Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВАКУУМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ
2-е издание, переработанное и дополненное
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1988
УДК 530.145
Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1988.—288 с.—ISBN 5-283-03955-2.
Изложена теория вакуумных квантовых эффектов во внешних электромагнитных и гравитационных полях. На основе метода преобразований Боголюбова рассмотрены рождение частиц из вакуума, а также поляризация и перестройка вакуума внешними полями. Проанализированы квантовые эффекты в однородном электрическом поле, сверхкритическом кулоновском поле, гравитационном поле вблизи космологической сингулярности и черных дыр. Исследованы самосогласованные гравитационные поля, создаваемые плотностью энергии вакуума квантованных полей. Первое издание вышло в 1980 г. По сравнению с первым изданием книга существенно переработана и дополнена с учетом новейших достижений в данной области.
Для научных работников, специализирующихся по квантовой теории поля, физике элементарных частиц, общей теории относительности и астрофизике, а также для студентов старших курсов соответствующих специальностей.
Ил. 10. Библиогр. 291 назв.
Рецензент В. П. Шелест
^ 1704070000-293 _ _
Г16-87
051(01)-88
ISBN 5-283-03955-2ISBN 5-283-03955-2© Энергоатомиздат, 1988© Энергоатомиздат, 1988
ISBN 5-283-03955-2
ISBN 5-283-03955-2
© Энергоатомиздат, 1988
© Энергоатомиздат, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге излагается теория вакуумных квантовых эффектов в сильных полях, главным образом в электромагнитном и гравитационном. Этот раздел квантовой теории поля в последние годы активно разрабатывался, и были получены многочисленные новые результаты. К числу наиболее интересных эффектов взаимодействия квантованных полей с внешним полем относятся: рождение пар частиц и античастиц и поляризация вакуума, рождение позитронов сверхкритическим кулоновским полем, эффект Казимира, испарение первичных черных дыр, перестройка вакуума в сильных полях. Перечисленные эффекты, теория которых подробно дана в книге, существенны при распространении в вакууме излучения мощных лазеров, в экспериментах по столкновению тяжелых ионов, в физике пульсаров и черных дыр, а также в космологии при изучении ранних стадий эволюции Вселенной.
В первой части книги изложены общие методы теории вакуумных квантовых эффектов в сильных полях. Здесь собран необходимый общетеоретический материал и приведен ряд иллюстраций модельного характера. В гл. 1 кратко суммированы основные сведения об уравнениях релятивистских волновых полей во внешних полях и рассмотрены особенности процедуры канонического квантования при наличии внешнего поля. В гл. 2 приведено обсуждение основных вакуумных квантовых эффектов в сильных полях и намечены методы их теоретического описания, не зависящие от типа поля. Большое внимание уделено тому факту, что в присутствии нестационарного внешнего поля операторы рождения и уничтожения частиц в разные моменты времени связаны между собой каноническим преобразованием Боголюбова. В гл. 3 изучены квантовые эффекты во внешних полях, задаваемых граничными условиями. Важную роль в этой главе играет рассмотрение эффекта Казимира и вопроса о поляризации вакуума в пространствах с неэвклидовой геометрией и топологией.
Во второй части книги излагается теория вакуумных квантовых эффектов во внешнем электромагнитном поле. Главы 4, 5 посвящены эффекту рождения частиц со спином 0, 1/2 и 1 из вакуума полями различных типов, в частности однородным электрическим полем с периодической зависимостью от времени, постоянным полем и распространяющейся вдоль него плоской волной, сверхкритическим кулоновским полем. В гл. 6, 7 рассмотрены поляризация вакуума постоянным и переменным электромагнитным полем, а также эффект перестройки вакуума в сильных полях.
В третьей части книги изложена теория вакуумных квантовых эффектов в гравитационных полях. При этом общий анализ особенностей описания квантовых эффектов в гравитационном поле дан в гл. 8. Центральной в этой части является гл. 9, содержащая полную теорию рождения частиц и поляризации вакуума полей разных спинов в наиболее важном для приложений случае однородных изотропных пространств. В гл. 10 подробно изучены самосогласованные гравитационные поля, обусловленные плотностью энергии вакуума квантованных полей, и обсуждены возможности их использования в астрофизике, а в гл. 11 — эффект перестройки вакуума в гравитационном поле. Гл. 12 содержит теорию вакуумных квантовых эффектов в неинерциальных системах отсчета и черных дырах, в частности, получившего широкую известность эффекта Хокинга.
По сравнению с первым изданием, вышедшим в свет в 1980 г. [1], материал данной книги существенно переработан и дополнен. Наряду со значительными сокращениями (в частности, опущена теория неэквивалентных представлений коммутационных соотношений), изложены новые результаты по эффекту Казимира, рождению частиц и поляризации вакуума электромагнитными полями, решениям уравнений Эйнштейна с однопетлевыми квантовыми поправками, использованию метода размерной регуляризации, пространственно-временному описанию рождения частиц и др.
Следует отметить также вышедшую в 1982 г. в Кембридже книгу (см. русский перевод (2]), которая специально посвящена вакуумным квантовым эффектам (в основном — поляризации вакуума) в гравитационном поле.
Разработка общего плана данной книги и обсуждение отдельных глав проводились совместно всеми авторами. Непосредственно работа по написанию текста распределилась следующим образом: § 2.1, 2.3, 2.4, 6.4, 7.4 написаны А. А. Грибом; гл. 3, 8 и § 2.2, 7.2, 12.2—12.4 —С. Г. Мамаевым; гл. 1, 4, 5 и § 2.5, 7.1, 7.3 — В. М. Мостепаненко; § 12.1—А. А. Грибом и С. Г. Мамаевым; гл. 11 — А. А. Грибом и В. М. Мостепаненко; гл. 10 и § 6.1—6.3 — С. Г. Мамаевым и В. М. Мостепаненко; введение и гл. 9 — совместно всеми авторами.
Авторы считают своим долгом поблагодарить Н. Н. Трунова и В. М. Фролова за многочисленные плодотворные обсуждения, Б. Л. Спокойного за помощь в работе над §11.3, а также В. Н. Алейникова, М. 3. Смирнова и В. А. Шелюто за помощь в оформлении рукописи книги.
Авторы
Уже после сдачи рукописи в издательство, скоропостижно скончался наш друг и соавтор Сергей Георгиевич Мамаев. Он вложил в работу над книгой столько творческих сил, что если она обладает какими-либо достоинствами, то во многом благодаря лично ему.
А. А. Гриб, В. М. Мостепаненко
ВВЕДЕНИЕ
Теория вакуумных квантовых эффектов в сильных полях становится в последние годы все более актуальной. Это связано с быстрым прогрессом в области лазерной техники, созданием ускорителей тяжелых ионов, позволяющих получать квазиядра с атомным номером 7^170, а также с успехами космологии и астрофизики, подтвердившими существование в природе сильных гравитационных полей.
Одним из наиболее интересных квантовых эффектов в сильном поле является рождение пар частиц и античастиц из вакуума. Электрическое поле напряженности Е будет интенсивно порождать пары, если работа, совершаемая им над виртуальными частицами на расстоянии порядка комптоновской длины волны К]тс, имеет порядок тс2 (т — масса рождающейся частицы). Отсюда в качестве характерной напряженности рождающего пары поля (так называемое критическое поле) получается чрезвычайно большое значение ЕС1=т2сг!^еН) ~ 1016 В/см (для электронов).
Одним из способов создания сильных электромагнитных полей является фокусировка излучения мощных импульсных лазеров. Хотя получаемые таким образом поля в настоящее время имеют напряженность на несколько порядков ниже Еа, можно надеяться, что с развитием лазерной техники и методов фокусировки максимально достижимые значения напряженности увеличатся. В связи с перспективами наблюдения различных вакуумных квантовых эффектов во внешнем поле большой интерес представляет также возможность создания рентгеновских и гамма-лазеров.
Другой способ создания сильных электрических полей дают ведущиеся уже в настоящее время эксперименты по столкновению тяжелых ядер, например ядер урана. При этом на некоторое время образуются квазиядра с эффективным зарядом 7=184, электрическое поле которых превосходит критическое значение. В таком поле рождаются два позитрона и возникает отрицательно заряженный вакуум.
Близкие к критическому значению электромагнитные поля возникают также в пульсарах и заряженных черных дырах. Создаваемая этими полями поляризация вакуума приводит к появлению соответствующих поправок в максвелловском лагранжиане электромагнитного поля, которые должны учитываться в астрофизических исследованиях.
В связи с открытием реликтового излучения и черных дыр особую важность для астрофизики и космологии приобрели ва-
куумные квантовые эффекты в гравитационном поле. В отличие от электромагнитного поля, гравитационное одинаково воздействует как на частицы, так и на античастицы. Поэтому рождение частиц из вакуума здесь есть результат действия приливных сил, разрывающих виртуальные пары.
Теория горячей Вселенной, подтвержденная в настоящее время многочисленными наблюдениями, свидетельствует о том, что на начальных этапах расширения имелись чрезвычайно сильные гравитационные поля, которые должны были вызывать поляризацию вакуума и порождать пары частиц и античастиц. Эффект рождения пар гравитационным полем оказался также существенным для физики черных дыр. Он, в частности, приводит к «испарению» первичных черных дыр небольшой массы.
Исследование вакуумных квантовых эффектов в сильных полях представляет также существенный теоретический интерес. Описание этих эффектов связано с выходом за рамки теории возмущений и позволяет получить ряд предсказаний о явлениях, фактически еще не исследованных современной наукой. Это связано с тем, что, хотя квантовая электродинамика детально изучена и подтверждена экспериментально в области малых расстояний, активная разработка этой теории в области больших напряженностей внешнего поля началась сравнительно недавно. В связи с созданием квантовых калибровочных теорий, дающих объединенное описание различных фундаментальных взаимодействий, немалый принципиальный интерес представляет и эффект перестройки вакуума под влиянием сильных полей.
Одной из фундаментальных проблем современной теоретической физики является объединение квантовой теории поля и общей теории относительности. Как известно, последовательной теории квантованного гравитационного поля в настоящее время все еще не существует. Однако в широкой области между планковскими и комптоновскими характерными значениями длины, кривизны и плотности применима полуклассическая теория, в которой квантованные поля частиц рассматриваются во внешнем гравитационном поле. В рамках такой теории за последние годы уже исследованы различные вакуумные квантовые эффекты и получены важные для астрофизики и космологии результаты.
По сравнению с эффектами в электромагнитном поле изучение квантовых процессов во внешнем гравитационном поле сталкивается с дополнительными трудностями. Например, в реальных гравитационных полях, не исчезающих при /->-±оо, невозможна обычная для электродинамики S-матричная постановка задачи. Это ставит проблему выбора вакуумного состояния и интерпретации квантованного поля во внешнем гравитационном поле в терминах частиц.
Порожденные гравитационным .полем частицы и создаваемая им поляризация вакуума, в свою очередь, являются источниками гравитационного поля. В связи с этим особую важность приобретает проблема получения конечных.вакуумных средних от тензора 6
энергии-импульса квантованных полей в искривленном пространстве-времени. В процессе решения этой проблемы было разработано несколько согласующихся между собой эффективных процедур регуляризации, позволяющих находить как нелокальные (рожденные частицы), так и локальные (поляризация вакуума, приводящая к конформной аномалии) вклады в вакуумный тензор энергии-импульса.
Вычисление вакуумного тензора энергии-импульса квантованных полей для широкого класса космологических моделей позволило по-новому поставить вопрос о происхождении всей наблюдаемой Вселенной. В частности были обнаружены так называемые самосогласованные модели, в которых вакуумный тензор энергии- импульса определяется кривизной пространства-времени и, в свою очередь, обусловливает эту кривизну в соответствии с уравнениями Эйнштейна. С помощью самосогласованных моделей удалось построить сценарий эволюции Вселенной, в котором все наблюдаемое вещество и излучение возникают из вакуума на определенных стадиях эволюции.
Настоящая книга не претендует на изложение теории всех квантовых эффектов во внешних полях. Во-первых, в ней рассматриваются в основном такие эффекты, которые могут быть описаны вне рамок теории возмущений. При этом предпочтение отдается системам, допускающим точное количественное изучение, а результаты представляются в простой, удобной для применений форме. Во-вторых, исследуются лишь вакуумные эффекты, основанные на взаимодействии квантованных полей, находящихся в вакуумном состоянии, с внешними полями. В-третьих, обсуждаются процессы, которые становятся наиболее вероятными в сильных полях, когда напряженности и (или) частоты близки к соответствующим критическим значениям.
При взаимодействии квантовых систем с внешними полями возникают и многие другие квантовые эффекты. К ним относятся, например, резонансное взаимодействие вещества или отдельного атома со световым полем, излучение релятивистских электронов во внешнем поле, радиационные эффекты квантовой электродинамики в невакуумном случае, влияние внешних полей на реакции и распады элементарных частиц и т. п. Эти вопросы хорошо освещены (см., например [3—7}) и здесь не рассматриваются.
Хотя теория вакуумных квантовых эффектов в сильных полях— сравнительно молодая наука (большая часть результатов, изложенных в книге, получена за последние 15 лет), все ее основные положения надежно установлены и к настоящему моменту являются практически общепризнанными. По мнению авторов, следующий решающий вклад в эту область физики будет внесен экспериментом.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Везде, где это не оговорено особо, используется система единиц, в которой Л=с=1.
Постоянная тонкой структуры а=е2 = 1/137.
При разложении оператора поля по операторам рождения и уничтожения используются обозначения из [8]. В частности, положительно-частотной называется функция, зависящая от времени по закону exp ( + io/).
Комплексно-сопряженные, эрмитово-сопряженные и транспонированные матрицы обозначаются соответственно А*, А+ и Ат. Там, где это не может вызвать недоразумений, операторы обозначаются так же, как и с-числа; в противном случае над буквой ставится шляпка.
Латинские векторные индексы принимают значения 0, 1, 2, 3, а греческие—1, 2, 3. Греческие и латинские буквы используются также для обозначения коллективных индексов, обозначающих совокупность квантовых чисел. Метрика имеет сигнатуру ( + , —, —, —), причем t]ik=diag (1, —1, —1, —1). Скалярные произведения 4-векторов а., Ь, записываются как о^^^о^*, где gih— метрический тензор в произвольных координатах, в том числе в римановом пространстве-времени.
Знакичтензора кривизны и тензора Риччи выбираются так, что R^h^diT'jh—д^Р^Ч-Р^Г"^—PnhPjb /?д=/?‘)«, где Р,ь— символы Кристоффеля.
Часть I КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
Глава 1
КЛАССИЧЕСКИЕ ПОЛЯ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ
С ВНЕШНИМИ ПОЛЯМИ, И КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ
1.1. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЕЙ С ЦЕЛЫМ СПИНОМ
ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ
Взаимодействие заряженного поля с электромагнитным описывается с помощью замены в формализме свободного поля производных дк на обобщенные производные Dk по правилу
ди-*-Ок = дк-V-i еАк.(1.1)
где Ак — 4-вектор потенциала электромагнитного поля; е — заряд частицы вместе со своим знаком (для электрона е=—|е|). Такой способ введения взаимодействия с электромагнитным полем обеспечивает калибровочную инвариантность получающихся уравнений.
Сначала рассмотрим заряженное скалярное поле ф(х), взаимодействующее с внешним электромагнитным полем ЛДх). Совершая замену (1.1) в лагранжиане свободного скалярного поля с массой т, имеем [9]:
L<0) (х) = О*ф* (х) Z/ф (х) — т8ф* (х) ф (х)(1.2)
(верхний индекс в скобках указывает спин поля).
Из вариационного принципа для действия, определяемого лагранжианом (1.2), в качестве уравнения Эйлера получается скалярное волновое уравнение Клейна—Фока
(D,D( + т8) ф (х) = 0.(1.3)
По теореме Нетер с помощью варьирования лагранжиана (1.2) по полю находим канонический тензор энергии-импульса (далее используем сокращение ТЭИ)
Т^«“ (X) = ^ф* (х) D/p (X) + D*№* (X) D,v (X) - gtJLw (х) (1.4)
и сохраняющийся 4-вектор тока
J^ W = i [ф* to Dk<p (х) — (D^p* (x)) ф (x) 1.(1.5)
Если варьировать действие, соответствующее (1.2), не по полю, а по метрическому тензору gtk, то получается выражение для так называемого метрического ТЭИ [10]:
Т^ (х) = Т^сап (х) - ^- М - g^ Ф* (х) Ф (х),(1.6)
который отличается от (1.4) на 4-дивергенцию. Как показано в [11], метрический тензор (1.6) предпочтителен по сравнению с (1.4), поскольку в перенормируемых теориях поля его матричные элементы можно сделать конечными.
Легко убедиться, что 4-дивергенция метрического (и канонического) ТЭИ связана с 4-током (1.5) равенством
д^(х) = -е/5,1(х)^к(х)(1.7)
[s=0, /^(х) =дИА(.к)—дкА^х)—тензор электромагнитного поля]. Это равенство, которое в целях удобства дальнейшего изложения записано сразу для полей произвольного спина, обеспечивает выполнение законов сохранения в системе заряженных частиц, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем только через ток [12].
В пространстве решений уравнения (1.3) можно ввести не зависящее от выбора гиперповерхности 2 индефинитное скалярное произведение
(Фг Фг) = i f dok [ф^Ф, — (D^) %].(1.8)
Перейдем теперь к рассмотрению несколько более сложного случая массивного векторного поля с произвольным гиромагнитным отношением. Комплексное векторное поле описывается 4-компонентной функцией ф&(х), одна из компонент которой (соответствующая частице со спином нуль) должна быть исключена. Для этого лагранжиан выбирается таким образом, чтобы, помимо уравнений поля, из него вытекали необходимые для такого исключения дополнительные условия (связи):
Lw (х) Х- fki (х) Г^ + /п^: (х) ф* (х) +
Ч^еО-яИМфИ*)^*).(1.9)
где /ь,(х) =Окф,(х)—О,фк(х), магнитный момент ц связан с гиромагнитным отношением g согласно выражению p=ge/2m.
Из (1.9) в качестве уравнений Эйлера получаются векторные волновые уравнения
О/* to + mV to + 1Ч1 - g) ^/ W Фу to = 0.(1.10)
При g = l уравнения (1.10) совпадают с уравнениями Прока. При g=2 уравнения (1.10) являются линейным приближением к уравнениям калибровочной теории с локальной SU (2)-симметри- 10
ей, спонтанно нарушенной таким образом, что локальная U (1)-симметрия остается точной [13, 14].
Хотя (1.10) являются дифференциальными уравнениями второго порядка, они не содержат второй производной от q>° (х) по t (так как f°°=0). Вследствие этого (1.10) при k=0 представляет собой связь первого рода. Действуя на (1.10) оператором Du, получаем при т^О связь второго рода в виде
Dk^x^^Fwtx^'txH-if-a-^D^(1 11)
Znvт6
Подставляя (1.11) в (1.10), получаем уравнения второго порядка для каждой из четырех компонент фь(х):
DjD^h (х) + m^ph (х)^ Dh (FH (х) D/p, (х))+
+ -V kg - 1) D^ kF1, (X) ф, (x)) + i egFk (x) Ф, (x) = 0.(1.12)
Как показано в [15], любое решение (1.12), удовлетворяющее уравнениям связи в начальный момент времени, удовлетворяет им, а также уравнению (1.10) в любой момент времени.
Из лагранжиана (1.9) можно получить следующие выражения для метрического ТЭИ и 4-тока векторного поля, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем:
Т?к (х) = — gl1 kfklf и + fijfkl) + ^ (ф/Фк + ф»ф|) —
— gik^1 ’ (х) + i е к 1 — g) kFi/v'^k — FuS-W).(1-13)
J Vх к*) = i Vfk, (x) ф' (x) — Ф^ (x) fk, (x)].
Легко убедиться, что для (1.13) выполняется закон сохранения
д>Т^ = [-е/,>^к + 1е(1_г)ф/.фад1].(1.14)
В отличие от (1.7), из (1.14) видно, что внешнее поле взаимодействует не только с током векторных частиц, но и непосредственно с аномальным магнитным моментом. При g=l (1.14) совпадает с (1.7).
Перейдем теперь к рассмотрению полей с целым спином во внешних полях иной природы. Важным примером классического внешнего поля является гравитационное поле, описываемое кривизной псевдориманова пространства-времени. Наиболее простой подход, позволяющий описать взаимодействие скалярного поля с гравитационным, состоит в общековариантном обобщении уравнений свободного поля, достигаемом заменой в формализме свободного поля производных д, на гравитационные ковариантные производные Vi.
Такое взаимодействие с гравитационным полем называется ми-
нимальным. Уравнение скалярного поля в этом случае принимает вид
(ViV' + m2Mx) = o,С1-15)
где
V'V't - у= (V=4 4“ ^. 4 - «4».
Данное уравнение при т = 0 не обладает, однако, свойством конформной инвариантности. Это означает, что при отображении риманова пространства с метрикой £,л на риманово пространство с метрикой gtk:
gik^gik=exp\—2a^gtk,(1.16)
где а(х)—произвольная гладкая функция координат, не существует такого зависящего от а преобразования ф-хр=7:1а]ф, чтобы волновое уравнение сохраняло свою форму. Физический смысл требования конформной инвариантности состоит в том, что без- массовое поле не имеет собственного масштаба длины (для массивного поля масштабом служит комптоновская длина Хс = т-1), вследствие чего оно должно вести себя одинаково в римановых пространствах, между которыми можно установить конформное соответствие (1.16).
В связи с этим в [16, 17] было предложено другое общековариантное обобщение уравнения скалярного поля:
(ViV,+^ + m2)T(x) = 0.(1.17)
где R=R\— скалярная кривизна пространства-времени; Rik— тензор Риччи.
Если положить £ = £с = (^—2)Д4(У—1)], где N—размерность пространства-времени (для N=4 имеем | = 1/6), то конформная инвариантность безмассового скалярного поля будет обеспечена. Действительно, при отображении (1.16), сопровождаемом преобразованием полевой переменной ф(х) по формуле
Ф (х) -* Ф (х) = exp ^ У ~ 2 - а (х) j ф (х),(1.18)
уравнение (1.17) с £ = £с переходите
(v.v' + 5 Л + m2 exp [2о (х)]) ф (х) = 0.(1.19)
где V, и Я подсчитаны в метрике дгк. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться законом преобразования скалярной кривизны R при преобразовании (1.16) [18]:
R = ехр [2а (х)] [Я — 2 ^ — 1) Даа + ^ — 1) (У -- 2) AiO], (1.20) где
AiO = д^д'а, Д2а = По = ViVa(1.2D
— операторы Лапласа—Бельтрами.
Уравнение (1.17) получило название уравнения с конформной связью. Как видно из сравнения (1.17) и (1.19), при т = 0, £ = £с это уравнение обладает свойством конформной инвариантности. Оно получается как уравнение Эйлера из лагранжиана
Х<0)(х)=У^?^Чф*(х)^ф(х)-(т« + ^)ф*(х)ф(х)]. (1.22)
Варьируя действие с лагранжианом (1.22) по переменным ф, Ф*, получаем канонический ТЭИ
Т^ сап (х) = д/Ф* (х) дбФ (х) + dhV* WMx)-gik (-gF''^ W. (1.23) а варьируя по метрике g^k— метрический ТЭИ Черникова— Тагирова [10]:
Т^ (х) = Т^ сап(х)-2£ [/?,» + ViVm-^V/VO Ф*(*)Ф(х). (1.24)
В отличие от (1.23), для безмассового поля след метрического тензора (1.24) с £ = £с равен нулю. Имеет место так называемое условие консервативности (s = 0):
^can (х) = ^ (х) = 0.(1.25)
Из лагранжиана (1.22) вытекают следующие выражения для сохраняющегося 4-тока и скалярного произведения решений уравнений поля:
J^ (х) = i ф*(хЙф (х), (фр ф2) = i J do* (ф? d^J.(1.26)
Рассмотрим теперь векторное поле Прока, взаимодействующее с внешним гравитационным полем. Векторное поле описывается четырехкомпонентной величиной фь(х), являющейся вектором относительно общих преобразований координат. Лагранжиан поля Фк(х) можно записать аналогично (1.9):
жо> (х) = V=7[- -L flk (X) fk (х) + mV(х) ф< (х) ],(1.27)
где теперь fih = V^k—Vkфi=дjф;[—-дьф^
Из этого лагранжиана вытекают уравнения Прока в римановом пространстве-времени
v/*W + mV(x) = 0.(1.28)
(1.29)(1.29)Так же как в случае векторного поля, взаимодействующего с электромагнитным, уравнение (1.28) не содержит второй производной от фо по L Поэтому (1.28) при &=0 является связью первого рода. Применяя к (1.28) оператор V&, получаем при т=£0 связь второго рода
(1.29)
(1.29)
7кФ*М =0.
Подстановка (1.29) в (1.28) приводит к уравнениям второго порядка относительно компонент фк:
V'VtT» (х) + ^мф' W + т*Фк (х) = °-(1.30)
Для ТЭИ и 4-тока векторного поля из плотности лагранжиана (1.27) находим выражения
^(х) = —g,lVkifu + fiifkii + "i1 (ф<Фк + Ф»Ф/) —
-gid-gr1'*^^(1.31)
ЛП (х) = i UkiW ф'ОО -ф'* (x)fw(x)).(1.32)
Тензор (1.31) удовлетворяет равенству (1.25) с s=l.
Взаимодействие с гравитационным полем имеется и для векторных полей с нулевой массой покоя. При т = 0 тензор fhj и лагранжиан (1.27) инвариантны относительно локальных калибровочных преобразований вида
.Ф| (х) -* Ф1 (х) + д,Л (х),(1.33)
где Л(х)—произвольная дифференцируемая скалярная функция. Для безмассового векторного поля уравнение (1.28) с т = 0 остается в силе, но соотношение (1.29) уже не является его следствием. Если, однако, выбрать фейнмановскую калибровку, постулировав выполнение (1.29) (условие Лоренца), то теория безмассового поля окажется аналогичной теории массивного поля, в частности будет выполнено уравнение (1.30) с т = 0.
С помощью выражения для дивергенции антисимметричного тензора
v/* = у= -^r(V=7 Н(1.34)
убеждаемся, что уравнение (1.28) при т=0 инвариантно относительно конформного преобразования (1.16), если положить
fik (х) = ехр [(^ — 4) о (х)] /,„ (х).(1.35)
Важно отметить, однако, что конформная инвариантность теории безмассового векторного поля нарушается вследствие неинва- риантности условия Лоренца (1.29).
При рассмотрении гравитонов во внешнем гравитационном поле используется безмассовое тензорное поле Н4н(х) со спином 2, имеющее смысл малого возмущения метрического тензора gxkW фонового пространства-времени. Поле А<* (х) удовлетворяет уравнению типа Фирца—Паули [19]
^м (X) + 2RjtMh)' (х) = 0(1.36)
и калибровочным условиям
VA^(x)=0, А(х) = А'(х)=0,(1.37)
где RjiM — тензор кривизны фонового пространства-времени. 14
Уравнения (1.36) являются линейным приближением к уравнениям Эйнштейна в вакууме и, вообще говоря, не обладают свойством конформной инвариантности.
Выше обсуждались уравнения полей с целым спином в электромагнитном и гравитационном внешних полях. Помимо этого, иногда рассматриваются поля, взаимодействующие со скалярным внешним полем. Такое поле задается потенциалом U, который, в отличие от потенциалов электромагнитного поля, является скаляром, а не компонентой 4-вектора. Лагранжиан и уравнение поля для такого взаимодействия, например, в бесспиновом случае имеют вид
LwW =акф*(х)д*ф(х)-(т« + ^)ф*(х)ф(х),(1.38)
(dAd* + ”12 + 0 ф (х) = 0.(1.39)
ТЭИ и 4-вектор тока получаются из соответствующих выражений для свободного скалярного поля заменой
m^m» + U.(1.40)
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ Лагранжиан дираковского поля -ф (х), взаимодействующего с внешним электромагнитным полем Дк(х), есть [9]
^‘'^ (х) = (1/2) [ ф (х) у*Рлф (х) — (Р^ф (х)) у*ф (х)] — тф (х) ф (х). (1.41)
Здесь ф(х)—4-компонентный биспинор; ф=ф+у°— дира- ковски-сопряженный биспинор; матрицы Дирака ук удовлетворяют соотношениям
ТУ + уУ = 2^,(1.42)
а оператор Dk определен в (1.1). Ниже используется представление для матриц Дирака, в котором матрица ^ диагональна:
О /10 \7 0 Он \л лох
? = n J- VА •(1ЛЗ)
\ 0 —/ /\—оц 0 /
где / — единичная матрица 2X2; Оц—матрицы Паули.
Из (1.41) вытекает уравнение Дирака (1 у*РА—т) ф (х) = 0,(1.44)
а также выражения для ТЭИ и 4-вектора тока дираковского поля во внешнем электромагнитном поле
ТкР (х) = Y [ ф (х) т^ф (х) — (Р*ф (х)) у,ф (х)],(1.45)
J<//,) (х) = ф (х) у,ф (х),(1.46)
удовлетворяющие закону сохранения (1.7) cs=l/2.
Рассмотрим теперь взаимодействие дираковского поля с классическим гравитационным полем. Для этого необходимо найти общековариантное обобщение уравнения Дирака. Такое обобщение сопряжено с большими трудностями, чем в случае целого спина, поскольку требует распространения понятия спинора на случай риманова пространства-времени [20]. Уравнение (1.44) лоренц-ин- вариантно, т. е. сохраняет свою форму с неизменными матрицами у*, если наряду с преобразованием координат из группы Лоренца преобразовать спинор ф по соответствующему представлению этой группы.
Требование лоренц-инвариантности уравнения Дирака может быть перенесено на случай римановой геометрии лишь локально. Для этого в каждой точке х риманова пространства вводится касательное псевдоевклидово пространство. В качестве базисных векторов последнего удобно выбрать четверку так называемых реперных 4-векторов h\a^x^ (нумеруемых индексом а=0, 1, 2, 3), нормированных согласно
А(аАм» = 11а»«(1.47)
где т]аь — метрический тензор в касательном пространстве Минковского. Такая четверка 4-векторов называется ортонормирован- ным репером, или тетрадой. Введем также взаимную тетраду Н^Ч, определяемую условиями
ftW>=66.(1.48)
При этом
h^hwk=glk.(L49)
В терминах тетрады h\a) квадрат интервала запишется в виде ds1 = gihdx‘dxk = ^ ^dx‘) (h^).(1.50)
Уравнение Дирака при фиксированном х можно теперь считать лоренц-инвариантным в указанном выше смысле относительно произвольных вращений ортонормированного репера. Однако относительно общих преобразований координат спинор ф является скаляром.
Понятие ковариантной производной от спинора ф в римановом пространстве (ниже обозначается символом Vk) определяется исходя из двух требований. Во-первых, при фиксированном х величина V^(x) должна быть спинором относительно преобразований ортонормированного репера. Во-вторых, она должна быть 4-вектором относительно общих преобразований координат. Эти требования приводят к следующему определению:
ф»Ф - [d, + (l/4)Ce»XWl>,(1.51)
где Cabe — коэффициенты вращения Риччи, которые связаны с тетрадой h^k соотношением
Gabe ~ ^1^0^ ^(Ь)к^(с).(1-52)
Заменяя теперь в уравнении Дирака для свободного поля постоянные у-матрицы на 4-вектор относительно общих преобразований координат
Т*(х) =Л(а)(х)т°,(1.53)
получаем общековариантное обобщение уравнения Дирака
(i Y* to Vk—«) Ф to = 0.(1.54)
Оно является уравнением Эйлера для лагранжиана
х<ч*Чх^ ^^{Y^to^to^to--
—(фкФ to) V* to Ф (*)] — тф to Ф (х)}.(1.55)
Из (1.55) получаются также выражения для метрического ТЭИ [21]:
Т^ to = 4г IФ to Ту to 7*Ф to + Ф to Tk to V* to —
— (?*Ф to) Ту to Ф to — (фуФ to) Tk to Ф to!(1 -56)
(удовлетворяющего условия консервативности (1.25) с s= 1/2] и 4-тока фермионного поля
Л'^ to = ф (х) Vt (х) ф (х).(1.57)
В отличие от скалярного волнового уравнения (1.15), при т=0 уравнение Дирака в римановом пространстве (1.54) без каких-либо дополнительных модификаций конформно-инвариантно, если одновременно с (1.16) совершить преобразование
ф(х) -*ф(х) = ехр [ N~X а(х) ] ф(х). (1.58)
Вследствие этого метрический ТЭИ (1.56) совпадает с каноническим, симметризованным по индексам А и /.
Кроме взаимодействий с электромагнитным и гравитационным внешними полями, можно рассмотреть взаимодействие дираковского поля со скалярным внешним полем U, моделирующим, например, самосогласованное поле кварковой системы. В этом случае все представляющие интерес величины получаются из свободной теории заменой т-нп-VU. Например, лагранжиан и соответствующее уравнение поля имеют вид
W = Y 1Ф to ?М to - (дкФМ) Т*Ф tol -(m + U)^(х) ф (X); (1.59)
1 i^k - (m + t/)l ф (х) = 0.(i .60)
Фермионные поля со спинами $>3/2 во внешних полях ниже не рассматриваются. Это связано с тем, что соответствующие частицы не удовлетворяют критериям элементарности. Кроме того, уравнения полей с высшими спинами во внешних полях приводят к каузальным аномалиям. Так, уравнения Рари- ты—Швингера, описывающие частицы со спином 3/2, во внешнем электромагнитном поле имеют решения в виде воли, распространяющихся со сверхсветовой скоростью [15]. Аналогичная ситуация возникает и для векторного поля, если добавить к лагранжиану (1.9) член, описывающий аномальный квадрупольный электрический момент. Более подробно каузальные аномалии обсуждаются в [1, 15].
КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ
Рассмотрим общую схему квантования полей в классическом внешнем поле, вообще говоря, неоднородном и нестационарном. При этом мы не будем конкретизировать ни природу внешнего поля, ни значение спина квантованного поля. Квантование поля ф(х) осуществляется наложением канонических коммутационных (антикоммутационных) соотношений вида
[ф (/, х), ф (Л x')U = [л (А X). л (/, Х')Ь = о, (1.61) №(/, х), л(/, х')]т = 16(х—х'),
где л — канонически-сопряженный к ф импульс [в (1.61) опущены индексы компонент поля].
Как известно [22], поле ф и обобщенный импульс л являются операторнозначными обобщенными функциями. Поэтому их обычно сглаживают с некоторыми пробными функциями. Физическое значение этого математического факта связано с невозможностью измерения локального квантованного поля в точке, что было отмечено еще Бором и Розенфельдом [23].
Каноническое квантование (1.61) предполагает явное выделение времени, т. е. нарушение релятивистской инвариантности (само определение канонически-сопряженного импульса лоренц-неин- вариантно). Однако соотношениям (1.61) можно придать и реля- тивистски-инвариантную форму. Например, соответственно для заряженного скалярного и спинорного полей имеем
р(х')[ф(х), ^(x'^-do^x') = if(x);(1.62)
р(х') [ фл (х), (^^(х'Л+^^х') = 6®f (х),(1.63)
где do1 — элемент площади пространственноподобной гиперповерхности 5; f(x) —пробная функция; А, В, равные 1, 2, 3, 4 — индексы компонент биспинора (остальные коммутаторы и антикоммутаторы равны нулю); точка хе2.
Рассмотрим теперь процедуру вторичного квантования и построение пространства Фока для заряженного квантованного поля ф. Пусть (ф^* (х); ф£~> (х)} — набор классических решений волнового уравнения для рассматриваемого поля во внешнем поле,
полный и ортонормированный в терминах соответствующего скалярного произведения:
№+). ^+)) = Т бар, (ф^, фГ’) = бар, (ф^, фН = 0. (1.64) где коллективный индекс а нумерует решения и может содержать как дискретные, так и непрерывные составляющие; верхние индексы (±) соответствуют решениям с положительной и отрицательной энергией, смысл которых обсуждается ниже, а знаки =р здесь и далее относятся к бозонному и фермионному случаям.
Тогда поле ф(х) можно представить в виде разложения
Ф (х) = S I^-> W ^ + Ф«+> W 4+> 1,(1 -65)
а
где подразумевается суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным индексам.
Из ортонормированности рассматриваемой системы функций вытекают выражения для коэффициентов разложения (1.65):
4+> = + (ф4+),ф). ^ = (ф^Г*, ф).(1.66)
Эти коэффициенты называются соответственно операторами рождения античастицы и уничтожения частицы. Эрмитово-сопряженные к ним операторы ^Л ^+) -это операторы уничтожения античастицы и рождения частицы.
Из канонических коммутационных соотношений (1.61) — (1.63) для поля ф вытекают коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения:
[о^», аНт = 0, [^-\ 4+)]т = [4-). аУ’]т =бар. (1.67)
Введенные выше формально операторы Оа±) должны быть определены как операторы в некотором гильбертовом пространстве состояний квантованного поля. Такая конструкция называется представлением канонических коммутационных (антикоммутаци- онных) соотношений. Рассмотрим в общих чертах наиболее часто употребляемое фоковское представление.
Вакуумное состояние |0> в пространстве Фока определяется равенствами
О^Г» 10> = а^-» | о> = 0, <0 [ 0> = 1.(1.68)
Нормированное состояние, содержащее п частиц и т античастиц, можно представить в виде
I ?!»•••> Рп» ai>,,,, а^ =
1пт
= — ■1п < П < I 0>,(1.69)
VnJ . . . n,l mJ . . . mJ t=) Н {а1
SГ
где nt =пэ mt = т. При этом предполагается, что в дан
ном состоянии имеется Пг, 1ТЦ бозонов и антибозонов с одинаковыми квантовыми числами 0г-, сц; для фермионов ni = = ... =ns=mi= ... = mr=l.
Операторы рождения и уничтожения действуют на состояния, содержащие п тождественных бозонов с квантовыми числами а, в соответствии с формулами
^+> | Па> = УМЛ" I (« + 1)а>;(170)
ОсГ’ I Па> = У» I (п— 1)а>-
Если теперь рассмотреть билинейные по а^' операторы
Мр = ^+Ц"); & = о№; $ = ?№ ^ = S&, (1.71) ”а
то их средние значения в фоковских состояниях (1.69) есть:
{Р1> • • •, Рд» а1> • • •» Ода | ^Р; | Р1» Рп» ^Ч* • • •» ®т) = ^<»^^
<Pi,.-» рп; «1,.... «„1^1?!Р„;Ор..., ат> = ^п<=/1.
(Для операторов с чертой результаты аналогичны.) Таким образом, операторы (1.71) имеют смысл соответственно спектральной плотности числа частиц (античастиц) и полного числа ’астиц (античастиц). Среднее значение операторов (1.71) в состоянии |0> равно нулю.
В фоковском представлении действует правило суперотбора по числу частиц: операторы, не коммутирующие с операторами N, N из (1.71), например оператор поля ф, не являются наблюдаемыми.
Число частиц в фоковском представлении может быть сколь угодно большим, но обязательно конечным. Это означает, что в термодинамическом пределе (когда объем У-^-оо и ^-^-oo) описание отличных от нуля величин типа числа частиц в единице объема
п = lim N(VN-нх»V-oo
требует использования представлений, унитарно неэквивалентных фоковскому.
Проведенные выше рассуждения основывались на некотором полном ортонормированном наборе классических решений |ф£+); фа~) I. В отсутствие внешнего поля в пространстве Минковского собственные функции оператора трансляций по времени OJdt, являющегося генератором группы Пуанкаре, образуют выделенный
набор таких решений. При этом ф£+> имеет смысл положительночастотного решения, а ф^ — отрицательно-частотного. Вакуумное состояние |0>, определенное согласно (1.68), оказывается инвариантным относительно преобразований из группы Пуанкаре. Таким образом, процедура построения пространства Фока для свободного квантованного поля оказывается достаточно однозначной.
Иная ситуация имеет место, когда квантованное поле взаимодействует с нестационарным внешним полем. В этом случае отсутствует трансляционная инвариантность по времени и невозможно ввести оператор временных трансляций, собственными функциями которого являлись быф^. Поэтому трактовка элементов полного ортонормированного набора решений волнового уравнения как положительно- и отрицательно-частотных в любой момент времени теряет смысл. Различные полные ортонормированные наборы решений становятся, вообще говоря, равноправными. Действительно, выберем вместо базиса {фа+\ ^а4} какой-то другой базис (ф£+>* Ф^Ь связанный с первым линейным преобразованием
44й = £ (ф^фГ - ЧотН;
^’-^(ф^’ + ^фГ). °'73)
где Ф, W — некоторые бесконечные матрицы, знаки Т соответствуют бозонному и фермионному случаям. Представим теперь оператор поля ф в виде разложения
t (х) = Я [<Ра"> (х) + ф<+> (х) bW]. (1.74) а
Из равенств (1.65), (1.73), (1.74) вытекает, что операторы а» связаны с операторами Ьа преобразованиями Боголюбова [24]:
а^ ^(ф^Чч^Н ;
...0-75)
=^(Ф«Л“’ ±4^4
(и эрмитово-сопряженными к ним).
Из ортонормированности базисов фЧ, фа^вытекают условия на коэффициенты преобразований (1.73), (1.75):
фф+ ^ ^Т+ = /, ФТГ = Wr(1.76)
(/ — единичный оператор), обеспечивающие выполнение для новых операторов коммутационных соотношений
16^*. »Нф=О. [ЙЛ r'k-tf, ЬГ1т=««.. (1.77) а также условия
(Ф+Ф + Yry’)ap = 6„р, Ф+Т = Ч^Ф*,(1.78)
из которых следует обратимость преобразований (1.74). При этом обратные преобразования имеют вид
."..(1.79)
С помощью операторов 6 «±> можно построить новое пространство Фока, в котором вакуум определяется равенствами
Ь^ | 0> = Ь<Г> | 0> = 0; <0|б> = 1,(1.80)
а нормированные состояния, содержащие р частиц и q античастиц, подобно (1.69) представляются в виде
I Н1. . . . vg> =
= n/ —.1= П b^ П ^ | 0>.(1.81)
V^i* • • . pulgil . . • ?p!^=1/=i
Для средних значений билинейных операторов
^р ^ Ь^Ь^\ ^ = ^+) Ь^(1 -82)
по состояниям (1.81) выполняются равенства, аналогичные (1.72). С использованием алгебры коммутаторов (1.67), (1.77) можно убедиться (подробно соответствующие выкладки приведены в [1, 25]), что вакуумные состояния 10>, |0> связаны соотношением
где матрица D определяется условиями
ФР + V = 0, РФГ + Vr = 0,(1.84)
которые эквивалентны между собой в силу (1.76). Как следует из (1.76), Pop =Рра- При этом нормировочный множитель N"^x имеет смысл амплитуды перехода старого вакуума в новый:
<0|0> = Л^'.(1.85)
Соответственно для бозонов и фермионов он равен
АС* =П(1— ^)v‘; Aq:1 =П(1+^)“,/>,(1.86)
аа
где Х2а обозначены собственные значения эрмитовой матрицы РР+.
В [1, 25] приведены результаты вычислений всевозможных амплитуд переходов из состояний (1.69) в состояния (1.81), при- 22
чем все они выражены через элементы бесконечных матриц Ф, Т.
Как следует из приведенных выше рассуждений, в присутствии внешнего поля процедуру вторичного квантования можно осуществить разными способами, если исходить из разных полных систем функций, каждую из которых можно разложить по элементам другой согласно (1.73). В то же время если в (1.73) Удр =0, то в результате получаются физически эквивалентные фо- ковские представления (в качестве примера для случая свободного скалярного поля можно привести операторы рождения — уничтожения частиц с определенным импульсом и с определенными энергией, орбитальным моментом и его проекцией). При Ч^р ^=0 понятие частицы во внешнем поле теряет однозначность. Определение понятия частицы в этой ситуации, которая возникает, в частности, в любом нестационарном внешнем поле, обсуждается в следующей главе.
Глава 2
ВАКУУМНЫЕ ЭФФЕКТЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
ВАКУУМ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ЯВЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА
Понятие вакуума в квантовой теории поля существенно отличается от понятия пустоты в классической физике. Связано это с принципиальной для квантовой теории дополнительностью описания физических величин, которым сопоставляются некоммутирующие операторы. Согласно постулату квантовой теории, при измерении физической величины квантовая система переходит в состояние, являющееся собственным для соответствующего оператора. Так как некоммутирующие операторы не имеют общих собственных состояний, то система, находящаяся в собственном для некоторого оператора состоянии, вообще не обладает свойствами, описываемыми операторами, которые не коммутируют с данным [273].
Вакуум — это состояние без частиц, соответствующее нулевому собственному значению оператора числа частиц N из (1.71). В этом состоянии бессмысленно говорить о свойствах, описываемых такими некоммутирующими с N операторами, как оператор поля, плотности тока и т. п. Следовательно, так же как в квантовой механике невозможно реализовать состояние частицы с нулевыми значениями и координаты, и импульса, в теории поля невозможно реализовать состояние, в котором одновременно отсутствуют и фотоны, и квантованное электромагнитное поле, либо и электроны (позитроны), и плотность электрон-позитронного тока. Поэтому в квантовой теории становится бессмысленным понятие о пустоте как состоянии, в котором все наблюдаемые свойства системы характеризуются нулевыми значениями.
Так как оператор числа частиц является глобальным оператором (поскольку он выражается интегралом от плотности числа
частиц по 3-пространству), а упомянутые выше некоммутирующие с ним операторы — локальные, то в данном случае мы имеем дело с дополнительностью описания физических явлений на больших и малых расстояниях. В связи с этим возникает вопрос о возможности влияния глобальных вакуумных эффектов на физические процессы на малых расстояниях. Так, в единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий Вайнберга—Салама вакуум характеризуется ненулевым средним значением оператора хиггсов- ского поля, что приводит к возникновению массы у векторного бозона, а следовательно, к изменению вида операторов локальных наблюдаемых, описывающих это поле. Но что означают здесь большие и малые расстояния? Для массивных частиц большими можно считать расстояния, превышающие комптоновскую длину частицы. Основным свойством вакуума в пустом пространстве Минковского является его пуанкаре-инвариантность, т. е. неизменность при переходе от одной системы отсчета к другой.
Более сложна проблема определения вакуума для безмассовых частиц. Длина волны этих частиц может быть сколь угодно большой, так что измерение координаты любым макроскопическим прибором за счет соотношения неопределенностей АхАр>1/2 породит эти частицы. Поэтому в квантовой электродинамике при устранении инфракрасной расходимости требуется вместо вакуума вводить некоторые когерентные состояния, содержащие мягкие фотоны [26], вакуумное же состояние фотонов имеет лишь формальный смысл фоковского вакуума для вводимых операторов рождения и уничтожения. Ни в каком физическом эксперименте вакуум фотонов наблюдаться не может, так как за счет конечности разрешающей способности прибора всегда сохраняется неопределенность числа мягких фотонов. Предполагая, однако, что никаких принципиальных ограничений для разрешающей способности прибора нет, можно говорить о вакууме безмассовых частиц как о некотором идеальном объекте, в конечном счете связанном с предельно большими расстояниями. Наибольшие расстояния, с которыми имеет дело сегодняшняя физика, — это расстояния порядка 103 мегапарсек. Вселенная на этих расстояниях описывается метрикой Фридмана и является однородной, изотропной и нестационарной. На малых же расстояниях, где малость — это уже размеры галактик и их скоплений, нет ни однородности, ни изотропии.
В космологии Фридмана вакуум — это состояние, инвариантное относительно группы движений метрики, т. е. изотропное и однородное. Нестационарность метрики ведет к тому, что это состояние может зависеть от времени. Поэтому естественно попытаться определить вакуум как состояние квантованного поля с наименьшей энергией в данный момент. Тогда вакуум в метрике Фридмана будет являться основным состоянием мгновенного гамильтониана.
Более сложно определить вакуум в случае неоднородного или анизотропного внешнего (гравитационного или электромагнитного) поля. Если поле стационарно, то естественно вакуумом вновь считать основное состояние гамильтониана квантованного поля. При этом может оказаться, что вакуум описывается ненулевым значением той или иной физической величины. Так, в кулоновском поле сверхкритического ядра (см. гл. 5) вакуум характеризуется ненулевым электрическим зарядом.
Квантовая теория во внешнем поле дает пример воздействия макроскопических (классических) величин на квантовые свойства микрочастиц. При этом возникает явление, называемое поляризацией вакуума. Обычное описание поляризации вакуума использует аналогию с диэлектриком во внешнем поле. При этом говорят о том, что в вакууме на малых расстояниях присутствуют виртуальные пары частица — античастица аналогично связанным зарядам в диэлектрике. Поляризация этих виртуальных пар, в свою очередь, приводит к изменению классического поля. В результате поляризация вакуума может быть описана классическими поправками к характеристикам внешнего поля, например поправкой к закону Кулона на малых расстояниях, вакуумными добавками Гейзенберга—Эйлера к максвелловскому лагранжиану и т. д. [26].
Если внешнее поле достаточно сильно, то оно может «разорвать» виртуальные пары частица — античастица, в результате чего связанные заряды «вакуумного диэлектрика» становятся свободными. В этом случае говорят о рождении пар из вакуума внешним полем. Рождение пар происходит, когда работа поля на расстоянии комптоновской длины частицы порядка массы частицы.
Изложенная схема, хотя и стала достаточно традиционной, строго говоря, некорректна. Как было сказано выше, вакуум—глобальное понятие и одновременно наблюдать вакуум и пары частица — античастица на малых расстояниях невозможно в силу дополнительности этих наблюдений. Поэтому вакуум, в отличие от диэлектрика, не содержит никаких связанных зарядов. Более адекватным здесь является введенное Гейзенбергом и Фоком представление о «потенциальных возможностях». Хотя в вакууме и отсутствуют частицы, волновой функции вакуума можно сопоставить потенциальные возможности наблюдения плотности тока или локального поля в той или иной области пространства. Эти потенциальные возможности характеризуются вероятностным распределением (или матрицей плотности), определяемым вакуумным вектором. В частности, в фоковском вакууме даже в отсутствие внешнего поля отлична от нуля дисперсия поля ф(х):
A (t2 Ю) = <0 | ^ (х) | 0> - <0 | ф (х) | 0>». (2.1)
Эта дисперсия конечна, есди вместо ф(х) использовать сглаженный оператор tp(f) = Jtp(x)f(x)dx. Наблюдение дисперсии означает, что при измерении ♦(f) вакуум превращается в некоторое состояние, собственное для ф(^). Многократное измерение ф(0 для системы, приготовленной в вакуумном состоянии, позволяет найти дисперсию. Следовательно, для измерения дисперсии или нулевых колебаний вакуума нужно измерять локальную величину, у которой вакуум не является собственным вектором. Соответствующим «прибором» может служить, например, электрон в атоме. При этом нулевые колебания вакуума электромагнитного поля проявляют себя в таких явлениях, как спонтанное излучение и лэмбовский сдвиг.
Если квантовое состояние является собственным для оператора поля, то Дисперсия согласно (2.1) равна нулю. Практически же могут быть приготовлены состояния, в которых дисперсия сколь угодно мала. Для электромагнитного поля такие состояния называются сжатыми [2Ц и их экспериментальное получение имеет большое научное и прикладное значение.
Итак, вакуум — это «возможный* диэлектрик, содержащий «возможные» пары частица — античастица. Согласно идее Фока [28], эти потенциальные возможности зависят от макроусловий. Поэтому вакуумное состояние изменяется во внешних полях, что проявляется в различии дисперсии и других характеристик локальных наблюдаемых. В свете этого нетрудно понять и такие явления, как изменение вакуума при введении граничных условий (эффект Казимира) или при возникновении горизонтов в пространстве-времени (эффекты Хокинга и Унру).
Таким образом, изменение макроусловий ведет к изменению вакуума. Можно сказать и обратное — изменение вакуума ведет к макроскопическим следствиям. В частности, само классическое поле можно понимать как характеристику вакуума [29, 30]. Для гравитационного поля эта концепция получила название «индуцированной гравитации».
ПРОБЛЕМА РАСХОДИМОСТЕЙ В ВАКУУМНЫХ СРЕДНИХ ЛОКАЛЬНЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ
В качестве величин, характеризующих свойства вакуума при наличии внешнего поля, естественно рассматривать средние значения локальных физических наблюдаемых Л(х) в вакуумном состоянии <0|Л(х) |0>. Наиболее важными являются наблюдаемые, билинейные по операторам квантованного поля; к их числу относятся операторы плотности тока It и тензора энергии-импульса 1\к. С помощью разложения оператора поля по операторам рождения и уничтожения (1.65) вакуумные средние таких операторов можно представить в виде
0 I Л (х) I 0> = 2Я {ф<Г> (х). <+’ (X)},(2.2)
а
где А у, g}—билинейная форма, определяемая классическим выражением данной наблюдаемой (см. гл. 1).
Основная трудность состоит в том, что выражения вида (2.2) расходятся. Такая расходимость возникает и в отсутствие внешнего поля. Например, для ТЭИ заряженного свободного скалярного поля в пространстве Минковского равенство (2.2) принимает вид
01 г»1 °> = 75^ 5(2'3)
где (o2=A2o=k2+m2. Это выражение расходится как А4 при k-t-oo.
Расходимость (2.3) связана с нулевыми колебаниями вакуума: в системе с бесконечным числом степеней свободы они вносят бесконечный вклад в вакуумные средние. Для устранения этой расходимости в стандартной теории поля оператор наблюдаемой приводят к нормальной форме по операторам рождения и уничтожения [8], что как раз соответствует вычитанию вкладов нулевых колебаний вида (2.3). В общем случае, однако, этой процедуры недостаточно. Как и в теории взаимодействующих квантованных полей, при наличии внешнего поля, вообще говоря, в вакуумных средних присутствуют другие, более слабые расходимости. Кроме
того, простое отбрасывание вклада нулевых колебаний вакуума будет заведомо некорректным при построении самосогласованной теории, учитывающей обратное влияние квантовых эффектов на внешнее поле.
В квантовой теории поля для устранения расходимостей в матричных элементах используется программа перенормировок [8, 26}. В рамках этой программы возникающие расходимости компенсируются бесконечными затравочными значениями параметров теории таким образом, что все ответы выражаются через конечные перенормированные параметры, которые только и доступны экспериментальному определению.
Конкретно идеология перенормировок может быть реализована с помощью вычитательных процедур. Их суть на формальном уровне состоит в том, что из данного бесконечного выражения вычитается некоторое другое, тоже бесконечное выражение, подобранное так, чтобы, во-первых, разность была конечной, а во-вторых, чтобы это вычитаемое могло быть получено из соответствующего слагаемого (контрчлена), вводимого в лагранжиан теории. Для придания смысла подобному формальному манипулированию с бесконечностями и для идентификации подлежащих вычитанию членов расходящиеся выражения делают временно конечными с помощью той или иной регуляризации. В конце вычислений после фиксирования перенормированных констант и получения конечных значений физических наблюдаемых регуляризация снимается.
Рассмотрим с этой точки зрения интерпретацию нормального упорядочения ТЭИ в пространстве Минковского. К расходящимся выражениям (2.3) применим так называемую размерную регуляризацию [ЗЦ состоящую в аналитическом продолжении по размерности пространства-времени в комплексную плоскость: N=4—2е, где е — комплексное число. При этом в (2.3) целесообразно ввести параметр М размерности массы так, чтобы регуляризованный ТЭИ имел правильную размерность т*. Интеграл по угловым переменным находится аналитическим продолжением формулы объема (^—1)-мерной сферы, после чего интеграл по к вычисляется непосредственно. Сохраняя в результате не исчезающие при е->0 члены разложения по степеням е, получаем
/и* / 1 3 v2 X
° I Ти I 0>е = - (Т + у - С - In —) glh (2.4)
где v=m/M; С=0,577 ...— постоянная Эйлера; ga— метрический тензор пространства-времени Минковского. Выражение (2.4) имеет полюс при е=0; снятию регуляризации соответствует е->0. То обстоятельство, что (2.4) пропорционально метрическому тензору, позволяет интерпретировать его вычитание как перенормировку постоянного слагаемого в затравочном действии для гравитационного поля (так называемого космологического члена Л). Приписывая нулевое значение <ЛЛ>геп в пространстве Минковского, мы тем самым фиксируем перенормированное значение ЛГеп=0.
Для исследования вакуумных квантовых эффектов во внешних полях процедура устранения расходимостей должна не только допускать интерпретацию в терминах перенормировок, но и быть
конструктивной с точки зрения получения конечных значений физических наблюдаемых. Она не должна опираться на теорию возмущений по внешнему полю, так как наибольший интерес представляют явления, происходящие в сильных полях. К тому же многие вакуумные эффекты неаналитически зависят от параметров внешнего поля и не могут быть получены по теории возмущений.
При построении схемы устранения расходимостей в вакуумных средних локальных наблюдаемых мы сталкиваемся с определенным методическим противоречием. Дело в том, что процедура перенормировки должна, очевидно, быть ковариантной и калибровочно-инвариантной. В то же время для расчетов конечных перенормированных средних в конкретных ситуациях приходится пользоваться определенной системой координат и калибровкой внешнего поля. Это приводит к затруднениям при идентификации подлежащих отбрасыванию расходящихся слагаемых. На более глубоком уровне указанное противоречие связано с тем, что теоретико-полевые ультрафиолетовые расходимости имеют локальный характер, так как они определяются свойствами пространства-времени и внешнего поля на малых расстояниях, тогда как конечные вакуумные эффекты определяются свойствами вакуумного состояния квантованного поля, которое является глобальным объектом.
То обстоятельство, что локальные расходимости имеют универсальный характер, т. е. определяются лишь природой внешнего поля и не зависят от выбора квантового состояния, позволяет провести анализ их структуры в общем виде, что необходимо для обоснования конкретных вычитательных процедур в терминах перенормировок. Наиболее удобен при этом формализм эффективного действия, предложенный для квантовой электродинамики в [32].
Прежде всего заметим, что при исследовании характера расходимостей можно предполагать существование асимптотических in- и out-областей, где внешнее поле отсутствует, и вместо средних <0| Л |0> изучать матричные элементы вида
Л>« - <0out | Л | 0ln>/<0out | 0to>. (2.5)
В силу локального характера расходимостей результаты не зависят от этого предположения. Действительно, с помощью формул (1.83), (1.85), в которых положено |0>=|0щ>, |0>=|0out>, можно, например, среднее (2.2) по вакууму |0ta> представить в виде
01п| Л |0^ = <Л}м-£(¥*ф-%Л^ (2.6) а,р
где Ф, V — матрицы преобразования Боголюбова между in- и out-операторами; ф£+) — положительно-частотные в in-области базисные функции. Все расходимости содержатся в первом слагаемом (2.6). Второе слагаемое в случае достаточно гладкого внешнего поля всегда конечно и при отсутствии рождения частиц обращается в нуль. Если внешнее поле имеет особенности, то они могут привести к дополнительным расходимостям нелокального характе- 28
ра в наблюдаемых; такие расходимости мы здесь не рассматриваем, так как они являются нефизическими.
Преимущество матричных элементов (2.5) по сравнению с (2.2) состоит в том, что они могут быть получены формально вариацией с-числовой величины
И7 = —iln<0out I 01п>(2.7)
по соответствующим параметрам внешнего поля, например:
<г">“ = 1й^’ <с/>“ = ^- м
Величина W, определяемая равенством (2.7), называется эффективным действием для данного квантованного поля. Эффективное действие W связано с оператором действия S квантованного поля посредством вариационного принципа Швингера [32]
6W = <bS)№(2.9)
и содержит в себе все расходимости теории. Соотношением
Г = f АЖеМ = f № V^F Lett(2.10)
определяется эффективный лагранжиан.
Мнимая часть эффективного действия в случае гладкого внешнего поля конечна:
е^^^ = | <0out | 0ta> |2.(2.11)
Очевидно, она описывает эффекты рождения частиц. Расходимости содержатся в вещественной части W.
Для исследования структуры расходимостей в W можно воспользоваться тем фактом, что величина <0out|0ta> является производящим функционалом для функций Грина [8]. Это позволяет выразить расходящуюся часть W в виде интеграла типа (2.10) от локальной величины, определяемой поведением функции Грина 6(х, х') при х'-*х. Детальный анализ расходимостей для конкретных полей будет проделан в следующих главах, а сейчас приведем лишь формальные соотношения, связывающие эффективный лагранжиан с пределом С(х, х') при совпадающих аргументах:
в скалярном случае
дЬеИ}дт1 = iG(x, х),(2.12)
а в спинорном
dLettldm = — i Sp G (x, x)(2.13)
(след берется по спинорным индексам).
Как указывалось выше, для выполнения конкретных расчетов ковариантные процедуры перенормировки малопригодны из-за их технической неэффективности. Поэтому были разработаны различные методы устранения расходимостей непосредственно в вакуум-
ных средних, приспособленные для более или менее широких классов конкретных внешних полей. Сюда относятся: метод размерной регуляризации [31], метод обобщенной ^-функции [33], метод ковариантного раздвижения точек [34] и др.
Одним из наиболее эффективных для нестационарного внешнего поля является метод n-волновой регуляризации [35]. Он состоит в следующем. Пусть {ф^^х)} —набор положительно- и отрицательно-частотных решений классического уравнения поля во внешнем поле, нумеруемых непрерывным импульсным квантовым числом X (и, возможно, другими квантовыми числами, которые, как и спиновые индексы, мы здесь опускаем).
Вакуумное среднее билинейного оператора Л (2.2) тогда представляется в виде
<0 | Л | 0> = J dp (X) Л [фГ’ (X), ф!+) (X)], (2.14) где dp(X)— мера на множестве квантовых чисел (возможную в неоднородном внешнем поле зависимость от координат ниже выписывать не будем). В результате вычисления Л[ф1-), ф1+>] придем к расходящемуся интегралу вида
(2.16)(2.16)<0 | Л | 0> = $dXa(l, т), (2.15) где т— масса поля, который следует регуляризовать. Согласно (35], каждой моде "фЛ** сопоставляется «л-мода», л-1/2 Фпх *; для нее
(2.16)
(2.16)
aw (X, m) = — а (лХ, лт).Л
Регуляризация интеграла (2.14) осуществляется регуляризацией вклада каждой моды согласно
(2.17)(2.17)а(Х, /и)——а(л)(Х, /и)
(2.17)
(2.17)
д (п—г)к fe=o v '
<A>Ie8 = ^dXa^(X, т), где необходимое число вычитаний N определяется количеством подлежащих перенормировке констант.
Очевидно, описанная процедура эквивалентна вычитанию первых членов обобщенных ВКБ-разложений для билинейных форм
Методу л-волновой регуляризации эквивалентен метод «адиабатической регуляризации» [36], основанный на введении параметра адиабатичности изменения внешнего поля и вычитании из (2.14) первых членов асимптотического разложения А {ф!“\ ф1+)} по обратным степеням этого параметра.
Как показано в [37], различные методы устранения расходимостей приводят к согласующимся между собой результатам для величин <Л>геб. Конкретные примеры расчета этих величин во внешних полях разной природы изложены в последующих главах.
ЭФФЕКТ ПЕРЕСТРОЙКИ ВАКУУМА В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ
При включении внешнего поля вакуумное состояние может существенно перестраиваться, причем в процессе таких перестроек, как правило, изменяются его свойства симметрии, т. е. инвариантности относительно тех или иных преобразований. Неинвариант- ность вакуума, определяемого как трансляционно-инвариантное состояние, влечет за собой неинвариантность всего гильбертова пространства состояний. Физически неинвариантность вакуума проявляется в существовании неинвариантных вакуумных средних для некоторых локальных наблюдаемых Л (х) (т. е. таких, коммутатор которых с оператором поля обращается в нуль на пространственноподобных интервалах). Это означает, что если Q — генератор преобразования симметрии, (/(т) =ехр (iQ-r)—соответствующий оператор в пространстве состояний, то вакуумное среднее
«г = <0 | Лт(х) | 0> = <0 | (/(т)Л (^“‘(т) | 0> удовлетворяет условию
-7-«г U-o =» <0 | [Q, Л(х)] | 0>₽^0.(2.18)
I ат
Если вакуум неинвариантен, то генератор Q не существует как эрмитов оператор в гильбертовом пространстве. В самом деле, в силу трансляционной инвариантности вакуума ат может быть представлено как вакуумное среднее от оператора
ст = Иш — С 43хЛт(х),(2.19)
Г-*оо V
V
коммутирующего с любой наблюдаемой Л(х) и представляющего для так называемого неприводимого представления алгебры наблюдаемых с-число. Величину ст будем называть неинвариантной макронаблюдаемой.
Среднее по вакууму |0> от оператора ст совпадает со средним по любому нормированному состоянию |Y> из гильбертова пространства, содержащего |0>:
От=<0|Ст|0> = (У|ст| Т>.(2.20)
Генератор Q преобразования
A, W -* ЛТ1 (х) = exp{i Q(т2 — Tj ЛТ1 (х) ехр {— i Q(т2 — tJ}, (2.21) приводящего к изменению ст, не является наблюдаемой величиной.
Невозможность представить Q и, следовательно, [/(т) операторами в гильбертовом пространстве означает нарушение симметрии.
Такое нарушение может быть двух типов: спонтанное, когда лагранжиан (гамильтониан) инвариантен относительно рассматриваемой группы преобразований, а вакуум — неинвариантен, и неспонтанное, если вакуум неинвариантен при неинвариантном лагранжиане. В обоих этих случаях неинвариантность вакуума ведет к появлению неинвариантных макроскопических величин, изменение значений которых не описывается на языке квантовой теории (т. е. преобразованиями в гильбертовом пространстве), а требует использования классической теории.
В связи со свойствами инвариантности вакуума важную роль играют две теоремы — Коулмена и Голдстоуна (их подробное обсуждение см. в [38]). Теорема Коулмена утверждает, что «инвариантность вакуума есть инвариантность мира» или, другими словами, если вакуум инвариантен относительно некоторой группы преобразований, то и гамильтониан инвариантен относительно этой группы. Из теоремы Коулмена следует, что если гамильтониан неинвариантен относительно некоторого преобразования, то и вакуум неинвариантен.
В частности, в квантовой теории частиц во внешнем поле гамильтониан неинвариантен относительно преобразований, меняющих внешнее поле. Поэтому и вакуум частиц, определяемый как основное состояние гамильтониана, также неинвариантен относительно этих преобразований. Например, если внешнее поле нестационарно, то и вакуум не может быть инвариантным относительно трансляций по времени. Неинвариантность вакуума во внешнем поле приводит к появлению неинвариантных макровеличин. В теории вакуумных квантовых эффектов во внешних полях такими величинами являются вакуумный ТЭИ и ток.
В случае спонтанного нарушения симметрии большое значение имеет теорема Голдстоуна, которую можно сформулировать следующим образом. В локальной, трансляционно-инвариантной теории поля с сохраняющимся локальным 4-током Н^ и вакуумом, неинвариантным относительно непрерывной группы симметрии, генератором которой является заряд Q = J/°(x)d3x, с необходимостью имеются частицы массы нуль (голдстоуновские бозоны). При доказательстве этой теоремы существенна инвариантность относительно трансляций не только в пространстве, но и во времени.
Спонтанное нарушение симметрии тесно связано с вырождением вакуума. Одному и тому же гамильтониану соответствует много вакуумов, получаемых один из другого преобразованиями спонтанно нарушенной симметрии. Эти различные вакуумы могут быть истолкованы так же, как состояния, описывающие конденсат большого количества безмассовых частиц с исчезающе малыми импульсами. Отсюда видна связь между вырождением и голдстоуновски- ми бозонами.
Поскольку при наличии нестационарного внешнего поля вакуум, определяемый как основное состояние гамильтониана, неинвариантен относительно трансляций по времени, во внешнем поле возможно спонтанное нарушение симметрии без появления голд- стоуновских бозонов (подробнее см. гл. 7 и 11). Различные вакуумы, реализующиеся в разные моменты времени, соответствуют различной энергии основного состояния мгновенного гамильто-
ниана и могут получаться в результате конденсации уже не без- массовых, а массивных частиц.
Выше говорилось, что неинвариантность вакуума как в случае спонтанного, так и неспонтанного нарушения симметрии ведет к появлению неинвариантных макровеличин. Изменение этих макровеличин в квантовой теории возможно лишь при конденсации большого числа бозе-частиц, поскольку лишь бозе-поля имеют классический предел. Поэтому не случайно, что во внешнем нестационарном поле как бозоны, так и фермионы всегда рождаются парами. Конденсация этих пар аналогична конденсации голдсто- уновских бозонов.
Во внешнем поле возможны явления как спонтанного нарушения, так и восстановления симметрии. Перестройка вакуума, связанная со спонтанным изменением симметрии, имеет место, когда из требований минимума энергии или устойчивости решений соответствующих дифференциальных уравнений вытекает необходимость рассмотрения ненулевых (или, наоборот, нулевых, если симметрия была спонтанно нарушена до включения внешнего поля) вакуумных средних. Хорошо известным примером такого рода является переход металла из сверхпроводящего в нормальное состояние при включении сильного магнитного поля. В сверхпроводящем состоянии спонтанно нарушена симметрия относительно калибровочных преобразований. Включение взаимодействия с внешним магнитным полем симметрию гамильтониана по отношению к этим преобразованиям не меняет. Тем не менее с помощью принципа минимума энергии (или свободной энергии в теории Гинзбурга—Ландау) легко убедиться в том, что в достаточно сильном поле предпочтительным является основное состояние гамильтониана с восстановленной калибровочной симметрией.
Менее известны противоположные ситуации, когда до включения внешнего электромагнитного или гравитационного поля квантовая система обладает некоторой симметрией, а после включения поля, не нарушающего симметрию лагранжиана, становится выгодным основное состояние с нарушенной симметрией. Соответствующие примеры будут рассмотрены в гл. 5, 7, 11.
КОРПУСКУЛЯРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Корпускулярная интерпретация теории поля связана с определением вакуума и фоковской конструкцией пространства состояний, получаемых действием операторов рождения на вакуумное состояние. В квантовой теории многих тел вакуумное состояние, являющееся основным состоянием гамильтониана, обычно характеризуется некоторой макроскопической величиной, например плотностью числа частиц. При этом часто оказывается, что частицы, соответствующие операторам рождения — уничтожения в пространстве Фока, не совпадают с теми частицами, ненулевая плотность числа которых характеризует основное состояние. Например, фононные возбуждения электронного газа являются, в отличие от самих электронов, бозонами. Поэтому такие квантовые объекты называются квазичастицами: они характеризуют возбуждения данного макротела и не существуют вне его.
В процессе взаимодействия вакуума квантованных полей с нестационарным внешним полем также возникает ненулевая плотность числа квазичастиц. Эта плотность является макрохарактеристикой вакуума. Свойства данных квазичастиц не столь принципиально отличаются от свойств свободных квантов, а при выключении внешнего поля вообще совпадают с ними. Исключение составляет случай, когда во внешнем поле, наряду с рождением частиц, имеет место эффект перестройки вакуума. Тогда аналогия с фазовыми переходами в теории многих тел является полной: спектр квазичастиц и их квантовые числа могут существенно отличаться от соответствующих характеристик частиц в конденсате.
В стандартной квантовой теории поля частицы определяются как объекты, классифицируемые по представлениям группы Пуанкаре. Вакуум частиц является пуанкаре-инвариантным состоянием. Если внешнее поле допускает S-матричную постановку задачи, эта классификация может быть сохранена. Однако в отличие от теории квантованного свободного поля, операторы рождения и уничтожения и генераторы группы Пуанкаре при 1=—оо и f=4-°° имеют различный вид. Вакуум на Ч-оо характеризуется ненулевой плотностью числа частиц, определенных на —оо, и наоборот. Поэтому вакуум на +°° инвариантен относительно преобразований группы Пуанкаре, генераторы которых записаны в нормальной форме по операторам рождения — уничтожения на +оо. При отсутствии спонтанного нарушения симметрии это различие, однако, не затрагивает трансформационных свойств состояний относительно группы Пуанкаре, так что массы и спины частиц на —оо и на Ч-оо одинаковы.
Более сложной оказывается проблема корпускулярной интерпретации теории поля во внешнем поле, если S-матричная постановка задачи невозможна. Например, такая ситуация возникает в космологии, где необходимо рассматривать теорию квантованных полей в искривленном пространстве-времени, не обладающем плоскими асимптотиками.
В работах [39] для электромагнитного и в [40] для гравитационного внешнего поля предложена корпускулярная интерпретация квантованного поля, основанная на методе диагонализации гамильтониана преобразованиями Боголюбова. В рамках этой интерпретации операторами рождения — уничтожения частиц (квазичастиц) в момент t называются операторы, в терминах которых гамильтониан квантованного поля диагоналей в момент L Тем самым квазичастица интерпретируется как квант энергии, а измерение числа квазичастиц связывается с измерением энергии. Действительно, теория измерений в квантовой механике требует, чтобы в результате измерения некоторой физической величины система оказывалась в собственном состоянии соответствующего оператора. Поэтому измерение энергии с необходимостью переводит систему в собственное состояние гамильтониана. Для нахождения этого состояния гамильтониан должен быть диагонализован.
В случае S-матричной постановки задачи при /~>±оо диаго- нализующие гамильтониан операторы рождения — уничтожения квазичастиц совпадают с соответствующими операторами для 34
свободного поля, определенными при f-^±oo. В произвольный момент t при включенном внешнем поле плотность числа квазичастиц содержит вклады реальных частиц, поляризации вакуума, а также члены, описывающие интерференцию между эффектами поляризации вакуума и рождения частиц. Поэтому при включенном поле такая величина, как плотность числа квазичастиц, имеет условный смысл (для векторного поля, как показано ниже, она может даже обращаться в бесконечность).
Как уже отмечалось в § 1.3, при наличии внешнего поля понятие частицы теряет однозначность. В частности, оказывается, что число квазичастиц, определенных методом диагонализации гамильтониана, зависит от системы отсчета, поскольку вид гамильтониана зависит от выбора времениподобного векторного поля g*. Этой особенностью (зависимостью числа частиц от системы отсчета) обладают и другие определения понятия частицы при включенном внешнем поле, не связанные с методом диагонализации гамильтониана. В качестве примера можно указать на так называемые адиабатические частицы, определяемые требованием минимальности плотности числа рождаемых внешним полем пар, а также ее производных по времени. При этом возможность регистрации частиц во внешнем поле, определенных тем или иным способом, связана с использованием детектора соответствующей конструкции, движущегося определенным образом (более подробнее обсуждение этого вопроса см. в [2]).
Ниже в данной книге квазичастицы будут использоваться при расчете плотности числа реальных рожденных пар в S-матричной постановке задачи. Они оказываются также полезным понятием при вычислении полных вакуумных ТЭИ и тока квантованных полей в постоянно включенном внешнем поле и позволяют интерпретировать устранение ведущих расходимостей из этих величин в терминах операции нормального упорядочения (см. § 2.5).
ОПИСАНИЕ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ ИЗ ВАКУУМА МЕТОДОМ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНА ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ БОГОЛЮБОВА
Как было отмечено в § 1.3, при наличии нестационарного внешнего поля отсутствует однозначная классификация решений волновых уравнений по знаку частотности. В связи с этим конструкция пространства Фока и, в частности, определение понятия частицы становятся неоднозначными. Можно, однако, ликвидировать эту неоднозначность, потребовав, чтобы вакуум в данный момент времени являлся основным состоянием мгновенного гамильтониана квантованного поля, а мгновенное пространство Фока строилось на этом вакууме с помощью операторов рождения — уничтожения, Диагонализующих данный гамильтониан. Такие операторы рождения— уничтожения по существу (с точностью до фазового множителя) совпадают с операторами, являющимися решениями гейзенберговских уравнений движения.
По своим свойствам, как показано ниже, состояния из мгновенного пространства Фока в присутствии внешнего поля могут отли-
чаться от многочастичных состояний в пустом пространстве Минковского. Поэтому диагонализующие гамильтониан операторы мы называем операторами рождения — уничтожения квазичастиц, а соответствующие состояния — квазичастичными. В то же время при выключении внешнего поля операторы и состояния квазичастиц переходят в операторы и состояния обычных свободных частиц, определенных по представлениям группы Пуанкаре.
Наметим в общих чертах процедуру нахождения операторов рождения — уничтожения квазичастиц, не конкретизируя ни характер внешнего поля, ни спин квантованного поля. При этом гравитационное поле будет предполагаться таким, что существует семейство пространственноподобных гиперповерхностей 5 и ортогональное к ним векторное поле У» осуществляющее трансляции по определяемой им временной координате L
Гамильтониан квантованного поля со спином s определяется равенством
y/U)(O =Jg'T<;>(x)da» = J ^Т^^У^х,(2.22)
S/=const
где предположено gOa=o, операторы ТЭИ даются выражениями (1.6), (1.13), (1.24), (1.31), (1.45), (1.56).
Пусть выбрано определенное фоковское пространство с вакуумом |01п> из (1.68), а оператор поля представлен в виде (1.65). В случае S-матричной постановки задачи естественно выбрать в качестве |0in> in-вакуум свободного квантованного поля, определенный при t-*—оо. Если внешнее поле не выключается ни в какие моменты времени, можно взять в качестве |0щ> наинизшее состояние Ж») (О в произвольный момент /0. В терминах операторов а^ из (1.65) гамильтониан будет диагональным в момент /0(—00).
Подставляя (1.65) в (2.22), получаем гамильтониан в виде квадратичной формы по операторам рождения — уничтожения:
Hw W= 2 [Л<£- -> (0 a^+’a^ + Л^ • +> (0 а<+>^+> + а. Р
+ 4ф ’ +>+ 0)»^^ + А^- +> (Г) %-Ц+)],(2.23)
где
Л^е>(0 = J Р«*У=«ТЙ> [*<•>*, ^’>] Л; (2.24) f=const
Tiklh Я] — билинейная форма классических решений, определяемая видом ТЭИ; индексы 6, е принимают значения +, —. Согласно определению операторов ^\ при t-*to (—оо) имеет место Д(~* +)(0-*0.
Установим, следуя [24, 41], при каких условиях гамильтониан (2.23) может быть диагонализован в любой момент времени преобразованиями Боголюбова (1.75) с зависящими от времени коэффициентами Ф(0, ^(t) и операторами квазичастиц b^Ht). Требование диагональности в момент t означает, что H^Hh должен иметь вид
HW (0 = 2 “а (0 &+> (О Ь^ (0 ± У-> (0 »<+> (0b(2.25)
а
где <оа (0 — мгновенная энергия квазичастицы в состоянии с квантовыми числами а.
С использованием (179) и (2.25) легко получаем (аргумент t опускаем):
М"’. Я<«)]_ = «Ор Ь^ = <0р5[ф+ <> - Ч^ГЧ;
(2.26)
[^. Я($)]_ = «Ор Ь^ = «Ор 5 [ф+ ^-> Т Y^^»] .а
Эти же величины можно вычислить непосредственно с помощью (2.23):
РГ. «'”)-- 2 l№-~’®t±.*-+,^y<l + №’+’4^ а, д
(2-27)
[»Г*. я<ч_ = ± 2№ +)®fc + л£’ +,Х) “Г* +а, д
Сравнивая правые части (2.26), (2.27), находим условия, обеспечивающие диагональность гамильтониана в момент /:
ф+Л(---) д^Л*-'+)+ = <оФ+; Ф+Л(-‘ +) ±Y^(+- +) = — «dY7^; (2.28)
Л<+- +>ф* + л<-.+)+у = ±Ф*«о; Л*-1 +>Ф* + Л(_> “>Y = — Y«o, (2.29)
где <os«o(Z) —матрица с элементами «оар =<Ор6ар.
Легко убедиться в том, что если выполняются равенства (176), (2.28), (2.29), то
Л(->-)(О = ±Л<+’+)Т(0; Л(--+) (0= Л(--+,Г(0.(2.30)
Таким образом, данные условия являются необходимыми для возможности диагонализации гамильтониана (2.23) в любой момент времени [при выполнении (2.30) уравнения (2.28) эквивалентны (2.29)]. Аналогично соответствующим рассуждениям из [24] можно показать, что если гамильтониан (2.23) допускает диагонализацию каноническим преобразованием [т. е. условия (2.30) выполнены], то из (2.28) и первого уравнения (1.78) при а = р вытекают уравнения (176) и (1.78) с а=#р. Таким образом, коэффициенты Ф, V фактически определяются как решение системы, состоящей из (2.28) и первого уравнения (178) при о=р.
Отметим, что условия (2.30) выполнены и гамильтониан может быть диаго- нализован, например, в том случае, когда в любой момент / возможно выделение системы решений волнового уравнения во внешнем поле Ф(±)(^. х). которые могут быть истолкованы как положительно- и отрицательно-частотные в данный момент, так что справедливы равенства (1.73) с зависящими от t коэффициентами. При этом, как уже отмечалось выше, сохранение коммутаторов и обра-
тимость преобразования Боголюбова являются следствиями ортонормированно- сти систем функций Фа±), ф^^*
С помощью изложенного формализма легко получить выражения для плотности числа квазичастиц в состоянии а, рожденных из вакуума внешним полем за время от /0(—00) до момента t во всем рассматриваемом объеме. Для этого достаточно вычислить с использованием (179) средние значения операторов числа квазичастиц (1.82) по состоянию, которое было вакуумным при t= = /0(—оо):
МО = <oln | ^+> (0 ь^ (О I oln> = <oln | »<+> (0^-’ (0 I о1п> =
= S V+ (0 Ч^ (0 = [Y+ (0 Y (0]^.(2.31)
Суммируя по а, получаем полное число пар квазичастиц, рожденных внешним полем к моменту t:
NW -2 Na (0 - 2 [Y* (0 Y (0]^.(2.32)
Если в (2.32) перейти к пределу ^->4-оо, то при S-матричной постановке задачи, предполагающей конечное время действия внешнего поля, получим выражение для плотности числа реальных пар частица — античастица, рожденных полем за все время [25, 42, 43]:
N= Пт^ [Y+WYWU.(2.33)
Таким образом, из (1.73), (2.33) можно заключить, что эффект рождения частиц из вакуума имеет место тогда, когда происходит «перемешивание» решений с разным знаком частоты внешним полем. Сама же плотность числа рожденных пар выражается через коэффициент при отрицательно-частотном решении в асимптотике положительно-частотного в начальный момент решения.
Результаты (2.31) — (2.33) можно обобщить на случай, когда в начальный момент имелся не вакуум, а состояние (1.69), содержащее п частиц и т античастиц. После несложных вычислений для среднего значения оператора спектральной плотности числа квазичастиц с квантовыми числами а по такому со
стоянию находим выражение
<Н1HnJ V1vm | 6<+> (0^-) (0 (thHn; V1vm>=
= (Y*Y)aa ± 2 y+ ftYVfta + 2 Ф^ Ф^.(2.34)
Совершенно аналогично для антиквазичастиц получаем
<Н1Hn;Vjvm | »<+> (0 b^ (0 |ntцп; vtvm>=
= (Y*Y)ae ± 2 V&Jh*" + 2 %%<2.35)
(при выводе данных формул предполагается, что в фермионном случае Н^Рл» Yi^v* при i=M).
