантовом варианте теории. Кроме того, 5евКл с множителем (——0 неотрицательно и напоминает функционал энергии статических конфигураций (см. ниже).

В качестве иллюстрации рассмотрим систему Клейна —— Гордона с действием

Smhh = j 或 j dx ［g (書)^" (V«)2 —团2兴］ (4-1) и уравнением поля

(备 一 3)В +加縛=°・(4・2)

Для получения евклидовой системы мы продолжим действительное % на t = ——力％4， a Smhh —— на Зевкл, используя соотношение 5евкл =——^5Мин. В результате евклидово действие имеет вид

SeBwi = J dxj dx ［扌(~^^) + }(V@)2 + m2B2］，(4.3)

что приводит к евклидову уравнению поля

(#/0播 + V2)小一"力=0.(4.4)

В отличие от уравнения (4.2), содержащего гиперболический дифференциальный оператор, уравнение (4.4) имеет эллиптический оператор, допускающий другую систему действительных несингулярных решений.

Инстантоны есть локализованные решения таких евклидовых полевых уравнений с конечным евклидовым действием. Может возникнуть вопрос: почему нас должна интересовать эта евклидова версия, если физически интересные системы погружены в пространство-время Минковского? Ответ будет дан в гл. 10. Мы увидим, что некоторые свойства квантовополевых теорий в пространстве-времени Минковского удобно изучать, начиная с классических решений евклидовой версии их полевых уравнений. Одним из этих свойств является замечательный феномен квантового туннелирования между вырожденными классическими основными состояниями. Евклидовы инстантонные решения так же важны для квантовых полевых теорий в пространстве-времени Минковского, как классические солитонные решения. Роль инстантонов в квантовой полевой теории, так же как роль квантовых солитонов, прояснится при квазиклассическом разложении. Оно начинается с классических решений теперь уже евклидовых полевых уравнений.

В этой главе мы обсудим некоторые примеры инстантонных решений на чисто классическом уровне. Более широкий вопрос об их роли в квантовой теории будет рассмотрен в гл. 10 и 11. На классическом уровне инстантоны не очень отличаются от статических решений в пространстве-времени Минковского. Это происходит из-за того, что статические решения зависят только от пространственных координат, образующих евклидову подгруппу пространства-времени Минковского. Действительно, некоторые из уже полученных статических решений можно непосредственно использовать как инстантоны систем с меньшим числом измерений (разд. 4.4). Единственное отличие состоит в том, что требование конечности энергии солитонов заменяется требованием конечности евклидова действия для инстантонов. Отметим, что евклидово действие, такое, как в примере (4.3), имеет структуру энергии конфигурации статического поля с числом измерений, увеличенным на единицу. Кроме того, при вычислении квантовых эффектов инстантонов в гл. 10 и 11 мы увидим, что вклад классического инстантона пропорционален ехр (——5евкл)- Если Зевкл бесконечно, то этот вклад исчезает. Таким образом, по крайней мере в используемом квазиклассическом разложении, имеют значение только решения с конечным евклидовым действием. За исключением этой замены статической энергии евклидовым действием, при обсуждении классических инстантонов мы будем следовать приведенному выше обсуждению статических солитонных решений.

В следующих двух разделах мы рассмотрим инстантоны системы Янга ——Миллса. Именно с них работой Белавина и др. [30] началось изучение инстантонов. Более того, неабелевы калибровочные теории, пример которых дает система Янга ——Миллса, чрезвычайно важны в современных теориях элементарных частиц. В разд. 4.4 и 4.5 мы обсудим инстантоны других систем. В этой главе, если не оговорено другое, мы будем работать только с евклидовыми системами. Поэтому индекс «евкл» мы опускаем.

Евклидовы конфигурации Янга——Миллса

Мы уже встречались в гл. 3 с полями Янга — Миллса Дц в связи с монопольным решением. Тогда система включала также «материальные поля» 严.Теперь мы их опустим и рассмотрим SU (2)-калибровочные поля Дц с самодействием. Для упрощения записи полезно выразить три векторных поля Дц, а = 1, 2, 3, через матричные вектор-поля Дц:

/(X)三工 g 笠 尚(X)， (4.5)

где х заменяет (хъ х2, х3, xj. Здесь g —— константа взанмоде访ствня, задаваемая (3.43), а о。一 обычные спиновые матрицы Паули:

Точнее говоря, аа/2 образуют три генератора двумерного представления группы SU (2), являкице访ся калибровочной группой нашей системы. Определенные соотношением (4.5) антиэрмитовы матрицы размерности 2 х 2 4^ (х) дают для каждого 卩 в каждой точке (х) ту же информацию, что и три поля Янга ——Миллса Лц (х). Соответствующим образом определим матричный тензор поля:

%"三工g(4⑹

С применением этих матриц соотношения (3.43), (3.45), (3.46) упрощаются. Легко проверить, используя коммутационные соотношения [па/2, о〃2] = isabcoc/2, что

Gp/v =电4 — ^v^p, + 么炉人]* (4*7)

Калибровочные преобразования (3.45), (3.46) формально не меняются при переходе к евклидовой метрике. Для матричного поля Дц они имеют вид ■■

A^UA^ + Ud^ (4.8а)

GlUG/工 (4.86)

Отметим, что, хотя (3.45), (3.46) были записаны в 3 х 3-представлении групповых элементов U (х, t) и генераторов, то же преобразование справедливо для любых других представлений. Здесь в соответствии с определением (4.5) мы используем 2 х 2-представление. Мы часто будем использовать тождество

电(UUT) = 0 =(电U) UT + U£ (Li). • (4.9)

Другое преимущество такого матричного обозначения заключается в том, что оно показывает очевидное сходство модели с электромагнетизмом, где калибровочной группой является абелева группа U (1). В последнем случае групповые элементы записываются в виде U =終仪(力)，поля Лц (х) представляют собой числа, а не матрицы, а соотношения (4.7), (4.8) сводятся к знакомым уравнениям электромагнетизма.

Для евклидовой системы Янга ——Миллса имеем четыре матричных поля 力乩(卩 = 1, 2, 3, 4) в каждой евклидовой пространственной точке хц (卩 = 1, 2, 3, 4). Евклидово действие выводят из лагранжиана Минковского (3.42) согласно описанной выше

процедуре, опуская скалярное поле 严 и используя матричное обозначение для Дц. Оно имеет вид ■

S = — * J 妆 Тг &&]. (4.10)

Отметим, что константа взаимодействия g входит явно в действие только через множитель ——l/2g?. Остальная зависимость от g вошла в масштаб поля Лц согласно определению (4.5). Таким образом, в классическом контексте величина константы взаимодействия не очень существенна, тогда как в квантовом контексте величина действия, отнесенная к й, может играть важную роль. Поэтому мы оставим множитель ——l/2g? в (4.10). В результате получаем следующее евклидово уравнение Янга ——Миллса:

D^G^ 三 d^G^ + 乩，6川]=0. (4-11)

В этом матричном обозначении очевидно, что как действие, так и уравнение поля инвариантны при калибровочных преобразованиях (4.8).

Инстантонами Янга ——Миллса являются решения уравнения (4.11) с конечным действием. Искать их мы будем так же, как в рассмотренных выше примерах монопольных и других статических решений. Сначала найдем граничные условия, которым должны удовлетворять все полевые конфигурации с конечным действием (решения (4.11) с конечным действием являются их подмножеством). Основываясь на этих граничных условиях, мы проведем гомотопическую классификацию. Это займет весь дан- ннй二раздел. Собственно решения будут получены только в следующем разделе.

На первом этапе поиска конфигураций с конечной энергией рассмотрим конфигурации с нулевым действием. В силу (4.10) равенство S = 0 возможно тогда и только тогда, когда Ggv = 0. Это уравнение имеет бесконечное множество решений для поля Лц. Ему удовлетворяет не только Дц = 0, но и любое другое поле, полученное калибровочным преобразованием из Дц = 0. Эти поля, называемые «чистыми калибровками», определяются выражением (см. (4.8а))

А^х) = и(х)д^и-^х)), (4.12) где U (х) в каждой точке х- есть произвольный элемент группы SU (2) в ее представлении 2x2. Читатель может непосредственно проверить, используя (4.7), что (4.12) дает Gg = 0. Можно проверить также, что G^ = 0 всегда приводит к (4.12).

Для конфигураций с конечной энергией из (4.10) ясно, что тензор G^v должен исчезать на границе евклидова 4-пространства, т. е. на трехмерной сферической поверхности 5^физ) при г= 8, где г = I % I = (%f + %2 + л^з + ^4)1/2 — радиус в четырех изме-

рениях. Точнее, G^” должен стремиться к нулю быстрее, чем 1/г2 при г -> оо. Исчезновение G^” на 5^фи3) в свою очередь означает, согласно (4.12), что для 4^ имеются следующие граничные условия:

lim 4(x) = limU%UT, (4.13) Г->8 …8

где U —— некоторый элемент группы, являющийся матричной функцией. Основываясь на (4.13), свяжем с каждой конфигурацией Дц (х), которой соответствует конечное действие, групповую функцию U, определенную на сфере S(小”з)бесконечно большого радиуса. Эту поверхность можно параметризовать тремя переменными а1? а2, а3, которыми могут быть, например, сферические углы в четырех измерениях. Но если функция U зависит только от а1? а2, а3, то для нее не имеет смысла производная по радиусу, тогда как в общем случае Лц (х) может иметь радиальную компоненту. Для преодоления этой трудности необходимо калибро- вочно преобразовать Лц так, чтобы радиальная компонента везде была равна нулю. Для этого рассмотрим Лц (%) с ненулевой радиальной компонентой Аг (х). Совершим калибровочное преобразование, согласно (4.8а), используя в качестве калибровочной функции объект

U(x)^PU(x)^Pехр J亦4(/)), (4.14)

U(x)^P

U(x)^P

Поясним обозначения в (4.14). Эта функция является примером «упорядоченных по траекториям» экспонент —— очень полезной конструкции в калибровочной теории [357 ]. Для заданной точки х рассмотрим траекторию, которая для случая (4.14) идет из начала координат вдоль радиус-вектора. Компонентой 4中 параллельной траектории, является 4「. Таким образом, (4.14) содержит криволинейный интеграл от Лц вдоль радиальной траектории. Поскольку^поле Дц (%') —— матрица, зависящая от %', такие матрицы для различных х' в общем случае не коммутируют и их порядок следует определить. В (4.14) порядок задается определением U в виде произведения экспонент exp (Xrd/) от каждого инфинитезимального элемента траектории, расположенных последовательно от начальной точки (% = 0) до конечной точки х. Символ Р обозначает, таким образом, «упорядочение по траекториям». Вообще говоря, упорядоченная по траекториям экспонента имеет вид Р ^exp J dx^A^, а (4.14) является частным случаем. Отметим, что, так как Лц (%) — элемент алгебры Ли (см. (4.5)), U (х) для каждой точки % — элемент калибровочной группы. Поэтому эту функцию можно использовать в калибровочных преобразованиях.

Калибровочно преобразуем заданное Лц (х), используя калибровочную функцию U (х). Радиальная компонента полученного из (4.8а) преобразованного поля /] (%) обращается в нуль. Получаем

Л； (х) = UAr(U)~[ 一 (drU) (U)t =U[Ar-Лг] (D)~> = 0.

Поскольку действие калибровочно-инвариантно, 4] вместе с Дц обладает конечным действием. Комбинируя это с соотношением Аг = 0, получаем граничные условия (4.13) в виде

(Лц (х))5(фИЗ)=U@i, а2,啕。山一1(6, а2, а3), (4.15)

где U (04, а2, а3) должна быть определена только на 5^и3). Ниже мы проведем гомотопическую классификацию функций U (ах, а2, а3). Будет показано (см. (4.18)), что гомотопический индекс Q можно записать в виде калибровочно-инвариантного интеграла по полям. Таким образом, в интеграл можно подставить первоначальное поле Лц (х) вместо калибровочно-преобразованного поля Дц (х). Отсюда гомотопический индекс Q можно связать с любой конфигурацией Дц (х) с конечным действием.

(Следует помнить, что U (а】,а2, а3), определенная только на Sg小нз), не может быть использована в качестве калибровочной функции в несингулярных калибровочных преобразованиях. Для последних необходима несингулярная во всем пространстве U (х). Наша U (а1? а2, а3) в общем случае даже не будет граничным значением несингулярной U (х). К этому важному замечанию, сделанному Коулменом [89 ], мы вернемся еще ниже.)

Граничные условия (4.15) допускают бесконечное множество решений, связанных с различным выбором U (а1? а2, а3). Эти функции можно классифицировать с помощью гомотопических соображений. Так как матрицы U образуют двумерное представление SU (2), функции U (а1? а2» аз) соответствуют отображению Sg小нз)в групповое пространство SU (2). Для классификации таких отображений рассмотрим топологию группового пространства. По определению St7 (2) матрицы U образуют набор всех унитарных унимодулярных матриц 2x2. Такие матрицы можно однозначно записать в виде

4

U=X4s“， (4.16)

Ц.==1

где S4 = / — единичная матрица 2x2, s^ 2,3 = шь 2, з, а % — четыре произвольных действительных числа, удовлетворяющих условию

£ L (4」7)

4 Раджараман Р.

Таким образом, группа параметризована четырьмя действительными переменными, удовлетворяющими условию (4.17). Отсюда групповым пространством является трехмерная поверхность единичной сферы в четырех измерениях. Назовем эту поверхность 5昇).функция U 31, а2, а3) отображает З^нз) в S^.

Отметим сходство с обсуждением монопольной системы в разд. 3.4. Там граничные условия отвечали отображению S2 в S2. Здесь мы имеем похожую ситуацию для трехмерных сферических поверхностей. Из (3.90) получаем, что соответствующая гомотопическая группа л3 (S3) также изоморфна группе целых чисел Z.

Следовательно, отображения Sg小нз)f s^bh) можно подразделить на дискретное бесконечное множество гомотопических классов, характеризуемых целым числом Q. Это целое число часто называют индексом Понтрягина. Отображения одного класса не могут быть непрерывно деформированы в отображения другого класса.

Так как функции U (а】，а2, а3) можно классифицировать по гомотопическим классам, конфигурации с конечным действием Лц (%) также можно классифицировать по секторам, характеризуемым тем же индексом Q. Каждый сектор соответствует определенному гомотопическому классу U (а^ а2, а3), содержащемуся в граничных условиях (4.15) для Дц. Поле 4^ (%), принадлежащее в 4-пространстве к определенному сектору Q, нельзя непрерывно преобразовать в другой сектор, не нарушив конечности действия. Если это было бы возможно, то U (04, а2, а3), связанное с граничным значением Дц (%), было бы также переведено из одного гомотопического класса в другой, что невозможно по определению. Можно записать точный интеграл для индекса Понтрягина в терминах полей аналогично тому, как это было сделано для индекса Q монопольной системы:

Q = j Q (х) d*x = - -у^- j d4x Tr [G^G^], (4.18) где дуальный тензор 仇” определен следующим образом:

〜 1

Gr” = ~2~ %vpoGp(j* (4.19)

Докажем, что' интеграл в (4.18) де访ствительно дает гомотопический индекс Q. Доказательство будет несколько длинным, но основная идея состоит в том, что Q есть «число наматываний» сферы S$bh) на 5^из\ т. е. сколько раз групповое пространство SU(2) покрывает поверхность на бесконечности 5^из). Мы хотим показать, что интеграл в правой части (4.18) дает это число на-

матываний. Сначала запишем этот интеграл в виде поверхностного интеграла по 5^и3). Начнем с очень полезного тождества

Оц1GpiV 二 ^Ц^Ц-V + [^Ц? Gy_v]—

~ Ep.vap {^ц (^a^p + АаА^ [Лц, (<ЗаЛ(з + ЛаЛр)]} = 0,(4.20)

где последнее равенство просто получается после раскрытия скобок и учета антисимметрии 电”仪毋 Это тождество требует только, чтобы тензор Gr” подчинялся определяющему уравнению (4.7), и не требует выполнения уравнения (4.11). Отметим, что, когда калибровочной группой является U (1), а поля Дц ——числа, а не матрицы, тождество (4.20) сводится к евклидову варианту второго ковариантного уравнения Максвелла (3.66). Используем (4.20) для записи «плотности Понтрягина» Q (х) через дивергенцию. Имеем

—16n2Q (х) = Tr [GuvRj = Tr [(电4 —女儿)Qv +

十(44 — 44ц) G^v] = Tr {(电人一出4口) Gjjv + Лц [人，G^v]}=

=Tr [д^-д^) G^-A^G^] = Tr [电4©收一丸(乙伉力，(4.21)

где использовано свойство цикличности следа и тождество (4.20). Далее, разложим G^v в ряд в (4.21). Получим

-16胤(х) = Tr 同vaB [(电4)仇4(3 + 4(А)-

—^v Иц даА^ + ЛцЛаЛр)]} = Tr |ецУар〔2电(人九出十 ^- AvAaA^ j|< (4.22) где использовано соотношение

Tr(Cy,vap (电4) 4(х4] ==Т『[Сцлоф电(XvXaXp)],

которое следует из цикличности следа и антисимметрии ^va^. Получаем

Q (х)=电厶，(£23)

где

Дг = 一 (1/8л2) Ецлсф Тг [ 4 (“Ив + -у 4Иб)] *(4.24)

Следовательно,‘

Q = J Q (х) d"x = 步 而$.(4.25)

§ 俨 из)

Далее на поверхности на бесконечности 5^из) наши конфигурации с конечным действием имеют G^g = 0, поэтому 沁“就/ = =一沁耶儿才巾Таким образом,

Q =二冗2，^M^iivapTr [XvXaXp].(4.26)

JS範)

Наконец, подставляя асимптотические выражения (4.15) для полей 儿，получаем

Q =—费勺曲口年vaeTr [@S UT (%U) S 佛U) /].(4.27)

Таким образом, мы записали объемный интеграл (4.18) как поверхностный интеграл с подынтегральным выражением целиком в терминах группового элемента — функции U на 5^из\ соответствующего произвольной конфигурации с конечной энергией. Далее нам надо найти выражение для определения группового объема, т. е. групповую меру; тогда мы сможем узнать, сколько раз обертывается группа вокруг 5^физ) для данной калибровочной функции U. Как уже было отмечено, параметризованное пространство SU (2) есть гиперсфера S^. Ее можно параметризовать либо четырьмя декартовыми переменными % (4.16) со связью (4.17), либо (что эквивалентно) тремя независимыми переменными ^, 三2 н 三з, которыми могут быть, например, сферические углы в 4-пространстве. Элемент группы U соответствует некоторому значению (三 1，三2，三з) этих параметров. В окрестности U групповую меру можно записать в виде

d卩(U) = p (费，金，三3)d三回三2d三3，(4.28)

где плотность р (^, ^2, ^3) должна удовлетворять свойству инвариантности d卩(U) при групповых трансляциях. Для пояснения умножим U на любой фиксированный элемент группы U:

工 UU.(4.29)

Пусть U，соответствует параметрам (三「憂，三&). Пусть набор элементов инфинитезимального объема d^d^d^ около (^, 3,三з) занимает после умножения на U некоторый объем 喝竭d/* Конечно,壮三回三2成3 не обязательно равен d^[ d^d^. Плотность р должна быть такой, что

如(U)三p&,м三3)密"三2"3 =如(0)=p囹，鼠^)^；^2^з.

(4.30)

Это требование представляет ь собой обобщение на непрерывные группы свойства конечных групп сохранять число групповых

элементов при умножении элементов на некоторый заданный элемент. (Мы умножили на U слева. Получившийся результат для группы SU (2) справедлив также и для умножения справа.) Этому требованию удовлетворяет следующий выбор р (三卜 三2,三з)：

Р&，三2,三з)=齿加Т「(UT_|^UT"|^UT_^~) ,(4*31)

где групповые элементы записаны в матричном представлении. При умножении на U слева имеем

и偽,自2,а3)fо(乐三2, &)三 0U电,矗，三3),

Тогда

p& &，Е3) = £"%тr(0尸/.蛋鲁(⑺t X

爸嗇。尸0「瓮書卜

="Q ("尸 < "尸 < "尸翳)翁爵亳• CM

Но■

S汴鲁書^ = £p"Det|書 J,(4.33)

где Det | 於'/0自 | -якобиан перехода от (^,三2,三3) к (昼，威%. Таким образом, (4.32) сводится к

Р(К ® 三 з) = Р 圏，£, ^з) Det I ami.

Следовательно, p&,自2,三3)d&d矗龙3 = p囹，憂，紛"m^囑g. (4.34)

Таким образом, мы видим, что выбор (4.31) удовлетворяет требованию (4.30). При подстановке (4.31) в выражение (4.30) последнее дает групповую меру.

Нам осталось показать, что поверхностный интеграл (4.27) для Q сводится к интегралу по групповой мере. Мы уже отметили некоторое сходство между (4.31) и (4.27). Но в (4.31) входят производные dU丨д^к а в (4.27)——производные dUldx» Для избежания недоразумений повторим, что три параметра & описывают групповое пространство. 2 х 2-матрицы U изменяются с изменением 三〃 что приводит к соответствующим производным в мере (4.31). С другой стороны, интеграл (4.27) связан с полевой конфигурацией, граничные условия которой (4.15) задают калибровочную

巾ункн"ю U, определенную на 5^физ). В этом случае групповые матрицы и, следовательно, соответствующие групповые параметры & сами являются функциями пространственных координат хц точек сферы 5^из\ Таким образом, в (4.27) матрицы U можно считать функциями от 三加 которые в свою очередь являются функциями от Хц. Имея это в виду, запишем (4.27) в виде

Q=—嘉"勺

S 俨 НЗ)

X(4•35) dxv дха 0*6」'

Так как (4.35) выражено в декартовых координатах / и декартовых тензорах, полезно перейти от гиперсферы S&小нз)на бесконечности к гиперкубу. Восемью сторонами куба являются поверхности / = 土8 при ц = 1, 2, 3, 4. Отметим, что теорему Гаусса, использованную в (4.25), а также гомотопические выводы это гладкое преобразование не затрагивает. Возьмем любую поверхность гиперкуба, скажем %《———оо. Ее вклад в интеграл (4.35) можно записать в виде

- 誌^ J dxMdx哄mnN (ут%ит 龛 U_營费慧需， (4.36) где m, n, l изменяются от 1 до 3. Но

dx2 dx3 = е；л d^ ^ d^.(4.37)

Следовательно, вклад поверхности %《=—оо в (4.36) есть

-"^"1喝喘喘勺川n（（/T 黑t/t 嗡t/t罟），（4.38）

т. е. интеграл по групповой мере с точностью, возможно, до постоянного множителя, который мы рассмотрим ниже. Аналогичные вклады дают все восемь поверхностей гиперкуба. Поэтому их сумма (4.35) записывается в виде

Q^\d^d扇暇Р&, &, &)〜J 如(U). (4.39)

Таким образом, выражение для Q, первоначально записанное в (4.18) как функционал от полевых переменных, сводится к интегралу по групповому пространству от групповой меры. Поэтому Q, грубо говоря, пропорционально объему группового пространства, заметаемого калибровочной функцией U при ее изменении на 5^из). Из приведенного выше гомотопического анализа следует, что при интегрировании по 5^из) групповое пространство S^ мож^т заметать целое число раз. Тогда Q

пропорционально этому целому числу. Константа (——16л2)-1 в (4.18) выбрана так, чтобы Q было как раз равно этому числу. Это можно проверить на примере

“(X)= (%4 + 決仍)/| X I = £ £仰・ (4.40)

Сравнивая с общим представлением (4.16), видим, что калибровочная функция отвечает условию “乩=2乩,т. е. каждая точка на S§小нз)отображается на «соответствующую» точку с такими же сферическими углами сферы S^BH). Следовательно, гомотопический индекс Q должен быть равен единице. Подстановка (4.40) в (4.27) после небольших вычислений дает

Q= $ /ц^м，= §^~ J d% (-р!^). (4.41) s缈3)

Используя равенство da^ ^ dQx^ | % |2, где 加 —— элемент телесного угла в евклидовом 4-пространстве, получаем

。=嘉 J dQ&. I х 尸~|^ = *~ JdQ= 1, (4.42)

так как полный телесный угол в 4-пространстве равен 2л2. (Отметим для дальнейшего, что этот пространственный интеграл равен единице не только при | х | -> оо, но и для любого радиуса

Это подтверждает, что с множителем ——1/16л2 в (4.18) Q определяет число наматываний, и заканчивает наш набросок доказательства того, что (4.18) дает гомотопический индекс.

Отметим, что, так как выражение Tr [G^yG^v ] калибровочноинвариантно (см. (4.86)), то калибровочно-инвариантно и Q, но граничные условия (4.13) не инвариантны. При калибровочном преобразовании U' (%) граничные условия Лц f Ud^ (U」)(4.8а) заменяются на

4 f U' (Ud^U-1) (Uy1 + U'% (U')T = (U'U)九(U'U)T (443)

Возникает вопрос, как это изменение согласуется с калибровоч- * ной инвариантностью Q. В частности, не могли бы мы выбрать

Ur = и」，так что Дц = 0 на 5^из)? Если бы это было всегда возможно, величина Q сводилась бы к нулю чисто калибровочным преобразованием (см. (4.26)) независимо от ее первоначального значения и в нарушение ее калибровочной инвариантности. Коулмен [87 ] изящно доказал, что нельзя выбрать U' = U~L за исключением случая, когда U принадлежит сектору с Q = 0. Важное замечание, сделанное нами при обсуждении уравнения (4.15), заключалось в том, что функция U в граничных условиях должна быть несингулярно определена только на сферической

поверхности S£小нз) Она представляет собой функцию U (аг, а2, а3) параметров этой поверхности и не обязательно должна быть граничным значением некоторой несингулярной калибровочной функции, определенной во всем 4-пространстве. С другой стороны, функция Uf (х) в (4.43) преобразует поле во всем пространстве и должна быть несингулярной для всех х. Запишем U' (%) как U'(I х I，аг, а2, а3) в сферических переменных; U' должна быть непрерывной функцией от | % | на семействе гиперсфер. Для фиксированного \х \ Ur есть функция от at, а2, а3. С изменением I % I эта функция изменяется непрерывно. При | % [ = 0 U' (0,仪匕 а2, а3) не должна зависеть от аг, чтобы н.е быть сингулярной. Следовательно, она должна быть постоянной матрицей. Любую постоянную матрицу SU (2) можно непрерывным образом получить из единичной матрицы. Собирая все это вместе, приходим к выводу, что U' (I х I, а】，а2, а3) для всех | х | может быть непрерывно приведена к единичной матрице. Полагая | х | —> оо, находим, что граничное значение U' на 5^и3)также может быть непрерывно приведено к единичному элементу, т. е. оно принадлежит сектору с Q = 0. В этом случае U' не может быть равна U< на S£小нз), если только сама функция U не принадлежит сектору с Q — 0. Следовательно, если U принадлежит Q 声 0, то ее нельзя непрерывно продолжить до | х | = 0, не наталкиваясь на сингулярность. Например, функция U、в (4.40) хорошо определена на Sg小нз), н0 сингулярна при | х | = 0.

Более точно из теории гомотопий следует, что если U имеет индекс Qi，a U，— индекс Q2, то функция UfU принадлежит сектору с Qi + Q2. Мы видели, что, для того чтобы U' (х) определяла допустимое калибровочное преобразование, ее граничное значение на 5册3)должно соответствовать Q2 = 0. Тогда Qi + Q2 = Qi, и на гомотопический индекс калибровочные преобразования действовать не будут в соответствии с калибровочной инвариантностью выражения (4.18).

Как и для случая монопольной системы, можно было бы продолжить обсуждение гомотопических свойств евклидовой системы Янга — Миллса, но мы остановимся на этом этапе. Отметим, что наша классификация справедлива для всех конфигураций с конечным действием независимо от того, являются ли они решениями полевого уравнения (4.11) или нет. Это уравнение нигде в нашем обсуждении использовано не было. Наша следующая задача состоит в поиске среди конфигураций с конечным действием некоторого произвольного гомотоп ичес ко го сектора Q тех, которые дают решение полевого уравнения. Точное решение с Q = +1 (или ——1) назовем инстантоном (или антиинстантоном). Мы получим также точные решения с Q = N (или —N) при | TV | > 1. Они представляют собой мультиинстантоны (или мультиантиинстантоны).

4.3. Инстантоны Янга——Миллса

Прежде чем получить точные инстантонные решения евклидова уравнения Янга —Миллса (4.11), отметим, следуя Белавину и др. [29], важность самодуальных и самоантидуальных конфигураций. Аналогичные соображения, также принадлежащие Белавину и Полякову [30], мы использовали в более простом примере модели О (3). Начнем с тривиального тождества

(Заметим, что G^ в (4.6) антиэрмитово для действительных полей G/・)С учетом равенства Тг @乌*1 = Tr [G^vG^v ] получаем

-j d4x tг仇《mn干J阳Tr応"仇J или

S^(8n2/g2)|Q|,(4.45)

где S ——евклидово действие (4.10), a Q ——гомотопический индекс Понтрягина (4.18). Неравенство (4.45) справедливо для любой конфигурации с конечным действием. Уравнение Янга — Миллса (4.11), как и любое полевое уравнение, можно получить из условия экстремума действия S, следуя вариационному принципу

6S [Лц] = 0.(4.46)

Уравнение поля (4.11) следует из уравнения (4.46). Ясно, что такую вариацию можно провести отдельно для каждого гомотопического сектора, так как малые вариации не выводят поля из соответствующего сектора. Поля, которые приводят к экстремуму действия в некотором гомотопическом секторе, являются решениями (4.11) в этом секторе. Из уравнений (4.44), (4.45) видно, что абсолютное минимальное значение S (S = (8л2/^2) | Q |) достигается в произвольном секторе Q при условии

Gjrv = ^цура^ра = 士G^*.(4.47)

Следовательно, самодуальные и самоантидуальные конфигурации приводят к экстремуму S и, таким образом, являются решениями (4.11). Конечйо, абсолютные минимумы S — не единственные экстремумы действия. Поэтому наш вывод не доказывает, что все решения (4.11) самодуальны или самоантидуальны. Мы ограничимся самодуальными и самоантидуальными решениями уравнения (4.47) и не будем рассматривать более общее уравнение (4.11). То, что поля, удовлетворяющие (4.47), удовлетворяют также (4.11), можно проверить, привлекая доказанное выше тождество (4.20)

OAV = 0.(4.48)

Ему удовлетворяет любой тензор вида (4.7), но при 6内=士G^ (4.48) становится уравнением поля. Другое доказательство, использующее (4.45), приводит к результату, что такие решения действительно дают абсолютный минимум действия S в произвольном секторе Q. Отметим сходство вывода (4.47) и соответствующего условия (3.32) в модели О (3).

Прежде чем перейти к решению уравнения (4.47), подчеркнем роль евклидовой метрики в этом контексте. Тензор, дуальный дуальному тензору, есть

Gg — ^vpa^pc = egvpo^paap^a3*(4.49)

В евклидовой метрике имеем 8^ра8рааР = 2 [6^a6vP — 6^6va], так что

Сцу = Оц¥.(4.50)

Соотношения (4.49), (4.50) можно символически записать в виде .多=dG = G,(4.51)

так как собственные значения оператора дуальности е равны ±1. Поэтому самодуальные и самоантидуальные конфигурации могут существовать. С другой стороны, если бы метрика была метрикой Минковского, то (4.49) приняло бы вид

3g = } ^vSpaGap = —Gap.(4.52)

Теперь собственные значения оператора дуальности равны 士i, и самодуальных или самоантидуальных конфигураций не существует.,

Найдем некоторые самодуальные (или самоантидуальные) решения уравнения (4.47). Белавин и др. предложили простой вывод одноинстантонного решения уравнения (4.47). Но мы будем следовать методу, разработанному рядом авторов [91, 199, 200, 331, 350 ]. Этот метод дает сразу как одноинстантонные, так и многоинстантонные решения. Многоинстантонные решения были также получены другим способом Виттеном [354]. Используем для калибровочного поля следующий анзац:

/(X)=凡a(也輯初，(4.53)

где 3 (х) — скалярная функция, которую надо найти, £内 一 компоненты матрицы, построенной из матриц Паули следующим образом:

-0

+的

-•

£ =丄

-g

0

一02

.(4.54)

g 2

0

—%

+02

+的

0 -

КЛАССЙЧЁСКИЁ ЙНСТАНТОННЫЕ РЁШЕЙИЯ Ю7

Эту матрицу можно компактно записать в виде [331 ] 名川=彳"%'/2,i=l,2, 3,(4.55)

где■

f Е以VДЛЯ ц, v= 1, 2, 3,

可2 =—2』 с.产/

{ —3小 для w = 4.

Отметим, что матрица £尸 антисимметрична и самоантидуальна по индексам. Н ам потребуются следующие легко проверяемые свойства 2цУ:

[^ца> 工向=，俗цл>£(7р + 8р£цл — ％p£(rv — 8\>о*ц.р]，(4.57а)

沁сфЕВо[Sjia^va + 九£。山 + ЗссоЕцлЬ(4.576)

~2~ “”“陋“卩==—，цл・(4.57в)

Используя эти тождества в анзаце (4.53) для &, получаем для тензора поля выражение

G内 = t*SVa (电* 1口 6一电(In 仍 0。(In 仍)一 一皮照@九1口小一"(Ine)0。(In仍)一皮х仇In仍2. (4.58) Дуальный тензор равен

% =毘…В [2₽a (“A In 外一 ％ (In 仍 9。(In 仍)一у fap 風 In 疗]= =应va (%% 1П 屮一％ (1П 3) % (1П 外)—(p с v) + + i%d/°(ln3).(4.59)

Наложим условие самодуальности 麻=G^. Это дает

也伉山仍一伍Ine)@ In仍=до (电In例一优In问(电In仍，(4.60Н) 九貪(1口仍 + (〃1口例2 = 0.(4.606)

Уравнение (4.60а) удовлетворяется автоматически, а уравнение (4.606) можно компактно записать в виде

□3/3 = 0,(4.61)

где 口力 в евклидовой метрике есть додоф. Нам осталось решить уравнение (4.61) для 小(х) и подставить решение в (4.53). Для несингулярной функции 小(4.61) сводится к уравнению 口力 = 0, которое допускает только тривиальное решение 小 = const, ведущее к 勺 = 0. Но при рассмотрении сингулярных 小(％) мы получаем интересные и в конечном счете несингулярные решения для

калибровочного поля. Возьмем, например, @ (х) ~ 1/| х R При х 声 0 эта функция удовлетворяет уравнению

3口3=4-з(一锦) = 0・(4.62)

При х = 0 имеем □ (1/| х |) = —4л26 (х) в соответствии с теоремой Гаусса:

备)]=-4e备)]=-4e(4.63)(4.64)(4.61);(4.65)(4.63)(4.64)(4.61);(4.65)“X□（1/1”）=§而乙（1/1吓）‘=

备)]=-4e

备)]=-4e

(4.63)

(4.64)

(4.61);

(4.65)

(4.63)

(4.64)

(4.61);

(4.65)

Поэтому дажеПоэтому дажепри х = 0

Поэтому даже

Поэтому даже

(1/仍□ В = —4冗* I х |2 64 (х) = 0.

Следовательно, 小(х) = 1/| х |2 есть решение уравнения решением также является функция более общего вида

屮⑴①+工к^，

1—1

где 〃川 и Хц ——произвольные действительные постоянные г). Эти решения при подстановке в (4.53) дают после некоторого калибровочного преобразования TV-инстантонные решения с гомотопическим индексом Q — N. Начнем с N = 0, что соответствует 小(х)= = 1 и 24K = 0. Это решение тривиально и принадлежит сектору с Q = 0 (см. (4.18) или (4.26)).

ИНСТАНТОН

Рассмотрим теперь случай N = 1 в (4.65). Используя % 三 三(％u — &1U)и z/2 = %%, получаем

^(x)=l+W，(4.66)

что ведет к

/ (X) = 一2,•応g 产演“儿汐. (4.67)

Отметим, что это решение сингулярно при у = 0. Но сингулярность можно убрать соответствующим сингулярным калибровочным преобразованием. Так как условие самодуальности и уравнения движения калибровочно-ковариантны, полученная после пре-

образования функция также будет им удовлетворять. Соответствующей калибровочной функцией является С\(у), где ^ определено в (4.40). Действительно,

["(切尸診[弘匂)]=一2医内原例2),(4.68)

что можно проверить, подставляя (4.40) в (4.68). Таким образом, (4.67) можно записать в виде

儿g)=[弘(少尸电["@)]з第f.(4.69)

После калибровочного преобразования с 4 (у) получаем

/ (х) т Л； (х) = [U. (у)] [Лц + 也]。№)尸=

= @а)и」Ы*т) =

=一 (％仏)и” ^1r = U\ ®и”) ^1r,

(4.71)(4-72)(4.73)(4.71)(4-72)(4.73)(4.70) где использовано (4.9). Для более явной записи пространственной зависимости используем тензор —— самодуальный аналог тензора 2^；. Он определяется следующим образом:

(4.71)

(4-72)

(4.73)

(4.71)

(4-72)

(4.73)

где.

ДЛЯ v= 1, 2, 3, П"=一俨=(+6屈 для v = 4.

Аналогично (4.68) тензор удовлетворяет соотношению

0,(切]說口1⑻尸=一22收贵•

Калибровочно преобразованное решение, выраженное через £内, принимает вид

'〔(X)= —2立尸 42 flM = —2总内 I(X 丁小)誉瓶•(4.74)

Это одноинстантонное решение. Хотя мы сначала получили сингулярное решение (4.67), а затем калибровочно преобразовали его с помощью сингулярной калибровочной функции, окончательная форма решения (4.74) не имеет сингулярностей ни при каких значениях % для любых % 六 0. Данное решение обладает следующими свойствами:

При подстановке в (4.7) оно приводит к тензору поля

G/ = 4?uv [|x_a：E +九炉.•(4.75)

Поскольку Ецд,——самодуальный тензор, тем же свойством обладает и G/. Это подтверждает, что (4.74) является решением евклидова уравнения Янга — Миллса.

При х -> оо решение ведет себя как «чистая калибровка»

4Jx)f Ui(x)%M(x)L(4.76)

в соответствии с граничным условием, налагаемым конечностью действия. Действительно, действие решения есть

S = 一泰 j dx тг 你@"=箒 J (厂:先尸=+8歩/g2. (4.77)

Так как для этого решения G/ = G/, то S = (8n2/g2) Q и, следовательно, Q — +1. Это опять согласуется с нашим предыдущим утверждением (4.42), что Ur (х) принадлежит сектору с 0 = +1.

Точно так же можно вывести аналогичное самоантидуальное решение, заменяя £内 на £内 в анзаце (4.53). Это ведет к замене 2ц¥ на £内 в окончательном результате и дает решение

4 u(X)= -2巨uv 1(х丫旬)?)工芻 =U「九(U1) 1(丿'請)1財.

(4.78)

Это решение самоантидуально, имеет Q = —1 и может быть названо антиинстантоном.

Какое из двух решений (4.74) и (4.78) назвать инстантоном, а какое — антиинстантоном, определяется соглашением. *Менее тривиально, но также определяется соглашением, какое решение, самодуальное (4.74) или самоантидуальное (4.78), связано с Q = = +1. По нашему определению (4.18), самодуальное решение имеет Q = +1. Но мы могли бы точно также определить Q в (4.18) со знаком минус. Напомним, что Q обозначает число наматываний, и произвольность знака Q связана с выбором положительного направления наматывания.

Четыре-вектор 〃皿 в решении определяет «положение» инстантона. Плотность действия в (4.77) локализована вблизи у^ = (х —— 〃1)乩=0. В силу трансляционной инвариантности уравнения Янга—Миллса точку % можно выбрать произвольным образом. Точно так же ■ константа 九(определяющая «размер» инстантона в смысле плотности действия, может быть выбрана произвольной, но не нулевой. Эта свобода связана с масштабной инвариантностью системы Янга —Миллса относительно преобразований ^хц и Лц -> Мц при любом 九声 0. Точнее, если Лц (х)——решение уравнения Янга ——Миллса, то Мц (九х) также его решение. Можно проверить, что решения с различными 九i в (4.74) связаны таким масштабным преобразованием. Мы вер-

немея ниже к таким степеням свободы. Напомним, что решения О (3)-модели имеют аналогичные степени свободы.

Одноинстантонное решение «существенно» сферически- симметрично с центром в точке %. За исключением тензора £内(х — "I，оно зависит только от (х — ^)2. Калибровочная функция С\, связанная с поведением решения при х -> оо, также сферически-симметрична. Направление U1 в групповом пространстве S”)то же, что и направление радиус-вектора хц в координатном пространстве. В этом смысле инстантон напоминает рассмотренное выше монопольное решение с 几 工 1 в трех пространственных измерениях, где изовектор у имеет при х т оо такое же направление, как координатный вектор х.

Сингулярное при х ^= аг непреобразованное решение (4.67)— (4.69) ведет себя вблизи этой точки как «чистая калибровка» с калибровочной функцией UJ:

Лц (х) т и」(х — а。儿U1 (х — S) при х т .

Поэтому мы могли избавиться от сингулярности соответствующим обратным преобразованием U「Получаемое в результате А^ (х) в (4.74) обращается в нуль при 尤=alt

Название «инстантоны» было предложено т'Хофтом [331 ], так как в отличие от нелокализованных во времени солитонов систем в пространстве-времени Минковского рассмотренные решения локализованы также и по х《 (мнимой временной координате).

4.3.2 Л^ИНСТАНТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Они получаются подстановкой функции (4.65) для произвольного N в анзац (4.53). Соответствующее калибровочное поле есть

4（%）=1口 14（%）=1口 1

4（%）=1口 1

4（%）=1口 1

=0徐)/ (1 +¥今卜 (4.79)

где (у儿 三 (х — 〃儿，i, j = 1, 2,…，М Используя тождество (4.68) для каждого уг, выражение (4.79) можно представить в следующем виде:,

& (Х)=工 и” (勿)儿Ui 3 力(x)，(4.80)

1 где

厶(х)=宀)/3")，(4.81)

a Ui (弘)一та же эталонная калибровочная функция с Q = 1 (4.40) с аргументом 执 = (х — а) Отметим, что

ц — дх^ — д(х~а^ '

Поле (4.79) или (4.80) формально является решением уравнения Янга — Миллса, так как оно выведено из условия самодуальности. Но, как и (4.67), оно сингулярно. Поле имеет N сингулярностей в точках х = 〃t, i = 1, ..., N. Поскольку

fj(x)f3订 при хт(4.82)

/ (x)f U」(x — 4)儿[G (x —/)] при(4.83)

Таким образом, около каждой из сингулярностей jV-инстантонное решение, так же как одноинстантонное решение (4.69) около своего центра, ведет себя как чистая калибровка. Действительно, калибровочная функция U? та же, что и в одноинстантон ном случае. Следовательно, ^-инcтaнтoннoe решение можно считать набором N отдельных инстантонов, формы которых при любых х «поляризованы» вследствие влияния остальных инстантонов. Вблизи ядра /-го инстантона (х ^ д) влияние остальных инстантонов пренебрежимо мало, и jV-инстантонное решение представлено в основном этим отдельным инстантоном.

Сингулярности в (4.79) следует убрать соответствующим калибровочным преобразованием [259, 308], как это сделано в одно- инстантонном случае. Уравнение (4.83) подсказывает, что подходящая калибровочная функция должна сводиться к С\ (% ——а/ при стремлении х к любой из 〃加 Одной из таких функций является

UN (x) = (Z4 + fZ-o)//Z2；(4.84)

здесь

(%)=中(明, 协=x一令(4.85)

где 氏一некоторые действительные константы. При 沙 f 0 для некоторого / имеем

Un (x) f 仇("”4 ；『У" ) ~^~ = & (协).(4.86)

Калибровочное преобразование Лц (x) с помощью UN (х) уничтожает все сингулярности при х = 〃广 Имеем

4 (х) = Un (х) (/ + 儿)U# (х),(4.87)

小 Е S®)[u尸例)九G (〃)]+

+ J (у£)% Uf4 (弘)+ возможные конечные члены = =% [J 例)U」®)] + конечные члены, (4.88)

где использовано (4.83) и (4.86). Первый член обращается в нуль, и сингулярность при х = 〃t уничтожается. Это справедливо для каждого значения аь / 1, ..., N. Но существует ёще опасность появления новых сингулярностей, отсутствующих в первоначальной функции (4.79) и связанных с калибровочной функцией U^ (х). Очевидно, что U^ (х) кроме сингулярностей при у^ = 0 имеет еще одну сингулярность при Z^ = 0. У нас еще остались произвольными константы & в определении Z^ (4.85). На простом, но важном примере было показано [158], что, когда все точки at

Рис. 8. Объем %, равный объему всего 4-пространства, за исключением небольших сфер радиуса £ с центрами в точках а(. Полная поверхность объема % представляет собой сферическую поверхность на бесконечности S^ и N сферических поверхностей。乞 вокруг точек 〃.

принадлежат прямой линии в евклидовом 4-пространстве,也 можно выбрать так, что Z^ никогда не обратится в нуль. Тогда калибровочно преобразованное поле Лц (х) в (4.87) будет несингулярным.

Покажем, что это решение соответствует индексу Понтрягина Q = N (выше мы отметили, что решение представляет собой набор N отдельных инстантонов). Так как 4] (х) несингулярно, то можно воспользоваться определением

« = 一 鳥]П["忑内"4%, (4.89)

где G/ — тензор поля, связанный с Лц. Так как подынтегральное выражение несингулярно, из области интегрирования можно исключить N малых сфер с центрами в точках х = ^ и радиусами е, причем е f 0. Для любого конечного малого е интегрирование ведется по 匕一объему всего пространства, за исключением N таких сфер (рис. 8). В объеме 匕 даже первоначальное решение Лц (х) (4.79) несингулярно. Далее, в области 匕 имеем

тг [仇麻v] = ?г [联 %], (4.90)

где G^v относится к 4乩，так как Лц и А^ связаны калибровочным преобразованием. Тогда

Q = lim —J Tr[G/u J A.Q = lim —J Tr[G/u J A.(4.91)(4.91)

Q = lim —J Tr[G/u J A.

Q = lim —J Tr[G/u J A.

(4.91)

(4.91)

Выражение (4.91) имеет то преимущество, что для получения Q не нужно точно вычислять %] (х) в (4.87). Тензор 6呼 зависит от более простого выражения для Лц (4.79). Сингулярности Лц (х) исключены из 匕，и мы можем применять теорему Гаусса с учетом (4.23). Заметим, что поверхностями, ограничивающими %, являются сферическая поверхность Sg при | х | = 8 и поверхности 伪 N малых сфер. Поэтому

Q = lim (步 口而" 一,八d% 一，九d%j ,(4.92)

° ' «00°1°2GN/

где /ц — ток, определенный в (4.24), а знаки минус соответствуют вкладам внутренних поверхностей с учетом того, что do乩 направлено.радиально наружу для каждой сферы. Так как при | х | f 8 Лц (х) ведет себя как 1/| х |3, /ц убывает достаточно быстро, чтобы J j^do口 было равно нулю. На малых сферах, где х приближается к одной из точек 〃江 Лц превращается в чистую калибровку (4.83) с калибровочной функцией UJ (х ——а/. Если Лц —— чистая калибровка, то ^/цdau имеет вид (4.27). Напомним, что для калибровочной функции ^ данный поверхностный интеграл равен единице. Этот результат (4.42) справедлив для сферической поверхности любого радиуса. Если калибровочной функцией, как в нашем случае, является U；* то соответствующее значение 4 /ц ^Оц на каждой малой сфере очевидно равно ——1. Поэтому из (4.92) получаем

Q = lim [0 — (—1) — (—1)(—1)].

Предел при е f 0 теперь тривиален и дает Q = М

Так как jV-инстантонные решения самодуальны, их действие S = 8n2Q/g2 = 8n2%/g2 в N раз больше действия отдельного инстантона. Это замечательное свойство решений нелинейного полевого уравнения. Рассмотрим более знакомый случай статических уединенных волн в метрике Минковского. Статическое решение с N уединенными волнами, разделенными конечным расстоянием, если оно существует, вообще говоря, имеет энергию, отличную от суммы энергий " таких изолированных уединенных волн. Разность энергий связана с взаимодействием между уеди-

пенными волнами. Для нашей евклидовой системы понятия энергии не существует, но функционал действия S, имеющий с ней некоторое сходство, обладает замечательным свойством

S (N инстантонов) = NS (один инстантон).

Формально это происходит потому, что все решения самодуальны и в результате S 〜Q, но, возможно, это свойство имеет более глубокое содержание.

На этом завершается наше обсуждение инстантонных решений системы Янга ——Миллса. Антисамодуальные TV-антиинстантонные решения получаются сходным способом заменой £卩” на £卩丫 в ан- заце (4.53). Калибровочные теории в последнее время являются объектом интенсивных исследований, и относительно их самих и их инстантонных решений известно гораздо больше даже на классическом уровне. Наше обсуждение в лучшем случае имеет характер введения. Так, важное свойство инстантонов —— поведение при конформных преобразованиях — не было рассмотрено. Оно в деталях исследовано Джакивом и Ребби [196] и Джакивом и др. [199]. Это свойство мы только поверхностно затронули, отметив инвариантность системы Янга ——Миллса при растяжениях. Действительно, система обладает симметрией под действием четырехмерной конформной группы преобразований с 15 генераторами, отвечающими 1) масштабным преобразованиям, или преобразованиям растяжений, 2) четырем трансляциям, 3) шести О (4)-вращениям и 4) четырем специальным конформным преобразованиям

у № \ .班 '1 —2e/n+尤哈丿，

все это наряду с калибровочными преобразованиями, эффект которых частично перекрывается с действием конформной группы [196].

В этой связи возникает важный вопрос о числе степеней свободы TV-инстантонных решений, т. е. о том, сколько физически различных решений можно получить из частного ^-инcтaнтoннoгo решения, используя симметрии системы, или, что эквивалентно, сколько свободных параметров имеет общее ^-инcтaнтoннoe решение. Рассмотрение начнем с одноинстантонного решения. Мы уже получили пять свободных параметров 九 и 〃卩， связанных с симметрией при трансляциях и растяжении. Эффект остальных генераторов конформной группы (О (4)-вращения и специальные конформные преобразования) можно исключить, как показали Джакив и Ребби, калибровочными преобразованиями и трансляциями. Пока существует калибровочная свобода, здравый смысл, основанный на физических соображениях, говорит, что локальные калибровочные преобразования не похожи на инстинные симме-

трии, например на пространственные вращения. Калибровочные преобразования приводят не к физически новой системе, а к той же системе в другой (калибровочной) трактовке. Поэтому необходимо сначала «фиксировать» калибровку некоторым калибровочным условием, а затем выводить физические следствия. Исключением являются глобальные (т. е. не зависящие от х) калибровочные преобразования. Было доказано (см. [89 ]), что они являются истинными симметриями, так как ведут к законам сохранения. Напомним, например, знакомые случаи изотопического спина или глобальной заряженной ((U (1)) симметрии в электродинамике. В нашей SU (2)-теории глобальная симметрия приводит к трем новым степеням свободы, доводя общее число свободных параметров единичного инстантона до восьми. Из них решение (4.74) реализует только пять вследствие ограничений, накладываемых анзацем (4.53), который в свою очередь связан со специальной калибровочной функцией Ur (х) (см. (4.68)). Остальные три степени калибровочной свободы проявляются при замене функции С\ (х) на функции, связанные с ней глобальными вращениями в групповом пространстве.

Если отдельный инстантон имеет восемь параметров, то для TV-инстантонного решения можно ожидать 8N параметров. Мы уже видели, что А^-инстантонное решение в окрестности каждой точки а» выглядит как одноинстантонное решение, или (что эквивалентно) когда размеры X； отдельных солитонов малы по сравнению с расстояниями между ними /| а» ——а, |2, TV-инстантонное решение выглядит как набор N почти неперекрывающихся отдельных инстантонов. Это позволяет ожидать существования 8N параметров. Поскольку их число дискретно, можно предположить, что оно не меняется при сближении инстантонов и увеличении их перекрытия, когда параметры Хг и а» меняются гладким образом. Число степеней свободы 8N можно свести к 8N — 3, если на физических основаниях не считать глобальные трансляции симметриями системы. Отметим, что даже тогда имеет значение относительная ориентация N инстантонов во внутреннем пространстве, поэтому число параметров равно 8N — 3, а не 5M Частное решение (4.79) имеет только 5户 параметров из-за ограничений, накладываемых анзацем (4.53). Наши рассуждения слишком качественны, чтобы их можно было назвать выводом. Однако то же число степеней свободы самодуальных решений было получено строгим и изящным способом с помощью мощных математических методов Атия и Уордом [14]. Читателям, интересующимся более глубоким рассмотрением классических инстантонов, следует изучить цитированные выше работы, а также работы [15, 82].

Мы привели самодуальные или антисамодуальные решения. Однако； как было подчеркнуто выше, вывод (4.47) показывает

только то, что такие функции являются решениями евклидова полевого уравнения Янга — Миллса, но все решения не обязательно должны быть самодуальными или антисамодуальными. Можно было бы привести примеры типа «связанного решения инстантон — антиинстантон», которое, если существует, имеет Q = 0, но S > 0. Насколько нам известно, такие решения еще не найдены, но отсутствует также и доказательство, что само- дуальные и антисамодуальные поля есть единственные решения с конечным действием евклидовых уравнений Янга ——Миллса.

Инстантоны Янга — Миллса привлекают внимание даже на классическом уровне как интересные точные решения нетривиальных нелинейных полевых уравнений. Еще более важную роль они играют в квантовых калибровочных теориях. Эти исследования, начавшиеся с работы т'Хофта [331], рассматриваются в последних двух главах.

Инстантоны других моделей

Термин «инстантон», определенный в разд. 4.1, универсален. Его можно использовать для евклидовых решений с конечным действием любой модели. Такие решения играют важную роль в соответствующей квантовой теории —— они ведут к вакуумному туннелированию и другим связанным с ним явлениям. В предыдущем разделе мы изучили инстантоны системы Янга ——Миллса в четырех измерениях, которые характеризуются гомотопическим индексом. Аналогичные решения существуют для многих других моделей, как более сложных, чем система Янга ——Миллса, так и более простых.

Возможно, простейшим примером является частица единичной массы в потенциале V (q) с двумя ямами. В действительном времени t лагранжиан имеет вид

厶=$(歯/必)2一=(g2—1)2.(4.93)

Соответствующее «евклидово» действие и евклидовы уравнения движения получаются продолжением % = —it, полагая 5евкл =■ =—'Smuh，Тогда

SeBH” = рТ [-1-(對/對2 + }(夕2 — I)2](4.94)

приводит к уравнению

對/d# = dV/dq = q3 — ,.(4.95)

Отметим, что данное уравнение тождественно уравнению для статических решений теории 兴 Хиггса в (1 + 1) измерениях, рас-

смотренному в гл. 2 (в (2.27) надо положить 九= 优 = 1 и заменить 3 на q, а х на т). Действие (4.94) также равно энергии статической конфигурации теории «々 Тогда нетривиальные решения уравнения (4.95) с конечным действием описываются теми же функциями, что и статические решения теории * с конечной энергией, а именно кинк и антикинк:

9(т) = +th [(т - т0)//2~]. (4.96)

Они являются инстантонным и антиинстантовным решениями задачи с двумя ямами и, как показано в гл. 2, обладают топологическими индексами 土1. Этот индекс аналогичен индексу Понтрягина Q (4.18). В гл. 10 мы увидим, что эти решения связаны с квантовой амплитудой частицы, туннелирующей из минимума, потенциала q —1 в минимум q = 十1.

Аналогично рассмотрим квантовый маятник, т. е. частицу в потенциале У (q) = 1 —— cos q. Классическое евклидово уравнение такой системы имеет вид

Qqld0 = sin q. (4.97)

Оно идентично уравнению для статического поля двумерной системы синус-Гордона (т. е. не зависящему от времени уравнению (2.65)). Евклидово действие маятника

S= j dt [-|-(dq/dt)2 + 1 — cosq] (4,.98)

равно энергии статической конфигурации синус-Гордона. Следовательно, йнстантоНное (антиинстантонное) решение (4.97) будет статическим солитонным (антисолитонным) решением системы синус-Гордона. Мы используем маятник в гл. 10 для иллюстрации важности инстантонов в квантовой теории.

Отметим, что эти примеры из механики частиц можно считать одномерными (только во времени) скалярными полевыми теориями. Их инстантоны являются статическими солитонами соответствую* щей полевой теории в двух (1 + 1) измерениях. Данная связь наблюдается во многих других случаях.

Рассмотрим, например О (З)-модель в (2 + 1) измерениях, которую мы обсуждали в гл. 3. Для нее получены статические солитонные решения с конечной энергией. Рассмотрим ту же модель в (1 + 1) измерениях. Ее евклидово полевое уравнение, очевидно, такое же, как статическое полевое уравнение (3.14) (2 + 1)- мер ной системы с евклидовым действием, задаваемым статической энергией (3.15) последней системы. Соответственно статические решения (2 + 1)-мерной О (3)-модели в пространстве-времени Минковского являются инстантонами (1 + 1)-мерной О (З)-мо- дели. Что будет, если мы обобщим О (3)-модель на О (7V)-модель

с произвольным N >3, т. е. обобщим О (З)-модель на N скалярных действительных полей ф = ｛内，а = 1, ...» N] с ф ф = = £3咸= 1? Рассмотрим статические солитоны в двух пространственных измерениях. (Те же соображения справедливы для инстантонов соответствующей (1 + 1)-мерной теории.) Будем следовать логике разд. 3.3; граничные условия (3.17) опять сжимают евклидово двумерное пространство в поверхность сферы S£6“3). Разрешенные условием EF«^= 1 значения поля принадлежат поверхности гиперсферы 5毋R, погруженной в N измерений. Следовательно, гомотопической группой локализованных решений будет П2 餌一)Из (3.90) видно, что эта группа тривиальна, кроме случая 介=3. Поэтому нетривиальные ин- стантОнные секторы двумерной О (А^)-модели существуют только для N = 3. Ситуация не улучшается при переходе к более высоким пространственным размерностям, поскольку, как следует из теоремы вириала разд. 3.2, динамика исключает нетривиальные решения. Таким образом, результаты О (З)-модели нельзя обобщить, переходя к О (7V)-модели с N >3 (см. [110 ]). Мы вернемся к этому вопросу ниже.

Обращаясь к калибровочным полям, рассмотрим инстантоны электромагнитных систем, которые гораздо проще и более знакомы, чем поля Янга—Миллса. Свободное электромагнитное поле без источников, конечно, слишком просто. Оно линейно и точно находится в отличие от поля Янга——Миллса, которое даже в отсутствие источников является полем с самодействием. Поэтому рассмотрим электромагнитное поле, взаимодействующее с некоторым другим заряженным полем, например в абелевой модели Хиггса (3.91) в (D + 1) измерениях. Из (3.91) очевидно, что евклидово действие системы конечно только в том случае, если соотношения (3.93) и (3.94) выполняются на границе (力 + 1)-мерной евклидовой области. Таким образом, область граничных значений характеризуется S^ — окружностью фаз «. С другой стороны, границей евклидова (D + 1)-пространства является Sj?"”. Поэтому гомотопическая классификация инстантонов основывается на группе лп (SJ. Из (3.90) видно, что она нетривиальна только для 力=1. Таким образом, в реальном случае (3 + 1) измерений, когда инстантоны Янга——Миллса так важны, абелева система (3.91) не имеет нетривиальных инстантонных секторов. Это одна из причин, почему мы выбрали для детального обсуждения инстантонов в четырех измерениях систему Янга—Миллса, а не электродинамику. Электродинамические инстантоны с целыми гомотопическими индексами существуют только в (1 + 1) измерениях. Отметим снова, что получающиеся из (3.91) полевые уравнения в (1 + 1) измерениях будут такими же, как уравнения статических полей данной системы в (2 + 1) измерениях, если

работать в последней в калибровке Ло = 0. Ее координатам U, //) и полям (Лх, Ау) сопоставляются координаты (х, “) и поля (Лх, Мо) евклидовых уравнений. Таким образом, мы уже изучили инстантоны (1 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса, исследуя решения с вихревыми линиями в сверхпроводнике. Из разд. 3.6 мы знаем о таких инстантонах так же много, как и об инстантонах Янга——Миллса, за исключением точного аналитического вида решений. Напомним (разд. 3.6), что численные расчеты и исследования Богомольного [54 ] и Таубса [325 ] показали, что несингулярные инстантоны действительно существуют в этой абелевой модели. Мы знаем их асимптотическое поведение (3.105) и точное выражение для гомотопического индекса (3.99). Мы также знаем, что они имеют конечные размеры, пропорциональные F-1, в отличие от инстантонов Янга—Миллса или модели О (3), которые могут быть произвольно большими в силу существования произвольного масштабного множителя (4.74). Данное свойство абелевых инстантонов модели Хиггса будет по достоинству оценено при вычислении квантовых эффектов (гл. 10).

■ Следующей более сложной калибровочной теорией после электромагнетизма является SU (2)-теория Янга—Миллса, инстантоны которой мы уже детально рассмотрели. При рассмотрении гомотопической классификации инстантонов калибровочных теорий с высшими неабелевыми группами типа SU (3), SU(4) и т. п. нет необходимости обсуждать каждую из них в отдельности. Как отметил Коулмен [89], можно использовать сильную теорему теории гомотопий [56]. Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение S3 в любую общую простую группу Ли G можно непрерывно деформировать в отображение S3 в SU (2)-подгруппу группы G. Так как последние отображения уже классифицированы с использованием 冗3 (S3) = Z, то, следовательно, классифицированы и первые в четырех евклидовых измерениях. Как только произвольное отображение S3 f G деформировано в отображение S3 f SU (2), можно непосредственно применять всю нашу предыдущую классификацию последнего, включая формулу для индекса Понтрягина и т. д. Этот результат, справедливый для любой простой группы Ли, справедлив, в частности, для всех SU (N). Если группа не простая, а состоит из произведения простых групп, то необходимо провести отдельный анализ для каждой простой фактор-группы, т. е. получить набор независимых SU (2)-индексов Понтрягина для каждой такой фактор-группы,, характеризующий отображение S3 в данное произведение групп. Далее, так как общая компактная группа Ли представляет собой локально произведение абелевой группы на простые группы, наш анализ SU (2)-инстантонов в четырех измерениях справедлив и для более широкого семейства групп.

Следует отметить, что инстантоны SU (А^)-калибровочных групп с произвольным N имеют более чем академический интерес, хотя существующие теории элементарных частиц используют SU (А^)-калибровочные группы лишь с небольшими и конечными N. (Принятая в настоящее время теория слабых и электромагнитных взаимодействий использует SU (2) X U (1)-калибро- вочную группу, теория сильных взаимодействий использует «цветную» группу SU (3), некоторые теории, пытающиеся объединить все эти взаимодействия, используют группы SU (4), SU (5) или SU (7).) Причина, почему SU (Д^)-калибровочные теории с произвольно большим N могут быть важны, заключается в возможности так называемого l/TV-разложения. Было убедительно доказано [329, 356 ], что разложение в ряд по степеням 1/N является хорошим приближением для квантовых SU (А^)-калибро- вочных теорий. В этом случае главный член в разложении соответствует SU (№)-теории с 8.

Наконец, понятия солитонов и инстантонов были распространены на общерелятивистские теории, см,, например, [119, 159, 160, 184, 245, 300, 349].

CPjy-модель

В гл. 3 мы упомянули, что О (З)-модель в (1 + 1) измерениях имеет несколько интересных свойств, многие из которых схожи со свойствами теории Янга—Миллса в (3 + 1) измерениях. Обе системы дают инстантоны, характеризуемые целочисленными топологическими индексами. Процедуры получения этих решений в разд. 3.3 и 4.3 также очень похожи; в обоих случаях мы сначала выводили неравенства, которые давали нижнюю границу действия S, пропорциональную гомотопическому индексу Q. Минимальность S вела к дифференциальным уравнениям первого порядка (условиям «самодуальности»), которые затем решались. Обе модели масштабно инвариантны и имеют инстантоны произвольного размера. (На квантовом уровне сходство сохраняется. Хотя эти вопросы и выходят за рамки нашего исследования, следует отметить, что теории О (3) и Янга—Миллса перенормируемы и асимптотически свободны.) В то же время О (З)-модель сравнительно проста. Она состоит только из трех скалярных полей в двух измерениях с простым лагранжианом. Следовательно, О (3)-модель, помимо того что она соответствует двумерным ферромагнетикам, является полезной пробной моделью, на которой можно понять особенности более сложных неабелевых калибровочных теорий. Но сходство отсутствует в одном отношении. В разд. 4.4 мы отметили, что St/ (2)-систему Янга——Миллса можно погрузить в более высокие SU (А^)-калибровочные теории и что инстантонные решения продолжают существовать для произ-

вольно больших N. Это позволяет сравнивать квантовые инстан- тонные эффекты (методами, разработанными в гл. 10) с разложением по большим N [356, 357 ]. К сожалению, как указано выше, соответствующее обобщение О (З)-моделей на О (7V)-модели не дает инстантоны при N >3.

Однако существует другое семейство скалярнополевых теорий также в (1 + 1) измерениях, которые обладают всеми упомянутыми выше свойствами О (З)-модели, но в то же время дают ин- стантонные решения даже для произвольно большого числа полей N. Это так называемые С^-модели [94, 120, 174]. Мы увидим, что для N = 1 CPi-модель сводится к О (З)-модели. Для больших N С^-модель является лучшим обобщением, чем О (”)- модель, в том смысле, что она продолжает давать инстантонные решения. Несмотря на то, что эта модель предложена недавно, для нее уже проведена большая работа в силу ее интересных свойств. Этот раздел мы посвящаем описанию данной модели и получению ее инстантонных решений [99, 356]. Наше рассмотрение будет аналогично проведенным в предыдущих разделах.

СР (А^)-модель состоит из ^ + 1 комплексных скалярных полей па (х), а = 1, ...» N + 1 в двух измерениях. Для полей введем общее обозначение п (х) = {&. (х)}. Так как нас интересуют инстантоны, мы будем работать в евклидовом двумерном пространстве с координатами х = {/, х2Ь Поля подчиняются уравнению связи

(п (х))*，П (х) = £ Пд (х) па (%) = 1 (4.99) и имеют плотность лагранжиана

⑨(х) = (电п)*.(*п) + (п*.电п) (п*&п) (4.100 с 卩=1, 2. После дифференцирования по / связь (4.99) приводит к соотношению

п* •电п 十电п* • п = 2 Re (п* •电п) = 0. (4.101) Таким образом, величина п*-九п чисто мнимая, что мы будем часто, использовать.

Рассмотрим теперь набор пространственно-временных преобразований

па (х) па (х) exp (iA (х)). (4」02)

Фаза А (х) зависит от х, но не зависит от индекса а. Все N + 1 поля умножаются на один и тот же фазовый множитель. При таком преобразовании

电(九n + f^An) е/л, n*，电пf 11*.电11 + i 电 a,

①(x)f Z (初 (4.103)

Из этих соотношений ясно, что система обладает калибровочной инвариантностью при U (1)-преобразованиях (4.102). Ситуация несколько схожа с абелевой электродинамикой; так же как в электродинамике, будем считать «калибровочно-эквивалентными» все поля, связанные только преобразованиями (4.102). Лагранжиан калибровочно-инвариантен. Набор N + 1 комплексных чисел, подчиняющийся требованию калибровочной эквивалентности и условию (4.99), образует N-мерное комплексное проективное пространство. Отсюда обозначение CPN.

Калибровочная инвариантность становится более очевидной при введении дополнительного векторного поля Лц (х); при этом лагранжиан записывается в виде

Z (х) = %п*・九п + Лц — 2Ail(in^diln).(4.104)

Экстремум действия S = j d2%^ (х) по Лц (х) приводит к уравнению

0 = dS/dA^ = 2 (Лц — in* •电n).

Следовательно,

若卩=i(n*・qji).(4.105)

Это уравнение связи для Лц (%). Поле Лц не описывает независимых степеней свободы, а полностью определяется п (х) с помощью уравнения (4.105). При подстановке (4.105) в лагранжиан (4.104) (что допустимо для таких простых связей, см. [113]) получаем лагранжиан (4.100). Таким образом, два лагранжиана (4.100) и (4.104) эквивалентны. Напомним, что п* • <Зцп — чисто мнимая величина, тогда Лц (х) ——действительная величина.

(Системы (4.100) и (4.104) эквивалентны даже после квантования. Это можно показать с помощью функциональных интегралов, устранив при интегрировании квадратичную зависимость действия от Лц. Так как в этом разделе рассмотрение ведется на классическом уровне, мы не будем дальше обсуждать этот вопрос, но отметим, что методы функционального интегрирования рассматриваются в последующих главах.)

(4.106)(4.107)(4.108)(4.106)(4.107)(4.108)Используя (4.105) и (4.101), лагранжиан (4.104) можно записать в компактной форме где

(4.106)

(4.107)

(4.108)

(4.106)

(4.107)

(4.108)

5 三(九 + iA^ n.

При калибровочном преобразовании (4.102) имеем

41 (尤)f 4 (*)一电A(X)?

仇пт (%i) eA

Теперь ясно видна калибровочная инвариантность лагранжиана в форме (4.106), а также аналогия со скалярной электродинамикой. Заметим, однако, что (4.106) не является точным лагранжианом комплексных скалярных полей, взаимодействующих с электромагнитным полем. В (4.106) отсутствует кинетический член, связанный с Лц. Это происходит потому, что Лц (х) не является независимым полем, а полностью определяется через п (х) уравнением (4.105).

Евклидово полевое уравнение получается из экстремума действия

S= Jd2x(D“n)*.(D“n)S= Jd2x(D“n)*.(D“n)(4.109)(4.109)

S= Jd2x(D“n)*.(D“n)

S= Jd2x(D“n)*.(D“n)

(4.109)

(4.109)

по п (х) с учетом связи (4.99). Связь вводится в вариационный процесс стандартно через множитель Лагранжа, т. е. ищется экстремум S + j d2m (х) (n* • n — 1). Отсюда получается уравнение поля

А4п + *п = 0.(4.110)

Множитель Лагранжа 九(х) исключается с помощью соотношения 九=Мп* п = —п* • D^D^.

что дает

4%П — (п*・А4п)п = 0.(4.111)

Инстантоны являются решениями этого уравнения с конечным действием. Мы получим их косвенно, как это делалось выше в других примерах, проведя классификацию конфигураций с конечным действием.

Конечность действия (4.109) требует, чтобы при 尸三 | х | -> оо

%п 三电п + Мцп = 0.(4.112)

Для каждой компоненты па ~ \ па \ е‘0a это дает

―小=等=彳丿了 + id^a. (4.113)

Отметим, что —L4卩 в (4.113) чисто мнимое и не зависит от а. Это означает, что при г -> оо имеем: 1) 电 | % | = 0 и 2) д^а не зависит от а, Следовательно, граничное условие (4.112) требует, чтобы при г —> ОО

п(х) — п(°)е»(е),(4.114)

где п(°)——произвольный постоянный комплексный вектор с (п(°))*・п(°)= 1, а 3 —— обычный фазовый угол, который может зависеть от угла в координатном пространстве 0, параметризующего границу пространства, которой в данном случае является

окружность S沪нз}. Между тем разрешенные значения фазы « также образуют окружность S^BH). Следовательно, разрешенные соотношением (4.114) граничные условия образуют отображения 5(Физ)_^ 5(BH)t Мы уже знаем, что такие отображения распадаются на гомотопические классы, характеризуемые числом наматываний Q. Мы также знаем выражение для Q в виде

Свобода выбора постоянного единичного комплексного вектора п(°)не отвечает еще одной гомотопической классификации. Отметим, что лагранжиан обладает также глобальной (не зависящей от х) симметрией SU (N + 1) помимо того, что подгруппа U (1) группы SU (N + 1) соответствует локальной калибровочной симметрии. С помощью глобальных SU (N * 1)-вращений можно непрерывным образом переходить от одного значения п(0)к другому.

Выражение (4.115) можно записать в терминах Лц. Поскольку 0-компонента Лц есть

А = —；器 HaSM，

получаем

Q = —* j 面办=—* J dl.A = _*Jd2吗自4. (4.116) 5(ФИЗ)5(ФИЗ)

Это выражение можно переписать в виде

Q = -4rJd2/v(4n)*@vn).(4.117)

Тривиальными вычислениями с использованием (4.105) можно убедиться в эквивалентности (4.117) и (4.116).

Далее, как и в предыдущих примерах, используем соответствующее неравенство. Имеем

j d2x (%п 土 &工\11)* ‘ (Рцп 土 i%vDm)纟 0.(4.118)

После раскрытия скобок получаем

2 j d2x {(4n)*@“n) 土 i^(ад*-(^п)} 2 о, или'

I Q I，(4.119)

Уравнения (4.112)——(4.119) справедливы для любых конфигураций с конечным действием. Но если в (4.118) имеет место знак равенства, т. е. при достижении действием S минимального значения в произвольном Q-секторе, поле будет экстремумом действия

в данном секторе и будет удовлетворять уравнению поля. Знак равенства в (4.118) появляется при выполнении следующего условия:

%n = ±i^vDvn.(4.120)

Оно аналогично условию самодуальности (4.47) или соотношению (3.32) для 0 (З)-модели. Все сделанные выше замечания справедливы и здесь. Например, в отличие от исходного полевого уравнения (4.111) уравнение (4.120) — дифференциальное первого порядка, и его легче решить. Решения уравнения (4.120), минимизирующие S, автоматически удовлетворяют (4.111), но обратное неверно.

Для решения уравнения (4.120) введем вместо п набор калибровочно-инвариантных переменных. Напомним, что в силу связи п**п = 1 все поля па (х) не могут одновременно исчезать в любой точке. Рассмотрим область Ri координатного пространства, где, скажем, /г工抬 0. В этой области определим

w (х)三 п (工)的(х).(4.121)

Отметим, что поля w (х)三 \wa (х), а = 1,…,N + 1} калибровочно-инвариантны. Преобразование (4.102) приводит к появлению одного и того же множителя exp (/А (х)) в числителе и знаменателе (4.121). Далее, wr (х) = 1 для любых х С Ri, так что существуют только N независимых калибровочно-инвариантных комплексных полей wa. Это согласуется с размерностью CPN. Вне области Ri th может обращаться в нуль, и тогда определение (4.121) неприменимо. Но в силу n* п = 1 должна существовать смежная область R?，где отлична от нуля другая компонента, например п2. Определим 一

w，三 п/电.(4.122)

Можно убедиться, что п2 можно выбрать так, чтобы области % и J?2 перекрывались в некоторой подобласти, где ни q, ни п2 не обращаются в нуль. В этой подобласти w‘ и w связаны соотношением

w' = w%/%(4.123)

Таким образом, мы можем определить поля w (или w', w" и т. д.), разделив х-пространство на перекрывающиеся области с различными определениями, которые можно аналитически продолжить с одной области на другую, используя соотношения типа (4.123) в областях перекрытия. Данная процедура рпределения полей близка к той, которую обычно используют в теории калибровочных полей при наличии монополей [358].

Уравнение (4.120) локально, и мы будем решать его в произвольной области, скажем Rv где w определено согласно (4.121).

Аналогичные рассуждения справедливы и для любой другой области. При этом решения можно продолжить с одной области на другую, используя соотношения вида (4.123). Выразим уравнение (4.120) в переменных w. Имеем

П = 〃1W.

Тогда (4.120) принимает вид

4侬Wi) = 土/电v&侬Wi)，a=l,N 十 1, или

⑪а2л 十窓九必 =土，电Y (⑪川储1 +窓爲④)(4.124)

В силу (4.120) первые члены в обеих частях уравнения (4.124) сокращаются. Остающиеся вторые члены разделим на /г】 2 0 и получим

电④а = ±i%v°v®a， ц, V = 1, 2.(4.125

Отметим, что в (4.125) входят обычные (&(г%), а не ковариантные производные. Далее, так же как в модели О (3), уравнение (4.125) представляет собой условие Коши—Римана. Взятое со знаком минус в (4.125) оно гласит, что wa является аналитической функцией z 三 ％1 + ix2. Знак плюс соответствует юа, аналитической по

Таким образом, мы нашли инстантоны. Любой набор аналитических функций wa (z), а = 2, ..., N + 1 при ④^ = 1 является решением уравнения (4.120); решением является также любая аналитическая функция wa (z*). В силу приведенных выше соображений эти функции, переписанные в терминах п и хц, дают точные решения с конечным действием евклидова полевого уравнения (4.111). - Следовательно, эти функции являются инстантонами данной модели.

В качестве точного примера рассмотрим одноинстантонное решение. Выберем

w ⑵=u + [(z — z0)/X] v,(4.126)

где u, V — пара ортонормированных комплексных векторов, удовлетворяющих условиям 〃1 = 1, U] = 1,

и*.ц = V*.V = 1 и 11*7=0.

Ясно, что (4.126) образует набор аналитических функций и, следовательно, является решением. Константа 九 действительна и

соответствует «размеру» инстантона, а комплексное число z0 三

三(^i)o + i (x2)o соответствует его «положению» в плоскости z = ~ Хх+ ix2- Свобода в выборе X и z0 отражает масштабную и трансляционную инвариантность действия (4.109). Перепишем это ре-

шение, обратив (4.121). С точностью до фазового множителя, который всегда можно устранить калибровкой, (4.121) приводит к

П = M1W = w/| W I,

где

I W I =(W'W)1/2 = I «! |-1._

При подстановке (4.126) решение принимает вид

n(z) =昴.(4.127)

Легко проверить, что оно удовлетворяет полевому уравнению (4.111). На пространственной бесконечности при z f оо

•n(z)-^(z/| z |)v = exp (i0) v.

Это удовлетворяет граничным условиям (4.114) для фазового угла 3 (0)三 0. Решение принадлежит сектору с Q = 1 и описывает отдельный инстантон. Антиинстантонное решение получается заменой z на г*. (Отметим, что если бы мы опустили постоянный вектор и в (4.126), то соответствующая величина n = (z — z0) v/| z — —z0 I была бы плохо определена при 2 = %). Более сложный выбор w (z) дает мультиинстантонные решения.

Полезно записать Лц и Q, выраженные непосредственно через w (z). Имеем

4 = i(n*•电n) = (〃2 I w 产)(w*.电w — w@w*).

Используя соотношения Коши—Римана (4.125), это можно све* сти к

4 = 士弘 w*・％翼❷w： = ± $ %q Ш I wГ.(4.128)

Тогда

Q =—击 J d2.Y%@4 = 土 亲 J d2x 口 In I w R (4.129)

В силу равенства в (4.119) действие равно S = 2л| Q|. Несложные вычисления при подстановке (4.126) в (4.129) подтверждают, что Q = 1 и S = 2л.,

В заключение установим связь СР^-модели с О (3)-моделью. При N = 1 С^-модель имеет два комплексных поля «х и п2, свя* занные условием | пх |2 + | n2 I2 = 1- Построим три поля у, а = 1, 2, 3:

где о。一 три матрицы Паули. В явном виде имеем

^»1 = 2 Re (n*n2), У = 2 Im (九：九2)； ^3 = I »i |2 - I »2 P-

Поля фа действительны и удовлетворяют соотношению

3

e严严=(1窓产+1九2产)2= 1.

Дальнейшими простыми вычислениями плотность лагранжиана (4.100) приводится к виду 九(％3“)(。2°)・ Таким образом, СРгмодель есть О (З)-модель, записанная в терминах у. Для больших N СР'-модели представляют собой лучшее обобщение О (З)-модели, чем О (№)-модели, так как они дают инстантоны в двух измерениях для произвольного N.

Таким образом, мы видим, что CPjv-модель, хотя и состоит только из скалярных полей, обладает локальной калибровочной и н вар и антность ю. Она имеет инстантоны, во многом сходные с инстантонами четырехмерной системы Янга——Миллса. Более общее обсуждение нелинейных моделей, напоминающих калибровочные теории, см. в работах [19, 59].

5 РаДжараМан Р.

ГЛАВА 5

КВАНТОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Введение

В предыдущих главах приведены примеры локализованных классических решений нелинейных релятивистских уравнений поля. Теперь мы можем обсудить связь таких решений с соответствующими квантовополевыми теориями. Оказывается, при определенных благоприятных условиях можно установить соответствие классических решений в пространстве-времени Минковского со связанными состояниями и состояниями рассеяния квантовой теории. В частности, уединенные волны и солитоны (ниже для простоты мы будем и те и другие называть солитонами) можно связать с квантовыми состояниями протяженных частиц. Следующие несколько глав посвящены исследованию этой связи, что не только удовлетворит наш чисто академический интерес, но и даст новую конкретную информацию о квантовой теории. Некоторые характерные величины квантовых состояний, например энергия или формфакторы, могут быть разложены в квазиклассические ряды. Мы увидим, что главные члены в этих рядах связаны с соответствующими классическими решениями. Поэтому знание классических солитонных решений при си стемат и чес ком квазиклассиче- ском разложении дает некоторую информацию о квантовых состояниях частиц. Более того, эта информация будет непертурбативной в смысле нелинейного взаимодействия, так как в наиболее интересных случаях непертурбативны соответствующие классические решения. Заметим, что большинство классических решений в предыдущих главах непертурбативны. Они становятся сингулярными при обращении нелинейных членов полевых уравнений в нуль.

Евклидовы решения (инстантоны) также дают непертурбативную информацию о соответствующей квантовой теории, но в дру- ном аспекте теории, связанном с вакуумными состояниями и эффектами туннелирования. Эти вопросы мы обсудим, как обещали, в двух последних главах.

Начнем в этой главе с простейшего применения классических решений в квантовой полевой теории — квантования статических солитонных решений с целью получения непертурбативных квантовых состояний протяженных частиц. Формализм для такого

квантования развит в разных работах с помощью разнообразных методов [62, 81, 101, 173, 284, 285 ]. Все эти методы, включающие функциональные методы, методы канонического оператора и т. д., приводят к одному и тому же основному физическому результату. Выбор того или иного метода отчасти является делом вкуса подобно выбору среди методов дифференциального уравнения Шредингера, фейнмановского интеграла по траекториям или коммутаторов Гейзенберга для рассмотрения задачи о гармоническом осцилляторе. Для рассмотрения разных аспектов задачи мы будем применять различные методы.

Мы уже отмечали, что односолитонное решение напоминает даже на классическом уровне протяженную частицу. (Под «протяженной» частицей понимается частица конечного, ненулевого размера. Большинство частиц в природе, даже так называемые элементарные частицы, по-видимому, являются протяженными, хотя при теоретических вычислениях их часто приближенно считают точечными.) Как и протяженные частицы, наши солитонные решения являются локализованными объектами с конечной энергией. В своих системах покоя они статичны, а в движущихся системах движутся без дисперсии. При движении их формы испытывают лоренцово сокращение (см., например, (2.32)), а их энергия Е при движении связана со статической энергией М знакомой релятивистской формулой Е = M〔V 1 —и? (см., например, (2.33)). Эти особенности классических солитонов позволяют нам ожидать существования некоторого соответствия с частицами и в квантовой теории.

Эти ожидания оправдываются, но связь классических солитонов с квантовыми частицами не совсем тривиальна. Грубое отождествление классического решения с объектом типа волновой функции квантовой частицы некорректно в силу ряда причин. Правильная интерпретация более изощренна, хотя и проста по своей сути. Отметив некоторое соответствие классических солитонов частицам, в противовес этому заметим, что определение частицы в квантовой теории внешне уводит далеко от классических решений полевых уравнений. Чтобы оценить это замечание, напомним основные отличия классической теории от квантовой. В первой поля являются с-чи еловыми функциями пространства-времени. Поля описывают состояния классической системы, а их динамика определяется нелинейными дифференциальными полевыми уравнениями в частных производных. Наши солитоны — только решения этих уравнений. Несмотря на сходство с физическими частицами, понятие «частицы» не существует в классической полевой теории.

В отличие от этого в квантовой теории поля понятие частицы существует, но сами поля имеют другой статус. Они являются 5*

операторными функциями пространства-времени, а не с-числами, и действуют на векторы в гильбертовом пространстве. Поля подчиняются полевым уравнениям Гейзенберга^ но решения этих уравнений также являются операторами. Они не описывают состояний квантовой системы. Состояния описываются векторами в гильбертовом пространстве. В частности, «частицы» есть специальные векторы состояний, подчиняющиеся требованиям, которые мы накладываем на состояния частиц, исходя из квантового релятивистского контекста. Нестрого говоря, частице в квантовой теории соответствует дискретный гиперболоид спектра, т. е. семейство собственных векторов операторов импульса и гамильтониана с собственными значениями Р и Е, подчиняющимися условию £2 — Р? = М? с некоторым дискретным М. Кроме того, требуется, чтобы соответствующие формфакторы данных состояний были локализованы, что отражает свойство частиц описывать локализованный комок вещества. Динамика состояний частиц, как и динамика любых других векторов состояний, задается уравнением Шредингера, которое несколько отличается от полевых уравнений. Поэтому понятие частицы в квантовой полевой теории кажется достаточно далеким от классических решений полевых уравнений. Действительно, при рассмотрении квантовой теории поля в стандартных учебниках мало упоминается о связи между частицами теории и решениями ее полевых уравнений, кроме тривиального случая свободной полевой теории.

Конечно, эти два понятия связаны. Сама книга обязана своим существованием данной связи. Сделанное в предыдущем абзаце замечание дано с целью предостеречь от восприятия связи как самоочевидной вследствие некоторого сходства частиц и классических решений. Для установления связи между ними необходимо проделать еще некоторую работу.

К счастью, основные принципы, необходимые для установления корректной связи, по своей сути достаточно просты. Все, что надо сделать, это воспользоваться такими известными из обычной квантовой механики понятиями, как принцип соответствия и ква- зиклассическое разложение, связывающие квантовые уровни с классическими орбитами при систематическом приближении, и обобщить их на полевую теорию. Вероятно наиболее известным примером такой связи в нереляти ви стек ой квантовой мехнике является ВКБ-метод и вытекающее из него условие квантования Бора—Зоммерфельда. Это условие связывает избранные классические периодические орбиты с квантовыми уровнями энергии. В последующих главах мы обобщим этот метод на полевую теорию и будем использовать периодические зависящие от времени решения классических полевых уравнений. В данной главе мы сконцентрируем внимание на более простой задаче квантования статичестх решений. Аналогичная связь между статическими

решениями ньютоновских уравнений движения и нерелятивистскими квантовыми уровнями энергии даже еще более элементарна, чем в ВКБ-методе. Мы начнем следующий раздел с напоминания необходимых свойств этой хорошо известной в обыкновенной квантовой механике связи. Прямое обобщение этих простых результатов на полевую теорию даст центральную идею, лежащую в основе квантования статических решений.

Основная идея

Рассмотрим движение нерелятивистской частицы единичной массы в одном измерении под действием потенциала V (х). В классической механике частица описывается заданием х как функции времени, которая определяется из ньютоновского уравнения

d%/ dr? = —dV/ dx.d%/ dr? = —dV/ dx.Рис. 9. Пример потенциала V (х) для одномерной частицы единичной массы.Рис. 9. Пример потенциала V (х) для одномерной частицы единичной массы.(5.1)

d%/ dr? = —dV/ dx.

d%/ dr? = —dV/ dx.

Рис. 9. Пример потенциала V (х) для одномерной частицы единичной массы.

Рис. 9. Пример потенциала V (х) для одномерной частицы единичной массы.

В квантовой теории частица описывается не величиной х, а волновой функцией 屮(%). В частности, собственные состояния энергии 屮в (х) подчиняются уравнению

"办=(手外 + y⑴)办(*)=e№(X), (5.2)

где р = —Игд/дх — оператор импульса. Прежде чем прокванто- вать статические решения, напомним свойства приближенной связи статических решений (5.1) с собственными состояниями энергии (5.2).

Статические (не зависящие от времени) решения классического уравнения (5.1) являются экстремумами V (х). В качестве примера рассмотрим потенциал V (х), изображенный на рис. 9. Он имеет три экстремума при х = а, х=Ьих = с. Частица, помещенная в любую из этих трех точек, остается в ней. Таким образом, классические статические решения имеют вид

% (方)а, х (f) ■== b, х (/)% (方)а, х (f) ■== b, х (/)=с.=с.(5.3а, б, в)(5.3а, б, в)

% (方)а, х (f) ■== b, х (/)

% (方)а, х (f) ■== b, х (/)

=с.

=с.

(5.3а, б, в)

(5.3а, б, в)

Из них а и с дают минимумы (dW/ dx? > 0) и соответствуют стабильным статическим решениям, а решение Ь нестабильно. Начнем с первого решения (5.3а). Его можно назвать «классическим основным состоянием», так как оно отвечает решению с наинизшей энергией, допускаемой для этой частицы классической механикой. Полная энергия

E产=u3). (5.4)

В квантовой теории такое состояние не допускается. Принцип неопределенности не позволяет частице иметь одновременно нулевой импульс и фиксированное положение. Следовательно, даже в основном состоянии (т. е. в состоянии с наинизшим собственным значением в (5.2)) частица флуктуирует около х = а, что приводит к энергии основного состояния

线= Е^ + & = 1/(а) + А°, (5.5) где Ао — квантовая поправка, обусловленная движением около нулевой точки х = а. ,

Если потенциал около точки х = а приближенно можно считать гармоническим, то можно использовать «разложение по слабой связи». Разложим V (х) в ряд Тейлора в окрестности х = а: V (X) = V (a) + "I"①2 (尤 — a)2 + 击а3 (Х -а尸+ 不4(尤一a产+

(5.6)

Тогда для волновых функций, удовлетворяющих условиям

Xr {(X — а)г) <^С <о2 {(X — а)2), г = 3, 4, . . ., (5.7) где (...) обозначает математическое ожидание, эффекты негармонических членов V (х) будут малы. Для достаточно малых Хг низколежащие собственные состояния энергии, локализованные в окрестности х — а, удовлетворяют условиям (5.7), и для них потенциал можно приближенно задать гармоническим, свойства которого очень хорошо известны. Таким образом, энергии этих низколежащих состояний можно представить в виде

Е“ = У(а)+(九+；)%з +。仇,). (5.8)

В частности, в данном приближении слабой связи энергия основного квантового состояния записывается в виде

Е° = у (а) + 方①/2 + О (%). (5.9)

Выражение (5.9) описывает простейший случай связи квантовых состояний и классических решений. Слева стоит энергия основного квантового состояния. Члены справа связаны с соответствующим статическим классическим решением (5.3а). Первый

член есть энергия этого классического решения. Во втором члене, описывающем главную квантовую поправку,(о отвечает классической частоте устойчивого решения. Поправки О (Хг), получаемые из стандартной теории возмущений, включают только постоянные Хг и ш, которые определяются производными потенциала при классическое решении х = а.

Не только энергия основного состояния, нр и энергии низ- колежащих, слабовозбужденных состояний аналогичным образом связаны с классическим решением соотношением (5.8).

Энергия квантового состояния описывает только одно из его свойств. Полная информация о состоянии содержится в волновых функциях. Но в соответствующем приближении классическое решение дает и другие свойства волновой функции основного состояния. Это происходит потому, что, хотя волновая функция 必(х) размазана по х, она все же в какой-то степени локализована около классического решения х = а. Например, математическое ожидание ее положения определяется выражением

(х) = j I 2о (%)产 х 厶=仪 + .… (5.10)

где точками обозначены поправки, связанные с константами негармоничности Хг. Напомним, что величина а в (5.10), хотя и может быть числом, но является статическим классическим решением (5.3а), а слева стоит величина, характеризующая свойство квантового основного состояния.

Повторим ту же процедуру для более интересного решения х (/) = с (5.Зв). В классической механике это решение имеет энергию

总кл _ у (с), (5.11)

которая больше V (а). Это решение аналогично классическим статическим солитонам в полевой теории. Они также описываются статическими решениями с энергиями больше энергии классических вакуумов соответствующих теорий поля. Хотя точка х = с отвечает только локальному минимуму V (х), в ее окрестности опять можно применить метод гармонического осциллятора, или приближения «слабой связи»

7^^7^ + 4-^)2 (х-су+ 2%(x - 。F (5.12)

Если опять 九;достаточно малы, то в окрестности х = с негармоническими эффектами можно пренебречь. Построим семейство состояний приближенно гармонических осцилляторов с центром в точке х = с и с энергиями

瓦и(е) + %з'(九'+})+。(矇). (5.13a)

Если приближение справедливо, то наинизшее состояние имеет энергию

£0 = У(с) + Хй^ + О(Х；), (5.136) а математическое ожидание

〈»=с』О(簿). (5.14)

Таким образом, мы опять имеем приближенное описание собственных состояний энергии, связанных с классической энергией статического решения V (с), причем (х) связано с самим решением с (см. п. 9).

Теория возмущений, основанная на приближении гармонического осциллятора, в, случае локального минимума х =^ с использует потенциал около х ~ с, как будто не существует другого более глубокого минимума в точке х = а. В действительности мы знаем, что волновые пакеты ямы х = с туннелируют в яму х = а и наоборот. Следовательно, два набора уровней энергии перемешиваются. Но если Хг и 九；малы, то два минимума х ^ с, х = а широко разделены большим потенциальным барьером. Таким образом, туннелирование происходит медленно, и в результате изменения собственных значений энергии малы. Другими словами, туннелирование, если оно существует, является непертурбативным по параметрам Хг и К- В любом конечном порядке разложения по слабой связи набор уровней (5.13) вблизи х = с можно рассматривать отдельно от набора (5.8) около точки х = а.

В теоретико-полевых приложениях мы будем рассматривать примеры обоих типов — с туннелированием и без него. Примеры явления туннелирования, связанные с инстантонами, рассматриваются в гл. 10. С другой стороны, распада состояний, построенных в окрестности солитонных решений, вследствие туннелирования не происходит. Это связано с наличием у солитонов ненулевого топологического индекса, что эффективно возводит бесконечный энергетический барьер между ними и вакуумными решениями. Это объясняется в разд. 5.6.

В окрестности статического решения х (t) = b уровней не существует, так как это решение нестабильно. Соответствующая частота [(d2VI dx2)b]^2 мнимая.

Очевидно, что при обращении в нуль гармонической постоянной ① вся процедура перестает работать. При этом условию «слабой связи» (5.7) нельзя удовлетворить никакими значениями Хг. В частности, следует отметить случай потенциала V (х), не зависящего от х. Хотя эта задача тривиальна, но она открывает для нас новые свойства квазиклассического метода.

В данном примере все коэффициенты Тейлора Хг и ш обращаются в нуль, и условие слабой связи (5.7) становится бессмыслен-

пым. Соответственно вся физическая картина связи классического статического решения с квантовыми уровнями нарушается. Хотя каждая точка х ~ х0 теперь является классическим статическим решением, собственные функции энергии не локализованы около х = %, так как потенциал не имеет необходимой для этого кривизны в окрестности х = х0. Действительно, корректные собственные функции энергии 3々# пробегают все точки оси х, и их следовало бы связать не с отдельным статическим решением, а с непрерывным семейством статических решений. Все это обусловлено существованием трансляционной симметрии, возникающей вследствие независимости V (х) от х.

Из этого примера следует, что если потенциал не зависит от координаты, то соответствующая гармоническая частота ⑴ обращается в нуль и квазиклассический метод требует модификации. Необходимую модификацию мы обсудим несколько ниже. Та же проблема возникает при квантовании солитонов в полевой теории в силу аналогичной причины — существования непрерывных симметрий. Рассмотрение получающихся нулевых мод достаточно сложно, и мы посвятим ему гл. 8. Но физическая идея, лежащая в основе существования нулевых мод и их воздействия на квазиклассический метод, та же, что и в приведенном здесь тривиальном примере. Отметим, что точные уровни энергии данной простой задачи, когда V не зависит от х, можно представить в виде

j=了十等 SJ, (5.15)

где рп — импульсы, т. е. квантовые поправки включают импульсы, а не частоту, которая в рассматриваемом случае равна нулю. Заметим, что импульсы сохраняются в силу трансляционной симметрии (которая привела к ① = 0). То же справедливо в полевой теории для каждой моды нулевой частоты, обусловленной непрерывной симметрией.

Возвращаясь к общему случаю потенциала V (х), зависящего от х, мы видим, что, если не возникает трудностей с обращением в нуль частоты ш, с каждым статическим стабильным классическим решением можно связать набор собственных состояний энергии. Квантование статических солитонов основано на обобщении этих идей на теорию поля. Отмеченные выше специфические свойства, хотя и кажутся тривиальными, содержат зерно важных черт солитонного квантования. Следует подчеркнуть, что соотношения (5.8), (5.9), (5.10) и (5.13), (5.14) справедливы только при разложении по слабой связи, когда пренебрегают негармоническими членами. Отметим, что негармонические члены в V (х) приводят к нелинейным членам в уравнении движения (5.1). Следовательно, квантование статических солитонов в полевой теории справедливо только в том случае, если нелинейные взаимодей-

ствия малы. Тем не менее результаты могут быть непертурбативными. Это возможно, если само классическое решение непертурбативно. Оно определяет главные члены, как, например, в разложениях (5.13), (5.14). Методом теории возмущений рассматриваются только квантовые поправки.

В качестве промежуточного шага на пути к обобщению этих идей на теорию поля рассмотрим систему с большим (но конечным) числом степеней свободы. Представим пучок нерелятивистских частиц с единичной массой в произвольном числе измерений, описываемый декартовыми координатами х 三 的 …，xN), в потенциале V (%i,…，％n)，Пусть х = а — минимум (локальный или абсолютный) потенциала V в Димерном пространстве. Тогда х (£) = а является стабильным статическим классическим решением. Разложим V (%1,%n) в окрестности 修 =а»:

V (х) = V (а) + 4■(修一а0 (芍一叫[^^7] x=a +

+ УГ (九—&)(芍一闯 ％ - “)[ дх.ЦдХк ]x=a + • • • • (5.16)

Если производные V (х) третьего и более высоких порядков при х = а малы (предел слабой связи), то можно построить систему низколежащих состояний гармонического осциллятора около точки х = а. Для этого диагонализируем матрицу вторых производных [@2厂/@修此]х=&, заменяя переменные некоторыми нормальными модами &. Тогда в терминах ® задача сводится к системе осцилляторов с частотами (о力 где ①? —— собственные значения данной матрицы. (Если х = а действительно минимум, то все со? положительны.) Эти моды связаны (слабо) через кубические и более высокого порядка члены в (5.16). Состояние с наи- низшей энергией, построенное в окрестности х = а, имеет энергию

Eq = V (а) + £ -方со» + поправки.(5.17)

£=1

Для более высоких возбужденных уровней (но не настолько высоких, чтобы нарушить приближение слабой связи) получаем

N

ш； + поправки.ш； + поправки.(5.18)(5.18)4"} = V 值)+ % Е (% + 4~)

ш； + поправки.

ш； + поправки.

(5.18)

(5.18)

Поправки к этим формулам получаются из теории возмущений. Эти результаты являются простым обобщением задачи с одной степенью свободы, причем набор собственных значений (①，？ матрицы [d2V/dxf дх^]х=^ заменяет число <о2. Все сделанные выше

замечания также тривиально обобщаются. Например, если одно из значений ①^ равно нулю (нейтральная стабильная мода), то метод неприменим. Эту моду необходимо рассматривать отдельно.

Переходя к теории поля, начнем со скалярного поля 屮(х, /) с лагранжианом

厶=J(普У—"中户 一 и(В)] >

где, как и в гл. 2, U (巾)一произвольная функция 也 ограниченная снизу. Вместо конечного числа степеней свободы хп ..., xN мы теперь имеем непрерывное бесконечное множество степеней свободы, т. е. значений 巾 в каждой пространственной точке х. Но несмотря на это отличие, классическая динамика такой системы аналогична механике частиц. Например, лагранжиан имеет стандартный вид'

(5.19)(5.20а)(5.206)(5.21)(5.19)(5.20а)(5.206)(5.21)L — Т [ф] —V [ф 1

(5.19)

(5.20а)

(5.206)

(5.21)

(5.19)

(5.20а)

(5.206)

(5.21)

с кинетической энергией

и потенциальной энергией

Уравнения движения Эйлера ——Лагранжа имеют вид

严е(х, t^dt^^Vim^ 力

где справа стоит функциональная производная. Напомним, что координатами системы являются поля 巾(х) и, следовательно, энергия есть функция функций 小(х), т. е. функционал. Отметим сходство полевого уравнения в форме (5.21) с ньютоновским уравнением (5.1). Статические решения уравнения (5.21) также являются экстремумами потенциала в полевом пространстве и удовлетворяют условию

6V [^>]/6^> (х) = 0.(5.22)

В частности, стабильные статические решения являются минимумами V так же, как в механике частиц.

Пусть 巾(х) = % (х) — один из таких минимумов. Разложим V в функциональный ряд Тейлора в окрестности %:

У 附=и 俄]+ J dx； {п (х) [ —V2 + (黑)0° (X)] n (x) + • • • },

(5.23)

где использовано интегрирование по частям н 刀(х)三巾(х) — —% (х); многоточие соответствует кубическим и более высокого

порядка по 刀 членам. Функциональный ряд Тейлора получается последовательным взятием производных V ⑴. Оператор (—у?2 + 心UI 財2) в точке 少(х) = % (х) является обобщением матрицы вторых производных V в (5.16). Его собственные значения и собственные функции определяются из дифференциального уравнения

W + (*)0。(X)] п，(х) = 3沁(х), (5.24) где г]» (х)——ортонормированные «нормальные моды» флуктуаций в окрестности % (х). Запишем [95]

n (х, /)三中(х, /) 一 ％ (х)三 £ a (Z) % (х). (5.25)

Тогда, используя (5,23) и (5.24), приводим лагранжиан (5.18) к виду

厶=± 】©(/)『一『匠о] + 4~ » 匕(川° 或j + поправки, (5.26) где & 三 dcj df, а поправки соответствуют третьей и более высокого порядка производным в ряду Тейлора (5.23). «Приближение слабой связи» здесь относится к поправочным членам при разложении (5.26). Это приближение требует, чтобы амплитуды флуктуаций 刀(х), а также третья и более высокие производные V 【巾] при В = % были малы. В низшем порядке приближения поправками в (5.26) пренебрегают. Тогда лагранжиан (5.26) сводится к лагранжиану набора гармонических осцилляторов с нормальными модами плюс постоянный член V [%1.

Соответственно в квантовой теории можно построить набор состояний приближенно гармонических осцилляторов, расположенных в пространстве полей около % (х), квантуя коэффициенты нормальных мод &. Энергии таких состояний определяются выражениями

Е{п^ = V [ф0] + й ^ («>' + + поправки, » (5.27)

где щ ——номер возбужденной i-й нормальной моды. Выражение (5.27) аналогично выражению (5.13). Оно приближенно связывает некоторые квантовые уровни с классическим решением % (х). Первый член есть просто классическая энергия статического решения Во (х). Второй член включает ⑴力 一 частоты стабильности % (х). Отметим, что уравнение (5.24) является классическим линейным уравнением устойчивости. Поправочные члены в (5.27) получаются стандартными методами разложения в ряд по теории возмущений негармонических поправок в (5.26). Подчеркнем опять, что если одна из частот g равна нулю, то приведенные здесь простые соображения необходимо модифицировать.

Мы изложили основную идею построения связи квантовых уровней с заданным стабильным классическим решением % (х). Полученные результаты справедливы только в рассмотренном выше приближении слабой связи. В данной главе мы будем - его придерживаться. Решение 巾。дает либо абсолютный, либо локальный минимум V [^>0 ]. Если В。——абсолютный (но, возможно, вырожденный) минимум, то он представляет собой «классический вакуум» системы. В силу наличия члена (v^)2 в V [^> 1 такой абсолютный минимум должен быть пространственно независимым. Квантовый уровень, построенный согласно рассмотренной выше процедуре в окрестности такого абсолютного минимума, будет вакуумным состоянием и квантом данной полевой теории. Для иллюстрации рассмотрим типичный пример — теорию 疔 с лагранжианом

厶=j dx [4 (署У —扌(vB)2 - }個>2 _ ；屮].(5.28) Тогда

J 仲]=j dx [4 (W)2 + 4-mV + 4 屮]=

=[厶[一；加2中+ $他屮+ +屮](5.29)

и статическое решение подчиняется уравнению

5U g]/g (х) = —у冲 + 加2巾 + 九巾3 = о. (5.30) Это уравнение имеет тривиальное статическое решение

% (х, /) = 0, V [% = 0] = 0,(5.31)

которое является абсолютным минимумом потенциала V [巾]・ Потенциал V [少】，записанный в виде (5.29), уже разложен в ряд Тейлора в окрестности 巾 ~ 0. Вторая производная потенциала при 巾=0 дает оператор (—у2 + т2), уравнение на собственные значения которого

、(―V2 + ^2) Пг (х) =(х)(5.32)

тривиально решается и дает 刀月(х) = L-3/2 ехр (fkz -х), кг = =2nNj3 где L -> оо и ①？ = к?十 m2. Приближение слабой связи подразумевает разложение по X. Набор уровней приближенно гармонического осциллятора, построенный в окрестности 巾 = 0, имеет энергии

4唱=V [%]+ 方 2 |/ k•"他2 (nt + ；) +0仇)=

=% 工 |/M + m2 (гц + }) + О仇).(5.33)

(В релятивистской квантовой теории часто используют единицы, в которых 方=с = 1. Поскольку мы хотим выявить квазикласси- ческую природу нашей теории, оставим й, но положим с равным единице. В этом случае параметр m имеет размерность (масса/й).) Наинизший уровень с 勺 = 0 является основным состоянием данной квантовой теории поля, т. е. вакуумным состоянием с энергией

Евак 三 ％｝=等％ Е /к?十絞 +0 ®. (5.34)

Следующее возбужденное состояние с модой 先 = 0 имеет энер- гню Е^Е^п^х, п^о=о｝：

昨等吆/к? + /?? + 方加 + О 仇)=Евак + 方加 + О 仇).(5.35)

Отметим, что Е｛勺｝ может формально расходиться вследствие бесконечного числа мод к?. Рассмотрение такой расходимости с помощью перенормировок хорошо известно. Мы вернемся к этому вопросу несколько ниже. Здесь же отметим, что в порядке Х° величина (上｛勺｝ — Еван) конечна. Таким образом, Е* ——£вак отвечает энергии одиночной квантовой частицы в покое, имеющей массу 〜方т. Другие возбужденные состояния описывают квантовую частицу, движущуюся с импульсом йк, и т. д. Эти результаты хорошо известьш из стандартной теории возмущений. Мы их напомнили здесь, чтобы подчеркнуть, что стандартную теорию возмущений можно рассматривать как частный случай нашего ква- зиклассического метода, когда используется классическое статическое решение, являющееся тривиальным абсолютным минимумом потенциала V [巾].В этой главе нас интересуют новые результаты, получаемые при применении этой процедуры для локального минимума V [ф], т. е. для нетривиального зависящего от х классического решения. К сожалению, модель (5.28) не имеет таких нетривиальных статических решений с конечной энергией. Это ясно видно из соображений, приведенных в гл. 2 и 3. Поэтому в следующем разделе мы рассмотрим для иллюстрации новых аспектов наших методов немного отличный пример, допускающий нетривиальные статические решения. •

Сначала сделаем некоторые замечания относительно доказательства. В каждом случае мы разлагаем в ряд потенциал в окрестности минимума и диагонализируем квадратичные члены. Это дает сумму членов, отвечающих гармоническим осцилляторам, плюс негармонические члены, которые, согласно предположению, необходимо рассматривать по теории возмущений. После этого мы просто постулируем результаты в главном порядке без соответствующего вывода в силу того, что они являются непосредствен-

ным обобщением стандартных результатов для гармонического осциллятора, имеющихся в любом элементарном учебнике по квантовой механике. Другое дело поправки более высокого порядка к этим уравнениям, которые требуют более осторожного применения теории возмущений. Но в основном при квантовании солитонов можно пользоваться результатами на уровне главных квантовых поправок, т. е. в приближении гармонических осцилляторов. Наш эвристический подход мы сохраним и в остающейся части глав. Затем мы покажем, как можно формально вывести эти результаты, используя функциональные или операторные методы.

Квантование кинка

Рассмотрим скалярное поле 巾(х, £) в (1 + 1) измерениях с лагранжианом, немного отличающимся от (5.28), а именно

(=j dx 昌(导y _ -2-(要y + 4他窜一等 卢一 警卜

(5.36)

Мы уже изучали эту систему на классическом уровне в гл. 2 и знаем, что она дает статический кинк. Применим теперь к нему квазиклассический метод предыдущего раздела. Потенциал системы имеет вид

/@ = j甸士 (祭)U 扌(8-£y] •(5・37)

Статическое классическое решение удовлетворяет уравнению

ЗУ [З]~дф7хГЗУ [З]~дф7хГ-加2,十九,3 — 0.-加2,十九,3 — 0.(5.38)(5.38)

ЗУ [З]~дф7хГ

ЗУ [З]~дф7хГ

-加2,十九,3 — 0.

-加2,十九,3 — 0.

(5.38)

(5.38)

Как мы видели в гл. 2, это уравнение дает тривиальные решения 巾(х, £) = 土血/^ и нетривиальные решения 一 кинки 巾艮(х, £)= —土(m/j/又)th [m (x — а)//2]. Наш квазиклассический метод можно применить к каждому из этих решений.

ВАКУУМ И ЕГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

Начнем с тривиального решения % (х, t) = 血/兀 Разложим в ряд потенциал в окрестности %:

V [ф] = У [^i] + J dx (1~3 -^1-加喑 + -|-九状，2)+

+ " dx (九$3 + } $4)= J 〃 告(—鳥+ 2m^) $ +

+ 俏 J $3 dx + ? J $4 dx, (5.39)

где f (%)三中(%)—何(%)=中(%)—句尸 и V [^jl == 0,

Если константа X достаточно мала, то можно рассматривать кубичный и четвертого порядка члены в (5.39) по теории возмущений. В низшем порядке в квадратичном члене вторая производная V ［力］при % есть оператор (—д2/дх2 + 2m2) с собственными значениями (^ + 2m2) и собственными функциями exp (iknx). Разрешенные значения kn находим при нормировке

knL = 2пл,(5.40)

где L стремится к бесконечности и £宓卩-> (L/2n) j dk.

Используя все это, построим систему уровней приближенно гармонического осциллятора в окрестности %. Наинизший из них имеет энергию

£вак = 0+4й工(欣+ 2他2)1〃 + 。 仇)，(5.41)

где нуль отвечает классической энергии V ［%L Это соответствует вакуумному состоянию системы. Более. высокие возбуждения аналогично (5.33) обладают энергиями

E{Nn}=力 £ (必 + ；)(欣 + 2疗у/2 + о R).(5.42)

Мы имеем знакомую картину Nn квантов теории с импульсами И*. Их масса покоя в низшем приближении равна 加龙//2. Назовем такую систему состояний, построенную в окрестности 中工, «вакуумным сектором». Так как эта процедура по существу квантует смещенное поле $ =力一％ согласно стандартным методам теории возмущений, в низшем приближении можно использовать известный результат

〈013(招分10)= 0,.-(5.43)

где I 0) — вакуумное состояние. Тогда

〈0 16(%, /)10〉= % +。®.(5.44)

Это аналог выражения (5.10), представляющий собой еще одну связь квантового вакуумного состояния с классическим решением % наряду с соотношением (5.41).

Эти простые результаты также известны из традиционной теории возмущений, примененной к данной системе. Полученные выше кванты являются некоторым типом частиц системы. Назовем их для удобства «мезонами» модели. Ниже мы увидим, что данная полевая теория дает кроме этих мезонов другой тип частиц, получаемый при применении той же процедуры к кинку.

(Такой же набор вакуумного и многомезонных состояний можно построить около 夕2 ^ —血/入；от предыдущего он будет

отличаться только вакуумным значением 〈0 | 力(%, /) 10) = ср2. Эти два вакуума, рассматриваемые порознь, нарушают симметрию ，一 一ф исходного лагранжиана. Это один из простейших примеров «спонтанного нарушения симметрии» — хорошо известного явления в квантовой теории поля. Мы не будем его здесь подробно обсуждать и перейдем к нетривиальным решениям — кинкам.)

КВАНТОВЫЙ КИНК И ЕГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

Применим тот же метод к статическому кинку

фк (х — а)=(血/九)th [m (x — а)//2 ](5.45)

с энергией

hеk] =(2 /斤/3)(加：小).(5.46)

Это семейство солитонов с различными значениями а. Для определенности возьмем а = 0. Поскольку кинк представляет собой статическое решение, удовлетворяющее (5.38), он является экстремумом потенциала V [ф]. При разложении потенциала по 埶(％) линейный член отсутствует в силу (5.38). Поэтому имеем

以问=以個+]厶扌鹏现一备一就十3用女"(%) +

+ "厶ed3 + ;“，(5.47)

где 刀(％)三力(X)— «к (%)• Собственные значения оператора вторых производных V [$] при，= «к определяются из уравнения

一川+ 3九强)%(%) = I爲一川+ 3九强)%(%) = I爲m2 + 3m2 th2 (.，^. )] xm2 + 3m2 th2 (.，^. )] x

一川+ 3九强)%(%) = I爲

一川+ 3九强)%(%) = I爲

m2 + 3m2 th2 (.，^. )] x

m2 + 3m2 th2 (.，^. )] x

X Лп (%) = ^п (х).(5.48)

Это уравнение, хотя и менее тривиальное, чем (5.32), все же точно решается. Заменой переменных z = mx/y 2 оно сводится к уравнению типа уравнения Шредингера

(一4-备+(3齿眨一l))h(?) =爵Mz). . (5.49)

Собственные функции и собственные значения этого уравнения Шредингера хорошо известны [257 ]. Оно имеет два дискретных уровня и непрерывный их континуум. Дискретными уровнями являются

(5.50a)(5.506)(5.50a)(5.506)温=0, 血⑵=l/ch2z,

(5.50a)

(5.506)

(5.50a)

(5.506)

(01 = ^f^^ 加(?) = sh z/ch2 z.

Непрерывный континуум уровней мы будем обозначать индексом q: 碣=m2 (+不 + 2),

% ⑵=e^z (3 th2z — 1 — q2 一 3iqthz). (5.50в)

Допустимые значения q в (5.50в), как и допустимые значения 々冷 в (5.40), фиксируются периодическими граничными условиями в ящике длиной L при L -> оо. Отметим, что 爲⑵ в (5.50в) имеет следующее асимптотическое поведение:

九⑵不^ exp [i (gz土 %6(д))],(5.51)

где

6(7)= —2arc tg [3〃(2 — ^)](5.52)

является фазовым сдвигом состояний рассеяния соответствующей задачи Шредингера (5.49). Длина ящика в переменных z = =mxl，立 равна tnUV2. Следовательно, периодические граничные условия требуют, чтобы

qn (mLlYT) + 6(qn) = 2пл,(5.53)

где п — любое положительное или отрицательное целое число. Это фиксирует допустимые значения qn* В пределе L -> оо допустимые. значения образуют континуум, причем

(5・54)

先一8

гармонических состоянии осциллятора в окрестности в пространстве полей. Можно также ожидать, что энергии ний равны (см. (5.27), (5.50))Б^п} = НВк] +%£(%“ + }) 3“ +。仇)=п=0=2 嗫"+ (м+4")力 V ^т+"龙 X (“^++)><(學+2厂+ 0仇).гармонических состоянии осциллятора в окрестности в пространстве полей. Можно также ожидать, что энергии ний равны (см. (5.27), (5.50))Б^п} = НВк] +%£(%“ + }) 3“ +。仇)=п=0=2 嗫"+ (м+4")力 V ^т+"龙 X (“^++)><(學+2厂+ 0仇).Используя нормальные моды, можно диагонализировать потенциал (5.47) и лагранжиан в окрестности 埶 (х) в порядке Х°. Необходимо только применить соотношения (5.25), (5.26), а также (5.50) для нормальных мод и их частот. Так как 埶〜。(1//X), кубичные члены и члены четвертого порядка в (5.47) будут порядка /^ и X соответственно. Согласно предположению, их необходимо рассматривать по теории возмущений. Следовательно, в квантовой теории опять можно построить систему приближенно

гармонических состоянии осциллятора в окрестности в пространстве полей. Можно также ожидать, что энергии ний равны (см. (5.27), (5.50))

Б^п} = НВк] +%£(%“ + }) 3“ +。仇)=п=0

=2 嗫"+ (м+4")力 V ^т+"龙 X (“^++)

><(學+2厂+ 0仇).

гармонических состоянии осциллятора в окрестности в пространстве полей. Можно также ожидать, что энергии ний равны (см. (5.27), (5.50))

Б^п} = НВк] +%£(%“ + }) 3“ +。仇)=п=0

=2 嗫"+ (м+4")力 V ^т+"龙 X (“^++)

><(學+2厂+ 0仇).

(5.55)х(5.55)х(5.56)(5.56)состоя-

(5.55)

х

(5.55)

х

(5.56)

(5.56)

Но здесь есть одна тонкость. Хотя этот анализ справедлив для всех мод с л ^ 1 в (5.50), он неприменим к моде с п = 0, так как в (5.50а) соо — 0. Мы уже неоднократно предупреждали о недо^ пустимости использования разложения по гармоническим осцилляторам при со = 0 в силу очевидных причин. В отличие от мод с п 1, которые представляют собой чисто вибрационные моды малых флуктуаций, мода с /г = 0 вообще не является вибрационной. «Константа упругости» соо равна нулю. Соответственно квантовая волновая функция моды с п — 0 не локализована в окрестности классического решения, а распределена по всему пространству. Та же проблема приводит при вычислениях к чисто техническим трудностям. Если попытаться непосредственно найти поправки высших порядков к (5.55) с учетом моды с п = 0, то нулевая частота появится в знаменателе энергии, что приведет к расходимостям. .

Таким образом^ строго говоря, прежде чем перейти к анализу квантования кинка, мы должны научиться работать с такими нулевыми модами. Хотя физические причины появления таких нулевых мод легко понять (разд. 5.5), их систематическое рассмотрение требует достаточно сложных методов. Вся гл. 8 посвящена рассмотрению таких нулевых мод. К счастью, состояния (5.55) можно исследовать, не вдаваясь в детали рассмотрения нулевых мод. Для простоты мы это и сделаем здесь. Действительно, большинство мод (за исключением моды с /г = 0) являются вибрационными, и квантовополевые волновые функции этих мод приближенно соответствуют функциям гармонического осциллятора. Кроме того, выражение (5.55) для энергии в порядке Х° существенно не изменится, если мы сначала выберем g ненулевым, а затем положим соо ->0. Первый член не зависит от соп, а в следующем члене вклад моды с /г = 0 обращается в нуль при соо ->0. Трудности возникают только в членах О (X), явно не выписанных в (5.55). Поэтому ограничимся пока порядком О (Х°) и продолжим наши бесхитростные рассуждения. Мы вернемся к качественному рассмотрению моды с /г = 0 в разд. 5.5; более полное изучение таких мод см. в гл. 8.

С этим условием перейдем к рассмотрению системы состояний (5.55), построенной в окрестности кинка в приближении малых X. Представим следующую трактовку этих состояний, которая подтверждается дальнейшими исследованиями этой главы.

Состояние с низшей энергией семейства (5.55), соответствующее \Nn =0}, можно рассматривать как состояние кинк- частицы в покое. Заметим, что, хотя это состояние имеет наиниз- шую энергию в «кинк-секторе», т. е. в семействе (5.55), оно не является абсолютным основным состоянием, или вакуумом теории. Вакуум теории уже определен как состояние с наинизшей энергией в «вакуумном секторе», т. е. в семействе (5.42), построен-

ном в окрестности %* Вакуумное состояние имеет энергию (5.41), меньшую, чем энергии всех других состояний семейств (5.42) и (5.55) в порядке Х°. Таким образом, состояние \Nn = 0} в (5.55) не является вакуумом и может рассматриваться как квантовый кинк. Мы увидим, что он имеет свойства протяженной частицы.

Следующий, более высокий энергетический уровень (5.55) возникает в порядке Х° при возбуждении моды с п = 1, т. е. при М = 1. Он имеет энергию

А 三 Е{%=1. Nq「0} = Е。+ J ■俏力 +。(九)•

Это состояние можно интерпретировать как дискретное возбужденное состояние кинк-частицы. Более высокие возбуждения данной моды (М >1) дают более высокие возбужденные состояния кинка. Связь основного состояния кинка с его возбужденными состояниями аналогична связи основного состояния атома с возбужденными состояниями. Напомним, что атом по нашей терминологии также является протяженной частицей. Он обладает дискретной энергией и локализованными формфакторами.

Остальные состояния семейства (5.55), возникающие при возбуждении мод с п ^ 2 (или, что эквивалентно, состояний с %，0 в (5.56)), имеют другую интерпретацию. Их можно рассматривать как состояния рассеяния мезонов этой теории на кинк-частице. Действительно, моды fj^ (5.50в) и их энергии представляют собой в порядке Х° приведенные одночастичные волновые функции и энергии мезонов при рассеянии на кинке. В подтверждение этой точки зрения отметим, что энергия возбуждения (7~й моды, согласно (5.50в), равна

龙(0q = fi m2i/2 + 2m2 У/2,

e. равна кинетической энергии мезона с импульсом“mq//2. Напомним, что в данной теории мезон имеет массу /D/п龙.То, что асимптотический импульс рассеянного мезона записывается в виде tlmqW2、является следствием замены переменных z = =/п%//2. Возвращаясь в собственных функциях 爲 ⑵ в (5.51) к переменной х, получаем следующую асимптотическую форму:

exp [i ((qmx/y2)士 6/2)],

что согласуется с асимптотической величиной импульса 龙mq//2 Фазовый сдвиг 6 (q) является фазовым сдвигом для мезона при рассеянии на кинке.

Можно заметить, что при трактовке этих состояний как состояний рассеяния мезона на кинке в (5.56) появляется только кйнетическая энергия мезона, а не кинка. Это происходит потому,

что с точностью О (Х°) кинк можно считать статическим; на его с гатическом потенциале рассеиваются мезоны. Как мы увидим из следующего раздела, это обусловлено тем, что масса кинка М порядка (1/Х). В пределе слабого взаимодействия кинк очень тяжелый и поэтому статичен. Главный член кинетической энергии кинка имеет вид Р2/2М, т. е. порядка X, так как М ^ О (1/Х). Гаким образом, в нашем рассмотрении в порядке Х° справедлив статический предел для кинк-частицы. Основываясь на данных рассуждениях, можно полагать, что при возбуждении одной моды из континуума (乂尸1 для некоторого 7 в (5.56)) мы получим состояние кинк-мезонного рассеяния. Когда возбуждено несколько таких мод, возникает состояние с несколькими мезонами с. соответствующими асимптотическими импульсами, рассеивающимися на кинке.

Такова наша интерпретация семейства квантовых состояний, построенных в окрестности классического кинка, в приближении слабой связи. В остальных разделах этой главы исследуем некоторые дальнейшие свойства таких состояний, что, как мы увидим, подтвердит нашу интерпретацию.

Масса кинка и ее перенормировка

Получим точное выражение для массы квантовой кинк-частицы. Впервые это было проделано Дашеном и др. [101 ] в одной из пионерских работ в этой области. Мы связали кинк-частицу с наинизшим уровнем энергии системы (5.55). Энергия уровня определяется выражением

£0=2/2 т3/ЗА -]—|- йш у" -|- + -у £ 龙加(彳瑞十 2) + О (九).

(5.57)

Это выражение формально расход-ится. Бесконечные ряды Ед冷 дают в пределе континуума (5.54) квадратично расходящийся интеграл. Это само по себе не должно нас беспокоить, так как энергия вакуума (5.41) также квадратично расходится. Физически важна разность энергий между некоторым выбранным состоянием и вакуумным состоянием. Эта разность находится вы-

Так как оба члена в квадратных скобках расходятся, вычитать их необходимо осторожно, чтобы не потерять конечные вели-

ISO МАЁА 6

чины. Рассмотрим ящик длины L. Тогда kn и qn, согласно (5.40) и (5.53), связаны соотношением

2пл = knL = qnmLl |/ 2 +5(qJ(5.59)

Отсюда члены в квадратных скобках в (5.58) принимают вид ｛肉一6„/L)2 + 2m2]1/2 - (^ + 2他2严｝=

=-(kn8n/L) (^ + 2川尸/2 + 0 (1/L2).(5.60)

Переходя к пределу при L -> оо и используя £勺-> (L/2n) j dh, получаем

―-8

瓦一马.整*岩/+。0).

(5.61)

Здесь 6 他)выражено через k с использованием (5.52):

6但)=_2 arctg (•汇北J + 0(1/l),(5.62)

где члены О (1/L) можно опустить. Интегрируя по частям, получаем.

Eq - евак = 2 .*"h ｝ m 龙加*[5 但)l/ ^2 + 2加2]二8 +

十备 j d々/依+ 2病 备[6但)]+ OR).

После некоторых вычислений с учетом (5.62) это приводит к выражению

瓦-Евак ="嗫"3 +4" У^Пт~ —

—帚[歹整4 + 0 0)'(563)

где в последнем интеграле использована переменная р 三 h /2/т. Отметим, что, хотя квадратичная расходимость Ео устраняется вычитанием Евак, выражение (5.63) все же имеет логарифмическую расходимость в интеграле. Ее нельзя устранить добавлением к лагранжиану бесконечной константы, так как (5.63) определяет разность двух энергетических уровней. Тем не менее на данном этапе вычислений эта расходимость не должна вызывать беспокойства. Наоборот, ее и следовало здесь ожидать, а устра-

няется она с помощью нормального упорядочения гамильтониана.

Введение нормального упорядочения или перенормировки теории было бы слишком значительным отступлением от нашей основной темы. Появление «ультрафиолетовых» расходимостей в квантовой теории поля вследствие определенного поведения произведения операторов полей на малых расстояниях хорошо известно в стандартной теории возмущений [53 ]. Известно также, что они убираются добавлением к гамильтониану подходящих «контрчленов». В этом разделе мы полагаем, что читатель знаком с этой процедурой. В частности, нам потребуется перенормировка только в смысле нормального упорядочения. Для теории * в двух измерениях известно, что все появляющиеся расходимости убираются нормальным упорядочением. Напомним, что гамильтониан теории (5.36) имеет вид

я=1^[4Л2 +4 (黑y - 4 他号+年 *+黑]，(5，64) где л (х, /)=3 (х,力 ——канонический импульс. В квантованной теории операторы вида ф2 (х,力，力& (х, /) и т. п., а следовательно, и гамильтониан формально расходятся и плохо определены. Поэтому энергетические уровни, вычисленные непосредственно из гамильтониана, также будут расходиться. Именно из-за этого появляется расходимость в (5.63).

Данная проблема не связана прямо с кинком и его квантованием. Гамильтониан (5.64) имеют все состояния теории, в том числе знакомы вакуумное и мезонные состояния (5.41) и (5.42). Мы уже отмечали, что непосредственно вычисленная вакуумная энергия (5.41) расходится. Если бы мы вычислили массу мезона в более высоком порядке (в низшем она равна ]/2mfi), то обнаружили бы, что она содержит логарифмическую расходимость. Таким образом., устранение таких расходимостей существенно даже в знакомом вакуумном секторе состояний. Оно достигается заменой гамильтониана на нормально упорядоченный :〃:. В нашем квазиклассическом рассмотрении трудно работать непосредственно с нормально упорядоченной формой. Но последнюю можно записать как первоначальную неупорядоченную форму плюс некоторые контрчлены, так как

：* ： = у 一 即2 — в, : у ：=屮2 _ & (5.65) где А, В и С — константы, равные бесконечности в теории возмущений. Следовательно, нормально упорядоченный гамильтониан можно записать в виде

j dx^dm^ + D^, (5.66)

где константы 5m3 и D можно найти стандартными методами теории возмущений. Для dm? вклад порядка X следует из диаграммы Фейнмана, приведенной на рис. 10:

加警 [. 如 =f 也 (5.67) 4冗 ：A Kp2 + 2m2 4л J^ ^p^^_2

где mA — параметр обрезания импульса. Отметим, что в соответствии с нашим квазиклассическим рассмотрением мы привели в явной форме зависимость однопетлевой диаграммы от й (см. [85 ]). Мы не будем искать другую константу Q, так как масса

Рис. 10. Однопетлевая диаграмма, определяющая массовый контрчлен От? в порядке 九.по методу нормального упорядочения. Численные множители в (5.67) возникают в результате учета вклада каждого полевого оператора в 3& (х), причем каждому оператору соответствует своя линия диаграммы.

кинка содержит разность энергий двух уровней, и эффекты, связанные с 力，сократятся. Хорошо известно, что контрчлены в (5.66) устраняют в любом порядке все ультрафиолетовые расходимости в вакуумном секторе теории, включая расходимости энергий вакуумного и одномезонного состояний. Мы сейчас покажем, что эти же контрчлены устраняют логарифмическую расходимость массы кинка (5.63). Это очень хорошо, так как в перенормируемой теории все физические величины должны быть избавлены от ультрафиолетовых расходимостей одним и тем же набором контрчленов.

Замена Н на :Н: (5.66) приводит к появлению в потенциале (5.37) добавочных членов

ДУ = — j dx ^ dw?^ (х) +D).

Изменяются классические энергии функций 力尺(х) и % (х). Это в свою очередь изменяет энергии квантовых уровней Ео и Евак, так как классические энергии определяют их главные члены. В результате к (5.63) добавляется величина

А^о — АЕвак = j dx [№品(赣一6；) — (。一 Q)]=

=} 5m2 j dx (ma/X) (1 — th2 тх/ / 2 )=己废加 |/ 2 /X. (5.68) —8

Но главный вклад контрчленов в массу кинка. Остальные вклады возникают вследствие а) квантовых поправок к производным потенциала, которые также изменились, б) изменения самих классических решений, так как полевые уравнения стали другими. Но это эффекты более высокого порядка (см. ниже замечания 6).

Подставляя 5m2 из (5.67) в выражение (5.68) и добавляя это выражение к (5.63), получаем перенормированную массу кинка

m 三(瓦 + А瓦)-(евак + аеван)= 2 ^" +

-亚P[如(V用:口分- 17用)+。仏的，669)

где в интеграле (5.63) введено обрезание. Заметим, что оба подынтегральных члена ведут себя как \1р при р -> оо, так что логарифмические расходимости сокращаются. Поэтому параметр обрезания Л можно устремить к бесконечности и взять интеграл. В результате [101 ] имеем

Л4 =(2 ]/Г/3%) т3 + 俏力(亲 /恥-3/л /2") + О (Xfi2). (5.70)

Это выражение определяет массу кинк-частицы, т. е. энергию паинизшего состояния в окрестности кинк-решения после проведения нормального упорядочения. Сделаем следующие замечания.

Первый член в выражении для массы квантовой кинк- частицы равен энергии классического статического кинка. Следующий член отвечает главной поправке, связанной с квантовыми флуктуациями. Соответственно первый член порядка й°, а второй порядка й.

Главный член (энергия классического кинка) сингулярен при X ->0. Таким образом, наш результат непертурбативен. Его нельзя получить по теории возмущений, исходя из вакуумного сектора.

Тем не менее этот результат справедлив только в приближении слабой связи. Его непертурбативная природа связана исключительно с классическим вкладом. Квантовые поправки получают по теории возмущений разложением по степеням X.

Таким образом, квазиклассическое разложение по степеням й и разложение в приближении слабой связи по степеням X связаны друг с другом. Этого следовало ожидать. При элементарном

анализе размерностей в лагранжиане (5.36) (в наших смешанных единицах, где с =1, а постоянная й выписывается явно) оказывается, что отношение Хй/т2 безразмерно. Именно оно является безразмерным параметром разложения, a Xfi/m2《 1 есть условие слабой связи. Поэтому понятно, почему разложения по й и по X схожи при квантовании статического классического решения (см. также гл. 6).

В пределе слабой связи Xfi/m2《1 масса кинк-состояния, благодаря наличию классического члена, намного больше массы мезона, которая в порядке ЙХ° равна ]/2mfi. Таким образом, в нашем приближении кинк — гораздо более тяжелая .частица, чем мезон.'

При вычислении поправки (5.68) к массе кинка мы учитывали изменение энергии функции кинка (5.45) из-за появления контрчленов. Но мы не принимали во внимание, что сама функция кинка меняется по тем же причинам. Контрчлены добавляются к лагранжиану и приводят к замене 加2力 на (m3 + 5m2)夕 в уравнении поля. Поэтому в решении также т2 заменяется на (m2+^m2). Запишем это изменение в виде

где, так как 5m2 порядка О (Хй), ^小长/小长 также порядка О (Хй). Таким образом, поправка к энергии кинка имеет явную и неявную зависимость от 5m2:

厶瓦=^^ дт^\йх^)фк8фк ⑴ + О (胤=

=j 厶[手假(%)0村 + (某6松 W] + 0 (%勿).(5.71)

В (5.68) мы включили отсюда только первый член, так как 松 — экстремум V и, следовательно, второй член в (5.71) обращается в нуль. Эффект 8фк ощущается только в порядке й2Х. Те же соображения справедливы для вакуумного решения，广 Таким образом, вычисленное значение массы кинка (5.70) верно в порядке й.

Это завершает наше обсуждение квантовой кинк-частицы. Вычисления йоправок более высокого порядка к массе см. в работах [108, 340 ].

Трансляционная мода

Хотя полное рассмотрение нулевых мо〃 мы отложили до гл. 8, теперь можно качественно рассмотреть природу и физические следствия моды соо = 0 в (5.50а). Наличие такой моды характерно не только для кинк-решения. Нулевые моды возникают всегда, когда квантуется зависящее от х статическое решение трансляционно-инвариантной теории.

Напомним, что лагранжиан (5.36), потенциал (5.37) и уравнение поля (5.38) трансляционно-инвариантны. Рассмотрим произвольную полевую конфигурацию % (х), не обязательно являющуюся решением полевого уравнения. Как сама функция ^»0 (х), так и полученные из нее трансляциями функции 力。(х — а) для всех действительных а имеют одинаковую потенциальную энергию V [% (% — а)], не зависящую от а. Функцию % (%) можно рассматривать как точку в пространстве полей, т. е. в пространстве функций 力(х). Аналогичным образом семейство полученных трансляциями функций，()(х — а) для всех а обр азует однопараметрическую кривую в том же пространстве. Все ее точки имеют одинаковую потенциальную энергию V [% (х) ], поэтому она является «эквипотенциальной» кривой. Понятно, что все пространство полей состоит из таких эквипотенциальных кривых. (Некоторые из них могут быть тривиальными, состоящими только из одной точки. Это соответствует случаю, когда % (х) не зависит от х; при этом все полученные трансляциями функции одинаковы.)

Рассмотрим кинк-функцию ^ (х) = (m/]/X) th (mx/j/2). Она также принадлежит эквипотенциальной кривой семейства кинков «к (尤—仪)・ Все точки кривой имеют одинаковую потенциальную энергию V [«к (尤 —— 仪)]=(2 j/2m3)/3X. Поскольку полевое уравнение (5.38), решением которого является 力长(％)，трансляционно-инвариантно, все функции, полученные трансляциями из «к， принадлежат данной кривой. Ключевой момент заключается в том, что хотя «к — экстремум V [ф] в силу своей статичности, «к не является минимумом V [«] в полевом пространстве даже локально. Начиная с 力长，MbI можем двигаться вдоль эквипотенциальной кривой без изменения V [，]. Вдоль этой кривой данное кинк-решение имеет только «нейтральную» устойчивость. Вторая функциональная производная (а вместе с ней и все производные) V [力]равна нулю, если смещение полей берется вдоль эквипотенциальной кривой. Это является причиной пулевого собственного значения оператора второй производной, что отражено в (5.50а). Можно также проверить, что при инфини- гезимальных трансляциях

А，к 三 «к (х — М) — «к (%) = (—6а) дфк/дх =

=—За (т2/]/2九)sch3 (тх/У^2)- (5.72)

С точностью до нормировочной постоянной это собственная мода (о0 = 0 (5.50а). Таким образом, нулевая собственная мода является касательной в точке «к (%)к эквипотенциальной кривой, связывающей в пространстве полей все решения 力长(х ——а), полученные с Помощью трансляций.

Наличие этой моды со = 0 не имеет ничего общего с «безмассо- выми» полями. В нашей модели массовый параметр m не равен нулю. Нулевая мода не связана также с «голдстоуновским бозоном», хотя их происхождение имеет общие черты. Отметим, что мода со = 0 (5.50) является членом дискретного спектра собственных значений в отличие от голдстоуновских бозонов, которые дают нулевую частоту в качестве нижнего предела континуума частот. Можно понять также, почему нулевые частоты не появляются при традиционном рассмотрении по теории возмущений в учебниках теории поля (в отсутствие безмассовых полей). Как мы отмечали, обычная теория возмущений эквивалентна разложению в окрестности тривиального не зависящего от х классического решения, т. е. в окрестности классической вакуумной конфигурации. При квантовании, например, «вакуумного» сектора нашей модели в спектре частот (5.41) не возникает нулевая частота. Найнизшее собственное значение равно 2m2. Причина заключается в том, что рассматриваемое классическое решение 力(х) = % =加//又 не зависит от х. При трансляциях оно остается неизменным и не дает новых функций. Эквипотенциальная «кривая» в этом случае состоит только из одной точки 力口 С помощью трансляций при неизменном V [ф ] нельзя сместиться из точки 力】. Отсюда и следует отсутствие нулевой моды. Нулевые моды, связанные с трансляционной симметрией, возникают при квантовании в окрестности классических решений только в том случае, если сами решения не трансляционно-инвариантны, т. е. когда они имеют нетривиальную пространственную зависимость.

Эти идеи легко обобщить на более сложные теории. Если мы работаем не в одном, а в трех измерениях, то в общем случае существуют три нулевые моды, связанные с тем, что нетривиальное решение можно подвергнуть трансляциям по трем независимым направлениям. Более того, если теория (но не решение) инвариантна относительно вращений, то в силу аналогичной причины существуют еще несколько нулевых частот: вращением данного решения мы можем получить другие близлежащие решения с той же энергией. Наконец, если теория обладает непрерывной внутренней симметрией, отсутствующей у данного решения, то возникают еще нулевые частоты, каждая из которых связана с соответствующим параметром группы симметрии. Такие моды подробно рассматриваются в гл. 8.

Выяснив природу нулевых мод, перейдем к исследованию их влияния на квантовые волновые функции, построенные в окрестности классических решений. Для этого вернемся к примеру кинка. Поскольку эта теория одномерная и не имеет непрерывной внутренней симметрии, существует только одна нулевая мода, связанная с трансляциями. Соответственно в (5.50) все моды с 九，G

ненулевые. Таким образом, за исключением трансляционной моды, кинк является локальным минимумом V [«]. Представим вид функции V [ф] в полевом пространстве. Ее профиль в окрестности «к напоминает ложбину. По дну ложбины идет эквипотенциальная кривая, состоящая из 力久 и полученных из нее трансляциями функций. По всем направлением, ортогональным эквипотенциальной кривой, потенциал возрастает. Следовательно, построенные в окрестности 屮久 в приближении слабого взаимодействия собственные состояния энергии будут приближенно осцил- ляторными по всем направлениям, кроме направления вдоль трансляционной моды. Только вдоль этой моды потенциал V [屮] не локализует волновую функцию. Аналогичная ситуация встречалась в элементарном примере, рассмотренном в разд. 5.2, п. 11. Там мы имели одномерную частицу в тривиальном потенциале V (х) = V. Так как потенциал не зависит от х, то эта задача обладает трансляционной симметрией. Любая точка % = %о является классическим статическим решением; точно так же и все остальные точки, полученные трансляцией по х0, являются статическими классическими решениями с той же энергией. Эквипотенциальной кривой этой задачи является вся ось х. Следовательно, собственные функции энергии exp (iknx) распределены по 耳сей оси х. Собственные значения энергии равны

En = U + $ (力號产 (5.73)

Первый член дает классическую энергию статического решения 尤(%) = л:。， а второй член можно рассматривать как квантовую поправку, обусловленную (большими) флуктуациями вдоль оси х. Свободное движение волновой функции по оси х приводит к появлению вклада от кинетической энергии в энергетические уровни.

В силу того что физика трансляционной моды в задаче с кинком аналогична разобранной выше, следует ожидать, что воздействие трансляционной моды на уровни энергии приведет к появлению вклада от кинетической энергии. Энергия кинка в релятивистской теории равна //И2 + Р2, где Р ——импульс. Но, как отмечено выше, кинк имеет очень большую массу порядка (1/Х). Поэтому его энергию можно представить как

£ (Р) = /阳2 + р2 = м + р2/2阳 + …. (5.74)

Главный член кинетической энергии порядка X. Таким образом, следует ожидать, что трансляционная мода будет влиять на собственные значения энергии только в порядке X и выше через вклады от кинетической энергии. Поэтому мы не учитывали эту моду в последнем разделе, где выписывали члены только в порядке V, Кроме того, при вычислении энергии кинка в порядке N

нет необходимости учитывать кинетическое движение кинк- частицы. В этом приближении квантовый кинк покоится. Поэтому мы считаем энергию кинка (5.70) в порядке Х° «массой» квантовой кинк-частицы. Эти замечания подтверждаются при более подробном обсуждении в гл. 8.

Стабильность кинка и его формфакторы

Голдстоун и Джакив [173] при исследовании квантовых состояний, построенных в окрестности статических солитонов, предложили независимо ряд постулатов. Их постулаты обобщают рассмотренные выше идеи и приводят к некоторым новым следствиям, касающимся, в частности, формфакторов и устойчивости солитонных состояний. Приведем эти постулаты в применении к нашей теории * в (1 + 1) измерениях. Ниже везде полагаем й = 1.

Постулат /. Гильбертово пространство состояний теории содержит кроме знакомого «вакуумного сектора» (т. е. вакуумного и мультимезонных состояний) еще систему состояний в «кинк-секторе», или «солитонном секторе». Последний распадается на следующие собственные состояния энергии-импульса:

состояния | Р) кинк-частицы с импульсом Р и энергией Е = /户+陷2；『

возбужденные состояния кинка |Р*〉 с импульсом Р и энергией Е = /Р?十

состояния рассеяния |.Р, 6^ ^2, ..., «“〉, состоящие из кинк-частицы и /и мезонов с асимптотическими импульсами Р, «1, «2， •••» hm (число /и изменяется от единицы до бесконечности);

состояния рассения | Р*, 6^ ^2, ..., 6寿), состоящие из возбужденных кинка и /и мезонов с асимптотическими импульсами p,自，自，…，km.

Постулат 2. Кинк-сектор состояний ортогонален вакуумному сектору и не связан с ним никаким локальным оператором. В частности, квантовый кинк устойчив относительно распада на мезоны.

Постулат 3. Масса квантового кинка в пределе слабой связи 九//и2 f 0 ведет себя как (const)/九.

Постулат 4. Матричные элементы полевого оператора Ф (х, /) между этими состояниями зависят от X в пределе слабой связи как

<Л|Ф|р)~о(1//Г),

仍"① |Р, k) и〈Р"① |Р*〉〜0(1), и в общем случае

〈p',后,...，居I ① 1p,自，…，吟。〜。®‘+2)/2), (5.75)

Квантование статйчесКйх рёЙёЙйй 16§

где индекс с обозначает связанную часть матричного элемента. Здесь Ф (х, /) отвечает квантовому полевому оператору; для классического поля мы используем обозначение 屮(х, /).

Мы не будем обосновывать эти постулаты. Но мы увидим, что они согласуются друг с другом и с развитыми выше идеями. Набор состояний постулата 1 является набором построенных нами состояний в окрестности кинка в приближении слабой связи. Состояние I Р) — наинизшее состояние в выражении (5.56), которое мы интерпретировали как квантовую кинк-частицу. Состояние IР*〉一 возбужденное состояние, в котором возбуждена только дискретная мода ①丄= /З/2/n, т. е. ^1 = 1 и Nqn = О в (5.56). Более высокие возбуждения этой моды (^1 ^ 2) нестабильны и распадаются на кинк и мезон. Напомним, что мезон имеет массу /D/и龙，значение которое лежит в пределах между 力с)1 и 2Й(оР Зависимость от импульсов состояний | Р) и | Р*〉 в (5.56) явно не видна, так как масса кинка порядка 1/Х и члены кинетической энергии появляются только в порядке X. Наконец, состояния I Р, б* «т〉 и | Р*, «1, 6加〉 отвечают возбуждениям мод континуума (5.56) в отсутствие и при наличии (Ox-возбуждения соответственно. Заметим, что этот постулат не вводит новых типов состояний с возбуждениями нулевой моды(оо. Это отвечает тому, что возбуждения вдоль этой трансляционной моды только восстанавливают зависимость от импульсов состояний кинк-сектора.

Постулат 2 более сильный. Кинк-сектор состояний построен в окрестности решения ^>кинк, которое не является абсолютным минимумом V 0]. В лучшем случае (т. е. без моды(оо) оно дает локальный минимум. Априори только из энергетики можно ожидать, что состояния, построенные в окрестности ^>кинк, будут распадаться в состояния вакуумного сектора, построенные в окрестности более низколежащего минимума %. Действительно, в приближении слабой связи все состояния кинк-сектора имеют большую энергию, чем любое состояние вакуумного сектора, в силу наличия главного члена в выражении (5.56) порядка (1/Х). Кинк-состояния оказываются аналогичными состояниям, построенным в окрестности % = с в простой задаче разд. 5.2, п. 9.

Но постулат 2 утверждает не только, что квантовый кинк устойчив относительно распада в мезоны, но и что весь кинк- сектор не связан с вакуумным сектором. Причина последнего утверждения заключена в понятии топологической классификации, обобщенном на квантовую теорию. Напомним, что мы классифицировали (гл. 2) все классические конфигурации с конечной энергией теории * п0 топологическим секторам, основываясь на разрешенных граничных условиях 屮(％ = оо, f) = 土/и//又 и 少(—оо, f) = 士m//兀 Мы показали, что в классическом случае

конфигурации не могут с течением времени перейти из одного сектора в другой. Исходя из этого, мы определили сохраняю* щийся топологический заряд Q. В квантовой теории используем то же определение, заменяя j (х, /) полевым оператором Ф (х, /):

Q=「。厶=*[①(8, f)-①(一8,切，(5.76)

где.'

严=w尸 v(〃I),电部=0.(5.77)

Поскольку Ф (居 f) — эрмитов оператор, то заряд Q также эрмитов. Он сохраняется по построению в силу (5.77) и может быть назван топологическим квантовым числом. Но вакуумный вектор состояний строится квантованием флуктуаций в окрестности §工=+mlVk Точнее мы можем определить этот сектор как состоящий из волновых теоретико-полевых функционалов 4r [«], обращающихся в нуль, если 屮(％) не подчиняется условиям 3 (оо) =3 (——оо) = /и//九.Следовательно, математическое ожидание Q для любого состояния в вакуумном секторе равно нулю (см., например, (5.43) и (5.44)). Аналогично состояния кинк- сектора можно определить как состояния, волновые функционалы которых обращаются в нуль, если не выполняются условия 3 (土8)= 士加/М 九.Эквивалентным образом этот сектор можно определить как сектор с математическим ожиданием Q, равным единице. Так как Q ——сохраняющийся эрмитов оператор, кинк- сектор с Q = 1 н вакуумный сектор с Q = 0 не только ортогональны, но и не могут переходить друг в друга. В частности, кинк-состояние, являющееся основным состоянием кинк-сектора, устойчиво и не может распадаться на мезоны.

Рассмотрим далее произвольную локальную ' физическую наблюдаемую Л ⑴.Пусть

.4 (Z) = j а (居 0 dx,

где а (х, /) не равно нулю только для некоторой ограниченной области х при любом t. Тогда в силу условия причинности для операторов, разделенных пространственноподобным интервалом, для коммутатора при фиксированном времени / имеем

[4 Q]t= {[Л,①(厶加一么，①(一厶)» =0. (5.78)

Поэтому такой оператор А не может связывать секторы с различными значениями Q. Отсюда следует, что Q является чем-то типа селектирующего квантового числа, отделяющего кинк-сектор от вакуумного сектора [122 ].

Постулат 3 прост й полностью подтверждается нашим выводом массы кинка (5.70). Утверждение постулата 4, Ч1'о матричный элемент 屮 между кинк-состояниями порядка 1//X, будет явно продемонстрировано ниже. Этого и можно было ожидать, так как кинк-состояние строится в окрестности кинк-функций, которая сама порядка 1/j/九.Остальные утверждения постулата 4 означают, что излучение или поглощение каждого мезона кинком или возбуждение дискретной моды ①丄 приводит к появлению добавочного множителя /兀 Это следует из формы потенциала V [ф ] в (5.47). Кинк-сектор получается при квантовании смещенного поля 刀(％) = 3 (%)——«к (%). Эмиссия или абсорбция мезона кинком или возбуждение кинка через нормальную моду 回 возникает в теории возмущений через члены взаимодействия в (5.47). Главный член взаимодействия 九 j d%夕久唄 порядка )/九，если мы вспомним, что 5K 〜 。(1/外).

Из данного обсуждения видно, что эти постулаты выражают идеи, развитые в предыдущих разделах. Рассмотрим некоторые другие их следствия, следуя Голдстоуну и Джакиву, применившим метод, развитый Керманом и Клейном [213 ] для многочастичной задачи.

Определим функции “ (х), /2 (х;初 f$ (%) соотношениями

〈P|<D(x,0)|P)m j -^^[ikP-P'^a]^- а),(5.79)

〈P,用①(%, 0)|P’〉三 j -^expfz^ + k^P')a]f^X~a-期，

(5.80a)

〈P・ I①(x, 0) I P') = j 黑exp [i(P — P‘)a]f$ (x — a).(5.806)

В этих соотношениях зависимость от импульсов входит только через комбинации (Р — Рг) и (Р + ^ — Р‘)，что следует из трансляционной инвариантности. Рассмотрим уравнение движения Гейзенберга для поля Ф (х, /)

(-^^-加)①(% f)= 一九① 3(大；f).(5.81)

Оно похоже на классическое уравнение, но теперь Ф (х, /) — оператор. Возьмем от обеих частей (5.81) матричные элементы при

6 Раджараман Р.

f = 0 между кинк-состояниями | Р〉н | Р'〉н вычислим их в главном порядке (1/|/лХ). Первый член слева дает

(崇〈° 1 с」'川①(匕 °) е‘н"Р〉，=о)= — (耳 一 ЕР^〈日①(х, 0) | Р〉

(5.82) Поскольку

(Ер — Е『)2 =(尸煮"2 + . • • ) =0 02),

этот член в главном порядке мы опустим. Остающиеся слева члены при использовании (5.79) дают

ОО''

j "^ (^—济)expU (Р — Р‘) а] & (% — а).(5.83)

Запишем вклад правой части в виде

-X £(РI ①(片 0) I 九)(回①(% 0)( 〃)① I ①(% 0)| Pr). (5.84) n, rT

Здесь I п) и I 孔‘〉отвечают полному набору состояний кинк-сектора, перечисленных в постулате 1. Вакуумный сектор состояний можно не учитывать, так как, согласно постулату 2, эти два сектора не связаны. В главный порядок из | п) и | п; дают вклад по постулату 4 только кинк-состояния. Таким образом, в главном порядке (5.84) можно привести к виду

—X р，4〈р I ①(%，0) I Р)〈Р" I ①(х, 0) I Р"〉仍"I ①(*, 0)1 Р〉=

=一九)黑 exp [i (P - P) a]伉(x — a".(5.85)

Отметим, что оператор Ф3 (居 f) имеет ультрафиолетовые расходимости, но эти расходимости возникают только в более высоких порядках и их можно устранить нормальным упорядочением. В' главном порядке эти трудности не возникают.

『Таким образом, в главном порядке (5.83) и (5.85) равны друг другу для любых значений Р, Р‘. Следовательно, “ (％「а) должно удовлетворять уравнению

Это классическое полевое статическое уравнение, и его решение, отвечающее граничным условиям кинк-сектора, имеет вид

& (% — a) = (т/ (/ X ) th [m (х — a)/M2 ]三力教(％ — a).(5.87)

Тогда (5.79) можно переписать в виде

<^|ф(^ 0)|Р〉= j 售ехр["Р —Р，)а]Вк(х —а) +

+ члены более высокого порядка.(5.88)

Это важный результат. Во-первых, он устанавливает соответствие между классическим решением 松(％) н квантовыми состояниями, построенными в его окрестности. Первое связано со вторыми через математическое ожидание полевого оператора. Сравним этот результат с соотношением (5.14) для простой нерелятивистской задачи и с соотношением (5.44) в вакуумном секторе, где опять классическое решение связано в главном порядке с математическим ожиданием квантовой величины. Соотношение (5.88) очень похоже на них, за исключением того, что оно содержит не единичное решение, а интеграл по семейству классических решений «к (% —— а). Такая модификация связана с существованием вырожденного семейства трансляционных решений. Кроме того, это отражает также наше интуитивное представление о размазанном вдоль трансляционной моды квантовом кинк-состоянии.

Так как 屮久〜О(1//Х), соотношение (5.88) подтверждает постулат 4. Наконец, (5.88) можно обратить и записать

BK(%) = JdQe@〈P + Q|①(0, 0)|Р〉+

+ члены более высокого порядка.(5.89)

Это показывает, что классическая кинк-функция в главном порядке 入 является «формфактором» полевого оператора Ф между квантовыми кинк-состояниями. Более интересные формфакторы связаны не с оператором Ф, а с физически более важными операторами плотности энергии, плотности топологического заряда п т. п. Эти операторы содержат дФ/дх (или Ф3 — /и2/Х). Из (5.89) ясно, что соответствующие формфакторы в главном порядке нклютаюТ—ЗЗк (х)/дх) и («左(х)——m2/X). Поскольку 屮久(%)-> а 土/п//^ при 土8, все эти формфакторы локализованы. 广)то важный результат, так как он подтверждает интерпретацию основного состояния кинк-сектора как протяженной частицы.

Такая частица имеет протяженные, но локализованные форм- ||)акторы. Для иллюстрации рассмотрим распределение плотности энергии в кинк-состоянии, т. е. формфактор

^(х) = \d(P ~ Р')ехр [г(尸-Р)%]仍I%(0, 0) I Л), (5.90)

宓(*‘(若У(①J(591)

（，*

— плотность гамильтониана, а П (%, /) = дФ (%, t)/dt. Вычислим 〈Р| 第(0, 0) I Рг) в низшем порядке, подставляя полные наборы состояний между полевыми операторами в (5.91). В главный порядок дают вклад только промежуточные состояния невозбужденного кинка. Некинетические члены в (Р \ 3^ (0, 0) ] Рг) дают 、

仍 14-(察 У+4(ф2-票 ” p〉i，=。=

где опущены промежуточные элементы вычисления, аналогичные проведенным в (5.84), (5.85), а также использован результат (5.88);为кп — плотность энергии классического статического кинка. Кинетический член в〈尸| 第(0, 0)|Р) дает 仍 I 3 ГР (0)0) I Р) = 3〈р I (М>/况)21 Р，〉1=о =

=一 -^ £ 俨 I ①尸〉仍"I ① IР〉(Ер - Ер，”Ер，，— Ер.) = О 仇).

(5.93)

Это согласуется со сделанным выше утверждением, что кинетическая энергия кинка появляется только в порядке X. Вкладом (5.93) в низшем порядке можно пренебречь по сравнению с (5.92), который порядка О (1/Х). Подставляя (5.92) в (5.90), получаем

/⑴=協П(分(5.94)

Таким образом, в низшем порядке формфактор энергии кинк- состояния равен классической плотности энергии кинка, который, как мы видели в гл. 2, описывается локализованной функцией. Полная энергия ЕР кинк-состояния дается выражением 0(P — P)Ep =〈P|"|P〉=〈P| J%(x, ^dx\P')='

= 2л6(Р — Р)〈Р|%(0,0)|Р〉(5.95) Следовательно,

Ер = 2口〈戶 I % (0, 0) IР〉= J dx^ (х),(5.96)

где 若(％) — формфактор (5.90). В низшем порядке О (1/Х) (5.96) сводится к

ЕР = j dxSKn (х) = ^- ^-.(5.97)

Таким образом, мы воспроизвели согласующийся с (5.70) результат: главный член квантовой энергии кинка равен его классической энергии.

Перейдем к функции /2 (% —— а, 6), определяемой (5.80). Ее можно вычислить точно так же, как /х (% — а), взятием матричных элементов от операторного уравнения поля (5.81). На этот раз мы возьмем матричные элементы между чистым кинк-состоянием I Р) и состоянием кинк плюс один мезон | Р, k) и вычислим их в главном порядке. Левая часть полевого уравнения дает (Л 周(。2/况2-02/0%2_m2)(Da，f)|P〉=

=(P, k\(- (Ep + ①也一 Ep，)2 —02/切一团2)ф(匕 川 p) (5.98)

Здесь ①左 ——энергия мезона. Тогда в силу ЕР —— Ер，= О (X) главные члены (5.98) при f = 0 принимают вид

(Р, k |(-(ol - dW - m2)①(х, 0)| Р〉=

=J "^ехр [ПР + 左一Р) а](—餘-m2 -爲)％ (*—а；初(5.99)

Этот вклад в силу простулата 4 порядка О (Х°). Разложение правой части полевого уравнения по промежуточным состояниям с использованием (5.88) дает следующий главный вклад;

-ЗХ 工(Р,刷①(.％ 0) I Р〃〉〈Р〃| ①(*, 0) IР"〉〈PU ①(*, 0)|Р〉=

=—3九 J -~- exp [i(P ^k~ Р') а]侬(％ — а) % (% — a; k). (5.100)

Множитель 3 возникает вследствие того, что внешний мезон может испустить любой из трех полевых операторов в произведении Ф3 и эти возможности равновероятны. Так как (5.99) равно (5.100) для произвольных Р, k и Р\ отсюда получаем

[—О?/。%? ~ m2 + 3九屮弘％ — a)]方(％ — a； «)=①讨2 (汇一〃；《)• (5.101)

Это уравнение (5.48) для собственных значений оператора вторых производных [62У/(6^> 3屮)]欢・ Таким образом, ①左， введенная в (5.98) как энергия мезона, связывается с собственным значением в (5.48), как мы и ожидали. Функция /2 (х, k) пропорциональна соответствующей нормированной собственной моде 刀左(％) в (5.48). Так как соотношение (5.101) линейно, оно не фиксирует константу пропорциональности. Используя знакомую бозонную нормировку, мы положим

%(%,期=项(*)/|/瓯・(5.102)

Справедливость этого можно проверить с помощью уравнений, куда /2 входит нелинейным образом, например с помощью канонических правил коммутации, которые будут использованы ниже.

Полностью аналогичный результат справедлив для функции 技(％ — а) в (5.80). Возьмем матричные элементы от уравнения поля Гейзенберга между | Р'〉и | Р) и проделаем ту же процедуру, что и выше. Мы снова получим уравнение для собственных значений, где теперь /2 (% —— а； 6) н ①左 заменены соответственно на /2 (% —— а) и(01 = М* — М. Поэтому /2 (% —— а) мы свяжем с дискретной модой с п — 1 в (5.506) и аналогично (5.102) положим

匠(％ — а) = 口 (%)/1/ 2(oi-

Заметим, что если 期。，期丄 и 刀左 рассматривать как полный набор функций, то они должны удовлетворять соотношению

唁(*) По(9)+ П『(*)印 ®) + X 峨(*)%&) = 6(*-g), (5.103) k

так как функции 刀几，включая т]0, образуют полный набор орто- нормированных собственных функций эрмитова оператора в (5.48). Однако в полном наборе состояний кинк-сектора, перечисленном в постулате 1, нет новых типов состояний, связанных с возбуждениями т]0-моды. В то время как возбуждение тц-модн ведет к I Р*〉, а 刀左-моп ——к состояниям мезон плюс кинк, флуктуации вдоль % дают только правильную зависимость названных состояний от импульсов. Для проверки соответствия этого постулата с требованием, чтобы (5.103) включало %, рассмотрим кано* ническое коммутационное правило

[Ф(х, /), (д/д/)Ф(У)t)]t^ = i8(x~y).(5.104)

Возьмем матричные элементы между кинк-состояниями | Р) и I Р'〉. Получим

〈Р |[Ф 8 0), (0/况)Ф (协 0)] I Р〉=我(Р - Р) 6 (х -办(5.105)

Это соотношение можно проверить, вычисляя матричные элементы с помощью полного набора промежуточных состояний кинк- сектора. В главный порядок дают вклады только кинк, его возбужденное состояние и состояние кинк плюс один мезон. Чисто кинковые промежуточные состояния дают

£{MEq —Ер，)〈Р|①(*, O)|Q〉〈Q|①⑨ 0)|Р〉—

~ i(EP~EQ) (Р\Ф(у} 0)|Q〉〈Q2(%, 0)|P〉} =

= 1\-^\-^\^[^1(х~а)К(у-~Ь)ехр[1(Р-~О)а-[-

+，(Q — P)团曜步)一 ("(9 -匕)“ (* - a) exp 口 (P — Q) b +

.十*Q —P)a]-/Q2))卜(5-106)

КВАНТОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ РЁШЕНИЙ 167

Во втором члене заменим переменную интегрирования Q на Q 三 三 尸 + Р‘— Q. Тогда показатель экспоненты во втором члене принимает вид ，(尸一Q) b + i (Q — Р) а =，(Р — Q) а +，(Q — —Р)氏 Таким образом, мы можем объединить два члена в один, что дает

黑 J dQexp["P —Q)a+"Q —P)b] х

X h(x -ci)h(y — b)X h(x -ci)h(y — b)(Q—P)(Q — P)(Q—P)(Q — P)

X h(x -ci)h(y — b)

X h(x -ci)h(y — b)

(Q—P)(Q — P)

(Q—P)(Q — P)

(5.108)(5.108)公⑺『~dx/公⑺『~dx/=+ J d*=+ J d*2/芽 m32/芽 m32九 ch4 (тх/]Л 2 )2九 ch4 (тх/]Л 2 )ЗХД2ЗХД2先(5-109)先(5-109)

(5.108)

(5.108)

公⑺『

~dx/

公⑺『

~dx/

=+ J d*

=+ J d*

2/芽 m3

2/芽 m3

2九 ch4 (тх/]Л 2 )

2九 ch4 (тх/]Л 2 )

ЗХД2

ЗХД2

先(5-109)

先(5-109)

(5.107)

Кроме того, в силу (5.87) и (5.72) имеем

备"(* 一 а)=备 «к (% — а) = Л по (% - а),

где константа А определяется из условия нормировки т]0:

1 = J ^.^Л0 (灯 ^1 .42 J dx

в главном порядке. Таким образом, вклад чисто кинковых промежуточных состояний в (5.106) равен

М ехр 卩(Р — Р) а] г]о (х — а) По(У - ■)•(5.110)

Нетрудно найти вклад промежуточных состояний, содержащих кинк и один мезон. Заметим, что

代川 @D./况)®, 0) I Р'〉=

="Ер - Ер，+ 硝 J 噥ехр [i(P + k- P')b]f2匂一b-初(5.111)

где в низшем порядке (£Р — Ер，) можно опустить по сравнению с(oft. Учитывая это, для членов кинка и мезона имеем

工｛俨|①(х, 0)|Q, &〉〈Q, Ь\(дФ/д1)(у, 0)|Р〉一•

一(Р| (0①@)匂，0)|Q, R〉(Q, R1 ①(% 0)1P〉｝ =

=“黑工 2嗚貿X — a； k) f2(y — a; k) exp [i(P 一 Рг) a]=

(5.112)(5.112)

(5.112)

(5.112)

Аналогичным образом вычисляется вклад промежуточных состояний I Q*〉 возбужденного кинка:

"黑exp[i(P- Р')аИ%(х~а)%仅-а)]・(5.113)

叮黑 exp[i(P — P')司叮黑 exp[i(P — P')司Все остальные промежуточные состояния в этом порядке не дают вклада. Объединяя (5.110), (5.112) и (5.113), мы видим, что в главном порядке левая часть соотношения (5.105) дает

叮黑 exp[i(P — P')司

叮黑 exp[i(P — P')司

По (* - Q) % 匂 一 a)+ %(* - а)巾®一а)十

+ 工优(X — а) % (у — а) = i J 黑 exp [/(P — P) a]8(x — y)=

(5.114)(5.114)=tb (P — P)3(x — y).

(5.114)

(5.114)

(Напомним, что по (5.50) По нтц действительны.) Таким образом, каноническое коммутационное соотношение (5.105) выполняется, хотя промежуточные состояния не включали набора состояний, отвечающих т]0-моде. Член с т]0 в (5.114), необходимый для полноты набора функций, эффективно учитывается в кинетической энергии кинк-состояния в (5.106)——(5.110). Более полное рассмотрение коммутационных правил в солитонных секторах см. в работе [322 ].

Заключительные замечания

Обсуждение предыдущего раздела показало, что постулаты, связывающие солитонный сектор состояний с классическим кинком, самосогласованы по крайней мере в рассмотренных следствиях. Для иллюстрации нашего метода мы использовали пример кинка модели (5.36). Но те же методы можно применить для квантования статических локализованных решений большого класса теорий. Так стабильное статическое решение любой дру-

гой скалярной полевой теории в (1 + 1) измерениях квантуется точно так же, как кинк. Система синус-Гордона, например, дает статическое односолитонное решение в (1 + 1) измерениях. Его можно проквантовать и получить односолитонный сектор состояний, отличающийся от вакуумного сектора этой теории [102], Нормальные моды системы состоят из обязательной трансляционной моды и мод континуума. Для системы синус-Гордона нет дискретной (о1-моды, поэтому нет «возбужденного» солитонного состояния, но в остальном наша интерпретация может быть не» посредственно применена.

Если модель рассматривается в (2 + 1) или (3 + 1) измерениях, то вычисления становятся более сложными. Мы имеем больше нормальных мод, в том числе нулевых мод, связанных с трансляциями и вращениями. Ультрафиолетовые расходимости при большем числе измерений становятся сильнее, и для их устранения иногда приходится наряду с нормальным упорядочением использовать нетривиальные перенормировочные контрчлены. Далее, мы знаем из теоремы Деррика, что в (3 + 1) измерениях, если имеются только скалярные поля, статического решения не существует. Для получения статического классического решения необходимо добавлять поля с более высокими спинами. Такие поля вносят дополнительные трудности, хотя принципы трак* товки и квантования солитонов остаются прежними. Например,™^ монопольное решение, рассмотренное в гл. 3, включает скаляр* ные и векторные поля с неабелевой калибровочной инвариантностью. Соответственно классическое полевое уравнение и лине* аризованное уравнение на собственные значения для малых флуктуаций (аналог уравнения (5.24)) необходимо решать после фиксирования калибровки. Эти уравнения решить трудно. Мы видели в гл. 3, что полевое уравнение (3.50), (3.51) было решено ・ Прасадом и Зоммерфельдом только для случая X -> 0 и то достаточно нестрого. Насколько нам известно, аналитическое решение для произвольных X не найдено. Эти проблемы затрудняют (в отличие от кинк-системы) аналитический вывод классических выражений для энергии монополя, формфакторов и т. п. и главных квантовых поправок. Но нет оснований считать, что при фиксированной калибровке и при решении соответствующих дифференциальных уравнений' принципы квантования изменятся по сравнению с примером кинка. Хотя все нормальные моды задачи монополя еще не получены, на этом пути проделана значительная работа, в частности, по определению нулевых мод задачи [6, 258 ].

При наличии фермионных полей (например, в модели «мешка» SLAC [24 ]) ситуация принципиально другая. Фермионные поля не имеют классического предела. Нестрого говоря, это происходит в силу того, что большое число фермионов не может по принципу Паули находиться в одном состоянии и индуцировать почти

классическое поле. Таким образом, связь между «классическими» полевыми уравнениями и соответствующими квантовыми теориями при наличии ферми-полей будет другой.

Квантование фермионных солитонов рассматривается отдельно в гл. 9. Там мы увидим, что, несмотря на это отличие, используются многие аналогичные методы с необходимой заменой знака.

Конечно, наше рассмотрение солитонного сектора было далеко не строгим. Мы использовали приближение слабой связи, которое вывели на основе разумных физических соображений, обобщая гармоническое приближение нерелятивистской квантовой механики. Мы отдали должное также некоторым особенностям, свойственным полевой теории,——перенормировкам, топологическим квантовым числам и нулевым модам. Несмотря на это, наше рассмотрение было в лучшем случае« ознакомительным».

В гл. 6 мы дадим новый вывод уровней энергии солитонного сектора с помощью функциональных методов. Однако этот вывод ненамного строже проведенного здесь рассмотрения. Действительно строгие доказательства дадут мощные методы конструктивной теории поля. Такие доказательства чрезвычайно трудно построить. Даже существование спонтанного нарушения симметрии для простой модели * в двух измерениях было доказано только совсем недавно [103, 114]. Солитонный сектор рассматривался Фролихом [148 ]. Такие строгие исследования лежат вне рамок данной книги. Нас вполне удовлетворяет тот факт, что они подтверждают развитые здесь с помощью примитивных методов идеи, а не противоречат им.

Мы получили квантовую солитонную частицу, исходя из классического солитона. Рассмотрение метода, в котором солитоны связываются с когерентными состояниями, см. в работе [327 ]. В другом подходе Мацумото и др. [248 ] использовали солитоны квантовой многочастичной теории в методе «бозонного преобразования».

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И МЕТОД ВКБ

Формализм интегрирования по траекториям

Удобным формализмом для изучения различных аспектов квазиклассического метода является квантовополевой формализм интегрирования по траекториям. В предыдущей главе мы привели некоторые квазиклассические результаты, не используя функциональные интегралы. Это было возможно только потому, что мы ограничились квантованием статических солитонных решений скалярных полей, что сводилось в приближении слабой связи к изучению связанных гармонических осцилляторов. Но для квантования зависящих от времени солитонных решений или для изучения инстантонных эффектов использование функциональных интегралов становится необходимым. Конечно, для этих целей можно использовать другие методы, например метод канонических операторов, что мы и будем делать в некоторых раз「 делах книги, но метод функциональных интегралов представляется, пожалуй, самым удобным.

Функциональные интегралы уже значительное время использовались в теории поля, прежде чем их стали применять для изучения солитонов и инстантонов. Основная область их применения включает исследование спонтанного нарушения симметрии с помощью «эффективного действия», получение функций Грина из вакуумного функционала, вывод правил Фаддеева— Попова в калибровочных теориях и многое другое. Нашей целью не является детальное изложение формализма функционального интегрирования и различных его применений в квантовой теории поля. Мы будем считать этот формализм заданным и будем использовать его для рассмотрения специальных вопросов, связанных с солитонами и инстантонами. Но для полноты изложения в этом и последующем разделах мы дадим конспективное изложение метода функциональных интегралов, необходимое для наших целей. В качестве примеров будут выведены некоторые результаты гл. 5. В других разделах и главах будут получены этим методом новые результаты.

Функциональные интегралы теории поля представляют собой обобщение интегралов по траекториям нерелятивистской квантовой механики одной частицы. Поэтому начнем наше введение

с краткого изложения последних. Рассмотрим простую одночастичную систему гл. 5, т. е. нерелятивистскую частицу в одном измерении с лагранжианом

L = 4^-V(?).(6.1)

Соответствующий гамильтониан квантовой теории имеет вид

H = ^-p^V^(6.2)

где р =——ihdldq——оператор импульса. Тогда уравнение Шредингера

访备屮(％ /) = 〃”(％ /)(6.3)

утверждает, что заданная при f = 0 волновая функция 屮(％ 0) при t = Т принимает вид

屮(％ Т) = ехр (— iHt/П)屮(7, 0).(6.4)

Следовательно^ квантовая амплитуда перехода частицы из g = % при f = 0 в g = «ь при f = Т определяется выражением

К (%, Т; %, 0)三〈％ I ехр (—出Т/方)| %〉，(6.5)

где I %〉и I %〉— собственные векторы оператора координат q. Формулировка квантовой механики через интегралы по траекториям дает альтернативный, но эквивалентный способ описания этой амплитуды. (Ясное и детальное обсуждение формализма интегрирования по траекториям можно найти в книге Фейнмана и Хибса [136].) Следуя этому описанию, имеем

К(仇，Т； %, 0)= Jg口⑼％”，丁ехр {(〃方)S[g(f)]},(6.6)

где

т т

S[7(0]三 \dtL = \dt(-^^-V

—действие, a j 纱[q (/) ]Яа qb 丁 — интеграл 'по всем траекториям, т. е. по всем функциям^ (/), удовлетворяющим условиям 7 (0) = д& н g (Т)= 仇.Ниже часто будем опускать индексы %, дь, Т в 初 ^\b яа г) но они подразумеваются. Интеграл по траекториям есть функциональный интеграл, более сложный, чем обыкновенные интегралы. Тем не менее его можно рассматривать как предел бесконечного произведения обыкновенных интегралов. Траектория 夕(f) определяется заданием значения q для каждого t. Следовательно, нестрого говоря, интеграл по траекториям представляет собой произведение интегралов по q (f) для

каждого t、Точнее, заменим временной интервал [О, Т ] дискретными эквидистантными точками /0 = 0,九勾，…，亠 ％n T, где

ti — /л = e, Ne = T,(6.7)

причем

q&)三依， q(o)三 ％， q(T)三 ％•

Предел континуума достигается при е ->0, N -> 8, N& = Т. Тогда интеграл по траекториям (6.6) записывается в виде KQ, 7； %, O) = j2[g(/)]exp (彳 j(g?2—u(g))d' =

=lim BN (7) [ d% [ d%…[dqN-i X N f8・，JJ

8fo—8—8—8

N&=T.

X exp [4 £ 严费止-У (^Ц^ ) e) J]，(6：8)

где множитель BN (T), определяющий меру, выбирается так. чтобы интеграл сходился и был соответствующим образом нормирован при е -> 0. Математические аспекты таких интегралов по траекториям, включая их существование и связь с мерой Винера, можно найти, например, в работе Гельфанда и Я гл ома [150]. Хорошо известно также, что формулировка квантовой механики в терминах интегралов по траекториям эквивалентна более знакомым формализмам Шредингера и Гейзенберга. В частности, два выражения (6.5) и (6.6) для К (%，Т；仇，0) дают один и тот же результат. Это продемонстрировали в явном виде Фейнман и Хибс [136 ] (см. также [2 ]). Мы будем считать установленным, что формула (6,6) и ее обобщение в теории поля дают физически корректные результаты.

Для нас чрезвычайно важна связь интеграла по траекториям (6.6) с уровнями энергии системы. Пусть | @п〉 — нормированные собственные функции гамильтониана с собственными значениями Еп・ Введем в (6.5) и (6.6) полный набор промежуточных состояний I Зп); тогда имеем

J 纱[д (/)] ехр {(t/й) S [д (/)]}=〈仇 I exp (―历77力)| %〉=

=工〈％ I 筛〉〈％ I %〉exp (~iEnT/n). (6.9)

В частности, если положить g (0) = g (Т) = 70 и проинтегрировать по 70, то получим

G(T)三 Тг (ехр(—，〃Т/方))=，ехр(—，ЕПТ/方)=

ОО

=J dq0(7o I exp (—iHTlH)\ q0)=

=J d%J@[g%eexp{(^)S[g(/)]}. (6.10)

Здесь след вычислен двумя различными способами —— по собственным векторам энергии и собственным векторам координат. Отметим, что интеграл по q0 добавляет еще один интеграл (по значению q в конечной точке) к многократному интегралу по значениям 7 во всех промежуточных точках. Основной метод этой главы относится к вычислению этого интеграла по траекториям со следом в некотором приближении в форме ряда ^п ехр (—iEn х X 77方) и получению, таким образом, уровней энергии £п. Мы будем использовать квазиклассическое приближение, которое для интеграла по траекториям сводится к хорошо известному приближению стационарной фазы. Для пояснения этого приближения рассмотрим многократный интеграл

jd% j d%j dg；vg(q)exp [-if(q)],(6.11)

•—OO—ОО■—ОО

где q отвечает набору {^ ... д%}・ Пусть / (q) имеет одну стационарную точку (экстремум) при q = а, и пусть g (q) достаточно медленно меняющаяся функция в окрестности q = а. Разложим / (q) в ряд в окрестности q = а. Линейный член в разложении Тейлора отсутствует, так как а —— экстремум. Пусть

J (q) = f (а) + 3 仍 4j 分十。0),(6.12)

где yi 三 ^i ——〃加 Идея приближения стационарной фазы (ПСФ) заключается в том, что, если экспонента ехр [——if (q) ] осциллирует достаточно быстро, то основной вклад в (6.11) дает окрестность стационарной точки q = а. Тогда в главном порядке приближения членами третьего и более высоких порядков по у^ ряда Тейлора (6.12) можно пренебречь. Отсюда имеем

J d% J dg* …j 3g (q) ехр [—炉(q)]

^g(a)exp[—，f(a)]Jdyi ... j d^ exp (^― -i- iyiA^y^ =

=g (a) exp [Tf (a)](亨 〃 (Det 4尸竺(6.13)

Так как интеграл по траекториям в силу (6.8) является многократным интегралом, ПСФ можно также обобщить и на негб Пусть 7КЛ (/) — классическое решение системы, описываемой лагранжианом (6.1), начинающееся в точке q (0) = ^а и кончающееся в точке 7 (Т) = qb. Оно является экстремумом действия S [«(/)], которое можно разложить в функциональный ряд Тейлора в окрестности 7КЛ (/)：

т

S [q ⑼=S [7кл (/)] + 皆 J d®/) О (t)y (/) +。匂3),(6.14)

о

где

У (t) =q (0 7КЛ (0， y(0) = g(7) = 0,х

а

0(/)三-备一(

—— оператор, играющий ту же роль, что и матрица 4订 в (6.12). В интеграле по времени проведено интегрирование по частям. Применение ПСФ к этому интегралу по траекториям дает \3)[q(t)]^(i/n)S[q(t)]^

^ 8' (7)eXp {(»优)S 生П⑼} [Det。(切""，(6,15)

где все множители с (2л/й) и мера В включены в множитель В' (Т). Детерминант оператора О (/) наиболее удобно вычислять с помощью его собственных значений, как будет показано ниже. Соотношения (6.13) и (6.15) конечно только приближенные, так как опущены члены третьего и более высоких порядков по квантовым флуктуациям у (/). Справедливость этих результатов основывается на предположении о достаточно быстром осциллирова- нии экспоненты подынтегр аль н о го выражения, необходимом для того, чтобы основной вклад в интеграл давала окрестность стационарной точки экспоненты. Нестрого говоря, это происходит, если действие S [«(/)] велико по сравнению с 方.Более точный критерий быстрой сходимости разложения, главным членом которого является (6.15), достаточно сложен математически, и мы его здесь не будем рассматривать. Отметим, что в главном порядке вклад в интеграл по траекториям дает классическая траектория 7КЛ (/) и соседние с ней траектории. Это есть квазикласси- ческое приближение. Квантовые эффекты учитываются в главном порядке через множитель Br (Т) [Det О (/) ]^1/2. Следующие поправки к (6.15), включающие члены третьего и более высоких порядков по у (/), можно получить по теории возмущений, модифицированной для формализма интегрирования по траекториям,

Но мы будем работать с главным членом разложения (6.15). Наконец, если подынтегральное выражение имеет несколько стационарных экспонент (т. е. несколько классических траекторий), то ПСФ утверждает, что каждая стационарная траектория дает аддитивный вклад при условии, что эти стационарные траектории широко разделены. Если две стационарные точки близки, то ПСФ неприменимо для одной из них.