С использованием преобразований Боголюбова (1.75), (1.79) можно найти амплитуды вероятностей всевозможных переходов между состояниями (1.69), (1.81) с учетом процессов рождения и поглощения пар внешним полем. Например, для амплитуды перехода частицы, определенной в момент М—°°)» в квазичастицу, заданную в момент I, имеем
<Н11 ₽1> = <0/1Ь^ (0 $-> I 01п> = -^у [ф-1 (0]^, (2.36)
[здесь |0«>=|0> — вакуумное состояние квазичастиц из (1.80), которое так же, как и Ь^\ зависит от времени; NT определены в (1.85), (1.86)]. Амплитуды всех прочих переходов выписаны в [1, 25].
Беря квадрат модуля (2.36), умножая результат на N^ и устремляя t к Ч-оо, получаем в случае выключения внешнего поля относительную вероятность рассеяния реальной частицы. В связи с этим отметим, что величина N*^x(+°°) играет ту же роль, что и вакуумное среднее матрицы рассеяния <0m|S|0m> в фейнмановской формулировке теории рождения пар внешним полем. В соответствии с (1.85) она имеет смысл амплитуды вероятности того события, что если частиц нет в момент ty-*-—оо, то их нет и при f-*4-oo. Но деление вероятностей всевозможных процессов на величину <0m|S|0m> как раз и переводит абсолютные вероятности в относительные [44, 45].
Если в формулах (2.32), (2.34) — (2.36) t<.oo и внешнее поле не выключено, то определяемые ими величины содержат поляризационные слагаемые и, как показано в последующих частях книги, имеют весьма условный смысл. В присутствии внешнего поля, особенно не допускающего S-матричную постановку задачи, понятие частицы неоднозначно и может определяться по-разному [2]. Введенные квазичастицы удобны, однако, тем, что они переходят в обычные частицы при выключении внешнего поля и помогают сформулировать наглядный рецепт устранения ведущей расходимости при вычислении непосредственно наблюдаемых характеристик вакуумных квантовых эффектов во внешнем поле — полных перенормированных вакуумных средних тензора энергии-импульса и тока.
Для того чтобы проиллюстрировать это утверждение, рассмотрим среднее значение гамильтониана (2.25) по начальному вакууму |0in>- С учетом (1.79) получаем
<0щ I Ж*> (0 I 01п) = 2 <0а (0 [2 (У* (0 V ± 1). (2.37)
Правая часть (2.37) содержит бесконечный вклад энергии нулевых колебаний вакуума |0<>, поскольку, как следует из (2.25), (1.80) :
<0, I Н™ (0 I 0/) = ±2<»а(0- (2.38)
В связи с этим в нестационарном внешнем поле естественно записывать операторы физических величин в зависящей от времени нормальной форме [46, 47]
^(Л) = Л-<0, |Л |0,>, (2.39)
эквивалентной нормальному упорядочению этих операторов по операторам рождения — уничтожения квазичастиц.
В результате для нормально упорядоченного гамильтониана имеем
<0щ I Nt (Н^ (0) | 01п> = 2 £ “а (0 [V (0 Y (0U’(2.40)
что согласуется с выражением для плотности числа квазичастиц (2.32).
При /-*4-°° в случае отключения внешнего поля (2.40) дает полную энергию рожденных этим полем реальных пар. При t<. +оо при наличии внешнего поля (2.40) содержит расходящийся вклад поляризации вакуума, который делается конечным лишь после проведения процедуры перенормировок.
Глава 3
КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ, ЗАДАВАЕМЫХ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
ЭФФЕКТ КАЗИМИРА ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ КОНФИГУРАЦИЙ
Простейшую модель взаимодействия с внешним полем можно построить, налагая на свободное поле в пустом плоском пространстве-времени те или иные граничные условия, соответствующие ограничению объема или изменению топологии пространства. Уже в этом случае при квантовании поля возникает ряд интересных эффектов, характерных для электромагнитного и гравитационного внешних полей. В то же время простота модели позволяет избежать многих технических трудностей, возникающих для реальных физических внешних полей, и выделить проблемы принципиального характера.
Наиболее известное явление рассматриваемого типа — это собственно эффект Казимира [48]. Он состоит в том, что между двумя незаряженными проводящими параллельными пластинами в вакууме действует сила притяжения, равная (в обычных единицах)
/ = —(л2/240)№а4,(3.1)
где S — площадь пластин; а — расстояние между ними (предполагается, что a<C"VSYТакое притяжение было обнаружено экспериментально [49]: для S=1 см2 и а=0,5 мкм оказалось /=0,2 дин, что согласуется с (3.1).
Эффект Казимира можно трактовать как проявление ван-дер- ваальсовых сил молекулярного притяжения на больших расстояниях, когда становится существенным запаздывание электромагнитного взаимодействия [50, 51]. Однако выражение (3.1) никак не связано с микроскопической структурой пластин, и в широком интервале значений параметров поправки к нему на дисперсию диэлектрической проницаемости и конечную температуру малы. Более того, в это выражение вообще не входит константа электро- 40
магнитного взаимодействия. Поэтому на эффект Казимира можно смотреть с точки зрения квантовой теории поля, как на проявление поляризации вакуума электромагнитного поля, которая возникает из-за наложения граничных условий на пластинах. Выражению (3.1) соответствует отрицательная вакуумная плотность энергии (далее полагаем Н =с=1)
е = —л2/720о*. (3.2)
Одним из стимулов к исследованию подобных явлений была надежда построить модель сферической протяженной элементарной частицы, в которой кулоновское отталкивание компенсировалось бы казимировским притяжением. Однако расчеты показали, что вакуумная энергия внутри сферы положительна [52—55]:
^= + 0,09235/2г (3.3)
(г — радиус сферы), так что эффект Казимира в этом случае дает отталкивание, а не притяжение.
В дальнейшем интерес к этой проблеме возобновился в связи с разработкой протяженной модели адронов, известной под названием модели мешка (см., например, обзор [56]). В ней необходим учет вакуумной энергии кварковых и глюонных полей внутри замкнутой поверхности, на которой задаются условия непроницаемости. (Другие применения в физике частиц см. в [288]).
Развитие квантовой теории в гравитационном поле, в свою очередь, дало толчок к широкому исследованию вакуумных эффектов в пространствах с неевклидовой топологией и геометрией'[291]. Так, было установлено [46, 57], что в замкнутых космологических моделях тензор энергии-импульса, описывающий поляризацию вакуума гравитационным полем, содержит «казимировские» добавки топологического происхождения. Их вклад необходимо учитывать при разработке сценариев эволюции ранней Вселенной [58].
В последние годы широкое развитие получили суперсимметричные единые теории поля типа Калуцы—Клейна. В этих теориях предполагается, что истинная размерность пространства-времени ^>4, однако N—4-пространственных измерения претерпели спонтанную компактификацию [59]. В результате пространство-время имеет топологическую структуру R*'XMN~*, где А^-4— компактное многообразие, геометрические размеры которого порядка планковских a~/pi=yG« 1,6-10-33 см. При рассмотрении механизма спонтанной компактификации необходим учет поляризации вакуума топологического происхождения [60—62].
Возникновению силы Казимира и аналогичных эффектов можно дать следующее качественное объяснение. Хотя локальное физическое внешнее поле здесь отсутствует, вакуум, как глобальный объект, «чувствует» геометрию и топологию всего пространства. Границы или нетривиальная топология изменяют спектр нулевых колебаний вакуума. В результате вакуумные средние операторов локальных наблюдаемых изменяются по сравнению с пустым про-
странством. По аналогии с квантовой электродинамикой это явление можно назвать поляризацией вакуума.
Пространство-время с границами или с нетривиальной топологией можно представить как п+1-мерное псевдориманово пространство рн-^^ХМ", где R1— «ось времени», а «пространственное» многообразие Мп отличается от евклидова пространства Rn. В данной главе мы будем рассматривать главным образом случай, когда Мп — локально плоское многообразие, которое либо имеет край (границу) дМп, либо отличается от Rn своей топологией (различные варианты отождествления точек /?п).
Пусть (ф^Чх)} — полная ортонормированная система положительно- и отрицательно-частотных решений классического уравнения поля, удовлетворяющих граничным условиям, которые определяются топологией Мп или поведением поля на границе дМп. Тогда оператор квантованного поля можно представить в виде разложения (1.65) по операторам рождения и уничтожения а^\ и вакуумное состояние |0> определяется условиями (1.68).
Отличие вакуума |0> от вакуума пространства Минковского |0м> проявляется в существовании ненулевых средних от операторов локальных наблюдаемых. Наиболее естественной и универсальной характеристикой вакуума |0> является среднее от оператора тензора энергии-импульса (ТЭИ) квантованного поля (среднее от 4-тока здесь автоматически обращается в нуль в силу зарядовой симметрии). Непосредственное вычисление средних <0|Ггк|0> дает расходящееся выражение (2.2). В стандартной теории поля из этого затруднения выходят, приводя оператор ТЭИ к нормальной форме, что соответствует отбрасыванию вклада нулевых колебаний вакуума (см. гл. 2).
Отбрасывание энергии нулевых колебаний оправдывается тем, что энергия вообще определена с точностью до аддитивной постоянной. Далее, в пространстве Минковского вакуум определяется как состояние, инвариантное относительно группы Пуанкаре, и поэтому не может иметь отличный от нуля конечный тензор энергии-импульса. При наличии границ или в случае нетривиальной топологии пространства пуанкаре-инвариантность нарушена явно, так что последний аргумент неприменим. Более того, имея в виду переход к гравитационному полю, следует интересоваться абсолютными, а не относительными значениями ТЭИ. Поэтому необходимо использовать такой способ устранения расходимостей в выражениях <0|Т<к |0>, который позволил бы выделить конечные слагаемые, описывающие отличие свойств вакуума |0> от вакуума |0м>.
Выше было отмечено, что изучаемый эффект является глобальным, так как зависит от геометрии и топологии Мп в целом. В то же время ультрафиолетовые расходимости в вакуумных средних носят локальный характер, т. е. определяются свойствами пространства на малых расстояниях. Поскольку гладкое многообразие Afn локально аппроксимируется касательным евклидовым пространством Rn, ведущая расходимость в <0|Тг^|0> точно такая, как в пространстве Минковского. Более того, если Мп есть плоское многообразие без границ, отличающееся от Rn только 42
топологией, то никаких других расходимостей не будет, поскольку такое пространство всюду локально совпадает с Rn. (Если Мп имеет кривизну, то, вообще говоря, средние ТЭИ содержат более слабые расходимости; их природа и способы устранения обсуждаются в третьей части. При наличии границ поведение <0| Т^ |0> зависит от характера граничных условий.) Поэтому устранение расходимостей естественно осуществить так, чтобы на формальном уровне оно было эквивалентно вычитанию из средних (2.2) аналогичных средних по вакууму |0м>. Для придания смысла разности расходящихся величин и ее фактического вычисления необходимо каким-либо способом регуляризовать расходящиеся выражения, сделав их конечными, вычислить разность, после чего снять регуляризацию. Обозначая условно индексом е регуляризованные значения, можно конечные вакуумные средние представить в виде
<T/k> = lim [<0 | Т1к | 0>8-<0м | Т1к | 0м>8]. (3.4) «-►о
Как было показано в § 2.2, такая процедура регуляризации эквивалентна перенормировке космологической постоянной Л с фиксированием перенормированного значения Лгеп=0.
Для вычисления перенормированных средних <Т<к> в конкретных задачах ковариантные методы регуляризации, как правило, технически неэффективны. При нетривиальной топологии пространства коллективный индекс квантовых чисел о содержит дискретные составляющие. Поэтому, сравнивая <0[Ль|0> и <0м | Tih 10м>, мы имеем дело с расходящимися интегралами по спектрам разной мощности.
Используемые в подобных случаях методы устранения расходимостей можно условно разбить на две группы. К первой относятся методы, основанные на введении обрезающего множителя в расходящиеся выражения и последующей идентификации подлежащих отбрасыванию согласно (3.4) слагаемых. Иногда такое обрезание вводится неявно, как, например, в методе раздвижения аргументов у операторов поля в билинейных формах вида (2.2). Вторую группу составляют методы, сводящиеся к выполнению по- модного вычитания в выражениях (3.4), причем предварительно одно из слагаемых модифицируется так, чтобы спектры имели одинаковую мощность (например, путем введения ящика). Часто используется комбинация того и другого приема.
Эффективный метод регуляризации, позволяющий во многих случаях проводить вычисления в аналитическом виде, был предложен в [46] и развит в [63, 64]. Продемонстрируем общую схему этого метода на примере массивного вещественного скалярного поля в двухмерном пространстве-времени У2=/?*Х51, пространственная часть которого имеет топологию окружности S*. Многообразие S1 получается из обычной прямой R1 отождествлением точек с координатами х+па, п=0, ±1...
Пусть скалярное поле ф(/, х) удовлетворяет условиям периодичности
Ф (Л х + а) = ф(Л х), дяф(/, х + а) = дхф(/, х).(3.5)
Полная система решений уравнения Клейна—Фока (1.17) (в двухмерном пространстве-времени всегда 7? = 0 и 5=0). удовлетворяющих условиям (3.5), имеет вид
ф(±) V. х) = (2tona)-*/»exp [+ 1(гоп/—^„х)];(3.6)
б>п = ^ + т2; ^п = 2лп/а; л = 0, + 1 . . .
7"оо Т«7"оо Т«Компоненты ТЭИ вещественного поля получаются из (1.24) делением на 2; в двухмерном пространстве-времени
7"оо Т«
7"оо Т«
= 4" К^/ф)2 + (дхф)2 ± т2ф2];
,(3.7)
7*01 = Tto = — [dtydxq> + д„фд1Ф].
Подставляя собственные функции (3.6) в билинейные формы (3.7), находим
Л=1
<0 | тп I 0>=( 1 /а) 5 ^/to„; <0 | Т01 | 0> = <0 | Т» | 0> = 0. (3.8) П=1
В то же время
<0м | Ти | ОМ> = 4" Г-^- ^ О'. / = 0.' 1).2л .) <о
о
Для вычисления перенормированного среднего (Г^) согласно (3.4) введем в расходящиеся ряды (3.8) зависящую от параметра е обрезающую функцию fe (со), убывающую при со-^-оо достаточно быстро, чтобы обеспечить их сходимость, и такую, что /е (®)->1 при фиксированном го и е-*0. Суммирование полученных рядов удобно выполнять с помощью формулы Абеля—Плана [65]
S
" FW = pw^-Arm + iJ '^"^ dt. (3.9) n=l00
Применяя эту формулу к (3.11), видим, что первые слагаемые справа совпадают с регуляризованными значениями <0м|Лл|0м>. В то же время, благодаря экспоненте в знаменателе, интегралы в третьих слагаемых сходятся так быстро, что в них сразу можно положить /е((о) = 1. При этом независимость результата от выбора обрезающей функции очевидна; более того, ее явное введение вообще излишне.
Таким образом, в рассмотренном случае перенормировка (3.4) эквивалентна следующему правилу суммирования расходящихся рядов:
r=g^FW —^f(0)+ij Т^-"’ »• <ЗЛ0> л=1О
Оно справедливо для аналитических в правой полуплоскости функций F(z), растущих на бесконечности не быстрее, чем ехр[(2л—a) |z|], а>0. На мнимой оси F(z) может иметь простые полюсы или точки ветвления, которые следует обходить справа. Легко проверить, например, что (ЗЛО) дает правильное аналитическое продолжение дзета-функции Римана |(2)=У} п~х в ле- вую полуплоскость.
Несложная модификация вывода формулы Абеля—Плана позволяет получить обобщение (3.10):
reg Vf(Ha) = - 2 Im СL^tyti(3.11)
8 LA '’J exp [2л (< — i a)] — 14’
n=00
для 0<a<l. В частности, для a=l/2
#.(312)
\2 7 J exp (2Ш) + 1
n=00
Применим (3.10) к рядам (3.8) с учетом (3.6). Для перенормированных вакуумных плотности энергии е = <Тоо> и давления (натяжения) Р=<ТН> получим
(3.13)(3.13)(3.U)(3.U)е *-ф<оа) ^та), Р =— ф<2--'>(яю),
(3.13)
(3.13)
(3.U)
(3.U)
ла1 'ла1
где функция Ф(а-0>(х) определена равенством (0>—2):
ф(а.Р) ^ = 7 ^^а^ _ ^3/2J е6— 1
Эти выражения описывают конечную поляризацию вакуума, обусловленную неевклидовостью топологии многообразия S1.
Приведем несколько полезных для дальнейшего свойств функций ф<««». Непосредственным дифференцированием (3.14) можно установить справедливость соотношения
_£_ф(«,3)(х) = JL [фМ(х)_ф№Н)^(3 15)
При х>1 функция Ф<“»Р) ведет себя как
Ф“'₽ (х)« 2р/2Г (1 + у ) х^^е-*(3.16)
(Г(г) —гамма-функция]. При х^З с точностью до 0 (хп), где л= =min (а+р+2; 4):
Ф|а'?)(х)«Г(а + Н1)иа + Н1) + уВ(-^, 1 ++ ±) ха+з — Y В (^±£±2-, 1 + - j) я0^’ —
_ _Ё_Г(а + Р —1)£(а + 0—- 1)х2(3.17)
[В(х, у)—бета-функция, а £(z)—дзета-функция Римана]. Аналитическое продолжение по о делает последнюю формулу справедливой при всех р>—2. При целых значениях аир коэффициенты в (3.17) содержат полюсы, которые сокращаются при предельном переходе a-^-n.
Приведем еще полезную формулу интегрирования
7 ф(а.Р) (У^ + ц!)^ = -L в /1 + А, _1±ТЛ ф<в’М^+‘>(х). (3.18) J2\22 /
О
С помощью тождества (3.15) нетрудно проверить, что определяемые равенствами (3.13) полная энергия поля §=ав и натяжение Р удовлетворяют соотношению
d№= — P,(3.19)
которое справедливо для деформации упругой струны при постоянной энтропии. Иными словами, вакуум |0> ведет себя подобно максвелловскому упругому эфиру с отрицательной плотностью энергии.
При a»m-1 с помощью (3.16) находим
е «(/na)-1 Р « — (2л)-*/« т2 (та)-'/« е-та.(3.20)
Здесь поляризация вакуума экспоненциально мала.
Безразмерным параметром, характеризующим отличие от евклидова пространства, в данной задаче является Х=\1та (отношение комптоновской длины /с = /и-1 к длине окружности а). Выражения (3.13) неаналитичны по X при Х = 0 (в этой точке имеется существенная особенность), поэтому они не могут быть получены по теории возмущений. В противоположном предельном случае a<^/n-1 асимптотика (3.17) дает с точностью до О ((/па)2) включительно:
е« —л/6а2 + —?^!_ Г 1п—+ — — С1,(3.21)
2а 4л 1 та 2 J v '
где С=0,577...— постоянная Эйлера; давление Р можно получить из (3.21) с помощью (3.19). Для а=т-1 численный расчет дает 8=—0,219 /п2, Р=—0,406 т2. При а->-оо физическое различие между пространствами S1 и R1 исчезает и, как и следовало ожидать, в, Р+0.
Для безмассового поля непосредственно из (3.13), (3.14) получаем
е = Р=-f =—.(3.22)
*J <*_i ба*'
о
Отметим, что спектральная плотность в (3.17) совпадает со спектром излучения одномерного абсолютно черного тела с температурой Т=\]а (в обычных единицах kBT=hc!a, кв— постоянная Больцмана). Интерпретация этого факта рассмотрена ниже в §3.5.
Рассмотренная выше конфигурация поля, определяемая условиями (3.5), не является единственно возможной на S1. Вместо (3.5) можно потребовать, чтобы ф(6 х) удовлетворяло условиям антипериодичности
ф(Г, х + м) = (— 1)яф(/, х).(3.23)
При этом получается так называемая «скрученная» (twisted) конфигурация поля [66]. Возможность существования неэквивалентных полевых конфигураций является следствием нетривиальности топологии (неодносвязности S1). Математически различие между «нормальным» и «скрученным» полем состоит в том, что последнее образует глобально нетривиальное расслоение (см., например, [67]), тогда как «нормальное» поле соответствует тривиальному расслоению.
Набор собственных функций, удовлетворяющих условиям (3.23), по-прежнему имеет вид (3.6), но теперь £п = 2л(я+1/2)/а. Вычисления, аналогичные проделанным выше, с использованием формулы (3.12) дают
etw = —Т Т(0- '> (та), Р^ = Ц-^2--хЧт,а),(3.24)
ла2ла2
где функция V ^а’ Р) (х) определена равенством
V(a. р) (х) = f /^ . (р _ х2)3/2.(3.25)
В отличие от «нормального» скалярного поля [ср. (3.18)], плотность энергии и давление скрученного поля положительны. В безмассовом случае [66]
®tw = ^tw = |2fl2 = ^ I в |(3.26)
[ср. (3.22)]. При ma<l
л m2 I , 4л 11
etw = —— — —- In+ — — С .(3.27)
12a2 4л [ х ‘ 2 J
При та> 1 асимптотика etw отличается от (3.20) лишь знаком.
В дальнейшем мы будем рассматривать только «нормальные» конфигурации полей; расчеты для «скрученных» конфигураций имеются в [68—70], а также в [182], где рассмотрены заряженные скрученные поля, обладающие непрерывным параметром скручивания.
Изложенный выше метод получения перенормированного ТЭИ обладает значительными преимуществами по сравнению с другими известными способами регуляризации (см., например, [71—73]). Основное его достоинство состоит в том, что результаты выражаются в виде быстро сходящихся интегралов, легко поддающихся аналитическому исследованию и численному счету. В этом отношении он превосходит метод, основанный на представлении точной функции Грина в виде суммы вкладов различных негомотопических путей, соединяющих х и х\ и отбрасывании слагаемого, совпадающего с функцией Грина пространства Минковского [70, 72, 73, 182], а также метод обобщенной ^-функции [33, 74]. Технически эти методы в применении к рассматриваемым задачам эквивалентны суммированию расходящихся рядов по формуле Пуассона
reg Ф (2лл) = -^-IV1 <"> •<328>
Л=—'в*П=—ОО
где У [ф] — преобразование Фурье обобщенной функции ф, а штрих у суммы означает пропуск слагаемого с я=0. Такая регуляризация приводит всегда к тем же результатам, что и (3.10), но ответ выражается в виде весьма медленно сходящихся рядов.
Например, для <0|Tool0> из (3.8) формула (3.28) дает
в — —У Кх (man),(3.29)
л а
Л=1
где Kv (2) — функция Макдональда. Ряд (3.29) начинает быстро сходиться лишь с номера л—(та)-1 и, если mad, необходимо учитывать большое число членов, которые убывают лишь как \(п2.
Рассмотрим теперь простой пример поляризации вакуума в двухмерном пространстве-времени RxXRY (на прямой) при наличии граничных условий. Пусть в точке х=0 на поле <p(t х) наложено условие Дирихле
<p(t, 0) = 0.(3.30)
Такая задача моделирует в одномерном пространстве идеально проводящую «стенку». Полная система собственных функций состоит из двух семейств, принадлежащих непрерывному спектру:
ФЙ ~ (2лсо)-,/«ехр(+ 1й>ОФ».бОО;(3.31)
Фи(я) = sinfc | х | ; Ф»г = sinкх; 0<А<оо; ш1 = А1 + т2.
В пустом пространстве собственные функции имеют вид, аналогичный (3.31), но фм(х) =cos kx, тогда как фьзОО—фмО?) [нечетные моды не чувствуют граничное условие (3.30)].
Перенормированные вакуумные средние ТЭИ здесь могут быть вычислены согласно (3.4) немодным вычитанием:
е=<Т№> = --^-”^ cos 2Ах = - ^- Ко (2m | х |); (3.32)2л J со2л
о
<Гм> = <Г1о> = <Тп>=вО.
Обращение в нуль недиагональных компонент очевидно, так как задача статическая. Равенство нулю перенормированного давления Р=<ТИ> следует из условия консервативности д/1<Т,1<>=0, которое дает дР!дх=0, и из естественного требования <TiA>->-0 при х-*оо (поляризация вакуума должна исчезать при удалении от стенки).
Очевидно, всюду е(х)<0. При |х|<^/п-1 величина е(х) ведет себя как
е« — (т1/2л)[1п(1//п | х |) — С](3.33)
и имеет при х->0 интегрируемую особенность. При х^>т~х она экспоненциально убывает. Полная энергия поляризации вакуума конечна и равна
£ = J edx = — ml4.(3.34)
При m = 0 вакуумная энергия обращается в нуль. Это объясняется конформной инвариантностью задачи для безмассового поля. Заметим, однако, что дисперсия поля <ф2>¥=0 и при т = 0.
Перейдем теперь к случаю, когда имеются «две стенки» в точках х=±а/2 с условиями Дирихле на них («одномерный эффект Казимира»), Сначала рассмотрим внутреннюю область |х|<а/2. Здесь собственные функции имеют вид (п>=0, 1, ..., 6=1, 2):
фпб ’ = (а<йпбГЧ‘ exp (± 1(Опб0 ФпвМ;(3.35)
Фщ W = sin Ап1х; фп2 (х) = cos &п2х;
6П1 = 2лп/а; Лп2 = (2п + 1) л/а; со^е = ^ + /и8.
Вычисляя по общей схеме вакуумные средние ТЭИ, находим
еш =L®-oa)(2N_jq_^cbH (3 36) 4ла«' 2л J У^ — 1 sh та£
Лт =-1ТФ<2--|>(2/па),
4ла2
где ф<а* Р> определена в (3.14). Независимость давления от координаты х является следствием условия консервативности. Для
безмассового поля зависимость emt от х исчезает; с учетом (3 17) находим
elnt=Pmt=-M24a2).(3.37)
Это вчетверо меньше, чем результат (3.22) для окружности SW длины а —по сравнению с (3.35) там удваиваются число мод и частота каждой моды.
Расчет поляризации вакуума во внешней области |х|>а/2 производится так же, как в случае условия (3.30); результат есть e«xt = — -^- Ко (2m (| х | — а/2)), Pext = 0.(3.38)
л
Для безмассового поля eext = 0.
Как и в случае одного условия (3.30), здесь плотность энергии имеет логарифмические сингулярности на границах х=±а/2. Полная вакуумная энергия
(2та).(2та).(3.39)(3.39)
(2та).
(2та).
(3.39)
(3.39)
Здесь первое слагаемое, не зависящее от а, можно трактовать как сумму «собственных энергий» двух границ [ср. (3.34)], а второе как энергию их взаимодействия.
При а>т~* в (3.39) преобладает первое слагаемое (второй член экспоненциально мал). При а«^т-1
8 « — л/24а — т/4 + О (т2а In (та)).
Здесь доминирует энергия взаимодействия: не зависящее от а слагаемое таково, как если бы границы совместились.
Поскольку первое слагаемое в (3.39) не влияет на силу взаимодействия между «стенками» х=±а/2, его можно отбросить, положив
81еп = --^-ФХ0-хЧ2тау81еп = --^-ФХ0-хЧ2тау(3.40)(3.40)
81еп = --^-ФХ0-хЧ2тау
81еп = --^-ФХ0-хЧ2тау
(3.40)
(3.40)
Это соответствует отбрасыванию второго слагаемого в eint (3.36) и приписыванию нулевого значения eext в (3.38) и е в (3.32). Такая дополнительная конечная перенормировка «собственной энергии» границы устраняет нефизические сингулярности плотности энергии; ее можно оправдать введением сосредоточенных на границе контрчленов в затравочное действие (см. [75, 76]).
К результату (3.40) можно прийти и иначе. Выполняя в выражениях <01 Too 10> формально усреднение по х, находим
0 I Too 1 0> = ^^юп6е^ -1 х|).
и, 6
Выполняя регуляризацию этого расходящегося ряда по (3.10), получаем (3.40). Таким образом, данный прием автоматически отбрасывает вклад сингулярных «поверхностных» членов.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПРОСТРАНСТВАХ С НЕТРИВИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ
В предыдущем параграфе была рассмотрена поляризация вакуума в простейшем топологически нетривиальном пространстве S1. Здесь развитая методика будет применена к более сложным двух- и трехмерным полным многообразиям (без границ).
Начнем со случая 2-тора T2=S*XS*, который можно описать как евклидову плоскость Р2, в которой отождествлены точки с координатами (х1, х2) и (x* + ma, x24-nb), где т, п — целые числа. Такое отождествление соответствует наложению условий периодичности по обеим пространственным координатам с периодами а и Ь. Полный набор решений уравнения Клейна—Фока имеет вид
Ф^ = ^.<йаЬух,‘ ехр [+ i (гоа/—к^ — £пх2)];
а = (т, п}; т, п = 0, ± L ± 2 . . .; кт = 2nmla; kn = 2nnib;
(ЗЛ1)
©а = кт "4" кп *{* /712.
Вакуумные средние ТЭИ находят с помощью (1.24) и (2.2):
<°|T,h|°> = ^L 2 rik(km, кпу,
т, п=—ао
^Лкт» fen) = diag(©„, ^©a. ^©a)(3.42)
(в данном случае результат не зависит от значения коэффициента связи £). Перенормировка (3.42) осуществляется двукратным применением формулы суммирования (3.10). В результате вычислений находим для плотности энергии е=<Тоо> выражение
е=Ц Ф(0- 2)(ma)!—ф<0- *> (mb)— F(0* п (Ыа; mb),(ЗАЗ)
4ла$ v ' nab1 ' ’ ab1 v ’'
где Ф<а' Р) определены в (3.14), а
(3.44)(3.44)Fw> э> (X; х) = l-^’Р> (V^-WnW”),
(3.44)
(3.44)
и аналогичные выражения для давлений Ра=<Таа>. Последние, однако, проще получить из соотношений
д8!да = — ЬРг-, d^/db = — аРг, (3.45) где §=abe— полная энергия, которые подобны (3.19). Вакуум в этом случае ведет себя аналогично упругой мембране с отрицательной плотностью энергии.
Кажущееся нарушение симметрии в (3.43) относительно замены a^tb связано с выбором определенного порядка суммирования (сначала по п, затем по т). На самом деле при такой замене в остается неизменным, а Р^Рг. При вычислениях, однако, целесообразно считать Ь^а, поскольку тогда вклад членов Р(а> ^ мал и легко оценивается с помощью асимптотики (3.16) (даже при Х = Ь)а=\ и т=0 их вклад составляет менее 1 % при 0>О и менее 10 % при 0<О). При а = Ь=т-1 полная энергия 6=—0,349 т~*.
Для безмассового поля из (3.43) получаем
в = —— р(0, ° f—; oV (3.46)
2ла3 6а№ ab1 \ а /
где значение £(3) = 1,202, .... а для F^-^^X, 0) из (3.44) нетрудно найти представление
Р<0> ° (X, 0) = 2Х ^} (A//) Ki (2лШ)« Х^е-2^.(3.47)
Последнее приближенное равенство представляет собой асимптотику первого члена двойного ряда и справедливо с достаточной точностью даже при Х~1. При а=Ь полная энергия 6 = =—0,719 а-1.
В пределе b-^оо 2-тор Г2 переходит в цилиндр S*X/?*- При этом
в =-Р$= —^Qnay, Р, =--L-O<2- °ЧтаУ (3.48)
4ла32ла3
Перейдем теперь к многообразию с топологией бутылки Клейна К2. Оно получается из прямоугольника прямой склейкой двух противоположных сторон (длины а) и склейкой с перекручиванием двух других сторон (длины Ь). Этому соответствует отождествление точек R1 с координатами (х1, х2) и (х^та, (—1)тх24-п6), которое эквивалентно следующим условиям:
Ф (х1, 0) = Ф (х1, Ь); 02ф (х1, 0) = 02ф (х1, Ь);
(3.49) ф (0, х2) = ф (а, Ь» — х2); ^ф (0, х2) = ^ф (0, b — х2).
Для краткости рассмотрим только безмассовое поле. Система функций Ф^1 здесь состоит из двух семейств (различаемых индексом 6=1,2) четных и нечетных по координате х2 функций:
ф^1 = ^1 ехР [± * (“mni* — Ami*1)] cos Лпх3;
(3.50)
<Ртл2 = ^2 ехР [± • (“тп^ — Ami*1)] sin An*2.
где m=0, ±1 ...; n=0, 1, 2 ...; kmi = 2nm/a; ^т2=2л(ш-Ц/2)/а; fen = 2nn/b; ^тпб^^д+^п; Nmn^^kabto^yi2 для n>l; AfmOi= (2a6(omoi) V2.
В отличие от рассмотренных ранее случаев, здесь <Ttk> оказывается зависящим от координаты х2 и константы связи £. Это связано с тем, что бутылка 52
Клейна является неоднородным многообразием. Величину е целесообразно разбить на два слагаемых:
(3.51)(3.51)е = е + Де (х2),
(3.51)
(3.51)
выделив постоянную составляющую е и зависящее от х2 слагаемое, которое обращается в нуль при усреднении по интервалу [0, д]. Величину е можно представить в двух эквивалентных формах:
-_Ш816ла8-_Ш816ла85(3)2л6»(3.52)5(3)2л6»(3.52)-Lf(o,i)/_L. 0\
-_Ш
816ла8
-_Ш
816ла8
5(3)
2л6»
(3.52)
5(3)
2л6»
(3.52)
Wb 12а62 ab1 \2а ' J» f— ; oVWb 2a*b \ b /
где РМ(к, 0) при X^l дается соотношениями (3.47). Оба выражения в (3.52) тождественно равны, но, в зависимости от соотношения между 2а и Ь, удобно использовать то из них, в котором аргумент X функции Л0*1) больше единицы, поскольку в этом случае справедлива простая оценка (3.47).
Слагаемое Де(х2) в (3.51) имеет вид
Де (х2) =Де (х2) =(3.53)(3.53)
Де (х2) =
Де (х2) =
(3.53)
(3.53)
Оно уже зависит от коэффициента связи £. Подобным же образом вычисляются давления РХд\ при этом Р^ не зависит от х2 в силу условия консервативности ТЭИ.
Полная энергия поляризации вакуума равна
a b__
(3.54)(3.54)^ = J dx j dy е = abeо о
(3.54)
(3.54)
и не зависит от £. Для а=Ь получаем g=—0,715 а-1. Сравнивая (3.52) с (3.46), видим, что по мере растяжения нашего многообразия по измерению а отличие вакуумной энергии от вакуумной энергии 2-тора той же конфигурации становится экспоненциально малым, как и следовало ожидать из физических соображений [при сравнении в (3.46) надо заменить а^ЬУ
Приведем еще результат для листа Мёбиуса с периметром а бесконечной ширины, который можно рассматривать как предельный случай бутылки Клейна при Ь->оо;
е = в + Де (х2) =е = в + Де (х2) =из)1 7^2 ^^хг d$^-^
е = в + Де (х2) =
е = в + Де (х2) =
— I da a2 cos I 1 I— •
16ла38л2а3 J\ а ) J sh qs т/s2 — 1
о1к
(3.55)
Заметим, что е из (3.55) вчетверо меньше по модулю значения е для безмассо- вого поля на цилиндре [которое получается из (3.48)], так что вакуумная энергия для листа Мёбиуса выше, чем для цилиндра того же периметра.
В трехмерном случае имеется значительно более широкое множество полных плоских многообразий. Мы ограничимся 3-тором fa^i^yS1 и его предельными случаями S*xSlxPl и S'X/?2, получаемыми растяжениями 3-тора соответственно по одному и двум измерениям.
Моделируя 3-тор прямоугольным параллелепипедом размерами а, b и с условиями периодичности на противоположных гранях, найдем полную систему решений уравнения Клейна—Фока:
фа*’ = (а6с©а)-,/,ехр[+ i(waZ— ka*)];
а—- {n, р, q}; п, р, q = О, ±1, ±2 . . .;(3.56)
Иа = к^ -)- т2;
ка = (Ап» кр, k^ = (2лп/а, 2nplb, 2nq/cY Вакуумное среднее ТЭИ есть
<O|T„jo>=-^- у х^. kp, kqY п, р, q——оо
(3.57)
Тц(^в» кр, ^) = diag(co, А&ш, ^,1®, l^toY
Перенормировка (3.57) требует трехкратного применения формулы (3.10). Плотность вакуумной энергии оказывается равной (подробнее см. в [63])
е —— ф(0- 3\та)^ф(0.2) W1_ф<0. »(тс)_
6л2а44паЬ3nabc2
L_F(o.2>/±. тЛ^Х2ab3 \ а / ab2c \ a J
2_rf(0..i)/^ ^Х+^о. D/_L mcX]_абс2 [\ а /\ Z> /J
L_G<o-» /^; £-. щЛ(3.58) ^аЬсг\ а b У
где Ф,а' 0) (х) и Ftoi f*>(X, х) определены в (3.14) и (3.44) соответственно, a
Gta' ^ (X, р; х) = — У Ф(а> р) (Ух2 + (2лМ)2 + (2лр/)2). (3.59) я z=i
При вычислении 8 целесообразно упорядочить аргументы так, чтобы а^б^с, поскольку тогда вклады f<0>1> и G<°’'> малы. Давление Ра проще всего получить из соотношения Pi=—(6с)-'д6/да и двух аналогичных, получаемых циклической перестановкой индексов 1, 2, 3 и параметров а, Ь, с; здесь §=abce — полная вакуум- 54
ная энергия. Нетрудно проверить, что при фиксированном объеме V=abc значение 6 максимально при а=Ь = с. В частном случае а = Ь = с = т~х имеем 6=—0,444 m.
Для безмассового поля (3.58) переходит в с л2 Ш л 90а* liuit? баЬс1
где а обозначены вклады слагаемых, содержащих F<°-lx и G'0-1», экспоненциально малые по параметрам 2nbla, 2пс)Ь. При а = Ь = с получается е=—0,837 а-4, Ра=—0,279 а-4 (77).
Результаты для многообразий S'XSVXR' и S'xR2 получаются из (3.58), (3.60) предельными переходами с->-оо и Ь, с-^-оо соответственно. Для поля с т = 0 на S'XS'X^?1 при а = Ь получается е=—0,305 а-4, а на S'X/?2—е = —л2(90а4) =—0,110 а-4.
Отметим, что во всех рассмотренных случаях плотность вакуумной энергии скалярного поля отрицательна. При данной размерности и фиксированном радиусе компактификации она тем меньше, чем больше число компактифицированных измерений.
Обратимся теперь к спинорному полю на 3-торе Т3. Решая уравнение Дирака с условиями периодичности по всем трем осям с периодами а, Ь, с, найдем систему собственных спиноров
фа*’ = kabcy'^ul ехр[± i (®J —ках)],(3.61)
где а=(п, р, q, а}; а=±1, «а — нормированные собственные биспиноры оператора спиральности с собственными значениями а ([9]), а остальные обозначения те же, что в (3.56).
Вакуумное среднее ТЭИ спинорного поля (1.45) отличается от результата (3.57) для скалярного поля множителем —4. Как и в пространстве Минковского, неперенормированная плотность энергии формально отрицательна; множитель 4 возникает из-за того, что поле ф комплексное и имеется два спиновых состояния в каждой моде. Поэтому и перенормированное вакуумное среднее ТЭИ спинорного поля в данном случае равно
№^ = -4<Т^Х(3.62)
где <7 $ )—результат для вещественного скалярного поля.
Рассмотрим, наконец, электромагнитное поле. Поскольку многообразие Г3 не имеет границ, специфика электромагнитного поля, связанная с граничными условиями, здесь не проявляется. Перенормированные средние ТЭИ определяются выражениями
(3.63)
множитель 2 возникает из-за двух возможных состояний поляризации.
Здесь были рассмотрены простейшие примеры полных плоских многообразий. Поляризация вакуума на некоторых других таких
многообразиях, в том числе для скрученных конфигураций полей, рассмотрена в [68—70, 78].
Перейдем теперь к топологически нетривиальным замкнутым многообразиям с кривизной. Начнем со случая вещественного скалярного поля на 2-сфере S2, метрику на которой удобно взять в виде
d? = а» (dO1 + sin1 в dtp1) в a»d£222,(3.64)
где а — радиус сферы. Уравнение Клейна—Фока (1.17) с конформной связью (|с=1/8 в трехмерном пространстве-времени) в метрике (3.64) есть
^<р — а-2Дф + (m1 + 1 /(4а1)) ф = 0.(3.65)
Оно допускает полную систему решений:
фа+> = (гео,)-*7’ a-' exp (i©d) Ytm (0; ф);
ф;-> =(ф<+>),;/= 0, 1 . . .; /п = 0, + 1, . . ., ±Z; (3.66)
а2 = m1 + Q +а-1,
где YIm— нормированные на единицу сферические функции. Подставляя (3.66) в (2.2) с учетом явного вида ТЭИ и используя теоремы сложения для сферических функций, находим компоненты <0|Т\|0>:
/=0
(3.67)
<0|7»|0> —
1=0
Для перенормировки применим формулу суммирования (3.12). Обходя точки ветвления подынтегральной функции справа, получаем [64]
„ - гт°л - т3 С ^У1^ •
4 ? 2л J ехр (2лта£) + 1 ’о
(3.68)
Р -—сГх - т3 f ^d-^r*7*в4л J ехр (2лта£) + 1
о
(суммирования по а нет). Нетрудно убедиться в том, что выполняется термодинамическое соотношение
P=—d8?dS.(3.69)
где 5 = 4ла2 — площадь поверхности сферы S2; 6=eS— полная энергия.
В отличие от рассмотренных выше плоских многообразий Г2 и №, вакуумная энергия здесь положительна. При а^т-1
# [1—,370)
и при а->оо стремится к конечному пределу §оо=т124. В противоположном предельном случае а^т-1 из (3.68) получаем е= «—Р«т3/(12л). Для а=т~* имеем е=2,98-10-3 т3, Р= = —3,72-10™4 т3. Для безмассового поля вакуумный ТЭИ на S2 обращается в нуль.
Обратимся теперь к случаю трехмерного пространства постоянной кривизны (в космологии пространство-время V*=R1xS3 известно как модель Эйнштейна). Метрика на S3 имеет вид
dP = а» [dr3 + sin8 rMl.(3.71)
где <ZQ22 определено в (3.64). Полная система решений уравнения Клейна—Фока с конформной связью (£=1/6) имеет вид
ф£+> ^(^аТ'/'ехрОсОкОФ^ 6, ф);
a = \k,l, m); * = 1,2,...; Z = 0, 1к— 1;
т = 0,± 1, . . ., ±/;(3.72)
о»» = т8 + к3а~Ч
где Фа — четырехмерные сферические функции, явные выражения и свойства которых приведены в гл. 9.
Вакуумные средние ТЭИ вещественного скалярного поля
(3.73)
<0|ПЮ> = —^^^‘^*=1
Их перенормировка с помощью формулы суммирования (3.10) дает следующий результат [46]:
е = —1—Ф<2-°(2лта);Р =—— ф«--*>(2лта), (3.74)
16я*а*48л*а4
где использовано обозначение (3.14). С учетом (3.15) легко убедиться в выполнении соотношения
Р = —д$/дУ.(3.75)
где S=eV; У=2л2а3— полный объем сферы S3. Как и в случае двухмерной сферы S2, здесь е>0 (в противоположность 3-тору). Однако полная энергия экспоненциально убывает с ростом радиуса а. При а = т~х получается е = 1,27-10-5 т4, Р=2,24-10~5 т4.
Для безмассового поля
е = ЗР = l/480nW.(3.76)
При этом, как можно убедиться с помощью (3.74), (3.14), спектральная плотность вакуумной энергии имеет планковский вид с температурой АвТ=1/2ла [46].
Приведем результаты аналогичных вычислений для спинорного поля на 3-сфере S3:
в = —— [V(2' ° (2лта) + л2У(0' ° (2лта)];
(3.77)
Р = —— [у(4' -° (2лта) + л1^2' “° (2лта)], 24лва4
где ^‘“-S) определена в (3.25). При а^т-1 приближенно имеем (Т^*) ~ 4 (Т^). В случае а=т~х численный расчет дает е = = 5,87-10~5 т*, Р=8,79-10~5 т*. Для безмассового поля из (3.77) вытекает
е = ЗР = 17/960л1а4.(3.78)
Наконец, для электромагнитного поля вакуумный ТЭИ имеет компоненты
е=ЗР = 11/240яМ*.(3.79)
В заключение отметим, что результаты расчетов поляризации вал куума в пространствах Sn высших размерностей (в связи с моделями типа Калуцы—Клейна) приведены в [62].
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ОБЛАСТЯХ С ГРАНИЦАМИ
Настоящий параграф посвящен собственно эффекту Казимира, т. е. поляризации вакуума в плоском евклидовом пространстве при наличии границ, на которых поле удовлетворяет определенным граничным условиям. Одномерная модель эффекта Казимира для скалярного поля была построена выше в § 3.1. Здесь рассматриваются поля различных спинов в трехмерном пространстве.
Уже на одномерном примере мы видели, что наложение граничных условий приводит к появлению особенностей в вакуумных средних ТЭИ при приближении к границе; в трехмерном случае эти особенности становятся неинтегрируемыми [37, 64, 79]. Причина возникновения подобных особенностей в общем случае очевидна из известных результатов об асимптотике распределения собственных значений оператора Лапласа в ограниченной области (см., 58
например, [80]). Так, для внутренней задачи Дирихле плотность распределения собственных частот есть
"<»■>=р-80)
где V — объем области; S — площадь поверхности ее границы; 6 — средняя кривизна границы, усредненная по поверхности. Перенормировка (3.4) в действительности эквивалентна устранению первого объемного члена в (3.80), так что перенормированная полная энергия фактически будет расходиться.
Отметив, что перенормированные локальные величины <Т^> вне границ всегда конечны. Очевидно, что сингулярности такого типа возникают вследствие идеальности граничных условий. Например, для реальных проводников необходимо учитывать их проницаемость на высоких частотах; при этом результат может существенно зависеть от соответствующей глубины проникания (см. [54, 79], а также ниже в этой главе). Если на граничные условия смотреть как на предельную модель задачи с внешним полем (стенки моделируют конечный потенциальный барьер), то устранение особенностей может быть достигнуто соответствующей перенормировкой внешнего поля [81, 82].
Имеется и другой подход к устранению подобных сингулярностей [2, 75, 76], в рамках которого, не отказываясь от идеальности граничных условий, в функционал действия для квантованного поля вводят сосредоточенные на границе поверхностные контрчлены так, чтобы в результате получалась конечная полная энергия поля. Одна из возможных реализаций этого подхода была рассмотрена в § 3.1. Те же результаты дает способ устранения расходимостей с помощью обобщенной С-фуикции [83].
Рассмотрим сперва простейший случай вещественного скалярного поля с условием Дирихле на плоскости х=0. Вакуумный ТЭИ в этом случае вычисляется тем же способом, что и в одномерной задаче; приведем результат для плотности энергии:
ОО ОО
8 = — —Ц-f d^g С — (^» + т* + 4^’) cos 2Ах = (2л)1 J J (о о о
оо
= —77^7f dy^X-^K^-^W^(3.81)
2m | х |
здесь <о2=^2+Л2+т2; £ — коэффициент связи скалярного поля; Xv(z)—функции Макдональда. Для безмассового поля интеграл в (3.81) вычисляется в замкнутом виде [37]:
в =-—^—(1 — 65).(3.82)
При конформной связи (^ = ^с = 1/6 для трехмерного пространства) е=0. Отсутствие поляризации вакуума в этом случае объясняется конформной инвариантностью задачи.
В случае тУ=0, § = §с вблизи границы (при Ixl^m-1) в ведет себя как
е«—т’/(48л’хг),(3.83)
а при |х|»т-1 экспоненциально убывает. Очевидно, что е в (3.82) и (3.83) имеет на границе х = 0 неинтегрируемую сингулярность (в отличие от одномерного результата (3.32)]. Подчеркнем, что эта расходимость не является локальной: <Tih> конечны при всех х^О.
Обратимся теперь к задаче с двумя параллельными плоскостями х= ±а!2, на которых заданы условия Дирихле [64]. В пространстве между плоскостями (|х|<а/2) в случае конформной связи
(3.84)
96л2а412л2 Jsh та £
1
где использовано обозначение (3.14). В пределе т->0 имеет место результат [71]: 8mt = —л2/1440а4. Во внешней области |х|>а/2 выражение для плотности энергии eext получается из (3.81) при §=1/6 заменой |х| на ]х|—а/2. Поведение е при приближении к границам здесь такое же, как в случае одной плоскости [см. (3.83)].
Подобно тому как это было сделано в § 3.1, здесь можно провести перенормировку «собственной энергии» границ, устраняющую .нефизические сингулярности в е. Действительно, расходящийся интеграл по х от второго слагаемого в (3.84) формально не зависит от а, и, следовательно, это слагаемое не влияет на силу взаимодействия. Отбрасывание этого «поверхностного» члена соответствует вычитанию конечного при х^а)2 второго слагаемого в (3.84) и приписыванию нулевого значения eext (а также е для одной пластины). В результате вакуумная энергия на'единицу площади границ будет равна
^ren/S = — (l/96nW) Ф(0 •3) (2/па).(3.85)
Тот же результат получается регуляризацией (3.10) усредненного по х вакуумного среднего Too:
с отбрасыванием бесконечного первого слагаемого, которое имеет вид поверхностного члена. Именно такой прием мы будем использовать в последующих расчетах.
Рассмотрим теперь спинорное поле $, удовлетворяющее уравнению Дирака. Естественные граничные условия в этом случае имеют вид [84]
V^ Is = ♦ Is*(3.87)
где п,— пространственноподобный вектор, совпадающий в системе покоя границы S с вектором внутренней нормали. Условие (3.87) обеспечивает отсутствие тока частиц через границу:
^ Is = Is = °-(3.88)
Требование же i|)|s=0 (по аналогии со скалярным полем) противоречило бы уравнению Дирака.
Приведем результат расчета для вакуумной плотности энергии в пространстве между плоскостями х=0 и х=а, на которых заданы условия вида (3.87) [64]. Спектр значений х-компоненты импульса &п в этом случае определяется уравнением
та sin кпа + kn a cos кпа = 0(3.89)
и неперенормированная вакуумная плотность энергии, усредненная по х, есть
<о I Tw I 0> - —^ J (Pq 2 (k2n + q* + т»У?*(3.90)
Л=1
[суммирование распространяется на положительные корни уравнения (3.89)]. Суммирование по корням уравнения (3.89) осуществляется с использованием принципа аргумента [65]. Для регуляризации получающегося расходящегося интеграла из подынтегрального выражения вычитается его асимптотика при а—>ооэ что эквивалентно отбрасыванию поверхностного члена (подробности см. в [64]); результат есть
e=-^J®y?=^ln[l + ^=.=-««J. (3.91) та
При а<^т~* вакуумная плотность энергии ведет себя как
,(3.92) 2880а*24а*
тогда как при а^/п-1 она экспоненциально мала.
Наконец, для электромагнитного поля, предполагая границы области идеально проводящими, задаем естественные граничные условия — обращение в нуль тангенциальных компонент электрического поля [85]. Для области между границами х=0 и х=а применение описанного выше метода дает приведенные в начале главы результаты (3.1), (3.2) (вывод этих результатов в случае
более общих граничных условий приведен в следующем параграфе).
В § 3.1 было отмечено, что вакуумная энергия электромагнитного поля имеет различные знаки в конфигурации двух параллельных пластин (3.2) и внутри сферы (3.3). Возникает вопрос:’ является ли это различие следствием различия топологий конфигураций или же знак вакуумной плотности энергии е может меняться при непрерывной деформации области с сохранением топологии (например, при сжатии сферы в сплюснутый эллипсоид).
Вычисление вакуумного ТЭИ требует численного счета даже для сферы, не говоря уже о менее симметричных конфигурациях. Поэтому для ответа на вопрос о характере зависимости поляризации вакуума от геометрии области исследуем его поведение в областях прямоугольной формы при изменении отношения сторон. В этом случае все вычисления могут быть проведены аналитически [63, 64].
При регуляризации вакуумных средних сингулярности поверхностного типа, а также сингулярности, связанные с негладкостью границы области, мы будем отбрасывать. Вопрос об оправдании такой процедуры в терминах перенормировок обсуждался в начале этого параграфа.
Методику расчета проиллюстрируем на примере безмассового скалярного поля в двухмерной прямоугольной области 0<х<а, 0<у<Ь с условиями Дирихле на границе. Усредненная по координатам вакуумная плотность энергии есть
<о I тм I 0> -5 <отл;
(3.93)(3.93)т, л=1
(3.93)
(3.93)
“mn =кт + ^п» кт~ М^а; Йл = ЛЛ/6.
Регуляризация двойного ряда (3.93) осуществляется двукратным применением формулы (3.10) с отбрасыванием «поверхностных» расходимостей; в результате получаем среднюю плотность энергии
-_5(3)816ла3-_5(3)816ла3л 14ВаЧ4аЬ»л 14ВаЧ4аЬ»F(0. 1)/±, о\ = 1(а, Ь).\ а /F(0. 1)/±, о\ = 1(а, Ь).\ а /(3.94)(3.94)
-_5(3)
816ла3
-_5(3)
816ла3
л 14ВаЧ4аЬ»
л 14ВаЧ4аЬ»
F(0. 1)/±, о\ = 1(а, Ь).\ а /
F(0. 1)/±, о\ = 1(а, Ь).\ а /
(3.94)
(3.94)
Величина F^ определена в (3.44) и при расчетах для нее удобно пользоваться представлением (3.47). Кажущееся нарушение симметрии (3.94) относительно замены а^Ь, как и в (3.43), является следствием выбора определенного порядка суммирования; целесообразно считать а<Ь, так как тогда член с F^ мал.
При а=Ь из (3.94) получается полная энергия квадрата g =а2е=0,0411/а (отметим, что это значение близко к результату для круга диаметра а [76] g = =0,045/а). В отличие от вакуумной энергии симметричного 2-тора (см. § 3.2) она положительна.
Рассмотрим характер изменения g при изменении отношения сторон. Из (3.94) с учетом фактической симметрии получается, что g>0 в интервале
(здесь вкладов F^ можно пренебречь). Вне этого интервала g <0 и при вытягивании прямоугольника в бесконечную полосу ширины а средняя плотность энергии е=—^(3)/16ла3.
Для выяснения зависимости поляризации вакуума от топологии области интересно сравнить результаты для двух простейших двухмерных геометрически идентичных, но топологически различных конфигураций — цилиндра и листа Мёбиуса периметром а и высотой b [64].
Для цилиндра задаем периодические условия по координате х и нулевые условия на сторонах у=0, Ь. Вычисления, аналогичные приведенным выше, дают
8<» =8<» =_2M./+2_z-,1л2J_2M./+2_z-,1л2J16ла ’16ла ’Z > 1/2;1< 1/2,Z > 1/2;1< 1/2,(3.96)(3.96)
8<» =
8<» =
_2M./+2_z-,1
л2J
_2M./+2_z-,1
л2J
16ла ’
16ла ’
Z > 1/2;
1< 1/2,
Z > 1/2;
1< 1/2,
(3.96)
(3.96)
где l=bla\ здесь и ниже отброшены экспоненциально малые слагаемые с F^’x^.
Лист Мёбиуса получается отождествлением точек (х, у) и ^x-Va, b—у), чему соответствуют граничные условия
ф (0, у) = ф (а, Ь — у)-, д*ф (0, у) = ая<р (а, у); <р (х, 0) = ф (х, 6) = 0. В этом случае вакуумная энергия равна:
и<2> =и<2> =л Г 3£(3)24а I2л2л Г 3£(3)24а I2л2£(3)16ла£(3)16ла/—2,/—2,(3.97)(3.97)
и<2> =
и<2> =
л Г 3£(3)24а I2л2
л Г 3£(3)24а I2л2
£(3)
16ла
£(3)
16ла
/—2,
/—2,
(3.97)
(3.97)
Как gtw, так и g(2) отрицательны при всех /. Существенно, что при достаточно малых значениях 1=Ь1а (с экспоненциальной точностью уже при &<а/2) g<1)= g<2>, т. е. различие топологий для узкой замкнутой полосы не сказывается на значении вакуумной энергии.
Перейдем к трехмерным конфигурациям. Для скалярного поля в прямоугольном параллелепипеде с условиями Дирихле на гранях вакуумная энергия всегда отрицательна. Для куба <g =—0,0154/а.
Более реалистическим является случай электромагнитного поля. Специфика здесь состоит в условии поперечности и в естественных граничных условиях, которые меняют кратность спектра по сравнению со скалярным случаем.
Собственные частоты в прямоугольном резонаторе аХЬХс равны [85]
^тпр — km -р ^п “Ь ^р* Ш* fl* Р — 0» 1» 2 * • е;
(3.98)
km = пт! a; kn = шг/b; kp = лр/с,
причем моды с т, п, р=/=0 двукратно вырождены, моды с одним из чисел т, п, р = 0 невырождены, а моды, в которых равны нулю два или все три квантовых числа, отсутствуют. С учетом этого для
средней плотности вакуумной энергии электромагнитного поля получается выражение [63]:
е =е =— + -^- /-L + _L^”!— /?<°- 2>(б/0, о1 +
е =
е =
720а* Юла» \ b с j 48а»6с Юа*3 '
4!—F<0’ 'ЧЫа, 0)— 6<0' хЧс1а, с/Ь; 0) +
+ — / (а. 6) + — / (6. с) + 4 / <с- °)’(3 ")
cab
где использованы обозначения (3.44), (3.59) и (3.94).
Заметим, что тот же результат справедлив и для глюонного поля. Действительно, векторное глюонное поле на непроницаемой границе (в модели мешка) должно удовлетворять условию п*Рц1 = = 0, где п* — вектор нормали [84]. Применительно к электромагнитному полю оно означало бы обращение в нуль нормальных составляющих электрического поля и тангенциальных — магнитного, т. е. прямо противоположное обычному. Ввиду симметрии уравнений Максвелла по отношению к замене Н-»-Е, Е->—Н значения ТЭИ от этого не меняются.
Исследуем зависимость полной вакуумной энергии электромагнитного поля от соотношения между длинами сторон резонатора. Ограничимся случаем квадратного сечения а=Ь и будем варьировать отношение l=cfa. Опуская в (3.99) экспоненциально малые члены, для полной энергии 6 = abce получаем
*- + 1Ш/1. />1;
(3.100)(3.100)720 Юл / J
(3.100)
(3.100)
_L Г (—L15L\ I я /~»я2 /—»1/ <■ 1
0,408< полная0,408< полнаяа [ \ 48 Юл )48720 J ’
0,408< полная
0,408< полная
Исследование (3.100) показывает, что g>0 в интервале <с/а<3,48 и отрицательна вне его. Для куба а=Ъ = с энергия равна [с учетом Л0-1), С^-О в (3.99)]
8 = 0,0916/а
(этот результат впервые был получен в [73]). Обращает на себя внимание близость числовых коэффициентов в (3.101) и (3.3) для сферы диаметром а=2г (различие меньше 1 %). В предельном случае с/а, bla^l (3.99) переходит в результат (3.2) для бесконечных параллельных пластин, разделенных промежутком а.
Итак, мы видим, что значения <Ла> непрерывным образом зависят от характерных размеров области, включая предельные переходы к бесконечно протяженным конфигурациям. Различие в знаках вакуумной энергии не является чисто топологическим эффектом.
Приведенные выше результаты качественно применимы к областям произвольной формы, а именно вакуумная энергия элект- 64
ромагнитного поля положительна, если область имеет компактную форму, и становится отрицательной при достаточно большом отношении третьей степени ее диаметра к объему.
КВАНТОВОПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ ЭФФЕКТА КАЗИМИРА
ДЛЯ РЕАЛЬНЫХ СРЕД
В предыдущем параграфе расчет поляризации вакуума в областях с границами проводился исходя из предположения об идеальности граничных условий (абсолютно непроницаемые границы). В то же время теоретическое описание эффекта Казимира для реальных макроскопических конфигураций и сравнение с экспериментом требуют конструктивных методов расчета казими- ровских энергий и сил, учитывающих реальные свойства среды, ограничивающей объем квантования поля.
Имеются различные подходы к построению теории казимировс- ких сил в реальных средах. Так, в [50, 51, 86] они трактуются как частный случай ван-дер-ваальсова взаимодействия, осуществляемого через посредство длинноволнового флуктуационного электромагнитного поля. Близкий подход был развит в [54]. Здесь мы рассмотрим обобщение развитой выше квантовополевой теории эффекта Казимира на случай реальных сред, данное в [87, 88].
В рамках этого подхода изменение спектра вакуумных колебаний электромагнитного поля за счет ненулевой глубины проникания поля в среду учитывается наложением импедансного граничного условия на поверхности [85]
Et = Z (<о) [Ht х n],(3.102)
где Et, Ht — тангенциальные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей; п — внутренняя нормаль к границе; 2 (го) — поверхностный импеданс среды, определяемый для обычных электрически изотропных проводников равенством
Z (со) = Уц (to)/e (со),(3.103)
где с (го), p(to) —комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости проводника. Условие (3.102) позволяет при решении внешней задачи вообще не рассматривать поля внутри проводника. Оно применимо и в тех случаях, когда в и ц в (3.103) не имеют непосредственного смысла,например, в области аномального скин-эффекта, для низкочастотных сверхпроводников и т. д.
Вместо 2 удобнее ввести функцию
6 (®) = iZ (©)/©;(3.104)
если 6 вещественна, она имеет смысл глубины проникания на частоте и, Im 6 учитывает затухание поля в среде.
Условие (3.102) применимо при выполнении неравенства |2(©)|<1; идеальному случаю соответствует 2=6=0. Рассмотрим изменение спектра вакуумных колебаний при наложении этого 3 Зак. 45765
условия в случае двух параллельных пластин, разделенных щелью — a]2<z<_al2.
Собственные функции уравнений Максвелла будем искать в виде
Е = e(z)exp(iqp);
(3.105) G = iwH = g (z) exp (iqp) = rot E, где q и p—импульсный и координатный векторы в плоскости пластин (х, у). Векторы eng удовлетворяют уравнениям
е' + х*е = 0, g' + x^ = 0. х2 = <о2 —у2.(3.106)
Подставляя (3.105) в (3.102) с учетом (3.104), получаем граничные условия для е;
ех= ±6(iy,ez— ех);
(3.107)
Су = ± 6 Офу^х — ву) соответственно на границах z=±a/2. Кроме того, из уравнения divE=0 следует, что всюду
i(qe) + ^ = 0.(3.108)
Положим временно yv=0. Если е„=0, то вследствие симметрии задачи решение уравнений (3.106) имеет вид
ег ~cosxz; ex~sinxz,(3.109)
либо наоборот. Подставляя (3.109) в (3.107), получаем дисперсионное уравнение для определения спектра
sin (xa/2) 4- 6 (у2 4- х2) х-1 cos (xa/2) = 0,(3.110а)
либо
cos (xa/2) —- 6 (у2 4- х1) х-1 sin (xa/2) = 0.(3.1106)
Кроме того, (3.106) имеет решение et=ex=0, ev^=0, которое приводит к уравнениям
cos (xa/2) — 6х sin (xa/2) = 0;(3.111 а)
sin (xa/2) 4- Sx cos (xa/2) = 0.(3.1116)
Очевидно, что фактически в (3.110), (3.111) можно считать q произвольным, q=(yx, Уу).
Для нахождения полной энергии g = ~ 2 Юп необходимо п выполнить суммирование по нерегулярно расположенным корням уравнений (3.110), (3.111). В случае вещественного 6 (а сле- 66
довательно, и собственных частот) это удобно сделать с помощью принципа аргумента (ср. с вычислениями для спинорного поля в §3.3):
««-^йЦч^®^ iQ- (3.112)
Здесь q = |q|; ® —функция, обращающаяся в нуль на каждом корне (3.110), (3.111), произведены замены со—н£, х-н V51+ ?2 ■ si₽.
При произвольных комплексных 6 собственные частоты юп, определяемые (3.110), (3.111), будут иметь мнимую добавку. Известно, что в этом случае вакуумная энергия должна определяться из решения некоторой вспомогательной электродинамической задачи [50] и не совпадает с полусуммой оп. Фактически, однако, формула (3.112) справедлива и в случае комплексных юп [напомним, что после поворота контура ow-ig интеграл в (3.112) заведомо вещественный]. Качественная причина этого — зависимость результатов лишь от поведения 6 или е на мнимой оси го, где е и 6 вещественны [50, 51, 86].
В качестве функции 3) в (3.112) возьмем произведение левых частей уравнений (3.110), (3.111). Перемножая (3.110а) и (3.1106), получаем с учетом сделанной замены
S1 = sh/?a +-^_ch/?a,(3.113)
1 + a2
где o=6^2IR. Для перенормировки вакуумной энергии следует вычесть из подынтегрального выражения (3.112) его асимптотику при см-оо, что осуществляется заменой З)1 из (3.113) на ренор- мированное значение
®?еп = 3)0 Г1 + -™-,- (e2Ro - 1 )-* 1;(3.114)
I a+o)2j
$°= 1 — exp (— 2Rd).
Здесь S° описывает спектр в случае идеальных пластин, а множитель в квадратных скобках дает поправку на неидеальность.
Аналогично из (3.111а) и (3.1116) получим
3)ЦП = 3?о Г1 — ... ^(е2№ — I)-1].(3.115)
L (1 + М)2J
Ренормированное значение энергии определяется формулой i*l l^)fi в КОТОРУЮ в качестве 3) (q, i^) подставлено произведение ®геп ®геп из (3.114), (3.115). Для силы, действующей на единицу Площади пластин f=—д§(да, находим выражение
f=—MddqdqR -£— In ^nti.(3.116)
о о
Для идеальных граничных условий Sren = ®ren = ®° и (3.116) сводится к известному выражению Казимира:
/ = /0 = —л2/240<Л(3.117)
Основной вклад в / дает область g^a-1. Прямой расчет показывает, что любая аппроксимация 6(со), точная в диапазоне длин волн 1,4 а<Х<30а и удовлетворяющая при всех £ условию dR6(i^)]/d^>l, дает погрешность в f не более 10-4.
При 6=^0 силу можно представить в виде f=f0+Af. В линейном по 6(ш) приближении (3.116) дает следующее выражение для поправки Af:
А/ = — А- С^ 7qdqR(o + 6R)—^! (3.118)
л2 J J v v ' d(2Ra) ехр(2Яа) — 1 v ' о о
(здесь в 6 также необходимо выполнить замену ow-i^; при этом 6(i£) вещественна независимо от поведения 6(ш) на вещественной оси в силу аналитических свойств поверхностного импеданса [85]).
В области микрометровых расстояний а между пластинами, наиболее часто используемых в эксперименте, для металлов можно считать 6(о) =6o=Q-*, где Q — эффективная плазменная частота.
В этом случае (3.117), (3.118) дают
<зл,9>
или, в том же приближении, f (a) =/0(aeff), ае« = а+460/3.
По мере увеличения а существенные частоты сдвигаются в область аномального скин-эффекта, где Z^o1/3, а затем и нормального скин-эффекта с Z^o1/2- В этих областях соответственно bflfo~a-^3 и а-1/2.
Как и в ряде рассмотренных выше ситуаций, вакуумная энергия электромагнитного поля в пространстве между идеальными пластинами обладает тепловым спектром с эффективной температурой 7eff=l/2a, которая для а~\ мкм составляет ~103 К.
Для случая сверхпроводящих пластин энергетическими параметрами задачи являются ширина щели 2А~30 К и характерная частота to~\la~Tett. Если A/Teff^l, что справедливо для микрометровых расстояний, специфика сверхпроводника не проявляется и Af будет та же, что для нормального металла.
Проведенное выше рассмотрение относилось к случаю нулевой температуры среды. Влияние отличной от нуля температуры на силу Казимира может проявляться двояко. Во-первых, при Т>0 сила должна определяться через свободную энергию ^, что в случае идеальной среды приводит к относительным поправ-
кам ~(Т/Те»)4 [51]. Во-вторых, глубина проникания 6, вообще говоря, обладает температурной зависимостью, определяемой свойствами конкретной среды, что приводит к зависимости спектра колебаний от температуры (тогда как зависимость У от Т учитывает изменение чисел заполнения осцилляторов).
ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ВАКУУМА
Выше отмечалось, что в ряде случаев спектральная плотность, характеризующая поляризацию вакуума, формально совпадает со спектральной плотностью равновесного теплового излучения с температурой Т, определяемой геометрическим параметром конфигурации. В частности, такой вид имеет вакуумная спектральная плотность для массивного скалярного поля на многообразиях с топологией S'XR"— в этих случаях Т=1/а, а — длина окружности S1, а также на 3-сфере S3, где Т=1/2ла, а — радиус кривизны 3-сферы.
Известно, что эффективная температура как характеристика вакуумного состояния возникает и в других задачах квантования в классических внешних полях. Наиболее известным примером является эффект Хокинга [89] — спонтанное рождение пар частиц и античастиц в гравитационном поле черной дыры. В пренебрежении гравитационным барьером поток рожденных частиц здесь имеет тепловой спектр с температурой Г=х/2л, где х— так называемая поверхностная гравитация (см. далее гл. 12). Другой пример появления вакуумной температуры — квантование полей в ускоренной системе отсчета. Как показано в [90, 91], наблюдатель, движущийся в вакууме с постоянным (в собственной системе отсчета) ускорением W, будет регистрировать тепловое излучение с температурой T=W)2ti.
В литературе предлагаются различные процедуры нахождения вакуумной температуры и трактовки причин ее появления. Для эффекта Хокинга возможность описания излучения равновесной тепловой матрицей плотности связывается с тем, что образованию черной дыры сопутствует формирование горизонта событий и внешний наблюдатель полностью теряет информацию о частицах, падающих под горизонт [92]. Подобная же ситуация возникает в ускоренной системе отсчета [2]. Появление температурного распределения в случае эффекта Казимира можно также рассматривать как следствие глобального отличия многообразия от пространства Минковского.
Единообразный подход к вычислению и интерпретации эффективной температуры вакуума для широкого класса задач, включающего все упомянутые выше задачи, был предложен в [93, 94]. Основная идея этого подхода состоит в следующем.
Хотя возникновение теплового распределения есть следствие глобального отличия многообразия от пространства Минковского, эффективная температура является локальной величиной и должна определяться из локальных характеристик вакуумного состояния |0>. Наиболее естественной такой характеристикой является асимптотическая форма при х'-*-х причинной функции Грина:
G(x. x') = i <0 | Тф (x) ф (x') | 0>.(3.120)
Ведущая сингулярность G(x, x') при сближении аргументов всегда совпадает с сингулярностью свободной функции Грина G°(x, х') в пространстве Минковского; для безмассового скалярного поля
G(0) (х, х') = — i/[4n2s (х, х')],(3.121)
где s (х, х') = (х‘‘—х*') (х,—х',) — интервал между точками х и х'; здесь и ниже мы опускаем мнимую добавку 10 в знаменателе.
Построим касательное расслоение нашего многообразия, вводя в каждой точке х касательное пространство Минковского. Рассмотрим в касательном пространстве термодинамическую функцию Грина
^ = i Тг (е“₽"Гф (х) ф (х'))/Тг е-р".(3.122)
где р=1/Г; Н — гамильтониан, а Тг (...) означает взятие следа в гильбертовом пространстве состояний квантованного поля. Определим параметр Т = 1/£ из условия локального совпадения функции Грина (3.120) с термодинамической функцией Грина в касательном пространстве (3.122):
lira [G(x, х') —$0) (х, х')] = 0.(3.123)
х*-*х
Для безмассового скалярного поля термодинамическая функция Грина, как известно, имеет вид
М0> (X. X') = 2 G(0) (т—£ , р) ,(3.124)
где т=/—Г; р = г—г'; G^— свободная функция Грина (3.121) (при Т=0). Выделяя в (3.124) слагаемое с п=0 и суммируя оставшийся ряд, находим
$0) (х, х') = G(0) (х, х') + VP!\2 + О(s (х, х')).(3.125)
Это равенство позволяет записать условие (3.123) в виде
T = T(x) = vW lim [G(x, х') — Gw (х, ^Yu. (3.126) х*-*х
Определяемую согласно (3.126) величину Т будем называть эффективной температурой вакуума. Иными словами, эффективная температура вакуума |0> определяется как температура такого термодинамического состояния в касательном пространстве Минковского, локальные свойства которого совпадают со свойствами состояния |0> на рассматриваемом многообразии.
Равенство (3.126) приводит к следующей естественной классификации: 1) задачи, допускающие введение температуры (как все упомянутые выше); 2) задачи, приводящие к мнимому значению
Т (например, вблизи границ — см. ниже); 3) задачи с бесконечной температурой (если G^x, х') имеет, помимо (3.121), более слабые сингулярности, например, при наличии внешнего поля]. В задачах с низкой симметрией параметр Т может оказаться функцией координат; возможность интерпретации Т^х) как локальной температуры, аналогично другим подобным ситуациям, требует дополнительного исследования в каждом конкретном случае. Отметим, что при использовании формул (3.123), (3.126) фактически достаточно знать G^x, х') лишь для какого-либо одного варианта раздвижения точек х и х'.
В качестве простого примера применения изложенной методики найдем эффективную температуру для многообразия S'X^2- Функция Грина С(х, х') получается из <?<°>(х, х') с учетом условия периодичности по координате х' с периодом а:
G(x, х') = --L У- [^-(р-е^а)2]".(3.127)
4ЛЯ .
А=—80
где ei — единичный вектор в направлении оси х1. Выделяя в (3.127) член с к=0, находим в пределе х'-*-х(т, р ->-0):
Нт [0(х,хЭ1 =
Л=1
Подставляя это в (3.126), находим эффективную температуру Т= = 1/а. То же значение Т получается и из вида вакуумной спектральной плотности. Действительно, из результатов § 3.2 можно в данном случае получить выражение для плотности вакуумной энергии
Часть II
ВАКУУМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Глава 4
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НЕСТАЦИОНАРНЫМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
РОЖДЕНИЕ СКАЛЯРНЫХ И СПИНОРНЫХ ПАР ОДНОРОДНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
Важным приложением изложенной в гл. 2 теории является описание рождения пар частица — античастица нестационарным электромагнитным полем. Напомним, что электромагнитное поле предполагается классическим, а взаимодействующие с ним скалярное и спинорное поля вторично квантованными. Такая постановка задачи позволяет рассматривать процессы рождения и поглощения пар, которые происходят с извлечением из внешнего поля (или с передачей ему) энергии и импульса.
Электромагнитное поле в этой главе будем описывать в калибровке А*(х) = (0, А(х)). Тогда для скалярного поля коэффициенты (2.24) в гамильтониане (2.23) выражаются через решения фа±> волнового уравнения (1.3) согласно
А&е) (0 = J^x [дофГ^‘-W’W’ + М^Ф^ХфР +
+ (/пг-^(х)Л*(х))ф^’ф^].(4.1)
Для спинорного поля аналогично имеем
А&е) (/) = i J(4.2)
где ^a** —полный набор решений уравнения Дирака (1.44).
Проще и нагляднее всего рождение пар описывается тогда, когда внешнее поле однородно в пространстве. В этом случае рассматриваемая задача оказывается эквивалентной задаче о параметрическом возбуждении квантового осциллятора с переменной частотой [45, 95, 96].
Нестационарное пространственно однородное электрическое поле, сохраняющее направление в пространстве вдоль оси x3=z, может быть задано вектор-потенциалом
Д<(х) = (О, О, О, Л8 (0).(4.3)
Если это поле выключается при /->-±оо, то существуют пределы
ПтЛ»(0 = Л1.(4.4)
/-*±оо
Соответствующая потенциалу (4.3) напряженность поля есть Е(0 = (0, 0, —<И8 (/)/<#) = (О, О, Е,(0)(4.5)
(случай однородного поля с переменным направлением рассмотрен в [95]). Такое поле удовлетворяет уравнениям Максвелла с однородным распределением токов: ] =— (1/4л)дЕ/д/\
Приближение однородного поля применимо в тех случаях, когда размер неоднородности значительно превышает характерную длину, на которой рождается пара. Как отмечено в [97], электрическое поле вида (4.5) может быть реализовано не только внешними токами, но и в достаточно малых окрестностях точек экстремума Ег для волн Е-типа в волноводах. Поле вблизи пучности стоячей световой волны, образующейся при интерференции двух сталкивающихся лазерных лучей, также можно моделировать однородным электрическим полем (4.5) [98].
Найдем плотность числа скалярных пар, рождаемых из вакуума однородным электрическим полем, методом диагонализации гамильтониана преобразованиями Боголюбова. В случае однородного поля оператор импульса коммутирует с гамильтонианом. Поэтому в качестве совокупности квантовых чисел а, нумерующих решение волнового уравнения, можно взять три компоненты импульса р.
Полную систему решений уравнения Клейна—Фока (1.3) с потенциалом (4.3) ищем в виде
Ф^» (х) = №Ч‘ [2®-(p)r‘/,e,pV±> (Р. О- (4.6) где функции gW удовлетворяют осцилляторному уравнению с переменной частотой:
"gW + <о= (Р. ОgW - 0; о2(р, 0 = т8 + Л + (Рз-еД3)2 (4.7) и введены обозначения pl =р2\+р\ ш_(р)= Нт со(р, fl.
/-*—ОО
Положительно- и отрицательно-частотными .названы решения, имеющие следующее асимптотическое поведение:
gW (р, fl % ехр[± i©_(p)fl.(4.8)
/-*—00
Условие ортонормированности (1.8) функций (4.6) есть
• J Фр* ’ ’ (*) ^Фр* ’ 00 d®x = + 6s (р—р').(4.9)
8 оператор поля (1.65) записывается как
Ф (х) = J(Рр[q>l ’(х)4 ’ + ФЖ(х)<4+>].(4.10)
Операторы ato имеют смысл операторов рождения античастиц и уничтожения частиц, определенных при t-*—оо.
Гамильтониан квантованного поля ф определяется равенствами (2.23), (4.1), причем, благодаря однородности внешнего поля, удается провести интегрирование по х и по одному из импульсов. В результате имеем зависящую от времени квадратичную форму [99)
Hw (0 = J ^со(р, /) [£(р, 0 (^а^ + а^а^О +
+ Ftp, 0 ^+>а^ + Г*(р, 0«Ж аЖ]. (4.1 D где введены обозначения
EtP* о = —— [| g<+) I2 + ^ I £Ж I2];(4.12)
F (Р. 0 =1?+,‘ + ^Ж’Ь
2(0—а)
Отметим, что величина £(р, 0 имеет смысл адиабатического инварианта осциллятора, описываемого уравнением (4.7), который точно сохраняется, если ш=const.
Как видно из (4.11), необходимое условие (2.30) возможности диагонализации гамильтониана в любой момент времени выполнено. Диагонализация производится с помощью канонического преобразования
о‘-> =«;(06i-)(0--Pp(064,(0;
(4.13)
«Г =а1р(0бГ(0-Р-р(0^+р>(0.
причем условия обратимости преобразования и сохранения коммутаторов сводятся к единственному равенству
1«р(01’-|Рр(П12 = 1.(4.14)
Уравнения для определения коэффициентов диагонализующего гамильтониан преобразования (1.78) при а=р и (2.28) приводят в данном случае к тождеству
^(р, O-|F(P. 012 = 1(4.15)
и к формулам для коэффициентов ар, рр:
_PpW_ =| о /^ р _ £(Р. О — 1/4 16х
ар(0 F*(P. О2'
При этом нетрудно проверить, что ар (—оо) = 1, рр(—оо)=0. Очевидно, что величина |Рр(0|2 является мерой неадиабатично- сти осциллятора.
Сравнивая (4.13) с (1.74), заключаем, что для однородного электрического поля
<М0 = ai(06(T-T); VTY(0 =-Pt(06(T + v).(4.17)
Отсюда следует, что представления коммутационных соотношений, даваемые операторами а^ и Ь^\ между собой унитарно неэквивалентны (подробнее см. в [1]).
В терминах операторов квазичастиц Ьр^ (/) гамильтониан
(4.11) принимает диагональный вид
Я (0 = J d3^ (р, о [%+) ф Ь^ (0 + bL-p> (О Ь^ (01.(4.18)
Вакуум квазичастиц зависит от времени и определяется согласно
ЬГ,(0|0,> = бГ(0|0,> = 0.(4.19)
Он связан с вакуумом частиц, определенных при /->—оо равенством, вытекающим из (1.83):
I 0t> = П -р^-р ехр [—^- a^p’l | 01п>,(4.20)
РL РJ
где мы временно предположили дискретность спектра, поместив систему в ящик объемом V. Очевидно, что при ^—оо вакуум |0(> совпадает с |0in>. Для вероятности перехода вакуума в вакуум получаем
I <0щ I 0J р = П | «,(0 Г =exp[-Sln(l + I ₽р(0 Р)1. (4.21) рL рJ
Переход к бесконечному пространству осуществляется заменой (8] 2 -*(V/(2л),] Jd®p и устремлением У->-оо. При этом получар
ется <0щ|0(>=0, т. е. вакуумные состояния в различные моменты ортогональны друг другу [96].
Таким образом, квантованное поле, взаимодействующее с однородным электрическим полем, можно в любой момент представить как свободное при соответствующем переопределении понятия частицы и вакуумного состояния. При этом операторы рождения и уничтожения квазичастиц лишь фазовым множителем отличаются от операторов, являющихся решениями гейзенберговских уравнений движения, обобщенных на нестационарный случай. Действительно, из (4.7), (4.16) вытекают следующие уравнения для коэффициентов преобразования Боголюбова (4.13) [98]:
Вводя новые зависящие от t операторы рождения — уничтожения
4*’(0 = b^(Оехр(± i6),(4.23)
получаем для них с учетом (4.13), (4.22) гейзенберговские уравнения движения
Л^’ (0/» = ^ с^ (0 + i [^<0> (0. 4*’ (01-.(4.24)
где HW^t) определен (4.18) и в силу (4.23) диагоналей по операторам cto. Первое слагаемое в правой части (4.24) отлично от нуля лишь для осциллятора с переменной частотой и описывает переопределение понятия частицы при наличии внешнего поля.
С использованием преобразований, обратных (4.13), находим спектральную плотность числа квазичастиц в состоянии |01п), которое было вакуумным при /-►—оо:
^ (0 = <0ln | 4+) (0 ь^ (010ln> = <oln I ь^ (0 ^ (01 о1п> = = I Р»(0 Р6(3> (р = 0)(4.25)
[ср. с общим результатом (2.31)]. Очевидно, что частица и античастица пары рождаются в состояниях р и —р. Появление д<3>(р=0) есть следствие бесконечности объема системы.
Если предположить, что система помещена в ящик объемом V, то символ 6(3) (р=0) заменяется на бРР =1. При этом полное число рожденных квазичастиц есть
лг<о>(0 = £|МО12.(4.26)
р
В случае бесконечного пространства только плотность числа пар квазичастиц в единице объема является физически, осмысленной характеристикой. Она равна
"^ = -^\<М?Ч^(4.27)
где лр0) (/) = |рр (0 |2 — спектральная плотность квазичастиц, отнесенная к единице объема координатного пространства.
Число реальных пар, рожденных внешним полем в единице объема за все время его существования, есть
л<0) = -^Г ( *<0)(Р). nW (р) = lim п^ (0.(4.28)
Jt-*oo
Величина л<°>(р) имеет смысл предельного импульсного спектра рожденных частиц.