В качестве упражнения рассмотрим кратко задачу о гармоническом осцилляторе, для которого V (g) = 32g?/2・ Тогда из (6.10) имеем

G (7) = J d% ]■砂[д «)]д°, %, т expG (7) = J d% ]■砂[д «)]д°, %, т expтото. (6.16). (6.16)

G (7) = J d% ]■砂[д «)]д°, %, т exp

G (7) = J d% ]■砂[д «)]д°, %, т exp

т

о

т

о

. (6.16)

. (6.16)

Пусть 的(/) — классическое решение, начинающееся в точке 7Кл (0) = 70 и кончающееся в точке 7КЛ (Т) = д» Из элементарной классической механики следует, что это решение —— осциллятор с действиём'

Sk“瓦，g。，с = —2з成喘需：(6.17)

Разложим S [q (/) ] в ряд в окрестности %口 (/). Пусть у (/)三 三，⑴—％n (0 и у (0) = у ⑺=0. Тогда

т

S[g优)] = SKa%,处 7] + 44%a)(一券一32)與/). (6.18) о

Отметим, что так как действие осциллятора квадратично по q 0), то в разложении (6.18) отсутствуют члены третьего и более высоких порядков. Таким образом, мы можем получить точный результат, и нет необходимости использовать ПСФ. Тогда с учетом (6,15), которое для данного случая является точным соотношением, имеем

G (7) = J dq0 exp {(〃力)S^ %, %,「]} j'纱頂⑼ X

X exp (司也(}yO(/)y)j =

-\dq0 exp {(〃力)Sk” [%, %, T]} [Det О ⑼一紡，(「)，(6.19)

где О (f)= —讲/况2 — со2. Для нахождения оператора [Det О 伍)] напомним, что он действует на функции у 伍)，удовлетворяющие

условию у (0) = у (Т) = 0. Поэтому уравнение на собственные значения имеет вид

_ 心)Sin(- — СО2) sin，(6.20)

где /г = 1, 2, оо. Поэтому

[DetO(/)f1/2=j](空_ З『2三К (7)白(I —罂广.

П=1八=1

(6.21) Бесконечное произведение в последнем уравнении сворачивается и дает (sin ①丁/①丁尸父.С учетом этого (6.19) можно переписать в виде

G(T) = jd^expH〃方)SrrQ, %, T>] Q (T)K(T) ®T/sE зТ产.

(6.22)

Множитель Br (Т) К (Т) чисто «кинематический», т. е. не содержит динамику, которая здесь связана с частотой осциллятора со. В частности, Br (Т) содержит меру lim BN (Т) исходного определения (6.8), которую необходимо выбрать из условия правильной нормировки. При подстановке выражения (6.17) для классического действия получаем

G (?)=夕(?) К (7) Jdq0 exp (^^ 2ig^)(冉"2 =

=8' (7) К (Г) (2лШТ)'/2 工 exp [—i (九 + 扌)co?]=n=0

=工 exp (~-1ЕпТ/П). (6.23)

Отсюда ясно, что меру Br (Т) надо выбрать следующим образом: 夕(Т) К (Т) = (2冗访Т)」/2.(6.24)

В этом случае мы получаем знакомые уровни гармонического осциллятора

Еп = (п + 1/2) йсо.(6.25)

Рассмотрим далее потенциал V (д) более общего вида. Пусть он имеет минимум при q ~ а. Тогда, как было показано в последней главе, q (t) = а —стабильное статическое классическое решение, в окрестности которого можно построить уровни приближенно

гармонического осциллятора. Эти уровни получаются из интеграла по траекториям тривиальным обобщением предыдущего вывода. Разложим V (д) в ряд в окрестности g 二 а:

V (q) = V ⑷ + 32g2/2 +。(衿

и

4-соТ + О(73)]，(6.26)4-соТ + О(73)]，(6.26)S[q(t)] = -V(a)T + \dt [4^2

4-соТ + О(73)]，(6.26)

4-соТ + О(73)]，(6.26)

О

где 7 伍)三 q (，一 а. Тогда для данного потенциала

G(7) = exp [-〃(а)77力]jdg J 勿田⑼ х

X exp 上 je 萨一扌哂2 +。(初 ^. (6.27)

В отличие от (6.16) в действии (6.27) присутствуют члены третьего и более высоких порядков по q (f), так как теперь потенциал не является потенциалом гармонического осциллятора. Поэтому воспользуемся ПСФ, что равносильно отбрасыванию этих кубичных и более высокого порядка членов. Проделав это, мы сведем (6.27) к той же форме, что и (6.16), за исключением множителя ехр [—iV (а) Т/й ]. Таким образом, с учетом (6.23) получаем для данной задачи

Тг [ехр (—ШТ/П)] ^Тг [ехр (—ШТ/П)] ^exp [—iV (а) Г/方]2t sin (①7/2)exp [—iV (а) Г/方]2t sin (①7/2)

Тг [ехр (—ШТ/П)] ^

Тг [ехр (—ШТ/П)] ^

exp [—iV (а) Г/方]2t sin (①7/2)

exp [—iV (а) Г/方]2t sin (①7/2)

=£ exp I — (i/Й) T [V (a) + йсо (n + 1 /2)]}. (6.28) Отсюда

(6.29)(6.29)En ^ V (a) + йсо (n + 1/2).

(6.29)

(6.29)

Таким образом, мы вывели в формализме интеграла по траекториям основной результат разд. 5.2, связывающий квантовые уровни энергии со статическими классическими решениями. Отметим, что пренебрежение негармоническими членами в (6.26) в ПСФ равносильно требованию малости коэффициентов негармонических членов по сравнению с со2, что является в точности условием «слабой связи» разд. 5.2.

Прежде чем перейти к теории поля, завершим этот раздел рассмотрением понятия евклидова интеграла по траекториям. Запишем

К± (仇，£ %, 0)三〈％ I ехр I (—〃т/%)| %〉=

=£31 外〉〈力 I %〉ехр(-£„т/Й). (6.30)

Этот объект можно рассматривать как аналитическое продолжение амплитуды перехода (6.5) на мнимое время. Кроме того, опера- гор ехр (——НРП) сам хорошо определен для любых действительных т, хотя и не является унитарным. Интегрирование по траекториям для данного объекта можно представить в виде

Ке仇，т; qa, O) = J^E[g(O]exp{(—l/0SE[g(C]}, (6.31) где

т

Se [q (Е)] = j "[扌("J^) + V ⑷]о

——евклидово действие, введенное в гл. 4. Траектории q «) начинаются в точке 7 (0) = «а н кончаются в точке q (т) = q% Поскольку обе части (6.31) ——аналитические продолжения на мнимое время обеих частей (6.6), то можно полагать, что справедливо соотношение (6.31). Эквивалентность (6.31) и (6.30) можно также проверить. Евклидова мера 勿卫[q (т') ] отличается от 纱[q (/) ] в (6.6) только множителем i. Евклидов интеграл по траекториям (6.31) в математическом смысле более обоснован, чем интеграл в действительном времени (6.6). В (6.31) подынтегральное выражение содержит действительную отрицательную экспоненту, и сходимость интеграла для извилистых или очень далеких (большие q (т')) траекторий математически более очевидна, чем в случае (6.6). Евклидов интеграл по траекториям потребуется при изучении инстантонов в квантовой теории. При т-> оо евклидов интеграл по траекториям просто связан с энергией основного состояния, так как

limK/?仇，т； %, 0) -= lim V (qb | ^n) (^n | ^) exp (― £пт/й) Т >ООТ->оо п

=lim〈％ I %〉個 I %〉exp (—ЕоТ/力).(6.32)

Поэтому

Гг [ехр (—"т/方)]=

=J 囱0 J g W(т/)]……ехр {—(1 領)Se^B)]} ^ exp (—Е°т/力).

(6.33)

Наконец отметим, что след Тг [ехр (——〃t/%)] идентичен по структуре функции распределения Тг [ехр (——Р兑)]статистической механики, где Р ——обратная температура. Эта аналогия используется в гл. 10 при обсуждении так называемого разреженного инстан- юнного газа.

Обобщение на полевую теорию

Понятие интеграла по траекториям можно формально обобщить на квантовую теорию поля. Аналогом (6.10) в теории поля для случая одного скалярного поля 屮(х, /) является выражение G (Т)三 Тг[ехр(—/ЯТ/й)]='

=J ⑦ @(х, 0]ехр {«向 S[@(x, /)]}. (6.34) Здесь интеграл берется по всем полевым конфигурациям 屮(х, /), отвечающим граничным условиям, определенным ниже, а

т

S [屮(х, /)] = j 山 j dx 团仲(x, /))о

——действие. Функциональный интеграл (6.34), так же как (6.8), можно рассматривать как предел произведения обыкновенных интегралов. Для этой цели необходимо заменить пространственновременной континуум (а не одно только время) точечной решеткой, а затем перейти к пределу нулевого периода решетки. Существование однозначного лоренц-инвариантного предела — более сложная задача, чем в случае чисто временной решетки (6.8), так как необходимо рассматривать все виды (D + 1)-мерных решеток в (Q + 1)-мерной теории поля. Мы будем полагать, что функциональный интеграл (6,34) однозначно определен и что над ним можно проводить манипуляции, аналогичные проделанным в последнем разделе. Мы будем считать также, что функциональный интеграл дает «верный ответ» в том смысле, что он приводит к Тг [ехр (——IHTIK)] ——результату, который можно в принципе получить с помощью канонических операторных методов.

Перейдем к граничным условиям на поле 屮(х, /), определяемым из условия его интегрируемости, Рассмотрим сначала граничные условия во времени. Сравним (6,34) и (6,10). Так как след берется по ехр (—/ЯТ/й), положим 屮(х, 0)=屮(х, Т) = % (х) и затем проинтегрируем по начальному значению поля % (х) точно так же, как мы интегрировали по qQ в (6.10). Этот интеграл по Во (х) явно не показан в (6,34), но содержится в j 纱[屮(х, t)] наряду с интегралами по полям в промежуточные моменты времени. Затем рассмотрим граничные условия в пространстве, которые также необходимы в теории поля. Наложим разумное с физической точки зрения условие. Для его пояснения рассмотрим знакомую систему в (1 + 1) измерениях, описываемую лагранжианом

(6.35)(6.35)

(6.35)

(6.35)

гдегде03)= ^病疔+ ；九"03)= ^病疔+ ；九"(6.36)(6.36)

где

где

03)= ^病疔+ ；九"

03)= ^病疔+ ；九"

(6.36)

(6.36)

Здесь все конфигурации с конечной энергией должны удовлетворять условию 屮一＞ 0 при % f ±оо для всех Л .Мы ожидаем, что квантовое вакуумное состояние 4fo ［屮］локализовано в окрестности В = 0 н все состояния фоковского пространства 4f ［屮］ существуют только для функций j (х), удовлетворяющих условию 屮(оо) = В (——оо) — 0. Соответственно функции в функциональных интегралах должны удовлетворять условию 力(оо, /)=

二 3 (——оо, /) = 0 для любого t. С другой стороны, рассмотримслучай спонтанного нарушения симметрии в кинк-системе, где03)=十九啰一用乎

Тогда существуют четыре набора разрешенных граничных условий:中(оо, tj = ±тМА, 3(——оо, f) = ±zn//A,

как было показано в предыдущей главе, им соответствуют четыре сектора квантовых состояний, которые не связаны друг с другом в силу наличия селектирующего квантового числа. В этом случае след Тг ［ехр (——iHTIH} ］ можно брать по каждому сектору в отдельности, а поля В (х, /) в соответствующем функциональном интеграле должны подчиняться граничным условиям рассматриваемого сектора. Например, если мы ищем след от ехр (——iHTIH} в кинк-секторе состояний, то считаем, что поля в функциональном интеграле подчиняются условию

*(8, /) = —3(—8, /) =：m/］/X

для всех t. Более сложные системы со спонтанно нарушенной симметрией рассматриваются аналогичным образом.

Функциональный интеграл (6.34) был записан для одного скалярного поля. Для нескольких скалярных полей вводится произведение таких интегралов (многократный функциональный интеграл) по всем полям. В случае ферми-полей или калибровочных полей ситуация усложняется. К этим случаям мы вернемся в последующих главах.

Для иллюстрации функциональных методов выведем главный результат гл. 5, согласно которому в приближении слабой связи сектору уровней энергии ставится в соответствие статическое солитонное решение. Рассмотрим, например, (1 + 1)-мерную теорию вида (6.35) с некоторой функцией U 仲)，допускающей стабильное статическое солитонное решение 屮(х, /)=屮^以(％). Так как Зкл (%) — экстремум потенциала

У ［3］三j［等(嘉y + U仲)］,

а также и действия, то можно разложить

S 回(*,/)) =

=—и [%л] T + -L\dx\dt[y (х, О О (*, 0 у (*, 0] + о 3), (6.37) где

0(% 9 三一奈 + 第一(券)0=0кл ⑺，(6-38)

У (*, /)三屮(X，0 - Вкл (*)•

Напомним, что функция 力(х, /) подчиняется пространственным граничным условиям, соответствующим данному сектору, т. е. тем же условиям, что и ЗкЛ (х). Поэтому у (х, /) удовлетворяет условию у (土оо, 0 = 0. Приближение стационарной фазы для функционального интеграла (6.34), как и в предыдущем разделе, равносильно пренебрежению кубичными и более высокого порядка членами в (6.37):

j 勿[力(*, /)] exp {(〃力)S [力(*, /)]}

a exp (—iV[&」77力)j 勿頂(*,/)] exp (—靑 j dx j 力{yOy}^ =

=6" (7) exp (—W &“] 77右){Det [О (*,切产.(6.39)

Здесь В" (Т)——множитель меры, содержащийся в определении |^5 [ф (х, Z) ], которое мы до сих пор не раскрывали. Он выбирается из условия правильной нормировки состояний. Для нахождения оператора Det [О (х, /) ] по его собственным значениям, отметим, что О (%, 0 в (6.38) является суммой члена, зависящего от /, и члена, зависящего от х. Следовагельно, его можно диагонализо- вать отдельно в /-пространстве и в х-пространстве. Пусть

[一鳥+(翼)f“/%(х)=做(灯-•(6・4。)

—уравнение на собственные значения для зависящей от х части оператора О (х, /) с граничными условиями уг (士оо) = 0. Уравнение (5.48) последней главы является частным случаем (6.40) для кинк-решения. Тогда

Таким образом, детерминант свелся к произведению детерминантов гармонического осциллятора, рассмотренных в предыдущем разделе. Используя результаты этого раздела, получаем

Тг [ехр (Т，77力)]^ exp (—V M^] О力)П (力謊•前)，(6-42)

где множитель меры В" (Т) в (6.39) опять выбирается так, чтобы (6.42) было справедливо в ПСФ. Перепишем это уравнение в виде Тг [ехр (—i〃77方)]

exp (-IV ЫТ/Й) Г1( £ exp [~iT^r(nr + 1/2)])=

=X ехр[—(，77方)(以％"+ £ 方“(&+ 1/2))], (6.43) ｛因｝Г

где сумма £｛因｝ берется по всем целым числам набора ｛а。，пх, п2, ...I. Следовательно, к этом приближении для уровней энергии состояний, построенных в окрестности ЗкЛ, получаем выражения

々/ V [%"]+ £ 方⑵(% + 1/2).(6.44)

Итак, мы вывели в качестве упражнения по функциональному интегрированию основной результат последней главы. При этом, конечно, физика осталась прежней и все качественные замечания гл. 5 справедливы и здесь, но выраженные в терминах функционального интегрирования. Например, пренебрежение в главном порядке кубичными и более высокого порядка членами в (6.37), лежащее в основе ПСФ, есть не что иное, как приближение «слабой связи» гл. 5. В общем случае сумма по всем нормальным модам в (6.44) расходится, и эту расходимость необходимо устранить добавлением в лагранжиан контрчленов. При этом

厶=j 团(х, t) dx — L — Uku [”

SH]-S[^]- j VK4(^dt.(6.45)

В ПСФ это ведет в главном порядке к замене V [^кл 1 Т в (6.39) на ｛V [%л] + ^Кч Мкл】｝ Т, так что (6.44) заменяется на

Е｛,｝ ^ V [^>кл] + VK4 Мкл] + £ (& + 1/2)方％•(6.46)

Если теория перенормируема, то можно ожидать, что контр- члены устранят все расходимости в сумме по собственным частотам. Далее в гл. 5 мы отметили, что если любая из частот сол исчезает из-за наличия некоторой непрерывной симметрии, что происходит, в частности, для солитонных решений, то рассматри-

ваемый метод нуждается в модификации. Та же проблема существует и для настоящего метода по тем же причинам. Ее признаки можно увидеть в (6.42), где множитель {2, sin (①丁丁/?)}"' расходится при сог -> 0. Главная же причина заключается в том, что в этой ситуации ПСФ в своей простой форме не справедливо. При этом решение 屮^1n (х) -принадлежит непрерывному семейству классических решений Р (а) [^нл (%)】，где Р (а) — непрерывный оператор симметрии, параметризованный переменной (переменными) а. Таким образом, ЗкЛ (х) не является изолированной стационарной точкой S [屮],а принадлежит непрерывному семейству стационарных точек, тогда как, вводя ПСФ, мы отметили, что оно дает хорошее приближение только в том случае, если стационарные точки достаточно широко разделены. Поэтому нулевые моды, возникающие в силу существования непрерывных симметрий, создают трудности и для настоящего метода, так же как в гл. 5. Этого следовало ожидать, так как физический смысл данного приближения тот же, что и в гл. 5. О том, как надо модифицировать эти методы при наличии нулевых мод, см. в гл. 8. Из этих замечаний видно, что функциональный интеграл (6.34) дает энергетические уровни, связанные со статическим решением, при тех же условиях и ограничениях, что и в предыдущей главе.

В полевой теории также можно ввести евклидов функциональный интеграл, обобщая соответствующим образом (6.33). Имеем

Тг[ехр(—Нт/力)]三 j g【B(x, т')]ехр {—(1/力)Se@(x, т')]}, (6-47)

где SE [屮(х, Y)]——евклидово действие, введенное в гл. 4; в функциональном интеграле интегрирование ведется по начальным и конечным значениям полей ^0 (х)= 屮(х, 0)= 小(х, т). Так же как в (6.33), при т -> оо основной вклад в след (6.47) дает состояние с наинизшей энергией данного сектора. Рассмотрим для примера квантовое солитонное состояние в (1 + 1) измерениях, являющееся состоянием с наинизшей энергией, построенным в окрестности статического классического солитонного решения Зкл (%)• Аналогично (6.37) имеем разложение

Se【3 (х, т )]=

=u[勿口]石 + 皆[厶 jdY[y(x, y)。e(看 1)y(х，石')+0匂明，(6.48) где

°e 优 吟三一晶一爲 + (某(кл’(6.49)

，(Х，т')三 В(х，т') —加门(力・

11ренебрежение членами О (уЗ) в (6.48) является гауссовским приближением для (6.47) и евклидовым аналогом ПСФ. В этом приближении аналогично (6.39) имеем

Тг [ехр (—"т/方)]^ ВЕ (т) ехр (—V 麻л] т/й) {Det [ОЕ (х, ^)]}-1/2,

(6.50)

где ВЕ (т) —евклидова мера, аналогичная В" (Т) в (6.39). Пере- п ишем (6.50) в виде

Тг [ехр (—Нт/力)]м В£(т)ехр {— [ V [^KJ1]т/й + ^- In Det。/}=

= В£(т)ехр [_常⑺九л] + *1г(1п%))]=

=现")eXP卜专『限л] +工言tr In (_焉 + 3矶卜(6.51)

где использованы собственные частоты нормальных мод (6.40). Объект tr In (—О^/От7? + со?) просто вычисляется при т -> оо. Напомним, что собственные значения оператора —(б^/От'?) для наших граничных условий равны п2л2/т2, п = 1,2, оо. Поэтому

tr Inb為+罔=e In (胃+吟

tWT『黑 1п(Г + зН = т『黑[ln(l+g)+lnw], (6.52)

где мы выделили расходящуюся часть интеграла. Эта расходящаяся часть чисто кинематическая (не зависит от сог) и обращается в нуль соответствующим выбором ВЕ (т). Мы включим ее в меру, которую обозначим В% «)； тогда (6.52) примет вид

[f 霁 1rl (1 + J 寥^^ = 3戸，(6.53)

где проведено интегрирование по частям. Подставляя это в (6.51), получаем

тг[ехр(一"石/方)]h Be(T)ехp [一专(V[%口] + ^^ 唄)卜

(6.54)

Выбирая меру так, чтобы В% (т)工 1, для энергии квантового солитона получаем выражение

E0^V [^кл] + ^ 4 П^г'(&55)

Это наш старый результат, который можно сделать конечным добавлением Йкч 麻 J

Все эти выводы являются примерами использования квази- классического разложения для функциональных интегралов. Новых результатов мы не получили, поскольку как в пространстве-времени Минковского, так ив евклидовом пространстве-времени разлагали в ряд действие в окрестности статических решений. Мы получим новые результаты при разложении в ряд в окрестности классических решений, зависящих нетривиальным образом от f (или т). В пространстве-времени Минковского это приведет к квантованию зависящих от времени солитонов, что рассматривается в следующих разделах. В евклидовом пространстве-времени это приведет- к инстантонной физике, которую мы обсуждаем в гл. 10.

Условие Бора—Зоммерфельда

Квантование зависящих от времени решений в теории поля проводится с помощью В КБ-метода, являющегося обобщением на теорию поля условия Бора——Зоммерфельда. Это условие хорошо известно в нерелятивистской квантовой механике и обычно выводится из дифференциального уравнения Шредингера. Обобщение на теорию поля удобно проводить в формализме функционального интегрирования. Сначала рассмотрим кратко вывод условия Бора—Зоммерфельда для одночастичной системы на языке интегрирования по траекториям [44, 100, 180—182, 247 ].

Рассмотрим пропагатор системы (6.2)

、 乡(£)三 Тг (占)=/Jd7G(7)exp(，E77办(6.56)

о'

Полюсами 乡(Е) являются собственные значения энергии связанных состояний. Используя для G (Т) (6.10), получаем

ОО

乡(Е)=彳 j 盯 exp (iET/П) j d% j 勿[q ⑼g (0)=g (T)=g。X 0，

X exp{(〃方)S[q(f)]}、 (6.57)

Условие квантования выводится из ПСФ для этого интеграла, что является в рассматриваемом случае методом В КБ. Сначала

1)азложим в ряд S [q (0 ] в окрестности некоторого нетривиального экстремума, т. е. зависящего от времени решения ^^л (/), \ довлетворяющего уравнению

侖=« + *=°，(&58)

|'де % (0)=或"⑺ =9о、Для данного Т может существовать несколько классических решений, удовлетворяющих граничным \ словиям; мы будем их различать с помощью индекса /. Разложим S [q (0 ] в ряд в окрестности 壮门(f) и для интеграла по траекториям используем ПСФ, следуя уравнениям (6.14), (6.15). Сделаем эго для каждого решения д^л (%), j = 1, 2,в отдельности, полагая, что они достаточно широко разделены для применимости 11СФ. Тогда имеем

G(T)=工]%ехр(§[до, %, Т]/И) Д{,(6.59)

где Sj [%,孙 Т]三 S [或л] —действие /-го классического решения с началом и концом в точке ^0, а〜

闵〜pet 一爲一(奈)d』"2.(6.60)

Так как (d2V/dq2)^f ⑴，вообще говоря, зависит от времени, вычислить Д{ труднее, чем в случае гармонического осциллятора в разд. 6.1. Его вычисление приведено кратко в приложении А. Для нахождения интеграла по ^0 в (6.59) применим опять ПСФ. (Зтационарная экспонента должна удовлетворять условию ° =备 Sj[%, q0, Т]=

二(系5八％, %, 7] + 談Sj[%, %,「])%』$ = —丛十 д, (6.61)

Последнее равенство следует из классической механики; 〃】и 〃2 一 импульсы начала и конца траектории. Уравнение (6.61) показывает, что траектория на своих концах должна иметь не голько одну и ту же координату ^0, но один и тот же импульс, т. е. траектория должна быть периодической. Это не удивительно: в конце концов интеграл по траекториям является многократным интегралом по координатам 例 в промежуточные моменты времени (6.8). Траектория общего вида имеет разрывы скоростей (рис. 11, а). Но в ПСФ многократный интеграл j И» d% отбирает классическую траекторию (рис. 11, 6) со сглаженными углами.

Это еще оставляет разрыв скоростей в точке ^0. Но интегрирование следа j dqQ сглаживает и этот разрыв в конечной точке (рис. 11, 8) и превращает траекторию в периодическую. (Для простоты на рис. 11 показан случай двух измерений.)

Таким образом, (6.59) сводится к сумме по всем периодическим орбитам. Конечно, основной период (цикл) орбиты не обязательно равен Т. Он может быть равен Т/n, где п — произвольное целое число, характеризующее число прохождений основной орбиты.

Рис. 11. а — неклассическая траектория общего вида, начинающаяся в точке %; б —— классическая траектория, отобранная приближением стационарной фазы (ПСФ) для интеграла по траекториям; заметим, что острые углы (разрывы скоростей) сглажены ПСФ только в промежуточные моменты времени, так как интеграл по траекториям берется только по промежуточным значениям д»; в — периодическая классическая траектория; она отбирается ПСФ при интегрировании следа по q0, которое сглаживает острый угол у д。、Для простоты на рисунке изображены двумерные орбиты.

Для данного Т G(T) получает вклады от всех периодических орбит с основными периодами, кратными Т. Заменим в (6.59) сумму по индексу j на сумму по индексу п. Тогда

G (?) = £ ехр [(〃力)/г$кл (Т/п)] А戶(7) А尹(7),(6.62)

где ^п^ —множитель из интеграла по qQ в ПСФ. Ясно, что действие для п прохождений орбиты равно п, умноженному на действие для одного цикла. Множители А】, Д2 вычислены в приложении А:

А尸(7) А尹(?) = 4■(—争)"2 ехр (Тм)(磊)"2, (6.63)

где Енл ——энергия периодической орбиты с периодом Т/п. Окончательно получаем

乡(Е)=帯 £ j盯exp G 用十nSKam])^ (-^-严x n 0

><(悬产(説 ri""一嚓l)%・x

n 0

Xexp (号用十 5~л (т)])(-1)л, (6.64)

где т 三 Tin —основной период цикла. Интегрирование по т проведем также в ПСФ. Точка стационарной фазы теперь удовле- гворяет условию

Е = —dS^ldx = Енл,(6、65)

где последнее равенство знакомо из классической механики. Отметим, что Е является параметром в пропагаторе 乡(Е). ПСФ отбирает ту периодическую классическую орбиту, энергия которой Енл = Е、Таким образом, период т и действие S данной орбиты фиксируются значением £. Отсюда приближение стационарной фазы для (6.64) дает

9(Е)= 2兴悬广(缥尸(甯广УМЕ)X

(6.66) сокра-(6.67)(6.68)(6.66) сокра-(6.67)(6.68)X [一黑]"2 (Т)"X exp (登[Ет (Е)十 S ⑼).

(6.66) сокра-

(6.67)

(6.68)

(6.66) сокра-

(6.67)

(6.68)

Поскольку 02sHл/От? = 一d£7dt, многие множители здесь щаются:

乡(Е) = £，屮(-1Гехр(т+)=

_ —Н(Е) ехр [(〃方)3(E)]

—~- Г+ exp W汴)UZ 砌'

где

W (Е) ~ S [т (Е) ] + £т (Е)

—— преобразование Лежандра для' S、 乡(Е) имеет полюсы при Е = Em，которые удовлетворяют уравнению

Г (Em) = (2m + 1)冗九(6.69)

где m——целое число. Вычет в каждом полюсе равен единице, так как dW/dE = т. Таким образом, в В КБ-приближении уровни энергии определяются Е^, удовлетворяющими (6.69). Это обычное правило квантования Бора——Зоммерфельда [225 ], так как

U7(E) = S + Et= jd/(}@2_ у+ £)= [4^2 = 2 j pdq, (6.70) о о

где 夕工 и 夕2 —точки поворота классической орбиты.

Может показаться, что вычисление полюсов 乡(Е) дает уровни энергии только в случае связанных состояний. Но если система помещена в ящик с периодическими граничными условиями, то все энергетические уровни дискретны и все орбиты ограничены. Тогда описанный выше метод можно использовать для любого уровня, а затем устремить размеры ящика к бесконечности.

В таком выводе подразумевается, что существует только одно непрерывное семейство периодических орбит, параметризованное переменной основного периода т, или, что эквивалентно, энергией Енл (石)、 Иначе говоря, предполагается, что для любого т существует только одна орбита с основнЪш периодом т и эта орбита дает вклад в интегрирование по dT в (6.64) либо для однократного (Т = т), либо для многократного прохождения (Т = пт). Это позволяет заменить 工『j dT на 工冷孔 jdt、Для типичных потенциалов «одной ямы» в одном измерении это предположение справедливо. Если потенциал V имеет несколько《ям》около различных минимумов, то может существовать несколько семейств орбит, т. е. орбит в различных областях с одинаковым основным периодом т. То же может происходить в двух или большем числе измерений. В таких случаях, если семейства орбит достаточно широко разделены, ПСФ дает от каждого из них аддитивный вкладе 乡(£). Если в этом приближении член произвольного семейства удовлетворяет условию (6.69), то он является уровнем энергии. Более детальный анализ метода В КБ в формализме интеграла

по траекториям и др. (см、[45] и [232, 233].по траекториям и др. (см、[45] и [232, 233].дан в работах Гуцвиллера [180——182 ], Берри приведенные там ссылки) и Левита и Смилански

по траекториям и др. (см、[45] и [232, 233].

по траекториям и др. (см、[45] и [232, 233].

Метод ВКБ в теории поля

Обобщим метод ВКБ сначала на несколько степеней свободы, а затем на теорию поля, рассматриваемую как систему с 'бесконечным числом степеней свободы [100, 102 ]. Наше обобщение будет формальным. Основные этапы те же, что и в разд. 6.3. Мы запишем функциональный интеграл для пропагатора 乡(Е) = Тг [1/(Е — —Н) ], а затем применим ПСФ, которое отберет зависящие от времени классические периодические решения. Единственное отличие заключается в том, что интегралы по квантовым флуктуациям (аналогичные множителям Д}п> Д(п> в уравнении (6.62)) более сложны.

Рассмотрим, например, двумерную задачу —частицу в х —у・ плоскости с лагранжианом

厶=+发2 + g»2 — U(X,外，

Гогда

乡(Е) = % j dTexp (iET/tl)G (T),

О

G (7) = j dx0\dy0\3) [x(/)] j 勿[у (/)] exp (十 j 成];* + ^货一

—v(x, у)] ) = j dr。J 0 [!■(/)] exp—v(x, у)] ) = j dr。J 0 [!■(/)] exp,(6.71),(6.71)

—v(x, у)] ) = j dr。J 0 [!■(/)] exp

—v(x, у)] ) = j dr。J 0 [!■(/)] exp

,(6.71)

,(6.71)

где использовано компактное обозначение г = {%, у}、 При применении ПСФ к интегралу по траекториям отбираются классические орбиты, а применение ПСФ к интегралу j dr0 выбирает из них периодические тривиальным обобщением (6.61). Для данного периода Т дают вклад все периодические орбиты с основными периодами 77儿 Таким образом, в ПСФ мы можем записать

G (7) 工 exp [inSKa (Т/п)力]J 玄[p (/)] X

ХехР百1粤p* (一鳥一/'),・产，(672) L о」

где 5КЛ (Tin) —действие одного цикла периодической орбиты Гк^ (0 с основным периодом 工=Tin, р (/) = г ⑴—「3? 0),

а 勿[р(/)1 включает интегрирование следа по dp (0)、 Запишем (6.72) в виде

G (Т) ^ § exp [mSKn (T/n)/h] А® (Т),(6.73)

где А("》(Т) —аналог множителей А『)Ау в (6.62). Он, как и прежде, равен оператору {Det [—О?/。？ 一 Vfr]\~i/2, но теперь (—dt —V") —2 X 2-матрица в {х ——у}-пространстве, являющаяся дифференциальным оператором, зависящим от времени. Его вычисление требует использования теории Гамильтона— Якоби, что в результате дает

一躲y ⑵ sin (儿%/2)尸，(6.74)一躲y ⑵ sin (儿%/2)尸，(6.74)

一躲y ⑵ sin (儿%/2)尸，(6.74)

一躲y ⑵ sin (儿%/2)尸，(6.74)

где vi ——«угол стабильности», определенный ниже. Вывод этого выражения мы не даем (см、приложение А в работе [102]). Но можно заметить, что (6.74) похоже на одномерный результат (6.63), который мы вывели в нашем приложении А. Результат (6.74) отличается от (6.63) только в двух отношениях.

Отсутствует множитель ехр (——/лп). Напомним (см. приложение А), что этот множитель дают сингулярные точки классической орбиты. Типичная периодическая орбита в двух измерениях (как на рис. 11, 8)не имеет сингулярных точек, и данный множитель отсутствует. В специальных случаях, когда орбиты имеют сингулярные точки, такие множители следует ввести (например, для одномерных орбит в двумерной плоскости).

Результат (6.74) содержит добавочный множитель l/[2i sin (ziVi/2)]. Он соответствует, как мы покажем, квантовым флуктуациям поперек орбиты. Угол стабильности vi определяется следующим образом. Рассмотрим уравнение на нулевое собственное значение оператора (—д門д/ —，')：

崇—(爲“(J (自(/))尸 °- (6.75)

Здесь оператор представляет собой 2X 2-матрицу, а | ——двухкомпонентный вектор в % ——//-плоскости. Отметим, что это уравнение является также «линейным уравнением устойчивости» орбиты, т. е. гкл (/), так же как и немного смещенное классическое решение ГкЛ 0)三 гкл (0 + 三(/), удовлетворяет уравнению движения

—г - dV/dr = 0. (6.76)

Следовательно, малая деформация | (/) в главном порядке удовлетворяет уравнению (6.75). Два независимых решения уравнения (6.75) обозначим |0 (0 и |х «). Каждое из них удовлетворяет условию

邑(/ + Т) = е飞t (0 для всех /, (6.77)

где V/ ——углы стабильности, т = Tin ——основной период гкл (/). Уравнение (6.77) выполняется в силу того, что оператор (——0? —— V") сам периодичен с периодом т. Одно из этих решений имеет вид

自。(/)= 4"Гк”(/)， (6-78)

что можно проверить дифференцированием (6.76). Так как гкл 优) периодично, то периодично н 三。=гкл. Отсюда vo = 0. Это нулевое значение угла стабильности собственной функции (6.78) существует всегда и связано с инвариантностью уравнения дви-

жения относительно трансляций во времени. Отметим сходство с нулевыми модами, с которыми мы встретились выше и которые также связаны с некоторой непрерывной симметрией. Другой угол стабильности vi，соответствующий второму решению 三工(/), в общем случае не равен нулю, что и отражено в результате (6.74).

Так как мы не даем вывод выражения (6.74), то поясним его на примере. Рассмотрим потенциал простого вида

V (х, у) (х) +(6.79)

где V (х)——некоторый одномерный потенциал, допускающий существование семейства периодических по х орбит. Тогда V (х, р) допускает семейство периодических орбит, целиком лежащих на оси %:

「％(/) = %кл (/)，У 优)=о,(6.80)

где хцл (/) обладает некоторым периодом т = Tin. Для данных орбит задача разбивается на х-часть и //-часть.

В этом случае матрица (d^V/drt ^)гкл факторизуется:

-dU/d 炉)нЛ 0]

一 0•

Подставляя ее в (6.75), находим следующее решение этого уравнения

/ 0 \

удовлетворяющее условию 三工(/ + т) = г^^ (/). Таким образом, угол стабильности в этом случае равен ”工=st н множитель флуктуаций (6.74) сводится к

где множитель (——1)" введен потому, что, как мы отметили выше, орбита (6.80) имеет две точки поворота. Именно такого множителя флуктуаций для орбиты (6.80) в потенциале (6.79) мы и ожидали, основываясь на наших предыдущих рассуждениях. Полная задача, включающая интеграл по траекториям (6.71), факторизуется; более того, орбита (6.80) целиком лежит на оси х.Следовательно, множитель флуктуаций равен произведению х-множителя и р- множителя. Эффект флуктуаций вдоль х-направления для орбиты на оси % уже вычислен в (6.63) и в точности равен первому множителю в (6.81). Флуктуации вдоль оси у соответствуют флуктуациям гармонического осциллятора (см. зависимость от р в (6.79), (6.80)). Их эффект, вычисленный в (6.22)—(6.24), дает второй множитель в (6.81). Таким образом, в частном случае (6.79), (6.80) выражение (6.74) дает ожидаемый ответ.

7 Раджараман Р.

Для потенциала V (х, у) общего вида угол стабильности ”工 определяется соответствующим обобщением от. Так же как мнимая частота s (w2 V 0) ведет к неустойчивости орбиты (6.80) в рассмотренном частном случае, мнимая часть ”工 ведет к неустойчивости в общем случае. Это очевидно из (6.77). Если vi имеет мнимую часть, то 费(/) растет с каждым циклом при стремлении t либо к +оо, либо к ——оо. Малые деформации теперь не остаются малыми. Основываясь на физических соображениях, мы считаем, что устойчивые квантовые состояния получаются только из устойчивых классических орбит. Это отражено в уровнях энергии, получаемых ниже; они становятся комплексными для комплексного Vi.

Вернемся к методу В КБ и перепишем (6.74) в виде

(6.82)(6.82)

(6.82)

(6.82)

Подставляя (6.82) в (6.73) и (6.71), получаем

乡0奴誌严£/屮〈第产义

Хехр 藹 |Х”⑴+ 氏一 (р +等)力％])•(6.83)

Дальнейшие шаги тождественны выводу (6.64)——(6.70) с соответствующей модификацией результатов. ПСФ для интегрирования по т отбирает для данных Е и р классическую орбиту, удовлетворяющую условию

ИЛИ

马" + ("*)力禦=ё(6.84)

Напомним, что ”工 зависит от орбиты, т. е. ”工=”工(Е^л (石))・ Для ПСФ (6.83) дает-

乡(Е)=工,・ Ll^exp (登 Wp (Е)) ,(6.85)

п, р

где

Fp(£) = S (£кл) + Ех (£кл) -(^р + ^Пх. (£кл),(6.86)

а £кл —функция от Е (6.84). Уровни энергии являются полюсами 乡(£), соответствующими

Wp (Е) = 2mntl, m = 1, 2/р = 0,. 1, 2,.(6.87)

Отметим, что уровни энергии (6.87) характеризуются двумя целыми числами тир. Это согласуется с нашим ожиданием, что двумерное связанное состояние должно иметь два квантовых числа. Квантовое число т в квазиклассическом приближении соответствует числу полных волн, укладывающихся вдоль выбранной орбиты, а р отвечает поперечным возбуждениям орбиты. Отметим, что квантовая энергия Е в (6.84) не равна энергии соответствующей классической орбиты Е^л в отличие от одномерного случая (6.65). Их разность (р + 1/2) й dv^d% можно отнести к энергии поперечных к орбите флуктуаций; эта возможность отсутствует в одномерном случае. Напомним, что для частного случая (6.79), (6.80) ”工=сот и данный добавочный член равен (р + 1/2)力s, т. е. тому значению, которого следовало ожидать для поперечных возбуждений типа гармонических.

Обобщение результатов (6.84)—(6.87) на несколько степеней свободы и на теорию поля очевидно. Для N нерелятивистских координат г (/) в (6.71) отвечает ^-вeктopy. ПСФ опять отбирает периодическую классическую орбиту гкл (/). Оператор

представляет собой N X W-матрицу. Уравнение устойчивости (6.75) теперь имеет N независимых собственных функций 眾(f) с углами стабильности v；. Угол v0 опять обращается в нуль, так как |0 =「нл, и если других симметрий нет, то остальные 電厶 i = 1, ...» N —— 1 вообще говоря отличны от нуля. В выражении (6.74) множитель [2/ sin (nvi/2) J"1 заменяется произведением

п ⑵ sin(d/2)「i,

отвечающим флуктуациям по N — 1 поперечным к орбите направлениям. Далее результаты (6.84)——(6.87) обобщаются так:

Ек” + £3+1/2).力黑=Е,(6.88)

а уровни энерги-и удовлетворяют соотношениям

"{р：}(Е) 2/шх九tn= 0, 1,2, ... ,(6.89)

pt = 0, 1, 2,…， для каждого Z,

где

w{p.} (£) = S [JK + EX (%,) — g (Pi + 1/2)力r.(6.90)

Мы отметили, что один угол стабильности v0 всегда равен нулю в силу симметрии относительно трансляций по времени; если других симметрий нет, то остальные углы вообще говоря не равны нулю. Но если лагранжиан обладает другими непрерывными симметриями, то они могут приводить к исчезновению некоторых V； точно так же, как они приводили к исчезновению некоторых частот «г в предыдущей главе. В этом случае некоторую периодическую орбиту гкл (0 можно непрерывным образом деформировать с помощью оператора симметрии Р в близлежащие периодические орбиты Гкл = Р「кл, обладающие таким же периодом. Тогда соответствующая мода деформации | (£)= = Гкл (0 — Гкл (0 также будет иметь тот же период и, следовательно, нулевой угол стабильности. Такие симметрии, как и при квантовании статических решений, приводят к трудностям в нашем методе: множитель [2i sin (nvi^V1 расходится. Конечно, результаты ПСФ в главном порядке (6.88)—(6.90) при этом не изменяются. Мы будем работать только в главном порядке, но если необходимо рассмотрение поправок более высоких порядков в случае нулевых углов стабильности, то метод необходимо модифицировать. Более подробное обсуждение данной задачи можно найти в приложении А работы [102], а также в гл. 8.

Помня об этих трудностях с нулевыми модами, обобщим наш метод на теорию поля, рассматриваемую как систему с бесконечным числом степеней свободы. Возьмем, например, скалярное поле 3 (х, £) с действием

Sk” [问=j成[[♦(等 fdx —у问],(6.91)

где

Тогда

乡(Е)三 Тг(-^~) =专 jd7exp(iE77力G(7),(6.93)

о

где G (Т) определяется из функционального интеграла (6.34). Дальнейшие шаги формально те же. ПСФ опять отбирает классические решения З^л (х, /). Уравнение устойчивости (обобщение уравнения (6.75)) имеет вид

(—崇—『'Н(х，/)三[—磊+ С —(豈氢Jj(x, /) = 0.

КЛ (6.94)

Так как 屮代口 (х, /) периодично с периодом т, решения удовлетворяют условию

®(х, / + t) = ?v^; (х, /) для всех х, /.(6.95)

Главное отличие заключается в том, что обычные периодические граничные условия в ящике здесь приводят к бесконечному числу независимых решений 扇(х, /) с соответствующими ”，В результате конечная сумма по индексу i в (6.88)——(6.90) теперь становится бесконечной. Поэтому сумма 工修 в общем случае может расходиться, так же как сумма по нормальным частотам в предыдущей главе. В перенормируемой теории эту расходимость можно устранить введением обычных контрчленов. Таким образом, применяя результаты (6.88)——(6.90) в полевой теории, будем считать, что в действие и энергию введены контрчлены. Поэтому заменим (6.88)—(6.90) на

ОО

稣* (综口)+ Екч Зк.т) + У 3 + 1/2)力芻=Е， (6.96) о

%»(Е)= 2"?哂(6.97)

где

W{Pi} (Е) = 5КЛ *к" + Sk4 [%" + Ex (綜“)-$ 3• + 1/2)力％. (6.98)

Здесь индекс «кч» обозначает вклад контрчленов, которые устраняют расходимости в бесконечных суммах. Уравнение (6.96) отбирает для данного Е и набора целых чисел {〃} классическое периодическое решение %口. Тогда те значения Е, которые удовлетворяют (6.97), (6.98), дают перенормированные энергии связанных состояний. Эти уравнения мы поясним в гл. 7 на примере модели синус-Гордона.

6*5.)Заключительные замечания по методу ВКБ

В отличие от методов гл. 5 описанный здесь метод ВКБ позволяет квантовать не только статические классические решения, по и решения, зависящие от времени. Однако работать с ним труднее, чем с методом квантования статических решений в приближении слабой связи, описанным в гл. 5. Кроме того, что формулы в методе ВКБ более сложны, требуется еще информация либо ()всех, либо о некоторых семействах точных зависящих от времени периодических классических решений. Для этих решений необходимо вычислять, решая линейное уравнение устойчивости,

углы стабильности v；. Эти вычисления чисто классические, но проводить их нелегко. Мы уже видели из предыдущих глав, что решать нелинейные полевые уравнения даже статические, не говоря уже о зависящих от времени, трудно. Однако, хотя получить классические решения и сложно, точно разрешить соответствующую квантовополевую задачу еще сложнее. Лишь в редких случаях можно решить квантовополевую задачу, не решая соответствующей классической задачи. Метод ВКБ позволяет получить некоторые приближенные квантовые результаты, если имеется необходимая классическая информация. Но следует отметить, что основное узкое место этого метода заключается в отсутствии в настоящее время точных периодических классических решений для большинства полевых теорий. Система синус-Гордона, которую мы используем в гл. 7, является редким исключением.

Если классические решения известны, то метод ВКБ является более мощным инструментом, чем метод «слабой связи» гл. 5. Конечно, в методе ВКБ также используют условие слабой связи, чтобы получить хорошее приближение, поскольку членами третьего и более высоких порядков по флуктуациям пренебрегают. Но1 классические решения, на которых основывается главное приближение стационарной фазы, содержат важную непертурбативную информацию. В отличие от статических решений, которые дают информацию об областях минимума потенциала, набор всех периодических орбит дает информацию о всех его областях. Возьмем, например, простой случай негармонического осциллятора (V (q)— = o2q2/2 + 九 q&/4). Высо кол ежащие уровни энергии (для которых метод ВКБ, вообще говоря, работает лучше) связаны с высокоэнергетическими периодическими орбитами в областях, где негармонический член 九9& больше гармонического члена(о2^2. Хотя точно определить классические орбиты, необходимые для нашего квазиклассического формализма, трудно, но они дают важную непертурбативную информацию. Можно сравнить полученные методом ВКБ уровни энергии для негармонического осциллятора с найденными численно с хорошим приближением [216]. Оказывается даже в пределе сильного взаимодействия (九》①纟)ВКБ- приближение справедливо с точностью 1 % или лучше для всех уровней, за исключением основного состояния, для" которого точность составляет около 22 %. Метод ВКБ, конечно, точен в пределе 九一＞ 0. Таким образом, по крайней мере в этом примере ВКБ-результаты достаточно точны для большинства уровней энергии и для большой области значений 九.Трудно сказать, сохранится ли такая точность для типичных задач теории поля, но пример с негармоническим осциллятором дает повод для оптимизма. Действительно, для модели синус-Гордона результаты окажутся точными. Правда, этот пример нетипичен в силу своих специфических свойств. Для оценки точности метода его необ-

ходимо применить к большему числу полевых задач. Основная грудность, возникающая при этом, заключается, как4MH отмесили, в отсутствии точных периодических классических решений.

Сделаем еще одно последнее замечание о рассматриваемом здесь и в гл. 5 квазиклассическом методе. С одной стороны, ква- зиклассическое^приближение хорошо работает только в том случае, когда й мало по сравнению, скажем, с действием для класси- ческих|решений, используемых в этом методе. С другой стороны, мы также подчеркнули, что метод требует выполнения условия слабой связи, чтобы можно было отбрасывать члены третьего и более высоких порядков по флуктуациям в ПСФ. Необходимость выполнения этих двух условий ——малости 方 и малости константы связи — можно продемонстрировать следующим образом. Рассмотрим скалярную полевую теорию с потенциалом U (6) в виде

U®) = ("g2)0 仔),(6.99)

где g —— константа связи, малости которой мы требуем,屮 三 g@, a U (3) не зависит явно от g. Отметим, что этот вид потенциала справедлив для большинства рассмотренных выше моделей. Например, для кинк-системы (уравнение (5.36)) можно записать

U3)=4^0 -加泌)2 = (1/炉)［；加 2(f- 1)2］，(6.Ю0)

где g2 三 Vm3 н 3 三 g@. Аналогично для системы синус-Гордона (уравнение (2.61)) имеем

U仲)=(加&/儿){1 — cos ［(/Vm)屮］} = (1/g,財2(i — cos^)］. (6.101)

Конечно U (夕)может зависеть от остальных параметров лагранжиана, например от массы. Для потенциала вида (6.99) действие можно записать в виде

S g (х, 0J = J 山 j dx ［4 (电” —и ®］=

二* j 成 j dx /竭)2 一 й (初=^S 闹，(6.102)

где S ［屮］не зависит явно от g. Рассмотрим любой типичный Iрункциональный интеграл нашего квазиклассического метода, например встречающийся в уравнении (6.34):

〃 (Т) 丁 J 勿 а (х, /)］ ехр {(〃%) S ［问}=

=j 勿［问 exp (备豆嗣)=/ j 笏丽 exp (岔 0］/%g2),(6.103)

где~ константа А возникает при замене 2 ［力］на 2 ［屮］.(Константа Л может содержать бесконечные степени 1/g, но так как она工является общим множителем функционального интеграла, то на физику она не влияет. Ее можно устранить соответствующей переформулировкой меры функционального интеграла.) Из^(б.ЮЗ) мы видим, что вся зависимость подынтегрального выражения от ^ заключена в комбинации (Sg2)"1 в экспоненте. Таким образом, для справедливости приближения стационарной фазы требуется, чтобы комбинация 力g? была мала по сравнению с действием S ［屮^口］ для стационарных орбит, т. е. классических решений. Это точный критерий, который, конечно, удовлетворяется, когда й и g2 малы.

Отметим, что, хотя мы использовали одно скалярное поле, этот вывод справедлив для любого набора полей, еслй действие можно записать в виде (6.102). Например, для теории Янга— Миллса действие можно представить в таком виде в терминах соответствующим образом масштабно преобразованных матричных полей Дц (см. (4.10)). Для справедливости квазиклассиче- ских результатов в этой теории опять требуется малость величины, 力gZ К сожалению, в чистой теории Янга——Миллса g (с соответствующей перенормировкой) невозможно считать малым. Это вызывает сомнение в квазиклассических результатах для такой теории. Данная проблема обсуждается в разд. 10.5.

НЕСКОЛЬКО ТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Спектр связанных состояний в теории синус-Гордона

Проиллюстрируем развитый в гл. 6 метод ВКБ, применив его к двумерной модели синус-Гордона (СГ). Выбор модели СГ в качестве иллюстрации дает некоторые преимущества, но имеет и одно неудобство. Преимуществ несколько. Мы уже рассмотрели эту модель в гл. 2 на классическом уровне. Известны все классические решения этой модели, в частности семейство периодических решений получается в простой аналитической форме. Последние представляют собой дублетные решения или бризеры, задаваемые уравнением (2.78). Они могут быть использованы как исходные данные для метода ВКБ. Возникающая в результате реализации этого метода алгебра оказывается легко поддающейся обработке и удивительно простой. Кроме того, как мы упоминали в гл. 2, система СГ является очень специфической системой с рядом интересных свойств. В результате оказывается, что спектр связанных состояний, который дается методом ВКБ, является точным. Эта система также эквивалентна массивной модели Тирринга; при этом солитонное состояние СГ отождествляется с фермионом. Используя систему СГ для иллюстрирования метода ВКБ, мы также воспользуемся случаем обсудить некоторые специфические черты этой системы. Неудобство как раз в том и состоит, что система СГ специфична. Некоторые аспекты полученных нами результатов не типичны для метода ВКБ. Мы постараемся, насколько это возможно, отделять аспекты результатов, специфичные для системы СГ, от более общих выводов.

Будем следовать работе Дашена и др. [102 ], которые применили метод ВКБ для вычисления спектра связанных состояний в системе СГ. Квазиклассическое квантование системы СГ было гакже независимо проведено в серии работ Фаддеевым с соавторами. (Некоторые ссылки на эти работы приведены в гл. 2; полный список работ см. в статье [131 ].) Фаддеев и Тахтаджян [127] решали классическое уравнение СГ путем определения переменных действие —— угол для этой системы. В этих переменных классический гамильтониан сводится к сумме вкладов от свободных частиц (см. (2.79)). После этого квазиклассическое квантование проводится непосредственно, В частности, дискретный спектр

дублетов легко получить, если заметить, что угловая переменная, ассоциируемая с дублетными решениями (обозначаемая рй), имеет компактную область изменения 0《 卩匕 w 32лт2/^ (разд. 2.5). Метод Фаддеева весьма изящен, но он приспособлен к специальным системам типа модели СГ, для которых можно получить полный набор переменных действие ——угол. Вместо этого мы выводим спектр СГ с помощью метода ВКБ, поскольку этот метод применим к более широкому классу систем. Процедура, иллюстрируемая ниже примером СГ, может быть использована в любой другой полевой теории независимо от того, обладает ли она сепарабельностью гамильтониана и другими замечательными свойствами модели СГ, лишь бы имелось семейство периодических классических решений.

Напомним обсуждение классической модели СГ в гл. 2. Плотность лагранжиана (2.61), приводимая здесь снова для удобства, включает одно скалярное поле ф (х, /) и определяется выражением

■ ^(X, 0 = 4 (电仍2 一(/球小){1 - COS [(/工/加"]}. (7.1)

В гл. 2 мы изменили масштаб переменных: хц = тх^ н 屮 = =(7/Vm) ^, чтобы в результате исключить параметры т2 и 九. Но теперь мы сохраним исходные переменные, поскольку т2 и X имеют существенное значение в квантовом контексте. Подразумевается, что классические результаты гл. 2 должны быть выражены через 3 (х, /), прежде чем использовать их в этом разделе. Потенциал U (屮)=(m4/^) {1 — cos [(j/X/m)屮]} имеет дискретные вырожденные абсолютные минимумы при § = (тМ九)(2几冗)， и — —оо,…，一-1, 0, 1,…，оо. Это приводит к спонтанному нарушению симметрии в квантованной теории. Вакуумный сектор состояний может быть построен вокруг любого из этих минимумов. Для конкретности рассмотрим вакуумный сектор, построенный вокруг 3 = 0. Тогда лагранжиан может быть разложен в ряд в окрестности 屮 = 0 по образцу (2.62). В этом разложении в порядке 九° система (2.62) есть свободная полевая теория с бозонной массой т (в отличие от системы кинка в гл. 2 и 5, где бозонная масса равна ул2т). Энергия этого вакуумного состояния, очевидно, равна

Евак = £ 扌/睛 + 川+。(2, Lkn = 2лп. (7.2)

В выражении (7.2) и ниже мы будем полагать 力=1 в соответствии с общепринятой практикой квантовой теории поля. Зависимость квазиклассического разложения от й была явно показана в предыдущих главах и может быть при необходимости введена.

В гл. 2二мь>1 привели также классические решения' модели СГ. Односолитонное и антисолитонное решения (2.72) являются статическими. Поэтому они могут быть проквантованы с использованием методов гл. 5, приводя к квантовым солитонным и анти- солитонным частицам. Эта модель приводит также к «дублетным» решениям, или «бризерам» (2.78). Это непрерывное семейство периодически зависящих от времени решений, и они могут быть проквантованы методом ВКБ, намеченным в общих чертах в гл. 6, приводя к связанным состояниям. Кроме того, система СГ приводит также к рассеивающимся решениям, содержащим произвольное число солитонов, антисолитонов и дублетов (таким, как (2.73) и (2.77)). Эти решения не периодические (за исключением артефакта помещения всей системы в ящик с соответствующими периодическими граничными условиями). В квантованной теории они соответствуют состояниям рассеяния. Чтобы получить спектр частиц (связанных состояний) в СГ-теории, нужно проквантовать только солитонное, антисолитонное и дублетное решения.

МАССА КВАНТОВОГО СОЛИТОНА

Определенный в (2.72) СГ-солитон ЗсоЛ (х) является статическим решением (1 + 1)-мерной скалярной теории поля, обладающим топологическим зарядом. Он весьма похож на кинковое решение теории *& и может быть проквантован аналогичным образом. Эта процедура тождественна .той, которая была проведена в гл. 5. Поэтому мы будем опускать детали и наметим только основные этапы. В окрестности %оЛ (х) может быть построен сектор энергетических уровней, низший из которых есть квантовая солитонная частица теории СГ. Ее масса состоит из классического слагаемого, за которым следуют квантовые поправки. Энергия классического солитона, полученная в разд. 2.5 при подстановке (2.72) в (2.66), есть

Енл [%ол] = 8т3Д.(7.3)

В главном порядке квантовые поправки получаются в терминах частот нормальных мод второй производной потенциальной энергии. Потенциальная энергия есть

力网=jd*{4■(要f+用1 — cos(g 间}. (7.4)

Частоты нормальных мод Sg определяются уравнением

[―晶+ 加2 cos (¥%ол)]11<?а)= ^%(х).(7.5)

Это уравнение аналогично (5.48). В порядке Z0 квантовая поправка к массе солитона Мсоя дается выражением (разд. 5.4)

~Sg + Укч [^сол]»

где [—匕乜(3)] — контр член нормального упорядочения, который должен быть добавлен в лагранжиан. Для скалярного поля в двух измерениях с взаимодействием без производных это единственные расходимости. Здесь потенциал не является полиномом, но, поскольку косинус есть не что иное, как сумма экспо-

Рис. 12. а — типичный фейнмановский граф, приводящий к поправке от нормального упорядочения к константе четверного взаимодействия X; б — соответствующая поправка к 加в — вклад низшего порядка в 6加2.

нент, он может быть легко нормально упорядочен с помощью стандартных методов. По существу используется хорошо известное тождество

е ~ е е е , если а+] = стислу.

Результат имеет вид [86, 102 ]

果:[cos (，力—1]：=(加 J 3硝辱[cos (S 3)— 1] • (7.6)

Этот результат также можно понять, разлагая cos [(i/X/m) ф] в степенной ряд (2.62) и строя диаграммы Фейнмана для функций Грина. Как Z, так и т2 вследствие отсутствия нормального упорядочения приводят к расходящимся поправкам, обусловленным такими графами, как на рис. 12, а и б, соответственно. Но эти поправки сокращаются в 九/优 что очевидно из примера этих графов, которые содержат одни и те же петлевые интегралы. Следовательно, единственное изменение в (7.6), обусловленное нормальным упорядочением, проявляется в замене множителя т2 на (т2 — 6m2). В низшем порядке 6m2 определяется графом на рис. 12, в, который дает

dk/卧+小2dk/卧+小2(7.7)(7.7)

dk

/卧+小2

dk

/卧+小2

(7.7)

(7.7)

Кроме того, мы должны вычесть вакуумную энергию (7.2), так же как мы сделали в гл. 5. В результате получаем

VK4 仲]=—6m2-^- f [1 — cos 3)]厶一Евак・ (7.8)

Отсюда при использовании (7.2) для главной квантовой поправки к «солитонной массе» получаем выражение

Зезд-6/и2号 j 1 _ COS (g九。П)卜 X^-工 /.

0-8*n

(7.9)

Дашен и др. [102 ] нашли все решения уравнения (7.5) и подставили (0q вместе с 6m2 из (7.7) и ^сол из (2.72) в (7.9). Результат состоит в том, что выражение (7.9) конечно при стремящемся к бесконечности импульсном обрезании и равно (—m/л). Следовательно, квантовая масса солитона есть

財con ~ 8т3/Х — т/л + О (%).(7.10)

К этому солитонному состоянию применимы подробное обсуждение и оговорки, приведенные в гл. 5. В частности, таким же образом можно построить антисолитонный сектор состояний вокруг ^антисол- В силу симметрии 3 -> —3 масса квантового антисолитона такая же, как 7ИСол-

МАССЫ ДУБЛЕТОВ

Дублетные решения имеют вид

加(х, /)=鏡 arctg), i)

И л \ch }辞一1/t)丿

где просто выражено (2.78) через 3 (%, /) и период т. Переменная т 三 тт/2л безразмерна. Выражение (7.11) дает непрерывное семейство периодических решений, параметризованных периодом т. Они могут быть проквантованы методом ВКБ, развитым в разд. 6.4. Соответствующие энергии связанных состояний определяются уравнениями (6.96)—(6.98). Все, что требуется, это вычислить различные члены в этих уравнениях для решения (7.11).

Классическое действие для этого решения за период равно

Sk” [闷=j 或 j叫；仇加)2 + 4-[cos (S 衿)-1]}- (7.12) 0-8

При подстановке (7.11) и интегрировании имеем

Sjd [勿]=32л (m2/Z) [arc cos(1/t) — /%二 1].(7.13)

Углы стабильности получаются из решений линейного уравнения устойчивости

(_磊_ и" им)用三

三[為"+ 鳥' —加 cos (占占加)]口(招 0 = °， (7.14) где

口(爲 t^%) = ^^(X, /).(7.15)

Дашен и др. [102] нашли все решения уравнения (7.14), используя следующую разумную идею. Вспомним из разд. 6.4, что линейное уравнение устойчивости удовлетвориется для любого малого классического возмущения данного решения. Но для модели СГ имеются точные классические решения, состоящие из произвольного числа дублетов. Рассмотрим решения с двумя дублетами, где один из дублетов есть заданное 加(х, /), а другой имеет очень малую амплитуду и произвольную скорость. Таким образом, имеется бесконечное число точных решений, которые являются малыми возмущениями данного %. Используя их, Дашен и др. выделили все независимые решения (7.14) и соответствующие углы стабильности. Мы не будем остан авл и в аться на деталях, так как решить линейное уравнение (7.14) хотя и не легко, но ход решения в принципе совершенно ясен. Результат имеет вид

v0 = 0, % = 0,(7.16)

а далее следует континуум решений с

^" =工/ 加+ *，(7.17)

где.

Lqn + 6 (qn) = 2лт],(7.18)

6 仇)=4 arc tg (/и /守一1/疗).(7.19)

Здесь L — полный объем, который стремится к бесконечности. В этом пределе множество решений, характеризуемых qn, становится континуумом. Как и следовало ожидать, два угла стабильности равны нулю. Один нуль связан с обязательным решением % (х, /) = (d /dt)九(х, /),

рассмотренным в гл. 6. Другой связан с симметрией системы относительно пространственных вращений. Для произвольного реше-

ния 九 (х, /) функция 九(尤 + За, /) есть также точное решение с тем же периодом. Следовательно,刀】(х, /)〜 ［小工(х + Ьа, /)— ——3工(尤，/)］/За имеет нулевой угол стабильности v1( Как мы неоднократно отмечали, если мы работаем только в главном порядке по квантовым флуктуациям, то такие нулевые моды не создают никаких проблем. В главном порядке ВКБ-результатов (6.96)— (6.98) для энергий связанных состояний мы можем эффективно не учитывать нулевые моды. Остальные углы, задаваемые в (7.17), не равны нулю.'

Наконец, вклад от контрчлена есть

5кЧ ［加］=-J 力 VK4 ［悶=

di J d“l — cos (峥 加)］+ 貝 £ /疗 + 限(720)

где подставлены Укч ［旬 из (7.8), (7.7) и (7.2). Таким образом, мы собрали все ингредиенты, необходимые для подстановки в уравнения (6.96)—(6.98). Напомним, что эти уравнения определяют энергетические уровни, характеризуемые главным квантовым числом m и квантовыми числами 〃，i — 0, 1, …，оо, определяющими поперечные к орбите направления. Чтобы получить основные дублетные связанные состояния, мы можем положить все 色 = 0 для любого данного т. Это аналогично приравниванию Мп = 0 в (5.55) для получения основного состояния кинка. Если одно из рг т^ 0, z > 1, то мы получаем более высокие возбуждения непрерывных мод в (7.17), (7.18). Они соответствуют рассеивающимся решениям для дублетов с мезонами этой теории, совершенно так же, как в секторе кинка в гл. 5. Когда все 〃 = 0 в (6.96)——(6.98), мы имеем дело с комбинацией

Srji ［同 + SK4 ［加］一等工i

Каждое из этих слагаемых приведено выше в явном виде. Мы имеем

工工七/律+暗(7.21)

При L -> оо эта сумма с использованием (7.18) может быть превращена в интеграл, который квадратично расходится. Эта квадратичная расходимость сокращается с аналогичной расходимостью

в сумме по kn в SK4 (7.20). Остающаяся логарифмическая расходимость сокращается с другим слагаемым в SK4, пропорциональным 6m2, приведенному в (7.7). Во всем этом можно убедиться, так же как в разд. 5.4, вычислив сначала SK4 [фс] ^"Xg^Wg孔 при конечном объеме L и конечном импульсном обрезании А. Как и следовало ожидать в перенормируемой теории, расходящиеся слагаемые сокращаются, приводя к конечному результату при L, А -> оо, который имеет вид

(7.22)(7.22)Sk,阳 一 } £ % = 4 [/т2 - 1 - arccos(l/r)]=

(7.22)

(7.22)

=一 (^/8л/п2) SKJ][加]

при сравнении с (7.13). Следовательно,

Sk“ 岡 + SK4 阳 一 X V； = (1 - Z/8nm2) SK4 [闷=

(7.23)(7.23),=(32л/у) [arc cos (1/f) —— 1 ],

(7.23)

(7.23)

где

(7.24)(7.24)=九/加 2

(7.24)

(7.24)

Y _ 1 一九/8冗加2 .

Это замечательно простой результат. Эффект от квантовых

поправок состоит просто в умножении классического действия на общий постоянный множитель, не зависящий от т. Сравнивая (7.23) с (7.13), мы видим, что в результате квантовых поправок константа связи (Z/m2) заменена «перенормированной» константой связи у. По существу то же произошло и с солитонной массой в (7.10). В главном порядке мы можем написать

Мзол = 8m3/Z — m/л = 8т/у.(7.25)

Эти упрощающие черты специфичны для системы СГ. Они и не типичны, и не существенны для работы метода ВКБ, но они делают анализ спектра СГ весьма простым. Приводя результаты (7.13)—(7.23), мы опустили значительное количество алгебраических деталей, поскольку они не содержат никаких новых принципов помимо тех, которые обсуждались в гл. 5 и 6. Более подробные сведения см. в статье 1102].

Если известен результат (7.23), спектр связанных состояний легко вычислить из (6.96)—(6.98). Когда все 卩 二 0, уравнение (6.96) дает

e = 一 (Sun [加]+ Sk4 停工]g-工也

=—告(幣【arc cos (l/т)- /F^I])=竿 ^^, (7.26)

где следует помнить, что т 三 тт/2л. Приведенное уравнение связывает с произвольным Е (энергетической переменной в пропагаторе 9 (£) = Tr [1 /(Е — Я) ]) некоторое классическое решение % (%, /), период 七(Е) которого определяется этим уравнением. Вспомним, однако, что Е не является классической энергией этого решения. Последняя определяется как £кл = — (55кл/5т). Разность между £ и £кл есть не что иное, как энергия нулевых флуктуаций в направлениях, перпендикулярных орбите.

При использовании (7.23) и (7.26) уравнение (6.98) дает

呼(Е) = Sk.”[%] + SK4 [悶—$ 工 ％ + Ет (Е)=

—(32л/у) [arc cos(l/f)—丿评一1] + (32л/у) -jZt2 — 1 =

=(32л/у) arc cos(1/t) = (32л/у) arc sin (£у/16т). (7.27)

Наконец, условие квантования (6.97) определяет уровни энергии связанных состояний'при Е = MN, где

W(MN)二 2Мл, или

Mn = (16m/y) sin (Ny/16), TV = 1, 2,<8л/у.(7.28)

Формально условие квантования допускает все целые значения ^ от 1 до оо, но при N > 8л/у мы выходим за пределы классических дублетных решений, на которых базируются эти связанные состояния. Чтобы это видеть, обратим (7.26) и, используя (7.28), напишем

т (MQ = (2л/т) sec (Му/16).(7.29)

Здесь т (Mv) — период классического дублета, соответствующего ^-мy связанному состоянию. Но классическое дублетное решение соответствует связанной паре солитон—антисолитон, которые осциллируют друг относительно друга с периодом т. Дублеты существуют только при 0 < т < оо. При т -> оо пара солитон——ан- гисолитон стремится распасться. Из (7.29) мы видим, что, когда /V f 8冗/丫 снизу, т (財^) f °°・ Поэтому для N > 8л/у не существует соответствующих классических дублетов и квантовых свя- мнннх состояний. Следовательно, (7.28) справедливо только для целых значений Л\ меньших 8л/у.

Таким образом, мы получили в (7.28) конечный набор связанных состояний, соответствующих классическим дублетным решениям. Напомним, что классические дублеты имеют нулевой топологический заряд (知(％, f) f 0 при %f ±оо). Соответственно все связанные состояния в (7.28) принадлежат вакуумному сек- гору этой квантовой теории. Хотя изображенное на рис. 5, б клас- с'ическое решение 九(％, /) выглядит как волновая функция нере-

лятивистского одномерного основного состояния, функция 九（川川）（居 力 依 является волновой функцией TV-го связанного состояния в （7.28）. Напомним, что сейчас мы работаем с квантовой теорией поля, волновыми функциями которой являются функционалы 4r ⑴ от полей. Аналогичное предупреждение сделано в гл. 5. Классические решения %（乂川）（居 /） имеют такое же отношение к волновым функционалам основных состояний 中^ ［小］, как орбиты Бора к волновым функциям атома водорода.

На этом можно закончить иллюстрацию метода ВКБ в теории поля с использованием системы СГ в качестве примера. Но результат （7.28） имеет много интересных свойств, заслуживающих специального рассмотрения. Эти свойства убедительно указывают на то, что результат （7.28） является точным для отношений масс.

］ Интерпретация дублетных состояний

При слабой связи （Z/m2《 1） масса MN в （7.28） может быть разложена в ряд

мn = -— （幣-（3制）3 + 0 （产））=

="加（1一+ （备侬））•（7・30）

Низшее из связанных состояний имеет массу

=+ （备У+Ое））・（7・31）

С другой стороны, СГ-лагранжиан, разложенный по степеням Z/m2, в нулевом порядке по （Vm2） дает （см. （2.62）） свободную теорию поля с «элементарным» бозоном массы т. Когда взаимодействие включено на малую величину, по стандартной теории возмущений масса «элементарного» бозона （после вычитания контр- членов нормального упорядочения） равна m + О （Z2）. Сравнивая это с 財и мы отождествляем низшее из дублетных состояний с «элементарным» бозоном этой теории. Представляется неправдоподобным, что в вакуумном секторе может быть второе дискретное состояние, отличное от элементарного бозона, масса которого также сводится к m при слабой связи. Массы MN более высоких состояний могут быть представлены в форме

Мд, = мм J1 _ _|_ （Z/16m2）2 （№ - 1） + O（Z3）］ .（7.32）

Очевидно, что при слабой связи эти состояния можно ^рассматри- вать как квазисвободные связанные состояния N «элементарных» бозонов с энергией связи

NM* - MN = ~^ Мг 0/16m2）2 （%з —从）+ о 們.（7.33）

11ри слабой связи квантовое число N обозначает число «элемен гарных» бозонов в связанном состоянии.

Мы использовали слово «элементарный» в кавычках потому, что при нашем выводе состояние № = 1 не имеет никаких специальных отличительных черт по сравнению с другими. Все они появляются как семейство связанных состояний, основанных на классических дублетных решениях, и состояние «элементарного» бозона как раз оказывается наинизшим. Дублетное решение, соответствующее данному М имеет вид (см. (7.29) и (7.11))

加(X, о =醫 arc tg [tg (祭)举儂黯需]•(7-34) Все они являются «бризерными» полевыми конфигурациями с общим профилем, показанным на рис. 5, 6. Конфигурация с N = 1 ничем не выделена по сравнению с другими. Эти результаты согласуются с представлением о «ядерной демократии», которую в течение долгого времени отстаивали Чью и др. [80 ] как часть бут- стрепного подхода к адронам, В этом подходе особое значение придается отсутствию какого-либо фундаментального различия между «элементарными» и «композитными» адронами. Интересно, что наш метод подтверждает эту мысль в контексте теории поля, когда можно было бы ожидать, что «элементарный» бозон, связанный с полем, играет особую роль.

Дашен и др. сравнили значения отношения масс MN!М.х, найденные методом ВКБ и другими методами. Под последними мы имеем в виду вычисления, проведенные для А^-бозонного связанного состояния с использованием теории возмущений и диаграмм Фейнмана.

В порядке 九 теория СГ является ?1^4-теорией с притяжением (см. (2.62)), которая в нерелятивистском пределе соответствует притягивающему взаимодействию между бозонами, задаваемому выражением 1/ (%)=——(Z/8m2) 6 (%). Так как при слабой связи ^-бозонная энергия связи мала [О (V) ], ее можно вычислить, используя нерелятивистское уравнение Шредингера для N тел с 6-образным потенциалом

N 」 \

一击e备一爲e 6"一打)卜华3,, xq= 、 f=l i=f=j /

=一或)W笈)(札 汇n).(7.35) (Напомним, что в низшем порядке масса бозона есть т.) Это уравнение допускает решение относительно его собственного значения для основного состояния и дает

%= +(№ _2)(九/16欣)2/71, (7.36)

что согласуется с ВКБ-энергией связи (7.33) в главном порядке О (Z2). Сравнение можно продолжить, рассчитывая отношение масс (УН?…2М^1 Мг в старших порядках по 九 при помощи суммирования фейнмановских диаграмм. Ряд Бете——Солпитера итерируется при использовании в качестве ядра упругой амплитуды 2 -> 2, точно вычисленной в порядке (Z/m2)3 из диаграмм Фейнмана. Суммируемые диаграммы показаны на рис. 13. Хотя в прин-

+ кроссина-dua 叩 clmmn+ кроссина-dua 叩 clmmn

+ кроссина-dua 叩 clmmn

+ кроссина-dua 叩 clmmn

++2Ml — М27Й；2Ml — М27Й；（鳥（鳥16酒16酒3I +3I +

+

+

2Ml — М27Й；

2Ml — М27Й；

（鳥

（鳥

16酒

16酒

3

I +

3

I +

- 6 -

Рис. 13. Для получения связанного состояния М2 в амплитуде рассеяния Mi + + Mi суммируется последовательность диаграмм Бете — Солпитера (а). Ядро определяется в порядке 九з диаграммой 6, а пропагатор задается в. .

ципе этот диаграммный метод является просто теорией возмущений, на практике он в высшей степени нетривиален, поскольку само ядро определяется в «двухпетлевом» порядке. Способ вычислений описан в статье [102], и результат имеет вид

+ （亲一 1^）（备丫 +。們・（7-37）

Метод ВКБ для этой величины дает выражение (см. (7.28))

=2 [1 — cos (у/16)].=2 [1 — cos (у/16)].(7.38)(7.38)2Ml —必 — 2 sin(т/16) — sin (丫/8)

=2 [1 — cos (у/16)].

=2 [1 — cos (у/16)].

(7.38)

(7.38)

^： sin (у/16)

При разложении в ряд это точно согласуется с выражением по теории возмущений (7.37) вплоть до порядка ”. Это удивительный результат. При сравнении нашего функционально-интег-

рального вывода приближения ВКБ по методу стационарной фазы с аналогичным выводом пертурбативного «петлевого» разложения с помощью функциональных методов можно：ожидать, что эти два метода согласуются на однопетлевом уровне. Согласие на двухпетлевом уровне неожиданно и не будет иметь места для произвольной полевой теории. То, что В КБ-результат согласуется с теорией возмущений вплоть до двух петель, есть другая специфическая черта теории СГ. Это также первое указание на то, что такие В КБ-результаты для этой теории могут оказаться точными. Заметим, однако, что это согласие с теорией возмущений имеет место только для отношения масс. Когда по стандартной теории возмущений вычисляется сама масса М± с помощью расчета собственной энергии бозона в порядке Z2, результат не совпадает с разложением в ряд В КБ -результата (7.31). В той степени, в какой мы считаем В КБ-результаты точными для модели СГ, такое совпадение имеет место только для отношения масс, а не для отдельных масс в (7.28). Такого ограничения следовало ожидать. Всеобщий масштаб масс квантовой теории устанавливается при нормальном упорядочении, которое заменяет т2 на т2 — 6m2. Процедура нормального упорядочения имеет неоднозначности (см. [86]), связанные с массой, по отношению к которой производится упорядочение. Это элементарный пример ренормгруппы. Исходя из этой неоднозначности, мы не можем ожидать, что метод ВКБ даст масштаб масс.

Система СГ обнаруживает и другое важное свойство. Для слабой связи из результата (7.32) мы видим, что MN только немного меньше, чем NM±. В частности, MN > 2此 при N 3 и малых Vm2. Поэтому уровни с N 乒 3, по-видимому, лежат в континууме из двух или больше частиц с TV = 1. В обычном случае мы ожидали бы, что эти высшие состояния несильно связаны и распадаются на две или больше частиц с N = L Топологический заряд не запрещает такие распады, поскольку все эти состояния принадлежат одному и тому же вакуумному сектору (Q = 0). В самом деле, тщательное исследование показывает, что в теории возмущений симметрия 3 с —@ препятствует, например, распаду 7И3 f М± + 此.(Диаграммы Фейнмана имели бы нечетное число внешних концов,) Но даже этот довод не запрещает такие распады, как ТИ4 f 府1 + 府1，TVU f M2 + Mi и т. д. Что же предсказывает теория возмущений для амплитуд таких распадов? Рассмотрим, например, процесс 此 f 財工 + 此 в системе центра масс М* В низшем порядке теории возмущений амплитуда этого распада определяется древесными диаграммами на рис. 14. Эти диаграммы' получаются из стандартной теории возмущений при разложении члена cos [(j/Z/m)屮]в лагранжиане, как в (2.62). Напомним, что в низшем порядке система М^ в покое может рассматриваться как четыре покоящихся мезона, каждый массы т.

Энергия-импульс двух мезонов в конечном состоянии, очевидно, есть(2m, / 3m) и(2/心 一7/3m). Тогда легко видеть, что фейнмановские графы на рис. 14, а, б и в дают вклады—ZZ2/48m2, —ZZ2/96m2 и zZ2/32m2 соответственно. Сумма их равна нулю! Такой же нулевой результат на уровне древесных графов может быть установлен для других процессов, например таких, как Л16 -> f 2m1,財8 f 2疝1,m5 f 3m1 и т. д. Если это справедливо также и в высших порядках (некоторые неопубликованные расчеты однопетлевых поправок подтверждают это), то мы получаем замечательный результат, состоящий в том, что все связанные состояния MN стабильны, даже если топологический заряд и сохра-

Рис. 14. Диаграммы низшего порядка (древесные), дающие вклад в распад М4 f f Mi + Afi. Вершины получены из разложения косинуса в лагранжиане.

нение энергии не запрещают распад высших связанных состояний в подходящие низшие состояния. Это еще одна специальная черта системы СГ, по-видимому, связанная с существованием бесконечного числа сохраняющихся величин, о котором упоминалось в гл. 2. Заметим, что если этот результат верен во всех порядках, то он подтверждает наше предположение, что В КБ-отношение масс является точным. В (7.28) В КБ-массы действительны и дискретны, что указывает на стабильность связанных состояний. Нестабильность обнаруживалась бы по появлению мнимых добавок к MN за счет поправок высших порядков к ВКБ-результату. Но если последний является точным, то поправок не требуется и все связанные состояния стабильны.

До сих пор наши доводы в пользу точности В КБ-отношения масс были основаны на сравнении с результатами низших порядков теории возмущений. Более убедительный довод для всех допустимых значений константы связи Vm2 (или у, что эквивалентно) следует из рассмотрения S-матрицы системы СГ. Напомним, что классическое дублетное решение можно рассматривать как связанную солитон-антисолитонную пару. То же, очевидно, справедливо для соответствующих квантовых состояний. А именно, массы Mn могут быть записаны через массу квантового солитона Мсоя (7.25):

MN = 2МООЛ sin (^7/16) < 2МСОЛ, N=\, 2, .... <8л/у. (7.39)

1-сли (7.39) — точное выражение для отношения масс MNI2MCO^, го /И^ должны быть единственными полюсами на физическом листе энергии в солитон-антисолитонной амплитуде рассеяния. В разд. 7.5 мы покажем, как эта амплитуда может быть точно вычислена; при этом полюса появляются в точности при значениях MN (7.39) для всех допустимых значений константы связи у. Дальнейшие свидетельства точности В КБ-отношений масс появляются при использовании эквивалентности модели СГ и массивной модели Тирринга, которая обсуждается ниже.

Эквивалентность моделей СГ и МТ; бозонизация

Еще в шестидесятых годах Скирм [318, 319 ] исследовал систему СГ в серии пионерских работ. Помимо прочего он предположил, что квантовые солитоны СГ, хотя они и возникают в бозонной полевой теории, могут быть эквивалентны фермионам, взаимодействующим через четырехфермионное взаимодействие. Но он предсказывал такое отождествление только для некоторых значений константы связи, и его доводы были скорее предположением, чем строгим доказательством.

Значительно позднее Коулмен [861, используя совершенно независимые методы, строго установил такую эквивалентность в рамках теории возмущений. Рассмотрим модель СГ и массивну модель Тирринга (МТ) в (1 + 1) измерениях, описываемые с помощью лагранжианов

^1 = 4~ (电①)(°"①)+ 娥(疗小){COS K/X/m) Ф]- l),(7.40)

①2=力可Y”uy一m尸可中 —}g(可Y叩)(可Y“y)， (7,41)

где 屮 一фермиевское поле, 丫卩 一 матрицы Дирака в (1 + 1) измерениях, а контр члены нормального упорядочения включены в параметры 若 и mF. Предполагая, что обе эти теории существуют, можно осуществить формальное пертурбативное разложение каждой из них. Хорошо известно, что безмассовая модель Тирринга (т^ = 0) является точно решаемой [162, 205, 320, 328]. Тогда формально можно разложить массивную модель Тирринга по степеням mF. Ясно, что такое разложение будет содержать п-точечные функции составного оператора 屮4f [220 ], с помощью которых исследуется сектор с нулевым фермионным зарядом этой модели. Система СГ также может быть разложена в пертурбативный ряд по степеням /т^, т. е. выражена через n-точечные функции от cos [(]/Х/т)Ф]. Остающаяся невозмущенная часть лагранжиана ^i есть не что иное, как свободное безмассовое поле и, следовательно, точно решается. (Замечание: для безмассового ска-

лярного поля в (1 + 1) измерениях имеются инфракрасные проблемы, которые должны быть обойдены в пертурбативном разложении). Центральный результат Коулмена состоял в явной демонстрации того, что эти два набора n-точечных функций совпадают для всех % и, следовательно, теория СГ эквивалентна сектору с нулевым зарядом модели МТ при условии, что сделано следующее отождествление:

閥(т2Д) cos [(/Z/m) Ф] = —m^W,(7.42a)

九/4шп2 = 1/(1 + g/л),(7.426)

—(-)/Z/2jim)册“①=4r俨4r 三产.(7.42в)

Далее Коулмен показал, что гамильтониан моделиСГнеограничен снизу при 九/团2 > 8л, так что эта теория и отмеченная выше эквивалентность существуют только при Z/m2 < 8л. Наконец, основываясь на этом явном доказательстве эквивалентности, он воскресил предположение Скирма о том, что квантовый солитон модели СГ может быть отождествлен с фермионом модели МТ.

Очевидно, что это выдающиеся результаты, устанавливающие знак равенства между теорией бозе-полей и теорией ферми-полей (бозонным сектором ее). Это отождествление СГ-солитона, возникающего в бозонной теории поля, с фермионом не нарушает теорему о связи спина со статистикой. Напомним, что в (1 + 1) измерениях спина не может быть. Кроме того, в гл. 5 мы приводили доводы в пользу того, что квантовый солитон принадлежит к совершенно отличному по суперотбору от вакуума сектору, отличающемуся глобальным квантовым числом (граничным значением). Поэтому солитон не может быть рожден с помощью какого- либо конечного произведения локальных полевых операторов ①(尤1) ... Ф (xjv), действующих на вакуум. Следовательно, такое солитонное состояние выпадает из сферы действия теорем, запрещающих отождествление с фермионом. Вспомним, что в разд. 3.5 мы намекали на подобную возможность в (3 + 1) измерениях, исходя из превращения изоспина в спин.

Мы не будем здесь воспроизводить доказательство Коулменом этой эквивалентности. Как мы уже говорили, его доказательство точное и не имеет ничего общего с квазиклассическими методами. По этой же причине оно несколько выпадает из нашей общей тематики. Вместо этого мы будем считать его результат заданным и используем его для дальнейшего подтверждения и уточнения деталей наших квазиклассических соображений.

В модели МТ фермионный заряд Q равен

Q = j /о dx = j У%屮 dx.Q = j /о dx = j У%屮 dx.(7.43)(7.43)

Q = j /о dx = j У%屮 dx.

Q = j /о dx = j У%屮 dx.

(7.43)

(7.43)

_ /X С дФ ,—2冗加 J дx r_ /X С дФ ,—2冗加 J дx rОтдельный фермион (f) имеет Q = 1, антифермион (f) имеет Q = 二 一1, а связанное состояние фермиона и антифермиона имеет Q = 0. Из соотношения эквивалентности (7.42в) мы можем записать Q через СГ-поля:

_ /X С дФ ,

—2冗加 J дx r

_ /X С дФ ,

—2冗加 J дx r

(7.44)

Это не что иное, как топологический заряд модели СГ, аналогичный заряду (5.76) в задаче кинка. Его значения равны +1 (—1) для солитона (антисолитона) и нулю для связанных дублетных состояний. Это согласуете^ с отождествлением СГ-солитона с МТ- фермионом. (Строго говоря, эквивалентность этих моделей доказана только в секторе с Q = 0 МТ-модели. При применении соотношения (7.44) к отдельному фермиону подразумевается, что мы рассматриваем некоторую пару (ff) с полным зарядом Q=0, разводим заряды на большое расстояние друг от друга и используем (7.44) в окрестности каждого из них по отдельности.)

Запишем (7.426) через перенормированную СГ-константу связи у (7.24)

Y 一 ]一芻8冗加2 - j + 2g加， v 3丿 мы видим, что, когда 0 < у < 8л, т. е. 0 < Z/m2 < 4л, тиррин- говская константа связи g положительна. С учетом обычной процедуры определения знака силы в статическом пределе из лагранжиана это соответствует притяжению между фермионом и антифермионом. В одном пространственном измерении такая сила притяжения независимо от того, насколько она велика, всегда приводит по крайней мере к одному бозонному связанному состоянию. Соответственно из (7,28) мы видим, что для всех значений у в области 0 < у < 8л имеется по крайней мере одно солитон- антисолитонное (дублетное) связанное состояние.

Рассмотрим предел слабой связи (у, Z/m2《1) в модели СГ. В силу (7.45) это соответствует большому g, т. е. режиму сильной связи в модели МТ. В этом режиме мы ожидаем сильного притяжения между fufu большого числа связанных состояний//. Это находится в соответствии с (7.28), где число солитон -антисолитон - ных связанных состояний есть [8л/?], т. е. наибольшее целое число, меньшее 8л/у. Когда у растет, g уменьшается. Соответственно число дублетных состояний в (7.28) также уменьшается. Наконец, когда у = 8л, т. е. Vm2 = 4л, уравнение (7.45) дает g = 0. Фермионы являются свободными. Заметим, что это как раз то значение, при котором прекращает существование последнее остающееся связанное состояние Мг в (7.28). Из (7.39) мы видим, что если у -> 8л, то М】f 2МС0Л, т. е. последнее остаю-

щееся связанное состояние становится свободной парой из солитона и антисолитона. Если считать, что СГ—МТ-эквивалентность является точной, то тот факт, что в В КБ -результате (7.28) связанные состояния также исчезают точно при у = &г, когда тир- ринговские фермионы становятся свободными, является дальнейшим подтверждением предположения, что В КБ -результат является точным.

Когда у〉8л, g отрицательно. В модели МТ нельзя ожидать никаких связанных состояний ff, и соответственно все дублетные состояния в (7.28) исчезают. Отсутствие даже низшего связанного состояния Мг является существенным. Напомним, что мы связали это состояние с «элементарным мезоном» модели СГ. Распространенное представление, основанное на теории возмущений, состояло в том, что для каждого поля имеется связанный с ним сорт частиц (квантов возбуждений поля). При растущем количестве непертурбативных результатов такие представления не рассматриваются в общем случае как соответствующие действительности. Очевидно, что случай у〉8л соответствует области сильной связи модели СГ, где представления теории возмущений могут быть отвергнуты. Одним таким примером является отсутствие «элементарного» мезона модели СГ при у > 81. Квазйклас- сические В КБ -методы имеют несколько слабых пунктов; но наличие таких важных непертурбативных результатов составляет важное преимущество этих методов по сравнению с теорией возмущений. Напомним, что исчезновение состояния М.г из спектра связанный состояний уже было задано В КБ -результатом (7.28) без обращения к теореме Коулмена об эквивалентности.

Тот факт, что g стремится к бесконечности, когда у -> О, означает, что чем меньше СГ-константа связи, тем сильнее соли- тон-антисолитонное притяжение. Такая обратная зависимость снова находится в противоречии с результатами теории возмущений. Напомним, что в квантовой электродинамике в рамках теории возмущений силы между электронами и позитронами уменьшались бы при уменьшений постоянной тонкой структуры. Такое обратное поведение межсолитонных сил не ограничено моделью СГ и имеет место в более общем случае [125, 290]. Вспомним, например, что в разд. 3.4 напряженность поля монополя, которой пропорциональны силы между магнитными монополями, также имеет в той теории обратную зависимость от константы связи g. ь

Наконец, Коулмен показал, дто, когда Х/m2 > 8л,^квантовая система СГ не имеет смысла, поскольку гамильтониан не ограничен снизу. Соответствующая катастрофа следует из наших В КБ -результатов. Перенормированная константа связи у (7.24), от которой зависят последующие результаты, расходится при Z/m2 = 8л.

Это завершает наше обсуждение СГ-спектра масс, в котором мы использовали метод ВКБ, присоединив к нему коулменовскую теорему об эквивалентности. Некоторые из полученных данных, такие, как точность В КБ-результатов, эквивалентность модели МТ и т. д,, специфичны для системы СГ. Но другие, включая всю процедуру вывода ВКБ-спектра, отождествление «элементарного» бозона с одним из классических периодических решений, большие межсолитонные силы в теории со слабым взаимодействием и т. д,, не зависят от особенностей модели СГ. Подобные результаты могут оказаться справедливыми и для других моделей).