Поскольку скалярные частицы подчиняются статистике Бозе— Эйнштейна, в состоянии с импульсом р может родиться любое их 76
число. Обозначая ир относительную вероятность рождения одной частицы (т. е. абсолютную вероятность, деленную на вероятность ср того события, что в состоянии с импульсом р не родится ни одной частицы; при этом ср =1—vp), имеем
л'0) = Ср 2 "^=ср = •(4-29)
С учетом (4.14) отсюда заключаем, что относительная вероятность рождения пары ир = |рр/ар|2, а ср =|ар|~2.
Если при /—>—оо скалярное поле находилось в состоянии |х>. содержащем, помимо прочего, п частиц и т античастиц с квантовыми числами р(л, m=0, 1, 2 ...), то среднее число квазичастиц и антиквазичастиц в любой момент дается равенствами
<Х I b^ ^ b^ W I Х> = п + (1 + т + л) | Р„ (О12;
.(4.30)
<Х I ^+> (0 Ь^ (0 I Х> m + (1 + л + rn) I МО I2-
Таким образом, наличие скалярных частиц в состоянии с импульсом р стимулирует их рождение.
Преобразование Боголюбова (4.13), которое позволило найти гейзенберговские операторы рождения — уничтожения и определить плотность числа рожденных пар, можно записать в матричном виде
Матрицы Vp образуют группу SU (1, 1), так как вследствие (4.14) они уиимодулярны и для них выполняется равенство
V+= 0,174- (4-32)
Это означает, что группа SU (1,1) является динамической группой симметрии задачи о рождении скалярных пар нестационарным электрическим полем, а вакуум квазичастиц |0(> является обобщенным когерентным состоянием, построенным по этой группе [100].
Установим теперь связь изложенного выше аппарата с описа- чием эффекта рождения частиц методом эффективного лагранжиана. В случае пространственно однородного поля из формул (2.10), (2.11) следует
I <0щ I 0out> I2 = exp [- 2V $di Im L$ (/)].(4.33)
Эту же величину при s = 0 согласно (4.21) можно выразить в виде
1 <0to I 0out>P = exp {— [F/(2n)8j j d?p In(1 4- nW (p))|. (4.34)
Сравнивая (4.33) и (4.34), имеем
В дальнейшем с помощью этой формулы будет получен классический результат Швингера для постоянного поля.
Перейдем к рассмотрению дираковских частиц. Коллективный индекс о означает теперь совокупность импульса р и квантового числа r= 1, 2, соответствующего двум возможным проекциям спина на ось №.
Уравнение Дирака (1.44) в поле (4.3) допускает полное разделение переменных. Решения (1.44) удобно записывать с помощью решений квадрированного уравнения
[i ^дк — еА3 (0 у3 — m] [1 Т^ — еА3 (О у8 + т] х (х) = 0. (4.36)
После преобразований (4.36) принимает вид
[5Й^ + ^Л2(0 - 21 еА»(0 д3 + 1 еА3 (0 у»у8 + т’] х(х) = 0. (4.37)
Решения (4.37) найдем в форме [101]
(4.38)(4.38)Хрг ’ (х) = exp (1 рх) fw (р, 0 RT,
(4.38)
(4.38)
где Rr — собственные векторы матрицы уРу3; R+rRs = 26TS; г, s = = 1, 2, так как достаточно использовать те два из четырех собственных векторов, которые отвечают собственному значению +1:
Ri =Ri =010010R.=R.=1 01 01 01 0(4.39)(4.39)
Ri =
Ri =
0
1
0
0
1
0
R.=
R.=
1 0
1 0
1 0
1 0
(4.39)
(4.39)
Подставляя (4.38) в (4.37), получаем для функции f уравнение осцилляторного типа с комплексной переменной частотой:
(4.40)(4.40)*fw + И(р. 0 + 1еЛ8(0]fw = 0.
(4.40)
(4.40)
Положительно- и отрицательно-частотные решения в (4.40) определяются требованием следующего асимптотического поведения при I-*-—оо:
/^ (р, /)« [4(о_(р) (<о-(р) + Р3 — eAL^V12exp [± 1 со_(р) Л» (4.41) где <о-(р) определено в (4.7).
Полную систему решений уравнения Дирака в поле (4.3) можно теперь представить в виде
Фрг ’ (х) = (2л) *'* (pv^ +1 доу»—еА3 (/) у3 + т) х^’ (х). (4.42)
Нетрудно убедиться, что решения (4.42) ортонормированы согласно
11^ ^WtpV'W^ = 6S(P — P') V»(4.43)
причем положительно-частотные функции ортогональны отрицательно-частотным.
Оператор поля (1.65) для случая спинорного поля есть
Ф (х) = £ J d®P [фр?* (х) а^’ + Ф^г (х) а₽Р1.(4.44)
г=1,2
Гамильтониан определяется равенствами (2.23), (4.2), в которых произведено интегрирование по х и по одному из импульсов:
« -SS-Pp 1А^ -'(р. о #47’ + 47'+l (р. О #4$ + Г,8
+ Л^Г,+)+ (р, 0 п^арТ* + Л^’+> (р. О а^аУрН.(4.45)
Коэффициенты гамильтониана выражаются через функции (4.42):
Л‘6,-е)(р, 0=i<+<(4.46)
и, как легко убедиться подстановкой решений фр?*, обращаются в нуль при r^s. Нетрудно проверить и справедливость соотношений
Л!?--’ ^'“W; Л}Г,+>=Л^'+)^шГ; А^,+) = А&>+> .(4А7)
Используя (4.38), (4.39), (4.42), получаем также следующие равенства:
£ №. О —Im [/w #’j -;
(ОО)<0
(4.48)
Е^р, 0+ I ^(р, Ol^i.
С учетом (4.47), (4.48) гамильтониан (4.45) принимает вид
Не,*Ч0 = S У^р®(р, 0[£(р. f)G^47' - aL^a^) + r=l,2
+ F(p, 0 #>a!# + F* (p, 0 а^Т*].(4.49)
Первое из равенств (4.48) означает выполнение необходимого для возможности диагонализации гамильтониана условия (2.30). Диагонализация осуществляется с помощью преобразования Боголюбова
^ = <4 ^ Ъ^ (0 - ₽р (0 Ь^ (0;^
а^ = alp(0 ^(O + P-pW^(0,
причем условия обратимости и сохранения антикоммутаторов сводятся к равенству
loptOr+IPptOl^l.(4.51)
В терминах операторов квазичастиц гамильтониан принимает диагональный вид
Н«^ (0 = ^ f d»p® (р, 0 [ Ь^ (/) ь£' ^ - Ь^(О Ь^ (<)], (4.52) если коэффициенты преобразования (4.50) определяются формулами
Рр(О/«р(О = (1 -£(р. 0]//=*(Р. 0. I Рр(0 I1 = (1 -Еф, tW2. (4.53)
Вакуумное состояние |0t>, уничтожаемое операторами квазичастиц
Ь^ (0 I ot> = ьу (0 I 0,> = О,(4.54)
связано с вакуумом |0щ>, определенным при t^>—оо, равенством
I °t> = П I “р I “РргI °t> = П I “р I “РргРр д<+)а(+) Upr U—рг “рРр д<+)а(+) Upr U—рг “р0щ>.0щ>.(4.55)(4.55)
I °t> = П I “р I “Ррг
I °t> = П I “р I “Ррг
Рр д<+)а(+) Upr U—рг “р
Рр д<+)а(+) Upr U—рг “р
0щ>.
0щ>.
(4.55)
(4.55)
Вероятность перехода вакуума в вакуум есть
I <0щ I 0t> Р - п | Ор(0 р = ехр Г 2ln(l - I Рр(0 |*)1. (4.56) prL prJ
Как и в скалярном случае, вакуумные состояния в разные моменты ортогональны.
Из (4.40), (4.53) вытекают дифференциальные уравнения первого порядка для коэффициентов преобразования Боголюбова (4.50) [98]:
(4.57)(4.57)(4.58)(4.58)«р =^^Рр ехр (21в);
(4.57)
(4.57)
(4.58)
(4.58)
• • е у т? 4- р2. Ег
Рр ^аР ехр (— 2i 6).
Используя (4.57), легко убедиться, что операторы4^ (0 = 5^’ (0 ехр(± i в)
удовлетворяют гейзенберговским уравнениям движения
^1=-<У"”’^А' Е’ =^(0 + ИИ"Ы(П. *“(01- (4-59)
Среднее значение оператора числа квазичастиц в состоянии |0in>, подобно (4.25), есть
N^ (0 = <0ln 15^(0 b^ (010to> = <oto I bW(t) b^r (01 oln> =
= |Pp(0|86s(P = 0).(4.60)
Как видно из (4.60), число родившихся пар квазичастиц не зависит от спинового состояния (такая зависимость появляется в случае однородного электрического поля, не сохраняющего своего направления в пространстве [98]). Рассуждая так же, как в скалярном случае, для плотности числа пар квазичастиц в единице объема имеем
п^^ = -^ ( ^‘ЧО; п^Ч*)=\М) I1; (4.61) (2л)8 J
множитель 2 появился в результате суммирования по спиновым состояниям. Вследствие (4.51) Пр^ (0<1, что демонстрирует выполнение принципа Паули для фермионов. Величина |рР(0|2 имеет в данном случае смысл абсолютной вероятности рождения пары, относительная вероятность »Р = |РР/а,]2, а с, =|ар|2.
Число реальных пар, рожденных внешним полем за все время его существования, получается из (4.61) предельным переходом при t-^-oo:
nv,l> = "^ f ^Р'1^ (Р)- л<1/,) (Р) = lim «р'7*’ (0- (4.62)
Если начальное состояние |х> содержит п фермионов и т антифермионов с квантовыми числами pr(m, n=0, 1), то для среднего числа квазичастиц в любой момент получаем
<Х I b^b^ I х> = П + (1 — т—п) | Р,Р; м _ # (4.63)
<Х I b^ b^ I Х> = т + (1 -n-m) | р„ I2.
Очевидно, что если т = л=1, то среднее число пар в данном состоянии равно 1—|рр|2<1. Это означает, что имеет место эффект поглощения пар внешним полем. Если же одно из чисел т, п равно единице, а второе нулю, то внешнее поле не влияет на характер исходного состояния.
Подобно (4.31), преобразование (4.50) можно представить в матричном виде
WtoWtoр; «р/to/р; «р/to/to/ *to/ *(4.64)(4.64)
Wto
Wto
р; «р/to/
р; «р/to/
to/ *
to/ *
(4.64)
(4.64)
Вследствие (4.51) матрицы t/p унитарны и унимодулярны, т. е. образуют группу SU (2), которая является, таким образом, динамической группой симметрии задачи о рождении фермионов однородным полем [100].
Из (4.56) при /-*оо имеем
I <0щ I 0out> I2 = exp {[2И/(2л)8] Jd»p In (1 - n<‘/*>(p))}.(4.65)
Сравнивая это с (4.33), для мнимой части вакуумной добавки к лагранжиану спинорного поля находим
Г2 Г
2 dt ImL<*/f.) (О = _ ——d*p In (1 - n<V.) (p)).(4.66)
В заключение данного параграфа отметим, что хотя в выражения для спектральной плотности числа рожденных частиц входят предельные значения вектор-потенциала Л3±, на самом деле результаты для числа частиц, рожденных в единице объема, калибровочно-инвариантны. Это связано с тем, что во внешнем поле компонентами физического импульса являются не р<, а
Щ-Рь /=1.2; n3W=p,-eA,W.Щ-Рь /=1.2; n3W=p,-eA,W.(4.67)(4.67)
Щ-Рь /=1.2; n3W=p,-eA,W.
Щ-Рь /=1.2; n3W=p,-eA,W.
(4.67)
(4.67)
Таким образом, импульс, переданный частице внешним полем за все время его действия, определяется только напряженностью поля
+*
(4.68)(4.68)яф-п- = е(л- — л+) = е J Е*<0dt-
(4.68)
(4.68)
а Ж')(р) следует понимать как плотность распределения по физическому импульсу П.
РОЖДЕНИЕ ПАР ОДИНОЧНЫМ ИМПУЛЬСОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ПОСТОЯННЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Полученные в предыдущем параграфе формулы позволяют найти плотность числа рожденных однородным полем пар, если известны асимптотики при /-*00 положительно-частотных при /-+-—оо решений осцилляторных уравнений (4.7) и (4.40). Наиболее интересно применить эти формулы к случаю постоянного однородного электрического поля, для которого все вычисления можно довести до конца и представить результаты в изящной замкнутой форме [32]. В этом случае возникают, однако, трудности, связанные с неочевидностью классификации решений осцилляторных уравнений по знаку частоты, требующие привлечения дополнительных физических соображений [43, 102]. Поэтому мы сначала рассмотрим электрическое поле, исчезающее при /->-±оо и дающее поэтому совершенно прозрачный пример применения развитого формализма.
Пусть вектор-потенциал (4.3) и поле (4.5) изменяются по закону
Л3(0=—(Wth^tO; £z(/)=£/ch3^.(4.69)
Зависимость (4.69) описывает одиночный импульс электрического поля, обращающегося в нуль при t->-±oo.
Точное решение уравнения (4.7) для поля (4.69), являющееся положительно-частотным при /->—оо, есть
g(+) = е1 “-< (1 + ^У F (х, ц; у; — е2*»'),(4.70)
где Г(х, т]; у; z)—гипергеометрическая функция и введены обозначения:
х = т + ^"(ю- —ю+);х = т + ^"(ю- —ю+);ч = т+^(<о-+<»+);ч = т+^(<о-+<»+);(4.71)(4.71)
х = т + ^"(ю- —ю+);
х = т + ^"(ю- —ю+);
ч = т+^(<о-+<»+);
ч = т+^(<о-+<»+);
(4.71)
(4.71)
Аналогичный результат для уравнения (4.40) имеет вид
fW = ^ ei <»_/ (! + (йМ)- i - F (р, v; у*. — е2**'),(4.72)
где множитель N совпадает с предэкспонентой в (4.41), а
^(^+“)- <4-73’
Подставляя (4.70), (4.72) в (4.16), (4.53), взятые при /-►оо, получаем соответственно спектральную плотность скалярных
п<°>(р) =п<°>(р) =(4.74)(4.74)cos1 я (т — 1/2) + sh1 [я (<о — а>+)/26р]sh (luojfee) sh (жо^/Ад)
п<°>(р) =
п<°>(р) =
(4.74)
(4.74)
и спинорных
«(•/,) (n) = jH^!2LzJt!?L2^=l(2*«l^^(4.75)
sh (жо+/йд) sh (жо_/Ад)*
пар, рожденных за все время действия поля [101, 103].
Интегрируя (4.74), (4.75) по импульсам согласно (4.28), (4.62), найдем число пар, рожденных в единице объема. Интегралы удается вычислить при одновременном выполнении условий
(Л_\2 (Л_\ ^ 1; Л -Е—< 1(4.76)
I W \ £Сг / А. Есг'
(напомним, что Еа—т21е), позволяющих рассматривать случаи как к^т, так и к^т. В результате для к0<Ст имеем
nW « [ mV.^n^y*)] (eEfexp^— 2лт/^); п^*1« 4xnWm/k9, (4.77) т. e. рождение фермионов преобладает над рождением бозонов. В случае очень короткого импульса к^т
п<°> «(е£)8/(36л^); «<*/.) « 4nW.(4.78)
Перейдем теперь к рассмотрению рождения пар постоянным однородным электрическим полем. С этой целью заметим, что постоянное поле является частным случаем (4.69) при кд-*О:
М^-ЕЬ, Е.^^Е.(4.79)
Устремляя к<г*0 в (4.74), (4.75), получаем
nW (р) = „(1/.) (р) = ехр(—л (m8 + ^)/( I е | £)].(4.80)
Число пар, рождаемых постоянным однородным полем в единице объема, можно найти интегрированием (4.80) по импульсам (в фермионном случае берется также сумма по спиновым состоя-
ниям). При этом необходимо учитывать, что поскольку (4.80) не зависит-от рз, интегрирование по рз эквивалентно замене [102, 103]:
fdp3-|e|£7\(4.81)
где Т — время действия Внешнего поля. Действительно, как показывает анализ (4.74), (4.75), при малых ^ величина п<*>(р) определяется выражением (4.80) в интервале |р31 ^|е|£/А0 и экспоненциально спадает вне этого интервала. Интегрирование по р3 выражения (4.80) в указанном интервале сводится к умножению его на 2|е|£/£о= |е|£Т. В результате находим число частиц, рождающихся в единице объема за единицу времени, т. е. интенсивность рождения
Z(V.) = 2/<о) = [^/^„з)] ехр [— лт3/( | е | £)](4.82)
(матрица плотности, описывающая частицы одного сорта, рожденные постоянным электрическим полем, построена в [104]).
Подставляя (4.80) в (4.35), (4.66) и учитывая (4.81), а также то, что для постоянного поля мнимые части лагранжианов Im L$t не зависят от t, получаем классические результаты Швингера:
^-^^exp^^)-,(4.83)
Л=1
21m ti{-> -V — exp (.
4л* лз и \ I е I £ /
Первые слагаемые (4.83) совпадают с интенсивностями рождения пар (4.82) (обобщение формул (4.83) на случай частиц с произвольным спином см. в [97, 105]).
Как видно из (4.82), при £<£Сг интенсивности рождения пар экспоненциально малы. Однако при Е=ЕСТ, например, для элект- рон-позитронных пар имеем
1^ = [т4/(4л3)]ехр(—л)«4-1048 см-3 с-1. (4.84)
Таким образом, за комптоновское время рождается комптоновская плотность числа частиц. Это означает, что в задаче о рождении частиц при таких полях необходимо учитывать обратное влияние рождающихся частиц на внешнее поле.
Величины (4.82), (4.83)—неаналитические функции напряженности поля: точка £=0 является для них существенно особой. Такой результат нельзя получить с помощью стандартной теории возмущений. Отметим, что если постоянное внешнее поле включено лишь в течение некоторого конечного промежутка времени Г, то зависимость плотности числа рожденных пар от Т становится нелинейной [106].
Формулу (4.82) можно обобщить на случай, когда кроме электрического имеется также не перпендикулярное ему постоянное однородное магнитное поле. Проще всего это сделать, если выбрать систему координат, в которой Е||Н. Тогда плотности числа пар, рожденных электромагнитным полем, вновь даются (4.80), где, однако, для скалярных пар следует положить [102]
р2 = | е | Я(2/+1), / = 0,1,2...,(4.85)
а для спинорных
р® =2 | е | HU + r— 1), r= I, 2.(4.86)
Вычисляя интенсивности рождения с помощью интегрирования (4.80) по рз согласно (4.81), по р2 с учетом
J dp, = | е | HL(4.87)
(L — размер ящика) и суммирования по I, г находим:
ЯО) = ^ЕН_ ехр (—лт*/(| е I Е)| .
8я« sh (лЯ/Е) ’' '
/(«/.) = [ei£fl/(4n*)] ехр [-лт»/(1 е | Е)] cth (лН/Е).(4.89)
Как видно из сравнения (4.82) и (4.88), включение магнитного поля приводит к уменьшению № в shxjx раз, где х=иН!Е. При Н^Е рождение скалярных пар экспоненциально подавлено. Напротив, для фермионов интенсивность рождения (4.89) в xcthx раз больше, чем в отсутствие магнитного поля. Если Н^Е, то рождение фермионов усиливается линейно по Н. В [107] показано, что этот результат сохраняется и для широкого класса неоднородных магнитных полей.
При Я-*0 результаты (4.88), (4.89) переходят в (4.82). В то же время предельный переход £-*0 дает /<°)=/4*/8)=О, т. е. постоянное однородное магнитное поле не рождает пар (это связано с тем, что магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей).
Формулы (4.88), (4.89) оказываются справедливыми в любой лоренцевой системе отсчета, если заменить в них £ и Я на инварианты [103]:
Etnv = ly^ + s^ - ^У'*; Ящу = ty^ + s1 + ^У'*'(4.90)
где f = iW— Е=)/2; 3?=(Е, Н).
В тех случаях, когда точные решения осцилляторных уравнений (4.7), (4.40) неизвестны, для отыскания плотности числа рожденных пар используются различные асимптотические методы. Можно оценить вероятность рождения пар слабым полем и не решая уравнений Дирака и Клейна—Фока, например, с помощью так называемого метода мнимого времени [108]. При этом процесс рождения пары переменным полем рассматривается как туннелирование электрона из нижнего континуума в верхний через колеблющийся барьер, происходящее при мнимых L Для получения приближенного результата достаточно найти приращение классического действия частицы, движущейся во внешнем поле вдоль подбарьерной траектории. Многочисленные применения этого метода содержатся в [97, 108, 109].
РОЖДЕНИЕ ПАР ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛЕМ
Электромагнитные поля, создаваемые многими реальными источниками (например, лазерами), являются периодическими функциями времени / в течение определенного интервала t2—fl, который можно варьировать по желанию экспериментатора. Поэтому представляет интерес вопрос о том, как число рожденных полем пар зависит от числа периодов поля п, содержащихся в t2—tx. Оказывается, что эта зависимость является нетривиальной: плотность числа рожденных за время t2—1\ фермионов зависит от п периодически, а плотность числа скалярных пар с определенными импульсами экспоненциально растет с ростом п. Эти результаты были независимо установлены в [ПО, 111] и впоследствии подтверждены методом мнимого времени в [109] и для стохастического электрического поля в [112] (в [113, 114] эффект экспоненциального роста не был выявлен вследствие недостаточной точности использованных приближений).
Пусть в течение промежутка [0, л7] однородное электрическое поле зависит от времени периодически с периодом Т:
А^А-Л=А,^(4.91)
а вне указанного промежутка Аа^ равняется константе А2+=Аа_, значение которой подобрано так, что Л3(0 и Дз(0 непрерывны. Предположим также, что Л3(/) можно продолжить из промежутка [0, пД на всю ось как четную периодическую функцию f. Такая постановка задачи обеспечивает ее S-матричный характер, но не соблюдает условия адиабатичности включения и выключения поля. Ниже, однако, нас будет интересовать зависимость плотности рожденных частиц от времени действия поля пТ, которое значительно превосходит длительность включения и выключения. Поэтому требование адиабатичности для окончательного результата несущественно.
Рассмотрим параллельно случаи скалярных и спинорных частиц. При /^0 решения g<+\ fw уравнений (4.7), (4.40) имеют вид
gW, fW = Nt ехр (j ю+ (р) /ь(4.92)
где для бозонов ^ — 1, а для фермионов Na определено в (4.41). При f>nT (4.92) переходит в линейную комбинацию экспонент
gW. fW = а, exp [1 со+ (р) fl + р, exp [— i со+ (р) fl. (4.93)
Подставляя (4.93) в (4.16), (4.53), получаем спектральную плотность числа рожденных бозонов и фермионов:
nW (р) = 1/2 [ | 5, |2 + | pt |2 - 1 ] ;(4.94)
„(«/а (р) = ± Г1 _4 [щ* + p2J ( | |2 -1 р, |2) + -W. (495) 2 1со* J
Рассмотрим решения ut, vt уравнений (4.7), (4.40), удовлетво-
у(0) = 0у(0) = 1у(0) = 0у(0) = 1(4.96)(4.96)ряющие начальным условиям: р,(0)=1 I «1(0) = о
у(0) = 0
у(0) = 1
у(0) = 0
у(0) = 1
(4.96)
(4.96)
(индекс р ради краткости опускаем). Вронскиан этих решений есть
«1(0»!(0-«1(0М0 = 1.(4.97)
При 0^/^лТ решения ^+>, f<+> уравнений (4.7), (4.40) можно представить в виде
gW, fW = Nt [u, (0 + i ®+ (P) v, (01.(4.98)
обеспечивающем гладкое сшивание с (4.92) вместе с первой производной в точке /=0.
Требование гладкого сшивания (4.98) и (4.93) в точке t=nT дополнительно дает
at exp (1 ш+лТ) + ₽, exp (— 1 ецлТ) = Nt [и, (пТ) +1 co+v, (лТ)];
м, .(4.99)
а< exp (1 ац.пТ) — pt exp (— i со^пТ) = т^— [“i (яЛ + * ©-Pi (ЯЛ1 •
i
С помощью условия периодичности потенциала (4.91) можно убедиться [Ш], что для решений щ, vt в точках t=nT выполняются равенства:
у/пТ) = “< (ПЛ« °< («Л = “i (”• Т^ у^П = о< («Л- (4.100)
Из (4.99), (4.100) после преобразований находим
I «i I2 +1 Pi Г = "Чt®4 № + «I2 (ЯЛ + 2®^ (лТ) у, (лТ) -
-1ю+(4у,(«П+ «1 №Xut№ - «I («Л)1;
I «i |2 -1 Pi |2 = Ч"1®+ (“' № + о2 (”Л) - 2®+0i №ut №+ 2й)^_
+ i <D+ (4v, (лТ) + л, (лТ)) (и, (лТ) - V, (лТ))].(4 Л 01)
В скалярном случае (/=1, Ых = \^ в силу вещественности уравнения (4.7) имеем и*х = их. Подставляя с учетом этого (4.101) в (4.94) и используя (4.97) и (4.100), получаем
я<0> (Р) = Ч- 14а(«Л + ^ (ПТ)]2.(4.102)
4(01
В спинорном случае [1=2, N^ определено в (4.41)] подставляя (4.101) в (4.95) и используя (4.100), имеем
п^ (р) = ^^(лГ) /! + П^ \ [2Im ^ № +^ w + ^ wJ
(4.103)
Данное выражение существенно упрощается при учете того, что из любых двух решений (4.40) /(/) и й(/) можно составить сохраняющуюся комбинацию
V U. Al = «W VPh-HП3 (f*k — f*K) = const. (4.104)
Записывая этот интеграл для решений «2, иг и совершая преобразования с учетом (4.97), (4.100), находим тождество
^(пТ) (<»+М«Л + ^(лТ) +2П3+1т«,(лТ)] = 0,(4.105)
позволяющее записать (4.103) в виде
А(,Л> (р) = [(m* + pD/41 1т‘«2(яТЗ.(4.106)
Теперь можно найти явную зависимость п,1 от числа периодов электрического поля п. Для этого достаточно выразить значения функций V|, ui, иг при t=nT через значения этих же функций при t=T. Это легко сделать, если ввести матрицу
5,(0 =5,(0 =«НО«НОкг^«г^кг^«г^detB,(/) = l; B,(0) = Z,detB,(/) = l; B,(0) = Z,которая, в силу периодичности Лз(0. обладает свойствомкоторая, в силу периодичности Лз(0. обладает свойством6,(л73 = [5,(Т)]".6,(л73 = [5,(Т)]".(4.107)(4.108)(4.107)(4.108)
5,(0 =
5,(0 =
«НО
«НО
кг^«г^
кг^«г^
detB,(/) = l; B,(0) = Z,
detB,(/) = l; B,(0) = Z,
которая, в силу периодичности Лз(0. обладает свойством
которая, в силу периодичности Лз(0. обладает свойством
6,(л73 = [5,(Т)]".
6,(л73 = [5,(Т)]".
(4.107)
(4.108)
(4.107)
(4.108)
Учитывая далее, что для любой унимодулярной матрицы второго порядка справедливо тождество [111]
(4.109)(4.109)shnD £sh (л — I) DshDshD '
(4.109)
(4.109)
где л=0, ±1, ±2 ...; chD = (1/2) SpC, получаем
5, (лТ) = В, (73 — ^-^ ° Р< /.(4.110)
snsn Di
При этом Di определяется равенством
ch О, = (1/2) [л, (73 + ц, (731.(4.111)
Отметим, что уравнение (4.7) с периодическим вектор-потенциалом на промежутке [0, лТ] есть уравнение класса Хилла, а отношение D\(T является его характеристическим показателем [115].
Сравнивая соответственные матричные элементы в правой и левой частях (4.110), имеем:
(4.112)(4.112)sn Disn Di
(4.112)
(4.112)
иг№ = ^^и1У'>, Vl(nT) = ^-Vl{T).sn Disn Di
Подставляя это в (4.102), приходим к результату
п(0)(Р)= .^А 14^^2+^211,(4.ПЗ)
sb1 Di4to^_
где chDj = ui (T). Совершенно аналогично из (4.106) получаем в спинорном
случае
«<*'•>№) =^±А »^_W14^(4.114)
где chD2=Reu2(T).
Из (4.53), (4.61) и очевидного соотношения |Е|<1 [оно вытекает из тождества (4.48)] следует неравенство n<‘/2>(p)<l (при любом л), означающее выполнение принципа Паули для фермионов. Из этого неравенства и (4.114) заключаем, что |Reu2(T)|<l, т. е. D^icU, где d2— вещественное число, 0<d2<«. Формула (4.114) переписывается тогда в виде
л<*/.) (р)л<*/.) (р)^tA _^2^ ^^(Т), cosd, = Reu,(T). (4.115) ш^ sin*ds
л<*/.) (р)
л<*/.) (р)
Выражения (4.113), (4.115) дают искомую зависимость плотности числа рожденных скалярных и спинорных пар от промежутка времени, в течение которого включено периодическое внешнее поле. Эта зависимость обладает рядом интересных особенностей. Согласно (4.115) п^Чр) зависит от п периодически при всех р. Выполнение неравенства л<*/2>(р)<1, очевидно, эквивалентно устойчивости решений уравнения (4.40), когда т=пТ-*-со, принимая лишь значения, кратные периоду Т (легко доказать устойчивость любого решения (4.40) и при произвольном способе устремления т к бесконечности [111]).
Иная ситуация имеет место для скалярных частиц. Как видно из (4.113), возможны случаи п<°>(р) ~п1 [при Uj(T) = ±l] и л(0)(р) ~ехр[е(р)п], е(р)>0 [при |ui(T)|>l]. При ui(T)>l характеристический показатель ЬХ,Т можно выбрать вещественным, если же «1(Т)<—1, то можно считать вещественным DJT—1я/Г. В обоих случаях все решения уравнения (4.7) неустойчивы при т-»-оо [115], чему и соответствует экспоненциальный рост п<°>(р). Анализ диаграммы устойчивости [115] уравнения типа (4.7) показывает, что существует бесчисленное множество значений импульса рл, в окрестностях которых п<°>(р) ~ехр [е(р)л]. Здесь мы имеем пример параметрического резонанса, который наступает, когда
характеристики рождающихся частиц (масса, импульс) и внешнего поля (напряженность, частота) находятся в определенном соотношении. Плотность родившихся скалярных пар может, подобно спинорному случаю, зависеть от п и периодически. Это имеет место при тех значениях р, для которых —K^i (Т) < 1 (область устойчивости решения). Физическая природа такой зависимости состоит в том, что периодическое внешнее поле не только рождает, но и поглощает пары, и при определенных значениях импульсов (для фермионов при всех импульсах) разность между числом рожденных и поглощенных пар в среднем остается постоянной.
В [109] наличие трех типов зависимости плотности рожденных скалярных пар от п связывается с тем, что динамическая группа симметрии данной задачи SU (1,1) содержит три однопараметрические подгруппы, элементы V которых нельзя перевести друг в друга преобразованием подобия V-hS^VS. В то же время все элементы динамической группы симметрии задачи о рождении дираковских частиц SU (2) приводятся к одинаковому виду.
Если время действия периодического поля т>Т, но много меньше обратной вероятности рождения пары (которая, в свою очередь, предполагается малой), то л<8>(р) зависит от времени приблизительно по линейному закону и можно ввести вероятность рождения в единицу времени. Если же указанные условия не выполняются, то в периодическом поле понятие интенсивности рождения становится бессмысленным.
Проиллюстрируем изложенные результаты на примере электрического поля, зависящего от времени по гармоническому закону [ПО]
Л3(0 = (£^«ви(4.116)
Рассматривая для простоты скалярные частицы, которые рож
даются в плоскости, перпендикуляр, ной направлению внешнего поля (так что Рз=0), преобразуем (4.7) к уравнению Матье
dtydz* + (а— 2?cos2z)g - 0. (4.117) где
а = Ао2 (/п* + Рх + ^«Й/З);q-^4& z = M—пЦ. (4.118)
Как видно из рис. 4.1, при фиксированном q (т. е. при фиксированных амплитуде и частоте внешнего поля) параметр а с ростом р* принимает значения не только из областей устойчивости, но и из узких (так как а>2^) областей неустойчивости. При выполнении условия q^2N3!2 (JV —номер зоны
неустойчивости) неустойчивое решение (4.117) представляется в виде
где пределы о-*0, о->-—л/2 соответствуют выходу из границы области неустойчивости; ф — периодическая функция с периодом 2л. При q<C4N имеет место ф — sin (Nz—о).
Используя (4.119), находим иа^Т) и иа^Т) (здесь Т=2л/&о), после чего по (4.113) получаем для N-й зоны
nW (Pjv) = ^(г^дду^га.nW (Pjv) = ^(г^дду^га.(4.120)(4.120)
nW (Pjv) = ^(г^дду^га.
nW (Pjv) = ^(г^дду^га.
(4.120)
(4.120)
По порядку величины результат (4.120) справедлив вплоть до Ра~еЕ0!к0. С учетом этого, а также полагая л достаточно большим для выполнения неравенства
ANn =ANn =N\^-x (N — I)!]1N\^-x (N — I)!]1«>1.«>1.(4.121)(4.121)
ANn =
ANn =
N\^-x (N — I)!]1
N\^-x (N — I)!]1
«>1.
«>1.
(4.121)
(4.121)
вычисляем с помощью интегрирования (4.120) число пар в 1 см3, рожденных за счет N-й зоны неустойчивости [116]:
п^ ~ ^о |/^ ^- exp (2Ацп). (4.122)
Для массивных частиц номер первой зоны неустойчивости, дающей вклад в эффект экспоненциального роста, yV~ m/^0~5,6-107, где подставлены значения массы л-мезона и частоты оптического излучения с Х=5-10-5 см. Хотя при таких N сделанные приближения позволяют рассматривать поля £<10и В/см, эффект становится наблюдаемым лишь при фантастически больших значениях пТ (что связано с очень быстрым уменьшением ширины зон неустойчивости при увеличении N [117]). Таким образом, для массивных частиц эффект экспоненциального роста существен лишь в случае высокочастотных (у-излучение) или околокритических полей.
В то же время с помощью данного эффекта могут быть проверены гипотезы о существовании легких (т^5 эВ) заряженных бозонов. Действительно, вблизи пучности стоячей световой волны, полученной с помощью оптического лазера (объем области V~ ~10-18 см3, £~105 В/см, ^=1/10, п~100), согласно (4.122) уже за счет первой зоны неустойчивости N=1 должно родиться ~ 1021 пар таких частиц.
РОЖДЕНИЕ ПАР ПОСТОЯННЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ И РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ ВДОЛЬ НЕГО ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ
Нестационарное однородное электрическое поле можно реализовать в пустом пространстве лишь приближенно. Простейший
пример переменного электромагнитного поля, удовлетворяющего уравнениям Максвелла в пустоте и интересного с точки зрения эффекта рождения пар, — это постоянное однородное электрическое поле и распространяющаяся вдоль него плоская волна (как показано ниже, сама по себе плоская электромагнитная волна не рождает пар из вакуума).
Следует отметить, что электромагнитные поля, являющиеся точными решениями уравнений Максвелла в пустоте, как правило, не выключаются при /->±оо. В связи с этим возникают определенные трудности при классификации решений волновых уравнений по знаку частоты, которые мы обсудим сначала на примере постоянного однородного электрического поля, задаваемого вектор-потенциалом вида
Л/(х) = (0, 0,0,— Et)(4.123)
(в § 4.2 постоянное электрическое поле рассматривалось лишь как предельный случай нестационарного, и полная система решений для него построена не была).
Рассмотрим полную систему решений уравнения Клейна—Фока с потенциалом (4.123), собственных для оператора Рз=\д1дх3. Положительно- и отрицательно-частотные при —оо решения есть [43] (см. также [289]):
*<+> = Вр^ехр (ipx) Dv. (— (1 + i) т);
(4.124) t^ = Вр^ exp (ipx)Dv (— (1 — i) т),
где Dv (z) — функции параболического цилиндра и введены следующие обозначения:
v = (iX—1)/2; Х = (т«+р2х)/|е|£; т= V[7|£" (t + р^| е | Е); (4.125)
Вр^ = (2 | е I Б)- ‘л ехр [— лХ/8 — Зя i/8 + (1Х/4) In 2].
Знаки частотностей в (4.124) расставлены так, что если адиабатически выключить внешнее поле при t-*—оо, то функции (4.124) перейдут в положительно- и отрицательно-частотные решения свободного уравнения. Функции (4.124) могут быть получены так же, как предельные значения при к^О решений в нестационарном поле (4.69).
Аналогично полный набор решений, положительно- и отрицательно-частотных при ^4-оо, есть
Vpt’ = Вр^ exp (ipx) Dv ((1 — i) т);
(4.126) Фр?’ = Вр^ exp (ipx) D^. ((1 + i) т).
Полные ортонормированные наборы решений (4.124), (4.126) связаны между собой соотношениями вида (1.72):
^f1 = а’Ф^ +М7>; Ч?* = “V^ + ^ф^’’<4.127)
где
а = У2л [г ( ‘ 2 А )] exp ^— -j- (X — 1)р
(4.128)
Р* = ехр[—л (Х+0/2].
Отсюда с помощью (2.31) получаем импульсный спектр рожденных скалярных пар
«<0) (Р) = I ₽ Р = ехр [— л (т2 + р^)/| е | Е].(4.129)
который совпадает с полученным выше результатом (4.80).
Рассмотрим теперь другую, отличную от (4.124), (4.126), полную систему решений уравнения Клейна—Фока в постоянном однородном электрическом поле, состоящую из собственных функций оператора
P_ = \dldt — eEx^ — P^
который не коммутирует с Р3, но коммутирует с оператором Клейна—Фока., Нумеруемое собственным значением Р-=Ро—Рз решение, которое мы будем называть отрицательно-частотным при t-* —оо, есть [43]
^Г* = (4 | е I Е)-‘<‘ exp [1 (р^, + р,х2 — р_х+/2 — е£х|/2 +
+ eE^J^ — i v In z)],(4.130)
где z= ([elE)-/^-; Ti_=p_—eEx_; x±=x0±x3 и выбирается главное значение Inz.
Аналогично решение, которое назовем положительно-частотным при /~>+оо, имеет вид
фС-Н = (4 I е I Е)—*/* ехр (1 [рЛ + р,х, — Р-х+/2 — еЕх|/2 +
+ еЕх^_/4 —i v In (—2)]}.(4.131)
Вторая пара решений (положительно-частотное на —оо и отрицательночастотное на +оо) дается выражениями
^^(-л-)»^; Ф<,7> = е(я_)аЧ{,Т).(4.132)
где 6(х) — ступенчатая функция; а ойределено в (4.128).
Расстановка знаков частотностей в (4.130) — (4.132) оправдывается соответствием этих функций с (4.124), (4.126). Например, решения разных типов, определенные при t-* 00, связаны интегральным преобразованием [43]
i +f dx,^** (xiX^ (*) = т 2л6 (p_ - p_y(4.134)
Набор функций, нумеруемых p_, предпочтителен, поскольку легко обобщается на случай, когда в направлении постоянного поля распространяется плоская волна. Эту ситуацию мы сейчас и рассмотрим.
Пусть постоянное однородное электрическое поле описывается потенциалом Л<(х) (4.123). Потенциал плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль этого поля, запишем в виде
Л, (Ф) = а^^ (ф) + а^г (ф),(4.135)
где аь аг — взаимно ортогональные 4-амплитуды; fi^— периодические функции фазы ф с нулевым средним значением. В лорен- цевой калибровке, обозначая волновой вектор А<, имеем
01/02 = а^к1 = ktkl = 0; Ф = М = к»х_; kt = (^, О, О, *0). (4.136)
Отрицательно-частотные при t-*-—оо решения уравнения Клейна—Фока с потенциалом Л<(х)+Л<(ф), нумеруемые сохраняющимся квантовым числом р.,, записываются аналогично (4.130):
Фр?’ = (4 | е | ЕГЧ‘ exp {1 [ рххг + р^х2 — р_х^—еЕхУ2 +
+ eEZj4 + (X + i) In z/2 + Л{-’]},(4.137)
где введены следующие обозначения:
X = (т1 + Д + ^,«{/1 + ^,0^)/ | е | Е, ft = J- ( d^ft^Y,
—я
л<“> = Л|~>(ф, х) = J; x = ktрЧеЕ = кйр_1еЕ; (4.138)
ф—X
g (ф) = 5^ 1а4” ^ — 2Р" $ (Ф) —^1) = Д (о/ sin /ф+6, cos /ф);а» = »niPME; Р„ = еап1а‘п14Е.
Аналогично положительно-частотные при f-^-4-оо решения есть ф<+> = (4 | е | Еу~‘и ехр {i [р^ + р^—р-Х^—еЕ^12 4
+ еЕ?_14 + (X + 1) In (— z)/2 + /4+)]},(4.139)
где
ф—X
«+> = 6<+'(ф, х) = - j
Расстановка знаков частотности в решениях (4.137), (4.139) оправдывается тем, что при адиабатическом отключении поля волны они переходят соответственно в (4.130), (4.131).
Положительно-частотные на —оо и отрицательно-частотные на + оо решения снова даются выражениями (4.132), причем фигурирующий в них коэффициент о есть
а = а(х) = [1 + | Р(х) Г1‘/',(4.140)
где
Р* (х)=ехр [—лХ (х)/2— 1 л/2 +1Ф (х)];
Х(х) = X —2g(x) =Х(х) = X —2g(x) =1 |в|£1 |в|£■2
Х(х) = X —2g(x) =
Х(х) = X —2g(x) =
1 |в|£
1 |в|£
«•+2 ^р* -2е ^р^ fn w+
.л=1
+ ^nl^nW)
(4.141)(4.141)СО
(4.141)
(4.141)
Ф(х) = «^(atcos/x — btsin/x).
В рассматриваемом поле Pa=idfdx3 не является сохраняющейся величиной. Поэтому непосредственное построение полного набора решений, аналогичного (4.124), (4.126), затруднительно. Можно, однако, по определению задать решения фр^\ фр*’ с помощью (4.133), в которых ядро интегрального преобразования М остается без изменений, а в качестве функций фр±\ фр^ фигурируют (4.137)', (4.139). В результате, например, для отрицательно-частотных на —оо и на 4-оо решений получаются следующие явные выражения:
^ = от/Т '( । е । мр [1 (рх — "Г-)] хz улL \* /J
X С dzzvexp[ if— ——zt-VhV^u, xAl ;
JI \4/J
Фр?* =(I e 1EY"4* exp[ i(px—Yl X ()
X J dza* (x)zv exp^ i ^—-^—zr-p/ii-^u, ^j» —40»
где т определено в (4.125), а в интегралах по z в качестве и, х и v следует брать
а = AoZ(| e|E)-,/,; х=ф—A^d е | Е)-4*; v = (iX—1)/2.
Для функций, нумеруемых значением р_, выполняются аналогичные (4.127) соотношения
+ W(4.143)
где аир определяются (4.140), (4.141).
С использованием (2.31) получаем плотность числа частиц и античастиц с квантовыми числами (Рь рг, Р-0 и (—pi, —Р2, —Р-) соответственно, рожденных рассматриваемым внешним полем из вакуума:
nw (р_) = I Р (X) р = ехр (— лХ (х)).(4.144)
Очевидно, что (4.144) совпадает с аналогичным результатом для постоянного поля, если совершить замену Х-*Х(х), которая соответствует переходу к физическому импульсу частицы в присутствии плоской волны:
р, -► П, = р, — еА, (х), 1 = 1,2(4.145)
(ср. с аналогичным рассуждением для однородного поля в § 4.1). Отсюда вытекает, что плотность по физическому импульсу числа рожденных пар фактически не зависит от поля плоской электромагнитной волны и определяется только тем электрическим полем, вдоль которого она распространяется [43, 118]. С использованием функционального подхода в [119] установлен несколько более общий результат, а именно показано, что вся вакуумная добавка к эффективному действию суперпозиции постоянного однородного электрического поля и поля плоской волны совпадает с аналогичной величиной при наличии одного лишь постоянного поля.
Предположим теперь, что измеряется плотность числа рождающихся пар, характеризуемых квантовыми числами (рь рг, рз). Разлагая первую из функций (4.142) по полной системе положительно- и отрицательно-частотных при /->+оо функций фр^, получаем
Фа > = 5 “Р I* -] 1а«Ф&. + Р^Л».},(4.146)
[ еЕ J
$=—ОО
где а4, р: — фурье-компоненты величин а и Р*, например,
а(х) = 2 а*ехр(—йх).(4.147)
S=— ОО
Соотношение (4.146) является примером равенств (1.72) в случае, когда квантовое число, нумерующее состояние, в рассматриваемом внешнем поле не сохраняется. Для плотности числа пар с квантовыми числами (рь рг, Рз) из (2.31) имеем
п(0,(Рз)= 2 IM*<4-148)
s=—ОО
Интенсивность рождения получается интегрированием (4.148) по всем импульсам:
''"’ = ^ IdV'" °’’) “ WF J d*p 1 ^ ехр н "^(ф)| =
= №1%^ ехр(— лт2/| е | £).(4.149)
Данное выражение совпадает с (4.82), полученным для случая постоянного электрического поля [к такому же результату приводит и (4.144)].
Полностью аналогичные результаты получаются и для дираковских частиц [43].
Если выключить постоянное электрическое поле Е, то Х(х)-^оо и плотность числа рождающихся пар обращается в нуль. Таким образом, плоская волна не может рождать пар. Этот результат, полученный впервые в [32], является следствием того, что для плоской волны оба инварианта электромагнитного поля ^=^=0 [см. (4.90)].
С помощью изложенных методов можно найти вероятность рождения пар и в других случаях, когда известно точное решение волновых уравнений во внешнем поле. Например, в [118] подсчитано число частиц, рождаемых электрическим полем и полем ред- мондовской конфигурации, т. е. параллельными электрическим и магнитными полями, вдоль которых распространяется плоская волна.
45. РОЖДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ БОЗОНОВ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
4 й4 йЮ = J ЛЮ = J ЛРождение векторных бозонов может быть описано аналогично случаю скалярных и спинорных частиц (см. § 4.1). При включенном внешнем поле, однако, свойства векторных квазичастиц отличаются от свойств скалярных и спинорных. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим гамильтониан (2.23) для спина s=l, коэффициенты которого выражаются через решения векторного волнового уравнения (1.12) следующим образом (для простоты далее полагаем g = 1):
4 й
4 й
Ю = J Л
Ю = J Л
3
т4 2 Ф*’* (“) Ф^* (Р) - 2^* («) /<e,°V (Р) + .1=0
+4- ^w'^+4- ^w'^(4.150)(4.150)
+4- ^w'^
+4- ^w'^
(4.150)
(4.150)
где д, е, как и выше, обозначают знаки частотности; а, р— совокупности квантовых чисел, а
Полную ортонормированную систему решений уравнения (1.12) в пространственно однородном нестационарном поле (4.3) представим в виде
фГЧр. X; х) = (2n)~’/*exp(ipx)g)±)(p, X; /);(4.151)
где положительно- и отрицательно-частотные решения фиксированы условиями
g^ « ±(4.152)
t-»ОО
о определена в (4.7); Х=1, 2, 3 — спиновый индекс. В дальнейшем полагаем g^ = g^1* = ga*
Подставляя (4.151) в (1.12) и в уравнение (1.10), взятое при 6=0, после преобразований получаем
l(L“₽^p)‘ + ^^ ^1 = $ go = i<B~2 2 ^а»(4-153)
а
где введено обозначение £ар=6ар—ПаПр/ш2, физический импульс П определен в (4.67).
Решения (4.151) ортонормированы условием
ijA 2 £«р 1фа±>е (P. X; xJ^T^^P'» Ь'; х)1 = Т 6хх'6(р —р'). а, 3
(4.154)
Переходя к вторично квантованной теории, разложим физические компоненты векторного поля по найденной полной ортонорми- рованной системе
»ato = 2Jd$^-)(P. к x)aj-)(p) + T<+>(-p, X; х)4Н(р)]. (4.155)
Подставляя (4.151) в (4.150), для гамильтониана (2.23) имеем
Hw (0 = 2 f d?p«> (р, 0 Шхх' (р. /)1“1+> (Р) ^ (р) + а^ (—р) X
X av > (_р)] + Рш (р, 0 al-) (— р) aV (р) +
+ Fw (Р. 0 ^+) (Р) dt> (— р)},(4.156)
где коэффициенты выражаются через решения уравнений (4.152) согласно
Ехх'(р, 0 = «>“12^ку(Р» х» O&tP* X'; /) +
+ ®2g’(p. X; t)g6(p, X'; /)];(4.157)
Fw (p, 0 = ®“l Se Lye [^ (₽’ X: 0 x
X^(p. V; 0 + <»2^(p. X; Z)^(p, x': 0l-
С целью обеспечить диагональность гамильтониана (4.156) по спиновым значкам, будем искать три линейно независимых решения системы уравнений (4.153) в виде [120]:
(4.158)(4.158)gv(P* 1; 0= (гго^ЧА^ехр^i6)+ /^р*ехр(1в)].
(4.158)
(4.158)
gY(P, 1; /) = —’ (^^‘[/^aiexpt—i6) —Avpiexp(i6)];
(4.159)(4.159)gN (p, 2; /) = (2й>)-,/* [ЛуОзexp(— 10) + lC^ exp(10)], gv(p. 2; /) = — i (ш/г)'7’ [/iya2exp(—10)— /iyp* exp (10)];
(4.159)
(4.159)
(4.160)(4.160)gs(P* 3; 0 = (2d>)-v* ev(l) [a3exp(—10)+ рзexp(10)],
(4.160)
(4.160)
gs (P« 3; 0 = — i (ш/г)7, ev (1) [аз exp (—10) — рз exp (10)].
Здесь использованы следующие обозначения для взаимно ортогональных вектор-столбцов:
, / М। /Р1Пз\, (РД
МП”— -АЬ М2)=ттг АП, ; М3)—jr А .(4.161)
РЛ о) L V^J w
являющихся собственными векторами матрицы L из (4.153):
а фаза определена согласно (4.22).
Вследствие (4.152) коэффициенты ax=ax(p, /), Рх=Рх(р, 0 удовлетворяют начальным условиям
«х(р. 0 ~* О РХ(Р* 0~*0 при /-> — <».(4.163)
Поскольку функции ga(P, X; 0 в соответствии с (4.154) нормированы на единицу:
i 5 Ьуб^*(р, X; 1)д^ь<Р* х". 0 = Ь(4.164)
из (4.158) — (4.160) вытекает
1®х(р. ОР-|Рх(р, П Г = 1.(4.165)
Подставляя (4.158) — (4.160) в (4.153), получаем вместо трех дифференциальных уравнений второго порядка для функций gB
три пары дифференциальных уравнений первого порядка для коэффициентов ах, Рх:
ах + i Kxqax=(ww/2 + i КхЛ Px exp (2i0);
(4.166)
Px — vKx$x = (ty<0>/2 — i Kxr) ax exp (—2 i0), где введены обозначения
(0) tow = —CD(0) tow = —CDeEzp^m 4 = ыП2eEzp^m 4 = ыП2eEzPL r = 2/neoeEzPL r = 2/neo(4.167)(4.167)
(0) tow = —
CD
(0) tow = —
CD
eEzp^m 4 = ыП2
eEzp^m 4 = ыП2
eEzPL r = 2/neo
eEzPL r = 2/neo
(4.167)
(4.167)
причем Kx — знаковый множитель, равный +1, —1 или 0 соответственно при Х= 1, 2, 3.
Легко убедиться в том, что выбор решений в виде (4.158) — (4.160) обеспечивает диагональность коэффициентов гамильтониана (4.156) по спиновым значкам, так, что выполняется
Еш = £хх бхх'-, Г».. = Fxx PxxS £хх— | FKx |2 = 1. (4.168)
где Ехх> Ехх определены в (4.157).
Решения (4.158) — (4.160) замечательны также тем, что фигурирующие в них ах, Рх совпадают с коэффициентами преобразования Боголюбова
аГ’(Р)=ах(р, O^tp, О —Рх(р, 0^+)(—Р. 0;
(4.169)
аГ’(Р)=^(-р. O^tP. 0 —Рх(—Р. t)£wHb 0.
диагонализирующего гамильтониан (4.156). Действительно, в терминах операторов рождения — уничтожения квазичастиц (4.156) принимает вид
н (0 = s f d?p«> (р, 0 [&+) (р, 0 ^ (р, 0 + б^ (- р. 0 ^+) (-р. 01 •
(4.170)
При этом равенство (4.165) обеспечивает выполнение правильных коммутационных соотношений для операторов квазичастиц, а ус-
♦*
ловия отсутствия недиагональных слагаемых вида &(+)&(+), ЬН^Н;
I ах |’+ | Рх |2 = £хх. 2а;рх= Е^(4.171)
оказываются непосредственным следствием (4.157), (4.158) — (4.160).
Полное число пар квазичастиц, рожденных в единице объема, подобно аналогичным результатам § 4.1, дается выражением [120] п°ЧП = (2лГ3 SI^P I Рх(Р. 0 I1.(4.172)
При Х=3 уравнения (4.166) совпадают с уравнениями (4.22) для скалярных частиц, вследствие чего третье слагаемое в правой части (4.172) совпадает с полным результатом для скалярного случая. В то же время первые два слагаемые в (4.172) ведут себя существенно по-иному с ростом |р|, что приводит к расходимости интеграла по импульсам при включенном внешнем поле (см. гл. 6).
При выключении внешнего поля, однако, расходимости в первом и втором слагаемых (4.172) исчезают, поскольку q, г в (4.166) обращаются в нуль. Таким образом, предельное значение (4.172) при /->оо дает плотность числа реальных рожденных пар векторных бозонов (при известных ограничениях этот результат не зависит от значения гиромагнитного отношения [97]). Для постоянного электрического поля, рассматриваемого как предельный случай нестационарного однородного поля с помощью метода, использованного в скалярном и спинорном случаях в [121], получаем при Ео«СЕСг-
= (1 + ОД./"»2) ехР Н я (m2 + Р±)Л е I £Ь (4.173)
Отсюда для интенсивности рождения векторных бозонов, подобно § 4.2, находим
/< ° = (^Е^вл3) (3 + 2 | е | Ео/лт2) ехр (— лт2/| е I Ео). (4.174)
Здесь первое слагаемое представляет собой утроенный скалярный результат (соответственно трем физическим степеням свободы) и совпадает с оценкой, полученной в [97] методом мнимого времени. Второе слагаемое в (4.174) описывает малые спиновые поправки, которые возникают только для двух степеней свободы векторной частицы.
Глава 5
РОЖДЕНИЕ ПОЗИТРОНОВ КУЛОНОВСКИМ ПОЛЕМ СВЕРХТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
СПЕКТР УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ И КРИТИЧЕСКИЙ ЗАРЯД ЯДРА
В этой главе рассматривается эффект рождения позитронов кулоновским полем сверхтяжелого ядра, предсказанный в [122J. Как показывают простые нерелятивистские оценки, при достижении зарядом ядра значения 137 |е| кулоновское поле в пределах первой боровской орбиты превосходит критическое значение £Сг=^2/|И- Поэтому для сверхтяжелых ядер вакуумные квантовые эффекты должны быть существенны. Большой интерес к данному вопросу связан с двумя обстоятельствами. Во-первых, при описании рождения позитронов кулоновским полем оказалось необходимым ввести важное с теоретической точки зрения понятие заряженного вакуума. Во-вторых, при столкновении двух обычных тяжелых ядер (например, урана) на некоторое время возникает сверхтяжелое квазиядро, что позволяет наблюдать эффект рождения позитронов экспериментально (такие эксперименты уже
ставятся). В связи с большим количеством работ по данной теме мы приведем лишь некоторые основные ссылки. Более полные литературные указания содержатся в обзорах [123—125].
Рассмотрим уравнение Дирака (1.44) в кулоновском поле, задаваемом вектор-потенциалом
Л,(х) = (— eZIr, 0, 0, 0),(5.1)
где Z|e| — заряд ядра.
Дискретный спектр уровней энергии электрона дается формулой Зоммерфельда [126]
(5.2)(5.2)(Za)1ч—*/.
(5.2)
(5.2)
I х | + Vx*-^)2)* J
где главное квантовое число п=1, 2, 3 ..., а величина х связана с полным моментом соотношением |х|=/+1/2 и принимает значения ± 1, ±2 ...
Очевидно, что при |х|<Za под корнем в знаменателе (5.2) стоит отрицательная величина, вследствие чего формула теряет смысл. Например, для основного состояния 1$1/2 имеет место п= =—х = 1 и анергия электрона
£1../, = m У1—(Za)1 . (5.3)
Как видно из (5.3), с ростом Z энергия уменьшается до нуля (при Z—137), а при больших Z становится чисто мнимой. Это не означает, однако, что при Z>137 уравнение не имеет решений. Для нахождения уровней энергии в этом случае необходимо поставить некоторое граничное условие при г=0 (что эквивалентно определению соответствующего самосопряженного расширения оператора энергии). Физически постановка граничного условия в нуле означает обрезание кулоновского потенциала на малых расстояниях, т. е. учет конечных размеров ядра. Впервые такой учет был проделан в [127], причем оказалось, что с ростом Z уровни энергии становятся отрицательными и продолжают опускаться вплоть до границы нижнего континуума —т. Значение Z=Zcr, при котором £i,i/2==—т, называется критическим для основного состояния.
Если Z>Zcr, то уровень энергии основного состояния «погружается» в нижний континуум. Предположим, что на этом уровне имелось два электрона. Поскольку в картине Дирака все состояния нижнего континуума уже заняты электронами с отрицательной энергией, погрузившиеся в континуум электроны нельзя описать с помощью обычной волновой функции. Для их описания приходится вводить понятие заряженного вакуума [128]. Сильное поле ядра меняет свойства дираковского моря, т. е. вакуума в терминах вторично квантованной теории электрон-позитронного поля. Если из бесконечной плотности заряда дираковского моря, возмущенного сверхкритическим кулоновским полем, вычесть бесконечную же плотность заряда без поля, то получается конечная
величина, интеграл от которой по пространству равен 2е. Если в нижний континуум погружается незаполненный электронами уровень, то в результате распада возникшего квазистационарного состояния рождаются два позитрона, которые под действием кулоновского отталкивания уходят на бесконечность, и происходит перестройка вакуума, так что он приобретает заряд 2е. Эти явления более подробно будут описаны ниже, а сейчас предварительно рассмотрим спектр уравнения Дирака при Z>137 и методы определения значения Zcr [129, 130].
После отделения временной и угловых переменных уравнение Дирака в центрально-симметричном поле с потенциалом Ао^г) принимает вид
dF/dr = — (x/r) F + (m + Е — еА0) G;
(5.4)
dG/dr —(т — £ + еА^ F + (x/r) G,
где F—rf(r); G=rg^rY, f и g— радиальные функции из верхней и нижней компонент биспинора [126].
Исключая из (5.1) функцию G и переходя к радиальной функции х(Н. определяемой согласно
£(г)=(т + £-еЛ0),/«х(г),(5.5)
приходим к уравнению
(5.6)(5.6)X"(r) + ^(r)x(r)=0,
(5.6)
(5.6)
где штрих означает производную по г,
А* (г) = £»- m* + (М - 2еЕА0 - х (х + 1)/г») - (®^; +
+ ±^"Л;)■(5.
4 (т + Е — eAtj)1 r(m + E— eA^J
Из (5.6), (5.7) легко установить асимптотическое поведение функции F, если предположить, что при г->оо Ло, А'», А"1Г*0. При этом оказывается, что волновые функции экспоненциально убывают, если |£|<т, и осциллируют, если |£|>т.
Особенно важен случай |£|=т (уровень находится на границе континуума). Для этого случая при г->-оо
£(г)~£(г)~ехр(—1гУ8т | еЛ0 | ), ехр (—г У8m | еЛ,, | ),ехр(—1гУ8т | еЛ0 | ), ехр (—г У8m | еЛ,, | ),Е = т;Е = —т.Е = т;Е = —т.(5.8)(5.8)
£(г)~
£(г)~
ехр(—1гУ8т | еЛ0 | ), ехр (—г У8m | еЛ,, | ),
ехр(—1гУ8т | еЛ0 | ), ехр (—г У8m | еЛ,, | ),
Е = т;
Е = —т.
Е = т;
Е = —т.
(5.8)
(5.8)
т. е. для потенциалов, убывающих медленнее г-2, состояние электрона с Е=—т является связанным состоянием (электрон на границе нижнего континуума остается локализованным в пространстве). Такое поведение электрона объясняется наличием широкого барьера в эффективном потенциале рассматриваемой задачи. Действительно, уравнение (5.6), (5.7) может быть записано в ви-
де одномерного уравнения Шредингера с эффективной энергией е=(£2—m2)/2m и эффективным потенциалом Ueu. В простейшем случае Е=—т для основного состояния в кулоновском поле (5.1) получаем потенциал барьерного типа
Ue« = Za/r— [(Za)2 — 3/4)/2w*
Таким образом, электрон с отрицательной полной энергией на больших расстояниях от ядра не притягивается к нему, а отталкивается подобно позитрону.
Для кулоновского потенциала (5.1) при Е=—т уравнение (5.6) решается точно [130]. В результате для решений (5.4) имеем
F (г) = Kiv (VSmZ^r ); G(г) = (rF* + xFyZe\ (5.9)
где Ka(z) —функция Макдональда; v = 2 VZM— x2 .
С использованием точного решения (5.9) можно найти значение ZCT. Для этого необходимо учесть конечность размеров ядра. Будем предполагать, что А^1 определяется равенствами
А^ (г) = |“ ^’r>R"'(5.10)
°\—^^ZelR, r<R,V ’
где R — радиус ядра. Вид функции f(6> определяется моделью распределения заряда в ядре. Так, для поверхностного распределения заряда (модель /) /(1>(г) = 1, а для равномерного распределения по объему (модель II) f(II)(r) =— (г//?)2/2 + 3/2.
Чтобы найти спектр уравнения Дирака,, необходимо сшить решения внутри и вне ядра при r=R. Решение вне ядра при Е-—т дается (5.9), а решение внутри ядра, например, для модели (I) при любой энергии есть [123]
Fa4r) = rjlt(pry, G^r)= sign(x)-—Z-— (5.11) “г т т
где Л= |х| + (1/2) (signx—1); /2=/i—signx; р2= (f+Ze2//?)2—т2; ji (z) — сферические функции Бесселя. В случае основного состояния 1 Si/г при Е——m (5.11) принимает более простой вид
F°> = «прг ^п R_f^PL_^ \ .(5 12)
рZe1 \ pr) v 1
Поскольку радиус ядра R мал по сравнению с комптоновской длиной электрона т-1 (например, ^=1,2-10~12 см = 0,03 т-1), можно полагать p^Ze2)R. Тогда условие сшивания решений приводит к трансцендентному уравнению
(5.13)(5.13)ctg (Z^ = ‘^у%2^_
(5.13)
(5.13)
RK^V^№ dr
При фиксированном R (5.13) является уравнением относительно неизвестного Zcr. Численное решение его дает Zcr«170. При- 104
мерно такое же значение получается и при использовании второй модели распределения заряда ядра. Как показано в [130], при достаточно широких предположениях этот результат слабо зависит от вида обрезающей кулоновский потенциал функции f^\
Значение ZCT несколько изменяется, если ядро имеет электронную оболочку, экранирующую его заряд. С учетом экранировки, а также поляризации вакуума кулоновским полем для основного состояния атома с заполненными оболочками имеет место ZCT~ «173 [131].
В [129, 130] найдены уровни энергии не только основного, но и возбужденных состояний с учетом конечности размеров ядра. Как оказалось, возбужденные уровни, подобно основному, опускаются с ростом Z до границы нижнего континуума. При этом аналогичное (5.13) уравнение (в которое вместо функций Макдональда входят функции Уиттекера) позволяет определить соответствующие критические значения Z. Для состояний 2pi/2, 2si/2, следующих за основным, они оказываются равными 185 и 230.
Ряд аналитических оценок для уровней энергии и волновых функций удается получить и без использования точного вида решений, если предположить, что параметр Л=—lnm/?^l. Хотя для реальных размеров ядра /?~ 10~12 см значение этого параметра невелико (Л«3,5), такое приближение дает правильную общую картину движения уровней с изменением Z. Графики зависимости нижних энергетических уровней от Z приведены на рис. 5.1 [129], пунктиром указан ход уровней без учета конечности размеров ядра.
Как видно из рис. 5.1, учет конечности размеров ядра снимает имеющееся в формуле (5.2) вырождение уровней с разными I, но одним и тем же j. Так, уровни 2р!/2, 2si/2 при Z>137 не совпадают между собой.
Изображенный на рис. 5.1 график справедлив только в том случае, когда кулоновский потенциал является нулевой компонентой 4-вектора (векторная связь). Для спинорного уравнения (1.60) со скалярной связью при U=—Ze2fr картина уровней изменяется. Как показано в [132], дискретные спектры электронов и позитронов для такого уравнения симметричны относительно уровня Е=0, причем с ростом константы скалярной связи уровни энергии асимптотически стремятся к нулевому значению, никогда не достигая его.
Спектр скалярных частиц в сильном кулоновском поле существенно отличается от спектра фермионов. Правильная интерпретация поведения бозонов в околокритическом кулоновском поле требует учета их взаимодействий и поляризации вакуума (эти вопросы обсуждаются в гл. 7).
Выше рассматривался только случай дискретного спектра. Волновые функции непрерывного спектра с учетом конечности размеров ядра могут быть выражены через функции Уиттекера (см., например, [123]). Как следует из (5.8),
Рис. 5.1. Схема энергетических уровней электрона в атоме с неточечным ядромРис. 5.1. Схема энергетических уровней электрона в атоме с неточечным ядром
Рис. 5.1. Схема энергетических уровней электрона в атоме с неточечным ядром
Рис. 5.1. Схема энергетических уровней электрона в атоме с неточечным ядром
волновая функция состояния с энергией Е=—т является квадратично интегрируемой. Вследствие этого искажение волновых функций нижнего континуума приближающимся к нему дискретным уровнем незначительно. Таким образом, при Z<Zcr спектр уравнения Дирака в поле ядра полностью определен. Однако при Z>Zcr теория должна быть модифицирована, поскольку для таких Z дискретный уровень, отвечающий основному состоянию, сливается с нижним континуумом, а собственные функции нижнего континуума в определенной области энергий претерпевают значительные изменения. Следствием этого являются эффект рождения позитронов и необходимость введения понятия заряженного вакуума.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ПРИ Z>Zcr И РОЖДЕНИЕ ПОЗИТРОНОВ
При Z>ZCT низшим состоянием дискретного спектра становится 2pi/2. Если уровень 1 «пг не был заполнен электронами, то с точки зрения дираковской картины в нижнем континууме появляется вакансия, которая может быть занята двумя электронами из дираковского моря, различающимися знаком проекции спина. При этом в дираковском море образуются две дырки (позитроны), которые, просочившись через кулоновский барьер в эффективном потенциале, уходят на бесконечность как реальные частицы. С точки зрения вторично квантованной теории сверхкритическое кулоновское поле порождает два позитрона на расстоянии от ядра, меньшем /и”1, и изменяет вакуум так, что он приобретает заряд 2е.
Пользуясь иной терминологией, можно сказать, что поле рождает две электрон-позитранные пары, причем электроны заполняют К-оболочку. Следует, однако, иметь в виду, что плотность заряда на этой оболочке не описывается двухэлектронной волновой функцией, а размазана по континууму в определенном интервале энергий. Рассмотрим явления при Z>ZCT в рамках одночастичной теории [123, 124, 128, 133, 134].
Представим уравнение Дирака (1.44) в форме, аналогичной уравнению Шредингера
i W = HD (Z) t = (op + pm + еА^) Я».(5.14)
гдеа=у0?; P=y°; p=—iV; A^ определено в (5.10).
Поскольку AW линейно зависит от параметра Z, то для сверхкритического Z=ZCr+AZ можно написать
HD (Z) - HD (Zcr) + еА^.(5.15)
В качестве полной ортонормированной системы решений уравнения Дирака возьмем собственные функции оператора #D(ZCr), причем состояния нижнего континуума обозначим фк(х), а связанное состояние с энергией Е=—т обозначим фв(х) [остальные состояния для простоты не рассматриваются, так как AZ предполагается не слишком большим, а следующее за фв(х) состояние
отделено от него значительным энергетическим интервалом; спиновые индексы опущены]. Справедливы соотношения
HD (ZCr) *в (х) - Евфв (х) = - mi|>B (х);
(5.16)
HD(ZcaHpEto=E^EW
и условия нормировки
J^(x)ipB(x)d»x=l;f ^(x)^E.(x)d*x = 6 (£ — £')•(5.17)
Используя (5.15) — (5.17) и вводя обозначение
еА^ЧО = ^ZU И,(5.18)
запишем матричные элементы от HD(Z) при Z>ZCr:
f tj (х) HD (Z) 1|>B (X) <Px = Ев + AZ J *+ U^x =-m + ^E;(5.19)
f ^ (x) HD (Z) % (x) <Px - AZ J *+ U% <Px = UE;(5.20)
J t£ (x) HD (Z) tE' (x) d»x - J ^+HD (Zcr) tE.<Px +
+ J ip£.AZ(/i|>E, d»x = £'6 (£" — £') + AZl/E.E,_(5.21)
Рассмотрим теперь собственные состояния фк(х) сплошного спектра при Z>ZCT. Они определяются условиями
HD (Zer + AZ) фЕ (х) - £фв (х);j ф£ (х) фЕ, (х) <Рх - 6 (Е — £'). (5.22)
Разложим состояние фк по полной системе введенных выше собственных функций гамильтониана Яп(2сг):
Фе = ° (£) ^в + j dE'bE, (£)(5.23)
Е'<—-т
Для определения коэффициентов этого разложения подставим (5.23) в (5.22), умножим результаты на ф^и ф ^ и проинтегрируем по координатам. Тогда с учетом (5.16)—(5.22) получим следующую систему уравнений:
(£в + А£)а(£)+ J dE'bEAE^UE.-Ea^EY.
Е*<—т
(5.24)
иЕ.а^+ЬЕ.(Е)Е'+ j d£'6B. (£)AZl/E,E. =£6В,(£).
Е*<—т
Интегралом во втором из уравнений (5.24) можно пренебречь, так как он описывает переходы между состояниями континуума под влиянием малой добавки AZ к ZCt. В этом приближении (5.24) имеет точное решение
' 1 E — Eв — ^E--F(E) + m\UEV
bE. (Е} = 6 (Е - £') + Ё-E'-U '(5-25)
где е>0 и введено обозначение (^— главное значение интеграла)
F (Е) = ^ j ^dE' | UE, ]»/(£- E').
Таким образом, коэффициенты разложения (5.23) определены.
Выясним теперь, во что переходит исчезнувшее из дискретного спектра при Z>Zcr состояние Vb. Величина
I Up I2
I а (£) I2 = ——(5.26)
1[E-(EB+A£ + F(£))F + n2|t/E|*'7
есть вероятность того, что состояние фв под действием сверхкритического потенциала перейдет в состояние с энергией £<—т. Выражение (5.26) имеет резонансный характер. Как показывают численные расчеты, матричный элемент Ue слабо зависит от энергии. Поэтому можно пренебречь £(£) и, введя ширину Г0=2л|[/к|2, переписать (5.26) в брейт-вигнеровском виде
2л [Е-(Ев+А(Е))р + г2/4 ’
Выражение (5.27) описывает квазистационарный уровень с энергией £о= = £в+А£<—т и шириной Го. С учетом обозначений (5.19) положение центра резонанса определяется равенством
£0 = — m + AZ J ф£ [/ф^3х = — m — AZ6.(5.28)
При этом б слабо зависит от AZ, и связанное состояние углубляется в континуум приблизительно линейно по AZ.
Если AZ не слишком мало, то для ширины резонанса получается квадратичная зависимость от AZ:
Го = 2л | AZ J ^ U^Bd»x |2 = AZ^.(5.29)
В случае AZ<Zcr формула (5.29) неприменима и Го описывается выражением [128]:
где Ci и с2 — числовые множители порядка единицы. Экспоненциальная малость Го при AZ<Zcr объясняется тем, что для медленных позитронов кулоновский барьер в эффективном потенциале Uett экспоненциально мало проницаем. Практически соотношение (5.29) применимо при AZ^3.
Таким образом, «наследником» нижнего связанного состояния при Z>Zcr является квазистационарный уровень, распределенный в полосе энергий иижнего континуума шириной Го. Если состояние 1 Si/2 при Z<Zcr было незаполненным, то с вероятностью Го рождаются два позитрона, которые за время ^1/Г0 (время распада квазистационарного состояния) уходят на бесконечность, и происходит перестройка вакуума.
Действительно, при Z<Zcr имеется электронный вакуум, если все связанные состояния пусты. Однако при Z>Zcr погрузившийся в континуум уровень приводит к возникновению вакуумной плотности заряда в полосе энергий с центром £0 и шириной Го и его нельзя рассматривать как пустой. Вследствие
этого основным состоянием при 2>Zcr является вакуум, обладающий полным зарядом 2е. Все остальные электронные состояния (когда заполнены один или несколько дискретных уровней) имеют энергию, большую энергии чтого основного состояния. Можно сказать, что при переходе Z через критическое значение происходят распад обычного нейтрального вакуума на заряженный вакуум и два позитрона. Если при Z<Zcr уровень 1 S|/2 был заполнен электронами, то при переходе Z через критическое значение также образуется заряженный вакуум, однако рождения позитронов не происходит.
Можно показать [128], что распределение вакуумного заряда с формальной точки зрения аналогично распределению заряда на К-оболочке докритического атома. В то же время эти распределения имеют принципиально разный смысл, поскольку заряд электрона в каждый момент времени сосредоточен в точке, а заряд вакуума распределен в пространстве.
Очевидно, что явления, возникающие при Z>Zcr, имеют существенно многочастичный характер и должны описываться в рамках теоретико-полевого формализма.
Результаты § 2.5, где рассматривалось рождение пар электромагнитным полем произвольного вида, можно применить к случаю рождения частиц кулоновским полем, если предположить, что заряд ядра зависит от времени по определенному закону Z(t) с соблюдением условия Z(±oo) <Zcr. В такой постановке задачи вычисление вероятностей рождения пар сводится к нахождению асимптотик при /->4-оо решений уравнения Дирака, обладавших определенной частотностью при t-*—<х>. Однако уравнение Дирака с потенциалом (5.10) и переменным Z^ не допускает полного разделения переменных, что существенно осложняет исследование его решений. Поэтому обычно рассматривают более простую теоретико-полевую схему описания сверхкритического ядра, в которой фермионное поле предполагается вторично квантованным, но Z продолжает оставаться адиабатически изменяющимся внешним параметром [123, 124, 135] (аналогичные результаты получены в [136] методом диагонализации приближенного гамильтониана боголюбовскими преобразованиями).
Выше рождение позитронов сверхкритическим кулоновским полем рассматривалось в простейшем случае, когда в нижний континуум погружается только связанное состояние 1 $п2. При этом параметр Ze2~l,26. В [137] с использованием квазиклассического приближения рассмотрено положение дискретных уровней Еп, погрузившихся в нижний континуум, когда параметр Ze2^2. Использование точных решений уравнения Дирака позволяет показать, что при Ze2» 1 для ширины уровня с номером п выполняется ГП<Е„, Гп<Еп+1— Еп. Это означает, что при сверхбольших Z погрузившиеся в нижний континуум уровни остаются изолированными (при Ze2=7 погружается порядка 100 уровней). Если Z столь велико, что Ze3^l, то порожденная из вакуума электронная оболочка ядра находится внутри него и практически полностью экранирует заряд протонов [138]. Вакуумное состояние такой системы можно назвать сверхзаря- Женным: оно обладает зарядом порядка Ze.
Интересно отметить, что заряженный вакуум дает пример нарушения симметрии вакуума под воздействием внешнего поля [125]. Действительно, хотя лагранжиан квантовой электродинамики инвариантен относительно операции зарядового сопряжения как при Z<Zcr, так и при Z>ZCr, вакуумное состояние при Z>Zcr имеет, как минимум, заряд 2е и потому С-неинвариантно.
РОЖДЕНИЕ ПОЗИТРОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
Рассматриваемый в данной главе эффект рождения позитронов кулоновским полем имеет место для ядер с атомным номером Z>Zcr«173. Поскольку такие ядра не наблюдаются в природе, представляет интерес нестационарная задача, когда при столкновении двух тяжелых ионов на некоторое время образуется квазиядро с зарядом 2Z>Zcr [122]. Если, например, ионы урана сближены на расстояние R, то по порядку напряженность действующего на электрон электрического поля E~2Ze)R2 и Е!ЕСТ= =2Ze^l^mRy«\^l^mRy. При /?=20ф имеем отсюда £~500£Сг, причем столь большое поле достигается в комптоновском объеме т~3 и содержит энергию ~1000 m [131]. Для нерелятивистских ионов, движущихся со скоростью и<^с, можно считать, что время, которое они проводят на расстоянии 100 ф друг от друга, составляет /с«210“19 с. Полагая, что скорость электрона на К-оболоч- ке есть с/2, для отношения tc ко времени Т одного оборота по боровской орбите получаем
tJT «20>1.(5.31)
Таким образом, ввиду большой массы ионов их движение можно считать классическим, а уровни энергии и волновые функции электронов для каждого момента времени вычислять при фиксированном расстоянии между ионами R(t) (адиабатическое приближение). Если пренебречь также межэлектронным взаимодействием, то нахождение энергетического спектра системы двух сталкивающихся ионов сводится к нахождению спектра электрона в поле двух кулоновских центров.
Задачу двух центров удобно рассматривать в эллиптических координатах 5=(Г1 + г,)/₽; ^Uv-r^R; ф,(5.32)
где и, г2 — расстояния между ядрами и электроном; ф —угол поворота вокруг оси, соединяющей ядра. Области изменения 5, т), Ф есть
1<5<оо; — 1<т)<1; 0<ф<2л.(5.33)
Как известно, уравнение Шредингера для задачи двух центров допускает в эллиптических координатах (5.32) полное разделение переменных.
Нас интересует то значение расстояния между ядрами (как и заряд в случае одного ядра, оно будет называться критическим), при котором наинизший уровень энергии квазиядра доходит до границы нижнего континуума —пг. Поскольку энергия связи при этом равна — 2m, то RCr нельзя искать в нерелятивистском приближении. Итак, необходимо рассматривать уравнение Дирака с потенциалом
Ло = - (Zelrt + Ze]r^, А = 0.(5.34)
Такое уравнение, в отличие от уравнения Шредингера, не допускает полного разделения переменных ни в одной ортогональной системе координат (это связано с тем, что помимо проекции полного момента для него не существует другого интеграла движения). Поэтому в координатах (5.32) уравнение Дирака
записывается в виде системы уравнений в частных производных относительно двух независимых переменных 5 и Л» которая не может быть решена в общем виде. Однако, как показано в [139], при выполнении условия «малой надкритич- ности*
6=(2Z~Zcr)/Zcr« 1,(5.35)
справедливого для состояния 1 Su2, можно решить эту задачу приближенно с помощью метода сшивания асимптотик. Из (5.35) вытекает, что Rcr^m^. Вблизи ядер волновая функция имеет особенности вида
Ч> ~ (? -Т)’Г1+ /,-z'e* •(5.36)
С другой стороны, вдали от ядер при r^R потенциал (5.34) можно приближенно заменить потенциалом (5.1) и воспользоваться известным решением уравнения Дирака в кулоновском поле одного центра. При выполнении (5.35) это решение может быть гладко сшито с (5.36) в области R^r^m-1. Условия сшивки дают
/?сг = с ехр [— л (4Z*a« — 1 )-*/•],R Г /\/£«“т + Е
Ret [ \ Vm1—Е* / V тm + Е + Ут* — Е»
(5.371 где с — постоянная порядка w1; ф(г)—логарифмическая производная Г-функ- ции. При R<Rcr необходимо заменить Vm» — Е» на _1уЁ2—т».
Равенства (5.37) позволяют найти ЯСг, а также положение и ширину Го(₽) квазистационарного состояния £, возникающего при сближении ядер на расстояние, меньшее критического. При этом вероятность спонтанного рождения позитронов при сближении ядер по классической траектории R^t) определяется формулой
P=$re(R(t))dt,(5.38)
где интегрирование ведется по тому участку траектории, для которого ₽(/)< <₽сг [139].
Как видно из (5.37), энергия уровня Е зависит от отношения RIRCr. Поэтому сечение рождения позитронов в кулоновских столкновениях факторизуется:
а(£, Z)=a0(Z)f (п),(5.39)
где T)=£/£tr=/?cr/Eo; Ей — пороговая энергия, при которой ядра в лобовом столкновении сближаются на расстояние RCr; Ro — расстояние наименьшего сближения ядер при лобовом столкновении. Функция f (т)) связана с шириной квазистационарного уровня соотношением
Значение ao(Z) определяется величиной RCr, которая может быть определена также и вариационным методом, сводящим задачу решения уравнения Дирака при Е=—т к отысканию минимума функционала
/ m = J d»x ^y I V* Р + W./, *) , (5.40)
где I/1/2 — эффективный потенциал квадрированного уравнения Дирака с потенциалом (5.34); ф — пробная функция [140]. В рамках этого метода подсчитаны значения RCt для сталкивающихся ядер с любым Z<137. Так, для двух ядер урана оказывается /?Сг=35 ф. Величина Oo(Z) зависит от RCT как #cr*« Для данного примера оказывается Оо«25-10~27 см2. Энергетическая зависимость сечения рождения позитронов целиком определяется значениями функции f, протабудированной в [141]. На пороге, когда R(r*Rcr и E-^Etr, f экспоненциально мала, что приводит к малости о. Это является следствием наличия кулоновского барьера, который практически непроницаем для медленных позитронов. С увеличением Е, однако, f увеличивается до единицы. В рассматриваемом примере двух ядер урана пороговая энергия Etr~650 МэВ. Если энергия ядер составляет 1 ГэВ, то их скорость и = 0,09 с и для сечения рождения позитронов получается результат о=0,5-10~27 см2. Если же Е=1,5 ГэВ, то и увеличивается на порядок [139].
По результатам независимого расчета [123] значение RCr для ядер урана составляет 37 ф. Аналогичные расчеты проделаны для случая столкновения ионов урана и калифорния, а также ионов калифорния друг с другом. Критические расстояния составляют соответственно 46 и 60 ф [131].
В [139] рассчитано также и дифференциальное сечение dc/dQ рассеяния в телесный угол dQ при фиксированном угле рассеяния 6:
dcldQ = cF$t т)), (5.41)
где F — определенная функция 6 при фиксированном т). Если т]->1, то Е(1, 6) имеет вид острого пика вблизи 6=л, т. е. позитроны наблюдаются лишь при рассеянии назад.
Все сказанное относилось к случаю столкновения двух голых ядер урана. Трудности постановки такого эксперимента очевидны. Однако, как показано в [142], при падении пучка голых ядер с атомным номером Zx на обычный атом с зарядом ядра Z2 в нижней оболочке объединенного атома образуются свободные состояния, если ZX>Z2 (столкновение атома с ядром предполагается адиабатическим). При этом сечение рождения позитронов имеет почти то же значение, что и в случае столкновения голых ядер. Таким образом, для постановки эксперимента по наблюдению рождения позитронов достаточно обеспечить столкновение пучка голых ядер урана с урановой мишенью.
С конца семидесятых годов на ускорителе тяжелых ионов в Дармштадте (ФРГ) проводятся измерения сечений рождения позитронов, образующихся при столкновении ядер свинца, урана и кюрия. Интерпретация этих измерений весьма сложна из-за различных фоновых процессов, в которых энергия электрических полей ядер передается электрон-позитронному полю. Простейшим из них является процесс фоторождения, при котором порожденный ядром виртуальный фотон превращается в электрон-позитронную пару. Как показывают простые оценки, вкладом фоторождения можно, по-видимому, пренебрегать. Значительно большую роль играет явление рождения пар путем внутренней конверсии при кулоновском возбуждении ядер [123]. При столкновении тяжелых
ядер в них с вероятностью, близкой к единице, происходит воз- буждение коллективных степеней свободы. Затем в течение ~10-13 с более высокие населенные состояния распадаются с испусканием фотонов, которые рождают пары электрон — позитрон.
В настоящее время в экспериментах по столкновению ионов урана, кюрия, тория с мишенями из тех же элементов удалось добиться сближения ядер до расстояний, меньших Rct. Анализ спектра испускаемых при этих столкновениях позитронов показал наличие ожидаемых пиков, однако их размер и положение далеки от предсказаний теории. Совершенно неожиданно обнаружены также электронные пики, совпадающие с позитронными линиями [143, 290]. Эти н другие противоречия должны быть объяснены прежде, чем можно будет с уверенностью говорить об экспериментальном наблюдении процессов, происходящих при сверхкритическом значении электрического поля.
Глава 6
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА ВНЕШНИМ ПОЛЕМ
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
6.1. МЕТОД СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА ПОСТОЯННЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Первые расчеты поляризации вакуума внешним электромагнитным полем были выполнены еще в 30-х годах (нелинейные поправки Гейзенберга—Эйлера к уравнениям Максвелла, поправка Юлинга к закону Кулона). С созданием квантовой электродинамики появились расчеты поляризационных эффектов в рамках ковариантной теории возмущений как поправок высших порядков, связанных с диаграммами, в которых имеются замкнутые электронные петли. Так был вычислен, например, вклад поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг, в фотон-фотонное рассеяние и др.
В данном параграфе приводится краткая формулировка метода собственного времени Фока—Швингера [32, 144] и рассматривается его применение для вычисления поляризации вакуума спинорного и скалярного полей пространственно однородным постоянным электромагнитным полем. Как было отмечено в § 2.2, при наличии внешнего поля мнимая часть эффективного лагранжиана конечна и описывает эффект рождения частиц. В то же время поляризация вакуума определяется вещественной частью эффективного лагранжиана, которая становится конечной после проведения процедуры перенормировок.
Вакуумные средние таких операторов, как ТЭИ и ток во внешнем поле, вообще говоря, отличны от нуля. Оператор тока дираковских частиц можно определить как
(6.1) из(6.1) изJi4*' (х) = (1/2) [ф(х), ^ф (х)]_.
(6.1) из
(6.1) из
Его вакуумное среднее выражается через функцию Грина уравнения Дирака
<^V,) (*)>м = - i Spy^7'» (х, х') U„(6.2)
где матричный элемент <Л>М определен в (2.5) (для вычисления поляризации вакуума вид граничных условий, определяющих конкретный выбор функции Грина, несуществен).
Функцию С^Цх, х') целесообразно представить формально, как матричный элемент оператора б^/2), действующего в некотором абстрактном гильбертовом пространстве, элементами которого являются состояния, нумеруемые пространственно-временными координатами и спинорными индексами
G^*’ (*. х') = <х, г | G^*’ | х', г'>.(6.3)
Оператор б^/2) удовлетворяет уравнению
(у<П( —т)0<7,> = 1,(6.4)
где, как и в гл. 4, П<=р<—eAt.
Формальное решение (6.4) есть
6(7,) = ^Пу-m + iO = —1 f ds ехР <* ^nj— "О О- (6-5)
С помощью (2.8) вариацию добавки к действию W^w за счет вакуумного тока можно записать в виде
6V<V.) = б J № V^ L<‘/f-> (х) = — е J d«xV=g ЬА» (X) (/<*'•> (х)>м, (6.6) где с точностью до аддитивной постоянной [32]
ь»^(ж)= "2" ^"Техр (— im’^ Sp<* *ехр (i//s) 1 ^(6-7)
о
(Fik— тензор электромагнитного поля).
Очевидно, что построение ^еИ1* (х) сводится к нахождению функции преобразования
<х' | ехр (iHs) | х") = <х (sy | х (0)">.(6.8)
Здесь Н можно рассматривать как оператор сдвига по переменной s, причем имеет место «уравнение Шредингера»
i 4 <х (»)' I X (0)") = <х ($)' | Я I х (0)")(6.9)
OS
с начальным условием <х(0)'|х(0)">=б(х'—х"). Как показано в [144], в одно- частичной теории параметр s имеет смысл собственного времени частицы, что объясняет название рассматриваемого метода.
В случае однородного постоянного электромагнитного поля описанный выше метод дает [32]
№ (х) = f ^екрНтЧ-Ц^Вр/^а^) , (6.10) о
где сделана замена переменной интегрирования s на —is, a /(s) — величина, которую в матричном виде можно записать как
/($) = -£- Тг In [(eFs)”1 sin (eFs)].(6.11)
В равенстве (6.11) F обозначает матрицу F^, а Тг есть символ диагонального суммирования по тензорным индексам.
Вычисляя (6.11), получаем выражение
=■ <6J2>
о
где X=V2 (S + Я1/2, инварианты поля ^ и $ определены в (4.90).
Аддитивная постоянная в (6.12) выбрана так, что в отсутствие внешнего поля М^^ (х)=0.
Для слабого поля
№ (х)« - С — exp(-m»s)Г(6.13)
12 л v s
о
и отличается от лагранжиана свободного электромагнитного поля Lem =— ^/4л логарифмически расходящимся множителем. Поэтому полный лагранжиан целесообразно записать следующим образом:
L — Fem + L^^L — Fem + L^^оо
L — Fem + L^^
L — Fem + L^^
о
о
Х1(”Г ^ДМ 3-1-Т(и)’И-<6-Н)
L 1m сп (esA)3 J
Логарифмически расходящийся множитель в (6.14) можно устранить с помощью перенормировки поля и заряда:
Гк + i 9r = Z-1 (У + IS); eR = А;
(6.15)
Z--l+^exp(-^).
Переходя в систему отсчета, в которой Е||Н, запишем Lef?* в виде
№ = —^7 J -~- exp (— тЧ) ^(es)2 ЕН cth (esH) cth (esE) — 1 — о
НГ (№-£»)].(6.16)
Подынтегральное выражение в (6.16) имеет на вещественной оси полюсы в точках sn=jtnl\e\E, которые следует обходить сверху (т. е. полагая £=£+Ю). Вклад этих полюсов дает мнимую часть лагранжиана £ёй :
т г (1/,) е^ЕН1«• /Н \/лпт2 \
ImLeti ———- V—cthfnn —)ехр(—— ).(6-17)
8л2п \£ /\| е | £ /
П=1
связанную с рождением частиц. Легко проверить, что при Н^О выражение (6.17) совпадаете результатом (4.83), полученным .непосредственно из рассмотрения рождения частиц электрическим полем. При £^£сг удвоенный первый член суммы (6.17) совпадает с интенсивностью рождения пар (4.89).
Поляризация вакуума описывается вещественной частью лагранжиана (6.16). Ее можно вычислить аналитически в предельных случаях слабых и сверхкритических полей.
В слабых полях (£<^£сг, Н^Н^ вещественная часть (6.16) допускает разложение в асимптотический ряд по параметрам £/£ст, ///ЯСг; в первом приближении получается известная формула Гейзенберга—Эйлера:
Ке£Г/|*)= —^-[(E^-H^ + TtE, Н)’].(6.18)
В сверхкритических полях Я^>ЯСГ, £=0 (6.16) с логарифмической точностью дает [26, 126, 145}
Reti:''',-lb'№ln1^''(6J9)
а при £^>£сг, Н=0
<6-20>
Соответствующая добавка к плотности энергии поля с той же точностью равна
е = £ ^^^й^ _Re№ «±_£* in 1£LL.(6.21)
Таким образом, в сверхкритическом электрическом поле добавка к плотности энергии, связанная с поляризацией вакуума, отрицательна. Очевидно, полная плотность энергии е = ео+е, где е0=£2/8л— классическая максвелловская плотность энергии, обратится в нуль при [145]
Е = Ет = Еу ехр (Зл/е2).(6.22)
Аналогично при £=£ш обращается в нуль и эффективная диэлектрическая проницаемость вакуума. На этом основании в [146] сделан вывод о том, что £т является предельным значением напряженности электрического поля. Заметим, однако, что напряженность £т настолько велика (£т~ 10560£сг), что рассмотрение таких полей в рамках существующей теории заведомо лишено смысла (например, кулоновское поле имеет напряженность £т на расстояниях порядка IO-230 см от центра, тогда как уже на расстояниях порядка 10-33 см должны быть существенны квантовогравитационные эффекты).
Сравним вещественную и мнимую части L^f* в случае Я=0. В слабом поле согласно (6.17) Im Let?* экспоненциально мала по £/£сг, тогда как вещественная часть (6.18) имеет лишь степенную малость ReLe/f'* ^^(Я/Яс,)2. В сверхкритическое поле мнимая часть (6.17) имеет порядок ImZ^tP — Я2, a ReZ^t^—' ~ЕЧп (Е/ЕСТ). Таким образом, эффекты рождения частиц в сильном электрическом поле логарифмически малы по сравнению с поляризацией вакуума.
Приведем теперь ряд результатов, получающихся с помощью метода собственного времени для скалярного поля. Эффективный лагранжиан, аналогичный (6.12), есть
” Т7Т f V еХРт2$> [T^hT^n" “ 11 •(6 23)
еи 16л2 J s3L Imch(esX) J
О
После перенормировки, подобной (6.15), в системе отсчета, где Е||Н, его можно записать в виде
о
Xfzi^r^^-|+T(M)2(№-^^^^(6124)
Lsn (esn) sin (esc) оJ
Мнимая часть (6.24) выражается согласно
.,0, ^ЕН (—I)"”11/ nnm2 X
mL^- 16л2 2 л s^nnEfE) ехр( |е|Е/
Л=1
Очевидно, что при Я-И) (6.25) совпадает с (4.83), а удвоенное первое слагаемое (6.25) с (4.88).
Поляризация вакуума скалярного поля описывается вещественной частью (6.24). При £<£сг, Н<.НСТ получаем
г 7
ReL^=ТЙ5^LT(E2-№)2+(Е* Н)Т ^
В сверхкритических полях Н^Нст, £=0
<6Я>
а при £>£Сг, Я=0
Re L<&=- ^г ^1п1^ •(6128)
Следующие за (6.16), (6.24) нелинейные поправки к лагранжевой функции постоянного электромагнитного поля найдены в [147]. Эти поправки учитывают изменение внешним полем радиационного взаимодействия виртуальных электронов между собой и позволяют установить соответствие между поляризацией вакуума, создаваемой сильным полем, и фотонами с большими импульсами. Тем самым прослеживается связь квантовой электродинамики сильных полей и квантовой электродинамики на малых расстояниях [147] (см. также [289]).
В заключение данного параграфа отметим, что применение метода Фока—Швингера для поля плоской электромагнитной волны приводит к тому же выражению функции преобразования <x(s)'|x(0)">, что и для постоянного однородного поля. Поскольку, однако, в поле плоской волны инварианты $ = ^=0, то плоская волна не только не рождает пар, но и не поляризует вакуум квантованных полей.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА НЕСТАЦИОНАРНЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Альтернативным по отношению к методу Фока—Швингера является изучение вакуумных квантовых эффектов во внешнем поле на основе анализа непосредственно средних значений операторов ТЭИ и тока квантованных полей в состоянии |0щ>- Будучи формально эквивалентным построению функции преобразования и эффективного лагранжиана (см. следующий параграф), этот подход позволяет наглядно и единообразно описать эффекты поляризации вакуума и рождения пар на основе концепции квазичастиц, введенных в § 2.5 и в гл. 4. Кроме того, данный подход обладает тем преимуществом, что легко распространяется на случай гравитационных внешних полей, оказываясь весьма плодотворным при расчетах вакуумного ТЭИ в космологических моделях (см. ч. III).
Для устранения ведущей, вакуумной расходимости запишем рассматриваемые операторы в зависящей от времени нормальной форме (2.39), т. е. нормально упорядочим их по операторам рождения— уничтожения квазичастиц 6(±>(0- В пространственно од- 118
нородном нестационарном электрическом поле (4.5), которое мы будем рассматривать далее, отличны от нуля следующие матричные элементы:
e<s>(/) =<0,п | ^(Т'ЙО I 0ln>; Pp(0 = <OIn|^(4V)|Oin>; (6.29) ^ЧО=<о1п|м,(./П|о|п>, имеющие смысл соответственно вакуумных плотности энергии, компонент давления и тока вдоль третьей оси. Отметим, что (6.29) формально (в смысле дифференцирования под знаком расходящегося интеграла) удовлетворяют соотношению (1.7).
Подставляя в (6.29) конкретные выражения для ТЭИ и тока из гл. 1, можно с учетом явного вида найденных в гл. 4 коэффициентов преобразований Боголюбова выразить e<s>, p^s) и j^ через интегралы по импульсам от билинейных комбинаций решений осцилляторных уравнений g(p, t), f(p, /). Удобнее, однако, выражать их через три вещественные функции s, и, и, определяемые следующим образом:
s = sp (0 = | Рр (/) |2; и = ир (0 = ± 2 Re [ОрР, exp (— 210)]; (6.30) и = ир (0 = ^ 2 Im [осрРр ехр (— 2i0)]
[верхний и нижний знаки соответствуют скалярному и спинорному случаям, 0 определена в (4.22)].
С использованием равенств (4.48), (4.53) имеем для спиноров
5р(0 = (со + П3) | co + iflVco;
«»(0 = - 2 (т? 4- plf’ (| / |«- О)» | / |2)/(0;(6.31)
Mf) = -2(m» + p2iy,‘d(\f\»Vdt.
Аналогично, применяя (4.12), (4.16), получаем для скалярного поля:
Sp (/) = | tog + i g ^(Ato-to);
«,(0 = -(I gl2-®2 | g MM;(6.32)
Up(0=-(l/2)d(|g|W.
Благодаря начальным условиям, наложенным в гл. 4 на функции f, g, при t-*-—оо имеет место s, и, и->0. Используя уравнения для коэффициентов преобразования Боголюбова (4.22), (4.57), приходим с учетом (6.30) к следующей системе уравнений первого порядка:
s = щ<$) и/2; и = 2©и;
(6.33) и = ww (1 ± 2s)—2ши,
где обозначено
ww = to/m, и)0,,> = eEt(.m? + pW^/aP.(6.34)
Приведем теперь результаты вычисления вакуумных средних (6.29). Для спинорного поля, усредняя операторы (1.45), (1.46) и производя преобразования с использованием (4.44), (4.48), (4.50), получаем [47]:
е**7** =(1/2л3)У^р(о$;(6.35)
Р^*’ = Pf7*’ = Р^ = (1/4л3) f (Рр (р^/и) [s + Пди/2 (m2 + pi)*7*],
(6.36)
Рз‘м = (1/2л3) f (Рр (ni/w) [s — (m2 + Pi) м/2П31;
j*^ = (1/2л») J (Рр (П3/(о) [s — (m2 + p^ п/2П3].(6.37)
Такие же преобразования с ТЭИ (1.6) и током (1.5) скалярного поля (4.10), проведенные с учетом (4.12) и (4.13), дают [47]
е<0) = (1/4 л3) fcPpws;(6.38)
Р^ ■ Р^ = Р^ = (1 /8л3) J(Рр Vp\!(^ [s + (1/2 — ш2/3р!)и]; (6.39) Р^ = (1/4л3) J (Рр (Пз/и) [s + (1/2 — о2/6Пз)«];
J^0) = (1 /4л3) f (Рр (П» (s + и/2).(6.40)
Для конечных t асимптотика решений системы (6.33) при р = — |р|—>-оо есть sv(t) ~р-4, ир(/) ~р~3. Отсюда вытекает, что в момент / нормально упорядоченные вакуумные средние ТЭИ е<®>, Р^ логарифмически расходятся на верхнем пределе. При f-^-oo, однако, все слагаемые (6.36) — (6.40), содержащие и, обращаются в нуль, поскольку представляются интегралами по импульсам от быстро осциллирующих функций. Что касается величины sp = (оо) = п<®)(р), то для выключающихся при /->оо полей она спадает экспоненциально с ростом |р|. Поэтому интегралы (6.35) — (6.40) при /—>-оо, м=0 сходятся и имеют смысл плотности энергии, компонент давления и тока реальных частиц, рожденных внешним полем за все время его существования. В компактной форме ТЭИ и ток рожденных частиц записываются как
= 2*±± f <Рр PIEL nw (р); J^ = ^±1 f (Ррп($) (р). (6.41)
4л® J <о.|-4л® J <»+
Например, для импульсного электрического поля (4.69) точные значения предельных спектральных плотностей п<®>(р) даются формулами (4.74), (4.75) и, производя вычисления по (6.41) при ограничениях (4.76), к^т, получаем [47]:
e(s) = 2mnw; P^=№nw; Jw = ^Elm^ nw; (6.42) pW*^ = ^^ n(l,t}\ Р{з} = ЗР(х0),
где приближенные значения числа частиц в единице объема п<8) приведены в (4.77).
Вернемся теперь к случаю конечных / и применим для устранения расходимостей из (6.35) —(6.40) процедуру п-волновой регуляризации (2.17), где в качестве оператора А берутся 7\к и Д. Вначале отметим, что запись рассматриваемых операторов в зависящей от времени нормальной форме эквивалентна проведению первого вычитания данной процедуры [член с 6 = 0 в (2.17)].
Второе вычитание эквивалентно вычитанию из s, и в (6.35) — (6.40) первых членов их асимптотических разложений $2р , «2р — по обратным степеням со (обобщенных ВКБ-разложений). Для нахождения этих членов в системе уравнений (6.33) удобно произвести замену П->-пП, т-^-пт, при которой <о заменяется на пш, после чего искать решение (6.33) в виде асимптотических разложений
$,0=2 «"%.>«; M0 = 2«~2,“«.pW(6.43)
f=ln=l
МО =2 n'-2,o2l_I>p(0/=1
(соответственно нечетные и четные слагаемые обращаются в нуль при условии, что внешнее поле выключается при t-*—оо).
Подставляя (6.42) в (6.33), группируя члены при одинаковых степенях п-1 и полагая затем п=1, получаем
s2p(0 = “’<”2/16(o2; M2p(0 = (1/4) Dty^; D^o^d/dt (6.44)
(результаты для и не выписываем, так как они не входят в ТЭИ и ток).
Ниже нам понадобится также явный вид членов разложений (6.43) четвертого порядка:
(6.45)
После выполнения второго вычитания n-волновой процедуры, т. е. замены в интегралах (6.35) — (6.40)
$ -> s — «г, и-* и — и2,(6.46)
все величины e<s>, Ра1» Js1 становятся конечными. Легко убедиться, что это вычитание эквивалентно перенормировке заряда.
Действительно, с использованием (6.44) для вычитаемого из плотности энергии члена получаем
(6.47)
где /оо — логарифмически расходящийся интеграл. Соответствующий член в эффективном лагранжиане L^ = вг’Ч так что регуляризация с помощью (6.46) приводит к известной связи между затравочным и физическим зарядами [126], будучи, таким образом, эквивалентна перенормировке заряда.
В случае электромагнитного внешнего поля, рассматриваемого вне рамок теории возмущений, никаких других теоретико-полевых расходимостей не возникает, вследствие чего в п-волновой процедуре следует ограничиваться двумя вычитаниями ^=1 в (2.17)]. Величины (6.35) — (6.40), в которых произведена замена (6.46), будем обозначать теми же буквами.
Вычислим теперь вакуумные ТЭИ и ток квантованных полей в случае слабого и сильного электрического поля Е=Ег^Ц.
Если поле слабое при всех t и медленно меняющееся, т. е. выполняются условия £/£crCl, hQ=EIE<^m, то с точностью до членов порядка О[(£/£сг)4] включительно имеет место
°°2р4р»“**2р“4Р*°°2р4р»“**2р“4Р*(6.48)(6.48)
°°2р4р»“**2р“4Р*
°°2р4р»“**2р“4Р*
(6.48)
(6.48)
где правые части определены в (6.45) (подробное доказательство этого факта см. в [149]).
Подставляя (6.45) в (6.35) — (6.37), после весьма громоздких, но элементарных вычислений получаем для спинорного ТЭИ [149, 150]:
е(*/.) = —^—Г^_ + (Ё8_2££)1;
120лата L т8 4
Р^ =£Г^.L (£2 4 3££)1 ;(6.49)
х120я’т’ L Зт»2 V Т 'J ’'’
= —е1Г— 2^1 4- (3£» 4. 4££)1
120лата L т2 * '
и тока
= —2— [ 2^!£Е 1 •(6.50)
60я«т» 1 rn*1V 7
Совершенно аналогично для скалярного случая
е(0) = g8[! 2 П?•
1920л’т’ L т1J
^'-wi Х£‘+т(19р+22££)]’
J ~ 480я»т» [ т* ^^ ] *(6'52^
Выражения (6.49) — (6.52) имеют чисто локальный характер и описывают поляризацию вакуума. Вклад рождения частиц при £/£сгС1, ко^т экспоненциально мал и не может быть учтен с помощью ВКБ-разложений типа (6.43) ни в каком порядке. Статический предел (£=0) (6.49) — (6.52) соответствует результатам Гейзенберга—Эйлера (6.18), (6.26) [с учетом Я=0 и формулы (6.21), связывающей плотность энергии с эффективным лагранжианом].
Нетрудно проверить, что выполняется соотношение
е^ = eEJw\ (6.53) которое является выражением закона сохранения (1.7).
Из (6.49), (6.51) видно, что отношение слагаемых, связанных с переменностью поля, к гейзенберг-эйлеровским по порядку величины, есть
m'EM^E*- ~ ^EJEf Ц^т?.(6.54)
В то же время поправки к (6.49), (6.51) имеют порядок OR^o/m)2]- Таким образом, переменностью поля можно пренебречь лишь при
к0<т(Е/Есг'). (6.55)
Это условие значительно жестче обычно приводимого из размерных соображений ко<Ст [26]. В оптическом диапазоне частот (&о//п~ 10-6) зависящая от производных часть (6.49), (6.51) превосходит статическую часть в полях £<10-6£сг~ 1010 В/см. Рассматривая поляризацию вакуума, поле при этом можно по-прежнему считать однородным, так как длина волны Х^т-1. Заметим, что в задаче о рождении пар условие, при котором можно пренебречь переменностью поля, имеет вид ho^m^EjE^yp1 [103, 121].
Перейдем теперь к случаю сверхкритических нестационарных полей. Полагая А2 (0=0 в данный момент I» разобьем импульсное пространство на две области, разделяемые границей р=ат^Е1ЕСтУР1 где а>\—некоторая константа. Вклад в компоненты ТЭИ от внутренней области есть О[(£/£сг)2], поскольку, например, ($=1/2)
(6.56)(6.56)j d^pais < J cod3 p ~ J p d?p = const £a,
(6.56)
(6.56)
где интегрирование ведется по р<ат\Е1ЕстУ1г. В области р>ат^Е]ЕйтУР вместо (6.33) удобнее использовать систему (4.57), решение которой будем искать асимптотическим интегрированием по частям. Остаточный член оценим, сравнивая соседние члены разложения. Для Р*(р, 0 получаем [149]
„f стом
Р2 J <о»£сг
exp (i0) =
Em? (ma +р2 )1у<1
4ш3£Сг
1+01-7 \ та
1аа
(6.57)
Тогда в этой области
т. е. (6.58) совпадает с s2p(0 из (6.44), подлежащей вычитанию при перенормировке заряда [см. (6.46)]. Поэтому вклад в ТЭИ дает только область р<ат(Е1Ест)Ч2- Ведущий вклад порядка О((£/£Сг)21п(£/£Сг)] вносит именно Sap> поэтому с логарифмической точностью, интегрируя (6.44) согласно (6.36), имеем
(6.59)
В О (Е2!Е^) основной вклад дает sp(0.
Плотность энергии (6.59) совпадает с результатом Гейзенберга—Эйлера (6.21), который, таким образом, обобщается на переменные во времени поля. Давления р^^ и р^^ в том же приближении суть
pW-> = - (7т«/768л«) (Е/ЕСТУ 1п (Е1Е„Р;
(6.60)
Р^*> = - (т«/384л«) ^E(E„p 1п (Е/Ес,^.
Локальность во времени s2P и равенство нулю тока (в логарифмическом приближении) позволяют заключить, что все полученные результаты описывают только поляризацию вакуума. Плотность же энергии и давление рожденных частиц имеют порядок О (Е21Е^ и определяются вкладом существенно нелокальной величины sP(0 в области импульсов р^т^Е1ЕСтУ12.
Отметим, что при £/£сг>1 справедливость выражения Гейзенберга—Эйлера для добавки к лагранжиану сохраняется при обычном требовании к»<.т [см. (6.57)]. В то же время условие однородности поля становится менее жестким (допуская рост производных ~£2/£2^ [151]), что сильно расширяет область применимости изложенных результатов.
Для скалярного поля в нестационарном сверхкритическом электрическом поле, подобно (6.59), (6.60), получаем
е<°> = pW = _ р^О) = _ (т«/|92я1) (£/Ecr)« In ^ElEct)1. (6.61)
В общем случае сосуществующих переменных электрического и магнитного полей для применения метода n-волновой регуляризации необходимо разделить переменные в уравнениях Клейна—Фока и Дирака. Ограничиваясь рассмотрением постоянного магнитного поля, направленного параллельно слабому нестационарному электрическому полю (£<с£ег), находим с учетом (4.86), (4.87) добавочную к (6.49) плотность энергии, возникающую за счет магнитного поля [149]:
ОО
е^ = 1^7 Е'Н' „п(^I11 + 4/1 ^WH"1(6.62)
oivm J ехр (2л<) — 1
[для суммирования по дискретным значениям р применена формула Абеля— Плана (3.9)].
В предельных случаях имеем отсюда
,./., = (e<E»HWm<. Н< тЧе;
[е*Е* | Я |/24л*т’, Н>т?]е.'
Неаналитический характер последней зависимости связан с невозможностью разложения подынтегрального выражения в (6.62) в ряд по степеням е?НЧтч при Н^тг/е. Первая формула из (6.63), как легко убедиться с учетом стандартной связи между Re Lett и ТЭИ [32], может быть получена из результата (6.18), установленного выше для постоянного электромагнитного поля.
В заключение данного параграфа обсудим физический смысл введенных в гл. 2, 4 квазичастиц при включенном внешнем поле. Как уже отмечалось выше, спектральная плотность числа скалярных и спинорных квазичастиц sp (() при включенном поле убывает как р~* при р-*со. Таким образом, в любой момент в единице объема пространства имеется конечное число квазичастиц п^^, определяемое формулами (4.27), (4.61). В [152] п<а>(/) была рассчитана в поле (4.69) для конечных t, причем оказалось, что она содержит слагаемые, равные вкладу реальных рожденных частиц (4.77) либо (4.78) (в зависимости от соотношения между ко и т), а также поляризационные и интерференционные члены, обращающиеся в нуль при £-*-0.
Аналогичная ситуация имеет место для вакуумного ТЭИ и тока квантованного поля в нестационарном электрическом поле. При вычислениях для поля (4.69) по (6.35) — (6.40) с учетом (6.46) получаются слагаемые, равные ТЭИ и току реальных рожденных частиц (6.41), члены, описывающие поляризацию вакуума и совпадающие при Е<^ЕМ, kodm с (6.49) — (6.52), а также обращающиеся при /—>-оо в нуль слагаемые, описывающие интерференцию между эффектами поляризации вакуума и рождения частиц [153]. Таким образом, в присутствии внешнего поля характеристики квазичастиц в большей или меньшей степени (в зависимости от напряженности и частоты поля) искажены поляризационными вкладами, а сами квазичастицы в определенном смысле подобны виртуальным квантам. Эти соображения подтверждаются при анализе корреляционных функций пар квазичастиц, позволяющих дать пространственно-временную картину их рождения [154]. Данный вопрос, более важный для не выключающихся ни при каких временах гравитационных полей, будет детально рассмотрен в гл. 9.
Еще более радикально отличаются от реальных частиц поперечные векторные квазичастицы. Действительно, если ввести для векторного поля по формулам (6.30) величины s, и, о [знаки-верхние, а^ , р^ удовлетворяют (4.166)], то для них получается следующая система уравнений, обобщающая (6.33):
= о>^°>их/2 - Кхгох; йх - ш<°> (1 + 2^) - 2 (<о + Kxq) »х;(6.64)
»х = — ^Kxr (1 + 2^) + 2 (со + Kxq^ их.
Если искать решение (6.64) в виде асимптотического разложения (6.43), то для первого отличного от нуля слагаемого s ^ (порядка со-2) имеем [120]:
s^ 2р = ш<°>2/16(0*+ K^rW.(6.65)
Отсюда видно, что при Х=0 (Кз=0) s>^p~4 при р->оо, а при Х= 1,2 s^ ~р~г при р-^оо, так что соответствующий вклад в «(’ЦО согласно (4.172) обращается в бесконечность. Бесконечным оказывается и вакуумный ТЭИ векторного поля с g=l после проведения нормального упорядочения и перенормировки заряда, что является следствием неперенормируемости формализма Прока.
Конечные значения поляризации вакуума массивного векторного поля электромагнитным полем получаются лишь в перенормируемом формализме, отвечающем значению гиромагнитного отношения g=2. В случае постоянного электромагнитного поля аналогичное (6.16), (6.24) выражение Lett найдено в [13, 105, 155].
ЭФФЕКТИВНЫЙ ЛАГРАНЖИАН НЕСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Изложенные в предыдущем параграфе результаты для поляризации вакуума квантованных полей нестационарным электрическим полем можно интерпретировать как описание вклада элект- рон-позитронного вакуума в ТЭИ классического электромагнитного поля. Здесь будут приведены соответствующие формулы для эффективного лагранжиана, полученные, как и ТЭИ, методом п-вол- новой регуляризации. Этот эффективный лагранжиан, в отличие от получаемого по методу Швингера (см. § 6.1), является вещественным и содержит как локальные поляризационные члены, так и вклад рождающихся частиц.
Начнем со случая скалярного поля, функцию Грина которого возьмем в виде
Gw (х. хЭ = i <0to | Т {Ф (х) Ф* (х')} | 0to>.(6.66)
Эффективный лагранжиан определим формулой (2.12). Рассматривая однородное электрическое поле (4.5) и подставляя (4.10) в (6.66) при х=х\ получаем
G(0) (х, х) = (1/16л3) J ^р/т^ | g (р. 0 |».(6.67)
В терминах определенных в (6.30) величин s, и имеем
Gw (х, х) = (1/8л3) j ((Рр^) [1/2 + s +U/2J.(6.68)
Регуляризация данного выражения с помощью л-волновой процедуры сводится к отбрасыванию слагаемого 1/2 в квадратных скобках (что эквивалентно записи оператора фф* в зависящей от времени нормальной форме) и вычитанию из s, и первых слагаемых их асимптотических разложений (6.43) (перенормировка заряда). В результате перенормированная функция (6.8) есть
G(0) (х. х) = (1/8л3) J(d»p/w) [$—$,+ ( 1/2) (и—и^],(6.69)
а соответствующий ей эффективный лагранжиан [156]
L$ = -(1/4л8){ dm/n^p/co) [s—% + (l/2)(u -u,)]. (6.70) Отметим, что (6.70) учитывает сумму всех порядков теории возмущений в однопетлевом приближении.
При выполнении условий £<;£сг, /^<^т, как и в предыдущем параграфе, можно воспользоваться приближенными соотношениями (6.48), в результате чего после интегрирования с учетом (6.45) получим
L$ = —£(3£2 + 4££)(6.71)
*5760л»т«960л»т» V'’
Рассмотрим теперь случай спинорного поля, для которого
С07'’ (х, х) = lim i <0ln I T (ф (х)ф (х')} | 01п>.(6.72)
х'-*х
С учетом (4.42), (4.44) после преобразований найдем
Sp G07’» (х, х) = (i m/л») Jd»p [Im (#*) -f- IP | f |2].(6.73)
Переписывая это выражение в терминах s и и из (6.30), имеем Sp G(,/,) (х, х) = (i m/4л») J (d8p/co) [ 1 — 2s + П»и/(т« + pl)*7']. (6.74) Устраняя отсюда энергию нулевых колебаний мгновенного вакуума и совершая перенормировку заряда, получаем след перенормированной функции (6.72):
Sp G(Vl) = (i т/2л») J (d»p/®) [- (S—sj + П» («—^/2 (m2 + pl)*7'],
(6.75)
который позволяет восстановить по (2.13) эффективный лагранжиан
Left*’ = — (1/2 л3) j dmm / (d»p/<o) [s — s,—П8 (и — u^!2 (m1 + pl)*7*],
(6.76)
учитывающий, как и (6.70), сумму всех порядков однопетлевого приближения [156].
В случае слабого, медленно меняющегося поля использование (6.45), (6.48) дает
, (1/,) _^Е*еИ 360л*т«, (1/,) _^Е*еИ 360л*т«240лата240лата(£2 + 3££).(£2 + 3££).(6.77)(6.77)
, (1/,) _^Е*
еИ 360л*т«
, (1/,) _^Е*
еИ 360л*т«
240лата
240лата
(£2 + 3££).
(£2 + 3££).
(6.77)
(6.77)
Отметим, что фактически (6.71), (6.77) описывают лишь поляризацию вакуума в первых неисчезающих порядках. Рождение частиц для слабых, медленно меняющихся полей экспоненциально мало и не может быть учтено с помощью разложений типа (6.43). Первые слагаемые в (6.71), (6.77) есть гейзенберг-эйлеровские члены (6.18), (6.26) (взятые при Я=0), остальные учитывают зависимость электрического поля от времени.
Покажем, что слагаемые с производными из (6.71), (6.77) соответствуют зависящим от производных членам вакуумного ТЭИ (6.49), (6.51), полученным независимо в предыдущем параграфе. Лангранжианы (6.71), (6.77) в калибровке (4.1) имеют вид
L = аЛ4 + рЛа + уЛ Л *, (6.78) где каноническая переменная Л=еЛ3(0 пропорциональна третьей компоненте вектор-потенциала электромагнитного поля. Поскольку (6.78) содержит производные Л(/) выше первого порядка, обычный канонический формализм неприменим и следует воспользоваться формализмом Дирака для систем со связями [157].
Вводя дополнительные канонические переменные равенствами В=Л, С=В и рассматривая их как связи, перепишем (6.78) следующим образом:
L = аЛ4 + рВа + уЛС + X (А-В) + Л (В— С),(6.79)
где X, Л — множители Лагранжа.
Записывая каноническую плотность внергии
е = рдА + рвВ + рсР — L,(6.80)
где Ра, Рв, Рс — канонические импульсы, выражая через них производные канонических переменных и исключая нефизические переменные, получаем
е = ЗаЛ* + (Р — у) Л2 + 2 (у — р) Л Л \(6.81)
Для спина s=l/2 согласно (6.77):
а = 1/360лат4; Р = — 1/240лата; у = — 1/80лата(6.82)
и формула (6.81) дает результат, совпадающий с (6.49). Совершенно аналогично для s = 0 (6.71) следует
а = 7/5760лат4; Р = — 1/320лата; у = — 1/240лата(6.83)
и по (6.81) сразу же приходим к (6.51).
В целях обобщения результатов (6.71), (6.77) рассмотрим произвольное электромагнитное поле, которое в некоторой системе отсчета медленно меняется в пространстве и во времени на комптоновском масштабе
| Е(х) | , | Н(х) | <тЧе; кй<т, | к | <т,(6.84)
где к — волновой вектор.
Записывая (6.71), (6.77) в единой форме за счет добавления слагаемых, пропорциональных полной производной d(E2)]dt-.
ЭД = D‘^^G‘^^-2ЕЁ^*<685)
тит* тит1
где Di/2 = Gi/2= 1/360; Do = 7/576O; Go= 1/2880, мы затем на основе
128
требования релятивистской инвариантности обобщим это выражение следующим образом [156]:
08 = D- ^[T(f"F")! + Л- <?"f«)!l +L 4 lo J
+ G. -4- [- (d^) (dftFw) + Ftl □ ^J, (6.86)
где F^= (112)&мРм дуален к F^, е^м—полностью антисимметричный единичный 4-тензор. При этом значение коэффициента 0S определяется из сравнения с результатами Гейзенберга—Эйлера: 61/2 = 7, 00=4/7.
Представляет интерес рассмотрение решений уравнений электромагнитного поля, получаемых из действия, содержащего, кроме максвелловской части, эффективный лагранжиан (6.86).
В заключение отметим, что в рамках теории возмущений гей- зенберг-эйлеровский вклад в поляризацию вакуума слабым, медленно меняющимся полем [член с Ds в (6.86)] получается при вычислении полного набора вакуумных диаграмм с четырьмя вершинами [26]. Дополнительный же член в (6.86), содержащий коэффициент Gs, равняется вкладу вакуумной диаграммы с двумя вершинами и обращается в нуль для постоянного однородного поля.
Если учитывать в точных формулах (6.70), (6.76) более высокие порядки разложений (6.43), то можно получить в ТДи зависящие от производных поля слагаемые порядка е4, а также члены ~е2п с п>3, соответствующие вкладу вакуумных петель с любым четным числом вершин. При сделанных предположениях, однако, все эти члены пренебрежимо малы.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННОГО ВАКУУМА КУЛОНОВСКИМ ПОЛЕМ
Поляризация вакуума кулоновским полем описывается значительно более сложной добавкой к максвелловскому лагранжиану, чем в случае однородного поля. При этом, помимо постоянной тонкой структуры а, силу взаимодействия определяет также второй параметр Za, который для тяжелых ядер на два порядка превосходит а. Для сверхкритических ядер (Z>172) этот параметр больше единицы.
Первые вычисления поляризации вакуума кулоновским полем производились по теории возмущений. Поляризация вакуума проявляет себя как изменение кулоновского потенциала на малых расстояниях от ядра. Для точечного ядра в первом порядке теории возмущений по Za поляризационная добавка к потенциалу ядра есть известный потенциал Юлинга [126]
д vuh W = — -^7 ( ^ ехр (— 2рг) (1 + -^ ) ft-1 (fi1 — т1) Л . (6.87) т
Учет конечности размеров ядра модифицирует (6.87) следующим образом [123]:
A^uh ИA^uh И2а»Зл2а»Зл
A^uh И
A^uh И
2а»
Зл
2а»
Зл
(6Ю>
где р(г) —функция распределения заряда в ядре, нормируемая условием Jp(r)d»r=Z.
Потенциал Юлинга экспоненциально убывает при г>т~1. Поэтому в областях, превосходящих размерами комптоновскую длину, его влияние мало (например, его вклад в лэмбовский сдвиг для атома водорода составляет около 3%). Даже вблизи ядра, где потенциал Юлинга приближенно равен
^Uh«^Uh«22а1 .1—In »Злг mr22а1 .1—In »Злг mr(6.89)(6.89)
^Uh«
^Uh«
22а1 .1
—In »
Злг mr
22а1 .1
—In »
Злг mr
(6.89)
(6.89)
его вклад в суммарный потенциал невелик. Так, например, для состояния 1 $и2 фермия (2=100) потенциал Юлинга дает вклад АЕ(1)=—155 эВ в полную энергию связи — 142 кэВ. Для 2=2СГ его вклад составляет А£(1)=—12 кэВ [123]. Ясно, однако, что при больших 2 теория возмущений, которая привела к потенциалу Юлинга, становится непригодной.
В [158] (см. также [159]) был развит метод, позволяющий вычислять вакуумную поляризацию во всех порядках по a(2a)n, основанный на использовании точного электронного пропагатора во внешнем поле. Плотность заряда, характеризующая поляризацию вакуума, есть
рк = е<0| /<*/.> | 0>,(6.90)
где нулевая компонента вакуумного тока дается (6.2). Функцию Грина для постоянного поля можно представить в виде контурного интеграла
iG(1/1> (х, х') То = •“— ^dzexp [— i (/ — Г) z] G (x, x'; z) (6.91) C
и переписать (6.90) как ie Г .~, I
pv = — dzSp G (x. x ; r) .(6.92)
C
Функция G определена в плоскости комплексного переменного z с разрезами вдоль вещественной оси при z<—пц z>m и имеет простые полюсы на участке —т<г<т, соответствующие связанным состояниям электрона в атоме. Контур С в (6.91), (6.92) проходит вдоль нижнего берега разреза z<—m, обходит полюсы, соответствующие занятым состояниям, снизу, а незанятым сверху, после чего идет вдоль верхнего берега разреза z>m. При 2->2сг полюс, соответствующий состоянию 1 Sxk, приближается к точке ветвления z=—т и при 2>2СГ уходит с физического листа римановой поверхности функции G через разрез, так что указанное выше правило обхода полюсов нарушается. Выход из этой ситуации дается введением представления о заряженном вакууме (см. гл. 5).
Для вычисления следа в (6.92) в [159] используется разложение по сферическим волнам
SpG(x, x';z)|= V|x|SpGx(r, г'; z)|,(6.93)
X
где x=±(/+l/2).
следующееследующее(6.94)(6.94)Обозначая Gx в отсутствие внешнего поля G^°\ получаем разложение в ряд:
следующее
следующее
(6.94)
(6.94)
Ок - 2 (2«)" 0^ = 2 (Za)"QW (VoG^)" пп
И
Sp G^ (г, г') = ( П [dr^Ho(rf)]Sp [О2(г, rj. . .G^Vn. И], (6.95) 1=1
где Vo — вершинная функция.
Интеграл (6.92) вычисляется с помощью поворота контура С на угол л/2. Вклад л-го порядка для моды х в вакуумную плотность заряда есть [159]
P^l W = -^V"^)" J ^ Sp^ (г, г', n) I •(6.96)
—co
Для четных n в силу теоремы Фарри р^ ^ = 0.
Для вычисления интегралов (6.96) необходимо проводить процедуру регуляризации. В [123] приведены результаты вычисления сдвига энергии за счет высших порядков в вакуумной поляризации (отметим, что эти поправки, в отличие от потенциала Юлинга, ведут к отталкиванию). Для критического заряда при радиусе ядра /?=10 ф вклад поправки р{^ (г) в энергию связи уровня 1 Si/2 есть Д£<3)* 0,570 кэВ, а сумма вкладов р^ (г) для п>3 АЕ<П> $>* 1,150 кэВ. Это показывает, что поправки высших порядков к потенциалу Юлинга не меняют качественной картины.
Для квазиядра U-VU подобные расчеты были проделаны в [160] другим методом. При R=Rcr полный сдвиг энергии за счет поляризации вакуума составляет А£*—3,98 кэВ, из которого &Е^«—4,62 кэВ приходится на потенциал Юлинга и ^Е\п>3^ *609 эВ для |х| = 1, А£^л>3) =34 эВ для |х|=2 приходится на поправки за счет высших порядков по Za.
Учет собственной энергии электрона во внешнем поле также приводит к появлению соответствующих поправок к энергии связи.
Согласно [161], для неточечного ядра с критическим зарядом эти поправки приближенно компенсируют сдвиг энергии за счет поляризации вакуума.
Таким образом, при переходе через ZCT поправки, связанные с поляризацией вакуума, остаются не только конечными, но и малыми по сравнению с энергией связи электрона. Это означает, что учет поляризации вакуума не меняет существенно результатов, относящихся к рождению позитронов кулоновским полем.
Глава 7
ЭФФЕКТ ПЕРЕСТРОЙКИ ВАКУУМА ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
БОЗОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Под влиянием сильного внешнего поля может происходить изменение симметрии вакуумного состояния, называемое его перестройкой (см. § 2.3). Один пример такого рода уже рассматривался в гл. 5 в связи с рождением фермионов — образование заряженного вакуума при переходе заряда ядра Ze через критическое значение. В этом случае с ростом внешнего поля вакуум теряет свою первоначальную симметрию относительно операции зарядового сопряжения. Имеются и противоположные примеры, когда достаточно сильные внешние поля восстанавливают первоначально нарушенную симметрию вакуумного состояния. В данной главе будут рассмотрены ситуации обоих типов, причем сначала обсуждается неустойчивость вакуума скалярного поля в неоднородном постоянном поле.
В отличие от фермионов, в одном и том же состоянии может находиться любое число бозе-частиц, образуя так называемый конденсат. Как показано в [162], при адиабатическом усилении статического внешнего поля рождения пар свободных бозонов не происходит: для скалярного поля с самодействием вида Х(ф*ф)2 энергетически более выгодным становится образование конденсата. При этом, если в качестве внешнего поля фигурирует сильное кулоновское поле, классическое мезонное поле конденсата экранирует ядро. Возможность существования л-мезонного конденсата имеет большое значение для теории ядерной материи, где сильное внешнее поле может возникать как эффективное поле нуклонов. Подобное явление представляет интерес, в частности, для физики нейтронных звезд.
Рассмотрим сперва одночастичную задачу для уравнения Клейна—Фока во внешнем поле без учета самодействия. В случае статического внешнего поля, описываемого скалярным потенциалом U, от (1.39) можно перейти к уравнению для стационарных состояний
Е^е = [- А + (т2 + (/)] ф£. (7.1)
Пока потенциальная яма U=—'of(х)<0 не слишком глубока, уравнение (7.1) имеет полную си <ему решений, соответствующих непрерывному спектру |£|>т. По мере ее углубления из верхнего и нижнего континуумов выходят симметрично расположенные дискретные уровни соответственно частиц и античастиц. Общая схема зависимости энергии уровней от глубины ямы и0 изображена на рис. 7.1.
При достижении v0 некоторого значения исг уровни частицы и античастицы сталкиваются при £=0. По мере дальнейшего углубления ямы энергия этих уровней становится чисто мнимой.
V У У*V У У*-т-тРис. 7.1. Уровни энергии скалярной частицы в зависимости от глубины потенциальной ямыРис. 7.1. Уровни энергии скалярной частицы в зависимости от глубины потенциальной ямы
V У У*
V У У*
-т
-т
Рис. 7.1. Уровни энергии скалярной частицы в зависимости от глубины потенциальной ямы
Рис. 7.1. Уровни энергии скалярной частицы в зависимости от глубины потенциальной ямы
Аналогичная ситуация имеет место и при векторной связи [см. уравнение (1.3)].
Однако график зависимости Е от ц0 оказывается в этом случае несимметричным [163], и при и>исг энергия имеет ненулевые вещественную и мнимую части.
Как показано в [164], при v0>vCr для короткодействующего потенциала как при скалярной, так и
при векторной связи норма основного состояния обращается в нуль, т. е. состояние становится духовым. Схемы квантования в подобных случаях рассматривались в [124].
Для кулоновского поля по мере увеличения заряда ядра возникает дискретный уровень только с положительной энергией, который при некотором Z=Z„ достигает границы нижнего континуума. В модели протяженного ядра с радиусом 14,6 ф критический заряд в случае пионного поля есть Zcr«2000 [124]. Мы не приводим здесь более подробного рассмотрения этих вопросов, так как все известные бозоны являются адронами и для последовательного описания их поведения в околокритических полях необходимо учитывать эффекты сильных взаимодействий.
В рамках вторично квантованной теории с учетом самодейст- вия и взаимодействий заряженных частиц между собой поведение бозонов в сильных полях рассмотрено в [151, 162]. Самодействие бозонов можно учесть введением в лагранжиан (1.38) члена —Х(ф*ф)2/6. Тогда уравнение (1.39) перейдет в
д^Ф + (m2 + U) ф + Хф*ф’/3 = 0.(7.2)
Потенциал возьмем в виде прямоугольной ямы
[/w = (-W 0<r<r0;
I 0, г > г0.
Если глубина ямы и0>т, то в области О^г^го уравнение (7.2) имеет нетривиальное решение
Ф = \Зт^ — тЖ^(7.3)
неаналитическое по константе X. По аналогии с теорией сверхтекучести можно сказать, что решение (7.3) соответствует наличию вакуумного бозе-конденсата.
Таким образом, статическое внешнее поле достаточной интенсивности приводит к нарушению калибровочной симметрии основного состояния, определяемого как состояние с наименьшей энергией. Согласно [162], экранирующее поле, которое при этом возникает, изменяет спектр состояний скалярной частицы во внешнем поле. Оценки показывают, что в случае узкой ямы экранирующее поле имеет протяженность много больше радиуса ямы и не допус-
кает столкновения уровней частицы и античастицы. Поэтому ни рождения пар, ни появления духовых состояний не происходит, т. е. вакуум устойчив.
Для статического электрического поля 4<=(4о, 0, 0, 0,) уравнение (1.3) с учетом самодействия принимает вид
[(д/д/ + 1 еА0У — А + т1] <р + (Х/3) <pV = 0. (7.4)
Можно показать, что и здесь не происходит столкновения уровней частиц и античастиц [162].
Устойчивость вакуума может быть обеспечена не только за счет самодействия, но и за счет кулоновского взаимодействия скалярных частиц [162] (подробное изложение см. в [124]). Однако эта возможность менее интересна, так как мезоны являются адронами и константа самодействия Х^е2.
В связи с тем, что для бозонов Zcr^lO3, явление пионной конденсации во внешнем электромагнитном поле представляет лишь академический интерес. В то же время пионная конденсация может играть важную роль в теории ядерной материи. Действительно, эффективное поле сильных взаимодействий нуклонов в ядерном веществе может оказаться достаточно сильным, чтобы произошла указанная выше перестройка вакуумного состояния пионного поля. Есть основания полагать, что при достаточно больших плотностях и малых температурах ядер- ного вещества эффекты конденсации должны иметь место. Что касается количественной оценки порога пионной конденсации, то по этому поводу в литературе нет полного согласия. Для ядерного вещества, состоящего из нейтронов, пороговая плотность, по-видимому, не превосходит 0,35 ф-2, что вдвое больше плотности нуклонов в обычных ядрах.
Эффекты пионной конденсации должны быть существенными в физике нейтронных звезд. В частности, они могут понизить критическую массу нейтронной звезды по отношению к гравитационному коллапсу.
В связи с тем, что затронутые в данном параграфе вопросы хорошо освещены в литературе (см. монографию [151]), мы не рассматриваем их здесь более подробно.
ОБРАЗОВАНИЕ КОНДЕНСАТА В СТАТИЧЕСКОМ СОСРЕДОТОЧЕННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Здесь изучается перестройка вакуума вещественного скалярного поля ф в предельно неоднородном внешнем поле, задаваемом потенциалом типа б-функции [81]. Фактически будет исследоваться область пространства, где потенциал равен нулю, что позволит обойтись без локальных перенормировок заряда или внешнего поля. Интерес к данной задаче связан, в частности, с тем, что с помощью б-потенциалов можно моделировать условия непроницаемости на поверхности кваркового мешка.
Поле ф предполагается удовлетворяющим уравнению (1.39), а его ТЭИ дается выражением
Т^ = (1/2) (д/фд;ф 4- дуфд;ф) - guLW. (7.5)
где L^ получается из (1.38) заменой ф*->ф/2 и для простоты рассматривается случай двухмерного пространства-времени, когда канонической ТЭИ совпадает с метрическим.
Пусть внешнее поле задается сосредоточенным в точке х=0 статическим потенциалом
(/(х) = 2ц6 (х),(7.6)
где ц— постоянная размерности массы, множитель 2 введен для удобства. Данное поле является предельным случаем узкого потенциального барьера (при ц>0) или ямы (ц<0). Граничные условия на решения уравнения (1.39), соответствующие потенциалу (7.6), — это непрерывность ф и скачок 2ц логарифмической производной ф при х=0. Полная система таких решений при ц>0 имеет вид
Ф^) (х, О = (гжо)-1/» exp(± i tot) sinpx;
Ф^Цх, t) = (2лй>)-'1/,ехр(+ icoO cos(p | x | 4-6);(7.7)
0<p<oo; to? = pl-V m? ; tg6 = —ц/р.
Моды фр^вф^ «не чувствуют» сосредоточенного в точке х = 0 потенциала и не вносят вклад в вакуумные квантовые эффекты. Моды ф^> переходят в соответствующие решения для свободного поля при ц->0:
Ф^ = (2жо)“1/1 exp (± i tot) cospx.(7.8)
При ц<0 к (7.7) добавляются дискретные моды:
Ф^ (х, t) = ( | ц |/2£)‘/. exp(± i Et — | цх | ); Е = (^ — ц2)‘/«, (7.9) соответствующие связанным состояниям частицы и античастицы с энергией Е. Очевидно, что при ц =—т энергия обращается в нуль, а при ц>т становится чисто мнимой (см. общее обсуждение в предыдущем параграфе). Поэтому пока ограничимся рассмотрением случая ц>—т.
В области вне точки х=0, где внешнее поле равняется нулю, перенормированные вакуумные средние ТЭИ могут быть получены по методике, рассмотренной в гл. 3 [ср. формулу (3.4)]:
<т^> = 2 ^ (ф^. Ф^) -Т„ 1^. %+>} 1,(7.10)
а
где сумма по а включает интегрирование по непрерывному спектру и суммирование по дискретному. Для плотности энергии результат запишем в виде
e = <T^> = ee + ed.(7.11)
где вклад от континуума мод (7.7) есть
+ Jд_\”с dp«»2px7
2л V 2ц d]x| /J (о^ + ца) w v '
а вклад от дискретной моды (7.9), возникающей при ц<0,
ed = | X | в(—p)(m2/2£)exp(—2 | рх | ).(7.13)
Остальные компоненты ТЭИ равны нулю вследствие статичности потенциала и условия консервативности.
Полная вакуумная энергия вычисляется точно:
F№) = в(£ — 0Arch6 । 00 —Е)агссо$Е/у 14\
^'(?-!)*/.(1-Е»)*/*’V ' ’
где обозначено ^=у,1т. При изменении знака ц как плотность энергии, так и 6 меняют знак. Очевидно, что для безмассового поля <Т^> = 0.
В сильном поле |»1 плотность энергии имеет при |х|<1/2р характерный [ср. с (6.61)] логарифмический вид
е = — (т2/2п) In (2p/m),(7.15)
а при |х| >1/2 убывает. В безмассовом пределе <Т$} = 0.
Аналогичные результаты для вакуумных средних ТЭИ могут быть получены и в трехмерном пространстве [81].
Перейдем теперь к рассмотрению ситуации, возникающей при р,^—т. По мере приближения р к —m значение Е из (7.9) стремится к нулю, так что дискретная мода дает неограниченно растущий вклад (7.13) в плотность энергии е. Для континуума же, напротив, точка р = —т не является особой, поскольку, как следует из (7.12),
е, Iи—т = -~Р (*i(p) + Ко(Р)Ь(7.16)
где p = 2m|x|; Kv(p) —функции Макдональда.
Обращение энергии моды (7.9) в нуль означает неустойчивость вакуума относительно рождения пар, которое, как и в § 7.1, должно быть ограничено введением межчастичного взаимодействия. При р,^—т (7.13) теряет смысл и необходимо учесть возникновение конденсата, профиль которого при выполнении условия |ц|—т<т аналогичен профилю дискретной моды:
Ф (х) = qW (х); У (х) = Ут/2 ехр (— т | х | ),(7.17)
где введены нормированная плотность V и подлежащая определению амплитуда q.
Добавляя к лагранжиану (1.38) самодействие —Хф4/4, получаем энергию поля:
Н№ = (l/2)f dx [ф2 + (уф)2 + (т2 + £/)ф2 + W1.(7.18)
Пренебрегая малым вкладом континуума, т. е. считая [151], что профиль ф совпадает с профилем «опасного» состояния (7.17), с учетом уравнения поля выразим Н^ через qx
Н™ = ( 92 + * + MV4 - £/2 + У (9);(7.19)
X^Xfdx | V |4 = Xm/8.
В интересующей нас области ^<—tn £ = i(p,2—m?VP» т- е- Е2< <0, так что минимум потенциальной энергии достигается при q2 = q2 = 1 £ |ЧГ = 8 (^ — т^Хт.(7.20)
Низшие уровни энергии соответствуют движению около ±^0. Разложение V вблизи этих точек имеет вид
V(q)~ У(%) + ^-^Hq-q<^„ 2П
V(<7o) = -2Gi2-m’)/XmeVo.(/ZU
При достаточной высоте барьера, разделяющего области ±уо, мы имеем две ямы с частотой осцилляций в каждой из них (0 = = [2(р,2—/и2)]1/2. Основное состояние обладает энергией
£0 = Е,« Уо + ®/2 = Уо + [(р2 - mW*(7.22)
и соответствует симметричной функции
Ф = VI/2" [ф0(<7 — I <7о I ) + %(? + I <7о I )Ь
где фо — волновая функция основного состояния в каждой из ям. Следующее состояние, Еа, задается антисимметричной комбинацией фо и имеет энергию одномезонного возбуждения, обусловленную проницаемостью барьера между ±^о[151}:
А, = Ео-Е, - -L [г^-т^'/.ехрГ- ^р^1. (7.23)
Двухмезонное возбуждение имеет энергию, равную разности энергий нулевого и первого уровней осцилляторов Д2« «(р,2—т2)1/2 и т. д. Как видно из (7.23), требуемая малость проницаемости барьера означает р2—m2> (Хт)2/3, что совместно с условием близости к точке неустойчивости (|р|—m^m) при Х«т2.
Изложенные здесь результаты остаются качественно справедливыми и в потенциалах с конечным радиусом действия r^m-1.
ПЕРЕСТРОЙКА ВАКУУМА В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В предыдущих параграфах рассматривалась перестройка вакуума, происходящая в сильных пространственно неоднородных статических полях. Аналогичное явление, как оказывается, может происходить за счет совсем другого механизма в высокочастотном пространственно однородном электрическом поле [165].
Рассмотрим заряженное скалярное поле с самодействием вида Хф4 в электрическом поле (4.2), изменяющемся с частотой ко, и покажем, что при достаточно большой частоте в системе возникает неустойчивость относительно спонтанного образования ненулевого вакуумного среднего скалярного поля. При этом будет установлена аналогия между рассматриваемой моделью и нелинейной колебательной системой с изменяющимися по гармоническому закону параметрами. Возникновение ненулевого вакуумного среднего поля ф в терминах такой системы эквивалентно возможности устойчивых режимов стационарных колебаний в резонансном случае [166].
Поскольку рассматривается заряженное поле, неравенство нулю его вакуумного среднего при инвариантном лагранжиане означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии (см. §2.3).
Лагранжиан имеет вид
L<0) = D^*D^ — т2ф*ф — X (ф*ф)2/6,(7.24)
где Df определено в (1.1).
При t-»—оо будем предполагать, что Лэ(/)=соп81, а при конечных временах Л3(/) = (E0/£0)sin kyt.
Рассмотрим среднее от оператора поля ф по гейзенберговскому вакууму 10>, определенному при t-*—оо. В силу инвариантности относительно трансляций в пространстве
0 I ф(х, 0 | о> = <0 I ф(0, 0 I 0> = g^.(7.25)
Величина я(0> вообще говоря, зависит от времени из-за не- стационарности внешнего поля. Отличие ее от нуля означает, что произошла перестройка вакуума. В силу С-инвариантности состояния |0> можно считать, что функция g(t) вещественна:
0 I ф(х, /) | 0> = <0 I ф*(х, 0 I 0> = g^.(7.26)
Покажем теперь, что при выполнении некоторого условия на частоту ко внешнего поля действительно gt^^O, т. е. происходит перестройка вакуума.
Усредняя по состоянию |0> уравнение поля:
^ф/д^ — Аф 4- 21 еЛ3дф/дх3 + (M3 + /л2) Ф + Лф*ф»/3 = 0, (7.27) следующее из (7.24), в древесном приближении, когда в силу отсутствия в диаграммах замкнутых внутренних линий математические ожидания факторизуются,
<0|ф*фа|0>«<0|ф*|0><0|ф|0>а=53,(7.28)
приходим к уравнению
»g№ + [Ml (/) + тг\ g + (Х/3) g3 = 0.(7.29)
Вводя обозначения
о2 = m2 + М1/2&1; у = Х/3; h = (1 + 2т1ко/^Ео)""1. (7.30)
переписываем (7.29) как
^gjdf 4- ®’(1 —Acos2AoOg + ТЯ8 = 0*(7.31)
причем далее предполагается А, у «С 1.
Уравнение типа (7.31) рассматривалось в [166] в связи с классической теорией нелинейных колебаний. Вопрос о возможности перестройки вакуума сводится к вопросу о существовании устойчивых ненулевых решений уравнения (7.31) в том случае, когда его нулевое решение неустойчиво. Последнее имеет место, если частота внешнего поля удовлетворяет неравенству
©(1 — А/4) < Ао < ©(1 4-А/4)(7.32)
и в системе возникает так называемый главный демультипликаци- онный резонанс [166].
Если для частоты выполнено условие (7.32), но у=0, то уравнение (7.31) превращается в уравнение Матье, рассматриваемое в зоне неустойчивости. Кроме неустойчивого решения g>=0, у него имеются решения, экспоненциально возрастающие со временем, которые соответствуют первой зоне неустойчивости уравнения Матье на диаграмме рис. 4.1 (условие Ад» о в обозначениях § 4.3 есть а« 1).
Учет у^О существенно меняет характер решений (7.31). Как показано в [166], при выполнении условия (7.32) решение уравнения (7.31) в первом приближении по параметрам А, у представляется в виде
4Г (0 = о(0 о» [^ + 0(0],(7.33)
где амплитуда и фаза определяются из соотношений
da/dt = (— aW^h^ sin 20;
dQ/dt = © — Ao + 3yal/8A0 — (A©l/4A0) cos 26.(7.34)
Можно убедиться в том, что наличие нелинейного члена приводит к ограниченности всех резонансных решений [165].
В отличие от случая у=0, система (7.34) имеет стационарные решения, определяемые условиями
(оА©2/4А0) sin 29 = 0; © — Ао 4- (Зуаа)/8А0 — (А©2/4А0) cos 29 = 0. (7.35)
Эти решения имеют вид
^(0 = acos(Ao/ + 9),(7.36)
где допустимые значения амплитуды связаны с частотой внешнего поля формулой
о1 = (4/Х) (Ао — ©« 4: А©’/2),(7.37)
а соответствующие значения 0 определяются из (7.35).
График зависимости а2 от А20 приведен на рис. 7.2. Видно, что при ^2о>о2 (1—h/2) тривиальное решение g^t)=O становится неустойчивым и происходит перестройка вакуума, в результате ко-
Рис. 7.2. Зависимость амплитуды от частоты в резонансной областиРис. 7.2. Зависимость амплитуды от частоты в резонансной областиторой возникает ненулевое вакуумное среднее (7.26) с g(f) из (7.36). Отметим, что в соответствии с (7.37) амплитуда а вакуумного среднего неаналитически зависит от константы X, что характерно для моделей со спонтанным нарушением симметрии [167].
Рис. 7.2. Зависимость амплитуды от частоты в резонансной области
Рис. 7.2. Зависимость амплитуды от частоты в резонансной области
Физический смысл имеет лишь прямая / на рис. 7.2 [соответствующая знаку плюс в формуле (7.37)],
так как вне интервала (7.32) устойчивым остается нулевое решение. С ростом частоты к0 до значения со (14-Л/4) происходит вос
становление симметрии (срыв колебаний). И наоборот, если частота внешнего поля уменьшается от значений, больших го (1+А/4),
то при достижении этого значения происходит нарушение симметрии (скачкообразное возбуждение колебаний).
Если в качестве т взять массу л-мезона, то с учетом (7.30), (7.32) получаем для частоты внешнего поля, при которой происходит перестройка вакуума, значение Aq—1023 с-1. При этом требование A<J, использованное выше, выполняется для полей Ео^Ю20 В/см, т. е. не является ограничительным. Условие у<^1 для константы, стоящей при нелинейном члене, означает, что рассматриваются умеренно сильные взаимодействия (Х<0,3).
Выше изучался случай главного демультипликационного резонанса, возникающего при А0«б) (частота внешнего поля равняется собственной частоте системы). В [168] исследовано уравнение (7.31) при условии, что частоты А» и о удовлетворяют соотношению ^(0=2 рАо, где р и q— взаимно простые целые числа. Согласно результатам [168], в первом приближении резонансное поведение решения обнаруживается только в уже рассмотренном случае р=1, q—2. Анализ второго приближения выявляет новый резонанс, который имеет место при q=^p, т. е. Ао=2ю. Таким образом, он соответствует еще большей частоте внешнего поля, чем главный демультипликационный.
Поскольку при k^m вакуумное среднее оператора поля отлично от нуля, возникает такая же ситуация, как и в модели Голдстоуна [167]. Для установления масс физических частиц перейдем от полей ф, ф* к полям ф'ь q>2, определяемым согласно
Ф= (фх + ’ФгУ/з; ф[ = Ф1 —V2g(0(7.38)
и обладающим нулевыми вакуумными средними.
В терминах введенных полевых переменных действие рассматриваемой модели запишется с учетом (7.24), (7.31) в виде
W0» = f d*xLw to = у С d*x [д^^-ф [ — т^ф^ + д^дгф, — т2 —
— (V^ А/З) g<Pi (<Pi + Фг) — (^/12) (ф! + Ф2)2 +
+ 2М$<рiд;<р2 — 2еА^д1<р*х ],(7.39)
где с — числовые слагаемые отброшены, а массы квантованных полей ф'1 и ф2 есть
«1 = ^ + (2Х/3) g2, m^ = ^.
Если наряду с внешним учесть и квантованное поле Л,, то лагранжиан модели принимает вид
£(0> = [g/ — 1е(д/+ д')! ф» [dj + 1 е(А;+А^)] ф —т^ф —
- (V6) (ф*ф)2- (1/16Л) PuP£i,(7.40)
где Гц=дД—djAt.
Выберем в качестве нулевого приближения в (7.40) операторы в представлении Фарри с внешним потенциалом Лп изменяющимся по гармоническому закону. Тогда при выполнении условий (7.32) матричный элемент (7.26) отличен от нуля и происходит перестройка вакуума. Вследствие этого, как и в случае феномена Хиггса [38], в лагранжиане появляется слагаемое вида nPvAiAi с
ту = е2(0 | ф* | 0> <0 | ф | 0> = e2g2 * 0,(7.41)
т. е. первоначально безмассовый векторный бозон приобретает массу.
При адиабатическом выключении внешнего поля его частота 6» уменьшается до нуля, проходя через значение <о(1—h!A). Амплитуда стационарного состояния при этом изменяется вдоль прямой / на рис. 7.2, а затем обращается в тождественный нуль.
Таким образом, переменное электрическое поле осуществляет своеобразную «накачку», в результате которой роль вакуумного состояния начинает выполнять состояние с определенной положительной энергией. Это состояние представляет собой конденсат заряженных частиц с нулевой средней плотностью заряда. По мере прекращения накачки имеет место переход в обычное вакуумное состояние с нулевой энергией.
Примеры перестройки вакуума под влиянием гравитационного внешнего поля и их использование в космологии обсуждаются в гл. 11. Последний же параграф данной главы посвящен противоположному эффекту — восстановлению симметрии вакуума внешними полями.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИММЕТРИИ ВАКУУМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В последние годы активно развивались различные варианты единых калибровочных теорий слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий. Из них наибольшую известность и блестящие экспериментальные подтверждения получила теория слабых и электромагнитных взаимодействий Вайнберга — Салама (см., например, [38]). Она обладает существенными преимуществами по сравнению с фермиевской теорией слабых взаимодействий, которая, как известно, неперенормируема и противоречива при вы-
соких энергиях. В теории Вайнберга—Салама слабые взаимодействия осуществляются путем обмена промежуточными векторными бозонами Z°, W^, масса которых возникает за счет спонтанного нарушения симметрии скалярного поля (см. § 2.3) по аналогии с теорией сверхпроводимости. При этом перенормируемость теории является следствием того, что масса векторного поля выражается через вакуумное среднее скалярного поля (механизм Хиггса).
Как известно, достаточно сильное магнитное поле разрушает сверхпроводимость и тем самым приводит к восстановлению первоначально спонтанно нарушенной симметрии. В этом параграфе будет показано, что аналогичное явление имеет место и в единых калибровочных теориях. Если взаимодействие с внешним полем не нарушает симметрию лагранжиана, то можно говорить о «спонтанном восстановлении» симметрии под влиянием внешнего поля.
Рассмотрим сначала влияние внешнего поля на абелеву модель Хиггса. Лагранжиан этой модели
L = (D» Z/y - У (ф«ф) - -^ 'FljF‘i.(7.42)
Здесь ф — оператор заряженного скалярного поля, взаимодействующего с квантованным векторным полем At и классическим векторным полем Ас» Ец определено в (7.40);
О/ = дл+1е(л) + Л,);(7.43)
V (ф*ф) = — т2ф*ф + — (ф*ф)2, т2 > 0, X > 0.
6
В этой модели массовый член входит с неправильным знаком, что обеспечивает спонтанное нарушение симметрии. В отсутствие внешнего поля минимум классической плотности энергии достигается на не зависящем от х решении
ф = угЗ/Хт.(7.44)
Рассмотрим теперь, что происходит, когда включено постоянное магнитное поле. Выберем калибровку, в которой Ло=О, и будем искать минимум плотности энергии
т»»= (О0*ф.)О°ф-(Оа*Ф*)ОаФ+ ^<Ф*Ф) - ■^Г^а + Л&Г ^^ (7Л5)
Квантованное поле также можно взять #в калибровке Ло=О. Тогда для минимизирующих (7.45) функций Ф=£(х), Л^а^х) получаются уравнения [169] (^г=аг+Лг):
Ag — е2 (w, w) g — V* (g^ g = 0,(7.46)
д^ - 2е^^ = - еГ\(7.47)
где Wi3=diWj—diWj; V'^dV^ |g|2)/d|g|2. При отсутствии внешнего поля решениями этих уравнений являются w^ = Ор = 0, g=go, что совпадает с (7.44).
Предположим, что внешнее поле отлично от нуля лишь в ограниченной пространственной области. Тогда Я to "j", fw^o. С помощью (7.46) можно показать [169], что всюду |g(*)l^£o [это утверждение вытекает из принципа Максимума модуля для уравнения (7.46)}.
Итак, во внешнем поле указанного вида (для нестационарных полей подобный эффект, вообще говоря, отсутствует) возможно уменьшение параметра, характеризующего нарушение абелевой калибровочной симметрии, вплоть до ее восстановления (|g(x)|=0) при некоторых х. Если предположить, что отклонения g(x) от go малы, то (7.47) можно рассматривать как уравнение для векторного поля о>р с массой m2v = 2e2g20. Решение этого уравнения, удовлетво-
есть внешний ток 7р, и спадает до нуля на характеристической длине 1/Х/"^/б|е| т. Этот эффект аналогичен эффекту Мейсснера в теории сверхпроводимости и указывает на компенсацию внешнего поля вакуумным полем при наличии спонтанного нарушения симметрии. Таким образом, в модели Хиггса возможно восстановление симметрии в некоторой области пространства при включении внешнего поля.
Рассмотрим теперь возможность восстановления внешним полем спонтанно нарушенной симметрии в единой калибровочной теории электромагнитных и слабых взаимодействий Вайнберга—Салама. Уже грубая оценка показывает, что для восстановления симметрии нужны чрезвычайно большие значения напряженностей электромагнитного поля. В самом деле, если, по аналогии с теорией сверхпроводимости Гинзбурга—Ландау, потребовать [170], чтобы плотность энергии внешнего (например, магнитного) поля могла скомпенсировать плотность энергии конденсата, то для модели с лагранжианом (7.42), (7.43) получим
(7.48)(7.48)ЯсЛ” - т^0 + Xg> = Я^/вл - Xg> = 0.
(7.48)
(7.48)
Предполагаемое в теории Вайнберга—Салама go~3OO ГэВ ведет к значению соответствующего критического полянст ~ 1024 "|Д7 Гс. Если полагать X— 1, то получаются напряженности поля, не встречающиеся ни в земных, ни в космических условиях.
Однако даже в сильных полях рассматриваемые эффекты могут быть весьма незначительными. Дело в том, что в упомянутых теориях, в отличие от теории сверхпроводимости, конденсат хиггсовских частиц электрически нейтрален. Поэтому изменение его свойств во внешнем электромагнитном поле возможно лишь за счет наличия заряженных частиц в промежуточных состояниях.
Лагранжиан Вайнберга—Салама содержит SU(2)-дублет хиггсовских частиц ф=(ф+, ф°). Спонтанное нарушение симметрии состоит в появлении отличного от нуля вакуумного среднего
<01Ф10> -<01Ф10> -SoSo(7.49)(7.49)
<01Ф10> -
<01Ф10> -
So
So
(7.49)
(7.49)
За счет взаимодействия лептонов с хиггсовскими частицами электрон приобретает массу me = Gego (Ge— константа указанного взаимодействия). Внешнее электромагнитное поле приводит к изменению g^ а следовательно, и этой массы. В древесном приближении масса не изменяется вследствие электрической нейт-
ральности конденсата. Первое неисчезающее приближение дает диаграмма с одной электронной петлей в вершине. Ее относительный вклад в Дте составляет [169]
Ame/me ~ e4jF№jm^. (7.W)
где Gf — фермиевская константа слабых взаимодействий; Н — постоянное м1г- нитное поле; т^ —масса хиггсовской частицы [следует иметь в виду, что (7.$0) справедливо лишь при Н^m?ele«^-1013 Гс]. При этом даже для т^ порядка массы протона в поле Я~1013 Гс (7.50) дает Ame/me~ 10-18.
Спонтанное восстановление симметрии в единых калибровочных теориях может происходить также за счет статистических эффектов в среде из частиц, описываемых лагранжианом соответствующей теории, если предполагать, что эта среда находится в термодинамическом равновесии [171, 172]. Механизм этих эффектов, однако, не связан непосредственно с классическим внешним полем, и поэтому здесь они не рассматриваются.
Часть III ВАКУУМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Глава 8
ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
В ИНТЕНСИВНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ С КЛАССИЧЕСКИМ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЕМ
Теория гравитационного поля в течение долгого времени занимала в физике изолированное положение и была мало связана с другими ее разделами. Хотя необходимость создания единой теории, описывающей все фундаментальные взаимодействия на общей основе, осознавалась давно, реальный прогресс в этом направлении был достигнут лишь в последние два десятилетия.
Первые попытки объединения гравитации и электромагнетизма на классическом уровне, предпринятые вскоре после создания общей теории относительности (ОТО), оказались малопродуктивными. К тому времени стало ясно, что построить единую теорию поля можно только на основе квантового подхода.
Формальная схема квантования гравитационного поля в линейном приближении была построена еще в 30-х годах. Впоследствии были проведены вычисления сечений различных процессов первого порядка с участием гравитонов [173]. Однако на пути построения квантовой теории гравитации по аналогии с квантовой электродинамикой возникли значительные трудности (непе- ренормируемость, нарушение унитарности).
Указанные обстоятельства предопределили то, что в теории элементарных частиц и в квантовой теории поля до середины 60-х годов гравитационное взаимодействие традиционно игнорировалось. Оправдывалось это малостью гравитационной константы связи (Gm2~2-10~45 для электрона) по сравнению с константами других взаимодействий [9].
Положение резко изменилось, начиная со второй половины 60-х годов. В результате появления неабелевых калибровочных теорий поля и формулировки концепции спонтанного нарушения симметрии наметился новый перспективный подход к созданию единой теории поля. Теория Вайнберга—Салама объединила элек-
тромагнитные и слабые взаимодействия; значительные успехи достигнуты в построении теории большого объединения, включающей также сильные взаимодействия, которые описываются в рамках квантовой хромодинамики.
В то же время было достигнуто существенное продвижение вперед на пути создания квантовой теории гравитации, в частности была сформулирована ковариантная теория возмущений [174— 176]. Сейчас интенсивно ведутся разработки различных моделей единых калибровочных теорий, включающих наряду с другими полями и гравитацию. Наибольшее развитие получила теория супергравитации и связанные с ней единые теории поля типа Калу- цы—Клейна [59J.
Изучение квантовогравитационных эффектов необходимо и для самой ОТО. Теоретическое доказательство неизбежности сингулярностей в классической ОТО (теоремы Хокинга—Пенроуза), а также наблюдательные подтверждения горячей модели Вселенной свидетельствуют о наличии в природе экстремально сильных гравитационных полей, в которых должны быть существенными квантовые эффекты как других полей, так и самой гравитации.
По сравнению с квантовой электродинамикой, построение квантовой теории гравитационного поля оказалось чрезвычайно сложной задачей, которая, несмотря на достигнутые успехи, в настоящее время еще далека от полного решения. Сложность этой задачи выявляется уже при анализе принципиальной измеримости гравитационного поля. Если, например, для электромагнитного поля в схеме Бора—Розенфельда [23] отношение заряда классических пробных частиц к их массе может быть сделано сколь угодно малым, то в гравитации соответствующее отношение гравитационной массы к инертной определяется принципом эквивалентности. Универсальность гравитационного взаимодействия, а также его нелинейность (следствием которой является неаддитивность измеряемого поля и поля пробного тела) приводят к тому, что в мысленных экспериментах с приборами типа Бора—Розенфельда имеются существенные ограничения на измеримость гравитационного поля [177].
Что касается формализма, то трудности квантования гравитации определяются двумя особенностями классической ОТО: нелинейностью уравнений Эйнштейна и инвариантностью теории относительно бесконечно параметрической группы общих преобразований координат.
Нелинейности возникают и в стандартной квантовой теории поля, но там они появляются как квантовые поправки к линейным классическим уравнениям или же вводятся феноменологически для описания самодействия. Гравитационное поле, однако, нелинейно изначально в том смысле, что в гравитационном лагранжиане в общем случае нельзя универсальным образом выделить «свободную» часть, приводящую к линейным уравнениям. Эта фундаментальная нелинейность есть следствие геометрической природы гравитационного поля, и, в частности, она проявляется в том, что
уравнения Эйнштейна в отсутствие материи не содержат никакой константы связи (гравитационная постоянная G определяет связь тяготения с другими полями).
Вторая из отмеченных выше особенностей также имеет геометрическое происхождение. Наличие неабелевой калибровочной группы значительно усложняет канонический формализм, поскольку возникает необходимость учета нелинейных связей [178].
Недостатков канонического квантования удается избежать в ковариантной схеме [174—176]. Основные результаты в этом подходе, однако, получены лишь в рамках теории возмущений для S-матричной постановки задачи. Это ограничивает область его применимости слабыми полями и не позволяет рассматривать приложения к космологии и проблеме гравитационных сингулярностей. Кроме того, здесь остается нерешенным вопрос о расходимостях, так как теория оказывается формально неперенормируе- мой.
Наиболее многообещающе обстоят дела с проблемой расходимостей в расширенных теориях гравитации, основанных на суперсимметрии (супергравитация). Однако в настоящее время супергравитация еще не может претендовать на роль удовлетворительной квантовой теории гравитационного поля.
Из сказанного выше ясно, что мы еще далеки от полного решения проблемы квантования гравитации. Заметим, однако, что квантовая природа гравитации, по-видимому, существенна лишь в случаях, когда или гравитационное поле столь сильно, что кривизна пространства-времени характеризуется планковской длиной /Р1= G1/2—1,6-Ю-^3 см, или рассматриваются процессы, происходящие на расстояниях порядка /рь В то же время квантовые эффекты других полей проявляются уже в масштабе комптоновской длины 1с=т-х. Если исключить из рассмотрения гипотетические частицы с планковской массой mP]= G-1/2—10-5 г, для которых /с=/рь то имеется широкая область, в которой взаимодействие квантованных полей с гравитационным можно описывать, считая последнее классическим.
В рамках этого подхода можно рассматривать и квантованное линеаризованное гравитационное поле (гравитоны) на фоне за-- данной классической метрики. С точки зрения полностью квантованной теории такое описание соответствует однопетлевому приближению [174].
Таким образом, приходим к схеме, аналогичной квантовой электродинамике во внешнем поле. Однако по сравнению с электродинамикой здесь возникают специфические проблемы.
Гравитационное поле, в отличие от электромагнитного, описывается не внешним потенциалом в пространстве Минковского, а метрикой искривленного риманова пространства. Это приводит к задаче квантования полей в римановом пространстве, что сопряжено как с техническими, так и с принципиальными трудностями. В частности, уравнения поля здесь имеют переменные коэффициенты при старших производных, топология пространства может
быть неевклидовой, пространство может иметь горизонты событий и т. п.
Естественная в электродинамике S-матричная картина возможна только в асимптотически плоских пространствах, так что, например, в реалистических космологических моделях S-матричный подход неприменим. Возможность появления в пространстве-времени сингулярностей в большинстве случаев делает неясной даже саму постановку задачи о квантовании поля. Если предположить, что пространство-время не имеет горизонтов и сингулярностей и является глобально гиперболическим [179], то до тех пор, пока мы интересуемся чисто полевыми аспектами теории (например, определением полей как операторнозначных обобщенных функций, абстрактной алгеброй наблюдаемых, коммутаторами и т. п.), наличие кривизны приводит к физически почти очевидным ковариантным обобщениям теории свободных полей в пространстве Минковского. Затруднения принципиального характера возникают при построении вторично квантованной теории.
Здесь мы сталкиваемся с двумя связанными между собой проблемами. Первая — это конструкция гильбертова пространства состояний квантованного поля, вторая — получение конечных значений наблюдаемых.
С физической точки зрения построение пространства состояний сводится к определению вакуума и интерпретации квантованного поля в терминах частиц. Как было показано в § 1.3, различные системы базисных функций приводят, вообще говоря, к различным определениям понятия частицы.
В плоском пространстве-времени корпускулярная интерпретация свободного квантованного поля основана на инвариантности теории относительно группы Пуанкаре [8, 22]. Трансляционная инвариантность по времени позволяет ввести сохраняющееся разбиение оператора поля на положительно- и отрицательно-частотные части ^^(х) и определить вакуумное состояние требованием
^“’W | о> =0. (8.1)
При этом определение понятия частицы не зависит от времени.
Такая конструкция пространства Фока не зависит от выбора базиса в пространстве классических решений уравнений поля, если только базисные функции удовлетворяют условиям
дофа*’ W = ± i «афа* ’ (х). (8.2)
Действительно, еслиф^* и <р^ —два базиса, удовлетворяющие условию (8.2), то, как нетрудно убедиться с помощью (1.64) и явной формы соответствующего скалярного произведения, в преобразовании (1.73), а следовательно, и в (1.75), все коэффициенты Yap =0 (при этом матрица Фар» конечно, не обязана быть единичной). Такова, например, связь между базисами плоских и сферических волн. То же самое будет иметь место и в том случае, когда равенство (8.2) выполняется для базисных функций ф^ в одной 148
инерциальной системе координат, а для фа —в другой, связанной с первой преобразованием Лоренца.
В произвольном римановом пространстве нет подобного принципа выбора системы базисных функций, основанного на требованиях инвариантности, так что обычная корпускулярная интерпретация здесь непригодна.