. БОЗОНИЗАЦИЯ

Эквивалентность моделей СГ и МТ есть динамический результат, который зависит от точной формы двух лагранжианов. Но отождествление в (7,42а) и (7,42в), в чьих терминах реализуется эта эквивалентность, можно рассматривать как кинематическую замену переменных. Оно может быть применено и к другим (1 + 十 1)-мерным фермионным теориям. Сектор фермионной теории с нулевым зарядом включает только билинейные формы, такие, как 屮(尤)¥ (х), ¥ (х) 丫卩 ¥ (尤)и т, д. После соответствующей ультрафиолетовой регуляризации они могут рассматриваться как локальные бозе-поля. Все, что мы сделали в (7.42а) и (7.42в), это заменили их на явные бозе-поля. Мы замечаем, что в (7,42) входит Ф, а также производная 丸①，но нет производных ферми- поля ¥. Насколько мы можем видеть, это связано с тем фактом, что ферми-поле подчиняется дифференциальным уравнениям первого порядка, граничные условия для которых требуют задания только самого поля, а не его производных. В противоположность этому бозе-поле подчиняется уравнениям второго порядка, которые требуют определения на границе как самого поля, так и его производных. Уравнения (7.42а) и (7.42в) заменяют один набор таких величин другим эквивалентным набором. Когда такая замена проводится для модели МТ, возникающая в резуль!ате бозонная теория поля оказывается моделью СГ. Такие шаги могут быть предприняты для других двумерных фермионных моделей независимо от того, ради чего это делается. Эту процедуру иногда называют бозонизацией (см, [217 ]). Виттен [3561 рассматривает другую модель, в которой применялась бозонизация.

, СОЛИТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В (7,42) бозе-поле построено из (билинейных форм) ферми- поля. Возможен также обратный процесс. Исходя из СГ-полевого оператора Ф, Мандел стам [2401 построил явную неполиномиальную форму, которая может рассматриваться как ферми-поле ассоциированной модели МТ. Напомним, что в (1 + 1) измерениях последняя имеет две компоненты. Рассмотрим в произвольный момент времени t двухкомпонентное поле, определенное как где_

屮 1,2 (%) = &,2： d:，(7.46)

где &,2 — константы, а 4,2(尤)一операторы, определяемые как

)=裁(i 仅X')dx)干*①(初(7.47)

Здесь V、lm — СГ-константа связи. Определим ¥а (尤)как сопряженное к ¥а (%). Исходя из канонических одновременных коммутационных правил ,

[①(%),①(у)1 = [Ф(X), ф (у)] = о,

[①(х), <b(g)]=，・3(х —у),(7.48)

легко убедиться, что для х у

【& (%), & (у) ] = in [0 (х — у) — 8 (у —尤)]=

=±力冗 для х у,(7.49)

где 8(% — у) — ступенчатая функция. Таким же способом можно проверить, что.

[Ла (尤)，厶(у)] = in или —/л(7.50)

для всех а=1, 2;§ = 1,2и%关 у. Тогда, применяя тождество ^eN = eNeMe[M'N\ если [М, Л^] = с-числу, (7.51) к компонентам ¥ в (7.46), имеем

¥a(x)Tp(y) = -¥₽(y)Ta(x),

^aW ^(y) = -¥j(y)4<-a(x)()

для всех а, §, когда 尤关 у. Таким образом, построенные, согласно (7.46), поля ¥а и 4rg антикоммутируют, если 尤关，Если х = у, то вычисление более сложное, поскольку коммутатор (7.49) не является хорошо определенным, а произведение двух полей ¥ сингулярно при % = у. Этот случай следует рассмотреть при помощи тщательно выполненной предельной процедуры х f у при подходящем выборе коэффициентов Cv С2 в (7,46), Это было сделано Манделстамом, который получил результат

{屮а(Х)，呼(/+ = 0， {屮a®, ^(Z/))+ = z6(X-f/)6a₽, (7.53) где { , }+ обозначает антикоммутатор, a z — константа перенормировки. Поэтому поле 4f (尤)в (7,46) подчиняется анти- коммутационным правилам для локального ферми-поля. Кроме того, исходя из бозонных коммутаторов (7,48) легко убедиться, что

[①匂)，屮(х)] =(2м/тА)8(х —协屮(%) (7.54)

для х 扌 у. Поэтому оператор ¥ (尤)увеличивает значение поля Ф на 2冗加/)/^ в области слева от х и оставляет его без изменений справа от х. Таким образом, при применении к солитонному состоянию [Ф (оо) —Ф (—оо) = 2冗血/盼 оператор 4r (尤)сводит его к состоянию в вакуумном секторе [Ф (сю) —Ф (—оо) = 0]. Отсюда следует, что ¥ (х) помимо того, что оно является ферми- нолем, уничтожает солитон бозе-системы в соответствии с отождествлением солитона с фермионом. Конечно, ¥ (х) изменяет поле (D на ступенчатую функцию. Ступенчатая функция может рассма- гриваться как «точечный солитон》，в то время как физическое солитонное состояние имеет некоторый «размер», на что указывает классическое солитонное решение. Манделстам интерпретирует свои 屮 и 屮十 как операторы, которые уничтожают и рождают «голые» точечные солитоны, которые приобретают конечный размер посредством взаимодействий. Доказательство того, что ¥ подчиняется уравнению поля массивной модели Тирринга, если (D удовлетворяет СГ-уравнению, читатель может найти в работе Манделстама [211]. Более подробное обсуждение таких солитонных операторов рождения см, в работах [129, 241, 306, 333]. Альтернативный подход предложили Бардакчи и Самуэль [21, 22].

Факторизация 5-матриц

Энергичное изучение солитонсодержащих полевых теорий привело к побочному результату, представляющему значительный теоретический интерес. Было показано, что для некоторого класса квантовополевых теорий в (1 + 1) измерениях может быть точно определена полная многочастичная S-матрица. Более того, такие

S-матрицы обладают рядом привлекательных свойств. Во-первых, любая многочастичная S-матрица является упругой, т. е. число .частиц любой данной массы и множество их импульсов остаются после столкновения без изменений. Во-вторых, полная S-матрица факторизуется в произведение двухчастичных S-матриц. В-третьих, такие двухчастичные S-матрицы подчиняются кубическому тождеству; этого тождества вместе с прошедшими проверку временем принципами унитарности, аналитичности и кроссинг- симметрии оказывается достаточным, чтобы привести в некоторых моделях к точным аналитическим результатам для этих двухчастичных S-матриц. Такие исследования начались с пертурбативных или квазиклассических расчетов рассеяния солитонов в системе СГ [11, 128, 129, 1941. Впоследствии результаты вышли за рамки таких приближений [210, 363, 3651 и были предложены как трчные результаты, выведенные на основе некоторых законов сохранения, которым подчиняются исследуемые теории. Эти результаты не ограничены только системой СГ и не требуют, чтобы рассеивающиеся частицы были солитонами при условии, что частицы и их теории подчиняются двум приведенным ниже допущениям. В этом и следующем разделах мы попытаемся дать объединенный вывод этих результатов, полученных в ряде последних работ, а затем проиллюстрируем его на примере СГ. При выполнении этой задачи мы использовали хорошие обзоры Замолодчикова и Замо- лодчикова [367] и Шанкара [312].

Напомним, что в гл. 2 мы упоминали о существовании бесконечного числа локальных законов сохранения для системы СГ. Мы их не выписывали, и их явная форма нам не нужна. Для нас важно только, что эти законы сохранения 1) локальны и 2) порождают сохраняющиеся заряды, которые являются компонентами лоренцевских тензоров возрастающего ранга. Для системы СГ в этих свойствах можно убедиться, рассматривая явные выражения для этих токов [223]. Законы сохранения с таким же свойством существуют также для нелинейной а-модели (т. е. О (7V)-модели в (1 + 1) измерениях, введенной в гл. 3) как на классическом [2811, так и на квантовом [2861 уровнях. То же самое справедливо для других двумерных моделей (см. [2091).

Нашим отправным пунктом будет произвольная двумерная теория, в которой существуют такие законы сохранения. Пусть Qn — одна такая сохраняющаяся величина, которая является компонентой лоренцева тензора ранга N. Тогда значение этого^заряда, действующего на начальное состояние произвольного процесса рассеяния, когда все частицы находятся на большом расстоянии друг от друга, определяется выражением

п ■

Q^ I 卩 1，卩2，♦…，Pn)in £ 7л (^b 自)|."1，口2，♦ ♦ ♦, Pn〉in, (7*55)

где 勿 一 2-импульс [色，岛} £*й частицы, a qN (&, %) —- некоторый полином N-ro порядка по энергии и импульсу /-й частицы. Аддитивность вкладов отдельных частиц следует из локальности закона сохранения; это означает, что Q^ — пространственный интеграл от некоторой локальной плотности. Тот факт, что эти вклады представляют собой полиномы qN (^г,色)，следует из свойств Qn как лоренцева тензора. Обратим внимание, что в (1 + + 1) измерениях спин отсутствует, так что такие тензоры могут быть построены только из энергии и импульса. Аналогично для конечного состояния, состоящего из / вылетающих частиц, имеем

Q^| А，Р2山〉out = £ Sv (е；・，財)| 而，成，…，P/)out- (7.56)

Так как Q^ сохраняется,

In

£ 以®,砲=£ 0v(a，融).(7.57)

/=12=1

Поскольку мы имеем бесконечное число сохраняющихся зарядов Qn возрастающего ранга N, мы имеем бесконечное число уравнений вида (7.57) с полиномами qN (с, k) возрастающего ранга. Они должны разрешаться относительно 2 (п + /) переменных 色，財， с) и 同・.Ясно, что эти уравнения в сильной степени переопределены и в общем случае удовлетворяются только при выполнении условий

/ =他(7.58а)

множество {"1, …，р-Д — множество \р\,..., 阖.(7.586)

При некоторых специальных значениях импульсов условия (7.58) можно обойти 'и удовлетворить (7.57) для всех значений 而；но при этом нарушается аналитичность амплитуды рассеяния по импульсным переменным. Следовательно, (7,58) — единственное решение. Из этого решения следует, что процесс существенно упругий (полное число частиц не может измениться). Исходный набор 2-импульсов должен быть таким же, как конечный набор. Это не означает, что S-матрица тривиальна. Если некоторые частицы в начальном состоянии имеют одинаковые массы, то они могут обменяться импульсами в конечном состоянии или быть замененными другими частицами той же массы. Но число частиц каждой данной массы в отдельности должно сохраняться, чтобы обеспечить тот же набор 2-импульсов.

На самом деле достаточно наличия двух таких тензорных зарядов, чтобы получить (7.58) (см. . [275, 286]). Для простоты изложения мы предположили наличие бесконечного числа сохраняющихся зарядов только потому, что в представляющих интерес примерах, в которых имеется два заряда, имеется также и бес ко-

нечное число зарядов. Дальнейшим следствием этих сохраняющихся зарядов является факторизация многочастичной S-матрицы в произведение двухчастичных S-матриц. Рассмотрим, например, столкновение трех частиц с начальными импульсами 力i〉力2〉力з・ Согласно (7.58), результатом столкновения будет состояние из трех частиц с тем же набором импульсов {«], /?2, k^. Пространственно-временные диаграммы трех возможных вариантов соударения показаны на рис. 15. Заметим, что мы намеренно провели

Рис. 15. Мировые линии для трех способов, которыми может происходить трехчастичное столкновение, когда импульсы упорядочены в виде 卜]> 局> #з・ На рис. айв S-матрица есть произведение трех двухчастичных S-матриц, на рис. 6 содержится собственно трехчастичный процесс. Символы а, Ь, с. ... относятся к индексам внутренней симметрии.Рис. 15. Мировые линии для трех способов, которыми может происходить трехчастичное столкновение, когда импульсы упорядочены в виде 卜]> 局> #з・ На рис. айв S-матрица есть произведение трех двухчастичных S-матриц, на рис. 6 содержится собственно трехчастичный процесс. Символы а, Ь, с. ... относятся к индексам внутренней симметрии.

Рис. 15. Мировые линии для трех способов, которыми может происходить трехчастичное столкновение, когда импульсы упорядочены в виде 卜]> 局> #з・ На рис. айв S-матрица есть произведение трех двухчастичных S-матриц, на рис. 6 содержится собственно трехчастичный процесс. Символы а, Ь, с. ... относятся к индексам внутренней симметрии.

Рис. 15. Мировые линии для трех способов, которыми может происходить трехчастичное столкновение, когда импульсы упорядочены в виде 卜]> 局> #з・ На рис. айв S-матрица есть произведение трех двухчастичных S-матриц, на рис. 6 содержится собственно трехчастичный процесс. Символы а, Ь, с. ... относятся к индексам внутренней симметрии.

жирные мировые линии для этих частиц, чтобы показать, что они имеют конечный, но не нулевой размер. На рис. 15, а и в они сталкиваются по двое, но в различных последовательностях, а на рис. 15, 6 имеется собственно трехчастичное столкновение.

Тем не менее все эти три процесса приводят к одной и той же амплитуде. Простейшим способом увидеть это является использование соображений, связанных с перестановкой частиц [313 J. Рассмотрим начальное состояние для некоторого большого отрицательного значения времени t、когда частицы находятся на большом расстоянии друг от друга. Подействуем на это состояние оператором exp (iaQQ, где Qn — любая из нетривиальных сохраняющихся величин (тензорного ранга 2V〉1) и а —действительный параметр. Заметим, что в квантовой теории QN —— некоторый оператор. Так как по предположению Qn — интеграл от локальной плотности, то он будет действовать по отдельности на каждый из удаленных на большое расстояние друг от друга волновых пакетов. Запишем волновой пакет Z-й частицы в виде . '

№(*)〉=丨 J dkexp[ik(x ~ Xi)]f(k)), (7.59)

где волновая функция импульсного пространства f (力)есть любая разумная функция, например гауссовой формы, локализованная около k = 电.Конечно, эти частицы не являются точечными. Переменные % и 力 обозначают координату и импульс центра масс частицы, или, точнее, ее «коллективные координаты» положения и импульса. В приближении стационарной фазы можно видеть, что i|j (尤)локализована при 尤=犬力 Тогда .

I出(灯)三exp (2Q%) I叭(灯)=

=\^ dk exp {iaq (/?)] exp [ik (x — хг)] / (/?)), (7.60)

где оператор Qn，действуя на эту частицу, дает функцию qN (с, /?), которую мы записали как q (力)，используя соотношение с?=力？斗 卜 m?. Применяя снова к осциллирующей экспоненте условие стационарной фазы, находим, что ^ (尤)теперь локализована в окрестности

% —a(dq/dk)kr (7.61)

где мы учли, что f (力)локализована около среднего импульса 自. Ключевым моментом теперь является то, что если Q^ имеет некоторый нетривиальный ранг, то q (力)будет нелинейной функцией от k и, следовательно, (dq/dk)k. будет зависеть от 色. Поэтому оператор ехр (iaQN) перемещает Z-ю частицу на величину a (dq! dk)ke которая зависит от ее среднего импульса 力力 Таким образом, когда ехр (iaQN) действует на все исходное состояние, он сдвигает частицы на различные расстояния, зависящие от их импульсов. Делая параметр а произвольно большим, мы можем изменять относительное положение любых двух частиц на произвольную величину.

Применим теперь этот сдвиг к трехчастичному столкновению на рис. 15. Ясно, что при сдвиге линии 3 относительно линий / и 2 мы можем перейти от рис. 15, а к рис. 15, 6 и рис. 15, в. Это имеет следующие важные последствия:

Поскольку оператор Qn сохраняется, он коммутирует с гамильтонианом и, следовательно, S-матрица не изменяется под действием ехр (iaQ^). Отсюда следует, что амплитуды для трех возможных последовательностей столкновения на рис. 15, а, 6 п 8 равны!

Трехчастичная S-матрица может быть записана в виде произведения трех двухчастичных S-матриц, как на рис. 15, а или в. Даже случай рис. 15, б, когда имеется собственно трехчастичнаЗя S-матрица, в силу симметрии относительно действия ехр (iaQN) сводится к факторизованной амплитуде (рис, 15, а или в).

Так как процессы, показанные на рис. 15, а и в, тождественны, мы можем записать факторизованную амплитуду в двух различ-

8 Раджараман Р,

ных последовательностях, которые должны быть равны. Другими словами,

S (123) = S (23) S (13) S (12) = S ( 12) S (13) S (23), (7.62) где S (//) ——двухчастичные S-матрицы. Поэтому не только трехчастичная амплитуда факторизуется, но и сами двухчастичные амплитуды должны удовлетворять кубическому тождеству (7.62). Заметим, что если S (ij) являются просто числами, то это кубическое тождество тривиально. Но, как мы отмечали, если некоторые 'или все рассеивающиеся частицы имеют одинаковые массы (например, если они принадлежат к одному и тому же вырожденному по внутренней симметрии мультиплету), то, согласно условию (7.58), S (ij) могут быть нетривиальными матрицами, связывающими все вырожденные по массе частицы. В этом случае кубическое тождество (7.62) является серьезным ограничением на саму двухчастичную S-матрицу.

То же доказательство может быть повторено для четырехчастичных и более высоких S-матриц, чтобы показать, что они тоже факторизуются в произведения двухчастичных S-матриц. Но независимых тождеств четвертого или более высоких порядков не возникает. Можно проверить, что сдвиг частиц и кубическое тождество (7.62) достаточны для факторизации высших многочастичных амплитуд. Обратим внимание на решающую роль нетривиаль- ности природы Qn・ Если бы мы использовали тривиальный случай Qi = Р, где Р ——оператор импульса (который в любой трансля- ционно инвариантной теории всегда сохраняется), то q (k) = k и, следовательно, все частицы сдвигались бы на одну и ту же величину а. Мы не можем изменить последовательность столкновений. Для этого необходимо, чтобы QN было лоренцевским тензором достаточно высокого ранга, так чтобы q (力)было нелинейным. Мы использовали только одно такое QN. То обстоятельство, что интересующие нас примеры допускают наличие нескольких (или бесконечного числа) таких сохраняющихся зарядов возрастающей сложности, только усиливает наши доводы. Несомненно, наш вывод является до некоторой степени качественным. Например, чтобы описать все возможные точки локализации каждой частицы, мы использовали в (7.59) волновую функцию от одной координаты. Но ни явный вид распределения по импульсам / (/г), ни явный вид сохраняющейся величины Q» не потребовался ——использовалось только минимальное следствие (которого достаточно), заключающееся в том, что exp (iaQN) сдвигает различные частицы на различную величину. Нет сомнений, что это доказательство может быть представлено в более строгой форме. Следует упомянуть, что задолго до этих теоретико-полевых результатов аналогичные соображения в пользу факторизации были развиты в более простом контексте потенциалов из 6-функций (см., например, [251]).

Таким образом, наш вывод состоит в том, что если двумерная полевая теория обладает сохраняющимися величинами достаточной сложности, то полная S-матрица является упругой и факторизуется на двухчастичные S-матрицы, которые подчиняются кубическому тождеству (7.62). Поэтому задача получения полной 5-матрицы сводится к вычислению именно двухчастичной S-матрицы. Мы сделаем это для некоторых моделей в следующем разделе.

Наше обсуждение проведено для (1 + 1)-мерных моделей. Нет особых причин для поиска (3 + 1)-мерных моделей с такими необыкновенными свойствами S-матрицы. С одной стороны, Коулмен и Мандула [901 давно показали, что в (3 + 1) измерениях S-матрица с такими сильными ограничениями, как те, которые мы обсуждали, будет тривиальной. С другой стороны, в экспериментальных данных по рассеянию при высоких энергиях неупругие явления играют большую роль.

Несколько точных 5-матриц

В этом разделе мы покажем, как могут быть получены точные выражения для полной S-матрицы для некоторого класса двумерных теорий, которые обладают необходимыми сохраняющимися величинами, удовлетворяющими приведенным выше требованиям. Все, что нам требуется найти, это двухчастичные. S-матрицы. Высшие S-матрицы получаются с помощью факторизации. Мы будем считать, что наши теории обладают некоторой внутренней О (^-инвариантностью. Такой О (^)-инвариантностью обладают многие модели, в^том числе^система СГ, массивная модель Тирринга, О (^)-сигма-модель и модель Гросса——Неве, которая описана в гл. 9. Мы считаем, что две исходные частицы принадлежат некоторому векторному мультиплету относительно группы О (^). Очевидно, что они имеют одинаковую массу М. Если не учитывать случайных обстоятельств, все другие частицы массы М. в этой теории также будут принадлежать тому же мультиплету. Следовательно, согласно (7.58), конечное состояние должно также состоять только из двух частиц, принадлежащих тому же векторному мультиплету. Таким образом, мы ищем (с (pj) d (p》|S| х х a (.J b (〃)〉，где pt и 应一2-импульсы и а, b, с, d (все изменяются от 1 до N) —— индексы внутреннего пространства в этом векторном мультиплете. Для вывода этой амплитуды привлечем кубическое тождество (7.62), а также хорошо известные принципы S-матрицы теории. Детального развития S-матричной теории не потребуется —— нужны только основные свойства S-матрицы, такие, как лоренц-инвариантность, аналитичность, унитарность и кроссинг-симметрия. Мы считаем, что читатель хорошо знаком с этими свойствами (см.： например, [141 ]).

Из лоренц-инвариантности следует, что помимо 6-функций, обеспечивающих сохранение энергии-импульса, S-матрица может зависеть от 2-импульсов только через лоренцевы скаляры. Напомним, что мы находимся в одном пространственном измерении, когда невозможна никакая спиновая структура. В (3 + 1) измерениях обычно используются скалярные комбинации

"三（〃 一质y，"三（〃 一质y，(7.63)(7.63)S三（〃 +02户，f三⑵一山户,S三（〃 +02户，f三⑵一山户,причемпричем(7.64)(7.64)4М2.4М2.Рис. 16, а — s-ллоскость с разрезом, на которой S-матрица аналитична; 6 — 0- плоскость. Показано, что s-плоскость отображается на 0-плоскость в полосу между Im 8 = 0 и Im 9 = л.Рис. 16, а — s-ллоскость с разрезом, на которой S-матрица аналитична; 6 — 0- плоскость. Показано, что s-плоскость отображается на 0-плоскость в полосу между Im 8 = 0 и Im 9 = л.

"三（〃 一质y，

"三（〃 一质y，

(7.63)

(7.63)

S三（〃 +02户，f三⑵一山户,

S三（〃 +02户，f三⑵一山户,

причем

причем

(7.64)

(7.64)

4М2.

4М2.

Рис. 16, а — s-ллоскость с разрезом, на которой S-матрица аналитична; 6 — 0- плоскость. Показано, что s-плоскость отображается на 0-плоскость в полосу между Im 8 = 0 и Im 9 = л.

Рис. 16, а — s-ллоскость с разрезом, на которой S-матрица аналитична; 6 — 0- плоскость. Показано, что s-плоскость отображается на 0-плоскость в полосу между Im 8 = 0 и Im 9 = л.

Эти определения применимы и в (1 + 1) измерениях, но в] отличие от (3 + 1) измерений, где две из этих переменных могут независимо изменяться в физическом процессе, в (1 + 1) измерениях может независимо изменяться только одна из них. В системе центра масс возможно только рассеяние вперед или назад. Следовательно, s = (£цм)2 может меняться от 4M? до оо, но при этом либо f = О н 〃 = 4〃2 —s, либо и = 0 и / = 4M2 ——s. Амплитуду рассеяния можно записать в виде

〈с (Е) d (灰)1 SI a (〃) b (〃)〉= 6 (風-〃)6 (质-p2) [cdSab (s)]. (7.65)

Это определяет порядок индексов cd по отношению к ab. ； Из свойства аналитичности следует, что S-матрица cdSa^(5% аналитична на s-плоскости с разрезом. Она может иметь на дей* ствительной оси между 0 и 4附？ полюсы, соответствующие связанные состояниям, и унитарные разрезы от 4М2 до оо и от ——оо до О (рис. 16, а). Она должна также подчиняться принципу отражения cd^ab (s) = gSab S)，(7・66|

где звездочка означает комплексное сопряжение. Но бесконечной число законов сохранения уже исключило неупругое рождений

частиц. Следовательно, унитарные разрезы являются чисто упругими и кинематическими по происхождению. (Они возникают из-за того, что импульсы являются двузначными функциями энергии и, следовательно, s). Эти разрезы могут быть исключены с помощью перехода к переменным быстроты 8“ определяемым через рг = 匸｛g，依｝:

財= Msh 仇， e； — 7И ch 0г.(7.67)

Тогда

s = 4M2 ch2 (0⑵，где 0 三 в】一02.(7.68)

Тогда S-матрица является мероморфной функцией 0, обладающей только полюсами, соответствующими связанным состояниям. При замене переменных от s к 0 физический s-лист отображается в полосу между Im 0 = 0 и Im 0 = л, как показано на рис. 16, 6. Условие отражения (7.66) для действительных 0 сводится к

cdSK(e)= cdSa6(—e).(7.69)

Перекрестные процессы а —с и s ^ и, относительно которых S-матрица должна обладать кроссинг-симметрией, для переменной 0 сводятся к

8 一 Е — 0.(7.70)

Эти результаты легко проверить. Далее мы используем О (N)・hh・ вариантность теории, учитывая, что частицы образуют некоторый О(N)・вектор. Разлагая cdSab (0) по О ^)-инвариантным комбинациям, в общем случае мы можем написать

А(0) = &Rd，(0) + 6аДА(е)+ 6Л53(0).(7.71)

Запишем кроссинг-соотношения и соотношения унитарности в терминах этих Si, S? и S3. Кроссинг-симметрия, которая переставляет а— с и 8 一 in — 0, дает

S2 (0) = S2 (E - 0),(7.72)

Si (0) - S3 (E — 0).(7.73)

Полностью выписанное условие унитарности SS干=1 имеет вид £ cdSgf(e)efS^, (8) = £ cd^ef (9)аЛ/ (0) = ^ac^bd-

ef

После подстановки сюда выражения (7.71) это дает три соотношения

S2 ⑼ S2 (-0) + S3—(0) S3 (-03)- 1,(7.74)

S2 ⑼ S3 (-0) + S3 (0) S2 (-0) = 0,(7.75)

ns, (e) Si (—e) + Si(0)s2(_e)+ s2 (e) s】(一e) +

+ S]⑼ S3 (—0) + S3(G) & (—0) = 0,(7.76)

где использовано условие отражения (7.69). Наконец, кубическое тождество (7.62), которому должна удовлетворять двухчастичная S-матрица, в матричных обозначениях имеет вид (см. рис. 15, айв)

[^^(е^)] UfSdc(Q + 0Z)] [deSab (9)]=

=[^a^Sed (0)] X [c^Sfa (0 + Q^HejSbA^ (7.77)

Здесь 0 = 0i — 02, 0' = 02 — 03 и 0 + 9' 0i — 03, где 出一 скорости трех начальных частиц. После подстановки выражения (7.71) в это матричное уравнение оно сводится к набору независимых соотношений для функций S】(0), S2 (0) и S3 (0). Вывод этих соотношений из (7.77) производится непосредственно, но требует громоздких алгебраических преобразований. Результаты для случая ^ = 2 несколько отличаются от результатов для случаев N а 3. Это объясняется тем, что для ^ = 2 существует меньше независимых трехчастичных комбинаций. Примем сначала, что А^ ^： 3.. Коэффициент при 6а，ь$ь&，а в обеих частях (7.77) дает

S3 ⑼ S2 (0 + 0‘)S3 (0‘)=

=S2 (0) S3 (0 + 0‘)S3 (0‘)+ S3 ⑼ S3 (0 + 0‘)S2 (0‘)，

или в более компактном виде

(7.78)(7.78)S3s2sз = s2s3sз + S3s3s2,

(7.78)

(7.78)

где подразумевается, что во всех членах аргументами этих трех S* является соответственно 0, (0 + 0') и 0\ Другие независимые соотношения для случая ^ ^ 3 содержащиеся в (7.77), имеют вид

(7.79)(7.79)(7.80)(7.80)S3sls2 = S2sls1 + S3S2S1,

(7.79)

(7.79)

(7.80)

(7.80)

S3sls3 = ^S1SзS1 + S\S3s2 + SpS3s3 + SpS2sl ++ S2s3sl + SpSpS] + s3s3sl.

Для N = 2 существуют только два соотношения, а именно

S3s2sз + SpS2s3 + SpSpS^ = S2sls3 + S2s3s3 + S3s3S2, (7.81)

s3sls3+s§s2s3=s3s3sl+s3s3S2 + s2s3 瓦+s2s3s3 +

+ 2S1S3S1 + SpS3s2 + SpS3s3 + SpS2sl + SiS^Sj.(7.82)

Заметим, что в отличие от cdSab эти Si, S2, S3 не матрицы, а обычные функции соответствующих переменных. Этих кубических тождеств вместе с условиями унитарности, кроссинга и аналитичности (7.72)—(7.76) достаточно для определения S-матрицы с точностью до неоднозначности, которая также может быть устранена для конкретных моделей. Мы приведем вывод для случая R 为 3. Результаты для случая N = 2, которые получаются аналогичным образом, будут также приведены ниже. Мы начинаем с кубиче*

ских условий; возьмем (7.78) и разделим обе части на S3s3sз, что дает

Sz(e + a)_S2(e)I S2(e‘)

S3(6迎)—5Лё)十耳硏.

Это означает, что

S2 (9)/S3 (0) = а0,(7.83)

где а — некоторая константа. Затем подставим в (7.79) S2 (0)/ct0 вместо S3 (0) и. разделим обе части на S2S1S1； получим

aA — SNg — Sz (6+ 6')—- Si У + 仅).

Решением этого уравнения является

S2 ⑼=一 Q8 + 0) Si (0),(7.84)

где 0—другая константа. Используя (7.83), (7.84), запишем (7.80) только через, функцию Si и приравняем коэффициенты при Si (0) Si (0 + 0') Si ®). Это дает простое соотношение

0 = (% —2)/2.(7.85)

Мы исчерпали все три кубических равенства (7.78)——(7.80) для 2^3. Далее условие (7.69) требует, чтобы

S£ ⑼/Sg (0) = S2 (-0)/S3(-0).

Отсюда

ct* = —a =—认，(7.86)

где % —— действительная величина. Отношение кроссинг-соотношений (7.72) и (7.73) дает

黑g+體，师执(一)一吁0).

Поэтому

% = р* = (N — 2)/2л.(7.87)

Отсюда

5ие)= ^т52(е), &(e)= w与爲』产(0). (7.88)

Таким образом, отношения Si, S2 и S3 полностью определены. Чтобы определить какую-либо из этих функций в отдельности, например S2 (0), обратимся к условиям унитарности. Соотношения (7.75) и (7.76), которые содержат только отношения S*/S/, автоматически удовлетворяются полученными выше выражениями. Остающееся условие (7.74) требует, чтобы,

S2 ⑼ S2 (-9) (1 + 1/V02) = 1,(7.89)

ИЛИ

S2 ⑼ S2 (-0) - 02/(02 + A2),(7.90)

где

A 三 1/九=2л/(^ — 2).(7.91)

Все, что нам нужно, это некоторая функция S2 (0), которая удовлетворяет (7.90) вместе с кроссинг-соотношением (7.72). (Напомним, что до сих пор мы использовали только отношение этих двух кроссинг-соотношений.) Ответ имеет вид

32 (0) R(Q) R (讯一0),(7.92)

где

R ⑼三(謂(7.93)

Чтобы раскрыть тайну получения выражения (7.93), обратим внимание на то, что простейшим решением уравнения (7.90) было бы Ss (0) — 0/(0 + iA)・ Но оно не удовлетворяет кроссинг-симметрии (7.72). Мы можем попытаться исправить это, используя выражение

⑺ 认)(京一9'

которое кроссинг-симметрично, но не удовлетворяет унитарности (7.90). Унитарность восстанавливается умножением на еще один множитель, а именно

О。、9(( л — 9)(( л + 9 +(Д)

8(讯—e+一切-丽干I厂，

но теперь кроссинг-симметрия снова потеряна. Мы можем продол^ жать действовать таким образом до тех пор, пока не получим бесконечное произведение сомножителей, которое в пределе должно удовлетворять и унитарности, и кроссингу-симметрии. Результат (7.92), (7.93) есть нечто иное, как компактное представление такого бесконечного произведения с помощью Г-функций. Разумеется^ можно и непосредственно убедиться, что (7.92) вместе с (7.93» удовлетворяет и унитарности, и кроссинг-симметрии. Заметим,； что при 而=3, как внелинейной О (З)-модели, результат (7.92| сводится к?

S2 (0) = 0 (in — 0)/(2ni — 0) (in + 0).(7.94,

Заметим также, что мы можем получить другое решение, замени» в (7.93) Д на —А, так как условие (7.90) квадратично по Д. 1

Для случая ^ = 2 мы вместо (7.78), (7.80) используем соответ^ ствующие кубические тождества (7.81), (7.82) и действуем тем ж^ способом. Вычисления и результат несколько более сложны, н^

принципы остаются теми же, что и в случае N ^ 3. Приведем окончательный результат [367 ]

33 (0) = i ctg (4П2/旷)cth (4n8/Y‘)S2 (0),

Si(0) = S3(E —0),(7.95)

S2 (9) = (2/л) sin (4叫у') sh (4冗8/丫‘)sh (4л (E — 8)/丫')U (0), (7.96)

где

0⑼三M務)r(l + *r(l _安^田0⑼三M務)r(l + *r(l _安^田Ri (0) Ri (回一9) 飞而*n)，(7.97)Ri (0) Ri (回一9) 飞而*n)，(7.97)

0⑼三M務)r(l + *r(l _安^田

0⑼三M務)r(l + *r(l _安^田

Ri (0) Ri (回一9) 飞而*n)，

(7.97)

Ri (0) Ri (回一9) 飞而*n)，

(7.97)

R⑼三Г Г#啰)Г(1 +R⑼三Г Г#啰)Г(1 +16л/ + ^8е^/f (16m + 8n+:8916л/ + ^8е^/f (16m + 8n+:89

R⑼三Г Г#啰)Г(1 +

R⑼三Г Г#啰)Г(1 +

16л/ + ^8е^/f (16m + 8n+:89

16л/ + ^8е^/f (16m + 8n+:89

xr （1 + 16加一『+，・80）.（7.98）

В этом решении 丫‘ ——действительный параметр, пока не определенный. Этим решение отличается от результата для N 力 3, в котором независимых параметров нет. Это связано с тем фактом, что в случае ^ = 2 имеются только два независимых кубических тождества (7.81), (7.82) в отличие от трех тождеств (7.78)—(7.80) для ^ > 3.

Когда Si, 32 и S3 известны, мы можем подставить их в (7.71), чтобы получить двухчастичную S-матрицу. Тогда полная многочастичная S-матрица, содержащая произвольное число частиц из О (^-векторного мультиплета, может быть записана благодаря факторизации в виде соответствующего последовательного произведения двухчастичных S-матриц. Например, трехчастичная S-матрица может быть получена из последовательности трех двухчастичных S-матриц, соответствующих либо рис. 15, а, либо рис. 15, 8. Оба возможных варианта дают один и тот же ответ, поскольку удовлетворены кубические тождества.

Но есть одна тонкость. Результат (7.95)——(7.98) для = 2 и результат (7.92), (7.93) для ^ > 3 вместе со своим двойником^ соответствующим А — —А, могут быть названы «минимальными» решениями для связей, обусловленных кубическими тождествами и фундаменальными принципами S-матричной теории： Но они не являются единственными решениями. Предположим, что мы умножили все три функции Si (0), S2 (0) и S3 (0) на общий множитель

(7.99)(7.99)

(7.99)

(7.99)

где а& —— произвольные действительные константы и число множителей К также произвольно. Заметим, что / (0) удовлетворяет условиям / (0) = / (in — 0), / (0) / (—0) = 1. Следовательно, когда S2 (0) умножена на / (0), она продолжает удовлетворять (7.90) и (7.72). Остальные условия содержат только отношения *i (0) и также будут выполнены. Поэтому, как в случае N = 2, так и в случае N > 3, мы можем получить некоторое семейство решений, умножая «минимальные» решения на множитель вида (7.99). Заметим, что множитель f (0) приводит к дополнительным полюсам при 0 = ictjB S-матрице, кроме тех полюсовД которые уже имеются в минимальных решениях. Полюса в S-матрице соответствуют связанным состояниям, если они расположены в области 0 < s < 4財｛ т. е. на отрезке мнимой 0-оси, определяемом как 0 < Im 0 < л, Re 0 — 0. Следовательно, если какое- либо из а& попадает в область 0 V а互之 п, то множитель / (0) может иметь важные следствия, указывая на другие связанные состояния в системе.

Тот факт, что принципы аналитичности, унитарности и кроссинг-симметрии определяют S-матрицу только с точностью до таких неоднозначностей, характерен не только для нашего рассмотрения. Это более общее свойство, которое известно уже в течение некоторого времени. Такие неоднозначности называют неоднозначностями Кастильехо, Далица и Дайсона (КДД) [75 ] (см. также [141]). Кубические тождества наших систем эту неоднозначность не устраняют, поскольку они содержат только отношения S* (0), в^-каждое из которых может быть введен один и тот же множитель / (0).

Наличия таких неоднозначностей (см. также [254]) в нашем выводе и следовало ожидать. Напомним, что мы нигде не выписывали лагранжиан или использовали все детали динамики. Мы использовали лишь 1) наличие некоторых законов сохранения, достаточных для обеспечения упругости и факторизации, 2) тот факт, что рассеивающиеся частицы образуют векторный мультиплет в О (”)-инвариантной теории в двух измерениях, и 3) общие принципы S-матричной теории. Может быть несколько полевых теорий с различными лагранжианами, которые удовлетворяют всем этим условиям, включая О (^-инвариантность при заданном N. Их динамика может быть различной и было бы удивительно, если бы мы получили для них одну и ту же S-матрицу. Замечательно уже то, что мы достигли таких результатов, основываясь на этих общих требованиях без знания точного лагранжиана. Поэтому, для того чтобы решить, вводить ли КДД-множители типа (7.99), и если вводить, то какие, мы должны ближе познакомиться с динамикой, исходя из конкретного лагранжиана исследуемой модели. Такое же замечание относится к выбору значения свободного параметра у' в случае ^~ 2 и к выбору между Д и ——Д^в случае N>3.

Чтобы показать, как это может быть сделано, рассмотрим рассеяние солитонов в хорошо нам знакомой теории СГ. Как мы уже отмечали, эта теория обладает бесконечным числом локальных законов сохранения, более чем достаточным для того, чтобы обеспечить факторизацию. Эта теория также обладает скрытой О (2)-инвариантностью, хотя и неочевидной при беглом взгляде на лагранжиан. Чтобы усмотреть эту симметрию в явном виде, необходимо привлечь параметр «беспорядка» теории [207 ], что выходит за рамки данной книги. Но мы можем воспользоваться эквивалентностью теории СГ и массивной модели Тирринга (МТ), обсуждавшейся в разд. 7.3. Модель МТ обладает хорошо известной U (1)-симметрией относительно Т тd® Т. По существу это О (2)-симметрия с (Т + Т*)/2 и (Т — T*)/2it действующими как О (2)-дублет. Поскольку фермионы и антифермионы модели МТ отождествлялись соответственно с солитонами и антисолитонами модели СГ, есть основания предполагать, что если А и А обозначают солитон и антисолитон, то

& = (/ + Л)/2 и Л2 = (Л —彳)⑵(7.100)

образуют некоторый дублет относительно скрытой О (2)-симме- трии. Разложение S-матрицы по Su S2 и S3 записывается теперь в терминах О (2)-тензоров. Индексы а, Ь, с н d в (7.71) принимают значения от 1 до 2. Физически более естественные понятия соответствуют Л—Л-амплитуде рассеяния вперед (прохождения) S『(8), Л —Л-амплитуде рассеяния назад (отражения) SR (0) и Л—Л-амплитуде S (0), для которой нет различия между рассеянием вперед и назад. (Вследствие симметрии 少一二少 теории СГ Л—Л-амплитуда есть также S (0).) Используя соотношение (7.100) между (Л, Л) и дублетом (Аъ Л2), легко убедиться, что

St ⑼=Si ⑼ + S2 (0), Sr ⑼=Si ⑼ + S3 (0),

5(0)-S2 (0)+S3 (0).(7.101)

Поэтому для вычисления Л——А- и Л—Л-амплитуд рассеяния мы можем использовать О (2)-результат (7.95)——(7.98) для Si, S2 и S3, но при этом необходимо соответствующим образом выбрать константу у' и КДД-множители. Чтобы определить их, рассмотрим полюсы минимальной амплитуды (7.95)—(7.98). Эти полюсы возникают из полюсов Г-функции. Существует много таких полюсов, но полюсы, соответствующие связанным состояниям, должны попадать в физическую область (Оу Im 0 < л, Re._0 = 0). Они появляются из множителей Г (1 + i8Q/yr) и Г (1 — (8л + 力88)/丫'). Эти полюсы расположены в точках

0п =切？'/8, и = 1,2,..., <8л//,

8冗=Е — шу78, и = 1, 2, ...» <8л/у\*

С учетом (7.68) второй набор в (7.102) соответствует

Sn = 4財2 Ch2 (辱一將)=4財2 sin?(為)，(7.103)

n = 1, 2, . .., <；8л/у\

Находясь в области 0 < s < 4М2, эти полюсы определяют положение связанных состояний. Первый набор, очевидно, соответствует тем же связанным состояниям, проявляющимся как полюсы в 〃・канале. Мы уже получили связанные состояния этой теории при помощи В КБ-метода в разд. 7.1, где мы также выдвинули аргументы в пользу утверждения о том, что полученный там спектр связанных состояний точен. Этот спектр определяется формулой (см. (7.39))

財^ = 4ЛРsin?(州/16), n= 1, 2,<8л/у,(7.104)

где 丫 ——перенормированная константа связи теории СГ. Мы видим, что этот спектр точно совпадает со связанными состояниями (7.103) нашей минимальной S-матрицы при условии, что у' = у. Это не только помогает фиксировать параметр у' в S- матрице, но показывает также, что для случая СГ может быть достаточно минимального решения (7.95), (7.96) для О (2) без необходимости в до по л н ительных КДД-множителях. Правильность минимального решения следует также из разбора случая 丫 = 8л. Тогда Si, S2 и S3 в (7.95)——(7.98) сильно упрощаются и для всех 0 дают

SN0) = $(0) + 52(0)=1, Sk(0) = s (0) + S3(0) = о,

S (0) = S2 (0) + S3(0) = 1.(7.105)

Это как раз то, что и должно было быть. Значение 丫 = 8л соответствует (разд. 7.3) g = 0, где g ——константа связи для модели МТ. Следовательно, мы ожидаем, что солитоны и антисолитоны не испытывают никаких сил. Поэтому Л——Л-амплитуда S равна единице, так же как и Л——Л-амплитуда прохождения S『,но Л——А- амплитуда отражения Sr равна нулю. Далее, при 丫 т 8л g f 0 и наша S-матрица может быть разложена по степеням (2g7n)= =(8冗/丫) —— 1. Если это сравнить со стандартными вычислениями по теории возмущений для рассеяния фермионов в модели МТ, то результаты согласуются до порядка g3 включительно [346]. Эти доводы решительно указывают на то, что минимальное решение (7.95)—(7.98) определяет точную S-матрицу для рассеяния солитонов (и антисолитонов) теории СГ.

Конечно, полная S-матрица этой системы также будет включать рассеяние связанных состояний Мп друг на друге и на солитонах и антисолитонах. Для этих процессов Замолодчиков [364 ] и Каровски и Тун [211 ] предложили вывод, основанный на том обстоятельстве, что любое из этих связанных состояний Мп

само является полюсом Л—Л-амплитуды. Отсюда Мп——Л-ампли- гуда может быть получена как вычет в соответствующем полюсе /1——Л——Л-амплитуды по относительной энергетической переменной АА. Аналогично более сложная амплитуда, содержащая несколько частиц Мпу А и А, есть снова вычет в соответствующем произведении полюсов в подходящей мульти- Л——Л-амплитуде. Все мульти- Л——Л-амплитуды уже известны благодаря факторизации в терминах (7.95)—(7.98), так что амплитуды, включающие связанные состояния Мп, также известны. Дальнейшие сведения о том, как получаются эти вычеты, см. в работе [367 ]. С учетом этой дополнительной информации полная СГ-матрица рассеяния известна точно.

Можно попробовать разрешить аналогичным способом КДД- неоднозначности для других О (^-инвариантных теорий. По- видимому, в некоторых случаях работают минимальные решения. Например, решение для 而》3 (7.92), (7.93), по-видимому, является правильным без дополнительных КДД-множителей для нелинейной сигма-модели. Здесь мы не имеем ни точного спектра связанных состояний для сравнения, ни возможности использовать пертурбативную теорию возмущений. (Напомним из разд. 3.3, что эта модель обнаруживает спонтанное нарушение симметрии на классическом уровне. Но в квантовой теории непрерывная симметрия не может нарушаться в (1 + 1) измерениях [84 ]. Направление поля 屮 во внутреннем пространстве сильно флуктуирует, восстанавливая эту симметрию, и это находит отражение в форме инфракрасных расходимостей в теории возмущений [238].) Но сигма-модель может быть атакована с использованием 1/^разложения; получаемые предсказания согласуются с минимальным решением (7.92), (7.93) [365]. Подобным же образом другое минимальное решение, а именно то, в котором Д заменено на —Д в (7.93), согласуется с результатами 1/^разложения в модели Гросса——Неве для ^ > 4 [355, 366}.

Приведенный выше вывод относится к рассеянию векторного мультиплета некоторой О (^-инвариантной теории. Те же принципы можно попытаться применить для других мультиплетов других групп симметрии. Изменится основное тензорное разложение (7.71), и, следовательно, изменятся последующие уравнения. Могут ли изменившиеся уравнения по-прежнему приводить к некоторому решению, зависит от группы и мультиплета частиц. Например, ГН-модель также приводит к «кинк-частицам» в дополнение к ее элементарным фермионам, которые преобразуются как спиноры относительно группы О (N). Точная S-матрица для них получена с помощью этих принципов Шанкаром и Виттеном 1313 ], которые также получили S-матрицу для суперсимметричной с и гм а-модели [314 ].

ГЛАВА 8

КОЛЛЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ И КАНОНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Трактовка нулевых мод: простой пример

В разд. 5.5 мы рассмотрели основные физические причины появления в квазиклассическом методе флуктуационных мод нулевой частоты, когда имеются непрерывные симметрии. В гл. 5 и 6 мы также несколько раз заметили, что в присутствии таких нулевых мод этот метод нуждается в модификации. Хотя нам удалось получить некоторые результаты (такие как уровни энергии в солитонном секторе до О (九°), где % — константа связи), не уделяя специального внимания нулевым модам, последние будут приводить к расходимостям в высших порядках до тех пор, пока они не будут рассмотрены на иной основе, чем остальные моды ненулевых частот.

В литературе описано много различных способов трактовки нулевых мод (см., например, [Г, 16, 81, 95, 130, 152, 153, 292, 335 ]). Многие из этих способов связаны с использованием коллективных координат. (Понятие коллективных координат уже несколько десятилетий применяется в теории многих тел; см., например, [52] г).)

Эту главу мы посвятим обсуждению метода коллективных координат. Такие координаты могут быть введены как в формализме функционального интеграла, так и в каноническом операторном формализме. Кроме того, в некоторых случаях коллективные координаты могут быть явно определены как функционалы от полевых переменных, в то время как в других случаях они должны вводиться неявным образом. Мы попробуем проиллюстрировать эти различные возможности с помощью примеров. В частности, мы изложим в разд. 8.3 и 8.4 канонический гамильтонов формализм Криста——Ли, который вводит коллективные координаты. Это даст нам возможность увидеть, как квазиклассический метод работает в каноническом формализме, дополняя функционально-интегральный подход, рассмотренный в гл. 6.

Мы начнем наше обсуждение, как и в других главах, с простого примера из нерелятивистской квантовой механики, где

工)Метод коллективных переменных (точнее групповых переменных) был сформулирован Н. Н. Боголюбовым в задаче о поляроне [370* ]. — Прим, перев.

может быть продемонстрирована правильная трактовка нулевых мод. Рассмотрим в двух измерениях некоторую частицу, поведение которой управляется лагранжианом

厶=4-(佈)?+(為У)—н(/^т^)・ (8.1)

Этот лагранжиан инвариантен относительно некоторой непрерывной симметрии, а именно относительно вращений в плоскости (尤1, %2)・ Пусть V (/%： +%力 имеет минимум при некотором ненулевом значении ■/忏 + 拷 = R * 0. Ясно, что каждая точка Р на окружности радиуса R будет классическим статическим решением. Предположим, что мы применяем квазиклассический метод гл. 5 для квантования статических решений. Этот метод включает аппроксимацию энергетических собственных функций квантовой системы, исходя из волновых функций гармонического осциллятора, сосредоточенных в окрестности любого заданного классического решения, в нашем случае в окрестности любой заданной точки Р на окружности радиуса R. Согласно этому методу, уровни энергии должны иметь вид

2

Е{&, п2} = У (R) + 工(修 + g)力例 + высшие порядки,

где з； н з；——собственные значения (d2V/dxt dx/fp. Легко видеть, что благодаря вращательной симметрии одно из собственных значений (о? равно нулю, в то время как другое определяется как (о； = У (R). То обстоятельство, что з】равно нулю, не создает никаких проблем в первых двух слагаемых в Е^П1> П2у Можно записать

Е{叫，п2)= У (R) + (п2 + %)力&2 + высшие порядки.

Но в слагаемых высших порядков, где частоты з】и з? появляются в энергетических знаменателях, как и в стандартной теории возмущений, равенство нулю o)i приводит к расходящимся вкладам. Эта техническая трудность является отражением того факта, что частично нарушено основное предположение, стоящее за квантованием статических решений. Стационарные квантовые состояния этой системы не локализованы вокруг некоторого конкретного классического статического решения, т. е. в^окрестности некоторой заданной точки Р на окружности радиуса R. Хотя потенциал вблизи точки Р может быть приближенно квадратичным по радиальным смещениям, он^будет оставаться постоянным по^отношению к угловым смещениям в силу симметрии. Следовательно, собственные состояния гамильтониана, которые радиально локализованы, растекаются в угловом направлении по всей

окружности. Их нельзя связать с какой-либо точкой на окружности.

Таким образом, эта простая модель содержит все, в чем мы заинтересованы, а именно нулевые моды флуктуаций в квази- классической процедуре, связанные с непрерывной симметрией. Квазиклассический метод по-прежнему может быть применен, но с некоторой модификацией для преодоления трудностей с нулевыми модами. Для этой простой модели требуемую модификацию легко найти. Сначала декартовы координаты заменяются на полярные координаты (г, 0). Преимущества последних очевидны, но мы все же их перечислим, поскольку в теоретико-полевых примерах коллективные координаты будут выбираться с учетом аналогичных критериев. 1) Упрощается действие преобразований симметрии——вращения изменяют только 0, так как г ортогонально 0 и остается без изменений. 2) Вследствие вращательной симметрии потенциал V = V (г) не зависит от 0; зависимость от 0 есть только в кинетической энергии, и она квадратичная:

厶=4-产+ ｝产醉-/（'）■（8・2）

Канонический импульс, сопряженный 0, есть / =产6; в силу симметрии он сохраняется. 4) Поскольку зависимость от 0 такая простая, она может быть учтена точно без обращения к квази- классическому приближению. При этом остается одномерная задача по переменной г с некоторым эффективным потенциалом. Теперь квазиклассический метод предыдущих глав может быть применен только к этой одномерной задаче по переменной г, которая больше не обладает какой-либо непрерывной симметрией; исходная вращательная симметрия оставляет г без изменений. Следовательно, при реализации квазиклассического метода не останется никаких нулевых мод или связанных с ними трудностей. Это основная идея, стоящая за модифицированной квазиклассиче- ской процедурой в присутствии непрерывных симметрий и нулевых мод. При подходящем обобщении такая процедура используется в теоретико-полевых примерах, где коллективные координаты играют ту же роль, что и переменная 0 здесь.

Для примера (8.2) легко выполнить точное вычисление зависимости от 0 как в формализме функционального интеграла, так и в гамильтоновом формализме. Порождаемый (8.2) гамильтониан есть просто '

Н = 4•卢十产⑵? + у(,), р, = л (8.3)

Заметим, что координата 0 вообще не входит в выражение для Н. Более того, в квантовом варианте мы можем искать собственные значения энергии в любом данном /-секторе, так как орбитальный

момент сохраняется и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом. В этом секторе одномерная задача (8.3) по переменной г имеет эффективный потенциал УЭфф (г) ~ V (г) + Р/2г2, т. е. обладает дополнительным центробежным слагаемым. Это дополнительное слагаемое в результирующей радиальной задаче является чистым эффектом нулевых мод угловых флуктуаций, если его рассматривать правильно, как это сделано выше.

Применим квазиклассический метод статического решения к радиальной задаче (8.3) для произвольного заданного /. Классическое статическое решение г (t) = R удовлетворяет уравнению = (=6(8.4)

В приближении гармонического осциллятора (гл. 5) соответствующие квантовые уровни имеют вид

Er" = ^Эфф(^) Н^~ (孔 Н^~)力亩=

=八衿+ :卜+；)方而+ /2/2庐，(8.5) где

^ = ^V,^ldr^.(8.6)

Заметим, что хотя г (t) = R —— статическое решение результирующей радиальной задачи (8.3), но оно также соответствует зависящему от времени периодическому решению исходной системы (8.2) в следующем смысле. Следующие из (8.2) уравнения движения имеют вид

г — гО2 + dV/dr = 0,(8.7а)

(d/dt) (г26) = 0.(8.76)

Если мы положим г (t) = R и Q = vt при v = 〃区2, то уравнение (8.76) автоматически удовлетворяется, а уравнение (8.7а) сводится к (8.4). Поэтому квазиклассический результат (8.5) можно рассматривать так же, как разложение в ряд в окрестности зависящего от времени решения, описывающего вращение по кругу с орбитальным моментом /. Это находится в согласии с приведенными выше интуитивными аргументами. Квантовая волновая функция не остается локализованной в окрестности произвольного заданного статического классического решения на плоскости, а в силу вращательной симметрии стремится растечься в угловом направлении. Следовательно, вращающееся зависящее от времени классическое решение, которое включает в себя все точки, связанные друг с другом этой симметрией, будет лучшим классическим пределом для квантовых стационарных состояний. К этому приводит наш модифицированный квазиклассический метод.

Следует кратко остановиться на том, как такой же результат может быть получен в формализме функционального интеграла, поскольку мы видели, что этот последний предоставляет возможность непосредственного обобщения на теорию поля. Мы ищем уровни энергии для произвольного заданного орбитального момента /. Они определяются полюсами

2л2лТг(Т^)Тг(Т^)12冗12冗J dae~ila Tr оJ dae~ila Tr о、^^丿、^^丿

2л

2л

Тг(Т^)

Тг(Т^)

1

2冗

1

2冗

J dae~ila Tr о

J dae~ila Tr о

、^^丿

、^^丿

2 лоо= -^-^ dae~ila^dTeiET002 лоо= -^-^ dae~ila^dTeiET00

2 лоо

= -^-^ dae~ila^dTeiET00

2 лоо

= -^-^ dae~ila^dTeiET00

J r0 dr0 J d0o (r0, 0OI e-lHT+lLa I r0, 0O), (8.8)

где L — оператор орбитального момента, й = 1, а след берется в базисе полярных координат | г0, 0О). Это можно записать в виде

где

G (Т)三 J 警 J М J 個 ％е-〃а /, 8。+ а I е-，нт | 力，呢；(8.9)

здесь для вращения конечного состояния использован оператор e'La. Запишем интеграл по траекториям для амплитуды (г0> 0О + a I e~iHT I г0, 0О) непосредственно в полярных координатах, используя лагранжиан (8.2):

G/(T)=J^[r(/)]r(/)expG/(T)=J^[r(/)]r(/)exp

G/(T)=J^[r(/)]r(/)exp

G/(T)=J^[r(/)]r(/)exp

X J da J芻 J2[0⑼ exp(i J (｝尸訥一兩)或).(8.10)

Здесь все пути идут из точки (г0, 0О) при / = 0 в точку (г0, 0О + а) при t = Т. Интегрирование по значению в конечной точке г0 включено в-определение 2 [г (/) ]. Наконец, так как a = 0 (Т)— т

—9 (0) для всех траекторий, мы заменили а на J 0 d/ в экспоненте.

Заметим, что экспонента в угловом интеграле в точности квадратична по 0. Интегрирование по а и 0О равносильно интегрированию по конечным значениям траектории 0 (/) в дополнение

КОЛЛЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ И КАНОНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 243

к промежуточным значениям. Поэтому интегрирование по углу может быть выполнено точно и дает (с точностью до констант, которые могут быть включены в меру)

n[击 ехр(謐0],

где Ut обозначает произведение по всем моментам времени /. После подстановки в (8.10) остается

G,(T)= J 用Г(/)]eXр "力(告一1/(Г)一 負斗 (8.11)

Таким образом, мы еще раз имеем радиальную задачу с эффективным потенциалом V (г) + 户/2户. Теперь к этому радиальному функциональному интегралу могут быть применены квазикласси- ческие методы гл. 5 и 6 без учета нулевых мод, так как теперь вращательной симметрии нет. (При применении этого квазиклас- сического метода в радиальной переменной существует дополнительная техническая трудность, поскольку область изменения г (/) простирается от 0 до оо, а не от —оо до -р8. Это приводит к так называемой модификации Лангера. Мы здесь не будем обсуждать эту трудность, поскольку она не связана с нашей основной целью― трактовкой нулевых мод, которая уже достигнута интегрированием по углу. Заинтересованные читатели могут обратиться к работам [226, 257].)

Прежде чем оставить этот простой пример, рассмотрим последний вопрос, который касается хорошо известной неоднозначности в упорядочении при переходе от классического гамильтониана к квантовому гамильтониану. Выше мы преобразовывали переменные к полярным координатам непосредственно на классическом уровне. На классическом уровне лагранжианы (8.1) и (8.2) совершенно эквивалентны. Затем мы квантовали систему в формализме функционального интеграла непосредственно в полярных координатах, что приводило к эффективному радиальному потенциалу V (г) + Р/2г2. Предположим вместо этого, что мы квантуем систему в декартовых координатах. При этом лагранжиан (8.1) приводит к уравнению Шредингера (при 力=1)

[^_(_^_+_^_) + p"后 + x办]屮(%1, %2)=e屮(灯，x2).(8.12)

Преобразовав с помощью 屮(г, 0) = [щ (『)//г] е"。это дифференциальное уравнение к полярным координатам, легко убедиться, что щ (г) подчиняется уравнению

(+ У (г) + “ 府2 ")) U[ (г) — Eui (г).(8-13)

Теперь центробежное слагаемое содержит дополнительную составляющую ——1/8厂2 по сравнению с тем слагаемым, к которому приводит полярный интеграл по траекториям в (8.11). Тот же дополнительный член ——1/8г2 можно также получить в формализме функционального интеграла, если начать с интеграла по траекториям в декартовых координатах и затем заменить переменные на полярные координаты, обращая внимание на сохранение правильного порядка бесконечномалых (детали см. в работах [118, 292]). Рассуждая с большей общностью, предположим, что мы заменяем гамильтониан И в (8.3) на гамильтониан

Н = ^-р^ + Р^ + V (Г) + [рг, /(г)], (8.14)

где / (г) — некоторая функция г. На классическом уровне Н тождественно ", так как рг коммутирует с г. В квантовой теории, когда [г, рг]=，力，Н отличается от Н на —ihfr (г). Такие неоднозначности при упорядочении указывают на то, что может существовать несколько квантовых гамильтонианов, соответствующих одному и тому же классическому пределу. Для данной физической системы, для которой предлагается квантовая теория, правильный выбор определяется, конечно, тем, какой квантовый гамильтониан согласуется с экспериментальными данными для этой системы. Правильной формой часто оказывается «стандартная декартова форма»

訪+ 用 (8.15)

в некоторых декартовых координатах {%»}. В этом случае, если тот же гамильтониан требуется записать в каких-то других координатах {Ej}, то лапласиан £『дЧд就 в гамильтониане (8.15) переписывается через {^}* Это приводит к единственному квантовому гамильтониану в терминах |&}. Переход от (8.12) к (8.13) — пример такой процедуры (см. также [301 ]).

Это завершает наше обсуждение способов рассмотрения проблем, обусловленных непрерывной симметрией и следующими из нее нулевыми модами, на простом примере (8.1). Мы подчеркнули существенные особенности этого примера, хотя они и очевидны, так как в более сложном контексте полевых теорий мы будем использовать аналогичные критерии при реализации правильного подхода к нулевым модам. Роль переменной 0 там будут играть коллективные координаты. В примере (8.1) элементарные геометрические представления позволили немедленно идентифицировать г и 0 как правильные координаты для решения проблемы нулевых мод. Кроме того, (г, 0) явно заданы через исходные координаты %i и х2. В некоторых теоретико-полевых случаях не-

обходимые коллективные координаты также могут быть написаны явно как функционалы исходных полевых переменных: пример приводится в следующем разделе. В более общей ситуации коллективные координаты должны вводиться неявным образом, как это обсуждается в разд. 8.3 и 8.4.

Пример явной коллективной координаты

Рассмотрим теперь теоретико-полевой метод [292 ], посредством которого некоторые нулевые моды можно рассматривать с помощью непосредственного обобщения процедуры, использованной в разд. 8.1, т. е. с помощью нового набора координат, явно определенных в терминах исходных полевых переменных. Для иллюстрации этого метода рассмотрим комплексное скалярное поле 6 (х, /), управляемое плотностью лагранжиана

①(х, /) = 4 (电в)* 0冲)一и (IВ I).(8.16)

До сих пор, пока U (| 6 |) сохраняет перенормируемость теории и допускает необходимые классические решения, используемые ниже, явный вид U (| 巾 |) и размерность пространства могут оставаться произвольными. Ясно, что этот лагранжиан инвариантен относительно действия глобальной симметрии U (1):

6(х, f)f р£”(х, /),(8.17)

где а не зависит от пространства-времени. Классическое уравнение Лагранжа—Эйлера можно записать в виде

口 0 +(&18)

Для любого данного классического решения %л (х, /) уравнения (8.18), как статического, так и зависящего от времени, в силу симметрии U (1) функция е£а^кл (х, /) для любого действительного а также является решением с той же энергией. Следовательно, в окрестности любого классического решения будут обсуждавшиеся выше нулевые моды флуктуаций и связанные с ними трудности. (Конечно, система (8.16) также инвариантна относительно действия пространственных трансляций и вращений. Это приводит к появлению некоторых других нулевых мод. В дальнейшем мы вернемся к рассмотрению этих мод, а пока рассмотрим только нулевую моду, связанную с симметрией U (1).)

Чтобы преодолеть эти трудности, сначала заменим переменные на полярные поля р (х, /) и 0 (х, /), определенные формулой

6(%, /) = р(х, /)ехр [Ш (х, /)].(8.19)

В терминах этих полярных полей лагранжиан (8.16) и полевое уравнение (8.18) принимают вид

①(х, 0 = 4 (电р)2 + 扌 р2 (电呼—и (р),(8.20)

□ P-P(W + dU/dp = 0,(8.21 а)

电(р2 啊=0.(8.216)

С од но пар аметр ической симметрией U (1) связан сохраняющийся заряд

Q = 4" J 8* 备 в — в 备 в*) dx = — J 典 dx. (8.22)

Сохранение Q очевидно из (8.216). Как хорошо известно, в квантовой теории оператор Q порождает преобразования симметрии (8.17), которые в терминах полярных полей имеют вид

р(х, /) -^р(х, /),(8.23а)

0(х, /)-^0(х, /) + &.(8.236)

Поскольку Q сохраняется и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом, мы можем искать собственные значения энергии в любом заданном секторе с зарядом q. Они задаются полюсами

Тг? (^^) = j dTetETGm(8.24)

где

Gg (Т)三 Tr [е-^6 (Q — q)] = J 警夕加 J 勿[p。(x)] p0 (x) X

X J 纱出° (x)]〈po (x), 9。(x) + a I e~iHT | p。(x),旦(x)〉. (8.25)

На последнем этапе след взят по собственным состояниям поля, записанным в полярной форме, и для преобразования конечного состояния по образцу (8.23) использован оператор с e'Qa. Окончательно амплитуда перехода в (8.25) может быть записана как теорети ко -полевой интеграл по траекториям. Следовательно,

G£T)二 J 登 °"科 J 妄[P(X，力 P (x，9 J 玄[0 (x, 01 exp \iS [p, 6]},

(8.26) где 1) все поля переходят из (р0 (х), 0(х)) при / = 0 в (р0 (х), 0О (х) + а) при времени Т, 2) включено интегрирование по р0 (х), 0О (х) и 3) S [р, 0 ] —действие в полярных полях, задаваемое выражением

S [р, 8] = J 力 J dx [3 (电р)2 + } р2 (电8)2 + и (р)] . (8.27)

о

До этого момента рассмотрение было весьма непосредственным обобщением того, что было сделано в простой задаче, рассмотренной в разд. 8.1, причем Q здесь играет ту же роль, что 厶 там. Но имеется одйо существенное различие. В разд. 8.1 0 (/) —простая динамическая переменная, которая заменяется на 0 (/) + а под действием однопараметрического вращения в плоскости. Теперь же 0 (х, /)——поле, т. е. бесконечное число переменных, по одному при каждом х. Между тем группой симметрии по- прежнему является однопараметрическая группа U (1). Поэтому возникает желание найти некоторый подходящий набор координат, описывающий 0 (х, /), такой, чтобы под действием преобразования U (1) изменялась только одна из этих координат. Это достигается использованием коэффициентов Фурье. Пусть

о(X, Z)=S bkn 0) exp (ikn ・х),(8.28)

где для простоты мы поместили систему в большой ящик, чтобы волновые числа kn были дискретными. Под действием преобразования (8.23) b(j (/) f b(j (/) + а, в то время как все другие коэффициенты Фурье с ненулевыми волновыми числами не меняются. Другими словами, если мы запишем (8.28) в виде

0(х, /)三瓦 0) + О(х, /), где

0(Х, /) ~ 2 Ь%«) exp (ik^x),(8.29)

то под действием преобразования (8.23)

瓦 0)f &(/) + &, 0 (х, /)->0 (х, /), р(х, /)->р (х, /). (8.<30) К этому моменту должно быть ясно, что Ь° (/) — именно та переменная, которая играет ту же роль, что и 0 (/) в разд. 8.1. Она и только она меняется под действием преобразований симметрии U (1). Остальные переменные 0 (х, /) и р (х, /) (их бесконечно много) не изменяются и в совокупности играют ту же роль, что и г (/) в разд. 8.1. Переменная 瓦 может быть названа «коллективной координатой», связанной с рассматриваемой симметрией U (1). Это коллективная координата в том смысле, что она зависит от исходного поля 6 (х, /) для всех х. Действительно, Ь° может быть явно записана через $ (х, /) при обращении ряда Фурье (8.28): bQ (/) = (объем)-1 j 0 (х, /) dx = (объем)-1 j dx Im (In ф (x, /)).(8.31)

Записанное в переменных 瓦(/) и «оставшихся» переменных 0 (х, /) й р (х, /) действие S [р, 0 ] (8.27) принимает вид

s[瓦，Р，6] = Jd/{ J[瓦(/)『/(/) +瓦(/)&(/)} + S」p, 0], (8.32)

где

S' [p, а]三 J 必 J dx [ }(电p)2 - и (р) + 4 Р2 (电0)2 卜(8・33) 4(f)三 J р2(X, f)dx,(8.34a)

B(t) ~ j р2(х, /)0(х, /) dx.(8.346)

Запишем функциональный интеграл (8.26) через ??0, р и 0 в виде 备(Т)= J 扬 IP (х，01 Р (х, f) J 初® (х, /)] J exp (iSr [р, 0]) J db0 (0) x X j-g-j "改o(f)]exp [i (J [：40)就(方) + 80)瓦(电山)-切a], (8.35)

где J ——якобиан, обусловленный заменой переменных. Все траектории bQ (/) идут из bq (0) в 瓦(Т)=瓦(0) + а. Отсюда a =

= J 60 df. Мы замечаем, что интеграл по всем траекториям Ь° (/), о

включая конечные точки, идентичен по форме интегралу по углу в (8.10). Подынтегральное выражение также квадратично по й0, и интегрирование может быть выполнено точно совершенно так же, как при переходе от (8.10) к (8.11). Ясно, что результат имеет вид

Gq(T) = j^[p]p j^[0] у^= exp «S [р, 0] - / j。勿需乎成).

(8.36)

Таким образом, остается функциональный интеграл по «оставшимся переменным» р (х, /) и 0 (х, /) с эффективным действием в экспоненте

5эфф [р, 0] = S' [р, 6] — J 山"読方必三 J 山厶фф [р, 0],(8.37)

где^афф [р, 0]二где^афф [р, 0]二(8.38)(8.38)

где

^афф [р, 0]二

где

^афф [р, 0]二

(8.38)

(8.38)

К функциональному интегралу (8.36) может быть применен клазиклассический метод. Так как U (^-преобразование оставляет р (х, /) и 0 (х, /) без изменений, связанная с симметрией U (1)

проблема нулевой моды больше появляться не будет. Эта мода эффективно устранена посредством разделения переменных и интегрирования по переменной Ьо (/).

С помощью подходящей замены переменных мы в принципе выполнили нашу задачу по учету нулевой моды, связанной с симметрией U (1). На практике вычисление функционального интеграла (8.36) является трудным делом даже в приближении стационарной фазы вследствие сложности подынтегрального выражения в (8.36). Но, как мы отмечали в гл. 5 и 6, главный вклад в уровни энергии дают сами классические решения, т..е. экстремумы экспоненты S^ [р, 0 ]. Очень трудно вычислить из функционального интеграла (8.36) только квантовые поправки, обусловленные флуктуациями. Выясним, можем ли мы найти какие- либо экстремумы 5Эфф [р, 0 ], решая уравнения

(6/6р (х, 0) 5эфф [р, 0] = 0, (6/60 (х, 0) &фф [р, 0] = 0. (8.39а, б) Заданное в (8.37), (8.38) действие З^ф巾[р, 0 1 является настолько сложным, что представляется трудным даже решение классических уравнений (8.39 а, б). Ясно, что они являются^нелинейными интегродифференциальными уравнениями для р и 0. Тем не менее, возможно, что удастся найти одно нетривиальное решение, которое к тому же имеет весьма привлекательную физическую интерпретацию, с помощью следующей процедуры. ■

Можно проверить, что 0 (х, /) = 0 есть решение уравнения (8.396), если р не зависит от времени. В этом случае уравнение (8.39а) сводится к

—V2P (х) + 黑一т г 户• 12 р (х) = 0. (8.40)

Это уравнение по-прежнему имеет интегродифференциальную форму. Но его решение может быть связано с некоторыми решениями исходных полевых уравнений (8.18) или (8.21). Рассмотрим периодическое решение полевых уравнений вида

6(х, /) = р、(х)ет% (8.41)

Из (8.21а) мы видим, что pv (х) должно удовлетворять уравнению

-V3Pv (х) + (当然)％ - v2pv (x) = 0. (8.42)

Тогда ясно, что решение уравнения (8.42) pv (х) будет также удовлетворять уравнению (8.40), если заряд q в (8.40) связан с частотой V соотношением

7= V j pv (х)dx. (8.43)

Другими словами, решив уравнение (8.42) относительно возможных значений v, мы разрешим (8.40) относительно собственных

значений q. Еще более важно, что зависящее от времени решение (при 0 (х, /) = 0) эффективной задачи (8.39) связано с вращающимся решением (8.41) исходных полевых уравнений (8.21). Вращение имеет место во внутреннем пространстве (фазы ^>), в котором действуетfрассматриваемая симметрия U (1). Более того, соотношение (8.43) показывает, что q, которое введено в (8.25) в качестве заряда на квантовом уровне, должно быть равно заряду классического решения (8.41). Короче, наш квази- классический метод ставит в соответствие уровням энергии в заданном зарядовом секторе классические решения, обладающие тем же зарядом. С интуитивной точки зрения это весьма удовлетворительно. Очевидно также, что в целом весь наш вывод весьма близок простому примеру, рассмотренному в разд. 8.1 工 Уравнения (8.40)—(8.43) соответствуют специальному случаю 0 (х, /) = =0. Конечно, уравнения (8.39) в общем случае имеют также решения, в которых 0 (х, /) нетривиально. Эти решения очень трудно вычислить, но для данного q решения с 0 (х, /) = 0 обладают наинизшей энергией (см. [228]).

В приведенном обсуждении предполагается, что локализованные решения с конечной энергией уравнения (8.42) существуют и могут быть получены. Но уравнение (8.42) по сложности не сравнимо с (8.39) или (8.40). Оно представляет собой стат ическое нелинейное волновое уравнение для действительного поля р (х) с потенциалом &巾巾(р) = U (р) — %v2PНапомним, что такие уравнения мы рассматривали в гл. 2 и 3. Без потери общности можно считать, что U (| 屮 |) равно нулю в абсолютных минимумах. Для того чтобы заряд (8.43) был конечен, поле р (х) = | $ (х) | должно исчезать на пространственной границе. В то же время, для того чтобы энергия решения

E = J [}|$|2 + }|*|2 十 U(|#|)]dx

была конечна, U (| 屮 |) также должно быть равно нулю (т. е. достигать своего абсолютного минимума) на пространственной границе. Следовательно, U (| В |) должно иметь свой абсолютный минимум при I В I = 0. Это означает, что рассматриваемая зарядовая симметрия не должна быть спонтанно нарушенной. Это согласуется с требованием, чтобы оператор заряда был конечным. Все это также означает, что солитонное решение уравнения (8.42), которое мы ищем, на языке гл. 2 и 3 является нетопологическим, Существование, устойчивость и другие свойства заряженных нетопологических сол итонов в таких системах очень подробно исследовали Ли с соавторами [142——145, 228 ]. В качестве примера рассмотрим (1 + 1)-мерную задачу с потенциалом

(8.44)(8.44)U(|B|) = a2|2 — b|y| + c| 川 *

(8.44)

(8.44)

где а, b и с ——действительные положительные параметры, удовлетворяющие неравенству 接 < 4g В (1 + 1) измерениях эта теория перенормируема. В то же время если 从 < 4g то U (| 屮 |) имеет невырожденный абсолютный минимум при | В | = 0. Уравнение (8.42) сводится к

d2p/dx2 = (d/dp) аФф (р),(8.45)

где

4фф = и (р) — 3 р2V2 = (а —戸2)р2 — Ьр4 + срб. (8.46)

Рис. 17. Схематическое изображение —U (р) и —и^фф (р) для некоторого v> vMHH. Здесь U (р), определенное (8.44), — исходная потенциальная функция в лагранжиане этой полевой теории, а 〃зфф(Р)= U (р) — 1/2v2p2 — эффективный потенциал Jb дифференциальном уравнении (8.45). Использованы некоторые типичные значения параметров а^Ь^с. В аналоге (8.45) соответствующая частица описывается координатой р (х) и находится в потенциале [—(/эффО3)]' з 亠注鹼

...a J 丁;鉴二0

Для значений v, больших,^чем некоторое vMhh, но меньших, чем 尸2а, [/эфф (р) приобретает более низколежащий минимум при некотором ненулевом р (рис. 17). В этом случае существует некоторое нетопологическое решение уравнения (8.45). Чтобы показать это, привлечем квантовомеханическую аналогию, использованную в гл. 2. Уравнение (8.45) представляет собой уравнение Ньютона для частицы в потенциале [——[/Эфф ], где х играет роль времени. Из рис. 17 ясно, что эта частица-аналог может начать движение из точки р = 0 с произвольно малой скоростью при большом отрицательном времени (х = ——оо), прийти в р = р0 при х = 0 и вернуться в р = 0 при х = +оо. Явное решение р (х) может быть получено с помощью интегрирования (8.45), как это рассмотрено в гл. 2. Заметим, что на языке гл. 2 это решение типа С.

Внимание читателя может привлечь сделанное в гл. 2 замечание, что статические нетопологические солитоны не могут существовать в (1 + 1) измерениях для одного действительного скалярного поля. Тем не менее уравнение (8.45), по-видимому, имеет такой солитон. Причина состоит в том, что (8.45) на самом деле

не является статическим уравнением некоторого действительного скалярного поля. Исходное поле 力(х, £) есть комплексное скалярное поле, и решение, которое мы рассматриваем, имея форму (8.41), на самом деле зависит от времени. Только модуль р (х) является статическим и подчиняется уравнению (8.45).

Поскольку скалярные заряженные решения зависят от времени, теорему вириала из разд. 3.2 применять нельзя. Нетопологические солитонные решения уравнения (8.42) могут также существовать в более чем двух измерениях при подходящим образом выбранных U (р), хотя их трудно получить в точной аналитической форме. Детальное обсуждение вопросов существования таких решений и их приблизительной формы приводится в цитированных выше работах Ли с соавторами, которые также рассматривают нетопологические солитоны для калибровочных полевых систем в (3 + 1) измерениях.

Возвращаясь к нашему квазиклассическому методу, можно сделать два технических замечания.

В контексте простого примера разд. 8.1 мы отметили, что если бы та система была первоначально проквантована в декартовых координатах, а затем преобразована к полярным координатам, то множитель /2/2г2 в эффективном потенциале заменился бы на (/2 — i/&)/2产.Более сложным образом подобный эффект проявился бы в настоящем случае, если бы мы записали функциональный интеграл для Gq (Т)через «декартовы» поля Re, н Im 农 а потом перешли бы к р и 0 (детали см. в работе [292]). Эти различия не изменяют уровни энергии в первом порядке, а влияют лишь на квантовые поправки.

Если бы система содержала другие поля кроме 屮(х, /), то действие и полевые уравнения были бы более сложными. Но основная процедура учета нулевой моды U (1) осталась бы той же самой. На дополнительные поля не влияет преобразование симметрии (8.17), и они присоединились бы к р (х, /) и 0 (х, £) как часть «оставшихся» переменных. Коллективная координата Ьо может быть по-прежнему определена с помощью (8.31) и точно проинтегрирована. В некоторых из цитированных выше работ в добавление к комплексному полю 屮(х, 2) включается дополнительное действительное скалярное поле о (х, /). В нашем обсуждении мы опустили такие усложнения.

В заключение отметим, что описанный выше метод учета U (1)-нулевой моды привлекателен тем, что он предлагает прямое обобщение простых физических идей, введенных в разд. 8.1. Коллективная координата bQ (/) может быть определена в явном виде как функционал от 屮(х, £) и точно проинтегрирована в функциональном интеграле. Остающаяся задача обладает дополнительным «центробежным» слагаемым, связанным с внутренними вращениями (последний член в (8.38)). Входящие сюда классические

решения были просто вращающимися решениями, обладающими таким же .зарядом % как и квантовые состояния. Этот метод может быть распространен также в некоторых случаях на неабелеву глобальную внутреннюю симметрию (см. [292 ]).

Большим недостатком этого метода, помимо громоздкости функционального интеграла (8.36), является то, что он не может быть применен ко всем типам нулевых мод, в частности к трансляционным модам. Напомним, что даже для рассматриваемой здесь модели вследствие трансляционной симметрии возникают дополнительные нулевые моды, которые мы не учитывали. Трудность состоит в том, что неизвестно (по крайней мере мы не знаем), как 8 явном виде определить трансляционную коллективную координату, т. е. определить такое X = X [ф (х) ], чтобы при варьировании X можно было отличить некоторую данную конфигурацию В (х) 01 ее сдвинутых конфигураций без изменения «формы» поля. Для трансляционных симметрий коллективные координаты должны вводиться неявным образом. Это описывается в последующих разделах.

Неявные коллективные координаты

Крист и Ли [81 ] разработали метод квантования солитонов с использованием канонической гамильтоновой процедуры. Их работа дополняет и объединяет результаты, описанные в предыдущих главах с использованием формализма функционального интеграла. Этот метод также вводит коллективные координаты —— столько, сколько нужно для замены нулевых мод, обусловленных непрерывными симметриями исследуемой модели. В этом методе коллективные координаты не записываются явно как функционалы от исходных полевых переменных. Они вводятся неявно, но по-прежнему приводят к последовательному и изящному квазиклассическому разложению.

Для сохранения простоты изложения мы опишем метод Криста—Ли в применении к моделям только с одной нулевой модой, т. е. к теориям действительного скалярного поля в (1 + 1) измерениях, где единственной непрерывной симметрией, приводящей к нулевой моде, является симметрия, обусловленная пространственными трансляциями. Формулируемый ниже метод рассмотрения трансляционной нулевой моды был также независимо предложен Томбулисом [335 ] на несколько другом языке. Рассмотрим стандартный лагранжиан для двумерного действительного скалярного поля, записанный в виде (см. уравнения (6.109)——(6.112))

L = ^ J [^ (^)2 - 4 ^2 - U ^] dx (847)

через поле 屮(尤，f) с соответствующим образом выбранным масштабом. Точкой и штрихом обозначены, как обычно, производные по / и х соответственно. Преимущество записи лагранжиана в виде (8.47) состоит в том, что в последующих вычислениях легко следить за степенями параметра связи gt так как g2 появляется только как общий множитель в (8.47). Кроме того, как отмечено в конце гл. 6, степени й и g2 появляются совершенно одинаковым образом. Поэтому нет необходимости следить за первыми, и мы положим 力=1.

Вспомним сначала некоторые основные свойства системы (8.47), используя рассмотрение, проведенное в предыдущих главах. Если U (3)имеет вырожденные абсолютные минимумы, то существует классическое статическое солитонное решение фкл (х)三 三 а (х —X), удовлетворяющее условиям

a,f -}-dU(0)^=0,(8.48)

3(о，)2 = и(о).(8.49)

Его классическая энергия (масса классического солитона) равна Мкп 三丿口]三击 J [}(o')2 + U (o)]dx=* J(o')2dx 三 4g2.

(8.50)

В силу трансляционной инвариантности а (х—X)—классическое статическое решение для всех действительных X, но его энергия Aid не зависит от X. Приведенная в гл. 5 процедура квантования солитонов, не совсем отвечающая предъявляемым требованиям, сводится к разложению

В(Х, /) = о(х —X) + g2%(/)rin(* —X),(8.51)

О

где т]п (尤—X) —набор ортонормированных собственных функций в уравнении

[-^^0^х^х-^=^^х-^ <8-52)

Напомним, что мы явно выписываем всю зависимость от g2. Все величины о (х ——X),刀九(х —X), o)L А и сп (£) не зависят от g, т. е. порядка g°. Поэтому, когда лагранжиан (8.47) записывается в координатах сп (£) вместо 屮(х, /), он принимает вид

厶=—唠с幫 +。(g)・(8.53)

В порядке g° это не что иное, как совокупность гармонических осцилляторов, и уровни энергии в солитонном секторе равны

E{nq =今 + £ (必 + 皆)3" +。(g)・(8-54)

八=0

Это главный результат, полученный в гл. 5. Неадекватность этой процедуры состоит в том, что нормированная мода с п = 0, определяемая через —

Т]о(х—Х) = (1/|/才)о'(х —X),(8.55)

имеет нулевую частоту, что приводит к потенциальным расходимостям в членах высших порядков в выражениях типа (8.54). До сих пор мы лишь дали краткую сводку результатов, полученных в предыдущих главах. Теперь мы займемся проблемой нулевых мод в рамках канонического гамильтонова формализма. Это осуществляется с помощью преобразования переменной X, которая определяет положение солитона, в динамическую координату, заменяющую координату нулевой моды &. Это означает, что вместо (8.51) мы разлагаем 屮(х,力 в ряд в виде

В(Х, /) = о(х —X(/)) + g *дп(/)ть(х —х(/)).(8.56)

Функции о н 刀九 те же, что и в (8.51), но в (8.56) опущено слагаемое с п = 0. Х〃) называется коллективной координатой, связанной с трансляционной симметрией. Стратегия состоит в том, чтобы использовать X (£) и qn 0) (п > 0) как координаты системы вместо сп (/) в (8.51). Ясно, что

# (*, /)三(d/dt) В (х, /)=—卜 + g * qn^ % + g Е &冏小(8.57)

Для описания новых координат будем использовать компактное обозначение 〃九,九 = 0, 1, ...» 8, т. е. положим

必 0) = Х0), ип (/) = qn (/) для п>0.(8.58)

Тогда слагаемое кинетической энергии в лагранжиане (8.47) принимает вид оо

К 三^~ J dx (}炉)=^"工认DjUj,(8.59)

где 加—симметричная матрица, элементами которой (см. (8.57)) являются

z)oo = ^- J dx + g » 7mn« J，(8.60а)

D0n(n^0) = --^-^ dx (o' + g £ 7mn«j (gn-7)-

=—J dx (工 gmtij (8.606)

Dnm(n, m^=Q) ~8nm,(8.60b)

При этом мы использовали ортонормированность 刀冷 и также ортогональность 刀冷(п ^ 0) к т]0 и поэтому к о， в силу (8.55). Все функции о', ^п и Лп зависят от аргумента (% ——X (/))• Но, так как элементы/)^ в (8.60) являются трансляционно-инвариантными интегралами по х, то D^ не зависят от X (/). Они являются функциями только от \qn\. Аналогично потенциальная энергия в лагранжиане также трансляционно-инвариантна и не зависит от X (/). Мы можем записать ее в виде

VW=\dx[^⑺2 + u (机=V (跳}『今+ ^工成盃+ 0 (g)， 九=1

(8.61)

где использовано (8.56), (8.48) и (8.52). Слагаемое 0 (1/g) отсутствует, поскольку а (х — X 〃)) удовлетворяет (8.48). Поэтому полный лагранжиан в переменных 修(i = 0, 1, ...» оо) имеет вид

厶=3 工 〃Qu (脩D "j — V({%»(8.62)

九/=0

Чтобы найти гамильтониан, будем искать канонические импульсы 冗£ (i = 0, 1, ..., 8), сопряженные координатам и” Они равны

% = dLldut = DjjUj.(8.63)

Следовательно, классический гамильтониан определяется формулой

"=h&心一厶=h 4(ZT%出十V (跳»(8.64)

Для матричных элементов Dq, заданных в (8.60) с помощью алгебраических преобразований, можно убедиться, что

(Qi)oo = 1/2 (° 1)оп — —DqjD,孔，0,

(Z)T),2m = 6*m + D0nD0m/D, n, m * 0,(8.65)

где D — детерминант матрицы Z)订，задаваемый выражением

(8.66)(8.66)D = Det Dij = Z)oo + £ Dln.

(8.66)

(8.66)

Подставляя (8.60), получаем

00(oo\ 2 ОО1/ s(oo\ 2 ОО1/ s22дтУ\тдтУ\тЛЛ^ \а，|鼻强П〃 dx + J dx^ \а，|鼻强П〃 dx + J dx八=1八=19。小］9。小］22(8.67)(8.67)ему т]о (尤一X)ему т]о (尤一X)厅厅22а +々2丄а +々2丄+a，+a，ggX)) по полномуX)) по полномуЕсли мы разложим функцию (^Г q^m (^ базисному набору т]п (尤—X), включа =/тао'(尤一X), то (8.67) сведетсяЕсли мы разложим функцию (^Г q^m (^ базисному набору т]п (尤—X), включа =/тао'(尤一X), то (8.67) сведетсяАА2丿斤2丿斤gg(8.68)(8.68)

0

0

(oo\ 2 ОО

1/ s

(oo\ 2 ОО

1/ s

2

2

дтУ\т

дтУ\т

Л

Л

^ \а，|鼻强П〃 dx + J dx

^ \а，|鼻强П〃 dx + J dx

八=1

八=1

9。小］

9。小］

2

2

(8.67)

(8.67)

ему т]о (尤一X)

ему т]о (尤一X)

厅

厅

2

2

а +々2丄

а +々2丄

+a，

+a，

g

g

X)) по полному

X)) по полному

Если мы разложим функцию (^Г q^m (^ базисному набору т]п (尤—X), включа =/тао'(尤一X), то (8.67) сведется

Если мы разложим функцию (^Г q^m (^ базисному набору т]п (尤—X), включа =/тао'(尤一X), то (8.67) сведется

А

А

2丿斤

2丿斤

g

g

(8.68)

(8.68)

где

а 三 J По (х — X)(鼻 击П% (х 一 X)) dx. (8.69)

Используя детерминант D (8.68), можно подставить матричные элементы (h% в (8.64), чтобы получить классический гамильтониан. Можно отметить следующие свойства этой процедуры.

Переменная нулевой моды отсутствует по той простой причине, что она исключена с самого начала в разложении (8.56). Но мы должны убедиться, что координата X 0), которая появляется вместо нулевой моды, не приводит к подобным же расходимостям в старших порядках.

Как отмечалось выше, матричные элементы D^, а также потенциальная энергия V ——трансляционно-инвариантные интегралы и поэтому не зависят от X (/). Поэтому и0 0) = X (£) всегда отсутствует в гамильтониане (8.64). В гамильтониан входит только сопряженный импульс л0. Это точный результат, не ограниченный каким-либо заданным порядком по gZ Следовательно,

9 Раджа|раман Р.

сопряженный импульс л0 должен сохраняться во времени. Действительно, 冗о равен полному сохраняющемуся импульсу Р. Мы имеем

p =一斗dx=■

g2 J 洗 dx

J 1(' + g e '冏"文-g £ 标](。6 + g e q碎,dx=

=D00X + 工 D0nq兀=%,(8.70)

где использованы (8.60) и (8.63). Поскольку коллективная координата X (£) имеет смысл пространственного положения поля, представляется весьма удовлетворительным, что сопряженный ей импульс оказывается полным импульсом системы.

Используя равенство 冗о = Р и (8.65), можно записать классический гамильтониан (8.64) в виде

" = ^"[ 0。71% + 4"](6м + ^^^)冗厶冗m + p({%}).

八=1n, m=l

(8.71)

Коллективная координата X (f) определена неявным образом с помощью (8.56), а не в явном виде как функционал ф (х, /). Но это не мешает записать лагранжиан через X (£) и «оставшиеся» координаты qn (f), n > 0.

До настоящего момента наше рассмотрение оставалось на классическом уровне. Мы лишь заменили переменные 屮(尤，t) на {X (f), qn (£)}, избавившись тем самым от нулевой моды. В следующем разделе мы выполним квантование системы в этих переменных для получения уровней энергии в солитонном секторе.