Вторая проблема — нахождение средних значений локальных физических наблюдаемых, наиболее важной из которых для гравитации является тензор энергии-импульса (так как именно он служит источником гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна). Эта проблема тесно связана с первой, поскольку для того, чтобы определить наблюдаемую как среднее от соответствующего оператора по состоянию поля, надо предварительно построить пространство состояний. К тому же, как показано в § 2.2, средние значения билинейных по полю операторов по любому состоянию содержат расходимости, поэтому необходимо сформулировать процедуру их устранения в терминах перенормировок.
КОРПУСКУЛЯРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЯ И РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
Как было сказано в предыдущем параграфе, неоднозначность конструкции пространства Фока связана с отсутствием инвариантного разбиения оператора поля .на положительно- и отрицательночастотные части. Об этом говорят как о перемешивании положительно- и отрицательно-частотных решений уравнений поля. В связи с гравитацией на это явление впервые обратил внимание Шредингер [180]. На языке вторично квантованной теории перемешивание частотностей означает рождение частиц (происходит параметрическое возбуждение осцилляторов квантованного поля). Следует, однако, заметить, что такое утверждение имеет строгий смысл только когда определено понятие частицы во внешнем поле. Тем не менее полезно сначала провести качественное рассмотрение эффекта рождения частиц на эвристическом уровне.
Пусть в окрестности некоторой пространственно-временной точки М инвариант тензора кривизны имеет значение порядка
(8.3)
(р — характерный радиус кривизны). Тогда в точке М можно ввести систему координат, которая будет локально галилеевой вплоть до расстояний порядка р от М. В этой системе можно построить полный набор одночастичных функций фа* Ч*)» которые для частот Ша^р^1 будут с экспоненциальной точностью положительно- и отрицательно-частотными относительно временной координаты в смысле равенства (8.2). Однако для частот
©а^р-1(8.4)
различие между положительно- и отрицательно-частотными функциями, вообще говоря, пропадает, что соответствует неопределенности порядка единицы для числа частиц в моде а.
По аналогии с электродинамикой рождение частиц можно качественно описать как «разрыв вакуумных петель» внешним гравитационным полем. Поскольку гравитация одинаково действует на частицы и античастицы, разрыв виртуальных пар здесь объясняется действием приливных сил.
Характерное расстояние между частицами виртуальной пары — комптоновская длина l^m-1. Для того чтобы определить разрывающую эту пару приливную силу, рассмотрим уравнение девиации геодезических [179]:
d?nW = R^iulnW, (8.5)
где и* — вектор 4-скорости одной из частиц пары; п*— пространственноподобный вектор, соединяющий ее со второй частицей, причем л^*~—Рс. Равенство (8.5) определяет их относительное (приливное) ускорение.
Для того чтобы приливные силы могли эту виртуальную пару «разорвать», превратив ее в реальную, необходимо, чтобы в системе центра масс их работа на расстоянии порядка /с превышала 2m. Полагая в (8.5) и°=1, и“=0, л° = 0, |па|~/с, получаем таким образом следующее условие
l/^pol^/T^m1. (8.6)
Иными словами, для того, чтобы эффект рождения частиц был существенным, кривизна пространства-времени должна быть по крайней мере порядка обратной комптоновской длины.
Для безмассового поля подобный порог отсутствует, но, как видно из (8.4) (с учетом фазового объема), спектр рожденных частиц в этом случае сосредоточен в области энергий ®~р-1, так что и здесь эффект будет заметным лишь при достаточно большой кривизне пространства-времени.
В сильном гравитационном поле, когда кривизна р~*^>т, рождаются преимущественно ультрарелятивистские частицы с энергией <О>т (для меньших энергий мал фазовый объем). Тензор энергии-импульса рожденного вещества по порядку равен
|ТМ|~7 (8.7)
Такой же вклад по порядку дает и локальная поляризация вакуума гравитационным полем.
В то же время из уравнений Эйнштейна следует, что гравитационное поле, характеризуемое радиусом кривизны р, создается распределением материи с тензором энергии-импульса
W I-G-'I^mI-G-p-. (8.8) 150
где G = 2,610-66 см2 — гравитационная постоянная. Сравнивая (8.7) и (8.8), видим, что если p—G^^lO-33 см, то рожденное вещество будет существенно влиять на метрику пространства-времени, так как при этом Ти — Т^. Следует заметить, что кривизна p—G1/2, по-видимому, соответствует границе применимости концепции классического гравитационного поля [181].
Очевидно, что в отсутствие пуанкаре-инвариантности в произвольном искривленном пространстве-времени построить универсальную корпускулярную интерпретацию квантованного поля невозможно. В некоторых случаях, однако, можно ввести понятие частиц, если корпускулярную интерпретацию основывать на дополнительных требованиях, вытекающих из тех или иных физических соображений.
Так, например, в [148] концепция частиц строится с помощью разбиения оператора на положительно- и отрицательно-частотные части, основанного на свойствах причинных пропагаторов. Определение, основанное на использовании собственного времени на геодезической, предложено в [183]; оно, очевидно, зависит от наблюдателя. В [184] вакуумное состояние строится с помощью ВКБ-асимптотик решений классических уравнений поля (подробнее см. в [2]). При этом концепция частиц основывается на введенном ad hoc принципе минимизации числа рожденных пар и его производных по времени.
В работе [40] была предложена корпускулярная интерпретация квантованного поля в искривленном пространстве, основанная на методе диагонализации гамильтониана преобразованиями Боголюбова. Общая схема и физические основания этого метода изложены в § 2.5. Нестационарность метрики приводит к тому, что зависимость от времени операторов квазичастиц, диагонализирующих гамильтониан, в гейзенберговской картине не сводится к обычному экспоненциальному фактору. Это означает, что в каждый момент происходит переопределение понятия частицы.
По существу, аналогичная корпускулярная интерпретация в более аксиоматическом духе была предложена для скалярного поля в [185]. Она основана на определении зависящей от времени комплексификации пространства классических решений уравнения Клейна—Фока.
Оба эти подхода дают определение понятия частицы как кванта энергии поля. Важно отметить, что такое определение зависит от выбора времениподобного векторного поля 5* в определении гамильтониана (2.22), т. е. от выбора расслоения пространства-времени на семейство пространственноподобных гиперповерхностей {2}. Интегральные кривые поля g* можно рассматривать как мировые линии системы наблюдателей, так что определение понятия частицы зависит от системы отсчета.
Подобная относительность корпускулярной интерпретации имеет место и для плоского пространства-времени Минковского. Для различных инерциальных наблюдателей операторы рождения и уничтожения частиц связаны между собой преобразованием Боголюбова вида (1.75) с ^ар=0. Для взаимно неинерциальных наблюдателей преобразование Боголюбова (1.75) будет уже нетривиальным (^ар¥=0), и определение понятия частиц в таких системах отсчета будет существенно различным. Впервые это явление было обнаружено в [186], где рассматривалось квантование в плоском пространстве в так называемых ринд-
леровских координатах, которые описывают систему отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением (см. подробнее ниже в § 12.1).
С физической точки зрения зависимость определения частиц от системы отсчета обсуждалась в [91], где дан анализ мысленных опытов по регистрации частиц ускоренно движущимися детекторами, например, типа двухуровневой системы, причем показано, что подобный детектор будет регистрировать частицы, определенные относительно его собственной системы отсчета (см. также [2]).
Таким образом, неоднозначность корпускулярной интерпретации не есть следствие кривизны пространства-времени как таковой. Однако в плоском пространстве, благодаря пуанкаре-инвариантности, существуют предпочтительные системы отсчета — инерциальные, в которых определяющее их времениподобное векторное поле V является генератором группы движений пространства, т. е. векторным полем Киллинга [179]. Это определяет возможность естественной и универсальной корпускулярной интерпретации поля в пространстве-времени Минковского. В произвольном же искривленном пространстве-времени нет группы изометрий и в нем не существует предпочтительных систем отсчета. Поэтому в таком пространстве вообще невозможно определить понятие частиц сколько-нибудь естественным образом.
В ряде случае, однако, имеются исключения. Например, предпочтительная система отсчета существует в однородном изотропном пространстве-времени (пространство Фридмана с произвольным масштабным фактором)—это система отсчета сопутствующих наблюдателей. Однако в этом случае соответствующее времениподобное векторное поле V не является полем Киллинга, а лишь конформным полем Киллинга, что приводит к зависимости понятия частицы от времени.
Рассмотрим сейчас случай статического пространства-времени, в котором возможна естественная, не зависящая от времени корпускулярная интерпретация.
Пространство-время называется статическим, если оно обладает глобальным времениподобным векторным полем Киллинга £*, ортогональным к некоторому семейству пространственноподобных гиперповерхностей {2} [179]. В качестве временной координаты тогда можно взять любой параметр т на интегральных кривых поля 5\ а семейство {2} рассматривать как гиперповерхности постоянного времени. Тогда метрика статического пространства-времени имеет вид
ds^ = goodT2 - g^dx», (8.9)
где goo и guv зависят только от пространственных координат хи.
Пусть Тц — метрический тензор энергии-импульса рассматриваемого поля ф. Трансляционная симметрия, генератором которой является $*, приводит к тому, что определенный согласно (2.22) для вектора У гамильтониан
Htti^U'Tijdai (8.10)
не зависит от гиперповерхности 2, поскольку V* (^Тц) =0. Очевидно, что H[Q играет роль сохраняющейся энергии.
В квантовой теории Я[Э является генератором унитарных преобразований оператора поля гр при трансляциях в направлении £*:
[Я, t]- = i^t.(8.U)
где Х^ —производная Ли в направлении вектора Киллинга ^ [179]. Для построения пространства Фока систему собственных функций ф^^ можно выбрать так, чтобы
^<±>(x) = ±ioei|><e±>(x).(8.12)
Равенство (8.12) аналогично определению (8.2) для пространства Минковского, только теперь роль времени играет параметр на интегральных кривых £*. Используя функции ф^ в качестве базисных функций в (1.65), получаем корпускулярную интерпретацию теории в терминах соответствующих операторов а^ • Вакуумное состояние [О^Х определяемое равенствами а^ | 0(^^ = 0, устойчиво, и рождения частиц не происходит.
Оператор энергии имеет вид
Н-^ЦТ^аа1»(8.13)
где N(Ta)—оператор тензора энергии-импульса, нормально упорядоченный по операторам а^). Нетрудно проверить, что если |^а> — состояние с энергией Еа
"I V«>-Ee| ¥в>, то
т. е. а^ есть операторы рождения и уничтожения частиц с энергией <оа . Рассмотренная схема аналогична картине Фарри в квантовой электродинамике [9, 126].
Если в статическом пространстве-времени координаты таковы, что компоненты метрического тензора ga имеют особенности (как, например, в метрике Шварцшильда), то изложенный выше формализм неприменим. В таких случаях оказывается некорректной даже одночастичная задача; как показано в [187], здесь возникают явления типа падения на центр в квантовой механике и ситуация напоминает кулоновское поле точечного заряда с Z>137 (см. гл. 5). Причиной подобных патологий является в данном случае неполнота статической системы координат. Квантование поля в нестатической метрике, описывающей гравитационный коллапс, рассмотрено в гл. 12.
Аналогично решается вопрос о корпускулярной интерпретации, когда пространство не статично, а лишь стационарно (т. е. имеется глобальный времениподобный вектор Киллинга JS но он не ортогонален к какой-либо системе пространственноподобных гиперповерхностей {2}). В этом случае координаты можно выбрать так, что ga по-прежнему не зависят от времени, но £Оц^°-
Если в некоторых областях пространства-времени вектор Киллинга перестает быть времениподобным, то построить пространство Фока со стабильным ва-
куумом невозможно. Подобная ситуация возникает, например, при гравитационном коллапсе вращающихся звезд (см. гл. 12).
Остановимся еще на случае, когда задача о квантовании поля допускает постановку, аналогичную S-матричной задаче в плоском пространстве. Пусть пространство-время имеет топологию пространства Минковского и в нем имеется векторное поле £\ которое в достаточно отдаленном прошлом и будущем совпадает с полями Киллинга £±. При этом можно ввести координаты, в которых метрический тензор при х°->±оо стремится к не зависящим от х° значениям ±^ij(xu|. Такое пространство-время называется асимптотически статическим.
Для уравнения поля в асимптотически статическом пространстве можно найти две системы базисных функций Ф^» Ф^^ таких» чт0 Фа^ будут положительно- и отрицательно-частотными при х°->—оо в смысле (8.12) с ^=61'_, а ф^^—при х°->4-оо с ^«Е^. Действуя далее по методике, изложенной в § 1.3, можно построить корпускулярную интерпретацию в терминах in- и out-частиц, которые определяются теперь согласно изложенному выше формализму статического гравитационного поля.
Вероятности рождения пар даются соответствующими предельными формулами из § 2.5, причем входящие в них коэффициенты боголюбовского преобразования Фари Ч^р выражаются через решения классических уравнений поля в рассматриваемой метрике gtj- При использовании в асимптотически статическом пространстве метода диагонализации гамильтониана результаты при f-*-+ оо совпадают с теми, которые получаются в рамках изложенной выше корпускулярной интерпретации. В [188] дано строгое доказательство существования S-матрицы для полей различных спинов в асимптотически плоском пространстве-времени, в котором кривизна отлична от нуля лишь в компактной пространственно-временной области. При этом из (2.33) очевидно, что полное число частиц, рождаемых таким гравитационным полем, конечно. Теория безмассового поля в асимптотически плоском пространстве подробно изложена в обзоре [189].
ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕГУЛЯРИЗОВАННОМУ ТЕНЗОРУ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Как указано в § 8.1, второй основной проблемой в теории взаимодействия квантованных полей с гравитацией является нахождение средних значений локальных наблюдаемых. Наиболее важной величиной, характеризующей материю в общей теории относительности, является тензор энергии-импульса (ТЭИ), поскольку именно он играет роль источника гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна
Gu — Ru*^ SuR ^ — 8nGTu,(8.14)
т. е. описывает взаимодействие материи и гравитации. Вакуумные средние <0|7\А|0> характеризуют поляризацию вакуума квантованного поля внешним гравитационным полем, а в случае неустойчивости вакуумного состояния содержат также вклад рожденных частиц.
Для учета обратного влияния квантованного поля на геометрию пространства-времени в правую часть (8.14) можно подставить среднее от оператора ТЭИ рассматриваемого поля Т^ по соответствующему квантовому состоянию (V):
Си=-8лО<Т|Ти[ Т>. (8.15)
Этот «полуклассический» подход аналогичен тому, который используется в квантовой электродинамике внешнего поля (см. гл. 6) и соответствует однопетлевому приближению к полностью квантованной теории.
Итак, основными объектами нашего исследования являются средние (VlTikl^). Выше отмечалось, что для придания смысла подобным выражениям надо, во-первых, определить пространство состояний, элементом которого является [VX и, во-вторых, устранить возникающие здесь расходимости.
Первый вопрос проще всего решается в предположении, что пространство-время является асимптотически статическим в прошлом (см. § 8.2), что соответствует адиабатическому включению взаимодействия в квантовой теории поля [8]. Более общее решение дается с помощью метода диагонализации гамильтониана. В космологической задаче проблема определения квантового состояния (У), в котором находится Вселенная, является одной из наиболее глубоких и наиболее неясных на сегодняшний день. Даже ее постановка в рамках приближения классического гравитационного поля, очевидно, заведомо некорректна. Радикальный подход к решению этой проблемы содержится в [190], где эвристически вводится амплитуда рождения замкнутой Вселенной «из ничего» (ранее на возможность подобных процессов указывалось в [191]). Однако построение «полной космологической теории», включающей решение вопроса о начальных условиях, по-видимому, возможно лишь в рамках квантовой теории гравитационного поля.
Второй вопрос — о методах устранения расходимостей в средних <T|T«|Y>— будет рассмотрен в последующих параграфах. Здесь же мы предварительно обсудим общие требования, которым должны удовлетворять конечные перенормированные средние ТЭИ:
<T,»> = <¥|Tle|Y>ren.
Прежде всего, (Ла) должен быть причинным функционалом метрики, т. е. его значения в любой точке М пространства-времени должны зависеть только от геометрии в точке М и в ее причинном прошлом (вообще говоря, этот функционал может быть нелокальным).
Далее, <Т,л> должен обладать свойством консервативности
V»<^> = 0, (8.16)
поскольку таким же свойством обладает тензор Эйнштейна Gtu в левой части (8.15). Отметим, что условие (8.16) не противоречит
возможности рождения частиц: в ОТО свойство консервативности, вообще говоря, не означает сохранения соответствующей интегральной величины [192].
Однако рождение классических частиц из вакуума гравитационным полем все же оказывается невозможным. В ОТО имеется теорема [179], гласящая, что если в замкнутой области пространства в некоторый момент 71к = 0 и отсутствует поток вещества через границу области, то 7^ = 0 и во все последующие моменты. Доказательство этого утверждения существенным образом базируется на предположении об энергодоминантности Т^к.
Говорят, что ТЭИ удовлетворяет условиям энергодоминантности, если для любого времениподобного вектора ^ выполнены неравенства
T1A«V>0;(8.17)
§^>0,(8.18)
где Sj=Tikuk. Если и1 — 4-скорость наблюдателя, то условие (8.17), называемое слабым энергетическим условием, означает неотрицательность плотности энергии в его системе отсчета, а (8.18)—что локальный поток энергии непространственноподобен. Эти условия эквивалентны утверждению, что в любом локальном ортонормированном координатном базисе компоненты ТЭИ удовлетворяют неравенству
7’оо>|Л*|(8.19)
(отсюда название «энергодоминантность»).
ТЭИ всех известных форм классической материи относятся к одному из двух типов, которые в собственном базисе имеют канонический вид
(тип I) или
= I + р р :
\бГо
(тип II; этим типом ТЭИ обладает безмассовое излучение, целиком распространяющееся вдоль оси х1). Для ТЭИ типа I условие (8.19) выполняется при
е>0, |Ра|<8(8.20)
(оно гарантирует, что скорость звука в веществе не превосходит скорости света), а для типа II — при р^О.
Классическое вещество в большинстве случаев подчиняется еще и так называемому сильному энергетическому условию [179]:
(8.21)
для любого единичного времениподобного вектора и\ Для ТЭИ типа I оно выполняется, если
е + У]Ра>0, е + Р«>0, (8.22) а=\
а для ТЭИ типа II оно совпадает со слабым энергетическим условием (р^О).
В квантовой теории как сильное энергетическое условие, так и условия энергодоминантности могут нарушаться. Примеры нарушения условий энергодоминантности дают ТЭИ различных квантованных полей на ограниченных многообразиях с нетривиальной топологией, рассматривавшиеся в гл. 3. Поэтому упомянутая выше теорема о сохранении в замкнутой области равенства Ла = 0 в квантовой теории неприменима. Более того, как показано в [193] (см. также [194]), рождение квантовых частиц из вакуума обязательно сопровождается нарушением условий энергодоминантности.
Физически нарушение условий энергодоминантности при рождении частиц объясняется тем, что вакуумные средние <Tik> содержат не только вклад рожденных частиц, но и поляризацию вакуума гравитационным полем, так что <7^) нельзя рассматривать как ТЭИ классического вещества. Здесь следует заметить, что любое разделение <Tih> на ТЭИ рожденных частиц и поляризацию вакуума в нестационарном гравитационном поле носит условный характер, что связано с неоднозначностью корпускулярной интерпретации квантованного поля.
В асимптотически плоском пространстве при /->оо рождение частиц прекращается и поляризация вакуума исчезает. Условие энергодоминантности ТЭИ при этом восстанавливается, и рожденные частицы ведут себя подобно обычному веществу.
В статической метрике рождения частиц не происходит. При этом <Tik> следует целиком интерпретировать как поляризацию вакуума гравитационным полем. Условия энергодоминантности и здесь могут нарушаться подобно тому, как это имеет место в эффекте Казимира.
В связи со сказанным интересно отметить, что условия энергодоминантности и условие (8.21) существенным образом входят в формулировки теорем Хокинга—Пенроуза о сингулярностях [179]. Это дает основания ожидать, что в определенных случаях учет квантовых эффектов уже на однопетлевом уровне может предотвратить возникновение сингулярности, неизбежное в классической теории. Такие несингулярные самосогласованные модели, оп-
ределяемые уравнением (8.15), действительно существуют; они рассмотрены в гл. 10.
При некоторых естественных предположениях, включающих причинность и консервативность <TihX можно доказать [195], что любая перенормировка определяет среднее ТЭИ квантованного поля однозначно с точностью до локальных «геометрических» слагаемых, выражающихся через тензор кривизны и метрический тензор и удовлетворяющих условию консервативности (8.15). Поскольку в плоском пространстве такие слагаемые во всяком случае обращаются в нуль, в асимптотически плоской метрике ТЭИ рожденных частиц определяется единственным образом.
В общем случае в <1\к> присутствуют конечные локальные слагаемые «геометрического» происхождения. Их естественно истолковывать как поляризацию вакуума гравитационным полем. Указанная выше возможная неоднозначность в определении <Тгк> касается только лагранжевых слагаемых, которые могут быть получены вариацией до gik локального действия. По аналогии с электродинамикой их можно перенести в левую часть (8.15) и рассматривать как квантовые поправки к уравнениям Эйнштейна. При этом неоднозначность в определении этих слагаемых оказывается принципиально несущественной и ликвидируется дополнительной конечной перенормировкой констант в гравитационном лагранжиане. Фиксирование значений этих констант определяет остающуюся в правой части «истинную» поляризацию вакуума гравитационным полем [196]. Здесь следует заметить, что поправки к уравнениям Эйнштейна, содержащие высшие производные от метрического тензора (например, g<kVlViR), могут привести к качественному изменению решений уравнений Эйнштейна независимо от значения стоящих при них коэффициентов [195] и, следовательно, к радикальному изменению ОТО.
При построении теории квантованных полей в римановом пространстве важную роль играют соображения, связанные с конформной инвариантностью. В гл. 1 отмечалось, что классические уравнения для безмассовых полей со спином 0, 1/2 и 1 инвариантны относительно конформных преобразований метрики gik-+ ->ехр[—2a(X)Agik [уравнение Клейна—Фока этим свойством обладает только в варианте (1.17) при g = gc]. .Отсюда сразу следует, что в конформно-плоском пространстве с метрикой
ds2 = exp [—2о (х)] dso, (8.23) где о(х)—произвольная гладкая функция координат, a ds^o— метрика плоского пространства-времени, рождения безмассовых частиц не происходит [184] (это утверждение не распространяется на гравитоны, уравнение которых не является конформно-инвариантным [19], а также на частицы, в определении которых существенны конформно-инвариантные начальные или граничные условия [208]).
В то же время, как показывают проведенные различными ме-
тодами расчеты, гравитационное поле, описываемое конформноплоской метрикой (8.23), приводит к отличной от нуля поляризации вакуума конформно-инвариантных полей. Даже если ТЭИ классических полей обладает при т=0 нулевым следом, след <Тгк>» вообще говоря, оказывается отличным от нуля; он имеет чисто геометрический характер и выражается через инварианты тензора кривизны. При этом восстановить конформную инвариантность введением в лагранжиан гравитационного поля локальных контрчленов невозможно.
Впервые подобное явление было обнаружено в [197, 198] при использовании метода размерной регуляризации в теории возмущений и получило название конформной аномалии. Подтверждение существования аномального следа было дано в многочисленных работах при использовании различных методов регуляризации вне рамок теории возмущений. В § 8.5 конформные аномалии рассмотрены более подробно.
Здесь обсуждались общие требования к перенормированным средним ТЭИ.
Перейдем теперь непосредственно к проблеме устранения расходимостей и интерпретации процедур получения <Tih> в терминах перенормировок.
АНАЛИЗ РАСХОДИМОСТЕЙ
Общие принципы устранения расходимостей при квантовании полей во внешнем гравитационном поле такие же, как в квантовой электродинамике. Прежде всего надо регуляризовать расходящиеся выражения, т. е. тем или иным способом сделать их временно конечными. Затем необходимо выделить приводящие к расходимостям части так, чтобы после их отбрасывания и снятия регуляризации получались конечные значения наблюдаемых, удовлетворяющие общим физическим требованиям. Этой процедуре устранения расходимостей следует дать оправдание в терминах перенормировок констант в лагранжиане гравитационного поля.
Возможность такой процедуры в случае внешнего гравитационного поля обеспечивается тем обстоятельством, что ультрафиолетовые расходимости определяются характером пространства- времени на малых расстояниях и, следовательно, не зависят от его глобальных свойств. Иными словами, расходящаяся часть эффективного лагранжиана квантованного поля является чисто локальным объектом. Как будет показано ниже, она содержит слагаемые, пропорциональные V—g , V—g R и квадратичным по тензору кривизны членам. В настоящем параграфе изложена общая схема исследования характера расходимостей с помощью метода эффективного действия, а различные конкретные методы получения перенормированных средних <Tik> рассмотрены в § 8.5.
Для изучения расходимостей удобно предположить, что пространство-время является асимптотически статическим, так что
можно ввести фоковские пространства состояний, построенные на вакуумных состояниях |0щ> и 10Out>- Как будет видно из дальнейшего, если метрика пространства-времени всюду регулярна (gik являются достаточно гладкими функциями координат), то расходимости имеют чисто локальный характер, так что вид расходящейся части средних ТЭИ не зависит от предположения об асимптотической статичности.
Наибольший интерес для нас представляют средние значения вида (Ч^ЛН*) IVmX где l^m) — гейзенберговское in-состояние. Фактически достаточно изучить расходимости в вакуумных средних <0щ | Tik 10щ>, поскольку разность между ними и средними по произвольному состоянию в фоковском пространстве всегда конечна и может быть легко вычислена.
Как показано в § 2.2, расходимости в средних <01п| ^(ОтХ в свою очередь, совпадают с расходимостями в матричных элементах
<Ttk>№ = <0out I Ти I 0ln>/<0out I 0ln> (8.24)
[см. формулу (2.6)]. Согласно (2.8) <Т1к)м получается вариацией по gik эффективного действия, определенного равенством (2.7). Тем самым задача сводится к изучению расходимостей в эффективном действии W или в соответствующем эффективном лагранжиане Же« из (2.10).
Ниже будет показано, что расходимости в Жеи определяются поведением функций Грина при сближении аргументов. Поэтому анализ расходимостей начнем с нахождения асимптотики функций Грина при х'—»-х. Для определенности будем рассматривать вещественное скалярное поле с произвольным коэффициентом связи |, удовлетворяющее уравнению Клейна—Фока (1.17).
Введем причинную функцию Грина
G (х, х') = 1 <ТФ (х) Ф (х')>м. (8.25)
где Т— символ хронологического упорядочения. Она удовлетворяет уравнению
V— g (vzVi + m2 + ^/?)G(x, х') = б(х—х') (8.26)
и по трансформационным свойствам является бискаляром; б (х—х') — обычная четырехмерная б-функция, определенная равенством У d4x7(х7)б(х—x')=f(x) и имеющая трансформационные свойства скалярной плотности. Функцию G(x, х') можно представить в виде
G (х. х') = G$(x, х’) + (i/2) G<0 (х. х'), (8.27)
где Gs= (Gadv—Gret)/2; GO)— симметричное по x и x' решение однородного уравнения Клейна—Фока, называемое функцией Адама- ра и определяемое равенством
G0)(х, х') = <[Ф(х). Ф(х')]+>м. (8.28)
В плоском пространстве-времени вакуум стабилен и G, Gs, GW переходят соответственно в функции, обозначенные в [8] Dc, Ds, D.
Для исследования асимптотик функций G, G8, GW при х'->х применим технику Швингера—Де Витта [32, 37], основанную на методике собственного времени Фока [144]. Введем абстрактное гильбертово пространство 31 с базисом из векторов |х>, являющихся собственными для формального оператора координаты х*. Условия полноты и ортонормированности запишем в виде
У^хУ^У | х> <х | =1;
<х I х > =(_g(x))-‘/.6(x-x'),(8.29)
так что |х> имеют трансформационные свойства скаляров.
Представим функцию Грина 6(х, х') в виде матричного элемента некоторого оператора G, действующего в пространстве^ :
G^ х') = <х | G | х'>.(8.30)
Введем оператор F, обратный G:
FG = L(8.31)
Координатное представление этого оператора есть
F^x. x') = <x|F|x'>=F(x)(—5rv,6(x —х'),(8.32)
где F(x) = V^Vi+^+S^ — оператор Клейна—Фока.
Оператор G, соответствующий причинной функции Грина, получается как решение операторного уравнения (8.31) вида G = = (F—Ю)-1 [удобно считать, что F(x) в (8.32) вместо т? содержит т2—10]. Тогда G можно представить в виде интеграла
G = (F —io)-1 = if dsexp(-iFs).(8.33)
о
Возвращаясь к координатному представлению (8.30), можем написать:
G(x, х') = i *ds<x(s) | х(0/>;(8.34)
о
<x(s) I x(0)'>=<x I ехр(—isF) I х'>.
Здесь, пользуясь эрмитовостью F, мы обозначили exp(isF)|x> = = |x(s)> и |х>=|х(0)>. Очевидно, F можно рассматривать как оператор эволюции в гильбертовом пространстве 31 по «времени» s. «Волновая функция» <x(s)|x(0)> при этом удовлетворяет пятимерному уравнению Шредингера
в котором F^x) играет роль гамильтониана, а пятая координата s, имеющая размерность квадрата длины, — роль времени. Начальное условие для <x(s) |х(0)'> имеет вид
<х(0) | х(0)'> = (-g)-v.6(x-V).(8.36)
В плоском пространстве точное решение уравнения (8.35) есть
<(х (s) | х (0)') = —i(4ns)~2 exp [— i (m2s + о (x, x')/2s)J,(8.37)
где o(x, x')—геодезический интервал, равный половине квадрата длины геодезической, соединяющей точки х и х';
к
о(х, х')=Р/2; / = (dX-fg,^ ^-Y/e ,(8.38)
J \ ак ак J о
[в декартовых координатах а(х, х')=тьа(х'"—х') (xft—хк')12У
В искривленном пространстве найти решение уравнения (8.35) в замкнутом виде [как и аналогичного уравнения (6.9) в электродинамике] удается только в исключительных случаях, например для пространства де Ситтера [33]. Поскольку нам нужна сейчас лишь асимптотика G(x, х') при сближении аргументов, воспользуемся ВКБ-приближением. Заметим, однако, что при этом мы полностью потеряем информацию о мнимой части функции GO, которая, вообще говоря, отлична от нуля и связана с рождением частиц.
Решение уравнения (8.35) с начальным условием (8.36) будем искать в виде
<x(s) | х(0)'> =1А’^х, х')й(х, х'; s)exp^—*(~2~ "^ m2s^>
(8.39) где Q — функция, подлежащая определению;
А(х, х') = -detf-^/L) WhW«(8.40)
\ дхдх J
(G = detgik). Функции a(x, x') и A(x, x') удовлетворяют уравнениям
dlGdto = 2c; v' (Л^а) = 4A.(8.41)
причем Д(х, x) = l. В римановом пространстве функция a(x, х'), вообще говоря, неоднозначна; может существовать несколько геодезических, соединяющих х и х'. В таком случае в (8.39) следует брать то значение, которое минимально при достаточно близких х и х'.
Подставляя (8.39) в (8.35) и используя тождества (8.41), получаем уравнение для искомой функции й(х, х'; s):
ВКБ-решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степе ням is:
(8.43)(8.43)Q(x, V; s) = fa„(x, х')0«)".
(8.43)
(8.43)
В силу (8.36) и (8.39) а0(х, x'^Q^x, х*\ 0) = 1. Для остальных коэффициентов подстановка (8.43) в (8.42) дает рекуррентные уравнения
(Л^ + л)^, x') +д-,/,?А?»(д,/,°"-1(х* -t')) + ^°»-1 (^ х') = 0,
(8.44)
где производные берутся по аргументу х.
В дальнейшем нам понадобятся значения an(*, V) при совпадающих аргументах. Непосредственное вычисление [34, 37] дает
OjsaJx, х) = f4~ Я;\ о /fl2 = a2(x, x^A-^Rmm-R^R^-
-M^-^w^-v 4 (4-О2 ^-<8-45)
Подставляя (8.39) сйв виде (8.43) в (8.34), получаем асимптотическое разложение для G (х, х'):
G<x, V) = 44 f4 еМ~‘(^^V^IY}^*’ ^О®)"- 0л=0
Изменяя порядок интегрирования и суммирования и пользуясь интегральным представлением для функции Ханкеля второго рода
н^ (2) = —1 J dtr1 exp j — i z ^ + 4) / 2] ’(8-46)
о
это разложение можно записать в виде
с(,.У)/--^уГ"""!21^^].
V’\ дт») -1/2^5" J
л=0г
(8.47)
Интеграл в (8.46) понимается как предельное значение аналитической в нижней полуплоскости функции, т. е. в (8.47) подразумевается о=а—i0.
Нетрудно проверить, что в плоском пространстве отличен от нуля только первый член ряда (8.47), который совпадает с обычной причинной функцией Грина Dc в определении [8]. Коэффициенты an(x, V) по порядку равны ап(х, х')~р-2п, где р — харак-
терный радиус кривизны пространства-времени [см. (8.3)]; убедиться в этом проще всего с помощью уравнения (8.44), вводя в метрику масштабный фактор. Поэтому ряд (8.47) можно рассматривать как разложение 6(х, х') по степеням (тр)-2=(Ур)2 (/с — комптоновская длина).
Для исследования поведения 6(х, х') при х'->х (о-^О) можно воспользоваться разложением функции Ханкеля в степенной ряд; таким образом получаем
G(x, x')=-^L(+
4л2 I m2a \4 /
216m1 L k 2/2 j
t_ аг(х, x') [ 1 Unto , m*a ,1 t ) /o ^
+|-— + — +(8.48)
где L = (1/2)In [(1/2) m2a]+C; C=0,577...— постоянная Эйлера; выписаны члены до O(m2a) и O((mp)-4) включительно.
Обращает на себя внимание, что при конформной связи (| = = 1/6) структура сингулярностей функции Грина та же, что и в плоском пространстве, поскольку в этом случае ai = 0 [199]. Чтобы разделить (8.48) на Gs и (i/2) G<*> согласно (8.27), можно воспользоваться формулами
(х — 10)-1 = х~1 +1 лб(х); In(х — 10) = In | х | — inO(— х)
(как сказано выше, в ВКБ-приближении G<*> вещественна).
Перейдем теперь непосредственно к анализу расходимостей в эффективном действии W. Входящую в определение W амплитуду <0Out|0m> представим в виде функционального интеграла
<0out I Oln>=jD[V]exp(iS).(8.49)
Для вещественного скалярного поля классическое действие есть
S = 2- J d*x V=7 (д^Ф - mV - W)-
Выполняя интегрирование по частям и отбрасывая внеинтеграль- ные члены, его можно представить в виде квадратичной формы
5 = — у jVx V^ фМО^ + ^ + б^фМ =
=^- J d4x V—g(x) f d4y V—g^ Ф to P (*• У) Ф to* (8 50)
где F (x, у) определен в (8.32). Теперь функциональный интеграл в (8.49) вычисляется стандартным методом [200]
<0out | 0ln> = [det (i Р/2пМ»)ГЧ*.(8.51)
Здесь М— не зависящая от метрики нормировочная постоянная, имеющая размерность массы.
Эффективное действие находим согласно (2.7):
W = i In <0out | 0ln> = ^- In det (i F/2nM2) = -^ tr In (i F!2nM^, (8.52)
где 1гЛ означает след оператора А в пространстве ЗС, т. е.
(8.53)(8.53)tr Л = lim J d4x V—g (х IЛ | х').
(8.53)
(8.53)
Вариация W при вариации метрики bgik равна
6U7 = -L tr (?-‘б?) = у tr I i J ds exp (— i Fs) 6FI.I оJ
где для F-1 использовано представление (8.33) в виде интеграла по собственному времени. Это выражение можно записать как полную вариацию:
(8.54)(8.54)6W =— 6 tr J fdss-1exp(—iFs)l.
(8.54)
(8.54)
2| Jx
l о
Возвращаясь к явному координатному представлению следа (8.53) и используя для матричного элемента от экспоненты обозначение (8.34), найдем
IT = - 4- Um J d*x V^i f dssr-i <x(s) | хф)'> - Jd*xXetl. (8.55) 2 x'-»x J
0
Представляя пропагатор <x(s)|x(0)/> no (8.39), приходим окончательно к следующему выражению для эффективного лагранжиана:
^е« =^е« =-—^-lim Д’^Г-^-ехрГ—i (m^A- —— ^]^(х» х'; $) = 32л» х'^х J s3 *4\ 2s У J к '
^е« =
^е« =
= “ Х^- J 1г ^р (~'т2$)й(х' х; $)'(8-56)
о
Интеграл по s расходится на нижнем пределе [сходимость на верхнем пределе обеспечивается тем, что всюду в интегралах по s, согласно (8.33), понимается m2=m2—Ю].
Из (8.43) видно, что при мнимых s функция Q принимает вещественные значения. Повернем контур интегрирования в (8.56) на угол —л/2. Если й(х, х; s) имеет полюсы при Ims<0, контур за них «зацепится» и они дадут в (8.56) конечный вклад, который соответствует рождению частиц. Расходимости будут содержаться в интеграле по мнимой оси
Для выделения расходимостей воспользуемся ВКБ-разложени- ем (8.43) при х'=х. Бесконечный вклад дают первые три слагаемых
^dhr = ^32л^ V^s + ^а^^ + ^гЛ)»(8.58)
где коэффициенты аь а2 определяются равенствами (8.45), а /п— расходящиеся интегралы
Jn = J dzz-nexp(—г), о
Воспользуемся тем, что в четырехмерном пространстве-времени справедлив аналог двухмерной теоремы Гаусса—Бонне: интеграл
3 =^xV=g (^к,т^Мт-^1^,к + ^)(8.59)
является топологическим инвариантом, т. е. 63 !6gik=0 (величина 3 называется характеристикой Эйлера—Пуанкаре и зависит только от топологии многообразия). Это позволяет отбросить в эффективном действии вклад, пропорциональный 3 . Точно так же можно отбросить вклад 4-дивергенции VkVkR. В результате расходящуюся часть эффективного лагранжиана можно представить в виде
^div = У^^с- 2Л» + ^VlGnG» + а, 0?кК1к - 7" ^) + Р«^] •
(8.60)
где Л«, G^1, Ооо и Роо — бесконечные константы, которые связаны с расходящимися интегралами /п в (8.58) равенствами
Лоо/влб» =^- J3; G^1 = -^-£-) А;
1 z . к 1 /е 1 V 71920 я* 164я« \6 V
Заметим, что при конформной связи (£ = 1/6) G»1 = О, р<»=0. Выпишем выражение для расходящейся части вакуумного среднего ТЭИ:
<7,l>d„ = ^ -ArSd-xtii, - ^gtt + ^G,. +
+ А + (?.-^ооу1,//|6,(8.61)
где
0>нш = yj^j -^г J d4* V— g 1^=2 ^t^kR—guVViR) +-V2R^Rtk—LRglky,тнш = -y=- VT J ^x v^ RlmRim = ViV^ - V^iRik --y ^ViR + R^R^gik + 2RlmRUmk. (8.62)
Для спинорного и векторного полей получаются результаты, подобные (8.60), (8.61). Значения коэффициентов, аналогичных at, аг, для этих случаев приведены в [2, 33].
Таким образом, структура расходимостей вакуумных средних ТЭИ в гравитационном поле установлена. Для устранения этих расходимостей можно применить обычную процедуру перенормировок, предполагая, что затравочный гравитационный лагранжиан имеет вид
^gr. о^gr. о= V- g [(- 2Л0 + ₽)/16«G0 + a, ^RtkRlk - -Ь Я*) + № ],
^gr. о
^gr. о
(8.63)
где Ло, Со, ао и ро — затравочные (голые) значения соответственно космологической постоянной, гравитационной постоянной и коэффициентов перед квадратичными членами. Наличие в (8.60) квадратичных по кривизне членов приводит к тому, что при квантовании неизбежен выход за рамки эйнштейновской ОТО по крайней мере в затравочной теории. Значения ренормированных констант Лгеп, Gren, Oren, Pren должны определяться из эксперимента. Возможно, что Лгеп=Oren=Ргеп=О. Следует иметь в виду, что классическая теория гравитации с а, р=/=0 отличается от ОТО радикальным образом (см. § 8.3).
Определяемый (8.57), (8.60) перенормированный лагранжиан ^геп = X'ett — 5?div описывает поляризацию вакуума гравитационным полем (мы исключили часть, соответствующую рожденным реальным частицам). С помощью ВКБ-разложения (8.43) можно получить поправки, аналогичные поправкам Гейзенберга—Эйлера в электродинамике (см. гл. 6). Однако их область применимости ограничивается слабыми полями, для которых характерная кривизна пространства-времени р-^/и. Для получения перенормированных средних ТЭИ в сильных гравитационных полях необходимо использовать более эффективные методы, описанные в § 8.5.
Рассмотрим ситуацию, возникающую для безмассового поля. При т=0 интеграл /| в (8.58) расходится не только на нижнем, но и на верхнем пределе (что соответствует инфракрасной расходимости в импульсном пространстве). Эту расходимость нельзя включать в S5div » так как это привело бы к появлению такой же расходимости в перенормированном лагранжиане 5?геп. Устранить
ее можно введением обрезания при т=тт. Значение тт произвольно: его изменение приведет к конечной перенормировке константы а0.
Остановимся еще на важном частном случае пространства-времени, метрика которого имеет вид
ds2 = Н (и, у, z) du2 4- 2dudv — dy2 — dz2;
H (и> у t z) = (у2 —z2) f (a) + 2yzg (u), где и, и — нулевые (световые) координаты; f, g — произвольные гладкие функции с компактным носителем. Эта метрика описывает плоскую гравитационную волну типа сандвича, распространяющуюся в направлении х=(и—и)/2 [179]. В [201] показано, что такое гравитационное поле не рождает частиц и не вызывает поляризации вакуума. Отсутствие рождения частиц объясняется существованием в этом случае глобального светоподобного вектора Киллинга dldv. Что касается поляризации вакуума, то ее не возникает по той причине, что все инварианты тензора кривизны здесь равны нулю. В этом отношении гравитационная плоская волна ведет себя вполне аналогично электромагнитной (см. § 6.1).
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
В § 8.4 показано, что расходимости в средних ТЭИ имеют локальный характер и что их можно устранить с помощью перенормировок в лагранжиане гравитационного поля. Рассмотрим теперь различные методы регуляризации, пригодные для сильного гравитационного поля.
Одним из наиболее эффективных для расчета перенормированных средних является метод n-волновой регуляризации [35], общая схема которого была описана в § 2.2. В применении к средним ТЭИ в гравитационном поле он формулируется следующим образом:
<Т»> ■ <0 I TtK I 0>ren = f МК(Х, т);(8.64)
T|k (X, т) — 5 7Г Г Т•
И о \п •) [ лJ I
1=0'
a Tth определяется спектральной плотностью в неперенормирован- ных выражениях:
<о | T^f 0>=jdXTift(X, m).(8.65)
Можно показать, что вычитание слагаемых в (8.64) с / = 0, 1 и 2 осуществляет устранение расходимостей, пропорциональных соответственно gik. G[ik и ^Hih, ^Нгк в (8.61) (см. гл. 9). Этот метод по своей конструкции обеспечивает консервативность результата.
Если спектр X дискретный (например, когда 3-пространство замкнуто), процедура (8.64) требует некоторой модификации. Дело в том, что хотя в этом случае в (8.65) стоит сумма по дискрет-
ным X, вычитать в (8.64) все равно следует интегралы того же вида. Причина этого заключается в том, что расходимости определяются локальными свойствами пространства-времени и не зависят от его глобальных, в частности топологических, характеристик (см. § 8.3). Грубо говоря, можно считать, что в n-модах исчезает разница между дискретным и непрерывным спектрами. Тогда (8.64) модифицируется следующим образом:
2(
<г”> =± В "Н ЛВ 1 х/=о
X [—т<к(пХ, nm)l '•(8.66)
L«J
Разность между расходящейся суммой и расходящимся интегралом в (8.66) следует понимать так, как было объяснено в гл. 3, и можно вычислить с помощью описанных там приемов. Следует заметить, что использованная там регуляризация является частным случаем изложенного здесь метода.
Методу n-волновой регуляризации эквивалентен метод адиабатической регуляризации [36], основанный на введении параметра адиабатичности изменения метрики и вычитании из (8.65) первых членов асимптотического разложения Т^ по обратным степеням этого параметра.
Другой способ регуляризации — это метод раздвижения аргументов операторов поля в билинейной форме ТЭИ (34, 202]. Один из вариантов этого метода [203] основан на раздвижении аргументов в разложении <0|Ttk|0> по собственным функциям. В пространстве-времени размерности л>2 этот метод технически очень сложен. К тому же для получения консервативного результата приходится отбрасывать конечные члены, зависящие от направления раздвижения.
Оправдание отбрасыванию подобных членов дает несколько более общий подход, развитый в [34], где вычисляется матричный элемент (8.24) с раздвинутыми аргументами у операторов поля с помощью определенной в (8.28) функции GW(x, x'Y Например, для скалярного поля с конформной связью, указанный матричный элемент есть
<га>м = ^[у (V<V*' + VrVh)^- gikV^Vi -“^ (V.Vk + VrVtO +
+ "4г gik (v'vz + v'Vi’) + 4г f^ik —-7<g<k) + -^-m4g(klc(1> (x, x').
(8.67)
Выделение в (8.67) подлежащей вычитанию бесконечной части <Тгк><ич проводится методом Швингера с использованием асимптотического разложения ^Цх, х’У которое получается из (8.48), если там игнорировать бесконечно ^алую мнимую добавку в ст. При этом в <Гхк>л\ч включаются те члены разложения <Т,л>м по степеням ст, которые содержат коэффициенты а0, at и а2 и по Параметру т2 имеют порядок О(т°) и выше.
Остановимся еще на двух весьма элегантных ковариантных методах регуляризации. Один из них— метод размерной регуляризации [31], применявшийся к задачам квантования в искривленном пространстве в [203—206] (см. также [2]). Исходным пунктом здесь является аналитическое продолжение расходящихся выражений в комплексную плоскость по размерности N пространства-времени. Подлежащие отбрасыванию слагаемые идентифицируются как полюсные члены при N->4. Этот метод в сочетании с л-волновой процедурой применен для изотропных метрик в гл. 9.
Второй ковариантный метод — так называемый метод обобщенной £-функ- ции [33, 74]. В общих чертах этот метод состоит в следующем. Пусть Хп, |фп> — собственные значения и собственные векторы оператора F, определенного в (8.31), (8.32). Тогда спектральное разложение оператора Gv можно формально записать в виде
о* ==2 VI ф«> <ф» I •(в-68)
п
Определяемый равенством (8.53) след 6 v равен
(8.69) п
[использовано условие полноты (8.29)]. Величина (8.69) называется обобщенной 2-функцией оператора F по аналогии с обычной ^-функцией Римана (к которой она сводится, если F имеет дискретный спектр).
Основная идея данного метода регуляризации базируется на том, что обобщенная {/функция (как и {/функция Римана) допускает аналитическое продолжение в комплексную плоскость, регулярное в точке v=0 [тогда как ряд (8.69) при v=0, очевидно, расходится]. При этом регуляризованный эффективный лагранжиан выражается через значения 2(0) и 2'(0) (см. ниже).
Для построения аналитического продолжения используем легко проверяемое равенство
а”^ == i [Г (v)J—1 J ds (i s)v—1 exp (i as).о
Из него вытекает, что 2М из (8.69) можно представить в виде
С (v)=[r (v)l~i i J d*x V—g J ds (i s)*-1 <x | e~ *$F | x>.(8.70)
XXМатричный элемент под знаком интеграла можно согласно (8.34) рассматривать как предел при х*->х пропагатора <x(s) |х(0)'>. Используя для последнего В КБ — разложение (8.39), (8.43) и трижды интегрируя по частям, находим
X
X
2 (v) = (4л)~2 [v (v — 1) (v — 2) Г
X
j* ds (i s)v о
d(is)3~ lQ <*» x? s> exP (~ 1 ^b
(8.71)
Очевидно, что правая часть (8.71) является граничным значением аналитической по v функции при Rev>—1, так что (8.71) дает требуемое аналитическое продолжение £(v). В частности, из (8.71) легко найти
С (0) = i (4Л)-* J d*xу^ [m«/4 - т*а, + oj.(8.72)
В то же время из (8.69) имеем
£'(v)=-SVlnX«.л
так что
£'(0) = — 51пХ„ = — in det?(8.72а)
Л
[явное выражение £'(0) нам не понадобится]. Поскольку tr (p/jV^li/'^Ctv), In det (ц?) = tr In (ц?) = - -7- (ц~Ч (V)) | v=0 = - Г (0) + С (0) In н.
Это позволяет представить эффективное действие (8.52) в виде
^геп ^ Г (0) - у С (0) In (- 2я 1 М^,(8.73)
который уже не содержит расходимостей. В [33] методом обобщенной £-функ- ции найдено точное выражение для перенормированного эффективного лагранжиана в пространстве де Ситтера.
Найдем след перенормированного ТЭИ. След матричного элемента <Тгл>м получается непосредственно из (2.8):
<71>м = 2(8.74)
Сравнивая (8.34) и (8.55) с учетом (8.39), находим
<Т{>м = — (1/2) m8 lim G (х, х') = — 2д$еИ1д in т8.(8.75)
Аналогично для расходящейся части получаем (rbdiv = — 2dj?dlv/d In т8.(8.76)
Сравнивая (8.56) и (8.58), видим, что в S5div входят первые три члена разложения (8.43) функции Q; с помощью (8.48) его можно записать так:
^dlv^dlvб-*+ 1/26—L/4 + 3/16б-*+ 1/26—L/4 + 3/16
^dlv
^dlv
б-*+ 1/26—L/4 + 3/16
б-*+ 1/26—L/4 + 3/16
(8.77)(8.77)^^1- (1/26 -£/2 4-1/4)- —^£12У_ £1.
(8.77)
(8.77)
т*2 т4 J
Подставляя это выражение в (8.76), находим
<^>db=M16n8),(8.78)
Где а2 приведено в (8.45).
Рассмотрим безмассовое конформно-инвариантное поле (£ = = 1/6), для которого, как видно из (1.23), Т„* = 0. Очевидно, что и для неперенормированного среднего <7\>м = 0, однако <7\>div для £=1/6 остается отличен от нуля. Поэтому след перенормированного среднего ТЭИ конформно-инвариантного поля также отличен от нуля и равен
<Tb = <^>M-<T{>div = -а^бл* =
= —^Г VRtMmRuim-RlfcR» + v*v^L (8.79)
Итак, в результате регуляризации вакуумное среднее ТЭИ приобрело отличный от нуля след. Это — конформная аномалия, которая упоминалась в § 8.3. Аномальный след получается при использовании всех методов регуляризации, удовлетворяющих требованиям, изложенным в § 8.3.
Очевидно, аномалия возникает из-за последнего члена в Sdiv (8.77), который логарифмически расходится при а—>-0. С ним же связана инфракрасная расходимость при лг2-»-0, но сам след при этом остается конечным. В [33] дано доказательство существования конформной аномалии, не опирающееся на предел т^-0 массивной теории.
Аномальный след удобно выразить через конформный тензор Вейля [179]
Culm = Ruim — Rltigklm + RmligkH + ~^ RglUgk\m (8.80) (квадратные скобки означают антисимметризацию по заключенным в них индексам). Из (8.80) вытекает
CtM,nCutra - RlMmRuim~^RtkRu + Y R1- (8.81)
В конформно-плоском пространстве С$мт=0.
Приведем значения следа <T*i>reg для скалярного, спинорного и векторного [преобразующегося по представлению (1,0) локальной группы Лоренца] полей сразу [207]:
(скалярное и векторное поле здесь предполагаются вещественными). Существенно, что восстановить конформную инвариантность теории введением в Xgr локального контрчлена невозможно. Из соображений размерности очевидно, что такой контрчлен должен 172
был бы иметь вид комбинации инвариантов RihlmRiMm, RikRik и R?, или, что эквивалентно, CiklmCiMm (RiklmRiMm—4RikRik+R2) и /?2. Член с квадратом тензора Вейля всегда даст при вариации по gtk тензор с нулевым следом. Вторая комбинация при интегрировании по d4xV—g дает топологический инвариант (8.59), вариация которого тождественно равна нулю. Только контрчлен, пропорциональный R2, дает при вариации тензор wHtk из (8.62), след которого (1)Я( = — ^^^iR* однако не исчерпывает аномального следа (8.82).
Поскольку лагранжиан рассматриваемой теории конформноинвариантен, отличие следа ТЭИ от нуля означает спонтанное нарушение конформной симметрии во внешнем гравитационном поле.
Аналогичная аномалия возникает в калибровочных теориях для аксиального тока [200], причем аномальный аксиальный заряд выражается через индекс Понтрягина Р. Для гравитационного поля
где eikr*— единичный антисимметричный тензор.
Этот результат может быть установлен без использования каких-либо методов регуляризации с помощью теоремы Атья—Зингера об индексе дифференциального оператора, которая в применении к данному случаю утверждает, что число нулевых собственных значений евклидова оператора Дирака в поле с индексом Р равно Р. Электромагнитное поле топологически тривиально (так как оно является абелевым калибровочным полем) и имеет нулевой индекс Понтрягина. Неабелевы же калибровочные поля (в том числе гравитационное) могут иметь Р=^=0. В (207] таким же способом получена конформная аномалия для следа вакуумного ТЭИ квантованных полей во внешнем гравитационном поле.
Глава 9
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ОДНОРОДНОМ ИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ В ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ МЕТРИКАХ
В этой главе изучается рождение частиц и поляризация вакуума гравитационным полем, которое описывается метрикой однородного изотропного пространства. Высокая симметрия позволяет в этом случае провести полное количественное изучение квантовых эффектов.
Пространство-время называется однородным, если оно имеет такую группу изометрий (группу движений), что преобразования Из этой группы оставляют инвариантными некоторые пространст-
венноподобные гиперповерхности, которые называются гиперповерхностями транзитивности (или однородности). Если гиперповерхности однородности есть максимально симметричные 3-пространства (гиперповерхности постоянной кривизны), то пространство-время называется изотропным.
Рассмотрим семейство гиперповерхностей однородности и времениподобное векторное поле |‘, всюду ортогональное к гиперповерхностям этого семейства. Интегральные кривые x^t) этого векторного поля можно рассматривать как мировые линии системы наблюдателей, для каждого из которых 3-пространство представляется изотропным. Пространственные координаты можно выбрать так, чтобы на каждой интегральной кривой они были постоянны: *®(/) = const. Задаваемая таким образом система отсчета называется сопутствующей. В реальной Вселенной подобная система отсчета задается крупномасштабным распределением галактик и фоном реликтового радиоизлучения. Она является привилегированной в том смысле, что только в ней 3-пространство выглядит изотропным.
В сопутствующих координатах метрика однородного изотропного пространства-времени имеет вид [192]
d£ = ffi^d^ = dfr — d^dP, (91) где t — синхронное собственное время сопутствующих наблюдателей; dl2—метрика 3-пространства постоянной кривизны х = =—1, 0, +1:
dP = '{aedx^dx» =d^ + P (х) (dO1 + sin1 Bdy1); (9.2)
f(x)=shx» X» sinx соответственно для x=—1, 0, 4-1. Координаты X, 6, ф — безразмерные, а функция a(f), называемая масштабным фактором, имеет размерность длины.
При х=—1 метрика (9.1), (9.2) описывает гиперболическое пространство-время (открытая модель). Гиперповерхности t= = const в этом случае неограничены и имеют группу симметрии 0(3, 1); на них реализуется трехмерный аналог геометрии Лобачевского. Координата х меняется в пределах 0^х^°°- ПРИ х= +1 метрика (9.1), (9.2) описывает сферическое пространство- время (закрытая модель). Здесь 0^х^я и 3-пространство замкнуто: сечения t=const есть 3-сферы [группа симметрии 0(4)]. Масштабный фактор a(t) в обоих случаях имеет смысл радиуса кривизны 3-пространства в момент t
При х=0 3-пространство (9.2) плоское (хотя кривизна четырехмерного пространства-времени отлична от нуля). Такая метрика называется квазиевклидовой. В этом случае в 3-пространстве вместо сферических координат (9.2) можно использовать декартовы с yap=diag (1, 1, 1). Величина а^ в квазиевклидовом пространстве абсолютного смысла не имеет: фиксирование ее значения в некоторый момент задает лишь масштаб длины.
Вместо синхронного времени t часто удобно пользоваться безразмерным «конформным» временем т):
T|=Ja-1(0^.(9.3)
В терминах т) метрика (9.1) имеет конформно-статический вид ds8 = a8 (tj) d? = а8 (т)) (d^8 — d/8),(9.4)
т. е. отличается от статической метрики ds2 лишь конформным множителем а2(т)).
Однородное изотропное пространство-время является не только конформно-статическим, но и конформно-плоским. Это означает, что во всех трех случаях х=—1, 0, +1 существуют координаты х’, в которых метрический тензор имеет вид gik = ехР l^Wl g^ (gi^ —метрический тензор пространства Минковского). В конформно-плоском пространстве тензор Вейля Сшт=0 и согласно (8.80) тензор кривизны полностью определяется тензором Риччи.
Параметром, характеризующим интенсивность гравитационного поля, здесь является так называемый параметр Хаббла
Л = а(/)/а(/) = a'(W(l)(9.5)
(здесь и ниже производная по t обозначается точкой, а по q штрихом). Значение параметра Хаббла для нашей Вселенной на современном этапе ее эволюции йо«50 км/(с-Мпс)~ «610"27 см-1 называется постоянной Хаббла. Из оценки (8.6) можно получить критическое значение hc, при котором эффект рождения частиц массы m станет заметным: hc~m. Для современной Вселенной Мкс~ lO^37 (в оценках используется масса электрона), так что квантовые эффекты не играют сколько-нибудь заметной роли. Существенными они могли быть лишь на ранних стадиях эволюции, вблизи космологической сингулярности.
Высокая симметрия однородных изотропных пространств позволяет сравнительно просто найти полные системы решений уравнений скалярного, спинорного и векторного полей.
Начнем со скалярного поля. Уравнение Клейна—Фока (1.17) в метрике (9.4) имеет вид
<р" + 2 (а'/а) ф' — Д2ф + (т8 + ^) о8Ф = 0,(9.6)
где Аг — оператор Лапласа — Бельтрами (1.21) на 3-пространстве с метрикой (9.2); /?=6а-2(а"/о+х)—скалярная кривизна в метрике (9.4).
(а.+*5)0,-о.(а.+*5)0,-о.Для нахождения полной ортонормированной системы решений уравнения (9.6) нам потребуются собственные функции Ф/(х. 0. ф) оператора Лапласа— Бельтрами
(а.+*5)0,-о.
(а.+*5)0,-о.
(9.7) 175
которые образуют базис унитарного представления группы изометрий 3-пространства постоянной кривизны; / обозначен коллективный индекс, нумерующий собственные функции.
В гиперболическом случае (х=—1) разделение переменных в (9.7) в координатах х» 0, ф приводит к системе функций Ф/, классифицируемых набором индексов (квантовых чисел) /={Х, I, т}, Q<\<od\ l=0t 1, 2 ...; m =—/, —/+1 L
Явный вид этих функций [208]:
где х=(х, 0, ф); P^(z) —присоединенные функции Лежандра; Y/m(0, ф) —сферические функции, определенные так, что ^т=(—1)т^-т, и нормированные на единицу.
В сферическом пространстве (х= + О собственными функциями Д2 являются четырехмерные сферические гармоники [209]
Ф^’-^г/Ф). (9.9)
В отличие от (9.8) здесь Х= 1, 2 ...; /=0, 1, ..., X—1.
В квазиевклидовом пространстве Ф j (х, 0, ф) — обычные сферические волны.
Собственные значения &2/ во всех трех случаях x^ — L 0 можно записать в виде
(9.10)(9.10)*5=1»—%.
(9.10)
(9.10)
Назовем X импульсным квантовым числом; ему соответствует физический импульс &=Х/а(т]), который в нестационарной метрике, конечно, не сохраняется. Квантовые числа / и т имеют смысл момента и его проекции на ось 0=0.
Соотношения ортогональности и нормировки для функций Ф/ имеют вид
Jd»x Vv ф} (х) Ф,. (х) = 6^.,(9.11)
где Y=det уоьр; б jj, включает б-символы для дискретных компонент коллективного индекса / и б-функцию для непрерывных. Условие полноты есть
j ф (J) ф; (х) Ф, (х') = ^- 6 (X - х').(9.12)
где б(х—х')=б(х—Х')6(0—О')б(ф—ф'); d^J)—мера на множестве квантовых чисел:
(9.13)(9.13)
(9.13)
(9.13)
Приведем некоторые свойства функций Ф/(х), необходимые в дальнейшем [208, 210]. Применяя к равенству (9.11) оператор Лапласа—Бельтрами и используя (9.7), (9.10), получаем равенство 176
J <Px Ут 7“ЧФ} (X) ^j’ (x) = (^ - x> 6JJ'.(9.14)
С помощью теорем сложения для сферических функций и функций Лежандра приходим к формуле суммирования функций Ф/ по индексам I, т:
^^WW-^r"^-<9-15)
Um
Здесь f(p)=shp, р или sin р соответственно при х=—1, 0 или + 1; р — геодезическое расстояние между точками х и х', которое в метрике (9.2) определяется равенствами
ch р = ch х ch хг — sh х sh х* cos р, x = — 1;
cosp = cosx cos%' — sin % sin %' cos 0, x = + 1;(9.16)
P = lx2 + X'2 — 2xx'cos Й7*’ X = 0, где cos 0=cos 0 cos O'—sin 0 sin 0'cos (ф—ф'). При x=x' (9.15) во всех трех случаях сводится к
2 w><9j7>
l.m
Применяя к равенству (9.15) оператор — и переходя к пределу
дз?* дх'р
х'—>х, получаем
2 дХ W W <х> = VaP •(9-1»)
1,т
Свертка (9.18) с тензором уаР дает
2 Д,(ф; (х), ф, (х)) = -^^-.(9.19)
Um
Наконец, вычисляя вторую ковариантную производную VaV р в метрике (9.2) от равенства (9.17) и используя (9.19), находим
Продолжим теперь построение полного набора решений уравнения Клейна—Фока (9.6). Полагая
(9.22)(9.22)Ф/ W = а*1 (т|) g, (т]) Ф/ (х)
(9.22)
(9.22)
и учитывая (9.7), (9.10), получаем уравнение для временной функции
gj 01) + Й2 00 gj 00 = 0.(9.23)
где
^01) = “201)~ 701);^01) = “201)~ 701);(9.24)(9.24)
^01) = “201)~ 701);
^01) = “201)~ 701);
(9.24)
(9.24)
юа = х2 + /п2а2;юа = х2 + /п2а2;q = (-5А ^ = 6 (-1— А (o'/а + х).
юа = х2 + /п2а2;
юа = х2 + /п2а2;
Заметим, что при конформной связи в (1.17) (£ —|с=1/6 в четырехмерном пространстве-времени) ^(т|)=0.
Величину <о в (9.24) естественно понимать как безразмерную одночастичную энергию; физическая одночастичная энергия к0= = <й1а=^кг-\-тгу1г. Поскольку частота £2 в (9.23) определяется лишь импульсным квантовым числом X, в дальнейшем вместо gj будем писать gx. Нормируем gx условием на вронскиан
Ых — gkgk = — 2LЫх — gkgk = — 2L(9.25)(9.25)
Ых — gkgk = — 2L
Ых — gkgk = — 2L
(9.25)
(9.25)
Начальные условия на функции Ях(л)> задаваемые в некоторый момент т|=т)о,
gx (По) = ®-,/* (По); gx 0b) = i® (По) gx (Ио) (9.26)
определяют полный набор классических решений уравнения (9.6):
Ф^+) = 2-,/.a-‘gx(T1)O;(x); ф$-> = (Ф^’)*.(9.27)
ортонормированный согласно (1.64) в смысле скалярного произведения (1.26). При этом Ф/+) и Ф/—’ можно рассматривать как положительно- и отрицательно-частотные в момент т|=т|о функции.
Перейдем теперь к спинорному полю. Общий вид уравнения Дирака и динамических величин для спинорного поля во внешнем гравитационном поле был приведен в § 1.2. В однородном изотропном пространстве-времени с метрикой (9.4) реперные векторы hWi, определяемые равенством (1.50), естественно выбрать касательными к координатным линиям
А(о)о = — А(п 1 =а(п); А(2) 2 = — а(п)/<Х);(9.28)
А(3)з = — a(Tj)/(x)sinO; Л(оМ = 0, а=£/.
Подставляя (9.28) в (1.54) с использованием (1.51), (1.52), получаем уравнение Дирака в метрике (9.4):
J-Lyo JL + vi jL + y® J—<L + y3—!L. + I^LTo +
a L Л|/ 50 fsinO dtp 2a r
+ T Y1 + ^It—М - 0.(9.29)
Разделение переменных в (9.29) осуществляется следующим образом [211, 212]. Положим
^ (ху= аг •/• [/^ (п) / Ф /х_ (т|) /] N, (%, в, ф),(9,зо)
где компоненты коллективного индекса /={1, /, /, М} принимают значения 0^1<оо, /=1/2, 3/2... для х=—1; 1=3/2, 5/2, .... /=1/2, 3/2 1—1 для х=4-1; /=/±1/2, —/^Af^/ в обоих случаях; / — единичная матрица 2X2; Nj^x* 0, ф)—биспиноры, не зависящие от времени. Последние можно представить в виде
^х,/,/±—. м = ^/^^(в* Ф)Ф±^(х)б(0, <A\Z J_M.(9.31)
где
G = 1 (^ П (6 + ф)/2], — i exp [i (0—ф)/2] \ . .g 3„ 1/2" \ exp [—1(0—ф)/2], 1ехр[—1(0 + ф)/2/"
ZjiM (0. ф)—биспинор, составленный из шаровых спиноров [26]
/ = /± —;
W.^^l^^^2(9-33)
V2 \Й/гм(0, Ф)У I^ix-L
'2 ’
Функции q^ (х), входящие в (9.31), выражаются через присоединенные функции Лежандра. Например, для х=—1
’^ - mSYW ЛГ^ГГ '^'^й т ti(chz,L
(9.34)
Явное выделение множителя ап3/2 в (9.30) диктуется конформными свойствами спинорного поля [см. (1.58) для ^=4].
Биспиноры (9.30) удовлетворяют уравнению Дирака (9.29), если временные функции /х±(т)) подчиняются системе уравнений
Гх± + ‘1МХт±^х±=0.(9.35)
В квазиевклидовом пространстве Nj переходят в обычные бис- пинорные сферические волны [26].
Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют интегральному соотношению [210]
J №4^)Р?7-(*)-(iX 4-/ + 1)(IX' + / + 1) X
X РГ^х)^'(*М = 2| Г°?+.^г Гб(Х-Х').| Г(11 + /4-1) I
Аналогичное соотношение имеет место для функций Лежандра на разрезе Р» (х), —1<х<1. Эти соотношения, вместе со свойством ортонормированности шаровых спиноров Qj;m, позволяют непосредственно проверить ортонормированность биспиноров:
Jda^(x)ft(a) {?%<(*) = ^(п)У^хУу ф|(х)ф,,(х) = 6п.. (9.36)
Нормировка (9.36) предполагает, что на не зависящую от времени комбинацию решений (вронскиан) системы (9.35) наложено условие
| fx+ (п) | +14- (ч) I2 = 2-(9.37)
Решения системы (9.35) удовлетворяют уравнениям второго порядка [212]
/;±(т|) + П2±(т|)/х±(11)=0;
О± (т|) = го8 (т|) + ima' (т|); е8 = X2 + m8a8,(9.38)
которые описывают осциллятор с переменной комплексной частотой.
Положительно- и .отрицательно-частотные в момент т| = т|о решения системы (9.35) фиксируем начальными условиями
Н+), х , / юТ ma V/. I.(—), х / <о ± ma V/» I ,л ™>
/1± (По) = ± () fU (По) = ( ——). (9.39)
\<0/1п=п.\<0/|л=л,
Легко проверить, что при этом выполняются равенства fy (Т]) = - № (<; fc? (и) = № (Т|)Г, которые позволяют исключить из последующих формул отрицательно-частотные решения.
Подставляя А^ (ч) и fl^W в (9.30), получаем полный набор решений ф^^х) уравнения Дирака (9.29).
Приведем свойства спиноров Ф^^ которые потребуются в дальнейшем [212]. Прежде всего с помощью соотношений для Р^(х) можно доказать формулы (е, б — знаки частотности в произвольной комбинации):
a» J<Рх /у ^д^) = у [f&VIT + «Г--у* 6^Ьл: (9.40)
Нам понадобятся также формулы суммирования различных билинейных комбинаций спиноров ^j^ по квантовым числам /, I, М. Для их получения необходимо использовать выражения для сумм по М произведений шаровых спиноров и их производных по 0 и ф [210], а также свойства функций Лежандра P^(z). Таким образом, получим формулу
а также формулы суммирования билинейных комбинаций с производными по времени q:
S
^t^^ ^^ [т i X Re (^f.) ± i ma (1 — | /+ Р) -;
f.t.M
X tl+’W - ^r1 Г 44 ~ Q - 2-441 ;
LUM
V ♦r,4+1' --^r1 |H (4- 4) +<»■«!
LUM
и по координатам x^ = x* $» Ф:
LUM
X r»*1 - ^^(4 - C) ;
iTum
Х»4 w(xi- т) й - у ■ <9и)
В (9.42), (9.43) для краткости обозначено ^^ = /±,
В квазиевклидовом пространстве (х = 0) проще использовать декартовы ко ординаты. В декартовом репере уравнение Дирака (1.54) имеет вид
i а^у^ф + (3 i/2) а’а-^^ — мф = 0.(9.44)
Собственные биспиноры для (9.44) есть [213]
ipw (X) = (2ла)~,/*и{±) (я) exp (± i Хах“) ,(9.45)
где /={Х, о); X=(Xi, Х2, Х3); о=±1. Биспиноры и}±> удобно выбрать так, чтобы они были собственными для оператора спиральности:
S(X)a[±) = au^) ;(9.46)
S (1) — (2, п), 2 = офа, п = 1/Х;
а — вектор матриц Паули. Тогда их можно представить в виде
/aflVWVoW \ „(hP^+W^W ^
\ - fkt? (г.) q>„ (X) )’ UKo ~ \ at У (п) фо (X) ) ’
где ф о(1) — собственный спинор оператора (an) с собственным значением о. При этом f^± удовлетворяют системе (9.35) [и уравнению (9.38)] с начальными условиями (9.39).
Обратимся, наконец, к векторному полю, причем для краткости ограничимся случаем квазиевклидова пространства (изложе-
ние следует в [206], см. также [214]; решения для моделей с х=±1 приведены в [215, 216]).
Полную ортонормированную систему физических решений уравнений (1.30) будем искать в виде
Фу (х) = 2-l/* ^'‘«Х (tj) exp (iX^) e“ (X, a),(9.48)
где /={Х, a); ea(X,o)—собственные векторы оператора поляризации:
(6a3 - W^) * (^ о) = 5 И ^ (X, а)(9.49)
[со2— то же, что в (9.38)]. В качестве решения (9.49) можно взять е„(Х, 1) = А<Д; ^(1) = (та/©)2,(9.50)
а ео(Х, о) при о=2, 3, соответствующие |(о) = 1, выбрать произвольным образом перпендикулярно друг другу и ea(X, 1). Тогда решения (9.48) с о=1 описывают продольное, а с а=2, 3 — поперечные спиновые состояния.
Подстановка (9.48), (9.50) в (1.30) приводит к следующим уравнениям для временных функций gxaOi):
5м+ К'(0/5 (D15м + ^М = 0;(9.51)
5х» (Л) + у? (л) gKo (т|) = 0, а=2,3.
Таким образом, поперечные компоненты векторного поля ведут себя как скалярные поля с конформной связью [ср. с (9.22) при | = 1/6]. Уравнение для временной функции продольной компоненты можно привести к осцилляторному типу (9.22) заменой временной функции £хм-йх= (ma/to)gxi:
Ах^л) 4-(л) ^х (л) = 0;(9.52)
$У = + -L В' (1)£ (1)р_ _L В' (1)/^ (1)].
Начальные условия на g ха для а=2, 3 имеют вид (9.25), а для а= 1:
5xi (to) = t»v* (Ло)/(та (л0)): gxx (л0) = i© (л») gxx (л0).(9.53)
При этом функции Фу<+> = ф® и ф®<—> = (Фу)* образуют полный набор положительно- и отрицательно-частотных в момент Л = ло решений уравнений Прока в метрике (9.4).
ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Влияние нестационарности гравитационного поля проявляется в том, что коэффициенты в уравнениях для временных функций (9.23), (9.35), (9.51) зависят от т). Если бы метрика была стати-
ческой, т. е. а=const в (9.4), то начальные условия (9.26), (9.39), (9.53) определяли бы положительно-частотные при всех т| решения, например, для скалярного поля gxOl) = (о~1/2ехр (ico-q), где to2=X24-m2a2=const.
Нестационарность метрики приводит к тому, что при т|=^т]о временные функции уже не являются положительно-частотными (происходит, как говорят, перемешивание частотностей). В квантовой механике это означает параметрическое возбуждение осцилляторов, описываемых уравнениями (9.23), (9.38), (9.52), а во вторично квантованной теории — нестабильность относительно рождения и уничтожения частиц — квантов поля (ср. с аналогичной ситуацией в случае электромагнитного внешнего поля в гл. 4).
Эффект определяется параметром адиабатичности соответствующего осцилляторного уравнения
(9.54)(9.54)6 = Й'/Й2,
(9.54)
(9.54)
где й — частота в (9.23), (9.38) или (9.52).
При б<^1 перемешивание частотностей пренебрежимо мало. Условие 6<^1 выполняется в адиабатическом режиме:
a'/а» а",а, . . ., <^®.
т. е. когда а(т|) меняется медленно и (или) для далеких ультрафиолетовых мод. Эффект становится заметным лишь при 6^ 1.
Для скалярного поля с конформной связью й(т|) =ш(т]) и максимальное значение 6 (при Х = 0) равно 6max=A/m, где к— параметр Хаббла (9.5). Таким образом, условие 6~1 здесь сводится к h~m, что совпадает с оценкой, приведенной в начале § 9.1. В то же время, для безмассового поля в этом случае 6=0, так что рождения частиц с т = 0 не происходит. При произвольной связи скалярного поля с гравитацией [|#=1/6 в (9.24)] 6=/=0 при т = 0, так что возможно рождение безмассовых частиц. Здесь эффект существен для значений одночастичных энергий k0=a/a, лежащих в области ^о^/?1/2, что соответствует общей оценке § 8.2.
Для полей со спином 1/2 и 1 рождение безмассовых частиц отсутствует, однако условия, при которых 6^1, для уравнений (9.38) и (9.52) отличаются от случая скалярного поля с конформной связью.
При 6С1 решения уравнения (9.23) и аналогичных ему уравнений можно искать в виде обобщенных ВКБ-разложений:
gx^^W-1'*gx^^W-1'*(П)ехр ij IF^dT]'(П)ехр ij IF^dT]'(9.55)(9.55)ПоПо
gx^^W-1'*
gx^^W-1'*
(П)ехр ij IF^dT]'
(П)ехр ij IF^dT]'
(9.55)
(9.55)
По
По
где И^(т)) представляется в виде асимптотического ряда по степеням параметра адиабатичности, причем ^(rjo) =ш(т|0) [2, 184]. Заметим, однако, что перемешивание частотностей не улавливается ни в каком порядке ВКБ-приближения, так как является неаналитическим эффектом по параметру адиабатичности. Здесь
имеет место аналогия с задачей о надбарьерном отражении в квантовой механике [217].
Чтобы учесть перемешивание частотностей явно, решения уравнения (9.23) целесообразно искать в виде:
gx W = (® (пЭГ7, К (Ч) ехР 0е (Л)) + Рх (Л) ехР (—ie (Л))]»
gx (1)) = i (cd fo))7* [ах 01) exp (i в (т])) — 0Х (т|) ехр (— i©(т)))], (9.56) где
6(Т|) = j®^')^',(9.57)
По
ал (л), рл(п)—подлежащие определению комплексные функции, удовлетворяющие начальным условиям
а(По)=1; ₽(По) = О.(9.58)
Условия на g\ в (9.56) подсказываются методом Лагранжа; они устраняют произвол в определении двух функций ал и рл по одной функции gx. При этом условие на вронскиан (9.25) обеспечивает выполнение равенства
|®х(т|)|2- [ Рх Сп) |2 = 1(9.59)
при всех т).
Величины ал и рл удовлетворяют системе уравнений первого порядка
«X = — i (»/2ю) ах + (1/2) (т(0) — ig/®) Рхе""21®;
(9.60)
Рх = (1/2) (к/0) + i g/ю) ale21® + i (<?/2®) Рх,
где q определено в (9.24), а
WW =<й'1<й.(9.61)
Аналогичное представление решений системы (9.35) для спинорного поля имеет вид
/х± 00 = ± ^т< exp (1 в) — У±₽х ехр (—19),(9.62)
где
АГ± = [(® ± ma^ltoV1*.(9.63)
Величины ах и Рх подчиняются вытекающему из (9.37) условию l«x(n)l2+ 1Р*01)12 = 1(9.64)
и удовлетворяют системе уравнений
at - А ш''"^’1’; Ь - - у ш'''.1а;е+=|в,(9.65)
гдегде
где
где
(9.66)(9.66)а/*7’* = Хта'ЦйЧ
(9.66)
(9.66)
и начальным условиям (9.58).
Для векторного поля временные функции поперечных компонент gxa, ст=2, 3 совпадают с (9.56), причем соответствующие «хо, Рха удовлетворяют системе (9.60) с ^=0 и'4" = ty<0). Продольная же компонента представляется в виде
i(9.67)
Здесь аль Рм подчиняются условию (9.59) и удовлетворяют системе уравнений
«м = у ^'’Pxte-21®; Рм = у «№яе,(9.68)
где
1twP = ty(1) = — (о'/(о + 2a'/a.(9.69)
, Локальные наблюдаемые, билинейные по полю, удобно выражать через вещественные билинейные комбинации ах и Рх, определяемые равенствами
«х = I Рх Г» “х — Ч = ± 2axPx ^ (— 2i е) (9.70)
(верхний и нижний знаки соответствуют бозонам и фермионам).
Функции Sx, «х, «х для скалярного поля связаны с gx соотношениями (индекс X временно опускаем)
s-^(l г'lsl’)-4-;
“= —^(1 г'|!—“" I «l‘X " = -txUI* (9-71) и удовлетворяют системе уравнений
s' = (l/2)a/0)u— (^/2(о)у;
и’ = ty<0) (1 + 2s) — (2to — ^/(о) у;(9.72)
у' = — (9/®) (1 + 2s) 4- (2со — g/ш) и,
которая непосредственно получается из (9.60). В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать скалярное поле с конформной связью (5=1/6, ^(т|)=0]. В этом случае система (9.72) упрощается:
s' = (1/2) wwu; у* = 2(ou;(9.73)
и* = ty<0) (1 + 2s) — 2(оу.
Подобный вид имеют и системы уравнений для s, и, и в случае спинорного и векторного полей, которые получаются из (9.70) с учетом (9.65), (9.68). Для всех трех рассматриваемых полей со спином s = 0, 1/2 и 1 их можно записать единообразно, восстанавливая индекс X:
$1 = (1/2) tw<$>u; и' = 2бмк;
(9.74)
и’х = tw($> (1 + 2sx)— 2оюг
Здесь верхний (нижний) знак во второй строке соответствует бозонам (фермионам), wW определены в (9.61) и (9.66) для s = 0 и 1/2, а для векторного поля вид аИ*> зависит от компоненты: для поперечных компонент (а=2, 3) »'?=«№, а для продольной фР определен в (9.69). Начальные условия на 5х, и х, их вытекают из (9.70), (9.58):
Sx (Че) ” “х (Чо) = «х (Чо) = 0-(9.75)
КВАНТОВАНИЕ И КОРПУСКУЛЯРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЯ
Квантование поля осуществляется в соответствии с общими принципами, изложенными в § 1.3. Оператор квантованного поля можно представить в виде разложения по базисным функциям соответствующего классического волнового уравнения
Ф (х) = J dp (J) [фГ’ (х) aV + Ф^+) (X) а^ ](9.76)
(здесь используются единые символы для операторов поля и базисных функций различных спинов). Если базисные функции удовлетворяют начальным условиям вида (9.26), (9.39) или (9.53), заданным в момент 11 = 130, то разложение (9.76) определяет корпускулярную интерпретацию поля в этот момент. Соответствующее вакуумное состояние |0> определяется равенствами а^\ 0>= = 0 для всех L Нетрудно проверить, что гамильтониан поля (2.22), будучи выражен через операторы а^, является диагональным в момент т)=т)о- В [2] определенное таким образом вакуумное состояние названо «адиабатическим вакуумом», поскольку в пределе бесконечно медленного изменения масштабного фактора оно совпадает с введенным в § 8.2 устойчивым вакуумом статического пространства-времени (при этом векторное поле ^, определяющее координатные линии времени, становится полем Киллинга).
Невозможность инвариантной корпускулярной интерпретации квантовой теории в нестационарной метрике связана с Тем, что при a'(i))=i£0 векторное поле 6г не является полем Киллинга и равенства (8.12) не могут выполняться тождественно для всех т) (перемешивание частотностей, о котором шла речь в предыдущем параграфе).
В отсутствие универсального понятия частицы в нестационарном гравитационном поле можно построить корпускулярную интерпретацию квантованного поля в терминах квазичастиц, определение которых зависит от времени. Такая конструкция, основанная на методе диагонализации гамильтониана, была предложена в [401; ее общая схема изложена в § 2.5. Рассмотрим здесь процедуру диагонализации гамильтониана на примере скалярного поля с конформной связью.
Гамильтониан квантованного поля определяется равенством (2.22); выражая компоненту Too’ с помощью (1.24) через вспомогательную переменную ф = аф, можно записать
HW On) = J Ас W |ф*'ф'1- [(Д2Ф*) ф + ф*Д2ф — Д1 (Ф*, ф)1 +
-f- (m^2 + х) ф*ф|.
Подставляя в эту формулу разложение (9.76) по модам (9.27) и используя формулы (9.11) и (9.14), представляем гамильтониан в терминах операторов рождения и уничтожения:
Hw (т)) = J dp (/) <о (т|) \Ej (т]) &+’ а^ +
+ ^а^) + РДч^а^ + Р, (т])^^’ |,(9.77)
где 7={Х, /, —т)—совокупность квантовых чисел функции, комплексно-сопряженной к Ф/. Коэффициенты Ej и Fj выражаются через решения уравнения (9.23) [при ?(т|)=0]:
^(ч)-^-d&l! + “’led2);+(9.78)
При этом, в силу (9.25), Е^—|Т/|2=1. Отметим, что величина Е, есть адиабатический инвариант классического осциллятора (9.23).
В силу начальных условий (9.26) ЕДт|о) = 1, Т/(т)о)=О. Однако, если a(r|)#=const, при т)>т)о уже Ej>\, Fj#=0 (происходит параметрическое возбуждение осциллятора).
Корпускулярная интерпретация поля дается операторами рождения и уничтожения bj^, в терминах которых гамильтониан диагоналей. Диагонализация осуществляется зависящим от времени боголюбовским преобразованием
а^ = а) (п) Ь^ (т]) - (- 1ГРУ (П) ^
(9.79) а^ =«;(ti) Ь‘-’(т|)_(_1)тру (п) Ь^>^у |ad2-|₽d2=l.
Для нахождения а/ и Pj следует подставить (9.79) в (9.77) и потребовать обращения в нуль коэффициентов при недиагональных членах b^ bj^. В результате получаем
I Мл) I2 =у(^-П; «Дп)Ру(п)= y(-l)OT^- (9.80)
Очевидно, |а/(т|о) | = 1, Pj(t|o)=O; произвольную общую фазу а, и Pj фиксируем, положив а/(т]о) = 1. Из вида Ej и Fj из (9.78) следует, что aj, Р/ зависят лишь от квантового числа к, так что в дальнейшем будем писать ах(т|), Рх(т|). Тот факт, что, в отличие от рассмотренного в § 2.5 общего случая, здесь диагонализация гамильтониана осуществляется диагональным преобразованием Боголюбова (Ф/у =а/6 л-, Т jj- =P/d jp), объясняется однородностью пространства (нет перемешивания мод). Зависимость aj, р/ лишь от X связана с изотропией пространства. Явный вид унитарного оператора, осуществляющего преобразование (9.79), (9.80), найден в [218].
Нетрудно проверить, что так определенные коэффициенты преобразования (9.79) в точности совпадают с введенными в (9.56) функциями ax(t|) и Рх(ц), дающими зависящее от времени разбиение gx(i|) на положительно- и отрицательно-частотные части. Поэтому они удовлетворяют уравнениям (9.60) с q=0 (мы рассматриваем конформное поле).
Вакуумное состояние |0л>, определяемое равенствами
Ь^ (П) I 0„> = b^ (ц) | ол> = 0,(9.81)
как и сами операторы Ь^\ оказывается зависящим от времени. При этом Ь^' (т|о)=су±>, а |0По>= |0>.
В терминах операторов Ьу^ гамильтониан имеет обычный диагональный вид
Я(0) (Т)) - f dp (J) <О(Т])(6$+)(Т1) b^ (л) + bV (71) bT (11)).(9.82)
Таким образом, мы приходим к зависящей от времени корпускулярной интерпретации теории.
Аналогично строится корпускулярная интерпретация для спинорного и векторного полей [212, 216]. В спинорном случае диагонализация гамильтониана осуществляется преобразованиями Боголюбова, сохраняющими антикоммутационные соотношения
а^ = ах (л) Ь^ (>1) — Рх (л) bS^ (1));
*а^ = «х (т]) bV (л) + рх (ti) b^ (л);
| «х |2 + I Рх |2 = 1»(9.83)
в векторном — преобразованиями (9.79) для каждой компоненты. Коэффициенты ах, Рх выражаются через билинейные комбинации 188
временных функций /х±(п) и gxo (п). Как и в скалярном случае, они в точности совпадают с коэффициентами ох, Рх в (9.62) и (9.67) и удовлетворяют уравнениям (9.65) и (9.68) соответственно для спинорного и продольной компоненты векторного поля (поперечные компоненты векторного поля ведут себя как скалярные поля с конформной связью).
Переход к гейзенберговскому представлению можно осуществить, вводя гейзенберговские операторы квазичастиц
Cj^ 01) = b^ (i])exp(±i 0(п)),(9.84)
где в(т|) определена в (9.57). Гейзенберговский оператор поля получается подстановкой (9.56), (9.62), (9.67) в разложение (9.76) и использованием боголюбовских преобразований, обратных (9.79), (9.83). Например, для скалярного поля
<р (х) = а"1 (т|) J dp (J) (2<о (т]))-*7, [Фу (х) с^’ (rj) + Фу (х) с$+) (т|)1.
(9.85)
С помощью уравнений для коэффициентов ах(тО, Рх(т|) (9.60), (9.65), (9.68) нетрудно убедиться, что операторы с?1 (п) подчиняются гейзенберговским уравнениям движения [219):
= ± -L^t” w + i (//<•>(Л). С-«(Л)1,(9.86)
ат)2
где Ж8>(т|) —диагональный по с^ гамильтониан; w^ определены в (9.61), (9.66), (9.69), верхний знак перед первым членом справа относится к бозонным, а нижний — к фермионным полям.
Эти уравнения показывают, что эволюция операторов с^ (т|) определяется двумя факторами. Во-первых, это обычная зависимость от времени гейзенберговских операторов за счет экспоненциального множителя в (9.85) [ее описывает последний член в (9.86)]. Во-вторых, зависимость от времени, связанная с тем, что в каждый момент происходит переопределение понятия частицы; ей отвечает первое слагаемое в правой части (9.86).
В гейзенберговской картоне состояние |0>, вакуумное в момент t) = T)o, при т)>т)о уже таковым не является. В каждой моде / оно содержит
пу ’ (Л) = <0 | ^+) (7]) С^ ft) 10> = <0 | С^ ft) сГ’ ft) | о> =
= |Pxft)|2 = n[s)ft)(9.87)
пар квазичастиц с квантовыми числами J и J [для фермионов в силу (9.83) всегда лх^1]. При этом выполняются законы сохранения, отвечающие группе инвариантности пространства. В силу изотропии спектр рожденных пар зависит только от импульсного квантового числа X.
Число пар квазичастиц спина $ в единице объема пространства
(9.88)(9.88)^(^г^Л^*)"^)’2л2а3(т|) J
(9.88)
(9.88)
где nl$) (и) определено в (9.87), a
JdX(X2—xs2), x=—1, 0; оJdX(X2—xs2), x=—1, 0; о(9.89)(9.89)
JdX(X2—xs2), x=—1, 0; о
JdX(X2—xs2), x=—1, 0; о
(9.89)
(9.89)
2 (^-s2),X=Xt
причем Xi = l+s, и суммирование ведется с шагом АХ=1.
Если в начальный момент т)0 имеется не вакуум, а статистическая смесь чистых многочастичных состояний, описываемая равновесной матрицей плотности р, то среднее число квазичастиц с квантовыми числами J в момент т) дается формулой
± (п$Г$)+(Чо) + пУН(Чо))1.
где
n't (no) = Sp (раУ14^), 4sH (По) = Sp (pai44a^)
— средние числа частиц и античастиц в состоянии J в момент т]0 (см. также [184]). Отсюда очевидно, что наличие в начальном состоянии бозонов стимулирует их рождение, а фермионов — подавляет.
(9.90)(9.90)Остановимся на важном с принципиальной точки зрения случае асимптотически статической метрики (9.4), когда
(9.90)
(9.90)
"(П) —► a±-П-*±оо
Начальные условия (9.26), (9.39), (9.53) здесь следует заменить условиями на асимптотики при т]—>—оо:
^(л) ~ to-Z'expOto-^B^ ,п;
1]-*—оо
(9.91)
gK («О ~ «®2‘ ехр (ito-ч) = gXi 1ПТ|—►—ОО
и аналогичными условиями для спинорного и векторного полей, где введено обозначение
(о2± = Х2 + т24.(9.92)
Как видно из уравнений (9.60), (9.65), (9.68), при условии (9.90) коэффициенты боголюбовских преобразований ах(п), Рх(п) стремятся при т]->+°° к постоянным предельным значениям ал, рх- 190
Вводя функции gi, out= ф-^’exp (ico+r)), можно из (9.56), (9.62), (9.67) получить связь между ними и функциями g^m:
^in^^out + MLour(9.93)
Начальное вакуумное состояние |0> при этом совпадает с in-вакуумом |0щ> в S-матричной картине, а операторы а^ = ebW^—оо)—с in-операторами. При т)->-оо операторы интерполирующего поля Ь^ (л) становятся обычными out-операторами рождения и уничтожения, а |0п > переходит в out-вакуум |0out>. Таким образом, при «выключении» гравитационного поля [т. е. а(т])->- -►const] введенные выше квазичастицы переходят в реальные out-частицы рассматриваемого квантованного поля, и метод диагонализации гамильтониана дает те же результаты, что и обычный in—out-формализм.
Величина
п^(Х) = Нт | рх(п)р= | ркр(9.94)
л-*®
описывает предельный спектр рожденных частиц. При этом вероятность того, что в квантовом состоянии J родится п пар бозонов, равна
wj(n) = | ax I”2 | PVax|2n.(9.95)
тогда как вероятность рождения пары фермионов совпадает с соответствующим числом заполнения (9.94):
tMO^IM2(9.96)
(рождение более одного фермиона в данном состоянии запрещено принципом Паули, который автоматически учитывается в данном формализме).
Число рожденных пар спина s в единице объема 3-пространства дается пределом выражения (9.88) при т)->-со:
= Js+J г^(1) ^(9.97) 2л2а+
где J dg<s)(X) определен в (9.89).
Если а (л) является аналитической на вещественной оси функцией, то таковыми будут и коэффициенты во временных уравнениях (9.23), (9.38), (9.51) и в уравнениях для ах(л) и Рх(л)- Как следует из теории дифференциальных Уравнений, в этом случае предельное значение 0^= lim Рх(п) убывает при АП^00
А->оо быстрее любой степени 1/Х, так что интеграл (9.91) заведомо сходится и плотность числа реальных частиц всех спинов при т)->оо конечна.
Для квазичастиц интерполирующего поля при конечных л ситуация иная. Чтобы получить поведение спектральной плотности ^xW = I PxW l2=sX 01) ПРИ k*oo, найдем ВКБ-асимптотику решений системы (9.74) для 5Х, и^, их- Вос-
пользуемся системой интегральных уравнений Вольтерра [220], которой эквивалентна система (9.74) с начальными условиями (9.75):
“х + • °Х = f ww (rf) [1 ± 2sx (Т)')] exp р i J <o (if) d< | d^';
nn'Г
(9.98)(9.98)(9.99)(9.99)^X = T J dT\*ww (T)') I* dTjW” (T)") [1 ± 2sx(if)] cos I 2 J <o(m) dm ПоПоL n'
(9.98)
(9.98)
(9.99)
(9.99)
При X->oo можно ограничиться первой итерацией:
П
Ч + ’ Ч ~ J ^^ Ю ехР [2 i X (т) — т/)] ^';
По
Л2
| dr]Ws) (т)') ехр [2 i Xtf]
По
Для скалярных частиц с учетом (9.61) получаем s^~X“e, цх~Х-4, ух~Х-3, так что плотность пар (9.88) конечна. То же относится и к спинорным частицам; здесь s^-X-4, ц^—Х-3, и^Х-2. В то же время для векторных частиц продольная компонента дает бесконечный вклад в плотность, поскольку в этом случае SK ~Х~2 и интеграл (9.88) расходится. Поэтому для векторного поля построенное выше понятие квазичастиц интерполирующего поля не имеет непосредственного физического смысла [качественное объяснение этого связано с тем, что продольная компонента векторного поля соответствует кванту неконформного (без W6) скалярного поля, для которого даже в безмассовом пределе нарушена конформная инвариантность]. Тем не менее, как показано ниже, и здесь понятие квазичастиц имеет эвристическую ценность при построении перенормировочной процедуры для ТЭИ.
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ ОПИСАНИЕ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
Чтобы полнее выявить физическое содержание понятия квазичастиц в скалярном и спинорном случаях, необходимо более детально изучить процесс формирования пар в пространстве и времени. Основой такого изучения может служить анализ временной эволюции пространственной корреляции частиц в парах. Этот метод, предложенный в [154], позволяет, например, отличить реальные частицы от виртуальных, выявлять роль горизонтов в рождении частиц и т. п.
Для построения требуемой корреляционной функции введем операторы рождения локализованных состояний одной квазичастицы в момент т), которые можно определить по аналогии с известными операторами Ньютона—Вигнера для свободного поля (см., например, [9]). Для скалярных частиц и античастиц эти операторы имеют вид
Ф1+) (ц, х) = а-*1* (п) j dp (J) фу (х) с^ (Т|);
ф{+) (п, х) = а"*1* (т|) J dpi W Фу (х) с^ (п).(9. ЮО)
При этом состояние
I *1х„; n> ^п!)-'7’ Ф^ 0b *1) • • .ф|+*(‘Ь х») I °п>» (9.101)
где |0п>— мгновенный вакуум, определенный условиями (9.81), содержит п квазичастиц, локализованных в точках хь ..., хп.
Операторы (9.100) и состояния (9.101) отличаются от соответствующих конструкций Ньютона—Вигнера только заменой операторов рождения—уничтожения свободного поля на соответствующие операторы квазичастиц с^. Таким образом, при выключении гравитационного поля (9.100), (9.101) переходят в известные операторы Ньютона—Вигнера для свободного скалярного поля.
Определение (9.101) в максимально возможной степени соответствует представлению о локализованном состоянии в релятивистской квантовой теории. Действительно, рассмотрим оператор числа частиц в объеме V:
^^рхУ^фУ’^. х)^”’^ xHWWW. Лх
X С{Л (ц)’с(Л (^(9.102)
где (3,£ар = а3(т1)т ар— индуцированный метрический тензор на гиперповерхности т) = const,
ЕУ(Л Л = f ^У? Ф> (х)ФИх).
Нетрудно убедиться, что если все хк лежат в области V, то (9.101) является собственным состоянием для оператора Nv:
Nv I х,х„; т)> = п | х,х„, л>-
С помощью формул (9.87) и (9.11) можно проверить, что плотность числа пар квазичастиц, имеющихся к моменту т) в исходном вакуумном состоянии |0>, которая получается с помощью (9.102) при V->oo:
n= lim<0 | Nv 1 0>/I/ = lim(l/l/)jdp(^ J) | рх(т]) |2 У-*ооУ-*оо
совпадает с результатом (9.88).
Для спинорного поля операторы рождения локализованных состояний определяются подобным же образом. Приведем их явный вид для квазиевклидовой метрики в декартовых координатах:
V$+> (11. х) = (2ла)-,/‘ J d?k 2 (Kw)’ exp(— ikx) с(У (т|);
(J
^+>(n. X) = ^af'1' f tPX2^ехр(—iXx)с^(п)-(9-ЮЗ)
a
Входящие сюда биспиноры Ухо* естественным образом получаются из (9.47) и (9.62):
Ха —Ха —N+ cN-N+ cN-ФоМФ„(Х)ФоМФ„(Х)oN_ ФО(Х)\ Л+ ФаМ/oN_ ФО(Х)\ Л+ ФаМ/(9.104)(9.104)
Ха —
Ха —
N+ cN-
N+ cN-
ФоМ
Ф„(Х)
ФоМ
Ф„(Х)
oN_ ФО(Х)\ Л+ ФаМ/
oN_ ФО(Х)\ Л+ ФаМ/
(9.104)
(9.104)
М± и фо(Х) определены соответственно в (9.63) и (9.47).
В качестве характеристики пространственной корреляции рожденных пар скалярных квазичастиц введем матричный элемент
Я<0)(т|: х, х*) = <0,1 Я?!'”’(П. х)ф{->(4. х') |0>/<0„ | 0>, (9.105)
который имеет смысл амплитуды относительной вероятности того, что в момент т) рожденная квазичастица локализована в точке х, а ее антиквазичастица — в точке х'. В однородной изотропной метрике координатная зависимость R<°\ очевидно, должна выражаться только через геодезическое расстояние р между точками х и х' на гиперповерхности r) = const, определяемое формулами (9.16).
Действительно, используя равенство (9.15) и соотношение
(Onl^^ |о>/<о„|о> =
= 1Рх(т|)/а1(л)] ехр [— 210 (т))] 6у-7,(9.106)
которое получается из общих формул (1.83) — (1.86) с учетом диагональности боголюбовского преобразования (9.79), R^ можно представить в виде
*%. р) = Т^ТГТТТ (^<0) W -^г- 5х(л)«(9.107)
2nV (р) a3 (л) JX
где /(р) определена в (9.2), J dp<°>(X) —в (9.89), а
Sx(ti) = [рх(л)/Мл)1 exp [—21 в (л)].(9.108)
Для спинорного поля аналогичная корреляционная функция есть
Rom (л, х, х') = <0п I тИ (л. X) VM (л. X') I 0>/<0„ I 0> (9.109)
(фг—у+у») Вычисляя матричный элемент, находим
я072*01’р)= »г; з,; f^'W-^5^1!) (9Л10> л*/(р)а3(л) J<о
с теми же обозначениями, что и выше.
С помощью (9.60), (9.65) нетрудно убедиться, что входящая в выражения для R^ величина 5х(л) (9.108) удовлетворяет нелинейному уравнению
S; + 2iwSK + -у ww (Sx + 0= 0(9.1 in
с начальным условием 5х(ло)=О. Подобное уравнение в задаче о рождении пар электромагнитным полем было получено в [95, 98].
Проиллюстрируем методику вычисления и интерпретации корреляционной функции на двух простых примерах в квазиевклидо- вом пространстве [f(p)=p в (9.107), (9.110)].
Сперва рассмотрим случай адиабатического изменения масштабного фактора, когда h = a'/a2<^m. При этом условии для всех импульсов X выполняется неравенство ^><^1 (s=0, 1/2), а поэтому |Sx|<^l. Тогда решение (9.111) можно найти методом возмущений. В первом приближении
SxOl) = ± ny<*>/4i®(9.112)
[мы полагаем, что а'(т)о)=0]. Для скалярного поля подстановка (9.112) в (9.107) и интегрирование по X дают
RW у, r) = (8л11)"1 т^о (тг),(9.113)
где Ко(2)—функция Макдональда, причем мы перешли к собственному времени t согласно (9.3) и к собственному геодезическому расстоянию между х и х'
г = а(/)р.(9.114)
Для спинорного поля из (9.112), (9.110) получаем
l^xm<t. r) = ^-—( 1 --^)exp(-mr).(9.115)
оЛ Г \2 /
Очевидно, что в обоих случаях R^ экспоненциально мала при г^т^ и не зависит явно от L Это свидетельствует о том, что здесь квазичастицы представляют собой виртуальные пары с характерной комптоновской длиной корреляции 1с = т-х. Рождение же реальных частиц при адиабатическом изменении а(т)) экспоненциально мало и не улавливается ВКБ-приближением (9.112).
Рассмотрим теперь противоположный случай: функция а(т>) в течение короткого промежутка около т) = 0 претерпевает резкое изменение (А/m^l), после чего принимает постоянное значение а+ (гравитационное поле имеет импульсный характер). Когда а'(п)=0, коэффициенты в (9.56) имеют постоянные значения ах. Рхи (9107) для х=0 можно записать в виде
R^ (т)» Р) = ~^‘ J dlW (X) exp (—- 2 i ш^т]) sin (Хр);0
U (X) = Px/av(9.116)
Переходя к новым переменным
^=mr = ma^\ x = mi = ma*x\(9.117)
и делая замену X/ma+ = sh<p, это выражение можно представить в виде
Я(0)(т, У = (т»/2л«Е)/(т. D;
/ (т, У = f 4фГ (ф) exp (—2 i тсЬф) sin (бзЬф),(9.118)
о
где F (ф) = sh ф ch ф U (ma+sh ф).
Поведение /(т, £) существенно зависит от величины а=т2—(5/2)2, которая имеет смысл квадрата пространственно-временного интервала между положением каждой из частиц пары в момент т и положением их центра масс в момент т=0. Если о>0. то / (т, о) можно представить в виде
l = L~U;
/± = — j* d^F (<p) exp [— 2 i Va ch (ф ± ф0)1.
6
где ф0=Аг1Ь (5/2т). В области а^1 значение / определяется вкладом стационарной точки фазы ф=фо в интеграле /-; ей соответствует импульс
Л^таД^/гУ^).(9.119)
Корреляционная функция при этом равна
/?(0) = (— 1/2) (2л)-#/" тНо-1!* U (X,) ехр (— 21 /а ),(9.120)
где Хо определено в (9.119).
В области же о<0, как можно убедиться с помощью аналогичных преобразований, интеграл / в (9.118) стационарных точек не имеет и потому экспоненциально мал при больших |о|.
Таким образом, приходим к следующей качественной картине поведения корреляционной функции при От-1 [мы возвращаемся к собственному расстоянию г и времени t согласно (9.117), причем t отсчитывается от момента т)=0].
В области r!2>t она экспоненциально мала, 7?<°)~ехр (—mr/2) и не зависит от t, т. е. здесь мы имеет вакуумные виртуальные пары.
В области же rl2<t при фиксированном г RW — MI2, а зависимость от г определяется видом С/(X) в (9.116), т. е. характером импульсного спектра рожденных частиц. Если последний имеет широкое плато, простирающееся до релятивистских значений Х^та+, то RW зависит от г слабо. Если же спектр эффективно обрезается на значениях Х-Х^та^. (физический импульс /?1О), то RW в (9.120) быстро спадает вне конуса г]2~кх1. Такое поведение корреляционной функции, очевидно, соответствует разлетающейся паре реальных частиц, рожденных в пространственно-временной области размерами вблизи /=0. К моменту t^m-1 расстояние между частицами пары г(0<2/, причем вероятность обнаружить пару w ~ | Rw |2 ~ t~s.
Аналогичное поведение имеет в этом случае и корреляционная функция /?«/2) для спинорных частиц.
В гиперболической модели [f(p)=shp в (9.107), (9.110)] все результаты следует умножить на p/sh р. При этом, независимо от соотношения между t и г и характера спектра, корреляционная функция экспоненциально обрезается при r>a+, т. е. на расстояниях, больших радиуса кривизны пространства.
Другие примеры применения корреляционной функции для выявления физического смысла квазичастиц и исследования динамики процесса рождения пар приведены в следующих параграфах.
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ В МОДЕЛЬНЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИ СТАТИЧЕСКИХ МЕТРИКАХ
Здесь общая схема описания рождения частиц, изложенная в предыдущем параграфе, применена для скалярного и спинорного полей в ряде модельных метрик. Рассмотрение этих метрик дает возможность детального анализа механизма рождения частиц и зависимости эффекта от параметров, характеризующих гравитационное поле.
Начнем со случая малых изотропных возмущений пространства Минковского, когда х=0и
^(n) = 4 + V(n)>(9.121)
причем будем предполагать, что max |f(r)) | = 1 и /'(т|)^-0 при »|->±оо. Зависимость (9.121) характеризуется двумя безразмерными параметрами: амплитудой
б=&о/2ао(9.122)
и временем т|# существенного изменения функции f(t|). При |6|<^1 собственное время /«аот), так что /#=аоЛ*. Параметр Хаббла (9.5) есть
А=(6/Оо)Л(т1)=6/(0
(точкой обозначаем производные по /). Его наибольшее значение йтах~6//# характеризует интенсивность гравитационного поля. Условием слабости поля по отношению к рождению частиц является
6 <mt*.(9.123)
Нас интересуют реальные рожденные частицы при т)^-оо. Их спектральная плотность определяется согласно (9.94) через предельные при т)-»-оо значения решений системы (9.60) в скалярном случае и (9.65) в спинорном (мы будем рассматривать рождение массивных скалярных конформных частиц; рождение безмассовых неконформных частиц рассмотрено в [2]). При условии (9.123) можно воспользоваться теорией возмущений; обозначая предельные при ^->4-оо значения просто а(в), р^, где индекс указывает спин поля, и учитывая, что а(*>(—оо) = 1, p<s)(—оо)=0, находим
P<v,) =3 р<°> =23. С d/A(0exp(2iM-/712^0 J
—00
Здесь к=Х]а0— физический импульс, отнесенный к моменту. Когда f(0=0; Ао= (^-hm2)*/2— соответствующая одночастичная
энергия. Поэтому спектральная плотность п^Уг) определяется квадратом модуля фурье-компоненты ку) на частоте 2А»:
л<*/.) (Л) = уут)1^ (А) = (тЛ/2^)2 | £h (2^0) |*.(9.124)
Это соответствует рождению пары частиц с энергиями Ло. Отличие п<>/2) от п<°> на множитель (А/m)2 связано с принципом Паули, который приводит к подавлению рождения фермионов с малыми импульсами (&<т) и сравнительной затянутости их спектра при больших к.
Если функция /(/) аналитична на вещественной оси, то /*, а следовательно, и ^н определяются расстоянием до ближайшей к вещественной оси особой точки f(z). В адиабатическом режиме, когда mt *^>\, на частотах 2^о^2т значения nW^k) экспоненциально малы (ср. с задачей о надбарьерном отражении в квантовой механике [217]). Отметим, однако, что условие слабости поля (9.123) может выполняться и при mt*<\ (случай «внезапных возмущений»).
Плотность числа рожденных пар находится по формулам (9.97). Вводя безразмерные переменные х=к]т, x=mt, получаем с учетом (9.124):
л<$> = -^Г~ f "^ТТГ* ff ^^(^X^cosp^ — т^Ч-1 )*/.], 0—oo
где х(т) =Л(т)//п, а показатель /(0)=2 для скалярных и /(1/2) =4 для спинорных частиц.
Если x^smt *<^1 (внезапное возмущение), для п^ можно найти замкнутые выражения:
/п862m4d2 С
п<0)=^—!/(+00)-/(-оо)] + —— I dtpvy, (9.125)
ОО n(*/.) = _^_ f dip (0,(9.126)
где б определено в (9.122). В выражении для п^ ведущим является первое слагаемое, однако, если f(+°°)=f(—°°), оно обращается в нуль и эффект определяется вторым слагаемым в (9.125). В этом случае можно ввести эффективную скорость рождения
dn^/dt = (и*/16л) [1 — a Wia (— со)]*.
Аналогичная величина для спинорных частиц определяется только параметром Хаббла:
По порядку n^l^~TnWlt ^ тогда как два слагаемых п^ в (9.125) имеют порядок соответственно т3б2 и т*бЧ^е Так как рассматривается случай ni/#cl, то
n^№">nW; это объясняется отмеченной выше затянутостью спектра рождающихся фермионов (основной вклад в «,<•> дают импульсы к ~ t-'1 ■> т).
Рассмотрим теперь модель, допускающую точное решение задачи о рождении частиц, без предположения о малости возмущения. Масштабный фактор этой модели имеет вид «гравитационного солитона»
а (т)) = (а+ + а_)/2 + [(а+ — а_)/2] th ул,(9.127)
и она аналогична рассмотренному в § 4.2 импульсному электромагнитному полю. Характерное время расширения т)*=у~1; соответствующее собственное время можно считать равным t* = = (а+—а_)/2у. Если ад=0, то метрика имеет начальную сингулярность при т)=—<х>; в этом случае а можно записать в виде
а (О = а+ [1 — ехр(—ад,(9.128)
где теперь / *=а+/2у, а т) =—оо соответствует /=0.
Рассмотрим сначала скалярное поле. Уравнение (9.23) с <7(т|) =0 и а(л) вида (9.127) имеет точное решение, выражающееся через гипергеометрическую функцию
gK = ^УЧ— zY ц0 —z)PF(a, b; с; z),(9.129)
где
г = — ехр(2ут|); а = р-f-i(р + v); 6=p + i(p —v);
c = l+2ip; p= 1/2 +Kl/4 —т* ;
т* = m (a+ — a_)/2y = m/,; p = ©_/2y; v = со+/2у;
<o± = Xa + m2a±.
При т|—»—oo (9.129) ведет себя как gx~(^1, exp (+-1cd—fq); коэффициенты ai и ^ в разбиении (9.93) получаются с помощью аналитического продолжения F(a, 6; с; z) в область |z|>l. Таким образом, находим
a = ( ю+ УЛ JLIfLL^n^L- в — < ^ У7* г ^ г (" -»)
“ХГ(6)Г(с—а) ’ РхV <0- ) Г(а)Г(с —6) *
где Г(г)—гамма-функция. Предельный спектр рожденных пар есть
1Г 12sh(mo+/y)sh(rao_/Y)'
В ультрарелятивистской области X»ma±, у значения п<°>(Х1 экспоненциально малы:
nw (X)« 2 [ 1 + cos (л (1 •— 4т2)’7*)1 ехр (— 2nX/y).
поскольку по отношению к таким значениям импульсов изменение а(т]) происходит в адиабатическом режиме.
В пределе у-^оо (9.125) сводится к скачкообразно меняющемуся масштабному фактору
а(т1) = а_4-а+0(п).(9.131)
При этом из (9.93) сразу находим ох= (/+/~*)/2, 0х= = (J—/~*)/2, где J= (to+Zto-)1/2, так что импульсный спектр
nW (X) = (<о+ — <о—)2/(4оэ+си_)(9.132)
[то же получается в пределе у-^-оо из (9.130)]. Пространственная плотность числа рожденных пар (9.97) вычисляется точно. При а+>а_
nW = (т8/24л2) [(1 -f- d2) Е (я) — 2^к (</)],(9.133)
где d=a_la+; 9=(1—d2)^2; Е(^), к(^)—полные эллиптические интегралы. При а+<а-
nW = (т8/24л2) d [(1 + d2) Е(^) — 2к (7)],(9.134)
где g=(d2—xyi^d. Фактически (9.134) получается из (9.133) аналитическим продолжением по d в область d>l.
Рассмотрим предельные случаи этих результатов. При a+>a_(d<C 1) из (9.133) получаем
nW ~ (т»/24л2) [1 — (3/2) d? (In (4/d) — 1/2) J.
Главный член асимптотики не зависит qt a+, а-; при а_->0
я(0)=т3/24л2.(9.135)
Этот результат останется справедливым для любого быстрого расширения из сингулярности а(0)=0 с характерным временем / <т-1.
В противоположном предельном случае d)M (9.134) дает
nW = (тМ*/24л«) [1 — (3/2) d™» (In (4d) — 1/2)1
и л<°)->оо при a+-*0, как и следовало ожидать.
Если a+«a_(|a+—а_| <^а±), то
л<0’ « (т»/128л) (1 — d2)2.
Это совпадает с общим результатом для слабого поля [первое, ведущее слагаемое в (9.125); здесь /(т))=0(п). а 6«(1—d2)/2].
Для спинорного поля в метрике (9.127) решения системы (9.35), ведущие себя при т)-»—оо как f±~ ±У_ехр(1<о_т]) [см. (9.62)], имеют вид
/± = ± N_(— гУ н(1 —zy>F(a, b; c; z),
где все обозначения те же, что и в (9.129), за исключением р, которое здесь равно р=Т1т*. Аналитическое продолжение в область
|z|>l и использование предельной при т]->-оо формы равенств (9.62) дает спектральную плотность рожденных фермионов
n (V.) (X) = [ch (2лт„) — ch (л (ш+ — ш_)/у]/[2 sh (лш+/у) sh (лш_/у)].
(9.136)
При конечных у и Х->оо это выражение ведет себя аналогично л<°>(Х). При у-^-оо, что соответствует переходу к скачку (9.131), дО/з^х) ^Х-2, так что в этом предельном случае плотность числа рожденных пар бесконечна. То же следует и из результата (9.126) для слабого поля [/(О ~6(0L Таким образом, при быстром изменении а(т)) рождение фермионов значительно доминирует над рождением бозонов; это было впервые отмечено в [222].
Приведем еще результаты расчета плотности рожденных частиц л<8> в метрике (9.128) с начальной сингулярностью при (=0, которая в квазиевклидовом случае характеризуется лишь одним параметром t *—характерным временем расширения [223]. При t* <т-'
nW=m3i24n?; n<*/«> = т^вл/,,(9.137)
а при t* > /л~1
nW = An(V.) = A^L г3(9.138)
38л5 •
причем в первом случае основной вклад вносят частицы с релятивистскими импульсами (k ~т для s = 0 и k — ^^^ Для s= 1/2)» а во втором — нерелятивистские частицы (&— 17х ^ т).
Еще один интересный пример, в котором задача о рождении частиц допускает точное решение, дает масштабный фактор
а (п) = °i/ch ТП»(9.139)
который в терминах собственного времени имеет вид
а (0 = a! sin (у//aj.
Пространство-время (9.1) с таким масштабным фактором эволюционирует между двумя сингулярностями /=0(т] = —оо) и t — T^nai/y (л =+°°)- Ограничимся случаем скалярного поля. Положительно-частотное при т)->—оо решение уравнения (9.23) в этом случае имеет вид (<о_ = Х):
8к (п) = Х~*« F (а, 6; с; (1 -f- th yq)/2) (2 ch тп)~ 'Л’ (9.140) где параметры гипергеометрической функции
a = i Л — a; b = 1 + i Л + ст; с = 1 + i Л;
о = (1/4 + т^/у2)*7» — 1/2; Л = Х/у.
С помощью аналитического продолжения его асимптотику при т]—>-|-оо можно Представить в виде (9.93) (<о+=Х) с
так что предельный спектр рожденных пар есть
sin"<0><х>-I(9Л41)
Замечательным свойством масштабного фактора (9.139) является то, что при целых значениях a=kt k=\t 2 ..., соответствующим значениям периода эволюции
Т = Тк = л у к (к + 1/m, nW(X)=0 для всех X, т. е. рождение пар отсутствует. В этом случае адиабатический инвариант £(ц) осциллятора (9.23), определенный в (9.78), при т)->+°° принимает первоначальное значение £(оо)=£(—оо)=0. На языке квазичастиц, диагонализующих гамильтониан, можно сказать, что при т)->о° все рожденные квазичастицы снова поглощаются гравитационным полем. Это явление вполне аналогично обращению в нуль квантовомеханического коэффициента надбарьерного отражения в потенциале U^=—(/0сЬ-2(ух) при 2т[/0/у2=^(^+1) [217].
ПЕРЕНОРМИРОВКА ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Перейдем теперь к исследованию средних значений локальных наблюдаемых, характеризующих квантовые эффекты в однородном изотропном пространстве с метрикой (9.4). Как говорилось в § 8.3, наибольший интерес* представляют вакуумные средние тензора энергии-импульса <0| 7\*|0>, причем в качестве вакуума |0> можно взять либо in-вакуум, задаваемый при т]—>—оо в S-матричной задаче, либо определенное в § 9.3 начальное вакуумное состояние в момент т)0. В последнем случае мы будем предполагать, что а'(л) и достаточное число высших производных при т)=т)о обращаются в нуль. Это соответствует условию адиабатического включения взаимодействия с внешним полем [8].
Основная проблема здесь — устранение расходимостей и интерпретация этой процедуры в терминах перенормировок констант в действии для гравитационного поля. Как отмечено выше, ковариантная схема выявления расходимостей, изложенная в § 8.4, мало пригодна для нахождения конечных перенормированных значений <Тгн>, поскольку при этом теряется информация о нелокальных эффектах. В данном параграфе изложена развитая в [205, 206] методика устранения расходимостей в вакуумных средних ТЭИ, которая дает обоснование вычитательной процедуры в терминах перенормировок и в то же время эффективна при конкретных расчетах. Она основана на комбинации n-волновой вычитательной процедуры и размерной регуляризации, обсуждавшихся в § 8.5. Близкий подход был предложен в [204], однако методика этих работ дает возможность вычислять лишь локальные составляющие <Тгк>.
Основная идея метода размерной регуляризации в координатном пространстве состоит в следующем. Все формулы теории записываются для пространства-времени размерности N, после чего совершается формальное аналитическое продолжение в комплекс- 202
ную плоскость N. Удобно полагать /V=l+(3—2е), т. е. считать, что продолжение выполняется по размерности пространственной части метрики. При комплексном е интегралы, расходящиеся при N=4, сходятся в смысле граничных значений обобщенных функций. Расходимости проявляются в виде полюсов соответствующих выражений при е=0. Как показано ниже, при этом однозначно идентифицируется их геометрическая структура, и они могут быть последовательно устранены с помощью перенормировок. В противоположность этому такие методы регуляризации, как раздвижение точек (см. § 8.5) или обрезание по импульсу, нарушают ковариантность и скрывают геометрическую структуру расходимостей.
К размерно регуляризованным вакуумным средним ТЭИ будем применять описанную в § 8.5 л-волновую вычитательную процедуру для устранения расходящихся при е=0 выражений. В результате, после снятия регуляризации (е^-0), получатся полные перенормированные вакуумные средние <Т»к$, содержащие как локальные члены, определяемые геометрией пространства-времени в данной точке и описывающие поляризацию вакуума, так и нелокальные члены, связанные с рождением частиц.
Сперва рассмотрим скалярное поле с произвольным коэффициентом связи £, причем ограничимся для простоты случаем ква- зиевклидовой метрики (9.4), (9.2) (х=0) и будем использовать декартовы координаты.
При проведении размерной регуляризации нам потребуются следующие формулы для геометрических величин в jV-мерном пространстве-времени с метрикой (9.4) квазиевклидова типа:
^detgr,^--!)"-’^;
^«(AT-l)^; Raa=- [</ + (У-2)^];
R = ar4N— 1)[2с' + (М — 2)^];1’
Gw,=-(N-l)(N-2) ^/2; 0^ = ^ — 2) [с' + (АГ - 3) ^/2],
где а=1, 2,.... N—1 и введено обозначение
с(тО = а'(т))/а(1]).(9.143)
Полную систему решений уравнения Клейна—Фока (1.17) удобно взять в виде
ф!+' и -,о ылх
(9 ’
где
«/ ^ {^*V • • • •1} * ~■ 00 ^С ^С| ^С 00, X ^— I I •
Ф, (х) =(2л)-^-*)/2ехр(—i V)(9.145)
— аналог (9.21), а ^л(т|) удовлетворяют уравнению (9.23) и начальным условиям (9.26). Заметим, что в Af-мерном случае определенная в (9.24) величина q^) равна
<7(4) =(1е-5)а2/?. g. =(ЛГ-2)/4(ЛГ- 1).(9.146)
Метрический ТЭИ комплексного скалярного поля (1.24) удобно представить в явно симметричном виде
Ти = (1 -2^)(аг<рЧф + W + (4g- l)gi6d'V*d,v-
— 2g [<P*VtV»V + (ViV»V*) Ф1 + К1 — 4g) m2gu — 2gGift — 4g2/?g{h] ф*ф
(9.147)
(индекс, указывающий спин поля, временно опустим). Это выражение верно для пространства-времени любой размерности УУ.
Выражения для вакуумных средних оператора ТЭИ получаются согласно (2.2):
<о | ти I 0> = Jd^Tik (ф<->, ф<+>) ,(9.148)
где билинейная форма Т,л{—} определяется выражением (9.146). В сферических координатах в (N—1)-мерном Х-пространстве меру dn(J) можно записать в виде dp(/) = XN""^dXdQN-^ где d£lN-i— угловая мера на единичной (УУ—2)-мерной сфере. Для функций (9.145) несложно получить аналог формулы суммирования (9.15):
Х""2 {^_2Ф;(х)ФДх') = (2л)("-1>/2Х"-2(Хр)-("-3>/2^-з)/2^
(9.149)
где /v(z)—функция Бесселя, а р=|х—х'|. Предельная при х'->х форма равенства (9.149), а также получаемые из него формулы для производных Ф,. аналогичные (9.18) — (9.20), позволяют в (9.148) выполнить интегрирование по dQw-2. Используя введенные в (9.71) обозначения s, и, и для билинейных комбинаций gx и g'x, результат можно представить в следующем виде:
<0 | Ti6 | 0> = BNcr^-^ J dlkN-2S"tk, (9.150) о
где
=[2"-3л<"-,)/2Г^^^(9.151)
а компоненты У1Л равны:
yoo = ^+™ + (tf-l)(^-2)(ge-g)^(s + -^U + -1-) +
+ (A7-l)(g,-g)cv;(9.152)
_(1 Г X2 / , 1 \ m2a2 1о/> >х ,
^ит^т)—т16-ч:“+
+ae-»[-^+(jv-i)^-2)4]—fs+vu+4) +
L2 J о \22 /
+ ^-l)(^-g)CvjVop,(9.153)
a 3"oa = 3ao =0. Равенство нулю недиагональных компонент средних ТЭИ очевидно из симметрии задачи.
Легко видеть, что выражения (9.150) расходятся как XN на верхнем пределе. Как показывает анализ поведения решений s, и, v системы (9.72) при Х->-оо (см. ниже), кроме этой старшей расходимости в общем случае (9.150) содержит более слабые расходимости, пропорциональные Х^-2 X2и In X (для четных ^).
Заметим, однако, что (9.150) помодно удовлетворяет условию консервативности
V»<0|T?|0>=0,(9.154)
в чем можно убедиться с помощью уравнений (9.72).
В случае конформной связи (g = |c) все выражения значительно упрощаются. При этом для безмассового поля след ТЭИ в (9.150) формально обращается в нуль.
В соответствии со сказанным выше для устранения расходимостей прежде всего выполним размерную регуляризацию расходящихся интегралов. С этой целью аналитически продолжим выражения (9.150) — (9.153) по размерности пространства-времени в комплексную плоскость, положив N=4—2е, е — комплексный параметр. При этом целесообразно в интегралы ввести мультипликативную константу М размерности массы в нужной степени с тем, чтобы при любом е наши выражения имели ту размерность, которую они имеют в четырехмерном пространстве [31]. Таким образом, получим регуляризованные средние
<о | ти I 0>е - В4_2е VMa^a-^ j dXX2-^Зи. e.(9.155)
о
где Зил получается из (9.152), (9.153) при N=4—2е (отметим, что эту замену надо делать и в выражениях для |с и R, входящих в 3 и\ При 1m е=/=0 интегралы в (9.155) сходятся в смысле граничных значений обобщенных функций.
Теперь к регуляризованным вакуумным средним применим описанную в § 8.5 вычитательную n-волновую процедуру. Правило (8.64) сводится к вычитанию из подынтегральных выражений (9.155) трех первых неисчезающих членов их асимптотических разложений по степеням ш_| при (о->оо соответственно трем типам расходимостей (X4, X2 и 1пХ), которые имеются в четырехмерном пространстве:
2
геп<0 I Т,6|0>е = <0 I Ти I 0>е-у Ти.е^ (9.156) z=o
где индекс / имеет тот же смысл, что и в (8.64). Фактически при е->-0 подынтегральное выражение в Г,ь(/) имеет порядок w3-2Z. Первое вычитание (/=0) в (9.156), как легко убедиться, эквивалентно приведению оператора Т^ к зависящей от времени нормальной форме (2.39) по операторам квазичастиц ci^fn).
Чтобы вычислить Г,д,е (/) в явном виде, поступим следующим образом. В выражениях (9.152), (9.153), определяющих ^"«,епри N=4—2е, сделаем замену:
Х-*пХ\ т-*пт; ®-*-пи>(9.157)
и будем искать их разложения по обратным степеням п, после чего положим п=1. Для выполнения этой процедуры необходимо иметь соответствующие разложения для s, и, и, входящих в У«. Требуемые разложения являются по существу обобщенными ВКБ-решениями системы (9.72) для s, и, и с начальными условиями (9.75).
Обобщенные ВКБ-решения (9.72) можно строить следующим образом [35]. Сделаем в (9.72) замену (9.157) и будем искать s, и и у в виде асимптотических рядов по степеням п-':
$ = ^ п—к8к; и = ^ п-кик, у = ^ n~*vft. (9.158)
Подставляя (9.158) в (9.72) и приравнивая члены с одинаковыми степенями п, получим зацепляющуюся систему уравнений для sk, ик, у к- Решая эту систему с начальными условиями sk, ик, Ук=0 при т)=т|о [что соответствует (9.75)], подставляя в (9.158) и полагая п=1, найдем искомые обобщенные ВКБ-решения. Другой метод нахождения этих решений — последовательные итерации в системе интегральных уравнений Вольтерра, которым эквивалентны системы (9.72), (9.74) [см. (9.98)], и применение к полученным интегралам метода стационарной фазы [224].
Поскольку в дальнейшем будут рассматриваться поля других спинов, приведем сперва имеющие единообразный вид обобщенные ВКБ-решения системы (9.74) для конформного скалярного, спинорного и векторного полей. Первые, отличные от нуля члены в (9.158) таковы:
U==J_^(S); u2=—DW^;—
224^16
V3 =L^^s) + A.^’;
38”16
u L D^ + — WwDW^;
416”32
s4 =L^o2^^ + — YDW(S42 ± — Ww. (9.159)
3264256V
Здесь введены обозначения
D = (о-1 (d/dt]); = ty<s)/(o;
w^ определены в (9.61), (9.66) и (9.69). Следующие члены в разложениях (9.158) найдены в [214]. Для скалярного поля с произвольной связью [см. (9.72)] Ui и $2 имеют тот же вид, что и в (9.159), а к остальным членам разложений добавляются слагаемые, зависящие от (£с—£):
Ды4 = — — DoD (-9-\ + —1— Wm‘ + -5- DWw +
8\ <о3 /16<о«вм»W
As4 = -^ №<0) aD (Л_\ _]. _9— DWw ;(9.160)
16<о*16\ w3 /16w3'
q определено в (9.145).
Теперь в подынтегральные выражения (9.155), в которых произведена замена (9.157), надо подставить разложения (9.158) и сгруппировать члены, имеющие одинаковый порядок по п-1. Положив в результате и=1, получим три подлежащих вычитанию согласно (9.156) члена Т^.е (/). Выпишем их явно:
7^,е(0 = В^Ма?^ ”(1ХХ^2ГиД1\(9.161)
о
где для / = 0 (в первом вычитаемом)
^OO.eW = ^; Уар.е(0) = Х’ Yap; (9.162)
для /=1 (во втором вычитаемом)
^oo.e(l)=<»% + (t-D[(3-28)(l-e)^- +(3-28)спф^Д1)^-1^(^52--^«2)+&-6) Г—2шиг +
+ — w+ —(3 —2e)(l—eH +(3—26)^,117^ (9.163) to \2/
и, наконец, для / = 2 (в третьем вычитаемом)
5"oo,e(2) = cos4 + (^ — £)(3 — 2б) Г(1 — е) — (s2 + -^-иЛ + cvsl;
Ito \2/ J
/ox (1/ X2 m2a2 \ ।x I n t
V ap,e (2) — 1—— ( S4M1 ) + (^c — 5) —2^4 +
I 3 —2e \ to2to /L
+ (- 2VR + (3 - 2г) (1 - e) c®) ± ( s2 + -L u2 ^ + (3 - 2e) cua ] } Тоф.
(9.164)
Величины sft, ик, vk определены в (9.159), (9.160).
Интегралы в (9.161) с учетом (9.162)— (9.164) можно разбить на элементарные слагаемые вида
где В(р, ^)—бета-функция. Аналитическое продолжение правой части определяет значения интеграла даже для таких параметров к и т, при которых он расходится в классическом смысле, если только Ime^O. При снятии регуляризации расходимости проявляются как полюсы бета-функции в точке е=0.
Результаты вычисления значений Tik-e (/) разложим в ряды по степеням е, причем будем выписывать только те члены, которые не обращаются в нуль при е->0. Таким образом, получим
Т£к.е(2) = —!— Г — wHtk — wHlk + 10 f — — ^ wHtk +’ v 1440л2 [6 lk ik \ 6 V tk
+ 90 (4- -gY f-L + b-2) 0>Zf,fcL (9.165)
где b = —In (m2/4nAf2) 4-2—С; C — постоянная Эйлера; WHlk определен в (8.62), a wHlk —квадратичный по кривизне тензор
wHlk = R^--^ RR*-у(R,mRim- уR^- (9.166)
Заметим, что хотя wHtk имеет ковариантный геометрический характер, для него условие консервативности ^kwHi =0 выполнено только в конформно-плоском пространстве, и поэтому, в отличие от wHlk, он не может быть получен вариацией действия, определяемого геометрической величиной [181]. Для идентификации ковариантной геометрической структуры выражений (9.165) использован явный вид (9.142) компонент тензора Эйнштейна, а также следующие выражения для компонент (Х'Н1к:
wHw = (N—l)a~2 [— 4(N — 1)с"с4- 2 (Я—1)с'2—12 (Я — 4)c'cs —
— (Я—1)(Я —2)(Я—10)^2]; о,Я0а = 0;(9.167)
° ’Яар = (Я — 1) а-2 [4с'" — (8Я — 36) с"с 4- (6Я — 22) с'1 4-
6 (№ — 10Я 4- 20) с*» 4- (Я—2) (Я2 — 15Я 4- 50) с*/2] ^
и компонент тензора wHth, которые достаточно знать только для N=4:
(9.168)(9.168)= <3)Я0а = 0;
(9.168)
(9.168)
‘^Яау= а-2 (— 4 с’с? + с4) уор.
Отметим, что Т.^.е (/) по отдельности удовлетворяют условиям консервативности (9.154) в (4—2е)-мерном пространстве.
Полученные результаты позволяют однозначно решить вопрос об интерпретации вычитаний n-волновой процедуры (9.156) в терминах перенормировок затравочных констант в эффективном лагранжиане гравитационного поля (8.63). Из (9.165) очевидно, что первое вычитание (/=0) эквивалентно бесконечной (при е->-0) перенормировке космологической постоянной, а второе (/=1) — перенормировке гравитационной постоянной, которая бесконечна для неконформного скалярного поля, но становится конечной в конформном случае. Несколько более сложная ситуация для третьего вычитания (/=2). Вычитание тех слагаемых в Tih.e (2), которые пропорциональны wHlk, эквивалентно перенормировке константы р при члене R2 в (8.63). Член с константой о в данном случае отсутствует в эффективном лагранжиане, поскольку наша метрика (9.4) является конформно-плоской и в ней
Л- f Л V=7 (R“R„ —L R‘\ = 0.
В то же время в Г16>е (2) присутствуют конечные члены ~ №Htk, которые не могут быть получены вариацией локального полиномиального действия по gih, так что их вычитание не соответствует какой-либо перенормировке.
Аналогичным образом устанавливается геометрическая структура расходимостей и выполняется перенормировка для спинорного и векторного полей [205, 206].
В спинорном случае вычисление вакуумного среднего ТЭИ (1.56) по аналогии с (9.148) на функциях, обобщающих (9.45) для Af-мерного пространства, дает выражение (9.150), в котором теперь
d'SP =(0(_1 + 2s);
З"»’+2s“Т “]м>.(9.169)
Вычитаемые Т\^« (0 при перенормировке (9.156) находятся как и в скалярном случае. При этом используются асимптотические ряды (9.158) с членами (9.159), в которых для s=l/2 берется Нижний знак. Результаты имеют вид:
тШ^ =тШ^ =m* / 1 . ,1 \ .
тШ^ =
тШ^ =
16л* \ в ^2 )®1К’
7'™<1>=-т^(т+6-т;й-(9J7°)
т$:1 (2) = —-— (— wHtk —— №нА• x ’1440л2 \ 2‘2№)
Заметим, что в этом случае требуется лишь конечная перенормировка константы р.
Для векторного поля особенностью размерной регуляризации является то, что продолжению по размерности подвергаются лишь поперечные измерения 3-пространства, а продольная компонента остается в одном измерении. Вакуумное среднее ТЭИ (1.31), вычисленное с помощью системы функций (9.48), имеет вид (9.150) с
JДО = ю [^-L (N — 1) + s< l> + (N — 2) s<°>] ;
^ = — [xV— + ——s<1> +s(0)) +
<о L \2 N— 1 N — 1 j
• m^o^ —— 2(o2 /1 vN — 2 о о /nil1 \
HU( 1 >netful0) VaB» (9.171)
2^-1)2^—1)J rv 7
где s<°\ u^ обозначены s, и для поперечных компонент, совпадающих с конформными скалярными, a s<!>, и^— для продольных компонент, определяемые параметрами w^x\ W^ в уравнениях (9.74) и их ВКБ-решениях (9.159).
В результате вычислений находим выражения для вычитаемых в (9.156):
ТЦ’еО) = ^ f — + 6 - v) G^<9Л72)
16ла \ е3 /
ТДО,е(2) =!— [27 ^Н1к + — (— + b— ) (0Я| J.
’ ' ’1440л« L “ г \ е15 /'*]
Здесь, как и в неконформном скалярном случае, все три перенормировки оказываются бесконечными.
Выше была рассмотрена процедура перенормировок для ква- зиевклидовой метрики (9.4). Для гиперболического и сферического пространств (х=±1) возникают некоторые отличия.
Во-первых, хотя выражения для Зи и их асимптотические разложения здесь те же, что и в случае х=0, изменяется мера на множестве квантовых чисел /, что приводит к изменению меры в интеграле (9.150) [ср. с выражениями (9.89) для JV=4]. В схеме вычитаний (9.156) мера также должна подвергаться разложению по со-1 в соответствии с общим рецептом (2.15) — (2.17). В результате выражения для Тил (/) несколько изменятся.
Далее, для метрик (9.4) с х=±1 выражения для Ru, R, wHu и ^Hi4 содержат дополнительные слагаемые по сравнению с 210
приведенными выше. Это необходимо учесть при интерпретации Лк. е (О в геометрических терминах.
Наконец, для сферического пространства (х= + 1) в (9.150) стоят суммы по дискретным значениям X [см. (9.89)]. В то же время вычитаемые Т,кл (0 в (9.156) содержат интегралы по непрерывному X с той же мерой [т. е. dX(V—s2) в четырехмерном пространстве]. Причина этого в том, что устраняемые расходимости носят локальный характер (информация о глобальных свойствах пространства-времени содержится в <0|ЛЛ|0>). Поэтому в сферическом пространстве появятся «топологические» добавки, которые были вычислены в гл. 3 (ниже мы воспользуемся этими результатами).
Таким образом, для пространств с х=±1 в выражениях (9.165), (9.170), (9.172) появятся дополнительные конечные члены, которые хотя и локальны, но не имеют ковариантного геометрического характера. Они наряду с ^Н^ определяют «истинную» поляризацию вакуума гравитационным полем и зависят от выбора вакуумного состояния |0>. Нелокальные по времени эффекты содержатся в <0|T,h|0>. Заметим, однако, что, несмотря на отличие в конечных членах, геометрическая структура расходящихся при в—>0 слагаемых в Т^,е(/) для всех трех случаев х=0, ±1 одна и та же и определяется полюсными членами выражений (9.165), (9.170), (9.172).
ПОЛНЫЙ ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В ИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В предыдущем параграфе был проведен анализ характера расходимостей и продемонстрирована интерпретация их устранения в терминах перенормировок констант в затравочном гравитационном действии. Теперь обратимся непосредственно к получению полных перенормированных вакуумных средних ТЭИ, причем будем рассматривать скалярное поле с конформной связью, а также спинорное и векторное поля.
Для нахождения конечных перенормированных средних, которые мы будем обозначать <TiK>, необходимо снять регуляризацию в (9.156) после того, как там произведено сокращение полюсных членов:
[
2 1
<01^1 0)е-УТ1М№ . (9.173) J
Таким образом, получаются выражения, которые по своему построению удовлетворяют условию консервативности и содержат как локальные члены, описывающие поляризацию вакуума гравитационным полем, так и нелокальные (по времени) слагаемые, связанные с рождением частиц.
При проведении конкретных расчетов удобно не прибегать к размерной регуляризации, а выполнять вычитания, предписывае-
мые n-волновой процедурой (9.156), помодно (под знаком интеграла). Ведущие расходимости, определяемые Г,ь(0), в пространствах с х=0, —1 при этом сокращаются автоматически. Выпишем получающиеся выражения сразу для всех трех спинов s=0, 1/2, 1 в пространствах гиперболического, сферического и квазиевклидо- ва типов с учетом модификаций, о которых говорилось в конце предыдущего параграфа.
Для гиперболического и квазиевклидова пространства (х= =—1, 0) полные перенормированные вакуумные средние ТЭИ можно представить в виде
<Т\Ъ = ~4г f dK ^ - ^ ^ («х. ux) - 5» (s2. «2)1 - о
— Wlhsv «4)1.(9.174)
где $х, их—точные решения системы (9.74) с начальными условиями (9.75); $h, Uh — выписанные в (9.159) первые неисчезающие члены ВКБ-асимптотик этих решений. Функции З"»? (s, и) получаются из выражений (9.152), (9.153) для £ = £с, (9.169), (9.171) при N=4, если в них вычеркнуть не зависящие от $ и и первые слагаемые [те, которые устранены уже вычитанием 7^(0)—см. выше]. Конкретно для скалярного конформного поля:
3"^ (s, u) = cos;
_«»,1 fV m^ X(9.175)
ар (S, “) - Т S— и) Тар.
для спинорного поля:
Зой**(s, и) = 2(0$;
<^ар («» ^)=— S— и уар,(9.176)
3 L to 2(0 J
а для векторного поля:
STоа (s, и) = со ($(|) + 2$<0)) ;
3^ (s. и) = 4 f — (s<0 + 2$<°)) —(и<|> + 2и<°>)— и'Чуар-
[ <о2<осо J
(9.177)
Компоненты <>^0^ = <5"а о = 0. В (9.177) $<*>, «<>> — решения системы (9.74) для продольных компонент векторного поля [с аН1> из (9.69)], тогда как s<°>, и№— для поперечных компонент [с w№ из (9.61)], которые совпадают с конформными скалярными.
В сферическом пространстве выражение (9.174) модифицируется следующим образом. Во-первых, интеграл от первого слагаемого, содержащего $ь их, заменяется на сумму по дискретным 212
значениям X согласно (9.89) (тогда как в членах с $2,4 и «2,4 сохраняются интегралы). Во-вторых, здесь появляются упомянутые в конце предыдущего параграфа «топологические» добавки за счет различия между суммой и интегралом при выполнении первого вычитания в (9.156) (с /=0). Они имеют следующий вид:
ЛТЙ’ = ±f У] - f ^ (^-s’lA,»;
Лц-^-^еу(9.178)
где Хо=1+$> а верхний (нижний) знак соответствует бозонам (фермионам). Эти слагаемые вычислены в гл. 3.
<Т^> =<Т^> =1л2а21л2а2Таким образом, в случае сферического пространства полные вакуумные средние ТЭИ даются выражениями
<Т^> =
<Т^> =
1л2а2
1л2а2
2 (X»-s^S"^($x, Их)- х=х0
(9.179)(9.179)[ dX [(X1 - s^? ($2, u2) + к1^ (sv «4)11 + ДТ^.
(9.179)
(9.179)
Если при т)->-оо пространство становится статическим (a->const), то входящие в систему (9.74) параметры оМ-Ч). При этом обращаются в нуль все члены ВКБ-асимптотик (9.158), (9.159). Что касается точных решений этой системы sk, их, то при я^-°° значение $х(т))-^-л8(Х) и определяет предельный спектр рожденных частиц [см. (9.94)], а «к (я) быстро осциллирует и ее вклад в интегралы по X обращается в нуль. В результате выражения (9.174) при Я~>оо для х=0, —1 дают ТЭИ реальных рожденных частиц; их плотность энергии и давление равны:
е($) s <Т^)0> = -^tb J d^5* (X) ®+n<s»(X);
Pks> = — <Т^а> = J ^ (X) -^- n<s> (X),(9.180)
где ©+=Нтсо(я) при я-*00. а dp<s>(X) определено в (9.89). В сферическом пространстве к этим выражениям следует прибавить не исчезающий при a->const вклад АТ^’ (9.178), определяющий поляризацию вакуума топологического происхождения.
В общем случае полные перенормированные вакуумные средние <Tih) представляют собой сложные нелокальные функционалы от метрики. Важное исключение — безмассовые конформно-инвариантные поля в конформно-плоских пространствах, каковыми являются однородные изотропные пространства с метрикой (9.4). В этом случае, как мы сейчас покажем, <T,ft>m-yO=<rift>o всегда
имеют чисто локальный характер и могут быть найдены аналитически для любых зависимостей а(т|).
Для безмассовых скалярного и спинорного полей выражения <Tih>0 получаются из общих формул (9.174), (9.179) предельным переходом т->0, который должен выполняться после интегрирования по X.
Как видно из (9.74), вклады членов, зависящих от $х, их, при этом обращаются в нуль [имеется единственное важное исключение: метрика с а(т|)~ехр (т|); она рассмотрена в следующем параграфе]. Для гиперболического и квазиевклидова пространства (х=—1, 0), используя выражения (9.159) для sh, «а, после длинных, но элементарных вычислений найдем для скалярного поля [219]
<Т$>6 = (480л«а1)-‘ [2с"с—с** — 2с*];
<7^>в = (1440л2а2)~‘ [—2с<3> + 2с"с—с'* + 8с'с« — 2с*] у^, (9.181) а для спинорного [225]
(Т^'^о = (480л1а1)-1 [6с"с — Зс'* —7с*/2 + 5хс®];
(Т^Х = (1440л*а1)-1 [—6с(3> + 6с"с— Зс'* +
- 14с'с* — 7с*/2 — 10хс' 4- 5хс®] уар.(9.182)
Напомним, что с=а'!а, а c№=d3cldv?.
Обращает на себя внимание то, что для статического гиперболического пространства (х=—1, a=const) (Т^Х = 0, хотя гравитационное поле здесь отлично от нуля (в квазиевклидовом случае с а=const этот факт тривиален, так как мы имеем обычное плоское пространство Минковского).
В сферическом пространстве к (9.181), (9.182) следует добавить найденные в § 3.2 топологические члены (9.178), которые для безмассового поля равны
ДТ$ = (d#/240n2) Jlk,(9.183)
где do=l, di/2=17/4, a Jik — тензор, имеющий в координатах (9.2), (9.4) компоненты
Jlk^a-» (ley Vop)(9.184)
(следует иметь в виду, что в гл. 3 рассматривалось вещественное скалярное поле).
Результаты (9.181) — (9.183) можно записать в терминах введенных ранее тензоров °^Hik и wHlk» компоненты которых в метрике (9.4) даны в (9.169), (9.170):
<T*r>o=(144On»)-' [4<3,Ят 4- №» 4-6*.-i СА1. (9.185)
где коэффициенты Ло=1, Во=—1/6, Со=—6, Л1/2=11/2, B\h = =—1/2, Ci/2 = 51/2, а множитель 6K.-i показывает, что член с С, входит лишь в случае гиперболического пространства.
Вычислим след (9.185). Из (8.62) и (9.166) имеем
тН‘< =—6VvtR; WH\ = — ^RlmRlw — RM^.
Поскольку след Д’ = 0, то во всех трех случаях х=0, ±1:
<Т<5,<>0 = (1440л1)"1 [-Л, (/?/'”/?,m- R»/3)-6Bs^tRV (9.186)
Это — конформная аномалия, о которой шла речь в § 8.5. Результат (9.186) согласуется с (8.82), поскольку в конформно-плоском пространстве тензор Вейля Сшт=0, и здесь мы рассматриваем комплексное скалярное поле. Как показано в [226], в случае конформно-плоского пространства знание аломального следа позволяет восстановить <Лл>о однозначно с точностью до тензора с нулевым следом, который зависит от выбора квантового состояния [как Jik в (9.185)].
Отметим, что если бы мы с самого начала считали поле безмассовым, то уже после первого вычитания в (9.156) (с /=0) средние ТЭИ обратились бы в нуль, так как в этом случае s^, «х=0, и не нуждались в дальнейшей перенормировке. Это свойство, однако, не сохраняется при сколь угодно малом отклонении от конформной инвариантности поля или от изотропии пространства, когда для безмассового поля s^, и^#=0 и имеются все типы расходимостей. Таким образом, на отличие <Т1к>0 от нуля и конформную аномалию можно смотреть как на явление спонтанного нарушения конформной симметрии [219]. Отметим еще, что в [227] предложен способ устранения конформных аномалий за счет введения добавочного инфракрасного обрезания до перехода к пределу т-*0 в массивной теории.
Выше рассматривалась поляризация вакуума безмассовых скалярного и спинорного полей. Что касается векторного поля, то, как указано в гл. 1, здесь конформная инвариантность нарушается не только за счет отличия от нуля массы, но и из-за неинвари- антности калибровочного условия (1.29) .Предельный переход к т = 0 требует вычитания вклада от лишней степени свободы массивного поля, что формально делается за счет введения в лагранжиан духового поля.
Регуляризованное значение вакуумного ТЭИ для электромагнитного поля оказывается равным [226]
<Т^> = (2880л1)-1 [62(3)//ift + 3(|)Я<6 —6К, —1132/<к]. (9.187)
Более подробно статус конформных аномалий, в том числе для полей высших спинов, рассмотрен в [2].
Возвращаясь к общему выражению (9.185), заметим, что поскольку тензор ^Hik получается вариацией интеграла от R\ второе слагаемое с этим тензором может быть устранено дополни-
тельной конечной перенормировкой константы р в затравочном лагранжиане (8.63). При этом, как сказано в § 8.5, имеются основания считать Ргеп = 0. Остальные же слагаемые в (9.185) представляют собой истинную поляризацию вакуума безмассовых полей в гравитационном поле. После выполнения указанной перенормировки вакуумный ТЭИ безмассового поля примет вид
№>0 = (1440л«Г* №Hlk + ^.-iC^J, (9.188)
где для спинов s = 0, 1/2 коэффициенты даны в (9.185), а для электромагнитного ПОЛЯ Дет = 31, Сет = 66.
Теперь перейдем к рассмотрению массивных полей. В этом случае вакуумные средние ТЭИ (9.174) можно представить в виде суммы
<T)f> = (Т^Х + <Т$>т. (9.189)
где первые слагаемые — это не зависящие от массы локальные выражения (9.185), a (Tik^m —в общем случае нелокальные причинные функционалы от масштабного фактора а(ц).
Если в течение всей предшествующей эволюции, вплоть до данного момента т), гравитационное поле было слабым, т. е. выполнялось условие
|/??|«т1 (9.190)
(оно аналогично условию £<с£сг в электродинамике), то нелокальные эффекты, как показано в § 9.5, экспоненциально малы. Локальные же составляющие <Т,к> можно получить из ВКБ- асимптотик подынтегральных выражений (9.174), для нахождения которых можно воспользоваться асимптотическими рядами (9.158). Их удобно представить в виде разложений по степеням т~2:
<Т^> = 2 т^^Й (п), (9.191) п=0
где Я\8к W представляют собой зависящие от спина поля линейные комбинации произведений и сверток gik, Rik и его ковариантных производных, имеющие размерность m2n~2 и удовлетворяющие условию консервативности. Члены m4J? IV (0)— mtglk были устранены выше первым вычитанием в (9.156), что соответствует фиксированию космологической постоянной Лгеп=0.
Члены первого порядка в (9.191) имеют вид т1^' (1) = = bsm2Gik (так как Gih— единственный консервативный геометрический тензор размерности т°). В скалярном случае этот член с самого начала конечен, Ьо=—1/(144 л2); в спинорном и векторном случаях имеются расходимости ~m2Gik [см. (9.170), (9.172)]. Подобные члены в <Tik> могут быть устранены после фиксирова- 216
ния значения перенормированной гравитационной постоянной Gren- Что касается членов второго порядка ^и (2), то они не зависят от массы и дают первые слагаемые <Т^>0 в (9.189); их мы обсуждали выше. Заметим, что их вид не зависит от предположения о слабости поля.
В третьем порядке <Т<6> содержат кубичные по кривизне члены, а также члены с четвертыми производными от R. Значения $ik (3) для всех трех спинов вычислены в [214].
Если условие слабости поля (9.190) в данный момент выполняется, но в прошлом имелся период, когда поле было сильным, то в <1^ доминируют слагаемые вида (9.180), описывающие ТЭИ рожденных частиц. Эти слагаемые имеют структуру
<Tlk>p = m*Pik,(9.192)
где тензор Ptk зависит от всей истории эволюции а(т]). При а'(т|)/а2(т1)-»-0 (9.192) переходит в (9.180).
Обратимся теперь к случаю сильного поля, когда выполняется неравенство, противоположное (9.190) (однако мы должны предполагать выполнение условия [/t^l^G-1, при котором законно рассмотрение гравитации как классического внешнего поля). Здесь, как и в случае слабого поля, локальные поляризационные члены доминируют над нелокальными. Их можно вычислить с логарифмической точностью методом, аналогичным примененному для электромагнитного поля в § 6.3.
Для скалярного поля результат есть
<Т^> = <T^6-Y-^-Glk + -^ gtk 1п№*),(9.193)
144л2Ь4л~
а для спинорного
<№>> = <7’j;/’,>o+ \^G^--^gi^n^/rn^' (9-194)
где <Т^>6 те же, что в (9.185), aJ? — комбинация gtk и R<k размерности т4, вид которых определяется лишь после фиксирования параметров перенормировки. Очевидно, что ведущими здесь являются не зависящие от массы члены <7l^)0.
Иная ситуация возникает в случае векторного поля. Поперечные компоненты дают вклад в ТЭИ, равный удвоенному скалярному. Продольные же компоненты приводят к появлению в (Г^) конформно-неинвариантных членов, которые лишь логарифмически зависят от массы поля и доминируют при |/?\|>т2. Расчет, аналогичный проведенному в § 6.3 для сильного электромагнитного поля, дает следующий результат:
<т‘Г> = -
1
1152 л2
(nHtk In (а
R^Rih-Wm4
1720л2
<3> и п1к
_^_c„ ,n(6^^_„£_g|,ln(№., (9.195)
где Я имеет тот же смысл, что и в (9.193), и вместе с параметрами а и b определяется условиями перенормировки. Логарифмические члены, пропорциональные wHik, Gih, происходят от слагаемых с 82'3» и^л в (9.174), (9.177), определяющих вклад продольной компоненты векторного поля в поляризацию вакуума. Структура аргумента логарифма устанавливается по виду й2(т]) в (9.52).
Как в сильном, так и в слабом поле полный вакуумный ТЭИ включает, помимо выписанных выше локальных геометрических членов, еще и другие слагаемые. Во-первых, это локальные члены негеометрического характера, как, например, Jth в (9.185) или казимировские топологические члены (3.74) в сферическом пространстве. Во-вторых, в <Tik> входят нелокальные слагаемые, связанные с рождением массивных частиц. Так же как и в электродинамике, в сильном поле последние оказываются малыми по сравнению с ведущими поляризационными членами. Подробнее их структура исследована на конкретных примерах в следующем параграфе.
9.8. РАСЧЕТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА И РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ В ИЗОТРОПНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Начнем с рассмотрения космологических моделей «большого взрыва», которые лежат в основе современной теории эволюции Вселенной. Вся совокупность наблюдательных данных свидетельствует о том, что расширение Вселенной происходило изотропно, начиная с весьма ранней стадии, возможно, с эпохи, которая характеризовалась планковскими значениями кривизны. Мы здесь найдем общие выражения для полных перенормированных средних ТЭИ скалярного и спинорного полей для того случая, когда в начальный момент л = 0 метрика (9.4) имела сингулярность или была близка к ней (т. е. инварианты тензора кривизны принимали значения порядка G^/pj2). Такая постановка задачи включает в себя как классическую горячую модель, так и несингулярные инфляционные сценарии (см. гл. 11).
На функцию а(т]) наложим пока лишь требование монотонности возрастания, а также условие гладкости в начальный момент: а' = а" = 0 при т) = 0. Это условие гарантирует отсутствие эффектов, определяемых особенностью при выходе из «сингулярного» состояния, которой не должно быть из соображений, связанных с обратным влиянием квантовых эффектов на метрику. Последним в этом параграфе мы будем пренебрегать, равно как и взаимодействием квантованных полей друг с другом и с классическим фоном, роль которого может играть как обычное вещество, так и вакуумный конденсат.
Будем считать, что квантованное поле находится в гейзенберговском состоянии |0>, вакуумном при т) = 0. Такое задание начальных условий оказывается непротиворечивым даже в том слу-
чае, когда при т)->0 имеется сингулярность (а->0), и приводит к конечным выражениям для <Г,ь>.
В качестве важного частного случая будут рассмотрены космологические модели Фридмана, которые являются решениями уравнений Эйнштейна, в правой части которых стоит ТЭИ классического вещества с уравнением состояния
Рь = (у-1)еь. (9.196)
Пространственная кривизна х определяется знаком разности «ь—бег, где 8СГ=ЗЛ2/8л G — критическая плотность, соответствующая квазиевклидовой модели [Л — параметр Хаббла (9.5)].
Фридмановские модели обладают сингулярностью в классической теории: при f->-0 масштабный фактор обращается в нуль степенным образом:
а(0=аЛ (9-197)
где 9 = 2/3 у. Мы будем предполагать, что 1/3^9<1; значение q= = 1/3 соответствует предельно жесткому уравнению состояния Рь = еь [228], а <7=1—так называемой метрике Милна, на которой мы остановимся ниже. Указанный интервал включает как случай радиационно доминированного (у=4/3, 9=1/2), так и пылевидного (у=1, 9 = 2/3) фона. В терминах «конформного» времени т]
а(т|) = а^, (9.197а)
где Я1= (1—9)«/<1-«> аУ0-0; р=9/(1—9), 0<р<оо.
Выражения (9.196), (9.197) являются точными в квазиевклидовой модели; в гиперболическом и сферическом случаях они справедливы только при т)<^1 [228]. Однако для реалистических моделей Вселенной (в которых еь не слишком сильно отличается от еСг) в эпоху t~m-1, когда существенны нелокальные квантовые эффекты, кривизна 3-пространства еще не начинает сказываться на законе расширения, так как с большим запасом выполняется условие mOj»!. Поэтому и для моделей с х=±1 можно считать т|С1 и пользоваться степенными законами (9.197), (9.197а).
Обратимся теперь к вычислению перенормированных средних ТЭИ <Т^°) = е<$), <T^a> = — Pw . Детали расчетов приводятся лишь для плотности энергии е(а); давление Р^ легко получается из условия консервативности, которое сводится к равенству в'=—3(а'/а) (е+Р).
В соответствии с (9.189) представим e(s) в виде суммы
8(s> = 8^ + 8^, (9.198)
где е^ —слагаемое, зависящее от массы поля; ео$) —не исчезающий при т->0 поляризационный член. Последний определяется выражениями (9.188) (мы предполагаем, что в перенормированном эффективном лагранжиане отсутствует член с R2). Используя явные выражения (9.168) и (9.184) для ^Н^ и /оо, находим
(9Л99)(9Л99)eos) = (480лVF* (А (с® + х)3 + 6*. -! С,/3].
(9Л99)
(9Л99)
Для степенного закона (9.197), учитывая, что при т)С1 пространственной кривизной можно пренебречь, имеем
(9.200)(9.200)е^ «(?М,/480л3) Г4; Р^ ^(4/3q —l)^.
(9.200)
(9.200)
В случае векторного поля ведущее поляризационное слагаемое в метрике (9.197), определяемое формулой (9.195), логарифмически зависит от массы и имеет вид
е^ = — (3/16л2) q1 (2q — 1) Г4 In (l/m().
Этот член обращается в нуль для радиационно доминированного фона (^=1/2). В этом случае ведущим является второе слагаемое в (9.195), которое не зависит от массы.
Слагаемое е^ в (9.198) определяется двумя первыми членами подынтегрального выражения (9.174). Для его вычисления, кроме определенной в (9.159) величины s2, необходимо знать Sx.
Для нахождения sx можно либо непосредственно решать систему (9.74), либо искать решения систем (9.60), (9.65) для ах и рх (напомним, что sx= |рх(л) I2)- Вычисления удается провести аналитически в двух важных предельных случаях: t^m-1 и t^>m~x (мы полагаем, что т)=0 соответствует ^=0).
Рассмотрим сначала раннюю эпоху t^.m-x. Здесь гравитационное поле является сильным, так как при этом |/?А<| ^т2. Для $х(л) можно найти асимптотики при ХСт]-1 и к"» та, причем указанные области перекрываются, поскольку
та (т|) т| — т [ a (rf) dx\* = mt <^ 1.
В области Х^т)-1 для 0 из (9.57) справедлива оценка
0 = J to (т)') dx\' <: Хт) 4- mi ^ 1»
и системы (9.60), (9.65) можно решать методом внезапных возмущений. Для скалярного поля получаем
(9.201)(9.201)(9.202)(9.202)sx = (с» — X)l/4©X
(9.201)
(9.201)
(9.202)
(9.202)
[ср. с (9.132) для скачка], а для спинорного sx = (l— Х/ю)/2.
В области к^та удобно использовать уравнения Вольтерра (9.98), причем можно считать «я» к, 0~Хг]. В скалярном случае первая итерация (9.99) дает
•dt)i ^Ме2'^•dt)i ^Ме2'^(9.203)(9.203)
•dt)i ^Ме2'^
•dt)i ^Ме2'^
(9.203)
(9.203)
а в спинорном, после интегрирования результата первой итерации по частям с учетом гладкости а(ц) в нуле:
m2S. — S«"x 216X*m2S. — S«"x 216X*ч
m2
S. — S«"
x 216X*
m2
S. — S«"
x 216X*
2а' (т|) f d^a" (т^) cos 2Х (т) — т^) —
О
(9.204)(9.204)112
(9.204)
(9.204)
JdTha"(rh)exp(2iXih) и.
(9.205)(9.205)Легко проверить сшивку приведенных асимптотик в области
(9.205)
(9.205)
та<Х<^тг'.
Величина e„* получается интегрированием по X двух слагаемых (9.174), зависящих от sx и $2. Выбирая переходный импульс Хо исходя из условия (9.205), в интервале (0, Хо) можем использовать асимптотики (9.201), (9.202), а в интервале (Хо, со) — (9.203), (9.204). При этом Хо из ответа выпадает.
Таким образом, для скалярного поля находим [46]
^ = _ j±_ /Г у 4- in Jс- 2
48л2 \ а2 )16л2 та4
ч п ч
(9.206)(9.206)_ ± I dtjl ^ ( ^2 1п | Т)1 ~ Т|2 I 00
(9.206)
(9.206)
а для спинорного [205]
- —ST Нг (1п ™ -с-т) -“'ф. (1) + ф=<1>] ■ <-207>
Здесь С = 0,577 ... — постоянная Эйлера, а чч
ф1 (n) = f d^a" (Th) In (n — T)1); ф2 (n) = I d^a” (П1) Ф1 hi)-00
следние включают вклад рождающихся частиц и поляризации вакуума, которые однозначно разделить в сильном поле нельзя [193].
Для степенных законов расширения из (9.206), (9.207) получаем [205, 219 220]:
(9.208)(9.208)®т0) = - (92т2/48л2/2) + (т*/16я2) [In (1/mZ) +D(0) (<?)] ;
(9.208)
(9.208)
е^ = - (^/Зя2/2) [In (1/mt) + D(,/«> fa)], где
„<■> M) = t(-_L+».) + ,n(l_,)+
D^41^ (q) = ф/ -—+ In (1 — q)— —- ;
(9.209) исчезает.(9.209) исчезает.4 l-g/T '32(2g~l) ’
(9.209) исчезает.
(9.209) исчезает.
^W = P U)/r(z).
Для векторного поля в случае <7=1/2, когда член —t-* In (\/mt) ведущим слагаемым, зависящим от массы, является [235]
е^0 =(т*/64л2/2) In (Д/mf).
Полная вакуумная плотность энергии е(8) получается согласно (9.198); очевидно, не зависящие от массы поляризационные слагаемые е^ при 1<^т-^ являются ведущими. Отношение е(8) к плотности энергии фонового вещества, задающего метрику, по порядку равно
е^ь ~ G (а'/а2)2 ~ Gt~^
и при ^/pi мало. Это оправдывает пренебрежение обратным влиянием квантовых эффектов на метрику.
Как видно из (9.209), при g=l/2 D72(g) обращается в бесконечность. Однако данная расходимость не имеет теоретико-полевой природы и связана с тем, что в этом случае а'(т])=^0 при т)-*0. Сглаживая а (л) при /</ь мы для е^) получаем результат вида (9.208) с Z)72(g= 1/2) ~ln (l/z/i/i), что, по существу, не изменяет е£^ в СИЛУ обсуждавшейся в предыдущем параграфе неопределенности членов —G^k до фиксирования Gren.
Перейдем теперь к рассмотрению эпохи /^т-1. Для нахождения «х(л) в этом случае можно воспользоваться тем, что здесь входящая в уравнения (9.60), (9.65) величина 6(т|)»1 для всех импульсов X. Решая эти уравнения в первом приближении по VntVV находим
8Х (ч) = s, + nW (X) + Л (X. п).(9.210)
где Л(Х, т|)—быстро осциллирующая при 0»1 функция X, вкладом которой в интегралы можно пренебречь, a nW(X) =11т$х(т]) при ц—>-оо. Существование этого предельного значения гарантируется тем, что для монотонно возрастающих функций а(ц) величина хю^1ау-Ц> с ростом т| при всех X. Вклад s2 в (9.174) сокращается, и для зависящей от массы части плотности энергии получаем
№ =( ^2“ П'$> W"(921 0
л2а4 Jo
Этот результат соответствует (9.192) и описывает реальные частицы с импульсным распределением п^(Х). рожденные при t^m-1. Поскольку основной вклад в интеграл дают ХСта (см. ниже), (9.211) имеет вид
^ « const/а3; Р^ « e(s),(9.212)
т. е. частицы образуют нерелятивистский газ. Вклад поляризационных слагаемых (9.199) в эту эпоху пренебрежимо мал.
Обратимся теперь к изучению собственно эффекта рождения частиц во фридмановских моделях (9.197). При этом будем использовать сформулированную в § 9.3 концепцию квазичастиц в гравитационном поле, определяемых на основе метода диагонализации гамильтониана.
Плотность числа пар квазичастиц n^^t) как функция времени определяется формулой (9.88), где n[s) (rj) = sx(r]). При /^т-1 (9.201) —(9.204) дают для s=0 [46, 229]:
п<0) = т3/24л2.(9.213)
Основной вклад в интеграл дает область импульсов к=Х1а~т; для таких импульсов при /<пг' расширение происходит анти- адиабатично, поэтому (9.213) не зависит от показателя q и совпадает с результатом (9.135) для скачка а^. Хотя п^ не зависит от времени, число квазичастиц в лагранжевом объеме возрастает: №^~п^а3^У
Для спинорных частиц получаем [213, 222]:
n<v,) = V№q — 1)] m?/t,(9.214)
причем здесь основной вклад — от импульсов к~М^>т. Отношение п11/2*/^0^ (m/)-1^> 1, это различие в рождении скалярных и спинорных квазичастиц объясняется действием принципа Паули для последних [222].
Перейдем к эпохе ^т-1. Здесь Sx определяется равенством (9.210), в котором осциллирующее слагаемое Д(Х, т]) можно отбросить. Величину n.W(f) естественно разбить на две компоненты:
n(s)(0=n(is)W + n2S>(0(9.215)
соответственно первым двум слагаемым (9.210). Первая компонента
"V’W=tx>(9216)
представляет собой плотность числа пар реальных рожденных частиц. Компонента nV^t)» определяемая s2 в (9.210), равна
п^-КМЧО' (9.217)
где А(/)—параметр Хаббла; Ко= 1/512; К2=3/256. Эта формула, полученная впервые в [40], возникает при любом адиабатическом изменении а(/) [при t^m^ имеем A(/)/m<cl] и исчезает при h^-^О. Исследование пространственной корреляционной функции /?<8)(/, г), проведенное в § 9.4, показывает, что квазичастицы, определяемые п2(0> представляют собой виртуальные пары с характерной длиной корреляции г^т-х.
Очевидно, что слагаемое nis)(0, отвечающее реальным частицам, доминирует при 1/3<^<2/3, что соответствует диапазону реалистических уравнений состояния фона (9.196). Соответствующее число частиц в лагранжевом объеме Ms> ~л<8>(/) a3(f) const; это означает, что при t^nv^ рождение частиц уже прекратилось.