8.4. Квантование солитонов с помощью канонических операторных методов

Выполним квантование одномерной скалярной полевой теории предыдущего раздела в координатах ип = (X;夕九,п > 0) и их канонических импульсах 冗九(Р;冗九,п > 0). Квантование осуществляется с помощью превращения «п и лп в операторы, подчиняющиеся одновременным каноническим коммутационным правилам (при й 1)

\Цп (Oj 叫几 О】'Mm [冗小 *^m][〃n，^m]0.(8.72)

Напомним, что в исходных полевых переменных 屮(尤，f) в (8.47) канонический коммутатор был бы обычным объектом

［力(占力冗(y,切=0(占f), (l/g2)j匂，3=，6(x一办(8.73)

Можно проверить, что два набора коммутаторов (8.72) и (8.73) совместны. Как 屮(尤,f), так и 力(у, f) выражаются через ип (» и 冗九(2) при помощи уравнений (8.56), (8.57) и выражения, обратного (8.63). После простых алгебраических преобразований подстановка коммутатора (8.72) приводит к (8.73). Эта совместность важна, поскольку переменные 力(х, £) будут использоваться обычным образом в вакуумном секторе, в то время как в солитонном секторе мы будем использовать переменные ип. Классический гамильтониан в переменных ип и 冗九 задан в (8.64) или в (8.71). В квантовой теории должна быть разрешена неоднозначность упорядочения в этом гамильтониане. Напомним, что в кинетических членах в (8.64) множители (О')订 зависят от qn (хотя не зависят от X) и не коммутируют с 冗九 при п > 0. Эти множители должны быть упорядочены в некоторой конкретной последовательности. Вспомним короткое введение в проблему упорядочения в конце разд. 8.1. Мы будем решать проблему, следуя плану, предложенному там. Мы выберем квантовый гамильтониан в «декартовой» форме (в смысле, использованном в разд. 8.1) в исходных полевых переменных 力(尤，f). Это означает, что мы конкретизируем квантовый гамильтониан в шредингеровском представлении следующим образом:

〃=吟 J (n(х))2 dx + V ［力(х)］，(8.74)

где л (х) ——оператор импульса, сопряженный 3(%) и в соответствии с коммутационным правилом (8.73) определяемый в шредингеровском представлении как функциональная производная

л (х) = -Z6/6 ［^ (х)］.(8.75)

Это задает конкретную форму квантового гамильтониана. Напомним также, что этот гамильтониан используется при стандартных вычислениях в вакуумном секторе. Переход от переменных 屮(х) к переменным ип теперь может быть выполнен без какой-либо неоднозначности с помощью превращения (функционального) дифференциального оператора (8.75) в оператор, содержащий ип, согласно стандартным правилам вычислений. Напомним, что если бы имелся конечный набор переменных с^, i = 1, ..., ^, то лапласиан £f d'/da；, записанный через другой набор координат 阮 имел бы вид,

N' N.

У 呑= У/亘崇,(8.76)

где

%三号需患(&77a)

8 = Det %.(8.776)

Нам следует обобщить это соотношение на бесконечное число переменных, когда 屮(х) для всех х заменяет а», а ип заменяют Р». В этом случае матрица В订 имеет вид

Bi尸、dx端甯.(8.78)

Необходимые производные немедленно получаются из (8.56), (8.58) и дают простой результат

Вц = »卜(8.79)

где D»j —матрица, определенная в (8.60). Таким образом, гамильтониан (8.74) сводится к

"=—：£ 靑 盡(h%m /万詣 + V ({叫)•(8.80) n,加=0

В соответствии с коммутатором (8.72) мы положим

—旭/拉g 二%.(8.81)

Тогда, разделяя 冗九 и ип на (Р;冗九,п > 0) и (X;仇,п > 0) соответственно и используя (8.65) для (D-1)nm, имеем

" = тй|^-£р (器吃+ %器)+

+ 工冗九(6加//)+0?^)m )冗m +丿[{%/]• (8.82)

Напомним, что Р коммутирует со всеми остальными слагаемыми, поскольку они не зависят от X. Выражение (8.82) задает упорядоченный квантовый гамильтониан в желаемых переменных. Упорядочение осуществл я л ось посредством специального выбора, но до сих пор не делалось никаких приближений, квазикласси- ческих или каких-либо других. Ясно, что в классическом пределе, когда упорядочение не играет роли, (8.82) сводится к классическому гамильтониану (8.71). Далее вспомним, что импульс Р, сопряженный^ к коллективной координате X, является также сохраняющимся полным импульсом и коммутирует с Н. Поэтому； мы можем выбрать состояния, являющиеся собственными одновременно и для ", и для Р, Начнем с собственного состояния Р >

= 0, т. е. рассмотрим уровни энергии в системе центра масс. Тогда гамильтониан сводится к

"俨=。)=詁方 S 顺(6环/方+乌蕾)师+"[麻｝].(8.83)

Это выражение по-прежнему является точным в системе координат 尸 =0. Теперь начинается к в аз икл асеическое приближение, которое, как объяснялось в конце гл. 6, по существу является разложением по степеням g. Рассмотрим зависимость от g различных слагаемых в (8.83). Главный член в D выражения (8.68) есть Л/g2, где Л, задаваемое (8.50), есть с-число и коммутирует с 冗仆 Все DOn (п，0) не зависят от g. Потенциал V (｛夕九｝) разложен в ряд в (8.61). Используя все это, мы можем определить главные члены (О (l/g?) и О (g0)) в Н. Ясно, что

Н(р=о)= 〃о + /Л,(8.84)

где

% =今 + 3 £ М + *喲，(8.85)

1

a 〃i，содержащее все остальные слагаемые в Н(р=*, порядка g или выше. Квазиклассический метод может рассматриваться как стандартная теория возмущений по степеням 〃口 используя Но как невозмущенный гамильтониан.

魁 В порядке g° можно пренебречь %; в этом случае уровни энергии являются собственными значениями Но. Тогда ясно, что эти уровни имеют вид

Е｛叫｝=备 + £+ 4")①“ + O(g)‘(8.86)

что в точности согласуется до порядка О (g°) с результатом, получаемым методом гл. 5 (положив со。= 0 в (8.54)), где не предпринималось никаких специальных мер для учета нулевой моды. Такое совпадение было обещано в гл. 5. Но если процедура гл. 5 должна приводить в высших пор я麻ах к проблемам с обращающимися в нуль знаменателями, поскольку формализм содержит нулевую моду, здесь же таких проблем нет. Поправки высших порядков могут быть найдены при применении стандартной теории возмущений по степеням "ь На практике это немного утомительно вследствие довольно сложного выражения для 〃i (冗孤, ，п), содержащегося в (8.83)——(8.85), но проблемы нулевых мод не возникает, поскольку невозмущенный гамильтониан 77О (8.85) содержит только ненулевые частоты. Единственный вклад координаты X, которая заменяет нулевую мо/у, состоит в том, что она

вводит в гамильтониан зависимость от импульса, как показано в (8.82).

Обратим внимание, что, хотя этот метод коллективных координат отличен от методов, описанных в разд. 8.1 и 8.2, физический смысл остается тем же. В рассмотренных там случаях может быть найден эффективный гамильтониан или лагранжиан ((8.3) в разд. 8.1 и (8.38) д^я задачи разд. 8.2), в которые коллективная координата (0 в разд. 8.1 и /?0 в разд. 8.2) не входит. Единственный вклад коллективной координаты состоял в том, что эффективные лагранжианы содержали слагаемые, которые зависели от соответствующего сопряженного импульса (I и q соответственно) в квадратичной форме. Аналогично гамильтониан (8.82) не зависит от X, а только от оставшихся координат qn. Вклад X состоит в добавлении к гамильтониану слагаемых квадратичной формы по сопряженному импульсу Р.

Мы обсудили собственные значения энергии в системе 尸=0. Чтобы получить спектр энергии для некоторого значения Р ^= 0, в принципе нет необходимости возвращаться к полному гамильтониану (8.82). Можно просто привлечь лоренцеву инвариантность: для любого данного уровня энергии Е{ап} в системе покоя имеется уровень 丿Р? + Ejan} для каждого ненулевого импульса Р.

Мы описали лишь упрощенный вариант формализма Криста—Ли, который в полном виде применим для произвольного числа измерений и может включать столько коллективных координат, сколько нужно для правильного учета всех непрерывных симметрий данной проблемы, пространственных и внутренних. В этом более общем случае такой подход ос у ществл яется по тому же плану, что и в йашем упрощенном варианте. Для некоторой заданной системы полей % (х, /), % (х, 力...в произвольном числе измерений (в совокупности обозначаемых ф (х, /)), на которой задано действие некоторого набора непрерывных симметрий, классический солитон в общем случае имеет вид о (х, Xlf Х2, ..., XN)f где Xi, ..., Xn —максимальное число произвольных параметров. Каждое решение принадлежит некоторому семейству решений, получаемых при варьировании Xh Все семейство имеет одинаковую энергию, так как Х^ таковы, что изменение в любом из X? является результатом действия некоторой непрерывной симметрии гамильтониана. Чтобы исключить нулевые моды, связанные с такими изменениями, все эти Xt преобразуются в динамические переменные. Это означает, что производится разложение

0(х, f) = o(x, Х10), X2G),XnR)) +

十g£%(/)%(X, %(/),…，Xn(/)), (8.87)

Коллективные координаты и канонические методы 263

где т]п (х, X], ..., Xn)——полный ортонормированный набор при условии, что все эти моды ортогональны ко всем нулевым модам. Это означает, что они удовлетворяют условиям

J dx% (х, X], • • •) X%)*т]т(X，X], • • •} Хд；) = б^д, (8.88) J "^"•刀九(х‘ Xi . . • Xw)dx = 0 для всех ； = I, . . ., Л^ и всех и.

(8.89)

(В (8.88) и (8.89) подразумеваются скалярные произведения между векторами т] и о во внутреннем пространстве полей, и эти векторы не следует смешивать с пространственной координатой х.) Динамическими переменными считаются X» и qn・ Задав разложение (8.87), имеем

爲十g£%誑%)醬+g£今"” (&9°) 1 = 1 \ . n /. n

что является обобщением'(8.57). Тогда лагранжиан записывается в терминах Xf, qn, Xt и qni и непосредственно обобщаются все остальные намеченные выше этапы рассмотрения. Дальнейшие подробности этого общего формализма см. в работе [81], где также приведено несколько приложений к квантованию статических, а также зависящих от времени солитонных решений.

Наконец, метод неявных коллективных координат, описанный в последних двух разделах в каноническом гамильтоновом формализме, может быть представлен также в формализме функционального интеграла, в котором эти коллективные координаты вводятся посредством некоторого варианта метода Фаддеева—— Попова [126]. Разумеется, физическое содержание в обоих формализмах одно и то же. В частности, Сакита, Жерве и Жевицки развили эту процедуру в серии работ, в которых рассмотрены не только квантовая энергия солитонов, но и рассеяние солитонов (кроме уже цитированных работ этих авторов см. также [154, 155, 203 ]). Мы даем в приложении Б лишь беглый очерк того, как неявная коллективная координата вводится в метод функционального интеграла для простого случая одномерной евклидовой задачи.

Среди других работ, в которых рассматриваются нулевые моды и (или) коллективные координаты, отметим работы [17, 79, 215, 249].

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ДЛЯ ФЕРМИ-ПОЛЕЙ

Введение: грассмановы поля

До сих пор наше рассмотренйе квазиклассического метода ограничивалось бозе-полями. На первый взгляд попытка перенести эти методы на ферми-поля может показаться необоснованной. С физической точки, зрения, если классические бозе-поля имеются в природе (например, электромагнитные волны, гравитационное поле и т. д.), то классические ферми-поля отсутствуют по крайней мере в том же смысле. Действительно, совокупность очень большого числа бозонов, находящихся когерентно в более или менее одном и том же квантовом состоянии, может быть с хорошим приближением описано классической теорией поля. Это не может произойти с фермионами, поскольку принцип Паули запрещает существовать в одном состоянии более чем одному фермиону. С математической точки зрения классические бозе-поля описы： ваются действительными (или комплексными) числами в каждой точке пространства-времени. Вычисление таких переменных производится привычными методами. В частности, функциональный интеграл для бозонной квантовой теории поля, который представляет собой интеграл по классическим бозе-конфигурациям, является в точности пределом обычного с-числового кратного интеграла. В противоположность этому мы увидим, что хотя «классический» предел ферми-полей может быть определен, он приводит к антикоммутирующим полям. Исчисление таких объектов сильно отличается от исчисления обычных коммутирующих переменных.

Учитывая эти глубокие различия между бозе- и ферми-полями на языке их классического предела, можно задаться вопросом, могут ли функциональные методы в общем и квазиклассический метод в частности быть распространены на системы, содержащие ферми-поля. Довольно интересно, что можно сделать и то, и другое. Более того, многие результаты и промежуточные шаги удивительно похожи на их аналоги для бозе-полей, за исключением решающего знака минус. Эта глава посвящена введению в такую технику для ферми-полей.

На первом этапе установим, что понимать под классическим пределом квантовых ферми-полей, хотя полученное таким обра-

зом «классическое» ферми-поле не будет иметь такую же физическую значимость или экспериментальную достижимость, как классические бозе-поля. Мы ограничимся полем Дирака со спином 1/2. Напомним, что квантовое бозе-поле, такое, как скалярное поле Ф (х, /), удовлетворяет одновременным коммутационным правилам

[Ф(х, /), (5Ф/50 (у, f)] = i%6(x — y),(9.1а)

■[ф(х, 0, ф(у, /)] = [(@①/步)(х, 0, g①/步)(У，/)] = 0. (9.16)

Неравенство нулю коммутатора (9.1а)——это то, что делает теорию квантовомеханической. Классический предел соответствует й -> О, когда поле и его производные все коммутируют друг с другом и ведут себя как обычные с-числа при любом (х,办.В противоположность этому поле Дирака Ya (х, /) с каноническим импульсом i屮扌(х, t) удовлетворяет антикоммутационным соотношениям

悝а (х, 0,咻(у, 0)+ =力6那6 (х — у),(9.2а)

Na(X, о,呼(у, /)}+ = {К (х, 0,嗝(у, /)}十=0.(9.26)

«Классический предел» может быть определен как 力一> 0, когда все антикоммутаторы обращаются в нуль. В этом пределе 屮 н 屮十 не являются больше нетривиальными квантовыми операторами, но они не являются и обычными с-числовыми полями, поскольку антикоммутируют друг с другом вместо того, чтобы коммутировать. Они могут быть названы грассмановыми полями. В качестве прелюдии к развитию метода фермионного функционального интеграла с использованием таких грассмановых полей перечислим некоторые основные свойства грассмановых чисел. Мы дадим сжатую сводку некоторых свойств грассмановых алгебр, необходимых для наших целей. Дальнейшие подробности см., например, в работе [37].

Рассмотрим набор из и объектов \alf ..., а^, подчиняющихся соотношениям

{〃储 ％}+ = 0 для всех i, /.(9.3)

Очевидно, что {〃办 〃仆+ = 0 означает а? = 0. Поэтому а?= =(а；) а» = 0, а? = 0 и так для всех более высоких степеней. Следовательно, задав одно грассманово число а», можно построить только две независимые функции от него, а именно 同° 三 三 1 н а?. Если заданы и независимых чисел аъ an, то они порождают следующие 2П линейно независимых функций;

1,

■1，&，• ■ *» "n，

a1&, "1a3，…，&"3，，…^n-l^n d^ci^ci^) a】a2a4,...,

a1a2a3 ■ ■ ■■

Эти 2' независимых функций в совокупности образуют 2/7-мер- ное линейное пространство, называемое грассмановой алгеброй Gn. Грассмановы числа а» можно назвать генераторами этой алгебры. Произвольный элемент этой алгебры может быть записан в виде

/ Q,….，%=产 + e f^ai + e 開2"九%2 + …+

+ e .丿＞?……生絃(94)

где 尸，/J),乃：，2 н т- Д- —обычные (коммутирующие) с-числа, Заметим, что в силу антисимметрии произведения а】 ...аг относительно перестановки любых двух операторов а приведенное выше разложение / неединственно. К любому “?…％ всегда можно добавить член, симметричный по двум индексам 厶 не изменив /(%,…，ап). Полезно рассматривать чисто «четное» и чисто «нечетное» подмножества G^. Элемент четного (нечетного) подмножества содержит только четные (нечетные) произведения чисел 修：

rTH-/°+；L f^aiiait+,(9.5э)

/вечетв= 2 /&厶 + X 您•(9.56)

^1/]； £2， ‘3

Ясно, что четное подмножество коммутирует со всеми элементами алгебры Gn, в то время как члены нечетного подмножества антикоммутируют друг с другом. Это является отражением в миниатюре того факта, что четное число фермионов образует бозон, в то время как нечетное число фермионов образует фермион.

Для грассмановых чисел развито и дифференциальное, и интегральное исчисления. Прежде чем их ввести, мы должны подчеркнуть, что базисные генераторы алгебры \аъ ап] являются дискретными объектами. Они не могут «непрерывно изменять свои значения» ни в каком смысле в отличие, например, от действительной переменной %, которая может принимать любое значение от —оо до +оо. Хотя для грассмано'вых чисел будут развиты

понятия производных и интегралов с теми же обозначениями, что и в обычном исчислении, эти производные и интегралы не имеют обычной интерпретации в терминах бесконечно малых.

Например, производная формально определяется как

dajdaj = 6^ (символ Кронекера).(9.6)

Это соотношение есть просто определение символа в левой части, и его нельзя рассматривать как отношение двух бесконечно малых приращений. Несмотря на это, можно построить дифференциальное исчисление, правила которого настолько близки к правилам обычного дифференциального исчисления, насколько это возможно себе представить. Например, производная от произведения дается выражением

他円2 …"％) ~ 3繕1 ("%"；3 …- 3叫(旬"% … ％) +

+-1尸3明(旬…a%). (9.7)

Таким образом, мы просто переставляем ар до тех пор, пока оно не появится слева, и затем используем (9.6). Если ар вообще отсутствует в произведении а〃 ... air, то производная равна нулю. Ясно, что (9.6) задает левую производную, которую следует отличать от правой, определяемой как■

(旬…陶惠=4% (旬• • ■ Si) - 6pt“l (%%-円r) +

++(-1 尸阻(旬 …忆).(9.8)

Действуя таким образом, можно установить согласованный набор правил дифференциального исчисления. Но мы обратим внимание на интегрирование, которое нам потребуется для наших фермионных функциональных интегралов.

Мы начнем с одного грассманова числа а. Нам нужно определить объект J daf (а)三 / (/), где / (/) —с-число, для любой функции / (а), принадлежащей алгебре G「 Напомним наше замечание, что а нельзя рассматривать как непрерывную переменную в том же смысле, что и Действительную переменную х. Соответственно интеграл не является «площадью под кривой / (а)》， и нет никакого смысла в задании верхнего и нижнего пределов в интеграле. Символ Jdaf (а) правильнее понимать как функционал, который ставит в соответствие любому элементу / (а) грассмановой алгебры G] с-число / (/). Но мы потребуем, чтобы он удовлетворял двум основным свойствам, которыми обладает обычный

с-числовой интеграл J.^ dxf (%), а именно линейности и трансляционной инвариантности. Это означает, что мы потребуем

(9.9a)(9.9a)J daf (а) = J da/ (а + Ь),

(9.9a)

(9.9a)

где b ——другое произвольное антикоммутирующее число, и

J da [af (а) + §g (а)] = а J daf (а) + р J dag (а), - (9.96) где аир ——произвольные с-числа. Мы уже выяснили, что для одной грассмановой переменной а функция / (а) имеет общий вид 0о)+ /⑴〃)，где 尸°)и /⑴ ——с-числа. Мы будем определять интеграл от нее как”

/(力三 Jda(卅)十 *)a)三产).(9.10)

Это удовлетворяет требованиям (9.9) и для двух независимых функций 1 и а сводится к

J dal 三 0, J daa = 1.(9.11)

(Требование (9.9а) удовлетворяется, поскольку da (а + Ь) =

=J da а + [ J dal] b = ^ da а.)'

Далее, возьмем G2, порожденную ах и а2. Нам нужно опреде-

сначала,сначала,(9.12)(9.12)лить двойной интеграл J d% J daj (〃l aj・ Потребуем чтобы 或雹 также антикоммутировали, т. е.

сначала,

сначала,

(9.12)

(9.12)

daj}+ = {da“ 的}+ =。・

В G2 имеется только четыре независимые функции 1, аъ а2 и %&• В соответствии с (9.11) мы можем определить

J da】J d&l = J da J J da2(\ — 0,

J d% J da2al = — j da2 [ J 血例]=—J da21—0,

J da】J da№ = J d&l = 0,

J da】J da2&^2 ^^ — J da】[J dtz2a2 ] & ^^ — J d&ai = — 1.(9.13)

Эти правила полностью определяют интеграл от произвольной функции / (а^ а?)* Все эти положения обобщаются на G„. Произвольная функция / (а】, an) может быть записана как разложение (9.4). Ясно, что в интеграле

j ^^nf ("1，• * • , &/

дает вклад только последний член в (9.4). Все предыдущие слагаемые содержат по крайней мере один da», не имеющий пары из соответствующего а” Поскольку J d〃jl = 0, интеграл от таких членов равен нулю. Последний член интегрируется с помощью перестановки произведения а^ ... % в виде апап_г ... аг с соответствующим знаком. Поэтому

Jd%Jda2 • • • \dan^aii ... а^ = (—1)匕 (9.14)

где (—1产一знак перестановки I t 〔 ・

Рассмотрим далее поведение интеграла при линейной «замене переменных». Рассмотрим Gn, порожденную (%, ...» an). Пусть набор。1，…，bn) определен как

bi — Biflh(9.15)

где В订——несингулярная с-числовая матрица. Очевидно, что набор (&,・•・,Ьп) на том же основании, что и (%, ・・・, an), можно рассматривать как набор генераторов алгебры Gn. Все Ь» подчиняются тому же антикоммутационному правилу {匕订 bj}+ = О, и любая функция / (аъ а^, которая, согласно (9.4), может быть записана как полином n-го порядка, может быть совершенно также записана как полином по 仇，…，bn). Мы уже знаем, что единственным независимым и-кратным интегралом в Gn является

j dar ... J dan (&a“一i ...必)=1.(9.16a)

Поскольку с тем же основанием алгебру можно было бы ввести с использованием генераторов 仇，…，bn), мы имеем также

J曲IJd〃(匕也一I ... %)= 1.(9.166)

Но, используя (9.15), получаем•

' Vn-i • • •瓦=(DetB) 〃例」…а「(9.17)

Таким. образом, (9.16а) и (9.166) взаимно согласованы только в том случае, если мы введем якобиан следующим образом:

曲1 ... dbn — (1/Det В) dar ... dan,(9.18)

Заметим, что в аналогичном преобразовании для с-числового интегрирования детерминант оказался бы в числителе.

Для наших целей важен интеграл от экспоненты. Очевидно, *что еа = 1 + а, поскольку высшие степени а обращаются в нуль. Поэтому, например,

J d% J d&ef …= J da】J da2 (1 —九&&)=九， (9.19)

если использовать (9.13). Это может быть обобщено на кратный интеграл с билинейной формой в показателе экспоненты. Рас- смотр им случай 2〃 генераторов (〃力...，ап, аъ 欧) где мы разбили генераторы на пары с помощью символов ап &】；а2) G?, ••• и т. д., чтобы согласовать с обычными обозначениями для операторов рождения и уничтожения. Но, хотя аг и 2】имеют одинаковые индексы, они являются полностью независимыми грассмановыми генераторами и 2】ни в каком смысле не является сопряженным %. Рассмотрим интеграл

(9.20)(9.20)/ = J (dar dar da^ da2 ... dan da^ exp

(9.20)

(9.20)

где 才力/ ——некоторая с-числовая матрица п X п, которая диагонализируется при помощи преобразования

(B^A^ (B-^ = Kkbkli(9.21)

где 九互——собственные значения А. Мы определяем новые грассмановы генераторы (九，бъ %，瓦，…，^n, 5П) как

^ 三 3用(9.22a)

и независимым образом

^三(仍Т)-%也，(9.226)

где Вт ——транспонированная матрица В. Теперь заменим переменные на набор (仇，后).Если использовать (9.22) в (9.18), то ясно, что

d61db1 …db 九叫=^ В 改1 [(*口 j 应也dandan -

= d±id〃i dandan,(9.23a)

В то же время, используя (9.21), получаем

随4円=^kBktAijBJ^bi = § 九右方右瓦.(9.236)

Таким образом,

/ =J (d瓦曲1 ... d5n dbn) exp (— J 爲％瓦)=

=П (J d6hdbhexp (—Xft5A)) = П 爲(используя (9.19))=

k*'

= Det4(9.24)

Сравните это с обычным с-числовым гауссовым интегралом от п переменных (таким как в (6.13)), значение которого пропорционально (1/Det Л)1/2. Тот факт, что в (9.24) входит Det А,

а не квадратный корень из него, обусловлен просто тем, что мы имеем здесь 2м переменных, и матрица Л, рассматриваемая как 2/1 X 2/г-матрица, состояла бы из двух и X и-блоковых матриц 4〃 вне диагонали. Но то обстоятельство, что Det Л входит в числитель, а не в знаменатель, является следствием грассмановой природы интеграла. Это различие окажется решающим в нашем последующем анализе.

Следующий шаг состоит во введении грассмановых (т. е. антикоммутирующих) полей. Мы отмечали, что грассмановы числа (〃l ..., ап), порождающие алгебру Gn, правильнее всего рассматривать как некоторые дискретные объекты, а не как переменные, принимающие значения в некотором диапазоне. Это ограничение не имеет места для произвольных элементов алгебры Gn. Произвольный элемент / имеет с-числовые коэффициенты /(0), /产,... в (9.4). Эти числа, конечно, могут непрерывно изменяться. Они также могут зависеть от других с-числовых переменных, таких как пространственные и временные координаты. В этом случае элементы Gn также могут изменяться в пространстве-времени. В частности, рассмотрим линейную функцию

/(X, 0 = Е /^(х, t)ai. (9.25)

Это наше антикоммутируйтцее поле. Оно является функцией пространственно-временных координат, но по определению антикоммутирующей

{/(х,力 *х',，)}+ = 0・ (9.26)

Заметим, что / (х, /) можно дифференцировать или интегрировать по х или /. Эти операции подчиняются правилам обычного с- числового исчисления, так как в этом случае изменяются только с-числовые коэффициенты /;п (х, /). Такие операции следует отличать от взятия производных или интегралов по грассмановым числам а- Чтобы получить наше «классическое» поле Дирака, рассмотрим грассманову алгебру с бесконечным числом генераторов, которые мы будем записывать в парных обозначениях (〃i，а。а?，讶2，•…，"n, &п；几-> ℃)• Под 〃工 и Mt снова понимаются совершенно независимые грассмановы генераторы. Рассмотрим также некоторый полный набор ортонормированных с-числовых функций % (х, /) в пространстве-времени, удовлетворяющий условию

J dx J dt^i (х, t)勿(x, t)=也/・ (9.27) Опредёлим

屮(X, /)三纟 中，(X, /)位， 呼(X, /)三三栄(X, /)山.(9.28)

По существу это наши классические поля Дирака. (Настоящее поле Дирака имеет дополнительные усложнения, которые опущены в наших обозначениях только в целях простоты. В обычных обозначениях в теории квантового поля Дирака мы имеем разложение ［50］

屮а(х, /)= £ 朗2(х, Z)%s +露〃х, /)£s, (9.29) S

где 6溫(х, /) —спиноры, а — индекс спинорных компонент, s ——спиновый индекс, а (土) различает положительно- и отрицательночастотные подмножества полного набора функций. В (9.28) спиновый индекс s вместе с р содержится в 厶 спинорный индекс а опущен, а ^ объединены в набор 内.Поэтому весь набор а» в (9.28) обозначает классический предел как фермионных операторов уничтожения 匕晔 так и антиферм ионных операторов рождения d^s・ Аналогичным образом набор at является классическим пределом полного .множества (b^s, d〕^). Суммирование по спиновым компонентам подразумевается в нормировке (9.27). То обстоятельство, что 也(х, /) в действительности являются спинорами, не отменяет наших предыдущих аргументов, поскольку спинор есть не что иное, как совокупность с-чисел.)

Наконец, мы готовы к построению основного функционального интеграла, который нужен нам в теории поля Дирака. Рассмотрим интеграл

G 三 J 2M呼(х,切勿［屮位，切exp{i Jdxdf［屮十(x, f)4l(x. /)］}, (9.30)

где Л ——дифференциальный оператор в пространстве-времени, содержащий дираковские ^-матрицы. Напомним, что 屮 一спинор, хотя спинорные индексы здесь опущены. Разложим 屮 и 屮十, согласно (9.28), как линейные комбинации af и а； соответственно. Мера интегрирования определяется как

Jx［屮+(х,切勿［屮(х,切三 J n(i*/daj), (9.31)

где i не индекс^ а /——1. Оператор Л определен на полной системе орто нормированных с-числовых функций % в (9.28). Если 才力2 (х, 0 — 4〃3/ (х, £), то подынтег р а л ь ное выражение в (9.30) принимает вид

exp , J dx J 力ТМ屮)=exp (idjAjka^ (9.32)

Подставляя (9.31) и (9.32) в (9.30) и используя результат (9.24), мы получаем

G= J П (idajdaj) ехр (ia}Ajha^)^ DetX. ()33)

Множители i в мере (9.31) обеспечивают сокращение всех множителей i в (9.33). Заметим, что детерминант дифференциального оператора оказался в числителе в отличие от соответствующего результата для бозе-полей.

Заметим также, что как только получен результат (9.33), грассмановы аспекты проблемы не играют более никакой роли. Ответ в (9.33) зависит только от дифференциального оператора Л, который определен на пространстве обычных с-числовых спинорных функций. Чтобы вычислить этот ответ для различных 力, нам нужно .только решить обычное с-чиеловое уравнение на собственные значения А. -

Мы рассматривали только билинейные формы по (屮，屮十) в экспоненте (9.30). Такие задачи^ как двумерная модель Тир- ринга, приведут также к формам четвертого порядка по (屮，屮十), но эти последние с помопц>ю небольшой «ловкости рук» могут быть сведены к билинейным формам (см. разд. 9.5). Таким образом, мы получили весь необходимый математический аппарат для обсуждения функциональных интегралов для ферми-полей.

Функциональный интеграл для свободного поля Дирака

Вспомним функциональный интеграл (6.34), позволяющий вычислить Тг le~iHT ］ для системы действительного скалярного (бозе-) поля. Для комплексного скалярного поля 力(х, f), когда 力 и 3* можно рассматривать как две независимые переменные вместо Re 3 и Im 力，уравнение (6.34) тривиально обобщается в виде

Тг ［e—W］ = J 勿歹(х, /)］纪［中(х,川 ехр (tS ［外 科)，(9.34) где S ［叭 力*」——функционал действия, Теперь мы утверждаем, что для поля Дирака справедливо весьма похожее функционально-интегральное представление, а именно

Тг ［е~{нт］ = К J 勿［屮+ (х, 01 勿［屮(х, Z)| exp (iS ［里 呼j), (9.35)

где К ——нормировочная постоянная и 屮,屮十——«классические» грассмановы поля. ^

Мы начнем доказательство этого утверждения со случая свободного квантового поля Дирака, когда собственные значения гамильтониана уже хорошо известны из канонических оператор-

ных методов. Наше изложение представляет собой несколько измененное доказательство, приведенное в приложении А работы [103]. Действие для свободной дираковской системы в (3 + 1) измерениях имеет вид

т

So [Т,屮"=J 必 J dx可曲-m)Y = о

т

=Jd/Jdx[v+(x, /)«^" + 沁“一眦)屮(х, /)], (9.36) где мы используем стандартное обозначение для дираковских матриц [49 ] и опускаем спинорные индексы. 屮 三 屮十3 5 三 纵灯丄， Т° 三 р и vf 三 Bat Здесь 屮 н 屮十 могут рассматриваться как грасс： мановы поля. Применяя грассманово правило дифференцирования (9.7), которое тривиально обобщается на поля, из условия

(6/6Y+ (х,切 S。[里 ¥+] = 0(9.37)

получаем уравнение Дирака

(id/dt + ia・ V — pm)屮(x, f) = 0.(9.38)

(Небольшое замечание. При изучении не квантованного вторично уравнения Дирака в стандартных учебниках обычно под термином «дираковская волновая функция» понимают с-числовое спинорное поле, не учитывая грассмановых полей. Причина этого будет объяснена ниже.)

Подставив (9.36) в (9.35), имеем

Тг [е-’н"] = К J 砂[Т+]勿[T] exp I \dt \dx (呼(х, /) ЛТ (х, /)),

(9.39) где Z/q ——свободный дираковский гамильтониан, а А ——оператор

А 三 id/dt + ia・V — pm.(9.40)

Этот интеграл имеет вид (9.30), и из (9.33) следует ответ

Tr[eTH"] = KDet4 = Kg(%),(9.41)

где 九j ——собственные значения оператора А. Уравнение на собственные значения имеет вид

(id/dt + ia- V — Pm) \р (х,方)=九屮@,力(9.42)

где ip — четырехкомпонентный спинор с опущенным спинорным индексом. В противоположность (9.38) здесь спинорная функция (обозначенная через^ вместо 屮)есть с-числовой объект, а не грасс-

маново поле. Как отмечено выше, оператор А по существу действует в пространстве с-числовых спиноров, и его уравнение на собственные значения будет сформулировано в этом пространстве. Когда в учебниках изучается уравнение Дирака в качестве прелюдии в теории вторично-квантованного поля Дирака, фактически изучается именно такое уравнение на собственные значения.

Решения уравнения (9.42) хорошо известны [49 ]. Запишем

屮(х, t) = L~3/2 ехр [i (k • x — w^)] и (w, k),(9.43)

где 〃(о, k) — спинор. Подставив это выражение в (9.42), получим условие на собственное значение

Det] з — k・oc — mp —九 | = 0,(9.44)

где этот детерминант берется в 4Х4-спинорном пространстве. Это приводит к собственным значениям

九=3±2k,(9.45)

Хорошо известно, что энергии 网 есть собственные значения одночастичного свободного гамильтониана Дирака hG =——，ос・у? + + Pm, А = idldt ——hg. (Здесь h^ не следует путать с Яо ——гамильтонианом всей полевой теории.) Для каждого (о, к) имеются четыре независимых спинора, два вырожденных с 九=з + % и два с 九 = з — &к・ Таким образом, возвращаясь к (9.41), имеем

Тг [е—切。丁] = К口％ = К 口 ® + 网)2® — ”)2.(9.46)

/к , (о

Разрешенные значения к, которые, как обычно, задаются периодическими граничными условиями в пространстве, есть kN = 2nN/L, L f 8. Чтобы получить разрешенные значения ①，необходимо выбрать граничные условия на с-числовые функции при 方 = О и % = Т. В бозонном случае естественным граничным условием для следа является периодическое условие $ (х, 0)=力(х, Т). В фермионном случае, как мы увидим ниже, правильный ответ (т. е. тот ответ, который дается каноническими операторными методами) получается при требовании антипериодичности по Т, т. е. 2 (xt 0)———2 (х, Т). Тогда разрешенные значения о равны

3几7 = (2 孔1) л, п = — оо, ..., —1, 0t 11 2, oo. (9.47) Поэтому

тг [L叩=к y (U (电 + %)2 (% 一g)2).(9.48)

Но

П (% — 0)n)2 = 口 (&k + 3f )2 = Ц (£k + О)/. M =——oon — — oo■n ~ — oo

Следовательно,

Тг [ет”。7"] = К J"] (「[(3〃 + ek)4j =

^川川^^川口^^升(9.49)

Нормировочную постоянную К мы выбираем так, чтобы кПП(^^)4 = П(2)(9.50а)

к 〃к

Заметим, что множители (2n + 1) л/Т являются чисто кинематическими. Они не зависят от динамики, которая здесь представлена массой т, содержащейся в &к・ Кроме того (см. (1.431.3) в работе [175]),

n (1+謂工)9(貝簿.(9.506)

〃 =—8

Подставляя (9.50) в (9.49), получаем

Tr [e-t/q = ["](2 cos $ £к?У 二 к

=口 ехр (2毘Ь) |Д[1 +ехР (―迎⑺尸= кк

二 £ ехр「一打(£ (—2% + 恤喲]1 C({/ik})・ (9.51) {М L \ к丿 _

Обозначение в (9.51) означает, что для каждого к имеется целое число /г% 0 < Пк < 4. Сумма £ук} берется по всем возможным наборам целых чисел {孔仆 = 仇％, Пк2,…) при условии 0 V 孔к « 4. Множитель С ({孔к}) есть множитель комбинаторного вырождения:

С ({九к})(4?”".

к

Очевидно, что (9.51) приводит к уровням энергии

Еук} = § (—2% + 孔к&к)(9.52)

с кратностью вырождения С ({孔к})・

Это в точности то, что мы ожидаем для свободной системы Дирака. Состояние с наинизшей энергией (вакуумное состояние) соответствует всем нулевым zik, и его энергия есть fo = —2 £ &k・ k

Это имеет привычное объяснение как заполненное «море отрицательной энергии». В этом море для каждого к имеются два фермиона с отрицательной энергией, соответствующие спиральности ±1, каждый с энергией (—&k) = —/k? + 团纟.При необходимости энергия £0 может быть исключена при нормальном упорядочении, или, что эквивалентно, при добавлении константы Ео в лагранжиан. Возбужденные состояния, которые получаются при ненулевых Пк, могут быть вырожденными. Для каждого импульса к можно создать до четырех частиц, соответствующих фермиону и (или) антифермиону со спиральностью +1 и (или)——1. Каждая частица имеет ту же энергию %, и, когда в импульсном пространстве имеется пь частиц 0 < Пк С 4, кратность вырождения есть 4!/[(zik)!(4 —— zik)l]・ Мы показали, что функционально-интегральное представление (9.35) в терминах грассмановых полей справедливо для свободного поля Дирака. До сих пор мы опускали множители й. Когда эти множители введены, (9.35) заменяется на

Тг [етнт/%] = К J 砂[呼]勿[屮]exp (zS [里 Т+])/й), (9.53а) где действие S сохраняется таким же, как прежде. Но мы изменим меру (9.31) соответственно на

j [Чг+] ^ [ЧГ] = j П (/й dajda^,(9.536)

чтобы функциональный интеграл по-прежнему был равен К Det А с тем же оператором Л, как прежде. Так как теперь Тг 厂/丁/打= = К Det Л, уровни энергии (9.52) должны быть умножены на й. В этих обозначениях масса фермиона равна йт, где т —— параметр в операторе Л (9.40). В дальнейшем мы будем продолжать опускать й, но в тех случаях, когда это необходимо, мы будем восстанавливать этот множитель.

Солитоны в присутствии ферми<-полеи

Функционально-интегральное представление (9.35) для Тг le^iHT ], которое мы только что провели для свободного поля Дирака, имеет место также и для взаимодействующего поля Дирака. Рассмотрим, например, поле Дирака, взаимодействующее со статическим внешним скалярным полем j (х) с лагранжианом взаумоде 访 ствия

厶з = g J dx可(X, 0 屮(х, О В (х),(9.54)

где g —— константа связи. С точки зрения физики мы знаем, чего следует ожидать для спектра зто访 системы. Собственные энергетические состояния должны снова состоять из суперпозиции произвольного числа независимых фермионов и антифермионов над вакуумом, так же как в (9.51), (9.52). Но энергия этих частиц должна быть не чисто кинетической энергией &к = 1/ к2 + /^2) а определяться собственными значениями одночастичного гамильтониана Дирака в присутствии статического внешнего поля h 三一ia・ V + 眦一g§3 (х)・(9.55)

Мы можем проверить, что функциональный интеграл (9.35) приводит в точности к этому результату. Действие здесь есть

S = J dx ] dl^ (х, /)(，*+ 必7 — B(m — g« (x)) 4f (x, t)— о

т

=JdxJ 力屮+(x, /)4У(х, /),(9.56)

0

где'

Аф 三 id/dt + ioc・V — 0(m —■ g«(x)) = id/dt — *.(9.57)

Действие снова билинейно по ферми-полю и отличается от свободного дираковского действия (9.36) только заменой оператора А на оператор Аф. После введения этого действия (9.56) в функциональный интеграл (9.35) мы получим аналогично (9.41)

Тг [е~^т] = К Det [儿]・(9.58)

Вычисление Det [Аф ] производится таким же образом, как в случае свободного дираковского поля. Мы не будем повторять все шаги. Достаточно заметить, что Аф отличается от А только тем, что содержит взаимодействующий одночастичный гамильтониан Иф вместо свободного гамильтониана %. Следовательно, в конечном результате вместо собственных значений &к гамильтониана h^ окажутся собственные значения гамильтониана h》Собственные значения Иф определяются выражением

/г/(х)三[—ia・V+ В(俏一gB(x))H(x) = £f(x).(9.59)

Как и в случае свободного дираковского поля, собственные значения % образуют пары 8 =丄耳(г = 0, 1, ..., оо) за счет сопряжения заряда. Это значит, что если задать собственную функцию 力(х) с собственным значением % > 0, то Cf； (%) будет собственной функцией с собственным значением ——耳，где С ~ ра2 —— матрица зарядового сопряжения в представлении

/О аг \7 /0 \

(см. [49 ]). Но в отличие от свободного дираковского поля, где для каждых к и о были две вырожденные функции с различной спиральностью, в присутствии внешнего поля 力 в общем случае такого вырождения для е「 может не быть. Поэтому (9.48) заменяется на

Тг [е—нт] = /С П (®« + %)- М- (9-60)

Соответственно (9.51) превращается в\

Тг [e~iHT] = К Det Аф = ? 2({zir})exp [―斤(§ (―匕 + "用0)], 『(9.61)

где теперь 0《％ « 2 и

2({九г})三 口((2 — %)!

Здесь, согласно (9.59), каждое е「= е「[力]есть функционал от 3 (х). Уровни энергии определяются выражением

. ОО

々'Г} = £(—j()62)

Когда все пг = 0, мы снова имеем вакуум этой системы с заполненным ферми-морем энергии (£之о (—耳))・ Когда некоторые пг，0, мы имеем фермион и (или) антифермион, для возникновения каждого из которых требуется энергия +&「. Этого результата мы интуитивно и ожидали. Условие 0 < мг < 2 означает, что для каждого положительного значения е「может быть не более одного фермиона и антифермиона. Потеря вырождения по спиральности по сравнению со свободной задачей Дирака компенсируется тем фактом, что индекс г здесь, грубо говоря, принимает в два раза больше значений, чем импульс к в (9.51). Заметим, что мы неявно предположили, что ни одно из значений 8Г не равно нулю. Частные случаи, когда одно из е「равно нулю, рассматриваются в разд. 9.4.

На этом этапе мы не будем приводить соответствующие вычисления для зависящего от времени внешнего поля 力(х, t). В любом случае в такой ситуации не будет энергетических уровней, поскольку энергия не является сохраняющейся величиной. Но ниже в этом разделе мы вычислим К Det Аф для зависящего от времени «.

ч, Пусть теперь 小——не внешнее поле, а квантовое поле с действием вида

S = J dxdt [-| (况” 一 и仲)+ 可(瞪一 m)T + gFwe]=

(9.63)(9.63)=S@ T—S屮 + Sb3

(9.63)

(9.63)

в очевидных обозначениях. Любая данная классическая конфигурация 3 (х, t) может рассматриваться как внешнее поле, пока речь идет о квантовой ферми-системе. Квантовая природа поля 屮 затем учитывается, используя развитые в гл. 6 идеи, с помощью интегрирования по всем конфигурациям 力(х, %). Иными словами,

Тг [е~{НТ] = К J 勿 @ e’s# J 勿[屮叮勿[T] e‘ ^+^3). (9.64) Если скалярное поле 力 заменено на векторное калибровочное поле Лц с взаимодействием ^Ту^Л^Т, то последнее по-прежнему остается билинейным по ферми-полю. Мы снова можем записать

Тг [е~{НТ] = К^Ф [Лц] etsA J ^ [Т+] ^ [Т] е;(^+^3). (9.65) Если Лц является калибровочным полем, то должны быть добавлены слагаемые, фиксирующие калибровку (см., например, [89 ], а также гл. 10), но это усложнение имеется уже и в отсутствие ферми-полей. Ясно, что эта процедура имеет место также, если ферми-поле взаимодействует с псевдоскалярным полем через юкавскую связь. Если имеется несколько видов ферми-полёй, то мы просто получаем кратный интеграл по всем этим видам полей. Таким образом, по существу мы рассмотрели все представляющие интерес случаи в (3 十 1) измерениях. Заметим, что во всех этих случаях действие содержит ферми-поля только билинейным образом, так что в качестве математического аппарата достаточно грассманова функционального интеграла (9.30). Напомним, что в (3 + 1) измерениях ферми-поле не может самодействовать за счет полиномиальных взаимодействий четвертого или более высоких порядков, поскольку такие теории не перенормируемы. В (Г + 1) измерениях четырехфермионные взаимоде访ствия перенормируемы. Мы рассмотрим отдельно эту возможность в разд. 9.5.

Теперь, когда мы расширили функциональный интеграл для Тг [ег£ИТ ] вплоть до включения ферми-полей, следующий вопрос состоит в том, могут ли квазиклассические методы также быть распространены на такие случаи. Для чисто бозонного случая эти методы возникают из приближения стационарной фазы в функциональном интеграле. Для грассмановых полей мы не вводили соответствующего метода аппроксимации. Но он и не требуется, поскольку действие билинейно по (Т,屮十)и фермионный функциональный интеграл формально может быть точно вычислен с использованием (9.33). Когда это сделано, в (9.64) или (9.65) остается чисто бозонный функциональный интеграл, для которого может быть применено обычное приближение стационарной фазы. Основываясь на этой идее, Дашен и др. [101 ] распространили квазиклассический метод функционального интеграла на фермионы. [Другие методы получения квазиклассических результатов так出е

могут быть распространены на фермионы. Например, Фридберг и Ли [145] развили канонические операторные методы (введенные в гл. 8 для бозе-полей) для учета ферми-полей. Джакив и Ребби [197 ] еще в одном подходе применили метод Голдстоуна——Джа кива (описанный в гл. 5) усреднения полевого операторного уравнения по гтостулированно访 системе солитонных состояни访. Как и для бозе-гюле访,эти различные методы приводят к эквивалентным результатам. Мы будем работать с методом функционального интеграла.].

Рассмотрим пример системы (9.63); случаи векторного и псевдоскалярного поле访 трактуются аналогичным образом. Функциональный интеграл (9.64) имеет вид

Тг [е~{нт] = К J 勿 @ JS"勿[Т+]勿[У] exp " J d〃 6^屮以户)=

=k ]勿物e』Det[4]三J勿[问产3M)⑴，(9.66)

где теперь

Аф = id/dt 4- /а• V — Р (т — ^6 (х, %)),* (9.67)

5эфф М]三 5Ф @] — Мп {К DetM^]}.(9.68)

Таким образом, остается бозонный функциональнн访 интеграл, в котором вклад от ферми-полей целиком содержится в эффективном действии 5Эфф [$L Теперь мы можем применить к (9.66) обычное приближение стационарной фазы. Пусть 小。(х, t) — нетривиальное локализованное решение уравнения

1^?% = W77F ® — 〃п (К Det /)] = 0.(9.69)

Тогда мы можем разложить в ряд 5эфф [«] около ^>0 (х, %) и записать (9.66) в приближенно стационарно访 фазы как

Тг [e~1W] да ехр (г5эфф [加])J 勿頂(х, /)] х '

Хехр [4" Jdxjd^^^g^)/] техр(5фф[%])А,

(9.70) где у (х, /)三 В (х, 0 — % (х, 0-

Заметим, что в противоположность чисто бозонной системе здесь член S。巾ф [«()] не является чисто классической величиной. Как функционал S^ [ф ], так и решение «о (х, t) содержат квантовые эффекты от ферми-поля за счет оператора Лф, от которого они зависят. Дальне访шие квантовые эффекты, обусловленные флуктуациями бозе-поля 力 около решения ^>0, появляются за счет множителя А. Этот множитель также неявно зависит от ферми- поля через 5Эфф и %・

Формально (9.70) дает ответ для спектра солитонного сектора, ассоциированного с % (х, %), в терминах детерминантов линейных операторов. Как, только Det Аф вычислен, 5афф [3] известно и Во (х, %) может быть получено из (9.69). Множитель А является гауссовым интегралом, пропорциональным [Det (625Эфф/б^> 6^»)фо ]一1/2 Но практически эти вычисления весьма трудны. За счет второго слагаемого в (9.68) 5Эфф [力]в общем случае является неполиномиальным нелокальным функционалом, особенно сложным, когда время Т конечно. Чтобы упростить задачу, мы воспользуемся несколько менее удовлетворительным приближением стационарной фазы, таким, которое, как будет показано, в порядке й приводит к тем же уровням энергии, что и (9.70). Заметим, что если бы мы сохранили в нашем выводе зависимость от й, то (9.66) заменилось бы на「

Тг [e~lHT^] = J 勿[网 J%储К Det [Аф] = J 勿[旬尸睢@ ⑷传(9.71)

Вместо того чтобы разлагать в ряд подынтегральное выражение около экстремума 5&фф, разложим его около экстремума 5Ф на том основании, что в пределе малого й ^s^n быстро осциллирует, а К Det [Аф ] меняется сравнительно медленно. (См. уравнение (6.13) как приближение к (6.11).) Другими словами, пусть Зс (х, %)——солитонное решение уравнения

广口『(黑工=0・(972)

Вместо (9.71) возьмем приближенное выражение

偿]=exp (鸟 色]他)К Det [АФс] До, (9.73)

где

(9.74)(9.74)纵三 J 勿也(X, /)] exp (gjdx jd打(•^)%".

(9.74)

(9.74)

Результат (9.73) легче вычислить и интерпретировать, чем (9.70). Заметим, что 力。，которое удовлетворяет (9.72), не что иное, как классический солитон, который имела бы бозевская система в отсутствие ферми-поля. Для простоты мы сначала возьмем в качестве 九 статическое решение 九(х). Тогда

5ф 版]=—j 成dx [^-(V%)? + U(%)] = —Екл [фс]Т, (9.75) о

где Екл [«с】—классическая масса солитона. Оператор АФс в (9.67) для не зависящего от времени поля «, (х) является one-

ратором Дирака в статическом внешнем поле. Мы можем использовать (9.61), чтобы написать

К Det 喝 J = Дс ({«И) ехр [一疗(?(f + 期叫],(9.76)

где 耳=8Г [九]—собственные значения одночастичного гамильтониана Дирака (9.59) в присутствии 九 (х). Наконец, До — обычный множитель бозонных флуктуаци 访， рассмотреншя 访 в гл. 6. Мы можем записать его в виде (см. (6.39)—(6.43))

"° =工 ехР —"(工("р + 等)©J，Np = 0, 1,8,

(9.77)

где 硏 = 唠 [九] —собственные значения оператора [—v2 + + d^Z/dy)%(X)L Подставляя (9.75)—(9.77) в (9.73), получаем

тг[етн"方]= 2 j({叫)eXp [—疗(^^斗

+ 工(—er +' %%) + 工((％ + 1/2) Зр))] > ГР

(9.78)

где 0<мr<2и0<^p<oo. Уровни энергии, которые определяются из (9.78), равны

々％ %} = Eg [%] + 力々％ %} = Eg [%] + 力S (—£/• + 孔&)) + 力 j £ (Np 1/2)g)p /•=0/\p=0

々％ %} = Eg [%] + 力

々％ %} = Eg [%] + 力

(9.79)

Квантовые поправки расходятся. Эта расходимость может быть устранена так же, как в чисто бозонных задачах в гл. 5 и 6, добавлением к действию обычных контрчленов нормального упорядочения и перенормировки. Природа контрчленов зависит от конкретной модели и пространственной размерности. В целом, однако, контр члены, являясь квантовыми вкладами, будут О (й) по порядку величины. Мы можем записать все контр члены, содержащие как бозе-, так и ферми-поля, в форме Й5КЧ и добавить их к действию. В нашем приближении стационарной фазы в окрестности статической конфигурации 九 (х) это, очевидно, приведет к появлению в (9.73) множителя вида

(9.80)(9.80)ехр 〃$« [%]) = ехр «ТЕк/%])・

(9.80)

(9.80)

?{〃尸 j} = екП [фс] + 力(]?{〃尸 j} = екП [фс] + 力(]/ ] N “J) +/ ] N “J) +Соответственно результат (9.79) заменится на р /

?{〃尸 j} = екП [фс] + 力(]

?{〃尸 j} = екП [фс] + 力(]

/ ] N “J) +

/ ] N “J) +

+ 力(工(—%) + 工— En, •(9.81)

Мы можем ожидать, что в перенормируемой теории для устранения всех расходимостей в солитонном секторе таким же образом последовательно в каждом порядке будет достаточно тех же контр членов, которые добавляются в обычной теории возмущений. Соответственно потенциально расходящиеся части в последнем слагаемом в скобках в (9.81) должны сокращаться с Екч. Эти уровни энергии можно интерпретировать так же, как уровни в гл. 5. Они заполняют солитонный сектор состояний, ассоциируемый с «с (х). Мы начнем с предположения, что ни одно из (ор или ег не равно нулю. (Это предположение в общем случае не верно; приведенная ниже интерпретация должна быть соответствующим образом изменена — см, разд. 9.4.) Тогда наинизший уровень в наборе (9.81) есть

E{Np=A：r=0}三 М©ОЛ — Екп [%] + 力(工(—陶 ^-工 Зр — Екч (9.82)

Это ——масса основной квантово访 солитонной частицы в присутствии поля Дирака. Сравнивая этот результат с соответствующей задачей в отсутствие ферми-поля, мы видим, что решение 力⑦ его классическая энергия Екл [фс ], а также бозонная часть энергии нулевых колебаний £pi/2力Зр остаются без изменений. Это происходит в силу природы приближения (9.73). Но масса квантового солитона теперь содержит дополнительный вклад, обусловленный энергией нулевых колебаний ферми-поля в виде энергии заполненного ферми-моря. Более высокие уровни в (9.81) соответствуют возбуждениям, которые теперь могут появляться как в бозонных, так и в фермионных флуктуационных модах. Единственная разница состоит в том, что в отличие от бозонных мод любая данная фермионная мода может быть возбуждена максимум дважды (0 < %《2), что соответствует рождению в этой моде одного фермиона и одного антифермиона, согласно принципу Паули. Заметим, что е「——собственные значения одночастичного гамильтониана Дирака в присутствии 九(х) (9.59). Поэтому до порядка й включительно солитон выступает как «фоновое поле» для фермионов. Квантовая природа поля “ ощущается фермионами только в старших порядках. В следующем разделе мы проиллюстрируем всю эту процедуру, используя специфиче-

скую модель, в которой 力。(х), £Кл 1^с 1,(ор, % и Екч ясно определены.

Солитонный сектор в присутствии ферми-полей может быть также исследован в каноническом операторном формализме, как это было сделано для случая чисто бозевских полей. Если ни одно из Зр или ег не равно нулю, то разложение полевых операторов имеет вид

①(х, 0 = % (х) + £ I а「:/^—加(х) + 或 ■ Лр (х) ) , (9.83а) \ и 2cdp]/ 2cdp/

где т]р (х)——нормальные моды бозонных флуктуаций в окрестности % (х), и аналогично

屮(X, /) = у \br^rtf^(Х)+ @%%-)(х)],(9.836)

где 产(х) и ±£г = ±ег [«с】—нормированные положительно- и отрицательночастотные собственные функции одночастичного гамильтониана Дирака (9.59) в присутствии «「 Исходя из основных антикоммутационных правил (9.2) для ферми-поля и используя обычную нормировку для /г±} (х), можно вывести стандартные антикоммутационные соотношения

{瓦，"，}_]_= {&■, dr4+ — 8rr<；

все остальные антико]\<мутаторы обращаются в нуль.

Состояние с наинизше访 энергией в солитонном секторе —— ос* новной квантовый солитон —— в порядке й соответствует тому, что не возбуждена ни одна из бозонных и фермионных мод. Ясно, что это состояние удовлетворяет условию

ар I сол) = br I сол) = 4 I сол) = 0.(9.84)

Нормально упорядоченный фермионный ток 九(см. [501) равенАг=4т/，Ж?П

Соответствующий заряд есть

Q = ；Jdx(FW—屮屮十)=工0毋一d：dj. (9.85)

Принимая во внимание (9.84), очевидно, что

QI сол) = 0.(9.86)

Фермионные возбуждения получаются при действии, на |сол) операторов br или dr. Например, состояние &г0 |сол) имеет

фермионное число, равное единице. Если мода г0 дискретная, то это будет связанное солитонное состояние с фермионным числом, равным единице. Аналогичным образом d；。[ сол) имеет фермионное число, равное —1,

Следует отметить, что в (9,83)——(9,86) мы неявно предположили, что ни одно из % или ①р не равно нулю. Мы сделали это в целях простоты, чтобы дать предварительное представление о солитонном секторе, В реальных случаях большинство % и сор не равно нулю, но некоторые из них обращаются в нуль. Разумеется, это зависит от конкретной модели. Мы уже знаем, что некоторые из ①卩 равны нулю в силу непрерывных симметрий, таких, как трансляционная инвариантность. Трактовка таких бозонных нулевых мод и их следствия обсуждались в предыдущих главах. Они влияют на уровни энергии только в следующем порядке (О (й2)). В присутствии ферми-полей мы имеем дополнительную возможность того, что некоторые из % также могут обращаться в нуль. Влияние такой фермионной моды с нулевой энергией рассматривается в следующем разделе.

Действия, ведущие от (9.73) к (9.81), справедливы для статического решения фс (х). Во многих случаях статического солитонного решения может не быть. Возьмем, например, теорему вириала, которая рассматривается в гл. 3. В таких случаях (а также в случаях, когда статические решения существуют) по- прежнему можно осуществить квазиклассическое разложение в окрестности зависящих от времени периодических решений (9.72). Для этого нужно применить полный метод ВКБ, развитый в гл. 6. Мы будем работать с -

G (Е)三 i j dTeiET Tr [е—М] = Tr [ 1/(E —")].

0

Уровни энергии являются полюсами G (Е). Как только Tr [е^{нт ] найдено, остальные шаги производятся так же, как в гл. 6. Приближение (9.73) для Тг [е~£НТ ] все еще выполняется, когда 九 есть зависящее от времени решение с периодом Т. Но множители (К Det /%) и А。требуется вычислить для зависящей от времени функции 九(х, %)； А。——чисто бозонный множитель, который уже обсуждался в гл. 6, Когда 九 периодична, мы видели, что множитель (①卩丁) для каждой бозонной моды заменялся на угол стабильности vp. Сейчас мы покажем, что для фермионных мод, содержащихся в К Det АФс, имеет место аналогичная замена [103 ]. Уравнение на собственные значения для АФс теперь имеет ВИД

[id/dt -Р /а • V ~ р (m — g^c (х, %))]屮(х, %) = Ад|)(х, t). (9.87)

Поскольку 九 зависит от времени, мы не можем более записывать 4r (х, %) в виде e^&tf (х). Но рассмотрим уравнение Дирака

[id/dt^ ia-V — ^(т — §фс(х, 01/(х» 方) = 0・(9.88)

Поскольку оператор в (9.88) является периодическим с периодом 7\ можно найти решения fr (х, %), удовлетворяющие условию

fr (х, t + Г) = e~iarfr (х, t) для всех х, t.

Эти коэффициенты а「называются «индексами Флоке». Сравнивая приведенное выше уравнение с (6.95), мы видим, что индексы Флоке аналогичны углам стабильности. Ясно, что

屮5 (х, 0 = ехр [—z ®п — а〃"] % (х, %),(9.89)

где

соп = (2п + 1) п/Т

—собственные функции /%, удовлетворяющие уравнению (9.87) с собственными значениями

^n, г = Sn — а〃Т*

Более того,屮几产(х, t) удовлетворяют условию антипериодичности ^nir (х, % + Т)= —屮％ г (х, t) в соответствии с введен二 ным выше необходимым условием. Наконец, приведенное выше соображение о зарядовом сопряжении снова показывает, что все а появляются парами ±а「. Таким образом, аналогично (9.60), (9.61) имеем

К Det % = 口 ® — а；/Т)(①耀 + о>/Т)= п, г

= 3^({%})ехра"](9.90)

со всеми положительными а「. Сравнивая с (9.76), мы видим, что при переходе от статического решения 九(х) к периодическому фс (х, t) место jT занимают индексы Флоке а「. (Заметим, что если бы фс было статическим, мы могли бы записать fr (х, t) = =6一'3力(х), и %, тривиально сводились бы к % Т.) Вместо вычисления ег мы должны теперь найти аг с помощью решения зависящего от времени уравнения Дирака. Когда а「найдены, результат (9,90) можно подставить в (9.73) и реализовать метод ВКБ из гл, 6.

'Наши результаты получены из приближения (9,73), где мы разложили в ряд функциональный интеграл (9,71) в окрестности точки стационарной фазы не всего подынтегр ально го выражения 或％Фф/% а только 展％/& Мы сделали это для того, чтобы еде-

лать более простым последующий анализ, а также на том основании, что в пределе малых й *炉 является наиболее быстро осциллирующей частью подынтегрального выражения. «Полное» приближение стационарной фазы, когда разложение производится в окрестности экстремума 5эфф, дано в (9.70), но, как мы говорили выше, его труднее провести. Даже найти экстремум % (х, %), решая (9.69), значительно труднее, чем решать (9.72). Причиной всего этого является дополнительный член ——/й х X 1п (К Det 4), который является нелокальным неполиномиальным функционалом от *. Но в порядке й два приближения (9.70) и (9.73) приводят к тем же энергетическим уровням (9.79). Чтобы увидеть это, заметим, что 5эфф — 8Ф = —iti In (/(Det Лф). Поэтому решения % (х, t) и 九(х,方)， которые являются экстремумами 5Эфф и 5Ф соответственно, также различаются1 на *0 ——*с 三 5$ = О (й). Это означает, что при данном *() соответствующее 九 может рассматриваться как предел % при 力 f 0. Если включить зависимость от й и контрчлены, то (9.70) может быть записано в виде

Tr \е~шт^\ = ехр \(1/П) [5Ф [^>0] - Л 1п (К Det Аф^ - 一 —汤 ЕА +力[%]]}.' (9.91)

Но

-ST寸o] = S"%] + (6S〃6ga + 0(Ay)= s,[%] + 0(%2),(9.92)

если использовать (9,72). Подобным же образом остальные члены в экспоненте (9,91) уже имеют более высокий порядок по й. Погрешность, -которая возникает при замене % на 九 и ("S3巾巾/В^б*^ на (828ф/8ф8ф)фс, в этих членах будет еще более высокого порядка. Эти замены сводят (9.70) к (9.73), Таким образом, улучшенное приближение (9,70) дает те же энергетические уровни (9.81) до порядка й включительно, но приводит к некоторым поправкам более высокого порядка. Несмотря на его сложность, некоторые авторы успешно применяли именно приближение (9.70) для специфических моделей в пределе Тт8 [72, 103].

В другой популярной в этой области процедуре используется классическое решение, при котором берется экстремум не от 5Ф [力1 и не от полного З^фф [*], а от некоторой средней величины, Мы опишем этот метод для статических решений, когда экстремум может браться между статическими конфи гур а ци ям и * (х). Для таких конфигураций подынтегральное выражение в основном функциональном интеграле (9.66) может быть записано в виде

ехр[1(8ф —Ип(КМАф))] =

=L C(\nr\)exp ^ — iT ^£кл[^>] + £ пггг [ф] + £—％[叫卜 г (9.93)

Мы снова положили й — 1 и использовали (9,61). Но, если мы возьмем экстремум от всей экспоненты в левой части и проведем квазиклассическую процедуру, мы получим (9.70). Если мы возьмем экстремум только от или, что эквивалентно, Е^ 1屮], то мы получим приближение (9.73), Попробуем сделать нечто среднее, взяв экстремум от £кл [ф ] + £簿声「的]. Это выражение, конечно, зависит от выбора фермионных чисел заполнения {叫，Настоящая процедура есть попытка выбора оптимального экстремума в зависимости от чисел заполнения состояния, которые мы исследуем. Энергия ферми-моря (£「一斗[*]) при взятии экстремума не включается, но вычисляется в экстремуме. Нам не известно удовлетворительного оправдания для этой процедуры, кроме того, что это лучше, чем просто искать экстремум только £нл [” Напомним, кроме того, что большая часть энергии ферми- моря (все ее расходящиеся части) при добавлении контрчленов сокращаются с ними.

Условие экстремума теперь имеет вид

^К)(е"П 物 + 二 啰з[也)=В +

+ 黑+£%备(的)=。，’(乱94)

г

Уравнение (9.94) можно переписать следующим образом. ег 1*1 — собственные значения одночастичного гамильтониана Дирака и задаются в (9.59). Если « изменится до * + 5*, то / изменится до / + 6/, а е — до е + 6е. В первом порядке по бесконечно малым (9.59) дает

{―沁・v + р(/и — g*)} 5/— ggpf = 5е/+ 畸. (9.95)

При взятии скалярного произведения с /+ и использовании нормировки jdxf+f = 1 получаем

g j 产(x)pf(x) 6力(x)dx= бе, или

бе [^>]/6^> (х) = ёГ (х) ₽/ (х) = gf (х) / (х).(9.96)

(Напомним, что / (х) — спинор с опущенными спиновыми индексами и в приведенных выше уравнениях подразумевается суммирование по спинам; f 三 f+p) Подставляя (9.96) в (9.94), находим

-v2^+ 黑=-g £ nrfrfr,(9.97)

10 Раджараман P,

где каждое fr удовлетворяет (9,59), Таким образом, мы получаем совокупность связанных уравнений (9.59) и (9.97) для самосогласованного решения относительно * и %, В простейшем случае, когда только одна фермионная мода г0 однократно возбуждена, nr J б”* Тогда уравнения (9,59) и (9.97) сводятся к двум уравнениям

[—ia-V -Н ₽ [m - §ф (х)] /Го (х) = erJr0, (9.98а) = (9-986)

Приближение (9.72) для статического решения сводится к равенству нулю правой части (9,986), вследствие чего классическое бозе-поле теряет всякую связь с ферми-полем, В (9,98) классическое бозе-поле и волновая функция Дирака %。 взаимосвязаны, что является той ценой, которую мы должны платить за улучшение в приближении (9,94). Заметим, что уравнения (9,98) имеют точно такой же вид, как уравнения Лагранжа——Эйлера, которые мы получили бы для статического * (х), исходя из лагранжиана (9,63), если бы заменили ферми-поле 中(х,力 на дираковскую волновую функцию занятого состояния (屮％ (х, t) ~ =% (х) 07"。'). Это придает связанным уравнениям (9.98) некоторую интуитивную привлекательность, В самом деле, полевые уравнения с такой заменой ферми-поля на с-числовую дираковскую волновую функцию часто вводились с самого начала в квази классических вычислениях, особенно при создании моделей адронов. Наше обсуждение показывает уместность таких уравнений в контексте систематического квазиклассического приближения к исходной квантовополевой теории. Мы можем видеть также пределы применимости таких уравнений. Эти два связанных уравнения (9,98) получаются из условия (9.94) только тогда, когда занята одна фермионная мода. Если занято N различных мод, мы получаем N + 1 связанных уравнений (9.97) плюс ^ уравнений вида (9,59), по рдному на каждое fr. Исходное приближение (9,94), из которого получаются эти уравнения, также не является экстремумом всего Sd$$ 1*L При взятии экстремума была исключена энергия ферми-моря.

Несмотря на эти ограничения, уравнения (9.98) представляют собой некоторое усовершенствование по сравнению с неспаренным уравнением (9,72). Они все еще поддаются обработке, хотя решать их труднее, чем (9,72), Такие уравнения решались и точно и численно для большого числа моделей. Помимо уже цитированных работ см, [24] (знаменитый Мешок Станфордского линейного ускорителя (SLAC)), [78, 229], После того как найдено решение 九 связанных уравнений (9,98), остальная часть квазиклассического метода реализуется так же, как и выше с помощью разложения в ряд функционального интеграла (9.66) в окрестности 九.

О возможности существования солитонов с зарядом 1/2 .

Проиллюстрируем квазиклассический метод (9.72)—(9.81) конкретным примером. Выбранный нами пример приведет также к фермионной моде с нулевой энергией и даст нам возможность обсудить значение такой моды. Моделью будет теория размерности (1 + 1), в которой кинковая система, рассмотренная в гл, 2 и 5, взаимодействует с фермионами через плотность лагранжиана

(х, 0=v (电扮 一 ｝啰一1)2 + 空曲)屮 + ^W. (9.99)

По сравнению с лагранжианом (5,36) кинковой системы здесь мы для простоты положили кинковый параметр % = т2 = 2. Солитонный сектор этой системы (9,99) обсуждался Дашеном и др, ［101 ］, которые также указали на существование фермионной моды с нулевой энергией. Смысл такой моды был исследован и связан с возможностью существования солитонов с зарядом ±1/2 Джакивом и Ребби ［197 ］.

К этой модели могут быть применены методы предыдущего раздела, адаптированные к размерности (1 + 1), Нам требуется лишь помнить, что Чг теперь двухкомпонентный спинор и имеются только две матрицы Дирака, Мы используем представление

р = б， а± = а2, (9,100)

(Эквивалентноv° = р = о^иу】 = pat = Sb。三 £ (&Y° + 必尸)‘) Прежде чем перейти к солитонному сектору, напомним, что в этой модели вакуум имеет среднее значение〈力 = +1, При таком вакууме элементарный фермион имеет массу mF = |g〈*〉| в низшем порядке за счет последнего члена в (9,99), даже если лагранжиан не содержит явно члена с фермионной массой. Эта масса всегда может быть выбрана положительной независимо от знака 〈*〉или g, поскольку знак массового члена может быть всегда обращен с помощью 4r f у54r 三 丫屮屮，Без потери общности мы можем принять g > 0,= +1 и = g.

Учитывая все это, рассмотрим солитонный сектор и используем приближение (9.73), Это приводит к результату (9,81) для уровней энергии. Нам нужно лишь вычислить величины, входящие в (9,81) а именно 九，国" ［九］,3P［九］,ег ［九J и ек4 ［九J для модели (9,99), Статическое классическое решение 九(х) должно удовлетворять уравнению (9,72), которое теперь сводится к

d2i>c/dx2 一 2% (收一1) = 0, (9.101)

Решением этого уравнения является не что иное, как прежняя кинковая функция. Положив 入 = 病 = 2, о = 0в (5,45), (546), имеем .

(рс (х) = th х, (9,102а)

小版］= 4/3. (9,1026)

(Антикинк также является решением. Сектор состояний, построенных в окрестности антикинка, может быть рассмотрен аналогичным образом,) Величины ①卩 в (9.81) являются не чем иным, как частотами стабильности кинка и уже заданы в (5.50). Энергии ег 叭］фермионных мод при применении (9.59) удовлетворяют условию

Иф^г (х) = (—iaid/dx — g^c (х)) /7 (х) = е亦(х).(9.103)

Если мы запишем двухкомпонентный спинор в виде

то в представлении (9,100) условие (9.103) сведется к связанным уравнениям

(—d/dx — g% (х)) 4 (х) = %〃г (х),(9.104a)

(d/dx — g 九(x)) ur (x) = %，(x),(9-1046)

откуда следует

=^ur (x), (9.105a)

(—d2/d*2 十 g2收—g (I 一 ％))“(*)=或勿(x), (9.1056) где мы использовали то обстоятельство (см, (2,20)), что d^Jdx = =/2U (九)=1 —龙，Уравнения (9,105) точно решаются в элементарных функциях. По существу это не что иное, как пара одномерных уравнений Шредингера в «потенциале» V (х)= =ё2фс 士 g (1 —代)=g2 th2 x 士 gsch2 x. При x т ±8 V(x)--> т gZ Поэтому собственные значения e^ содержат континуум 磅=g? + 居 для е? > gZ Ниже g? лежат дискретные уровни связанных состояний, которые могут быть найдены точно (см. ［101, 257］) в виде

E^ = 2rg —产， 厂=0, 1,. . ., <g- (9.106)

Заметим, что наинизший уровень есть е0 ~ 0. За исключением его, для каждого ненулевого собственного значения е? из (9.105) имеем пару собственных значений ±斗 гамильтониана Дирака (9.103) в соответствии с приведенными выше общими соображениями, основанными на сопряжении заряда. Тот факт, что непрерывный спектр начинается с % = g, также согласуется с тем обстоятельством, что элементарный фермион имеет в этой модели массу g.

Остается найти только Екч ［九］,требуемое в (9.81). Кроме контрчленов (О 十 1/3dm2^2), уже введенных в гл. 5 (см. (5.66),

мы будем иметь дополнительные контрчлены, обусловленные присутствием в лагранжиане (9.99) ферми-поля. Они снова имеют форму D + /。加产 Здесь D —энергия фермионного вакуума, т. е. D = £Г(—% [* = 1 ]). Член %。病* обусловлен графом собственной энергии бозона, связанным с фермионной петлей, а именно

而5 = g2j [豊 Tr ( j. (9.107) s J (2九)2 \(a-g)(一為一g)， ' '

В целом контрчлены, которые следует добавить к лагранжевой плотности (9.99), имеют вид

21tli = D + 方+ % (dm2 + dm2)沪 (9.108) В результате получаем

Ек« 版]^^dxlD^D + ^idm2 + 而)(亜(x) - 1)], (9.109) где вклад от вакуумного значения * = 1 вычтен так же, как это сделано в (5.68). Таким образом, мы собрали вместе все составляющие, необходимые для вычисления уровней энергии (9.81) в солитонном секторе, ассоциируемом с кинковой функцией $с (х). Вычисление энергий Е^ &) производится теперь непосредственно применением алгебраических методов. В гл. 5 мы показали, что контрчлены j dx (£)+ 1/2dm2 侬一1)) устраняют расходимость в 2P (%①р) (см. (5.69)). Аналогично можно проверить, что j dx (Q * 1/2 dm2 岷 一 1)) устраняет расходимость в £鲁(—% [九]),оставляя конечный ответ для энергетического уровня E^nr j} при любых конечных числах заполнения {%, Np\. ，

Вместо того чтобы проводить квазиклассическое разложение в окрестности кинковой функции, можно попытаться разложить в окрестности экстремума всего эффективного действия 5эфф [ср J, содержащего вклад от моря отрицательной энергии. Это приближение (9,70), и, как мы констатировали, пользоваться им значительно сложнее, Кемпбелл и Лиао [72] показали, как это может быть проведено в аналитическом виде для модели (9,99). Заинтересованных читателей мы отсылаем к их статье, которая содержит также обобщение на кирально инвариантные модели-, когда фермионное поле связано как со скалярным, так и с псевдоскалярным полями. .

' Возвратимся к нашему вычислению в кинковом секторе для модели (9.99), До сих пор мы не уделяли специального внимания тому факту, что наинизшая фермионная мода в (9.106) имеет нулевую энергию. Энергетический спектр сам по себе не должен

измениться вплоть до порядка й в присутствии такой нулевой моды. Можно просто подставить ®=о) = 0 в (9,81), Но, как доказали Джакив и Ребби [197 ], при этом оказываются существенно затронутыми другие свойства состояний, ассоциируемые с этими уровнями. Чтобы это увидеть, исследуем несколько дальше нулевую моду (9.103). При е0 = 0 функции и0 (х) и v0 (х) в (9,104) оказываются независимыми друг от друга, и их легко проинтегрировать, что дает

~ х ~

仰(х) = % exp g j 九(/) d/ =仰(ch 汇尸，_ о _

%a)= sexp —gj儿(f)df =%(chx)—g. (9.110) _ о 」

Мы приняли, что g положительно. Очевидно, что v0 (尤)нормируема, а 辽о (х) нет. Поэтому мы должны положить 心｝ = 0, и это дает изолированное невырожденное решение для е0 = 0:

% (х) = % ((ch х)—J • (9.111)

Заметим, -что fo/o " foJ% = 0, Поэтому решения 九(х) = th х и / (х) = %、(х) вместе по существу удовлетворяют связанным уравнениям (9,98), Правая часть уравнения (9,986) просто обращается в нуль. Поэтому, если возбуждена только эта дискретная мода г = 0 (% = bQ, то фактически мы работаем с усовершенствованным приближением стационарной фазы (9,94), а не с (9,72). Еще важнее то, что, поскольку /0 (х) невырождено, его зарядовосопряженное С/о (х), которое также должно быть решением с нулевой энергией, должно совпадать с самим % с точностью до постоянного множителя. Это означает, что % (х) должно быть зарядово-самосопряженным, если мы соответствующим образом выберем фазу в матрице зарядового сопряжения С, Это можно проверить. В (1 + 1) измерениях при представлении (9,100) мы можем в качестве матрицы зарядового сопряжения использовать С = (—а3). Если задано произвольное решение (9.103) с энергией %, то легко убедиться, что 方 三一gf； также является решением, но с энергией ——е广 Для решения (9,111) с е = 0, которое не вырождено, можно явно показать, что С/о = —а3/0 = /0-

Если бы не было зарядово-самосопряженнсй фермионной моды с нулевой энергией, то мы могли бы разложить квантовое ферми- поле, как в (9,836), «Основное солитонное состояние», т. е. основное состояние в солитонном секторе, было бы тогда невырожденным состоянием с зарядом Q = Q? удовлетворяющим (9,84), Но в при-

сутствии самосопряженной нулевой моды (9.83), очевидно, изменяется и принимает вид

屮(х, 0 =瓦%(х) + £ (br^f^ (х)十小产中尸(X)). (9.112)

Исходя из базисных антикоммутаторов (9.2) для полей, можно убедиться, что й0 подчиняется тем же стандартным антикоммута- ционным правилам, что и Ьг и

｛力о’ 缚｝+=1‘ ｛%‘ 瓦｝+=也’"/+=。н т. д.

Тогда тот же самый оператор заряда Q вместо (9,85) сводится к Q = ｝ J dx (展屮一屮嗔)=b褊一g +工(%%一力工)• (9.113)

Состояние, в котором нет ни одной возбужденной фермионной моды, теперь обозначим | сол —〉. По аналогии с (9.84) оно удовлетворяет соотношению

瓦 I сол —〉=厶 I сол 一〉= 41 сол —〉= 0,j(9.114)

(Для простоты мы будем рассматривать только фермионные моды. Бозонные возбуждения могут быть включены в рассмотрение, как это сделано выше,) При всех пг = 0 и в отсутствие бозонных возбуждений (^p — 0) это состояние | сол—) будет иметь ту же энергию /Исол, задаваемую (9.82). Энергетические уровни вплоть до О (й), как мы констатировали выше, не будут изменяться за счет нулевой моды. Но в силу (9Л 13) и (9,114) заряд этого состояния будет равен

QI сол 一〉=^-1 сол —〉.(9,115)

Сопоставим это с «основным солитонным состоянием», введенным выше в предположении, что ни одно из % не равно нулю, для которого Q = 0. Далее возбудим однократно нулевую моду, т. е. рассмотрим.

I сол 卜〉三结 I сол — ).(9.116а)

Очевидно, что

b01 сол +〉=九结 Iсол —〉= (1 —结％) I сол l〉= I сол — - ). (9.1166)

Поскольку возбуждается только мода с нулевой энергией (九「= ~ 6r0, Np = 0, е0 = 0 в (9.81)), состояние | сол +) будет иметь ту же энергию Л1С0Л, что и | сол 一). Но

QI сол + ) = QZ)J I сол — ) = + -g-Z)+ I сол - ) = — I сол + ) (9.117) при использовании антикоммутационных правил для b и d. Поэтому и мы имеем два вырожденных состояния с наинизшей

энергией | сол 土〉в кинковом секторе с зарядами ±1/2, Заметим, что в отличие от мод с ненулевой энергией, которые появляются парами 士％, что приводит к 0《％《 2 в (9,76), нулевая мода не вырождена, В разложении (9,60) Det Аф по собственным значениям она появляется только один раз. Поэтому для г = 0 0 <■ п0 < 1, т. е. эта мода может быть только однократно возбуждена. В силу этого I сол —) и I сол + ) являются двумя единственными независимыми вырожденными состояниями наиниз- шей энергии в кинковом секторе. Более того, можно видеть, что

эти состояния являются зарядово-сопряженными друг другу. Квантовополевой оператор зарядового сопряжения 石 преобразует поля следующим образом:

(9.118)(9.118)^¥ (х, %)守—i = C4r十(匕 t), 诊①(匕方)守t = 0)(占方),

(9.118)

(9.118)

где С — матрица зарядового сопряжения, введенная ранее (см. работу [50 ]; в наших обозначениях матрица С отличается от матрицы этой работы множителем 們. Для разложения (9.112) это сводится к

诊屏资一1 =力，守/份Т =力 для г 1, ] 诊4名一1 =结. )

Но оператор 齒 унитарен и является симметрией гамильтониана модели (9.99). Кроме того, | сол +〉一 единственное отличное от I сол ——)независимое состояние с той же энергией. Следовательно, 例 сол —〉= а|сол —〉+ р I сол +〉， где |а|2 + |р|2— 1, (9.120) Но

(сол — I 守 I сол —〉= (сол + I 结守 I сол — ) (используя (9.1166))= =〈сол + I 守瓦 I сол —〉 (используя (9. ] 19))= ==0 (используя (9.114)).

Поэтому в (9.120) а = 0, 0 = 1 и

■守 I сол — ) — | сол + ). (9.121)

В результате мы имеет два вырожденных состояния | сол 士〉 с наинизшей энергией в кинковом секторе, которые несут заряд 土 1/2 и являются зарядово-сопряженными друг к другу. Каждое является основной квантовой солитонной частицей. Фермионные возбуждения каждого из этих двух состояний можно получить, как и прежде, применяя остальные операторы рождения Ь： и 力, г 1. Например,

伍项麻需3 ... % I сол -)

при различных гг и различных 卩j приводит к состоянию с зарядом (п — m — 1/2), сопряженным к которому будет состояние

(*吨…％成玲3 . . . %) I СОЛ +〉

с зарядом (т — п + 1/2). Оба они имеют одинаковую энергию, равную пm

Мсоп + £ £г. + £ Ер『1—1/=1 J

вплоть до порядка й включительно. Ясно, что все собственные энергетические состояния в кинковом' секторе состоят из таких пар зарядово-сопряженных состояний. Состояния внутри каждой пары имеют одинаковую энергию, но противоположные по знаку заряды. Все эти состояния имеют полуцелый заряд. Очевидно, что это свойство не зависит от включения бозонных возбуждений.

Такое же рассмотрение может быть проведено отдельно в анти- кин ковом секторе, построенном в окрестности классического ан- тикинкового решения (9.101).

Напомним, что модель (9.99) содержит также вакуумные секторы, построенные в окрестности 小 = ±1. В этих секторах фермионные возбуждения над вакуумом являются обычными элементарными фермионами и антифермионами, которые все имеют заряды, когда используется тот же оператор заряда Q = =% J dx №+, ¥ ］. Конечно, мы могли бы прибавить к оператору Q константу 1/2. Это превратило бы заряды в кинковом секторе в целые, но тогда стали бы полуцелыми заряды в вакуумном секторе! Поэтому разница на полуцелое число между зарядами в вакуумном секторе, с одной стороны, и зарядами в кинковом секторе, с другой, представляется внутренним свойством, вызванным присутствием самосопряженной моды с нулевой энергией (9.111). Если бы мы могли провести эксперименты во всех секторах этой двумерной модели, то это различие было бы измеримой величиной. Например, если бы система (9,99) была помещена во внешнее электромагнитное поле (добавлением слагаемого 1/2еЛц ［屮,丫山屮］ к лагранжевой плотности (9.99)), то электрический заряд, который обнаруживает поле Лц, имел бы величину eQ. Частицы из кин- кового сектора обладали бы полуцелым электрическим зарядом, в то время как частицы из вакуумного сектора обладали бы целым электрическим зарядом.

д.5・ Дальнейшие замечания

Только что мы рассмотрели значение фермионной моды с нулевой энергией в кинковом секторе модели (9.99). Наличие такой нулевой моды не является специфичным для кинкового ре-

шения или для модели (9.99). Из (9.110) видно, что решающим свойством кинкового решения, которое делает возможной нормированную нулевую моду f0 (%), является то обстоятельство, что Зс (+оо) и В© (——8)имеют ненулевые значения противоположных знаков. Любое другое топологическое решение с таким же свойством также привело бы к такой нулевой моде. Это явление также не ограничено рамками (1 + 1) измерений. Напомним, что в гл. 3 неабелева теория Хиггса в (3 + 1) измерениях (см. (3.42)) привела к решению в виде монополя т'Хофта—Полякова. Эго также статическое решение, обладающее топологическим индексом. Джа- кив и Ребби [197 ] включили в эту систему (3.42) безмассовые фермионы. Имеющиеся в секторе монополя расширенной теории фермионные моды в соответствии с нашим общим методом будут ссбственными функциями одночастичного гамильтониана Дирака в фоновом поле классического монопольного решения. Джакив и Ребби приняли, что фермионы являются изэспинорами относительно внутренней SU (2)-группы теории, и нашли, что в данном случае опять имеется невырожденная фермионная мода нулевой энергии. Подобным же образом рассмотрим систему Янга——Миллса в евклидовом четырехмерном пространстве, которая обсуждалась в гл. 4. В ней возникли классические инстантонные решения, обладающие топологическим индексом. Т'Хофт [331 ] показал, что безмассовое уравнение Дирака в четырех евклидовых измерениях во внешнем поле Янг-миллсова инстантона снова порождает нулевое собственное значение. Мы рассмотрим этот вопрос в гл. 11. Наличие фермионных нулевых мод в этих различных примерах, содержащих некоторые топологические бозонные решения, очевидно, не является случайным совпадением. Мы знаем, что это явление связано с фундаментальными математическими теоремами [12, 13, 218],. которые, однако, лежат далеко за рамками нашего изложения.

Все рассмотренные выше стабильные солитонные решения классических уравнений бозонного поля обладали некоторым ненулевым топологическим индексом. Это связано с тем, что по крайней мере для тех классов лагранжианов, которые мы рассмотрели, видно, что статическим решениям необходим сохраняющийся топологический индекс, чтобы они были стабильными относительно распада на тривиальные решения. Поэтому, когда эти решения соединяются с фермионами/ наличие фермионных нулевых мод становится скорее правилом, чем исключением. Но зависящие от времени решения в различных моделях, которые мы изучали, не нуждаются в каком-либо топологическом индексе. Напомним, что дублетные решения модели СГ удовлетворяют условию 3 (х, f) f 0 при % f ±8 и являются нетопологическими. Напомним также приближенные зависящие от времени решения, данные для трехмерные моделей скалярного поля Фридбергом и

др. [142], где снова 今(х, /) f 0 при х f оо. В этих случаях, когда поле Дирака вводится через юкавскую связь, нулевой фермионной моды не должно быть вообще. (В контексте зависящих от времени решений 屮(х, %) под фермионными нулевыми модами мы понимаем случаи, когда индексы Флоке обращаются в нуль). Поэтому рассуждение разд. 9.3 может быть применено без изменений. Детальные вычисления, использующие зависящие от времени решения в (3 + 1) измерениях, см. в работе [1451.

Мы рассмотрели модели, в которых лагранжиан содержит поле Дирака в билинейной форме. В эту категорию попадают все представляющие интерес случаи в (3 + 1) измерениях, поскольку взаимодействия, содержащие произведение четырех или более ферми-полей, неперенормируемы. Это можно проверить с помощью обычного подсчета степеней импульсов в диаграммах Фейнмана. В (1 + 1) измерениях четырехфермионное взаимодействие перенормируемо. Типичным примером является модель

2] (х, /)=干(扮一/и)屮 + %Q (W)2.(9.122)

Сравним ее с другой моделью

2? (х, /)=帀(id -m)T + gB可屮-%兴，(9.123)

где 3 (%, 0 ——скалярное поле. Легко видеть, что модели (9.122) и (9.123) эквивалентны. Это можно показать как с помощью канонического метода, так и с помощью функционального интеграла. Возникающие из Sг (%, %) уравнения Лагранжа——Эйлера имеют ВИД

33 f) = g^ (爲 /)屮 а，9，(9.124а)

(id —⑨屮=—g3 屮.(9.1246)

Уравнение (9.124а) не является настоящим «уравнением движения» для поля 3 (%, %), поскольку в нем отсутствует производная по времени от 丸 Это происходит потому, что лагранжиан (9.123) не содержит кинетического члена от поля 屮.Поле 屮 не является независимой степенью свободы в системе (9.123), и уравнение (9.124а) является уравнением связи, которое фиксирует 屮 при заданных 4rH 屮 для каждого (%, %). Стандартная теория связей fl 13, 259], элементарным примером которой является (9.124а), позволяет включить эту связь в лагранжиан. После того как 屮 исключено из лагранжиана за счет введения в лагранжиан (9.124а), мы получаем модель четырехфермионного взаимодействия (9.122). Эта эквивалентность может быть показана также с помо-

щью функциональных интегралов. Применяя формулу (9.64) к модели (9.123), имеем

Tr ［е-шт］ = \ 勿［问勿［屮叮勿［W］ e!S^ exp (i j dx dt (g^FW —%*)) = =J勿［屮叮勿［屮］展田J勿@ exp{, J dxdt x -

X ［—% 3 — g可屮)2 十 ％g2 (可屮)2 },(9.125)

где S^ = j dxd№ (zd — /и)屮 соответствует слагаемым от свободных фермионов в действии. Заменяя переменные 屮 на 屮= =3 ——g4t屮,можно точно взять интеграл по бозонам (экспонента чисто квадратична), что дает некоторую не зависящую от динамики константу А. Тогда (9.125) сводится к

Т「［е-炉 т］ = А^ ［屮十］勿［屮］ехр «S 田 + i J $ g? (W)2 dx df)・

(9.126)

Это как раз то функционально-интегральное представление, которое мы должны были бы использовать для четырехфермионной модели (9.122) с точностью до константы Л, которая может быть включена в нормировку. (Эти функциональные интегралы могут быть использованы не только для определения уровней энергии, но и для получения всех функций Грина теории при добавлении членов с источниками (см., например, ［2 ］).) Таким образом, мы опять находим, что модели (9.122) и (9.123) эквивалентны.

Преобразовав модель (9.122) четырехфермионного взаимодействия в модель (9.123), которая имеет только билинейные члены по (屮，屮十)，мы можем применить к последней методы, развитые в предыдущих разделах. Эта процедура может быть тривиально перенесена на другие перенормируемые четырехфермионные взаимодействия, такие, как (^йЧ1)2. Требуется лишь вместо скалярного поля 3 взять псевдоскалярное поле.

Используя этот метод, Дашен и др. ［103 ］ вычислили спектр модели Гросса——Неве. Эта модель описывается лагранжианом

N/ ^\2

①(X, 0 = 2画夜屮力+4 g［二巧屮，(9・127)

где j = 1,…，N — индекс внутренней симметрии U (N), по отношению к которой 2 (%, %), очевидно, инвариантен. Гросс и Неве ［177］ изучали эту теорию в пределе JV ~> оо н нашли, что она приводит к спонтанному нарушению симметрии. Составное поле 屮/屮j приобретает ненулевое вакуумное среднее. Это делает возможным существование секторов с топологическими

солитонами, и Дашен и др. вычислили энергетический спектр в различных секторах, используя описанный выше квазикласси- ческий метод. С помощью тривиального обобщения модели (9.123) система (9.127) оказывается эквивалентна лагранжиану

2' (Х, /) = £ 里•面 + gB)屮j - %产

Мы знаем, как обращаться с этим лагранжианом. То обстоятельство, что вместо одного фермиона имеется мультиплет из N фермионов, легко учитывается в формализме функционального интеграла при использовании кратного интеграла по всем ферми- полям. Это означает, что (9.66) заменяется на тr *門=J2[以J8可n (KQ [屮门勿[屮/]) X

勿[问 exp (/5зфф [3]),勿[问 exp (/5зфф [3]),

勿[问 exp (/5зфф [3]),

勿[问 exp (/5зфф [3]),

(9.128) где

S© 三 J dx dt (—%«2),5эфф [屮]三 S© — iN In (К det Лф),

а Лф такое же, как в (9.67).

Остальные квазиклассические вычисления проводятся так же, как в разд. 9.3. Дашену и др. [103 ] удалось реализовать приближение «полной стационарной фазы» (9.69), (9.70), когда используемое классическое решение является экстремумом полного эффективного действия, включающего энергию моря Ферми. Как мы отмечали выше, это является технически трудной задачей; детали читатель может найти в работе [103 ]. Но используемые принципы квантования те же, что и в разд. 9.3. Многие из этих принципов мы заимствовали как раз из работы [103].

В качестве заключительного замечания ответим, что с распространением наших методов на поля Дирака мы приобрели основной аппарат, необходимый для построения приближенных моделей адронов с использованием квазиклассической теории поля. Изучение выходящих за рамки теории возмущений солитонных секто- торов с помощью квазиклассических методов является как достаточно интересным, так и важным шагом вперед в теории ) Но, как упоминалось во введении, дополнительным побудительным толчком к изучению таких методов является возможность

В частности, в последнее время обнаружено, что в рамках теорий «большого объединения» электрослабых и сильных взаимодействий взаимодействие фермионов с магнитными монополями т'Хофта — Полякова может приводить к распаду протона [371 ]. — Прим, перев.

объяснения структуры и спектра адронов, поскольку известно, что они являются протяженными частицами^ и, по-видимому, должны описываться некоторой квантовой релятивистской теорией поля. Но, если различные солитонные решения и ассоциируемые с ними квантовые состояния, обсуждавшиеся в гл. 2——7, полезны для иллюстрирования этой методологии, они не являются реалистическими моделями адронов. Большинство примеров, которые мы рассмотрели в этих главах, представляли собой двумерные модели скалярного поля. В разд. 3.3 мы провели изучение примера калибровочной теории в (3+1) измерениях, но он обладал монопольным зарядом ——интересным свойством, которое, однако, отсутствует у реальных адронов. Еще более важно то, что системы, обсуждавшиеся в предыдущих главах, не содержали вкладов от ферми-полей, в то время как главной компонентой адронов является фермионный кварк.

После того как мы включили в схему ферми-поля, мы имеем достаточный теоретический фундамент для квазиклассических моделей реальных адронов. Общепризнано, что адроны состоят из кварков, удерживаемых вместе калибровочными бозонами. В начальном приближении вместо векторных калибровочных бозонов можно использовать скалярные бозоны. Тогда мы имеем типичную модель вида (9.63). (Если стремиться быть более реалистичными, то можно использовать калибровочные поля. Такая процедура, являясь технически более сложной, основана на тех же принципах, к которым присоединяются требования фиксирования калибровки.) После задания модели в форме (9.63) или (9.65) следует остальная часть нашего квазиклассического метода. В частности, в большинстве случаев мы будем интересоваться малым числом низколежащих фермионных возбуждений. В хорошем приближении барионы являются связанными состояниями трех кварков, в то время как мезоны являются связанными состояниями пары кварк—антикварк. Поэтому можно на реалистичных основаниях попробовать применить промежуточное приближение, намеченное в общих чертах в конце разд. 9.3, когда классическое решение удовлетворяет связанным уравнениям (9.97) и (9.59). Более того, мы видели, что в главном порядке квазиклассического разложения энергия, формфакторы и другие характеристики квантовой протяженной частицы определяются соответствующими свойствами самого классического решения. Поэтому в главном квази- классическом приближении просто решаются классические связанные уравнения типа (9.98). Это сделано в нескольких статьях, из которых выделяется работа [24], где из таких классических решений вычислены некоторые свойства адронов, в том числе их квантовые *числа, формфакторы и др. Наше обсуждение в этой главе обеспечивает теоретический фундамент для таких вычислений.

ИНСТАНТОНЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Инстантоны и периодический потенциал

В гл.4мы рассмотрели несколько примеров инстантонных решений. Это были классические решения евклидовых уравнений движения с конечным действием, и приведенные примеры простирались от нерелятивистских одночастичных систем до релятивистских полевых систем, включая калибровочные теории. Из нашего обсуждения на классическом уровне не следовала необходимость изучения инстантонов, поскольку они являются решениями евклидовых уравнений, когда переменная времени по существу комплексная. Покажем теперь, что, несмотря на их евклидово происхождение, инстонтоны могут играть важную роль в физике соответствующих квантовых теорий.

Как и при квантовании солитонов, мы начнем с нерелятивистской квантовой механики и познакомимся с инстантонными эффектами в этом привычном контексте. Например, Поляков [287 ] и Гильденер и Патраскиу [161 ] применили инстантонные методы к частице в потенциале с двумя минимумами. Другим популярным примером является задача о периодическом потенциале [89 ]. Для иллюстрации мы используем последний пример, так как он представляет собой близкую аналогию инстантонной физике в калибровочных теориях.

Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся вдоль прямой в потенциале V (q), который удовлетворяет условию

V (q) = U(q + 2冗)(10.1)

для всех 7 в интервале [——оо, оо ]. Пусть минимумы^У (q) располагаются при 7 = 2^л. Без потери общности положим V (2加冗) = =0. В качестве конкретного примера можно иметь в виду частный случай

U (д) = 1 — cos q,(10.2)

.но наши выводы будут справедливы для любого гладкого ограниченного периодического потенциала с абсолютным минимумом внутри каждого периода (рис. 18).

Задача о периодическом потенциале хорошо известна, особенно в физике твердого тела, где она является моделью поведения элект-

ронов в одномерной решетке [219]. Хорошо известны следующие свойства этой задачи, которые выводятся в квантовой механике стандартными методами без обращения к инстантонам.

Разложим V (q) в окрестности минимума при q = 0. Пусть

U(q) = 4(Ю.З)

Мы будем рассматривать низколежащие уровни этой системы при условии слабой связи 九厂《①纟.Зто является также приближением «сильной связи» для электронов в решетке. В этом при-

Рис. 18. Периодический потенциал V (д) с периодом 2л и минимумами при q = ближении туннелирование волновых функций низколежащих энергетических уровней от одной потенциальной ямы на рис. 18 к соседней мало. Если бы мы вообще пренебрегли туннелированием, то могли бы построить волновую функцию основного состояния «0 (q) в яме в окрестности q = 0 с некоторой энергией £0. В на- инизшем порядке по 入厂 в (10.3) Е。= ^йсо. Так как задача периодическая, мы могли бы построить также аналогичное основное состояние 〃о (q ——2Мл) в окрестности любого другого минимума 7 = 2^л также с энергией £0. В отсутствие туннелирования мы имели бы тогда бесконечнократно вырожденное основное состояние с энергией 七。^йсо.

На самом деле туннельные эффекты, хотя и малые, существуют. Изолированный уровень £0, который в отсутствие туннелирования бесконечнократно вырожден, расщепляется в зону. Соответствующие энергетические волновые функции в первом приближении являются линейными комбинациями невозмущенных волновых пакетов в отдельных ямах:

恥 4)=n2 级2%。(9一2及n)， (10.4)

где 0 ——параметр, нумерующий состояния в зоне. Коэффициенты е『“е выбраны так, что состояния[(10.4) являются собственными

функциями унитарного оператора, реализующего симметрию 7 f q + 2л, относительно которой гамильтониан инвариантен. Под действием этой симметрии х)

%(q + 2g = "e% (办(Ю.5)

Теорема Блоха [51, 139] утверждает, что собственные функции энергии в периодическом потенциале должны удовлетворять условию

勿⑷=/恤(q),(Ю.6)

где k —— волновое число, a vh (q) периодична относительно сдвигов (решетки, в нашем случае относительно q f д + 2л. Для g f q + 2冗 условие (10.6) дает

%(什2n)=/%(办(10.7)

что согласуется с (10.5) при отождествлении 2л月 = 0.

Энергия уровней в низшей зоне дается выражением [218]

Er Eq — a (cos te),(10.8)

где а — константа, а а — период решетки. Используя для нашего случая а = 2л,月=0/2л н Е。^ 1/2^0), мы можем записать (10.8) в виде

&力s — a cos0.(10.9)

Система содержит также зоны с большей энергией, но нас интересует только низшая зона, возникающая из расщепления основного состояния.

Покажем, как эти хорошо известные результаты могут быть получены с использованием инстантонов и евклидовых функционально-интегральных методов гл. 6. В конце обсуждения станет ясно, почему при исследовании таких туннельных эффектов ква- зиклассическими методами евклидовы функциональные интегралы (и поэтому инстантоны) более полезны, чем интегралы по траекториям в действительном времени.

Рассмотрим евклидову амплитуду, определенную в (6.30), (6.31), для перехода из 7 = 0 при т' = (—т/2) в q = 2л при т'= =(+т/2):/

Ке(2тс; т/2; 0, —т/2)三〈2冗 I етт/九 I 0〉=

=J 勿后 W В)] exp {— (1 値)Se [q В)]} = E〈2n I 箍〉〈％ I 0) rE^n. fn

(10.10)

1)Под термином «симметрия» автор подразумевает преобразования, образующие группу сдвигов g-> д + 2л. — Прим, перев.

Здесь I фп) — собственные энергетические состояния, 10) и и 12л) — собственные функции координаты (q), SE Q В)]— евклидово действие, и все пути идут из q (——т/2) = 0 в q (т/2) = 2л. Мы рассматриваем зону с наинизшей энергией в нашей задаче с периодическим потенциалом. В пределе больших т в сумме Sn в (10.10) доминирует эта зона. Поэтому мы будем работать в этом пределе. Подразумевается, что приводимые ниже выводы справедливы только в пределе т -> оо, несмотря на то что мы приводим в некоторых случаях зависимость от т.

Будем вычислять функциональный интеграл в (10.10) в квазиклассическом гауссовом приближении, разлагая S^ [q (т7)] в окрестности его экстремумов. Эти экстремумы определяются уравнением

= —瓷=0. (10.11)

Это классическое евклидово уравнение движения. Его решения с конечным действием (удовлетворяющие условиям q (—т/2) = 0, 7 (т/2) = 2л при т -> оо) являются классическими инстантонами этой системы. Антиинстантонное решение удовлетворяет условиям 7 (—т/2) = 2л, 7 (+т/2) = 0 при т оо.

В гл. 4 м-ы отметили, что решения уравнения (10.11) с конечным действием совпадают со статическими солитонами с конечной энергией в соответствующей скалярной полевой теории с потенциалом V (ф) в (1 + 1) измерениях. В гл. 2 мы рассмотрели существование и свойства таких классических солитонов. Объединив результаты гл. 2 и 4, найдем, что инстантонное решение уравнения (10.11) с конечным действием существует для любого периодического потенциала формы, изображенной на рис. 18. Пусть это решение 依旺(т/) имеет действие S^ 凤口①)]=*S0. Его график схематически показан на рис. 19, а. Нас интересует его точная форма, которая зависит от деталей V (q), за исключением того обстоятельства, что оно экспоненциально быстро стремится к нулю при т/ тоо и к 2л при т/ т оо. Оно обладает топологическим индексом

Q = *[q(°°) — q(—°°)] = 1-

(Из обсуждения в гл. 2 мы знаем, что такие свойства имеют место. Для частного примера V (q) (10.2) этот инстантон будет такой же функцией, что и СГ-солитон.)

Вычислим вклад от окрестности изолированного инстантон- ного решения 7КЛ (т') в функциональный интеграл в (10.10). Используя гауссово приближение (гл. 6), получаем

ё-⑵е(T) {Det [—『阻产 + m(%)]尸"， (10.12)

где ВЕ (工)一множитель меры в функциональном интеграле.

На этом этапе следует отметить два взаимосвязанных момента, которые возникают, когда т — полный диапазон изменения т'— стремится к бесконечности. С одной стороны, оператор

一片/川 + h а")

будет иметь нулевое собственное значение, поскольку действие трансляционно инвариантно по переменной т\ Формально это

г-2г-2г~2г~28 г-4 I8 г-4 IdРис. 19. а — схематическое изображение одноинстантонного решения %口«‘)； точный профиль зависит от выбора V (д); область изменения т/ есть [т/2, т/2] при т—оо; штриховые вертикальные линии делят этот интервал на сегменты [—т/2, —т/2 + 11, [—т/2 + 1, —т/2 + 2],…，[т/2— 1, т/2]; для большинства этих сегментов У" (^кл (т‘)) V" (0) = У" (2л); 6 ——схематическое изображение двухинстантонного, одноантиинстантонного решения; это решение является точным, если координаты центров т；, т； и т0 находятся на бесконечном расстоянии друг от друга.dРис. 19. а — схематическое изображение одноинстантонного решения %口«‘)； точный профиль зависит от выбора V (д); область изменения т/ есть [т/2, т/2] при т—оо; штриховые вертикальные линии делят этот интервал на сегменты [—т/2, —т/2 + 11, [—т/2 + 1, —т/2 + 2],…，[т/2— 1, т/2]; для большинства этих сегментов У" (^кл (т‘)) V" (0) = У" (2л); 6 ——схематическое изображение двухинстантонного, одноантиинстантонного решения; это решение является точным, если координаты центров т；, т； и т0 находятся на бесконечном расстоянии друг от друга.

г-2

г-2

г~2

г~2

8 г-4 I

8 г-4 I

d

Рис. 19. а — схематическое изображение одноинстантонного решения %口«‘)； точный профиль зависит от выбора V (д); область изменения т/ есть [т/2, т/2] при т—оо; штриховые вертикальные линии делят этот интервал на сегменты [—т/2, —т/2 + 11, [—т/2 + 1, —т/2 + 2],…，[т/2— 1, т/2]; для большинства этих сегментов У" (^кл (т‘)) V" (0) = У" (2л); 6 ——схематическое изображение двухинстантонного, одноантиинстантонного решения; это решение является точным, если координаты центров т；, т； и т0 находятся на бесконечном расстоянии друг от друга.

d

Рис. 19. а — схематическое изображение одноинстантонного решения %口«‘)； точный профиль зависит от выбора V (д); область изменения т/ есть [т/2, т/2] при т—оо; штриховые вертикальные линии делят этот интервал на сегменты [—т/2, —т/2 + 11, [—т/2 + 1, —т/2 + 2],…，[т/2— 1, т/2]; для большинства этих сегментов У" (^кл (т‘)) V" (0) = У" (2л); 6 ——схематическое изображение двухинстантонного, одноантиинстантонного решения; это решение является точным, если координаты центров т；, т； и т0 находятся на бесконечном расстоянии друг от друга.

вызовет расходимость в (10.12). С другой стороны, в силу той же самой трансляционной инвариантности при данной 孙口 仕‘)функция %п (т7 — т0) также будет инстантонным решением с тем же действием So для любого т0. Поэтому каждый из сдвинутых партнеров 7КЛ (т7) дает такой же вклад (10.12). Такой суммарный вклад всех отдельных инстантонов потребует умножения (10.12) на J_х/2 ат0 = т. 'тн две характерные особенности, а именно существование нулевой моды и необходимость интегрировать по соответствующей коллективной координате т0, как мы выяснили

в гл. 8, отражают одно и то же явление. Как там отмечено, в этом случае следует заменить координату нулевой моды на коллективную координату с помощью подходящей замены переменных. В приложении Б мы покажем, как это можно сделать для настоящего случая в формализме функционального интеграл-а. Результирующий вклад от всех отдельных инстантонов в (10.10) равен (см. (Б.14))

(2л I етнун I o)liO = e-s仆JtBeB {Det' J*，"' + Г(7КЛ)]}~1/2.

(10.13)

Здесь Det' обозначает детерминант, из которого исключена нулевая мода,丿 一множитель Якоби в (5.13), а подстрочное обозначение (1, 0) означает, что это вклад от одного инстантона без антиинстантонов. Далее предстоят еще вклады. Следующий шаг состоит в наблюдении, что в этой задаче инстантон имеет «конечный размер». Это означает, что инстантонное решение 7КЛ (七‘ —— 七。) для большинства значений т7 весьма близко к тривиальным решениям, либо к q = 0, либо к q = 2л (см. рис. 19, а). Эта общая черта, не зависящая от конкретной формы V (q), до тех пор пока V№ (0) = о?声 о Только в некоторой конечной области изменения т7 решение существенно отличается от 0 или 2л. Действие также локализовано в этой области, за исключением экспоненциального хвоста. Размер этой области, т. е. «размер инстантона», зависит от таких параметров V (q), как о?, но не от т ——полного интервала изменения Т\ --который равен [-—1/2t,1/2七],причем t ->• оо. Этот интервал можно разделить на подынтервалы [——工/纟七,—г/2т + + 1],[—九七+ 1,-% T + 2],…，卩//—1,1/打].Оператор е-нх^ и интеграл по траекториям в (10.10) могут быть записаны как произведения соответствующих величин в подынтервалах. В большинстве подынтервалов 7КЛ ^ 0 или 2冗,V"(7КЛ)氏

^Vldq2)^ = о? н оператор —淵 + 片侬口) —潞 + со2. Величина 7КЛ заметно отличается от 0 или 2л только в конечном интервале изменения т/, длина которого не зависит от т. Поэтому мы можем записать

{Det，一^，+ K(qK“)]}T/2m{Det(—d^ + 32『i/2K.(10.14)

Это уравнение просто определяет К, но смысл вышеприведенного аргумента состоит в том, что К есть константа, не зависящая от т при 8 . Поэтому (10.13) превращается в

(2л I е~нх/п 10)(i,о)= e~sjnJKrBE (т) [Det (—龙‘+^尸*. (10.15)

Мы уже знаем значение ВЕ (т) [Det (—潇’+(о2) ]~1/2. Это не что иное, как гауссов функциональный интеграл, который является аналитическим продолжением на t = iT функционального

интеграла гармонического осциллятора. Последний дается выражением (6.19) в виде

Е (Т) {Det (—02/0/ 一 s2)}—i/2； значение последнего (см. (6.21) и (6.24)) равно ./1со7\1/2

\ 2л統Тsin(о/ / *

Заменяя т на iT, получаем

反(г) [Det (T + ^)]^=(击謠^"三(嗡尸宀约

(10.16) Таким образом,

lim (2л I е—нт/九 |O)(i,o)= e~s^JKr (嗡丁〃/硒偿 (10」7)

Это вклад от отдельных инстантонов.

Рассмотрим теперь конфигурацию, состоящую из инстантона, локализованного в точке то, за которым следует антиинстантон в точке то》то, за которым опять следует инстантон в точке т0 》т0 (рис. 19, б). Конфигурация имеет правильные с точки зрения нашей задачи граничные условия, а именно q (—оо) = 0, q (оо) = 2л. До тех пор пока инстантоны разделены конечным интервалом (вдоль оси т/), эта конфигурация в общем случае не будет точным классическим решением. Но по мере того, как расстояния т0 — т0 и т0 —т0 растут, такая конфигурация все точнее удовлетворяет (10.11), поскольку перекрытие между инстантонами становится произвольно малым. На самом деле это замечание справедливо для любого набора из 孔工 инстантонов и п2 антиинстантонов, расположенных далеко друг от друга. До тех пор пока П1 —孔2 = 1, граничные условия удовлетворяются. Поскольку мы работаем в пределе т -> оо, где т — размер области изменения переменной т\ такие конфигурации инстантонов с произвольно большими расстояниями между ними являются допустимыми. А именно, представляется очевидным, что инстантоны с расстоянием друг от друга больше R занимают бесконечно большее фазовое пространство, чем инстантоны с расстоянием друг от друга меньше R, для любого сколь угодно большого R.

Строго говоря, для любого конечного сколь угодно большого расстояния друг от друга многоинстантон-антиинстантонные конфигурации не будут стационарными точками действия. Однако первая производная 3s [q]!bq (т/) очень мала и стремится к нулю, когда расстояние растет. Следовательно, гауссово приближение для подынтегрального функционала в окрестности такой конфигурации, где мы опустили эту первую производную, с ростом

расстояния будет все лучшим. Поэтому мы должны включить в наше квазиклассическое разложение вклады от таких далеко разнесенных инстантонов и антиинстантонов (см. также [55]).

Вклад в (2л I 以т/龙 I 0) от таких асимптотически точных многоинстантонных решений легко получить в рамках нашего приближения, задав вклад от отдельного инстантона (10.17). Поскольку /г】 инстантонов и п2 антиинстантонов далеко разнесены друг от друга, каждый инстантон (или антиинстантон) дает в действие аддитивный вклад So. Каждый из них вносит в детерминант множитель К, поскольку V" (^^口) отличается от(о2 в окрестности каждого инстантона в одной и той же степени. Наконец, если рассматриваемые объекты далеко разнесены (т. е. расстояние между ними значительно больше, чем размер инстантона), каждый инстантон (или антиинстантон) может быть локализован в любом месте на оси т\ Поэтому интегрирование по точке его локализации приводит к множителю 7т. Разрешая каждому инстантону находиться в любом месте на оси т\ мы также включаем конфигурации, в которых они не далеко разнесены. Но фазовое пространство конфигураций, где некоторые инстантоны расположены близко друг от друга, бесконечно мало по сравнению с фазовым пространством конфигураций, где все они расположены далеко друг от друга. Для инстантонов конечных размеров это чисто кинематическое утверждение о фазовом пространстве в пределе т -> ->оо. Необходимо проверить, что динамика не опровергает это утверждение. Мы сделаем это несколько ниже (см, замечание 4 в обсуждении ниже).

Таким образом, вклад от п± инстантонов и п2 антиинстантонов в совокупности равен

lim〈2n|eTT/%|0〉(％,s)=

=闻 j i] exP —S°的(№т产+SL〃2 (咪)"2, (10.18)

где 3%_^, 1 ——символ Кронекера. Множители (1/孔工!) (l/n2!) появляются из-за неразличимости инстантонов. Мы разрешили каждому инстантону находиться в произвольном месте на всей оси Y. Ясно, что мы будем лишний раз учитывать конфигурации, когда инстантоны просто меняются местоположением ——отсюда множитель 1//11!. Такой же довод имеет место для антиинстантонов. Заметим попутно, что в нашей задаче инстантоны и антиинстантоны не должны обязательно чередоваться. Поскольку нулями V (д) являются не только g = 0 или 2л, но и все q = 2АЛп, возможны конфигурации с конечным действием, где п± инстантонов и п2 антиинстантонов располагаются в произвольной последовательности. Единственное требование, обусловленное граничными условиями, есть П1 —— 孔2 = 1 ■ Этот случай следует отличать от за-

дачи о потенциале с двумя минимумами, который имеет только два минимума, и, следовательно, инстантоны должны чередоваться с антиинстантонами, чтобы сохранять действие конечным.

Возвратимся к нашей задаче. Полный вклад в квазиклассиче- ском приближении получается при суммировании (10.18) по п± им2：

丿史〈2口0"叫。〉=(*丫3з/2工(竺蒜…2 ,几2

(10,19)

Суммы по 孔1 и п2 разделяются с использованием тождества

2冗

J 黑 еXp [一用(в 一九2-1)] = 6“-— •(Ю.20)

о

После этого разделения суммы по 孔丄 и п2 тривиальны и дают lim (2л I I 0) = lim У (2л | 力〉〈力 10) ГЕ^,К =

Т・>8Т->оо ^*

2 л

=J ("^У&Р {e~s^h2JKi% cos0^ st)・(10.21) о

Это наш главный результат. Можно заметить, что воспроизводятся хорошо известные черты наинизшей энергетической зоны. Как можно видеть из правой части равенства, низколежащие энергетические уровни, которые преобладают в левой части (10,21) при т—оо, образуют непрерывную зону, параметризованную 0, 0 < 0 < 2л. Энергия уровней в зоне, очевидно, равна

Ее = 1/2方s - й (2JKe-s。偿 cos 0). (10.22)

Это согласуется с выражением (10.9) при а = 2JК亢彳‘。伍 в квази- классическом приближении (2а ——ширина зоны). При заданном явно выражении для V («) в принципе можно найти йнстантонное решение 内盯(Y), его действие So [^кл ] и якобиан 丿=У So- Константа К также может быть получена из (10.14) при использовании собственных значений ——dv + V,f (^Кл). (Для потенциала СГ (10.2), например, эти собственные значения есть не что иное, как квадратные корни из частот стабильности СГ-солитона, использовавшиеся в разд, 7.1,) Таким образом, наш квазиклас- сический вывод в принципе позволяет вычислить ширину зоны.

Обращаясь к ассоциированным с энергетическими уровнями (10.22) собственным функциям |%〉， мы видим из равенства (10,21), что

(2л I %乂％ I 0)=(成也汽)®/л方)i/2, (10,23)

Теперь ясно, что если бы нам надо было вычислить амплитуду перехода (2А^л | e~Hxin | 0), то весь предшествующий анализ остался бы без изменений с единственной разницей, что П1 —孔之= = N вместо 1. Это привело бы к замене ^'е в (10.21) на 标"。・ Таким образом,

(2м1 I 加)(仰 I 0) = g吗21) ®/1冲2

Отсюда ясно, что

(2Ж I 仰〉=М© (01 %〉.00.24)

Это находится в согласии со свойством блоховских волн, задаваемым (10.5) или (10.7). Соотношение (10.24) задает квазипериодичность (10.5) волновых функций в точках q = 2Nn. Аналогичное соотношение, связывающее % (д) и 强(g + 2NQ для произвольного д, также может быть получено подобными квазиклассическими методами, если начинать с {q + 2№л | е~Нх/п | q).

Таким образом, мы снова вывели с использованием инстантонных методов перечисленные выше основные свойства наинизшей энергетической зоны в периодическом потенциале. Причина такая же, как и в предыдущих главах. Аналогичными свойствами обладают полевые теории, особенно калибровочные теории, наиболее удобным способом исследования которых являются евклидовы функциональные интегралы и инстантоны. При соответствующем обобщении наше упражнение по применению инстантонов в задаче о периодическом потенциале может быть перенесено на эти более сложные теории. Прежде чем перейти к калибровочным теориям, представляется полезным сделать следующие замечания по поводу приведенного выше вывода.

Мы использовали только классические решения с конечным действием, а именно инстантоны и антиинстантоны. Формально решения с бесконечным действием также являются экстремумами евклидова действия. Но их вклад в квазиклассическом разложении равен нулю. Заметим (см. (10.17)), что этот вклад пропорционален ехр 1—Sr1nL

Поскольку мы изучаем туннельные эффекты, может быть задан вопрос, почему мы не использовали амплитуду (2л | е~*нт!八 о) в действительном времени для перехода со дна одной потенциальной ямы в другую. В самом деле, спектральное разложение этой амплитуды для действительного времени в принципе должно содержать всю информацию, которую мы ищем, и мы использовали такие амплитуды в предыдущих главах. Но оно неудобно для квазиклассических разложений тех величин, которые мы сейчас исследуем. Мы интересуемся туннельными эффектами на нижних энергетических уровнях (т. е. расщеплением основного состояния за счет туннелирования). Из гл. 6 очевидно, что соответствующее квазиклассическое приближение включало бы низкоэнергетиче-

ские классические орбиты. Но допустимых классических низко- энёргетических траекторий, связывающих g = 0 и g = 2л, не существует из-за наличия потенциального барьера между ними. В противоположность этому, евклидов интеграл по траекториям может быть разложен в окрестности решений евклидова уравнения движения (10.11). Это евклидово уравнение тождественно ньютонову уравнению для соответствующей задачи с потенциалом [——V (^) ] в действительном времени. В потенциале [——V (q)] точки g = 0 и g = 2л являются максимумами вместо минимумов, и низкоэнергетическое решение должно существовать. Это и есть инстантоны исходной задачи. Вот почему при изучении туннельных эффектов на низколежащих уровнях с помощью квазиклассического метода в игру вступает евклидов интеграл по траекториям и инстантоны.

Наше вычисление может быть названо «приближением разреженного инстантонного газа». Инстантоны, дающие вклад в (10.21), мы рассматривали как одномерный газ частиц и античастиц, распределенных вдоль оси т\ Суммирование по пь п2 в (10.19) очень похоже на суммирование в функции распределения очень разреженного газа частиц и античастиц в одном измерении при условии, что полное «число частиц» /ii ——п2 равно единице.

Важным предположением являлась разреженность инстантонного газа, т. е. что инстантоны и антиинстантоны, дающие вклад в (10.21), расположены далеко друг от друга. Решающим аргументом в пользу этого является, очевидно, прежде всего то, что инстантоны имеют конечные размеры. Для типичного периодического потенциала V (д) на рис. 18 с V" (0) 声 0 это справедливо. В некоторых полевых теориях, таких как двумерная абелева модель Хиггса, которая обсуждается в следующем^разделе, инстантоны снова имеют конечные размеры, так что при соответствующем обобщении может быть применен наш вывод. Но для теории Янга — Миллса в 4 измерениях, которая масштабноинвариантна, инстантоны имеют любые размеры. (Напомним произвольный масштабный параметр А】в янг-миллсовских инстантонах, полученных в гл. 4.) Поэтому для данной системы приближение разреженного инстантонного газа наталкивается на трудности, как мы увидим в разд. 10.5. Возвращаясь к нашей задаче о периодическом потенциале, следует убедиться в том, что именно разреженные конфигурации дают в пределе t — оо главный вклад в (10.21). Зависимость от п в инстантонном вкладе в (10.19) имеет вид (JK^s°/П)п/п\ и достигает максимума, когда n ^ JКте—$"М Соответствующая «плотность инстантонов» есть п/т = (JK^s吟. Для малых й это как раз соответствует малой плотности.

В выражении (10.22) второе слагаемое отражает эффект туннелирования. Вследствие множителя ехр (——S0/ft) это слага-

емое обнаруживает ожидаемую экспоненциальную зависимость от 1/й, а также от «высоты барьера». Напомним, что из уравнения (2.20), примененного к настоящему случаю, следует, что инстан- тонное решение ^кл (т‘) подчиняется условию

｝付Ю1)2= V @п),где 箱口 三 ^кл/^т\

Следовательно,.

8оо'2л2л

So = J (3 成n + 'di; = j (q^ dx = j ^кл dq= ^ У2V (q) dq. —oo—oo00

(10.25) Эта величина представляет собой высоту потенциального барьера между 0 и 2л. Такая зависимость амплитуды туннелирования от 2л

ехрехр为 V 2V dqо

ехр

ехр

находится в согласии с общепринятыми результатами, полученными обычным методом [224].

Мы отметили сходство между инстантонами в этой задаче и статическими солитонами соответствующей скалярной теории поля в (1 + 1) измерениях. Хорошо известно, что в системах в (1 + 1) измерениях при любой сколь угодно малой температуре дискретная симметрия восстанавливается за счет образования солитонов и антисолитонов («образования доменов»). Конкретный пример по статистической механике квантовополевой теории см. в работе [104]. Подобным же образом здесь инстантоны восстановили симметрию g — g + 2л («для любого, сколь угодно малого й»). В отсутствие туннелирования волновая функция основного состояния % была бы локализована в произвольной, но только одной потенциальной яме, нарушая симметрию % относительно д—д + 2л. Такое спонтанное нарушение симметрии в системе с только одной степенью свободы на самом деле произойти не может. Причина, конечно, в том, что обязательно будет иметь место туннелирование, представленное здесь инстантонными эффектами. В результирующей энергетической зоне (20.22) действительное основное состояние соответствует 0 = 0. Если подставить 6 = 0 в соответствующую волновую функцию (10.5), то последняя будет полностью симметричной относительно q — —g + 2л. Таким образом, инстантоны восстановили симметрию основного состояния.

Сопоставьте задачу о периодическом потенциале (ЗПП), которую мы только что рассмотрели, с тесно связанной с ней задачей, когда частица расположена на единичной окружности,

задаваемой 0 w g « 2л, но с тем же лагранжианом L = '1/* —— —V(7). Частица на окружности (ЧНО) имеет такое же классическое уравнение движения и такое же дифференциальное уравнение Шредингера, что и ЗПП. Но квантованные уровни энергии различаются. Это обусловлено тем, что координатное пространство вместо всей действительной прямой состоит лишь из окружности О « g « 2л и соответственно отличаются граничные условия.

В случае ЧНО точки g = 0 и g = 2л физически тождественны. Естественное граничное условие, которое можно было бы предположить, состоит в том, что все волновые функции должны удовлетворять условию ф (2л) = В (0). В частности, это сводится к выбору в качестве энергетических собственных функций только тех блоховских волн из набора (10.5), для которых 0 = 0. Каждой зоне уровней в ЗПП должен соответствовать только один уровень (составляющая с 0 = 0) в случае ЧНО. Например, основное состояние ЧНО есть составляющая с 6 = Q из набора (10.22) с энергией

Ео。g — ％ (2JKe-s吗. (10.26)

Этот результат может быть также получен с использованием с самого начала инстантонов. Поскольку классическое уравнение для ЗПП и ЧНО одно и то же, в обоих случаях имеют место одни и те же инстантонные решения. (В случае ЧНО многоинстантонные решения должны пониматься в том смысле, что частица несколько раз обходит окружность, пока т' меняется от ——оо до +оо.) Мы можем повторить такое же вычисление инстантон- ного газа, как для ЗПП, с единственной разницей, что наложенное в (10.19) условие 孔工一孔？ = 1 может быть опущено. Любое решение с П1 инстантонами и п2 антиинстантонами, начинающееся в g = 0, возвратится в g = (% — п2) 2л, т. е. в ту же физическую точку для всех /ii и п2. Таким образом, если мы опустим множитель 6П1_П2,1 в (10.19), то экспоненциальные последовательности будут уже независимы без обращения к (10.20). Результат, очевидно, имеет вид

lim〈g = 2л I е~н工怵 | g = 0〉= (о)/лй)1/2 ехр (—х!^х + e-s。/龙2丿人工).

(10.27)

Следовательно, воспроизведен энергетический уровень £0 (10.26). Вычисления, основанные на инстантонах, важны и при изучении туннелирования. Может показаться странным говорить для ЧНО о туннелировании из физической точки g = 0 в нее же. Но понятие туннелирования имеет смысл даже для ЧНО. В функциональном интеграле для амплитуды перехода из g = 0 в ту же физическую точку имеются аддитивные вклады от классов путей,

которые обходят окружность нуль раз, один раз, два раза и т. д. Например, за путь, который обходит окружность один раз, частица при переходе из 0 в 2л пересекает потенциальный барьер один раз. При кратных обходах она пересекает барьер несколько раз. Разумеется; соответствующие вклады в амплитуду перехода могут рассматриваться как туннельные эффекты.

Для основного состояния в случае ЧНО выражение (10.26) дает составляющую с 0 = 0 из энергетической зоны в ЗПП. Существует модификация, при которой, не меняя никоим образом классическую физику ЧНО, мы можем изменить ее квантовую энергию основного состояния так, чтобы привести ее в соответствие с любой составляющей зоны ЗПП с 0 ^： 0. Изменим лагранжиан ЧНО на

厶("黑)(备У_v(q)一备黑，(i°-28)

где 0 — действительная константа. Дополнительное слагаемое, добавленное в (10.28), есть полная производная по времени. Она не изменяет классические уравнения Лагранжа — Эйлера. Но квантовые уровни изменяются, что можно предвидеть из замены канонического момента р = на р = 0 — 0/2л. При различном выборе 0 в (10.28) получаются различные квантовые теории, но каждая может рассматриваться как совершенно равноправная квантовая версия исходной классической системы ЧНО. Как же дополнительное слагаемое в (10.28) изменяет наше инстан- тонное вычисление для ЧНО? Классические инстантонные решения остаются прежними, но евклидово действие для отдельного инстантона заменяется на '

ОО . 2"

Se= J [4■(备)2+V(q)+煤祭]“T‘ = So + ^J dq=So +，e. —oo 0

(10.29)

Так как антиинстантон движется вспять (д изменяется от 2л до 0), его действие заменяется на So —— 10. Легко усмотреть результирующую перемену в алгебре и убедиться, что выражение (10.26) будет теперь заменено на

её =等龙s — 2//(龙e-s。偿 Cos0.

Это выражение выглядит тождественным результату (10.22) для ЗПП, но если в ЗПП все значения 0 являются значимыми, образуя энергетическую зону, в случае ЧНО существует только одно значение 0 для данной теории. Это значение параметра 0 в лаг-

ранжиане (10.28). Вместо целой зоны в ЗПП в случае ЧНО будет только один уровень, хотя мы и можем изменять этот уровень, варьируя параметр 0. Эта редукция числа уровней от зоны в ЗПП к изолированному уровню в случае ЧНО находится в согласии с тем обстоятельством, что первая имеет в бесконечное число раз большее конфигурационное пространство.

Очевидно, что уровень £0 в случае ЧНО соответствует определенной блоховской функции % с тем же значением 0. Эта функция подчиняется условию 先(2л) = е'°% (0), т. е. граничное условие является лишь квазипериодическим (см. [40, 235, 236]). Может показаться странным, что хотя точки 0 и 2л представляют собой одну и ту же физическую точку, тем не менее 强(2л)， =/= ^е (0). Однако, как отметили Роте и Свиека [295, 296 ], вполне возможно построить согласованную квантовую теорию для ЧНО лишь с квази пер иодическим граничным условием. Физическая тождественность g = 0 и g = 2л находит отражение в том факте, что матричные элементы физических операторов для % (2л) и % (0) одни и те же. Фазовый множитель d。в матричном элементе сокращается.

Мы столь подробно разобрали эти свойства ЧНО и отличия последней от ЗПП потому, ч^о аналогичное сравнение возникает при изучении топологических вакуумов в калибровочных теориях [40, 342 ]. Хотя явление вакуумного туннелирования в калибровочных теориях и имеет некоторое сходство с ЗПП, по духу оно ближе как раз ЧНО. Этот вопрос обсуждается в последующих разделах.

В ЗПП туннелирование возвращает основному квантовому состоянию дискретную симметрию гамильтониана относительно д—д + 2л, хотя и нарушенную индивидуальными «классическими вакуумами» в g = 2Nn. В формализме функционального интеграла это происходит посредством инстантонов. Можно задать вопрос, что препятствует такому явлению в полевых теориях, в которых известно, что некоторая дискретная симметрия спонтанно нарушается вакуумным состоянием. Рассмотрим, например, хорошо знакомую (1 + 1)-мерную модель СГ. Ее потенциал U (В) = 1 ——cos 力 имеет такие же свойства, как и потенциал ЗПП на рис. 18. Чтобы исследовать, имеет ли место в этой модели туннелирование между соседними минимумами, предположим, что мы вычисляем амплитуду 〈屮(х) — 2л | 歹斤工 I 力(％)：=0〉 путем обобщения квазиклассического метода этого раздела на теорию поля. Мы использовали бы теоретико-полевой евклидов функциональный интеграл с евклидовым действием

Se = j ^х (工 ％ (电В)(电В) + 1 — cos 中

где 卩 = 1,2 соответствует евклидову пространству-времени (打 = =%, %2 = i/)・ В квазиклассическом методе мы разложили бы поля в окрестности решения евклидова полевого уравнения

V? В = sin В， где V2 =判诚 + 浸/0% (10.30)

В соответствии с замечанием в гл. 4, это евклидово полевое уравнение является статическим полевым уравнением той же модели, но в (2 + 1) измерениях. Инстантонами с конечным действием этого евклидова уравнения (10.30) были бы как раз статические решения с конечной энергией модели в (2 + 1) измерениях. Но теорема вириала Деррика — Хобарта (разд. 3.2) запрещает статические солитоны конечной энергии для этой модели в двух пространственных измерениях. Поэтому уравнение (10.30) не имеет инстантонов с конечным действием. Инстантоны с бесконечным дейетвием уравнения (10.30) должны существовать, но, как отмечалось выше, решение с бесконечным действием не дает вклада в квазиклассическую туннельную амплитуду. Короче говоря, мы видим, что по крайней мере в квазиклассическом приближении в системах, подобных модели СГ в (1 + 1) измерениях, туннелирование между классическими минимумами не имеет места, поскольку отсутствуют инстантоны с конечным действием. То же замечание справедливо для кинковой системы, обсуждавшейся в гл. 5, где U (В) = 1/4厶(У —— I)2. В этих системах в окрестности каждого потенциального минимума может быть построен свой отдельный вакуум, который не туннелирует в другой. Симметрия спонтанно нарушается.

Чтобы получить ненулевые туннельные эффекты в полевой теории с помощью квазиклассических методов, мы должны найти модели, которые допускают инстантоны с конечным действием. В последующих разделах мы рассмотрим некоторые калибровочные теории, обладающие этим свойством.

Топологические вакуумы в абелевой модели Хиггса

Обобщим теперь намеченный в общих чертах в предыдущем разделе метод на калибровочную полевую теорию. Рассмотрим так называемую абелеву модель Хиггса. Эта система состоит из электромагнитного поля {从(х, /), взаимодействующего с комплексным скалярным полем 力(х, /). Лагранжиан системы имеет вид

①(X, /) = — }%尸 v + }(4 问* (D”)_ 3 厶(I 舛—門2,

(10.31) где 尸尸 三d^Av — 以力从，。从力三(伞 —teA/a，a尸一действительная постоянная. Мы уже обсуждали свойства этой системы

на классическом уровне в разд. 3.5 и 4.4. Теперь мы рассмотрим квантовый вариант этой теории [64, 67, 89].

Хорошо известно, что, согласно теории возмущений, в этой системе должно проявляться знаменитое явление Хиггса [121, 178, 186, 187 ]. В этом явлении происходит спонтанное нарушение симметрии U (1) лагранжиана, но вместо соответствующего голд- стоуновского бозона векторное поле приобретает массу и продольную степень свободы в отличие от обычного фотонного поля, которое было бы безмассовым и чисто поперечным. Такое поведение ожидается в силу следующего аргумента. В теории возмущений благодаря последнему члену в (10.31) следует ожидать, что 力 приобретет нарушающее симметрию ненулевое вакуумное среднее

〈外 BHK = F"a，(10.32)

где постоянный фазовый угол а может принимать любое значение. Обычно выбирают тот сектор состояний, где 〈夕〉=F действительно. Запишем 力 в полярных координатах

6(х, Z) = p(x; t)e^^^\(10.33)

Так как в рамках теории возмущений мы работаем с полями, близкими к ф (х, /) = 尸 三 0, такие полярные координаты являются хорошо определенными. Напомним, что лагранжиан инвариантен относительно U (1)-калибровочных преобразований вида

6(х, /)->еМ(х")в(х, 9, 4(х, /)->Лц(х, /)+(1/е)0从А(х, /).

(10.34)

Мы выбираем А противоположным по знаку и равным по модулю фазовому углу 0 в (10.33), т. е. поля преобразуются в

В(х, /) -> р (х, /) = gie(X，” (х, /),

& (х, f)f 4[(х, /) = & —(1/е)%е,(1°・35)

В результате мы сделали поле 今 действительным всюду. Заметим, что 尸[v 三。从｛；——д^А^ = ^tv Так как лагранжиан калибровочно-инвариантен, в терминах р и Лц он принимает вид

2 = — y 尸ц*尸 ^v + у (дц — 1^ЛЦ) р (дц + ieA “) Р — ｝入(р‘ 一 尸‘尸

Поскольку (р)вэк = (I ф |)вак =尸，мы разлагаем р (х, /)=尸 + + Л (х, 0; d11P = д^. Тогда

2 =^•尸g尸"" + £_锦叫(尹刀)+ ｝/尸/цЛ " -

一厶严^ +3/4^小q口尸+m一-^厶紡+纵丁尸).(10.36)

Когда лагранжиан записан в такой форме, то можно сказать, что система состоит из векторного поля массы eF и действительного скалярного поля массы /2厶尸？. Пропавшая компонента комплексного скалярного поля «съедена» векторным полем с приобретением массы и, следовательно, продольной компоненты вдобавок к двум поперечным компонентам.

Этот качественный аргумент воспроизводит общепринятое представление, что система (10.31) обнаруживает явление Хиггса. В (3 + 1) измерениях мы не знаем ни одного повода для сомнений в этом заключении. Однако в (1 + 1) измерениях, где гомотопические соображения другие, мы увидим, что на самом деле явление Хиггса отсутствует. На каком же этапе оказывается неверным приведенное выше доказательство? По-видимому, оно явно не зависит от пространственной размерности. Беда состоит в том, что оно основано на теории возмущений в окрестности 力=尸 и Лц = 0, в то время как непертурбативные механизмы посредством инстантонных эффектов изменяют вывод в случае (1 + 1) измерений. Этот и следующий разделы мы посвящаем демонстрации этого. В частности, мы обсудим структуру вакуума и найдем, что она совершенно отлична от хиггсовского вакуума, сосредоточенного вокруг /1从=0 и 今=Е Несмотря на сложность этой модели по сравнению с задачей о периодическом потенциале (ЗПП) разд. 10.1, сама физика и наше изложение ее весьма схожи в обоих случаях. (На самом деле аналогия с частицей на окружности (ЧНО) еще ближе, но для простоты мы начинаем с проведения параллелей с ЗПП.)

Напомним, что в ЗПП энергия имеет минимумы на конфигурациях q (/) = 2Nn. В отсутствие туннелирования можно было бы построить вырожденное семейство основных состояний, каждое из которых локализовано в окрестности одного из этих минимумов. Но туннелирование имеет место, и оно расщепляет эти вырожденные уровни в зону. Мы вычислили структуру этой энергетической зоны, используя евклидову амплитуду для перехода из одного минимума в другой. Эта амплитуда была вычислена с использованием инстантонов в квазиклассическом приближении к евклидову интегралу по траекториям. Теперь мы будем следовать той же процедуре при соответствующем обобщении для двумерной абелевой модели Хиггса, исходя из первоначального лагранжиана (10.31).

Первый шаг состоит в идентификации конфигураций с минимальной энергией («классических вакуумов») этой системы, чтобы вокруг них можно было построить подходящее вакуумное состояние, Ясно (см. разд. 3.5), что эта система имеет минимальную (нулевую) энергию тогда и только тогда, когда

§(x) = Fdagt* 46(% /) = 0 = 61yа，/), (10.37а)

что выполняется при

4 (% 0 = (1/i绅)电力=(1 他)(e-円备 G円.(10.376)

Таким образом, мы имеем континуум классических минимумов, каждый из которых характеризуется заданием функции eia (х- ^. Обычное вакуумное среднее теории возмущений 〈力(х, /)〉= = 尸，(Лц) = 0 принадлежит этому множеству, но это справедливо и для других конфигураций, полученных из них калибровочным преобразованием (10.34). Конфигурации в (10.37) мы можем назвать «чистыми калибровками». Уже можно видеть, каким образом могут потерпеть неудачу предсказания теории возмущений (включая возникновение явления Хиггса). В этом подходе вакуум строится вокруг только одного из классических вакуумов из множества (10.37), обычно вокруг 力(居 f)= 尸，力从 = 0- Это аналогично построению основного состояния в ЗПП вокруг одного только минимума g = 0, в то время как правильное основное состояние на самом деле размазано в волновые пакеты вокруг всех минимумов. Подобным образом мы найдем, что здесь правильное вакуумное состояние производит выборку из всех классических вакуумов. Но анализ следует проводить очень осторожно, поскольку за счет калибровочной инвариантности множество конфигураций (10.37) несколько переполнено. Разберем же этот вопрос.

Прежде всего мы замечаем, что классические вакуумы в (10.37) включают как статические, так и зависящие от времени конфигурации, в отличие от хорошо знакомых примеров из механики частицы (гармонический осциллятор, ЗПП и т. д.), где лагранжиан имеет вид L = ^^2 ——V (g) и, следовательно, энергия минимизируется только статическими решениями. Но зависимость от времени в (10.37) ложная и полностью определяется зависящей от времени калибровочной свободой, содержащейся в (10.34). Она может быть устранена частичным фиксированием калибровки Ло (х, /) = 0. В дальнейшем мы будем работать в этой калибровке. Совокупность классических вакуумов в (10.37) в калибровке Ло = 0 сводится к не зависящему от времени набору

- ф (х) — Feia ⑴,

4⑴=/ (e-ia ⑴)^ 修⑴)=；•^".(10.38)

(Напомним, что в (1 + 1) измерениях при Ло = 0 остается только 6дна составляющая, а именно Ах.) Равенство (10.38) задает полный набор вырожденных статических конфигураций, которые минимизируют классическую энергию. Если бы не было больше калибровочной свободы, мы могли бы сказать, что набор (10.38)

11 Раджараман Р.

есть аналог набора координат q = 2Nn в ЗПП. Однако выбор #0 = 0 не исчерпывает всю калибровочную свободу; остаются допустимыми не зависящие от времени калибровочные преобразования. Нам следует изучить точное содержание калибровочной инвариантности относительно таких преобразований в контексте квантовой теории поля. В канонической гамильтоновой процедуре в присутствии связей эта свобода, обусловленная не зависящими от времени калибровочными преобразованиями, может быть прослежена до закона Гаусса

/ (灯=Div Е (х) — /о (х) = dEx/dx — g ie (ф*О0ф —力(О#)*) = 0.

(10.39)

Напомним, что это уравнение является одним из уравнений Лагранжа—Эйлера, возникающих из лагранжиана (10.31). Но оно не содержит производных по времени от электромагнитного поля и является не настоящим уравнением движения, а уравнением связи. В квантовой теории оно не может рассматриваться как операторное уравнение, поскольку оно противоречит каноническим перестановочным правилам. Эта трудность хорошо известна (см., например, [50]). Одновременно правила коммутации дают

[Ех (%1), Ах (%2)]/=0=== ^S (%1 —д*2),[力‘厶R】t=o [D()6 #iih=o

Следовательно,

[/ 8), aх (*2)]仁0 = i ("0修)[6 (折-啕]声 0(10.40)

и / (%i) как оператор не может обращаться в нуль. Поэтому закон Гаусса накладывают на «физические» состояния как связь. «Физические» состояния определяются как подмножество состояний, удовлетворяющих условию

/(х)|“ = 0・(Ю.41)

Далее рассмотрим оператор

〃 = ехр (』j A(x)/(x)dx),(10.42)

где Л (%) —— произвольная с-числовая функция. Тогда

иА|д〉фнз = |У〉фнз.(10.43)

Предположим теперь, что мы ограничимся подмножеством функций, обозначаемых Л (х), которые удовлетворяют условию Л (%)-> -> 0 при х -> 士8. Тогда U- может быть записано в виде UR = ехр(3 j dx [(О比 * - ^4е @*D 冲一力(。冲)*))入(x)])=

00~

=exp ' j [(一反)(導)_(询*)(等)+ (出)(争)*]*= = exp i J [网(卓)+ %*(—僻*)+ % (询)]d", (10.44) где в первом слагаемом проведено интегрирование по частям с использованием условия 入(士8)= 0 н

网三 5L/5®4) = —Ex,

/* 三 6L/6仅#)=$/(0冲)，n0 = ；(4e)*.(10.45)

Поскольку л —— канонические импульсы, которые заменяют сопряженные поля, мы видим, что Ur является как раз тем оператором, который осуществляет не зависящие от времени калибров вочные преобразования, в квантовом контексте соответствующие 力->«е臥(％力* т*е-次(％ Лх ->ЛХ + (1/е)(9ХЛ. (10.46)

Таким образом, уравнение (10.43) показывает, что физические состояния должны быть инвариантны относительно таких преобразований. Едва ли это незнакомый результат, но при таком его выводе мы соблюдаем важное ограничение Л (±8)= 0. Конечно, калибровочные преобразования существуют и для произвольных Л (х), не удовлетворяющих условию Л (±оо) = 0, и они оставляют инвариантными лагранжиан и гамильтониан. Но закон Гаусса не обязательно требует инвариантности относительно него всех волновых функционалов. Для редуцированного подмножества функций Л (х) калибровочные преобразования могут быть названы «малыми калибровочными преобразованиями». Это название не означает, что Л (%) всюду мало, а лишь означает, что Л (士8)= 0. Калибровочные преобразования, которые не являются «малыми», будут называться «большими». Собственные Состояния полевых операторов |小(％); Ах (х)) не являются физическими состояниями, поскольку они не инвариантны относительно 。彳，которое преобразует их в

I е%； 4 + (1/^) (dA/dx)).

Но, начав с | ф, 4〉，можно построить калибровочно-инвариантное физическое состояние, строя суперпозицию из всех состояний, связанных малыми калибровочными преобразованиями:

I 外 4〉фнз 三[纱伍(х)] UN I 外 4〉， (10.47)

где интеграл берется по всем Л (х), таким, что Л (±8)= 0. Состояние I 力,Лх)фИЗ не является уже собственным состоянием поля, но оно является максимально приближенным к последнему объектом, который мы можем построить в физическом подпространстве состояний. Другими словами, все это означает, что совокупность всех полевых конфигураций {«, Ах\ распадается на классы эквивалентности, и внутри каждого класса элементы связаны друг с другом малыми калибровочными преобразованиями Л (%). В результате ограничений за счет закона Гаусса координатами системы являются только сами классы, а не индивидуальные конфигурации, Для каждого класса мы имеем физическое квазиполе- вое собственное состояние | ф, Лх)фад, определенное в (10.47). Напомним, что все это обсуждение производится при условии 4=0.

Используя эти принципы, сравним нашу калибровочную полевую теорию с ЗПП. Каждый класс эквивалентности полевых конфигураций (эквивалентных только относительно малых калибровочных преобразований) играет роль координаты положения q в ЗПП. В частйости, для заданных в (10.38) конфигураций с нулевой энергией каждый класс эквивалентности таких конфигураций имеет аналогом одну из точек q = 2^ в ЗПП. Таким образом, необходимо идентифицировать различные классы эквивалентности, содержащиеся в множестве (10.38). Сейчас мы увидим, что классификация эквивалентности в множестве (10.38) оказывается той же, что и его гомотопическая классификация. Заметим, что для каждой функции 屡竄(％) в силу (10.38) имеется свой потенциал Ах. Для начала мы не наложили ограничений на граничные значения а (х). Но вскоре мы увидим, что если мы начнем с конфигурации а (х) = 0, то могут иметь место только квантовые переходы к таким вакуумным конфигурациям, которые удовлетворяют условию eia (±0о) = 1. Для удобства изложения мы предвосхитим этот результат и ограничим 废竄 ⑴ условием 级&(±8)= 1. Условие * з)=終竄(-8)компактифицирует область изменения аргумента ——оо < х < оо, делая ее эквивалентной окружности Si. Поэтому все такие функции 废竄(*) образуют отображения Si в группу U (1). Такие отображения, как мы знаем из гл. 3, могут быть разбиты на гомотопические секторы, характеризуемые «числом оборотов» М задаваемым выражением

N = j 备拄=負[а(8)—а (—8)]. (10.48)

(Заметим, что в течение всего нашего обсуждения абелевых и неабелевых калибровочных теорий глобальные калибровочные преобразования (называемые иногда калибровочными преобразованиями «первого рода») рассматриваются отдельно от зависящих от пространства-времени локальных преобразований на том основании, что первые являются истинными симметриями, приводящими к сохраняющимся нётеровским зарядам. Напомним, что то же положение принято в разд. 4.3 при подсчете инстантонных степеней свободы. Аналогично подразумевается, что настоящий анализ применяется после выделения глобальной калибровочной группы. Иными словами, мы можем положить а (% = —оо)工 О для всех наших конфигураций. Но условие "竄(％=+°°) = 1 по-прежнему допускает а (оо) = 2^л, где ^ ——в точности гомотопический индекс в (10.48).

Более того, используя (10.38) и (10.46), для любого малого калибровочного преобразования Л (%) получаем

а (%) f о/ (%) = а (%) + X (%), (10.49) так что

а'(±8)= а (士8)+ А (± 8)= а (±оо) и Nr — N. (10.50)

Таким образом, под действием малых калибровочных преобразований классические вакуумы остаются в том же гомотопическом секторе. Обратно, все члены данного гомотопического класса могут быть связаны малым калибровочным преобразованием. Поэтому классификация классических вакуумов (10.38), основанная на «малой» калибровочной эквивалентности, становится такой же, как описанная выше гомотопическая классификация. Каждый класс характеризуется своим «числом оборотов» ^ и играет ту же роль, что и один из минимумов потенциала (q = 2л^) в ЗПП.

При подходящем обобщении остающиеся шаги весьма похожи на аналогичные шаги в ЗПП. Вокруг каждого гомотопического класса ^ классических вакуумов мы можем построить пертурбативное вакуумное состояние, т. е. теоретико-полевой волновой функционал с минимальной энергией. Назовем эти состояния | ^). На них иногда ссылаются как на «топологические вакуумы», так как их выделили с помощью топологических соображений. Они являются теоретико-полевыми аналогами состояний волновых пакетов 〃()(q —— 2^) в ЗПП (см. (10.4)). Вакуум теории возмущений, построенный вокруг 力(％)= 尸，Ли (%) = 0 (т. е. а (%)工 0, N = 0), есть как раз состояние 17V = 0〉. Суть в том, что подобный топологический вакуум с той же энергией может быть построен в каждом гомотопическом секторе М Еще более важно, как мы покажем ниже, что между ними имеет место туннелирование. В результате ни один из этих топологических вакуумов | ^) не

является настоящим вакуумом. Истинные низкоэнергетические состояния в главном порядке являются линейными комбинациями этих пертурбативных топологических вакуумов, и вырождение по энергии разрушается.

Вакуумное туннелирование в абелевой модели Хиггса

Продемонстрируем теперь, что туннелирование между классическими вакуумами, п ри надлежащими различным гомотопическим секторам, действительно имеет место в двумерной абелевой модели Хиггса. Мы осуществим это, вычисляя еще раз евклидову амплитуду перехода, связывающую два таких вакуума, которая, как отмечалось в гл. 6, может быть записана в виде евклидова функционального интеграла. При этом мы получим также спектр энергии правильных вакуумов этой теории.

Если бы не было усложнений, обусловленных калибровочной инвариантностью, мы записали бы евклидов функциональный интеграл, задающий евклидову амплитуду перехода для этой модели, йа основе принципов, намеченных в общих чертах в гл. 6. Мы имели бы

G «)三 J 勿［«(х, т')］勿［«* (х,砂砂乩(х, т')］ ехр(—Se ［外 ^, Л J)

(10.51)

где й = 1 и евклидово действие есть

00Т/2

Se【B，в*, ли］= j 此 j dx2 ［｝尸“尸▽ +

—ОО—т/2

+ 4-(%«)*(°闹 + 扌 ％(W 户一严)2卜(10.52)

Здесь % 三％, %2 三 Y — евклидово «время», a pi, v принимают значения от 1 до 2. Так как мы интересуемся вакуумным состоянием, то, как и в ЗПП, примем предел т; f оо. Из-за переполненности г), обусловленной калибровочной инвариантностью, этот функциональный интеграл должен быть модифицирован. В предыдущем разделе мы изучали результат действия калибровочной эквивалентности на языке теоретико-полевых волновых функционалов 14r (ф, Ли)) в шредингеровском представлении. Теперь мы для ясности представим соответствующее рассуждение с использованием функционального интеграла. Начнем с полной

Термин «переполненность» применяется здесь автором в том смысле, что в формальной функциональной мере интегрирования ⑥［＜/＞］虫［Ф* ］虫 ［Лц,］ в (10.51) есть лишние переменные интегрирования, обусловленные калибровочной инвариантностью, которые исчезают при наложении калибровки.— Прим, перев.

калибровочной свободы относительно преобразований (10.34) без какого бы то ни было фиксирования калибровки. Соответственно классические конфигурации нулевой энергии являются полным набором зависящих от пространства-времени «чистых калибровок», заданных в (10.37). Рассмотрим возможные граничные условия на поля в интеграле (10.51). Так как мы интересуемся переходами из одного классического вакуума в другой, начальные и конечные конфигурации (при т/ = ±т/2, т f оо) должны быть взяты в чисто калибровочной форме (10.37). Это аналогично условию в ЗПП, согласно которому все траектории идут из одного минимума потенциала в другой. В дополнение к этому в теоретикополевом интеграле по траекториям должны быть также специально оговорены граничные условия при %f ±оо. Согласно нашему предписанию в гл. 6, мы будем требовать, чтобы все поля в (10.51) стремились к конфигурациям с нулевой энергией (чистым калибровкам) при %f 士8. Поэтому поля в (10.51) должны стремиться к чисто калибровочному виду по всему периметру евклидова пространства-времени. В двух измерениях этот периметр топологически эквивалентен окружности и может быть параметризован некоторым углом 0. Граничное условие теперь есть граничное условие на периметре пространства-времени:

,(х, i/)f 尸④竄⑼ и А^ ~> (1/Ze) ^0)^ (е№ <0)). (10.53)

Каждый набор граничных условий на окружности эквивалентен определению функции вида *(е). Как и прежде, такие функции могут быть разбиты на гомотопические классы, характеризуемые «числом оборотов» (см, (3.96) и (3.99))

Q = *J薔就=备内.或=备) %"%. (10.54) 0 Si

Заметим, что

Эту гомотопическую классификацию и связанное с ней число Q нельзя путать с гомотопической классификацией и связанным с ней числом ^ (10.48) в разд. 10.2. Обе включают отображения некоторой окружности на группу U (1). Но здесь окружность есть граница евклидова пространства-времени в двух измерениях, и eia (0) задает граничное условие на поля через их поведение во времени. В разд. 10.2 мы обсуждали не зависящие от времени чистые калибровки как функции только пространства, компактифицированного в окружность. Поэтому Q и N различны, но, как мы увидим, они могут быть связаны друг с другом в специальной калибровке.

Число ^ в (10.48) определено после того, как калибровка была частично фиксирована. Напомним, что в разд. 10.2 мы положили Aq = 0 и "竄(%)^ 1 при х + ±8. Поэтому N имеет за-

висящее от калибровки определение. В настоящем обсуждении до сих пор калибровочного условия нет, н само Q является калибровочно-инвариантным, как следует из последнего выражения в (10.54), в которое входит 尸内.

Гомотопический индекс Q и связанное с ним граничное условие (10.53) мы встретили в гл. 4 для той же модели. Там это условие возникало из требования конечности действия евклидовых решений. Здесь мы не требуем, чтобы bqb конфигурации поля, по которым производится интегрирование в (10.51), имели конечное действие: в действительности правильно обратное утверждение. Можно показать [89 ], что такие функциональные интегралы берутся преимущественно по полям с бесконечным действием. В настоящем обсуждении мы пришли к тому же граничному условию не из конечного действия, а из общих требований, накладываемых на поля на пространственно-временной границе в любом функциональном интеграле типа вакуум — вакуум. Однако, поскольку наши граничные условия такие же, как в гл. 4, они совместны с конечностью действия. Поэтому множество допустимых полей также содержит классические инстантоны системы с конечным действием.

Вначале мы имеем один функциональный интеграл типа вакуум ——вакуум для любого данного граничного условия, которое в свою очередь задается функцией eia (0), принадлежащей некоторому гомотопическому сектору Q. По всем полям, удовлетворяющим этому граничному условию, должно производиться интегрирование. По-видимому, имеется континуум таких функциональных интегралов, свой для каждой функции eia (0). Но это утверждение требует проверки в случае калибровочной инвариантности.

Рассмотрим любое произвольное калибровочное преобразование из полного набора (10.34). Формально эти преобразования имеют силу также в евклидовой метрике при замене / на т\ Пусть калибровочная функция Л (х, т') имеет граничное условие

lim Л (х, V)三 Л(0), (10.55)

где (г, 0)——полярные координаты в плоскости (х, т'). Ясно, что под действием этого преобразования

а (0) + а' (8) = а (8) + А (0). (10.56)

Поэтому в общем случае граничная функция изменяется под действием калибровочного преобразования, и мы имеем другой функциональный интеграл. Но новый функциональный интеграл имеет то же значение, что и старый. Так как действие (10.52) и мера (не выписанная здесь в деталях) выбираются калибровочноинвариантным образом, интеграл имеет то же значение. Кроме

того, хотя а (0) заменено на d (0), гомотопический индекс Q, являясь калибровочно-инвариантным, не меняется. Это ясно из выражения (10.54). (Л(0) как граничное значение калибровочного преобразования в пространстве-времени также принадлежит сектору Q = 0. Доказательство по существу то же, которое было использовано в гл. 4 для системы Янга ——Миллса. Отсюда следует, что а (0) и а' (0) принадлежат одному и тому же сектору Q.) Обратно, любые два элемента а (0) и Н (0), принадлежащие одному сектору Q, могут быть связаны калибровочным преобразованием при выборе Л (0) = а' (8) — а (0).

Мы видим, что все функциональные интегралы, граничные функции которых попадают в один и тот же гомотопический сектор Q, имеют совпадающие значения, связаны друг с другом калибровочными преобразованиями и, следовательно, калибровочно-эквивалентны. Таким образом, вследствие калибровочной эквивалентности континуум таких интегралов сводится к дискретной бесконечности обособленных классов, по одному для каждого целого Q. Интегралы, принадлежащие различным секторам Q, не связаны калибровочным преобразованием и в общем случае различны. Отметим аналогию с ЗПП. Там соответствующие амплитуды, связывающие любые два потенциальных минимума, равны 〈(方 + Q) 2л I егНх I 2лN). Эта амплитуда не зависит от ^, т. е. от начальных или конечных конфигураций, а зависит только от Q, т. е. от разности граничных значений. Такую же роль в нашей калибровочной теории играет гомотопический индекс Q. (Чтобы усилить аналогию, ниже мы покажем, что в калибровке 』о = 0 Q можно записать как разность между конечным и начальным вкладами.)

Короче говоря, для каждого Q мы имеем отдельную амплитуду, которая может быть вычислена с использованием любой граничной функции 或竄伟)，принадлежащей данному сектору Q. Конечно, даже после выбора определенной функции 卅⑼ все еще остается некоторая калибровочная свобода. Рассмотрим те калибровочные преобразования, для которых функции А (%, т') на бесконечности обращаются в нуль, т. е. когда Л (0) = 0. Тогда при учете (10.56) граничная функция 标竄伟)не изменяется. Следовательно, множество полей, по которым производится интегрирование, остается тем же. Такие калибровочные преобразования просто переставляют связанные калибровочными преобразованиями полевые конфигурации, каждая из которых дает один и тот же вклад ехр (——SE [力，^^ ])• Хорошо известно, что желательно устранить этот избыток за счет прибавления члена, фиксирующего калибровку. Этот аспект детально обсуждался еще в литературе по доинстантонной калибровочной теории (см., например, [85 ]), и нет необходимости детально рассматривать его здесь. Наиболее популярным выбором способа фиксирования

калибровки является добавление к действию фиксирующего калибровку члена

S$K= —｝］效(电 4)2.(10.57)

Это калибровка Фейнмана; она устраняет остающуюся свободу. Имея.это в виду, функциональный интеграл (10.51) в любом данном секторе Q следует привести к виду

［G (t)］q = J 侬［何砂附］0么内隔(0)exp ［一(Se + 5фК)］,(10.58)

где все поля удовлетворяют граничному условию вида (10.53), характеризуемому произвольной функцией aQ (0), принадлежащей гомотопическому классу Q. Мы можем выбрать любую подходящую ccq (0); это эквивалентно тому, что мы работаем в той калибровке, которая нам удобна. Чтобы согласовать наше обсуждё- ние с разд. 10.2, мы можем предпочесть работать с Ло (х, т') = 0. Выберем границу пространства-времени в виде прямоугольника ABCD (рис. 20, а). Она топологически эквивалентна окружности, и все наши доводы имеют силу. Индекс Q (10.54) есть не что иное, как криволинейный интеграл

Q = Wg.dl,

который берется в направлении обхода этого прямоугольника по часовой стрелке. Поскольку AQ = 0, стороны AD и ВС не дают вкладов в Q. Следовательно,

Q = N* — N^(10.59)

где

必-,-^dx-4rljx^\^(1°・6。)

при использовании (10.53) на АВ и CD Поэтому, как говорилось выше, в калибровке Ло = 0 Q равно разности между вкладами при т' = ±оо. Выбор /о = О допускает только статические калибровочные преобразования. Мы используем эту не зависящую от времени калибровочную свободу, чтобы Ах (вместе с Ло) обращались в нуль при т' = —оо. Поэтому а (х, —оо) = 0 на линии АВ. Вся калибровочная свобода исчерпана, и теперь

Q = % =击"М 黑%(10.61)

Так как Ло (х, т;') — 0, на AD и ВС имеем

0 = ieA0 (±оо, t') = е~1а (±ос, т，) (д/дх^е^ (土°°，于).

Отсюда на С и D должны быть ее же значения е'00, что и на В и Л соответственно. На линии АВ е1^ (х) = 1. Следовательно, ®*°% = =("а)с к 1. Поэтому в калибровке Ло — 0 амплитуда перехода связывает начальную конфигурацию а (居 一8)= 0 только с теми конечными конфигурациями (при т' = +оо), которые

6

Рис. 20. а ——прямоугольник A BCD, изображающий границу двумерного евклидова пространства-времени; б ——гиперцилиндр, изображающий границу четырехмерного евклидова пространства-времени; он используетдя при обсуждении системы Янга ——Миллса; плоские поверхности наверху и внизу цилиндра сопоставляются всему трехмерному х-пространству при т/ = ±оо соответственно; боковая цилиндрическая поверхность соответствует всем временам т/ на пространственной бесконечности х оо.

удовлетворяют условию е必⑴—1 при х = 土8. Напомним, что в разд. 10.2 мы использовали этот факт как заданный с обещанием привести доказательство ниже. В этой калибровке выражение (10.61) показывает, что Q = N+, где ^+ есть гомотопический индекс М определенный в разд. 10.2 (см. (10.48)), примененный к конечной конфигурации при т/ = 8. Поэтому функциональный интеграл может интерпретироваться как определяющий евклидову

квантовую амплитуду перехода (туннелирования) из конфигурации 4 = ° (которая принадлежит сектору N = 0) при т/ = —оо в конфигурацию в некотором другом гомотопическом секторе N = Q при ①‘ =+оо.

Чтобы рассчитать эту туннельную амплитуду, мы должны вычислить функциональный интеграл (10.58). Мы сделаем это в квазиклассическом приближении, так же как в ЗПП. Мы разложим поля в окрестности экстремумов действия, которые удовлетворяют классическим евклидовым полевым уравнениям. Решениями является совокупность инстантонов и антиинстантонов этой модели. Напомним, что мы уже рассмотрели эти решения в гл. 3 и 4. Первоначально они возникли в гл. 3 как статические солитоны этой модели в (2 + 1) измерениях. Затем в гл. 4 мы доказали, что солитонные решения в (2 + 1) измерениях можно использовать как инстантоны в (1 + 1) измерениях при тривиальной замене (х, у) и (Лх, Лу) на (х, т'=江) и (Лх, Мо) соответственно. Мы не получили точных решений, но в работе Таубса [325 ] показано, что они существуют. Мы нашли их асимптотическое поведение (3.105), которое показало, что эти инстантоны имеют конечный размер порядка 尸"L Они имеют конечное действие и гомотопический индекс, задаваемый в точности выражением (10.54) для Q. Наконец, так как каждый инстантон имеет Q = 1 н конечный размер (локализованную плотность действия и локализованные электромагнитные поля F^, совокупность расположенных далеко друг от друга 孔】инстантонов и и2 антиинстантонов также является решением в секторе Q =孔^ ——n2, точным в пределе бесконечных интервалов. Получив эту информацию, мы можем осуществить приближение разреженного ин- стантонного газа совершенно так же, как это мы сделали для ЗПП. То обстоятельство, что мы не знаем точного инстантонного решения, как и в ЗПП, не имеет значения для наших целей.

Мы можем вычислить функциональный интеграл (10.58) для любого Q. Выберем Q = i, что является аналогом амплитуды (2л I е-"。I 0), вычисленной в ЗПП. В квазиклассическом разложении дают вклады все решения с удаленными друг от друга 孔1 инстантонами и, и2 антиинстантонами и с 孔】 —— n2 = 1. При очевидных обобщениях можно повторить все шаги, которые в ЗПП привели от (10.10) к (10.21). Здесь мы эти шаги опустим, но ответ, очевидно, имеет такую же структуру, как (10.21), и может быть записан в виде

2л .

lim [G(t)]q=i — Л j d8e‘e exp [(e-s。28 cos 8 — C) Lt], (10.62)

где So —— значение (SE + 5фк) для отдельного инстантона, a L f f 8 ——пространственная длина. Вместо множителя т в (10.21)

инстантоны в квантовой теорйи ззз

здесь мы имеем £т, поскольку локализация каждого инстантона может теперь принимать значения на всей плоскости (х, т/)* Детальная структура множителей Л, В и С не важна для нашего рассмотрения. При использовании обычного разложения амплитуды перехода G (т) в терминах энергетических собственных состояний (10.62) приводит при tf 8 K зоне низколежащих уровней энергии, характеризуемых непрерывной переменной 0. Каждый уровень соответствует плотности энергии

Eq/L = С — '28 cos 0. (10.63)

Мы видим, что она имеет такую же структуру, как зона (10.22) в ЗПП. Ей может быть дана аналогичная интерпретация. Напомним, что [G(t)]q=i в (10.62) играет роль (евклидовой) амплитуды перехода из вакуумного сектора с N = 0 в сектор с ^ = 1. Поэтому, если считать, что So конечно, эти состояния из различных гомотопических секторов обязательно туннелируют из одного в другое. Следовательно, пертурбативные топологические вакуумы I N), введенные в последнем разделе, перемешиваются друг с другом. Правильные уровни энергии в главном порядке являются их линейными комбинациями. Правильные линейные комбинации получаются при использовании тех же принципов, как в ЗПП. Напомним, что там состояния в зоне имели вид (10.4)

I 佝⑷〉=nEs etNB a (q 一 2^)). (10.64)

Коэффициенты должны были равняться е'^е в сущности в силу теоремы Блоха. Гамильтониан ЗПП не меняется под действием преобразования q f q + 2乳(осуществляемого унитарным оператором Т = 6-3户，Где р — импульс). Отсюда [7, Н] = 0, и собственные энергетические состояния являются также собственными состояниями Т с некоторым унимодулярным собственным значением eiQ. Линейные комбинации (10.64) выбирались таким образом, чтобы удовлетворять этому требованию. Применим соответствующий вывод к абелевой калибровочной модели.

Рассмотрим зависящее от времени калибровочное преобразование с калибровочной функцией Аг (х), такой, что А】(——оо) = 0 и А】 (+оо) = —2л. (Например, А】(х) = —л (1 + th %).) Классические вакуумы в (10.38), характеризуемые некоторым е故(%), изменяются при этом преобразовании. В частности,

a (土 8)fa (士 8)十 八 m土 8),

e ^ — (1/2冗)[a(oo) — a (—oo)] ->^ — 1. (10.65)

(Напомним, что только малые калибровочные преобразования оставляют ^ инвариантным. Но А】 (％) является большим калибровочным преобразованием, так как А】 (оо) = ——2л 方 0.) One

ратор 7\, который осуществляет это преобразование, строится при помощи добавления А (%) в последнее выражение в (10.44):

T1 = eXр" j g 伍Ai/e)+ h0*(一込 13*) + 冗0(小仲)] dx).

Мы можем проинтегрировать первое слагаемое по частям и обратить последовательность действий в (10.44), но теперь поверхностный член остается, поскольку А】 (оо) 出 0:

4 = ехр(—X

X ехр(2 f dx {% (х) [дхЕх 一 ％，е (力*又力一力(。俐*)})=

=ехр [+ (2冗〃е) fx(oo)]. (10.66)

При действии на физические состояния второй множитель в экспоненте сводится к единице за счет закона Гаусса. Квантовый вариант (10.65) имеет вид

^1^ = ^- j).(10.67)

Ясно, что 71 играет здесь ту же роль, что оператор Т в ЗПП, который заменяет uQ (q ——2л^ на uQ (q ——2л (^ ——1)). Далее, поскольку оператор 7\ является калибровочным преобразованием, пусть даже и не «малым», он должен оставлять гамильтониан инвариантным. Следовательно,

[Тъ Н] = 0.

Операторы Н и Тг могут быть одновременно диагонализованы, и, как следует из (10.66), Тt есть унитарный оператор, собственные значения которого должны быть вида е*е. Собирая все это вместе, мы ясно видим, что в результате туннелирования линейными комбинациями пертурбативных вакуумов | N), определяющими истинные вакуумы, будут векторы

|0)= £ е^е I ^),(10.68)

удовлетворяющие соотношению оо

7^0)= ^eiN^\N- 1) = е1'0|0).(10.69)

Таким образом, мы получаем зону состояний, параметризованных Q (0 < 0 с 2л). Это в точности состояния из спектрального разложения (10.62) с энергиями Ее, заданными в (10.63). Так как

состояния |0) являются истинными энергетическими собственными состояниями, имеем

8 Iе~нт|е'〉= 2/(е — 8')“т.

Отсюда получаем

<0 I 产 18〉= 2л6 (0) “т =

=£ е1 в (Л11 е~Нх I N) (используя (10.68)) =

(10.70)(10.70)

(10.70)

(10.70)

Мы видели, что амплитуда перехода между топологическими секторами N % N + Q зависит только от Q и определяется функциональным интегралом (10.58). Поэтому, используя £n = 2л6 (0), получаем

lim е~£ет= lim V [ \3)[АЦ] 3>[ф] 3)[^]\Qe~(se+s*^. (10.71) Т->ооТ->оо q」

Так как

Q=*r J ^x^F^

для всех полей, по которым берется интеграл в (10.71), мы можем ввести множитель 味侬，а также суммирование £q, под функциональный интеграл. Отсюда

lime-£6c = iim \D[A^, </>, </>*]BCeQ х

Т->ооtfoo J

x exp [— (Se + S如 + 瑞 J 曲时同 v) ]•(10.72)

Здесь 纱 [Лц, 6，6* ]BCeQ обозначает тот факт, что интегрирование следует проводить по полям из всех секторов Q. Другими словами, чтобы получить Е®, мы можем просто проинтегрировать по всем полевым конфигурациям, которые становятся чистыми калибровками на бесконечности, не заботясь о проведении гомотопической классификации, если мы используем модифицированное зависящее от 9 действие S®, определяемое как

SQ = SE-\-S^ + ^\d^F^.(10.73)

Это равнозначно прибавлению к исходной лагранжевой плотности (10.31) в пространстве Минковского дополнительного слагаемого

А% = (e8/4冗)年/貝上А% = (e8/4冗)年/貝上(10.74)(10.74)

А% = (e8/4冗)年/貝上

А% = (e8/4冗)年/貝上

(10.74)

(10.74)

Этот результат открывает для нас альтернативный подход к 9-ва- куумам. Можно с самого начала начинать с лагранжиана ① + + А5?0 и вычислять вакуумное состояние с использованием функционального интеграла. В таком подходе 9 может рассматриваться как параметр в лагранжиане (и в гамильтониане), и для каждого 9 мы имеем отдельную теорию с сектором состояний, вакуумом которого является состояние | 9). В этом отношении состояния 19) в этой калибровочной теории отличны от состояний |6/ в ЗПП. В ЗПП все состояния | 力®〉 в наинизшей энергетической зоне были частью одного и того же физического спектра состояний* Основным состоянием было только состояние с наинизшей энергией (9 = 0), и более высокие 9-состояния были настоящими возбужденными состояниями. В принципе частицу можно перевести из ее основного состояния 9 = 0 в высшие по 9 возбужденные состояния, например облучая ее светом. В противоположность этому в нашей калибровочной теории каждое состояние | 9) есть вакуум отдельного сектора состояйий. Ни один калибровочноинвариантный оператор не может связать друг с другом состояния из различных секторов 9 (см. ниже). Поэтому калибровочная теория по своему духу ближе к частице на окружности (ЧНО в конце разд. 10.1). При прибавлении к лагранжиану такой частицы (см. (10.28)) зависящего от 9 члена мы можем превращать ее основное состояние в любое, но только 6 одно из состояний зоны ЗПП. Для любого данного 9 мы имели для ЧНО полное гильбертово пространство состояний. При изменении 9, которое является параметром в ЧНО, мы переходим к отличным друг от друга лагранжианам со своими отдельными пространствами состояний. Ситуация в нашей калибровочной теории в чем-то аналогична.

Заметим, что, подобно дополнительному слагаемому в 10.28), дополнительный Мен AZ® в (10.74), добавленный к лагранжевой плотности, есть полная дивергенция: AZ® = d貝((已/2冗)日貝”乂“). Поэтому он не влияет на классические уравнения или на инстан- тонные решения. Различные секторы 9 этих квантовых теорий имеют один и тот же классический предел. Но дополнительное слагаемое AZ® нарушает симметрию по отношению к отражениям Р, которой обладает исходный лагранжиан (10.31). В (1 + 1) измерениях 1/2£貝”尸м” есть в точности электрическое поле, которое при отражении преобразуется как Ех тЕх. Аналогичное замечание справедливо для симметрии относительно зарядового сопряжения С. Это нарушение С и Р является одним из важных следствий эффектов от квантовых инстантонов в этой модели. Только в секторе 8 = 0, где AZ® равно нулю, этот нарушающий С, Р член отсутствует.

Утверждение, что различные 9-вакуумы принадлежат к обособленным, физически изолированным друг от друга секторам,

можно подтвердить следующим аргументом. В калибровочной теории предполагается, что все физические наблюдаемые и ассоциируемые с ними операторы' должны быть инвариантны относительно всех калибровочных преобразований. Рассмотрим, в частности, преобразование 7\ (10.68). Любой физический оператор В должен коммутировать с Т±. Отсюда

0 =〈8 I [В, TJ | 8) =〈8 I В 18) ®& —酢). (10.75) Следовательно,

«|В|8) = 0, если 8 片&. (10.76)

Ни один физический оператор не может связать состояние | 9) с состоянием | 9'), и в этом смысле они являются вакуумами отдельных секторов состояний. Читатель может быть обеспокоен тем, что, с одной стороны, мы утверждали, что все физические наблюдаемые коммутируют с «большим» калибровочным преобразованием 7\, а с другой стороны, мы делали различие между волновыми функциями IN) и I N + 1〉, которые связываются друг с другом как раз оператором 7\. Здесь опять полезно провести аналогию с частицей на окружности. Напомним, что там q = 0 и q = 2冗 физически эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые имеют одно и то же значение в q = 0 и q = 2л. Но когда мы добавляем к лагранжиану зависящий от 9 член (10.28), приводящий к квазипериодичному граничному условию, мы имеем 梯 (2л) 方 ％ (0). На аналогичном основании должен рассматриваться статус вакуумов | N),

Подчеркнем, что интерпретация 9-вакуумов и их невырожденных энергий Eq как обусловленных туннелированием между топологическими вакуумами | N) является калибровочно-зависимой интерпретацией. При определении состояний | N) мы использовали калибровочные условия, сводящиеся к Ло ^ 0, а также е*а (土8)= 1 для статических классических вакуумов. Мы выбрали эту калибровку потому, что она предоставляет возможность для привлекательной аналогии со значительно более простыми квантовомеханическими проблемами ЗПП и ЧНО. В другой калибровке, однако, интерпретация в общем была бы другой. Этот аспект подробно рассмотрели Бернард и Вайнберг [40]. Например, в физической калибровке, т. е. когда /貝 однозначно определяется через 尸貝V, вообще нет остаточной калибровочной свободы. Классический вакуум один, и наша картина туннелирования не имеет смысла. Тем не менее различные значения 0 и различные секторы 9 могут существовать, поскольку мы можем исходить из зависящего от 9 лагранжиана, прибавив слагаемое (10.74). Полученные конкретные результаты, а именно существование 9-вакуумов и их энергий £0, являются калибровочно гнварпаиг- нымй. Наше калибровочно-неинвариантное обсуждение

в разд. 10.2 не противоречит этим конкретным результатам, которые получены при использовании функционального интеграла (10.51), который зависит только от Q и калибровочно-инвариантен.

Наконец, независимо от того, в каком секторе 9 мы находимся, соответствующее вакуумное состояние | 9) совершенно отлично от пертурбативного вакуума, построенного вокруг § = F, А^ = =0. Поэтому явление Хиггса и связанные с ним свойства пертурбативного вакуума не должны иметь места. В следующей главе мы явно увидим, что 9-вакуумы в этой модели допускают кулоновское дальнодействие в отличие от явления Хиггса, где поле Лц приобретает массу и приводит только к короткодействующим силам.

Янг-миллсовский вакуум

Мы переходим, наконец, к инстантонным эффектам в квантовых неабелевых калибровочных полях. Начнем со структуры вакуумного состояния в чистой системе Янга ——Миллса, которая состоит из трех SU (2)-калибровочных полей А^ (%, /), самодействующих в (3 + 1) измерениях. На самом деле физика инстантонов была изучена в этой системе, сначала на классическом уровне [29 ], а вскоре после этого на квантовом уровне [64, 198, 331 ]. На начальных этапах наши выводы по существу будут такими же, как и в предыдущих разделах по абелевой модели Хиггса. Нам требуется только повторить их в сжатой форме в контексте системы Янга——Миллса. Но на последующих этапах появится важное различие, которому мы уделим особое внимание. Наше рассмотрение справедливо также для самодействующих калибровочных полей из высших SU(Д^)-групп.

Напомним, что мы уже ввели систему Янга—Миллса в гл. 4. Мы будем использовать обозначения (см. (4.5)—(4.7)), в которых Лц и G；* компактно записываются* через антиэрмитовы (2x2)- матрицы Ац и Ggv. Плотность лагранжиана имеет вид

Z(x, /) = (l/2g2)THG^GR. (10.77)

Она инвариантна относительно калибровочной группы S U (2), элементы которой есть е~л <х, Z), где для согласованности в обозначениях мы используем в качеств генераторов антиэрмитовы (2x2)-матрицы Л (х, /) = (oa/2Z) Ла (х, /). Под действием этих преобразований (см. (4.8))

А^е-л^ + д^ех (10.78)

Как и в предыдущих разделах, мы будем работать в калибровке Aq (х, i) = 0. Это условие по-прежнему допускает калибровочные преобразования, порождаемые не зависящими от времени матрицами Л(X). Следовательно, множеством классических ваку-

умов этой системы являются статические чистые калибровки Ggv = 0, или, что эквивалентно (см. (4.12)),

4 (х) = е—а (x)v*a (х),(10.79)

г簾 а (х)——произвольная бесследовая антиэрмитова (2х2)-ма- тричная функция. Далее, мы можем ограничиться теми а (х), которые удовлетворяют условию 濟⑴=1 во всех точках |х| = =оо на пространственной бесконечности. Основание для этого такое же, как в абелевой модели Хиггса; несколько ниже мы покажем, что вычисленное при помощи подходящего евклидова функционального интеграла квантовое туннелирование связывает конфигурацию а (х) = 0 только с теми классическими вакуумами, которые удовлетворяют условию [濟⑴卜内二 1. Поэтому нам требуется рассмотреть только те классические вакуумы из множества (10.79), которые удовлетворяют этому условию. Поскольку [е*(х〃х+оо = 1, для таких функций трехмерное пространство компактифицируется в поверхность гиперсферы S3. Каждая такая функция задает отображение этой сферы S3 в групповое пространство SU (2). Как мы знаем из гл. 4, такие отображения могут быть классифицированы по гомотопическим секторам, которые образуют гомотопическую группу л3 (SU (2)) = Z* Каждый сектор характеризуется целым числом ——индексом Понтрягина. Этот индекс, который мы теперь будем обозначать Nt получается при непосредственном применении (4.27) к компактифицированному трехмерному пространству:

“ =l^- j с?3хТг[(еаУге-а) (eaV7e-a) (eaVfte-a)] егл. (10.80)

Короче говоря, наши классические вакуумы (10.79) могут быть разделены на дискретную бесконечность секторов, каждый из которых ассоциирован с данным гомотопическим классом N соответствующего калибровочного группового элемента е~а (х). Например, случай а (х) = 0, приводящий к /» (х) = 0, принадлежит классу N = 6. Пример класса N = 1 соответствует

兄 D(x)=e"，e3(10.81)

где

。丄(X)= (х2‘；；》/2 + ЕМ.(1°・82)

Подставляя 叫(х) в (10.80), можно убедиться, что оно принадлежит сектору N = 1. (Член шо3 добавлен для того, чтобы удовлетворить требованию 濟 ⑺ _^ i при х -> оо. Без этого слагаемого оно стремилось бы к —1. Все наше рассмотрение локальной калибровочной инвариантности по сути дела проводится с точностью до общих глобальных калибровочных преобразований.

Поэтому достаточно того, чтобы 产⑺ стремилось к некоторой константе еа° при х -> оо. Для удобства мы выбрали 仆 = 1. Мы не будем углубляться далее в эти технические детали. Напомним, что аналогичное утверждение относится к абелевой модели Хиггса.)