Приведем результаты анализа предельного спектра рожденных частиц п^ЦХ) [46, 224]. Вместо импульсного квантового числа X удобно использовать безразмерный параметр
(9.218)(9.218)6 = Х1тх дао•
(9.218)
(9.218)
имеющий смысл him, где физический импульс к = Х!а отнесен к моменту t=m-1. Для скалярного поля
п<°> (6) яа для спинорногоп^1,1Х (6) «п<°> (6) яа для спинорногоп^1,1Х (6) «(22“M-1 Г2 Г~^-^) в-1. 6 « 1;(22“M-1 Г2 Г~^-^) в-1. 6 « 1;1/2- г’-1 Г (1—9) cos f-j-)s, 6С 1;1/2- г’-1 Г (1—9) cos f-j-)s, 6С 1;(9.219)(9.219)(9.220)(9.220)
п<°> (6) я
а для спинорного
п^1,1Х (6) «
п<°> (6) я
а для спинорного
п^1,1Х (6) «
(22“M-1 Г2 Г~^-^) в-1. 6 « 1;
(22“M-1 Г2 Г~^-^) в-1. 6 « 1;
1/2- г’-1 Г (1—9) cos f-j-)s, 6С 1;
1/2- г’-1 Г (1—9) cos f-j-)s, 6С 1;
(9.219)
(9.219)
(9.220)
(9.220)
где ц=2/(1—g); Z? = ji“^. Очевидно, это интеграл в (9.216) сходится при ^>1/3, причем основной вклад дают 6 — 1. Это означает, что в момент рождения (^w1) преобладают релятивистские частицы, но за счет расширения Вселенной их импульсы уменьшаются по закону fc=6m(m0~g, так что при (^т-1 имеется нерелятивистский газ; при этом е^ (0 ~2тп^(1).
Для важного случая радиационно доминированного фона д=1/2 спектр п^^ удается найти в замкнутой форме [46, 213]; при этом
(9.221)(9.221)e(s) = 2mnw = 2b(s) т (mlt/1^
(9.221)
(9.221)
где 6(°)=5,3-10-4; ^72)=3,9-Ю”3.
Для более детального исследования физической природы квазичастиц, рождающихся во фридмановских моделях Вселенной, применим развитый в § 9.4 метод пространственной корреляцион-
ной функции [221]. Рассмотрим сперва эпоху t<^m~'. В этом случае для входящей в (9.107), (9.110) величины Sx (л) можно получить перекрывающиеся асимптотики по X, как было сделано выше для 5х(л). Вычисляя с их помощью № по (9.107), находим для квазиевклидовой модели (х=0):
(9.222)(9.222)|R(0>(t г) | = m=kD(mr, г/2/),
(9.222)
(9.222)
где функция Ф имеет вид (численные множители порядка единицы, не существенные для анализа качественного поведения /?<°>, опущены)
Ф (х, у) — х ^ х-4,Ф (х, у) — х ^ х-4,х 1у\пу, tpi/t<y< 1;х 1у\пу, tpi/t<y< 1;1 С у ^ (mt)-1;у (mt)-1.1 С у ^ (mt)-1;у (mt)-1.(9.223)(9.223)
Ф (х, у) — х ^ х-4,
Ф (х, у) — х ^ х-4,
х 1у\пу, tpi/t<y< 1;
х 1у\пу, tpi/t<y< 1;
1 С у ^ (mt)-1;
у (mt)-1.
1 С у ^ (mt)-1;
у (mt)-1.
(9.223)
(9.223)
Обратим внимание на то, что при r>2t горизонты видимости точек х и / не пересекаются, так что между квазичастицами пары заведомо нет причинной связи. (Акаузальность рождения частиц во внешнем поле отмечалась в [230]). В области r>2t функция R^ убывает с расстоянием по степенному закону; явная же зависимость № от времени исчезает.
Такое поведение корреляционной функции при t^m-x коренным образом отличается как от экспоненциального спада (9.113), характерного для виртуальных частиц, так и от случая реальных рожденных частиц (9.120), когда R^ определяется стационарной точкой фазы. Существенно, что в ту же эпоху нарушается энергодоминантность вакуумного среднего ТЭИ. Используя образное выражение работы [230], можно сказать, что в эпоху t^nr' частицы еще не «вылупились из яичной скорлупы вакуума». Учитывая отсутствие характерной длины спадания корреляционной функции, назовем условно такое состояние квантованного поля конденсатом.
Для спинорных квазичастиц аналогичный расчет дает
Ф(х, у)~)х-г, х-4,Ф(х, у)~)х-г, х-4,х ^у, tp\H<y^\;х ^у, tp\H<y^\;Y^y^mt)-1-, у ^ (mt)"1.Y^y^mt)-1-, у ^ (mt)"1.(9.224)(9.224)
Ф(х, у)~)х-г, х-4,
Ф(х, у)~)х-г, х-4,
х ^у, tp\H<y^\;
х ^у, tp\H<y^\;
Y^y^mt)-1-, у ^ (mt)"1.
Y^y^mt)-1-, у ^ (mt)"1.
(9.224)
(9.224)
В гиперболической модели (х=—1) к (9.222) добавляется множитель (г/а) sh-1 (г/а), так что /?<$> будет претерпевать экспоненциальный спад на расстояниях, больших радиуса кривизны 3-пространства.
Перейдем теперь к эпохе t"»m-1. Здесь уравнение (9.111) можно решать по теории возмущений. В первом порядке «по (т/)-1:
(9.225)(9.225)SK (т)) = U (X) exp (-210 (Л)) ± w^k i о,
(9.225)
(9.225)
где U(к) = Нш (Рх^х) ПРИ Л^°°- Асимптотики U(X) удобно выразить через введенный в (9.218) параметр б. Так, для скалярного поля
(/(6)«(/(6)«exp (— i л^/2),exp (— i л^/2),ЬГЬГ’ i+g1 — q’ i+g1 — qб< 1;б~^/2» 6 »1,б< 1;б~^/2» 6 »1,(9.226)(9.226)
(/(6)«
(/(6)«
exp (— i л^/2),
exp (— i л^/2),
ЬГ
ЬГ
’ i+g
1 — q
’ i+g
1 — q
б< 1;
б~^/2» 6 »1,
б< 1;
б~^/2» 6 »1,
(9.226)
(9.226)
где обозначения те же, что в (9.219). Второе слагаемое в (9.225) совпадает с результатом (9.112) для адиабатического изменения метрики и, очевидно, описывает виртуальные частицы.
Обратимся к первому слагаемому (9.225). Подставляя его в общее выражение (9.107), найдем соответствующий вклад в корреляционную функцию скалярных квазичастиц:
Я(0) (t, г) = (mW f <(/1? (Ы)’] sin (mr^ exp [2 i m th © J,(9.227)
0
где
1
А© = pT (1+^-2?)’/.;
U=U^ и имеет асимптотики (9.226).
Интеграл (9.227) вычисляется методом стационарной фазы; функцию Я(0) можно представить в виде
rW ((> r) = m3W(mt, г/2().
где Ч* (х, у) — сложная функция, поведение которой можно описать следующим образом. При y=r(2t<CA вид асимптотики Чг(х, у) зависит от показателя q качественно:
для 0<д< 1/2
Т(,.(9.228)
1 x^v(<?)i/~2/(1“<7). х~^/(1 — 2дК у < 1;
для q = xk
w . ч ( х^,ж (In yV^' 0<у < х-^1 1пх,
/ /<9-229)
(х иу \п'*у,х '’Inx^t/^l;
для lU<q<\
Y(x, у) ~ j Я ^У^- W(9 230)
I х-^у^-^^\ С (q) х»~* ^ у « 1.1
Здесь введены обозначения:
/ х - 3 + У г,х_ 3(2д-1)
^2(1-.,) ’ ^^2(1-9)’
С (9) = Г ( V^ ) Г (•<91231)
2 Ул9 \ 29 / \ 29 /'
В области 1 <#<(1—g)-1 для всех q
У (ж, у) ~ х-^у^ [1 — (1 — q) у](5<7-1)/4(1-е), (9.232) тогда как при </>(1—д)-1 фаза в (9.227) не имеет стационарных точек и R^Ht, г) экспоненциально мала. Отметим хорошую сшивку на границах в приведенных асимптотиках.
Обратимся теперь к интерпретации найденного поведения функции R^°Ht, г). Экспоненциальная малость RW при y=rJ2t>(\—q)™1 объясняется тем, что точки х и х\ собственное расстояние между которыми г>//(1—q)t не могут иметь общей причинной связи, поскольку их горизонты видимости не перекрываются.
В области г/2/<(1—q)-1 выражения (9.228) — (9.232) отвечают реальным рожденным частицам [вкладом виртуальных пар мы пренебрегли, опустив второе слагаемое в (9.225) и сохранив в интеграле (9.227) лишь вклад стационарной точки фазы]. Профиль ^(х, у) по переменной y—rj^t характеризуется плато (при ^<1/2) или горбом (при д>1/2), за которым следует спад по степенному закону. Этот спад объясняется быстрым убыванием вероятности рождения пары |t/(d)|2 с ростом 6 при 6>1 [см. (9.226)]; основная масса частиц рождается с импульсами д<1, и их вкладом определяется поведение R^ при малых значениях г/2/ (первые строки в формулах для г/2/<1).
Чтобы установить причину качественного различия в поведении ₽<G)(t г) при r!2t<O для моделей с q<Af2 и q>\l2t рассмотрим движение классической частицы с начальным (при t — t^ импульсом р=^т в метрике (9.1). Собственное расстояние, пройденное частицей к моменту t, есть
Для степенного закона (9.197) при /о=О и ^дМ^т-1 это выражение ведет себя как
г(0г(06 (jnty^т 1 — 2q ’6 (jnty^т 1 — 2q ’— ^mt^1 Xn^mt^ q= 1/2;— ^mt^1 Xn^mt^ q= 1/2;(9.233)(9.233)
г(0
г(0
6 (jnty^
т 1 — 2q ’
6 (jnty^
т 1 — 2q ’
— ^mt^1 Xn^mt^ q= 1/2;
— ^mt^1 Xn^mt^ q= 1/2;
(9.233)
(9.233)
J- $(!-»)/« C (<?) (m()g, 1/2 < у < 1 , m
где константа C(q) та же, что в (9.231). Очевидно, что при q<\[2 собственное расстояние г(/) растет быстрее, чем расстояние между сопутствующими наблюдателями. Если же ^>1/2, то скорость собственного движения частицы уменьшается из-за расширения Вселенной настолько быстро, что асимптотически r(t) ~а(0, т. е. частица останавливается относительно некоторого сопутствующего наблюдателя.
Такое качественное различие классического движения пары рожденных частиц в моделях с q<1/2, q = \J2 и q>\,2 объясняет различный вид квантовых корреляционных функций R^Ht, г), при этом переходным значениям у в этих формулах отвечают классические траектории (9.233) с б~1.
Для спинорного поля общая картина поведения R^P^t, гу при /^т-1 такая же, как и для скалярного.
Обратимся теперь к частному случаю изотропной метрики с х=—1 и
а (/) = /.(9.234)
Ее особенностью является то, что она описывает обычное плоское пространство в некоторых неинерциальных координатах [192]. Поэтому она может служить тестом для проверки корректности процедуры нахождения <Т,л>: если состояние |0> выбрано так, что оно совпадает с обычным вакуумом пространства Минковского |0м>, то должно иметь место точное равенство <Тм>=0. Кроме того, несмотря на нестационарность а(0, здесь не должно происходить рождения реальных частиц.
Вакуумное состояние |0м> характеризуется требованием положительной частотности решений уравнения (9.23) при t^oo (для краткости рассмотрим лишь скалярное поле). Такие решения имеют вид
gxW = -\/2^Ktx(-imn.(9.235)
Значение s ^ в (9.174) можно найти с помощью (9.71) точно. Вклад в <Т,к> «поляризационных» членов (9.185) равен в данном случае
<Т^240л2 ^ik*<Т^240л2 ^ik*(9.236)(9.236)
<Т^240л2 ^ik*
<Т^240л2 ^ik*
(9.236)
(9.236)
Поэтому равенство нулю суммарного ТЭИ (9.189) обеспечивается условием
J dMAo [sx (/) — s2 (01 = 1/240(9.237)
(оно гарантирует <7’00> = 0; равенство <7’ар> = 0 получается тогда автоматически из свойства консервативности).
Для доказательства (9.237) проверим сперва, что оно выполнено при /->0. Действительно, из (9.71), (9.237) следует, что
Пт ^ (0 = п (X) = [е2лХ — 1]-1(9.238)
/-►ОО
(это тот случай, когда s^^=0 даже при m = 0),a s2(0 — (^OVlO (ов-»-0 при
/->0, откуда сразу следует (9.237).
Теперь докажем, что (9.237) верно при всех t, для чего достаточно проверить, что его производная по t тождественно равна нулю. Используя (9.60), нетрудно убедиться, что последнее условие эквивалентно тождественному равенству
Для вычисления /(/) заметим, что
/(/) = —mlim -2—lim—^— E-^mt е* ф)>(9.239)
а-*о da2 ф-*о di
где
Еа (г) = j dXe> | | К1Х (- /г) | * - (X* + z2)-Vl] =
= 2 [Ко ( | z | 1/2 (ch a —cos <р) ) — К» (аг)] •
Подставляя это выражение в (9.239) и выполняя дифференцирование и пре дельные переходы с учетом свойств функций Макдональда Kv(z), найдем, что, действительно, /(0=0 и, следовательно, имеет место точное равенство (^^^ ~ ®- Доказательство аналогичного равенства для спинорного поля дано ского дается выражениями (9.1), (9.234) с х=—1, каждое из слагаемых в в [231].
В обычной лоренцевой метрике все слагаемые в (9.174) обращаются в нуль. При использовании же координат, в которых метрика пространства Минков (9.174) отлично от нуля, но происходит их точная взаимная компенсация, так что по-прежнему (Т^^) = 0.
В то же время вычисление корреляционной функции квазичастиц в этом случае показывает [221, 232], что она имеет вид (9.113), (9.115). Это свидетельствует о том, что рождения реальных частиц нет, а мы имеем дело с вир туальными парами.
В заключение приведем результаты вычисления <Tik> для пространства де Ситтера, которое является максимально симметричным пространством-временем постоянной кривизны. Вакуумный ТЭИ в пространстве де Ситтера был получен различными способами рядом авторов (см., например, [33, 226, 233]), в том числе развитым выше методом в [234].
Метрика пространства де Ситтера в орисферических координатах имеет вид (9.4) с х = 0 и
а (т|) = а0/т) = а0 ехр (— //а0) (9.240)
(см., например, [179]). Сингулярности при т] = 0, оо носят чисто координатный характер; скалярная кривизна здесь постоянна и равна /?=12/а20. Орисферические координаты при 0<т]<оо покрывают лишь половину 4-гиперболоида, на котором реализуется метрика де Ситтера. Это, однако, не служит препятствием к их использованию, поскольку <Tik> оказываются чисто локальными геометрическими величинами.
Выражения для (Т^) получаются способом, описанным в § 9.7 с помощью точных решений уравнений (9.23) и (9.35) с а(т]) из (9.240), которые имеют вид
(9.241) /х± (П) = ± i(nXrj/2)exp (+ лр/2) #^±hl(Xil)«
где v= (1/4—р2)1/2, у, = тао. Они являются положительно-частотными при т)-^+°°- Результаты расчетов [234] таковы:
для скалярного поля
<т^> = ^ ^(-1/2+v)+* <-1/2 -v) -
— In fl2 — 2/Зц2 + 1/15ц4} glk;(9.242)
для спинорного
<^/е>> =-^-{(1 + ц-^Пп^-гКе^Оц)} + 1/6ц2+ HW}gjh.
(9.243)
Здесь ц и v определены в (9.241); i|>(z) =Г'(г)/Г(г), a gih— метрический тензор пространства де Ситтера.
Рассмотрим предельные случаи этих точных результатов. Для пространства малой кривизны, R = Х^а^^т2 (радиус кривизны велик по сравнению с комптоновской длиной):
<77>*> = - (K8W ^(т^ 6к,(9.244)
где /Со = 1/2 177 280, Ki/2=31/34 836 480. В противоположном предельном случае R>m4
{T^} = (£„/л2) Я26?.(9.245)
где Lo= 1/69 120, £1/2=11/138 240. При т = 0 последний результат является точным для любых R.
Наконец, остановимся на физической интерпретации квазичастиц в пространстве де Ситтера, операторы которых диагонализуют гамильтониан. Здесь корреляционную функцию R^Ht, г) удается вычислить для всех значений t и г в представляющем наибольший интерес с этой точки зрения случае R<^.m2. Решение уравнения (9.111) имеет вид (для s = 0)
Ь\ (п) = -W) (Х2П2 + р2Г8/’,
и вычисление по (9.107) дает [221, 232]
Z?(0) (G г) = (i т2/8л2а0) Ко (тг)
(Kv (z) — функция Макдональда]. Как установлено в § 9.4, такое поведение корреляционной функции соответствует виртуальным парам; рождения реальных частиц здесь не происходит. То же верно и для спинорных частиц. Отсутствие рождения реальных частиц подтверждается локальным характером вакуумного ТЭИ (9.242), (9.243) (здесь <Txh>~glkt поскольку gik—единственный ковариантный тензор второго ранга в пространстве постоянной кривизны), а также равенством нулю мнимой части эффективного лагранжиана [33].
Глава 10
ВЛИЯНИЕ ВАКУУМНЫХ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА ЭВОЛЮЦИЮ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
САМОСОГЛАСОВАННАЯ ЗАДАЧА О ВЛИЯНИИ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА ГЕОМЕТРИЮ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Одной из основных проблем в современной теории гравитации является проблема космологической сингулярности. Как известно [179, 192], сингулярности являются общим свойством классической теории тяготения. В то же время квантовые гравитационные эффекты с необходимостью влекут нарушение условий энергодоминантности для ТЭИ (см. § 8.3), приводящих к появлению сингулярностей в решениях уравнений Эйнштейна. В связи с этим неоднократно высказывались надежды, что учет квантовых эффектов может привести к устранению гравитационных сингулярностей и тем самым указать путь решения проблемы начальных условий в космологии (см., например, [228]).
Возможность получения несингулярных решений уравнений Эйнштейна, модифицированных квантовыми поправками, впервые анализировалась в [30, 236]. Квантовые поправки моделировались введением в гравитационный лагранжиан члена вида р/?2. В зависимости от знака р при этом получались либо регулярные при t=0, но сингулярные при |/|—>-оо решения, либо, наоборот, сохранялась классическая сингулярность при / = 0. Несингулярные феноменологические модели были построены в [237, 238], где учитывались как члены ~/?2 и /?21п/?, моделирующие поляризацию вакуума, так и члены ~/?2, описывающие локальную скорость рождения частиц. Очевидно, однако, что получить надежные результаты чисто феноменологическим путем невозможно.
В отсутствие последовательной квантовой теории гравитации естественно попытаться исследовать влияние квантовых эффектов на геометрию пространства-времени в однопетлевом приближении. Как известно [37, 239], это означает рассмотрение классических уравнений Эйнштейна, в которых источником гравитационного поля служат перенормированные средние значения оператора ТЭИ квантованных полей (включая квантованные возмущения классической метрики, т. е. гравитоны). Поскольку эти средние сами определяются метрикой пространства-времени, мы приходим к самосогласованному описанию влияния квантовых эффектов на геометрию, напоминающую приближение Хартри—Фока в квантовой механике многочастичных систем.
Проведенный в § 8.4 анализ расходимостей средних оператора ТЭИ показал, что при исследовании взаимодействия квантованных полей с гравитацией необходим выход за рамки чисто эйнштейновской теории. Гравитационный лагранжиан должен быть дополнен (по крайней мере, на уровне затравочной теории, т. е. до перенормировки) космологическим членом и квадратичными по тен-
зору кривизны слагаемыми. Поэтому самосогласованные уравнения, определяющие метрику пространства-времени с учетом влияния на нее квантовых эффектов, следует записать в виде
Gik + ^gik + а((2>Нth7 <nHik^ + ₽(1)Я^ =
- — 8nG (S<T | ^ I T>ren + T^L (10.1) 5
Здесь первое слагаемое справа — сумма перенормированных средних ТЭИ всех рассматриваемых квантованных полей в данном квантовом состоянии IV), а Т^ —ТЭИ фонового вещества, в качестве которого может выступать как обычное классическое вещество, так и, например, конденсат, возникающий вследствие перестройки вакуума. Можно считать, что в качестве квантового состояния |Y> в (10.1) фигурирует соответствующим образом определенный вакуум (перенормированные вакуумные средние мы обозначаем <Лл>); в противном случае конечную разность между (^IT^I^ren И <Tik> можно отнести к 7$.
В гл. 8, 9 было показано, что в <Т<к\ вообще говоря, присутствуют локальные геометрические члены, пропорциональные gik, Gik, ^Hik) ^Hik. Мы будем предполагать, что члены ~G<k перенесены в левую часть уравнений (10.1), так что G означает физическое перенормированное значение гравитационной постоянной. Что касается остальных локальных геометрических членов, то мы, следуя сложившейся традиции, будем оставлять их в правой части уравнений (10.1), предполагая в то же время, что в левой части Л=0 и а=р = 0. Таким образом, мы получим уравнения, которые формально имеют эйнштейновский вид:
Glk = - 8лС [S^ + 7^].(Ю.2)
На самом деле при наличии в (Г’Г) слагаемых ~gik, WHib ^Щк уравнения (10.2) являются неэйнштейновскими и в общем случае содержат как эффективный космологический член, так и слагаемые, квадратичные по тензору кривизны. Подчеркнем, что фиксирование коэффициентов перед этими слагаемыми по существу означает приписывание определенных значений константам А, а и £ в гравитационном лагранжиане.
Как сказано выше, в правой части (10.2) должна стоять сумма вкладов <Т\к^ от всех полей, включая квантованное гравитационное поле, которое можно рассматривать как малые возмущения искомой классической метрики gik. Мы, однако, не располагаем окончательными выражениями <Tik> для гравитонов (результаты оказываются зависящими от калибровки). Это связано с известной в классической теории проблемой определения гравитационной энергии для произвольного псевдориманова пространства (см., например, [240]). Возникающую трудность можно обойти следующим образом [239, 241].
Как известно [19], гравитоны во внешнем поле ведут себя как конформно-неинвариантные безмассовые скалярные частицы (см. гл. 1). Поэтому в однопетлевой теории их вклад в <Тк<> будет иметь тот же порядок /?2 In (/?/2pi), что и для неконформных без- массовых скалярных частиц (см. также [174, 181, 242]). В то же время конформно-инвариантные поля дают вклад ^NR2, где N — число имеющихся «фундаментальных» полей. При ^^>l и значениях кривизны, не превосходящих планковскую, последние будут доминировать и вкладом гравитонов можно просто пренебречь.
Необходимо сразу же сделать оговорку, что реальный интерес представляют лишь такие решения самосогласованных уравнений (10.2), для которых на всем протяжении эволюции кривизна не превосходит планковские значения /?pi = = /р^.Если (10.2) имеют решение с неограниченно растущей кривизной, это еще не означает наступления сингулярности, а лишь свидетельствует о выходе за пределы применимости однопетлевого приближения, на основе которого получены; уравнения (10.2). В то же время, даже если получается R~Rp\, можно, по-видимому, считать, что однопетлевая теория дает, по крайней мере, качественно верные результаты.
Самосогласованные уравнения (10.2) представляют собой систему интегро- дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных функций gik(x)t которые следует рассматривать с точки зрения несуществующей пока полной квантовой теории гравитации как средние значения некоторого «квантованного поля gin*. В связи с этим мы должны предполагать, что глобальная структура пространства-времени, в частности его топология, задана a priori. Квантовые флуктуации топологии удастся учесть лишь в полной квантовой теории (по этому поводу см. [243]).
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ВАКУУМНЫМИ ЭФФЕКТАМИ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ
Рассмотрим сначала решения самосогласованных уравнений (10.2) с 7$ =0 в классе однородных изотропных метрик вида (9.4) с заданной кривизной пространственных сечений х=0, ±1. При этом единственной неизвестной функцией является масштабный фактор а(т]).
Входящие в правую часть (10.2) вакуумные средние <7^) Могут быть представлены согласно (9.189) в виде суммы не зависящих от массы локальных поляризационных членов (Т^^ и определяемых массами учитываемых полей членов <7^)>т, которые являются нелокальными причинными функционалами а(т]).
Мы будем предполагать, что содержащиеся в^^Х члены, Пропорциональные тензору ^Н^ [которые, как видно из (9.167), Зависят от третьих и четвертых производных а(т])], устранены перенормировкой константы р при члене ~R2 в гравитационном Лагранжиане, так что Ргеп=0 (см. § 9.7). Поэтому <7^ определяются выражениями (9.188).
В классе изотропных метрик достаточно ограничиться 00-компонентой уравнений (10.2), которую можно записать в виде
с1 + х = (8лС/3) (е0 + ет),(10.3)
где с=а'(а; е0 = 2 <7'о$)О>о; ет= 2<Т^)0>т. Компонента act уравнений (10.2) вытекает из (10.3) с учетом условия консервативности.
С помощью явных выражений (9.168) для ^Н^ и (9.184) для Ль величину во можно представить в виде
е0 = (480л2а2)"1 ^Д (с2 + х)2 + у С6Х, _^ ,(10.4)
где Д=2^Д8; C = SNsC8; Ns— число полей спина s. Величина ет определяется суммой выражений вида (9.206), (9.207).
В дальнейшем нам будет удобно временно фиксировать единицу длины, положив G/180 л=1.
Начнем со случая безмассовых полей, для которых, вообще говоря, 8т=0. Уравнение (10.3) при этом сводится к
с2 + х = Да*2 [(с2 + х)2 + (С/ЗД) 6*. —1].(10.5)
При х=0 (плоское 3-пространство), помимо.тривиального решения а = const, соответствующего пространству Минковского, (10.5) имеет нетривиальное решение
а(т]) = Уд7т].(10.6)
Это решение описывает пространство де Ситтера в орисферических координатах [см. (9.240)]. Его кривизна (в обычных единицах) есть Я = 2160 л/ОД, т. е. пространство имеет размеры порядка планковских. При х=Д-1 решение (10.5) есть
а(т|) = УД /cost].(10.7)
Такая метрика описывает то же самое пространство де Ситтера, но пространственные сечения здесь сферические.
На существование самосогласованного деситтеровского решения было впервые указано в [33]; как решения уравнений (10.2) они были получены в [241, 244].
Благодаря тому, что пространство де Ситтера максимально симметрично, вакуумные средние ТЭИ здесь будут иметь структуру, аналогичную (9.242), (9.243), т. е.
<TiH> = F^)gth1
где F— некоторая функция радиуса кривизны, даже при учете взаимодействия полей между собой, а также внутренних гравитационных линий. Самосогласованные деситтеровские метрики при этом определяются положительными корнями уравнения
l/ag=(8nG/3)F(a?),(10.8)
к которому в этом случае сводится (10.3). По-видимому, уравнение (10.8) будет справедливо в классе деситтеровских пространств и в полностью квантованной теории: его можно рассматривать как уравнение на собственные значения оператора кривизны.
Заметим, что найденные решения удовлетворяют уравнению (10.2), даже если в <Ль>о включается слагаемое с тензором ^Hih, так как последний тождественно равен нулю в пространстве де Ситтера. В частности, в [241] для е0 бралось выражение, определяемое непосредственно конформной аномалией (9.185) — (9.187).
Известно [245], что наличие в уравнениях тензора ^Нгк (зависящего от третьих и четвертых производных gik и происходящего от члена ~R2 в лагранжиане) приводит к возникновению скалярных и тензорных неустойчивостей. В частности, деситтеровское решение будет в этом случае неустойчиво относительно пространственно однородной массивной скалярной моды (скаляроны).
На основе этой неустойчивости в [241] была построена космологическая модель инфляционного типа (см. § 11.3), в которой первичная несингулярная деситтеровская Вселенная в результате генерации скаляронов н их последующего распада на обычные частицы выходит на радиационно доминированный фридмановский режим расширения. Вопрос о происхождении затравочного десит- теровского мира требует особого рассмотрения. Одним из возможных ответов является его спонтанное рождение «из ничего» туннельным механизмом (замкнутость мира обеспечивает конечность действия и, следовательно, ненулевую вероятность туннелирования под барьером). Возможность такого процесса впервые отмечена в [191]. В [190] построена «полная космологическая модель», включающая спонтанное рождение деситтеровского мира и его последующую эволюцию по сценарию, развитому в [241]. В рамках этой модели удается найти объяснение ряду свойств наблюдаемой Вселенной, которые в других теориях приходится постулировать (однородность, изотропия, причинная связанность, близость плотности вещества к критической и т. д.).
Вернемся к уравнению (10.5) и обратимся к случаю гиперболического пространства (х=—1) (244, 246, 247]. Здесь, как и при х=0, имеется два решения. Одно из них, исчезающее при Л=0, представляет собой пространство-время, эволюционирующее между двумя сингулярностями и имеющее минимальную кривизну порядка планковской. Ввиду сказанного в § 10.1 оно не представляет интереса.
Второе решение для метрик с х=—1, не исчезающее при Л=0, оказывается несингулярным при выполнении условия |С|>ЗЛ. Вводя обозначения
6 = (| С (/ЗЛ)7*; х = а»/2Л6;U = (х2 + 1)1/* — X,его можно представить в неявном виде как
±т) = ArthVl— би
1
УГ+б
1 — ба
1 +6
Ч;
Уб- 1
(10.9)
Оно имеет одну ветвь, симметричную относительно замены -q—»—q, и при |т]|->-оо ведет себя как
«(^«riTi^chfliii-iio);(Ю.Ю)
ti0 = —, 1 ■ (— — arctg V6 — 1). 1 Arth (1■ ).
10 Уб^Т \ 2) У1+6\ ут+б/
При q=0 происходит «отскок» от сингулярности по закону
, .. 1 б2 —1 .
«(’О^о.+ у-^Ч*.
где ат=У|С|/3 — А. Этот отскок обязан своим происхождением второму слагаемому в (10.5), которое при С<0 играет роль фона с отрицательной плотностью энергии, обеспечивая при ]С|>ЗА нарушение условий энергодоминантности.
При |q|^ 1 асимптотика (10.10) с экспоненциальной точностью соответствует метрике Милна, т. е. модель в течение короткого времени приближается к пустому пространству Минковского (в терминах собственного времени t кривизна R^-^Y
В связи с полученным результатом возникает вопрос о том, является ли обычное пространство Минковского устойчивым относительно квантовых эффектов безмассовых полей. Это очевидно при использовании обычных лоренцевых координат, но отнюдь не очевидно в координатах Милна. Действительно, масштабный фактор а(т))=аоехр (tj) при х=—1 не удовлетворяет уравнению (10.5). Разрешение кажущегося противоречия состоит в том, что метрика Милна является исключительной: в ней слагаемое ет=^0 и для безмассового поля. Непосредственный расчет, проведенный в § 9.8, показывает, что для обычного вакуума пространства Минковского в координатах Милна 8о+ет=0, так что уравнение (10.3) выполняется тождественно.
Остановимся теперь на поправках к полученным результатам за счет ненулевой массы полей. Для деситтеровских самосогласованных моделей (10.6), (10.7) эти поправки, как следует из результатов § 9.8 [см. (9.242), (9.243)], пренебрежимо малы при условии GM2<C1, где Af2— сумма квадратов масс учитываемых полей.
Рассмотрим теперь поправки к решению (10.9). Вычисление ет по (9.206) при условии ет (г]=0)=0 дает в области |Н^т”1 Для каждого поля
а2вт~а2вт~m2,m2,
а2вт~
а2вт~
m2,
m2,
О21О21В то же время локальные слагаемые в (10.3) при а(т]), определяемом равенством (10.9), имеют вид
О21
О21
t~\
Очевидно, что здесь вкладом ет по сравнению с во можно пренебречь.
При t ^ггМ нелокальные члены е^^ описывают вклад реальных рожденных частиц; в заданной метрике a^t)
6т = Kginsa-»,
где К,— константа, зависящая от спина поля (см. § 9.8). Будем для простоты считать, что все массивные частицы рождаются при / ~ т~х и с этого момента начинают влиять на эволюцию метрики. Суммируя вклады всех массивных полей, уравнение (10.3) можно тогда записать в виде
с2 — 1 = а“2 [Л (с2 — I)2 + С/3 + ра2],(10.11)
где |х=480л22Кв^тв; N,— число полей массы т8; напомним, что мы рассматриваем случай х=—1 и полагаем О/180л=1. Из результатов § 9.8 следует, что 480л2К8—1 для всех спинов. Решая уравнение (10.11) асимптотически при t > т^х, находим
a(t)«t + a^G In (М/),(10.12)
где ai —1; А1=2У8т8— суммарная масса всех полей, и мы вернулись к прежним единицам. Очевидно, при ОМ-ЦОЛР) второй член в (10.12), описывающий отклонение метрики от милновской, пренебрежимо мал.
Можно показать, что в классе конформно-плоских пространств самосогласованными могут быть только трехмерно однородные метрики. Они сводятся к пространственно однородным метрикам вида (9.1), (9.2) или к получаемым из (9.1) аналитическим продолжением f->ix, Х”*^- К последнему типу, в частности, относится метрика Бертотти—Робинсона (см., например, [248]). Самосогласованное решение в этой метрике для полей большой массы найдено в [249].
Остановимся еще на интересной анизотропной самосогласованной модели, полученной в [250]. Эта модель описывается метрикой
d^-a^d/2 —ch2/dx2 —dO2 —sin20^(10.13)
(где a = const; —oo<t<oo; —л^х^л; О^О^л; 0<ф<2л) и представляет собой топологическое произведение псевдосферы (f, *х) и сферы (0, <р). Соответствующее пространство-время геодезически полно, имеет постоянную кривизну и анизотропно. Геометрические величины в метрике (10.13) равны Rtk =—a~2gib R = =—4a-2, СШтСшт= 16/3a4. Учитывая, что (10.13) имеет группу движений 0(2, 1)ХО(3) и радиусы двух сфер одинаковы, нетрудно убедиться, что вакуумный ТЭИ здесь должен иметь структуру
<Tu>=fWg№.(10.14)
где j— некоторая функция. Поэтому уравнение (10.3) в этом случае принимает вид
1/а2 = —8лС/(а8).(10.15)
положительные корни которого определяют самосогласованные метрики [ср. с (10.8)]. Для безмассовых конформно-инвариантных полей ТЭИ, имеющий структуру (10.14), целиком определяется
конформной аномалией (8.82), причем значение коэффициентов здесь несущественно, поскольку П7? = 0. При этом
/(а2) = (62 — 4А1)/8640л2а4,
где кх и й2 представляют собой просуммированные по всем полям значения коэффициентов аномалии. Подставляя это выражение в (10.15), находим (полагая С/180л=1)
а2 = (1/6)(62—46,).(10.16)
Этот корень положителен, если к^—4 &i>0. Более того, для применимости одиопетлевого приближения необходимо, чтобы выполнялось условие а2»1. Для скалярных и спинорных частиц к^ — 4A*S) =—3. Для векторных же частиц Аг**—4^1° = 114, поэтому указанные выше условия выполнены, если имеется достаточно большое число векторных безмассовых частиц.
ИЗОТРОПНЫЕ САМОСОГЛАСОВАННЫЕ МОДЕЛИ С КЛАССИЧЕСКИМ ФОНОМ
Обратимся теперь к случаю, когда в правой части уравнений (10.2) Т^ ¥*0 и определяется классическим фоновым веществом с уравнением состояния Рь=^—1)еь- Такие задачи в классе изотропных метрик рассматривались в [195, 251, 252]. Плотность энергии фона в этом случае равна
еь = Ва^,(Ю.17)
где В — константа, размерность которой зависит от у- Добавляя член еь в правую часть (10.3), получаем для безмассовых квантованных полей уравнение
с2 + X = 6a2"3v + a-2 [Л (с2 + х)2 + (l^CS*,-!].(10.18)
где Ь = (8л/3) (180n/G)3Y/2-1 GB.
Для простоты подробно рассмотрим лишь квазиевклидов случай х=0. Для тех решений (10.18), которые при а->-оо, а'/а^О имеют классическую асимптотику a(/)~r2/3v, справедливо уравнение
с2 = (а2/2Л) [ 1 — (1 — 4Л6a-3v),/•].(10.19)
Из него сразу очевидно, что квантовые эффекты исключают неограниченное сжатие фридмановских моделей с фоном (10.17): существует минимальное значение масштабного фактора
ат=^АЬГ'№(10.20)
(непродолжимость решения (10.18) за значение ат была впервые отмечена в [195]).
Исследуем ситуацию более детально для задачи о коллапсе фридмановской Вселенной с учетом квантовых поправок. Введем новую временную переменную т= (90л/ЛС)1/2Л Интеграл уравнения (10.19) с с<0 имеет вид [252]
т-То=— f — (1-/1-Jt3v ) 'Л- (10.21) am!a
Константу то выберем так, чтобы а(т) при т->—оо имело асимптотику а(т)~(—т)2/3+о(1), так что т=0 соответствует моменту достижения сингулярности без учета квантовых эффектов. Несложный расчет дает
т0 = j dx [f (х)—V2" X-3V/2"* ] — 2*773y, (10.22) о
где f(x)—подынтегральная функция в (10.21). Для у=4/3 (радиационно доминированный фон) получается т=—0,81. При т-»-то—0 решение (10.21) ведет себя как
а (т) « am [ 1 + (т0—т) — Уу/З (т0—т)*7‘]. (10.23)
За значение т=т0 оно непродолжимо. Хотя величина g=detgih при т—*то имеет конечный предел, скалярная кривизна обращается в бесконечность по закону
R«- (Зу/4)‘7, (то-т)-*7*. (10.24)
Таким образом, при наличии фона (10.17) квантовые эффекты не предотвращают наступление сингулярности, но существенно меняют ее характер.
Исключение представляет случай у=0 (вакуумоподобный фон), когда Т^ играет роль эффективного Л-члена. В этом случае при условии 4Л6<1 уравнение (10.18) имеет несингулярное решение, аналогичное (10.6), которое описывает пространство де Ситтера.
В классе гиперболических моделей (х =— 1) уравнение (10.18) для у^4/3 всегда имеет несингулярное решение с «отскоком» вида (10.9). Для у=4/3 такое решение существует лишь при Ь< <|С|/3+Л и имеет вид (10.9) с б= (ICj/3+б/Л)1/2.
Выше предполагалось, что в (Т^Х члены с <'>//«* исключены. В [251] рассмотрена самосогласованная задача при наличии подобных членов (с коэффициентами, определяемыми конформной аномалией) для квазиевклидовой модели и радиационно домини- рованного фона. Оказалось, что несингулярных решений в этом случае не существует.
ИЗОТРОПИЗАЦИЯ КОСМОЛОГИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ЗА СЧЕТ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
Как указано в § 9.8, наблюдательные данные свидетельствуют о том, что расширение нашей Вселенной происходит изотропным образом, начиная с весьма ранней эпохи, возможно, уже с f~/pi~ ~ 10~43 с. В то же время известно, что общее решение уравнений Эйнштейна вблизи сингулярности является анизотропным [192].
«Случайная» симметрия начальных условий, ведущая к изотропному выходу из сингулярности, представляется маловероятной, поэтому на ранних этапах эволюции Вселенной должны были происходить какие-то физические процессы, приводящие к быстрой изотропизации космологического расширения. Однако известные классические механизмы недостаточно эффективны для того, чтобы обеспечить изотропизацию за время ^-~/р1 [228].
Одно из возможных решений этой проблемы дается в рамках инфляционных космологических теорий (см. § 11.3). Здесь мы рассмотрим возможность изотропизации за счет эффективной вязкости пространства, возникающей из-за рождения частиц из вакуума [35, 253].
Рассмотрим пространственно однородные космологические модели с метрикой вида
ds^dP — а| (0 (dx1)2 — at (/) (dx2)2 — af (/) (dx3)2,(10.25)
где aa(f)— некоторые неотрицательные функции времени. Пространственные сечения / = const здесь плоские, но пространство- время конформно-плоским, вообще говоря, не является. При at = = a2 = a3 (10.25) переходит в изотропную квазиевклидову метрику (9.1).
Вместо времени / часто удобно использовать координату тр
= J dt V- Ч» (/); V = а^3(10.26)
[ср. с определением (9.3)]; производную по т) будем обозначать штрихом.
Уравнения Эйнштейна в метрике (10.25) имеют вид
У- V* (С1с2 + с2с8 + с3с,) = 8nGeb;(10.27)
У-,/з ^С2 4- Сз + -у- (с2 + Сз)— (с,с2 + схс3— с^з)^ = — 8лОР61
(и аналогичные для G22 и G33), где са=а'а1аа; еь— плотность энергии; РЬа— давление по оси ха вещества, задающего метрику.
Вакуумным решением уравнений (10.27) (еб = Рьа=0) является так называемая метрика Казиера [192]
a«W = aoatPa,(10.28)
где показатели ра удовлетворяют соотношениям Р1+Р2+Рз=1, Р21+Р22+р2з= 1. Очевидно, что все |ра|^1, причем если условиться считать Р1^Р2^Рз. то имеют место неравенства —l/3^pi<0, 0^Рг^2/3, 2/3^р3<1. Случай Pi=p2=0, р3=1—вырожденный: такая метрика Казиера описывает часть пространства-времени Минковского в некоторой неинерциальной системе отсчета и в этом смысле аналогична изотропной метрике Милна. В остальных случаях pi<0, р2, Рз>0, т. е. по оси Xi происходит сжатие, а по осям х2, хз — расширение. Заметим, что метрика Казнера не со- 240
держит изотропного случая, так как уравнения Эйнштейна не имеют изотропного вакуумного решения с плоским 3-пространством, отличного от пространства Минковского.
Важность казнеровской метрики в космологии обусловливается следующим обстоятельством [228]. Вблизи сингулярности / = 0, когда OatO-^O или оо, левые части уравнений (10.27) имеют порядок t^2. В то же время, если вещество фона обладает уравнением состояния вида Рь=^—1)еь, то правые части (10.27) пропорциональны Thi~ V-Y ~t—'<. Поэтому за исключением случая вещества с предельно жестким уравнением состояния (у = 2) при <->0 правой частью (10.27) можно пренебречь. Иными словами, любая метрика из класса (10.25) вблизи сингулярности является асимптотически-вакуумной и имеет казнеровский вид (10.28).
Схема квантования и построения перенормированных средних ТЭИ аналогична развитой в гл. 9 схеме для изотропного пространства. Ограничимся случаем скалярного поля с конформной связью. Полная система решений уравнения Клейна—Фока в метрике (10.25) получается из (9.22) заменой а-1 на V-1/3» причем ФДх) определяются равенством (9.21). Временная функция gx(n) удовлетворяет уравнению осциллятор кого типа
^ + I®2^) + Q(n)l gK = 0. (10.29) где
6)3 (П) = V*'1 ( 2 ^/a« + m2 V (10.30) ' a=l )
Q Ci) = -jy l(q — c2)2 + (c2—c3)2 + (c3—c,)2].
В отличие от изотропного пространства, здесь постановка задачи с начальными условиями в сингулярности, когда ао->0, невозможна. Мы будем считать, что начальные условия задаются либо при ц->-—оо, когда aa(r])-^const (например, в задаче о коллапсе), либо в момент цо. когда все аа(цо) конечны и отличны от нуля.
Введенные в (9.70) функции sx, их, их удовлетворяют уравнениям вида (9.72), в которых ^(ц) следует заменить на (?(ц) из (10.30), играющую роль меры анизотропии пространства.
Процедура перенормировки вакуумных средних ТЭИ строится аналогично рассмотренному в § 9.6 случаю скалярного поля с произвольной связью. В частности, ВКБ-асимптотики для $, и, и определяются формулами (9.159) с добавками (9.160), в которых q заменено на Q.
Для задачи о коллапсе к сингулярности, когда aatO-*^011^ при t-»—оо и aa(0 = ио» | t f* ПРИ ^—0, в [254] получены следующие выражения для компонент (Т}0)*>:
е<0) = КГ* In6 I Ш6 |. Рк0> = КаГ' In6 | t/t0 I, (10.31)
где 6Х) и Кг — числовые коэффициенты. Появление логарифмического множителя связано с отсутствием конформной инвариантности при т = 0. Значение /0 в случае т = 0 определяется моментом анизотропизации при сжатии; если т=/=0, можно считать to^m-1.
В космологической задаче о рождении частиц в анизотропной метрике имеется принципиальная трудность. Как указывалось выше, характер сингулярности при /=0 здесь таков, что в ней нельзя ставить начальные условия, т. е. при /=0 невозможно корректное определение исходного состояния квантованного поля (в отличие от изотропного случая). Эту трудность мо^кно обойти, предполагая, что при /</о, где /оХрь рождение частиц отсутствует и «включается» лишь в момент /0, когда квантовое состояние поля допускает корректное определение методом диагонализации гамильтониана. При t>to самосогласованная задача (10.2) уже имеет смысл.
В силу отмеченной выше асимптотической независимости метрики (10.25) вблизи сингулярности от наличия вещества фона при t<t0 можно использовать казнеровскую метрику (10.28) и в качестве состояния квантованного поля взять вакуум при /=/0.
Решение самосогласованной задачи упрощает следующее обстоятельство. Как показано в [253], при t0<t<t*t где
/* = 4(^Р1)2/(1+|Р,Г>./* = 4(^Р1)2/(1+|Р,Г>.(10.32)(10.32)
/* = 4(^Р1)2/(1+|Р,Г>.
/* = 4(^Р1)2/(1+|Р,Г>.
(10.32)
(10.32)
обратное влияние рожденных частиц на метрику еще мало и им можно пренебречь, т. е. рассчитывать рождение частиц в заданной казнеровской метрике. В то же время при /X* можно пренебречь локальными квантовыми эффектами и описывать эволюцию метрики уравнениями Эйнштейна, в правой части которых стоит лишь классический ТЭИ частиц, рожденных в эпоху t~tQ. Действительно, вклад в <Tki> локальных членов, связанных с рождением частиц и поляризацией вакуума в данный момент t, убывает как М. В то же время вклад частиц, рожденных при /~/0 (когда процесс рождения шел наиболее интенсивно), убывает с ростом / лишь как /—2+р^—2—р, где р>0. При t^to он является доминирующим, и <Тц> имеет вид ТЭИ газа классических частиц
(10.33)(10.33)е « (2n)~3V_</* Jd3Xcon (X);
(10.33)
(10.33)
Р« « (2л)-3И-2/»а-2 j dsXX^-in (X).
Функция распределения л(Х) конечна и не зависит от способа перенормировки локальных слагаемых. Основной вклад в (10.33) вносят частицы с энергией ^о ~ to V—i*/^ /^Г1 и при /о^т-1 их массой можно пренебречь.
В рамках изложенной схемы в [253] произведен расчет эволюции осесимметричной казнеровской модели с показателями £1 =—1/3, р2=р3 = 2/3. За время изотропизации tF принимался момент, когда относительная анизотропия | (Ai—Аз)/^11 < 1, где параметры Хаббла h^d^lna^ldt.
На рис. 10.1 изображен ход изменения масштабных факторов Л|(/) и а2(0=а3(0 для случая, когда to = /o//pi^1. При этом значения аОа в (10.28) выбраны так, что fli(/о) =с2(/0) =Сз(/о).
В интервале /»</</*, где t* = t^1 [ср. с (10.32)], реализуется вакуумная казнеровская стадия. При t~t* давление потока рожденных частиц начи- 242
Рис. 10.1. Зависимости масштабных факторов 01 и а2=аз от времени для /о^/р1Рис. 10.1. Зависимости масштабных факторов 01 и а2=аз от времени для /о^/р1иает существенно влиять на эволюцию метрики (большинство рожденных частиц движется параллельно оси х^ поровну в каждом направлении). При t>t* эволюция происходит таким образом, чтобы погасить аномально высокое давление по оси xl: ai^tt ai^Xn^t, Ра^М. В эпоху t«teq= f*T*/*(2 In т0)72 давления выравниваются (Р1=Рг) и
Рис. 10.1. Зависимости масштабных факторов 01 и а2=аз от времени для /о^/р1
Рис. 10.1. Зависимости масштабных факторов 01 и а2=аз от времени для /о^/р1
01 = 02-
Следующая стадия, непосредственно предшествующая фридмановскому этапу расширения, начинается при t~tD = = /от3о=1п3/2то. При t>tD происходит «демпфирование» анизотропии. В эту эпоху Oi^ const, 02 ~ (^d)2/3.
Стадия демпфирования продолжается вплоть до t~tF, где
(10.34)(10.34)tF = *D (1П То),Л = <0 (То 1П Т0)3.
(10.34)
(10.34)
При f>tF анизотропия быстро убывает:
In ^“^“^ ~ ^"J ) ^ sin М In / + const)
(А — 1) и ai~a2~PI2t т. е. наступает фридмановская стадия расширения.
Качественный учет взаимодействий рождающихся частиц приводит к тому, что оценка времени изотропизации (10.34) меняется на /F~/o(to In т0)2.
Описанные выше результаты справедливы при /о»/pi (т0>1). Если полагать /0~/рь то они дают грубую оценку tF~tP\. Иными словами, если рождение частиц «включается» при планковском времени, изотропизация происходит практически мгновенно.
Аналогичные результаты для той же модели были получены впоследствии в [255], где учет обратного влияния осуществлялся непосредственно численным интегрированием уравнений Эйнштейна с <7\*> в правой части. Для fo=/pi получено tF~ 10/0, а для /0=3/pi—/F~103/0.
Таким образом, квантовый эффект рождения частиц вблизи сингулярности в рассмотренной анизотропной модели приводит к ее быстрой изотропизации.
В заключение отметим, что в теориях гравитации с кручением возможен обратный эффект — анизотропизация первоначально изотропного расширения за счет рождения частиц [178].
Глава 11
ЭФФЕКТ ПЕРЕСТРОЙКИ ВАКУУМА В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
ПЕРЕСТРОЙКА ВАКУУМА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ С САМОДЕЙСТВИЕМ В ИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОТКРЫТОГО ТИПА
Во второй части книги было приведено несколько примеров перестройки вакуума во внешних электромагнитных полях (заря-
женный вакуум в сверхкритическом кулоновском поле, вакуумный конденсат в глубокой потенциальной яме, «накачка» вакуума резонансным электрическим полем, восстановление симметрии вакуума магнитным полем). В данной главе показано, что в гравитационном поле эффект перестройки вакуума также играет важную роль и должен учитываться при решении таких принципиальных проблем космологии и астрофизики, как барионная асимметрия, пространственная плоскостность Вселенной, природа сингулярного состояния, и ряда других.
Начнем с рассмотрения самодействующего скалярного поля в однородном изотропном пространстве открытого типа (х=—1) и покажем, что в случае конформной связи возникает эффект перестройки вакуума при вещественной массе поля (для пространства постоянной кривизны этот эффект обнаружен в [256], общий случай рассмотрен в [257, 258]).
Уравнение поля ф(х) запишем в виде
ViV'v W + (m2 + W Ф W + (Х/3) ф* (х) ф8 (х) = О, (11.1)
конформно-инвариантном при т=0 (предполагается Х>0). Соответствующий лагранжиан, очевидно, инвариантен относительно калибровочных преобразований.
Обозначим |0> гейзенберговское вакуумное состояние, определенное, как и в гл. 9, при /=0. Из пространственной однородности рассматриваемой метрики следует, что если вакуумное среднее ф отлично от нуля, то оно может зависеть только от t (далее используется конформное время rj):
<0 | ф(П, х) | 0> = <0 | Ф(т), 0) | 0> ^ g(n).(11.2)
Вследствие С-инвариантности состояния |0> значение g вещественно. Отличие его от нуля означает, что произошла перестройка вакуумного состояния. Покажем, что такая перестройка действительно происходит в открытом пространстве Фридмана.
Усредняя уравнение (11.1) по состоянию |0> и полагая (в древесном приближении)
<0 I ф*ф8 I 0>^<0 | ф* | о> <0 I ф I 0>2 = g3,
получаем с учетом (11.2)
g" + —г' + ^+хч- —)g+^-g3 = o. (п.з) а \а / о
Делая в этом уравнении замену
s(n) = V37T/(4)/«(4).(11.4)
получаем для функции f (т|) уравнение
r + (m2a8 + x)/ + f = 0.
(И.5)
Будем предполагать, что а(0)=0. Это позволяет в качестве асимптотики решения (11.5) при т)-*-0 использовать решение уравнения Дюффинга
/" —f + f = O.(11.6)
Как известно [259], тривиальное решение этого уравнения /=0 неустойчиво, устойчивыми же решениями являются f(r]) = ±l. Поэтому в качестве начальных условий для решения (11.5) возьмем"
/(0)=±1; Г(0) = 0.(11.7)
Уравнение (11.5) имеет тогда ненулевое решение, соответствующее перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией. Отметим, что при /п = 0 (11.5) и (11.6) совпадают, так что устойчивые решения при всех т) суть f(r]) = ±l. При этом начальные условия можно задавать не в сингулярности, а в произвольный момент. Из (11.5) очевидно, что рассматриваемый эффект связан не столько со знаком R (как первоначально предполагалось в [256]), сколько с отрицательностью кривизны 3-пространства в моделях открытого типа. Так, эффект имеет место в открытой модели Фридмана с уравнением состояния вещества фона Р6 = еь/3, хотя в этом случае Р = 0 (перестройка вакуума для скалярного поля с минимальной связью рассмотрена в [260]).
Обсудим теперь вопрос о предпочтительности вакуумного состояния |0) с энергетической точки зрения. Усредняя ТЭИ (1.24) (с учетом самодействия в лагранжиане) по состоянию |0> и используя (11.2), (11.4), получаем вакуумные плотность энергии и давление:
8 = <01Т? | 0> = ^ (mW - 1 + ^- + V);
(П.8)
Р = -<0\П |0>=^(-mV-l + 4- + -p).
В безмассовом случае отсюда вытекает более простой результат:
е = — З/^Ха4); Р = — 1/(2Хо*).(11.9)
Таким образом, для безмассового поля перестроенное вакуумное состояние обладает отрицательной энергией и является предпочтительным на всех стадиях эволюции модели. Для массивного поля плотность энергии в из (11.8) отрицательна лишь в определенном интервале времени (0, to). Предполагая, что масштабный фактор имеет вид а^а^Р (р>0), получаем для to оценку [258]
to«VW + 1)] (1/2 та^-^,р.(11.10)
Для реалистических моделей Вселенной и обычных масс элементарных частиц (m^lO-25 г, max^XW^ при р=1 из (11.10) имеем /о<С^рь а при р = 2—^о^^рь При /><о вакуумное состояние массивного поля с нарушенной симметрией оказывается нестабильным.
Интересно рассмотреть роль вакуумных плотности энергии и давления (11.9) в самосогласованной постановке задачи, когда они определяют метрику пространства-времени, а классическое вещество отсутствует (см. § 10.1). В этом случае уравнения Эйнштейна принимают вид
a'* —2a"a-f-aa = —4ЛСХ-1; а8 — а'* = 4лСХ-1 (11.11) и имеют несингулярное решение [261, 262]
а (л) = V^nG/X ch 1). (11.12)
В метрике с масштабным фактором (П.12) для характерного времени /о, начиная с которого восстанавливается симметрия вакуума массивного поля, получается результат О,5т”|<1о<т"1. Таким образом, в отличие от степенных законов расширения, это время уже не планковское, а комптоновское.
В случае безмассового поля, когда эффект перестройки вакуума имеется при всех т), возникает ситуация, аналогичная модели Голдстоуна (ср. с § 7.3). При этом отрицательная кривизна 3-пространства играет роль отрицательного квадрата массы в модели Голдстоуна. Если учесть взаимодействие скалярного поля ф с первоначально безмассовым векторным полем Ль, то вследствие феномена Хиггса это векторное поле приобретает массу m2v = 6e8/Xa2. На современной стадии эволюции Вселенной (а~1028 см) при Х~ 1 фотон имел бы за счет данного механизма массу ~ 10~66 г (такое же значение для массы фотона получено из иных соображений в [242]).
При учете взаимодействия псевдоскалярного поля ф с массивным фермионным полем ф
Llnt = ^^Ф, (11.13)
за счет рассмотренного выше эффекта перестройки вакуума возникает нарушение Р- и CP-четностей в пространстве Фридмана [263]. На современной стадии эволюции Вселенной эти эффекты, однако, очень малы, поскольку в соответствии с (11.4) пропорциональны а-1 (более подробное их обсуждение см. в [1, 263]).
В данном параграфе рассматривалась перестройка вакуума скалярного поля, вызванная отличием геометрии 3-пространства от евклидовой. Симметрия вакуума скалярного поля на ранних стадиях эволюции Вселенной зависит также от целого ряда физических процессов. Исследование различных калибровочных моделей с учетом статистических эффектов в рамках теории горячей зарядовонесимметричной Вселенной показывает, что на ранних этапах эволюции могут 246
конкурировать два фактора: нарушение симметрии вакуума при большой плотности фермионного заряда и ее восстановление при высокой температуре.
Если симметрия вакуума непосредственно вблизи сингулярности не нарушена, а фазовый переход происходит лишь впоследствии при уменьшении температуры, то может образоваться доменная структура вакуума. Однако в рассмотренной выше модели калибровочно несимметричный, но инвариантный относительно трансляций в пространстве вакуум с самого начала эволюции является преимущественным состоянием, вследствие чего доменов не возникает.
ЗАРЯДОВАЯ АСИММЕТРИЯ В ТЕОРИИ РОЖДЕНИЯ ФЕРМИОНОВ В АНИЗОТРОПНОЙ МЕТРИКЕ
Как показано в [264, 265], за счет большой анизотропии в модели «перемешанного мира» возможно рождение в низших модах четного и нечетного числа нейтрино, а не пар нейтрино-антинейтрино. При этом возникают ненулевое лептонное число и ненулевая спиральность. Поскольку при малых временах t^m-1 можно пренебречь массой фермиона, рассматриваемое явление представляет интерес в связи с возможностью объяснения не только ненулевого лептонного числа, но и барионного заряда Вселенной (см. по этому поводу работу [266]). Квантовополевое рассмотрение эффекта показывает, что здесь мы имеем ситуацию, аналогичную рождению позитронов сверхкритическим ядром, т. е. происходит перестройка вакуума, в результате которой он приобретает заряд. То обстоятельство, что эффект возникает в квантовой теории свободного фермионного поля в метрике, переходящей со временем в метрику Фридмана, делает его интересным для объяснения барионной асимметрии Вселенной. Однородная анизотропная метрика IX типа («перемешанный мир») имеет вид
d& = d?— exp (2а) exp (20*0 <тМ,(Н-14)
где а, 0»у— функции только времени t; о"» — инвариантные дифференциальные формы на трехмерной сфере:
о1 = cos ф dO + sin ф sin 0d<p;
a2=sinфd0 — cos ф sin Odq>;(11.15)
о3 = dф -f- cos 0 dtp.
Углы Эйлера 6, ф, ф меняются в пределах 0^0^ л, 0<ф^2л, 0^ф$^4л.
Считая матрицу 0eY(O диагональной, запишем:
0и=0++/3"0_; 022= 0+-УЗ"0_; 0,3 =-20+, (11.16) так что
d^ = dta — exp (2а) [exp (20и) а12 + exp(2020 d* + exp (20,0 ^1. (11.17)
Существенной особенностью этой метрики является наличие кривизны у трехмерной пространственноподобной гиперповерхности t=const:
mR = 3 exp (— 2a) (1 — И (p))/2; V (?) = exp (- 8?+)/3 —- (4/3) exp (— 2?+) ch (2V3 ₽_) + (2/3) exp (4?+) (ch (4 VO-)-11 +1 •
(11.18)
Эта кривизна может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от соотношения параметров ?+ и ?_, меняющихся в ходе эволюции. В осесимметричной модели, которую далее мы и будем рассматривать, имеем ?_(/)= О, так что, полагая ехра = = Я(/) и dt=Qdi\, получаем
di? = Я2 (1)) [dr|2 — exp(2?+) о12 — exp (2Р+) a22 — exp (— 4Р+) a®2] ;
(11.19)
WR = Я-2 [2 exp (— 2P+) — (1/2) exp (- 8p+)].
Рассмотрим космологическую модель с начальной большой анизотропией (Р+^—1, ®R«—Я-2 exp (—8р+)/2), эволюционирующую к закрытой фридмановской модели (Р+=0, ®R = 3Q-a[2'). При этом изменение знака ^R принципиально для возникновения или исчезновения эффекта зарядовой асимметрии. Оно происходит в момент, когда Л = 2, где &(т))=ехр(—Зр+).
Запишем уравнение Дирака в данной метрике при т=0 и проведем квантование поля:
(11.20)(11.20)ф (х) = Я #/* ^ [ay, ’фу, ’ + ау^Чу^’],
(11.20)
(11.20)
где r= ± 1; J= (I, n, т) и J= (/, —п, т) обозначают совокупности индексов обобщенных сферических функций D^nm (0, <р, ф), через которые выражены ф^. Операторы рождения и уничтожения частиц и античастиц удовлетворяют обычным соотношениям антикоммутации. Вакуум в некоторый начальный момент т]0 определим условиями
ay?’ I 0> = aV | 0> = 0.ay?’ I 0> = aV | 0> = 0.(11.21)(11.21)
ay?’ I 0> = aV | 0> = 0.
ay?’ I 0> = aV | 0> = 0.
(11.21)
(11.21)
Требуя, чтобы оператор энергии был диагоналей в момент т)0, фиксируем тем самым начальные условия для решений уравнения Дирака. В произвольный момент времени т) гамильтониан, в силу нестационарности метрики, недиагонален по операторам 0$^ и диагонализуется преобразованием Боголюбова:
(11.22)(11.22)ai, ’ = a) (i]) bV ’ (л) + r?y (л) Ь^ (т|);ai?’ = aj (т|) bV (т|) — г₽7 (т|) Ь^ (т|).
(11.22)
(11.22)
Приведенный к нормальной форме диагональный гамильтониан имеет вид
N4 [H (11)] = £ [(d) - r₽) b<j№ + (CD + rR) b^b^'Y (11.23) где введены обозначения /?=ехр(—p+)£/2; g>= (9з2+^12)*/2;
Яз = 2 exp(— P+) Щк; qt = 2 exp (- ₽+) [(/ + 1/2 + n) (/ + 1/2 - n)]V.. Здесь возникает принципиальное отличие анизотропного случая «перемешанного мира» от изотропного, состоящее в том, что гамильтониан N^ (Я) положительно определен не для всех мод. Действительно, рассмотрим величину £j_> =R—со. Если р+(т|)С С—1, то для / и п, удовлетворяющих неравенствам
nW + (/ 4-1/2)2 — n1 < А2/16, I n I < / —1/2, (11.24) энергия £$Г) >0. Тем самым при достаточно больших 7?(т|)~ ~ V— WR в «перемешанном мире» не могут существовать решения с Е^ <0 в низших модах. Отрицательно-частотные решения переходят в положительно-частотные. В процессе эволюции ^(л)^"1 и неравенства (11.24) перестают выполняться для любых / и п, начиная с к=4 (заметим, что <3>/?<0 до k = 2Y Таким образом, эффект существенно связан с отрицательной пространственной кривизной, играющей роль положительной потенциальной энергии, приводящей к сдвигу уровней энергии частицы со на 7?(r|)~V—^R. При этом часть уровней переходит из нижнего континуума (£<0) в верхний (£>0).
По мере уменьшения «потенциальной энергии анизотропии» нейтринные уровни энергии пересекают границу континуума £=0 и становятся отрицательными. Если начальное состояние считать вакуумным, то такой переход должен быть интерпретирован как рождение нейтрино в моде (/, п, т). За счет вырожденности по п и m на самом деле происходит рождение четного числа нейтрино.
Рис. 11.1. Области положительности и отрицательности энергий Е^ в зависимости от значений квантовых чисел
Наглядно процесс можно представить с помощью рис. 11.1. Точки заштрихованного участка плоскости определяют уровни с Е^ >0. В процессе эволюции гипербола £^-) =0 сдвигается влево по оси /. Точка пересечения 1=№/32, ^^>1 гиперболы и прямых |п|=/—1/2 определяет границу области с Е £~> >0. При к=4 гипербола достигает точки (1/2, 0) и процесс рождения нейтрино прекращается. Одновременно идет процесс рождения пар нейтрино-анти-
нейтрино на высших модах в области Е^<0. При выполнении условия />^/32 Ej-^ <0, а при 1<№[^ появляются уровни EV^ >0. Поэтому гамильтониан теряет свойство положительной определенности для мод /0 с /<Л2/32, |п|</—1/2. Для достижения положительной определенности N^ (Н) из (11.23) выполним «сильные» преобразования Боголюбова для этих мод:
£(+) Та—). к(~) •
Эти преобразования не нарушают антиперестановочных соотношений
и частично соответствуют возврату к исходной дырочной теории Дирака [9], когда вакуум, в отличие от стандартной квантовой теории поля фермионов, предполагается заполненным частицами с отрицательной энергией и обладает ненулевым зарядом.
Соответствующая указанным модам Jo часть гамильтониана
Nn (Яо) = £ (ю - R) (ftWx + Ь^_х Ь^ переходит в терминах новых операторов в положительно определенную форму
N^Ho) -^R-o) №1У^ + ^M^-J-(П.26)
Новый вакуум |0>, уничтожаемый операторами yj^, yj^, характеризуется ненулевой спиральностью, оператор которой есть
Х = О3У<Рхф+(х)у8ф(х),(11.27)
так что
<0л|х|0л> = -^(11),(11.28)
где ^ (п) имеет смысл полного числа рожденных частиц. Эта величина убывает со временем по абсолютному значению. Вычисления дают АЦх^=21^144 [266], откуда для плотности числа фермионов получаем
nF(ri) = 2Q"W4.(11.29)
Итак, отрицательная пространственная кривизна в метрике «перемешанного мира» приводит к перестройке вакуумного состояния спинорного поля так, что у вакуума появляется «заряд» — отличная от нуля отрицательная спиральность. Этот «заряд» зависит от начальной анизотропии. В безмассовом пределе спиральность с точностью до знака совпадает с лептонным или барионным зарядом фермиона.
Предполагая, что с самого начала Вселенная находилась в силу спонтанного нарушения симметрии в состоянии заряженного вакуума, получаем следующее объяснение барионной (лептонной) асимметрии Вселенной.
В процессе эволюции начинается распад заряженного вакуума на нейтральный вакуум и частицы (античастицы) с суммарной отрицательной спиральностью. Процесс распада полностью прекращается при А=4. Одновременно идет обычный процесс рождения пар частица-античастица на высших модах с сохранением спиральности. Число рожденных частиц с отрицательной спиральностью конечно и определяется начальным значением спиральности. Приведем грубую оценку для р+(т]о), исходя из предположения о примерном равенстве барионного и лептонного зарядов Вселенной. Полагая плотность барионного заряда лв=10“6 см-3, Q=1028 см, из (11.29) находим 0+(ть) =—13, т. е. начальную анизотропию надо предполагать достаточно большой.
ЭФФЕКТ ПЕРЕСТРОЙКИ ВАКУУМА И ИНФЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ВСЕЛЕННОЙ
В этом параграфе обсуждается возможная роль эффекта перестройки вакуума в решении ряда проблем космологии. Как известно, фридмановская космология, несмотря на огромные достижения, сталкивается с принципиальными трудностями, обусловленными специальным выбором начальных условий. Наиболее известной из этих трудностей является проблема причинной связанности, или горизонта. Кратко суть ее состоит в следующем. Температура реликтового излучения, наблюдаемая в разных направлениях, оказывается одной и той же и равной 2,7 К с относительной погрешностью ДТ/Т<10~4 (при этом исключается анизотропия, связанная с собственным движением Солнечной системы). Данный факт свидетельствует о том, что в прошлом существовало тепловое равновесие между различными причинно не связанными областями, которые превратились в наблюдаемую в настоящий момент часть Вселенной размером ^Ю28 см. Этих областей, однако, имелось очень много. Действительно, возраст Вселенной составляет порядка 1010 лет. Если предположить, что Вселенная расширялась по фридмановскому закону [о(0 ~Р/г], то окажется, что в планковский момент Zpi~10-43 с размер указанной части Вселенной составлял ~10-3 см. В то же время размер причинно связанной области в планковский момент — порядка планковской длины К)-33 см. Следовательно, приходится предполагать, что 1090 причинно не связанных областей в планковский момент времени должны быть каким-то образом скоррелированы для установления между ними теплового равновесия. Это накладывает очень сильные ограничения на начальные условия в космологии Фридмана.
Наряду с проблемой причинной связанности не решены также проблемы объяснения плоскостности, однородности и изотропии Вселенной, происхождения начальных возмущений, нужных для образования галактик, проблема монополий и др., которые достаточно подробно обсуждаются в [267, 268]. Все они так или иначе связаны со специальным выбором начальных условий.
о г* г» уо г* г» уРис. 11.2. Потенциал поля, управляющего процессом инфляцииРис. 11.2. Потенциал поля, управляющего процессом инфляцииКак выяснилось, указанные проблемы находят более или менее удовлетворительное решение, если допустить, что Вселенная проходила через стадию экспоненциального расширения (инфляцию), за время которой она расширилась не менее, чем на 30 порядков. Действительно, в этом случае причинно связанная область с план- ковским размером в планковский момент времени на деситтеровской стадии эволюции растягивается до 10-3 см, а затем на фридмановской стадии — до размеров
о г* г» у
о г* г» у
Рис. 11.2. Потенциал поля, управляющего процессом инфляции
Рис. 11.2. Потенциал поля, управляющего процессом инфляции
видимой в современную эпоху части Вселенной, что и решает проблему причинной связанности [267]. В обзоре [268] подробно показано, как решаются при данном допущении остальные проблемы. Для реализации инфляционного сценария эволюции Вселенной нужно построить модель, в которой деситтеровская (или квазидеситтеровская) метрика была бы решением некоторой самосогласованной задачи. В настоящее время широко обсуждается деситтеровская стадия, обусловленная как квантовогравитационными поправками (см. § 10.2), так и конденсатом некоторого скалярного поля [241, 244, 267—269]. Модель, основанная на квантовогравитационных поправках, была предложена раньше [241, 244] и оказалась более долговечной. Тем не менее в 1981—1983 гг. более популярными были модели, в которых инфляция управлялась скалярным полем. Это объясняется относительной простотой таких моделей, а также выяснением того обстоятельства, что горячая Вселенная с достаточно высокой температурой в ряде случаев однозначно выходит на деситтеровскую стадию [268]. Кроме того, исследование моделей со скалярным полем привело к лучшему пониманию преимуществ квантовогравитационных моделей.
Возникновение квазидеситтеровской стадии в модели с вакуумным конденсатом скалярного поля можно наглядно представить следующим образом. На ранних стадиях эволюции Вселенной скалярное поле находилось в состоянии, отличном от абсолютного минимума потенциала ф0 (рис. 11.2). Поэтому имелся эффективный космологический член У(ф). Если скорость изменения поля много меньше скорости расширения Вселенной, то У(ф) ведет себя практически как константа и Вселенная расширяется квазиэкспоненциально. За то время, пока поле «скатывается» в минимум потенциала, Вселенная успевает расшириться во много раз. Поле изменяется медленно, если оно находится вблизи максимума потенциала, так как кривизна потенциала там мала.
Однако существует и другой способ создать инфляцию — за счет больших начальных значений скалярного поля ф»Мрь В этом случае из-за большого потенциала У(ф) параметр Хаббла Н = а]а также оказывается большим. Легко убедиться, что он играет роль эффективного трения в уравнении для поля ф. Действительно, полагая, как и в § 11.1, конденсатное поле равным ф(0 =
= <О|ф(х)|О>, где ф(х) удовлетворяет уравнению с минимальной связью, в случае однородного изотропного пространства квазиевклидова типа получаем для Ф(0 уравнение
Ф (0 + ЗЯ<р + дУ/д<р = 0, (11.30) в котором Н стоит при члене с первой производной. В качестве условия само- согласования, как и в § 10.1, достаточно взять 00-компоненту уравнений Эйнштейна
№ = ЗлУ М/ЗМ^. (11.31)
В результате скорость изменения поля ф/ф примерно в (ф/Л1)2 раз меньше Н. Здесь мы ввели приведенную массу Планка
М = Мр1/У&п % 2-1018 ГэВ, (11.32)
которая для оценок более удобна, чем Мрь
Если потенциал У(ф) в окрестности ф0 имеет вид Хф4, то в результате «скатывания» поля вдоль правой стенки потенциала от начального значения ф1П Вселенная расширится в ехр (ф2ш/4Л12) раз. При этом в случае ф1п>4Л4р| получают решение упомянутые выше космологические проблемы.
Следующий круг вопросов возникает, когда мы хотим попять, как образовалось начальное состояние поля. Для их решения обычно привлекают идею фазовых переходов по температуре и пользуются методами статистической квантовой теории. При этом предполагается, что зависящее от времени конденсатное скалярное поле ф(/) есть среднее значение оператора поля по гиббсовскому ансамблю при некоторой температуре. Как известно, если температура очень высока, симметрия скалярного поля восстанавливается, т. е. температурные поправки делают значение конденсатного поля нулевым, что соответствует минимуму потенциала при высокой температуре. В процессе расширения Вселенной температура падает и нулевое значение поля перестает отвечать глобальному минимуму потенциала. Распад этого метастабильного состояния выводит Вселенную на промежуточную деситтеровскую стадию, так как скорость изменения поля вблизи фо=0 очень мала и при определенном выборе параметров (достаточно малых константах самодействия в потенциале поля ф) может быть много меньше скорости расширения Вселенной. Однако детальное исследование динамики возмущений, генерируемых при распаде деенг- теровской стадии, показало, что для согласия с наблюдениями по анизотропии мультипольной компоненты (/>2) реликтового излучения (ДТ/Т<10-4) требуется чрезвычайная малость констант самодействия в теории. Например, константа четвертичного взаимодействия X должна быть порядка 10-12 [270]. Такая малость X влечет за собой неблагоприятные качественные следствия. Температурные поправки к потенциалу, которые пропорциональны константам взаимодействия, оказываются очень малыми, и время, необходимое для того, чтобы они могли обратить поле в нуль, во
много раз превосходит характерное время расширения Вселенной [268, 269]. Таким образом, температура скорее сама упадет, чем обратит поле в нуль. Наконец, существенно замечание о том. что в случае реальных фазовых переходов превращение метастабиль- ного состояния в стабильное происходит так, что участки, соответствующие новой фазе, имеются и на промежуточных стадиях. Последнее ведет к отсутствию постоянного потенциала вблизи ме- тастабильного состояния и, как следствие, к отсутствию инфляции [271].
В литературе имеются различные попытки преодоления указанных трудностей. В частности, предложен сценарий [268] эволюции Вселенной из нестабильного хаотического состояния с большим значением поля фщ. Он, однако, может решить трудности стандартной модели горячей Вселенной лишь в предположении больших по модулю и отрицательных значений коэффициента £ при члене —£/?<р2 в лагранжиане скалярного поля [269]. В связи с этим необходимо подчеркнуть, что механизмы инфляции, а также перехода от деситтеровской к фридмановской стадии эволюции Вселенной требуют дальнейшего исследования.
Глава 12
ВАКУУМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ
ЭФФЕКТ ФУЛЛИНГА — УНРУ В УСКОРЕННЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Одним из наиболее замечательных достижений теории квантованных полей во внешнем гравитационном поле явилось предсказание Хокингом [89] явления квантового испарения черных дыр. Рождение частиц из вакуума в сильном гравитационном поле, образующемся в процессе коллапса звезды, приводит к возникновению потока излучения от черной дыры. Важной особенностью этого излучения является его тепловой характер, причем эффективная температура определяется только массой и угловым моментом черной дыры.
Хотя само явление рождения частиц из вакуума обусловлено наличием сильного гравитационного поля, тепловой характер их спектра обязан своим происхождением формированию в процессе коллапса горизонта событий и связанной с этим потерей информации для внешнего наблюдателя.
Здесь мы имеем пример того, как первоначально чистое вакуумное состояние (которому соответствует вектор в гильбертовом пространстве) переходит в смесь, описываемую тепловой матрицей плотности. Полезно сначала исследовать подобную ситуацию «в чистом виде» на более простом примере квантования в системе отсчета равномерно ускоренного наблюдателя в плоском пространстве-времени. В такой системе также имеются горизонты событий, так что ускоренному наблюдателю недоступна часть информации, 254
которой мог бы располагать его коллега, движущийся по инерции. Очевидно, однако, что здесь не может иметь место ни поляризация вакуума, ни рождение реальных частиц. Оба эти явления определяются кривизной пространства-времени, а в плоском пространстве-времени Ruim =0 независимо от выбора координат. В то же время, оказывается, существуют квантовые эффекты, которые отличают ускоренную систему отсчета от инерциальной, подобно силам инерции или Кориолиса в классической физике, и в принципе поддаются регистрации.
Здесь мы рассмотрим так называемый эффект Фуллинга—Унру [91, 186]. Он состоит в том, что обычное вакуумное состояние в пространстве Минковского |0м> с точки зрения равномерно ускоренного наблюдателя таковым не является: ускоренные детекторы зарегистрируют наличие в этом состоянии квазичастиц. При этом если |0м> есть чистое состояние для инерциального налюдателя, то для наблюдателя, который движется с ускорением g, оно оказывается смешанным и описывается тепловой матрицей плотности, характеризуемой эффективной температурой kBT=hg!2nc (в обычных единицах; для £=Ю м/с2 получается Г = 4-10"20 К).
Для описания движения с постоянным ускорением удобно использовать так называемые риндлеровские координаты в пространстве Минковского (т, р, х2, х3). Они связаны с обычными декартовыми координатами (/, х1, х2, х3) соотношениями
It^I’ p = W-/2'<12Л>
(х2, х3 не меняются), так что
ds2 = pdT2L dp2 — (dx2)2 — (dx3)2.(12.2)
4p
: он оставляет инвариантными: он оставляет инвариантнымиПространство-время разделяется на четыре области R, L, F и Р, ограниченные изотропными гиперповерхностями р = 0, т =—оо и р = 0, т= + °° (рис. 12.1). Очевидно, что вектор д)дт является вектором Киллинга для метрики (12."* гиперповерхности p = const. Трансляции по т соответствуют однородным преобразованиям Лоренца (бустам).
: он оставляет инвариантными
: он оставляет инвариантными
В областях R и L координата т является временной, а р пространственной; заметим, что в L возрастанию t соответствует убы-
Рис. 12.1. Риндлеровские координаты в пространстве Минковского: в правом квадранте R реализуется система отсчета равноускоренных наблюдателей. Их мировые линии — гиперболы р=ро. Гиперповерхности р=0, т=—со и р=0, т = 4-оо—горизонты прошлого и будущего
вание т. В областях F и Р, где р<0, координаты тир меняются ролями.
В области R гиперболу p = p0=const, х2, х3 = const можно рассматривать как мировую линию частицы, движущейся с постоянным (в собственной системе отсчета) ускорением g = P^t> направленным по оси хх. Образованная совокупностью таких частиц («наблюдателей») система отсчета накрывает всю область R. Эта система, очевидно, неполна. Ее можно продолжить на все пространство Минковского, реализовав в области L аналогичной системой наблюдателей с ускорениями, направленными в отрицательную сторону оси х1, а в областях F и Р — системой наблюдателей, которые движутся с различными постоянными скоростями параллельно оси х1 так, что все их мировые линии проходят через плоскость / = 0, х!=0.
Для наблюдателей из R поверхность р = 0, т=+оо является горизонтом событий будущего: им недоступна никакая информация из областей L и F, лежащих по другую сторону этой поверхности. Аналогично поверхность р = 0, т =—оо для них — горизонт событий прошлого: они не могут повлиять на то, что происходит за этой поверхностью в областях L и Р. Поэтому области R и L в данной системе отсчета оказываются причинно не связанными, что необходимо учитывать при построении квантовой теории. Для простоты ограничимся случаем массивного скалярного поля.
Обычное квантование в пространстве Минковского в декартовых координатах х=(£ х1, у), у=(х2, х3) определяется равенствами
ф (х) = j d?k (ф^ (X) 4+> + ф^» (х) а^ ;
ф^’ (х) = (2л)-*/. ^ГЧ» exp [± i (М + к^ - qy)];(12.3)
4“,|°м> = ^">10М> = 0’
где k=(M q); q=(M Ml —^<ka<«>; ^о= (т2^к2уР\ поперечные компоненты q, у выделены для удобства.
Обратимся теперь к квантованию в ускоренной системе отсчета. Отмеченная выше причинная структура этой системы позволяет представить оператор поля ф в виде суммы ф = фя + фь, где фЛ = 0 в L-области, и наоборот. Поскольку д(дх является времениподобным вектором Киллинга в R-, £-областях, собственные функции можно выбрать положительно- и отрицательно-частотными по переменной т [см- (8.12)]. Для скалярного поля это решения уравнения (1.17) в метрике (12.2), удовлетворяющие условию ограниченности при р-*оо (в областях R и £) и нормированные согласно (1.64):
/?(+) =/?(+) =ООв £;в £;ООв R,в R,(12.4)(12.4)-^ У$Н mo exp [1 (сот — qy) 1 ^ш (х Ур ) в R,
/?(+) =
/?(+) =
О
О
в £;
в £;
О
О
в R,
в R,
(12.4)
(12.4)
—^-/shno) exp [—j (<от + qy)] К(ш(х Ур ) в L,
С-№Г.1Ь’-(W. г.« 0<ш<оо; q и у — те же, что в (12.3); ^^m^-Vq^yi2. Функция L^ ~ exp (—icox), поскольку, как отмечено выше, в £-области возрастанию t соответствует убывание т. Полная система решений во всем пространстве получается аналитическим продолжением (12.4) в области F и Р (подробности см. в [272]), однако явный вид функций R^ и £<±) в этих областях нам не понадобится.
Оператор квантованного поля можно представить в виде
ф (х) = фя (х) + ф£ (х) = J da J <Pq (R^ (х) rLV + R^ (x) rW + 0
+ L^ (x)/W + Ц-> (x) /£>},(12.5)
где операторы рождения и уничтожения rj^ для «правых» и l<oq для «левых» квазичастиц коммутируют между собой. Связь между операторами Год1 и /^\ с одной стороны, и операторами обычных частиц в пространстве Минковского а^1 с другой можно получить, исходя из (1.73), (1.74), фурье-преобразованием функций (12.4) по переменной x1=±VPchr [см. (12.1)]. Явный вид преобразований от а^ к г^\ ^ таков:
^V = jd3^ [Ф*(ю, q; k')al' ’ — У(—со, — q; Hal^] ;
^* = Jd3^ [Ф*(<о, q: к')^ — Y(— w, — q; k')^*] ;
/^ =jd3^'[Ф*(—<o, q; k')al~>—^(и, —q; k'Jol+’l ;i^ =Jd3^'[O*(— с», q; Hair» —Y(<o, — q; к')^],
где
(12.7)(12.7)(2л*в)‘/« (e2™—1)’/. \ х У
(12.7)
(12.7)
^ s; к'> = - ^ (^Г- (^f »(я- Я')
[q'— компонента вектора к' в плоскости (х2, х3), х определена в (12.4)].
Вакуумное состояние для ускоренных наблюдателей определяется равенствами
r^’ I 0F> = г^11 0F> = ^ | 0F> = &> | Of) — О (12.8)
и называется вакуумом Фуллинга [136]. Оно связано с вакуумом |0м> для инерциального наблюдателя соотношением вида (1.83):
I Ом) = Af 1 exp [ 5 e~”“ I (D,qI Ом) = Af 1 exp [ 5 e~”“ I (D,q( rl>tq4t-q + ^Й1ч) I I 0f>, (12.9)
I Ом) = Af 1 exp [ 5 e~”“ I (D,q
I Ом) = Af 1 exp [ 5 e~”“ I (D,q
где N— нормировочный множитель (1.86). Квазичастицы, определяемые операторами г^, 1^\ принято называть «правыми» и «левыми» риндлеровскими частицами.
Гамильтониан (2.22) поля ф в представлении вторичного квантования (12.5) имеет вид
Н = HR + Hl = Гdto^d?qto№ + ВД + N$ + N^. (12.10) *0
где операторы числа «правых» и «левых» риндлеровских частиц и античастиц в моде (со, q) определены в соответствии с (1.71):
mW _ ;<+)/-) "mW _ /+) ;<-) .
—'(oq/ ©q Гoq ,(12 11)
a/W _ /<+)/(-) mW _ .(+) T(->( - '
— tQ)q »(oq > ^v^q — »(oq *(Dq •
Из вида (12.10) ясно, что квантовое число со можно интерпретировать как одночастичную энергию риндлеровских частиц (физическая энергия есть ео= юД/р)- Отметим, что спектр со начинается с (о = 0 даже для массивного поля.
Рассмотрим теперь квантованное поле с точки зрения наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением g = р^,/е по гиперболе р = ро в области 7? на рис. 12.1. Детекторы в его системе отсчета могут регистрировать только «правые» риндлеровские частицы; «левые» частицы сосредоточены за горизонтом и недоступны наблюдению. Спектральная плотность «правых» квазичастиц в состоянии |0м> получается непосредственно из (12.6), (12.7): П^ = <0м | N^ 1 0м> = <0м I N^' I 0м> = [ехр(2лго)- 1Г1. (12.12)
Таким образом, обычный вакуум для инерциального наблюдателя с точки зрения ускоренного представляет собой тепловое распределение риндлеровских частиц и античастиц, характеризуемое планковским спектром (12.12) с температурным параметром То= 1/2л. Эффективная температура, измеряемая ускоренным наблюдателем, определяется из релятивистского соотношения Т = = (гоо)~1/2Го[51]:
Т = р^/’(1/2л)=г/2л,(12.13)
где g— ускорение в собственной системе отсчета. На тепловой характер спектра риндлеровских частиц впервые было указано в [90].
То же значение эффективной температуры получается из анализа асимптотики функции Грина по методу, изложенному в § 3.5 [93]. Действительно, функция Грина, определенная для вакуума |0м>, в координатах (12.2) имеет вид (для простоты ограничимся безмассовым случаем и будем опускать мнимую добавку в знаменателе):
°м (*• х') = * <°М | ГФ* W ф <Х') | °м> = — */4л2$ (х, х') =
= (i/4n*) Ip + р' — 2 Vpp7 ch (т — т') + (у — у')1!-1-
Воспользуемся произволом выбора направления, по которому сближаются х и х’» положив р = р'=р0, У=У'. Тогда
Gm(x, х') =— (1/16л2ро) sh-2[(T—т')/2].
При тех же условиях функция Грина риндлеровских частиц для вакуума |0F> имеет вид
GW> х') = 1<0р|ТфМ*)фя(^ |0F>=H^^ (т-т')-*
[это выражение получается непосредственно из (12.5) с учетом (12.4) при т = 0]. Тогда формула (3.126), в которой роль G(x, х') сейчас играет Gm» дает результат (12.13).
Из (12.9) очевидно, что |0м>, как и |0F>, является чистым состоянием, а не смесью. Откуда же возникает тепловое распределение риндлеровских частиц, которые детектирует ускоренный наблюдатель в состоянии |0м>? Причину его появления можно усмотреть в существовании для /?-области горизонта событий, в результате чего ускоренный наблюдатель лишен информации об L-области. Фактически здесь возникает та же ситуация, что и при рассмотрении подсистем квантовой системы: чистое состояние всей системы соответствует смешанному состоянию подсистемы при усреднении по состояниям ненаблюдаемой части. Действительно, квантовое состояние |0м> для ускоренного наблюдателя в /?-области описывается статистическим оператором
3R=exp(-HRm,(12.14)
где Т определена в (12.13), a HR— гамильтониан «правых» частиц в (12.10). Непосредственный расчет показывает, что рн = = Тгь(|0м><0м|), где TrL означает усреднение по состояниям «левых» частиц. Как следует из (12.9), в представлении вторичного квантования (12.5) волновую функцию состояния |0м> нельзя представить в виде произведения волновых функций «правых» и «левых» частиц по отдельности. Поэтому рассмотрение наблюдаемых только для «правых» риндлеровских частиц означает пренебрежение их корреляциями с «левыми» частицами и аналогично ситуации, возникающей в парадоксе Эйнштейна—Подольского— Розена (см., например, [273]).
Риндлеровские частицы, наблюдаемые в ускоренной системе отсчета, можно характеризовать тензором энергии-импульса, определяемым как
(J^p = <0м | Т1к I 0м> —<0f I Tlk I 0F>,(12.15)
где |0F>— вакуумное состояние для ускоренного наблюдателя, определенное в (12.8). В /^-области в силу свойств функций (12.4) вклад в локальные величины (12.15) будут давать только «правые» частицы. Для безмассового поля несложное вычисление показывает, что (12.15) совпадает с ТЭИ изотропного излучения черного тела [51] с температурой Т, определяемой равенством
Поэтому наблюдатель, движущийся с ускорением g, будет регистрировать плотность энергии е=л2Т4/15=54/240л2. Для массивного поля <Tih>p вычислен в [272]; в этом случае распределение по го имеет уже не планковский вид и появляется анизотропная составляющая давления.
Необходимо отметить, что хотя величина <Г^>Р ведет себя как тензор при преобразованиях координат, она имеет смысл ТЭИ риндлеровских частиц лишь для равноускоренного наблюдателя, для которого |0F> есть вакуумное состояние.
Полное вакуумное среднее ТЭИ в состоянии |0м>, конечно, равно нулю. Формально мы можем написать
<0м I Т1к | 0м>ге„ = <Т№>р + <Ttk>0; (12.16) <Ttk>o = <OF\Nftk\OF>,
где нормальное упорядочение N ведется по операторам обычных частица^. Можно сказать, что <Т<к>о характеризует «поляризацию» вакуума Фуллинга |0F> относительно |0м>. Нетрудно проверить, что <Т^>0=—<ТгЛр» так что выражение (12.16) тождественно равно нулю. Эта ситуация аналогична той, которая встретилась в § 9.8 при рассмотрении пространства Минковского в координатах Милна.
Процесс детектирования риндлеровских частиц с помощью модельных детекторов, движущихся с ускорением, был проанализирован в [91] (подробное изложение см. в [2]). Здесь следует заметить, что предлагаемое иногда объяснение эффекта как следствия излучения самого ускоренного детектора и его взаимодействия с излученными квантами не точно. Для понимания физической природы эффекта необходимо обратиться к квантовой теории измерений.
Измерению, производимому детектором, соответствует оператор HR в (12.10), который не коммутирует с оператором энергии для инерциального наблюдателя. Поэтому при измерении происходит редукция волнового пакета — вектор |0м> превращается в некоторое собственное состояние оператора HR. Возникающему при этом статистическому оператору соответствует тепловая матрица плотности (12.14). Именно с этим связано поступление энергии из вакуума в детектор. Измерение приводит к появлению ненулевой энтропии S = = Тг(рд1пря). Поэтому, если первоначально ускоренный наблюдатель затем начет двигаться инерциально, он уже не вернется к вакууму |0м> — состояние квантованного поля будет описываться статистической смесью.
Остановимся еще на возможности экспериментального наблюдения эффекта Фуллинга—Унру. В [274] для этого предлагается использовать явление деполяризации электронов в ускорителе. Расщепление уровней Ландау за счет спина в магнитном поле ~ 104 Гс составляет ДЕ—1 К. Поэтому, если ускорение электронов достаточно велико (g^lO20 м/с2), эффект Фуллинга—Унру должен приводить к переходам между этими уровнями до достижения равновесной заселенности, определяемой эффективной температурой T=gl2n. Требуемые ускорения вполне достижимы в современных накопительных кольцах.
Другим возможным проявлением эффекта является сдвиг массы ускоренно движущейся частицы [275, 276], что могло бы быть интересным для анализа распадов частиц в неинерциальных системах отсчета.
Перестройка вакуума и появление температурного распределения при ускоренном движении связаны с наличием горизонта событий в риндлеровских координатах. Если перейти к координатам, связанным с инерциальными специальными конформными преобразованиями (которые тоже иногда связывают с ускоренным движением), то вакуум |0м> не изменяется [277]. В то же время сам по себе отклик детектора при его ускоренном движении в вакууме |0м> от наличия горизонта событий не зависит.
Наконец, отметим, что учет самодействия заряженного скалярного поля вида Х(<р*<р)2 в неинерциальной системе отсчета может приводить к явлению нарушения симметрии за счет изменения понятия устойчивости основного состояния по времени т, измеряемому ускоренным наблюдателем, по сравнению с обычным временем t [263].
ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС И ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Как известно [228], после завершения всех циклов термоядерной эволюции звезда остывает и начинает сжиматься. Если при этом масса звезды М>МСГ~ 2Mq (Mq —масса Солнца), то у такой звезды отсутствует предельное равновесное состояние: происходит гравитационный коллапс, и возникает черная дыра.
Различные аспекты физики черных дыр хорошо освещены в литературе (см. например, [179, 192, 228]), напомним лишь основные факты.
При сферически-симметричном гравитационном коллапсе пространство-время вне звезды описывается метрикой Шварцшильда
ds2 = (1 — г^ае — (1 — rglrV^ — r4Q\ (12.17)
где rg = 2GM; М — масса звезды; dQ2=d02+sin20d(p2. На поверхности звезды r=R(t) метрика (12.17) сшивается с внутренней метрикой, которая зависит от деталей строения звезды. Пока R^>rg, внутренняя метрика всюду регулярна и определяется как решение уравнений Эйнштейна, в правой части которых стоит ТЭИ вещества звезды. Если М>Мсп сжатие звезды не может быть остановлено внутренним давлением ни при каком уравнении состояния и радиус звезды неизбежно достигает значения R = rg (называемого гравитационным радиусом) за конечное собственное время. Для М = М Q гравитационный радиус rg~3 км.
Для описания дальнейшего сжатия звезды метрика (12.17) уже непригодна, так как на поверхности r=rg, очевидно, goo = O, а gn->oo. Эта сингулярность, однако, имеет чисто координатный характер (все инварианты тензора кривизны при этом конечны). Физически ее появление связано с невозможностью реализовать в
рассматриваемом гравитационном поле статическую систему отсчета, которая продолжалась бы до r=rg.
Необходимое расширение многообразия, описываемого метрикой (12.17), в область r<rg можно осуществить следующим образом. Введем так называемую «черепашью» координату Уилера г* = J (1 — rgkV dr = r+rg \nV!rg- 1)(12.18)
(название связано с тем, что при r-^rg координата г* медленно стремится к —оо), а также изотропные координаты
u = t — г*; v = t + r*.(12.19)
Метрику (12.17) можно записать в координатах (и, г, 9, ф) (опережающие координаты Эддингтона—Финкельштейна) в виде
ds2 = (1 — rg/r) d^ — 2dvdr — гЧ^.(12.20)
Теперь она допускает аналитическое продолжение в область г<г#, и ее можно рассматривать как внешнюю метрику для коллапсирующей звезды, пригодную и после того, как поверхность R^ оказалась внутри гравитационного радиуса. В точке г=0, которую поверхность звезды достигает за конечное собственное время, инвариант RШmRшm~rгgl^-^■oo, так что здесь мы имеем истинную сингулярность. Картина гравитационного коллапса в координатах (12.20) изображена на рис. 12.2. На нем видно, что после ухода поверхности звезды под гравитационный радиус поверхность r=rg становится горизонтом событий будущего: направленные в будущее изотропные й времениподобные линии могут пересекать ее только снаружи внутрь. Это означает, что никакая информация об ушедшей под горизонт звезде уже никогда не сможет достичь внешней области r>rg. Таким образом, происходит
гравитационное самозамыканиегравитационное самозамыканиеколлапсирующего тела, и образуется черная дыра. Другое аналитическое продолжение метрики Шварцшильда получается, если вместо опережающих использовать запаздывающие координаты Эддингтона—Финкельштейна (и, г, 0, ф). В этих координатах (12.17) имеет вид
гравитационное самозамыкание
гравитационное самозамыкание
ds? = (1 — г g!r^ du? + 2dudr —r4Q?.
(12.21)
Рис. 12.2. Картина гравитационного коллапса в опережающих координатах Эддингтона — Финкельштейна: внутренняя область звезды заштрихована. Двойная линия — горизонт событий. Показаны мировые линии фотонов, испускаемых поверхностью звезды
Здесь r=rg является горизонтом событий прошлого, проницаемым лишь изнутри наружу. Для реального коллапса горизонта прошлого нет — метрика (12.21) сшивается с внутренней метрикой звезды в области r>rg.
Если коллапсирующая звезда имеет отличный от нуля момент импульса /, то пространство-время вне ее описывается метрикой Керра
ds2 = d? — IsL (0 Sjn« edv — d/)2 — p2 (^ + d92) — (r2 + a2) sin2 9dv2,
(12.22)
где p2=r24-a2cos29; A=r2—rrg+a2; а=ЦМ — удельный момент импульса. При a=0 (12.22) переходит в метрику Шварцшильда. По-видимому, физически реализуемы лишь такие значения I, для которых а<Уе12 [179, 192].
Горизонт здесь определяется уравнением
г = rh В rg!2 + ^TglYf - a2)*/».(12.23)
Метрика Керра имеет вторую фиктивную особенность при
г = re@rgl2 4- (0V2)2 —a2cos29)*/-.(12.24)
Область гд<г<ге называется эргосферой, а поверхность г=ге— пределом статичности, или границей эргосферы. Внутри эргосферы тела не могут покоиться относительно удаленного наблюдателя — они обязательно вращаются вокруг черной дыры в направлении ее вращения. Частицы, пересекающие поверхность горизонта г= — rh, имеют угловую скорость
Q = 4nJ/MS;(12.25)
S = 2nrg \rg + (rg — 4a2)v*](12.26)
— площадь поверхности горизонта.
Напряженность гравитационного поля на горизонте характеризуется так называемой поверхностной гравитацией
X = (2л/5) (rg — 4a2)v*.(12.27)
Для статической черной дыры (a = 0) S=4nr2g; при этом
х = GM/rg = 1/4 GM,(12.28)
что совпадает с классическим выражением для ускорения свободного падения на расстоянии rg от массы М.
Третьей возможной характеристикой черной дыры является электрический заряд Q; метрика заряженной черной дыры (метрика Керра—Ньюмена) получается из (12.22), если там положить
А = г2 — r^ + aa + GQ2.
Согласно современным представлениям, гравитационный коллапс всегда приводит к образованию стационарной черной дыры, описываемой в общем случае метрикой Керра—Ньюмена. Параметрами М, J и Q стационарная черная дыра определяется однозначно, и никаких других характеристик она иметь не может — вся остальная информация о звезде после ухода ее поверхности под горизонт делается недоступной для внешнего наблюдателя.
При коллапсе быстро затухают мультипольные моменты Z^s полей со спином s, исчезают лептонный и барионный заряды и т. п. Стационарные черные дыры с одинаковыми значениями М, J и Q неотличимы друг от друга (в дальнейшем для простоты мы будем рассматривать лишь незаряженные черные дыры).
Применение глобальных методов общей теории относительности позволяет установить ряд общих законов, справедливых для любых черных дыр [179]. К их числу относится теорема Хокинга, согласно которой при любых классических процессах с участием черных дыр суммарная площадь их горизонтов не может уменьшаться. Из нее, в частности, следует невозможность уменьшения массы статической черной дыры. Масса вращающейся черной дыры может быть уменьшена лишь за счет уменьшения ее момента импульса.
Если в ходе некоторого процесса изменяются параметры Ми/ так, что площадь горизонта S остается постоянной, то такой процесс называется обратимым.
Имеет место далеко идущая аналогия между законами физики черных дыр и законами классической термодинамики [278]. Подобно термодинамической системе, черная дыра в стационарном состоянии характеризуется конечным числом параметров. При изменении площади горизонта на 6S и момента на 6/ внутренняя энергия (масса) черной дыры изменяется на
6Е = (х/8лб) 6S + Q6J. (12.29)
Это равенство формально аналогично первому закону термодинамики для тела, вращающегося с угловой скоростью Q, если величину, пропорциональную х, рассматривать как температуру, а величину, пропорциональную S, как энтропию черной дыры.
Последнее подкрепляется неравенством д$>0, выражающим теорему Хокинга, которое аналогично второму закону термодинамики. Обратимые процессы с 65 = 0 аналогичны термодинамическим обратимым процессам.
Поверхностная гравитация х, подобно температуре в равновесном состоянии, постоянна во всех точках горизонта. Далее, справедливо утверждение, аналогичное третьему закону термодинамики: х нельзя обратить в нуль посредством конечного числа операций.
Описанная выше формальная аналогия имеет глубокие физические основа ния. Возникновение величины S, аналогичной энтропии, связано с тем, что при образовании горизонта в процессе коллапса информация об области за горизонтом безвозвратно теряется.
Как показано в [278] с помощью мысленных экспериментов, величина S действительно пропорциональна логарифму числа различных возможных конфи гураций, приводящих к образованию одной и той же черной дыры. Однако коэффициент пропорциональности между 5 и эффективной энтропией 5 можно
установить только в рамках квантовой теории (как и в классической термодинамике).
Пусть S— суммарная энтропия черных дыр в системе, a Sm — энтропия вещества, находящаяся вне черных дыр. Тогда для такой системы имеет место обобщенный второй закон термодинамики d(3+Sm)>0. В рамках этой аналогии должна существовать возможность обмена энергией между черными дырами и окружающим веществом. В частности, черная дыра с температурой Т, находясь в среде с температурой ТХ<Т, должна излучать энергию. Оказалось, что такое явление действительно имеет место и что оно связано с рождением частиц гравитационным полем.
ЭФФЕКТ ХОКИНГА
Поскольку для наблюдателя на бесконечности при гравитационном коллапсе метрика стационаризуется за характерное время T^rg, естественно, казалось бы, ожидать, что так же ведет себя и поток рожденных частиц.
Действительный характер этого явления, однако, оказался весьма неожиданным. Как было показано в [89], помимо быстрозатухающего потока рожденных частиц, определяемого деталями процесса коллапса, после образования горизонта событий возникает стационарный поток, зависящий лишь от параметров черной дыры М и J. Последний имеет планковский спектр, причем эффективная температура равна
£вТ = х/2л,(12.30)
где х определена в (12.27). Для сферической черной дыры массы М (12.30) дает Т = ^MqJM) 10"6 К.
Поток рожденных частиц уносит энергию, и при этом масса черной дыры уменьшается. Противоречия с теоремой Хокинга здесь нет, так как последняя справедлива, лишь если выполнены энергетические условия (см. § 8.3), которые в квантовых процессах могут нарушаться.
Покажем, как возникает излучение Хокинга, на примере вещественного скалярного поля с т = 0 при сферически-симметрич- ном коллапсе. Для этого сперва рассмотрим общий характер решений уравнения Клейна—Фока (1.17) с т = 0 в метрике Шварцшильда (12.17). Значение £ здесь несущественно, так как /? = 0.
Разделение переменных дает
Ф = r^lR^i(r)Yim(B, ф)ехр(± i©/),(12.31)
причем радиальная функция удовлетворяет уравнению типа Шредингера
-^L + [Ю2_ Аfe_\ I <(/ + 0. + л 11 R0 02.32)
dr*4 I \ г / \ г1И'
где г* определена в (12.18). Ввиду быстрого убывания потенциала в (12.32) при г*->-±оо, т. е. при удалении на бесконечность и при-
ближении к горизонту, для анализа решений (12.31) можно воспользоваться обычной квантовомеханической теорией прохождения через потенциальный барьер [217]. В частности, радиальная функция расходящейся волны, идущей из области вблизи горизонта, будет иметь асимптотики
( exp(iwr*) + ^ ехр(— ier*), г*-* — оо; ^^ “, I Btol exp (i cor*), г* ^-oo,
причем |Лш/|24-|Вш/|2=1. Величина Г о/= | В m J2 есть коэффициент прохождения.
Будем считать, что при t-»—оо имелось статическое сфериче- ски-симметричное распределение вещества, которое затем претерпевает гравитационный коллапс и при /->4-оо образуется статическая черная дыра. Очевидно, задача носит S-матричный характер, и рождение частиц может быть описано по схеме, изложенной в § 8.2.
Квантование поля в in-области осуществляется стандартным образом. В качестве поверхности Коши для безмассового поля можно взять световую бесконечность прошлого 1~ и выбрать полную ортонормированную согласно (1.64) систему положительно- и отрицательно-частотных решений ф^’, а={<о, /, т), которые вдали от еще не начавшего коллапсировать тела ведут себя как
ф^*«(8л2(о)-1/'z^1 exp(i сои) KZm (6, ф), (12.34)
ч4-=(<4+1)‘,где и — опережающая изотропная координата (12.19). Явный вид ф^ при малых г, в том числе во внутренней области, нам не понадобится. Оператор квантованного поля можно представить в виде (1.65), причем равенства (1.68) определяют in-вакуум |0щ>.
Обратимся теперь к out-области, в которой процесс образования черной дыры уже закончился. В качестве полной поверхности Коши здесь можно выбрать объединение световой бесконечности будущего J+ и горизонта Я+. Одночастичное гильбертово пространство 3ifOut построим как прямую сумму ^out = ЭС (J+) ф ®ЭС(Н+). В ЭС (/+) входят функции ф^,удовлетворяющие нулевым условиям Коши на горизонте Н+ и ведущие себя в окрестности /+ как расходящиеся волны:
yW^tSn^-Vir-i exp(i(ou)K/m(0, ф), (12.35)
где ф^-» = (ф<+’)‘ ; и — запаздывающая координата из (12.19) Пространство ЭС (Н+) состоит из решений Ха±>, удовлетворяющих нулевым условиям Коши на /+ и описывающих частицы, падающие в черную дыру. Явный вид Х^±> несуществен, так как нас интересуют лишь значения наблюдаемых на /+.
Оператор поля ф(х) можно разложить по функциямФа** и Х^’ : ф = 2 (ф^ь^ + ф^+) + х^Ч~> + £*Ч+>). (12.36) а
где Ьа^» с^ —операторы рождения и уничтожения на J+ и //+ соответственно [ср. это разложение с (12.5)].
Для вычисления средних значений наблюдаемых на J+ в состоянии |01п> необходимо найти боголюбовское преобразование вида (1.75), определяющее связь между операторами а^ и Ь^- Его коэффициенты Фар и Ч^р можно определить из соотношений (1.74) между базисными функциями ф^’ и ф^* с помощью условий ортонормировки (1.64):
Фар = - №\ фр+)); ^ар = - (фа^\ фН.(12.37)
Фигурирующие здесь скалярные произведения определены в (1.8), причем в качестве гиперповерхности интегрирования 2 можно взять световую бесконечность прошлого /~, которая является поверхностью Коши для безмассового поля [189]. Для вычисления интегралов следует найти асимптотический вид в окрестности J™ функций ф^» которые в окрестности J+ определяются равенством (12.35).
Прежде всего заметим, что поскольку рассеяние на статичес
ком потенциале не приводит к рождению частиц, мы можем временно пренебречь им, считая, что в радиальном уравнении (12.32) второе слагаемое в фигурных скобках отсутствует, так что вне коллапсирующего тела выражения (12.34), (12.35) точные.
Ключевым обстоятельством для понимания эффекта Хокинга
и вычисления потока рожденных частиц является то, что коэффициенты Фар» Ч^р из (12.37) определяются ультрафиолетовой асимптотикой функций ф^ на J~. Действительно, если проследить назад по лучу u=const распространение волны ф^, приходящей на 7+ в поздние моменты времени t, то нетрудно увидеть, что она покинула поверхность коллапсирующего тела непосредственно перед моментом образования горизонта (рис. 12.3). Это значит, что на пути от поверхности тела до удаленного наблю
Рис. 12.3. Прохождение волн через коллапсирующую звездуV—v0 —линия последнего влиянияРис. 12.3. Прохождение волн через коллапсирующую звездуV—v0 —линия последнего влияниядателя волна испытывает огромное к красное смещение, которое тем боль- и ше, чем более поздний момент мы рассматриваем. В то же время на пути о=const из J~ до поверхности тела и при прохождении сквозь него частота волны существенно не менялась.
Рис. 12.3. Прохождение волн через коллапсирующую звезду
V—v0 —линия последнего влияния
Рис. 12.3. Прохождение волн через коллапсирующую звезду
V—v0 —линия последнего влияния
Поэтому для определения Фар, Тар достаточно знать поведение ф^1 на /~ при больших го. Чтобы его найти, можно воспользоваться приближением геометрической оптики при рассмотрении прохождения волны сквозь коллапсирующее тело и пренебречь взаимодействием с веществом.
Прошедшая через центр г=0 волна ф^' вида (12.35) бежит вдоль луча u=const и имеет фазу ши (см. рис. 12.3). До прохождения через центр эта волна бежала вдоль луча u=const с тем же значением фазы, так что на /~ она имела вид
фМ-> = (в^ш)-*7' Н exp[i©u(v)] Kim(0, ф), (12.38)
где u(u)—функция, определяющая связь и-координаты входящего в коллапсирующее тело луча и u-координаты выходящего. Таким образом, задача свелась к нахождению функции и (о). При этом, в силу сказанного выше, нам достаточно знать ее предельную форму при и, близких к и0, — такому значению опережающего времени, что изотропная геодезическая u = Vo достигает горизонта как раз в момент его формирования и уже не попадает на /+ («линия последнего влияния»).
Для нахождения функции u(о) поступим следующим образом. Выразим радиус R поверхности коллапсирующего тела сначала через и, а затем через и, после чего исключим R из полученных формул.
Пусть поверхность тела 2 сжимается по закону dR!dr= = —f(/?), где т — собственное время на поверхности. Тогда метрика на поверхности имеет вид
(12.40)(12.41)(12.42)(12.40)(12.41)(12.42)ds^ = dx» — R»dQ? = ГЧЮ dR» — R4dQ®. (12.39) Выражение для ds^ можно записать и в запаздывающих координатах Эддингтона—Финкельштейна (12.21):
(12.40)
(12.41)
(12.42)
(12.40)
(12.41)
(12.42)
где R=R(и). Условие совпадения (12.39) и (12.40) дает аи
При R, близких к rg, (12.41) сводится к
dRldu = —(\—rgIRV2, откуда
R (и) = гк + В ехр (— иГ2г^.
В то же время R как функцию и можно найти из тех соображений, что в опережающих координатах Эддингтона—Финкельштейна (12.20) в момент образования горизонта v = vo функция /?(о) аналитична:
/?(У) = г, + Л(Уо-У),(12.43)
где Л>0. Сравнивая (12.42) и (12.43), находим искомую связь и(У) =— 2г, In [С (Уо — У)],(12.44)
где С=А(В— константа, зависящая от динамики коллапса.
Таким образом, волна ф4+), имеющая на /+ асимптотику (12.35), на J- ведет себя как
(SnM'^^’expf—2ir^ln[(yo —У)/С]}, У<Уо; ^2 45) О,о > Уо.
Подставляя (12.34) и (12.45) в (12.36) и выполняя интегрирование по 0 и ср с учетом ортонормированности сферических функций, находим
Va'a = -7-f—УА f duexpl— iw'n — 2 i r/o In (-^^-jls,,^^^ 2л \ to У J (\ С / J
= (1/2л)(ймо')_,/,Г(1 —ito^tico'/Q1 ш/хехр[1(о,Уо]6,/'бтт,, (12.46)
где Г(г) —гамма-функция, и мы использовали обозначение (12.28) для поверхностной гравитации.
Если с помощью (12.46) вычислять число частиц, рожденных в каждой моде, по общей формуле (2.31), то получится логарифмически расходящийся результат. Эта расходимость связана с тем, что в данном случае мы имеем постоянный во времени поток рожденных частиц. Результат можно представить в виде спектральной плотности Ntoim уходящего на /+ потока частиц в единицу времени, если вместо функций (12.34), (12.45) рассматривать волновые пакеты. При этом
Ntolm - (1/2л) [ехр(2лш/х) - Ip1-(12.47)
Константа С из ответа выпала. Спектральная плотность (12.47) имеет планковский вид, соответствующий температуре (12.30); в рассматриваемом случае х= 1(4 GM и Т=(8лСА1)-1. В основном рождаются частицы с длиной волны порядка гравитационного радиуса черной дыры.
Выше мы пренебрегли влиянием рассеяния волн на статическом потенциале, отвечающем внешней метрике Шварцшильда. Нетрудно показать, что его можно учесть, введя в выражения для ^^ множитель Btol, определенный в (12.33). В результате спектральная плотность (12.47) заменится на
^/т = (Гы//2л) [ехр (2жо/х) - Ipi, (12.48)
гДе Гй>/ = I^cd/I 2— коэффициент прохождения через барьер в (12.32). Возникновение фактора Г^ связано с тем, что рожденные частицы, чтобы уйти на /+, должны преодолеть эффективный центробежный и гравитационный барьер; прозрачность этого барьера совпадает с Гш/. Хотя планковский вид спектра ис-
кажается, его тепловая природа не нарушается, если черную дыру поместить в термостат с температурой Т=х/2л, тепловое равновесие сохранится, несмотря иа наличие в (12.48) множителя Гор поскольку коэффициенты прохождения через барьер в обоих направлениях равны между собой [217].
В [92] показано, что состояние квантованного поля вне черной дыры описывается матрицей плотности, совпадающей с матрицей плотности излучения черного тела при температуре ЛвТ=х/2л. Возникновение здесь матрицы плотности связано с тем, что при образовании горизонта событий наблюдатель на /+ безвозвратно теряет информацию о состоянии части системы, находящейся за горизонтом. В результате система, находившаяся в чистом квантовом состоянии, переходит в смешанное состояние. В [94] выражение (12.30) для температуры излучения Хокинга получено общим методом, описанным в § 3.5.
Эффект Хокинга во многих отношениях аналогичен рассмотренному в § 12.1 эффекту Фуллинга—Унру в ускоренных системах отсчета. Следует, однако, отметить важное различие между этими явлениями. При гравитационном коллапсе происходит рождение реальных частиц, поток которых на бесконечности описывается ТЭИ безмассового направленного по оси г излучения (см. ниже). В то же время квазичастицы в эффекте Фуллинга—Унру следует рассматривать как виртуальные. Полный ТЭИ квантованного поля в последнем случае равен нулю, а ускоренный детектор регистрирует вакуумные флуктуации (по этому поводу см. также [279]).
Поток энергии через сферу радиуса г>г, равен
L « (2л)-1 J dm® V (2/ + 1) Г„, [ехр (2жо/х) — 1]-*. (12.49) о
Перенормированное вакуумное среднее ТЭИ при г*>гв имеет вид [279]
<т$> = - <т;> = <т;> = - <т'> = w (12.50)
(остальные компоненты равны нулю). Вычисление <Tkt> в ближней окрестности черной дыры сталкивается с техническими трудностями, связанными с тем, что решения радиального уравнения (12.32) не выражаются через изученные трансцендентные функции и, следовательно, необходимо проводить перенормировку в расходящихся интегросуммах вида (2.2) в рамках численных методов. Частичные результаты для <Tkt> при различных выборах вакуумного состояния были получены в [279—282].
ОБОБЩЕНИЯ И АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ЭФФЕКТА ХОКИНГА
В предыдущем параграфе изучался эффект Хокинга для безмассового скалярного поля и в случае шварцшильдовской черной дыры. Рассмотрим теперь различные обобщения этого эффекта и его возможные следствия.
Для фотонов и гравитонов имеет место результат, аналогичный (12.49) (с другими значениями Гш/). Для нейтрино знаменатель в (12.49) заменяется на (ехр (2л<о/х) + 1), как и должно быть для теплового излучения фермионов.
Для полей с ненулевой массой покоя ц эффект Хокинга также имеет место. При этом в (12.49) следует полагать со= (^Ч-Н2)1/2» где к — импульс рождающейся частицы, и интегрирование по ю заменить интегрированием по к (связанных состояний в поле статической черной дыры нет [187]). Очевидно, что при ц>х (это соответствует rg>lc, где /с — комптоновская длина) излучение будет экспоненциально малым.
В [283] рассчитана светимость черных дыр с учетом возможности излучения различных элементарных частиц. Для черных дыр массой Л1>1017 г (г^>10~н см) она равна L = 3,4-1046 М-2 эрг/с, где М измеряется в граммах. Для M = Mq получается L- ~ 10-20 эрг/с (в то время как светимость Солнца порядка 1033 эрг/с). При этом 81 % излучения приходится на электронные и мюонные нейтрино (и антинейтрино), 17 % —на фотоны и 2 % — на гравитоны. Подавление излучения частиц с высшими спинами объясняется тем, что для них растет центробежный барьер.
Если 1014<Л1<Ч017 г, то становится существенным рождение электронов и позитронов (при этом rg<rrvx^ и L возрастает более чем вдвое. С уменьшением М светимость L еще более возрастает, поскольку становится возможным излучением более тяжелых частиц.
Рассмотрим теперь эффект Хокинга для вращающейся черной дыры, описываемой метрикой Керра (12.24). Результат (12.49) в этом случае обобщается следующим образом [37, 89]:
L = — f dtoco r(oZm[exp(2n(to —tt:Q)/x) — ^^^(12.51)
2л J
0l,m
где Q и к определены в (12.27) и (12.28); Гщ/т —прозрачность потенциального барьера для частицы с квантовыми числами (го, /, /п), равная
Гш/т=1-| Лш/т |2.(12.52)
Здесь Atolm —коэффициент отражения падающей из )~ сферической волны в моде (го, /, /и) от черной дыры.
Очевидно, что если ro<mQ, знаменатель в подынтегральном выражении (12.51) отрицателен. Оказывается, что при этом становится отрицательным и коэффициент ГЮ1т, т. е. |Аш/т|2>1.
Таким образом, для классических волн с ю<тй происходит усиление при отражении от вращающейся черной дыры. Это явление, обнаруженное впервые для случая отражения электромагнитных волн от вращающегося цилиндра в [284, 285], получило название сверхизлучения.
Сверхизлучение при отражении от вращающихся черных дыр для классических полей было исследовано в [285]. При этом оказалось, что для электромагнитных волн максимальное увеличение энергии составляет ~4 %, а для гравитационных — порядка 137 % 271
(для спинорного поля сверхизлучение отсутствует, что, очевидно, связано с действием принципа Паули).
При рассмотрении в рамках квантовой теории оказывается возможным не только вынужденное сверхизлучение, но и спонтанное рождение квантов в поле вращающейся черной дыры [284, 285]. Этот эффект, являющийся составной частью эффекта Хокинга, есть следствие того, что у вращающейся черной дыры имеется эргосфера. Рождение пары с нулевой суммарной энергией и моментом возможно, если одна из частиц находится в эргосфере (где ее энергия отрицательна), а другая — вне ее. При этом первая уходит под горизонт событий, а другая — на бесконечность, отбирая энергию и момент у вращающейся черной дыры. Для рассматриваемого процесса площадь поверхности горизонта событий (12.26) не уменьшается, т. е. выполнена теорема Хокинга (см. § 12.2). Как показано в [286], поток энергии спонтанно рожденных скалярных частиц на бесконечности равен
mQ
£=171* 5(1 Лш,т 12_ 1)-(12,53)
О/ ,т
тО>0
Очевидно, что этот же результат получается из общей формулы (12.51) в пределе х->0, когда спектральную плотность в (12.51) можно аппроксимировать ступенчатой функцией —0(mQ—ш). Таким образом, для вращающихся черных дыр большой массы тепловое излучение пренебрежимо мало по сравнению со спонтанным рождением.
Интересно рассмотреть, к каким следствиям для * физики черных дыр приводит эффект Хокинга. Вследствие излучения рожденных частиц масса черной дыры уменьшается, в результате чего согласно (12.30) увеличивается ее температура. Это, в свою очередь, приводит к увеличению интенсивности излучения.
Для последовательного описания эволюции черной дыры с учетом эффекта Хокинга необходимо рассматривать самосогласованную задачу. В квазистатическом приближении изменение массы черной дыры может быть описано уравнением
<Ш/Л=—£(М),(12.54)
где L^M)—светимость, определяемая равенством (12.49).
Для времени жизни черной дыры получается результат
т~10-27Л13 с,(12.55)
где М измеряется в граммах. Очевидно, что для черных дыр с массой, большей 1015 г, т превышает время существования Вселенной.
Предыдущие результаты не учитывали наличия вокруг черной дыры теплового фона реликтового излучения. В то же время наличие теплового фона с температурой Ть приводит к тому, что черная дыра с температурой Т<Ть не излучает, а поглощает излучение фона. Поскольку для черных дыр, которые могли образоваться в процессе коллапса (М"^Мф), температура T^IO-6 К, то тепловое излучение для них вообще отсутствует. Таким образом, эффект Хокинга существен лишь для так называемых первичных черных дыр небольшой массы, которые могли образоваться в результате флуктуаций плотности вблизи космологической сингулярности. При этом, как следует из (12.55), черные дыры с массой, меньшей 1015 г, к настоящему времени должны были испариться. Различные астрофизические следствия эффекта Хокинга для первичных черных дыр рассматриваются в [287].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенная в книге теория вакуумных квантовых эффектов в электромагнитных и гравитационных внешних полях относится к известным в настоящее время элементарным частицам и основывается на принципах локальной квантовой теории поля. Наметим кратко перспективы использования и область применимости полученных в рамках этой теории результатов.
Наибольшее прикладное значение приобретут, по-видимому, эффекты рождения частиц и поляризации вакуума электромагнитными полями, поскольку уже сегодня физический эксперимент подходит к той грани, когда эти эффекты можно будет наблюдать и изучать в лаборатории. Здесь, в первую очередь, необходимо отметить быстрый прогресс в области создания ускорителей тяжелых ионов, а также рентгеновских и у-лазеров, позволяющих получать электромагнитные поля со значениями, близкими к критическим. Многие из рассмотренных в книге эффектов, в частности экспоненциальный рост плотности числа рожденных бозонов, образование конденсата и заряженного вакуума, становятся в таких полях существенными. Тем самым открываются новые интересные возможности для их использования.
С теоретической точки зрения наиболее важными из изложенных в книге могут оказаться результаты, относящиеся к вакуумным квантовым эффектам в сильном гравитационном поле. Эти эффекты становятся определяющими вблизи космологической сингулярности, черных дыр, и без их учета невозможно решить крупнейшую проблему современной физики — проблему происхождения всей наблюдаемой Вселенной. Немаловажную роль в решении этой проблемы сыграло открытие несингулярных самосогласованных космологических моделей, определяемых вакуумными эффектами квантованных полей. Многие аспекты эволюции ранней Вселенной стали более ясными благодаря точным, количественным расчетам рождения частиц и поляризации вакуума, эффекта Хокинга, эффектов бозе-конденсации в гравитационном поле.
Перспективы теории вакуумных квантовых эффектов нельзя обсуждать без учета того интенсивного развития, которое происходит в настоящее время в теории элементарных частиц. Так, активно разрабатываются различные суперсимметричные модели, в которых предполагается существование большого числа новых элементарных частиц с необычными свойствами. Имеются попытки введения дополнительных по отношению к четырем известным из-
мерений пространства-времени, которые спонтанно компактифицированы на планковских масштабах. Теория суперструн предполагает, что все частицы и поля, включая гравитационное, являются возбуждениями некоторого нового фундаментального объекта — суперструны. Наконец, различные сценарии квантового рождения Вселенной из «ничего» придают первостепенное значение так называемому инфлатонному скалярному полю, которое не удается отождествить ни с одним из наблюдаемых полей. Такие сценарии требуют введения «волновой функции Вселенной», которая предполагается определенной более или менее однозначно. Последнее является некоторым отходом от принципа дополнительности и копенгагенской интерпретации квантовой теории, поскольку в настоящее время неясно, относительно каких прибора и наблюдателя определен такой объект как «квантовая Вселенная».
Возникает вопрос, какие изменения в изложенную в книге теорию могут внести новые результаты физики элементарных частиц? Несомненно, что будущая единая теория фундаментальных взаимодействий приведет к обнаружению многих новых закономерностей физики высоких энергий. Тем не менее, если говорить о возможных дополнительных измерениях пространства-времени, то они становятся «открытыми» лишь при подходе к планковским расстояниям. Отличие предсказаний теории суперструн от предсказаний локальной квантовой теории поля также могут проявиться лишь при энергиях, близких к планковской. В то же время в рамках теории суперструн может измениться сама постановка вопроса о гравитационных сингулярностях, поскольку в полевом пределе этой теории, в отличие от эйнштейновской гравитации, имеются члены с высшими производными.
Аналогичная ситуация имеет место и для квантовых эффектов в гравитационном поле: рассмотренная в книге теория остается справедливой, пока масса и кривизна пространства-времени много меньше, а время многр больше соответствующих планковских значений. Если же это условие не выполнено, то необходимо квантовать гравитацию и рассматривать такие недостаточно ясные на сегодняшний день понятия, как волновая функция Вселенной.
Резюмируя, хотелось бы выразить надежду, что установленные к настоящему времени основные результаты теории вакуумных квантовых эффектов во внешних полях являются более или менее окончательными и в определенной области применимости данная теория в дальнейшем не претерпит принципиальных изменений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат. 1980.
Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве- времени: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
Делоне Н. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном световом поле. М.: Энер- гоатомиздат. 1984.
Ритус В. И.//Труды ФИАН СССР. 1979. Т. 111. С. 5—151.
Рапопорт JI. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. Теория многофотонных процессов в атомах. М.: Атомиздат. 1978.
Байер В. Н., Катков В. М., Фадин В. С. Излучение релятивистских электронов. М.: Атомиздат. 1973.
Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М.: Наука. 1974.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1984.
Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит. 1963.
Chernikov N. A., Tagirov Е. A.//Ann. Inst. Н. Poincare. 1968. Vol. 9А. Р. 109-141.
Callan С. G., Coleman S., Jackiw R.//Ann. Phys. 1970. Vol. 59. P. 42-73.
Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей: Пер. с нем. М.— Л.: Гостехтеориздат. 1947.
Скалозуб В. В.//Ядерная физика. 1975. Т. 21. С. 1337—1346; 1980. Т. 31. (2 798805
* 14. Ч Hooft G.//Nucl. Phys. 1971. Vol. В35. Р. 167-194.
Velo G., Zwanziger D.//Phys. Rev. 1969. Vol. 186. P. 1337-1341; Vol. 188. P. 2218-2222.
Penrose R.//Relativity, groups and topology. N. Y.— Lond.: Gordon and Breach, 1964.
Giirsey F.//Ann. Phy$. 1963. Vol. 2 4. P. 211-242.
Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, л нт. 1948.
Грищук Л. П.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1974. Т. 67. С. 825—838.
Fock V., Iwanenko D.//Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. 1929. T. 188. P. 1470—1472.
Brill D., Wheeler J.//Rev. Mod. Phys. 1957. Vol. 29. P. 465—479.
Боголюбов H. H., Д1огунов А. А., Тодоров И. T. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука. 1969.
Бор Н., Розенфельд Л. Бор Н.//Избранные научные труды. М.: Наука. 1971. Т. 2.
Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике//Избранные труды в трех томах. Киев: Наукова думка. 1970. Т. 2.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Теорет. и мат. физ. 1976. Т. 26. С. 221—233.
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука. 1981.
Caves C.//Phys. Rev. D. 1981. Vol. 23. P. 1693-1708.
Фок В. А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.
Зельдович Я. Б.//Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 922—925.
Сахаров А. Д.//Докл. АН СССР. 1967. Т. 177. С. 70—71.
Ч Hooft G., Veltmann M.//Ann. Inst. H. Poincare. 1774. Vol. 20A. P. 69— 94.
Schwinger J.//Phys. Rev. 1951. Vol. 82. P. 664—679; 1954. Vol. 93. P. 615-628.
Dowker J. S., Critchley R.//Phys, Rev. D. 1976. Vol 13. P. 3224-3232; 1977. Vol. 16. P. 3390-3394.
Christensen S. M.//Phys. Rev. D. 1976. Vol. 14. P. 2490—2501;1978.
Vol. 17. P. 946—963.
Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1971. Т. 61. С. 2161—2175.
Parker L, Fulling S. A.//Phys. Rev D. 1974. Vol. 9. P. 341-354.
DeWitt B. S.//Phys. Rept. C. 1975. Vol. 19. P. 296—357.
Гриб А. А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. М.: Атомиздат. 1978.
Широков М. И.//Ядерная физика. 1968. Т. 7. С. 672—684.
Гриб А. А., Мамаев С. Г.//Там же. 1969. Т. 10, С. 1276—1281; 1971. Т. 14. С. 800—805.
Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории сверхпроводимости. М.: Изд-во АН СССР. 1958.
Никишов А. И.//Теорет. и мат. физ. 1974. Т. 20. С. 48—56.
Нарожный Н. Б., Никишов А. И.//Там же. 1976. Т. 26. С. 16—34.
Фейнман Р. Квантовая электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир. 1964.
Никишов А. И. Проблемы теоретической физики. М.: Наука. 1972.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Старобинский А. А./ Жури, эксперим. и теорет. физ. 1976. Т. 70. С. 1577—1591; Письма в Астроном, журн. 1976. Т. 2 £ 135139
Мостепаненко В. М.//Ядерная физика. 1979. Т. 30. С. 208—214.
Casimir Н. В. G.//Proc. Коп. Nederl. Akad. Wet. 1948. Vol. 51. P. 793— 796.
Sparnaay M. J.//Physica. 1958. Vol. 2 4. P. 751—764.
Бараш Ю. С., Гинзбург В. Л.//Успехи физ. наук. 1984. Т. 143. С. 345— 390.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука. 1976. Ч. 1; 1978. Ч. 2.
Boyer Т. HJ/Phys. Rev. 1968. Vol. 174. Р. 1764—1776.
Davies B.//J. Math. Phys. 1972. Vol. 13. P. 1324—1328.
Schwinger J., De Raad L. L, Milton K. A.//Ann. Phys. 1978. Vol. 115. P. 1—23; 388—403.
Balian R., Duplantier B.//Ann. Phys. 1978. Vol. 112. P. 165—208.
Hasenfratz P., Kubi J.//Phys. Rept. C. 1978. Vol. 40. P. 75—179.
Ford L. H.//Phys. Rev. D. 1975. Vol. 11. P. 3370-3377; 1976. Vol. 14. P. 3304-3313.
Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.//Письма в Астроном, журн. 1984, Т. 10. С. 323—328.
Введение в супергравитацию/Под ред. С. Феррары и Дж. Тейлора: Пер. с англ. М.: Мир. 1985.
Воронов Н. А., Коган Я. И.//Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. С. 262—264.
Appelquist Th., Chodos A.//Phys. Rev. D. 1983. Vol. 28. P. 772-784.
Candelas P., Weinberg S.//Nucl. Phys. 1984. Vol. B237. P. 397—441.
Мамаев С. Г., Трунов H. Н.//Теорет. и мат. физ. 1979. Т. 38. С. 345— 354
Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.//Изв. вузов. Сер. физ. 1979. № 7. С. 88—93; № 9. С. 51—56; 1980. № 7. с. 9—13; 1981. № 2. С. 78—82.
Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968.
Isham С. J.//Proc. Roy. Soc. Lond. 1978. Vol. A362. P. 383—391.
Шутц Б. Геометрические методы в математической физике: Пер. с англ. М.: Мир. 1984.
Dowker J. S., Kennedy G.//J. Phys. А. 1978. Vol. 11. Р. 895—920.
Banach R„ Dowker J. S.//J. Phys. A. 1979. Vol. 12. P. 2545—2562.
De Witt B. S., Hart C. F., Isham C. J.//Physica. 1979. Vol. 96A. P. 197— 211.
Brown L. S., Maclay G. J.//Phys. Rev. 1969. Vol. 184. P. 1272—1279.
Dowker J. S., Critchley R.//J. Phys. A. 1976. Vol. 9. P. 535-553.
Lukosz W.//Physica. 1971. Vol. 56. P. 109—120.
Hawking S. W.//Comm. Math. Phys. 1977. Vol. 55. P. 133—148.
Kennedy G., Critchley R., Dowker J. S.//Ann. Phys. 1980. Vol. 125. P. 346—400.
Sen S.//Phys. Rev. D. 1981. Vol. 24. P. 869-872.
Starobinsky A. A.//Proc. first Marcel Grossman meet, general relativity. Amsterdam, 1977.
Ford L. H.//Phys. Rev. D. 1980. Vol. 21. P. 933—948.
Deutsch D., Candelas P.//Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20. P. 3063—3080.
McKean H. P., Singer I. M.//J. Diff. Geom. 1967. Vol. 1. P. 43—48.
Мамаев С. Г., Трунов H. Н.//Ядерная физика. 1982. T. 35. С. 1049— 1058.
Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.//Изв. вузов. Сер. физ. 1983. № 5. С. 29—33.
Dowker J. SM Banach R.//J. Phys. A. 1978. Vol. 11. P. 2255-2284.
Johnson K.//Acta Phys. Polonica. 1975. Vol. B6. P. 865—892.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. M.: Наука, 1982.
Лифшиц Е. М.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1955. Т. 29. С. 94—110.
Мостепаненко В. М., Трунов Н. Н.//Метрология. 1985. № 3. С. 17—28.
Мостепаненко В. М., Трунов Н. Н.//Ядерная физика. 1985. Т. 42. С. 1297— 1305.
Hawking S. W.//Commun. Math. Phys. 1975. Vol. 43. P. 199—220.
Davies P. C. W.//J. Phys. A. 1975. Vol. 8. P. 609-616.
Unruh W. G.//Phys. Rev. D. 1976. Vol. 14. P. 870-892.
Hawking S. W.//Ibid. 1976. Vol. 14. P. 2460—2471.
Мамаев С. Г., Трунов H. Н.//Ядерная физика. 1981. T. 34. С. 1142— 1143.
Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.//Изв. вузов. Сер. физ. 1982. № 4. С. 82—84.
Попов В. С.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1972. Т. 62. С. 1248—1262.
Гриб А. А., Мостепаненко В. ,М., Фролов В. М.//Теорет. и мат. физ. 1972 Т 13 С 377390
Маринов М. С., Попов В. С.//Ядерная физика. 1972. Т. 15. С. 1271— 1285.
Попов В. С., Маринов М. С.//Там же. 1972. Т. 16. С. 809—822.
Черников Н. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1967. Т. 53. С. 1006— 1017.
Переломов А. М.//Теорет. и мат. физ. 1973. Т. 16. С. 303—314; 1974. Т. 19. С. 83—96.
Нарожный Н. Б., Никишов А. И.//Ядерная физика. 1970. Т. 11. С. 1072— 1077.
Никишов А. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1969. Т. 57. С. 1210— 1215.
Никишов А. И.//Труды ФИАН СССР. 1979. Т. 111. С. 152—271.
Гитман Д. М., Фролов В. П.//Ядерная физика. 1978. Т. 28. С. 552—557.
Ваняшин В. С., Терентьев М. В.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1965. Т. 48. С. 565—573.
Багров В. Г., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М.//Там же. 1975. Т. 68. q 392399
Криве И. В., Латинский С. М.//Там же. 1984. Т. 87. С. 1145—1149.
Попов В. С.//Там же. 1971. Т. 61. С. 1334—1351; 1972. Т. 63. С. 1586— 1598.
Попов В. С.//Ядерная физика. 1974. Т. 19. С. 1140—1156.
Нарожный Н. Б., Никишов А. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1973. Т. 65. С. 862—874.
Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Ядерная физика. 1974. Т. 19. С. 885—896.
Криве И. В., Пастур Л. А.//Там же. 1984. Т. 39. С. 224—230.
Brezin Е., Itzykson C.//Phys. Rev. D. 1970. Vol. 2. P. 1191 — 1199.
Neville D. E.//Ibid. 1984. Vol. 30. P. 1695—1711.
Якубович В. А., Старжинский В. M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Гравитационные волны. Дубна: Изд. ОИЯИ. Р2-85-667, 1985.
Фролов В. М.//Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. С. 1363—1368.
Багров В. Г, Гитман Д. М., Шварцман Ш. М.//Ядерная физика. 1976. Т. 23. С. 394—400.
Баталин И. А., Фрадкин Е. С.//Теорет. и мат. физ. 1970. Т. 5. С. 190— 218.
Мостепаненко В. М., Фролов В. М., Шелюто В. А.//Ядерная физика. 1983. Т. 37. С. 1261—1269.
Спокойный Б. Л .//Там же. 1982. Т. 36. С. 474—481.
Герштейн С. С., Зельдович Я. Б.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1969. Т. 57. С. 654—659.
Reinhardt J., Greiner W.//Rept. Progr. Phys. 1977. Vol. 40. P. 219—295.
Rafelski J., Fulcher L. P., Klein A.//Phys. Rept. C. 1978. Vol. 38. P. 227361.
Soffel M., Muller B., Greiner W.//Phys. Rept. C. 1982. Vol. 85. P. 51122.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1980.
Pomeranchuk L, Smorodinsky Ya.//J. Phys. USSR. 1945. Vol. 9. P. 97— 107.
Зельдович Я. Б., Попов В. С.//Успехи физ. наук. 1971. Т. 105. С. 403— 440.
Pieper W., Greiner W.//Z. Phys. 1969. Bd 218. S. 327—340.
Попов В. С.//Ядерная физика. 1970. Т. 12. С. 429—447; Журн. эксперим. и теорет. физ. 1971. Т. 60. С. 1228—1244.
Попов В. С. Электродинамика сверхсильных кулоновских полей (2>137). ИТЭФ-169. М., 1980.
Soft GM Muller В., Rafelski J., Greiner W.//Z. Naturforsch. 1973. Bd 28a. S. 1389-1396.
Попов В. С.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1970. Т. 59. С. 965—984.
Мигдал А. Б., Переломов А. М., Попов В. С.//Ядерная физика. 1971. Т. 14. С. 874—885.
Rafelski J., Muller В., Greiner W.//Nucl. Phys. 1974. Vol. B68. P. 585— 604.
Fulcher L, Klein A.//Phys. Rev. D. 1973. Vol. 8. P. 2455—2457.; Ann. Phys. 1974. Vol. 84. P. 335—356.
Мур В. Д., Попов В. С., Воскресенский Д. Н.//Ядерная физика. 1978. Т. 27. С. 529—541.
Мигдал А. Б., Попов В. С., Воскресенский Д. Н.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1977. Т. 72. С. 834—850.
Попов В. С.//Ядерная физика. 1974. Т. 19. С. 155—168; Изв. АН СССР. Сер. физ. 1977. Т. 41. С. 2577—2584.
Маринов М. С., Попов В. С.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1975. Т. 68. С. 421—431; Ядерная физика. 1976. Т. 23. С. 479—487.
Маринов М. С., Попов В. С.//Ядерная физика. 1974. Т. 20. С. 1223—
Gershtein S. S., Popov V. S.//Lett. Nuovo cimento. 1973. Vol. 6. P. 593— 596.
Cowan T. e. a.//Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 54. P. 1761—1764; 1986. Vol. 56. P. 444—447.
Фок В. А.//Изв. АН СССР. Сер. физ. 1937. № 4—5. С. 551—568.
Тернов И. М., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. М.: Изд-во МГУ. 1982.
Greenman М., Rohrlich F.//Phys. Rev. D. 1973. Vol. 8. P. 1103—1109.
Ритус В. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1975. Т. 69. С. 1517— 1536; 1977. Т. 73. С. 807—821.
Менский М. Б.//Теорет. и мат. физ. 1974. Т. 18. С. 190—202; Метод индуцированных представлений: пространство-время и концепция частиц. М.: Наука. 1976.
Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.//Ядерная физика. 1979. Т. 30. С. 1301 — 1311.
Mdstepanenko V. M.//Phys. Lett. А. 1979. Vol. 75. Р. 11—13; Изв. вузов. Сер. физ. 1981. № 1. С. 111—112.
Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях. М.: Наука. 1978.
Фролов В. М.//Изв. вузов. Сер. физ. 1981. № 1. С. 52—56.
Мостепаненко В. МУ/Теорет. и мат. физ. 1980. Т. 45. С. 210—223; Препринт ИТФ-80-25Р. Киев. 1980.
Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.//Ядерная физика. 1983. Т. 37. С. 1603— 1612.
Nielsen N. К., Olesen P.//Nucl. Phys. 1978. Vol. В144. P. 376-384.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Эйдес М. ИУ/Ядерная физика. 1981. Т. 33. С. 1075—1082.
Дирак П. Лекции по квантовой механике: Пер. с англ. М.: Мир. 1968.
Wichmann Е. Н., Kroll N. M.//Phys. Rev. 1954. Vol. 96. P. 232—234.
Gyulassy M.//Nucl. Phys. 1975. Vol. A244. P. 497-525.
Rinker G. A., Wilets L.//Phys. Rev. A. 1975. Vol. 12. P. 748-762.
Cheng К. T., Johnson W. R.//Phys. Rev. A. 1976. Vol. 14. P. 1943-1948.
Мигдал А. Б.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1971. Т. 61. С. 2209—2224.
Shift L. L, Snyder Н., Weinberg J.//Phys. Rev. 1940. Vol. 57. P. 315-
Мостепаненко В. М.//Вестник ЛГУ. 1973. № 16. С. 137—139.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Теорет. и мат. физ. 1976. Т. 29. С. 370—375.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.
Гриб А. А., Дамаскинский Е. В., Максимов В. М.//Успехи физ. наук. 1970. Т. 102. С. 587—620.
Митропольский Ю. А., Козубовская И. Г. Математическая физика. Киев: Наукова думка. 1976. Вып. 20.
Bender I., Gromes D., Rothe H. J.//Nuovo cimento. 1976. Vol. A32. P. 21-33.
Salam A., Strathdee J.//Preprint ICTP IC/76/62. Trieste, 1976.
Киржниц Д. А., Линде А. Д.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1974. Т. 67. С. 1263—1275.
Weinberg S,//Phys. Rev. D. 1974. Vol. 9. P. 3357-3378.
Иваненко Д. Д., Соколов А. А.//Вестник МГУ. 1947. № 8. С. 103—113.
DeWitt В. S.//Phys. Rev. 1967. Vol. 162. P. 1195-1239; 1239-1256.
Фаддеев Л. Д., Попов В. Н.//Успехи физ. наук. 1973. Т. 111. С. 427— 450.
Fradkin Е. S., Tjutin I. V.//Phys. Rev. D. 1970. Vol. 2. P. 2841—2857.
DeWitt B. S.//J. Math. Phys. 1962. Vol. 3. P. 1073-1093.
Пономарев В. H., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. М.2 Энергоатомиздат. 1985.
Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространств а-времени: Пер. с англ. М.: Мир. 1977.
Schrodinger E.//Physica. 1939. Vol. 6. Р. 899—912.
Гинзбург В. Л., Киржниц Д. А., Любушин А. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 19 71. Т. 60. С. 451—459.
Менский М. Б. Группа путей: измерения, поля, частицы. М.: Наука.
*183. Gibbons G., Hawking S.//Phys. Rev. D. 1977. Vol. 15. P. 2738-2751.
Parker L.//Phys. Rev. 1969. Vol. 183. P. 1057—1068; 1971. Vol. D3. pe 345355
Ashtekar A., Magnon A.//Proc. Roy. Soc. Lond. 1975. Vol. A346. P. 375— 394.
* 186. Fulling S. A.//Phys. Rev. D. 1973. Vol. 7. P. 2850-2862.
Мамаев С. Г.//Тезисы докладов III Советской гравитационной конференции. Ереван, 1972; Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Новейшие проблемы гравитации». М. 1973.
Wald R. M.//Ann. Phys. 1979. Vol. 118. P. 490—510.
Волович И. В., Загребное В. А., Фролов В. П.//ЭЧАЯ, 1978. Т. 9. С. 147—208.
Грищук Л. П., Зельдович Я. Б. Квантовая гравитация. М.: Изд. ИЯИ, 1982.
Фомин П. И.//Доклады АН УССР. 1975. № 9. С. 831—835.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука. 1973.
Zeldovic Ya. В., Pitaevskii L. P.//Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 23. P. 185—188.
Markov M. A.//Gravitational radiation and gravitational collapse. Dordrecht-Boston, 1974.
Wald R. M.//Commun. Math. Phys. 1977. Vol. 54. P. 1-19; Ann. Phys. 1978. Vol. 110. P. 472—486.
Зельдович Я. Б.//Успехи физ. наук. 1981. Т. 133. С. 481—503.
Capper D. М., Duff М. J.//Nuovo cimento. 1974. Vol. А23. Р. 175-183.
Deser S., Duff M. J., Isham G J.//Nucl. Phys. 1976. Vol. Bill. P. 45— 55.
Ilyn S. B., Tagirov E. A.//Comm. JINR E2-8323. Dubna, 1974.
Изиксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ. М.: Мир. 1984. Т. 1, 2.
Gibbons G. W.//Commun. Math. Phys. 1975. Vol. 45. P. 191—197.
Davies P. C. W., Fulling S. A., Christensen S. M., Bunch T. S.//Ann. Phys. 1977. Vol. 109. P. 108-142.
Brown L. S., Cassidy J. P,//Phys. Rev. D. 1977. Vol. 15. P. 2810- 2829; Vol. 16. P. 1712-1716.
Bunch T. S.//J. Phys. A. 1979. Vol. 12. P. 517-531; 1980. Vol. 13. P. 1297—1310.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М.//Ядерная физика. 1983. Т. 3 7. С. 1323—1329; Препринт ИТФ-84-54Р. Киев. *1984; Письма в Астроном, жури. 1983. Т. 9. С. 131—134; Phys. Lett. 1983. Vol. 93А. Р. 391-393.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Шелюто В. А.//Теорет. и мат. физ. 1985. Т. 63. С. 64—77.
Christensen S. М., Duff М. J.//Nucl. Phys. 1979. Vol. В154. Р. 301-342.
Гриб А. А., Левитский Б. А., Мостепаненко В. М.//Теорет. и мат. физ. 1974. Т. 19. С. 59—75; Т. 21. С. 431.
Фок В. А.//Изв. АН СССР. 1935. Т. 7. С. 169—179.
Левитский Б. А., Мостепанеко В. М„ Фролов В. М.//Д оклады АН СССР. 1975. Т. 220. С. 61—64; Изв. вузов. Сер. физ. 1977. № 2. С. 29—35.
Левитский Б. А.//Вестник ЛГУ. 1973. № 4. С. 7—15; Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Новейшие проблемы гравитации». М. 1973.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Ядерная физика. 1976. Т. 23. С. 1118—1123; 1977. Т. 26. С. 215—223; Письма в Астроном, жури. 1975. Т. 1. № 9. С. 8—12.
Мамаев С. Г.//Изв. вузов. Сер. физ. 1976. № 3. С. 58—63.
Бейлин В. А., Верешков Г. М., Гришкам Ю. С. и др.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1980. Т. 78. С. 2081—2098.
Веряскин А. В., Лапчинский В. Г., Рубаков В. А.//Теорет. и мат. физ. 1980. Т. 45. С. 407—420; Препринт П-0198 ИЯИ АН СССР. М. 1981.
Гриб А. А., Нестерук А. В., Шелюто В. А.//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат. 1982. Вып. 13.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука. 1974.
ШВ Bonometto S. A., Pollock М. DJ/Gen. Relat Grav. 1980. Vol. 12. P. 511-520.
Мамаев С. Г.//Теорет. и мат. физ. 1980. Т. 42. С. 350—361.
Grib A. A., Mamayev S. G., Mostepanenko V. M.//Fortschr. Phys. 1980. Vol. 28. P. 173-199.
Черников H. А., Шавохииа H. С.//Теорет. и мат. физ. 1973. Т. 15. С. 91—99; Т. 16. С. 77—89.
Frolov V. М., Mamayev S. G., Mostepanenko V. M.//Phys. Lett. 1976. Vol. 55A. P. 389-390.
Grib A. A., Mamayev S. G., Mostepanenko V. NV.IJJ. Phys. A. 1980. Vol. 13. P. 2057-2065.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М.//Ядерная физика. 1978. Т. 28ч С. 1640—1653; Письма в Астроном, журн. 1978. Т. 4. С. 203—206; Препринт ИТФ-77 74Р. Киев, 1977.
Mamayev S. G., Mostepanenko V. M.//Phys. Lett. 1978. Vol 67A. P. 165— 168.
Bunch T. S., Davies P. C. W.//Proc. Roy. Soc. bond. 1977. Vol. A356. P. 569-574; 1978. Vol. A360. P. 117-134.
Гриб А. А., Нестеру к А. В., Притоманов С. Л.//Ядерная физика. 1984. Т. 40. С. 1354—1362.
Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука. 1971; Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука. 1975.
Grib A. A., Mamayev S. G., Mostepanenko V. M.//Gen. Relat. Grav. 1976. Vol. 7. P. 535-547.
Zeldovich Ya. B.//Magic without magic: J. A. Wheeler. San Francisco: Freeman, 1972.
Sahni V.//Class. Quant Grav. 1984. Vol. 1. P. 579-590.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. M., Трунов Н. Н.//Тезисы докладов Всесоюзной конференции «современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». М. 1984.
Candelas Р., Raine D. J.//Phys. Rev. D. 1975. Vol. 12. P. 965—974.
Мамаев С. Г.//Изв. вузов. Сер. физ. 1981. № 1. С. 67—70.
Grib A. A., Nesteruk A. V.//Gen. Relat. Grav. 1983. Vol. 15. P. 31-45.
Рузмайкина T. В., Рузмайкин А. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1969. Т. 57. С. 680—685.
Гурович В. Ц.//Там же. 1977. Т. 73. С. 369—376.
Гурович В. Ц., Старобинский А. А.//Там же. 1979. Т. 77. С. 1683—1700.
Hartle J. В., Horowitz G. T.//Phys. Rev. D. 1981. Vol. 24. P. 257-274.
Черников H. А.//Труды VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля. ОИЯИ, Д-2-84-366. Дубна, 1984.
Starobinsky A. A.//Phys. Lett. 1980. Vol. 91В. Р. 99-102; Квантовая гравитация. М.: Изд. ИЯИ. 1982.
Станюкович К. П. Гравитационное поле и элементарные частицы. М.: Наука. 1965.
Hawking S. W.//Nucl. Phys. 1978. Vol. В144. P. 349-362.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1980. Т. 78. С. 20—27.
Stelle К. S.//Gen. Relat. Grav. 1978. Vol. 9. P. 353-359.
Мостепаненко В. М.//Ядерная физика. 1980. Т. 31. С. 1690—1696; Препринт ИТФ-80-24Р. Киев, 1980; GR-9 abstracts of contributed papers for the discussion groups. Jena, 1980. Vol. 3.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. M.//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Энергоиздат. 1981. Вып. 12.
Крамер Д., Штефани X. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоатомиздат. 1982.
Kofman L. A., Sahni V.//Phys. Lett. 1983. Vol. 127В. P. 197-200.
Кофман Л. А., Сахни В., Старобинский А. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1983. Т. 85. С. 1876—1885.
Fischetti М. V., Hartle J. В., Ни В. L.//Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20. P. 1757—1771.
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М.//Изв. вузов. Сер. физ. 1983. Ns 8. С. 34—38; Contributed papers 10th international conference on general relativity and gravitation. Padova, 1983.
Лукаш В. H., Старобинский А. А.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1974. Т. 66. С. 1515—1537.
Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.//Проблемы ядерной физики и физики элементарных частиц. М.: Наука. 1975.
Ни В. L, Parker L//Phys. Rev. D. 1978. Vol. 17. P. 933-945.
Domokos G. Preprint DESY N 76/24, 1976.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М.//Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25. С. 302— 305; Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат. 1979. Вып. 10.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Теорет. и мат. физ. 1977. Т. 33. С. 42-53; Preprint ITP-77-76E. Kiev, 1977.
Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1969.
Лапчинский В. Г., Рубаков В. А.//Теорет. и мат. физ. 1980. Т. 12. С. 37—44.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Там же. 1978. Т. 37. С. 347—354; Phys. Lett. 1978. Vol. 65А. Р. 282—284.
Станюкович К. П., Мельников В. Н. Гидродинамика, поля и константы в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат. 1983.
Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М.//Теорет. и мат. физ. 1978. Т. 37. С. 212—223; Препринт ИФВЭ ОТФ 78-44. Серпухов, 1978.
Gibbons G. WV/Phys. Lett. 1979. Vol. 84В. P. 431—434; Ann. Phys. 1980. Vol. 125. P. 98—120.
Gibbons G. W., Richer J.//Phys. Lett. 1980. Vol. 89B. P. 338-340.
Притоманов С. А.//Изв. вузов. Сер. фйз. 1985. № 1. С. 50—54.
Guth A. H.//Phys. Rev. D. 1981. Vol. 23. P. 347—356.
Линде А. Д.//Успехи физ. наук. 1984. T. 144. С. 177—214; Phys. Lett. 1983. Vol. 129В. P. 177—181.
Spokoiny В. L.//Phys. Lett. 1984. Vol. 147B. P. 39-43; Письма в ЖЭТФ. 1984. T. 40. С. 354—356.
Starobinsky A. A.//Phys. Lett. 1982. Vol. 117В. P. 175—178.
Mazenko J., Unruh W., Wald R. M.//Phys. Rev. D. 1985. Vol. 31. P. 273— 282.
Компанеец Д. А., Лукаш В. H. Препринт ИКИ Пр-570. М. 1981.
Гриб А. А.//Успехи физ. наук. 1984. Т. 142. С. 619—634.
Bell J. S., Leinaas J. M.//Nucl. Phys. 1983. Vol. B212. P. 131-150.
Ритус В. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1981. Т. 80. С. 1288— 1306.
Зельников А. И., Фролов В. П.//Там же. 1982. Т. 82. С. 321—335.
Гриб А. А., Урусова Н. Ш.//Теорет. и мат. физ. 1983. Т. 54. С. 398— 405.
Beke^stein J. D.//Phys. Rev. D. 1973. Vol. 7. P. 2333—2346; 197|4. Vol. 9. P. 32923300.
*279. Candelas P.//Phys. Rev. D. 1980. Vol. 21. P. 2185—2002.
Christensen S. M., Fulling S. A.//Ibid. 1977. Vol. 15. P. 2088—2104.
Фролов В. П. Квантовая гравитация. М.: Изд. ИЯИ, 1982.
Fawcett М. S.//Commun. Math. Phys. 1983. Vol. 89. P. 103-115.
Page D. N.//Phys. Rev. D. 1976. Vol. 13. P. 198-206; 1977. Vol. 14. P. 1360-1367.
Зельдович Я. Б.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1972. Т. 62. С. 2076— 2081.
Старобинский А. А.//Там же. 1973. Т. 64. С. 48—57.
Unruh W. G.//Phys. Rev. D. 1974. VoL 10. P. 3194-3205.
Carr B. J. Квантовая гравитация. M.: Изд. ИЯИ, 1982.
Мостепаненко В. М., Соколов И. Ю.//Ядерная физика. 1987. Т. 46. С. 1174—1180.
Проблемы квантовой электродинамики интенсивного поля//Труды ФИАН СССР. 1986. Т. 168.
De Rujula A. Preprint CERN-TH. 4492/86. Geneva, 1986.
Mamayev S. G., Mostepanenko V. M.//Proc. of the Third Seminar on Quantum Gravity. Singapore, 1985.
АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический режим 183, 198
Аксиальный заряд 173
Аномальный след 172, 215
Вакуум заряженный 102, 109 и нарушение симметрии 109 — квазичастиц 39, 75, 80 — сверхзаряженный 109
Вакуумная энергия 41, 49, 57, 62, 71
Виртуальные пары 25, 152, 224, 229
ВКБ-приближение 162, 183, 195
Горизонт событий 148, 261, 272
Горячая модель Вселенной 6, 146, 218
Гравитационная постоянная 145, 167, 209, 232
Гравитационный радиус 261
Демультипликационный резонанс 140
Диагонализация гамильтониана 34, 73, 151, 187
Древесное приближение 138
Затравочный лагранжиан гравитационного поля 167
Измеримость гравитационного поля 146
Индекс Понтрягина 173
Интенсивность рождения 84, 97, 101
Квантование гравитационного поля 145
Квантовая теория измерений 260
Конденсат 34, 133, 141, 143, 252
Конформная аномалия 172, 215, 235 — инвариантность 12, 15, 172, 215 Конформное время 175, 219 — поле Киллинга 152
Конформно-плоское пространство 158, 175, 208
Конформный тензор Вейля 172
Корреляционная функция 192, 224
Космологическая постоянная 167, 209
Космология Фридмана 24, 219
Критическое поле 5, 101
S-Матричная задача 34, 147, 154, 191, 202
Метастабильное состояние 253, 254
Метод адиабатической регуляризации 30, 169
— вычисления вероятности рождения пар с помощью преобразований Боголюбова 73
Метод мнимого времени 85
— размерной регуляризации 27, 170
— регуляризации п-волновой 30, 168, 202, 205
ковариантным раздвижением ар- гументов 43, 169
с помощью обобщенной ^-функ- ции 48, 59, 170
формулыАбеля—Плана 44, 45
— собственного времени Фока— Швингера 113, 161
МетрикаБертотти—Робинсона 237
— де Ситтера 229, 234
— Казнера 240
— Керра 263, 271
— Керра—Ньюмена 263, 264
— Милна 219, 236, 240
— однородного изотропного пространства-времени 173
— Шварцшильда 153, 265, 269
Модель Голдстоуна 140, 246
— мешка 41
— «перемешанного мира» 247 Нормальное упорядочение 27, 118 Нулевые колебания 26, 39, 42 Обобщенные когерентные состояния
77
Оператор Ньютона—Вигнера 192
Операторы рождения и уничтожения квазичастиц 36, 75
Парадокс Эйнштейна—Подольского— Розена 259
Параметр адиабатичности 183
— Хаббла 198, 224, 252
Параметрический резонанс 89
Первичные черные дыры 273
Перенормировка во внешнем гравитационном поле 167
электромагнитном поле 115
Пионная конденсация 134
Планковская длина 147
— масса 147
Планковское время 251
Плоская волна гравитационная 168
электромагнитная 92
Плотность числа частиц, рожденных вблизи фридмановской сингулярности скалярных 223, 224
Плотность числа частиц, рожденных вблизи фридмановской сингулярности спинорных 223, 224
Поверхностная гравитация 69, 263, 269
Поле Киллинга 152, 186
Поляризация вакуума гравитационным полем 158, 211, 215
Потенциал Юлинга 129, 131
Преобразования Боголюбова 28, 34, 77, 79, 100, 151, 248, 250
Приливные силы 150
Пространство Фока 18, 21, 33, 35, 149, 153
Реликтовое радиоизлучение 174, 251
Риндлеровские координаты 255
Сверхизлучение 271
Сила Казимира 40
Сильное энергетическое условие 157
Сингулярность гравитационного поля
148, 218, 262
Спонтанное восстановление симметрии 33
— нарушение симметрии 32
Температура 69, 70, 258, 265, 272
Тензор энергии-импульса канонический 9, 13
метрический 10, 11
Теорема Атья—Зингера 173
— Голдстоуна 32
— Коулмена 32
— Хокинга 264, 272
Теоремы Хокинга—Пенроуза 146, 157
Теория Вайнберга—Салама 24, 143, 145
Тетрада 16
Топологические члены в тензоре энергии-импульса 213, 214
Унитарно-неэквивалентные представления 20, 75
Уравнение Дирака 15
Уравнение Дирака в гравитационном поле 16, 178
— Дюффинга 245
— Клейна—Фока 9, 73, 132
в гравитационном поле 160, 175, 241, 265
с конформной связью 12, 56 с минимальной свя
зью 12
— Матье 90, 139
— Прока 10, 13
— Рариты—Швингера 18
— Эйнштейна 146, 150, 154, 158, 219, 231, 239, 243
Уровни Ландау 260
Условия энерго доминантности 156
Феномен Хиггса 141, 246
Физический импульс 82, 96
Фоковское представление 19
Формула Абеля—Плана 44, 45
— Гейзенберга—Эйлера 116
Функция Адамара 160 — Грина 29, 69, 114, 126, 130, 160, 258
Энергия частиц, рожденных вблизи фридмановской сингулярности векторных 222
скалярных222, 224
спинорных222, 224
Энтропия черной дыры 264
Эргосфера 263, 272
Эффект экспоненциального роста плотности числа частиц в периодическом поле 86, 89, 91
Эффективный лагранжиан во внешнем гравитационном поле 165
Явление деполяризации электронов 260
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
ЧАСТЬ I. Квантовая теория поля во внешних полях
Глава 1. Классические поля, взаимодействующие с внешними полями, и каноническое квантование 9
Волновые уравнения полей с целым спином при наличии внешних полей 9
Уравнение Дирака во внешних полях 15
Каноническое квантование при наличии внешнего поля ...18
Глава 2. Вакуумные эффекты во внешних полях23
Вакуум в квантовой теории поля и явление поляризации вакуума 23
Проблема расходимостей в вакуумных средних локальных наблюдаемых 26
Эффект перестройки вакуума в сильных полях31
Корпускулярная интерпретация квантовой теории во внешнем поле33
Описание рождения частиц из вакуума методом диагонализации гамильтониана преобразованиями Боголюбова35
Глава 3. Квантовые эффекты во внешних полях, задаваемых граничными условиями40
Эффект Казимира для простейших конфигураций .40
Поляризация вакуума в пространствах с нетривиальной топологией 51
Поляризациявакуума вобластяхсграницами58
Квантовополевая теорияэффектаКазимирадля реальных сред 65
Эффективнаятемпература вакуума69
ЧАСТЬ II. Вакуумные квантовые эффекты в электромагнитном поле
Глава 4. Рождение частиц нестационарным электромагнитным полем 72
Рождение скалярных и спинорных пар однородным электрическим полем72
Рождение пар одиночным импульсом электрического поля и постоянным электромагнитным полем82
Рождение пар периодическим вовремени полем86
Рождение пар постоянным электрическим полем и распространяющейся вдоль него плоской волной91
Рождение векторных бозонов нестационарным электрическим полем 97
Глава 5. Рождение позитронов кулоновским полем сверхтяжелых ядер 101
Спектр уравнения Дирака в кулоновском поле и критический заряд ядра101
Свойства непрерывного спектра уравнения Дирака при Z>ZCr и рождение позитронов106
Рождение позитронов при столкновении тяжелых ядер ... ИО
Глава 6. Поляризация вакуума внешним полем в квантовой электродинамике ИЗ
Метод собственного времени и поляризация вакуума постоянным электромагнитным полемИЗ
Поляризация вакуума нестационарным электромагнитным полем 118
Эффективный лагранжиан нестационарного электромагнитного поля126
Поляризация электрон-позитронного вакуума кулоновским полем 129
Глава 7. Эффект перестройки вакуума во внешних полях .132
Бозонная конденсация в сильных полях132
Образование конденсата в статическом сосредоточенном потенциале *.134
Перестройка вакуума в высокочастотном электрическом поле 137
Восстановление симметрии вакуума в магнитном поле ...141
ЧАСТЬ III. Вакуумные квантовые эффекты в гравитационном поле
Глава 8. Особенности описания квантовых эффектов в интенсивных гравитационных полях145
Взаимодействие квантованных полей с классическим гравитационным полем145
Корпускулярная интерпретацияполяирождениечастиц...149
Общие требования к регуляризованномутензоруэнергии-импульса154
Анализ расходимостей159
Методы регуляризации168
Глава 9. Рождение частиц и поляризация вакуума в однородном изотропном пространстве173
Классические решения волновых уравнений в однородных изотропных метриках173
Особенности поведения классических решений в нестационарном гравитационном поле182
Квантование и корпускулярная интерпретация поля .. ..186
Пространственно-временное описание рождения частиц. ..192
Рождение частиц в модельных асимптотически статических метриках 197
Перенормировкатензора энергии-импульса202
Полный тензор энергии-импульсавизотропном пространстве .211
Расчеты поляризации вакуума и рождения частиц в изотропных космологическихмоделях218
Глава 10. Влияние вакуумных квантовых эффектов на эволюцию космологических моделей231
Самосогласованная задача о влиянии квантовых эффектов на геометрию пространства-времени 231
Космологические модели, определяемые вакуумными эффектами квантованных полей233
Изотропные самосогласованные модели с классическим фоном 238
Изотропизация космологического расширения за счет рождения частиц239
Глава 11. Эффект перестройки вакуума в гравитационных полях .243
Перестройка вакуума скалярного типа с самодействием в изотропном пространстве открытого типа243
Зарядовая асимметрия в теории рождения фермионов в анизотропной метрике247
Эффект перестройки вакуума и инфляционная модель Вселенной251
Глава 12. Вакуумные квантовые эффекты в черных дырах . ..254
Эффект Фуллинга—Унру в ускоренных системах отсчета ..254
Гравитационный коллапс и черные дыры261
Эффект Хокинга265
Обобщения и астрофизические следствия эффекта Хокинга.270
Заключение274
Список литературы276
Алфавитно-предметныйуказатель284
Научное издание
ГРИБ АНДРЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ
МАМАЕВ СЕРГЕЙ ГЕОРГИЕВИЧ
МОСТЕПАНЕНКО ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ
ВАКУУМНЫЕ КВАНТОВЫЕ
ЭФФЕКТЫ В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Редактор О. 77. Дунаева
Художник переплета В. Ф. Громов
Художественные редакторы А. Т. Кирьянов, Т. Н. Хромова
Технический редактор Г. С. Соловьева
Корректор Л. С. Тимохова
ИБ Ns 1546
Сдано в набор 28.05.87. Подписано в печать 27.11.87. Т-24512. Формат 60X 90*/ie Бумага офсетная № 1 Гарнитура литературная Печать офсетная Усл. печ. л. 18,0 Усл. кр.-отт. 18,0 Уч.-изд. л. 20,71 Тираж 2350 экз. Заказ 457 Цена 4 р. 50 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Госкомиздате
109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
Глтм
6 _ Г(1+1Л)Г(-1Л)
В случае сферического пространства интегралы от Sx в (9.174) должны заменяться на дискретные суммы. Однако, поскольку результаты (9.206), (9.207) определяются вкладом области Х^та, соответствующие поправки были бы существенны лишь в эпоху, когда та(т|)^1, т. е. t ^m-1 (та^У^Ъ. Для реальных моделей Вселенной та\ настолько велико, что при t>tpl суммы можно заменять интегралами. В моделях с х=±1 е™7** для спинорного поля содержит дополнительные члены за счет слагаемого —х/4 в фазовом объеме (9.174) [224]. Они пренебрежимо малы по той же причине, что и поправки на дискретность спектра.
А. Гриб
С. Г. Мамаев
М. Мостепаненко