Калибровочное преобразование, которое переводит N = 0・ конфигурацию с Л； (х) =0 в N = 1-конфигурациЮ с 乂尸(х), очевидно, имеет вид

gi(x) = e-Ai(X), (10.83)

где Ai (х) = % (х). Согласно общим гомотопическим соображениям, gi (х) также преобразует любой классический вакуум сектора N в вакуум сектора (N + 1).

Вокруг каждого гомотопического класса N классических вакуумов мы можем построить топологическое вакуумное состояние I N). Состояния I N) из различных гомотопических секторов калибровочно-неэквивалентны [67 ]. Причина та же, что и в абелевой модели Хиггса. Физический смысл калибровочной эквивалентности относительно не зависящих от времени преобразований (которые являются единственными, оставшимися в Ло =^ 0- калибровке) снова определяется законом Гаусса. При обобщении на теорию Янга—Миллса этот закон утверждает, что

/(%)三0e。£ = &? + [4,日]=0. (10.84)

Это одно из полевых уравнений, которые выводятся из лагранжиана (10.77), но оно не содержит производных по времени и поэтому является связью. Здесь Е『三 G°‘* ——«электрическое» поле Янга—Миллса в 2х2-матричной форме. (Замечание; коммутатор Mf, Е‘] понимается в пространств 2 X 2-матриц. Его не следует смешивать с коммутаторами операторов в гильбертовом пространстве квантовых состояний.) Так же как в электродинамике, в квантовой теории Янга——Миллса уравнение (10.84) не может рассматриваться как операторное уравнение. Оно должно быть наложено на векторы физических состояний, которые должны удовлетворять условию

屮〉巾 из = 0・ (Ю.85)

Для инфинитезимальных элементов е~§а(X) ^ i — 6А (х) преобразование (10.78) сводится к

4>4 +【4, М] + %(ЗА) = 4 十2(6А), (10.86)

где Di ——ковариантная производная. Предположим на мгновение, что мы рассматриваем только те калибровочные функции Л(х), которые удовлетворяют условию Л (х) -> 0 при х -> оо. В наших матричных обозначениях канонический импульс, сопряжен-

ный Ль равен (2/g?) Е». Следовательно, в квантовой теории оператор, порождающий калибровочные преобразования е~Л <х), имеет вид

U = ехр (登 J Л Тг((АЛ) ?)) = ехр (卡 J d3x Тг 而田))，

(10.87)

где выполнено интегрирование по частям с использованием условия Л (х -> оо) = 0. В силу закона Гаусса (10.85) имеем

u云1屮)恥3 = 1屮%2(10.88)

Поэтому закон Гаусса индуцирует калибровочную эквивалентность только относительно калибровочных преобразований, которые удовлетворяют условию Л (х -> оо) = 0. Но рассмотрим преобразование g± (х) (10.83), которое переводит сектор N = и в сектор N = (/г + 1). Как ясно видно из (10.82), соответствующая калибровочная функция Л3 (х) = а± (х) не удовлетворяет условию Ai (х-> оо) = 0. Поэтому состояния в различных гомотопических секторах под действием закона Гаусса не становятся калибровочно-эквивалентными.

Таким образом, мы имеем различные топологические вакуумы I N) в каждом секторе. Они не являются истинными вакуумами, поскольку они туннелируют один в другой. По крайней мере в квазиклассическом разложении мы это можем предвидеть, поскольку система Янга—Миллса допускает инстантонные решения с конечным действием. Мы получили в явном виде эти решения в гл. 4. Красивое доказательство того, что такое туннелирование имеет место, дано Джакивом и Ребби [198 ]. Рассмотрим класс полевых конфигураций

4戶(х) = В*)(х),(10.89)

где р —действительный параметр (0《§《1), а 乂产一чисто калибровочный классический вакуум в секторе N = 1 (10.81). Для р = 0 и Р — 1 мы получаем чистые калибровки Лг = 0 и Лf = /$" соответственно. Обе они приводят к Ggv = 0 и, следовательно, к нулевой классической энергии. Для 0 < р < 1 4「)(х) не является чистой калибровкой. «Электрическое» поле G0' по-прежнему равно нулю, поскольку 力沪)=0 и А^ не зависит от времени. Но «магнитное» поле Вг = х/2 力抬G」* не равно нулю:

6/=Р(办4尸一时4产)+У么尸,"4勺=(62一6)以广，/p]#

声0 для 0<р< 1.(10.90)

Энергия пропорциональна j Tr (G/^Gj^) d'% и поэтому не равна нулю для 0 V § V 1, но конечна, так как 勺口 убывает как 1/|х

при I х I -> оо (см. (10.82)). Поля А^} образуют кривую в пространстве-времени, когда Р изменяется от 0 до 1. Эта кривая, соединяя два классических вакуума из секторов N = 0 и 7V = 1 соответственно, создает не нулевой, а конечный энергетический барьер между ними. Следовательно, мы можем ожидать квантового туннелирования между этими двумя секторами. Этот довод тривиально переносится на связь между двумя любыми секторами.

Ниже мы попытаемся провести вычисление туннельной амплитуды с использованием функциональных интегралов. Пока же, предвосхищая тот факт, что должно иметь место некоторое туннелирование, истинные вакуумы зададим линейными комбинациями топологических вакуумов в виде

I 9) = ^f； б»™ I N). (10.91)

Множитель "%© возникает за счет тех же требований, что и в абелевой модели. Рассмотрим унитарный оператор U (gj, который осуществляет калибровочное преобразование gi и дает

U(gi)|N〉= d+1〉・ (Ю.92)

Так как [U (g) /7] = 0 и оператор U (gj унитарен, собственные состояния Н должны удовлетворять условию , U (gj | 9)= =е~*е|8〉, которое выполняется за счет (10.91). Наконец, если В ——произвольный калибровочно-инвариантный оператор, то [В, U (gi)] = 0. Отсюда

0 =〈8 I 因 U (gi)l I 8'〉= L — L8) «冋 8”

Поэтому

«|В|8'〉= 0, если 9^9\ (10.93)

Следовательно, все 19) являются вакуумами отдельных секторов состояний и не переводятся друг в друга никаким калибровочноинвариантным оператором. Все до пол нител ь ные замечания, еде- данные для абелевой модели в разд. (10.3), справедливы и здесь.

Обратимся теперь к евклидову функциональному интегралу, который определяет туннельную амплитуду. Как и в предыдущих моделях, поля А^ (х, т'), по которым производится интегрирование, должны стремиться к вакуумным (чисто калибровочным) конфигурациям на границе евклидова пространства-времени. В данном случае этой границей является поверхность S3. Так как чисто калибровочное поле имеет вид Лц = е-а ^цеа, где е-а •— некоторый элемент SU (2), каждое данное граничное условие является отображением S3 f [SU (2) ]. Такие отображения снова

классифицируются по гомотопическим секторам. Ассоциируемый с ними индекс Понтрягина Q уже получен в (4.18), (4.26):

Q = — J Т「gGv] d続=由 Тг 风4』J (10.94)

Евклидов функциональный интеграл в секторе Q имеет вид

lim [G(t)]q= J^Mu]}Qexp[-SeBHJ. (10.95)

Евклидово действие 5евкл определено в (4.10). Как и в абелевом случае, в нем будут обычные слагаемые 5фК, фиксирующие калибровку (см., например, [85]), опущенные здесь для простоты. Поля Лц, по которым производится интегрирование, должны удовлетворять некоторым граничным значениям на S3, которые принадлежат сектору Q. Так же как в абелевой модели, этот функциональный интеграл является калибровочно-инвариантным и зависит от индекса Понтрягина Q, который также калибровочноинвариантен.

Рассмотрим далее калибровку 4 = 0 и превратим границу пространства-времени в большой замкнутый цилиндр (рис. 20, б). Этот цилиндр является аналогом прямоугольника на рис. 20, а. Две плоские поверхности цилиндра обозначают все трехмерное пространство при т‘ = ±оо, в то время как цилиндрическая поверхность обозначает пространственную границу (х -> оо) для всех т\ В калибровке 4 = 0 цилиндрическая поверхность не дает вклада в поверхностный интеграл для Q из (10.94). Отсюда имеем

Q = % _ М,

где,

"± = -24丸2 J ^x^ijh Тг [AiAjA^x^+oo-(lu.96)

Кроме того, можно использовать свободу в не зависящих от времени калибровочных преобразованиях, чтобы положить а (х)= =0 (4 (х) = 0) при т‘ = —оо. Тогда N_ = 0 к Q = N+. В этой калибровке функциональный интеграл интерпретируется как евклидова амплитуда перехода, связывающая сектор N = 0 с сектором N = Q. Наконец, рассмотрим боковую поверхность цилиндра, где в калибровке Ло = 0•

0 = Л0(х*-> оо, tz) = [е-а (х, то(а/@т, е麦х, Dk-© (10.97)

Следовательно, [еа <х, т，)]х^оо не зависит от т‘* Поскольку в начальной конфигурации при 工'=—оо мы выбрали еа(х,-оо)= =1, в конечной конфигурации при т' = +оо снова е^ &•>8,『=8)= =1. Поэтому имеет место переход только к таким классическим

вакуум ам, где 濟⑺卜亠 = 1- Таким образом, подтвержден наш гомотопический анализ классических вакуумов, в котором мы основывались на этом ограничении.

Наконец, по аналогии с (10.72) мы можем интерпретировать 9-вакуумы как вызванные зависящим от 9 слагаемым, добавленным к лагранжиану. При т -> оо имеем

〈8|е—^|8〉= £ 〈N + QI е—т I=

М Q

=2л6 (0) £ 砂[A^]q $евкп =

Q

=2冗3 (0) j 纱[Лц]все q exp ( —5евкл + "^- j Tr(GgvGuv) d5).

(10.98)

Это равнозначно прибавлению к лагранжевой плотности в метрике Минковского (10.77) дополнительного слагаемого

А^е = (9/16л2) Тг [GUVG^].(10.99)

Как и в абелевой модели, это слагаемое есть полная дивергенция (см. (4.21)——(4,24)). Оно не влияет на классические уравнения Янга—Миллса, но приводит к различным квантовым теориям для каждого значения 9. Состояние | 9) можно рассматривать как вакуум соответствующей теории с построенным над ним гильбертовым пространством состояний. Это является альтернативным способом понимания 9-секторов. Заметим, что

Тг &6н = _1_ euvpa Tr[GuvGpa] = Тг [4Е咼],

где Е» и В» ——не абелевы электрические и магнитные поля. При обращении времени Et -> £ь в то время как В»-> ——8加 Под действием пространственного отражения £\ -> ——Е», в то время как В» — 8加 Поэтому под действием как обращения времени, так и пространственного отражения дополнительное слагаемое (10.99) меняет знак, в то время как исходный лагранжиан (10.77), пропорциональный Тг (£；£{——8乞80, остается инвариантным. Следовательно, при наличии дополнительного члена AZ® в системе нарушены симметрии Р и Т. Исключением является случай 8 = 0, когда дополнительное слагаемое равно нулю.

До этого момента наше рассмотрение было весьма близким к обсуждениям в предыдущих разделах. Это обусловлено тем, что четырех мерная система Янга—Миллса имеет такую же гомотопическую группу, что и двумерная абелева модель Хиггса. При использовании компактных матричных обозначений для янг- миллсовеких полей /貝(х) мы также придали многим из уравнений вид, почти идентичный с абелевым случаем. По существу наш

анализ справедлив также с незначительными модификациями для самодействующих калибровочных полей любой высшей группы SU (N) в (3+1) измерениях. Как упомянуто в гл. 4, любое непрерывное отображение S3 в группу SU (N) может быть преобразовано в отображение в подгруппу SU (2) группы SU (内). Таким образом, нам требуется лишь выбрать подгруппу SU (2) группы SU (N) с соответствующими калибровочными полями и повторить тот же анализ. Поэтому наше рассмотрение имеет некоторую связь с квантовой хромодинамикой (КХД). Это SU (3)- калибровочная теория, в которую добавлены фермионы. Присутствие фермионов, конечно, может привести к изменениям; некоторые из них мы рассмотрим в гл. 11. Пока же вернемся к системе SU (2)-янг-миллсовских полей.

Инфракрасная проблема больших инстантонов

Если мы хотим действовать так же, как в абелевой модели Хиггса, то на следующем этапе мы должны непосредственно вычислить туннельную амплитуду [G(t)]q и энергию 9-вакуума в квазиклассическом приближении разреженного инстантонного газа в функциональном интеграле (10.95). В гл. 4 мы получили точные одноинстантонные решения для системы Янга—Миллса с Q = 1 и конечным действием. Здесь также совокупность инстантонов и антиинстантонов является решением в пределе бесконечных интервалов между ними. Но существуют два различия между этой системой и абелевой моделью Хиггса или ЗПП. Первое различие для наших целей не очень существенно. В отличие от абелевой модели Хиггса система Янга—Миллса приводит к точным многоинстантонным решениям, которые описаны в гл. 4. Однако, хотя они и представляют на классическом уровне важные результаты, точные многоинстантонные решения не влияют существенно на функциональный интеграл. Это обусловлено тем, что в приближении инстантонного газа в функциональном интеграле преобладающую роль играет конечная плотность инстантонов и антиинстантонов. Напомним, что в ЗПП мы в явйом виде показали, что эта плотность должна .быть конечна и пропорциональна e~s°; тот же аргумент справедлив и здесь. Конечная плотность означает наличие бесконечного числа инстантонов в бесконечном объеме. В сравнении с этим любое решение (точное или неточное) с конечным числом инстантонов дает пренебрежимо малый вклад. На языке газа-аналога конечное число инстантонов не обладает достаточной энтропией. На самом деле даже лишь бесконечное число инстантонов (конечная плотность) также не обладает достаточной энтропией. Вспомним из ЗПП, что основному вкладу соответствует также конечная плотность антиинстантонов. Таким образом, к сожалению, наши сведения о точных многоинстантонных

решениях не слишком полезны при вычислении функционального интеграла. Достаточно данных для совокупности расположенных далеко друг от друга инстантонов и антиинстантонов.

Но имеется более существенное различие между инстантонами в ЗПП или абелевой модели Хиггса и инстантонами Янга—— Миллса: первые имеют фиксированный конечный размер, а последние могут иметь любые размеры. Напомним, что точный янг- миллсовский инстантон (4.74) содержит масштабный параметр 入口 который может принимать любое значение 0 < Хх < оо. Как отмечалось в гл. 4, это связано с масштабной инвариантностью лагранжиана Янга—Миллса. К сожалению, это свойство порождает некоторое сомнение во всем приближении разреженного газа. Прежде всего можно задаться вопросом, имеют ли смысл в концепции разреженного газа изолированных инстантонов сколь угодно большие инстантоны. Можно попытаться преодолеть эту трудность, предположив, что, если задан инстантон произвольного размера 入工,пусть сколь угодно большого, мы можем считать, что евклидов объем (Ут) значительно больше. Даже в предположении, что это может быть сделано математически уд)Елетворительным способом (упорядочивая между собой пределы Ут -^ оо и Хх -> —оо), имеются дальнейшие проблемы, если мы продолжаем пользоваться приближением разреженного газа. Напомним из гл. 4, -что одиночный янг-миллсовский инстантон имеет в совокупности восемь степеней свободы, т. е. задав определенное одноинстантон- ное решение, мы можем получить другие при применении любой из этих непрерывных симметрий. Четыре соответствуют пространственно-временным трансляциям, три ——глобальным SU (2)-вра- щениям и одна ——изменению масштаба. Каждая симметрия приводит к нулевой моде в квантовых флуктуациях в окрестности данного инстантона, для которой необходимо провести интегрирование по соответствующей коллективной координате. Следовательно, если мы продолжаем пользоваться приближением разреженного газа, так же как в ЗПП или абелевой модели Хиггса, мы получим набор вакуумных уровней (аналогичный (10.22) или (10.63))

'Ее = —Yeos入 123(h),(10.100)

о

где мы по сравнению с (10.63) опустили несущественную не зависящую от 9 аддитивную константу С; So ——действие отдельного инстантона, а V —объем трехмерного пространства. Заметим, что интегрирование по глобальной SU (2)-симметрии приводит только к конечной константе, равной объему группы. Она включена в 25 &), что также содержит все другие множители, обусловленные квантовыми флуктуациями в окрестности инстантона

размера 入工* Интегрирование по трансляциям приводит к расходящемуся множителю У-> оо, но это поддается удовлетворительному объяснению, так как мы ожидаем, что вакуумные состояния имеют конечную плотность энергии Eq/V. Но если расходится интегрирование по размеру инстантона % (также коллективной координате для масштабной симметрии), то никакая аналогичная интерпретация не может спасти данную ситуацию. Чтобы увидеть, возникает ли такая расходимость, исследуем более тщательно, чем мы сделали для абелевой модели, множитель В (入J. По существу этот множитель включает детерминант, обусловленный квантовыми флуктуациями. Последний есть экспонента от суммы по всем ненулевым собственным значениям логарифма второй производной от действия, вычисленной в окрестности фонового поля инстантона. Как и во многих других полевых теориях, эта сумма по частотам включает ультрафиолетовую расходимость. Напомним, что при вычислении в гл. 5 квантовой массы кинка мы сталкивались с подобной ультрафиолетовой расходимостью в сумме по частотам нормальных мод. В перенормируемой теории такие расходимости устраняются перенормировочной процедурой. Мы, очевидно, не можем здесь воспроизвести сложную процедуру перенормировки неабелевых калибровочных теорий. Она подробно рассмотрена в доинстантонной литературе (см., например, [2, 85 ]). Мы не можем также воспроизвести здесь «геркулесов труд» т'Хофта [332 ], который помимо прочего вычислил квантовые флуктуации в окрестности инстантонного решения после перенормировки (см. также [31, 76, 269 ]). На нашем вводном уровне вполне достаточно напомнить следующие общие свойства перенормировочной процедуры:

Мы вычисляем флуктуации в окрестности инстантонного решения, а не в окрестности Лц = 0. Но ультрафиолетовые расходимости не искажаются гладким фоновым полем, поэтому может быть использована стандартная процедура перенормировки.

Эта процедура содержит перенормировочную массу М, от которой зависит перенормированное В (入J. Так как 九工 ——единственная помимо М размерная переменна^в системе (константа связи g безразмерна), сравнивая размерности с обеих сторон в (10.100), можно видеть, что В (入J должно иметь вид (1/绪)f 乂 X (%M), где / ——некоторая функция.

Так как g——единственный параметр в лагранжиане, зависимость от М, обусловленная перенормировкой, возникает целиком за счет замены g на «бегущую константу связи» @(%М) 旦(10.100). Заметим, что g безразмерна, и поэтому должна зависеть от М через комбинацию (^М).

Поэтому мы должны выделить в (10.100) зависимость от g, которая до сих пор была неявной. Прежде всего заметим, что в наших матричных обозначениях (4.5)——(4.7) действие (4.10)

зависит от g только через общий множитель 1/g?. В таком случае замена переменных от нулевой моды на соответствующую коллективную координату, как показано в приложении Б, приводит к множителю Якоби, пропорциональному 1/g. В приложении Б рассматривается простой случай только однопараметрической непрерывной симметрии и, следовательно, одной нулевой моды. В настоящем янг-миллсовском случае имеется восемь нулевых мод, которые следует заменить на соответствующие коллективные координаты. Поэтому результирующий якобиан пропорционален 1/g8. В дополнение к этому действие отдельного инстантона равно So = 8л2/^2. Таким образом, зависимость от g неперенор- мированной энергии (10.100), неявно содержащаяся в выражении (10.100), имеет вид

(]/g8)/8W/g2(10.101)

В перенормированном выражении для энергии нам нужно лишь заменять» g на g &М), чтобы получить зависимость от М.

В результате получаем следующее выражение для перенормированной энергии

e8 — 一on COo 8 f "I exp [一8Л2/(e &m)产](10 10»

о

где мы включили в В все другие константы. После открытия асимптотической свободы [176, 282 ] мы знаем, что бегущая константа связи g (^iAf) теория Янга—Миллса удовлетворяет соотношению

詔歌)]=盡-[g &M)F + высшие порядки по g. (10.103) Поэтому для малых g имеем

(高)匕喜一备 nАm，(Ю.104)

где go — константа. Заметим, что, как только размер инстантона стремится к нулю, g также стремится к нулю и приведенная формула (10.104) является вполне удов л етв о р ител ь но й. Поэтому для малых 入 1 подынтегральное выражение в (10.102) ведет себя как

当『1-粽 1з))4.(10.105)

Это выражение обращается в нуль при Хг ~> 0, и расходимость по малым инстантонам в выражении (10.102) для плотности энергии отсутствует. Если мы продолжаем использовать (без проверки) тот же интеграл для больших инстантонов, то (10.102) будет иметь

инфракрасную расходимость при 人] f оо. Конечно, задаваемое с помощью (10.103), (10.104) поведение константы связи справедливо только для малых g и, следовательно, малых %i- В настоящее время мы не знаем, как ведет себя g для больших \. Мы можем лишь сказать, что соотношение (10.104) приводит к увеличению значений g при возрастании Хг, и поэтому оно перестает быть справедливым. Короче говоря, по существу мы не знаем, является ли интеграл (10.102) сходящимся или нет, а если он сходится, то как его вычислить. '

В этой печальной ситуации можно воспользоваться одним из нескольких возможных подходов (представленных в различных частях библиографии). Оптимистической позицией было бы ожидать, что в области больших Хг эффекты сильной связи, которые мы сейчас не умеем вычислять аналитически, каким-то образом сделают интеграл конечным. В настоящее время это всего лишь надежда. Можно было также попытаться улучшить вычисления путем учета поправок к пределу «идеального» разреженного инстан- тонного газа. Одним видом улучшений было бы включение инстан- тон-инстантонных эффектов, т. е. того факта, что при больших, но конечных интервалах действие набора ^ инстантонов не есть N-кратное действие отдельного инстантона. Включение таких эффектов улучшило бы вычисления для больших инстантонов, а также для области более высокой инстантонной плотности. Другая возможность состоит в том, чтобы учесть решения, отличные от инстантонов. В исходном квазиклассическом приближении следовало бы использовать только решения евклидовых полевых уравнений с конечным действием. Это и есть инстантоны. Но такое приближение справедливо лишь в пределе слабой связи, в то время как в системах, подобных теории Янга—Миллса, имеются указания на то, что при больших расстояниях они должны попадать в область сильной связи. Уже формула асимптотической свободы (10.104) смещает эффективную константу связи в направлении больших значений при больших пространственных масштабах. Конечно, эта формула не верна при сильной связи. Но на основании того экспериментального факта, что кварки не вылетают (или в лучшем случае редко бывают свободными, если учесть очень малое число экспериментальных утверждений о наблюдении кварков, [227 ]), имеется повод считать, что на больших расстояниях они связаны большими силами. Сейчас общепринято считать, что адроны описываются некоторой неабелевой калибровочной теорией, причем наиболее популярным кандидатом на эту роль является квантовая хромодинамика (КХД). На этом основании можно ожидать, что янг-миллсовское взаимодействие также становится большим на больших расстояниях. Заметим, что константа связи g? играет ту же роль, что и температура в аналоге из статистической механики, когда евклидов

функциональный интеграл сопоставляется статистической сумме. В (10. 101) действие в экспоненте делится на g? также, как энергия делится на температуру в функции распределения. Рассмотрим холодный газ каких-нибудь молекул. Когда температура растет, в игру вступают конфигурации с более высокой энергией. Молекулы распадаются на атомы, которые в свою очередь ионизируются в следующие составляющие элементы и т. д. Таким же образом при малых g? в нашем функциональном интеграле важную роль играют инстантоны, которые являются классическими решениями с конечным действием (минимумами функционала действия). Но в области больших g2 могут выступить на передний план конфигурации с большим действием, включая, возможно, конфигурации с бесконечным действием. В этом духе Каллан и др. [67 ] добавили вклад от «меронных» решений. Это решения для системы Янга—Миллса с топологическим зарядом Q = 1/2 [105 ]. Так как Q не целое, то они имеют бесконечное действие, и мы их не обсуждали в гл. 4. Но мерон-меронные конфигурации с конечным расстоянием между ними имеют конечное действие при заряде Q = 1. В этом смысле инстантон можно рассматривать как связанную меронную пару. При больших g? мы можем ожидать, что инстантоны «распадаются на составляющие мероны». Оказывается, действие отдельного мерона логарифмически расходится [67 ]. При наивном подходе можно ожидать, что мероны не дают вклада, поскольку подынтегральное выражение имеет вид ехр [—(действие)] и для меронов ведет себя как ехр [—(С1^) In R], где радиус евклидова пространства R стремится к бесконечности. Но их энтропия (т. е. интеграл по местам их расположения) приводит к множителю 7?4 = 訓生 который может компенсировать обрезающий множитель ехр [—(С7g*) In R] для достаточно больших g2* Это качественное замечание должно быть проверено после включения эффектов от флуктуаций, что является весьма трудной задачей. Однако подобное явление было доказано в физике твердого тела для некоторых двумерных систем, где энергия взаимодействия также логарифмически расходится с расстоянием.

Меронные эффекты для системы Янга—Миллса подробно рассмотрены Калланом и др. [65, 67 ], которые также исследовали неразреженный газ инстантонов с учетом некоторых их взаимодействий. Такие вычисления были проведены также для модели О (3) и модели CPn в двух измерениях, в которых имеются аналогичные проблемы [38, 39, 134 ]. Для этих последних моделей инфракрасная расходимость разреженного инстантонного газа, по-видимомуустраняется при учете этих улучшений. Помимо приведенных выше качественных замечаний мы не будем обсуждать подробнее ни меронные вычисления, ни вычисления для плотного инстантонного газа. Они достаточно сложны, а результаты не до конца убедительны, по крайней мере для неабелевых

калибровочных теорий в четырех измерениях. Действуя еще в одном направлении, некоторые авторы предположили, что для систем при конечной температуре инстантонные вычисления могут иметь смысл, поскольку температура обеспечивает инфракрасное обрезание. Такие вычисления в модели CPN см. в работе [8 ]. Читатели, интересующиеся изучением этих вопросов, отсылаются к цитированным выше работам.

В противоположность перечисленным выше попыткам, возможная более консервативная позиция состоит в том, чтобы заявить, что для масштабно-инвариантных четырехмерных неабелевых калибровочных полей такие квазиклассические подходы тщетны. В общем случае для квазиклассических методов необходима слабая связь, в то время как в этих калибровочных теориях неизбежно появляется сильная связь на больших расстояниях.В функциональном интеграле для сильной связи (который аналогичен высокотемпературной функции распределения) могут быть априори существенными не только инстантоны или мероны, но по существу все полевые конфигурации. Если ситуация такова, то любое ква- зиклассическое вычисление, которое выделяет некоторое подмножество (классических) конфигураций, может быть бессмысленным. С точки зрения квазиклассических вычислений эта позиция является пессимистической, но она вполне может оказаться правильной. В защиту инстантонов следует отметить, что эта проблема —как обращаться с сильной связью на больших расстояниях —не является специфичной для таких квазиклассических методов. Та же проблема встречается в большинстве исследований по неабелевым калибровочным теориям, включая попытки доказать конфайнмент кварков. Недавно Виттен [356] предположил, что ввиду этих проблем лучшим подходом может быть использование l/^-paзлoжeния, где N ——индекс группы SU (^), и доказал, что инстантоны исчезают в пределе больших N.

Следует подчеркнуть, что основная инфракрасная трудность в инстантонных вычислениях существует только для масштабноинвариантных теорий, когда появляются инстантоны всех размеров. Для систем типа ЗПП, (1 + 1)-мерной абелевой модели Хиггса или (2 + 1)-мерной мод ел и Джорджи—Глэшоу (исследованной Поляковым [287 ]), где инстантоны имеют конечное действие и некоторый конечный размер, нет оснований отвергать вычисления в приближении разреженного инстантонного газа. Требуется только выбрать константу связи малой в масштабах порядка инстантонного размера, и квазиклассическое приближение должно дать хорошие результаты. К сожалению, физически важная модель, а именно КХД в (3 + 1) измерениях, не попадает в эту категорию. Здесь следует опять отметить, что, даже если квазиклассические вычисления с использованием инстантонов, меронов и т. д. для системы Янга——Миллса или КХД терпят

неудачу, не вся информация, которую мы получили на этом пути является неправильной или бесполезной. Точные одно- и много- инстантонные решения для этих систем, конечно, существуют. Гомотопическая классификация калибровочных преобразований и классических вакуумов не имеет ничего общего с сильной или слабой связью. Наконец, непрерывное семейство вакуумов, описываемое углом 0, также может существовать, несмотря на инфракрасные проблемы сильной связи. Напомним наш альтернативный способ введения 0-вакуумов. Можно просто начинать с 0-зависимого семейства лагранжианов Z + А%, которые все одинаково пригодны в качестве исходных для полевых уравнений Янга—Миллса. Для каждого лагранжиана при заданном 0 квантовая теория может быть определена с использованием соответствующего действия в функциональном интеграле.Мы можем оказаться неспособными вычислить функциональный интеграл с использованием инстантонов ввиду проблем сильной связи. Но до тех пор пока дают некоторый вклад конфигурации с J Тг 9“у乐V) dx * о, мы можем ожидать, что слагаемое А% будет приводить к различным теориям для каждого 0. Такой 0-вакуум можно рассматривать как вакуум соответствующего гильбертова пространства состояний. Этот аргумент в пользу С-вакуумов и 0-секторов состояний является только предположением, но он не зависит от деталей инстантонных вычислений.

ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ИНСТАНТОННЫХ ЭФФЕКТОВ

11.1. Инстантоны и конфайнмент

В предыдущей главе мы показали, как инстантоны и связанные с ними гомотопические соображения могут резко изменить структуру вакуумного состояния в некоторых полевых теориях по сравнению с пертурбативным вакуумом. Неудивительно, что этому сопутствуют другие обусловленные инстантонами следствия в поведении таких теорий. Одно из этих следствий относится к явлению «конфайнмента» (удержания кварков в адронах).

Мы уже касались этого явления в предыдущих главах. В природе кварки, которые, как принято считать, являются составными частями адронов, наблюдаются редко, если вообще наблюдаются. Принято считать также, что адроны, по всей вероятности, описываются неабелевой калибровочной теорией, в которой кварки взаимодействуют с калибровочными полями. (Наиболее популярным кандидатом является квантовая хромодинамика, где калибровочная группа есть «цветная» группа SU (3), которая выбирается так, чтобы не было спонтанного нарушения (разд. 11.2). В больших моделях «большого объединения», которые являются попыткой объединить сильные взаимодействия с электрослабыми взаимодействиями, эта группа SU (3) вложена в большую калибровочную группу.) Поэтому одной из наиболее важных задач физиков, занимающихся теорией частиц, является выяснить, можно ли доказать, что в таких калибровочных теориях кварки испытывают дальнодействующую силу притяжения, достаточно большую, чтобы удерживать их в адронах. Ясно, что такая сила может возникнуть только за счет непертурбативных эффектов. В теории возмущений силы между кварками, обусловленные обменом калибровочными бозонами, в (3 + 1) измерениях спадают как 17г2 совершенно так же, как в обычной электродинамике. Как известно из электродинамики, такая сила не может удерживать соответствующие зарядк.

С самого начала одним из мотивов, обусловивших развитие ийстантонной физики, была надежда, что непертурбативные ин- стантонные эффекты могут привести к такому конфайнменту кварков (см. [285 ]). К сожалению, последующие исследования обнаружили, что для квантовой хромодинамики в (3 + 1) измере-

12 Раджараман Р・

ниях инстантоны едва ли приведут к удерживающему потенциалу между кварками —по крайней мере не в прямолинейном вычислении для инстантонного газа. Тем не менее интуитивное чувство, что инстантоны должны порождать тенденцию к конфайнменту, не является неправильным. В самом деле, в моделях с малым числом пространственных измерений может быть показано, что инстантоны осуществляют конфайнмент в том смысле, что они порождают притягивающую энергию взаимодействия, которая продолжает расти с расстоянием. Двумя известными примерами, В которых может быть показано, что это происходит, являются двумерная абелева модель Хиггса [66 ] и трех (2 + 1)-мерная неабелева модель Хиггса [287]. Мы приведем первый пример, поскольку он проще и большая часть черновой работы уже проделана в разд. 10.3.

Напомним, что для этой абелевой двумерной модели Хиггса теория возмущений предсказывает наличие явления Хиггса. При этом явлении калибровочное поле имеет массу, пропорциональную eF (см. (10.36)), что приводит к появлению короткодействующей силы, которая экспоненциально спадает на расстояниях порядка (в/7)-. Но, как мы видели в разд. 10.3, правильные ва- куумы не являются пертурбативными. Они являются 0-вакуумами, получающимися при учете инстантонных (туннельных) эффектов, которые непертурбативны. Соответственно можно ожидать, что черты, ассоциируемые с явлением X иггса, также отсутствуют. В частности, мы покажем, что система будет содержать дально- действующее электрическое поле. Когда в 0-вакуум помещены две заряженные частицы противоположных знаков, на них действует притягивающий потенциал, линейно растущий по мере увеличения расстояния между ними. Чтобы развести их на бесконечное расстояние друг от друга, потребовалась бы бесконечная энергия, т. е. они находятся в конфайнменте.

Прежде чем мы покажем это, заметим, что даже в отсутствие внешних зарядов 0-вакуум обеспечивает наличие постоянного фонового поля. Рассмотрим среднее значение евклидова электрического поля〈尸 12〉а в 0-вакууме. Так как вакуум трансляционноинвариантен, имеем

〈尸 12 (х,' т')〉е = (1 /2Lt)(J 沁尸川废，0 = (2л/〃т) (Q)0, (11.1)

где Lt ~> оо —объем евклидова пространства-времени, a Q — «число оборотов» в (10.54). В формализме евклидова функционального интеграла такое среднее значение дается выражением

[况/И 况 0n 况 0*1「S/Q%[况/И 况 0n 况 0*1「S/Q%[况4J [勿0n况0*1 e-S/Q®[况4J [勿0n况0*1 e-S/Q®(И.2)(И.2)

[况/И 况 0n 况 0*1「S/Q%

[况/И 况 0n 况 0*1「S/Q%

[况4J [勿0n况0*1 e-S/Q®

[况4J [勿0n况0*1 e-S/Q®

(И.2)

(И.2)

Напомним, что вакуумный функционал для 0-вакуумов включает (см. (10.72)) сумму по полевым конфигурациям во всех секторах Q с весовым множителем MQe-s, S ~ SE + 5фк. Знаменатель в (11.2) служит для нормировки. Следовательно,

〈尸 12 (х, т')〉е = (2n/eLr) (Q)0 =

=薔备口n J [砂力"h纱小h纱卢]ede一s]=

~ — (2冗〃以/г) (d/d6) [—Em] (используя (10.72))=

=(2ni/eLr) (d/d0) [(C — 2Be-s° cos 0) Lt] (используя (10.63))=

=(2л//е) 2jBe-s。se 也(11.3)

Таким образом, мы видим, что 0-вакуум обладает постоянным «фоновым» электрическим полем, которое не равно нулю, если 6，0 или л. Мнимый множитель i есть не что иное, как артефакт евклидовой метрики, когда (尸 12)евкл =，(尸о1)ми%

Поместим в этот 0-вакуум два точечных заряда ±q на большом, но конечном расстоянии Z друг от друга и вычислим результирующее изменение энергии. Способ осуществления этого ка- либровочно- и лоренц-инвариантным образом был предложен Вильсоном [353 ]. Рассмотрим этот способ в применении к нашей задаче. Пусть в некоторой точке Р в евклидовой плоскости (х, V) возникли два заряда 土q. Пусть они затем расходятся на расстояние Z друг от друга, остаются неподвижными на этом расстоянии в течение евклидова времени т, потом сближаются и аннигилируют в Q. Мировые линии этих двух зарядов вместе образуют замкнутую петлю (рис. 21). Параметры петли L и т не следует смешивать с L и т, которые задают размеры всего евклидова пространства-времени, в которое помещена эта петля. Мы будем работать в пределе, когда L； t и ^ стремятся к бесконечности, причем t》т. Расстояние L сохраняется большим, но конечным.

Взаимодействие некоторой внешней плотности тока 九 с полем А^ описывается действием SE3 = J d^xj^A^. В нашем случае плотность тока 八 полностью обусловлена двумя точечными зарядами, движущимися по периметру петли. Отсюда /g d2x -> q 4/%中 где dxu описывает линейный элемент петли. Следовательно, SB3 сводится к криволинейному интегралу по петле, задаваемому выражением

"S*=g$ 411dx口，(11.4)

Это дополнительное действие, обусловленное внешними зарядами. В формализме интеграла по траекториям это, очевидно, приводит 12*

к появлению в вакуумном функциональном интеграле дополнительного множителя

W 三 exp (i'SB3) = exp ^iq А^ dx^ . (11.5) (Даже в евклидовой метрике экспонента в W по-прежнему будет иметь множитель Л Напомним, что i [儿侦儿皿=—，X X [Лц dxu ]евкл, где знак минус учтен при выборе в интеграле

IАI

Рис. 21. Петля Вильсона. Заряды 土g рождаются в Р и за (евклидово) время тг расходятся на расстояние L. Затем они остаются в покое на время т и, наконец, сближаются за время ti и аннигилируют. Величины тх и L конечны, a Ff 8. Штриховой прямоугольник изображает границу пространства-времени.

по петле направления обхода против часовой стрелки на рис. 21. Заметим, что множитель W, который можно назвать петлевым множителем Вильсона, является калибровочно-инвариантным и лоренц-инвариантным.) Поэтому вакуумный функциональный интеграл в присутствии этих зарядов имеет вид

Нормируем это выражение на обычный интеграл в отсутствие таких зарядов и рассмотрим величину

[@[狐,0, elceQ/S/Q^}

〈取〉е = —：-~ :~ •(11.6)

Знаменатель, который является таким же, как в (11.2), дает е~^\ В числителе мы имеем дополнительное взаимодействие, обусловленное внешними зарядами. Оно должно порождать дополнительную потенциальную энергию АЕе (L) двух статических зарядов, расположенных на расстоянии L друг от друга в течение времени т. Конечным временем т15 которое требуется зарядам, для того чтобы разойтись или аннигилировать (рис. 21), можно пренебречь по сравнению с временем т, в течение которого они находятся в покое, поскольку т -> оо. Следовательно, как мы убедимся ниже, числитель дает ехр [—£0т—А£е (L) т ]. Поэтому

lim(r)e = ехр[—Е” —(11.7а)

или

AEe(Z) = !im - (1/т)1п(Г)е.(11.76)

Это и есть способ Вильсона для получения потенциальной энергии двух внешних зарядов в зависимости от расстояния между ними. Мы продолжим вычисление〈场％, используя приближение разреженного инстантонного газа, введенное в гл. 10. Это было сделано Калланом и др. [66 ] (см. также [89 ]). Мы суммируем по всем конфигурациям пх инстантонов и п2 антиинстантонов, расположенных на больших расстояниях друг от друга. На целые числа л】и л? не положено никаких ограничений, так как мы суммируем по всем Q = 勺 一п2 в (11.6). Знаменатель в (11.6) есть обычный интеграл для вакуумной энергии. Как сумма по инстантонам он, очевидно, имеет вид (см. гл. 10)

Чняменятегть — аё~clх £ (a一门2)8一

ondMcrid 1 c Jib —u~: —

=Ae"CLx exp(2BLt cos 9^°)»(11.8)

где константы А, В и С, которые по-прежнему не представляют для нас интереса, те же, что и в гл. 10. Это дает обычную вакуумную энергию 马 в (10.63).

В числителе (11.6) мы имеем множитель Вильсона W, показатель экспоненты которого содержит интеграл Лц dx^ по периметру петли на рис. 21. В результате числитель факторизуется на части внутри петли и вне петли. Любая конфигурация, содержащая л】 инстантонов, имеет:

некоторое число (п1)внутр^ инстантонов, находящихся полностью внутри петли (последнее замечание существенно, поскольку инстантоны в этой модели имеют конечный размер);

некоторое число (Л1)внешн инстантонов, находящихся полностью вне петли;

несколько инстантонов, пересекающихся с периметром петли.

Так как мы работаем в пределе больших L и т -> оо, отношение площади петли к периметру велико, поэтому доля инстантонов категории《в》весьма мала, и мы будем ими пренебрегать. Это замечание справедливо также для числа антиинстантонов п2. Мы суммируем не только по всем пг и п2, но и по всем возможным положениям инстантонов и антиинстантонов для всех пх и п2. Если мы обозначим такую сумму через 2{仆《「символически

(11.9)(11.9)@2行%/^ ]. (и.ю)@2行%/^ ]. (и.ю)можем записать

(11.9)

(11.9)

@2行%/^ ]. (и.ю)

@2行%/^ ]. (и.ю)

} {疋нешн, пвнешн} {疋нешн, пвнешн{门“ п4 {м；нутр, лвнутр

} {疋нешн, пвнешн

} {疋нешн, пвнешн

Кроме того,

W = exp'0q 巾 Лцdx^ = ехр

внутр J /

Член в квадратных скобках выглядит как число Q в (10.54), но интеграл берется только по внутренней части петли. Следовательно, это будет порождать число оборотов л；нутр — п^у^ от внутренних инстантонов и давать нуль для внешних. Наконец, в пределе т -> оо площадь внутренней части петли есть Lt в главном порядке по т. Принимая во внимание все эти соображения, найдем, что в приближении инстантонного газа числитель (11.6) будет равен

числитель = Ae~cLx[ £ exp [i (пГутр-^нут₽) (0+2л<7/е)] х I “；нутр,唱нутр

пвнутр+пвнутр \(“"УТР)!(崂нутр)!

£ ехр [г(пГшн-пГшн)О] X

I “：нетн, „внешн

внешн 1 „внешн

(П；нетн)!(嗖ешн)!

口 АГСхЬ exp (2Be~s" [(Lr 一 工② cqs 9 f Lt cos (9 十 2叫/е" }• (11.11)

Мы использовали здесь тот факт, что внутренняя площадь равна Lt, в то время как внешняя площадь равна (£т ——Lt). Деля выражение (11.11) на (11.8), мы имеем для (11.6)

(W)q = ехр {2Be~s°Lx [cos(0 十 2nq/е) — cos 0]}. (11.12) Подставляя это выражение в (11.7), получаем

А£е (L) = 2Be~s°L [cos 0 - cos (6 + 2ng/е)]. (11.13)

Наиболее важная черта этого результата состоит в том, что при больших расстояниях L потенциальная энергия линейно растет с ростом L. Это соответствует удерживающей силе, которая остается постоянной на больших расстояниях. Заметим также, что энергия (11.13) периодична по внешнему заряду q. При q = = Ne, где N — произвольное целое число, эта энергия обращается в нуль. Удерживающая сила существует только для нецелых внешних зарядов (в единицах е). Естественное объяснение состоит в том, что когда q = N% система рождает ^ заряженных пар +е между внешними зарядами 士q и экранирует последние. Когда qle нецелое, такое экранирование не является полным, поскольку система может рождать только частицы с целочисленным зарядом; при этом сохраняется удерживающий потенциал (11.13).

При такой интерпретации предполагается, что система может рождать частицы заряда 士е опять в противоположность пертурбативному результату механизма Хиггса (см. (10.36)), когда остается только нейтральное скалярное поле 刀.Кажется, что инстантонные эффекты заставляют модель Хиггса вести себя аналогично «нехиггсовой» модели. Под последней мы понимаем модель, в которой константа F2 в исходном лагранжиане (10.31) выбрана отрицательной. Такая модель есть не что иное, как обычная скалярная электродинамика, которая имеет единственный вакуум, частицы заряда ±е и стандартное кулоновское взаимодействие, которое в одном пространственном измерении также линейно растет. Но существует решающая разница между линейным кулоновским потенциалом в нормальной нехиггсовой электродинамике в (1 + 1) измерениях и линейным потенциалом (11.13) в нашей модели. В первой мы ожидаем линейного потенциала уже на классическом уровне. Квантовый результат будет существовать даже при й->0. В противоположность этому в (11.13) линейный потенциал экспоненциально мал по й. Заметим, что, если бы мы сохранили зависимость от й, выражение (11.13) имело бы множитель e^s^n. Таким образом, удерживающий потенциал в абелевой модели Хиггса является в очень сильной степени непертурбативным квантовым эффектом, обусловленным инстантонами.

Подобное исследование может быть также проведено для неабелевых калибровочных теорий. Петлевой множитель Вильсона для неабелевых теорий [353 ] есть на что иное, как упорядоченный по пути интеграл Р [ехр 卜巾力口岗小 в матричном обозначений для неабелевых калибровочных полей (определение «упорядочения по пути» см. в гл. 4). Используя это, Поляков [287 ] исследовал инстантонные эффекты в конфайнменте в (2 + 1)- мерной неабелевой модели Хиггса. Эта модель более сложна, чем наша абелева, такими же являются и расчеты, но Поляков снова обнаружил линейный потенциал, обусловленный инстантон- ными эффектами. Напомним, что в двух пространственных измерениях обычный классический кулоновский потенциал должен расти с расстоянием только логарифмически.

Было бы весьма удобно, если бы инстантоны порождали такой удерживающий потенциал в (3 + 1) измерениях либо для КХД, либо для эталонного 5/7(2)-янг-миллсовского случая. Напомним, что, согласно гл. 4, хотя индекс Понтрягина Q для янг- миллсовского случая является калибровочно-инвариантным, он может быть записан как поверхностный интеграл от тока, который локально зависит от калибровки.

<?=$//</, где /u = ~2^2-Тг[^роА^рАо]. (11.14)

Для инстантонов, расположенных далеко от петли Вильсона, А^ ——чистая калибровка на петле и может быть без изменения Q преобразована калибровочным преобразованием в 74K = 0 на петле. Полный «поток Понтрягина» j^doR можно преобразовать в тонкую трубку (по существу «струну» в четырех измерениях), исходящую из инстантона, и эта трубка может быть выбрана так, чтобы избежать пересечения с петлей. Тогда единственный вклад в петлю Вильсона был бы обусловлен инстантонами вблизи периметра петли. Их вклады пропорциональны периметру петли, а не Lt (в смысле экспоненты в (11.12)), поэтому никакой удерживающей силы не порождалось бы (см. также разд. 11.5). Конечно, это утверждение может быть сделано только для инстантонов некоторого конечного размера. Для произвольно больших янг- миллсовских инстантонов с ассоциируемыми с ними инфракрасными проблемами сильной связи на нашем уровне обсуждения какого-либо четкого утверждения сделать нельзя. Каллан и др. [65, 67 ] выдвинули аргументы в пользу предположения о том, что если в квазиклассические вычисления включить также меронные конфигурации, то в результате мы получим удерживающий потенциал. Понятие меронов мы ввели в сжатом виде в предыдущей

главе. Но как там отмечалось, обсуждение расчетов с меронами выходит за рамки данной книги. Интересующиеся этим вопросом читатели отсылаются к работам Каллана и др.

Связь безмассовых фермионов с КХД

Мы изучили вакуумную структуру чистой теории Янга —— Миллса, следующую из туннелирования между топологическими вакуумами. Когда безмассовые поля со спином 工厶 взаимодействуют с полями Янга—Миллса, они приводят к дальнейшим изменениям свойств вакуумного состояния. Кроме того, что эта система безмассовых фермионов, взаимодействующих с неабелевыми калибровочными полями, приводит к интересным теоретическим следствиям, она имеет некоторую связь с адронной физикой реального мира. Прежде чем изучать вакуумную структуру этой системы, полезно кратко остановиться на этой взаимной связи. Напомним, что мы периодически ссылались на квантовую хромодинамику (КХД) как на подающего надежды кандидата на роль теории, дающей описание адронной физики. Опишем теперь подробнее эту модель [146, 147, 276 ]. КХД есть неабелева калибровочная теория в (3 + 1) измерениях. Калибровочной группой (так называемой «цветной» группой) является группа SU (3), поэтому требуется восемь калибровочных полей /：, а = 1, ..., 8. Они могут быть представлены в совокупности с помощью анти- эрмитовой ЗХ 3-матрицы аналогично тому, как это сделано для системы Янга——Миллса. Пусть 九。/2 ——эрмитовы бесследовые генераторы SU (3) в фундаментальном (3X3)-представлении. Они удовлетворяют следующим коммутационным правилам

[V/2, %ь/2] = ifatc^!4, (11.15)

где fabc —структурные константы группы SU (3), Тг (九咖)= = 25叫 Тогда по аналогии с (4.5) запишем

& (х, /)=告£ ГХ(х, /), (11.16)

где g ——калибровочная константа связи. Тензорные поля формально определяются тем же уравнением, как в случае SU (2), а именно

В КХД эти калибровочные поля взаимодействуют с несколькими видами кварков со спином 工厶.Каждый вид кварков описывается дираковским полем Т^ где / ——индекс «аромата», а ——цветной индекс, а спиновый индекс опущен. Индекс аромата / = 1, 2, 3, 4 и т. д. обозначает соответственно кварки 〃 (up), d (down),

s (странный), с (очарованный) и т. д. Полное число ароматов не играет роли в нашем обсуждении. Мы не будем его конкретизировать, так как продолжается открытие новых ароматов. Для данного аромата / 4f4 (а = 1, 2, 3) преобразуется по фундаментальному (триплетному) представлению цветной группы SU (3). Кварки имеют массы m/t В общем случае последние могут зависеть от аромата, но не от цвета, который является точной калибровочной симметрией модели. Калибровочно-инвариантная -плотность лагранжиана для этой модели Ьмеет вид

2 (х, /) = £ (巾八“一叫觴叫十 & Tr [GuG〕(11.18) где

(D^ = (d., + А^ (И.19) и всюду, где необходимо, подразумеваются единичные матрицы 3x3. Мы не будем подробно приводить всю экспериментальную информацию, которая служит поводом для формулировки модели (11.18) (см., например обзоры [246, 264 ]). Очень кратко можно сказать, что тройная цветная симметрия кварков обусловлена статистикой Ферми—Дирака, применяемой при построении барионов из трех кварков ) Требование, чтобы эта симметрия была локальной калибровочной симметрией, возникает из свойства ас им птотической свободы последней (в глубоко-неупругом лептонном рассеянии на адронах кварки, по-видимому, являются слабо взаимодействующими). Наконец, присутствие кварковых полей с различными ароматами в (11.18) обусловлено открытием различных семейств адронных резонансов, интерпретируемых как связанные состояния кварков с этими различными ароматами.

Существуют также некоторые причины для того, чтобы положить массы кварков и и d {mh f =1,2) равными нулю в начальном приближении. Косвенные данные по массам кварков заставляют считать, что 恤 и т2 много меньше, чем массы кварков с другими ароматами. Более того, когда т1 = т2 = 0, модель (11.. 18) обладает дополнительными симметриями помимо цветной симметрии SU (3). Безмассовые кварки 〃 н d, очевидно, удовлетворяют полевым уравнениям

俨。“暇=у"仇+ 4)5= 0, (11.20)

*(一方"十&)Y" = 0, (11.21)

Необходимость введения для кварков дополнительного квантового числа —— «цвета», обусловленная ферми-статистикой кварков, впервые отмечена в работе Боголюбова, Струминского и Тавхелидзе [372* J.——Прим, перев,

для / = 1, 2. В (11.20), (11.21) мы опустили цветной индекс в дополнение к спинорным индексам. Рассмотрим теперь дублет

%三[中2

как изоспинор относительно группы SU (2). Тогда легко убедиться, что все шесть токов х (出/2) 丫乩(1 士 禽)у сохраняются при учете (11.20), (11.21), где 出/2 (i = 1, 2, 3) —обычные SU (2)-генера- торы, действующие здесь на 左спннор по запаху. Это показывает, что теория обладает также киральной SU (2)(g> SU (2)-симме- трией. (Появившиеся в последнем предложении группы SU (2) не следует путать с подгруппами SU (2) цветной калибровочной группы SU (3). Эта киральная симметрия является глобальной симметрией, действующей в пространстве запахов кварков 〃， d, и не зависит от цветной группы.) Такая киральная St/ (2) ® ® SU (2)-симметрия также подтверждается экспериментом. Ее диагональная подгруппа SU (2), ассоциируемая с тремя аксиальными векторными токами, является обычной изотопической спиновой группой, которая, как хорошо известно, является хорошей симметрией сильных взаимодействий. Остающаяся симметрия, ассоциируемая с тремя аксиальными векторными токами, также известна как хорошая симметрия, но она проявляется в спонтанно нарушенной форме. Учтя эту спонтанно нарушенную симметрию, мы рассчитываем обнаружить изовектор из трех псевдоскалярных бозонов Намбу—Голдстоуна [43, 171, 172, 260 ]. Три найденных в природе л-мезона отождествл я юте я с эт ими бозонами. Кроме того, киральная SU (2) ® SU (2)-симметрия привела к множеству результатов по «мягким пионам», хорошо подтверждаемых -экспериментами (см. обзор [7 ]). Конечно, на самом деле пионы имеют малую, но ненулевую массу, указывающую на то, что киральная симметрия SU (2) ® SU (2) не является точной симметрией и? что аксиальные векторные токи сохраняются только приближенно. Это свойство может быть введено в модель (11.18) приписыванием кваркам and малой массы. Но в первом приближении SU (2) ® SU ⑵ можно рассматривать как точную симметрию и положить mt и т2 равными нулю.

Заметим, однако, что выбор mt = т2 ^ 0 порождает не только желаемую киральную SU (2) X SU (2)-симметрию, но, по-види- мому, приводит к большей симметрии U (2) & U (2). В дополнение к шести изовекторным токам, упомянутым выше, за счет полевых уравнений (11.20), (11.21), по-видимому, должны сохраняться два изоскалярных тока ху^ (1 土 北)兀 Сохранение векторного тока 計"у, связанное с сохранением соответствующего кваркового числа, физически приемлемо. Но аксиальный векторный ток х?цТбХ> связанный с симметрией U (1) относительно

4ff —标仪^屮厶 / = 1, 2, создает проблемы. Если эта симметрия не является спонтанно нарушенной, то массивные адроны должны появляться в дублетах по четности, чего они не делают. С другой стороны, если эта симметрия спонтанно нарушена, то должен быть соответствующий изоскалярный, лоренц-псевдоскалярный голдстоуновский бозон. Но известный спектр мезонов не предоставляет подходящего кандидата на роль этого голдстоуновского бозона. Конечно, мы не рассчитываем обнаружить, что в природе такой бозон не имеет массы; те же поправочные слагаемые к кварковым массам, которые делают киральную симметрию St/ (2) ® (8)SU (2) приближенной и приводят к некоторым массам л-мезонов, должны также делать киральную симметрию U (1) приближенной. Но по оценке Вайнберга [344 ] масса этого бозона должна быть меньше, чем |/ Зтл, в то время как наинизшим изоскаляр- ным JP = 0~-мезоном в спектре частиц является ri-мезон, масса которого около 4тл!

Это отсутствие в природе, с одной стороны, дублетов по четности, а с другой — подходящего голдстоуновского бозона, рассматривалось как серьезная проблема в КХД [147, 344 ]. Решение этой проблемы было предложено т'Хофтом [331, 332 ] (см. также [221, 271]; другую точку зрения, детально аргументированную, см. в работе [97 ]). Мы не можем рассматривать предложенное решение этой проблемы U (1), но одна черта этой проблемы, которая приводит к различию между аксиальным векторным U (1)-током и аксиальным векторным SU (2)-током в КХД, состоящему в том, что первый допускает «аномалию», имеет отношение к нашему обсуждению структуры вакуума.

Подавление вакуумного туннелирования безмассовыми фермионами

Предшествующее изложение можно рассматривать как квинтэссенцию КХД с ударением на то обстоятельство, что имеется веская причина считать в начальном приближении некоторые кварки безмассовыми. Это побуждает нас к изучению системы безмассовых фермионов, взаимодействующих с -неабелевыми калибровочными полями. В частности, мы сосредоточим внимание на том, как явление вакуумного туннелирования, обсуждавшееся в гл. 10, изменяется в присутствии безмассовых фермионов. Наше рассмотрение будет проводиться не в терминах полной модели КХД (11.18), а в терминах более простой «миниатюрной» модели КХД (названной «младенческой» Коулменом [89], анализу которого мы будем следовать). Эта модель по-прежнему является неабелевой калибровочной теорией в (3 + 1) измерениях, но отличается от полной КХД в двух отношениях.

В качестве калибровочной группы выбрана SU (2), а не St/ (3).

Используются кварки только с одним ароматом. Они считаются безмассовыми и преобразуются по фундаментальному (дублетному) представлению калибровочной группы SU (2).

Калибровочно-инвариантный лагранжиан для этой миниатюрной КХД очевидно имеет вид (спиновые индексы опускаются)

①(X, 方)=底(嗽%歳呼+(1/2g2)n3《“，a,自=1, 2,

(11.22)

где G|1V и Q^ формально по-прежнему определяются в (11.17) и (11.19), но теперь Дц —SU (2)-поле Янга——Миллса, описываемое матрицей 2x2, согласно (4.5). Можно видеть, что модель (11.22) содержит все существенные черты, которые нас интересуют. Она содержит безмассовые фермионы и аксиальный векторный ток 4f«丫卩丫5屮а, который, по-видимому, должен сохраняться за счет полевых уравнений. Калибровочная группа SU (2), выбранная вместо SU (3), упрощает вычисления без потери в богатстве гомотопической структуры. Из теоремы Ботта, на которую мы ссылались в гл. 4, известно, что соответствующая гомотопическая группа 冗3 (SU (3)) для полной КХД в любом случае связана с 冗？ некоторой подгруппы SU (2) группы SU (3).

Мы будем исследовать вакуумную структуру и связанные с ней черты модели (11.22), по существу комбинируя методы гл. 9 и 10. Ферми-поле не имеет с-числового классического предела, а также вакуумного среднего. Поэтому множество «классических вакуумов», вокруг которых должно строиться основное квантовое состояние для (11.22), содержит только поле Янга—Миллса, т. е. его чисто калибровочные конфигурации с нулевой энергией. Мы уже классифицировали их по гомотопическим секторам N; в любой данный момент времени и для каждого сектора N мы можем построить «топологическое вакуумное» состояние | N). Евклидова амплитуда перехода 〈N + Q | е-"。| N) опять определяется евклидовым функциональным интегралом в четырех измерениях, где граничные условия на Дц характеризуются калибровочно-инвариантным индексом Понтрягина Q. До этого момента фермионы не влияли на анализ. Но значение амплитуды 〈N + Q I е~Нт I N〉，конечно, изменяется в присутствии безмас- совых фермионов. Поле 4f входит в евклидово действие, и по нему должен браться интеграл в дополнение к калибровочному полю в функциональном интеграле для этой амплитуды перехода. Евклидово действие Зевкл, соответствующее лагранжиану (11.22), имеет вид

^евкл = Sa 十 Ss SA= ~ ^5~ j Tl* (Gp1VG^J d&x,

ST = i j ^D^x = J ^M (Дц) Wx, (11.23)

где

m(/)三f伍十儿)也加. (11.24)

Слагаемые, фиксирующие калибровку, и цветные индексы для простоты опущены; подразумевается, что они учтены. В евклидовой метрике матрицы 丫乩 выбираются эрмитовыми, удовлетворяющими условию {тц, у*}+ = б^. Матрица у5 三 Y1Y2Y3Y4 также эрмитова с 丫^ = 1. «Туннельная амплитуда» между топологическими вакуумами | ^) и | N + Q〉дается выражением

lim {N^Q\ ^Нх IN)= j 纱[&]q j@ [屮叮纱[W]e—SeBK“，(ц.25) где интегрирование по грассмановым полям 屮,4f十 определено в гл. 9. Зависимость действия от ферми-поля через S^ билинейна, и, следовательно, интеграл по фермионам может быть взят точно. По аналогии с (9.66) имеем

工段〈2 + QI е~『N〉= К J ②[&]q e~S{ Det IM (&)], (11.26) где Ki — константа.

Покажем теперь, что этот интеграл в точности равен нулю. Оператор М (勺)(11.24) есть оператор Дирака в присутствии внешнего поля Дц. Подобные операторы мы рассмотрели в гл. 9 (см., например, одночастичный гамильтониан Дирака (9.55)). Мы видели, что в некоторых случаях, когда внешнее поле подчиняется топологически нетривиальным граничным условиям, одночастичный гамильтониан Дирака имеет несколько собственных значений с нулевой энергией. В настоящем случае, когда метрика евклидова, оператор М (Дц) (11.24) эрмитов и в некоторой степени похож на,гамильтониан Дирака. Кроме того, поле Дц в операторе М (Дц) подчиняется нетривиальным граничным условиям, характеризуемым индексом Q в (11.26). Неудивительно поэтому, что когда Q，0, то М (Дц) также имеет одно или больше нулевых собственных значений. Как мы отметили выше (см. разд. 9.5 и приведенные там ссылки на литературу), обращение в нуль таких собственных значений связано с фундаментальными математическими теоремами о спектральном потоке. Это также связано с появлением здесь хорошо известного явления токовых аномалий. Последние мы используем для вывода существования нулевых собственных значений М (Лм).

Так как поле Дирака в (11.22) безмассовое, то полевые уравнения г (% + Лц) w4f 二 0 = iW (—応 + Лц) w， по-видимому, формально сохраняют аксиальный векторный ток /ц5 = =4f (х) Y^YgV (х) в дополнение к векторному току /ц = =4f (х) y^T (%), Это означало бы наличие киральной симметрии

U (1)(8)U (1). Но в действительности ток JM5 не сохраняется. Билинейное произведение вида 4f (%) ¥ (у) в квантовой теории поля расходится при х f у. Отсюда Уц и 7ц5, которые, если пользоваться данным для них выше определением, оба содержат произведение Т и V в одной и той же точке, являются плохо определенными в силу этой расходимости. Необходимо более тщательно определить эти токи, слегка раздвинув соответствующие точки калибровочно-инвариантным образом [306 ]. Это приводит к выражению

—Г /*+£/2\]

人5 =可(X打Y5 尸 exp I - j (/厶卩))4f

(11.27)

и аналогично для J^. Предел £f 0 берется последним. Заметим, что без упорядоченной по пути экспоненты по входящим в нее калибровочным полям комбинация (11.27) не была бы калибровочно-инвариантной относительно SU (2)-преобразований

匕(Х) f (е—А ⑺储呼(Х), Дц (Х) f е-А ⑺(儿 + %) е+А ⑴，

где А (х) — антиэрмитова матрица 2x2, использованная в (10.78).

Вычислив дивергенции J^ и /ц5, определенных в (11.27), и следя за сингулярными при е -> 0 слагаемыми, убеждаемся, что ток /ц по-прежнему сохраняется, а в дивергенции для /цб появляется аномальное слагаемое

电人5 = (〃8№) Тг 伍岛)(11.28)

Мы не будем выводить это выражение, которое представляет собой частный случай явления токовых аномалий, которое само по себе является важным предметом исследований [5, 23, 32 ]; обзор способов вывода этих аномалий см. в работе [190 ]. При сравнении выражения (11.28) с выражениями в указанных работах следует учесть, что множитель появляется за счет того, что мы работаем в евклидЬвой метрике. Мы будем считать выражение (11.28) заданным и исследуем его связь с явлением вакуумного туннелирования. В частности, мы используем эту аномалию для того, чтобы установить существование нулевых собственных значений безмассового оператора Дирака М (4J [61, 263, 305 ].

Мы подойдем к безмассовому случаю, начиная с массивного квантового поля Дирака в присутствии внешнего поля Дц, характеризуемого индексом Понтрягина Q. Для такой системы евклидово действие есть

(11.29)(11.29)

(11.29)

(11.29)

Наличие массового члена в (11.29) и в соответствующем полевом уравнении, как хорошо известно и легко проверяется, приводит к слагаемому ——2m4fy54f, явно нарушающему киральную симметрию в d^J^s, в дополнение к аномальному слагаемому. Заметим также, что для внешнего поля /卩 Tr [G^G^v ] пропорционален плотности Q (х) индекса Понтрягина, определенного в (4.18). Следовательно, для системы (11.29) выражение (11.28) заменяется на

电人 5 = — 2团再54f — 2fQ (x).(11.30)

Проинтегрируем (11.30) по евклидову объему и вычислим евклидово вакуумное среднее. Левая часть равенства дает

j〈。卩，|л5〉евкл d“X =，加q〈Jц5)евкл =。，(11.31)

где поверхностный интеграл на бесконечности обращается в нуль, поскольку поле Дирака является массивным (короткодействующим), а Лц есть как раз внешнее поле в (11.29). Поэтому правая часть (11.30) дает

о = - 2m J (ТТ5Т)евкл d& — 2〃 Q (х)妆，

или

2m j〈呑5У〉евкМ& = - 2iQ.(11.32)

Вычислим вакуумное среднее J〈屮丫5屮〉евкл d&%, используя евклидов функциональный интеграл для системы (11.29). Имеем

0可(加5w(9)典)ew =

j 勿[T+ (х)] 0 N (х)] {e-s j ^y [Ф (y) 丫5屮((/)]}

J纪[中十⑴]⑦[中(X)]e-s

где евклидово действие S определено в (11.29). Пусть .fr (%)—— спинорная собственная функция эрмитова оператора (гОцуц) с собственными значениями 九「，нормированная так, что

方，(％)% (无)d&% — 5〃，・ Конечно,力(％) также будет собственной функцией (iD^ —fm), удовлетворяющей условию

Как объяснялось в гл. 9, грассманово поле 4f (%) мы представляем в виде

^(х) = и arfr(x), ¥ (х) = U arfr (х),(11.35)

Гг

так что

S = j 4f(%)(办乩加一im) 4f (x) d&x =工 arar & — im). (11.36) r

Отсюда при использовании меры (9.31) знаменатель (11.33) становится равным

j П (dar dar) exp (—工 arar (Xr 一 加)]=П (^r —沂)・(11.37)

(По сравнению с мерой в (9.31) мы опустили множители Л Они в любом случае сокращаются в числителе и знаменателе (11.33). Мы можем также выбрать определение евклидовой меры без множителей L) Используя разложение (11.35), числитель (11.33) можно привести к виду

j П (,dardar) П ехр [— а^ 仇г —询](工 as^as j fs，(у) y5/s (g)出= r厂\ssrу

=j П {dardar[\ — arar & — гт)]) / 工 as，as j 卜(g) 丫5力匂)典].

\ ssr丿

(11.38)

Напомним правила грассманова интегрирования из гл. 9. Когда подыинтегральное выражение в (11.38) разложено в сумму произведений символов а и а, ненулевые интегралы дают только те слагаемые, которые содержат каждые а и а один и только один раз. Здесь это правило с необходимостью приводит к тому, что s = s', и приводит (11.38) к виду

£ jd%(fs(g)Y5%(g)) 口&―浙)・(Н-39)

sys

Деля (11.39) на (11.37), для (11.33) получаем

/「—\(у) ?5/5 (у)

〈[屮(g5w(〃)典%工f-m) — •⑴/。)

Нцпомним, что /г удовлетворяют условию

(也)??b)/Г (")-入 Jr (") при

Так как (，Q/vJ антикоммутирует с 已，функция 丫力 также будет собственной функцией (iD^y^, но с собственным значением (——X,.). Следовательно, согласно условию ортогональности (11.41),

j fs?5力 d4y = 0, если h，0・ (11.42)

Если некоторое 九$ равно нулю, то /s и уб/5 вырождены и всегда можно выбрать имеющую определенную хиральность функцию /5} т. е. у5fs = +/s или —/$・ Отсюда для любого нулевого собственного значения Xs j ]syJs d^y = ± 1. В целом (11.40) сводится к

〈[丐5屮典〉евкп = (1/(—询)(九+ — «-), (П-43)

где n+ (n_) —число собственных функций с нулевыми 九 и положительной (отрицательной) хиральностью. Подставляя (11.43) в (11.32), получаем

Q = * — ”・ (11.44)

Таким образом, начав с уравнения для дивергенции аксиального тока (11.30), мы получили простое соотношение между числом нулевых собственных значений оператора (fQ/vJ и индексом Понтрягина Q поля Дц. Это соотношение выводится, исходя из массивного поля Дирака, но (11.44) не имеет зависимости от т} поэтому можно взять предел m -> 0 без каких-либо ограничений. В частности, когда Q ——ненулевой целое число, п+ и п. не могут быть оба равны нулю. Следовательно, должно быть по крайней мере одно нулевое собственное значение.

Вернемся теперь к функциональному интегралу (11.26) для произвольного данного ненулевого целого Q. Каждая конфигурация Дц в функциональном интеграле обладает тем же индексом Понтрягина Q)и мы показали, что iD^y^ должно иметь по крайней мере одно нулевое собственное значение для каждого такого /屮 Ясно, что то же справедливо для оператора М (Дц) = 丫《(’。仙小)， использованного в (11.23)—(11.26). Следовательно, Det [М (』仙)]^= = 0 для каждого Дц в функциональном интеграле (11.26), и этот интеграл в точности равен нулю. Это в свою очередь означает, что туннельная амплитуда lim〈N + Q\e~ Их\ N) обращается в нуль.

Явление вакуумного туннелирования, которое мы описывали для чистой системы Янга ——Миллса в гл. 10, подавляется при добавлении безмассовых фермионов.

Следует отметить, что это явление было открыто т'Хофтом [331 ], который получил в явном виде моду с нулевым собственным значением оператора i (0仙 + /以)丫仙 для специального случая?

когда полевая конфигурация Дц есть од^оинстантонное решение. Полученная им собственная функция имела вид

% (х — X, р) =(р2+(х：х)2)з/2 u°> a L45)

где По ——некоторый пространственно-независимый спинор, X и р —положение и размер одноинстантонного решения соответственно. Читатель может проверить, что при подходящем выборе и о собственная функция (11.45) в' точности удовлетворяет уравнению (0乩 + А^ уц/0 = 0, где в качестве Дц подставлено одноинстантонное решение (4.74). Отсюда ясно, что Det [М (Дц) ] = 0 для одноинстантонной конфигурации и, следовательно, функциональный интеграл (11.26) равен нулю в ква- зиклассическом разложении разреженного инстантонного газа. Но полученный выше результат (11.44) является более общим. Он означает, что Det М [Дц] = 0 для каждой конфигурации Дц в (11.26), и, следовательно, функциональный интеграл в точности равен нулю. Таким образом, этот результат не зависит от какого бы то ни было приближения разреженного инстантонного газа со связанными с ним проблемами, описанными в разд. 10.5.

Взаимосвязь между аномалией аксиального тока и подавлением туннелирования может также быть показана иначе. Вернемся на время в пространство Минковского, где уравнение аномалии (11.28) принимает вид

а%5 = -(1/8л2)Тг [G^G^]三 2Qm(x, /).(11.46)

Здесь QM (х, /)——аналог плотности Понтрягина Q (%) для пространства Минковского. Мы видели в (4.23), (4.24), что Q (х) можно записать как чистую дивергенцию. Эта конструкция может быть тривиально перенесена в пространство Минковского и дает

。"人6 = 2Q"(x, /)= 20%“，(11.47)

где

屈三一(1/8力ё2г[不(严即+等此4。)].(11.48)

Хотя из-за аномалии J^ не сохраняется, но модифицированный ток”

,/ц.5 三 /ц,5 — 2曲，(11.49)

очевидно сохраняется в силу (11.47). Соответствующий заряд

есть константа по времени и поэтому должен коммутировать с гамильтонианом:

@，〃] = 0・(И.51)

Заметим, что в то время как ток /цб является калибровочно-инвариантным за счет конструкции (11.27), ток /цб таким не является. Это связано с тем, что «топологический ток» 々乩，как мы отметили в евкл идовом контексте в гл. 4, кал ибровочно-неинвариантен. Поэтому Q5 = Q5 — 2 j ^0d3x есть сохраняющийся, но зависящий от калибровки заряд. В частности, рассмотрим пример «большого» калибровочного преобразования g^, определенный в (10.83). Это преобразование, которое переводит топологический вакуум | N) в |N + 1〉. Под действием этого преобразования Q5 изменяется вследствие изменения в j kQ(Px. Это изменение может быть получено подстановкой преобразованного- кал ибровочного поля (комбинируя (10.78), (10.82) и (10.83)) в выражение (11.48) для 匐. Алгебраические преобразования для калибровочного преобразования gi дают .

j k0d3x-^^ 々陋工}十 1 (11.52) и, следовательно,

U(gi)Q5U(g0T = Q —2.

(Напомним, что для статической чисто калибровочной конфигурации член j kQd3x есть как раз топологический заряд N (10.96), которой, как мы знаем, под действием g^ заменяется на N + 1 в соответствии с (11.52). Для произвольного Дц j ^0d3x не является уже целочисленным топологическим зарядом, но под действием g^ этот член по-прежнему изменяется на единицу, что и приводит к (11.52).)

Топологический вакуум 10) соответствует сектору N = 0 калибровочного поля. Он, конечно, является также фермионным вакуумом. Следовательно, Q610) = 0. Тогда 05卩〉=05u(出)|0〉=

= {U(gi)Q + 2U(gM|0〉(за счет (11.52)) = 2|1).

Действуя подобным образом далее, получаем

Q5\N) = 2N\N).(11.53)

Но [Q5, е~Нх] = 0 за счет (11.51); отсюда

0 ={M\[Qb) e~Hx]\N') = 2(M - N){M\e~Hx\N).

Поэтому

〈m广『心〜^М(11.54)

Таким образом, мы еще раз приходим к выводу, что туннельная амплитуда равна нулю, когда М ^= N. Стоящая за этим физика состоит в следующем: состояние | М〉связано с состоянием | N) калибровочным преобразованием g^, действующим (М——N) раз. Под действием этого преобразования Q5 в силу (11.52) должно измениться. Но Q6 сохраняется. Следовательно, переходов из | N) в любое другое состояние 1714) не может быть.

Таким образом, ситуация такова, что топологические в а ку у мы I N〉： 1) являются состояниями с наинизшей энергией в соответствующих гомотопических секторах, 2) вырождены по энергии друг относительно друга (так как большие калибровочные преобразования также коммутируют с Я) и 3) не туннелируют друг в друга, когда присоединяются безмассовые фермионы. Можно задать вопрос, есть ли какой-нибудь смысл конструировать в этом случае 0-вакуум или состояния | N) могут служить в качестве истинных вакуумов этой теории.

Каллан и др. [64 ] показали, что по-прежнему есть необходимость в построении 0-вакуумов в качестве правильных вакуумов вследствие свойства кластерного разложения ——требования, накладываемого на вакуум полевой теории. Пусть Q (х) н В (х)—— два локальных оператора, скажем, при / = 0. Тогда свойство кластерного разложения вакуумного состояния требует, чтобы (вак |/)(х) В (у) I вак)> (вак | /) (х) | вак) (вак | В (у) | вак).

1 X—у 1 тоо

(11.55)

Мы увидим, что состояния I ^) нарушают это условие для операторов с ненулевой хиральностью. Можно сказать, что оператор В (х) имеет хиральность с, если

@, В(х)] = сВ(х).(11.56)

Ясно, что оператор В^ (х) имеет хиральность ——с. Например, оператор 屮(х)三 4f (х) (1 — Y5) 4f (х) имеет хиральность с = 2, как это может быть проверено с использованием канонических одновременных коммутационных правил. Рассмотрим теперь матричный элемент произвольного оператора В (х) с ненулевой хиральностью 2c между топологическими вакуумами | А^) и | М〉. Имеем

2c(M\B{x)\N) = (M\[Q^ B(x)]|N〉= 2(M —N)〈M|B(x)|N〉・ Поэтому

В частности,

〈N|B(x)|N〉= 0, так как с，0・(11.58)

Если бы вакуумы | N) удовлетворяли кластерному разложению, то последнее с необходимостью приводило бы к

' lim {^ IВ+ (х) В (у) j ^) = ^ IВ+ (х) I ^) (^ IВ (у) I ^) = О [X —у 1 ->00

в силу (11.58). Но на самом деле этого не будет, так как если разложить { N \ В^ (х) В (у) I N) по промежуточным состояниям, то получим ненулевой вклад| В十(х) | № + с)〈N + с | В (у) | N).

В силу трансляционной инвариантности каждого матричного элемента этот вклад равен (^ |(0) | А^ + с) (^ + с | В (0) | N)

и остается ненулевым при | х ——у | f 8, нарушая кластерное разложение. Основная причина состоит в том, что, в то время как недиагональный матричный элемент〈N + c\B\N)，0, диагональный матричный элемент (^ | В | ^) =0. В противоположность этому рассмотрим матричный элемент между состояниями I 9)：

8|B|g= X ехр 口 (N6 — M6')]〈N|B|A1〉=.

=X ехр [1М (0 - 6') + icd]{M -^с\В\М)^6(д~ 6) (11.59)

так как для калибровочно-инвариантного оператора В (М + с\В\М) не зависит от М. Следовательно, при разложении по промежуточным состояниям имеем

<9 F (х)в (у) 10) —J de'⑼ ^ (х) I е'〉〈叫 в(у)|0)=' ]X—у 1 ТОО

= {0|В+(х)|0)(0|В(у)|0),(11.60)

что согласуется со свойством кластерного разложения (11.55).

Короче говоря, хотя безмассовые фермионы и подавляют туннелирование между топологическими основными состояниями | N), истинные вакуумы являются их линейными комбинациями, представленными состояниями | Q). Конечно, то обстоятельство, что состояния I ^) не туннелируют, должно проявляться в том, что состояния I 0) по-прежнему вырождены по энергии. Это действительно так. Мы имеем

<0 I е-『е'〉= £〈N I е-н 1 呢 ехр [г(Л'0 —財吟]=

используя (11.54). Но, поскольку различные состояния | ^) связаны Друг с другом большими калибровочными преобразованиями, которые коммутируют с Я, (^ | е-Нт| N) не зависит от М Следовательно, (11.61) приводит к

<0 I е—叫 9'〉= е^Е^ X ехр [iN(9 —吟]=2就(0 —吟厂七叱

(11.62)

Таким образом, вакуумы | 0) имеют одинаковую не зависящую от 0 энергию £0. Для (11.62) может быть написано функционально-интегральное представление, аналогичное (10.98); единственное различие состоит в том, что теперь действие содержит также ферми-поля, по которым должен браться интеграл:

Ge = lim <01 е~Нх\ 0)= 2лб (0)工 e~CQe [ ^) [T+] ^ [屮]2 [A^q e-s= Q

=2口6 (0) J 勿[T+] 2 [Т] 2 [Лм]все q X

X exp( — S +鳥〕Тг [麻 G“v]d*.(11.63)

Поэтому

〈9 I J Tr (时G“J 出x 19〉= — 16自•糸(In GJ = 0, (11.64)

так как в силу (11.62) G0 не зависит от 0.

То обстоятельство, что все 0-вакуумы имеют одинаковую энергию и все обладают равным нулю средним значением Тг (G^VG^V), является отражением того факта, что в присутствии безмассовых фермионов различные секторы 0 могут быть получены один из другого с помощью кирального вращения. Связанный с этим преобразованием 4r ->。必？54r ток является определенным выше аксиальным векторным током /ц5. Хотя при лагранжиане (11.22) получается, что он сохраняется, мы видели, что на самом деле аксиальный векторный ток обладает аномалией (см. (11.28)). В результате под действием упомянутого выше кирального преобразования евклидово действие изменяется (аналогично обычным шагам, ведущим к теореме Нётер) на величину

AS = a J或咻人5 н 品г j d*x Тг [GMvG^vL

Сравним это с зависящей от 0 частью эффективного действия в (11.63). Очевидно, что киральное вращение изменяет 0 на 0——2a. Поэтому различные секторы 0 связаны друг с другом как раз киральным вращением, которое для безмассовых ферми-полей

есть просто переопределение полей. Отсюда следует эквивалентность киральных инвариантов в различных секторах 0. Сопоставим это с чисто калибровочной полевой системой, рассмотренной в разд. 10.4. Там энергия Е0 (10.100) и (TrG^vG^v)0 (полученный при взятии логарифмической производной от (10.98) по 0) зависят от 0, что св идете л ь ств ует о том, что различные секторы 0 не эквивалентны. Добавление безмассовых фермионов восстанавливает их эквивалентность.

Инстантоны и суммируемость по Борелю

Как мы видели, важной особенностью инстантонов является то, что они приводят к непертурбативным результатам для физических величин. Этот аспект инстантонов находит свое отражение также в их взаимосвязи с борелевской суммируемостью разложений теории возмущений. Мы посвящаем данный раздел демонстрации этой связи.

Рассмотрим некоторую квантовую систему, характеризуемую параметром разложения а. Пусть G (а)——некоторая физическая величина в этой системе типа ее вакуумной энергии или одной из ее функций Грина. Для простоты мы опускаем зависимость G (а) от других переменных, кроме а. В типичном случае теория возмущений приводит для G (а) к бесконечному ряду вида

G (а) = £ апал. (11.65) п=0

Пусть теория перенормируема, так что ультрафиолетовые расходимости устраняются в каждом порядке с помощью соответствующих перенормированных параметров. Мы можем тогда считать, что каждое слагаемое ряда (11.65) конечно для любого конечного а. При этом остается открытым вопрос о том, сходится ли бесконечный ряд к конечному значению для представляющих интерес значений а. Существует также неприятная возможность, что ряд может расходиться Для любого сколь угодно малого а* Рассмотрим в качестве примера квантовую электродинамику, где а —постоянная тонкой структуры, е2/4п. Вычисленные в низших порядках, предсказания теории возмущений впечатляюще согласуются с экспериментом. Тем не менее, как показал Дайсон [117 ], теория возмущений для КЭД может на самом деле расходиться при переходе к высшим порядкам. Дайсон обратил внимание на то, что когда а отрицательно (сколь угодно мало по модулю), пертурбативный вакуум нестабилен. Он может распасться на электрон- позитронные пары, и его энергия будет понижаться при расхождении пар на большое расстояние друг от друга. (Напомним, что Для отрицательных а противоположные заряды отталкиваются.)

В результате вакуумная энергия будет иметь мнимую часть для всех отрицательных а и разрез вдоль отрицательной оси а с сингулярностью при а = 0. Отсюда следует нулевой радиус сходимости пертурбативных разложений в теории. В таком случае согласие вычислений КЭД в низших порядках с экспериментом должно быть отнесено за счет того, что ряд теории возмущений является ас им птот ическим разложением правильного ответа.

Впоследствии подобная расходимость ряда теории возмущений была обнаружена также в других моделях при оценке поведения членов высших порядков в рядах (см., например, [34, 35, 57, 58, 234, 235, 273, 274 ]). Эти результаты показывают, что имеется возможность того, что для многих представляющих интерес полевых теорий ряды теории возмущений могут расходиться даже для сколь угодно малых а.

Для некоторого заданного пертурбативного разложения, такого как (11.65), радиус сходимости R определяется выражением

1/R = lim sup I ап

Коэффициенты ап для любого п в принципе могут быть получены при вычислении подходящих фейнмановских диаграмм в этом порядке, должным образом перенормированных. Очевидным путем вычисления R является попытка вычисления ап для больших п и оценка их поведения при м — 8. Альтернативный способ получения информации о сходимости состоит в исследовании аналитических свойств функции Бореля, ассоциируемой с этим бесконечным рядом в борелевской процедуре суммирования. Эта процедура также дает возможность «улучшения» сходимости ряда, т. е. придания смысла G (а) для некоторых | а | > 7? при аналитическом продолжении. Вкратце идея такова. Используя соотношение 〃！ = ]()俨 df, ряд (11.65) можно записать в виде

G @)= £ * j (/а)" dt. (11.66) п=0 0

гдегдеf⑵三f⑵三Намереваясь аналитически продолжать ату функцию, предположим, что мы меняем местами суммирование и интегрирование, и рассмотрим функцию .

где

где

f⑵三

f⑵三

dt ~ ^e一'尸(以)成， (11.67) о

(11.68)

rt—о

11Функцию 尸(г) можно назвать функцией Бореля, ассоциируемой с исходным рядом. Ключевым пунктом является то обстоятельство, что ряд (11.68) обладает лучшей сходимостью, чем исходный ряд (11.65), благодаря до пол н итель ному множителю 1/м! в каждом члене. Пусть радиус сходимости исходного ряда (11.65) R конечен и не равен нулю. Тогда радиус сходимости борелевского ряда (11.68) R определяется как

1

1

limsup|-^.|1M = -i-lim (九尸/" = 0,(11.69)

и функция 尸(г)и функция 尸(г)так как R > 0. В этом случае ряд (11.68) сходится для всех г,

и функция 尸(г)

и функция 尸(г)

аналитична во всей плоскости г. Для всех поло-

жительных / 尸(/а) может быть получена путем суммирования (11.68) и подстановки в подынтегральное выражение в (11.67). Тогда для тех значений сс, для которых интеграл существует, G (а) является хорошо определенной. Она называется борелевской суммой исходного ряда (11.65). Когда | а| V R, можно показать (см., например, [348]), что G (а) совпадает с G (а), т. е. что перемена местами суммирования и интегрирования при переходе от (11.66) к (11.67) оправдана. Для тех значений а вне круга сходимости (I а I、R), для которых существует интеграл (11.67), G (а) является аналитическим продолжением G (а).

Конечно, эта процедура требует, чтобы функция 尸(fa) была несингулярной при всех 0 с / < оо для любого заданного а・ Когда R \ 0, это удовлетворяется в силу (11.69). Борелевский ряд буДет иметь бесконечный радиус,сходимости, и 尸(z) будет аналитической во всей плоскости г. Когда же R = 0, это может быть неправильно. Обратно, предположим, что мы задали физическую величину G (а) непосредственно в интегральной форме (11.67) с некоторой 尸(af) в свернутом виде. Тогда мы можем не посредственно исследовать аналитические свойства функции 户(г). Если мы обнаруживаем, что 尸(г) имеет сингулярности при некоторых конечных г, то борелевский ряд (11.68) имеет конечный радиус сходимости R н в силу (11.69) мы можем сделать вывод, что радиус сходимости исходного пертурбативного разложения для G (а) равен нулю.

именим эти идеи в квантовой теории поля, следуя т'Хофту

поле вполе вМы будем работать в евклидовой метрике. Пусть 屮(％) —— D евклидовых измерениях. (Оно не обязательно должно

поле в

поле в

быть скалярным;屮(％)быть скалярным;屮(％)(/) ... 3 (力)〉一неко- СЙса является также(/) ... 3 (力)〉一неко- СЙса является такжеможет символически обозначать как ска-

быть скалярным;屮(％)

быть скалярным;屮(％)

(/) ... 3 (力)〉一неко- СЙса является также

(/) ... 3 (力)〉一неко- СЙса является также

лярное, так и векторное поля.) Пусть 〈屮 торая евклидова функция Грина теории.

функцией параметра связи а теории. Для определенности будем считать параметр а положительным в физической области. (Для КЭД а = е2/4п > 0, для КХД а = g2, для системы СГ (7.1)

а =九/加2 > 0 и т. д.). С помощью функционального интеграла функция Грина определяется как

[勿[Ф (Х)] (действие) @(修)…© (xn)

〈3 (修)…3 “")〉= J；. (11.70)

/J 纪[0 (叫 е—("йствне)、丿

При использовании подходящим образом масштабно перенормированного поля В (尤)мы можем записать евклидово действие в виде (1/сс) S [屮],где зависимость от а выделена н S [屮]положительно. Как отмечалось в гл. 6, это может быть сделано для большинства представляющих интерес моделей. Сначала рассмотрим числитель и знаменатель (11.70). Числитель может быть записан в виде

N(a) = j2[</>^)]exp(一~^S[</>]) (ф ...</>),(11.71)

где для простоты мы опустили зависимость от координат 尤卜・..,尤". Из того факта, что в целях приведения действия к виду (l/a)S [j] мы могли изменить масштаб поля на ос в некоторой степени, мы можем ожидать появления бесконечного числа множителей а в мере D [屮(尤)]по сравнению с полем с неизменившимея масштабом. Но эти множители будут присутствовать также в знаменателе (11.70) и могут быть сокращены. Так как а н S 1ф ] положительны, мы имеем тождество

а J 必6(а/ —S2(尤)])=1.(11.72)

о

Подставляя это в (11.71), получаем

N(a) = a j dt J 纱[В(尤)]6 (a/- S [问)exp ( 一f S [问)(b•..3)三

0

三 a Jd/F；v(a/)eT,(11.73)

0-

где

/Mz) = J 勿ma)]6(z — S [问)(”.. В).(11.74)

Таким образом, мы придали ^ (а) вид борелевского интеграла с «точностью до общего множителя а, который не играет роли. Подобный множитель появится и в знаменателе (11.70). Мы их сократим.

Будем искать сингулярности функции 尸n (z), определенной С помощью функционального интеграла (11.74). Функциональный

интеграл есть не что иное, как кратный интеграл по полю каждого х. Кратный интеграл с б-функцией определяется как

J d弘也"6[z — fQ/i, ...，!/")] = § do|Vf|T, (11.75)

где правая часть есть интеграл по поверхности / (у) — г в //-пространстве, а

Следовательно, интеграл (11.75) будет сингулярным для некоторого z ~ z, если I а/ I равно нулю всюду на поверхности / (у) = 2. Но I А, I = 0 означает, что df/dyt = 0 для всех Л Таким образом, интеграл (11.75) сингулярен в 2, если функция / (^, ..., уп) имеет стационарную точку на поверхности / (у) =2. Обобщая это на функциональный интеграл (11.74), мы видим, что борелевская функция 尸n (z) сингулярна в г, если на поверхности S [ф] z (в пространстве функций 屮(尤))есть точка, удовлетворяющая условию

6S [ф]/8ф (х) = 0 для всех 尤.(11.76)

Но это не что иное, как евклидово уравнение поля, решениями с конечным действием которого являются инстантоны. Поэтому, если изучаемая полевая теория содержит инстантоны с конечным действием, то борелевская функция FN (г) (11.74) имеет сингулярности при тех конечных значениях г, которые равны значениям действия этих инстантонов. Используя приведенные аргументы, можно заключить, что пертурбативное разложение ^ (а) по степеням а имеет нулевой радиус сходимости. Аналогичный анализ может быть повторен для знаменателя в (11.70), который мы обозначим через D (а). Функция Бореля FD (а), связанная с D (ос), также содержит сингулярности, обусловленные теми же инстантонами при тех же значениях г. Следовательно, при разложении в степенной ряд по ос D (а) будет иметь нулевой радиус сходимости. Тогда, исключая случайные обстоятельства, когда сингулярности N (а) и D (а) при а = 0 в точности сокращаются, степенной ряд для отношения ^ (a)/D (а), который задает функцию Грина 〈3 (尤J ... В (尤")〉 в (11.70), также будет иметь нулевой радиус сходимости.

Короче говоря, когда полевая теория допускает существование инстантонов с конечным действием, пертурбативное разложение ее функций Грина по степеням а не сходится для любого ag. Мы получили этот результат без явного вычисления коэффициентов в старших порядках рядов теории возмущений. Заметим также, что, хотя инстантоны и фигурировали в этом обсуждении, при выводе мы не использовали квазиклассических приближений.

Конечно, наши квазиклассические инстантонные вычисления в предыдущих^главах подтверждают этот общий результат. Например, система Янга—Миллса содержит инстантоны с конечным действием. В соответствии с этим мы нашли, что энергия вакуума для этой системы имеет существенную сингулярность, когда параметр связи g2 равен нулю (см., например, (10.102) — (10.105)). Это был всего лишь кв азикл ассичес к ий результат, но он показывает, что пертурбативное разложение этой энергии должно иметь нулевой радиус сходимости. Аналогичные утверждения справедливы также для задачи о периодическом потенциале, для двумерной абелевой модели Хиггса и т. д.

Поучительно, также рассмотреть модели, которые не допускают действительных инстантонных решений с положительным действием, но допускают комплексные решения с отрицательным действием. Например, рассмотрим действительную скалярную теорию в четырех измерениях с евклидовым действием (см. [133, 334 ])

J_ j ^ ^ ад2 + ^^A-S[<I>].(11.77)

Евклидово полевое уравнение

电电 3 一兴/6 = 0, 一 (11.78)

не может иметь действительных решений с конечным действием в силу теоремы вириала, описанной в гл. 3. Но оно обязательно имеет решение, если продлить 屮 на комплексные значения. Это решение имеет вид

В (尤) =，・р/羽/(尤2 + р2),(11.79)

где р ——произвольный масштабный параметр (действие (11.77) масштабно-инвариантно). Решение имеет отрицательное действие

S [屮]-—16п2.(11.80)

Если мы хотим исследовать определенную, согласно (11.74), функцию 尸n (z) для комплексных г, мы должны продолжить действительное поле 屮 на комплексные значения, чтобы 6 (г —— — S [^> ]) могло быть отличным от нуля. (Если исходное поле 屮 само было комплексным (заряженным) полем с положительным действием, то и Re 屮，и Im^ должны быть продолжены как комплексные значения, чт-обы получить комплексное действие.) В э^ом случае приведенное выше решение будет порождать сингулярность при г = ——16п2. Существование этой сингулярности означает, что борелевский ряд имеет только конечный радиус сходимости и исходный ряд теории возмущений имеет нулевой радиус сходимости. Но, поскольку сингулярность в FN (г) имеется

только при отрицательных г, по-прежнему может существовать возможность вычисления G (а) в (11.67) для положительных а, если 尸n (z) для положительных г не имеет других сингулярностей, не связанных с инстантонами. В этом случае мы можем считать пертурбативный ряд суммируемым по Борелю в обобщенном смысле. Исходный ряд теории возмущений, конечно, не имеет смысла для произвольного а, так как его радиус сходимости равен нулю. Но вычисленная с помощью (11.67) функция G (ос), если этот интеграл существует для некоторого сс > 0, может д2ть имеющее смысл значение исследуемой физической величины. Простым примером такого рода является степенной ряд

Х(—1)"献а".(11.81)

Его радиус сходимости, конечно, равен нулю. Соответствующая функция Бореля имеет вид

尸(z) = g(一1)呀=击. (11.82) О

Разумеется, она имеет сингулярность, но при z = ——1. Поэтому для положительных а >0 интеграл

=(-^)(и.83)

о.

по-прежнему существует. Функция G (а) может быть названа борелевской суммой исходного ряда (11.81), но аналитическое продолжение этого ряда не имеет смысла, поскольку последний не существует ни в какой конечной области плоскости а. Если в пертурбативном разложении физической величины возникает такой ряд, как (11.81), то можно принять ту точку зрения, что, хотя разложение по теории возмущений для произвольного а не имеет смысла, исходная физическая величина может все же быть хорошо определенной через борелевский интеграл типа (11.83).

В противоположность этому, если имеется настоящий инстантон, т. е. имеющий конечное положительное действие, как во всех наших примерах в гл. 4 и 10, то 尸(г) сингулярно для некоторого положительного г. Эта сингулярность для физических значений а >0 попадает в область интегрирования борелевского интеграла. В этом случае пертурбативное разложение не является суммируемым по Борелю. Но, согласно т'Хофту [334 ], даже в таких случаях может сохраняться какая-то надежда. Даже если

сингулярность попадает для некоторого положитель но го / в интеграл (11.67), последний можно интерпретировать с помощью подходящего аналитического продолжения, если только сингулярность интегрируема. Например, мы видели, что вакуумная энергия Янга——Миллса в приближении разреженного инстантонного газа имеет зависимость от константы связи (g2 = а) вида G(a) = (l/a&)eT"/a口十 О(а)].(11.84)

Легко проверить, что формально

(1/а4)е-8"=咼[6(М —8<)].(11.85)

О

Сравнивая (11.85) с (11.67), мы видим, что соответств у ющ а я боре- левская функция имеет вид

尸(z) =鳥[6(z —8硝].(11.86)

Она, конечно, сингулярна. Заметим, что в соответствии с нашим общим результатом сингулярность появляется при 8п2, т. е. при действии янг-миллсовского инстантона. Но эта сингулярность интегрируема. Мы знаем, как интегрировать б-функцию или ее производные. Поэтому, даже если инстантоны и порождают сингулярности в функции Бореля на действительной положительной оси, возможно, что функция по-прежнему будет интегрируема и может привести к вычислению физической величины G (а) как функции а〉0. Эти вопросы остаются открытыми. Кроме того, хотя мы и показали, что инстантоны приводят к сингулярностям в борелевской функции, мы не показали, что это единственные сингулярности. В общем случае в F (г) могут существовать другие сингулярности, не связанные с инстантонами. Все они должны быть раскрыты до того, как можно будет окончательно установить возможность суммирования по Борелю. Дополнительную информацию по этим вопросам читатель может найти в лекциях т'Хофта [334 ] и Крачфилда [98 ]. Распространение некоторых из этих идей на случай включения ферми-полей см. в работе [273].

Дальнейшие разработки

Мы описали подробно основной непертурбативный вклад инстантонов в вакуумную структуру соответствующей квантовой теории и несколько вытекающих из этого следствий. Разумеется, в этой обширной области были проведен я дальнейшие исследования как по уточнению и обобщению этих расчетов, так и в направлении поиска более физических следствий инстантонов. В этом заключительном разделе мы упомянем кратко некоторые из этих исследований и приведем ссылки на литературу. ^

Одна группа расчетов связана с вычислением потенциала тяжелых кварков, обусловленного инстантонами в КХД, с использованием вильсоновской петлевой функции. Эту функцию мы ввели в разд. 11.1 в контексте двумерной абелевой модели Хиггса и нашли, что она приводит в этой модели к удержанию зарядов в присутствии разреженного инстантонного газа. Мы указали также, что в (3 + 1)-мерной КХД подобное вычисление, к сожалению, не приводит к удержанию кварков. Тем не менее инстантоны обусловливают существенный вклад во взаимодействие между тяжелыми кварками, даже если этот вклад не увеличивается на больших расстояниях и не приводит к конфайнменту. Каллан и др. [67 ] вычислили обусловленный инстантонами не зависящий от спинов потенциал тяжелых кварков, используя неабелеву петлевую функцию Вильсона. Эта процедура аналогична той, которую мы использовали в разд. 11.1 для петли, соответствующей евклидовым мировым линиям пары qq. Эти авторы нашли потенциал, который на малых расстояниях ведет себя как

U(R)〜11,27R2 I 頁。阿，(11.87)

0

где R ——расстояние между кварками, Xt ——размер инстантона, a D (九О —— «функция плотности» инстантонов размером 九卜 определяемая выражением

0&)^。，1。(盜)eхр (一薪).(11.88)

Заметим, что по сравнению с янг-миллсовской функцией плотности в (10.102) приведенная выше функция имеет степень (g)"12, а не (g)~8. Это объясняется тем, что (11.88) соответствует калибровочной группе SU (3), связанной с КХД. Как отмечалось в гл. 4, может использоваться тот же янг-миллсовский инстантон SU (2), но теперь этот инстантон имеет четыре дополнительные нулевые моды за счет преобразований, обусловленных дополнительными генераторами SU (3). (На самом деле SU (3) имеет на пять генераторов больше, чем SU (2), но вращение, вызванное одним из них, оставляет SU (2)-инстантон инвариантным и не приводит к нулевым модам.) Хотя этот потенциал на малых расстояниях растет квадратично, Каллан и др. нашли, что на больших расстояниях он принимает постоянное значение

1/(R)〜他 +勿R).(11.89)

Таким образом, приближение разреженного инстантонного газа в КХД не дает удерживающего потенциала. Константа а интер-

претируется как перенормировка массы, а константа b — как перенормировка кулоновского потенциала. Впоследствии Каллан и др. 169] выделили дополнительные зависящие от спина члены (см. также [352 ]). Такой зависящий от спина потенциал, очевидно, имеет значение в феноменологических моделях состояний кваркония (qq). Привлекательной чертой, обнаруженной ими, было то, что эти зависящие от спина члены могут быть получены из не зависящего от спина члена (11.87) при взятии соответствующих производных по R. Следовательно, зависящая от спина часть зависит от меньших степеней R. Она оказывается постоянной на малых расстояниях и убывает при R 8.

Заметим, что в (11.87) введено обрезание при Хс области изменения инстантонных размеров Xt. Это является следствием инфракрасной проблемы, которая отмечалась в разд. 10.5. В теории Янга—Миллса (и, следовательно, также в КХД) инстантоны могут быть всех размеров от 0 до оо. Поэтому, чтобы получить конкретный результат, Каллан и др. ввели обрезание при Хс, которое они выбрали обратным типичному масштабу адронных масс, когда эффективная константа связи g (Хс) также мала. Надежность такой процедуры, чувствительность результатов к точному значению 兀 и возможные альтернативные способы трактовки проблемы больших инстантонов до сих пор остаются предметом оживленных споров. См., например, [9, 250 ]. Некоторые другие подходы к влиянию инстантонов на динамику кварков (включая легкие кварки) и их связанные состояния см. в работах [63, 74, 116, 157, 324].

Другим привлекшим внимание аспектом является угроза сильного нарушения симметрий Р и Т, обусловленная инстантон- ными эффектами, и какой-либо надежный способ обойти эту угрозу. Вспомним из разд. 10.4, что эффективный лагранжиан, ассоциируемый с 0-вакуумами, в теории Янга—Миллса (см. (10.98)) обладает зависящим от 0 до пол н итель ным слагаемым и не инвариантен под действием Р и Т, за исключением специального случая 0 = 0. Аналогичное утверждение справедливо для цветной калибровочной группы SU (3) н становится уместным в реальном мире в рамках КХД. В природе имеется нарушение как Р, так и Т, но оно очень мало и в общепринятой интерпретации приписывается слабым или суперслабым взаимодейств и ям. В таком случае КХД, которая связана только с сильными взаимодействиями, должна сохранять Р и Т, т, е. вакуумный угол 0 должен быть равен нулю. С другой стороны, если допустимо некоторое 0 У= 0, наблюдаемая малостп нарушения Т (оцениваемая по верх・ нёй границе электрического дипольного момента нейтрона) требует, чтобы 0 < 10"5 [351 ]. Загадочным является механизм, который заставляет 0 либо обращаться в нуль, либо быть неестественно малым числом, меньшим, чем 10*5.

13 Раджараман Р.

Одно из возможных объяснений состоит в том, что один из кварков, взаимодействующих с калибровочным полем в КХД, является безмассовым. В таком случае, как отмечалось в конце разд. 11.3, различные секторы 0 эквивалентны и могут быть сведены к 6 = 0 с помощью кирального вращения, восстанавливая сохранение Р н Т в КХД. Но косвенные данные о массах кварков по оценкам алгебры токов показывают, что, хотя кварки 〃 и d имеют малые по адронным масштабам массы, они, по-види- мому, не безмассовые. Учитывая это, Печчей и Квинн [278, 279 ] предложили альтернативный механизм сохранения Р и Т, позволяющий всем кваркам иметь ненулевую физическую массу. Массы некоторых кварков получаются при связывании их с хиггсов- скими скалярами, которые должны приобретать ненулевое вакуумное среднее. Но скоро было выяснено [345, 351 ], что механизм такого типа, включая спонтанно нарушенную симметрию U (1), приводит к существованию нового псевдоскалярного голдстоунов- ского бозона. Он должен иметь нулевую голую массу, но за счет взаимодействий в высших порядках приобретает конечную, но малую физическую массу. Этот (пока гипотетический) легкий бозон стал известен под названием «аксион». Вильчек [351 ] и Вайнберг [345 ] сделали оценки различных свойств, которыми должна обладать эта частица, и предложили экспериментальные процессы, в которых она могла бы быть обнаружена (см. также [169, 208, 358]). В частности, грубая оценка массы аксиона приводит к значению около 100 кэВ. Были проведены некоторые экспериментальные исследования с целью поиска этой частицы, но, к сожалению, они пока привели к отрицательным результатам [28, 33, 115]. Если эта ситуация сохранится и окажется, что аксиона в природе не существует, то потребуется найти какой-то другой механизм подавления сильного нарушения симметрии Р и Т, Предлагаются другие возможные механизмы, включая такие, в которых имеется значительно более тяжелый аксион [20, 361 ]. В настоящее время полностью удовлетворительного объяснения наблюдаемого нарушения симметрии Р и Т не имеется.

Между тем Каллан, Дашен и Гросс продолжили свои огромные усилия по извлечению максимума возможных сведений о структуре реальных адронов с помощью инстантонных методов и связанных с ними приемов в КХД. Мы уже ссылались на их ранние работы и использовали их при обсуждении основ инстантонной физики. Их последующие работы [68—70 ] выходят далеко за пределы приближения разреженного инстантонного газа в направлении уточнений и обобщений кв аз и к л ассическо го метода. Среди сформулированных результатов имеются структура адронов, подобная мешку, возможное удержание кварков за счет меронов и резкий подъем калибровочной константы связи g с ростом масштаба расстояний. Упомянутый последний резкий подъ-

ем g, соединяющий области слабой и сильной связи в неабелевых калибровочных теориях, был получен также Кройцем [96 ] при компьютерном моделировании такой теории. Каллан и др. 170 ] рассматривают результат Кройца как подтверждение их теорий, основанных на инстантонах.

Противоположная точка зрения подвергает сомнению пользу основанных на：ннстантонах：резу』ьтатов в контексте КХД, в особенности из-за проблемы сильной связи и больших инстантонов, описанной в разд. 10.5. Мы уже ссылались на работу Виттена [356 ], в которой он предлагает l/N-разложенне как более осмысленное приближение к калибровочной SU (3)-теории и, кроме того, доказывает, что инстантонные эффекты пропадают в главном пределе N f g этого разложения. Однако Жевицки [204 ] находит некоторые инстантонные эффекты, сохраняющиеся даже в пределе N f 8 в С^-модели (см. также [73, 261 ]).

Кроме этих фундаментальных вопросов, много работы было проделано на техническом фронте инстантонной физики. В частности, были разработаны методы вычисления инстантонных детерминантов, т. е. детерминантов квантовых флуктуаций (бозонов и фермионов) в окрестности инстантонных решений. Напомним, что в гл. 5 мы подробно описали расчет такого детерминанта для иллюстративного примера, когда мы вычисляли квантовые поправки к массе кинка. В последующих примерах, особенно в теоретико-полевых решениях, таких как абелев вихрь Хиггса или янг-миллсовский инстантон, мы не вычисляли соответствующие детерминанты флуктуаций. Они содержатся в множителях типа В в (10.63) или В (九J в (10.100), и их точное значение не требовалось для нашего обсуждения. Если имеется желание изучить инстантонные эффекты более детально, то вычисление таких флуктуационных детерминантов является существенным. Следуя пионерской работе т'Хофта [332 ], большое число авторов изучили поправки от квантовых флуктуаций в присутствии инстантонов для большого числа моделей. В дополнение к статьям, упомянутым в разд. 10.5, сошлемся на работы [38, 39, 41,60, 2 30, 231, 270].

Как отмечалось в гл. 10, туннельные эффекты, которые мы выводили в формализме евклидова функционального интеграла, могут быть получены также в формализме реального времени и при обобщении обычного уравнения Шредингера и его В КБ- приближения к теории поля. Результаты исследований такого рода приведены в работах [36, 47, 4 8, 109, 156].

В разд. 10.5 мы ввели понятие меронного решения. Помимо уже цитированных работ [67, 105 ] классические меронные решения, а также их роль в конфайнменте исследовались Глиммом и Джаффе [164, 165 ]. Решения, интерполирующие мероны и инстантоны, были предложены Харом [214 ] для а-модели и Басенном и Матиняном [27] для теории Янга——Миллса.

13*

Для любой классической орбиты множитель А】в (6.59) определяется выражением

& =］勿以⑼ exp (专 j (}№ _ } “片(/)) d' ,(A.l)

где,-.

『'(f)=%(佃⑴)，(A.2)

^кл (0 —— классическая периодическая траектория с периодом Т и

У (0) =У(Т) = 0・(А.з)

Здесь основным периодом траектории может быть не Т, а T/孔 для любого целого п. Если выражение (А.1) записано на временной решетке, то оно есть не что иное, как гауссов кратный интеграл. Последний может быть вычислен точно, если мы можем вычислить детерминант оператора (—52/5/2 — Р" (/)), который появляется в экспоненте при граничных условиях (А.З). Чтобы найти этот детерминант, мы диагонализуем его с помощью замены переменных

z(t) = y(t)-\-i^-y(t')dt',(А.4)

о.

где / (/)——решение уравнения на нулевое собственное значение исследуемого оператора:

@7。产 + !/〃(/))〃/) = 0.(А.5)

Обратное к (А.4) есть•

У(')= /(/)］瑞".(А.6)

Как может быть проверено прямой подстановкой, преимущество такой замены переменных состоит в том, что

j 毋—4■厂(/) У )成=J (扌圻 dt.(A.7)

оо

Таким образом, в переменных z (力 действие ведет себя как действие свободной частицы! Если время разбить на решетку 力 = 0, g, %亠 tN = T, как в (6.8), то интеграл по траекторий содержит только П/^I1 dy (tt). Конечные точки у (0) и у (Т) фиксируются условием (А.З). Полезно включить дополнительное интегрирование по Pn = У (7)，умножив (А.1) на

1 = j dyN^yN) = j 掾也(Т)产⑺=

=〔^〔^(Т)ехр"а/(т/^“). (A.8)

Когда (А.1) умножено на (А.8) и переменные заменены на z (/), мы имеем

%=/］栗］虑⑺］勿［z(/)］exp +j(? +成器之"/， L о-

(A.9)

где J — якобиан преобразования (А.4). Переходя на временную решетку, получаем

I

NГ^

^^Ш(^)ехр ^2(^^- +£=1L ?=1

+ 方a/(?)另：：1), (A. 10)

где g = (2л/ей)1/2 —— правильный множитель меры. После замены переменных на

bi ~ Zi~ Zjlbi ~ Zi~ Zjli=l Ni=l N(А.П)(А.П)

bi ~ Zi~ Zjl

bi ~ Zi~ Zjl

i=l N

i=l N

(А.П)

(А.П)

это выражение факторизуется в произведение простых гауссовых интегралов по Ь» и даетэто выражение факторизуется в произведение простых гауссовых интегралов по Ь» и дает(А. 12)(А. 12)

это выражение факторизуется в произведение простых гауссовых интегралов по Ь» и дает

это выражение факторизуется в произведение простых гауссовых интегралов по Ь» и дает

(А. 12)

(А. 12)

Якобиан преобразования (А.4), которое есть уравнение Вольтерра, получается через его ядро [150]:

J 0) = ехр(3 j(切)成 j = exр {} In[/(7)//(0)]J = [f (T)/f (О)]】％

°(A. 13)

Подставляя это в (A. 12), получаем

/T、一 1/2

& =(謠严"仪。)J島•(I)

Эта величина просто связана с исходной классической орбитой 9кл (0- Заметим сначала, что

(А. 15)(А. 15)/(/) = 1@п(/))

(А. 15)

(А. 15)

как некоторое решение (А.5). Поскольку орбита ^кл J (0 периодическая, имеем

/(Т) = /(0) = ^кл(0).(А. 16)

Кроме того,

dt — f dt[%_ 2 f dq

产⑴ 一,екл(/))2-!(<7кл (О)3 一 ?(2(£一少 3弦

где классическая орбита могла совершить п оборотов по основной периодической траектории за время Т, а д】，％ —— точки поворота. В последнем равенстве мы использовали N評=Е —■ —— V (^) и опустили нижний индекс, указывающий, что все соответствует классической орбите. Имеемг

02

Следовательно,Следовательно,022"! [2(Е，\)产2022"! [2(Е，\)产2dT~dEdT~dE(А. 19)(А. 19)

Следовательно,

Следовательно,

02

2"! [2(Е，\)产2

02

2"! [2(Е，\)产2

dT~dE

dT~dE

(А. 19)

(А. 19)

Используя (А. 16)—(А. 19) в (А.14), получаем

А1 =(孟)"2 高(—穿)(А・20)

Напомним, что q (0) — конечная точка обоих концов траектории. Для периодической орбиты q (0)——просто одна из точек на орбите. Когда Ai подставлено в интеграл для следа в (6.59), мы получаем

G(T) = EJG(T) = EJ歯(S ехр (十 St? (Т))志(歯(S ехр (十 St? (Т))志(dE \ 1/2 / 一、"2 ~~1Т)(际丿.dE \ 1/2 / 一、"2 ~~1Т)(际丿.

G(T) = EJ

G(T) = EJ

歯(S ехр (十 St? (Т))志(

歯(S ехр (十 St? (Т))志(

dE \ 1/2 / 一、"2 ~~1Т)(际丿.

dE \ 1/2 / 一、"2 ~~1Т)(际丿.

(А.21)

Но для замкнутой орбиты 5КЛ и dE/dT не зависят от начальной точки q (0); кроме того, каждая орбита считается дважды, чтобы учесть ее партнера с обращенным временем. Тогда

2了 瑞=$需=$出=7 他 (A.22)

есть период цикла.

Таким образом, мы имеем желаемый результат (6.62), (6.63), за исключением фазового множителя £‘"〃. Он появляется из точек поворота, сингулярную природу которых мы пока не учитывали. Вблизи точки поворота, скажем q = q# скорость q имеет нуль Поэтому интеграл j dt/q2 = j dq0 сингулярен, когда один из двух пределов интегрирования достигает точки поворота, хотя в целом объект вида qaQb j^ dq!q^, который появляется в (А. 14), не расходится, когда либо qa, либо qb достигают точки поворота. Это можно проверить, разлагая q — [2 (£ —■ V (^)) ]i/2 в окрестности точки поворота, в которой скорость имеет нуль полуцелой степени. Но, хотя А】 конечно, оно приобретает дополнительные фазы, обусловленные скачкообразной структурой, порождаемой сингулярностью 〃 каждый раз, когда траектория проходит через точку поворота. Обсуждение того, почему эта фаза на одну точку поворота равна М& читатель может найти в работах [212, 233 ]. Аналогичная фаза в волновой функции возникает также при обычной трактовке метода В КБ [225 ].

Для траектории, которая оборачивается п раз вокруг одной и той же одномерной орбиты (т. е. имеет 2п точек поворота) результирующий фазовый множитель равен 标"叫 Подставляя его в (А.21), получаем результаты (6.62), (6.63).

В гл. 8 мы видели, что, когда мы вычисляем квантовые поправки к вкладу от классических решений, возникают нулевые моды, обусловленные непрерывными симметриями, которые должны заменяться на соответствующие коллективные координаты. Теперь мы покажем, как эта замена может быть проведена для случая однопараметрической трансляционной симметрии в формализме функционального интеграла. Эта процедура служит небольшим дополнением к обсуждениям в разд. 8.3 и 8.4, где использованы канонические операторные методы. Мы проиллюстрируем эту процедуру, используя простой пример одноинстантонного вклада в одномерной квантовой механике. В частности, наше обсуждение относится к задаче о периодическом потенциале (ЗПП) в гл. 10. Мы выведем выражение (10.13), используя обозначения разд. 10.1.

задан-(Б.1)(Б-2)(Б.З)задан-(Б.1)(Б-2)(Б.З)Начнем с функционального интеграла в (10.10). Конечно, нас интересует предел, когда евклидово время перехода т (т. е. область изменения t'j стремится к бесконечности. В этом пределе евклидово действие в ЗПП трансляционно-инвариантно по т/; ^кл (т/—т0) —■ инстантонное решение для действительных т0. Мы разложим q (t‘) в ряд в окрестности ^кл (工‘ 一т0) для произвольного ного %; тогда

задан-

(Б.1)

(Б-2)

(Б.З)

задан-

(Б.1)

(Б-2)

(Б.З)

q В)三 9кл (Y — у) + П О，

Se [qa)] = Se &ne一 喻 + + J n C) On (吟 dY + 0 (哨， где

Se 風“ В - “)] = J W (第У + U ®“])=

=J dY (•啓"J (согласно (2.20))三 S().(Б.4)

S()не зависит от т0 в силу трансляционной инвариантности. Нормальные моды флуктуаций есть собственные функции 刀冷(т/—т0) оператора О, удовлетворяющие условию

0% (Y — У)=①尿(工‘ 一 G(Б.5)

В частности, нормированная функция

(Б.6)(Б.6)

(Б.6)

(Б.6)

обладает нулевым собственным значением благодаря трансляционной инвариантности. Нам нужно заменить интегрирование по этой нулевой моде на интегрирование по точке локализации инстантона т0. Это делается с помощью следующего приема [161 ], который является вариантом метода Фаддеева и Попова [126 ]. Рассмотрим тождество

小(I，(Ь7)

где 6 [... ] — 6-функция Дирака от ее аргумента,

А 回三 j 备(％ 3 — “)) q (C dx' = J Т]о«' — То)芻 dx', (Б.8)

R 三 J dT’no (т' — т0) %п 3 - %•(Б.9)

Заметим, что в силу (Б.6)

/? = -А=[^л(т，-Ш：=±-

и ле зависит от т0. Для конкретного потенциала V (д), использовавшегося в ЗПП, R есть 2n2//So. В тождестве (Б.7) мы неявно предположили, что аргумент 6-функции равен нулю только для одного значения т0 для данной q (t‘). Возможность наличия нескольких корней и следствия рассмотрены в работе [185 ].

Рассмотрим евклидову амплитуду перехода в (10.10)

G 三，吧〈2口 I e-H5・ J 0〉= J 勿[q (Y)] exp (— ^S^ {q (Y)]) . (Б.10)

Подставим тождество (Б.7) в (Б.10) и изменим порядок интегрирования. Тогда.

т/2

G = Jim j dT。J 勿也(т，)] ехр( — ； SeW(t')]) x f —t/2

x 3 [(] go В — To)q(C)— R] a (办 (Б.И)

Разложим q (Y) в функциональный интеграл в окрестности 9кл (工‘—工0) для любого заданного т0, используя (Б.1)——(Б.4). В главном гауссовом приближении

-吟]]②m。)]X-吟]]②m。)]XG = lim j d“e-s.优а®«

-吟]]②m。)]X

-吟]]②m。)]X

X expX exp一击 J ""0力 8 [ J № (Y -%П(Y) d".一击 J ""0力 8 [ J № (Y -%П(Y) d".(Б.12)(Б.12)

X exp

X exp

一击 J ""0力 8 [ J № (Y -%П(Y) d".

一击 J ""0力 8 [ J № (Y -%П(Y) d".

(Б.12)

(Б.12)

В этом приближении мы пренебрегли членами О (т]3) в экспоненте и заменили q (т/) на д^^ (т/ ——т0) в А [д], как требуется в приближении стационарной фазы, впервые введенном в (6.13). В аргументе 6-функции мы использовали (Б.9), чтобы сократить слагаемое R. Теперь все члены в интеграле по т0 в (Б.12) не зависят от т0. Поскольку S()не зависит от т0, используя (Б.6) и (Б.4), получаем

J 三 АНклС' — “)j = J По(т' — ％)"”'詁二电-dC = /^й. (Б.13)

Наконец, хотя т0 и возникает в функциональном интеграле по П (т/), значение этого функционального интегряла не зависит от т0. Это становится очевидно, если разложить 刀(工‘)по нормальным модам 乳冷(т/ ——т0) в (Б.5) и записать функциональный интеграл как кратный интеграл по коэффициентам разложения по модам. Это как раз гауссов интеграл по всем функциям 刀(工‘),ортогональным нулевой моде, и он может быть записан в виде ВЕ (т) х x{Det' [О]}-1/2, где ВЕ (т) — не что иное, как обычный множитель меры в функциональном интеграле, a Det' [О] — Пп>0 — детерминант О в пространстве, ортогональном этой нулевой моде. Объединяя все это, приводим выражение (Б.12) к виду

G = \\mxe~SolH JВ^{V)^ [О]}~1/2. (Б. 14)

Это как раз результат, приведенный в (10.13). Если мы сравним (Б.14) с примитивным гауссовым приближением (10.12) (в котором не рассматривается тщательно нулевая мода), то увидим, что нулевая мода заменена интегрированием по соответствующей коллективной координате т0 с соответствующим якобианом J = =/s().

Как отмечалось в гл. 6, в большинстве представляющих интерес случаев действие может быть записано в виде S [q] = (1/g2) 5_f^_L где g — константа связи, которая предполагается малой, a S [д] в терминах подходящим образом перенормированной переменной q не зависит от g. Следовательно, действие инстантона So имеет вид S()= *o/g2, и якобиан J в (Б. 13) пропорционален 1/g. Мы продемонстрировали это только на примере одной нулевой моды, обусловленной трансляционной симметрией, но результат является более общим (см., например, [89]). Для каждой нулевой моды, которая заменяется на соответствующую коллективную координату, якобиан приобретает множитель 1/g.

ЛИТЕРАТУРА

Л bbott L. F. — Nucl. Phys., 1978. v. B139, p. 159.

Abers E. S., Lee B. W. — Phys. Rep., 1973, v. 9C, p. 1. [Имеется перевод: Абере E. С” Ли Б. В. Калибровочные теории. — В кн.: Квантовая теория калибровочных полей. — М.: Мир, 1977.]

Ablowitz М. J., Каир D. J., Newell А. С., Segur Я. —Phys. Rev. Lett., 1973, v. 31, p. 125.

Actor R. — Rev. Mod. Phys., 1979, v. 51, p. 461.

Adler S. L. 一 Phys. Rev., 1969, v. 177, p. 2426.

Adler S. L. 一 Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 2997.

[7. Adler S L., Dashen R. F. —Current Algebras and Applications to Particle Physics. — New York and Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1968. [Имеется перевод: Адлер С* Л., Дашен Р. Ф* Алгебра токов и их применение в физике частиц. Пер. с англ./Под ред. Л. Д. Соловьева. — М.: Мир, 1970.]

Affleck I.——Nucl. Phys., 1980, v. B162, p. 461.

Appelquist Т.» Shankar R. — Phys. Rev., v. D18, p. 2952.

Arafune J., Freund P. G. 0., Goebel C. J. —J. Math. Phys. (N. Y.), 1975, v. 16, p. 433.

Арефьева И. Я-> Корепин В. Е. — Цисьма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 680.

Atiyah М., Singer /. — Ann. Math., 1968, v. 87, p. 484.

Atiyah AL, Patodi V., Singer /. —Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, v. 79, p. 71.

Atiyah M., Ward A. —Comm. Math. Phys., 1977, v. 55, p. 117.

Atiyah M. E, Hitchin M J.)Drinfeld V. G., Manin Yu. /. —Phys. Lett., 1978, v. 65A, p. 185.

Baacke J., Rothe H.丄一Nucl. Phys., 1977, v. B118, p. 371.

Babeion 0. — Nucl. Phys., 1977, v. B131, p. 519.

Bais F. A., Weldon A. H. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 41, p. 601.

Balachandran A. R, Stern A., Trahern G. — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 2416.

Baluni V. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 1358.

Bardakd K., Samuel S — Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 2849.

Bardakci K・,Samuel S — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 2357.

Bardeen 呼.A. — Nucl. Phys., 1974, v. B75, p. 246.

Bardeen W. A., Chanowitz M. S., Drell S. D., Weinstein M., Yan T. M.— Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 1094.

Barnard T. — Phys. Rev., 1973, v. A7, p. 373..

Barone A., Esposito F., Magee C. J., Scott A. C. — Riv. Nuovo Cim., 1971, v. 1, p. 227.

Басеян Ж- 3., Матинян С* Ж. — Письма в ЖЭТФ, 1980, т. 31, с. 70.

Bechis D. J., Dotnbeck Т. W.t ЕIsworth R.取.，Sager E. V., Steinberg P."., Tieg L* J., Yoh J. K., Weitz R L. —Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, p. 1511.

Belavin A. A., Polyakov A.府.，Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S — Phys. Lett., 1975, v. 59B, p. 85.

Белавин А. А., Поляков A. M. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 245.

Belavin A. A., Polyakov А. М. — Nucl. Phys., 1977, v. B123, p. 429.

Bell J. S., Jackiw R. — Nuovo Cim., 1969, v. 60A, p. 47.

Belotti £., Ftortni £, Zanotti L. — Phys. Lett., 1978, v. 76B, p. 223.

Bender С. M., Wu T. T. — Phys. Rev., 1973, v. D7, p. 1620.

Bender C. M.t Wu T. T. — Phys. Rev. Lett.丄 1976, v.；37, p. 117.

Bender /., Rothe H. J. —Nucl. Phys., 1978二v. B142； p. 177.

Березин ⑦.А. Метод вторичного квантования. —М.: Наука/ 1965.

Berg В., Luscher М. — Comm. Math. Phys., 1979, v. 69, p. 57.

Berg B., Luscher M. — Nucl. Phys., 1979, v. B160, p. 281.

Bernard C 冲.，Weinberg E. J. — Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 3656.

Bernard C. — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 3013.

Bernstein J. — Rev. Mod. Phys., 1974, v. 46, p. 7.

Bernstein J., Fubini S., Gell-Mann AL, Thtrring W. — Nuovo Cimm., 1960, v. 17, p. 757.

BerryM.V., Mount К.E. — Rep. Prog. Phys., 1972, v.35, p.315.

BerryM.V., Tabor M.— J. Phys. A: Math. Gen., 1977,v. 10,p.371.

Bishop A. R., Krumhansl J. A., Trullinger S. E. — Physica, 1980, v. ID, p. 1.

BitarK.,Chang S. J.—Phys. Rev., 1978, v. D17, p.486.

BitarK,Chang S. J.— Phys. Rev., 1978, v. D18, p.435.

В j or ken J. D., Drell S D. Relativistic Quantum Mechanics. — New York: McGraw-Hill Book Co.； 1964. [Имеется перевод: Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика.一 М.: Наука, 1978.]

В for ken J. Q., Drell S. D. — Relativistic Quantum Fields. — New York: McGraw-Hill Book Co., 1965. [Имеется перевод: Бьеркен Дж. 〃.，Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 2. Релятивистские квантовые поля.— М.: Наука, 1978.]

Bloch 尸.一Z. Phys., 1928, Bd. 52, S. 155.

Боголюбов H. H. Тябликов С. B. — ЖЭТФ, 1949, т. 19, с. 256.

Боголюбов Н. 〃.，Ширков Д. В. Введение в теорию квантования полей.— М.: Наука, 1973.

Богомольный Е. Б. — Ядерная физика, 1976, т. 24, с. 449.

Bogomornyt Е. В. — Phys. Lett., 1980, v. 91В, p. 431.

6. Bott R. — Bull. Soc. Math. France, 1956, v. 84, p. 251.

Brezin£., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. — Phys. Rev.(1977, v. D15,p.1544.

Brezin£, £e Guillou J.C., Zinn-Justin J. — Phys. Rev.,1977, v. D15,p.1558.

Brezin£., Mikami S.,Zinn-Justin /. — Nucl. Phys., 1980, v. В165,p.528.

Brown L. S., Creamer D. B. — Phys. Rev., 1978. v. D18. p. 3695.

Brown L., СагШг R., Lee C. — Phys. Rev., 1977, v. D16； p. 417.

Cahill K. — Phys. Lett., 1974, v. 53B, p. 174.

Caldi D. C. — Phys. Rev. Lett., 1977, v. 39, p. 121.

Callan C. G., 〃.，Dashen R. E, GrossD. J. — Phys. Lett., 1976, v. 63B, p. 334. 65. Callan C. G., Jr., Dashen R.尸.，GrossD. J. — Phys. Lett., 1977, v. 66B, p. 375. 66.Callan C. G., Jr., Dashen R.尸.，GrossD.J.— Phys. Rev., 1977,v*D16,p. 2526.

Callan C. G., Jr.. Dashen R. E, GrossD.J.— Phys. Rev., 1978,v.D17p. r717.

Callan C. G., Jr., Dashen R. F., GrossD.J.— Phys. Rev., 1979,v.D19,p. 1826.

Callan C. G., Jr.t Dashen R.尸.，GrossD.J.— Phys. Rev., 1979,v.D20,p. 3279.

Callan C. G., 〃.，Dashen R. A, Gross D. J. — Phys. Rev. Lett., 1980, v. 44, p. 435.

Callan C. G., Jr.t Dashen R. GrossD. J., Wilczeh 尸.，Zee A. — Phys. Rev., 1978, v. D18, n. 4684.

CampbellD. л., Liao Y-T. — Phys. Rev., 1976, v. D14, p. 2093.

Cant R. J. — Phys. Lett., 1980, v. 96B, p. 380.

Carlitz R. D., Creamer D. B. — Ann. Phys. (N. Y.), 1979, v. 118, p. 429.

Castillejo L., Dalitz R. 〃.，Dyson 艮 J. — Phys. Rev., 1956, v. 101. p. 453,

Chadha S, D' Adda A., diVecchia P., Nichodemi F. — Phys. Lett., 1977, v. 72 B, p. 103.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

Chakrabarti A. — Nucl. Phys., 1975, v. B101, p. 159.

Chang S. J., Lee B.W., Ellis S. D. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 3572.

Chang S. S.——Phys. Rev., 1978, v. D17, p. 2595.

Chew G* F., High Energy Physics, Les Houches, Ed. C, de Witt and M. Jacob. 一 London: Gordon and Beach, 1965, p. 189.

Christ M Lee T. D. 一 Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 1606.

Christ M "., Weinberg E. J., Stanton N. K. — Pnys. Rev., 1978, v. D18, p. 2013.

Christ N. //., Jackiw K. — Phys. Lett., 1980, v. 91B, p. 228.

Coleman S. — Comm. Math. Phys., 1973, v. 31, p. 259,

Coleman S. 一 in: Laws of Hadronic Matter, Ed. A. Zichichi. — New York and London: Academic Press, 1975.

Coleman S. 一 Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 2088.

Coleman S. — Classical lumps and their Quantum Descendants, 1975 Erice Lectures published in New Phenomena in Sub-Nuclear. Physics, Ed. A. Zichichi. —New York; Plenum Press, 1977.

90.

91.

92.

Coleman S. — Comm. Math. Coleman S. — in: The Whys York: Plenum Press, 1979.

Phys., 1977, v. 55, p. 113, of Subnuclear Physics, Ed. A. Zichichi. — New

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

Coleman S., Mandala J. — Phy Corrigan £., Fairlie. D. B. — F Corrigan E., Olive D. /., Fairlie p. 475.

Rev., 1969, v. 159, p. 1251.

s. Lett., 1977, v. 67B, p. 69.

B., Nuyts J.— Nucl, Phys., 1976, v. В106,

Cremmer £, Schaposnik 尸.，Scherk J. — Phys. Lett., Cremmer E., Scherk J. — Phys. Lett., 1978, v. 74B, Creutz M. — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 3126. Creutz M. —Phys. Rev., 1980, v. D21, p. 2308. Crewther R. — Riv. Nuovo Cim., 1979, v. 2, p. 63. Crutchfield IT, W. Y. — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 2370.

D'Adda A., Lurcher M., DiVecchia P. — Nucl. Phys., 1978, v. B146, p. 63. c ' R.尸.，Hasslacher B., Neveu A. — Phys. Rev., 1974, v. D10, p. 4114.

R. Hasslacher B.,“

1976, v. 65B, p. 78. p. 341.

Dashen

Dashen Dashen Dashen Dashen

Neveu A. — Phys. Rev., 1974.

Neveu A. — Phys. Rev., 1975, ,Neveu A. — Phys. Rev., 1975, v. D12, R.尸.，Ma S. K., Raiaraman R. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 1499. 105. Qe Alfaro K, Fubini S., Furlan G. — Phys. Lett., 1977, v. 65B, p. 16 31.

Derrick G. H. —J. Math. Phys., 1964, y. 5, p. 1252*

Deser S. —Phys. Lett., 1976, v. 64B, p. 463.

de Vega H. J. — Nucl. Phys., 1976, v. B115, p. 411.

de Vega H. J., Gervais J. L., Sakita B. — Nucl. Phys.,1978,v.В143, p. 125.

一c Din A. J., Zakrewski 胱 J. — Nucl. Phys., 1980, v. В168, p. 173.

Dirac P. A. M. — Proc. R. Soc. (London), 1931, v. A133,p.60.

Dirac P. A. M. — Phys. Rev., 1948, v. 74, p. 817.

Dirac P. A. M. —Can. J. Math., 1950, v. 2, p. 129.

Dobrushin R. L., Minlos R. A. —Func. Anal. AppL, 1973, v. 7, p. 324.

Donnelly T.吃，Freedman S. J., Lytel R. S, Peccei R. D., Schwartz M.—

R. F., Hasslacher B., R. F., Hasslacher B«,

v. DIO, v. Dll,

4130.

3434.

2443.

110.

Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 1607. 116. Duncan A.—Phys. Rev., 1978, v. D18,

Dyson F. J. —Phys. Rev., 1952, v. 85,

7'-

1988.

31.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

Edwards S. F., Gulyaev Y. V. — Proc. R. Soc., 1964, v. A279, p. 229.

Eguchi 7\, Hanson A. J. — Phys. Lett., 1978, v. 74B, p. 249.

Eichenherr H. 一 Nucl. Phys., 1978, v. B146, p. 215.

Englert 尸” Brout R. — Phys. Lett., 1964, v. 13, p. 321.

Ezawa Z. F. — Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 2091.

Ezawa T. — Phys. Lett., 1979, v. 81B, p. 325.

Фаддеев 〃. Д. Препринт МПИ-ПАЕ/16. —Ленинград, 1974.

Фаддеев Л. Д. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 141.

Faddeev L. Q., Popov V. N. — Phys. Lett., 1967, v. 25B, p. 29.

Фаддеев 〃. Д., Тахтаджян Л. A. — ТМФ, 1974, т. 21, с. 160. [См. также: Препринт ОИЯИ Е2-7998. — Дубна. 1974].

Фаддеев Л. Д., Кулиш Я. Я., Корепин В. Е. 一Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 302.

Фаддеев Л. Д., Корепин В. Е. — ТМФ, 1975, т. 25, с. 147.

Faddeev L. D., Когер in V. Е. — Phys. Lett., 1976, v. 63В, p. 435.

Faddeev L. D, Korepin V. E. — Phys. Rep., 1978, v. 42C, p. 1.

Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1978.

3. Fainberg V. Ya., I of a M. Z. — Nucl. Phys., 1980, v. B16 8, p. 495.

Fateev V. A., Frolov /. V., Schwarz A. S — Nucl. Phys., 1979, v. B154, p. 1.

Фатеев В. А., Фролов И. В., Шварц А. С. — Яд. физ., 1979, т. 8, с. 3.

Feynman R. Р., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. 一 New York: McGraw-Hill Book Co., 1965. [Имеется перевод: Фейнман P. 〃.， Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траектории. —М.;Мпр, 1968.1

Finkelstein D. —J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 1218.

Finkelstein D., Misner C. — Ann. Phys. (N. Y.), 1959, v. 6 p. 230.

Floquet G. — Ann. de bEcole Norm. Sup* ⑵，XII, 1883.

Frampton P. — Phys. Rev., 1976, v. D14, p. 528.

Frauhchi S. Regge Poles and S-Matrix Theory. — New York: W. A. Benjamin Inc., 1963.

FriedbergR.,LeeT.Q.,Sirlin A. — Phys. Rev., 1976, v. D13, p. 2739.

FriedbergR.,LeeT.D.,Sirlin A. — Nucl. Phys., 1976, v. B115, p. 1.

FriedbergR.,LeeT.D..Sirlin A. — Nucl. Phys., 1976, v. B115, p. 32.

FriedbergR.,LeeT.D.—Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 1694.

Frihsch H.. Gell-Mann M. Proceedings of the 16th Internat. Conf, on High Energy Physks heE in Chicago — Batavia, 1972. v. 2, p. 135.

Fritzsch H., Gell-Mann Af, Leutwyler H. — Phyj Lett., 1973, v. 47B, p. 365.

Frohlich J. — Comm. Math. Phys., 1976, v. 47, p. 269.

Gardner C. S., Greene J.而.，Kruskal M. D. Miura R. M. — Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19; p. 1095.

GeUfand J. M.t Yaglom A. M. —J. Math. Phys., 1960, v. 1. p. 48.

Georgi M. Glashow S. L. — Phys. Rev. Lett., 1972, v. 2 8. p. 1494.

Gervais J.-L. Sakita B. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 2943.

Gervais J-L.t Jevicki A., Sakita B. — Phys. Rev., 1975 v. D12. p. 1038.

Gervais J.-L., Jevicki A. — Nucl. Phys., 1976. v. Bl 10, p. 93.

Gervais /.-L., Jevicki A. — Nucl. Phys., 1976, v. Bl 10, p. 113.

Gervais J -L., Jevicki A. —Phys. Rev., 1977, v. D16, p. 3507.

Geshkenbein В. V., Ioffe B. L. — Nucl. Phys., 1980, v. B166, p. 340.

Giambiaggi J. J., Rothe ^. D. — Nucl. Phys., 1977, v. B129, p. 111.

Gibbons G. W., Perry M. J. — Nucl. Phys., 1978, v. B146, p. 90.

Gibbons G. W.. Hawking S. W. — Comm. Math. Phys., 1979. v. 66: p. 291.

GUdener E., Patrascioiu A. — Phys. Rev., 1977, v. D16, p. 423.

Glaser 匕一Nuovo Cim., 1958, v. 9, p. 990.

Glimm J., Jaffe A., Spencer T. — Comm. Math. Phys., 1975, v. 45, p. 203.

Glimm J., Jaffe A. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 277.

Glimm J., Jaffe A. — Phys. Lett., 1978, v. 73B, p. 167.

Goddard P., Nuyts J., Olive D. — Nucl. Phys., 1977, v. B125, p. 1.

Goddard P., Olive D. — Rep. Prog. Phys., 1978, v. 41, p. 1357.

Goldhaber A. S. — Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 1122.

Goldman T., Hoffmann C.府.一Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 220.

Goldstein H. Classical Mechanics. — Reading, Mass., USA, Addison-Wesley Publishing Co., 1950. [Имеется перевод: Голдстейн Г. Классическая механика. —М.： ГИТТЛ, 1957.]

Goldstone — Nuovo Cim., 1961, v. 19, p. 154.

172* Goldstone J., Salam A., Weinberg S. — Phys. Rev., 1962, v. 12 7, p. 965,

Goldstone J., Jackiw R. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 1486.

Goto V., Perelemov A. M. — Phys. Lett., 1978, v. /9В, p. 112.

Рыжик И. M.t Градттейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.

Gross D. J., WUczek F. — Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 1343.

Gross D. J., Neveu A. — Phys. Rev., 1974, v. DIO, p. 3235.

Gur a In Ik G. S., Hagen C. R., Kibble T. W. B. — Phys. Rev. Lett., 1964. v.13, p. 585.

Guth Weinberg E. J. — Phys. Rev., 1976. v. D14, p. 1660.

GutwiHlEM. — J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 1979.

Gut^lller M. — J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1791.

Gut^lller M. — J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 343.

Hasenfratz P., ftHooft G. — Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 1119.

Hawking S. W. — Phys. Lett., 1977, 60A, p. 81.

Hlet art nt a j. — Nucl. Phys., 1980, v. B164, p. 343.

Higgs P. W. — Phys. Lett., 1964, v. 12, p. 132.

Higgs P. W. — Phys. Rev., 1966, v. 145, p. 1156,

Hobart R. —Proc. Phys. Soc.,亩63, v. 82, p. 20L

Horvath Z., Palla L. — Nucl. Phys., 1976, v. Bl 16, p. 500.

Jackiw R. — in: Lectures in Current Algebra and its Applications. Princeton, N. J., USA, Princeton University Press, 1972. [Имеется перевод: Tрейман С., Джакив'РГросс Д. Лекции по алгебре токов. —М.: Атомиздат, 1977.]

Jackiw R. — in: Gauge Theories and Modern Field Theories. —Cambridge, Mass., USA, M. I. T. Press, 1976.

Jackiw 旦一Rev. Mod. Phys., 1977, v. 49, p. 681.

Jackiw R. —Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 661.

Jackiw R., Woo G. — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 1643.

JackiwR.,Rebbt C. —Phys.Rev.Lett., 1976, v. 36, p.1116.

JackiwRebbl C. — Phys.Rev.,1976, v. D14, p. 517.

JackiwR.,Rebbt C. — Phys.Rev.,1976, v. D13, p. 3398.

JackiwR.,Rebbt C. — Phys.Rev.Lett., 1976, v. 37, p. 172.

Jackiw R., Noh I C., Rebbt C. —Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 1642.

Jackiw R., Noh I C., Rebbt C. —Particles and Fields.—New York: Plenum Publishing Co., 1978, p. 199.

Jacobs L. —Phys. Rev., 1976, v. D14, p. 2739.

Jersak J., Kier。M.t Magg M. — Nuovo Cim., 1977, v. 40A, p. 269.

Jevickl A. — Nucl. Phys., 1976, v. Bl 17, p. 365.

Jevickl A. —Phys. Rev., 1979, v. D20, p. 3331.

Johnson K. —Nuovo Cim., 1961, v. 20, p. 773.

Julia B., Zee A. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 2227.

Kadanoff L., Ceva H. — Phys. Rev., 1971, v. B3, p. 3918.

Kandaswamy J., Salomonson P” Schechter 丄一Phys. Rev., 1978, v. D17, p. 3051.

Karossht M. — Phys. Rep., 1979, v. 49 c. p. 229.

KarossM M., Thun Я.-J., Truong T. T., Weisz P. — Phys. Lett., 1977, v. 67B, p. 321.

Karowski AL, Thun H.-J. — Nucl. Phys., 1977, v. В130, p. 295.

Keller J. ' Ann. Phys. (N. Y.), 1958, v. 4, p. 180.

Kerman /., Klein A, — Phys. Rev., 1963, v. 132, p. 1326.

Khare A. —J. Phys. A: Math. Gen., 1980, v. 13, p. 2253.

Khrustalev O. A., Razumov А. V.» Taranov A. Yu. — Nucl. Phys., 1980. v. B172, p. 44.

Kilpatrick J., Kilpatrick M. — J. Chem. Phys., 1948, v. 16, p. 781.

Kim S. T., Woo С. H. — Nucl. Phys., 1979, v. B155, p. 357.

《7s衣s J. — Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 2329.

219.219.220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256.257.220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256.257.258.259.258.259.8L 234@66662 2 2 2 28L 234@66662 2 2 2 2265.265.Kittel С. Introduction to Solid State Physics. — New York, 1959. [Имеется перевод: Киттель Ч, Введение в физику твердого тела. Пер. с англ. —М.: Наука, 1978.]

219.

219.

220.

221.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

231.

232.

233.

234.

235.

236.

237.

238.

239.

240.

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250.

251.

252.

253.

254.

255.

256.

257.

220.

221.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

231.

232.

233.

234.

235.

236.

237.

238.

239.

240.

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250.

251.

252.

253.

254.

255.

256.

257.

258.

259.

258.

259.

8L 234@66662 2 2 2 2

8L 234@66662 2 2 2 2

265.

265.

Klcdber В. Lectures in Theoretical Physics, XA, Ed. A. Barut and W. Britten. —London: Gordon and Breach, 1968.

Kogut J., Susskind L. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 3594.

Krumhansl J. /., Schrieffer J. R. — Phys. Rev., 1975, v. Bl 1, p. 3535.

Кулиш Я. П., Нисимов Б. —Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 220.

Lamb G. L. г Jr. — Rev. Mod. Phys., 1971, v. 43, p. 99.

Ландау 〃. Д., Лифтиц E. M. Квантовая механика. —M.: Наука, 1974.

Langer R. Е. — Phys. Rev., 1937, v. 51, p. 669.

La Rue G.^.Fairbank W.附.，Hebard A.尸.一Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, p. 1011.

iee T. D. Non-Topological Solitons. Columbia University Preprint Co. 2271-76. — Pisa, 1976.

Lee T. D., Wick G. C. —Phys. Rev., 1974, v. D9, p. 2291.

Levine H, — Nucl. Phys., 1979, v. B157, p. 237.

Levine Yaffe L. G. Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 1225...

Levlt S. Ph. D. Thesis submitted to the Weitzmann Institute of Science.— Israel, 1978.

Levlt S., Smilansky U. —Ann. Phys. (N. Y.), 1977, v. 103, p. 198.

Липатов Л. H. — Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 179.

Липатов Л. Н. —Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с. 116.

Luscher М. — Nucl. Phys., 1978, v. В135, p. 1.

Luscher M.t Pohlmeyer K. — Nucl. Phys., 1978, v. В137, p. 46.

Ma S.-К., Rajaraman R. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 1701.

Makhankov V, G. — Phys. Rep., 1978, v. 35C, p. 1.

Mandelstam S. — Phys. Rev., 1975, V. Dll, p. 3026.

Mandelstam S. — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 2391.

Manton N. S. — Nucl. Phys.,. 1977, v. B126, p. 525.

Manton N. S. — Nucl. Phys., 1979, v. В150, p. 397.

Marciano 取.，Pagels H. — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 1093.

Marciano 取.，Parsa Z., Pagels H, — Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 1044.

Marciano 取.，Pagels H. — Phys. Rep., 1978, v. 36C, No. 3, p. 137.

Маслов В. A. — ТМФ, 1970, т. 2, с. 21.

Matsumoto /Л, Sodano R, Umezawa H. — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 511.

Matveev V. A. — Nucl. Phys., 1977, v. B121, p. 403.

McDougall N. A. — Phys. Lett., 1980, v. 89B, p. 397.

McGuire J. B. — J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 522.

Mermln M D. — Rev. Mod. Phys., 1979, v. 51, p. 591.

Michel L., O'Raifeartatgh L., Wali К. C. 一 Phys. Lett., 1977, v. 67B, p. 198.

Mitra P. — Phys. Lett., 1977, v. 72B； p. 62.

Montonen C. — Nucl. Phys., 1976, v. Bl 12, p. 349.

Montonen C., Olive D. — Phys. Lett., 1977, v. 72B, p. 117.

Morse P., Feshbach H. Methods of Mathematical Physics. — New York: McGraw-Hill Book Co., 1953. [Имеется перевод: Морс Ф. M.t Фетбах Г. Методы теоретической физики. — М.: ИЛ, 1958.]

Mottola Е. — Phys. Lett., 1978, v. 79В, p. 242.

Mukunda M, Sudarshan E. C・ G. Classical Dynamics: A Modern Perspective.— New York: John Wiley and Sons, 1974.

Nambu Y. — Phys. Rev. Lett., 1960, v. 4, p. 386.

Neuberger H, — Phys. Lett., 1980, v. 94B, p. 199.

Nielsen H. B., Olesen P. — Nucl. Phys., 1973, v. B61, p. 45.

Nielsen N. ^., Schroer B. — Nucl. Phys., 1977, ,v. B127/p/493.

Novikov P. A., Okun L. B., Shifman M. A., Vainshtein A. /., Voloshin M. B., Zakharov V. /. — Phys. Rep., 1978, v. 41C, p. 1.

Olive D. — Nucl. Phys., 1976, v. ВИЗ, p. .413.

Olive D. — Riv. Nuovo Cim., 1979, v. 2, p. 2.

OfRalfaertaigh L. — Lett. Nuovo Cim., 1977, v. 18, p. 205.

O' Raifaertaigh L., Park S. P., Wall КС — Phys. Rev.,1979, v. D20, p. 1941.

Ore F. — Phys. Rev., 1977, v. D16, p. 2577.

Osborn H., moody G. P. — Nucl. Phys., 1980, v. B173, p. 422.

Pagels H. —Phys. Rev., 1976, v. D13, p. 343.

Panels H. — Phys. Lett., 1977, v. 68B. p. 466.

'Parisi G. — Phys. Lett., 1977, v. 66B, p. 167.

Parisi G. — Phys. Lett., 1977, v. 66B, p. 382.

Parke S. — Nucl. Phys., 1980, v. B174, p. 166.

Patt J. C., Salam A. — Phys. Rev., 1973, v. D8, p. 1240.

Patrasclou A. — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 523.

Peccel R. D., Quinn H. R.— Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, p. 1440.

Peccel R. D., Quinn H. R. — Phys. Rev., 1977, v. D16, p. 1791.

Perrlng J. ^., Skyrme T. H. R. — Nucl. Phys., 1962, v. 31, p. 550.

Pohlmeyer K. 一 Comm. Math. Phys., 1976, v. 46, p. 207.

Politzer H. D. —Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 1346.

Поляков A. M.——Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 430.

Поляков А. М. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 430.

Polyakov А. М. — Phys. Lett., 1975, v. 59В, p. 82.

Polyakov A. M. — Phys. Lett., 1977, v. 72B, p. 224.

Polyakov A, M. — Nucl. Phys., 1977, v. B120, p. 429.

Prasad M. K., Sommerfield С. H. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 760.

Rajaraman A. — Phys. Rep., 1975, v. 21C, p. 227.

Rajaraman R. —Phys. Rev., 1977, v. D15, p. 2866.

Rajaraman R. — Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, p. 200.

Rajaraman R., Weinberg E. J. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 2950.

Raj Lakshmi M, —Pramana, 1979, v. 12, p. 447.

Rossf P. — Nucl. Phys., 1979, v. В149, p. 170.

Rothe K・ D., Swleca J. A. — Nucl. Phys., 1978, v. B138, p. 26.

Rothe K. D., Swleca J. A. — Nucl. Phys., 1979, v. В149, p. 237.

Rubinstein J.—J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 258.

Ruck H. M. —Nucl. Phys., 1980, v. B167, p. 320.

Saha M. N. — Indian J. Phys., 1936, v. 10, p. 145.

Salam S., Strathdee J. — Phys. Lett., 1976, v. 61B, p. 375.

Salomonson P. — Nucl. Phys., 1977, v. B121, p. 433.

Schaposnlk 尸.A. — Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 1154.

Schrleffer J. R. Theory of Superconductivity. — New York: W. A. Benjamin Inc, 1964. [Имеется перевод: Шриффеp Дж. Теория сверхпроводимости. Пер. с англ./Под ред. Д. А. Киржница. —М.: Наука, 1970.]

Schroer В., Swleca j. — Nucl. Pnys., 1977, v. B121, p. 505.

Schwarz A. S. — Phys. Lett., 1977, v. 67B； p. 172.

Schwinger J. — Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 664.

Schwinger J. — Phys. Rev., 1966, v. 144, p. 1087.

Sciuto S. — Riv. Nuovo Cim., 1979, v. 2, p. 16.

Scott A. C.t Chiu 尸.У. F., McLaughlin D. W. — Proc. I. E. E. E., 1973, v. 61, p. 1443.

Seeger Л., Donth H., Kochendorfer A. —Z. Phys., 1953, Bd. 134, S. 173.

Shankar R. — Phys. Rev/, 1976, v. D14, p. 1107.

Shankar A. Yale University Preprint COO-3075-199.—Washington D. C., 1978.

Shankar R” WШеп E. — Phys. Rev., 1978, v. D17； p. 2134.

Shankar R., Witten E. — Nucl. Ph vs., 1978, v. B141, p. 349.

Shaw R. Ph. D. Thesis — Cambridge University, UK., 1955.

Sinha A. — Phys. Rev., 1976, v. D14, p. 2016.

Skyrme T. H. R・—Proc. R. Soc., 1958, v. A247, p. 260.

Skyrme T, H. R. — Proc. R. Soc., 1961, v. A262, p. 233,

Skyrme T. H, R. — Nucl. Phys., 1962, v. 31, p. 556.

Sommerfield C. — Ann. Phys. (N. Y.), 1963, v. 26, p. 1.

Steen^od N. The Topology of Fibre Bundles. 一 Princeton, N. J., USA: Princeton University Press, 1951. [Имеется перевод: Стинрод //. Топология косых произведений. Пер с англ./Под ред. М. М. Постникова. — М.: ИЛ, 1953.]

Stelmann О. — Nucl. Phys., 1978, v. B145, p. 141.

Subbaswamy K. R・，TrulUnger S. E. — Phys. Rev., 1980, v. D22, p. 1495.

Suzuki M. — Phys. Lett., 1978, v. 78B, p. 466.

Taubes С. M. — Comm. Math. Phys., 1980, v. 72, p. 277.

Taylor J. C. Gauge Theories of Weak Interactions, — Cambridge University Press, U. K., 1976. [Имеется перевод: Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий. Пер. с англ.^Под ред. Г. В. Ефимова. — М,: Мир, 1978.]

Taylor J. G. — Ann. Phys. (N. Y.), 1978, v. 115, p. 153.

Thirrlng W. —- Ann. Phys. (N. Y.), 1958, v. 3, p. 91.

^Hooft G. —Nucl.Phys., 1974, v. B75, p.461.

rtHooft G. —Nucl.Phys., 1974, v. B79, p.276.

ftHooft G. —Phys.Rev. Lett., 1976, v. 37,p. 8.

rtHooft G. ―Phys.Rev., 1976, v. D14, p. 3432.

rtHooft G, —Nucl.Phys., 1978, v. B138, p.1.

'tHooft G. — in: The Whys of Subnuclear Physics. — New York: Plenum Press 1979

Tomboults E — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 1678.

Tomboults £., Woo G. —Nucl. Phys., 1976, v. B107, p. 221.

Toulouse G., Kleman M. —J. Physique Lett., 1976, v. 37, p. 149.

Trelman S. B., Wllczek F. — Phys. Lett., 1978, v. 74B, p. 381.

Тюпкин TO., Фатеев В., Шварц A. — ТМФ, 1976, т. 26, с. 270.

Verwaest J, — Nucl. Phys., 1977, v. В123, p. 100.

Воловик 京.F., Минеев В. П. —ЖЭТФ, 1977, т. 45, с. 1186.

Wadia S., Yoneya Т, — Phys. Lett., 1977, v. 66B, p. 341.

Weinberg E. J. — Nucl. Phys., 1980, v. B167, p. 500.

Weinberg S. — Phys. Rev., 1975, v. Dll, p. 3583.

Weinberg S. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 223.

Weisz P. — Nucl. Phys., 1977, v. B112, n. 1.

Whitham G. B. Linear and Non-linear Waves. — New York: John Wiley and Sons, 1974. [Имеется перевод: Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ./Под ред. А. Б. Шабата. —М.: Мир, 1977.].

Whittaker Е. Т., Watson G. М A Course on Modern Analysis. — Cambridge University Press, UK, 1920. [Имеется перевод: Ватсон Дж /Л, Хитте- кер Э. Т. Курс современного анализа.—2-е изд.—М.: Наука, 1962.]

Wllczek 尸.一Phys. Lett., 1976, v. 65B, p. 160.

Wllczek F. — in: Quark confinement and field theory. — New York: John Wiley and Sons, 1977.

Wllczek F. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 279.

Wllczek 尸.，Zee A. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 40, p. 83.

Wilson ^. G. — Phys. Rev., 1974, v. D10, p. 2445.

Witten E. — Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, p. 121.

Witten E. — Nucl. Phys., 1978, v. B142, p. 285.

Witten E. — Nucl. Phys., 1979, v. В149, p. 285.^

Witten E, Lectures at Cargese Summer School. — Harvard Preprint HUTP-79/A078, 1979.

Wu T, T., Young С. M — Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 3845.

Young C. "., Mtlls R. — Phys. Rev., 1954, v. 96, p. 191.

Young С. M, Wu T. T. — in: Properties of Matter under Unusual Conditions, Ed. H. Mark, S. Fernbach. — New York: Interscience, 1968.

Young 7\ C. — Phys. Rev. Lett., 1978, v. 41, p. 523.

Захаров В. F., Тахтаджян Л. / ., Фаддеев Л. Д. — ДАН； 1974, т. 219, с. 1334.

Zamolodchtkov А. В. — Comm. Math. Phys., 1977, v. 55, p. 183.

Замолодчиков А. Б. — ИТЭФ, Препринт 112.—M.: 1977.

Zamolodchtkov А. В., Zamolodchikov Al. В. — Nucl. Phys., 1978, v. В133, p. 525.

Zamolodchtkov A, 3, Zamolodchikov Al. B. — Phys. Lett., 1978, v. 72B, p. 481.

Zamolodchtkov A. B., Zamolodchtkov 力厶 В, — Ann. Phys. (N. Y.), 1979, v. 120, p. 253.

Zwanziger D. — Phys. Rev., 1968, v. 176, p. 1480 and 1489.

369*. Склянин E, К” Тахтаджян Л. Л., Фадеев Л. Д. —ТМФ, 1979, т. 40, № 2 с. 194—220.

370*. Боголюбов Н. Н. —УМЖ, 1950, т. 2, № 2, с. 3—25; Избранные труды, т. 2. — Киев: Наукова Думка, 1970.

371*. Рубаков В. А, — Письма ЖЭТФ, 1981, т. 33, с. 658; Nucl. Phys.., 1982, v. В203, р. 311.

372*. Боголюбов Н. Н., Струми^ский Б. В., Тавхелидзе А. Н. — Препринт ОИЯИ Д-1968. — Дубна； 1965.

Абловиц (Ablowitz М. J.) 50

Актор (Actor R.) 17

Атия (Atiyah М.) 116

Аффлек (Affleck I.) 9

Бардакчи (Bardakci К.) 221

Бароне (Barone А.) 44

Басеян Г. 3. 387

Белавин А. А. 87, 93, 105, 106

Бернард (Bernard С. W.) 337

Берри (Berry М. V.) 190

Блох (Bloch F.) 6, 305, 333

Боголюбов Н. Н. 6, 7, 8, 238, 362

Богомольный Е. Б. 77, 78, 120

Вадья (Wadia S.) 9

Вайнберг (Weinberg Е. J.) 9, 81, 337

Вайнберг (Weinberg S.) 364, 386

Вильсдн (Wilson К. G.) 355—357, 360

Вильчек (Wilczek F.) 386

Виттен (Witten Е.) 9, 106, 219, 237,

351, 387

Гельфанд Я. М. 173

Гильднер (Gildener Е) 303

Гинзбург В. Л. 83

Глешоу (Glashow S. L.) 67

Глимм (GHmm J.) 387

Годдард (Goddard Р.) 17

Голдстоун (Goldstone J.) 158, 161,

281, 363

Голдхабер (Goldhaber A. S.) 80

Гросс (Gross D. J.) 300, 386

Гут (Guth А.) 81

Гуцвиллер (Gutzwiller М.) 190

Дайсон (Dyson F. J.) 234, 376

Далиц (Dalitz R. Н.) 234

Дашен (Dashen R. F.) 9, 149, 201, 206, 280, 291, 300, 301, 386

Деррик (Derrick G. Н.) 169, 318

Джакив (Jackiw R.) 9, 17, 80, 108, 158, 161, 281, 291, 294, 298, 341

Джаффе (Jaffe А.) 387

Джерсак (Jersak J.) 90

Джорджи (Georgi М.) 67

Джул и a (Julia В.) 78, 79

Дирак (Dirac Р. А. М.) 8, 274, 275, 277, 278, 283

Жевицки (Jevicki А.) 263, 387

Жерве (Gervais J.-L.) 263

Замолодчиков А. Б. 222, 236

Замолодчиков Ал. Б. 222

Зи (Zee А.) 78, 79

Зоммерфельд (Sommerfield С. Н.) 78,

90, 169

Каллан (Callan С. G.) 350, 357, 360, 361, 373, 384—387

Каровски (Karowski М.) 236

Кастильехо (Castillejo L.) 234

Квинн (Quinn Н. R.) 386

Кемпбелл (Campbell D. К.) 293

Керман (Kerman А.) 161

Клейн (Klein А.) 161

Корепин В. Е. 17

Коулмен (Coleman S.) 9, 17, 23, 40, 81, 84, 97, 120, 215, 216, 218, 227, 364

Крачфилд (Crutchfield W. Y.) 383

Крист (Christ N, Н.) 9, 80, 253, 262

Кришнамурти (Krishnamurthy Н, R.) 9

Кройц (Creutz М.) 387

Крумхансл (Krumhansl J. А.) 87

Лангер (Langer R. Е.) 243

Ландау Л. Д. 83

Левит (Levit S.) 190

Ли (Lee Т. D.) 250 , 252, 253, 262, 281

Лиао (Liao Y.-T.) 293

Мандел стам (Mandelstam S.) 220, 221

Мандула (Mandula J.) 227

Мантон (Manton N. S.) 90

Марчиано (Marciano W.) 17

Матинян С. Г. 387

Маханьков В. Г. 17

Мизнер (Misner С.) 40

Миллс (Mills R) 67, 86

Паули (Pauli W.) 6

Печчей (Peccei R. D.) 386

Поляков А. М. 67, 78, 87, 105, 303,

351, 360

Попов В. Н. 171, 263, 393

Прасад (Prasad М. К.) 78 , 90, 169

Радж Лакшми (Raj Lakshmi М.) 9, 90

Раджараман (Rajaraman R.) 17

Ребби (Rebbi С.) 80, 115, 281, 291, 294, 298, 341

Росси (Rossi Р). 80

Роте (Rothe К. D.) 317

Руби нетей н (Rubinstein J.) 44

Сакита (Sakita В.) 263

Самуэль (Samuel S.) 221

Свиека (Swieca J. А.) 317

Скирм (Skyrme Т. Н. R.) 40, 215, 216

Скотт (Scott А. С.) 17, 18, 23, 24, 44

Смилански (Smilansky U.) 190

Стинрод (Steenrod N.) 82

Стратди (Strathdee J.) 9

Струминский Б. В. 362

Сударшан (Sudarshan Е. С. G.) 9

Сьюто (Sciuto S.) 17

Намбу (Nambu Y.) 363

Неве (Neveu А.) 9, 300

Нильсен (Nielsen Н. В.) 83

Нитянанда (Nityananda R.) 9

Норд си к (Nordsiek А.) 6

Олив (Olive D.) 17, 81

Ольсен (Olesen Р.) 83

О^ейферти (O^aifaertaigh L.) 90

Тавхелидзе А. Н. 362

Таубе (Taubes С. М.) 85, 120, 332

Тахтаджян Л. А. 201

Тирринг (Thirring W.) 215

Томбулис (Tomboulis Е.) 253

Торн (Thorn С.) 9

Тун (Thun H.-J.) 236

Т'Хофт ('tHooft G.) 67, 75, 78, 80, 108, 117, 347, 364, 370, 378, 382, 383, 387

Тюпкин Я. А. 78"

Пагельс (Pagels Н.) 17

Патраскиу (Patrasciou А.) 81, 303

Уизем (Whitham G. В.) 18

Уорд (Ward А.) 116

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 407

Фаддеев Л. Д. 17, 50, 171, 201, 202, 263, 393

Фейнман (Feynman R. Р.) 172, 173

Финкельстейн (Finkelstein D.) 40, 44

Флоке (Floquet G.) 287

Фридберг (Fridberg R.) 281, 298

Фролих (Frohlich J.) 170

Цванцигер (Zwanziger D.) 79, 8()

Шанкар (Shankar R.) 9, 81, 222, 237

Шапошник (Schaposnik I7. А.) 90

Швингер (Schwinger J.) 79, 80

Шриффер (Schrieffer J. R.) 87

Хазенфрац (Hasenfratz Р.) 80

Хар (Khare А.) 387

Хасслахер (Hasslacher В.) 9

Я гл ом А. М. 173

Янг (Yang С. N.) 67, 86

Хибс (Hibbs A. R.) 172, 173

Хиггс (Higgs Р. W.) 68

Хобарт (Hobart R.) 318

Аксион 386

Аналитичность 227, 228

Аномалия аксиального тока 364, 367, 368 .

Антиинстантон в задаче о периодическом потенциале 306

системе 加2。一 Миллса 110

Антикинк 30

Антикоммути р ующиес-числа см.

Грассмановы числа

Ароматы 361, 362

Асимптотическая свобода 17

——КХД 362

О ⑶-модели 121

системы Я^га — Миллса 348

Бегущая константа связи 348

Безмассовые фермионы 361—367

подавление вакуумного туннелирования 364—367

Блоха теорема 305

Елоховские волны 312

Богомольного условие 77, 78

Б озонизация 219

Бора — Зоммерфельда условие 186— 190

Борелевская процедура суммирования 377

Борелевский ряд 378 обобщение 381, 382

Бореля функция 377, 378

для функций Грина 379

Бризеры (дублеты), классические 49, 201

—квантовые 205

Бэклунда преобразования 15, 52, 53 для системы синус-Гордона 52, 53

Вакуум 142—144

——абелевой модели Хиггса 320——326

—КХД с безмассовыми фермионами 371—375

—теории Янга — Миллса 342

Вакуумное туннелирование в абелевой модели Хиггса 332

теории Янга — Миллса 342

подавление безмассовыми фермионами 364

Вакуумный сектор состояний 144 в системе синус-Гордона 202

—угол 334

как параметр в лагранжиане 336

Вильсона петлевая функция (множитель) в абелевом случае 355, 384 неабелевом случае 360, 384

Вириала теорема 56, 57

и евклидова модель СГ 318

О (З)-модель 57, 58

В КБ метод 186—198

в теории поля 190—197

и интегралы по траекториям 186—188

приближение слабой связи

197, 198

условие Бора — Зоммерфельда 186

множитель & 388—391

точность 198

для теории СГ 213

Внутреннее пространство 58

вращение в нем 250

глобальные вращения 58

локальные преобразования 67

Гаусса закон 322—324, 340, 341

и калибровочная эквивалентность 341

Гауссово приближение 185, 306

Голдстоуновские бозоны 156, 363

и симметрия SU (2) \ SU ⑵ 363

Гомотопическая классификация в абелевой модели Хиггса 83

евклидовой системе %2。一

Миллса 97—104

жидких кристаллах 86

О (З)-моделн 62

монопольных решений 71, 72

некоторые общие результаты 82

отображение окружностей

в окружности 60, 61

Грассманова алгебра 266

генераторы 266

Грассмановы поля 265

—числа 265

Гросса — Неве (ГН) модель 227, 237,

300

определение 300

S-матрнца 237

Групповая мера для SU (2) 100—102

Зарядовое сопряжение 278, 294—296

матрицы 278, 294

оператор 296

Заряженные солитонные решения

250

Инстантоны 11, 91, 92

—абелевой модели Хиггса 119, 120

—калибровочных SU (М-теорб 120

—отсутствие в О (№)-моделях 119

—системы 牙£2。一 Миллса 95, 108, 119

—СРдг-модели 127

Интегралы по траекториям 172 и приближение стационар

ной фазы (ПСФ) 174, 175

Инфракрасная проблема больших инстантонов 345—351

Дионы 79, 80

Дирака гамильтониан одиочастич- ный 275, 278

—матрицы 274

—поле 273

функциональный интеграл 273, 274

Дублеты (бризеры) классические 19, 201

—как полюсы S-матрицы 235, 236 связанные состояния 209亠2il

—квантование 205

— квантовые масс* 209

Евклидово действие 92 , 94, 95

для маятника 118

системы Клейна — Гордона

92

处34 — Миллса 94, 95

СР^-модели 124

Евклидовы системы 91, 92

действие 92, 94, 95

уравнение поля 92, 124

функциональные интегралы

179, 184, 185

.в теории поля 184, 185

Задача о периодическом потенциале (ЗПП) 303—314

Калибровочные поля 68

——матричные обозначения 93, 94

—преобразования абелевы 123

неабелевы 68, 94

не зависящие от времени 322, 323

Квазиклассический метод для квантования периодических решений 190—197

статических решений 143—170

и КХД 13, 14

ограничения 13, 199

Квантование зависящих от времени солитонов 186

—магнитного потока в сверхпроводниках 84

—статических солитонов 130

Квантовая хромодинамика (КХД) 11—14, 349 «миниатюрная» модель 364 определение 361

—электроди нами ка (КЭД) 376

Кварки 361, 362

—ароматы 361, 362

— в КХД 361 .

—конфайнмент 353

Кинк теории 6《29

антикинк 30

квантование 143—149

классическое решение 30

масса квантового кинка 149—154

классическая 31

непертурбативность 32

Киральная SU (2) х SU (2)-симме- трия 363

и безмассовые кварки 363

нарушение 363, 364

Киральность операторов 373

Классический предел ферми-полей 264, 265, 272

Кластерное разложение 373一375

Коллективные координаты 238—263

в евклидовом функциональном интеграле 390—393

модели U (1)-симметрии 245, 246

нерел ятивистской квантовой механике 238—243

для трансляционной симметрии 255

якобиан 393

Конфайнмент 353

Кроссинг-симметрия 227

— для (1 +' 1)-мерных О (^-моделей 229

Кубические тождества для О (^-моделей 230

S-матриц 226

Лангера модификация 243

Ландау — Гинзбурга модель 83

Локализованные решения 22

масса 78

обобщение на высшие группы 81

сила взаимодействия 90

топологический ток и заряд

72, 73,

Нелинейная О (З)-модель 58 гомотопический анализ в двух измерениях 60, 61

применение в теории ферромагнетика 66

Неоднозначности КДД 234

устранение в модели СГ 235, 236

~- — —~— моделях О (N) и ГН 237

Непрерывная симметрия в нерелятивистской задаче 239

Непрерывные симметрии 137

Нетопологические решения 39, 42

зависящие от времени 250 статические 39

Нормальное упорядочение 151, 152, 213

Нормальные моды флуктуаций 138, 140

Нулевые моды 137, 147, 154, 238, 245 фермионные 293, 294 " и индекс Понтрягина 370

Обратной задачи рассеяния метод 15, 18, 24

для системы СГ 50

Массивная модель Тирринга (^АТ) 215

О (2)-симметрия 235

S-матрица 235, 236

эквивалентность модели С「 215—217

Меронные решения 350, 386, 387

Механические аналоги нелинейных уравнений 26—29, 33—36

Модель CPn 121, 122

инстантоны 127, 128

калибровочная инвариантность 123

ь связь с О (З)-моделью 128, 129

Мопоноль т，Хофта — Полякова 67— 78

гомотопический анализ 70— 72

и условие Богомольндгб 77, 78

квантования Швингера 74

Переменные действие — угол 51, 52, 201, 202

Перенормировка массы квантового кинка 149—154

—процедура 347

Понтрягина индекс 98, 339, 343, 347

—плотность 99

Потенциал тяжелых кварков 384

Приближение стационарной фазы (ПСФ) 174—178

в теории поля 196

и условие Бора — Зоммерфельда 187—190

Принцип отражения 228, 229

Проблема U ⑴ 364

Разложение по степеням 1/2 121

Размер солитонов (инстантонов) в абе* левой модели Хиггса 85

，ЗПП 313

О (3)~модели 66

системы 丹從。— Миллса

ПО

СРд^-модели 127

теории 6《31

Разреженный инстантонный газ 313, 332

проблемы в теории 处за —

Миллса 346

Ряд теории возмущений 376

борелевская суммируемость 376

расходимость 377

Самодуальности условие 105, 106

аналоги в других моделях 126

Симметрия обращения времени и аксионы 386

нарушение 344, 385

Синус-Гордона (СГ) система 44

антисолитон 46

двухсолитонные решения 46—48

дублеты (бризеры) 46, 49

квантование 203—209

классические решения 46—49

О (2)-инвариантность 235

солитон 46

точная S-матрица 235, 236

эквивалентность массивной

модели Тирринга 215—217

Слабой связи условие (приближение) 134—141

и метод ВКБ 197, 198

система 2нза — Миллса 349—352

S-матричная теория 17

в (1 + 1) измерениях 227—237

Солитонные операторы 220, 221

Солитонный сектор состояний 158

Солитоны 23, 24

—отличие от уединенных волн 24, 25

—системы синус-Гордона 46

квантование 203—205

Спонтанное нарушение симметрии в О (3)-модели 59

киральной симметрии

SU (2) X SU (2) 363

(1 + 1)-мерной ф4-теории 22, 145

системе синус-Гордона 202

явлении Xнееса 319, 320

Стереографическая проекция 64

Топологические нлкуумы 325. 3G5

и к.1；1( т<*рн(н* p.i vioH^'iiite 373. 374

― -подавление туннелирования 364 туннелирование 332, 333, 342,

364

Топологический индекс или заряд 42 для монопольных решений 72,

73

О (З)-модели 60—62

скалярных полей в (1+1) измерениях 40—43

как квантовое число 160

соответствующи й ток 42, 72

сохранение 41, 42

Точки поворота орбит 189

Точные S-матрицы 227—238

для модели ГН 237

теории синус-Гордона 235— 237

Трансляционная мода 154—157, 253 в инстантонном решении 307,

392—394

метод рассмотрения 253—258

Туннелирование 136, 304, 341, 342

—барьер 314, 342

—в абелевой модели Хиггса 326, 333

——присутствии фермионов 370— 372

теории 兄兄за — Миллса 341, 342

—подавление 374

Тэта-вакуумы и 0-секторы 336—339, 342, 354, 375

кластерное разложение 374

—фоновое поле 354, 375

Углы стабильности 192, 193

аналогия с индексами Флоке 287

в теории поля 196

Уединенные волны 22, 23

в (1+1) измерениях 25—40

отличие от солитонов 24, 25

Унитарность 227

Упорядоченные по траекториям экспоненты 96

Факторизация S-матриц 225

Фермионы из бозонных полей 80, 216

Ферми-поля, классический предел 264, 265

—функционал ьные интегралы 273

Флоке индексы 287

Формфакторы с олитонных состояний 163, 164

Функциональные интегралы в теории поля 180

гауссово приближе- ние 185

граничные условия 180

—ПСФ 183

для абелевой модели Хиггса 330

теории Янга — Миллса 343

ферми-полей 273

Хиггса абелева калибровочная модель 82, 119, 318

,：вакуумное туннелирование 326

в (2 + 1) измерениях 83

—топологические вакуумы

325

явление Хиггса 319, 320

—механизм 68

—неабелева модель 67, 68

—поля (скалярные) 68

—явление 319, 320

Частица на окружности (ЧНО) 314— 317

аналогия с 0-вакуумом 336, 337

Цветная группа 361, 362

Цветной индекс 361, 363

Элементарный бозон 210, 211

Энергия связи системы СГ 210—212

ряд Бете — Солпитера 212

Ядерная демократия 211

Янга — Миллса система 93—104

вакуумное туннелирование 342

закон Гаусса 340, 341

инстантоны 105

калибровочная эквивалентность 341

калибровочные преобразования 94

проблема больших инстантонов 345

топологические вакуумы 341

5 910181819254044^^^^^^^^919193105108111117⑵1301301331431431451491541581685 910181819254044^^^^^^^^919193105108111117⑵130130133143143145149154158168

5 910181819254044^^^^^^^^919193105108111117⑵130130133143143145149154158168

5 910181819254044^^^^^^^^919193105108111117⑵130130133143143145149154158168

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

ОТ АВТОРА

ГЛАВА 1. ПРЕДИСЛОВИЕ И ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 2. КЛАССИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ И УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ

Введение

Уединенные волны и солитоны

Некоторые уединенные волны в двух измерениях

Топологические индексы

Решения системы синус-Гордона

ГЛАВА 3. МОНОПОЛИ И ПОДОБНЫЕ ИМ РЕШЕНИЯ

О многомерных решениях

Теорема вириала

Нелинейная О (З)-модель: изотропный ферромагнетик ....

Монополь т'Хофта — Полякова

|Еще о монополях и дионах

Гомотопическое рассмотрение систем конденсированных сред

Солитон-солитонные взаимодействия

ГЛАВА 4. КЛАССИЧЕСКИЕ ИНСТАНТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Что такое инстантон?

Евклидовы конфигурации Янга—Миллса

Инстантоны Янга—Миллса

Инстантон

^инстаитонные решения

Инстантоны других моделей

СРумодель

ГЛАВА 5. КВАНТОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Введение

Основная идея

Квантование кинка

广 5.3.1, Вакуум и его возбуждения,.

Квантовый кинк и его возбуждения

Масса кинка и ее перенормировка

Трансляционная мода

« 5.6.*Стабильность кинка и его формфакторы

Заключительные замечания

ГЛАВА 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И МЕТОД ВКБ ..

Формализм интегрирования по траекториям

Обобщение на полевую теорию

Условие Бора — Зоммерфельда,.

Метод ВКБ в теории поля

Заключительные замечания по методу ВКБ

ГЛАВА 7. НЕСКОЛЬКО ТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

7.L Спектр связанных состояний в теории синус-Гордона ...

Масса квантового солитона

Массы дублетов

Интерпретация дублетных состояний

Эквивалентность моделей СГ и МТ; бозонизация

Бозонизация

Солитонные операторы

Факторизация 5-мап)иц

Несколько точных 5-матриц

ГЛАВА 8. КОЛЛЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ И КАНОНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Трактовка нулевых мод: простой пример

Пример явной коллективной координаты

Неявные коллективные координаты

Квантование солитонов с помощью канонических операторных методов ГЛАВА 9. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФЕРМИ-ПОЛЕЙ

Введение: грассмановы поля

Функциональный интеграл для свободного поля Дирака ..

Солитоны в присутствии ферми-полей■.

О возможности существования солитонов с зарядом 1/2 ...

Дальнейшие замечания

ГЛАВА 10. ИНСТАНТОНЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Инстантоны и периодический потенциал

Топологические вакуумы в абелевой модели Хиггса ....

Вакуумное туннелирование в абелевой модели Хиггса ...

Янг-миллсовский вакуум

Инфракрасная проблема больших инстантонов

ГЛАВА 11. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ИНСТАНТОННЫХ ЭФФЕКТОВ

Инстантоны и конфайнмент

Связь безмассовых фермионов с КХД

Подавление вакуумного туннелирования безмассовыми фермионами

Инстантоны и суммируемость по Борелю

Дальнейшие разработки

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ЛИТЕРАТУРА

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

607 1135059017899 0000111222111 2222222222607 1135059017899 0000111222111 2222222222383845532 2 2 2383845532 2 2 28 4 4 3 7 175 6677992 2 2 2 2 2 28 4 4 3 7 175 6677992 2 2 2 2 2 2338685 331 463 8 2 6 6 沼001234 556 678 8 9 9 а о3 3 3 33 3 33 3 3 зз 3 3 4 4338685 331 463 8 2 6 6 沼001234 556 678 8 9 9 а о3 3 3 33 3 33 3 3 зз 3 3 4 4ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . ■

607 1135059017

899 0000111222

111 2222222222

607 1135059017

899 0000111222

111 2222222222

38384553

2 2 2 2

38384553

2 2 2 2

8 4 4 3 7 17

5 667799

2 2 2 2 2 2 2

8 4 4 3 7 17

5 667799

2 2 2 2 2 2 2

338685 331 463 8 2 6 6 沼001234 556 678 8 9 9 а о

3 3 3 33 3 33 3 3 зз 3 3 4 4

338685 331 463 8 2 6 6 沼001234 556 678 8 9 9 а о

3 3 3 33 3 33 3 3 зз 3 3 4 4

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во «Мир».

Р. РАДЖАРАМАН

СОЛИТОНЫ И ИНСТАНТОНЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Научн. редактор Н. Л. Телеснин

Мл. научн. редакторы:

Р. X. Зацепина, Г. Г. Сорокина

Художник Н. И. Василовская

Художественный редактор В. Б. Прищепа Технический редактор В. П. Сизова Корректор Н. А. Гиря

ИБ № 5217

Сдано в набор 02.11.84.

Подписано к печати 07.06.85.

Формат 60х90%б・

Бумага кн.-журн., имп.

Гарнитура литературная. Печать высокая.

Объем 13.00 бум. л. Усл. печ. л. 26,00 Усл.кр.-отт., 26,00. Уч.-изд. л. 26, Изд. № 2/3389 . Тираж 5000 экз. Зак. № 9. Цена 4 р. 20 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР».

129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколово Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.

I) Джакив и др. [199] записали Ф (х) в более общем виде 工 ”^九〃| % ——&『,

— 1. Это решение имеет то преимущество, что оно конформно ковариантно.

SOLITONS AND INSTANTONS

An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory

R. RAJARAMAN

Centre for Theoretical Studies, Indian Institute of Science, Bangalore 560012, India

North-Holland Publishing Company Amsterdam-New York-Oxford 1982

R Раджарвман

солитоны и

ИНСТАНТОНЫ в квантовой теории поля

Перевод с английского канд. физ.-мат. наук А. А. Власова и канд. физ.-мат. наук К. А. Свешникова под редакцией д-ра физ.-мат. наук О. А. Хрусталева

МОСКВА «МИР» 1985

Ы>К 22 31

Р15

УДК 530.145

Раджараман Р.

Р15 Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Пер. с англ. —М.: Мир, 1985. —416 с., ил.

Монография индийского ученого является первым систематическим изложением теории квантовых солитонов и инстантонов и ее приложений к теоретикополевым и статистическим моделям. В относительно небольшом объеме охвачены все аспекты и последние достижения этого бурно развивающегося в последнее десятилетие направления квантовой теории. Книга содержит необходимые предварительные сведения для изучения вопроса и может служить также введением в проблему.

ББК 22.31530.1ББК 22.31530.1Для научных работников в области квантовой теории и физики высоких энергий, а также студентов и аспирантов. .

ББК 22.31

530.1

ББК 22.31

530.1

Редакция литературы по физике

© North-Holland Publishing Company, 1982

© перевод на русский язык, «Мир>, 1985